física aula 02 - mecância - movimentos

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AULA 2 MECÂNICA MOVIMENTOS 1- INTRODUÇÃO Estudaremos a seguir os movimentos uniforme e uniformemente variado. Veremos suas definições, equações, representações gráficas e aplicações. Faremos o estudo de cada movimento separadamente. MOVIMENTO UNIFORME 2- DEFINIÇÃO. Vimos na classificação de movimentos, que um movimento é dito uniforme quando sua função horária dos espaços S=f(t) é de primeiro grau e conseqüentemente sua velocidade tem módulo constante e não nula. Assim sendo a aceleração neste movimento será constante e nula. 3- FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS. Sendo o movimento uniforme, sua velocidade será constante e uma das formas de definirmos a função horária é através da equação da velocidade escalar média que para este movimento é exatamente igual à velocidade escalar instantânea. 4- REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MOVIMENTO UNIFORME i f i f m t t S S V t S V V - - = D D = = S S Vt S S Vt t S S V : vem t, instante no corpo do posição a é S e t instante no corpo do posição a é S como 0 0 = + - = - = 0 = 0 0 0 Vt S S + = 0

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Page 1: Física   aula 02 - mecância - movimentos

AULA 2

MECÂNICA

MOVIMENTOS

1- INTRODUÇÃO

Estudaremos a seguir os movimentos uniforme e uniformementevariado. Veremos suas definições, equações, representações gráficas eaplicações.

Faremos o estudo de cada movimento separadamente.

MOVIMENTO UNIFORME

2- DEFINIÇÃO.

Vimos na classificação de movimentos, que um movimento é dito uniformequando sua função horária dos espaços S=f(t) é de primeiro grau econseqüentemente sua velocidade tem módulo constante e não nula.Assim sendo a aceleração neste movimento será constante e nula.

3- FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS.

Sendo o movimento uniforme, sua velocidade será constante e uma dasformas de definirmos a função horária é através da equação da velocidadeescalar média que para este movimento é exatamente igual à velocidadeescalar instantânea.

4- REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MOVIMENTO UNIFORME

if

ifm tt

SSV

tS

VV-

-=fi

D

D==

SSVtSSVttSS

V

:vemt, instante no corpo

do posição a é S e t instante no corpo do posição a é S como 00

=+fi-=fi-

=

0=

000

VtSS += 0

Page 2: Física   aula 02 - mecância - movimentos

4.1- S = f(t)

Como a função horária dos espaços é de 1º grau, seu gráfico será uma retacrescente se o movimento for progressivo (V>0) e uma reta decrescente se omovimento for retrógrado (V<0).

s s S0

S0

t t 0 0

4.2- V = f(t)

Como a velocidade é constante, seus valores médios e instantâneos serãoiguais para qualquer instante. Sua representação gráfica será uma retaconstante acima do eixo dos tempos se a velocidade for positiva e abaixo doeixo se for negativa.

V V t V 0

T -V 0

4.3- a = f(t)

Como a velocidade é constante, a aceleração para qualquer instante seránula independentemente do movimento ser progressivo ou retrógrado.

a a

t t

0 0

5- PROPRIEDADES GRÁFICAS DO MOVIMENTO UNIFORME.

5.1- S=f(t)

0S

S

t

q SD

tD

0

S

t

Page 3: Física   aula 02 - mecância - movimentos

A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL AVELOCIDADE ESCALAR

5.2- V=f(t)

A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL AO DESLOCAMENTOESCALAR NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

6- DEFINIÇÃO

Vimos na classificação de movimentos que um movimento é ditouniformemente variado quando sua função horária dos espaços S=f(t) é desegundo grau, sua velocidade tem módulo variável e sua aceleração temmódulo constante e não nulo.

tS

tgN

D

D=q

VtgN

=q

V.tAN

D=

tS

.tAN

D

DD=

SAN

D=

V

1t 2t

V

t

A V

tD

Page 4: Física   aula 02 - mecância - movimentos

7- ACELERAÇÃO, SEUS GRÁFICOS E PROPRIEDADE GRÁFICA.

No movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante e,portanto, o seu valor médio é exatamente igual ao seu valor instantâneo. Arepresentação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL À VARIAÇÃO DAVELOCIDADE NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.

8- FUNÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES

Sendo a aceleração constante neste movimento, os seus valores médios einstantâneos são iguais. Assim temos:

if

ifm tt

VVtV

--

=DD

=a=a

tV

A.tANN

DD

=fiaD=

VAN

D=

a

t

a

0

t

a

a-

0

a

a

t0

1t 2t

A a

tD

a

Page 5: Física   aula 02 - mecância - movimentos

9- PROPRIEDADE BÁSICA DO M.U.V.

No movimento uniformemente variado a velocidade escalar é representadapor uma

função de primeiro grau o que nos permite determinar o seu valor médio pelamédia aritmética entre seus valores inicial e final num determinado intervalode tempo.

“A velocidade escalar média entre dois instantes(t1 e t2) é a media

aritmética das velocidades escalares nestes instantes.”

10–GRÁFICOS DA VELOCIDADE E SUAS PROPRIEDADES.

Como a função horária da velocidade é de 1º grau, seu gráfico será umareta crescente se o movimento for acelerado ( V crescente) e uma reta

decrescente se o movimento for retardado ( V decrescente).

tVV a+= 0

VVtVVttVV

:vemt, instante no corpo

do eavelocidad é V e t instante no corpo do velocidade a é V como i0

=+afi-=afi-

=a

0=

000

if

if

ttVV

tV

--

=DD

=a

2VV

tS

V 21m

+=

D

D=

V

0V

V

tt0 0

0V

Vt

t

V

Page 6: Física   aula 02 - mecância - movimentos

A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL AACELERAÇÃO ESCALAR

A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL À VARIAÇÃO DOESPAÇO NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.

11– FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS

A função horária dos espaços pode ser definida de várias formas, umadelas é usando a propriedade vista acima.

fiDD

=qtV

tgN

a=qN

tg

fi2

D+= 0 t).VV(

AN

t.tS

AN

DDD

=

SAN

D=

:então,SA e t).VV(

A ComoNN

D=2

D+= 0

t

t0

q

V

V

0VtD

VD

A0V

V

t

t0

V

0V

V

tD

Page 7: Física   aula 02 - mecância - movimentos

12-GRÁFICOS DO ESPAÇO E SUAS PROPRIEDADES

Como a função horária dos espaços é de 2º grau, seu gráfico será umaparábola com concavidade voltada para cima se a > 0 e concavidade voltada

para baixo se a < 0.

tVV que sabemos ,t).VV(

S a+=2

D+=D 0

0

0t instante no espaço

o e velocidade a mente,respectiva são,S e V onde

)tt).(tV(S-S

t).VtV(S

0

0

0

=

2-a+2

=fi2

D+a+=D

0

0000

tt

VSSt.tV

SS ˜¯

ˆÁË

Ê2

a+=-fi˜

¯

ˆÁË

Ê2

a+

22

=- 000

0

fi2

a+=-

2

00

ttVSS

2a

++=2

00

ttVSS

q= tgVN

1

0t

S

t0

S

t0

S

q1t

tangente reta

Page 8: Física   aula 02 - mecância - movimentos

A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL À

VELOCIDADE ESCALAR PARA O INSTANTE t1.

13-EQUAÇÃO DE TORRICELLI

A equação de Torricelli pode ser demonstrada de várias maneiras. Vejauma demonstração onde se faz a fusão das funções horárias dos espaços e dasvelocidades.

tVVtVV 00 a=-fia+=

a

-= 0VV

t(I)

200 t

2tVSS

a++=

(II)

:vem (I), em (II) dosubstituin

2

0000

VV2

VVVSS ˜

¯

ˆÁË

Êa

-a+˜

¯

ˆÁË

Êa

-+=

˜̃¯

ˆÁÁË

Ê

a

+-a+

a

-=D 2

200

2200 VVV2V

2VVV

S

a

+-+-=D

2VVV2VVVV

S200

2200

S2VV 20

2 Da+=

Page 9: Física   aula 02 - mecância - movimentos

EXERCÍCIOS

1. (UESPI) – Um passageiro perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5minutos e pegou um táxi para alcança-lo.

O ônibus e o táxi descrevem a mesma trajetória e seus movimentos sãouniformes.

A velocidade escalar do ônibus é de 60km/h e a do táxi é de 90km/h.O intervalo de tempo necessário ao táxi para alcançar o ônibus é de:a) 5 min b) 10 min c) 15 min d) 20 min e) 25 min

2. (UNIP-SP) – O gráfico a seguir representa o espaço s em função dotempo t para o movimento de um ciclista. Considere as proposições quese seguem:I) A trajetória do ciclista é retilínea.II) A velocidade escalar do ciclista é crescente.III) O ciclista passa pela origem dos espaços no instante t = 2,0s.IV) O movimento do ciclista é uniforme e progressivo.Estão corretas apenas:a) III e IV b) I e II c) II e III d) I, III e IV e) I e IV

3. (PUC-SP) – Duas bolas, A e B, de dimensões desprezíveis se aproximamuma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes (veja afigura).Sabendo-se que as bolas possuem velocidades escalares de módulos2,0m/s e 3,0m/s e que, no instante t = 0, a distancia entre elas é de15,0m, podemos afirmar que o instante da colisão é:

a) 1,0s b) 2,0s c) 3,0s d) 4,0s e) 5,0s

4. (PUC-SP) – Alberto saiu de casa para o trabalho exatamente às 7,0 h,filho, percebe imediatamente que o pai esqueceu sua pasta comdocumentos e, após 1,0 min de hesitação, sai para encontrá-lo,movendo-se também com velocidade escalar constante, percorrendo amesma trajetória descrita pelo pai. Excelente aluno em Física, calcula

=

0ts/m,02 s/m,03

m,015

A B

Page 10: Física   aula 02 - mecância - movimentos

que, como saiu 1,0 min após o pai, demorará exatamente 3,0 min paraalcançá-lo.Para que isso seja possível, qual a velocidade escalar do carro de Pedro?a) 60,0 km/h b) 66,0 km/h c) 72,0 km/h d) 80,0 km/h e)

90,0 km/h

5. (UNITAU-SP) – Uma motocicleta com velocidade escalar constante de20,0m/s ultrapassa um trem de comprimento 100m e velocidade escalarconstante de 15,0m/s. A duração da ultrapassagem é:a) 5s b) 15s c) 20s d) 25s e) 30s

6. (UNICAMP) – As faixas de aceleração das auto-estradas devem serlongas o suficiente para permitir que um carro, partindo do repouso,atinja a velocidade escalar de 108km/h em uma estrada horizontal. Umcarro popular é capaz de acelerar de 0 a 108km/h em 15s. Suponha quea aceleração escalar seja constante.a) Qual o valor da aceleração escalar?b) Qual a distancia percorrida em 10s?c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de aceleração?

7. (VUNESP) – Um motorista, dirigindo seu veículo à velocidade escalarconstante de 72,0 km/h, numa avenida retilínea, vê a luz vermelha dosemáforo acender quando está a 35,0 metros do cruzamento, suponhaque entre o instante em que ele vê a luz vermelha e o instante em queaciona os freios decorra um intervalo de tempo de 0,50 segundo.Admitindo-se que a aceleração escalar produzida pelos freios sejaconstante, para que o carro pare exatamente no cruzamento, o modulodessa aceleração escalar deve ser, em m/s2, de:

a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10,0

8. (FUVEST) – Um carro viaja com velocidade escalar de 90km/h (ou seja,25m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, omotorista vê um animal parado na pista. Entre o instante em que omotorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carropercorre 15,0m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de5,0m/s2, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir oanimal, que permanece imóvel todo o tempo, se o tiver percebido a umadistancia de, no mínimo:a) 15,0m b) 31,25m c) 52,5m d) 77,5m e) 125,0m

9. (AFA) – O gráfico espaço x tempo para uma partícula que descreve uma trajetória retilínea, com aceleração escalar constante, é dado na figuraa seguir:

)s(t

03, 06,

)m(S

0

09,

Page 11: Física   aula 02 - mecância - movimentos

A velocidade escalar inicial (V0) e a aceleração escalar (a ) são,respectivamente, iguais a :a) 6,0m/s e –2,0m/s2 b) 6,0m/s e –3,0m/s2

c) 9,0m/s e –3,0m/s2 d) 6,0m/s e 6,0m/s2

e) 9,0m/s e 6,0m/s2

10. (FUVEST) – Dois trens, A e B, fazem manobra em uma estaçãoferroviária deslocando-se paralelamente sobre trilhos retilíneos, noinstante t = 0s eles estão lado a lado. O gráfico representa asvelocidades escalares dos dois trens a partir do instante t = 0s até t =150s, quando termina a manobra. A distancia dos dois trens no final damanobra é:

a) 0m b) 50m c) 100m d) 250m e) 500m

RESPOSTAS

1. ALTERNATIVA B

)s(t

)s/m(V

05,

05- ,0 50 100 150B

A

Page 12: Física   aula 02 - mecância - movimentos

2. ALTERNATIVA A

3. ALTERNATIVA C

A e B se encontram quando estiverem na mesma posição.Para resolver este exercício vamos adotar a posição inicial de Acomo sendo ZERO (0) e conseqüentemente a posição inicial de Bserá 15m.

VERDADEIRO )IV(

sttt.t.t.VSS

s/mVV)(

tS

V

VERDADEIRA (III)constante. é

velocidade sua e uniforme é movimento o reta, uma é gráfica curva a como

FALSA (II)posição.

de coordenada uma apenas mostra nos gráfico o pois adaindetermin

FALSA )I(

2=fi5

10=fi5=10fi5+10-=0fi+=

5=fi6

30=fi

0-610--20

=DD

=

0

st,

t

t.,tt.,

t.,tt.6090

5t

90.t5)60.(t

t.V)t.(V

SS

taxiônibus

taxiônibus

10=fi50

5=

50=5fi-51=5

51=5+fi=+

=+

=5+

D=D

Page 13: Física   aula 02 - mecância - movimentos

4. ALTERNATIVA C

Como o tempo que o filho leva para alcançar o pai é de 3 minutos(180s), o movimento do pai desde que saiu de casa até ser alcançado pelofilho é de 4 minutos (240s).

5. ALTERNATIVA C

A distância que a motocicleta percorre para ultrapassar otrem, é de 100m somados à distancia que trem percorreu atéser ultrapassado.

6.

stt

155.t153.t2.t

3.t-152.t0

.tVS.tVS

SS

B0A0

BA

BA

3=fi5

15=

=

=+

=+

+=+

=

h/kmV,.V

s/mVV.

.V15.240

t.Vt.V

SS

filhofilho

filhofilho

filho

filhofilhopaipai

filhopai

72=fi6320=

20=fi=180

24015

180=

D=D

D=D

st

tt.

t.t.t.15t.

t.Vt.V

SS

tremmoto

tremmoto

20=D5

100=Dfi100=D5

100=D15-D20

100+D=D20

100+D=D

100+D=D

Page 14: Física   aula 02 - mecância - movimentos

7. ALTERNATIVA D

Entre o instante que o motorista vê a luz vermelha e o instanteque ele começa a frear o carro percorre uma distância DSR comvelocidade constante de 72,0km/h (20m/s).

Para chegar ao cruzamento ele tem 25m.

8. ALTERNATIVA D

Entre o instante que o motorista vê o animal e o instante que elecomeça a frear o carro percorre uma distância DSR comvelocidade constante de 90,0km/h.

mS

.SS

VVts

)c

mS).(S

t.SS

t.t.VSS )b

s/m,tV

)a

0

225=D

1515=Dfi2

30=

15D

2

+=

DD

100=Dfi1022

=D

2a

=-

2a

++=

02=a1530

=DD

=a

0

2

20

20

mS,.S

t.VStS

V

RR

RRR

R

10=Dfi5020=D

D=DfiD

D=

22

2

20

2

08=afi08-=a

a=50400-

fia50=400-

a50+400=0fi25a2+20=0

Da2+=

s/m,s/m,

.

...

S..VV

mSR 15=D

Page 15: Física   aula 02 - mecância - movimentos

Durante o retardamento do movimento, temos:

9. ALTERNATIVA A

-No instante 3,0s, a velocidade é nula (V=0), pois aí ocorre ainversão de movimento.

-Do gráfico temos que para 3,0s de movimento o deslocamento é

9,0m

10. ALTERNATIVA D

m,S

SS.

S.S)..(

S..VV

562=D10625

=Dfi625=D10

D10-625=0fiD5-2+25=0

Da2+=2

20

2

m,S

,S

SSS

total

total

Rtotal

577=D

15+562=D

D+D=D

s/m,V

V,.,V

,,

VVts

06=

=0203fi2

=0309

2

+=

DD

0

00

0

202-=a

0-0306-0

=afiDD

=a

s/m,

,,

tV

mS

S

).(.S

AAS

A

A

A

N

A

125-=D

250-125=D2

5-100+

2550

=D

+=D 21

)s(t

)s/m(V

05,

05- ,0 50 150

B

A1A

2A

Page 16: Física   aula 02 - mecância - movimentos

Como o trem A deslocou 125m em um sentido e o trem B deslocou125m em sentido oposto, a distância entre eles é de 250m.

mS

S

.).(S

AAS

B

B

B

N

B

125=D

250+125-=D2

5100+

25-50

=D

+=D 21

B

A

1A2A )s(t

)s/m(V

05,

05- ,0 50 100 150