Gleichungen Klasse

A

lge

bra

7G

leichungen

3 42

Anzahl der Lösungen Zahlenrätsel

Die Variable x in Gleichungen1 2 Äquivalenzumformungen

B

25 627 829 10

Zeichnerisches Lösen

Das Einsetungsverfahren

Anzahl und Art der Lösungen

1 Gleichung mit 2 Unbekannten

Das Gleichsetzungsverfahren

Das Additionsverfahren

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Alg

ebra

7

1 Gleichung mit 1 Unbekannten

Gleichungen

GleichungenA

lgeb

ra 7

Die Variable x in GleichungenDie Variable x kann nicht nur wie bei Termen ein Platzhalter für eine beliebige Zahl sein, sondern auch eine bestimmte, unbekannte Zahl. Mithilfe einer Gleichung kann die gesuchte Zahl berechnet werden.

11

Info

xx + 1 = 3xx = 2

Lösung

x + 11 = 10 + 5

4 + 11 = 10 + 5 ✔Lösung x = 4

5 x = 31 + 4

5 7 = 31 + 4 ✔Lösung x = 7

x² = 36

6 ² = 36 ✔L = {+6; -6}

x² = 36

-6 ² = 36✔

Eine Zahl, die x in der Ausgangsglei-chung ersetzt und eine wahre Aussage liefert, ist eine Lösung der Gleichung.

11 2x

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht, wobei das Gewicht

eines Gegenstandes unbekannt ist.

Alg

ebra

7Gleichungen

Gleichungen

Eine Gleichung ist wie eine Waage. Damit das Gleichgewicht bleibt, muss man immer auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche machen.

22

Äquivalenzumformungen

Rezeptzum Lösen

5 + x = 3x + 1 -14 + x = 3x - x

1x x x=

Entferne 1Kiste auf jeder Schale.

22 x x=

Wenn 2 Kisten 4kg wiegen, dann wiegt 1 Kiste 2kg.

Entferne 1kg auf jeder Schale.

4 = 2x : 22 = x

5 + 2 = 3 2 + 1Probe✔

Forme die Gleichung durch Addieren oder Subtrahieren so um, sodass x auf

einer Seite alleine steht und auf der anderen Seite eine Zahl.

Dividiere beide Seiten durch den Faktor, der vor x steht.

Mache eine Probe, indem du den Wert für x in die Ausgangsgleichung einsetzt.

x221

x 22 x x x=

Gleichungen

Gleichungen33

Anzahl der LösungenEine Gleichung hat in der Regel genau 1 Lösung. Es gibt aber auch Gleichungen mit 2 Lösungen oder mit keiner oder mit unendlich vielen Lösungen.

genau 1 Lösung

4 = 5x - 1 5 = 5x x = 1 L = {1}

3(3 - x) = 10 - 3x - 19 - 3x = 9 - 3x 9 = 9 allgemein gültig L = Q

-2x-3x+2 = 5x -10x-1 -5x + 2 = -5x - 1 2 = -1 keine wahre Aussage L = { }

unendlich vieleLösungen

keine Lösung

genau 2 Lösungen 2x² = 3(x² - 3) 2x² = 3x² - 9 0 = x² - 9 x² = 9 L = {+3; -3}

Alg

ebra

7

GleichungenG

leichungen4

4Zahlenrätsel

Bei einem Zahlenrätsel ist eine Zahl gesucht, die man mithilfe eines Steckbriefes heraus�nden soll. Stelle dazu eine Gleichung mit x auf, wobei die Variable x ein Platz-halter für die gesuchte Zahl ist. Übersetze zur Herstellung der Gleichung den Steck-brieftext in Terme. Achte dabei besonders auf Signalwörter.

Gesucht

XSubtrahiert man vom Dreifachen

einer Zahl 14,so erhält man 52.

Gleichung:3·x - 14 = 52

Lösung:Die gesuchte Zahl

ist 22.

Das Doppelte der gesuchten Zahl ist

um 3 kleiner als das Dreifache der um 1

kleineren Zahl.Gleichung:

2·x + 3 = 3·(x - 1)

Lösung:Die gesuchte Zahl

ist 6.

Alg

ebra

7

Gleichungen

GleichungenA

lgeb

ra 7

Jemand kauft für 16€ unterschiedliche Poster ein. Die Variable x gibt die Anzahl der großen Poster (Preis pro Poster 4€) und y die Anzahl der kleinen Poster (Preis pro Poster 2€) an. Finde alle Einkaufsmöglichkeiten.

55

1 Gleichung mit 2 Unbekannten

LösungsgeradeLöse die Gleichung nach y auf:

4x + 2y = 16 -4x 2y = 16 - 4x :2 y = -2x + 8

EigenschaftenEs gibt unendlich viele Lösungen.Die Lösungen sind Zahlenpaare (x/y).Alle Lösungen liegen auf einer Geraden.Die Lösungen erfüllen die Gleichung.

7

6

5

4

1 2 3

1

2

3

X

Y

(0/8)

(1/6)

(2/4)

(4/0)

(3/2)

graphische Lösung

GleichungenG

leichungenAlg

ebra

76

6Zeichnerisches Lösen

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind ein Lineares Gleichungssystem.

Jemand kauft x-große Poster für 3€ und y-kleine Poster für 2€. Es gibt 2 Hinweise:1. Er gibt insgesamt 14€ aus.2. Er kauft insgesamt 6 Poster. Lösungsverfahren

Stelle für jede Aussage eine Gleichung her.

I. 3x + 2y = 14II. x + y = 6

Löse beide Gleichungen nach y auf.

I. y = -1,5x + 7II. y = -x + 6

Zeichne beide Lösungsgeraden in ein Achsenkreuz.Der Schnittpunkt beider Geraden ist die Lösung.

7

6

6

5

5

4

4

1 2 3

1

2

3

X

Y

Gerade 1

Gerade 2

(x/y)1.

(0/7)

(4/1)

(x/y)2.

(0/6)

(1/5)

(3/3)

(4/2)

(5/1)

(6/0)

(2/4) (2/4)

graphische Lösung

Gleichungen

GleichungenA

lgeb

ra 7

77

Das GleichsetzungsverfahrenRezept

zum Lösen

Forme beide Gleichungen so um, dass bei beiden Gleichungen die gleiche Anzahl der gleichen Variable auf einer Seite alleine steht.

1 2Y 1Y Y Y

Löse die Gleichung nach der Unbekannten auf.

Ersetze in einer Gleichung die aufgelöste Variable und löse nach der 2.Unbekannten auf.

4 + = 2x + 1 = L = { ( / ) }1 x 2 2 1

I.

III.

in I.

12 11 x xY 1x x x Y Y Y xII.

12 x x x x 1gleichY Y Y YIa. IIa.

Setze die beiden anderen Seiten gleich, sodass du1 Gleichung mit 1 Unbekannten erhältst.

2 Y Y Y = 1IIIa.

GleichungenG

leichungenAlg

ebra

78

8Das Einsetzungsverfahren

Rezeptzum Lösenx x

YII.

Löse eine der beiden Gleichungen nach x oder y auf.

2 22 2YYY

Setze die ausgerechnete Variable in die andere Gleichung ein, sodass du1 Gleichung mit 1 Unbekannten erhältst.

Löse die Gleichung nach der Unbekannten auf. = + 1 = L = { ( / ) }1 x 2 2 1

Ersetze in einer Gleichung die aufgelöste Variable und löse nach der 2.Unbekannten auf.

x

I.1xY Y Y

x xYYYY 2 22 2 x 1YIa. IIa.

Y = 12 22 2YYYY1Y 1Y

2 22YYYYY YIII. IIIa.

in IIa.

Gleichungen

GleichungenA

lgeb

ra 7

Das Additionsverfahren99

Rezeptzum Lösen

x x xx

3

Man kann beide Gleichungen addieren/subtrahieren und somit eine neue Gleichung aufstellen.

Y YI. 4

3x x x Y YII. III.x 4

Forme beide Gleichungen so um, dass du jeweils die gleiche Anzahl einer Unbekannten hast und die gleichen Variablen untereinander stehen.

I. 7y + 3x = 26 5II. 5x - 6y = 8 3

Ia. 15x + 35y = 130IIa. 15x - 18y = 24

Subtrahiere/addiere beide Gleichungen, sodass eine Unbekannte wegfällt und du

1 Gleichung mit 1 Unbekannten erhältst.

Ia. 15x + 35y = 130IIa. 15x - 18y = 24III. 35y-(-18y) = 130-24 53y = 106 : 53

Löse die Gleichung nach der Unbekannten auf und berechne die 2.Variable.

I. 3x + 14 = 26 3x = 12 x = 4

y = 2 in I. eingesetzt L = { (4/2) }

II.I.

GleichungenG

leichungenAlg

ebra

710

10Anzahl und Art der Lösungen

Bei einem linearen Gleichungssystem können 3 Fälle auftreten.

5

4

1 2 3

2

3

X

Y

0

1

I.

II.

I. y = 0,5x + 2II. y = -0,5x + 4

L = { (2/3) }

1 Schnittpunkt5

4

1 2 3

2

3

X

Y

0

1

identisch

I. 2y = x + 4II. y = 0,5x + 2

L = { (x/0,5x+2) }

I. = II.

5

4

1 2 3

2

3

X

Y

0

1

parallel

I. y = 0,5x + 2II. y = 0,5x + 4

L = { }

I.

II.

genau 1 Lösung unendlich viele keine Lösung