Géométrie ComparéeÉtude de la Composition dans les Arts

PragueJanv 2011

LE POLYÈDRE DE

MELENCOLIA § Idit “polyèdre de Dürer”

Le calcul des sphères du polyèdreL'héritage pythagoricien dans la géométrie sacrée

par Yvo JacquierNul n'est censé ignorer la Science

Géométrie Comparée @ Yvo Jacquier - Le Polyèdre de « MELENCOLIA § I » - A. Dürer 1 sur 17

TABLE DES MATIÈRES------------------------------------------------------------------------------------------------

p. 2 Table des matières

p. 2 Présentation

p. 3 Définitions

Art - Composition - Figure géométrique et Structure géométrique

Géométrie Sacrée - Géométrie Comparée

I - Le module du Polyèdre de Dürer

p. 4 1 • Énoncé du Problème

p. 5 2 • La construction du module

p. 7 3 • Reconstitution du polyèdre et de sa sphère

II - Les calculs du Polyèdre - Sphères

p. 8 1 • Le grand Pentagramme de Dürer

p. 9 La réduction du module, de Profil - Les triangles équilatéraux -

p. 9 La disposition des figures - La méthode

p. 10 2 • Premier rayon de la sphère

p. 10 Vue de dessus - Vue de profil - Triangle T2 - La Verticale - Triangle T1

p. 11 Le petit côté de T1 - Retour au triangle T2

p. 12 3 • Deuxième rayon de la sphère

p. 12 Le triangle T

p. 13 4 • La sphère intérieure

Annexe I - Le PENTAGRAMME

p. 14 Construction - Mesures et angles

p. 15 Construction du grand pentagramme de Dürer

Annexe II - La dimension symbolique du Polyèdre

p. 16 La reconstitution physique de la sphère

Annexe III

p. 17 Le problème reposé

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PRÉSENTATION

Cet article s'adresse en priorité aux Mathématiciens. Il rassemble des éléments qui les concernent

directement. Les démonstrations sont accessibles à un large public, en revanche seuls les professionnels

sont habilités à adouber ce travail, sur le plan scientifique et pédagogique, qui explique le passage

historique d'une Géométrie "avec les yeux", à celle où le calcul s'associe à la construction des figures.

Définitions

Art

Le champ où s'inscrit ce travail de recherche a lieu d'être précisé : il comprend Peinture, Sculpture et

Architecture dans l'Histoire.

Composition

La composition est comparable au bois de coffrage du bâtiment. Le propre de ce bois est de se retirer à

la fin du chantier. Un ensemble de figures géométriques guide le trait de l'Artiste ou de l'Architecte,

jusqu'à se faire digérer par l'oeuvre.

Figure géométrique et Structure géométrique

Les figures peuvent être envisagées séparément, comme c'est la "tradition" dans l'Histoire, mais elles

deviennent véritablement intéressantes quand elles se lient entre elles pour former un réseau, une trame

plus complexe capable d'assumer, et de donner un sens à l'oeuvre qui se bâtit sur elles.

Géométrie Sacrée

La Géométrie Sacrée est la pratique ancestrale de l'Art de la Composition. Elle se sert de structures

géométriques pour construire des oeuvres d'art. Cette Géométrie a un sens, porté par les valeurs

numériques des figures, identifiables sur un quadrillage.

Géométrie Comparée

La Géométrie Comparée est la Science qui étudie les oeuvres construites avec une Géométrie Sacrée.

La méthode consiste à comparer les oeuvres entre elles pour faire ressortir des structures communes.

Un principe s'ajoute, celui de la double-preuve, qui éclaircit les nombreux résultats de l'étude et écarte

les schémas secondaires.

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I - Le module du Polyèdre de Dürer

1 • Énoncé du Problème

Le polyèdre de Dürer est l'un des éléments le plus

remarqués de la célèbre gravure d'Albrecht Dürer :

« MELENCOLIA § I », datant de l'année 1514.

Depuis l'origine, l'on cherche à savoir si ce solide

étrange s'inscrit ou non dans une sphère. Ce point

décide non seulement du genre de la forme, mais il

participe au statut de l'Archange.

Un débat a longtemps opposé les partisans d'une représentation déformée d'un cube tronqué à ceux qui voyaient

en cette forme celle d'un rhomboïde tronqué. Citons les principaux protagonistes, sans préciser leur camp car ce

débat est clos désormais : P. Weber (1900), D.H. Richter (1957), W. L. Strauss (1972), E. Schröder (1980), C.

MacGillavry (1981), T. Lynch (1982), P. Schrieber (1999), et enfin H. Weitzel (2004). Les publications les plus

récentes sont accessibles en langue anglaise, aussi pour un temps avec Christophe de Cène, nous nous sommes

posé la question de l'origine du schéma des angles présentés ci dessus (source : Wikipedia).

Ainsi, d'une façon comme d'une autre, l'on connaissait les angles d'un module qui se répète sur six de ses faces1.

Pour nous, la question n'était pas tant mathématique, ou même historique : c'était un problème de conscience !

Dürer maîtrisait-il la structure du polyèdre qui s'exhibe au milieu de sa fameuse Melencolia ? Comment en être

sûr alors qu'il n'a pas laissé la moindre trace écrite sur sa pratique de la géométrie sacrée ? Nous avons alors

retenu une hypothèse et une certitude. La certitude est que Dürer ne disposait en tout et pour tout que du

théorème de Pythagore comme matériel de démonstration. L'hypothèse de bon sens est que si le calcul de la

sphère est accessible par ce théorème, Dürer était en mesure d'y penser, au besoin de se faire “corriger”,

notamment par Luca Pacioli ou Johannes Stabius. Selon quoi le problème se résumait à celui de la faisabilité de

la démonstration par le calcul selon Pythagore, de la sphère qui enferme ou non le fameux polyèdre de Dürer.

Ensuite, une fois cette question résolue, une seconde question émerge : celle du réel statut de la forme dans la

culture de Dürer. Un dossier exhaustif est présenté dans l'article :

http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_jacquier-La_conscience_de_Durer.pdf

Note 1 : Pour autant, le solide ne respecte pas plus que l'échelle les règles précises de la Perspective.

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2 • La construction du module

Par la peinture, le nombre d'or révèle sa nature géométrique. Les

peintres ne s'en servent pas selon le mode des mathématiciens, dont le

riche discours est résolument algébrique. En outre, la transposition du

résultat des équations produit une logique de proportion qui ignore le

rôle essentiel du nombre d'or : sa capacité à produire des structures dans

l'espace. La figure ci-contre permet d'aborder cette logique avec les

yeux. Par l'angle de 36°, le point inférieur du diamètre d'un cercle de

diamètre 2 se lie à φ, le nombre d'or, sur le cercle...

À gauche - L'équerre de la Géométrie Sacrée s'accorde à Phi (90°, 36° et 54°).

Construisons un Pentagone et son Pentagramme, par report du compas.

À droite - En répétant cette opération du compas, à partir du point le plus bas,

naît un deuxième pentagramme, inversé, pour compléter l'étoile à dix branches.

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À gauche - Le motif qui construit le polyèdre, se cache dans cette figure. Il suffit de choisir cinq points.

À droite - Deux pentagrammes internes se révèlent et impriment leurs mesures dorées.

Trois de ces modules s'assemblent sur leurs bords, selon un angle de 72°, pour

constituer la partie haute du polyèdre. Un triangle équilatéral bouchera le sommet.

La partie du bas, constituée également de trois modules, a la même construction.

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3 • Reconstitution du polyèdre et de sa sphère

Il suffit alors de coller le tout pour reconstituer le polyèdre . La photo en

encart le montre sur la table de Christophe de Cène. Le symboliste a

repéré la présence des deux étoiles internes du module, à partir du

schéma intuitif du cercle et de sa proportion dorée que je lui avais

proposé. Sans cette suite d'idées, le polyèdre serait encore aujourd'hui

sujet de chorus trigonométriques et philosophiques sans livrer sa vérité.

L'interrogation de l'Archange ne peut pas concerner des équations que

nous allons résoudre avec les outils de l'époque. À savoir Thalès, les

propriétés des triangles semblables et le théorème de Pythagore.

L'Archange use sa patience à nous attendre au pied de son échelle...

II - Les calculs du Polyèdre - Sphères

Ce polyèdre est un exemple d'école de la

Géométrie Sacrée. Dans le développement des

pavages non périodiques, l'on utilise les propriétés

virtuoses du pentagramme, liées au nombre d'or.

Elles se traduisent ici par une simplification

miraculeuse du calcul et des situations dans

l'espace...

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1 • Le grand Pentagramme de Dürer

Le module qui se répète dans le Polyèdre de Dürer a des propriétés singulières,

que la figure du Grand Pentagramme met en évidence. La principale est dans le

rapport entre la grande et la "petite largeur" du "losange" tronqué :

√(2+Phi) ÷ √(3-Phi) = Phi

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La réduction du module - de Profil

Le module, ici vu de face, se retrouve de profil et subit une

inclinaison pour se rattacher aux deux autres. Il est ici

schématiquement représenté par le trait rouge. Dans cette

position de profil, il n'a aucune épaisseur et se voit dans sa

hauteur exacte.

Les triangles équilatéraux

Vue de dessus, les petites et les grandes largeurs dessinent des

Triangles Equilatéraux dont les complémentaires à la base du

solide (non représentés ici), viennent compléter deux

hexagrammes de Salomon.

La disposition des figures

Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue

de dessus, et la vue de profil. Tous les points sont sur les mêmes

verticales (représentant autant de plans vus de profil) puisque la

rotation se fait selon un axe horizontal situé exactement face à

nous (façon barbecue). Le "chapeau rouge" vient enfin

reconstituer les losanges d'origine qui furent tronqués pour

obtenir le module.

La méthodeNous allons calculer le premier rayon d'une sphère qui enferme ce polyèdre. En effet, deux sortes de points sont

concernés, au nombre de 2x6, et on peut ramener le tout à deux calculs. Celui des points où se réunissent les

grandes largeurs (en vert), et celui des points où se réunissent les petites largeurs (en rouge). Si la valeur des

deux rayons est la même, la sphère est exacte. Sinon, comme le montre l'expérience du "travail manuel", la

sphère sera "juste" à une marge près que nous allons établir.

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2 • Premier rayon de la sphère

Vue de dessus

Le centre de la Sphère est forcément à la verticale du sommet de

la pyramide rouge, les trois faces étant équivalentes.

Vue de profil

Verticalement, ce sommet est "au milieu" de la ligne qui sépare

les deux modules qui apparaissent, de façon symétrique. En

réalité, deux autres faces sont cachées, qui se confondent avec

celles-ci selon cet angle de vue. Le centre de la sphère est au

milieu de la ligne qui unit les milieux respectifs. Sous cet angle,

se segment est un point. Cette considération a son importance

puisque le point d'intersection des deux grandes largeurs sur la

gauche est exactement sur le plan du centre (la vue de dessus en

témoigne).

Triangle T2

Une fois positionné, ce centre va chercher la mesure du rayon qui

le sépare du point des grandes largeurs. Les cinq autres sont

équivalents de par la symétrie du solide, rappelons-le. Pythagore

sera notre seul outil. Nous avons besoin de deux cotes, verticale et

horizontale. Le rayon est l'hypoténuse du triangle T2.

La Verticale

L'échelle en rouge nous permet de visualiser les rapports de hauteur. La hauteur totale du losange complet est

coupée en deux par la ligne verte (grande largeur), milieu vertical du losange. Le centre de la sphère est à son

tour situé au milieu de la moitié inférieure. La symétrie de la figure y oblige. En revanche, la graduation "3" en

hauteur de l'échelle ne correspond pas au niveau du triangle équilatéral rouge (celui qui tronque les losanges).

Triangle T1

Or, la moitié supérieure du Polyèdre non tronqué, prolongé de son chapeau rouge, dessine un tétraèdre à trois

faces égales dont nous pouvons calculer la hauteur. Cette hauteur correspond à deux fois la cote verticale de

notre rayon. Calculons cette hauteur selon Pythagore.

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Le petit côté de T1

Sur la vue de dessus, considérons le triangle équilatéral vert. Son coté est de

√(2+Phi). La "hauteur" d'un triangle équilatéral fait √3÷2 fois son coté. Et le milieu

du cercle qui cerne les trois sommets est au tiers de la base et au deux tiers du

sommet. Ce petit segment horizontal, sur la droite de la figure, fait donc :

(1÷3).(√3÷2).√(2+Phi) = √(2+Phi)÷2√3

Nous connaissons l'hypoténuse de T1, qui correspond à la moitié de (Phi+1).

Selon quoi le calcul donne, si H est la hauteur du tétraèdre (base verte) :

H² + [√(2+Phi)÷2√3]² = (Phi+1)²

soit :

H = √[(2Phi+1)÷3] ≈ 1,188

Retour au triangle T2

La recherche de l'hypoténuse, rayon de la sphère, fait intervenir H/2 en hauteur et

2/3 de la hauteur du triangle équilatéral vert, soit :

(2÷3)(√3÷2)√(2+Phi) = √[(2+Phi)÷3]

R² = (H/2)² + (2+Phi)÷3 = [(2Phi+1)÷3]÷4 + (2+Phi)÷3

R = √(2Phi+3)÷2

Le diamètre de la Sphère est donc :

D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 5/2 à 1,1‰

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3 • Deuxième rayon de la sphère

Le triangle T

- Le coté horizontal du Triangle T fait :

(2/3).(√3/2).[√(3-Phi)]

Soit :

Coté horizontal = √[(3-Phi)÷3]

- Le coté vertical fait :

H/2 + h1

Pour trouver h1, utilisons le théorème de Thalès :

H/h2 =

segment vert ÷ segment rouge =

Gde largeur du module ÷ Pte largeur du module

H/h2 = Phi

les noms des segments compliqueraient la figure

Or : h1 + h2 = H

Donc :

h1 = H - h2 = H - H/Phi = H (1-1/Phi)

D'où le coté vertical :

H/2 + h1 = H(1/2 + 1 - 1/Phi) = H(5/2-Phi)

(5/2-Phi).√[(2Phi+1)÷3] = √[(10Phi-3)÷12]

Coté vertical = √[(10Phi-3)÷12]

Somme du carré des deux cotés :

3-Phi)÷3 + (10Phi-3)÷12 = (2Phi+3)÷4

R = √(2Phi+3)÷2 Q.E.D.

Les deux calculs de rayon, pour les deux types de points, donnent le même résultat.

Le polyèdre de Dürer est bien parfaitement inscrit dans une sphère de diamètre :

D =√(2Phi+3)

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4 • La sphère intérieure

Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure. Les surfaces parallèles, vues de profil (des modules

supérieur à droite et inférieur à gauche) présentent par trois fois la même configuration sur le Polyèdre. Il suffit

de tracer les perpendiculaires aux segments qui les représentent, passant par le centre que l'on connaît. Nous

allons utiliser le principe des triangles semblables, comme nous l'avons fait pour établir les propriétés du grand

Pentagramme.

Considérons le triangle que fait naître le rayon avec le sommet du polyèdre non tronqué. Ce triangle est

"semblable" à deux autres (l'angle du sommet est le même, et un deuxième angle est droit; le troisième est

forcément égal).

- 1er triangle semblable - La partie droite du "chapeau rouge"

- 2nd triangle semblable - La partie droite du "Triangle de base verte".

Le second est plus pratique :

Nous allons y trouver le même rapport entre la base

et l'hypoténuse :

Base ÷ Hypothenuse = r ÷ 3.H/2 =

(1÷2√3)[√(2+Phi)] ÷[(Phi+1)÷2]

avec H = √[(2Phi+1)÷3]

r=[3.√[(2Phi+1)÷3]÷2].(1÷2√3)[√(2+Phi)]÷[(Phi+1)÷2]

r = (1/2).√(2Phi-1)

donc :

d = √(2Phi-1) ≈ 1,495 349 ≈ 3/2 à 3,1‰

Rappelons que D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰

Le rapport entre les deux sphères, intérieure et extérieure, est :

d/D = √[(2Phi-1)(2Phi+3)] ≈ 0,598 807 ≈ 3/5 à 2 ‰

Cette marge est typique de la Géométrie Sacrée (et sera l'objet d'un autre article).

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Annexe I - Le PENTAGRAMME

Construction- Soit un carré de coté 1

• La diagonale du double-carré de base 1/2 mesure √5/2

- Du milieu de la base on trace un cercle de rayon √5.

• De l'angle gauche de la base au cercle la distance est

1/2+√5=Phi, que l'on prend pour mesure au cercle vert.

• Du même point l'on prend le 1 vertical pour mesure.

L'intersection des deux cercles verts donne le point

extérieur du pentagone de coté 1.

Il y a cinq triangles d'or dans un pentagone, ici de base 1 et coté Phi.

Mesures et angles

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Construction du grand pentagramme de Dürer

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Annexe II - La dimension symbolique du Polyèdre

La reconstitution physique de la sphère

Les douze étoiles du polyèdre ne manquent pas d'évoquer le

Zodiaque. L'Astrologie est une dimension initiale de la Symbolique.

Dans un article intitulé :

Kepler, d’un savoir ancien à la physique moderne

le symboliste Christophe de Cène reconstitue avec précision la

démarche fondatrice de la physique moderne. Cet épisode de

l'Histoire, qui se conclut par les fameuses lois de Kepler, est souvent

mal interprété. À partir de textes originaux de l'Homme qui créa la

Science, ainsi que de publications universitaires, l'auteur décrypte

point par point les étapes de cette grande aventure.

En résumé, Kepler a trouvé non seulement l'inspiration, mais surtout les principes élémentaires pour fonder ses

lois, dans la grande Culture de la Géométrie Sacrée. Il en était l'héritier. Astrologue réputé, il traduit cet héritage

en intégrant une valeur qui, dans son contexte traditionnel, esquivait la mesure : le temps. La troisième loi de

Kepler se rapproche étrangement de l'équation de Phi dont Vénus est la muse...

Les solides de Platon sont une des bases reconnues du travail de Kepler. À la quête du modèle parfait que sa foi

lui inspirait, il compléta les efforts des Grecs par les solides connus sous le nom de Solides de Kepler-Poinsot. Il

n'a malheureusement pas pensé au Polyèdre de Dürer, qui se rapporte étrangement à Mars. Or ce puissant objet

de la Géométrie Sacrée ne saurait être réservé à Dürer seul. Le Maître de Nürenberg peut en avoir finalisé les

démonstrations, peut-être même aidé de Paccioli, mais d'une façon comme d'une autre, le solide a intégré le

discours de la "Tradition", avant ou à partir de Melencolia. Et moins d'un siècle plus tard, cette "Tradition"

perdait déjà de son élan, au point que l'érudition de Kepler ne s'en rappelait pas. C'est en quelque sorte une

chance que cette culture soit restée assez vivace pour permettre à Kepler de hisser sa conscience au niveau de ce

qui deviendra la Science.

Un article plus complet est consacré au statut du polyèdre de Dürer :http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_jacquier-La_conscience_de_Durer.pdf

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Annexe III - Le problème reposé

Cet article résout un problème de façon simple avec les moyens de l'époque. L'on suppose la forme régulière et

l'on cherche la sphère dans laquelle il s'inscrit. Longtemps ce problème est resté irrésolu, et l'on a fini par voir en

ce solide de pierre un symbole de mystère, et même d'impuissance pour l'homme.

En toute objectivité, selon les règles de la perspective, les faces visibles du solide représenté dans Melencolia ne

sont pas régulières, loin s'en faut. Deux options se proposent alors : l'idée d'un solide débile ou celle d'un solide

régulier avec lequel Dürer aurait pris quelque liberté dans sa représentation. Nous apprendrons avec les calques

de la composition une part des raisons de cette déformation. Mais avant d'aborder ce voyage qui prend au bas

mots soixante-dix visuels et deux fois ce nombre de pages, nous devons faire preuve de bon-sens.

Dürer a construit son polyèdre "en 3D", avant de le dessiner, et de le graver. Une esquisse de sa main en

témoigne, archivée à la Bibliothèque de Dresde. L'artiste y montre même un certain amusement. Celui du renard

en quelque sorte. Le solide est posé sur une estrade, qui elle-même est tronquée. Ce détail a son importance car

le problème du solide se résume à savoir à quel niveau le rhomboèdre est tronqué pour dessiner ses chapeaux

triangulaires. Celui qui est habitué à ce genre de travaux pratiques, à assembler des bouts de cartons, sait qu'il y

a fort à parier qu'elle soit régulière. Huit surfaces doivent se coller entre elles pour former un tout cohérent et

c'est déjà bien assez compliqué. Quant à concevoir six surfaces asymétriques et à parvenir à les assembler... Cela

relève du fantasme. Pendant cinq siècles, les mathématiciens ont cherché à calculer la sphère du polyèdre, à

force de chorus trigonométriques et de supputations sur les angles, sans y parvenir. Comment Dürer aurait-il pu

calculer des formes asymétriques pour un résultat "presque crédible" à l'oeil. Et dans quel but ? Pour démontrer

quoi ? L'ir-raison n'est pas la mentalité de Dürer, le Maître, le pédagogue. D'ailleurs, la tradition ne la rapporte

pas. Il est toujours question de la résolution de la sphère et du calcul des proportions du Polyèdre. Et sa

déformation n'est l'objet d'aucune thèse.

L'hypothèse dominante, instituée en Dogme par trois principaux auteurs, successivement Florensky, Panofsky et

Rauschenbach, veut que Dürer soit uniquement un Maître de la perspective. Dans ces conditions l'on ne peut pas

remarquer, ni accepter que l'échelle de Melencolia ne tient pas debout. On ne peut pas non plus envisager que le

polyèdre respecte d'autres règles que celles de la Perspective. Cette pression de l'opinion toute faite et dominante

est une des marques de la pensée esthétique du XXème Siècle. Et un sombre écho du colonialisme.

Le XXIème Siècle ne pourra commencer que quand il dénoncera ces erreurs.

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