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Phänomene der SupraleitungElektrodynamik und Thermodynamik

Ginzburg-Landau-TheorieSupraleitung 2. Art

Ginzburg-Landau-Theorie

Supraleitung als thermodynamische Phase

Thomas Unden, Andreas Hajduk

Universität Ulm

03.07.2012

T. Unden, A. Hajduk Ginzburg-Landau-Theorie



Gliederung

1 Phänomene der SupraleitungSupraleitung 1. Art

2 Elektrodynamik und ThermodynamikThermodynamische Potentiale

3 Ginzburg-Landau-TheorieGinzburg-Landau-Theorie im feldfreien RaumGinzburg-Landau-Theorie im felderfüllten RaumLösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen

4 Supraleiter 2. ArtOber�ächenenergie von Grenz�ächenFlussschläuche und Vortices




Supraleitung 1. Art

Verlustloser Suprastrom

Abbildung: Widerstand einer Quecksilberprobe in Abhängigkeit von derTemperatur (Originaldaten von Kamerlingh Onnes von 1911). [1]




Supraleitung 1. Art

Meiÿner-E�ekt: Supraleitung im Magnetfeld

Abbildung: Meiÿner-Ochsenfeld-E�ekt. [5]




Supraleitung 1. Art

Phasendiagramm SL 1. Art

Abbildung: Phasendiagramm eines Supraleiters 1. Art. [1]




Supraleitung 1. Art

Magnetisierung

Abbildung: Magnetisierungskurve eines Supraleiters 1. Art. [1]




Supraleitung 1. Art

Wärmekapazität

Abbildung: Wärmekapazität eines Supraleiters 1. Art bei konstantem Volumen.[1]




Thermodynamische Potentiale

Elektrodynamik und Thermodynamik





Festkörper im magnetischen Feld





Entsprechende thermodynamische Potentiale

Di�erential der Energie, die in Feld und Medium gespeichert ist:

δAges =14π

∫d3r

[~Ed ~D + ~Hd~B

](1)

1. HS der Thermodynamik E(S ,B):

dE = δQ + δA = TdS +14π~Hd~B (2)

Freie Energie F (T ,B):

dF = d(E − TS) = −SdT +14π~Hd~B (3)

freie Enthalpie G(T ,H):

dG = d

(F − 1

4π~H~B

)= −SdT − 1

4π~Bd ~H (4)





Anwendung auf Supraleiter 1. Art

Feldabhängigkeit des thermodynamischen Potentials:

G(T ,H) = G(T , 0)− 14π

∫ H

0

B(H ′)dH ′ (5)

Normalleiter (H = B ⇔ Normaler Magnetismus wird vernachlässigt)

Gn(T ,H)− Gn(T , 0) = − 18π

H2 (6)

Supraleiter (B = 0) (Vernachlässigung von Ober�ächene�ekten)

Gs(T ,H) = Gs(T , 0) (7)

Im Gleichgewicht gilt bei H = Hc(T )

Gn(T ,Hc) = Gs(T ,Hc) (8)

Somit gilt

Gs(T , 0) = Gn(T , 0)− 18π

H2c ⇒ EB =

18π

H2c (9)




Ginzburg-Landau-Theorie im feldfreien RaumGinzburg-Landau-Theorie im felderfüllten RaumLösungen der Ginzburg-Landau-Gleichungen






Ordnungsparameter und Phasenübergänge

Annahme:

Es gibt einen Ordnungsparameter ψ, der die geordnete Phase unterhalbder kritischen Temperatur Tc charakterisiert.

Beispiel: Ferromagnet

Ordnungsparameter: ψ =n↑−n↓n↑+n↓

wird Null für T > Tc

In der Supraleitung:

Makroskopische Wellenfunktion ψ(~r) = |ψ(~r)|e iφ(~r) ist komplexerOrdnungsparameter





Entwicklung der freien Energie

|ψ|2 entspricht Dichte ns der Cooper-Paare

Nahe Tc für kleinen Ordnungsparameter kann freie Energienach Ordnungsparameter ψ entwickelt werden

Wähle Entwicklung, so dass für T ≤ Tc(T ≈ Tc) ψ 6= 0 giltund für T > Tc ψ = 0, wobei Übergang bei T = Tc stetig

Allgemeiner Ansatz:

Fs(T ,B) = Fn(T , 0) + α|ψ|2 +β

2|ψ|4 (10)

Ungerade Potenzen von |ψ| sind bei ψ = 0 nicht analytischund sind deshalb ausgeschlossen

ψ = 0 muss für T > Tc Minimum der freien Energie sein⇒ Bedingung erfüllt da kein linearer Term auftaucht





Abhängigkeit der freien Energie von den Parametern α und

β

Nach Minimierung ergebensich 2 Lösungen:

für T > Tc : −αβ < 0

⇒ ψ = 0

für T < Tc : −αβ > 0

⇒ ψ = −αβ 6= 0

Sei β = β0 > 0

⇒ Wähle α(T ) = α0 · T−Tc

Tc Abbildung: Minima der freien Energie. [2]





Freie Energie der Gleichgewichtslösung

Im therm. Gleichgewicht gilt: ∂F∂ψ

= 0

⇒ 2α(T )|ψ0|+ 2β(T )|ψ30 | = 0

⇒ |ψ0|2 = −αβ

⇒ Fs − Fn = −H2

c

8π= α ·

(−αβ

)+ β

2

(−αβ

)2= − 1

2α2

β

⇒ H2c = 4π α

2

0

β0

(T−TcTc

)2⇒ Lineares Verhalten von Hc in der Nähe von T = Tc kann vorhergesagtwerden.

Für die Wärmekapazität c gilt im Temperaturbereich T < Tc :

cS(T ) = −T ∂2

∂T 2Fs

(√−αβ

)= cN(T )− α2

0

βT (11)

Es gilt T ≈ Tc : ⇒ cN(Tc)− cS(Tc) =α20

βTc .





Freie Energie unter Anwesenheit eines Magnetfeldes

Entwicklung der freien Energie unter Störung der räumlichen Homogenität.Anregungen mögen langwellig sein:

Fs(T ,B) = Fn(T , 0) + α|ψ|2 +β

2|ψ|4 +

12m∗

∣∣∣∣(~i∇)ψ

∣∣∣∣2 (12)

Hinzunahme von magnetischen Feldern: Beachtung der Eichinvarianz

Fs(T ,B) = Fn(T , 0) + α|ψ|2 +β

2|ψ|4 +

12m∗

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 +~B2

8π(13)

Mit ψ = |ψ|e iφ folgt

12m∗

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 =1

2m∗

[~2(∇|ψ|)2 +

(~∇φ− e∗~A

c

)2

|ψ|2]

(14)

=1

2m∗~2(∇|ψ|)2 +

12m∗

~vs2|ψ|2 (15)





Technische Konstruktion des inhomogenen

Ordnungsparameters

Abbildung: Einteilung des Festkörpers in Zellen. [6]





Minimierung der freien Enthalpie

freie Enthalpie:

Gs(T ,H) =

∫d3r

[Fs(T ,B)−

~H · ~B4π

](16)

Bedingung für Gleichgewicht:

δGs =∂Gs

∂ψδψ +

∂Gs

∂ψ∗δψ∗ +

∂Gs

∂~Aδ~A

!= 0 (17)

ψ, ψ∗ sowie ~A sind voneinander unabhängige Variablen, d.h z.B.

δψ∗ |ψ|2 =∂

∂ψ∗|ψ|2δψ∗ (18)

=∂

∂ψ∗(ψ∗ψ) δψ∗ (19)

= ψδψ∗ (20)





Variation der freien Enthalpie

Betrachtung der Variation von∣∣∣( ~

i∇− e∗

c~A)ψ∣∣∣2 nach ψ∗

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 = ~2∇ψ∗∇ψ +~e∗

ic∇ψ∗~Aψ − ~e∗

ic~Aψ∗∇ψ +

e∗2

c2~Aψ∗~Aψ

(21)

Weitere Betrachtung der Terme ∇ψ∗∇ψ und ∇ψ∗~Aψ unter Beachtung von

div(φ~V)

= φ · div ~V + ~V · gradφ

∇ψ∗∇ψ = div (ψ∗∇ψ)− ψ∗∆ψ (22)

∇ψ∗~Aψ = div(ψ∗~Aψ

)− ψ∗div

(~Aψ)

(23)

= div(ψ∗~Aψ

)− ψ∗∇~Aψ − ψ∗~A∇ψ (24)






Betrachtung der Variation von∣∣∣( ~

i∇− e∗

c~A)ψ∣∣∣2 nach ψ∗

∫d3r

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 =−~i

∫ ∫d~Fψ∗

(~i∇− e∗

c~A

)ψ (25)

+

∫d3rψ∗

(~i∇− e∗

c~A

)2

ψ (26)

⇒ δψ∗

∫d3r

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 =−~i

∫ ∫d~F

(~i∇− e∗

c~A

)ψδψ∗ (27)

+

∫d3r

(~i∇− e∗

c~A

)2

ψδψ∗ (28)

Randbedingung auf Ober�äche:

~n ·(~i∇− e∗

c~A

)ψ = 0 (29)






Zusätzliche Variation nach ψ und ~A ergibt:

δGs =

∫d3r

{δψ∗

[ψ + β|ψ|2ψ +

12m∗

(~i∇− e∗

c~A

)2

ψ

]+ c.c.

}(30)

+

∫d3rδ~A

{14π

rot ~B − 14π

rot ~H − e∗

m∗c

[ψ∗(−i~∇− e∗

c~A

)ψ + c.c.

]}(31)

!= 0 (32)

Unter Beachtung der Maxwell-Gleichungen (stationärer Fall):

rot ~B =4πc~js (33)

rot ~H =4πc~jextern = 0 (34)

ergeben sich letztendlich die Ginzburg-Landau-GleichungenT. Unden, A. Hajduk Ginzburg-Landau-Theorie




Ginzburg-Landau-Gleichungen

αψ + β|ψ|2ψ +1

2m∗

(~i∇− e∗

c~A

)2

ψ = 0 1. G.L.-Gl. (35)

~js =e∗~2m∗i

(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)− e∗2

m∗cψ∗ψ~A 2. G.L.-Gl. (36)

unter der Randbedingung (kein Suprastrom �ieÿt durch Ober�äche)

~n ·(~i∇− e∗

c~A

)ψ = 0 (37)

G.L.-Gleichungen sind gekoppelte, partielle und nichtlineareDi�erentialgleichungen

1. G.L.-Gleichung kann als stationäre Schrödinger-Gleichung mitEnergieeigenwert α aufgefasst werden, wobei das Feld(Ordnungsparameter) ψ über die Nichtlinearität mit sich selbstwechselwirkt. (vgl. Gross-Pitaevskii-Gl.)





Charakteristische Längenskalen der


Kohärenzlänge

Annahme: ~A = 0 und ψ reell

⇒ Ginzburg-Landau-Gleichung (35) für den 1D-Fall:

− ~2

2m∗d2

dx2ψ + αψ + βψ3 = 0 (38)

Mit der De�nition f ≡ ψψ∞

=√−αβψ folgt hieraus

− ~2

2m∗|α|d2

dx2f − f + f 3 = 0 (39)

⇒ Längenskala ξ2(T ) = ~22m∗|α|





Kohärenzlänge

⇒ Kohärenzlänge

ξ(T ) =~√

2m∗|α|=

~√2m∗|α0|

√Tc

Tc − T(40)

Die Kohärenzlänge ξ(T ) ist eine charakteristische Länge für die Variation vonψ bzw. f :

Mit der Festlegung f (x) = 1 + g(x) mit g(x) << 1 erhält man aus der DGL

ξ2(T )d2fdx2

+ f − f 3 = 0 (41)

in erster Ordnung von g

ξ2(T )g ′′(x) + (1 + g(x))− (1 + 3g + ...) = 0 (42)





Kohärenzlänge

Hieraus ergibt sich als Di�enretialgleichung für g

g ′′(x) =

(2

ξ2(T )

)g(x) (43)

⇒ Lösung von Gl. (43) ist

g(x) = g(0) · e±√2

ξ(T )x (44)

⇒ Eine kleine Störung g(x) von ψ = ψ∞ = const. fällt mit einer

charakteristischen Länge von der Ordnung ξ(T ) ab





Kohärenzlänge

Mit den Randbedingungen ψ(0) = 0 (Grenz�äche zum Supraleiter bei x = 0)und ψ(∞) = ψ∞ kann die DGL

−ξ2(T )d2fdx2− f + f 3 = 0 (45)

gelöst werden. Integration ergibt

−ξ2(T )

(dfdx

)2

− f 2 −+12f 4 = const. (46)

Aus dem Verhalten im Unendlichen folgt hieraus für die Konstante const. = − 12

ξ2(T )

(dfdx

)2

=12

(1− f 2

)2(47)





Kohärenzlänge

⇒ Lösung für f:

f = tanhx√

2ξ(T )(48)

Abbildung: Lösung nach Gl. (48). [2]







Eindringtiefe eines Magnetfeld

Annahme: ~A 6= 0, aber ψ = ψ∞

⇒ Ginzburg-Landau-Gleichung (36) für den 1D-Fall:

~js = − e∗2

m∗c|ψ∞|2~A (49)

⇒ Hieraus folgt:

rot~js = − e∗2

m∗c|ψ∞|2~B (50)

⇒ Mit der Maxwell-Gleichung ~js = c4π

rot ~B folgt

∆~B − 4πe∗2|ψ∞|2

m∗c2~B = 0 (51)





Eindringtiefe eines Magnetfelds

Für einen Supraleier mit ebener Ober�äche senkrecht zur x-Richtung und einemMagnetfeld parallel zur Ober�äche wird aus Gl. (51)

d2~B(x)

dx2− 4πe∗2|ψ∞|2

m∗c2~B = 0 (52)

⇒ Lösung dieser DGL ist~B(x) = ~B0 · e−

x

λ (53)

mit der Eindringtiefe

λ =

√m∗c2

4πe∗2|ψ∞|2=

√m∗c2β04πe∗2|α0|

√Tc

Tc − T(54)





Eindringtiefe eines Magnetfelds

Abbildung: Lösung nach Gl. (54). [1]







Ginzburg-Landau-Parameter

κ =λ(T )

ξ(T )=√2e∗

~cλ2(T )Hc(T ) (55)

⇒ Diese Gröÿe ist komplett messbar und ermöglicht Unterscheidung zwischen

Supraleiter 1. und 2. Art





Kritischer Strom eines dünnen Films

Annahmen:

Filmdicke d << ξ(T ) ⇒ |ψ| = const.

Filmdicke d << λ(T ) ⇒ ~j = const.

⇒ ψ(~r) = |ψ| · e iφ(~r)

⇒ Ginzburg-Landau-Gleichungen:

α|ψ|+ β|ψ|3 +

(~∇φ− e∗

c~A

)2

|ψ| − i~2∇(∇φ)|ψ| = 0 (56)

~j =e∗

m∗|ψ|2

(~∇φ− e∗

c~A

)= e∗ |ψ|2 ~vs (57)






Nullsetzen des Realteils von Gl. (56) ergibt mit |ψ| 6= 0 die Lösung

|ψ|2 = −αβ

(1 +

m∗v2s2α

)= ψ2

∞

(1− m∗v2s

2|α|

)(58)

⇒ Daraus ergibt sich mit Gl. (57) für die Stromdichte:

j = e∗ψ2

∞

(1− m∗v2s

2|α|

)vs (59)

Oder mit f = ψψ∞⇒ vs =

√2|α|m∗

√1− f 2

j = e∗ψ2

∞

√2|α|m∗

f 2√1− f 2 (60)

= e∗ψ2

∞~

m∗ξ(T )f 2√1− f 2 (61)






Für f 2 = 2

3erreicht die Stromdichte

ihren Maximalwert:

jc = e∗ψ2

∞2

3

√2

3

|α|m∗

(62)

=2e∗ψ2

∞

3√3

~m∗ξ(T )

(63)

∝(1− T

Tc

) 3

2

jc : kritische StromdichteAbbildung: Stromdichte als Funktiondes Ordnungsparameters f . [3]






Mechanismus:

Für kleine Geschwindigkeiten vs können alle Cooper-Paare im Supraleiterzum Suprastrom beitragen⇒ j ∝ vs

Durch Hinzuführen von kinetischer Energie für höhere vs werden immermehr Cooper-Paare aufgebrochen und stehen nicht mehr für denSuprastrom zur Verfügung⇒ Stromdichte kann kritischen Wert jc nicht überschreiten

Abbildung: Variation von Ordnungsparameter f und Stromdichte j mit derGeschwindigkeit vs . [4]




Ober�ächenenergie von Grenz�ächenFlussschläuche und Vortices

Supraleitung 2. Art





Phasendiagramm SL 2. Art

Abbildung: Phasendiagramm SL 2. Art. [1]





Magnetisierung SL 2. Art

Abbildung: Magnetisierung SL 2. Art. [1]





Ober�ächenenergie zwischen Normalleiter und Supraleiter

Betrachtung der Koexistenz von Supraleiter und Normalleiter unter denRandbedingungen

ψ = 0,B = Hc für x → −∞ (64)

ψ = ψ∞,B = 0 für x → +∞ (65)

Es gilt für die freie Enthalpie-Dichte weit innerhalb des NL/SL:

Gs(x →∞) = Gn(x → −∞) = Fn(x →∞)− H2c

8π= −H

2c

8π(66)

Durch den Übergang NL/SL ergibt sich eine zusätzliche freie Enthalpie inBezug auf einen raumausfüllenden NL bzw. SL

Gs(x)−(−H

2c

8π

)= Gs(x) +

H2c

8π(67)





Ober�ächenenergie zwischen Normalleiter und Supraleiter

Man bekommt somit zusätzlich folgende freie Enthalpie pro Fläche:

γ =

∫ ∞−∞

dx

[Gs(x) +

H2c

8π

](68)

=

∫ ∞−∞

dx

[α|ψ|2 +

β

2|ψ|4 +

12m∗

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2 +(~B − ~Hc)2

8π

](69)

Aus Multiplikation von 1. G.L.-Gl. mit ψ∗ und partieller Integration erhält man∫ ∞−∞

dx

[α|ψ|2 + β|ψ|4 +

12m∗

∣∣∣∣(~i∇− e∗

c~A

)ψ

∣∣∣∣2]

= 0 (70)

Nach Einsetzten in γ �ndet man

γ =

∫ ∞−∞

dx

[−β2|ψ|4 +

(B − Hc)2

8π

]=

H2c

8π

∫ ∞−∞

dx

[(1− B

Hc

)2

−(|ψ|ψ∞

)4]

(71)





Ober�äche zwischen Normalleiter und Supraleiter

Abbildung: Ober�äche zwischen Normalleiter und Supraleiter. [2]





Vorzeichen der Ober�ächenenergie

Zur Berechnung von γ ist formale Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichungen notwendig. Aus der Numerik erhält man folgendesResultat:

γ < 0 für κ = λ(T )ξ(T ) >

1√2⇒ Supraleitung 2. Art

γ > 0 für κ = λ(T )ξ(T ) <

1√2⇒ Supraleitung 1. Art

Im Fall von κ > 1√2kann freie Enthalpie verringert werden, indem

Ober�äche mit Normalleiter gebildet wird. Dieses Ergebnisbegründet warum die magnetische Flussdichte ~B partiell in denSupraleiter 2. Art eindringt.





Das Fluxoid

Frage: In welcher Art und Weise durchdringt die magnetischeFlussdichte den Supraleiter?

Abbildung: Supraleitung 2. Art und das Fluxoid. [2]





Die Flussquantisierung

Betrachtung des magnetischen Flusses φ durch eine geschlossene Kurve K :

φ =

∫K

d~a · ~B =

∮∂K

d~s · ~A (72)

=

∮∂K

d~s

[− m∗c~j

q∗2|ψ|2 + i~c

2q∗|ψ|2 (∇ψ∗ψ − ψ∗∇ψ)

](73)

=m∗c

q∗

∮∂K

d~s · ~vs −~cq∗

∮∂K

d~s · ∇θ (74)

(75)

Dabei wurde die 2. G.L.-Gl. verwendet, sowie ψ = |ψ|e iθ. Unter Beachtung derEindeutigkeit von ψ erhält man die Quantisierung des Fluxoids:

φ′ := φ− m∗c

q∗

∮∂K

d~s · ~vs =~c2e

2πn = nΦ0 mit n ∈ Z (76)





Vortices und Flussschläuche

Abbildung: Vortices und Flussschläuche in der Supraleitung 2. Art. [2]





Zusammenfassung

In der Ginzburg-Landau-Theorie wird die freie Energie nachdem entsprechenden Ordnungsparameter nahe der kritischenTemperatur entwickelt.

Es werden langwellige räumliche Anregungen in die Theoriemiteinbezogen. (vgl. Homogenität der London- (1935) undLandau-Theorie (1937))

Ginzburg-Landau-Theorie stellt Kontinuumsbeschreibung vonPhasenübergängen dar

Gute Beschreibung der wesentlichen Eigenschaften vonSupraleitern (1.- + 2. Art) durch Ginzburg-Landau-Theoriemöglich





Anmerkungen

Ableitung des Ginzburg-Landau-Funktionals aus derBCS-Theorie durch Gorkov im Jahre 1959 (BCS 1957).⇒ Ordnungsparameter ψ entspricht im Wesentlichen derBCS-Anregungsenergie ∆ und somit der Cooper-Paar-Dichte

Ginzburg-Landau-Theorie vernachlässigt Fluktuation desOrdnungsparameters ⇒ Mean-Field-Lösung⟨

(ψ − 〈ψ〉)2⟩<< 〈ψ〉2 ⇒ Ginzburg − Kriterium (77)

Ginzburg-Landau-Theorie kann auch auf andere kritischePhänomene angewendet werden.

Besondere Stellung der Ginzburg-Landau-Theorie derSupraleiter im Vergleich zu anderen Phänomenen(Ferromagnetismus)





Quellen

[1] Andreas Schadschneider: Theoretische Festkörperphysik 2,Uni Köln 2002

[2] Carsten Timm: Theory of Superconductivity, TU Dresden2011/2012

[3] P.G. de Gennes: Superconductivity of Metals and Alloys,Advanced Book Classics

[4] Michael Tinkham: Introduction to Superconductivity, DoverPublications

[5] Czycholl: Theoretische Festkörperphysik, Springer

[6] Schwabl: Statistische Mechanik, Springer 2006

[7] Werner Buckel: Supraleitung, VCH, 1994


Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

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