fluid und thermodynamik formelsammlung
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Formelsammlung ThermodynamikTRANSCRIPT
-
FBM
asch
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wes
enTe
chni
sche
The
rmod
ynam
ik
FormelsammlungTechnische ThermodynamikWrmebertragung
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
University ofApplied Sciences
-
HOCHSCHULE ZITTAU/GRLITZ (FH) - University of Applied Sciences
FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung Technische Thermodynamik Wrmebertragung Seite
Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Gren 1/1 Thermische Zustandsgren 2/1 Energetische Zustandsgren 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgren 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wrmeleitung 12/1 Wrmedurchgang 13/1 Konvektiver Wrmebergang 14/1 Wrmestrahlung 15/1 Wrmebertrager 16/1 Instationre Wrmeleitung 17/1
-
Internationales Einheitensystem SI
Gre SI - Einheit empfohlene Einheit
Lnge z 1 m 1 m
Zeit 1 s 1 s Masse m 1 kg 1 kg
Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol
Thermodynamische Temperatur T 1K 1K
Kraft F 2kg m1 N 1
s= 1 kN = 1000 N
Druck p 2
5
N1Pa 1m
1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa
== = =
2
kN1 kPa 1m
1 kPa 0,01 bar==
Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wrme Q Arbeit W
1 J = 1 Nm
1 kJ = 1 kNm
spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wrme q spezifische Arbeit w
2
2J Nm m1 1 1
kg kg s= =
2
2kJ m1 1000kg s
=
Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wrmestrom Q Arbeitsleistung = P W
= =J Nm1 W 1 1s s
kJ kNm1 kW 1 1s s
= =
Spezif. Wrmekapazitten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R
J Nm1 1kg K kg K
= kJ kNm1 1
kg K kg K=
Entropiestrom S Wrmekapazittsstrom C
W J Nm1 1 1K s K s K
= = kW kJ kNm1 1 1K s K s K
= =
* in der Technik oft verwendete Einheit bar fr Druck
-
KhlturmWrmever-brauchermit Heizflchen
KernreaktorBrennkammer fr Gase
Drosselventil(Druckminder- ventil)
Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine
Pumpe allgemein
Verdichterallgemein
KondensatorMischwrme-bertrager
Khlmedium
Verdampfer (Kessel)mit berhitzer
Verdampfer(Kessel)
Wrmeber-trager alsRekuperatorallgemein(Wrme-tauscher)
Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
-
Schaltbilder fr weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersule
Rohrleitungen fr Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizl
-
1/1
Gren Umrechnung Beispiele
spezifische Gre Z: (massebezogen)
Zz =m
pv, u, h, s, c , q, w
Zeitbezogene Gre Z (Strom):
= dZZ
d Z m z= m, n, V, H, Q, W P=
Volumenbezogene Gre Z: ZzV
= z z= m, q = Molare Gre Z: Zz
n= z M z= v, h, s, q, w
Flchenbezogene Gre Z: ZzA
= q
Stromdichte: ZzA
= q , m
Temperatur Maeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K= CELSIUS-Temp.: t t C= t T 273,15
C K=
FAHRENHEIT-Temp.: F F F= F 9 T 459,67F 5 K =
RANKINE-Temp.: R R R= R 9 TR 5 K =
Temperaturdifferenz: T T t K= = T t=
Druck
p d A p= = =d F
1 kPa 0,01 barn ,
berdruck: p p pub = - pu - barometrischer Druck der Umgebung
Unterdruck: p p pun u= -
Vakuum: unu
pVa
p=
-
1/2
Statischer Druck einer Flssigkeitssule
p g zFl FL= Fl Dichte der Flssigkeit z Fl Hhe der Flssigkeitssule
Auftriebskraft
F = g V ( - )A ver ver
Vver ver
FA
g
Vver Volumen des verdrngenden Krpers (Fluids) ver Dichte des verdrngenden Fluids Dichte des Fluids in Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K
n n nn
1v bei p , T= des Fluids
-
2/1
Thermische Zustandsgren Spezifisches Volumen v und Dichte Dichte: =
1v
Reales Fluid
v = f (p,T)technische Formulierung
= f (p,T)
z.B. WDT, Stoffwerte p = f (T,v) physikalische Formulierung
Realgasfaktor realp vzR T=
Differenz fr Zustandsnderung c d ( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T = v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:
TRmVp = TRvp = TRvp = TRMvp = TRnVp = Spezifisches Volumen:
pTR=vig
Dichte: TR
p=ig Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:
MRR=
M Molare Masse des Stoffes = mMn
R, M Stoffwerte Strmendes ideales Gas: TRmVp =
Differenz fr Zustandsnderung c d
2 1
2 12 1
T Tv v Rp p
=
-
2/2
Inkompressible (ideale) Flssigkeiten und Festkrper
v f Tif nur= ( ) )T(
1)T(vif
if
=
Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c d
( ) ( )1if2if12 TvTvvv = v Tif ( ) Stoffwerte
Nherung
ifv v '(T)= )T('v z.B. WDT
Differenz fr Zustandsnderung c d
( ) ( )1212 T'vT'vvv = )T('v Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
if
o p ov (T) v 1 (T T ) = +
)=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Berechnung mit Lngenausdehnungskoeffizienten
fr Lnge L >> Querschnitt bei Festkrpern
o lin oL(T) L 1 (T T )= +
lin Lngenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o
-
3/1Energetische Zustandsgren Isochore Wrmekapazitt Cv Isobare Wrmekapazitt Cp
m
Cc vv = Definition m
Cc pp =
v
v Tu:c
= p
p
hc :T =
Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT
Ideales Gas
ig 3v 2c R= Einatomige Gase ig 5p 2c R=
Mehratomige Gase
)T( fcnurig
v = Rccigv
igp += nurigpc f (T)=
Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten Temperaturunabhngige Festwerte als Nherung
Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase
61,66= =1,4 =1,3
(exakt) (gute Nherung) z.B. Luft (grobe Nherung)
R11cigv =
igv
igp cc = R1c
igp
=
Ideale Flssigkeiten und Festkrper
)T( fcnurif
v = )T( fcnurif
p = Stoffwerte
Nherung
)T(c'c pifp
z. B. WDT
-
3/2
Innere Energie U Enthalpie H
Definition
U Energiegehalt eines Systems Vp+U:H =
mUu = , umU = m
Hh = , hmH =
Reales Fluid
u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT
vphu =
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )
( ) ( )2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 1 1
u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T
=
( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T = v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT
-
3/3
Innere Energie U Enthalpie H
Ideales Gas
uig = f (T) (T)f=hnurig
ig igu h R T= Stoffwerte
igh (T) Stoffwerte
+=T
T
igv
igo
ig
o
dT )T(cuu +=T
T
igp
igo
ig
o
dT )T(chh
Differenz fr Zustandsnderung c J d
2
1
Tig
2 1 vT
u u c (T)dT = 21
Tig
2 1 pT
h h c (T)dT =
( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T = ( ) ( )ig ig2 1 2 1h h h T h T = hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte
mit Mittelwerten c bzw. cvmig
pmig = const
O
Tig ig ig
o v oT
u u c (T T )= + O
Tig ig ig
o p oT
h h c (T T )= +
O O
T Tig igv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tig igv p
T Tc c R=
o o
T ig igTig ig op p
o oT T
h h1c c (T)dTT T T T
= = Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )ig2 1 vm 2 1u u c T T = ( )ig2 1 pm 2 1h h c T T =
Rcc igpmigvm =
2 1
2o o
1
T Tig igp 2 o p 1 oT
T Tig igpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
=
o
Tigp
Tc Stoffwerte
Nherung fr kleine Differenz ( )12 TT : ( ) ( )2
1
Tig ig ig igpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
+
cpig (T) Stoffwerte
-
3/4 Innere Energie U Enthalpie H
Ideale Flssigkeiten und Festkrper )T(fh
nurif = Stoffwerte = +
o
Tif if if
o vT
u u c (T) dT = + o
Tif if if
o pT
h h c (T) dT
u h T p v Tif if if= ( ) ( ) hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d
2
1
Tif
2 1 vT
u u c (T)dT = 21
Tif
2 1 pT
h h c (T)dT =
( ) ( )if if2 1 2 1
if if2 2 1 1
u u h T h T
(p v (T ) p v (T ))
=
( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T = hif (T) Stoffwerte
hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte
mit Mittelwerten ifpmifvm c bzw. c = const
O
Tif if if
o v oT
u u c (T T )= + O
Tif if if
o p oT
h h c (T T )= +
O O
T Tif ifv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tif ifv p
T Tc c R=
o o
TT if ifif if op p
o oT T
1 h hc c (T)dTT T T T
= = Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )if2 1 vm 2 1u u c T T = ( )if2 1 pm 2 1h h c T T =
2 1
2o o
1
T Tif ifp 2 o p 1 oT
T Tif ifpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
= o
Tifp
Tc Stoffwerte
Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : ( ) ( )2
1
Tif if if ifpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
+ ifpc (T) Stoffwerte
Nherungen
)T('vp)T('huif = ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 2 1 1
u u h' T h' Tp v' T p v' T
=
( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T = v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT
-
4/1
Entropie S spez. Entropie s
Sm
= Entropiestrom S m s=
Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1 = , , ( )s f p T= , z. B. WDT
Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=
igTpig ig
ooTo
c (T) ps s dT R lnT p
= + T ig
ig ig vo
oTo
c (T) vs s dT R lnT v
= + +
igigT
o
ps s R lnp
= mit dT T)T(c
ssT
T
igpig
oigT
o
+= ( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet fr: K 273,15=T bei 0s oigo = Ausnahmen - Wasserdampf:
KkgkJ 1562,9sigo =
- Luft: igokJs 0,16189
kg K=
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )s s s T s T R ppTig Tig2 1 2 1 21 =
ln
( )s TTig Stoffwerte
mit Mittelwerten igvmigpm cbzw. c = const:
T
ig ig igo p
o oTo
T ps s c ln R ln T p
= +
Tig ig ig
o vo oTo
T vs s c ln R ln T v
= + +
Differenz fr Zustandsnderung c J d
s s cTT
Rpppm
ig2 1
2
1
2
1 =
ln ln s s c
TT
Rvvvm
ig2 1
2
1
2
1 =
+
ln ln
Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : +
T2ig ig ig igpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
c c Rvmig
pmig=
cpig (T) Stoffwerte
-
4/2
Ideale Flssigkeiten und Festkrper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= = )p,T( fsif =
( )ififT pif ifo oTo
dv (T)c (T)s s dT p p
T dT= + mit dT T
)T(css
T
T
ifpif
oifT
o
+= Nherung:
( )ifif ifT odv (T)s s p pdT=
( )if sdv'(T)s s'(T) p p (T)dT= p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT
( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 fr Wasser, berechnet fr K 273,15=T bei 0s oifo = ( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 fr Wasser Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if2 1if if2 1 T 2 T 1 2 12 1
v T v Ts s s T s T p p
T T =
( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte Nherung:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 12 1
v' T v' Ts s s' T s' T p p
T T =
( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT mit Mittelwert ifpmc = const:
( ) = + ifT
if if ifo p o
oTo
dv (T)Ts s c ln p pT dT
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( )if if2 1if 22 1 pm 2 11 2 1
v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T
= ifv (T) Stoffwerte Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 :
T2if if if ifpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
+
( )c Tpif Stoffwerte Sonderfall T=const
( )if if2 1 2 1v (T T) v (T T)s s p p(T T) (T T)+ = +
mit T = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
-
5/1
Exergie E
spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e=
Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:
( ) ( )u uu)h( ssThh:ee = uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz fr Zustandsnderung
( ) ( )12 u1212 ssThhee = Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfhigkeit:
( )st 2 st12E m e c g z m e= + + =
mit st 21
2e e c g z= + + Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:
( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e += uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz fr Zustandsnderung
( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee +=
-
6/1
Ermittlung von Zustandsgren aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr)
ooo o o o
u 0s 0 beih u p v 0
=== +
oo
3 1o
T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg
===
Fluide Einphasengebiete (Flssigkeit, berhitzter Dampf)
p1 p2 p3
0C . . . t . . . . 800C
.
. (Flss.) . . . (berh. Dampf) . .
.
.
. (Flss.). . . (berh.Dampf).
.
.
.
.
.
. (ber- krit. Fluid) .
Werte fr v, h, s, cp,
,
p1p2
p3
p
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
kr
tr
t (p )s 1 t (p )s 2 t
Trennstrich in Tabelle
berkrit. Fluid
berh. Dampf
Dampfdruck-kurveFlss.
aus Tabelle fr Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
p ts = f(p) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(p) und cp, cp, , , , = f(p) . . .
.
.
.
.
.
. sowie
t ps = f(t) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(t) und cp, cp, , , , = f(t) . . .
.
.
.
.
.
.
T
T (p)s
s
h
s
h"
h'
s' s"
p
v"
x=0 v'
kr x=1
T (p)s
kr v" p
h"
x=1x=0 v'h'
p
s' s"
-
6/2
Zustandsgren des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sttigungsdruck):Siedetemperatur (Sttigungstemperatur): fr beide Phasen
sp f TT f ps
==
( )( )
Anteil siedender Flssigkeit: m', V' v'=V'm'
Anteil trocken gesttigten Dampfes: m", V" v"=V"m"
Nassdampfgemisch: m m' m"= +
V V Vx = +' " x
xVv m
=
Dampfanteil m" m"xm m' m"
= = +
Dampfvolumenanteil x
V" V"yV V' V"
= = + xv"vxy =
spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + xxv
= 1 v' v" f T, ( )= oder = f (p) z.B. WDT
spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) z.B. WDT Verdampfungsenthalpie vr h h'' h' = spezifische innere Energie: u h p vx x s x= p f Ts = ( ) z.B. WDT
spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + s s f (T) oder' , "= = f (p) z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= ( )h s f p Tu u u u, ,= z.B. WDT
-
6/3
c
t Tripel-zustand
p
pc22,064 MPa
kritischer Punkt
berkritisches Fluid
feste Phase Feststoff
Sublimationsdruckkurve psub(T)
Dampfdruckkurve ps(T)
ideales Gas
Tt 273,16 K
Tc 647,096 K
pt0,6117 kPa
T
Schmelzdruckkurven
Wasser
andere Fluide
pmelt(T)
flssige Phase Flssigkeit
reales Fluid
Werte von Wasser T
ps(T)
inkom-pressible
Flssigkeit Gasphase
berhitzter Dampf
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
TT
max
T
Zweiphasengemisch flssig - gasfrmig
Flssigkeit
p,v-Diagramm fr Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flssigkeit
(Zeiger ')
Taulinie x=1 - Zustand trocken gesttigten
Dampfes (Zeiger '')
-
6/4
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
T
s
inkompressibleFlssigkeit
Ts (p)
s'(p) s"(p)
Tc
sc
h' (p)
p max
Ttst' st"
h"(p)
reales Fluid
c
ideales Gas
Tmax
berhitzter Dampfx = 1
x = 0
v = const
v = const
x = 0,
2
p = const
x =
0,4 x = 0,6
x = 0,8
h = const
v chc
pc
h = const
v t"
p t
v"(p
)p
= co
nst
p =
cons
t
v =
cons
t
p =
cons
tv =
con
stt"
t'
Flssigkeit
NassdampfZweiphasengemisch
flssig-gasfrmig
kritischer Punkt
inkompressibleFlssigkeit
h
hc
sc s"(p)s'(p)
h"(p)
h'(p)
st' st"
p,T s(p)
v t"
T = const
ideales Gas
NassdampfZweiphasengebietflssig-gasfrmig
c
ht'
p t ,T t
Ts (p)
p = co
nst
berhitzter DampfT c
v = co
nst
p c
Tmax
pmax
v"(p
)
x = 1
x = 0,8
x = 0,
4
v = con
st
p t ,Tt
x = 0
t'
t"Tt
ht"
in Bild 8.7
Flssigkeit
kritischer Punkt
-
7/1
Massebilanz
Instationr: m m dmdzu ab
= Sonderfall: , m m constzu ab = im Zeitraum
( ) m m m mzu ab = 2 1 mit = 2 - 1 Stationr: m mzu ab= (m = const im System)
Massestrom: m V= , = 1v Volumenstrom: V c Aq= Aq durchstrmte Querschnittsflche c mittlere Strmungsgeschwindigkeit ber Querschnittsflche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab = 2 1
-
8/1
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik Energiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationre Energiebilanz: Q W dUd
+ = mit: =
QQd
, WW Pd =
Differentielle Formen
dUWWQ dissV =++ r dissQ V dp W W dH + + + = Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie
1212diss12V12 UUWWQ =++ 2
1
p
12 r12 diss12 2 1p
Q V dp W W H H+ + + = Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumennderungsarbeit: Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d
2
1
V
V12 r12V
W p dV W= + V rW p dV W = + uere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)
( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + pu barom. Druck in Umgebung d. Kolbens
z2
N1 2 Kz1
W F (z) dz= FK(z) - uere Kolbenkraft in Abhngigkeit von z
(positiv in Richtung Volumenverringerung) z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung
Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const
21 UU = 21 HH =
-
8/2
Energiebilanz bei offenen Systemen
Instationre Energiebilanz: Q W H H dUd
stzust
abst+ + =
Stationre Energiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
Q P W H Ht
stdiss
st st12 12 12 2 1+ + =
Gesamtenthalpiestrme:
Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= + + =
Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= + + =
Technische Nutzleistung des Fluidstroms:
P W m wtst
tst
tst
12 12 12= =
Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )2
1
pst 2 21
r12 2 1 2 1t12 2p
w v dp w c c g z z= + + +
Spezifische innere technische Arbeit: = +
2
1
p
r12t12p
w v dp w
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 - stationrer Flieproze
( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z + + = + + Differentielle Form: stt dissq w w dh c dc g dz + + = + + mit stt rw v dp w c dc g dz = + + + Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen st2
st1 HH =
-
9/1
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:
Form mit U: dU p dVdS
T+ =
Form mit H: dH V dpdS
T =
Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationre Entropiebilanz: =+ ddSSS irrQ
Differentielle Form: dSSTQ irr =+
Quasistatische Zustandsnderung vom Zeitpunkt c bis d:
S S S SQirr
12 12 2 1+ =
SQTQ12
1
2= Entropie der Wrme
Sirr12 Entropieproduktion im System
1 12 2
S m sS m s
= = Entropie im Fluid
Sonderfall: Adiabate Mischung
irr12 2 1S S S=
-
9/2
Entropiebilanz bei offenen Systemen
Instationre Entropiebilanz: S S S S dSdQ zu ab
irr+ + = Stationre Entropiebilanz vom Eintritt c zum Austritt d:
S S S SQ
irr12 12 2 1+ =
SQTQ12
1
2= Entropie des Wrmestroms
irr12S Entropieproduktionsstrom im System S m s1 1 1= Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze
( )12irr1212Q ss mSS =+
Differentielle Form: dssTq irr
2
1=+
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen
= 12irr12 SSS
-
10/1
Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:
E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + = ( ) ( )
ET T
TQQ
u12
1
2= Exergie der Wrme
( )12u12V12N VVpWW += Nutzarbeit
2
1
V
V12 r12V
W pdV W= +
Volumennderungsarbeit
W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Dissipierte Arbeiten
irr12u12v STE =
Exergieverlust im System
E m eu u( ) ( )= Stoffgebundene Exergie der inneren Energie
Form mit Exergie der Enthalpie:
2
1
P
Q12 r12 diss12 v12 2 1P
E V dp W W E E E+ + + = E m e= Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
-
10/2
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationre Exergiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
=++ st1st212v12dissst12t12Q EEEWPE
mit E T TT
QQu
121
2= Exergie des Wrmestroms
irr12u12v STE = Exergieverluststrom im System ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Eintritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Austritt Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze
( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z + + = + +
Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen
exAufwand
EE
=
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen
= st1st212v EEE
-
10/3
Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
( )12u12vNN vvpwwe +== Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen:
2
1
p
t t r12p
e w v dp w= = + Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21kin 2e c= Spez. potentielle Energie: e g zpot = Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen
( ) ( )uuu ssThhe =
Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen
( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue += Spez. Exergie der Wrme: =
2
1
uq qT
TTe
Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. bertragene Wrme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= , 0)T(e uq = Spez. Volumennderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= , Vw ue (p ) 0=
-
11/1
Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Nherung: adiabat
constm =
1p1 , T1c1 , z1
p < p2 1
2, T2
c2 , z2
H Hst st2 1= ( )irr 2 112S m s s=
( )v12 U 2 1E m T s s= , st1
st2
exEE=
Sonderfall: c c z z2 1 2 1 ,
h h2 1=
h = const
h
p p1 2
s s s1 2
h = h2 11 2
v v1 2
Reale Fluide: T2 < T1 falls c innerhalb Inversionskurve T2 > T1 falls c auerhalb Inversionskurve ( ) ( )11212 T,psh,p = sss z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT
Ideales Gas: T T T2 1= = s s R
pp
Rvv2 1
2
1
2
1 =
=
ln ln
Ideale Flss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =
( )if2 1 2 1dv (T)s s p pdT = wobei if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)
+ +
mit T = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
mit vif if=1 wobei
if f T= ( ) Stoffwerte
gute Nherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT
-
11/2
Verdichtung (Kompression) - Nherung: Verdichter, Pumpe - adiabat
( ) ( ) ( )( )
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 2s 1sV
P m h h c c g z z1mit h h h h
= + + = +
2 2
mFlssigkeit Gas
Dampf
Pt12st
adiabat
M M
1 1
Pumpe Verdichter(Kompressor)
m
p2>p1
sV Pt12st
1 1 1 2s 2 1Fr realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT
( )
( ) ( )
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 2s 1sV
1
22s 1
1if
2s 1 m 2 1
Fr ideales Gas mit c , const :
h h c (T T )1T T (T T )
pmit T Tp
Fr ideale Flss : h h v p p
= =
= + =
=
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )
( )irr
2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= =
h p
s s
p
h
hh
s
w w
2
1 2
1
1
2
2s
t12s t12
1
s12irr
2s2
Isentroper Verdichtergtegrad (innerer Wirkungsgrad)
sV t st
sww
h hh h
= = 12
12
2 1
2 1
Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =
oder Ideale Flss. mit c constpm
if = : sV s
T TT T
= 2 1
2 1
Nherung: adiabate reversible Verdichtung s=const
2 = 2s
sV
t t s sw w h h== = 1
12 12 2 1
-
11/3
Turbinenentspannung (-expansion) - Nherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine
( ) ( ) ( )( )
= + + = +
st 2 21t12 2 1 2 1 2 122 1 sT 2s 1
P m h h c c g z z
mit h h h h
1
2adiabat
G
-Pt12st
sT
m
Fr reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT
( )
( ) ( )
1
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 sT 2s 1
22s 1
1
if2s 1 m 2 1
Fr ideales Gas mit c , const :
h h c (T T)T T (T T)
pmit T Tp
Fr ideale Flss: h h v p p
= =
= + =
=
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )
( )irr
2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= =
s s s1 2
p1 p2
h
hh
h1
2
2s
-wt12
2
1
2s
-wt12s
s12irr
Isentroper Turbinengtegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)
2 1t12sT
t12s 2s 1
h hww h h
= =
Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =
oder
Ideale Flss. mit c constpmif = :
sTs
T TT T
= 2 1
2 1
Nherung: adiabate reversible Entspannung s=const
2 = 2s
sT
t t s sw w h h== = 1
12 12 2 1
-
11/4
Reversible Zustandsnderungen idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,
1
11
vv2
1= p
p2
1= T
T2
1= u u2 1 = h h2 1 = s s2 1 =
Isochore v constpT
const==
vv2
11= p
pTT
2
1
2
1= T
Tpp
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s cTTv2 12
1 =
ln
Isobare p constvT
const==
vv
TT
2
1
2
1= p
p2
11= T
Tvv
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s cTTp2 12
1 =
ln
Isotherme T const
p v const= =
vv
pp
2
1
1
2= p
pvv
2
1
1
2= T
T2
11= u u2 1 0 = h h2 1 0 =
s s Rpp
s s Rvv
2 12
1
2 12
1
=
=
ln
ln
Isentrope s const
p v const=
=vv
pp
vv
TT
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=
=
pp
TT
pp
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=
=
TT
pp
TT
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=
=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s2 1 0 =
Polytrope
p v constn = v
vpp
vv
TT
n
n
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=
=
pp
TT
pp
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=
=
TT
pp
TT
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=
=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
2 1
2v
1
s s
Tn c lnn 1 T
= =
-
11/5
Reversible Prozesse idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,
1
11
q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore
v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= = Isobare
p const vT const= =, ( )q c T Tp12 2 1= ( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= = w t12 0=
Isotherme T const
p v const= =
q w wv t12 12 12= = w w q R T vv R Tpp
p v p vv t12 12 12 21
2
11 1 2 2= = =
=
= ln ln mit: R T =
Isentrope s const
p v const=
=q12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11= =
11 2
v121
R T pw 1
1 p
=
wR T v
vv121 1
2
1
11=
mit: R = T p v1 1 1 w wv t12 12
1=
( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= = 1
2t12 1
1
pw R T 1
1 p
=
w R Tvvt12 1
1
2
1
11=
mit: R = T p v1 1 1 w wt v12 12=
Polytrope p v constn =
( )( )
( )
q c T T w
q c T T w
q nn
R T T
v v
p t
12 2 1 12
12 2 1 12
12 2 11 1
= = =
( )( )( )
n 1n1 2
v121
R T pw 1
n 1 p
=
wR Tn
vvv
n
121 1
2
1
11=
mit: R T p v = 1 1 1 ( )w Rn T T w n wv v t12 2 1 12 121 1= - =
n 1n2
t12 11
pnw R T 1n 1 p
=
wn
nR T
vvt
n
12 11
2
1
11=
mit: R T p v = 1 1 1 ( )w R nn w n wt t v12 12 121= = T T2 1
-
12/1
Eindimensionale stationre Wrmeleitung ohne Wrmequellen (=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0
Wrmestromdichte: (Betrag)
q grad t= AQq =
Wrmestrom durch Wand:
tQR
= wi wat t t =
Wrmeleit- widerstand: R Am
= - Wanddicke
- mittlere vom Wrmestromdurchdrungene Flche
Am
Ebene Wand:
= dtgrad tdx
xi xax
t
Q
Q
A
Ai
twi
twitwatwa
t x)Eb(
a
= x xa i
Temperaturverlauf (linear)
( ) ( )t x) t t t x xEb wi wi wa i( =
Ebm i aA a b A A A const= = = = =
(a, b Abmessungen der Wand)
Nherung fr wandartige Gebilde Zylinderwand:
RohrwandHohlzylindermit Lnge l
= dtgrad tdr
rir
t
Q
Q
A
Ai a
twi
twitwatwai
a
ra
t rZyl( )
( )1a i a i2r r d d = =
Temperaturverlauf (logarithmisch)
( )t r t t trrrr
Zylwi wi wa
i
ai
( )ln
ln=
( ) = = a iZyl a i
ma ai i
d d A AA ld Aln lnd A
Nherung fr kanalartige Gebilde bei AA
a
i< 3
Kugelwand:
= dtgrad tdr
i a
Kug t(r)
ri r
t
ra
twi twatwa
twi
Ai
Aa Q
Q
( )1a i a i2r r d d = =
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
( )t r t t t r rr r
Kugwi wi wa
i
i a
( ) =
1 1
1 1
( )Kug a im a i
i a
d dA A A
1 1d d
= =
Nherung fr geschlossene Gefe bei AA
a
i< 3
(logarith-misches Mittel)
(geomet-risches Mittel)
-
13/1
Eindimensionaler stationrer Wrmedurchgang ( , = const)
x = x1
t
Q
A , A
i a
i ax2
a
k
, i
A
B
C
tFtW
tW
Am Am Am
i x3 x = x4a
t FtW = tW
2
3
B CA
a 4
a
itW = t Wi 1
x
Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj= = = = (j = A, B, C)
Wrmestrom:
k
kk R
tQ = k F Fi at t t = Wrmedurchgangswiderstand R R R Rk
ji j a
= + + (j = A,B,C)
iiaak Ak
1Ak
1R ==
ka - Wrmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Flche Aa ki - Wrmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Flche Ai
Wrmebergangswiderstnde RAi i i
= 1
RAa a a
= 1
- Wrmeber-
gangskoeffizient
Wrmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R
Ajj
j m j
=
Kontinuittsgleichung des stationren Wrmestroms:
Q Q Q Q Qk i j a= = = =
i j akk i j ak i j a
t t ttQ , Q , Q , QR R R R
= = = =
-
13/2
Verallgemeinerung:
thRtQ = Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von t
Berechnung des thermischen Widerstandes:
i a
a
F
i
1
6
2345
t Fi t aQ.
Nherung fr Vernachlssigung der W-Strme quer:
R R R R R Rth i a= + + + + 1 2 5 6 (Reihenschaltung)
1 1 1 1 1
2 5 2 3 4 5R R R R R
= + + + (Parallelschaltung)
Wrmedurchgang bei aneinander vorbeiflieenden Fluiden (durch Wand getrennt)
aGl
i
Geg0
A
k
ia
am.
m.
Q.
m.
Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom
Temperaturschaubild
k
i
Weg
t
Wand Glkt
GegktGl
kt Gegkt
00 A
A
A0
i
a
m.
aGegm
.aGlm
.
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :
A
0
A0
k
k
kkmk
tt
ln
ttt
= ai0 FFk ttt = 0
aiA FFk ttt = A
Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenstrmer
Wrmestrom k
mk
k RtQ =
-
14/1
Konvektiver Wrmebergang Wrmestrom (NEWTONsches Wrmebergangsgesetz)
= tAQ F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tt
t tln
t t
=
tF ndert sich von tF1 auf tF2,
bei Mittelwert tW
mF Wt t t = bei Mittelwerten fr Fluidtemperatur mFt
und Wandtemperatur tW
Wrmeber- gangskoeffizient:
= Nulchar
bei tst
Nu - Nuelt-Zahl lchar - charakteristische Lnge fr jeweilige Geometrie
Fluid
Reynolds -Zahl: Re = c lchar bei tst
- Wrmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit
- kinematische Viskositt = - dynamische Zhigkeit
Prandtl -Zahl: Pr = = acp
, cp, bei tst
- Dichte = 1v
a - Temperaturleitkoeff. a cp=
Grashof -Zahl:
= tlg1Gr 3char2
, bei tst
- isobarer Volumenausdehnungskoeffizient
=
toffwerteS
Flss. fr )T(
Gase ideale fr T1=
stpst
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor fr Temperatur-Abhngigkeit der Stoffwerte falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =
=
10 14
Flssigkeiten KTW
:,
Dyn. Zhigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zhigkeit des Fluids bei Wandtemp. t
st
WW
g - Erdbeschleunigung
-
14/2
Freie Konvektion Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t t =
Nu Gr Gr KT= +
011
13 0 1, ( Pr) ( Pr) , ( )t t tst F W= +12
gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 10 107 12Gr lchar = Hhe bei senkrechten Wnden und Rohren lchar = Auendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlnge bei waagerechter Platte Enge Spalte
2 1W WQ A t t =
Nuk Grm Gr
n= + + 1
( Pr)( Pr) ( )t t tst W W= +0 5 1 2,
gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 1700 108Gr
Nu = 1 fr (Gr Pr)
-
14/3
Erzwungene Konvektion Nu = f (Re,Pr) Strmung in Rohren
=
F W F W1 2F W1
F W2
t t t tQ A
t tln
t t
bzw. mF WQ A t t =
A - durchstrmteQuerschnittsflche
U - benetzter Umfangq
q
Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=
tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlnge
Laminare Strmung bei Re < 2300
Nu
dL
dL
K
gl
glT= +
+
3 66
0 0677
1 01
133
0,83,, Re Pr
, Pr Re
,
( )= +=
1st F F1 22
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
gltig fr: 6,0Pr,32
LgldPrRe >>
Turbulente Strmung bei Re 2300
( ) ( )Nu dL Kgl T= +
0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3
23
, Re , Pr , ( )1 21st F F2
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
= +=
gltig fr: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10
dgl> < < 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105
Nu KT= 0 037 0 8 0 43, Re Pr, , 1Fst tt = gltig fr: 0,6 Pr 100
glchar dl = d AUglq
q= 4 mFt - mittlere Fluidtemperatur
-
15/1
Wrmestrahlung
Strahlungskoeffizient: C Cs= = a - Emissionsverhltnis a - Absorptionskoeffizient
8
s s 2 4WC 10 5,67051
m K= =
- Strahlungskoeffizient des
Schwarzen Strahlers
Emittierter Energiestrom: E C A T= 1004
Wrmestrom durch Strahlung
Q C A T T12 12 1 14
24
100 100=
a) Sich umhllende Krper ( innerer Krper)
1 2Q12
1
C
CAA C Cs
12
1
1
2 2
11 1 1
=+
b) unendlich groer Raum
Q122
1
bei: A2 >> =A AA11
20
C C12 1= c) und unendlich groe parallele Wnde
Q1221
bei: A2 =A AA11
21
falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wnde
s21
12
C1
C1
C1
1C+
=
-
15/2
d) Berechnung mit Einstrahlzahl
.1
2Q12
++=
s22
1
s12s1 C1
C1
AA
C1
C1
C1
1C12
12 Einstrahlzahl Diagramme fr bestimmte Geometrien
Reziprozittsbeziehung: 12 1 21 2 = A A Wrmebergangskoeffizient durch Strahlung
1 U2Q12
Str CT T
T T=
12
14
24
1 2
100 100( )
Strahlungsschirm Strahlungs-
schirm (Sch)
3 1
Sch12Q
3
sch12 13 32Q Q Q= =
4 4
Sch 1 212
1 13 3 32
T T1Q 1 1 100 100A C A C
= +
T C AT
C AT
C A C A3
4 13 11
4
32 32
4
13 1 32 3100100 100
=
+
+
-
16/1
Rekuperatoren (Wrmetauscher)
Festlegungen:
H - Heizmedium gibt Wrme ab K - Khlmedium nimmt Wrme auf 1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K
0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)
a - laufende Heizflche (a = 0 ... A) A Heizflche des Wrmebertragers
Wrmekapazittsstrom: pC m c=
Q k A tj j HKm=
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Khlmedium:
0 A
m HK HKHK 0
HKAHK
t tt
tln
t
=
Gleichstrom: 1K1H0HK ttt =
2K2HAHK ttt =
Gegenstrom: 2K1H0HK ttt =
t t tHKA H K= 2 1
Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = : m 0 AHK HK HKt t t = = Q C tH H= t t t C m cH H H H H pH= = 1 2 , ,
H2 H1
o o
t t
pH H2 o pH H1 ot tH2 H1
pHH2 H1 H2 H1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
= =
to Bezugstemperatur fr Enthalpie
Nherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte
Q C tK K= t t t C m cK K K K K pK= = 2 1 , , K2 K1
o o
t t
pK K2 o pK K1 ot tK2 K1
pKK2 K1 K2 K1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
= =
to Bezugstemperatur fr Enthalpie
Nherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte
j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche
-
16/2
( )H H1 K1Q C t t= ( )Betriebscharakteristik
tt
H
H1 := tK1
j j H
H K
k A Cf ;C C =
mit k A
Ct
t
CC
tt
j j
H
H
HKm
H
K
K
H
= = ;
Sonderfall: Verdampfer tK = 0
( )1K2KK hhmQ = , CCHK = 0 Sonderfall: Kondensator tH = 0
( )2H1HH hhmQ = , KH
C 0C
=
( ) = 1K1HK ttCQ ,
== 0
CC;
CAk
fH
K
K
jj
, ( )1K1HKtt
t: =
j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche
Diagramme fr - Gleichstrmer - Gegenstrmer - Kreuzstrmer
-
17/1
Instationre Wrmeleitung
Zu- bzw. abgefhrte Wrme
[ ]omp t)(tcV)(Q = tm() - Mitteltemperatur des Krpers nach Zeit
Quasistatische instationre Wrmeleitung Nherung fr langsame Erwrmung bzw. Abkhlung von kleinen Krpern mit guten Wrmeleiteigenschaften J Mitteltemperatur tm im gesamten Krper gleich gro
Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0
Mittlere Temperatur im Krperverndert sich mit Zeit
t = f ()m
Krper mit- Masse m- Oberfche A
p- c
Fluid mit Temperatur t = constF
o
Definition: Normierte Mitteltemperatur
Fo
Fmm tt
tt=
Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m
p
A( ) expm c
=
-
17/2
Analytische Lsung nach Grber fr symmetrische Bedingungen
Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0
Temperatur im Kern t = f ()K
Krper mit
- geometrische Lnge L
Fluid mit Temperatur t = constF
geo
Temperatur an Oberflche t = f ()W
Mitteltemperatur t = f ()m
p- m, c ,
o
Funktionaler Zusammenhang
Temperatur Zeit Stoffwerte
Fo
FKK tt
tt=
Fo
FWW tt
tt=
Fo
Fmm tt
tt=
Normierte Temperatur
2geo
aFoL
=
Fourier-Zahl
mit: acp
=
=geoLBi
Biot-Zahl
bei tW bekannt: Bi = und Berechnung fr tF = tW
im Diagramm fr
Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo = 2 ; - Wanddicke
Unendlich langer Zylinder L dgeo = 2 ; d - Durchmesser
Vollkugel L dgeo = 2 ; d - Durchmesser
-
17/3
Nherungen fr weitere Geometrien:
Plattenhnliche Gebilde LVAgeo
Zylinderhnliche Gebilde LVAgeo
2 V - Volumen A - Oberflche Kugelhnliche Gebilde L
VAgeo
3
Superpositionsprinzip
= x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als berlagerung von:
unendlich groe Platte
(Pl) unendlich
langer Zylinder (Zyl)
d
c
d
f
e
f
e
Temperatur an Stelle : = KPl KZyl
: = KPl WZyl
: = WPl WZyl
: = WPl KZyl