fungsi non linear dan penerapan ekonomi

MATEMATIKA EKONOMI

TOPIK BAHASAN:

FUNGSI NON LINEAR

Oleh : Dani Rizana

www.themegallery.com

Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan

bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang

dinyatakan dengan:

f(x) = y = ax2 + bx + c

dengan a, b, c R dan a 0

Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola

Fungsi kuadrat


Berdasarkan Nilai a

i. Jika a > 0 (positif), maka grafik atau

parabola terbuka keatas. Fungsi kuadrat

memiliki nilai ekstrim minimum,

dinotasikan 𝒚𝒎𝒊𝒏

ii. Jika a < 0 (negatif), maka grafik atau

parabola terbuka kebawah. Fungsi

kuadrat memiliki nilai ekstrim

maksimum, dinotasikan 𝒚𝒎𝒂𝒙


Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

D = 𝒃𝟐- 4ac

i. Jika D > 0, maka grafik memotong

sumbu x didua titik yang berbeda

ii. Jika D = 0, maka grafik menyinggung

sumbu x di (x, 0) disebuah titik.

iii. Jika D < 0, maka grafik tidak memotong

dan tidak menyinggung sumbu x.

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

X (i) X

(ii) X (iii)

a > 0

D > 0

a > 0

D = 0 a > 0

D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0

D > 0

a < 0

D = 0

X

(vi) a < 0

D < 0 5

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkahnya :

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dengan

syarat y = 0

Dapat Mengunakan Rumus abc: 𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

2. Menentukan titik potong dengan sumbu y dengan

syarat x = 0

3. Menentukan sumbu simetri x=−𝒃

𝟐𝒂

4. Menentukan koordinat titik balik /titik puncak

(−𝒃

𝟐𝒂, −

𝑫

𝟒𝒂)

5. Menentukan beberapa titik lain atau titik bantu bila

perlu


Contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 𝒙𝟐 -4x – 5 !

1.Titik potong dengan sumbu x (y =0)

𝒙𝟐 -4x – 5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x = -1 atau x = 5

jadi titik potong grafik dengan sumbu x

adalah (-1, 0) dan (5, 0)

2. Titik potong dengan sumbu y (x = 0)

y = 𝟎𝟐 -4.0 – 5

y = -5

jadi titik potong grafik dengan sumbu y

adalah (0, -5)

Penyelesaian:

3. Menentukan sumbu simetri

x = −𝒃

𝟐𝒂= −

(−𝟒)

𝟐.(𝟏)= 2

4. Menentukan koordinat titik balik/puncak

x = −𝒃

𝟐𝒂= −

(−𝟒)

𝟐.(𝟏) = 2

y = −𝑫

𝟒𝒂= −

−𝟒 𝟐−𝟒 𝟏 −𝟓

𝟒 𝟏= −𝟗

Jadi Titik Puncak: P (2, -9)

5. Menentukan Titik bantu

Misal :

x = 1 y = 𝟏𝟐 -4.1 – 5 = -8

x = 3 y = 𝟑𝟐 -4.3 – 5 = -8

x = 4 y = 𝟒𝟐 -4.4 – 5 = -5


Gambar grafiknya

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Su

mb

u y

Sumbu x

LATIHAN SOAL

1. y = -x2 + 5x – 4

2. y = x2 - 8x – 48

3. y= 36 - x2

4. y= 2x2 - 8x – 5

Gambarkan Fungsi kuadrat dibawah ini :


KESEIMBANGAN PASAR

Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah

permintaan sama dengan jumlah penawaran atau

Qd = Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan

pasar merupakan harga keseimbangan (Pe).

Contoh:

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran

sejenis barang adalah:

D: P = Q2 – 7Q + 12

S: P = Q2 + 3Q + 2

Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan

kurvanya.


Jawab:

Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps,

sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan

substitusi:

↔ Q2 – 7Q + 12 = Q2 + 3Q + 2

↔ 10Q = 10

↔ Q =1

dan P dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai Q = 1 ke

dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga

diperoleh nilai P sebagai P = (1)2 + 3(1) + 2 =6.

Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6)

LATIHAN SOAL:

1. Fungsi Permintaan All New Toyota Yaris

ditunjukkan oleh Persamaan Qd = 19 – P²

sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2P². Berapa

harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan

All New Toyota Yaris yang tercipta di pasar?

2. Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar

secara aljabar dan geometri dari fungsi

permintaan dan penawaran berikut:

a. Q = 16 – 2P dan 4Q = 4P + P2

b. P = 16 - Q2 dan P = 4 + Q

c. Q = 9- P2 dan Q = P2 +2P-3


Dari Latihan Soal nomor 1 :

Jika misalnya Produk All New Toyota Yaris dikenakan pajak spesifik sebesar 1

USD per unit, maka persamaan sesudah pajak adalah:

Qs = -8 + 2 (P-1 )² = -8 + 2(P² – 2P + 1) = -6 – 4P + 2 P²

Keseimbangan pasar yang baru ? Qd = Qs

19 – P² = -6 - 4P + 2P²

3P² - 4P -25 = 0

Dengan rumus abc diperoleh:

P1= 3, 63 dan P2 = - 2,30 sehingga P2 = - 2,30 tidak digunakan karena harga

negatif adalah irrasional

Dengan memasukkan P1= 3, 63 kedalam persamaan Qd atau Qs maka di

peroleh Q = 5, 82

Jadi , dengan adanya Pajak maka P’e= 3, 63 dan Q’e = 5, 82

Selanjutnya dapat di hitung beban Pajak yg ditanggung konsumen dan

produsen per unit barang, serta pajak yang diterima oleh Pemerintah:

tK = P’e - Pe = 3, 63 - 3 = 0, 63

tP = t – tK = 1 – 0,63 = 0, 37

T = Q’e X t = 5, 82 X 1 = 5, 82


FUNGSI BIAYA

Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total,

dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata

(Avarage Cost) dan Biaya Marginal (Marginal Cost).

Biaya rata-rata adalah Biaya yang dikeluarkan untuk

menghasilkan tiap unit produk, yang merupakan hasil bagi

biaya total terhadap jumlah produk yang dihasilkan.

Biaya Marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan

untuk menghasilkan satu unit tambahan produk

)()( QcQfkVCFCTC

vQQfVC

kFC

𝐴𝐹𝐶 =𝐹𝐶

𝑄

𝐴𝑉𝐶 =𝑉𝐶

𝑄

𝐴𝐶 =𝐶

𝑄= 𝐴𝐹𝐶 + 𝐴𝑉𝐶

𝑀𝐶 =∆𝐶

∆𝑄

Biaya tetap

Biaya Variabel

Biaya Total

Biaya tetap rata-rata

Biaya variabel rata-rata

Biaya rata-rata

Biaya Marginal

Bentuk non linear fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat,

Andaikan → 𝑪 = 𝒂𝑸𝟐 − 𝒃𝑸 + 𝒄

𝑽𝑪 𝑭𝑪

Sehingga : 𝐴𝐶 =𝐶

𝑄=

𝑎𝑄2 − 𝑏𝑄 + 𝑐

𝑄= 𝑎𝑄 − 𝑏 +

𝑐

𝑄

𝐴𝑉𝐶 =𝑉𝐶

𝑄=

𝑎𝑄2 − 𝑏𝑄

𝑄= 𝑎𝑄 − 𝑏

𝐴𝐹𝐶 =𝐹𝐶

𝑄=

𝑐

𝑄

C

c

0

C

FC

VC

Q

(a)

AFC AC

AVC

Q 0

-b

(b)

Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat

dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC

minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear;

sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a,

C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya

perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

Contoh Soal:

Biaya total yang dikeluarkan PT. GALAU ABADI di tunjukkan oleh

persamaan C = 2 Q² - 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit

biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya tetap, biaya variabel,

biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada

tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan 1

unit, berapa besarnya biaya marjinal?

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada

kedudukan 𝑄 = −𝑏

2𝑎=

24

2.2= 6

Besarnya C minimum = 2 Q² - 24 Q + 102

= 2 (6)² - 24 (6) + 102

= 30 C minimum juga dapat dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola,

yaitu : ( b² – 4ac) = (24² – 4.2.102) = -240 = 30

- 4a -4.2 -8

Selanjutnya pada Q = 6 maka

FC = 102

VC = 2 Q² - 24 Q

= 2 (6)² - 24 (6)

= - 72

AC = VC = 30 = 5

Q 6

AFC = FC = 102 = 17

Q 6

AVC = VC = -72 = -12

Q 6

Jika Q = 7 (karena dinaikan 1 unit) maka C = 2 (7)² - 24 (7) + 102 = 32

MC = ∆C = 32 -30 =2

∆Q 7 – 6

Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan

biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2 USD


PENERIMAAN TOTAL

Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara

harga per unit produk dengan jumlah produk yg dijual :

TR = PQ Dimana : TR = Penerimaan Total

Q = jumlah Produk yg dijual

P = Harga produk /unit

Bentuk Fungsi Penerimaan Total ( Total Revenue, R) yang non –linear pada

umummnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini

merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi produsen yang

beroperasi di pasar monopoli.

Jika fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b-aQ, maka akan diperoleh

persamaan penerimaan total:

TR = P . Q

TR = (b-aQ).Q

TR = bQ - aQ2

Titik puncak persamaan diatas adalah (−

𝒃

𝟐𝒂, −

𝑫

𝟒𝒂)

Penerimaan rata-rata ( Average Revenue, AR):

Penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan

total terhadap jumlah barang

AR =𝑅

𝑄

Penerimaan Marginal (Marginal Revenue, MR):

penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang

yang dihasilkan atau terjual.

MR =∆𝑅

∆𝑄

Diketahui fungsi permintaan P = 20-2Q, Tentukan fungsi

penerimaan totalnya dan berapa penerimaan total maksimummnya

serta gambarkan kurva permintaan dan penerimaan total dalam

satu diagram!

Contoh 1 :

Penyelesaian :

TR = P . Q

TR = (20-2Q).Q

TR = 20Q - 2Q2

TR maksimum = (−𝟐𝟎

𝟐.(−𝟐), −

𝟐𝟎𝟐−𝟒.−𝟐.𝟎

𝟒.(−𝟐))= (𝟓, 𝟓𝟎)


Contoh 2:

Fungsi Permintaan PT. Pertamina, Tbk ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q.

Bagimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besar penerimaan total

jika terjual barang sebanyak 200 unit dan berapa harga jual per unit? Hitunglah

penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit.

Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum,

dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.!

Jawab:

P = 900 – 1,5Q

R = P x Q = (900 – 1,5Q)Q = 900Q – 1,5Q²

Jika Q = 200, maka R = 900 (200) – 1, 5 (200)² = 120.000

P = 900 – 1, 5 (200) = 600

Atau P = R/Q = 120.000/ 200 = 600

Jika Q = 250, maka R = 900 (250) – 1, 5 (250)² = 131.250

MR = ∆R

∆Q

MR = 131.250- 120.000 = 225

250 – 200

R = 900Q – 1,5Q² = -1,5 Q² + 900 Q

R maksimum pada Q = -b/2a = -900/-3 = 300

Besarnya R maksimum = -1,5 (300)² + 900 (300) = 135.000

0

120rb

R

200 300 600

135rb

Latihan :

Jika fungsi permintaan adalah 3P = 1050 - Q, Tentukan:

a. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan

penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan

total maksimum tersebut

b. Berapa besar penerimaan total jika terjual barang

sebanyak 300 unit dan berapa harga jual per unit?

c. Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak

300 unit menjadi 330 unit.


0

C, R

Q3 Q2 Q1 Q4

C= c (Q)

TPP

TPP

R=r (Q)

TPP= Titik Pulang Pokok

(Break Event Point)

Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok

Keterangan Gambar:

Tingkat produksi Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok

(BEP) sebab, penerimaan total sama dengan pengeluaran biaya total,

R = C. Area di sebelah kiri Q1 dan disebelah kanan Q4 mencerminkan

keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil daripada pengeluaran

total R < C. Sedangkan area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan

keadaan untung . Tingkat Produksi Q1 mencerminkan tingkat produksi

yang memberikan penerimaan total maksimum.

Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih

positif antara R dan C. Secara grafik, hal ini dituinjukkan oleh jarak

antara kurva R dan kurva C, semakin lebar jarak positif tersebut

semakin besar keuntungan yang diperoleh. Jarak positif terlebar antara

kurva R dan kurva C terjadi pada posisi lereng (slope) dari kedua kurva

itu sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar atau

maksimum.

Contoh Soal:

Penerimaan Total yang diperoleh PT. LEBAY JAYA.Tbk saat terjadinya

kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -0,20Q²+150Q,

sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,20Q³-10Q² +10Q +1500.

Hitunglah profit PT. LEBAY JAYA.Tbk jika dihasilkan dan terjual barang

sebanyak 50 dan 70 unit.

Jawab:

π = R – C

= -0,20Q² + 150Q – (0,40Q³ - 10Q² +10Q +50)

= -0,40Q³ + 9,8Q² + 40Q - 50

Q = 50 → π = -0,20 (50)³ + 9,8 (50)² + 140(50) - 1500

= -25.000 + 24.000 +7000 – 1500

= 4500 ( keuntungan)

Q = 60 → π = -0,20 (60)³ + 9,8 (60)² + 140(60) - 1500

= -43.200 + 35.820 + 8400 – 1500

= -480 ( kerugian)

Latihan Soal:

Penerimaan Total yang diperoleh PT. QUANTUM JAYA.Tbk saat

terjadinya kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -

0,40Q²+100Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 10Q² +10Q

+1500. Hitunglah profit PT. QUANTUM JAYA.Tbk jika dihasilkan dan

terjual barang sebanyak 10 dan 5 unit.


TERIMAKASIH

SELAMAT BELAJAR !!!

fungsi non linear dan penerapan ekonomi

Economy & Finance