fluid und thermodynamik formelsammlung

46
FB Maschinenwesen Technische Thermodynamik Formelsammlung Technische Thermodynamik Wärmeübertragung Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar University of Applied Sciences

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Formelsammlung Thermodynamik

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    ik

    FormelsammlungTechnische ThermodynamikWrmebertragung

    Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar

    University ofApplied Sciences

  • HOCHSCHULE ZITTAU/GRLITZ (FH) - University of Applied Sciences

    FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar

    Formelsammlung Technische Thermodynamik Wrmebertragung Seite

    Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Gren 1/1 Thermische Zustandsgren 2/1 Energetische Zustandsgren 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgren 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wrmeleitung 12/1 Wrmedurchgang 13/1 Konvektiver Wrmebergang 14/1 Wrmestrahlung 15/1 Wrmebertrager 16/1 Instationre Wrmeleitung 17/1

  • Internationales Einheitensystem SI

    Gre SI - Einheit empfohlene Einheit

    Lnge z 1 m 1 m

    Zeit 1 s 1 s Masse m 1 kg 1 kg

    Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol

    Thermodynamische Temperatur T 1K 1K

    Kraft F 2kg m1 N 1

    s= 1 kN = 1000 N

    Druck p 2

    5

    N1Pa 1m

    1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa

    == = =

    2

    kN1 kPa 1m

    1 kPa 0,01 bar==

    Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wrme Q Arbeit W

    1 J = 1 Nm

    1 kJ = 1 kNm

    spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wrme q spezifische Arbeit w

    2

    2J Nm m1 1 1

    kg kg s= =

    2

    2kJ m1 1000kg s

    =

    Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wrmestrom Q Arbeitsleistung = P W

    = =J Nm1 W 1 1s s

    kJ kNm1 kW 1 1s s

    = =

    Spezif. Wrmekapazitten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R

    J Nm1 1kg K kg K

    = kJ kNm1 1

    kg K kg K=

    Entropiestrom S Wrmekapazittsstrom C

    W J Nm1 1 1K s K s K

    = = kW kJ kNm1 1 1K s K s K

    = =

    * in der Technik oft verwendete Einheit bar fr Druck

  • KhlturmWrmever-brauchermit Heizflchen

    KernreaktorBrennkammer fr Gase

    Drosselventil(Druckminder- ventil)

    Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine

    Pumpe allgemein

    Verdichterallgemein

    KondensatorMischwrme-bertrager

    Khlmedium

    Verdampfer (Kessel)mit berhitzer

    Verdampfer(Kessel)

    Wrmeber-trager alsRekuperatorallgemein(Wrme-tauscher)

    Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)

  • Schaltbilder fr weitere Bauelemente (DIN 2481)

    Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersule

    Rohrleitungen fr Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)

    Wasser

    Luft

    Verbrennungsgase

    Dampf

    Feste Brennstoffe

    Brenngase

    Heizl

  • 1/1

    Gren Umrechnung Beispiele

    spezifische Gre Z: (massebezogen)

    Zz =m

    pv, u, h, s, c , q, w

    Zeitbezogene Gre Z (Strom):

    = dZZ

    d Z m z= m, n, V, H, Q, W P=

    Volumenbezogene Gre Z: ZzV

    = z z= m, q = Molare Gre Z: Zz

    n= z M z= v, h, s, q, w

    Flchenbezogene Gre Z: ZzA

    = q

    Stromdichte: ZzA

    = q , m

    Temperatur Maeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K= CELSIUS-Temp.: t t C= t T 273,15

    C K=

    FAHRENHEIT-Temp.: F F F= F 9 T 459,67F 5 K =

    RANKINE-Temp.: R R R= R 9 TR 5 K =

    Temperaturdifferenz: T T t K= = T t=

    Druck

    p d A p= = =d F

    1 kPa 0,01 barn ,

    berdruck: p p pub = - pu - barometrischer Druck der Umgebung

    Unterdruck: p p pun u= -

    Vakuum: unu

    pVa

    p=

  • 1/2

    Statischer Druck einer Flssigkeitssule

    p g zFl FL= Fl Dichte der Flssigkeit z Fl Hhe der Flssigkeitssule

    Auftriebskraft

    F = g V ( - )A ver ver

    Vver ver

    FA

    g

    Vver Volumen des verdrngenden Krpers (Fluids) ver Dichte des verdrngenden Fluids Dichte des Fluids in Umgebung

    Normzustand n

    pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K

    n n nn

    1v bei p , T= des Fluids

  • 2/1

    Thermische Zustandsgren Spezifisches Volumen v und Dichte Dichte: =

    1v

    Reales Fluid

    v = f (p,T)technische Formulierung

    = f (p,T)

    z.B. WDT, Stoffwerte p = f (T,v) physikalische Formulierung

    Realgasfaktor realp vzR T=

    Differenz fr Zustandsnderung c d ( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T = v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte

    Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:

    TRmVp = TRvp = TRvp = TRMvp = TRnVp = Spezifisches Volumen:

    pTR=vig

    Dichte: TR

    p=ig Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:

    MRR=

    M Molare Masse des Stoffes = mMn

    R, M Stoffwerte Strmendes ideales Gas: TRmVp =

    Differenz fr Zustandsnderung c d

    2 1

    2 12 1

    T Tv v Rp p

    =

  • 2/2

    Inkompressible (ideale) Flssigkeiten und Festkrper

    v f Tif nur= ( ) )T(

    1)T(vif

    if

    =

    Stoffwerte

    Differenz fr Zustandsnderung c d

    ( ) ( )1if2if12 TvTvvv = v Tif ( ) Stoffwerte

    Nherung

    ifv v '(T)= )T('v z.B. WDT

    Differenz fr Zustandsnderung c d

    ( ) ( )1212 T'vT'vvv = )T('v Stoffwerte

    Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten

    if

    o p ov (T) v 1 (T T ) = +

    )=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)

    Berechnung mit Lngenausdehnungskoeffizienten

    fr Lnge L >> Querschnitt bei Festkrpern

    o lin oL(T) L 1 (T T )= +

    lin Lngenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o

  • 3/1Energetische Zustandsgren Isochore Wrmekapazitt Cv Isobare Wrmekapazitt Cp

    m

    Cc vv = Definition m

    Cc pp =

    v

    v Tu:c

    = p

    p

    hc :T =

    Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT

    Ideales Gas

    ig 3v 2c R= Einatomige Gase ig 5p 2c R=

    Mehratomige Gase

    )T( fcnurig

    v = Rccigv

    igp += nurigpc f (T)=

    Stoffwerte

    Berechnung mit Isentropenexponenten Temperaturunabhngige Festwerte als Nherung

    Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase

    61,66= =1,4 =1,3

    (exakt) (gute Nherung) z.B. Luft (grobe Nherung)

    R11cigv =

    igv

    igp cc = R1c

    igp

    =

    Ideale Flssigkeiten und Festkrper

    )T( fcnurif

    v = )T( fcnurif

    p = Stoffwerte

    Nherung

    )T(c'c pifp

    z. B. WDT

  • 3/2

    Innere Energie U Enthalpie H

    Definition

    U Energiegehalt eines Systems Vp+U:H =

    mUu = , umU = m

    Hh = , hmH =

    Reales Fluid

    u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT

    vphu =

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    ( ) ( )

    ( ) ( )2 1 2 2 1 1

    2 2 2 1 1 1

    u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T

    =

    ( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T = v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT

  • 3/3

    Innere Energie U Enthalpie H

    Ideales Gas

    uig = f (T) (T)f=hnurig

    ig igu h R T= Stoffwerte

    igh (T) Stoffwerte

    +=T

    T

    igv

    igo

    ig

    o

    dT )T(cuu +=T

    T

    igp

    igo

    ig

    o

    dT )T(chh

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    2

    1

    Tig

    2 1 vT

    u u c (T)dT = 21

    Tig

    2 1 pT

    h h c (T)dT =

    ( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T = ( ) ( )ig ig2 1 2 1h h h T h T = hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte

    mit Mittelwerten c bzw. cvmig

    pmig = const

    O

    Tig ig ig

    o v oT

    u u c (T T )= + O

    Tig ig ig

    o p oT

    h h c (T T )= +

    O O

    T Tig igv p o

    T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T

    o o

    T Tig igv p

    T Tc c R=

    o o

    T ig igTig ig op p

    o oT T

    h h1c c (T)dTT T T T

    = = Stoffwerte

    Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )ig2 1 vm 2 1u u c T T = ( )ig2 1 pm 2 1h h c T T =

    Rcc igpmigvm =

    2 1

    2o o

    1

    T Tig igp 2 o p 1 oT

    T Tig igpm p

    2 1T

    c (T T ) c (T T )

    c = c(T T )

    =

    o

    Tigp

    Tc Stoffwerte

    Nherung fr kleine Differenz ( )12 TT : ( ) ( )2

    1

    Tig ig ig igpm p p 1 p 2

    T

    1c = c c T c T2

    +

    cpig (T) Stoffwerte

  • 3/4 Innere Energie U Enthalpie H

    Ideale Flssigkeiten und Festkrper )T(fh

    nurif = Stoffwerte = +

    o

    Tif if if

    o vT

    u u c (T) dT = + o

    Tif if if

    o pT

    h h c (T) dT

    u h T p v Tif if if= ( ) ( ) hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    2

    1

    Tif

    2 1 vT

    u u c (T)dT = 21

    Tif

    2 1 pT

    h h c (T)dT =

    ( ) ( )if if2 1 2 1

    if if2 2 1 1

    u u h T h T

    (p v (T ) p v (T ))

    =

    ( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T = hif (T) Stoffwerte

    hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte

    mit Mittelwerten ifpmifvm c bzw. c = const

    O

    Tif if if

    o v oT

    u u c (T T )= + O

    Tif if if

    o p oT

    h h c (T T )= +

    O O

    T Tif ifv p o

    T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T

    o o

    T Tif ifv p

    T Tc c R=

    o o

    TT if ifif if op p

    o oT T

    1 h hc c (T)dTT T T T

    = = Stoffwerte

    Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )if2 1 vm 2 1u u c T T = ( )if2 1 pm 2 1h h c T T =

    2 1

    2o o

    1

    T Tif ifp 2 o p 1 oT

    T Tif ifpm p

    2 1T

    c (T T ) c (T T )

    c = c(T T )

    = o

    Tifp

    Tc Stoffwerte

    Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : ( ) ( )2

    1

    Tif if if ifpm p p 1 p 2

    T

    1c = c c T c T2

    + ifpc (T) Stoffwerte

    Nherungen

    )T('vp)T('huif = ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT

    Differenz fr Zustandsnderung c J d ( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 2 1 1

    u u h' T h' Tp v' T p v' T

    =

    ( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T = v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT

  • 4/1

    Entropie S spez. Entropie s

    Sm

    = Entropiestrom S m s=

    Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz fr Zustandsnderung c J d

    ( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1 = , , ( )s f p T= , z. B. WDT

    Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=

    igTpig ig

    ooTo

    c (T) ps s dT R lnT p

    = + T ig

    ig ig vo

    oTo

    c (T) vs s dT R lnT v

    = + +

    igigT

    o

    ps s R lnp

    = mit dT T)T(c

    ssT

    T

    igpig

    oigT

    o

    += ( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet fr: K 273,15=T bei 0s oigo = Ausnahmen - Wasserdampf:

    KkgkJ 1562,9sigo =

    - Luft: igokJs 0,16189

    kg K=

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    ( ) ( )s s s T s T R ppTig Tig2 1 2 1 21 =

    ln

    ( )s TTig Stoffwerte

    mit Mittelwerten igvmigpm cbzw. c = const:

    T

    ig ig igo p

    o oTo

    T ps s c ln R ln T p

    = +

    Tig ig ig

    o vo oTo

    T vs s c ln R ln T v

    = + +

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    s s cTT

    Rpppm

    ig2 1

    2

    1

    2

    1 =

    ln ln s s c

    TT

    Rvvvm

    ig2 1

    2

    1

    2

    1 =

    +

    ln ln

    Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : +

    T2ig ig ig igpm p p 1 p 2

    T1

    1c = c c (T ) c (T )2

    c c Rvmig

    pmig=

    cpig (T) Stoffwerte

  • 4/2

    Ideale Flssigkeiten und Festkrper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= = )p,T( fsif =

    ( )ififT pif ifo oTo

    dv (T)c (T)s s dT p p

    T dT= + mit dT T

    )T(css

    T

    T

    ifpif

    oifT

    o

    += Nherung:

    ( )ifif ifT odv (T)s s p pdT=

    ( )if sdv'(T)s s'(T) p p (T)dT= p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT

    ( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 fr Wasser, berechnet fr K 273,15=T bei 0s oifo = ( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 fr Wasser Differenz fr Zustandsnderung c J d

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if2 1if if2 1 T 2 T 1 2 12 1

    v T v Ts s s T s T p p

    T T =

    ( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte Nherung:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 12 1

    v' T v' Ts s s' T s' T p p

    T T =

    ( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT mit Mittelwert ifpmc = const:

    ( ) = + ifT

    if if ifo p o

    oTo

    dv (T)Ts s c ln p pT dT

    Differenz fr Zustandsnderung c J d

    ( )if if2 1if 22 1 pm 2 11 2 1

    v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T

    = ifv (T) Stoffwerte Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 :

    T2if if if ifpm p p 1 p 2

    T1

    1c = c c (T ) c (T )2

    +

    ( )c Tpif Stoffwerte Sonderfall T=const

    ( )if if2 1 2 1v (T T) v (T T)s s p p(T T) (T T)+ = +

    mit T = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T

  • 5/1

    Exergie E

    spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e=

    Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:

    ( ) ( )u uu)h( ssThh:ee = uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz fr Zustandsnderung

    ( ) ( )12 u1212 ssThhee = Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfhigkeit:

    ( )st 2 st12E m e c g z m e= + + =

    mit st 21

    2e e c g z= + + Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:

    ( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e += uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz fr Zustandsnderung

    ( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee +=

  • 6/1

    Ermittlung von Zustandsgren aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)

    Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr)

    ooo o o o

    u 0s 0 beih u p v 0

    === +

    oo

    3 1o

    T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg

    ===

    Fluide Einphasengebiete (Flssigkeit, berhitzter Dampf)

    p1 p2 p3

    0C . . . t . . . . 800C

    .

    . (Flss.) . . . (berh. Dampf) . .

    .

    .

    . (Flss.). . . (berh.Dampf).

    .

    .

    .

    .

    .

    . (ber- krit. Fluid) .

    Werte fr v, h, s, cp,

    ,

    p1p2

    p3

    p

    . . . . . . . . . . . . . . .

    . . . . . . . . . . . . . . .

    . . . . . . . . . . . . . . .

    kr

    tr

    t (p )s 1 t (p )s 2 t

    Trennstrich in Tabelle

    berkrit. Fluid

    berh. Dampf

    Dampfdruck-kurveFlss.

    aus Tabelle fr Nassdampfgebiet

    Phasengrenzkurven

    p ts = f(p) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(p) und cp, cp, , , , = f(p) . . .

    .

    .

    .

    .

    .

    . sowie

    t ps = f(t) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(t) und cp, cp, , , , = f(t) . . .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    T

    T (p)s

    s

    h

    s

    h"

    h'

    s' s"

    p

    v"

    x=0 v'

    kr x=1

    T (p)s

    kr v" p

    h"

    x=1x=0 v'h'

    p

    s' s"

  • 6/2

    Zustandsgren des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sttigungsdruck):Siedetemperatur (Sttigungstemperatur): fr beide Phasen

    sp f TT f ps

    ==

    ( )( )

    Anteil siedender Flssigkeit: m', V' v'=V'm'

    Anteil trocken gesttigten Dampfes: m", V" v"=V"m"

    Nassdampfgemisch: m m' m"= +

    V V Vx = +' " x

    xVv m

    =

    Dampfanteil m" m"xm m' m"

    = = +

    Dampfvolumenanteil x

    V" V"yV V' V"

    = = + xv"vxy =

    spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + xxv

    = 1 v' v" f T, ( )= oder = f (p) z.B. WDT

    spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) z.B. WDT Verdampfungsenthalpie vr h h'' h' = spezifische innere Energie: u h p vx x s x= p f Ts = ( ) z.B. WDT

    spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + s s f (T) oder' , "= = f (p) z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= ( )h s f p Tu u u u, ,= z.B. WDT

  • 6/3

    c

    t Tripel-zustand

    p

    pc22,064 MPa

    kritischer Punkt

    berkritisches Fluid

    feste Phase Feststoff

    Sublimationsdruckkurve psub(T)

    Dampfdruckkurve ps(T)

    ideales Gas

    Tt 273,16 K

    Tc 647,096 K

    pt0,6117 kPa

    T

    Schmelzdruckkurven

    Wasser

    andere Fluide

    pmelt(T)

    flssige Phase Flssigkeit

    reales Fluid

    Werte von Wasser T

    ps(T)

    inkom-pressible

    Flssigkeit Gasphase

    berhitzter Dampf

    p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen

    TT

    max

    T

    Zweiphasengemisch flssig - gasfrmig

    Flssigkeit

    p,v-Diagramm fr Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien

    Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flssigkeit

    (Zeiger ')

    Taulinie x=1 - Zustand trocken gesttigten

    Dampfes (Zeiger '')

  • 6/4

    T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen

    Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen

    T

    s

    inkompressibleFlssigkeit

    Ts (p)

    s'(p) s"(p)

    Tc

    sc

    h' (p)

    p max

    Ttst' st"

    h"(p)

    reales Fluid

    c

    ideales Gas

    Tmax

    berhitzter Dampfx = 1

    x = 0

    v = const

    v = const

    x = 0,

    2

    p = const

    x =

    0,4 x = 0,6

    x = 0,8

    h = const

    v chc

    pc

    h = const

    v t"

    p t

    v"(p

    )p

    = co

    nst

    p =

    cons

    t

    v =

    cons

    t

    p =

    cons

    tv =

    con

    stt"

    t'

    Flssigkeit

    NassdampfZweiphasengemisch

    flssig-gasfrmig

    kritischer Punkt

    inkompressibleFlssigkeit

    h

    hc

    sc s"(p)s'(p)

    h"(p)

    h'(p)

    st' st"

    p,T s(p)

    v t"

    T = const

    ideales Gas

    NassdampfZweiphasengebietflssig-gasfrmig

    c

    ht'

    p t ,T t

    Ts (p)

    p = co

    nst

    berhitzter DampfT c

    v = co

    nst

    p c

    Tmax

    pmax

    v"(p

    )

    x = 1

    x = 0,8

    x = 0,

    4

    v = con

    st

    p t ,Tt

    x = 0

    t'

    t"Tt

    ht"

    in Bild 8.7

    Flssigkeit

    kritischer Punkt

  • 7/1

    Massebilanz

    Instationr: m m dmdzu ab

    = Sonderfall: , m m constzu ab = im Zeitraum

    ( ) m m m mzu ab = 2 1 mit = 2 - 1 Stationr: m mzu ab= (m = const im System)

    Massestrom: m V= , = 1v Volumenstrom: V c Aq= Aq durchstrmte Querschnittsflche c mittlere Strmungsgeschwindigkeit ber Querschnittsflche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab = 2 1

  • 8/1

    Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik Energiebilanz bei geschlossenen Systemen

    Instationre Energiebilanz: Q W dUd

    + = mit: =

    QQd

    , WW Pd =

    Differentielle Formen

    dUWWQ dissV =++ r dissQ V dp W W dH + + + = Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie

    1212diss12V12 UUWWQ =++ 2

    1

    p

    12 r12 diss12 2 1p

    Q V dp W W H H+ + + = Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumennderungsarbeit: Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d

    2

    1

    V

    V12 r12V

    W p dV W= + V rW p dV W = + uere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)

    ( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + pu barom. Druck in Umgebung d. Kolbens

    z2

    N1 2 Kz1

    W F (z) dz= FK(z) - uere Kolbenkraft in Abhngigkeit von z

    (positiv in Richtung Volumenverringerung) z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung

    Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const

    21 UU = 21 HH =

  • 8/2

    Energiebilanz bei offenen Systemen

    Instationre Energiebilanz: Q W H H dUd

    stzust

    abst+ + =

    Stationre Energiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:

    Q P W H Ht

    stdiss

    st st12 12 12 2 1+ + =

    Gesamtenthalpiestrme:

    Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= + + =

    Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= + + =

    Technische Nutzleistung des Fluidstroms:

    P W m wtst

    tst

    tst

    12 12 12= =

    Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )2

    1

    pst 2 21

    r12 2 1 2 1t12 2p

    w v dp w c c g z z= + + +

    Spezifische innere technische Arbeit: = +

    2

    1

    p

    r12t12p

    w v dp w

    Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 - stationrer Flieproze

    ( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z + + = + + Differentielle Form: stt dissq w w dh c dc g dz + + = + + mit stt rw v dp w c dc g dz = + + + Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen st2

    st1 HH =

  • 9/1

    Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:

    Form mit U: dU p dVdS

    T+ =

    Form mit H: dH V dpdS

    T =

    Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen

    Instationre Entropiebilanz: =+ ddSSS irrQ

    Differentielle Form: dSSTQ irr =+

    Quasistatische Zustandsnderung vom Zeitpunkt c bis d:

    S S S SQirr

    12 12 2 1+ =

    SQTQ12

    1

    2= Entropie der Wrme

    Sirr12 Entropieproduktion im System

    1 12 2

    S m sS m s

    = = Entropie im Fluid

    Sonderfall: Adiabate Mischung

    irr12 2 1S S S=

  • 9/2

    Entropiebilanz bei offenen Systemen

    Instationre Entropiebilanz: S S S S dSdQ zu ab

    irr+ + = Stationre Entropiebilanz vom Eintritt c zum Austritt d:

    S S S SQ

    irr12 12 2 1+ =

    SQTQ12

    1

    2= Entropie des Wrmestroms

    irr12S Entropieproduktionsstrom im System S m s1 1 1= Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze

    ( )12irr1212Q ss mSS =+

    Differentielle Form: dssTq irr

    2

    1=+

    Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen

    = 12irr12 SSS

  • 10/1

    Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:

    E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + = ( ) ( )

    ET T

    TQQ

    u12

    1

    2= Exergie der Wrme

    ( )12u12V12N VVpWW += Nutzarbeit

    2

    1

    V

    V12 r12V

    W pdV W= +

    Volumennderungsarbeit

    W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Dissipierte Arbeiten

    irr12u12v STE =

    Exergieverlust im System

    E m eu u( ) ( )= Stoffgebundene Exergie der inneren Energie

    Form mit Exergie der Enthalpie:

    2

    1

    P

    Q12 r12 diss12 v12 2 1P

    E V dp W W E E E+ + + = E m e= Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)

  • 10/2

    Exergiebilanz bei offenen Systemen

    Stationre Exergiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:

    =++ st1st212v12dissst12t12Q EEEWPE

    mit E T TT

    QQu

    121

    2= Exergie des Wrmestroms

    irr12u12v STE = Exergieverluststrom im System ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Eintritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Austritt Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze

    ( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z + + = + +

    Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen

    exAufwand

    EE

    =

    Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen

    = st1st212v EEE

  • 10/3

    Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:

    ( )12u12vNN vvpwwe +== Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen:

    2

    1

    p

    t t r12p

    e w v dp w= = + Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21kin 2e c= Spez. potentielle Energie: e g zpot = Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen

    ( ) ( )uuu ssThhe =

    Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen

    ( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue += Spez. Exergie der Wrme: =

    2

    1

    uq qT

    TTe

    Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. bertragene Wrme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= , 0)T(e uq = Spez. Volumennderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= , Vw ue (p ) 0=

  • 11/1

    Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Nherung: adiabat

    constm =

    1p1 , T1c1 , z1

    p < p2 1

    2, T2

    c2 , z2

    H Hst st2 1= ( )irr 2 112S m s s=

    ( )v12 U 2 1E m T s s= , st1

    st2

    exEE=

    Sonderfall: c c z z2 1 2 1 ,

    h h2 1=

    h = const

    h

    p p1 2

    s s s1 2

    h = h2 11 2

    v v1 2

    Reale Fluide: T2 < T1 falls c innerhalb Inversionskurve T2 > T1 falls c auerhalb Inversionskurve ( ) ( )11212 T,psh,p = sss z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT

    Ideales Gas: T T T2 1= = s s R

    pp

    Rvv2 1

    2

    1

    2

    1 =

    =

    ln ln

    Ideale Flss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =

    ( )if2 1 2 1dv (T)s s p pdT = wobei if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)

    + +

    mit T = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T

    mit vif if=1 wobei

    if f T= ( ) Stoffwerte

    gute Nherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT

  • 11/2

    Verdichtung (Kompression) - Nherung: Verdichter, Pumpe - adiabat

    ( ) ( ) ( )( )

    st 2 21t12 2 1 2 1 2 12

    2 1 2s 1sV

    P m h h c c g z z1mit h h h h

    = + + = +

    2 2

    mFlssigkeit Gas

    Dampf

    Pt12st

    adiabat

    M M

    1 1

    Pumpe Verdichter(Kompressor)

    m

    p2>p1

    sV Pt12st

    1 1 1 2s 2 1Fr realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT

    ( )

    ( ) ( )

    igpm

    ig2 1 pm 2 1

    2 1 2s 1sV

    1

    22s 1

    1if

    2s 1 m 2 1

    Fr ideales Gas mit c , const :

    h h c (T T )1T T (T T )

    pmit T Tp

    Fr ideale Flss : h h v p p

    = =

    = + =

    =

    h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )

    ( )irr

    2 112

    v12 u 2 1

    S m s s

    E m T s s

    = =

    h p

    s s

    p

    h

    hh

    s

    w w

    2

    1 2

    1

    1

    2

    2s

    t12s t12

    1

    s12irr

    2s2

    Isentroper Verdichtergtegrad (innerer Wirkungsgrad)

    sV t st

    sww

    h hh h

    = = 12

    12

    2 1

    2 1

    Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =

    oder Ideale Flss. mit c constpm

    if = : sV s

    T TT T

    = 2 1

    2 1

    Nherung: adiabate reversible Verdichtung s=const

    2 = 2s

    sV

    t t s sw w h h== = 1

    12 12 2 1

  • 11/3

    Turbinenentspannung (-expansion) - Nherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine

    ( ) ( ) ( )( )

    = + + = +

    st 2 21t12 2 1 2 1 2 122 1 sT 2s 1

    P m h h c c g z z

    mit h h h h

    1

    2adiabat

    G

    -Pt12st

    sT

    m

    Fr reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT

    ( )

    ( ) ( )

    1

    igpm

    ig2 1 pm 2 1

    2 1 sT 2s 1

    22s 1

    1

    if2s 1 m 2 1

    Fr ideales Gas mit c , const :

    h h c (T T)T T (T T)

    pmit T Tp

    Fr ideale Flss: h h v p p

    = =

    = + =

    =

    h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )

    ( )irr

    2 112

    v12 u 2 1

    S m s s

    E m T s s

    = =

    s s s1 2

    p1 p2

    h

    hh

    h1

    2

    2s

    -wt12

    2

    1

    2s

    -wt12s

    s12irr

    Isentroper Turbinengtegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)

    2 1t12sT

    t12s 2s 1

    h hww h h

    = =

    Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =

    oder

    Ideale Flss. mit c constpmif = :

    sTs

    T TT T

    = 2 1

    2 1

    Nherung: adiabate reversible Entspannung s=const

    2 = 2s

    sT

    t t s sw w h h== = 1

    12 12 2 1

  • 11/4

    Reversible Zustandsnderungen idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,

    1

    11

    vv2

    1= p

    p2

    1= T

    T2

    1= u u2 1 = h h2 1 = s s2 1 =

    Isochore v constpT

    const==

    vv2

    11= p

    pTT

    2

    1

    2

    1= T

    Tpp

    2

    1

    2

    1=

    ( )u u c T Tv2 1 2 1 =

    ( )h h c T Tp2 1 2 1 =

    s s cTTv2 12

    1 =

    ln

    Isobare p constvT

    const==

    vv

    TT

    2

    1

    2

    1= p

    p2

    11= T

    Tvv

    2

    1

    2

    1=

    ( )u u c T Tv2 1 2 1 =

    ( )h h c T Tp2 1 2 1 =

    s s cTTp2 12

    1 =

    ln

    Isotherme T const

    p v const= =

    vv

    pp

    2

    1

    1

    2= p

    pvv

    2

    1

    1

    2= T

    T2

    11= u u2 1 0 = h h2 1 0 =

    s s Rpp

    s s Rvv

    2 12

    1

    2 12

    1

    =

    =

    ln

    ln

    Isentrope s const

    p v const=

    =vv

    pp

    vv

    TT

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    11

    =

    =

    pp

    TT

    pp

    vv

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    2

    =

    =

    TT

    pp

    TT

    vv

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    =

    =

    ( )u u c T Tv2 1 2 1 =

    ( )h h c T Tp2 1 2 1 =

    s s2 1 0 =

    Polytrope

    p v constn = v

    vpp

    vv

    TT

    n

    n

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    11

    =

    =

    pp

    TT

    pp

    vv

    nn

    n

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    2

    =

    =

    TT

    pp

    TT

    vv

    nn

    n

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    =

    =

    ( )u u c T Tv2 1 2 1 =

    ( )h h c T Tp2 1 2 1 =

    2 1

    2v

    1

    s s

    Tn c lnn 1 T

    = =

  • 11/5

    Reversible Prozesse idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,

    1

    11

    q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore

    v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= = Isobare

    p const vT const= =, ( )q c T Tp12 2 1= ( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= = w t12 0=

    Isotherme T const

    p v const= =

    q w wv t12 12 12= = w w q R T vv R Tpp

    p v p vv t12 12 12 21

    2

    11 1 2 2= = =

    =

    = ln ln mit: R T =

    Isentrope s const

    p v const=

    =q12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11= =

    11 2

    v121

    R T pw 1

    1 p

    =

    wR T v

    vv121 1

    2

    1

    11=

    mit: R = T p v1 1 1 w wv t12 12

    1=

    ( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= = 1

    2t12 1

    1

    pw R T 1

    1 p

    =

    w R Tvvt12 1

    1

    2

    1

    11=

    mit: R = T p v1 1 1 w wt v12 12=

    Polytrope p v constn =

    ( )( )

    ( )

    q c T T w

    q c T T w

    q nn

    R T T

    v v

    p t

    12 2 1 12

    12 2 1 12

    12 2 11 1

    = = =

    ( )( )( )

    n 1n1 2

    v121

    R T pw 1

    n 1 p

    =

    wR Tn

    vvv

    n

    121 1

    2

    1

    11=

    mit: R T p v = 1 1 1 ( )w Rn T T w n wv v t12 2 1 12 121 1= - =

    n 1n2

    t12 11

    pnw R T 1n 1 p

    =

    wn

    nR T

    vvt

    n

    12 11

    2

    1

    11=

    mit: R T p v = 1 1 1 ( )w R nn w n wt t v12 12 121= = T T2 1

  • 12/1

    Eindimensionale stationre Wrmeleitung ohne Wrmequellen (=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0

    Wrmestromdichte: (Betrag)

    q grad t= AQq =

    Wrmestrom durch Wand:

    tQR

    = wi wat t t =

    Wrmeleit- widerstand: R Am

    = - Wanddicke

    - mittlere vom Wrmestromdurchdrungene Flche

    Am

    Ebene Wand:

    = dtgrad tdx

    xi xax

    t

    Q

    Q

    A

    Ai

    twi

    twitwatwa

    t x)Eb(

    a

    = x xa i

    Temperaturverlauf (linear)

    ( ) ( )t x) t t t x xEb wi wi wa i( =

    Ebm i aA a b A A A const= = = = =

    (a, b Abmessungen der Wand)

    Nherung fr wandartige Gebilde Zylinderwand:

    RohrwandHohlzylindermit Lnge l

    = dtgrad tdr

    rir

    t

    Q

    Q

    A

    Ai a

    twi

    twitwatwai

    a

    ra

    t rZyl( )

    ( )1a i a i2r r d d = =

    Temperaturverlauf (logarithmisch)

    ( )t r t t trrrr

    Zylwi wi wa

    i

    ai

    ( )ln

    ln=

    ( ) = = a iZyl a i

    ma ai i

    d d A AA ld Aln lnd A

    Nherung fr kanalartige Gebilde bei AA

    a

    i< 3

    Kugelwand:

    = dtgrad tdr

    i a

    Kug t(r)

    ri r

    t

    ra

    twi twatwa

    twi

    Ai

    Aa Q

    Q

    ( )1a i a i2r r d d = =

    Temperaturverlauf (hyperbolisch)

    ( )t r t t t r rr r

    Kugwi wi wa

    i

    i a

    ( ) =

    1 1

    1 1

    ( )Kug a im a i

    i a

    d dA A A

    1 1d d

    = =

    Nherung fr geschlossene Gefe bei AA

    a

    i< 3

    (logarith-misches Mittel)

    (geomet-risches Mittel)

  • 13/1

    Eindimensionaler stationrer Wrmedurchgang ( , = const)

    x = x1

    t

    Q

    A , A

    i a

    i ax2

    a

    k

    , i

    A

    B

    C

    tFtW

    tW

    Am Am Am

    i x3 x = x4a

    t FtW = tW

    2

    3

    B CA

    a 4

    a

    itW = t Wi 1

    x

    Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj= = = = (j = A, B, C)

    Wrmestrom:

    k

    kk R

    tQ = k F Fi at t t = Wrmedurchgangswiderstand R R R Rk

    ji j a

    = + + (j = A,B,C)

    iiaak Ak

    1Ak

    1R ==

    ka - Wrmedurchgangskoeffizient

    bezogen auf Flche Aa ki - Wrmedurchgangskoeffizient

    bezogen auf Flche Ai

    Wrmebergangswiderstnde RAi i i

    = 1

    RAa a a

    = 1

    - Wrmeber-

    gangskoeffizient

    Wrmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R

    Ajj

    j m j

    =

    Kontinuittsgleichung des stationren Wrmestroms:

    Q Q Q Q Qk i j a= = = =

    i j akk i j ak i j a

    t t ttQ , Q , Q , QR R R R

    = = = =

  • 13/2

    Verallgemeinerung:

    thRtQ = Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von t

    Berechnung des thermischen Widerstandes:

    i a

    a

    F

    i

    1

    6

    2345

    t Fi t aQ.

    Nherung fr Vernachlssigung der W-Strme quer:

    R R R R R Rth i a= + + + + 1 2 5 6 (Reihenschaltung)

    1 1 1 1 1

    2 5 2 3 4 5R R R R R

    = + + + (Parallelschaltung)

    Wrmedurchgang bei aneinander vorbeiflieenden Fluiden (durch Wand getrennt)

    aGl

    i

    Geg0

    A

    k

    ia

    am.

    m.

    Q.

    m.

    Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom

    Temperaturschaubild

    k

    i

    Weg

    t

    Wand Glkt

    GegktGl

    kt Gegkt

    00 A

    A

    A0

    i

    a

    m.

    aGegm

    .aGlm

    .

    Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :

    A

    0

    A0

    k

    k

    kkmk

    tt

    ln

    ttt

    = ai0 FFk ttt = 0

    aiA FFk ttt = A

    Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenstrmer

    Wrmestrom k

    mk

    k RtQ =

  • 14/1

    Konvektiver Wrmebergang Wrmestrom (NEWTONsches Wrmebergangsgesetz)

    = tAQ F W F W1 2

    F W1

    F W2

    t t t tt

    t tln

    t t

    =

    tF ndert sich von tF1 auf tF2,

    bei Mittelwert tW

    mF Wt t t = bei Mittelwerten fr Fluidtemperatur mFt

    und Wandtemperatur tW

    Wrmeber- gangskoeffizient:

    = Nulchar

    bei tst

    Nu - Nuelt-Zahl lchar - charakteristische Lnge fr jeweilige Geometrie

    Fluid

    Reynolds -Zahl: Re = c lchar bei tst

    - Wrmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit

    - kinematische Viskositt = - dynamische Zhigkeit

    Prandtl -Zahl: Pr = = acp

    , cp, bei tst

    - Dichte = 1v

    a - Temperaturleitkoeff. a cp=

    Grashof -Zahl:

    = tlg1Gr 3char2

    , bei tst

    - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient

    =

    toffwerteS

    Flss. fr )T(

    Gase ideale fr T1=

    stpst

    Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor fr Temperatur-Abhngigkeit der Stoffwerte falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =

    =

    10 14

    Flssigkeiten KTW

    :,

    Dyn. Zhigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zhigkeit des Fluids bei Wandtemp. t

    st

    WW

    g - Erdbeschleunigung

  • 14/2

    Freie Konvektion Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t t =

    Nu Gr Gr KT= +

    011

    13 0 1, ( Pr) ( Pr) , ( )t t tst F W= +12

    gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 10 107 12Gr lchar = Hhe bei senkrechten Wnden und Rohren lchar = Auendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlnge bei waagerechter Platte Enge Spalte

    2 1W WQ A t t =

    Nuk Grm Gr

    n= + + 1

    ( Pr)( Pr) ( )t t tst W W= +0 5 1 2,

    gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 1700 108Gr

    Nu = 1 fr (Gr Pr)

  • 14/3

    Erzwungene Konvektion Nu = f (Re,Pr) Strmung in Rohren

    =

    F W F W1 2F W1

    F W2

    t t t tQ A

    t tln

    t t

    bzw. mF WQ A t t =

    A - durchstrmteQuerschnittsflche

    U - benetzter Umfangq

    q

    Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=

    tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlnge

    Laminare Strmung bei Re < 2300

    Nu

    dL

    dL

    K

    gl

    glT= +

    +

    3 66

    0 0677

    1 01

    133

    0,83,, Re Pr

    , Pr Re

    ,

    ( )= +=

    1st F F1 22

    mst F

    t t t

    bzw. t t (Mittelwert)

    gltig fr: 6,0Pr,32

    LgldPrRe >>

    Turbulente Strmung bei Re 2300

    ( ) ( )Nu dL Kgl T= +

    0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3

    23

    , Re , Pr , ( )1 21st F F2

    mst F

    t t t

    bzw. t t (Mittelwert)

    = +=

    gltig fr: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10

    dgl> < < 0,6

    Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105

    Nu KT= 0 037 0 8 0 43, Re Pr, , 1Fst tt = gltig fr: 0,6 Pr 100

    glchar dl = d AUglq

    q= 4 mFt - mittlere Fluidtemperatur

  • 15/1

    Wrmestrahlung

    Strahlungskoeffizient: C Cs= = a - Emissionsverhltnis a - Absorptionskoeffizient

    8

    s s 2 4WC 10 5,67051

    m K= =

    - Strahlungskoeffizient des

    Schwarzen Strahlers

    Emittierter Energiestrom: E C A T= 1004

    Wrmestrom durch Strahlung

    Q C A T T12 12 1 14

    24

    100 100=

    a) Sich umhllende Krper ( innerer Krper)

    1 2Q12

    1

    C

    CAA C Cs

    12

    1

    1

    2 2

    11 1 1

    =+

    b) unendlich groer Raum

    Q122

    1

    bei: A2 >> =A AA11

    20

    C C12 1= c) und unendlich groe parallele Wnde

    Q1221

    bei: A2 =A AA11

    21

    falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wnde

    s21

    12

    C1

    C1

    C1

    1C+

    =

  • 15/2

    d) Berechnung mit Einstrahlzahl

    .1

    2Q12

    ++=

    s22

    1

    s12s1 C1

    C1

    AA

    C1

    C1

    C1

    1C12

    12 Einstrahlzahl Diagramme fr bestimmte Geometrien

    Reziprozittsbeziehung: 12 1 21 2 = A A Wrmebergangskoeffizient durch Strahlung

    1 U2Q12

    Str CT T

    T T=

    12

    14

    24

    1 2

    100 100( )

    Strahlungsschirm Strahlungs-

    schirm (Sch)

    3 1

    Sch12Q

    3

    sch12 13 32Q Q Q= =

    4 4

    Sch 1 212

    1 13 3 32

    T T1Q 1 1 100 100A C A C

    = +

    T C AT

    C AT

    C A C A3

    4 13 11

    4

    32 32

    4

    13 1 32 3100100 100

    =

    +

    +

  • 16/1

    Rekuperatoren (Wrmetauscher)

    Festlegungen:

    H - Heizmedium gibt Wrme ab K - Khlmedium nimmt Wrme auf 1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K

    0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)

    a - laufende Heizflche (a = 0 ... A) A Heizflche des Wrmebertragers

    Wrmekapazittsstrom: pC m c=

    Q k A tj j HKm=

    Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Khlmedium:

    0 A

    m HK HKHK 0

    HKAHK

    t tt

    tln

    t

    =

    Gleichstrom: 1K1H0HK ttt =

    2K2HAHK ttt =

    Gegenstrom: 2K1H0HK ttt =

    t t tHKA H K= 2 1

    Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = : m 0 AHK HK HKt t t = = Q C tH H= t t t C m cH H H H H pH= = 1 2 , ,

    H2 H1

    o o

    t t

    pH H2 o pH H1 ot tH2 H1

    pHH2 H1 H2 H1

    c (t t ) c (t t )h hct t (t t )

    = =

    to Bezugstemperatur fr Enthalpie

    Nherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte

    Q C tK K= t t t C m cK K K K K pK= = 2 1 , , K2 K1

    o o

    t t

    pK K2 o pK K1 ot tK2 K1

    pKK2 K1 K2 K1

    c (t t ) c (t t )h hct t (t t )

    = =

    to Bezugstemperatur fr Enthalpie

    Nherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte

    j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche

  • 16/2

    ( )H H1 K1Q C t t= ( )Betriebscharakteristik

    tt

    H

    H1 := tK1

    j j H

    H K

    k A Cf ;C C =

    mit k A

    Ct

    t

    CC

    tt

    j j

    H

    H

    HKm

    H

    K

    K

    H

    = = ;

    Sonderfall: Verdampfer tK = 0

    ( )1K2KK hhmQ = , CCHK = 0 Sonderfall: Kondensator tH = 0

    ( )2H1HH hhmQ = , KH

    C 0C

    =

    ( ) = 1K1HK ttCQ ,

    == 0

    CC;

    CAk

    fH

    K

    K

    jj

    , ( )1K1HKtt

    t: =

    j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche

    Diagramme fr - Gleichstrmer - Gegenstrmer - Kreuzstrmer

  • 17/1

    Instationre Wrmeleitung

    Zu- bzw. abgefhrte Wrme

    [ ]omp t)(tcV)(Q = tm() - Mitteltemperatur des Krpers nach Zeit

    Quasistatische instationre Wrmeleitung Nherung fr langsame Erwrmung bzw. Abkhlung von kleinen Krpern mit guten Wrmeleiteigenschaften J Mitteltemperatur tm im gesamten Krper gleich gro

    Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich

    o

    Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0

    Mittlere Temperatur im Krperverndert sich mit Zeit

    t = f ()m

    Krper mit- Masse m- Oberfche A

    p- c

    Fluid mit Temperatur t = constF

    o

    Definition: Normierte Mitteltemperatur

    Fo

    Fmm tt

    tt=

    Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m

    p

    A( ) expm c

    =

  • 17/2

    Analytische Lsung nach Grber fr symmetrische Bedingungen

    Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich

    o

    Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0

    Temperatur im Kern t = f ()K

    Krper mit

    - geometrische Lnge L

    Fluid mit Temperatur t = constF

    geo

    Temperatur an Oberflche t = f ()W

    Mitteltemperatur t = f ()m

    p- m, c ,

    o

    Funktionaler Zusammenhang

    Temperatur Zeit Stoffwerte

    Fo

    FKK tt

    tt=

    Fo

    FWW tt

    tt=

    Fo

    Fmm tt

    tt=

    Normierte Temperatur

    2geo

    aFoL

    =

    Fourier-Zahl

    mit: acp

    =

    =geoLBi

    Biot-Zahl

    bei tW bekannt: Bi = und Berechnung fr tF = tW

    im Diagramm fr

    Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo = 2 ; - Wanddicke

    Unendlich langer Zylinder L dgeo = 2 ; d - Durchmesser

    Vollkugel L dgeo = 2 ; d - Durchmesser

  • 17/3

    Nherungen fr weitere Geometrien:

    Plattenhnliche Gebilde LVAgeo

    Zylinderhnliche Gebilde LVAgeo

    2 V - Volumen A - Oberflche Kugelhnliche Gebilde L

    VAgeo

    3

    Superpositionsprinzip

    = x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als berlagerung von:

    unendlich groe Platte

    (Pl) unendlich

    langer Zylinder (Zyl)

    d

    c

    d

    f

    e

    f

    e

    Temperatur an Stelle : = KPl KZyl

    : = KPl WZyl

    : = WPl WZyl

    : = WPl KZyl