grafo teoriarako abiltzen da grafo teoria. grafo bat marrazteko orduan, itxura ezberdineko bi grafo

Download Grafo teoriarako abiltzen da grafo teoria. Grafo bat marrazteko orduan, itxura ezberdineko bi grafo

Post on 22-Jul-2020

3 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Grafo teoriarako hastapenak

    Josemari Sarasola Ledesma

    2007ko maiatza

  • Contents

    1 Zer den grafoa 3

    2 Euler-en bideak eta zirkuituak 5

    2.1 Euler-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2 Grafo eulertarrei buruzko ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.3 Postari txinatarraren ebazkizuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3.1 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Hamilton-en bideak eta zirkuituak 11

    3.1 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2 TSP edo saltzailearen ebazkizuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2.1 TSP ebazkizunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Puntuen koloreztaketa 14

    4.1 Koloreztaketarako algoritmo bat: largest first . . . . . . . . . . . 14

    4.2 Aplikazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.3 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Marra koloreztaketa edo edge coloring: enparejamenduak 19

    5.1 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    6 Enparejamendu egonkorren ebazkizuna 21

    7 Enparejamendu kopuru handiena alde biko grafoetan 25

    7.1 Edmonds-en algoritmoa taula moduan . . . . . . . . . . . . . . . 30

    7.2 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    1 Zer den grafoa

    Grafoa puntu batzuren multzoa, puntuak lotzen dituzten marrekin batera, da. Adibidez:

    Komunikazio- edo errepide-sareak, tarea bat burutzeko etapak, et cetera adier- azteko erabil daiteke. Egun Internet sarearen trafikoa modelizatzeko asko er- abiltzen da grafo teoria.

    Grafo bat marrazteko orduan, itxura ezberdineko bi grafo berdinak izan daitezkeela gogoratu behar da: marrek puntuak nola lotzen dituzten da kontuan hartzekoa. Ikusi adibide gisa berdinak diren bi grafo hauek:

    Grafo bat lotura matrize baten bitartez ere defini daiteke:

    3

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    Puntu berean hasi eta bukatzen den marrari buklea deitzen zaio. Bi puntu lotzen dituen marra bat baino gehiago badago, puntuen artean marra bikoitza, hirukoitza, ... dagoela esango dugu. Grafo sinplea marra bikoitzik eta buklerik ez duena da.

    Puntu bateko maila puntu horretan bat egiten duen marra kopurua da. Adibidez, aurreko grafoan:

    m(A) = 3 ; m(B) = 4; ; m(C) = 2 ; m(D) = 3 ; m(E) = 2

    Marra bakoitzak 2 unitatetan gehitzen du maila. Beraz:

    2×marra kopurua = mailen batura

    Eta korolario bezala, mailen batura beti bikoitia izan behar da.

    Bestalde, maila bakoitiko puntu kopurua ezin da bakoitia izan, kasu horretan mailen batura bakoitia izango bailitzateke eta hori ez da posible. Esaterako:

    m(A) = 3 ; m(B) = 5; ; m(C) = 1 ; m(D) = 4

    aurreko mailak dituen grafo bat ez da posible, maila bakoitikoak 3 direlako.

    Bidea hainbat marraren segida da. Bidea puntu berean hasi eta bukatzen bada, zirkuitua dela esango dugu.

    Grafoa ponderatua izango da, bi puntuen arteko distantziak (edo kostuak, ...) azaltzen direnean.

    4

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    2 Euler-en bideak eta zirkuituak

    Bide bat eulertarra 1 dela esango dugu, grafoaren marra guztiak behin bakarrik zeharkatzen direnean.

    Bide eulertarra puntu berean hasi eta bukatzen bada, zirkuitu eulertarra dela esango dugu.

    2.1 Euler-en teorema

    Euler-en teoremari esker, modu sistematiko batez azter daiteke grafo batean bide edo zirkuitu eulertarrik dagoen. Leonhard Euler (1707 1783) zientzi- lari suitzarrak Konigsberg-eko zubien ebazkizuna dela eta (aurrerago bisitatuko duguna) asmatutako teorema da.

    Honela dio:

    • Grafo batean maila bakoitiko punturik ez badago, zirkuitu eulertar bat izango da gutxienez (eta alderantziz).

    • Grafo batean maila bakoitiko puntu bi badaude, zirkuitu eulertarrik ez da izango, baina bai bide eulertar bat gutxienez (eta alderantziz). Gainera, bide hau maila bakoitiko puntu batean hasi eta bestean bukatuko da.

    • Grafo batean maila bakoitiko puntu lau edo gehiago badaude, ez da ez bide ez zirkuitu eulertarrik (eta alderantziz).

    1Gazteleraz, euleriano.

    5

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    2.2 Grafo eulertarrei buruzko ariketak

    I Grafo hauetan Euler-en bide edo zirkuituen existentzia azter ezazu. Baiezkoan, aurki ezazu.

    II Parke natural batean ibilbide hauek proposatzen dira: Egin al daitezke ibilibide guztiak errepikapenik gabe eta abiapuntura itzuliz? Non jarri behar da horretarako bisitarientzat harrera-etxea?

    6

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    III Polizia batek errepide sare hau patruilatu behar du gauero: Egin al dezake patruila errepiderik errepikatu gabe? Ahal izatekotan non hasi eta bukatu behar du bere lana? Errepikapenik gabeko ibilbidea egin daitekeen patru- ila laburrena al da?

    IV EULER-en ebazkizuna: XVIII. mendean 7 zubik lotzen zituzten Eu- ropa iparraldeko Knigsberg hiriko auzoak. Hiritarrek zubirik errepikatu gabe 7 zubietan zehar paseo bat egin ote zitekeen jakinmina zuten. Posi- ble al da? Ezezkoan, non eraiki behar da zubia paseoa adierazi bezala egin ahal izateko?

    7

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    V Zubi hauetan zehar paseatu al daiteke zubirik errepikatu gabe?

    8

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    2.3 Postari txinatarraren ebazkizuna

    Ingelesez ’Chinese Postman Problem’ edo ’Route Inspection Problem’ izenez ezagutzen da.2.

    Ebazkizunak grafo ponderatu bateko marra guztiak gutxienez behin zeharkatzea eskatzen du baina distantzia edo kostu txikienez, hasierako puntura itzuli behar dela.

    Argi dago: grafoan Euler-en zirkuiturik badago, Euler-en zirkuitua bera da bilatzen dugun ibilbidea, bertan marra guztiak behin bakarrik zeharkatzen dire- lako (ez da posible distantzia txikienez marra guztiak gutxienez behin bakarrik zeharkatzea marra guztiak behin bakarrik zeharkatuz baino distantzia txiki- agoarekin).

    Eta Euler-en zirkuiturik ez badago?

    Euler-en zirkuiturik ez badago, marra guztietatik gutxienez behin igoratzeko, marrak errepikatu beharko dira. Jarraian, soluzio optimora hurbiltzen den ihardunbide bat ikasiko dugu:

    maila bakoitia duten puntuak enparejatu egiten dira, begi bistan gertutasun irizpide baten arabera. Puntu bikote bakoitzeko, beraien artean dagoen ibilbide txikiena berriz ere marrazten da grafoan. Honela, puntu guztiek maila bikoitia izango dute eta honela Euler-en zirkuitu bat sortu dugu. Euler-en zirkuitu hau izango da marra guztiak gutxienez behin zeharkatzen dituen ibilbide laburrena (postari txinatarraren ibilbidea, alegia). Ohartarazi behar da ihardunbide honek ez duela beti soluzio optimoa emango, puntu bikoteen aukeraketa begi bistan egiten baita, baina optimoa ez den kasu horietan oso gertu ibiliko da optimotik.

    2’Chinese Postman Problem’ izena Mei-Ko Kwan matematikari txinatarrak proposatu zue- lako 1962. urtean.

    9

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    2.3.1 Ariketak

    Postari txinatarraren zirkuitu optimoak aurki itzazu:

    10

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    3 Hamilton-en bideak eta zirkuituak

    Puntu guztietatik behin bakarrik pasatzen den bideari Hamilton-en bidea deituko dogu. Bidea puntu berean hasi eta bukatzen bada, Hamilton-en zirkuitua izango da. Adibidez,

    Ohartarazi behar da Euler-en eta hamilton-en zirkuituen arteko aldea: Euler- en zirkuituetan marra guztiak behin zeharkatu behar dira (puntuak behin baino gehiagotan zeharka daitezke) eta Hamilton-en zirkuituetan puntu guztiak behin zeharkatu behar dira (marra bakoitzetik behin baino gehiagotan igaro daiteke).

    Ez dago teorema edo metodo ziurrik, Hamilton-en bide edo zirkuituen exis- tentzia ziurtatzen duena.

    Grafo ponderatu batean, Hamilton-en zirkuituak ez du zertan puntu guztiak igarotzen dituen laburrena zertan izanik. Ikus ezazu adibide batez:

    a − b − c − a zirkuitu hamiltondarra da, baina ez da puntu guztiak bisitzaten dituen laburrena: a− b− c− b− a bidea laburragoa da.

    11

  • Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

    3.1 Ariketak

    Grafo hauetan guztietan Hamilton-en zirkuitua dago. Aurki ezazu:

    3.2 TSP edo saltzailearen ebazkizuna

    Ingelesez, Travelling Salesman Problem edo TSP izena ematen zaio ebazkizun honi. Honetan datza: bisitatu beharreko hiri guztiak errepidez loturik daudela, distantziak (edo kostuak, denborak, ...) ezagunak izanik (grafoa ponderatua da, beraz), hiri guztiak (hau da, puntu guztiak) bisitatzen dituen ibilbide laburrena bilatu behar da, abiapuntua eta helmuga berdinak izanik.

    Arestian frogatu dugunez, Hamilton-en zirkuituak (existitzekotan) ez du ibilbide laburrena bermatzen, baina puntu guztiak behin bakarrik bisitatzen dituenez, laburrena izateko aukera handiak dituela esan daiteke. Baina orohar zein prozedura erabiliko dugu TSP ibilbidea bilatzeko?

    Algoritmo ezberdinak daude. Guk oso erraza den bat ikasiko dugu: gertuenaren metodoa edo nearest neighbor method ikasiko dugu. Edozein puntutan hasita, gertueneko puntua bilatzen dugu, azkeneko honetatik bisitatu ez den puntu gertuena bisitatzen da, ..., abiapuntura itzuli arte. Metodo honek ez du oro- har optimoa ematen, baina bi dimentsiotan esaterako , hau da, mapetan, opti- moarekiko %26ko gehiegizko lu