foto gra me tria

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METODO DE TRIANGULACION TOPOGRAFICA PREAMBULO: El actual levantamiento topográfico es siempre fotométrico independientemente de su escala y extensión informatizada hasta límite cada vez más avanzado pero siempre subsidiario del apoyo de trabajos de topografía clásica. Maso menos aligerados por método de aereotriangulacion el deseo de eliminar totalmente esta labor de campo aun no ah podido materializarse mediante tecnología alguna de aplicación el ultimo y mayor avance en dicha dirección a sido la revolución errupsion GPS (global position system ) modificando radicalmente pero no suprimiendo instrumentación observación y calculo con fuerte ventaja de rendimiento en tiempo y corte sin embargo la calidad que pueden alcanzar los trabajos realizados por topografía clásica es difícilmente igualable por cualquier otra tecnología su fiabilidad en diseño y proyecto y verificación de resultados decidamente superior saber triangulas y trilaterar . Sigue siendo por lo tanto una exigencia ineludible en la formación del técnico superior didácticamente no somos capaces de encontrar otro procedimiento de exposición que permita comprender y justificar repasar sumamente como se abordara antiguamente en un proyecto de topografía clásica podríamos decir que la producción cartográfica solo es

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Page 1: Foto Gra Me Tria

METODO DE TRIANGULACION TOPOGRAFICAPREAMBULO:

El actual levantamiento topográfico es siempre fotométrico independientemente de su escala y extensión informatizada hasta límite cada vez más avanzado pero siempre subsidiario del apoyo de trabajos de topografía clásica.

Maso menos aligerados por método de aereotriangulacion el deseo de eliminar totalmente esta labor de campo aun no ah podido materializarse mediante tecnología

alguna de aplicación el ultimo y mayor avance en dicha dirección a sido la revolución errupsion GPS (global position system ) modificando radicalmente pero no suprimiendo instrumentación observación y calculo con fuerte ventaja de rendimiento en tiempo y corte sin embargo la calidad que pueden alcanzar los trabajos realizados por topografía clásica es difícilmente igualable por cualquier otra tecnología su fiabilidad en diseño y proyecto y verificación de resultados decidamente superior saber triangulas y trilaterar .

Sigue siendo por lo tanto una exigencia ineludible en la formación del técnico superior didácticamente no somos capaces de encontrar otro procedimiento de exposición que permita comprender y justificar repasar sumamente como se abordara antiguamente en un proyecto de topografía clásica podríamos decir que la producción cartográfica solo es asequible desde un información más y más acentuada. Pero las aplicaciones de ámbito reducido y alta precisión siguen siendo por topografía

Page 2: Foto Gra Me Tria

1:25000

L= 15 km a= 10km

.a .b

.c .d

.e .f

.a´ .b´

.c´ .d´

.e´ .f´´

Acumulación de errores angulares y longitudinales

E total

10 km

1E

= dfotod terreno

P= 150000

perimetro=28k

P= 50028000

= 156

Page 3: Foto Gra Me Tria

B

A

72°

18°70°20°

71°

19°

20°70°

Camino III

Camino IV

Camino II

Camino I

C

D

CAMINO I : aplicando ley de senos

Si:

AB

sen70= AD

sen20

AD= ABsen 20sen 70

AD=1000 sen20sen70

=363,97

Si :

AD

sen72= CD

sen19

CD= ADsen 19sen72

Page 4: Foto Gra Me Tria

CD= ADsen 19sen72

=124,595

CAMINO II : aplicando ley de senos

SI:

AC

sen 90= AB

sen18

AC=1000 sen 90sen18

AC=3236,067

Si:

ACsen 90

= CDsen19

CD= ACsen 19sen90

CAMINO IV: aplicando ley de senos

SI:

BDsen 90

= ABsen70

BD= ABsen90sen70

BD =1064,177

SI:

CDsen70

= BDsen90

CD= BDsen70sen 90

CD=1000

DIFERENCIA TABULAR

Diferencia tabular=log(senx)-log(sen(x-1))

lgsen (20 °00 ' 00″ )+10=9,534051685

−lgsen (20 °00 ' 01″ )+10=9,534057469

dif tab=5,784822∗10−6

lgsen (70° 00' 00″ )+10=9,972985816

−lgsen (70 °00' 00″ )+10=9,972986583

dif tab=7,6634049∗10−7

Page 5: Foto Gra Me Tria

¿0,76634049∗10−6

Recomendaciones.

En orden a concebir homogeneidad y mayor precisión en las coordenadas de los vértices deben respetarse hasta donde sea posible las recomendaciones tradicionales de:

1° efectuar la consistencia de triángulos de formas regulares, preferiblemente tendiendo a equiláteros.

2° en cualquier caso evitar excesivas diferencias relativas con las longitudes de los lados y no observar los ángulos en vértices inferiores a 25g porque las diferencias tabulares para ángulos pequeños es grande.

CONSISTECIA O RIGIDEZ DE LAS FIGURAS DE LA RED DE APOYO

La rigidez ó consistencia (R) de una figura,es una cantidad adimensional que permite cuantificar la calidad trigonométrica de cualquier red de triángulos. Por lo tanto, indica el número de figuras geométricas que se pueden formar en un itinerario longitudinal. La rigidez esta controlada por la amplitud de los ángulos internos de las figuras geométricas, y esta amplitud depende del orden en cual se esta trabajando.

R=K∑¿

60°

60°

B

60°

A C

>25g

210m

200m210m

Page 6: Foto Gra Me Tria

α6

α5α4α3

α2

α1α7

α8

Base de partida 1000m

Base de llegada 900m o 900,02

B C

A D

K: Estimador de a consistencia o rigidez

K=Q−CQ

C=Q+B−3 A−3

Donde

Q: Nº de lados observados en los sentidos

Q=6∗2=12

B: Nº de bases de medidas

B=2

A: Nº de estaciones

A=4

C: N de condicones geometricas y trigonometricas o condiciones de lado

C=Q+B−3 A+3

C=12+2−3∗4+3=5

K=12−512

=0,583

Page 7: Foto Gra Me Tria

1º CONDICION GEOMETRICA

α 1+α 8=α 4+α 5

2º CONDICION GEOMETRICA

α 2+α 3=α 6+α 7

3º CONDICION GEOMETRICA

α 1+α 2+α 3+α 4+α 5+α 6+α 7+α 8=360

4º CONDICION GEOMETRICA

Los angulos en cada vertice deben sumar 360º

5º CONDICION TRIGONOMETRICA

- Los caminos de mejor rigidez - La discrepancia entre base medida y base calculada debe tener una presicion

de P≥ 1:5000

Base medida = 900,00m

Base calculada=900,02m

=900,15m

=900,18m

P=0,02900

= 145000

P=0,15900

= 16000

P=0,18900

= 15000

P=0,20900

= 14500

CONDICION DE LADO

Esta mal

Page 8: Foto Gra Me Tria

8

765

4

31

2B

CD

A

Finalmente hacemos el ajuste ( que se cumplan las condiciones geometrcicas ) para que el valor de CD sea el mismo indiferente de la ruta elegida. Para plantar la ecuacion correspondiente se toma las dos rutas de mejor rigidez.

RUTA 1

ABsen5

= BCsen2

BC= ABsen2sen5

BCsen7

= CDsen4

CD=BCsen 4sen7

CD= ABsen 2∗sen 4sen5∗sen7

RUTA 2

ABsen8

= ADsen3

AD= ABsen 3sen8

ADsen6

= CDsen1

CD= ADsen1sen 6

CD= ABsen 3∗sen1sen 8∗sen6

ABsen 2sen5

∗sen 4

sen7=

ABsen 2sen8

∗sen 1

sen6

sen2∗sen 4∗sen6∗sen 8sen1∗sen3∗sen5∗sen7

= ABAB

=1

Page 9: Foto Gra Me Tria

8

765

4

31

2B

CD

A

Si tomamos logaritmos a ambos mienbros encontramos la condicion de lado

lg( sen2∗sen 4∗sen6∗sen 8sen1∗sen3∗sen 5∗sen7 )=lg (1 )

ERROR

δα= diferencia tabular correspondiente al lado conocido expresado ala sexta cifra

δβ= diferencia tabular correspondiente al lado por conocer expresado ala sexta cifra

Ejercicio Nº 1

a).

Para el camino I

BCsen2

= ACsen 7

AC=BCsen7sen2

ACsen7

= ABsen5

AB= ACsen5sen7

AB=BCsen 7∗sen5sen2∗sen7

AB=BCsen5sen2

ABsen5

= BCsen2

BC= ABsen2sen5

BC= BCsen5∗sen 2sen5∗sen2

- Método

- Método topográfico

Page 10: Foto Gra Me Tria

45

12

1311

6

7

8

9

10

14

1

23

BCBC

= sen5∗sen2sen5∗sen2

lg (1 )=lg (1)

Para el camino II

BCsen7

= BDsen11

BD= BCsen11sen7

BDsen11

= CDsen4

CD=BDsen 4sen11

CD=BCsen 11∗sen 4sen7∗sen1

CD=BCsen 4sen7

CDsen 4

= BCsen 7

BC=CDsen7sen 4

BC= BCsen 4∗sen7sen4∗sen7

BCBC

= sen4∗sen7sen7∗sen 4

1=1

lg (1 )=lg (1 )

b) Hallar k de la siguiente figura

si

C=Q+B−3 A+3 C=18+2−3∗5+3

Q=18

B=2

A=5

Page 11: Foto Gra Me Tria

12

76

5

4

32

1

8

9

10

11

Si K=Q−CQ

K=18−818

=0,555556

1º condicion geometrica

1+10=13+7

2º condicion geometrica

2+14=9+8

3º condicion geometrica

11+3+4=180 º

4º condicion geometrica

5+12+6=180 º

5º condicion geometrica

2+7+27=180 º

6º condicion geometrica

1+2+10+9+7+8+13+14=360 º

7º condicion geometrica

La suma de los vertcices deben de sumar 360º

8º condicion trigonometrica

- Los caminos de mejor rigidez

- Discrepancia entre base medida y base calculada

c) Hallar k para la siguiente figura

Page 12: Foto Gra Me Tria

13

12 11

10 9

876

54

3

2

1

Si C=Q+B−3 A+3C=16+1−3∗5+3C=5Q=16B=1A=5

K=16−55

=22

1º condicion geometrica 2+12+3=180º

2º condicion geometrica 9+4+5=180 º

3º condicion geometrica 7+10+6=180 º

4º condicion geometrica La suma de los vertices deben de sumar 360º 5º condicion trigonometrica

- Caminos de mejor rigidez

- La discrepancia entre base medida y calculada

d) Hallar k de la siguiene figura

C=Q+B−3 A+3C=18+3−3∗5+3C=9

Q=18

B=3

A=5

1º condicon geometrica

1+4+5+6+7=180 º

Page 13: Foto Gra Me Tria

2º condicion geometrica

3+13+12+11=180 º

3º condicon geometrica

2+8+10+9=180 º

4º condicion geometrica

6+7+8+9=180 º

5º condición geometrica

5+10+11+12=180 º

6º condicon geometrica

1+2+3+4+13=180 º

7º condicion geometrica

6+7+8+9+10+11+12=360 º

8º condicion geometrica

La suma en cada vertice debe de ser 360º

9º condicion geometrica

- Caminos de mejor rigidez

- Discrepancia entre base medida ycalculada

CONSISTENCIA O RIGIDEZ ESPECIFICA DE UNA CADENA

El estimador K=Q−CQ

de la consistencia conjunta de la figura ala cual no es

suficientemente significativo según ya se dijo en efecto en todas las figuras estudiadas puede enlasarse la base o lado de partida y la de llegada mediante diversos caminos ( cuadrilatero ay 4 caminos ) cadena de triangulos distintos y sera presiso definir el error previsible minimo para utilizar en los anteriores calculos

INTERSECCION DIRECTA

Page 14: Foto Gra Me Tria

δδ

αβ

θ

CUADRILATERO DE INSERTIDUMBRE

Analizando la presicion de las cordenadas del punto P en realidad los angulos α y β no son exactos y estan afectados de errores accidentales dadoque provienen de medidiciones realizadas de los angulos admitiendo que los errores δ sean iguales Para hallar el dezplazamiento del punto P es

a= l∗δ

sen (θ2 )

δ=(∑V 2

n−1 )L : lado mas largo δ : error de angulo θ : angulo de interseccion

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SU RIGIDEZ

Clasificación Primer OrdenSegundo orden Tercer orden

Clase 1 Clase 2 Clase 1 Clase 2

Detalles del levantamiento

Lados de 3 Km a 8 Km medida primaria trigonométrica

Triangulo topográfico de precisión baja, de

lado de 1 a 3 Km

Triangulo topográfico de

precisión media, de lado de 1 a 2 Km

Triangulo topográfico de

precisión alta, de lado de 1 Km

No existe

Rigidez 1 < R < 25 25 < R < 80 80 < R < 175 120 < R < 175

Orden de la red de acuerdo a su rigidez

Page 15: Foto Gra Me Tria

1º tener en cuenta en lo posible los triángulos equiláteros

2º evitar ángulos menores a 25º

3º las distancias de los lados sean casi iguales

R=Q−CQ

=72−2472

K=0,67

C=Q+B−3 A+3

Q=72

B=3

A=18

C=72+3−3∗18+3=78−54=24

1º condición geométrica

Δ=180 º /200 g

19 por triángulos

2º condición geométrica

Suma alrededor de l vértice 360º/400g

3º condición trigonométrica

dif tabular=21,0552∗10−7

tag87= 1.1034¿10−7

0,11034∗10−6

- Ge

- trigonométricas

Page 16: Foto Gra Me Tria

Ejemplo 1.- En la siguiente red topográfica de bases A A1 y A17 A16 se pide hallar la rigidez por el mejor camino de llegada

D= 2 Q= 70 A=18 C= 70+ 2 – 2(18) + 3= 39

R= Q−C

Q ∑(δa + δb + δaδb) = 28.6698 Segundo Orden (Clase 1)

Ejemplo 2.- Dada la siguiente red trigonométrica de base de partida AB y base de llegada IH. Halla la rigidez del mejor camino

D= 2 Q= 48 A=9 C= 48+ 2 – 2(9) + 3= 35

Page 17: Foto Gra Me Tria

FIGURA TRIANGULO a b xa yb suma Sumatoria camino Eleccion BAD 37 96 2.79413226 -0.22129381 7.23782188ADC 98 40 -0.2959062 2.50927226 5.64149854ABD 37 36 2.79413226 2.89801315 24.3030873BDC 63 47 1.07282198 1.96343783 7.11245438ABC 35 76 3.00700837 0.52497028 10.8962832BCD 90 47 5.10E-06 1.96343783 3.85509815BAC 35 49 3.00700837 1.83030876 17.8958832ACD 53 40 1.58663042 2.50927226 12.7951311DCE 39 76 2.60011239 0.52497028 8.40116ECF 101 55 -0.40926615 1.47430793 1.73769832CDE 39 43 2.60011239 2.25790374 17.7295172DEF 58 42 1.31568143 2.33842722 10.2758848CDF 43 98 2.25790374 -0.2959062 4.51756204DFE 85 42 0.18421419 2.33842722 5.93294822DCF 43 34 2.25790374 3.12157671 21.8905901CFE 46 55 2.03328599 1.47430793 9.30552543

TRIANGULO EFG 54 69 1.52975694 0.8082389 4.22981549 4.229815488 ↙GFJ 45 64 2.10552927 1.02693658 7.65009729FJH 109 43 -0.72498265 2.25790374 3.98678809FGJ 45 35 2.10552927 3.00700837 19.806697GJH 58 28 1.31568143 3.95992859 22.6220565FGH 51 78 1.70502417 0.44754723 3.87048478GHJ 109 28 -0.72498265 3.95992859 13.3357547GFH 51 36 1.70502417 2.89801315 16.2467701FHJ 64 43 1.02693658 2.25790374 8.47145197

Sumatoria 38.88487961

X31.19611555 X

CUADRILATERO

11.63688539 ↙42.42875352 X17.20623952 X24.71822205 X

CUADRILATERO

12.87932042 ↙31.41554172 X14.75138132 X30.69101433 X

CUADRILATERO

10.13885831 ↙28.005402 X

10.45051027

R= Q−C

Q ∑(δa + δb + δaδb) = 10.531 Primera Clase

CAUSAS DE ERRORES EN TEODOLITOS MECANICOS Y TEODOLITOS ELECTONICOS

Como ya sabemos, por bien concebido y construido que sea un aparato, y aun admitiendo una utilización del mismo extremadamente cuidadosa, será inevitable la comisión de toda una serie de errores de muy diverso origen y denominación.

Dichos errores serán sistemáticos y siempre existirán. No obstante, los modernos teodolitos, supuesto bien utilizados y conservados, permiten entender despreciables los errores sistemáticos y localizar el problema exclusivamente en los accidentales.

Page 18: Foto Gra Me Tria

Es indudable la trascendencia del estudio y cifrado del nivel de error a esperar, y de la ineludible necesidad de realizar un estudio detallado de dicha cuestión, como elemento imprescindible el proyecto geodésico o topográfico de que se trate. Los resultados obtenidos podrán asegurar si puede o no realizarse el trabajo dentro de las tolerancias preestablecidas, con qué cota máxima de error previsible, y con qué probabilidad de comisión.

Resultados desfavorables conducen a reconsiderar el método inicialmente concebido, arbitrando otro más preciso, que también debe ser cifrado, o incluso a sustituir los aparatos en principio programados por otros de mayor precisión.

Una precaución que debe adoptarse siempre, en cualquier trabajo que requiera la utilización del teodolito, es la aplicación de la regla de Bessel (observación doble, con giro y vuelta de campana) en cada punto a levantar, y de acuerdo con lo antes explicado (epígrafe 3. capítulo 10). Con dicha práctica. 110 solamente se eliminan, según vimos, los posibles errores residuales de excentricidad, desviado de índices y prácticamente todos los de ajuste, sino que se incrementa la precisión disminuyendo el error de cada observación en 1/√ 2 al adoptar el valor promedio de las dos lecturas.

ERROR POR VERTICALIDAD

m=1 ´ ´ ,5´ ´ ,10 ´ ´ presicion del equipo

s=10´ ´ ,20 ´ ´ ,30 ´ ´ sensibilidad de nivel

A=20 x ,30 x ,40 x aumento de la lente

Page 19: Foto Gra Me Tria

a. Observaciones cenitales

En la colimación del punto A desde O, y si OV es la vertical del lugar o posición exacta del eje principal y OE la posición real, se cometerá un error en la observación cenital (figura I) que valdrá:

e t = Δ — Δ'

Δ = ángulo cenital exacto

Δ'= ángulo cenital erróneo observado

Si proyectamos E sobre VA, considerando (Legendre) al triángulo VEE' como rectilíneo, se tendrá:α = azimut exacto

E1=VE’=VE cos α

Pero VE es precisamente el error de verticalidad del eje propiamente dicho, que valdrá, según sabemos, los 2/3 de la apreciación del nivel, como máximo. Y si la apreciación, según la hipótesis admitida con anterioridad, vale 1/2 S, siendo S la sensibilidad, se tendrá:

et = Δ — Δ' = 2/3. ½. S. Cos α

Que pone de manifiesto que el error será máximo para α = 0 y se anulará para

α = π/2.

Figura 12.1

α

M’

Δ

E’

o

E

Δ’

M

α’

A

Page 20: Foto Gra Me Tria

Con ello adoptaremos como error de

Verticalidad cenital al valor:

evc=S3

En cota máxima

Observaciones azimutales

En la figura, el error será:

e2=α−α ' = azimut exacto-azimut aproximado y en triángulo esférico VAE}

Y como:

Y como e1 y e2. Muy pequeños

sen(e1)≈e1 cos (e1)≈ 1

sen(e2)≈e1 cos (e2)≈ 1

e1∗ctg (∆ )=−e2∗cos (α)

sen ( α )−e2∗cos(α )

sen ( ∆ )−sen (∆−e1)

sen(∆')=

sen (α−e2 )−sen (α )sen(α−e2)

e1=∆−∆ ∆ '=∆−e1

e2=α−α ' α '=α−e2

e1∗sen (α )∗ctg (∆ )−e1∗e2∗cos (α )∗ctg (∆ )=−¿e2∗cos (α )¿

sen ( ∆ )−sen (∆ ' )sen(∆')

=sen (α ' )−sen (α)

sen (α ')

sen(∆)sen (∆ ')

=sen(α ' )sen (α )

Page 21: Foto Gra Me Tria

Y despreciando infinitésimos de 2° orden, puede tomarse:

Y como

Tomando valores absolutos se tendrá

e2 será máximo para α = π/2 y visuales muy inclinadas.

Supuesto que admitimos como máxima distancia cenital 75", difícilmente superable en trabajos usuales, y con ello, aun en casos extremos, deberá verificarse:

Y en cota máxima, adoptaremos definitivamente y en valor absoluto

Consecuentemente, en trabajos de planimetría, especialmente si el terreno es poco movido (A =90”), el error de verticalidad será poco importante. Podrá nivelarse el aparato ligeramente, sin mengua de precisión y con buen ahorro de tiempo. Sin embargo, en trabajos de altimetría el error se transmite casi íntegramente a las visuales. Por ello es preciso en ese caso nivelar el aparato muy cuidadosamente, y, por otra parte, de ahí la necesidad del nivel de eclímetro, en muchos casos de mayor sensibilidad que el de la alidada, incluso utilizando en él niveles de burbuja partida, y el importante avance que representa, tanto en precisión como en ventaja en tiempo, el índice automático

e2=−e1∗tg (α )∗ctg (∆ )

e1=S3∗cos (a)

e2=S3∗ctg (∆ )∗sen (a)

e2<S3∗ctg (75 ° ) ≈

S3∗1

4

e2<1

12∗S

Page 22: Foto Gra Me Tria

ERROR POR DIRECCION

Sea E el punto de estación y P el que se pretende levantar. Respectivamente los círculos de radios ee y ep representaran los de error en el posicionamiento de la plomada y la mira o banderola. La tangente común interior a ambas circunferencias es evidentemente la posición de máximo error (figura 2) y este valdrá:

En observaciones cenitales por la propia situación geométrica del diedro a medir, no deberá ser tenido en cuenta En contrapartida en observaciones acimutales será el error más importante a temer y ello tanto más cuanto menor sea la distancia.

De ahí la trascendencia del correcto posicionamiento de la plomada en planimetría y el importante avance que supone la utilización de bastón o centrador o plomada óptica junto con el centrado forroso en poligonaciones de precisión.

Utilizando plomada normal y estadia vertical puede tomarse:

En cota máximaee+ep=5cm

ed=ee+e p

D

Page 23: Foto Gra Me Tria

30°20′40″

30°40′10″

Como minimizar

Hoja de cuaderno

ERROR POR PUNTERIA

β=10 ´ ´ ,20 ´ ´ ,50 ´ ´

5.1.- observaciones cenitales: el error de puntería valdrá epe (figura 3 ) y estará medido por el ángulo formado por la visual exacta EP y la aproximada, que suponemos NM, recta que une el centro óptico

Figura 12.3

M/

Oscuridad, neblina

Claro

Page 24: Foto Gra Me Tria

H

Del objetivo y el punto M, intersección de la vertical de P (punto donde se ha situado la mira) y la traza horizontal de ésta sobre la que se ha hecho puntería.

Según sabemos, el límite de la percepción visual se sitúa en 30", y por tanto, el error a temer, dos tercios de la apreciación, valdrá 20".

La consecuencia, y supuesto el anteojo en posición telescópica, y representando por .v y en milímetros el error de puntería en la imagen, se tendrá:

f 2:distancia focaldel ocular

Y como

Se deduce:

A: es el aumento del anteojo

Todo ello suponiendo una claridad unidad. Pero como ésta disminuye al crecer el aumento, acostumbra a adoptarse un coeficiente empírico de

mayoración que podemos suponer igual al,(1+ 4 A100

) con lo que, para uso

práctico, adoptamos la expresión final:

En cota máxima.

Y si la puntería se realiza sobre un punto menos definido que el supuesto (coincidencia del hilo horizontal del retículo con una raya de la mira), conviene incrementar e! error hasta un máximo de:

(5)

e p=xf 1

xf 2

<20 °

e pc=20 } over {A} (1+ {4A} over {100} ¿

e p=20 {f} rsub {2} } over {{f} rsub {1}} = {20

f 1

f 2

=20} over {A ¿

e pc=50} over {A} (1+ {4A} over {100} ¿

Page 25: Foto Gra Me Tria

5.2. Observaciones azimutales

Al bisecar con el hilo vertical un jalón o tina mira, entenderemos la puntería como bien hecha cuando la diferencia entre los ángulos bajo los que vemos ambas mitades no exceda de 30". Ello sucede, evidentemente, cuando la bisección alcanza un error de 15". Y con un razonamiento exactamente igual al anterior, deducimos el error en cota máxima como:

(6)

El error de puntería en observaciones azimutales suele ser el menos importante de los que concurren en ellas.

s = sensibilidad del nivel

β= claridad del objeto A = aumento de lente

ERRORES ACCIDENTALES

OBSERVACIONES CENITALES OBSERVACIONES AZIMUTALES

VERTICALIDAD evc=s3

(una observación) eva=1

12s

evc=evc√n (n=número de observaciones)

eva=14∗3.29 σ (con

compensador)DIRECCIÓN NO SE TOMA EN CUENTA

ed=eequipo+eprisma

Deequipo+eprisma≤2.5cm

D= distancia entre equipo y prisma

PUNTERÍA e pc=βA

(1+ 4 A100

) e pa=βA

(1+ 4 A100

)

β=10' ' ,20' ' ,50 ' 'claridad

A=20 x ,30 xAumentos lente

LECTURA eLc=23

meL=m2

(Bessel)

m=1' ' ,5' ' ,10' 'apreciacionnonio

eLa=23

meLa=m2

(bessel)

ERROR TOTALANGULAR

ETG=√eVC2 +ePG

2 +eL2 ETa=√eva

2 +ed2+ePa

2 +eLc2

ERROR TOTAL ANGULAR

PROBLEMA: si aplicamos lo expuesto a un teodolito tipo mecanico del tema anterior expuesto se obtendran los resultados que siguen

DATOS

Teodlito wild T-2

Aumento (A) = 30x

Sencibilidad de nivel (S)=20´´

e pc=10} over {A} (1+ {4A} over {100} ¿

Page 26: Foto Gra Me Tria

Apresiacion m=1´´

SOLUCION

1º ev= 112

∗20 ´ ´=1,7 ´ ´

2º ed= ep+eeD

= 25cm150000

∗206265=3,43 ´ ´

3º buena calidad del elemento de punteria B=10´´

ep= BA

∗(1+ 4 A100 )=10´ ´

30∗(1+ 4∗30

100 )=0,7 ´ ´

4º el=m2

=1´ ´2

=0,5 ´ ´

ERROR TOTAL AZIMUT

eta=( 1,72+3,432+0,72+0,52)

METODO PARA AUMENTAR LA PRECISION DE LAS

MEDICIONES ANGULARES HORIZONTALES

POR REITERACION

Page 27: Foto Gra Me Tria

Para la precisión de angulos

Hallando el error cuadrático de cada angulo

σ=√∑ v2

n−1

V V2

26.5 11

21.5 3 σ=√ 172

=2.91

21.5 3∑ ¿69.5 ∑ ¿17

Angulo 1 → σ 1=2.88Angulo 2 → σ 2=3.61Angulo 3 → σ 3=6.29 menos precisoAngulo 4 → σ 4=5.48Angulo 5 → σ 1=1.60 más preciso

Dispersión

Angulo 1 → 26.5−21.5=5Angulo 2 → 7.0−0=7Angulo 3 → (46−32.5 )=12.5 menos precisoAngulo 4 → (12−2.5 )=9.5Angulo 5 → 46.5−43.5=3 más preciso

Page 28: Foto Gra Me Tria

Error de la suma

E suma=√σ 12+σ2

2+σ32+σ 4

2+σ52

E suma=√2.882+3.612+6.292+5.482+1.602

E suma=9.66

Error total por reiteración

ET=√ 2e La2

n+

2ePa2

n+eVa

2+eDa2

El método de reiteración aumenta la precisión en la lectura y puntería

Como A = 30X; S = 30II; m = 1II 1. VERTICALIDAD

eVa=1

12x S=30

12=2.5 eVa

2=6.25

2. POR DIRECCION

eDa=1.8 cm

40000cm=0.00045 rad .=9.282 II eDa

2 = 86.154

3. ERROR POR PUNTERIA

ePa=βA (1+ 4 xA

100 )=10 II

30 (1+ 4 x 30100 )=0.733

ePa2=0.537 II

4. ERROR POR LECTURA

eLa=23

m=23

x 1=0.667 II eLa2=0 .444 II

ERROR TOTAL

ET=√ 2 x 0.4443

+2 (0.537)

3+6.25+86.154=9.64 II

Page 29: Foto Gra Me Tria

COMPENSACIÓN ANGULAR DE UN CUADRILÁTERO

METODO TOPOGRAFICO

Page 30: Foto Gra Me Tria

D1 = 33.1241g -22c D2 = 31.6676g -6c D3 = 46.9275 +22c D4 = 87.8963 +6c

V1 = 56.8667 -22c V2 = 78.3429 -6c V3 = 43.0546 +21c V4 = 22.1119 +5c

∑ = 89.9908 ∑ = 110.0105 ∑ = 98.9821 ∑= 110.0082

C = Q B – 3A +3 Q =12 A = 4 B = 1C = 12+1-12+3C = 4

Condiciones geométricas:

D1 + V1 = D3 + V3 D2 + V2 = D4 + V4

89.9908 ≠ 89.9821 110.0105 ≠ 110.0082 Error = 0.0087 Error = 0.0023874

=21.75≈ 22234

=5.75≈ 6

Hacienda las correcciones tenemos:

D1 = 33.1220g +10c D2 = 31.6670g +10c D3 = 46.9297 +10c D4 = 87.8969 +10c

V1 = 56.8645 +11c V2 = 78.3423 +11c V3 = 43.0568 +11c V4 = 22.1124 +11c

∑ = 89.9865 ∑ = 110.0093 ∑ = 98.9865 ∑= 110.0082

D1 + V1 + D2 + V2 + D3 + V3 + D4 + V4 = 400.0000g

399.9116 ≠ 400.0000Error = -0.0084

848

=10.5≈ 11

Ángulos corregidos geométricamente

D1 = 33.1230g -36c D2 = 31.6680g -36c D3 = 46.9307 -36c D4 = 87.8978 -36c

V1 = 56.8656 +36c V2 = 78.3434 +36c V3 = 43.0579 +36c V4 = 22.1135 +36c

Condición trigonométrica

X

Ecuación para la condición trigonométrica

1= sin V 1sin V 2 sin V 3 sin V 4sin D 1sin D 2 sin D3 sin D 4

=∆

∆=0.999437405

Page 31: Foto Gra Me Tria

∑ cot D i=4.880836133 ∑ cotV i=5.166589589

ecc= ∆−1

∑ cot D i+∆ x∑ cotV ix 636620=−35.6571778≈−36cc

Ángulos finales:

D1 = 33.1194 D2 = 31.6644 D3 = 46.9277 D4 = 87.8943V1 = 56.8692 V2 = 78.3470 V3 = 43.0615 V4 = 22.1171

Ejercicio:

α1 = 580 54I 35II α3 = 220 53I 45II α5 = 740 37I 12II α7 = 270 57I 34II

α2 = 680 46I 57II α4 = 290 24I 02II α6 = 530 03I 24II α8 = 240 22I 10II

Condiciones geométricas

α1 + α2 = α5 + α6 α3 + α4 = α8 + α7

1270 41I 32II = 1270 40I 36II 520 17I 47II = 520 19I 44II

Error = 01I 57II Error = 56II

56II

4=14

1I 57 II

4=29.25≈29

Corrigiendo ángulos α1 – 29II α1 = 580 54I 21II

+2II ; α5 +14II α5 = 740 37I 26II +2II

α2 – 29II α2 = 680 46I 43II +3II ; α6 +14II α6 = 530 03I 38II +3II

α3 + 29II α3 = 220 54I 14II +2II ; α7 -14II α7 = 270 57I 05II +2II

α4 + 30II α4 = 290 24I 32II +3II ; α8 -14II α8 = 240 21I 41II +3II

α1 + α2 + α3 + α4 + α6 + α5 + α7 + α8 = 3600 00I 00II

3590 59I 40II ≠ 3600 00I 00II

Error = 20II

20II

8=2.5≈3 II

Ángulos corregidos geométricamente

α1 = 580 54I 23II +40II ; α5 = 740 37I 28II +40II

Page 32: Foto Gra Me Tria

α2 = 680 46I 46II -40II ; α6 = 530 03I 41II -40II

α3 = 220 54I 16II +40II ; α7 = 270 57I 07II +40II

α4 = 290 24I 35II -40II ; α8 = 240 21I 44II -40II

Condición trigonométrica

sin α 1sin α 3 sin α 5 sin α 7sin α 2 sin α 4 sin α 6 sin α 8

=∆

∆=0.9980225999∑ cot D i=5.122529976 ∑ cotV i=5.129430683

eII= ∆−1

∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−39.82383288≈−40 II

Ángulos corregidos trigonométricamente

α1 = 580 55I 03II ; α5 = 740 38I 08II α2 = 680 46I 06II ; α6 = 530 03I 01II α3 = 220 54I 56II ; α7 = 270 57I 47II α4 = 290 23I 55II ; α8 = 240 21I 04II

Calculo de distancias

ADsin α 7

= ABsin α 2

→ AB=3578.194 m.

ABsin α 5

= BCsin α 8

→BC=1530.072m

BCsin α 3

= CDsin α 6

→CD=3140.939m

CDsin α 1

= ADsin α 4

→ AD=1800.004m

XA = 180 000

YA = 8 502 400

Page 33: Foto Gra Me Tria

Calculo de azimut.- por la regla de la nemónica

AZAB = 300 00I 00II AZCD = 2040 54I 09II

AZBC = 1280 59I 12II AZDA = 2930 16I 07II

Calculo de coordenadas

YB = YA + AB Cos(AZAB) YC = YB + CB Cos(AZBC)XB = XA + AB Sen(AZAB) XC = XB + CB Sen(AZBC)

YD = YC + CD Cos(AZCD) YA = YD + AD Cos(AZDA)XD = XC + CD Sen(AZCD) XA = XD + AD Sen(AZDA)

VERTICE NORTE (m) Xi ESTE (m) Yi

A 8 502 400.000 180 000.000B 8 501 688.912 181 653.588C 8 504 536.174 182 978.415D 8 505 498.807 181 789.097A 8 502 399.988 179 999.994

AJUSTE DE UN POLIGONO

METODO TOPOGRAFICO

C=Q+B−3 A+3C=20+1−18+3

C=6

I1 = 90.5200g – 30cc D1 = 41.0010g – 30cc V1 = 68.4880g – 30cc

I2 = 104.7269g – 6cc D2 = 53.3590g – 6cc V2 = 41.9160g – 7cc

I3 = 63.5020g + 22cc D3 = 84.3718g + 22cc V3 = 52.1195g + 23cc

Page 34: Foto Gra Me Tria

I4 = 86.2500g – 18cc D4 = 60.5590g – 18cc V4 = 53.1965g – 19cc

I5 = 54.9900g + 19cc D5 = 59.6453g + 19cc V5 = 85.3590g + 19cc

Condiciones Geométricas

I1 + D1 + V1 = 200g I2 + D2 + V2 = 200g I3 + D3 + V3 = 200g

200.0090 ≠ 200 200.0019 ≠ 200 199.9933 ≠ 200

Error=903

=30 Error=193

=6.3 Error=673

=22.3

I4 + D4 + V5 = 200g I5 + D5 + V5 = 200g

200.0055 ≠ 200 199.9943 ≠ 200

Error=553

=18.3 Error=573

=19

Ángulos corregidos por triángulos

I1 = 90.5170g + 25cc D1 = 40.9980g – 12cc V1 = 68.4880g – 13cc

I2 = 104.7263g + 25cc D2 = 53.3584g – 12cc V2 = 41.9160g – 13cc

I3 = 63.5042g + 25cc D3 = 84.3740g – 12cc V3 = 52.1195g – 13cc

I4 = 86.2482g + 25cc D4 = 60.5572g – 12cc V4 = 53.1965g – 13cc

I5 = 54.9919g + 24cc D5 = 59.6472g – 12cc V5 = 85.3590g – 12cc

I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 400g

399.9876 ≠ 400Error=24.8≈25

Ángulos corregidos geométricamente

I1 = 90.5195g D1 = 40.9980g – 21cc V1 = 68.4880g + 21cc

I2 = 104.7288g D2 = 53.3584g – 21cc V2 = 41.9160g + 21cc

I3 = 63.5067g D3 = 84.3740g – 21cc V3 = 52.1195g + 21cc

I4 = 86.2507g D4 = 60.5572g – 21cc V4 = 53.1965g + 21cc

I5 = 54.9943g D5 = 59.6472g – 21cc V5 = 85.3590g + 21cc

Condición trigonométrica

Page 35: Foto Gra Me Tria

AFsin V 1

= BFsin D1

; BF

sin V 2= CF

sin D 2 ;

CFsin V 3

= DFsin D 3

; DF

sin V 4= EF

sin D 4 ;

EFsin V 5

= AFsin D 5

Multiplicando miembro a miembro y luego simplificando

1= sinV 1 sin V 2 sin V 3 sin V 4 sin V 5sin D 1sin D 2 sin D3 sin D 4 sin D 5

=∆ ecuación de la condición

trigonométrica

∆= 0.2839194460.2839940229

= 0.9997373995

∑ cot D i=3.930618993 ∑ cotV i=3.906708674

ecc= ∆−1

∑ cot D i+∆ x∑ cotV ix 636620=−0.0021≈−21cc

Ángulos finales

I1 = 90.5195g D1 = 40.9947g V1 = 68.4858g I2 = 104.7288g D2 = 53.3551g V2 = 41.9161g I3 = 63.5067g D3 = 84.3707g V3 = 52.1226g I4 = 86.2507g D4 = 60.5539g V4 = 53.1954g I5 = 54.9943g D5 = 59.6439g V5 = 85.3619g

EJERCICIO

Page 36: Foto Gra Me Tria

α1 = 45° 25I 14II + 2II α2 = 44° 10I 59II + 2 II α3 = 50° 14I 35II + 2II

α4 = 40° 09I 12II + 2II α5 = 40° 55I 59II - 2 II α6 = 48° 40I 22II - 2II

α7 = 43° 18I 47II - 2II α8 = 47° 05I 08II - 2 II

I1 = 57° 53I 15II - 8II D1 = 71° 41I 03II - 9II V1 = 50° 26I 08II - 9II I2 = 40° 30I 34II + 2II D2 = 76° 13I 15II + 1II V2 = 63° 16I 07II + 1II I3 = 46° 26I 15II - 1II D3 = 60° 04I 36II - 2II V3 = 73° 29I 14II - 2II I4 = 78° 20I 34II - 1II D4 = 34° 50I 00II - 2II V4 = 66° 49I 31II - 2II I5 = 80° 56I 42II - 1II D5 = 57° 06I 04II - 1II V5 = 41° 57I 17II - 1II I6 = 55° 53I 15II - 11II D6 = 65° 10I 23II - 11II V6 = 58° 56I 55II - 11II

β1 = 83° 23I 18II – 3II β2 = 70° 31I 20II – 3II β3 = 26° 05I 31II – 3II

β4 = 29° 57I 43II + 2II β5 = 68° 49I 37II + 2II β6 = 81° 12I 35II + 1II

Correccion del cuadrilátero

Condición geométrica

α1 + α2 = α5 + α6 α3 + α4 = α7 + α8

89° 36I 13II ≠ 89° 36I 21II 90° 23I 47II ≠ 90° 23I 55II

Error=8 II Error=8 II

84=2

84=2

Ángulos corregidos

α1 = 45° 25I 16II - 2II α2 = 44° 11I 01II - 2 II α3 = 50° 14I 37II - 2II

α4 = 40° 09I 14II - 2II α5 = 40° 55I 57II - 2 II α6 = 48° 40I 20II - 2II

α7 = 43° 18I 45II - 2II α8 = 47° 05I 06II - 2 II

α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 = 360°360° 00I 16II ≠ 360Error = 16II

168

=2

Page 37: Foto Gra Me Tria

Ángulos corregidos

α1 = 45° 25I 14II α2 = 44° 10I 59II α3 = 50° 14I 35II α4 = 40° 09I 12II α5 = 40° 55I 55II α6 = 48° 40I 18II α7 = 43° 18I 43II α8 = 47° 05I 04II

Condición trigonométrica

∆= sin α 1sin α 3 sin α 5 sin α 7sin α 2 sin α 4 sin α 6 sin α 8

=0.24609151360.2471608792

∆=0.9956734028∑ cot D i=4.023389736 ∑ cotV i=4.031185769

eII= ∆−1

∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−111.037

Ángulos finales corregidos

α1 = 45° 27I 05II α2 = 44° 09I 08II α3 = 50° 16I 26II α4 = 40° 07I 21II α5 = 40° 57I 46II α6 = 48° 38I 27II α7 = 43° 20I 34II α8 = 47° 03I 13II

Calculo de distancias

ABsin α 5

= BCsin α 8

→ AB=1329.890m

BCsin α 3

= CDsin α 6

→CD=1307.615m

ABsin α 2

= ADsin α 7

→ AD=1182.419m

ADsin α 4

= CDsin α 1

→CD=1307.613m

Corrección del Polígono

I1 = 57° 53I 15II - 8II D1 = 71° 41I 03II - 9II V1 = 50° 26I 08II - 9II I2 = 40° 30I 34II + 2II D2 = 76° 13I 15II + 1II V2 = 63° 16I 07II + 1II I3 = 46° 26I 15II - 1II D3 = 60° 04I 36II - 2II V3 = 73° 29I 14II - 2II I4 = 78° 20I 34II - 1II D4 = 34° 50I 00II - 2II V4 = 66° 49I 31II - 2II I5 = 80° 56I 42II - 1II D5 = 57° 06I 04II - 1II V5 = 41° 57I 17II - 1II I6 = 55° 53I 15II - 11II D6 = 65° 10I 23II - 11II V6 = 58° 56I 55II - 11II

Condiciones geométricas

I1 + D1 + V1 = 180° I2 + D2 + V2 = 180° I3 + D3 + V3 = 180°180° 00I 26II ≠ 180° 179° 59I 56II ≠ 180° 180° 00I 05II ≠ 180°

Error=263

=8.6 Error=43=1.3 Error=5

3=1.6

Page 38: Foto Gra Me Tria

I4 + D4 + V5 = 180° I5 + D5 + V5 = 180° I6 + D6 + V6 = 180°180° 00I 05II ≠ 180° 180° 00I 03II ≠ 180° 180° 00I 33II ≠ 180°

Error=53=1.6 Error=3

3=1 Error=33

3=11

Angulos corregidos por triangulos

I1 = 57° 53I 07II - 2II D1 = 71° 40I 54II + 1II V1 = 50° 25I 59II + 1II I2 = 40° 30I 36II - 3II D2 = 76° 13I 16II + 2II V2 = 63° 16I 08II + 1II I3 = 46° 26I 14II - 2II D3 = 60° 04I 34II + 1II V3 = 73° 29I 12II + 1II I4 = 78° 20I 33II - 3II D4 = 34° 49I 58II + 1II V4 = 66° 49I 29II + 2II I5 = 80° 56I 41II - 2II D5 = 57° 06I 03II + 1II V5 = 41° 57I 16II + 1II I6 = 55° 53I 04II - 3II D6 = 65° 10I 12II + 2II V6 = 58° 56I 44II + 1II

I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 = 3600

360° 00I 15II ≠ 360Error = 15II

156

=2.5≈3

Angulos corregidos por vertices

I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 55II - 20II V1 = 50° 26I 00II + 20II

I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 13I 18II - 20II V2 = 63° 16I 09II + 20II

I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 35II - 20II V3 = 73° 29I 13II + 20II

I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 59II - 20II V4 = 66° 49I 31II + 20II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 06I 04II - 20II V5 = 41° 57I 17II + 20II

I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 10I 14II - 20II V6 = 58° 56I 45II + 20II

condicion trigonometrica

∆= sin V 1 sin V 2sin V 3 sin V 4 sin V 5 sin V 6sin D1 sin D 2sin D 3 sin D 4 sin D 5 sin D6

=0.34755269110.3478103017

∆=0.9992593361∑ cot D i=3.698496404 ∑ cotV i=3.768981433

eII= ∆−1

∑ cot Di+∆ x∑ cot V ix206265=−20.466≈20

Angulos finales corregidos

I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 35II V1 = 50° 26I 20II I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 12I 58II V2 = 63° 16I 29II I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 15II V3 = 73° 29I 33II I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 39II V4 = 66° 49I 51II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 05I 44II V5 = 41° 57I 37II I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 09I 54II V6 = 58° 57I 05II

Calculo de distancias CD = 1307.614m

CDsin I 1

= CEsinV 1

→CE=1190.228 m.

Page 39: Foto Gra Me Tria

IEsin D3

= EHsin V 3

→ EH=1210.978m

EGsin D5

= EFsin V 5

→ EF=1552.434 m

DEsin D1

=CEV 1

→CE=1190.138m

EIsin V 2

= CIsin I 2

→CI=796.061m.

EGsin V 4

= HGsin I 4

→ HG=2076.658m

EDsin V 6

= DFsin I 6

→ DF=1416.232m

Correccion de los triangulos

Condicion geometrica

β1 + β2 + β3 = 180 β4 + β5 + β6 = 180180° 00I 09II ≠ 180 179° 59I 55II ≠ 180

Error = 9II Error = 5II

93=2

53=1.67≈ 2

Angulos corregidos

β1 = 83° 23I 15II β1 = 70° 31I 17II β3 = 26° 05I 28II β4 = 29° 57I 45II β5 = 68° 49I 39II β6 = 81° 12I 36II

calculo de lados HG = 2076.658m

HGsin β3

= HJsin β1

→ HJ=4690.414m .

GJsin β6

= GKsin β5

→GK=4200.416m

GKsin β5

= JKsin β 4

→JK=2249.649m

Page 40: Foto Gra Me Tria

CONCLUSION:

α1 = 45° 27I 05II α2 = 44° 09I 08II α3 = 50° 16I 26II α4 = 40° 07I 21II α5 = 40° 57I 46II α6 = 48° 38I 27II α7 = 43° 20I 34II α8 = 47° 03I 13II

I1 = 57° 53I 05II D1 = 71° 40I 35II V1 = 50° 26I 20II I2 = 40° 30I 33II D2 = 76° 12I 58II V2 = 63° 16I 29II I3 = 46° 26I 12II D3 = 60° 04I 15II V3 = 73° 29I 33II I4 = 78° 20I 30II D4 = 34° 49I 39II V4 = 66° 49I 51II I5 = 80° 56I 39II D5 = 57° 05I 44II V5 = 41° 57I 37II I6 = 55° 53I 01II D6 = 65° 09I 54II V6 = 58° 57I 05II

β1 = 83° 23I 15II β1 = 70° 31I 17II β3 = 26° 05I 28II β4 = 29° 57I 45II β5 = 68° 49I 39II β6 = 81° 12I 36II

LADOS:

HJ=4690.414m GJ=4451.576m GK=4200.416mJK=2249.649m HG=2076.658m DF=1416.232mCI=796.061m. CE=1190.138 m EH=1210.978mEF=1552.434m CE=1190.228 m. AD=1182.419mCD=1307.613m AB=1329.890m CD=1307.615m

Cálculos de azimut.- Estos cálculos se hicieron por la regla de la nemónica.

AZAB = 25° 00I 00II AZBC = 135° 00I 59II AZCD = 211° 55I 52II AZAD = 297° 30I 18II AZCI = 76° 58I 48II AZIH = 107° 16I 17II AZHG = 160° 22I 11II

AZGF = 263° 34I 55II AZFD = 327° 32I 26II AZCE = 320° 15I 17II

AZHJ = 89° 50I 54II AZJK = 182° 23I 54II

Page 41: Foto Gra Me Tria

Calculo de coordenadas

XA = 170 000m YA = 8 500 700m

YB = YA + AB Cos(AZAB) YB = 8 501 787.569mXB = XA + AB Sen(AZAB) XB = 170 507.142m

XC = XB + BC Sen(AZBC) YC = 8 501 263.679mYC = YB + BC Cos(AZBC) XC = 171 740.367m

YD = YC + CD Cos(AZCD) YD = 8 500 153.928mXD = XC + CD Sen(AZCD) XD = 171 048.771m

YE = YC + CE Cos(AZCE) YE = 8 502 178.839mXE = XC + CE Sen(AZCE) XE = 170 979.510m

YI = YC + CI Cos(AZCI) YI = 8 501 443.025mXI = XC + CI Sen(AZCI) XI = 172 515.962m

XH = XI + IH Sen(AZIH) YH = 8 501 171.300mYH = YI + IH Cos(AZIH) XH = 173 389.908m

YG = YH + HG Cos(AZHG) YG = 8 499 215.337mXG = XH + HG Sen(AZHG) XG = 174 087.560m

YF = YG + FG Cos(AZFG) YF = 8 498 959.029mXF = XG + FG Sen(AZFG) XF = 171 809.007m

XJ = XH + HJ Sen(AZHJ) YJ = 8 501 183.716mYJ = YH + HJ Cos(AZHJ) XJ = 178 080.306m

YK = YJ + JK Cos(AZJK) YK = 8 498 936.037mXK = XJ + JK Sen(AZJK) XK = 177 986.165m

PUNTO NORTE ESTEA 8 500 700.000m 170 000.000mB 8 501 787.569m 170 507.142mC 8 501 263.679m 171 740.367mD 8 500 153.928m 171 048.771mE 8 502 178.839m 170 979.510mF 8 498 959.029m 171 809.007mG 8 499 215.337m 174 087.560mH 8 501 171.300m 173 389.908mI 8 501 443.025m 172 515.962mJ 8 501 183.716m 177 986.165mK 8 498 936.037m 178 080.306mA 8 500 700.000m 170 507.142m

Page 42: Foto Gra Me Tria

COMPENSACION DE TRIANGULOS

α1 = 63° 11I 14II + 1II α4 = 69° 52I 46II + 3II α7 = 64° 57I 41II + 2II

α2 = 60° 47I 43II + 1II α5 = 61° 54I 25II + 3II α8 = 63° 43I 25II + 1II

α3 = 56° 01I 00II + 1II α6 = 48° 12I 41II + 2II α9 = 51° 18I 50II + 1II

∑ ¿ 179° 59I 57II ∑ ¿ 179° 59I 52II ∑ ¿ 179° 59I 56II

Error = 3 Error = 8 Error = 4

Condición trigonométrica

CAMINO I

BCsin α 1

= ACsin α 1

AD=BC sin α 1sin α 4sin α 2 sin α 6

…………… I

ACsin α 6

= ADsin α 4

CAMIINO II

DEsin α 9

= CDsin α 8

AD=DE sin α 4 sin α 8sin α 9sin α 5

…………… II

CDsin α 5

= ADsin α 4

De I y II se tiene:

1= BC sin α 1sin α 5sin α 9DE sin α 2sin α 6 sin α 8

=∆

eII= log ∆

∑ δi FORMULA NUEVA

δ 1=10.6415 x10−7 δ 2=11.7994 x 10−7 δ 5=11.2387 x 10−7

δ 6=18.8176 x 10−7 δ 8=10.3952 x10−7 δ 9=16.8598 x10−7

Page 43: Foto Gra Me Tria

∑ δi=79.722 x10−7

eII=7.1323x 10−6

7.9722x 10−6 =0.89 II

Esta corrección restamos a α1, α5, α9, y sumamos a α2, α6, α8

Ángulos corregidos

α1 = 63° 11I 14II α4 = 69° 52I 49II α7 = 64° 57I 43II α2 = 60° 47I 45II α5 = 61° 54I 27II α8 = 63° 43I 27II α3 = 56° 01I 01II α6 = 48° 12I 44II α9 = 51° 18I 50II

Calculo de lados

AD=388.918sin α 1 sin α 4sin α 2 sin α 6

=500.771m

AD=409.573sin α 4 sin α 8sin α 9 sin α 5

=500.772m

Page 44: Foto Gra Me Tria

NIVELACION GEOMETRICA

Es el proceso de mediante el cual se determina la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de referencia.

La nivelación geométrica o por alturas se realiza con los niveles; estos instrumentos tienen como único función poder hacer visuales horizontales. Actualmente podemos encontrar en el mercado dos tipos de niveles, los analógicos automáticos y los electrónicos automáticos. En los primeros leemos a una mira analógica mientras que los segundos leen en mira de código de barras.

Los electrónicos tienen dos principios de funcionamiento, el de correlación y el basado en las transformadas de Fourier. El principio de correlación se basa en una pequeña base de datos en el instrumento que compara lo que lee en la mira con lo que él tiene grabado, obteniendo la altura. Los que se basan en el principio de Fourier pasa la imagen al dominio de la frecuencia para darnos la altura de mira.

Aplicación

Page 45: Foto Gra Me Tria

CIRCUITO LADO

DISTACIA CICLO I

Km % DESNIVEL

CORRECCION

DESNIVEL CORREGID

O

A B F A I

AB 3.7 35 -3.365 -0.004 -3.369BF 2.2 20 -5.039 -0.002 -5.041FA 4.8 45 8.415 -0.005 8.41

∑ 10.7 100 0.011 -0.011 0

B C F B II

BC 3 39 -0.871 -0.005 -0.876CF 2.5 32 -4.158 -0.004 -4.162FB 2.2 29 5.041 -0.003 5.038

∑ 7.7 100 0.012 -0.012 0

C D F C III

CD 2.9 36 -8.429 0.002 -8.427DF 2.6 33 4.263 0.001 4.264FC 2.5 31 4.162 0.001 4.163

∑ 8 100 -0.004 0.004 0

D E F D IV

DE 5.2 49 9.948 0.006 9.954EF 3 27 -5.696 0.003 -5.693FD 2.6 24 -4.264 0.003 -4.261

∑ 10.8 100 -0.012 0.012 0

E A F E V

EA 2.8 27 2.704 0.003 2.707AF 4.8 45 -8.41 0.006 -8.404FE 3 28 5.693 0.004 5.697

∑ 10.6 100 -0.013 0.013 0

A B C D E A VI

AB 3.7 21 -3.369 0.002 -3.367BC 3 17 -0.876 0.002 -0.874CD 2.9 16 -8.427 0.002 -8.425DE 5.2 30 9.54 0.003 9.425EA 2.8 20 2.707 0.002 2.709

∑ 17.6 104 -0.425 0.011 -0.532

AJUSTE GEODESICO

AJUSTE DE ANGULO HORIZONTAL:

-Mínimos cuadrados

El método de los mínimos cuadrados es adecuado para ajustar cualquier de los tipos básicos de mediciones, y es aplicable a todos los procedimientos empleados comúnmente en topografía. El método refuerza as condición de que la suma de la ponderación de las mediciones, multiplicada por sus residuos correspondientes

Page 46: Foto Gra Me Tria

elevados al cuadrado, se minimiza. Esta condición fundamental, que se desarrolla a partir de la ecuación de la curva de distribución del error normal, proporciona los valores más probables para las cantidades ajustadas.

-Matrices

POR:-REITERACION: Se toma como origen en cero grados cualesquier línea, como en el método simple, se gira hasta el lado con el cual se define el ángulo por medir y se regresa a la línea de origen. Pero no se coloca en cero grados, sino en la lectura que se haya tenido al medir. Se repetidos, tres o más veces esta operación y, como los valores se han ido acumulando (en la segunda ocasión aproximadamente el doble, en la tercera cerca del triple, etc.), el valor angular de la última observación se divide entre el número de veces que se hizo la repetición y el resultado o cociente será el valor angular correspondiente (regularmente se hacen tres repeticiones y como máximo en cuatro ya que la fricción del limbo puede arrastrar su graduación y con ello perdería precisión nuestra lectura).

-REPETICION: A diferencia del método anterior, el origen se toma arbitrariamente en una lectura cualquiera definida de antemano, a fin de ratificar los valores encontrados compararlos y de ser necesario, promediarlos para lograr mejores valores. El procedimiento consiste en fijar primero el número de reiteraciones que desean hacerse; en seguida se divide la circunferencia (400g) entre las reiteraciones y el cociente dará la diferencia de origen que deberá tener cada ángulo.

EjemploSe requieren hacer reiteraciones y, por tanto, se divide 400/4 = 100. En consecuencia, los orígenes serán: 0g, 100g, 200g y 300g. Ángulo

-BESSELL

Precisión de equipo=0.001’’

Page 47: Foto Gra Me Tria

En la figura los ángulos por reiteración son:

X=20°31’37.7’’

Y=80°46’28.5’’

Z=258°41’43.5’’

∑=359°59’49.5’’

Error por de defecto 10.5’’

METODO POR MINIMOS CUADRADOS

1°.-Formando la ecuación de observación:

X=20°31’37.7’’+V1------------------- (a)

Y=80°46’28.5’’+V2------------------ (b)

Z=258°41’43.5’’+V3.------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=360°---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

20°31’37.7’’+V1+80°46’28.5’’+V2+258°41’43.5’’+V3=360°

359°59’49.5’’+V1+V2+V3=360°

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

Page 48: Foto Gra Me Tria

V3=10.5’’- V1-V2--------------------- (e)

4°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.

∑V2=V12+V2

2+ (10.5’’- V1-V2)2---------------------- (f)

5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2

∂∑V 2

∂V 1

=2V 1+2 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V1+2V2=21’’------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=2V 2+2 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V2+2V1=21’’---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=3.5’’

V2=3.5’’

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=10.5-V1-V2

V3=3.5’’

8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=20°31’37.7’’+3.5’’

Y=80°46’28.5’’+3.5’’

Z=258°41’43.5’’+3.5’’

∑=360°

360°-258°41’47’’=101°18’13’’

1°METODO POR MINIMO CUADRADOS PONDERADO

1°.-Formando la ecuación de observación:

X=20°31’37.7’’+V1------------------- (a)

Y=80°46’28.5’’+V2------------------ (b)

101°18’13’’

Page 49: Foto Gra Me Tria

Z=258°41’43.5’’+V3.------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=360°---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

20°31’37.7’’+V1+80°46’28.5’’+V2+258°41’43.5’’+V3=360°

359°59’49.5’’+V1+V2+V3=360°

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=10.5’’- V1-V2--------------------- (e)

4°.-En esta etapa interviene el peso

∑wV2

∑i=1

n

wi v i2=w1 v1

2+w2 v22+w3 v3

2+…+wn vn2

∑i=1

n

wi v i2=1v1

2+2v22+3 (10.5' '−v1−v2)

2

5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero

∂∑V 2

∂V 2

=2V 1+6 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0

8V1+6V2=63’’------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=4V 2+6 (10.5' '−V 2−V 1 ) (−1 )=0

10V2+6V1=63’’---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=5.7272’’

V2=2.8636’’

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=10.5-V1-V2

V3=1.91’’

8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

Page 50: Foto Gra Me Tria

X=20°31’37.7’’+5.7272’’

Y=80°46’28.5’’+2.8636’’

Z=258°41’43.5’’+1.91’’

∑=360°

360°-258°41’45.41’’=101°18’14.59’’

2° METODO POR MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR

Z=101°18’16.5’’

=101°18’06’’

Error=10.5’’

X+Y=101°18’16.5’’--------------------------- (a)

X=20°31’37.5’’----------------------------- (b)

Y=80°46’28.5’’------------------------- (c)

1°.-Las ecuaciones de observación son:

X+Y=101°18’16.5’’+V1 → V 12=(X+Y −101° 18' 16.5 ' ' )2------- (d)

X=20°31’37.5’’+V2 → V 22=(X−20 °31' 37.5)2--------------- (e)

Y=80°46’28.5’’+V3 → V 32=(Y−80∨46' 28.5 ' ')2----------- (f)

2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)

∑i=1

n

v2=(x+ y−101° 18' 16.5 ' ' )2+(x−20 °31' 37.5' ')2+( y−80 ° 46' 28.5 ' ')2

3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero

∂∑V 2

∂ X=2(x+ y−101 °18' 16.5' ' )+2 (x−20° 31' 37.5 ' ' )

4X+2Y=243°39’48’’------------------------- (g)

∂∑V 2

∂ y=2(x+ y−101 °18' 16.5' ' )+2 ( y−80 ° 46' 28.5 ' ' )

4Y+2X=364°09’30’’------------------------- (h)

4° Resolviendo (g) y (h)

4X+2Y=243.66333

4Y+2X=364.15833

101°18’14.58’’

Page 51: Foto Gra Me Tria

X=20°31’41’’

Y=80°46’32’’

5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)

V1=X+Y-101°18’16.5’’=20°31’41’’+80°46’32’’-101°18’16.5’’ =-3.5’’

V2=20°31’41’’-20°31’37.5’’=3.5’’

V3=Y-80°46’28.5’’=80°46’32’’-80°46’28.5’’=3.5’’

6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.

X+Y=101°18’16.5’’+V1=101°18’16.5’’-3.5’’=101°18’13’’

X=20°31’37.5’’+V2=20°31’37.5’’=20°31’41’’

Y=80°46’28.5’’+V3=80°46’28.5’’+3.5’’=80°46’32’’

TERCER METODO POR MATRICES

X= (A T A) -1 A T L (Sin ponderar)

X= (A T WA) -1 A T WL (Ponderado )

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

PESOS

1X+1Y=101°18’16.5’’+V1--------------------- (3)

1X+0=20°31’37.5’’+V2-------------------- (1)

0+1Y=80°46’28.5’’+V3-------------------- (2)

LECTURA

A=[1 11 00 1]

W=[3 0 00 1 00 0 2]

L=[101.304583320.5270833380.77458333]

101°18’13’’

101°18’13’’

Page 52: Foto Gra Me Tria

K=[XY ]V=A∗K−L

Resolviendo

k= x=20.52867422=20° 31' 43.23 ' 'y=80.77537878=80 ° 46' 31.36 ' '

X+Y=101°18’14.59’’

Calcular de los residuos

V=A*K-L

K=[20.5286742280.77537878]

V2=1.59089*10-3=5.72’’

V1=-5.303*10-4=-1.91’’

V3=7.954*10-4=2.86’’

COMPROBANDO

X+Y=101°18’16.5’’+V1

101°18’14.59’’=101°18’16.5-1.91’’

101°18’14.59’’

EJERCICIO DE AJUSTE GEODESICO

Page 53: Foto Gra Me Tria

Ajuste de vértice A

En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:

X=64.307283

Y=40.99888667

Z=294.697367

∑=400.0035

Error por defecto=35cc

POR METODO MINIMOS CUADRADOS

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

X=64.307283+V1------------------------------- (a)

Y=40.99888667+V2--------------------------- (b)

Z=294.697367+V3-------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

64.307283+V1+40.99888667+V2+294.697367+V3=400g

400.0035g+V1+V2+V3=400g

Page 54: Foto Gra Me Tria

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-35cc- V1-V2--------------------- (e)

4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.

∑V2=V12+V2

2+ (-35cc- V1-V2)2---------------------- (f)

5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2

∂∑V 2

∂V 1

=2V 1+2 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0

4V1+2V2=-70cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=2V 2+2 (−35cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V2+2V1=-70cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=-1.667cc

V2=-1.667cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=-35cc-V1-V2

V3=-1.667cc

8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=64.307283-1.667cc=64.3061166

Y=40.99888667-1.667cc=40.99770

Z=294.697367-1.667 cc =294.6962003

∑=400g

400g-294.6962003g=105.3038

POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

X=64.307283+V1------------------------------- (a)

105.3038

Page 55: Foto Gra Me Tria

Y=40.99888667+V2--------------------------- (b)

Z=294.697367+V3-------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

64.307283+V1+40.99888667+V2+294.697367+V3=400g

400.0035g+V1+V2+V3=400g

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-35cc- V1-V2--------------------- (e)

4°.-En esta etapa interviene el peso

∑wV2

∑i=1

n

wi v i2=w1 v1

2+w2 v22+w3 v3

2+…+wn vn2

∑i=1

n

wi v i2=1v1

2+2v22+3 (−35cc−v1−v2)

2

5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero

∂∑V 2

∂V 2

=2V 1+6 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0

8V1+6V2=-210cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=4V 2+6 (−35cc−V 2−V 1) (−1 )=0

10V2+6V1=-210cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=-19.090909cc

V2=-19.090909cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

Page 56: Foto Gra Me Tria

V3=-35cc-V1-V2

V3=-6.363637cc

8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=64.307283-19.090909cc=64.30537420g

Y=40.99888667-19.09090909cc=40.99791215g

Z=294.697367-6.363637 cc =294.696730

∑=400g

400g-294.696730g=105.30327

POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR

Z=105.302633

=105.306150

Error=35cc

X+Y=105.302633---------------------------------(a)

X=64.3072833-------------------------------- (b)

Y=40.9988667------------------------------- (c)

1°.-Las ecuaciones de observación son:

X+Y=105.302633+V1 → V 12=(X+Y −105.302633)2------- (d)

X=64.3072833+V2 → V 22=(X−64.3072833)2--------------- (e)

Y=40.9988667+V3 → V 32=(Y−40.9988667)2--------------- (f)

2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)

∑i=1

n

v2=(x+ y−105.302633)2+(x−64.3072833)2+( y−40.9988667)2

3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero

105.30327105.306150g

Page 57: Foto Gra Me Tria

∂∑V 2

∂ X=2(x+ y−105.302633)+2 ( x−64.3072833 )

4X+2Y=339.219833------------------------- (g)

∂∑V 2

∂ y=2(x+ y−105.302633)+2 ( y−40.9988667 )

4Y+2X=292.602999------------------------- (h)

4° Resolviendo (g) y (h)

4X+2Y=339.219833

4Y+2X=292.602999

X=64.3061111667

Y=40.9976941667

5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)

V1=X+Y-105.302633=105.303805333-105.302633=11.72333cc

V2=64.3061111667-64.3072833=-11.721333cc

V3=40.9976941667-40.9988667=-11.725333cc

6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.

X+Y=105.302633+V1=105.302633+11.72333cc =105.303805

X=64.3072833+V2=64.3072833-11.721333cc =64.3061111667

Y=40.9988667+V3=40.9988667-11.725333cc =40.9976941667

METODO MATRICIAL SIN PONDERAR

X= (A T A) -1 A T L

105.303805333

105.303805

Page 58: Foto Gra Me Tria

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

1X+1Y=105.302633+V1

1X+0=64.3072833+V2

0+1Y=40.9988667+V3

LECTURA

A=[1 11 00 1]

L=[105.30263364.307283340.9988667]K=[XY ]

V=A∗K−L

2° Resolviendo

k= x=64.3061111667y=40.9976941667

X+Y=105.303805333

3° Calcular de los residuos

K=[ 64.306111166740.9976941667 ]

Reemplazando en:

Page 59: Foto Gra Me Tria

V=A*K-L

Donde:

L=[105.30263364.307283340.9988667]

A=[1 11 00 1]

V2=-11.721333cc

V1=11.72333cc

V3=-11.725333cc

4° COMPROBANDO

X+Y=105.302633+V1

105.303805333=105.302633+11.72333cc

105.303805

METODO MATRICIAL PONDERANDO

X= (A T WA) -1 A T WL

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

Page 60: Foto Gra Me Tria

PESOS

1X+1Y=105.302633+V1------------------ (3)

1X+0=64.3072833+V2-------------------- (1)

0+1Y=40.9988667+V3-------------------- (2)

LECTURA

A=[1 11 00 1]

W=[3 0 00 1 00 0 2]

L=[105.30263364.307283340.9988667]K=[XY ]

V=A∗K−L

2° Resolviendo

k= x=64.3061111667y=40.9976941667

X+Y=105.303805333

3° Calcular de los residuos

K=[64.305364936340.9979075181]

Reemplazando en:

V=A*K-L

Donde:

L=[105.30263364.307283340.9988667]

A=[1 11 00 1]

V1=63.9454cc

Page 61: Foto Gra Me Tria

V2=-19.183637cc

V3=-95.91819cc

4° COMPROBANDO

X+Y=105.302633+V1

105.30327=105.302633+6.39454cc

105.30327

Ajuste del vértice B

En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:

X=47.59885

Y=37.4070

Page 62: Foto Gra Me Tria

Z=314.994817

∑=400.000667

Error por defecto=7cc

POR METODO MINIMOS CUADRADOS

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

X=47.59885+V1------------------------------- (a)

Y=37.4070+V2-------------------------------- (b)

Z=314.994817+V3--------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

47.59885+V1+37.4070+V2+314.994817+V3=400g

400.000667 g+V1+V2+V3=400g

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-7cc- V1-V2--------------------- (e)

4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.

∑V2=V12+V2

2+ (-7cc- V1-V2)2---------------------- (f)

5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2

∂∑V 2

∂V 1

=2V 1+2 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V1+2V2=-14cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=2V 2+2 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V2+2V1=-14cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=-2.33333cc

Page 63: Foto Gra Me Tria

V2=-2.33333cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=-7cc-V1-V2

V3=-2.33334cc

8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=47.59885-2.33333cc=47.5986167

Y=37.40700-2.33333cc=37.4046667

Z=314.994817-2.33334 cc =314.9945837

∑=400g

400g-314.9945837g=85.0054

POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

X=47.59885+V1------------------------------- (a)

85.0054

Page 64: Foto Gra Me Tria

Y=37.40700+V2--------------------------- (b)

Z=314.994817+V3-------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

47.59885+V1+37.40700+V2+314.994817+V3=400g

400.0007g+V1+V2+V3=400g

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-7cc- V1-V2--------------------- (e)

4°.-En esta etapa interviene el peso

∑wV2

∑i=1

n

wi v i2=w1 v1

2+w2 v22+w3 v3

2+…+wn vn2

∑i=1

n

wi v i2=1v1

2+2v22+3 (−7cc−v1−v2)

2

5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero

∂∑V 2

∂V 2

=2V 1+6 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

8V1+6V2=-42cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=4V 2+6 (−7cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

10V2+6V1=-42cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=-3.81818182cc

V2=-1.90909090cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=-7cc-V1-V2

V3=-1.27272728cc

8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=47.59885-3.81818182cc cc=47.5984681818g

85.0053

Page 65: Foto Gra Me Tria

Y=37.40700-1.90909090cc =37.4068090909g

Z=314.994817-1.27272728cc=314.994689727

∑=400g

400g-314.994689727g=85.0053

POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR

Z=85.005183

=85.00585

Error=7cc

Page 66: Foto Gra Me Tria

X+Y=85.005183---------------------------------(a)

X=47.59885-------------------------------- (b)

Y=37.40700------------------------------- (c)

1°.-Las ecuaciones de observación son:

X+Y=85.005183+V1 → V 12=(X+Y −85.005183)2------- (d)

X=47.59885+V2 → V 22=(X−47.59885)2--------------- (e)

Y=37.40700+V3 → V 32=(Y−37.40700)2--------------- (f)

2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)

∑i=1

n

v2=(x+ y−85.005183)2+(x−47.59885)2+( y−37.40700)2

3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero

∂∑V 2

∂ X=2(x+ y−85.005183)+2 ( x−47.59885 )

4X+2Y=265.208066------------------------- (g)

∂∑V 2

∂ y=2(x+ y−85.005183)+2 ( y−37.40700 )

4Y+2X=244.82436------------------------- (h)

4° Resolviendo (g) y (h)

4X+2Y=265.208066

4Y+2X=244.82436

X=47.5986286667

Y=37.4067756667

5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)

V1=X+Y-85.005183=85.0054-85.005183=2.17cc

V2=47.5986286667-47.59885=-2.213cc

V3=37.4067756667-37.40700=-2.243cc

6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.

X+Y=85.005183+V1=85.005183+2.17cc =85.0054

X=47.59885+V2=47.59885-2.213cc =47.5986287

85.005183g

85.0054

85.0054

Page 67: Foto Gra Me Tria

Y=37.40700+V3=37.40700-2.243cc =37.4067757

METODO MATRICIAL SIN PONDERAR

X= (A T A) -1 A T L

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

1X+1Y=85.005183+V1

1X+0=47.59885+V2

0+1Y=37.40700+V3

LECTURA

A=[1 11 00 1]

L=[85.00518347.5988537.40700 ]

K=[XY ]V=A∗K−L

2° Resolviendo

k=x=47.5986276668y=37.407776668

X+Y=85.0064043348

3° Calcular de los residuos

K=[47.598627666837.407776668 ]

Reemplazando en:

V=A*K-L

Donde:

A=[1 11 00 1]

L=[85.00518347.5988537.40700 ]

V2=-2.2233cc

Page 68: Foto Gra Me Tria

V1=12.213348cc

V3=7.76668cc

4° COMPROBANDO

X+Y=85.005183+V1

X+Y=85.0064043348=85.005183+12.213348cc

85.0064043348

METODO MATRICIAL PONDERANDO

X= (A T WA) -1 A T WL

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

PESOS

1X+1Y=85.005183+V1------------------ (3)

1X+0=47.59885+V2-------------------- (1)

0+1Y=37.40700+V3-------------------- (2)

LECTURA

A=[1 11 00 1]

W=[3 0 00 1 00 0 2]

L=[85.00518347.5988537.40700 ]

K=[XY ]V=A∗K−L

2° Resolviendo

k= x=47.598464545y=37.4068182272

X+Y=85.0052827722

Page 69: Foto Gra Me Tria

3° Calcular de los residuos

K=[47.59846454537.406818227]

Reemplazando en:

V=A*K-L

Donde:

L=[85.00518347.5988537.40700 ]

A=[1 11 00 1]

V1=0.997722cc

V2=-3.85455cc

V3=-1.817728cc

4° COMPROBANDO

X+Y=85.005183+V1

85.0052827722=85.005183+0.997722cc

85.0052827722

AJUSTE DEL VERTICE D

Page 70: Foto Gra Me Tria

En la fig. los ángulos medidos por reiteración son:

X=47.0886167

Y=23.5822833

Z=329.3304

∑=400.0013

Error por defecto=13cc

POR METODO MINIMOS CUADRADOS

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

X=47.0886167+V1------------------------------- (a)

Y=23.5822833+V2-------------------------------- (b)

Z=329.3304+V3--------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

47.0886167+V1+23.5822833+V2+329.3304+V3=400g

400.0013 g+V1+V2+V3=400g

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-13cc- V1-V2--------------------- (e)

4°Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1) que contiene las 3 residuos, pero independiente solo a la variable independientes.

∑V2=V12+V2

2+ (-13cc- V1-V2)2---------------------- (f)

5°.-Derivando parcialmente el ecu. F con respecto a V1 i V2

∂∑V 2

∂V 1

=2V 1+2 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0

4V1+2V2=-26cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=2V 2+2 (−13cc−V 2−V 1 ) (−1 )=0

4V2+2V1=-26cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

Page 71: Foto Gra Me Tria

V1=-4.33333cc

V2=-4.33333cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=-13cc-V1-V2

V3=-4.33334cc

8°.- Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=47.0886167-4.33333cc=47.0881834

Y=23.5822833-4.33333cc=23.581850

Z=329.3304-4.33334 cc =329.3299667

∑=400g

400g-329.3299667g=70.670033

POR METODO MINIMOS CUADRADOS PONDERANDO

1°.-Formanado las ecuaciones de observación

70.670033

Page 72: Foto Gra Me Tria

X=47.0886167+V1---------------------------- (a)

Y=23.5822833+V2--------------------------- (b)

Z=329.3304+V3------------------------------- (c)

2°.-Escribamos una expresión que imponga las condiciones de que los tres ángulos ajustados suman 360°/400g

X+Y+Z=400g---------------------- (d)

3°.-Sustituyendo las ecuaciones a, b y c en (d)

47.0886167+V1+23.5822833+V2+329.3304+V3=400g

400.0013 g+V1+V2+V3=400g

Haciendo que V1 y V2 sean variables independientes i V3 variable dependiente

V3=-13cc- V1-V2--------------------- (e)

4°.-En esta etapa interviene el peso

∑wV2

∑i=1

n

wi v i2=w1 v1

2+w2 v22+w3 v3

2+…+wn vn2

∑i=1

n

wi v i2=1v1

2+2v22+3 (−13cc−v1−v2)

2

5°.-Derivando con respecto con respecto a V1 i V2 e igualando a cero

∂∑V 2

∂V 2

=2V 1+6 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0

8V1+6V2=-78cc------------------------- (g)

∂∑V 2

∂V 2

=4V 2+6 (−13cc−V 2−V 1) (−1 )=0

10V2+6V1=-78cc---------------------------------- (h)

6°.-Resolviendo el ecu. (g) i (h)

V1=-7.090909cc

V2=-3.545454cc

7°.-Sustituyendo V1 i V2 en la ecuación (e)

V3=-13cc-V1-V2

V3=-2.363636cc

Page 73: Foto Gra Me Tria

8°.-Finalmente sustituyendo los residuos en la ecuación a, b i c

X=47.0886167-7.090909cc=47.08790761g

Y=23.5822833-3.545454cc =23.58192876g

Z=329.3304-2.363636cc =329.330163636

∑=400g

400g-329.330163636g=70.669836

POR METODO MINIMOS CUADRADOS SIN PONDERAR

Z=70.6696g

=70.6709g

Error=13cc

X+Y=70.66960---------------------------------(a)

70.669836

Page 74: Foto Gra Me Tria

X=47.0886167---------------------------- (b)

Y=23.5822833---------------------------- (c)

1°.-Las ecuaciones de observación son:

X+Y=70.66960+V1 → V 12=(X+Y −70.66960)2-------------------- (d)

X=47.0886167+V2 → V 22=(X−47.0886167)2--------------- (e)

Y=23.5822833+V3 → V 32=(Y−23.5822833)2--------------- (f)

2°.-Formando la función ∑V2→ σ = (√∑V2/n-1)

∑i=1

n

v2=(x+ y−70.66960)2+(x−47.0886167)2+( y−23.5822833)2

3°.-Derivando parcialmente con respecto a X i Y imponiendo a cero

∂∑V 2

∂ X=2(x+ y−70.66960)+2 ( x−47.0886167 )

4X+2Y=235.5164334------------------------- (g)

∂∑V 2

∂ y=2(x+ y−70.66960)+2 ( y−23.5822833 )

4Y+2X=188.50376666------------------------- (h)

4° Resolviendo (g) y (h)

4X+2Y=235.51643344

4Y+2X=188.50376666

X=47.08818337

Y=23.58184997

5°.-Los residuos se puede calcular ahora sustituyendo X e Y en la ecuación de observación original (d), (e) y (f)

V1=X+Y-70.66960=70.6700334-70.66960=4.33cc

V2=47.08818337-47.0886167=-4.33cc

V3=23.58184997-23.5822833=-4.33cc

6°.- Comprobando en la ecuación a, b y c.

X+Y=70.66960+V1=70.66960+4.33cc =70.670034

X=47.0886167+V2=47.0886167-4.33cc =47.0881837

Y=23.5822833+V3=23.5822833-4.33cc =23.5818503

70.67090g

70.6700334

70.670034

Page 75: Foto Gra Me Tria

METODO MATRICIAL SIN PONDERAR

X= (A T A) -1 A T L

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

1X+1Y=70.66960+V1

1X+0=47.0886167+V2

0+1Y=23.5822833+V3

LECTURA

A=[1 11 00 1]

L=[ 70.6696047.088616723.5822833]K=[XY ]

V=A∗K−L

2° Resolviendo

k= x=47.088133667y=23.5818499667

X+Y=70.66998362

3° Calcular de los residuos

K=[ 47.08813366723.5818499667]

Reemplazando en:

V=A*K-L

Donde:

A=[1 11 00 1]

Page 76: Foto Gra Me Tria

L=[ 70.6696047.088616723.5822833]

V2=-4.830033cc

V1=3.836337cc

V3=-4.3333cc

4° COMPROBANDO

X+Y=70.66960+V1

X+Y=70.66998362=70.66960+3.836337cc

70.66998362

METODO MATRICIAL PONDERANDO

X= (A T WA) -1 A T WL

1°.-ECUACION DE OBSEVACION

PESOS

1X+1Y=70.66960+V1------------------ (3)

1X+0=47.0886167+V2-------------------- (1)

0+1Y=23.5822833+V3-------------------- (2)

LECTURA

A=[1 11 00 1]

W=[3 0 00 1 00 0 2]

L=[ 70.6696047.088616723.5822833]K=[XY ]

V=A∗K−L

Page 77: Foto Gra Me Tria

2° Resolviendo

k= x=47.087907609y=23.5819287545

X+Y=70.66983635

3° Calcular de los residuos

K=[ 47.08790760923.5819287545]

Reemplazando en:

V=A*K-L

Donde:

L=[ 70.6696047.088616723.5822833]

A=[1 11 00 1]

V1=2.3636cc

V2=-7.0909cc

V3=-3.5454cc

4° COMPROBANDO

X+Y=70.66960+V1

70.66983635=70.66960+ 2.3636cc

70.66983636

AJUSTES DE CUADRILÁTEROMÉTODO GEODÉSICO

La solución de un cuadrilátero consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares dé cada uno de los vértices o estaciones.

En un cuadrilátero se realizan las siguientes operaciones:

1.-Calculo y compensación del error de cierre angular.

2.-Cálculo de acimuts o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de azimuts)

3.-Calculo delas proyecciones delos lados.

Page 78: Foto Gra Me Tria

4.-Calculo del error de cierre lineal.

5.-Compensacion del error lineal.

6.-Calculo delas coordenadas delos vértices.

α 1=58 °54 ' 35″+V 1

α 2=68 ° 46' 57″+V 2

α 3=22 °53' 45″+V 3

α 4=29° 24 ' 02″+V 4

α 5=74 ° 37' 12″+V 5

α 6=53 ° 03' 24″+V 6

α 7=27 ° 57' 34″+V 7

α 8=24 ° 22' 10″+V 8

∑ 359 ° 59' 39″

a) ε 1=−21″ α 1+α2+α3+α 4+α 5+α 6+α7+α8=−21″

b) Condición geométrica.

α 1+α2−α5−α 6=56″

ε 2=56″

c) Condición geométrica.

α 3+α 4−α7−α8=−1' 57″

ε 2=−1' 57″

Condición trigonométrica o condición de lado.

Caminos: ABC; BCD; ABD.

ABsen 4

= BCsen 1

;BC

sen6= BD

sen (4+5 );

BDsen (1+8 )

= ABsen7

Ordenando y multiplicando miembro a miembro.

1= ABBC

×BCBD

×BDAB

=sen4 ∙ sen 6 ∙ sen (1+8 )sen1∙ sen (4+5 ) ∙ sen7

=1

Se cumplirá luego de efectuar todas las correcciones.

sen 4 ∙ sen6 ∙ sen (1+8 )sen1 ∙ sen ( 4+5 ) ∙ sen7

=∆ ECU .de lado.

Aportando las correcciones

A B

CD

α 8

α 7

α 6

α 5

α 4

α 3

α 2α 1

Page 79: Foto Gra Me Tria

sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α6+V 6 ) ∙ sen (α1+α8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α7+V 7 ) ∙ sen (α 4+α5+V 4+V 5 )

=1

No es una función lineal; aplico logaritmos y adicionamos diferencias tabulares

log( sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α 6+V 6 ) ∙ sen (α1+α 8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α 7+V 7 ) ∙ sen (α4+α5+V 4+V 5 ) )=log (1 )

log senα 4+D4 V 4+ log sen α6+D6 V 6+log sen (α 1+α8 )+D 1+8 (V 1+V 8 )−log senα 1−D1V 1−log sen α7−D 7V 7−log sen (α 4+α 5 )−D4+5 (V 4+V 5 )=0

Efectuando el término conocido T.

T=( log senα 4+ log senα 6+log sen (α 1+α8 )−log sen α1−log sen α7−log sen (α4+α5 ))

T=log( senα 4 ∙ senα 6 ∙ sen (α 1+α8 )senα 1 ∙ sen α7 ∙ sen (α4+α5 ) )=1.3149×10−4=1314.9×10−7

Diferencia tabular:

¿ 21.0552× 10−7

tan αT=1314.9×10−7

Trabajando con las diferencias tabulares

D4 V 4+D6V 6+D 1+8 (V 1+V 8 )−D1 V 1−D7 V 7−D 4+5 (V 4+V 5 )D4 V 4+D6V 6+D 1+8 V 1+D1+8V 8−D1V 1−D7V 7−D4+5V 4−D 4+5 V 5

(D 4−D4+5 )V 4+D6 V 6+(D1+8−D1 )V 1+D1+8 V 8−D7 V 7−D 4+5 V 5

Cuarta ecuación.

(D1+8−D1 )V 1+ (D4−D4+5 )V 4−D 4+5 V 5+D6 V 6−D7 V 7+D1+8 V 8+T=0

Diferencias tabulares

Page 80: Foto Gra Me Tria

D1=12.69×10−7

D6=15.833×10−7

D4+5=−5.257×10−7

(D1+8−D1 )=−10.209×10−7

D1+8=2.481×10−7

D4=37.366×10−7

D7=39.6×10−7

(D 4−D4+5 )=42.623×10−7

Page 81: Foto Gra Me Tria

−10.209V 1+42.623V 4+5.257V 5+15.833V 6−39.6V 7+2.48V 8+T=0

Tabla de correlación.

Ecua V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8Términos conocidos

K1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 −21″

K2 b 1 1 0 0 -1 -1 0 0 56″

K3 c 0 0 1 1 0 0 -1 -1 −117″

K4 d -10.209 0 0 42.623 5.257 15.833 -39.6 2.48 1315

Calculo de los coeficientes de la ecuación

K1 K2 K3 K4

a ∙a=8 a ∙b=0 a ∙ c=0 a ∙d=16.38b ∙b=4 b ∙ c=0 b ∙d=−31.8

c ∙ c=4 c ∙d=79.74d ∙d=3773.27

a ∙a=1∙1+1∙1+1 ∙1+1 ∙1+1 ∙1+1∙1+1∙1+1∙1

Luego el sistema será

K1 K2 K3 K4

8 0 0 16.38 -210 4 0 -31.8 560 0 4 79.74 -117

16.38 -31.8 79.74 3773.27 1315

Resolviendo la ecuación

K1=7.069 K2=−30.94 K3=72.43 K4−2.16

Calculo de las correcciones

V 1=K1+K2−10.209 ¿ −1.77V 2=K1+K2 ¿ −23.89V 3=K 1+K3 ¿ 79.51V 4=K1+K3+42.623 ¿ −12.85V 5=K 1−K2+5.257 ¿ 26.63V 6=K 1−K2+15.833 ¿ 3.71V 7=K 1−K3−39.6 ¿ 20.42V 8=K 1−K3+2.48 ¿ −70.75

Ángulos compensadosα 1=58 °54 ' 35″+V 1 ¿58 °54 ' 33.23″

α 2=68 ° 46' 57″+V 2 ¿68 ° 46' 33.11″

α 3=22 °53' 45″+V 3 ¿22 °55' 04.51″

α 4=29° 24 ' 02″+V 4 ¿29 °23 ' 49.15″

α 5=74 ° 37' 12″+V 5 ¿74 ° 37' 38.85″

α 6=53 ° 03' 24″+V 6 ¿53 °03 ' 27.71″

α 7=27 ° 57' 34″+V 7 ¿27 ° 57' 54.42″

α 8=24 ° 22' 10″+V 8 ¿24 ° 20' 59.25″

Page 82: Foto Gra Me Tria

∑ 360 °

Ejercicio

α 1=22.1119g+V 1

α 2=87.8963g+V 2

α 3=43.0546g+V 3

α 4=46.9275g+V 4

α 5=78.3429g+V 5

α 6=31.6676g+V 6

α 7=56.867g+V 7

α 8=33.1241g+V 8

∑ 399.9916g

a) Condición geométrica.

α 1+α2+α3+α 4+α 5+α 6+α7+α8=400g

ε 1=−84cc

b) Condición geométrica.

α 1+α2−α5−α 6=−23cc

ε 2=−23cc

c) Condición geométrica.

α 3+α 4−α7−α8=−87cc

ε 2=−87cc

Condición trigonométrica o condición de lado.

Caminos: ADC; BCD; ABD.

ADsen 4

= DCsen 1

;CDsen6

= BDsen (4+5 )

;BD

sen (1+8 )= AD

sen7

Ordenando y multiplicando miembro a miembro.

1= ADDC

×CDBD

×BDAD

=sen4 sen6 sen (1+8 )sen1 sen (4+5 ) sen7

=1

sen 4 ∙ sen6 ∙ sen (1+8 )sen1 ∙ sen ( 4+5 ) ∙ sen7

=∆

Aportando las correcciones

A B

CD

α 8

α 7

α 6

α 5

α 4

α 3

α 2α 1

Page 83: Foto Gra Me Tria

sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α6+V 6 ) ∙ sen (α1+α8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α4+α5+V 4+V 5 ) ∙ sen (α 7+V 7 )

=1

No es una función lineal; aplico logaritmos y adicionamos diferencias tabulares

log( sen (α 4+V 4 ) ∙ sen (α 6+V 6 ) ∙ sen (α1+α 8+V 1+V 8 )sen (α1+V 1 ) ∙ sen (α 4+α5+V 4+V 5 )∙ sen (α 7+V 7 ) )=log (1 )

log senα 4+D4 V 4+ log sen α6+D6 V 6+log sen (α 1+α8 )+D 1+8 (V 1+V 8 )−log senα 1−D1V 1−log sen (α 4+α5 )−D4+5 (V 4+V 5 )−log sen α7−D7V 7=0

Efectuando el término conocido T.

T=log( senα 4 ∙ senα 6 ∙ sen (α 1+α8 )senα 1 ∙ sen (α 4+α 5 )∙ senα 7

)=1.3149×10−4=1314.9×10−7

T=1.3992×10−4=1399.2×10−7

Trabajando con las diferencias tabulares

D4 V 4+D6V 6+D 1+8 (V 1+V 8 )−D1 V 1−D4+5 (V 4+V 5 )−D7 V 7

D4 V 4+D6V 6+D 1+8 V 1+D1+8V 8−D1V 1−D4+5V 4−D 4+5 V 5−D7 V 7

(D 4−D4+5 )V 4+D6 V 6+(D1+8−D1 )V 1+D1+8 V 8−D 4+5 V 5−D7 V 7

Cuarta ecuación.

(D1+8−D1 )V 1+ (D4−D4+5 )V 4−D 4+5 V 5+D6 V 6−D7 V 7+D1+8 V 8+T=0

Diferencia tabular:

¿ 6.8219×10−7

tan αD1=5.78×10−7

D6=18.84 ×10−7

D4+5=7.51×10−7

(D1+8−D1 )=−13.06×10−7

D1+8=−2.86×10−7

D4=12.56×10−7

D7=5.49×10−7

(D 4−D4+5 )=10.37×10−7

La ecuación será−13.06V 1+10.37V 4+2.86V 5+12.56V 6−5.49V 7+5.78V 8+T=0

Page 84: Foto Gra Me Tria

Tabla de correlación.

Ecua V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8Términos conocidos

K1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 −84cc

K2 b 1 1 0 0 -1 -1 0 0 −23cc

K3 c 0 0 1 1 0 0 -1 -1 −87cc

K4 d -13.06 0 0 10.37 2.86 12.56 -5.49 5.78 1399.2

Calculo de los coeficientes de la ecuación

K1 K2 K3 K4

a ∙a=8 a ∙b=0 a ∙ c=0 a ∙d=13.02b ∙b=4 b ∙ c=0 b ∙d=−28.48

c ∙ c=4 c ∙d=10.08d ∙d=507.5822

Luego el sistema será

K1 K2 K3 K4

8 0 0 16.38 -840 4 0 -31.8 -230 0 4 79.74 -87

13.02 -28.48 10.08 507.5822 1399.2

Resolviendo la ecuación

K1=20.53 K2=−38.13 K3=37.28 K4−6.16

Calculo de las correcciones

V 1=K1+K2−13.06 ¿ 62.88cc

V 2=K1+K2 ¿ −17.6cc

V 3=K 1+K3 ¿ 57.81cc

V 4=K1+K3+42.623 ¿ −6.09cc

V 5=K 1−K2+5.257 ¿ 41.04cc

V 6=K 1−K2+15.833 ¿ −18.75cc

V 7=K 1−K3−39.6 ¿ 17.08cc

V 8=K 1−K3+2.48 ¿ −52.37cc

Ángulos compensados

α 1=22.1119g+V 1¿22.118188

α 2=87.8963g+V 2¿87.894540

α 3=43.0546g+V 3¿43.060381

α 4=46.9275g+V 4¿46.926891

α 5=78.3429g+V 5¿78.347004

α 6=31.6676g+V 6¿31.665725

α 7=56.867g+V 7¿56.868408

α 8=33.1241g+V 8¿33.118863

∑ 400g

Page 85: Foto Gra Me Tria

TRILATERACIÒNGracias a la gama amplia de distanciómetros electrónicos, los trabajos de topografía se han simplificado notablemente y la trilateración ha complementado los trabajos de triangulación y, en algunos casos, a sustituirlos.

Se deben medir las longitudes de los lados para determinar, por trigonometría, los valores de los ángulos; es decir, operación contraria a la que se realiza para la triangulación. A veces se hacen ambas cosas, pues requiere más trabajo y tiempo; no obstante, se logra mayor precisión.

En las triangulaciones y trilateraciones topográficas se presenta lados relativamente cortos u sobre una superficie plana, y los actuales distanciometros electrónicos satisfacen, plenamente cualquier medición.

Las trilateraciones se utilizan con los mismos fines que las triangulaciones, y se recomienda cuidar los siguientes aspectos:

Medir las distancias al menos en forma directa e inversa (AB-BA). Las medidas lineales deberán ser corregidas por temperatura y presión. Las distancias se reducirán al horizonte, midiendo en forma precisa (con

teodolito de aproximación de un segundo de arco) y los ángulos verticales (posición directa como inversa).

Medir con precisión la altura de aparato en todos los vértices. Orientar de manera astronómica uno de los lados, para propagar esta

orientación y calcular el resto de lis lados; una vez compensada la cadena de triángulos y comprobar el cálculo mediante otro lado orientado, cuando la cadena o red sea muy extensa.

Page 86: Foto Gra Me Tria

Para calcular los ángulos por trigonometría, se usa la siguiente ecuación (figura a):

Cos A = b2+c2+a2/2bc

A condición de que:

A + B + C = 180°

(Hay que recordar que no se considera el exceso esférico.)

Figura a. Lados orientados AB e IJ

Se debe compensar las trilateraciones en función de los objetivos y métodos específicos en cada caso en particular.

Pueden sustituirse los lados base de las triangulaciones, por cuadriláteros, cuyos lados se medirán con toda precisión y se ajustaran rigurosamente, ligando los lados de dicho cuadrilátero a los lados de la cadena de triángulos.

C

d41

d31

d

C

E F HJ

C

IGD

B

A

a

b

c

A

B

a

b

c

A

B

Page 87: Foto Gra Me Tria

Las longitudes de las cadenas de triángulos y la forma pueden ajustarse a las descritas para la triangulación; no obstante. Se tiene menos rigor por las características u ventajas que representa medir las distancias. Entonces, solo deben ajustarse a las normas de precisión establecidas por los distintos organismos oficiales, tanto nacionales como internacionales.

Con las trilateraciones, las precisiones son relativas al tamaño de los triángulos; sin embargo, puede considerarse que cubren un rango de precisión de 1:5000, 1:10000,… hasta 1:1000000 en cierre. Si se combina con la medida de ángulos horizontales los resultados serán variables, pero se incrementará la precisión.Es muy ventajoso complementar triangulaciones con trilateración, sobre todo por la longitud de los lados o por efecto de los fenómenos atmosféricos, hay problemas de visibilidad; también resulta muy rápido realizar las mediciones lineales.Por último, tanto en la triangulación como en la trilateracion, es necesario el conocimiento de las elevaciones. Se puede recurrir a cualquiera de los métodos ya descritos, como nivelación topográfica o trigonométrica y la nivelación barométrica.Las triangulaciones y trilateraciones en la actualidad no representan problemas de cálculo por la existencia de equipos de cómputo y software, capaces de resolver cualquier problema relacionado con este tipo de levantamientos y sus diversas aplicaciones, tanto en topografía tradicional como en fotogrametría.

USO ESTACIÒN TOTAL Se miden los lados y se calculan los ángulos. Estacionamiento del equipo en A y C. Ojo, no se lee BD.

X A=177482 Y A=8499664

l = 152.0042

c = 67.2778

d = 127.2078

a = 88.0090

b = 132.8491

6

5

4

3

2A

B

D

C1

Page 88: Foto Gra Me Tria

Precisión:1 :250 000 ESTACIÒN EN A

n AB = d AC = l AD = c1 127.207 152.004 67.2732 127.206 152.004 67.2643 127.209 152.005 67.2544 127.209 152.004 67.2825 127.208 152.004 67.2946 127.206 152.003 67.2927 127.209 152.004 67.298 127.207 152.005 67.2859 127.208 152.005 67.263

10 127.209 152.004 67.281Σ 1272.078 1520.042 672.778

MD 127.2078 152.0042 67.2778

ESTACIÒN C n CB = a CD = b V

1 88.009 132.852 0.00290.0000084

1

2 88.008 132.870 0.02090.0004368

1

3 88.011 132.836 -0.01310.0001716

1

4 88.009 132.871 0.02190.0004796

1

5 88.008 132.862 0.01290.0001664

1

6 88.008 132.831 -0.01810.0003276

1

7 88.007 132.860 0.01090.0001188

1

8 88.007 132.852 0.00290.0000084

1

9 88.010 132.821 -0.02810.0007896

1

10 88.011 132.836 -0.01310.0001716

1

Σ 880.088 1328.4910.0026789

0MD 88.0088 132.8491

σ o=√∑ V 2

n−1

σ m=√ ∑V 2

n ( n−1 )=0.0002

P=σm

MD

= 0.0002132.8491

= 1664245

Page 89: Foto Gra Me Tria

CÁLCULO DE ÁNGULOS (Ley de cosenos)α 1=35 °21' 7.72″

α 2=60 ° 47' 7.65″

α 3=87 ° 53' 44.81″

α 4=56 ° 45' 7.46″

α 5=26 ° 13' 54.84″

α 6=92 ° 58' 57.08″

CÁLCULO BD

f 2=d2+c2−2dc cos (α 1+α2 )

f=150.1271

HALLANDO LOS ÁNGULOS PARCIALES

3a, 3b ; 6a, 6b

cos3 a=d2+f 2−c2

2df3a=26 °27 ' 35.39″

cos3b= f 2+a2−b2

2 fa3b=61° 26' 9.95″

87 ° 53' 45.34″

cos6 a= c2+f 2−d2

2cf6a=57 ° 24' 9.5″

cos6 b=b2+ f 2−a2

2bf6b=35 °34 ' 48.25″

92 °58 ' 57.75″

CONDICIONES GEOMÉTRICAS

1º 1+3a+3b+4+5+6a+6b+2=360 °

360 ° 0' 0.76″ ≠360°E1=0.76″

2º 1+3a=5+6b61 ° 48' 43.11″ ≠61 ° 48' 43.09″

E2=0.02″

3º 4+3b=2+6a118° 11' 17.41″ ≠118 °11' 17.15″

E3=0.26″

D1=35 ° 21' 7.72' '−0.005' '=35 °21' 7.715 ' '

V 1=26 ° 27' 35.39' '−0.005' '=26° 13' 35.385' '

∑ ¿61 ° 48' 43.1' '

D2=61 ° 26' 9.95' '−0.065' '=61° 26' 9.885' '

V 2=56 ° 45 ' 7.46' '−0.065' '=56 ° 45' 7.395 ' '

Page 90: Foto Gra Me Tria

∑ ¿118 °11' 17.28' '

D3=26 ° 13' 54.84 ' '+0.005 ' '=26 ° 13' 54.845 ' '

V 3=35 ° 34' 48.25' '+0.005' '=35 °34 ' 48.255 ' '

∑ ¿61 ° 48' 43.1' '

D4=57 °24 ' 9.5' '+0.065' '=57 ° 24' 9.565' '

V 4=60 ° 47' 7.65 ' '+0.065' '=60 ° 47' 7.715' '

∑ ¿118 °11' 17.28' '

D1=35 ° 21' 7.715' '−0.095' '=35 °21' 7.62' '

V 1=26 ° 13' 35.385 ' '−0.095 ' '=26 ° 27' 35.29' '

D2=61 ° 26' 9.885' '−0.095' '=61° 26' 9.79' '

V 2=56 ° 45 ' 7.395' '−0.095' '=56 ° 45' 7.3' '

D3=26 ° 13' 54.845 ' '−0.095 ' '=26 ° 13' 54.75 ' '

V 3=35 ° 34' 48.255' '−0.095' '=35 ° 34' 48.15' '

D4=57 °24 ' 9.565' '−0.095' '=57 ° 24 ' 9.47 ' '

V 4=60 ° 47' 7.715 ' '−0.095' '=60 ° 47 ' 7.62' '

∑ ¿360 °

Condición trigonométrica

Ecuación par la condición trigonométrica

senV 1 ∙ senV 2 ∙ senV 3 ∙ senV 4

sen D1 ∙ sen D2 ∙ sen D3 ∙ sen D4

=1

∆=0.106964566∑ ctg D̂=3.41248761

∑ ctgV̂ =4.21431106

e ' '= ∆−1

∑ ctg D̂+∆∙∑ ctgV×206265=0.021' '

D1=35 ° 21' 7.63' '

A

B

D

C

Page 91: Foto Gra Me Tria

V 1=26 ° 27' 35.30' '

D2=61 ° 26' 9.79' '

V 2=56 ° 45 ' 7.4' '

D3=26 ° 13' 54.76 ' '

V 3=35 ° 44 ' 21.32' '

D4=57 °24 ' 9.47' '

V 4=60 ° 47' 7.63 ' '

VÉRTICE

NORTE ESTE

A 177482 8499664B 164258 8532991C 178932 8642857D 178844 8521376A 177482.21 8499664.24

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS REDES TOPOGRÁFICASCuando se quiere ajustar las elevaciones de los bancos de nivel en una red de nivelaciones interconectadas, puede emplearse el método de los mínimos cuadrados, que consiste en ajustar por separado cada figura de la red por turnos, usando los valores ajustados en cada circuito en el ajuste de los adyacentes; el proceso se repite cuantas veces sea necesario, hasta balancear los valores de toda la red. Dentro de cada circuito se distribuye normalmente el error de cierre, en los diferentes lados en proporción a su longitud (o número de veces que se colca el aparato), como se explicó anteriormente. El orden en que se tomen los diferentes circuitos no tiene importancia, aunque se aconseja empezar con el circuito que tenga mayor error de cierre. Los cálculos pueden hacerse con las correcciones, en lugar de emplear las diferencias de elevación, y los lados o circuitos pueden pesarse como se desee.

De Precisión (topográfico) De alta precisión (geodésico)

X, Y, ZX, Y, Z

X, Y, ZX, Y, ZX, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

Y B=200.00X B=100.00

Page 92: Foto Gra Me Tria

-22.93

Ec=+0.21

1º Nombre de presa2º Coordenada del eslacian3º IDENT : EIDO4º ALTA . INST = 1.514

Orientacióno Por azimut (Brújula)o Por coordenadas (Conoc ≥ coord)

EJEMPLO. La Fig. 5-3 representa una red de nivelaciones formada por los circuitos BCDEB, AEDA, AEDA. En cada lado del circuito se ha escrito su longitud en kilómetros y la diferencia de elevación corresponde a la dirección indicada por las flechas. Dentro de cada circuito se escribe su longitud y el error de cierre calculado, sumando las diferencias de elevación en el sentido de las manecillas de reloj.

A B

X, Y, ZX, Y, Z

E41.8 Km

27.4 Km

17.7 Km

20.9 Km 45 Km

24.2 Km

19.3 Km

C

D

A B

COTA = 3300.0013300.133300.32

+17.91

L=89.2 km

17.7km

19.3kmm

+10.94kmm

-5.23

27.4km

Page 93: Foto Gra Me Tria

41.8km

20.9km

La Tabla muestra los cálculos que es necesario ahcer para balancear la red. En cada circuito se hace una lista de los lados de las distancias (expresadas en kilómetros y en porcentajes de la total), y de las distancias de elvación. Para el circuito BCDEB el error de cierre es -0.012m. Que se distribuye entre las nivelaciones en proporción a sus longitudes; así, para la línea BC, la corrección es 12/70 X 0.40 o 0.17 X 0.40 = 0.07m, con el signo opuesto al del error de cierre. Las correcciones se aplican a las diferencias de elevación para obtener los valores de las ´´diferencias de elevación corregidas`` que se dan en la columna 7. La línea DE del circuito BCDEB es la misma línea ED del circuito AEDA. Por tanto, al hacer la lista de las diferencias de elevación para el circuito AEDA, la diferencia de elevación para ED no se toma como el valor observado (27.15), sino como el valor adjuntado (27.08) del circuito BCDEB, con signo opuesto. El error de cierre para el circuito AEDA es entonces + 0.25m.

Distancia Ciclo I Ciclo IICircuito Lado km % DEa Corr.b CorrDEa DEa Corr.b CorrDEa

BCDEB

BC 19.8 17 10.94 0.07 11.01 10.99 -0.02 10.99CD 45 40 21.04 0.16 21.2 21.15 -0.05 21.15DE 20.9 19 -27.15 0.07 -27.02 -27.03 -0.03 -27.05EB 27.4 24 -5.23 0.1 -5.13 -5.07 -0.03 -5.09

Total 112.6 100 -0.4 0.4 0 0.04 -0.13 0

AEDAAE 17.7 22 -17.91 -0.06 -17.97 -17.93 -0.01 -17.94ED 20.9 26 27.08 -0.06 27.02 27.05 -0.02 27.03

C

D

L=80.4km

Ec=+0.32E

45km

-27.15 -8.92

Ec=-0.40

L=112.6kmm

Page 94: Foto Gra Me Tria

DA 41.8 52 -8.92 -0.13 -9.05 -9.05 -0.04 -9.09Total 80.4 100 0.25 -0.25 0 0.07 -0.07 0

AEDA

EA 17.7 26 17.97 -0.04 17.94 17.94 -0.01 17.93AB 24.1 35 -22.93 -0.06 -22.99 -22.99 -0.01 -23BE 27.4 39 5.13 -0.07 5.09 5.09 -0.02 5.07

Total 9.2 100 0.17 -0.17 0.04 0.04 -0.04 0

Ciclo III Ciclo IVDEa Corr.b CorrDEa DEa Corr.b CorrDEa

10.99 -0.01 10.98 10.98 0 10.9821.15 -0.01 21.14 21.14 -0.01 21.13

-27.03 -0.01 -27.04 -27.03 0 -27.03-5.07 -0.01 -5.08 -5.08 0 -5.08

0 -0.04 0 0.01 -0.01 0-17.93 0 -17.93 -17.9327.04 -0.01 27.03 27.03-9.09 -0.01 -9.1 -9.10.02 -0.02 0 0

17.93 0 17.93 10.93-23 -0.01 -23.01 -23.01

5.08 0 5.08 5.080.01 -0.01 0 0