Funciones de variables continuas

DISTRIBUCION GAMMA

DISTRIBUCION GAMMA

Integrantes:

Andres AcostaJosue AnaluisaCristina GomezJazmin Yambay

DISTRIBUCION GAMMAIntroduccion y Definicion Este modelo nos lleva a una función de densidad de

probabilidad cuyas variables aleatorias son no negativas y tienen distribuciones sesgadas hacia la derecha, es decir la mayor parte del área bajo la curva de la función, se encuentran cerca del origen y los valores de la función de densidad disminuyen gradualmente cuando x aumenta.

Objetivo

El objetivo fundamental del trabajo a presentar es analizar la denominada Función Gamma con su respectiva distribución de probabilidad o función de densidad, así como sus parámetros y las relaciones que esta función tiene con otras. Sólo así podremos comprender la verdadera importancia de la función Gamma, que básicamente es una función teórica

DISTRIBUCION GAMMA

DISTRIBUCION GAMMAOrigen y Autor

La distribución Gamma tiene su origen en la familia de curvas sesgadas propuestas por Karl Pearson. Uno de los primeros y más importantes trabajos del profesor Pearson fue su contribución al análisis de curvas sesgadas. La motivación del profesor Pearson nace al notar que ciertas medidas biológicas, sociológicas y económicas, existe una desviación de la forma normal y es importante la dirección y la cantidad de esa desviación.

DISTRIBUCION GAMMAFuncion Gamma Esta dada por:

La integral que define la función se le llama integral euleriana de segunda especie, siendo α>0

Esta función nos permite generar una constante a través de α.

DISTRIBUCION GAMMAPropiedades de la funcion gamma1. Esta función también se la puede representar como:

Demostracion:

Integrando por partes:

DISTRIBUCION GAMMA

Volviendo a integrar

Así sucesivamente

DISTRIBUCION GAMMAPropiedades de la funcion gamma 2. Cuando α es 1, entonces la función gamma también es 1

Demostración

3.

4.

DISTRIBUCION GAMMAfunción de distribución gamma La función de distribución gamma viene dado por:

Sin embargo, esta función no da 1 en la suma total de probabilidades. Esa es la razon por la cual debemos multiplicarlo por un constante k.

DISTRIBUCION GAMMADEMOSTRACIONSabemos que al integrar esta distribución debe dar 1.

Realizamos un cambio de variable

DISTRIBUCION GAMMADEMOSTRACION

La función gamma da la constante que hace que la suma de probabilidades de la gamma sea 1.

DISTRIBUCION GAMMASu funcion de densidad de probabilidad es:

Con parámetros:

β: parámetro de escala, β > 0α: parámetro de forma, α > 0

Valor esperado (media) Varianza

DISTRIBUCION GAMMADemostración de cómo surge la media y varianza

por el método de momentos.

DISTRIBUCION GAMMAFunción Generadora de Momentos

Valor Esperado

Varianza

DISTRIBUCION GAMMAPropiedadesLa distribución exponencial es una distribución gamma con α

=1.Si X1 es una gamma (α1,β) y X2 es una gamma (α2,β)

entonces Y=X1+X2 es una gamma (α1+ α2,β).Si X es una gamma (α,1) entonces βX es una gamma (α1,β),

para cualquier β>0.

Las dos primeras propiedades nos dicen que podemos generar valores de distribuciones gamma de valores grandes de α mediante convolución de valores de distribuciones gamma. La tercera propiedad nos dice que sólo es necesario desarrollar métodos de generación de variables aleatorias gamma con β=1. Una gamma(1,1) es una exponencial de media 1.

DISTRIBUCION GAMMA La distribución gama toma una variedad de formas

dependiendo del valor de α. Como se ilustra en la figura. Para β<1 la distribución es muy asimétrica con f(x) tendiendo a infinito a medida que x tiende a cero.

DISTRIBUCION GAMMAUsos y Aplicaciones

La distribución gamma se aplica a una gran diversidad de áreas, permitiéndonos una metodología en el marco de análisis de la biología y la ingeniería. Es una candidata popular para modelar procesos, dada su capacidad para asumir una amplia variedad de formas.Una elección frecuente, especialmente cuando se trata de representar datos de precipitación es la distribución gama. Muchas de estas variables atmosféricas son claramente asimétricas.

Es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera

DISTRIBUCION GAMMACasos Particulares1) La función exponencial es un caso particular de la

distribución gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtiene con = 1 en la distribución Gamma

2) Otro caso especial de la distribución gamma se obtiene si hacemos β=2 y α=n/2, en donde n es un entero positivo. La distribución resultante es la distribución ji-cuadrado, cuya densidad esta definida por:

x ,0

0 x,1

)(/

otro para

xe

xf

DISTRIBUCION GAMMAEjemplos

Suponga que las llamadas telefonicas que llegan a un conmutador particular siguen un proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas entrantes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra a lo mas un minuto hasta que lleguen 2 llamadas al conmutador?

α= 2, β= 1/5, x= 1 xxx exexexxf 52)5/1/(12

3/1 25

)2()5/1(

1

)(

1)(

1

0

525)1( dxexxP x xx exe 5551

0

96.0)1( xP

DISTRIBUCION GAMMAEl tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros =3, =2

a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

xxx exexexxf 52)5/1/(123

/1 25)2()5/1(

1

)(

1)(

8

0

2/2

16

1 -1 = 8) P(X - 1 = 8)>P(X dxex x

0

8))e (-22e(-2x 4e2x-

16

11 x/2-x/2-x/2-2

0.2381)8( xP

DISTRIBUCION GAMMAE[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2]E[X] = = 3(2) = 6E[X2] =

sustituya y = x/2 para usar la función Gamma

= 2(5) = 2(4!) = 48 E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares

dxxfx )(2

0

2/22

16

1dxexx x

0

2/4

16

1dxex x

0

4 )2()2(16

1dyey y

0

42 dyey y

DISTRIBUCION GAMMAConclusiones

Como hemos observado la funcion gamma lo que busca es una variable aleatoria que nos permite encontrar el tiempo que transcurre para la realizacion de un evento. Y queda demostrado que esta funcion da origen a muchas otras distribuciones siendo las mas representativas la esponencial y la chi-cuadrada.

Esta distribucion trata de predecir eventos poco probables, como las precipitaciones y probabilidad por tiempos de espera.