GRA NIMGra w „zapałki”

A. Sumionka

Krótkie informacje na temat gry:

• Starodawna gra marynarska;• Gra dwu i wieloosobowa;• Gracze wykonują ruchy naprzemian;• Złożona ze stosów, w których znajduje się

pewna ilość zapałek (żetonów);• Na każdy ruch składa się wybranie stosu i

zabranie z niego zapałek (żetonów);• Wygrywa gracz, który zabierze ostatni żeton.

Krótkie informacje na temat gry:

Każdą konfigurację można opisać za pomocą skończonego ciągu dodatnich liczb całkowitych, gdzie ilość (czyli długość) tego ciągu, to ilość stosów na stole, a każdy wyraz jest liczbą zapałek w danym stosie. Dodatkowo:

• Ciąg jest nierosnący;• Zmiana kolejności wyrazów ciągu

odpowiada przenumerowaniu stosów zapałek;

Ciąg [2,5] oznacza, że mamy do czynienia z dwoma stosami, w których:

w pierwszym są 2 zapałki, w drugim 5.

Ciąg [2,5] możemy zastąpić ciągiem [5,2], a np. ciąg [3,8,17,11,8] – ciągiem [17,11,8,8,3].

Przykład:

Każdy skończony nierosnący ciąg dodatnich liczb całkowitych nazywamyUKŁADEM

1. ANALIZA WSTĘPNA GRY

Układ u należy do wtedy i tylko wtedy, gdy z u zawsze przechodzimy do pewnego układu należącego do .

Układ u należy do wtedy i tylko wtedy, gdy z u można przejść w jednym ruchu do pewnego układu należącego do .

OZNACZENIA:

P

NN

P

Istnieje tylko jeden układ końcowy, a mianowicie [0,0,0], który jest układem P.Rozwiązanie z 1 stosem jest trywialne – zabiera się cały stos.Stąd jakikolwiek układ z dokładnie jednym niepustym stosem, np. [0,0,x], gdzie x>0 jest układem N.Dla gry z dwoma stosami układy P to takie, w których dwa stosy mają równą ilość żetonów: [0,1,1], [0,2,2] itd.

Stosy [1,1,1],[1,1,2],[1,1,3] oraz [1,2,2] są układami N, ponieważ mogą zostać zmienione na [0,1,1] lub [0,2,2].Kolejnym najprostszym układem jest [1,2,3] i musi on być układem P.Możemy tak pójść dalej i przekonać się, że kolejnymi najprostszymi układami P są [1,4,5] oraz [2,4,6].

2. NIM - SUMA

dwóch nieujemnych liczb całkowitych to ich dodawanie bez przenoszenia w

systemie dwójkowym.

x - nieujemna liczba całkowita

Zapisujemy:

Nim-sumę dwóch liczb całkowitych otrzymujemy wykonując sumę modulo 2 na poszczególnych bitach ich reprezentacji binarnych.

Nim-suma

Reprezentacja w systemie dwójkowym:01

11 2...22 xxxxx m

mm

m

2011 )...( xxxxx mm

Nim-suma i wynosi , co zapisujemy jako : ⊕ = ,gdzie dla każdego k, zk = xk + yk (modulo 2), czyli zk = 1 wtedy, gdy xk + yk =1 i zk = 0 w każdym innym przypadku.

DEFINICJA

20 )...( xxm 20 )...( yym

20 )...( xxm 20 )...( yym 20 )...( zzm

20 )...( zzm

Mamy obliczyć: 22 51⊕ ,czyli przechodząc do reprezentacji binarnej:(10110)2 (110011)⊕ 2

Co wyliczamy w następujący sposób:

22 = 101102

51 = 1100112

nim-sum = 1001012 = 37

Przykład:

0 jest elementem neutralnym dodawania:

Każda liczba jest swoją odwrotnością:

WŁASNOŚCI NIM-SUMY

ŁącznośćPrzemienność

zyxzyx )()(

xyyx

PONADTO:xx 0

0 xx

3. TWIERDZENIE C. L. BOUTONA

(1902)

Mamy dany układ początkowy [n1,…,nk]. W grze Nim układ ten jest układem P wtedy i tylko wtedy, gdy nim-suma jego składowych wynosi zero:

0...21 knnn

Czy układ [1,2,3] należy do P? 1 = 012

2 = 102

3 = 112

nim-sum = 002 = 0 czyli twierdzenie potwierdza, że [1,2,3] Є P

Przykład:1.

Czy układ [13,12,8] należy do P?13 = 11012

12 = 11002

8 = 10002

nim-sum = 10012 = 9 Czyli zgodnie z twierdzeniem jest to układ N.

2.

Po zabraniu 9 żetonów ze stosu, w którym było 13 mamy następującą sytuację:

4 = 1002

12 = 11002

8 = 10002

nim-sum = 00002 = 0

4. DOWÓDTWIERDZENIA

BOUTONA

Niech P oznacza zbiór układów Nim z nim-sumą wynoszącą zero i niech N oznacza zbiór dopełniający, czyli zbiór układów o dodatniej nim-sumie.

By sprawdzić to twierdzenie, musimy wykazać:

Wszystkie układy końcowe znajdują się w P.Z każdego układu w N jest możliwość ruchu do układu P.Każdy ruch z układu w P następuje do układu w N.

1.2.3.

Jedynym układem końcowym jest układ, w którym w żadnym stosie nie ma żadnych żetonów, i:

1.

00...00

Załóżmy, żeNiech zbiórZapisując każde mi w postaci binarnej, zauważymy, że mamy nieparzystą liczbę wartości , dla których postać binarna mi ma jedynkę w najbardziej wysuniętej na lewo pozycji w wyrażeniu s.Wybierzmy 1 takie i.Zauważmy, że , ponieważ nie ma żadnej jedynki w tej najbardziej wysuniętej na lewo pozycji, a przez to wynosi mniej niż jakakolwiek liczba, która wyrażona binarnie ma w tym miejscu jedynkę.

2. .),...,,( 21 Nmmmx k ....21 kmmms

ki ,...,1

ii msm smi

Tak więc możemy zrobić ruch, w którym zabierzemy z i-tego stosu żetonów, tak ze m i staje się

Nim-suma tak powstałego układu:

wynosi zero, więc ten nowy układ leży w P.

2.(cd)smm ii .smi

),...,,,,...,( 111 kiii mmsmmm

kikii mmmmmmm ......... 1111

s

0)00()00()...()...()...()...(

11

111

kiki

iii

mmmmmmmmm

Załóżmy, żeMusimy pokazać, ze dowolny ruch z prowadzi do układuZapisujemy w postaci binarnej:

3..),...,( 1 Pyyy k y

.Nz

iy

.2...

...

2...

1

)0()1()(

11

)0(1

)1(1

)(11

n

j

jjkk

nk

nkk

n

j

jjnn

yyyyy

yyyyy

Wiemy z założenia, żeOznacza to ze nim-sumadla każdego j.Załóżmy, że zabieramy żetony ze stosu .Uzyskujemy nowy układgdzie dla i gdzie

3.(cd) .),...,( 1 Pyyy k 0... )(

1)(

1 jj yy

l),,...,( 1 kzzz

ii yz liki ,,...,1 .ll yz

Rozważmy binarne wyrażenie dla i :

Przeglądamy te dwa rzędy zer i jedynek, aż zlokalizujemy pierwszy przykład niezgodności między nimi. W kolumnie, w której to nastąpi nim-suma i wynosi 1.Oznacza to że nim-sima z w tej kolumnie też wynosi 1. Stąd

3.(cd)ly lz

....

...)0()1()(

)0()1()(

lnl

nll

lnl

nll

zzzz

yyyy

ly lz),...,( 1 kzzz

.Nz

5. MISERE NIM

Gramy tak samo, jak w Nim według zwykłych zasad dopóki przynajmniej dwa stosy mają więcej niż jeden żeton. Kiedy przeciwnik wreszcie wykona taki ruch, że dokładnie jeden stos będzie miał więcej niż jeden żeton, zredukujemy ten stos do zera lub jednego żetonu, w zależności od tego, która opcja spowoduje, że pozostanie liczba stosów liczących jeden żeton.

METODA BUTONA BY OPTYMALNIE GRAĆ W MISERE NIM

NIEPARZYSTA

6. GRY NIM W PRZEBRANIU

• W Nimble gra się na planszy składającej się z rzędu kwadratów oznaczonych: 0,1,2,….

• Umieszcza się skończoną liczbę monet w kwadratach z możliwością umieszczania więcej niż jednej monety na jednym kwadracie.

• Na ruch składa się zabranie jednej z monet i przesunięcie jej w lewo na dowolny kwadrat, z możliwością przesuwania jej ponad innymi monetami oraz umieszczenia ich w kwadracie, w którym może znajdować się jedna lub więcej monet.

• Gracze grają na zmianę.• Gra kończy się gdy wszystkie monety znajdują się na

kwadracie oznaczonym 0.• Wygrywa gracz, który wykona ostatni ruch.

NIMBLE

Przykład Nimble:

• Układa się poziomy rząd monet, przy czym część monet leży orłem, a część reszką do góry.

• Na ruch składa się odwrócenie jednej z monet z orła na reszkę oraz dodatkowo, jeśli się chce, obrócenie jeszcze jednej monety (znajdującej się na lewo od wcześniej odwracanej przez nas) na jej drugą stronę.

• Gracz wykonujący ostatni ruch wygrywa.

OBRACANIE ŻÓŁWI [TURNING TURLES]

R O R R O R R R O O R 0 R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Przykład Obracania żółwi:

Przyjmując, że O na miejscu n reprezentuje n żetonów w grze NIM.

•GRA NORTCOTTA•NIM NA SCHODACH•NIMK

INNE GRY WYKORZYSTUJĄCE NIM

Ile wynosi nim-suma z 27 i 17?Nim suma z 38 i x wynosi 25. Znajdź x.

ĆWICZENIA: