Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Curso: Cálculo Avanzado

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Son de la forma:

).,,.........,().,,.........,(

:

2121 nn

n

xxxfxxx

Df

f representa a una función real de “n” variables.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1.-Gráfico de f

1:))(,()( nDxxfxfG

*Si f es una función de 2 variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los punto (x,y,z) en R3 tal que z=f(x,y) y (x,y) está en D

2.- Líneas de Nivel de f (2 variables)

Sea 2: Df , para cada valor de C

Cyxfyx ),(:),(

3.- Superficies de Nivel

Sea ),,(),,(

: 3

zyxfzyx

Df

Revisar resumen de las cuádricas.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Para comenzar el estudio de límites, se define el análogo bidimensional de lo que era un intervalo en la recta . Usando la fórmula de la distancia entre 2 puntos (x,y) y (x0,y0) podemos definir el -entorno centrado en (x0,y0) como el disco centrado en (x0,y0) de radio .

Disco abierto: 2

0

2

0 )()(:),( yyxxyx

Para el resto de las definiciones topológicas, es posible imaginarlas según la siguiente figura.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES

Sea f una función de 2 variables definida en un disco abierto centrado en (x0,y0), excepto quizás en el punto (x0,y0), y sea L un número real. Entonces :

Lyxflímyxyx

),(),(),( 00

si 0)(,0 tal que si

2

0

2

0 )()(0),( yyxxLyxf

Desigualdades Importantes

22 yxx ; 222 yxx ; 1)),(( yxfsen

Nota: Una manera de obtener un POSIBLE valor de el límite L es mediante trayectorias o direcciones.

Las direcciones clásicas a verificar son:

a)eje x: )0,(0

1 xflímLx

b)eje y: ),0(0

2 yflímLy

c)recta y=mx: ),(0

3 mxxflímLx

d)Parábola y=x2: ),( 2

04 xxflímL

x

Si alguno de los límites por direcciones es distinto inmediatamente concluimos que el límite no existe.

De cumplirse que el valor de los límites por direcciones es el mismo, probamos por definición el posible valor de L.

Profesor: Carlos Silva Cornejo Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

RESUMEN PEP2 CÁLCULO AVANZADO

DERIVADAS PARCIALES

Del cálculo elemental sabemos que la idea de derivada nos permite ahondar en la gráfica de la función pudiendo calcular por ejemplo máximos y mínimos. Una función

diferenciable de 2 debe ser tal que su gráfica no

esté “rota”, pero además debe tener bien definido un plano tangente a la gráfica en cada punto.

Así, no debe haber dobleces, esquinas o picos en la gráfica. En otra palabras, la gráfica debe ser suave.

En 2 variables se tiene:

h

yxfyhxfyx

x

flím

h

),(),(),(

0

k

yxfkyxf

kyx

y

flím

),(),(),(

0

Para derivadas de orden superior, las notaciones que encontramos son las siguientes:

Ej: yxfyx

f

yx

2

Para el caso de funciones de n-variables se tiene:

SeanU un conjunto abierto, y nUf : una

función con valores reales. Entonces las derivada parcial

de f respecto a la variable xj es:

h

xfhexfxxx

x

f j

h

n

j

lím)()(

),...,,(0

21

El vector canónico ej corresponde a: (0,….,1,….,0). La posición j del vector indica la variable respecto a la cual derivamos f.

Así: h

yxfhyxfyx

x

flím

h

),())0,1(),((),(

0

Derivada Direccional

h

PfuhPfP

u

flím

h

)()()(

0

Nota: SI f es diferenciable, el valor máximo de la derivada

direccional es f

Teorema(Schwartz): Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Si f es una función de 2 variables con derivadas parciales cruzadas continuas en un disco abierto R, entonces, para todo (x,y) se tiene:

yxxy ff

DIFERENCIABILIDAD DE f

Definiciones de diferenciabilidad

1.- f es diferenciale en P si existe una aplicación lineal

nT : tal que:

0)()())(

0

h

hTPfhPflímh

Nota: Si T existe, es única y se llama diferencial de f el

punto P a: PfT

2.- Para funciones en 2 variables, la función z=f(x,y) es diferenciable en P(x0,y0) si existen A y B tales que:

0)()(

)]()(),([),(

2

0

2

0

0000

),(),( 00

yyxx

yyBxxAyxfyxflím

yxyx

Para que la función f sea diferenciable en (x0,y0) es necesario que existan sus derivadas parciales en ese punto. En ese caso:

))(,())(,(

))(()(

)()(),(

0000000

000

0000

yyyxfxxyxfzz

yyPy

fxxP

x

fzz

yyBxxAyxfz

yx

Es el plano tangente a f en el punto P.

Teorema 1: Si f es diferenciable en P, entonces f es

continua en P.

Teorema 2: Si f es diferenciable en P, entonces:

a)Todas las derivadas parciales ix

Pf

)(existen para

todo i=1,….,n

Además, podemos definir el vector gradiente por:

n

fx

Pf

x

Pf

x

PfPfPDT

)(,.......,

)(,

)()()(

21

b)Todas las derivadas direccionales de f en P existen y:

n

i

i

i

P

P

n

ux

Pfuf

u

Pf

ufDux

Pf

x

Pf

x

Pf

u

Pf

1

21

)(,

)(

)()(

,.......,)(

,)()(

Teorema 3: Sea nUf : y P

( interior de )

Si las derivadas parciales existen en una vecindad de P y son continuas en P, entonces f es diferenciable en P .

DIFERENCIAL TOTAL

La diferencial dz que en ocasiones se usa la notación df para llamar al diferencial total se define por:

dyyxfdxyxfdz yx ),(),(

INCREMENTO DE f

Si f es una función de 2 variales z=f(x,y), entonces el incremendo de z viene dado por:

),(),( yxfyyxxfz

REGLA DE LA CADENA (VERSIÓN GENERAL)

Suponga que una función u es una función diferenciable de

las n variables x1,x2,…………,xn y cada xj es una función

diferenciable respecto de las m variables

t1,t2,…………,tm. Entonces:

j

n

njjj t

x

x

u

t

x

x

u

t

x

x

u

t

u

........2

2

1

1

Para cada j=1,2…..,m

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Para 2 variables x e y podemos considerar el sistema F(x,y)=F(x,f(x))=0

Así: ),(

),(

yxF

yxF

dx

dy

y

x

ALGUNAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Ecuación del calor

La temperatura de un cuerpo en el espacio (x,y,z) en el tiempo t. Fourier demostró que T debe satisfacer :

t

T

z

T

y

T

x

Tk

2

2

2

2

2

2

Ecuación del potencial

Consideremos el potencial gravitacional V(con frecuencia llamado de Newton) de masa m en un punto (x,y,z)

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V