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    O ELITE RESOLVE UNIFESP 2007 CONHECIMENTOS GERAIS

    1

    MATEMTICA

    QUESTO 1 Entre os primeiros mil nmeros inteiros positivos, quantos so divisveis pelos nmeros 2, 3, 4 e 5? a) 60. b) 30. c) 20. d) 16. e) 15.

    Resoluo Alternativa D Os nmeros que so divisveis por 2, 3, 4 e 5, simultaneamente, so divisveis por 60, pois o mmc (2,3,4,5) = 60. Assim, os nmeros que so divisveis por 2, 3, 4 e 5, podem ser representados pela seqncia: (60,120,180, ..., 960) que um progresso aritmtica, de razo 60. Para encontrar o nmero de termos, temos: an = a1 + (n-1).r 960 = 60 + (n-1). 60 n = 16. Sendo assim, temos 16 nmeros, entre os mil primeiros nmeros inteiros, que so divisveis por 2, 3, 4 e 5. Uma outra maneira de encararmos a seqncia (60,120,180, ..., 960) (60.1, 60.2, 60.3, 60.4, ..., 60.16). Logo, temos 16 termos na seqncia. Como queramos verificar.

    QUESTO 2 Quatro nmeros complexos representam, no plano complexo, vrtices de um paralelogramo. Trs dos nmeros so z1 = 3 3i, z2 = 1 e z3 = 1 + (5/2)i. O quarto nmero tem as partes real e imaginria positivas. Esse nmero a) 2 + 3i. b) 3 + (11/2)i. c) 3 + 5i. d) 2 + (11/2)i. e) 4 + 5i.

    Resoluo Alternativa B Lembremos que as diagonais do paralelogramo se encontram no ponto mdio.

    z1

    z1

    z2

    z3

    z4

    M

    Seja z4 = x4 + y4.i

    De acordo com a figura 2 3 1 42 2m

    x x x xx + += =

    x2 + x3 = x1 + x4 -1 + 1 = -3 + x4 x4 = 3

    No eixo imaginrio: 2 3 1 42 2m

    y y y yy + += =

    y4 = y2 + y3 - y1 = 0 + 5/2 + 3 y4 = 11/2. Logo, z4 = x4 + y4.i = 3 + (11/2).i.

    QUESTO 3 Um comerciante comprou um produto com 25% de desconto sobre o preo do catlogo. Ele deseja marcar o preo de venda de modo que, dando um desconto de 25% sobre esse preo, ainda consiga um lucro de 30% sobre o custo. A porcentagem sobre o preo do catlogo que ele deve usar para marcar o preo de venda a) 110%. b) 120%. c) 130%. d) 135%. e) 140%.

    Resoluo Alternativa C Seja x o preo de compra, v o preo de venda, e y, o preo de catlogo do produto. Assim, pelo enunciado, temos que (I) x = 0,75.y, pois o preo de compra (x) obteve um desconto de 25% sobre preo de catlogo (y). Tambm temos, pelo enunciado, que (II) 0,75.v = 1,3.x, pois a inteno do comerciante , mesmo aplicando um desconto de 25% sobre o preo de venda (v), ainda assim, ter um lucro de 30% sobre o preo de compra (x). Substituindo x da equao I, na equao II, temos 0,75.v = 1,3.0,75.y v = 1,3.y. Podendo-se concluir que o preo de venda (v) 130% do preo de catlogo (y).

    QUESTO 4 Uma forma experimental de insulina est sendo injetada a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga presente no corpo. O grfico que melhor representa a quantidade Y da droga no organismo como funo do tempo t, em um perodo de 24 horas,

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    Resoluo Alternativa E

    Suponhamos que no incio desse experimento, tenha sido injetado uma quantidade x de insulina. Essa quantidade vai decrescendo at, aps 6 horas do incio, chegar a sua metade (x/2), quando ser colocada uma nova quantidade x de insulina, que resultar numa quantidade x + x/2 = 3x/2 de insulina no organismo. Essa quantidade

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    vai decrescendo at, aps 6 horas, chegar a sua metade (3x/4), quando ser colocada uma nova quantidade x de insulina, que resultar numa quantidade x + 3x/4 = 7x/4. E assim sucessivamente. Da, podemos concluir que as duas caractersticas principais que devem aparecer em um grfico desse experimento so: decrescimento nos intervalos de 6 horas, uma vez que a insulina vai diminuindo at chegar a sua metade, e, no incio de um novo intervalo deve-se haver mais insulina do que apresentado no incio do perodo anterior. O grfico da alternativa A no correto, pois nos intervalos de 6 horas, a quantidade no diminui. O grfico da alternativa B no correto, pois nos intervalos de 6 horas, a quantidade no diminui, ao contrrio ela aumenta. O grfico da alternativa C no correto, pois hora os intervalos apresentam crescimento, hora apresentam decrescimento. O grfico da alternativa D no correto, pois, apesar do decrescimento nos perodos de 6 horas, o grfico dessa alternativa mostra reduo a zero das taxas de insulina, e no metade, como dito no enunciado. Portanto, por excluso temos, a alternativa E, que apresenta todas as caractersticas essenciais apresentadas no experimento.

    QUESTO 5 Se 2 3 2 1 2

    x a bx x x x

    = + +

    verdadeira para todo x real, x 1, x

    2, ento o valor de ab a) 4. b) 3. c) 2. d) 2. e) 6.

    Resoluo Alternativa C Fatorando o lado direito da equao, temos:

    ( ) ( )( )( )2 2

    2 1 23 2 1 2 3 2

    a x b xx ax a bx bx x x x x x

    + + = =

    + +

    Comparando os numeradores, vem: x = ax 2a + bx b x = (a+b)x + (-2a-b), para todo x. Assim podemos concluir que:

    12 0a ba b+ =

    = a = -1 e b = 2. Logo ab = -2.

    QUESTO 6 A relao P(t) = Po(1 + r)t, onde r > 0 constante, representa uma quantidade P que cresce exponencialmente em funo do tempo t > 0. P0 a quantidade inicial e r a taxa de crescimento num dado perodo de tempo. Neste caso, o tempo de dobra da quantidade o perodo de tempo necessrio para ela dobrar. O tempo de dobra T pode ser calculado pela frmula a) T = log(1+ r) 2. b) T = logr 2. c) T = log2 r. d) T = log2 (1+ r). e) T = log(1+ r) (2r).

    Resoluo Alternativa A Pelo enunciado o tempo de dobra implica que P(T) = 2Po. Substituindo na relao P(t) = Po(1 + r)t, temos:

    2Po = Po(1 + r)T

    (1+r)T = 2 T = log(1+r) 2.

    QUESTO 7 De um carto retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapzio issceles, conforme a figura, onde a parte hachurada ser retirada.

    O valor de x em centmetros, para que a rea total removida seja mnima, a) 3. b) 2. c) 1,5. d) 1. e) 0,5.

    Resoluo Alternativa D Primeiramente a rea total Atotal = Aq + At, sendo Aq a rea do quadrado, e At a rea do trapzio.

    Aq = x2; At = ( )

    2h.bB + .

    Sendo a base maior (B) do trapzio igual a 14 cm, a base menor (b) igual a x cm e sendo 12 x a altura (h), ento:

    At = ( )

    2)x12.(x14 + .

    Logo Atotal = ( ) 2x

    2)x12.(x14+

    + = 2

    xx2168 2+ .

    Como a Atotal uma funo quadrtica com vrtice sendo o ponto de mnimo, uma vez que a concavidade da parbola para cima, ento a abscissa do vrtice (xv) o valor de x para que a rea seja mnima,

    que calculado por xv = -b/2a = 1

    21.2

    1= .

    QUESTO 8 Sabe-se que, se b > 1, o valor mximo da expresso y yb, para y no conjunto IR dos nmeros reais, ocorre quando

    y =

    1b 11

    b

    O valor mximo que a funo f(x) = sen(x)sen(2x) assume, para x variando em IR,

    a) 33

    b) 323

    c) 34

    d) 4 39

    e) 1

    Resoluo Alternativa D Lembrando que sen 2x = 2.senx.cosx, e que sen2x = 1 cos2x ento Temos que:

    2

    2

    f(x) sen(x) sen(2x) senx (2 senx cosx) 2 sen x cosx2.(1 cos x).cosx= = = =

    =

    Assim, ( )3f(x) 2 cosx cos x= Porm, do enunciado temos que para que a expresso

    y yb seja mxima, ento y = 1

    b 11b

    .

    Comparando cosx cos3x com y yb, temos que y = cos x e b = 3, assim, a expresso cosx cos3x ser mxima se cos x=

    1/ 21 1 33 3 3

    = =

    .

    Assim Mx(f(x)) = f 33

    = 9

    3433

    33.2

    3

    =

    QUESTO 9 A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotaes por minuto, e a funo da correia fazer a roldana menor girar. Admita que a correia no escorregue.

    Para que a roldana menor faa 150 rotaes por minuto, o seu raio, em centmetros, deve ser a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4.

    Resoluo Alternativa A Como as duas roldanas esto interligadas pela mesma correia, ento as velocidades lineares so iguais.

    maior menor maior menor maior menorv = v .R .r 2. .f .R 2. .f .r = =

    2100.R 150.r r R3

    = =

    Para R = 12 ento r = 8 cm

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    QUESTO 10 Dois tringulos congruentes ABC e ABD, de ngulos 30, 60 e 90, esto colocados como mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes.

    Se AB = 12 cm, a rea comum aos dois tringulos, em centmetros quadrados, igual a a) 6. b) 4 3 . c) 6 3 . d) 12. e) 12 3 .

    Resoluo Alternativa E De acordo o enunciado, temos a seguinte figura:

    A B

    C D

    h

    30 30

    30

    120

    6

    12 330 2 3

    6 3 6o h htg h= = =

    Logo a rea dada por 12 2 3 12 32 2

    B hA = = = .

    QUESTO 11

    Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduches, 7 refrigerantes e uma torta de ma R$ 22,50. Com 4 sanduches, 10 refrigerantes e uma torta de ma, o custo vai para R$ 30,50. O custo de um sanduche, um refrigerante e uma torta de ma, em reais, a) 7,00. b) 6,50. c) 6,00. d) 5,50. e) 5,00.

    Resoluo Alternativa B Sendo x o preo do sanduche, y o preo de um refrigerante, e z o preo da torta de maa, do enunciado, temos as equaes:

    3 7 22,54 10 30,5

    x y zx y z+ + =

    + + =

    Multiplicando a primeira por 3, e a segunda equao por 2: 9 21 3 67,58 20 2 61x y zx y z+ + =

    + + =

    Subraindo as duas equaes: x + y + z = 6,5 Portanto o custo de um sanduche, um refrigerante e uma torta de maa de R$ 6,50.

    QUESTO 12 Se m, p, mp so as trs razes reais no nulas da equao x3 + mx2 + mpx + p = 0, a soma das razes dessa equao ser a) 3. b) 2. c) 1. d) 0