FUNCIÓN DIVISOR

JEAN CARLOS ROJAS

AGRADECIMIENTO

A Dios por haberme permitido realizar my trabajo.

A mi abuela Teresa Legal la cual es como si fuera mi madre por darme su confianza

apoyo.

Al Doctor Jaime Gutiérrez, profesor que nos dicto el Seminario el cual nos permitió

llenar los objetivos necesarios en la realización del mismo, por su entrega y

disponibilidad para brindar información y guía necesarias.

DEDICATORIA

A Dios por darme las fuerzas y sabiduría para terminar este trabajo.

A mi abuela Teresa Legal por ser la única persona que confióen que yo podía

culminar mi carrera y a todos mis amigos.

ÍNDICE

AGRADECIMIENTO

DEDICATORIA

INTRODUCCIÓN

Contexto Histórico

Reseña Histórica

Bibliografía de SrinivasaAiyagnarRamanujan

Bibliografía de Peter Gustav LejeuneDirichlet

Bibliografía de Johann HenrichLambert

Función Divisor

El promedio de la función divisor

La medida geométrica de los divisores

La sumatoria de la función divisor

Generalización de la función divisor

El valor medio de la función de Euler

CONCLUSIÓN

RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS

INTRODUCCION

La teoría de números es una rama de laMatemática pura que estudia las propiedades

de los números

En este trabajo trataremos sobre la Función Divisor la cual es una función aritmética

relacionada a los divisores de un número entero. Cuando nos referimos a la función

divisor este cuenta el número de divisores de un entero n .esta aparece en un gran

número de identidades incluyendo relaciones con la función z de riman y las series de

Einstein de formas modulares. La función divisor fueron estudiadas por Dirichlet,

Lambert y Ramanujan:quien dio un número importante de congruencias e identidades.

Y la cual se calcula utilizando la función Ф(n) de Euler .

la formula que se utiliza para calcular la función divisor es :

RESEÑA HISTORICA

Srinivasa Aiyagnar Ramanujan fue un matemático hindú

muy enigmático, de familia humilde a los 7 años asistió a

una escuela pública gracias a una beca les recitaba a sus

compañeros formulas Matemática y cifras de π. A los 12

años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un

libro con 6000 teoremas conocidos sin demostrar esa fue su

formación matemática básica.Nació en la localidad de Erode del estado de Tamil

Nadu en india creció en el seno de una familia pobre y ortodoxa fue un llamativo

autodidacta ,prácticamente todas las matemáticas que aprendió fueron las leídas hacia

los 15 años de edad en los libros La trigonometría plana de Looney y

SynopsisofElementaryResults in Parematematices de dichos libros contenía un

listado de 6000 teoremas sin demostrar con dichas obras le permitieron establecer una

gran cantidad de conclusiones y resultados sobre la teoría de números. Seguía una

estricta vida de Brahmin. A menudo decía que sus teoremas matemáticos eran

inspirados directamente por la diosa Namagiri, durante sus sueños. Algunos de sus

numerosos teoremas, han resultado ser en realidad incorrectos. Se desconocen los

métodos mentales empleados por la mente de Ramanujan para desarrollar sus

intuiciones Matemática, la mayoría de las veces completamente ciertas, pero en

algunos casos falsas.

Rāmānujan, de un modo independiente, recopiló 3900 resultados (en su mayoría

identidades y ecuaciones) durante su breve vida.

Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Rāmānujan

retornó a su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam (a la

edad de 32 años). Dejó varioslibros llamados Cuadernos de Ramanujanlos cuales

continúan siendo objeto de estudios.

Recientemente, las fórmulas de Rāmānujan han sido fundamentales para nuevos

estudios en cristalografía y en teoría de cuerdas.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet:.Sus aportaciones

más relevantes se centraron en el campo de la teoría de

números fue un matemáticoalemán al que se le

atribuye la definición "formal" moderna de una

función. Nació en Duren, Se relacionó con varios

matemáticos entre uno de ellos Fourier. Después de

graduarse, fue profesor en la universidad deBreslau en la cual ocupo la cátedra que

dictaba Guaus ya que este murió , prestando especial atención al estudio de las series,

y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Su primera publicación comprendió una

demostración particular del teorema de Fermat, para el caso n=5, por Adrien-Marie

Legendre, el cual también fue completada por uno de sus revisores. Dirichlet

completó su propia prueba casi al mismo tiempo; más adelante completó también la

prueba para n=14. Aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos

y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis

matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se

centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial

newtoniano.

Se casó con Rebecka Mendelssohn, que venía de una distinguida familia de judíos

conversos. Era la nieta del filósofo Moses Mendelssohn, hija de Abraham

Mendelssohn Bartholdy y hermana del compositor FelixMendelssohnBartholdy.

Fueron estudiantes suyos Ferdinand Einstein, Leopold Kronecker y Rudolf Lipschitz.

Tras la muerte de Dirichlet, su amigo y colega matemático Richard Dedekind

recopiló, editó y publicó sus lecciones y otros resultados en teoría de números

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor

1.

2.

Dondeσa(n) es la funciom divisor

Johann Henrich Lambert: procedía de una familia de

refugiados que se había establecido en

Müllhausen(Alsacia), Tuvo seis hermanos. Su padre era

sastre. A pesar del evidente buen rendimiento escolar, el

hijo ya a los doce años hubo de abandonar la escuela y

trabajar ayudando a su padre. Pero continuó su

formación por su cuenta con ayuda de todos los libros que estuvieron a su alcance,

estudiando por las tardes. A los quince años entró a trabajar en la siderurgia y después

como tenedor de libros. después, desde 1746 como secretario privado del filósofo

suizo Isaak Iselin en Basilea y, dos años más tarde, como profesor privado con el

conde Peter von Salis en Chur. Este empleo le dejaba tiempo suficiente para acceder a

la biblioteca privada del conde. Fue en esta época cuando se inició en la investigación

matemática.

Acompañando a los hijos de éste, Lambert emprendió entre 1756 y 1758 diversos

viajes formativos, visitando los principales centros intelectuales de Europa trabajando

en contacto con numerosos sabios. Así llegó a ser miembro de la «Societé

scientifique» suiza. Publicó sus primeros trabajos en 1755.En la última década de su

vida, obtuvo el mecenato de Federico II de Prusia, y pasó el resto de su vida de una

manera razonablemente cómoda. Murió en Berlín en 1777.

Una serie de Lambert que utiliza la función divisor

FUNCIÓN DIVISOR

En Matemática y especialmente en teoría de números una función divisor es una

función aritmética la cual es una función real o compleja f(n), definida sobe el

conjunto denlos números naturales relacionada a los divisores de un entero n .cuando

nos referimos a la función divisor este cuenta el número de divisores de un entero n

.esta aparece en un gran número de identidades incluyendo relaciones con la función

z de Riman y las series de Einstein de formas modulares. La función divisor fueron

estudiadas por Dirichlet, Lambert y Ramanujan , quien dio un número importante de

congruencias e identidades.

Srinivasa Aiyagnar Ramanujan.fue un matemáticohindú muy enigmático, de familia

humilde a los 7 años asistió a una escuela pública gracias a una beca .les recitaba a us

compañeros formulas Matemática y cifras de π. A los 12 años dominaba la

trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000 teoremas conocidos sin

demostrar esa fue su formación matemática básica

Algunos números tienen pocos divisores, como los números primos y algunos

números tienen muchos divisores, como potencia de 2 .el numero de divisores aunque

varía enormemente un número entero a la ejecución nacional, obedece a una de las

reglas interesantes y las medidas son bastante predecibles como veremos más

adelante.

Por definición Ф(n), el número de iteraciones en el rango de n, que tiene un máximo

común divisor, o es el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos

con n

Ф(n)=#{m: 1≤m≤n, (m,n)=1}.

Esta notación es por supuesto equivalente a la más frecuente en el uso del signo

Todos los divisores de n son de la forma

Si 0≤ ≤

Aquí cada exponente f puede tomar en un e+1

Los diferentes divisores distintos está dada por la función de divisores y se define

como:

Y es igual a

Ejm: n=12= . ,d(12)=3.2=6

Comprobar: =1, 2,3,4,6,12 ,de echo 6 divisores distintos de 12

En algunas aplicaciones se utiliza más de una vez una pequeña

Ahora tomaremos algunas m 1≤m≤n con n debe ser uno de los divisores

de n(m,n)= .

Para algunos k cuantos números ay que comprenden el mismo mcd ,se denota el

tamaño pequeño de una fila com

≤m≤n, (m,n)= }.

Por supuesto por la definición de Euler de =1 ; =Ф(n) .podemos reescribir la

definición anterior de

Y ahora vemos que :

=Ф

Ejem: para n=12 =4, =Ф(3)=2 ,

De hecho hay precisamente 2 enteros en el rango de 1 hasta 12 que comparten la mcd

2 con 12 es decir 2 y 12 .

Ahora cada m, 1≤m≤n debe tener uno de los divisores d(n) distintos de n como el

mcd ; con

Volviendo a nuestra notación antigua sumando todos los divisores que muchos

escriben en lugar

El cual es un resultado importante.

La suma de los argumentos de una función de la teoría de números se llama sumatoria

por lo tanto la función sumatoria de Euler Ф es su argumento

La función divisor d(n) es multiplicativa para comprimir m y n

d(nm)=d(n).d(m), para (n,m)=1

Que sigue inmediatamente de la formula

parar d(n) en términos de exponentes primos

Para el caso especial de que n es producto de primos, ninguno de los cuales se repiten

d(n= )

N como también se le llama 1 por razones obvias .Por ejem:30 es el producto de 3

primos distintos. por lo tanto = 8 divisores

Como hemos visto en una sexta probabilidad de un entero es (6/( 2 )≈0.61 .por lo

tanto la mayoría de los números enteros son 1 de los 100 enteros 2 hasta 101 e

incluso entre los primeros 20 números enteros por encima de 1 , la aproximación

(0.65), está ya muy cerca del años asintótico .por lo tanto esta área particular de la

teoría de números ,20 ya es un gran numero (pero el lector debe recordar que en otras

áreas ,por ejem: 10 a la 1000000 es tan terriblemente grande

Usando la notación para la suma de todos los divisores que podía haber introducido en

la forma d(n) en el

Por lo tanto, d(n) es la sumatoria de funciones de

.

El promedio de la función divisor

El promedio de la función divisor utilizando el método de Gauss , todavía hay otra

forma de expresión d(n) que es adecuada para la estimación del promedio

]-[ ]

Aquí n es divisible por k , entonces la diferencia en el será uno ;de lo contrario será 0

,el punto importante en la expresión anterior que se va distribuyendo sobre todos los k

No todos los divisores de n los obtenemos

Por supuesto la estimación de la derecha es un límite superior 1 dejando caer el

soporte de gauss hemos aumentado (por menos que uno) todos los sumandos para los

que n no sea divisible por k 1 para n grande este argumento debería ser relativamente

pequeño 1 esperamos que el valor promedio de la suma de los reciprocas de el

logaritmo

el resultado exacto es :

Y aquí es la constante de Euler

alrededor de 0.1542 de la notación 0(1/ ), significa que el error absoluto en

es menor que c/

El Producto de la función divisor:

También hay una formula buena para el producto de los divisores de un determinado

entero n :

Aquí tenemos

Ejem: n=12 , el producto de los divisores es igual a 1.2.3.4.6.12=1728,elnumero de

divisores d(12)=6 y 1728=

Para obtener la medida geométrica de los divisores de n tenemos que tomarla raíz

d(n)-ésima de su producto dado a raíz de n

Un curioso resultad? en realidad no¡ los divisores vienen en pares : si d divide a n

también lo es su distinta . n/d ( a ecepción d cuando no es distinta ) y la

medida geométrica de cada uno de estos pares es igual a la cual generala medida

geométrica

La sumatoria de la función divisor

Está definida como la suma de potencia de los divisores positivas de

La función de resumen:

Al igual que todos la sumatoria de funciones multiplicativa es multiplicativa. Es

suficiente con considerar el primer problema solo para los n que son potencias de un

solo primo y el de multiplicar los resultados individualmente. Esto produce con

el comportamiento asintótico de Ф(n) esta dad por

Un resultado que puede ser dejando caer -1 en el denominador en cada termino del

producto

y convertir en un producto más de primos con los factores probabilísticos adecuados

y procedimientos como en el caso de Ф (n)/n , la expresión anterior converge muy

rápidamente

Generalización de la función divisor

La generalización de la función divisor se define de la siguiente manera

Por supuesto, y

Estas funciones divisoras generalizadas obedecen a una simple geometría con

respecto a su índice

Ejem: n=6, k=3 divisores d=1,2,3 ,6 .

1+8+27+216=216(1+

La relación de simetría anterior, para k=1 conduce la siguiente relación entre los

medios de divisores de n .la medida aritmética por la media armónica es igual a el

cuadrado de la medida geométrica y es igual a n .

= =n

Ejem : n=6; d=1,2,3,6. =2, ,3.2= =6

El valor medio de la función de Euler

ejem

Ф (29)=28, Ф (30)=8, Ф(31)=30, Ф(32)=16 .

Si estamos interesados en el comportamiento asintótico, es mejor considerar un valor

promedio. El argumento probabilístico es considerado la medida de forma automática,

nuestras probabilidades de ignorar bien las fluctuaciones como la de las anteriores

numéricas

Por ejemplo, Considere primero

Con nuestra ya habitual (pero no demostrado) el argumento probabilístico es de

convertir el producto por encima de mas primos que dividen a n, en un producto de

todos los numero primos. La probabilidad de que un primo divida a n es igual a 1/π y

la probabilidad de que no es igual a 1-1/π, en este caso el primo pi constituye el factor

1 de los productos.

Muchos escriben

Un producto infinito que no hemos encontrado antes de lo que sea calculado mediante

la conversión de la inversa de cada factor en una serie geométrica infinita y todo lo

que produce cada cuadrado de una sola vez, así nos encontramos

El resultado corresponde a la probabilidad asintótica, arbitrariamente seleccionado

son primos entre si como debe ser, si tomamos en cuenta la definición Ф(n). de hecho

el número de puntos blancos en línea vertical hasta la diagonal de 45* es igual a la

función de Euler.

El resultado para el comportamiento asintótico son los siguientes

Y

El resultado corresponde por supuesto a nuestra estimación probabilística, una de las

formulas 27 es igualmente sorprendente al valor promedio dentro de la suma en 27 en

comparación con 26 es n/2.

Por ejemplo si n=4

A comparación del valor asintótico el cual es 0.608 y,

Que también se compara bien con el valor asintótico (0.304).

Conclusión

Luego de finalizar este trabajo, nos hemos dado cuenta de que la teoría de números

posee subtemas muy imporortantes y en particular los subtemas que estamos

estudiando ya que estos no se estudian a fondo en la licenciatura.

Por otro lado, la importancia que se le de a la teoría de números ayudara a

comprender con mayor facilidad las aplicaciones que puedan tener en la vida ya que

hasta para las guerras es utilizada las aplicaciones de esta.

Algunos números tienen pocos divisores, como los números primos y algunos

números tienen muchos divisores, como potencia de 2.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Manfred R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication,

PrimeraEdicion, Springer.

WEB BIBLIOGRAFICAS

1. http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

2. http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert

3. http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_divisor

4. http://es.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Aiyangar_Ramanujan