fungsi linear

FUNGSI LINEAR

IMELDA

imelda all right's reserved

acer

Imelda all right's reserved

FUNGSI

• DEFENISI FUNGSI :Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya


CONTOH : y = f (x), dibaca “Y adalah sama dengan fungsi dari X”

• menyatakan hubungan antara 2 variabel yaitu variabel y & x.

• Hubungan di antara variabel x dan y mengharuskan adanya satu nilai y yang unik untuk setiap nilai x, tetapi hal yang sebaliknya tidak diharuskan.

• Jadi lebih dari satu nilai x dapat dihubungkan dengan nilai y yang sama, tetapi sebaliknya beberapa nilai y tidak dapat dihubungkan dengan nilai x yang sama.


Gambar Fungsi:

yy y y

y1

y1

y2

y3

y2

y3

x x xx1 x2 x3 x1x1

x2

(a) (b) (c)

UNSUR FUNGSI ADA 3:

1. VARIABEL2. KOEFISIEN3. KONSTANTAVARIABEL & KOEFISIEN : Selalu Ada Pada Setiap

Bentuk Fungsi

KONSTANTA : Belum Tentu Ada


VARIABEL (PEUBAH)

• Sesuatu yang besarnya dapat berubah, misalnya sesuatu yang dapat menerima nilai yang berbeda

• Menggambarkan atau mewakili suatu faktor tertentu• Ditulis dengan huruf latin

(Huruf Kecil): x, y, z, p, q, c, i• Melambangkan sumbu sumbu dalam sistem koordinat


Contoh Variabel

• Variabel dalam matematika ekonomi sering dilambangkan dengan huruf yang ada di depan nama variabel tersebut.

• P = Price (Harga)• Q = Quantity (jumlah yang

ditawarkan/diminta)• C = Cost (Biaya)• I = Investment (Investasi)


SIFAT VARIABEL• VARIABEL TERIKAT VARIABEL TERIKAT (DEPENDENT VARIABLE) :

Nilai variabel tergantung atau ditentukan oleh variabel lain. Variabel Endogen : suatu variabel yang nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model.

• VARIABEL BEBAS (INDEPENDENT VARIABLE):Nilai variabel tidak tergantung pada variabel lain. -> Variabel Eksogen : suatu variabel yang yang nilainya diperoleh dari luar model dan nilai-nilai variabel yang diperoleh dari data yang ada.

y = f (x)y y : variabel terikat/dependent variable/variabel endogenx : variabel bebas/independent variable/variabel eksogen

Ingat !!! Suatu variabel mungkin merupakan variabel endogen pada suatu model dan mungkin juga merupakan variabel eksogen pada model lainnya. Contoh : Pada analisa penentuan harga dan jumlah keseimbangan pasar suatu barang, harga adalah variabel endogen tapi dalam penentuan pengeluaran konsumen maka variabel p adalah variabel eksogen karena p merupakan data konsumen perorangan.


KOEFISIENKOEFISIEN & & KONSTANTAKONSTANTA

• KONSTANTA : Bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk suatu fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan & tidak terkait pada suatu variabel tertentu

• KONSTANTA : KUANTITAS YANG NILAIINYA TIDAK BERUBAH DALAM SUATU MASALAH TERTENTU. Jika suatu konstanta digabung dengan sebuah variabel, maka angka itu sering disebut dengan koefisien.

• KOEFISIEN : Bilangan atau angka yang terkait pada & terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi

• KONSTANTA BILANGAN (NUMERICAL CONSTANT) : MEMPUNYAI NILAI YANG SAMA DALAM SEMUA SOAL.• KONSTANTA SIMBOLIK (SYMBOLIC CONSTANT ATAU PARAMETER) : MEMPUNYAI NILAI YANG SAMA DALAM

SOAL TERTENTU TETAPI DAPAT MEMPUNYAI NILAI YANG LAIN DALAM SOAL YANG BERBEDA. (misalnya: aP sebagai pengganti 0,7P) Konstanta Parameter biasanya dinyatakan dengan simbol a, b, c atau dalam abjad Yunani

• NOTASI FUNGSI UMUM: y = f (x)• Contoh : y = 5 + 0,7 x atau

f (x) = 5 + 0,7 x


3 Macam Persamaan• Variabel dapat berdiri sendiri, tetapi mempunyai arti jika berhubungan satu dengan

yang lain melalui persamaan dan ketidaksamaan.• 3 Macam Persamaan

– Definitional Equation : membentuk identitas di antara dua pernyataan yang mempunyai arti yang persis sama. Persamaan ini disebut dengan persamaan identik. Contoh :

GNP = C + I + G + (X-M)– Behavioral Equation : menunjukkan perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari

perubahan variabel lainnya, yang ada hubungannya. Contoh : Perubahan perilaku perusahaan, misalnya perubahan biaya total dari suatu perusahaan sebagai akibat dari perubahan jumlah produksi (TC = 100 + 25 Q)

– Equilibrium Equation : menggambarkan prasyarat untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium).Contoh : Model keseimbangan pasar ; Qd = Qs

Model keseimbangan pendapatan nasional ; S = I


Fungsi Umum VS Fungsi Khusus• Fungsi Umum (General Function) :

Menyebutkan semua variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat, akan tetapi tidak memberi penjelasan apapun mengenai bagaimana variabel bebas tersebut mempengaruhi variabel terikatContoh : y = f (x), Qd = f (p, Y, pj, T)

• Fungsi Khusus (Specific Function) :Mencatat argumen-argumen & bagaimana variabel bebas mempengaruhi variabel terikatContoh : Qd = 250 – 5 p + 0,03 Y + pj + 0,02 T


JENIS FUNGSIJENIS FUNGSI

• Fungsi Linear (Fungsi berderajat 1)

Pangkat tertinggi dari variabelnya = 1

Contoh :y = a + bx

• Fungsi Non LinearPangkat tertinggi > 1 Fungsi Kuadrat :

y = a + bx + cx2

Fungsi Kubiky = a + bx + cx2 + dx3


JENIS FUNGSI BERDASARKAN LETAK RUASLETAK RUAS VARIABELNYA

• FUNGSI EKSPLISITFungsi yang variabel bebas &

variabel terikatnya terletak di ruas yang berbeda sehingga dapat dengan jelas dibedakan.

y = f (x)y = a0 + a1 x

y = a0 + a1 x + a2x2

y = a0 + a1 x + a2x2 +a3x3

• FUNGSI IMPLISITFungsi yang variabel bebas &

variabel terikatnya terletak di ruas yang sama sehingga tidak mudah dapat dibedakan.

0 = f (x,y)0 = a0 + a1 x - y

0 = a0 + a1 x + a2x2 - y

0 = a0 + a1 x + a2x2 +a3x3-y


PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR

• Hasil berupa garis lurus• Cara : menghitung koordinat titik-titik yang

memenuhi persamaannya kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik ke sistem koordinat (sumbu silang)

• Sumbu horisontal (absis) : x• Sumbu vertikal (ordinat) : y• y = 3 + 2 x ; y = 2xx = 0 1 2 3 4 x = 0 1 2 3 4 y = 3 5 7 9 11 y = 0 2 4 6 8


PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR• y = a + b x• y = 3 + 2x • y = 8 – 2x

a = konstanta = penggal (intercept) garis pada sumbu vertikal y = titik dimana grafik memotong sumbu vertikal y = terjadi jika variabel bebas x sama dengan nol. (Nilai y pada x = 0).

Untuk: Y = bx atau a=0, contoh : y = 2 x, maka garis (grafik) tidak mempunyai penggal pada sumbu vertikal = garis bermula dari titik (0,0).

b = koefisien = arah = lereng garis = kemiringan (slope) garis mengukur perubahan nilai variabel pada sumbu vertikal dibagi dengan nilai variabel pada sumbu horisontal = ^y/^x.

b = mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu nilai xb > 0 : garis bergerak dari kiri bawah ke kanan atasb < 0 : garis bergerak dari kiri atas ke kanan bawah


• y = a -> b = 0• Garis lurus sejajar

sumbu horisontal x• Besar kecilnya nilai x

tidak mempengaruhi nilai y

• x = c• Garis lurus sejajar

sumbu vertikal y• Besar kecilnya nilai y

tidak mempengaruhi nilai x


y y

x xc

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

• Dwi-koordinat ; diketahui 2 titik A (x1,y1)& B (x2, y2)y – y1 = x – x1

y2 – y1 x2 – x1

Contoh : A (2,3) dan B (6,5)• Koordinat-lereng

diketahui lereng b dan titik koordinat (x1,y1) y – y1 = b (x – x1) Contoh : b = 0,5 dan A (2,3)

• Penggal-lerengdiketahui intersep dan koefisien: y = a + bxContoh : a= 3 dan b = 0,4• Dwi-penggal

diketahui penggal vertikal dan penggal horisontal y = a – a x c

a = penggal vertikal dan b = penggal horisontalContoh : a = 2 dan c = -4


LERENG

• LERENG adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat (y2 –y1) terhadap Selisih Antara Dua Absis (x2 – x1).

Cara Dwi Koordinat :y – y1 = x – x1

y2 – y1 x2 – x1 y – y1 = y2 – y1 (x – x1)

(x2 – x1)Cara Koordinat Lereng :y – y1 = b (x – x1)b = y2 – y1

x2 – x1


HUBUNGAN DUA GARIS LURUSHUBUNGAN DUA GARIS LURUS

• BERIMPIT y1= ny2 ; a1 = na2 ; b1 = nb2

• SEJAJARa1 a2 ; b1 = b2

• BERPOTONGAN b1 b2

• TEGAK LURUS b 1 = -1/b2



y y

y y

x x

x x

Berimpit y1= ny2 ; a1 = y1= ny2 ; a1 = na2 ; b1 = nb2na2 ; b1 = nb2

Sejajar :a1 a2 ; b1 = b2a1 a2 ; b1 = b2

Berpotongan b1 b1 b2b2

Tegak Lurus : b 1 = b 1 = -1/b2-1/b2

0

0

0

0

Y 1 = a 1 + b 1

X

Y2 = a 2 + b2

XY 1 =

a 1 + b 1X

Y 2 = a 2 + b 2

X

Y 1 = a 1 + b 1

X

Y2 = a 2 + b2X

Y2 = a

2 + b

2 X

Y 1 = a 1 +

b 1X

PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEARLINEAR

• SUBSITUSI

• ELIMINASI

• DETERMINAN


SUBSITUSI

• Dua persamaan dengan 2 bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubsitusikannya ke dalam persamaan lain.

• Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23


ELIMINASIELIMINASI

• Dua persamaan dengan 2 bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

• Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23


LATIHAN:“PRACTICES MAKE PERFECT”

• Diketahui dua pasang persamaan:1) Qd = a + bP

Qs = c + dP

2) S = -50 + 0,3 YI = 250 – 0,2 i

Tentukan : a. konstanta baik bilangan maupun parametrik b. Variabel bebas dan terikatc. koefisienimelda all right's reserved

Nyatakan masing-masing pernyataan berikut dalam notasi fungsi umum dan khusus:

• Total cost (TC) sebagai fungsi jumlah tenaga kerja (L) yang diperkerjakan dan jumlah modal (K) yang digunakan, apabila harga tenaga kerja Rp 3,- dan harga modal Rp 5,-

• Total revenue (TR) sebagai fungsi output (Q), jika Pq = 5

• Biaya gaji harian (w) untuk tenaga kerja (L) sebagai fungsi L. Jika PL = 42,50 sehari.


Biaya Total (Total Cost) • Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasional

bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost = FC) dan biaya variabel (variable cost = VC)

• Biaya tetap : tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, sehingga biaya ini tidak berubah (konstan) walaupun berapa banyak pun barang yang dihasilkandalam suatu skala tertentu. Biaya tetap berupa konstanta, kurva berbentuk garis lurus sejajar dengan sumbu horisontal q (jumlah yang dihasilkan).

• Biaya variabel : tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan (semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan maka semakin besar biayanya). Biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan, kurva berbentuk garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik nol.


Fungsi Biaya Total• FC = k• VC = f (Q) = vQ• TC = C = FC + VC = k + vQ


C

Q0

FC = k

VC = vQ

C = k + vQ

Biaya Rata-rata (Avarege Cost = AC)

• AFC = FC / Q• AVC = VC / Q• AC = TC / Q


Penerimaan Total (Total Revenue)

• Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah produk yang dijual

• TR = R = f (Q) R = Q . P Q = R / P (Jumlah barang yang terjual)

• Penerimaan Rata-rata (AR)AR = R / Q maka AR = R / Q = R / Q = P

AR = P


Analisis Pulang Pokok (Break Even Point Analysis) = Titik Impas

• BEP = Tingkat jumlah produk (Q) dimana penerimaan total dari hasil penjualan hanya cukup untuk menutupi biaya produksi yang dikeluarkan perusahaan.

• Profit : TR > TC ; > 0• Rugi : TR < TC ; < 0


C, R

Q

R

C

VCFC

BEP

BEP

• Profit = TR – TC• TR = TC

PQ = FC + VC PQ = FC + vQ PQ – vQ = FC Q (P – v) = FC Q = FC / (P-v) atau QBEP = QE = FC / (P-v)


Contoh:• Dalam acara “Bubar”, SFC sepakat untuk melayani 100 anggota suporter SFC pada

menu seharga Rp 15 per orang dan setiap tamu tambahan pada harga Rp 20 per orang. a) Nyatakan biaya C dari perjamuan “Bubar” sebagai suatu fungsi dari tamu (suporter) G. b) Identifikasi variabel tak bebas dan variabel bebas.c) Gambarkan fungsi tersebut dalam grafik.

• Suatu perusahaan menghasilkan produk dengan biaya variabel per unit Rp 4.000,- dan harga jualnya per unit Rp 12.000,-. Biaya tetap sebesar Rp 2.000.000,-. Tentukanlah jumlah per unit produk yang harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok?

• Biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh persamaan TC = 15.000 + 25Q dan penerimaan total TR = 100Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam kondisi pulang pokok ? Hitung berapa keuntungan/kerugian perusahaan? Apa yang terjadi jika perusahaan berproduksi sebanyak 100 dan 300 unit?


Fungsi Anggaran• Teori Konsumen• Batas maksimum

kemampuan seorang konsumen membeli dua macam output atau lebih berkenaan dengan jumlah pendapatannya dan harga masing-masing output

• Gambar fungsi anggaran disebut Budget Line

• M = x. Px + y . Py

• Teori Produsen• Batas maksimum

kemampuan seorang produsen dalam menggunakan dua macam input (atau lebih) berkenaan dengan jumlah dana yang dimiliki dan harga masing-masing input

• Gambar fungsi anggaran disebut isocost

• M = x. Px + y . Py


Contoh:

• Bentuklah persamaan anggaran seorang konsumen untuk topi dan jaket. Jika uang yang dimilikinya sebesar Rp 500.000,-, sedangkan harga topi dan jaket masing-masing Rp 10.000,- dan Rp 50.000,- per unit. Jika semua uangnya dianggarkan dibelanjakan untuk jaket, berapa jaket yang dapat dibeli? Berapa unit topi dapat dibeli jika ia hanya membeli jaket sebanyak 6 unit?


Fungsi Konsumsi : menjelaskan hubungan konsumsi dan pendapatan nasional

• Ekonomi makro -> Pendapatan masyarakat sebuah negara secara keseluruhan (pendapatan nasional = Y) dialokasikan ke dua kategori pengeluaran yaitu konsumsi (C) dan tabungan (S): Y = C + S

• Fungsi Konsumsi (C) : C = Co + c Y• C = f (Y) -> Konsumsi berhubungan dengan pendapatan yang dapat dibelanjakan {(C = f

Yd)}• Co = Autonomous Consumptions = Konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional

sebesar nol. Pada konsumsi individu, maka C = Co+ c Yd. a = sejumlah konsumsi mutlak (absolut) tertentu untuk mempertahankan hidup walaupun tidak mempunyai pendapatan uang.

• Secara grafik Co= penggal kurva (intersep) pada sumbu vertikal C.• c = koefisien = mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya

tambahan pendapatan nasional sejumlah tertentu.• c = MPC = marginal propencity to consume = kecenderungan konsumsi marjinal = C /

Y = bernilai positif dan kurang dari satu = 0 < C / Y < 1


Fungsi Tabungan : menjelaskan hubungan tabungan dan pendapatan nasional

• S = S0 + sY• s = MPS = marginal propencity to save = S / Y = lereng dari kurva tabungan• S0 = tabungan autonomous = penggal kurva tabungan pada sumbu vertikal S.• Y = C + S

Y = (C0+ cY ) + SS = Y – (C0+ c Y) atauS = -C0+ Y – cYS = -C0 + (1 – c) YS0+ sY = S = -C0+ (1- c) Y

Jadi : S0 = -C0

s = 1- c c + s = 1MPS = 1 – MPC MPC + MPS = 1


C, S

Y

YS

C

C= Y

YeDissaving

Saving

Contoh

• Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 15 + 0,75 Y. Pendapatan yang dapat dibelanjakan adalah Rp 30 miliar. Berapa nilai konsumsi agregat ? Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional? Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan nasional secara bersama-sama.


Angka Pengganda (multiplier)• Suatu bilangan yang menjelaskan tambahan pendapatan

nasional sebagai akibat adanya perubahan pada variabel-variabel tertentu dalam perekonomian.

• Angka pengganda paling sederhana:k = 1 / (1-c) = 1 / s

MPS = 0,25 , jadi k = 4 berarti bahwa apabila variabel ekonomi tertentu misalnya investasi atau pengeluaran pemerintah - ditambah sejumlah tertentu, maka pendapatan nasional akan bertambah sebesar 4 kali tambahan variabel tadi.


Pendapatan Disponsible (Yd)

• Yd = Y – T + R• T : Tax = Pajak• R : Transfer Payment = Pembayaran Alihan• C = f (Yd) S = g (Yd) dan

= C0+ c Yd = S0 + s Yd

C + S = Yd


Soal

• Fungsi Konsumsi masyarakat negara EP08 ditunjukkan oleh C = 30 + 0,8 Yd. Jika pemerintah menerima dari masyarakat pembayaran pajak sebesar 16 dan pada tahun yang sama pemerintah memberikan transfer payment sebesar 6, berapa konsumsi nasional seandainya pendapatan nasional pada tahun tersebut sebesar 200? Hitung besarnya tabungan nasional?


Fungsi Pajak• T = T0 (Pajak yang jumlahnya tertentu, tidak dikaitkan dengan

pendapatan, kurva berupa garis lurus sejajar dengan sumbu pendapatan)

• T = tY (Pajak yang dikaitkan dengan tingkat pendapatan, besarnya merupakan proporsi atau persentase tertentu dari pendapatan, kurva sebuah garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal)

• T = T0 + tY (Besar pajak yang diterima pemerintah)

imelda all right's reserved Y

T

Y

T0

T= tY

T= T 0 + tY

fungsi linear

Education