FÍSICA I

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vicerrectorado de Investigación

FÍSICA I

TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,

INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA,

INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

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© FÍSICA I Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Mg. Elías Catalán Sánchez • Ing. Agustín Gutiérrez Páucar

• Ing. Miguel Orellana Ambrosio

Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra

Soporte académico : Instituto de Investigación

Producción : Imprenta Grupo IDAT

Tiraje 3 B / 0900 / 2008-II

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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“El presente material contiene una compilación de contenidos de Física publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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PRESENTACIÓN

Continuando con la elaboración de Textos de Instrucción (TINS), el presente texto es el volumen secuencial, correspondiente a la Asignatura de Física I, en el segundo ciclo de estudios, para el desarrollo de las carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial, Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones.

Análogamente al primer volumen (Física General) condensa la preocupación institucional de innovación de la enseñanza-aprendizaje, de la ciencia, que en acelerada continuidad presenta nuevos abordajes teóricos y una variedad sustantiva de temas prácticos.

Este volumen contiene temas, apropiadamente recopilados, de diversas fuentes bibliográficas, de uso más frecuente en la enseñanza de la Física. Está ordenado en función del syllabus de la Asignatura arriba mencionada; ha sido posible gracias a la experiencia profesional y dedicación académica de los profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P. e Ing. Miguel Orellana A.

El acopio aludido, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado a la continuidad de abordaje de la Física, y presenta los siguientes temas:

En el capítulo I se presenta una ligera revisión de las magnitudes físicas y el sistema internacional, ecuaciones dimensionales, el análisis vectorial, cifras significativas y el orden de magnitud. En el capítulo II se describe el movimiento de una partícula en una dimensión; MRU MRUV, el movimiento de caída libre y de ascenso de una partícula. En el capítulo III, se trata el movimiento de una partícula en dos dimensiones, así como también el movimiento circular. En el capitulo IV se analiza las leyes de la mecánica de Newton, en particular la 2da Ley de Newton.

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En el capítulo V se hace las aplicaciones de las Leyes de Newton para una partícula y también se trata la fuerza de rozamiento por deslizamiento y al final se analiza algunos casos del movimiento circular. En el capítulo VI se define el trabajo y la energía en sus diferentes aspectos de la mecánica. En el capítulo VII se define las fuerzas conservativas: energía potencial gravitacional y la energía potencial elástica y el teorema de la conservación de la energía mecánica. En el capítulo VIII se define la cantidad de movimiento de una partícula y la conservación de la cantidad de movimiento, el impulso y las colisiones elásticas y no elásticas de partículas. En el capítulo IX se analiza el movimiento de un campo rígido, se define las ecuaciones que gobiernan el movimiento del cuerpo rígido. Se continua con las características de un cuerpo rígido: momento de inercia y se realiza el cálculo pertinente. En el capítulo X se trata de la hidrostática y la hidrodinámica de un fluido y los diferentes principios que gobiernan los fluidos. En el capítulo XI se define la temperatura y las escalas de temperatura más conocidas para su determinación y se trata muy ligeramente sobre la dilatación de los sólidos cuando la variación de la temperatura es muy pequeña. Al cierre de las líneas precedentes, el agradecimiento Institucional a los Ingenieros Miguel Orellana, Agustín Gutiérrez y al Mg. Elías Catalán y en extensión el agradecimiento a los profesores que han contribuido con su comentarios. Finalmente, en el ascenso del hombre la gratitud de la sociedad humana del siglo XX está presente en el recuerdo de los libros que representan los hitos más trascendentes del desarrollo de la humanidad:

• De revolutionibus orbium colestium • Discorsi e Dimostrazione Mathematiche intorno a due nuove scienze • Harmonices Mundi • Philosophicae naturalis principia mathematica • Das Relativitätsprinzip

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INDICE

CAPÍTULO 1 UNIDADES, MAGNITUDES FÍSICAS Y VECTORES

1.1 La naturaleza de la Física 15 1.2 Ramas de la Física 15 1.3 Magnitudes y Unidades 16

1.3.1 Por su Origen 16 1.3.2 Por su Naturaleza: 17

1.4 Estándares y Unidades 17 1.4.1 Unidades básicas del SI 17 1.4.2 Magnitudes 18

1.5 Ecuaciones Dimensionales 19 1.6 Cifras Significativas y Órdenes de Magnitud 22

1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas 24 1.7 Vectores 25

1.7.1 Definición de vectores 25 1.7.2 Leyes del álgebra vectorial 26 1.7.3 Vector Unitario 26 1.7.4 Sistema de Referencia 27 1.7.5 Componentes de un vector 27 1.7.6 Suma de Vectores 28 1.7.7 Producto Escalar 29 1.7.8 Producto Vectorial 30

1.8 Problemas resueltos 31 1.9 Problemas propuestos 32

CAPÍTULO 2 2 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA

2.1 Cinemática 35 2.1.1 Magnitudes básicas de cinemática 35 2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemática 35 2.1.3 Tipos de Movimientos: 38

2.2 Cinemática en una Dimensión 39 2.2.1 Movimiento rectilíneo: velocidad constante (MRU) 39 2.2.2 Velocidad media, mv 39 2.2.3 Velocidad Instantánea: 43 2.2.4 Aceleración Media e Instantánea 43 2.2.5 Movimiento con Aceleración Constante (MRUV) 47 2.2.6 Caída Libre 50

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CAPÍTULO 3 3 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

3.1 Movimiento Parabólico 53 3.1.1 Tipos de movimiento parabólico 53 3.1.2 Ecuaciones del movimiento parabólico 54 3.1.3 Ecuación de la aceleración. 55 3.1.4 Ecuación de la velocidad 55 3.1.5 Ecuación de la posición 56

3.2 Movimiento Circular 57 3.2.1 Conceptos 58 3.2.2 Velocidad angular, ω 59 3.2.3 Aceleración angular, α 59 3.2.4 Velocidad tangencial: TV 60 3.2.5 Periodo y frecuencia 60 3.2.6 Aceleración centrípeta 61 3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento

angular 61 3.2.8 Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular 62

3.3 Movimiento circular uniforme 63 3.4 Movimiento circular uniformemente acelerado 63 3.5 Clases de aceleración: 65 3.6 Problemas resueltos 66 3.7 Problemas propuestos 74

CAPÍTULO 4 4 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

4.1 Fuerza e Interacciones 85 4.2 Primera Ley de Newton ( Ley de la inercia) 85 4.3 Segunda ley de Newton 86 4.4 Tercera ley de Newton (Ley de acción y reacción) 88 4.5 Masa y Peso 88 4.6 Diagramas de Cuerpo libre 89

CAPÍTULO 5 5 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

5.1 Aplicación de la 1ra. Ley de Newton: Partículas en equilibrio 93 5.2 Aplicación de la 2da. Ley de Newton: Dinámica de partículas 93 5.3 Fuerzas de Rozamiento 94

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5.3.1 La fuerza normal 94 5.3.2 Fuerza de rozamiento por deslizamiento 95 5.3.3 Fuerza de rozamiento estático 96 5.3.4 Tablas de valores de los coeficientes de rozamiento 97

5.4 Dinámica del Movimiento Circular 98 5.4.1 Ecuación de la dinámica del movimiento circular 98 5.4.2 Sistema de Referencia Inercial 98 5.4.3 Sistema de Referencia No Inercial 98 5.4.4 Fundamentos físicos 99 5.4.5 Dinámica del movimiento circular uniforme: 100 5.4.6 Dinámica del movimiento circular uniformemente

acelerado 100 5.5 Problemas resueltos 101 5.6 Problemas propuestos 104

CAPÍTULO 6 6 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA

6.1 Trabajo 111 6.2 Concepto de trabajo 112 6.3 Energía cinética 114

6.3.1 Energía cinética de partículas materiales 115 6.3.2 Relación entre trabajo y energía 115

6.4 Trabajo y Energía en Mecánica 115 6.5 Trabajo y Energía Cinética 117 6.6 Situaciones que implican fricción Cinética 118 6.7 Concepto de Energía Cinética 120

CAPÍTULO 7 7 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

7.1 Conservación de la Energía 124 7.2 Fuerza conservativa. Energía potencial 126 7.3 El peso es una fuerza conservativa 128 7.4 La fuerza que ejerce un Resorte es conservativa 129 7.5 Principio de conservación de la energía 130 7.6 Comprobación del principio de conservación de la energía 131 7.7 El peso es una fuerza conservativa. 132 7.8 La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa 133 7.9 Balance de energía 133 7.10 Problemas Resueltos 134 7.11 Problemas propuestos sobre Trabajo, Potencia y Energía 137

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CAPÍTULO 8 8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSO Y CHOQUES

8.1 Cantidad de movimiento e Impulso 141 8.2 Cantidad de movimiento 143 8.3 Ley de la conservación de la cantidad de movimiento 144

8.3.1 Conservación de la cantidad de movimiento 144 8.4 Choque 146

8.4.1 Choques elásticos e inelásticos 147 8.4.2 Choques en una Dimensión 150 8.4.3 Choques elásticos 152 8.4.4 Las Colisiones en una Dimensión 153 8.4.5 Casos Particulares 155 8.4.6 Coeficiente de restitución. 158

8.5 Choque elástico de dos partículas 159 8.6 Choque elástico con una tercera partícula 160 8.7 Problemas propuestos sobre Impulso y Cantidad de

Movimiento 161

CAPÍTULO 9 9 ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO

9.1 Momento Resultante y de Inercia 167 9.1.1 Momento Resultante 168 9.1.2 Momento de Inercia 169

9.2 Energía cinética de rotación 172 9.3 Cálculo del momento de inercia 176 9.4 Teorema de los ejes paralelos ó teorema de Steiner 179 9.5 Teorema de los ejes perpendiculares 181 9.6 Momento angular 185 9.7 Conservación del momento angular 189 9.8 Trabajo, potencia y energía en el movimiento rotacional 191 9.9 Problemas resueltos 193 9.10 Problemas propuestos 198

CAPÍTULO 10 HIDROSTÁTICA 10.1 Definiciones 201 10.1.1 Fluido 201 10.1.2 Presión 201 10.1.3 Sistema Internacional de Unidades (SI) 202 10.1.4 Densidad (δ) 202 10.1.5 Peso específico (ρ) 202 10.2 Presión Hidrostática 203 10.3 Vasos comunicantes 204

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10.4 Líquidos inmiscibles 205 10.5 Capilaridad 205 10.6 Principio de Pascal 206 10.7 Principio de Arquímedes 207 10.8 Dinámica de fluidos o hidrodinámica 211 10.9 Flujos incompresibles y sin rozamiento 211 10.10 Viscosidad 213 10.11 Tensión superficial 213 10.12 Ejercicios 214 CAPÍTULO 11 LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA 11.1 La temperatura 221 11.1.1 Termómetro 221 11.1.2 La escala Celsius 222 11.1.3 La escala Fahrenheit 223 11.2 Expansión térmica de sólidos y líquidos 224 BIBLIOGRAFÍA 225

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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA

Clase N° Tema Semana

1

Revisión de las Reglas Básicas de Cálculo Diferencial. Cinemática Unidimensional. Velocidad media e instantánea. Aceleración media e instantánea Aplicaciones

1

2 Revisión de las Reglas Básicas de Cálculo Integral. Ecuaciones del movimiento rectilíneo Aplicaciones

2

3

Vector de posición, Velocidad y aceleración media e instantánea en dos y tres dimensiones. Ecuaciones del movimiento en dos y tres dimensiones, Ecuación de la Trayectoria.

Aplicaciones

3

4

Movimiento circular, velocidad angular, aceleración angular, relaciones vectoriales en el movimiento circular, Movimiento de rotación relativo, movimiento en relación a la Tierra

4

5

Dinámica de la partícula. Introducción: Definiciones y conceptos generales. Estudio de la II ley de Newton. El momentum lineal. Cambio de Momentum y II Ley de Newton. Aplicaciones

5

6 I y III Ley de Newton. Aplicaciones de las leyes de Newton 6

7

Trabajo y Energía. Definiciones y conceptos generales Trabajo realizado por una fuerza constante y trabajo por una fuerza variable. Aplicaciones

7

8

Energía y sus tipos. Teorema Trabajo – energía Trabajo de fuerzas conservativas y no conservativas. Conservación de la Energía mecánica Potencia. Aplicaciones

8

9 E X A M E N P A R C I A L 9

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Clase N° Tema Semana

10

Impulso y Cantidad de movimiento. Definiciones y conceptos generales, Conservación del Momentum lineal Aplicaciones

10

11 Colisiones: Frontal y Oblicua. Colisiones elásticas e Inelásticas. Coeficiente de Restitución. Aplicaciones

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12

Estudio de la Dinámica del cuerpo Rígido. Definiciones y conceptos generales. Cinemática de Rotación del cuerpo rígido. Cálculo de algunos Momentos de Inercia Aplicaciones. Momentum angular. Conservación del Momentum angular Aplicaciones.

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13

Momentum angular. Conservación del Momentum angular Aplicaciones. Trabajo y Energía Rotacional. Aplicaciones.

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14

Hidrostática: Densidad, presión, Fuerza de flotación y el principio de Arquímedes. Hidrodinámica: ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli, tensión superficial, capilaridad y viscosidad

14

15 Temperatura y la ley cero de la termodinámica. Termómetro y escalas de temperaturas. Expansión térmica de sólidos y líquidos.

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16

Relación entre la energía calorífica, la energía cinética, calor y energía interna de un sistema. Calor especifico y capacidad caloríficas de los sólidos. Cambios de fase. Calor y trabajo. Equivalente mecánico de calor. Primera y segunda ley de la termodinámica

16

17 Nivelación y Repaso 17

18 EXAMEN FINAL 18

19 EXAMEN SUSTITUTORIO 19

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CAPÍTULO 1

UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS Y VECTORES

1.1 LA NATURALEZA DE LA FÍSICA La física (griego «naturaleza») actualmente se entiende como la ciencia de la naturaleza o fenómenos materiales. Estudia las propiedades de la materia, la energía, el tiempo, el espacio y sus interacciones (fuerza). Los sistemas físicos se caracterizan por:

1. Tener una ubicación en el espacio-tiempo.

2. Tener un estado físico definido sujeto a evolución temporal.

3. Poderle asociar una magnitud física llamada energía.

La física estudia por lo tanto un amplio rango de campos y fenómenos naturales, desde las partículas subatómicas hasta la formación y evolución del Universo así como multitud de fenómenos naturales cotidianos, caracterizados por cierta geometría o topología y cierta evolución temporal y cuantificados mediante magnitudes físicas como la energía.

1.2 RAMAS DE LA FÍSICA Para su estudio la física se puede dividir en tres grandes etapas: la Física clásica, la Física moderna y la Física contemporánea. La primera se encarga del estudio de aquellos fenómenos que ocurren a una velocidad relativamente pequeña comparada con la velocidad de la luz en el vacío y cuyas escalas espaciales son muy superiores al tamaño de átomos y moléculas. La segunda se encarga de los fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella o cuyas escalas espaciales son del orden del tamaño del átomo o inferiores y fue desarrollada en los inicios del siglo XX. La tercera se encarga del estudio de los fenómenos no-lineales, de la complejidad de la naturaleza, de los procesos fuera del equilibrio termodinámico y de los fenómenos que ocurren a escalas

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mesoscópicas y nanoscópicas. Esta área de la física se comenzó a desarrollar hacia finales del siglo XX y principios del siglo XXI.

Dentro del campo de estudio de la Física clásica se encuentran la:

• Mecánica: mecánica clásica | mecánica de medios continuos | mecánica de fluidos | Termodinámica y mecánica estadística

• Mecánica ondulatoria: acústica | óptica

• Electromagnetismo: Electricidad | Magnetismo

Dentro del campo de estudio de la Física moderna se encuentran:

• Relatividad: teoría especial de la relatividad | teoría general de la relatividad | Gravitación

• Mecánica cuántica: Átomo | Núcleo | Física química | Física del estado sólido

• Física de partículas

1.3 MAGNITUDES Y UNIDADES Uno de los aspectos esenciales en la vida cotidiana del hombre es medir y calcular; dichas actividades adquieren una importancia extraordinaria cuando se trata de la técnica y la investigación científica.

Clasificación de las magnitudes

1.3.1 Por su Origen (a) Magnitudes Fundamentales.- Son aquellas que sirven de base

para escribir las demás magnitudes.

(b) Magnitudes Derivadas.- Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. La velocidad, aceleración, presión, la fuerza, etc.

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1.3.2 Por su Naturaleza: (a) Magnitudes Escalares.- son aquellas que quedan

perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplo La longitud, el tiempo, calor específico, potencia, energía, etc.

(b) Magnitudes Vectoriales.- Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplo: velocidad (v), aceleración (a), fuerza (F), momentum lineal, momentun angular, torque, etc.

1.4 ESTÁNDARES Y UNIDADES 1.4.1 Unidades básicas del SI

El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional.

Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional.

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Magnitud física que se toma como fundamental

Unidad básica o fundamental Símbolo

Longitud (L) metro m

Masa ( M ) kilogramo kg

Tiempo ( T ) segundo s

Intensidad de corriente eléctrica ( I ) amperio A

Temperatura (θ ) kelvin K

Cantidad de sustancia ( N ) mol mol

Intensidad luminosa ( J ) candela cd

1.4.2 Magnitudes

Longitud: metro (m) Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299’792,458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299’792,458 m/s.

Masa: kilogramo (kg) Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón, cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.

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Tiempo: segundo (s) Un segundo es el tiempo requerido por 9,192’631,770 ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Esta definición fue adoptada en 1967.

Intensidad de corriente eléctrica: Amperio (A) El amperio es la intensidad de una corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a 2×10-7 newtons por cada metro.

Temperatura: kelvin (K) El kelvin se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Cantidad de sustancia: mol (mol) Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono 12.

Intensidad luminosa: candela (cd) Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de 540 × 1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección indicada, es de 1/683 W por estereoradián.

1.5 ECUACIONES DIMENSIONALES

Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. También, es una igualdad de tipo algebraico que

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expresan las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y las derivadas.

Notación: [ A ] ………… se lee: ecuación dimensional de A

Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepciones de la suma y la resta, en la determinación de las dimensiones de una ecuación dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice “Todos los términos de una ecuación deben tener las mismas unidades.

Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional de la aceleración.

Aceleración: v = a. t

a = v / t => a = LT-1 / T => a = LT − 2

Ejercicio 1: En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un líquido. La expresión dimensional de su densidad está definida por la siguiente ecuación:

D = X.m + Y.A + Z.h

Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=área, h=altura del cuerpo con respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y, Z.

Ejercicio 2: Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hélice esta determinada por la siguiente ecuación dimensional. Donde P = potencia, w = velocidad angular. Determinar las dimensiones de K y las unidades en el SI.

P = K.ω2.Tg θ Ejercicio 3:

En la figura se fisiona el núcleo de un átomo y se liberan las partículas subatómicas. La energía que llevan está determinada por la siguiente expresión dimensional. Donde: E = energía, F = fuerza, V = velocidad,

a= aceleración. Determine las dimensiones de A, B, C.

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E = A.F + B.v2 + C.a Ejercicio 4:

La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje X está dada por la ecuación dimensional. Donde t = tiempo. Determinar las dimensiones de K2

Ejercicio 5:

En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo está definida por la siguiente ecuación dimensional. Determinar las dimensiones de B y sus unidades en el SI. F = fuerza, V=velocidad.

Ejercicio 6:

En un tubo de rayos catódicos se liberan electrones. (Ver figura) La distancia recorrida por dichos electrones en un tiempo (t) está dada por la siguiente ecuación dimensional. Identifica las

dimensiones de X, Y, Z.

2.21. tZtYXd ++=

Ejercicio 7: En la figura la presión que ejerce el cuerpo sobre el líquido está definida por la ecuación dimensional. Donde P = presión, W = peso, g = aceleración, h = altura del objeto con respecto a la base. Determine las dimensiones de A y B.

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Ejercicio 8: En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un investigador asocia al evento la siguiente ecuación dimensional. Donde P= peso del objeto que cae, t = tiempo y m = masa. A través del análisis dimensional identifica que magnitud física representa K.

1.6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ÓRDENES DE MAGNITUD

Muchos de los números que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y por lo tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de 2,50m, queremos decir que probablemente su longitud se encuentra entre 2,495 m y 2,505 m; es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproximada de ± 0,005 m = ± 0,5 cm de longitud establecida. Si el metro tiene divisiones de milímetros, podemos estimar que hemos medido esta misma longitud de la mesa con una precisión de ± 0,5 mm, en vez de ± 0,5 cm. Indicaríamos esta precisión utilizando cuatro dígitos, como por ejemplo, 2,503m, para expresar la longitud. Este caso se dice que la medición tiene 4 cifras significativas. El número 2,50 tiene tres cifras significativas; 2,503 tiene cuatro. El número 0,00103 tiene tres cifras significativas.

Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades que se están multiplicando, donde “menos precisa” significa “la que tiene el número menor de cifras significativas”. La misma regla se aplica a la división.

Para la suma y la resta, se deben, se deben considerar el número de lugares decimales.

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Cuando los números se suman (o se restan), el número de lugares decimales en el resultado deberá ser igual al número menor de lugares decimales de cualquiera de los términos de la suma, Por ejemplo, si se desea calcular 123 + 5,35, la respuesta debe ser 128 y no 128,35

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

• Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.

• Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.

• Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

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Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.

Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 4×103 queda claro que sólo la cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4,000×103.

1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas

Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida.

Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.

Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Atención: Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003

Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se

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resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas posible.

Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

1.7 VECTORES

1.7.1 Definición de vectores

Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su módulo, su dirección y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Origen

Módulo

A

| A |= Módulo del Vector A . θ = ángulo respecto al eje X, determina la dirección de A . θ

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26

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

1.7.2 Leyes del álgebra vectorial

(1) ABBA +=+

(2) CBACBA ++=++ )()(

(3) mAAm =

(4) AmnAnm )()( =

(5) AnAmAnm +=+ )(

(6) BnAmBAm +=+ )(

1.7.3 Vector Unitario

Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de cero,

| A | ≠ 0, El vector AA

A =μ es un vector unitario de la misma dirección y

sentido que A .

γ

β α

α, β y γ son los ángulos directores del vector A respecto a cada uno de los ejes coordenados.

Y

Z

X

A

FÍSICA I

27

Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:

( )kCosjCosiCoskAA

jAA

iAA

AA zyx

Aˆˆˆˆˆˆˆ γβαμ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++==

1.7.4 Sistema de Referencia

El sistema de referencia espacial de los vectores, estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

1.7.5 Componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como la suma vectorial de sus componentes en dirección de cada uno de los ejes coordenados. Por ejemplo el vector r .

zyx rrrr ++= krjrirr zyx

ˆˆˆ ++=

i : vector unitario paralelo al eje x

j : vector unitario paralelo al eje y k : vector unitario paralelo al eje z

FÍSICA I

28

1.7.6 Suma de Vectores

(A) Métodos gráficos:

A.1) Método del Paralelogramo.- Este método es válido para dos vectores concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une a los vectores por el origen y se forma el paralelogramo.

A.2) Método del Triángulo.- Es válido para dos vectores. Se une el extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma el triángulo.

A.3) Método del Polígono Se usa para más de dos vectores. Se dibujan los vectores uno a continuación de otro y la resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

(B) Método Analítico.

Para hallar la resultante por este métodos, se siguen los siguientes pasos:

a) Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.

b) Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y e z

Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q

(C) Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

kCjCiCC zyxˆˆˆ ++=

P

Q

R = P + Q

Q

P

R = P – Q

FÍSICA I

29

La expresión correspondiente al vector suma es: CBAS ++=

O también: kSjSiSS zyxˆˆˆ ++=

Siendo por tanto: xxxx CBAS ++=

1.7.7 Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores A y B , llamado también producto punto,

representado por el símbolo A . B (se lee A multiplicado escalarmente por B ), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de la

magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los vectores:

A . B = AB cos θ =⏐ A ⏐⏐ B ⏐ cos θ 00 ≥ θ ≥ 1800

Propiedades:

1. A . B = B . A (Ley conmutativa para el producto escalar)

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C (ley distributiva)

3. P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p

4. i . i = i . j = k . k = 1; i . j = j . k = k . i = 0

5. Si A . B = 0. Si A y B no son nulos, entonces A y B son perpendiculares.

Ejercicio:- Encontrar el ángulo entre los vectores: A 2 i 2 j k→ → → →

= + − y

B 6 i 3 j 2 k→ → → →

= − +

A

B θ

FÍSICA I

30

Solución.- Aplicando el producto escalar a los vectores →→

ByA tendremos:

222222

..ZYXzyx

zzyyxx

BBBAAA

BABABAAB

BACosABCosBA++++

++==→=

→→→→

θθ

Reemplazando datos tendremos:

→==+−+−++

−+−+= 1905,0

)7)(3(4

2)3(6)1(22

)2)(1()3)(2()6)(2(222222

θCos o79≅θ

1.7.8 Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B , representado por el símbolo

A x B (se lee A multiplicado vectorialmente por B), se define como el vector

perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un

tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B .

La magnitud del producto vectorial A x B está dada por : ⏐ A x B ⏐ = AB sen θ

Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la siguiente: Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura.

Propiedades:

1. A x B = - B x A (ley conmutativa para el producto vectorial no se

cumple)

FÍSICA I

31

2. A x ( B +C ) = A x B + A x C Ley distributiva

3. p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es un escalar

4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j

5. Si A = Ax i + Ay j +Az k y B = Bx i + B y j + Bz k , entonces

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zyx

zyx

BBBAAAkji

BxA

ˆˆˆ

6. ⏐ A x B ⏐ = área del paralelogramo con lados A y B.

7. Si 0=BxA , siendo A y B vectores no nulos, entonces A y B son

paralelos.

1.8 PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 01.- La resultante de dos vectores varía entre su valor de 2 y 8 unidades. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°?

Solución.- Sean →

A y →

B los vectores →→→

+= BAR

Cuando: 8máx

=+=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

BARRR …….. (1)

Cuando: 2mín

=−=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→

BARRR …….. (2)

Resolviendo (1) y (2) para A y B obtenemos: A = 5; B=3 Si ahora θ = 60°, aplicando la ley de cosenos tendremos:

760352352 2222 =++=→++= oo CosxxRABCosBAR θ

∴ 7=R Rpta.

FÍSICA I

32

PROBLEMA 02.-Hallar el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados.

Solución.- En el esquema se traslada →

AF hacia el lado →

CD , de manera que se puedan establecer las siguientes relaciones:

Polígono ABCD: →→→→

=++ ADCDBCAB (1)

Triángulo ACD: →→→

=+ ADAFAC (2)

Triángulo AED: →→→

=+ ADEDAE (3) La resultante total, podemos expresarla de la siguiente forma:

→→→→→→→→→→

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= FEADEDAEAFACCDBCABR (4)

Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) tendremos:

→+=→+=→→→

10)20)(4(4 RFEADR cmR 90= Rpta.

1.9 PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Sean los vectores

a = 3i - 2j

b = -4i + j

Calcular:

a) El vector suma y su módulo.

b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.

B C

A

F E

D

Exágono regular

10 cm

FÍSICA I

33

c) El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.

2) Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60º y 30º.

Calcular: a) La fuerza resultante.

b) Su módulo.

c) El ángulo que forma con el eje OX.

3) Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1 = 6 N.; F2 = 3 N. y F3 = 4 N., que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45º, 30º y 60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX.

4) Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular:

a) Componentes del vector OP

b) Módulos y cosenos directores.

c) Un vector unitario en la dirección de él, pero de sentido contrario.

5) Dados los vectores a = (2, 4, 6) y b = (1, -2, 3). Calcular:

a) El vector suma ( a + b ), su módulo y cosenos directores.

b) El vector diferencia (a – b) y el vector unitario que define su dirección y sentido.

6) Dados los vectores: a = (1,-1,2) y b = (-1, 3, 4). Calcular:

a) El producto escalar de ambos vectores.

b) El ángulo que forman.

c) La proyección de b sobre a.

d) Dados dos vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c(0, -2, 1). Calcular:

e) (a + b) · c

FÍSICA I

34

f) (a -b) x c

g) (a x b) · c producto mixto

h) (a · b) · c

i) (a x b) x c doble producto vectorial.

7) Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.

8) Dados los vectores a = (1, 3, -2) y b = (1, -1, 0). Calcular:

a) Su producto vectorial.

b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.

c) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.

9) Dados los vectores kjia ˆ3ˆ2ˆ5 ++= ; kbjibb zxˆˆ2ˆ ++= ; kjcic y

ˆˆˆ3 ++= ,

determinar sus componentes bx, bz y cy para que dichos vectores sean mutuamente ortogonales.

10) Se tienen dos vectores kjia ˆˆ2ˆ2 +−= y jib ˆ2ˆ −= . Calcula las

componentes del vector unitario s perteneciente al plano determinado por

los vectores a y b y perpendicular al vector bav 2−= .

11) Halla el vector de módulo 3 que sea paralelo al producto vectorial bxa ,

siendo kjia ˆˆ3ˆ2 +−= y kib ˆ3ˆ2 −= .

12) Dado el vector jtSenAitCosAr ˆ).(ˆ).( ωω += , siendo A y ω constantes, y t

la variable tiempo, halle: (a) su módulo y la derivada del módulo. (b) dtrd y

dtrd . (c) Demuestre que los vectores r y

dtrd son perpendiculares.

13) Dado el vector kjtittr ˆ3ˆ2ˆ)( 32 −+−= , calcula: (a) ∫ dtr . . (b) ∫2

1

.dtr

FÍSICA I

35

2 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA

2.1 CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

2.1.1 Magnitudes básicas de cinemática

• El tiempo es la magnitud física que mide la duración de las cosas sujetas a cambio, esto es, el periodo que transcurre entre dos eventos consecutivos que se miden de un pasado hacia un futuro, pasando por el presente.

• Se llama posición a un punto del espacio físico o un espacio abstracto a partir del cual es posible conocer donde se encuentra geométricamente un objeto en un instante dado. En física se suele representa mediante la ubicación, dada el vector posición mediante r

• En física, velocidad es la magnitud que expresa la variación de posición de un objeto en función de la distancia recorrida en la unidad de tiempo. Se suele representar por la letra .

• La aceleración ( a ) es la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo.

2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemática • Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten

definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas.

• En mecánica, un sistema de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición de un objeto físico en el tiempo y el espacio.

FÍSICA I

36

• Sistema inercial: A grandes rasgos, es un sistema de referencia en el que las leyes físicas adoptan una forma simplificada, equivalente a las leyes de Newton para pequeñas velocidades. Dado un sistema inercial, cualquier otro sistema de referencia que esté parado o bien que se desplace en línea recta a velocidad constante, respecto al primero es también un sistema inercial.

• En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria.

• En cinemática, la trayectoria es el conjunto de todas las posiciones por las que pasa un cuerpo en movimiento.

• Móvil o partícula: Es un punto material. Cuando un cuerpo es considerado como una partícula, es porque se le desprecian sus dimensiones geométricas y no hay interés en su estructura interna.

• Trayectoria: Es la línea imaginaria que describe la partícula en su movimiento. En la figura abajo se ilustran ejemplos de varias trayectorias:

• Posición: Dado un sistema de coordenadas, a cada posición de la partícula le corresponde una coordenada y solamente una. Así cuando la partícula está en la posición A le corresponde la coordenada (x1,y1) y

FÍSICA I

37

cuando está en la posición B le corresponde la coordenada (x2,y2). Ver figura adjunta.

La posición de una partícula se puede representar como un vector cuyo punto inicial ("cola") está en el origen del sistema de coordenadas y cuyo punto final ("cabeza") está en el punto correspondiente a su posición. Este vector lo denotaremos con el símbolo . En la figura ilustramos esta definición.

En la figura también se observa que a la posición A le corresponde el vector posición y a la posición B le corresponde el vector posición

.

• Desplazamiento: Al cambio de la posición de la partícula se le denomina desplazamiento, . Es decir, el desplazamiento es la resta vectorial entre el vector posición final y el vector posición inicial:

Note que como el desplazamiento es la resta de dos vectores, por tanto debe ser también un vector.

De la misma figura se puede observar que el desplazamiento es un vector trazado desde la posición inicial hasta la posición final.

FÍSICA I

38

De la definición de desplazamiento se puede concluir que éste no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sino que sólo depende del punto de partida y del punto de llegada. La figura abajo nos ilustra esta importante afirmación. En esta figura, tres partículas tienen el mismo desplazamiento siguiendo trayectorias diferentes.

Tanto el vector posición como el vector desplazamiento tienen como ecuación dimensional L. Es decir, esas dos magnitudes se miden en unidades de longitud. Específicamente en el MKS se miden en metros (m).

• Longitud recorrida, ΔS: La longitud recorrida es denominada en algunos textos con el término "espacio". Aquí evitaremos esta denominación ya que ese término se usa en la física para representar un concepto más global y abstracto.

La longitud recorrida es la medida de la longitud de la trayectoria seguida por la partícula. Es una magnitud escalar y su ecuación dimensional también es L. En la figura, a la derecha, se ilustra cómo la partícula al desplazarse desde la posición A hasta la posición B, recorre una longitud equivalente a ΔS.

2.1.3 Tipos de Movimientos

(A) Movimientos rectilíneos

• Movimiento rectilíneo uniforme

• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

FÍSICA I

39

(B) Movimiento en el plano

• Movimiento circular

• Movimiento circular uniforme

• Movimiento circular acelerado

• Movimiento parabólico

2.2 CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN 2.2.1 Movimiento rectilíneo: velocidad constante (MRU)

El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta.

Si consideramos que la trayectoria coincide con el eje x. La posición del objeto está definida por su desplazamiento medido por desde un punto arbitrario O, u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional x = f (t).

2.2.2 Velocidad media, vm:

Si en el tiempo t el objeto se encuentra en A , siendo OA = x. Más tarde se encuentra en la posición B siendo OB = x’

La velocidad media entre A y B está definida por:

tx

ttxxvm Δ

Δ=

−−

=''

B A

x t v

O

X

x' t' v'

2.1

Δx

FÍSICA I

40

Donde:

Δ x = x′ – x es el desplazamiento de la partícula, y

Δ t = t’ - t es el intervalo de tiempo transcurrido,

su ecuación dimensional es LT-1 , es decir en el sistema M.K.S se mide en m/s.

Observe que el desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivos

o negativos dependiendo de si x’ es mayor o menor que x. Un valor

positivo indica un movimiento hacia la derecha; un valor negativo, hacia la

izquierda.

En la figura se muestra un gráfico de x en función de t para un movimiento

arbitrario a lo largo del eje x. Cada punto de la curva tiene un valor de x

que localiza la partícula en un tiempo determinado. En la figura se muestra

el desplazamiento y el intervalo de tiempo El cociente tx

ΔΔ se denomina

pendiente de la recta que es la interpretación geométrica de la velocidad

media vm.

Ejercicio 01: Una partícula se mueve a lo largo del eje x de manera que su posición en cualquier instante t está dado por x = 5t 2 + 1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular la velocidad media en el intervalo de tiempo entre:

a) 2s y 3s,

b) 2 s y 2 ,1 s ,

c) 2 s y 2, 001 s,

d) 2 s y 2,00001 s y

e) calcular la velocidad instantánea a los 2 s

FÍSICA I

41

Solución

si x o = 2 s y usando x = 3 t 2 + 1. Tenemos x o = 5 (2) 2 +1 = 21 m

a) Tenemos que calcular Δ x = x – x o , para x = 3 s , entonces x = 5 (3)2 +1 = 46 m, y Δ x = 46 – 21 = 25 m, el intervalo de tiempo es : Δ t = 1s

vm = Δ x / Δt = 25 m/s

b) Para t =2,1 s , tenemos x = 5 ( 2.1) 2 + 1 = 23,05 m y Δ x = 2,05 y Δ t = 0,1 s

vm = tx

ΔΔ = 2,05m /1 s = 20,5 m/s

c) Para t = 2,001 s, tenemos x = 5 ( 2,001)2 + 1= 21,020005 m y Δ x = 0,020005 m y Δ t = 0,001 s

Vm = 0,020005 m/0,001 s = 20,005 m/s

d) Para t = 2,00001 s , tenemos x = 5 ( 2,00001) 2 + 1 = 21,0200005 y Δ x = 0,0200005 m y Δ t = 0,00001 s

vm = 0,0002 m/0,00001 s = 20,00005 m/s

e) La velocidad instantánea es: v = dtdx = 10 t , para t = 2 s tenemos V = 20

m/s

Ejercicio 02:

Supongamos que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre 2.0 Km en dirección Este en 0.40 h (de A a B) y luego 1.0 Km en dirección Norte en 0.10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la figura abajo.

FÍSICA I

42

El desplazamiento del estudiante sería el vector que va desde A hasta C. La magnitud de este es:

y su dirección es:

Por tanto, su velocidad media sería un vector cuya magnitud es:

con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de 26º con la horizontal (eje X).

El valor de la rapidez será igual a la división entre la longitud recorrida y el tiempo empleado. Es decir,

Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una dirección.

Ejercicio 03:

Supongamos que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El desplazamiento neto sería nulo (regresa al punto de partida) , pero la longitud recorrida es igual a 6 Km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad media es nula y su rapidez media continúa siendo igual a 6.0 Km/h (longitud recorrida dividida por el tiempo total).

FÍSICA I

43

2.2.3 Velocidad Instantánea:

En el leguaje matemático queda definido como:

trvv

otmot ΔΔ

==→Δ→Δ

limlim

Pero esta es la definición de la derivada de r con respecto al tiempo; esto es

dtrdv =

De esta manera obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.

2.2.4 Aceleración Media e Instantánea (1) Aceleración media, ma :

Se define la aceleración media como el cambio en la velocidad instantánea, vΔ , dividido por el intervalo de tiempo, Δt:

Cuando se hace tender el intervalo de tiempo, Δt, a cero, se observa que el vector desplazamiento se acerca a la tangente de la trayectoria (ver figura a la derecha).

De lo anterior se deduce que la velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria (ver figura izquierda).

2.2

2.3

FÍSICA I

44

tv

ttvvam Δ

Δ=

−′−

='

Su ecuación dimensional es LT-2 , es decir , en el sistema M.K.S se mide en m.s-2

La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de velocidad, vΔ . Veamos algunos ejemplos que nos ilustren esta idea fundamental:

Ejemplo :

Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante

con velocidad, , y en el instante t +Δt ocupa la posición B con velocidad

fv , tal como se ilustra en la figura abajo. El cambio de la velocidad, vΔ , se

dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V )Δ = − = + −

Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como, vΔ , apunta hacia la derecha, la aceleración media,

ma , también se dirige así.

Ejemplo : Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante

con velocidad, , y en el instante t +Δt, ocupa la posición B con velocidad

fv , tal como se ilustra en la figura a la derecha. El cambio de la velocidad, ,

se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V )Δ = − = + −

2.4

FÍSICA I

45

Esta operación está ilustrada en la misma

figura. En ella se observa que como, , apunta hacia la izquierda, la aceleración

media, , también se dirige así.

Ejemplo :

Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la figura abajo. En el instante

ocupa la posición A con velocidad, 0V , y en el instante t+Δt, ocupa la posición

B con velocidad fV . Por tanto, el cambio de la velocidad, , se dirigirá según

el resultado de la siguiente resta vectorial:

f 0 f 0V V V V ( V )Δ = − = + −

Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como,

, apunta hacia la derecha, la aceleración media, , también se dirige así.

Ejemplo

Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el

instante se encuentra en la posición A con velocidad, 0V y en el instante t+Δt,

ocupa la posición B con velocidad fV , tal como se ilustra en la figura abajo. Por

lo tanto, el cambio de la velocidad, , se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:

FÍSICA I

46

f 0 f 0V V V V ( V )Δ = − = + −

El resultado de esta operación está ilustrada en la figura a la abajo. La

aceleración apunta hacia donde apunta el vector , .

(2) Aceleración Instantánea: a Es el valor límite de la aceleración media en el intervalo de tiempo Δt es muy pequeño:

tVlímalíma

otmot ΔΔ

==→Δ→Δ

ó

dtdva =

De modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento es acelerado; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto, el movimiento se denomina desacelerado.

• Si conocemos la aceleración, podemos calcular la velocidad integrando la ecuación de la aceleración; esto es:

∫∫ =t

t

v

v o

adtdv0

2.5

2.6

2.7

ΔV Vf

- V0

B

A V0

ΔV

Vf

am

FÍSICA I

47

Donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. Luego, como 0

0

vvdvv

t

−=∫

∫+=t

t

adtvv0

0

∫ ∫=v

v

x

x

adxvdv0 0

La aceleración se relaciona también con la posición combinado las ecuaciones. Esto es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dtdx

dtd

dtdva

ó

2

2

dtxda =

Otra relación importante entre la posición y la velocidad puede obtenerse,

escribiendo dv = a dt y a esta ecuación es multiplicada por la ecuación dtdxv =

obtenemos.

adxdtdxadtvdv == )(

Integrando, obtenemos

∫ ∫=v

v

x

x

adxvdv0 0

ó

∫=−x

x

adxvv0

20

2

21

21

2.2.5 Movimiento con Aceleración Constante (MRUV) Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, el movimiento puede ser muy difícil de analizar, pero existe un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional que ocurre cuando la aceleración es constante y uniforme. Cuando la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea, en

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

FÍSICA I

48

consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento.

A partir de la ecuación de la aceleración promedio, se obtendrá la ecuación para esta aceleración. Lo primero es cambiar la a por la a:

a = (vf - vi ) / (tf - ti)

Por conveniencia se tomo a ti = 0 y tf sea cualquier tiempo t. También se considera que vi = vo ( la velocidad inicial en t = 0) y vf = v (la velocidad en cualquier tiempo t). Con esto se puede expresar la aceleración:

a = (v - vo)/ t

ó v = vo + at (para a constante)

Con está ecuación se puede obtener la velocidad en cualquier tiempo t, por supuesto que se debe conocer la velocidad inicial, la aceleración (constante) y el tiempo transcurrido.

Mediante una serie de gráficas se observará el comportamiento de una partícula cuando se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante: (a) gráfica posición-tiempo, (b) gráfica velocidad-tiempo, (c) gráfica aceleración-tiempo.

En esta gráfica se puede ver como la pendiente cambia de la posición inicial (xo), en donde la pendiente era igual a vo, a la posición final (x), en la cual la pendiente tiene un valor de v, esto durante un tiempo t determinado.

FÍSICA I

49

La gráfica es una línea recta cuya pendiente es la aceleración, a, lo que es consistente con el hecho de que a = dv/dt es una constante. Si la aceleración fuera negativa, la pendiente fuese negativa también. Si la aceleración es en la dirección opuesta a la velocidad, entonces la partícula se está desacelerando.

De acuerdo con la gráfica y la ecuación (v = vo + at), vemos que la velocidad en cualquier tiempo t es la suma de la velocidad inicial, vo, y el cambio en la velocidad, at.

En esta gráfica se observa que es una línea recta con una pendiente de cero, ya que la aceleración es constante.

Cuando la aceleración es constante, tanto en magnitud como en dirección, tenemos

FÍSICA I

50

( )∫ ∫∫ −===v

v

t

t

t

t

ttadtadtavd0 00

0

Donde v o es la velocidad para t = t0

)( 00 ttavv −+=

La ecuación hallada nos da la velocidad en función del tiempo. Sustituyendo este resultado en la del desplazamiento en función del tiempo e integrando, obtenemos:

∫ ∫= dtvdx .

[ ]dtttavdxx

x

.).( 00

0

∫∫ −+=

∫∫−

−+=−)(

0000

0

0

).(..ttt

t

dtttadtvxx

20000 ).(

21).( ttattvxx −+−=−

Donde x0 da la posición en el tiempo t0.

Esta ecuación nos da la posición de la partícula en cualquier instante.

2.2.6 Caída Libre En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer una pesada roca y una pulga, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g).

2.32

2.31

FÍSICA I

51

Trayectoria en caída libre

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad uniformemente acelerado con aceleración g constante, como ya hemos visto, veamos las ecuaciones de la velocidad y del espacio recorrido.

Al ser un movimiento en una sola dimensión, todas las variables son exclusivamente verticales, emplearemos notación vectorial, el vector unitario: j .

Aceleración

En caída libre la aceleración es la de la gravedad, que es vertical, hacia abajo y constante, como ya se ha dicho:

a = – g j

La velocidad Calculáremos la velocidad en función del tiempo, partiendo de la ecuación de la aceleración y de la definición de aceleración:

1. a = – g j

2. a = dtvd

tenemos:

dtvd = – g j

ordenando términos:

vd = – g j dt

integrando:

∫ ∫ −=v

v

t

jgdtdv0 0

ˆ

FÍSICA I

52

realizando la integral: al ser un movimiento vertical (– j )

v-vo = – g t

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, con una velocidad positiva V0, podemos calcular el instante en el que su velocidad sea cero, cuando la aceleración de la gravedad haya compensado la velocidad inicial, en ese instante el cuerpo estará en el punto más alto de su trayectoria.

g t = vo …………………… gv

t 0=

En este instante t, el cuerpo esta en el punto más alto de su trayectoria vertical, y su velocidad es cero.

El espacio

Partiendo de la ecuación de la velocidad y de la definición de velocidad, por un método similar podemos calcular la ecuación de posición del cuerpo, veamos:

200 .

21. tgtvxx −=− (xo es la de posición del cuerpo para t0 = 0)

FÍSICA I

53

3 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 3.1 MOVIMIENTO PARABÓLICO

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se asemeja a la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: (a) un movimiento rectilíneo uniforme horizontal, y (b) un movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado vertical.

3.1.1 Tipos de movimiento parabólico • El movimiento de media parábola (lanzamiento horizontal): se puede

considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre. También conocido como Semi-parabólico

• El movimiento parabólico completo: se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales: la resistencia al avance es nula y el campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

CAPÍTULO 3

FÍSICA I

54

1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.

3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

3.1.2 Ecuaciones del movimiento parabólico Como ya se ha dicho, hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1. jSenViCosVV ˆˆ 000 φφ +=

2. jga ˆ−=

donde:

0V es el módulo de la velocidad inicial. φ es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal. g es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

φCosVVxi 0= componente horizontal de la velocidad inicial.

φSenVVyi 0= componente vertical de la velocidad inicial.

Podemos expresar la velocidad inicial de este modo:

jViVV yixio ˆˆ +=

FÍSICA I

55

3.1.3 Ecuación de la aceleración. La única aceleración que interviene en este movimiento, como ya se ha dicho, es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

jga ˆ−=

la cual es vertical y hacia abajo.

3.1.4 Ecuación de la velocidad

Partiendo de la ecuación de la aceleración y de la definición de aceleración:

1. jga ˆ−=

2. dtVda =

tenemos que:

jgdtVd ˆ−=

ordenando términos:

dtjgVd ˆ−=

FÍSICA I

56

integrando:

∫∫ −=tV

V

dtjgVd0

ˆ0

extrayendo términos constantes de la integral:

0

V t

0

V 0

ˆ ˆdV gj dt V V gjt= − ⇒ − = −∫ ∫

ordenando: 0ˆ VtjgV +−=

sustituyendo 0V , por su valor, y luego ordenando:

jVgtiVV yixi ˆ)(ˆ +−+=

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, no depende del tiempo y es la misma que para V0, la componente vertical si depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

3.1.5 Ecuación de la posición Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al tiempo y de la definición de velocidad:

1. jVtgiVV yixi ˆ).(ˆ +−+=

2. dtrdV =

tenemos: jVtgiVdtrd

yixi ˆ).(ˆ +−+=

esto es: dtjVtgiVrd yixi )ˆ).(ˆ( +−+=

integrando:

∫∫ +−+=t

yixi

r

r

dtjVgtiVrd0

)ˆ)(ˆ(0

FÍSICA I

57

descomponiendo la integral, sacando los términos constantes de la integral y realizando la integral:

tjVtjgtiVrr yixi ˆ)21(ˆˆ 2

0 +−=−

ordenando términos:

02 ˆ

21ˆ rjtVgttiVr yixi +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

donde ir es el vector de posición del móvil para el instante t = 0, podemos dividirlo según sus componentes en:

jYiXr iii ˆˆ +=

que sustituyéndolo en la ecuación resulta:

jYiXjtVtgitVr iiyixi ˆˆˆ..21ˆ.. 2 ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

y ordenando, por fin:

( ) jYtVtgiXtVr iyiixi ˆ..21ˆ.. 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−++=

La trayectoria del movimiento parabólico esta formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado, la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro, si el radio de giro es constante la trayectoria será una circunferencia, y si además la velocidad de giro es constante se produce el movimiento circular uniforme que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante, por eso aquí veremos el caso general de este movimiento.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

FÍSICA I

58

3.2.1 Conceptos En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:

• Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanece fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.

• Arco angular: También denominado Posición Angular (θ) partiendo de un eje de giro es el ángulo o arco de radio unitario con el que medimos el desplazamiento angular. Su unidad es el radian.

• Velocidad angular: (ω ) es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo

• Aceleración angular: (α ) es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo

Posición angular, θ En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo θ, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, θ=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

(“θ “y “s” no son vectores)

FÍSICA I

59

3.2.2 Velocidad angular, ω

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ’. El móvil se habrá desplazado Δθ =θ’–θ en el intervalo de tiempo Δt=t' – t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

tΔΔ

=θω

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, de forma semejante, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

3.2.3 Aceleración angular, α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Δω=ω'-ω en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (tiempo que tarda en efectuar dicho cambio) y la representaremos con la letra: y se calcula:

FÍSICA I

60

tΔΔ

=ωα

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

3.2.4 Velocidad tangencial: VT Es definida como la velocidad real del objeto que efectúa el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio “r”, tenemos que:

. rVT .ω=

Si llamamos “a” a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:

.

3.2.5 Periodo y frecuencia El periodo indica los segundos que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:

ωπ2

=T

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil en un segundo. Se mide en Hertz o s − 1.

πω2

1==

TF

ω

θ

VT

ac

s

FÍSICA I

61

3.2.6 Aceleración centrípeta La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:

rr

Vac .22

ω==

3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento θ -θ0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto ω dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

Hallamos la posición angular θ del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω - t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

θ – θo

ω

t to t

FÍSICA I

62

3.2.8 Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad ω -ω0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

ω – ωo

α

t to t

En la figura, el cambio de velocidad ω -ω0 es el área bajo la curva α - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular ω -ω0, y el valor inicial ω0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular ω en el instante t.

FÍSICA I

63

3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

θ -θ0=ω(t-t0)

o gráficamente, en la representación de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme:

3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración α es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular ω -ω0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

)( 00 tta −=− ωω

θ –θo

ω

to t t

ω

FÍSICA I

64

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ -θ0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Ejercicio:

Un motor eléctrico arranca desde el reposo y alcanza su rapidez de rotación normal de 174 rpm en un segundo y después marcha con rapidez angular constante. Suponiendo que durante ese segundo la aceleración angular es constante, encuentre:

FÍSICA I

65

a) La aceleración angular.

b) La rapidez angular a los 0,5 s de haber conectado el motor.

c) El número de revoluciones del eje de la máquina durante el primer segundo.

Solución:

ω0 = 0 ωf = 174 rpm = 18,22 rad/s t = 1 s

2f 0 (18, 22 0)rad / s18, 22rad / s

t 1sω ω

α− −

= = =

tf .0 αωω =− como: ω0 = 0

sradssradf /11.9)5.0).(/22.18( 2 ==ω

radssradtt 11.9)1).(/22.18.(210.

21. 222

0 =+=+= αωθ

3.5 CLASES DE ACELERACIÓN De la definición de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero siempre que hayan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede cambiar en magnitud, en dirección, o en ambas. Si la velocidad cambia en

magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración tangencial ( ) ; si cambia en

dirección , se dice que el cuerpo tiene aceleración centrípeta o normal ( ca ). En

el caso que cambie simultáneamente en magnitud y en dirección, la aceleración

resultante ( ) será la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta, por lo que la magnitud de la aceleración resultante será igual a:

FÍSICA I

66

3.6 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1.- Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 3 m/s y una aceleración constante de 4 m/s2 en la misma dirección que la de velocidad ¿Cuál es la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida al final de 7s? Usamos el mismo problema para un cuerpo cuya aceleración tiene dirección opuesta de la velocidad. Escriba la expresión del desplazamiento en función del tiempo.

Solución:

Tenemos

OmV 3s

=

2a 4m/ s=

Tenemos un movimiento con aceleración constante, en la misma dirección que la velocidad

oV V at= +

2

m mV 3 4 (7s) 31m/ ss s

= + =

La distancia recorrida es;

( )2O 2

1 mx V t 4 7s2 s

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )22

m 1 m3 x 7s 4 7ss 2 s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + =21m 98m 119m/ s

Cuando la aceleración tiene una dirección opuesta con la velocidad (movimiento retardado):

oV V at= −

( )2

m m3 4 7m 25m/ ss s

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

FÍSICA I

67

Ox V at= −

( ) ( )2

2

m 1 m3 7s 4 x 7s 21m 98ms 2 s

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

77m.= − El desplazamiento en función del tiempo.

20 ..

21.)( tatVtx −=

2.2.3)( tttx −=

Problema 2.- Un automóvil parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1m/s durante 1s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la función durante 10 s a un promedio de 5m/s. luego se aplica los frenos y el auto se detiene 5 segundos después.

Solución:

ov o= 2a 1m/ s=

( )⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2AB o 2

1 mX V t 1 1s 0,5m2 s

Para el tramo B C→

Calculamos la velocidad con la que llega al punto

( )B O 2

mV V at 0 1 x 1 1m/ ss

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

BV 1m/ s=

2O

1X V t at2

= −

= =2 2

cm ma 5 0,05s s

FÍSICA I

68

( )⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

2s2

1 mx 1m/ s(10s) 0,05 102 s

= − =BCX 10m 2,5m 7,5m

Para el tramo C D→

t oV V at 0= − = →

= = =o 2

1m mV at 0,05 x10 0,5m/ ss s

=cV 0,5m/ s

( )( ) ( )= − = −22 2

CD o1 1X V t at 0,5m/ s 5s (0,1m/ s ) 5s2 2

= 1,25m.

El espacio total recorrido es=0,5m+7,5m+1,2m

=ABX 9,25m.

FÍSICA I

69

Problema 3.- Un auto esta esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2m/s2, después de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme de 10 m/s, lo pasa. ¿En que tiempo, y a que distancia se encontraran nuevamente el auto y el camión?

Solución:

Para el auto

( )2 2 2 2AB o

1 1 1X V t at at 2m/ s (6s) 36m2 2 2

= + = = =

F oV V at 2x6 12m/ s= + = =

( )( )BCX vt 12m / s t 5= = −

Para el camión AC oX V t= → entonces el espacio debe ser igual ( ) 210t 36 12 t 5 t 125.= + − → = el tiempo total 18 por distancia X 10 180 180m= × =

Problema 4.-

(a) A qué velocidad ha de lanzarse una pelota verticalmente hacia arriba para que alcance una altura de 20 m? (b) cuanto tiempo permanece en el aire.

Solución: t =?

oV ?=

hgVV ..220

2 −=

V 0= 20 0 00 V 2.g.h V 2.(9,8).(20) V 87,65m / s= − ⇒ = ⇒ =

FÍSICA I

70

oV V gt= − entonces 0V gt= 0Vtg

=

= =19,8t 2,025.9,8

El tiempo que permanece en el aire es 4,04 s

Problema 5.- Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba tiene una velocidad de 10 m/s cuando alcanza la mitad de su altura máxima

a) ¿A qué altura sube?

b) ¿Cuáles serán su velocidad y aceleración un segundo después de lanzarlo?

c) ¿y tres segundos después?

d) ¿Cuál es la velocidad media durante el primer medio segundo?

Solución:

a) Consideramos la mitad hacia la altura máx.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

2..2..2 max2

02

0h

gVhgV

( )220

max 2

10m / sVh 10,20m

g 9,8m / s= = =

b) para t = 1,0 s

oV ?=

oV 0=

0V 10m / s=

==

= −

2

2 20

g 9,8m / sV 0V V 2gh.

FÍSICA I

71

20V V g.t V 10m / s (9,8m / s ).(1,0s) V 0,2m / s− = − ⇒ = − ⇒ = (hacia

arriba)

Su aceleración será: -9,8m/s2 j (dirigida hacia abajo)

c) para t = 3,0 s

20V V g.t V 10m / s (9,8m / s ).(3,0s) V 19,4m / s− = − ⇒ = − ⇒ = − (hacia

abajo)

d) __

o

o

y yVt t

−= =

−

ot t 0.5s− =

2 2 20

1 1Y V .t .g.t Y (10m / s).(0,5s) .(9,8m / s ).(0,5s) Y 3,775m

2 2= − ⇒ = − ⇒ =

De modo que

m3,775m 0

V 7,55m / s0,5s

−= =

Problema 6.- La figura es una grafica de la aceleración de un cuerpo que se mueve sobre el eje x. Dibújese los gráficos de su velocidad y el desplazamiento en función del tiempo tomando x =v =0 en el instante t =0.

Solución:

La aceleración constante

2o

1x V t at2

= + y

oV V at= +

En el intervalo (0,5) 2

0 0a 2m/ s ,V x 0= + =

FÍSICA I

72

( )222

1 1 mx at x2 x 5s2 2 s

= =

X =25 m

( )2

m mV at 2 x 5s 10s s

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

En el intervalo (5,15) a =0

omx V t 10 x10 100s

= = = el desplazamiento total es ( )x 25 100 m 125m= + =

V 10m/ s=

En el intervalo (15,25) -2a= -2ms

2 20

1 1x V t at 10m/ sx10s x2x10 100 02 2

= + = − = =

La distancia total es 125 m

( ) ( )0 2

m mV V at 10 2 10s 10 m/ ss s

= + = − = −

Para el intervalo (25s ,35s) a =a

2o

1x V t at /10m/ s)(10) 100m2

= + = = −

La distancia total es :125 -100=25 m

( )20 2

1 mV V at 10m/ s x5s x2 x 5s2 s

= + = − − −

50m 25m 25m= − + = −

La distancia total es(25-25)m =0m.

FÍSICA I

73

Problema 7.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley

3 2V t 4t 2= + + . Si x 4= pies cuando t 25= ; encontrar el valor de x cuando t =35.encontrar también su aceleración

Solución 3 2dxV t 4t 2

dt= + + 3 2dx t dt 4 t dt 2 dt= + +∫ ∫ ∫ ∫

4 3

0

t tdx 4 2t c4 3

= + + +∫

216 4 44x 2 4 c c4 3 3

= + + + → =

Para t 35= ,tenemos:

3t4 tx 4 2t c4 3

= + + +

( )4

33 4 44x 3 2x34 3 3

= + +

= + + − =81 4436 6 47,594 3

pies

La aceleración 2dva 3t 8t

dt= = +

FÍSICA I

74

3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un atleta recorre la primera mitad del tiempo con una velocidad de 8 m/s

y durante la otra mitad del tiempo con velocidad de 5 m/s. ¿Cuál fue su velocidad media?

Rpta.- Vm = 6,5 m/s

2. Un tren recorrió la primera mitad del camino con una velocidad de 100 km/h y la segunda mitad con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál fue su velocidad media?

Rpta.- Vm = 88,8 km/h.

3. El camino S, recorrido por un móvil, en función del tiempo está relacionado por la ecuación S = 4 t2 – 4 t + 3, si S se mide en metros y t en segundos. Hallar (a) la velocidad media y (b) la aceleración media en el intervalo de 2 a 5 segundos, (c) la velocidad y aceleración instantánea para t = 3s.

Rpta.-

(a) Vm = 31 m/s (b) am =10 m/s2 (c) Vi = 26 m/s; a = 10 m/s2

4. Un móvil se recorre la mitad del camino con una velocidad V1. La parte restante lo hace a una velocidad V2 la mitad del tiempo, y a la velocidad V3 el tramo final. Encuentre la velocidad media del móvil durante el recorrido.

Rpta.: Vm = [2 V1 (V2 + V3)] / [ 2 V1 + V2 + V3 ]

5. Un móvil se mueve según la ecuación V = t2 – 9, donde V representa la velocidad en m/s y t el tiempo en segundos. Hallar la aceleración para V=27 m/s.

Rpta.: a = 12 m/s2

6. Un móvil se desplaza con aceleración a = 2t, a lo largo del eje X. Hallar (a) la velocidad para t = 1s. (b) El cambio de posición de 0 a 1s para t = 0, V =2 m/s, X =0.

FÍSICA I

75

Rpta.: V = 3 m/s X = (7/3) m/s

7. Una partícula se mueve con una aceleración de a = – 3 V donde a se mide en m/s2 y V en m/s. Hallar el desplazamiento, velocidad y aceleración cuando t = 0,2 s. Las condiciones iniciales son t0 = 0, X0 = 1,5 m, V0 = 12 m/s.

Rpta.: V = 6,586 m/s X = 3,30 m a = –19,76 m/s2

8. Dado el vector posición de un móvil

S (t) = (2 – t2) î + (t3 – t) ĵ + (2 t3 – t2 –1) k

Hallar:

(a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2 s.

(b) el módulo de la aceleración cuando t = 2 s.

9. Una partícula se mueve en el plano X – Y, de acuerdo a las relaciones:

ax = – 2 Sen 3t, ay = Cos 3t.

Cuando t= 0, X= 0, Y= 2, Vx= 4 m/s y Vy= 1 m/s.

Hallar: (a) la ecuación de la trayectoria. (b) la velocidad para t = π/6 s

10. El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta, viene definido por la relación X= 2t3 – 15t2 + 36t – 27, donde X se expresa en metros y t en segundos. Calcular el tiempo, posición y aceleración cuando V = 0.

11. El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta viene definido por la relación Y = t3 – 9t2 + 15t + 5, donde Y se expresa en metros y t en segundos. Calcular (a) ¿cuándo la velocidad es cero, (b) la posición y el espacio total recorrido cuando la aceleración sea cero.

12. La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. Para t = 0, la velocidad de la partícula es V = – 9 î m/s. Sabiendo que la velocidad y la coordenada de posición son cero cuando t = 3 s, hallar las ecuaciones del movimiento de la partícula.

FÍSICA I

76

13. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = – k X–2. Comienza el movimiento, sin la velocidad inicial, en X = 10 cm, y se observa que su velocidad es de 4 cm/s, cuando X = 5 cm. Calcular (a) el valor de k, (b) la velocidad de la partícula cuando X = 1,0 cm.

14. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = – 0,002 V2 donde a es la aceleración en m/s2 y V la velocidad en m/s. Si a la partícula se le da una velocidad inicial V0, hallar el espacio que recorrerá (1) antes de que su velocidad descienda a la mitad de su valor inicial, (b) antes de detenerse.

Rpta.- (a) t = 1,107 sV = 10,86 m/s (b) t = 2,722 s V = 4,41 m/s

15. El tiempo medio de reacción de un conductor de automóvil es,

aproximadamente, 0,7 s (el tiempo de reacción es el intervalo que

transcurre entre la percepción de una señal para parar y la aplicación de

los frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de

4,8 m/s2, calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez

percibida la señal, (a) cuando la velocidad es de 30 km/h, (b) cuando es

de 60 km/h.

16. Un antílope que se mueve con aceleración constante cubre una distancia de 80 m, entre dos puntos en 7,0s. Su rapidez al pasar el segundo punto es de 15,0 m/s. a) ¿Qué rapidez tenia en el primero ¿ b) ¿Cuál es su aceleración?

17. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X y su aceleración con el tiempo se indica en la figura. Para t = 0, X = 0, V = 1 m/s. Hallar (a) la distancia total recorrida desde 0 a 2 s. (b) la velocidad para 2 s.

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Rpta.: X = 4,31 m V = 4,46 m/s

18. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, en la figura se muestra su

gráfica de la velocidad en función del tiempo. ¿Para qué valores del

tiempo X = 0. Si para t = 0, X = – 2 m.

19. Una partícula se mueve a lo largo de una recta con aceleración que se

indica en le gráfico. Hallar la velocidad y el desplazamiento en el instante

t = 1 s. Suponga que la velocidad inicial es 2 m/s y que el desplazamiento

inicial es 2 m.

60º t (s)

a (m/s2 )

4 3 2 1 -2

a (m/s2)

1 7 6 5 4 3 2 t (s)

Rpta.: V = 5 m/s X = 5,5 m

Rpta.: t = 0,586 s

– 2

4

2 4

V(t)

t

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20. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X, tal como se indica en la figura.

Hallar el tiempo que emplea en recorrer los 20 m. Si X = 0, t = 0.

21. Un móvil se mueve a lo largo del eje X. Su gráfico de velocidad en

función del tiempo se indica en la figura. Hallar la distancia recorrida, su

velocidad promedio y su aceleración, durante los primeros 15 segundos.

22. Se dispara una pelota verticalmente hacia arriba, a partir del suelo, con

una velocidad de 24,4 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su altura máxima?

b) ¿Hasta que altura llega la pelota?

c) Determine a qué altura estará y que velocidad tendrá a los 3 s de haber sido lanzada.

23. Un golfista golpea la bola dándole una rapidez inicial de 24 m/s

formando un ángulo de 370 con la horizontal. La bola da contra un árbol

que está a 48 m del pequeño apoyo usado en este deporte para colocar la

bola antes de pegarle. No considere la resistencia del aire, encuentre:

3

X ( m )

V2 ( m2 / s2)

60º Rpta.: t = 5,08 s

40 30 15

12

3

6

0 5

10

8

V (m/s)

t( s )

Rpta.: X = 112,5 m Vm = 7.5 m/s a = – 0,6 m/s2

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a) El tiempo que la bola está en el aire antes de chocar con el árbol.

b) La altura a que golpea al árbol.

c) El vector velocidad en el momento que golpea al árbol.

d) La altura máxima que alcanzaría la bola en su movimiento.

24. Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad

angular aumenta uniformemente a 200 RPM en 6 s. Después de haber

estado girando por algún tiempo a ésta velocidad, se aplican los frenos y

a rueda le toma 5 minutos en detenerse. Si el número total de

revoluciones de la rueda es de 3100, calcular el tiempo total de rotación.

25. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial cuyas componentes son:

Vx= 20 m/s y Vy = 15 m/s, respectivamente. Hallar el radio de

curvatura después de haber transcurrido 1,2 s desde su lanzamiento.

(Asuma g=10,0 m/s2).

26. Una piedra atada en el extremo de una cuerda se hace girar en un círculo

vertical de 1,20 m de radio a una rapidez constante V1= 1,50 m/s, como

se muestra en la figura. El centro de la cuerda se encuentra a 1,50 m

sobre el piso. ¿Cuál es el alcance de la piedra si se suelta cuando la

cuerda está inclinada 30° respecto de la horizontal (a) en P, (b) en Q?

¿Cuál es la aceleración de la piedra (c) justo antes de que se suelta en P;

(d) Justo después de que se suelta en P?

27. Un cuerpo se mueve por una circunferencia de radio 16 cm con una aceleración tangencial constante de 4 cm/s2. ¿Qué tiempo debe transcurrir

1.20 m

V1

V1

PQ

30° 30°

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para que la aceleración normal del punto sea igual a 4 veces la aceleración tangencial?

28. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/s2 durante 1 segundo. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción. Durante 10 segundos a un promedio de 5 cm/s2. Entonces se aplica los frenos y el auto se detiene 5 s más tarde. Calcular la distancia total recorrida por el auto.

29. Un camión viaja a una rapidez constante de 80 km/h y rebasa a un automóvil que se mueve más lentamente, En el instante que el camión rebasa al auto, éste comienza a acelerar a una razón constante de 1,2 m/s2 y rebasa al camión después de recorrer 0,5 km del camino. ¿Cuál es la rapidez del auto cuando éste rebasa al camión?

30. Dos automóviles A y B que viajan en el mismo sentido por rutas contiguas están paradas en un semáforo. Cuando se enciende la luz verde, el automóvil A acelera con 3 m/s2. El automóvil B parte dos (2) segundos después y acelera con un valor constante de 4m/s2. Determinar a) En que tiempo y donde B alcanzará a A. B) la velocidad de cada automóvil en ese instante.

31. Un tren subterráneo parte de una estación y acelera a 1,80 m/s2 durante 12,0s, viaja con rapidez constante 50,0s y frena a 3,50 m/s2 hasta parar en la siguiente estación. Calcule la distancia total cubierta.

32. Un conductor que viaja a velocidad constante de 15m/s pasa un cruce de escolares donde él limite de velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un policía en una motocicleta, parado en el cruce, arranca en su persecución con aceleración constante de 3,0 m/s2 (a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el policía alcance al conductor? (b) ¿Qué velocidad tiene el policía en ese instante? (c) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehículo?

33. Un globo de aire caliente asciende en dirección vertical con una rapidez constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a 21 m encima del suelo, se deja caer un paquete desde el globo. (a) ¿Durante cuánto tiempo permanece el paquete en el aire después de que se le deja caer? (b) ¿Cuál es la velocidad del paquete un momento antes de su impacto con el suelo? (c) Repita (a) y (b) para el caso en que el globo descienda a 5 m/s.

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34. Un hombre parado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. La bola llega al suelo 10 s más tarde. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la bola? ¿Qué altura tiene el edificio? ¿Con qué velocidad llegará al suelo?

35. Un estudiante ocioso suelta una sandía desde una azotea y oye que la sandía se estrella 3,00 s después. ¿Qué altura tiene el edificio? La rapidez del sonido es 340 m/s ignore la resistencia del aire

36. Se tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo de 80 pies de profundidad con una velocidad inicial de 240pies/s. Calcular el tiempo que demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad. Discutir las respuestas posibles.

37. Se tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo de 25 m de profundidad con una velocidad inicial de 70 m/s. Calcular el tiempo que demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad. Discutir las respuestas posibles.

38. El movimiento de una partícula viene definida por las ecuaciones x=(t+1)2 e y=(t+1)-1, estando x e y expresadas en metros y t en segundos. Hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria. B) hallar la velocidad si t = = 0 s, y C) la aceleración cuando t = 2s

39. La velocidad de un coche en función en función del tiempo está dada por v(t) = α + βt2, donde α = 3,00 m/s y β = 0,200 m/s3. a) Calcule la aceleración media entre t=0 o y t = 5,00 s b) calcule la aceleración instantánea en t = 5s

40. Una partícula tiene un vector de posición dado por jtsenitr ˆ23ˆ2cos3 += . Donde r se expresa en metros y t en segundos.

a) Determine los vectores velocidad instantánea y la aceleración instantánea en función del tiempo t. b) determine la aceleración normal y tangencial en función del tiempo

41. Una partícula sale desde el reposo en t = 0 en el origen y se mueve en el plano x-y con una aceleración constante de 2/)ˆ4ˆ2( smjia += . Después de que ha transcurrido un tiempo t, determine: a) las componentes de la velocidad x e y, b) las coordenadas de la partícula y c) rapidez de la partícula

FÍSICA I

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42. Se lanza un globo con agua desde una ventana a 8 m del suelo. Cuando abandona la ventana, se mueve con una velocidad de 10 m/s con un ángulo de 16º con la horizontal. ¿A qué distancia horizontal caerá desde la base del edificio diámetro con movimiento

43. Un avión bombardero está volando horizontalmente a una altura de 1,2 km con una velocidad de 180 km/h a) ¿Cuánto tiempo antes de que el avión esté sobre el blanco debe dejar la bomba al llegar al suelo?, b) ¿Cuál es la velocidad de la bomba al llegar al suelo?, c) ¿ Cuál es la velocidad de la bomba 10s después de soltarla? d) ¿Cuál es la velocidad de la bomba cuando se encuentra a 200m del suelo y cuando llega al suelo? e) ¿Cuál es el ángulo que forma con el eje horizontal la velocidad de la bomba al caer al suelo? f) ¿Cuál es la distancia horizontal cubierta por la bomba?

44. Se lanza una pelota directamente hacia arriba, la cual regresa a la mano del lanzador luego de permanecer 3 s en el aire. Se lanza una segunda pelota con un ángulo de 30º respecto de la horizontal. ¿Con qué rapidez se debe arrojar la segunda pelota para que alcance la misma altura que la que se lanzó en dirección vertical?

45. Se dispara un proyectil desde el nivel del piso con velocidad )ˆ24ˆ12(ˆ jiv += m/s a) ¿Cuales son las componentes horizontal y vertical

de la velocidad después de 5 s? B) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el cual la altura es máxima?

46. Un acróbata en motocicleta se lanza desde un risco. Justo en el borde su velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga la posición, distancia desde el borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.

47. Una partícula que tiene el vector de posición ktjtitr ˆˆ21ˆ 2 ++= Hallar a)

la aceleración tangencial, y b) aceleración normal

48. Hallar la a) la aceleración tangencial y b) y aceleración normal de una partícula la cual se mueve sobre una elipse con vector de posición

jwtbiwtaa ˆcosˆcos +=

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49. Un punto se mueve en un circulo de acuerdo a la ley s = t3 + 2 t 2, donde s se mide en metros a lo largo del círculo y t en segundos. Si la aceleración total del punto es 16 2 m /s2 cuando t = 2s, calcular el radio del circulo.

50. Un disco flexible que está en reposo en una computadora comienza a girar hasta alcanzar una velocidad angular de 31,4 rad/s en un tiempo de 0,892 s. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco, suponiendo que la misma es uniforme ?b) ¿Cuántas revoluciones efectúa el disco hasta que alcanza su velocidad normal? C) Si el radio del disco es de 4,45cm, calcule la rapidez lineal final de un microbio que está en el borde del disco?

51. Un punto se mueve por una circunferencia de radio r = 2cm. La relación entre el camino recorrido y el tiempo viene expresada por la ecuación s=ct3. donde c = 0,1cm/s3. Halle: (a) las aceleraciones normal y tangencial del punto en el momento en que la velocidad lineal del mismo es v =0,3 m/s; (b) la aceleración total.

52. Un punto P se mueve en el sentido de las manecillas de un reloj sobre una trayectoria circular de 2 m de radio. La velocidad angular del punto, respecto del centro del circulo es proporcional al cuadrado del tiempo, antes del instante de partida esto es w = kt2, siendo k una constante, w y t se expresan en rad/seg y seg respectivamente. Cuando t = 2s la velocidad del punto es de 64 m/s. ¿Cuál es la velocidad lineal y la aceleración total del punto “p“ cuando t = 0,5 s

53. Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad angular aumenta uniformemente a 200rpm en 6 s. Después de haber estado girando por algún tiempo a esta velocidad aplica los frenos y la rueda toma 5 minutos en detenerse. Si el número total de revoluciones de la rueda es de 3100 revoluciones Calcular el tiempo total de rotación

54. Un estudiante hace girar una pelota sujeta al extremo de una cuerda que tiene 0,6m de longitud en una circunferencia vertical. La rapidez de la pelota es de 4,3 m/s, en su punto más alto y 6,5 m/s en su punto más bajo. Calcule la aceleración de la pelota: (a) en su punto más alto y (b) en su punto más bajo.

55. Un cazador utiliza una pequeña piedra sujeta al extremo de una cuerda como honda primitiva. Se hace girar la piedra por arriba de su cabeza en

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una circunferencia horizontal de 1,6 m de diámetro y con una rapidez de 6 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra?

56. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0,4 m de radio con una rapidez constante. Si la partícula hace cinco revoluciones en cada segundo de su movimiento, halle: (a) la rapidez de la partícula y (b) su aceleración.

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CAPÍTULO 4

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

Dinámica: Es la parte de la mecánica que estudia y describe el movimiento de un cuerpo o partícula, tomando en cuenta las causas que produce dicho movimiento

4.1 FUERZA E INTERACCIONES

Se denomina fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, es decir, de imprimirle una aceleración modificando su velocidad.

Cuando pensamos en una fuerza, habitualmente imaginamos un empujón o un tirón que se ejerce sobre algún objeto. Por ejemplo empujar un automóvil descompuesto, cuando se empuja un mueble en ambos casos se ejerce una fuerza sobre ellos. Lo que le sucede a un objeto cuando una fuerza actúa sobre él depende de la magnitud y la dirección de la misma. Es decir la fuerza es una magnitud vectorial y lo representamos mediante una flecha.

La Interacción Electromagnética es un tipo de fuerza que no necesita de contacto físico entre dos objetos, por ejemplo la fuerza que ejerce un par de imanes cuando están cerca sin necesidad de estar en contacto se llama fuerza magnética.

La fuerza que ejerce la tierra sobre los cuerpos que se encuentran cerca de su superficie, se denomina fuerza gravitacional (es el peso del cuerpo), también a este tipo de fuerzas se les llama fuerzas de largo alcance o también fuerzas de campo.

4.2 PRIMERA LEY DE NEWTON ( LEY DE LA INERCIA)

Inercia Es la tendencia de un objeto a resistir cualquier intento por cambiar su movimiento.

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Cuando al frenar el camión sientes que te vas de frente y se te caen los libros de las rodillas está pasando una cosa muy curiosa: tu cuerpo y los libros no quieren frenar con el camión; quieren seguir moviéndose igual que antes.

Si en lugar de frenar el vehículo diera una vuelta cerrada, en vez de irte de frente sentirías que te vas de lado. Los libros salen volando hacia el lado contrario a la dirección de la vuelta. Los objetos, si nadie se opone, prefieren seguirse moviendo en línea recta y tratarán de hacerlo siempre que puedan.

Los carritos del súper son muy difíciles de poner en movimiento cuando están muy llenos. Para que alcancen una velocidad respetable tienes que empujarlos muy fuerte, o durante mucho tiempo, o las dos cosas. Igual para pararlos una vez que van a toda velocidad. Trata de hacerlos dar vuelta y verás que tampoco es fácil si están muy llenos. O sea que mientras más lleno el carrito, más se opone a los cambios de movimiento. La propiedad física que mide cuánto se opone un cuerpo a los cambios de movimiento se llama inercia.

“… Un objeto en reposo permanece en reposo, y un objeto en movimiento continúa en movimiento con velocidad constante en línea recta, a menos que experimente una fuerza externa neta que lo obligue a salir de dicho estado.”

Como indicamos anteriormente, por fuerza externa entendemos cualquier fuerza que es producto de la interacción entre el objeto y su entorno. La primera ley de Newton dice que cuando la fuerza externa neta sobre un objeto es cero, su aceleración es cero. Es decir, cuando ΣF= 0, entonces a = 0

4.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. Esto lo podemos expresar de la siguiente manera:

a ∝ m

F∑

Donde a es la aceleración del objeto, m su masa y ΣF representa la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. Esto lo

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podemos escribir como una igualdad usando una constante de proporcionalidad, esto es:

a = k m

F∑

En el sistema internacional de unidades k = 1, entonces la ecuación lo escribimos como:

ΣF = m . a Unidades

En él SI la unidad de fuerza es el Newton (N), el cual se define como la fuerza que, cuando actúa sobre una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s2. A partir de esta definición y de la segunda ley de Newton, vemos que el newton se puede expresar en términos de las unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo:

1N = 1 kg . m/s2

otras unidades que se usan para la fuerza son: En el sistema cgs: 1 dina = 1gr . cm/s2 Equivalencias: 1 N = 105 dinas En el Sistema técnico: poundal (pdl) 1 poundal = pie . lb / s2 1 poundal = 0.1383 N Otras dos unidades que son utilizadas frecuentemente por los ingenieros: 1 kilogramo fuerza = 1 Kgf = 9.809 N 1 libra fuerza = 1lbf = 32.17 pdl = slug pie /s2

FÍSICA I

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4.4 TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)

Ejemplo: Al patear un balón, la fuerza hacia delante que el pie ejerce sobre el balón lo lanza en su trayectoria, pero sentimos la fuerza que el balón ejerce sobre el pie.

Esta ley, equivale a afirmar que las fuerzas siempre se presentan en pares, o que una fuerza aislada no puede existir. A la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 se llama en ocasiones fuerza de acción, y a la fuerza del cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 se le conoce como fuerza de reacción. La fuerza de acción tiene la misma magnitud que la fuerza de reacción pero en dirección opuesta. En todos los casos, las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre objetos diferentes y deben ser del mismo tipo.

4.5 MASA Y PESO El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que la tierra ejerce sobre él y por lo tanto, es una cantidad vectorial hacia el centro de la tierra. La magnitud del peso es el producto de la masa del cuerpo y la aceleración, es decir:

F = m . g

Donde “g” es la aceleración de la gravedad, varía de un punto de la tierra a otro. El peso del cuerpo depende de su localización. Su masa es una propiedad intrínseca independiente de la localización.

Estas dos afirmaciones se resumen en la Ley Fundamental de la Dinámica o Segunda Ley de Newton:

F = m . a

FA sobre B = – FB sobre A

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Donde F representa la fuerza que actúan sobre el cuerpo, m su masa y a su aceleración. Medidas sobre un sistema inercial de referencia.

La fuerza, al igual que la aceleración, es una magnitud vectorial, y se representa matemáticamente mediante un vector.

La fuerza de la Segunda Ley de Newton es, por tanto, una suma vectorial.

A la fuerza resultante de la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le denomina fuerza neta. Por lo que la Segunda Ley de Newton la podríamos expresar así:

Un cuerpo en movimiento sobre el que no actúa ninguna fuerza neta seguirá moviéndose en línea recta y a velocidad constante indefinidamente.

4.6 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

Un diagrama de cuerpo libre es una especie de croquis que se representa sobre un eje de coordenadas. En el croquis deben indicarse absolutamente todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Es al resultado de esta representación a la que se le denomina diagrama de cuerpo libre.

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Casos:

T1

T2

P

W2

T2

1

2

T2

T

W1

1 2

W

N

T1

W

T2

T N

W

W

f

Caso 1 Caso 2

Caso 3

Caso 4

Caso 5

Caso 6

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Cuando aplicamos las leyes de Newton a un cuerpo, sólo estamos interesados en aquellas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Cuando una caja está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre el aparato son la fuerza normal, N, y la fuerza de gravedad, W, como se ilustran.

Estrategias para la solución de problemas en los cuales se tiene que aplicar las leyes de Newton:

1.- Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.

2.- Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un objeto, dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus alrededores.

3.- Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Aplique la segunda ley de Newton, ΣF = m.a, en la forma de componentes. Verifique sus dimensiones, para asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerza.

W

N

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4.- Resuelva las ecuaciones de componentes para las incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para poder obtener una solución completa.

5.- Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados.

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CAPÍTULO 5

APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON 5.1 APLICACIÓN DE LA 1RA. LEY DE NEWTON:

PARTÍCULAS EN EQUILIBRIO La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en equilibrio (reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero.

∑ == 0iFF

Es de hecho que con esta condición la partícula podría también moverse con velocidad constante, pero si está inicialmente en reposo la anterior es una condición necesaria y suficiente.

5.2 APLICACIÓN DE LA 2DA. LEY DE NEWTON: DINÁMICA DE PARTÍCULAS

Se aplica en problemas donde intervengan fuerzas que actúen sobre un cuerpo con aceleración. A continuación se muestran algunos pasos a seguir para plantear un determinado problema:

1. Haga un dibujo sencillo de la situación. Identifique uno o más cuerpos en movimiento a los que se les aplicará la segunda ley de Newton.

2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo identificado, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

3. Rotule cada fuerza con un símbolo algebraico para representar su magnitud y el valor numérico.

4. Escoja los ejes de coordenadas X e Y para cada objeto y muéstrelos explícitamente en cada diagrama de cuerpo libre.

5. Identifique cualquier otra ecuación que podría necesitar además de la segunda ley de Newton.

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5.3 FUERZAS DE ROZAMIENTO

5.3.1 La fuerza normal

La fuerza normal, reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque.

Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal, las únicas fuerzas que actúan sobre él son el peso mg y la fuerza y la fuerza normal N. De las condiciones de equilibrio se obtiene que la fuerza normal N es igual al peso mg

N=mg

Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ , el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, N=mg·cosθ

Consideremos de nuevo el bloque sobre la superficie horizontal. Si además atamos una cuerda al bloque que forme un ángulo θ con la horizontal, la fuerza normal deja de ser igual al peso. La condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano establece N+ F·senθ =mg

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5.3.2 Fuerza de rozamiento por deslizamiento

En la figura, se muestra un bloque arrastrado por una fuerza F horizontal. Sobre el bloque actúan el peso mg, la fuerza normal N que es igual al peso, y la fuerza de rozamiento Fk entre el bloque y el plano sobre el cual desliza. Si el bloque desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk.

Podemos investigar la dependencia de Fk con la fuerza normal N. Veremos que si duplicamos la masa m del bloque que desliza colocando encima de éste otro igual, la fuerza normal N se duplica, la fuerza F con la que tiramos del bloque se duplica y por tanto, Fk se duplica.

La fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk es proporcional a la fuerza normal N.

Fk=μk N

La constante de proporcionalidad μk es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de rozamiento cinético.

El valor de μk es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades relativas pequeñas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de la velocidad aumenta.

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5.3.3 Fuerza de rozamiento estático

También existe una fuerza de rozamiento entre dos objetos que no están en movimiento relativo.

En la figura, la fuerza F aplicada sobre el bloque aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como la aceleración es cero la fuerza aplicada es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento Fs.

F=Fs

La máxima fuerza de rozamiento corresponde al instante en el que el bloque está a punto de deslizar.

Fs máx=μsN

La constante de proporcionalidad μs se denomina coeficiente de rozamiento estático.

Los coeficientes estático y cinético dependen de las condiciones de preparación y de la naturaleza de las dos superficies y son casi independientes del área de la superficie de contacto.

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5.3.4 Tablas de valores de los coeficientes

• Coeficientes de rozamiento por deslizamiento para diferentes materiales

Superficies en contacto μk

Acero sobre acero 0,18

Acero sobre hielo (patines) 0,02-0,03

Acero sobre hierro 0,19

Hielo sobre hielo 0,028

Patines de madera sobre hielo y nieve 0,035

Goma (neumático) sobre terreno firme 0,4-0,6

Correa de cuero (seca) sobre metal 0,56

Bronce sobre bronce 0,2

Bronce sobre acero 0,18

Roble sobre roble en la dirección de la fibra 0,48

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.

• Coeficientes de rozamiento estático y cinético

Superficies en contacto μs μk

Cobre sobre acero 0,53 0,36

Acero sobre acero 0,74 0,57

Aluminio sobre acero 0,61 0,47

Caucho sobre concreto 1,0 0,8

Madera sobre madera 0,25-0,5 0,2

Madera encerada sobre nieve húmeda 0,14 0,1

Teflón sobre teflón 0,04 0,04

Articulaciones sinoviales en humanos 0,01 0,003

Fuente: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw-Hill. (1992)

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5.4 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR 5.4.1 Ecuación de la dinámica del movimiento circular

En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración normal y cuyo módulo es

La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an.

F=m an

5.4.2 Sistema de Referencia Inercial Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento circular uniforme. El móvil cambia constantemente la dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria para producir la aceleración normal es

F=mω2R

5.4.3 Sistema de Referencia No Inercial

Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga.

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99

Fc = m . ac ……. Fc = mω2R

La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de una cuerda, el peso, la fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un Sistema de Referencia No Inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.

5.4.4 Fundamentos físicos

Supongamos que un móvil circula con velocidad constante, y que sobre él actúa una fuerza de rozamiento en la dirección perpendicular a su vector velocidad.

Las fuerzas que actúan sobre el móvil son tres, el peso, la reacción del plano y la fuerza de rozamiento. Esta última es la que hace que el vehículo describa una trayectoria circular.

Como hay equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso

N=mg

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento en la dirección radial

Fr = m . aN ………… Fr = m. (v 2/ R)

Siendo v la velocidad del móvil y R el radio de la circunferencia que describe

A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de rozamiento Fr hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento estático por la reacción del plano, μ N.

El móvil esta girando alrededor del centro.

FÍSICA I

100

Por tanto, la máxima velocidad v que puede alcanzar el vehículo para que

describa una curva circular de radio R será: NRvm ..

2

μ= …. v R.g= μ

5.4.5 Dinámica del movimiento circular uniforme:

En este tipo de movimiento existe únicamente aceleración normal constante (centrípeta: a =v2/r), la aceleración tangencial (con sentido tangente a la trayectoria en cada punto) será nula.

Ésta aceleración tendrá que ser originada también por una fuerza constante dirigida en la misma dirección y sentido (recordamos que F=m·a), es decir, perpendicular a la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la circunferencia. Su valor vendrá dado por: F = m·anormal = m·v2/r. La velocidad angular viene representada por un vector axial cuya dirección es perpendicular al plano de giro y su sentido sigue la regla del tornillo.

Por lo tanto, v= ω2·r y F = m·v2/r = m·ω2·r. A esta fuerza se le llama fuerza normal o fuerza centrípeta.

5.4.6 Dinámica del movimiento circular uniformemente acelerado:

En este caso existen las dos aceleraciones, la tangencial, constante, y la normal, variable. Por lo tanto, en principio, hemos de admitir la necesidad de dos fuerzas: una fuerza tangencial, constante y en la misma dirección que la aceleración tangencial y otra fuerza normal o centrípeta, variable, perpendicular a la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la circunferencia.

Ambas fuerzas, al ser simultáneas y actuar sobre un mismo punto, forman un sistema que, evidentemente, puede ser sustituido por una sola fuerza resultante:

Fc

F

Ft

ω ω

V R

FÍSICA I

101

Ésta, según lo expuesto, deberá descomponerse en dos componentes rectangulares según las siguientes características:

- La que actúe en la dirección de la velocidad será de módulo constante.

- La que actúe perpendicularmente a la velocidad y con sentido hacia el centro de la circunferencia será variable y su valor en cada instante corresponderá a la expresión. m·v2/r.

- El módulo de la fuerza resultante vendrá dado (por la ley de Pitágoras):

22nt FFF +=

5.5 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1: Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 8 kg, están unidos mediante una cuerda homogénea inextensible que pesa 2 kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560 N. Calcular: a) La aceleración del conjunto; b) Las fuerzas que actúan en los extremos de la cuerda.

a) La fuerza total exterior que actúa sobre el conjunto es

F = F1 + P1 + P2 + P3 = (560 – 30 x 9,8) j = 266 j

y su masa es de 30 kg.

De la 2ª ley de Newton F = m a se tiene que

a = 8,86 j m/s2

b) En el extremo superior A y en el inferior B de la cuerda actúan fuerzas FA y FB tal que

FA + FB + P3 = m3 a

La fuerza FB es la que ejerce el bloque 2 sobre la cuerda, luego la cuerda ejerce sobre el bloque una fuerza igual de sentido opuesto. Movimiento del bloque 2

FÍSICA I

102

–FB + P2 = m2 a ⇒ FB = –149,3 j N

Sustituyendo en la ecuación anterior queda FA = 186,6 j N

Problema 2 En el esquema de la figura las masas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque m0 y la tensión del cable que une los bloques m1 y m2. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es μ.

Solución:

Aceleración ⇒ gmmmmmm

a .).(

210

210

+++−

=μ

Tensión ⇒ gmmmmmm

T ..)).(1(

0210

21

++++

=μ

Problema 3: Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F. Determinar el vector posición r(t) si:

a) F = F0 Sen ω t, r (0) = 0, v (0) = 0 siendo F0 un vector constante y ω una constante > 0

b) F = – ηv , r (0) = 0, v (0) = vo siendo η una constante > 0

Solución: a) De la ecuación fundamental de la dinámica se tiene:

FÍSICA I

103

tSenmF

dtdv ω.0=

Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene:

)1.(.

)( 0 tCosmF

tv ωω

−=

El desplazamiento elemental es d r = v (t) d t Sustituyendo e integrando se tiene:

).(.

)( 20 tSent

mF

tr ωωω

−=

El movimiento de la partícula es rectilíneo.

b) De la ecuación fundamental de la dinámica en forma escalar se tiene:

mv

dtdv η

−=

Integrando y pasando a la forma vectorial queda:

tmevtv

.

0 .)(η

−=

Integrando la velocidad y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se obtiene la posición

)/1.(

.)( mto e

vmtr η

η−−=

El movimiento de la partícula es rectilíneo

Problema 4: Una persona de masa m = 58 kg se encuentra sobre una plataforma de masa M = 14,5 kg la cual está unida a una cuerda que pasa por una polea como se muestra en la figura adjunta. Encontrar la fuerza que la persona debe hacer sobre el extremo libre de la cuerda para: a) Subir con aceleración de 0,61 ms-2. b) Subir con velocidad constante.

FÍSICA I

104

Solución:

a) Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje y vertical. Para subir, en el extremo libre de la cuerda, la persona ejerce una fuerza vertical hacia abajo, y la cuerda ejerce sobre la persona, apoyada en la plataforma, una fuerza igual y de sentido opuesto. En el otro extremo de la cuerda, esta ejerce sobre el sistema plataforma - hombre una fuerza vertical hacia arriba. Ambas fuerzas son iguales.

Fuerzas sobre el sistema hombre-plataforma De la 2ª ley de Newton se tiene:

jgMmjFjaMm ˆ).(ˆ2ˆ).( +−=+ …… (1) Operando se tiene: F = 377 N

b) Ahora la aceleración es cero.

De la ecuación (1) igualada a cero se tiene

F = 355 N

5.6 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 01.- Sobre un plano inclinado 30° con la horizontal se tiene un cuerpo de masa 30 kgr que está unido mediante una cuerda que pasa por una polea sin inercia ni rozamientos a otro cuerpo de masa 20 kgr situado en un plano inclinado 20° opuesto al anterior. El sistema se mueve con velocidad constante, descendiendo el cuerpo de 30 kgr y elevándose el de 20 kgr. El coeficiente de rozamiento de ambos planos con sus respectivos cuerpos es el mismo. Calcule su valor.

Problema 02.- Un globo con todos sus accesorios tiene una masa de 200 kgr, y desciende con una aceleración diez veces menor que la de la gravedad. Calcule la

FÍSICA I

105

masa de lastre de la que debe desprenderse para ascender con la misma aceleración con la que estaba bajando.

Problema 03.- Hallar la velocidad angular mínima para hacer girar en un plano vertical una piedra atada al extremo de una cuerda de 1 m de longitud.

Problema 04.- Un ascensor de 500 kgr arranca hacia arriba con una aceleración de 0,5 m/s2 hasta alcanzar una velocidad uniforme de 1 m/s. Se detiene a base de aplicarle una aceleración contraria al movimiento de valor 0,6 m/s2. Calcule la tensión que soporta el cable del ascensor durante las tres fases del movimiento descrito. Si el cable no aguanta una tensión mayor de 10000 N, calcule cual sería la máxima aceleración posible en el arranque.

Problema 05.- Dos masas iguales de 1 kgr penden de los extremos de una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable. ¿Qué diferencia de altura debe existir entre ambas masas para que al colocar una sobrecarga de 20 gr en la más elevada dé lugar a que al cabo de 2 s ambas estén a la misma altura? Calcule también la diferencia de altura entre las masas 2 s después de haberse cruzado.

Problema 06.- Un camión transporta un bloque rectangular de 2 m de altura, 1 m de profundidad y 1 m de anchura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la caja es de 0,6, calcule la máxima aceleración que puede darse al camión para que el bloque no deslice. Si se ponen unos topes en el suelo de la caja para evitar el deslizamiento, calculad la máxima aceleración que puede darse al camión sin que el bloque vuelque. A la vista de los resultados, comentar qué sucedería con el bloque a medida que el camión acelera en ausencia de dichos topes.

Problema 07.- Se dispara una bala de 200 gr contra un bloque de madera de 800 gr en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se incrusta en el bloque y el conjunto se pone en movimiento parándose, debido al rozamiento, después de recorrer 5 m. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento vale 0,4, calcule: a) La aceleración del conjunto después de iniciado el movimiento. b) Velocidad con la que el conjunto inicia el movimiento. c) Velocidad de la bala en el momento del impacto.

FÍSICA I

106

Problema 08.- Un cuerpo de 2 kgr de masa se encuentra sujeto al extremo de una cuerda de 100 cm de longitud, y gira en un plano vertical describiendo una circunferencia. Se sabe que cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria, la tensión del hilo vale 1000 N. Si se rompe la cuerda en ese preciso momento, encuentre la velocidad con la que saldrá despedido ese cuerpo. Calcule también la tensión de la cuerda cuando pasa por el punto más alto de la trayectoria.

Problema 09.- Una grúa eleva un peso de 2000 kp con un cable que aguanta hasta 3000 kp. Calcule la máxima aceleración con la que puede subir el peso.

Problema 10.- Un cuerpo desliza desde el reposo, primero a lo largo de un plano inclinado 30o con la horizontal y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal, del mismo material que el inclinado. Determine el coeficiente dinámico de rozamiento, sabiendo que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado.

Problema 11.- Dos bloques de masas 4 y 6 kg están unidos por una cuerda, y se desplazan sobre una superficie horizontal por la acción de una fuerza de 200 N que se aplica estirando del 2º bloque. El coeficiente de rozamiento vale 0,5 para ambos bloques. Calcule la aceleración con la que se mueven, así como la tensión de la cuerda que los une. A continuación, resuelva el problema suponiendo que la misma fuerza se aplica al otro bloque.

Problema 12.- Una masa de 20 gr está sujeta en el extremo de un hilo de 1 m de longitud, sujeto en el techo de una habitación. Por la acción de determinada fuerza se le imprime un movimiento circular de radio 0,5 m. Encuentre la velocidad lineal del movimiento y la tensión que soporta la cuerda.

Problema 13.- En un ascensor de 800 kg sube una persona de 75 kg que lleva en la mano un paquete de 3 kg colgando de un hilo. El ascensor se eleva 3 m en 2 s con aceleración constante. Determine la tensión del cable del ascensor y la tensión del hilo del paquete durante ese ascenso. Ídem cuando el ascensor esté subiendo luego con velocidad constante.

Problema 14.- Una lata de 500 gr está en lo alto de un poste de 30 m de altura. Una persona situada a 20 m de la base del poste dispara contra el bote con un proyectil de 10 gr, que golpea a la lata con una velocidad de 450 m/s, quedando

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107

alojado en ella. Calcule: a) la velocidad con la que empieza a moverse el conjunto bote + bala después del impacto, b) la altura máxima alcanzada por el conjunto bote+bala por encima del poste, c) el punto donde caerá el conjunto bote + bala, contando desde la base del poste.

Problema 15.- Un futbolista da una patada al balón con una fuerza media de 500 N. El balón sale lanzado con un ángulo de 45°, y vuelve a tocar tierra a 40 m de distancia. Calcule el tiempo que duró el golpe dado al balón, del que se sabe que tiene una masa de medio kilogramo.

Problema 16.- Sobre una mesa se halla un bloque m1=20 kg que está unido por una cuerda a otros dos de m2=5 kg y m3=3 kg, como indica la figura adjunta. El coeficiente de rozamiento entre la mesa y m1 es 0,2. Calcule la aceleración del conjunto y la tensión de cada tramo de cuerda.

Problema 17.- Sabiendo que la masa m1 desciende 1 m de longitud de plano en 2 s, y que el coeficiente de rozamiento de las dos superficies vale µ=0,2, con los datos expresados en la figura halle el valor de m1 y la tensión que soporta la cuerda.

Problema 18.- Una bolita de masa m está atravesada por un alambre de forma semicircular de radio R, de forma que puede deslizar por él con un rozamiento despreciable, tal como se ve en la figura. Si el alambre está quieto, la bolita está en el punto más bajo del alambre. Pero si éste se pone a girar, a partir de una cierta velocidad angular w se observa que la bolita sube por el alambre hasta una cierta altura h, que se nos pide

FÍSICA I

108

calcular. También debe calcularse la fuerza mutua que se hacen el alambre y la bolita en ese momento. ¿A partir de que velocidad angular del alambre la bolita empezará a subir por él? ¿Podría pasar que llegase a subir al punto más alto del alambre?

Problema 19.- Los cuerpos de la figura, que se encuentran unidos mediante cuerdas inextensibles y sin peso, se arrastran mediante la aplicación de una fuerza F de 50 N sobre una superficie sin rozamiento apreciable. Calcule la aceleración de cada uno de los cuerpos y las tensiones de las tres cuerdas. Repita el problema cuando el sistema se mueve verticalmente en vez de hacerlo en un plano horizontal.

Problema 20.- Un carrito de masa M=500 gr está unido a una masa m=200 gr mediante una cuerda, tal y como indica la figura. En un determinado momento, el carrito tenía una velocidad v0=7 m/s en el sentido indicado. Determine el valor de la velocidad del carrito (indicando también su sentido), el lugar en que se encontrará y el trayecto recorrido después de pasar 5 segundos.

Problema 21.- En el sistema de la figura, el muelle M tiene una masa muy pequeña frente a las masas de las pesas que cuelgan a ambos lados de la polea, y su constante recuperadora vale K=980 N/m. Dicho sistema permanece en reposo, sujetando con la mano la masa de 5 Kg.

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109

En estas condiciones, determine la fuerza que debe hacerse con la mano para lograr el reposo, y el alargamiento del muelle respecto de su longitud natural. A continuación, se suelta la masa de 5 Kg, con lo que el sistema empieza a moverse. Si la polea tiene una masa muy pequeña y no genera rozamientos, calcule ahora el alargamiento del muelle.

Problema 22.- En el sistema de la figura, determine la tensión de la cuerda si el coeficiente de rozamiento entre el bloque de 200 Kg y la superficie horizontal vale 0,8. Como siempre, las poleas y la propia cuerda tienen masas despreciables, y el único rozamiento apreciable es el citado anteriormente. Calcule también la aceleración del sistema y el tiempo que tarda la masa de 500 Kg en descender 50 cm, sabiendo que partió del reposo.

FÍSICA I

110

FÍSICA I

111

CAPÍTULO 6

TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA

6.1 TRABAJO La palabra trabajo tiene diversos significados en el lenguaje cotidiano. En la física, se le da un significado muy específico para describir lo que se logra mediante la acción de una fuerza que hace que un objeto se mueve cierta distancia.

En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre una partícula durante un cierto desplazamiento se define como la integral del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra W (del inglés Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura, normalmente representada con la letra .

∫= rdFW . (4.1)

Hay casos en los que el cálculo del trabajo es particularmente sencillo. Si el módulo de la fuerza es constante y el ángulo que forma con la trayectoria también es constante tendremos:

Esto es por ejemplo una fuerza constante y una trayectoria rectilínea. Si además la fuerza es paralela al desplazamiento tendremos:

Y si la fuerza es antiparalela al desplazamiento:

FÍSICA I

112

6.2 CONCEPTO DE TRABAJO

Donde θ es el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento dr. Pero F cos θ es la componente FT de la fuerza a lo largo de la tangente a la trayectoria.

Donde Ft (=F cos θ) es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y θ el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre esta partícula, entonces F representa al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Si la partícula se mueve a lo largo de una curva bajo la acción de una fuerza F. En un tiempo muy corto dt la partícula se mueve a A a A’ siendo el desplazamiento AA’ = d r . El trabajo efectuado por la fuerza F durante tal desplazamiento se define por el producto escalar

dsFCosFdsrdFdW t ... === θ

B s

Trabajo (W)

A

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.

Ft

FÍSICA I

113

El trabajo total sobre la partícula cuando ésta se mueve de A a B es la suma de todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos infinitesimales, es decir,

⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= 332211 rdFrdFrdFW

o sea

Si representamos gráficamente Ft en función del desplazamiento s. El trabajo efectuado para mover la partícula de A a B en el área total sombreada en la figura.

Cuando la fuerza es constante en magnitud y dirección el cuerpo se mueve rectilíneamente en la dirección de la fuerza. Entonces Ft = F y la ecuación es:

FsdsFFdswB

A

B

A

=== ∫∫

Si sobre la partícula actúan varias fuerzas ,,, 321 FFF ..., el trabajo efectuado por

cada una de ellas en un desplazamiento rdAA =′ , que es el mismo para todas las fuerzas:

dw = dw 1 + d w2 + dw 3 + ...

= rdFrdFrdF ⋅+⋅+⋅ 321 +

4.6

Ft

dW=Ft ds

S A ds B

FÍSICA I

114

= rdFFF ⋅⋅⋅⋅+++ )( 321

= rdF ⋅

donde ⋅⋅⋅+++= 321 FFFF es la fuerza resultante

6.3 ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética es la energía que posee un cuerpo de masa m por encontrarse en movimiento.

La energía cinética, es la parte de la energía mecánica de un cuerpo y corresponde al trabajo o las transformaciones que un cuerpo puede producir, debido a su movimiento, es decir, todos los cuerpos en movimiento tienen energía cinética, cuando está en reposo, no tiene energía cinética.

Esta capacidad de realizar cambios, que poseen los cuerpos en movimientos, se debe fundamentalmente, a dos factores: la masa del cuerpo y su velocidad. Un cuerpo que posee una gran masa, podrá producir grandes efectos y transformaciones debido a su movimiento.

Un ejemplo de la aplicación de esta energía es el que se usaba en la Edad Media, cuando los atacantes de un castillo empujaban las puertas con un pesado ariete: un tronco grande y pesado, reforzado con hierro o bronce.

También la velocidad del cuerpo es determinante para su energía cinética. Este efecto puede observarse cuando una bala, de apenas unos gramos, puede penetrar en gruesos troncos, al ser disparada a gran velocidad con un fusil.

En la determinación de la energía cinética, sólo se toma en cuenta la masa y la velocidad de un objeto, sin importar como se originó el movimiento; en cambio, la energía potencial depende del tipo de fuerza que se aplique a un objeto. Por tal razón existen diferentes tipos de energía potencial.

La definición formal de Energía Cinética es: el trabajo necesario para acelerar una partícula desde una velocidad (angular y lineal) nula hasta una velocidad (angular y lineal) dada (Las unidades del SI para la energía son Julio o Joules)

4.8

FÍSICA I

115

6.3.1 Energía cinética de partículas materiales

En mecánica newtoniana Podemos calcular la energía cinética a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

∫ ∫ ==== 2.21.... vmdtv

dtvdmrdFWEC

6.3.2 Relación entre trabajo y energía También se llama trabajo a la energía usada para deformar un cuerpo o, en general, alterar la energía de cualquier sistema físico. El concepto de trabajo está ligado íntimamente al concepto de energía y ambas magnitudes se miden en la misma unidad, el Julio.

Esta ligazón puede verse en el hecho que, del mismo modo que existen distintas definiciones de energía para la mecánica y la termodinámica, también existen distintas definiciones de trabajo en cada rama de la física. Es una magnitud de gran importancia para establecer nexos entre las distintas ramas de la física.

Trabajo y energía son conceptos que empezaron a utilizarse cuando se abordó el estudio del movimiento de los cuerpos.

6.4 TRABAJO Y ENERGÍA EN MECÁNICA

Si se realiza un trabajo sobre una partícula, éste se invierte en variar su energía cinética:

22 .21.

21

ABCAB vmvmEW −=Δ=

FÍSICA I

116

Ejercicios: 1. Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del

muelle es 1000 N/m.

Solución:

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·X (Newtons), donde X es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

0,05 2 2

0,050

0

x 0,05W 1000x.dx 1000 1000 1,25J

2 2= = = =∫

El área del triángulo de la figura es:

(0,05·50)/2=1,25 J

2. Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

F (N)

x (m) 0.05

50

W = 12 N x Cos 0°x 7 m = 84 J

BAW = 12 N x Cos 60°x 7 m = 42 J

BAW = 12 N x Cos 90°x 7 m = 0 J

BA

W = 12 N x Cos 180°x 7 m = -84 J

BA

W = 12 N x Cos 135°x 7 m = 242− J

BA

FÍSICA I

117

• Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo

• Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo

• Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

6.5 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA Si el trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula puede calcularse para un desplazamiento determinado, será fácil evaluar el cambio en la velocidad de la partícula.

Una partícula que experimenta un desplazamiento y un cambio en su velocidad bajo la acción de una fuerza neta constante F.

Como la fuerza es constante, por la segunda ley de Newton sabemos que la partícula se moverá con una aceleración constante a. Si la partícula se desplaza una distancia s, el trabajo neto efectuado por la fuerza F es:

B B B B B B2 2

t t B AA A A A A A

dv ds 1 1W Fdr F ds ma ds m ds m dv mvdv mv mv

dt dt 2 2= = = = = = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

FÍSICA I

118

La cantidad ½ mvB2 representa la energía asociada al movimiento de una

partícula; es tan importante que se le ha dado un nombre especial –energía cinética- . La energía cinética, K, de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v se define como:

K ≡ ½ mv2

A menudo resulta conveniente escribir la ecuación:

Wneto = ½ mvf 2 - ½ mvi

2

Como:

Wneto = Kf – Ki = ΔK

Es decir, el trabajo efectuado por la fuerza neta constante Fneta al desplazarse una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.

6.6 SITUACIONES QUE IMPLICAN FRICCIÓN CINÉTICA. Se supone que un objeto de masa m que se desliza sobre una superficie horizontal es jalado por una fuerza externa constante horizontal F a la derecha y que una fuerza de fricción cinética f actúan hacia la izquierda, donde F > f. En este caso, la fuerza neta está hacia la derecha, como en la figura,

y se podría pensar que se encuentra el trabajo neto hecho sobre el objeto cuando experimenta un desplazamiento s hacia la derecha si se evalúa,

Wneto = (F - f) s = Fs- fs

FÍSICA I

119

Sin embargo, el objeto no es una partícula y es incorrecto decir que -fs es el trabajo realizado por la fuerza de fricción sobre el objeto.

El trabajo realizado por la fricción cinética depende tanto del desplazamiento del objeto como los detalles del movimiento entre las posiciones inicial y final. En efecto, el trabajo efectuado por la fricción cinética sobre un objeto extendido no puede evaluarse explícitamente debido a que estas fuerzas y los desplazamientos individuales son muy complejos.

Suponga ahora que un bloque que se mueve sobre una superficie horizontal y

que dada una velocidad inicial horizontal vi se desliza una distancia s antes de

alcanzar una velocidad final vf como se muestra en la figura.

La fuerza externa causante de que el bloque experimente una aceleración en la dirección de la x negativa es la fuerza de la fricción cinética f que actúan hacia la izquierda, oponiéndose al movimiento. La energía cinética inicial del bloque es 1/2mvi

2 y su energía cinética final es 1/2mvf2. El cambio en la energía cinética

final del bloque es igual a -fs. Esto se puede demostrar aplicando la segunda ley de Newton al bloque.

Después de una serie de cálculos se tiene que

ΔK = -f.s

Este resultado muestra la pérdida de energía cinética del bloque es igual a –f.s, que corresponde a la energía disipada por la fuerza de fricción cinética.

FÍSICA I

120

6.7 CONCEPTO DE ENERGÍA CINÉTICA El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas

que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

• La energía cinética es una cantidad escalar asociada al movimiento de

una partícula.

• Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de

su velocidad.

• Un cuerpo posee energía cinética cuando se encuentra en movimiento,

como un automóvil en una carretera o una molécula en un gas.

• La energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado para

acelerarla desde el reposo. También equivale al trabajo total que la

partícula puede realizar mientras se lleva al reposo.

• Cualquier cuerpo que se encuentre en reposo, es decir, que tenga una

velocidad igual a cero, no tendrá la capacidad de realizar un trabajo en

virtud de su velocidad. Por lo tanto su energía cinética será nula.

• La energía cinética está dada por:

donde "m" es la masa y "v" la velocidad del cuerpo.

F = Cte. F = Cte.

ΔX

X2 X1 2.21 vmEc =

FÍSICA I

121

• En cualquier desplazamiento de una partícula, el cambio en su energía cinética es igual al trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la misma.

FÍSICA I

122

FÍSICA I

123

CAPÍTULO 7

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

Al realizar un trabajo sobre un cuerpo en contra de la fuerza de gravedad, se está aumentando la energía potencial del mismo. En efecto:

Calculando el trabajo hecho por la fuerza F:

W = · = P· h = P·(h2-h1) [J]

Como el vector fuerza y el vector desplazamiento poseen el mismo sentido, el producto punto se transforma en una multiplicación ordinaria. Además se tiene que si el cuerpo se mueve con velocidad constante la fuerza F equivale al peso del cuerpo que puede calcularse como el producto de su masa por la aceleración de gravedad:

P=m·g W=mg·(h2-h1)=m.g.h [J]

Figura: Caso de un cuerpo elevándose con una fuerza constante

Como en este caso se trata de un sistema conservativo, se dice que el trabajo realizado sobre el cuerpo es igual al cambio de energía potencial. Luego podemos definir la energía potencial de un cuerpo como:

Ep=mgh [J]

FÍSICA I

124

7.1 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA En ausencia de rozamientos, el trabajo realizado sobre un cuerpo se invertirá, en el caso más general, en aumentar tanto su energía cinética como su energía potencial. Esta es la situación de un cuerpo que es empujado hacia arriba sobre un plano inclinado sobre el cual gana altura y además gana velocidad. La ecuación general W = E toma ahora la forma: E= (Ep+Ec)= Ep+ Ec

Utilizando las expresiones de la energía potencial gravitatoria Ep y de la energía

cinética Ec, resulta: 2.21.. cmhgmW Δ+Δ=

Ecuación que representa la relación más general entre el trabajo y la energía mecánica bajo sus dos formas, cinética y potencial.

Si h = 0 se trata de un movimiento horizontal. Si c2 = 0 el movimiento no cambia en velocidad.

Esta misma ecuación general permite analizar y discutir las condiciones de conservación de la energía mecánica y sus consecuencias.

El hecho de que la energía de un cuerpo sometido a fuerzas se conserve durante el movimiento, es consecuencia del tipo de fuerzas que actúan sobre él. Si se considera el movimiento de caída de un cuerpo de masa "m" deslizándose sin rozamiento por un plano inclinado, la fuerza que provoca el movimiento es la fuerza del peso, o más exactamente, su componente útil (componente de la

FÍSICA I

125

fuerza en la dirección del movimiento). El trabajo de acuerdo con su definición vendrá dado por:

W=F·s·cos

donde la fuerza del peso es igual a m·g. El ángulo que forman la fuerza del peso y la dirección del movimiento, coincide con el ángulo del vértice superior del plano inclinado, de modo que:

shh

Cos)( 21 −

=ϕ

y por tanto, sustituyendo en la expresión del trabajo, resulta:

).(.)(... 2121 hhgm

shh

sgmW −=−

=

En esta expresión final no aparece el espacio s recorrido por el móvil, lo que indica que el trabajo realizado por las fuerzas del peso no depende del camino seguido, sino únicamente de las posiciones inicial y final del cuerpo. El trabajo hubiese sido el mismo si se hubiera dejado al cuerpo caer verticalmente desde la misma altura.

Esta propiedad matemática de las fuerzas del peso es la responsable de que cuando actúan ellas solas, la energía mecánica total del cuerpo se conserve durante el movimiento. Por tal motivo se las denomina fuerzas conservativas.

Por otra parte, como la energía se conserva, se tiene que:

0)( =Δ+Δ=+Δ=Δ cpcp EEEEE

cp EE Δ−=Δ

212 .

21).(. cmhhgm Δ=−

Ejercicio 01: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

FÍSICA I

126

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

7.2 FUERZA CONSERVATIVA. ENERGÍA POTENCIAL Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores: inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Ejercicio 02:

Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

• La curva AB es el tramo de parábola y = x2 / 3.

• BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y

• CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

FÍSICA I

127

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretacióngeométrica de la derivada dy = f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

• Tramo AB

Trayectoria y = x2 / 3, dy =(2/3) x·dx.

• Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

FÍSICA I

128

• Tramo CA

La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

• El trabajo total

WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0

7.3 EL PESO ES UNA FUERZA CONSERVATIVA

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.

La energía potencial EP correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

CygmEP += ..

Donde C es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.

FÍSICA I

129

7.4 LA FUERZA QUE EJERCE UN RESORTE ES CONSERVATIVA

Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición, es el de un cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje X ,se deforma desde su configuración inicial, es decir se estira o se comprime, por efecto de alguna fuerza externa sobre el resorte, instantáneamente actúa una fuerza producida por el resorte contra el objeto que ejerce la fuerza externa, cuya magnitud es:

FResorte = - k X

donde X es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no deformada en X = 0 y k una constante positiva, llamada constante de fuerza del resorte, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación se llama Ley de Hooke, y es válida para pequeños desplazamientos, ya que si el resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar su forma original. El signo negativo indica que la dirección de esta fuerza es siempre opuesta al desplazamiento, como se ilustra en la figura, donde F representa la fuerza producida por el resorte.

X = Xi

X = +Xf F

X = - Xf

F X = Xi

FÍSICA I

130

Si el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo realizado por el resorte es:

∫ −=−= f

i

X

X fi kXkXdXXkW 22

21

21..

Por ejemplo, para un resorte de k = 100 N/m, que se estira 10 cm (= Xf), el

trabajo que realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no deformada (Xi = 0) es 0,5 J.

Del mismo modo:

CkXxEP += 2

21)(

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x = 0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep = 0, de modo que la constante aditiva vale c = 0.

7.5 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

FÍSICA I

131

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía

EkA+EpA=EkB+EpB

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

7.6 COMPROBACIÓN DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular

1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones

Asumir g=10 m/s2

• Posición inicial x=3 m, v=0.

Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J

• Cuando x = 1 m

Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

FÍSICA I

132

• Cuando x = 0 m

Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J

La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.

7.7 EL PESO ES UNA FUERZA CONSERVATIVA. Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.

WAB=mg x

WBA=-mg x

El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.

FÍSICA I

133

7.8 LA FUERZA DE ROZAMIENTO ES UNA FUERZA NO

CONSERVATIVA

WAB=-Fr x

WBA=-Fr x

El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero

WABA=-2Fr x

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento

7.9 BALANCE DE ENERGÍA En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

FÍSICA I

134

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.

7.10 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01.- Un bloque de masa 0,2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,16. Determinar:

• la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para

• la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano

Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado

• La energía del cuerpo en A es EA = ½ (0,2·122) = 14,4 J

• La energía del cuerpo en B es EB = 0,2·9,8·h = 1,96·h = 0,98·x J

• El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es

W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0,16·0,2·9,8·cos30·x=-0,272·x J

De la ecuación del balance energético W = EB – EA, despejamos x=11,5 m, h=x·sen30º=5,75 m

FÍSICA I

135

Cuando el cuerpo desciende:

• La energía del cuerpo en B es EB = 0,2·9,8·h=1,96·h =0,98·x =0,98·11,5

=11,28 J

• La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0,2·v2

• El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A

es W= -Fr·x = –μ·mg·cosθ·x= –0,16·0,2·9,8·cos30·11,5 = –3,12 J

De la ecuación del balance energético W = EA – EB, despejamos v = 9,03 m/s.

Problema 02: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• El peso mg

• La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial

• La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.

FÍSICA I

136

Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial

mat= mg·cosθ - Fr

Donde at = dv / dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento

Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

FÍSICA I

137

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale

Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ

• La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.

• La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial.

El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es

7.11 PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA:

1) Transformar 250 kgf.m a Joul y kW.h.

2) ¿Cuántos kgf.m y Joul representan 25 kW.h?

3) Indicar ¿cuántos Joul y kW.h son 125478 kgm?

FÍSICA I

138

4) Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición inicial mediante una fuerza de 10 N.

5) ¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura de 2,5 m?. Expresarlo en: (a) kgf.m (b) Joule (c) kW.h

6) Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayo? Expresarlo en: a) Joule. (b) kgm.

7) ¿Qué es el trabajo mecánico?

8) ¿En que unidades se mide el trabajo?

9) ¿Cuáles son sus equivalencias?

10) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?

11) ¿Las máquinas simples, realizan trabajo?

12) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber:

a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?

b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?

13) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre?

14) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de 40 m/s?

15) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente desde 12 m de altura?

16) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto, calcular:

a) ¿Qué aceleración adquiere?

b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?

c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?

FÍSICA I

139

17) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo?

18) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo?

19) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso, posee una masa de 8,5 kg.

20) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra?

21) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al alcanzar la altura máxima?

22) Transformar 2500 kW a:

(a) CV (b) Kgm/s.

23) Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en: (a) CV (b) W (c) HP

24) Un motor de 120 CV es capaz de levantar un bulto de 2 toneladas hasta 25 m, ¿cuál es el tiempo empleado?

25) ¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 litros de agua por minuto hasta 45 m de altura?

26) ¿Cuál será la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45000 N hasta 8 m de altura en 30 s? ¿Cuál será la potencia del motor aplicable si el rendimiento es de 0,65?

27) Calcular la velocidad que alcanza un automóvil de 1500 kgf en 16 s, partiendo del reposo, si tiene una potencia de 100 HP.

28) Un automóvil de 200 HP de potencia y 1500 kgf de peso, sube por una pendiente de 60° a velocidad constante. Calcular la altura que alcanza en 20 s.

FÍSICA I

140

29) Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 2 m en 1 minuto.

30) La velocidad de sustentación de un avión es de 144 km/h y su peso es de 15000 kgf. Si se dispone de una pista de 1000 m, ¿cuál es la potencia mínima que debe desarrollar el motor para que el avión pueda despegar?

FÍSICA I

141

CAPÍTULO 8

CANTIDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO Y CHOQUES

8.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO E IMPULSO

Hay muchas preguntas relacionadas con las fuerzas que no pueden ser contestadas aplicando directamente la segunda Ley de Newton, ΣF = m a. Por ejemplo, que sucede si un pesado camión choca contra un vehículo liviano, ¿qué determina hacia donde se mueven los restos después del choque? Cuando juega billar, ¿cómo decide usted la dirección que debe dar a la bola blanca para ingresar, por ejemplo, la bola roja en la buchaca? Y cuando un meteorito choca con la Tierra, ¿cuánto de energía cinética del movimiento se libera en el impacto?

Cuando una fuerza F, constante actúa sobre una partícula desde el instante t1 hasta el instante t2. Designemos por Δt el intervalo de tiempo. Definimos entonces el impulso I de la fuerza F durante el intervalo de tiempo así:

I = F Δ t

Observe que I es un vector que tiene la misma dirección y sentido de fuerza. Comparando la definición de impulso con la definición de trabajo mide la acción de una fuerza en el espacio (desplazamiento), el impulso mide la acción de la fuerza durante cierto intervalo de tiempo. Entre tanto, no debe olvidarse que el trabajo es una magnitud escalar y el impulso es un vector. Es evidente que en el sistema MKS, la unidad de impulso será Newtons por segundo (N.s).

Área= F Δ t

t tf

F

ti

FÍSICA I

142

La ecuación I = F Δ t nos permite calcular el impulso de una fuerza constante. Si F varía durante el intervalo del tiempo, el cálculo de I puede tornarse complicado.

El concepto de impulso será importante en el estudio del movimiento de cuerpos sujetos a fuerzas muy grandes que actúan durante intervalos de tiempo muy cortos. Estas fuerzas aparecen, por ejemplo, en explosiones o en la colisión de dos cuerpos.

Supongamos ahora, que una partícula de masa m se estuviera moviendo a una velocidad Vo y que una fuerza F constante actuara sobre la partícula durante un intervalo de tiempo. La fuerza F habrá entonces, sometido a la partícula a un impulso I = F Δ t y su velocidad pasará a ser Vf.

Ejemplo: (Tiro de golf)

Una pelota de golf de 50 gr de masa es golpeada con un palo de golf. La fuerza ejercida por el palo sobre la pelota varía desde cero, cuando se realiza el contacto, hasta cierto valor máximo (donde la pelota se deforma), volviendo a cero cuando la pelota se separa del palo. De este modo, la curva fuerza tiempo se describe por la figura (F vs t). Si supone que la pelota recorre 200 m, estime la magnitud del impulso debido al choque.

Solución:

Planteamos tres momentos:

- Momento (1): cuando el palo tiene su primer contacto con la pelota.

- Momento (2): Cuando el palo pierde contacto con la pelota conforme la bola inicia su trayectoria.

- Momento (3): cuando la pelota aterriza.

Ignorando la resistencia del aire, podemos utilizar la fórmula para el alcance del proyectil:

2

22

3 2θSeng

VXR ==

FÍSICA I

143

Suponiendo el ángulo de lanzamiento θ2= 45°, el ángulo para máximo alcance, tendremos que:

22 3V X .g (200m).(9,8m / s ) 44m / s= = =

Tomando en cuenta el intervalo de tiempo para la colisión, Vi = V1 = 0 y Vf = V2 para la pelota. Por tanto, la magnitud del impulso aplicado a la pelota es:

3

2 1I p m.V m.V (50x10 Kg).(44m / s) 0I 2,2Kg.m / s

−= Δ = − = −=

8.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento, momento lineal o ímpetu es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad en un instante determinado. En general, la cantidad de movimiento de un cuerpo puede ser comprendida conceptualmente como el esfuerzo necesario para detener el movimiento del cuerpo, lo que queda determinado por la multiplicación de dos factores: su inercia (la resistencia que opone un cuerpo a ser acelerado y su velocidad). Esto es una consecuencia de las primera y segunda leyes de Newton del movimiento. El cuerpo que tiene menos velocidad o menos masa tendrá por lo tanto menor cantidad de movimiento.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipativas) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

Según el principio de masa, si a ésta se le aplica una fuerza F adquiere una aceleración a:

F = m.a

Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F:

F.t = m.a.t; y como: a.t = v

FÍSICA I

144

Tenemos:

F.t = m.v

Al término F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al término m.v se le denomina cantidad de movimiento, entonces, para el primero:

I = F.t y p = m.v

siendo:

p: cantidad de movimiento [p] = kg.m/s

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:

if ppp −=Δ

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y pi al inicio del intervalo.

8.3 LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Para el caso de una sola partícula si la resultante de las fuerzas que sobre ella actúan, fuera nula, la partícula no estará sujeta a un impulso, eso es, I = 0. Dado que impulso I = Δp, tendremos:

Δp = 0, o sea p = constante

Entonces, siendo nula la resultante de las fuerzas, la cantidad de movimiento de la partícula constante. Para que el vector p sea constante, deben permanecer invariables, su módulo, su dirección y su sentido. Esto implica que, si la partícula estuviera en movimiento, éste debería ser rectilíneo y uniforme.

8.3.1 Conservación de la cantidad de movimiento

Si con un cuerpo de masa m1 y velocidad v1 se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m2 y velocidad v2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que:

FÍSICA I

145

m1.v1 = m2.v2

es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.

Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice:

En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.

Análisis: Considerando ahora una colisión entre dos partículas, tales como las de las masa m1 y m2, durante la breve colisión, las partículas ejercen fuerzas internas entre sí. En cualquier instante F12 es la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1 y F21 es la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2. Por la tercera ley de Newton, estas fuerzas son, en cualquier instante, de igual magnitud pero de sentido contrario (acción y reacción).

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 1 como resultado del choque es:

∫ Δ==Δf

i

t

tm tFdtFp .. 12121

En donde F12m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 2 como resultado del choque es:

∫ Δ==Δf

i

t

tm tFdtFp .. 21212

En donde F21m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

FÍSICA I

146

Si sobre las partículas no actúan otras fuerzas, el cambio total en la cantidad de movimiento de cada una de ellas es Δp1 y Δp2. Pero hemos visto que en cada instante, F12 = -F21, de modo que F12m = - F21m y, por lo tanto:

Δp1 = - Δp2

Si consideramos que las dos partículas forman un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del sistema es:

p = p1 + p2

Y el cambio total en la cantidad de movimiento del sistema provocado por la colisión es cero, o sea que:

Δp = p1 + p2 = 0

Por lo tanto si no hay fuerzas externas, la colisión no altera la cantidad de movimiento total del sistema. Las fuerzas impulsivas que actúan durante la colisión son fuerzas internas que no producen ningún efecto sobre la cantidad de movimiento total del sistema.

8.4 CHOQUE

Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.

Durante un choque actúa una fuerza relativamente grande sobre las partículas que impactan, aunque solo lo hacen durante un intervalo de tiempo más o menos pequeño. Básicamente en una colisión el movimiento de las partículas que chocan (o, por lo menos, el de una de ellas) cambia en forma muy brusca y que podemos establecer una separación bastante definida entre los tiempos que transcurren “antes de la colisión” y los que lo hacen “después de ella”.

Por ejemplo, cuando un bate golpea una pelota de béisbol, el principio y el fin de la colisión puede determinarse con muy buena precisión. El bate está en contacto con la pelota durante un intervalo de tiempo que es muy pequeño comparado con el tiempo en que la pelota esta en el aire. Durante la colisión el bate le aplica una gran fuerza a la pelota. Esta fuerza varía con el tiempo en una

FÍSICA I

147

forma tan completa que solo puede medirse con dificultad. Tanto la pelota como el bate se desforman durante la colisión.

En las colisiones o choques se verifica el principio de acción y reacción, es decir si el bate le aplica una fuerza a la pelota, la pelota reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario, aunque en realidad es indistinto cual es la fuerza de acción y cual la de reacción, podemos decir si la pelota le aplica una fuerza al bate, el bate reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario. En el caso de las colisiones estas fuerzas actúan durante lapso de tiempo muy pequeño y se denominan fuerzas instantáneas o impulsivas.

Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.

En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará en calor que disiparán los cuerpos.

8.4.1 Choques elásticos e inelásticos

- Si la colisión fuere elástica, la conservación de energía cinética nos daría una ecuación más. Notemos sin embargo que debido a la naturaleza de las fuerzas impulsivas, podemos utilizar la conservación de la cantidad de movimiento, aunque la fuerza externa no sea nula.

1 - Choque plástico o inelástico

a) Velocidades de igual dirección y sentido.

FÍSICA I

148

Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos.

La velocidad final será:

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:

v1f = v2f = vf

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2)

b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.

En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será:

m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

igualmente:

v1f = v2f = vf

m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf

vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)

FÍSICA I

149

La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.

2 - Choque elástico

a) Velocidades de igual sentido

Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i

ó:

v1f = v2f + v2i - v1i

b) Velocidades de distinto sentido

En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i

El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento.

FÍSICA I

150

Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.

8.4.2 Choques en una Dimensión Choques frontales

Supongamos que la segunda partícula u2=0, está en reposo antes del choque. La conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

De la definición del coeficiente de restitución “e”

– e(u1 – u2) = v1 – v2

Despejando las velocidades después del choque v1 y v2

21

221211

).1()..(mm

uemuemmv

+++−

=

21

212112

).().1(mm

uemmuemv

+−++

=

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

21

2211 ..mm

umumvcm +

+=

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada y fácil de recordar.

FÍSICA I

151

v1 = (1+e)Vcm– eu1

v2 = (1+e)Vcm– eu2

Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u2=0. Las velocidades después del choque v1 y v2 serán.

121

211 .

.u

mmmem

v+

−= 1

21

12 .

)1.(u

mmem

v+

+=

Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa

• Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C antes del choque

).( 2121

211 uu

mmm

Vuu cmcm −+

=−= ).( 2121

122 uu

mmm

Vuu cmcm −+

−=−=

• Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C después del choque

).(.

2121

211 uu

mmem

Vvv cmcm −+

−=−=

).(.

2121

122 uu

mmem

Vvv cmcm −+

=−=

v1cm=-e·u1cm

v2cm=-e·u2cm

La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen en un factor e.

Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m1·u1cm+m2·u2cm=0

m1·v1cm+m2·v2cm=0

FÍSICA I

152

8.4.3 Choques elásticos

Podemos obtener de forma alternativa, las velocidades v1 y v2 después del choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética.

1. Principio de conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

2. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

Dados u1 y u2, las velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque, podemos calcular las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v1 y v2

FÍSICA I

153

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente de restitución e=1.

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v1 y v2 de forma más simplificada y fácil de recordar.

v1=2Vcm-u1 v2=2Vcm-u2

8.4.4 Las Colisiones en una Dimensión

Los movimientos de los cuerpos después de una colisión pueden calcularse siempre, a partir de sus movimientos anteriores a la misma, si se conoce la fuerza que actúa durante ella y si se pueden resolver las ecuaciones de movimiento. A menudo estas fuerzas no se conocen. Sin embargo, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser válido durante la colisión. Sabemos también que el principio de la conservación de la energía es válido. Aunque no conozcamos los detalles de la interacción, en muchos casos podemos utilizarlo para predecir los resultados de la colisión.

Por lo común, las colisiones se clasifican según que se conserve o no la energía cinética durante el choque. Cuando la energía cinética se conserva, se dice que la colisión es elástica. En caso contrario, se dice que la colisión es inelástica. Las colisiones entre las partículas atómicas, nucleares y fundamentales algunas veces son elásticas (pero no siempre). En realidad, estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Las colisiones entre cuerpos grandes siempre tienen algún grado de inelasticidad. Sin embargo a menudo podemos tratar a dichas colisiones como si fuesen aproximadamente elástica, como

FÍSICA I

154

sucede, por ejemplo, en las colisiones entre bolas de marfil o de vidrio. Cuando dos cuerpos se adhieren juntándose después de una colisión, se dice que tal colisión es completamente inelástica. El término completamente inelástico no significa que se pierda toda la energía cinética; como vemos, más bien significa que la pérdida de ella es tan grande como lo pueda permitir el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.

Aún cuando se desconozcan las fuerzas de la colisión podemos encontrar los movimientos de las partículas después de que ocurra, a partir de sus movimientos antes de la misma, siempre que la colisión sea completamente inelástica, o cuando la colisión sea elástica y en una dimensión. En una colisión unidimensional, el movimiento relativo después de una colisión está sobre la misma línea recta que el movimiento relativo antes de que ocurriera. Por el momento nos restringiremos al movimiento en una sola dimensión.

Consideremos primero una colisión elástica en una dimensión. Podemos imaginar a dos esferas lisas que inicialmente se mueven sin girar a lo largo de la línea que une a sus centros, después chocan frontalmente y, pasando la colisión, se mueven sin girar sobre la misma línea recta (figura 4). Durante la colisión, estos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas que están sobre la línea inicial del movimiento, de manera que el movimiento final también ocurre sobre dicha línea.

Sean m1 y m2 las masas de las esferas, v1i y v2i las componentes de sus velocidades (escalares) antes de la colisión y v1f y v2f las mismas después de la colisión. La dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad es hacia la derecha. Supongamos, a no ser que se especifique de otra forma, que las velocidades de las partículas que chocan no son tan grandes como para requerir

FÍSICA I

155

del uso de las expresiones relativistas de la cantidad de movimiento y de la energía cinética. Entonces, por la conservación de la cantidad de movimiento tenemos que:

m1.v1i + m2.v2i = m1.vif + m2.v2f

Como la colisión es elástica, la energía cinética se conserva por definición, de modo que tenemos:

m1.v1i ²/2 + m2.v2i ²/2 = m1.vif ²/2 + m2.v2f ²/2

Está claro, desde luego, que si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidades finales v1iy v2i a partir de estas dos ecuaciones. La ecuación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

m1.(v1i - v1f) = m2.(v2f - v2i) (1)

y la de la energía cinética como:

m1.(v1i ² - v1f ²) = m2.(v2f ² - v2i ²) (2)

Haciendo (2) dividido (1) y suponiendo que v2f ≠ v2i y v1f ≠ v1i obtenemos:

v1i + v1f = v2f + v2i

y, después de un reajuste:

v1i - v2i = v2f - v1f (3)

Lo que indica que, en una colisión elástica en una dimensión, la velocidad relativa de acercamiento antes de la colisión es igual a la velocidad relativa de alejamiento luego de la misma.

8.4.5 Casos Particulares

Hay varios casos de interés específico.

1. Las partículas que chocan tienen la misma masa, es decir:

m1 = m2

Entonces resulta:

v1f = v2i y v2f = v1i

FÍSICA I

156

En una colisión elástica unidimensional de dos partículas de igual masa, las partículas tan sólo intercambian sus velocidades durante la colisión.

2. Una de las partículas está en reposo, por ejemplo:

v2i = 0

Entonces resulta:

V1f = (m1 - m2).v1i/(m1 + m2)

V2f = 2.m1.v1i/(m1 + m2)

3. Las partículas que chocan tienen la misma masa y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 = m2

v2i = 0

Entonces resulta:

v1f = 0 y v2f = v1i

La primera partícula se detiene mientras que la segunda inicia su trayectoria con la misma velocidad que traía la primera. Es el caso de las bolas de billar.

4. Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

v2i = 0

Tenemos:

v1f = - v1i y v2f = 0

La velocidad de la partícula ligera se invierte, aproximadamente, mientras que la partícula de mayor masa queda casi en reposo. Es el caso de una bola de billar que rebota contra la banda.

5. Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y la más liviana está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

FÍSICA I

157

v1i = 0

Tenemos:

v1f = v1i y v2f = 2.v1i

La velocidad de la partícula de mayor masa casi no es alterada por la colisión con la partícula ligera, pero la partícula ligera adquiere una velocidad aproximadamente del doble de la partícula pesada. Cuando una bola de bowling pega contra un palo, el palo sale disparado.

Los neutrones producidos en un reactor, como producto de la fisión del uranio, se mueven con mucha velocidad y deben ser frenados para que puedan producir otras fisiones. Suponiendo que choquen elásticamente con los núcleos en reposo, ¿qué material habrá que elegir como moderador (es decir, para frenar) de los neutrones del reactor?

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos de gran masa, como los del plomo, los neutrones tan solo rebotarían con una velocidad casi igual a la inicial. Si no se frenan no hay fisión.

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos más ligeros que el neutrón, como los electrones, su velocidad inicial casi no sería afectada por las colisiones. Por lo tanto no hay fisión.

Sin embargo, si los blancos estacionarios fuesen aproximadamente de la misma masa, los neutrones prácticamente quedarían en reposo si chocasen frontalmente con estos blancos. Por lo tanto el moderador más efectivo sería el hidrógeno, cuyo núcleo (el protón) tiene una masa muy parecida a la del neutrón.

6. Si una colisión es inelástica, entonces, por definición, no se conserva la energía cinética. La energía cinética final puede tener un valor menor que el inicial y, en última instancia, la diferencia queda convertida, por ejemplo, en energía calorífica, o en energía potencial de la deformación en la colisión; también puede ocurrir que el valor final de la energía cinética sea superior al valor inicial, como sucede cuando se libera energía potencial en la colisión.

FÍSICA I

158

En todo caso, la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válida, así como la conservación de la energía total.

7. Consideremos ahora una colisión totalmente inelástica. Las dos partículas se adhieren permaneciendo juntas después de la colisión, de manera que habrá una velocidad final común vf:

v1f = v2f = vf

No es necesario restringir la discusión al movimiento en una dimensión. Usando solamente el principio de conservación de la cantidad de movimiento encontramos que:

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

Lo cual determina la velocidad final conociendo las velocidades iniciales.

8.4.6 Coeficiente de restitución.

En este apartado se describe el impacto del balón sobre una pared rígida mediante un modelo mecánico simple.

Cuando el balón elástico impacta sobre una pared rígida, supondremos que sobre el centro de masa (c.m.) del balón actúa:

• Una fuerza elástica proporcional al desplazamiento del c.m. de módulo kX, que tiende a restaurar al c.m. a su posición de equilibrio.

La ecuación del movimiento del c.m., es:

Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial vo justamente antes del choque con la pared.

FÍSICA I

159

El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.

Consideremos una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 y que choca elásticamente con una partícula de masa m2 que está inicialmente en reposo. La segunda partícula choca a su vez, con otra partícula de masa m3 que está inicialmente en reposo.

Fijadas las masas de la primera y la tercera partícula, m1 y m3, nuestra tarea va a se la de encontrar la masa de la segunda partícula m2 que hace que la velocidad final v3 de la tercera partícula sea máxima. La segunda partícula actúa de agente que transfiere velocidad (energía) de la primera a la tercera partícula. Se tratará de investigar qué masa deberá tener esta partícula para que la transferencia de energía sea máxima.

8.5 CHOQUE ELÁSTICO DE DOS PARTÍCULAS En la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2=0.

1 Principio de conservación del momento lineal

m1u1 =m1v1+m2v2

2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

FÍSICA I

160

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v1 y v2 después del choque

Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1. Lo podemos apreciar mejor si escribimos v2 en función de x=m2/m1.

Cuando m1=m2 la velocidad de la primera partícula después del choque es cero v1=0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad (y la energía) de la primera partícula, v2=u1. Pero esta no es la máxima velocidad que puede adquirir la segunda partícula después del choque.

8.6 CHOQUE ELÁSTICO CON UNA TERCERA PARTÍCULA

Consideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2 que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en reposo.

FÍSICA I

161

La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después del primer choque

1 Principio de conservación del momento lineal

m2u2 =m2v2+m3v3

2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v2 y v3 después del choque.

8.7 PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?

Respuesta: 3000 N

FÍSICA I

162

2. Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?

Respuesta: 2,5 m/s

3. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?

Respuesta: 10 m/s

4. Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm³/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?

Respuesta: 1,5 N

5. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?

Respuesta: 1073 m/s

6. Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?

Respuesta: 309,8 m/s

FÍSICA I

163

7. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?

Respuesta: 20 J y 40 J

8. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?

Respuesta: 0,28 m

9. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?

Respuesta: F = - 3000 N

10. Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?

Respuesta: vf = 2,5 m/s

11. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?

Respuesta: vf = 10 m/s

12. Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm³/s, si la densidad del

FÍSICA I

164

agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?

Respuesta: F = 1,5 N

13. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?

Respuesta: v1i = 1073 m/s

14. Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.

Respuesta: v1i = 309,8 m/s

15. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?

Respuesta: Δ x = 0,28 m

16. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de 25 kgf durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el segundo?

17. Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15 N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?

FÍSICA I

165

18. Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5 kg?.

19. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?

20. Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de 750 m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso?

21. Una pelota de fútbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?

22. Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s.

23. A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s, Calcular el impulso total y el incremento de velocidad.

24. A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso y el incremento de velocidad.

FÍSICA I

166

FÍSICA I

167

CAPÍTULO 9 ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL CUERPO

RÍGIDO 9.1 MOMENTO RESULTANTE Y DE INERCIA La 2da condición de equilibrio indica que un cuerpo estará en equilibrio si el momento resultante con respecto a un punto cualquiera es igual a cero. Sin embargo esta condición es necesaria pero no suficiente para que el cuerpo este en reposo. Si un cuerpo se encuentra girando en torno a un eje éste seguirá girando con velocidad angular constante si sobre el no actúa un momento resultante exterior (Esta situación es análoga a la del movimiento lineal: si un cuerpo se mueve con una cierta velocidad, seguirá moviéndose con velocidad constante si sobre el no actúa una fuerza resultante exterior)se observa que si actúa un momento resultante exterior respecto al punto de rotación de un cuerpo rígido, la velocidad angular del cuerpo no se mantiene constante, sino que varia con una aceleración angular que es proporcional al momento exterior.

Consideremos un sistema sencillo consistente de una partícula de masa ”m” fija a una varilla de masa despreciable que gira alrededor de un punto 0 situado a una distancia ”r” de la partícula .Esta partícula estará obligada a seguir un camino circular de radio “R”.- supongamos que sobre la partícula actúa una fuerza F perpendicular a la varilla y , por tanto tangente a la circunferencia como se indica en la figura.

donde:

F = fuerza perpendicular a la varilla

m = masa de la partícula

a = aceleración lineal ó tangencial

α = aceleración angular

FÍSICA I

168

α=a r Aplicamos la segunda ley de Newton para la partícula: F = ma = m r α

la partícula de masa “m” esta obligada a seguir una circunferencia de radio “r”

en la ecuación anterior, multiplicamos ambos miembros por r obteniendo luego:

r F = m r 2 α 9.1.1 Momento Resultante

El primer miembro de la ecuación anterior es el momento τ = r.F , de la fuerza F respecto al punto “o” entonces tenemos:

τ = m r 2 α Si tenemos un conjunto de partículas de un cuerpo extenso, tal como un disco, podemos aplicar la ecuación anterior a cada parte del cuerpo y sumar para todo el.- Aplicando ésta ecuación a la partícula i- ésima de la masa “m”, tenemos τ i = mi ri 2 α Si sumamos ahora las ecuaciones de este tipo correspondientes a todas las partículas del cuerpo, tenemos

∑τ i = ∑ mi ri 2 α

la cantidad ∑τ i es el momento resultante que actúa sobre el cuerpo, el cual representaremos por τ net. En el caso de un cuerpo rígido, la aceleración angular es la misma para todas las partículas y se podrá sacar, por tanto, factor común.

La cantidad ∑ 2i imr será una propiedad del cuerpo y su valor llamada momento

de inercia I.

FÍSICA I

169

9.1.2 Momento de Inercia:

I = ∑ 2i imr

El momento de inercia constituye una medida de la resistencia del cuerpo a variar su movimiento de rotación, depende de la distribución de la masa respecto al eje de rotación del cuerpo.

Es una propiedad del cuerpo (y de su eje de rotación); al igual que la masa “m” en una propiedad del cuerpo que mide su resistencia a variar su movimiento de traslación.-En el caso de sistemas constituidos por un número de pequeñas partículas discretas podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje dado directamente a partir de su definición es decir a partir de la expresión

I = ∑ 2i imr

En el caso más común de un cuerpo continuo como una rueda, el cálculo del momento de inercia respecto a un eje dado exige la utilización del calculo infinitesimal en la tabla adjunta se consignan los momentos de inercia de diversos cuerpos uniformes.

El torque neto puede expresarse en función del momento de inercia y de la aceleración angular de la siguiente forma

τ net = αΙ

Esta última ecuación es el equivalente para la rotación de la segunda ley de Newton; Fnet = ma, del movimiento lineal. El momento resultante se corresponde con la fuerza resultante, el momento de inercia con la masa y la aceleración angular con la aceleración lineal.

Ejemplo 1.- cuatro partículas de masa “m” están unidas mediante varillas de masa despreciable formando un rectángulo de lados 2 a y 2b como se indica en la figura siguiente. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura y que pasa por el centro. Hallar el momento de inercia respecto a dicho eje.

FÍSICA I

170

EJE DE ROTACIÓN

Cuatro partículas de igual masa conectadas por varillas sin masa que giran alrededor de un eje situado en el plano de las partículas y que pasa por el centro de masa.

En la figura vemos que la distancia de cada partícula al eje de rotación es “a” el momento de inercia de cada partícula respecto a este eje será, ma2 y como hay cuatro partículas, el momento de inercia total del cuerpo será.

I = 4 m a2

la distancia “b” no desempeña ningún papel por que no esta relacionada con ninguna de la distancia de las masas al eje de rotación Ejemplo.2.-Hallar el momento de inercia del sistema del ejemplo 1 en el caso de rotación en torno a un eje paralelo al primero y que pase por dos de las dos masas según se indica en la figura siguiente.

FÍSICA I

171

El mismo sistema de la figura anterior con la diferencia de que el eje de rotación pasa por dos de las partículas. En ésta rotación dos de las masas se hallan a una distancia 2a del eje de rotación y dos se hallan sobre el (y por tanto a distancia nula).-El momento de inercia será, pues:

I = 2iirm∑

I = m(0)2 + m( 0)2 + m(2a)2 + m (2a)2= 8 m a 2

Este ejemplo nos muestra el hecho de que el momento de inercia depende del eje de rotación. Observamos que el momento de inercia es mayor respecto a este eje, que respecto a otro paralelo a él que pasa por el centro de masa.

Ejemplo3.-se arrolla una cuerda sobre un disco uniforme que puede girar sin rozamiento alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. La masa del disco es de 3 Kg. y su radio 25 cm. T

FÍSICA I

172

se tira de la cuerda con una fuerza de 10 Newtons, si el disco esta inicialmente en reposo ¿cuál será su velocidad angular al cabo de 5s? De la tabla N º1 vemos que el momento de inercia de un disco uniforme respecto a su eje es.

2MR21

=Ι

21

=Ι ( 3Kg) ( 0,25 m)2 = 21038,9 −× Kg .m 2

Como la dirección de la cuerda cuando abandona la periferia del disco es siempre tangente a ella el brazo de palanca de la fuerza que ejerce será R, el momento aplicado será. τ = TR =(10N)(0,25m) =2,5 N.m Para hallar la velocidad angular, hallaremos primero la aceleración angular mediante la segunda ley de Newton para el movimiento de rotación.

2net2

2,5N.m 26,7rad / s0,0938kg m

τα = = =

Ι ×

Como a es constante, hallaremos ω a partir de la ecuación.

t0 α+ω=ω , luego Haciendo ω0: = 0 ω= ω0 + α t = 0 +(26,7 rad/s2)(5s) =133 rad/s

FÍSICA I

173

Ejemplo 4.- un cuerpo de masa “m” ésta sujeto a un hilo ligero arrollado sobre una rueda de momento de inercia I y radio r.

El cojinete de la rueda esta exento de rozamiento y el hilo no resbala sobre la periferia de la rueda.-hallar la tensión del hilo y la aceleración del cuerpo.

La única fuerza que ejerce un momento sobre la rueda es la tensión T del hilo.

El brazo de palanca es R, luego cuando esta gira un ángulo” θ ”se desarrolla una longitud R θ de hilo y el cuerpo baja una distancia y = R θ

Sobre el cuerpo suspendido actúan dos fuerzas: la tensión T hacia arriba la fuerza de la gravedad mg hacia abajo.

Considerando positiva el sentido hacia abajo, la segunda ley de newton nos da:

mg - T = ma En estas dos ecuaciones hay tres incógnitas: T, a y α . El hilo proporciona una ligadura que relaciona con α . Cuando la rueda gira un ángulo θ , se desenrolla una longitud de cuerda S =R θ y el cuerpo desciende a una Y = R θ la velocidad del cuerpo será, V =R ω y su aceleración.

a =R α α→ = Ra

Luego tenemos TR =RaΙ , es decir a =

Ι

2TR Remplazando este valor de a, resulta

mg –Ι

=Τ2mTR

mgmR1T2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ι

+

( )2

mg

mRΙ

Τ = ×Ι +

Luego : a =2 2

__2

mI Rg

I mR Δ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

FÍSICA I

174

9.2 ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN Cuando un cuerpo en rotación gira realizando un pequeño desplazamiento angular d θ la partícula i recorre una distancia dsi = ri d θ .Si una fuerza Fi actúa sobre la partícula i, el trabajo realizado es.

dWi = θτ=θ= ddrFdsF iiitiit En general el trabajo realizado por un par T cuando un cuerpo gira un pequeño ángulo d θ es.

dW = θτd Esta ultima ecuación es análoga a otra que expresa un resultado similar para un movimiento lineal: dw = Fs ds El trabajo por unidad de tiempo es la potencia de un par:

dtd

dtdw θ

τ==Ρ

es decir: P = τ W

Esta ecuación es la análoga rotacional de P = SV SF .

El trabajo total realizado sobre un sistema es igual a la variación de energía cinética del sistema (si el sistema no cambia de energía potencial y no hay pérdidas energéticas).

Para una rueda que gira respecto a un eje que pasa por su centro de masas, la energía cinética de la rueda es la correspondiente al centro de masas; ésta energía cinética es precisamente la suma de las energías cinéticas de las partículas del cuerpo:

cΕ = ( ) 22i

ii

2ii

i

2ii

irm

21rm

21m

21

ω=ω=ν ∑∑∑

es decir; Energía cinética de rotación

2c 2

1ωΙ=Ε

Esta última ecuación es la análoga de la rotación de la ecuación

FÍSICA I

175

2

c m21

ν=Ε para el movimiento lineal

Ejemplo 1.- Un disco uniforme de 3 Kg. de masa y radio12 cm. Da vueltas a 480 RPM .-hallar su energía cinética Según la tabla 1, el momento de Inercia de un disco uniforme viene dado por

I = 21 mR2 =

21 (3Kg)(0,12m)2 =0,0216 Kg× . M2

la velocidad angular es:

ω= ( )1480

RPMRPM x

s60rad2π x =50,3

srad

Por tanto la energía cinética es:

Ec = 21 I 2ω =

21 (0,0216) Kg x m2 x(50,3 rad

s)2 = 54,64 J

Ejemplo 2.- Un motor de automóvil suministra un par de rotación de 380 N x m

a 3200 minrev .-Determinar la potencia de salida del motor.

La velocidad angular correspondiente a 3200 minrev es :

ω=3200 (minrev ) x(

revrad2π ) x(

s60min1 ) =335 (

srad )

La potencia de salida del motor viene dada por la Ec: P = τ ω

P = T ω =(380 N x m) (335s

rad ) =127 Kw

P = 127 Kw

FÍSICA I

176

9.3 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

En cuerpos continuos el momento de inercia viene dado por la integral:

dmr2∫=Ι

En donde r es la distancia del elemento de masa dm al eje de rotación.

Ejemplo 1.-Hallar el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano mismo.

Puesto que toda la masa esta situada a una distancia r = R de este eje ,el momento de inercia es simplemente.

dmr2∫=Ι = ∫dmR2 = 2MR Ejemplo.2.-Hallar el momento de inercia de una barra uniforme respecto a un eje perpendicular a la misma que pasa por un extremo.

FÍSICA I

177

En la figura se muestra el elemento de masa dm. Se encuentra a una distancia X del eje de rotación. Como la masa total M está uniformemente distribuida a lo

largo de la longitud L, la densidad de masa lineal es λ =LM .Así,

dm = λ dx =(M/L) dx. El momento de inercia respecto al eje Y es λ

dxxLMdx

LMxdmxy 2L

02L

02L

0 ∫=∫=∫=Ι

3M 1y x

L 3Ι = L

0

32ML 1ML

3L 3= =

Ejemplo.3.-Hallar el momento de inercia de un disco uniforme respecto al eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del mismo. Se espera que I sea menor que MR2 puesto que toda la masa no está concentrada a la distancia r = R ,como en el caso del anillo, sino que está uniformemente distribuida desde r = 0 a r = R.

Podemos calcular I tomando elementos de masa dm como se ve en la figura última. Cada elemento de masa es un anillo de radio r y de espesor dr con momento de inercia r2dm

Puesto que el área de cada elemento es dA = rdr2π , la masa del elemento es.

AMdm = dA =

AM ( )drr2π

En donde A = 2Rπ es el área del disco .Por tanto,

FÍSICA I

178

AMrdmr

L

0

22 ∫∫ ==Ι (2 π r)dr =4

RRM2drr

RM2 4R

0 23

2 ×=ππ

∫

2MR

21

=Ι

Ejemplo: Nº 4.-Hallar el momento de inercia de un cilindro de densidad uniforme respecto a su eje.

Podemos considerar el cilindro como formado por una serie de discos cada uno de ellos con masa mi y el

momento de inercia 2iRm

21 . Entonces el momento de

inercia del cilindro completo es

2

ii

22i

iMR

21mR

21Rm

21

===Ι ∑∑

2MR

21

=Ι

FÍSICA I

179

9.4 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ó TEOREMA

DE STEINER

Frecuentemente se puede simplificar el cálculo de momentos de inercia para diversos cuerpos utilizando teoremas generales que relacionan el momento de inercia alrededor de un eje concreto del cuerpo al de algún otro eje. El teorema de Steiner ó los ejes paralelos relaciona el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas con el otro eje paralelo al primero.

Sea Icm el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas de un cuerpo e “I” es momento de inercia respecto a un eje de otro paralelo a el y a una distancia h. El teorema de los ejes paralelos establece que:

2cm Mh+Ι=Ι

en donde M es la masa total del cuerpo

FÍSICA I

180

Ejemplo 01.-Determinar el momento de Inercia del anillo mostrado en la figura respecto a un eje perpendicular al anillo que pasa el borde del mismo como se muestra.

Tenemos un anillo que gira alrededor de un eje perpendicular al plano del mismo y que pasa por su borde.

Este cálculo se realiza fácilmente mediante el teorema de los ejes paralelos con

h = R y teniendo en cuenta el resultado según el cual

2222

cm MR2MRMRMh =+=+Ι=Ι

2MR2=Ι Ejemplo 02.-Hallar el momento de inercia de una barra uniforme respecto al eje y 1 que pasa por el centro de las masas de la siguiente figura.

FÍSICA I

181

Vimos anteriormente que el momento de inercia de una barra uniforme alrededor

de un eje que pasa por el extremo de dicha barra era. 2ML31 Como este eje se

encuentra a la distancia 1h L2

= del centro de masas de la barra, el teorema de los

ejes paralelos nos da.

22

cm ML31

21M L =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+Ι=Ι

Es decir,

2 _ 2 2cm

1 1 1ML ML ML3 4 12

Ι = =

9.5 TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES

Se trata de una figura plana en donde se ha situado el eje Z perpendicular al plano. El momento de inercia respecto al eje Z es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes X e Y.

El teorema de los ejes perpendiculares se aplica sólo a figuras planas. Relaciona los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en una figura plana con el momento de inercia alrededor de un tercer eje perpendicular a la misma. Si X, Y y Z son ejes perpendiculares en el caso de una figura que está contenida en el plano XY el teorema de los ejes perpendiculares establece que el

FÍSICA I

182

momento de inercia respecto al eje Z es igual al a suma de los momentos de inercia respecto a los ejes X eY .

La figura anterior muestra una figura en el plano XY. La distancia de un elemento de masa dm al eje x es y. Análogamente el momento de inercia

respecto al eje y es Iy = dmx2∫

El momento de inercia respecto al eje z perpendicular a la figura es

dmr2

z ∫=Ι Pero para cada elemento 222 yxr += .Por tanto

( ) dmydmxdmyxdmr 22222z ∫∫∫∫ +=+==Ι

xyz Ι+Ι=Ι

Ejemplo 01.-Hallar el momento de inercia del anillo mostrado en la siguiente figura, respecto a un eje que coincide con un diámetro del mismo.

FÍSICA I

183

En la figura se muestra un aro girando alrededor de un eje que pasa por su centro y en el plano del aro.

Si consideramos que el anillo está en el plano x y con su centro en el origen, se tiene que por simetría Ix = Iy. Puesto que ya hemos encontrado que Iz es MR2, tenemos

2Z y X x2 MRΙ = Ι + Ι = Ι =

Por lo tanto,

2yx MR

21

=Ι=Ι

FÍSICA I

184

FÍSICA I

185

9.6 MOMENTO ANGULAR

El momento lineal__Ρ de una partícula de acuerdo con la segunda Ley de Newton

podía expresarse así:

τΡ

=ddF

__

neta

__

El momento angular también llamado momento cinético de una partícula se define del modo siguiente. Si una partícula se mueve en una circunferencia de radio r con velocidad angular ω tal como se muestra en la figura anterior, El momento angular L relativo al centro del círculo se define como el producto de la magnitud del momento lineal m ν por el radio r:

L =mvr = ( )rrm ω

L =mr2 ω= I ω

En donde I = mr2 es el momento de inercia de la partícula respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento que pasa por el centro del circulo. La dirección de L es la misma que la de ω . En un movimiento de sentido contrario a la de las agujas del reloj, ω y L se consideran usualmente como positivos; en el sentido horario se consideran negativos.

FÍSICA I

186

En la figura se tiene una partícula de masa “m” que se mueve con velocidad _v a lo largo de una línea que dista ⊥r del origen 0.

Si la partícula realiza un movimiento cualquiera, el momento angular de la partícula respecto al origen 0 de define como.

L = mv ⊥r = mvr sen θ

En donde v es la velocidad de la partícula y ⊥r = r sen θ es la distancia

perpendicular trazada desde 0 a la línea de movimiento, como se muestra en la figura anterior.

Se debe observar que la partícula posee momento angular respecto a un punto 0, aunque su movimiento no sea circular

En la figura se tiene un disco, se desea calcular el momento angular de rotación

FÍSICA I

187

El momento angular total de un cuerpo en rotación se determina sumando los momentos angulares de todos los elementos del cuerpo. La figura anterior muestra un disco en rotación. El momento angular de un elemento de masa

im es.

ω= 2

iii rmL

Sumando ésta expresión para todos los elementos del disco se obtiene

ω== ∑∑ 2i

ii

ii rmLL

Es decir: L =I ω

Ésta ultima ecuación es la análoga en rotación a la ecuación del momento lineal. ν=Ρ m

Es válida para los objetos que giran alrededor de un eje fijo y también para los objetos que giran alrededor de un eje que se mueve de tal modo que permanece paralelo a si mismo, tal como una bola o un cilindro que ruedan a lo largo de una línea.

Ejemplo 1.- Una partícula de 2,4 Kg se mueve en un círculo de radio 1,5 m con una velocidad de 3 m/s.-(a) determinar el momento angular de la partícula respecto al centro del círculo.(b) determinar el momento angular respecto al mismo punto si la partícula se mueve a 3 m/s a lo largo de la línea y =1,5 m.

De la ecuación L =mrv = (2,4 Kg) (3 m/s) (1,5 m)

Resulta =10,8 Kg.m2/s

Se podría Calcular también el momento angular utilizando la ecuación

L =I ω

FÍSICA I

188

El momento de inercia de la partícula respecto a un eje que pasa por el centro del círculo perpendicular al plano del mismo es

I = mr2

Luego I=(2,4 Kg) (1,5 m)2 =5,40 Kg.m2 y la velocidad angular es

ω= rv = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

sm3 / ( )m5,1 = 2 rad

s⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.El momento angular es, por tanto

L = I ω =(5,40 kg.m2)(2 rad/s) =10,8 Kg x m2/s

(b) Para la misma partícula moviéndose a lo largo de la línea Y 1,5m= = 1,5 m ,

⊥Y =1,5 m. El momento angular de la partícula es entonces:

L = ⊥mvr =(2,4 Kg ) (3 m/s) (1,5m) =10,8 Kg x m2/s

El momento angular es el mismo si la partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 1,5 ó a lo largo de una línea recta situada a una distancia perpendicular de 1,5 m desde el origen.

La 2da Ley de Newton para la rotación puede establecerse de la siguiente forma

( )R

dL ddt dt

τ = = Ιω

En dondeR

τ es el momento del par externo resultante ejercido sobre el

sistema. El momento de par externo resultante que actúa sobre un sistema es igual a la derivada respecto al tiempo del momento angular del sistema

FÍSICA I

189

Para un cuerpo rígido el momento de inercia es constante, luego tenemos la siguiente ecuación:

Rd ddt dt

ωτ = Ιω = Ι = Ια

9.7 CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR “Si el momento del par externo resultante que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total del sistema es constante”

Si el momento del par externo resultante que actúa sobre el sistema es cero, resulta:

0dtdL

=

Es decir: L = constante

Este principio es análogo al de conservación del momento lineal, según el cual cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, el momento lineal total es constante.

Si un sistema está aislado de sus alrededores, de modo que sobre el no actúan fuerzas ó momentos de fuerzas, se conservan tres magnitudes: energía, momento lineal y momento angular. La ley de conservación del momento angular es una ley fundamental de la naturaleza, incluso a escala microscópica de la física atómica y nuclear, donde la mecánica Newtoniana no se cumple, el momento angular de un sistema aislado permanece constante en el tiempo.

La tabla Nº 2 muestra las ecuaciones del movimiento de rotación desarrolladas en este capítulo, junto con las ecuaciones análogas del movimiento lineal.

FÍSICA I

190

Tabla Nº 2.-Comparación de los movimientos lineal y de rotación

Movimiento lineal Movimiento de rotación

Desplazamiento Desplazamiento angular θΔ

Velocidad dtdv x= Velocidad angular

dtdθ

=ω

Ecuaciones de at0 +ν=ν Ecuaciones de α+ω=ω 0

Aceleración Δν=Δ mx t aceleración AtA mω=θ

Constante ( )ν+ν=ν 0m 21

a21t00 +ν+χ=χ

( )xa220

2 Δ+ν=ν

angular ( )ω+ω=ω 0m 21

constante t21t00 α+ω+θ=θ

Δα+ω=ω 220

2

Momento lineal P = mv Momento angular L =I ω

Energía cinética 2c m

21

ν=Ε Energía cinética 2c 2

1ωΙ=Ε

Potencia ν=Ρ F Potencia 2τω=Ρ

FÍSICA I

191

9.8 TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL

En la Figura se tiene un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje que pasa por 0, bajo la acción de una fuerza externa xΔ aplicada en P

( ) θφ==−

rdFsends.FdW__

Consideremos el cuerpo rígido que hace pivote en 0. Existe una sola fuerza

externa __F que se aplica en P, donde

__F está en el plano de la página. El trabajo

realizado por__F sobre el objeto cuando gira una distancia infinitesimal es ds =

rd θ , y donde (F sen φ ) es la componente tangencial (de__F , es decir, el

componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial

de__F no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.

Debido a que la magnitud del momento de torsión debido a__F alrededor de 0 se

define como rF sen φ podemos escribir el trabajo realizado por la rotación

infinitesimal como

dW = φΤd

FÍSICA I

192

La rapidez a la que el trabajo es realizado por__F cuando el cuerpo gira alrededor

del eje Fijo, todo el ángulo d θ en un intervalo dt, es

dtdw = T

dtdθ

Como dtdw es la potencia instantánea P, entregada por la Fuerza y

dtdθ = ω , esta

expresión se reduce a P = Tdtdθ =T ω

Esta expresión es análoga a P = Fv, en el caso del movimiento lineal, y la

expresión dw = td θ es análoga a dw = FX dx

Cuando un cuerpo simétrico rota alrededor de un eje fijo, el trabajo realizado por fuerzas externas es igual al cambio en la energía rotacional.

Para demostrarlo, empecemos con αΙ=τ∑ , luego, usando la regla de la cadena

del cálculo, podemos expresar el momento de torsión, resultante como.

ωθω

Ι=θ

θω

Ι=ϖ

Ι=αΙ=τ∑ dd

dtd

dd

dtd

Se observa que ωωΙ==θτ∑ ddwd

Al integrar ésta expresión obtenemos el trabajo total realizado por la fuerza externa meta que actúa sobre un sistema que rota

f

i

w 2 2f iw

1 1w d2 2

= Ιω ω = Ιω − Ιω∑ ∫

Donde la rapidez angular cambia de iω a fω . Esto es, el teorema del trabajo y la

energía cinética para movimiento rotacional expresa que

FÍSICA I

193

“El trabajo neto realizado por fuerzas externas al rotar un cuerpo rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del cuerpo”.

9.9 PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº1.-Hallar el momento de inercia axial de un rectángulo de base b =12 m y altura h =4 m, respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad y sea paralelo a la base.

Solución:

).....(dAy2x Ι=Ι ∫

donde dA =bdy……..(II) A =b h (área de un rectángulo)

Reemp.(II) en (I):

Ix = 2h

2h

322

h

2h b

3ybdyy −− =∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ι

3333

x 8h

8h

3b

2h

2h

3b

3x bh

121

=Ι

FÍSICA I

194

Remplazando datos b =12 y h = 4

( )( ) 64412121 3

x ==Ι 4

x m64=Ι

PROBLEMA 2.-Hallar el momento de inercia axial de un rectángulo de base b =3m y altura h =5m respecto a un eje que pasa por su base.

Solución:

Se sabe dAy2x ∫=Ι

?x =Ι

Sabemos: A = bh da = bdy

( )33h

0

32h

0x 0h3b

3bybdyy −===Ι ∫

3bh3

x =Ι

( ) 43x m1255

33

=Ι 4

x cm125=Ι

FÍSICA I

195

PROBLEMA 3.-

Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R=4 m, masa m =5 Kg y de longitud “L”. Calcule el momento de inercia alrededor de su eje central.

Solución:

dmr2z ∫=Ι

de donde dm mdv v

ρ = = = ρ

dv = rLdr2π

drrL2dmrLdr2

dmρπ=→

π=ρ

( )2 R 3z 0r 2 rL dr 2 L r drΙ = π ρ = π ρ∫ ∫

( )44z 0r

4L2

−ρπ

=Ι

4

zL R

2π ρ

Ι =

Sabemos: VM

=ρ donde LRV 2π=

( )Ιπ

=ρ .......LR

M2

( )ΙΙρπ

=ρπ

=Ι ......2RL

4RL2 44

Z

Entonces ( ) ( ) :en ΙΙΙ

2MRR

LRML

2

22

2z =π

π=Ι

L

FÍSICA I

196

2

Z ZMR

=Ι

Reemplazando datos:

( )( ) 404521 2

z ==Ι 2

z Kgxm40=Ι PROBLEMA 4.- Determine por integración directa el momento de inercia del área sombreada respecto al eje “y”. Solución:

( )32 2 5

Y 0x 4 x dx 4 x dxΙ = =∫ ∫

( )6

2 6 6y 0

4x 42 0

6 6Ι = = −

3

128y =Ι

dAx2

y ∫=Ι donde dA = ydx Como y = 4x3

dA= 4x3 dx

FÍSICA I

197

PROBLEMA Nº 5.-Determine el momento de Inercia del área sombreada respecto a los ejes X eY cuando a =20mm.

Solución:

X x xtotal cuadrado 2 subindice....Ι = Ι + Ι α

( )( ) 43

x a34

12a2a2cuadrado ==Ι

xsx osemicírcul Ι=Ι

( )1...As3

a4 2

xxs ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π+Ι=Ι −

( )2...As3

a4 2

xnn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π+Ι=Ι −

Pero:

FÍSICA I

198

a,d,2aAs,

8a 24

nn =π

=π

=Ι

De (1) y (2):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π+π=Ι

38

45

8a4

xs

Reemplazando en ( )α :

4x a93,7total =Ι

mm20a =

42

x m1012688total π×=Ι

9.10 PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA Nº1.-

De la figura que se muestra hallar el momento de inercia axial de un rectángulo respecto a su base empleando el teorema de ejes paralelos.

Donde b = 6, h = 5

Respuesta: ( ) 433

xf m250356

3bh

===Ι

PROBLEMA Nº2.- Calcular el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L =2m y masa M =3 Kg.: alrededor de un eje perpendicular a la barra (el eje Y) y que pase por su centro de masa.

FÍSICA I

199

Respuesta: ( ) 11223

12MLy

22

===Ι

2

y 1m KgΙ =

PROBLEMA Nº3.-Determine por integración directa el momento de inercia del área, alrededor del eje. Y.

Respuesta: y 72,9Ι =

PROBLEMA Nº4.-Hallar el momento de inercia axial de un triángulo de base b = 12 y altura h = 6, respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad y sea paralelo a la base.

Respuesta: 3mn

1bh 72

36Ι = =

FÍSICA I

200

PROBLEMA Nº5.-Determine el momento de Inercia del área sombreada respecto al eje X.

Respuesta: 44placax mm1027324 ×=Ι

FÍSICA I

201

10 HIDROSTÁTICA

10.1 DEFINICIONES 10.1.1 Fluido Se le llama fluido a toda sustancia que puede fluir. Los líquidos y gases son fluidos, porque sus moléculas presentan poca resistencia al movimiento relativo entre ellas. Las fuerzas de cohesión son pequeñas e incluso ínfimas. Los sólidos en cambio, se oponen con mucha resistencia a cambiar de forma.

Los gases tienden a ocupar todo el volumen posible, por ejemplo adoptan la forma del objeto que los encierra. Se pueden comprimir con facilidad.

Cada líquido toma la forma del recipiente que lo contiene. Son prácticamente incompresibles.

10.1.2 Presión Se define la presión sobre un fluido, como el cuociente entre la magnitud de la fuerza normal aplicada sobre la superficie del fluido y su área. En la figura 1:

AFp =

La presión es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional se mide en “pascal” [ Pa ]. Pero en la práctica se usan otras unidades.

CAPÍTULO 10

FÍSICA I

202

10.1.3 Sistema Internacional de Unidades (SI) • Kilopascal (KPa), 103 Pa

• Pascal (Pa), unidad derivada de presión del SI, equivalente un newton por metro cuadrado ortogonal a la fuerza.

Sistema Inglés

• PSI, unidad de presión básica de este sistema, 14,7 lb-f/in2

Sistema técnico gravitatorio

• Kilogramo fuerza por centímetro cuadrado (kg-f/cm2)

Otros sistemas de unidades

• atmósfera (atm)

• Milímetro de mercurio (mm Hg) = Torricelli (Torr)

• Bar

10.1.4 DENSIDAD (δ) La densidad de un fluido se define como el cuociente entre su masa y su volumen:

Vm

=δ

La densidad es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional se mide en [ kg/m3 ].

10.1.5 PESO ESPECÍFICO (ρ) El peso específico de un fluido se define como el cuociente entre su peso y su volumen:

VP

=ρ

FÍSICA I

203

En el Sistema Internacional se mide en [ N / m3 ] .

10.2 PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Dado un fluido en equilibrio, donde todos sus puntos tienen idénticos valores de temperatura y otras propiedades, el valor de la presión que ejerce el peso del fluido, a una cierta profundidad de él, figura 2:

Donde:

h es la profundidad en el fluido

p es la presión que ejerce el fluido a esa profundidad h

δ es la densidad del fluido y

g es la aceleración de gravedad.

Es decir, la presión hidrostática es independiente del líquido, y sólo es función de la altura que se considere.

Por tanto, la diferencia de presión entre dos puntos A y B cualesquiera del fluido viene dada por la expresión:

hghhgpp BABA Δ=−=− ..).(. δδ

La diferencia de presión hidrostática entre dos puntos de un fluido sólo depende de la diferencia de altura que existe entre ellos.

Está dada por: hgp ..δ=

FÍSICA I

204

10.3 VASOS COMUNICANTES Se denominan vasos comunicantes, dos o más recipientes conectados entre sí. El líquido que contienen está en equilibrio, cuando la presión que ejerce en cada punto de una superficie horizontal es la misma. Esto quiere decir que el líquido está en equilibrio de vasos comunicantes, cuando en cada uno de ellos se alcanza el mismo nivel.

Esta ley no se aplica en los fenómenos de capilaridad, ni en los casos de líquidos diferentes.

Dos recipientes de secciones S1 y S2 están comunicados por un tubo de sección S inicialmente cerrado. Si las alturas iniciales de fluido en los recipientes h01 y h02 son distintas, al abrir el tubo de comunicación, el fluido pasa de un recipiente al otro hasta que las alturas h1 y h2 del fluido en los dos recipientes se igualan.

FÍSICA I

205

10.4 LÍQUIDOS INMISCIBLES

Y se cumple que:

2211 .. hh δδ =

Ejemplo: Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Se puede determinar la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:

• El principio de Arquímedes

• La ecuación fundamental de la estática de fluidos

El aceite que tiene una densidad 0,8 g/cm3 se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1,0 g/cm3 se sitúa en la parte inferior del recipiente.

10.5 CAPILARIDAD La capilaridad es la elevación o depresión de la superficie de un líquido en la zona de contacto con un sólido, por ejemplo, en las paredes de un tubo. Este fenómeno se presenta en forma más marcada, en los tubos capilares (tubos de diámetro muy pequeño). La capilaridad depende de las fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido en su superficie (tensión superficial) y de las fuerzas de adhesión del líquido a las paredes del tubo. Cuando estas últimas son mayores que las primeras, la superficie del líquido será cóncava y éste subirá por las

FÍSICA I

206

paredes del tubo (figura 5). Esto sucede, por ejemplo, con el agua en los tubos de vidrio limpios. En caso contrario, la superficie del líquido será convexa (figura 6), por ejemplo, el agua en tubos de vidrio con una película de grasa (poca adhesión) y el mercurio en los tubos de vidrio limpios ( gran cohesión ).

El fenómeno de la capilaridad es de vital importancia en la vida animal y vegetal, por ejemplo, los árboles obtienen los nutrientes de la tierra, debido a que por capilaridad, el agua los transporta hasta su copa.

10.6 PRINCIPIO DE PASCAL Si se aplica una presión p sobre un fluido, ésta se propagará en todas las direcciones con el mismo valor.

Una aplicación de este principio, es el uso de los fluidos como multiplicadores de fuerza.

Ejemplo: Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.

Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en

FÍSICA I

207

dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto.

En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto.

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta.

El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.

10.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Este principio afirma que: “Un cuerpo sumergido en un fluido disminuye su peso, aparentemente, en la misma cantidad que el peso de fluido desalojado por él”. Esa disminución de peso del cuerpo es debida al empuje que ejerce el fluido sobre él. En otras palabras, el empuje que realiza un fluido sobre un cuerpo sumergido en él, es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. En la figura 8, tenemos un cuerpo totalmente sumergido en un líquido:

FÍSICA I

208

Se cumple que:

c

fPEδδ

.=

Donde:

E es el empuje del fluido

P es el peso del cuerpo

δf es la densidad del fluido y

δc es la densidad del cuerpo

En la figura 9, tenemos un cuerpo parcialmente sumergido en un líquido:

En esta otra situación, se da la siguiente relación:

f

cs VV

δδ

.=

Donde:

Vs es el volumen sumergido del cuerpo

V es el volumen del cuerpo

FÍSICA I

209

δc es la densidad del cuerpo y

δf es la densidad del fluido

Ejercicio aplicativo:

EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY

El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona.

Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.

En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:

δoro = 500 gr/25,3 cm3 =19,3 gr/cm3

Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido:

Vcorona = 2,500 gr/(19,3 gr/cm3)=129,5 cm3

A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que:

δplata=1000 gr/(95,2 gr/cm3) =10,5 gr/cm3

Sabemos que el peso total de la corona es 2,500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:

FÍSICA I

210

Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3

Vplata=166-Voro

Pcorona = Poro + Pplata = 2500 gr.

Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos queda que:

(19,3 gr/cm3) . Voro + (10,5 gr/cm3) . Vplata = 2500 gr

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que:

(19,3 gr/cm3). Voro + (10,5 gr/cm3). (166 cm3-Voro) = 2,500 gr

de donde se despeja la incógnita:

Voro =86 cm3

con lo que se deduce que:

Poro =ρoro .Voro = (19,3 gr/cm3) . 86 cm3 = 1,660 gr

Pplata=Pcorona – Poro =2,500gr – 1.660 gr =840 gr

De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido

Ejercicio aplicativo:

Ejemplo de la ecuación fundamental de la hidrostática: Un buzo se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1,025 kg/m³. De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:

p = p0 + δ.h.g

Considerando que la presión p0 en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfera = 1,013 x 105 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta:

FÍSICA I

211

p = 1,013 x 105 Pa + 1,025 kg/m ³ x 9,8 m/s² x 100 m = 11,058 x 105 Pa

El número de veces que p es superior a la presión exterior po se obtiene hallando el cociente entre ambas:

p/p0 = 11,058 x 105 Pa/1,053 x 105 Pa = 10,5 veces

10.8 DINAMICA DE FLUIDOS O HIDRODINAMICA Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.

10.9 FLUJOS INCOMPRESIBLES Y SIN ROZAMIENTO Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

FÍSICA I

212

1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:

A1.v1 = A2.v2 = constante.

Recuerde que: p = F/A y F = p.A

Flujo de volúmen: (caudal).

Q = A [m2] .v [m/s] = A . v [m³/s]

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

p1 + δ.v1 ²/2 + δ.g.h1 = p2 + δ.v2 ²/2 + δ.g.h2 = constante

p1/δ + v1²/2 + g.h1 = p2/δ + v2²/2 + g.h2

p/ ρ = energía de presión por unidad de masa.

g.h = energía potencial por unidad de masa.

v ²/2 = energía cinética por unidad de masa.

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0

p1 + δ.g.h1 = p2 + δ.g.h2

FÍSICA I

213

10.10 VISCOSIDAD Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.

La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura

10.11 TENSION SUPERFICIAL El efecto de las fuerzas intermoleculares es de tirar las moléculas hacia el interior de la superficie de un liquido, manteniéndolas unidas y formando una superficie lisa. La tensión superficial mide las fuerzas internas que hay que vencer para poder expandir el área superficial de un líquido. La energía necesaria para crear una mueva área superficial, trasladando las moléculas de la masa liquida a la superficie de la misma, es lo que se llama tensión superficial. A mayor tensión superficial, mayor es la energía necesaria para transformar las moléculas interiores del líquido a moléculas superficiales. El agua tiene una alta tensión superficial, por los puentes de hidrogeno.

FÍSICA I

214

10.12 EJERCICIOS: 1. Convertir 300 l/min en cm³/s.

Respuesta: 5000 cm³/s

2. ¿Cuál es el caudal de una corriente que sale por un caño de 0,5 cm de radio si la velocidad de salida es de 30 m/s?

Respuesta: 23,55 cm³/s

3. Si en el caño del problema anterior salen 50 l/min, ¿cuál es la velocidad de salida?

Respuesta: 100,8 cm/s

4. Calcular el volumen de agua que pasa en 18 s por una cañería de 3 cm² de sección si la velocidad de la corriente es de 40 cm/s.

Respuesta: 2160 cm³

5. Una corriente estacionaria circula por una tubería que sufre un ensanchamiento. Si las secciones son de 1,4 cm² y 4,2 cm² respectivamente, ¿cuál es la velocidad de la segunda sección si en la primera es de 6 m/s?

Respuesta: 2 m/s

6. El caudal de una corriente estacionaria es de 600 l/min. Las secciones de la tubería son de 5 cm² y 12 cm². Calcule la velocidad de cada sección.

Respuesta: 2000 cm/s y 83,33 cm/s

7. La velocidad de una corriente estacionaria es de 50 cm/s y su caudal de 10 l/s. ¿Cuál es la sección del tubo?

Respuesta:2000 cm²

8. Por un tubo de 15 cm² de sección sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la cantidad de litros que salen en 30 minutos.

Respuesta: 2700 l

9. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9 cm de la superficie libre del líquido.

Respuesta: 98 cm/s

FÍSICA I

215

10. Por un orificio sale agua a razón de 180 l/min. Si se mantiene constante el desnivel de 30 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido, ¿cuál es la sección del orificio?

Respuesta: 12,3 cm²

11. Calcular la presión hidrodinámica de una corriente estacionaria de 60 cm/s de agua, si la presión hidrostática es de 11,76 N/cm².

Respuesta: 11,78 N/cm²

12. La diferencia de presión de una corriente estacionaria de petróleo es de 120 gr-f/cm². ¿Cuál es la diferencia de altura (δ = 0,92 gr-f/cm³)?

Respuesta: 1,30443 m

13. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm², ¿cuál es el caudal de la corriente?

Respuesta: 800 cm³/s

14. Por un caño de 5 cm² de sección circula agua a razón de 30 cm/s. ¿Cuál será el volumen del agua que pasó en 25 s?

Respuesta: 3,75 cm³

15. Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando dos secciones de esa cañería, S1 = 5 cm² y S2 = 2 cm², ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s?

Respuesta: 20 m/s

16. El caudal de una corriente estacionaria es de 18 dm³/s, si las secciones son de 4 cm² y 9 cm², calcular las velocidades en cada sección.

Respuesta: 45 m/s y 20 m/s

17. Calcular la sección de un tubo por el cual circula un líquido a una velocidad de 40 cm/s, siendo su caudal de 8 dm³/s.

Respuesta: 200 cm²

FÍSICA I

216

18. Por un caño de 12 cm² de sección llega agua a una pileta de natación. Si la velocidad de la corriente es de 80 cm/s, ¿cuánta agua llegará a la pileta por minuto?

Respuesta: 57,6 dm³

19. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del líquido.

Respuesta: 108,4 cm/s

20. ¿Cuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal es de 0,8 dm³/s y se mantiene un desnivel constante de 50 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido?

Respuesta: 2,55 cm²

21. Calcular la presión hidrodinámica en un punto de una corriente estacionaria cuya velocidad es de 40 cm/s y su densidad es de 1,15 g/cm³, si la presión hidrostática es de 0,5 kg-f/cm².

Respuesta: 500,93 gr-f/cm²

22. Por un caño recto circula agua con un régimen estacionario tal que se verifica una diferencia de presión de 100 gr-f/cm². Calcule la diferencia de altura debida a la presión estática.

Respuesta: 100 cm

23. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto está lleno de agua, a 90 cm de la base se le practica un orificio de 2 cm² de sección, determinar:

a) ¿Cuál será la velocidad de salida?

b) ¿Cuál será el alcance del chorro?

Respuesta: a) 6,41 m/s b) 2,74 m

24. Por un caño de 5 cm² de sección surgen 40 dm³/minuto. Determinar la velocidad con que sale ese chorro.

Respuesta: 133,3 cm/s

FÍSICA I

217

25. Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gr-f, ¿cuál será el empuje que sufrirá en éter? (δ = 0,72 gr/cm³).

Respuesta: 39,69 gr-f

26. Un cuerpo pesa en el aire 289 gr-f, en agua 190 gr-f y en alcohol 210 gr-f. ¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol?

Respuesta: a) 3,11 g/cm³ b) 0,77 g/cm³

27. Un cubo de aluminio (δ = 2,7 g/cm ³) de 3 cm de lado se coloca en agua de mar (δ = 1,025 gr/cm³), ¿flota ó se hunde?

Respuesta: se hunde

28. El cuerpo del problema anterior se coloca en mercurio (δ = 13,56 gr/cm³), ¿flotará?

Respuesta: si

29. Calcular la tensión superficial de un líquido que mediante una varilla móvil de 5 cm equilibra una fuerza de 2,5 gr-f.

Respuesta: 0,5 gf/cm

30. Calcular la altura a que ascenderá el agua en un capilar de 0,5 mm de radio.

Respuesta: 3 cm

31. ¿Cuál será la tensión superficial del alcohol cuya densidad es 0,8 g/cm³, si asciende mediante un capilar de 0,3 mm de radio hasta 2 cm?

Respuesta: 23,5 dyn/cm

32. Calcular el radio de un capilar tal que colocado en mercurio este asciende 5 mm. Si el peso específico del mercurio es de 436 dyn/cm³.

Respuesta: 1,3 mm

33. ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido que es equilibrado en una boquilla mediante una varilla de 3 cm con una pesa de 2,8 gr-f?

Respuesta: 0,9 gr-f/cm

FÍSICA I

218

34. ¿Cuál es la altura a que llega el éter en un capilar de 0,8 mm de radio (δ=0,7 gr/cm ³), si su tensión superficial es 0,016 gr-f/cm?

Respuesta: 0,9 cm

35. Calcular la tensión superficial de un líquido cuya densidad es 0,75 gr/cm³ y asciende por un tubo capilar de 0,5 mm hasta 1,8 cm.

Respuesta: 0,0351 gf/cm

36. La tensión superficial de un líquido es 26 dyn/cm y su densidad es 1,2 gr/cm³. Calcular el radio del tubo capilar mediante el cual asciende 2,5 mm.

Respuesta: 0,1 mm

37. Un prisma de hielo posee una densidad de 0,914 g/cm³, colocado en agua de mar (δ = 1,025 gr/cm³) en forma vertical, flota. Si sus dimensiones son 4 m de alto, 1,2 m de ancho y 2 m de largo, determinar que parte del prisma emerge del agua.

Respuesta: 0,316 m

38. Un prisma de hielo colocado verticalmente en agua de mar, sobresale 2,5 m, determinar su altura sabiendo que la densidad del hielo es 0,914 gr/cm³ y del agua de mar gr/cm³.

Respuesta: 23,08 m

39. Un barco pasa de agua del mar (δ = 1,025 gr/cm³) al agua de río (δ=1gr/cm³). Si desplaza 15000 toneladas de agua, determinar que volumen extra desplazará en agua de río.

Respuesta: 12000 m³

40. Una boya esférica cuyo volumen es de 6,2 m³ pesa 15400 N y el aparato luminoso pesa 3600 N, ¿cuál será el peso del lastre para que se hunda hasta la mitad en agua de mar? (δ = 1,025 gr/cm³).

Respuesta: 12775 N

FÍSICA I

219

41. Una barcaza de río se hunde hasta 0,8 m, está cargada y pesa 200000 N, ¿cuál será el área horizontal de la misma?

Respuesta: 25 m²

42. Un submarino desciende en el agua de mar hasta 10,92 m, ¿cuál es la variación de presión que soporta (δ = 1,025 gr/cm³)?

Respuesta: 1,098 Pa

43. Una esfera de hierro pesa 150 gr-f (δ = 7,8 gr-f/cm³) y flota en mercurio (δ = 13,6 gr-f/cm³), ¿cuál es el volumen de la esfera que sobresale de la superficie del líquido?

Respuesta: 8,21 cm³

44. ¿Cuál será el volumen de un témpano (δ = 0,92 gr/cm³) que flota en agua de mar (δ = 1,025 gr/cm³) y de la cual sobresalen 84 m³?

Respuesta: 820 m³

FÍSICA I

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FÍSICA I

221

CAPÍTULO 11

LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA

El equilibrio termodinámico de un sistema se define como la condición del mismo en el cual las variables empíricas usadas para definir un estado del sistema (presión, volumen, campo eléctrico, polarización, magnetización, tensión lineal, tensión superficial, entre otras) no son dependientes del tiempo. A dichas variables empíricas (experimentales) de un sistema se les conoce como coordenadas termodinámicas del sistema.

A este principio se le llama del equilibrio termodinámico. Si dos sistemas A y B están en equilibrio termodinámico, y B está en equilibrio termodinámico con un tercer sistema C, entonces A y C están a su vez en equilibrio termodinámico. Este principio es fundamental, aun siendo ampliamente aceptado, no fue formulado formalmente hasta después de haberse enunciado las otras tres leyes. De ahí que recibe la posición 0.

11.1 LA TEMPERATURA No es una forma de energía, sino una medida de la cantidad de energía que posee un cuerpo como calor. En otras palabras, si damos calor a un cuerpo, su temperatura aumenta. La temperatura es un indicador de la energía cinética de las moléculas. Cuando un objeto se siente caliente, los átomos en su interior se están moviendo rápidamente en direcciones aleatorias y cuando se siente frío, los átomos se están moviendo lentamente.

11.1.1 Termómetro

Un termómetro es un instrumento que sirve para medir la temperatura, basado en el efecto que un cambio de temperatura produce en algunas propiedades físicas observables y en el hecho de que dos sistemas a diferentes temperaturas puestos en contacto térmico tienden a igualar sus temperaturas.

FÍSICA I

222

Entre las propiedades físicas en las que se basan los termómetros destaca la dilatación de los gases, la dilatación de una columna de mercurio, la resistencia eléctrica de algún metal, la variación de la fuerza electromotriz de contacto entre dos metales, la deformación de una lámina metálica o la variación de la susceptibilidad magnética de ciertas sales paramagnéticas.

El termómetro de dilatación de líquidos es el más conocido. Consta de una ampolla llena de líquido unida a un fino capilar, todo ello encerrado en una cápsula de vidrio o cuarzo en forma de varilla. La sensibilidad que se logra depende de las dimensiones del depósito y del diámetro del capilar, y en los casos más favorables es de centésimas de grado.

11.1.2 La escala Celsius

Propuesta por el astrónomo sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala se define con un grado de la misma amplitud que las escalas Kelvin y de los Gases Perfectos, pero estableciendo su origen en el punto de fusión del hielo, o sea, mediante la relación con la temperatura kelvin de la forma:

El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thomson, quién más tarde sería Lord Kelvin, sobre la base del grado Celsius, estableciendo el punto cero en el cero absoluto (−273,15 °C) y conservando la misma dimensión para los grados. Fue nombrada en honor de Lord Kelvin, quien a sus 24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica.

FÍSICA I

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11.1.3 La escala Fahrenheit

Esta escala, propuesta por el germano-polaco Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), difiere de las anteriores en la amplitud del grado y también en el origen. Puede relacionarse la temperatura Fahrenheit con la temperatura Celsius mediante la expresión

En este esquema comparativo puedes ver las escalas más importantes:

Fórmulas de conversión a la escala Kelvin

Conversión de a Fórmula

kelvin grados Celsius °C = K − 273,15

grados Celsius kelvin K = °C + 273,15

Kelvin grados Fahrenheit °F = K × 1,8 − 459,67

Grados Fahrenheit Grados Celsius °C = (°F − 32) / 1,8

grados Fahrenheit kelvin K = (°F + 459,67) / 1,8

Para intervalos de T más que medida de T 1 K = 1 °C y 1 K = 1,8 °F

FÍSICA I

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11.2 EXPANSIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS Para pequeñas variaciones de temperatura, se producirán pequeñas variaciones de longitudes y volúmenes. Para cuantificar este efecto se definen:

Coeficiente promedio de expansión lineal:

donde L1 es la longitud inicial

Coeficiente promedio de expansión volumétrica ( β )

Para un sólido se tiene que:

FÍSICA I

225

BIBLIOGRAFÍA

1. MARCELO ALONSO Y EDWARD FINN. (1972). Mecánica.

Volumen I. Editorial Addison – Wesley Iberoamericana.

2. RAYMOND A. SERWAY– ROBERT J. BEICHNER. (2003). Física

para Ciencias e Ingeniería, Volumen I. Editorial McGraw-Hill. 3°

Edición.

3. PAUL ALLEN TIPLER – GENE MOSCA. (1999). Física para la

ciencia y tecnología. Volumen I, Editorial Reverté. 5° Edición.

4. FRANCIS W. SEARS – MARK W. ZEMANSKY – HUGH D.

YOUNG – ROGER A FREEDMAN. Física universitaria. Volumen I.

Editorial Pearson – 11° Edición.

5. JONES & CHILDERS. (2001). Física contemporánea. Mc Graw Hill.

3° Edición

6. INTERNET. Física. Varios.