Fisica II - Ingegneria Biomedica - A.A. 2017/2018 - Appello del 14/6/2018

1) Consideriamo le 3 cariche in figura con q1 = -q, q2 = -q, q3 = -2q, q =1 C ; le loro distanze

dall’origine sono r1 = 3 cm, r2 = r3 = 2 cm, e l’angolo = 30o

a) Calcolare le componenti Ex, Ey del campo elettrico totale

generato dalle 3 cariche nel punto (x = 0, y = 0)

b) Calcolare l’angolo che il campo forma con l’asse x. c) Disegnare con una freccia il campo in figura, indicando approssimativamente direzione e verso.

I campi generati dalle 3 cariche elettriche sono:

Il campo totale è dato da:

-------------------------------------------------------------------------------------------

2

29

0

1094

1

C

Nmk

7 7) 3.25 10 1.647 10

) 26.9

x y

o

N Na E E

C C

b

1 22 2

1 2

ˆ ˆq q

E k x E k yr r

3 2 2

3 3

2 2ˆ ˆsin(30 ) cos(30 )o oq q

E k x k yr r

2 2 2 2

1 3 2 3

2 2ˆ ˆsin(30 ) cos(30 )o oq q q q

E k x k yr r r r

29 7

2 2 2

1 29 10 0.5 3.25 10

(3 ) (2 )x

Nm C C NE

C cm cm C

29 7

2 2 2

1 29 10 0.866 1.647 10

(2 ) (2 )y

Nm C C NE

C cm cm C

1.647tan( ) 0.507 26.9

3.25

y o

x

E

E

2) Una carica puntiforme q = 2 C è posta al centro di un guscio sferico conduttore carico, con

carica qs = -3 C, raggio interno a = 4 cm ed esterno b = 8 cm.

a) Determinare la carica Q accumulata sulla superficie interna ed esterna del guscio b) Calcolare il valore del campo elettrico ad una distanza dal centro uguale a r = 2 cm, r = 6 cm, r =10 cm c) Assumendo nullo il potenziale all’infinito, calcolare il potenziale elettrostatico alla distanza r = 2 cm, r = 10 cm

a) Sup. interna Q = -2 C Sup. esterna Q = -1 C

Nella cavità agisce solo il campo della carica puntiforme, mentre all’esterno del guscio sia la carica puntiforme ed il guscio agiscono come cariche puntiformi nel centro del guscio; campo e potenziale sono quindi quelle di una carica puntiforme data dalla somma delle due cariche: q = 2

C nella cavità, q+ qs = -1 C all’esterno

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3) Una batteria con forza elettromotrice E = 12 V viene connessa a 3 condensatori con capacità C1

= 10 pF, C2 = 8 pF, C3 = 4 pF. Alla chiusura del circuito:

a) Calcolare le cariche q1, q2, q3 sui 3 condensatori

b) Calcolare le d.d.p. V1, V2, V3 ai piatti dei 3 condensatori. c) Calcolare l'energia elettrostatica U1, U2, U3 nei 3 condensatori. d) Ricalcolare le cariche q1, q2, q3, dopo che C2 è stato interamente riempito di una sostanza di costante

29 7

2 4 2

29 6

2 2 4 2

22 9 10 4.5 10 ( / )

4 10

) 6 0

110 9 10 0.9 10 ( / )

10 10

Nm Cr cm E N C

C m

b r cm E

Nm Cr cm E N C

C m

29 5

2 2

29 4

2 2

22 9 10 9 10

2 10

)

110 9 10 9 10

10 10

Nm Cr cm V V

C m

c

Nm Cr cm V V

C m

dielettrica relativa r2 = 5, e C3 riempito di una sostanza con r3 = 8.

e) Ricalcolare V1, V2, V3 dopo l'inserimento dei dielettrici f) Ricalcolare l'energia elettrostatica U1, U2, U3 dopo l'inserimento dei dielettrici

C1 e C2 sono condensatori in serie per cui la loro capacità equivalente è:

Essendo in serie, i due devono avere la stessa carica, che si ricava facilmente considerando che la d.d.p. ai capi di C12 è la f.e.m. della batteria:

La carica su C3 è ovviamente:

Dalle cariche si ricavano immediatamente le d.d.p.:

Infine le energie:

2

112101

1

1

10 10

2 3

5.3333 101 11.4222 10

2 2 10

1.777 10 2.88 10

CqU J

C pF

U J U J

Dopo l’inserimento dei dielettrici, la d.d.p. ai capi di C12 e C3 NON CAMBIA, poiché è fissata dalla batteria; ripetiamo quindi lo stesso procedimento, tenendo conto del cambiamento delle capacità:

2 22 2

10 101 21 2

1 2

2 10

3 3 3

96 961 1 1 14.608 10 1.152 10

2 2 10 2 5 2 40

123.04 10

2

pC pCq qU J U J

C pF C pF

U C V J

12 1 2 1 2/ 4.444C C C C C pF

12 1 2 12 4.444 12 53.3333q q q C pF V pC E

3 3 34 12 48 12q C pF V pC V V E E

11 11

1 21 2

1 2

5.333 10 5.333 105.3333 6.6666

10 8

q qC CV V V V

C pF C pF

1 2 12 8 12 96q q C pF V pC E

12 1 2 2 1 2 2( ) / (400 / 50) 8r rC C C C C pF pF

3 3 3( ) 32 12 384rq C pF V pC E

1 21 2

1 2

96 969.6 2.4

10 5 40

q qpC pCV V V V

C pF C pF

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) La figura mostra un circuito con 3 batterie di f.e.m. E1 = 8 V, E2 = 5 V, E3 = 4 V, R1 = 10 , R2 = 5 a) Calcolare la corrente i1 che attraversa la resistenza R1, la corrente i2 che attraversa R2, la corrente i3 che attraversa il ramo della batteria 3 b) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti i1 i2 i3

c) Calcolare le d.d.p. V1 e V2 ai capi delle resistenze R1 ed R2 , e la d.d.p. VaVb tra i punti a e b del circuito

Supponiamo che le correnti abbiano il verso indicato in figura; su questa ipotesi, scriviamo le leggi di Kirchoff per le maglie superiore e inferiore: Maglia superiore (si notino i versi delle 3 diverse batterie: quelle che favoriscono il verso della corrente sono f.e.m. positive, quella di verso contrario è una f.e.m. negativa):

Maglia inferiore:

Applichiamo la legge dei nodi: per come abbiamo ipotizzato scorrere le correnti, è chiaro che deve

essere:

Infine le d.d.p.:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Consideriamo tre fili conduttori perpendicolari alla pagina con

correnti i1 =5 A, i2 = 10 A, i3 = 5 A; sia a = 3 cm. Il verso delle correnti è indicato in figura. a) Calcolare le componenti cartesiane del campo magnetico totale generato dai 3 fili nell’origine del riferimento (x=0, y=0). b) Disegnare con una freccia in figura il campo totale nell’origine c) Consideriamo un quarto filo, percorso da corrente i4 = 12 A, posto nell’origine di verso entrante (dunque orientato nel verso dell’asse z negativo). Calcolare le componenti cartesiane della forza che agisce su una sezione L = 1.5 m di questo filo. d) Disegnare con una freccia la forza in figura

A

Tm7

0 104

2 3 1 2 2 2

10.2

5

Vi R i A

E E E

3 1 1 1

40.4

10

Vi R i A

E

3 1 2 0.6i i i A

1 3 2 2 2 2 34 ; 1 ; 9a bV V V i R V V V V E E E

I campi magnetici generati dai 3 fili sono:

Il campo totale:

Calcoliamo la forza agente sul filo 4 (si noti che il verso della corrente i4 è entrante, per cui la direzione del vettore L è lungo l’asse z negativo):

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

6) Una bobina con resistenza R = 5 , N = 20 spire e diametro d = 8 cm è coassiale con un

solenoide ideale (sia x l’asse comune); il solenoide ha n=25 spire/cm e raggio r = 2 cm; nel

solenoide scorre una corrente alternata is = i0 sin(t), con i0 = 4 A, = 100 rad/s (il verso di i0 è

indicato in figura).

0 00 1 0 1

1ˆ ˆcos(45 ) sin(45 )

2 2 2 2

i iB x y

a a

0 00 2 0 2

2ˆ ˆcos(45 ) sin(45 )

2 2 2 2

i iB x y

a a

0 33

ˆ2

iB x

a

0 1 0 2 0 3 01 2 3

7

5

24 4 2 4

10 ( / ) 155 10

3

x

i i iB i i i

a a a a

Tm A AT

cm

7

50 1 0 210 ( / ) 15

5 104 4 3

y

Tm A Ai iB T

a a cm

4 4 4 4

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ0 0

0

y x

x y

x y z

F i L B i L i LB x i LB y

B B

5 3

5 3

12 1.5 5 10 0.9 10

12 1.5 5 10 0.9 10

x

y

F A m T N

F A m T N

a) Calcolare il campo magnetico generato dal solenoide agli istanti t = 3 ms, t = 24 ms, t = 36 ms b) Calcolare l’intensità della corrente indotta iin nella bobina negli stessi istanti; indicare per ciascun istante se i versi di iin ed is sono concordi o discordi.

Il campo magnetico generato dal solenoide all’interno è:

La f.e.m. indotta nella bobina dalla variazione del flusso magnetico è (si noti che il flusso è concatenato alle N spire della bobina):

La corrente indotta nella bobina è quindi:

Calcoliamo prima il fattore non dipendente dal tempo:

Poiché il segno di Bx è concorde col segno della corrente is, ne segue che quando iin e Bx hanno lo stesso segno iin ed is sono concordi; quando iin e Bx hanno segni opposti, iin ed is sono discordi. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7) Consideriamo il circuito in figura con E = 12 V, L = 2 H, R1 = 2 , R2 = 6

0 0 0 sinx sB ni ni t

7 3

0 0 2

254 10 4 4 10

10

Tmni A T

A m

3 : 4 sin(0.3 ) 4 0.2955 3.71

24 : 4 sin(2.4 ) 4 0.675 8.49

36 : 4 sin(3.6 ) 4 ( 0.4425) 5.56

x

x

x

t ms B rad mT mT mT

t ms B rad mT mT mT

t ms B rad mT mT mT

2

0 0 cosBi

dN N r ni t

dt

E

2

0 0 cosiin

N r nii t

R R

E

2 2 72

0 020 4 (2 ) 10 ( / ) 25 400

6.3165

cm Tm A AN r nimA

R cm s

3 : 6.316 cos(0.3 ) 6.034

24 : 6.316 cos(2.4 ) 4.657

36 : 6.316 cos(3.6 ) 5.664

in

in

in

t ms i rad mA mA

t ms i rad mA mA

t ms i rad mA mA

a) Alla chiusura dell’interruttore calcolare le correnti i, i1, i2

b) Nello stesso istante calcolare le d.d.p. V1, V2 ai capi

di R1, R2, la d.d.p. VL ai capi dell'induttore L, e l’energia magnetica U immagazzinata in L. c) All’istante t = 2 s calcolare la corrente i(t) nel ramo

della batteria, la d.d.p. VL(t) capi di L e l’energia magnetica U(t) d) Ricalcolare i , i1 , i2 nel limite di tempo lungo

e) Ricalcolare le d.d.p. V1, V2, VL e l’energia U nel limite di tempo lungo

Istante iniziale: la tensione ai capi dell’induttanza compensa la batteria: la corrente nel ramo della batteria è nulla; la d.d.p. ai capi delle resistenze è nulla:

Tempo lungo: l’induttanza è un cortocircuito

Il tempo caratteristico del circuito RL è dato da:

Al tempo t = 2s: Per definizione, la d.d.p. ai capi dell’induttore è data da:

1 2) 0 0 0a i i i

1 2) 0 0 12 0Lb V V V V U

12

12

121.5 8

1.5

VR i A

R

E

1 2

12 12) 8 6 2

2 6

V Vd i A i A i A

1 2) 12 12 0 64Le V V V V V U J

12

21.333

1.5L

L Hs

R

/ 1.5

12

( ) 1 8 1 8 0.777 6.21Lt

si t e A e A AR

E

( )( )L

di tV t L

dt

Sostituendo la derivata della corrente rispetto al tempo si ottiene:

Infine l’energia ad un istante qualsiasi è data da:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8) Un condensatore con C = 6 F viene caricato da una batteria con E = 80 V; il condensatore carico viene connesso ad un induttore con L = 15 mH, con la configurazione di carica sui piatti mostrata in

figura; questa configurazione genera una carica oscillante sinusoidale q(t) = Q cos(t)

a) Calcolare la frequenza angolare , la carica massima sul condensatore Q, la corrente massima nel circuito I, e l’energia immagazzinata nel circuito U b) Calcolare all’istante t = 5 ms l’intensità della corrente nel circuito

i, e la d.d.p. ai piatti del condensatore VC = Va – Vb c) Disegnare con una freccia nel grafico il verso della corrente all’istante t = 5 ms

La frequenza caratteristica del circuito LC è:

La carica massima sui piatti:

La corrente massima nel circuito:

L’energia del circuito LC è conservata nel tempo, e periodicamente trasferita dal condensatore

all’induttore e viceversa; possiamo egualmente calcolarla come energia massima immagazzinata nel

condensatore o come energia massima immagazzinata dall’induttore;

/ / 1.5

12

1( ) 12 12 0.223 2.68L Lt t

L

L

V t L e e V e V VR

E

= E

2 21( ) ( ) 1 (6.21 ) 38.56

2U t Li t H A J

4

8 2

1 1 10.3333 10

15 6 9 10Hz

LC mH F s

6 80 480Q C F V C E

4110 480 1.6

3I Q Hz C A

22 21

7.5 (1.6 ) 19.22 2

QU L I mH A mJ

C

Per definizione, la corrente è la derivata della carica rispetto al tempo, per cui:

Al tempo t = 5 ms

Essendo la corrente a t=5 ms POSITIVA, essa scorre in senso

orario; infatti dalla formula per i(t) si vede che la corrente è

NEGATIVA per t appena maggiore di zero, ovvero subito

dopo l’accensione del circuito; sappiamo che a t=0 il

condensatore è completamente carico con la faccia

superiore carica positivamente, per cui la corrente negativa

deve scorrere in senso antiorario;

La d.d.p. ai piatti del condensatore ad un istante di tempo qualsiasi è data da:

Al tempo t = 5 ms

( )( ) sin( ) sin( )

dq ti t Q t I t

dt

4 31.6 sin 0.333 10 5 10 1.6 sin(16.66666 ) 1.6 ( 0.818) 1.31i A rad A rad A A

( )cos( ) cos( )C

q t QV t t

C C E

80 cos(16.66666 ) 80 0.575 45.97CV V rad V V