geometria - clemens

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geometria

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Page 1: Geometria - Clemens

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Page 3: Geometria - Clemens

GEOMETRIACON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS

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Page 4: Geometria - Clemens

GEOMETRIACON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS

STANLEY R. CLEMENS PHARES G. ODAFFERIllinois State university

THOMAS J. COONEYuniversity o f Georgia

versión en español de

Adúison-Wesley iberoamericana

con la colaboración de

Manuel López MateosUniversidad Nacional Autónoma de México

^ Addison Wesley LongmanArgentina • Chile • Costa Rica • Colombia • Ecuador • España • Estados Umdos

Mexico • Peru • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

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Page 5: Geometria - Clemens

Versión en español de la obra titulada Geometry with Applications and Problem Solving, deS. R. Clemens, P. G. O'Daffer y T. J. Cooney, publicada originalmente en inglés por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A.© 1984 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Esta edición en español es la única autorizadaCuarta reimpresión, abril 1998Créditos de las fotografías

Geometria generada por computador

1. Ramtek Corporation2. NASA/Jet Propulsion Laboratory3. National Center for Atmospheric Research/High

Altitude Observatory/NCAR SM M /C/T: Solar Maximum Mission (NASA/GSFC) coronagraph/Polarim eter Experiment

4. Ramtek Corporation,/NASA/Jet Propulsion Laboratory5. Brookhaven National Laboratory/New York University

Medical Center6. Lawrence Livermore National Laboratory7. M atrix Instruments Inc.8. M atrix Instruments Inc.9. M atrix Instruments Inc.

Geometria de un chip de silicio

1. Intel Corporation2. Intel Corporation3. National Semiconductor Corporation4. Bell Laboratories5. National Semiconductor Corporation6. National Semiconductor Corporation7. Intel Corporation8. Intel Corporation9. Intel Corporation

10. Bell Laboratories

Carreras de computación

1. NCR Corporation2. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.3. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.4. Prime Computer, Inc.5. Bell Helicopter,Textron

La geometría y computadores en la industria

1. General M otors Corporation2. TRW, Inc.3. California Com puter Products, Inc. (CalComp)4. Anacomp, Inc.5. Tandy C orporation—TRS-80™. TRS-80 es una marca

registrada de Radio Shack Division of Tandy Corporate6. Sperry-Univac, una division o f Sperry Corpöralion7. Lawrence Livermore National Laboratory8. Engineered Systems, Inc., Om aha, Neb.9. Alex Cameron/Tandem Computers, Inc.

10. National Semiconductor C orporation11. Alex Cameron Tandem Computers, Inc.12. Copyright Peter Menzel13. Triiog

© 1989 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A.Wilmington, Delaware, E.U.Á.

© 1998 por Addison Wesley Longm an de México, S.A. de C.V.Boulevard de Las Cataratas núm. 3 Jardines del Pedregal 01900, México, D.F.

Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor.

Im preso en México - Printed in México

ISBN 968 444 306 4

4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 - DO - 89 9 0 7 6 5 4 3 2 1 8

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Page 6: Geometria - Clemens

^ r ' . ' c ' x . .

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hfcbrea de los autores

Stanley R. Clemens es profesor asociado de m atem áticas en la Illinois State University. Se graduó en bachillerato y m aestría en el Bluffton College y la Indiana U niversity, respectivamente, y realizó el doctorado en m atem áticas en la University of N orth Carolina. La obra del doctor Clemens sobre geom etría com prende varios artículos, adem ás de los libros Laboratory Investigations in Geometry y Geometry:An Investigative Approach, am bos publicados po r Addison-W esley Publishing Com pany, Inc.

Phares G. O ’D affer es profesor de m atem áticas en la Illinois State University. Se graduó en bachillerato y m aestría en esa m isma universidad, y realizó el doctorado en enseñanza de las m atem áticas en la University of Illinois. Ex profesor de m atem áticas de grado preuniversitario, el doctor O ’Daffer es au to r y coau to r de num erosos artículos y libros de texto, incluyendo Investigations in Geometry y Geometry: An Investigative Approach, publicados por Addison-W esley Publishing Com pany, Inc. Tam bién ha sido presidente del Illinois Council of Teachers of M athem athics.

Thom as J . Cooney es profesor de enseñanza de las m atem áticas en la University of G eorgia. Ex profesor de geom etría de grado preuniversitario, se graduó en bachillerato y m aestría en la University of Toledo, y realizó el doctorado en enseñanza de las m atem áticas en la University of Illinois. El doctor C ooney ha escrito varios artículos y libros de texto sobre enseñanza de las m atem áticas y fue presidente de la School Science and M athem atics Association.

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Page 7: Geometria - Clemens

prefacioGeometría con aplicaciones y solución de problemas es un texto que destaca la relación estrecha que existe entre los conceptos geométricos y sus aplicaciones en el m undo que nos rodea. Los autores realizaron esta obra basándose en las siguientes ideas:

La geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones comunes. En este libro se tra tarán teorem as —conclusiones básicas- m otivados p o r algún problem a físico, para después aplicarlos a dicho problem a y solucionarlo. La m ayoría de las lecciones están estructuradas alrededor de esos teorem as y presentan casos de la relación que se analiza favoreciendo el desarrollo del razonam iento inductivo.

La capacidad de redactar pruebas debe desarrollarse empezando con las situaciones más sencillas. El lector em pezará a desarro llar su capacidad de prueba con problem as cortos, sencillos y que contienen un solo concepto. Estos llevan gradualm ente al estudiante a pruebas más com plejas en los capítulos posteriores.

Los estudiantes de geometría deben desarrollar su capacidad en el marco del pensamiento crítico, el razonamiento lógico y la resolución de problemas. La resolución de problem as es uno de los aspectos fundam entales de esta obra. A cada conjunto de problem as se agregan ejercicios y soluciones. Estas oportunidades p a ra experim entar y aplicar el razonam iento inductivo son im portantes para el desarrollo creativo.

El estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de otras áreas de las matemáticas. El lector encontrará páginas especialmente interesantes sobre los siguientes temas: técnicas para la solución de problem as, repaso de álgebra, la geometría en nuestro m undo (aplicaciones de la geom etría en diferentes áreas; gráficas con com putadores y pasatiempos), y un prim er capítulo en el que se hace una revisión prelim inar con ejemplos de la geom etría en el m undo, cóm o usarla en la solución de problem as y su papel en actividades recreativas.

Con la idea de que este texto resultara práctico para el estudio de la geometría, se incluyeron o tras características:

El lenguaje es breve pero preciso. H ay profusión de ilustraciones y fotografías.Los ejercicios se clasificaron en tres niveles denom inados A, B y C, y van desde

problem as num éricos sencillos hasta pruebas excitantes.L a m ayor parte de los problem as im pares incluyen su respuesta.Al final del libro se encuentran una lista de símbolos, un glosario de térm inos

geométricos y listas de teorem as y postulados.El resumen de cada capítulo prepara al lector para el exam en del mismo.Los teorem as geométricos se cubren en forma to tal, lo que perm ite al lector

abo rdar o tros tem as de m atem áticas con cierta confianza.En Geometría con aplicaciones y solución de problemas se orienta al lector para

el éxito, pero no sin desafíos. Al concluir este curso, el estudiante verá que el m undo físico resulta m ás com prensible y que la capacidad que desarrolló en el estudio de la geom etría es útil en la solución de problemas.

Stanley R. Clemens Phares G. O ’Daffer Thom as J. Cooney

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índice general

iUSO de la geometría: Revisión preliminar 1

Definiciones y construcciones 8

1.1 Punto, recta , p lano y espac io 10

1.2 R e lac iones e n tre puntos, rec tas y p lanos 12

1.3 A lg u n a s fig u ra s geo m é tricas básicas 16

1.4 S egm en tos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 20

1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 24

1.6 R ectas y p lanos pe rp e n d icu la re s 28

1.7 P o lígonosC onceptos im p o rta n te s 36 R esum en 37

E xam en 38

3 2 ,

Técn icas pa ra la so lu c ió n de p rob lem as D ibu je oe un d ia g ra m a 39

La ge o m e tría en nuestro m undo D iseño In te rio r: tese lados 40

2á fa Razonamiento en geometría 42

2.1 El p roceso de l razonam ien to inductivo 44

2.2 G ene ra lizac iones fa lsa s y co n tra e je m p lo s 48

2.3 D e sa rro llo de la g e o m e tría po r m e d io de l razonam ien to

deductivo 52

2.4 T ipos de p ro p o s ic io n e s «S i-Entonces» 56

2.5 R ec ip roca , in ve rsa y co n tra rre c ip ro c a . 60

2.6 E squem as de razonam ien to 64

2.7 P ostu lados de geom etría 68

2.8 A lgunos pos tu lados s o b re m ed ic ión

C onceptos im p o rta n te s 76 R esum en 77

Exam en 78

72

R epaso de á lg e b raLa ge o m e tría en nuestro m undo Fotogra fía , lentes

79

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.-y.

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Page 9: Geometria - Clemens

3Triángulos y congruencia

vili Ind ice gene ra i

8 2

3.1 T riá n g u lo s congruen tes 843.2 P ostu lados s o b re la co n g ru e n c ia 903.3 P ruebas: uso de los pos tu lados sobre la cong ruenc ia 963.4 P ruebas: uso de d e fin ic io n e s 1003.5 P ruebas: uso de postu lados y d e fin ic iones 1043.6 Prueba de la co n g ru e n c ia de á n gu los y segm entos 1103.7 P ruebas: so lape de tr iá n g u lo s 1163.8 Pruebas: cadenas de congruenc ias 120

C onceptos im p o rta n te s 122 R esum en 123Exam en 124

R esum en g loba l (Caps. 1 a 3) 125La g e o m e tría en nuestro m undo

A rq u ite c tu ra : dom os geodés icos 126

Prueba de teoremas mediante propiedades básicas 128

4.1 Pasos p a ra la p rueba de un teo rem a 1304.2 Uso de la p ro p ie d a d de sum a y res ta de igua les 1384.3 Prueba de teo rem as: uso de su p le m e n to s y com p lem en tos 1444.4 P rueba de teo rem as: uso de á n gu los ve rtica le s 1504.5 P rueba de te o re m a s : uso de á n gu los ex te rio re s 1544.6 U so de la p rueba in d ire c ta 158

C onceptos im p o rta n te s 164 R esum en 165Exam en 166

T écn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as H acer una tab la -l 167

¿ r Rectas y planos paralelos 168

5.1 D e fin ic iones bás icas 1705.2 T eorem as sob re rec tas pa ra le la s 1745.3 El pos tu lado de las rec tas pa ra le la s 1805.4 M ás te o rem as sob re rec tas pa ra le la s 184

C onceptos im p o rta n te s 190 R esum en 191

Exam en 192

R epaso de á lg e b ra 193La g e o m e tría en nuestro m undo M in e ra lo g ía : s im e tría 194

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Page 10: Geometria - Clemens

Ind ice genera l ix

Triángulos196

1986 1 C la s ifica c ió n de los tr iá n g u lo s. , , 202

6.2 T riá n g u lo s isósce les6.3 M ed idas de los á n gu los de un tr iá n g u lo

6.4 El te o re m a de la co n g ru e n c ia LAA6.5 El te o re m a de la co n g ru e n c ia de la h ipo tenusa y e l cateto

C onceptos im p o rta n te s 220 R esum en 221

Exam en 222T écn icas p a ra la so lu c ió n -d e p rob lem as H acer una ta b la -ll 223

208

212216

Más sobre triángulos2 2 4

7.1 El te o re m a de P itágo ras

7.2 T riá n g u lo s espec ia les7.3 T eorem as de la co n cu rre n c ia en tr iá n g u lo s

7.4 D es igua ldad de i tr iá n g u lo

7.5 D esigua ldades en un tr iá n g u loC onceptos im p o rtan tes 252 R esum en 253

Exam en 254

R esum en g lo b a l (Caps. 4 a 7)La ge o m e tría en nuestro m undo G rá ficas p o r com pu tado r:

d ise ñ o a s is tid o po r co m pu tado r

Cuadriláteros y polígonos

8.1 C u a d rilá te ro s

8.2 P a ra le log ram os8.3 C u a d rilá te ro s que son p a ra le lo g ra m o s

8.4 El te o re m a de l segm en to m ed io

8.5 R ectángu los, rom bos y cuadrados

8.6 T rapec ios8.7 Los á ngu los de un po lígono

C onceptos im p o rta n te s 296 R esum en 297

Exam en 298

R epaso de á lgebra La geom etría en nuestro m undo

A rq u ite c tu ra : ei re c tá n g u lo áureo

226

232

236

244

248

255

256

258

260

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282^288

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Page 11: Geometria - Clemens

rx Ind ice gene ra l

9 Semejanza

9.1 P ropo rc iones

9.2 T eo rem a fundam en ta l de la p ro p o rc io n a lid a d9.3 P o lígonos sem e jan tes

9.4 El pos tu lado de la sem e janza AAA

9.5 T riá n g u lo s rec tángu los y tr iá n g u lo s sem e jan tes9.6 T eo rem as de la se m e janza LLL y LAL

9.7 Razones tr ig o n o m é trica s ; una ap lica c ió n de los tr iá n g u lo ssem e jan tes

9.8 R azones tr ig o n o m é trica s de á n gu los espec ia les

C onceptos im p o rta n te s 336 R esum en 337Exam en 338

T écn icas pa ra la so luc ión de p rob lem as T ra b a ja r hac ia a trás

10 Círculos

10 .1 D e fin ic iones básicas

10.2 La m ed ic ión en g rados de los arcos

10.3 C uerdas y d is ta n c ia s desde el cen tro

10.4 P e rpend icu la res a las cue rdas

10.5 Tangen tes a los c írcu los

10.6 Tangen tes desde un pun to a un c írcu lo10.7 M ed idas de á n gu los in sc rito s

10.8 A n g u lo s fo rm a d o s po r cue rdas

10.9 A n g u lo s y segm en tos fo rm a d o s po r tangen tes y secantes

C onceptos im p o rta n te s 386 R esum en 387Exam en 388

R esum en g loba l (Caps. 8 a 10)

La g e o m e tría en nuestro m undo A g rim e n su ra : el teo d o lito

302

304

308

312

316

322

326

330334

339

340

342

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Page 12: Geometria - Clemens

Ind ice g e n e ra l x¡

Area y perímetro

11.1 P ostu lados de l á rea

11.2 A rea de p a ra le lo g ra m o s

11.3 A reas de tr iá n g u lo s y tra p e c io s

11.4 A re a de po lígonos re g u la res11.5 C om parac ión e n tre pe rím e tro s y á reas de po lígonos

sem e jan tes11.6 La razón en tre la c ircu n fe re n c ia y el d iá m e tro de un c ircu lo

11.7 A re a de c írcu losC onceptos im p o rta n te s 426 R esum en 427

Exam en 428

R epaso de á lg e b ra La ge o m e tría en nuestro m undo

G rá ficas p o r com pu tado r: tra n s fo rm a c io n e s

12I sólidos

12.1 P irám ides y p rism as12.2 A re a de p rism as y p irá m id e s

12.3 V o lum en de p rism as

12.4 V o lum en de p irá m id e s

12.5 A re a y vo lu m e n de c ilin d ro s

12.6 A rea y vo lum en de conos

12.7 A re a y vo lum en de esfe ras

12.8 P o lied ros re g u la re sC onceptos im p o rtan tes 468 R esum en 469

Exam en 470

T écn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as H ágase un d ib u jo p rec iso

La geom etría en nuestro m undo N avegación

392

394398

402

408

412

416

420

429

430

432

434

440

444

448

452

456

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Page 13: Geometria - Clemens

xii Ind ice genera l

13 Transformaciones y simetría 474

13.1 R e flex iones sob re rec tas 476

13.2 Uso de las re flex iones sob re rec tas en la so luc ión

de p ro b le m a s 48013.3 T ras lac iones

13.4 R otaciones

13.5 S im e tría

C onceptos im p o rta n te s 498 R esum en 499

E xam en 500

Técn icas p a ra la so lu c ió n de p rob lem as

Exam en de casos esp e c ia le s 501

484

488

494

14 Geometría de coordenadas 502

14.1 S is tem a de coo rdenadas ca rte s ia n a s 504

14.2 Punto m ed io de un segm ento 508

14.3 La pend ien te de una rec ta 512

14.4 P end ien tes de rec tas p e rp e n d icu la re s y p a ra le la s 516

14.5 La fó rm u la de la d is ta n c ia 520

14.6 La ecuac ión de la rec ta 524

14.7 La ecuac ión de l c írc u lo 528

14.8 Uso de las coo rdenadas en la p ru e b a de te o rem as 532

14.9 T ra n s fo rm a c io ne s y g e o m e tría de coo rdenadas 536

C onceptos im p o rtan tes 538 R esum en 539Exam en 540

R esum en g loba l (Caps. 11 a 14) 541

S ím bo los 542

T ab la de cuad rados y ra íces cu a d ra d a s 543

P ostu lados y te o rem as 544

G lo sa rio 553

R espuestas se lecc ionadas 559

Ind ice de m a te rias 593

R econoc im ien tos 600

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Page 14: Geometria - Clemens

identificación de figuras geométricas en la naturaleza

Es posible que haya sido la naturaleza la que proporcionó al ser hum ano las prim eras nociones de geometría. H ay m uchos ejemplos de formas geométricas en el m undo físico. Con el paso de los siglos, el hom bre empezó a clasificar esas formas, les dio nom bre y creó definiciones para describirlas.

1. N óm brese po r lo m enos una figura geom étrica sugerida po r las fotografías.

2. Los triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos son ejemplos de las figuras geométricas llam adas polígonos. Escríbase la letra de cada fotografía que sugiera un polígono y dése su nombre.

3. Con frecuencia se busca la relación que existe entre dos o más figuras geométricas. Se dice que tres puntos son colineales (están en la m isma recta), que dos rectas son paralelas (nunca se tocan), o que dos ángulos son congruentes (tienen el mismo tam año). Escríbase la letra de cada fotografía que sugiera una relación y dése su nom bre.

4. D escríbase por lo menos un objeto natural que no aparezca en las fotos y que sugiera una figura geom étrica o una relación.

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Page 15: Geometria - Clemens

Observación de figuras geométricas en nuestro mundo

En todas las épocas el hom bre ha utilizado las sencillas form as geométricas que sugiere la naturaleza para la creación de objetos útiles e interesantes. D ebido a que estam os rodeados de objetos, es comprensible la im portancia que tiene poder hablar sobre ellos. Al com unicarnos con o tras personas, para describir el medio en que vivimos, necesitamos un lenguaje de geometría.

1. N óm brese po r lo m enos una figura geométrica o relación sugerida por cada fotografía.

2. C om o ilustra el balón de fútbol, el m undo de los deportes es rico en ejemplosde figuras geométricas. Dense otros ejemplos de «geom etría en los deportes».

3. El dom o geodésico es una m uestra de que el m undo del diseño y laarquitectura están profundam ente im buidos de figuras geométricas. El lector puede encontrar ejemplos de «geom etría en la arquitectura» o de «geometría en el diseño» en su propia com unidad, en revistas o en libros de consulta.

4. Elabórese un álbum de recortes (con fotos o dibujos tom ados de revistas) con el títu lo «La geom etría en nuestro mundo».

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Page 16: Geometria - Clemens

uso de la geometría en la resolución de problemas

El estudio de la geom etría proporciona m uchas técnicas útiles para la solución de problemas. Las relaciones entre los conceptos geométricos, llam ados teoremas, son la base de estas técnicas. C ada uno de los problem as siguientes se resuelve em pleando uno o m ás de los teorem as que se estudiarán en este libro.

Problema 1 Solución

Con una escuadra de carpintero u o tro objeto con una «esquina cuadrada», encuéntrese el centro del tablero de una m esa redonda grande, de m anera que se pueda construir una base adecuada para ella.

1. Dibújese esta «mesa-de billar» y hágase un d iagram a exacto que muestre el pun to de la banda en el cual debe pegar la bola blanca p ara que rebote y golpee a la bola roja.

2. Con ayuda de un objeto circular, trácese un círculo en un papel. Ahora, con un m étodo sim ilar al que se usó en el problem a 2, encuéntrese el centro del círculo.

Las líneas de co lor cruzan el punto m edio de las dos cuerdas del circulo.

¿Hacia qué punto de la banda debe lanzarse la bola blanca para que rebote y golpee a la roja?

Problema 2

Piense en una imagen especular de la bola roja. La bola blanca debe lanzarse hacia el punto P.

Solución

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Page 17: Geometria - Clemens

Problema 3 Solución4 pies

Si sólo se dispone de una cuerda y una cinta de m edir, ¿cómo podría m arcarse una esquina cuadrada para un cam po de juego?

Se hacen 3 nudos en la cuerda a intervalos de 3, 4 y 5 pies y se coloca com o se m uestra en la figura.

Solución

¿Cómo podría dividirse una vara pequeña en 5 trozos de igual longitud, de m anera que sirvan com o postes para la vía de un tren a escala?

1. Con estos segmentos y un compás construyase un ángulo recto.

2. En una cuerda háganse tres nudos separados3, 4 y 5 dm y utilícense para form ar un ángulo recto.

3. Córtese una tira de cartulina y empléese el m étodo del problem a 4 para dividirla en 7 partes de la misma longitud.

4. Búsquese una forma distinta para dividir una tira de cartulina en cinco partes iguales.

Se pone la vara en diagonal sobre una hoja de cuaderno rayada y se m arcan las líneas como m uestra la figura.

3 cm

4 cm

problema 4

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Page 18: Geometria - Clemens

Uso de la geometría como pasatiempo

M uchos conceptos de la geom etría pueden dar origen a escenas hum orísticas. Los rom pecabezas geom étricos pueden resultar juegos interesantes que ponen a prueba la inteligencia. Esperam os que el lector encuentre alguna diversión en la geometría.

O bsérvense estas «geocaricaturas».

i Reconózcanlo' ustedes dos nc tienen muncho c o m ú n . ^

Los «geogarabatos» tam bién son divertidos.

PERP

DICULAR

sín t e r

ccio'n

T R IA N G U LO P U N T *

ANGUZ.0 RECTAS PARA lUs

1. Créese una «geocaricatura» propia.

2. Diséñese un «geogarabato» original. P a ra esto, pueden emplearse palabras com o «ángulo recto», «recta», «círculo», «bisecar» o «cuadrado».

Te veré en la intersección

\ /Te opuesto diez contra

cuatro que no

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Page 19: Geometria - Clemens

A hora, inténtese trab a ja r con el rom pecabezas TANG RAM

Dibújese este cuadrado y córtese en 7 piezas com o se m uestra en la ilustración. Estas piezas son las del famoso rom pecabezas chino Tangram , que, según se dice, tiene unos 4000 años de antigüedad.

7 1

x f '\ t i ' ' <X ! y

/ \ :V' N // N /

Rompecabezas 1

¿Cóm o deben colocarse las 7 piezas del Tangram para form ar la figura siguiente?

¿Cóm o deben colocarse las 7 piezas del Tangram para form ar las figuras que aparecen abajo? En algunos casos se dan indicaciones con líneas de puntos. Dibújense las soluciones.

Solución

7. H ágase una figura con las 7 piezas del Tangram y pásese a algún com pañero p a ra que la resuelva.

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C A P I T U L O

1.1 P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io 10

1 .2 R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s 12

1.3 A lg u n a s f ig u ra s g e o m é tr ic a s b á s ic a s 16

1.4 S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia

y m e d ic ió n 20

1.5 B is e c t r ic e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo 24

1.6 R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s 28

1.7 P o líg o n o s 32

C o n c e p to s im p o r ta n te s 36 R e s u m e n 37

Técnicas para la solución de problem as

D ib u jo d e un d ia g ra m a 39

La geom etría en nuestro mundo

D is e ñ o in te r io r : T e s e la d o s 40

E x a m e n 38

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Page 21: Geometria - Clemens

Definiciones y construcciones

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10 D efin ic iones y cons trucc iones

1.1 Punto, recta, plano y espacio¿C ó m o p o d r ía n d esc rib irse u n p u n to , u n a rec ta , u n p la n o y el espacio? E s to s c u a tro c o n c e p to s so n m u y im p o r ta n te s en el e s tu d io de la g eo m etría . A q u í n o se d e fin irán el p u n to , la re c ta ni el p lan o , s in o q u e se o b se rv a rá n o b je to s q u e los sugieren .

U n p u n to c o m o p a r te d e u n o b je to físico

U n p u n to c o m o la m a rc a m ás p e q u eñ a q u e se p u e d e d ib u ja r

U n p u n to es u n a idea o a b s tra c c ió n . U n p u n to n o pu ed e defin irse c o n té rm in o s m á s sencillos, es un té rm in o indefin ido .

U n a re c ta c o m o p a rte d e u n a s itu a c ió n física

U n a re c ta c o m o la lín e a m ás d e lg ad a q u e se p u ed e d ib u ja r

U n a re c ta es u n a id ea o ab s tracc ió n . C o m o n o p u ed e defin irse co n té rm in o s m ás sencillos, es un té rm in o indefin ido .

P I N T O

ubicación^ sin long itud .ia jié í& ll : '¡rí ; s'alfffffi

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Page 23: Geometria - Clemens

1.1 Punto, recta , p lano y e spac io 11

U n p la n o com o p a r te de u n o b je to físico

U n p la n o c o m o el c o r te m á s d e lg ad o posib le

U n a p la n o es u n a ideao a b s tra c c ió n . D e b id o a q u e n o p u e d e defin irse co n té rm in o s m ás sencillos,

H ay p u n to s so b re , d e n tro y fu e ra del g lobo

EJERCICIOS

E l e sp ac io c o m o lo q u e q u e d a a l d e s tru ir el g lo b o

1. Indíquese si la porción en color de cada figura sugiere un punto, una recta, un plano o el espacio.

Definición 1.1El espacio es el conjunto de todos los puntos.

a.

2. M enciónense cinco objetos cuya forma sugiera un punto en alguna de sus partes. Identifiqúese la parte específica de cada objeto.

3. M enciónense tres objetos o sitüaciones físicas que ilustren la idea de recta o de una parte de ella.

4. M enciónense cinco objetos cuyas formas sugieran un plano en alguna de sus partes.

5. M enciónense tres objetos, com o el globo, que sugieran la idea de espacio.

E l e sp ac io es u n a id ea o ab s tracc ió n .

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Page 24: Geometria - Clemens

12 D e fin ic iones y construcc iones

1.2 Relaciones entre puntos, rectas y planos

P a r a re p re se n ta r p u n to s , se d ib u ja n p e q u e ñ a s m a rc a s e n u n p ap e l. L as le tra s m a y ú sc u la s a l la d o d e c a d a p u n to so n su s n o m b res ; as í, se llam an pun to A , pun to B y p u n to C.

U n a re c ta p u ed e c o n s id e ra rse c o m o u n c o n ju n to de p u n to s . A l d a r n o m b re a u n p a r d e ellos, se p u ed e lla m a r a la re c ta e n fu n c ió n de esos d o s p u n to s . P o r e jem p lo , los p u n to s A y B e s tá n en la rec ta , p o r lo q u e se lla m a recta A B ; se su p o n e q u e p o r los p u n to s A y B só lo p a s a u n a rec ta . O tra m a n e ra d e d ec ir e s to es: dos pun tos determ inan una recta. E n o casio n es, se n o m b ra u n a re c ta co n u n a le tra m in ú scu la . E n este caso , la re c ta A B ta m b ié n p o d r ía llam arse rec ta f ,.

U n p la n o ta m b ié n p u e d e co n ceb irse co m o u n c o n ju n to de p u n to s . Se d es ig n a c o n u n a so la le tra o d a n d o n o m b re a tres de su s p u n to s q u e n o es tén e n u n a rec ta . Así, se le lla m a plano N o plano A B C .

e s tá n en el p la n o N .

Se su p o n e q u e só lo u n p la n o co n tien e e s to s tre s p u n to s . Se d ice en to n ces q u e tre s p u n to s q u e n o e s tá n en u n a m ism a re c ta d e te rm in a n a l p lan o .

Al c o n s id e ra r la re c ta l c o m o u n c o n ju n to de p u n to s , p u ed e d ecirse q u e el p u n to A está en la re c ta £, y q u e el p u n to A es un elem ento de la re c ta l p a ra d e sc rib ir la m ism a s itu ac ió n . T a m b ié n p u ed e d ecirse q u e la rec ta t con tiene a l pun to A .

Si A , B y C so n p u n to s de la re c ta l , c o m o se m u e s tra en la figura sig u ien te , se d ice q u e el p u n to B e s tá en tre lo s p u n to s A y C. Si A , B y C n o e s tá n en la m ism a rec ta , n o se u sa la p a la b ra en tre p a ra d esc rib ir su re lac ión .

A • • B

• C

Se escribe: M

recta ABorecta l

L os p u n to s A , B y C

A

El p u n to B e s tá e n tre los p u n to s A y C.

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1.2 R e lac iones e n tre pun tos, rec tas y p lanos 13

A lg u n as d e las re lac io n es b á s ica s de lo s p u n to s y las rec ta s en un p la n o se d esc rib en a c o n tin u a c ió n c o n m o d e lo s , s ím b o lo s y defin iciones.

Modelo físico, Descripción, D efiniciónfig u ra símbolo

i . m n . n n f i i

í [' m | (

== u w w ¡ u " U i

A , B y C so n colineales. A , D y C so n no colineales.A , B , C y D e s tá n e n el m ism o p lan o ; so n p u n to s coplanares. L o s p u n to s q u e , co m o c o n ju n to , n o e s tá n e n el m ism o p lan o , so n no coplanares.

L as rec ta s t y m se in tersecan en e l p u n to A.

L a s rec ta s t y m n o tienen u n p u n to en co m ú n , t es paralela a m.Se escribe: i || m

L as rec ta s p, q y r tienen e x a c ta m en te u n p u n to en c o m ú n . S o n rectas concurrentes.

Definición 1.2

Los puntos colineales sonpuntos que están en la misma recta.

Definición 1.3

Los puntos coplanares sonpuntos que se encuentran en un mismo plano.

Definición 1.4

Las rectas intersecantes sondos rectas con un punto en común.

Definición 1.5

Las rectas paralelas sonrectas que están en el mismo plano y no se intersecan.

Definición 1.6

Las rectas concurrentes sontres o m ás rectas coplanares que tienen un punto en común.

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14 D efin ic iones y cons trucc iones

EJERCICIOS_____________________A.

1. Dibújense tres puntos que sean colineales.

2. Trácese el grupo de puntos que se * m uestra a continuación y, con unaregla, dibújese una recta a través de grupos de tres o m ás puntos colineales.

Los ejercicios 3, 4 y 5 se refieren a la figura de la derecha.

3. N óm brense conjuntos de tres puntoscolineales.

4. N óm brense conjuntos de tres puntos no colineales.

5. N óm brense cuatro puntos entre los cuales no haya tres que sean colineales.

Los ejercicios 6, 7 y 8 se refieren a la figura de la derecha. (Si las rectas parecen paralelas, puede suponerse que lo son.)

6. Enum érense tres pares de rectas rintersecantes.

7. Enum érense tres rectas concurrentes.8. Enum érense todos los pares de rectas

paralelas.

9. D ibújense cuatro rectas concurrentes.

ACTIVIDADES

(Ejercicio 2)

(Ejercicios 6-8)

Los d iseños conoc idos com o h ilo ra m a s son c re a c io n e s in te resan tes e labo radas en su to ta lidad con lineas rec tas de h ilo o cuerda . Estos d iseños pueden s e r s im p le s o m uy com p licados.

Para te n e r una idea de cóm o se hacen los h ilo ra m a s , se tra za rá un ángu lo y se m arcará com o se m ues tra a con tinuac ión . Con un bo líg ra fo de pun ta fin a o un láp iz , se unen los puntos que tienen el m ism o núm ero.

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Page 27: Geometria - Clemens

1.2 R e lac iones en tre puntos, rec tas y p lanos 15

B.10. Es im portante observar que tres puntos pueden ser

colineaies aunque las rectas no estén marcadas.M enciónense grupos de tres puntos colineaies de la figura siguiente.

11. A unque no se haya dibujado, hay una recta que pasa por cada p ar de puntos. Cítense dos de estas rectas en la figura.

12. Enum érense tres rectas que serían paralelas a B ? si estuvieran dibujadas.

13. M enciónense tres rectas que serían paralelas a EF si estuvieran dibujadas.

14. Enum érense cuatro rectas que unan los puntos m arcados con letras y sean concurrentes en el centro de la figura.

15. Los puntos A, B, C y D de este cubo son coplanares. ¿Cuántos conjuntos de cuatro puntos coplanares hay en el cubo?

16. Con frecuencia se usan rectas p a ra describir (o representar) la realidad física; entre las rectas paralelas, las concurrentes y los puntos colineaies, ¿cuáles se em plearían para describir cada uno de los casos siguientes?a. In iciar un fuego con una lupa.b. L a luz procedente de una linterna.c. El uso de un telescopio de refracción.

(E jercicios10- 11)

A B

17. ¿Es posible d ibujar cuatro rectas que se intersequen en un punto? ¿Es posible d ibujar cuatro rectas que se intersequen en dos, tres, cuatro, cinco, seis o m ás puntos? H ágase un dibujo que ilustre cada caso.

SOLUCION DE PROBLEMAS¿C uán tas rec ta s pueden de te rm in ar s e is puntos, si hay una rec ta que p a sa por c ad a p ar d e puntos?

— m— «------- 9— •--------- ®— *se is puntos colineaies, una recta

E xperim én tese y co m p ru éb ese si s e is puntos pueden co lo ca rse de tal m an era que determ inen se is rec tas . C olóquense s e is puntos p a ra determ inar s ie te , ocho, nueve... ca to rce rec tas.

se is puntos, en tre los que no hay tres que sean colineaies; quince rectas

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16 D efin ic iones y cons trucc iones

1.3 Algunas figuras geométricas básicasY a q u e las rec tas, lo s p la n o s y lo s e sp ac io s se c o n s id e ra n conjuntos de puntos, re su lta ú til defin ir la s figu ras g eo m é trica s c o m o c o n ju n to s y p u n to s .U n a f ig u r a plana es u n a f ig u ra c o n to d o s los p u n to s en u n p la n o , p e ro n o to d o s en u n a rec ta . / a a U n a f ig u ra espacial n o tie n e to d o s su s p u n to sen u n so lo p la n o . TI . .. ,„ . r , , , . Un triangulo es una

R ev isem os p rim e ro a lg u n a s id eas b asicas figura plana, so b re co n ju n to s .

U n a c a ja es u n a figura espacial

Subconjunto. Si todo elemento de un prim er conjunto se encuentra tam bién en un segundo conjunto, el prim ero es un subconjunto del segundo.

Ejemplo

Unión. L a unión de dos o más conjuntos es un conjunto que contiene todos los elementos de estos conjuntos.

Ejemplo

Intersección. L a intersección de dos conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos com unes a am bos conjuntos.

Elemplo

L a re c ta A B es u n L a unión de las rec ta s ( ysubcon jun to del p la n o N . m co n tien e to d o s los

p u n to s de las d o s rectas.

A c o n tin u a c ió n se describ en a lg u n a s figu ras g eo m é trica s b ásicas con m o d e lo s , s ím b o lo s y defin iciones.

L a intersección d e las rec ta s l y m es el p u n to A.

B

segmento AB A y B so n los ex trem os. Se escribe: A B

A es el ex trem o .

Se escribe: À È

Definición 1.7

Un segmento, AB. es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B.

Definición 1.8

Un rayo, A B , es un subconjunto de una recta que contiene un punto A dado y todos los puntos que están en el mismo lado de A, com o B.

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Modelo físico, Descripción, Definiciónfigura símbolo

1.3 A lgunas fig u ra s ge o m é tricas bás icas 17

B es el vértice. B A y B C son los lados. E l in te r io r de L A B C es la in te rsecc ió n de lo s p u n to s del la d o A de S ? c o n los del la d o C de XÉ.

Definición 1.9

U n ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo.

A , B y C so n vértices. A B , B C y A C so n lados.

Se escribe: A A B C

Definición 1.10

U n triángulo es la unión de tres segmentos determ inados po r tres puntos no colineales.

A , B, C y D so n vértices. A B , B C , CD y A D so n lados.

Se escribe:

c u a d r ilá te ro A B C D

Definición 1.11

U n cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos determ inados po r cuatro puntos, entre los cuales no hay tres que sean colineales. Los segmentos se intersecan sólo en sus extremos.

L o s p u n to s A y B e s tá n en el c írcu lo . E l p u n to _ 0 es el c en tro del c írcu lo . A B es un diám etro del c írcu lo . O B es u n radio del c írcu lo .

Se dice: c írcu lo 0 Se escribe: O 0

Definición 1.12

U n círcrno es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto dado del plano.

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18 D efin ic iones y cons trucc iones

EJERCICIOS______________________________A.

Dibújese seis veces la recta que se m uestra abajo. En cada dibujo resáltese una de las siguientes figuras:

1. S C . 2. BD . 3. CA- 4. A D . 5. S<5. 6. DB.

A B C D (Ejercicios 1-6)

Dibújese y dése el nom bre de la figura apropiada en cada uno de los ejercicios 7 a 12.

7. ¿ A B C . 8. Z X Y Z . 9. A DBF. 10 . L A . 11. BA. 12. CD-

En los ejercicios 13 a 15, elíjanse dos sím bolos que se refieran al mismo ángulo.

13. L A B C , L C A B , L C B A .

14. L C A B , L B A C , L C B A .

15. L A C E , L C A B , L B C A .

16. A A B C y A B A C son dos nom bres para el triángulo que se m uestra a la derecha. A este mismo triángulo se le pueden d ar otros cuatro nombres,¿cuáles son?

17. Dibújese un círculo con un compás. M árquese su centro,un rad io y un diám etro. P o r último, escríbase el nom bredel círculo.

18. Elíjanse cuatro puntos, A, B, C y D, en el circulo y dibújese el cuadrilátero ABCD.

ACTIVIDADES"1 .......... ■

Para e la b o ra r este d iseño, d ib ú je se un c írcu lo .D espués, con el com pás a b ie rto a la long itud de l ra d io y co locado a in te rva lo s igua les a lo la rg o del c írcu lo , trácense los arcos.

C om plé tese un d iseño com o éste. Luego, e la b ó re n se y co lo ré e n se o tros d ise ñ os usando c írcu lo s y segm entos po r el p roced im ien to d e sc rito an tes. Pueden hace rse concu rsos de d ise ñ os con re g la y com pás.

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1.3 A lg u n a s fig u ra s g e o m é trica s bás icas 19

19. N óm brense con símbolos las cuatro rectas trazadas en esta figura. N óm brese una recta que no se haya trazado.

20. N óm brense ocho segmentos trazados. N óm brense ahora varios que no lo estén.

En los ejercicios 21 a 24, elíjanse los dos símbolos que hacenreferencia al mismo conjunto de la figura.

21. M A B , p . 22. A E ,A d ,q .

23. BC, CB, B D . 24. BC , BD , DB.

25. N óm brense seis ángulos distintos de la figura.

26. Trácense y recórtense dos triángulos com o A DEF. Coloqúense estos triángulos i untos para form ar tantos cuadriláteros com o sea posible.

27. ¿Es CD el mismo segmento que £>C? ¿Por qué?

28. ¿Es CD el m ismo rayo que DC ? ¿Por qué?

(Ejercicio 26)

A •

29. M árquense tres puntos como los que se m uestran a la derecha. C on ellos, trácense L B A C , L A B C y L A C B .¿Consiste la figura resultante en tres rectas o en tres segmentos? ¿Es un triángulo? ¿Por qué?

30. Cítense po r lo m enos ocho triángulos en esta figura.

31. Dibújese esta figura y trácese un segmento que añada exactam ente o tros tres triángulos.

32. Cítense por lo m enos ocho cuadriláteros en esta figura.

B

C

SOLUCION DE PROBLEM AS_____

¿Cóm o podrían un irse se is p a lil lo s de m anera que se fo rm en cua tro tr iángu los?

(S ugerenc ia : con independenc ia de l tam año de los p a lillo s , se n e ce s ita rá bastan te espacio .)

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20 D efin ic iones y cons trucc iones

1.a segmentos y ángulos; congruencia y medición

E l h o m b re q u e ap a rece en el d ib u jo c o r ta rá u n a ta b la p a ra q u e m id a 0.5 m de la rg o y ten g a u n b o rd e c o n á n g u lo de 45°. P rim e ro , tiene q u e m edir.

L o s de ta lle s so b re las p ro p ie d a d e s básicas de la m ed ic ió n d e á n g u lo s y seg m en to s se p re se n ta rá n e n la secc ión 2.8.

L a m edición de la longitud a s ig n a u n n ú m e ro re a l a c a d a segm en to .

A

L a long itud d e A B es 3.5 cm.

Se escribe: A B = 3.5.

----------B

h h cen tím etro s

>3 < 4 ^

H a y u n a m a n e ra especia l p a ra d e sc rib ir d o s seg m en to s de la m ism a lo n g itu d .

Se dice: A B es co n g ru e n te c o n CD.

Se escribe: A B = CD A lg u n as veces se m a rc a n los seg m en to s p a ra m o s tra r q u e son co ngruen tes.

L a m edición de ángulos a s ig n a a c a d a á n g u lo u n n ú m e ro rea l e n tre 0 y 180.

Definición 1.13D os segmentos son congruentes si tienen la m isma longitud.

L a m edida en grados de ¿ A B C es 40.

Se escribe: m L A B C = 40 A lg u n as veces se escribe q u e L A B C m id e 40°.

H ay u n a m a n e ra especial d e d e sc rib ir d o s án g u lo s d e la m ism a m ed id a .

Se dice: L A B C es c o n g ru e n te c o n L D E F .

Se escribe: ¿ A B C s ¿ D E F .

Definición 1.14D os ángulos son congruentessi tienen la m isma medida.

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Page 33: Geometria - Clemens

1.4 S egm entos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 21

L os d ise ñ a d o re s em p lean g ra n v a r ie d a d d e in s tru m e n to s y técn icas de d ib u jo p a r a e la b o ra r p la n o s ex ac to s de p ro y e c to s d e c o n s tru c c ió n . E n g eo m e tría , se d eb e c o n o c e r el u so d e d o s in s tru m e n to s — la reg la sin g ra d u a r y el co m p ás— p a ra h a c e r tip o s especia les de d ib u jo s lla m a d o s construcciones. L as d o s c o n s tru c c io n e s q u e se d e sc rib en a c o n tin u a c ió n u tiliz an el co n c e p to d e c o n g ru e n c ia d efin ido an tes.

Construcción 1 . constrúyase un segmento congruentecon un segmento dado. (Cópiese un segmento.)

1. Abrase el compás a la longitud del segmento dado.

2. Trácese un rayo que tenga mayor longitud que el segmento dado.

Segmento dado

Construcción 2. construyase un ángulo congruente con un ángulo dado. (Cópiese un ángulo.)

1. Trácese un arco que interseque ambos rayos del ángulo dado.

Abrase el compás a la medida de la abertura del ángulo dado.

2 . Trácese un rayo que sirva como un lado del ángulo copia.

Angulo dado

5. Con elcompás a esa misma abertura trácese un arco.

Angulo dado

3. Con el mismo compás, abierto como en el primer paso (1 ), trácese un arco que cruce el rayo.

S. Trácese el segundo lado paracompletar la copia del ángulo ciado.

L os tre s tip o s d e án g u lo s ex is ten tes se definen a c o n tin u a c ió n . E m p léese la co n s tru c c ió n 2 p a r a tra z a r t re s án g u lo s c o n g ru e n te s co n ca d a u n o d e los siguientes:

■ 90°

Definición 1.15U n ángulo agudo es unángulo que mide m enos de 90°

DDefinición 1.16U n ángulo recto es un ángulo que mide 90°.

K l

Definición 1.17Un ángulo obtuso es un ángulo que m ide más de 90°.

Con el mismocompás, cópiese un segmento sobre el rayo.

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22 D efin ic iones y construcc iones

EJERCICIOSA.

1. C on una regla g raduada en centím etros, encuéntrese la longitud de este segmento. A B = _L

2. Trácense segm entos de las longitudes siguientes:CD - 8 cm E F = 5.6 cm GH = 7.5 cmCon la regla sin g raduar y el com pás, construyanse tres segmentos congruentes con cada uno de los dibujados.

3. Escríbase una proposición con s o con £ («no es congruente con») para cada uno de los tres pares de segm entos siguientes.

/»— - 2 X1 M N

A • B

Trácense estos ángulos en un papel. Con un transportador,

lo T S r d e c a lT n g u t: “ “ Pr° ' ° ngarSe5. 6. 7.

m L I H J =m ¿ A B C = X m¿_ D E F = _L

8. Clasifiquense los ángulos de los ejercicios 4 a 7 en aeudos rectos y obtusos.

9. Con una regla sin g raduar y un com pás, construyanse ángulos congruentes con cada uno de los que aparecen en los ejercicios 4 a 7.

ACTIVIDADES!

Se neces ita una m a tr iz de puntos de 5 x 5. Dos puntos son ex trem os de un segm ento . Dos segm en tos con un ex trem o com ún d e te rm in an un ángu lo .

a. ¿Cuántas lo ng itudes d ife re n te s de segm entos pueden tra za rse en una m a tr iz de 5 x 5 ?

b. ¿Cuántas m ed idas d ife re n te s de ángu los pueden tra za rse en una m a triz de 5 x 5?

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1.4 S egm entos y ángu los ; co n g ru e n c ia y m ed ic ión 23

B.10. N óm brense cuatro ángulos rectos en esta figura.

11. N óm brense cuatro ángulos agudos. -

12. N óm brense cuatro ángulos obtusos.

Los segmentos con longitudes a y b se m uestran a continuación

4 13. Construyase un segmento con longitud 2a.

14. Construyase un segmento con longitud a + b.

15. Construyase un segmento con longitud b — a.

Se m uestran los ángulos con m edidas x e y.

16. Construyase un ángulo que m ida x + y.

17. Construyase un ángulo que m ida x - y.

18. Construyase un ángulo que m ida 3y.

19. U n avión vuela en dirección sureste. ¿C uántos grados gira al cam biar su curso hacia el sursuroeste?

c.20. Construyase A A B C con lado A B y

ángulos A y B.21. Síganse estas instrucciones p a ra dividir el segm ento AB

tres segmentos congruentes.a. Trácese un rayo a p artir del pun to A y m árquense

sobre él tres segmentos congruentes.

b. Trácese EB.c. Empléese la construcción 2 para copiar

L A E B en D y después en C.d. Los lados_de los ángulos copiados

dividen A B en tres segmentos congruentes.

en

l B A- ■B

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Un g ra n je ro q u ie re s e p a ra r es tas once ove jas cons truyendo once c o rra le s exactam ente con cua tro va lla s rectas.¿Cóm o puede hacerlo? W(Las va lla s se pueden cruzar.)

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24 D efin ic iones y construcc iones

1.5 Bisectrices del segmento y del ángulo

E n u n d ia m a n te d e bé isb o l, la seg u n d a base e s tá a la m ism a d is ta n c ia d e las d o s lineas de fo u l. H om e, la p r im e ra base , la seg u n d a b a se y la te rc e ra base, e s tá n en las e sq u in as de u n c u a d ra d o . ¿E s tá el m o n tíc u lo del la n z a d o r en el p u n to m ed io en tre:a. hom e y la s e g u n d a base?

b . la p r im e ra base y la te rcera?

c. n in g u n a de las an te rio res?

L a m a rc a c ió n de u n d ia m a n te de béisbo l in c luye los c o n c e p to s y los p ro c e d im ie n to s de c o n s tru c c ió n q u e se ex p lican a c o n tin u ac ió n .

El ra y o BD es la bisectriz de ¿LABC. T o d o s los p u n to s d e B Ú e s tá n a la m ism a d is ta n c ia d e los la d o s d e L A B C .

El p u n to C_es el punto m edio d e A B .

R S , M T , la re c ta i y el_ p la n o N in te rsecan a PQ en el p u n to m ed io M , y so n b isec trices de PQ.

Definición 1.18

La bisectriz de un ángulo A B C es un rayo BD en el interior de L ABC, de m anera que L A B D « L DBC.

Definición 1.19

El punto medio de un segmento es un punto C entre A_y B, de m anera que A C = CB.

Definición 1.20

L a bisectriz de un segmento es cualquier punto, segmento, rayo, recta o plano que contenga al punto medio del segmento.

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1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 25

A c o n tin u a c ió n se d esc rib en lo s m é to d o s p a ra b iseca r u n á n g u lo y un segm en to .

Construcción 3. Bisecar un ángulo.

1. Dado el ángulo 2. Con S comoABC , centro,

trácese unarco que

A ¿p. intersequeambos ladosael ángulo

Cen F y G.

4. Con G como 5. Unanse B ycentro y la misma el punto deabertura de compás \p intersecciónque en el « • « ' y ' J de los arcostercer paso, - — I A para marcartrácese un la bisectrizarco que cruce \ \ M del ángulo.al primero.

Construcción 4. Bisecar un segmento.

1. Dado el 2. Con A comosegmento centro y elde recta AB, compás con

una aberturamayor que lamitad de AB,trácese un arcosemicircular.

3. Con F como centro, trácese un arco en el interior del ángulo.

3. Con S como centro y el compás con la misma abertura que en 2, trácese un arco semicircular que interseque al prim er arco.

4. Unanse los dos puntos de intersección paracompletar la construcción de labisectriz de AB.

E s te d ia g ra m a m u e s tra có m o la b isección de u n á n g u lo re su lta ú til en la m a rc a c ió n d e u n d ia m a n te d e béisbol. O b sérv ese q u e el m o n tíc u lo del la n z a d o r e s tá so b re la b isec triz d e l án g u lo , a 60 p ies y 6 p u lg a d a s d e hom e. N o e s tá so b re u n a re c ta q u e v a y a d e la p r im e ra b a se a la te rce ra , n i e s tá en el p u n to m ed io d e la re c ta q u e v a d e hom e a la seg u n d a base.

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26 D e fin ic iones y construcc iones

EJERCICIOS_________

P ara constru ir e s to s d iseñ o s e s n ecesa rio b iseca r ángulos.

1. C onstru y ase y co lo rée se uno de e s to s d iseños.

1. Trácese un segmento AB. Biséquese AB.2. Trácese un segmento AB. Construyase un pun to N de tal

m anera que A N = {AB.3. ¿Qué o tras fracciones de A B se pueden construir?4. Trácense ángulos cuya m edida se aproxim e a la de los ángulos

A, B y C. Construyanse las bisectrices de estos ángulos.

6. La bisectriz de L X Y Z es Y T . Escribanse los nom bres de los ángulos congruentes que se forman.

ACTIVIDADES

2. Con un co m p ás y una reg la , co n s tru y ase un d iseño original que req u ie ra la b isección de ángulos.

5. Trácese este triángulo. Biséquese ángulo. ¿Son concurrentes las bisectrices de los ángulos?

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1.5 B ise c trice s de l segm en to y de l ángu lo 27

B.Para realizar los ejercicios 7 a 10, deben usarse las construcciones. Si se desea, puede copiarse el ángulo recto ABC. N o debe utilizarse el transportador.

7. Construyase un ángulo de 45°. 8. Construyase un ángulo de 22^°.

9. Construyase un ángulo de 135°. 10. C onstruyase un ángulo de 67^°.

11. Trácense dos ángulos agudos; llámense L J y L K.Construyase un tercer ángulo que m ida j ( m / - J + m ¿ K).N o debe utilizarse el transportador

12. Dibújense las cuatro direcciones señaladas en una brújula. C on una regla y un com pás, trácese una recta que apunte hacia el nornoreste.

(E jercicios 7-10)

c.13. Constrúyase un ángulo de 112^°. 14. Construyase un ángulo de 82

15. Constrúyase un ángulo de 157-j0. 16. Constrúyase un ángulo de 97^°.

17. En este diagram a, BF biseca a L EBG, m L A B C = 90, m L A B E = 20, m L G B C = 24. ¿Qué es m L A B F = ?

18. Constrúyase un segmento de longitud4CD - \A B . A ----------------------------

O •D

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Un com pás oxidado p ie rde su m o v im ie n to y s ie m p re tiene la m ism a aue ríu ra .

Un co m p á s p legable , en cam b io , vue lve a ce rra rse en cuan to se se p a ra de l papel.

1. B iséquese AB con:

a. un com pás p legab leb. un com pás o x idado con

abe rtu ra de C a D.

A • B

C D

2. B iséquese un á n g u lo con:a. un com pás p legab le . b. un com pás oxidado.

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28 D efin ic iones y construcc iones

1.6 Rectas y planos perpendiculares

E n n u e s tra v id a c o tid ia n a h a y m u c h o s e jem p lo s de rec ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s . A lg u n o s d e esto s e jem p lo s se em p lean e n las defin iciones sigu ien tes.

Modelo físico Figura, descripción

------------ J L —— -------- ? — —

90°^ _j90°

90° 90°

t es p e rp e n d ic u la r a m.Se escribe: l _L m.

A p a r t i r de p ro p o s ic io n e s sim ples q u e p u ed en d e m o stra rse , se in te rp re ta rá e s ta d e fin ic ión de perpendicular in c lu y en d o los sig u ien tes co n cep to s:

1. C uando dos rectas son perpendiculares, todos los ángulos que se form an miden 90c (ángulos rectos) y son congruentes.

2. C uando dos rectas se intersecan para form ar uno, dos o tres ángulos de 90° (ángulos rectos), form an cuatro ángulos rectos y son perpendiculares.

3. C uando dos rectas se intersecan p a ra form ar un p ar de ángulos congruentes con un lado com ún, las rectas son perpendiculares.

Definición

Definición 1.21D os rectas son perpendiculares si alintersecarse form an ángulos rectos congruentes.

Definición 1.22U na recta es perpendicular a un plano si es perpendicular cada una de las rectas del plano que intersecan a la recta.

L a re c ta ( es p e rp e n d ic u la r a las rec ta s m, n, p, etc.; p o r ta n to , la re c ta l es p e rp e n d ic u la r a l p lan o .

L a re c ta m del p la n o B es p e rp e n d ic u la r a l p la n o A; p o r ta n to , el p la n o B es p e rp e n d ic u la r a l p la n o A .

Definición 1.23D os planos son perpendiculares si en uno deellos hay una recta que es perpendicular al otro.

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1.6 R ectas y p lanos p e rp e n d icu la re s 29

l

I MD

t es la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e CD.

Definición 1.24

L a bisectriz perpendicular de un segmento es una recta perpendicular al segmento y contiene su punto medio.

r

A

A B es la d is ta n c ia del p u n to A a la re c ta ( .

Definición 1.25

La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmento trazado desde el pun to perpendicular a la recta.

E n la c o n s tru c c ió n 4 se tra z ó la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e u n seg m en to . L as sig u ien tes so n o tra s d o s c o n s tru c c io n e s im p o r ta n te s q u e in c lu y en rec tas p e rp en d icu la re s .

Construcción 5. constrúyase una perpendicular a una recta que pase por un punto dado de la recta.

1. Dados una 2. Trácese un arco 3 . Trácense dos arcos 4. Trácese larecta t y un a cada lado de P. que se crucen arriba perpendicularpunto P d e t , a la recta t

por P.

P

Construcción 6. constrúyase una perpendicular a una recta que pase por un punto dado fuera de la recta.

1. Dados una recta í y un punto P fuera de la recta t ,

2. Trácense dos arcos que corten la

3. Trácense dos arcos que se crucen por

4. Trácese la perpendicular a la recta t , por P.

P

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30 D e fin ic io n e s y cons trucc iones

EJERCICIOS_________A.

B.

1- / / = Z 2. ¿Qué puede concluirse sobre las rectas j y /c? j

2. m L 3 es 90. ¿Qué puede decirse sobre las rectas m y n y los ángulos 1, 2 y 4?

3. Trácese un segm ento PQ. Construyase la bisectriz perpendicular de PQ.

4. Trácese una recta l . Constrúyase una recta perpendicular a t que contenga al pun to A de L

Trácese una recta m y un punto P que no esté en m.Constrúyase una recta perpendicular a m que pase po r P.Cítense cuatro rectas que sean perpendiculares al plano ABCD.

Cítense cuatro pares de planos perpendiculares. ^

n

m 1 24 J j

90“

8. La recta r es perpend icu la r a l p lano Z . ¿Qué puede decirse sobre las rectas r , m y n i

9. Constrúyase un rectángulo con lados congruentes con AB y CD.

A - > B

C

á

(Ejercicios 6, 7)

r

n y /

Z

---------------- - D

ACTIVIDADES!

Estas in s tru cc io n e s m uestran cóm o usa r una ho ja de p lá s tico de c o lo r pa ra c o n s tru ir una p e rp e n d icu la r a una rec ta que pase po r un pun to que no está en la rec ta (C onstrucc ión 6). E xp liqúese cóm o re a liz a r las cons trucc iones 3, 4 y 5 de este ca p ítu lo usando la ho ja de p lástico .

C o lóquese la ho ja de p lá s tico p e rp e n d icu la r al p lano sob re e l que se tra b a ja rá (m esa, pape l, etc.), con un bo rde p ró x im o a l pun to P, de ta l m anera que la im agen v isu a l de la m itad de la rec ta (, fren te a la ho ja de p lás tico , es té exactam en te a la m itad de la rec ta l que está de trás de d ich a ho ja ..H ágase el d ib u jo ju n to a l bo rde p a ra p ro d u c ir la p e rp e n d icu la r a la recta l p o r el punto P.

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1.6 R ectas y p lanos p e rp e n d icu la re s 31

j \ 10. Construyase un triángulo con un ángulo_de 45_ y lados congruentes con los segm entos PQ y RS. (No se debe utilizar el transportador.)

Q

- S

11. Apliqúese la construcción 5 para hacer un cuadrado con lados A B

12. Trácese un triángulo_/l BC. Apliqúese la_construcción 6 para trazar un punto D sobre BC de m anera que AD sea perpendicular a BC.

13. ¿Es el plano X perpendicular al plano Y? D e acuerdo con la definición de los planos perpendiculares, ¿qué inform ación se requiere p a ra asegurarse de que los planos son perpendiculares?

A B

14. D os ciudades necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir una plan ta purificadora de agua ju n to a un rio cercano y canalizar el agua desde la p lan ta hasta cada ciudad. Cada ciudad pagará la instalación de las tuberías que irán de la planta a ella. L a p lan ta debe ubicarse a la misma distancia de las dos ciudades.

15. O tro objetivo a cum plir al determ inar el punto en que debe ubicarse la planta purificadora de agua del ejercicio 14 es que las ciudades com partan de forma equitativa todos los gastos. Este plan implica que la longitud total de la tuberia debe ser la mínima necesaria. ¿D ónde debe colocarse la planta purificadora?Trácese el m apa y búsquese la ubicación idónea de la planta.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Trácese el m apa que se m uestra a continuación y determínese m ediante una construcción el pun to en que debe colocarse la p lan ta para satisfacer estos objetivos.

(E jercicios 14, 15)

Los s ig u ien tes so n cuatro cu b o s idénticos de los q u e s e han ex traído unao m ás p o rc iones cú b icas tam bién de idéntico tam año.

C o m p árese c a d a p ar d e figuras: A y 6 , A y C, A y D, B y C, 6 y D y C y D. ¿Cuál de e s to s p a re s podría s e r el m ism o (depend iendo de la esq u in a poste rio r q u e no e s tá a la vista)?

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32 D efin ic iones y cons trucc iones

1.7 polígonos

L as fig u ras g eo m é trica s fo rm a d a s p o r lín eas rec tas so n m u y co m u n es en n u e s tro m u n d o . T a les figuras rec iben el n o m b re de polígonos.

E ste p o líg o n o tie n e ocho lad o s . L o s p u n to s A , B , C,D, E , F , G y H so n sus vértices. A c a d a seg m en to de u n p o líg o n o se le lla m a lado.

Se escribe:p o líg o n o A B C D E F G H .

Definición 1.26Un polígono es la unión de segmentos que se ju n tan sólo en sus extremos, de tal m anera que: (1) com o m áxim o, dos segmentos se encuentran en un punto , y (2) cada segmento toca exactam ente a o tros dos.

L o s p o lig o n o s rec iben u n n o m b re p a r t ic u la r de a cu e rd o co n el n ú m e ro d e la d o s q u e ten g an . P o r e jem plo : tr iá n g u lo , 3 lados; c u a d rilá te ro , 4 lad o s; p e n tá g o n o , 5 lados; h e x á g o n o , 6 lados; h e p tá g o n o ,7 lad o s; o c tá g o n o , 8 lad o s . U n p o líg o n o c o n n la d o s p o d r ía lla m a rse n-gono.

L a s d efin ic iones sig u ien tes p ro p o rc io n a n m á s in fo rm ac ió n so b re los p o lígonos.

C

D

L os e x trem o s d e A C so n vértices n o co n secu tiv o s d e l p o líg o n o A B C D E . A C es u n a d e las diagonales d e l p o lígono .

Definición 1.27

U na diagonal de un polígonoes un segmento que toca dos vértices no consecutivos cualesquiera del polígono.

C a d a d ia g o n a l de_este p o líg o n o , c o m o P R , e s tá en el in te r io r del p o líg o n o . P Q R S T es u n p o líg o n o convexo.

J

P o r lo m e n o s u n a d e las d ia g o n a le s d e este p o líg o n o n o e s tá e n su in te rio r. G H I J K n o es u n p o líg o n o convexo .

Definición 1.28

U n polígono es convexo sitodas sus diagonales están en el in terior del polígono.

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L os tr iá n g u lo s c o n la d o s c o n g ru e n te s tie n e n n o m b re s especiales.

1.7 P o lígonos 33

A B ^ B C ^ A C

Definición 1.29

U n triángulo equilátero esaquel cuyos lados son todos congruentes entre sí.

A B ^ A C

L A es e l ángulo del vértice. L B y L C so n los ángulos de la base.

Definición 1.30

U n triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados congruentes entre sí.

A lg u n o s p o líg o n o s tien en c a ra c te rís tic a s q u e los c o n v ie rte n en polígonos regulares.

T o d o s lo s la d o s so n de ig u a l lo n g itu d . T o d o s los á n g u lo s m id en lo m ism o.

Definición 1.31

U n polígono regular es aquel cuyos lados son congruentes entre sí, y todos sus ángulos tam bién son congruentes entre sí.

A B C D E F G es un p o líg o n o regular.

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34 D efin ic iones y cons trucc iones

EJERCICIOS_________________ _ _A.

En los ejercicios 1 a 4, selecciónese la figura que no es un polígono regular. Expliqúese por qué no lo es.

1.

3.

c.

5. ¿Cuáles de las figuras anteriores son polígonos convexos? P o r ejemplo, la figura le es un polígono convexo.

6. Trácese un octágono convexo. Trácese una de sus diagonales.

7. Trácese un octágono no convexo.

8. Identifiqúese cada triángulo como equilátero, isósceles o ninguno de ellos. Empléese una regla.

9. ¿Cuáles de los siguientes son polígonos regulares?

a.

a. D d. (Ejercicios 9, 10)

10. Trácense tantas diagonales como sea posible para cada uno de los polígonos anteriores

ACTIVIDADESPara co n s tru ir un hexágono re g u la r puede usarse el m étodo de construcc ión con re g la y com pás d e scrito en las ac tiv idades de la sección 1.3.

Com bínese este m étodo con la b isecc ión de ángu los y la construcc ión de b isec trices pe rpe n d icu la re s p a ra constru ir:

a . un dodecágono regu la rb. un octágono regu la rc. un po lígono re g u la r de 16 lados.

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B1.7 P o lígonos 35

un polígono

12.

13.

14.

11. ABCD E es un pentágono regular. N óm brense tantos triángulos isósceles com o sea posible. (Si un triángulo parece isósceles, puede suponerse que lo es.)Algunas letras del alfabeto pueden dibujarse con la forma de un polígono, pero otras no. se neces| Dibújense con forma de polígonos tantas dos polígonosletras como sea posible.U na llave de tuercas fija tiene lados paralelos. ¿Qué puede suponerse acerca del núm ero de caras de la tuerca a la que corresponde esta llave?El vástago de la válvula de una tom a de agua para incendios suele tener forma de pentágono regular, en lugar de la form a usual de hexágono regular. ¿A qué puede ser debido?

15. La figura que aparece a la derecha contiene ejemplos de diferentes polígonos: desde triángulos hasta decágonos. Encuéntrese y cítese cada uno.

16. Con un transpo rtado r y una regla, trácese un octágono cuyos lados tengan cinco longitudes diferentes y los ángulos de los vértices m idan 135°.

SOLUCION DE PROBLEMAS _

E ra tóstenes (275 a. de C.) ca lcu ló la c ircu n fe re n c ia de la T ie rra con un m étodo ingen ioso . S upuso que los rayos de l Sol eran p a ra le lo s , y de scu b rió que cuando el Sol se encon traba exactam ente sob re A le ja n d ría , sus ra yo s fo rm aban un á n g u lo de 7 i° con un poste ve rtica l s ituado a 500 m illa s , en S iena (Asuán). A dem ás, supuso que el ángu lo cen tra l a tam b ién m ed ía 7¡°. D edujo que la re lac ión del ángu lo ce n tra l a a 500 m illa s se ría igua l a la re la c ió n de l to ta l de g rados de un c irc u lo p a ra c o m p le ta r la long itud de la c ircu n fe re n c ia de la T ie rra . D efínase la p ro p o rc ió n y h á llese la d is tanc ia .

T ie rra

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36 D e fin ic io n e s y cons trucc iones

Capítulo 1 Conceptos importantesTérminos

P u n to (pág. 10)Recta (pág. 10)P lano (pág. 11)Espacio (pág. 11)P un tos colineales (pág. 13) Puntos coplanares (pág. 13) Rectas intersecantes (pág. 13) Rectas paralelas (pág. 13)Rectas concurrentes (pág. 13) Segm ento (pág. 16)Rayo (pág. 16)Angulo (pág. 17)T riángulo (pág. 17)C uadrilátero (pág. 17)Círculo (pág. 17)Segmentos congruentes (pág. 20) Angulos congruentes (pág. 20)

Angulo agudo (pág. 21)Angulo recto (pág. 21)Angulo ob tuso (pág. 21)Bisectriz de un ángulo (pág. 24)P un to m edio de un segmento (pág. 24) Bisectriz de un segm ento (pág. 24)Rectas perpendiculares (pág. 28)Recta perpendicular a un plano (pág. 28) Planos perpendiculares (pág. 28)Bisectriz perpendicular (pág. 29)D istancia de un punto a una recta (pág. 29) Polígono (pág. 32)D iagonal de un polígono (pág. 32)Polígono convexo (pág. 32)Triángulo equilátero (pág. 33)Triángulo isósceles (pág. 33)Polígono regular (pág. 33)

Construcciones

Cópiese un segmento (pág. 21) Cópiese un ángulo (pág. 21) Biséquese un ángulo (pág. 25) Biséquese un segmento (pág. 25)

C onstrúyase una perpendicular a una recta que pase p o r un punto dado sobre la recta (pág. 29)

Constrúyase una perpendicular a una recta que pase p o r un punto dado fuera de la recta (pág. 29)

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Capítulo 1 Resumen1. Cítense objetos que ilustren lo siguiente:

a. Punto . b. P lano. c. Rectas paralelas,d. Rectas intersecantes. e. Polígono.

2. Indíquese si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas.a. U n rayo láser es un ejemplo m ejor de recta que un

rayo .b. M N no es perpendicular a XY, porque sólo se forman

dos ángulos rectos.c. El punto C está en AB. £ d. El pun to C está en AB.e. U n rad io es un rayo.f. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma

longitud.

3. ¿C uántos extrem os tienen una recta, un rayo y un segmento?

4. ¿Es lo mismo AB que BA1 ¿Por qué?

5. Construyase un ángulo de 135°.

6. Dibújese un ángulo ob tuso y trácese su bisectriz. ¿Son los ángulos resultantes agudos, rectos u obtusos?

7. Trácese un triángulo A B C (bastante grande). M árquese el punto m edio de cada uno de los lados.

8. Trácese un segmento que sea congruente con AB.

9. Trácese un segmento de longitud {AB.

10. Copíense CD y P cn un papel y trácese una recta perpendicular a CD que pase po r P.

• - —C

En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo para identificar lo siguiente:

11. D os planos paralelos.

12. U na recta perpendicular al plano EFHG.

13. U na recta paralela al plano CDEF pero que no sea perpendicular al plano ABC-D.

14. L a intersección de los planos BCEG y BCFH.

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38 D efin ic iones y construcc iones

capítulo 1 Examen1 Cítense objetos que ilustren lo siguiente:

a. Recta. b. Rectas concurrentes. c. Rectas perpendiculares.

d. Polígono regular. e. Espacio,

2. Indíquese si las afirmaciones siguientes son Talsas o verdaderas.a. D os puntos siempre son colinealcs.b. Si dos ángulos son congruentes, entonces am bos son

rectos. , ------- . -----------c. El punto D está en AB. C A D B

d. El punto D está en AC.e. U n diám etro de un círculo es una recta.f. U n triángulo isósceles debe tener tres lados congruentes.

3. ¿Es lo mismo AB que BA1 ¿Por qué?

4. Si dos rectas son paralelas, ¿cuántos puntos tienen encomún?

5. D ibújese un cuadrilátero no convexo.

6. Dibújese un triángulo ABC. Trácese la bisectriz de cadaángulo.

7. Trácese un ángulo que sea congruente con ¿ A B C .

8. Sin usar el transpo rtado r, trácense cua tro ángulos rectos

con un vértice com ún. __ (Ejercicios 9, 10)

9. Trácese un segmento congruente con AB.

10. M arqúese el punto medio de AB. aEn los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo e identifiqúese lo siguiente:

11. U na recta paralela al plano ABUG.

12. U n plano perpendicular a É&.13. U na recta que no sea paralela ni perpendicular a ninguna

cara del cubo.14. La in tersección de los p lanos AD FH y CD E t.

A

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Técnicas para la solución de problemas

Dibujo de un diagramaPuede resultar agradable resolver problem as si se conocen diversas m aneras de abordarlos. H ay varias técnicas para resolver problem as de m atem áticas; una de ellas es d ibujar un diagrama.

Ejemplo

En el rayo AB, A C = 5 y A B = 2. Encuéntrese BC. Como ayuda para resolver este problem a, se d ibujará un diagram a.

— |----------------------------------------------1---- 1----------- 1-----------1----------*

A B C

En el diagram a se observa que BC = 3.

PROBLEMAS________________________________

Dibújense diagram as y resuélvanse los siguientes problemas.

1. En el rayo Ñ P , N P = 4 y P M = 6. Encuéntrese N M .

2. En el rayo x \ , A Y = 15 e Y Z = 6. Encuéntrese Z X .

3. ¿C uántos postes se necesitan para cercar un terreno rectangular si entre los postes debe haber 5 pies de distancia y el terreno mide 20 pies por 30 pies?

4. Supóngase que un insecto cam ina sobre un palo vertical y sube dos pulgadas en dos m inutos; después, baja una pulgada en un m inuto; de nuevo sube dos pulgadas en dos m inutos, y a,sí sucesivamente. Si sigue así, ¿cuánto íiempo ta rdará en alcanzar un?, a ltu ra de 10 pulgadas?

5. U n a escalc:„ tiene diez escalones, cada uno mide un pie de ancho y un pie de altura. U na horm iga em pieza desde abajo del prim er escalón y sube la escalera en línea recta. ¿Qué distancia hab rá recorrido la horm iga al llegar a la parte m ás alta del último escalón?

6. En una escuela se trazó un circuito para una carrera de fondo en las calles de una ciudad. Desde el pun to de salida, los corredores avanzaron 4 calles al este, 6 al norte,2 al oeste, dos al sur, 5 al oeste, 3 al norte, 2 al oeste, 8 al sur y 5 más hacia el este h asta la m eta. Establézcase la dirección y el núm ero de calles que se recorrieron desde la salida hasta la meta.

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Diseño interior: TeseladosU n diseñador de interiores encuentra ejemplos de geometría al seleccionar diseños de telas, suelos y papel para paredes. C on frecuencia, en diseño se em plea un concepto geométrico llam ado teselado. U n teselado es un conjunto de polígonos dispuestos de form a que no se sobreponen unos a o tros ni quedan separaciones entre ellos.

L a cocina que aparece en la fotografía tiene un suelo y un recubrim iento de azulejos que son ejemplos de teselados.

¿Con que polígonos es posible hacer unteselado sobre una superficie plana?

Al colocar un papel sobre un cuadrado y m arcarlo varias veces, puede elaborarse un teselado de cuadros. En la fotografía se m uestran o tros teselados. Trácese en un papel una porción de teselado usando aquellas figuras de las que se m uestran a continuación que lo perm itan. Entre estas figuras hay dos que no pueden usarse en un teselado, ¿cuáles son?

U n cuadrilátero cualquiera

H eptágono

T riángulo T riánguloequilátero isósceles

Pentágono H exágono

ATrapecio Com eta

T riángulo escaleno

C uadrilátero no convexo

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H exágono T riángulo

D odecágono C uadrado

Trácense las figuras siguientes para m ostrar una parte de cada uno de los teselados que se sugieren a continuación. Coloréense de m anera que resulten diseños interesantes.

(4, 8, 8) (3, 4, 6 ,4) (3, 6, 3, 6) (3, 3, 3, 4 ,4 ) (3, 12,12)

O ctágono

¿Con qué com binaciones de polígonos regulares es posible hacer un teselado sobre una superficie plana?

Pueden crearse diseños interesantes para pisos form ando teselados que com binen algunos de los polígonos regulares que se m uestran a continuación. El m odelo que aqui se m uestra tiene un cuadrado, un hexágono y un dodecágono rodeando cada punto; se le denom ina con los núm eros (4, 6, 12), que señalan el núm ero de lados de cada figura em pleada y el orden exacto en que se dispusieron alrededor del punto.

(4,6,12)

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C A P I T U L O 22.1 E l p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c t iv o 44

2 .2 G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s 48

2.3 D e s a r ro l lo d e la g e o m e tr ía p o r m e d io

d e l ra z o n a m ie n to d e d u c t iv o 52

2 .4 T ip o s d e p ro p o s ic io n e s S i - E n to n c e s 56

2.5 R e c íp ro c a , in v e rs a y c o n tra r re c íp ro c a 60

2.6 E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to 64

2 .7 P o s tu la d o s d e g e o m e tr ía 68

2.8 A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n 72

C o n c e p to s im p o r ta n te s 76 R e s u m e n 77 E x a m e n 78

Repaso de á lgebra 79

La geom etría en nuestro mundoF o to g ra fía : le n te s 80

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Razonamiento en geometría

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Page 56: Geometria - Clemens

2.1 El proceso del razonamientoinductivo

44 R azonam ien to en geom etría

B.C. by perm ission o f Johnny H a rt and F ie ld E n terp rises, Inc.

El ra z o n a m ie n to es el p ro c e so m e d ia n te el cua l se sa c a n co n c lu sio n es a p a r t i r d e la in fo rm ac ió n . E n o casiones, la g en te s a c a c o n c lu s io n es b a sa d a s e n su s p ro p ia s o b se rv ac io n es. A l o b se rv a r v a r ia s veces q u e u n a acc ió n p ro d u c e el m ism o re su lta d o , se concluye , en g en era l, q u e esa acc ió n te n d rá s iem p re el m ism o re su lta d o . A e s ta c lase d e ra z o n a m ie n to se le llam a razonam ien to inductivo . Y a la c o n c lu s ió n q u e se sa c a del ra z o n a m ie n to in d u c tiv o se le lla m a generalización.

L os tre s e jem p lo s sig u ien tes m u e s tra n có m o p u ed e ap lica rse el ra z o n a m ie n to in d u c tiv o en g eo m etría .

Ejemplo 1 S u p ó n g ase q u e a lg u ien c o r tó , d e u n a h o ja de p ap e l, tre s tr iá n g u lo s d iferen tes.

L as e sq u in a s d e c a d a tr iá n g u lo se c o r ta ro n y c o lo c a ro n ju n ta s ta l co m o se m u e s tra a c o n tin u a c ió n .

¿Q u é se o b se rv a ace rca de la su m a de las m e d id a s de lo s án g u lo s? ¿Es eso c ie rto p a r a io d o s los tr ián g u lo s?

C o m p lé te se e s ta g en era lizac ión :L a su m a d e las m e d id a s d e los á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es J L

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2.1 El p roceso de l razonam ien to induc tivo 45

Ejemplo 2 S u p ó n g a se q u e a lg u ien m id ió to d o s los lad o s de tre s tr iá n g u lo s d iferen tes.

E n e s to s tr iá n g u lo s , la s u m a de la s lo n g itu d es d e d o s la d o s la lo n g itu d d e l te rc e r la d o . ¿E s ta l a firm ac ió n v e rd a d e ra p a ra trián g u lo s?

C o m p lé tese e s ta g en era lizac ión :L a su m a de las lo n g itu d e s d e d o s la d o s de u n tr iá n g u lo es

la lo n g itu d del te rc e r lado .

Ejemplo 3 S u p ó n g a se q u e a lg u ien t r a z a las b isec trices d e c ad a á n g u lo de tres tr iá n g u lo s d iferen tes.

¿Se e n c o n tra rá n to d a s las b isec trices de c a d a tr iá n g u lo en el p u n to P? ¿E s esa a firm ac ió n v e rd a d e ra p a ra to d o s lo s trián g u lo s?

C o m p lé tese e s ta gen era lizac ió n :L a s b isec trices d e los án g u lo s d e u n tr iá n g u lo j L en u n p u n to JL

(que e s tá fuera , so b re o d e n tro ) d e l tr ián g u lo .

E l p ro c e so del ra z o n a m ie n toin d u c tiv o p u e d e d escrib irse c o m o se m u e s tra aquí.

R azo n am ien to inductivo

Paso 1 Se observa que una propiedad es verdadera para cada caso que se verifica.

Paso 2 D ado que la propiedad es verdadera en todos los casos verificados, se concluye que es verdadera para todos los demás casos y se establece una generalización.

es m a y o r q u e to d o s los

-L q u e

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46 R azonam ien to en geom etría

EJERCICIOS________A.

Com plétese la generalización de los ejercicios 1 y 2.

L Caso 1 Caso 2

E.C

AG

F

2.

L A es un ángulo recto ¿ £ es un ángulo recto

En cada caso, ¿cuál de los tres lados del triángulo es el m ás largo?

Generalización: En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es el lado JL.

Caso 1

C

D

A

Caso 3

Q

Y -X

D y E son puntos medios. ¿Qué relación hay entre DE y 0 8 ?

Q y R son puntos medios. ¿Qué relación hay entre QR e YZ1

P y Q son puntos medios. ¿Qué relación hay entre PQ e YZ1

Generalización: La m edida de un segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es JL el tercer lado.

ACTIVIDADES!

Todas las cue rdas d e te rm in ad a s po r un con jun to de puntos en un c írcu lo d iv iden e l in te r io r de l c írcu lo en reg iones.

--------------- -------------- ---- j C l I I U I I I C I Ü

de re g iones pa ra 5, 6 y 7 puntos.

2. V e rifiq ú e se la p re d icc ió n d ib u ja n d o fig u ra s g randes (c írcu los de 20 cm de d iám etro , po r lo m enos) que m uestren la can tidad m áx im a de re g iones para 5, 6 y 7 puntos.

Puntos

C antidad m áx im a de reg iones

1 02 23 44 85 -6 -7 _

Caso 3

L y e s un ángulo recto

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2.1 El p roceso de l razonam ien to induc tivo 47

3.

Generalización: Si un triángulo es equilátero, entonces tiene ángulos J-.

4. C ada uno de los triángulos siguientes tiene dos lados congruentes. Trácense los triángulos isósceles y biséquense los ángulos form ados po r los lados congruentes. Obsérvese la relación que existe entre la bisectriz y el lado opuesto.

Generalización: En un triángulo con dos lados congruentes, la bisectriz del ángulo form ado por éstos es _! altercer lado. JL

5. Trácese A A B C con A B = B C = AC. Elíjase un punto P en el interior del triángulo y trácense las perpendiculares de P a los lados del triángulo. M ídanse h, a, b y c al m m más cercano. H ágase lo mismo, con puntos P diferentes, tan tas veces como sea necesario para form ular una generalización.

SOLUCION DE PROBLEMAS.Este d iseño de cua tro p a lillo s re p re se n ta un espe jo con una m oneda en é l.

M uévanse só lo dos p a lillo s pa ra fo rm a r un espe jo del m ism o tam año que éste , pe ro de jando la m oneda (que no debe m overse) fu e ra de l espe jo .

Cada uno de los triángulos siguientes es un triángulo equilátero. M ídanse los ángulos. (Si es necesario, prolongúense los lados.) Cópiese y complétese la generalización.

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2.2 Generalizaciones falsas y contraejemplos

E sta c a r ic a tu ra i lu s tra u n a s itu a c ió n en la q u e u n a g en era lizac ió n , q u e se c o n s id e ra b a v e rd ad e ra , re su ltó se r d o lo ro sa m e n te falsa.

48 R azonam ien to en geom etría

P a r a d e m o s tra r q u e u n a g e n e ra lizac ió n es fa lsa , suele c ita rse un contraejem plo.

L a s s itu a c io n e s q u e se p re se n ta n a c o n tin u a c ió n m u e s tra n có m o u n c o n tra e je m p lo p o n e a l d e sc u b ie rto la fa lsedad de u n a g enera lizac ión .

Ejemplo 1

G en era lizac ió n fa lsa : Si u n c u a d r ilá te ro tien e c u a tro lad o s c o n g ru en te s , tien e c u a tro á n g u lo s co n g ru en tes .

C om entario: P a r a d e m o s tra r q u e e s ta g en e ra lizac ió n es falsa, d eb e p re se n ta rse u n c u a d rilá te ro c o n c u a tro la d o s c o n g ru en te s q u e no ten g a c u a tro án g u lo s co n g ru en tes .

C on trae jem p lo : L a fig u ra E F G H tien e to d o s su s la d o s c o n g ru en te s , p e ro L E n o es co n g ru e n te c o n L F.

G

C opyrigh t, 1980, U niversal Press Syndicate. A ll rig h ts reserved.

¿LSUIEN ME Oí jo que si Ponía UNA MONEDA EN MI ZAPATO; ME TRAERÍA SüfcNA SUEKTE......

A síLO ! IN T E N T É ......

i j . . . TENGO UAM POU-A

MAS,GR&Npe. G>ue T a m p s s e h a : ja v i s t o \\

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2.2 G ene ra lizac iones fa lsa s y co n tra e je m p lo s 49

Ejemplo 2

G en era lizac ió n fa lsa: Si u n c u a d r ilá te ro tie n e u n p a r d e lad o s p a ra le lo s , tien e u n p a r d e lad o s co n g ru en tes .

C om entario: P a r a d e m o s tra r q u e la g en era lizac ió n es falsa, debe p re se n ta rse u n c u a d r ilá te ro c o n u n p a r d e la d o s p a ra le lo s q u e no te n g a d o s la d o s co n g ru en te s .

C on trae jem p lo : L a fig u ra A B C D tien e B C || A D , p e ro n o tien ed o s la d o s c o n g ru en te s . A L----------------------------- -------

Ejemplo 3G enera lizac ión fa lsa: Si u n tr iá n g u lo tien e u n á n g u lo rec to , tiene

d o s la d o s c o n g ru en te s .

C om entario: P a r a d e m o s tra r q u e la g en e ra lizac ió n es fa lsa , d eb e p re se n ta rse u n tr iá n g u lo co n u n á n g u lo rec to q u e no te n g a d o s lad o s c o n g ru en te s .

C on trae jem p lo : L a figu ra T O M tien e u n á n g u lo recto{L 0 ) , p e ro su s tre s la d o s tien en d ife ren tes lo n g itu d es . T

M

0

U n c o n tra e je m p lo p u ed e d esc rib irse co m o se h a c e aqu í.Definición 2.1

U n contraejem plo es un solo ejemplo que pone en evidencia la falsedad de una generalización.

Ejemplo 4E sta figu ra es u n c o n tra e je m p lo p a ra la g en era lizac ió n fa lsa

s igu ien te .

Si d o s re c ta s se in te rsecan , e n to n ces fo rm a n án g u lo s

rectos.

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50 R azonam ien to en geom etría

EJERCICIOS________A.

P ara los ejercicios 1 y 2 se da una generalización basada en los casos presentados. Indíquese si las generalizaciones son falsas o verdaderas. Si alguna es falsa, dése un contraejem plo.

1. Caso 1 Caso 2 Caso 3D

ABWDC EF\\H G M N \\P O

Generalización: T odos los cuadriláteros tienen un p a r de lados paralelos.

2. Caso 1 Caso 2

Caso 4

, Z _ / 'r> ^ U

W A

--------------------- 5

V

T

/?S|| U T

Caso 3

D, E y F son puntos m edios

El perím etro de A-4BC es el doble del perím etro de A DEF.

M , N y P son pun tos m edios

El perím etro de A X Y Z es el doble del perím etro de A M N P .

H, I, J son p u n to s medios

E1 perim etro de A R S T e s el doble del perim etro de A H IJ .

Generalización: El perím etro de un triángulo es el doble delperím etro del triángulo form ado al unir los puntos m edios de los lados del prim er triángulo.

ACTIVIDADES!

Los co n tra e je m p lo s tienen un papel im p o rta n te en la c ie n c ia . Uno de los o b je tivos de los p ro g ra m a s de in ve s tig ac ió n espac ia l es c o n firm a r la va lid e z o inva lidez de las teo rías fo rm u la d as po r los c ien tíficos . Las fo tog ra fías tom adas, po r el V oyager de los a n illo s de S a tu rno d ie ron re su lta d o s so rp renden tes . A n tes de los vu e lo s espac ia les de l V oyager, los a s trónom os sostenían m uy d ive rsa s te o ría s con respecto a los a n illo s de Sa tu rno . ¿C onstituyó a lguno de los nuevos h a llazgos un co n tra e je m p lo de a lg u na de es tas teorías?

B úsquense a rtícu lo s p e rio d ís tico s o de rev is tas c ie n tífica s que apoyen sus observac iones.

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2.2 G e n e ra liza c io n e s fa lsa s y co n tra e je m p lo s 51

3. ¿P ara cuál de las proposiciones siguientes seria un contraejem plo la figura ABCDIa. C uando todos los lados de un cuadrilátero tienen la m isma

longitud, todos los ángulos m iden lo mismo.b. C uando todos los ángulos de un cuadrilátero tienen la

misma medida, todos los lados son de igual longitud.c. C uando un par de lados de un cuadrilátero es congruente, el

segundo p ar de lados tam bién lo es.

4. ¿P ara cuál de las proposiciones siguientes sería un contraejem plo el polígono W X YZP.a. U n polígono con lados congruentes es un polígono regular.b. U n polígono con ángulos congruentes es un polígono

regular.c. U n c u a d ^ t e r o con ángulos congruentes es un cuadrilátero

convexo.

En los ejercicios 5 y 6, indíquese si la proposición es falsa o verdadera. Si es falsa, dése un contraejem plo.

5. D ado cualquier A A B C , la bisectriz perpejidicular de AB interseca a la bisectriz perpendicular de BC en un punto dentro del triángulo.

6. D ado cualquier A A B C , la recta que pasa po r A y es perpendicular a { § y la recta que pasa por B y es perpendicular a A C se intersecan en un punto dentro del triángulo.

1 cm

W

L— i— tí

2 cmJ L

1 r2 cm

Y

1 cm

Z

\

X

SOLUCION DE PROBLEMAS----------------------Esta d isp o s ic ió n de núm eros, conoc ida com o tr iángu lo dePascal, rec ibe es te nom bre po r e l m a tem á tico francésB la ise Pascal (1623-1662). g 11. O b sé rv ese la relación que ex iste e n tre ca d a núm ero y ^

los m ás próxim os de la fila su p erio r. C ó p iese el d iseño y 1 3 3 1co m plé tense por lo m enos o tra s tre s filas. 1 4 6 4 1

2. E ncuéntrese la sum a de los núm eros de cada fila .E stab lézcase una g e n e ra liza c ió n sob re e sas sum as.

3. E ncuén trense los p o lin o m io s p a ra (a + b)z, (a + b)3 y (a + b ) \ E scríbase una lis ta de los co e fic ie n te s de los té rm inos de cada p o linom io . E nuncíese una g e n e ra liza c ió n de la re lac ión de es te esquem a con el tr iá n g u lo de Pascal.

1 5 10 10 5 A ' v '

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52 R azonam ien to en geom etría

2.3 Desarrollo de la geometría por medio del razonamiento deductivo

R E C T AT R IA N G U L O — un t r iá n g u lo e sI P U N T O

------------------- 1TERMINOS

INDEFINIDOS DEFINICIONES

LOGICA

H a s ta a h o ra se h a n b u scad o o b je to s de n u e s tro m u n d o q u e sug ieren co n cep to s geom étricos. Se h a n elegido los co n cep to s básicos — p u n to , rec ta y p la n o — y se les ha llam ad o térm in o s indefinidos.

A p a r t i r de estos té rm in o s, se o b tu v ie ro n definiciones p a ra d escrib ir o tra s figuras geom étricas, co m o trián g u lo s, seg m en to s y ángu los. T a m b ié n se defin ieron relaciones, co m o la cong ruenc ia , el pa ra le lism o y la p e rp en d icu la rid ad .

D esp u és, se em p leó el razo n am ien to inductivo p a ra d escu b rir a lg u n as g enera lizac iones so b re estas figuras. E n este p ro ceso de d escu b rim ien to s se b u sca ro n co n trae jem p lo s q u e in v a lid a ran las generalizaciones.

A h o ra es el m o m e n to d e d a r el siguiente paso . Se req u ie re u n m é to d o p a ra c o m p ro b a r q u e las genera lizac iones d escu b ie rta s son v e rd ad e ras p a ra to d o s los casos. E l m éto d o q u e se e m p lea rá se llam a razonam ien to deductivo. E n las secciones sigu ien tes se e s tu d ia rá este m étodo .

El p ro ceso del ra z o n a m ie n to d eductivo req u ie re la acep tac ió n d e u n as c u a n ta s g enera lizac iones b ásicas sin co m p ro b arlas . E stas g enera lizac iones se lla m a n postulados.

T o d a s las d em ás g enera lizac iones que p u ed en p ro b a rse co m o v e rd ad e ras co n la a y u d a de definiciones, p o s tu la d o s y la lógica del ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o , se llam an teorem as.

F in a lm en te , se u san los teo rem as y a p robados, co m o a y u d a p a ra la reso lución de p ro b lem as d e la v ida co tid ian a .

.EJEMPLOS DEL MUNDO REAL

____________ _

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2.3 D e sa rro llo de la ge o m e tría po r m e d io de l razonam ien to deductivo 53

P E A N U T S \ PORQUE HACE Q U E PAREZ­C A S E S T Ú P ID O , PORESO<

1 Hftce au e p w &zcas esTÚPlOO.SOgC E \6N0R ftN T E l

I y A SAB \tK q u e woPODÍAS PENSAR E N UNA StieftftSAzdyL-------

I SI PUEfjES 0W?mE U N ft BUENA fiftZÓN. N\£

/ £ p o r aue ceso ÍDeSBAC£RM6 DE PU FRAZADA?¿ft)R AuáMoMlEUNAvBUEN» ftAZOWl ,

© 1961 U n ited F eatu re Syndicate, Inc.

E n las secciones an terio res de este cap itu lo se u só el razonam ien to inductivo p a ra descubrir generalizaciones. A h o ra se exp lo ra rán el razonam ien to lógico y el deductivo , y su función en la dem ostración de teorem as. El p roceso del razonam ien to deductivo co n sta de tres pasos.

En el siguiente teo rem a se esbozan estos tres pasos:

Si dos lados de un triángu lo son congruentes, entonces los dos ángu los opuestos son congruentes.

R azo n am ien to deductivo

Paso 1 Empiécese con las condiciones dadas (la hipótesis).

Paso 2 Usese la lógica, definiciones, postuladoso teorem as previam ente probados para justificar una serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.

Paso 3 Afírmese el resultado (la conclusión).

Dado: A ABC es u n triángu lo con A B = AC.

Las proposiciones que p ro p o rc io n an e s ta conclusión n o se incluyen aqui. E n este cap ítu lo se p resen tan algunos esquem as de razonam ien to que ay u d a rán a elegir, o rd en a r y d a r razones p a ra proposiciones adecuadas.

P o r tan to , L B y L C son congruentes.

D espués de u sa r la lógica p a ra ob ten er las proposiciones correctas del paso 2 del ejem plo p ro b ad o en las líneas anteriores, se h a b rá p ro b a d o este teorem a:

Si dos lados de un triángulo son congruentes,(hipótesis)

en tonces los dos ángulos opuestos son congruentes. (conclusión)

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54 R azonam iento en geom etría

EJERCICIOS

1. Según el diccionario, un plano es una superficie llana o lisa.

Escríbanse tres palabras de la «definición» que tam bién deberían entenderse y p a ra las cuales podría intentarse d a r una definición.

2. Defínase uno de los tres térm inos del ejercicio 1. H ágase una lista de las palabras de la definición que tam bién puedan necesitar definición.

3. ¿Debería considerarse el térm ino plano entre los términos indefinidos? Expliqúese la respuesta.

4. Dése una definición de espacio que incluya los términos indefinidos conjunto y punto.

5. Escríbase una proposición que sea un teorem a de geometría.

ACTIVIDADES

Uno d e los objetivos de los cu rso s de geom etría e s p roporc ionar c ie rta práctica en el razonam ien to lógico aplicado a s itu ac io n es de la v ida cotid iana. En la vida d iaria , a lg u n as v eces s e sacan conclusiones con poca o n inguna base .

A cép tese e s ta h istoria com o una rep resen tac ió n a d e c u a d a de algo que rea lm en te ocurrió:

El pequeño Luis M edina s e sen tó en un rincón a co m er su paste l de Navidad.

Metió su dedo en tre la m asa , sa c ó una p asa y dijo: «¡Qué buen chico soy!»

¿C uáles d e e s ta s conclusiones pueden a c e p ta rse (quizá de m anera inconsciente) al le e r la historia?1. Luis com ía un paste l de p a sa s . 2. Era el d ía de Navidad.3. Luis com prendió q u e e ra un buen chico 4. Luis e s ta b a sen tan d o en un rincón

porque sacó una p a sa porque e s ta b a castigado .5. Luis e ra un niño.

A hora, lé a se d e nuevo la historia. ¿C uáles de e s ta s conclusiones son a c e rta d as b a sá n d o se ún icam ente en la inform ación que p roporciona la h istoria?

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2.3 D e sa rro llo de la g e o m e tría po r m ed io de l razonam ien to deductivo 55

En los ejercicios 6 a 9, se form ulan la inform ación dada y la conclusión basada en el razonam iento deductivo. Las proposiciones que llevan de la hipótesis a la conclusión se omiten. Form úlese el teorem a probado.

6. Dado: Las líneas t y m form an un par lineal de ángulos, Z .ly Z .2 . ZL1 = Z. 2.

7. Dado: L 1 y L 3 son ángulos verticales.

Por tanto , í i m .P o r tan to , L \ s ¿ 3 .

8. Dado: U n A A B C isósceles con A B ^ AC, donde AD bisecta a L A .

c.

A

P o r tanto , CD = DB.

' B

10. Desarróllese un argum ento lógico para convencer a alguien de que la distancia m ás corta entre el pun to P y una recta l es la longitud de PQ, donde Q está sobre l y í es perpendicular a PQ.

9. Dado: M N une los puntos medios de A B y l C e n A A B C .

__SOLUCION DE PROBLEMAS.

T res em b a jad o res d e d iferen tes p a íse s p ag aro n 30 d ó la re s por la habitación de un hotel. C ada uno contribuyó con 10 dó la res . M ás tarde , el adm in istrador del hotel s e p erca tó de que só lo deb ían h ab e r p ag ad o 25 dó la res , po r lo que llam ó al bo to n es y le dio 5 d ó la re s p a ra q u e los devolv iera a los em b a jad o res . El bo tones pensó que é s to s tendrían dificultades p a ra re p a rtirse los 5 d ó la re s por las d iferencias lingüísticas y sólo les dio 3, q u ed án d o se con los 2 d ó la re s res tan tes .

Así p u es, c a d a em b a jad o r pagó po r la habitación 10 d ó la re s m enos el dólar devuelto , e s to e s , 9 dó la res . 9 x 3 = 27. 27 d ó la re s m ás los 2 q u e s e quedó el bo tones sum an 29 dó la res . Pero la cu en ta original e ra d e 30 dó la res . ¿Q ué pasó con el otro dólar?

V5- ”

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56 R azonam iento en geom etría

2.4 Tipos de proposiciones «Si-Entonces»

E s ta c a r ic a tu ra i lu s tra u n t ip o de p ro p o s ic ió n im p o r ta n te p a ra el ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o . L o s e jem p los sig u ien tes m u e s tra n p ro p o s ic io n e s de la fo rm a «si-en tonces» .

S i p, e n to n c e s q.

Si n iev a h o y , e n to n ces e sq u ia rem o s.Si u n tr iá n g u lo isósceles tien e u n á n g u lo de

60°, e n to n ces es u n tr iá n g u lo eq u ilá te ro . Si L u cy n o se ríe , e n to n ces S n o o p y e s tá

tris te .

© 1961 U n ited F ea tu re Syndicate, Inc.

Definición 2.2U na proposición si-entonces es una proposición de la form a «si p, entonces q», donde p y q son proposiciones simples. A p se le llam a hipótesis, y q es la conclusión. El sím bolo p -> q (léase «p implica q»), se usa para representar una proposición si-entonces.

E j e m p lo 1 D ada una proposición si-entonces, fo rm ú lense la hipótesis y la conclusión.Si el in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ice q u e h o y lloverá , e n to n ces n o ju g a re m o s al tenis.

H ip ó te s is (p): E l in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ice q u e h o y lloverá .C o n c lu s ió n (q): N o ju g a re m o s a l ten is.

E je m p lo 2 Dadas la hipótesis y la conclusión, fo rm ú lese la proposición si-entonces.

H ip ó te s is (p): L a f ig u ra A B C D es u n c u a d ra d o .C o n c lu s ió n (q)\ T ie n e c u a tro la d o s co n g ru en te s .S i-en to n ces (p -* q): Si la fig u ra A B C D es u n c u a d ra d o , e n to n ces tien e c u a tro la d o s co n g ru en tes .

E je m p lo 3 D ada una proposición en o tra fo r m a fo rm ú lese com o una proposición si-entonces.

C u a n d o n iev a , la te m p e ra tu ra es in fe rio r a 0 o.S i-en to n ces (p -* q): S i n ieva , e n to n ces la te m p e ra tu ra es in fe rio r a 0 o.

L a d e fin ic ión 2.2 d esc rib e e s te tip o de p ro p o s ic ió n . L o s e jem p lo s q u e siguen p re s e n ta n a lg u n o s a sp ec to s de lo q u e se re q u ie re p a ra tr a b a ja r c o n la s p ro p o sic io n es s i-en to n ces y co m p ren d erlas .

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2.4 T ipos de p ro p o s ic io n e s «S i-Entonces» 57

P a r a c o m p re n d e r m e jo r el p ro c e so de ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o , e n p r im e r lu g a r h ay q u e p o d e r d e c id ir si u n a p ro p o s ic ió n si- e n to n ces co m o la q u e se m u e s tra en la i lu s tra c ió n es v e rd a d e ra . (¿Es v e rd ad e ra? E xpliqúese.)

C o n sid é re se a h o ra el s ig u ien te e jem plo . S u p ó n g ase q u e u n p ro fe so r fo rm u la la p ro p o s ic ió n si-en to n ces q u e a p a re c e a co n tin u a c ió n . ¿E n c u á l de e s to s ca so s p uede u n o se n tir q u e se le h a tr a ta d o in ju s ta m e n te y qu e el p ro fe so r n o d ijo la v e rd ad ? L a re sp u e s ta a e s ta p re g u n ta a y u d a rá a o b se rv a r c u á n d o u n a p ro p o s ic ió n s i-en to n ces es falsa.

Si se o b tie n e la ca lificac ión m á s a l ta en to d o s lo s exám en es de g eo m e tría , e n to n ces se o b te n d rá la ca lificac ión m á s a l ta al final del cu rso .

Caso 1 Se o b tie n e la ca lificación m á s a lta en to d o s los exám enes.

(h ip ó tesis v e rd ad e ra )

Caso 2 Se o b tie n e la ca lificación m ás a lta en to d o s lo s exám enes.

(h ipó tesis v e rd ad e ra )

Caso 3 N o se o b tie n e la ca lificación m ás a lta en to d o s los exám enes.

(h ip ó tesis falsa)

Caso 4 N o se o b tie n e la ca lificación m ás a l ta e n to d o s lo s exám enes.

(h ip ó tesis falsa)

Se rec ib ió u n t r a to in ju s to só lo en el caso 2.

Se o b tie n e la ca lificación m á s a lta al fin a l d e l cu rso .

(co n c lu s ió n v e rd ad e ra )

N o se o b tie n e la ca lificac ión m á s a lta a l final d e l cu rso .

(co n c lu s ió n falsa)

Se o b tie n e la ca lificación m á s a l ta al final del cu rso .

(co n c lu sió n v e rd ad e ra )

N o se o b tie n e la ca lificación m á s a lta a l final d e l cu rso .

(co n c lu sió n falsa)

L os re su lta d o s d e l e jem p lo a n te r io r se resum en en la s d esc rip c io n es de las p ro p o sic io n es s i-en to n ces fa lsas y v e rd a d e ras q u e se p re se n ta n aqu í.

U na proposición si-entonces es verdadera si cuando la hipótesis es verdadera, la conclusión tam bién lo es. En o tras palabras, u n a proposición si-entonces es falsa sólo cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa.

51 LOS PECESNA.DftN,EN­TONCES LAS 3 IRRPAS

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58 R azonam ien to en geom etría

EJERCICIOS________ ________________________A.

En los ejercicios 1 a 8, formúlense prim ero la hipótesis (p) y la conclusión (q) de la proposición si-entonces. Luego, decídase si la proposición es o no verdadera.

1. Si L isa tiene quince años, entonces Lisa es dem asiado joven para vo ta r en las elecciones de P uerto Rico.

2. Si una pelota se lanza hacia arriba, entonces la pelota bajará.

3. Si algunas m anzanas son rojas, entonces los caballos tienen cuatro patas.

4. Si Carlos com pró una pera, entonces C arlos com pró un vegetal.

5. Si dos rectas se intersecan, entonces esas dos rectas no son paralelas.

6. Si tres rectas son concurrentes, entonces las rectas son paralelas.

7. Si el A A B C es isósceles, entonces el A A B C es equilátero.

8. Si el A A B C es equilátero, entonces el A A B C es isósceles.

En los ejercicios 9 a 14, escríbanse proposiciones si-entonces (p -* q) con la hipótesis (p) y la conclusión (q) dadas.

9. Hipótesis (p): U n hom bre vive en San Juan.

Conclusión (q): Vive en P uerto Rico.

10. H ipótesis (p): D os rectas se intersecan para form ar ángulos rectos.Conclusión (q): Las rectas son perpendiculares.

11. Hipótesis (p): Dos rectas son perpendiculares.

Conclusión (q): Se intersecan para form ar ángulos congruentes.

12. Hipótesis (p): U n núm ero es primo.

Conclusión (q): El núm ero tiene exactamente dos divisores.

13. p: D os rectas son paralelas.

q: N o se intersecan.

14. p: D os ángulos son congruentes.

q: Tienen la misma medida.

ACTIVffiADES-E ncuén trense p lan team ien tos en rev is ta s o periód icos que incluyan p ro posic iones si-en to n ces o p ro posic iones q u e puedan fo rm ularse en la form a si-en to n ces sin cam biar el significado. A nalícese c ad a proposición y la lógica q u e la re spa lda .

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2.4 T ipos de p ropos ic iones «S i-Entonces» 59

B.

En los ejercicios 15 a 24, identifiqúense la hipótesis y la conclusión, y formúlese la proposición en la forma si-entonces sin cam biar el significado.

15. U n núm ero es p ar si term ina en 2.

16. D os rectas son perpendiculares si se cruzan en ángulo recto.

17. U n triángulo equiángulo debe ser equilátero.

18. U n núm ero es im par siempre que term ine en 5.

19. «Sigue mis consejos y te harás rico.»

20. M ejorarás si trabajas duro.

21. U n triángulo es isósceles siem pre que dos de sus ángulos sean congruentes.

22. U na recta que biseca a un segmento contiene el pun to medio del segmento.

23. B es el pun to medio de A C si A B = BC.

24. T odos los triángulos son polígonos.

c.25. F o rm ú la s e todas las proposiciones si-entonces cuyo

significado se? el m ismo que las proposiciones contenidas en este anuncio de la «Com pañía Nowork».

Venga a la C om pañía N ow ork y haga dinero rápidam ente.T rabaje para N ow ork y ascenderá en poco tiempo. Sólo contratam os gente inteligente que sea lo suficientemente to n ta com o para saber que es inteligente. N ow ork le garantiza una capacitación gratu ita excelente. A usted le gustará trabajar en la C om pañía N ow ork. C ontratam os a cualquier ser hum ano. Despedim os a cualquier ser hum ano.

26. Form úlese una proposición si-entonces verdadera (si a. entonces u), y formúlese de nuevo en las form as siguientes: b si a; a sólo si b\ a es todo lo que se necesita para aseverar b\ b debe ser verdad para que a sea verdad. ¿Cuáles de estas proposiciones pueden considerarse verdaderas?

SOLUCION DE PROBLEMAS----------------------------l f / \ i- 2 (J

C ja tro adu ltos y d o s niños d eben c ru za r un rio en u n a c a n o a en la que so lo ca b e un adulto o d o s n iños a la vez. No cab en un adulto y un niño juntos. Expliqúese cóm o p u ed en c ru za r las s e is p e rso n as . ¿Cuál e s el -ú m ero mínimo de v eces q u e d e b e c ru za r la canoa?

i \

■ A A / t i * r A r 2 N

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60 R azonam ien to en geom etría

2.5 Recíproca, inversa y contrarrecíproca

Si se em p ieza c o n u n a p ro p o s ic ió n s i-en to n ces v e rd a d e ra es p o s ib le fo rm a r tre s tip o s de p ro p o s ic io n e s re la c io n a d a s lla m a d a s reciproca, inversa y contrarrecíproca de la p ro p o s ic ió n o rig in a l. A c o n tin u a c ió n se d e sc rib en los t ip o s y se c o m p a ra n c o n la p ro p o s ic ió n s i-en to n ces o rig in a .

significa «no p.»

P ro p o sic ió n :

P Q

Si u n a b a n d e ra es la b a n d e ra d e P .R . e n to n ces tien e estrellas.

Si u n a b a n d e ra tien e e stre llas , en to n ces es la b a n d e ra d e P .R .

R ec íp roca de lap ro p o sic ió n :

q ^ pC u a n d o u n a p ro p o s ic ió n s i-en to n ces (p -*• q) es v e rd a d e ra , no se debe suponer q u e su re c íp ro c a (q -> p) se a n ec e sa riam e n te v e rd a d e ra . _

P ro p o sic ió n :p - > q

Si u n v eh ícu lo es u n a e ro p la n o , e n to n c e s el v eh ícu lo se c o n s tru y ó p a r a v o la r.

Si u n veh icu lo n o es u n a e ro p la n o , e n to n ces el v eh ícu lo n o se c o n s tru y ó p a ra v o la r.

In v ersa de lap ro p o s ic ió n :

—» ~ qC u a n d o u n a p ro p o s ic ió n si-en to n ces (p -*■ q) es v e rd a d e ra , no se debe suponer q u e su in v e rsa ( ~ p - ~ q ) sea n ec e sa riam e n te v e rd ad e ra .

P ro p o sic ió n :

P q

C o n tra rrec íp ro cad e la p ro p o sic ió n :

Si se vive e n C h icago ,e n to n ces se v ive e n Illinois.

Si n o se vive e n Illino is, en to n ces n o se vive e n C h icago .

San Francisco

Los Angeles

Chicago

N ueva Y ork

M iam iW ichita

C u a n d o u n a p ro p o s ic ió n s i-en to n ces (p suponer q u e su c o n tra r re c íp ro c a ( ~ q —>

. q) es v e rd a d e ra , se puede - p) ta m b ié n es v e rd a d e ra .

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Page 73: Geometria - Clemens

2.5 R eciproca, in v ersa y con tra rrecíp roca

E s to s re su lta d o s se re su m en c o m o sigue:

p -y q p ro p o s ic ió n d a d a Si p , e n to n c e s q v e rd a d (se su p o n e)

q - * p re c íp ro c a Si q, e n to n ces p n o n ecesa riam en te v e rd a d e ra

~ n - > ~ a in v ersa Si n o p, e n to n ces n o q n o n ecesa riam en ter i v e rd a d e ra

— ^ p c o n tra r re c íp ro c a Si n o q, e n to n ces n o p s iem p re v e rd a d e ra

C u a n d o u n a p ro p o s ic ió n d a d a y su rec íp ro ca so n v e rd ad e ras , p u ed en c o m b in a rse y fo rm a r u n a so la p ro p o s ic ió n c o n la frase si, y sólo si.

P ro p o sic ió n :p q Si h o y es m arte s , e n to n c e s m a ñ a n a es m iérco les.

R ec íp ro ca de lap ro p o sic ió n : Si m a ñ a n a es m iérco les, e n to n ces h o y es m artes .

<?->p

P ro p o s ic ió nsi, y sólo si: H o y es m a rte s si, y só lo si, m a ñ a n a es m iérco les.

P*-*Q

T o d a defin ic ión p u e d e fo rm u la rse c o m o u n a p ro p o s ic ió n si, y sólo si. C o m o e jem plo , co n s id é re se la s ig u ien te defin ición .

U n tr iá n g u lo e q u ilá te ro es u n tr iá n g u lo cu y o s la d o s so n c o n g ru en te s

e n tre sí.E sto p u e d e re fo rm u la rse co m o sigue:

U n a fig u ra es u n tr iá n g u lo e q u ilá te ro si, y só lo si, es u n tr iá n g u lo con to d o s su s la d o s c o n g ru e n te s e n tre sí.

E n re a lid a d , la n u e v a p ro p o s ic ió n c o m b in a d o s p ro p o sic io n es

v erd ad eras :1. S i un tr iá n g u lo es e q u ilá te ro , e n to n ces tie n e to d o s su s la d o s

c o n g ru en te s .2. Si u n tr iá n g u lo tiene to d o s su s la d o s c o n g ru en te s , e n to n c e s es

e q u ilá te ro .

E s ta id ea p u e d e resu m irse d e la s ig u ien te m an e ra :p si, y sólo si, q sign ifica lo m ism o q u e si p, entonces q y si q, entonces

p. C u a n d o e s ta p ro p o s ic ió n es v e rd a d e ra , se d ice q u e p y q so n proposiciones equivalentes.

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EJERCICIOS_______

62 R azonam iento en geom etría

Form úlense las recíprocas de las proposiciones de los ejercicios 1 a4. Si es necesario, formúlense de nuevo en la forma si-entonces.¿En qué ejercicio son verdaderas la proposición y la recíproca?

1. Si una persona está nadando, entonces esa persona está mojada.

2. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan.

3. Si una persona es pobre, entonces esa persona no tiene mucho dinero.

4. Si a ■ b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

En los ejercicios 5 a 8, formúlese la inversa de cada proposición.

5. Si una persona roba, entonces es una persona deshonesta.

6. Si una figura es un triángulo, entonces es un polígono.

7. C ualquier equipo que gane cuatro juegos de la Serie M undial, gana la serie.

8. D os planos son paralelos si no se intersecan.

Form úlense las contrarrecíprocas de las proposiciones de los ejercicios 9 a 12.

9. Si una persona conduce legalmente un autom óvil, entonces esa persona tiene 16 años o más.

10. Todos los ángulos rectos son congruentes.11. Se ganará el cam peonato si se gana el partido de esta noche.

12. Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.

ACTIVIDADES ........... ..... .... ™ —(1) Si qu iere sen tirse en p len a form a, tom e u n a tab le ta ABC al día. (2) La gen te que tom a vitam inas ABC s e p reocupa por su sa lud . Usted s e debe a qu ien es e s tán c e rc a de usted, cu íd ese . E m piece hoy a tom ar ABC.

Al e sc u c h a r proposiciones com o (1), su e le su p o n e rse eq u ivocadam en te la reciproca «si tom a una tab le ta d e ABC to d o s los d ías, en to n ces s e sen tirá en p len a form a». Al e scu ch a r p roposic iones com o (2), su e le su p o n e rse eq u ivocadam en te la inversa «si yo no tom o vitam inas ABC, en tonces no m e preocupo por mi salud».

C óp iese un anuncio com ercial de una rev ista o de la televisión y b ú sq u en se posib les e r ro re s de in terpretación.

A n á lis is de un anunc io com erc ia l

Analicemos un anuncio

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Page 75: Geometria - Clemens

2.5 R ecíproca, in ve rsa y co n tra rre c íp ro ca 63

En los ejercicios 13 a 18, formúlense dos proposiciones simples quesean equivalentes.

13. U n triángulo es equilátero si, y sólo si, es equiángulo.14. U n ángulo es un ángulo recto si, y sólo si, su m edida es 90°.

15. D os rectas de un plano son paralelas si, y sólo si, no tienen puntos en común.

16. U n cuadrilátero es un rectángulo si. y sólo si, tiene cuatro ángulos rectos.

17. Un cuadrilátero es un paralelogram o si, y sólo si, tiene dos pares de lados paralelos.

18. Dos ángulos son com plem entarios si, y sólo si, la sum a de sus m edidas es 90°.

19. Form úlense la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de estas frases de la form a p -» q.Elabórese una tarjeta com o la que se m uestra a continuación y m árquese en el lugar correspondiente si la proposición es falsa o verdadera

Proposición Reciproca Inversa Contrarrecíproca

Si se vive en Río Piedras, se vive en el área metropolitana. V ~n

Si un número es positivo, entonces es mayor que 6.

LL V

Si dos segmentos tienen la misma lonaitud, entonces son congruentes. vy VSi una figura es un polígono regular, entonces todos sus lados son congruentes. V V

¿7SOLUCION DE PROBLEMAS-------------------------------- -------------------Dos m ujeres, Alicia y C arolina, y d o s hom bres, Enrique y David, son atle tas. Una de e s ta s p e rso n a s p rac tica la natación , o tra el patinaje, o tra la g im nasia y o tra el ten is. Un d ía s e reunieron y s e sen ta ro n a lred ed o r d e una m esa cuadrada:

1. El n ad ad o r e s ta b a a la izqu ierda de Alicia. 3. C aro lina y David s e sen ta ro n juntos.2. El g im nasta e s ta b a fren te a Enrique. 4. Una m ujer s e sen tó al lado del patinador.

¿Cuál de e s ta s p e rso n a s e s el ten ista?A u 'x O ' _____

—------------------------------- "íFfc

0 o ^r ------Ì < r f ' — \&w < x

C AvuAo. Y " c Ie -— ’T 1

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64 R azonam ien to en geom etría

2.6 Esquemas de razonamientoA h o ra se e s tu d ia rá n d iv e rso s esq u em as de ra z o n a m ie n to q u e se u s a rá n en la p ru e b a d e teo rem as. E s tu d íese la c a r ic a tu ra s ig u ien te y el an á lis is p o s te rio r.

UNA PRQFUNOA DEPRESION SE APODERA DE TUS HUESOS,T0\)0 TE DUELE.... Y TE S íEH lES C f\N SfcD &-

y SI ALGUIEN S l V ^ u w f WauiERAMENCICNA"U M \ PERDIZ EN UN PERAL-JE DAN 6fVÑAS DE SR1TAR.

EN UN AAUGH

© 1961 U n ited F eatu re Syndicate, Inc.

El p r im e r e sq u em a d e ra z o n a m ie n to q u e se e s tu d ia rá em p ieza c o n u n a p ro p o s ic ió n v e rd a d e ra de t ip o s i-en tonces. L a h ip ó te s is se d a p o r v e rd a d e ra , p o r lo q u e la c o n c lu s ió n ta m b ié n se to m a c o m o v e rd ad e ra .

p - » q es v e rd ad e ra .

Se d a p.________________

Se co n c lu y e q u e q es v erd ad .

E l e jem p lo a n te r io r ilu s tra un e sq u em a de ra z o n a m ie n to lla m a d o afirmación de la hipótesis. E s tá b a sa d o en la a sev e rac ió n de q u e la h ip ó tesis de u n a p ro p o s ic ió n si- e n to n ces v e rd a d e ra ta m b ié n es v e rd ad e ra . T a m b ié n se ex p re sa c o n la lo c u c ió n la tin a m odus ponens.

Si a lg u ien d ice « u n a p e rd iz e n u n p e ra l» , e n to n ces L u cy g rita rá .

C h a rlie d ice « u n a p e rd iz en u n peral» .

P o r ta n to , L ucy g rita .

Definición 2.3

L a afirmación de la hipótesis es un esquem a de razonam iento que se representa com o sigue: Siempre que p -* q sea verdad y p sea verdad, puede concluirse que q es verdad.

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Page 77: Geometria - Clemens

2.6 E squem as de razonam ien to 65

E l seg u n d o e sq u em a de ra z o n a m ie n to es la b a se de la p ru e b a in d ire c ta q u e se e m p le a rá e n c a p itu lo s p o s te rio re s . E n la ilu s tra c ió n , el e sq u em a es:

p -> q es v erd ad .~ q (no se d a q).

S e co n c lu y e q u e ~ p es v e rd ad e ro (p es falso).

«Si en re a lid a d m e a m a ra s , d e ja ría s d e to c a r el p ian o .»S chro e d e r n o d e jó de to c a r el p ia n o .

P o r ta n to , S ch ro ed e r n o a m a a L ucy .

E ste e sq u em a de ra z o n a m ie n to se lla m a negación de la conclusión. T a m b ié n se ex p resa c o n la lo c u c ió n la t in a m odus tollens.

L a sig u ien te i lu s tra c ió n su g ie re u n te rce r e sq u em a d e ra z o n a m ie n to q u e se em p lea en la fo rm u la c ió n de d em o strac io n es . E s te e sq u em a u n e u n a su ces ió n d e p ro p o sic io n es e n la d e m o s tra c ió n d e u n te o re m a . El esq u em a es:

p - * q e s v e rd ad . q -» r es v erd ad .____________

Se co n c lu y e q u e p -> r es v erd ad .

« C ad en a d e ra z o n a m ie n to » d e C h arlie Brow n:

Si se tien e e l c o ra z ó n ro to , e n to n ces sus b o rd es a s tilla d o s se c lav an en el co s tad o .

Si lo s b o rd e s a s tilla d o s se c la v a n en el c o s ta d o , e n to n ces n o se p u e d e d o rm ir.

P o r ta n to , si se tie n e el c o ra z ó n ro to , n o se puede d o rm ir .

E ste e jem p lo ilu s tra u n e sq u e m a de ra z o n a m ie n to lla m a d o regla de la cadena. E ste e sq u e m a p e rm ite « en cad en ar» p ro p o sic io n es s i-en to n ces a l fo rm u la r dem ostrac iones.

Definición 2.5

La regla de la cadena es un esquema de razonam iento que se representa com o sigue:

Siempre que p -* q es verdad y q - » r e s verdad.

Se concluye que p - * r es verdad.

PE A N U T S /SI EN REHUDMA /WE MlWmS.DE- JftRfoS DE TOCAR lELPIRNO -i m íV N sgU R Itó /

[ft ESO SE LE LLAfllR RES­PONDER SIN RESPONDER/

© 1971 U nited F eatu re Syndicate. Inc.

Definición 2.aL a negación de la conclusión es un esquema de razonam iento que se representa como sigue:Siempre que p -* q sea verdad y ~ q (q es falso).____________

Se concluye: ~ p ( p es falso).

I»*; A N U IS SUEUO,POR&ue s i TIENES E L CORAZON ROTO, NO PUEDES DORMIR.

'¿comosus&s CU1E TIENES EL CORAZON V RO TO ? /

' ME RLECRRHH&Eft HABLADO CON UN

E XPER TO

CHANCO OfVS 'ÍUEUBS EN LK CAN\ft SUS BORDES ASTIUft- DOS s e TE CLftvfAN EN EL ---------------- ----

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Page 78: Geometria - Clemens

66 R azonam iento en geom etría

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 6, formúlese la conclusión correcta.

1. p —► q: Si Julia vota hoy, votará por A rm ando Amigable.p: Julia votó hoy.

P o r tanto , q: ?2. p -» q: Si A A B C es isósceles, entonces tiene dos ángulos

congruentes. p: A A B C es isósceles.

P o r tanto , q: ?3. p -* q: Si nieva, la tem peratura será inferior a 0°C.

L a tem peratura es 0 °C o superior.P o r tan to ~ p : ?

4. p -* q: Si una figura es un triángulo equilátero, entoncestodos sus lados y ángulos son congruentes.

q -* r: Si una figura tiene todos sus ángulos y lados congruentes, entonces es un polígono regular.

P or tanto , p -» r. ?5. p - * q . Si dos rectas son paralelas, no tienen puntos en

común.~ q \ Las rectas m y n tienen un punto en común.

P o r tanto , ~p: ?

6. p -* q : D os rectas perpendiculares se intersecan,q -> r: Las rectas no son paralelas si se intersecan.P o r tanto, p -* r. ?

A C T I V I D A D E S ^ ^ ^ ? " ^ " — ^ " ---------

C ons idé rense los s ig u ie n te s e jem p los de razonam ien to que sue len e n con tra rse en anunc ios com erc ia les . D ecídase si las com pañías que los pub lica ron em p lea ron esquem as de razonam ien to co rre c to s o inco rrectos.

1. «Envíe su d in e ro an tes de l 1 de octubre y com pre a m itad de p rec io .» Paula Joseph env ió su ped ido el 10 de oc tubre . La com pañía cance ló su ped ido . ¿M in tió la com pañía?

2. «Envíe su d ine ro an tes de l 1 de d ic ie m b re y com pre a m itad de precio.» A ng e lo S ilva env ió su d in e ro el 24 de nov iem bre , pero la com pañía rechazó su ped ido . ¿M in tió la com pañía?

3. «Esta o fe rta es vá lid a para personas que v ivan en c iudades de Estados

U nidos que estén en el con tinen te am ericano .» N am oon ie Nakak v ive en el A rtico . La com pañía rechazó su /ped ido . ¿Hubo ju s tifica c ió n p a ra esto?

4. «Usted se rá m ás a tra c tivo si usa Neato.» Jason no usa Neato pe ro es m uy a tractivo . ¿Está equ ivocada la com pañía?

5. Búsquense e id e n tifiqú e n se e je m p lo s de esquem as de razonam ien to co rre c to s e Inco rrec tos en anunc ios com erc ia les .

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Page 79: Geometria - Clemens

2.6 E squem as de razonam ien to

B.En los ejercicios 7 a 9, incluyase la información om itida para form ular un esquem a de razonam iento correcto.

7. (Acéptese) U n punto de la bisectriz perpendicular de un segmento equidistade los extrem os del segmento.

(Dado) ? _(Conclusión) El punto C equidista de los extrem os de A B.

8. (Acéptese) T odas las rectas horizontales son paralelas.(Dado) ? ^(Conclusión) E F y GH no son rectas horizontales.

9. (Acéptese) ?(Dado) L A B C mide más de 90“.(Conclusión) L A B C es un ángulo obtuso.

c.Form úlese la proposición om itida en los ejercicios 10 y 11. (Aunque no se conozca el significado de todos los térm inos empleados, se deben poder realizar estos ejercicios.)

10. Teorema: Si ABCD es un cuadrado, entonces ABCD no es una cometa. Pruebas: 1. Si ABCD es un cuadrado, entonces ABCD es un rombo.

2. (proposición omitida)3. Si ABCD es un paralelogram o, entonces ABCD no es una

cometa.Por tanto , si ABCD es un cuadrado, ABCD no es una cometa.

11. Teorema: Si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulorecto, entonces L A y L B son complementarios.

Pruebas: 1. (proposición omitida)2. Si m L A + m L B + m L C = 180 y

m L C = 90, entonces m L A + m L B = 9 0 .3. (proposición omitida)

P or tanto , si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulo recto, entonces L A y L B son complementarios.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS------------------------------------

Tres pe rsonas, León, M artínez y N ieves, ocupan los puestos de a d m in is tra d o r, ca je ro y enca rgado en un depa rtam en to de una tienda . Si N ieves es la ca je ra , M artínez es el encargado . Si N ieves es la enca rgada , M artínez es el a d m in is tra d o r. Si M artínez no es el ca je ro , León es e l encargado . SI León es el a d m in is tra d o r, N ieves es la encargada . ¿Qué puesto ocupa cada uno?

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68 R azonam ien to en geom etría

2.7 postulados de geometría

L o s p o s tu la d o s de g eo m e tría so n m u y im p o r ta n te s en el p ro c e so del ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o . P u e d e n c o m p a ra rse c o n las reglas de u n ju eg o . E n el « ju eg o de la g e o m e tría» se a c e p ta n lo s p o s tu la d o s c o m o v e rd a d y se u sa n c o m o a y u d a en la d e m o s tra c ió n de teo rem as.

A B

Sí A

H

B

G EO M ETR IA

i.:..

..

. . . ' 4/-■ ;< Syi J . :

rii

R eg la s o fic ia le s d e lo s juegos

de ca rtas

P a r a a firm a r q u e los p u n to s ex isten , se a c e p ta este p o s tu la d o . E l p o s tu la d o ta m b ié n d a in fo rm ac ió n so b re rec ta s y p lanos.

P a r a a f irm a r q u e u n a lín ea es recta, se re q u ie re u n a , y só lo u n a , lin e a q u e c o n te n g a d o s p u n to s cu a lesq u ie ra . T a m b ié n p u e d e d ecirse q u e dos p un tos determ inan una recta.

P a ra a firm a r q u e u n p la n o n o se tu e rce y d a v u e lta s e n el e sp ac io , se req u ie re q u e u n o , y só lo un , p la n o c o n te n g a tre s p u n to s no co lin ea les cu a lesq u ie ra . T a m b ié n p u e d e decirse q u e tres puntos no colineales determ inan un plano.

P a r a a firm a r q u e u n p la n o es rec to , se re q u ie re q u e d o s p la n o s se in te rse q u e n só lo en u n a rec ta , n o en dos.

Postulado de la existencia de los puntosEl espacio existe y contiene, por lo menos, cuatro puntos no c o p in a re s . U n plano contiene, p o r lo menos, tres puntos no lineales. U na recta contiene, po r lo menos, dos puntos.

Postulado del punto y la rectaD os puntos están contenidos en una, y sólo una, recta.

Postulado del punto y el planoTres puntos no colineales están contenidos en uno, y sólo un plano.

Postulado de la intersección de planosSi dos planos se intersecan, se intersecan exactam ente en una recta.

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2.7 P ostu lados de g e o m e tría 69

B

Sí í

P a r a a firm a r q u e u n p la n o es « p la n o » , se re q u ie re u n p la n o q u e c o n te n g a to d o s los p u n to s de u n a re c ta , si se sa b e q u e c o n tie n e d o s p u n to s d e la rec ta .

Se re q u ie re u n a re c ta q u e d iv id a a u n p la n o e n d o s sem ip lan o s. P u e d e u sa rse e s te p o s tu la d o p a ra d e te rm in a r si a m b o s p u n to s e s tá n en el m ism o la d o de la re c ta o e n la d o s o p u es to s d e ella.

Se re q u ie re u n p la n o q u e se p a re al e sp ac io e n d o s sem iespac ios. P u e d e u sa rse este p o s tu la d o p a ra d ec id ir si lo s d o s p u n to s e s tá n e n el m ism o la d o d e u n p la n o o e n la d o s o p u e s to s del m ism o.

Se re q u ie re sólo una rec ta q u e p ase p o r u n p u n to d a d o y sea p e rp e n d ic u la r a u n a re c ta o u n p la n o d ad o s.

postulado de los dos puntos, la recta y el planoSi dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano.

Postulado de la separación de planosSea N un plano y t una recta en N . Los puntos del plano que no estén en t form an dos sem iplanos de m anera que:a. cada sem iplano es un

conjunto convexo;b. si P está en un semiplano y

Q está en el o tro , entonces PQ interseca a t .

Postulado de la separación del espacioSea N un p lano en el espacio. Los puntos del espacio que no estén sobre N form an dos semiespacios de m anera que:a. cada semiespacio es un

conjunto convexo;b. si un pun to A está en un

semiespacio y B está en el o tro, A B interseca a N.

postulado de las perpendicularesD ados un pun to y una recta en un plano, hay exactam ente una recta que pasa p o r el punto y es perpendicular a la recta dada. D ado un p lano en el espacio y un punto que no está en ese plano, hay exactam ente una recta que pasa po r el punto y es perpendicular a l plano dado.

E s to s so n a lg u n o s d e lo s p o s tu la d o s a c e p ta d o s e n g eo m etría . E n la s ig u ien te sección y en c a p ítu lo s p o s te r io re s se p re s e n ta rá n o tro s p o s tu la d o s im p o rta n te s .

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70 R azonam ien to en geom etria

EJERCICIOS_______A.

En los ejercicios 1 a 8, complétense los enunciados con laspalabras punto, recta, plano y espacio. Dígase qué postuladosugiere la proposición completa.

1. Si los dos puntos están en un plano, entonces la X que los contiene está en el plano.

2- U n X contiene po r lo menos tres puntos no colineales.

3. D os puntos están contenidos en una, y sólo una, X .

4. Si dos planos se intersecan, se intersecan exactam ente en una

5. H ay exactam ente una JL que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado.

6. U n plano separa un JL en dos semiespacios.

7. En un plano, hay exactam ente una X que pasa p o r un punto dado y es perpendicular a una recta dada.

8. U n a recta separa un X en dos semiplanos.

A C T I V I D A D E S ^ ^ g g — ■

Con una cu e rd a y unos clips, co n strú y ase un m odelo p a ra e s to s «postu lados». ¿C uál e s el núm ero mínimo n ecesa rio d e trozos de c u e rd a y clips p a ra sa tis face r todos los requ isitos de los postu lados?1. Hay por lo m enos un trozo de cuerda.2. Hay exac tam en te tre s clips en ca d a trozo

d e cuerda.

3. No todos los clips e s tán en el m ism o trozo d e cuerda.

4. Hay ex ac tam en te u n a cu e rd a a trav és de d o s clips cua lesq u iera .

5. Dos c u e rd a s c u a le sq u ie ra tienen po r lo m enos un clip en com ún.

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Page 83: Geometria - Clemens

En los ejercicios 9 a 16, formúlese un postu lado que perm ita llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera.

9. D os planos distintos, M y N , no pueden contener dos rectas distintas l y m.

10. D os rectas distintas, t y m, no pueden contener dos puntos distintos A y B.

11. D ados un pun to P y una recta í en un plano, no puede haber un par de rectas distintas que pasen por P y sean perpendiculares a t .

12. Si los puntos J y K están en diferentes semiplanos determ inados po r u n a recta t , J K interseca a l .

13. T res puntos no colineales, A, B y C, no pueden estar en dos p lanos distintos N y M.

14. Si A y B son puntos del plano Ai, entonces A B no tiene ningún pun to fuera del plano M.

15. D ados un punto P y un plano M , no puede haber dos rectas que pasen por P y sean perpendiculares al plano M.

16. El espacio puede contener más, pero no m enos de cuatro puntos no colineales y no coplanares.

17. Los fotógrafos y los ingenieros em plean trípodes p a ra m ontar sus cám aras y o tros instrum entos. Expliqúese por qué se utilizan tres pies y no cuatro. ¿Qué postu lado es aplicable a esta situación?

18. ¿C uántas rectas pueden trazarse a través de cuatro , cinco, seis y n puntos no colineales en un plano?

19. ¿Cuántos planos pueden determ inarse con cuatro puntos entre los cuales no hay tres que sean colineales?

SOLUCION DE PROBLEMAS-----------------

E stos 19 puntos so n las e sq u in a s d e cuatro figuras (un cuad rado , un so b re con so lap a , u n a c a ja y un triángulo equilá tero). En el dibujo a p a re c en a lg u n as a r is ta s . Ningún punto e s la e sq u in a de m ás de una figura, pero a lgunos

I puntos e s tán so b re la a ris ta de o tra figura.

T rá c e n se e s to s puntos y d ibú jense las cuatro figuras.

L

2.7 P ostu lados de g e o m e tría 71

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Page 84: Geometria - Clemens

72 R azonam ien to en geom etría

2.8 Algunos postulados sobre medición

E n len g u a je C B , el «d iez-vein te» (ub icación ) del p r im e r d ib u jo c o rre sp o n d e a la señ a l del k iló m e tro 62. E n el seg u n d o d ib u jo , la u b ic a c ió n c o rre sp o n d e a la seña l del k iló m e tro 97. ¿Q u é d is ta n c ia re c o rr ió el m o to c ic lis ta?

E n el c a p ítu lo a n te r io r (véase Sec. 1.4), se in tro d u jo de m a n e ra in tu itiv a el co n cep to de m ed ic ió n de la lo n g itu d y se usó lib rem en te p a ra fo rm u la r d efin ic iones y saca r conclu sio n es. E n e s ta sección , se d a rá un b reve re p a so a l p o s tu la d o en el c u a l se b a sa e s te co n c e p to de lo n g itud .

A B! ! 1 1

2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 13 fe 7 8 9 10 11 12 13 14 15 lí> 17 18 ]9 2 0 21 22

| 6 - 1 6 | = 1 1 6 - 6 | = 1 0

A BT I T I 1 2 3 4

■ ■ ■ < i < i i i i i i i i i i i i5 b 7 S 9 10 11 12 13 14 15 lfe 17 16 Í9 2 0 21 22

|3 - 13| = 113 - 3| = 10

E sto s e jem p lo s m u e s tra n q u e n o im p o r ta d ó n d e se c o lo q u e la reg la , la lo n g itu d del seg m en to es el v a lo r a b so lu to d e la d iferencia e n tre los d o s n ú m e ro s q u e co in c id en c o n los ex trem os.E l p o s tu la d o de la reg la in c lu y e este co n cep to .

Ejemplo 1 E n c u é n tre n se A B , B C y A C .

A B = |3 — ( - 2 ) | = 5

B C — 118 — 3 1 = 1 5

A C = | —2 — 1 8 1 = 2 0

E n el e jem p lo , B e s tá e n tre A y C. O b sérv ese q u e la d is ta n c ia e n tre A y B ju n to c o n la d is ta n c ia e n tre B y C es la m ism a q u e la ex is ten te e n tre A y C.Se fo rm u la u n a defin ic ión .

El postulado de la reglaa. A cada par de puntos corresponde un

núm ero positivo único denom inado distancia entre los puntos.

b. Los puntos de una recta pueden hacerse coincidir biunívocam ente con los núm eros reales de m odo que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea el valor absoluto de la diferencia entre sus núm eros asociados.

A____________ fí____________________ C

- 2 3 18

Definición 2.6El punto B está entre A y C si, y sólo si, A, B y C son colineales y A B + BC = AC.

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Page 85: Geometria - Clemens

2.8 A lgunos pos tu lados sob re m ed ic ión 73

|95 - 52\ = 152 - 95| = 43

Si se g ira el t r a n s p o r ta d o r de m o d o q u e los ray o s se c o r re sp o n d a n c o n d iferen tes n ú m e ro s , el v a lo r a b so lu to de la d iferencia e n tre d o s n ú m e ro s , se ría el m ism o . El p o s tu la d o in c lu y e e s te co n cep to .

Postulado del transportadora. A cada ángulo le corresponde un núm ero real

único entre 0 y 180, llam ado m edida del ángulo.b. Sea P un punto en la arista de un sem iplano H.

C ada rayo del semiplano o su arista con un vértice P puede hacerse coincidir biunívocam ente con los núm eros reales n,0 < n < 180, de m anera que la m edida de un ángulo form ado por un p a r de rayos no colineales con vértice P sea el valor absoluto de la diferencia entre sus núm eros asociados.

Figura 1 Figura 2

E n el p r im e r c a p ítu lo (Sec. 1.4), se in tro d u jo de m a n e ra in tu itiv a el J c o n c e p to de m ed ic ió n d e án g u lo s y se u só lib re m e n te p a ra fo rm u la r

defin ic iones y sa c a r co n c lu sio n es. A h o ra , se d a r á u n breve re p a so al p o s tu la d o en el c u a l se b a sa es te co n cep to .

U n p ilo to verificó el ru m b o de u n av ió n (las lín eas de co lo r d e la F ig . 1 se ñ a la n el ru m b o del av ió n , q u e es el á n g u lo e n tre la d irecc ión n o r te y la tra y e c to r ia del av ión). D esp u és c a m b ió el ru m b o c o m o m u e s tra la fig u ra 2. ¿E n c u á n to s g ra d o s ca m b ió e l ru m b o ?

Ejemplo 2 E n c u é n tre n se m L A B C , m L C B D y m ¿ A B D .

m L A B C = 142 - 2 0 1 = 22

m L C B D = 177 - 4 2 1 = 35

m ¿ A B D = 177 - 2 0 1 = 57

E n e l e jem plo , B Ú e s tá e n tre B Á y BÍ). O b sé rv ese q u e las m ed id as d e ¿ -A B C y L C B D ju n ta s m id en lo m ism o q u e A B D .Se fo rm u la u n a defin ición.

Definición 2.7

B C está entre BA y BD si, y sólo si, B ? , B A y BD son coplanares y m /-A B C + m L CBD == m L ABD.

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74 R azonam ien to en geom etría

EJERCICIOS

A.

B.

U n núm ero asociado con un punto recibe el nom bre de coordenada del punto. Encuéntrese la distancia entre un par de puntos con las coordenadas dadas en los ejercicios 1 a 12.

1. 5, 2. 2. 14, 8. 3. 3, 12. 4. 17, 0.

5 .1 3 ,2 1 . 6. - 5 , 13. 7. 9, - 2 . 8. - 3 , 15.

9. - 1 2 , 7 . 10. - 3 , - 7 . 11. 0, - 8 . 12. - 4 , - 1 6 .

Encuéntrese la m edida de los ángulos dados en los ejercicios 13 a 18.

13. ¿ Q A S . 14. L U A R .

15. L Q A V . 16. Z WAQ

17. Z S A U • 18. Z VAR.(Ejercicios 13-18)

Los puntos A, B y C son colineales. Se d an las longitudes de ciertos segmentos. ¿Qué pun to está entre los otros dos?

19. A C = 4, CB = 8, A B = 12. 20. B A = 9, B C = 12, A C = 3.

21. CA = 20, B A - 11.6, C B = 8.4. 22. A C - 9.3, CB = 6.5, A B = 15.8.

23. A una chaqueta se le van a hacer tres ojales con una separación de 4 pulgadas entre sí. Se coloca sobre la p renda una cinta de medir. Los ojales se m arcan en los núm eros 7, 11 y 15. ¿Qué postu lado o definición se empleó?

ACTIVIDADESE stím ese la longitud de e s to s ob je tos aproxim ando a la unidad m étrica m ás próxim a indicada. E n cu én trese la su m a de las d ife ren c ias en tre lo estim ado y la longitud real. Quien te n g a la su m a m enor s e rá el ganador.

1. La m ed ida a lred ed o r d e la c in tu ra en cen tím etros (u tilícese una cuerda).

2. El an ch o de u n a m oneda en m ilím etros.3. La longitud d e u n a habitación en m etros.

4 . La longitud de un p aso norm al en cen tím etros. (¡j

5. La a ltu ra de u n a p u erta en m etros.

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Page 87: Geometria - Clemens

2.8 A lg u n o s pos tu lados sob re m ed ic ión 75

24. D os lados de un m arco se encolan p a ra form ar una esquina. Cada lado se co rta a un ángulo de 45c. ¿Cuál es la m edida de la esquina exterior? ¿Qué postu lado o definición se empleó?

En los ejercicios 25 a 29, A, B y C son puntos colineales concoordenadas a, b y c.

25. Si a < b < c, c = 54, A C = 26 y BC = 19, encuéntrense los valores de a y b.

26. Si b = — 7, c = 13 y A es el punto m edio de BC, encuéntrese a.27. Si b = —10, c = 4 y BA = 28, encuéntrense BC y CA. Dense

dos respuestas posibles.28. Si C está entre A y B, BC = 8 y C A = 36, encuéntrense a ,b y

c. Dense dos respuestas posibles. ¿Cuántas respuestas posibles hay?

29. Si C es el punto medio de A B , c = 14 y CB = 10, dense dos posibles coordenadas para A.

Los ejercicios 30 a 33 se refieren a una disposición de rayos en elmismo orden que los de la figura.

30. Si m L A F D = 120 y m L A F C = 2 -m L C F D , encuéntrense m L A F C y m L C F D .

31. Si m L A F C = 3 -m L A F B , F C biseca a L A F D y m L A F B = 16, encuéntrese m L A F D .

32. Si m L A F B = 2 m L CFD, m L A F B ^ i ¡ m L CFD,y m L AFD = 112, encuéntrense m L A F B , m L B F C y m L CFD.

33. Si m L BFC = 3 -m L A F B , m L C F D = 4 -m L A F B , y m L A F D = = (m L A F B )2 - 240, encuéntrese la m edida de m L A F B .

SOLUCION DE PROBLEMAS_____________________________Un m ecán ico va a c o n s tru ir una p laca m e tá lica com o la que se ilu s tra . El p r im e r paso es e n co n tra r las d im ens iones que fa ltan , Ind icadas p o r las le tras A, B, C, D y E. E ncuén trense . diámetro______ 28?5______

A = . B = E =

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76 R azonam iento en geom etría

capítulo 2 conceptos importantesTérminos

Generalización (pág. 44)Razonam iento inductivo (pág. 45) C ontraejem plo (pág. 49)Térm inos indefinidos (pág. 52)Postulados (pág. 52)Teorem as (pág. 52)R azonam iento deductivo (pág. 53) Hipótesis (pág. 56)Conclusión (pág. 56)

postulados

Postu lado de la exigencia de los puntos (pág. 68).

Postulado del punto y la recta (pág. 68) Postu lado del plano y el pun to (pág. 68) Postulado de la intersección de planos

(pág. 68).Postu lado de los dos puntos, la recta y el

plano (pág. 69)

Proposiciones si-entonces (pág. 56) Recíproca (pág. 60)Inversa (pág. 60)C ontrarrecíproca (pág. 60) Afirmación de la hipótesis (pág. 64) Negación de la conclusión (pág. 65) Regla de la cadena (pág. 65)E ntre puntos (pág. 72)E n tre rayos (pág. 73)

Postu lado de la separación de planos (pág. 69)

Postu lado de la separación del espacio (pág. 69)

Postulado de las perpendiculares (pág. 69) Postu lado de la regla (pág. 72)Postu lado del transpo rtado r (pág. 73)

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Page 89: Geometria - Clemens

C ap itu lo 2 Resum en 77

Capítulo 2 Resumen

1. Com plétese la generalización siguiente:A A B C es equilátero.M , N, 0 son puntos medios.A M N O es equilátero. A

Generalización: Los puntos m edios de un X

form an los vértices de un X .

2. Escríbanse contraejem plos p a ra las siguientes generalizaciones falsas.a. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, el

cuadrilátero es un cuadrado.b. Si un cuadrilátero tiene cuatro ángulos congruentes, tiene

cuatro lados congruentes.

3. ¿Cuál es la diferencia entre teorem a y postulado?

4. D ígase si es falso o verdadero.a. T res puntos determ inan un plano.b. D ados una recta f, y un punto P que no está en la recta, hay

sólo una recta que contiene a P y es perpendicular a l .c. L a intersección de un plano y u n a recta puede contener

exactam ente dos puntos.d. Si A, B y C son colineales, A B = 10 y B C = 4, entonces B está

entre A y C.

5. Si S está entre R y T, S T = 6, y R S = 10, encuéntrese RT.

6. Si L W X Y ^ Z X Y , m ¿ W X Y = 2 0 y m ¿ Y X V = 50, encuéntrese m L Z X V .

7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de:a. D os rectas son paralelas si no se intersecan.b. T odos los cuadrados son rectángulos.

8. Considérese la proposición:Si una figura es un cuadrado, tiene cuatro ángulos rectos.a. Form úlese la recíproca de la proposición.b. Form úlese la inversa de la proposición.c. Form úlese la contrarrecíproca de la proposición.d. Dense contraejem plos p a ra a y b.

En los ejercicios 9 y 10, formúlese una conclusión correcta.

9. Si u n a figura es un rectángulo, las diagonales son congruentes. ABCD es un rectángulo. P o r tan to , X .

10. Si dos rectas no están en el m ism o plano, no son paralelas.X b || c í) . P o r tan to , X .

A EFD es equilátero. 5R, Q, S son puntos medios.AR Q S es equilátero.

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78 R azonam ien to en geom etría

Capítulo 2. Examen1. Com plétese la siguiente generalización. C

A A B C es isósceles y CD / \ A X Y Z es isósceles y M Zbiseca a L C . / \ biseca al ángulo Z.;C u á l es la relación entre A *-— — ^ B ¿Cuál e s ja relación entreCD y AB1 M Z y X Y l

Generalización: La bisectriz de los vértices de un triángulo

isósceles es J~ la base.

2. Dése un contraejem plo para la siguiente generalización falsa.Sólo hay una recta perpendicular a una recta dada en un punto de esa recta.

3. ¿Cuál es el objeto de con tar con térm inos indefinidos?

4. Dígase si es falso o verdadero.

a. D os puntos determ inan una recta.b. U na recta divide al espacio en dos semiespacios.c. Si dos planos se intersecan, la intersección es un punto.d. Si X , Y y Z son colineales y X Z + Z Y = X Y , entonces Z está

entre X t Y.

5. Si B está entre A y C, A C = 10 y A B = 4, encuéntrese BC.

6. Complétese lo siguiente: m L A B D + ± = m L A B C .

7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de las siguientes Bproposiciones:a. U n triángulo es isósceles si tiene dos lados congruentes.b. Todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos

congruentes.

8. Considérese la proposición:Si dos ángulos son rectos, son congruentes.a. Form úlese la recíproca de la proposición.b. Form úlese la inversa de la proposición.c. Form úlese la contrarrecíproca de la proposición.d. Dense contraejem plos para m ostrar que a y b son falsas.

En los ejercicios 9 y 10, enúnciese u n a conclusión correcta.

9. Si un triángulo tiene tres ángulos congruentes, es equilátero.A A B C tiene tres ángulos congruentes.P o r tan to , JL.

10. Si dos ángulos son rectos (90°), son congruentes.L A no es congruente con L B.P o r tan to , X .

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Page 91: Geometria - Clemens

Repaso de á lg e b ra 79

Repaso de álgebraPara cada problem a, dése la propiedad algebraica ilustrada.

A. Ley asociativa (suma y multiplicación)B. Ley conm utativa (suma y multiplicación)C. Ley distributiva (multiplicación sobre suma)D. Propiedad inversa (suma y multiplicación)E. Propiedad de identidad (suma y multiplicación)F. Sum a y resta de igualesG. M ultiplicación y división de iguales

1. 3 • (7 • 9) = (3 • 7) • 9. 2. Si x = 3, entonces 7x = 21.

3. 7 + ( —7) = 0 . 4. Si x — 2 = 1, entonces x = 3.

5. x - ( a + y ) = xa + xy. 6. Si a = b, entonces a + c = b -

1. a + 0 = a. 8 . a - b = b -a .

Despéjese x en las ecuaciones.

9. x + 3 = 35- 10. 3x = 35.

12. - = 8. 13. 2x + 9 = 11.6

15. 10 - x = 42. 16. - | + 9 = - 5 -

Resuélvanse y grafiquense en una recta numérica.

18. x > 3- 19. 7 < x.

21. x + 1 > - 17- 22. x < f

24. 9 - x > 3. 25. | > 10.

Resuélvanse las ecuaciones.

27. |x| = 9. 28. 3 |x| = 21.

30. |3x| = 21 .- ' 3 1 . | * | - 2 = 35.

33. |2x + 1| = 13. 34. |x | - 9 = 25-

Calcúlese.

36. V25- 37. V m .

39. \Z l2 l + VsT. 40. V ¥ .

c.

11. x - 7 = 19.

14. —4x = 8.

17. 3x - 19 = 17.

20. 3x < 15.

23. x + 2 > 24.

26. 3 (x + 6) > 12.

29. |x + 1| = 4.

32. |3x + 2| = 17.

35. 3 — |x | = - 5 .

38. V100 + 69.

41. 8 \ /9 - 6 V36.

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Page 92: Geometria - Clemens

Los fotógrafos suelen em plear diversas, lentes, desde las gran angular hasta el teleobjetivo, para obtener las fotografías que desean.

Las tres fotografías siguientes se tom aron desde la m ism a posición y con la m isma cám ara, pero con lentes distintas.

Fotografía: lentes

C on la lente «norm al» se tom an fotografías cercanas a lo que el fotógrafo ve. Con la lente gran angular se tom an fotos con una m ayor am plitud de la escena. Las ¡ lentes de teleobjetivo am plían los objetos.

Los fotógrafos deben com prender la «geom etría de la fotografía», para saber qué lente es la m ejor en cada caso. Se investigarán dos conceptos: la distancia focal y el ángulo visual.

La distancia focal es la distancia entre la lente y la película de la cám ara cuando la lente está enfocando un objeto distante. El ángulo visual es el ángulo form ado por líneas im aginarias que van de los extrem os de la escena a la lente de la cámara.

G ra n an g u la r N o rm a l T eleob jetivo

A ngu lo visual

L en te

D is ta n c ia focal Pe lícu la

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Page 93: Geometria - Clemens

El d iagram a siguiente ilustra la relación entre la distancia focal y el ángulo visual. L a lente de la cám ara está en la m ism a posición en todos los dibujos.

Angulo visual

D istancia focal

película

G ran angular N orm al Teleobjetivo

El diagram a m uestra que la distancia focal m ás co rta corresponde al ángulo visual m ás grande. Las lentes gran angulares tienen distancias focales m enores y abarcan una am plitud m ayor que las lentes normales.

Con el siguiente dibujo se puede determ inar el ángulo visual aproxim ado de una distancia focal dada.

-IB

A

Paso 1 Trácese un segmento A B de 43 m m delongitud. E sta es la longitud de la diagonal del negativo de la fotografía de una película com ún de una cám ara corriente.

Paso 2 Biséquese A B . Llám ese C al puntomedio. __ __

Paso 3 Constrúyase D C 1 A B de m anera que DC tenga una longitud igual a la distancia focal de la lente. (Por ejemplo,50 mm.)

aso 4 Trácense DA y DB.o 5 M ídase L A D B con el transpo rtado r para

buscar el ángulo visual aproxim ado.(Para u n a distancia focal de 50 mm.)

mplétese la construcción an terior para cada una de las siguientes distancias .les:

21 m m . 2. 50 mm. 3. 200 mm.a cada distancia focal, tóm ense m edidas para buscar el ángulo visual. U n a lente distancia focal de 50 m m tiene un ángulo visual sim ilar al que tiene el ojo ano. Esta es una lente norm al. ¿Cuál es la distancia focal de una lente gran a r y la de un teleobjetivo?

J D

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Page 94: Geometria - Clemens

C A P IT U L O

3.1 T r iá n g u lo s c o n g ru e n te s 84

3 .2 P o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia 90

3.3 P ru e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia 96

3 .4 P ru e b a s : u s o d e d e f in ic io n e s 100

3 .5 P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e f in ic io n e s 104

3 .6 P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s 110

3 .7 P ru e b a s : S o la p e d e t r iá n g u lo s 116

3.8 P ru e b a s : c a d e n a s d e c o n g ru e n c ia s 120

C o n c e p to s im p o r t a n te s 122 R e s u m e n 123 E x a m e n 124

Resum en global (Caps. 1 a 3) 125

La geom etría en nuestro mundo

A rq u ite c tu ra : d o m o s g e o d é s ic o s 126

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Page 95: Geometria - Clemens

Triángulos y congruencia

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Page 96: Geometria - Clemens

84 T riángulos y congruencia

3.1 Triángulos congruentes

L o s a u to m ó v ile s se fab rican u tiliz a n d o la p ro d u c c ió n en ca d e n a . L o s c o m p o n e n te s p ro d u c id o s d eb en se r de id é n tic o ta m a ñ o y fo rm a p a r a p o d e rlo s e m p le a r en c u a lq u ie r a u to m ó v il de la lín e a de m o n ta je . L os re p u e s to s ta m b ié n d e b e n ser id én tico s . E n g eo m e tría , a las fig u ras q u e tien en el m ism o ta m a ñ o y la m ism a fo rm a se les llam a congruentes.

E n g eo m e tría , se re q u ie re u n a defin ic ión a p ro p ia d a p a ra d ec id ir c u á n d o d o s figuras, co m o A A B C y A D E F , so n co n g ru en te s .

P u e d e h ac e rse u n a p ru e b a c o n p a p e l vegeta l p a ra m o s tra r q u e A A B C p ro b a b le m e n te es c o n g ru e n te c o n A D E F (a p a r t i r d e las

D ib ú je se A A B C . Si p u e d e m o v e r el p a p e l p a ra q u e el tr iá n g u lo tra z a d o co in c id a c o n A D E F , los tr iá n g u lo s p ro b a b le m e n te se a n co n g ru en tes .

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Page 97: Geometria - Clemens

3.1 T riá n g u lo s cong ruen tes 85

C o n sid é rese d e n u e v o la p ru e b a del d ib u jo . Si se m a rc a c a d a vértice c o n u n s ím b o lo especial, se o b se rv a q u e los vértices d e lo s d o s tr iá n g u lo s se c o rre sp o n d e n c o m o se m u e s tra e n la figura . T a m b ié n se d e te rm in a la c o rre sp o n d e n c ia d e án g u lo s .

Bs Q

/ \t - T *

A D B ^ E C F

co rre sp o n d e n c ia e n tre vértices

L A <r+ L D L B «-» Z E L C + » L E

c o rre sp o n d e n c ia e n tre án g u lo s

Si se m a rc a c a d a la d o c o n u n signo especial, se o b se rv a q u e lo s la d o s se c o rre sp o n d e n c o m o se m u e s tra e n la figura.

E n e s ta p ru e b a de d ib u jo , se o b se rv a que:

A B == D E ¿ A ^ L DB C = E F L B ^ L EA C z s D F L C ^ L F

S iem p re q u e p u e d a h ace rse co in c id ir u n tr iá n g u lo co n o tro de m a n e ra q u e las p a r te s c o m p a ra d a s sean congruentes, se d a u n a c lase especial de c o rre sp o n d e n c ia lla m a d a congruencia. P a r a in d ic a r esta co n g ru en c ia , se escribe: A A B C = A DEF.

E l d ia g ra m a m u e s tra c ó m o e s ta p ro p o s ic ió n so b re los tr iá n g u lo s c o n g ru en te s p ro p o rc io n a in fo rm ac ió n específica so b re las p a r te s q u e se c o rre sp o n d e n (án g u lo s y lados).

AB_ <r-> DE B C ^ E F A C ^ D F

c o rre sp o n d e n c ia e n tre la d o s

Definición 3.1

D os triángulos son congruentes si hay unacorrespondencia entre sus vértices de m anera que cada p ar de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Obsérvese que la congruencia se puede definir de m anera similar para o tras figuras.

\4 \ 4/ \A B C = A D E F

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Page 98: Geometria - Clemens

EJERCICIOS-------------------------- ------

A .

¿Cuáles de los siguientes pares de figuras son congruentes? (Puede emplearse papel vegetal.)

86 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 8, selecciónese la proposición correcta (Empléese papel vegetal si es necesario.)

B5. E 6-

a. A A B C ^ A D E F .

b. A A B C s A EDF.

c. A A B C A E F D .

a . A A B C = A DEF.

b . A A B C = A DFE.

c. A A B C s í A F E D .

B

7. 8.

H

b . A A B C = A E F D .

c. A A B C = A F D E .

a . A B C D = EFGH.

b . A B C D ~ FGHE.

c. A B C D s

d . A B C D = GFEH.

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Page 99: Geometria - Clemens

3.1 T riá n g u lo s cong ruen tes 87

D ad o que A A B C = AD EF, selecciónese la proposición falsa en cada parte.

a. Á C s DF, Z S = Z E, B C = DE, ¿ C s ¿ F .

b. A B = E D , ¿ A = L D , Z C s Z F , A B s í E F .

c. Á B s é D E , B C ^ F E , Z C s ¿ D , A C ^ D F .

D ado que A U V W = A X Y Z , complétense las congruencias para los seis pares de partes congruentes correspondientes.

(Ejercicio 9)

(Ejercicio 10)

11. D ado que A C A T = A DOG, formúlense las congruencias para los seis pares de partes congruentes correspondientes.

(Ejercicio 11)

En los ejercicios 12 y 13 hay dos proposiciones de congruencia correctas. Encuéntrense estas proposiciones.

a . A A B C ^ A D E F .

b. A A B C = A E FD .

c. A A B C s z A F D E .

d. A A B C ^ A E D F .

a . A B C D = E FG H .

b. A B C D = FGHE.

c. A B C D s t GHEF.

d. A B C D = FEHG.

14. D ado que A P R S ^ A J K L , formúlense tresproposiciones de congruencia sobre los ángulos y o tras tres sobre los lados de los triángulos.

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Page 100: Geometria - Clemens

a c t i v i d a d e s

15 D adas seis proposiciones de congruencia, complétensecorrectam ente las proposiciones sobre los triángulos congruentes.

T riá n g u lo s y co n g ru e n c ia

L A = ¿ B A P = B T¿ t =í ¿ p QL¿ R sé L ] P R s T J

A J L J L J L s A l i - 1

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Page 101: Geometria - Clemens

3.1 T riá n g u lo s cong ruen tes 89

c.

19. Si A A B C es un triángulo equilátero, puedeescribirse A A B C A B C A. Además de ésta, hay otras cinco proposiciones de congruencia. Formúlense.

C ada una de las figuras siguientes contiene uno o más pares de triángulos congruentes. En ocasiones, los triángulos se «solapan» unos a otros. Form úlese u n a proposición correcta de congruencia para cada p ar que se encuentre en una figura.

SOLUCION DE PROBLEMAS _1. ¿Qué pares de fig u ra s idén ticas hay aquí?

2. D ibú jese la fig u ra a y m árquense los puntos donde se in te rsecan los segm en tos. E ncuén trense se is pares de tr iá n g u lo s cong ruen tes (cada uno de e llo s con tr iá n g u lo s de d ife re n te s tam años y fo rm as) y fo rm ú le n se las p ro p o s ic io n e s de co n g ru e n c ia co rrectas.

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90 T riángulos y congruencia

3.2 Postulados sobre la congruenciaS u p ó n g ase q u e u n a lfo m b ris ta n ecesita r e p a ra r u n a a lfo m b ra c o n u n re tazo tr ia n g u la r . N o es p ro b a b le q u e se m id a n los tre s la d o s y lo s tre s án g u lo s p a ra c o r ta r la p ieza. Sólo se n ecesitan a lg u n a s de esas m ed idas. E n e s ta secc ión se a n a liz a rá n c u á n ta s y q u é c o m b in ac io n es de las seis p a r te s de u n tr iá n g u lo (lad o s a, b, c, y án g u lo s A , B, C) se n eces itan p a ra d e te rm in a r u n tr iá n g u lo co n ta m a ñ o y fo rm a p a rticu la res .

P r im e ro se e s tab lecen a lg u n o s c o n cep to s ú tiles p a ra tr a b a ja r c o n tr ián g u lo s co n g ru en te s .

U n ángulo y el lado opuesto a éste se m arcan con la misma letra; el ángulo con letra m ayúscula, y el ángulo, con minúscula.

D os lados com prenden un ángulo si el vértice del ángulo es un extremo de am bos lados.

Dos ángulos com prenden un lado si los extrem os del lado son vértices de los dos ángulos.

Si se c o n s tru y e u n tr iá n g u lo , d a d a s tres de las seis p a rte s , se e n c u e n tra q u e el ta m a ñ o y la fo rm a del tr iá n g u lo e s tá n c o m p le ta m e n te d e te rm in a d o s d a d a la in fo rm ac ió n sigu ien te:

A35"

c = 40 mm

1. D o s la d o s y elá n g u lo c o m p re n d id o .

2. D o s án g u lo s y el la d o c o m p re n d id o .

3. T re s lad o s.

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D e lo a n te r io r se o b tie n e n los tre s p o s tu la d o s sig u ien tes so b re co n g ru en c ia .

3.2 Postu lados s o b re la congruencia 91

Las m arcas sobre el triángulo m uestran cuáles son los ángulos y lados congruentes.

K

Se c o n s id e ra q u e só lo p u e d e re su lta r u n tr iá n g u lo si se d a n d o s la d o s y el á n g u lo c o m p re n d id o , así q u e se a c e p ta este p o s tu la d o .

Se cree q u e só lo p u ed e re su lta r u n tr iá n g u lo si e s tá n d a d o s d o s án g u lo s y el la d o c o m p re n d id o , así q u e se a c e p ta este p o s tu la d o .

Postulado de la congruencia LALSi dos lados y el ángulo com prendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado de la congruencia ALASi dos ángulos y el lado com prendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Se cree q u e só lo p u ed e re su lta r u n tr iá n g u lo si se d a n tres la d o s , así q u e se a c e p ta este p o s tu la d o .

Postulado de la congruencia LLLSi los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

L a defin ic ión d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s m u e s tra q u e d eb en c o in c id ir seis p a re s d e p a r te s . P e ro e s to s tre s pos.tu lados su g ie ren q u e en o casio n es só lo es necesa rio verifica r tre s de e s to s p a re s p a ra e s ta r seg u ro s de q u e h ay co n g ru en c ia . E s to s p o s tu la d o s se e m p le a rá n p a ra d e m o s tra r o tro s te o re m a s so b re tr ián g u lo s .

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EJERCICIOS______

92 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

A.

1. ¿Cuál de estos triángulos no se denom inó en forma correcta?

N

B U-

2. ¿Cuál de estos triángulos se denom inó en forma correcta?

3. Dibújese un triángulo y m árquense sus ángulos y lados de acuerdo con el m étodo estándar.

Establézcase el ángulo (o lado) com prendido en cada p ar de lados (o ángulos).

5. BD y BC.

7. L A B D y L A D B .

9. BD y CD.

4. A B y AD.

6. ¿ ,4 y L C .

8. AD y BD.

10. ¿-ABC y LC .

¿Por cuál de los tres postulados de la congruencia (LAL, ALA, LLL) son congruentes estos tres pares de triángulos? (Acéptese que la congruencia está indicada po r las marcas, aunque es posible que los triángulos no parezcan congruentes.)

14.

A

B

(Ejercicios 4-10)

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3.2 P ostu lados sob re la cong ruenc ia

En los ejercicios 15 a 22, se m arcaron las partes congruentes de los triángulos. Determínese si hay suficiente información como para decidir si los triángulos son congruentes po r los postulados LAL, ALA o LLL. Si son congruentes, formúlese el postulado.

15.

17.

19.

En los ejercicios 23 a 27, determínese si los triángulos son congruentes. Si lo son, indíquese qué postu lado (LAL, ALA, LLL) puede usarse p a ra verificarlo.

23. Dado: P Q s s X Y , Q R YZ, P R s= XZ.

24. Dado: P R s s X Z , R Q == Z Y , Z i? s Z Z .

25. D ado: Z F s L X , ¿ R s z ¿ Z , P Q ^ X Y .

26. Dado: ¿ Q =s Z Y, ¿ R sé Z Z , Q R s YZ.

27. Dado: Z P = s Z X , Z g s Z F , Z i í s ZZ .

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T riá n g u lo s y cong ruenc ia

28. Empléese el postulado LLL para construir un triángulo congruente con AABC.

29.

30.

31.

(Ejercicios 28-30)

C

Empléese el postulado LAL para construir un triángulo congruente con A ABC.

Empléese el postulado ALA para construir un triángulo congruente con A A B C .

U n equipo de agrimensores desea encontrar la distancia A B a través de un lago. U n m étodo requiere la construcción de un p ar de triángulos congruentes. Los agrim ensores seleccionan un punto cualquiera C, miden L A C B y ubican un pun to D de m anera que L A C D =5 L A C B y CD S CB. ¿Por qué son congruentes L A C D y L ACB1 ¿Cóm o puede esto ayudar a encon trar la distancia requerida?

ACTIVIDADES- —H áganse co p ia s con cartu lina (por lo m enos tre s v eces m ayores) de los se is «pentam inós» que s e m uestran .

Un «pentam inó» e s un polígono que coincide con cinco cu ad ro s de un tab le ro de a jed rez .

C o loqúense los «pentam inós» de m an era que s e form e un p ar de rec tángu los d e idéntico tam añ o y forma.

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3.2 Postu lados sob re la co n g ru e n c ia 95

SOLUCION DE PROBLEMAS

¿De cu án tas m an e ra s pu ed e co lo ca rse un cubo de 3 x 3 x 3 en un cubo d e 4 x 4 x 4? ¿C u án tas posic iones de 2 x 2 x 2 o d e 1 x 1 x 1 so n p o sib les? C om plétese la tabla.

nú m ero de posic iones en un cubo de

4 x 4 x 4tam año de l cubo

cubo de 1 x 1 x 1

cubo de 2 x 2 x 2cubo de 3 x 3 x 3

✓ ys

s

¿ ^ ^ --- r-1—/ S s /

E n los ejercicios 32 a 37, formúlese un postulado de congruencia para cada p ar de triángulos congruentes. Dígase, adem ás, si los triángulos son congruentes po r ALA, LAL o LLL. (Nota: empléese el concepto de que tan to un segmento com o un ángulo son congruentes consigo mismos.)

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96 T riá n g u lo s y co n g ru e n c ia

3.3 Pruebas: uso de los postulados sobre la congruencia

P a ra p ro b a r q u e d o s tr iá n g u lo s so n c o n g ru en te s , se em p ieza co n la in fo rm ac ió n d a d a y se em p lean los esquemas de razonam ien to deductivo p a ra co n c lu ir q u e so n re a lm e n te c o n g ru en te s . L a a firm ac ió n de la h ip ó te s is es el e sq u em a q u e se u tiliz a co n m a y o r frecuencia , co m o se d esc rib e a c o n tin u ac ió n .E l p o s tu la d o L L L tien e la fo rm a general:

REPASO: L a afirmación de la hipótesis es unesquema de razonam iento que se representa com o sigue:Siempre que p -* q sea verdad

y se afirme que p es verdad,

puede concluirse que q es verdad.

Silos tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de o tro triángulo,

entonceslos dos triángulos son congruentes

B YA h o ra se p re se n ta u n a ap licac ió n específica d e e s ta p ro p o sic ió n :

A C X J

Se o b se rv a q u e to d a s las co n d ic io n es e s tab lec id as en p se satisfacen; e s to es, p es v e rd a d e ro . C o n e s to se afirma la hipótesis. P o r ta n to , p u ed e conclu irse : q es v e rd ad e ro . A p lican d o e s to a este caso específico , A A B C s A X Y Z .

R e su lta ú til o rg a n iz a r el p e n sa m ie n to a l fo rm u la r la prueba a n te r io r en d o s c o lu m n as . L a c o lu m n a iz q u ie rd a se u sa p a r a las p ro p o s ic io n e s q u e llevan a la c o n c lu s ió n d esead a . L a c o lu m n a de la d e re c h a d a las razo n es p o r las cu a les las p ro p o s ic io n e s so n v e rd ad eras .

D ad o : A B ^ X Y B C = Y Z A C s é X Z s

B

Pruébese: A A B C = A X Y Z .

PruebaAfirmaciones

A A --------- HH---------- X a ----------------

Razones

1. Á B = X Y . 1. D ado.

2. B C = YZ. 2. D ado.

3. A C ^ X Z . 3. D ado.

4. A A B C s z A X Y Z . 4. Postu lado de la congruencia

■444

-H 4

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3.3 P ruebas: uso de los pos tu lados sob re la co n g ru e n c ia 97

A h o ra se p re se n ta n o tro s d o s e jem p lo s d e p ru e b a s sencillas so b rela c o n g ru e n c ia de d o s tr ián g u lo s . O b sérv ese q u e se em p lea laa firm ac ió n de la h ip ó tesis .

___ ___ CEjemplo 1 D ad o : ¿ \B = X Y

Z A = * ¿ X Z f i s ¿ Y .

P ruébese : A A B C = A X Y Z .

Prueba

Afirmaciones

1. A B ~ X Y .

2. ¿ A = i Z X .

3. Z B = ¿ Y .

4. A A B C ^ A X Y Z .

Razones

1. Dado.

2. Dado.

3. D ado.

4. Postu lado de la congruencia ALA.

M

Ejemplo 2 D ado:

P ruébese:

Prueba

Afirmaciones

M N s s M P Z 1 = Z 2 .A M N Q s A M P Q -

1. M Ñ ^ M P .

2. Z l s Z 2 .

3. M Q s M Q-

4. A M N Q = AAÍPQ-

Razones

1. D ado.

2. D ado.3. U n segmento es congruente consigo mismo.

4. Postu lado de la congruencia LAL.

(Nota: Algunas veces, com o en el tercer paso, hay un lado común a dos triángulos. E l concepto de que «un segmento es congruente consigo m ismo» puede usarse para obtener un segundo par de lados congruentes necesario para afirm ar la hipótesis del postulado de la congruencia LAL. Este concepto se analizará más a fondo en el Cap. 4.)

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EJERCICIOS_______________________A.

Pruébese la congruencia de los siguientes triángulos form ulándose una dem ostración a dos columnas. Elabórense las dem ostraciones de acuerdo con los ejemplos recién vistos.

1. Dado: A C ^ D F cAB DEZ A s LD.A A B C = ADEF.

98 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

Pruébese:

2. Dado:

Pruébese:

3. Dado:

Pruébese:

4. Dado:

R S s s K LS T = s J KR T ^ J L .A R S T ^ A LKJ.

Z D = Z X Z_F = _ZZ D F ^ X Z .A D E F s A X F Z .

A C ^ A D A B s í A E BC = DE.

Pruébese: A ABC = A AED.

A

ACTIVIDADESH áganse cop ias g randes de es tos «pentam inós» (figu ras de c inco cuad rados) y co ló q ue n se de m anera que fo rm e n un pa r de rec tángu los de id é n tica fo rm a y tam año.

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3.3 Pruebas: uso de los pos tu lados sob re la co n g ru e n c ia 99

5. Dado: Z 1 = Z 2Z 3 s Z 4 .

Pruébese: & A B D s A C D B -

6. Dado: D E = D FE H ss HF.

Pruébese: A D H E s s A DHF.

1. Dado: H I as K I

A } = i_ ¿ 2 J I = IL.

Pruébese: A H I J = A K I L .

8. Dado: /IB = CDZ 1 = Z 2 .

Pruébese: A A B D s A C D B .

Pruébese: A A C E A D B F .

10. D ado: Á C BD , A E ^ D F¿ A ^ ¿ D .

Pruébese: A C A E s A BDF.

11. Dado: A A ¿ C , Á B ^ BC.Pruébese: A C B £ s A A B D .

12. Dado: ¿ J3D A j= ¿ B E CB D = B £ .

Pruébese: A B D A = A BEC.

D

(Ejercicios 9, 10)

(Ejercicios lt , 12)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.¿C uáles de los sig u ien tes m odelos p ueden p leg a rse de m an era que form en un cubo doblando y p egando los bordes?

¿C uántos m odelos m ás de se is c u ad ro s s e pueden d ibujar que al p leg arlo s form en un cubo?

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100 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

3.4 Pruebas:uso de definiciones

REPASO: D os rectas son perpendiculares si se intersecan para form ar ángulos rectos congruentes.

L a a n te r io r d e fin ic ión de las re c ta s p e rp e n d ic u la re s y las defin ic iones de b isec triz d e l án g u lo , p u n to m ed io , b isec triz del seg m en to (Sec. 1.5) y b isec triz p e rp e n d ic u la r (Sec. 1.6), se u tiliz an c o n frecuencia en las d em o strac io n es.

C o n sid é re se el s ig u ien te e jem plo de afirmación de la hipótesis (Sec. 2.6).

p -* q: Si u n ra y o b iseca a u n án g u lo , en to n ces los d o s á n g u lo s q u e se fo rm a n so n co n g ru en tes .

p: A (? b iseca a L B A D .

P o r ta n to , se co n c lu y e q u e q: Z 1 = Z 2. •D

E s ta d e m o s tra c ió n se m u e s tra a c o n tin u a c ió n co n u nd iseñ o de d o s co lu m n as .

D a d o : A Ü b iseca a ¿ B A D .Pruébese: L 1 s L2 .

Prueba

Afirmaciones Razones

1. A(? biseca a ¿ B A D . 1. Dado.

2. ¿ l s ¡ ¿ 2 . 2. Definición de la bisectriz del ángulo.

■ D

L as p ru e b a s sig u ien tes m u e s tra n el em p leo d e las defin ic iones d e l p u n to m ed io , la b isec triz y las rec tas p e rp e n d ic u la re s . E s tú d iese c a d a p ru eb a .

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3.4 P ruebas: uso de d e fin ic io n e s 101

Ejemplo 1

D ad o : C es el p u n to m ed io d e BD. P ruébese: B C = CD .

Prueba

Afirmaciones Razones

1. C es el punto m edio de 1. Dado.BD.

2. BC £ CD. 2. Definición del punto medio.

■D

Ejemplo 2

D a d o : A C es la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e BD. P ruébese: C es el p u n to m ed io d e BD.

Prueba

Afirmaciones Razones

1. AC es la bisectriz__ 1. D ado.perpendicular de BD.

2. C es el pun to medio de 2. Definición de la bisectrizBD. perpendicular.

B

A

Ejemplo 3

D ad o : A C A - B D .P ruébese : Z A C D = ¿ L A C B .

Prueba

Afirmarciones Razones

1. A C ± BD. 1. Dado.

2. ¿ A C D s s ¿ A C B . 2. Definición de las rectasperpendiculares.

D

A

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102 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 8, empléese alguna de las definiciones presentadas en esta sección para sacar una conclusión de los datos dados.

1. D ado: X M biseca a L Z X Y . 2. Dado: R M _LTU.

4. Dado: A C y BD se bisecan entre sí.

7. Dado: T es el pun to m edio de QS. 8. Dado: K M es la bisectriz perpendicular

N es el pun to m edio de AB.

5. Dado: S F es la bisectriz__perpendicular de PQ.

6. Dado: DB biseca a ¿E D F . A

ACTIVIDADES "

C opíense en g ran d e e s to s d iez «pentam inós» y jú n ten se p a ra fo rm ar un p ar de cu ad rad o s de idéntica form a y tam año.

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3.4 P ruebas: uso de d e fin ic iones 103

B.

Form úlese una dem ostración a dos colum nas para los ejercicios 9 a 14.

9. Dado: BD biseca a L A D C .Pruébese: L A D B s ¿ B D C .

10. Dado: QS es la bisectriz perpendicularde PR. __

Pruébese: S es el punto m edio de PR.

SR

En e s to s d ibujos s e m uestran cuatro fo rm as d ife ren tes de dividir un cuadro en cuatro p a rte s idénticas.

¿Q ué o tra s fo rm as s e pueden enco n tra r? M u éstrense por lo m enos o tra s cinco en un papel punteado.

12. D ado: P R 1 Q S .Pruébese: ¿ P T Q s í Z P T S .

13. Dado: LQ-es la bisectriz perpendicular 14. Dado: BD biseca a AC.de JN: x_

Pruébese: JQ s QN.Pruébese: A E = EC.

Q \

r- SOLUCION DE PROÓLEMAS.

11. Dado: M es el punto m edio de AD.Pruébese: A M = MD.

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104 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

3.5 Pruebas: uso depostulados y definiciones

MO ESTft MM. ¿ E tt? \ 'ESTE PEQUEÑO S16N0 Q u i e r e d e c i r ."Congruente con -

SI f\IGUN DIA NECE­SITAS UN "CONGRUEN­T E c o n " , yo PUEQO DIBUJARTELO.

U nited F eatu re Syndicate, Inc.

L as defin ic iones de b isec triz del án g u lo , b isec triz d e l seg m en to , b isec triz p e rp e n d ic u la r y p u n to m ed io p u e d e n u sa rse , ju n to co n lo s p o s tu la d o s so b re la co n g ru en c ia , p a ra p ro b a r q u e d o s tr iá n g u lo s so n co n g ru en tes .

P a ra d e d u c ir la p ru e b a de q u e d o s tr iá n g u lo s so n c o n g ru en te s , suele ser ú til a n a liz a r la s itu a c ió n e m p e z a n d o p o r lo q u e se v a a p ro b a r y h a c e r el d e sa rro llo h a c ia a trá s . E s tu d íese el s ig u ien te ejem plo.P ro b le m a : D ado : A B s A D

A C b iseca L B A D . P ruébese : A A B C A A D C .

A nálisis (có m o se p o d r ía d e d u c ir la fo rm a de re so lv e r el p ro b lem a): «Se qu ie re p ro b a r q u e A A B C ^ A A D C . P o d r ía h ace rse p o r m ed io de los p o s tu la d o s de la c o n g ru e n c ia L L L , L A L o A L A , p e ro ¿cuál d e ellos? P o r lain fo rm a c ió n dada_se s a t e q u e A B ss A D . Si p u d ie ra p ro b a rse q u e __Z 1 s Z 2 y q u e A C = A C , p o d r ía em p lea rse el p o s tu la d o L A L . P e ro A C b iseca a L B A D , así q u e Z 1 ss Z 2 . A dem ás, u n se g m en to es co n g ru e n te c o n sig o m ism o . Sí, p u e d e hacerse .»

Prueba

Afirmaciones Razones

l . Á B sé Á D . i . Dado.

2. A C biseca & ¿ B A D . 2. Dado.

3. Z 1 = Z 2 . 3. ¿Por qué?

4. A C m A C . 4. U n segm ento es congruenteconsigo mismo.

5. A A B C s A A D C . 5. Postu lado de la congruencia LAL.

A

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3.5 P ruebas: uso d e p o stu lados y definiciones

E stú d iese el análisis d e las p ru e b a s sig u ien tes y com plétense .A

Ejemplo 1 Dado: A B = AD . ____C es el p u n to m ed io de BD.

Pruébese; A A B C = AADC.

A nálisis: «¿C uál d e lo s p o s tu la d o s de c o n g ru e n c ia se p u e d e u tiliz a r p a ra esto , A LA , L A L o L L L ? Se p u e d e p ro b a r q u e A A B C s A A D C , si se p u e d e d e m o s tra r q u e tre s la d o s de A A B C so n re sp ec tiv am en te c o n g ru e n te s c o n los tre s la d o s de A A D C . P o r lo s d a to s , se sa b e q u e A B s A D . A C = A C , p o rq u e u n seg m en to es c o n g ru e n te c o n sig o m ism o. B C = C D si C es el p u n to m ed io de BD . A l se rlo (p o r los d a to s), y a se p u ed e fo rm u la r la p ru eb a .»

PruebaAfirmaciones Razones

¡II

I? 1. Dado.

2. C es el punto medio de BD- 2. Dado.

3. B C s CD- 3. ¿Por qué?

4. A C s AC . 4. U n segmento es congruenteconsigo mismo.

5. A A B C = A A D C . 5. ¿Por qué?

E le m p iO 2 Dado: A C es la b isec tr iz p e rp e n d ic u la r de BD.Pruébese; A A C B = A A C D

A nálisis: «Se p u e d e p ro b a r q u e A A C B = A A C D c o n u n o de l o s __p o s tu la d o s d e la co n g ru en c ia . Se in te n ta c o n el L A L . Se sa b e q u e A C s A C . C o m o A C es la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e BC , L A C B s A A C D y B C 35 CD . A h o ra ya se p u ed e fo rm u la r la p ru eb a .»

Prueba

Afirmaciones

1. A C biseca a BD.

2. B C CD-

3. A C 1 BD.

4. Z A C B s ¿ A C D .

5. Á C = ÁC .

6. A A C B = A A C D .

Razones

1. D ado.

2. Definición de la bisectriz de un segmento.

3. D ado.

4. ¿Por qué?

5. ¿Por qué?6. Postulado de la congruencia LAL.

A

•D

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Page 118: Geometria - Clemens

106

EJERCICIOSA.

En los ejercicios 1 a 4, analícese la situación e indíquese cuál de los tres postulados sobre la congruencia (LLL, LAL o ALA) podría usarse para p robar que los triángulos son congruentes.

1. Dado: A D biseca a B CA B s s A C .

Pruébese: A A B D sé A A C D ... A

2. Dado: R T biseca a Z Q R S R T biseca Á Q T S .

Pruébese: A R T Q ^ A R T S .

C

3. Dado: N P L M O N P biseca A M P O .

Pruébese: A M N P = A ONP. M

4. Dado: A E y BD se bisecanZ l s Z 2 .

Pruébese: A ABC A EDC.

A

D

E n los ejercicios 5 a 7, formúlense las razones o proposiciones que faltan.

5. Dado: AD = _D¿?A B 1 D C .

Pruébese: A D A C s s A D B C .

Afirmaciones Razones

1. A D s s DB. 1. Dado.

2. A B ± D C . 2. ? •'

3. Z i a Z 2 . 3. p ^ 1 .'. ■<. .•j <rx~

4. ? c O 4. U n segm ento es congruenteconsigo mismo.

5. A D A C A D B C . 5. ?

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Page 119: Geometria - Clemens

3.5 P ruebas: uso de postu lados y d e fin ic io n e s 107

6. Dado: A f í CDZ l s Z 2 .

Pruébese: A A B C sz A C D A .

Afirmaciones Razones

1. A B s é CD. 1. D ado.2. Z l s Z 2 . 2. Dado.3. ? 3. U n segmento es congruente

consigo mismo.4. A A B C s A C D A . 4. ?

7. Dado: X M ± Y ZX M biseca a Z YXZ.

Pruébese: A X Y M A X Z M .

Afirmaciones ^ Razones

1. X M _L YZ. 1. D ado.2. ? 2. Definición de las rectas

perpendiculares.3. X M biseca a Z FA’Z. 3. ?4. Z l s Z 2. 4. ?5. X M X M . 5. ?

6. A X Y M sé A X Z M . 6. ?

B.En los ejercicios 8 a 17 pruébese que los triángulos son congruentes.

8. Dado: X M biseca a Z Y X ZZ l s Z 2 ,

Pruébese: A X M Y = A X M Z .

9. Dado: X M ± Y Z _Y M s s M Z .

Pruébese: A X Y M s s A X Z M . X

10. Dado: / íC es la bisectriz de Z B A D Á B s í AD .

Pruébese: A B A C == A D A C .

11. Dado: Q M = OP

Q N biseca a MP. Pruébese: A Q N M s s A QNP.

M

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108 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

12. Dado: A C biseca a Z D A BA C biseca a L D C B .

Pruébese: A A C D = A A C B .

14. Dado:

Pruébese:

16. Dado:

Pruébese:

Pi? biseca a 5 2 5 2 biseca a PP . A P Q T s z A R S T .

13. Dado: H R A -A E _A H = s A D Z l s Z 2 .

Pruébese: A A H E ~ A AD R.

15. Dado:R

Z l s Z 2 L A s Z £N es_el punto medio de

Pruébese: A A B N =s A E D N .

17. Dado: Z £ s Z A T _5 biseca a E N EA ss w y

Pruébese: A E A S = A N Y S .S

ACTIVIDADES!

Un «hexad iam ante» es un po lígono fo rm a d o con se is tr iá n g u lo s equ ilá te ros .

\ / W \ / \ A

Este e s un «hexadiam ante«V___

Este no e s un «hexadiam ante»

D ibú jense y có rtense se is cop ias de este tr iá n g u lo eq u ilá te ro en un trozo de ca rtu lin a . E xpe rim én tese con estos se is tr iá n g u lo s para d e s c u b rir doce «hexad iam antes» de fo rm a s d ife ren tes . D ibú jense los doce po lígonos.

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Page 121: Geometria - Clemens

3.5 P ruebas: uso de pos tu lados y d e fin ic iones 109

18. Dado: ABC D E es un pentágonoregular.

Pruébese: A A E B = A CDB.B

19. Dado: BF biseca a / -A B CABC D E es un pentágono regular.

Pruébese: A A B F = A CBF.B

20. Dado: A B s s A C A I biseca a Z B A C .

Pruébese: A A I B = A AIC.A

21. Dado: A B s s B C __M es el punto m edio de AC .

Pruébese: L A s s Z C .B

C

22. El poste Y Z de una tienda de cam paña es perpendicular al suelo. ¿Qué o tras condiciones han de cum plirse para asegurar que los lados YW e Y X son de igual longitud?

SOLUCION DE PROBLEMAS

E ste dibujo m u estra 13 palillos d isp u esto s p a ra form ar s e is triángu los. ¿Q ué tres palillos pueden q u ita rse p a ra que queden tre s triángulos?

Invéntese un prob lem a con palillos sim ilar a é s te .

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Page 122: Geometria - Clemens

3.6 Prueba de la congruencia de ángulos y segmentos

U n in g en io so e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía (que e ra u n b u e n n a d a d o r , p e ro n o demasiado bu en o ), usó este m é to d o p a ra e n c o n tra r la d is ta n c ia e n tre el m u elle y la isla:

E líjase u n p u n to P en la o rilla del río .C o n s tru y a se L í s ¿ 2 y h ág ase ta m b ié n q u e L3 s LA . L oca lícese v isu a lm en te el p u n to de in te rsecc ión A d e los la d o s d e los án g u lo s 1 y 3. ¿ P o r q u é la d is ta n c ia d e l m u elle a la isla D I) es la m ism a q u e D A ?

P a r a re sp o n d e r a e s ta p re g u n ta , recu é rd ese la definición de tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s (Sec. 3.1).

110 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

C Z

A A B C s A X Y Z s ign ifica q u e lo s ig u ien te es v e rd ad e ro :

Á B = X Y A C = X Z B C = Y Z ¿ A ^ L X ¿ B ^ L Y L C ^ L Z .

C o n frecu en cia se p ru e b a q u e u n p a r d e seg m en to s o án g u lo s son congruen tes p ro b a n d o an te s q u e u n p a r d e tr iá n g u lo s so n co n g ru en tes . L uego se p u ed e u s a r la defin ic ión d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s p a ra co n c lu ir :}ue las p a r te s d e los tr iá n g u lo s q u e se c o rre sp o n d e n so n co n g ru en tes .

E n el p ro b le m a del m u elle y la is la , A D A P = A D I P p o r el p o s tu la d o de ia c o n g ru e n c ia A L A . D a d o q u e D A y D I s o n p a r te s c o rre sp o n d ie n te s de :s to s tr iá n g u lo s , D A ^ DI.

P a r a p ro b a r la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s o seg m en to s, a veces se puede:

1. se lecc io n a r tr iá n g u lo s q u e c o n te n g a n e s to s seg m en to s (o ángulos);

2. p ro b a r q u e lo s tr iá n g u lo s so n co n g ru en tes;

3. co n c lu ir q u e las p a r te s c o rre sp o n d ie n te s d e se a d a s de esto s tr iá n g u lo s so n co n g ru en te s .

Al fo rm u la r p ru e b a s , se d a la s ig u ien te ra z ó n p a ra el te rc e r p aso ,

.a s p a r te s c o rre sp o n d ie n te s de tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s so n co n g ru en te s . A b rev iad o , e s to es:

P a r te s c o rre sp o n d ie n te s d e A s so n s , o P C T C C .

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Page 123: Geometria - Clemens

3.6 P rueba de la co n g ru e n c ia de á n gu los y segm entos

E ste p ro c e d im ie n to se i lu s tra en los d o s

Ejemplo 1 D a d o : A B ~ A DZ _ l_ = Z 2 .

P ruébese : B E = D i?.

A nálisis: «Se p u e d e p r o b a r q u e B E ss D £ si es p o s ib le e n c o n tra r u n p a r de tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s q u e c o n te n g a n e s to s seg m en to s. A A B E y A A D E p a re c e n c o n ten e rlo s . ¿ Q u é p o s tu la d o d e c o n g ru e n c ia se p u ed e u sa r p a ra p ro b a r q u e so n c o n g ru e n tes? In té n te se co n L A L . C o m o se sa b e q u e Z1 =? Z 2 , A B s A D y q u e A E ss A E , p u e d e p ro b a rs e q u e los tr iá n g u lo s so n c o n g ru e n te s y co n c lu ir q u e B E = D E .»

Prueba

Afirmarciones Razones

1. A B ss ÁD . 1. Dado.

2. Z 1 = Z 2 . 2. Dado.

3. A E s A E . 3. ¿Por qué?

4. A A B E s A A D E . 4. Postulado LAL.

5. B E ss DE. 5. Partes correspondientesde A s son s .

Ejemplo 2 D ado : A C y B D se b isecan Z I s s Z 2 .

P ruébese: Z 3 = s Z 4 .

A nálisis: « Z 3 y Z 4 e s tá n e n A A O D y A 5 0 C, re sp ec tiv am en te , y en AA.DC y A A B C , re sp ec tiv am en te . P o r la in fo rm a c ió n d a d a , p a re c e q u e se d e b e p ro b a r q u e A A O D es c o n g ru e n te c o n A C O B . (¿ P o r qué?) E n to n ces , p u e d e co n c lu irse q u e Z 3 es c o n g ru e n te c o n Z 4 .»

Prueba

Afirmaciones Razones

1. ,4C y BD se bisecan. 1. Dado.

2. A O ^ C Ó ; Ó B ^ Ó D . 2. Definición de la bisectrizdel segmento.

3. Z l s Z 2 . 3. Dado.

4. A A O D = A C O B . 4. Postulado LAL.

5. Z 3 s Z 4 . 5. PCTCC.

e jem p lo s sigu ien tes. A

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Page 124: Geometria - Clemens

EJERCICIOS______

112 T riá n g u lo s y co n g ru e n c ia

A.En los ejercicios 1 a 5, indiquese qué triángulos puede dem ostrarse que son congruentes para establecer el hecho indicado. (En algunos casos puede haber más de un p ar de triángulos correctos.)

1. Pruébese: A B s í ÁC. A 2. Pruébese: Z F s Z Í .

3. Pruébese: EG EH.

5. Pruébese: J N = NL.

K

F B D C

4. Pruébese: AD = BC.

Drr------------------------C

En los ejercicios 6 a 8, formúlense las proposiciones y razones que faltan.

6. Dado: Z 1 3 Z 2Z 3 s s Z4 .

Pruébese: Z / í s Z C.Afirmaciones Razones

1. Z l s Z 2 .

2. ?

3. D B s D B .

4. A A D B s s A C B D .

5. ¿ A ^ ZC .

7. Dado: M N ^ M PN O s í OP.

Pruébese: M O biseca Z NMP.

Afirmaciones

1. ?

2. Dado.

3. U n segmento es congruente consigo mismo.

4. ?

5. ?

1. Á Í Ñ = M P ; Ñ O s OP.

2. ?

3. A M N O ^ A M P O .

4. ?

5. M O biseca a ¿ N M P .

Razones

1. ?

2 . ?

3. ?

4. PC TC C .

5. ?

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Page 125: Geometria - Clemens

3.6 P rueba de la co n g ru e n c ia de á n gu los y segm en tos 113

B.

8. Dado: ABCDEF es un hexágono regular.Pruébese: AC s B F

/ — \

>cv x , /A B

Afirmaciones Razones

1. ABCDEF es un hexágono 1. D ado.regular.

2. A F s¡ BC. 2, } A'fccDLf *ovn [« ^ ^ 0 ,0 0

3. ? 3. U n segmento es congruenteconsigo mismo.

4. Z FAB sé Z ABC. 4. ? ,-to

5. A FAB ACBA. 5. ?

6. ? 6. PCTCC.

En los ejercicios restantes, formúlense pruebas a dos columnas.

9. Dado: Z l s Z 2 10. Dado:Z l s Z 2

41 = 41-

Pruébese: BC = CD.

OA, OB, OC, OD son congruentes41 = 41-

Pruébese: A B = CD.B

ü

D

11. Dado: ABCDE es un pentágonoregular.

Pruébese: A ADC es isósceles.

B

12. Dado: X O es la bisectriz perpendicularde MP.

Pruébese: A X M P es isósceles.

X

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114 T riá n g u lo s y co n g ru e n c ia

13. Dado: Z l s Z 2D biseca a CE ¿ C ~ ¿ E . A

Pruébese: B D ss DF.

15. En un gimnasio, el extrem o de una red de voleibol está sujeto a la pared con dos argollas en los puntos P y M. Cada punto del plano de la red está a una d istanda igual de las d o s jin eas de base A C y BD. ¿Por cjué es P M perpendicular a AB?

16. Dado: A D == B CZ 1 £3 Z 2N es el pun to medio de AB.

Pruébese: A CND es isósceles.

ACTIVIDADES—H áganse estos 12 «pentam inós» con cuad rados de l tam año de los de un ta b le ro de a jedrez.

En esta fig u ra , se d isp u s ie ro n se is «pen tam inós» de fo rm a que n inguna de las p iezas restan tes se puede a d a p ta r a l ta b le ro s in so lape. In tén tese esto m ism o con d ife re n te s ju e g os de se is p iezas.

l

14. Dado: A B C D E F G H es un octágonoregular.

Pruébese: D F ss G E

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Page 127: Geometria - Clemens

3.6 P rueba de la co n g ru e n c ia de á n gu los y segm en tos 115

C.

En los ejercicios 17 a 20, puede ser necesario p robar que hay más de un p a r de triángulos congruentes.

17. D ado: ABC D EF es un hexágono regular.Pruébese: Z 1 s Z2.(Sugerencia: Pruébese prim ero que A E = BD.) A B

18. Dado:

19. Dado:recularAG biseca a L E A B y es la __bisectriz perpendicular de D C .

Pruébese: A B C F = A EDF.A

B

L i s L 2, L 3 s L A Z 5 s Z 6, Z 7 s Z 8 .

Pruébese: Z ^ s L C .B

rC

20. Dado: ABCD EFG H es un octágono regular Ä F J-A B ; B G L G F L l s Z 2 .

Pruébese: A A H I = A GHI.

A B

C

D

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.

M uéstrese cóm o co rta r un hexágono regu lar en 18 co m e ta s co ngruen tes. Una com eta e s un cuad rilá te ro con exac tam en te dos p a re s de lados a d y acen tes co n g ru en tes . (Sugerencia: T rácen se to d a s las d iag o n a le s del hexágono y d e sp u é s trá c e n se o tro s s e is seg m en to s cortos co locados estra tég icam en te .)

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116 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

3.7 Pruebas: solape de triángulos

U n « ro m p ecab ezas» m u y p o p u la r co n sis te en h a lla r u n p a r d e tr ián g u lo s e q u ilá te ro s c o n g ru e n te s e n e s ta f ig u ra y e n d ib u ja r lo s en u n p a p e l a p a rte . R esuélvase este p ro b lem a .

E n las p ru e b a s , su ced e c o n frecu en cia q u e v a r io s tr iá n g u lo s se so la p a n , lo c u a l h ace difícil id en tific a r a p r im e ra v is ta los tr iá n g u lo s q u e p o d r ía n se r m á s ú tiles p a ra p ro b a r la co n g ru en c ia . E n o casiones, es ú til s e p a ra r lo s tr iá n g u lo s m e n ta lm e n te o d ib u já n d o lo s , p a ra a y u d a r a a n a liz a r la p ru e b a , co m o se m u e s tra e n el e jem p lo sigu ien te .

Ejemplo 1

D a d o : ¿ 1 cg Z 2 A C ==; D F ¿ 3 = ¿ 4 .

Pruébese: E F s s B C .

A nálisis: «E s n ecesa rio esco g er u n p a r de tr iá n g u lo s q u e c o n te n g a n E F y B C . ¿Q u é sucede c o n A E F H y A B C H 1 N o se p u ed e p ro b a r q u e s o n c o n g ru en te s . In té n te se co n A E F D y A B C A . E s to s d o s tr iá n g u lo s son c o n g ru e n te s p o r el p o s tu la d o A LA , y se p u e d e c o n c lu ir q u e E F s B C .»

E n los e jerc ic ios se p e d irá c o m p le ta r esta p ru e b a .

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3.7 P ruebas: S o lape de tr iá n g u lo s 117

Ejemplo 2

Dado: ¿ 1 = ¿-(i.Z_3 =s ¿ A .A E = CD.¿ A B E = ¿ C B D .Pruébese: C

A nálisis: «L o s tr iá n g u lo s so la p a d o s A A B E y A C B D c o n tie n e n d o s p a re s de á n g u lo s c o n g ru en te s . L os la d o s in c lu id o s ta m b ié n so n c o n g ru en te s . Se p u e d e u sa r el p o s tu la d o A L A p a r a p ro b a rlo .»

B B

C

A veces es ú til e m p le a r láp ices d e co lo re s p a ra m a rc a r los tr iá n g u lo s so la p a d o s . E s tú d iese el s ig u ien te e jem plo .

L

Ejemplo 3

D ado : A L J N es isósceles c o n J L = L N41 = 41-

P ruébese : L K = LM .

A nálisis: «Se p u e d e p ro b a r q u e L K ^ L M si e s to s seg m en to s so n p a r te s c o rre sp o n d ie n te s de los tr iá n g u lo s c o n g ru en te s . Se in te n ta c o n A L K N y A L M J . Se sab e q u e L l s ¿ 2 y q u e ¿ J L N es c o n g ru e n te co n sig o m ism o . Se sa b e q u e A J L N es isósceles. A sí, lo s tr iá n g u lo s so n c o n g ru e n te s p o r el p o s tu la d o A LA . P u e d e p ro b a rse .»

Ejemitw 4

D ad o : J K = Ñ M¿ K J N s _ Z M N J .

P ruébese : K N = MJ. N

A nálisis: « K N y M J so n p a r te s c o rre sp o n d ie n te s de A L K N y L M J , com o e n e l e jem p lo a n te r io r . P e ro la in fo rm ac ió n d a d a es p a r te d e A K J N y de A M N J . C o m o J N es c o n g ru e n te c o n sig o m ism o , p u ed e p ro b a rs e p o r L A L q u e A K J N s A M N J . »

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118 T r iá n g u lo s y cong ruenc ia

EJERCICIOS _____ ___

A.En los ejercicios 1 y 2, cítense todos los pares de triángulos (solapados y no solapados) que parezcan congruentes. Em pléenselos vértices A y B en un triángulo, y los C y D, en otro.

D 2. E

B.

D

3. Form úlese una prueba com pleta a dos colum nas para el ejemplo 1.

4. Form úlese una prueba com pleta a dos colum nas para el ejemplo 3.

Form úlese una prueba com pleta a dos colum nas p a ra los ejercicios 5 a 10.

5. Dado: B D = CE¿ A B C j s Z A C B .

Pruébese: B E = CD.

6. Dado: Z D A B ss Z CBAZ D BA_5 Z CAB.

Pruébese: A D s BC.

U_ C, -L

[K .L A)

ACTIVIDADES

Los tr iá n g u lo s se u tiliza n m ucho en los an d a m ia je s po rque son fig u ra s ríg idas . T res v a r illa s un idas con c lavos m an tend rán su fo rm a aunque se las ca m b ie de lugar.

¿Cuáles de estas e s tru c tu ra s son ríg idas? C onstrúyanse m ode los para co m p ro b a r las respuestas.

clavo

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Page 131: Geometria - Clemens

3.7 Pruebas: S o lape de tr iá n g u lo s 119

regular.

8. Dado: Z 1 = = ; Z 2 , B E s E C¿AEC j=_ Z B E D •

Pruébese: A E s DE.

o ) .

9. Dado: Z_1 =s Z_2, P£) = R Q 10. Dado: PQRS con PQ ^ R S , ¿ R Q P yP F s s 77?. ¿-QRS son ángulos rectos.

Pruébese: Q T ss QV. ^ Pruébese: QS « RP* ' (es decir, las diagonales son

u p ) congruentes).

Pruébese:

Dado: Z 3 s Z 4

11. Dado: H F ± B D , H G ± A C , — 12. Dado: A B C DE es un pentágonoH F ^ H G . o Pruébese: A D s £B.

Pruébese: /4G == DF. £ ------& \4 ^ A

C

S i se obse rvan o tros tip o s de tr iá n g u lo s en la fig u ra , d ibú jense .

SOLUCION DE PROBLEMAS¿Cuántos tr iá n g u lo s d ife re n te s hay en esta f ig u ra que sean co n g ru e n te svcon los que tie n e n nom bre de le tra?

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120 T riá n g u lo s y co n g ru e n c ia

3.8 Pruebas: cadenas de congruencias

P a r a fo rm u la r c ie rta s p ru e b a s , h a de p ro b a rs e an te s la c o n g ru e n c ia de u n p a r de tr iá n g u lo s , a fin d e o b te n e r la in fo rm ac ió n n ecesa ria p a ra p ro b a r q u e u n seg u n d o p a r d e tr iá n g u lo s es co n g ru en te .

E s tú d ie se el e jem p lo s ig u ien te y ex p ó n g an se los p a so s o m itid o s .

B

Ejemplo Dado: A B ^ C BE D = = E F Z 1 s s Z 2 Z 3 s Z 4

Pruébese: A D = CF.

Análisis: « P o d r ía p ro b a rse q u e A D s C F si fu e ra p o sib le p ro b a r q u e A A E D = A C E F , p e ro n o h a y su fic ien te in fo rm a c ió n p a r a eso . Si se su p ie ra q u e A E s C E , p o d r ía p ro b a rs e q u e los tr iá n g u lo s so n co n g ru en te s p o r LAL. P e ro A E y C E so n p a r te s c o rre sp o n d ie n te s de A A B E y A C B E , así q u e se p u e d e p ro b a r q u e los tr iá n g u lo s so n co n g ru en tes .»

Prueba

Afirmaciones Razones

1. A B s CB. 1. Dado.

2. Z 1 = Z 2. 2. ¿Por qué?

3. B E s í BE. 3. ¿Por qué?

4. A A B E s A CBE. 4. Postu lado LAL.

5. A E s s CE. 5. ¿Por qué?

6. Z 3 s Z 4 . 6. Dado.

7. D E =£ FE. 7. Dado.

8. A AED== A CEF. 8. ¿Por qué?

9. A D =5 CF. 9. PCTCC.

O b sérv ese q u e los p a so s 1 a 4 p ru e b a n la c o n g ru e n c ia de u n p a r de tr ián g u lo s . L os p a so s 5 a 8 e m p le a n la p r im e ra c o n g ru e n c ia p a ra p ro b a r la d e u n seg u n d o p a r de tr ián g u lo s .

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Page 133: Geometria - Clemens

3.8 Pruebas: cadenas de co n g ru e n c ia 121

EJERCICIOS

1. Dado: Z | = Z 2 , UR biseca QS P U = TU , Z PU Q = Z 7T O

Pruébese: A Q R U ^ A S R U .

2. Dado: A B C D E F es un hexágono regular.Pruébese: A A B D s íA A F D .

C D

3. Dado: ABCD EFG H es un octágono regularZ ] s s _Z2.

Pruébese: C F = HE.A B

C

4. Dado: Z l = s Z 2L A E D _= Z CFB A E s í CF.

Pruébese: A B = CD.D

D

5. Dado: E H s s B J lA H s s D H A C = s D F Z_1

Pruébese: = B C .

D

6. Dado: ABCD EFG H es un octágonoregular. DH biseca a Z CI>£ Z l s Z 2 .

Pruébese: A B C I = A FBI.A B

,C

•D

SOLUCION DE PROBLEMAS-En e l d iseño que se m ues tra a con tinuac ión ¿cuántas veces puede le e rse la p a la b ra «G eom etría»? Se ind ican tre s fo rm as.

G

G E

{Sugerencia: ¿De cuántas formas pueden leerse palabras de dos, tres y cuatro letras en un diseño sim ilar? Búsquese un esquema.) G

G E O m G

G E O M 0 - - E - - G - ©

© — G - - E - - o M E M 0 E G

G E 0 M - - E -

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1

-m

M 0 E G

O - G' E ~ ?

M E T

- I—

-

a:- E M O E G

O m 0 M - “ E '- T ' R - 1 - R T E M 0 E G

E 0 M E T R 1 A 1 R T E M

ILI

o

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Page 134: Geometria - Clemens

Capítulo 3 Conceptos importantesTérminos

Triángulos congruentes (pág. 85)

Postulados

Postulado de la congruencia LAL. Si dos lados y el ángulo com prendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo com prendido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado de la congruencia ALA. Si dos ángulos y el lado com prendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado com prendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Postulado de la congruencia LLL. Si los tres lados de un triángulo son respectivam ente congruentes con los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

proposiciones

Las partes correspondientes de triángulos congruentes soncongruentes.

122 T riá n g u lo s y cong ruenc iawww.elsolucionario.net

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Page 135: Geometria - Clemens

C apítu lo 3 R esum en

Capitulo 3 Resumen1. D ado A B A C s A QRP, identifiqúense los lados y ángulos

correspondientes.2. En los siguientes casos, dígase qué postulado sobre la

congruencia puede em plearse para dem ostrar que los triángulosp A n p n n i t r n p n t p c

3. En cada uno de los casos siguientes, sáquese una conclusión basada en los datos proporcionados.

A

a. Dado: AB esperpendiculara CD.

c. DadoR d. Dado: ABCDE es un

pentágono regular.

D

E

D4. Dado: M P biseca a Z Q M N

M P biseca a Z QPN.

Q

5. D ado: A B _L CDR E ^ B DB C ^ B A .

Pruébese: C E = AD-

6. D ado: ¿ Q = P Y¿ Z s ¿ P S a f f i

Pruébese: X Y = XQ .

Pruébese: a . A M Q P = s A M N P M b . Z Q s ¿ N .

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Page 136: Geometria - Clemens

124 T riá n g u lo s y cong ruenc ia

Capítulo 3 Examen1. Utilícense las figuras para com pletar las proposiciones.

a. A A B C ^ J L

b. A X Y Z ^ J L

c. A F U N _L

2. En los casos siguientes, sáquese una conclusión basada en los da tos proporcionados.

a. Dado: W es el pun to m edio de Y Z y de XV.

b. Dado: J I l I Í K .K

Z

d. Dado: A C biseca a BD biseca a

A

3. Dado: P A ^ S AP T ss TS.

Pruébese: a . A P A T s s A SAT.b. Z P s ¿ S .

4. Dado: A D L B CD es el punto medio de BC.

Pruébese: A B s A C .

5. Dado: FE ^ FDL E s s L_D.

Pruébese: ¿ F s : DR.

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Page 137: Geometria - Clemens

Resumen global (Caps. 1 a 3)

1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. Los postulados son proposiciones que deben dem ostrarse.

b. U n rayo puede contener una recta.c. Los teorem as se p rueban po r razonam iento deductivo.

2. Dibújese u n triángulo A B C de m anera que L B sea obtuso.Trácese una recta que pase po r B y sea perpendicular a AC.

En los ejercicios 3 y 4, clasifiquense los razonam ientos en inductivos o deductivos.

3. L 1 y L 2 se denom inan ángulos rectos.Los ángulos icoles son congruentes.¿1 y ¿ 2 son congruentes.

4. ABCD es un cuadrado y tiene diagonales perpendiculares.EFGH es un cuadrado y tiene diagonales perpendiculares.T odos los cuadrados tienen diagonales perpendiculares.

En los ejercicios 5 y 6, formúlese la conclusión correcta o escríbase «no hay conclusión posible».

5. Si A B L C D , entonces A B y CD determ inan un plano.A B y CD determ inan un plano.P o r tanto , JL

6. Si ABCD es un cuadrado, entonces A B || CD.ABCD es un cuadrado.P o r tan to , JL

7. Considérese la proposición:Si dos rectas son paralelas, entonces no son perpendiculares.a. Form úlese la reciproca de la proposición.b. Form úlese la inversa de la proposición.c. Form úlese la contrarreciproca de la proposición.d. Dense contraejem plos para las proposiciones que no son

verdaderas.8. Dado: A D ==■ BC: A B =s DC. 9. Dado: A B sz A C \ A D biseca a ¿ B A C .

Pruébese: A A B C = A C D A . Pruébese: B D s ¡ CD.

R esum en g lo b a l 125

B

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Page 138: Geometria - Clemens

r - ¡l<& isa srsiEg'íM® aaArquitectura: domos geodésicosLos dom os geodésicos fueron introducidos por R. Buckm inster Fuller. Sus planos para una clase de dom o, llam ado domo solar, pueden encontrarse en la revista Popular Science de m ayo de 1966.

Se h an construido dom os de diferentes tam años y form as con m uy diversos m ateriales. Se utilizan dom os com o invernaderos, cubiertas de piscinas e, incluso, viviendas. En las fotografías se m uestra una vivienda dom o de C olorado, y un dom o que puede habilitarse com o tienda de cam paña.

[ l í l K I í D M

Los dom os geodésicos se hacen lo m ás parecidos posible a porciones de esferas. D os de las razones son que la esfera encierra el m ayor volumen con la m enor superficie, y que es la figura más resistente.

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Page 139: Geometria - Clemens

U n tipo estándar de dom o se basa en un sólido llam ado icosaedro. Elabórese un m odelo de icosaedro con cartulina o con palillos e hilo y un pa tró n de 20 triángulos equiláteros.

Fig. 1 P a tró n p a ra un icosaedro

Si se quitan los cinco triángulos de la base, resulta una estructura de domo.

En una estructura de dom o real, cada uno de los triángulos equiláteros de la figura 2 se divide en triángulos más pequeños, com o se m uestra en la figura 3. Para que la form a del dom o sea más parecida a una esfera, las piezas utilizadas para form ar los triángulos se hacen de diferentes longitudes. Las piezas del tipo C son ligeram ente más largas que las del tipo B, y éstas son un poco m ás largas que las del tipo A.

1. ¿Cuántas piezas de los tipos A, B y C se necesitan para com pletar el dom o de la figura 2?

2. ¿C uántos triángulos de lados A, A, B y B, C, C hay en este domo?

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Page 140: Geometria - Clemens

C A P I T U L O 44.1 P a s o s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a 130

4.2 U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s 138

4.3 P ru e b a d e te o re m a s : u s o d e s u p le m e n to s

y c o m p le m e n to s 144

4 .4 P ru e b a d e te o re m a s : u s o d e á n g u lo s v e r t ic a le s 150

4.5 P ru e b a d e te o re m a s : u s o d e á n g u lo s e x te r io r e s 154

4 .6 U so d e la p ru e b a in d ire c ta 158

C o n c e p to s im p o r ta n te s 164 R e s u m e n 165 E x a m e n 166

Técnicas para la solución de problem as

H a c e r u n a ta b la - l 167

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Page 141: Geometria - Clemens

Prueba de teoremas mediante propiedades

básicas

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Page 142: Geometria - Clemens

130 Prueba de te o re m a s m ed ian te p rop ie d a d e s básicas

4.1 Pasos para la prueba de un teorema

© 1958 U n ited F eatu re Syndicale, Inc.

E n el c a p ítu lo 2, se d ijo q u e u n te o re m a es u n a g e n e ra lizac ió n q u e p u e d e p ro b a rs e co n defin ic iones, p o s tu la d o s y la ló g ica del ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o .

E n el c a p ítu lo 3, se u só el ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o p a ra fo rm u la r p ru e b a s so b re tr iá n g u lo s c o n g ru en te s .

E n e s ta sección , se e m p e z a rá u sa n d o este p ro ceso d e ra z o n a m ie n to p a r a p ro b a r teo rem as .

E l p ro c e so d e seis p a so s p a r a p ro b a r u n te o re m a se i lu s tra rá en e s ta secc ión c o n d iv e rso s e jem plos. E l p r im e r te o re m a e s tá b a s a d o en la s p ro p ie d a d e s d e los n ú m e ro s re su m id a s an tes.

L as p ro p ie d a d e s reflexiva, s im é trica y tra n s itiv a ta m b ié n so n v á lid as p a ra

c o n g ru e n c ia s e n tre seg m en to s y án g u lo s , co m o se re su m e e n la ta b la sigu ien te .O b sé rv ese la se m e jan za e n tre la p ro p ie d a d reflex iva y la p ro p o s ic ió n « lo s p e rro s son p e rro s» .

REPASO: Algunas propiedades de los núm eros. P a ra cualquier núm ero, a, b y c:1. a = a (propiedad reflexiva).2. Si a = b, entonces b = a

(propiedad simétrica).3. Si a = b y b = c, entonces a = c

(propiedad transitiva).

Pasos para la prueba de un teorema

Paso 1 Si el teorem a no tiene la form a si-entonces, debe ponerse en esta forma.

Paso 2 Dibújese y rotúlese un d iagram a para m ostrar las condiciones del teorem a.

Paso 3 Escríbase lo dado a partir de lahipótesis (parte «si») de la proposición si-entonces.

Paso 4 Escríbase la prueba a p artir de la conclusión (parte «entonces») de la proposición.

Paso 5 Analícese lo que se va a p robar e idéese un plan.

Paso 6 Form úlese la p rueba dando como razones definiciones, postulados o teorem as ya probados.

Reflexiva Simétrica TransitivaCongruencia entre ángulos

L A = L A Si L A = Zfí, entonces L B s LA.

Si L A = Z f i , y Z B s ZC , entonces L A s í Z C.

Congruencia entre segmentos

 B s s  B Si A B ss CD, _ _ entonces CD ss AB.

Si A B s= CD, y CD s ËF, entonces A B s= EF.

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4.1 Pasos p a ra la p ru e b a de un te o re m a 131

E n re a lid a d , e s ta ta b la re su m e seis gen era lizac io n es. U n a d e ellas se p ro p o n e y p ru e b a a c o n tin u a c ió n . O b sé rv en se lo s seis p a so s p a ra la p ru e b a de u n teo rem a .

C u a n d o L A es c o n g ru e n te c o n L B y L B es c o n g ru e n te co n L C , ta m b ié n es v e rd a d e ro q u e L A es c o n g ru e n te c o n L C .

PRUEBA

P aso 1 Si L A es congruente con L B y L B es congruente con L C , entonces L A z s congruente con LC .

Paso 2

Paso 3 Dado: ¿ A s * L B . L B s s L C .

Paso 4 Pruébese: L A ^ L C .

Paso 5 Idéese un plan.Si se consideran los datos com o proposiciones sobre

medición de ángulos, entonces se puede usar la propiedad transitiva de los núm eros. Y por la definición de los ángulos congruentes se sabe que éstos tienen igual medida.

Paso 6

Afirmaciones Razones

1. ¿ A s L B . 1. Dado.

2. m L A = m L B . 2. Definición de ángulos congruentes.

3. Z B s L C . 3. Dado.

4. m L B = m L C . 4. ¿Por qué?

5. m L A — m L C . 5. Propiedad transitiva de los números.

6. ¿ A s L C . 6. ¿Por qué?

P o d r ía fo rm u la rse u n a p ru e b a s im ila r p a ra la s o tra s c inco p ro p o s ic io n e s re su m id as en la ta b la . C o m b in a n d o to d a s estas p ro p o sic io n es , se estab lece e l te o re m a sigu ien te .

Teorema 4.1 L as p rop iedades reflexiva, s im étrica y tran sitiv a son aplicables a la congruencia de ángulos y segm entos.

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Page 144: Geometria - Clemens

L o s d o s te o re m a s sig u ien tes c o m p le m e n ta n la ilu s tra c ió n del p ro c e so de seis p a so s p a ra la p ru e b a d e u n teo rem a .

T e o rem a : Si lo s p u n to s A , B, C y D e s tá n so b re u n a re c ta de m a n e ra q u e B e s_el_pun to m ed io d e A C y C es el p u n to m ed io d e B D , e n to n c e s A B s CD .

PRU EBA

Paso 1 El prim er paso está contenido en la proposición del teorema.

Paso 2

132 P rueba de te o re m a s m ed ian te p rop ie d a d e s básicas

A B C D

Paso 3 Dado: B es el pun to medio de A C C es el punto m edio de BD.

P aso 4 Pruébese: A B ^ CD.

Paso 5 Idéese un plan.Se in terpretará cada una de las

proposiciones de los datos com o una proposición sobre la congruencia de segmentos. Luego se utilizará el hecho que la congruencia de segmentos satisface la p ropiedad transitiva.

P aso 6Afirmaciones Razones

1. B es el punto medio de AC. 1. Dado.2. C es el punto m edio de BD. 2. ¿Por qué?3. A B ^ B C . 3. Definición de punto medio.4. B C CD. 4. ¿Por qué?5 . A B = s G D . 5. Propiedad transitiva (Teorem a 4.1).

E n el p a so 5, la ra z ó n es u n te o re m a y a d e m o s tra d o . H a s ta a q u í, se u tiliz a ro n lo s p o s tu la d o s , defin ic iones y d a to s c o m o ra z o n e s en las p ru e b a s . L a p ru e b a a n te r io r m u e s tra q u e los te o re m a s y a p ro b a d o s ta m b ié n so n u n a p a r te im p o r ta n te e n el p ro c e so del ra z o n a m ie n to d ed u c tiv o .

C u a n d o se d is e ñ a u n p la n p a ra u n a p ru e b a , h a n d e rev isa rse las defin ic iones, p o s tu la d o s y te o re m a s y a p ro b a d o s .

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4.1 Pasos para la p ru e b a de un te o re m a 133

Teorema 4.2 E n u n tr iá n g u lo isósceles, e l seg m en to q u e v a d e l á n g u lo del v é rtic e a l p u n to m ed io d e l la d o o p u e s to fo rm a u n p a r de tr iá n g u lo s c o n g ru en te s .

L a p ro p o s ic ió n d e e s te te o re m a es c o m p le ja su fic ien te co m o p a ra i lu s tra r la im p o r ta n c ia d e lo s p a so s 1 y 2 d e e s te p ro ceso de seis pasos.

PRUEBA

Paso 1 Si A A B C es un triángulo isósceles con A B s AC , y si D es el punto medio de BC, entonces A ABD = AACD.

A

Paso 3 Dado: A B ^ AC ___D es el punto medio de BC.

Paso 4 Pruébese: A ABD = AACD.

Paso 5 Idéese un plan.Se usará la información

proporcionada, la definición de punto m edio y la propiedad reflexiva de la congruencia de un segmento ju n to con el postulado de la congruencia LLL.

Afirmaciones Razones

1. A B s AC. 1. D ado.

2. D es el pun to medio de BC. 2. D ado.

3. B D s s CD. 3. Definición de pun to medio.

4. A D = í ÁD. 4. Propiedad reflexiva de lacongruencia de un segmento(Teorem a 4.1).

5. A A B D = A A C D . 5. Postu lado de la congruencia LLL.

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134 P ru eb a de te o re m a s m edian te p ro p ied ad es b ás ica s

EJERCICIOS______A.

En los ejercicios 1 a 3, se presenta un teorem a de la forma si-entonces. H ágase un dibujo y establézcanse los datos y la prueba usando el dibujo y sus nombres. N o se probará ningún teorema.

1. Teorem a. Si A A B C es un triángulo isósceles, entonces A A B C tiene un p a r de ángulos congruentes.

2. Teorem a. Si los puntos X , Y y Z son puntos medios de los lados de un triángulo A A B C , entonces los segmentos X Y ,X Z e Y Z dividen A A B C en cuatro triángulos congruentes.

3. Teorem a. Si X e Y son los puntos medios de dos lados de un triángulo, entonces X Y es igual a la m itad de la longitud del tercer lado.

En los ejercicios 4 a 7, formúlese de nuevo el teorem a en la form a si-entonces, dibújese un diagram a y establézcanse los datos y la prueba. No se intentará probar los teoremas.

4. U n triángulo equilátero es un triángulo isósceles,5. D os rectas intersecantes form an dos pares de ángulos

congruentes.

6. D os rectas intersecantes que no sean perpendiculares form an un p ar de ángulos obtusos.

7. La bisectriz de un ángulo del vértice de un triángulo equilátero es una bisectriz perpendicular de un lado.

Indíquese la propiedad de la congruencia entre ángulos o segm entos (reflexiva, simétrica o transitiva) ilustrada por cada una de las siguientes proposiciones.

8. Si dos segmentos son congruentes, la proposición de congruencia puede escribirse em pezando p o r cualquiera de los dos segmentos.

9. Todo segmento es congruente consigo mismo.

10. Si un prim er ángulo es congruente con o tro y éste es congruente con un tercero, entonces el prim er ángulo es congruente con el tercero.

En los ejercicios l i a 14, empléense los datos y la p rueba para hacer un dibujo. Luego formúlese un teorem a general. No se probará ninguno de estos teoremas.

11. Dado: AABC_es un triángulo isósceles 12. Dado: A A B C con A B ^ A C .con A B ^ AC . Pruébese: A A B C es un triángulo

Pruébese: A B ^ AC . isósceles.

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Page 147: Geometria - Clemens

4.1 Pasos p a ra la p rueba de un te o re m a 135

13. Dado: A A B C es un triángulo equilátero.Pruébese: L A ^ í L B £ C.

15. S i Al S ¿ 2 , y A 2 ^ ¿ 3 , ¿por qué ¿ l s ¿ 3 ?

17. Si /4B = BC y BC = -4C, ¿por qué se sabe que A-4BC es equilátero?

14. Dado: A-4BC con L A ^ L B ^ L C .Pruébese: A A B C es un triángulo equilátero.

16. S i _ A B ^ J C y BC s CD, ¿por qué ^ 5 s CD?

18. Si A B ^ ED y ED == BC , ¿po£_gué se sabe que B es el pun to m edio de AC1

19. En un pentágono regular, dosdiagonales del mismo vértice s o n ___congruentes. P o r ejemplo, A C £ AD en la prim era tigura. Empléese este hecho con una propiedad transitiva para explicar po r qué A C y BE son congruentes en la segunda figura.

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Page 148: Geometria - Clemens

136 P rueba de te o rem as m ed ian te p rop ie d a d e s bás icas

20. U n plom ero está m idiendo la longitud de A B p ara co rtar un trozo de tubo de la longitud correcta. El tubo cortado se llam a CD. ¿Cóm o dem uestra la p ropiedad transitiva que el tubo CD se ■ ajustará al espacio AB'} (Sugerencia: la m edida es una parte im portan te del razonam iento.)

Form úlese una prueba com pleta a dos colum nas para los ejercicios 21 y 22. Cada prueba requiere el uso de alguna de las propiedades de congruencia entre segm entos o ángulos especificadas en el teorem a 4.1.

Dado: B E s C EZ l ^ ¿ 2B es el punto medio de C es el punto m edio de.

Pruébese: A A B E s A DCE.

Dado: Z 1 == Z 2 Z 3 a Z 4 .

Pruébese: A A B D = A CDB.

ACTIVIDADES1

E stas « ilusiones ópticas» m uestran por qué e s m ás fiable el razonam ien to lógico q u e la inform ación visual. R esp ó n d ase a las p reg u n tas y d e sp u é s co m p ru éb ese m idiendo.

a . ¿Q ué d istanc ia e s m ás larga , A a B o C a D?

b . Si s e pro longa la recta k, ¿ lleg a rá al punto A, alS, al C o a ninguno de ellos?

D ■ 8

c. ¿Q ué seg m en to tiene__m ayor longitud, AB o CD?

C réese una ilusión óptica propia.

O c¡

O)

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Page 149: Geometria - Clemens

4.1 Pasos p a ra la p rueba de un te o re m a 137

23.

Dado: OB biseca a L A O C O t biseca a LBOD.

Pruébese: L A O B s L C O D .

24.

Dado: O es el pun to medio de BC A A O B es isósceles conO A s OB.

Pruébese: A A OC es isósceles.

25.

A R C D

C

Dado: A A C E s A DBFB es el punto medio de A C C es el pun to medio de BD.

Pruébese: A A B E s A DCF.

Dado: A B C E tiene A B = BC A B D F es isósceles con B F ^ B DB~F biseca a L A B D y BD biseca a ¿ C B F .

Pruébese: A A B F s ACBD.

27. Pruébese: que la congruencia de triángulos satisface la propiedad transitiva.

28. Pruébese: que todos los ángulos rectos son congruentes.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Las figuras m uestran los cuatro p rim eros n ú m ero s hex ag o n ales .a . D ense los 2 núm eros h ex ag o n a les s ig u ien tes . M u éstrense los p a tro n es de puntos.b. ¿P roporciona la fórm ula n(2n — 1) el n -ésim o hexagonal?

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138 Prueba de te o re m a s m ed ian te p rop iedades básicas

4.2 uso de la propiedad de suma y resta de iguales

L a s p ro p ie d a d e s de lo s n ú m e ro s q u e se m u e s tra n a la d e rech a , so n u n re p a so de á lg eb ra .

E s ta s p ro p ie d a d e s se u sa n e n p ru e b a s q u e c o n tie n e n lo n g itu d e s de seg m en to s y m ed id as d e á n g u lo s . L o s d o s te o re m a s q u e se p re se n ta n e n e s ta secc ión ilu s tra n el uso d e e s ta s p ro p ied ad es .

E n p ru e b a s p o s te rio re s del lib ro , se u s a rá n a m e n u d o los te o re m a s , e n lu g a r de las p ro p ie d a d e s de los n ú m ero s.

Teorema 4.3 S u m a de ángu los iguales. Si m L A P B = m L D Q E ,m L B P C = m L E Q F , Y É e s tá e n tre P Á y P C y Q É e s tá e n tre Q Ú y Q p , e n to n ces m L A P C = m L D Q F .

PRU EBA

D ado : m L A P B - m L D Q Em L B P C = m Z EOF.

P ruébese: m ¿ A P C = d q F

Afirmaciones Razones

1. m L A P B = m Z DQF. 1. Dado.

2. m Z B P C = m Z EQF. 2. D ado.

3. m L A P B + m L B P C = 3. Propiedad de la sum a de iguales.= m ¿ D O E + m L EQF.

4. m L A P B + m L B P C = m L A P C . 4. Definición de «entre» para rayos.

5. m L D O E + m L E Q F = m L DQF. 5. ¿Por qué?

6 . m L A P C = m L D Q F . 6. Principio de la sustitución.

REPASO: Algunas propiedades de los números.

Suma de iguales: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.Resta de iguales: Si a = b, c = d, y a > c, entonces a — c = b — d.Multiplicación de iguales: Si a = b y c = d,entonces a- c — b d.Principio de la sustitución: Si a = b, entonces a puede sustituirse po r b en cualquier ecuación o desigualdad.

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4.2 Uso de la p ro p ie d a d de sum a y res ta de igua les 139

P o r lo g en era l, la in fo rm ac ió n so b re q u é ra y o s es tán e n tre o tro s , n o se p re se n ta e n los d a to s ; p u e d e to m a rse de las figuras. E s to m ism o tam b ién es v e rd a d p a ra los p u n to s , co m o ilu s tra el s ig u ien te teo rem a .

Teorema 4.4 R e s ta de seg m en to s iguales. S i A C = D F , B C = E F , B e s tá e n tre A y C , y E e s tá e n tre D y F, en to n ces A B = DE.

Dado: A C = DF *_________________ £__________ £BC = EF.

Pruébese: AB = DE. í -

Afirmaciones

1. A C = DF.

2. B C = EF.

3. A C = A B + BC.

4. D F = D E + EF.

5. A B + B C = D E + EF.

6. A B + B C - B C == D E + EF — EF.

7. A B + B C - B C = AB.

8 . D E + E F - E F = DE.

9. A B - DE.

L os d o s te o re m a s sig u ien tes se

Razones_______________

1. Dado.

2. Dado.

3. Definición de «entre» para puntos.

4. ¿Por qué?

5. Principio de la sustitución.

6. Propiedad de resta de iguales.

7. Propiedades de álgebra.

8. ¿Por qué?

9. Principio de la sustitución,

n sin d em o strac ió n .

Teorema 4.5 S u m a de segm en to s ¡guales. Si A B = DE, B C = E F . B está e n tre A y C. y E e s tá e n tre D y F, e n to n ces A C = DF.

Teorema 4.6 R esta de ángu lo s ¡guales. Si m A A P C = m L D Q F ,m L B P C = m L E Q F , P É e s tá e n tre P l y P C , y Q E está e n tre Q Ú y Q ? , e n to n c e s m L A P B — m L D Q E .

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140 P ru eb a de te o re m a s m edian te p ro p ied ad es b ás ica s

EJERCICIOS____________________A.

Indíquese si las conclusiones de los ejercicios 1 a 6 están justificadas por la propiedad transitiva de la igualdad, el teorem a de la sum a de ángulos iguales o el teorem a de la resta de ángulos iguales.

1. S i w Z l = m L 2, y m Z 2 = w Z 3 , entonces m L 1 = « Z 3.

2. Si w Z C O D — m Z EOF, entonces m L C O E = m L D O F .

3. Si m L B O D = m L C O E , entonces m L B O C = m L D O E .

4. Si m L A O C = m L D O F y m Z l = n iZ 3, entonces m L B O C - m L D O E .

5. Si m L A O C = m L B O D y m L B O D = m L D O E , entonces m L A O C = m ¿ D O E .

6. Si m L A O D — m L F O C y m Z B O D — m A E O C , entonces m ¿ A O B = m ¿ F O E .

En los ejercicios 7 a 10, formúlese una propiedad, un teorem a o una com binación de am bos que justifique las proposiciones dadas.

7. Si BD = CE, entonces B C = DE.

8. Si A C = DF, entonces AD = CF.

9. Si BE = DF, y DF = AC, entonces CE = AB. A

10. Si A B = E F y B C = DE, entonces AD = CF.

En los ejercicios 11 a 14, proporciónense todas las razones que faltan en las dem ostraciones.

11. Dado: A B = CD.Pruébese: A C = BD. Afirmaciones

B C D F. F

(Ejercicios 7-10)

Razones

A B C D

12. Dado: m L A O C = m ¿ B O D .Pruébese: m /_ A O B = m Z COD.

1. A B = CD.

2. B C = BC.

3. A C = BD.

1. Dado.2 . ?

3. ?

Afirmaciones

1. m L A O C = m ¿ B O D .

2. m L B O C = m L B O C .

3. m L A O B = m L COD.

Razones

1. Dado.

2. ?

3. ?

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Page 153: Geometria - Clemens

4.2 Uso de la p ro p ie d a d de sum a y resta de igua les 141

Dado: A B = CD B D = DE.

Afirmaciones Razones

Pruébese: A C = DE. i. A B = CD. 1. D ado.

2. B D = DE. 2. D ado.

3. B C = BC. 3. ?A B C D E 4. A C = BD. 4. 5

5. A C = DE. 5. f

Afirmaciones Razones

Dado: m ¿ A O D = m Z FOCm Z 3 — m Z 4. 1. m L A O D = >n Z FOC. 1. }

Pruébese: m Z l = m Z 2. 2. m Z COD — m Z COD. 2. ?

3. m L A O C = m l F O D . 3. ?

4. m Z 3 = w-Z4. 4. ?

, f 5. m Z 2 = m Z 1. 5. p

O

B.

biela15. Considérese el diagram a que aparece abajo.a. ¿Cuál es la distancia entre el centro

de la biela y la cabeza del pistón?b. ¿Cuál es la longitud del pistón?c. ¿Qué teorem as o postulados apoyan

sus respuestas?

16. En u n a librería se quieren m ontar soportes de estantes. Si se colocan de m anera que A B = DE y BC = EF,¿qué teorem a se usará p a ra llegar a la conclusión de que el prim ero y tercer estantes están a la m isma distancia de am bos extremos?

17. D os focos para exterior idénticos se colocan dentro de una caja. D ebajo de las cajas se colocan dos cuñas idénticas. ¿Qué teorem a asegura que los dos haces de luz form arán el mismo ángulo con el suelo?

k \\\dirección

de la luz

pistón

s

/T

/ \

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142 Prueba de teo re m a s m ed ian te p rop iedades básicas

En los ejercicios 18 a 27, formúlese una dem ostración com pleta a dos columnas.

18. Dado: A B = CD Z l s Z 2 Z 3 s s Z4.

Pruébese: A A C F A DEE. E , ----------------

20. Dado: A BF C = s A D G C A A B C = s A E D C .

Pruébese: A A F C ss A E G C .

22. Dado: B es el punto medio de ÀF E es el punto m edio de BC E es el punto medio de DF A B s CD.

Pruébese: A BEF s A CED.

19. Dado A E s é D E Z l s Z 2 Z _ 3 sZ _ 4 .

Pruébese: A C =s BZ).E

21. Dado: B es el punto medio de /4CZ I s s Z 2 Z _ 3 s Z 4

GB.Pruébese: F£> ss GB.

F

F

C

ACTIVIDADES

Un conjunto de puntos que sa tis face una so la condición d ad a s e llam a lugar geom étrico , locus. El locus de puntos eq u id is tan tes d e los ex trem o s de una recta de seg m en to e s la bisectriz p erpend icu lar del segm ento .

Se puede d em o stra r q u e esto e s cierto o b servando la figura tra z a d a por un «punto móvil». C onstrúyase un juego esp ec ia l de 20 ta r je ta s (8 cm x 13 cm), ú n an se con un clip y re c ó rra n se con un dedo p a ra v er el «punto móvil». P a ra ver la bisectriz p erpend icu lar pu ed e u s a rs e un juego de ta r je ta s com o el q u e s e m uestra a continuación.

+

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4.2 Uso de la p rop iedad de sum a y resta de igua les 143

23. Dado: C es el punto m edio de AD¿ l s Z 2 Z 3 = ¿ 4 .

Pruébese: A E C G s í A BCF.

24. Dado: A A E C s í A D F B .Pruébese: A A B F s í A D C E .

25. Dado: A A E C s í A D F B .Pruébese: A A B E s A D C F .

26. Dado: ABC D E es un pentágono regular 27. Dado: ABC D E es un pentágono regularF E GE.

Pruébese: A A B F s í A DCG. Pruébese: A FGE es isósceles.

B

D

SOLUCION DE PROBLEMAS.

C oloqúense es tos nueve tr iá n g u lo s para fo rm a r uno so lo , de m anera que los vé rtice s que se toquen tengan el m ism o s ím bolo.

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144 P rueba de te o rem as m ed ian te p rop ie d a d e s bás icas

4.3 Prueba de teoremas: uso de suplementos y complementos

Definición 4.1

Angulos complementarios sondos ángulos cuyas medidas sum an 90°.

Definición 4.2Angulos suplementarios son dosángulos cuyas m edidas sum an 180°.

Z A B C es su p le m e n ta r io deF ¿ D E F .

L a su m a d e las m e d id a s d e ¿ D E F es su p le m e n ta r io deL A B C y Z D E F es 180°. z A B C .

C o n frecuencia , en el m u n d o físico, los á n g u lo s se p re s e n ta n en p a re ja s cu y a s u m a de m ed id as es de 180° o 90°. E s te t ip o d e p a re ja s se e s tu d ia n en e s ta sección.

L a s u m a d e las m ed id as de ¿ A B C y ¿ D E F es 90°.

Z A B C es c o m p le m e n ta r io de ¿ D E F .¿ D E F es c o m p le m e n ta rio de ¿ A B C .

A lg u n o s p a re s de án g u lo s q u e su m a n 180° tien en u n vértice c o m ú n , u n la d o c o m ú n y n in g ú n p u n to in te r io r co m ú n , y se d e n o m in a n par lineal. B ú sq u ese u n p a r lin ea l d e á n g u lo s en la fo tog rafía .

¿ A O B y ¿ B O C tien en un la d o c o m ú n , OÍ!. L a u n ió n de los o tro s d o s lados,O l y O d , es u n a rec ta .

¿ A O B y ¿ B O C so n un p a r lin ea l de ángu los.

Definición 4.3U n par lineal de ángulos es unp ar de ángulos con un lado com ún tal que la unión de los o tros dos lados es una recta.

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4.3 P rueba de teo rem as: uso de sup lem en tos y co m p le m e n to s 145

L a estru c tu ra que sostiene el te jado de una casa co n frecuencia se ensam bla p o r separado . E sta es tru c tu ra se llam a sistem a de tijerillas de tejados. U n a de las ta reas de u n ingeniero es identificar to d o s los ángulos de la m ism a m ed ida en este sistem a de tijerillas, p a ra p oder co rta r al m ism o tiem po todas las estru c tu ras con ángulos congruentes.

El teo rem a que se p resen ta en esta sección p ro p o rc io n a inform ación útil p a ra determ in ar el tam añ o de los ángulos.

Em pléese u n tra n sp o r ta d o r p a ra responder a las p reg u n tas sob re los com plem entos.

¿Es L A com plem entario de L O ¿Es L B com plem entario de LO .¿Q ué com paración existe en tre m L A y m L B l

¿Es L P com plem entario de LRP.¿Es LQ com plem entario de Z.S?¿Q ué com paración existe en tre m L P y m L Q l

Se p o d ía h ab e r d icho q u e L A y L B son congruentes, y que L P y L Q son congruentes. El teo rem a 4.7 resum e las dos situaciones analizadas.

Teorema 4.7 T e o re m a de los co m p lem en to s co ngruen tes. D o s ángulos que son com plem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes), son congruentes.

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146 Prueba de te o rem as m ed ian te p rop iedades bás icas

Se p ro b a rá la p rim era p a r te del teo rem a de com plem entos congruentes. La segunda parte , se com pletará com o ejercicio.

PRUEBA

D a d o :L A es com plem entario de L C L B es com plem entario de LC.

P ru éb ese :¿A s LB.A

Afirmaciones Razones

1. L A es com plem entario de LC . 1. Dado.2. m L A + m L C = 90. 2. Definición de ángulos

complementarios.3. L B es com plem entario de L C. 3. ¿Por qué?4. m L B + m L C = 90. 4. ¿Por qué?5. m L A + m L C = m L B + m L C . 5. Principio de la sustitución.6. m L A = m L B . 6. Propiedad de la resta de iguales.7. L A =s L B . 7. Definición de ángulos congruentes.

APLICACION

E n un triángu lo con un ángulo de 90°, la sum a de los o tro s dos ángulos tam bién es 90°. E n consecuencia, en este sistem a de tijerillas de tejado , L 2 y ¿ 3 son com plem entos de L 1. P o r el teo rem a 4.7, puede concluirse que L 2 y L3 tienen la m ism a m edida.

Teorema 4.8 T eo rem a de los su p lem en tos congruentes. D o s á n g u lo s q u e so n su p le m e n ta r io s d e l m ism o á n g u lo (o d e án g u lo s c o n g ru en te s), so n co n g ru en tes .

P arece razonab le que dos ángulos que form an u n p a r lineal d eban sersuplem entarios. E ste hecho se acep ta com o Postulado del par linealverdad y se d enom ina « postu lado del p a r Si dos ángulos forman un par lineal, loslineal». ángulos son suplementarios.

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4.3 P rueba de teo rem as: uso de sup lem en tos y com p lem en tos 147

E stu d íese c ad a p a so de las p ru e b a s sig u ien tes y fo rm ú len se las ra z o n e s om itid as .

EEjemplo 1

D ad o : ¿ A ^ ¿ D¿ A ££ Z 2

A B =? C D . DP ruébese : B E = CE.

Afirmaciones Razones

1. ¿ A s ¿ D . 1. Dado.

2 . A B s C D . 2. ¿Por qué?

3. Z l s Z 2 . 3. ¿Por qué?

4. ¿ 1 y Z 3 son suplementarios. 4. Postu lado del p a r lineal.

5. Z 2 y Z 4 son suplementarios. 5. ¿Por qué?

6. Z 3 s Z 4 . 6. Teorem a de los suplementoscongruentes.

7. A A B E s A D C E . 7. ¿Por qué?

8. B E s C E . 8. PCTCC.

Ejemplo 2

D ad o : ¿ F G H y L I H G so n án g u lo s rec to s Z l s Z 2 .

P ruébese: a f f l G s A F G H .

Afirmaciones

H

1. ¿ F G H y L I H G son ángulos rectos.

2. ¿ F G H s LIH G .

3. m Z F G / í — m Z / / /G = 90.

4. Z l s Z 2.

5. Z 1 y Z /G H son com plem entarios.

6. Z 2 y ¿ F G H son com plem entarios.

7. ¿ I G H s ¿ F H G .

8. G H - H G .

9. A l H G s A FGH.

1. D ado.

2. Todos los ángulos rectos son congruentes.

3. ¿Por qué?

4. Dado.

5. Definición de complementos.

6. ¿Por qué?

7. Teorem a de los com plem entos congruentes.

8. P ropiedad reflexiva (segmentos).

9. ¿Por qué?

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148 Prueba de te o rem as m ed ian te p rop iedades bás icas

EJERCICIOS__________________A.

1. Cítese un suplem ento de L 1.

2. Cítese un suplem ento de L COB.

3. Cítese un com plem ento de LCO E.

4. Cítese un com plem ento de L2.

5. ¿Por qué L C O E y L D O E son congruentes?

6. ¿P o r qué L C O B y L A O D son congruentes?

7. Cítense dos ángulos que sean suplem entos de LCO E.

8. Cítense dos ángulos que sean com plem entos deL 3.

9. Cítense dos ángulos que sean com plem entos de LH O F .

10. ¿Por qué L C O E y L B O G son congruentes?

11. ¿Por qué L A O H y L C O E son congruentes?

12. ¿Por qué L A O G y L E O D son congruentes?

13. ¿Por qué L 3 y L A O C son congruentes?

14. ¿Por qué L 3 y L A O D son suplementos?

í.

15. Si m L A = x , entonces el com plem ento de L A mide JL.16. Si m L B = x, entonces el suplem ento de L B m ide JL17. D os ángulos son suplementarios. L a m edida de uno de

ellos es cuatro veces la m edida del otro. Encuéntrense las m edidas de los dos ángulos.

18. D os ángulos son suplem entarios. L a m edida de uno es 20° m enos que tres veces la m edida del otro. Encuéntrense las m edidas de los dos ángulos.

ACTIVIDADES* ^ — — — ■E labórese un juego de 20 ta r je ta s com o las que se m uestran a con tinuac ión , únanse con un c lip y re có rra n se con un dedo para m os tra r que e l lu g a r g e o m é trico de pun tos e q u id is ta n te s de los dos lados de un ángu lo es la b ise c tr iz de l ángu lo .

A B .L OE (Ejercicios 1-6)L \ = L 2

A B _L EF, CD ± HÒ A H 1 ÍÍG, ÉG ± HG

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4.5 P rueba de te o re m a s : uso de sup lem en tos y co m p le m e n to s 149

Empléense los teorem as 4.7 y 4.8 en los ejercicios 19 a 22.

19. Dado: A D =_CD B D L A C Z l s ¿ 2 .

Pruébese: A A B D =s A CBD. p¡

20. Dado: L B A X = L D A X ¿ B C Y j ^ L D C Y .

Pruébese: B C = D C ■

21. Dado: ABCD es un cuadrilátero con todos 22. Dado: los lados de la misma longitud Z1 s Z 2W, X , Y, Z son puntos medios de los lados.

Pruébese: A B W X =s A DZY.

D

A C A .A B , B D L Á B Z_1 = Z 2.

Pruébese: A D =s BC.

C .23. Dado: Z I s Z 2

Z _ 3 s Z 4 B E _ ^ D E _A B A. BC, A D L C D . B

24. Dado: A B 1 0 E , O es el pun to mediode ABL A e* L B Z I =£ Z 2 .

Pruébese: A A O D ss A BOC.

c D

25. Pruébese: la segunda parte del teorema 4.7. 26. Pruébese: el teorem a 4.8.O B

_ SOLUCION DE PROBLEMAS________1. Con una ca lcu lado ra y el m étodo de «conjetura y

prueba», en cu én tren se d o s d ec im ales «x» e «y» ta le s que x —y = 1 y x y = 1.

AC2. Si = - — , e s ta línea s e divide en u n a proporción

AC CB'esp ec ia l llam ada «sección áurea» . M u éstrese q u e AB e s igual al núm ero x del p rim er problem a.

(K 2E 2

• a a□ s a n□ ai a íjíej lü b ea la o s T * —k 1

A C 8

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150 P rueba de te o re m a s m ed ian te p rop ie d a d e s bás icas

4.4 Prueba deteoremas: uso de ángulos verticales

E n e s ta secc ió n se e s tu d ia rá n p a re s de án g u lo s fo rm a d o s p o r u n p a r de rec ta s q u e se in te rsecan .

E l m o lin o d e v ien to d e la fo to g ra fía p ro p o rc io n a m u c h o s e jem p lo s d e án g u lo s fo rm a d o s p o r rec ta s in te rsecan tes . A dem ás d e v a r io s p a re s lineales de á n g u lo s , h ay v a rio s p a re s d e án g u lo s q u e se en tre c ru za n . L o s te o re m a s d e e s ta sección t r a ta n de las re lac io n es e n tre lo s án g u lo s fo rm a d o s p o r re c ta s in te rsecan tes .

Definición 4.4Los ángulos verticales son dos ángulos form ados por dos

. , , , L A O B y L C O D so n rectas que se intersecan, peroB C y A D se in te rse c a n en O. á n g u lo s verticales. que no son un p ar lineal de

ángulos.

¿E s p o s ib le c o n v en ce r a a lg u ien de q u e e sta s c in co p ro p o s ic io n e s so b re lo s án g u lo s fo rm a d o s p o r las rec ta s C y m son v e rd ad e ras?

1. L l y L 2 so n su p lem en ta rio s .

2. L l y L l so n su p lem en ta rio s .

3. L l y L 3 so n co n g ru en te s .

4 . L l y L A so n su p lem en ta rio s .

5 . ¿ 2 y L A so n co n g ru en tes .

E s ta s c in co p ro p o s ic io n e s c o n d u c e n a l s ig u ien te teo rem a .

Teorema 4.9 T e o re m a de los áng u lo s verticales. Si d o s rec ta s se in te rsecan , lo s á n g u lo s vertica les so n co n g ru en tes .

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4.4 P rueba de teo rem as: uso de á n gu los ve rtica le s 151

PRUEBA

Paso 1 Este paso se incluye en la proposición del teorem a.

Paso 2

Paso 3 Dado: D os pares de ángulos verticales,¿ 1 y L 3 L 2 y ¿ 4 .

Paso 4 Pruébese: ¿ 1 s ¿ 3 , y ¿ 2 s ¿ 4 .

Paso 5 «Se p robará que L 1 =? L 3, utilizando el hecho de que L 1 y ¿ 2 form an un p ar lineal, y de que L 2 y L 3 form an un p ar lineal. Entonces se usará el postu lado del p ar lineal y el teorem a de los suplem entos congruentes.

La prueba de que L 2 = L A será idéntica, po r lo que no se repetirá.»

Paso 6

Afirmaciones Razones

1. L \ y L 3 son ángulos verticales.

2. L 1 y L 2 form an un p ar lineal.

3. L 1 es suplem entario de L 2.

4. ¿ 3 y L 2 form an un p ar lineal.

5. L 3 es suplem entario de L2.

6. L l & L 3 .

1. Dado.

2. Definición del p ar lineal.

3. Postu lado del p ar lineal.

4. ¿Por qué?

5. ¿Por qué?

6. Teorem a de los suplem entos congruentes.

E l s ig u ien te te o re m a ta m b ié n se refiere a los p a re s lineales de ángu los.

Teorema 4.10 Si u n á n g u lo d e u n p a r lin ea l es u n á n g u lo rec to , e n to n cesel o t r o ta m b ié n es u n á n g u lo recto .

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152 Prueba de te o re m a s m ed ian te p rop ie d a d e s básicas

EJERCICIOS__________________A.

1. Cítense dos pares de ángulos rectos que sean ángulos verticales.

2. Cítese un par de ángulos agudos que sean ángulos verticales.

3. Cítese un par de ángulos obtusos que sean ángulos verticales.

4. Cítense seis pares de ángulos congruentes.

Si m Z 2 = 35, encuéntrense las m edidas de los ángulos de los ejercicios 5 a 8.

5. m Z 3 = JL. 6. m Z 1 = JL.

7. m Z 4 = _2_. 8. t w Z 1 + w Z 4 = _2_.

Con la información de los ejercicios 9 a 11, encuéntrense las m edidas de los ángulos.

9. m A R V O = 4x m ¿ S V T = 2x + 20 m Z R V Q = JL.

11. m ¿ R V Q = 2x + 30 m Z S V T = 3 x + 20 m Z S V T = JL.

10. m Z Q V T = 5 x m ¿ R V S = 8x - 45 m ¿ R V S = _L.

(Ejercicios 9-11)

B.P ara los ejercicios siguientes, formúlense demostraciones a dos columnas. Con frecuencia podrá utilizarse el teorem a 4.9.

__ __ Q12. Dado: AB y CD se intersecan en O

A O s s O B ¿ A 88 ¿ B .

Pruébese: A A O C s ; A B O D .

(Ejercicios 5-8)

ACTIVIDADESM árquense dos puntos A y B en un papel y co lo q ú ese encim a o tra hoja d e papel, com o s e m u estra en la figura, d e m an era q u e un lado de la hoja e s té so b re A, y el o tro, so b re B. M árquese un punto rojo P ,. R ep ítase e sto con el papel en otra posición y m árq u ese P3. P ro s íg ase h as ta m arca r 20 puntos d iferen tes. ¿C uál e s el lugar geom étrico de los puntos P ,, P3, p 3’ p s' p 6. e tcé te ra?

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4.4 P rueba de teo rem as: uso de á n g u lo s ve rtica le s 153

13. Dado: AB^ y CD se m tersecan en OA B biseca a CD L C ^ L D .

Pruébese: A AOC s A BOD.

14. Dado: A B y CD se intersecan ensus puntos medios.

Pruébese: A C = BD.

15. Dado: A B ss D E B E ^ C E .

Pruébese: A B ss CD.

(Ejercicios 13, 14)B

16. Dado: biseca a L A B DL \ s ¿ 2 .

Pruébese: A A B C s í A DBC.

17. Dado: A E z s D EB E a CE.

Pruébese: A A B C s A D C B .

18. Pruébese: Si dos ángulos de un par lineal son congruentes, entonces son ángulos rectos.

19. Pruébese: Si un ángulo es congruente con su suplem ento, entonces el ángulo es un ángulo recto.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

S u p ó n g ase una tab la con la m ism a form a que s e m u estra en la figura. S e d e s e a co rtarla en tre s p a r te s q u e puedan co lo c a rse p a ra form ar un cu ad rad o . ¿Cóm o p uede h a c e rse e s to con dos co rte s? (Sugerenc ia : e m p lé e se el punto m edio M de BC.)

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154 Prueba de te o rem as m ed ian te p rop iedades bás icas

4.5 Prueba de teoremas;uso de ángulos exteriores

REPASO: Algunas propiedades de la desigualdad de núm eros reales

Definición de «m ayor que»: a > b significa que fl = 6 + c y c es un núm ero positivo.

Propiedad transitiva: Si a > b y b > c, entonces a > c.

Propiedad aditiva: Si a > b, entonces a + c > b + c.Propiedad de multiplicación: Si a > b y c > 0,ac > be. Si a > b y c < 0, ac < be.Propiedad de tricotomía: P a ra los núm eros reales a y b, una, y sólo una, de las siguientes relaciones es verdadera: a = b, a > b, o a < b.

L a s p ro p ie d a d e s de lo s n ú m e ro s q u e se a c a b a n d e defin ir, se u sa rá n p a r a p ro b a r el te o re m a d e e s ta sección. P rim e ro , se n eces itan dos defin iciones.

Anguloexterior

Angulos interiores no contiguos

Definición 4.5El ángulo exterior de untriángulo es el ángulo que form a un p ar lineal con uno de los ángulos del triángulo.

Definición 4.6Los ángulos interiores no contiguos con respecto a un ángulo exterior son los dos ángulos que no son adyacentes al ángulo exterior.

v

O b sérv ese q u e c a d a tr iá n g u lo tiene seis án g u lo s ex te rio res , co m o se ilu s tra en la figura.

T rá c e se e l á n g u lo e x te r io r 1 y c o m p á re se c o n lo s á n g u lo s in te rio re s n o c o n tig u o s d e lo s tr iá n g u lo s sigu ien tes.

TeOreirtS 4.11 T e o re m a d e l ángu lo e x te r io r . L a m e d id a d e u n án g u loe x te r io r de u n tr iá n g u lo es m a y o r q u e la m e d id a de c u a lq u ie ra d e lo s án g u lo s in te r io re s n o co n tig u o s.

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Page 167: Geometria - Clemens

4.5 P rueba de teo rem as; uso de á n gu los e x te rio re s

PRUEBA

D ado-A /IB C c o n á n g u lo e x te rio r , L 1.Pruébese»?*L 1 > m L 2 .

P lan : E n e s ta e ta p a del e s tu d io de la g eo m e tría , n o se e sp e ra q u e el e s tu d ia n te p la n e e u n a p ru e b a d e este tipo .

Afirmaciones Razones

1. L l es un ángulo exterior de A A B C . 1. D ado.

2. Sea M el punto m edio de A C . 2. Elección de M.

3. Sobre BÍví, elíjase un pun to D tal 3. Postu lado del punto y la recta,que B M = M D . elección de D.

4. Á M = M C. 4. Definición del punto medio.

5. L B M A = L D M C . 5. ¿Por qué?

6. A A M B = A CMD. 6. ¿Por qué?

7. LM C D = = L 2 . 7. PCTCC.

8. m L M C D = m L 2 . 8. Definición de la congruencia deángulos.

9. m L M C D + m L D C E = m L 3 . 9. Definición de «entre» para los rayos

10. m L 2 + r n L D E C = m L 3 . 10. Sustitución.

11. w Z 3 > m L 2 . 11. Definición de «m ayor que».

12. m L 1 = m L 3. 12. ¿Por qué?

13. m L 1 > w Z 2 . 13. Sustitución.

APLICACION D o s o b se rv a d o re s , en lo s p u n to s P¡ y P 2, v en p a s a r u n velero . L o s án g u lo s q u e se p ro d u c e n e n tre su v is ta y la o r illa d e l m a r ( L l , L 2 ) e s tá n e n c o n s ta n te ca m b io . m L 1 p a rece m a y o r q u e m L 2 en a m b a s p o sic io n es del velero . ¿S e rá m L 1 s iem pre m a y o r q u e m L 2 , m ie n tra s el v e le ro se a le ja p o r la lín e a de la costa?

R esp u esta . P o r el te o re m a del á n g u lo e x te r io r se sa b e q u e m L Í > m L 2 , c o n in d e p e n d e n c ia de la s itu a c ió n del b a rco . P o r lo q u e , el á n g u lo q u e fo rm a n la s lín eas v isuales d e los o b se rv a d o re s c o n la o rilla , s e rá s iem p re m a y o r p a ra el o b se rv a d o r del p u n to P v

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Page 168: Geometria - Clemens

EJERCICIOS____________________A.

1. Cítense los ángulos exteriores. ¿Cuántos ángulos exteriores en to ta l tiene un triángulo?

2. Cítense los ángulos interiores no contiguos de L D A C .

3. Cítense los ángulos interiores no contiguos de L H A B .

4. L A B C es el ángulo in terior no contiguo de los ángulos exteriores y _L.

5. ¿Es L D A H un ángulo exterior? ¿Por qué?6. ¿Cuál es la relación entre L I C B y L C B A 17. ¿Cuál es la relación entre ¿ A C B y LFCP.

8. ¿Cuál es la relación entre L A B G y L A B C ?

156 P rueba de te o re m a s m ed ian te p rop ie d a d e s básicas

B.

Expliqúese por qué son verdaderas las proposiciones de los ejercicios 9 a 12.

9. m Z l > * Z 2 . 10. « Z 3 > m Z l .

11. m Z 3 > m Z 4 , 12. m ¿ 3 > mZ2 .

13. Usese la figura para probar que m /-A B D > m L E D F .

ACTIVIDADES

(Ejercicios 9-12)

D ibújese y recó rte se un triángulo equilá tero com o el d e la f igura y d isp ó n g an se las p iezas p a ra form ar un cuad rado .

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Page 169: Geometria - Clemens

4.5 P rueba de teo rem as; uso de ángu los e x te r io re s 157

c.

14. Usese la figura para probar que m L 1 > m L 6.

15. D ado: A A B C es un triángulo con unángulo recto L B .

Pruébese: L R C B es un ángulo obtuso.

C on el teorem a del ángulo exterior, pruébense los teoremasde los ejercicios 16 y 17.

16. U n triángulo con un ángulo recto tiene dos ángulos agudos.

17. Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, entonces los otros dos ángulos son agudos.

18. Al principio de la sección 4.5 se proporciona una prueba de que m Z l > m L 2 . Empléese un m étodo similar para p robar que m L 1 > m L 3. (Sugerencia: empléese el punto medio de B C .)

19. Pruébese que un triángulo no puede tener un ángulo recto y uno obtuso.

(Ejercicio 18)

SOLUCION DE PROBLEMAS.

A lgunas veces se usan lin e a s a u x ilia re s pa ra ayu d a r a la so luc ión de un p rob lem a . P ero hay que te n e r la se g u rid a d de que las líneas e m p leadas ex is ten . C o ns idé rese la s ig u ie n te prueba.

«Teorem a»: Todo tr iá n g u lo es isósce les.Dado: AABC.

Pruébese: A ABC es isósce les.

A firm a c io n e s R azones

1. T rácese una rec ta a tra vé s de 1. C onstrucc ión de AD.A y D, el pun to m ed io de B C .que sea p e rp e n d icu la r a B C .

2. AD 5= AD. 2. P rop iedad re fle x ivade la cong ruenc ia .

3. B D s D C . 3. D e fin ic ión de pun to m edio.

4. Z ADB = Z ADC. 4. D e fin ic ión de las pe rpend icu la res .

5. A ADB s AADC. 5. P ostu lado LAL.

6. ÁB = ÁC. 6. P artes co rrespond ien tes .

7. A A B C es isósce les. 7. D e fin ic ión de isósce les.

E xp liqúese cuá l es e l e r ro r de la p rueba . D ibú jese un co n tra e je m p lo para m o s tra r que la a firm a c ió n 1 d e sc rib e una rec ta que no s ie m p re existe .

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158 P rueba de te o re m a s m ed ian te p rop iedades bás icas

4.6 uso de la prueba indirecta

El m étodo de la p ru eb a d irecta usado h as ta este m om ento , im plica em pezar con las condiciones dadas y con la deducción de que la conclusión es verdadera. La p ru eb a ind irec ta se ilu stra con lo que p o d ría suceder en esta ca rica tu ra — si B.C. cooperase— . Supóngase que B.C. com e la fru ta p ero no m uere. U n a p ru e b a indirecta de que la fru ta n o es venenosa p o d ría ser la siguiente:

S upóngase que la fru ta es venenosa.Si B.C. la com e, m orirá.B.C. la com ió, pero no m urió.P o r tan to , la fru ta no es venenosa.

Este m étodo de p ru eb a im plica acep tar la negación de lo que se quiere probar.P o r m edio del razonam ien to , se dem uestra que esta aceptación conduce a una contradicción. Así, la p roposición que se va a p ro b a r debe ser verdadera.

A con tinuac ión se resum en los pasos p a ra la p rueba indirecta.

P a so s p a ra p ro b ar un teo rem a m ed ian te la p ru eb a in d irec ta

Paso 1 Form úlense los datos y la p rueba a partir de la hipótesis y la conclusión de una posición si-entonces.

Paso 2 Supóngase la negación de laproposición contenida en la prueba. (Suposición de la prueba indirecta.)

Paso 3 Form úlense los pasos de la prueba p a ra m ostrar que la suposición lleva a la contradicción de un hecho conocido (teorem a, definición, inform ación proporcionada, etc.).

Paso 4 Conclúyase que la suposición es falsa y que la proposición de la PRU EBA es verdadera.

B .C. b y pcrm ission o f Johnny H a n and F ie ld E n terp rises, Inc.

l au ép

l e PONDREMOS TU NOMBRE^ A u n c e m G N T S R i o . J

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4.6 Uso de la p ru e b a in d ire c ta 159

Se i lu s tr a la p ru e b a in d ire c ta p ro b a n d o d o s teo rem as.

T eo rem a:S i d o s re c ta s se in te rsecan , la in te rsecc ió n es u n p u n to .

D ad o :L as rec ta s t y m se in te rse c a n en el p u n to P. P ru éb ese :? es el ú n ic o p u n to d e in tersección .

Paso 1

A nálisis: El p a so 2 de u n a p ru e b a in d ire c ta es s u p o n e r la n eg ac ió n de la p ro p o s ic ió n de la p ru e b a . L a n eg ac ió n de « P es el ú n ico p u n to d e in te rsecc ió n » es « P no es el p u n to d e in te rsecc ió n » . E s to sign ifica q u e h a y u n seg u n d o p u n to d e in te rsecc ió n . E n to n ces , se m u e s tra q u e te n e r e s to s d o s p u n to s c o n d u ce a u n a c o n tra d ic c ió n d e l p o s tu la d o .

Afirmaciones Razones

Paso 2 1. Supóngase que P no es el 1. Suposición de la pruebaúnico punto de intersección de indirecta.las rectas £ y m.

2. Sea Q el segundo pun to de 2. R eplanteam iento de 1.intersección.

3. £ contiene a P y a Q. 3. Afirmaciones 1 y 2.Paso 3 m contiene a P y a Q.

4. P y Q están en dos rectas 4. R eplanteam iento de 3.(contradicción del postulado delpunto y la recta).

Paso 4 5. P o r tanto , P es el único punto 5. Lógica de la prueba indirecta.de intersección de t y m. C

Si d o s re c ta s so n p e rp e n d ic u la re s a la m ism a re c ta , las d o s rec ta s so n p a ra le la s .

/ s

D ad o : k P ruébese: k

m, l _L m.L Paso 1

Paso 2

P aso 3

Paso 4

AAfirmaciones

IJ ‘ iRazones

1. Supóngase que /cjf¿ (k no es 1. Suposición de la prueba indirecta.paralela a i ) .

2. k y £ se intersecan en el punto C. 2. R eplanteam iento de 1.

3. Se form a AABC - 3. Definición de triángulo.4. m A D A C > m L A B C . 4. Teorem a del ángulo externo.

5. k 1 m, £ 1 m . 5. D ado.6. L D A C y L A B C son ángulos rectos. 6. Definición de las perpendiculares.7. m A D A C = m L A B C (contradicción 7. T odos los ángulos rectos tienen la

de m L D A C > m L A B C ). misma medida.

8. Por tanto , k || £. 8. Lógica de la p rueba indirecta.

B

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EJERCICIOS

160

A.

P ara las proposiciones de prueba de los ejercicios 1 a 10, formúlese la suposición de la p rueba indirecta que se usaría para iniciar la prueba, ju n to con la segunda proposición que interpreta la suposición de la p rueba indirecta.

Ejemplo: Pruébese: l || m.

1. Pruébese: £ 1 m.

2. Pruébese: L A es suplem entario de LB .

3. Pruébese: Los lados adyacentes no son paralelos.

4. Pruébese: L A no es un ángulo recto.

5. Pruébese: A B = CD.

6. Pruébese: L A y L B no son ángulos verticales.

7. Pruébese: L A es un ángulo agudo.

8. Pruébese: Sólo hay una recta a través de P y paralela a m.

9. Pruébese: A A B C es un triángulo isósceles.

10. Pruébese: A A B C no es un triángulo equilátero.

¿Qué pares de proposiciones de los ejercicios 11 a 16 perm itirán llegar a una contradicción en una prueba indirecta?

11. Las rectas p y q son paralelas y las rectas p y q no se intersecan.

12. L A s L B y m L A > m L B .

13. £ 1 m y £/. m (nota: X significa «no es perpendicular a»),

14. L A y L B form an un p ar lineal. m L A < 90 y m L B < 90.

15. L A es un ángulo recto.L A es un ángulo obtuso.

16. L A y L B son congruentes.L A y L B son suplementarios.

En los ejercicios 17 y 18, selecciónese la proposición que está en contradicción con la proposición dada.

Suposición de la p rueba indirecta: iJfrm. Segunda proposición: Entonces, £ interseca a m.

Ejemplos: A B es más largo que CD, y CD es m ás largo que AB .

form a una contradicción

no form a u n a contradicción

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4.6 Uso de la p ru e b a in d ire c ta 161

17. L A y L B son suplementarios.

a. m L A + m L B - 180.c. L A y L B son agudos.

18. Las rectas p y q no son paralelas

a. Las rectas p y q no tienen puntos en común,

c. Las rectas p y q son la m isma recta.

b. L A y L B form an un p ar lineal,d. L A y L B son ángulos verticales.

b. Las rectas p y q se intersecan.

d. Las rectas p y q están en un plano y no tienen puntos en común.

Escríbase una proposición que contradiga las proposiciones de los ejercicios 19 a 23.

19. L A y L B son complementarios. 20. Las rectas p y q se intersecan.

21. A A B C s AX Y Z . 22. ABC D E es un pentágono regular. 23. m L A = 117.

En los ejercicios 24 a 27, formúlese la suposición que se usaría en una prueba indirecta del teorem a dado.

24. Si dos rectas no se intersecan, entonces no son perpendiculares.

26. Si una figura es un triángulo, entonces la figura no puede contener dos ángulos rectos.

25. Si A B ¥= CD, entonces AB + E F CD + EF.

27. Si dos ángulos form an un p ar lineal, entonces son suplementarios.

B.En los ejercicios 28 a 30 se inicia una prueba indirecta. Proporciónense las razones que faltan y continúese la prueba para llegar a una contradicción.

28. Dado: En A A B C , Á C ^ é A B ___D es el punto m edio de BC.

Pruébese: AD no puede ser perpendicular a BC.

Afirmaciones Razones

1. Supóngase que A D 1 BC. 1. Suposición de la prueba indirecta.

2. L A D C sé L A D B . 2. ?

3. D es el pun to medio de BC. 3. D ado. A

4. CD = BD. 4. ?

5. A D s ÂD. 5. ?

6. A A D C = A A D B . 6. Postu lado LAL.

7. Â C £= A B . 7. PCTCC.

8. ? 8. ?

9. ? 9. ?

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162 Prueba de te o rem as m ed ian te p rop ie d a d e s básicas

29. Dado: A D _L B C AAB_ gk A C . y / T

Pruébese: B D ~k DC. y '

Afirmaciones DRazones

1. Supóngase B D DC. 1. ?2. A D ± BC. 2. ?3. Z B D A e Z A D C . 3. Definición de las perpendiculares.4. A D =£ AD. 4. ?5. A A D B = A AD C . 5. ?6. ? 6. ?7. ? 7. ?8. ? 8. ?

ACTIVIDADES!

El ob je to que se m ues tra a la de recha puede e x is tir o no en e l m undo rea l. Supóngase que puede (?).

C on tinúese el a rg u m e n to a n te r io r con las o tras fig u ra s que se m uestran a co n tinuac ión y véase si se puede lle g a r a una co n trad icc ión de los hechos de la v ida rea l.

B úsquense o tras fo to g ra fía s o d ibu jos de ob je tos , que com o éstos, son con trad ic to rios .

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4.6 Uso de la p ru e b a in d ire c ta 163

30. Dado: L A y L B son agudos. APruébese: L A y L B no son suplementarios.

Afirmaciones Razones

1. Supóngase que L A es suplem entario de LB .

2. m L A + m L B = 180.

3. m L A < 9 0 , m L B < 9 0 .

4. ?

5. ?

1. ?

2. Definición de suplem entarios.

3. D ado, definición de ángulo agudo.

4. Propiedad aditiva de las desigualdades.

5. ?

31. ¿Cóm o puede usar un abogado la prueba indirecta?D ése un ejemplo.

Form úlese una prueba indirecta para los teorem as de los ejercicios 32 a 35.

32. Si A B # CD, entonces A B + E F # CD + EF.

33. Si L A no es congruente con L B , entonces L A y L B no son ángulos verticales.

34. D ado: i \ 35. Dado: __¿ 1 y ¿ 4 no son \ = ^ 2 ,suplementarios. A C ^ P RPruébese: \ L A ^ ¡ L P .¿ 2 y ¿ 3 no l \ Pruébese:son suplementarios. \ B C ^ Q R .

SOLUCION DE PROBLEMAS_________________________________C uando un a nunc io sob re una rad io b a ra ta en ven ta decía «Es un robo», la p ro p ie ta ria de la tie n d a no sab ía lo c ie rto que era . Estaba se g u ra de que Ana, Leo, Isa o Ive habían robado ia rad io . Cada pe rsona , en su m om ento , h izo una d e c la ra c ió n , pero só lo una de las cua tro de c la ra c io n e s e ra ve rdadera .

A na d ijo : «Yo no robé la radio.»Leo d ijo : «Ana m iente.» „ , „Isa d ijo : «Leo m iente.» ¿Q uien d l<° la ve rdad? ¿Q ulén robó la rad l0?Ive d ijo : «La robó Leo.»

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Page 176: Geometria - Clemens

Capítulo 4 Conceptos ImportantesTérminos

Angulos com plem entarios (pág. 144) Angulos verticales (pág. 150)Angulos suplem entarios (pág. 144) Angulo exterior de un triángulo (pág. 154)P a r lineal de ángulos (pág. 144) Angulo in terior no contiguo (pág. 154)

Postulado

Postulado del par lineal. Si dos ángulos form an un par lineal, losángulos son suplementarios.

Teoremas

4.1 Las propiedades reflexiva, sim étrica y transitiva valen para la congruencia de ángulos y segmentos.

4.2 En un triángulo isósceles, el segmento que va del ángulo del vértice al punto m edio del lado opuesto form a un p ar de triángulos congruentes.

4.3 Suma de ángulos iguales. Si m /LAPB — m LDQE,m L B P C = m L E Q F , P B está entre PA y PC, y QE estáentre QD y QF, entonces m L A P C = m LD Q F.

4.4 Resta de segmentos iguales. Si A C = DF, BC = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F , entonces A B = DE.

4.5 Suma de segmentos iguales. Si A B = DE, B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F, entonces A C = DF.

4.6 Resta de ángulos iguales. Si m ¿ A P C = m LD Q F,m L B P C = rnLEQF, está entre P A y P u , y Q É estáentre QD y Q F , entonces m L A P B = m LD Q E.

4.1 Teorem a de los complementos congruentes. D os ángulos que son com plem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.8 Teorem a de los suplementos congruentes. D os ángulos que son suplem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.9 Teorem a de los ángulos verticales. Si dos rectas se intersecan, los ángulos verticales son congruentes.

4.10 Si un ángulo de un p ar lineal es un ángulo recto, entonces el o tro ángulo tam bién lo es.

4.11 Teorema del ángulo exterior. L a m edida de u n ángulo exterior de un triángulo es m ayor que la m edida de cualquiera de los ángulos interiores no contiguos.

164 Prueba de te o rem as m ed ian te p rop ie d a d e s básicaswww.elsolucionario.net

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Page 177: Geometria - Clemens

C apítu lo 4 R esum en 165

Capítulo 4 Resumen1. Indíquese si las siguientes proposiciones son falsas o

verdaderas.a. Si dos ángulos son suplem entarios de ángulos congruentes,

entonces son congruentes.b. L a propiedad transitiva de congruencia entre segmentos

establece que A B ss AB.c. L a sum a de dos ángulos com plem entarios es 90°.

En los ejercicios 2 y 3 se proporciona un teorem a de la forma si-entonces. H ágase un dibujo y formúlense los da tos y la prueba usando la figura y sus nombres.

2. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces el triángulo es isósceles.

3. Si dos rectas son paralelas a u n a tercera, entonces todas son paralelas.

4. Despéjese x y calcúlese la m edida de los ángulos.

b.

(2 x - 4) (* + 26)"

C.

(3* - 2 0 )‘ (* + 40)"

5. ¿Cuál es la m edida de un ángulo que es congruente con su complemento?

6. Dado: A B _L B D , D E 1 BD ,B C = CD. I n i n

Pruébese: A A B C = A EDC.

7. Dado: m ¿ 1 — m ¿ 2.Pruébese: rr .L B A D - m L C A E .

8. Dado: A B =sÁE, ¿ E s ¿ B , y Z 1 s L 2 .Pruébese: ¿ A C D s ¿ A D C .

9. P a ra las siguientes proposiciones de la prueba expóngase la suposición de una prueba indirecta que se usaría p a ra em pezar la dem ostración.

a . Á B || CD.

b. L A y L B son suplementarios.

A

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Page 178: Geometria - Clemens

Capítulo 4 Examen1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

a. L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es m ayor que cualquier ángulo del triángulo.

b. Si dos ángulos son suplem entarios y congruentes, entonces am bos son ángulos rectos.

c. Si dos ángulos son suplem entarios, entonces form an un par lineal.

En los ejercicios 2 y 3, se proporciona un teorem a en la forma si- entonces. H ágase un dibujo y establézcanse los datos y la prueba usando la figura y sus nombres.

2. Si un triángulo es equilátero, entonces la m edida de cada ángulo es 60°.

3. Si un segm ento de recta une los puntos m edios de dos lados de un triángulo, entonces el segmento es paralelo al tercer lado.

4. Despéjese x y encuéntrese la m edida de los ángulos,a. L A y L B son b.

com plem entarios.

166 Prueba de te o re m a s m ed ian te p rop iedades básicas

(5.x - 20)"

5. La m edida de un ángulo es la m itad de la de su suplem entario,¿cuánto mide el ángulo? n

6. Dado: m L 1 = m Z 2m L 5 = mL6.

Pruébese: A D = AB .

7. Dado: A B = CD, B D = CE.Pruébese: A C = CE.

8. Dado: Z l s Z _ 2 , D A l . AQ_E B 1 A C y F C 1 AC,B es punto medio de AC.

Pruébese: A D s CF.

1 A y 3 5 N .

^4

B

/ )fv

b '

AV

’/A B

A

C9. P ara las siguientes proposiciones de la prueba, expóngase la

suposición de la prueba indirecta que se usaría para iniciar la dem ostración.

a . A B = CD

b. L D E F no es un ángulo recto.

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Page 179: Geometria - Clemens

Técnicas para la solución de problemasHacer una tabla-iU na técnica útil para la solución de problem as es hacer una tabla p a ra ver si puede encontrarse un esquema. Estúdiese el siguiente ejemplo.

¿C uántos cuadrados pueden encontrarse en este tablero?

Ejemplo Tamaño Número¿C uántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez de 8 x 8? del cuadrado de cuadrados

Considérese la tab la de la derecha. El núm ero de cuadrados de 1 X 1 641 x 1, 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4 se da en la tabla. ¿Puede verse un 2 x 2 49esquem a y resolver el problema? 3 x 3 36Solución. El núm ero de cuadrados de 1 x 1 es 82. El núm ero de 4 x 4 25cuadrados de 2 x 2 es 72. El esquem a parece ser de cuadrados 5 X 5 ?perfectos decrecientes. Así, se com plem entaría la tabla con 16, 9, 4 6 x 6 ?y 1. P a ra obtener el to tal se sum a y resultan 204 cuadrados. 7 x 7 ?

8 x 8 ?

PROBLEMAS.

P ara cada problem a, hágase una tabla, obsérvese el esquem a yresuélvase el problem a.

1. ¿C uántos cubos hay en un cubo de 8 x 8 x 8? (Sugerencia: H ágase una tab la similar a la anterior. En la prim era colum na se relacionan los tam años de los cubos: l x 1 x 1, 2 x 2 x 2, 3 x 3 x 3 , ctc. En la segunda colum na se presenta el núm ero de cuadrados de cada tam año.)

2. ¿C uántas diagonales tiene un polígono de diez lados? {Sugerencia: H ágase una tabla com o la de la derecha.)

3. U na ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo a un punto del lado opuesto. ¿Cuántos triángulos se form an si se trazan 8 cevianas desde un vértice de un triángulo?

Lados Diagonales

3 0

4 2

5 ?

6 ?

Ceviana

(Nota: Esta ceviana forma 3 triángulos)

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Page 180: Geometria - Clemens

CAPITULO

5.1 D e f in ic io n e s b á s ic a s 170

5.2 T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s 174

5.3 El p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s 180

5 .4 M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s 184

C o n c e p to s im p o r ta n te s 190 R e s u m e n 191 E x a m e n

Repaso de á lgebra 193

La geom etría en nuestro mundo

M in e ra lo g ía : s im e tr ía 194

192

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Page 181: Geometria - Clemens

Rectas y planos paralelos

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Page 182: Geometria - Clemens

170 R ectas y p lanos para le lo s

5.1 Definiciones básicas

U n o s e s tu d ia n te s u n iv e rs ita rio s c o n s tru y e ro n e s te b ip la n o y lo lla m a ro n «C hrysalis» . E s a c c io n a d o p o r peda les, c o m o u n a b icic le ta . D u ra n te el v e ra n o de 1979, el av ió n rea lizó 320 vuelos.

E ste b ip la n o u tiliz a v a rio s c o n c e p to s q u e se e s tu d ia rá n en e s ta sección, c o m o la s rec ta s p a ra le la s , rec ta s p a ra le la s a u n p la n o , p la n o s p a ra le lo s y re c ta s n o p a ra le la s q u e n o se in te rsecan .

L as rec ta s f y m n o es tán en el m ism o p la n o y n o se in te rsecan . Sed e n o m in a n rectas alabeadas. L a re c ta i es p a ra le la al p la n o A.

- l A ______ _ v

B

L os p la n o s A y B n o tienen p u n to s en co m ú n . S o n planos paralelos.

Definición 5.1Las rectas alabeadas son dosrectas que no se intersecan y no están en mismo plano.

Definición 5.2U na recta y un plano son paralelos si no tienen puntos en común.

Definición 5.3Los planos paralelos son planos que no tienen puntos en común.

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Page 183: Geometria - Clemens

5.1 D e fin ic iones bás icas 171

L a re c ta l in te rseca a las rec ta s m y n e n d o s p u n to s d iferen tes y fo rm a ángulos interiores y exteriores. A i se le lla m a transversal.

D o s rec tas c o r ta d a s p o r u n a tran sv e rsa l fo rm a n á n g u lo s im p o r ta n te s p a r a e l e s tu d io d e las rec ta s para le las.

Definición 5.4

U na transversal es una recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos diferentes.

L 1 y Z.4 so n ángulos a lternos interiores. L 2 y L 3 so n ángulos alternos interiores.

L 5 y L 8 so n ángulos a lternos exteriores. L 6 y L l so n ángulos a lternos exteriores.

Los ángulos alternos interiores son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

Los ángulos exteriores son dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.

H ay c u a tro p a re s de ángulos correspondientes: L l y L l \ L 6 y L 4; L 5 y ¿ 3 ; L 2 y ¿ 8 .

Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal. U no de los ángulos es un ángulo exterior, el o tro es un ángulo interior.

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Page 184: Geometria - Clemens

EJERCICIOS____ _

172 Rectas y p lanos pa ra le lo s

A.

A

Los ejercicios 1 a 3 se refieren al cubo de la derecha. U n modelo de un cubo o una caja de zapatos puede ayudar a visualizar el cubo.

1. Cítense cuatro rectas que sean alabeadas con A B .

2. Cítense seis rectas que sean paralelas a l plano ABCD.

3. Cítense tres pares de planos paralelos.4. Cítense dos pares de ángulos alternos

interiores.5. Cítense dos pares de ángulos alternos

exteriores.6. Cítese el ángulo correspondiente con L 1.

D

I ñIJH

G (Ejercicios 1-3)

(Ejercicios 4-6)

B.7. E sta figura m uestra una tuerca hexagonal.

Cítense tres pares de planos paralelos.8. V arias rectas que contienen los extrem os de

esta figura son alabeadas con AÉ . ¿Cuántas son?

D (Ejercicios 7, 8)J

0 puntos, 1 punto, 2 puntos o 3 puntos

ACTIVIDADES"¿C uán tos pun tos de in tersección s e form an con un núm ero dado d e re c ta s? D epende de s u s posic io n es en re lación u nas con o tras.Ejemplo: T res rec ta s p u ed en form ar:

Experimento: O b sé rv ese si p u ed en d isp o n e rse cuatro rec ta s para form ar un punto, d o s puntos, tre s puntos..., m ás de s e is puntos de in tersección . ¿Y cinco rec tas?

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5.1. D e fin ic iones bás icas 173

9. U n carpintero construyó una escalera cortando triángulos com o A A B C y A CDE de un trozo de m adera. ¿Con qué par de ángulos y con qué transversal son L D C E y L F E G ángulos correspondientes?

10. En un periscopio se coloca un p a r de espejos paralelos entre sí según m uestra la figura. L a trayectoria de la luz form a una transversal. ¿Qué p a r de ángulos son alternos interiores, L l y L 3 , L l y L 4, L 2 y ¿ 3 , o Z 2 y ¿ 4 ?

(Ejercicios 11, 12)

espejo-

(Ejercicio 10)

11. Cítense dos pares de ángulos altem os interiores que incluyan al L 14.

12. Cítense tres pares de ángulos alternos exteriores que incluyan ¿ 21.

SOLUCION DE PROBLEMAS

E labórese una re ji l la de rec tas p a ra le la s com o la de la fig u ra .

1. C o lóquense c in co fichas ro ja s sob re c inco in te rse cc io n e s de m anera que no haya dos en la m ism a recta.

2. D espués, co lóquense c inco fichas azu les s o b re c in co in te rse cc io n e s de m anera que no haya dos fich a s sob re la m ism a recta.

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174 R ectas y p lanos pa ra le los

5.2 Teoremas sobre rectas paralelas

Las rectas parale las se u san a d iario de diversas form as. Los herreros colocan b arras de acero paralelas en tre sí. Los agrim ensores, con frecuencia, m arcan divisiones de propiedades paralelas en tre sí. Los d iseñadores de ro p a tam bién usan rectas paralelas. En la figura se m uestra un p a tró n básico p ara u n a m an g a de cam isa. P a ra e lab o ra r un p a tró n de u n a m an g a m ás ancha, el d iseñ ad o r traza rectas paralelas sobre el p a tró n . Entonces, las franjas form adas p o r estas parale las se co rtan y se separan p a ra fo rm ar un nuevo patrón .

L os pares de ángulos fo rm ados p o r un p a r de rectas y una transversal son im p o rtan tes en el trazad o de rectas paralelas. Estas tres figuras sugieren u n a relación im portan te.

D a d o :¿ 1 s L 2. D a d o :¿ 1 s L 2. D a d o :¿ 1 ss L 2.O bsérvese que p || q. O bsérvese que p || q. O bsérvese qué p || q.

Teorema 5.1 Si dos rectas se cortan po r una transversal y un p a r de ánguloscorrespondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

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5.2 T e o rem as sob re rec tas p a ra le la s 175

P R U E B A

D a d o : L a s rec ta s p, q y r c o n L 1 ^ L 2. P ruébese: p || q.

P lan : Se su p o n e p H q. (N ota: (f s ign ifica «no es p a ra le la a».) E n to n ces , se c o n s id e ra el t r iá n g u lo q u e se fo rm a r ía y se e n c u e n tra u n a co n trad icc ió n .

P-

? I ?

Afirmaciones Razones

1. Supóngase que p | q. 1. Suposición de la p rueba indirecta.

2. Entonces, p y q se intersecan en 2. R eplanteam iento de 1.un punto, sea C, y se forma A ABC.

3. ¿ 2 es un ángulo exterior de A ABC. 3. Definición de ángulo exterior.

4. L 1 es un ángulo interior no 4. Definición de ángulo interior nocontiguo con L 2. contiguo.

5. m L 2 > m L 1. 5. Teorem a del ángulo exterior.

6. m L l = m L 2 (contradicción de 6. Dado.m / - 2 > m L 1).

7. P o r tan to , p || q. 7. Lógica de la prueba indirecta.

H ay o tro s tre s te o re m a s re lac io n ad o s . ¿A q u é te o re m a co rre sp o n d e c a d a figura?

Teorema 5.2 Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulosalternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Teorema 5.3 Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulosalternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Teorema 5.4 Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulosinteriores en el mismo lado de la transversal son suplementarios,entonces las rectas son paralelas.

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176 R ectas y p lanos pa ra le lo s

EJERCICIOS_______A.

1. E n los siguientes casos, ¿qué rectas podría concluirse que son paralelas y qué teorem a justifica la respuesta?

a. Z l s Z9.

b. Z 3= £ Z6.

c. m Z 8 + m Z 10 = 180.

d. Z 4 = s Z9.

e. Z 8 s Z 12.

f . Z l s Z 8.

2. H ágase una lista de todos los datos contradictorios que aparecen en la figura siguiente.

3. C ítense cuatro form as de p robar que dos rectas son paralelas.

4. Estúdiese la fotografía de la página 170. Indíquense ejemplos de segm entos paralelos y una transversal.

5. ¿Qué ángulos de esta figura se podría p robar que son congruentes de m anera que A B || £ (5?

6. ¿Qué pares de ángulos de esta figura se podría p ro b ar que son congruentes para m ostrar que &D || AB?

7. ¿Qué pares de ángulos de esta figura se podría p robar que son suplem entarios para concluir que ÍZ) || AB?

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Page 189: Geometria - Clemens

5.2. T eo rem as s o b re rec tas p a ra le la s 177

8. Com plétese la siguiente prueba a dos colum nas para el teorem a 5.2. Dado: Z 1 £ Z 2. j

Pruébese: p || q. ________ _ J -------► p

Afirmaciones Razones

1. ¿ l s Z 2 . 1. ?

2. Z 2 s Z 3 . 2. ?

3. Z l s Z 3. 3. Propiedad transitivade la congruencia.

4. p II q■ 4. ?

En los ejercicios 9 a 12, formúlese una prueba com pleta a dos columnas.

9. Dado: A B = s D C 10. Dado: ¿ O s O BA D =s_BC. A O =í _OC-

Pruébese: A B || DC. Pruébese: A B || DC.

(Sugerencia: Prim ero demuéstrese que A A B C = ACDA.)

C

11.

12.

13. Pruébese que si dos rectas en un plano son perpendiculares a una recta, son paralelas.

(Ejercicios 11, 12)

Dado: B C = EF

Pruébese: B A ||

Dado: A B s D E

Pruébese:

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Page 190: Geometria - Clemens

ir

178 R ectas y p lanos pa ra le lo s

14. Pruébese el teorem a 5.3.

c.

15. Pruébese el teorem a 5.4.

B A

16. Dado: a b i b c

D C L B C Z l s Z 4 .

Pruébese: B F II GC.

17. Dado: ¿ A B C s í L B C D

B F biseca L A B C

C G biseca ¿LBCD.

Pruébese: B F II CG.

19. Dado: m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 5 = 180 Z 4 s _ Z 5 .

Pruébese: A B || CD.

(Ejercicios 16-18)

18. Dado: Z 2 s Z 3

Z l s Z 4 .

Pruébese: A B II CD.

20. U n diseñador usa una regla T para trazar un p ar de rectas paralelas en una hoja de papel. ¿Cóm o se puede tener la seguridad de que las rectas son paralelas?

T rácese una recta f y un pun to P que no esté en esa recta.

Sólo con un com pás y una re g la trácese una rec ta a tra vé s de P que sea p a ra le la al . (S u g e re n c ia : In ic íese la cons trucc ión trazando una rec ta que pase po r P y que in te rseque a la rec ta t .)

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Page 191: Geometria - Clemens

5.2 T eorem as sob re rectas p a ra le la s 179

21. Dado: P M es la bisectriz perpendicular de ABL A s s L B

A D s B C .Pruébese: A B || CD.(Sugerencia: Trácense algunas rectas auxiliares. U n a recta auxiliar es una recta que se añade a la figura para ayudar a p robar un teorem a o a solucionar un problema.)

22. Dado: L B C D s L Dm L B + m L D = 180.

Pruébese: A B || DC.

23. U na plom ada (un peso suspendido de un cordel) sirve para m arcar con yeso una recta sobre una pared. Si la prim era hoja de papel tapiz se coloca a lo largo de la línea de yeso, ¿por qué asegura esto que el borde del papel es paralelo a las puertas, ventanas y esquinas del cuarto?

B

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

A lg u n a s fo rm a s p o lig o n a le s pueden co rta rse en p iezas que se pueden c o lo c a r p a ra co n s e g u ir nuevas fo rm a s po ligona les . Las p iezas reco rtadas cub ren po r com p le to la fra n ja e n tre un pa r de rec tas pa ra le las .

E jem p lo :

M uéstrese que las fo rm a s p o lig o n a le s con los co rte s ind icados pueden co lo ca rse p a ra c u b r ir d ich a fra n ja pa ra le la .

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Page 192: Geometria - Clemens

180 Rectas y p lanos pa ra le lo s

5.3 El postulado de las rectas paralelas

En la ú ltim a ac tiv idad se trazó u n p a r de rectas paralelas.

E n realidad , hay tres m étodos re lacionados que p o d rían resum irse co n estas tres figuras. P a ra establecer la corrección de estas construcciones p o d rían usarse los teorem as de la sección an terior.

• P

REPASO: Trácese una recta a través de P que sea paralela a £.

P arece n a tu ra l suponer, com o se hizo en el p o stu lado de las paralelas, que sólo hay una recta q u e pase p o r P y sea para le la a l . Pero , ¿por qué es cierto esto? E sta p reg u n ta es h istó ricam ente significativa (véase m ás adelante).

postulado de las paralelasD ados una recta £ y un punto P que no está en la recta £, existe sólo una recta a través de P que sea paralela a £.

L a p ru e b a del teo rem a siguiente ilu s tra el uso del p o stu lad o de las paralelas.

► P

Teorema 5.5 D adas las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.

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Page 193: Geometria - Clemens

5.3 El pos tu lado de las rec tas pa ra le la s 181

PRUEBA

D ado: Las rectas p, q y r son tres rectas d istin tas, p\\q, q || r.

Pruébese: p || r.

Afirmaciones

1. Supóngase que p H r.

2. p y r tienen un pun to en común. Llámesele A.

3. p || q.

4. r || q.

5. Las rectas p y r son dos rectas distintas que pasan p o r A y son paralelas a q. (Contradicción del postulado de las paralelas que afirm a que hay sólo una recta que pase por A y sea paralela a q.)

6. P o r tan to , p || r.

P -------------------------

? ------------------------- ^ > A

r

Razones

1. Suposición de la p rueba indirecta.

2. R eplanteam iento de 1.

3. Dado.

4. Dado.

5. Afirmaciones 3 y 4.

6. Lógica de la p rueba indirecta.

IMPORTANCIA HISTORICA DEL POSTULADO DE LAS PARALELAS

K arl F ried rich G auss

D u ra n te siglos, los m atem áticos in ten ta ro n d em o stra r que el p o stu lad o de las paralelas e ra u n teorem a. Tales in ten tos fa lla ron u n a y o tra vez. A principios del siglo XIX, tres m atem áticos, K a rl F ried rich G auss (1777-1855), Jan o s Bolyai (1802-1860) y N icolai Ivanov itch L obachevsky (1793-1856), trab a jan d o independien tem ente, in ten ta ro n sep a ra r el p o stu lad o de las parale las del sistem a euclid iano de postu lados y p ro b a r que era un teorem a. U tilizaron un m étodo indirecto , pero en lugar de llegar a u n a contrad icción , en co n tra ro n que esta suposición rep resen taba u n co n ju n to to ta lm en te nuevo de teorem as, una geom etría to ta lm en te nueva. E ste im p o rtan te descubrim iento m atem ático dio lu g ar a lo que h oy se conoce com o geom etría n o euclidiana.

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182 R ectas y p lanos pa ra le lo s

EJERCICIOS_______A.

1. Dése una expresión propia al postulado de las paralelas.

2. ¿Cuáles son las dos palabras m ás im portantes del postulado de las paralelas?

3. Clasifíquense las siguientes afirmaciones en falsas o verdaderas.a. H ay una recta que pasa por A y es paralela a l .b. P odría probarse que hay una recta que pasa po r A y

es paralela a t aun sin usar el postulado de las paralelas. ---------------------- —— ■+- Ic. El postu lado de las paralelas dice que hay sólo una recta

que pasa por A y es paralela a t .d. Si p es una recta que pasa por A y es perpendicular a l , y q

es una recta que pasa por A y es perpendicular a p, entoncesq \\ t -

En los ejercicios 4 y 5, determínese si se puede p robar que las rectas p y q son paralelas.

ACTIVIDADES

1. Con una reg la , d ib ú je se un c u a d rilá te ro cua lqu ie ra WXYZ.

2. D ibú jense tr iá n g u lo s e q u ilá te ro s a cada lado del cu a d rilá te ro , a lte rn á n d o lo s en el in te r io r y el e x te r io r de l c u a d rilá te ro y llá m e se a los nuevos vé rtice s A, B, C y D.

3. ¿Qué re la c ió n re su lta ve rd a d e ra p a ra AD y B C , y pa ra AB y C D ?

4. E núnc iese una g ene ra lizac ión .

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Page 195: Geometria - Clemens

5.3 El pos tu lado de las rec tas p a ra le la s 183

B.

6. Dado: Z 1 Z 2Z 3 s Z 4 .

Pruébese: p r.

7. D ado: m Z 1 + m ¿ 2 = 180m Z 3 + m Z 4 = 180.

Pruébese: p || r.

8. D ados una recta t y un punto P, trácese la perpendicular de P a i y llámese m. Trácese la recta l a m que pase po r P y llámese r. ¿Cuál es la relación entre r y (, y po r qué?

9. M uéstrese que la actividad de la página 178 da po r resultado un p ar de rectas paralelas.

\ P

c.

SOLUCION DE PROBLEMAS

Esta fo tografía m u estra las «tijeras» d e una plataform a de cam ión ab ie rtas , a lzan d o la plataform a a su a ltu ra m áxim a. Los so p o rtes , d esig n ad o s com o AB y CD, s e b isecan.

Expliqúese por qué e s ta s cond iciones significan q u e la plataform a del cam ión e s tá p a ra le la a la e s tru c tu ra b a se del cam ión.

Para los siguientes ejercicios puede suponerse que el teorema5.5 es verdadero para rectas en el espacio, adem ás de serlo para las rectas en un plano.

10. Si A B , CD y EF son las aristas de un cubo como m uestra la figura, demuéstrese que A B || EF.

11. Si A B , CD y E F son los bordes de tres páginas de un libro (supóngase cjue se tra ta de páginas rectangulares), pruébese que A B , CD y EF son pralelas entre sí.

(Ejercicio 10)

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184 Rectas y p lanos pa ra le lo s

5.4 Más teoremas sobre rectas paralelas

Muchos aficionados a las reparaciones caseras compran escaleras plegables para instalar en el techo de la casa o del garaje. Estas escaleras se fabrican siempre de la misma longitud. La persona que la instala debe determinar cómo cortar la parte inferior de manera que la escalera se apoye firmemente sobre el piso, para lo cual se deben tener en cuenta la longitud y el ángulo. El hecho de que el piso y el techo son paralelos es muy importante para resolver este problema.

En estas figuras, ¿cuál es la relación entre Z 1 y L 2?

D ado : p y ^ D ado : p |[ ^ D ad o : p j|

Obsérvese que L l » L2. Obsérvese que L l sí L2. Obsérvese que Z l s Z 2.

Las figuras anteriores sugieren el siguiente teorema.

Teorema 5.6 Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonceslos ángulos alternos interiores son congruentes.

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5.4 M ás te o rem as sob re rec tas p a ra le la s 185

PRU EBA

Dado: L as rec ta s p || q se c o r ta n p o r la tra n sv e rsa l r. L 1 y L 2 so n á n g u lo s a lte rn o s in te rio res .

Pruébese: ¿ 1 = 2.Plan: S u p ó n g ase q u e L 1 n o es co n g ru e n te c o n L 2 y e n c u é n tre se u n a c o n tra d ic c ió n .

Afirmaciones Razones

I . L í no es congruente con.Z.2. 1. Suposición de la p rueba indirecta.

2. Trácese u n a recta que pase po r A 2. Construcción.para que ¿ l ^ Z . 3 y ¿ l y ¿ 3 sean ángulos alternos interiores.

3. q || s, A está en s. 3. Si los ángulos a ltem os interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

4Í p || q, A está en p. 4. D ado.

5. H ay dos rectas que pasan po r A y 5. Afirmaciones 3 y 4.son paralelas a q. (Contradicción del postu lado de las paralelas.)

6. L l ^ L 2 . 6. Lógica de la p rueba indirecta.

APLICACIONEl te o re m a 5.6 p u e d e u sa rse p a ra re so lv e r el p ro b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io de es ta sección . ¿C ó m o d eb e c o r ta rse la p a r te in fe rio r de la escalera?S ígase e s te p ro ced im ien to .1. M íd a se A B y localícese u n p u n to D de

m a n e ra q u e A B = CD.2. M íd ase L U V W y localícese u n p u n to E de

m a n e ra q u e m / - U V W = m L C D E .

u v Techo

H a y v a r io s te o re m a s ad ic io n a le s q u e se d e sp re n d e n de esto:

Teorema 5.7 Si dos rectas paralelas se co rtan p o r u n a transversal, entonceslos ángu los a ltem o s ex teriores so n congruentes.

Teorema 5.8 Si dos rectas parale las se co rtan p o r u n a transversal, entonceslos ángulos correspond ien tes son congruentes.

Teorema 5.9 Sí dos rectas p ara le las se co r ta n p o r u n a transversal, entonces los ángu los in terio res del m ism o lad o de la transversal son suplem entarios.

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EJERCICIOS______

186 R ectas y p lanos pa ra le lo s

A.

En la figura de los ejercicios I a 7, las rectas p y q son paralelas y m ¿ 3 = 55.

1. m L l = _ L .

2. m L 2 = JL.

5. m L 6 ~ _L.

3. m L 4 - X .

6. m Z 7 = JL.

En la figura de los ejercicios 8 a 12, las rectas p y q son paralelas, y m L 1 = 125 y m Z 4 = 143.

8. m L 2 - JL

10. m L 5 = JL

9. m L 3 = JL

11. m L l - JL

7. m L 8 =

En la figura de los ejercicios 13 a 22, A B || CD y X f i || BC*. Además, m L A D C = 110 y m L A C D - 28.

13. m L l = X .

15. m L 3 = JL.

17. m L 5 = JL.

19. m L B C D = X

21. w Z 2 - X .

14. m Z 10 = X .

16. w Z 4 = X .

18. w Z 6 = X .

20. m L 9 = JL.

22. m L B A D = JL.

(Ejercicios 13-22)

23. Supóngase que en la figura m L B C D = 70. ¿Cuáles deben ser las m edidas de L A B C , L C D A l_ L D A B si A B || CD y AD || BC?

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Page 199: Geometria - Clemens

5.4 M ás te o rem as sob re rec tas pa ra le la s 187

Para los ejercicios 24 y 25, supóngase que las rectas p y q son paralelas.

24. Si m L 1 = 2x + 3 y m Z 4 = 7x — 12, encuéntrense m L 1 y m L 2 .

25. Si m L 1 = 2x + 4, m L 5 = 3y + 6 y m L 2 = Ay + 6, encuéntrense las medidas de L \ , L 2 y L5.

26. Pruébese el teorem a 5.8.

27. Pruébese el teorem a 5.9.

28. Pruébese el teorem a 5.7.

29. Dado: i || tr± s .

Pruébese: r ± t .

30. Dado: A O s z O DB O a OC.

Pruébese: A É II 5 d .

r A B

31. Dado: p || q* 111.

Pruébese: ¿ l s Z 7 Z 2 s L 9.

(Ejercicios 31-33)

32. Dado: p || q 33. Dado: i || tZ 3 s s Z l l . L 9 y L l son

Pruébese: s || t. suplem entariosPruébese: p || q.

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Page 200: Geometria - Clemens

188 Rectas y p lanos pa ra le lo s

C.

34. Dado: A B || CDB C || DE.

Pruébese: Z B Z D.

36. Dado: A B || D EA C biseca ¿ .B A D D F biseca Z A DE.

Pruébese: A C || FD.

Z BAD / EDA- im ¿ BAD = \m ¿ E D A \ use T h eo rem 5-2.

ACTIVIDADES. ...... ...........—

35. Dado:

Pruébese: B C

37. Dado: A B || CDB C || DE.

Pruébese: m¿_ 1 + m ¿ 4 = 180.

2 .

3.

1. E m p iécese po r un po lígono que se pueda c o rta r en p iezas y s e r reo rd e na d o en una fra n ja fo rm ando un pa trón re p e tit ivo (com o en la p á g ina 179).

D enom ínense los pun tos A y 6 de m anera que sean dos pun tos cu a le squ ie ra que se co rre sp o nd a n e n tre sí en p iezas adyacentes de la fran ja .

T rácese un pa r de rec tas p a ra le la s AD y BC com o se m ues tra en la fig u ra . T rácese AE 1 B C . Las p iezas 1 a 5 ob ten idas de esta fo rm a pueden co lo ca rse p a ra fo rm a r el po lígono o r ig in a l o un rectángu lo .

4. R epítase este p ro ced im ien to de tre s pasos p a ra los po lígonos de la so lu c ió n de p rob lem as de la pág ina 179. En cada caso co loqúense las p iezas co rtadas para fo rm a r un rectángu lo .

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Page 201: Geometria - Clemens

5.4 M ás te o re m a s sob re re c ta s pa ra le la s 189

38. Dado: A D ^ E CB C ^ F D S C || FD.

Pruébese: A B II EF.

39. Si A B || CD y A D || BC, pruébese que Z B = Z D.

B

40. Pruébese: Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos, entonces, los o tros dos lados opuestos son congruentes y paralelos.

41. U n decorador de interiores está pegando tiras de papel tapiz en una pared p a ra hacer un diseño de franjas inclinadas.

Al co rtar el papel, ¿cómo sabe el decorador que Z A y Z B deben ser congruentes?

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.

Los rayos de luz se inc linan a l p asa r a tra vé s de un v id r io . S upóngase que un rayo de luz su fre la m ism a in c lin a c ió n a l e n tra r que a l s a lir del v id r io . E xp liqúense dos cosas:

1. ¿Por qué e l rayo sa le en d ire cc ió n p a ra le la a la de en trada? Esto es, ¿por qué AB es p a ra le la a CD?

2. ¿Por qué los rayos que son p a ra le lo s a l e n tra r son p a ra le lo s tam bién_al s a ljr? Esto es, ¿por qué AB || WX im p lica CD || Y Z ?

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190 R ectas y p lanos pa ra le lo s

Capítulo 5 Conceptos importantesTérminos

Rectas alabeadas (pág. 170)Rectas y planos paralelos (pág. 170)Planos paralelos (pág. 170)Transversal (pág. 171)Angulos alternos interiores (pág. 171)Angulos alternos exteriores (pág. 171)Angulos correspondientes (pág. 171)

Postulado

Postulado de las paralelas: D adas una recta t y un punto P que no está en t , existe sólo una recta que pasa por P y es paralela a t .

Teoremas

5.1 Si dos rectas se cortan por una transversal y un p ar de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.2 Si dos rectas se cortan p o r una transversal y un p ar de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.3 Si Hos rectas se cortan p o r una transversal y un p ar de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.4 Si dos rectas se cortan por una transversal, y un p ar de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplem entarios, entonces las rectas son paralelas.

5.5 D adas las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.

5.6 Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5.7 Si dos rectas paralelas se co rtan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

5.8 Si dos rectas paralelas se cortan po r una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

5.9 Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

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Page 203: Geometria - Clemens

C a p itu lo 5 R esum en

Capítulo 5 Resumen1. a. Cítense pares de ángulos alternos interiores.

b. Cítense pares de ángulos alternos exteriores.c. Cítense pares de ángulos correspondientes.

2. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.a. Si dos rectas son paralelas y se cortan po r una transversal,

entonces los ángulos correspondientes son congruentes.b. Si dos rectas se cortan por una transversal para formar

ángulos alternos interiores, entonces las rectas son paralelas.c. Si dos rectas son paralelas a u n a tercera, entonces las dos

rectas son paralelas.

3. a. Cítese un p ar de planos paralelos,b. Cítese un par de rectas alabeadas.

4. Si m L 6 = 120 y m L 12 = 60, ¿puede probarse que a H b?

5. Si mZ.13 = 55, a || b, y c || d, encuéntrese m L 4.

6. Dado: a \ \b ,c \ \ d m L \ = 8x - 2, m L 11 = 7x + 11.Despéjese x y encuéntrese m L 10.

7. Dado: c || dL 8 y L 10 son suplementarios.

Pruébese: a || b.

8. Dado: L E C D ^ L E A B .Pruébese: L FDC = L FBA.

(E jercic ios 4-7)

A ‘ R (E jercicio 8)

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Page 204: Geometria - Clemens

Capítulo 5 Examen1. a. Cítese un par de ángulos alternos interiores que incluyan L2.

b. Cítese un p ar de ángulos correspondientes que incluyan L 2.TJ

2. a. Cítese un par de planos paralelos,

b. Cítese un par de rectas alabeadas.

3. Si a || b, m L 10 = 70 y m L l = 70, ¿puede decirse que c || cP.

4. Si m L 6 = 115, m L l = 65 y m L 15 = 65, encuéntrese m L 13.

5. Dado: a || b, c || d, m L 11 = I x y m ¿ 8 = 5x + 32.Despéjese x y encuéntrese m L 6.

192 Rectas y p lanos pa ra le lo s

6. Si a interseca a b, ¿puede ser que m L 1 = m L 2 ? Expliqúese.

7. Dado: ¿ l s ¿ 2L2_y L 3 son suplementarios.

Pruébese: A B II E D .

1D

8. Dado: c\\d , ¿ 8 s ¿ 1 4 .Pruébese: a II b.

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Page 205: Geometria - Clemens

Repaso de álgebra

Repaso de á lg e b ra 193

Despéjese x en las ecuaciones siguientes:

1. 3* + 5 = 21 - x . 2. 10 — 6x = 4 + 2(1 - x). 3. 5 - x = - 3 x .

4. 5 + 2(x - 4) = 19. 5. 4(2* - 6) = 2x + 5. 6. f* + | = 1.

7. 4(x - 2) = 4 - (x + 2). 8. \ x + 2(x - 4) = 17. 9. 2(x + 4) = 3(4 - x).

Despéjese x en las desigualdades siguientes:

10. - x > 9- 11. x + 2 < 7. 12. 2x + 6 > 17.

13. 3(x - 2) < 8. 14. 15 - 2x < x. 15. ^ > 24.

16. 3x + 7 > 2x — 4. 17. 2 |x | < 10. 18. |x + 2| > 14.

Evalúese. Exprésense fracciones en térm inos menores:

19. \ / 8. 20. V640- 21. \ /2 7 + \/3 .

22. 8(8 - 6 vTó). 23. \/7 5 - \ / l2 - 24. \ / Í0 8 + 3 \/3 .

25. 26. B . 27. V Í 8 - j E1 4 \/6 4 V 9

Despéjense x e y en los sistemas de ecuaciones siguientes:

28. x = 2 29. 2x + ;y = 14 30. x = 2y + 1

x + y = 5. 3x + y = 4.

ó041II

31. x - y = 2 32. 3x + 4y = 14 33. x + ;y = 10

x -\-y — 6 . x — 3y = —17.

00II1H

34. 3x + 4y = 18 35. jy = 2x 36. 2x + j- = 6

6x — 4y = 0- x + 3y = 49. — 3x + 2y =

Resuélvase.

37. E l ancho de un rectángulo es tres veces su 38. U n p ar lineal de ángulos m ide x + 20 ylongitud. Encuéntrense la longitud y la x + 30. Encuéntrese la m edida de cadaanchura del rectángulo si su perím etro es ángulo.24.

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Page 206: Geometria - Clemens

Fluorita

Mineralogía-, simetríaEn general, los minerales presentan disposiciones regulares de átom os que tienen cierta simetría geométrica. Aunque los cristales no siempre m uestran una sim etría perfecta, algunos tienen formas parecidas a la de alguno de los cinco poliedros que se m uestran a continuación. Tales cristales tienen ejes de sim etría de revolución y planos de sim etría de reflexión.

CuboIcosaedro

C ubo

O ctaedroT etraedro DoOÍCÜrOlO

a Encuéntrense ejes de simetría de revolución

para un sólido.

Puede plegarse un pa tró n como el que se m uestra aquí y constru ir un cubo. H áganse dos orificios pequeños e introdúzcase un sorbeto a través del cubo como ilustra la fotografía. Si se hace g irar el cubo 90° cuatro veces sobre el eje, el sorbeto, volverá a su posición-original. D ado que esto es verdadero, se dice que el sorbeto representa un eje de simetría de revolución de cuarto orden.

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Page 207: Geometria - Clemens

A continuación se m uestran los tres ejes de sim etría para un cubo.

/

Segundo orden U na recta que pasa po r los puntos medios de aristas opuestas.

/Tercer orden

U na recta que pasa por un p ar de vértices opuestos.

a. ¿Cuántos ejes de simetría de segundo orden puede tener un cubo?

b. ¿C uántos ejes de sim etría de tercer orden puede tener un cubo?

c. ¿cuántos ejes de sim etría de cuarto orden puede tener un cubo?

.

Cuarto orden U na recta que pasa po r el centro de caras opuestas.

Encuéntrense planos de simetría de reflexión para un sólido

Puede construirse un m odelo de un cubo con 12 sorbetos unidos con servilletas congruentes de papel com o se ilustra en la fotografía. Córtense «planos» de cartulina y úsense p a ra visualizar los planos de sim etría como se m uestra en los dibujos.a. U n plano que pasa po r aristas opuestas de un

cubo, com o en el prim er dibujo, es un plano de sim etría para el cubo. ¿C uántos p lanos de sim etría de este tipo tiene un cubo?

b. U n plano situado en el centro de un p ar de caras opuestas de un cubo es un plano de sim etría p a ra el cubo. ¿C uántos planos de sim etría de este tipo tiene u n cubo?

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Page 208: Geometria - Clemens

CAPITULO

6.1 C la s if ic a c ió n d e lo s t r iá n g u lo s 198

6.2 T r iá n g u lo s is ó s c e le s 202

6 .3 M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e un t r iá n g u lo 208

6 .4 E l te o re m a d e la c o n g ru e n c ia L A A 212

6 .5 E l te o re m a d e la c o n g ru e n c ia de la h ip o te n u s a y e l c a te to 216

C o n c e p to s im p o r ta n te s 220 R e s u m e n 221 E x a m e n 222

Técnicas para la solución de problem as

H a c e r u n a ta b la - l l 223

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Page 209: Geometria - Clemens

Triángulos

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Page 210: Geometria - Clemens

198 T riá n g u lo s

6.1 Clasificación de los triángulos

L a s velas del b a rc o de la fo to g ra fía i lu s tra n d ife ren tes fo rm as de tr ián g u lo s .L o s tr iá n g u lo s p u ed en clasificarse seg ú n la lo n g itu d de su s la d o s o seg ú n la m e d id a de su s ángu los.

REPASO: U n triánguloequilátero es un triángulo con los tres lados congruentes.

REPASO: U n triángulo isósceles es un triángulo que tiene al m enos dos lados congruentes.

N in g ú n la d o tien e la m ism a lo n g itu d .

A G H I es u n triángulo escaleno.

Definición 6.1Un triángulo escaleno es untriángulo que no tiene lados congruentes.

L o s tr iá n g u lo s ta m b ié n se c lasifican seg ú n la m e d id a d e sus án g u lo s .

T o d o s lo s án g u lo s so n agudos.

A A B C es un triángulo acutángulo.

Definición 6.2Un triángulo acutángulo es untriángulo con tres ángulos agudos.

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Page 211: Geometria - Clemens

6.1 C la s ifica c ió n de los tr iá n g u lo s 199

E

¿ D es u n á n g u lo rec to .

H

K

A D E F es un triángulo rectángulo. E l la d o E F es la hipotenusa. D E y D F so n los catetos.

A G H I es u n tr iángulo obtusángulo.

A J K L es u n tr iángulo equiángulo.

Definición 6.3U n triángulo rectángulo es untriángulo que tiene un ángulo recto.

Definición 6.4U n triángulo obtusángulo esun triángulo que tiene un ángulo obtuso.

Deficinión 6.5U n triángulo equiángulo es untriángulo que tiene tres ángulos congruentes.

Definición 6.6U na altura de un triángulo es un segmento que va de un vértice a un pun to F en el lado opuesto (quizá extendido) y es perpendicular a ese lado opuesto.

P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo h a y tres seg m en to s d e n o m in a d o s alturas.

O b sérv ese q u e e n u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo d o s d e la s a ltu ra s co in c id en co n los la d o s d e l tr iá n g u lo . E n u n tr iá n g u lo o b tu sá n g u lo , d o s a l tu ra s tien en c a te to s e n las ex ten s io n es de lo s lados.

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EJERCICIOS

200 T riá n g u lo s

A .

1. Clasifiquense estos triángulos en escaleno, isósceles o equilátero.

b . c.

2. Clasifiquense estos triángulos en acutángulo, obtusángulo o rectángulo.

b .a.

3. Denom ínense estas partes del triángulo rectángulo M NP.a. Angulo recto. b. Catetos.c. H ipotenusa. d. A lturas. M

4. Dibújese un triángulo isósceles que tenga un ángulo de 45°.

5. Dibújese un triángulo rectángulo escaleno.

6. Dibújese un triángulo obtusángulo que tenga un ángulo de 30°.

7. Dibújese un triángulo equilátero y trácese una altura.

8. Dibújese un triángulo obtusángulo y trácense todas sus alturas.

9. Dibújese y dense nom bres a una tablacom o la de la derecha. En cada casilla de la tabla, si es posible, dibújese un acutángulotriángulo que satisfaga las dos rectángulo

obtusángulo

N

equilátero isósceles escaleno

condiciones.

ACTIVIDADES!

D ibújense tre s co p ias de la e s tre lla m ás peq u eñ a . C ó rtese por las lín eas de puntos y c o ló q u en se las p iezas p a ra fo rm ar la e s tre lla g rande.

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6.1 C la s ifica c ió n de los tr iá n g u lo s 201

SOLUCION DE PROBLEMAS

En e s ta figura hay 27 triángu los equ ilá tero s. C ítense to d o s los posib les.

16.

17.

18.

10. Identifiqúense los triángulos como acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

a. A ABD.b. A AB C .c. A A D E .d. A B D C .e. A ACE.f. A D C E .

11. En la figura de la derecha, identifiqúense las alturas y sus triángulos respectivos.

Los ejercicios 12 a 14 se refieren al pentágono ABCDH.12. Cítense dos triángulos isósceles que tenga A B com o lado desigual.13. Cítense dos triángulos isósceles que tenga A B com o uno de los

lados iguales.14. Cítese un triángulo isósceles que tenga FG com o uno de los

lados.15. Cítense todos los triángulos equiláteros y escalenos de la figura

siguiente.

¿Por qué un triángulo equilátero tam bién es isósceles? Expliqúese haciendo referencia a la definición de «triángulo isósceles».Dado: U n triángulo isósceles A B C con B como

ángulo del vértice.A E es la a ltu ra de A a BC.CD es la altu ra de C a A B.AD £ CE.

Pruébese: L B A E £ BC D .C uatro triángulos equiláteros pueden colocarse para form ar un triángulo equilátero más grande. ¿Cómo pueden colocarse cuatro triángulos obtusángulos para form ar un triángulo obtusángulo más grande de la m isma form a que el original?

(Ejercicio 15)

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202 T riá n g u lo s

6.2 Triángulos isóscelesE n to d o el m u n d o se h a n constru ido miles de dom os geodésicos. U n o de los m ás grandes se construyó en 1958. Se tra ta de un taller de reparac ión de au tom óviles de B a to n R ouge, L ouisiana. Este dom o tiene 117 m etros de d iám etro y 35 de altu ra . P ara la exposición de M o n trea l de 1967, tam bién se construyó un dom o, la fo tografía m uestra su proceso de construcción.

L a e s tru c tu ra de un dom o se construye uniendo m uchos triángulos. De estos triángulos, m uchos tienen lados de igual long itud , lo cual significa que son isósceles o equ ilá teros (Véase «L a geom etría en nuestro m undo», pág. 126).

E n esta sección se es tu d iarán algunas p rop iedades im p o rtan tes de estos dos tipos de triángulos.

A B ^ A C A C = B C Á B ^ B C

Teorema 6.1 Si un triángu lo es isósceles, en tonces los ángulos de su base soncongruentes.

O bsérvese que m L A = m L C.O bsérvese que m L B = m L C. O bsérvese que m L A = mLB.

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6.2 T riá n g u lo s isósce les 203

PRUEBA

D ado : Sea A A B C isósceles c o n A B s A C .P ruébese: L B s L C.

P lan : Sea D el p u n to m ed io de BC. T rácese A D y p ru éb ese q u e A A B D s A AC D .

Afirmaciones Razones

1. A A B C es isósceles con 1. Dado.A B = AC. 2. C ada segmento de recta tiene un, y

2. D es el punto m edio de BC. sólo un, punto medio.

3. A A B D s A ACD. 3. U n segmento desde el vértice de unángulo al punto m edio del ladoopuesto form a un par de triánguloscongruentes (Teorem a 4.2).

4. L B = L C . 4. PCTCC.

APLICACION

Se v a n a c o r ta r d o s ta b lita s d e m a d e ra co n v e rg en te s de m a n e ra q u e p u e d a n c lav arse a u n a ta b la a lo la rg o d e u n a línea.

Se co lo c a n d o s e sc u a d ra s de c a rp in te ro d e fo rm a q u e BE = DE. L os p u n to s B y D d e te rm in a n la lín ea de fo rm a que AA B D s A CDB. ¿ P o r qué? L as e sc u a d ra s d e c a rp in te ro se co lo c a n de m a n e ra q u e A BDE es u n tr iá n g u lo isósceles. P o r ta n to , L E B D LEDB, c o n lo c u a l p u ed e co n c lu irse que m L A B D = 90 + m L E B D = mLEDB + 90 = mLCDB.

A c o n tin u a c ió n se p re s e n ta n o tro s d o s teo rem as. E l teo rem a6.2 es u n caso esp ec ia l del te o re m a 6.1.

Teorema 6.2 Si u n tr iá n g u lo es e q u ilá te ro , e n to n c e s es e q u ián g u lo .

Teorema 6.3 Si d o s án g u lo s d e u n tr iá n g u lo so n c o n g ru en te s , e n to n ces losla d o s o p u e s to s a e s to s á n g u lo s so n c o n g ru en te s .

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204 T riá n g u lo s

EJERCICIOSA.

En los ejercicios 1 a 3, los segm entos que tienen m arcas idénticas se consideran congruentes. Cítense todos los pares de ángulos que, según el teorem a 6.1, son congruentes.

1. A

E

B.

13. /SABC es isósceles con A B = BC. Si A B = 4x y BC = 6x — 15, encuéntrense A B y BC.

14. En A DEF, DE ^ EF. Si DE = 4x + 15, EF = 2x + 45 y DF = 3x + 15, encuéntrense las longitudes de los lados del triángulo.

15. En A X Y Z , X Y ^ Y Z . Si m L X = 4x + 60,m A F = 2x + 30 y m L Z = 14x + 30, encuéntrense m L X , m L Y y m L Z .

7. m L A B C = _L.

9. m L A C D = _L.

11. A B = J_ .

8. C E = _L.

10. S C =

12. m /_ A D B = X .(Ejercicios 7, 8)

En los ejercicios 4 a 6, los ángulos que tienen m arcas idénticas se consideran congruentes. Cítense los triángulos isósceles.

16. En A A B C , ¿ A ^ ¿ C . S \ A B = 4x + 25, BC = 2x + 45 y A C = 3x — 15, encuéntrense las longitudes de los tres lados.

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6.2 T riá n g u lo s isósce les 205

Escríbase una dem ostración a dos colum nas para cada uno de los ejercicios 17 a 24.

17. Dado: A B ^ A CD B a DC.

Pruébese: Z 1 a Z 2.

A

18. Dado: ABCD es un cuadrilátero conA B s B C y D A s s DC.

Pruébese: L B A D s L B C D .(Sugerencia: Añádase una línea auxiliar.)

B

C

D

19. Dado: A C = A D , B C = ED.Pruébese: A A B E es isósceles.

20. Datos: A C A D , Z 1 = Z 2 .Pruébese: A A B D =s A AEC.

A

21. Dado: A B s s A CB E biseca a Z 6 CD biseca a Z C.

Pruébese: C D a BE.

22. Dado: A B s ; A CB E biseca a ¿ B C D biseca a Z C.

Pruébese: A D = AE.

23. Dado: A B = A CZ l s Z 2 .

Pruébese: A B C D es isósceles.

24. Dado: ¿ A B C s s ¿ A D CZ J_ss Z 2 . __ __

Pruébese: A B a A D y B C s DC.

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T riángu los

25. Dado: Z A B C y ¿_D son suplementarios. Pruébese: A A B D es isósceles.

26. Se ha pedido a un grupo de agrimensores que localice un pun to sobre una delim itación de propiedad CD que equidiste de dos puntos previam ente localizados, A y B. D ebido a la m agnitud de las distancias, no se puede realizar una medición directa con una cinta métrica.Los puntos A y B están cerca uno del otro. En cada uno de ellos se colocó un teodolito. ¿Cómo puede el grupo de agrimensores localizar el punto deseado?

C D*I

aproximadamente una milla

I itA

En los ejercicios 27 y 28, ABC D E es un pentágono regular.

27. Pruébese que A A B G es un triángulo isósceles. F.

28. Pruébese que A A F G es un triángulo isósceles.

29. Pruébese el teorem a 6.2.

30. Pruébese el teorem a 6.3.

31. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles, es la bisectriz perpendicular del lado opuesto.

32. Pruébese que si A A B C s A DEF y A D EF =s A G H I, entonces A A B C = A G H I. (Propiedad transitiva de los triángulos congruentes.)

(E jercicios 27, 28)

ACTIVIDADES!

En una ta b la con tre s c lavos en un lado, o en un pape l de puntos de 3 x 3, m uéstrense :

s > / -

1. S egm en tos de c inco long itudes d ife ren tes . y >

2. A ngu los de d iez tam años d ife ren tes .

3. T riá n g u lo s de s ie te tam años y fo rm as d ife ren tes .

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6.2 T riá n g u lo s isósce les 207

33. Pruébese que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.

34. Pruébese que los segm entos de recta que tocan el punto medio de la base de un triángulo isósceles y los puntos medios de los catetos son congruentes.

35. En un triángulo ABC, A B £ A C. X es el pun to medio de A B e Y es el punto medio de AC. X W es una perpendicular a AB;Y Z es perpendicular a AC; W y Z son puntos sobre BC. Demuéstrese que X W ^ YZ.

A

(Ejercicio 35)

(Ejercicio 37)

36. Pruébese que un triángulo equiángulo es equilátero.

37. Supóngase que A A B C es_un triángulo isósceles conA C = BC y que AD y BE se intersecan en P de m anera que L P A B = L P B A . Demuéstrese que A PDE es isósceles.

A

SOLUCION DE PROBLEMAS________________

¿C uán tos triángulos eq u ilá te ro s hay en e s ta figura?

¿C uán tas co m e ta s hay en e s ta figura? (Una co m eta e s un cuad rilá tero con exac tam en te d o s p a re s de lados ad y acen tes congruen tes.)

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208 T riá n g u lo s

6.3 Medidas de los ángulos de un triángulo

Los p a tro n es y diseños geom étricos son in teresan tes e im portan tes p a ra un d eco rad o r de interiores. (Véase «L a geom etría en nuestro m undo», pág. 40.) Si se ana lizan con cu idado se encuen tra que m uchos de estos d iseños están constru idos en to m o a form as triangu lares que se repiten.

E l teo rem a de esta sección describe una p ro p ied ad de los triángu los que les da la cualidad de ser p a tro n es de referencia.

En el cap ítu lo 2 se observó que las esquinas de un triángu lo pueden co rta rse y luego unirse, la sum a de estos ángulos resu lta ser 180°.

A h o ra se enuncia esto com o un teorem a.

Teorema 6.4 La sum a de los ángulos de un triángu lo es 180°.

PRUEBA

D ado: U n triángu lo ABC.Pruébese: m L A + m ¿ B + m ¿ C = 180

Plan: T rácese u n a recta í a través de A y para le la a BC, y úsense teorem as que re lacionen rectas parale las con una transversal. (La recta í es una rec ta auxiliar.)

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6.3 M ed idas de los á n gu los de un tr iá n g u lo 209

Afirmaciones

1. Sea l u n a recta a través de A y 1. Construcción.paralela a B C .

2. ¿1 2. Si dos rectas son paralelas,entonces los ángulos alternosinteriores son congruentes.

3. m ¿ \ + m ¿ A + m ¿ 2 = 180. 3. Definición de «entre» para rayosy postulado del p ar lineal.

4. m ¿ B + m L A + m ¿ C = 180. 4. Sustitución.

APLICACION

D a d o q u e la su m a de los án g u lo s d e u n tr iá n g u lo es 180° (en la fig u ra , a + b + c = 180), se p u ed en d isp o n e r co p ia s c o n g ru e n te s de u n tr iá n g u lo a lre d e d o r de u n p u n to , co m o se m u e s tra e n la figura , y ex ten d e rla s p a ra c u b r ir u n p lan o . E s to s p a tro n e s tr ia n g u la re s so n la b ase p a r a o tro s m ás in tr in c a d o s , c o m o se m u e s tra a l p rin c ip io d e e s ta sección.

E l s ig u ien te te o re m a p u e d e p ro b a rse a p lic a n d o el te o re m a 6.4 p a ra tr iá n g u lo s eq u ilá te ro s .

Teorema 6.5 L o s án g u lo s d e u n tr iá n g u lo e q u ilá te ro m id en 60° c a d a uno .

E l te o re m a q u e se e n u n c ia a c o n tin u a c ió n es ú til p a r a re so lv e r c ie rto s p ro b lem as g eo m étrico s . Se en u n c ia e i lu s tra aq u í, y se p ro b a rá c o m o ejercicio .

x = a + b, donde x es la m edida del ángulo externo y a y b son las m edidas de los ángulos interiores no contiguos.

Teorema 6.6 L a m ed id a d e u n á n g u lo e x te r io r d e u n tr iá n g u lo es ig u a l a la su m a d e su s d o s á n g u lo s in te r io re s n o co n tig u o s .

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EJERCICIOS

210

A.Encuéntrense las m edidas de los ángulos indicados en los ejercicios 1 a 9. Las m arcas indican segmentos congruentes.

2.

5.

8.

B.10. La m edida de los ángulos de la base de un triángulo isósceles se

representa po r x, y el ángulo del vértice, po r 2x + 30. Encuéntrese la m edida de cada ángulo.

11. Las m edidas de los ángulos de un triángulo se representan por 2x + 15, x + 20 y 3x 4- 25. Encuéntrense las m edidas de los ángulos.

12. Pruébese que los ángulos de un triángulo equilátero miden 60° cada uno.

13. Pruébese que los ángulos de la base de un triángulo rectángulo isósceles miden 45° cada uno.

14. U n mecánico debe constru ir una placa de acero con orificios como los que m uestra la figura. El mecánico debe calcular prim ero las medidas de L 3 y LA.Encuéntrense m / 3 y mLA.

ACTIVIDADES!T rácen se y re c ó rte n se tre s h exágonos pequeños, y c ó rte se por las líneas p u n tead as . Con las 13 p iezas re su ltan tes, fó rm ese un hexágono reg u la r g rande.

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6.3 M ed idas de los á n gu los de un tr iá n g u lo 211

15. Pruébese que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son agudos.

16. En A A B C y A DEF, L A ^ L D y L B u L E . Pruébese que L C ^ L F .

17. Pruébese que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

18. Dado: A B ¡| DE.Pruébese: m ¿ B + m ¿ C + m ¿ D = 180.

20. Dado:

D "E

D E ± Z £D B ± A B .

Pruébese: m Z C A B = m L CDE. D

22. Pruébese que la sum a de los ángulos de un cuadrilátero es 360°.

19. Dado:

Pruébese:

C E biseca a Z B C D A C s B C .

CÉW ÁB.

21. Dado: A B , BC, <3> y AD.Pruébese: m Z l + m Z 2 = m /_ C + m ¿ B .

23. Pruébese el teorem a 6.6.

SOLUCION DE PROBLEMASD ibújense e s ta s figuras y A trá c e n se las líneas de puntos p a ra dividir las figuras en cuatro p artes idén ticas, to d as d e la m ism a form a que la

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212 T riá n g u lo s

6.4 El teorema de la congruencia l a a

Teorema 6.7 T e o re m a L A A . Si en u n triá n g u lo , d o s á n g u lo s y u n lad oo p u e s to a u n o de los án g u lo s s o n c o n g ru e n te s c o n d o s á n g u lo s y el la d o c o rre sp o n d ie n te de u n se g u n d o tr iá n g u lo , e n to n ces los d o s tr iá n g u lo s so n c o n g ru en te s .

E n una isla de caníbales h ay diversos tipos de árboles:U n roble, un olmo chino, y varios arces. S i trazáis una senda que vaya del olmo al roble

encontraréis e l tesoro del cual queréis que os hable.Sólo encontrad el punto y podréis es tar seguros.

C ongruen te el tr iángulo será con uno de piedras que a h í está.

Si se encuentra el pun to X donde el ángulo ( ) es el mismo que el ángulo correspondiente en

el triángulo de piedras, ¿puede tenerse la seguridad de que los triángulos son congruentes?

U n p ira ta , q u e e ra u n e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía f ru s tra d o , c o lo có tre s e n o rm es p ied ra s , y e sc rib ió el p o e m a an te rio r .

E n lo s tr iá n g u lo s sigu ien tes, d o s án g u lo s y u n la d o o p u e s to a un á n g u lo so n c o n g ru en te s . C o n p ap e l vegeta l, lléguese a la co n v in c ió n d e q u e los tr iá n g u lo s so n c o n g ru en te s .

E s ta s c o n c lu s io n es d e b e n e s ta r de a c u e rd o c o n el te o re m a d e l la d o -á n g u lo - á n g u lo (LAA).

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6.4 El te o re m a de la co n g ru e n c ia LAA 213

PRU EBA G

D ad o : A A B C y A D E F co n ¿ A = L D L B ^ _ L E

B C = £ F .P ruébese : A A B C = A DEF.

P la n : Se u tiliz a rá la in fo rm a c ió n p ro p o rc io n a d a p a ra m o s tra r q u e L C s L F , y después se u tiliz a rá el p o s tu la d o A LA .

APLICACION

E l te o re m a 6.7 p ro p o rc io n a u n a re sp u e s ta a l p ro b le m a del te so ro del p ira ta . D a d o q u e d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a u n o de los án g u lo s del « tr iá n g u lo d e á rb o le s» son c o n g ru e n te s c o n d o s án g u lo s y el la d o o p u e s to a u n o d e los á n g u lo s d e l « tr iá n g u lo de p ied ras» , los d o s tr iá n g u lo s so n c o n g ru e n te s y X s e ñ a la el p u n to e n q u e e s tá el te so ro .

C u a n d o se a p lic a el te o re m a 6.7 a u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo , re su lta el te o re m a d e la h ip o te n u sa y el án g u lo .

roblé

F

E

Afirmaciones Razones

1. Z A =2 L D , Z S s ¿ E . 1. Dado.

2. m L A + m L B + m L C = 180; 2. L a sum a de las m edidas de losm L D + m L E + m L F = 180. tres ángulos de un triángulo esO ’Ocoi—H

3. m L A + m Z £ + m L C = 3. Sustitución.= m L D + m L E + m L F .

4. m L C = m L F . 4. Propiedad de resta de iguales.

5. Definición de ángulos5. L C s LF. congruentes.

6. B C s EF. 6. ¿Por qué?

7. A A B C = A DEF. 7. ¿Por qué? ^

olmo

Teorema 6.8 T eorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la h ip o te n u sa y u ná n g u lo a g u d o de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo so n c o n g ru e n te s c o n la h ip o te n u s a y u n á n g u lo a g u d o d e o tro tr iá n g u lo re c tá n g u lo , e n to n c e s los tr iá n g u lo s so n co n g ru en te s .

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EJERCICIOS

214 T riá n g u lo s

A.En los ejercicios 1 a 6, indiquese si los pares de triángulos dados son congruentes por LAA, LAL, ALA, hipotenusa y cateto, o po r ninguno de estos teoremas.

B. cCon la inform ación proporcionada en los ejercicios 7 y 8, pruébese que A A C D s A BCD.

7. Dado:

9. Dado:

CD _L A B 8. Dado: CD biseca a Z C ¿ A s ¿ B . ¿ A s ¿ B .

DZ I ss Z 2 Z C = £ Z O .

Pruébese: A A B C s A B A D .

(Ejercicios 7, 8)

ACTIVIDADES!C órtense palillos de las sig u ien tes longitudes:

d o s de 10 cm d o s de 17.3 cm uno de 20 cm uno d e 30 cm

¿C uán tos triángu los distin tos pueden co n stru irse con e s to s s e is palillos?

ja

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6.4 El te o re m a de la co n g ru e n c ia LAA 215

10. Dado: A A B C es isósceles con ángulode vértice C Z f l s L E .

Pruébese: A A B E ss A B A D .D E

c.

12. Form úlese una prueba a dos columnas p ara el teorem a 6.7.

13. Form úlese una prueba a dos columnas p ara el teorem a 6.8.

14. Dado: L A s s L BL A D C s L B E C .

Pruébese: A A E C s s A BDC.

C.

16. Pruébese que los segm entos desde un pun to sobre la bisectriz de un ángulo perpendicular a los lados del ángulo son congruentes.

B

11. Dado: B E ss CFL A == L D L A C B s L D E F .

Pruébese: A A B C s A DFE.

15. Dado: A B C D E es un pentágono regular.

Pruébese: A A F E = A BFC.

L)

C

17. Pruébese que si se trazan perpendiculares desde cualquier punto de la base de un triángulo isósceles a los lados congruentes, los ángulos que se form an en la base del triángulo son congruentes.

. SOLUCION DE PROBLEMASSi los tr iá n g u lo s y hexágonos de este d iseño se d ib u ja ra n de m anera que dos po lígonos cu a le sq u ie ra con un vé rtic e com ún tuv ie ran d ife ren tes co lo res , ¿cuál es el núm ero m ín im o de co lo re s necesa rio para co m p le ta r el co lo re a d o del d iseño?

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216 T riá n g u lo s

6.5 El teoremade la congruencia de la hipotenusa y el cateto

S u p ó n g ase q u e se desea in s ta la r u n a c a n a s ta d e b a lo n c e s to e n u n a p a re d a l a ire lib re . ¿ C ó m o se p u e d e ten e r la se g u rid a d d e q u e el ta b le ro q u e d e p a ra le lo a la p a red ? L os so p o r te s q u e su je tan el ta b le ro a la p a re d so n u n e lem en to im p o r ta n te p a ra la re sp u esta . C o n sid é ren se los sig u ien tes p a re s de tr ián g u lo s .

U tilícese p ap e l v eg e ta l p a ra lleg a r a la c o n c lu s ió n d e que:A A B C ^ A DEF.

G £ = J L _ G H J K

A G H I s A J K L

TeOr©ITia 6.9 T eorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ip o te n u sa y unc a te to d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo so n c o n g ru e n te s c o n la h ip o te n u s a y u n c a te to de o tro tr iá n g u lo re c tá n g u lo , en to n ces los tr iá n g u lo s so n co n g ru en te s .

PRUEBA

Dado:

Pruébese:

A A B C y A D E Fc o n L B y L E c o m o jín g u lo s rectos B C ^ E F y A C s DF.A A B C s A D EF.

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218 T riá n g u lo s

EJERCICIOS-----------------------------------

A -En los ejercicios 1 a 4, decídase si la inform ación dada determ ina la congruencia por LAA, ALA, hipotenusa y ángulo, hipotenusa y cateto, o ninguno de estos teoremas.

1. Dado: Á B s DÉ, Á C s DF.

2. Dado: ¿ A s ¿ D, B C s EF.

3. Dado: ¿ B s ¿ E , Á B s D E .

4. Dado: Á C s DF, ¿ A s ¿ D .

En los ejercicios 5 a 9, determínese si la inform ación dada asegura que los triángulos son congruentes. Si no lo son, proporciónese un contraejem plo.

5. Dado: P Q s S T , ¿ P s ¿ S , ¿ Q s ¿ T .

6. Dado: P Q s T Ü , Q R s S Ü , ¿ Q s ¿ U .

7. Dado: ¿ P = ¿ S , ¿ Q s ¿ T, ¿ R s ¿ ü

8. Dado: ¿ Q s ¿ T , P Q s S T , P R s S Ü . Q

B.

D

9. D ado: P Q s S U , Q R s ST , P R s TU.

P ara los ejercicios 10 y 11, supóngase que A B = D E y A C = D F .

(Ejercicios 5-9)

10. Si BC = 2x - 3 y EF = x + 5, Dencuéntrense las longitudes de B C y EF. \

11. Si m L A = 4x - 5 y m L D = 2x + 25, \ .encuéntrense m ¿ B y m ¿ E .

C b -------- f

(Ejercicios 10, 11)

F.

ACTIVIDADES

T rá c e n se y re c ó rte n se las 13 p iezas de e s to s dos d o d ecág o n o s re g u la re s y co ló q u en se p a ra fo rm ar un d odecágono regu lar grande.

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6.5 El te o re m a de la co n g ru e n c ia de la h ipo tenusa y e l ca te to 219

12. Dado: BD = CEBD y C E son alturas.

Pruébese: A A B C es isósceles.

13. Dado: BD y C E son alturasL A B C 3? ¿ A C B .

Pruébese: A BFC es isósceles.

A

c.C (Ejercicios 12,13)

En los ejercicios 14 a 16 BE ^ CD y BD y C E son alturas.

14. Pruébese que A E F B 3= A DFC.

15. Pruébese que AA E D es isósceles.

16. Pruébese que ED || S ? .

17. Pruébese el teorem a 6.10.

18. U n a sierra circular de siete dientes se hace cortando siete triángulos rectángulos de mi polígono regular de siete lados. Si A B se corta con la misma longitud para cada diente, ¿por qué todos los puntos salientes de la sierra tienen un ángulo del mismo tam año?

C (Ejercicios 14-16)

SOLUCION DE PROBLEMAS.

A la d e re c h a s e ¡lustra una p irám ide cuad rada .

1. ¿C uáles de estos pa trones pueden d o b la rse p a ra c o n s tru ir la p irám ide?

2. C onstruyanse en m a yo r tam año pa trones com o éstos. C om pruébese la p regun ta a n te r io r cons truyendo una fig u ra con cada uno de e llos .

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220 T riá n g u lo s

Capítulo 6 Conceptos importantesTérminos

Triángulo escaleno (pág. 198) Triángulo acutángulo (pág. 198) Triángulo rectángulo (pág. 199)

Triángulo obtusángulo (pág. 199) Triángulo equiángulo (pág. 199) A ltura (pág. 199)

H ipotenusa (pág. 199)

Teoremas

6.1 Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes.

6.2 Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.6.3 Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los

lados opuestos a estos ángulos son congruentes.6.4 La sum a de los ángulos de un triángulo es 180°.6.5 Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60° cada uno.6.6 La m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a

la sum a de sus dos ángulos interiores no contiguos.6.7 Teorem a LAA. Si dos ángulos de un triángulo y el lado

opuesto a uno de ellos son congruentes con dos ángulos y el lado correspondiente de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

6.8 Teorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de o tro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.9 Teorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de un segundo triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.10 Si un pun to P equidista de un p ar de puntos A y B, entoncesP está sobre la bisectriz perpendicular de AB._A la inversa, un pun to sobre la bisectriz perpendicular de A B equidista de A y de B.

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C apítu lo 6 R esum en 221

Capítulo 6 Resumen1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

a. U n triángulo escaleno no puede ser un triángulo acutángulo.b. U n triángulo isósceles tam bién puede ser un triángulo

rectángulo.c. U n triángulo rectángulo tiene sólo una altura.d. Si dos ángulos de un triángulo miden 60” y 90°, entonces el

triángulo es isósceles.

2. Si m L A C D = 120 y m ¿ A B C = 50, encuéntrese m ¿ B A C .3. Las m edidas de los dos ángulos de la base de un triángulo

isósceles se representan p o r x + 20 y 3x — 40. Encuéntrese la m edida del ángulo del vértice.

4. Dado: A C ss B C , A D s s BD.Pruébese: ¿ C A D ss Z CBD.

5. Dado:

Pruébese: A D = BC.

6. Dado: w Z B = m L C = 90Z l s Z 2 .

D

7. Dado: C X es una a ltu ra de A BA Y es una a ltu ra de CB C X ^ Á Y .

Pruébese: A A B C es isósceles.C

B A

8. a . m Z D F E = m¿_ 5 + m Z l = = w Z 2 + m Z 4 . ¿Por qué?

b. Si m /- 4 = 80 y m Z 3 = 35, encuéntrese m L 5. A

9. Dado: A K M N es isósceles.Z1 ^ Z 2 .

Pruébese: A K H G es isósceles.

K

H

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Page 233: Geometria - Clemens

Capítulo 6 Examen1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o

verdaderas.

a. U n triángulo equilátero es equiángulo.b. U n triángulo obtusángulo puede tener un ángulo recto.c. Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente

con un ángulo agudo de o tro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

d. Si dos ángulos de un triángulo m iden 100° y 40°, entonces el triángulo es isósceles.

2. Si A B s BC y m /LBAD = 116, encuéntrese Z B .

3. Las m edidas de los ángulos de un triángulo se representan po r 4x, 5x — 5 y x + 35. Encuéntrense las m edidas de cada uno.

4. Dado: DA _L A R ,D R s HA.

Pruébese: D A == HR.

222 T riá n g u lo s

5. Dado: TIJ es la alS W e s la al ¿ l s Z 2 ,

Pruébese: A R S T es i

6. Dado: Z 1 = Z 2Z 3 = Z4.

Pruébese: X V ^ YW.

7. Pruébese que la a ltu ra a la base de un triángulo isósceles tam bién es la bisectriz del ángulo del vértice.

8. a. Si m Z 2 = 20 y m Z 3 = 35, encuéntrese m Z l.b. Si m Z BEC = 100 y m L B A E = 65, encuéntrese m LA B E .

9. Dado: J H \\ FG

Al =_Á.3J H = JF.

Pruébese: A J G H es isósceles

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Page 234: Geometria - Clemens

Técnicas para la solución de problemasHacer una tabla-ilEn una sección an terior sobre técnicas de solución de problem as, se sugirió el uso de una tabla para ayudar a la resolución de problemas. Aquí se presentan m ás problem as para los cuales puede ser útil la elaboración de tablas.

2 cortes, 4 piezas 8 cortes, ¿cuántas piezas?

PROBLEMAS

P ara cada problem a, hágase u n a tabla, obsérvese un patrón y resuélvase el problem a.

1. ¿Cuál es la cantidad m áxim a de pedazos de pizza que se pueden conseguir con sólo 8 cortes? (indicación: Elabórese una tabla. Una colum na deberá tener el núm ero de cortes, y la otra, la cantidad m áxim a de pedazos de pizza.)

2. U n a región de un plano aco tada en todos sus lados po r una línea, es u n a región acotada. ¿C uántas regiones acotadas pueden form arse trazando 9 líneas rectas?

1 región acotada

3. U n núm ero triangular (T ) es aquel que puede representarse geom étricam ente com o se m uestra en la tabla, donde se ilustran T¡, T2, T3 y T4. ¿Pueden encontrarse Ts y T6? ¿Puede predecirse cuál es el décimo núm ero triangular (T10)?

configuración núm ero

• 1

t2 3

T , 6

T , 10

T , ? ?

t6 ? ?

4. U n núm ero pentagonal (P ) es un núm ero que puede representarse geom étricam ente com o se m uestra en la tabla. ¿Pueden encontrarse P 5 y P 6? ¿Puede predecirse cuál es el décimo núm ero pentagonal (P 10)?

configuración núm ero

P • 1

Pi O 5

P 3 12

P< 22

P5 ? ?

Pe ? ? '

5. U n núm ero heptagonal (H) puede representarsegeom étricam ente dibujando heptágonos (siete lados), de m anera similar a los problem as 3 y 4. Encuéntrense H 3 y H 4. ¿Puede predecirse cuál es el décimo núm ero heptagonal (H 10)?

223

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Page 235: Geometria - Clemens

CAPITULO

7.1 El te o re m a d e P itá g o ra s 226

7.2 T r iá n g u lo s e s p e c ia le s 232

7.3 T e o re m a s d e la c o n c u r re n c ia en tr iá n g u l& s 236

7.4 D e s ig u a ld a d d e l t r iá n g u lo 244

7.5 D e s ig u a ld a d e s e n un t r iá n g u lo 248

C o n c e p to s im p o r ta n te s 252 R e s u m e n 253 E x a m e n

Resum en global (Caps. 4 a 7) 255

La geom etría en nuestro mundo

G rá f ic a s p o r c o m p u ta d o r : d is e ñ o a s is t id o p o r

c o m p u ta d o r 256

254

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Page 236: Geometria - Clemens

Más sobre triángulos

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226 M ás sob re tr iá n g u lo s

7.1 El teorema de PitágorasU n o d e los te o re m a s m á s c o n o c id o s y ú tile s en g eo m e tría p la n a es el te o re m a d e P itá g o ra s , lla m a d o así p o r el m a te m á tic o griego P itá g o ra s .

E l te o re m a d ice q u e el á re a de u n c u a d ra d o c o n s tru id o s o b re la h ip o te n u s a d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo es ig u a l a la s u m a de las á re a s de los c u a d ra d o s c o n s tru id o s so b re los c a te to s d e l tr iá n g u lo .

E n lo s e jem p lo s l a 3, e n c u é n tre se la m a n e ra d e c o n ta r las p e q u e ñ a s u n id a d e s c u a d ra d a s p a ra m o s tra r q u e el á re a de los c u a d ra d o s A y B es ig u a l a l á re a del c u a d ra d o C so b re la h ip o te n u sa .

REPASO: Las definiciones de triángulo rectángulo, hipotenusa y catetos de un triángulo rectángulo, están en la página 199.

Ejemplo 1

a

é\

Ejemplo 2

B

hv t L

a As

c

Ejemplo 3

c

A i rb

Teorema 7.1 T e o re m a de P itá g o ra s . Si A A B C es u n tr iá n g u lore c tá n g u lo , e n to n ces el c u a d ra d o d e la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa es ig u a l a l a s u m a d e los c u a d ra d o s de las lo n g itu d e s d e lo s ca te to s .

P R U E B A

D ado : E l tr iá n g u lo re c tá n g u lo A C B co n lo n g itu d de h ip o te n u sa c y co n lo n g itu d e s d e c a te to s a y b.

P ruébese : c 2 = a 2 + b 2.

A

tí C

A nálisis: C o n s tru y a n se c u a d ra d o s so b re A A B C c o m o los q u e se m u e s tra n e n los e jem p lo s l a 3. E l c u a d ra d o so b re a te n d rá á re a a 2. E l c u a d ra d o so b re b te n d rá á re a b 2. E l c u a d ra d o so b re c te n d rá á re a de c 2.

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Page 238: Geometria - Clemens

E l c u a d ra d o so b re el la d o c c o n s ta d e c u a tro tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s c o n A A B C y un c u a d ra d o . L a f ig u ra m u e s tra q u e la lo n g itu d de u n la d o d e l c u a d ra d o p e q u e ñ o es a — b. P u ed e e n c o n tra rse el á re a d e l c u a d ra d o g ra n d e s u m a n d o la s á re a s de lo s c u a tro tr iá n g u lo s y el á re a del c u a d ra d o p e q u e ñ o . E l á re a d e los tr iá n g u lo s es 1 /2ab. E l á re a del c u a d ra d o es (a - b)2. A sí, c 2 = 4(1 ¡ la b ) + (a - b)2 = l a b ++ (a2 - l a b + b 2) = a 2 + b 2.

APLICACIONU n a n u n c io so b re la v e n ta de u n te lev iso r d ice q u e la p a n ta l la es de 25 p u lg ad as . L a p a n ta lla m id e a p ro x im a d a m e n te 19.5 p u lg a d a s de a n c h o y 15.5 p u lg a d a s de a ltu ra . ¿ P o r q u é se p u e d e a n u n c ia r q u e tiene u n a p a n ta lla d e 25 p u lg ad as?

R espuesta . E n rea lid ad , el fa b r ic a n te se refiere a la lo n g itu d d e la d ia g o n a l de la p a n ta lla .

A B 2 + B C 2 = A C 2 19.52 + 15.52 = 620.5

A C = 24.9

Así, la d ia g o n a l d e la p a n ta l la es d e casi 25 p u lg ad as.

7.1 El te o re m a de P itágo ras 227

El s ig u ien te te o re m a es la re c íp ro c a del te o re m a de P itá g o ra s .

Teorema 7.2 Si A A B C t ie n e la d o s d e lo n g itu d e s a, b y c, y c 2 = a 2 + b 2, e n to n c e s A A B C es u n tr iá n g u lo rec tán g u lo .

Ejemplo

A A B C es u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo p o rq u e

(V7)2 + l2 = (2V2)2. ( 7 + 1 = 8)

19.5

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Page 239: Geometria - Clemens

228 M ás sob re tr iá n g u lo s

EJERCICIOS______

En los ejercicios 1 a 6, establézcase si la ecuación dada es correcta o no.

ac2 = a2 + b2

yx 2 + y 2 = z 2

s2 = u2 - t2 / =

En los ejercicios 7 a 12, empléese la inform ación dada en la figura para encon trar el valor de .x.

c2 = a2 + b2

r = \A 2 + t2

En los ejercicios 13 a 18, empléese el triángulo rectángulo ABC.

13. Si A B = 6 y AC = 8, entonces BC = J - .

14. Si B C = 15 y A B = 9, entonces A C = X .

15. Si A C = 2 y A B = 2, entonces B C = X .

16. Si BC = y í 5 y A B = ^ 1 0 , entonces AC = -2_.

17. Si A C = y j í y /15 = ^ 3 , entonces BC = J L

18. Si /4B = 2^/3 y BC. = 6, entonces = JL.

C

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Page 240: Geometria - Clemens

7.1 El te o re m a de P itágoras 225

En los ejercicios 19 a 24, decídase si las cifras dadas pueden ser longitudes de lados de un triángulo rectángulo.

19. 10, 24, 26. 20. 20, 21, 29.

22. 7, 25, V 674. 23. 5, 13, y/\95.

25. H allar la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen de longitud 10 y 18.

21. 8, 15, 17.

24. 5, 12, 13.

26. U na puerta mide 6 pies y 6 pulgadas de a ltu ra po r 36 pulgadas de ancho. ¿Cuál es el ancho m ayor que puede tener un tablero para que quepa p o r esa puerta?

27. U na escalera de 6 pies se coloca contra una pared con la base a 2 pies de la pared. ¿A qué altu ra del suelo está la parte más alta de la escalera?

(E jercic io 26)

28. Encuéntrense las longitudes de AB , AC , AD y A E .

29. C on una regla y un com pás, trácense segm entos de longitudes y y¡7.

30. U na persona viaja 8 millas a l norte, 3 millas al oeste, 7 millas al norte y 11 millas al este. ¿A qué distancia está la persona del pun to original?

31. C on los cuadrados cuyos lados m iden a + b, muéstrese que el teorem a de P itágoras es verdadero.

li (E jercic io 28)

A -i t

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Page 241: Geometria - Clemens

230 M ás sob re tr iá n g u lo s

32. U n a escalera extensible de 36 pies debe tener 4 pies de solape cuando está totalm ente extendida. Si la base de la escalera está a 10 pies del edificio, ¿qué altu ra alcanzará la escalera?

33. (Empléese una calculadora.)Si una hilera de tejas mide 6 pulgadas de ancho,¿cuántas hileras de tejas se necesitan para cada lado de este tejado?

34. (Empléese una calcuadora.)U n grupo de ingenieros agrimensores quiere m edir la distancia entre dos puntos A y B en un terreno accidentado.D esean conocer la distancia horizontal real AB. Si la tierra está 0.75 m etros más alta en la m itad de los dos puntos y si la cinta de m edir indica 27.0 m etros, ¿cuál es la distancia real A B ‘1

36 pies(Ejercicio 33)

(Ejercicio 34)

ACTIVIDADES

En u n a habitación de 8 p ie s de ancho, 8 p ie s de a ltu ra y 15 p ies de largo, u n a m o sca vuela d e sd e la m itad d e la pared d e lan te ra , a 1 p ie so b re el piso, h a s ta la m itad de la pared tra se ra , a 1 pie del techo.

1. A divínese cuál de los reco rridos q u e s e m uestran a continuación e s el m ás corto.

2. C onstruyase una c a ja q u e re p re se n te la habitación, trá c e n se los reco rridos y m ídanse su s longitudes. (C ualquiera de los d iag ram as que ap a recen en el sigu ien te s o l u c ió n d e p r o b l e m a s puede se rv ir p a ra constru ir la caja.)

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Page 242: Geometria - Clemens

35. Se va a construir una escalera con una pieza de m adera llam ada larguero. (Véase el ejercicio 9 de la pág. 173.) El larguero va de A a B, cubre una distancia horizontal de 14 pies y una altu ra de 9 pies y 6 pulgadas. ¿Q ué longitud debe tener la pieza de m adera para el larguero? (Sugerencia. ia m adera se vende en pies pies lineales.)

36. U na caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10 cm de alto. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AB1

SOLUCION DE PROBLEMAS____________________

1. Im ag ínese que s e cortó la ca ja d e la secc ión «Actividades» an terior. C o m p áren se los recorridos de la m o sca m o strad o s en e s a secc ión con uno de los d iag ram as sigu ien tes:

A

/ !i

J— ------1

7.1 El te o re m a de P itágo ras 231

Blarguero

9 pies 6 pulgadas

A 14 piipies

2. C om plétese un triángulo rec tángu lo y c a lcú le se la longitud de cada recorrido.

________________________

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Page 243: Geometria - Clemens

7.2 Triángulos especialesL as figuras y tab las de la derecha p resen tan las d im ensiones y especificaciones de dos tipos diferentes de tuercas.

L a d im ensión F ind ica el tam añ o de la llave que se necesita p a ra la tuerca. ¿C óm o pueden calcularse las d im ensiones G? P a ra este cálculo es ú til conocer los trián g u lo s 45°-45°-90° y 30°-60°-90°.

232 M ás so b re tr iá n g u lo s

U n triángulo 45°-45"-90° está form ado p o r dos lados de un cuadrado y una diagonal.

A

U n triángulo 30°-60°-90c está form ado p o r una a ltu ra de un triángulo equilátero.

Tuercas cuadradas y hexagonales

F G

Tamaflo AnchuraAnchura entre

esquinasnomi­

nalentrecaras Cuadr. Hex.

Básica Máx. Máx.

0 5/32 0.221 0.1801 5/32 0.221 0.1802 3/16 0.265 0.2173 3/16 0.265 0.2174 1/4 0.354 0.289

Teorema 7.3 L a long itud de la h ip o ten u sa de u n triángu lo 45°-45°-90° es y j l m ultip licado p o r la long itud de u n cateto.

Teorema 7.4 L a long itud del ca te to m ás largo de u n triángu lo 30°-60°-90c esR

m ultip licado p o r la long itud de la h ip o ten u sa o s/ 3

m ultip licado p o r la long itud del lado m ás corto .

L a p ru eb a del teo rem a 7.3 se de ja com o ejercicio. Se sugiere realizar una p ru eb a del teo rem a 7.4 ap licando el teo rem a de P itág o ras p a ra AACD p resen tad o antes:

** = ( A C f + ( i , ) 2

(AC? = * - f = s ( 1 - 1 )

í ) - í »

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7.2 T riá n g u lo s esp e c ia le s 233

E stos dos teo rem as pueden usarse p ara en co n tra r longitudes desconocidas en triángulos especiales.

C

Ejemplo 1

A

1. L A y L C deben ser ángulos de 45°.2. P o r el teo rem a 7.3, x * j 2 = 12, así que

x = J 2 . ^ 2 = nV2 = f ¡ V 2.V 2 V 2 2

APLICACION 1

¿Q ué distancia hay en tre home y la segunda base en u n d iam an te de béisbol? Recuérdese que la d istancia de home a la p rim era base es 90 pies. D ad o que A H F S es u n triángu lo 45° - 45°-90°, el teo rem a 7.3 dice que

H S = \ /2 (9 0 ) = 127.28 pies.

F

1. ED es u n a a ltu ra de un triángu lo equilátero , así que

/ = — = 8 .2

2. P o r el teo rem a 7.4, e = V 3 ■ /o bien e = 8 \ /3 .

NOTA: J 2 y ^ 3 sólo se pueden aproxim ar con un núm ero decimal.

APLICACION 2

L as tuercas de la especificación del principio de esta sección tienen fo rm a cu ad rad a y de hexágono regular. P o r tan to , A A B C es un triángu lo 45°-45°-90° y ADEF es un triángu lo 30°-60°-90°.

P o r el teo rem a 7.3, G¡ = S/ 2 F 1.

P o r el teo rem a 7.4, FE — \ / 3 DEF2 = 2 F E = 2-n/3 D E

F-,D E =

2 \ / 3

G2 = 4 D E = - ^ F 2.

P a ra el tam añ o 4 de tuercas hexagonales con

- 4 = • - = 0.289.V 3 4

F2 = í , G 2 = 4 D E =

O bsérvese que este es el v a lo r d ad o en la tabla.

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234 M ás sob re tr iá n g u lo s

EJERCICIOS_____A.

En los ejercicios 1 a 4, empléese el teorem a 7.3 para encon trar las longitudes de los lados indicados.

1. 2. 3.

5.

9.

6.

10.

7.

11.

En los ejercicios 5 a 12, empléese el teorem a 7.4 para encontrar las longitudes de los lados de cada triángulo.

12.

30 =

V3

} >

/ 9 19 }1 3 0 * \ ^ 0 ° i \

> >

2 \/3

□ _____ » :

ACTIVIDADES'

R ecórtense en c a rtu lin a u o tro m a te ria l tan tos tr iá n g u lo s e q u ilá te ro s com o sean n e cesa rios y únanse con bandas e lá s tica s com o se m uestra en la fo togra fía .

Se pueden c o n s tru ir ocho fig u ra s de só lid o s convexos usando só lo tr iá n g u lo s e qu ilá te ros de l m ism o tam año. C onstrúyase e l m áx im o de e llas.

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7.2 T riá n g u lo s esp e c ia le s 235

13. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide el doble que el o tro ángulo agudo. Si la longitud del cateto más largo es 5, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

14. E l hueco de una ventana mide 41 pulgadas de ancho y 26 pulgadas de altura. ¿Puede introducirse p o r la ventana una mesa de ping-pong de 48 pulgadas de ancho?

15. U na escalera colocada contra una pared form a un ángulo de 60° con el suelo. Si la base de la escalera está a tres m etros de la pared, ¿a qué altu ra del suelo está la parte superior de la escalera?

16. Pruébese el teorem a 7.3.

c.17. Pruébese que la a ltu ra de un triángulo equilátero cuyo lado

2 'm ide s es s-

18. Si la longitud del lado de un hexágono regular ABC D EF es s,¿cuál es la longitud de X Y si X e Y son los puntos m edios de lados opuestos? x

19. Si un triángulo equilátero tiene lados de longitud s, encuéntrese el rad io del círculo que contiene los tres vértices.

20. U n arquitecto está calculando las dimensiones de una ventana con forma de hexágono regular. Si la a ltu ra del hueco es 120 cm, encuéntrese la anchura AB.(m LAD F = 120.)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS-

c

7

C ons idé rese una p irá m id e cuad rada cuyas a ris ta s tienen long itud 2. Supóngase que los pun tos B y C son los pun tos m ed ios de las a ris tas.

1. E ncuén trense las long itudes de AB y A C .

2. E ncuén trese la lo ng itud de la a ltu ra AD de la p irám ide .

3. ¿Es A ABC un tr iá n g u lo equ ilá te ro?

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236 Más s o b re tr iá n g u lo s

7.3 Teoremas de la concurrencia en triángulos

U n fa b r ic a n te m a n u fa c tu ra u n p ro d u c to q u e se ven d e p rin c ip a lm e n te en tre s g ra n d e s c iu d ad es. Se v a a c o n s tru ir u n a fá b ric a n u e v a e n u n p u n to q u e eq u id is te de las tre s c iu d ad es . ¿C ó m o p u e d e lo ca liza rse el p u n to d o n d e se c o n s tru irá la fáb rica?E l an á lis is s ig u ien te re sp o n d e a e s ta p reg u n ta .

C o n s tru y a n se las b isec trices p e rp e n d ic u la re s a los la d o s d e u n tr iá n g u lo .

B

¿Q u é re la c ió n h a y e n tre O A , O B y OC?

F ¿Q u é re la c ió n h a y e n tre OD, O E y O F ?

/ ¿ Q u é re lac ió n h a y e n tre OG, O H y OP.

Teorema 7.5 L a s b isec trices p e rp e n d ic u la re s d e los la d o s de u n tr iá n g u lo sein te rse c a n en u n p u n to O e q u id is ta n te d e los tres vértices del tr iá n g u lo .

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7.3 T eo rem as de la con cu rre nc ia en tr iá n g u lo s 237

PRUEBA

Dado: A A B C c o n b isec trices p e rp e n d ic u la re s t , l ' yPruébese: t ' y l " s o n c o n c u rre n te s e n u n p u n to O

y O A = O B = OC.

C

B

Afirmaciones Razones

1. t es la bisectriz perpendicular de Á B .

1. D ado.

2. r es la bisectriz perpendicular de BC.

2. Dado.

3. 1 y i ' se intersecan en un punto 0. 3. Si A B 0 BC entonces l H t '.

4. OA = OB. 4. U n punto de una bisectriz perpendicular equidista de los extremos.

5. OB = OC. 5. ¿Por qué?

6. OA = OC. 6. Propiedad transitiva de las igualdades.

7. 0 está en la bisectriz perpendicular de AC.

7. U n pun to equidistante de dos puntos está en la bisectriz perpendicular del segmento determ inado po r esos puntos.

8. 0 está en t , t " y OA = OB = = OC.

8. Afirmaciones 4 a 8.

APLICACION

A l p rin c ip io d e e s ta sección , su rg ió la p re g u n ta d e có m o lo c a liz a r u n p u n to e q u id is ta n te d e tre s c iu d ad es . E l te o re m a 7.. re sp o n d e a la p re g u n ta .

C iudad A

C iudad B

C iudad C

U bicacióndeseada

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238 M ás sob re tr iá n g u lo s

Las bisectrices perpendiculares determinan un punto equidistante de los vértices del triángulo. También puede localizarse un punto que equidiste de los lados del triángulo.

En AABC, se trazaron las bisectrices de los tres ángulos.

B

¿Qué relación hay entre IX , I Y e IZ?

Teorema 7.6 Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un punto I que equidista de los tres lados del triángulo.

Los puntos determinados por las bisectrices perpendiculares (Teorema 7.5) y las bisectrices de los ángulos (Teorema 7.6) son los centros de los círculos que tienen una relación especial con el triángulo.

El círculo O contiene los tres vértices de A ABC. El centro es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares. El radio es O A. El círculo 0 se llama círculo circunscrito.

El círculo / toca cada lado de ARST exactamente en un punto. El centro es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. El radio es IW. El círculo I se llama círculo inscrito.

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7.3 T eorem as de la co n cu rre n c ia en tr iá n g u lo s 239

Si se d ib u ja ra u n tr iá n g u lo c o n su s tre s a ltu ra s , se v ería q u e las rec tas q u e c o n tie n e n la s a ltu ra s so n co n cu rren tes .

Teorema 7.7 L a s re c ta s q u e c o n tie n e n las a l tu ra s de u n tr iá n g u lo se in te rse c a n en u n p u n to .

P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo , h a y tre s seg m en to s lla m a d o s medianas.

Definición 7.1U na m ediana de un triángulo es un segmento que va de un vértice al pun to medio del lado opuesto.

Si se tr a z a ra n las tre s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo , se v e ría q u e las tres ta m b ié n so n co n cu rren tes .

H a y o t r a re lac ió n in te resan te .

¿Q ué re lac ió n h a y en tre A G y A X ?¿Q u é re lac ió n hay en tre BG y B Y ?¿Q ué re lac ión hay en tre CG y C Z ?

El s ig u ien te te o re m a se e s tab lece sin p ru eb a .

T e o r e m a 7 . 8 L a s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo se in te rse c a n e n u n p u n to s itu a d oa d o s te rc io s d e la d is ta n c ia d e c a d a vértice a l la d o o p u es to .

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EJERCICIOS____

240 M ás sob re tr iá n g u lo s

A.

6. Trácese A A B C y el círculo que pasa p o r los puntos A, B y C. Empléense un com pás y una regla para encontrar elcentro del círculo. (Indicación: Usese el a ¥ -------------------------------- "V CTeorem a 7.5.)

E n los ejercicios 7 a 12 debe com pletarse una construcción. Empléense una regla y un com pás o una hoja de plástico transparente para estas construcciones. C ada ejercicio debe ocupar casi una hoja com pleta de papel.

7. Ilústrese el teorem a 7.5 d ibujando un triángulo y las tres bisectrices perpendiculares.

1. Cítense una altura, u n a bisectriz de un ángulo y una m ediana de A A B C ,

E n A ABC, A X , B Y y C Z son m edianas. B

3. Si A Z = 3, Z B = JL4. Si CG = 4, G Z = JL5. Si A B = BY, BG = JL .

2. En A A B C , las rectas p y q son bisectrices perpendiculares de los lados. Si O A = 5, encuéntrense OB y OC.

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Page 252: Geometria - Clemens

7.3 T eo rem a de ia co n cu rre n c ia en tr iá n g u lo s 241

8. Ilústrese el teorem a 7.6 dibujando un triángulo y las tres bisectrices de los ángulos.

9. Ilústrese el teorem a 7.7 dibujando un triángulo y sus tres alturas.

10. Ilústrese el teorem a 7.8 dibujando un triángulo y las tres medianas.

11. D ibújense un triángulo y el círculo circunscrito. (Indicación:El teorem a 7.5 indica cóm o encontrar el centro del círculo.)

12. Dibújese A A B C con lados de 14 cm, 17 cm y 20 cm. Con toda precisión, trácense las intersecciones de las m edianas, de las alturas y de las bisectrices perpendiculares de los lados.(El dibujo debe verificar que estos tres puntos están en una recta.)

Encuéntrense las respuestas de los ejercicios 13 a 16 experim entando con bocetos. Llénense los espacios en blanco con las palabras «siempre», «algunas veces» o «nunca».

13. Las altu ras de un triángulo X se intersecan en el in terior del triángulo.

14. Las m edianas de un triángulo X se intersecan en el exterior del triángulo.

15. Las bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo X se intersecan en el interior del triángulo.

16. Las bisectrices de un triángulo X se intersecan en el interior del triángulo.

17. El centro del círculo circunscrito X está den tro del triángulo.

18. El centro del círculo inscrito X está dentro del triángulo.

En los ejercicios 19 y 20, llénese el prim er espacio en blanco con las palabras «acutángulo», «rectángulo» u «obtusángulo», y el segundo espacio con las palabras «dentro», «sobre» o «fuera».

19. El pun to de intersección de las rectas que contienen las alturas de un triángulo X está X del triángulo.

20. El punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de un triángulo X está X del triángulo.

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Page 253: Geometria - Clemens

242 M ás sob re tr iá n g u lo s

B.

21. Dibújense un triángulo y el círculo inscrito.

22. Pruébese que la m ediana del vértice del ángulo de un triángulo isósceles es tam bién una altura.

23. Pruébese que la m ediana del vértice del ángulo de un triángulo isósceles es tam bién la bisectriz del ángulo.

24. Pruébese que una a ltu ra de un triángulo equilátero es tam bién una m ediana del triángulo.

25. Pruébese que una m ediana de un triángulo equilátero es tam bién una a ltu ra del triángulo.

26. Pruébese que las m edianas de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.

27. En A A B C , A B = AC, y B N y C M son bisectrices de los ángulos. Pruébese que A M O N es un triángulo isósceles.

B

(Ejercicios 22, 23)

(Ejercicio 27)

ACTIVIDADES!

Centroide s ig n if ic a cen tro de m asas. Si un tr iá n g u lo p u d ie ra e q u ilib ra rse , su «punto de e q u ilib r io » se ría un cen tro ide .

E xpe rim en to : C ó rtese una fig u ra tr ia n g u la r en ca rtu lin a o tab la . (El tr iá n g u lo debe se r esca leno.)

Encuén trese el ce n tro id e de la figu ra .

¿Se puede e q u ilib ra r el ob je to en ese punto? ¿Se puede hace r g ira r e l ob je to?

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Page 254: Geometria - Clemens

7.3 T e o rem as de la co n cu rre n c ia en tr iá n g u lo s 243

c.28. Si A A B C es equilátero, encuéntrese la longitud I X del radio

del círculo inscrito.

29. Si A D EF es un triángulo 45°-45°-90°, com o se muestra, encuéntrese la longitud del rad io del círculo circunscrito.

30. Pruébese que el pun to de intersección de las bisectrices de los ángulos de un triángulo isósceles está sobre la a ltu ra del ángulo del vértice.

31. Pruébese que las tres m edianas de un triángulo equilátero dividen al triángulo en seis triángulos congruentes.

32. Pruébese que en un triángulo equilátero las bisectrices perpendiculares de los lados, las bisectrices de los ángulos, las alturas y las m edianas se intersecan en el mismo punto.

33. Pruébese qi¡3 ¡as alturas de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.

SOLUCION DE PROBLEMAS________________________

CDEF es una t ira de papel de 5 cm de ancho y AB es un dob lez p a ra le lo a CF.

A '

S ea P un punto c u a lq u ie ra sob re CA y dób lese a lo la rg o de PB lo ca liza n d o e l pun to O. Sean PA = x y QB = y.

1. M ués trese que PO — QB = y.

x2 + 252. M ués trese que x e y es tán re la c io n a d a s porque y = ------------.

2x

(S uge renc ia : M ués trese que A PQR s A B Q A ' y em p léese e l te o re m a de P itágoras.)

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Page 255: Geometria - Clemens

244 M ás so b re tr iá n g u lo s

7.4 Desigualdad del triángulo

C o n frecu en cia se e scu ch an frases co m o « la d is tan c ia m á s c o r ta e n tre d o s p u n to s es u n ca m in o rec to » . T a les ex p res io n es so n u n a m a n e ra in fo rm a l d e d esc rib ir u n a re lac ió n im p o r ta n te q u e se e s ta b le c e rá c o m o p o s tu la d o .

L o s tre s e jem p lo s sig u ien tes su g ie ren e l p o s tu la d o .

M íd a n se los lad o s . M íd a n se los lados. M íd a n se lo s lados.

O b sérv ese q u e A B < A C + CB.

O b sérv ese q u e C B < A B + A C .

A

O b sérv ese q u e A C < A B + CB.

Postulado de la desigualdad del triángulo

La sum a de las longitudes de dos lados de un triángulo es m ayor que la longitud del tercer lado.

O b sérv ese q u e

60 mm 40 + 32 6040 + 60 > 32 60 + 32 > 40

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7.4 D esigua ldad de l tr iá n g u lo 245

U n a c o m p a ñ ía d e fe rro ca rrile s va a c o n s tru ir u n a e s ta c ió n c e n tra l p a r a d a r se rv ic io a c u a tro c iu d ad es lo ca lizad as en los vértices A B C D de u n c u a d rilá te ro , c o m o se m u e s tra en la figura . ¿D ó n d e debe u b ica rse la e s ta c ió n H p a ra q u e la lo n g itu d y el c o s to d e la c o n s tru c c ió n d e la linea férrea , A H + B H + C H + D H sean m ín im os?R esp u esta . E n el p u n to d e in te rsecc ió n de las d ia g o n a le s de A B D C .

S u p ó n g ase q u e H ' es o tro p u n to . E n to n ces , p o r el p o s tu la d o d e la d e s ig u a ld a d del tr iá n g u lo ,

1. B H + C H < B H ' + C H ' en A B C H '.2. A H + D H < A H ' + D H ' e n A A D H '.

P o r tan to ,A H + B H + C H + DH < A H ' + BH ' + CH' + DH'.

A P L IC A C IO N 1

C

A P L IC A C IO N 2

Si las c iu d ad es e s tá n lo ca lizad as en los p u n to s A , B , C y D co m o se m u e s tra en la fig u ra , ¿cuál es la lo n g itu d m ín im a de u n a lín ea de u n p u n to c e n tra l H a c a d a u n a de las c iudades?R espuesta . P o r la ap lic a c ió n 1, se o b se rv a q u e la lín e a d e lo n g itu d m ín im a es la su m a d e las lo n g itu d e s d e las d ia g o n a le s A C y BD. P a ra e n c o n tra r la lo n g itu d de esta s d iag o n a les , p rim e ro d eb en e n c o n tra rse B E y C E. D a d o q u e la lo n g itu d d e l c a te to m ás c o r to de u n tr iá n g u lo 30°-60°-90° es la m ita d de la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa , B E = 23 km . E l ca te to m á s la rg o , C E, tien e u n a lo n g itu d de

2 3 7 3 o u n o s 39.84 km .A p lican d o el te o re m a d e P itág o ra s a_________

A A E C , A C = J A E 2 + C E 2 = ^ 1 3 225 + 1587 = = 121.7 k m . B D = 92 km . P o r ta n to , la lo n g itu d m ín im a es, a p ro x im a d a m e n te ,121.7 k m + 92 k m = 213.7 km .

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EJERCICIOS____

246 M ás sob re tr iá n g u lo s

A.En los ejercicios 1 a 7, decídase si los conjuntos de números dados podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo.

1. {4 ,5 ,7}.

5. {7 ,7 ,13}.

2. {4, 5, 17}.

6 . { j , k , j + k ) .

3. {6 ,13,7}.

7. {a, 3a, 3a}-

B.8. Si dos lados de un triángulo tienen longitudes 2 y 5, entonces

la longitud del tercer lado es m ayor que JL y m enor que JL

9. Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 7 y 9, ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado?

10. Pruébese que A B + B C + CD > AD para cualquier cuadrilátero ABCD.

4. {9, 13, 17}.

(E jercic io 10)

ACTIVIDADES!

C onstrúyase un triángulo con lados de 8 cm, 11 cm y 15 cm, y m árq u en se los s ig u ien tes puntos:

a. El punto m edio de los tre s lados.

b . Los p ies de las tres a ltu ras.

c. La in tersección de las tre s a ltu ras. L lám ese H a e s te punto.

d. Los puntos m ed ios de los seg m en to s que unen H con losv értices del triángulo.

¿Q ué relación ex iste e n tre los 9 puntos de los a p a rtad o s a, b y d ?

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Page 258: Geometria - Clemens

*

11. Pruébese que el camino más corto entre dos puntos, A y B, es el segmento que los une.

7.4 D es igua ldad d e l tr iá n g u lo 247

c.12. Pruébese que la sum a de las longitudes

de los lados de un cuadrilátero es m ayor que la sum a de las longitudes de las diagonales.

13. Pruébese que la longitud de una diagonal de un cuadrilátero es m enor que la m itad del perím etro. Esto es,

B£) A B + B C + CD + A D 2

14. Pruébese que si D es un punto en el interior de A A B C , entonces

\ ( A B + B C + A Q < A D + B D + CD.

15. Supónganse que unas ciudades localizadas en los puntos A, B, C y D com o se m uestra en la figura. ¿Dónde está el punto H si A H + B H + C H + DH es un mínimo? ¿Cuál es el valor de este mínim o? (Empléese una calculadora.)

SOLUCION DE PROBLEMAS

E ste dibujo m uestra la visión frontal y lateral de un cu ad ro co lgado en una pared . El cuadro e s tá apoyado con tra la pared a lo largo de su b a se CD y se p a ra d o de e lla en la p arte superior.E stá co lgado con una c u e rd a AOB, dondeO e s el clavo de la pared .

E ncuén trese la longitud AOB.

O o

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Page 259: Geometria - Clemens

248 M ás so b re triángulos

7.5 Desigualdades en un triánguloIm agínese un asen tam ien to físico con d istancias que no pueden m edirse directam ente. A lgunas veces n o es necesario conocer la d istancia real, sino sólo u n a co m p arac ió n en tre las dos d istancias. P o r ejem plo, en u n b arco se puede co m p ara r su d istancia a u n p u n to en la costa con su d istancia a un p u n to en u n a isla p a ra tener la seguridad de que se en cu en tra fuera de u n a línea im ag inaria a m edio cam ino en tre la costa y la isla. E l teo rem a de e s ta sección p ro p o rc io n a u n m étodo de hacer esto.

m Z Z < m L X

Y

m L j < i m ¿ K m /L P < wzZ<2

¿C uál es m ás co rto , P R o Q R ?

¿C uál es m ás co rto , X Y o ¿C uál es m ás co rto , J L o L K ? FZ?

Teorema 7.9 Si las m edidas de dos ángu los de u n triángu lo son desiguales,entonces la long itud del lad o op u esto a l ángulo m en o r es m enor que la long itud del lado opuesto a l ángu lo m ayor.

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7.5 D es igua ldades en un tr iá n g u lo 249

PRUEBA

D ado : a A B C co n m L B < m L A .P ru é b e se :^ c < B C .

Afirmaciones

1. m ¿ B < m ¿ A .

2. Existe un punto D sobre BC de m anera que m L B A D = m L B .

3. Á D ^ B D .

4. A D = BD.

5. A C < A D + DC.

6. A D + D C = B D + DC.

1. B D + D C = BC.

8. A C < BC.

A B

Razones

1. Dado.

2. Postu lado del transportador.

3. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos son congruentes.

4. ¿Por qué?

5. ¿Por qué?

6. Propiedad de sum a de las iguales.

7. Definición de «entre» para puntos.

8. Principio de la sustitución.

APLICACION

¿C ó m o p u ed e d e te rm in a rse q u e u n b a rc o e s tá fu e ra d e u n a lin e a im a g in a ria s itu a d a a m ed io ca m in o e n tre la c o s ta y u n a isla?

R espuesta . U n a s p e rso n a s s itu a d a s ' e n los p u n to s A y B d e te rm in a n , p o r m ed io de la ra d io , el r a d a r o ray o s láse r, q u e m / L A << m L B . C u a n d o e s ta in fo rm ac ió n se c o m u n ic a a l b a rc o , el c a p itá n co n c lu y e , p o r el te o re m a 7.9, q u e C B < C A.

L a re c íp ro c a del te o re m a 7.9 se e n u n c ia a q u í s in d em o strac ió n .

Teorema 7.1 i Si las longitudes de dos lados de u n triángu lo sondesiguales, en tonces la m edida del ángu lo op u esto a l lado m ás co rto es m en o r q u e la m edida d e l ángulo opuesto al lado m ás largo.

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250 M ás sob re tr iá n g u lo s

EJERCICIOS_____A.

B.

En los ejercicios 1 a 4, dígase cuáles son los lados más cortos y los m ás largos de los triángulos dados.

1.

En los ejercicios 5 a 8, enum érense los lados del más corto al m ás largo, para un triángulo A A B C si:

5. t n ¿ A = 46, m L B = 30. 6. m L C = 101, m L B = 70.

7. m L A = 59, m ¿ C = 61. 8. m L B = 48, m L A = 47.

En los ejercicios 9 y 10, enumérense los ángulos del más pequeño al más grande de A A B C si:

9. A B = 17, B C = 21, A C = 18. 10. A B = 15, A C = 16, B C = 17.

al más largo.

12. Enum érense todos los segmentos de esta figura del más corto al más largo.(Supóngase que todas las medidas indicadas de los ángulos son correctas.) ^

B

C

ACTIVIDADES'

E m pléese una m atriz cu a d ra d a de puntos d e 3 x 3. Pueden d ib u ja rse ocho triángulos de d iferente tam año y forma.

En u n a m atriz cu ad rad a de puntos de 4 x 4 pueden d ib u ja rse m ás de 30 triángulos.

Sugerencia: T rab á je se en form a sistem ática . No d eb e e m p e z a rse dibujando al a za r . (Si no s e d isp o n e de papel de puntos, pu ed e u s a rs e papel m ilim etrado.)

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B7.5 D es igua ldades en un tr iá n g u lo 251

13. Dado: m L D B C = m ¿ B C D = 45.

Pruébese: CD < AB.

14. Pruébese que el segmento perpendicular de un punto a una recta es el segm ento más corto del pun to a la recta.

c.15. Pruébese que la m ediana del vértice Y del triángulo

escaleno X Y Z es m ayor que la altu ra del vértice Y.

16. Pruébese que la sum a de las longitudes de las tres alturas de A A B C es m enor que la sum a de los lados del triángulo.

17. Los tres lugares principales de trabajo en una cocina son el refrigerador, la estufa y el lavadero, y pueden representarse como los puntos de un triángulo. Según una regla de arquitectura, «los tres lados del triángulo de la cocina deben sum ar más de 12 pies y m enos de 22 pies». Además, el lado más corto del triángulo debe estar entre el lavadero y la estufa.

A continuación, se m uestra una tabla de «triángulos de cocina» posibles. Prim ero, debe decidirse si cada triángulo es o no posible. Después, decidase si los triángulos cum plen con la regla establecida.

Estufa-lavadero Estufa-refrigerador Refrigerador-lavadero

a . 5 pies 4 pies 8 piesb. 10 pies 11 pies 11 piesc. 6 pies 8 pies 7 piesd. 3 pies 7 pies 4 piese . 3 pies 8 pies 4 pies

SOLUCION DE PROBLEMAS.

S u p ó n g ase q u e ABCD e s un cab le flexible, A e s un punto fijo y C e s una po lea fija. B e s un p eso q u e s e d e s liza por el cab le de m an era que AB y CB tienen s iem p re la m ism a inclinación con respec to a la vertical. E n cu én trese a q u é a ltu ra s e e lev a B s i s e tira d e D 2 m hacia abajo.

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252 M ás sob re tr iá n g u lo s

Capítulo 7 Conceptos importantesTérminos

M ediana (pág. 239)

Postulados

Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudesde dos lados de un triángulo es m ayor que la longitud del tercerlado.

Teorema

7.1 Teorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sum a de los cuadrados de los catetos.

7.2 Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, c2 = a2 + b2, entonces A A B C es un triángulo rectángulo.

7.3 La longitud de la hipotenusa de un triángulo 45°-45'!-90° es y / 2 m ultiplicada p o r la longitud de un cateto.

7.4 La longitud del cateto más largo de un triángulo 30°-60°-90°

es - y m ultiplicado por la longitud de la hipotenusa o %/3

m ultiplicada por la longitud del lado m ás corto.7.5 Las bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se

intersecan en un punto O que equidista de los tres vértices de un triángulo.

7.6 Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un pun to I que equidista de los tres lados de un triángulo.

7.7 Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersecan en un punto.

7.8 Las m edianas de un triángulo se intersecan en un punto que está a dos tercios de la distancia de cada vértice al lado opuesto.

7.9 Si las m edidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces la longitud del lado opuesto al ángulo m enor es m enor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.

7.10 Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces la m edida del ángulo opuesto al lado más corto es m enor que la m edida del ángulo opuesto al lado más largo.

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capítulo 7 Resumen

C apítu lo 7 R esum en 253

1. Indíquese si los siguientes problem as son falsos o verdaderos.

a. U n triángulo puede tener lados de 2 cm, 3 cm y 5 cm.

b. En el triángulo ABC, m ¿ .A = 120, m L B = 20 y m L C = 40. El lado m ás largo es BC.

c. U n rectángulo de 10 cm por 24 cm tiene u n a diagonal de 26 cm.

d. Si el cateto más largo de un triángulo 30o-60o-90D tiene una longitud de 3 ^ 3 , entonces la longitud de la hipotenusa es 6.

2. ¿Cuál es el lado más largo de la siguiente figura? (La figura no está dibujada a escala.)

3. Encuéntrese la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo isósceles si la longitud de la hipotenusa es 4 cm.

4. S i Á B ^ B C ^ C D ^ Á D . y Á C l B D con BD = A B = 2, encuéntrese AC.

5. Pruébese que la m ediana SQ de un triángulo isósceles R S T tam bién es la bisectriz perpendicular de la base.

6. Localícese un punto equidistante de M , Ny o. ,v

(E jercic io 4)

(E jercic io 5)

MO

(E jerc ic io 6)

7. Si una escalera de 20 pies se coloca de m anera que su base esté a 12 pies de la pared, ¿qué a ltu ra alcanzará la escalera?

8. E y D son puntos m edios de A C y AB, respectivamente. Si E P = 4, encuéntrese EB.

9. Dado: Y Z es el lado m ás largo de uncuadrilátero X Y Z W .X W el lado m ás corto.

Pruébese: m L X > m L Z .

B (E jercic io 8)

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254 M ás so b re triángulos

Capítulo 7 Examen1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. U n triángulo puede tener lados de 6, 6 y 13.

b. Si un triángulo tiene lados de 16, 30 y 44, entonces es un triángulo rectángulo.

c. Si el ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 30°, entonces la base del triángulo es el lado más corto.

A

entonces la longitud de la hipotenusa es -

3. E n Ja figura siguiente , CD es perpendicular a AB. Si A C = 4, encuéntrense AD y CD.

4. A A B C y A BCD son triángulos rectángulos isósceles. Si A C = 2, encuéntrese BD.

5. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles tam bién es una mediana.

6. S W y R V son m edianas de A RST. SL = 4, S W = 6 y R V = 9 . Encuéntrese RL.

7. Si se coloca una viga contra una pared, a 80 cm de ella y apoyada a 150 cm del suelo, ¿cuál es la longitud de la viga?

8. En A ABC, localícese el pun to que es equidistante de los lados AB BC y AC.

A -/.)_

i E

9. Dado: DE = EF, DG = FGDE < DG.

Pruébese: m L G < m ¿ E .

- (Ejercicio 4)

(Ejercicio 6)

(Ejercicio 8)

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R esum en g loba l 255

Resumen global (Caps. 4 a 7)1. Utilícese la figura de un cubo para identificar lo siguiente.

a. una recta paralela al plano ABEH . d

b. una recta alabeada a DC.c. un plano perpendicular a CB.d. una recta paralela a

e. un plano paralelo al plano CFEB. A

— i--------i1i

t f j -

c

2. Supóngase que la recta a es paralela a la b y la c es paralela a la d.

a. Si m L l = 105, encuéntrese m L 14.

b . Si m Z 5 = 2x — 10 y m L 10 = x + 5, encuéntrense m Z 5 y m Z 10.

c. Si m L 12 es 10 veces el doble de la m edida de L 11, encuéntrense m L 12 y m Z .ll.

3. Dado: Z l s Z 2 , Z 3 s s Z 4 .Pruébese: A A B C = A A E D .

4. Dado: D E = BC , A D = AC.Pruébese: A B D A = A ECA.

5. Si L A C B es el ángulo del vértice de un triángulo isósceles. A B C y m Z 2 = 70, encuéntrese m L 5.

6. Si AD || B C , m L 3 - 45, m L l = 65, encuéntrese m L 2.

7. Si X W es perpendicular a Y Z , m L Y = 30, m L Z = 45 y X_W — 3, encuéntrense las longitudes de Y W y X Z .

8. Si X Z es una altu ra de X Y , X Y = 12 y X Z = 5, encuéntrese YZ.

9. Si dos lados cortos de un triángulo miden 5 cm y 3 cm,¿es posible que el lado m ás largo m ida 7 cm? ¿Por qué?

10. Dado: C uadrilátero ABCD.Encuéntrese: a. m L A D B .

b. m L B D C .c. m L A D C .

11. Enum érense los lados del cuadrilátero ABCD del más corto al m ás largo.

(Ejercicios 5, 6)

Z (Ejercicios 7, 8)

(Ejercicios 10, 11)

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- ¡l & gasa ¡g r a n sa s® ® m s » ©

Gráficas por computador: diseño asistido por computador

Las gráficas p o r com putador han revolucionado el trabajo de los diseñadores industriales. El diseñador debe ser capaz de im aginar y analizar form as complejas com puestas de figuras geométricas. Con diseños asistidos por com putador (Computer Aided Design, CAD), el d iseñador em plea los com putadores para dibujar diseños.

L a fotografía superior m uestra un diseño de un autom óvil generado po r un com putador. El com putador puede desplegar en la pan talla este diseño en infinidad de posiciones. Es decir, puede presentarse en la pantalla una vista frontal, de arriba, de abajo, etc., del automóvil.

Las fotografías m uestran a unos diseñadores m anejando los terminales de un com putador. El diseñador de la derecha usa una plum a electrónica p a ra alterar las dim ensiones de una sección de un modelo. Al tocar la pantalla con la pluma, el diseñador se com unica con el com putador.

E l d iseñador de la izquierda está trabajando con una sección transversal de un modelo tridim ensional. El tablero que tiene delante se utiliza para d ar órdenes al com putador. Al colocar la plum a electrónica en diferentes cuadros, puede añadir o bo rrar porciones del dibujo. Tam bién puede pedir al com putador que am plíe una parte del dibujo. La biblioteca del com putador incluye dibujos de partes estándar, com o cojinetes o la transm isión, que pueden añadirse al diseño.

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Page 268: Geometria - Clemens

U ltim am ente, con el uso de los m icrocom putadores, las gráficas por com putador son accesibles para los estudiantes. En un m odelo popular de m icrocom putador, la pantalla está dividida en 280 filas y 160 columnas invisibles. P o r ejemplo, el espacio que está en la fila 40 y en la colum na 20, es el punto llam ado (40,20). Ilum inando un conjunto grande de puntos, aparecen líneas en la pantalla. Por ejemplo, el siguiente program a despliega en la pan talla un rectángulo cuyos vértices son los puntos (40,20), (220,20), (220,120) y (40,120).

E l program a, o lista de instrucciones al com putador, se m uestra a continuación. L a línea 10 indica al com putador que se prepare para recibir instrucciones sobre gráficas (HGR). En la línea 20, H P L O T es u n a instrucción para dibujar en la pantalla una línea del punto (40,20) al punto (220,20). Com pruébense las dem ás instrucciones para ver cóm o se dibuja un rectángulo.

10 HGR

20 HPLOT 40, 20 TO 220, 20

30 HPLOT 40, 20 TO 40, 120

40 HPLOT 40, 120 TO 220, 120

50 HPLOT 220 , 20 TO 220, 120

60 END

1. Escríbanse los m andatos H P L O T para form ar un cuadrado en la pantalla.

2. Escríbanse cuatro m andatos H P L O T para form ar un rectángulo el doble de alto que de ancho.

3. Créese una figura com puesta de segmentos de recta. Después, escríbanse los m andatos H P L O T que desplegarán la figura en la pantalla de un televisor.

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CAPITULO

8 .1 C u a d r i lá te ro s 260

8 .2 P a ra le lo g ra m o s 264

8.3 C u a d r i lá te ro s q u e s o n p a ra le lo g ra m o s 270

8.4 E l te o re m a d e l s e g m e n to m e d io 276

8 .5 R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s 282

8.6 T ra p e c io s 288

8 .7 L o s á n g u lo s d e un p o líg o n o 292

C o n c e p to s im p o r ta n te s 296 R e s u m e n 297 E x a m e n 298

R e p a s o d e á lg e b ra 299

La g e o m e tr ía e n n u e s tro m u n d o

A rq u ite c tu ra : E l re c tá n g u lo á u re o 300

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Cuadriláteros y polígonos

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8.1 CuadriláterosREPASO: U n cuadrilátero es la unión de cuatrosegmentos determ inados por cuatro puntos, tres de los cuales no son colineales. Los segm entos se intersecan sólo en sus extremos.

260 C u a d rilá te ro s y po lígonos

N u e s tro m u n d o e s tá llen o d e e jem p lo s de figu ras d e c u a tro la d o s d e to d a s las fo rm as y ta m a ñ o s q u e se p u ed en c lasifica r e n fu n c ió n d e los la d o s , d e los á n g u lo s y d e las re lac io n es e n tre los án g u lo s y lo s lados.

E n este c a p ítu lo se e s tu d ia rá n estas c lasificaciones y a lg u n a s de la s p ro p ie d a d e s d e los c u a d rilá te ro s .

L as fig u ras sig u ien tes i lu s tra n a lg u n o s asp ec to s im p o r ta n te s d e los c u ad rilá te ro s .

L o s la d o s B C y A D n o tien en un v értice com ún . S o n u n p a r de lados opuestos. L o s la d o s A B y D C ta m b ié n so n o p u esto s .

L o s la d o s A B y A D tien en u n vértice co m ú n . S o n u n p a r d e lados adyacentes. O tro s p a re s de la d o s a d y acen tes so n A B y B C , B C y CD , y A D y D C.

L o s á n g u lo s B y D n o tie n e n u n la d o co m ú n .S o n u n p a r d e ángulos opuestos. L o s án g u lo s A y C ta m b ié n so n o p u esto s .

L o s á n g u lo s A y B tien en a l la d o A B en co m ú n . S o n u n p a r d e ángulos adyacentes. O tro s p a re s de á n g u lo s a d y acen tes so n ¿ B y L C , L C y L D , y L D y L A .

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8.1 C u a d rilá te ro s 261

A h o ra se d e sc r ib irá n lo s tip o s b ás ico s de c u a d rilá te ro s .

C

A ' \ D

D o s la d o s o p u e s to s so n p a ra le lo s .

A B C D es u n trapecio. B C y A D so n las bases del trap ec io .

Definición 8.1

U n trapecio es un cuadrilátero con exactam ente dos lados paralelos.

D ■ 7 Definición 8.2

U n paralelogram o es unA m b o s p a re s d e la d o s cuadrilátero con am bos pareso p u e s to s so n p a ra le lo s . E D G F es u n paralelogramo. de lados opuestos paralelos.

T ~ -------£ y

1 r RDefinición 8.3

L o s c u a tro án g u lo s so n rec tos.

P Q R S es u n rectángulo (y ta m b ié n u n p a ra le lo g ram o ).

U n rectángulo es unparalelogram o con cuatro ángulos rectos.

L o s c u a tro la d o s so n co n g ru en te s .

L os c u a tro án g u lo s son rec to s . L o s c u a tro la d o s son co n g ru en te s .

H I J K es u n rombo (y ta m b ié n es un p a ra le lo g ram o ).

T U W V es u n cuadrado (y ta m b ié n es u n rec tán g u lo , u n ro m b o y un p a ra le lo g ram o ).

Definición 8.4

Un rombo es un paralelogram o con cuatro lados congruentes.

Definición 8.5

U n cuadrado es un rectángulo con cuatro lados congruentes.

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262 C u a d rilá te ro s y po lígonos

EJERCICIOS_______A.

P ara los ejercicios 1 a 4, véase el cuadrilátero ABCD.

1. ¿Cuál es el lado opuesto a A B ?

2. ¿Cuáles son los ángulos adyacentes a L C?

3. ¿Cuáles son los lados adyacentes a BC1

4. ¿Cuál es el ángulo opuesto a ¿£>?

Determ ínese si lo siguiente es falso o verdadero.

5. U n cuadrado es un rectángulo.

6. U n rectángulo es un paralelogram o.

7. U n paralelogram o es un rombo.

8. U n trapecio es un paralelogram o.

9. Algunos paralelogram os son rectángulos.

10. U n rom bo es un cuadrado.

11. Algunos rom bos son rectángulos.

12. U n paralelogram o es un trapecio.

B '13. Dibújese un paralelogram o con un ángulo

de 30°.

/fcsvA 15. Dibújese un trapecio con dos ángulos rectos.

cuadrilátero

paralelogram o trapecio r

rom bo rectánaulo

\cuadrado (Ejercicios 5-12)

14. Dibújese un rom bo con un ángulo de 60".

16. Dibújese un rectángulo que m ida la m itad de ancho que de largo.

ACTIVIDADES!

1. D ibújese e s te dodecágono_regu lar y el p a ra le lo g ram o con lados AL y TR.

2. D ibújese un p ara le lo g j^m o con lados KJ y KX, y otro con lados, AX y AB .

3. Si s e continúa con e s te p roceso , ¿cuán tos p a ra le lo g ram o s resu lta rán d e sp u é s de haber dividido el d o d ecág o n o en para le lo g ram o s?

4. C om plétese el dibujo p a ra com probar la re sp u es ta .

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8.1 C u a d rilá te ro s 263

c.

17. Construyase un trapecio con un p ar de ángulos de 45° en una base.

D ibújense y díganse los nom bres de los cuadriláteros de los ejercicios18 a 20.

18. El cuadrilátero tiene dos pares de lados paralelos, ningún ángulo recto y ningún par de lados adyacentes congruentes.

19. El cuadrilátero tiene, p o r lo menos, un p ar de lados adyacentes congruentes, un p a r de lados opuestos congruentes y ningún ángulo recto.

20. El cuadrilátero tiene, p o r lo menos, un p ar de lados paralelos, ningún par de lados adyacentes congruentes y exactam ente un p ar de lados opuestos congruentes.

21. El perím etro (medida del contorno) del paralelogram o es 32 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado (aproxim ación en milímetros)?

22. La base más larga de un trapecio es el cuadrado de la más corta. Los lados no paralelos son congruentes. El lado no paralelo es 3 veces m ayor que la base más corta. Si el perím etro del trapecio es 24 cm, ¿cuáles son las longitudes de los lados?

23. Supóngase que se in tenta constru ir un m arco para un cuadro.Se cortan cuatro piezas de m adera y se encolan de m anera que A B = BC. = CD = AD. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones se sabe que son verdaderas utilizando sólo las definiciones?a. ABCD es un cuadrado, b. ABCD es un rectángulo, c. ABCD es un rom bo. d. ABCD es un paralelogram o.

6x — 1

D

(Ejercicio 21)

SOLUCION DE PROBLEMAS.

El sigu ien te e s un cu ad rilá te ro form ado por cinco rec tas.

En la figura hay por lo m enos o tro s s e is cuad rilá te ro s . D ibújense e identifiqúense.

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264 C u a d rilá te ro s y po lígonos

8.2 Paralelogramos

E n los p a ra le lo g ra m o s sig u ien tes se d a n las m ed id as de a lg u n o s p a re s d e á n g u lo s y la d o s o p u esto s .

O b sé rv ese q u e

¿ A ^ Z C , Z £ = = ¿ D , Z £ = Z G , ¿ F ^ Z H .

D C

O b sérv ese q u e

A B C D , A D « S C , G / / , FG .

E s ta s o b se rv ac io n es su g ie ren d o s p ro p ie d a d e s b ás ica s d e los p a ra le lo g ram o s .

Teorema 8.1 L o s án g u lo s o p u e s to s de u n p a ra le lo g ra m o so n c o n g ru en te s .

Teorema 8.2 L os la d o s o p u e s to s de u n p a ra le lo g ra m o so n c o n g ru en te s .

L o s la d o s y á n g u lo s d e los p a ra le lo g ra m o s q u e se m u e s tra n en el d ise ñ o tie n e n re lac io n es de la d o s y án g u lo s especiales.

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A 8.2 P a ra le lo g ra m o s 265

P R U E B A

D ad o : A B C D es u n p a ra le lo g ram o . P ruébese : ¿ A s s ^ _ J -D

A B s í CD, A D = BC.

P la n : T rá c e se la d ia g o n a l BD y p ru é b e se q u e AAB D = ACDB.

Afirmaciones Razones

1. ABCD es un paralelogram o. 1. Dado.

2. AB || CD. 2. Definición de paralelogram o.3. BC || AD. 3. ¿Por qué?

4. ¿ l s Z 2 . 4. Si dos rectas paralelas se cortanpor una transversal, entonces losángulos alternos interioresson congruentes.

5. ¿ 3 s Z 4 . 5. ¿Por qué?6. BD = BD. 6. ¿Por qué?

7. A A B D s A CDB. 7. ¿P o r qué?8. AB s CD. 8. PCTCC.

9. ¿A== ¿C. 9. PCTCC.

Si se re p ite e s ta d e m o s tra c ió n c o n la d ia g o n a l AC, p u ed e p ro b a rse q u e AD ^ BC y ¿ B = LD.

APLICACION

C u a lq u ie r p ro c e so de p ro d u c c ió n d eb e in c lu ir la c o m p ro b a c ió n d e la c a lid a d d e l a r tíc u lo p ro d u c id o . E n la p ro d u c c ió n de b lo q u e s p a tró n , la verificación p u ed e in c lu ir la m ed ic ió n de án g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d rilá te ro . L a c o n tra r re c íp ro c a del te o re m a 8.1 e s tab lece q u e si los án g u lo s o p u e s to s n o so n c o n g ru e n te s , e n to n ces el b lo q u e n o p u e d e ser u n p a ra le lo g ra m o y d eb e d esca rta rse .

A c o n tin u a c ió n se en u n c ia o tro te o re m a im p o r ta n te q u e se p ro b a rá c o m o ejercicio .

Teorema 8.3 L o s p a re s d e á n g u lo s a d y a c e n te s d e un p a ra le lo g ra m o so nán g u lo s su p lem en ta rio s .

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266 C u a d rilá te ro s y po lígonos

EJERCICIOS_________

A.

E n los ejercicios 1 a 3, supóngase que ABCD es un paralelogram o.

1. D íganse dos pares de segmentos congruentes.

2. Díganse dos pares de ángulos congruentes.

3. D íganse cuatro pares de ángulos suplementarios.

En los ejercicios 4 a 11, asúm ase que ABCD es un paralelogram o.

4. m ¿ C = X

6. m ¿ A B D = X .

8. m ¿ D B C = J_.

10. A D = X

5. m ¿ A B C = X .

7. m l A D B = X

9. m L A D C = X .

11. CD = X

En los ejercicios 12 a 15, supóngase que ABCD es un paralelogram o.

12. m ¿ A B C = X . 13. w Z D O C = X .

14. m ¿ A D C = X . 15. m ¿ B O C = X .

16. Escríbase el teorem a 8.1 en la form a si-entonces yestablézcase su contrarrecíproca.

17. Escríbase el teorem a 8.2 en la form a si-entonces y establézcase su contrarrecíproca.

E n los ejercicios 18 a 23, empléense las contrarrecíprocas de los ejercicios 16 y 17 para determ inar qué figuras no pueden ser paralelogram os.

y18. 19. 40 mm 20. 41 mm X

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267

B.

En los ejercicios 24 a 26, encuéntrense las m edidas de todos los ángulos de los paralelogramos.

27. ABCD es un paralelogram o^Si A B = x + 5 y CD = 2 x - 1, encuéntrese la longitud de AB.

28. ABCD es un paralelogram o. Si A B = 2x, CD = 3y + 4, B C == x + 7 y AD = 2y, encuéntrense las longitudes de los lados del paralelogramo.

29. En la figura se m uestra parte del sistema estructural de soporte efe un puente.A B || CD , DF || CB y AD || EC. Encuéntrese m/-CGF.

(Ejercicios 27, 28)

30. Dado: ABCD es un paralelogram oA E C F es un paralelogram o.

Pruébese: A CDF A A B E .

31. Dado: ABCD es un paralelogram oFG biseca a DB.

Pruébese: DB biseca a FG.

A

32. Dado: ABCD es un paralelogram oA, F, E y C son colineales. A F s_ C £ .

Pruébese: DE || BF.

33. Dado: ABCD es un paralelogram oAE ^ C F .

Pruébese: CE 5? A F .

34. Pruébese que las diagonales de un paralelogram o se bisecan unas a otras.

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268 C u a d rilá te ro s y po lígonos

c.35. Pruébese que un paralelogram o con un ángulo recto es un

rectángulo.

36. Dado: ABCD es un paralelogram oA E biseca a L A DE biseca a LD .

Pruébese: A E 1 DE.

C

D

A

B

37. Dado: ABCD es un paralelogram oDE L A B CF L A B .

Pruébese: A ADE s A B C F y CDEF es un rectángulo.

D

B

C

F ~

38. Dado: ABCD es un paralelogram oA E biseca a L A C F biseca a L C.

Pruébese: A E « CF.

39. Pruébese el teorem a 8.3.

ACTIVIDADES ™

D ibújese e s te ro m p ecab ezas tangram y rec ó rte n se las p iezas . Con las cinco p iezas peq u eñ as, co n strú y ase un cu ad rad o . ¿Se pueden co lo car las d o s p iezas g ra n d e s a lred ed o r del cu ad rad o p a ra form ar

1. un triángu lo? 2 . un para le log ram o?3. un trap ec io ? 4. un rectángulo?

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8.2 P a ra le lo g ra m o s 269

40. m L B P X = JL.41. m ¿ 1 = JL42. m/L2 = JL.43. w Z 3 = J _

44. ?«Z 4 - JL.45. Pruébese que A B ^ X Y.

46. Pruébese que los tres polígonos de la figura son cuadrados.

47. Pruébese que PQ RS es un rom bo.

48. Selecciónese un paralelogram ocualquiera de la figura y pruébese que es un rom bo.

En la figura se dividió un dodecágono regular en paralelogram os. Con la definición de polígono regular y los teorem as de esta sección, respóndase a los ejercicios 40 a 48. Acéptese tam bién que m L A L K = 150.

SOLUCION DE PROBLEMAS_____

Hecho: C uando d o s p lanos p a ra le lo s en el espac io s e co rtan por un te rc e r plano, las rec ta s de in tersección son p a ra le la s . E ste hecho p u ed e u sa rse p a ra re so lv e r los p rob lem as sigu ien tes.

La región com ún a un cubo y a un plano s e llam a sección transversal de un cubo.1. ¿Por q u é cada secc ión tran sv ersa l cuad rila tera l

tien e por lo m enos un p ar d e a r is ta s p a ra le la s?2. ¿P o r q u é cada secc ión tran sv e rsa l pen tagonal de

un cubo tien e dos p a re s de a r is ta s p a ra le la s?

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270 C u a d rilá te ro s y po lígonos

8.3 Cuadriláteros que sonparalelogramos

Cuando dos niños se balancean en un columpio de dos asientos, ¿están los dos asientos del columpio siempre paralelos a la barra transversal superior de la estructura? El teorema de esta sección proporciona la respuesta.

Considérense los cuadriláteros siguientes.

C

B

Teorema 8.4 Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

¿Es ABCD un paralelogramo en todos los casos?

PRUEBA

Dado: Cuadrilátero ABCD con AD z* BC y AB a? CD.

Pruébese: ABCD es un pralelogramo.

P lan : Trácese un segmento auxiliar ÁC y que A ABC s ACDA.

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8.3 C u a d rilá te ro s que son p a ra le lo g ra m o s 271

Afirmaciones Razones

1. A B = CD. 1. Dado.

2. B C = DA. 2. Dado.

3 . A C ^ Á C . 3. Propiedad reflexiva.

4. A A B C = s A CDA. 4. Postulado LLL.

5. Z l s Z 2. 5. ¿Por qué?

6. A B || CD. 6. ¿Por qué?

7. Z 3 s Z 4 . 7. PCTCC.

8. A D || BC. 8. ¿Por qué?

9. A B C D es un paralelogramo. 9. Definición de paralelogramo.

APLICACION

L a re sp u e s ta a la p re g u n ta h e c h a al p rin c ip io de la secc ión es sí. L os a s ien to s s iem p re es tán p a ra le lo s a la b a r ra tra n sv e rsa l su p e rio r d e la e s tru c tu ra A B . H a y c u a tro b a r ra s d e m eta l a to rn illa d a s e n los p u n to s A , B, C y D , de fo rm a q u e A B y CD , y A D y B C tienen la m ism a lo n g itu d . E l te o re m a 8.4 d ice q u e c u a n d o el c o lu m p io se b a la n c e a , A B C D s iem p re es un p a ra le lo g ra m o y CD es p a ra le la a A B .

L o s d o s te o re m a s sig u ien tes p ro p o rc io n a n o tro s m é to d o s p a ra p ro b a r q u e u n c u a d r ilá te ro es u n p a ra le lo g ram o .

Teorema 8.5 Si u n c u a d r ilá te ro tien e u n p a r d e la d o s o p u e s to s p a ra le lo s yc o n g ru en te s , e n to n ces es u n p a ra le lo g ram o .

Teorema 8.6 Si lo s án g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d rilá te ro so n co n g ru en te s ,e n to n ces el c u a d r ilá te ro es u n p a ra le lo g ra m o .

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Page 283: Geometria - Clemens

EJERCICIOS______

272 C u a d rilá te ro s y po lígonos

A.Con los teorem as de esta sección, decídase si los cuadriláteros son o no paralelogram os. Las decisiones deben basarse en las medidas, m ás que en la forma de los dibujos.

25 m m1.1 4 5 “

' 3 5 “

25 m m

2. 3 cm

2 c m i

4 cm

3.

11 m m ,

17 m m

17 mm

4. 21 m m

21 m m

25 m m

25 m m

6.

9. 16 cm

16 cm

B.En los ejercicios 10 a 12, encuéntrense los valores de x e y quehacen que A B C D sea un paralelogram o.

10. A B = 2x + 4, CD = 4x - 20, A D = 2y, B C = y + 5.

11. m /_A = 2x — 60, m¿_D = x — 5, A B = 4y + 6,CD = 6 y - 10.

12. A B = 6x + 30, B C = 2x - 5, C D — 2y — 10, A D = y - 35.

13. U n estacionam iento de autom óviles se va a m arcar para estacionar en batería. Se tensa una cuerda de A a B con m arcas cada 9 pies, X l , X 2, ..., X 6. Se tensa una segunda cuerda paralela a A B de C a D con marcas cada 9 pies, Y„ Y 2, ..., Y6. ¿Por qué son paralelas todas las líneas pintadas?

A

,C

(Ejercicios 10-12)

E n los ejercicios 7 a 9, encuéntrese el valor de x que hace que el cuadrilátero sea un paralelogram o.

36 m m

36 m m 32 m m

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Page 284: Geometria - Clemens

8.3 C u a d rilá te ro s que son p a ra le lo g ra m o s 273

14. Com plétese la p rueba del teorem a 8.5.

15. Dado: ABCD es un paralelogram oBC EF es un paralelogram o.

Pruébese: AD EF es un paralelogram o.

D

16. Dado: ABCD es un paralelogram oE es el punto medio de AD F es el punto medio de BC.

Pruébese: A F C E es un paralelogram o.

17. Dado: ABCD es un paralelogram oE, F, G y H son puntos medios de los lados dados.

Pruébese: EFGH es un paralelogram o.

C

18. Dado: ABCD es un pralelogram oy A E = CF.

Pruébese: BFDE es un paralelogram o.

19. Dado: ABCD es un paralelogram oE es el punto medio de AB F es el punto m edio de CD.

Pruébese: AEFD es un paralelogram o.

c.20. a. Dado: ABCDEF es un hexágono regular

m ¿ A F E = 120, O A , OC y OE bisecan a A, C y E, respectivamente.

Pruébese: ABCO es un rombo.

b. ¿Son rom bos CDEO y EFAOI

C

F

R

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Page 285: Geometria - Clemens

274 C u a d rilá te ro s y po lígonos

21. Pruébese que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan unas a otras, entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.

22. Pruébese que si los ángulos B y D de un cuadrilátero ABCD son suplem entarios del ángulo A, entonces ABCD es un paralelogram o.

23. Dado: ABCD es un paralelogram oE, F, G y H son puntos m edios de los lados.

Pruébese: L a figura A E IH es un paralelogram o.

D.

II.

G

A

c

24. D ado: ABCD es un paralelogram oE, F, G y H son puntos m edios de los lados.

Pruébese: La figura W X Y Z es un paralelogram o.

25. Dado: ABC D E es un pentágono regular.Pruébese: L a figura A B C F es un rombo.

ACTIVIDADES!

T rácese un círculo g ran d e con cen tro O y s íg a n se las instrucciones p a ra constru ir un pen tágono regular.1 . D enom ínese V, a un punto cu a lq u ie ra del

círculo y trá c e s e una perpend icu lar 0 6 a 0 V v _

2. U nase V, a C, el punto m edio de OB.3. B iséq u ese el ángulo OCV, p a ra o b ten er el

punto N so b re OVr4. T rá c e se la perp en d icu la r a OV, en N y

o b té n g a se el punto V3.El seg m en to V,V2 e s un lado de un pen tágono regular.

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Page 286: Geometria - Clemens

26. Pruébese que si las diagonales de un paralelograrao son congruentes, entonces la figura es un rectángulo.

27. Dado: ABCD es un cuadrado

8.3 C u a d rilá te ro s que son p a ra le lo g ra m o s 275

B E = BC, EF 1 BD. Pruébese: D E = EF = FC.

28. D ado EFGH es un paralelogram oh d ^ fb , I ê ^ c g .

Pruébese: A B C D es un paralelogram o.

29. U n carpintero desea trazar rectas paralelas sobre una tabla. Esto puede hacerse usando dos veces una escuadra de carpintero. Las dos veces se coloca la escuadra en el mismo ángulo con la tabla y se m arcan unidades iguales. Expliqúese po r qué este m étodo asegura que A B será paralela a CD.

A

SOLUCION DE PROBLEMAS

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276 C u a d rilá te ro s y po lígonos

8.4 El teorema del segmento medio

U n e q u ip o d e ag rim en so re s necesita c o n o c e r la d is ta n c ia a tra v é s d e u n e s ta n q u e g ran d e . E l e q u ip o elige u n p u n to c u a lq u ie ra y d esd e él m id en h a s ta c a d a la d o del e s tan q u e . L o ca lizan los d o s p u n to s q u e e s tá n a m ed io c a m in o e n tre la o r illa del e s ta n q u e y el p u n to eleg ido . L a d is ta n c ia e n tre e s to s p u n to s m ed io s s e rá la m ita d d e la d is ta n c ia a trav és d e l e s tan q u e . E l te o re m a d e e s ta sección a y u d a a ex p lica r el m o tiv o .

E n lo s tr iá n g u lo s sigu ien tes, D y E so n p u n to s m edios.L as m e d id a s de los seg m en to s y los án g u lo s so n las q u e se d an .

O b sérv ese que: D E = \A B . O b sérv ese que: D E = \C B . D a d o que: ¿ C E D s Z CBA, D a d o que: ¿ A D E s Z A C B ,

D E || A B . D E || CB.D a d o que: Z ED B =

D E || AC .

\A C .Z CAB,

Teorema 8.7 T eorem a del segm ento medio. E l seg m en to q u e u n e los p u n to sm ed io s d e d o s la d o s de u n tr iá n g u lo es p a ra le lo a l te rc e r la d o y tie n e la m ita d de su lo n g itu d .

DEMOSTRACION

D a d o : C u a lq u ie r A A B C co nX c o m o p u n to m ed io d e A B yY c o m o p u n to m ed io de AC .

P ruébese: X Y \ \ B C y X Y = \ B C c

P lan : T rá c e se u n a recta_¿ q u e p a se p o r C y sea p a ra le la a AB. E n to n c e s p ro lo n g ú e se X Y h a s ta q u e in te rse q u e a f e n Z . M u é s tre se q u e se fo rm a n d o s tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s (p aso s 3 a 6). D esp u és m u és tre se q u e B C Z X es u n p a ra le lo g ra m o (pasos 10 a 13).

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Page 288: Geometria - Clemens

Afirmaciones

8.4 El teo rem a del seg m en to m edio 277

Razones

1. X es el punto medio de AB.Y es el punto medio de AC.

2. La recta t pasa po£ C y es paralela a AB , y X Y se prolonga para form ar A C Y Z .

3. A Y — YC.

4. Z l s Z 2 .

5. Z 3= = Z 4 .

6. A A X Y =5 A C Z F.

7. X F = ZF.

8. F es el pun to medio de X Z.

9. X Y = \X Z .

10. C Z = A X .

11. A X = X B .

12. CZ = X B ; C Z || AB .

13. B C Z X es un paralelogram o.

14. X Y || BC.

15. X Z BC.

16. X Y = \B C .

1. D ado.

2. Construcción.

3. Definición de pun to medio.

4. Si dos rectas son paralelas, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5. ¿Por qué?

6. Postulado ALA.

7. PCTCC.

8. Definición de punto medio.

9. Algebra.

10. Afirmación 6 y PCTCC.

11. Definición de pun to medio.

12. Propiedad transitiva; afirmación 2.

13. Si un cuadrilátero tiene un p a r de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogram o.

14. Definición de paralelogram o.

15. Los lados opuestos de un paralelogram o son congruentes.

16. Sustitución en las afirmaciones9 y 15.

O b sé rv ese q u e la c o n c lu s ió n del te o re m a p a r te de las a firm ac io n es 14 y 16.

APLIC AC IO N

El m é to d o de los a g rim en so re s es u n a ap licac ió n d ire c ta del te o re m a 8.7. D a d o q u e U y V so n los p u n to s m ed io s de Z X y Z Y , U V = \ X Y , o b ien X Y = 2U V .

Y

El s ig u ien te te o re m a p u e d e p ro b a rse c o n el te o re m a 8.7. V éase el e jerc ic io 33.

T e O r e i t i a 8 . 8 L os p u n to s m ed io s d e los la d o s de u n c u a d r ilá te ro so n losvértices d e u n p a ra le lo g ram o .

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Page 289: Geometria - Clemens

EJERCICIOS_____________A.

En esta figura, D y E son puntos medios.

1. Si A B = 8, entonces DE = JL.2. Si A C = 9, entonces AD = JL.3. Si B E = 5, entonces BC = JL4. Si A B = 15, entonces DE = X .

5. Si DE = 17, entonces A B = X .

278 C u a d rilá te ro s y po lígonos

P ara los ejercicios 6 a 14, dígase el núm ero (o números) que falta o escríbase «no se puede determinar».

6. 7. 8.

B

En los ejercicios 15 a 17, exactam ente uno de los núm eros, a, b o c, puede determ inarse. Encuéntrese.

16. 17.

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Page 290: Geometria - Clemens

8.4 El te o re m a de l segm en to m ed io 279

18. Si M N = x + 8 y A B = 4x 4- 14, encuéntrense las longitudes M N y AB.

19. Si A M = x + 5, M C = 2y + 6, M N = 2x - 5, y A B = y + 8, encuéntrense las longitudes M N y AB.

En los ejercicios 20 a 22, empléese el teorem a 8.8 para determ inar si ABCD es o no un paralelogram o.

En el triángulo, M y N son puntos medios. C

20 . 21 . 22.

3 ^ ’ II

En los ejercicios 23 a 26, formúlense pruebas a dos columnas.

23. Dado: F es el punto m edio de AC 24. Dado:D es el punto m edio de BC E es el punto medio de AB.

Pruébese: AED F es un paralelogramo.

25. Dado: A BC D EF es un hexágono con A B || DE y A B = DEW, X , Y y Z son puntos m edios de los lados.

Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.

A A B C es isósceles con A B = ACD es el pun to medio de AB E es el punto medio de CB.

Pruébese: A BDE es isósceles.

26. Dado: A A B C es equiláteroD, E y F son puntos medios de los lados.

Pruébese: A DEF es equilátero.

C

B

(.Sugerencia: Empléense los segmentos auxiliares A E y BD.)

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Page 291: Geometria - Clemens

280 C u a d rilá te ro s y po lígonos

27. Dado:

Pruébese:

28. Dado:

W, X , Y y Z son puntos m edios de los lados del cuadrilátero ABCD.WY y X Z se bisecan..

OSugerencia: Utilícense rectas auxiliares.)

ABCD es un paralelogram o.E, F, G y H son puntos medios de AO, BO, CO y DO, respectivamente. D

Pruébese: EFG H es un paralelogram o.

c.L a inform ación que se da a continuación es para los ejercicios 29 a 32. La proposición de cualquiera de estos ejercicios puede usarse para com pletar cualquiera de los ejercicios siguientes.

Dado: A Z y B W son las m edianas de A ABC.X es el punto medio de A G .Y es el pun to medio de BG.

29. Pruébese que WZ || X Y.

30. Pruébese que W X Y Z es un paralelogram o.

31. Pruébese que A X = X G = G Z y B Y — YG = GW.

32. Pruébese que el centroide de un triángulo triseca a todas las m edianas. Esto es, el centroide divide la m ediana en un tercio y dos tercios. (El centroide es el pun to de intersección de las m edianas.)

B

ACTIVIDADES!T re s de estos po lígonos pueden acop la rse a lre d e d o r de un pun to P com o se m ues tra en la figu ra .

Con papel vege ta l, m uéstrense tan tas fo rm a s com o sea p o s ib le pa ra

1. a c o p la r tre s po lígonos a lre d e d o r de un punto.

2. a co p la r cua tro po lígonos a lre d e d o r de un punto.

3. a c o p la r c inco po lígonos a lre d e d o r de un punto.

Cuadrado

ATriánguloequilátero

Octágono

Hexágono

In tén tese d ib u ja r un d iseño p ro s ig u ie n d o este p roceso de a cop lam ien to de po lígonos.

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8.4 El te o re m a de l segm en to m ed io 281

33. Com plétese la siguiente prueba del teorem a 8.8.

Dado: ABCD es un cuadriláterocualquieraW, X , Y y Z son puntos medios de los lados de ABCD.

Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.

Plan: A ñádanse los segmentos auxiliares DB, Z W , YX, Z Y y WX. Apliqúese el teorem a 8.7 a A A B D y a ABCD.

B

B

J^a siguiente inform ación es para los ejercicios 34 a 36.

Dado:

a. ABCD es un paralelogram o.

b. W, X , Y y Z son los puntos medios de los lados.

c. C ada línea de trazos es una diagonal de un polígono.

34- Pruébese que W Q ZD es un paralelogram o. U na dem ostración similar m ostrará que A X O W , X B Y O y O Y C Z son paralelogram os.(Sugerencia: Pruébese prim ero que A X Z D y W Y C D son paralelogram os.)

35. Pruébese que A'B'C’D' es un paralelogram o.

36. Pruébese que cada lado de A'B'C'D' es paralelo al lado correspondiente de ABCD y su longitud es la m itad.

(Ejercicios 34-36)

— SOLUCION DE PROBLEMAS

En la f ig u ra se m ues tra un cubo cuyas a ris ta s m iden1 qe lo n g itud . S upóngase que los pun tos 6 y D son los puntos m ed ios de las a ris ta s m ostradas.

1. M ués trese que ABCD es un rom bo.

2. E ncuén trense las lo ng itudes de los lados.

3. E ncuén trense las lo ng itudes de las d ia g on a le s BD y AC.

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282 C u a d rilá te ro s y po lígonos

8.5 Rectángulos, rombos y cuadrados

R ecuérdese p o r las definiciones de rectángulo, ro m b o y cu ad rad o que son tipos especiales de paralelogram os. Estas figuras se p resen tan en u n a gran variedad de m ontajes industriales. C on frecuencia es necesario co m p ro b a r si un objeto es realm ente u no de estos parale log ram os especiales. P o r ejem plo, un a lbañil debe es ta r seguro de que los cim ientos de un edificio son perfectam ente rectangulares.

En es ta sección se estu d iará la fo rm a de d eterm in ar estos parale log ram os especiales p o r sus diagonales.

E stos para le log ram os tam bién son rectángulos.

O bsérvese: A C s BD. O bsérvese: E G = FH.

E stas observaciones respaldan el siguiente teorem a.

K

O bsérvese: I K s í JL.

Teorema 8.9 U n p arale log ram o es un rectángulo si, y sólo si, sus d iagonales son congruentes.

Es necesario p ro b a r dos cosas:

I. Si las d iagonales de un p arale log ram o son congruentes, entonces el para le log ram o es un rectángulo.

II. Si u n p ara le log ram o es un rectángulo , entonces las d iagonales son congruentes.

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Explicación de l.

D ado: ABCD es u n paralelogram o.Á C s BD.

Pruébese: ABCD es u n rectángulo .

P lan: P ruébese que A ABD s A BAC, y que L A y L B son congruentes y suplem entarios. H ágase lo m ism o p a ra L C y LD.

Explicación de II.

Dado: ABCD es u n rectángulo.Pruébese: Á C s BD.

Plan: P ruébese que AA B D s ABAC.

E sta p ru eb a se co m p le tará com o ejercicio

A P L IC A C IO N

Los cim ientos de horm igón de u n a casa tienen u n a fo rm a rec tangu lar un p oco m ayor que el rectángulo de la casa. E n estos cim ientos, el co n tra tis ta debe localizar cua tro p un tos, A, B, C y D, que serán las esquinas de la casa. E stos cu a tro p u n to s deben localizarse con precisión p a ra que ABCD sea un rectángulo perfecto. D espués de m edir p a ra hacer que A B - CD y AD = BC, el paso siguiente es m edir las d iagonales. Si A C == BD, entonces ABCD es un rectángulo.

Las p ru eb as de los dos teo rem as siguientes se p resen tan en los ejercicios.

Teorema 8.10 U n p arale log ram o es u n ro m b o si, y só lo si, sus d iagonalesson perpendiculares en tre sí.

Teorema 8.11 U n p arale log ram o es un ro m b o si, y sólo si, cada diagonalbiseca a un p a r de ángulos opuestos.

8.5 R ectángu los, rom bos y cuad rados 283

D

A

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284

EJERCICIOS_____________________

A.

1. Cítense todos los pares de segmentos congruentes del rectángulo ABCD.

En los ejercicios 2 a 4, supóngase que el cuadrilátero ABCD se ha deform ado para darle la form a deseada.

2. Si ABCD fuera un paralelogram o, cítense todos los pares de segm entos congruentes.

3. Si ABCD fuera un rom bo, cítense todos los ángulos que deben ser rectos.

4. Si ABCD fuera un rom bo, cítense todos los ángulos que deben ser congruentes con L C A B .

¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rectángulos? (Supóngase que la inform ación proporcionada es correcta, a pesar de que la figura pueda estar deformada.)

C

U (Ejercicios 2-4)

¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rombos? (Supóngase que la inform ación proporcionada es correcta, a pesar de que la figura pueda estar deformada.)

11. 12. 13.

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8.5 R ectángu los, rom bos y cuadrados 285

B.

En los ejercicios 14 a 20, decídase si la afirm ación es falsa o verdadera.

14. T odo rectángulo es un paralelogram o.

15. T odo rom bo es un rectángulo.

16. T odo cuadrado es un rombo.

17. Algunos rom bos son cuadrados.

18. Algunos rom bos son rectángulos que no son cuadrados.

19. Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes, entonces la figura es un rectángulo.

20. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.

En los ejercicios 21 a 25, si es posible, dibújese un paralelogram o que satisfaga las condiciones que indica cada ejercicio. Si no es posible, escríbase «no es posible».

21. T odos los ángulos congruentes.

22. Las diagonales se bisecan entre sí.

23. Todos los lados congruentes con diagonales que no son perpendiculares.

24. N o hay ángulos rectos con diagonales congruentes.

25. D iagonales congruentes y perpendiculares.

26. ABCD es un paralelogram o. AA B = 2x + 4.

D C = 3x - 11.A D = x + 19.M uéstrese que ABCD es un rombo. C

21. ABCD es un rombo. m D E C = 4x + 10.

m L D A B = 3x + 4.

Encuéntrese m L A B C .

28. ABCD es un paralelogram o.A B = 4x - 5. A C = 3x — 2.CD = 2x + 23. B D = 2 x + 12.

M uéstrese que ABCD es un rectángulo.

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286 C u a d rilá te ro s y po lígonos

29. 30. Dado: Pruébese:

ABCD es un rectángulo. A ABO es isósceles.

31. D ado: ABCD es un cuadradoA H = DG = CF = BE.

Pruébese: EF G H es un cuadrado.

C

F

R

32. Dado: W X Y Z es un rom boR es el punto medio de WV T es el pun to m edio de V Y S es un punto sobre VZ.

Pruébese: A R S T es isósceles.

33. Dado: W X Y Z es un rombo.Pruébese: W Y y X Z dividen a W X Y Z en cuatro

triángulos congruentes.

34. Com plétese la prueba del teorem a 8.9.

(E jercic ios 32 , 33)

ACTIVIDADES!

S upóngase que se neces ita d ib u ja r una ta r je ta con s ie te co lum nas pa ra un in fo rm e de es tud ios soc ia les . La ta r je ta tie n e 5 pu lgadas de ancho. A qu í se m ues tra cóm o hace r esto s in neces idad de cá lcu los .

1. C o lóquese una re g la com o se m uestra en e l d ib u jo y m árquense los s ie te pun tos de una pu lgada.

2. T rácense rectas ve rtica le s po r cada punto, pa ra le la s a los lados de la ta r je ta (o p e rp e n d icu la re s al bo rde in fe rio r).

E xpe rim én tese d ib u ja n d o 9 co lum nas en un e spac io de 7 pu lgadas y 4 co lum nas en un espac io de 5 pu lgadas.

Dado: ABCD es un rectánguloABCD es un paralelogram o.

Pruébese: A D BE es isósceles.

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8.5 R ectángu los, rom bos y cuad rados 287

35. Se hará una construcción de 85' x 40'. Las estacas se colocan como se m uestra en la figura y se tensa la cuerda. Las esquinas exteriores de la construcción serán los puntos en que se cruzan la cuerdas.

a. Después de tensar las cuerdas, el contratista mide WY y X Z . ¿Por qué?

b. Si W Y es 93 pies y X Z es 94 pies, ¿cómo deben moverse las estacas E y F para que W X Y Z sea un rectángulo?

G

H

85 pies

40 pies

c.36. Dado: W X Y Z es un cuadrado

A W = B X = C Y = DZ. Pruébese: ABCD es un cuadrado.

37. Dado: ABCD es un cuadradoA H = DG = C F =J3E.

Pruébese: EG = H F y EG 1 HF.

38. Pruébese el teorem a 8.10.

40. Dado: ABCD es un rom boE, F G y H son puntos medios.

Pruébese: EFGH es un rectángulo.

39. Pruébese el teorem a 8.11. G

SOLUCION DE PROBLEMASSi el centro O de un cubo s e une a los vértices de una cara , s e form a una p irám ide con b a se cuad rada .S u p ó n g ase q u e la longitud de una a ris ta del cubo e s 1.1. Si 6 e s el cen tro de la b ase

cu ad rad a , ¿cuál e s la longitud de 0 6 ?2. Si A e s el punto m edio de una

a ris ta , ¿cuál e s la longitud de O A?Si las p irám ides c u ad rad as , com o la q u e s e m u estra en la figura, s e unen a las c a ra s de un cubo, s e form a un só lido cuyas c a ra s so n rom bos. Cubo con pirámides cuadradas

3. ¿C uán tas c a ra s en form a d e rom bo tien e e s te só lido? umdas a sus caras'

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288 C uadrilá teros y polígonos

8.6 Trapecios

Recuérdese que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Un ejemplo de trapecio sería el tejado de una casa. En esta sección se estudiará un teorema sobre trapecios que podría ser útil en la estimación de los costos de construcción en un proyecto.

E y F son puntos medios.

Obsérvese que EF = \(AB + CD) y EF || A B || CD.

B

U y V son puntos medios.

y UV || W X || YZ.

Teorema 8.12 El segmento que une los puntos medios de los dos lados noparalelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y tiene una longitud igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

DEMOSTRACION

D ado: ^ B C D es un trapecio Z)CJE es el punto medio de A DF es el punto medio de BC.

P ruébese : E F y A B E F y ^

y E F = % A B + CD).

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8.6 T rapec ios 289

P lan : P ro lo n g ú e se A B y D F p a ra e n c o n tra r G. D esp u és, p ru é b e se q u e F es el p u n to m ed io de D G y u tilícese el te o re m a del seg m en to m ed io . A ,

Afirmaciones Razones

1. P ro longar A B . 1. Construcción.2. D ibujar a D ? intersecando 2. Construcción.

a  B en G.

3. DC II ÂB. 3. Definición de trapecio.

4. L B G F s L C D F. 4. ¿Por qué?

5. C F ^ B F . 5. ¿P o r qué?

6. L B F G 3 LD FC. 6. ¿Por qué?

7. L B F G ^ ACFD. 7. ¿Por qué?

8. DF ^ G F . 8. ¿Por qué?

9. F es el punto medio de DG. 9. ¿Por qué?

10. ËF || Â B y ÊF || DC. 10. Teorem a del segmento medi

S ó lo re s ta d e m o s tra r q u e E F = \ { A B + CD). E s ta p ru e b a se c o m p le ta rá e n u n ejercicio.

APLICACIONAl e s tim a r lo s c o s to s de c o n s tru c c ió n de u n te ja d o , debe ca lcu la rse el á re a del trap ec io . E s ta á re a es ig u a l a l á re a del re c tá n g u lo A B C D . P o r el te o re m a 8.12, X Y = j ( R S + T U ) , y el á re a (A B C D ) = h ( X Y ) = %h(RS + T U )

U

El s ig u ien te te o re m a e s tab lece p ro p ie d a d e s d e u n a c lase especia l de trap ec io s .

D

L \AD = BC

B

A D y B C so n la d o s n o pa ra le lo s . L A y L B ju n to s se lla m a n ángulos de la base. L C y L D so n o tro p a r de á n g u lo s de la base.

Definición 8.6U n trapecio isósceles es untrapecio con lados congruentes no paralelos.

L a d e m o s tra c ió n de este te o re m a se d e ja p a ra lo s e jercic ios 13 y 15.

Teorema 8.13. E n u n tra p e c io isósceles, los án g u lo s de la b a s e y lasd ia g o n a le s so n c o n g ru en te s .

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290 C u a d rilá te ro s y po lígonos

EJERCICIOS_________ _______________A.

En los ejercicios I a 9, la línea de trazos une los puntos medios de dos lados no paralelos de un trapecio. Encuéntrese el valor de x.

1. 24

43

2.

5.

24.6

28

44

41

28

7.16

8.27

2x

B,

10. U na presa se construye con una sección transversal trapecial, con una longitud de10 pies en la parte superior y de 38 pies en la base. ¿Cuál es la anchura promedio A B de una presa?

10 pies

38 pies

ACTIVIDADES!

La fig u ra m uestra un po lígono que se fo rm a un iendo po r las a ris ta s com unes cua tro copias congruen tes de l pa ra le lo g ra m o dado.

D ibú jense po r lo m enos nueve po lígonos de d ife ren tes fo rm as con este m étodo o un iendo cuatro cop ias de l p a ra le lo g ra m o dado.

* * i / ■ • • •

~7~/ /

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8.6 T ra p e c io s 291

11. Dado: ABCD es un trapecio conA B || CD. P está sobre CD, de m anera que AP biseca a L A .

Pruébese: A APD es isósceles.

12. Dado: ABCD es un trapecio conA B || CD. AD s BC,A C y BD se intersecan en E.

Pruébese: A CDE es isósceles.

13. Dado: ABCD es un_trapecio isóscelescon A B || CD.

Pruébese: A C = BD.

C.

15. Dado: ABCD es un trapecio isósceles con A B || CD.

Pruébese: L A = LB .(,Sugerencia: Construyase una_recta que pase por D, y sea paralela a BC )

A

14. Dado: ABCD es un trapecio conA B || C D j A E s BE.

Pruébese: AD = BC.

16. Dado: Ai4J3C_es isósceles con A B ^ A C , L A E D ^ L B .

Pruébese: BCDE es un trapecio con BE s CD.

A

B

SOLUCION DE PROBLEMAS1. D ibú jese un hexágono re g u la r. ¿Puede re co rta rse para

fo rm a r:a. 6 tr iá n g u lo s equ ilá te ros?b. 2 tra p e c io s isósce les?c. 3 rom bos congruen tes?

2. D ibú jense dos hexágonos re g u la re s . ¿Pueden co rta rse para fo rm a r tr iá n g u lo s equ ilá te ros?

3. D ibú jese un tr iá n g u lo e q u ilá te ro . ¿Puede co rta rse en 3 fig u ra s con g ru e n te s de 5 lados?

(S u g e re n c ia : E m pléese una fig u ra Y en e l centro .)

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292 C u a d rilá te ro s y po lígonos

8.7 Los ángulos de un polígono

E n las a c tiv id ad es d e la p á g in a 280 se p ide b u sc a r c o m b in a c io n e s d e p o líg o n o s reg u la res q u e p u e d a n ac o p la rse a lre d e d o r del p u n to P.

L as m ed id as d e los án g u lo s de los vértices d e los p o líg o n o s d e te rm in a n si re a lm e n te se a c o p la n o no.

P rim e ro , se p re g u n ta c u á l es la su m a d e los án g u lo s de u n p o líg o n o .P a ra re s p o n d e r a e s to , se tra z a n d ia g o n a le s d esd e u n vértice del p o líg o n o p a ra fo rm a r trián g u lo s .

E n c a d a u n o de esto s casos, la su m a d e las m e d id a s d e los án g u lo s del p o líg o n o es la su m a de las m ed id as de los án g u lo s d e los tr ián g u lo s . E s ta o b se rv ac ió n p ro d u c e la s ig u ien te tab la .

P o líg o n oN ú m ero d e lad o s

N ú m ero de trián g u lo s

S u m a de las m ed id as d e los án g u lo s

c u ad rilá te ro 4 2 2(180=) = 360°

p e n tá g o n o 5 3 3(1805) = 540°

hex ág o n o 6 4 4(180°) = 720°

n -gono n n - 2 (n - 2)180°

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8.7 Los ángu los de un p o lígono 293

El ra z o n a m ie n to in d u c tiv o p re s e n ta d o e n la ta b la su g ie re e s to s d o s teo rem as.

Teorema 8.14 L a s u m a d e los án g u lo s d e u n p o lig o n o co n v ex o den la d o s e s (n — 2) 180°.

Teorema 8.15 L a m e d id a d e u n á n g u lo d e u n p o líg o n o re g u la r d e n la d o sin — 2)

e s - -------- - 180°.

Teorema 8.16

APLICACION

Paso 1 Empléese el teorem a 8.15 para encontrar !a m edida de los ángulos de cada uno de estos polígonos regulares.

Paso 2 M ediante prueba y error, hállensecom binaciones de los núm eros encontrados en el paso 1 cuya sum a sea 360°.

C o n sid é rese el p e n tá g o n o q u e se p re se n ta a c o n tin u a c ió n . U n á n g u lo e x te r io r de c a d a v értice tien e u n a m a rc a . S i se c o r ta n esto s án g u lo s ex te rio re s y se co lo can a lre d e d o r de un p u n to , se o b se rv a q u e su m a n 3 60“.

L a s u m a d e la s m e d id a s de lo s á n g u lo s ex te rio re s de u n p o líg o n o , u n o en c a d a vértice , es 360°.

U n a r t is ta q u e t r a b a ja e n u n m o sa ic o p o d r ía p re g u n ta rse q u é c o m b in ac io n es d e tres o c u a tro de esto s p o líg o n o s reg u la re s se p o d rá n a c o p la r a lre d e d o r d e un p u n to seg ú n se m u e s tra al p rin c ip io de la sección.

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294 C u a d rilá te ro s y po lígonos

EJERCICIOS______A .

E n los ejercicios 1 a 3, se proporciona el núm ero de lados de un polígono convexo. ¿En cuántos triángulos dividen al polígono las diagonales trazadas desde uno de sus vértices?

1. 10. 2. 25. 3. x.

En los ejercicios 4 a 9, se proporciona el núm ero de lados de un polígono convexo. Encuéntrese la sum a de las m edidas de los ángulos de los polígonos.

4. 6. 5. 12. 6. 24.

7. 36. 8. 100. 9. p.

En los ejercicios 10 a 15, se proporciona la sum a de las medidas de los ángulos interiores. Encuéntrese el núm ero de lados del polígono.

10. 7020°. 11. 1980°. 12. 6120°.

13. 1800°. 14. 1260o- 15. 3420“.

En los ejercicios 16 a 21, se proporciona el núm ero de lados de un polígono regular. Encuéntrese la m edida del ángulo del vértice del polígono.

16. 7. 17. 9. 18. 10-

19. 15. 20. 20- 21. 100.

dodecágono

ACTIVIDADES

1. Con una reg la y un tra n sp o rta d o r, d ib ú je se un dodecágono re g u la r con a ris ta s de 3 cm de long itud .

2. Con una re g la y un tran sp o rta d o r, d ib ú je se un po lígono re g u la r de 15 lados con a ris ta s de 3 cm de long itud .

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B.

22. L a sum a de las m edidas de siete ángulos de un octágono es 1000°.¿Cuál es la m edida del octavo ángulo?

23. ¿Cuáles son las m edidas de los ángulos exteriores de un octágono regular y de un dodecágono regular?

24. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si cada ángulo exterior mide 15”? ¿Cuántos lados tendría si cada ángulo exterior m idiera18o?

25. ¿C uántos lados tiene un polígono regular si cada ángulo interior mide IOS1'? ¿C uántos lados tendría si cada ángulo interior m idiera 144o?

26. M uéstrese que dos pentágonos regulares y un decágono regular pueden acoplarse alrededor de un punto. (Véase la aplicación.)

27. M uéstrese que un triángulo equilátero, un heptágono regular y un polígono regular de 42 lados pueden acoplarse alrededor de un punto.

c.28. Encuéntrese el núm ero de lados de un polígono si la suma

de sus ángulos interiores es el doble que ia suma de sus ángulos exteriores.

29. En un octágono regular se encuentra inscrito un polígono con forma de estrella. Encuéntrese m ¿ A B C . Pruébese que la respuesta es correcta.

30. Pruébese que A B || DE. (Ejercic¡os 2„ 30)

SOLUCION DE

En una p laca de acero se van a ta la d ra r unos a g u je ro s com ose m ues tra en la figu ra .

8.7 Los á n gu los de un po lígono 295

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Page 307: Geometria - Clemens

296 C u a d rilá te ro s y po lígonos

Capítulo 8 Conceptos importantesTérminos

Trapecio (pág. 261) R om bo (pág. 261)Paralelogram o (pág. 261) C uadrado (pág. 261)Rectángulo (pág. 261) Trapecio isósceles (pág. 289)

Teoremas

8.1 Los ángulos opuestos de un paralelogram o son congruentes.8.2 Los lados opuestos de un paralelogram o son congruentes.8.3 Los pares de ángulos adyacentes de un paralelogram o son

ángulos suplementarios.8.4 Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes,

entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.8.5 Si un cuadrilátero tiene un p ar de lados opuestos paralelos y

congruentes, entonces es un paralelogram o.8.6 Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes,

entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.8.7 Teorema del segmento medio. El segmento que une los puntos

medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la m itad de su longitud.

8.8 Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogram o.

8.9 U n paralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes.

8.10 U n paralelogram o es un rom bo si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares entre sí.

8.11 U n paralelogram o es un rom bo si, y sólo si, cada diagonal biseca a un p ar de ángulos opuestos.

8.12 El segm ento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y tiene una longitud igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

8.13 En un trapecio isósceles, los ángulos de la base y las diagonales son congruentes.

8.14 La sum a de las m edidas de los ángulos de un polígono convexo de n lados es (n — 2)180°.

8.15 La m edida de un ángulo de un polígono regular de n lados es

n8.16 La sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un

polígono, uno en cada vértice, es 360°.

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C apítu lo 8 R esum en 297

Capítulo 8 Resumen1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. Si las diagonales de un paralelogram o son congruentes, entonces la figura debe ser un rectángulo.

b. Si las diagonales de un paralelogram o son perpendiculares, entonces la figura debe ser un cuadrado.

c. Si una figura es un cuadrado, entonces debe ser un rombo.

d. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces la figura es un paralelogram o.

2. Supóngase que ABCD es un paralelogram o, m L B = 110 y m ¿ 2 = 30. Encuéntrese m L 4.

3. Dado: La figura ABCD es un paralelogram oE F || DA, E F £ DA. ¿)

Pruébese: La figura BCEF es un paralelogram o.

4. Dado: La figura BCDE es un rombo.£ es el punto medio de AB , m¿L 1 = 60.

Pruébese: La figura ABCD es un trapecio isósceles.

5. Dado: EBCD es un paralelogram o,m L 1 = m í14.

Pruébese: AD = DE.

6. Supóngase que E, F, G y H son puntos medios. Si m¿. 1 = 30 y m L 2 = 50, encuéntrese m L E F G .

7. Supóngase que E, F ,G y H son puntos medios. Si AC = 12 y BD = 8, encuéntrese EF + FG + GH + EH.

8. Encuéntrese la m edida de cada ángulo de un dodecágono regular.

9. Si cuatro ángulos de un pentágono miden 100°, 70°, 150° y 120°, encuéntrese la m edida del quinto ángulo.

10. Supóngase que ABCD es un rectángulo. Si AD = 5 y CD = 12, encuéntrese BX .

B (Ejercicios 4, 5)

A F D

C

B

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Page 309: Geometria - Clemens

Capítulo 8 Examen1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. Si un cuadrilátero tiene un p ar de lados congruentes, entonces es un paralelogram o. v /

b. Si un cuadrilátero tiene diagonales congruentes, entonces debe ser un rectángulo.

c. La sum a de los ángulos exteriores de un pentágono regular es 360°. V

d. Si un paralelogram o tiene un ángulo recto, es un rectángulo.

2. ABCD es un trapecio. M y N son puntos medios. AD = 6 y M N — 10. Encuéntrese BC.

3. Supóngase que D, E y F son puntos medios. Si A B = 4, A C = 5 y BC = 6, encuéntrese DE + E F + DF.

298 C u a d rilá te ro s y po lígonos

4. Dado: A A B C es equiláteroD, E y F son puntos medios.

Pruébese:' A D E F es equilátero.

5. PQ RS es un paralelogram o. Si m /LP = 4x + 20 y m L Q = x + 10, encuéntrese m /-P .

6. S im Z l + m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 4 + m ¿ 5 = 290, encuéntrese m L 6.

7. Si cada ángulo de un polígono regular m ide 156°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

8. Dado: AD = DB y A E = ECA F = FD y AG = GE.

Pruébese: FG || BC.

9. Las figuras siguientes son dos rectángulos solapados. Encuéntrese la sum a a + b + c + d.

(Ejercicio 2)

£ (Ejercicios 3, 4)

(Ejercicio 8)

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Page 310: Geometria - Clemens

R epaso de á lg e b ra 299

Repaso de álgebraDespéjese x en las siguientes proporciones.

. x 6 ‘ 2 “ 3 '

2. 3 _ 64 x

3. x 21 x - 2 15

A x - 3 _ 4 - X 5. 5 5x 6. x 44 ‘ 6 - 5 ’ 6 x + 60 3 x - 1

- 2x — 3 5x 8. x - 2 6 9. x + 2 17- 2 6 ’ x + 5 20 ' 5 “ x - 2 '

Resuélvanse los siguientes sistemas.

Orr)IISO

11. y = 3x — 5 12. 2(x - 2) + y = - 1 8

3x + 2y = - 3 . x = —2 y — 10. 3x + 2 (y - 1) = - 2 6 .

13. 2x + 5j> = 7 14. 5x + 8 = 1 15. 2x + 3» + 3 = 0

H II

K>|u> 2x - l y = - 20. 8x — + 25 = 0.

16. x + 2y - 4 = 0 17. | í + f ? = 2 18. n — 2 A m ------- -— — 0

1 X _ 13y _ 10 = 0. z

8^ = 3p + 4. 0.2m + 0.3« = 5.

Despéjese x.

19. V x - 9 = 0. 20. V x + 4 = 5. 21. V x + 2 + 4 = 7.

22. V x2 - 9 = 4. 23. \ /2 + x = 0. 24. V x + 4 = V x - 2.

Despéjese x.

25. (x + 2)(x - 5) = 0. 26. (2x + 5)(3x - 1) = 0. 27. x 2 — lOx + 25 = 0.

28. (x - 4)2 = 9. 29. x 2 - x - 12 = 0. 30. 4x2 — 9 = 0.

Resuélvase.

31. Las m edidas de los ángulos de un 32. El perím etro de un rectángulo es 160. Sitriángulo están en una razón 2:3:5. la razón entre la anchura y laEncuéntrense las m edidas de los ángulos. longitud es 7:9, encuéntrense las

dimensiones del rectángulo.

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W WSRSSm© MOTÍD®

Arquitectura: El rectángulo áureo

El rectángulo áureo fue considerado po r los griegos de la antigüedad com o una de las figuras geom étricas m ás herm osam ente proporcionadas. D urante siglos, los arquitectos utilizaron esta figura en la planeación de templos, rascacielos y edificios de todo tipo.

Los griegos construyeron el P artenón de Atenas en el siglo V antes de C. El rectángulo que com prende la fachada delantera es un rectángulo áureo.

El rectángulo áureo es un rectángulo tal que si se corta un cuadrado unitario en un extrem o, los lados del rectángulo resultante estarán en la m ism a proporción que los del rectángulo original. D ado que las proporciones entre pares de lados correspondientes al rectángulo grande y al pequeño (ABCD y EBCF) son iguales, puede usarse esta proporción

1 + a _ J_1 a

y calcular la longitud del lado m ás largo del rectángulo áureo de anchura uno. Encuéntrese esta longitud.

R ectán g u lo áu reo

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Page 312: Geometria - Clemens

Construcción de un rectángulo áureoC on el com pás y una regla, síganse las instrucciones para construir rectángulo áureo.

un

Paso 1 Constrúyase un cuadrado unitario ABCD.

>

1 1 T i --------1--------

BPaso 2 Constrúyase el punto m edio del lado AD. *

o

Con M com o centro y M C com o radio, / \ \dibújese un arco que interseque a AD en E. \

M VA

L) í E

>y /s

Paso 3 Constrúyase EF 1 A E y complétese el rectángulo áureo ABFE.

301

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Page 313: Geometria - Clemens

CAPITULO

9.1 P ro p o rc io n e s 304

9 .2 T e o re m a fu n d a m e n ta l d e la p ro p o rc io n a l id a d 308

9.3 Polígonos semejantes 3129.4 El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A 316

9.5 T r iá n g u lo s re c tá n g u lo s y t r iá n g u lo s s e m e ja n te s 322

9.6 T e o re m a s d e la s e m e ja n z a LL.L y L A L 326 .

9.7 R a z o n e s t r ig o n o m é tr ic a s ; u n a a p l ic a c ió n d e lo s

t r iá n g u lo s s e m e ja n te s 330

9.8 R a z o n e s t r ig o n o m é tr ic a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s 3 34

C o n c e p to s im p o r ta n te s 336 R e s u m e n 337 E x a m e n

Técnicas p ara la solución de problem as

Trabájese hacia atrás 339

338

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Page 314: Geometria - Clemens

Semejanza

303

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Page 315: Geometria - Clemens

9.1 Proporciones

E n este cap ítu lo se es tu d iarán po lígonos que tienen la m ism a form a, pero no necesariam ente el m ism o tam añ o . En esta fo tografía hay m uchos triángu los que tienen la m ism a form a.

304 Sem ejanza

La idea de la «m ism a form a» aparece en las am pliaciones o reducciones. C onsidérense las fotografías siguientes.

5 cm 10 cm

4 cm

8 cm

A m bas son fotografías de un m ism o ob jeto , pero u n a es m ás g rande que la o tra . L as fotografías tienen la «m ism a form a». Si se co m p aran las razones en tre el ancho y el largo de cad a foto, se observa que las razones son iguales.

4 cm _ 8 cm5 cm 10 cm

E sta ecuación se d enom ina proporción,p o rq u e se com pone de dos razones iguales, f\r JLy io -

Definición 9.1

U na proporción es una igualdad entre dosa c

razones. Las razones - y - son proporcionales ; a c b d- = - . b * 0 , d ¿ 0 . b a

(Es im p o rtan te reco rd a r que un d en o m in ad o r no puede ser igual a cero.)E n es ta sección se rep asarán algunas p rop iedades algebraicas de las

proporciones. Las p ruebas de estos teorem as se om iten, p ero to d o s van precedidos de un ejem plo num érico.

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Page 316: Geometria - Clemens

9.1 P ropo rc iones 305

Ejemplo 1 E n u n a p roporción , los p ro d u c to s cruzados son iguales.

fXf ó 4 X 4 = 2 X 8

Teorema 9.1 s í jb

Ejemplo 2 E n una p roporción , puede añad irse 1 a am bos lados.

Si — = — , entonces — + — = — + — ó = i l + l .3 4 ’ 3 3 4 4 3 4

Teorema 9.2 Si -u = e n to n c e s — = — .b d b d

Ejemplo 3 En u n a p roporción , puede resta rse 1 de am bos lados.9 12 9 3— = — , e n to n c e s ----------3 4 ’ 3 3

Teorema 9.3 Si \ | e n to n c e s — =b d b d

9 1? qEjemplo 4 Si y = — > entonces — = - J .

9 12Ejemplo 5 Si 9 x 4 = 3 x 1 2 , entonces - = — .3 4

a qTeorema 9.5 Si a x d = b x c, e n to n c e s - =

b d

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Page 317: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

306 S em ejan za

A.4 12

1. D ado que - = — , ¿cuál de los teorem as se usa para concluir

los casos siguientes?

4a . _ = _5_ . 9 _ _ 2712 15 ' 5 _ 15'

c .15

, _ , AD AEz. Supóngase que — = ¿Qué teorem a se usa para

JJd Ej CA

concluir los casos siguientes?

A D - D B A E - E Ca .

c .

D B

A D + DB D B

E C

A E + E C E C ‘

b . A D _ DB A E ~ E C '

C

3. Empléense el teorem a 9.5 y los siguientes productos p a ra form ar proporciones,

a . 3 x 4 = 2 X 6. b . V 2 X \/3 = 1 x

c . 2 - M N = 3 - X Y . d . A B ■ C D = E F ■ GH.

4. Empléese el teorem a 9.1 para despejar x en las siguientes proporciones.

a = I ,5 25

6 18c. x — 4 _3

4 '

B.

5. Form úlese la contrarreciproca del teorem a 9.1. Empléese esta contrarrecíproca para m ostrar que las siguientes ecuaciones no son proporciones.

i ! b> 23 = 31_ p V 2 + 11 4 ' ' 3 3 41

12a . — —

13 \/3 \ /3 + 1

ACTIVIDADES!

A es te d ib u jo se le so b re p u so una cuad rícu la de 1 cm 2. D ibú jese una co p ia m ás g rande del d ib u jo con una cu a d rícu la de 2 c m 2.

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9.1 P ropo rc iones 307

6. Las medidas de dos ángulos com plem entarios están en una razón de f . Encuéntrense las m edidas de los ángulos.

7. Si dos calculadoras cuestan 28 dólares, ¿cuánto costarán cinco calculadoras?

8. D os núm eros están en la razón de 2:3. ¿Cuál es la razón de sus cuadrados?

9. Las m edidas de dos ángulos suplem entarios están en la razón de f . Encuéntrense las m edidas de los ángulos.

10. U n segmento de 56 cm se divide en una razón de 3 a 5. Encuéntrese la longitud de los dos segmentos.

11. U na fotografía de 5 x 7 se am plía en un factor de f . ¿Cuál es el tam año de la ampliación?

12. Las áreas de dos triángulos están en una razón de 4 a 9. El triángulo m ás oequeño tiene un área de 50 cm 2. Encuéntrese el área del triángulo grande.

c.13. Despéjese x en la proporción.

- 3 x —

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.

1. Con una re g la y la esca la que se p ro po rc iona , encuén trese la d is tanc ia rea l de no rte a s u r y de este a oeste de la cons trucc ión .

2. E scríbanse las p ro p o rc io n e s em p leadas en la so luc ión del p ro b le m a 1.

3. Si todas las pa redes, desde A hasta F, p a rtiendo hac ia e l norte a lre d e d o r de la cons trucc ión , se va c ia ro n en h o rm igón y este vac iado co s tó 20 d ó la re s pie, estím ese e l costo to ta l de l vaciado.

P L A N O D E U N PISO

0*4* 8 ' I f l *________ 3 2 ’

E S C A L A E N PIES

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Page 319: Geometria - Clemens

308 S em ejanza

9.2 Teorema fundamental de la proporcionalidad

E n los tr iá n g u lo

E l in s tru m e n to a r tic u la d o lla m a d o p a n tó g ra fo es ú til p a ra los d ise ñ a d o re s y o tra s p e rso n a s q u e necesiten a m p lia r o re d u c ir d ib u jo s co m o se m u e s tra e n la fo tog rafía . E l p a n tó g ra fo se c o lo c a so b re u n a superfic ie p la n a y se fija la p u n ta P. C u a n d o la p u n ta D s igue lo s d e ta lle s del d ib u jo o rig in a l, el láp iz E re p ro d u c e la fig u ra a m p lia d a . E l p a n tó g ra fo se b a sa e n el te o re m a d e e s ta sección.

tr iá n g u lo s sigu ien tes, se tra z ó u n seg m en to p a ra le lo a u n la d o del

M N || B C

AK

i XM riB

O b sérv ese q u e

A MM B

II ►—

d ^

ii

C

Z 7 ¡l D E

F XX D

i EX.2 ’ Y E

E

_1_ 2 5

S R II G H

I S = 3 IR S G 1 ’ R H

o

A M _ AN_ M B N C '

F XX D

F YY E '

I SS G

I RR H '

E stas o b se rv ac io n es se re su m en en el te o re m a siguiente.

Teorema 9-6 Si u n a re c ta p a ra le la a u n la d o d e u n tr iá n g u lo in te rse c a a loso tro s d o s la d o s , e n to n c e s d iv id e a é s to s p ro p o rc io n a lm e n te .

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Page 320: Geometria - Clemens

Ejemplo 1

E n es ta figura , M N || D E . E n c u é n tre se N E .

P o r el te o re m a 9.6,

p o r ta n to ,

o b ien

9.2 T eo rem a fundam ental de la proporcionalidad 309

21- *= -

E n c u é n tre se F J en la f ig u ra si G F || K J.

P o r el te o re m a 9.6, = F JC M C N K H J H ’M D N E ’ 2 _ X

3 _ 4 3 6 — x ’

5 !X 3.x- = 12 - 2x,

3x = 20, 5x = 12,

20 12x =3 ’ o b ien x =

~5~'

fa

A P L IC A C IO N

1. U n p a n tó g ra fo se c o n s tru y e de m a n e ra q u e A B = C D , A D = B C , y P , D y £ son co lineales. Así, p o r el te o re m a 8.4, se pu ed e c o n c lu ir q u e A B C D es u n p a ra le lo g ram o .

2. D a d o q u e A B C D es u n p a ra le lo g ram o ,A D || B E en A P B E . P o r ta n to , p o r el te o re m a 9.6, se p u e d e co n c lu ir q u e la

- PD ■ • , , r a z ó n — siem p re es c o n s ta n te e ig u a l a la

, P A ra z ó n ——.

A B

E ste h ech o a y u d a a ex p lica r el fu n c io n a m ie n to del p a n tó g ra fo .

L a re c íp ro c a del te o re m a 9.6 ta m b ié n es v e rd a d y se en u n c ia a c o n tin u ac ió n .

Teorema 9.7 Si u n a re c ta in te rse c a a d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo y losd iv id e p ro p o rc io n a lm e n te , e n to n c e s la re c ta es p a ra le la al te rc e r lado .

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Page 321: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

310 Sem ejanza

1. Supóngase que DE || BC. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a.

c.

e.

A D _ A E D B E C '

A B _ A C D B EC '

A D A B A E A C '

. A B A C ' A D A E '

A D E Cd.

f.

A E B D

A D A EA B - A D A C - E C '

2. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

(Ejercicios 1, 2)

r)D ——a - Si entonces D E || BC.

• A B A C __ __c* Si = - q g , entonces D E || BC.

, D B E C — —b - Si = - j - p , entonces D E || BC.

d ’ = entonces D E || BC.

e. Si D B E CA B - D B A C - E C entonces D E || BC. f. Si D B =

A D A E-, entonces D E II BC.

En los ejercicios 3 a 8, despéjese x. Supóngase que las rectas que parecen paralelas lo son.

20

16'

ACTIVIDADES1

P ara e s ta activ idad s e n e c e s ita rán tira s de ca rtu lina o de m ad era de 30 cm o m ás d e largo y a lg u n o s su je tad o res .1. C on stru y ase un pantógrafo uniendo las tira s de

m a n e ra que AB = PC y AP = BC.2. E m pléese el pan tógrafo p a ra am pliar a lguna figura.

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Page 322: Geometria - Clemens

9.2 T eo rem a fundam en ta l de la p ro p o rc io n a lid a d 311

B.

9. Dado: R S || Z X , R X || TS.

Pruébese: I X = * L .R T R Z

10. Dado: ABCD es un trapecio

É F \ \ A B , E F || DC. A E

B

Pruébese:D ‘

B FE D F C '

(.Sugerencia: Trácese BD. Considérense A A B D y ABCD.)

11. Dado: A B C D es un trapecio

E F \ \A B , E F || DC,

§ \ B C Encuéntrense: B F y FC.

12. Dado: ABCD es un trapecioE F \ \ A B , E F || DC,

Ü = { , A D = 8, B C = 12.

Encuéntrense: AE, ED, BF, FC.

13. En este pantógrafo, P A = 8 cm y A B = 24 cm. Si la punta D traza un segmento de 14 cm, ¿cuál es la longitud del segm ento que se d ibuja en £?

(E jercicios 11, 12)

14. Dado:

Pruébese:

A A B C , m Z l = m Z 2. B D _ A B D C A C '

(Indicación: Construyanse FB || AD.)

16. Dado: A A B C , m/L \ = m Z 2.

B D A B D C A C '

A C = 15, B C = 18. Encuéntrense: BD y DC.(Indicación: Véase Ejercicio 14.)

Pruébese: n /” ú í ’ -----------D B

(Indicación: Empléese el teorem a fundam ental de la proporcionalidad y una recta auxiliar.)

— SOLUCION DE PROBLEMAS.

En e s ta p irám ide pen tagonal,

WX\\BC, XY || CD, YZ \\ DE. y AW = 2, WB = 3, AE = 6 E ncuén trense A Z y ZE.

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Page 323: Geometria - Clemens

312 S em ejan za

9.3 Polígonos semejantes

C o n frecuencia , lo s d ise ñ a d o re s in d u s tr ia le s c o n s tru y e n m o d e lo s de p ro y e c to s q u e luego se fa b r ic a rá n e n ta m a ñ o n a tu ra l. El m o d e lo del a e ro p la n o tien e la m ism a fo rm a q u e el av ió n real.

E n e s ta secc ión se t r a ta r á n los p o líg o n o s y se d e sc r ib irá lo q u e sign ifica idéntica form a o semejanza. C o n s id é re n se las s ig u ien tes figura?

A B C D E es sem ejan te &A'B'C'D'E'

L A = L A ', LB== L B L C = z L C '. L D s s L D ’, Z E s L E '.

A B _ B C _ CD _ D E _ A E A 'B ' B 'C ' C 'D ' ~ D 'E ' ~ A 'E '

W X Y Z es sem ejan te ‘d W ' X ' Y ' Z '

l w « z w , l x =z z r , Z F = Z F ' , L Z = L Z '.

IVX X Y Y Z W Z 1W 'X ' X 'Y ' Y 'Z ' W 'Z ' 2

O b sérv ese q u e to d o s los á n g u lo s c o rre sp o n d ie n te s so n c o n g ru e n te s y q u e las ra z o n e s de lo s la d o s c o rre sp o n d ie n te s so n iguales.

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9.3 P o lígonos sem e jan tes 313

C

El s ím b o lo « ~ » sign ifica «es sem ejan te a».A B C D ~ ^ 'S 'C 'D 's ig n if ic a q u e A B C D es sem e jan te a A 'B 'C 'D '

C

Definición 9.2

D os polígonos son semejantessi hay una correspondencia entre los vértices tal que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.

Ejemplo 1 Si se d a q u e A B C D ~ A 'B 'C 'D ', e n to n ces p u ed e co n c lu irse que:

1. Z A = ¿ A ' , Z B s Z B ', Z C s Z C 'Z D = Z D '.A B B C CD A D2.

A ' B ' B ' C C D ' A 'D '

Ejemplo 2 Si se d a q u e

1. ¿ A = * Z A Z B ^ Z J 3 ', Z C = Z C '5 Z D = Z D ' y

^ 5 5 C C D /4D2.

/ Í 'S ' 5 'C ' C 'D ' A ' D '

en to n c e s p u e d e co n c lu irse q u e A B C D ~ A 'B 'C 'D ' .

APLICACION

Si se d isp o n e de u n m a p a a esca la , e n to n ces la fig u ra d e l m a p a es se m e jan te a la f ig u ra q u e rep re se n ta . D a d o u n m a p a a e sca la de las u b icac io n es A , B y C, e n to n c e s A A B C ~~ A ! B 'C .Si A 'C ' = 36 m m , A 'B ' = 24 m m y A B = 32 m m , en c u é n tre se A C .

Solución:A B A C o b ien

32 m

P o r ta n to , A C —

A ' B ' A ' C ' 24 m m

32 m x 36 m m

A C 36 m m

24 m m= 48 m.

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EJERCICIOS

314 S em ejanza

A.

En los ejercicios 1 a 4, determ ínese si los pares de polígonos dados son semejantes o no.

1.T. 3 ------------ C

21 r

2

2.

3. P — L

1

7

4.

5. Supóngase que A H IJ ~ A H'I'J'.Cítense tres pares de ángulos correspondientes que sean congruentes.

6. Si A H IJ ~ A H'I'J ', complétese la siguiente proporción en dos formas diferentes.

H T —

7. Supóngase que A H I J ~ A H 'I 'J ' y que H T = 4, / ' J ' = 6, H 'J ' = 7 y H J = 12. Encuéntrense las longitudes H I e IJ.

8. C on la escala que se indica en este pa trón de bordado, encuéntrese la longitud A B del p roducto final ampliado.

(Ejercicios 5-7)

5 m m = 2 cm

ACTIVIDADES!

El s ig u ien te e s un m étodo p a ra constru ir un polígono sem e jan te a ABCDE.

a . S e lecc ió n ese un punto P y d ibú jense PÁ, p b , p6, p d y PÍ.b. C o n strú y an se los puntos A ', & , C', D' y £ ' com o s e m uestra

en la figura, de m a n e ra q u e A A ' = 2PA, B B ' = 2PB,CC' = 2PC, DD' = 2PD y EE' = 2PE.

1. T rácese ABCDE e in tén tese h ace r la construcción anterior.2. L ocalícese el punto P en d iferen tes posic io n es y rep ítase

la construcción.

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9.3 P o lígonos sem e jan tes 315

B.

En esta figura, DE || BC.

AD A E DE .9. Si — = — = — , demuestrese que A A D E ~ A ABC.

A B A C BC H10. Si las longitudes de los segmentos son las que se

m uestran, encuéntrense DB y EC. (Sugerencia: Empléese el ejercicio 9.)

11. Si DE || BC y las longitudes de los segmentos son las que se m uestran, pruébese que A A D E ~ A ABC.

12. Las longitudes de los lados de un pentágono son 6, 8, 9, 12 y 15. Si un pentágono sem ejante tiene de lado m ás largo 4, encuéntrense las m edidas de los lados restantes.

13. Construyase un triángulo rectángulo semejante a A A B C con un cateto de longitud - J l .

14. Constrúyase un cuadrilátero semejante a ABCD cuyo lado m ás corto m ida 9.

15. Supóngase que A A D E ~ A A B C .DB EC

Pruébese que — = — . (Esta es la H AD AE

conclusión del teorem a fundam ental dela proporcionalidad.)

16. D ado que AB C D E es un pentágonoBD B C DC

regular y que — = — = —- ,DC Dj CI

establézcanse varios pares de triángulossemejantes. Justifiqúense las elecciones.

(Ejercicios 9,10)

(Ejercicio 11)

B (Ejercicio 13)C

(Ejercicio 14)

(Ejercicio 16)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.E m plóese la técn ica de so lu c ió n de p rob lem as de e la b o ra c ió n de ta b la s (pág. 167) p a ra re so lve r s s tc p rob lem a .

s in su b d iv is io n e s una su b d iv is ió n dos su b d iv is io n e s tre s su b d iv is io n e s

1 triángulo 5 triángulos 9 triángulos

Si al tr iá n g u lo e q u ilá te ro se le h ic ie ra n 10 su b d iv is io n e s , ¿cuántos tr iá n g u lo s resu lta rían?

JL triángulos

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Page 327: Geometria - Clemens

316 Sem ejanza

9.4 El postulado de la semejanza a a a

E n el ju e g o de lo s b o lo s , el ju g a d o r se b a sa en las m a rc a s d e la p is ta p a ra d ir ig ir la bo la. S u p ó n g ase q u e el ju g a d o r la n z a la b o la p a ra q u e p ase p o r la seg u n d a m a rc a y falla p o r d o s c en tím e tro s . ¿ P o r c u á n to s c en tím e tro s fa lla rá la b o la a l p a s a r ju n to a l b o lo?

E s ta p re g u n ta p u ed e re sp o n d e rse a p lic a n d o el te o re m a de e s ta sección.

Si A A B C y A D E F , ¿ A = Z Z ), ¿ B s Z E , y L C s Z F\

A l p a re c e r, s iem p re q u e los tre s án g u lo s de un tr iá n g u lo se a n c o n g ru e n te s c o n lo s tres án g u lo s de o tro tr iá n g u lo , e n to n ces las razo n es d e los la d o s c o rre sp o n d ie n te s ta m b ié n se rá n igua les. E sto se a c e p ta co m o p o s tu la d o .

A BD E

B CE F

C AF D

Postulado de la semejanza a a a

Si tres án g u lo ' de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

E l te o re m a s ig u ien te d esc rib e u n m é to d o s im p le p a ra p ro b a r q u e d o s tr iá n g u lo s so n sem ejan tes.

Teorema 9.8 T e o re m a de la sem ejan za A A . Si d o s án g u lo s d e untr iá n g u lo so n c o n g ru e n te s c o n d o s á n g u lo s de o tro tr iá n g u lo , e n to n ces lo s tr iá n g u lo s so n sem ejan tes.

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Page 328: Geometria - Clemens

9.4 El pos tu lado de la sem e janza AAA 317

PRUEBA

Dado: a A B C y A D E F c o n A A ^ ¿ D , ¿ B ^ ¿ E . Pruébese: a A B C es sem ejan te a A D E F .

Afirmaciones Razones

1. D ado.

2. Dado.

3. ¿Por qué?

4. Semejanza AAA,

1. ¿ A s L D .

2. ¿ B s ¿ E .

3. L C s L F .

4. A A B C - A DEF.

APLICACION

C u a n d o u n ju g a d o r d e b o lo s fa lla u n a m arca de la p is ta p o r 2 cm , ¿ p o r c u á n to fa lla el b o lo ? C o n s id é re n se los tr iá n g u lo s A A B C y A A P D . E s to s tr iá n g u lo s se c o n s tru y e ro n p a ra se r rec tá n g u lo s , y tien en u n á n g u lo A co m ú n . P o r ta n to , p o r el te o re m a 9.8, se co n c lu y e q u e A A B C ~ A A P D .

A (jugador) línea

A BA P

B CP D

4 m 19 m

2 cm x cm

o x = ^ - c m = 9 ^ c m

Al a p lic a r el te o re m a de la sem ejan za A A al caso d e lo s tr iá n g u lo s rec tá n g u lo s , se o b tie n e este o tro teo rem a .

Teorema 9.9 D o s tr iá n g u lo s re c tá n g u lo s so n sem e jan te s si u n á n g u lo a g u d ode u n o es c o n g ru e n te c o n u n á n g u lo a g u d o d e l o tro .

/

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318 S em ejanza

EJERCICIOSA.

En los ejercicios 1 a 4, se d an A A B C y A X Y Z . Complétese la afirm ación A B C ~ _L.

1. m Z A = 17, m ¿ C = 49, m ¿ X = 17, m Z Z = 49.

2. m ¿ A = 23, m ¿ B = 111, m Z Y = 23, m ¿ Z = 1 1 1 .

3. m ¿ B = 68, m Z C = 21, m ¿ X = 2 1 , m ¿ Y = 9 1 .

4. m Z C — 119, m ¿ A = 24, m ¿ X = 24, « Z F = 37.

5. Expliqúese p o r qué A ^ S C ~ AD BA.

6. Encuéntrese x.

B.

8. Si un hom bre de 6 pies de a ltu ra proyecta una som bra de 9 pies, ¿qué som bra proyectará un poste de 20 pies?

9. Si D £ || BC, AD = 3, A B = 8 y BC = 9, ¿cuál es la longitud de DE?

10. ¿Son semejantes todos los triángulos rectángulos isósceles?

11. ¿Son semejantes todos los triángulos rectángulos? ¿Por qué?

12. ¿Son semejantes dos triángulos isósceles que tienen sus vértices congruentes? ¿Por qué?

13. ¿Son semejantes todos los triángulos 30°-60°-90°? ¿Por qué?

14. Cítese el máximo de triángulos semejantes que puedan encontrarse en la figura.

15. C uando se tom a una fotografía, la imagen que se forma en la película es sem ejante al objeto que se fotografía. Los triángulos semejantes ayudan a explicar esto. Si Á B y Á W son paralelos, pruébese que A L A B y AL'A 'B ' son semejantes.

16. U n m étodo para encon trar la altu ra de un objeto es colocar un espejo en el suelo y después situarse de m anera que la parte m ás alta del objeto pueda verse en el espejo. ¿Qué altu ra tiene una torre si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior de la to rre cuando el espejo está a 120 m de la torre y la persona está a 6 m del espejo?

(Ejercicio 5)C

A

B

>D

C(Ejercicio 14)

B

A espejo C

¿ A M B s s Z CMD

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9.4 El pos tu lado de la sem e janza A A A 319

17. Dado: m L \ = m ¿ 2.Pruébese: A A B C ~ ~ A E D C .

18. Dado: A B || DE.Pruébese: a . A A B C ~~ A E D C .

A C A Bb .

C E D E'

19. Dado: A B C D es un trapecio.Pruébese: A A E D ~ A CEB.

20. D ado: A B II D C

£ (E jercic ios 17, 18)

q (E jerc ic io 19)

21. Dado: A A B C _ ~ A D E FA G y D H son alturas.

„ A B A GPruebese: m =

22. Dado: N Q || OP.Pruébese: a. A M N Q ~ A M O P .

. M N N Q M O O P'

23. Dado: H, N e Y son puntos m edios de M A , M E y AE.

Pruébese: A H N Y ~~ A E A M .

£ (E jercic io 20)

D

(E jercic io 23)

E

24. Dado: ¿ B ^ A C, D F ± A B , D E ± AC.Pruébese: a . A B D F — A CDE. ^

FD B Db .

ED C D '

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Page 331: Geometria - Clemens

320 S em ejanza

25. Dado: L R S T , L 1 y L 2 son ángulos rectos. i?Pruébese: a . A R S U ~ A R T S .

b. A U V T ~ A flU S .

c.26. Dado: ABCD es un trapecio.

Pruébese: / J £ ■ D E = B E ■ CE. A

27. Dado: A /ÍB C - A EFGA D biseca a L A E H biseca a L E .

w

28. Dado: A D 1 £ C , R E ± AC.

Pruébese: a . = — .S C

b. A D - B C = A C - BE.

A

C

E

H G

ACTIVIDADES

C oloqúese un proyector a 10 p ies de una p an ta lla y perp en d icu la r a é s ta . C oloqúese un triángulo ABC en el proyector. L lám ese triángulo A 'B 'C ' al q u e a p a re c e en la pantalla.1. M ídase L A y su im agen L A '. ¿Q ué relación

tienen?2. M ídanse las longitudes A B y A 'B ', AC y A'C '

y BC y B'C '.

_ , A B AC BC¿Cual es la razón e n tre -------, ------- y --------?

A 'B ' A 'C 1 B 'C '

¿Q ué conclusión s e s a c a de A A B C y A A'B'C"?

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9.4 El pos tu lado de la sem e ja n za AAA 321

29. Dado:

Pruébese:

B E || C F || DG.

B C _ E F CD FG'

30. Dado: A C _L FE, A C _ ± BD,D E J_ BD , A E _L BE.

Pruébese: A A F E — A B DE.D

31. Dado:

Pruébese:

32. Dado:

B C , F C ± A B AC .

A D B E

A F _ B D .B F ' CD A E

CE = 1.

D E L A C A B 1 B C m Z l + 2 = 9 0 .

Pruébese: B C ■ C E = ED ■ AB.

33. Dado: C A s C B B A s BD.

Pruébese: {A B )2 = A C ■ AD.

D

C

SOLUCION DE

S u p ó n g ase q u e s e co loca un p royector de tra n sp a re n c ia s a 20 p ie s de la pantalla. S u p ó n g ase q u e A ABC e s sem e jan te a A A'B'C'.1. Si s e co rta un triángulo A ABC y s e co loca a

x p ie s fren te al p royector, c a lcú lese la longitud A'B' en función de la longitud AB y d e la d is tan c ia x.

2. Si á s e reduce a la m itad, ¿qué p a s a con A'B"?

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322 S em ejanza

Teorema 9.10 E n u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo , la lo n g itu d d e la a l tu r a a lah ip o te n u sa es la m e d ia g eo m é tric a e n tre la s lo n g itu d e s d e los d o s seg m en to s d e la h ip o ten u sa .

9.5 Triángulos rectángulos y triángulos semejantes

O b sérv ese q u e O b sérv ese q u e

A D _ = CD_ X W IFZC D D B ' W Z W Y ‘

U n e jem p lo in te re sa n te d e sem ejan za en tre tr iá n g u lo s re c tá n g u lo s e n la n a tu ra le z a es la c o n c h a de u n n a u tilo . L a fo to g ra fía m u e s tra u n a c o n c h a c o r ta d a p o r la m ita d p a ra reve la r su c o n s tru c c ió n esp ira l. E s ta e sp ira l p u ed e a p ro x im a rse m e d ia n te u n a su cesió n de seg m en to s c o lo c a d o s en án g u lo s rec to s . E s ta esp ira l e s tá re la c io n a d a c o n el te o re m a de es ta sección.

S e e m p eza rá c o n u n e jem p lo y u n a defin ición.

L a m ed ia g e o m é tric a e n tre 4 y 16 es 8, d a d o q u e

El c o n c e p to de m e d ia g eo m é trica se em p lea en el te o re m a siguiente.

Definición 9.3U n núm ero x es una media geométrica entre dos núm eros a y b sia x . n , , .- = J > x ¿ 0 , b ¿ 0 .

P R U E B A

D ado :

Pruébese:

A A B C c o n L C c o m o á n g u lo rec to , CD es u n a a ltu ra .

A D _ D C

D C ~ D B '

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9.5 T riá n g u lo s rec tángu los y tr iá n g u lo s sem e jan tes 323

Afirmaciones

AP LIC A C IO N

L a c o n c h a d e l n a u tilo e s tá b a s a d a e n u n a m ed ia g eo m étrica . C o n sid é rese la su cesió n de rad ios:OA, OB, ÓC, ÓD, OE, OF, ÓG, OH, OI, O j, ÓK.L a lo n g itu d d e c a d a u n o de e s to s seg m en to s es u n a m ed ia g eo m é trica e n tre la lo n g itu d d e l seg m en to p reced en te y la del siguiente.

JH 1 tK

C a d a tre s p u n to s sucesivos, p o r e jem p lo , G, H e I , so n vértices d e un tr iá n g u lo re c tá n g u lo . A d em ás, O H es u n a a l tu r a d e A G H I. P o r ta n to , p o r el te o re m a 9.10, O H es la m e d ia g eo m é tric a e n tre O G y OI.

E ste tr iá n g u lo i lu s tra el te o re m a 9.11. L a p ru e b a d e este te o re m a se d e ja co m o ejercicio.

O b sérv ese q u e

AD_ _ AC_ D B = B CA C A B y B C A B '

1. Z A D C es un ángulo recto.

2. Z B D C es un ángulo recto.

3. Z C es un ángulo recto.

4. Z B C D es com plem entario de ¿ A CD.

5. Z CAD es com plem entario de Z A CD.

6. Z BC D Z CAD.

7. Z A D C ~ Z CDB.

1. CD es una altura.

2. ¿Por qué?

3. Dado.

4. ¿Por qué?

5. ¿Por qué?

6. ¿Por qué?

7. D os triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo agudo del otro.

8. ÆD _ P C D C ~ D B '

8. Partes correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales.

Teorema 9.11 D a d o s u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo y la a l tu r a a la h ip o te n u sa ,c a d a c a te to es la m e d ia g eo m é tric a e n tre la lo n g itu d de la h ip o te n u sa y la lo n g itu d del seg m en to d e la h ip o te n u sa a d y a c e n te a l ca te to .

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EJERCICIOS

324 Sem ejanza

A.¿Cuál es la m edia geom étrica entre los núm eros de los ejercicios 1 a 4?

1. 4 y 9. 2 ^9 y 16. 3. 4 y 5. 4. ^ 3 y f í .

5. La longitud CD es la m edia geom étrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles?

6. La longitud DE es la media geom étrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles?

7. L a longitud A C es la m edia geométrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles? (Véase Teorem a 9.11.)

8. La longitud BC es la media geom étrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles?

P ara los ejercicios 9 a_16, empléese esta figura en la cual L P M N es un ángulo recto y M Q _L PN.

(E jercic ios 5-8)N

(E jercic ios 9-16)

M

9- PQ = 9, Q N = 4. Encuéntrese MQ.

11. P M = 12, PQ = 9. Encuéntrese PN.

13. P N = 75, PQ = 72. Encuéntrese M N .

15. P N = 13, P M = 12. Encuéntrese MQ.

10. Q N = 3, M Q = 9. Encuéntrese PQ.

12. M N = 8, Q N = 6. Encuéntrese PN.

14. M Q = 4, P N = 10. Encuéntrese QN.

16. P M = 16, M N = 12. Encuéntrese PQ.

ACTIVIDADES - 11Una e sp ira l sem e jan te a la de una concha de nau tilo está basada en el rec tángu lo áu reo y puede co n s tru irse con un com pás y una reg la .

1. C onstruyase un rec tángu lo áu reo ABCD com o se m uestra en la secc ión «La g e o m e tría en nuestro m undo» de la pág ina 301.

2. D ivídase el rec tángu lo BCEF en un cuadrado y un re c tángu lo , y con tin ú e se subd iv id iendo e l re c tá n g u lo resu ltan te en un cu a d rado y un rectángu lo .

3. En cada cuadrado , cons trúyase un a rco de c írc u lo com o e l que se m ues tra en el d ibu jo .El cen tro de cada a rco es un vé rtice del cuadrado.

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9.5 T riá n g u lo s re c tángu los y tr iá n g u lo s se m e ja n te s 325

B.

17. Supóngase que m Z H E G = 90 y E O ± HG . Si H O — 6 y EG - 4, encuéntrese OG.

18. Supóngase que m L H E G = 90, EO _L H G , E O = 8 y = y .

Encuéntrese HO.

19. Supóngase que m L H E G — 90, £ 0 _L HG,/ /O = 10 y OG — 8. Encuéntrese H E • EG.

20. Dado: m Z A C B = 90, C M _L A B , A B ■ C M = (¿1C)2. ¿Pruébese: A C = BC.

C.

21. Dado: i» Z = 90, /? £ 1 TM ,T Y = FM , = 4 f , T E = 6 .

Pruébese:i?

22. Empléense el teorem a 9.11 y la figura para m ostrar que a2 + b2 = c2 (Teorem a de Pitágoras).

23. Supóngase que AFD B es un rectángulo y que AD 1 CE.

M uéstrese que el área de A F D B = V-SC ■ S/4 • A F • FE.

24. Pruébese el teorem a 9.11.

M

A

Bi

/7/ i N.

D (Ejercicio 23)

25. En una estrella de m ar se encuentra la m edia geom étrica de varias formas. P o r ejemplo, en la estrella de cinco puntas que se m uestra en la fotografía, A B es la media geométrica entre BC y AC. Acéptese esto com o un hecho y empléese para m ostrar que A C tam bién es la media geom étrica entre A B y AD. (Sugerencia: Empléese el teorem a 9.2.)

AB = CD

__SOLUCION DE PROBLEMAS-----------------------------------------

M uéstrese que la esp ira l constru ida en la actividad an terio r e s una espiral de una concha d e nautilo.

Esto es , m u és tre se que EX e s la m edia geom étrica en tre AE y XY. (Sugerencia: E m pléense la definición del rectángulo áu reo de «La geom etría en nuestro mundo» d e la p ág ina 300, y el hecho de que ABCD y BCEF so n rec tángu los áureos.)

H(Ejercicios 17-19)

C

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326 S em ejanza

9.6 Teoremas de la semejanza llly LAL

Se va a in s ta la r u n a fu en te a 32 p ies de u n a e sq u in a de u n ed ific io y a 27 p ies de la o t r a e sq u in a . E l ed ific io tiene 40 p ies d e an ch o .

E n el c o n ju n to d e p la n o s p a r a este p ro y e c to se em p lea u n a e sca la de 5 m m p o r pie. D esp u és de lo c a liz a r las e sq u in a s A y B' del ed ific io del d ib u jo , se lo ca liza u n p u n to F' a 160 m m de A ' (5 x 32) y a 135 m m de B'(5 x 27). ¿S o n sem ejan tes A A B F y A A 'B 'F ' l

E n el s ig u ien te e jem plo , A Z F Z y A X ' Y ' Z se d ib u ja ro n de

200 i

160 mm 135 mm

m a n e ra q u eX Y

X ' Y '

C u a n d o los la d o s de lo s tr iá n g u lo s se tra z a n p ro p o rc io n a lm e n te , en to n ces m ¿ X = m Z X ' = 30, m Z Y = m Z Y ' = 46 y m L Z ~ m L Z ' =. 104.

E s to s e jem p lo s su g ie ren el te o re m a lla m a d o te o re m a d e la sem ejan za L L L .

Teorema 9.12 T eo rem a de la sem ejan za L L L . Si lo s tre s la d o s d e untr iá n g u lo s o n p ro p o rc io n a le s a lo s tre s la d o s d e o tro tr iá n g u lo , e n to n ces lo s d o s tr iá n g u lo s so n sem ejan tes.

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Page 338: Geometria - Clemens

9.6 T eorem as de la se m e janza LLL y LA L 327

El teorem a 9.12 establece que TJ _ J C _ TC

PO OD P D ’si

entonces A T / C ~ A POD.D

A P LIC A C IO N

E n el ejem plo del princip io de esta sección hay un triángu lo cuyos lados m iden 27 pies, 32 pies y 40 pies, y un d ibujo a escala de lados 135 m m ,160 m m y 200 mm. ¿Son sem ejantes estos triángulos?

D ad o que

40 32 27 1

200 “ "160 “ ~135 “ 1* el teo rem a 9.12 responde a esta p regun ta . Sí, A A B F ~ A A 'B 'F .

H ay o tra m anera de m o stra r que dos triángu los son sem ejantes.DE EF

AD EF y A G H I se construyeron de m an era q u e ----- = — y L E s LH .GH H I

40 pies

160 mm

B'

135 mm

E stas condiciones im plican que L F L l y L D s LG . E ste ejem plo sugiere el siguiente teorem a, llam ado teo rem a de la sem ejanza LAL.

Teorema 9.13 T eo rem a de la sem ejan za L A L . Si u n ángu lo de untrián g u lo es congruen te co n u n ángu lo de o tro triángu lo , y si los lados correspond ien tes q u e incluyen al ángu lo son p roporcionales, en tonces los triángu los son sem ejantes.

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EJERCICIOS

328 S em ejanza

A.

En los ejercicios 1 a 4, empléese la inform ación dada para determ inar si los triángulos son semejantes. Las decisiones deben basarse en las m edidas dadas, más que en la form a de los dibujos. Si los triángulos son semejantes, determínese cuál de los tres teorem as de sem ejanza se aplicó. (AA, LA L o LLL).

1. C on strú y ase A ABC con lados d e 10 cm, 13 cm y 17 cm de

2. E ste punto e s el centro del círculo q u e p a sa po r los tres

T rá c e se e s te círculo.3. D espués, trá c e s e el círculo de nueve puntos, com o s e describ ió en la

pág ina 246.4. ¿Q ué relación ex iste e n tre el rad io del círculo circunscrito y el rad io del

círculo de nueve puntos?

2.

810

3. 4.

4 815

5. Si A B = 4 y B C = 7, 6. Si el pun to B divide A C y DE en tercios, ¿cuál es la longitud de C E ?

D

ADencuentrese — .

CED

EE

ACTIVIDADES

largo. E ncuén trese el punto de in tersección de las b isec trices p e rp en d icu la res de los lados.

vértices. E ste círculo s e llam a círculo circunscrito .

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9.6 T e o rem as de la sem e janza LLL y LAL 329

7. Dado: Trapecio A B C D , A B || CD. 8. Dado: R U J_ UV, T V A. RT.Pruébese: A A O B — A C O D . Pruébese: A R S U — A V S T .

12. Pruébese: Las diagonales correspondientes de dos cuadriláteros semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.

13. Pruébese: D os triángulos isósceles con ángulos de los vértices congruentes son semejantes.

14. Dibújese un triángulo dados dos ángulos agudos y la longitud de la altu ra al lado incluido.

SOLUCION DE PROBLEMAS

(Ejercicio 10)

9. Dado: AJKL_~~ A N M P .J I y N O son medianas.

Pruébese J L = J § - .N O N M

10. Dado: T, U, y V son puntos medios.Pruébese: A Q RS ~ A V U T .

11. Dibújese un contraejem plo p a ra la proposición siguiente. Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de o tro triángulo y un ángulo del prim er triángulo es congruente con un ángulo del segundo triángulo, los triángulos son semejantes.

(Ejercicio 9)

Iden tifiq ú e n se tan tas fig u ra s de d ife ren te fo rm a com o sea pos ib le , y pa ra las cua les se pueda e ncon tra r o tra fig u ra que sea sem ejan te .

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330 Sem ejanza

9.7 Razones trigonométricas; una aplicación de ios triángulos semejantes

L a a l tu ra d e edificios m u y a lto s p u e d e d e te rm in a rse c o n la a y u d a de las ra z o n e s d e u n tr iá n g u lo rec tán g u lo .

Si se c o n o cen la d is ta n c ia A C y la m e d id a d e L A , la a l tu ra B C p u e d e ca lcu la rse p o r el m é to d o q u e se Ae s tu d ia en e s ta sección.

E n e s ta fig u ra , A A B C ~ A A E D ~ A A G F ~ A A I H .P o r ta n to , las ra z o n e s e n tre los la d o s c o rre sp o n d ie n te s so n iguales.

B C D E F GL as re lac io n es — , — , y

A B A E A G J

H I j— - de la figu ra a n te r io r son A liguales. E stas ra z o n e s se a so c ian co n L A y se llam an tangen te de L A , q u e se a b re v ia tan A.

ladoopuesto

ladoadyacente

B C E D G EL as r a z o n e s ---- , — , — e

A C A D ’ A Flado /

opuesto ——- so n iguales. E stasA .tirazo n es , a so c ia d a s c o n L A , se lla m a n seno de L A , q u e se ab re v ia sen A.

A B A E A G L as ra z o n e s — , — , — y

A C ’ A D ' A F yA I

—— so n iguales. E stas A Hrazo n es, a so c ia d a s c o n L A , se l la m a n coseno d e L A , q u e se a b re v ia eos A.

hipotenusa

ladoadyacente

Definición 9.4

L a tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón

longitud del lado opuesto

longitud del lado adyacente '

Definición 9.5

El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón

longitud del lado opuesto

longitud de la hipotenusa

Definición 9.6

El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón

longitud del lado adyacente

longitud de la hipotenusa

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Page 342: Geometria - Clemens

-

9.7 R azones tr ig o n o m é trica s ; una ap lica c ió n de los tr iá n g u lo s se m e ja n te s 331

Ejemplo 1

E n la figura de la derecha puede observarse que

tan 37° = = 0.7534,

c

sen 37° =

292

220365.6

= 0.6018,

eos 37° = - f p - = 0.7986. 36d.6

E stas razones trigonom étricas pueden en co n trarse p ara varios ángulos p o r m edio de u n a tab la de valores com o la que aparece aqu i o con u n a ca lcu lad o ra que tenga funciones trigonom étricas.

Ejemplo 2

P o r la tab la de valores aprox im ados, puede verse que

tan 42° = 0.9004,

sen 42° = 0.6691,

eos 42° = 0.7431.

A P L IC A C IO N

U n a p erso n a s itu ad a a 1000 pies de la base del m onum ento a W ash ing ton en cu en tra que L A es ap rox im adam en te 29°. ¿C uál es la a ltu ra ap ro x im ad a del m onum ento?

ta n 29° =1000

o x = 1000 X tan 2 9 '

m L A en grados

12345678 9

10U121314151617181920 21 22232425262728293031323334353637383940414243444 5

tan A

0.01750.03490.05240.06990.08750.10510.12280.14050.15840.17630.19440.21260.23090.24930.26790.28670.30570.32490.34430.36400.38390.40400.42450.44520.46630.48770.50950.53170.55430.57740.60090.62490.64940.67450.70020.72650.75360.78130.80980.83910.86930.90040.93250.96571.0000

sin A

0.01750.03490.05230.06980.08720.10450.12190.13920.15640.17360.19080.20790.22500.24190.25880.27560.29240.30900.32560.34200.35840.37460.39070.40670.42260.43840.45400.46950.48480.50000.51500.52990.54460.55920.57360.58780.60180.61570.62930.64280.65610.66910.68200.69470.7071

eos A

0.99980.99940,99860.99760.99620.99450.99250.99030.98770.98480.98160.97810.97440.97030.96590.96130.95630.95110.94550.93970.93360,92720.92050.91350.90630.89880.89100.88290.87460.86600.85720.84800.83870.82900.81920.80900.79860.78800.77710.76600.75470.74310.73140.71930.7071

= 1000 x 0.5543 = 554.3 pies

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Page 343: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

332

A.

1. Com plétese lo siguiente:

tan A = _L.

sen A = JL.

eos A = J_. A

2. Com plétese lo siguiente: M

tan M = JL.

se n P = X .

eos P = _L.

P a ra los ejercicios 3 a 14, empléense las tablas trigonométricas.

3. sen 17° = JL. 4. eos 43° = J _

6. eos 13° = JL. 7. tan 35° = JL.

D adas las siguientes m edidas aproxim adas, encuéntrese el valor de L A redondeando al grado más próximo.

B.

9. tan L A = 0.7536.

12. eos L A = 0.8290.

15. A A B C tiene A B = A C = 10 y m / B — 40. Encuéntrese la longitud de AD.

10. eos L A = 0.9985.

13. sen L A = 0.0699.

5. tan 21° =

8. s e n 37° = .

11. sen L A =

14. tan L A =

0.2925.

0.9658.

16. A A B C tiene A B = A C = 10 y m L B = 40. Encuéntrese la longitud de BD.

C (Ejercicios 15, 16)

ACTIVIDADES

E m pléese una ca lcu la d o ra para d e te rm in a r lo s igu ien te :1. a. (sen 57o)2 + (eos 57o)2 = JL. b. (sen 43°)2 + (eos 4 3 °)2 = JL.

c. (sen 9 °)2 + (eos 9 o)2 = J _ d. (sen 24o)2 + (eos 24°)2 = j_ .e. ¿Qué puede d e c irse sob re sen2 x + eos2 x p a ra todas las x?

sen 47° sen 71°2. a . C o m p á re s e -------------- con tan 47°. b. C o m p á re s e ---------------con

eos 47° eos 71°

sen 33° sen 66°c. C o m p á re s e --------------con ta n 33°. d. C o m p á re s e -con tan 66°.

eos 33° eos 66°

sen xe. ¿Qué puede d e c irse s o b re ---------y tan x?

eos x

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9.7 R azones tr ig o n o m é trica s ; una ap lica c ió n de los tr iá n g u lo s sem e jan tes 333

17. sen F = ^ -

FD = JL.

FE - JL.

tan D = JL.

19. Supóngase que A B = 3, BC = = 4 y A C = 5. Empléense las tablas trigonom étricas o una calculadora para determ inar m¿.A y m L C en la m ayor aproxim ación posible.

18. tan Z = — ■

X Y = JL.

X Z = JL.

eos X = JL.

Supóngase que se desea encontrar la distancia a través del embalse QN. Se mide para encontrar que PQ = 50 m y determ inar que m L P = 44. Encuéntrese QN.

21. Supóngase que se desea encontrar la altu ra del edificio FN . m L F U N = 50 a una distancia de 30 m etros de N. ¿Cuál es la longitud de FN1

22. Si un aeroplano despega y asciende a una razón uniforme de 10° hasta alcanzar una a ltu ra de 30 000 pies, ¿cuál fue la distancia recorrida?

esto, se em plea un m olde con forma de caja y con lados interiores inclinados. El ángulo de inclinación es la pendiente de los lados. Este ángulo es 2o y BD = 6 cm. ¿Cuál es la diferencia entre las m edidas de A B y CD1

S u p ó n g ase q u e s e d e s e a en co n tra r la a ltu ra (DC) d e una to rre , pero no e s posib le m edir d irec tam en te las d is tan c ias AC y AB.

Si m L A = 40, m L D B C = 60 y AB = 200 m e n c u é n tre se DC.

SOLUCION DE PROBLEMAS

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Page 345: Geometria - Clemens

334 Sem ejanza

9.8 Razones trigonométricas de ángulos especíales

Así c o m o lo s án g u lo s d e 30°, 45° y 60°, so n im p o rta n te s p a ra los d iseñ ad o res , ta m b ié n so n án g u lo s especiales im p o r ta n te s p a ra la tr ig o n o m e tr ía . C o n frecu en cia es ú til c o n o c e r la s ra z o n e s tr ig o n o m é tric a s de esto s á n g u lo s sin te n e r q u e re c u rr ir a la s ta b la s d e v a lo re s o a u n a ca lcu lad o ra .

P o r el te o re m a 7.3, se co n c lu y e q u e las lo n g itu d e s d e los la d o s d e u n tr iá n g u lo de 45°-45o-90° tie n e n u n a ra z ó n 1 : 1 : ^ .

E sta ta b la m u e s tra las razo n es tr ig o n o m é tr ic a s p a ra e s to s án g u lo s especiales.

P o r el te o re m a 7.4, se co n c lu y e q u e las lo n g itu d e s d e lo s la d o s de u n tr iá n g u lo de 30°-60o-90o tie n e n u n a razó n d e l : v /3 :2 .

30° 60° 4 5 0

tanV 33

V 3 l

l \ñ> \ / 2sen 2 2 2

\ / 3 l V 2eos 2 2 2

Ejemplo 1

L a d ia g o n a l d e u n c u a d ra d o es 5 cm. E n cu én tre se la lo n g itu d de u n lado .

sen Z E H F =

sen 45° =

V 2

E F 5 '

E F 5 '

E F 5 -

E F = — :— cm.

H

Ejemplo 2

E n el tr iá n g u lo q u e se m u e s tra , en cu én tren se

xX W y X Z .

Cl tan Z Z = X W >'s. V.I

4 ’45^v5 cm

F

tan 30° =

V 3 _

X W 4 ‘

X W------ L

4 pies

X I V = 4y /3-pies.

W

D a d o q u e X Z es 2X W , e n to n c e s X Z = p ies. 3

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Page 346: Geometria - Clemens

9.8 R azones tr ig o n o m é trica s de á ngu los esp e c ia le s 335

EJERCICIOS___________________________________

A.En los ejercicios 1 a 6, complétese correctam ente la proposición sin consultar la tabla de la página 331.

1. s e n 4 5 ° = J _ . 2. eos 3 0 ° = JL. 3. tan 6 0 ° = JL.

4. eos 60° = JL. 5. sen 30° = _Z_. 6. tan 45° = JL.

En los ejercicios 7 a 14, el triángulo rectángulo que se m uestra no se dibujó con precisión. Acéptense las longitudes dadas de los lados. Com plétense correctam ente las

C . 3

/ V. / „ ÍEiercicios 7-14)A 6 a

proposiciones siguientes. V3

7. sen A = J_ . 8. eos A = JL. 9. tan A = JL.

10. eos B = _L. 11. ta n S = JL. 12. sen 2? = J _

13. m ¿ A = JL. 14. m ¿ B = JL.

B.En los ejercicios 15 a 18, evalúense las expresiones dadas.Identifiqúense aquellos pares de expresiones que sean iguales.P a ra todos los problem as, supóngase que m L A = 30.

16. eos 2A , (eos A )2 — (sen A )2, 2(cos A)2 — 1.

18. 2 eos A , 1 - 2 (se n ^ )2, eos 2A.

15. 2 sen A, 2 sen A eos A, sen 2A.

2 tan .<417. tan 2A , 2 tan A ,1 - (tan A )2

c. G

19. Si m L G U S = 30 y US = 50 m, ¿cuál es la a ltu ra del edificio?

20. El cuadrilátero £ ,4SY es un trapecio isósceles con E A = SY. Si EA = 10 ym L E A S — 45, encuéntrese la longitud de la altu ra EZ.

21. A A B C es equilátero. Encuéntrese la longitud de la a ltu ra AD.

22. M uéstrese que si A A B C tiene un ángulo recto L C, entonces (sen A)2 + (cos/1)2 = 1.

A ni/ m

/ nii f

q (Ejercicio 21)

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Page 347: Geometria - Clemens

Capítulo 9 Conceptos importantesTérminos

Proporción (pág. 304)Polígonos semejantes (pág. 313)M edia geom étrica (pág. 322)

Postulado

Postulado de la semejanza AAA (pág. 316)

Teoremas

9.1 Si — = 4 ’ entonces a X d = b X c. b a

9.3 Si ~ entonces — ~ ^ = — ~ ^ .b a b d

9.5 Si cz x d — b x c , entonces — = — .b d

9.6 Teorem a fundamental de la proporcionalidad. Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalm ente.

9.7 Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalm ente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

9.8 Teorem a de la semejanza A A. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

9.9 D os triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo agudo del otro.

9.10 En un triángulo rectángulo, la longitud de la altu ra a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

9.11 D ados un triángulo rectángulo y la a ltu ra a la hipotenusa, cada cateto es la media geom étrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

9.12 Teorema de la semejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

9.13 Teorem a de la semejanza LAL. Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de o tro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

336 S em ejanza

Tangente de un ángulo agudo, (pág. 330) Seno de un ángulo agudo (pág. 330) Coseno de un ángulo agudo (pág. 330)

9.2 Si í = 4 , entonces 5 _ ± Í = £ _ ± A b d b d

9.4 Si -j- = entonces — = —. b d c d

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Page 348: Geometria - Clemens

Capítulo 9 Resumen

C ap itu lo 9 R esum en 337

1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

CD _ CB D E B A '

a . Si B D || A E , entonces

b . S i - § § = - § , entonces B D || AE.

c. Si CD — 4, D E = 3, B C — 8 , entonces A B = 6.

d . Si L A = L D B C , entonces A E A C ~ A DBC.

e. Si CD = D E — A B = BC, entonces A E A C ~ A DBC.

2. Supóngase que D E || BC.a. A D = 4, B D — 6, A E = 5. Encuéntrese AC.

b. A B = 10, B D = 1, A C = 12. Encuéntrese AE.

c. A D — 3, B D = 4, B C = 6. Encuéntrese DE.

d. A B = B C = A C = 6 , A D = 2 . Encuéntrese A D + D E + AE.

3. Dado: A B || CDA C || DE.

Pruébese: A B ■ C E = B C ■ DC.

4. Supóngase que m L C A B = 90 y A D J . BC.

a . Si A B = 8 y B C = 12, encuéntrese BD.

b. Si A C = 6 y D C = 4 , encuéntrese BC.

c. Si B D = 4 y A D = 6, encuéntrese DC.

5. Supóngase que m L D — 90.

8a. Si sen L E — — , encuéntrese tan E.

b. Si eos L H — encuéntrese eos L E .

C

C

c. Si tan L E = encuéntrese eos H.

6. Si un árbol de 20 pies proyecta una som bra de 45 pies, ¿qué som bra proyectará un árbol de 30 pies?

7. Dado: La figura ABCD es un paralelogram o.Pruébese: a. A ECB — A E D F

b. A E D F ~ A BA Fc. A ECB - A B A F

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Page 349: Geometria - Clemens

338 S em ejan za

Capítulo 9 Examen1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas,

a . Si D B || A E , entonces CD - D E = B C • AB.

A B D C . fb . Si entonces A A E C ■L ) L j z jO

c. Si A A E C ~~ A B D C , entonces = 4P--E D A B

. 0 . E C A C . Aa . Si entonces A A C E ■U L i d L j

A B C D .

e. Si D C ■ A B = B C • E D , entonces B D || AE.

2. Supóngase que M N || CD.

a . Si M E = 2ED, encuéntrese N EE C '

b . Si M E = 4 , N E = 5 y E C — 3, encuéntrese ED.

c. Si M E = 4, D E — 2 y N C = 9, encuéntrese EC.

d. Si M N = M E — N E = 6 y C E = 4, encuéntrese C E + CD + D E

3. Supóngase que A A B C y A A B D son triángulos rectángulos.

a. Si A C = 3 y A B = 4, encuéntrese AD.

b. Si A B — 12 y B C — 13, encuéntrese DC.

c. Si B D — 9 y B C — 15, encuéntrese AD.

d . Si A C = 20 y B C = 40, encuéntrese DC.

4. Dado: A B = A CD E = DC.

Pruébese: A A B C — A DEC.

5. Dado: ABCD es un trapecio.Pruébese: D E - E C = A E - BE.

6. ABCD es un cuadrado con diagonal BD.

a. Encuéntrese tan L l .

b. Encuéntrese eos L 2.

c. ¿Es eos A l = sen A l?

7. Dado: D E ¡¡ A B , E F || BC , D E || AC.Pruébese: A D E F ~ ~ A A B C .

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Técnicas para la solución de problemasTrabájese hacia atrásAlgunas veces, al resolver problem as, es tan útil trabajar hacia atrás com o hacia adelante. Plantéese esta pregunta: «¿Qué inform ación se necesita para llegar a la conclusión deseada?»

Ejemplo

Considérese el problem a siguiente utilizando las preguntas y respuestas que se dan como ayuda para resolver el problem a.

Dado: Z ] s Z _ 2 , Z 3 s ¿ 4 A B s CD.

Pruébese: a A G C A B E D .

a. Pregunta: ¿Cóm o se puede dem ostrar que los triángulos son congruentes?

b. Pregunta: ¿Qué segmentos son congruentes?

c. Pregunta: ¿Qué lados de los triángulos puede dem ostrarse que son congruentes?

d. Pregunta: ¿Q ué ángulos de los triángulos puede dem ostrarse que son congruentes?

PROBLEMAS________________________________________

Resuélvanse los problem as siguientes con el m étodo de trabajo hacia atrás.

D1. Dado: AD 1 AB , CD 1 A B

EF biseca, y es perpendicular, a DC.

Encuéntrese: AF.f V tA F ------ -------B

2.

a. ¿Qué clase de triángulo es AADF1

b. ¿Puede usarse aquí el teorem a de Pitágoras?

c. P a ra encontrar AF, ¿qué lado de A A D F es necesario encontrar?

d. ¿Qué se sabe acerca de DFl

D

Dado: m Z B A D = w ¿ D C B -- 90,A E _L BD , F C i . BD,A B = C D = 9, A D = B C = 12.

Encuéntrese: EF.

3. Supóngase que Z l = * Z 2 y Z 3 = = 4_¿Cuál debe ser la medida de Z C para que DE || GF ?

a. Supóngase que DE || GF. Entonces, m L D E F + m Z G F E = 180.

b. Sea m Z l = m L 2 = x, y m Z 3 = m L 4 = y. Encuéntrese una expresión para w Z 2 + m Z 4 y después para m L C .

c. Inviértase el orden de este razonam iento para p robar que la respuesta asegura que D E || GF.

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CAPITULO

D e fin ic io n e s b á s ic a s 342

L a m e d ic ió n en g ra d o s d e lo s a rc o s 346

C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e e l c e n tro 350

P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s 354

T a n g e n te s a lo s c ír c u lo s 360

T a n g e n te s d e s d e un p u n to a un c í r c u lo 364

M e d id a s d e á n g u lo s in s c r ito s 368

A n g u lo s fo rm a d o s p o r c u e rd a s 374

A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s

y s e c a n te s 378

C o n c e p to s im p o r ta n te s 386 R e s u m e n 387 E x a m e n

R esum en global (Caps. 8 a 10) 389

La geom etría en nuestro mundo

A g r im e n s u ra : e l te o d o l ito 390

10.1

10.2

10.3

10.4

10.510.6

10.7

10.8 10.9

388

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Círculos

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342 C írculos

10.1 Definiciones básicas

mmimM

R ecuérdese que un círcu lo es un co n ju n to de p u n to s en u n p lan o que están situ ad o s a la m ism a d istancia de u n p u n to fijo.

E n esta sección se defin irán térm inos re lacionados con los círculos.

A B es el radio de O A.C ad a p u n to del círculo es el ex trem o de o tro radio.

Definición 10.1

U n radio de un círculo es un segm ento cuyos extrem os son el centro del circulo y un pun to del círculo.

CD es u n a cuerda O A. C ad a p a r de p u n to s del círculo d eterm ina una cu e rd a del círculo.

Definición 10.2

U na cuerda de un círculo es un segm ento cuyos extremos son dos puntos del círculo.

GH es un diámetro de O A. C ad a p a r de pu n to s del círculo colineales con A determ inan u n d iám etro del círculo.

Definición 10.3

U n diám etro de un círculo es una cuerda que contiene el centro del círculo.

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10.1 D e fin ic io n e s bás icas 343

C u e rd a s , ra d io s y d iá m e tro s so n seg m en to s re la c io n a d o s c o n los c írcu los. L a s d efin ic iones s ig u ien tes d esc rib en a lg u n a s rec ta s y án g u lo s ta m b ié n re la c io n a d o s c o n lo s círcu los.

exL a re c ta i só lo tien e a B c o m o p u n to c o m ú n co n O A.

&L a re c ta m tie n e d o s p u n to s e n c o m ú n c o n O A.

L a re c ta l es tangen te a Q A . E l p u n to B es el p un to de tangencia.

L a re c ta m es u n a secante de (DA.

Definición 10.4U na tangente a un círculo es una recta que interseca al círculo exactam ente en un punto.

Definición 10.5U na secante de un círculo es un a recta que interseca al círculo exactam ente en dos puntos.

E l v értice d e L G H I e s tá en O A. L o s la d o s de L G H I in te rse c a n a Q A en los p u n to s G e / . ¿ G H I es u n ángulo inscrito.

Definición 10.6

U n ángulo inscrito es un ángulo con vértice en el círculo y con lados que contienen cuerdas del círculo.

E l v értice d e L K A J es el c e n tro d e O A

M

L K A J es u n ángulo central.

Definición 10.7

U n ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo.

Se define u n arco c o m o u n a p a r te c o n tin u a d e u n c írcu lo . Se esc rib e L M p a ra re p re se n ta r a l arco L M . U n arco in terceptado es u n a rc o c o n e x tre m o s en los la d o s d e án g u lo s in sc rito s o cen tra les.

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344 C írcu los

EJERCICIOS____________________A.

1. Cítense todas las cuerdas de la figura.

2. Cítense los diám etros de la figura.

3. Cítense po r lo m enos cuatro arcos de la figura.

4. Cítense todos los radios de la figura. E5. Dibújese un círculo con centro T. Trácese una recta tangente

al círculo en el p u n to B. Trácese una recta secante que interseque al círculo en los puntos F y G.

6. D ibújense un círculo y un ángulo inscrito. Si el arco interceptado por ese ángulo es PQ, localícese en el círculo.

7. D ibújense un círculo y un ángulo central. Si el arco interceptado po r ese ángulo es X Y, localícese en el círculo.

8. Dibújese un círculo y localícese un arco según se m uestra en la figura. Después, dibújese un ángulo inscrito que intercepte a ÁB.

9. Dibújese un círculo y denomínese CD a un arco. Dibújense dos ángulos inscritos diferentes, am bos con el arco in terceptado CD.

10. Cítense todos los ángulos con el arco interceptado A B y con el arco interceptado CD.

11. Cítense todos los ángulos

(Ejercicios 1-4)

O

ACTIVIDADES!

Con un com pás, d ib ú je n se e je m p lo s en g rande de cada uno de los d iseños de « técn ica de com pás» que se ¡lus tran a con tin u a c ió n . E labó rense d ise ñ os o rig in a le s y co lo ré e n se de m anera in te resan te .

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10.1 D e fin ic iones bás icas 345

12. Cítense todos los ángulos que tengan al m enos un lado en una tangente.

13. Cítense todos los ángulos centrales.

P a ra los ejercicios 14 a 16, dibújese un círculo A.

14. Trácese un segmento que tenga un extrem o en el círculo pero que no sea u n a cuerda.

15. Trácese un segmento que esté por com pleto den tro del círculo pero que no sea una cuerda.

16. Trácese un segm ento que interseque al círculo en dos puntos y contenga al centro, pero que no sea un radio, un diám etro o una cuerda.

P ara los ejercicios 17 a 19, dibújese un circuló B.

17. Trácese un recta que no sea ni secante ni tangente.

18. Dibújese un ángulo que tenga su vértice en el círculo y que interseque al círculo pero que no sea un ángulo inscrito.

19. Trácese un ángulo con dos lados intersecando al círculo y cuyo vértice no esté fuera del círculo, pero que no sea un ángulo central ni un ángulo inscrito.

20. U n asidero de 0.41 cm de diám etro se reduce a un diám etro de 0.34 cm. ¿Cuál fue la profundidad del corte?

21. Los aviones del vuelo N ueva Y ork-Paris suelen volar sobre Irlanda. ¿Por qué se eligió esta ruta? (Sugerencia: Empléese un globo terráqueo y una regla flexible.)

SOLUCION DE PROBLEMAS___________________Este po lígono con fo rm a de e s tre lla puede co n s tru irse de v a ria s m aneras:

a. m arcando c in co puntos ig ua lm en te espac iados en un c írcu lo .(Puede e m p le a rse un tra n sp o rta d o r.)

b. em pezando en un punto S y un iendo cada dos pun tos a m ed ida que se re co rre e l c írcu lo en la d ire cc ió n en que g ira n las m a n e c illa s de l re lo j.

A és te ú ltim o se le lla m a po lígono de e s tre lla j^ J .

1. ¿Pueden c o n s tru irse los po lígonos de e s tre lla

2. ¿Qué puede d e c irse ace rca de los po lígonos de e s tre lla j ^ j , J , etc.?

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346 C írcu los

10.2 La medición en grados de los arcos

C u a n d o se eligen d o s p u n to s en u n c írc u lo (que n o sean ex trem o s d e u n d iám e tro ), se d e te rm in a n d o s a rco s . A u n o se le lla m a arco mayor, y al o tro , arco menor.

AA B s im b o liza s iem p re a l a rc o m e n o r d e te rm in a d o p o r los p u n to s A y B. P a ra s im b o liz a r a l a rc o m ay o r, se m a rc a u n te rc e r p u n to . A C É s im b o liza a l a rco m a y o r d e te rm in a d o p o r A y B.

L a m e d id a de u n a rc o se d e te rm in a p o r la m e d id a de u n á n g u lo cen tra l. P o r e jem plo , m A É = m /L A O B = = 70 y m A C B = 360 - 70 = = 290.

B E l p u n to C e s tá so b re el a rc oA B . D o s a rco s , A C y CB, se su m a n p a ra fo rm a r el a rco A B .

Definición 10.8

U n arco menor es un arco que está en el in terior de un ángulo central, de lo contrario se denom ina arco mayor.

Definición 10.9

L a medida de un arco menor esla m edida de su ángulo central asociado. L a medida de un arco m ayor es 360, m enos la medida del arco m enor asociado.

Postulado de la suma de arcos

Si C_está en ÁB, entonces m A C + mCB = mAB.

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Page 358: Geometria - Clemens

10.2 La m ed ic ión en g ra d o s de los a rco s 347

L o s a rc o s D C y B A d e este c írcu lo m id e n 50° c a d a u no , y se d ice q u e lo s arcos son congruentes.

Definición 10.10Si dos arcos de un circulo tienen la m ism a m edida, se dice que son congruentes. Si A B y CD son congruentes, se escribe A B s CD.

E l ra d io A B tiene la m ism a lo n g itu d q u e el ra d io CD. L o s c írcu lo s d e te rm in a d o s p o r e s to s ra d io s so n co n g ru en te s .

Definición 10.11D os círculos son congruentes sitienen radios de igual longitud.

O b sérv ese e n las d o s fig u ras s ig u ien tes la re lac ió n ex is ten te e n tre cu e rd as c o n g ru e n te s y su s arcos.

D a d a s las c u e rd a s c o n g ru en te s A B = CD .

¿E s A B = C D }¿ P o r qué?

E s ta s fig u ras su g ie ren lo s te o re m a s sigu ien tes.

D a d o s lo s a rc o s c o n g ru en te s A B s CD.

¿E s A B s C D ? ¿ P o r qué?

V-

Teorema 10.1 E n u n c írcu lo , o e n c írcu lo s c o n g ru e n te s , las cu e rd asc o n g ru e n te s tien en a rc o s m e n o re s co n g ru en tes .

Teorema 10.2 E n u n c írcu lo , o en c írcu lo s c o n g ru en te s , lo s a rco s m e n o re s c o n g ru e n te s tie n e n c u e rd a s c o n g ru en te s .

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Page 359: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

348 C írcu los

A.1. ¿Está el pun to D en BAC1

¿Está D en A B l2. Cítense tres arcos menores. Cítense

tres arcos mayores. Cítense tres ángulos centrales.

3. Encuéntrense las siguientes medidas en grados.

a. m AB^ b. mACc. tnBCA. d. m A B C .

4. Encuéntrense las siguientes medidas en grados.a. mAÍB. b. m /LBO C.c. m BD . d. m L C O G .

5. Encuéntrense las siguientes medidas en grados.a. mDF. b. mEG. c. mECG.

6. Cítense todos los arcos m enores que contengan al pun to C.

7. Cítense tres pares de arcos m enores congruentes.

8. Cítese un p ar de arcos m ayores congruentes.

9. Supóngase que m L AOB = 40, m L B O C = 20 y m L C O D = 40. Cítense todos los pares de cuerdas congruentes.

ACTIVIDADES

1. D ibú jese un c írcu lo con ra d io de 4 cm e ind íquese un punto A en e l c írcu lo .

2. Con un tra n sp o rta d o r, m árquense puntos cada 10° a lre d e d o r de l c írcu lo , em pezando en A.

3. Cada uno de esos puntos es el cen tro de un c írcu lo que pasa po r A. D ibú jense los c írcu los . (Ya se d ib u ja ro n 3 de e llos .)

4. A d iv ínese cuá l se rá la fo rm a de la fig u ra resu ltan te .

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Page 360: Geometria - Clemens

10.2 La m e d ic ió n en g rados de los a rcos 349

B.

C.

En los ejercicios 10 a 12, háganse dibujos precisos y respóndase a las preguntas.

10. ¿Tiene la cuerda de un arco de 90° de un círculo doblelongitud que la cuerda correspondiente a un arco de 45o?

11. ¿Se duplica la m edida del ángulo central si se duplica la m edida de un arco m enor?

12. Supóngase que en el círculo O, O A y OB son radios y O A = OB = AB. ¿Cuál es la m edida de LAOB"!

13. Pruébese el teorem a 10.1.

14. Pruébese el teorem a 10.2.H

15. Dado: ES = AY.Pruébese: E A = S Y.

17. Dado: A B y CD son diámetros.Pruébese: A C B D es un paralelogram o.

18. Pruébese que si los vértices de un triángulo equilátero están sobre un círculo, el círculo se divide en tres arcos congruentes.

19. Dado: P O S es un d iám etro de O OS R || OQ-

Pruébese: R Q s QP.

SOLUCION DE PROBLEMAS

1. D ibú jense los c írcu lo s C, y C2, de d ife re n te tam año.

2. ¿Cuántos c írcu lo s hay con ce n tro s co lin e a le s que toquen a los c írcu lo s dados exactam en te en un punto? (Se ha d ibu ja d o uno de e llos .)

3. D ibú jense estos dos c írcu lo s . (P rim ero co ns trúyanse los ce n tro s de los c írcu lo s . No es ne ce sa rio hace r con je tu ras .)

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350 C írcu los

10.3 Cuerdasy distancias desde el centro

L a fo to g ra fía m u e s tra u n a b ro c a de u n ta la d ro e léc trico c u y a cab eza tien e tres superfic ies p lan as . U n a c a ra c te r ís tic a n ecesa ria d e e s te d iseñ o es q u e la s tre s superfic ies p la n a s e s tén a ig u a l d is ta n c ia del e je de ro ta c ió n p a r a a se g u ra r q u e la b ro c a se deslice c o n su av id ad .

E l te o re m a d e es ta secc ión d esc rib e u n m é to d o p a ra d e te rm in a r q u e se sa tisfag a e s ta co n d ic ió n .

¿E s I L = l i l i e n c a d a caso?

E s to s e jem p lo s su g ie ren e l te o re m a sigu ien te .

E n c a d a f ig u ra se d a u n p a r d e c u e rd a s co n g ru en te s .

C S = J N FD = D N

Teorema 10.3 E n u n c írcu lo , o e n c írcu lo s c o n g ru en te s , la s c u e rd a s c o n g ru e n te s e q u id is ta n del cen tro .

PRUEBA

D ado: O O, A B s s CD, Ó M _L Á B , OL J_ CD. Pruébese: O M = OL.

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10.3 C uerdas y d is ta n c ias desde e l cen tro 351

Afirmaciones Razones

1. A B = CZ).

2. OA - OB = O C - OZ>.

3. Ó A s Ó B s Ó C s Ó D .

4. A A O B s A C O D .

5. Z 1 s s Z 2 .

6. ÓM 1 Ze, O í 1 CZ).7. Z O M B =s Z OLD, Z OM B.

y Z O L D son ángulos rectos.

8. A O M B y A O L D son triángulos rectángulos.

9. A O M B s A OLD.

10. Ó M s O L .

11. O M = OL.

1. Dado.

2. Definición de círculo.

3. Definición de segm entos congruentes.

4. C ongruencia LLL.

5. PCTCC.

6. D ado.

7. L as rectas perpendiculares form an ángulos rectos congruentes.

8. Definición de triángulo rectángulo.

9. C ongruencia de la hipotenusa y el ángulo.

10. PC TC C .

11. Definición de segmentos congruentes.

APLICACION

L a b ro c a d e la fo to g ra fía d eb e es ta r e q u ilib ra d a p a ra q u e fu n c io n e c o n su av id ad . ¿C ó m o d eb e c o n s tru irs e la c a b e z a de la b ro c a p a ra q u e e s té e q u ilib ra d a ?Si lo s seg m en to s A B , C D y E F son c o n g ru en te s , en to n ces , p o r el te o re m a 10.3, e q u id is ta n del c e n tro del c írcu lo q u e co n tien e a los a rc o s A B , C D y E F . E s to a se g u ra el e q u ilib ra d o d e la b ro ca .

L a re c íp ro c a del te o re m a 10.3 ta m b ié n es im p o r ta n te y se p re se n ta a c o n tin u ac ió n .

Teorema 10.4 E n un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdasequ id istan tes del cen tro son congruentes.

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EJERCICIOS

352 C ircu ios

ACTIVIDADES

1. Dado: A B = CDO X ± A B , O Y _L CD O X = 3.

Encuéntrese: OY.

2. Dado: O X = O YO X L A B , O Y .L CD A B = 10.

Encuéntrese: CD.

3. Dado: Ó M ± A B , O Ñ ± C DA B = CD m A M O N = 150.

Encuéntrese: m L O M N (Sugerencia: ¿Es O M = ON1)

4. Dado: Ó M ± A B , Ó Ñ ± CDA B = CD m L N M B = 70.

Encuéntrese: m L M O N .

5. Dado: AB , BC y CA equidistandel centro O.

Pruébese: A A B C es equilátero.

(Ejercicios 3, 4)

La tra y e c to ria d e sc rita po r un pun to 6 de un c írcu lo que rueda a lre d e d o r de un c írcu lo f i jo de l m ism o ra d io e s una cu rva denom inada ca rd io id e .

Una ca rd io id e tam b ién puede d ib u ja rse con un v a r illa je a rticu la d o com o el que se m ues tra en la figu ra .

S íganse estas in s tru cc io n e s y d ib ú je se una ca rd io ide .

1. C o n s trúyase un v a r illa je a rticu la d o con c a rtu lin a com o el que se m ues tra en la fig u ra . O bsérvese que BC = AD = a, A B = CD = b, DE = AF = c y a2 = be. (S uge renc ia : Seaa = 6 cm , b = 32 cm y c = 8 cm.)

2. F íjese e l v a r illa je a una s u p e rfic ie d u ra y p lana en los pun tos E y F.

3. C o loqúese un lá p iz en 6 y d ib ú je se la ca rd io ide .

\J

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10.3 C uerdas y d is ta n c ias desde e l cen tro 353

^6. Dado: OX = O Y _ _0 X 1 R S ,J D Y 1 TU.

Pruébese: m R S -- mTU.

7. Dado: En el círculo O, O X ± A B ,O Y -L CD m ¿ 1 = m Z 2 .

Pruébese: A B — CD.

8. Dado: En el círculo O, O X ± AB ,O Y J_ CD CD = AB.

Pruébese: m ¿ 1 = mZ 2 .

9. Con frecuencia, piezas de m áquinas como la que se m uestra sólo funcionarán adecuadam ente si las ranuras están «centradas». ¿Por qué al m edir A B y CD se sabe si las ranuras están centradas o no?

(Ejercicios 7, 8)

10. Este ejercicio presenta una prueba del teorem aDado: Circulo O, O E = O F

O E 1 A B , O F X CD.Pruébese: A B = CD.(Sugerencia: Trácense radios y empléense triángulos congruentes.)

11. Dado: En el círculo O, O X _L N E,Ó Y ± Á T L X Z O s Z YZO.

Pruébese: N E - AT.T

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

La re g ió n ce n tra l de este h ilo ra m a pa rece c ircu la r. E xp liqúese po r qué es as i. Esto es, exp liq ú e se po r qué los pun tos m ed ios de los segm en tos que con fo rm an los bo rdes de la re g ió n ce n tra l e q u id is tan de un pun to cen tra l im a g in a rio . (Puede asu m irse que los c la vo s de los e x tre m o s de cada cu e rd a están ig ua lm en te espac iados a lre d e d o r de un c írcu lo .)

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354 C írcu los

10.4 Perpendiculares a las cuerdas

P a r a e n c o n tra r el c e n tro d e u n a m esa re d o n d a se p u e d e u s a r u n a e sc u a d ra de c a rp in te ro . E l te o re m a d e e s ta sección ex p lica có m o h acerlo .

E s ta s f ig u ras i lu s tra n u n a p ro p ie d a d de las b isec trices p e rp e n d ic u la re s d e u n a c u e rd a . E n c a d a fig u ra , l es la b isec triz p e rp e n d ic u la r de la c u e rd a A B .

¿ P a sa la re c ta í p o r el p u n to O?

E sta s tre s figu ras su g ie ren el s ig u ien te teo rem a .

Teorema 10.5 L a b isec triz p e rp e n d ic u la r d e u n a c u e rd a c o n tie n e a l c e n tro d e l c írcu lo .

PRUEBA

D a d o : A B es u n a c u e rd a d e l c írcu lo O y t es la b isec triz p e rp e n d ic u la r d e A B .

Pruébese: O es u n p u n to d e i .

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Page 366: Geometria - Clemens

10.4 P e rp e n d icu la re s a las cu e rd a s 355

Afirmaciones Razones

1. i es la bisectriz perpendicular de AB. 1. Dado.

2. O A = OB. 2. Definición de círculo.

3. 0 está en t . 3. U n pun to equidistante de lospuntos A y B pertenece a labisectriz perpendicular de AB.(Teorem a 6.10.)

APLICACION

E ncuén trese el cen tro de u n a m esa redonda.P aso 1 Selecciónense dos cuerdas cualesquiera

Á B y CD.P aso 2 T rácense la bisectriz p erpend icu lar p de^

A B y la bisectriz p erpend icu lar q de CD.

Conclusión: P o r el teo rem a 10.5, se concluye que el cen tro está en am b as rectas, p y q. E n consecuencia, el cen tro de la m esa debe ser la intersección de estas dos rectas.

A con tinuac ión se p resen tan o tro s dos teo rem as im portan tes.

Teorema 10.6 Si u n a recta q u e p asa po r el cen tro de u n círcu lo esp erpend icu lar a u n a cu erd a q u e n o es u n d iám etro , entonces b iseca a la cu e rd a y a su a rco m enor.

Teorema 10.7 Si u n a rec ta que p asa p o r el cen tro de un círculo biseca au n a cuerda que n o es u n d iám etro , en tonces es p erpend icu lar a la cuerda.

E l teo rem a 10.6 puede em plearse p a ra en co n tra r inform ación sob re círculos.

Ejemplo D ado: O O de rad io 4 pulgadas.O X 1 PQ. L a cu e rd a PQ está a 1 p u lgada de O.

E ncuén trese : p Q .

L a inform ación d ad a dice que O P = 4 (¿Por qué?), y q u e 0 7 = 1 (¿Por qué?). Al ap lica r el teo rem a de P itág o ras a A OPY, puede determ inarse que P Y = y / l5 . El teo rem a 10.6 ind ica q u e O X b iseca a PQ. P o r tan to ,

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Page 367: Geometria - Clemens

356 C írcu los

EJERCICIOSA.

1. Trácese la figura de la derecha. E ncuéntrese el centro de los arcos y com plétese el círculo.

2. C on un com pás y una regla, trácese una figura que ilustre los teorem as 10:6 y 10.7.

En la figura de los ejercicios 3 y 4, O es el centro del círculo.

3. Si O C 1 A B , ¿qué relación hay entre m Á C y mCB?

4. Si AD = 3 y BD = 3, encuéntrese m L B D C .

En los ejercicios 5 a 7, determínese qué teorem a (10.5, 10.6 ó 10.7) se empleó p a ra llegar a la conclusión.

5. Dado: O O con AOD com o alturad_e_A-4.BC.

Conclusión: AD biseca a BC.

(Ejercicios, 3, 4)

6. Dado: El_diámetro A B biseca a CD.Conclusión: A B 1 CD.

Dado: (i_es la bisectriz perpendicular deCD.t j j s la bisectriz perpendicular de AB.f i y 12 se intersecan en X.

Conclusión: X es el centro del círculo.

En los ejercicios 8 a 10, encuéntrese la inform ación que falta. O es el centro de cada círculo.

A B = ? ¿Cuál es la longitud del radio?

¿A qué d itan d a del centro está A B ?

y

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10.4 P e rp e n d icu la re s a las cue rdas 357

B.

11. En un círculo de radio 5 cm, A B es una cuerda que mide 8 cm. ¿Qué distancia hay entre A B y el centro del círculo? (Hágase un bosquejo para ayudar a la solución del problema.)

12. Dado: C_es e ljn m to medio de ABCE 1 AB.CE = 2 pulgadas, A B = 1 6 pulgadas.

Encuéntrese: La longitud de un radio del círculo.

13. Dado: A M - M B — 6 cmA O — 10 cm.

Encuéntrese: OM.

14. Dado: Ó M _L A BO M = 5, A O = 13.

Encuéntrese: AB .

15. Dado: M es el punto m edio de A BO M = M B O B = y/2.

Encuéntrese: AB.

16. Dos cuerdas de un círculo tienen la m ism a longitud. La distancia entre cada una de ellas y el centro se representa por x 2 y 4x, respectivamente. ¿Qué distancia hay entre cada cuerda y el centro?

17. Dado: U n círculo con ,46 = 8 piesy m L A B C = 45.

Encuéntrese: La distancia entre O y BC.

(Ejercicios 13-15)

C

18. Dibújese un círculo O y m árquese un punto P dentro del círculo. Con un com pás y una regla, trácese una cuerda a la que biseque P.

19. En u n a excavación, un arqueólogo encontró un trozo de rueda. E sta rueda puede reconstruirse determ inando su rad io original. Expliqúese cóm o puede realizarse esto.

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Page 369: Geometria - Clemens

C írcu los

C

20. Dado: A B || CDEF es la bisectriz perpendicular de AB.

Pruébese: EF biseca a CD.

21. Dado:

22. Dado:

A

X Y es un diám etro X Y biseca a A B X Y biseca a CD.

Pruébese: A B II CD.

O

B

23.

A B y CD son diám etros A B -L CD AO = 10 cm P X L CD y P Y L A B .

Encuéntrese: X Y

U n círculo O tiene de r a ¿ : ' 10 cm. Las cuerdas A B y C,D son perpendiculares y se intersecan en un pun to F del interior del círculo. Si A B = 16 y CD = 18, encuéntrese DF.

A

\D

ACTIVIDADES1 1

1. D ibú jese es ta f ig u ra y recó rte n se las p iezas.

2. C o loqúense las p iezas p a ra fo rm a r dos re g iones o vo id es y s in un centro .

3. D ibú jese e l rom pecabezas con un com pás. (Se n eces ita rá d e te rm in a r cu idadosam en te el ce n tro de cada a rco . No es necesa rio hacer con je tu ras .)

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Page 370: Geometria - Clemens

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SOLUCION DE PROBLEMAS

24. Dado: Dos circuios con centro 0A, B , C' y D son colineales.

Pruébese: A B — CD.

10.4 P e rpend icu la res a las cu e rd a s 359

25. Dado: m P M = rrM Q ( x JX M ± O P ' pV > T \ IY M _L ÓQ.

Pruébese: X M = YM.

(Sugerencia: Trácese O M y empléense triángulos congruentes.)

26. Dado: A B es una cuerda com ún a los círculos O y O'.Pruébese: 0 0 ' es la bisectriz perpendicular de AB.

27. Dado: O C biseca a A c É .Pruébese: O C biseca a AB.

U sando e l m étodo d e sc rito en las ac tiv idades de la pág ina 348, se d ib u jó una ca rd io id e .

Los pun tos b ; C son ce n tro s de los c írcu lo sque pasan po r A y se encuen tran de nuevo en el pun to D.

¿Por qué son con g ru e n te s A A B C y A DSC?

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10.5 Tangentes a los círculos

360 C írcu los

REPASO: U na recta es tangente a un círculo si lo interseca exactam ente en un punto.

S u p ó n g a se q u e se d e sean re d o n d e a r las e sq u in a s de u n p ieza de m a d e ra p a ra c o n s tru ir u n a m esa p e q u eñ a . P a ra q u e el t r a b a jo es té b ien h ech o , d e b e e n c o n tra rse la fo rm a de tr a z a r u n a rco . L os b o rd e s de la ta b la d e b e n se r ta n g e n te s a l a rc o c ircu la r. ¿C ó m o p u e d e tra z a rse este a rco ?

U n o d e los te o re m a s d e e s ta secc ión a y u d a a re so lv e r el p ro b lem a . E n c a d a u n a d e esta s figuras, O A es u n ra d io y (, es p e rp e n d ic u la r a

O A e n A.

¿Es ( u n a ta n g en te?

E stas o b se rv ac io n es sug ie ren el te o re m a sigu ien te .

Teorema 10.8 Si u n a re c ta es p e rp e n d ic u la r a u n ra d io e n u n p u n to delc ircu lo , e n to n ces la re c ta es ta n g e n te a l c írcu lo .

P R U E B A

D ad o : ¿ j_ ÓA_P ruébese: ¿ es ta n g e n te a l c írcu lo .

P lan : H á g a se u n a p ru e b a in d irec ta . S u p ó n g a se q u e l n o es ta n g e n te a l c írcu lo . E s to sign ifica q u e i n o in te rse c a a l c írcu lo o q u e lo in te rseca en d o s p u n to s . A h o ra se a n a liz a rá la ú ltim a su p o sic ión .

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10.5 Tangentes a los c ircu io s 361

Afirmaciones Razones

1. t interseca al círculo en un 1. Suposición de la pruebasegundo punto B. indirecta.

2. OA ± 1 2. Dado.

3. OB es una hipotenusa de un 3. Definición de hipotenusa.triángulo rectángulo.

4. OB > OA. 4. L a longitud de la hipotenusa esm ayor que la longitud decualquier lado.

5. OB = OA. 5. Definición de círculo.

L as a firm ac io n es 4 y 5 so n c o n tra d ic to r ia s . P o r ta n to , la su p o sic ió n es falsa y la re c ta f, es ta n g e n te a l c írculo .

APLICACION

A h o ra ya se p u e d e re so lv e r el p ro b le m a p la n te a d o al p rin c ip io de e s ta sección.

Paso 1 Dibújese la bisectriz del ángulo,

Paso 2 Elíjase un punto 0_en la_bisectriz y dibújense las perpendiculares O A y OB a los lados del ángulo.

Paso 3 El punto O de la bisectriz del ángulo es equidistante de loslados de los ángulos. P o r tanto , O A = OB. Dibújese el círculo con centro O que pase por A y B.

L o s b o rd e s d e la ta b la so n tan g e n te s a l c írcu lo p o r el teo rem a10.8 .

A h o ra se p re se n ta n o tro s d o s te o re m a s so b re tangen tes.

Teorema 10.9 Si u n a re c ta e s ta n g e n te a u n c írcu lo , e n to n ces el ra d io tra z a d oh a s ta el p u n to d e c o n ta c to e s p e rp e n d ic u la r a la tan g en te .

Teorema 10.10 Si u n a r e c ta es p e rp e n d ic u la r a u n a ta n g e n te e n u n p u n tod e l c írcu lo , e n to n ces la re c ta c o n tie n e a l c e n tro d e l c írcu lo .

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EJERCICIOS

362 C írcu los

A.

B.

1. Dibújese un círculo O y m árquese en él un pun to P. Trácese una tangente al círculo a través de P.

2. Trácese la figura siguiente, en la cual l y t ' son tangentes en los puntos P y Q, respectivamente. Encuéntrese el centro del círculo. (Sugerencia: Empléese el teorem a 10.10.)

3. A X es tangente al círculo en A. m L A O X = 51. m ¿ A X O = X .

4. A X es tangente al círculo en A. Si O A = 10 y A X = 24, encuéntrese OX.

5. Dado: R A y PB son tangentesOA y OB son radios de 4 cm P A 1 PB.

Pruébese: A O B P es un cuadrado.

ACTIVIDADESD ibú jese , m á rquese y re có rte se en ca rtu lin a una fig u ra com o la s ig u ie n te , denom inada a veces tom ahaw k (hacha de g u e rra de los ind ios).

_ w1. T rácese AD de m anera que

AB = BC = CD.2. T rácese un se m ic írcu lo en BD.3. T rácese BE 1 AD y com p lé tese

la f ig u ra co m o se m uestra .

4 . C o lóquese e l tom ahaw kso b re L \N X Y de m anera que: xa. X es té s o b re BE.b. A esté s o b re un rayo de l ángu lo . m¿YXZ = \m ¿ w x zc. El bo rde s e m ic irc u la r d e l tom ahaw k

sea tangen te a l o tro bo rde de l ángu lo .

5. Entonces, XC e s la tr is e c tr iz de l ángu lo .E m pléese un tom ahaw k p a ra tr is e c a r v a rio s ángu los.

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10.5 Tangen tes a los c írcu lo s 363

P A y PB son tangentes P A 1 PB OB = 8.

6. Dado:

Encuéntrese: OP.

PA y PB son tangentes O A y OB son radios.

P /l y PB son tangentes. m Z l = m L 2.

8. Dado: Pruébese:

(Ejercicio 7)

9. Dado: P A y PB son tangentes0/1 y OB son radios. __ \

Pruébese: O P es la bisectriz perpendicular de AB.

10. Dado: P/4 y PB son tangentesO A y OB son radios >m ¿ A P B = 80.

Encuéntrese: m L ABO (Sugerencia: empléese la conclusión del ejercicio 9.)

11. Dado: PA_ y PB son tangentes al círculo O/4C es un diám etro. _

Pruébese: OP || BC.

12. Pruébese el teorem a 10.9. / /

13. Pruébese el teorem a 10.10. I ° / j / F

(Ejercicios 9, 10)

(Ejercicio 11)

SOLUCION DE PROBLEMAS

P ruébese que e l m étodo tom ahaw k p resen tado en la ac tiv idad a n te r io r s irve para p ro b a r que Z. 1, Z. 2 y Z- 3 son congruen tes .

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Page 375: Geometria - Clemens

364 C írcu los

Teorema 10.11 L os segm entos tangentes a un círcu lo desde un p u n toex terio r son congruentes y fo rm an ángu los congruentes con la recta que une al cen tro con el punto .

10.6 Tangentesdesde un punto a un círculo

Se le h a pedido a u n ag rim ensor que encuentre el cen tro de u n a fuente circular. P ueden em plearse p a ra esto u n ja ló n y un teodolito . U n o de los teo rem as de esta sección p ro p o rc io n a u n m étodo p ara en co n tra r el cen tro con este equipo.

m Z l = 24, m Z 2 = _L m ¿ l = 25, m Z 2 = J _ m Z l = 38, m ¿ 2 =

E n cad a caso, P~Á y F É son tangen tes en A y B. T óm ense m edidas con regla o tra n sp o r ta d o r p a ra en co n tra r las longitudes que faltan.

PA = 19 m m , P B = JL PA = 33 m m , PB PA = 20 m m , PB

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Page 376: Geometria - Clemens

10.6 Tangen tes desde un pun to a un c írc u lo 365

PRUEBA

D ad o : P A y P B so n ta n g e n te s en A y B. P ruébese: P A = P B y L l » L2,

Afirmaciones Razones

1. Trácese PO y los radios 1. Construcción.OA y OB.2. OA = OB. 2. Definición de radio.3. PO = PO. 3. ¿Por qué?4. OA A. Pl y OB L PB. 4. ¿Por qué?5. A POA =£ A PO S. 5. ¿Por qué?6. PA^PB, ¿ l s s Z 2. 6. PCTCC.

APLICACION

E l p ro b le m a del a g r im e n so r q u e se in tro d u jo a l p rin c ip io d e e s ta secc ión p u ed e re so lverse c o n el te o re m a 10.11 y el h ech o de q u e la b isec triz d e u n á n g u lo es única.

Paso 1 Se colocan dos teodolitos y se determ ina en cada caso la posición de los rayos tangentes.

Paso 2 Se coloca el telescopio de los dosteodolitos en el lugar de la bisectriz del ángulo form ado po r las tangentes.

Paso 3 U n ja lón situado en la «línea de visión» de am bos telescopios debe estar en el centro del círculo. N O TA : N o es un dibujo a escala

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Page 377: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

366 C írcu los

A.

B.

Dado: PA y P B son tangentesP A = 5 cm, m ¿ B P O = 17.

1. Encuéntrese: PB. 2. Encuéntrese m L A P B .

3. Dado: PA , P B y P C son tangentesP A = 10 cm.

Encuéntrese: PC.

7. Dado: El triángulo rectángulo A B CA B , BC y A C son tangentes A B = 6, BC = 8 y -4C =_10.

Encuéntrese: La longitud del rad io O X .

4. Dado: H A , AR , RD y DH son tangentes.Encuéntrense: Las longitudes .x: e y.

5. Dado: P A y P B son tangentes a O OO A = 10 m L A P B = 60.

Encuéntrese: OP.

6. Dado: AB, AD y BC son tangentes a O O.Pruébese: AD. + B C = AB.

(Ejercicio 3)

(Ejercicio 7)

(Ejercicio 5)

El m o to r W ankel está d iseñado en to rno a una cu rva denom in a d a cu rva de ancho constante .

C onstruyanse v a ria s fo rm a s curvas idén ticas de c a rtu lin a m ed ian te el s ig u ie n te p roced im ien to .

1. C onstruyase un tr iá n g u lo e q u ilá te ro A ABC.

2. C onstrúyanse los a rcos AB, ÁC y BC, cada uno con cen tro en el vé rtice opuesto.

3. G írense es tas cu rva s com o se m uestra en e l d ia g ra m a pa ra d e m o s tra r que tie n e n el m ism o ancho.

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Page 378: Geometria - Clemens

10.6 Tangen tes desde un pun to a un c írc u lo 367

8. Dado: C P, CD y P B son tangentesCD = 4, CP = 9 m / A P B = 60.

Encuéntrese: AB.

9. Dado:

Pruébese:

10. Dado:

Pruébese:

A ' t u - gentes comunes, comí se m uestra en la figura.AB = CD.

Círculo O £ círculo O’.A B es una tangente interna común A B biseca a 0 0 ’.

(Ejercicio 9)

11. El control de calidad en la producción de piezas dem aquinaria con frecuencia requiere m étodos poco usuales de medición. P o r ejemplo, para verificar la corrección de los ángulos A y B en una pieza llam ada «cola de m ilano», se insertan espigas circulares com o ilustra la figura. Entonces, se mide la distancia X con un m icròm etro. En el caso de la cola de m ilano que se m uestra aquí, ¿cuál sería esta distancia?

12. Tres discos de m etal de 10 cm de rad io cada uno, son tangentes entre sí. Los discos están encerrados en una estructura m etálica con form a de triángulo equilátero. ¿Cuál es la longitud de un lado del triángulo?

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

S u p ó n g ase que £ e s una rec ta tan g en te a un a rco d e la curva constru ida en la actividad an te rio r y q u e t ' e s p a ra le la a t a trav és de un vértice opuesto .¿Q ué relación ex iste e n tre la d istanc ia d q u e s e p a ra a las rec ta s y la longitud A B ?

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Page 379: Geometria - Clemens

368 C írcu los

10.7 Medidas de ángulos inscritos

D o s fa ro s p u e d e n se rv ir co m o au x ilio a la n av eg ac ió n d e u n b a rc o q u e p a s a ce rca d e la c o s ta y p o r a g u a s p o co p ro fu n d a s . Si el b a rc o es tá en el p u n to D, e n to n ces L A D B d eb e ser m e n o r q u e u n « án g u lo d e p e lig ro » co n o cid o . E s ta técn ica de n a v e g a c ió n se b a sa en un te o re m a d e sa rro lla d o en e s ta sección.

U n á n g u lo in sc rito d e te rm in a u n a rc o lla m a d o arco interceptado.

Definición 10.12 El arco interceptado en unángulo inscrito ¿ A C B es el arco A B que está en el interior del ángulo.

Teorema 'lO.'l2 L a m e d id a de u n á n g u lo in sc r ito es la m ita d d e la m ed id ade su a rc o in te rc e p ta d o .

E n c a d a figura se d a n m AB, m L A C B y m / ADB.

E sta s figu ras su g ie ren el te o re m a siguiente.

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Page 380: Geometria - Clemens

10.7 M ed idas de á n gu los in sc rito s 369

Teorema 10.13 U n á n g u lo in sc rito e n u n sem ic írcu lo es u n á n g u lo recto .

A P L IC A C IO N 1

L a técnica de navegación p resen tad a al p rincip io de esta sección se b a sa en el teo rem a 10.12. Si u n p u n to C está en un circulo de m an era que el a rco AB m ida el dob le que el «ángulo de peligro», entonces m L A C B es igual al ángulo de peligro.

Si D estuv iera en este m ism o círcu lo o d en tro de él, entonces m L A D B sería igual o m ay o r que el ángulo de peligro. C u an d o D está fuera del círculo, m L A D B es m en o r que el ángulo de peligro y el b arco en el p u n to D está a salvo.

La segunda ap licación se b asa en un caso especial del teo rem a 10.12, q u e se form ula com o teo rem a 10.13.

A P L IC A C IO N 2

C on frecuencia, los d iseñadores tienen que tra z a r dos rectas tangen tes a un círcu lo desde u n p u n to d ad o fuera del círculo.A co n tin u ac ió n se p resen ta u n m étodo p ara rea lizar esto.

Paso 1 Trácense OP y su punto m edio M desde un pun to P fuera de un círculo dado con centro O.

P aso 2 Trácese el círculo con diám etro O P queinterseca aLcírculo dado en los pun tos A yB. Trácense PA y P B . El teorem a 10.12 indica que L O A P y L O B P son ángulos rectos.

Paso 3 e i teorem a 10.8 indica que PA y P B son tangentes al círculo dado.

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Page 381: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

370 C írcu los

A.

En los ejercicios 1 a 4, mAB = 50, m AOC = 230.

l . m ¿ A O B = J _ . 2. m L B O C = _L.

50“ fi

3. m ¿ A O C = J _ . 4. m /iC = X .

5. Encuéntrense las m edidas de los ángulos de A-4SC.

6. Encuéntrense las m edidas de los ángulos de ABCD.

7. Encuéntrense: m AB, mAC, y mBC.

8. Dado: X Y = Y Zm L Y = 40.

Encuéntrese: rnXY, m Y Z y wtYZ.

En los ejercicios 9 a 14, m A C = 160, m A B = 75 y m C b = 45.

(Ejercicios 1-4)

(Ejercicio 6)40' A

. 60°

(Ejercicio 5) >oo

160"

9. m ¿ A B C = _L.

11. m É 3 = J _ .

13. m L B C D = J_.

10. m Z ^ D C = ± .

12. m ¿_B A D = _L.

14. m ¿ A F B = _L.

B.

15. Dado: BC es un diám etro /IB = 8, XC = 6.

Encuéntrese: BC.

En los ejercicios 16 a 19, A C es un diám etro, mCD = 66 y m ¿ C D B = 60.

16. m L A D B = J_.

18. m Z B C A = J_.

17. m B C = J_ . } UO

19. m l B C D = JL.

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Page 382: Geometria - Clemens

10.7 M ed idas de á n gu los in sc rito s 371

j m M N 2 m N P 320. Dado: — = — y — — = —m N P 3 m M P 4

Encuéntrense: m L M , m ¿ N y m L P .

21. D ado: m B C = 100, m A B = 80A C es un diám etro.B D ± A C .

Encuéntrese: a . m L B A C .

c. m l E B C .

b. m L A C B .

d . mAD.

22. Dado: / íC b ise c a a A B A D mCD = 80, m AD = 160.

Encuéntrese: a . m L B A C . b . m L B D C .

c. n iL A E B . d . m L A D B .

23. Dado: A C biseca a L B A D .Pruébese: Tres ángulos de A A B E son congruentes con

tres ángulos de A DCE.

24. ¿Cóm o puede emplearse una escuadra de carpintero para encontrar el centro de un disco? ¿Por qué funciona este método?

25. D ado: A B es un diám etro del círculo OBC es un diám etro del círculo O'El círculo O es tangente al círculo O' en B.

Pruébese: m ¿ -1 = m L 2.

C

26. Pruébese que todos los ángulos inscritos que tengan el m ismo arco in terceptado o arcos interceptados congruentes tienen la m ism a medida.

27. D ibújense un círculo y un pun to P que no esté dentro ni en el círculo. Trácense dos rectas que pasen po r P y sean tangentes al círculo.

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Page 383: Geometria - Clemens

372 C írcu los

c.28. U na curva de ancho constante com o la de un

m o to r W ankel se com pone de tres arcos circulares AB, B C y AC. ¿C uánto m ide cada uno de estos arcos?(Véase la construcción de la actividad de la pág. 366.)

29. Pruébese que si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, sus ángulos opuestos son suplementarios.

30. Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en un circulo y m L A = 3x + 50, m L B = 4x + 25 y m L C - I x + 30, encuéntrese m L D .

31. Pruébese que un paralelogram o inscrito en un círculo es un rectángulo.

32. En la figura, L B A D y L B C D son ángulos inscritos. Pruébese que A A B E es semejante a A CDE.

ACTIVIDADES

Para d ib u ja r un c írc u lo puede usa rse una escuadra deca rp in te ro .

1. A póyese la escuadra con tra un pa r de c lavos o a lfile re s y un lá p iz en e l á n g u lo recto.

2. G írese la escuadra s in s e p a ra r la de los c lavos . El láp iz m a rca rá e l se m ic írcu lo con e l d iá m e tro de te rm in ad o p o r los c lavos . ¿Por qué?

D ibú jese un c írcu lo con este m étodo.

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Page 384: Geometria - Clemens

10.7 M ed idas de á n gu los in sc rito s 373

33. Dem uéstrese que si dos rectas paralelas intersecan a un círculo, entonces interceptan a. arcos congruentes.

34. Dado: ABCD es un trapecio inscrito.Pruébese: ABCD es un trapecio isósceles.

35. D ado: ABCD es un cuadrilátero inscrito y A D s BC.Pruébese: ABCD es un trapecio.

36. Dado: l es tangente al círculo en A BC |! I

Pruébese: A A B C es un triángulo isósceles.

(Ejercicios 34, 35)

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Page 385: Geometria - Clemens

374 C írcu los

10.8 Angulos formados por cuerdas

El po lígono co n fo rm a de estrella se d ibu ja un iendo cada cu a rto p u n to de un co n ju n to de nueve igualm ente espaciados sob re un círculo. (Véase la so lución de p rob lem as de la pág. 345.) E n este diseño de estrella hay m uchos ángu los q u e parecen congruentes. E n esta sección se es tu d ia rá u n teo rem a que puede usarse p a ra d em o strar que estos ángu los son congruentes.

E n to d as las figuras, m AB + mC D — 80.

E stas figuras sugieren el teorem a siguiente.

B

Teorema 10.14 U n ángulo fo rm ad o p o r dos cuerdas que se in tersecan en el in te rio r de un c írcu lo tiene u n a m edida igual a la sem isum a de los a rcos in terceptados.

PRUEBA

Dado: L as cuerdas AD y BC se intersecan en el p u n to X.

Pruébese: m L A X B = \(m A B + mCD). B

D

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Page 386: Geometria - Clemens

10.8 A ngu los fo rm ados po r cue rdas 375

Afirmaciones Razones

1. C onstruyase BD. 1. Construcción.

2. m Z 2 = \mCD. 2. L a m edida de un ángulo inscrito esla m itad de su arco interceptado.

3. m Z 3 = ¿ m A B . 3. ¿Por qué?

4. m Z A X B = m Z 2 + >«Z3. 4. ¿Por qué?

5. m L A X B = \m Á B + \m C D . 5. Sustitución (afirmaciones 2, 3 y 4).

6. m ¿ _ A X B = \ ( m A B + mCD). 6. Propiedad distributiva.

E l siguiente es un caso especial del teo rem a 10.14 p a ra u n a rec ta tangente.

APLICACION

D eterm ínese la m edida de los ángulos de este po lígono con fo rm a de estrella. Se usará el teorem a 10.14.

1. m ¿ A X B = ¿(40 + 80) = 60.

2. m /L C Y D = ¿(80 + 120) = 100.

3. m ¿ E Z F = ¿(120 + 160) = 140.

Teorema 10.15 L a m edida del ángu lo fo rm ad o p o r u n a tan g en te y unacu e rd a tra z a d a a l p u n to de co n tac to es igual a la m itad del a rco in tercep tado .

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Page 387: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

376 C írcu los

A.

B.

ACTIVIDADES'

Con un co m p ás y u n a reg la , m árq u en se 15 puntos igualm ente e sp a c ia d o s a lred ed o r de un círculo. D ibújense dos polígonos con form a de e s tre lla , uno de e llo s uniendo c a d a cuarto punto, y el otro, un iendo c ad a sép tim o punto. (S uge renc ia : C o n stru y an se un pen tágono reg u la r y un triángulo equ ilá tero con un vértice com ún. D espués, m X Y = 24 = ^-(360). El m étodo p a ra constru ir un p en tág o n o reg u la r s e d e sc rib e en la p ág in a 274.)

7. Dado: M N es tangente al círculo OmPQ = 100, m M X Q — 150-

Encuéntrense: a. m ¿.N M P . b . m Z PQM.c. m Z.M P Q . d . m /_P M Q .e. m Z M NP.

1. Dado:

Encuéntrese:

2. Dado: m A X É = 190m C D = 25-

Encuéntrese: m Z l.

3. Dado:

Encuéntrese:

4. Dado:

Encuéntrense:

A B es tangente al círculo O m A D C = 300 m Z 1 y m Z 2.

5. Dado: A B es tangente al círculo Om A E - 160, m A D = 50, m D C = 60.

Encuéntrense: m Z 1 y m Z 2 .

6. Dado: A B _ L CDm B D = 20 m A D = S0-_

Encuéntrense: m A C y mBC.

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Page 388: Geometria - Clemens

10.8 A ngu los fo rm ados po r cue rdas 377

8. Los tres círculos que se m uestran a continuación son congruentes, con tnAB = mCD = mEF. L 1 es un ángulo central y L 3 es un ángulo inscrito. ¿Cuál de los tres ángulos es el m ayor y cuál el m enor? ¿Por qué?

c.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

En el polígono con form a de es tre lla d e la figura, s e re sa lta ro n en co lor cinco ángulos.

Sin u sa r el tran sp o rtad o r, e n c u é n tre se lo sigu ien te:

m ¿ 1 = _L. m Z 4 =

m Z 2 - _L.

m Z 3 = ?

9. Dado: Pruébese:

10. Dado:

Pruébese:

11. Dado:

Pruébese:

A B ± CD-__m A D + m B C = m A C + mBD.

A B es una tangente externa com ún a los círculos O y O'. CD es una tangente in terna común.L A D B es un ángulo recto.

— mCD.

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Page 389: Geometria - Clemens

378 C írcu los

10.9 Angulos y segmentos formados por tangentes y secantes

Mídase LA TB con un transportador. ¿Cuál es el resultado?

mACB - mAB = 216112

Cuando los ingenieros diseñan torres de antena, necesitan saber qué fracción de la superficie de la Tierra cubrirá la señal de radio de la torre.

En esta sección se simplifica este problema al considerar un corte transversal circular de la Tierra que pasa por la base de la torre. Se plantea entonces la siguiente cuestión: «Si se conoce la medida del ángulo formado por la punta de la torre y los rayos tangentes al círculo, ¿se puede encontrar la fracción de la circunferencia del círculo cubierta por las señales de radio?

En cada caso, TÁ y TÉ son rayos tangentes.

mACB - mAB = 180 mACB - mAB =

Teorema 10.16 La medida de un ángulo formado por dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

PRUEBA

Dado: TÁ y TÉ son rayos tangentes a un círculo. mAB = x, y mACB = y.

Pruébese: m ¿ A T B = -¿(y — x).

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Page 390: Geometria - Clemens

10.9 A ngu los y se gm en tos fo rm a d o s po r ta n g e n te s y secan tes 379

Afirmaciones Razones

1. m Z 2 = \x . 1. La m edida de un ángulo form adopor una tangente y u n a cuerda esigual a la m itad del arco interceptado.

2. m ¿ 3 — $y. 2. ¿Por qué?

3. mZ.3 = m / . 1 + m Z 2. 3. L a m edida de un ángulo exterior esigual a la sum a de las medidas dedos ángulos interiores no contiguos.

4. m Z l = m Z 3 - m L 2 . 4. ¿Por qué?

5. m Z 1 = l y — \x . 5. Sustitución.

6. m ¿ l = j ( y — x). 6. ¿Por qué?

APLICACION

Supóngase q u e el ángulo fo rm ado p o r los dos rayos tangentes que p a rten de la p u n ta de la to rre de an ten a m ide 160°. ¿Q ué fracción del círcu lo cub ren las o n d as de radio?

Respuesta: 1. El teo rem a 10.16 da com o resu ltado la ecuación (1) al pie de la figura y la ecuación (2) expresa u n a p ro p ied ad del círculo.

2. Al resolver el sistem a de ecuaciones se encuen tra que x = 20.

3 _ í _ _ _?0_ _ _ L 360 360 18'

L as ondas de ra d io cub ren jg de la circunferencia del círculo.

E stas figuras sugieren un teo rem a adicional.

Teorema 10.17 L a m edida d e un ángu lo fo rm ado p o r u n a tan g en te y unasecante, o p o r dos secantes desde u n p u n to ex terio r a un círculo, es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos in terceptados.

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Page 391: Geometria - Clemens

380 C írcu los

Al p rincip io de esta sección se p reg u n tó qué fracción de superficie de la T ie rra cubrirían las señales de rad io de la to rre . O tra cuestión de igual im p o rtan c ia es la d istancia que cubren las señales de rad io . E l teorem a siguiente d a rá u n a b u en a aprox im ación a la respuesta.

P a ra p re sen ta r el siguiente teorem a es necesario in tro d u c ir a lgunos térm inos nuevos.

R ecuérdese que A Ü es u n a secante. CA es un segmento secante. BC es un segmento secante externo. CD es un segmento tangente.

C onsidérense los siguientes ejem plos de círculos con u n a tangen te y una secante. ¿Q ué relación com ún a los tres ejem plos se puede encontrar?

O bsérvese que 152 = 9 x 25

E sta relación se establece com o el teo rem a 10.18.

Teorema 10.18 Si se trazan u n segm ento tan g en te y un segm ento secantedesde un p u n to ex terio r a u n círculo, en tonces el cu ad rad o de la long itud del segm ento tangen te es igual al p ro d u c to de las longitudes del segm ento secante p o r su segm ento secan te externo.

PRUEBA

Dado: © O con el segm ento tangen te PT.Pruébese: (PT)2 = P S -P R .__Plan: M árquense ST y IR . Em pléense los

triángu los sem ejantes.

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Page 392: Geometria - Clemens

10.9 A ngu los y segm en tos fo rm ados po r ta n g e n te s y secan tes 381

Afirmaciones Razones

1. Dibújese S T y TR. 1. Construcción.

2. L P = Z P. 2. P ropiedad reflexiva.

3. m L P T S = \m T S - 3. ¿Por qué?

4. m ¿ S R T = \ m f § . 4. ¿Por qué?

5. ¿ P T S s Z S R T : 5. Sustitución, definición decongruencia.

6 . A P T S ~ A PRT. 6. Teorem a de la semejanza A A.

7. P T PS 7. Definición de triángulos semejantes.

P R P T '

8. (PT)2 = P S • PR. 8. Teorem a 9.1. T

A P L IC A C IO N

C o n a n te r io r id a d se p la n te ó la c u e s tió n de la d is ta n c ia q u e c u b re n las o n d a s d e ra d io d esd e la to rre . L a lo n g itu d T A es u n a b u e n a a p ro x im a c ió n a la re sp u esta . E l te o re m a 10.18 in d ic a q u e

(TA)2 = (T C ) (T D ) o b ien T A = J ( T C ) ( T D ) .

S u p ó n g a se q u e la to r re tien e 800 pies d e a ltu ra . Se s u p o n d rá q u e el d iá m e tro C D d e la T ie r ra es d e 8000 m illa s x 5280 p ies/m illas, o 4 2 2 4 0 0 0 0 pies. E n to n ces ,

TA = ^ 8 0 0 p ies x 42 240 800 p ies = 183 827.7 p ies = 34.8 m illas.

L o s d o s te o re m a s s ig u ien tes ta m b ié n in c lu y en seg m en to s re la c io n a d o s c o n circu ios.

Teorema 10.19

Teorema 10.20

Si d o s c u e rd a s se in te rse c a n en u n c írcu lo , e n to n c e s el p ro d u c to d e las lo n g itu d es de lo s seg m en to s d e u n a cu e rd a es ig u a l al p ro d u c to d e las lo n g itu d e s de la s e g u n d a cu erd a .

Si se tra z a n d o s seg m en to s secan te s a u n c írc u lo desde un p u n to e x te rio r , e n to n c e s el p ro d u c to d e la s lo n g itu d es de u n seg m en to secan te y su seg m en to secan te e x te rn o es igual a l p ro d u c to d e las lo n g itu d e s d e l o tro seg m en to secan te y su seg m en to secan te ex te rn o .

Ejemplo 1 E ncuén trese : B EP o r el te o re m a 10.19, C E - E D = B E - A E .

C E - E D 5 - 8 b b = ~ a e - - - ^

Ejemplo 2

= 4.

E n cuén trese : P DP o r el te o re m a 10.20, P C - P A = P D - P B .3 • 8 = x ( x + 10)( x + 12)(x - 2) = 0 . x = 2

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Page 393: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

382 C írcu los

A.

E n los ejercicios 1 a 12, encuéntrese x. Puede suponerse que las rectas que parecen tangentes lo son.

7.

B.

E n jo s ejerciciosJ 3 a 15, ABCD es un cuadrilátero inscrito. m A B = 100, m A D = 30, m B C = 90.

13. Encuéntrese m ¿ P . 14. Encuéntrese m L B A D .

(Ejercicio 13-15)

15. Encuéntrese m L ABC.

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Page 394: Geometria - Clemens

E n los ejercicios 16 a 19, ABCD es un cuadrilátero circunscrito. mFG = 60, m G H = 70, m H E = 80.

16. Encuéntrese mÉT. 17. Encuéntrese m L A .

18. Encuéntrese m L B . 19. Encuéntrense m Z C y m ZD .

20. Encuéntrense los valores 21. Encuéntrense los valores 22. Encuéntrense los valoresde x e y. de x e y. de x e y.

10.9 A ngu los y segm en tos fo rm a d o s p o r tangen tes y secan tes 383

En los ejercicios J!3 a 25, EC, EB, AD y ^4Cson secantes. m Z E = 40, m B C = 120, y m B F = 80.

23. Encuéntrese mDF.

24. Encuéntrese mDC.

25. Encuéntrese w Z A

En los ejercicios 26 a 29, m A B = 55, wBD — 40, A C es un diám etro y P B es tangente al círculo en B.

26. Encuéntrese m Z P. 27. Encuéntrese m Z 2.

28. Encuéntrese m L 1. 29. ¿Es AD || PB ? Expliqúese.

A30. Dado: A D J BE y m L C = 40.

Encuéntrese: mBD.

(Ejercicios 26-29)

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Page 395: Geometria - Clemens

384 C írcu los

C uando se rueda un c írcu lo a lo la rg o del in te r io r de o tro c írcu lo m ás grande , un punto P de l c írc u lo que rueda d e sc rib e una tra y e c to r ia (en líneas ro jas ) denom inada d e lto id e , s ie m p re que el ra d io de l c írcu lo que rueda sea i ó f de l ra d io de l m ayor. T rácese una d e lto id e s ig u ie n d o las ins trucc iones.

1. D ibú jese un c írcu lo de 3 cm de ra d io en e l cen tro de una h o ja de papel. M árquense puntos e in te rva lo s de 5 o. N um érense los pun tos 0, 1, 2, ... en la d ire cc ió n en que g ira n las m anec illa s d e l re lo j (núm eros en negro).

2. E m pezando en el 36 (en negro), num érense puntos a lte rn o s 0 , 1, 2 . . . en la d ire cc ió n en que g ira n las m a n e c illa s de l re lo j (núm eros en ro jo ).

3. T rácese un rayo desde un pun to ro jo , que pase p o r un pun to con e l m ism o núm ero en n eg ro . H ágase lo m ism o con todos los n úm eros de l 0 a l 71.

4. S eñá lese la d e lto id e que rodea al c írcu lo .

ACTIVIDADES

31. Encuéntrense A B y CD.

32. En la figura, O es el centro de am bos círculos. RS es tangente al círculo m enor. Si R X = 5 y RS = 30, encuéntrese X Y.

33. En esta figura, í 2 es tangente a am bos círculos; t x y 1 3 son tangentes a los círculos en los puntos A y B, respectivamente. Demuéstrese que M K a -

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Page 396: Geometria - Clemens

10.9 A ngu los y segm en tos fo rm a d o s p o r tangen tes y secan tes 385

_ SOLUCION DE

(Ejercicio 34)

34. Si PB y PD son segm entos secantes y P B = PD, demuéstrese que P A = PC.

35. Pruébese el teorem a 10.17 para el caso de una tangente y una secante.

Dado: O'A = \O A y los círculos son tangentes en A. Pruébese: B es el punto medio de AC.

36.

37.

38. Si dos círculos son tangentes interiorm ente y el diám etro del círculo m enor es el radio del círculo m ayor, entonces cualquier cuerda del círculo m ayor que vaya al punto de tangencia será bisecado por el círculo menor.

Pruébese el teorem a 10.19.

Pruébese el teorem a 10.20. (Ejercicio 35)

Con el m étodo d e scrito en la ac tiv idad a n te r io r, se tra zó una d e lto ide usando in te rva lo s de 10°. Cada pun to da o rig e n a dos rayos. ¿Por qué son p e rp e n d icu la re s estos dos rayos?

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Page 397: Geometria - Clemens

386 C írcu los

Capítulo 10 conceptos importantesTérminos

Radio (pág. 342)C uerda (pág. 342)D iám etro (pág. 342)Tangente (pág. 343)Secante (pág. 343)

Postulado Postu lado de la sum a de arcos (pág. 346)

Teoremas

10.1 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos m enores congruentes.

10.2 En un círculo, o en círculos congruentes, los arcos m enores congruentes tienen cuerdas congruentes.

10.3 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro

10.4 En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

10.5 L a bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro del círculo.

10.6 Si una recta que pasa po r el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diám etro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor.

10.7 Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diám etro, entonces es perpendicular a la cuerda.

10.8 Si una recta es perpendicular a un radio en un pun to del círculo, entonces la recta es tangente al círculo.

10.9 Si una recta es tangente a un círculo, entonces el rad io trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente.

10.10 Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo.

10.11 Los segm entos tangentes a un círculo desde un punto exterior son congruentes y form an ángulos congruentes con la recta que une al centro con el punto.

10.12 La m edida de un ángulo inscrito es la m itad de la m edida de su arco interceptado.

M edida de un arco m ayor (pág. 346) Arcos congruentes (pág. 347) Círculos congruentes (pág. 347)

10.13 U n ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

10.14 U n ángulo form ado por dos cuerdas que se intersecan en el in terior de un círculo tiene una m edida igual a la semisuma de los arcos interceptados.

10.15 La m edida de un ángulo form ado p o r una tangente y una cuerda trazada al pun to de contacto es igual a la m itad del arco interceptado.

10.16 L a m edida de un ángulo form ado por dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.17 La m edida de un ángulo form ado p o r una tangente y una secante, o po r dos secantes, desde un pun to exterior a un círculo es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.18 Si se trazan un segm ento tangente y otro secante desde un pun to exterior a un círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo.

10.19 Si dos cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de la segunda cuerda.

10.20 Si se trazan dos segm entos secantes a un círculo desde un punto exterior, entonces el p roducto de las longitudes de un segmento secante y su segm ento secante externo es igual al p roducto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo.

Angulo inscrito (pág 343)Angulo central (pág. 343)Arco m enor (pág. 346)Arco m ayor (pág. 346)M edida de un arco m enor (pág. 346)

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Page 398: Geometria - Clemens

Capítulo 10 ResumenEn los ejercicios 1 a 4, indíquese si las afirm aciones son falsas o verdaderas. Si una afirmación es falsa, dibújese un contraejem plo.

1. Si un triángulo está inscrito en un circulo, con un lado com o diám etro, entonces el triángulo es rectángulo.

2. Si una recta biseca a dos cuerdas que no son diám etros, entonces las cuerdas son paralelas.

3. Si una recta es perpendicular a una cuerda, entonces contiene al centro del círculo.

4. Si PA y P É son tangentes al m ismo círculo en los puntos A y B, respectivamente, entonces PA = PB.

5. Dado: m L A O B = 120, mÁD = 150, A C es un diám etro.Encuéntrese: a . m Á A D B .

b. m ¿ B A C .

c. m ¿ CED.

d. m é c í) .

6. Dado: m A D = mBC.Pruébese: A B || CD.

7. Dado: PA y P B son tangentes.0 es el centro de un círculo.A C es un diámetro. m L A P O = 20.

Encuéntrese: a. m ¿ D P B .

b . mÁD. Dc. mBC.d. mAE.e. m/LCAB.

8. Dado: AB, BC y A C son tangentes en los puntos F , D y E,respectivamente. C £ = 3, A F = 5, B C = 7.

Encuéntrese: a. la longitud de BD.b. el perím etro de A A B C .

9. Si u n a cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro, ¿cuál es el radio del círculo?

10. SZ es tangente al círculo que se m uestra en la figura. Encuéntrense S Z y WY.

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388 C ircu ios

Capítulo 10 ExamenEn los ejercicios l a 4, indiquese si las afirmaciones son falsaso verdaderas. Si alguna afirmación es falsa, dibújese un contraejem plo.

1. En dos círculos diferentes, si dos cuerdas tienen la misma longitud, están a la m isma distancia de sus centros.

2. Si un triángulo está inscrito en un círculo y los arcos interceptados tienen m edidas de 200°, 90° y 70°, entonces el triángulo es obtusángulo.

3. Si una recta biseca al arco m enor de una cuerda, también biseca al arco m ayor.

4. Si dos tangentes son paralelas, entonces sus puntos de tangencia determ inan un diám etro.

5. Dado: A B || CD, EF es la bisectriz perpendicular deA B . __

Pruébese: EF_ biseca a CD.6. Dado: PA es tangente al círculo O.

O A = 10 cm, PA = 24 cm.

Encuéntrese la longitud de PC.

7. Dado: A B es un diám etro

m Z C A B - 50

m B D - 20.

Encuéntrense: a. mBC.b. mAC.

c. m A A D C .d . m Z BED.

8. Supóngase que una cuerda m ide 6 mm desde el centro de un círculo de rad io 10 mm. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

9. Dado: m ¿ X = 30, m Y T = 5 0 , m ¿ W R Z = 90

X Y es tangente al círculo.

Encuéntrense: m Y Z , m W Z y mTW.

10. En la figura siguiente, FH es tangente al círculo. Encuéntrense J I y FH.

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Resumen global (Caps. 8 a 10)1. Indíquese si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

a. Si un paralelogram o está inscrito en un círculo, es un rectángulo.

b. Si A B C D es un paralelogram o, entonces sus diagonales son congruentes.

c. Si m ¿ A = 40 en el triángulo rectángulo A B C y m/LD = 50 en el triángulo rectángulo DEF, entonces los triángulos son semejantes.

d. T odos los rectángulos son polígonos semejantes.

2. A B es un diám etro y CD es perpendicular a AB.

a. Si AD = 4 y A B = 12, encuéntrese CD.b. Si A B = 13 y CD — 6, encuéntrese AD.c. Si CB = 12 y A B = 13, encuéntrese BD.d. D em uéstrese que A A B C ~ A CBD.

3. ¿Cuál es la m edida de cada ángulo in terior de un decágono regular?

4. -4C es u n a secante, A D es una tangente, mBC = 100, m L C B D == 80 y mBD = 100.a. Encuéntrese m / .A B D .

b . Encuéntrese m L B C D .

c. Encuéntrese m L C A D .

A Encuéntrese m L E D C . ¿ g

5. D ado: ABCD es un trapecio con A B || DCPruébese: N B ■N C = N A ■N D .

D ‘

6. Si cuatro ángulos de un pentágono miden 100°, 160°, 90° y 150°, ¿cuál es la m edida del quinto ángulo?

7. Dado: M N P Q es un trapecio con M P = QN. QA, B, C y D son puntos medios, com o se ilustra la figura. a

Pruébese: ABCD es un rombo.

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-¡l& ©©©Mgama usa

Agrimensura: El teodolito

El teodolito es, quizá, el instrum ento más im portan te para el agrim ensor. Se emplea para m edir ángulos y distancias.

El teodolito puede usarse para m edir ángulos entre objetos y ángulos de elevación. U n ángulo entre objetos se mide enfocando el prim er objeto y luego moviendo el telescopio a la derecha o a la izquierda, hacia el segundo objeto. Un ángulo de elevación se m ide inclinando el telescopio hacia arriba para enfocar el extrem o del objeto. El teodolito tiene dos escalas, una para m edir ángulos horizontales y o tra para m edir ángulos verticales.

M ed ic ió n d e u n á n g u lo e n tre d o s o b je to s (án g u lo h o rizo n ta l) M ed ic ió n d e u n á n g u lo d e e levac ión (án g u lo vertical)

Los agrimensores están relacionados con la construcción de edificios, cam inos, puentes y presas. U na de las responsabilidades de los agrimensores es establecer límites exactos en los terrenos. T oda la inform ación necesaria la tom an en el lugar, y luego, en la oficina, hacen dibujos o m apas del terreno medido.

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El teodolito tam bién se em plea p a ra m edir distancias. Las propiedades ópticas del telescopio de un teodolito hacen que los rayos de luz se crucen y form en un par de triángulos semejantes.

P a ra m edir distancias, se suelen necesitar dos personas. U na de ellas está en el teodolito y la o tra se coloca en la segunda ubicación, sosteniendo un ja lón graduado perpendicular al suelo. Los siguientes pasos m uestran cóm o encon trar la distancia deseada D.

Paso 1 M írese p o r el telescopio. Léanse los núm eros de ja ló n para determ inar la distancia PQ.

Paso 2 Encuéntrese L por m edio de una proporción basada en triángulos semejantes.

Paso 3 Súmense f y L para encon trar D.

1. ¿P o r qué A A B C es sem ejante a A QBF?

2. f y L son longitudes de las altu ras de los dos triángulos. Se puede dem ostrar que

L = J _L P Q ‘

Empléese esta proporción y encuéntrese una expresión para - .d

3. f es la distancia focal del telescopio. El telescopio está construido p a ra que los rayos de luz se crucen siem pre a la m isma distancia, d es tam bién un punto fijo en un telescopio dado. P o r tan to , la razón f / d es fija.Supóngase que / = 1 m etro, d = 1 centím etro y PQ = 0.836 metros. Encuéntrense L y D. (Véase el Paso 3.)

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CAPITULO

11.1 P o s tu la d o s d e l á re a 394

11.2 A re a d e p a ra le lo g ra m o s 398

11.3 A re a s d e t r iá n g u lo s y t r a p e c io s 402

11.4 A re a d e p o líg o n o s re g u la re s 408

11.5 C o m p a ra c ió n e n tre p e r ím e tro s y á re a s d e p o líg o n o s

s e m e ja n te s 412

11.6 L a ra z ó n e n tre la c ir c u n fe re n c ia y e l d iá m e tro

d e un c ír c u lo 416

11.7 A re a d e c ír c u lo s 420

C o n c e p to s im p o r ta n te s 426 R e s u m e n 427 E x a m e n 428

Repaso de á lgebra 429

La geom etría en nuestro mundo

G rá f ic a s p o r c o m p u ta d o r : t r a n s fo rm a c io n e s 430

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Area y perímetro

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394 A rea y pe rím e tro

11.1 Postulados del área

A l c o n s tru ir u n a ca sa , se c la v a n ta b la s p a ra c u b r ir la e s tru c tu ra . D esp u és, se p in ta n o b a rn iz a n . E l te ja d o se suele c u b r ir c o n p la n c h a s d e m a d e ra p re n sa d a q u e lu eg o se c u b r irá n c o n tejas. L a c o n s tru c c ió n de casas p ro p o rc io n a m u c h a s ap lic a c io n es d e lo s p o s tu la d o s y defin ic iones d e e s ta sección.

U n a ta b la re p re se n ta un p o líg o n o lla m a d o re c tá n g u lo . L a superfic ie de e s ta ta b la re p re se n ta u n su b c o n ju n to de u n p la n o d e n o m in a d o región poligonal.

L o s sig u ien tes so n tre s e jem p lo s de reg io n es p o lig o n a les .

¿Q u é c a n tid a d d e b a rn iz se re q u ie re p a r a u n a p la n c h a de m a d e ra p re n sa d a ?

L a c a n tid a d d e b a rn iz q u e se re q u ie re p a ra u n a p la n c h a d e m a d e ra p re n s a d a d e p en d e del ta m a ñ o d e ésta . P a r a d e sc rib ir el ta m a ñ o d e la p la n c h a se em p lea un n ú m e ro lla m a d o área.

Definición 11.1

U n a región poligonal es unsubconjunto de un plano acotado p o r un polígono (o polígonos).

Postulado del áreaA cada región poligonal se le puede asignar un núm ero positivo único denom inado área. El área de la región R se representa por -4(R).

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L as p ro p ie d a d e s de las á re a s las d esc rib en v a rio s p o s tu la d o s .

11.1 P ostu lados d e l á rea 395

D o s p la n c h a s d e m a d e ra del m ism o ta m a ñ o tienen la m ism a á rea , p o r ta n to d eb en n eces ita r la m ism a c a n tid a d de b a rn iz .

E ste h ech o es el te m a de u n p o s tu la d o .

Postulado del área de reglón» congruentes

Si dos rectángulos o dos triángulos son congruentes, entonces, las regiones que acotan tienen la m isma área.

C u a tro p la n c h a s de m a d e ra , S v S 2, S 3 y S4, se c o lo c a n ju n ta s .

E l á re a d e e s ta fig u ra de c u a tro p iezas es ig u a l a la s u m a d e la s á re a s d e c ad a pieza.E s to es,A (4 p iezas) = /4(S ,) ++ A (S2) + A ( S 3) + A (S 4).

Postulado de la suma de áreas

Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan, su área es la sum a de las áreas de las n regiones.

P a r a c o n o c e r e l n ú m e ro de p la n c h a s d e m a d e ra q u e se n eces itan p a ra u n a casa , es n ecesa rio p o d e r c a lc u la r el á re a de reg iones rec tan g u la re s .

E s te ú ltim o p o s tu la d o , en co m b in a c ió n c o n el p o s tu la d o d e l á rea , el del á re a de reg iones c o n g ru e n te s y el de la su m a d e á rea s , p e rm ite c a lc u la r el á rea .

Postulado del área del rectángulo

El área de un rectángulo de longitud t y ancho vv está dada po r la fórm ula f.w.

w

_____________ I------ I --------------►A rea = í w

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396 A re a y pe rím e tro

EJERCICIOS-------------------------------------------------------

A.1. D ibújese un polígono y som bréese la región poligonal que

determina.

2. ¿Es el interior de un círculo una región poligonal?

3. ¿Es un rectángulo una región poligonal?

4. Si dos rectángulos tienen la m isma área, ¿son necesariam ente congruentes?

5. ¿Qué postu lado expresa que toda región 6. ¿Expresan los postu lados que sólo laspoligonal debe tener área? regiones poligonales tienen área?

7. D ibújese un contraejem plo para la siguiente proposición:Si dos regiones poligonales tienen la m isma área, entonces tienen el m ism o núm ero de lados.

Encuéntrense las áreas de las siguientes regiones. Puedesuponerse que los ángulos que parecen rectos lo son.

8 .

25

9.14 A - ?

10.

A = ? 5 A = ?45

40 11

B.En los ejercicios 11 a 16, supóngase que el área de la parte som breada es 1. Encuéntrese el área de cada región m ediante los postulados. (Sugerencia: Búsquense los rectángulos y los medios rectángulos.)

K

11. 12. 13.

ACTIVIDADES'

El á re a del cu ad rad o so m b read o de e s te tab le ro e s 1.C onstruyanse o d ib ú jen se en un tab le ro com o e s te

triángu los con á re a s de 1, 1^, 2, 2 \ y 3.

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11.1 P ostu lados d e l á re a 397

Encuéntrese el área de cada una de estas regiones.

18.

19. Encuéntrese el área del tejado de la figura. Si se supone que se desperdicia el 10 % de los m ateriales pedidos, ¿cuántas planchas de m adera de 4 x 8 se necesitan para cubrir el tejado?

20. Pruébese que la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos de igual área.

SOLUCION DE PROBLEMAS

21. A B IH , IDEF y ACEG son rectángulos. Expliqúese po r qué las áreas de R¡ y R 2 son iguales: (Sugerencia:A ( A A C E ) = A(AAGE).)

4 cm

22. El área de M B N X es | del área d e __ABCD, y M es el punto m edio de AB. ¿Qué relación existe entre la longitud de B N y la de BC1

En la fig u ra de la de recha , D es e l cen tro del cu a d rado m ás pequeño. El cu a d rado m ás g ra n d e so la p a a l pequeño en e l c u a d rilá te ro ABDE. E ncuén trese e l á re a de este

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398 A re a y pe rím e tro

11.2 Area de paraielogramosH a y s itu a c io n e s en las q u e es im p o r ta n te e n c o n tra r el á re a d e reg iones q u e n o so n re c tan g u la re s . P o r e jem p lo , si se v a a h a c e r u n e s ta c io n a m ie n to en b a te r ía p a r a a u to s , c ad a e sp ac io se rá u n a reg ió n en fo rm a d e p a ra le lo g ram o .L a c a n tid a d de asfa lto re q u e rid a p a ra c a d a espac io d e p e n d e d e l á re a de esa reg ió n en fo rm a de p a ra le lo g ram o .

1 centímetro

□1 centímetro

cuadrado

A l m e d ir el á re a de reg iones, d eb e eleg irse u n a u n id a d de m ed id a .

L a s u n id a d e s m ás c o m u n e s p a ra m e d ir á rea s so n la p u lg a d a c u a d ra d a , el p ie c u a d ra d o , las y a rd a s c u a d ra d a s , los cen tím e tro s c u a d ra d o s y lo s m e tro s c u a d ra d o s .

Definición 11.2

U n a u n id a d c u a d r a d a es unaregión cuadrada en la cual cada uno de sus lados mide una unidad de longitud.

E l á re a de u n a reg ió n p u e d e d e te rm in a rse c o n ta n d o el n ú m e ro de u n id a d e s c u a d ra d a s q u e se req u ie ren p a r a c u b r ir e x a c ta m en te la reg ión .

A c o p la n d o u n id a d e s c u a d ra d a s y reg iones tr ia n g u la re s c o n g ru en te s , y m e d ian te d iv e rso s p o s tu la d o s del á re a , se co n c lu y e q u e el p a ra le lo g ra m o de la d e re c h a tie n e u n á re a d e 10 c e n tím e tro s c u a d ra d o s .

1 cm

C

unidad cuadrada

Se escribe: A(ABCD) = 10 cm 2

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11.2 A re a de p a ra le io g ra m o s 399

O tra fo rm a de en co n tra r el área de u n p arale log ram o es im aginando que la pieza trian g u la r del ex trem o de la figura se co rta y se co loca en el o tro ex trem o p ara fo rm ar un rectángulo . Así, con el postu lad o del á rea de regiones congruentes y el p o stu lad o de la sum a de áreas, se concluye que las áreas del p ara le log ram o y del rectángu lo son la m ism a. P o r tan to , d ad o que el á rea de un rectángu lo es el p ro d u c to de la long itud p o r la anchura , se deduce que el área del p arale log ram o tam bién es « long itud p o r anchura».

C on los paraleiogram os, se u san los térm inos base y altura en lu g ar de long itud y anchura. C ualqu ier lado de un p ara le lo g ram o puede ser la base. U n a vez elegida la base, un segm ento p erpend icu lar a ella, con un ex trem o en la base y el o tro en el lad o opuesto , se denom ina altu ra . Obsérvese que un p arale log ram o tiene dos pares de bases paralelas.

Definición 11.3U na altu ra de un paralelogram o es un segmento perpendicular a un p ar de lados paralelos en los cuales tiene sus extremos. La altura del paralelogram o es la longitud de ese segmento.

Teorema 11.1 D a d o un p ara le lo g ram o con base b y a ltu raco rrespondien te h, el á rea A está d ad a p o r la fórm ula A = bh.

APLICACION

La m edida e s tán d a r p a ra un estacionam ien to de vehículo en ba tería es 9 pies de ancho p o r 24 pies de largo. ¿C uál es el área de la superficie q u e cubre el asfalto en un estacionam iento?

R espuesta. U n estacionam ien to es un p arale log ram o co n 24 pies de base y 9 pies de altu ra . Si se ap lica el teorem a 11.1, se puede ca lcu lar el área:

área = 24 pies x 9 pies = 216 pies cuad rados

<-------- i ---------►A(R,) + A(R2) = A(R¡) + A(R¿)

R, = R¡* 2 = R í

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Page 411: Geometria - Clemens

400 A rea y pe rím e tro

EJERCICIOS__A.

En los ejercicios 1 a 3, encuéntrese el área de cada paralelogram o.

1. 2.

A = ?A = ?

2126

En los ejercicios 4 a 6, se da el área de los paralelogram os. Encuéntrese el d a to que falta.

4. D

A

5.

I h A = 360

R 30ABCD es un cuadrado A B = ? h = ?

B.

Encuéntrense las áreas de los paralelogram os de los ejercicios 7 a 9.

7.

A

3.

5|A = ? .

-1 6 J -

6. n

A

I A = 143>h = l l y

ABCD es un rom bo A D = ?

9.

ÆB = 14, /4Z) = 5

ACTIVIDADES1

/4D = 5, E F = 11

A " 2 2 1 n .

= 12, / !£ = 5

ñ

D ibújese e s te cu ad rad o de ¡ p u lgadas. R ecó rten se las p iezas y co ló q u en se de nuevo com o s e m uestra en la figura.

1. ¿C uál d e las tre s s itu ac io n es q u e se señ a lan a la d e rech a s e p resen ta?

2. E m pléense los concep tos re lac ionados con el á re a p a ra determ inar cuál de los tre s ca so s s e p re sen ta rea lm ente . «a juste

pe rfec to»«pequeña

sepa rac ión»«pequeño

so lape

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Page 412: Geometria - Clemens

11.2 A rea de p a ra le lo g ra m o s 401

En los ejercicios 10 a 12, encuéntrese el da to desconocido. C ada cuadrilátero es un paralelogram o.

10.8

1

13. ¿Qué le sucede al área si se duplican las longitudes de los lados de un paralelogram o?

14. U n paralelogram o tiene lados con longitudes 12 y 8, y la m edida de uno de los ángulos es 120°. ¿Cuál es el área?

15. Las rectas t , y t 2 son paralelas. Com párese elárea del paralelogram o A B E F con la del paralelogram o ABCD. £>.

16. D ados los paralelogram os ABCD y /EFGH, con m L A = m L E y h2 = y f i h , , A ^ — L si el área de EFGH es doble que la deABCD, ¿qué relación hay entre A B y EF1

Encuéntrese el área de las regiones que aparecen en los ejercicios 17 y 18. Supóngase que los segm entos que parecen perpendiculares o paralelos lo son.

12.

SOLUCION DE PROBLEMAS

Los an tiguos bab ilon ios usaron la fó rm u la --------- -

p ara d e te rm in ar el á re a de un cuad rilá te ro con lados de long itudes a , b, c y d.1. ¿S irve tam bién e s ta fórm ula p a ra rec tángu los?2. ¿S irve tam bién e s ta fórm ula p a ra para le lo g ram o s?

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Page 413: Geometria - Clemens

402 A re a y pe rím e tro

A(\HIJ) = \A(HIKJ) A(AASC) = iA(ABDC)= jb k - \b h

Teorema 11.2 D a d o u n tr iá n g u lo co n b a se b y a l tu r a c o rre sp o n d ie n te h, elá re a A e s tá d a d a p o r la fó rm u la A = \ b h .

11.3 Areas de triángulos y trapecios

U n in g en ie ro civil n eces ita e n c o n tra r el á rea d e u n a p a rc e la p a ra ed ificac ión d e fo rm a ir re g u la r c o m o la q u e se ilu s tra en la figu ra c o n el n ú m e ro 6 . E s to p u e d e h ace rse d iv id ie n d o la p a rc e la en reg iones tr ia n g u la re s y c a lc u la n d o el á re a de ca d a re g ió n tr ia n g u la r .

L as figuras siguientes ilu s tran q u e u n a región trian g u la r p u ed e considerarse co m o la m itad d e u n a reg ión en fo rm a d e para le log ram o .P o r ta n to , la fó rm u la p a ra e n c o n tra r el á re a de u n p a ra le lo g ram o p ro p o rc io n a u n a fó rm u la p a ra el á rea de triángu los.

E n o casio n es, p u e d e su ced e r q u e se c o n o z c a n los tre s la d o s d e u n tr iá n g u lo , p e ro n o la a ltu ra . E n ta les ca so s es ú til la fó rm u la u tiliz a d a p o r H e ró n d e A le jan d ría en el sig lo p r im e ro d e n u e s tra era .

s = + b .+ c)

Teorema 11.3 F ó rm u la de H eró n . Si A A B C tien e la d o s d e lo n g itu d e s a,

b y c, e n to n ces A ( A A B C ) = y js ( s — a)(s — b)(s — c), d o n d e s = $(a + b + c).

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Page 414: Geometria - Clemens

A P L IC A C IO N

U n m étodo p a ra en co n tra r el á rea de la parcela 11 requiere en co n tra r p rim ero el área de AABC. C on la fórm ula de H eró n y u n a ca lcu ladora , ésta es u n a ta rea fácil.(O bsérvese que el rad io del círculo es 50 pies.)

a = 130.48 + 50 = 180.48 b = 148.37

c = 141.32 + 50 = 191.32

j = l (a + b + c) = 260.09

s - a = 79.61, s - b = 111.72, s - c = 68.77

P o r la fó rm ula de H eró n , A ( A A B C ) = V(260.09)(79.61)(l 11.72)(68.77) = 12 613.

T am bién puede considerarse que u n trapecio es la m itad de un paralelogram o. El á rea de u n trapecio es la m itad del área del paralelogram o.

F

base de C JAEFD = bx + b2 A ( O A E F D ) = h(bl + b2)

11.3 A re a s de tr iá n g u lo s y tra p e c io s 403

Teorema 11.4 D a d o un trapecio c o n bases bx y b2, y a ltu ra h, el área Aestá d ad a p o r la fórm ula A = + b2).

A P L IC A C IO N

Las presas suelen tener sección transversal trapecial. E l d iseñ ad o r de la p resa debe determ in ar el á rea de esta sección transversal. Si la p resa m ide 180 m etros de a ltu ra y tiene bases de 10 m etros y 60 m etros de longitud , ¿cuál será el á rea de la sección transversal? P o r el teo rem a 11.4 puede calcularse el área:

area = \ • 180(10 + 60) m 2 = 6300 m 2.

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EJERCICIOS__

404 A re a y p e rím e tro

A.

Calcúlense las áreas de las regiones de los ejercidos 1 a 11.

1. 2.

22

5.

U .

B.

12. El área de A A B C es 48 cm 2, y A B = 6 cm. ¿Cuál es la longitud de la altu ra en A B ?

13. U n trapecio con bases de longitud 14 pies y 21 pies, tiene un área de 87^ pies cuadrados. ¿Cuál es su altura?

14. ¿Cuál es el área de la región som breada?

15. ¿Cuál es el área de la región no som breada?

16. ¿Cuál es la razón entre el área de la región som breada y el área de AABE?

B

C es el punto m edio de BE. D es el punto m edio de CE.

B

A C = 4 1 BD = 25

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11.3 A reas de tr iá n g u lo s y tra p e c io s 405

En los ejercicios 17 y 18, encuéntrese el área de las regiones sombreadas.

17. ABCD es un rectángulo. 18. ABCD es un paralelogram o.

19. ABCD es im trapecio y E es el punto medio de AB. M uéstrese que el área de AECD es igual al área de EBCD.

21. M uéstrese que una m ediana divide a un triángulo en dos regiones de igual área. Esto es, si BD es una m ediana de A A B C , muéstrese que el área de A A B D es igual al de A BDC.

22. ABCD es un paralelogram o. Encuéntrese la longitud de BE.

A

23. ABCD es un paralelogram o y X escualquier punto en su interior. M uéstrese que el área de la región som breada es la m itad del área del paralelogram o. (Indicación: h i + h2 es la altu ra de ABCD.)

20. ABCD es un paralelogram o cuya área es 60 unidades cuadradas. Encuéntrese el área de la com eta ABED. (Sugerencia: Encuéntrese el área de AABD.)

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406 A re a y pe rím e tro

C.

24. Empléese la fórm ula de H erón para encontrar el área de un triángulo cuyos lados tienen las siguientes longitudes:

a. 3 cm, 4 cm, 5 cm. b. 17 cm, 18 cm, 19 cm. (Empléeseuna calculadora.)

c. 25 cm, 36 cm, 41 cm. (Empléese una calculadora.)

25. M uéstrese que las tres m edianas de un triángulo lo dividen en seis regiones de igual área.

26. U na persona com pró un terreno con form a de pentágono irregular. Encuéntrese el área de este terreno si A F = 10 m,FG = 40 m, GH = 15 m, H C = 20 m,EF = 20 m, DG = 30 m y H B = 35 m.

(Ejercicio 25)

27.

28.área de ABCD.Supóngase que A A B C es un triángulo equilát< a ltu ra h. Sea X un punto cualquiera en el intí triángulo y sean a, b y c las longitudes de las perpendiculares a los lados de A A B C . Pruébe: a + b + c = h. (Indicación: Empléese el área.)

B

ACTIVIDADES

En este ta b le ro , el á re a de l cuad rado A es 1 y e l á re a de cada una de las fig u ra s 6 y C es 1 |1. D ibú jense las fig u ra s s ig u ien tes en pape l cu a d ricu la d o o en

un tab le ro .

2. E ncuén trese e l á re a de cada re g ión s in u sa r n inguna de lasfó rm u la s de l área.

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11.3 A re a s de tr iá n g u lo s y tra p e c io s 407

29. D ado A A B C con m edianas BD y CE, muéstrese que las áreas de las regiones som breadas son iguales.

30. Pruébese que el área de un triángulo equilátero cuyos lados tienen longitud s es s 2 / 3/4.

31. Considérese el cuadrado ABCD. Si se cortan triángulos enlas esquinas, resulta un octágono. Si A B = 3, muéstrese que

3 . , ,si el octágono resultante es regular.x =

2 + ^/232. ¿Cuál es el área de un octágono regular que tiene lados de

longitud 2?

33. Considérese el triángulo equilátero A A B C .Los puntos D, E, F y G se eligieron com o se muestra_en figura, de m anera que ED 1 AB , FG 1 B C , DE = FG = 1, y EF = 2. M uéstrese que el área de A CFG es

1 . 7 3— -=, o bien - —.2 ^ 3 6

34. M uéstrese que el área de un dodecágono regular con lados de longitud 2 es 6(4 + 2^/3). (Sugerencia:L a figura que se m uestra a continuación es un pentágono BDEFG que es g del dodecágono regular Cuyos lados tienen longitud 2. Encuéntrese la longitud A C y empléese para encon trar el área de A A B C . Después, réstense las áreas de los triángulos A A D E y A CFG.)

(Ejercicios 31, 32)

SOLUCION DE PROBLEMAS.

La lo ng itud de las a ris ta s de l cubo es 1.

1. Encuén trese la lo ng itud de BE.

2. E ncuén trese la lo ng itud de BH.

3. E ncuén trese e l á re a de A BEG.

4. E ncuén trese e l á re a d e l re c tá n g u lo BCHE.

5. E ncuén trese e l á re a de A BIC .

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408 A rea y pe rím e tro

11.4 Area de polígonos regulares

E stas dos definiciones se em plean p a ra desarro llar u n a fórm ula p a ra el á rea de u n po lígono regu lar de n lados. L a tab la que se m uestra a con tinuac ión resu lta ú til p a r a ana lizar dos ejemplos.

A

A rea de A A B O Perím etro (p)

octágonoregular

octágono

decágono

8 x = ^a(8s)= | ap

10 X = ^a(lOs)= 2 aP

p = A B + B C + CD + D E + A E p = A B + B C + CD + A D

Definición 11.4 El perímetro (p) de un polígono es la sum a de las longitudes de los lados del polígono.

Definición 11.5 La apotema (a) de un polígono regular es la distancia de su centro a un lado.

A rea del polígono

El costo de construcción de u n edificio depende de la long itud de las paredes exteriores, es decir, del perím etro de la construcción . Es obvio que u n edificio g rande requiere m ás bloques, vigas y m ateria les p a ra ventanas. En consecuencia, al d iseñar u n edificio, un arq u itec to puede p lan tearse la cuestión de q u é polígono regu lar p ro p o rc io n ará la m ejo r á rea p ara u n perím etro dado .

P a ra esto son necesarias dos definiciones.

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11.4 A re a de po lígonos re g u la re s 409

Teorema 11.5 D a d o u n p o líg o n o re g u la r d e n la d o s d e lo n g itu d s y a p o te m aa, el á re a A e s tá d a d a p o r la fó rm u la A = (¿)ans = (j)ap, d o n d e el p e rím e tro p = ns.

EjemploL a lo n g itu d de c a d a la d o de u n h e x á g o n o re g u la r es 4. E n c u é n tre n se la a p o te m a y el á re a del h e x á g o n o regu la r.

A O A B es u n tr iá n g u lo 30°-60°-90°. P o r ta n to ,

A B = 2, O A = 4 y

a = O B — 2 \ / 3 .

A p lican d o el te o re m a 11.5, á re a = ¿(2 \ /3 ) • 6 ■ 4 = 2 4 \/3 -

f t í a n s

APLICACION

Si u n edificio c u a d ra d o y u n ed ific io c o n fo rm a de h e x á g o n o re g u la r tien en el m ism o p e rím e tro (p), ¿cuál es la re lac ió n e n tre su s áreas?

1. A O A B es u n tr iá n g u lo 45o-45°-90°.

P o r ta n to , la a p o te m a a = A B =

. 1 _ l ( P \ -2 ¡ 2 \ 4 /

A rea del c u a d ra d o = — — • p.2 8

2. A O A B es u n tr iá n g u lo 30°-60°-90c.

L a a p o te m a a = \[?>AB - \ / 3 ( ^ ) =

V 3 p

12

A rea del h e x á g o n o = • - ~ - p ‘ p ■

B A¡-1 /

' /Y so

B

1el á re a del h e x á g o n o es m a y o r q u e el á re aD a d o q u e .

4 2 x 12 2 x 8d e l c u a d ra d o . P o r ta n to , u n ed ific io h e x a g o n a l p ro p o rc io n a m a y o r á re aq u e u n ed ific io c u a d ra d o c o n el m ism o p e rím e tro .

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410 A rea y p e rim e tro

EJERCICIOS_______________________A.

En los ejercicios 1 a 6, encuéntrese el perím etro de la figura dada.

1. 2.

18

33

4. 5.

En los ejercicios 7 a 9, encuéntrense la apotem a y el área de cada polígono regular dado.

7.

6.

9.

ACTIVIDADES !

En las a c tiv idades de la secc ión a n te r io r se encon tra ron las á reas de a lgunas reg iones en un ta b le ro s in u sa r n inguna fó rm u la de l área. C om plé tese la ta b la s igu ien te . B úsquese una fó rm u la pa ra las á reas de estos po lígonos en func ión del núm ero de c lavos que d e lim itan a cada fig u ra (d) y de l núm ero de puntos in te rio re s (/').

Figura

Número de clavos en el

limite (d)

Número de puntos

interiores [i) I + ÍArea del polígono

A ? ? ? ?

B 7 0 71 + o 52

C ? ? ? ?

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Page 422: Geometria - Clemens

11.4 A re a de po lígonos re g u la re s 411

B.

10. Encuéntrese el área de un hexágono regular con apotem a 3^/3.

12. Si el área de un hexágono regular es 36^/3 cm2, ¿cuáles son la apotem a y la longitud de cada lado?

c.

11. Encuéntrese el área de un octágono regular con lados de longitud 5 y apotem a k.

13. Si la apotem a de un hexágono regular es 5 m, ¿cuáles son el perím etro y el área?

14. Si un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perím etro, demuéstrese que la razón entre sus áreas es 2 a 3.

15. El área de un hexágono regular es 50^/3 pies cuadrados. ¿Cuáles son el perím etro y la apotem a?

16. La longitud de los lados de un octágono regular es 2. ¿Cuál es su apotem a?

17. U n granjero quiere construir un corral con 100 m etros de valla y ha de decidir la form a del corral. Rellénese la siguiente tabla y véase si se le puede hacer alguna recom endación al granjero.

Longitud Ancho P erím etro A rea

48 m ? 100 m ?

45 m 7 100 m ?

40 m ? 100 m _L

35 m 7 100 m 9

30 m ? 100 m ?

25 m ? 100 m ?

SOLUCION DE PROBLEMAS.

E ncuén trese el perím etro de c ad a uno de los polígonos de e s te tablero . O b sérv ese que AB = 1.

á

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412 A re a y p e rím e tro

11.5 Comparación entre perímetros y áreas de polígonos semejantes

P a r a d ise ñ a r el s is tem a de a ire a c o n d ic io n a d o de u n edificio , u n in g en ie ro d eb e p o d e r re sp o n d e r a p re g u n ta s c o m o las siguientes:

1. ¿Q ué d ife ren c ia h a y e n tre el p a so de a ire de u n c o n d u c to de 7 p u lg a d a s x 14 p u lg a d a s y u n o de 5 p u lg a d a s x 10 p u lg ad as?

2. ¿Q u é s e rá m á s eco n ó m ico , d o s c o n d u c to s de 5 p u lg ad as x 10 p u lg a d a s o u n o d e 7 p u lg a d a s x 14 p u lg ad as?

P a r a re sp o n d e r a e s ta s p re g u n ta s , es n ecesario h a c e r u n a c o m p a ra c ió n e n tre la s á re a s de la s secciones tran sv e rsa le s de u n re c tá n g u lo d e 5 x 10 y d e o tro d e 7 x 14, es decir, d e u n p a r de p o lig o n o s sem ejan tes.

E s tú d ien se los d o s e jem p lo s s igu ien tes, e n lo s q u e se c o m p a ra n las á re a s de u n p a r de tr iá n g u lo s sem ejan tes y de u n p a r de h ex á g o n o s sem ejan tes.

E je m p lo 1 A A ' B ' C ~~ A A B C c o n A B ' A ' ° B ' °A B A C B C

24 mm

p e rím e tro A A ' B ' C ' 5

~3

E je m p lo 2

p e rím e tro A A B C

A 'B 'C 'D 'E 'F ' ~~ A B C D E F co n

á re a A A ' B ' C ' K 40)(25) 500 25

á re a A A B C ~ ¿(24)(15) = 7 8 0 = T

A 'B 'A B

2l

- - ■ f B B '

p e rím e tro { A 'B 'C 'D 'E 'F ') 2 á re a { A 'B ’C 'D 'E 'F ) ó - A ( A A ' O ' B ' ) { a 'A 'B '

p e rím e tro ( A B C D E F ) ~ T á re a ( A B C D E F ) = 6 - A ( A A O B ) = \ a A B

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11.5 C om paración e n tre perím etros y á re a s de polígonos se m e ja n te s 413

L o s e jem p lo s a n te r io re s se re su m en en e s ta tab la .

R azón de los lados correspondientes R azón de los perím etros Razón de las áreas

Ejem plo 1 A 'B 'A B

40 5 24 3

53 ©’

Ejem plo 2A 'B 'A B

21

21 (!)'

E sto s e jem p lo s sug ieren lo s te o re m a s sigu ien tes.

Teorema 11.6 L a ra z ó n e n tre los p e r ím e tro s d e d o s p o líg o n o s sem ejan teses ig u a l a la ra z ó n e n tre las lo n g itu d es d e c u a lq u ie r p a r de la d o s co rre sp o n d ien te s .

Teorema 11.7 L a ra z ó n e n tre las á re a s d e d o s p o líg o n o s sem ejan tes esig u a l a l c u a d ra d o d e la ra z ó n e n tre la s lo n g itu d e s de c u a lq u ie r p a r d e la d o s co rre sp o n d ien te s .

A P L IC A C IO N

A h o ra se re sp o n d e rá a las d o s p re g u n ta s p la n te a d a s a l p rin c ip io d e e s ta secc ión p o r m ed io d e u n a c o m p a ra c ió n e n tre la s á re a s y los p e r ím e tro s d e las secciones tran sv e rsa le s re c ta n g u la re s de lo s d o s co n d u c to s .

C D

A B

7 á re a (R')

5 á r e a (R)_ / 7V - 49 - 2

= \ 5 / “ 25 ~ T

p e rím e tro (R 1) 7

p e r ím e tro (R) 5

C onclusión: E l á re a de la secc ión tra n sv e rsa l (y p o r ta n to la c a n tid a d de a ire m o v id o ) del c o n d u c to m a y o r es cas i el d o b le q u e la d e l o tro , a u n q u e e l-p e r ím e tro d e su sección tra n sv e rsa l es só lo § m a y o r q u e la del c o n d u c to m e n o r . E n co n secu en c ia , se re q u e r irá m e n o s m a te r ia l p a ra c o n s tru ir un c o n d u c to g ra n d e q u e p a ra c o n s tru ir d o s c o n d u c to s p eq u eñ o s.

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414 A rea y pe rím e tro

EJERCICIOS__A.

B.

Supóngase que las longitudes de los lados de dos cuadrados son 4 y 8, respectivamente.

1. ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

2. ¿Cuál es la razón en tre sus áreas?

L a razón entre las longitudes de los lados de dos pentágonos regulares es 13:20.

3. ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

4. ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

5. L a razón entre los perím etros de dos polígonos

\ / 3semejantes es ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

6. Si la razón entre las áreas de dos polígonos semejantes de n lados es § f, ¿cuál es la razón entre sus perímetros?

7. L a razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es 29 , y la sum a de las dos áreas es 272. Encuéntrense las áreas de los dos polígonos.

4 u n id ad e s u n id ad es (E jercicios 1, 2)

13 u n idades2 0 u n id ad es

(E jercic ios 3 , 4)

ACTIVIDADES!

Hay fig u ra s , com o los tr iá n g u lo s e q u ilá te ro s , con las que se pueden fo rm a r o tra s de la m ism a fo rm a , p e ro m ás g randes. ¿Cuáles de las s ig u ie n te s fig u ra s podrían e n tra r en esta c las ificac ión?

C ontéstese a la p re g u n ta d ibu jando en papel pun teado o Unreco rta n d o cua tro cop ias de cada una de es tas p iezas e in ten tando a co p la r la s p a ra fo rm a r una fig u ra m a yo r de la m ism a fo rm a

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11.5 C om parac ión e n tre pe rím e tro s y á re a s de po lígonos sem e jan tes 415

8. Supóngase que A A B C es un triángulo rectángulo y que CD L A B . Si CD = 8, AD = 16 y BD = 4, encuéntrense las razones entre estas áreas.

a.A ( A A C D ) A ( A CBD)

b.A ( A A C D )A ( A A B C )

c.9. Supóngase que los puntos X , Y y Z son pu- .os m edios de

los lados de A ABC. Encuéntrese la razón A (A X Y Z ):A (A A B C ).

10. Supóngase que A A B C es un triángulo rectángulo con hipotenusa c y catetos a y b. Construyanse triángulos eq u ilá te ro s^ los lados de A A B C como se m uestra en la figura. Si las áreas de estos triángulo.-) son A¡, A 2 y A 3, com o se m uestra, demuéstrese que

¿3A i A i

= 1.

11. Los puntos W , X , Y y Z son puntos mi

lados del cuadrado ABCD. Encuéntrese

12. Los puntos R, S, T , U. V y W son pun los lados del hexágono regular ABC D EI A(ABCDEF)

A (R S T U V W )

de aire?14. Si la cantidad de aire adm itida po r un conducto cuadrado

de 10 pulgadas se va a increm entar en un 30 % , ¿de qué tam año debe construirse el nuevo conducto cuadrado? (Redondéese el resultado a la j pulgada más próxima.)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Una p irám ide cu ad rad a s e r o r t a por un plano q u e p a sa por el punto C y la a ris ta A B . Sí el plano e s pa ra le lo a la b a s e cu ad rad a , re su lta u n a sección tran sv ersa l cu ad rad a .

AC 1 A(S)Si — = e n c u é n tr e s e ------- .

CB 3 A(S')

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Page 427: Geometria - Clemens

416 A re a y p e rim e tro

Teorema 11.8 L a ra z ó n e n tre la c ircu n fe ren c ia y el d iá m e tro es la m ism ap a ra to d o s lo s c ircu ios.

11.6 La razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo

Al in c re m e n ta rse el n ú m e ro de la d o s de u n p o líg o n o reg u la r , p o c o a p o c o su fo rm a se a p ro x im a a la d e un c írcu lo c ircu n sc rito . A d em ás, su p e r ím e tro se a p ro x im a a u n n ú m e ro fijo q u e rec ibe el n o m b re de circunferencia del c írcu lo , y la a p o te m a se ace rca a l ra d io del c írcu lo c ircu n scrito .

E l s ig u ien te te o re m a es b á s ico p a ra la te o r ía de los c írculos.

Definición 11.6

La circunferencia de un círculoes el núm ero al que se aproxim an los perím etros de los polígonos regulares inscritos conforme se increm enta el núm ero de lados de los polígonos regulares.

E n las g ráficas p o r c o m p u ta d o r , la im p re so ra d ib u ja a lgo q u e p a re c e n ser lín eas cu rv as . E n re a lid a d , la p lu m a del g ra f ic a d o r d ib u ja seg m en to s sucesivos de re c ta ta n c o r to s q u e el efecto final es u n a lín ea cu rv a . E s te m ism o co n c e p to se em p lea p a r a e n c o n tra r la c ircu n fe ren c ia de u n círculo .

E s ta s fig u ras m u e s tra n u n a secu en c ia d e p o líg o n o s reg u la res q u e p o c o a p o c o se a p ro x im a n a u n círculo .

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11.6 La razón e n tre la c ircu n fe re n c ia y e l d iá m e tro de un c írcu lo 417

Teorema 11.9 D a d o u n círcu lo de rad io r y d iám etro d, la circunferenciaC está d ad a p o r la fórm ula C = nd = 2%r.

APLICACIONEl a n im a d o r de u n espec tácu lo q u ie re d iseñ a r un m o d e lo p a ra u n m egáfono . E ste d iseño es u n a p o rc ió n de u n c ircu lo lim itad o p o r u n án g u lo c e n tra l y su a rco in te rc e p ta d o . Si los la d o s d e l m o d e lo tien en 15 p u lg a d a s y el án g u lo c e n tra l m id e 120°, encuén trese la lo n g itu d del a rco in te rcep tad o .

Solución. P u e d e estab lece rse u n a p ro p o rc ió n e n tre la lo n g itu d d e l a rc o , la c ircunferencia del c írcu lo , la m ed id a del án g u lo cen tra l y la m ed id a en g rad o s del círculo.

120 x _ x

360 c ircu n fe ren c ia 27il5

1 x- = --------------------- o x = 10n = 31.4 p u lg ad as3 3071 p u lg ad as

EXPLICACION DE LA PRUEBA1. Selecciónense d o s c írcu lo s cu a lesq u ie ra e in scríb ase en

ellos u n p o líg o n o re g u la r de n lados.

2. U n p a r d e tr iá n g u lo s isósceles sem ejan tes A A O B yA A O 'B ' e s tá n d e te rm in a d o s p o r u n la d o d e c a d a po líg o n o .

s s ' . ns rís'3. P o r ta n to , las ra zo n es - y — so n iguales y — = — .

4. L o s n ú m e ro s ns y r ís ' ig u a la n los p e rím e tro s p y p ' de lo s d o s p o líg o n o s regu lares. P o r ta n to ,

P = l_ r r1'

5. Al in c rem en ta rse el n ú m ero d e la d o s n, lo s p e rím e tro s p y p ' se a p ro x im a n a las c ircun ferenc ias C y C '. P o r ta n to ,

C _ C ' , c _ c 7 ~ V y 2¡: ~ 2 ? '

cL a raz ó n — es u n n ú m ero irrac io n a l, lo q u e significa que

dn o p u e d e escrib irse e x ac tam en te co m o u n decim al. A lgunas a p ro x im ac io n es de es te n ú m ero so n 3.14, 3 ^ y 3.14159.

Definición 11.7

La razón — , que es el mismo a

núm ero real p ara cualquier círculo, se representa por n (la letra griega pi).

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EJERCICIOS__

418 A re a y pe rím e tro

1. Si un polígono regular de 100 lados está inscrito en un círculo, el perím etro del polígono es casi igual a la JL del círculo.

2. Si un polígono regular de 100 lados está inscrito en un círculo, la apotem a del polígono es casi igual al _L del círculo.

3. Dense varias aproxim aciones para el valor n.

E n los ejercicios 4 a 8, encuéntrense los núm eros que faltan.

rad io diám etro circunferencia

4. 2 ? 4 n

5. ? 6 ?

6. U n ? ?

7. ? ? 8 n8. ? ? 16

B.q

9. En un círculo, ¿a qué es igual la razón —?Tí

ACTIVIDADES!

C á lcu lo de un va lo r a p ro x im a d o pa ra n. (Em pléese una ca lcu la d o ra .) Se puede p ro b a r la s igu ien te fó rm u la .

x = -J l — V4 - s2

C om plé tese la s ig u ie n te ta b la y aproxím ese e l va lo r de n.

s = lo ng itud de un lado de un po lígono re g u la r de n lados in sc rito en un c írcu lo de rad ío 1.

x = long itud de un lado del co rre sp o nd ie n te po lígono de 2n lados.

C on tinúese la ta b la pa ra n - 48, 96, 192, 384 y 768.

Número de Longitud del Perímetro Longitud de loslados (n) lado (s) Perímetro [n - s) -^d iám etro lados del polígono de 2n lados (x)

6 1 6 3 \¡2 - ^ / 4 ^ 1 ^ ) r = 0 .5 17638

12 0 .5 176 38 6 .2 116 56 3 .1 058 28 \J í - ^ 4 ^ (0 .5 1 7 6 3 8 )* = 0.261052

24 0 .2 610 52 ? 7

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11.6 La razón en tre la c ircu n fe re n c ia y e l d iá m e tro de un c írc u lo 419

C.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS.

E m pléese dos veces el te o re m a de P itágo ras p a ra p ro b a r la fó rm u la u tiliza d a en la ac tiv idad a n te rio r. c

Dado: OC = 1.AB = S, AC = x.

" = ! ■Encuéntrense: OD, CD y x.

15. U na to rre redonda, con una circunferencia de 10 m etros, está rodeada po r una valla situada a dos m etros de la torre. ¿Cuál es la longitud de la valla?

16. ¿Qué distancia recorre una bicicleta por cada 25 vueltasde una rueda si el diám etro exterior de cada rueda es de 29 pulgadas?

17. Supóngase que el ecuador terrestre es un círculo perfecto con rad io de 4000 millas, y que se ciñe una cuerda a su alrededor. Supóngase que luego se añadió un trozo de cuerda de 40 pies y se estiró para form ar una valla, ¿qué distancia hay entre la valla y la Tierra?

11.

10. Encuéntrese la longitud de un arco interceptado por un ángulo central de 60° en un círculo con radio 10. (Preséntese la respuesta en función de n.)

U n rectángulo de cartulina se enrolla para form ar un tubo de 12 pulgadas de largo y 3 pulgadas de diám etro.¿Cuál es el área del rectángulo de cartulina?

12. Si un galón de p in tu ra cubre 400 pies cuadrados, ¿cuántos galones se necesitan para p in tar un granero (sin con tar el tejado) que m ide 10 pies de diám etro y 50 pies de altura?

13. En u n a m áquina grande, los centros de dos poleas están separados 16 pies, y el radio de cada polea es 24 pulgadas. ¿Qué longitud debe tener la correa para que abarque a las dos poleas?

14. E n los pedales de una bicicleta, el piñón m ás grande tiene 50 dientes, y el pequeño, 20. C uando los pedales com pletan dos vueltas ¿cuántas vueltas da la rueda?

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•IF * '420 A re a y p e rim e tro

Definición 11.8 El área de un círculo es elnúm ero al que se aproxim an las áreas de los polígonos regulares inscritos de n lados a m edida que n aum enta.

11.7 Area de círculosU n in sp e c to r de c o n s tru c c io n e s d eb e a se g u ra rse d e q u e la tu b e r ía p r in c ip a l de a b a s te c im ie n to d e a g u a sea su fic ien tem en te g ra n d e p a ra sa tis face r la d e m a n d a d e ag u a re q u e r id a en c a d a p a r te ¿ C u á n ta s veces es m a y o r la c a n tid a d de a g u a q u e p u ed e c o n d u c ir u n a tu b e r ía p r in c ip a l d e 6 p u lg a d a s q u e u n a d e 4 p u lg ad as?

P a r a m o s tra r q u e el v o lu m en m a y o r es 2 | veces el v o lu m e n m e n o r, debe c o m p a ra rse el á re a d e la sección tra n sv e rsa l c irc u la r d e la tu b e r ía g ra n d e c o n el á re a de la secc ión tran sv e rsa l c irc u la r de la tu b e r ía p eq u eñ a .

L a figu ra s ig u ien te a y u d a a ex p lica r la d e fin ic ión de á re a d e u n círculo .

E l á re a de u n p o líg o n o in sc rito d e n la d o s es u n a b u e n a a p ro x im a c ió n al á re a d e l c írc u lo c ircu n sc rito c u a n d o n tien e u n v a lo r g ran d e .

U n p o líg o n o re g u la r in sc r ito p u ed e c o rta rse en tr iá n g u lo s q u e p u e d e n luego d isp o n e rse p a ra fo rm a r u n p a ra le lo g ram o .

U n a a p ro x im a c ió n c e rc a n a al á re a del p a ra le lo g ra m o es jC a , j(2 n r)a , o b ien nra.

E s ta a p ro x im a c ió n m e jo ra c u a n d o a u m e n ta e l n ú m e ro d e la d o s del p o líg o n o regu la r.

WV\alrededor de -jC

alrededor de jC

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11.7 A rea de c írcu lo s 421

, , . , , a lre d e d o r d e \C = nrA m e d id a q u e a u m e n ta el

n ú m e ro d e la d o s , el n ú m e ro detr iá n g u lo s q u e c o m p o n e n elp a ra le lo g ra m o ta m b ié n a u m e n ta .

L a a p o te m a a se a p ro x im a a l ra d io r y e l á re a n ra se a p ro x im a a n r2.

Teorema 11.10 D a d o u n c írcu lo d e ra d io r, el á re a A e s tá d a d a p o r lafó rm u la A = nr2.

APLICACION

L a c a n tid a d de a g u a q u e p u ed e c o n d u c ir u n a tu b e r ía de 6 p u lg a d a s p u ed e c o m p a ra rse co n el a g u a q u e c o n d u ce u n a tu b e r ía d e 4 p u lg ad as . E s to p u e d e h ace rse fo rm a n d o la ra z ó n d e la s á reas .^ ( C j ) = 57(3)2 = 9 7T

A ( C 2) = tt(2)2 = 4-n

4 ^ 4 = — = 2.25 ó 2 \ veces m ás A ( C 2) 4 ir 4

P u e d e u sa rse la fó rm u la p a ra el á re a de u n c írcu lo p a ra e n c o n tra r el á re a de u n a reg ió n q u e rec ibe el n o m b re d e sec to r.

/i

B

A O B es u n sec to r d e 0 0 .

Definición 11.9U n sector es una región aco tada po r un ángulo central y su arco interceptado.

, á re a d e u n se c to r , m e d id a en g ra d o s d e l á n g u lo c e n tra lL a ra z ó n —------- — :— es ig u a l a l a r a z ó n : -------------------------

á re a del c írcu lo 360°

APLICACION

Si u n a p izza d e 16 p u lg a d a s se c o r ta en o c h o p ed azo s c o n g ru en te s , ¿cuál se rá e l á re a d e c a d a p ed azo ?

á re a de u n p e d a z o 45°

647r p u lg a d a s c u a d ra d a s 360°

A rea (un p ed azo ) = ¡ x 647t p u lg a d a s2 = 87r p u lg a d a s2.

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EJERCICIOS___

422 A re a y pe rím e tro

En los ejercicios 1 a 4, exprésense las respuestas con un núm ero exacto (empléese el núm ero n).

1. Encuéntrese el área de un círculo con radios:

a . 2. b . 5^. c. t í . d. \/3 .

2. Encuéntrese el área de un círculo con diám etros:

a . 6. b . 1 \. c. 3ít. d . 4 \/2 .

3. Encuéntrese el área de un círculo con circunferencias:

a . 2 i b . 6it. c. x/óW. d . 10.

4. Encuéntrese el radio de un círculo con áreas:

a. 14477. b . 225t¡-. c. 127,. d . 100.

En los ejercicios 5 a 8, encuéntrese el área de los sectores som breados. Respóndase en función de n.

B.

9. Encuéntrese el área aproxim ada de los sectores siguientes. Empléese 3.14 para n.

a. Angulo central, 50°. b. Angulo central, 75°.Radio, 3 cm. Radio, 3 m.

10. Si el área de un sector es un décimo del área del círculo, ¿cuál es el ángulo central del sector?

11. D os círculos tienen radios de 4 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

12. La razón entre las áreas de dos círculos es 9 a 4. ¿Cuál es la razón entre sus radios?

13. L a razón entre las áreas de dos círculos es 8 a 5. ¿Cuál es la razón entre sus radios?

14. Encuéntrese el área de los círculos inscritos y circunscritos de un cuadrado cuyo lado m ide 4 cm.

c. Angulo central, 15°. Radio, 10 pulgadas.

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Page 434: Geometria - Clemens

11.7 A re a de c írcu lo s 423

E n los ejercicios 15 a 17, encuéntrese el área de la región

24. La figura siguiente representa la sección transversal de una tubería de ¿ de pulgada de espesor que tiene un diám etro interior de 3 pulgadas. Encuéntrese el área de la región som breada.

En las figuras de los ejercicios 18 a 20, las áreas som breadas reciben el nom bre de segmento circular. Encuéntrese el área de cada uno de ellos.

m L A O B = 120 m ¿ X O Y = 60

21. U nos círculos, con radios iguales, están colocados en un rectángulo com o ilustra la figura. ¿Qué fracción de la región rectangular está som breada?

22. ¿Cuántas veces es m ayor la cantidad de agua conducida po r una tubería de 12 pulgadas de diám etro que la conducida po r una tubería de 10 pulgadas?

23. Si BC = 2AB, ¿qué fracción del círculo está sombreada?

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424 A re a y p e rim e tro

25. D ad o un triángulo rectángulo A A B C , muéstrese que el á re^ de un semicírculo sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos sobre los dos catetos del triángulo.

ACTIVIDADES ................— — "Fl—Estím ese el v a lo r de n m id ie n d o d irec tam ente .

1. E líjase un ob je to c irc u la r que tenga el tam año a p rox im ado de la pa rte s u p e rio r de un cubo de basura.

2. M ídase su d iám e tro (d) redondeando a l m ilím e tro m ás p róx im o .

3. C o lóquese una cu e rd a a lre d e d o r d e l ob je to y m ídase su lo n g itu d p a ra e n co n tra r su c ircu n fe re n c ia (C) redondeando a l m ilím e tro m ás próx im o.

C4. C a lcú lese —. ¿Qué p re c is ió n tie n e la e s tim a c ió n de n?

d5. ¿Qué puede hace rse p a ra m e jo ra r la ap rox im ac ión?

R epítase es te p ro ce d im ie n to con una la ta de a lu m in io y conuna rueda de b ic ic le ta .

26. D ado un triángulo rectángulo A A B C , su círculo circunscrito y los semicírculos sobre los catetos, muéstrese que la suma de las áreas de las dos regiones som breadas es igual al área de A A B C .

27. D ad o un pun to C entre A y B, los semicírculos sobre A C , C B y A B como ilustra la figura, si CD L A B , m uéstrese que el área de la región som breada es igual al á rea del círculo con CD com o diám etro. (Sugerencia: Considérese el triángulo rectángulo A ADB.)

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Page 436: Geometria - Clemens

11.7 A rea de c irc u io s 425

28. Si A A B C es un triángulo equilátero, ¿qué fracción del triángulo está sombreada?

29. En la figura siguiente, el círculo pequeño es tangente a cuatro arcos circulares. ¿Qué fracción del círculo grande está som breada?

30. Los conductos de cables telefónicos están construidos para contener tres cables (todos circulares y tangentes al conducto y. entre sí) de 1 cm de radio. ¿Qué fracción del conducto está ocupada po r los cables?

. SOLUCION DE PROBLEMAS

Los puntos A ', B ' y C' son pun tos de tr ise cc ió n de los lados de A A B C . El á re a de la re g ión tr ia n g u la r som breada es JL del á re a de A ABC.E m pléese una cu a d rícu la pequeñao a lg u na té cn ica de m ed ic ión pa ra d e te rm in a r sí la reg ión b lanca debe llena rse con la fra cc ió n -J, -J, ó -J.

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426 A rea y pe rím e tro

Capitulo 11 Conceptos importantesTérminos

Región poligonal (pág. 394)U nidad cuadrada (pág. 398)A ltura de un paralelogram o (pág. 399) Perím etro de un polígono (pág. 408) A potem a de un polígono regular (pág. 408)

Circunferencia de un círculo (pág. 416) P i (n) (pág. 417)Area de un círculo (pág. 420)Sector (pág. 421)Segmento circular (pág. 423)

Postulados

Postulado del área. A cada región poligonal se le puede asignar un núm ero positivo único denom inado área. El área de una región R se representa por -4(R).

Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o dos triángulos son congruentes, entonces las regiones que acotan tienen la m ism a área.

Postulado de la suma de áreas. Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan, entonces su área es la sum a de las áreas de estas n regiones.

Postulado del área del rectángulo. El área de un rectángulo de longitud ( y ancho w está dada por la fórm ula iw .

Teoremas

11.1 D ado un paralelogram o con base b y a ltu ra correspondiente h, el área A está dada po r la fórm ula A = bh.

11.2 D ado un triángulo con base b y a ltu ra correspondiente h, el área A está dada po r la fórm ula A = \bh.

11.3 Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, entonces A (A A B C ) == \ /s(s — a)(s — b)(s — c) donde í = i ( a + b + c).

11.4 D ado un trapecio con bases bx y b2, y a ltu ra h, el área A está dada por la fórm ula A = %h(b¡ + b2).

11.5 D ado un polígono regular de n lados de longitud s y apotem a a, el área A está dada por la fórm ulaA = %ans = \ap , donde el perím etro p = ns.

11.6 L a razón entre los perím etros de dos polígonos semejantes es igual a la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes.

11.7 L a razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre las longitudes de cualquier p a r de lados correspondientes.

11.8 La razón entre la circunferencia y el diám etro es la m isma para todos los círculos.

11.9 D ado un círculo de radio r y diám etro d, la circunferencia C está dada po r la fórm ula C = nd = 2nr.

11.10 D ado un círculo de radio r, el área A está dada por la fórm ula A = nr2.

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Page 438: Geometria - Clemens

C apítu lo 11 R esum en 427

Capitulo 11 Resumen1. Encuéntrese el área de las siguientes figuras. Supóngase que

los segmentos que parecen paralelos o congruentes lo son.

a. b.

c. d.

2. Dado: A A B C ~ A DEF, á rea (AABC) = 3a. Encuéntrese la longitud de la a ltu ra de AB.b. Encuéntrese el área de A DEF.

A

B

10

3. L a circunferencia del círculo 0 ‘ es doble que la del círculo O. ¿Cuál es la razón entre las longitudes de sus diámetros?

4. Encuéntrese el área de un hexágono regular inscrito en un círculo de 6 cm de diám etro.

5. En A ABC, A E es una a ltu ra , A F es la bisectriz de un ángulo y AD es una mediana. ¿Qué segmento divide a A A B C en dos triángulos de igual área?

6. Encuéntrese el área de las porciones sombreadas.Supóngase que los segmentos son congruentes si lo parecen. B

7. En A A B C , D, E y F son puntos medios, área (ADEF)

Encuéntrese la razónárea (A ABC)

O A = 1 OB = 2

8. Encuéntrese el área de un círculo que está inscrito en un cuadrado de área 16 unidades cuadradas.

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428 A re a y p e rím e tro

Capítulo 11 Exameni. Encuéntrese el área de las figuras siguientes. Supóngase que

los segm entos que parecen paralelos o congruentes lo son.

c.

2. Dado: A A B C ~ A DFE

a. Encuéntrese el perím etro de A ABC. a

b. Encuéntrese el área de A ABC.

3. Encuéntrese el área de las porciones som breadas, donde A B = 10 y B C = 26.

4. Si se duplica cada lado de un polígono regular, ¿en qué afecta esto al perím etro y al área?

5. Encuéntrense las dos razones siguientes,

perím etro del cuadrado ABCD Da.

b.

circunferencia del círculo O

área (ABCD)

área (O O)

c* ¿Las respuestas a y b dependen del tam año de la figura?

6. Si dos triángulos son semejantes y la razón entre sus perím etros es 2:1, ¿cuál es la razón en tre sus áreas?

7. Encuéntrese la circunferencia y el área de un círculo de diám etro 4 cm. ¿En qué son diferentes?

O

8. Encuéntrese el área del polígono regular. (Ejercicio 8)

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Page 440: Geometria - Clemens

Repaso de álgebra

R epaso de á lg e b ra 429

Evalúese cada fórm ula para la le tra indicada.

1. A = bh; para A si b = 6 cm, h = 4 cm.

2. A = \h (b¡ + b2)-, para A si h ■= 7 cm, b¡ = 9 cm, b2 = 15 cm.

3. C = 2t¡r ; para C si r = 14 cm (empléese n = 3.14).

4. A = 4wr2; para X si r = 14 cm.

5. F = fw r3; para V si r = 14 cm.

6. V = \B h ; para h si V = 100 cm3, -B = 30 cm2.

1. A = \ h (bl + b2); p a ra h si ^4 = 36 cm2, = 12 cm, b2 = 8 cm.

8. / í = 4wr2; para r si = 1007r m 2.

9. A = rrrl -f wr2; para A si r = 4^ pulgadas, X = 8^ pulgadas.

s2 V 310. 1 = —-— ; para s si A = 6 \ /3 yardas cuadradas.

Despéjese x.

11. (* + 2X* - 3) = 0.

14. x 2 — 6x + 9 = 0.

17. x (x - 1) = 90.

20. x2 - 11* = 180.

Resuélvase.

12. x2 - 9 = 0.

15. x 2 -f 5x = —6.

18. 6x2 - 7 x = 5.

21. x ( x - 5 ) + 6 = 0.

13. x 2 + 4x + 4 = 0.

16. x 2 + x — 2 = 0.

19. 1 - 8x + 15x2 = 0.

22. 0 = 5x - 3 x 2 + 2.

23. Encuéntrese el área de un camporectangular cuya longitud es 100 yardas, y su ancho, 79 yardas.

25. El perím etro de un rectángulo es 40 cm, y su longitud, 5 cm m ayor que su ancho. Encuéntrese el área.

27. L a base de un triángulo es tres veces la longitud de su altura. Si estas dos m edidas sum an 72 m m , ¿cuál es el área del triángulo?

29. Las dimensiones de un jard ínrectangular son 40 m x 24 m. Alrededor del ja rd ín hay un cam ino. E l área del ja rd ín y el cam ino es 1232 m 2. Encuéntrese el ancho del camino.

24. Encuéntrese el área de un cuadrado cuyo perím etro es 20 cm.

26. U na laguna circular tiene 48 m etros de diám etro. ¿Cuál es su área?

28. L a longitud y el ancho de un rectángulo sum an 100 yardas. Su diferencia es 7 yardas. ¿Cuál es el área del rectángulo?

30. El ancho de un rectángulo es 16 cm. La diagonal es 4 cm m ayor que la longitud. Encuéntrese la longitud del rectángulo.

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Page 441: Geometria - Clemens

Gráficas por computador: transformaciones

El análisis de form as es un uso im portante de las gráficas po r com putador.Prim ero se analizará la idea de m over una form a en un plano. Loscom putadores pueden program arse para m over una figura a diferentes posiciones de la pantalla. Estos m ovim ientos se llam an transformaciones.

U na de las transform aciones que pueden emplearse es la traslación. En un program a, el m andato que aparece a continuación hará que el pun to (x, y) se mueva 50 unidades hacia la derecha y 70 unidades hacia arriba. Es una línea de un p rogram a la que causa la traslación de una figura.

HPLOT X,Y TO X + 50, Y + 70 Antes de la traslación Después de la traslación

En un program a, el m andato que aparece a continuación hará que el pun to (x, y) sufra una ro tación de 90° sobre su origen en el sentido contrario a las manecillas del reloj. P odría ser una línea de program a la que causa la ro tación de una figura.

HPLOT X, Y TO — Y,X

Antes de la ro tación Después de la rotación

En un program a, el m andato que aparece hará que un pun to (x, _y) se refleje en el eje de las y. P odría ser una línea de un program a la que cause la reflexión de una figura.

HPLOT X,Y TO —X,Y

Antes de la reflexión Después de la reflexión

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Page 442: Geometria - Clemens

La ventaja de usar com putadores para m ostrar diferentes vistas de un objeto es particularm ente interesante p a ra sólidos tridimensionales. L a ilustración m uestra un ejemplo de sólido de este tipo.

A continuación se m uestra cóm o puede servir un com putador para presentar diferentes vistas de este sólido.

En cada una de estas figuras, la pantalla del com putador m uestra al sólido de acuerdo con el plano xy.

mmm ¡ni i!§gg¡¡¡¡¡¡¡I ÜSÜ1

■ l i l i ! »m m m ■im 111BS

Una vista del plano xy. Una vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las y-

Una vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las x.

1. P a ra el sólido que se m uestra a continuación, elabórense bosquejos de las cuatro vistas presentadas antes.

2. H ágase un bosquejo tridim ensional propio. P ara este sólido, dibújense las cuatro vistas m ostradas antes.

Una vista después de una rotación de 90° sobre el eje de las z.

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Page 443: Geometria - Clemens

CAPITULO 1212.1 P irá m id e s y p r is m a s 434

12.2 A re a d e p r is m a s y p irá m id e s 440

12.3 V o lu m e n d e p r is m a s 444

12.4 V o lu m e n d e p irá m id e s 448

12.5 A re a y v o lu m e n d e c i l in d ro s 452

12.6 A re a y v o lu m e n d e c o n o s 456

12 .7 A re a y v o lu m e n d e e s fe ra s 460

12.8 P o lie d ro s re g u la re s 464

C o n c e p to s im p o r ta n te s 468 R e s u m e n 469 E x a m e n

Técnicas para la solución de problem as

H á g a s e un d ib u jo p re c is o 471

La geom etría en nuestro mundoN a v e g a c ió n 472

470

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Sólidos

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434 S ólidos

12.1 Pirámides y prismas

L a fo rm a de p irá m id e fue u tiliz a d a p o r m u ch as c iv ilizac iones an tig u as . L os eg ipcios c o n s tru y e ro n las q u e a p a re c en e n la fo to g rafía ; e s ta s p irám id es so n e jem p lo s de poliedros.

U n poliedro es u n o b je to tr id im e n s io n a l fo rm a d o p o r reg io n es p o lig o n a le s d e n o m in a d a s caras. L o s la d o s y vértices d e las c a ra s rec ib en los n o m b re s de aristas y vértices del p o lied ro .

Definición 12.1

U n poliedro está form ado por un núm ero finito de regiones poligonales. C ada arista de una región es la arista de exactam ente o tra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice.

Definición 12.2

U na pirámide es un poliedro en el cual todas las caras, menos una, tienen un vértice com ún. Ese vértice com ún es el vértice de la pirám ide, y la cara que no contiene a l vértice es la base de la pirámide.

E s te p r ism a tr ia n g u la r es u n a clase especia l d e p o lied ro .

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Page 446: Geometria - Clemens

Un prism a es un poliedro que satisface estas condiciones:1. H ay un p ar de caras congruentes sobre

p lanos paralelos {bases).2. Todas las dem ás caras son paralelogramos.

12.1 P irá m id e s y p rism a s 435

D efin ic ión 12.3

T a n to e n los p rism as co m o en las p irám id es , las c a ra s q u e n o so n b ases se lla m a n caras laterales, y las a r is ta s q u e no p e rten ecen a la b a se se lla m a n aristas laterales. U n seg n w u io q u e es té e n tre las bases d e u n p r ism a y sea p e rp e n d ic u la r a ellas es u n a altura . U n seg m en to q u e vaya d e l vértice a la b ase d e u n a p irá m id e y sea p e rp e n d ic u la r a la b ase , es u n a altura.

prisma recto

U n a p irá m id e es regular si su b a se es un p o líg o n o re g u la r y su s a r is ta s la te ra le s so n c o n g ru en te s .

U n p r ism a es u n prism a recto si sus a ris ta s la te ra le s so n p e rp e n d ic u la re s a las bases.

pirámide regular . . .inclinada

E ste te o re m a estab lece u n a c a ra c te r ís tic a im p o r ta n te d e los p rism as.

Teorema 12.1 L as aristas laterales de un p rism a son parale las yco n g ru en te s .

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Page 447: Geometria - Clemens

436 S ólidos

EJERCICIOSA.

1. ¿Cuál de estas figuras no es una pirám ide y p o r qué?

2. ¿Cuál de estas figuras es un prisma

b.

y po r qué?

(Ejercicios 11, 12)

3. Cítense cinco aristas de la base en esta pirámide.

4. Cítense cinco aristas laterales en esta pirámide.

5. Identifiqúense cinco caras laterales en esta pirámide.

6. Cítense las aristas de la base de este prisma.

7. Cítense las aristas laterales de este prisma.

8. Identifiqúense las caras laterales de este prisma.

9. ¿Qué relación existe entre el núm ero de aristas de la base y el núm ero de aristas laterales de una pirám ide cualquiera?

10. ¿Qué relación existe entre el núm ero de aristas de la base y el núm ero de aristas laterales de un prism a cualquiera?

11. Si se considera que el cubo que se m uestra a continuación es un prism a y se tiene que ABCD es una base, dígase cuáles son la segunda base y las aristas laterales.

12.

(Ejercicios 3-5)

(Ejercicios 6-8)

P ara este mismo cubo, si se considera que A B F E es una base, digase cuáles son la segunda base y las aristas laterales.

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Page 448: Geometria - Clemens

12.1 P irá m id e s y p rism as 437

B.

Si las bases de un prism a son paralelogram os, el prism a recibeel nom bre de paralelepípedo. Los ejercicios 13 a 19 tra tan deparalelepípedos.13. Si BCG F es una base del prism a, dígase

cuál es la segunda base.14. Si A B F E es una base del prism a, dígase

cuál es la segunda base.

En los ejercicios 15 a 19, BC = 8, A B = 6 y BF = 5.Encuéntrense las siguientes longitudes.15. A E = _2_, 16. E H = JL.17. CD = JL. 18. D H = JL.19. Dígase cuáles son las cuatro diagonales de este

paralelepípedo.

20. Bosquéjese una pirám ide con base en forma de cuadrilátero. Las aristas que no se ven deben dibujarse con líneas de puntos. (Sugerencia: Prim ero, dibújese la base; después, elíjase el vértice y únase a los vértices de la base.)

21. Bosquéjese u n a pirám ide con base hexagonal.

22. Bosquéjese un prism a con base hexagonal.

23. Supóngase que todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos y que A B = 15 cm y AD = 8 cm. M uéstrese que A C = 17.

24. M uéstrese que la diagonal AG tiene una longitud de x/338.

25. D ad o un paralelepípedo con todas las caras rectangulares como el que se m uestra, si EH = 10, DC = 4 y FB - 4, encuéntrese la longitud de la diagonal H B .

26. Supóngase que todas las caras de un paralelepípedo son rectángulos. Si A C == a, AB = b y EC = c, muéstrese que BE == J a 2 + b 2 + c2.

27. En el cubo siguiente, A B = 5.Encuéntrese la longitud de la diagonal AC.

(E jercic ios 13-19)

H

D8 cm

E-----1-------

17 cm ■ Je

15 cm B(E jercic ios 23 , 24)

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Page 449: Geometria - Clemens

438 S ó lidos

c.28. ¿De qué tipo es el poliedro con vértices

ABC D P de esta figura?

29. ¿En cuántas pirám ides dividen al cubo los segm entos que van de P a cada uno de los vértices?

30. Dígase cuál es la base de cada una de las pirám ides del ejercicio 29.

31. Supóngase que el cubo de la figura está co rtado por un p lano ACF, form ando la pirám ide ABCF. Expliqúese p o r qué esta pirám ide es regular. (Recuérdese que las aristas de un cubo siem pre tienen la misma longitud.)

32. ¿Cuál es la base de la pirám ide regular que resultó de co rta r el cubo?

33. ¿C uántas pirám ides regulares como

(Ejercicios 28-30)

* puvuvii w iia ia v u ti tuuu :Cítense. F

S i V \ \34. Si se quitan cuatro pirám ides com o

A B C F del cubo de la figura, queda el/

// y D

v \A

Cpuncuiu / i t n r . c ítense toaas las caras de ACFÍF y expliqúese po r qué son

Atodas triángulos equiláteros. ¿ (Ejercicios 33, 34)

(Ejercicio 32)

ACTIVIDADES

A continuación s e explica un m étodo p a ra constru ir unap irám ide con b a s e triangu la r a partir de un so b re p a ra ca rta sce rrad o . C om plétese la construcción.1. M árquese el punto C de m an era q u e A ABC s e a un

triángulo equilátero .2. H ág ase un corte a lo largo de DE, que p a se por C y s e a

p a ra le lo a ÁB.3. H ág ase un doblez a lo largo de AC y BC, a d e lan te y a trás.4. S e a C' el punto en el rev e rso del lado co rresp o n d ien te a C.5. A brase y com prím ase el so b re de m an era q u e los puntos

D y £ s e jun ten y q u e C y C' s e se p a re n . P é g u e se a lo largo de C C ' y la p irám ide e s tá term inada.

C onstrúyase o tro só lido con e s te m étodo.

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Page 450: Geometria - Clemens

12.1 P irám ides y p rism as 439

35. En este paralelepípedo, expliqúese por qué el punto O es el pun to m edio de AG y BH.

36. ¿De qué paralelogram o son diagonales los segmentos CE y A G I

37. Expliqúese p o r qué O es el pun to m edio de CE.

38. U na escuela tiene un pasillo de 9 pies de a ltu ra por 9 pies de ancho que hace esquina com o m uestra la figura. (Esto puede considerarse com o la intersección de un p ar de paralelepípedos con caras rectangulares.) ¿Es posible hacer pasar una pértiga de 12 pies po r la esquina de este pasillo? Expliqúese.

39. L a figura m uestra una vista aérea_del _ pasillo del ejercicio anterior. Si A B || CD, verifiqúese que CD = 18N/2 .

40. ¿Se podría hacer pasar po r la esquina del pasillo una pértiga ligeram ente m ás larga de 18 y j 2 pies? Expliqúese.

(E jercicios 35-37)

SOLUCION DE PROBLEMASUna ca ja d e d im en sio n es 2 x 4 x 8 puede a ta rs e con una cin ta con d o s m étodos d iferen tes. ¿Q ué can tidad d e c in ta se req u ie re en c ad a caso ?(Sugerencia: P ié n se se en cortar la ca ja y ab rirla p a ra ca lcu la r la can tidad de cinta q u e s e n eces ita p a ra el seg u n d o m étodo.En el d iag ram a, a lg u n a s c a ra s s e m uestran dos veces.)

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Page 451: Geometria - Clemens

440 S ó lidos

A rea = sum a de las áreas de las ca ras la terales + áreas de las bases.

12.2 Areade prismas y pirámides

Los diseñadores profesionales y aficionados de interiores necesitan determinar la cantidad de material que se requiere para decorar superficies. En ocasiones, objetos familiares tales como mesas auxiliares o vitrinas tienen forma de prisma. Con frecuencia es necesario calcular las áreas de estas superficies.

Las áreas de prismas y pirámides pueden encontrarse usando la siguiente regla:

Considérese un prisma de altura h, con caras laterales rectangulares y bases pentagonales.

Si el área de cada base es B y las aristas de la base tienen longitudes eu e2, e3, e4 y e5, entonces:

área de las caras laterales = e j i + e2h + e3h + ejx + e5h= /i(ej + e2 + e3 + e4 + e5)= hp, donde p es el perímetro de la base.

Teorema 12.2 Dado un prisma con caras laterales rectangulares, si la alturadel prisma es h y las bases tienen área B y perímetro p, entonces el área S se encuentra con la fórmula S = hp + 2 B.

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Page 452: Geometria - Clemens

12.2 A rea de p rism a s y p irá m id e s 441

El á re a to ta l d e u n a p irá m id e es ig u a l a la s u m a d e las á re a s de las c a ra s la te ra le s m á s el á re a d e la base.

C o n sid é rese u n a p irá m id e re g u la r c o n base p e n ta g o n a l, a l tu r a in c lin a d a t , y a r is ta s de la b ase de lo n g itu d e s e¡ = e 2 = e 3 = e 4 = e 5.

S u m a d e las á re a s de las c a ra s la te ra le s =

= + 2e2^ "t"

= % l(el + e2 + e3 + e4 + e5)

= \ Ip , d o n d e p es el p e r ím e tro de la base.

E s ta in fo rm a c ió n se re su m e en el s ig u ien te teo rem a .

Teorema 12.3 D a d a u n a p irá m id e re g u la r c o n a l tu r a in c lin a d a t y b asec o n á re a B y p e r ím e tro p, e l á re a S se e n c u e n tra c o n la fó rm u la

S = f y p + B.

A P L IC A C IO N

E n o casio n es, es n ecesa rio a d a p ta r la s fó rm u las p a ra ap lica rla s a d e te rm in a d o s o b je to s . P o r e jem p lo , considérese la p lo m a d a (un p eso q u e se em p lea e n c o n s tru c c ió n ) q u e se m u e s tra a la d erech a . S u fo rm a es la de u n p r ism a h ex ag o n a l co n u n a b a se u n id a a u n a p irá m id e h ex ag o n a l en la p a r te in fe rio r. U n fa b r ic a n te necesita s a b e r el á re a de e s ta pieza.

P o r el d ib u jo se p u e d e c a lc u la r q u e el á re a d e la b ase es

6 ^ / 3 c m 2. D e los te o re m a s 12.2 y 12.3 se tien e q u e el á re a del p r ism a y d e la p irá m id e es:

A rea del p r ism a = (12)(8) cm 2 + 12 v /3 c m 2.

A re a de la p irá m id e = i(5)(12) c m 2 + 6 ^ / 3 c m 2.

P e ro u n a b a se d e l p r ism a y la b a se d e la p irá m id e so n co m u n es. D a d o q u e n in g u n a d e e s ta s bases es p a r te de la superfic ie de la p lo m a d a , se d eb e re s ta r d o s veces el á re a d e la b

P o r ta n to , el á re a d e la p lo m a d a es:= (12)(8) + 1 2 V 3 + i(5 )(1 2 ) + 6 V 3 - 2(6 V 3 ) = (126 + 6 \ /3 ) c m 2^

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Page 453: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

442 S ó lidos

A.

En los ejercicios 1 y 2, selecciónese la fórm ula correcta para encon trar el área, p es el perím etro de la base, h es la altura, t es la a ltu ra inclinada y B es el á rea de la(s) base(s).

1* C' i d.

a. S = \p h + 2 B.

b ■ S ~ p k + B.

S = ph + 2 B.

S = p l + 2B.

rectos y de la pirám ide regular.

3.

a . S = \p h + B.

b . S = p l + B.

c. 5 = \ p í + 2B.

d. S = \ p l + B.

4.

I1.5

Encuéntrese el área de una caja sin tapa de 5 unidades de longitud, 3 unidades de ancho y 2 unidades de altura.

B.

Encuéntrense las áreas de estas pirám ides regulares.

7. Encuéntrese el área de un prism a recto con bases de triángulo equilátero si todas las aristas m iden 2 unidades de longitud.

ACTIVIDADES'

Un d e lta e d ro es un p o lie d ro con caras tr ia n g u la re s . E labó rense m ode los de de ltaed ros con p a lillo s y pegam ento . ¿Cuáles de e llo s son p irám ides?

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Page 454: Geometria - Clemens

12.2 A rea de p rism a s y p irá m id e s 443

11. L a superficie de un prism a con base cuadrada es 360 cm2, y la a ltu ra es el doble de la longitud de las aristas de la base. ¿Cuáles son las longitudes de las aristas del prisma?

12. El área de una pirám ide con base cuadrada es 48 cm 2. Si la altu ra inclinada es igual a la arista de la base,¿cuál es el área de la base?

13. ¿Cuál es la longitud de la a ltu ra de la pirám ide del ejercicio anterior?

14. Si la longitud de cada arista de un prism a se duplica, ¿cómo cam bia el área?

¡N

\

iiiii

------ A\

t2 x

I— j r - M

5 = 360 cm2

(E jercicios 1 2 ,1 3 )

c.15. Se desea cubrir unos m oldes para bizcochos de 20 cm de lado

po r 6 cm de profundidad con un m aterial antiadherente. Si la cantidad disponible de antiadherente cubre 100 m etros cuadrados, ¿cuántos m oldes podrán cubrirse?

16. U n recipiente con form a de pirám ide regular tiene la parte superior abierta. E sta parte es un hexágono regular con las dimensiones que m uestra la figura. Si se van a p in ta r 100 de estos recipientes, po r dentro y p o r fuera, con una p in tu ra que cubre 450 pies cuadrados p o r galón, ¿cuántos galones se requieren?

SOLUCION DE PROBLEMAS

En la fig u ra de la de recha , se saca ron 14 cubos p a ra fo rm a r un só lid o cuya á rea (inc luyendo la base) es 42 un idades.

1. ¿Cómo puede ca m b ia rse e l á re a a 44 un idades m oviendo un so lo cubo?

2. ¿Cóm o puede ca m b ia rse e l á re a a 40 un idades m ov iendo un so lo cubo?

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Page 455: Geometria - Clemens

444 S ó lidos

12.3 volumen de prismas

U n in g en ie ro civil e s tim a co s to s de c o n s tru c c ió n . E n la c o n s tru c c ió n de e s ta c a r re te ra , u n in g en iero d e te rm in a la c a n tid a d d e m a te r ia l q u e d eb e saca rse p a ra c o n fo rm a r el te r re n o c a lc u la n d o el vo lu m en .

H a y p o s tu la d o s q u e c a ra c te r iz a n el c o n c e p to d e v o lu m en y se e s tu d ia rá n en e s ta sección.

In tu itiv a m e n te se c o n s id e ra el v o lu m en co m o la c a n tid a d d e esp ac io q u e o c u p a un só lido .

IIIL

✓✓✓ V

S e in ic ia rá el e s tu d io del v o lu m en c o n s id e ra n d o un só lid o d e n o m in a d o c o m ú n m e n te «ca ja» , y q u e se define c o m o u n só lido rectangular.

U n só lid o re c ta n g u la r tien e lo n g itu d , a n c h o y a ltu ra .

Ejemplo.E n c u é n tre se el v o lu m en (V ) de u n a c a ja d e 8 cm x 4 cmV = 2 cm x 4 cm x 8 cm = 64 c m 3 (léase 64 c e n tím e tro s cúbicos).

E s to eq u iv a le a c o n ta r el n ú m e ro de cu b o s de 1 cm d e la d o q u e c a b e n e n la ca ja . 1 cm

1 cm

1 cm

Postulado del volumenA cada sólido se le asigna un núm ero positivo único denom inado volumen.

Definición 12.4U n sólido rectangular es unprism a con bases rectangulares cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Postulado del volumen de un sólido rectangularEl volumen de un sólido rectangular es igual al p roducto de su longitud ( , ancho w y a ltu ra h.

Postulado de la suma de volúmenesSi un sólido es la unión de dos sólidos que no tienen puntos interiores en com ún, entonces su volumen es la sum a de los volúmenes de los dos sólidos.

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Page 456: Geometria - Clemens

12.1 V o lum en de p rism as 445

Imagínese un sólido rectangular cortado en rebanadas que pueden moverse para obtener sólidos de formas irregulares. El volumen del sólido será el mismo.

Igualmente, supóngase que dos sólidos pueden rebanarse de manera que sus partes superiores correspondientes tengan áreas iguales. La intuición sugiere que los volúmenes de los dos sólidos son iguales.

Definición 12.5U n a sección transversal de un sólido es una región com ún al sólido y a un plano que interseca al sólido.

Los ejemplos anteriores dan lugar a un postulado conocido como principio de Cavalieri, llamado así por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647).

Postulado de cavallerlSean S y T sólidos y X un plano. Si todo plano paralelo a X que interseca a S o T, tam bién interseca a S y a T en una sección transversal con la m isma área, entonces

Volumen S = Volumen T.

Los postulados de esta sección pueden combinarse para probar el siguiente teorema.

Teorema 12.4 El volumen de un prisma cualquiera es el producto de lalongitud de una altura por el área de la base.

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Page 457: Geometria - Clemens

446 S ólidos

EJERCICIOSA.

4. ¿C uántos cubos de 1 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 1?

6. ¿C uántos cubos de 1 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 2?

8. ¿C uántas pulgadas cúbicas tiene un pie cúbico?

Encuéntrese el volumen de los prim as de los ejercicios 9 a 11.

5. ¿C uántos cubos de 2 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 1?

7. ¿Cuántos cubos de 1 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 3?

B.

12. Si el área de la base de un prism a se duplica y la a ltu ra perm anece igual, ¿cuánto aum enta el volumen?

de hexágono regular

ACTIVIDADES!

D ibújense dos co p ias de e s ta figura y constrúyan- s e d o s sólidos.

U nanse los d o s só lidos p a ra fo rm ar un prism a. (Al d ibu jar la figura, a s e g ú re s e de q u e el polígono1 s e a un hexágono reg u la r y q u e los polígonos 2 se a n triángu los 45-45-90.)

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Page 458: Geometria - Clemens

12.3 V o lum en de p rism a s 447

13. Si las longitudes de todos los lados de una caja se duplican, ¿cuánto aum enta el volumen?

14. Los lingotes de p lata son barras m oldeadas com o la de la figura. Los extrem os son trapecios isósceles paralelos. ¿Cuál es el volumen?

15. U n recipiente rectangular tiene 5 cm de ancho y 12 cm de longitud, y contiene agua hasta una profundidad de 7 cm. Se m ete una piedra y el nivel del agua sube 1.7 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

16. U n ingeniero necesita encontrar el volumen de una construcción para diseñar un sistema de calefacción. Encuéntrese el volum en de la construcción de la figura.

17. Si un recipiente rectangular con base cuad rada tiene 2 pies de altu ra y un volumen de 50 pies cúbicos, encuéntrense la longitud y el ancho de la base.

18. Supóngase que el área de la base de un prism a es x pies cuadrados, y su altura, 2x pies. Si el volumen del prism a es 54 pies cúbicos, ¿cuál es su altura?

19. El plano de un ingeniero m uestra un canal con sección transversal trapecial de 8 pies de profundidad, 14 pies a lo largo de la base, y con las paredes form ando un ángulo de 45°. El canal tiene 620 pies de largo. Se estim a que el costo de excavación del canal será de 1.50 dólares po r yarda cúbica. Si se añade un 10 % para gastos extra, ¿cuál será el presupuesto?

20. U n m uro de contención de horm igón m ide 80 pies de longitud, con extrem os com o los de la figura. ¿Cuántas yardas cúbicas de horm igón se em plearon para construir este muro?

2'

SOLUCION DE PROBLEMAS¿C uán tas y a rd a s cú b icas de horm igón se necesitan p a ra los e sc a lo n e s d e la figura?

(Ejercicio 14)

1 2 cm

(Ejercicio 15)

(Ejercicio 16)

12"

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Page 459: Geometria - Clemens

12.4 volumen de pirámidesE n m u c h a s o casio n es es n ecesa rio e n c o n tra r el v o lu m en de u n o b je to q u e n o es n i un só lid o n i u n p r ism a reg u la r. E s te d ib u jo m u e s tra u n re c ip ie n te c o n fo rm a d e p irám id e de b a se tr ia n g u la r . C o n o c e r el v o lu m en del rec ip ien te es fu n d a m e n ta l p a ra el fab rican te .

El te o re m a 12.7 p ro p o rc io n a la fó rm u la p a ra e n c o n tra r el v o lu m en de u n a p irám id e . P r im e ro d e b e n p re se n ta rse o tro s d o s teo rem as , q u e se u san en el d e sa rro llo d e la fó rm u la .

448 S ó lidos

Teorema 12.5D a d a u n a p irá m id e c o n b a se B y a l tu r a h, si A es u n a secc ión tra n sv e rsa l p a ra le la a la b a se y la d is ta n c ia d esd e el v értice a la sección tra n sv e rsa l es K , e n to n ces

á re a A _ f K \ 2 á re a B \ h )

Teorema 12.6D o s p irá m id e s c o n a l tu ra s iguales y bases de ig u a l á re a tien en el m ism o vo lum en .

S u p ó n g a se q u e se d e sea e n c o n tra r el v o lu m en d e la p irá m id e W X Y Z . P a ra h a c e r esto , p rim e ro d eb e e n c o n tra rse e l v o lu m en d e la p irá m id e re c ta A B C D co n á re a d e la b a se ig u a l a la de A X Y Z y a l tu r a h. E m pléese el te o re m a 12.6.

W __ A

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12.4 V o lum en de p irá m id e s 449

C onsidérese ah o ra el p irám ide ABCD.

p rism a recto con base y a ltu ra iguales a las de la

H áganse en el p rism a los dos cortes siguientes:

í . C órtese desde A a través de BD.

2. C órtese desde A a través de ED.

Entonces

1. V olum en de ABCD = volum en ADEF. Las bases de A B C D y A A E F tienen la m ism a área, y las a ltu ra s A C y DF son de igual longitud. P o r tan to , el teo rem a 12.6 im plica la igu a ld ad en tre volúm enes.

2. V olum en ADEF = volum en ABDE. Estas dos p irám ides tienen bases ABD E yA FDE de áreas iguales, ya que son las m itades del rectángu lo BDFE. L as a ltu ras de am b as p irám ides se fo rm an p o r un segm ento perpend icu lar que va de A a la base opuesta , p o r lo que las a ltu ras son iguales. E l teo rem a 12.6 establece que los volúm enes son iguales.

P o r tan to , el volum en de la p irám ide ABCD = i del volum en del

p rism a ABCD EF= $hB.

Teorema 12.7 D a d a u n a p irám ide de a ltu ra h y á rea de la base B, elvolum en se en cu en tra p o r la fó rm ula V — 3hB.

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Page 461: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

450 S ó lidos

A.

Clasifiquense los ejercicios 1 a 5 como falsoso verdaderos.

1. Si dos pirám ides de altu ras iguales tienen bases congruentes, entonces sus volúmenes son iguales.

3. Si dos pirám ides tienen volúmenes iguales y alturas iguales, entonces sus bases son necesariam ente congruentes.

5. U n a pirám ide con base cuadrada no puede tener nunca un volumen igual al de una pirám ide con base triangular.

Encuéntrese el volumen de estas pirámides.

2. Si dos pirám ides tienen volúmenes iguales, entonces sus alturas son necesariamente iguales.

4. Si dos pirám ides tienen volúmenes iguales y bases de la m isma área, entonces sus alturas son necesariamente iguales.

área de la base = 51

B.En los ejercicios 9 a 11, encuéntrese el volum en de las pirám ides regulares que se muestran.

9.

ACTIVIDADES'

D ibú jese una a m p lia c ió n de es ta fig u ra , recó rtense dos cop ias, dób lense y péguense pa ra fo rm a r dos p o lie d ro s . ¿Se pueden u n ir es tos dos p o lie d ro s para fo rm a r una p irám ide?(A l d ib u ja r la fig u ra , asegú rese de que el po lígono 1 sea un cuad rado y de que los po lígonos 2 y 3, jun tos , fo rm e n un hexágono regu la r.)

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Page 462: Geometria - Clemens

12.1 V o lum en de p irá m id e s 451

12. Las bases de estas dos pirámides tienen áreas iguales. ¿Qué relación existe entre sus volúmenes?

13. Estas dos pirám ides tienen altu ras iguales y bases cuadradas. ¿Qué relación existe entre sus volúmenes?

14. ¿Cuál es el á rea de la sección transversal A de esta pirámide?

15. ¿Cuál es el volum en de la porción som breada de esta pirámide?

16. ¿Cuál es el volum en de un octaedro regular cuyas aristas m iden 3 de longitud?

17. U n a represa está situada a lo largo de un lado de un estacionam iento de vehículos. L a represa empieza en el pun to A y se hace más profunda a m edida que aum enta su anchura. El borde superior BC de la parte más profunda mide 8 m etros de ancho. El punto B está a 40 m etros de A. El punto D, el m ás profundo, está 1.5 m etros po r debajo de BC. En D hay un desagüe que drena 50 litros po r m inuto. D ado que un m etro cúbico tiene 1000 litros,¿cuántas horas ta rdará en vaciarse la represasi está llena? (Supóngase que AB C D es una pirámide.)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS___

octaedro regular

i i

M uchos d ib u jo s en co p ia s h e lio g rá fica s m uestran la p a rte s u p e rio r, un lado y el fre n te de lo s ob je tos . O bsérvese que las lineas punteadas m uestran cortes que no están a la v is ta .

B osqué jense dos «cortes de b loques» que tengan las v is ta s s u p e rio r y fron ta l igua les y d ife re n te v is ión la te ra l.

partesuperior

lado JO ---

frente

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Page 463: Geometria - Clemens

12.5 Area y volumen de cilindros

452 S ólidos

M u c h o s o b je to s de u so c o rr ie n te so n ejem plos de fo rm a s c ilind ricas. E s to s d ib u jo s m u e s tra n a lg u n o s d e ellos. E n e s ta sección se defin irá el c ilin d ro c irc u la r y se d esc rib irá n fó rm u la s p a ra c a lc u la r su á re a y su vo lum en .

U n cilindro es c o m o u n p r ism a e n el s e n tid o d e q u e tien e bases c o n g ru e n te s en un p a r d e p la n o s p a ra le lo s . L as b a ses so n reg io n es c ircu la res co n g ru en tes .

E l seg m en to q u e u n e lo s c e n tro s de la s d o s b ases se lla m a eje del c ilin d ro . U n c ilin d ro es recto si su eje es p e rp e n d ic u la r a las bases. L a a ltu ra del c ilin d ro es la lo n g itu d del eje.

U n c ilin d ro p u e d e c o n s id e ra rse c o m o u n p r ism a c o n u n n ú m e ro in fin ito d e lad o s. L a superfic ie la te ra l y la c ircu n fe ren c ia de las bases d e u n c ilin d ro c o rre sp o n d e n , re sp ec tiv am en te , a las c a ra s la te ra le s y a l p e rím e tro de u n p rism a.

caraslate ra lesN.

p i»^ perím etro

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Page 464: Geometria - Clemens

12.5 A rea y vo lum en de c ilin d ro s 453

L o s d o s te o re m a s sig u ien tes d esc rib en el á re a y el v o lu m en d e un cilin d ro c irc u la r rec to .

Teorema 12.8 D a d o u n c ilin d ro c irc u la r rec to de a l tu r a h, si lac ircu n fe ren c ia de la b a se es C y el á re a de la b a se es B , el á re a S e s tá d a d a p o r la fó rm u la

S = C h + 2B = 2nrh + 2 n r 2.

Teorema 12.9 D a d o u n c ilin d ro c irc u la r re c to c o n á re a d e la b a se B ya l tu ra h, su v o lu m en e s tá d a d o p o r la fó rm u la

V = B h = n r 2h.

Ejemplo 1

U n rec ip ien te c o n fo rm a d e c ilin d ro c ircu la r rec to m id e 35 cm de a l tu r a y 16 cm de d iá m e tro . E n c u é n tre n se el á re a y el vo lum en .

.9 = 2tt(8) • 35 + 2tt(8)2

= 560tt + 128tt

= 6 8 8 7 7 - cm 2.

V = tt(8)2 • 35

= 2240tt cm 3.

35 cm

8 era.

■ 16 c m ■

Ejemplo 2

Si el ra d io y la a l tu r a de u n c ilin d ro se d u p lic a n , ¿en c u á n to c a m b ia n su á re a y su vo lum en?

S (cilind ro g ran d e ) = 2n(2r)(2h) -+- 2-n(2r)2

= A ^ r h ) + 4(27rr2)

= 4 5 (c ilin d ro pequeño).

F (c ilin d ro g ran d e ) = rr(2r)2(2h)

= 8777- ^

= 8 V (c ilin d ro p eq u eñ o ).

2 r

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Page 465: Geometria - Clemens

EJERCICIOSA.

Encuéntrense el área y el volumen de los cilindros de los ejercicios 11.

454 S ó lidos

2.

a 3.

d35

B.

4 e ? !0 d í ¡ t° r f “ f “ ti° ° ‘ ! ] pies de a ltu ra’y el rad io * »» base es 10 pies. ¿C uantos pies cúbicos contiene el depósito?

5. ¿C uántas yardas cúbicas contiene el depósito del ejercicio 4?

6' H? l C° IU índ- a de mármo1 m ide ^ Pies de altu ra y 80 cmn , ' 7 ? :°- f 1 1 m dC márm01 Pesa 300 k& encuéntrese el peso de la columna.

7. El volumen de un cilindro circular recto es 972 cm 3. Si la altura es 12 cm, ¿cual es el radio de la base?

8. La razón entre los radios de dos cilindros circulares rectos de la misma altu ra es 2:1. ¿Cual es la razón entre los volúmenesde los dos cilindros?

ACTIVIDADES!

m adera o cu a lq u ie r o tro m a te ria l que ocupe po r co m p le to es tos a g u je ro s y pueda p a sa r a tra vé s de e llos s in ca m b ia r de fo rm a.

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Page 466: Geometria - Clemens

12.5 A re a y vo lum en de c ilin d ro s 455

9. En un cubo se corta un cilindro de 8 pulgadas de diám etro. L a arista del cubo tam bién m ide 8 pulgadas. Encuéntrense el volumen y el área de este sólido hueco.

10. U n rectángulo de 4 x 7 se rota alrededor del lado largo p a ra generar un cilindro y se ro ta alrededor del lado corto, para generar o tro cilindro. ¿Cuál es la razón en tre los volúmenes de estos cilindros?

11. En una caja se em balan seis latas cilindricas. ¿Cuál es la razón entre el volumen de la caja y los volúmenes de las seis la tas juntas?

12. Encuéntrense el área y el volumen de esta pieza de acero.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS-

E n cu én tren se el volum en y el á re a d e e s ta pieza.

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Page 467: Geometria - Clemens

456 S ólidos

12.6 Area y volumen de conos

L a fo rm a de c o n o sue le e n c o n tra rse e n el m u n d o rea l c o m b in a d a c o n la fo rm a de c ilin d ro . P o r e jem plo , la p u n ta d e u n lá p iz o la p u n ta d e u n a lfile r p u e d e c o n s id e ra rse c o m o u n c o n o m o n ta d o so b re u n c ilin d ro . U n n iñ o p u e d e c o n s tru ir u n castillo de a re n a c o m b in a n d o e s ta s fo rm as.

vérticeL a fig u ra defla d e re c h a es u n cono

circu lar m e to . T ie n e u n a base c irc u la r y un vértice.

S u eje es el seg m en to q u e u n e a l v értice co n el c e n tro de la base . E l c o n o se lla m a recto p o rq u e el e je es p e rp e n d ic u la r a la base. base

U n c o n o p u e d e c o n s id e ra rse c o m o u n a p irá m id e c o n u n n ú m e ro in fin ito de c a ra s la te ra les . L a superfic ie la te ra l de u n c o n o c o rre sp o n d e a la s c a ra s la te ra le s d e u n a p irám id e . L a a l tu r a in c lin a d a ({) d e un c o n o c o rre sp o n d e a la a l tu ra in c lin a d a ( t ) d e u n a p irám id e , y la c ircu n fe ren c ia (C) d e la b a se de u n c o n o c o rre sp o n d e a l p e r ím e tro (p) de la b ase d e la p irám id e .

a ltu rainc lin ad

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Page 468: Geometria - Clemens

12.6 A rea y vo lum en de conos 457

El te o re m a s ig u ien te d esc rib e el á re a d e u n co n o .

Teorema 12.10 D a d o un co n o c ircu lar recto con a ltu rainclinada C, si la circunferencia de su base es C y el á rea de la base B, en tonces el á rea S está d ad a p o r la fórm ula

S = C + B = nrí + nrz.

base

L a fó rm u la d e l v o lu m en d a d a en el s ig u ien te te o re m a es sim ila r a la fó rm u la p a ra el v o lu m en de u n a p irám id e .

Teorema 12 .11 D a d o u n c o n o c irc u la r re c to c o n a l tu r a h y á re a d e la b aseB , e l v o lu m e n e s tá d a d o p o r la fó rm u la

V = %hB = %nr2h

Ejemplo

U n c o n o c irc u la r re c to tie n e a l tu r a 15 y ra d io d e la b ase 8. E n c u é n tre n se la a l tu ra in c lin ad a , el á re a y el vo lum en .

a. a l tu ra in c linada:t 2 = 64 + 225 = 289. i = 17.

b. S = tt(8X 17) + 7r64 = 2007?.

c. V — ^tt(8)215 = 320tt.

nríá re a latera l

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Page 469: Geometria - Clemens

458 S ólidos

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 3, encuéntrense el volumen y el área de cada uno de los conos rectos.

3.

B.

4. El radio de un cono es 5 cm, y su altura, 12 cm. Encuéntrense el área y el volumen.

5. Si el volum en de un cono es 72 n, encuéntrense la a ltu ra y el rad io si son iguales.

6. U n recipiente está form ado p o r un cilindro circular recto de 4 cm de diám etro y 8 cm de a ltu ra , y un cono de 6 cm de altura. Encuéntrese el volumen del recipiente.

7. Encuéntrese el área del recipiente.

8. Encuéntrese el volumen de este trompo.

9. Encuéntrese el área de este trom po.

10. U na pila de arena tiene form a de cono. ¿C uántas yardas cúbicas de arena hay en él? (Para grandes cantidades de arena se em plea la yarda cúbica.)

ACTIVIDADES!

(E jercic ios 6 , 7 )

■ - ■ (E jercic ios 8 , 9)

C ons trúyanse o cons íganse m ode los de cono y c ilin d ro s in una tapa, que tengan el m ism o ra d io y la m ism a a ltu ra .

L lénese el cono con a rena y luego vacíese la a rena en e l c ilin d ro .

¿Cuántos conos de a re n a se requ ie ren p a ra lle n a r e l c ilin d ro ?

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Page 470: Geometria - Clemens

12.6 A rea y vo lum en de conos 459

11.

12.

13.

¿C uántas pulgadas cúbicas de grafito hay en la p un ta afilada de este lápiz? (Empléese una calculadora.)

0.125" d iám etro

0.25

14.

Este sólido está form ado po r un cono cortado o truncado por un plano paralelo a la base del cono. Encuéntrense el volumen y el área. (Sugerencia: Empléense triángulos semejantes para encontrar la altu ra del cono original.)

Los catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes 2 y 3. Al ro ta r los triángulos sobre sus lados cortos y largos, se form an conos. Encuéntrese la razón entre los volúmenes y la razón entre las áreas de am bos sólidos.

Este sólido se forma cortando un cono con un plano paralelo a la base y luego perforando la parte superior en forma de cono. Encuéntrese el volum en de este sólido. : t i

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Relaciónense correctam ente los objetos del conjunto 1 con su visión (superior o lateral) del conjunto 2.

C onjun to 1 1

C on jun to 2 1 liijii .i: ;■ .iiff.

£

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Page 471: Geometria - Clemens

12.7 Area y volumen de esferas

E n e s ta secc ión , se e s tu d ia rá n las fó rm u las p a r a el v o lu m en y el á re a d e u n a esfera.

460 S ólidos

E l p u n to O d a d o es el cen tro d e la esfera. U n radio de u n a esfera es u n seg m en to d e te rm in a d o p o r el c e n tro y u n p u n to so b re la esfera. L a in te rsecc ió n de u n a esfera y u n p la n o q u e c o n tie n e a l c e n tro d e la esfe ra es un círculo m áxim o d e la esfera.

Definición 12.6

U na esfera es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia dada de un pun to dado.

L a ex p licac ió n de la fó rm u la del te o re m a 12.12 e s tá b a s a d a e n u n a c o m p a ra c ió n e n tre u n a esfera y u n c ilin d ro a l q u e se le h a p e rfo ra d o u n c o n o do b le . L os ra d io s d e la esfera y del c ilin d ro so n igua les. L a a l tu ra del c ilin d ro es el d o b le del rad io .

m áxim o

Teorema 12.12 D a d a u n a esfe ra d e ra d io r, e l v o lu m en se e n c u e n trac o n la fó rm u la

V = ir3.

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Page 472: Geometria - Clemens

12.7 A re a y vo lum en de es fe ras 461

C o n sid é rese u n a secc ión tra n sv e rsa l d e la esfera y d e l c ilin d ro p e rfo ra d o q u e e s tá a u n a d is ta n c ia b del c e n tro de la esfera. Se tien e p o r el te o re m a de P itá g o ra s q u e la d is ta n c ia a e n la fig u ra es a 2 = r 2 — b2.

BE l trián g u lo e n ro jo es isósceles

C o m p á re n se la s á re a s d e las d o s secciones tran sv ersa les .

Area = -rrá2. A rea = wr2 — iib2 = ^ ( r2 - b2)— 'na2.

D a d o q u e las á re a s de la s d o s secciones tran sv e rsa le s so n igua les, p o r el p r in c ip io d e C av a lie ri (pág . 445) se co n c lu y e q u e el v o lu m en de la esfera A es ig u a l a l v o lu m en del só lid o B en el q u e se p e rfo ra ro n d o s conos.

E l v o lu m en del só lid o B p u e d e ca lcu la rse com o:

■J7r2(2 r) — 2( | tt r 2)(r) = 2tt r 3 — fw r3 = r r3.

E n to n ces , el v o lu m en d e la esfera A c o n ra d io r ta m b ié n es f n r 3.

E l te o re m a 12.13 d a u n a fó rm u la p a ra el á rea d e u n a esfera.

Teorema 12.13 D a d a u n a esfe ra d e ra d io r , el á re a S se e n c u e n tra c o n lafó rm u la

S = 47tr2.

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Page 473: Geometria - Clemens

462 S ólidos

EJERCICIOS

1. Encuéntrese el volum en de una esfera de rad io 9 cm.

2. Encuéntrese el área de una esfera de rad io 9 cm.

3. Encuéntrese el volumen de una esfera de rad io 2n.

4. Encuéntrese el área de una esfera de rad io 2n.

5. Si el área de una esfera es 36n, encuéntrese el radio.

6. Si el volumen de una esfera es 36n, encuéntrese el radio.

7. Si el área de una esfera es 87c, encuéntrese el radio.

8. Si el volum en de una esfera es 471^3, encuéntrese el radio.

En los ejercicios 9 y 10, supóngase que el sólido de la derecha es un cilindro recto tapado con dos semiesferas.

9. Encuéntrese el volumen del sólido que se muestra.

10. Encuéntrese el área del sólido que se m uestra.

11. Encuéntrese el volumen de una esfera cuya área es 144n unidades cuadradas.

12. Encuéntrese el área de una esfera cuyo volumen es 367t unidades cúbicas.

13. Si el núm ero de pies cuadrados del área de una esfera es igual al núm ero de pies cúbicos del volumen, ¿cuál es el rad io de la esfera?

ACTIVIDADES—

C onsígase un re c ip ie n te se m ie s fé r ico y o tro c ilin d r ic o ; e l d iám e tro de la base del c ilin d ro y su a ltu ra son igua les a l d iám e tro de la esfera.

Con a rena u o tro m a te ria l, m ídase cuán tos re c i­p ien tes se m ie s fé rico s se neces itan p a ra lle n a r el c ilin d ro .

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Page 474: Geometria - Clemens

12.7 A rea y vo lum en de es fe ras 463

C.

14. El rad io de u n a esfera es el doble que el rad io de otra. ¿Cuáles son las razones entre sus volúmenes y entre sus áreas?

15. U n a esfera está inscrita en un cilindro. M uéstrese que el área de la esfera es igual al área lateral del cilindro.

16. U n depósito esférico cuyo rad io a la superficie exterior es 15 pies, está hecho de acero de \ pu lgada de ancho. ¿C uán tos pies cúbicos de acero se usaron en la construcción del depósito?

17. U n cono tiene una altu ra igual al doble de su radio. U na esfera tiene un rad io igual al rad io de la base del cono. ¿Cuál es la relación entre el volum en del cono y el volumen de la esfera?

18. La T ierra no tiene form a esférica perfecta, sino que es un esferoide oblato. Determínese el radio prom edio de la T ierra si se sabe que el radio po lar es 6357 km y que el radio ecuatorial es 6378 km. Supóngase que la T ierra es u n a esfera perfecta y determ ínense su volumen y su área.

Circunferencia po la r

C ircunferencia m edia

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

Si se co rta una e s fe ra con un p lano, se ob tiene una po rc ión de e lla con base c ircu la r.

H echo: Si e l rad io de esta base c irc u la r es r , y su a ltu ra h, en tonces e l vo lum en de este casquete só lid o es

V = % ir\h + -frih3.

Si se p e rfo ra un a g u je ro de 3 cm de ra d io en el cen tro de una e s fe ra con ra d io 9 cm , encuén trese el vo lu m e n de es te só lido .

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Page 475: Geometria - Clemens

464 S ólidos

Teorema 12.14 H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidosconvexos.

12.8 Poliedros regularesA lg u n o s m in e ra le s y e sq u e le to s d e p e q u e ñ a s c r ia tu ra s m a r in a s so n m o d e lo s d e los só lid o s q u e se e s tu d ia rá n en e s ta sección. E s to s só lid o s se d e n o m in a n p o lied ro s .

Definición 12.7U n poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares con el mismo núm ero de aristas y cuyos vértices están rodeados, todos y cada uno, po r el m ism o núm ero de caras.

U n c u b o es u n e jem p lo de p o lie d ro reg u la r. E l m é to d o d esc rito a c o n tin u a c ió n p a ra c o n s tru ir u n c u b o p o r m ed io de la c o n s tru c c ió n d e un « te ja d o » es i lu s tra tiv o p a ra e l an á lis is del s ig u ien te teo rem a .

R o d éese u n vértice V co n tre s c u a d ra d o s .

D ó b lese , ú n a n se A y B p a r a fo rm a r u n « te jad o » trid im en sio n a l.

U n a n se d o s « te jad o s» p a ra fo rm a r u n cubo .

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Page 476: Geometria - Clemens

12.8 P o lied ros re g u la re s 465

L a ta b la s ig u ien te re su m e los c in co p o lie d ro s reg u la res co n v ex o s. S ólo p u e d e n c o n s tru irse c in co tip o s de « te jad o s» c o n p o líg o n o s reg u la res , re su lta n d o d e c a d a u n o u n p o lie d ro regu la r.

C a ra del p o lígonoN ú m e ro d e c a ra s e n u n vértice (V)

U n ió n d e A V y B V p a ra fo rm ar un

« te jad o » trid im en sio n a l

E l « te ja d o » co inc ide con c a d a vértice de un po lied ro

re g u la r co m p le to

tria n g u loeq u ilá te ro

A,B te tra e d ro reg u la r

trián g u loeq u ilá te ro

A,B o c ta e d ro re g u la r

trián g u loeq u ilá te ro

A,Bico saed ro regu lar

c u a d ra d o V B

cu b o

p e n tá g o n oreg u la r

K 'iA ,Bi \

d o d e ca ed ro reg u la r

El p refijo q u e se em p lea en e l n o m b re d e c a d a p o lie d ro re g u la r in d ica el n ú m e ro d e c a ra s q u e tiene . E s ta in fo rm a c ió n se resu m e e n la sigu ien te tab la .

N o m b re del p o lied ro P refijo y su significado N ú m e ro de caras

te tra e d ro te tra -4 4

cu b o (hexaedro) hexa-6 6o c ta ed ro octa-8 8do d ecaed ro d o deca-12 12ico saed ro icosa-20 20

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Page 477: Geometria - Clemens

EJERCICIOS______________A.

1. Cítense tres poliedros regulares cuyas caras sean triángulos equiláteros.

3. ¿Por qué un hexágono regular no puede ser la cara de un poliedro regular?

5. ¿Qué poliedro regular es una pirámide?

466 S ólidos

2. ¿Qué poliedro regular tiene 20 caras?

4. ¿Por qué no puede haber seis caras en un vértice de un poliedro regular?

6. ¿Qué poliedro regular es un prisma?

B.Empléese cartulina para constru ir un m odelo de cada poliedro regular. Los m odelos que se m uestran a continuación deben ampliarse. Córtese p o r las líneas continuas y dóblese por las de puntos.

7. Tetraedro 9. O ctaedro

ACTIVIDADES

1. R ecó rtense e n cartu lina dos m odelos g ran d es com o el q u e s e m u estra arriba.

2. H ágase un doblez a lo largo d e ABCDE.

3. C o ló q u ese un m odelo so b re el otro g irando 36°. S in so lta rlo s, p á s e s e una cin ta e lá s tica a lternativam en te por a rr ib a y por ab a jo de c a d a esquina.

4. Al levantar la m ano, s e v e rá un dod ecaed ro .

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Page 478: Geometria - Clemens

12.8 P o lied ros re g u la re s 467

10. D odecaedro 11. Icosaedro

c.El núm ero de caras (F), el núm ero de aristas (E) y el núm ero de vértices (K) de un poliedro satisfacen una de las fórm ulas que aparecen a continuación.

12. ¿Qué fórm ula corresponde a un tetraedro regular?¿Qué fórm ula corresponde a un octaedro regular?

a . F + E + V = 26. b . F - V + E = 10.

c. F - E + V = 2 . d . F - E + V = 0 .

L a respuesta correcta a este ejercicio se llam a fórmula de Euler.

¿Para cuáles de estos poliedros es válida la fórm ula de Euler?

Sean: F e l núm ero de ca ras de un po lie d ro , £ e l núm ero de a ris ta s de un p o lie d ro y V e l nú m e ro de vé rtice s de un po lie d ro . F x (núm ero de a ris ta spo r ca ra ) = 2£, po rq u e cada a ris ta de un p o lie d ro es la a ris ta de doscaras.

1. ¿Cuántas a ris ta s tie n e un oc taed ro regu la r?

2. ¿Cuántas a ris ta s tie n e un d o decaed ro regu la r?

3. ¿Cuántas a ris ta s tie n e un ico sa e d ro regu la r?

4 . En un dodecaedro re g u la r, F x (núm ero de vé rtice s /ca ra ) = 3V, po rque cada v é rtic e de un d o decaed ro re g u la r es el vé rt ic e de tres ca ras . ¿Cuántos vé rtice s tie n e un d o decaed ro regu la r?

13.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

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Page 479: Geometria - Clemens

468 S ólidos

Capitulo 12 Conceptos importantesTérminos

Poliedro (pág. 434)Pirám ide (pág. 434)Prism a (pág. 435)Sólido rectangular (pág. 444) Sección transversal (pág. 445)

Cilindro circular (pág. 452) C ono circular recto (pág. 456) Esfera (pág. 460)Poliedro regular (pág. 464)

Postulados

Postu lado del volumen (pág. 444)Postu lado del volumen de un sólido rectangular (pág. 444) Postulado de la sum a de volúmenes (pág. 445)Postu lado de Cavalieri (pág. 445)

Teoremas

12.1 Las aristas laterales de un prism a son paralelas y congruentes.

12.2 D ado un prism a con caras laterales rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h y las bases tienen un área B y un perím etro p, entonces el área S se encuentra con la fórm ula S = hp + 2B.

12.3 D ad a una pirám ide regular con altu ra inclinada í y una base con área B y perím etro p, el área S se encuentra con la fórm ula S = :¿tp + B.

12.4 El volumen de un prism a cualquiera es el p roducto de la a ltu ra por el área de la base.

12.5 D ada una pirám ide con base B y altu ra h, si A es una sección transversal paralela a la base y la distancia desde el vértice a la sección transversal es K , entonces

área A ( K N2

área B

12.6 D os pirám ides con alturas iguales y bases de igual área, tienen el mismo volumen.

12.7 D ada una pirám ide de a ltu ra h y área de la base B, el volum en se encuentra con la fórm ula V = ^hB.

12.8 D ad o un cilindro circular recto con altu ra h, si la circunferencia de la base es C y el área de la base es B, el área se encuentra con la fórm ula S = Ch + 2B = = 2 nrh + 2 n r2.

12.9 D ado un cilindro circular recto con área de la base B y a ltu ra h, el volum en se encuentra con la fórm ula V = Bh = nr2h.

12.10 D ado un cono circular recto con altu ra inclinada í , si la circunferencia de la base es C y el área de la base B, entonces el área S se encuentra con la fórm ulaS = C + B = n r t + nr2.

12.11 D ado un cono circular recto con a ltu ra h y área de la base B, el volum en está dado por la fórm ula V = %Bh - %nr2h.

12.12 D ada u n a esfera de radio r, el volumen se encuentra con la fórm ula V — § nr3.

12.13 D ad a una esfera con rad io r, el área S se encuentra con la fórm ula S = 4nr2.

12.14 H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidos convexos.

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Page 480: Geometria - Clemens

Capítulo 12 Resumen1. Encuéntrense el área y el volumen de un cubo con aristas

de 4 cm.

2. Encuéntrense las áreas de la pirám ide y del prism a regulares que se m uestran a continuación.

1 b.

A B — 10 cm, CD = 6 cm. B C = 6 cm, CD — 2 cm.

3. Encuéntrense los volúmenes de la pirám ide y el prisma regulares.

b.

VM = 8 cm, A B = 5 cm. P Q = 8 cm, CD = 4 cm.

4. ¿C uántos centím etros cuadrados de papel se necesitan para una etiqueta de una la ta cilindrica de 10 cm de a ltu ra y base circular de 6 cm de diám etro?

5. Encuéntrese el volumen de la la ta cilindrica del ejercicio 4.

6. El volumen de un cilindro circular recto es 1607T. Si la a ltu ra es10, ¿cuál es el diám etro de la base?

7. Encuéntrese el volumen del cono circular, donde PA = 12 cm y A B = 3 cm.

8. Si la a ltu ra de un cono circular recto se duplica, ¿cómo afecta esto al volumen?

9. U na esfera tiene un volum en de 36n cm 3. ¿Cuál es su radio?

10. Encuéntrese el área de una esfera con radio 10 cm.

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Page 481: Geometria - Clemens

470 Sólidos

Capítulo 12 Examen1. ¿C uántos cubos con aristas de 2 cm pueden colocarse dentro

de una caja de dimensiones 3 cm x 10 cm x 16 cm?

2. Encuétrese la diagonal de un cubo con aristas de 1 cm de longitud.

3. Encuéntrense las áreas de la pirám ide regular y el cilindro circular recto siguientes.

a. A b. 3cm

6 cm

A B = 6 cm, CD = 2 cm.

4. Encuéntrense los volúmenes del prism a y de la pirám ide con base trapecial siguientes.

a. b.

A B = 4 cm, A C = 6 cm, B D = 12 cm.

A B = 4 cm, D C = 3 cm, F E = 5 cm.

5. ¿C uántos centím etros cúbicos de líquido podrían caber en un cono circular recto si su a ltu ra es 8 cm y el rad io de su base es 3 cm?

6. Encuéntrese el área de un cono circular recto si la base tiene radio2 cm y su altu ra es 6 cm.

7. Encuéntrese el volumen del cono descrito en el ejercicio 6.

8. Encuéntrese el volumen de una esfera de radio 3 cm.

9. Encuéntrese el rad io de una esfera si su volumen es 22871 cm 3.

10. ¿Cóm o afecta al área de una esfera la duplicación del diámetro?

11. ¿Cóm o afecta al volumen de una esfera la duplicación del radio?

(Ejercicios 5-7)

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Page 482: Geometria - Clemens

Técnicas para la solución de problemas

ElemploU na m esa de billar de 8 pies po r 12 pies, tiene una bola en una esquina. Supóngase que se golpea la bola y que ésta se desplaza form ando un ángulo de 45° con una banda de la mesa. Entonces, la bola rebota y se desplaza en o tro ángulo de 45° basta llegar a o tra banda y rebotar de nuevo. ¿Cuántas veces golpeará la bola las bandas antes de llegar a una esquina? E l dibujo a escala m uestra que la bola golpeará tres veces.

Partida

PROBLEMAS

Empléese un dibujo preciso o uno a escala p a ra resolver los problem as siguientes.

1. Supóngase que una bola se desplaza como se describió en el ejemplo anterior, pero en una mesa de 8 pies p o r 10 pies. ¿C uántas veces golpeará la bola las bandas antes de llegar a una esquina?

2. Respóndase a la m ism a pregunta para una mesa de 6

3. O es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados de A A B C , G es la intersección de las m edianas y H es la intersección de las alturas. Obsérvese que O, G y H son colineales. ¿Qué fracción de O H es OG? Inténtese con varios triángulos.

Hágase un dibujo preciso

En ocasiones, la respuesta a un problem a puede encontrarse haciendo un dibujo preciso o un dibujo a escala. Estúdiese el ejemplo que se presenta a continuación, en el cual se em plea un d ibujo a escala para la solución.

2 golpes

3 golpes

Escala: ycm = 1 pie

4. U n p ilo to de una avioneta m antiene una velocidad constante de 120 m.p.h. V iaja hacia el norte 30 m inutos y hacia el noreste 10 m inutos, luego hacia el sureste 45 m inutos y, finalmente, hacia el suroeste 30 m inutos. U na vez en ese lugar, ¿cuánto tiempo tendrá que volar para volver directam ente a su pun to de partida?

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Page 483: Geometria - Clemens

r - ¡L & < @ © © ¡M § íim & Ü ® J S s Q T O ® ®

NavegaciónViajar en un barco de recreo puede resultar una form a audaz de conocer el mundo. Pero alguien de a bordo tiene que saber navegar.

E n térm inos generales, navegar significa saber encontrar el cam ino p a ra ir de un lado a o tro y saber dónde se está en cada m om ento. U n piloto náutico debe conocer siem pre la ubicación de la nave, la dirección en que viaja y la distancia recorrida.

D os instrum entos necesarios para un navegante son la brúju la y las cartas náuticas.Las cartas náuticas son m apas a escala de las zonas m arinas y contienen inform ación sobre la profundidad de las aguas, la ubicación de puertos y señales, y toda clase de peligros para la navegación de la zona.

Dos técnicas de ravegael&n

D eterm inación de la posición de un barco observando un objeto,

P a ra determ inar la posición de un barco, a veces es útil encontrar la distancia D del barco a un objeto observado. (Fig. 1).

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Page 484: Geometria - Clemens

D eterm inación de la posición de un barco observando tres objetos.

P a ra determ inar la posición de un barco, un piloto observa tres objetos reales representados po r A, B y C en u n a carta náutica (Fig. 2). Entonces, el pilo to mide los ángulos entre las líneas de visión. Las líneas que parten del punto P y m uestran estos ángulos, se d ibujan en una hoja de plástico rojo. Al colocar la hoja de plástico sobre la carta, de form a que las rectas pasen por A, B y C, la posición del barco está indicada por el pun to P.

M ientras el barco navega en la dirección í \ P 2, ?e observa el faro desde P l . Después, cuando el ángulo visual se h a duplicado, la observación se hace desde P 2. La distancia, d, que recorre el barco de a P 2 se calcula po r m edio de la velocidad y el tiempo. La distancia buscada D es igual a d.

¿Por qué es cierto esto? ¿Qué teorem a o teorem as se emplearon?

Sin em bargo, el m étodo que se acaba de describir no funcionará cuando P está en un círculo que contenga a A, B y C. En esta figura, po r ejemplo, el barco podría estar en el círculo en la posición R , en la S o en otra. ¿Qué teorem a puede usarse p a ra dem ostrar que esto es verdad?

Figura 2U.S. D ept, o f Commerce

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Page 485: Geometria - Clemens

CAPITULO

13.1 R e f le x io n e s s o b re re c ta s 476

13.2 U so d e la s re f le x io n e s s o b re re c ta s

e n la s o lu c ió n d e p ro b le m a s 480

13.3 T ra s la c io n e s 484

13.4 R o ta c io n e s 488

13.5 S im e tr ia 494

C o n c e p to s im p o r ta n te s 498 R e s u m e n 499 E x a m e n 500

T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s

E x a m e n d e c a s o s e s p e c ia le s 501

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T ransformaciones y simetría

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476 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

13.1 Reflexiones sobre rectasL a p a la b ra transform ación im p lica q u e u n o b je to c a m b ia d e a lg u n a m a n e ra . E n u n a tra n s fo rm a c ió n g eo m é trica , h a y q u e ten er en c u e n ta tre s p u n to s :

1. la f ig u ra o rig in a l,

2. u n a reg la u o p e ra c ió n q u e d e sc r ib a el c a m b io , y

3. la f ig u ra q u e re su lta d esp u és del cam b io .

E l o b je to a n te s d e l c a m b io se llam a preim agen, y d e sp u és del ca m b io , imagen.

E n este c a p ítu lo , se e s tu d ia rá n los tres tip o s de tra n s fo rm a c io n e s d e n o m in a d o s re flex iones sobre rectas, traslaciones y ro taciones. L a p r im e ra d e esta s tra n sfo rm a c io n es , la reflex ión so b re rec tas , p u e d e d esc rib irse u tiliz a n d o u n a h o ja de p lástico .

S u p ó n g a se q u e se c o lo c a u n a h o ja de p lá s tic o so b re u n a re c ta t c o m o se m u e s tra e n la figura . L o s p u n to s A ' y B ’ so n las im ág en es refle jad as de A y B.

O b sérv ese q u e t es la b isec triz p e r p e n d ic u la r de A A ‘ y B B ’. E s to es v á lid o p a ra c u a lq u ie r seg m en to q u e u n a a u n p u n to c o n su im ag en refle jada. D a d o q u e e l p u n to C e s tá so b re la re c ta l , es su p ro p ia im ag en .

Definición 13.1En un plano, una reflexión sobre la recta t es una transform ación que representa cada pun to P del p lano en el pun to P' com o sigue:a. Si P está sobre l , P ' = P.b. Si P no está sobre t ,

entonces t es la bisectriz perpendicular de PP'.

P ' es la imagen de P' y P es la preimagen de P'.

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13.1 R e flex iones sob re rec tas 477

C u a n d o c a d a p u n to d e u n a fig u ra se refle ja so b re u n a re c ta ( , el c o n ju n to d e to d o s los p u n to s de la im ag en ¡forman u n a fig u ra q u e es la im agen re fle jada de la figura . A c o n tin u a c ió n se m u e s tra n d o s e jem plos.

B a H HU n a le tra «B » y su reflex ión so b re la re c ta í .

U n a le tra « H » y su reflex ión so b re la re c ta l .

L a tra n s fo rm a c ió n l la m a d a reflex ión so b re u n a re c ta sa tisface v a ria s p ro p ie d a d e s im p o r ta n te s , co m o e s tab lece el te o re m a sigu ien te .

Teorema 13.1 D a d a u n a reflex ión so b re u n a recta:

' - * , y r a . la im ag en re fle jad a d e u n seg m en to e s un seg m en to de

*■ Cl T • • ig u a l lo n g itu d ;- b. la im ag en re fle jada d e u n á n g u lo es u n á n g u lo de ig u a l

: m ed id a .

A c o n tin u a c ió n se p re se n ta u n p la n p a ra p ro b a r e l a p a r ta d o a del te o re m a 13.1.

P R U E B A

A B es la im ag en re fle jad a de A 'B '. P ruébese : A B = A 'B '

P lan : ___l es la b isec triz p e rp e n d ic u la r deA A ' y B B '. D ib ú je n se los seg m en to s au x ilia re s A N y A ’N ' y em p léen se los tr iá n g u lo s co n g ru en tes .

L a p ru e b a se d e ja c o m o ejercicio .

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478 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

EJERCICIOS_________A.

1. L a imagen reflejada sobre la recta l

a. de B es JL b. de / es JL.

c. de D es JL d. de F es JL.

2. Trácese la recta l y la figura roja. Empléese un com pás ouna hoja de plástico para construir la imagen reflejada de la figura roja

J .

H •

G '

a. b.A/

'A

/ •BW

B 'C

Copíense las siguientes figuras. Empléese una hoja de plástico, papel vegetal o un com pás para trazar con la m ayor precisión posible la imagen reflejada sobre la recta t de cada figura.

3. 4. 5.

B

D . C

• E

ACTIVIDADES!

C onsíganse un pa r de espe jos re c ta n g u la re s y únanse con c in ta adhes iva . Con papel cu a d ricu la d o y c a rtu lin a pueden ve rse d ife re n te s po lígonos ca m b iando e l ángu lo 6 e n tre los espe jos. P rim ero , péguese una ho ja de pape l cu a d ricu la d o a una ho ja de c a rtu lin a oscura . C o lóquénse los espe jos de m anera que uno de e llo s fo rm e un ángu lo rec to con una línea de l pape l cu a d ricu la d o (véase la fo tog ra fía ). Para fo rm a r d ife re n te s po lígonos re g u la re s , m uévase el o tro espe jo .

E xperim én tese p a ra d e te rm in a r qué v a lo re s de 9 fo rm a rán la fig u ra de un p o lígono re g u la r. P o r e je m p lo , en la fo tog ra fía se fo rm a un tr iá n g u lo e q u ilá te ro . ¿Cuál es e l va lo r de 0? ¿Qué va lo re s de d da rán un cuad rado , un pen tágono re g u la r y un hexágono re g u la r? ¿Hay a lguna re la c ió n en tre e l á n g u lo 6 y el núm ero de lados?

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13.1 R e flex iones s o b re re c ta s 479

B.En los ejercicios 7 a 14 dibújese la figura dada. Hágase un bosquejo a m ano alzada de la imagen reflejada de la figura dada sobre la recta l . Verifiqúese el resultado con un com pás, una hoja de plástico o un espejo.

7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

C.

U J / _ 7

15. La ilustración m uestra una construcción con un com pás de puntas fijas de la imagen reflejada de un punto. Como resultado de este m étodo, A P = PB = A P ' = B P '. ¿Cómo se sabe que fe s la bisectriz perpendicular de PP"!

16. Dibújese esta figura en la que A' es la im agen reflejada de A. U sando sólo una regla, constrúyase la reflexión del pun to B.

17. Form úlese una prueba com pleta a dos colum nas que m uestre que la construcción del ejercicio 16 es correcta.

18. Form úlese una prueba a dos colum nas p a ra el teorem a 13.1.

19. Pruébese que un triángulo y su imagen reflejada son congruentes.

B

X P'

B

(Ejercicio 15)

•A '

A

(Ejercicio 16)

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

1. Descífrese este mensaje. 2. ¿Es correcta esta suma?

^ - » A 3 tí. ¡ ti’

sa uunba raá 3 *°

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Page 491: Geometria - Clemens

480 T ra ns fo rm ac iones y s im e tría

13.2 uso de las reflexiones sobre rectas en la solución de problemas

L as reflex iones so b re rec ta s p u ed en em p lea rse p a r a re so lv e r p ro b le m a s co tid ia n o s . E n e s ta secc ión se in c lu y en dos e jem plos, u n o d e lo s cu a les e s tá re la c io n a d o c o n el ju e g o d e l b illar.

P ro b le m a 1

E n u n a m esa d e_b illa r, la b o la C se la n z a rá h ac ia la b a n d a A B d e m a n e ra q u e g o lp ee la b o la o c h o E. S i se su p o n e q u e la b o la C n o tien e ro ta c ió n , ¿h ac ia q u é p u n to de A B d eb e d irig irse la b o la C?

B o la och o

*EC (M ingo)

A B

Solución. L a re sp u e s ta a e s te p ro b le m a c o n s id e ra el s ig u ien te h ech o . L a bola rebota a lo largo de una tra yec to ria que es la re flex ión (en la b a n d a ) de la trayec toria rec ta a l o tro lado de la banda.

reflexión d e / la t r a y e c to r ia ^ ^ re c ta /

//

//

\ b a n d a A B

\\

\

Ny tra y e c to r ia recta a l o t ro lad o d e la b a n d a

Paso 1 Refléjese E sobre la recta A B para obtener el pun to £ '.

Paso 2 Dibújese la recta CE'. Sea X el punto donde £¿s ' interseca a la banda.

P aso 3 Al golpear una bola sin ro tación en el punto X , rebotará y golpeará a la bola ocho E. ¿Por qué? A

\

B

Es

/

c / \ x /

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Page 492: Geometria - Clemens

13.2 Uso de las re fle x io n e s s o b re rec tas en la so lu c ió n de p ro b le m a s 481

E n el p r im e r p ro b le m a se u só la reflex ión so b re u n a re c ta p a ra d e te rm in a r la u b ic a c ió n d e u n p u n to q u e sa tisfic ie ra u n a co n d ic ió n necesaria . E l se g u n d o p ro b le m a ta m b ié n in c luye la d e te rm in a c ió n d e la u b ic a c ió n de u n p u n to . E n e l p ro b le m a 2, se u s a rá la d e fin ic ión de « en tre» p a ra p u n to s , ad e m á s d e la reflex ión so b re u n a re c ta p a ra d e te rm in a r la u b ic a c ió n d e u n p u e n te q u e se v a a c o n s tru ir .

Problema 2D o s c iu d a d e s e s tá n lo c a liz a d as en el m ism o la d o de u n r ío a trav és d e l c u a l se c o n s tru irá u n p u en te . ¿ D ó n d e debe c o n s tru irs e el p u e n te (B) p a ra q u e la lo n g itu d de la c a r re te ra A B + B C sea la m á s c o r ta posib le?

Ciudad A

i -iu a a a l .

•/

////

■4 ^ ___

rio

Solución

Paso 1 Imagínese que el río es la recta t y refléjese el punto C sobre la recta i hasta el punto C'.

P aso 2 P o r el teorem a 13.1 puede concluirse que BC = BC‘. Por tanto,A B + B C = A B + B C .

\\\

Paso 3 El camino más corto entre A y C' es una línea recta. P o r tanto , para que el cam ino A-B-C tenga la m enor longitud posible, el puente B debe construirse de m anera que A, B y C' sean colineales.

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482 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

EJERCICIOS___________A.

1. Con una regla m ilim etrada, m ídanse las distancias de esta figura y anótense en una tabla com o la que se m uestra a continuación.

Punto Pi AP. BP. AP, + BP;

P,P2P3P<Ps

(E jercicios 1, 2)

B.

2. ¿Cuál de los puntos P v P 2, P 3, P 4 o P 5 de la figura hace que AP¡ + P¡B sea un mínimo?

3. Dibújese la figura de una mesa de billar con la bola C y una segunda bola B. Com plétense las construcciones para encontrar un pun to en cada una de las cuatro bandas en el que debe rebo tar la prim era bola para golpear a la segunda. (Sugerencia: refléjese B en los cuatro lados de la mesa.)

4. La bola C debe rebotar en una banda y golpear la bola 5 antes que a otra. Determ ínese po r medio de una construcción la banda y el punto de ésta donde debe golpear la bola C.

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Page 494: Geometria - Clemens

13.2 Uso de las re fle x io n e s sob re rec tas en la so lu c ió n de p ro b le m a s 483

5. En esta figura se m uestran dos ciudades que están en el m ism o lado del río. Determínese la posición B donde debe construirse un puente para que la longitud de la carretera A B + B C sea la mínima.

Ciudad C •

8 km

ICiudad A«

I km

i►í 2 km l

J ______ n o

6. Después de construir el punto B del ejercicio 5, empléese el teorem a de P itágoras para calcular la longitud m ínim a de A B + BC.

(Ejercicios 5, 6)

9 cm

2 cm.7. Supóngase que una trayectoria de A a

B debe tocar prim ero la recta s y después la recta t. Trácese esta figura y construyanse los puntos X sobre s e Y sobre t para que A X Y B sea la trayectoria más corta.(Sugerencia: Refléjese el punto A sobre la recta s y el punto B sobre la recta t.)

8. Supóngase que la trayectoria de A a B debe tocar prim ero la recta t y después la recta s. Trácese esta figura y construyanse los puntos X sobre t e Y sobre s de m anera que A Y X B sea la trayectoria más corta. ¿Qué relación existe entre la longitud de esta trayectoria y la longitud de la trayectoria del ejercicio 7?

9. L a figura siguiente ilustra la form a en que puede determ inarse un punto sobre la banda E F hacia el que debe dirigirse la bola C para que rebote en dos bandas y golpee la bola A.

H G

B

► í

(Ejercicios 7,8)

A'Complétese o tra construcción para determ inar el pun to sobre la banda GH hacia el que debe dirigirse la bola p a ra que rebote en dos bandas y golpee la bola A.

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484 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

13.3 TraslacionesE s m u y c o m ú n e n c o n tra r e spe jos en la d e c o ra c ió n d e g ra n d e s a lm a c e n es y sa lo n es de belleza. E s to s n o só lo so n im p o rta n te s p a r a la d e c o ra c ió n , s in o ta m b ié n com o m e d id a d e seg u rid ad .

E n o cas io n es , e s to s e spe jo s e s tá n en p a re d e s o p u e s ta s de u n sa ló n . E n la ilu s tra c ió n , lo s espejos d e la p e lu q u e ría h a n co n seg u id o u n efecto in te resan te .

E l te o re m a d e e s ta secc ión e s tá re la c io n a d o c o n la reflex ión de u n a reflex ión . S in e m b a rg o , se e m p e z a rá c o n u n a defin ición .

D a d a u n a flecha A A ', D e fin ic ió n 13 .2im ag ín ese q u e u n a fig u ra D ada una flecha A A ¡ ,ase d esliza en la d irecc ió n imagen trasladada de und e la flecha u n a d is ta n c ia pun to P p ara la flecha A A ' esA A ‘. el pun to P', donde:

a. A A ' = PP', yb. las flechas A A ' y PP'

tienen la m isma dirección.

\ Im ág en es tra s la d a d a s de

lo s p u n to s P, C, D D y de l seg m en to CD.

Im ag e n tra s la d ad a A B C D p a r a la flecha X Y .

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13.3 T ra s la c io n e s 485

Se p u e d e c o m p le ta r u n a tra s la c ió n s ig u ien d o u n a reflex ión d e o tra . C o m p lé te se e s ta c o n s tru c c ió n d e c u a tro paso s.

P aso 1 Paso 2

Ô Q'K !

/ ^ s P

/ /3 cm R

KR'

Empiécese con las rectas r y s , paralelas y separadas 3 cm.

Encuéntrese prim ero la reflexión de AP Q R sobre la recta r.

Paso 3 Paso 4

R'

Encuéntrese la reflexión de A P'Q'R' sobre la recta s.

Dibújese A PQ R y muéstrese que puede trasladarse 6 cm en una dirección perpendicular a r y s, y que A PQR 3 A P"Q"R".

Teorema 13.2 Si la s rec ta s r y s so n p a ra le la s , e n to n c e s u n a reflex ións o b re la re c ta r , s e g u id a d e u n a reflex ión so b re la r e c ta s, es u n a tra s la c ió n . A d em ás, s i A" es la im ag en d e A, e n to n ces

a . A A ' I r ,b. A A " = 2d, d o n d e d es la d is ta n c ia e n tre las rec ta s r y s.

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486 T ra ns fo rm ac iones y s im e tría

EJERCICIOSA.

B.

ACTIVIDADES!

C ú b ran se las c a ra s in terio res an te rio r y p o ste rio r d e una caja, p re fe ren tem en te con form a d e cubo, con esp e jo s . C úbranse las o tras c a ra s con cartu lina negra .

espe jos Con una cuerda , cu é lg u ese un objeto den tro de la ca ja y m írese den tro de e lla por encim a del b o rde an terio r. ¿Qué s e ve?

¿Q ué relación ex iste en tre e s ta v ista y la ilustración del principio de la sección?

*y

/

/

1. P a ra la flecha de traslación X Y , la imagen trasladada de:

a . C es _L. b . E es _2_.

c. D es _L. d . B es _L.

En los ejercicios 2 y 3, dibújese la figura sobre papel puntos o cuadriculado. Después dibújese su imagen trasladada para la flecha X Y .

3.

4. D ibújense un p a r de rectas paralelas y tres puntos A, B y C com o se m uestra en la figura. Constrúyanse las imágenes de A, B y C para la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q. Llám ase A", B" y C" a estos puntos. M ídanse A A", BB" y CC". Lléguese al convencimiento de que estos segm entos son paralelos y de igual longitud.

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5. Trácense un p a r de rectas paralelas p y q separadas 3 cm y dibújese A A B C como se m uestra en la figura. Construyase la imagen de A ,4BC para la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q.

6. ¿Cuál de las flechas de esta figura describe la traslación que es la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta ql

a . Flecha DE. b. Flecha FG.

c. Flecha H l. d . Flecha JK .

7. En esta figura, A D EF es la imagen trasladada de A A B C p ara la traslación de la flecha X Y .a . Trácese la figura en una hoja de

papel.

b . Trácese una recta p cualquiera perpendicular a la recta X Y .

c. Trácese una recta q de m anera que la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q, sea la traslación con la flecha X Y .

SOLUCION DE PROBLEMAS

¿Q ué tracción de la región cu a d ra d a e s tá so m b re a d a ? (S upóngase que el p roceso d e so m b read o continúa indefinidam ente.)

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488 T ra ns fo rm ac iones y s im e tría

13.4 Rotaciones

I Í s ¡6 K i 5

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’S?*

H ay m u c h o s ca so s e n los q u e se pu ed e d a r u n c a m b io de s itu a c ió n q u e se d e n o m in a « ro ta c ió n » . E l d esco n o c im ien to de la n eces id ad d e e s te m o v im ie n to p u d o h a b e r te n id o g rav es co n secu en c ias p a ra el h o m b re de la ilu s trac ió n .

»¡Estás despedido!» D raw ing by R ichter;© 1957 T h e N ew Y orker M agazine, Inc.

P u e d e n in v es tig a rse las p ro p ie d a d e s d e u n a ro ta c ió n c o m o se i lu s tra a c o n tin u ac ió n .

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

M árquese un punto central O y o tro pun to P sobre una hoja de papel.

M árquese el punto P sobre una hoja de papel vegetal.

M anténgase inmóvil el punto O y gírese el papel vegetal.

M árquese la nueva posición de P comoP'.

P ' es la im ag en r o ta d a del p u n to P. 0 es el c e n tró d e la ro ta c ió n . E n este caso , el á n g u lo de ro ta c ió n es 30°.

E s ta s id eas su g ie ren la defin ic ión de ro ta c ió n de la d e rech a . O b sé rv ese q u e u n a ro ta c ió n p u e d e ser e n la d irecc ió n de las m an ec illa s del re lo j o e n la d irecc ió n c o n tra r ia .

Definición 13.3

U na rotación con centro O y ángulo a es una transform ación que representa cada punto P del plano en un pun to P':

a. Si P es el pun to central O, P ' = P.b. Si P # O, entonces P'O - PO y

m L P O P ' = o í .

P' es la imagen rotada del pun to P.

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Page 500: Geometria - Clemens

13.4 R o tac iones 489

C o m o las tra s la c io n e s , las ro ta c io n e s p u e d e n c o m p le ta rse h a c ie n d o u n a reflex ión tra s o tra . E n e s te caso , las rec tas d e reflex ión n o so n p a ra le la s . C o m p lé te se la s ig u ien te c o n s tru c c ió n d e c u a tro paso s.

Paso 1 Paso 2

Empiécese po r las rectas r y s, que pasan po r Encuéntrese prim ero la reflexión de A PQRO y se intersecan en un ángulo de 45°, y sobre la recta r.A PQR.

Encuéntrese la reflexión de A P'Q 'R ' sobre la Dibújese A PQ R y muéstrese que puederecta s. ro tarse un ángulo de 90° alrededor del

pun to O y que. A PQR = A P"Q"R".

D o s reflex iones so b re re c ta s in te rsecan tes d a rá n s iem p re co m o re su lta d o u n a ro ta c ió n de u n á n g u lo d o s veces m a y o r q u e el án g u lo e n tre las rec tas . E s to su g ie re el te o re m a sigu ien te .

Teorema 13.3 Si la s rec ta s r y s se in te rse c a n e n e l p u n to O, e n to n c e s u n areflex ión so b re r seg u id a d e u n a reflex ión so b re s, e s u n a ro tac ió n .. E l p u n to O es e l c e n tro d e ro ta c ió n y el á n g u lo d e ro ta c ió n es 2a, d o n d e a es la m e d id a del á n g u lo rec to o a g u d o q u e h a y e n tre la s re c ta s r y s.

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490 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

EJERCICIOS

1. Encuéntrese la imagen de B en una ro tación de 45° en la dirección de las manecillas del reloj.

2. Encuéntrese la imagen de H en una ro tación de 90° en dirección contraria a la de las manecillas del reloj.

3. Encuéntrese la im agen de B en una ro tación de 135° en la dirección de las manecillas del reloj.

4. Encuéntrese la imagen de A D EF en una ro tación de 45° en dirección contrariaa la de las manecillas del reloj.

5. M árquense los puntos 0 y A en un papel. Dibújese la imagen A ' de A en una ro tación de 60° en la dirección de las manecillas del reloj com o sigue:a. Trácese el rayo O A. Con un

transportador, trácese O X de m anera que m L A O X = 60.

b. C on un com pás, trácese un arco con centro O y rad io OA. Este arco interseca al lado del ángulo en el pun to A'.

6. Trácese un segmento I F y u n punto O en una hoja de papel. Con un transpo rtado r y un com pás, trácese la imagen de X Y en una rotación de 40° en dirección contraria a la de las manecillas del reloj.

7. Dibújese un triángulo A B C y un punto O en una hoja de papel. C on un transp o rtad o r y un com pás, dibújese la im agen de A A B C en una ro tación de 50° en la dirección de las manecillas del reloj.

D

8. Dibújese un triángulo A B C y un pun to O. Dibújese la im agen de A A B C en una ro tación de 135° en dirección con traria a la de las manecillas del reloj.

O .

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13.4 R o tac iones 491

9. Si A 'B ' es la imagen de A B en una rotación con centro O, ¿qué ángulo debe medirse para encontrar el ángulo de rotación?

a . Z A O B .

b . ¿ A A 'O .

c. Z A 'B 'O .

d . Z B O B j

O

10. Si A'B' es la imagen de A B después de una rotación, ¿cuál de los cuatro puntos podría ser centro de rotación? (Recuérdese que si O es el centro,O A = O A ' y OB = OB'.)

11. Trácense R S y V W . Si V W es la imagen de R S en una rotación, encuéntrense el centro y -el ángulo de rotación.

12. En cada una de las figuras siguientes, la figura roja es la imagen de la figura negra en una rotación. D ígase cuál es el centro de ro tación e indiquese la m edida de cada ángulo de rotación. (Puede ser útil usar papel vegetal.)

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492 T ra ns fo rm ac iones y s im e tría

c.13. Trácense un p ar de rectas intersecantes p

y q y un triángulo A B C como se m uestra. Dibújese la imagen de A A B C para la reflexión sobre la recta p seguida de la reflexión sobre la recta q. Llámese A A "B "C " a esta imagen.

1 4 Con papel vegetal, com pruébese que A A "B "C " del ejercicio 13 es la imagen de ro tación de A A B C .

15. M ídase con un transp o rtad o r el ángulo agudo form ado po r las rectas p y q del dibujo del ejercicio 13. ¿Qué relación existe entre el tam año de este ángulo y el tam año del ángulo de rotación?

16. A u n a ro tación de 180° sobre un punto se le llam a media vuelta. A A 'B 'C ' es la imagen ro tad a de m edia vuelta de A A B C . Dibújense estas figuras y encuéntrese el centro de la m edia vuelta.

ACTIVIDADES!

Unanse dos espejos formando un ángulo de 90° y obsérvese lo que se ve en e llos com o ilustra la fotografía. ¿Es a lgo curioso? Expliqúese la observación.

Unanse dos espejos form ando un ángulo de 90° y obsérvese lo que se ve en e llos como ¡lustra la fotografía. La reflexión que aparece en la fotografía es sólo una de las tres que aparecerán. Una de estas tres imágenes es d is tin ta de las otras dos, ¿en qué radica la diferencia?

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Page 504: Geometria - Clemens

13.4 R o tac iones 493

R

17. M árquense los puntos X e Y en una hoja de papel y dibújese A R ST .a. Dibújese la imagen de media vuelta

de A R S T alrededor de X . C on la imagen de esta ro tación dibújese una m edia vuelta alrededor de Y.

b. ¿Qué m ovim iento tiene el mismo efecto que una m edia vuelta sobre X seguida de una m edia vuelta sobre Y ?Descríbase este m ovim iento de la m anera más específica posible.

18. A A 'B 'C ' es la imagen de A A B C en una ro tación sobre elcentro Q. D ibújense estas figuras. ¿Se puede trazar la recta q de m anera que la reflexión sobre la recta p seguida deuna reflexión sobre la recta q tenga el mismo efecto que larotación?

B

Q

SOLUCION DE PROBLEMAS

D ibújese el d iseño s ig u ien te en papel vegetal. R ó tese el papel 6 0 ' so b re el punto A y o b sé rv e se q u e la copia co n cu erd a con el d iseño (su p ó n g ase que el d iseño y su co p ia s e ex tienden en to d a s d irecciones p a ra cubrir todo el plano).1. ¿Q ué o tro s áng u lo s d e ro tación c en trad o s en A ha rán q u e el d iseño

concuerde consigo m ism o?

2. ¿C u á les son los áng u lo s de ro tación cen trad o s en los puntos B y C que harán q u e el d iseño co n cu erd e consigo m ism o?

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494 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

13.5 SimetríaL a m a r ip o s a y el c a n g re jo de las fo to g ra fía s p o seen u n a b e lleza n a tu ra l re la c io n a d a c o n su fo rm a. U n a m ita d p a re c e id é n tic a a la o tra . L a re lac ió n p a re c e ta n p e rfec ta q u e p o d r ía co lo ca rse u n esp e jo de m a n e ra q u e se re fle ja ra la m ita d de u n a n im a l y d a r la a p a r ie n c ia de q u e el a n im a l e s tá co m p le to .

Se d ice q u e las fo rm as tien en sim etría re flex iva y q u e la re c ta so b re la cu a l se co lo c a el esp e jo es la línea de sim etría .

P a r a c o m p ro b a r la s im e tría reflex iva de u n a figura , p u e d e d ib u ja rse é s ta en u n p a p e l y verificar si p u e d e d o b la rs e de m a n e ra q u e u n a m ita d co in c id a e x a c ta m en te co n la o tra . T a m b ié n p u ed e em p lea rse la p ru e b a del «espejo» , c o m o se m u e s tra en la fo to g ra fía . Si se p u ed e c o lo c a r u n «espe jo» so b re la f ig u ra de m a n e ra q u e la m ita d de e lla y su reflex ión p a re z c a n u n a c o p ia fiel d e la fig u ra c o m p le ta , e n to n c e s se d ice q u e la figura tie n e s im e tría reflexiva.

L a s ig u ien te d e fin ic ión e s tá i lu s tra d a p o r el d ib u jo .

Definición 13.4U na figura F tiene sim etría reflexiva sí hay una recta t ta l que la imagen de reflexión sobre l de cada pun to P de F tam bién es un pun to de F. La recta se llam a línea de simetría de F.

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Page 506: Geometria - Clemens

13.5 S im etría 495

E s ta flo r tien e o tro t ip o d e sim etría . P u e d e h ac e rse g ira r so b re u n c e n tro fijo a p o sic io n es d ife ren tes sin q u e cam b ie su a p a r ie n c ia o rig in a l.

Se d ice e n to n ces q u e la figu ra tiene sim etría ro taciona l y q u e el c e n tro fijo es el cen tro de sim etría rotacional.

P a r a p ro b a r si u n a f ig u ra tie n e s im e tría ro ta c io n a l, p u e d e d ib u ja rse so b re u n a h o ja d e p ap e l vegeta l o so b re u n a h o ja d e p lástico . C o lo q ú ese la c o p ia d ire c ta m e n te so b re la f ig u ra o rig in a l. E n to n ces , m a n te n ie n d o fijo el c e n tro , se h ace g ira r la c o p ia h a s ta q u e co in c id a d e n u e v o c o n la fig u ra o rig in a l c o m o se i lu s tra a c o n tin u ac ió n .

C o m p ro b a c ió n de la sim etría ro tac io n a l p o r el m é to d o d e d ib u ja r y g ira r

Definición 13.5U na figura F tiene simetría rotacional si hay un giro sobre el centro A ta l que la imagen rotada de cada pun to P de la figura F tam bién es un punto de F. El centro, A, de la rotación se llama centro de la simetría rotacional de F.

L a s ig u ien te d e fin ic ión e s tá i lu s tra d a p o r el d ib u jo .

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Page 507: Geometria - Clemens

496 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

EJERCICIOSA .

¿En cuál de las siguientes figuras es t u n a línea de simetría? Verifiqúese la respuesta con la prueba del «espejo» para la sim etría reflexiva.

1.

4.

* 2. 3.

7. Dibújense un cuadrado, un rom bo, un rectángulo, un trapecio, un pentágono regular y un hexágono regular, y muéstrense todas las líneas de simetría reflexiva de cada figura.

¿P ara cuáles de las figuras de los ejercicios 8 a 10 es verdadera la afirmación: «esta figura tiene sim etría rotacional»?

9.

ACTIVIDADES!

A la derecha aparece una figura con sim etría rotacional de 90° (puede rotarse 90° para vo lver a su posición orig inal) en una m atriz de puntos 5 x 5 . Esta figu ra se construye trazando cuatro líneas idénticas que satisfacen estas condiciones.

1. Todas las líneas empiezan en el punto centra l y se mueven de punto en punto hasta alcanzar uno de la frontera.

2. N inguna de las cuatro líneas se tocan o cruzan.3. Una vez que la línea ha alcanzado un punto de la frontera, se detiene.

Sobre una m atriz de puntos, d ibújense por lo menos 20 modelos d iferentes con sim etría rotativa de 90° que satisfagan las condiciones anteriores. Obsérvese que la figura de la izqu ierda no se considera «diferente» de la de arriba, porque se tra ta de la figura an terio r refle jada sobre la recta í . Las figuras que pueden refle jarse o rotarse hasta co inc id ir nuevamente no se consideran diferentes.

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Page 508: Geometria - Clemens

13.5 S im e tría 497

B.

Dibújense figuras que satisfagan cada una de las siguientescondiciones.

11. C uadrilátero no convexo con una 12. U n hexágono con exactam ente doslínea de simetría. líneas de simetría.

13. U n hexágono con exactam ente tres 14. U n pentágono con exactam ente unalíneas de simetría. línea de simetría.

15. U n a figura con un núm ero infinito de líneas de simetría.

16. Bosquéjese un polígono que tenga sim etría rotacional, perono simetría reflexiva.

17. Bosquéjese un polígono que tenga sim etrías ro tacional yreflexiva.

En los ejercicios 18 y 19, supóngase que el diseño se ha extendido para cubrir todo el plano. En cada problem a, ¿cuáles de las rectas, p, q y r son líneas de simetría?

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

337-31770

El señor O liver Lee pidió este número para la m atricula de su autom óvil. G írese la ta rje ta 180° y expliqúese por qué el señor Lee hizo esta petición.

NOW NO SWIMS

0N MONEn una piscina pública, estaba este letrero. Gírese 180°. ¿Qué se observa?

En este pastel falta una rebanada. Gírese la figura para poder encontrar la rebanada?

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Page 509: Geometria - Clemens

498 T ra ns fo rm ac iones y s im e tría

Capítulo 13 Conceptos importantes

Sim etría reflexiva (pág. 494)

Teoremas

13.1 D ada una reflexión sobre una recta:a. la imagen reflejada de un segmento es un segmento

de igual longitud;b. la imagen reflejada de un ángulo es un ángulo de

igual medida.

13.2 Si las rectas r y s son paralelas, entonces una reflexión sobre la recta r seguida de una reflexión sobre la recta s es una traslación. Además, si A " es la imagen de A, entoncesa. A A" 1 r,

b. A A " = 2 d, donde d es la distancia entre las rectas r y s.

13.3 Si las rectas r y s s e intersecan en el punto O, entonces una reflexión sobre r seguida de una reflexión sobre s, es una rotación. El pun to O es el centro de rotación y el ángulo de ro tación es 2a, donde a es la m edida del ángulo recto o agudo que hay entre las rectas r y s.

Términos

Reflexión (pág. 476)Im agen trasladada (pág. 484) R otación (pág. 488)

Línea de simetría (pág. 494)Sim etría rotacional (pág. 495)C entro de sim etría rotacional (pág. 495)

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Page 510: Geometria - Clemens

Capítulo 13 Resumen1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. T oda reflexión es una transformación.b. Si P' es la imagen de P para una reflexión dada sobre la

recta l , entonces i es la bisectriz perpendicular de PP'.c. U na ro tación puede representarse como dos reflexiones.d. Un cuadrado tiene exactam ente dos líneas de simetría.e. U n trapecio isósceles tiene sim etría rotacional.

2. Cítense dos letras m ayúsculas que tengan exactam ente dos líneas de simetría. ¿Hay o tras con esta condición?

3. Cítense dos letras m ayúsculas que tengan sim etría rotacional pero no línea de simetría. ¿Hay o tras con esta condición?

4. ¿C uántas líneas de simetría tiene un octágono regular?

5. Trácense los triángulos ABC y A 'B 'C . C onstruyase la recta t de m anera que A A 'B 'C ' sea la imagen de reflexión de A ABC sobre í .

A'

6. Trácense A B y A'B'. Encuéntrense el centro de ro tación y el ángulo de ro tación si A'B ' es la imagen de A B en una rotación.

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Page 511: Geometria - Clemens

Capítulo 13 Examen1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.

a. T oda traslación es una transform ación.b. Si A 'B ' es la imagen de A B en ro tación sobre el centro O,

entonces m L A O A ' = m LB O B '.c. U n a traslación puede representarse com o dos reflexiones.d. U n paralelogram o tiene exactam ente dos líneas de simetría.e. U n rom bo tiene simetría rotacional.

2. Cítense dos letras m ayúsculas que tengan exactam ente una línea de simetría. ¿Hay o tras con esta condición?

3. Cítense dos letras m ayúsculas que tengan simetría reflexiva y rotacional. ¿Hay o tras con esta condición?

4. ¿Tiene un polígono regular sim etrías reflexiva y rotacional?

5. Dibújese el triángulo ABC, las rectas p y q y la flecha de traslación X Y . Refléjese A A B C sobre p y q. ¿Qué relación hay entre la distancia de p a q y X Y ‘!

500 T ra n s fo rm a c io ne s y s im e tría

A

X

6. Trácese A A B C . Con C com o centro de rotación, rótese A A B C un ángulo de 120°.

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Page 512: Geometria - Clemens

Técnicas para la solución de problemasExamen de casos especíalesEn ocasiones es útil considerar casos especiales p a ra la solución de problemas. Estúdiese el ejemplo siguiente.

EjemploSea P cualquier pun to sobre o dentro de un triángulo equilátero. Si a, b y c son las longitudes de los segmentos perpendiculares de P a los lados del triángulo, ¿qué relación existe en tre la sum a a + b + c y la longitud de una altura? p

Considérense estos casos especiales:

1. Supóngase que P = D. Entonces, a = c — 0.D ado que b es la a ltu ra de FE, a + b + c es igual a la longitud de una altura.

2. Supóngase que P está en el centro de ADEF. Entonces, a = b = c = -j FH (la altura). Entonces, a + b + c = F H o la longitud de la altura.

P = D

¿A parenta a + b + c ser igual a la longitud de la altura?F,

PROBLEMAS _______________________________________1. En el ejemplo anterior, inténtese el caso especial en el que P es

el punto m edio de un lado. ¿Es a + b + c igual a la longitud de la altura?

2. A A B C es un triángulo equilátero inscrito en un circulo. P es un punto cualquiera en el círculo. ¿Qué relación existe entre PA, P B y PC? (Sugerencia: Considérense estos casos: 1. P = A,2. P = C, y 3. PA = PC.)

3. D ado: <4P = BC = A C = 4 cm. P es cualquier pun to sobre A B .DP 1 A C , P E 1 BC.

Encuéntrese: DP + PE.(Sugerencia: Considérese la relación entre DP, P E y A F usando los casos especiales en que P = A y PA = PB.)

4. Dado: El cuadrado ABC D con cada lado de 1 unidadde longitud.

Encuéntrese: U n punto P tal que PA + PB + PC ' + PD sea el m ínim o posible.

(Sugerencia: Considérense estos casos: 1. P = A; 2. P es el pun to m edio de AB; 3. P es la intersección de las diagonales;4. Empléese una regla para encontrar P A + P B + P C + PD cuando P está en el in terior de ABCD pero no en el pun to de intersección de las diagonales.)

¿Qué posición parece producir un m ínim o para PA + P B + P C + PD?

501

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CAPITULO 1414.1 S is te m a de c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s 504

14.2 P un to m e d io de un se g m e n to 508

14.3 La p e n d ie n te d e una re c ta 51214.4 P e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s y p a ra le la s 516

14.5 La fó rm u la d e la d is ta n c ia 520

14.6 La e cu a c ió n de la re c ta 524

14.7 La e cu a c ió n de l c irc u lo 528

14.8 U so de las c o o rd e n a d a s en la p ru eb a

de te o re m a s 53214.9. T ra n s fo rm a c io n e s y g e o m e tr ía de c o o rd e n a d a s 536

C o n cep to s im p o rta n te s 538 R e su m e n 539 E xam en 540

R esum en g lo b a l (C aps. 11 a 14) 541

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Page 514: Geometria - Clemens

Geometría de coordenadas

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Page 515: Geometria - Clemens

504 G eom etría de coordenadas

14.1 Sistema de coordenadas cartesianas

¿C ó m o p u e d e d ecirse a u n a p e rso n a q u e v ay a d e u n p u n to a o tro ? C u a n d o se d a n d irecc io n es, sue le d ecirse q u e se re c o rra c ie r ta d is ta n c ia en u n a d irecc ió n y luego o t r a d is ta n c ia e n o t r a d irección .

P a r a d a r d irecc io n es de m a n e ra q u e se p u e d a ir del p u n to A a l p u n to B d e la c u a d ríc u la d e la d e rech a , p o d r ía decirse:

« Ir u n a ca lle a l este , o c h o a l n o r te , c in co al e s te y d o s a l su r.» D en se d o s m a n e ra s m ás sen c illas p a ra i r d e l p u n to A a l B.

N o rte

O este

.B

E ste

E n m a te m á tic a s se e m p le a n d o s rec ta s p e rp e n d ic u la re s n u m e ra d a s p a ra e la b o ra r u n m é to d o de lo ca lizac ió n de p u n to s . E l p u n to de in te rsecc ió n d e las re c ta s se lla m a origen.

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Page 516: Geometria - Clemens

U n p a r de n ú m e ro s lla m a d o s coordenadas in d ic a n la u b ic a c ió n de c ad a p u n to . E l p u n to A d e l e jem p lo s ig u ien te e s tá «2 la d e rech a» y «1 a r r ib a » del o rig en . Se d ice q u e A tien e c o o rd e n a d a s (2, 1). E l p r im e r n ú m e ro es la c o o rd e n a d a x y el se g u n d o es la c o o rd e n a d a y. E n g en era l, u n p u n to se re p re se n ta p o r las c o o rd e n a d a s (x, y). Se e m p le a rá la n o ta c ió n P (x , y) p a ra re p re se n ta r a l p u n to P c o n las c o o rd e n a d a s (x, y). E s te m é to d o de d e te rm in a c ió n d e p u n to s se lla m a sistem a de coordenadas cartesianas, p o r el fam o so m a te m á tic o R ené D escartes.

E s tú d ien se los s ig u ien tes e jem plos.

14.1 S is tem a de coo rdenadas ca rte s ia n a s 505

: i e x ”'] “1 ...¡ ; P..R... ] . . . .

jL— ... :....

”3*D¡ i '2

...•__"1" r ta

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. . .k .I ... jw - 2

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...

P unto C oordenadas P unto C oordenadas

A (2 ,1 ) J (3 , 1)B (1, - 3 ) H ( - 4 , 1 )

C ( - 2 , - 4 ) I (0 , i)D > ? ( - 3 , - 2 )

E ? ? (LO )

F > ? 3 i

L o s e jem p lo s sig u ien tes m u e s tra n q u e las c o o rd e n a d a s n o tienen q u e se r n ec e sa riam e n te en te ro s . E s tu d íese c a d a e jem plo .

P u n to s C oordenadas

A ( 3 , ! )

B

C ( - 2 , V 2 )

D (7 7 , - 2 )

—1 ! y i i ; i

1!r ¡v • : ■

__ : i : i

J * c ± ,1 7 1í T \ \

* - -2 -110 1 i i f x i: s r !

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Page 517: Geometria - Clemens

506 G eom e tría de coo rdenadas

EJERCICIOS_______________________A.

En los ejercicios 1 a 4, m árquense los siguientes puntos en un papel cuadriculado. Empléese un juego diferente de ejes para cada ejercicio.

6. (4 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) .

8. ( 5 , - 3 ) y ( 4 , - 3 ) .

1. ( - 4 , 2 ) , ( 6 , - 1 ) , ( - 5 , - 4 ) y ( - 3 , - 2 ) . 2. (6 ,2 ), ( - 2 * ,$ ) , ( - 5 , § ) y ( - V ó,

3. ( - 4 , 0 ) , (5 ,0 ), (0 ,0 ) y (2*, 0). 4. (0, - 2 \ \ (0, 6), (0, - 3 ) y (0, y/% .

En los ejercicios 5 a 8, trácense rectas que contengan ios siguientes pares de puntos.

5. (0 ,0) y ( - 5 , - 5 ) .

7. ( - 4 , 2 ) y ( - 2 , - 6 ) .

En los ejercicios 9 a 11, uibújense triángulos con las coordenadas siguientes como vértices. Indíquese si los triángulos resultantes son acutángulos, rectángulos u obtusángulos.

9. ( - 2 , 3 ) , (4 ,1 ) y ( 7 , - 2 ) .

10. (3 ,3 ), ( - 4 , 0 ) y (4,6).

11. ( - 4 , 2 ) , ( - 4 , - 3 ) y ( 3 , - 3 ) .

En los ejercicios 12 a 14, trácense cuadriláteros con las siguientes coordenadas com o vértices.

12. ( - 5 , - 3 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( - 5 , 1 ) y ( - 1 ,1 ) .

13. (0 ,6 ), (6 ,0 ), ( 0 , - 6 ) y ( - 6 ,0 ) .

14. ( - 1 , 5 ) , (3 ,2 ), ( 2 , - 5 ) y ( - 4 , - 1 ) .

15. D ad a la gráfica siguiente, díganse las coordenadas de los puntos A , B, C, D y E. En algunos casos, será necesario dar un resultado aproxim ado.

, /T\

.... "y ..1..E C

AX

í) '

ACTIVIDADES1En una cuadrícula de coordenadas, empezando en (0, 0), d ibújese una secuencia continua de segm entos que vayan de un punto a otro. Léase cada co lum na de arriba abajo.

¿QUE OBJETO SE REPRESENTA?

E m pe zar-» (0 , 0) (6 , 24 ) (6 , 39) (4 , 39 ) (4 , 24)

(10, 0) (6 , 35 ) (7 , 39) (4 , 37) (0 , 22)

(1 2 ,2 ) (7 , 35 ) (6 , 39 ) (3 , 37) (0 , 17)

(1 2 ,8 ) (6 , 35 ) (6 , 42) (4 , 37) (2 , 14)(8 ,1 4 ) (6 , 37 ) (4 , 42 ) (4 , 35) ( - 2 , 8 )

(1 0 ,1 7 ) (7 , 37) (4 , 39) (3 , 35) ( - 2 , 2)(1 0 , 22) (6 , 37) (3 , 39 ) (4 , 35) (0 , 0 ) « -T e rm in a r

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Page 518: Geometria - Clemens

14.1 S is tem a de coo rdenadas ca rte s ia n a s 507

B.E n los ejercicios 16 a 18, se d an las coordenadas de tres vértices de un rectángulo. Encuéntrense las coordenadas del cuarto vértice. (Sugerencia: Se pueden representar las tres coordenadas.)

16. (0 ,0 ), ( - 4 , 0 ) y ( 0 , - 2 ) .

17. ( - 4 , 3 ) , ( - 4 , - 1 ) y ( 5 , - 1 ) .

18. ( 1 , - 3 ) , (1 ,5) y (4,5).

En los ejercicios 19 a 21, se proporcionan las coordenadas de tres vértices de un cuadrado. Encuéntrense las coordenadas del cuarto vértice.

19. (0 ,0 ), (3 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) .

20. ( - 1 ,2 ) , (2, 2) y ( 2 , - 1 ) .

21. ( - 3 , 2 ) , ( - 3 , 5 ) y (0 ,5 ).

E n los ejercicios 22 y 23, se proporcionan las coordenadas de tres vértices de un paralelogram o. Encuéntrense las coordenadas del cuarto vértice. (Hay más de una respuesta correcta.)

22. (0 ,0 ), (4 ,4 ) y (6 ,4). 23. (1, 1), (4 ,1) y (0, - 1 ) .

24. M árquense varios puntos en los que el p roducto de las coordenadas sea igual a 12. Trácese una recta fina por estos puntos.

25. M árquense varios puntos en los que la coordenada y sea el doble que la coordenada x. Trácese una recta que pase por los puntos.

26. Encuéntrese un tercer pun to que esté sobre la línea que pasa po r los puntos (3, - 2 ) y ( - 1 , 2).

27. G rafiquense los puntos (2,0) y (0, 4) y trácese una recta que pase po r ellos. Si las coordenadas (0, 0) y (3, n) determ inan una línea paralela a la prim era, ¿cuál es el valor de n?

_ SOLUCION DE PROBLEMAS__________________

Dos vértices de una figura son (0, 0) y (6, 0).1. ¿Cuáles1 son las coordenadas del tercer vértice si la figura

es un triángulo equilátero? (Hay dos soluciones.)2. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la

figura es un cuadrado? (Hay tres soluciones.)3. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la

figura es un paralelogramo de altura 4?

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Page 519: Geometria - Clemens

508 G eom etría de coo rdenadas

14.2 Punto medio de un segmento

U n c a m p o d e fú tb o l suele m e d ir 100 y a rd a s d e la rg o y 60 de an ch o . S u p ó n g a se q u e las c o o rd e n a d a s se a s ig n a n a las e sq u in a s del c a m p o co m o se i lu s tra en la figura . ¿C uáles s o n la s c o o rd e n a d a s del c e n tro d e l cam p o ?

O b sé rv en se lo s p u n to s m ed io s d e los seg m en to s de la d erech a .

O b sérv ese q u e p a ra el seg m en to h o riz o n ta l M N , la c o o rd e n a d a x del p u n to m ed io es la sem isu m a de las c o o rd e n a d a s x d e los ex trem o s. P a r a el seg m en to v e rtica l P Q , la c o o rd e n a d a y del p u n to m ed io es la sem isu m a de la s c o o rd e n a d a s y d e los ex trem o s.

■ ! y - ! ; :

: í - 2 , i ) Q\j

i ! J

[ ¡ ] j--- 1 ( o í d m j ) ]

i h - 2 , - d ] i ( 2 j l ) i \ N I

I ; x i

¡ P \

: ; ;

( 0 r i i

. . . A , ) . . .

i i : j

E ste m ism o c o n c e p to p u e d e u sa rse p a ra o tro s seg m en to s de rec ta . Sean (x 1; y x) la s c o o rd e n a d a s de u n ex trem o y (x 2, y 2) la s c o o rd e n a d a s d e o tro e x tre m o d e la fig u ra siguiente.

(*i»-Vi) — ( — —2); (x2, y 2) — (5> 3)

X1 + X2 __ + 5 _ j 2 ” 2 “

y i + y 2 _ - 2 + 3 _2 _ 2

L a s c o o rd e n a d a s del p u n to m ed io so n (1, -§■).

E ste e jem p lo su g iere el te o re m a sigu ien te .

Teorema 14.1 Si la s c o o rd e n a d a s d e lo s e x trem o s d e l seg m en to P j P 2 so n(x ,, y ( x 2, y 2), e n to n c e s la s c o o rd e n a d a s del p u n to m ed io

d e í V ’ 2 S o n ^ ; h ^ - í ' + -Vj'

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Page 520: Geometria - Clemens

L as sig u ien tes p re g u n ta s su g ie ren u n a p ru e b a p a ra el te o re m a 14.1.L a p ru e b a se de ja co m o ejercicio*

1. ¿ P o r q u é la s c o o rd e n a d a s de C so n ( — 3, —4)?

2. ¿ P o r q u é la s c o o rd e n a d a s de E, el p u n to m ed io d e A C , so n ( — 3, — 1)?

3. ¿ P o r q u é la s c o o rd e n a d a s d e D, el p u n to m ed io de B C , so n (2, —4)?

4. C o n s id e ra n d o la s p re g u n ta s 2 y 3, ¿ p o r q u é las c o o rd e n a d a s d e M , el p u n to m ed io d e A B , so n (2, — 1)?

O b sérv ese q u e si las c o o rd e n a d a s de A so n (x ,, y ,) o ( — 3, 2), y lasx i + x 2 —3 + 7

c o o rd e n a d a s d e B so n (x 2, y 2) o (7, —4), e n to n ces , — - — - = — - — = 2 e

* 1 + y~ = — — = — 1. P o r ta n to , las c o o rd e n a d a s de M so n (2, — 1).

14.2 Punto m ed io de un segm en to 509

Ejemplo

Si M es el p u n to m ed io d e A B , d o n d e ( - 4 , - 2 ) so n la s c o o rd e n a d a s d e A y (2 ,1) so n las c o o rd e n a d a s d e Ai, en c u é n tre n se las c o o rd e n a d a s de B.

S ean (x x, y x) las c o o rd e n a d a s d e B. P o r el te o re m a 14.1,

2 = - * + X ' y l = - 2 + y i .2 J 2

D e sp e ja n d o x l e y¡_, se o b tie n e x , = 8 e y x = 4. L a s c o o rd e n a d a s d e B son , p u es, (8, 4).

AP LIC A C IO N

P a r a e n c o n tra r las c o o rd e n a d a s d e l c e n tro d e l c a m ­p o de fú tb o l es n ecesa rio e n c o n tra r el p u n to m ed io d e A C .

^ * 1 + * 2 y \ + 3 ^ _ + 1 0 0 0 + 6 Q ^

L a s c o o rd e n a d a s d e M so n (50, 30). A (°< °>

¿ T e n d ría M la s m ism as c o o rd e n a d a s si se h u b ie ra e n c o n tra d o el p u n to m ed io de B D ?

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Page 521: Geometria - Clemens

510 G e o m e tria de coo rdenadas

EJERCICIOS__________A.

1. Determ ínense ios puntos m edios de los segm entos siguientes.a.

. * ( ! > ? )..... ? ...... ;.......ì j ......

: T I .....í ..........

v :

T V ? ...... í ....; ......

: U . . . . . L . . . i \ * 1

i ! ! í.......

• I D ...... L T " ............í a J ___ i).\ [

...... ! ..... i ......i ...... ;..... i -

\ : Y !

b .

c. . .....i i... ív . .. ..,■ .í...¿...

: y— t.. i ...

1! i ..¿

T • ! ...¿.......¿ ... : i ': ; i :

T T 1 : ? ......]. i i

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En los ejercicios 2 a 7, determ ínense los puntos medios de los segm entos cuyos extrem os están representados po r las siguien­tes coordenadas.

2. ( - 3 , 2 ) y (7, 10). 3. ( _ 7 , 4) y (9; _ 4)

4. ( - 1 , - 2 ) y (5, 4). 5. ( - 3 , - 5 ) y ( - 7 , - 2 ) .

6. ( - 4 , 2 ) y (5, - 3 ) . 7. (7, _ 3 ) y (0,0 ) .

8. G rafíquense los puntos A ( - 2 , 5), B(6, 1) y C j ^ 4 ,_ - 3) y jráce se A/4SC. Encuéntrense los puntos m edios de A B , BC y AC.

9. G rafíquense los puntos A( 1, 6), B{6, 2), C(8, —_3) y D(-5,_2). Encuéntrense los puntos m edios de A B , B C , CD y D A.Dibújese un cuadrilátero uniendo, los puntos medios. ¿Qué clase de cuadrilátero es?

A C T I V I D A D E S 1

Supóngase que las coordenadas de A son ( - 2 , 6) y las coordenadas de Bson ( — 4, 2). Por el teorem a 14.1, las coordenadas del punto m edio M son( - 3 , 4).

a. Empléese papel vegetal o una hoja de p lástico para encontrar la reflexión de A B sobre el e je de las y. Compárense las coordenadas del punto medio del segm ento refle jado con las coordenadas de M.

b . Refléjese AB sobre el e je de las x. Compárense las coordenadas del punto m edio del segm ento refle jado con las coordenadas de M.

c . Establézcase la m ism a comparación cuando la recta y = x se usa como línea de reflexión.

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14.2 Punto m ed io de un segm en to 511

En los ejercicios 10 a 14, M es el punto m edio de AB. Se d an las coordenadas de dos de los puntos. Encuéntrense las coordenadas del tercer punto.

10. ,4(1, 1), M (5, 1), encuéntrese B.

11. A( — 2, —6), M ( — 2, 1), encuéntrese B.

12. A( — 5, —3), M(2, 1), encuéntrese B.

13. M (0, 0,), B (—4, 3), encuéntrese A.

14. M(0, 0), B (l, 6), encuéntrese A.

15. D ado el triángulo A B C con vértices A (—4, —3),_B (8, 0) y C(6, 1?' 2 traza una recta paralela a la base A B y que biseca a 4C . Encuéntrense las coordenadas del punto donde la recta interseca a BC.

16. Supóngase que las coordenadas de A y B son ( — 4, 6) y (6, —2). Encuéntrense las coordenadas de X , tales que A X = ¿ AB.

17. Supóngase que las coordenadas de A y B son ( — 7, —2) y (5, — 1). Encuéntrense las coordenadas de un puntoC sobre A B tal que A C = j AB.

18. Pruébese el teorem a 14.1 considerando la siguiente información.Dado: y j , P 2(x 2, y 2), P XM = M P 2

Pruébese: Las coordenadas de M son ( , X l ,2 2

(Sugerencia: Trácense las rectas auxiliares indicadas en el diagrama.)

19. Considérense los puntos P ¡(x¡, y ,) y P 2(x2, y 2). Encuéntrense las coordenadas de los puntos que trisecan a P ,P 2.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS_________

C o n sid é re se un s is tem a trid im ensional de co o rd en ad as, con un e je d e las x, uno de las y y uno de las z. S e sitúa un cubo con a r is ta s d e 4 u n id ad es seg ú n ilustra el d iagram a.

¿C uáles son las c o o rd e n a d a s (x, y, z) del cen tro del cubo?

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512 G eom e tría de coo rdenadas

14.3 La pendiente de una recta

¿C u á l es la p e n d ie n te de los te jad o s?

L a p e n d ie n te d e u n a re c ta o d e unseg m en to p u e d e c o n s id e ra rse c o m o la

, e levaciónr a z ó n -------------- , ta l c o m o a p a re c e en la

av an cefigura.

Se u sa la le t r a m p a ra d e s ig n a r a la p en d ien te . E s tú d ien se lo s sig u ien tes e jem plos.

5m - - 2

2l

m =

L a d e fin ic ión d e p e n d ie n te q u e se p re se n ta a c o n tin u a c ió n in c luye el s is tem a de c o o rd e n a d a s ca rte s ian as .

L a p e n d ie n te de u n a rec ta e s tá d e te rm in a d a p o r el c a m b io en la d is ta n c ia v e rtic a l — y 2) d iv id id a e n tre el c a m b io e n la d is ta n c ia h o r iz o n ta l

(* i - * 2).

Definición 14.1

Si P , y P 2 tienen coordenadas(*i> y J y (*2, y 2\respectivamente, entonces la pendiente m de P iP 2 es:

x x x 2 si Xj — X 2 0.

elevación

avance

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Page 524: Geometria - Clemens

14.3 La pend ien te de una recta

L o s e jem p lo s sig u ien tes m u e s tra n q u e la p e n d ie n te de u n a rec ta p u ed e ser p o s itiv a , n e g a tiv a , c e ro o indefin ida .

Ejemplo 1 P e n d ie n te p o s itiv a Ejemplo 2 P e n d ie n te n eg a tiv a

' . J J y . L . . f_i; : : : • • --j' 1-*...}... ¡j j . J x \Ltfc: . .77. L). i 1 _i_1: : j : z i zL.J._ T ! 1

m —5 - ( - 3 ) 8

Ejemplo 3 P e n d ie n te cero

"T '”—

y,....... '“"f—!

1 ...J... .V

....LX.!U- - Í ü ,—|—jH “ 3r ... t5_¿_; . '±1 _j__!_

_ - 2 - ( - 2 ) _ 0

m 5 - ( - 3 ) 8

L a pendiente de una recta, si es paralela al eje de las x , es cero.

ni —

- 3 - 6

Ejemplo 4 P e n d ie n te in d efin ida

”T y ¡ /O .. .y... é- ....Jw .

.. . >--4— ... xi...--i r p ... ... ...i

m —2 - 2 0

Así pues, la pendiente es indefinida. ¿Por qué? La pendiente dé una recta paralela al eje de la y es indefinida.

APLICACIONSi e s ta c a sa m id e 30 p ies d e a n c h o y la e lev ac ió n del te ja d o es 6 p ies, ¿cuál es la p e n d ie n te del te jad o ?

Si A B = 30, en to n ces A C = 15.D a d o q u e D C = 6,

e n to n ces la p e n d ie n te = e lev ac ió n 6

a v a n c e 15'

P o r ta n to , la p e n d ie n te = —.

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514 G eom e tría de coo rdenadas

EJERCICIOS_________________A.

1. Determ ínense las coordenadas de cadapunto y encuéntrense las pendientes de los siguientes segmentos.

a. A B . b . H Ñ . c. A C .

d. M C . e. GJ. f. L O .

g. HG. h . M B. i. M G .

En los ejercicios 2 a 7, encuéntrese la pendiente de laque contiene los pun tos dados.

2. (0 ,0 ), (4 ,6 ). 3. (3, 5), (9 ,2).

4. ( - 2 , 5), (6, - 3 ) . 5. ( - 2 , 10), ( - 6 , - 4 ) .

6. (10 ,2), ( - 2 , 2 ) . 7. (5 ,0 ), ( 0 , - 5 ) .

8. Los vértices de un paralelogram o son J?(l, 4), 5(3, 2), T(4, 6) y U(2, 8). G rafíquense estos puntos y encuéntrense las pendientes de cada lado. ¿Qué lados tienen pendientes iguales?

9. Los vértices de un rectángulo son £ ( - 2 , 3), F(4, 3), G(4, - 1) y H (—2, — 1). Encuéntrese la pendiente de cada lado. ¿Cuáles son los dos lados que tienen pendientes indefinidas?

B.10. ¿Cuál es la pendiente de una recta si cruza el eje de las

x en 6 y el eje de las y en — 2?

11. Los vértices de un triángulo son A(4, 6), B ( - 1, 2) y C(2, — 4). Encuéntrese la pendiente de cada lado.

ACTIVIDADES— — —Supóngase que las coordenadas de A son ( - 2 , 4) y las deB ( - 6, 2).

a. Con papel vegetal o con una_hoja de plástico, encuéntrese la reflexión de >AS sobre el e je de las y. Com párese la pendiente de AB con la pendiente del segm ento reflejado.

b. Refléjese AB sobre el e je de las x y com párese la pendiente de AB con la pendiente del segmento reflejado.

c. Hágase la m ism a com paración cuando se usa la recta y = x como línea de reflexión.

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14.3 La pend ien te de una rec ta 515

. ?..*

12. D ad o A A B C con A ( - 2 , 4), B(6, 2) yC(0, - 4 ) :

a. Encuéntrense las coordenadas de los puntos medios D, E y F.

b. Determ ínense las pendientes de AB,BC y AC.

c. Determ ínense las pendientes de DE,D F y FE.

d. ¿Qué se observa en las pendientes encontradas en b y c?

13. Los vértices de un triángulo son X (U , 0), Y ( - 5, 4) y Z(3, 4).a. Encuéntrense las pendientes de los lados.

b. Encuéntrense las pendientes de las medianas.(Empléese el teorem a 14.1 para encontrar los puntos m edios de los lados.)

14. U na recta con pendiente —3 cruza el 15. ¿Cuál es la pendiente de una recta sieje de las x en (8, 0). ¿En qué pun to la coordenada x siem pre es doble quecruza el eje de las y? )a coordenada y?

16. ABCD es un cuadrilátero con vértices A(a, b), B(c, b),C(c + d,e) y D(a + d, é). Encuéntrense las pendientes de los lados.

17. A A B C tiene vértices B ( - 6, -_3) y C(8, - 4 ) . L a pendiente de A B = i y la pendiente de A C = - 2 . Encuéntrense las coordenadas del punto A.

18. U n a recta con pendiente — 1 contiene al punto (5, —2). Encuéntrese x si la recta tam bién contiene al punto (x, 8).

SOLUCION DE PROBLEMASTres puntos, A, B y_C, son co lineales si la pend ien tede AB es igual a la pendiente de BC. Empléese este hecho para reso lver el siguiente problema.

Dado: A A X Y con A(OJ3),pendiente de A Y =-£.DEFG, HIJK y LMNP son cuadrados con coordenadas D(4, 0),«(10, 0) y L( 18, 0).

Pruébese: F, J y N son colineales.

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516 G eom etría de coo rdenadas

14.a Pendientes de rectas perpendiculares y paralelas

S u p ó n g a se q u e se h a c e g ira r e n d irecc ió n c o n tra r ia a la d e las m an ec illa s d e l re lo j u n a b o la su je ta a u n a c u e rd a . Si se su e lta la b o la en el p u n to A , ¿cuál es la p e n d ie n te de la tra y e c to r ia q u e sigue? E s ta p re g u n ta se e x a m in a en e s ta sección.

P r im e ro , se c o n s id e ra rá n las p en d ie n te s de rec tas p e rp e n d ic u la re s . L a s rec tas d e las fig u ras so n p e rp e n d ic u la re s . D ete rm ín ese la p e n d ie n te d e c a d a p a r de rectas.

O b sé rv ese q u e la p en d ien te d e a = 4 , la p e n d ie n te deb = —4 y 4* —4 = — 1.

O b sérv ese q u e la p e n d ie n ted e b = — f , la p e n d ie n te de, _ 2 . . 5 2 _ 1

' 2 ’ 5 — — '■c = l y

E sta s o b se rv ac io n es su g ie ren el s ig u ien te teo rem a .

Teorema 14.2 El p ro d u c to de las p en d ie n te s d e d o s rec ta s p e rp e n d ic u la re ses — l.

E l te o re m a 14.2 só lo es v e rd a d e ro si n in g u n a de las rec ta s es p a ra le la al eje d e las y . ¿ P o r qué?

APLICACION

P a r a re so lv e r el p ro b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io d e la secc ión , a s íg n ese u n s is tem a d e c o o rd e n a d a s . Si las c o o rd e n a d a s de A so n (3, - 2 ) , la p e n d ie n te de Ó A es — f . S o rp re n d e n te m e n te , la s leyes c ien tíficas m u e s tra n q u e la b o la s iem p re se m o v e rá e n u n a d irecc ió n Á É ta n g e n te a l c írcu lo . A sí, O A -L A B . P o r el te o re m a 14.2, el p ro d u c to d e las p e n d ie n te s de e s to s d o s seg m en to s es —1. Así, —f • p en d ien te de A B = — 1, o la p e n d ie n te d e A B — f .

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14.4 P end ien tes de rec tas p e rp e n d icu la re s y p a ra le la s 517

C o n sid é re n se a h o ra las p e n d ie n te s d e las re c ta s p a ra le la s . L as rec tas sig u ien tes so n p a ra le la s . D e te rm ín en se las p en d ien te s de c a d a p a r de rec tas.

C o n s id é re n se las p e n d ie n te s de los te ja d o s de la d erech a . Si la p e n d ie n te de A B _es § y A B || C D , ¿cuál es la p e n d ie n te d e C D ? E s ta p re g u n ta se re sp o n d e m ás ad e lan te .

i • : !

: ¡4 "

•• T -

O b sérv ese q u e la p e n d ie n te d e a = f , la p e n d ie n te d e b = f y la p e n d ie n te de a = p e n d ie n te d e b.

O b sérv ese q u e la p e n d ie n te d e c = — f , la p e n d ie n te de d = —f y la p e n d ie n te d e c = p e n d ie n te de d.

E sta s o b se rv ac io n es su g ie ren el te o re m a sigu ien te .

E l te o re m a 14.3 só lo es v e rd a d e ro si n in g u n a d e las rec ta s es p a ra le la a l eje d e las y. ¿ P o r qué?

AP LIC A C IO N

P a r a re sp o n d e r a la p re g u n ta re fe ren te a lo s te jad o s , asígnese u n s is te m a de c o o rd e n a d a s . E n to n ces , la p e n d ie n te de A B = f . E l te o re m a 14.3 e s tab lece q u e la p e n d ie n te d e A B es ig u a l a la p e n d ie n te de C D . P o r ta n to , la p e n d ie n te d e C D = f .

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518 G eom e tría de coo rdenadas

EJERCICIOS_________

A.

1. Considérense los puntos A(3, 5), 5(7, - 1 ) , C ( - 4, 4), y D(0, - 2 ) . ¿Es A B || CD?

2. C onsidérenselos puntos -4(3, 5), B{1, - 1), C(0, 0) y D( 12, 8).¿Es A B ± CD?

3. M uéstrese que (3, 9), (7, 5), (4, — 1) y (0, 3) son las coordenadas de los vértices de un paralelogram o. (Empléese el teorem a 14.3.)

4. M uéstrese que (1, 2), (3, 1), (0, - 4 ) y ( - 2 , - 3 ) son las coordenadas de los vértices de un paralelogram o.

5. M uéstrese que (1, - 3 ) , (4, 5), ( - 3 , 7) y ( - 6 , - 1 ) son las coordenadas de los vértices de un paralelogram o.

6. M uéstrese que (4, 6), (5, 1) y (2, 4) son las coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo.

7. M uéstrese que (7, 9), (10, —3) y (2, —5) son las coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo.

8. M uéstrese que (1, 4), (3, 5), ( - 3 , 12) y ( - 1 , 13) son las coordenadas de los vértices de un rectángulo.

9. M uéstrese que ( - 3 , - 3 ) , ( - 1 , - 2 ) , (1, - 6 ) y ( - 1 , - 7 ) son las coordenadas de los vértices de un rectángulo.

10. M uéstrese que (10, 2), (8, 8), ( - 1 , 5) y (1, - 1) son las coordenadas de los vértices de un rectángulo.

ACTIVIDADES— ^ — — — —

Supóngase que AB || CD, E F 1 A B y £ f ± CD tienen lascoordenadas que se m uestra en la figura.

a. Con papel vegetal o con una hoja de plástico, reflé jense AB, CD, y E F sobre el eje de las x. ¿Siguen siendo verdaderas las m ismas relaciones para los segm entos reflejados?

b. Refléjense los segm entos para el e je de las y. ¿Siguen siendo verdaderas las m ism as relaciones en los segm entos reflejados?

c. Refléjense los segm entos sobre la recta y = x. ¿Siguen siendo verdaderas las m ismas relaciones para los segm entos reflejados?

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14.4 Pend ien tes de rec tas p e rp e n d icu la re s y pa ra le la s 519

11. Los vértices de un triángulo tienen coordenadas (5,1),( —1,7) y (1, — 3). Encuéntrense las pendientes de los tres lados. Encuéntrense las pendientes de las tres alturas.

B.12. Encuéntrese y de m anera que la recta que pasa por ( — 4, —3)

y (8, y) sea paralela a la recta que pasa por (4, — 4) y (3, 5).

13. Encuéntrese y de m anera que la recta que pasa por ( — 2, — 1) y (10, y) sea perpendicular a la recta que pasa po r (6, —2) y(5, 7).

14. Determ ínese a de m anera que la recta que pasa p o r (7, 1) y (4, 8) sea paralela a la recta que pasa por (2, á) y (a, — 2).

15. Determ ínese b de m anera que la recta que pasa po r (2, 3) y (4, — 5) sea perpendicular a la recta que pasa por (4, — 5) y (b,b).

16. Las coordenadas de A, B y C son ( — 3, 2), (4, — 2)_y (0, 6), respectivamente. Encuéntrese D de m anera que A B || CD y D esté sobre el eje de las x.

17. Si las coordenadas de A y B son (0, 4) y ( —5. 1), y siA B ±A<?, encuéntrese el punto en el que A C cruza el eje de las x.

c.18. ABCD es un rom bo con vértices A( — 3, 6), B(5,7) y

C(9, 0). Encuéntrense las coordenadas de D.

19. ABCD es un paralelogram o con vértices .4(3, 6), B(5, 9) y C (8,2). Encuéntrense las coordenadas de D.

20. U n círculo con radio a y centro en el origen contiene el punto de coordenadas (c, d). Encuéntrese la pendiente de la tangente al círculo en el punto (c, d):

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

C o n sid é ren se los puntos A( — 2 ,0) B(6,4) y C(x, 0). Si AB 1 SC, e n c u é n tre se el á re a d e A ABC. (Sugerencia: E n cu én tren se prim ero las c o o rd en ad as del punto C.)

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520 G eom etría de coo rdenadas

14.5 La fórmulade la distancia

E n e s ta secc ión se e s tu d ia rá u n a d e las fó rm ulas m á s im p o r ta n te s d e la g e o m e tr ía an a lítica : la fó rm u la de la distancia . P u e d e u sa rse e s ta fó rm u la p a ra sa b e r a q u é d is ta n c ia se lan zó la p e lo ta (véase la f ig u ra d e la derecha).

Ejemplo 1 P a r a e n c o n tra r la lo n g itu d d e u n seg m en to p a ra le lo a l eje d e la s x.

A B = |4 — ( — 2)| Si A B es paralela a l eje de la x y lasA B = |6 | c o o rd e n a d a s de A y 6 so n (x x, y ¡) yA B = 6 (x 2, y 2), e n to n ces A B = |x j — x 2|.

Ejemplo 2 P a r a e n c o n tra r la lo n g itu d de u n seg m en to p a ra le lo a l e je de las y.

A B = |3 — ( —2)| Si A B es p a ra le la a l eje d e las y y lasA B — |5 | c o o rd e n a d a s d e A y B so n ( x ¡ , y ,) yA B = 5 (x 2, y 2), e n to n ces A B = |y \ — y 2|.

Ejemplo 3 P a ra e n c o n tra r la lo n g itu d de u n seg m en to q u e n o es p a ra le lo a n in g u n o d e los ejes.

Se d esea e n c o n tra r la lo n g itu d d e A B . S ea B C p a ra le la a l e je de las x , y A C p a ra le la a l e je d e la s y. E n to n ces , B C = |2 — ( — 3)| y A C = |3 — ( —2)|. A A B C es u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo . Así, p o r el te o re m a de P itá g o ra s , A B 2 = B C 2 + A C 2. P o r ta n to , A B 2 = = (2 — ( —3))2 + (3 — ( —2))2 o b ien A B = + 3)2 + (3 + 2)2.

A B = V/2 5 ~ T 2 5 = 5 ^ 2 .

p -, ■i... r'fTT'T"!

I”:”1 r—IT"!- — 4

-4LL^.-S-í Ué o É i d

[4 4 4 :1

■ rJ..4..L.I..ÍXÍ

Si u n ja rd in e ro d e rech o lan za la p e lo ta de l p u n to A a la te rce ra b ase (p u n to B ), ¿q u é d is tan c ia re co rr ió la pe lo ta?

E s to s e jem p lo s su g ie ren el te o re m a sigu ien te .

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14.5 La fó rm u la de la d is ta n c ia 521

Teorema 14.4 L a fó rm u la de la d is tan c ia . Si A t ie n e c o o rd e n a d a s (x ¡ , y ¡ ) yB tien e c o o rd e n a d a s (x 2, >’2), e n to n c e s A B == y / ( x l - x 2)2 + (,V! - y 2)2 -

Ejemplo

E m pléese la fó rm u la d e la d is ta n c ia p a ra d e te rm in a r si A A B C es isósceles.

Se em p ieza p o r e n c o n tra r las lo n g itu d es de lo s tre s lados.

A B = V(8 - ( — 2))2 + (7 - O)2 = VT49

B C ~ VO2 + (7 - ( — 5))2 = V \ 4 4

A C = V (8 - ( —2))2 + ( - 5 - O)2 = V Í2 5

N o h a y d o s la d o s q u e te n g a n la m ism a lo n g itu d , p o r ta n to A A B C n o es isósceles.

APLICACION

V o lv ien d o a la p re g u n ta p la n te a d a al p r in c ip io de la secc ión re la tiv a a la d is ta n c ia q u e re c o rr ió la p e lo ta d e b é isb o l, a s íg n ese un s is tem a d e c o o rd e n a d a s c o m o el de la de rech a , c o n o rig en en hom e. E l ju g a d o r e s ta rá en la p o s ic ió n (280,20). C o n la fó rm u la d e la d is tan c ia , se ob tiene:

A B = 7 ( 2 8 0 - O)2 + (20 - 90)2

A B = X/(28Ó )2 + ( —70)2

A B = ^ 7 8 , 4 0 0 + 4900

A B = ^ 8 3 , 300

A B = 288.62 piesL a p e lo ta re c o rr ió u n o s 289 pies.

£(0, 90); tercera base C(90, 0); primera base 0(325, 0); valla del jardín derecho -4(280, 20); posición del jugador

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Page 533: Geometria - Clemens

522 G eom e tría de coo rdenadas

A.

En los ejercicios 1 a 8, encuéntrese la distancia entre los puntos dados.

I. ( - 4 , 5 ) y (6 ,5 ). 2. (3 ,2) y ( 3 , - 8 ) .

3. (4 ,5) y ( - 3 , - 2 ) . 4. ( - 2 , 5) y ( 5 , - 2 ) .

5. (4 ,0 ) y ( 0 , - 6 ) . 6. (1 ,2) y ( - 7 ,3 ) .

7. ( - 5 , 3 ) y ( 0 , - 4 ) . 8. ( 6 , - 2 ) y (7, 3).

En los ejercicios 9 a 12, empléese la fórm ula de la distancia para clasificar los triángulos en escaleno, isósceles o equilátero.

9. ¿ (4 , 5), 5 (5 , —2), y C (l, 1).

10. ¿ (1 ,1 ) , £ ( - 3 , 5 ) , y C (2 \/3 — l ,2 y /3 + 3).

11. ¿ ( —6, 2), 5 (1 , 7), y C(6, 3).

12. ¿ (1 0 , —5), 5 ( —2, 1), y C(7,4).

En los ejercicios 13 y 14, empléese la fórm ula de la distancia para determ inar si el triángulo es o no rectángulo.

13. ¿ (1 ,4 ) , 5 ( —2, —2), y C(10, —8).

14. ¿ (5 ,7 ) , 5 (8 , - 5 ) , y C ( - 4, - 4 ) .

15. ¿Resulta más sencillo em plear la definición 14.1 o el teorem a 14.4 para m ostrar que un triángulo es rectángulo?

16. Empléese la fórm ula de la distancia para m ostrar que ABCD es un paralelogram o si los vértices son A( 1, —5),5(7, - 1 ) , C(2, 0) y D( —4, -4 ) .

EJERCICIOS____________________________________

ACTIVIDADES ~A dem ás del uso de las c o o rd en ad as c a r te s ia n a s , hay o tra form a de en co n tra r puntos en un plano. Por ejem plo , para localizar el punto P podría d ec irse « d esp la z a rse 4 un idades en un ángu lo de 45o».

La notación de esto s e re p re se n ta con el p ar o rdenado (4, 45°) o bien, en g en era l, (r, 0), donde 0 re p re se n ta el ángulo y r re p re se n ta la d istanc ia de O al punto dado.

T rácese un rayo OM (con O en el origen) y e m p lé e se el tran sp o rtad o r p a ra re p re se n ta r los puntos sigu ien tes:1 . ( 2 , 3 0 ° ) 2 . ( 3 , '9 0 ° ) 3 . (5 , 9 0 ° )

4 . (2 .5 , 1 2 0 ° ) 5 . (4 , 4 2 ° ) 6 . (1 , 1 8 0 ° )O

(r, H) = (5 . 1 5 0 °)

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Page 534: Geometria - Clemens

14.5 La fó rm u la de la d is tane ia 523

17. Encuéntrese la longitud de la m ediana AD en A A B C con vértices A(2, 6), B(3, - 5 ) y C ( - l , 7).

En los ejercicios 18 a 20, empléese la fórm ula de la distancia para determ inar si B está entre A y C. (Si B está entre A y C, entonces A B + BC = AC.)

18. A ( — 3, - 7 ) , £ (0 , — 2), C (6 ,8).

19. A( 1 , - 2 ) , £ (4 ,3 ) , C(10, 12).

20. A ( 1,4), £ (2 , 3), C(4, 1).

21. Encuéntrese x si la distancia entre (1, 2) y (x, 8) es 10.

22. ABCD es un rectángulo inscrito en un círculo, con vértices .4(0, 0), B(2, 1), C(4, - 3 ) y D(2, - 4 ) . Encuéntrese la longitud del diám etro del círculo.

23. Encuéntrese el área de A A B C cuyos vértices son -4(—3, —4), £(3,4) y C( —5,0).

24. Encuéntrese el área de ABCD con vértices A( — 2, 3), £(3, 8), C(8, 3) y D(3, - 2 ) .

25. Encuéntrense las coordenadas del pun to equidistante de (3,11), (9,5) y (7 ,-1 ) .

26. Encuéntrense las coordenadas del punto que equidista de (0,6) y (10,0) y está sobre la línea y = x.

27. G rafíquense al m enos cuatro puntos que satisfagan la condición de que la distancia entre ellos y el pun to (1, 2) sea siempre 5 unidades.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

C o n sid é rese un s is tem a de c o o rd en ad as trid im ensional con un e je de las x, un e je d e las y y un e je de las z. En él, se co loca un cubo cuyas a r is ta s m iden 4 u n id ad es ca d a una, com o s e m u estra en el d iagram a.

1. E n cu én trese la longitud de OP.

2. E n cu én trese la fórm ula p a ra la longitud OP en un cubo, de cua lqu ier tam año . (S u g eren c ia : S e a P un punto con c o o rd en ad as (x,, y,, z,).)

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524 G eom e tría de coo rdenadas

14.6 La ecuación de la rectac

recorridas)

L a s re lac io n es de n u e s tro m u n d o p u e d e n re p re se n ta rse c o n frecuencia m e d ia n te la g rá fica d e u n a rec ta . E s ta s re lac io n es, c o m o las ta r ifa s d e los tax is , se lla m a n relaciones lineales. T o d a re la c ió n lin ea l p u ed e re p re se n ta rse p o r u n a ecu ac ió n de la fo rm a y = m x + b, d o n d e la re c ta c o r ta a l e je d e la s y en b y tien e u n a p e n d ie n te m.

Ejemplo 1 L a re lac ió n e n tre la e sca la F a h re n h e it y la e sca la C els iu s e s tá d a d a p o r la ecu ac ió n

F = f C + 32

L a p e n d ie n te es f . E l c ru c e c o n e l eje F es e n 32.

Ejemplo 2 S u p ó n g ase q u e p o r c a d a o n z a d e p e so q u e se a g reg u e a u n m uelle , éste se e s tira rá 0.5 p u lg a d a s . L a re lac ió n e n tre el p e so (x) y la lo n g itu d del a la rg a m ie n to (y) e s tá d a d a p o r la ecu ac ió n

y = 0 .5x

L a p e n d ie n te es 0.5. E l c ru ce c o n el eje y es 0.

(peso) x

-Teorema 14.5 C u a lq u ie r re c ta e n el p la n o d e c o o rd e n a d a s q u e n o sea

p a ra le la a l e je d e la s y p u e d e re p re se n ta rs e p o r la ecu ac ió n y = m x + b , d o n d e m es la p e n d ie n te y b es el p u n to en q u e c ru z a e l e je d e la s y.

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14.6 La ecuac ión de la rec ta 525

Ejemplo 1 D e te rm ín e n se la p e n d ie n te y el p u n to d e cruce co n el eje y d e u n a re c ta , d a d a la ecu ac ió n d e la fo rm a a x + b y = c.

C o n sid é rese la ecu ac ió n 3 x + 4y = 12.D espéjese y . 3x + 4y = 12.

4-y = - 3 x + 12

y = - | x + 3

A h o ra , e n c u é n tre n se la p e n d ie n te y el c ru ce co n el eje y.P o r el te o re m a 14.5,

m = — | (la p en d ien te ) y

b = 3 (el c ru ce c o n el eje y).

L os d o s e jem p lo s s ig u ien tes ilu s tra n la fo rm a en q u e p u e d e em p lea rse el te o re m a 14.5 p a ra e n c o n tra r la e c u a c ió n de u n a re c ta d a d a s c ie rtas con d ic io n es.

Ejemplo 2 E n c u é n tre se la ecu ac ió n de u n a re c ta d a d o s la p e n d ie n te de la re c ta y u n p u n to so b re la rec ta .

C o n sid é re se u n a re c ta c o n p e n d ie n te § y u n p u n to ( - 3 , - 4 ) .P a s o 1 L a p e n d ie n te e s tá d e te rm in a d a

, . , y 2 ~ -V2p o r la ecu ac ió n m = ------------ .X i - * 2

C o n sid é re se u n p a r de p u n to s (x, y) y ( — 3, —4), y o b tén g ase la ecu ac ió n

2 _ y - ( - 4 )

3 x — ( —3)P a so 2 S im plífiquese la ecuac ión .

2(x — ( — 3)) = 3(y — ( — 4))o y - i x - 2

Ejemplo 3 E n cu én tre se la ecu ac ió n d e u n a re c ta d a d o s d o s p u n to s so b re la rec ta .

C o n sid é rese u n a re c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( — 3, 6) y (1, 2).

6 - 2 4P a so 1 L a p e n d ie n te m = ------------= — = — 1.

- 3 - 1 —4

P aso 2 D a d o q u e se c o n o cen la p e n d ie n te y u n p u n to , sígase el e jem p lo 2 u sa n d o lo s p u n to s (x , y ) y ( — 3, 6).

y - 6

3x + 4y = 12

y = j x - 2

1(-3)

o y = —x + 3.

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526 G eom etría de coo rdenadas

A.

En los ejercicios 1 a 6, escríbase la ecuación de la recta en la forma y = m x + b.

1. m = 2, b = 3. 2. m = §, b = — 2.

4. m = —0.2, b — —2.5. 5. m = 10, = —4.

En los ejercicios 7 a 10, represéntese la ecuación.

1. y = x + 4 . 8. = — 2x — 3.

9. j — 5. 10. y = — \ x + 3.

En los ejercicios 11 a 16, encuéntrese la pendiente y el cruce con el eje y de cada recta y represéntese la ecuación.

EJERCICIOS _________________________________

11. y + 2x = 4.

14. + j x = 1.

12. 2j< - x = 5.

15. 5 — 3x = 2y.

En los ejercicios 17 a 22, encuéntrese la ecuación de la recta dados la pendiente y un punto.

17. m = 2, (1, - 3 ) .

20. m = - i , (4, 3).

En los ejercicios 23 a 28, encuéntrese la ecuación de la recta que contiene a los puntos dados.

18. m = - 3 , ( - 2 ,1 ) .

21. m - ( - 3 , - 4 ) .

23. (0 ,0 ), (4 ,3 ).

26. (0, - 4 ) , (6 ,0).

ACTIVIDADES!

24. ( - 2 , 1), (5, —3).

27. (5 ,2 ), ( - 3 ,2 ) .

3. m — — b = 5-

6. w = 0, b — 2.

13. 3x — 2jy = 4.

16. 3x - 4y = 12.

19. m = j , (0 ,0).

22. m = - | , (0,4).

25. (0 ,0 ), ( - 3 , - 3 ) .

28. (1 ,3 ), ( - 4 , - 2 ) .

Identifiqúense d o s v ariab les que s e su p o n e tienen alguna relación. Por ejem plo:a . el p e so y la a ltu ra d e una p erso n a ,b. el núm ero d e ba teos y el núm ero d e .h its de un

ju g ad o r de béisbol

c. la c ircunferencia de vario s circuios y los d iám etros co rresp o n d ien tes .D espués,1. R e p re sé n te n se los p a re s o rdenados.2. D ibújese u n a rec ta q u e s e a el m ejor a ju ste a los datos.3. D eterm ínense la pend ien te y el c ru ce con el e je vertical

de la recta.

2 0 0 - -

180- -

160-

120--

10° -J— /i r

80

" /

• / 'i •

3 14° - - . / •/

/ •/ .

+50 60 70 80 90

altura

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14.6 La ecuac ión de la rec ta 527

En los ejercicios 29 a 31, encuéntrese la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta dada.

29. y = —2x + 3. 30. 2x - 3y = 6. 31. 12x + 30y = 18.

32. Los vértices de un triángulo tienen coordenadas (0, 0), (2, 4) y ( — 4, 2). Encuéntrese la ecuación de los lados del triángulo.

33. Encuéntrese el punto de intersección de la recta x — 3y = 1 y la recta que contiene a los puntos (1, 7) y (6, —3).

35. Encuéntrese el área de un triánguloform ado por el eje de las x, el eje de las y y la recta y = x — 5.

37. Encuéntrense las ecuaciones de las diagonales del rectángulo ABCD con vértices A{ — 6, —4), B( — 6, 2), C(3, 2) y D(3, -4 ) .

39. Encuéntrese la ecuación de la recta que es_ la bisectriz perpendicular del segmento A B con extrem os -4(10, 2) y B(2, —6).

34. Si los puntos sobre x e y son (4,0) y (0, — 3), ¿cuál es la ecuación de la recta?

36. Encuéntrese la ecuación de la m ediana AD de A A B C con vértices A(4, 4), B(6, 2) y a —2, - 4 ) .

38. Encuéntrese la ecuación de la altu ra AD de A A B C con vértices A( — 1, 5),B( —7 ,—3 )y C (5 ,l) .

40. Encuéntrese la ecuación de la recta que contiene al punto (4, 2) y es perpendicular a la recta y = —2x — 4.

41. U na diagonal de un cuadrado está sobre la recta 3x — 5y = 14. U n vértice está en (0, 4). Encuéntrese la ecuación de la o tra diagonal.

43. Encuéntrese la distancia entre las rectas paralelas con ecuaciones y = Ix + 10 e y = — lx + 15. (Sugerencia: Dibújese un d iagram a preciso.)

45. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son (0, 0), (18,0) y (6,12). Encuéntrense las coordenadas del centroide (el pun to de intersección de las medianas).

42. Las ecuaciones de dos lados adyacentes de un paralelogram o son x + 2y — 4 = 0 y 3x + y + 3 = 0. U n vértice tiene coordenadas (8, — 7). Encuéntrense las ecuaciones de los o tros dos lados.

44. Las coordenadas de A A B C son .4(0, 0), 5(6, 0) y C(4, 6). AD es una a ltu ra desde BC. Encuéntrense las coordenadas de D.

SOLUCION DE PROBLEMAS.

E n cu én trese la d istanc ia e n tre el punto (2, 1) y la rec ta 3x - 4y = 0. (Sugerencia: D ibújese u n a figura p rec isa y d íg a se la d is tan c ia q u e d e b e en co n tra rse .)

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Page 539: Geometria - Clemens

14.7 La ecuación del círculo

S u p ó n g ase q u e se a s ig n a u n s is tem a de c o o rd e n a d a s p a ra e s te d ib u jo de fo rm a q u e la n iñ a sea el o rigen . ¿C ó m o p o d r ía d esc rib irse m a te m á tic a m e n te la tra y e c to r ia del av ió n ? E l te o re m a d e e s ta sección a y u d a rá a re so lv e r la p reg u n ta .

528 G eom etría de coo rdenadas

E n lo s e jem p lo s sigu ien tes, m u éstrese q u e los p u n to s e s tán so b re el c írcu lo . E s to p u e d e h ace rse si se m u e s tra p r im e ro q u e las c o o rd e n a d a s de los p u n to s sa tisfacen la ecu ac ió n d a d a p a ra el círculo .

x 2 + y 2 = 4 X 2 + y 2 = 16

C o n sid é rese el c írcu lo d e la d e re c h a c o n c e n tro en el o rig en y ra d io 5 u n id ad es . S u p ó n g ase q u e (x ,j/) es u n p u n to so b re el c írcu lo . L a fó rm u la d e la d is ta n c ia ex p re sa q u e

V ( x - O)2 + ( y - O)2 = 5.

P o r ta n to , x 2 + y 2 — 25, q u e es la ecu ac ió n del c írcu lo .

E sto su g iere el s ig u ien te teo rem a .

x 2 + >’2 = 6 4

Te0reiH3 14.6 L a g rá fica d e la e c u a c ió n x 2 + y 2y c e n tro en el o rigen .

r 2 es u n c írcu lo d e ra d io r

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14.7 La ecuac ión d e l c írc u lo 529

APLICACION

C o n sid é rese a la n iñ a q u e m a n e ja el av ión co m o se d e sc rib ió al p rin c ip io de e s ta sección. Si la n iñ a e s tá e n el o rig en y la c u e rd a tiene 15 p ies de lo n g itu d , en to n ces , p o r el te o re m a 14.6, la tra y e c to r ia del a v ió n e s tá d e sc rita p o r la ecu ac ió n

x 2 + y 2 = 225.

Teorema 14.7 L a g rá fica d e la ecu ac ió n (x - h)2 + {y - k)2 = r 2 es unc írc u lo d e r a d io r y c e n tro e n e l p u n to (h, k).

. En, los e jem p lo s sigu ien tes, m u és tre se q u e los p u n to s e s tá n so b re los c ircu ios. L a s c o o rd e n a d a s del c e n tro del c írcu lo se d a n en ro jo .

(X - 2 f + (y - 3)2 = 16 (X - (_3 ))2 + {y _ 1)2 = 25o (x + 3)2 + (y - i)-’ = 25

S u p ó n g ase q u e el c írcu lo de la d e re c h a tien e su c e n tro en el p u n to (h, k) y tiene ra d io r u n id ad es. L a fó rm u la de la d is ta n c ia ex p re sa q u e

V { x - h )z + ( y - k)2 --- r.

P o r ta n to , la ecu ac ió n del c írcu lo es

(* - h)2 + ( y - k )2 = r 2.

A h o ra se e n u n c ia el te o re m a sigu ien te .

(x - A)2 + ( y - ( - 4 ) )2 = 36 o (x - 4)2 + (y + 4 )2 = 36

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Page 541: Geometria - Clemens

530 G eom e tría de coo rdenadas

A .

En los ejercicios 1 a 9, escríbase la ecuación de un círculo con el radio y el centro dados. Después, dibújense los círculos con un compás.

1- (0,0)s 5. 2. (0 ,0 ); 2. 3. (0 ,0); 6.

4. (0 ,0); 4. 5. (2, 3); 6. 6. ( - 3 , - 4 ) ; 4.

7. (5 ,2 ); y /2 . 8. ( - 4 , 6); 2.5. 9. (0, - 4 ) ; 5.

En los ejercicios 10 a 17, encuéntrense el centro y el radio del círculo.

10. x2 + ;y2 = 25. 11. x 2 + y 2 = 36.

12. x 2 + y 2 = 20. 13. (x - ( — 3))2 + ( y - 4)2 = 25.

14. (x + 4)2 + ( y - 2)2 = 10. 15. x 2 + ( y - 3)2 = 12.

16. (x + 2)2 + j 2 = 9. 17. (x + 2)2 + ( y + 4)2 = 36.

EJERCICIO S________________________________________________

B .

18. Escríbase la ecuación de un círculo con 19. Escríbase la ecuación de un círculo concentro en ( —4, 0) y que contenga al centro en (3, 4) y que contenga al origen,origen.

ACTIVIDADES” ' '

Una e lip se e s una figura muy re lac io n ad a con el círculo. E stúd iese la definición sigu ien te:

P , y P2 son puntos fijos. La su m a de las d is tan c ia s d esd e cua lqu ie r punto de la curva h a s ta P , y P2 e s s iem p re la m ism a. Esto e s , P ,B + S P 2 = = P,A + APt = P t C + CPt .

Una elip se e s el conjunto de puntos en el que la su m a de las d is tan c ias d e sd e dos puntos fijos (P, y P2) h a s ta un punto de la cu rv a e s una constan te .

El s ig u ien te e s un procedim iento p a ra constru ir una elipse.

1. F íjense d o s puntos con clavos o alfileres.

2. A tense los ex trem os de una c u e rd a a los d o s clavos.

3. M uévase un lápiz com o s e m u estra en la figura.

D ibújense v a ria s e lip se s cam biando la d istanc ia en tre los c lavos y la longitud de la cuerda . ¿C uándo s e p a re c e la e lip se m ás a un círculo?

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Page 542: Geometria - Clemens

14.7 La ecuac ión d e l c írc u lo 531

20. Escríbase la ecuación de un circulo con centro en ( - 2 ,3 ) y que contenga al pun to (3,3).

21. Escríbase la ecuación de un círculo con un diám etro cuyos extrem os sean (—4, 0) y (2, 0).

22. Escríbase la ecuación de un círculo con un diám etro cuyos extrem os sean (3, 6) y (3, - 2 ) .

23. Escríbase la ecuación de un círculo con un diám etro cuyos extrem os sean ( - 4 , 8) y (6, 2).

24. Escríbase la ecuación de una recta que sea tangente al círculo x 2 + y 2 = 25 en el punto ( - 3 , 4). (Recuérdese que la tangente es perpendicular al radio.)

25. Escríbase la ecuación de la recta de los centros de los círculos (x + 4)2 + (y - 2)2 = 36 y (x - 5)2 + (_>- + 3)2 = 17.

26. Escríbase la ecuación del círculo con centro en ( —5, —5) y tangente a am bos ejes.

27. Escríbase la ecuación de un círculo que tenga el mismo centro que el círculo (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 y sea tangente al eje de las y.

28. Encuéntrese la ecuación del círculo cuyo centro esté sobre la recta y = £x y que contenga a los puntos (0, 6) y (0, - 2 ) .

29. Escríbase la ecuación del círculo con centro en (1, 7) y sea tangente a la recta x + 3y = 12.

30. Encuéntrese la longitud de una tangente desde (6,4) al círculox 2 + y 2 = 36.

SOLUCION DE PROBLEMAS__

S u p ó n g ase q u e u n a e s fe ra con cen tro en (0,0,0) con tiene al punto P (4 ,4 ,4) en un s is tem a de co o rd en ad as trid im ensional. E scríb ase la ecuación que re p re se n ta la esfera .

E sc ríb ase la ecuación de la e s fe ra con centro en (1, 3, 2) y q u e con tenga al punto (4, - 2 , 3).

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532 G eom etría de coo rdenadas

14.8 uso de las coordenadas en la prueba de teoremas

A lg u n o s te o re m a s se p u e d e n p ro b a r fác ilm en te c o n el u so d e las c o o rd e n a d a s . S in e m b a rg o , es m u y im p o r ta n te e leg ir la s c o o rd e n a d a s con cu id ad o . E s tú d ien se lo s d o s e jem p lo s sigu ien tes.

Ejemplo 1

C o n sid é re se el teo rem a:L a s d ia g o n a le s de u n re c tá n g u lo so n c o n g ru en te s .

¿C u á l de la s sig u ien tes p o sic io n es del re c tá n g u lo p a re c e se r la m ejor?

y>

( - a , b) ( a,b )

( - a 0 ) (a, 0 )

y .

(0, b) (a , b )

(0 ,0 )

'

( a , 0 )

( a , b + d ) (a + c , b + d )

(a, b)

El te o re m a p o d r ía p ro b a rse u tiliz a n d o la fó rm u la de la d is ta n c ia co n c u a lq u ie ra de las tre s posic io n es. S in e m b a rg o , la f ig u ra del c e n tro p u ed e ser la m á s fácil d e u s a r d a d o q u e la s c o o rd e n a d a s q u e se n e c e s ita n tien en m á s ceros.

(a + c,b)

Ejemplo 2

C o n sid é re se el teo rem a:L a m e d ia n a de la b ase de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo isósceles es p e rp e n d ic u la r a la b ase

¿C u á l d e las sig u ien tes posic io n es de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo isósceles p a re c e se r la m ejo r?

y

(a , b)

A \(0 , 0) (2 a , 0 )

C u a lq u ie ra de la s tre s p o s ic io n es p o d r ía u sa rse p a ra p ro b a r el teo rem a . S in e m b a rg o , p a ra la p ru e b a se u s a rá la p o s ic ió n de la d erech a .

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14.8 Uso de las coo rdenadas en la p rueba de te o rem as 533

Ejemplo 3 T eo rem a : L as d ia g o n a le s de u n re c tá n g u lo son co n g ru en tes .

PRUEBAD ado: A B C D es u n re c tá n g u lo co n

c o o rd e n a d a s 4.(0,0), B(a, 0),_C(a, b), D (0 ,b ) y d ia g o n a le s A C y B D .

P ruébese: A C = BD .

yD(0, b)

xC(a, b)

¿(0 ,0) B(a, 0)

Afirmaciones Razones

1. A B C D es un rectángulo con ¿ (0 ,0 ) , 1. Dado.B (a,0 ), C (a,b ), D(0, b).

2. A C = V (a - O)2 + (b - Of. 2. Fórm ula de la distancia.

3. A C = V a2 + b2. 3. Propiedades de los números.

4. B D = V (» - 0)2 + (0 - bf - 4. ¿Por qué?

5. B D = yja2 + b2. 5. Propiedades de los números.

6. A C = BD. 6. ¿Por qué?

Ejemplo 4 T e o rem a : L a m e d ia n a de la b a se de u n tr iá n g u lore c tá n g u lo isósceles es p e rp e n d ic u la r a la base.

PRUEBAD ado : T r iá n g u lo re c tá n g u lo isósceles A B C co n

A (0, 0), B (a , 0 ), C (0, a) y B M = M C .

P ruébese: A M _L B C

Afirmaciones

1. T riángulo rectángulo isósceles ABC con A (0 ,0 ), B(a, 0), C(0, a).

2. Las coordenadas de M son - |- j .

4 - 0— 23. Pendiente de A M = = 1.

4 - 0

4. Pendiente de B C = -------— = — 1.0 — a

5. Pendiente de A M • pendiente deB C _ = ( 1 X - 1 ) = - 1 .

6. A M 1 BC.

Razones

1. Dado.

2. Fórm ula del pun to medio (Teorem a 14.1).

3. Definición de pendiente.

4. Definición de pendiente.

5. Propiedades de los núm eros.

6. ¿Por qué?

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534 G eom e tría de coo rdenadas

A.

En los ejercicios 1 a 5, dibújese un sistema de coordenadas y ubíquese la figura. Dese una proposición sobre la figura que pueda probarse.

1. C uadrado. 2. T riángulo equilátero.

3. Paralelogram o. 4. Trapecio isósceles.

5. U n trapecio ABCD con A B || CD y m /-A = m /-D = 90.

6. Dado: ABCD es un cuadrado con ,4(0, 0), B(a, 0), C(a,a) yD(0, a).

Pruébese: ,4C = BD.

7. Dado: ABCD es un rom bo con A{0, 0), B(a, 0), C(c, b) yD(c — a, b).

Pruébese: AC 1 B D .(Sugerencia: M uéstrese que pendiente de A C • pendiente de BD = — 1. Recuérdese que AD = AB.)

EJERCICIOS____________________________________

ACTIVIDADES

Consíganse algunos conos de un m ateria l cualquiera. Córtense de varias form as, como se sugiere a continuación. Obsérvese la figura resultante.

1. Córtese una sección parale la a la base. La figura que se form a es un circulo.

2. Hágase un corte que no sea parale lo a la base y que no la interseque. La figura que se form a se llam a elipse.

3. Córtese una sección para le la al lado inclinado del cono. La figura que se form a es una parábola.

4. Córtese una sección que sea perpendicu lar a la base. La figura que se form a se llam a hipérbola.

Expliqúese por qué estas figuras se llam an cónicas.

corte

L

figura

Oc ircu lo

e lip s e

Ap a rá b o la

h ip é rb o la

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Page 546: Geometria - Clemens

14.8 Uso de las coo rdenadas en la p rueba de te o re m a s 535

8. Dado: ABCD es un paralelogram ocon ,4(0,0), B{a,0), C{c,b) y D(c — a, b) C(c, b)D(c — a, b). / V ^ 7

Pruébese: A C y BD se bisecan.

9. Dado: U n círculo con centro ,4(0,0) B(a, 0) * i . ,4(0, a)en el origen y cuerda A B concoordenadas (0, a) y (a, 0).

Pruébese: L a bisectriz perpendicular de ( 0B(a, 0)

una cuerda de un círculo l (0,0) 1 Xcontiene al centro.

B.

10. Pruébese: Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. (Asígnese un sistema de coordenadas com o el del ejercicio 6.)

12. Pruébese: El pun to medio de lahipotenusa de un triángulo rectángulo A B C equidista de los vértices. (Asígnense los vértices ,4(0,0), B(a, 0) y C(0,b).)

14. Pruébese: Si las diagonales de un trapecio ABCD son congruentes, entonces los catetos del trapecio son congruentes.

_ SOLUCION DE PROBLEMAS

C.

11. Pruébese: Las diagonales de un trapecioisósceles ABCD son congruentes. (Asígnense los vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(c, b) y D(a - c, b).)

13. Pruébese: Si las diagonales de unparalelogram o ABCD son congruentes, el paralelogram o es un rectángulo. (Asígnense los vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(c. b) y D(c - a, b).)

15. Pruébese: El segm ento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es igual a la m itad del tercer lado y es paralelo a él.

El s ig u ien te prob lem a s e p resen tó en un exam en de adm isión a una universidad. La re sp u e s ta p re tend ida e ra 7 ca ra s . Sin em bargo , un estu d ian te de bachillerato a leg ó q u e 7 c a ra s no e ra la re sp u e s ta co rrec ta . ¿E stab a en lo c ierto? En c a so afirm ativo, ¿cuál e s la re sp u e s ta co rrec ta?

En las p irám ides ABCD y EFGHI, to d a s las c a ra s son triángulos equ ilá te ro s co n g ru en te s excep to la b ase FGHI. Si la c a ra ABC s e co lo ca ra so b re la c a ra EFG de m an era q u e los vértices del triángulo coincidieran ,¿cu án tas c a ra s ten d ría el só lido resu ltan te?a. 5. b. 6. c . 7. d. 8. e . 9.

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536 G eom e tria de coo rdenadas

14.9 Transformaciones y geometría de coordenadas

E sto s d ib u jo s fu e ro n e la b o ra d o s p o r u n c o m p u ta d o r d e la U n iv e rs id a d d e C o n n ec ticu t,E s ta d o s U n id o s (V éase la re v is ta Scien tific A m erican de feb re ro de 1980). E l c o m p u ta d o r u só u n tip o esp ec ia l de tra n s fo rm a c ió n p a ra m o s tra r la secu en c ia (figura su p e rio r) d esd e la in fan c ia (perfil in te rn o ) a la e d a d a d u lta (perfil ex te rno ). Se em p leó u n tip o d e tra n sfo rm a c ió n d ife ren te p a ra p ro d u c ir la secu en c ia (figura in ferio r) d esd e el h o m b re de N e a n d e r th a l (perfil in te rn o ) h a s ta u n se r h u m a n o del fu tu ro (perfil ex te rn o ). L a s tra n s fo rm a c io n e s a y u d a n a s im u la r el c rec im ien to y lo s c a m b io s en las c a ra c te rís tic a s del c u e rp o h u m a n o p a ra q u e los c ien tíficos p u e d a n e s tu d ia rlo s .

L os efectos d e tra n s fo rm a c io n es sim ples, c o m o tra s lac io n es , reflex iones, ro ta c io n e s y o tra s , p u e d e n m o s tra rse en u n eje de c o o rd e n a d a s . E s tú d ie se e l s ig u ien te e jem plo .

Ejemplo- ^ a ra re p re se n ta r u n a f ig u ra y su im a g e n d esp u és de u n a tra n s fo rm a c ió n , c u a n d o la reg la es (x, y) -* (x + 4 , y + 5).

Paso 1 RePres®ntese una figura, A ABC , p o r ejemplo.A (—i , —4), B (l, —2), C(2, —4).

P aso 2 Apliqúese Ia regla de la transform ación a los puntos A, B y C para obtener com o imagen los puntos A', B ' y C'.(x ,y ) ----- * (* + 4 , y + 5).

( - 3 , - 4 ) ----- * (1 ,1).

( 1 , - 2 ) ------* (5,3).

(2, - 4 ) ----- * (6, 1).

Paso 3‘ RePres¿ntese la imagen de A A B C , que es A A 'B 'C '.

Esta transform ación es u n a traslación.

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Page 548: Geometria - Clemens

EJERCICIOS

14.9 T ra n s fo rm a c io ne s y ge o m e tría de coo rdenaaas 537

A.

Represéntese cada figura y su imagen con la regla de transform ación que se proporciona en los ejercicios 1 a 3.

1. Figura: T riángulo ABC , A( — 6, 3), B( — 4, 5) y C(—3, 4).Regla de transform ación: (x, y) - » (x + 4, y + 3).

2. Figura: T riángulo DEF, D(2, 1), E(3, 4), F (l, 5).Regla de transform ación: (x, y) —► ( — x, y).

3. Figura: T riángulo PQR, P (l, 1), 0(7, 4), R(5, 2).Regla de transform ación: (x, y ) - * ( —y, x).

4. P ara los ejercicios 1 a 3, digase si la transform ación es una traslación, una ro tación o una reflexión. Si es una traslación, encuéntrese la distancia del traslado. Si es una reflexión, especifiquese la línea de reflexión. Si es una rotación, especifiquense el centro y el núm ero de grados de la rotación.

B.

En los ejercicios 5 a 7, represéntense el cuadrilátero y su imagen. Después, respóndase a las preguntas.

5. C uadrilátero: -4(1, 1), B (l, 2), C(2, 1), D{2, 2).Regla de transform ación: (x, y) - » (3x, 3y).E sta transform ación se denom ina ampliación. ¿Qué relación existe entre las longitudes de los lados de esta figura y las longitudes de los lados de la imagen? ¿Qué relación hay entre sus áreas?

6. C uadrilátero: P (l, 2), 0(1 , 3), R(3, 3), S(3, 2).Regla de transform ación: (x, y) -* (x + 3y, y).E sta transform ación se denom ina partición. ¿Qué relación existe entre el área de la imagen y el área del cuadrilátero?

7. C uadrilátero: W(4, - 1 ) , X(3, 2), Y ( - 3, 2), Z ( - 2 , 1).Regla de transform ación: (x, y) -* (yx, 2y).Esta transform ación se denom ina alargamiento. ¿Cóm o cam bia esto a una figura? ¿Qué relación existe entre las áreas?

C.

8. Elabórense algunas reglas de transform ación y represéntense una figura y su im agen p a ra ver cóm o se transform a la figura. E labórese una regla que produzca una «contracción» de la figura.

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538 G eom etría de coo rdenadas

Capítulo 14 Conceptos importantesTérminos

Sistema de coordenadas cartesianas (pág. 505)Pendiente de una recta (pág. 512)

Teoremas

14.1 Si las coordenadas del segm ento P ¡P 2 son (x t , y ,) y (x2, y 2). entonces las coordenadas del pun to m edio de P ,P 2 son

14.2 El p roducto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es— 1. (Suponiendo que ninguna de las rectas es paralela al eje de las y.)

14-3 Las pendientes de dos rectas paralelas son iguales.(Suponiendo que ninguna de las rectas es paralela a l eje de las y.)

14.4 L a fórm ula de la distancia. Si A tiene coordenadas (x j, y ,) y B tiene coordenadas (x2, y2), entonces

14.5 C ualquier recta en el plano de coordenadas que no sea paralela al eje de las y puede representarse p o r la ecuación y = m x + b, donde m es la pendiente y b es el pun to en que se cruza el eje de las y.

14.6 La gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = r2 es un círculo de rad io r y centro en el origen.

14.7 La gráfica de la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es un círculo de rad io r y centro en el pun to (h, k).

(:* i + * 2 J'x +y2

2 ’ 2

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Page 550: Geometria - Clemens

C apítu lo 14 R esum en 539

Capítulo 14 Resumen1. Encuéntrense las distancias entre las coordenadas,

a. (1, 2) y (5, 8) b. ( - 3 , 4) y ( 5 , - 2 )c. ( - 4 , - 2 ) y (2, - 2 )

2. Encuéntrense las pendientes de las rectas que contienen las coordenadas del ejercicio 1.

3. Encuéntrense los puntos m edios de los segmentos determ inados po r las coordenadas del ejercicio 1.

4. Encuéntrese la ecuación de una recta que contiene al punto (2, — 4) con pendiente — 3.

5. Encuéntrese la ecuación de una recta que contiene al pun to (4, 1) y es paralela a la recta 3x + 4y = 2.

6. M uéstrese que (8, —5), (0, —7) y (5, 7) son los vértices de un triángulo rectángulo.

7. Encuéntrese la coordenada que falta de m anera que A B || CD p a ra ,4(2, 5), B(4, - 2 ) , C ( - 3 , - 4 ) y £>(6, x).

8. Encuéntrese la coordenada que falta de m anera que A B _L CD p a ra A( - 4, - 5), B(7, - 2), C( - 4, 6) y D(x, 0).

9. Encuéntrense el centro y el radio de un círculo con ecuación (x - 2)2 + {y + 3)2 = 24.

10. Escríbase la ecuación de un círculo con centro en el origen y que pasa por el pun to (4, 3).

11. Dado: ABCD es un cuadrado con vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(a, a)y_D(0, 4 _

Pruébese: A C 1 BD.

12. Dado: F igura W X Y Z con vértices tf^O, 0), X(a, 0), Y (a + b, c) yZ(b,c).

Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.

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Page 551: Geometria - Clemens

Capítulo 14 Examen1. Encuéntrense las distancias entre las coordenadas.

a . (3, 6) y ( - 6 , - 3 ) .b. ( - 4 , 0 ) y (0, - 4 ) .c. ( - 2 , 5) y ( - 2 , - l ) .

2. Encuéntrense las pendientes de las rectas que contienen a las coordenadas del ejercicio 1.

3. Encuéntrense los puntos medios de los segmentos determ inados p or las coordenadas del ejercicio 1.

4. Encuéntrese la ecuación de una recta que contiene a los puntos ( - 3 , 5) y (2, - 4 ) .

5. Encuéntrese la ecuación de una recta que contiene al punto (3, 5) y es perpendicular a la recta 2x + 6y = — 3.

6. M uéstrese que (4, 5), (6, 4), (3, — 1) y (1, 0) son las coordenadas de los vértices de un paralelogram o.

7. Encuéntrese la coordenada que falta de m anera que A B || p ara A ( - 4, 2), B ( - 1, - 3 ) , C(6, 2) y D(x. - 4 ) .

8. Encuéntrese la coordenada que falta de m anera que A B ± CD p ara A(5, - 3 ) , B ( - 2, 4), C(3, 3) y D ( - 7 , x).

9. Escríbase la ecuación de un círculo con centro en (2,3) y rad io 6.

10. Escríbase la ecuación de un círculo con centro en el origen y que pasa po r el pun to ( — 5, 12).

11. Dado: T riángulo isósceles A B C con vértices C{b,c), -4(0,0),B(2b,0) y puntos medios E y D de A C y BC, respectivamente

Pruébese: AD = BE.

12. Dado: Figura ABCD con vértices A( — b, 0), B(0,a), C(b, 0) yD(0, — a).

Pruébese: ABCD es un rombo.

540 G eom etría de coo rdenadas

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Resumen global (Caps. 11 a 14)1. Encuéntrese el área de un cuadrado inscrito en un círculo de

d iám etro 10 cm.

2. Encuéntrese el área de un triángulo isósceles de base 8 cm y donde cada uno de los lados iguales mide 5 cm.

3. Encuéntrese el área de un triángulo equilátero si su perím etroes 12 cm.

4. Si la razón entre los perím etros de dos triángulos semejantes es 2:1, ¿cuál es la razón entre sus áreas?

5. Encuéntrese el área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 6 cm.

6. Si un prism a tiene de a ltu ra 6 m, y área de la base 12 m 2, ¿cuál es su volumen?

7. Si una pirám ide tiene base cuadrada de lado 3 m y a ltu ra 7 m, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

8. Encuéntrese el área de un cilindro circular recto de a ltu ra 10 cm ydiám etro de la base 4 cm. (Empléese n = 3.14.)

9. Encuéntrese el volum en del cilindro del ejercicio 8.

10. Si un triángulo ABC con vértices A(3, 5), B(5, - 2 ) y C ( - 4 , 3) sereflejara sobre el eje de las y, ¿cuáles serán las coordenadas de su imagen?

11. Si un triángulo A B C con vértices A(4, —2), B( — 3, — 7) y C (l, 6) se reflejara sobre el eje de las x, ¿cuáles serían las coordenadas de su imagen?

12. Dense las ecuaciones de las líneas de sim etría de un cuadrado con vértices (1, 1), (5, 1) (5, 5) y (1, 5).

13. Si se ro ta 180° sobre el origen el pun to (2, 6), ¿cuáles serían las coordenadas de su imagen?

14. Encuéntrese la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con vértices en (6, 8), (9, —4) y (1, —6).

15. Encuéntrese la ecuación de una recta que contiene a los puntos( 2 , - 6 ) y ( - 4 ,3 ) .

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Page 553: Geometria - Clemens

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Símbolos

A B recta A B (pág. 12)

II es paralela a (pág. 13)

A B segmento A B (pág. 16)

A B rayo A B (pág. 16)

L A B C ángulo A B C (pág. 17)

A A B C triángulo A B C (pág, 17)

0 O círculo Ó (pág. 17)

A B longitud del segmento A B (pág. 20)

= es congruente con (pág. 20)

m L A B C m edida de L A B C (pág. 20)

^ no es congruente con (pág. 22)

1 es perpendicular a (pág. 28)

p - * q p implica q (pág. 56)

~ P no p (pág. 60)

p «-»q p si, y sólo si, q (pág. 61)

j f no es paralela a (pág. 175)

no es perpendicular a (pág. 160)

# no es igual a (pág. 161)

s / raíz cuadrada (pág. 227)

~ es semejante a (pág. 313)

= es aproxim adam ente igual a (pág. 331)

A B arco m enor determ inado por A y B (pág. 346)

A C B arco m ayor determ inado p o r A y B (pág. 346)

m A B m edida de A B (pág. 346)

A ( R ) área de la región R (pág. 394)

P(x, y) punto P con coordenadas x e y (pág. 505)

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Page 554: Geometria - Clemens

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1011

1213141516171819202122232425

Tabla de cuadrados y raíces cuadradas

N 2 VÑ N N 2 V Ñ N N 2 V Ñ N N 2

1 1 . 0 0 0 26 676 5.099 51 2,601 7.141 76 5,7764 1.414 27 729 5.196 52 2,704 7.211 77 5,9299 1.732 28 784 5.292 53 2,809 7.280 78 6,084

16 2 . 0 0 0 29 841 5.385 54 2,916 7.348 79 6,24125 2.236 30 900 5.477 55 3,025 7.416 80 6,40036 2.449 31 961 5.568 56 3,136 7,483 81 6,56149 2.646 32 1,024 5.657 57 3,249 7.550 82 6,72464 2.828 33 1,089 5.745 58 3,364 7.616 83 6,88981 3.000 34 1,156 5.831 59 3,481 7.681 84 7,056

1 0 0 3.162 35 1,225 5.916 60 3,600 7.746 85 7,2251 2 1 3.317 36 1,296 6 . 0 0 0 61 3,721 7.810 8 6 7,396144 3.464 37 1,369 6.083 62 3,844 7.874 87 7,569169 3.606 38 1,444 6.164 63 3,969 7.937 8 8 7,744196 3.742 39 1,521 6,245 64 4,096 8 . 0 0 0 89 7,921225 3.873 40 1,600 6.325 65 4,225 8.062 90 8 , 1 0 0256 4.000 41 1,681 6.403 6 6 4,356 8.124 91 8,281289 4.123 42 1,764 6.481 67 4,489 8.185 92 8,464324 4.243 43 1,849 6.557 6 8 4,624 8.246 93 8,649361 4.359 44 1,936 6.633 69 4,761 8.307 94 8,836400 4.472 45 2,025 6.708 70 4,900 8.367 95 9,025441 4.583 46 2,116 6.782 71 5,041 8.426 96 9,216484 4.690 47 2,209 6.856 72 5,184 8.485 97 9,409529 4.796 48 2,304 6.928 73 5,329 8.544 98 9,604576 4.899 49 2,401 7.000 74 5,476 8.602 99 9,801625 5.000 50 2,500 7.071 75 5,625 8.660 1 0 0 1 0 , 0 0 0

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Postulados y teoremas

Postulados

Postulado de la existencia de los puntos. El espacio existe y contiene po r lo m enos cuatro puntos no coplanares y no colineales. U n p lano contiene por lo m enos tres puntos no colineales. U na recta contiene p o r lo m enos dos puntos. (Pág. 68)

Postulado del punto y la recta. D os puntos están contenidos en una, y sólo una, recta. (Pág. 68)

Postulado del punto y el plano. T res puntos no colineales están contenidos en uno, y sólo un plano. (Pág. 68)

Postulado de la intersección de planos. Si dos planos se intersecan, entonces se intersecan exactam ente en una recta. (Pág. 68)

Postulado de los dos puntos, la recta y el plano. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano. (Pág. 69)

Postulado de la separación de planos. Sea N un p lano y í una recta en N. Los puntos del plano que no estén sobre ( form an dos sem iplanos de m anera que:a. cada sem iplano es un conjunto convexo;b. si P está sobre un sem iplano y Q está en el o tro , entonces PQ interseca a t .

(Pág. 69)

Postulado de la separación del espacio. Sea N un plano en el espacio. Los puntos del espacio que no están sobre N form an dos semiespacios de m anera que:a. cada semiespacio es un conjunto convexo; __b. si un punto A está en un semiespacio y B está en el o tro, A B interseca a N.

(Pág. 69).

Postulado de las perpendiculares. D ados un punto y una recta en un plano, hay exactam ente una recta que pasa po r el pun to y es perpendicular a la recta dada. D ado un plano en el espacio y un pun to que no está en ese plano, hay exactam ente una recta que pasa po r el punto y es perpendicular al plano dado. (Pág. 69)

Postulado de la regla, a. A cada p ar de puntos corresponde un núm ero positivo único al cual se le llam a distancia entre los puntos, b. Los puntos de una recta pueden aparearse biunívocam ente con los núm eros reales de m anera que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea el valor absoluto de la diferencia de sus núm eros asociados. (Pág. 72)

Postulado del transportador, a. A cada ángulo corresponde un núm ero real único en tre 0 y 180, llam ado m edida del ángulo, b. Sea P un punto en la arista del sem iplano H. C ada rayo del sem iplano o su arista con un vértice P puede aparearse biunívocam ente con los núm eros reales n, 0 < n < 180, de m anera que la m edida de un ángulo form ado por un p a r de rayos no colineales con vértice P es el valor absoluto de la diferencia de sus núm eros reales. (Pág. 73)

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P ostu lados y te o rem as 545

Postulado de la congruencia LAL. Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes con respecto a dos lados y el ángulo incluido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91)

Postulado de la congruencia ALA. Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con respecto a dos ángulos y el lado incluido de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91)

Postulado de la congruencia LLL. Si los tres lados de un triángulo son congruentes con respecto a los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91)

Postulado del par lineal. Si dos ángulos form an un p ar lineal, entonces los ángulos son suplem entarios. (Pág. 146)

Postulado de las paralelas. D ada una recta ( y un pun to P que no está sobre la recta l , existe sólo una recta que pasa po r P y sea paralela a t . (Pág. 180)

Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudes de dos lados de un triángulo es m ayor que la longitud del tercer lado. (Pág. 244)

Postulado de la semejanza AAA. Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.(p ág . 316) _ _ _ _Postulado de la suma de arcos. Si C está en AB, entonces m A C + mCB = mAB.(Pág. 346)

Postulado del área. A cada región poligonal se le puede asignar un núm ero positivo único denom inado área. E l área de la región R se representa po r A ( R ) . (Pág. 394)

Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o dos triángulos son congruentes, entonces las regiones que acotan tienen la m ism a área. (Pág. 395) Postulado de la suma de áreas. Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan, su área es la sum a de las áreas de las n regiones. (Pág. 395)

Postulado del área del rectángulo. El área de un rectángulo con longitud t yancho w está dada por la fórm ula f. w. (Pág. 395)

Postulado del volumen. A cada sólido se le asigna un núm ero positivo único denom inado volumen. (Pág. 444)

Postulado del volumen de un sólido rectangular. El volumen de un sólido rectangular es igual al p roducto de su longitud t , anchura w y a ltu ra h. (Pág. 444)

Postulado de la suma de volúmenes. Si un sólido es la unión de dos sólidos que no tienen puntos interiores en com ún, entonces su volumen es la sum a de los volúmenes de los dos sólidos. (Pág. 444)

Postulado de Cavalieri. Sean S y T .dos sólidos y X un plano. Si todo plano paralelo a X que interseca a S o T, interseca a S y a T en una sección transversal de la m isma área, entonces volumen S = volumen T. (Pág. 445)

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Teoremas

Prueba de teoremas mediante propiedades básicas

4.1 Las propiedades reflexiva, sim étrica y transitiva valen para la congruencia de ángulos y segmentos.

4.2 En un triángulo isósceles, el segmento que va del ángulo del vértice al pun to medio del lado opuesto forma un par de triángulos congruentes.

4.3 Suma de ángulos iguales^Si m L A P B = m ¿ D Q E , m L B P C = m ¿ E Q F , P B e stá entre p l y PC, y QE está entre QD y Q?, entonces m L A P C = mL D Q F.

4.4 Resta de segmentos iguales. Si A C = DF, B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F, entonces A B = DE.

4.5 Suma de segmentos iguales. Si A B = DE. B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y F, entonces A C = DF.

4.6 Re§ta de ángulos iguales. S i m L A P C = m L D Q F , m L B P C = m L EOF, P B está entre P A yPC, }y QE está entre Q Ú y QF, entonces m L A P B = m L D Q E .

4.7 Teorem a de los complementos congruentes. D os ángulos que son com plem entarios del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.8 Teorem a de los suplementos congruentes. D os ángulos que son suplem entarios del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.

4.9 Teorema de los ángulos verticales. Si dos rectas se intersecan, los ángulos verticales son congruentes.

4.10 Teorema del ángulo externo. La m edida de un ángulo externo es m ayor que la m edida de cualquier ángulo in terno no contiguo.

Rectas y planos paralelos

5.1 Si dos rectas están cortadas p o r una transversal y un p ar de ángulos correspondientes soncongruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.2 Si dos rectas están cortadas por una transversal y un p ar de ángulos a ltem os interioresson congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.3 Si dos rectas están cortadas po r una transversal y un p ar de ángulos alternos exterioresson congruentes, entonces las rectas son paralelas.

5.4 Si dos rectas están cortadas po r una transversal y un p ar de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplem entarios, entonces las rectas son paralelas.

5.5 D adas las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.

5.6 Si dos rectas paralelas están cortadas po r una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

5.7 Si dos rectas paralelas están cortadas po r una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

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5.8 Si dos rectas paralelas están cortadas po r una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

5.9 Si dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Triángulos

6.1 Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes.

6.2 Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.

6.3 Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

6.4 La sum a de los ángulos de un triángulo es 180°.

6.5 Los ángulos de un triángulo equilátero m iden 60° cada uno.

6.6 L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de los ángulos interiores no contiguos.

6.7 Teorem a LAA. Si dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado correspondiente de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

6.8 Teorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la h ipotenusa y un ángulo agudo de o tro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.9 Teorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la h ipotenusa y un cateto de un segundo triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

6.10 Si un pun to P equidista de un p ar de puntos A y B, entonces P está sobre la bisectriz perpendicular de AB. A la inversa, un punto sobre la bisectriz perpendicular de AB equidista de A y de B.

Más sobre triángulos

7.1 Teorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sum a de los cuadrados de los catetos.

7.2 Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, y c2 = a2 + b 2, entonces A A B C es untriángulo rectángulo.

7.3 La longitud de la hipotenusa de un triángulo 45° - 45 l! - 90° es J l m ultiplicada por la longitud de un cateto.

ñ7.4 La longitud del cateto más largo de un triángulo 30° - 60" - 90° es m ultiplicada por

la longitud de la hipotenusa o. bien m ultiplicada po r la longitud del lado más corto.

7.5 Las bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se intersecan en un pun to O que equidista de los tres vértices de un triángulo.

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7.6 Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un punto / que equidista de los tres lados de un triángulo.

7.7 Las rectas que contienen las altu ras de un triángulo se intersecan en un punto.

7.8 Las m edianas de un triángulo se intersecan en un pun to que está a dos tercios de la d istancia entre cada vértice y su lado opuesto.

7.9 Si las m edidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces la longitud del lado opuesto al ángulo m enor es m enor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.

7.10 Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces la m edida delángulo opuesto al lado m ás corto es m enor que la m edida del ángulo opuesto al lado más largo.

Cuadriláteros y polígonos

8.1 Los ángulos opuestos de un paralelogram o son congruentes.

8.2 Los lados opuestos de un paralelogram o son congruentes.

8.3 C ada p ar de ángulos adyacentes de un paralelogram o es un p ar de ángulos suplementarios.

8.4 Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.

8.5 Si un cuadrilátero tiene un p ar de lados opuestos paralelos y congruentes, es un paralelogram o.

8.6 Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogram o.

8.7 Teorema del segmento medio. El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la m itad de su longitud.

8.8 Los puntos m edios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogram o.

8.9 U n paralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes.

8.10 U n paralelogram o es un rom bo si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares entre sí.

8.11 U n paralelogram o es un rom bo si, y sólo si, cada diagonal biseca un p a r de ángulos opuestos.

8.12 El segmento que une los puntos m edios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y tiene una longitud igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

8.13 En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes y tam bién lo son las diagonales.

8.14 La sum a de las m edidas de los ángulos de un polígono convexo de n lados es ( n — 2J1800.

8.15 La m edida de un ángulo de un polígono regular de n lados es ----------180°.n

8.16 La sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un polígono, uno en cada vértice, es 360°.

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Semejanza

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s i í d 'entonces a X d = b x c .

« í

centonces

a + b c + d

= d ’ b d

centonces

a - b c — d

= d ’ b d

O ja c a bwM —

b ~ d 'entonces

c d ’

a c9.5 Si a x d = b x c , entonces - =

b d

9.6 Teorema fundam ental de la proporcionalidad. Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e interseca a los otros dos lados, entonces divide proporcionalm ente a dichos lados.

9.7 Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalm ente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

9.8 Teorem a de la semejanza AA. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

9.9 D os triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno de los triángulos escongruente con un ángulo agudo del o tro triángulo.

9.10 En un triángulo rectángulo, la longitud de la altu ra a la hipotenusa es la media geom étrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

9.11 D ados un triángulo rectángulo y la altu ra a la hipotenusa, cada cateto es la media geom étrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

9.12 Teorem a de la semejanza LLL. Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres lados de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

9.13 Teorem a de la semejanza LAL. Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de o tro triángulo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Círculos

10.1 En un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes.

10.2 En un círculo o en círculos congruentes, los arcos m enores congruentes tienen cuerdas congruentes.

10.3 En un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro.

10.4 En un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas que equidistan del centro son congruentes.

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10.5 La bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro del círculo.

10.6 Si una recta que pasa a través del centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diám etro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor.

10.7 Si una recta que pasa a través del centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diám etro, entonces es perpendicular a la cuerda.

10.8 Si una recta es perpendicular a un radio en un punto sobre el círculo, entonces la recta es tangente al círculo.

10.9 Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente.

10.10 Si una recta es perpendicular a una tangente en un pun to sobre el círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo.

10.11 Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto fuera de él son congruentes y form an ángulos congruentes con la recta que une al centro y al punto.

10.12 La m edida de un ángulo inscrito es igual a la m itad de la m edida de su arco interceptado.

10.13 U n ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

10.14 U n ángulo form ado po r dos cuerdas que se intersecan en el interior de un círculo tiene una m edida igual a la semisuma de los arcos interceptados.

10.15 La m edida de un ángulo form ado por una tangente y un a cuerda hasta el pun to de contacto es igual a la m itad del arco interceptado.

10.16 L a m edida de un ángulo form ado por dos rectas tangentes a un círculo que se intersecan es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.17 La m edida de un ángulo form ado por una tangente y una secante o dos secantes desde un pun to exterior a un círculo es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.

10.18 Si un segmento tangente y un segmento secante a un círculo se trazan desde un punto exterior, entonces el cuadrado de la longitud del segm ento tangente es igual al p roducto de las longitudes del segm ento secante y su segm ento secante externo.

10.19 Si dos cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el p roducto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al p roducto de las longitudes de la segunda cuerda.

10.20 Si se trazan dos segm entos secantes a un círculo desde un pun to exterior, entonces el p roducto de las longitudes de un segmento secante y su segm ento secante externo es igual, al p roducto de las longitudes del o tro segm ento secante y su segm ento secante externo.

Area y perímetro

11.1 D ado un paralelogram o con base b y a ltu ra correspondiente h, el área está dada por la fórm ula A = bh.

11.2 D ado un triángulo con base b y a ltu ra correspondiente h, el área A está dada por la fórm ula A = 1/2bh.

11.3 F ó rmula de Herón. Si A A B C tiene lados de longitud a, b y c, entonces A ( A A B C ) == y j s ( s — a ) ( s — b ) ( s — c), donde s = \ ¡2(a + b + c).

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Page 562: Geometria - Clemens

11.4 D ado un trapecio con bases bx y b2 y altu ra h, el área A está dada por la fórm ula A = 1/2 h( b 1 + b2).

11.5 D ado un polígono regular de n lados de longitud s y apotem a a, el área A está dada porla fórm ula A = 1/2ans = 1/2ap, donde el perím etro p = ns.

11.6 La razón entre los perím etros de dos polígonos semejantes es igual a la razón entre las longitudes de cualquier p ar de lados correspondientes.

11.7 La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual a la sum a del cuadrado de la razón entre las longitudes, de cualquier p a r de lados correspondientes.

11.8 L a razón entre la circunferencia y el diám etro es igual para todos los círculos.

11.9 D ado un circulo con rad io r y diám etro d, la circunferencia C está dada por la fórm ulaC = nd = 2nr.

11.10 D ado un círculo con rad io r, el área A está dada po r la fórm ula A = nr2.

Sólidos " '

12.1 Las aristas laterales de un prism a son paralelas y congruentes.

12.2 D ado un prism a con caras laterales rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h y las bases tienen área B y perím etro p, entonces el área S está dada por la fórm ula S = hp + 2B .

12.3 D ada una pirám ide regular con a ltu ra inclinada t y una base con área B y perím etro p el area S está dada po r la fórm ula S = \ t p + B.

12.4 El volumen de cualquier prism a es el p roducto dé la altu ra por el área de la base.

12.5 D ada una pirám ide con base B y altura h, si A es una sección transversal paralela a la

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base y la distancia desde el vértice a la sección transversal es K, entonces — - — =área B

12.6 D os pirám ides con altu ras iguales y bases de igual área tienen el mismo volumen.

12.8 D ado un cilindro circular recto con altu ra h, si la circunferencia de la base es C y el área de la base es £ , entonces el área está dada po r la fórm ula S = Ch + 2B = 2nrh + 2nr2.

12.9 D ado un cilindro circular recto con área de la base B y a ltu ra h , el volumen está dado porla fórm ula V = Bh = nr2h.

12.10 D ado un cono circular recto con a ltu ra inclinada si la circunferencia de la base es C y elárea de la base es B, entonces el área S está dada p o r la fórm ula S = \ t C + B = nri + nr2.

12.11 D ado un cono circular recto con altu ra h y área de la base B, el volumen está dado por lafórm ula V = %Bh = %nr2h.

12.12 D ada una esfera de radio r, el volumen está dado por la fórm ula V = f nr3.

12.13 D ada una esfera con radio r, el área S está dada po r la fórmula S = 4nr2.

12.14 H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidos convexos.

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Transformaciones y simetría

13.1 D ada una reflexión sobre una recta:a. la imagen reflejada de un segmento es un segmento de igual longitud;b. la imagen reflejada de un ángulo es un ángulo de igual medida.

13.2 Si las rectas r y s son paralelas, entonces una reflexión sobre la recta r seguida por una reflexión sobre la recta s es una traslación. Además, si A" es la im agen de A, entoncesa. A A" _L r;b. A A" = 2d, donde d es la distancia en tre las rectas r y s.

13.3 Si las rectas r y s se intersecan en un punto O, entonces una reflexión sobre r, seguida de una reflexión sobre s, es una rotación. El punto O es el centro de ro tación y el ángulo de ro tación es 2a, donde a es la m edida del ángulo agudo o recto que está entre las rectas r y s .

Geometría de coordenadas

14.1 Si las coordenadas de los extrem os del segmento P¡P2 son (X i,} '1) y entonces las-------- f x l + x 2 _Vi -í- 3 2%

coordenadas del pun to medio de P¡.P2 son I — - — , y — - — I.

14.2 El p roducto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es — 1.

14.3 Las pendientes de dos rectas paralelas son iguales.

14.4 La fórmula de la distancia. Si A tiene coordenadas ( x ^ . y ^ y B tiene coordenadas ( x 2, y 2), entonces A B = - J ( x , — x 2) 2 + ( y \ — y 2) 2-

14.5 C ualquier línea recta en un plano de coordenadas que no sea paralela al eje de las y, puede representarse con la ecuación y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el punto en que cruza al eje de las y.

14.6 La gráfica de la ecuación x 2 + y 1 = r2 es un círculo con rad io r y cen tro en el origen.

14.7 L a gráfica de la ecuación ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r2 es un círculo con rad io r y centro en el punto (h, k).

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[553]

Glosarioafirmación de la hipótesis Form a de

razonam iento que se representa com o sigue: Siempre que p -» q sea verdad y p sea verdad, se concluye que q es verdad. (Pág. 64)

altura de una pirámide U n segmento que va desde vértice a la base y es perpendicular a ésta. (Pág. 434)

altura de un paralelogramo U n segmento perpendicular a un p ar de lados, paralelos con extrem os en esos lados paralelos. (Pág. 399)

altura de un prisma U n segmento entre las bases y perpendicular a ellas. (Pág. 435)

altura de un trapecio U n segmento perpendicular a los lados paralelos (Pág. 403)

altura de un triángulo U n segmento desde un vértice hasta un punto sobre el lado opuesto (quizá extendido) y perpendicular a ese lado opuesto. (Pág. 199)

altura inclinada de un cono U n segmento que une al vértice con un punto sobre la circunferencia de la base. (Pág. 456)

ángulo L a unión de dos rayos no colineales, los cuales tienen el mismo extrem o. (Pág. 17)

ángulo agudo U n ángulo que m ide m enos de 90". (Pág. 21)

ángulo central U n ángulo con vértice en el centro de un circulo. (Pág. 343)

ángulo exterior de un triángulo U n ángulo que forma un p a r lineal con uno de los ángulos del triángulo. (Pág. 154)

ángulo inscrito U n ángulo con vértice en un círculo y con lados que contienen cuerdas del círculo. (Pág. 343)

ángulo obtuso U n ángulo que m ide más de 90°. (Pág. 21)

ángulo recto Un ángulo que m ide 90°. (Pág. 21)

ángulos alternos exteriores D os ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de una transversal. (Pág. 171)

ángulos alternos interiores D os ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de una transversal. (Pág. 171)

ángulos complementarios D os ángulos cuyas medidas sum an 90°. (Pág. 144)

ángulos congruentes Angulos que tienen la misma medida. (Pág. 20)

ángulos correspondientes D os ángulos que están en el mismo lado de una transversal. U no de ellos es un ángulo exterior, y el o tro, un ángulo interior. (Pág. 171)

ángulos interiores no contiguos Los dos ángulos de un triángulo, con recpecto a un ángulo exterior, que no son adyacentes al ángulo externo. (Pág. 154)

ángulos suplementarios D os ángulos cuyas m edidas sum an 180°. (Pág. 144)

ángulos verticales D os ángulos form ados por dos rectas que se intersecan pero que no son un p ar lineal de ángulos. (Pág. 150)

apotema de un polígono regular La distancia desde su centro a un lado. (Pág. 408)

arco U n a parte continua de un círculo. (Pág. 343)

arco interceptado U n arco con extrem os sobre los lados de ángulos inscritos o centrales.(Pág. 343)

arco mayor Un arco que no está en el interior de un ángulo central. La m edida de un arco m ayor es 360, m enos la medida de su arco m enor asociado. (Pág. 346)

arco menor Un arco que está en el in terior de un ángulo central. La m edida de un arco m enor es la m edida de un ángulo central asociado. (Pág. 346)

arcos congruentes D os arcos de un círculo que tienen la m ism a m edida (Pág. 347)

área de un círculo El núm ero al que se aproxim an las áreas de los polígonos regulares inscritos de n lados a m edida que n aumenta. (Pág. 420)

arista de un poliedro Véase poliedro

bisectriz de un ángulo La bisectriz de ¿ A B C es un rayo BD en el in terior de L A BC, de m anera que L A B D = ¿ D B C . (Pág. 24)

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554 G losa rio

bisectriz de un segmento C ualquier punto, segmento, rayo, recta o plano que contiene al punto m edio del segmento. (Pág. 24)

bisectriz perpendicular de un segmento U narecta perpendicular al segmento que contiene a su punto medio. (Pág. 29)

cara de un poliedro Véase poliedro

catetos de un triángulo rectángulo Los lados que incluyen al ángulo recto de un triángulo rectángulo. (Pág. 199)

cilindro circular U n sólido con dos bases congruentes en planos paralelos. Las bases son regiones circulares congruentes. (Pág. 542)

cilindro recto U n cilindro con sus ejes perpendiculares a am bas bases. (Pág. 452)

círculo El conjunto de todos los puntos en un p lano que están a una distancia fija de un pun to dado en el plano. (Pág. 17)

círculo circunscrito U n círculo que contiene los tres vértices de un triángulo. El centro del círculo es el pun to de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. (Pág. 238)

círculo inscrito U n círculo que toca cada lado de un triángulo exactam ente en un punto. El centro del círculo es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo. (Pág. 238)

círculo máximo L a intersección de una esfera y un plano que contiene al centro de la esfera. (Pág. 460)

círculos congruentes Círculos con radios de igual longitud. (Pág. 347)

circunferencia de un círculo El núm ero al que se aproxim an los perím etros de los polígonos regulares inscritos conform e se increm enta el núm ero de lados de los polígonos regulares. (Pág. 416)

cono circular U n sólido con una base circular y un vértice que no está sobre el plano que contiene a la base. (Pág. 456)

cono recto U n cono con sus ejes perpendiculares a su base. (Pág. 456)

contraejemplo U n sólo ejemplo que muestra que una generalización es falsa. (Pág. 48)

contrarrecíproca de una proposición Lacontrarrecíproca de la proposición p -* q es la proposición ~ q -+ ~ p. (Pág. 60)

coordenada de un punto en una recta U nnúm ero real asociado con el punto. (Pág. 14)

coordenadas de un punto en un plano U n p ar denúm eros (x ,> ) que denotan la ubicación del punto. El prim er punto es la coordenada x y el segundo es la coordenada y. (Pág. 505)

coordenada x U n a recta que corta al eje de las x en un punto (a, 0) tiene el cruce a en x.(Pág. 505)

coordenada y U na recta que corta a l eje de las y en un punto (0, b) tiene el cruce b en y.(Pág. 505)

cuadrado U n rectángulo con cuatro lados congruentes. (Pág. 261)

cuadrilátero L a unión de cuatro segmentos determ inados por cuatro puntos de los cuales no hay tres que sean colineales. Los segmentos se intersecan sólo en sus extremos. (Pág. 17)

cuerda de un círculo U n segm ento con extremos sobre el círculo. (Pág. 342)

demostración o prueba indirecta Suponer la negación de lo que debe dem ostrarse y después m ostrar que esta suposición lleva a una contradicción (Pág. 158)

diagonal de un polígono Un segmento que une un p ar de vértices no consecutivos cualesquiera de un polígono. (Pág. 32)

diámetro de un círculo U n a cuerda que contiene al centro del círculo (Págs. 17 y 342)

distancia de un punto a una recta La longitud del segmento que parte del punto y es perpendicular a la recta. (Pág. 29)

distancia entre dos puntos Los puntos sobre una recta pueden aparearse biunívocam ente con los núm eros reales de m anera que la distancia en tre dos pun tos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia entre los núm eros asociados. (Pág. 72)

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Page 566: Geometria - Clemens

ecuación de la recta C ualquier línea recta en el plano de coordenadas, que no sea paralela al eje de las y, puede representarse con la ecuación y = m x + b, donde m es la pendiente y b es el pun to en que se cruza el eje de las y. (Pág. 524)

ecuación del círculo La gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = r2 es un círculo con rad io r y centro en el origen. La gráfica de la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es un círculo con radio r y centro en el punto (h, k). (Págs. 528 y 529)

eje de un cilindro U n segmento que une el centro de las dos bases (Pág. 452)

eje de un cono El segmento que une el vértice al centro de la base. (Pág. 456)

«entre» puntos El pun to B está entre A y C si, y sólo si, A, B y C son colineales y A B + B C = = AC. (Págs. 12 y 72)

«entre» rayos B C está entre B A y BD^i , y sólo si, BC, B A y BD son coplanares y m /L A B C ++ m ¿ C B D = m L ABD. (Pág. 73)

esfera El conjunto de todos los puntos que están a una distancia determ inada de un punto dado. (Pág. 460)

espacio El conjunto de todos los puntos.(Pág. 11)

figura espacial U na figura que tiene puntos que no están todos en un solo plano. (Pág. 16)

figura plana U na figura con todos sus puntos en un sólo plano, pero no todos en una spla línea. (Pág. 16)

fórmula de la distancia Si A tiene coordenadas (*i>3'i) y B tiene coordenadas ( x2, y 7), entonces A B = J ( x 1 - x 2)2 + (y, - y ,)2.(Pág. 520)

generalización U n a conclusión a la que se llega a través del razonam iento inductivo. (Pág. 44)

heptágono Un polígono con siete lados.(Pág. 32)

hexágono U n polígono con seis lados. (Pág. 32)

hipotenusa El lado opuesto al ángulo recto de un triángulo rectángulo. (Pág. 199)

imagen U na figura resultante de una transform ación. (Pág. 476)

interior de un ángulo El interior de A A B C es la intersección de los puntos del lado A de BC con los del lado C de AB. (Pág. 17)

inversa de una proposición La inversa de una proposición p -* q es la proposición ~ p ->~<j. (Pág. 60)

línea de reflexión Véase reflexión

linea de simetría Véase sim etría reflexiva

línea o recta auxiliar U na recta in troducida a una figura para ayudar a resolver el problema. (Pág. 157)

media geométrica U n núm ero x es una media, . a xgeom etnca entre dos núm eros a y b si - = - ,

x bx * 0, b # 0. (Pág. 322)

mediana de un triángulo U n segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Pág. 239)

medida en grados El núm ero real entre 0 y 180 que se asigna a un ángulo. (Pág. 20)

negación de la conclusión Form a de razonam iento que se representa com o sigue: Siempre que p -* q sea verdad y q sea falso, se concluye que p es falso. (Pág. 65)

octágono U n polígono con ocho lados.(Pág. 32)

origen L a intersección del eje de las x con el eje de las y en un plano de coordenadas.(Pág. 504)

paralelogramo Un cuadrilátero con am bos pares de lados paralelos. (Pág. 261)

par lineal de ángulos U n p ar de ángulos con un lado en com ún de m anera que la unión de los o tros lados es una recta. (Pág. 144)

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Page 567: Geometria - Clemens

556 G lo sa rio

pendiente de una recta Si P l y P 2 tienen coordenadas (jc1, j '1) y {x2, y 2)> respectivamente, entonces la pendiente m de

P j T es tn = y i ~ y 2 _ (Págs. 512 y 516)X! - X 2

pentágono U n polígono con cinco lados, nave no pom

perímetro de un polígono La sum a de las longitudes de los lados del polígono.(Pág. 408)

perpendiculares a un plano U na recta es perpendicular a un p lano si es perpendicular a cada recta del plano que interseque a la recta. (Pág. 28)

Cpi (ít) La razón que es el mismo núm ero

areal para cualquier círculo. (Pág. 417)

pirámide U n poliedro en el cual todas las caras, m enos una, tienen un vértice común.(Pág. 434)

pirámide regular U n a pirám ide con un polígono regular como base y aristas laterales de igual longitud. (Pág. 434)

planos paralelos Planos que no tienen puntos comunes. (Pág. 170)

planos perpendiculares D os planos son perpendiculares si hay una recta en un plano que sea perpendicular al o tro plano. (Pág. 28)

poliedro Un núm ero finito de regiones poligonales llam adas caras. C ada arista de una región es la arista de exactam ente o tra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice. (Pág. 434)

poliedro regular U n poliedro cuyas caras son polígonos regulares con el mismo núm ero de aristas y cuyos vértices están rodeados por el mismo núm ero de caras. (Pág. 464)

polígono La unión de segmentos que se tocan sólo en los extremos, de m anera que 1) como m áxim o dos segmentos se tocan en un punto y 2) cada segm ento toca exactam ente a otros dos segmentos. (Pág. 32)

polígono convexo U n polígono es convexo si todas sus diagonales están en el in terior del polígono. (Pág. 32)

polígono regular U n polígono con todos sus ángulos y todos sus lados congruentes.(Pág. 33)

polígonos semejantes D os polígonos son semejantes si hay correspondencia entre los vértices de m anera que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.(Pág. 312)

postulado U na generalización básica aceptada sin dem ostración. (Pág. 52)

prisma U n poliedro tal que 1) hay un p a r de caras congruentes que están en planos paralelos y 2) todas las dem ás caras son paralelogram os.(Pág. 435)

prisma recto U n prism a que tiene sus caraslaterales perpendiculares a am bas bases.(Pág. 435)

proporción U na igualdad entre dos razones., a c . a cLas razones - y - son proporcionales si - = - ,

b a b db ¿ o y d ¿ 0 . (Pág. 304)

proposición si-entonces U na proposición de la form a si p, entonces q , donde p y q son proposiciones sencillas, p es la hipótesis y q es la conclusión. El sím bolo p -» q (léase p implica a q) se usa para representar una proposición si-entonces. (Pág. 56).

punto medio de un segmento El punto medio del segm ento A B es un pun to C sobre A y B tal que A C a CB. (Págs. 24 y 508)

radio de un círculo U n segmento cuyos extrem os son el centro del círculo y un punto sobre su circunferencia. (Págs. 17 y 342)

rayo U n rayo A B es un subconjunto de una recta. Contiene un pun to dado A y todos los puntos sobre el mismo lado de A que B.(Pág. 16)

razonamiento deductivo Se empieza con una hipótesis y se usan la lógica y definiciones, postulados o teorem as dem ostrados con anterioridad para justificar una serie de proposiciones o pasos que llevan a la conclusión deseada. (Pág. 52)

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G lo sa rio 557

razonamiento inductivo O bservar que un suceso da el mismo resultado varias veces sucesivas, y luego concluir que el suceso siempre tendrá el m ism o resultado. (Pág. 44)

razón del coseno El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón

longitud del lado adyacente— — --------------- ;— ----------. (Pág. 330)

longitud de la hipotenusa

razón de la tangente La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón

longitud del lado opuesto

longitud del lado adyacente'

recíproca de una proposición L a recíproca de una proposición p -» q es la proposición q - * p. (Pág. 91)

rectángulo Un paralelogram o con cuatro ángulos rectos. (Pág. 390)

rectas alabeadas D os rectas que no se intersecan v que no están en el mismo plano. (Pág. 261)

rectas concurrentes Tres o más rectas coplanares que tienen un punto en común. (Pág. 13)

rectas intersecantes D os rectas con un punto en común. (Pág. 13)

rectas paralelas Rectas en el mismo plano y que no se intersecan. (Págs. 13 y 174)

rectas perpendiculares D os rectas que al intersecarse form an ángulos rectos. (Pág. 28)

recta y plano paralelos Una recta y un plano que no tienen puntos en común. (Pág, 170)

reflexión Una transform ación, en un plano, sobre la recta t que m arca cada punto P del plano en el pun to P' com o sigue:a. Si P está sobre f,P' = P.b. Si P está sobre ¿^entonces f, es la bisectriz perpendicular de PP'.A P' se le llama imagen de P y P es la preimagen de P'. (Pág. 476)

región poligonal Un subconjunto de un plano lim itado p o r un polígono (o polígonos).(Pág. 394)

regla de cadena U na forma de razonam iento representado com o sigue: Siempre que p -> q sea verdad y q - * r sea verdad, se concluye que p -* r es verdad. (Pág. 65)

rombo Un paralelogram o con cuatro lados congruentes. (Pág. 261)

rotación U na transform ación con centro O y ángulo a que m arca cada punto P del plano en un punto P' com o sigue:a. Si P es el pun to central O, P' = P.b. Si P 0, entonces P'O = PO y m í POP' = a.A P se le llama la imagen de rotación del punto P. (Pág. 488)

secante de un círculo U na recta que interseca al círculo exactamente en dos puntos. (Pág. 343)

sección transversal de un sólido U na región com ún al sólido y a un p lano que interseca al sólido. (Pág. 445)

sector de un círculo U na región lim itada por un ángulo central y su arco interceptado.(Pág. 421)

segmento U n segmento, A B , es el conjunto de puntos A y B y todos los puntos entre A v B. (Pág. 16)

segmentos congruentes Segmentos que tienen la m ism a longitud. (Pág. 20)

semiplano Para una recta en un plano, los puntos del plano que no están sobre la recta forman dos semiplanos. C ada m itad es un conjunto convexo. (Pág. 69)

simetría Véanse simetría reflexiva y simetría rotacional.

simetría reflexiva U na figura F tiene simetría reflexiva si hay una recta l tal que la imagen de reflexión sobre t de cada punto P de F es tam bién un pun to de F. La recta l es la línea de simetría. (Pág. 494)

simetría rotacional Una figura F tiene simetría rotacional si hay una rotación alrededor de un centro A tal que la imagen de rotación de cada punto P de la figura F sea tam bién un punto de F. El centro, A, de la rotación se llam a centro de sim etría de F. (Pág. 495)

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558 G losa rio

superficie El área de prism as y pirám ides es la sum a de las áreas de las caras laterales m ás el área de las bases. (Pág. 440)

sólido rectangular U n prisma con bases rectangulares cuyas aristas son perpendiculares a las bases. (Pág. 444)

tangente a un círculo U n a recta que interseca al círculo en un pun to exactamente. (Pág. 349)

teorema U na generalización que puede dem ostrarse que es verdadera usando definiciones, postulados y la lógica del razonam iento deductivo. (Pág. 52)

teorema de P itágoras Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. (Pág. 226)

transformación U na regla u operación que cam bia una figura. La figura, antes del cam bio, se llam a preimagen, y la figura que resulta del cam bio se llam a imagen.(Págs. 476-495)

transversal U na recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos distintos. (Págs. 171 y 174)

trapecio U n cuadrilátero con exactam ente un p ar de lados paralelos. (Pág. 261)

traslación D ad a una flecha AA' , la imagen de traslación de un punto P para la flecha A A' es el punto P \ donde:a. A A' = P P \ yb. las flechas A A' y PP' tienen la misma dirección. (Pág. 484)

triángulo L a unión de tres segmentos determ inados por tres puntos no colineales. (Págs. 17 y 32)

triángulo acutángulo U n triángulo con tres ángulos agudos. (Pág. 198)

triángulo equiángulo U n triángulo con tres ángulos congruentes. (Pág. 199)

triángulo equilátero U n triángulo con todos sus lados congruentes entre sí. (Págs. 33, 198, 203 y 209)

triángulo escaleno U n triángulo que no tiene lados congruentes. (Pág. 198)

triángulo isósceles U n triángulo con dos lados congruentes entre sí. (Págs. 33, 198 y 202)

triángulo obtusángulo U n triángulo con un ángulo obtuso. (Pág. 199)

triángulo rectángulo U n triángulo con un ángulo recto. (Págs. 199 y 226)

triángulos congruentes D os triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre los vértices de m anera que cada p ar de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. (Págs. 84 y 90)

unidad cuadrada U na región cuadrada en la que la longitud de un lado es una unidad de longitud. (Pág. 261)

vértice de un ángulo El extrem o de los dos rayos no colineales que determ inan al ángulo. (Pág. 17)

vértice de un polígono El extrem o de un lado del polígono. (Pág. 32)

volumen U n a m edida de la cantidad de espacio que ocupa un sólido. A cada sólido se asigna un núm ero real positivo único que es su volumen. (Pág. 444).

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Respuestas seleccionadas

[559]

Se dan las respuestas a la m ayoría de los ejercicios im pares y a todos los de «Solución de problemas». Se incluyen todas las respuestas a los resúmenes de capítulo y a los resúmenes globales. N o se dan las respuestas a los exámenes de los capítulos.

CAPITULO 1

páginas 14 y 15

3. A, F, C; A, E, D; B, F, E: B, C, D.5. Ejemplo : A, F, D, B. 1. r, t. q.

11. A E , BG o B?. 13. A B , H C , ^ D .15. 12; ABCD, ADHE, CDHG, ABFE, BCGF,

EFGH, ADFG, BCE H, ABGH, CDEF, BFHD, AEGC.

17. T odas son posibles excepto 2; el máximo es 6.

páginas 18 y 19

13. ¿ A B C ^ L C B A . 15. L A C B . L B C A .19. A B , A C , A $ , BD, M 21. A B , p. 23. £Ü?, BD.25. ¿ A B C , L A C B , L A C D , L ADC, L CAD,

L C A B .27. Sí, los segm entos tienen los mismos

extremos.29. Tres rectas; no; los lados de un triángulo

son segmentos.31. Dibújese el segm ento El.Solución de problemas Fórm ese una pirám ide con una base triangular.

11. ¿ E O F , L FOM , ¿ L O H . LJOD. 19. 67¿°.Solución de problemas

páginas 26 y 27

5. Sí. 17. 43.

páginas 30 y 31

1. j l k .7. ABCD, A B F E ; ABCD, BCGF ; AB CD ,

CDHG ; ABCD, ADHE.13. U na recta contenida en un plano debe ser

perpendicular al segundo plano.15. Constrúyase una perpendicular de A al

punto C de m anera que e l'río pase po r el punto medio de AC. Sea M la intersección de CB y el río. Entonces, A M + M B es el mínimo.

Solución de problemas A y D.

páginas 34 y 35

Ib. C ada segmento no toca exactam ente a otros dos segmentos.

3a. Igual que el ejercicio 1.5. 2c, 3c. 9a. Regular. 9d. Regular.

11. A A F B , ACGB, A A J E , AE ID , ADH C, AF BG, A G C H , A H DI, A J I E , A AFJ . '

13. N úm ero p ar de aristas.

páginas 22 y 23

1. 4 cm.3. PQ S RS, M Ñ £ X Y , JE s EF. 5. 140°. 7. 90°.

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Page 571: Geometria - Clemens

560 R espuestas se lecc ionadas

15. H I J , ACEG, J IDEF, CEG JH A, BHIJFGA, CID EGJHA, A B H I C E F J G , AHBCID EFJG.

?s 500Solución de problemas —— = -----; 25 000 millas.

360 x

página 37 capítulo 1 Resumen

2a. Falso. 2b. Falso. 2c. Falso.2d. Verdadero. 2e. Falso. 2f. Verdadero.

3. N inguno; uno; dos.4. Sí, am bos segmentos tienen los mismos

extremos.11. Planos: ABCD, GHFE; BCFH, ADEG; o

CDEF, BAGH.12. Recta: DE, CF, AG o BH.13. Recta: A B o GH, A H o BG.14. Recta CB.

página 39 Técnicas para la solución de problemas

1. 10. 2. 9 ó 21. 3. 20. 4. 26. 5. 19 pies. 6. U na calle al sur.

CAPITULO 2

páginas 46 y 47

1. CB, G F , X Z ; el más largo.3. Tres iguales. 5. h = a + b + c.

Solución de problemas1. M uévase el palillo # 2 hacia la derecha.2. M uévase el palillo # 1 abajo a la derecha.

O O2

4 4

1. Falso. 3. a.5. Falso; úsese un triángulo obtusángulo.

Solución de problemas

páginas 50 y 51

1.

2 .

3.

1 11 1

5 15 20 15 621 35 35 21 7

8 28 56 70 56 28 81, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ..., 2 " ~ \ donde n es el núm ero de la fila. a2 + la b + b2, a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3, a4 + 4a3/) + 6a 2b2 + 4ab3 + 64. Los coeficientes son los mismos que los núm eros de cada fila del triángulo de Pascal.

páginas 54 y 55

1. Superficie, llana, plana.3. Si. L a definición de plano requiere más

térm inos básicos.7. Los ángulos verticales son congruentes.9. El segm ento de recta que une los puntos

medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

Solución de problemas (30 — 3) — 2 = 25 ó 25 + 2 + 3 = 30 son correctos. (30 — 3) + 2 no es correcto.

páginas 58 y 59

1. (p) Lisa tiene 15 años, (q) Lisa es dem asiado joven para vo tar en las elecciones de P uerto Rico. Verdadero.

3. (p) Algunas m anzanas son rojas, (q) Los caballos tienen cuatro patas. Verdadero.

5. (p) D os rectas se intersecan, (q) Esas dos rectas no son paralelas. Verdadero.

7. (p) A A B C es isósceles, (q) A A B C es equilátero. Falso.

9. Si un hom bre vive en San Juan, entonces vive en P uerto Rico.

11. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan para form ar ángulos rectos congruentes.

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R espuestas se le cc io n a d a s 561

13. Si dos rectas son paralelas, entonces no se intersecan.

15. (p) Term ina en 2. (q).El núm ero es par. Si un núm ero term ina en dos, entonces es un núm ero par.

17. (p) U n triángulo equiángulo, (q) Debe ser equilátero. Si una figura es un triángulo equiángulo, entonces debe ser equilátero.

19. (p) H az com o te digo, (q) Serás rico. Si haces lo que yo te digo, entonces serás rico.

21. (p) D os de sus ángulos son congruentes.(q) U n triángulo es isósceles. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces el triángulo_es isósceles.

23. (g)AB s BC. (q) B es el punto m edio de AC. Si A B s BC, entonces B es el punto m edio de AC.

Solución de problemas N ueve viajes de ida yocho de regreso.

pág in as 62 y @3

1. Si una persona está m ojada, entonces está nadando.

3. Si u n a persona no tiene m ucho dinero, entonces es pobre.

5. Si una persona no roba, entonces no es deshonesta.

7. Si un equipo n o gana cuatro juegos de la Serie M undial, entonces no gana la Serie.

9. Si una persona no tiene 16 años o más, entonces no conduce un autom óvil legalmente.

11. Si no se gana el partido de esta noche, entonces no se ganará el cam peonato.

13. Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo. Si un triángulo es equiángulo, entonces es equilátero.

15. Si dos rectas en un plano son paralelas, entonces no tienen puntos en com ún. Si dos rectas en un plano no tienen puntos en com ún, entonces son paralelas.

17. Si un cuadrilátero es un paralelogram o, entonces tiene dos pares de lados paralelos. Si un cuadrilátero tiene dos pares de lados paralelos, entonces es un paralelogram o.

Solución de problemas Alicia.

pág in as 66 y 67

1. E lla votó a A rm ando Amigable.3. N o está nevando. 5. N o son paralelas.7. El punto C está sobre la bisectriz

perpendicular.9. U n ángulo con m edida m ayor de 90u es un

ángulo obtuso.11. 1. Si A A B C es un triángular rectángulo

con L C com o ángulo recto, entonces m L A + m L B + m L C = 180 y m L C = 90. 3. Si m L A + m L B = 90, entonces L A y L B son complementarios.

Solución de problemas León es el encargado, M artínez es el cajero y Nieves es la adm inistradora.

pág in as 70 y 71

1. Recta, dos puntos, recta, postu lado del plano.

3. Recta, postulado de la recta y el plano.5. Recta, postulado de la perpendicular.7. Recta, postulado de la perpendicular.9. Postu lado de la intersección de planos.

11. Postu lado de la perpendicular.13. Postu lado del pun to y el plano.15. Postu lado de la perpendicular.17. Postu lado del punto y el plano.19. 4.Solución de problemas

pág in as 74 y 751. 3. 3. 9. 5. 8. 7. 11. 9. 19.

11. 8. 13. 40. 15. 155. 17. 80.19. C. 21. B.

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Page 573: Geometria - Clemens

562 R espuestas se lecc ionadas

23. Definición de «entre», postulado de la regla.

25. 28,35.27. BC = 14, CA = 42 ó 14. 29. 4 ó 24. 31. 96. 33. 20.Solución de problemas A = 0.010, B = 0.540, C = 0.249, D = 0.882, E = 1.1555.

pág ina 77 Capitulo 2 Resum en

1. T riángulo equilátero; triángulo equilátero.,2a. U na com eta o un rom bo sin ángulos rectos.2b. U n rectángulo con lados adyacentes no

congruentes.3. U n postulado es una proposición que se

acepta com o verdadera sin necesidad de dem ostrarla. U n teorem a es una proposición que se puede dem ostrar.

4a. Falso. 4b. Verdadero. 4c. Falso4d. Falso. 5. 16. 6. 30.7a. (Hip) no se intersecan (con) dos rectas son

paralelas.7b. (Hip) todos son cuadrados (con) todos

son rectángulos.8a. Si una figura tiene cuatro ángulos rectos,

entonces es un cuadrado.8b. Si una figura no es un cuadrado, entonces

no tiene cuatro ángulos rectos.8c. Si una figura no tiene cuatro ángulos

rectos, entonces, no es un cuadrado.8d. R ectángulo (a y b).

9. Las diagonales de la figura ABCD son congruentes.

10. A É y £ d están en el mismo plano.

p ág in a 79 Repaso d e á lgebra

1. A. 3. D. 5. C. 7. F. 9. 32.11. 26. 13. 1. 15. - 3 2 . 17. 12.21. x > - 1 8 . 23. x > 22. 25. x > 20.27. -9 ,9 . 29. 3 , - 5 . 31. 3 7 ,-3 7 .33. 6 , - 7 . 35. 8 , - 8 . 37. 11. 39. 20.41. - 1 2 .

pág inas 86 a 89

1. N o son congruentes. 3. Congruente.5. b^_ 7. _b. 9a. BC =? DE.

9b. A B ^ EF. 9c. L C m L D .11. L C 3 L D , L A s L O , L T s ¿ G ,

CA s DO, A T s OG, C T 3 DG .13. a, c. 15. AP R, BT J .

17. A A B C sé A A'B'C'.19. A A B C s ¿\BAC, A A B C = A A C B ,

A A B C 3 A A B C , A Á B C ZáACAB, A A B C ^ C B A .

21. A A B D ^ A D C A , A B A E s A CDE.23. A A E B s; A A D C , A D B C 3 A ECB. Solución de problemas b, e; c, g; d, f T riángulos congruentes: ADI, BCI; ADB, BCA; A D H , BCJ; AFC, BDG; A HI , BJI; AEI , BEI.

CAPITULO 3

pág in as 92 a 95

1. A L M N . 5. LD BC. 7. BD.9. L B D C . 11. LAL . 13. ALA . 15. LLL.

17. N o hay suficiente información.19. N o hay suficiente información.21. N o hay suficiente información.23. LLL. 25. N o congruente.27. N o congruente.31. A C 3 A C , A A C D ^ A A C B , LA L,

definición de triángulos congruentes.33. A A B C ^ CDA, ALA.35. A A B E s A CBD, LAL.37. A D B A ^ A EBC, AL A.Solución de problemas 8, 27, 64.

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Page 574: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 563

1. LA L. 3^ ALA.5. BD £ DB, un segmento es congruente

consigo mismo; ALA.7. LAL. 9. AL A . 11. ¿ B Sí AB; ALA.

Solución de problemas T odos m enos el m odelo medio.

páginas 98 y 99

pág in as 102 y 103

1. A Z X M _ p A Y X M ^ 3. A Ñ s z B Ñ .5. P V ^ Q V , S V L P Q , A P V S y A Q V S son

ángulos rectos.7. O T ^ S T .9. Definición de bisectriz del ángulo.

11. Definición de punto medio.13. Definición de bisectriz perpendicular. Solución de problemas

pág in as 106 a 109

1. LLL. 3. ALA.5. 2. D ado.3. Definición de rectas perpendiculares4. CD = CD. 5. LAL.7. 2. A 3 £ Z.4. 3. Dado.

4. Definición de bisectriz del ángulo.5. U n segm ento es congruente consigo mismo. 6. A LA.

9. Í M s JCM; LAL.11. N Q s N Q ; LLL.13. A R A D 3? L EAH; ALA.

15. A N = EN, definición de pun to medio; ALA.17. ES = N S , definición de bisectriz del

segmento; LAL.19. A A B F = CBF, definición de bisectriz del

ángulo; A B = CB, definición de pentágono regular; BF sr BF: LAL.

21. A M = C M , definición de pun to medio; MB.s i M B , A A M B , s A CMB , LLL; definición de triángulos congruentes.

Solución de problemas N o hay solución única;7. 8 y 9 son una solución.

pág in as 112 a 115

1. A AB D, AACD.3. A EFG, A E I H , A E F H , AEIG.5. A J N K , A L N K ; A J N M , A L N M .7. 1. D ado. l . M O ^ MO; un segm ento es

congruente consigo mismo. 3. LLL.4. L P M O = L N M O . 5. Definición de bisectriz del ángulo.

9. A C == AC; A A C B = A A C D , ALA;PCTCC..

11. L E ^ A B , A E ^ A B ^ E D ^ B C ;definición de polígono regular; definición de isósceles: A A E D ~ A ABC, LAL;A D ^ A C , PC TCC .

13. C.D s ED, definición de bisectriz delsegmento; A BCD = A FED, ALA; PCTC C.

15. A P = BP y A N = B N , dado que los puntos P y N en el plano de la red están a una distancia igual de las líneas de la base;P N £ PN; A A P N £ A B P N , LLL;L P N A ^ L P N B , P C T C C ; L P N A y L P N B son suplem entos con medidas que sum an 180°; cada uno tiene una medida de 90° ya que los ángulos son iguales; L P N A y L P N B son ángulos rectos y P M es perpendicular a_AB.

17. A A F E ^ A BCD, LAL; A E s BD, PCTCC;A A E B s ADBE , LLL; P C T C C _

19. A DFG ^ A CFG, LAL; FD s_ F C , PCTCC; A A E F sé A ABF, LAL; EF A B F , P C TC C C , LLL.

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Page 575: Geometria - Clemens

564 R espuestas se lecc ionadas

Solución de problemas

páginas 118 y 119

I. A ABC, A CDA; A ABE, A CDE.3. L l = * L 2 ;A C ^ DF, ¿ 3 _ S ¿ 4 i dado;

A E F D ^ _ A B C A , A L A ; EF s B C , PCTC C. 5. CB — BC; A ECB s A DBC, LAL; PCTCC. 7. A A C E s ABDF, ALA, PCTC C.9. A Q P V g z A Q R T , L A L , PCTC C.

11. L A H G ^ L D H F ; A A H G ^ A D H F , A L A ; PC TC C .

Solución de problemas >1-36, B-36, C-24, D-8.

página 121

1. A P U Q T l/S , .4L/1; QÜ ^ S U , PC TCC . QR = SR , definición de bisectriz del segmento; UR ^ UR; LLL.

3. A GFE sí ADEF, LA L, GE s D F , PCTCC;A H G E s A C D F , LAL; PC TCC .

5. A A H B s AD H E , LAL; ¿ 4 s ¿ 3 , PCTCC;A A C B 3 ADFE , ALA; PCTCC.

Solución de problemas 255; sea n = núm ero de letras, 2" — 1.

página 123 Capitulo 3 Resumen

1. / - B ^ ¿ - Q , L _ A ^ L R , L C _ ^ ¿ P ,B A Qi?, ¿ C 3 R P , BC ss Q P.

2a. ALA . 2b. LLL. 2c. LAL. 2d. LAL.

3a. Z-/4BC y L A B D son ángulos rectos.3b. F E ^ GE.3c. L A B D ^ L C B D ; L A D B ^ L C D B .3d. Todos los ángulos y lados son congruentes.

4. A Q P M S í L N P M , L Q M P s í L N M P ^ definición de bisectriz del ángulo; M P =S M P , A M Q P s A M N P , AL A, PCTC C.

5. Z- DBA = L EBC, rectas perpendiculares form an ángulos rectos congruentes;A D B A s AEBC, LAL; PCTCC .

6. AZgAT s A P Y X , LAL; P C TC C.

página 125 Resumen global capítulos l a s

la . Falso. Ib. Falso, le . Verdadero3. Deductivo. 4. Inductivo.5. N o hay conclusión. 6. A B || CD.

7a. Si dos rectas no son perpendiculares,entonces son paralelas.

7b. Si dos rectas no son paralelas, entonces sonperpendiculares.

7c. Si dos rectas son perpendiculares, entoncesno son paralelas.

7d. 7a, b; m ostrar rectas intersecantes que nosean paralelas.

8. A C » AC; LLL.9. L B A D £ ¿ C A D ; A B A D ^ A C A D , LAL;

PCTC C.

CAPITULO 4

páginas 134 a 137

5. Si dos rectas se intersecan, entonces form an dos pares de ángulos congruentes.

7. Si un segm ento es la bisectriz de un ángulo del vértice de un triángulo equilátero, entonces el segmento es la bisectriz perpendicular de un lado.

9. Reflexiva.11. Si un triángulo es isósceles, entonces los

ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

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Page 576: Geometria - Clemens

R espuestas se le cc io n a d a s 565

13. Si un triángulo es equilátero, entonces todos los ángulos son congruentes.

15. Propiedad transitiva.17. A B = AC, transitiva; tres lados

congruentes.19. BE = BD, AD = BB, AD = BD, BE = AD,

transitiva; sustitución.21. DB £ BD, reflexiva; ALA .23. L A O B ^ L B O Q L B O C £ LCOD,

transitiva.25. A B £ CD, teorem a de la página 198;

¿ A & L D , A E £ DF, PC TCC ; LAL.27. A A B C £ A DEF, A D E F £ A GHI, dado;

L A £ L D , L D £ LG; L A £ L G , transitiva, A B £ DE, DE £ GH; A B £ GH, transitiva; com pletar el modelo p a ra cuatro pares más.

Solución de problemasa. 45, 66. b. Sí.

páginas 140 a 143

1. Transitiva. 3. Resta de ángulos iguales.5. Transitiva.7. Resta de segmentos iguales.9. B E = A C , transitiva, resta de segmentos

iguales.11. 2. Propiedad reflexiva. 3. Suma de

segm entos iguales.13. 3. Propiedad reflexiva. 4. Sum a de

segmentos iguales. 5. Propiedad transitiva.15a. 29.73 cm. 15b. 6.045 cm.15c. Sum a y resta de segm entos iguales.17. Suma de ángulos iguales.19. A A B E £ ADCE,_ALA; A B = DC,

P C T C C ; A C = DB, sum a de segmentos iguales.

21. A B = BC; m L A B F = m L C B G , sum a de ángulos iguales; A F B A £ A GBC, LAL;LF_ £ L G , A F B D 3 A G BE, ALA; PCTCC .

23. A C £ CD; m L A C B = m L D C E , sum a de ángulos iguales; A A C B £ ADCE, ALA;L E £ L B , EC £ BC, P C T C C ^ A L A .

25. A E £ DF, L A £ L D , A C £ DB, PCTCC; A C - B C = DB - CB; LAL.

27. A A B E £ AD CE , LAL; L A E B £ DEC, PC TC C; m L E A F = m L E D G , resta de_ángulos iguales; A A E F £ DEG, ALA;FE £ GE, PC TCC .

Solución de problemas Obsérvese que se pueden colocar 9 triángulos p a ra form ar un triángulo con 6 sím bolos en el centro.

páginas 148 y 149

1. L C O B . 3. ¿ l o bien ¿ 2 .5. Com plem entos de ángulos congruentes.7. L C O F , LEOD. 9. L H O A , LFOD.

11. Com plem entos del mismo ángulo, L A O C .13. Com plem entos del m ism o ángulo, LCOE.15. 90 - x. 17. x + 4x = 180; 36, 144.19. L B A D £ L BCD, suplem entos congruentes;

ALA.21. B W = B X = YD = DZ; L W B X £ L Z D Y .

suplem entos congruentes; LAL.23. L E B C £ L E D C , com plem entos

congruentes; L B E C £ ¿ D E C , suplem entos congruentes; ALA.

25. Empléese el d iagram a de la página 217 con L D £ L C , L A es com plem entario de L C , L B es com plem entario de LD; m L A + m L C = 90, m L B + m L D = 90; m L A + m L C = m L B + m L D , sustitución; m L A = m L B , resta; L A £ LB.

Solución de problemas x = 1.618; y = 0.618;

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Page 577: Geometria - Clemens

566 R espuestas se lecc ionadas

páginas 152 y 153

1. L COE, L BOF; L BOC, L FOE.3. Ejemplo : L A O C , L F O D .5. 145. 7. 145. 9. 40. 11. 50.

13. CO = DO, L C O A £ LD OB, ángulos verticales; ALA.

15. L A E B £ L DEC, A A E B s AZ)£C, L/4 L.17. L A E B s ¿ DEC; A X £B £ AZ>£C, L-4L;

L A ^ L D , A B ^ D C , PCTCC;A E + EC = DE + EB; LAL.

19. L 1 s L 2, L 1 y L 2 son suplem entarios, dado; m L l + m L 2 = 180; 2 m L 1 = 180, sustitución, suma; m L 1 = 90:__ ___

Solución de problemas Dibújese A M y DM.A B = 2a; m í - A M D = 90; A M = D M — a^ /s .

páginas 156 y 157

1. Seis; ángulos ICB, FCA, CAD, HA B, ABG, EBC.

3. ¿ A C B , ¿ A B C .5. N o , no form a p ar lineal con L C A B .7. Angulo vertical. 9. Angulo exterior.

11. m ¿ 3 > m / - \ ; m¿- \ > m/L4, ángulo exterior, transitiva.

13. m L A B D > m L B D C ; m / - B D C = m L E D F .15. m L R C B > m L B ; m L R C B > 90.17. En A X Y Z , L 2 es un ángulo obtuso,

dado; m L 2 > 90, definición de ángulo obtuso; m L 1 + m L 2 = 180; 90 > m L 1; m L 1 > m L Z , m L \ > m L y, teorem a del ángulo exterior; 90 > m L Z ,90 > m L Y, transitiva.

19. Usese el d iagram a del ejercicio 17; en A X Y Z , sea ¿ 2 un ángulo recto, dado; m L 1 > m L Z , m L l > m L Y, teorem a del ángulo exterior; L 1 es un ángulo recto, resta; 90 > m L Z , 90 > m L Y,

definición de ángulo recto, sustitución; ni L Z ni L Y son ángulos obtusos (Ejercicio 16); en A X Y Z , sea L 2 un ángulo obtuso, dado; 90 > m L Z , 90 > m L Y (Ejercicio 17); ni L Z ni L Y son ángulos rectos.

Solución de problemas Si el triángulo no es isósceles, el pun to medio de BC y el pie de la perpendicular son dos puntos distintos.

páginas 160 a 163

1. t J. m; los ángulos form ados no son ángulos rectos.

3. Los lados adyacentes son paralelos. Los lados adyacentes no se intersecan.

5. A B ^ CD; A B * CD.7. L A no es un ángulo agudo. m L A ^ 90.9. A A B C no es un triángulo isósceles.

A B / B C AC.11. N o es una contradicción.13. Form a una contradicción.15. F o rm a una contradicción. 17. c.19. m L A + m L B i= 90 (Ejercicios 19 a 27, las

respuestas pueden variar).21. A A B C g e A X Y Z .23. m L A # 117.25. A B + E F = CD + EF.27. m L \ + r r i L 2 ¿ 180.29. 1. Suposición de la p rueba indirecta.

2. D ado. 4. Propiedad reflexiva.5. Postu lado LAL. 6. A B ^ A C ,P C TC C . 1. A B AC, dado.8. BD £ DC, lógica de la dem ostración indirecta.

31. U n abogado descubre que un cliente suyo, acusado de un delito en Ponce, estaba en la ciudad de San Juan cuando se com etió el delito. El abogado hace la siguiente proposición: Si m i cliente estaba en San Juan , entonces no com etió el delito. El abogado usa este razonam iento: Supóngase

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Page 578: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 567

que m i cliente com etió el delito. El delito se com etió en Ponce. M i cliente estaba en San Juan. N o pudo haber estado en Ponce y en San Juan al m ism o tiempo. P o r tan to , mi cliente no com etió el delito.

1. Supóngase que 1. Suposición deL A y L B son la dem ostraciónángulos indirecta.verticales. 2. Definición de

2. L A ^ L B . ángulos3. L A LB. verticales.

(contradicción). 3. Dado.4. L A y L B 4. Lógica de lano son ángulos dem ostraciónverticales. indirecta.

1. Supóngase que 1. SuposiciónB C = QR. de la

2. A A B C 2 A PQR. dem ostración3. L A g s L P . indirecta.4. L A ^ L P 2. LLL.

(contradicción) 3. PCTCC .5. B C QR. 4. D ado.

5. Lógica de ladem ostraciónindirecta.

Solución de problemas Si se supone que Ana está diciendo la verdad, puede llegarse a una contradicción. Si se supone que Isa o Ive dicen la verdad, tam bién se llega a una contradicción. Si se supone que Leo está diciendo la verdad, no se llega a una contradicción. P o r tanto , Ana es la culpable.

página 165 Capitulo 4 Resumen

la . Verdadero. Ib. Falso, le . Verdadero. 4a. x = 22.5°, 3x = 67.5°. 4b. 56.4c. 100,80. 5. 45.

6. L B C A = LDCE; empléese ALA.7. Empléese la sum a de ángulos iguales.8. A A B C =* A A E D , A L A ; L 3 s LA, P C TC C,

empléense los suplem entos de ángulos congruentes.

9a. A B \ \ C D . 9b. L A y L B no son suplementarios.

página 167 Técnicas de solución de problemas

1. 1296. 2. 35. 3. 45.

CAPITULO 5

páginas 172 y 173

1. Ejem plo E H , M , CG, M .3. E F G H y ABCD, BCGF y ADHE, A B F E y

DCGH.5. L 2 y L l , L 1 y L8.7. ABG y D J I L A G L y CDJ, A B C y JKL.9. £3 y EF; AÉ.

11. ¿ 1 4 y ¿ 1 7 , ¿ 1 4 y ¿ l l .Solución de problemas

páginas 176 a 179 ,la . a y c, 5.1. Ib. a y b, 5.2. le . b y c, 5.4. Id. a y c, 5.2. le . b y c, 5.1. lf. a y b, 5.3.3. Teorem as 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4.5. L 2 y ¿ 3 .7. ¿ 8 y (LA y L5); L l y (L5 y L6).9. LLL; L 3 s L 2 , PCT CC; teorem a 5.2.

11. A F + FC = DC + CF; A A B C s A DEF, LLL; L A C B s LDFE ; teorem a 5.2.

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Page 579: Geometria - Clemens

568 R espuestas se lecc ionadas

13. Empléese el teorem a 5.4.15. L 2 es suplem entario de Z.3, dado; L 2 es

suplem entario de L 1, p ar lineal; L 1 £ L 3, suplem entos congruentes; t || m, teorem a 5.1.

17. % m L A B C = %m¿BCD, ¿ 2 s ¿ 3 ; teorem a 5.2.

19. ( m L 2 + m ¿ 3 ) + m A l = 180; mZ.1 = mA5;m¿11 = m ¿ 4 ; teorem a 5.1.

21. D ibújense D M y CM. P ruébese que A A M D £ A B M C , LAL; D M £ CM,L D M A £ L C M B , PCTCC;L D M P = L CMP; A D M P £ A C M P , L A L ; L D P M = L C P M . Empléese el teorem a 5.4.

23. L a plom ada es paralela a las puertas, ventanas y esquinas de las paredes.

Solución de problemas

O B Ipáginas 182 y 183

3a. Verdadero. 3b. Verdadero.3c. Verdadero. 3d. Verdadero.

5. N o paralelas.7. q || p, teorem a 5.4, q || r, teorem a 5.4;

teorem a 5.5.9. Usese el teorem a 5.1 o el 5.2.

11. A B 1 BG. H G 1 BG; BA |l H G ; F.F || H G ; úsese el teorem a 5.5.

Solución de problemas Sea E la intersección deA B y CD; A E = BE, CE = DE;L A E C £ LBED; A A E C £ A BED, LAL;L E D B £ L E C A , PCTCC; ángulos alternosinteriores.

páginas 186 a 189

1. 125. 3. 125. 5. 55. 7. 125.9. ' 37. 11. 37. 13. 110. 15. 28.

17. 70. 19. 70. 21. 42.23. m L A B C = m L C D A = 110; m L D A B = 70.25. m L l = m L 5 = 78; m L 2 = 102.27. t || m; L 1 = L 3, teorem a 5.8;

L 2 es suplem entario de ¿ 3 , p ar lineal;L 2 es suplem entario de Z_ 1; sustitución.

29. U n ángulo in terior form ado po r r y t es 90°, teorem a 5.6; definición de perpendicular.

31. 1 = m L 11, m L 11 = m L 7 ,m L \ = m L l , transitiva; m L 2 = mZ.4, m ¿ 4 = m/L9, m L 2 = m L 9 , transitiva.

33. L 9 es suplem entario de L 6 , teorem a 5.9;L \ £ L 6, suplem entos de ángulos congruentes; úsese el teorem a 5.2.

35. ¿ 8 s LD EF, A A B C £ A DEF, ALA.37. L 4 £ L 2, teorem a 5.8; m L l + m L 2 = 180,

teorem a 5.9; m L 1 + m L 4 = 180, sustitución.

39. L B es suplem ento de L A, L D essuplem ento de Z./1, teorem a 5.9; suplem ento de ángulos congruentes.

41. Los bordes del papel tapiz deben ser paralelosde tal m anera que ___ _______L A ^ L C ; dado que el 7 B?piso es paralelo al techo, IA / cL B = L C . Por tanto,L A séLB.

Solución de problemas1. D ad o que A B sufre la m isma inclinación alen tra r que al salir, se form a un p ar de ángulos

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Page 580: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 569

correspondientes congruentes al hacer que XÉ || C$.2. Usese el teorem a 5.5.

página 191 C apítu los Resumen

la . ¿ 3 y ¿ 6 , ¿ 4 y ¿ 5 .Ib. L l y L l , L l y ¿ 8 .le . L 2 y L 6 , L l y L5 , ¿ 3 y ¿ 7 , ¿ 4 y ¿ 8 .2a. V erdadero. 2b. Falso.2c. V erdadero ^ 3a. A B E y DCF.3b. S £ y FD, AD y P d .

4. N o. 5. 55. 6. 78.7. ¿ 8 3 ¿ 1 1 , teorem a 5.6. ¿ 1 0 y ¿ 1 1 son

suplem entarios. Usese el teorem a 5.4.8. S á || 5 ? , teorem a 5.1. Usese el teorem a 5.8.

página 193 Repaso de álgebra

1. 4. 3. - f 5. - 8 . 7. 2.9. $ 11. x < 5. 13. x < ^

15. x > 36. 17. —5 < x < 5. 19. 2^/2.

21. 4 ^ 3 . 23. 3n//3. 25. ¿ 27. —4

29. ( -1 0 ,3 4 ) . 31. (4,2). 33. (1 4 ,-4 ) .35. (7,14). 37. 3 ,9 .

CAPITULO 6

páginas 200 y 201

la . Escaleno. Ib. Equilátero, le. Isósceles. Id. Escaleno.3a. L N . 3b. M N , P Ñ . 3c. MP.3d. M N , P N .

9. U n triángulo equilátero debe ser untriángulo acutángulo ._

11. A X Y Z ¿ a ltu ras XZ_, YZ,\ Z P ^ A Z P Y, Z P ^ _ PQ, Y P; A P Q Y , PQ, Q W , Y W ; A X P Z , X P , Z P; A PQZ, PQ, ZQ.

13. A HAB, A CBA.15. T riángulos equiláteros ABC, DEF ;

triángulos escalenos DEA, FDC, EFB.17. CD L A B , A E ± B C ; L C D B S íL A E B ;

L B ^ L B ; A B - AD = C B - CE,DB = E B ; A B A E 3 A BCD, ALA.

Solución de problemas 16 triángulos como A MO N; tam bién los triángulos AJC, B K D , CLE, F M H , GNI , JOL, A M D , BNE , FO¡, J L C , AOE.

páginas 204 a 207

1. L B = LE ; L A C D = L A D C .3. ¿ M N L , L M L N ; L K N L , L K L N .5. A AEB, A DEC, A D E A , ACEB.1. 50. 9. 31.

11. 14. 13. 30.15. m L X = m L Z = 72; m L Y = 36.17. m L A B C — m L 3 = m L A C B — m ¿ 4 .19. L A C D 3 LA D C ; L A C B ^ L A D E ,

suplem entos de ángulos congruentes;A A C B 3 A ADE, LAL; A B 3 AE.

21. L A B C ^ _ L A C B ; m L E B C = m L D C B ;BC 3 CB; A D B C 3 ALA. _

23. L A B C s * L A C B ; m L 3 = m L A ; D C zéDB. 25. L D y L A B D son suplem entarios de ¿ ABC;

L D 3 L A B D ; AD 3 AB.27. A A B C 3 ABA E, LAL; L C A B 3 ¿ EBA,

PCT CC.29. En el triángulo equilátero ABC, L A 3 ¿ C ,

L B 3 ¿ C , teorem a 6 . 1 ; ¿ ^ s ¿ B í ¿ C ; transitiva.

31. A A B C es isósceles con AB 3 AC; sea el pun to £) la intersección de BC y la bisectriz de L A U B A D j í LC A D ; A B A D 3 A CAD, LAL; BD 3 CD, L A D B 3 L A D C , CPCTC; L A D B y L A D C son ángulos rectos,AD 1 BC. _

33. A ABC es isósceles con A B 3 AC, BDbiseca a L A B C , CE biseca a L A C B , dado; L A B C 3 L A C B , ángulos de la base; m L D B C = m L E C B , m itades de iguales; A D B C |_ A .ECB, ALA; EC 2 DB, PC TC C .

35. X B 3 YC ; L B X W = L C Y Z ;L A B C Zé L A C B ; A X B W = A Y C Z ^ L A .

37. m L E A P = m L D B P , resta; A P 3 BP; L E P A S íL D P B ; A E P A 3 ADPB, ALA;EP 3 DP.

Solución de problemas 29, 16.

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Page 581: Geometria - Clemens

570 R espuestas se lecc ionadas

páginas 210 y 211 páginas 214 y 215

1.9.

13.15.

17.

19.

21.

54. 3. 110. 5. 55. 7. 60.110. 11. 55 ,40 ,85 .180 - 9 0 = 90; ^ = 45.En el triángulo isósceles X Y Z , m L X + m L Y + m L Z = 180;2 m L X + m L Z = 180;m L X + ±m Z.Z = 90; m L X < 90;empléese la definición de ángulo agudo.En el triángulo rectángulo A B C con ángulo recto B, m L A + m / - B + m L C = 180; m L B = 90; m / - A + m L C = 90, resta; úsese la definición de ángulos complementarios. L D C E s LEC B; L A = L B; úsese el teorem a 6.6\_LECB £ L B .Dibújese A C . m L \ + m L D A C — m L B ++ m L A C B . m L 2 = m L D A C + m L D C A . Sumar.

1. mZ-2 + mZ.3 + m¿L4=180. 1. Teorem a 6.4.2. m L l + m Z .4 = 180. 2. P a r lineal;

def. desuplementos.

3. mZ_2 + w ¿ 3 + 3. Sustitución.+ (18° —m Z -l)= 180.

4. m L 2 + m L 3 — m L l . 4. Algebra.

Solución de problemas

—i— i

• + - - I

_i_

- “ 1

1.7.9.

11.13.

HA. 3. ALA . 4 _ HA^_L C D A £ LCDB; A C B C ; HA. AAL.B E + E C = F C + CE ; AAL.

Usese el teorem a AAL.15. A E A B £ A B C A, LAL; L A E B £ L B C A ,

P C T C C ; L E F A £ L C F B ; AAL.17. Triángulo isósceles 4B C con

L A ^ L B , FD 1 A C , F E 1 BC, m L A D F = m L B E F — 90, definiciones de rectas perpendiculares y de ángulos rectos;

___ £A F

m L A + m L A D F + m L l = m L B ++ m L B E F + m L 2 , teorem a 6.4, transitiva; m L 1 - m L 2, resta.

Solución de problemas 4.

páginas 218 y 219

1. HC. 3. HA. 5. ALA.7. N o congruentes; hágase PQ = 2ST,

P R = 2SU, QR = 2TU.9. LLL. 11. 35.

13. A ECB £ A DBC, HA; L D B C £ L E C B , P C T C C .

15. A EFB £ A DFC (Ejercicio 14); E F £ DF; L D E F £ LFDE; L D E A £ L E D A , sum as de ángulos.

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Page 582: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 571

Si P no está sobre AB, entonces construyase la perpendicular de P a ÁB; A C P £ A B C P J Í C ; A C £ BC, PC TC C . (Si P está sobre A B , entonces P es el punto medio.) Si P está sobre la bisectriz perpendicular, entonces A A C P £ A BCP p o r LAL , PA 2íP B , PCTC C.

Solución de problemas A, sí; B, no; C, sí; D , no.

página 221 Capítulo 6 Resumen

la . Falso. Ib. Verdadero, le. Falso. Id. Falso.2. 70. 3. 80.4. m A C A B - m ¿ D / I B = m ¿ C B A -

— m L DBA.5. A B ^ BA; A A D B ^ BCA, AAL.6. A A C D £ A ABD, HA.7. A C Y A £ A A X C ^ H C ; L Y C A £ L X A C ,

PCTCC; BC £ BA.8a. U n ángulo exterior iguala la sum a de dos

ángulos interiores no contiguos.8b. 45__

9. K M £ K N ; L K M N £ K N M ;L K M G £ L K N H , suplem entos de ángulos congruentes;A K G M _ A K H N , ALA;KG £ K H .

página 223 Técnicas d e solución d e problemas

1. 37. 2. 28. 3. Ts = 15, T6 = 21,Tl0 = 55.

4. P 5 = 35, P6 = 51, P 10 = 145.5. H 3 = 18, H 4 = 34, H l0 = 235.

13. 10. 15. 2y/2. 17. ^ 5 . 19. Si.21. Sí. 23. No.25. y /4 24 = 2 ^ 1 0 6 = 20.6.27. 4v /<2 pies.31. Area del cuadrado 1 = área del cuadrado 2;

4(l/2ab) + c2 = 4(l/2a&) + a 2 + b2;c2 = a2 + b2.

33. ' / ‘40° A l i n e a ,0.5

35. 26.96 metros.Solución de problemasla . 4. Ib . 3. le . 1. Id. 2.2a. „ /5 2 Í . 2b. 23 = ^/529-2c. ^ 5 4 5 . 2d. v /565.

páginas 234 y 235

1. 2 ,2 ^ 2 . 3. 5 ,5 . 5. 2 , ^ 3 .7. 2 ^ 3 ,2 . 9. 8^/7 , % J l \ . 11. 38, 19^/3.

13. ^ 5 . 15. 3 ^ 3 m.

17. En el triángulo 30-60-90, el lado opuesto al

ángulo de 30° es - ; el lado opuesto al

ángulo de 60° es v 73 veces la longitud del

cateto más corto o bien — •

i9 . i é .3

Solución de problemas1. A B 2 + 12 = 22, A B = ^ 3 .2. AD2 + B D 2 = A B 2; AD = J l .3. No.

páginas 240 a 243

1. BX, B Y , BZ. 3. 3. 5. 4.13. A lgunas veces.13. Algunas veces. 17. Algunas veces.19. O btuso, fuera; recto, sobre; o agudo,

dentro.

CAPITULO 7

páginas 228 a 231

1. Correcto. 3. Incorrecto. 5. Correcto. 7. 5. 9. 8. 11. y í 9 .

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Page 583: Geometria - Clemens

572 R espuestas se lecc ionadas

23.

25.

27.

29.

31.

AD = DC, definición de m ediana y de punto medio; B A = BC, definición de isósceles; L A s L C \ A A B D A CBD, LAL; L A B D £ L C B D , PC TCC ; BD es la bisectriz del ángulo.En el triángulo equilátero AX Y Z , M es el punto m edio de X Z ; A X Y M = A Z Y M , L L L ; L X M Y y L Z M Y son congruentes y suplem entarios, po r tan to , ángulos rectos;Y M es una altura. __ _A N C B £_A M B C , ALA; M B £ CN,M C £ N B , PCTCC; A M C N ^ A N B M ,

LAL; L N M C £ M N B , O M £ ON.3 ^ 2

En el triángulo equilátero ABC, AD,B E y CF son m edianas; A F = BF, definiciones de m ediana y de punto medio;A A F C £ A BFC, LLL;L A F C y L B F C son congruentes y suplem entarios, y por tan to ángulos rectos; A A F X s A B F X , LAL; dado que A A C F £ ABCF,L X C E = L X C D ; CE = CD, m itades de iguales; A E C X £ A P C X , LAL; repítase el m odelo para AD y BE.

33. T riángulo isósceles ABC,A C = BC con alturas B E y AD;L C E B £ L C D A , definiciones de altura y ángulo recto;A C £ B j= ACD A,A AL; B E £ AD, PC TC C .

Solución de problemas1. A'B = 5 = PR; úsase AAL.2. En A P fiR , y2 = R Q 2 + 52; y + RQ = x;

sustituir.

páginas 246 y 247

1. Sí. 3. No. 5. Sí. 7. Sí.9. M ayor que 2 y m enor que 16.

11. Escoger C fuera de AB; A C + CB > ,48. 13. AD + A B > BD y CD + BC > BD. Sumar. 15. H está en la intersección de las diagonales.

DH + H B = 4. Fórm ese un triángulo rectángulo con A C como hipotenusa.22 + (4 + 2 ^ 3 ) 2 = A C 2; A C = 7.7; DB = 4; m ínim o = 11.7.

Solución de problemas Encuéntrese la longitud de la perpendicular que va de la parte superior de la figura al punto O (diagram a izquierdo), y j 2 ; encuéntrese AO. ( \A B )2 + %/ 2 2 = A O 2;

/ Í 7AO = dado que la longitud del cordón es

el doble de AO, longitud = y / 17.

páginas 250 y 251

1. A B , AC. 3. G H , GI.5. AC < BC < AB.7. B C < A C < AB.9. m L C < m L B < m L A .

11. CD < B C < BD < AB (AD = AB).13. En A ABD, BD < AB; CD = BD; sustituir.15. Usese el ejercicio 14.17a. Posible, no.17b. Posible, no. 17c. Posible, sí.17d. N o es posible. 17e. N o es posible. Solución de problemas

= s ñ r - J l ;

3 7 2 y ?2

- = 1.3 m.

página 253 Capítulo 7 Resumen

la . Falso. Ib. Verdadero, le . Verdadero. Id. Verdadero.

2. CD. 3. 2x//2.4. En el triángulo 30°-60°-90° A A B E , A E es

el ángulo opuesto de 60°. A E = ^ 3 ; AC = 2^/3.

6. Fórm ese un triángulo. C onstrúyanse dos bisectrices perpendiculares cualesquiera.

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Page 584: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 5737.9. Dibújese ATZ. En A X YZ,

m L Y X Z > m ¿ Y Z X . En A X W Z m ¿ Z X W > m L X Z W . Sumar.

16. 8. 1Z_

pag ina 255 R esum en global, cap ítu lo s 4 a 7

1- Ejemplo D F . Ib. Ejemplo FE. le. Ejemplo ABEH. Id. H B .

le. DGHA. 2a. 75. 2b. 113^,664 2c. 123 i 5 6 | 3 33. A B 3 A £ ; úsese ALA.4. BC + CD = ED + D C \ L 5 3 ¿ 6 :

úsese LAL.10a. 8&_ 10b. _7 5 .__10c. 163.11. CD, BC, BD, AD, AB.

CAPITULO 8

Páginas 262 y 263

1- DC. 3. DC, AB.5. Verdadero. 7. Falso.9. Verdadero. 11. Verdadero.

19. Rombo. 21. 5.4 cm, 10.6 cm.23. c.

Solución de problemas A B G l . D E G J H C 1 D- HEGB, BJDH, J IEF, HFGG, CEDA, AJGC. ’

Páginas 266 a 269

1. A B , D C : A D , B C .3. ^ A , L D ; L D , L C ; L C , L B ; L B , L A 5. 132. 7. 90. 9. 132. 11. 4 cm.

13. 122. 15. 58.17. Si los lados opuestos de un cuadrilátero no

son congruentes, entonces el cuadrilátero no es un paralelogram o.

19. R om bo o trapecio con 3 lados congruentes. 21. N o es un paralelogram o, contrapositiva del

teorem a 8.1.23. N o es un paralelogram o, contrapositiva del

teorem a 8.1.25. 17°, 163°. 27. 17. 29. 85.

31. CD || B A ; L CDB 3 L ABD; ángulos verticales; A B E G 3 A D E F A L A FJÍ=íG_E. ’

33. DC 3 BA, L D 3 L B , AD 3 CB;AD - A E = CB ~ CF ; A D E C 3 A BFA LAL, PCTC C.

35. Paralelogram o ABCD con ángulo recto A dado; m L A = m L C = 9 0 , ángulos opuestos; L D es suplem ento de L A m / D = 90; m L D = m L B = 90, úsese la definición de rectángulo.

3?‘ H A ~ á C\ F ¿ te° rem ^ 5:8; 1 5 = úsese i r 11 ’ usese el eJercicio 35.

39. Usese la definición de paralelogram o v el teorem a 5.9.

41. 9 a 431_ 4 0 1_

^ A B ~ KJ; tr^2S'tiva.47. B C 3 P g , teorem a 8.2; B C 3 &./,

definición de polígono regular;K J 3 3 PS , teorem a 8.2; PO es p e

sustitución. "" ’Solución de problemas1. La sección transversal corta por lo m enos un

p a r de planos paralelos.2. C ualquier conjunto de cinco caras del cubo

debe contener dos pares de aristas paralelas.

Páginas 272 a 275

1.9.

13.

15.

17.

19.21.

Sí- 3. Sí. 5. No. 60°. 11. 811 ,8 .

7. 14 mm.

X , X 2 e Y1Y2 son congruentes y paralelas. x ix 2 Y2Y, es un paralelogramo.X i Y i V C z l » __AD || BC, EF_|| BQ_AD || FE; AD 3 BC, F E = BC, AD 3 F £ ; úsese el teorem a 8.5 A H A E 3_A FCG, A D H G = A B F E , L A L H E 3 FG, HG 3 FE, PCTCC; úsese e l’ teorem a 8.4.\ D C = %AB; DF || AE; úsese el teorem a 8 5 A E = EC, DE = EB, dado; A A E B 3 A CED,A D £ 4 3 A B E C , L A L ,A B 3 CD, A D ^ C B ,P C TC C, úsese el teorem a 8.4.

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Page 585: Geometria - Clemens

574 R espuestas se lecc ionadas

23.

25.

AEGD y A B F H son paralelogram os, teorem a 8.5; GE || DA, H F || AB; úsese la definición de paralelogram o.A AED £ A C D E , LAL; L CED £ Z ADE; A A E D y A C D E son isósceles; m L E A D = 36, sum a de triángulo de 180; m A E F D = 108, sum a de triángulo de 180; m A B A F = m A B C F = 72; A B C F es_un paralelogram o, teorem a 8.6; A B £ BC. Dibújese FB; A E B F £ A CBF, HC;EF = FC; L BDC £ Z DBC , ángulos base; ¿ D F E £ ¿ DBC, 180 - m A E F C ; ¿ B D C j = LDFE.A C || BD, ángulos correspondientes; úsese el teorem a 8.5.

Solución de problemas a, b, c, d. e

33.

27.

29.

35.

Y X = j D B 1 Z W = D B , Y X = ZW ;Y X || DB, Z W || DB, Y X || Z W ; úsese el teorem a 8.5.En A A O B , A' y B' son puntos medios de los lados, en A DOC, D' y C' tam bién son puntos medios; úsense los teorem as 8.7 y 8.5.

Solución de problemas1. Pruébese que jo s triángulos rectángulos son congruentes con A B , BC, CD y AD com o partes correspondientes.

v í*2 ‘

2. I 2 + (i)2 = longitud2; longitud =

3.

:\

2 = r -

páglnas 278 a 281

1.11.

17.23.25.

27.

29.31.

4. 3. 10. 5. 34. 7. 5. 9. 7.5.8, 16. 13. 20. 15. & = 7. a = 31.5. 19. 5, 10 _ 2 h _ No.Usese teorem a 8.7, FD || AE, DEJ_AF. ABDE_es paralelogram o; A E ^ BD,A E || BD; obténgase Y X = Z W , Y X || Z W . W Z Y X es un paralelogram o, teorem a 8.8; las diagonales de un paralelogram o se bisecan entre sí.W Z || AB, X Y || AB, teorem a 8.7.WG = GY, X G - GZ, diagonales de paralelogram o; úsese la propiedad transitiva.

páginas 284 a 287

1. AD £ BC, DC £ A B , DB £ AC,D E £ AE_ £ EC, DE £ EC,DE £ A E , A E £ EB, CE £ BE.

3. L D E A , ¿ D E C , ¿ C E B , ¿ B E A .5. N o. 7. Si. 9. No. 11. Si.

13. N o. 15. Falso. 17. Verdadero.19. Falso. 21. Rectángulo.23. N o es posible. 25. Cuadrado.27. 4x + 10 = 90; x = 20; 116.29. DB = AC, BE = ,4C; D B = BE, transitiva.31. Pruébese que cuatro triángulos son

congruentes con EF, F G , G H y H E po r P C T C C ; m ¿ D H G + m A G H E + m L A H E = 180; A D H G s L A E H , PCTCC;A A E H y ¿ A H E son complementarios, A D H G y L A H E son com plem entarios, sustitución; L GHE es un ángulo recto.

33. Z V = X V , W V = Y V : Z X ± W Y ; úsese LAL.

35a. Si las diagonales son congruentes, entonces la figura es un rectángulo.

37. Dibújese GFEH; A D G HA D G //_£ A CFG £ A B E F £ A A H E , L A L GF £ FE £ EH ^ H G teorem a 8.10.

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Page 586: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 575

39. 1. Si cada diagonal biseca a un p a r de ángulos opuestos, entonces un paralelogram o es un rom bo;L D A B s LD CB , L D C A s L D A C , dado, m itades de ángulos iguales; AD £ D C ; dado que los lados opuestos tam bién son congruentes, entonces todos los lados son congruentes. 2. Si un paralelogram o es un rom bo, entonces cada diagonal biseca a un p a r de ángulos opuestos; A DCE s A BCE, HC; L D C E » ¿ B C E , P C T C C ; obténgase L D A E £ LB A E .

Solución de problemas

2. 42

3.

1. 3. 12.

páginas 290 y 291

1. 33.5. 3. 36. 5. 17.15.7. 21. 9. 18.

11. L D A P s L PAB, bisectriz del ángulo;i '-DPA £ L P A B , ángulos alternos internos. Trácense las perpendiculares de D a A É que se intersecan en £ y de C a A É que se intersecan en F; A DEA £ A CFB, HC;L-DAB s / -CB A, sup. congruente;A D A B as A C B A J . A L .Dibújese DE || CB con_E sobre AB_; DEBC es un paralelogram o; D E s CB; DE £ DA; L A s LD E A ; L D E A L B , ángulos correspondientes; L A =? L B , transitiva.

Solución de problemas

13.

15.

x

Trácese la figura con forma de Y en el centroide del triángulo de m anera que (1) A G = BG = CG,(2) m L A G B = m L B G C = m L A G C = 120,(3) /fG no está sobre una altura. Com plétese la figura dibujando A X , B Y y C Z. X A G C Z , Y B G A X y Z C G B Y son pentágonos congruentes.

páginas 294 y 295

1.9.

15.21.27.29.

7. 6120° 12.

8. 3. x — 2. 5. 1800°.( p - 2)180°. 11. 13. 13.21. 17. 140°. 19. 156°.176.4°. 23. 45°, 30°. 25. 5.10.60° + 1 2 8 f + 1 7 l f = 360°.Trácense X A e YB con intersección en T;A X Y A Y X A ,LAL; X A = YB,PCTCC;A X A B s A Y B A ,LLL;L X A B ^ L Y B A ^ _PCT CC ; TB s TA, lados opuestos de ángulos congruentes; T X T Y, resta; A B T A y A X T Y son isósceles; L T X Y z L T Y X ,L T B A ^ L TAB, ángulos base;L X T Y s L A T B , ángulos verticales; L T X Y ^ L T A B , sum a de ángulos del triángulo, resta; X Y \ \ BA; L X B A es suplem ento de L B X Y , teorem a 5.9; m L B X Y = 135, octágono regular: m L X B A = 45; m L E B C = 45 (mismo m odelo que el anterior); m L A B C = 135 - 2(45) = 45.

Solución de problemas 1. 56. 2. 50.

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Page 587: Geometria - Clemens

576 R espuestas se lecc ionadas

página 297 Capftulo 8 Resumen páginas 310 y 311

la . Falso. Ib . Falso, le. Verdadero.Id. Falso. 2. 40.3. DA s CB; E F £ CB; DA || CB; E F || C B ;

úsese el teorem a 8.5.4. m L 3 = m L l = 60; L 4 £ LADE ;

(180 - 60)m L 4 = -------------= 60; L A s LB.

25. L 3 = L l , ángulos correspondientes;

L 4 £ L 3 , transitiva.6. E F G H es un paralelogram o por el teorem a

8.7; m L E H G = 100; m L E F G = 100.7. 20. 8. 150. 9. 100°. 10. 6.5.

página 299 Repaso de álgebra

1. 4. 3. 7. 5. 12. 7. 9. 9. ± 3 .11. ( 0 ,- 5 ) . 13. ( - | , 2 ) . 15. ( -3 ,3 ) .17. (!>!). 18. 81. 21. 7.23. - 2 . 25. - 2 ,5 . 27. 5. 29. 4 , - 3 .31. 36°, 54°, 90°.

CAPITULO 9

páginas 306 y 307

la . Teorem a 9.4. Ib. Teorem a 9.2.

le. Teorem a 9.3. 3a.3 6

2 _ 4 '

3b. ^ - 4 3c.2 X Y

1 v/3 3 _ M Ñ '

A ß GH3d. — = — .

EF CD

a c5a. Si ad j=- be, entonces - i=

b d7. $70. 9. 67.5, 112.5.

11. 12 j x 17¿. 13. 3, 5. Solución de problemas1. 128 pies NS, 133 pies EW.

32 pies2. NS: -

x pies 32 pies; EW: -

y pies

la . V erdadero. Ib. Verdadero.le . V erdadero. Id. Falso, le. Verdadero.lf. Falso. 3. 2§. 5. 2.4. 7. 10.9. Teorem a 9.6. 11. 6 ,24 . 13. 42 cm.

15. 7 i 10f,Solución de problemas iy ,

páginas 314 y 315

1.5.7.9.

n .

13.

15.

Sí. 3. No.L I £ L F , L J s L J ' , L H £ LH' .6 f, lO fL A ^ L A , L A D E ^ L B , / A E D ^ L C ;úsese la definición de polígonos semejantes.AD A E DE 1-----= ------= — = - ; ¿ ADE £ ¿ ABC,A B A C BC 3L A E D £ L A C B , L A £ L A .H ágase la hipotenusa de 2 unidades delargo.

AD AEL A D E ~ A ABC, AA; ■

ABAD

A C AD + DB

A E '

A B A C ’ A E + EC

ADE C DB

AE EC Â Ë ’

13, 4 s + 1,41.

19 mm 76 mm 19 mm 79 mm

3. A proxim adam ente $7000.

DB1 + — = 1 +

A D A E ADSolución de problemas

páginas 318 a 321

1. A X Y Z . 3. A Y Z X .5. C ada uno contiene dos pares de ángulos

congruentes.7. 10. 9. 3f.

11. N o , ángulos agudos diferentes.13. Sí, AAA.15. L A L B ^ L A ' L B 1, L B ' £ LB.17. L 3 £ L 4 , ángulos verticales;

A A B C ~ AEDC , teorem a 9.8.19. A AED = L C E B , ángulos verticales L E B C

£ ¿ E D A , ángulos alteraos internos; A A.

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Page 588: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 577

21. L B ^ L E , m L B G A = m L E H D = 90,L B G A = L EHD: A BGA ~ AEHD, AA;úsese la definición de triángulos semejantes.

23. Fórm ense paralelogram os; L E s L E H Y ,ángulos opuestos; L H N Y , A A.

25a. A R 3 Z.R; AA.25b. RS || V V , L R ^ L V U T , L \ 3 ¿ 2 ; AA.27. m L BAD = m L F E H , m itades de ángulos

iguales; A,ABD - A EFH, AA.29. Trácese BG intersecando a CF en H; úsese

el teorem a fundam ental de laBC B H B H EF

proporcionalidad = -----y ------ = — :1 1 CD HG H G FGúsese la propiedad transitiva.

31. A A F C ~ A AEB, A B D A ~ ABFC,A F F C BD DA

A CDA ~ A C E B ; ----- = — , — = — -,A E EB BF FC

CE _ EB

y C D ~ ~ D A ’A F BD CE _ F C DA EB _ ]

A E B F ' CD ~ E B F C D A ~

33. A A C B - A A B D , AA- ^ C- =AB

ABAD'

Solución de problemas

x A B 20 A B1. = -------; A ' B ' = --------- .

20 A ' B ' x2. Se duplica A 'B ' .

páginas 324 y 325

15.19.

1. 6. 3. 2x/5 . 5. AD y DB.7. A B y AD. 9. 6. 11. 16. 13. 15.

f§ 17. 2.EG = 12; H E = 6 ^ 5 ; 72v /5. 21. |

23. En A CDA, B D 2 = B C ■ BA,BD = y j B C - B A . En A A DE,DF2 = A F FÉ, DF = J A F - F E ;BD ■ DF = ^ B C ■ BA • A F ■ FE.BC A B BC + A B A B + AC

AB ~ A C ’ A B ~ A C ’AC A C + C D

A B ~ AC '

Solución de problemasA F + C X A F C X

“ C X ’X B C X

X B 1A F C X C X A F 2 = A F C X + C X 2; C X 2 = C X ■ X B + X B 1, C X 2 = A F - A F CX, sumar; 2 C X 2 = 2A F XB. Usese el teorem a de Pitágoras, 2C X 2 = E X 2, 2 A F 2 = A E 2, 2X S 2 = X Y 2,A E 2 ■ X Y 2 = 2 A F 2 ■ 2 X B 1 = 4A F 2 X B 2 o A E- X Y = 2 A F X B . E X 2 = A E - X Y , sustitución.

páginas 328 y 329

1.7.

9.

11.

Sí, LLL. 3. No. 5. fL D O C s L A O B , ángulos verticales;L C A B = L D C A . ángulos alternosinteriores; A A.J K K L k K L K I------= ------ = f-------= -------. / K ^ L M :N M M P j M P M OA K J l ~ AAÍiVO, L A L semejanza; partesproporcionales.

A •

F

A B _ 5 AC ~DE ~ To’ ~EF ~ 6’ no son triángulos semejantes.

13. F

c

B DA A B C y A DEF son triángulos isósceles

con L B = L E

(180 — m L E )

con L B 3 L E; — — - = m L A ;

= m L D ; A A B C ~ A DEF,

AA.Solución de problemas Algunas respuestas posibles son: pentágono ABC DE ~ A'B'C'D'E';

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Page 589: Geometria - Clemens

578 R espuestas se lecc ionadas

estrella con los puntos ABCDE ~ estrella con los puntos A'B'C'D'E'; triángulo obtusángulo,A A 'B ~ A'BB'Btriángulo acutángulo, AE'B ~ A'A"B'; triángulo isósceles, A E ' A ~ A A ' B " ,A E B ~ A 'E’B', C'CD ~ C'D"D'\ rom bo,AB C'E ~ E ’A'C"D'\ trapecio isósceles,ABC'D' ~ E'A'C'D" , A B C E ~ A'B'C'E'.

páginas 332 y 333

1. f , f , | 3. 0.2924. 5. 0.3839.7. 0.7002, 9. 37°. 11. 17°. 13. 4°.

15. 10sen40° = 6.4. 17. 2 5 ,2 4 ,^19. 53°, 37°. 21. 35.7 m. 23. 0.42 cm.

DCSolución de problemas tan 40° =

200 + B C ’DC

tan 60° = — ; 325.5 m. BC

página 335

1. 4 . 3.. - . v"3. 5. - .2 v 2

„ 1 , J l r9. 11. V 3 . 13. 30°.

v /3 315. 2 sen 30° = 2(|) = 1;

2 sen 30° eos 30° = 2( ^ ( ^ ) = ^ ;

sen (2-30°) = sen 60° = ^ ;2

2 sen A eos A = sen 2A.

17. tan 2(30°) = tan 60° = ^ 3 ; 2 tan 30° =

, n/3 2 ^ 32 tan 30

7 — (tan 30)21 -

= v /3;

tan 2 A =2 ta n -4

1 — (tan A) 2 ‘

página 337 cap ítu lo 9 Resumen

la . Verdadero. Ib. Verdadero.le . Falso. Id. Verdadero, le. Verdadero.2a. 12 j 2b. 3 j 2c. 2 f 2d. 6.

A Ti QC'3. A A B C ~ ADCE , A A ; — = — .

DC CE4a. ^ 4b. 9. 4c. 9.5a. A 5b. 5c. f

6. 67.5 pies.7a. L E D F £ / £C fí, teorem a 5.8; /M .7b. Z. EFD = L BFA, ángulos verticales;

L D E F £ L A B F , teorem a 5.7; ,4.4.7c. L A ^ L C , ángulos opuestos;

L C E B & L A B F ; A A.

página 339 Técnicas para la solución de problemas

la . Recto. Ib. Sí. le . DF.Id. E F = C F , A F = 6.2. EF = 4.2. 3b. 90.

3c. m L C = 90,m ¿ 2 + m L 4 = 90, m L 1 + m L 3 = 90; m L l + m L 2 + m L 3 + m L 4 = 180; m L 1 + m L 2 + m L D E F = 180, m L 3 + m ¿ 4 + m L G F E = 180, sumar;180 + m L D E F + m L G F E = 360; L D E F y L GFE son suplementarios.

CAPITULO 10

páginas 344 y 345

1. AE, AD, BC, BE. 3. AE, BC, CD, AB.11. L C A D , L A C D , L C D A , L C D B , LA D B.13. L A O B , L B O F , L F O E , L E O B , L A O F .21. El arco m ás corto es la circunferencia

máxima.Solución de problemas3. Son los m ism os que los de la lista delnúm ero 1.

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Page 590: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 579

I. Sí, no. 3a. 90. 3b. 150. 3c. 270.3d. 2J0. 5a. 70. 5b. 50. 5c. 310.

7. A B £ EF, B C £ f G ^ C D £ DE.9. A B ^ C D , A C ^ B D . 11. Sí.

13. Fórm ense triángulos congruentes, LLL; ángulos centrales congruentes; definición de arco menor.

15. mEA + m A S = mAS + mSY; mEA = mSY.17. m A C B = mDAC;

tu DA + mAC^= mBC + mAC: mDA^= mBC;_DA = BC, teorem a 10.2; mA CB = mDBC; ^ m A C + mCB = mDB + mBC; m A C - mDB; A C = DB, teorem a 10.2; úsese el teorem a 8.4.

19. A SOR es isósceles, L ! £ L 3, Z 3 == / 4,L 1 £ L 2 , L 4 s Z12, transitiva.

Solución de problemas2. C uatro.

páginas 348 y 349

3. Prolongúese el segmento que une los centros de C¡ y C 2 hasta el pun to más lejano de cada círculo. Biséquese el segmento. Use el centro com o un nuevo radio.

páginas 352 y 353

1. 3, teorem a 10.3.

3. O M £ ON, teorem a 10.3; í = 152

5 . Teorem a 10.4.7. O X £ O Y, lados opuestos de ángulos

congruentes; teorem a 10.4.9. Teorem a 10.3,

11. A X O Z s A Y O Z , H A ; Ó X s O Y , P C T C C ;teorem a 10.4.

Solución de problemas Usese la figura de la página 533; cuerdas iguales son equidistantes del centro; trácese un segmento perpendicular desde el centro a cada cuerda; el segmento perpendicular interseca a la cuerda en su punto medio; empléense los triángulos congruentes p ara dem ostrar que los segmentos perpendiculares son radios iguales; radios iguales determ inan un círculo.

páginas 356 a 359

3. m A C = mCB, teorem a 10.6.5. Teorem a 10.6.7. Teorem a 10.5. 9. 5. 11. 3 cm.

13. O M 1 A B , teorem a 10.7;A O 2 = A M 2 + O M 2: 8

15. 2.

17. OB = 4; x = distancia; 4 = x^ /2: x = i j l .19. Trácense dos cuerdas del arco;

constrúyanse bisectrices perpendiculares para cada cuerda; la intersección da el centro. _

21. A B 1 X Y , CD ± X Y , teorem a 10.7; dos rectas perpendiculares a la m isma recta son paralelas.

23. Encuéntrese la distancia de O a AB, x 2 = 102 — 82,_x = 6; la distancia de F al punto medio CD tam bién es 6; 15.

25. L M O Q £ A M O P ; arcos congruentes tienen ángulos centrales congruentes.A X O M j ^ A Y O M , HA; P C T C , C _

27. A C £ BC, teorem a 10.2; O A £ OB; úsese el teorem a 6.10.

Solución de problemas DC = AC, DB = AB; LLL.

páginas 362 y 363

3. 39.5. P B 1 OB, PA 1 O A , teorem a 10.9;

PA || BO, P B || AO, teorem a 5.4;AO BP es un paralelogram o; O A = OB = 4;

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Page 591: Geometria - Clemens

580 R espuestas se lecc ionadas

la d o s o p u e s to s c o n g ru e n te s ;L P es u n á n g u lo rec to .

7. O A 1 A P , OB 1 BP, te o re m a 10.9;A O A P £ A OBP, H C ; P CTC C.

9. A PAO £ A PBO, HC; PA £ PB: AO £ OB;te o re m a 6 . 1 0 .

11. T rá c e se OB; 2 m L O C B + m L C O B = 180, 2 m L A O P + m L C O B = 180;L A O P £ LOCB ; te o re m a 5.1.

13. t i . m e n P, d a d o ; su p ó n g a s e q u e f, n o c o n tie n e a l c e n tro del c írcu lo ; trá c e se el ra d io del c e n tro 0 a l p u n to P; OP 1 m, te o re m a 10.9; h a y e x a c ta m e n te u n a r e c ta q u e p a s a p o r P p e rp e n d ic u la r a m; la re c ta t c o n tie n e al c e n tro del c írcu lo .

Solución de problemas U n a se D c o n e l p u n to de ta n g e n c ia so b re BC; m u é s tre se q u e lo s tre s tr iá n g u lo s so n c o n g ru e n te s p o r HC.

páginas 366 y 367

1. 5 cm . 3 . 10 cm . 5. 20.7. D e n o m ín e se x a la d is ta n c ia d e A al

c ircu lo ; y a la d is ta n c ia d e B a l c írcu lo ; z a la d is ta n c ia d e C a l c írcu lo ; x + y = 6 ; x + 2 = 10; y + z = 8 ; y = 2 , O X = 2. _

9. E es el p u n to d e in te rse c c ió n d e A B y CD; A E £ ED y B E £ C E ,A E 4- B E = £ D + C E.

11. Y = f V 3 + | = 1 . 0 2 5 .X = 2 Y + 3.X = 5.05.

Solución de problemas T rá c e s e u n a re c ta p e rp e n d ic u la r d e A a t q u e in te rse q u e a t en D;

A A D B es u n tr iá n g u lo 30 -60-90 c o n A B = ~ \ / 3 -

1. 25. 3. 65.5. m L A = 8 0 , m L B = 55, m L C = 45.7. 100, 120, 140. 9. 80. 13. 40.

15. 10. 17. 120. 19. 87.21a. 50. 21b. 40. 21c. 50. 21d. 80.23. L A E B y L C E D , vertica l; L A B E y L E C D

in te rc e p ta n a l m ism o a rc o ; L B A E y L E D C in te rc e p ta n a l m ism o arco .

25. m L E = m / D = 90; L A B E s z L C B D , á n g u lo s vertica les.

27. T rá c e se u n se g m e n to d e P al c e n tro del c írc u lo d a d o ; b iséq u ese el seg m en to ; úsese la m ita d d e e s te s e g m e n to c o m o ra d io , ú sese e l c e n tro c o m o p u n to m e d io del se g m e n to , c o n s trú y a se el c írcu lo ; lo s p u n to s d e in te rse c c ió n c o n el c írc u lo d a d o son p u n to s d e tan g en c ia .

29. S u m a d e lo s a rc o s in te rc e p ta d o s p o r vértices o p u e s to s = 360°; y - 360 = 180.

31. L o s á n g u lo s o p u e s to s so n c o n g ru e n te s y su p le m e n ta rio s .

33. L C A D = L A D B , á n g u lo s a lte rn o sin te rio re s ; á n g u lo s c o n g ru e n te s in sc rito s in te rc e p ta n a ta re o s c o n g ru e n te s . ^

35. AD = BC: mDA + m A B + m B C + mCD- 360; L A D C in te rc e p ta A B j i i á s BC,

L D A B in te rc e p ta a BC m á s CD; m L A D C + m L D A B = \ ( m A B + mBC ++ mBC + m C D )= _ 180j_¿ A D C y L D A B so n s u p le m e n ta r io s ; A B I! DC.

Solución de problemas M P d e l c írc u lo Q es c o n g ru e n te co n M N del c írc u lo O; m M P = m M N = t; L M A P e s un á n g u lo in sc rito , así q u e m L M A P = j , te o re m a 10.12.

páginas 376 y 377

1. 25. 3. 60. 5. 55, 110.7. 55, 55, 75, 50, 20. _ _9. O es la in te rse c c ió n d e A B y CD;

m L A O D = + mBC);m L A O C % (m A C ^+ mBD). ^ ____

11. 9Q=^j(mÁ¡l + mCb), 9 0 = j {mAE + mBC);m Á E + mCD = m X É + mBC.

Solución de problemas 36, 60, 84, 108, 132.

páginas 370 a 373

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Page 592: Geometria - Clemens

R espuestas se le cc io n a d a s 581

páginas 382 a 385

120. 3. 22b.1.9.

17.21.23.29.31.33.

5. 7.15.

3.85.

20 .

8. 11. 23. 13. 30.30. 19. 110, 100.62 = x(x + 9); x = 3; 62 = 4(4 + >■); y = 5. 40. 25. 20. 27. 70.No, L 1 y L 2 no son suplementarios.7 ,8 . _Sea X el punto de intersección de A B y £¿ los ángulos verticales en X son congruentes; los arcos m ayores son congruentes; los ángulos alternos interiores son congruentes.m L 3 = jy; m L 2 = m L P + m L 2 == m L 3, ángulo externo; m L P = | ( x — y).¿ P C B = L P D A ; los ángulos ___inscritos interceptan a AB: A,A PC B ~ A PDA, A A;PA PDP B ^ P C ’ P A P C = F B P D -

Solución de problemas

35.

37.

Se traza un rayo a partir de cada n roja a través de la n negra para cada entero 0, 1 ,2 ,..., 71. D ado que los num erales rojos m antienen un espacio de 10°, un num eral rojo n, 0 < n ^ 35, y una n roja + 36 designan al mismo punto. ¿Qué relación existe entre los núm eros n negros y los n + 36? El punto con n negra + 36 está 180° alrededor del círculo a partir del punto n. El resultado se desprende del teorem a 10.13.

5a. 60. 5b. _30. 5c. 75. 5d. 90.6. Trácese AC; L B A C s L D C A , arcos

m enores congruentes; ángulos alternosinteriores.

7a. 20. 7b. 110. 7c. 40. 7d. 70. 7e. 20.8a. 4. 8b. 24. 9. 17 cm.10. V'51- 12.

página 389 Resumen global capítulos 8 a 10

la . Verdadero. Ib. Falso, le . ' Verdadero. Id. Falso.2a. 4 ^ 2 . 2b. 4 ó 9. 2c. 2d. A A.

3. 144. 4a. 100. 4b. 50. 4c. 30. 4d. 80.

5. & A N B ~ A C N D , A A : — = — .N C ND

6. 40.7. A B = \ M P , DC = \ M P , BC = j Q N ,

AD = ±QN.Teorem a del segmento medio; DC = AB,AD = BC-, A BC D es un paralelogram o, lados opuestos congruentes; A B = AD = DC = BC dado que M P = ON.

CAPITULO 11páginas 396 y 397

3. No. 5. Postu lado del área.7. Triángulo con base 20, a ltu ra 7; rectángulo

con longitud 10, ancho 7.9. 630. 11. 6. 13. 3. 15. 3 j 17. 720.

19. 2 (3 2 -1 0 ^ /3 2 )-1 .1 = 31.1; 32 hojas.21. A{AACE) = A(AAGE);

A (A A H I ) + A(HIFG) + A(AFIE) == A(A A B I ) + A(BCDI) + A(AIDE); A (A A H I ) = A(AA Bl) , A (AFI E ) = A{AIDE); restar.

Solución de problemas no.

página 387 C a p itu ló lo Resumen p ág in asaoo y 401

l. Verdadero. 2. Falso. 3. Falso. 1- 147. 3. 90 f 5. 12.4. Verdadero. 7. 1 4 -1 ^ 3 = 35^/3.

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Page 593: Geometria - Clemens

582 R espuestas se lecc ionadas

9. 1 2 - ^ = 20n/ 3. 11. f

13. C uadruplicado. 15. Igual. 17. 13. Solución de problemas 1. Sí. 2. No.

páginas 404 a 407

1.7.

11.19.

21.

23.

25.

264. 5. 425.512^

30.

27.

29.

31.

33.

429. 3.198. 9.8.75. 13. 5 pies. 15. J .2 .5 ._ 1 7 .Sea h = distancia entre A B y C D ;A(AECD ) = \h ( A E + DC);A(EBCD) = x2h(EB + DC); A E = EB.A A B D y A BDC tienen la m isma altu ra y bases iguales, A D y CD.A(ABCD) = (h i + h2)AB; A (A C D X ) == \ h xAB; A ( A A B X ) = \ h 2AB;A ( A C D X + A A B X ) = \ h ^ A B + %h2A B == ^AB{hl + h2).A(ABAA ' ) = A(ACAA') , tienen la misma a ltu ra y bases iguales; sea H el centroide de A A B C ; A ( A B H A ’) = A ( A C H A ‘);A(AA H B) = A(AAHC), resta;A ( A B H C ) = A (A AH C') = A (AAHB') == A(ACHB') ;repítase el procedim iento con A(ABAB') = A(ACBB') como prim er paso. A(ABCD) = i¿h{AB + DC); A(AADE) == A{ABCD) + (A{ADCE) + A{AABE)); trácen se las perpendiculares de £ a DC y de £ a AB; longitudes de estas altu ras == %h; A{AADE) = $h{AB + DC) - - ( i ^hDC + \ \h AB ) = $h(AB + DC); \A(ABCD).Usese el ejercicio 25; sum a de áreas.

x j 2 = 3 — 2x; x = --------- —2 + %/2

En el triángulo 30-60-90, CG = —

A(ACFG) = ~ ~ 1 - ' f i

Solución de problemas

1. 2. v /3. 3.

1 =

V? 2 '

y/2. 5. A4 '

páginas 410 y 411

1. 102. 3. 104. 5. 72. 7.5 ^ 3

,2 5 ^ /3 .

9. 11, 484. 11. 20k.13. 20^/3 m, 5 0 ^ 3 m 2.15. 20v//3 pies, 5 pies.17. 2, 96; 5, 225; 10, 400; 15, 525; 20, 600;

25, 625; encerrar un cuadrado.Solución de problemas 10 + 2x//5 + N//2;4 + 3^/5 + 7 1 7 ;3x/ 2 + 2s/ l 0 + 2 ^ 5 + 2y / l3 .

páginas 414 y 415

1. 1:2. 3. 13:20. 5. 3:4.7. 200, 72; 25x + 9x = 272.

y z _ i / i y _ i

B C ~ 2 ’ [ y ~ 4 11. 2:1. 13. ^ 2 8 8 = 17.Solución de problemas 1:16.

páginas 418 y 419

1. Circunferencia.3. 3^, 3.14, 3.1416. 5. 3, 6n.7. 4, 8. 8. D iám etro.

11. 3Ó7c pulgadas2. 13. (32 + 4n) pies.15. (10 + 4?i)m. 17. 6 pies.Solución de problemas AD2 + OD2 = AO2;

9.

s2 . 4 s2 ^ Í 4 — s2OD2 = \ - - ; O D O D = -

CD = 1 — -; x 2 = CD2 + A D 2;

x 2 = 1 1 -s2V f s ^ 2

+ í 2,— 2 — s j 4 —

páginas 422 a 425

1. 4n, 7T3, 3n.

3. n, 9n, \n , —. 5.n

18n cm 2.

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Page 594: Geometria - Clemens

R espuestas se le cc io n a d a s 583

7.25tt

~24~cm 9a. 3.93 cm 2. 9b. 5.89 m 2.

9c. 13.08 pulgadas2. 11. 16:25.13. 2%/ 2 : v /5. 15. 9 - Jir.17. 9 - ln . 19. 1271 - 9^/3.

21. 21.5% ; ( 9 ~ 47f).9

23. i n g A B ) 2 - -H A B 2 + { ( n ^ A B ) 2) = \ n A B 2som breada; la fracción del círculo es 3-

1 ( a \ 2 1 / b \ 225. Teorem a de P itá g o ra s ,-71I - j + =

n , n n , 1 / c

= 8 (fl + f , ) = 8 ( c ) = r ( 2

27. >4,7 t / / l B \ 2 r c / A C V 7 t / B C \ 2

2 y 2 y 2 \ 2 J 2 \ 2 ) n((AC + BC)2 - A C 2 - BC2

^ =7 t y 4 C • B C

A L = -------------; A 2 = n

CD2 = A C • BC, A 2 =

% n A C B C

29. Area del cuadrado área de cuatro cuartos de círculo— área del círculo pequeño = área som breada; sea 2x = longitud de un lado del cuadrado; dibújese un triángulo 30-60-90 con vértice en el centro y longitudes x, x, x N/ 2; rad io del círculo pequeño = x v/2 - x; (2x )2 — n x 2 -— n(Xy/2 — x)2 = 4x2 — 4nx2 + 2 n x 2s¡2 \ razón del área som breada con el área

4del círculo = — 4 + 2 j 2 ó 10%.

nSolución de problemas =

página 427 Capitulo 11 Resumen

la . 5N/2 . Ib. 40. le . 5^/TT9. Id. 50.27 21J Ï

2a. 3. 2b. — . 3. 2:1. 4. —4 2

5. AD.

6. T riángulo 30-60-90, OB = 2, O A = 1,B A = ^ 3 ; n ■ 22 - f 3 • 2 ^ 3 = 4 n - 3 ^ /3 .

7 . 1:4. 8 . 471.

página 429 Repaso de álgebra

1. 24 cm 2. 3. 87.92 cm,5. 3658.77Î cm 3 ó 11 488.2 cm 3.7. h — 3.6 cm.9. /4 = 58.571 pulgadas2 o 183.69 pulgadas2.

11. - 2 , 3 . 13. - 2 . 15. - 3 , - 2 .17. 1 0 , - 9 . 19. ü 21. 2,3.23. 7900 yardas2. 25. 93.75 cm 2.27. 486 m m 2. 29. 2 m.

CAPITULO 12

páginas 436 a 439

1.5.7.9.

11.13.19.23.27.31.

33.

35.

37.

39.

b. 3. AB, BC, CD, DE , AE.A F B C _A F A B_A/vl_£, M-'DE, ¿\FDC.EF, H G , I J , L K , AB, DC.M isma. _EFGH, AE, BF, CG, DH.A D H E _ 15^ 5 ^ 17. 6.B H , A G, CE, DF. _152 + 82 = 289 = 172. 25. 2 ^ 3 3 .5V 3. 29. 6.A F , FC y A C son diagonales congruentes y form an la base de un triángulo equilátero; FB, CB y A B son aristas congruentes y form an aristas laterales congruentes.8; BDEA, ACFB, BDGC, ACHD, AFHE, BEGF, CFHG, DEGH.Las diagonales del paralelogram o A H G B se bisecan entre sí.En el paralelogram o ABGH, O es el punto m edio de AG y BH (Ejercicio 35); en el_ paralelogram o AC.GE, las diagonales A G y CE se intersecan en el punto medio; el pun to m edio de AG es O.Sea E la esquina interior; C A B E y ABDE son paralelogram os, definición; CE = ED = = 9^/2 , lados opuestos congruentes; sumar.

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Page 595: Geometria - Clemens

584 R espuestas .se leccionadas

Solución de problemas M étodo 1, 32; M étodo 2, J 5 4 4 = 23.3.

páginas 442 y 443

1. c. 3. 24. 5. 120. 7. 12 + 2 ^ 3 .9. 7 2 ^ 3 + ^ ^ 3 = 112.573.

11. 6 cm, 12 cm.

13. Determ ínese la arista, x 2 + ^ = c2,

c2 = - x 2; - x 2 + (2y f l ) 2 = a ltu ra2;

a ltu ra = cm.15. C ada m olde necesita 880 cm2,

880 cm 2 x 7 = 0.088 m 2,10000 cm 2

, x moldes 100 m 2----——— - = 1136 moldes.

0.088 m 2Solución de problemas1. M uévase el cubo de arriba de la derecha un espacio hacia adentro.2. M uévase el cubo inferior delantero de la esquina hacia a rrib a y hacia atrás.

páginas 446 y 447

1. 24 cm 3. 3. 64,6 cm 3. 5. 2 cubos.7. 42 cubos. 9. 60. 11. 4 3 2 , / í

13. O cho veces. 15. 102 cm 3. 17. 5 pies.19. y(8 pies)(30 pies + 14 pies) x 620 pies x

1 yarda3 $1.50x -- f - : ■ x ----- — r = $6062.22;

27 pies-3 yardas^$6062.22 x 1.1 = $6668.44.

Solución de problemas

A . r x 4'7-:L" y á i ' - 1 y 37 y 9 _ 333 _ l x ^ 2 — 1 X 8 X 2 — 1 6 —

= 20 .8 1 pies3.B. í x 5 x l ' x f ' x M , = W = 7 .0 3 pies3.C. * * v 9 ' _ 11 v 1 „ 9 _ 213 _

x 2 1 2 2 2 16 —= 13 .31 pies3.

D. l! V è! y3 2 : 5 = j f = 3.75 pies3.20.81 + 7.03 + 13.31 + 3.75 = 44.90 pies344.90 -=- 27 = 1.66 yardas3.

páginas 450 y 451

1. Verdadero. 3. Falso. 5. Falso.7. 2 6 f 9. 4583 |

11. 3 4 5 6 ^3 . 13. 9:4.15. i -6 4 - 8 — 1 -2 5 -5 = 129.17. 402 = 82 + h2; h = ^ 1 5 3 6 ; V = 2 ^1 5 3 6 ;

2 y i5 3 6

l h

, 1000( m - x - — 3-

1 m J

= 26.1 h.

1 minx --------x

50 £

60 m in Solución de problemas

p a r tes u p e r io r / '^ *

fren teVp a r te su p e rio r

fren te

□p a r te fren te su p e rio r

páginas 454 y 455

V '

1. 768tt unidades cuadradas, 28 807T unidades cúbicas.

3. 30071 unidades cuadradas, 6257c unidades cúbicas.

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Page 596: Geometria - Clemens

R espuestas se le cc io n a d a s 585

9. 512 - 12871 pulgadas3; 384 — 32jz + 64n pulgadas2.

11. r = radio de la lata; h = profundidad de la caja: volum en de las latas = 6nr2h; volumen de la caja = 24r2h; razón 4:n.

Solución de problemas + — pulgadas3;16 32

22871 9 9 J 5T 6 T ' l' s + ~ 8 ~ p u lg

páginas 458 y 459

1. 32(k;2007í. 3. 25n^ U 9 .. %5n_ 5> 6

7. 367t + 471^/10 cm 3.9. 871^/113 + 167^/165.

11. 0.001 pu lgadas3.

u2 V 1 3 + 4

Solución de problemas 1-4, 2-5, 3-3, 4-6, 5-1, 6 -2 .

páginas 466 y 467

1. Tetraedro regular; octaedro regular, icosaedro regular.

3. Los «tejados» no se juntan.5. Tetraedro. 13. Sí. 15. Sí.

Solución de problemas 1. 12. 2. 30.3. 30. 4. 20.

página 469 capítu lo 12 Resumen

1. 96 cm 2; 64 cm 3. 2a. 156 cm 2.2b. 72 + 12^/3 cm 2. 3a. ^ c m 3.3b. 32^/3 cm 3. 4. 607t cm 2.

5. 9071 cm 3. 6. 8. 7. 3671 cm 3.8. El volumen se duplica.9. 3 cm. 10. 400tt cm 2.

página 471 Técnicas para la solución de problemas

1. 7 veces. 2. 5 veces. 3. 3. 4. 23 min.

páginas 462 y 463

1. 97271 cm 3. 3. 5. 3. 7. J l .

11. 2287t unidades cúbicas. 13. 3 pies.15. Sea r = radio de la esfera; sea h = 2r; área

lateral = 2nrh = 2nr(2r) = 47tr2.17. 1:2.Solución de problemas Volumen de la esfera = = 9727i; determínese la a ltu ra del cilindro,92 = 32 + V ,/ii = 6 ^ / í , a ltu ra = 12^ / 2;volumen del cilindro = n ■ 9 • 12^/2 = lOSn^/í;h = 9 - 6 ^ / 2 = 0.515;volumen del casquete = 571:-9(0.515) ++ ¿7t(0.515)3 = 7.35; volumen del sólido == 972ti - 10871^2 - 2(7.35) = 2559 cm 2.

CAPITULO 13

páginas 478 y 479

la . A. Ib . D. le . I. Id. G.15. Las diagonales de un rom bo son bisectrices

perpendiculares en tre sí.17.

Trácese A'A, A B interseca a la recta de la base en D, A 'B interseca a la recta de la base en C; la intersección de AÍ> y Á C es

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Page 597: Geometria - Clemens

586 R espuestas se lecc ionadas

B'; es necesario m ostrar que B' es la reflexión de B sobre la recta de la base; A A 'F D £ A A F D , L A L ; A'D £ AD, ¿ F A ' D ^ I F A D , L A ' D F ^ L A D F , PCTCC, ¿-BDF £ LB'DF, ángulos verticales y suma; A A ' F C £ L A F C , LAL; A'C £ AC,PCTCC; A F A ' C £ ¿ F A C , PCTCC;L CA'D £ ¿L C-4£>, resta de ángulos;A C A 'D £ A C A D , LAL; L A ' C D - PCT CC; A B D A ^ A B ' D A , ALA; BD £ B'D, PCT CC; dado que L B D F £ LB'DF,L B D C £ LB 'D C, A B D G £ AB'DG, LAL; BG £ B'G, PC TC C; L B G D y A B'G D son ángulos rectos, congruentes y suplem entarios; BG _L CF; B' es la reflexión de B sobre CF.

19. Teorem a 13.1a.Solución de problemas

1. L a razón de que este m ensaje parezca tan extraño-es que se escribió usando un espejo.

2. N ueve + uno + ocho = dieciocho.

páginas 482 y 483

1. 31 103 13444 78 12261 59 12078 40 11899 22 121

3.

páginas 486 y 487

la . F . Ib . H. le . G. Id. E.

3.

7. p i.B Ex,7 Df7V

F

r , rX Y

Solución de problemas La región form ada por los cuadrados 1, 2 y 3 está som breada en y de su área. La región form ada p o r los cuadrados 4, 5 y6, está som breada en y de su área, etc. P o r tanto , está som breado j del total de la región.

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Page 598: Geometria - Clemens

15. U na m itad del ángulo de rotación. 17a.

Encuéntrese la intersección de las bisectrices perpendiculares de R F y W ; m L R O V = 95.

13.

1. E. 3.7.

páginas 490 a 493

• •X Y

T \ , R‘

17b. U na traslación a lo largo de x f de doble longitud que X Y.

13. N o es posible. 15. Círculo.17. Ejemplo: un pentágono regular.19. p y r.Solución de problemas G irar cada tarjeta 180°.

página 499 capítulo 13 Resumen

la . V erdadero. Ib. Verdadero.le . Verdadero. Id . Falso, le . Falso.2. H , X , / . 3. N, S y Z . 4. 8.5.

Solución de problemas1. 120°, 180°, 240°, 300°.2. 120°, 240°; 90=, 180°, 270°.

R espuestas se lecc ionadas 587

páginas 496 y 497

1. Sí. 3. Sí. 5. Sí. 7.

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Page 599: Geometria - Clemens

588 R espuestas se lecc ionadas

6.

m /-B O B ' = m L A O A ' = 57, ro tación en la dirección en que giran las manecillas del reloj.

página s o i Técnicas para la solución de problemas

1. Sí.2. PA + PC = P B cuando P está sobre AC.

P A + P B = PC cuando P está sobre AB.P B + P C = P A cuando P está sobre §C.

3. 2 ^ /J c m . 4. Intersección de diagonales.

CAPITULO 14

páginas 506 y 507

9. O btuso. 11. Recto. 17. (5,3).19. ( 3 ,- 3 ) . 21. (0,2).23. ( 3 , - 1 ) , ( - 3 , - 1 ) , (5,3).27. - 6 .Solución de problemas

1. (3 ,3 ^ 3 ); ( 3 , - 3 ^ 3 ) .2. (0,6), (6,6); (0, - 6), (6, - 6); (3,3), (3, - 3).3. Ejemplo: (1,4), (7,4).

páginas 510 y 511

la . ( f ,3). Ib. (2, - i ) , le . ( i - 2 ) .Id. ( - 2 ,0 ) . 3. (1,0). 5. ( - 5 , - 1 ) .7. (1 ,-1 ) .9- (1,4), (7, - i) , ( i —i), (-2,4),

paralelogram o.

11. ( - 2 ,8 ) . 13. ( 4 ,- 3 ) . 15. (7,6).17. ( - 1 , - ! ) .1Q f x i + x 2 y t + y 2\ ( 2 ( x x + x 2 ) 2(y, + y 2 )

• V 3 ’ 3 ) ’ { 3 ’ 3

Solución de problemas (2,2,2).

páginas 514 y 515

la . (13,2), (10,5); - 1 . Ib. (0,5), (8,10); f le. (13,2), (9,3); Id. (4,3), (9,3); 0. le . (4,0), (9,0); 0. lf . (2,4), (0,1); f lg . (0,5), (4,0); - | lh . (4,3), (10,5); i1 i. (4,3), (4,0); indefinido.3. - i 7. 1.9. EF, 0; FG, indefinido; G H , 0; H E ,

indefinido.11. A B , f , B C , - 2 ; CA, 5.13a. X Y , - i ; Y X J ) ; X Z , - j 13b. M ediana de X Y , indefinido; m ediana de

Z X , — ¿; m ediana de YZ, —j 15. i

17 1 ... y + 3 o _ > ' + 4 , / 2 4 122 x + 6 ’ X - 8 ’ \ 5 ’ 5

Solución de problemas Determ ínense las 1 v - 0

coordenadas de G, - = -— - , G(4,2), F (6 ,2);

1 y - 0determínense las coordenadas de K, - = --------- ,

2 1 0 - 0K(10,5), 7(15,5); determ ínense las coordenadas

de P ’ 2 = t ó ’ P(18’ 9)’ Aí(27,9); Pendiente de

— 1 — 1FJ = - ; pendiente de J N = - .

páginas 518 y 519

1. Sí.3. L a pendiente de la recta form ada po r (3,9)

y (7,5) es igual a la pendiente form ada po r (4, — 1) y (0,3), la pendiente de la recta form ada por (3,9) y (0,3) es igual a la pendiente de la recta form ada po r (7,5) y (4 ,-1 ) .

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Page 600: Geometria - Clemens

R espuestas se lecc ionadas 589

5. L a recta que contiene a los puntos (4,5) y (1, —3) es paralela a la recta que contiene a ( — 3,7) y ( — 6, — 1); la recta que contiene a(4,5) y ( —3, —7) es paralela a la recta quecontiene a (1, —3) y (—6, —1).

7. El p roducto de las pendientes de la recta que contiene a (7,9) y (10, —3) y la recta que contiene a (2, —5) y (10, —3) es — 1.

9. Paralelogram o, la recta que contiene a ( — 3, —3) y ( — 1, —7) es paralela a la recta que contiene a ( — 1, —2) y (1, —6); la recta que contiene a ( — 3, —3) y ( —1, —2) es paralela a la recta que contiene a ( — 1, — 7) y (1, —6); empléese el teorem a 14.2.

11. - 1 , - 5 , 1 ; 1, | , - 1 .13. | 15. - 8 . 17. C (^ ,0 ) . _19. Encuéntrese la pendiente de AD y CD;

empléese D(x, y); empléese la definición de pendiente doble para form ar dos ecuaciones; resuélvase; D(6, — 1).

Solución de problemas C(8,0); a ltu ra = 4;A = f 10-4 = 20.

páginas 522 y 523

1. 10. 3. i j í . 5. 2 7 T 3. 7. J T A .9. BC — A C = 5, isósceles. 11. Escaleno.

13. = J a? + y í s o 2; si.15. Definición de pendiente.17. P un to m edio (1,1); J 26 .19. ^ 3 4 + J ñ l # n/2 2 7 , no.21. 10 = 7 (1 - x )2 + (2 - 8)2;

100 = x 2 — 2x + 37; x = 9 ó —7.23. Pendiente de BC = i ; pendiente de A C =

= - 2 , BC_ ± ÁC; BC = 4 ^ 5 ,A C = 2^/5; 20.

25. Encuéntrense las bisectrices perpendiculares de dos segmentos; el pun to de intersección es (2,4).

27. El doble de la distancia de ( — 3,7) a (0, y) es igual a la distancia de (6 ,1) a (0, y);

y = 5 ó 13; (0,5),(0, 13).

Solución de problemas1. 4 ^ 3 .2. OP s / x S + y S + z S -

páginas 526 y 527

1. y = 2x + 3. 3. y = —| x + 5. 5. y - lOx - 4.

11. m = —2, b = 4. 13. m = §, b = —2.15. m = - | , b = | 17. y = 2x - 5.19. y = f x. 21. y = | x + |23. = |x . 25. >' = x. 27. y = 2.29. m = ¿ 31. m = f 33. (4,1).35. ^ 37. y = |x , y = - f x - 2.39. y = - x + 4. 41. y = — f x + 4.43. Fórm ese el triángulo 45-45-90; f J l .45. Grafiquese; los f de la distancia entre (0,0)

y el pun to medio (12,6) es (8,4).Solución de problemas Encuéntrese la intersección de la recta dada con la ecuación 3y = 4x + 11 dando (ff , 25)', úsese la fórm ula de la distancia, f

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Page 601: Geometria - Clemens

590 R espuestas se lecc ionadas

páginas 530 y 531

1. x 2 + y 2 = 25. 3. x 2 + y 2 = 36.5. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 36.7. (x - 5)2 + (y - 2)2 = 2.9. x 2 + O + 4)2 = 25.

11. (0,0); 6.13. ( -3 ,4 ) ; 5.15. (0,3); 2^/3.17. ( - 2 , - 4 ) ; 6.19. (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25.21. (x + l ) 2 + y 2 = 9.23. (x - l )2 + (y - 5)2 = 34.25. y = i * - i27. (x + 4)2 + (y .- 3) 2 = 16.29. Grafiquese; encuéntrese la ecuación del

rad io perpendicular a la recta tangente;resuélvase el sistema de dos ecuacionesp a ra el punto de intersección; (0,4);r = V lO ; (x - 1)

Solución de problemas(x - l)2 + (>• - 3)2 + (z - 2)2 = 35.

+ ( y - 7)2 = 10. x 2 + y 2 + z 2 = 48;

páginas 534 y 535

1-5. Las respuestas variarán.— b

7. Pendiente de A C = - ; pendiente dec

— b BD = — ;

c — 2aAD = y /(c - a)2 + b 2, A B = , / a 2,

y/ (c — a)2 + h2 = ^ / a 2, despéjese a, c2 - b 2

= -----------;2c— c

sustitución en la pendiente de BD; - .b

9. P u n to m edio de A B = pendiente de

A B = — 1; y = x contiene a (0,0).11. A C = J e 1 + b2; BD = V ( - c )2 + b2.

13. A C = V e 2 + b2; BD = J { c - 2 a f + b 2;J e 2 + b2 = y / c 2 - 4ac + 4a2 + b2,

encuéntrese c, c = a; dése nuevo nom bre a D(0,b), C(a, b).

15. En A A B C , A(0,0), B(2a, 0), C(2b, 2c); D(b, c) es pun to m edio de AC; E(b + a,c) es punto medio de BC; D E = = a; DE = jAB;pendiente de DE = 0, DE || AB.

Solución de problemas 5 caras.

página 537

1. yh o , 8)

( - 4 , 5 ) B

a2 > c +( - 6 , 3 )

( - 3 , 4 ) - -

3. \

7> i“1-7)V:(-2,5) _ fi (7,

/I

- l i l i(5, 2) 1/> (7

i l i i l i i l .i r l i ^ M r-rH—1—r*

5. y

1 - (6, 3)

+ (3. 3)Br-yDA*—¡C■H-+-H-

(6 ,6 )

(3 ,6)

Las longitudes de los lados de □ ABCD son 5 de la longitud de la magnificación.

7. Se «encoge» horizontalm ente y se «estira» verticalmente; igual

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R espuestas se lecc ionadas 591

X

página 539 Capítulo 14 Resumen

la . 2 7 1 3 . Ib. 10. Ic. 6. 2a. f 2b. 2c. 0. 3a. (3,5). 3b. (1,1).3c. ( - 1 , - 2 ) . 4. y = — 3x + 2.5. y = - f x + 4.6. L a recta que contiene a los puntos (5,7) y

(8, — 5) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos (0, — 7) y (8, — 5).

7. x = - ^ - 8. x = — 26.9. (2, - 3); 2^/6. 10^_ x 2 + y 2 = 25.

11. L a pendiente de .-4C es 1; la pendiente de BD es — 1;el p roducto de las pendientes es — 1.

12. W X = a; Y Z = a; la pendiente de W X es 0; la pendiente de Y Z es 0; W X || YZ; teorem a 5.8.

página 541 Resumen global Capítulos 11 a 14

1. 50 cm 2. 2. 12cm 2. 3. 4 V'3 cm 2.4. 4:1. 5. 54v/3 cm 2.6. 72 m 3. 7. 21 m 3.8. 150.72 cm 2. 9. 125.60 cm 2.

10. ( - 3 ,5 ) , ( - 5 , - 2 ) , (4,3).11. (4,2), ( - 3 ,7 ) , (1 ,-6 ) .12. y = x; y = —x + 6; y = 3, x = 3.13. ( - 2 , - 6 ) .14. V/2 2 Í. 15. y = - | x - 3.

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Page 603: Geometria - Clemens

índice de materias

afirm ación de la hipótesis, 64 agrim ensura, 390, 391 álgebra, repasos de, 79, 299, 429 altura

de triángulos equiláteros, 242 isósceles, 242

de u n a pirám ide, 434 de u n paralelogram o, 399 de u n prism a, 435 de u n trapecio, 403 de un triángulo, 199 inclinada

de un cono, 456 de una pirám ide, 441

ángulo(s), 17 agudo, 2 1

alternos exteriores, 171alternos interiores, 171bisectriz de un, 24central, 343com plem entarios, 144congruentes, 2 0

construcción de, 2 1

correspondientes, 171de un polígono, 292, 293de un triángulo, 44, 154, 208, 209exteriores de un polígono, 293exteriores de un triángulo, 154, 209inscrito, 343in terio r de un, 17interiores no contiguos, 154, 209lados del, 17m edida de, 2 0

m edida en g rados de, 20, 73obtuso, 2 1

p a r lineal de, 144recto , 2 1

resta de iguales, 138,139 sum a de iguales, 138 suplem entarios, 144 trisección de, con tomahawk, 362, 363 verticales, 150 vértice del, 17

apotem a, 408 arco(s), 343

congruentes, 347-

interceptado, 343, 368 longitud de, 417 m ayor, 346m edida en grados de, 346, 347 m enor, 346

áreade conos, 456, 457 de esferas, 461 de paralelogram os, 398, 399 de pirám ides, 441 de polígonos

regulares, 408, 409 semejantes, 412, 413

de prism as, 440, 441 de rectángulos, 395 de regiones poligonales, 394 de trapecios, 403 de triángulos, 402, 403 de un cilindro, 453 de un círculo, 420, 421

arista, 434 lateral

de una pirám ide, 434 de un prism a, 435

arquitectura , 126, 300

base(s),ángulos base de un triángulo isósceles, 2 0 2

de conos, 456 de cilindros, 452 de paralelogram os, 399 de pirám ides, 434 de prism as, 435 de trapecios, 261 de triángulos, 402

bisectriz de una cuerda, 354, 355 de un ángulo, 24, 148 de un segm ento, 24 perpendicular, 29, 142, 217

Bolyai, János, 181

cadena, regla de la, 65 cara, 434

lateral de una pirám ide, 434

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Page 604: Geometria - Clemens

594 Ind ice de m a te rias

de un prism a, 435 cardioide, 352, 359, 373 centro

de ro tación, 488 de una esfera, 460 de un círculo, 17 de un polígono, 408

centro ide de un triángulo, 242 cilindro, 452, 453

área de un, 453 bases de un, 452 eje de un, 452, 453 recto, 452volum en del, 452, 453

círculo(s), 17, 341 ángulo central del, 343 ángulo inscrito en un, 343 ángulos form ados po r cuerdas del, 374, 375 ángulos form ados po r secantes del, 379 ángulos form ados p o r tangentes a, 378 ángulos form ados p o r tangente y cuerda del, 375 ángulos form ados p o r tangente y secante del, 379 arco de un, 343 a rco m ayor del, 346 arco m enor del, 346

área de un 420, 421 centro del, 17circunferencia del, 416, 417 circunscrito, 238 congruentes, 347 cuerda del, 342 diám etro del, 17, 342 ecuación de!, 528, 529 inscrito, 238 m áxim o, 460 rad io del, 17, 342 secante del, 343 sector del, 421segm entos form ados p o r tangente y secante del, 380,

381tangente al, 343, 361-65

com eta, 115, 207 com pás, 2 1

conclusión, 56 congruencia entre

ángulos, 2 0

arcos, 347 círculos, 347 cuerdas, 347, 350, 351 partes de triángulos, 1 1 0 , 1 1 1

segm entos, 2 0

triángulos, 84, 85, 90, 91 cónicas, 534 conjuntos, 16 cono, 456, 457

a ltu ra inclinada del, 456 área de un, 456, 457 base del, 456 circular, 456 eje del, 456, 457 recto, 456 vértice de un, 456 volum en del, 457

construcción(es), 2 1

con hojas de plástico, 30 de altu ras de un triángulo, 241 de ángulos, 2 1

de bisectrices de los ángulos de un triángulo, 241 de bisectrices perpendiculares de los lados de un

triángulo, 240 de bisectriz de ángulos, 25 de bisectriz perpendicular, 25 de círculo circunscrito, 240, 328 de cuadrados, 31de la im agen de reflexión, 478, 479, 487 de la im agen de ro tación, 490 de m edianas de un triángulo, 241 de perpendiculares a una recta a través de un pun to

d ad o que no está sobre la recta, 29 de perpendiculares a una rec ta a través de un pun to

dado sobre la recta, 29 de polígonos

regulares, 34 sem ejantes, 314

de rectángulo áureo, 301 de rectángulos, 30, 263 de rectas paralelas, 178 de rom bos, 263 de segm entos, 2 1

de un paralelogram o, 263 de un pen tágono regular, 274 de un segm ento dividido en segm entos congruentes,

23de un trapecio, 263 de un triángulo, 31, 8 8 , 94

contraejem plo, 48, 49 contrapositiva, 60 conversa, 91 coordenadas

de un pun to en una recta, 74 de un p u n to en un p lano, 505

coordenada x, 505

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Page 605: Geometria - Clemens

Ind ice de m a te rias 595

coordenada y, 505 cruce

en x , 527 en y, 524

cuadrado(s), 261 dividido en partes congruentes, 103 en un sistem a de coordenadas, 507 líneas de sim etría de un, 496 p ropiedades del, 285

cuadrilátero , 17, 32, 260 cubo, 464

en un sistem a tridim ensional de coordenadas, 511.523

m odelo de un, 464, 467 secciones transversales del, 269, 275

cuerda(s), 342 bisectriz perpendicular de una, 354, 355 congruentes, 347, 350, 351 longitud de una, 381

deltaedro, 442 deltoide, 384, 385 D escartes, René, 505 desigualdades

entre núm eros, 514 en tre triángulos, 45, 244, 248, 249

diagonal de un polígono, 32 d iám etro de un círculo, 17, 342 diseño interior, 40 distancia

de un pun to a una recta, 29 en tre dos puntos, 72 fórm ula de la, 520

dom o geodésico, 126, 202

ecuación del círculo, 528, 529 de la recta, 524

ejede u n cono, 456, 457 de un cilindro, 452, 453

elipse, 530, 534 «entre»

puntos, 12, 72 rayos, 73

Eratóstenes, 35 esfera, 460, 461

área d e la superficie de una, 461 centro de una, 460

circunferencia m áxim a de una, 460 en un sistem a de coordenadas, 531 rad io de una, 460 volumen de una, 460

espacio, 11Euler, fórm ula de, 467 extrem o

de un rayo, 16 de un segm ento, 16

figura(s) espacial, 16 p lana, 16 rígidas, 119

G auss, K arl Friedrich, 181 generalización, 44

falsa, 48, 49 geom etría en nuestro m undo,

agrim ensura, 390, 391 arquitectura, 126, 127, 300, 301 diseño interior, 40, 41 fotografía, 80, 81gráficas p o r com putador, 256, 257, 430, 431 m ineralogía, 194, 195 navegación, 472, 473

geom etría no euclídiana, 181 gráfica

de una recta, 524 de un círculo, 528, 529 p o r com putador, 256, 430

heptágono, 32 H erón , fórm ula de, 452 hexadiam ante, 108 hexágono, 32

líneas de sim etría de un hexágono regular, 496 hipérbola, 534 hipotenusa, 199 hipótesis, 56

ilusiones ópticas, 136 im agen, 476 interior

de un ángulo, 17 de un polígono, 32

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596 Ind ice de m a te rias

intersección d e conjuntos, 16 de planos, 68 de rectas, 13

inversa, 60

lados de un ángulo, 17 de un polígono, 32 de un triángulo, 1 7

línea de sim etría, 494 línea o recta auxiliar, 157 Lobachevsky, N icolai Ivanovitch, 181 locus o lugar geom étrico, 142, 148, 152 longitud de un segm ento, 20, 72

m edia geom étrica, 322 m edianas

de triángulos equiláteros, 242 isósceles, 242

m edida en grados de u n ángulo, 20 de un arco, 346, 347

m ineralogía, 194modus ponens (véase afirmación de la hipótesis) modus tollens (véase negación de la conclusión) m ultiplicación de iguales, 138

navegación, 472 negación de la conclusión, 65 núm eros

hexagonales, 137reales, propiedades de los, 130, 154

octágono, 32 origen, 504

paralelepípedo, 437 paralelogram o(s), 2 6 1

a ltu ra de un, 399 área de un, 398, 399 base de un, 399 diagonales de un, 267, 282 en un sistem a de coordenadas, 507 propiedades del, 264, 265

pantógrafo, 308, 310 parábo la , 534 p a r lineal de ángulos, 144 Pascal, triángulo de, 51 pendiente

de rectas paralelas, 517 de rectas perpendiculares, 516 de una recta, 512, 513

pentágono, 32 líneas de sim etría de un pentágono regular, 4 9 6

pentam inós, 94, 98, 102, 114 perím etro, 408 i

d e polígonos sem ejantes, 412, 413 pi (n), 417 pirámide(s), 434

altu ra de una, 434 altu ra inclinada de, 434 área de una, 441 arista de la base de una, 434 a rista lateral de una, 434 m odelos de, 439, 450 regular, 434 vértice de una, 434 volum en de una, 448, 449

P itágoras, teorem a de, 226 plano(s)

figura de un, 16 intersección de, 68 paralelos, 170 perpendiculares, 28

poliedro(s), 434 caras de un, 434m odelos de, 99, 219, 234, 439, 446, 450, 466, 467 regulares, 464,465

polígono(s), 32 alrededor de puntos, colocación de, 280, 2 9 2

ángulos de, 292, 293 ángulos exteriores de un, 293 áreas de polígonos sem ejantes, 412, 413 cen tro de un, 408con form a de estrella, 345, 374, 376, 377 convexo, 32 de n lados, 32 d iagonal de un, 32 in terio r de un, 32 lados de un, 32

polígono regular, 33 apo tem a de un, 408 área de un, 408, 409 cen tro de un, 408 en espejos, 478

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Page 607: Geometria - Clemens

Ind ice de m a te rias 597

postulado(s), 52, 68 de Cavalieri, 445 de la sum a de arcos, 346 d e la sum a de áreas, 395 de la sum a de regiones congruentes, 3 9 5

de la sum a de volúmenes, 445 de la congruencia

ALA, 91 LAL, 91 LLL, 91

de la desigualdad del triángulo, 2 4 4

de la existencia de puntos, 68 de la intersección de planos, 68 del área, 394

del rectángulo, 394 de la regla, 72 de la sem ejanza AAA, 316 de la separación del espacio, 69 de la separación de planos, 69 de las paralelas, 180 de las perpendiculares, 69 de los dos puntos, la recta y el p lano, 69 del p a r lineal, 146 del pun to y el p lano, 68 del p u n to y la recta, 68 del tran sp o rtad o r, 73 del volum en, 444

de un sólido rectangular, 444 preim agen, 476principio de la sustitución, 138 prisma(s), 435

a ltu ra de un, 435 á rea de un, 440, 441 aristas laterales de, 435 base de un, 435 caras laterales de, 435 m odelos de, 446 recto, 435volum en de un, 444, 445

p rop iedades) ad itiva de las desigualdades, 1 5 4

de los núm eros, 130, 138, 154 de m ultiplicación de las desigualdades, 1 5 4

de tricotom ía, 154 reflexiva, 130 sim étrica, 130 transitiva, 130

d e las desigualdades, 154 proporciones, 304, 305

en m odelos a escala, 307, 313 en polígonos sem ejantes, 312, 313 ,412 ,413

productos de, 307 proposiciones

equivalentes, 61 si-entonces, 56, 57 si-entonces verdadera, 57, 60, 61 si, y sólo si, 6 1

prueba(s), a dos colum nas, 96 afirm ación de la hipótesis, 96 con el uso de coordenadas, 532, 533 con el uso de definiciones, 100, 101, 104

105con el uso de postu lados, 90, 91, 104, 105 indirecta, 158, 159 pasos p a ra una, 130-33, 158, 159

p u n to m edio de un segm ento, 2 4

coordenadas del, 508 punto(s), 10, 12

«entre», 12, 72 colineales, 13 coordenada(s) de, 74, 505 coplanares, 13 d istancia entre, 72, 520 n o colineales, 13 n o coplanares, 13

radiode un circulo, 17, 342 de una esfera, 460

rayo, 16 razón

de la tangente, 330 del coseno, 330 del seno, 330

razonam iento, afirm ación de la hipótesis, 64, 96 deductivo, 52, 53 inductivo, 44, 45 negación de la conclusión, 65 regla de la cadena, 65

razones trigonom étricas, 330, 331 identidades, 332p a ra ángulos especiales, 334, 335 tab la de valores, 331

rectángulo(s), 2 6 1

área de un, 395 áureo, 300, 324en u n sistem a de coordenadas, 507 líneas de sim etría de, 496 propiedades del, 282, 283

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Page 608: Geometria - Clemens

598 Ind ice de m a te rias

recta(s), 13 alabeadas, 170 auxiliares, 157 concurrentes, 13, 236-39

en un triángulo , 236-39 ecuación de la, 524 intersección, 13 para le la a un p lano, 170 paralelas, 13, 174, 175 pendiente de una, 512, 513 perpendiculares, 28

a un p lano, 28 reflexión(es), 476

con ho jas de plástico, 476, 478 de ángulos, 477 de segm entos, 477en un sistem a de coordenadas, 510, 514, 518 p ara la solución de problem as 480, 481 reflexión de una, 485, 489

región poligonal, 394 resta de iguales, 138 rom bo(s), 261

líneas de sim etría de un, 496 propiedades del, 283

rotación(es), 488, 489 com o reflexión oe una reflexión, 489

secante, 343 sección

áurea, 149 transversal, 445

sector de un círculo, 421 segmento(s), 16

bisectriz de un, 24bisectriz perpendicular de un, 29, 142, 217 congruentes, 20 construcción de, 21divididos en segm entos congruentes, 23, 286 longitud de un, 20, 72 p u n to m edio de un, 24, 508 resta de iguales, 139 secante, 380 sum a de iguales, 139 tangente, 380

semiespacío, 69 sem iplano, 69 sim etría, 194, 195, 494, 495

cen tro de, 495 línea de 494líneas de, en polígonos, 496

reflexiva, 494 ro tacional, 495

sistem a de coordenadas, 504, 505 origen del, 504 polares, 522tridim ensional, 515, 523, 531

sólidos, 434 rectangulares, 444

subconjunto , 16 superficie (o área)

de cilindros, 453 de conos, 457 de esferas, 461 de pirám ides, 441 de prism as, 440, 441

sum a de iguales, 138

tangente a un círculo, 349 T angram , rom pecabezas, 7, 268 técnicas p a ra la solución de problem as,

d ibu jar un d iagram a, 39 exam inar casos especiales, 501 hacer una tab la I, 167 hacer una tab la II, 223 hacer un d ibu jo preciso, 471 trab a ja r hacia a trás, 339

teodolito , 390 teorem a, 52

de la h ipotenusa y el ángulo , 213 de la h ipotenusa y el cateto, 216 de la semejanza

AA, 316 LAL, 327 LLL, 326

de los ángulos verticales, 150 de los com plem entos congruentes, 145 de los suplem entos congruentes, 146 del ángu lo exterior, 154 del segm ento m edio, 276 de P itágoras, 226fundam ental de la proporcionalidad , 308 LAA, 212pasos p a ra dem ostrar un, 130-33

uso de la p rueba indirecta, 158, 159 térm inos indefinidos, 10, 11, 52 teselados, 40 trapecio(s), 261

altu ra de un, 403 área de un, 403 bases de un, 261 isósceles, 289

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Ind ice de m a te rias 599

propiedades del, 288, 289 transformación(es), 476-95

en u n sistem a de coordenadas, 536 im agen de una, 476 preim agen de una, 476 reflexión, 476, 477 ro tación, 488, 489 traslación, 484, 485

tran spo rtado r, 22 transversal, 171, 174 triángulo(s), 17

acutángulo, 198 altu ra de un, 199 ángulos exteriores de un, 154, 209 ángulos interiores no contiguos de un, 154 área de un, 402, 403 bisectrices de los ángulos de un, 45, 237 centro ide de un, 242 congruentes, 84, 85, 90, 91dem ostración de congruencia entre, 96, 97, 104, 105,

110, 111, 116, 117, 120, 121 desigualdades del, 45, 244, 248, 249 equiángulo, 199, 203 equilátero, 33, 198, 203, 209 en un sistem a de coordenadas, 507 m edida de los ángulos de un, 209

escaleno, 198 isósceles, 33,198, 202, 203

propiedades del, 132, 202, 203 lados de un, 17 m edianas de, 239 ob tusángulo , 199 partes congruentes de, 110, 111

partes correspondientes de, 85 rectángulo, 199, 226, 227

cateros de un, 199 45°-45°-90°, 232, 233 h ipotenusa de un, 199 m edias geom étricas d e un, 322, 323 sem ejantes, 316, 317, 322, 323 teorem as de congruencia para , 213, 216 30°-60“-90°, 232, 233

semejantes, 316, 317, 326, 327 sum a de la m edida de los ángulos de un, 44, 208 teorem as de concurrencia de, 236-39 30°-60°-90°, 232, 233 vértices de un, 17

unidades cuadradas, 261 unión de conjuntos, 16

vértice(s) de un ángulo , 17 de una pirám ide, 434 de un cono, 456 de un polígono, 32 de un triángulo, 17

volum en, 444de una esfera, 460 de una pirám ide, 448, 449 de un cono, 457 de un cilindro, 453 de un prism a, 444, 445

GEOMETRIA

S e terminó de imprimir en abril de 1998 en los talleres d e Lasna Grafhic, S.A. de C.V.

Mixcoatl No. 452 Col. Santa Isabel Tola C.P. 07010 México, D.F.

S e imprimieron 3 000 ejemplares

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2 ar. izq.

ar. cent ab. izq.

3 ar. izq. ar. der. ab. izq. ab. der.

91417 ar. cent33 ab. der.4344

48

... ab.

5053566465 ar., ab.8384 104 118 126 ar.

ab.

129130 143

150158

162

169170 181194 ar. 197 202 225 236 244 256 ar.

Lick O bservatory/U niversity of CaliforniaG ran t H eilm an Photography G ran t Heil Photography G eorge B. F ry III*Jim G oldberg*G eorge B. F ry III*Rene B urri/M agnum P hotos R obert A. Isaacs G eorge B. F ry III*G eorge B. F ry III*G eorge B. F ry III*G eorge B. F ry III*B. C. con perm iso de Johnny H art y

Field Enterprises © copyright, 1980, Universal Press

Syndicate. T odos los derechos reservados

H ale O bservatories© 1961 U nited F eatu re Syndicate, Inc. © 1961 U nited F eatu re Syndicate, Inc. © 1961 U nited Feature Syndicate, Inc. © 1971 U nited Feature Syndicate! Inc. Rene B urri/M agnum Photos C ortesia de G eneral M otors © 1980 U nited Feature Syndicate, Inc. B aron W olm an*T om Stack/Tom Stack & Associates Roger B. Sm ith /E ditorial P ho tocolor

Archives, Inc.R obert A. Isaacs© 1958 U nited Feature Syndicate Games and Puzzles, N um . 46 (m arzo 1976), con perm iso de EduGam es (U.K.) Ltd.Samuel C ham berlain B. C. con perm iso de Johnny H art

and Field Enterprises C opyright © 1969 de M artin

G ardner, Reim preso con permiso de S IM O N & SC H U STER , una division de G u lf & W estern C orporation.

Robert A. Isaacs © 1979 Steve Finberg Culver Pictures© Lester V. Bergman & Associates Jim G oldberg*Rene B urri/M agnum Photos R obert A. Isaacs© L eonard Freed/M agnum Photos R obert A. Isaacs C ortesia de The Perkin-Elm er

C orporation

ab. i ab.

259290300

301, 303 304 ar. 307 ab.

¿12 izq.

der. 322, 325 330

341350, 351

369390 ar. izq.393403408416

433434 ar.

444460464 ar. izq.

ar. der.475476

479 ab . der.

484

494 ar., cent.503536

C ortesia de Applicon, Inc.Lockheed Missiles and Space

C om pany, Inc.Joseph W. M olitor B ureau of R eclam ation M ichos T zovoras/E ditorial

P ho toco lo r Archives, Inc.Joseph W. M olitor Bill P lum m er*C ortesia de LeRoy T rover and

Associates C hevrolet M otors D ivision, G eneral

M otors C orporation Lockheed-California C om pany G ra n t H eilm an Photography Julian E. C araballo /T om Stack &

Associates R obert A. Isaacs Illinois S tate U niversity P ho to

Services Phiz Mezey*Phiz Mezey*© 1979 Barrie Rokeach U.S. D epartm ent o f In terio r U.S. A ir ForceF o to cortesia de H ew lett-Packard

C om pany R obert A. IsaacsScala/E ditorial P ho tocolor Archives,

Inc.Baron W olm an*NASAD avid S charf/Peter A rnold Inc.Lester V. B ergm an & Associates R obert A. IsaacsD ibujo de W. Miller; © 1962, The

N ew Y orker M agazine, Inc.De M artin G ardner, The

Ambidextrous Universe. C opyright © 1979 de M artin G ard n er (Nueva York: Charles Scribner's Sons,1979) Reim preso con perm iso de Charles Scribner’s Sons.D ibujo de C harles A ddams; © 1957 T he N ew Y orker M agazine, Inc.

G eorge B. Fry III*R obert A. Isaacs R obert E. Shaw /U niversity of

C onnecticut

* Fotografías p roporcionadas expresam ente para el editor. Las dem ás fotografías son de W ayland Lee, de la p lantilla de Addison-W esley.

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G eom etría co n a p lic a c io n e s y s o lu c ió n de p ro b le m a s e s un te x to q u e d e s ta c a la re la c ió n e s tre c h a q u e e x is te e n tre lo s c o n c e p to s g e o m é tr ic o s y s u s a p l ic a c io ­n e s en el m u n d o q u e n o s ro d e a . Las id e a s en q u e se b a s a ro n lo s a u to re s p a ra re a liz a r e s ta o b ra so n :

La g e o m e tr ía s u rg e a p a r t ir d e la o b s e rv a c ió n de c o s a s s im p le s y re la c io ­n e s c o m u n e s .La c a p a c id a d d e re d a c ta r p ru e b a s d e b e d e s a rro lla rs e e m p e z a n d o c o n la s s itu a c io n e s m a s s e n c il la s .L o s e s tu d ia n te s d e g e o m e tr ía d e b e n d e s a r ro lla r su c a p a c id a d en e l m a r­c o d e l p e n s a m ie n to c r i t ic o , e l ra z o n a m ie n to ló g ic o y la re s o lu c ió n d e p ro ­b le m a s .El e s tu d io d e la g e o m e tr ía no d e b e a is la rs e d e l m u n d o n i d e o tra s á re a s d e la s m a te m á tic a s .

1

2 .

3.

4.

El te x to re s u lta p rá c t ic o p a ra e l e s tu d io d e la g e o m e tr ía p u e s su le n g u a je e s b re ­ve p e ro p re c is o , lo s e je rc ic io s e s tá n c la s if ic a d o s e n tre s n iv e le s d e d if ic u lta d , se in c lu y e la m a y o ría de la s re s p u e s ta s a lo s p ro b le m a s im p a re s y a l f in a l h a y ung lo s a r io d e té rm in o s .

El e s tu d io de e s ta o b ra h a rá q u e e l le c to r a u m e n te s u h a b ilid a d p a ra re s o lv e r p ro ­b le m a s y q u e ve a un m u n d o f í s ic o m á s c o m p re n s ib le .

O T R A S O B R A S DE IN T E R É S P U B L IC A D A S POR ADDISO N-W ESLEY IBERO AM ERICANA:

K EEDY/BITTINGER: Á lg e b ra y tr ig o n o m e tr ía (03879) ARIZM ENDI/CARRILLO/LARA: C á lcu lo , p r im e r c u rs o n ive l s u p e r io r (64020) TH O M A S /F IN N E Y: C á lc u lo co n g e o m e tría a n á lit ic a , s e x ta e d ic ió n

V o lu m e n 1: c a p í tu lo s 1 a 10 (64012)V o lu m e n 2: c a p í tu lo s 11 a 18 (64014)E d ic ió n c o m p le ta (64011)

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