Primero de Bachillerato

ÁREA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

Caracterizar los movimientos rectilíneos, utilizando las definiciones de posición, tiempo, velocidad y aceleración.

Escenrio para describir el movimiento rectilíneoEn este escenario, ¿qué necesitamos para describir el movimiento?

Eje X: Variable

posición (x)

Reloj: Variable

tiempo (t)

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Es un modelo físico – matemático que describe el movimiento de los cuerpos restringido a un solo grado de libertad, es decir una sola dimensión que puede ser representada en algunos de los ejes del sistema cartesiano.

La velocidad constante de los cuerpos es otra de las características de este tipo de movimiento, de aquí se deriva el término uniforme.

tx

vm

Físicamente: if

ifm tt

xxv

tenemos:

0 Xi Xf

ti tfVm

Para el estudio de este modelo usaremos el eje X, así de la velocidad media:

Análisis del MRU

0 70 X(km)

Representemos el movimiento de un cuerpo con velocidad constante que empieza su movimiento en el instante t = 0 y posición inicial x = 0:

140 210

t = 1 h

0 70 X(km)140 210

t = 2 h

0 70 X(km)140 210

t = 3 h

Análisis del MRU (continuación)

La velocidad media en el tramo comprendido entre x=0 y x=70 km es:

La velocidad media en el tramo comprendido entre x=70 km y x=140 km es:

La velocidad media en el tramo comprendido entre x=140 km y x=210 km es:

La velocidad media es constante en todos los tramos.

Análisis gráfico posición vs. tiempo del MRU

El movimiento observado puede ser representado también en un plano cartesiano posición versus tiempo (X vs. t)

1 t(h)20

70

X(km)

140

210

3

Físicamente, son las posiciones del automóvil para los instantes dados.

Geométricamente, el MRU es una recta cuya pendiente es la velocidad.

Ley del MRU

Si el MRU en un plano cartesiano: posición versus tiempo (x vs. t) es representado por una recta, entonces es posible escribir su ecuación.

0f

0fm tt

xxv

En la definición de velocidad media consideremos lo

siguiente:

Vm = v; es la velocidad constante.

t0 = 0 es el instante en que se empieza a medir.

tf = t es el instante transcurrido.

Xf = X(t) es la posición para cualquier instante. t

xxv i(t)

Despejando esta expresión, se tiene:

x(t) = xi + v.t

Esta ecuación se denomina LEY del MRU

Gráfico y ley del MRU

Escribiremos la ley el ejemplo anterior como un caso particular del MRU

1 t(h)20

70

X(km)

140

210

3

Ley general:

x(t) = xi + v.tSe determinó que Xi=0 km y la velocidad es: 70 km/h, sustituimos estos valores y tenemos:

x(t) = 0 + 70 t

Se reduce a:

x(t) = 70 t

8

Ejemplos de aplicación de MRU

Ejemplo 1.- El carrito de la figura pasó por la posición x=8 m con una velocidad constante de 4 m/s, si a partir de ese momento se activó el cronómetro del observador determine: a) su ley de movimiento, b) la posición del carrito para t=10 s

0 X(m)

ti = 0De la ley general: x(t) = xi + v.t

a) Identificando los términos según los datos del problema tenemos que Xi=8m cuando ti=0, que sustituyendo en la ley se tiene:

x(t) = 8 + 4.t

b) Cuando t=10s tenemos:

x(t=10) = 8 + 4.(10) x(t=10) = 8 + 40 = 48 m

Interpretación del resultado: Se puede predecir que cuando el cronómetro marque 10s, el carrito se encontrará en la posición x=48m

Ejemplo 2.- Un bus interprovincial pasó por el terminal de Riobamba x=13 km con una velocidad constante de 54 km/h, si a partir de ese momento el conductor activó su cronómetro determine: a) su ley de movimiento, b) la posición del bus para t=2 h, c) En que momento pasará por el cruce de Quito marcado por x=85 km. Considere una pista lineal.

0 13 X(km)

ti = 0De la ley general: x(t) = xi + v.t

a) Identificando los términos según los datos del problema tenemos que Xi=13 km cuando ti=0, que sustituyendo en la ley se tiene:

x(t) = 13 + 54.t

b) Cuando t=2 h tenemos:

x(t=2) = 13 + 54.(2)

x(t=2) = 13 + 108x(t=2) = 121km

Cuando hayan transcurrido dos horas estará en X=121km

Ejemplo 2.- (continuación)

0 85 X(km)

t = ?

Ahora la incógnita es t:

x(t) = 13 + 54.t

Cuando haya transcurrido 1,33 h el bus estará en X=85 km

c) ¿Qué instante será cuando el bus pase por el punto x=85 km? Debemos usar la ley de movimiento ya encontrada:

85 = 13 + 54.t

54 t = 72

t = 1,33 h

Ejemplo 3.- Dos autos parten de una misma estación, uno a 72 km/h y otro a 90 km/h, ¿qué distancia se habrán separado al cabo de media hora? a) Si ambos marchan en el mismo sentido; b) Si ambos marchan en sentido contrario.

Ley de A: X(t) = 72.t

Solución a).- construyamos la ley de movimiento de ambos móviles A y B, nótese que parten de la misma estación Xi=0 km

Después de media hora ambos estarán separados:

0

0

X(km)Estación

A

B

Ley de B: X(t) = 90.t

Ejemplo 3.- Solución a) (continuación)

B tiene mayor velocidad que A avanzará más, este raciocinio escrito como ecuación matemática sería:

Después de media hora ambos estarán separados 9km

0

0

X(km)EstaciónXA

d =90.t – 72.t

d = 18.t

XB

d = XB – XA

Si t = 0,5h

d = 18.(0,5) = 9km

Ejemplo 3.- Solución b) (continuación)

Al viajar en direcciones opuestas la distancia de separación aumentará, este raciocinio escrito como ecuación matemática sería:

Después de media hora ambos estarán separados 81km

0

0

X(km)EstaciónXA

d =90.t – (–72.t)

d = 162.t

XB

d = XB – XA

Si t = 0,5h

d = 162.(0,5) = 81km

Ley de A: x(t)= –72.t Ley de B: x(t)=90.t

Nótese que por efecto del sistema de referencia, A tiene velocidad negativa.

Dos vehículos se encuentran en las posiciones mostradas. Determine cuánto tiempo transcurre desde el instante mostrado hasta que el vehículo A alcanza al vehículo B.

tvxx 0

0x

t0 = 0

txA 200

txB 15100

BA xx

tt 1510020

st 20

100 m

20 km/h 15 km/h

Dos vehículos se encuentran en las posiciones mostradas. Determine cuánto tiempo transcurre desde el instante mostrado hasta que el vehículo A se encuentra con el vehículo B.

tvxx 0

0 x

t0 = 0

txA 200

txB 15100

BA xx

tt 1510020

st 85.2