คณตศาสตรเพ�มเตม คณตศาสตรเพ�มเตม ช �น มธยมศกษาปท� ช �น มธยมศกษาปท� 4 4 4 4 4 4 4 4 –––––––– 6 6 6 6 6 6 6 6 เลม เลม 22222222

คณตศาสตรเพ�มเตม คณตศาสตรเพ�มเตม ช �น มธยมศกษาปท� ช �น มธยมศกษาปท� 4 4 4 4 4 4 4 4 –––––––– 6 6 6 6 6 6 6 6 เลม เลม 22222222

แกนโคออรดเนตแกนโคออรดเนต

Y

b P ((a,ba,b)) แกนโคออรดเนตแกนโคออรดเนต

Xa

b

คาสาคญคาสาคญ กรวย กรวย : conic , cone: conic , cone

ภาคตดกรวย คอ ภาคตดกรวย คอ รปในระนาบท �เกดจากการตดกนรปในระนาบท �เกดจากการตดกน

ของระนาบกบกรวยของระนาบกบกรวยรปในระนาบท �เกดจากการตดกนรปในระนาบท �เกดจากการตดกน

ของระนาบกบกรวยของระนาบกบกรวย

เราจะศกษา ภาคตดกรวย โดยใช

ตอไปน�ตอไปน�……....

โดยใชเรขาคณตวเคราะห

เรขาคณตวเคราะหเรขาคณตวเคราะห:Analytic Geometry:Analytic Geometry

พชคณตพชคณตAlgebraAlgebra

เรขาคณตเรขาคณตGeometryGeometry

เซตของจดท �งหมดในระนาบท�เซตของจดท �งหมดในระนาบท�หางจากหางจากจดๆหน�งจดๆหน�งท�ตรงอยกบท�ท�ตรงอยกบท�เปนเปนระยะทางคงตวระยะทางคงตว

อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก

อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก

จงสรางรปวงกลม โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น จงสรางรปวงกลม โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ

(x,y)

r

. (h,k)

r

เราตองการหาระยะทางจากจด เราตองการหาระยะทางจากจด ((h,kh,k) ) ไปยงไปยงเราตองการหาระยะทางจากจด เราตองการหาระยะทางจากจด ((h,kh,k) ) ไปยงไปยง จด จด ((x,yx,y) ) ท+มระยะทาง ท+มระยะทาง r r หนวยหนวย

แทนคาสตร จะไดวาr =

ยกกาลงสองท �งสองขาง

2 2( ) ( )x h y k− + −

จากสตร 2 21 2 1 2( ) ( )d x x y y= − + −

2 2 2( ) ( )r x h y k= − + −

2 2 2( ) ( )r x h y k= − + −

1

1-1

จากภาพ จดศนยกลางอยท+ จากภาพ จดศนยกลางอยท+ ((00,,00))

2 2 1x y+ =

จะไดสมการจะไดสมการ

-1 เรยกวา วงกลมหน+งหนวยเรยกวา วงกลมหน+งหนวย

2 2 0x y+ =

จะไดกราฟลกษณะอยางไรจะไดกราฟลกษณะอยางไร????

เฉลยเฉลยเฉลยเฉลยจดหน�งจดท� จดหน�งจดท� ((00,,0 0 )) น�นเองน�นเอง

2 2( 2) ( 1) 9x y− + + =

เม+อหาผลการยกกาลงสอง จะได2 2

2 2

4 4 2 1 9

4 2 4 0

x x y y

x y x y

− + + + + =

+ − + − =

น +นกคอ2 2x y ax by c o+ + + + = เม+อ a,b,c เปนคาคงตว

ลองทาดลองทาด............จงแสดงวา เปนสมการวงกลม และหาจดศนยกลางและความยาวรศม

2 2 10 4 13 0x y x y+ + − + =

2 2( 10 25) ( 4 4) 13 25 4 0x x y y+ + + + + + − − =( 10 25) ( 4 4) 13 25 4 0x x y y+ + + + + + − − =

จะได สมการรปแบบมาตรฐานของวงกลม ท�ม จดศนยกลางท� (-5,2) และรศม ยาว 4 หนวย

2 2 2( 5) ( 2) 4x y+ + − =

2 2( 5 ) ( 2 ) 1 6x y+ + − =

วงกลม และ เสนสมผสวงกลม และ เสนสมผส

จากทฤษฎบทพทากอรส จะไดวา

2 2 2PT PC TC= −

{ }2 2 2 2( ) ( )PT x h y k r= − + − −

จะได ความยาวเสนสมผส จะได ความยาวเสนสมผส PT PT เทากบเทากบ

{ }2 2 2( ) ( )x h y k r− + − −

จงหาความยาวของเสนสมผสจากจด P(2,5) กบจดสมผสวงกลม 2 2( 1) ( 2) 6x y− + − =

ให T เปนจดสมผสท+เกดจากเสนตรงท+ลากจากจด P(2,5)ให T เปนจดสมผสท+เกดจากเสนตรงท+ลากจากจด P(2,5)จะไดวา ความยาวของ PT =

= = 2น +นคอ ความยาวของเสนสมผส เทากบ 2 หนวย

2 2(2 1) (5 2) 6− + − −

4

เซตของจดท �งหมดในระนาบซ+งผลบวกของระยะทางจากจดใดๆไปยงจดโฟกส มคาคงตว โดยคาคงตวยงจดโฟกส มคาคงตว โดยคาคงตวน�ตองมากกวาระยะหางระหวางจดโฟกสท �งสอง

อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก

อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก

จงสรางรปวงร โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมจงสรางรปวงร โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ

PF’ + PF = PF’ + PF = คาคงตวคาคงตวF(-c,o)

F’ (c,o)

P(x,y)

X

Y

O ให PF’+PF = 2a

จากสตรระยะทางจะได 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y− + = − + +

ยกกาลงสอง จะได 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y− + + = − + + + + + +

2 2 24 ( ) 4 4a x c y a cx+ + = +

หารดวย 4 แลวยกกาลงสอง จะได2 2 2 2 2( ) ( )a x c y a cx + + = +

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a cx a c a y a a cx c x+ + + = + +2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )..................(1)a c x a y a a c− + = −

2 2 2( )a a c−a cf2 2 0a c− f

2 2

2 2 21

x y

a a c+ =

−2 2 2b a c= − 0b f a bf

จะไดสมการวงร จะไดสมการวงร

2 2

2 21

x y

a b+ = a bfเม+อเม+อ

แกนเอก -aa

แกนโท -bb

F F’ (c,o)

P(x,y)

X

Y

O-a a

bจดโฟกส

จดยอด(vertices)

จดศนยกลาง(center )

F(-c,o)

F’ (c,o) XO-a a

-b(LatusRectum)

2 2

2 21

x y

a b+ = a bfเม+อเม+อ

F

(-c,o)F’ (c,o)

P(x,y)

X

Y

O-a a

b

-b

2 2 2c a b= −

Latus Rectum = 22b

a

X

Y

b-b

a

c

-c

a bfเม+อเม+อ2 2

2 21

x y

b a+ =

-a

-c

2 2 2c a b= −

Latus Rectum = 22b

a

ลองทาด นะคะลองทาด นะคะ……

จงแสดงรายละเอยดตอไปน�พรอมท �งแสดงสมการวงร ซ+งมสมการเปน 2 29 16 144x y+ =

1. จดยอดอยท+………..และ…………1. จดยอดอยท+………..และ…………2. โฟกสอยท+ ………..และ…………3. จดปลายของแกนโท ………..และ…………4. ความยาวแกนเอก ……….หนวย5. ความยาวแกนโท ………..หนวย

จากสมการ 2 29 16 144x y+ =

นา 144 หารท �งสมการจะได 2 2

116 9

x y+ =

2จะได = 16 , = 9น +นคอ a = 4 , b = 3

2a 2b

จาก

2 2 2 16 9 7

7

c a b

c

= − = − =

∴ =

1. จดยอดอยท+ (4,0)และ (-4,0) 2. โฟกสอยท+ และ3. จดปลายของแกนโท (0,3)และ (0,-3)

( 7,0)− ( 7,0)−

3. จดปลายของแกนโท (0,3)และ (0,-3) 4. ความยาวแกนเอก 8 หนวย5. ความยาวแกนโท 6 หนวย

ให h,k เปนจานวนจรงบวก

1.แทน x ดวย x-h � กราฟเล+อนไปทางขวา h หนวย

2.แทน x ดวย x+h � กราฟเล+อนไปทางซาย h หนวยแทน ดวย กราฟเล+อนไปทางซาย หนวย

3.แทน y ดวย y-k � กราฟเล+อนข�นบน k หนวย

4.แทน y ดวย y+k � กราฟเล+อนลงลาง k หนวย

2 2

2 21

x y

a b+ =

•

(h,k)

••

0 •

P’(x,y)

h

k

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ =

P’(x-h,y-k)h

จงหาจดศนยกลางของสมการวงร

2 24 9 2 4 7 2 1 4 4 0y x y x+ − − + =

จากสมการ จดรปใหม จะได2 24( 6 ) 9( 8 ) 144y y x x− + − = −

จะได จดศนยกลางของวงร คอ (4,3) และแกนเอกขนานกบแกน Y

2 24( 6 9) 9( 8 16) 144 36 144y y x x− + + − + = − + +2 2

2 2

4 ( 3 ) 9 ( 4 ) 3 6

( 3 ) ( 4 )1

9 4

y x

y x

− + − =

− −+ =

เราพบเหนวงรในรปแบบใดบางเราพบเหนวงรในรปแบบใดบาง ในชวตประจาวนในชวตประจาวน?????? ในชวตประจาวนในชวตประจาวน??????

ce =

ความเย�องศนยกลาง ความเย�องศนยกลาง (eccentricity)

ce

a=

คาความเย7องศนยกลางของวงร คาความเย7องศนยกลางของวงร

0 1ep p

จงหาสมการของวงรท+มโฟกสอยท+ จงหาสมการของวงรท+มโฟกสอยท+ ((00,,44))และและ((00,,--44))และ และ ความเย�องศนยกลางเทากบความเย�องศนยกลางเทากบ 8

1 5

จากโจทย กาหนดให e = และ c = 4 จากความเย�องศนยกลาง e =

8

1 5 c

a จากความเย�องศนยกลาง

จะได =

a =

8

15

4

a

1 5

2

a

จากความสมพนธ 2 2 2c a b= −2 2 215

4 ( )2

b= −

2 161

4b =

161=

161

2b =

จะได สมการวงร คอ2 24 4

1225 161

x y+ =

� เซตของจดท7งหมดในระนาบ

อปกรณดนสอหรอปากกา ,เชอก, ไมท

อปกรณดนสอหรอปากกา ,เชอก, ไมท

จงสรางบางสวนของรปพาราโบลา โดยใชอปกรณท+จงสรางบางสวนของรปพาราโบลา โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ

สวนประกอบของพาราโบลาสวนประกอบของพาราโบลา

(x,y)

(0,p)

2 2( )x y p y p+ − = +22 2 2( ) ( )x y p y p y p+ − = + = +

2 2 2 2 22 2x y py p y py p+ − + = + +2 2 2x py py− =2 2x py py− =

2 4x py=

2 4x py=เม+อเม+อ 0p f เม+อ เม+อ 0p p

2 4y px=

เม+อเม+อ 0p f เม+อ เม+อ 0p p

เลตสเรกตมเลตสเรกตม : Latus rectum : Latus rectum

คอรดท+ต �งฉากกบแกน และผานคอรดท+ต �งฉากกบแกน และผานโฟกสของพาราโบลาโฟกสของพาราโบลา

ความกวางของพาราโบลาความกวางของพาราโบลาF(p,0)

ความกวางของพาราโบลาความกวางของพาราโบลา = = ความยาวความยาวเลตสเรกตมเลตสเรกตม = = 4p

จงหาโฟกส และความยาวของจงหาโฟกส และความยาวของเลตสเรกตมเลตสเรกตมของพาราโบลาของพาราโบลา 21

8y x=

เขยนสมการของพาราโบลาในรปแบบ 2 4x py=

2

2

1

8

8

y py

x y

=

=2 8x y=

จะได เลตสเรกตมยาว 4p = 8 หนวยp=2

เพราะฉะน �น โฟกส คอ (0,2)

เซตของจดท �งหมดในระนาบซ+งผลตางของระยะทางจากจดใดๆไปยงจด

ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา : Hyperbola: Hyperbola

1 2,F F(จดโฟกส )ท+ตรงอยกบท+มคาคงตว (จดโฟกส )ท+ตรงอยกบท+มคาคงตว โดยคาคงตวนอยกวาระยะหางระหวางจดโฟกส

อปกรณดนสอหรอปากกา , เชอก , ไมท (ใชวงเวยนแทน)

อปกรณดนสอหรอปากกา , เชอก , ไมท (ใชวงเวยนแทน)

จงสรางบางสวนของรปไฮเพอรโบลา โดยใชอปกรณจงสรางบางสวนของรปไฮเพอรโบลา โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ

P

1F2F

1d

1'd

2d

2'd

จากนยาม จะไดวา

1 2 1 2' 'd d d d− = − = คาคงตวคาคงตว

P’

1F (-c,0) 2F (c,0)

P(x,y) ให 1 2 2PF PF a− =

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + − − + =

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + − − + = ±

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y+ + = ± + − +

2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y+ + = ± + − + + − +2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y+ + + = ± + − + + − + +

2 2 24 4 4 ( )cx a a x c y− = ± + − +

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2 2 2

( )

( ) (( ) )

2 ( 2 )

cx a a x c y

cx a a x c y

c x ca x a a x cx c y

− = ± − +

− = − +

− + = − + +2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4( )

c x a a x a c a y

c x a a x a c a y

c a x a y a c a

+ = + +

+ = + +

− − = −2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) ( )

c a x a y a c a

c a x a y a c a

− − = −

− − = −

2 2

2 2 21

x y

a c a− =

−

จาก 0 a cp p จะไดวา 2 2 0c a− f

ให 2 2 2b c a= −

2 2

1x y− =

สมการไฮเพอรโบลาท+ระยะตดแกน สมการไฮเพอรโบลาท+ระยะตดแกน x =x = a±

2 21

x y

a b− =

•

•

•(-a,0)

(0,b)

(a,0)••

•

(-a,0)

(0,-b)

(a,0)

by x

a= ±

2 2

2 21; 0,

x ya b o

a b− = f f

(0,b)

(a,0)b

(-c,0) (c,0)

(-a,0)

(0,-b)

(a,0)b

y xa

= ±

โฟกส (-c,o),(c,0); 2 2 2c a b= +

(-c,0) (c,0)

2 2

2 21; 0,

y xa b o

b a− = f f

a

(0,a)

โฟกส (0,-c),(0,c); 2 2 2c a b= +

ay x

b= ±

(0,-a)

ลองทาดนะคะลองทาดนะคะ…..…..

จงหาจดยอด และโฟกส ของ จงหาจดยอด และโฟกส ของ 2 216 16 0x y− + =จดรปสมการในรปแบบมาตรฐาน

22 1

16

xy − =

จะได น +นคอ a=1 ,b=4 2 21, 16a b= =

จาก 2 2c a b= + 1 16 17= + = จาก c a b= + 1 16 17= + =

จะได จดยอด ท+ จะได จดยอด ท+ ((00,,--11) ) และ และ ((00,,11))โฟกส ท+ โฟกส ท+ ((00,,-- ) ) และ และ ((00, ), )17 17

เอกสารอางองเอกสารอางองสงเสรมการสอนวทยาศาสตร,สถาบน.(2552).หนงสอเรยนรายวชาเพ�มเตม

คณตศาสตร เลม 2 ช �นมธยมศกษาปท� 4 – 6 หลกสตรแกนกลางการศกษาข �นพ�นฐาน พทธศกราช 2551 .พมพคร �งท+ 1.กรงเทพมหานคร:โรงพมพสกสค.ลาดพราว

สโขทยธรรมาธราช,มหาวทยาลย.(2539).เอกสารการสอนชดวชา คณตศาสตร 1 หนวยท� 9-15.พมพคร �งท+ 3.กรงเทพมหานคร:โรงพมพชวนพมพ 469.แขวงบวรนเวศ เขตพระนคร

มหดลวทยานสรณ,โรงเรยน.(2552).เรขาคณตเพ�อสงเสรมอจฉรยภาพคณตศาสตรสาหรบเดก.พมพคร �งท� 1.กรงเทพมหานคร:องคการคาของ สกสค.ลาดพราว