financijska matematika ips-iiidio

Financijska matematika

IPS

UVOD

SadrzajFinancijska matematika

IPS

Fakultet organizacije i informatike, Varazdin


IPS

UVOD

Sadrzaj

O predmetu

Naziv predmeta: Financijska matematika

Satnica: 15 0 30

Broj ECTS bodova: 5 ECTS

Cilj: Upoznavanje s osnovnim konceptima financijske

matematike neophodnim za razumijevanje i razvoj modela

potrebnih za financijski menadzment i poslovne proracune.

Nositelj predmeta: prof. dr. sc. Blazenka Divjak

Predavac: dr. sc. Zlatko Erjavec

Asistent: Dusan Mundar, dipl. ing.


IPS

UVOD

Sadrzaj

Nastavni plan

Funkcije i nizovi

Jednostavni dekurzivni kamatni racun

Slozeni dekurzivni kamatni racun

Periodske svote

Kredit

Pokazatelji isplativosti ulaganja

Amortizacija

Anticipativni obracun kamata

Matematika osiguranja


IPS

UVOD

Sadrzaj

Ishodi ucenja predmeta

Studenti ce nakon uspjesno zavrsenog predmeta biti sposobni:

razlikovati vrste obracuna kamata i pojmove relativne,

konformne, nominalne i efektivne kamatne stope

izvesti osnovne formule kamatnog racuna i periodskih svota te

ih primijeniti u rjesavanju zadataka

izraditi tablice kod otplate kredita i amortizacije

primijeniti NPV i IRR metodu u racunanju kljucnih pokazatelja

isplativosti investicijskog projekta

koristiti financijske funkcije tablicnog kalkulatora

odrediti vjerojatnost dozivljenja i smrti te izracunati premiju

kod mjesovitog osiguranja

prezentirati primjer analize isplativosti investicijskog projekta

koristeci IT


IPS

UVOD

Sadrzaj

Literatura

Divjak B., Erjavec Z.: Financijska matematika,

TIVA - FOI, Varazdin, 2007.

Divjak B.,Erjavec Z.: Gospodarska i financijska

matematika, TIVA - FOI,Varazdin, 2003.

Zima, P., Brown, R. L.: Mathematcs of Finance,

Schaum‘s O.S.,1996.

Mc Cutcheon, J.J., Scott, W.F.: Introduction to

Mathematics and Finance, Butterworth-Heinemann,

1989.


IPS

UVOD

Sadrzaj

Nacin rada

predavanja

seminari

domace zadace - Moodle (10 bodova)

projekt (20 bodova)

kratke provjere znanja - Moodle (10 bodova)

kolokviji (3× 20 = 60 bodova)

konzultacije

Kolokviranje

uvjet za potpis: vise od 20 bodova

ocjena: vise od 50 bodova

dodatni uvjet − barem 25 na kolokvijima


IPS

UVOD

Sadrzaj

Adrese

MOODLE

http://www.elf.foi.hr

(lozinka za prijavu: Fibonacci)

E-MAIL

[email protected]

[email protected]


IPS

UVOD

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Sadrzaj prvog dijela


IPS

UVOD

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Sadrzaj drugog dijela


IPS

UVOD

Sadrzaj

Dio I

Dio II

Dio III

Sadrzaj treceg dijela

1 AMORTIZACIJA

Linearna amortizacija

Metoda konstantnog postotka

Metoda sume znamenaka

Metoda padajuceg/rastuceg salda

Funkcionalna amortizacija

2 ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA

Jednostavni i slozeni anticipativni obracun kamata

Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obracuna

Kredit kod anticipativnog obracuna

3 MATEMATIKA OSIGURANJA

Osnovni pojmovi vjerojatnosti


Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

Premije u osiguranju zivota


IPS

Dio I

Dio I


IPS

Dio II

Dio II


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJADio III

Dio III


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.

Met. konst. postotka

Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Sadrzaj

1 AMORTIZACIJA
















IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Pojam amortizacije i metode procjene

Definicija 1.

Amortizacija je smanjivanje vrijednosti imovine tijekom

vremena uslijed njezina trosenja ili iscrpljivanja.

Osnovna podjela:

funkcionalna metoda amortizacije

vremenske metode amortizacije

Vremenske metode amortizacije:

linearna amortizacija

metoda konstantnog postotka

metoda sume znamenaka

metoda rastuceg (padajuceg) salda


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Oznake

C - originalna vrijednost (cijena) dobra (eng. cost),

S - otpisna vrijednost (eng. salvage value),

n - vrijeme trajanja dobra,

Rk - trosak (kvota) amortizacije u k-tom razdoblju

(eng. depreciation repaid),

Bk - knjigovodstvena vrijednost u k-tom razdoblju

(eng. book value),

Dk - akumulirana amortizacija u k-tom razdoblju

(eng. depreciation).


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovna relacija

Uvijek vrijedi: akumulirana amortizacija +

knjigovodstvena vrijednost = originalna vrijednost dobra

Dk +Bk = C

Takoder vrijedi:

B0 = C, Bn = S, D0 = 0, Dn = C − S.

Podatke bitne za amortizaciju upisujemo u tablicu zvanu

amortizacijska osnovica.


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA


osnovica za amortizaciju je jednako rasporedena

tijekom zivotnog vijeka dobra

najjednostavnija i najcesce koristena metoda

godisnja stopa amortizacija = 100n

Vrijedi:

R =C − Sn

Dk = k ·R

Bk = C −Dk


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 1.

Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5

godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu

metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i

izradimo amortizacijsku tablicu.

Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

R =350000− 20000

5= 66000

D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000

B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 1.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

R =350000− 20000

5= 66000

D1 = 1 ·R = 1 · 66000 =

66000

B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 1.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

R =350000− 20000

5= 66000

D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000

B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 1.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

R =350000− 20000

5= 66000

D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000

B1 = C −D1 = 350000− 66000 =

284000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 1.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

R =350000− 20000

5= 66000

D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000

B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Amortizacijska tablica


k R Dk Bk

0 - - 350000,00

1 66000,00 66000,00 284000,00

2 66000,00 132000,00 218000,00

3 66000,00 198000,00 152000,00

4 66000,00 264000,00 86000,00

5 66000,00 330000,00 20000,00


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Financijska funkcija SLN


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Amortizacija metodom konstantnog

postotka

amortizacijska kvota je fiksni postotak

knjigovodstvene vrijednosti

degresivna metoda amortizacije

amortizacija je zadana stopom amortizacije - d

uvjet: S mora biti pozitivan

Vrijedi:

Rk = Bk−1 ·d

100

Bk = Bk−1−Rk, Dk = C−Bk, S = C ·(

1− d

100

)n


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.


godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci

amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo

visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.

Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)=

43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100=

152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 =

152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 =

197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 2.





Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

R = ?

d = 100 ·(

1− n

√S

C

)= 43, 585286

R1 = B0 ·d

100= 152548, 50

D1 = R1 = 152548, 50

B1 = B0 −R1 = 197451, 50


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA



k Rk Dk Bk

0 - - 350000,00

1 152548,50 152548,50 197451,50

2 86059,80 238608,30 111391,70

3 48550,39 287158,69 62841,31

4 27389,56 314548,25 35451,75

5. 15451,75 330000,00 20000,00


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 3.

Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa

amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na

kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.

Rjesenje:

C = 20000d = 25

B5 = ?R6 = ?

B5 = C ·(

1− d

100

)5

= 4746, 09

R6 = B5 ·d

100= 1186, 52


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 3.




Rjesenje:

C = 20000d = 25

B5 = ?R6 = ?

B5 = C ·(

1− d

100

)5

=

4746, 09

R6 = B5 ·d

100= 1186, 52


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 3.




Rjesenje:

C = 20000d = 25

B5 = ?R6 = ?

B5 = C ·(

1− d

100

)5

= 4746, 09

R6 = B5 ·d

100= 1186, 52


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 3.




Rjesenje:

C = 20000d = 25

B5 = ?R6 = ?

B5 = C ·(

1− d

100

)5

= 4746, 09

R6 = B5 ·d

100=

1186, 52


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 3.




Rjesenje:

C = 20000d = 25

B5 = ?R6 = ?

B5 = C ·(

1− d

100

)5

= 4746, 09

R6 = B5 ·d

100= 1186, 52


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Financijska funkcija DB

DB primjer


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA


- degresivna metoda amortizacije

Amortizacijske kvote u pojedinim godinama dobijemo tako da

kvocijent rednih brojeva godina (u obrnutom redosljedu) i sume

znamenaka perioda amortizacije, pomnozimo s troskom amortizacije.

Rk = n−k+1s (C − S)

Racunamo redom:

s = 1 + 2 + . . .+ n

R1 =n

s(C − S)

R2 =n− 1

s(C − S)

...

Rn =1

s(C − S)


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 4.



amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo

amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.

Rjesenje:

C = 350000n = 5S = 20000

s = ?Rk = ?

s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

R1 =5

15· (350000− 20000) = 110000

R2 =4

15· (350000− 20000) = 88000

...


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA



k Rk Dk Bk

0 - - 350000,00

1 110000,00 110000,00 240000,00

2 88000,00 198000,00 152000,00

3 66000,00 264000,00 86000,00

4 44000,00 308000,00 42000,00

5 22000,00 330000,00 20000,00


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Financijska funkcija SYD


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Usporedba metoda amortizacije

Graficki prikaz ovisnosti knjigovodstvene vrijednosti o vremenu

kod linearne amortizacije, metode sume znamenaka i metode

konstantnog postotka.

1 2 3 4 5 6

50

100

150

200

250

300

350

400Bk

k


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Metoda padajuceg salda

unaprijed su zadane amortizacijske stope pojedinih godina

suma svih zadanih stopa mora biti 100

metoda padajuceg salda - amortizacijske stope se

smanjuju (degresivna metoda)

metoda rastuceg salda - amortizacijske stope se

povecavaju (progresivna metoda)

Rk = (C − S) · dk

100


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 5.


godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku

tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz

amortizacijske stope dane u tablici.

godina k 1. 2. 3. 4.

amort. stopa d 40% 30% 20% 10%

Rjesenje:

C = 200000n = 4S = 20000

Rk = ?

R1 = (200000− 20000) · 40100

= 72000

R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 5.





godina k 1. 2. 3. 4.

amort. stopa d 40% 30% 20% 10%

Rjesenje:

C = 200000n = 4S = 20000

Rk = ?

R1 = (200000− 20000) · 40100

=

72000

R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 5.





godina k 1. 2. 3. 4.

amort. stopa d 40% 30% 20% 10%

Rjesenje:

C = 200000n = 4S = 20000

Rk = ?

R1 = (200000− 20000) · 40100

= 72000

R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA


Metoda padajuceg salda

k Rk Dk Bk

0 - - 200000,00

1 72000,00 72000,00 128000,00

2 54000,00 126000,00 74000,00

3 36000,00 162000,00 38000,00

4 18000,00 180000,00 20000,00


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA


amortizacija se obracunava razmjerno intenzitetu

koristenja sredstava za rad ili davanja usluga

kolicina usluge: broj sati rada; jedinice proizvoda;

prijedeni kilometri i sl.

Trosak amortizacije po jedinici ucinka a:

a =C − SQ

(Q je planirana kolicina ucinka)

Rk = k · a


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 6.

Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4

godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje

slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.

Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo

amortizacijsku tablicu.

Rjesenje:

C = 60000n = 4S = 8000

a = ?

C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,

Trosak amortizacije po jedinici proizvoda

a =C − SQ

=5200013000

= 4


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 6.






Rjesenje:

C = 60000n = 4S = 8000

a = ?

C − S = 52000,

Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,


a =C − SQ

=5200013000

= 4


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 6.






Rjesenje:

C = 60000n = 4S = 8000

a = ?

C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,


a =C − SQ

=5200013000

= 4


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 6.






Rjesenje:

C = 60000n = 4S = 8000

a = ?

C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,


a =C − SQ

=

5200013000

= 4


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 6.






Rjesenje:

C = 60000n = 4S = 8000

a = ?

C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,


a =C − SQ

=5200013000

= 4


IPS

AMORTIZACIJA

Linearna amort.


Met. sume znam.

Metode salda

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA



n br.proiz. Rk Dk Bk

0 - - - 60000,00

1 4000 16000,00 16000,00 44000,00

2 3500 14000,00 30000,00 30000,00

3 2900 11600,00 41600,00 28400,00

4 2600 10400,00 52000,00 8000,00


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

Jedn. i sl. kamatni racun

Periodske uplate/isplate

Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Sadrzaj

1 AMORTIZACIJA
















IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Pojam anticipativnog obracuna kamata

Kod anticipativnog obracuna kamata duznik kamate na

posudeni iznos placa unaprijed, na pocetku razdoblja na koje se

dug odnosi, a na kraju razdoblja vraca posudeni iznos.

Posljedica takvog obracuna kamata je da duznik na pocetku

razdoblja raspolaze posudenim iznosom umanjenim za kamate.

q - kamatna stopa kod anticipativnog obracuna kamata

Kamate pocetkom godine za jednu godinu jednake su:

I =C0 · q100


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Dekurzivni vs. anticipativni kam. racun

Primjer 7.

Usporedimo dekurzivni i anticipativni kamatni racun na

primjeru posudbe glavnice od 1000 kn na godinu dana uz

godisnju kamatnu stopu 10%?

Rjesenje:

vrijeme dekurzivni anticipativni

1.1. 1000 1000

-100

”+” 1000 900

31.12. 1000 1000

+100

”−” 1100 1000


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Jednostavni anticipativni obracun kamata

Kamate pocetkom godine za n godina, n puta su vece od

kamata za jednu godinu:

Iuk = Cn ·q · n100

Nadalje, C0 = Cn − Iuk, iz cega slijedi

Cn = C0 ·100

100− q · n

Izraz ima smisla za 100− q · n > 0, odnosno q < 100n .


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 8.

Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet

godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i


Rjesenje:

C0 = 10000q = 6n = 5

C5 = ?

Cn = C0 ·100

100− q · n

= 10000 ·(

100100− 6 · 5

)= 14285, 71


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 8.




Rjesenje:

C0 = 10000q = 6n = 5

C5 = ?

Cn = C0 ·100

100− q · n

= 10000 ·(

100100− 6 · 5

)

= 14285, 71


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 8.




Rjesenje:

C0 = 10000q = 6n = 5

C5 = ?

Cn = C0 ·100

100− q · n

= 10000 ·(

100100− 6 · 5

)= 14285, 71


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Slozeni anticipativni obracun kamata

Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine

uz slozen i anticipativan obracun kamata.

C1 − C1q

100= C0 ⇒ C1 = C0

100100− q

= C0

(100

100− q

)1

,

C2 − C2q

100= C1 ⇒ C2 = C1

100100− q

= C0

(100

100− q

)2

,

C3 − C3q

100= C2 ⇒ C3 = C2

100100− q

= C0

(100

100− q

)3

,

...

Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?

Cn = C0

(100

100− q

)n


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Anticipativni kamatni faktor

Uvodimo oznaku za anticipativni kamatni faktor

ρ =100

100− q

Uz uvrstavanje anticipativnog kamatnog faktora slijedi

izraz za konacnu vrijednost glavnice,

Cn = C0 · ρn

Primjetimo da izraz ima smisla za 100− q > 0, odnosno

q < 100.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 9.


godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju

kamatnu stopu 6%?

Rjesenje:

C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100

100−6= 1, 063829787

n = 5

C5 = ?

C5 = C0 ·(

100100− q

)n= 10000 ·

(100

100− 6

)5

= 13625, 76

Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 9.



kamatnu stopu 6%?

Rjesenje:

C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100

100−6= 1, 063829787

n = 5

C5 = ?

C5 = C0 ·(

100100− q

)n=

10000 ·(

100100− 6

)5

= 13625, 76



IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 9.



kamatnu stopu 6%?

Rjesenje:

C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100

100−6= 1, 063829787

n = 5

C5 = ?

C5 = C0 ·(

100100− q

)n= 10000 ·

(100

100− 6

)5

= 13625, 76



IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Odnos dekurzivne i anticipativne kamatne

stope

Ako neku glavnicu ulozimo uz istu dekurzivnu i anticipativnu

kamatnu stopu, konacne vrijednosti nece biti jednake. Vecu

konacnu vrijednost dobili bi uz anticipativan obracun kamata.

Za zadanu godisnju dekurzivnu kamatnu stopu, ekvivalentnu

anticipativnu kamatnu stopu (i obrnuto) odredili bi iz relacije

C0

(1 +

p

100

)= C0 ·

100100− q

.

Slijedi,

p =100 · q100− q

, q =100 · p100 + p

.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Ispodgodisnje ukamacivanje

Relativna kamatna stopa qr dobije se tako da godisnju

kamatnu stopu podijelimo brojem razdoblja na koji smo

podijelili godinu. Vrijedi:

qr =q

m

Medutim, iznos koji se dobije ako glavnicu ukamatimo m

puta godisnje uz qr, razlikuje se od onoga kojeg dobijemo

ako istu glavnicu ukamatimo jednom godisnje uz godisnju

kamatnu stopu q. Stoga uvodimo konformnu kamatnu

stopu q′ .


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Izvod formule za anticipativnu konformnu

kamatnu stopu

Zelimo li da pocetna vrijednost glavnice uz nominalnu kamatnu

stopu i jedno ukamacivanje bude jednaka pocetnoj vrijednosti

glavnice nakon m ukamacivanja, moramo uvesti konformnu

kamatnu stopu q′.

Dakle, vrijediC1100

100−q

=C1(

100100−q′

)miz cega slijedi,

q′ = 100

(1− m

√1− q

100

)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Formule za periodske uplate i isplate

Analogne formule formulama za dekurzivni kamatni

racun, uz zamjenu ρ umjesto r.

S = R · ρ · ρn − 1ρ− 1

S′ = R · ρn − 1ρ− 1

A = R · ρn − 1ρn−1 · (ρ− 1)

A′ = R · ρn − 1ρn · (ρ− 1)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Otplata kredita jednakim anuitetima

Za razliku od otplate kredita kod dekurzivnog obracuna

kamata, kod anticipativnog obracuna svaki anuitet sadrzi

kamate unaprijed za sljedeci period, tako npr. anuitet koji

placamo na kraju 5. godine sadrzi kamate za 6. godinu

(tocnije, one obracunavane na pocetku 6. sto je u biti na kraju

5. godine). Posljedica toga je da ne mozemo jednostavno

upotrijebiti odgovarajuci izraz za dekurzivni kamatni racun kao

sto smo to dosad cinili.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Otplata kredita jednakim anuitetima

No, pokaze se da je formula za kredit kod otplate kredita

jednakim anuitetima krajem razdoblja uz anticipativan obracun

kamata, analogna formuli za kredit kod dekurzivnog racuna, ali

uz prenumerando anuitete.

K = a ·ρn − 1

ρn−1 · (ρ− 1)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Izrada otplatne tablice kredita

Uslijed ranije navedenog i izrada otplatne osnovice kredita

kod anticipativnog racuna se razlikuje od dosad poznate i

racuna se prema formulama koje slijede:

a = K ·ρn−1 · (ρ− 1)

ρn − 1

I0 =K · q100

, Rk = (a− I0) · ρk

Ik = a−Rk, Ok = Ok−1 −Rk.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Primjer 10.

Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu

mjesecnim anuitetima, anticipativan obracun i godisnju

kamatnu stopu 13%. Izradimo otplatnu tablicu kredita.

Rjesenje:

K = 6000q = 13 ⇒ ρ = 12

√100

100−13= 1, 011672774

n = 6

a = ?

br. mj. k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok

0 - - - 6000,00

1

2

3

4

5

6


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 =

1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 =

69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ =

971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 =

58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 =

6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 =

982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 =

46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 =

4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Rjesenje

a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24

I0 = K q′

100 = 69, 23

R1 = (a− I0)ρ = 971, 22

I1 = a−R1 = 58, 02

O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78

R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55

I2 = a−R2 = 46, 69

O2 = O1 −R2 = 4046, 23

itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN



Kredit

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Otplatna osnova

k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok

0 - 69,23 - 6000,00

1 1029,24 58,02 971,22 5028,78

2 1029,24 46,69 982,55 4046,23

3 1029,24 35,22 994,02 3052,21

4 1029,24 23,62 1005,62 2046,59

5 1029,24 11,89 1017,35 1029,24

6 1029,24 0,00 1029,24 0,00

Σ 6175,44 175,44 6000,00 -


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti


Tablice smrtnosti i princip

ekvivalencije

Premije u osiguranju

zivota

Sadrzaj

1 AMORTIZACIJA
















IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Uvod

U praksi se cesto javlja potreba da znamo koliko elemenata ima neki

konacni skup kojeg promatramo, tj. treba odrediti njegov kardinalni

broj. Tim problemom se bavi grana matematike pod nazivom

kombinatorika.

Ponekad je to prebrojavanje elemenata jednostavno, no cesto to

prebrojavanje moze biti komplicirano te se moramo posluziti nekom

od metoda prebrojavanja.

Metode prebrojavanja:

bijektivna korespodencija,

princip sume,

princip produkta,

formula ukljucivanja-iskljucivanja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Principi prebrojavanja

Princip jednakosti (bijektivna korespodencija)

Ako postoji bijekcija izmedu skupova A i B, tada je

k(A) = k(B).

Princip jednakosti koristimo kada nam je umjesto zadanih

objekata jednostavnije prebrojiti neke druge objekte koji

su s njima u bijekciji.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Princip sume

Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi koji su u parovima

disjunktni, tj.

Ai ∩Aj = ∅ za i 6= j.

Tada je

k(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

)=

n∑i=1

k(Ai).

Princip sume koristimo kada nam je lakse prvo skup

(cjelinu) razbiti na vise dijelova, a zatim prebrojiti koliko

ima objekata u pojedinim dijelovima.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Princip produkta

Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi, tada je

k(A1 ×A2 × · · · ×An

)=

n∏i=1

k(Ai).

Princip produkta se cesto formulira u sljedecem obliku:

Teorem 1 (O uzastopnom prebrojavanju).

Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi, a

A ⊆ A1 ×A2 × · · · ×An skup uredenih n-torki(x1, x2, . . . , xn

)definiranih ovako: prva komponenta x1 se moze odabrati na p1

nacina; za svaku odabranu prvu komponentu drugu komponentu x2

mozemo odabrati na p2 nacina itd.; za svaki izbor komponenata

x1, x2, . . . , xn−1, n-tu komponentu xn mozemo birati na pn nacina.

Tada skup A ima p1p2 · · · pn elemenata.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 11.

Dijete ima tri zelene bojice razlicitih nijansi, dvije plave,

dvije smede i jednu zutu.

1 Na koliko nacina dijete moze izabrati jednu bojicu?

2 Na koliko nacina moze izabrati bojice za crtanje

stabla sa smedim deblom i zelenom krosnjom?

Rjesenje:

1 Definiramo sljedece skupove

Z =z1, z2, z3

← skup zelenih bojica

P =p1, p2

← skup plavih bojica

S =s1, s2

← skup smedih bojica

Z =z1← skup zutih bojica


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Tada je

k(Z ∪ P ∪ S ∪ Z

)= k(Z) + k(P ) + k(S) + k

(Z)

=

= 3 + 2 + 2 + 1 = 8

Dijete jednu bojicu moze odabrati na 8 nacina.

2 Prema principu produkta vrijedi

k(S × Z

)= k(S) · k(Z) = 2 · 3 = 6

Smedu bojicu dijete moze izabrati na 2 nacina, a za svaki

takav izbor smede bojice zelenu bojicu moze odabrati na

3 nacina. Dakle, izbor bojica odgovara uredenim

parovima kojima je na prvom mjestu smeda bojica, a na

drugom mjestu zelena bojica.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Permutacije i kombinacije

prebrojavanje

uredenih razmjestaja(vazan je poredak objekata)

neuredenih razmjestaja(nije vazan poredak objekata)

bez ponavljanjaobjekata

sa ponavljanjemobjekata

bez ponavljanjaobjekata

sa ponavljanjemobjekata

PERMUTACIJE (VARIJACIJE) KOMBINACIJE


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Permutacije

Definicija 2.

r-permutacija n-clanog skupa S je uredena r-torka kod

koje su sve komponente medusobno razliciti elementi

skupa S.

U slucaju da je r = n = k(S), tada umjesto n-permutacija kratko

govorimo permutacija.

Ukupni broj svih r-permutacija n-clanog skupa oznacavamo s

P (n, r).

Broj r-permutacija n-clanog skupa

P (n, r) =n!

(n− r)!= n · (n− 1) · · · (n− r + 1)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 12.

Cetiri skakacice (a, b, c, d) se natjecu za tri medalje.

Ispisimo sve moguce ishode natjecanja.

Rjesenje:

(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c),

(b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c),

(c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b),

(d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b)

Radi se o 3-permutacijama cetveroclanog skupa a, b, c, d i

ukupno ih ima P (4, 3) = 4!(4−3)! = 4!

1! = 24.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Kombinacije

Definicija 3.

r-kombinacija n-clanog skupa S je r-clani podskup od

S.

To je zapravo neuredeni izbor od r elemenata u skupu S.

Ukupni broj svih r-kombinacija n-clanog skupa oznacavamo s

C(n, r) ili(

nr

), a taj je broj zapravo jednak ukupnom broju svih

r-clanih podskupova n-clanog skupa.

Broj r-kombinacija n-clanog skupa

C(n, r) =(n

r

)=

n!r!(n− r)!

=n(n− 1) · · · (n− r + 1)

r!


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 13.

Ispisimo sve moguce izbore tri elementa cetveroclanog

skupa a, b, c, d.

Rjesenje:

a, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d

Radi se o 3-kombinacijama skupa a, b, c, d i ukupno ih ima(43

)= 4!

3!(4−3)! = 4.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 14.

Na koliko se nacina moze odabrati pocetna petorka u

kosarkaskoj ekipi koja ima 10 igraca?

Rjesenje: Odabir pocetne petorke zapravo odgovara

peteroclanom podskupu u skupu od 10 elemenata. Stoga

pocetnu petorku mozemo izabrati na(105

)=

10 · 9 · 8 · 7 · 65 · 4 · 3 · 2 · 1

= 252

nacina.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 4.

r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa S je

uredena r-torka elemenata skupa S u kojoj su dozvoljena

ponavljanja elemenata iz skupa S.

Ukupni broj svih r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa

oznacavamo s P (n, r).

Uz pretpostavku da svaki element mozemo ponoviti po volji mnogo

puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeca formula

Broj r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa

P (n, r) = nr


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 15.

Ispisimo sve 3-permutacije s ponavljanjem skupa

a, b, c, d.

Rjesenje:(a, a, a), (a, a, b), (a, a, c), (a, a, d), (a, b, a), (a, b, b),

(a, b, c), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, b), (a, c, c), (a, c, d),

(a, d, a), (a, d, b), (a, d, c), (a, d, d), (b, a, a), (b, a, b),

(b, a, c), (b, a, d), (b, b, a), (b, b, b), (b, b, c), (b, b, d),

(b, c, a), (b, c, b), (b, c, c), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, b),

(b, d, c), (b, d, d), (c, a, a), (c, a, b), (c, a, c), (c, a, d),

(c, b, a), (c, b, b), (c, b, c), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, b),

(c, c, c), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, b), (c, d, c), (c, d, d),

(d, a, a), (d, a, b), (d, a, c), (d, a, d), (d, b, a), (d, b, b),

(d, b, c), (d, b, d), (d, c, a), (d, c, b), (d, c, c), (d, c, d),

(d, d, a), (d, d, b), (d, d, c), (d, d, d)

Ukupno ih ima 43 = 64.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 5.

r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa S je

izbor od r elemenata skupa S pri cemu poredak nije

vazan, a ponavljanja elemenata su dozvoljena.

Ukupni broj svih r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa

oznacavamo s C(n, r).

Uz pretpostavku da svaki element mozemo ponoviti po volji mnogo

puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeca formula

Broj r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa

C(n, r) =(n+ r − 1

r

)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 16.

Ispisimo sve 3-kombinacije s ponavljanjem skupa

a, b, c, d.

Rjesenje:a, a, a, a, a, b, a, a, c, a, a, d, a, b, b,

a, b, c, a, b, d, a, c, c, a, c, d, a, d, d,

b, b, b, b, b, c, b, b, d, b, c, c, b, c, d,

b, d, d, c, c, c, c, c, d, c, d, d, d, d, d

Ukupno ih ima(4+3−1

3

)=(63

)= 20.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 17.

Na koliko se nacina iz snopa od 52 karte moze izvuci 13

karata, ali tako da medu njima budu 2 zelja, 4 srca, 3

bundeve i 4 zira?

Rjesenje: U snopu od 52 karte imamo po 13 karata svake

boje. Stoga 2 zelja mozemo odabrati na(132

)nacina, 4 srca na(

134

)nacina, 3 bundeve na

(133

)nacina i 4 zira na

(134

)nacina.

Prema principu produkta ukupni broj nacina je jednak(132

)(134

)(133

)(134

)= 11 404 407 300.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Formula ukljucivanja − iskljucivanja

Propozicija 1.

Neka su A i B podskupovi konacnog univerzalnog skupa

U . Tada vrijedi:

1 k(A ∪B

)= k(A) + k(B)− k

(A ∩B

)2 k

(A ∩B

)6 min

k(A), k(B)

3 k

(A \B

)= k(A)− k

(A ∩B

)4 k

(Ac)

= k(U)− k(A)

5 k(A×B

)= k(A) · k(B)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Teorem 2 (Formula ukljucivanja–iskljucivanja).

Za podskupove A1, A2, . . . , An ⊆ S konacnog skupa S

vrijedi

k(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An

)=∑

k(Ai)−∑

k(Ai ∩Aj

)+

+∑

k(Ai ∩Aj ∩At

)−· · ·+(−1)n−1k

(A1∩· · ·∩An

)gdje je prva suma uzeta po svim i ∈ 1, . . . , n, druga

suma po svim 2-kombinacijama i, j ⊂ 1, . . . , n, treca

po svim 3-kombinacijama i, j, t ⊂ 1, . . . , n, itd.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Formula U - I za tri skupa

AB

C

k(A ∪B ∪ C

)= k(A) + k(B) + k(C)− k

(A ∩B

)−

− k(A ∩ C

)− k(B ∩ C

)+ k(A ∩B ∩ C

)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 18.

U razredu 25 ucenik uci engleski, 12 ruski i 19 njemacki

jezik. 15 ucenika uci engleski i njemacki, 6 engleski i

ruski, a 8 ruski i njemacki. Ako 5 ucenika uce sva tri

jezika, koliko je ucenika u razredu?

Rjesenje:

k(E ∪N ∪R

)= k(E) + k(N) + k(R)− k

(E ∩N

)−

− k(E ∩R

)− k(N ∩R

)+ k(E ∩N ∩R

)

k(E ∪N ∪R

)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 = 32


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 18.





Rjesenje:

k(E ∪N ∪R

)= k(E) + k(N) + k(R)− k

(E ∩N

)−

− k(E ∩R

)− k(N ∩R

)+ k(E ∩N ∩R

)

k(E ∪N ∪R

)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 =

32


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 18.





Rjesenje:

k(E ∪N ∪R

)= k(E) + k(N) + k(R)− k

(E ∩N

)−

− k(E ∩R

)− k(N ∩R

)+ k(E ∩N ∩R

)

k(E ∪N ∪R

)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 = 32


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Teorija vjerojatnosti

Osnovni pojam u teoriji vjerojatnosti jest slucajni pokus.

Slucajni pokus je pokus ciji ishodi nisu jednoznacno

odredeni uvjetima u kojima se izvodi.

Skup svih mogucih ishoda slucajnog pokusa zove se prostor

elementarnih dogadaja i taj skup se oznacava sa Ω. Dogadaj je

neki podskup skupa Ω.

Kako su ∅ i Ω podskupovi od Ω, oni su takoder dogadaji.

Prvog od njih zovemo nemoguc dogadaj, a drugog

siguran dogadaj. Svaki moguci dogadaj je unija nekih

elementarnih dogadaja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 19 (Bacanje igrace kocke).

Slucajni pokus je ”bacanje igrace kocke”. Moguci ishodi tog pokusa

su sljedeci:

1 → ”pao je broj 1”






Stoga je skup elementarnih dogadaja

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Neki moguci dogadaji vezani uz bacanje igrace kocke:

A =

pao je parni broj

= 2, 4, 6

B =

pao je broj veci od 4

= 5, 6

C =

pao je neparni broj manji od 5

= 1, 3


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 20 (Bacanje novcica).

Slucajni pokus je ”bacanje novcica”. Moguci ishodi tog

pokusa su sljedeci:

P → ”pojavilo se pismo”

G → ”pojavila se glava”

Stoga je skup elementarnih dogadaja

Ω = P,G.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 21 (Bacanje dvije igrace kocke).

Slucajni pokus je ”bacanje igrace kocke”. Moguci ishodi

tog pokusa su sljedeci:

ωij = (i, j) → ”na prvoj kocki je pao broj i, a na drugoj broj j”

pri cemu su i, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dakle, prostor

elementarnih dogadaja je

Ω =

(i, j) : i, j ∈ 1, 2, . . . , 6

pa imamo ukupno 36 elementarnih dogadaja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Na primjer,

A =

na obje kocke su brojevi manji od tri

=

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)

B =

suma brojeva na obje kocke je 7

=

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

su neki od mogucih dogadaja vezanih uz slucajni pokus

bacanja dvije igrace kocke.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Usporedivanje dogadaja

Definicija 6.

Kazemo da dogadaj A povlaci dogadaj B ako realizacija

dogadaja A povlaci realizaciju dogadaja B.

To znaci da dogadaj B sadrzi sve elementarne dogadaje koje sadrzi i

dogadaj A. U tom slucaju pisemo A ⊂ B. Ako se dogodio dogadaj

A, tada se sigurno dogodio i dogadaj B.

W

A

B


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 22 (Bacanje dvije igrace kocke).

Bacamo dvije kocke. Neka su

A =

na obje kocke su brojevi veci od 4,

B =

suma brojeva na obje kocke je veca od 8.

Dogadaj A povlaci dogadaj B, tj. A ⊂ B, jer ako su oba broja

veca od 4, tada je njihova suma veca od 8. Medutim, dogadaj B ne

povlaci dogadaj A, jer moguce je da na jednoj kocki padne broj 3, a na drugoj 6 (tada nisu na obje

kocke brojevi veci od 4), ali je suma ipak veca od 8.

Dakle, ako se ostvario dogadaj A, tada se sigurno ostvario i

dogadaj B, ali obrnuto ne mora vrijediti.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 7.

Za dogadaje A i B kazemo da su ekvivalentni i pisemo

A = B ako je A ⊂ B i B ⊂ A.

Ekvivalentni dogadaji se sastoje od istih elementarnih dogadaja.

Dogadaj A se ostvario ako i samo ako se ostvario dogadaj B.


Bacamo ispravni novcic cetiri puta. Neka su

A =

pojavila su se tocno tri pisma,

B =

pojavila se tocno jedna glava.

Tada su dogadaji A i B ekvivalentni.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 8.

Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od

dogadaja A i B zovemo unija dogadaja A i B i

oznacavamo s A ∪B.

W

AB

A BÈ


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 9.

Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario svaki od

dogadaja A i B zovemo presjek dogadaja A i B i

oznacavamo s A ∩B.

W

ABA BÇ


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota


Bacamo igracu kocku. Neka su

A =

pao je parni broj

= 2, 4, 6,

B =


= 3, 4, 5, 6.

Sto je A ∪B, a sto A ∩B?

Rjesenje:

A ∪B =


= 2, 3, 4, 5, 6,

A ∩B =

pao je parni broj veci od 2

= 4, 6.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 10.

Za dogadaje A i B kazemo da se medusobno iskljucuju

ili da su disjunktni ako se istovremeno ne mogu ostvariti

oba dogadaja, tj. A ∩B = ∅.


Bacamo igracu kocku. Neka su

A =

pao je parni broj

= 2, 4, 6,

B =

pao je neparni broj veci od 1

= 3, 5.

Tada su dogadaji A i B disjunktni.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija 11.

Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario dogadaj A, a

nije se ostvario dogadaj B zovemo razlika dogadaja A i

B i oznacavamo s A \B.

Posebno, dogadaj Ω \A naziva se komplementom ili suprotnim

dogadajem dogadaja A kojeg oznacavamo s Ac ili A. Dogadaj Ac

se ostvaruje ako i samo ako se nije ostvario dogadaj A.

W

AB

A B\


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota


Bacamo igracu kocku.

A =

pao je parni broj

= 2, 4, 6,

Ac =

pao je neparni broj

= 1, 3, 5.

A

Ac


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Definicija vjerojatnosti

Definicija 12.

Vjerojatnost je funkcija definirana na sigma algebri F od

Ω

P : F → [0, 1]

sa sljedecim svojstvima:

P (Ω) = 1

Za svaku konacnu ili beskonacnu familiju

A1, A2, A3, . . . u parovima disjunktnih podskupova

od Ω vrijedi

P

( ∞⊎n=1

An

)=∞∑n=1

P (An)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Uredena trojka(Ω,F , P

)koja se sastoji od prostora

elementarnih dogadaja Ω i vjerojatnosti P definirane na

sigma algebri F ⊆ P(Ω) zovemo vjerojatnosni prostor.

Teorem 3.

Neka je(Ω, P

)vjerojatnosni prostor. Tada vrijedi:

1 P (∅) = 0,

2 P (A \B) = P (A)− P (A ∩B),

3 P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B),

4 P (Ac) = 1− P (A),

5 Ako je A ⊆ B, tada je P (A) 6 P (B).


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Klasicni vjerojatnosni prostor

Ako promatramo slucajni pokus koji ima konacno mnogo

ishoda u vecini situacija je razumno pretpostaviti da su svi ti

ishodi (elementarni dogadaji) jednako vjerojatni.

U tom slucaju takav vjerojatnosni prostor zovemo

klasicni vjerojatnosni prostor.

Ω = ω1, ω2, . . . , ωn

pi = P(ωi

)=

1n, i = 1, 2, . . . , n

A ∈ P(Ω), A =ωi1 , ωi2 , . . . , ωik

P (A) = pi1 + pi2 + · · ·+ pik =

k

n


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Vjerojatnost dogadaja A

Klasicni vjerojatnosni prostor

P (A) =broj povoljnih ishoda

broj mogucih ishoda


Dva su elementarna dogadaja ω1 = P (pojavilo se pismo) i

ω2 = G (pojavila se glava) pa je prirodno pretpostaviti da je

P(ω1

)= 1

2 , P(ω2

)= 1

2 ,

tj., da je jednako vjerojatno da se kod bacanja novcica pojavi

pismo ili glava.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota


Znamo da u ovom slucaju postoji 6 elementarnih dogadaja i svi

su jednako vjerojatni da se dogode, tj.

P(i)

=16, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Na primjer,

P(pao je paran broj

)= P

(2, 4, 6

)= 3

6

P(pao je broj veci od 1

)= P

(2, 3, 4, 5, 6

)= 5

6

su vjerojatnosti nekih dogadaja vezanih uz bacanje kocke.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 29.

Ako se zna da je od 100 zarulja njih 8 neispravnih, kolika

je vjerojatnost da ce od cetiri odabrane zarulje sve cetiri

biti ispravne?

Rjesenje: Od 100 zarulja njih 4 mozemo odabrati na(1004

)nacina. Cetiri ispravne zarulje mozemo odabrati na

(924

)nacina. Stoga je vjerojatnost da sve cetiri odabrane zarulje

budu ispravne jednaka

P (A) =broj povoljnih ishoda

broj mogucih ishoda=

(924

)(1004

) ≈ 0.713


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Uvjetna vjerojatnost

Definicija 13.

Uvjetna vjerojatnost dogadaja A, ako je poznato da se

ostvario dogadaj B takav da je P (B) > 0, je broj

P (A | B) definiran s

P (A | B) =P (A ∩B)P (B)

.

Formulu uvjetne vjerojatnosti mozemo pisati i u obliku

P (A ∩B) = P (A | B)P (B)

koja se koristi kod racunanja presjeka dva dogadaja jer se uvjetna

vjerojatnost puno lakse racuna od vjerojatnosti presjeka dogadaja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota


A =

pao je broj 5

B =

pao je neparan broj

C =

pao je paran broj

P (A) = 16

P (A | B) = 13

P (A | C) = 0

P (B | A) = 1


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Motivirani prethodnim primjerom uvodimo sljedecu definiciju.

Definicija 14.

Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi

P (A | B) = P (A) ili P (B | A) = P (B).

Nuzan i dovoljan uvjet za nezavisnost je

P (A ∩B) = P (A)P (B).


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 31.

Ako su dvije kocke pale na razlicite brojeve, kolika je

vjerojatnost da je zbroj tih brojeva veci od 8?

Rjesenje: Definiramo sljedece dogadaje

A =

suma brojeva na obje kocke je veca od 8

B =

kocke su pale na razlicite brojeve

Trazimo P (A | B). Kako je

A ∩ B =

(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)

slijedi da je

P (A | B) =P (A ∩B)P (B)

=8363036

=830

=415.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Bayesova formula

Pretpostavimo da skup elementarnih dogadaja mozemo

rastaviti na n medusobno disjunktnih dogadaja

Ω = H1 ]H2 ] · · · ]Hn

pri cemu je P (Hi) > 0 za svaki i ∈ 1, 2, . . . , n. Ovakav

rastav zovemo particija vjerojatnosnog prostora. Kazemo jos

da familijaH1, H2, . . . ,Hn

cini potpun sustav dogadaja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Teorem 4 (Formula potpune vjerojatnosti).

Neka jeH1, H2, . . . , Hn

potpun sustav dogadaja u

vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P

). Tada za svaki dogadaj A ∈ F

vrijedi

P (A) =n∑

i=1

P (Hi)P (A | Hi).

Teorem 5 (Bayesova formula).

Neka jeH1, H2, . . . , Hn

potpun sustav dogadaja u

vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P

). Tada za svaki dogadaj A ∈ F

za koji je P (A) > 0 vrijedi

P (Hi | A) =P (Hi)P (A | Hi)

n∑j=1

P (Hj)P (A | Hj)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 32.

U prvoj se kutiji nalaze cetiri bijele i dvije crne kuglice, u

drugoj tri bijele i dvije crne. Iz prve kutije prebacimo u

drugu jednu slucajno odabranu kuglicu. Kolika je

vjerojatnost da nakon toga na srecu odabrana kuglica iz

druge kutije bude bijela?

Rjesenje: Neka je A dogadaj da je izvucena kuglica iz druge

kutije bijela nakon sto smo iz prve kutije u drugu premjestili

jednu slucajno odabranu kuglicu. Definiramo hipoteze

H1 =

iz prve kutije u drugu je prebacena bijela kuglica

H2 =

iz prve kutije u drugu je prebacena crna kuglica


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Kako u prvoj kutiji imamo 4 bijele i 2 crne kuglice,

vjerojatnosti pojedinih hipoteza su

P (H1) =46

=23, P (H2) =

26

=13.

Pojedine uvjetne vjerojatnosti su

P (A | H1) =46

=23, P (A | H2) =

36

=12.

Prema formuli potpune vjerojatnosti je

P (A) = P (H1)P (A | H1) + P (H2)P (A | H2)

P (A) =23· 2

3+

13· 1

2

P (A) =1118


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Uvod

Definicija 15.

AKTUARSKA MATEMATIKA (eng. actuarial

mathematics, njem. Versicherungsmathematik) je dio

osiguravateljne znanosti koji matematickim metodama na

temelju racuna vjerojatnosti i statistike, financijske matematike,

stohastickih modela, teorije rizika i teorije kredibiliteta utvrduje

cjenike osiguranja, potrebne garantne rezerve i druge rezerve u

osiguranju, proracune vezane za reosiguravateljno pokrice,

visinu samopridrzaja i druge elemente poslovne politike.

Razlikujemo diskretnu i kontinuiranu matematiku osiguranja.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Oznake- poseban sustav medunarodno prihvacenih oznaka

Poznate oznake: p, n, m, r = 1 + p100

Nove oznake: i = p100

, v = 1r, d = 1− v = r−1

r= i

r

Formule:

Cn = C0(1 + p·n100 ) → S = B · (1 + i · n)

Cn = C0 · rn → S = B · rn

S = R · r · rn−1r−1 → sne = r · rn−1

r−1

S′ = R · rn−1r−1 → sne = rn−1

r−1

A = R · rn−1rn−1(r−1) → ane = rn−1

rn−1(r−1)

A′ = R · rn−1rn(r−1) → ane = rn−1

rn(r−1)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Racunske osnovice

Racunske osnovice kod osiguranja zivota:

1 kamate (periodske uplate i isplate)

2 smrtnost (tablica smrtnosti)

3 troskovi

Razlikujemo tri vrste troskova:

troskove zakljucenja (akvizicijski) - jednokratni (stopa troskova α)

inkaso troskovi - troskovi prikupljanja premija (stopa troskova β)

upravni troskovi - (stopa troskova γ)


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Tablica smrtnosti

Zadatak: Zelimo odrediti vjerojatnost (qx, x = 0, 1, . . . , ω) da osoba stara

x godina ne dozivi (x+ 1)-vi rodendan.

1 Promatramo skup x-godisnjaka (Lx) godinu dana i odredimo broj

umrlih tijekom godine (Tx). Kvocijenti TxLx

daju sirove vrijednosti

vjerojatnosti preminuca. Obzirom da tijekom godine skupu Lx

pridodamo Ex i oduzmemo Ax, vjerojatnost preminuca dana je

formulom:

qx ≈Tx

Lx + Ex−Ax2

2 Dobivene vrijednosti poravnavamo: graficki, mehanicki ili analiticki.

3 Odredimo vjerojatnost dozivljenja px = 1− qx- vjerojatnost da osoba stara x godina dozivi iduci rodendan.

4 Odredimo broj osoba koje dozive x godina (lx) na nacin,

l1 = l0 · p0, l2 = l1 · p1, . . . lx = lx−1 · px−1

5 Brojevi lx cine tablicu smrtnosti, jos zvanu poredak umrlih ili

poredak zivih.


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Tablica smrtnosti

-poprjecni i uzduzni postupak izrade tablica smrtnosti

lx - ”zivi tablice smrtnosti”

(broj zivih x- godisnjaka)

dx = lx − lx+1 - ”mrtvi tablice smrtnosti”

(broj x-godisnjaka umrlih tijekom (x+ 1)-ve godine)

ex - srednje trajanje zivota

(broj godina zivota koje x-godisnjak moze ocekivati)

ex =12

+lx+1 + lx+2 + . . .+ lω

lx


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer

Starost Broj živih Broj mrtvihVjerojatnost

smrtiVjerojatnost doživljenja

Očekivano trajanje života

x l x d x q x p x e x

0 100000 1367 0,013670 0,986330 68,25

1 98633 85 0,000862 0,999138 68,19

2 98548 45 0,000457 0,999543 67,24

3 98503 53 0,000538 0,999462 66,27

4 98450 46 0,000467 0,999533 65,31

5 98404 40 0,000406 0,999594 64,34

20 97674 140 0,001433 0,998567 49,75

21 97534 154 0,001579 0,998421 48,82

22 97380 145 0,001489 0,998511 47,90

23 97235 149 0,001532 0,998468 46,97

24 97086 142 0,001463 0,998537 46,04

25 96944 142 0,001465 0,998535 45,11

98 82 43 0,524390 0,475610 1,18

99 39 22 0,564103 0,435897 0,93

100 17 17 1,000000 0,000000 0,50

Tablice smrtnosti


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Jednogodisnje vjerojatnosti

qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom

naredne godine

−→ qx =dx

lx=

lx − lx+1

lx

px - vjerojatnost da osoba stara x godina pozivi narednu

godine

−→ px = 1− qx =lx+1

lx

Primjer 33.

Kolika je vjerojatnost da ce muska osoba stara 21 godinu dozivjeti

22. godinu?

Rjesenje:

x = 21

px = ?

px =l22

l21=

98156

98250= 0, 9990


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Vjerojatnosti dozivljenja i smrti

npx - vjerojatnost da ce x-godisnjak zivjeti narednih n godina

−→ npx =lx+n

lx

nqx - vjerojatnost da ce x-godisnjak umrijeti u narednih n

godina

−→ nqx = 1−n px =lx − lx+n

lx

n|qx - vjerojatnost da ce x-godisnjak dozivjeti x+ n godina i

umrijeti u sljedecoj

−→ n|qx =dx+n

lx=n px · qx+n


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Oznake - komutativne vrijednosti

Dx - diskontirani broj zivih osoba starosti x

Dx = lx · vx

Nx - zbroj diskontiranih zivih osoba starijih od x godina

Nx = Dx +Dx+1 + . . .+Dω

Cx - diskontirani broj umrlih osoba starosti x

Cx = dx · vx+1

Mx - zbroj diskontiranih umrlih osoba starijih od x godina

Mx = Cx + Cx+1 + . . .+ Cω


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Princip ekvivalencije

premija = uplata osiguranika (kotizacija)

Princip ekvivalencije

sadasnja vrijednost matematicki ocekivanih uplata =

sadasnja vrijednost matematicki ocekivanih isplata

poopcenje pojma sadasnje vrijednosti - tzv. bruto sadasnja

vrijednost

(ukljucuje diskontiranje, ali i smrtnost i troskove)

neto jednokratna premija - podmirivanje obaveza jednokratno

na pocetku osiguranja


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjena principa ekvivalencije

Primjena principa ekvivalencije u osiguranju na dozivljenje

Okvir

Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljucuje osiguranje placanjem pre-

mije B kako bi u dozivjeloj starosti x + n raspolagao osiguranom

svotom S.

lx zivih zakljucuje osiguranje uz premiju B, a samo ce lx+n zivih

nakon n godina dobiti osiguranu svotu S, koja u trenutku

ugovaranja vrijedi S · vn.

lx ·B = lx+n · S · vn

B = S · lx+n

lx· vn = S · lx+n · vx+n

lx · vx= S · Dx+n

Dx= S ·n Ex

B = S · Dx+n

Dx


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 34.

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako

bi nakon dozivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom

od 10 000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25

B = ?

B = S · D65

D40= 10000 · 7992, 32

24165, 12= 3307, 38


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 34.



od 10 000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25

B = ?

B = S · D65

D40=

10000 · 7992, 3224165, 12

= 3307, 38


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer 34.



od 10 000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25

B = ?

B = S · D65

D40= 10000 · 7992, 32

24165, 12= 3307, 38


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjena principa ekvivalencije

Primjena na odgodeno jednogodisnje osiguranje za slucaj smrti

Okvir

Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljucuje osiguranje placanjem pre-

mije B. Ukoliko dozivi starosti x+n godina i premine u iducoj godini

(x+ n+ 1) njegova bi obitelj raspolagala osiguranom svotom S.

lx ·B = dx+n · S · vn+1

B = S · dx+n

lx·vn+1 = S · dx+n · vx+n+1

lx · vx= S ·Cx+n

Dx= S ·n|1Ax

B = S · Cx+n

Dx


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota


Poopcenje osobnih renti (periodskih isplata):

neodgodena dozivotna osobna renta

neodgodena osobna renta trajanja n godina

za m godina odgodena dozivotna renta

(starosna renta)

Nekoliko posebnih vrsta osiguranja:

1 osiguranje za slucaj dozivljenja

2 osiguranje za slucaj smrti

neodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti

privremeno osiguranje za slucaj smrti

3 mjesovito osiguranje


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Osobne rente

Neodgodena osobna dozivotna renta - nakon uplate

premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta

ax := 1 +Dx+1

Dx

+Dx+2

Dx

+ . . .+Dω

Dx

=Nx

Dx

Primjer 35.


bi dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?

Rjesenje:

R = 6000x = 40

B = ?

B = R · a40 = R · N40

D40= 119479, 29


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Osobne renteNeodgodena osobna renta trajanja n godina

- nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplacuje renta

ax:ne := 1 +Dx+1

Dx+

Dx+2

Dx+ . . . +

Dx+n−1

Dx=

Nx − Nx+n

Dx

Primjer 36.

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi

iducih 25 godina dobivao godisnju rentu visine 6000 €?

Rjesenje:

R = 6000x = 40n = 25

B = ?

B = R · a40:25e = R ·N40 −N65

D40= 96466, 24


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Osobne renteStarosna renta - m godina odgodena dozivotna renta - nakon

uplate premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta tek nakon

isteka m godina

m|ax :=Dx+m

Dx+

Dx+m+1

Dx+ . . . +

Dω

Dx=

Nx+m

Dx

Primjer 37.


od svoje 65 godine dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?

Rjesenje:

R = 6000x = 40m = 25

B = ?

B = R ·25| a40 = R ·N65

D40= 23013, 05


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

1. Osiguranje za slucaj dozivljenja

Osiguranje za slucaj dozivljenja - nakon uplacene premije

osiguraniku se nakon n godina isplacuje osigurana svota

nEx :=Dx+n

Dx

Primjer 38.


nakon navrsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine

6000 €?

Rjesenje:

S = 6000x = 40n = 25

B = ?

B = S ·25| E40 = S ·D65

D40= 1984, 43


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

2. Osiguranje za slucaj smrtiNeodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti - po uplati

premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplacuje

osigurana svota

Ax :=Cx

Dx+

Cx+1

Dx+ . . . +

Cω

Dx=

Mx

Dx

Primjer 39.

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u

slucaju njegove smrti osiguravajuce drustvo njegovoj obitelji isplatilo

10000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40

B = ?

B = S ·A40 = S ·M40

D40= 3264, 80


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

2. Osiguranje za slucaj smrtineodgodeno osiguranje za slucaj smrti s trajanjem n godina -

nakon uplate premije, u slucaju smrti osiguranika u iducih n godina,

osiguranikovoj se obitelji isplacuje osigurana svota

|nAx :=Cx

Dx+

Cx+1

Dx+ . . . +

Cx+n−1

Dx=

Mx − Mx+n

Dx

Primjer 40.

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u

slucaju njegove smrti u iducih 25 godina njegova obitelj raspolagala

s osiguranom svotom visine 10000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40m = 25

B = ?

B = S ·|25 A40 = S ·M40 −M65

D40= 1254, 45


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

3. Mjesovito osiguranjeMjesovito osiguranje

= osiguranje za slucaj dozivljenja + osiguranje za slucaj smrti

Ax:ne :=n Ex +|n Ax =Dx+n + Mx − Mx+n

Dx

Primjer 41.

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz

mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao

osiguranom svotom visine 10000 €?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25

B = ?

B = S ·D65 +M40 −M65

D40= 4561, 83


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

3. Mjesovito osiguranje

Dostatna premija mjesovitog osiguranja - ukljucuje troskove

Aax:ne := Ax:ne + α+ β ·Aa

x:ne + γ · ax:ne

Aax:ne =

Ax:ne + α+ γ · ax:ne

1 − β

Primjer 42.

Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz

mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao

osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 025, β = 0, 01 i

γ = 0, 002?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25α = 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002

B = ?

B = S ·Aa40:25e = 5185, 24


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

3. Mjesovito osiguranje

Dostatna godisnja premija mjesovitog osiguranja - P ax:ne

P ax:ne · ax:ne = Ax:ne + α+ β · P a

x:ne · ax:ne + γ · ax:ne

P ax:ne =

Ax:ne + α+ γ · ax:ne

(1 − β) · ax:ne

P a = P +α

ax:ne·(

1− Dx+n

Dx

)+ β · P a + γ

P a =|nAx + α ·

(1 − Dx+n

Dx

)+ γ

(1 − β) · ax:ne


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Primjer - mjesovito osiguranje

Primjer 43.

Koliku godisnju bruto premiju bi uz mjesovito osiguranje morao uplacivati

osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao

osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 035, β = 0, 03 i

γ = 0, 00425?

Rjesenje:

S = 10000x = 40n = 25α = 0, 035β = 0, 03γ = 0, 00425

B = ?

B = S · Pa = S ·|25A40 + α ·

(1− D65

D40

)+ γ

(1− β) · a40:25e= 131, 53


IPS

AMORTIZACIJA

ANTICIPATIVAN

OBRACUN

MATEMATIKA

OSIGURANJA

Osnovni pojmovi

vjerojatnosti



ekvivalencije


zivota

Ovo je kraj predmeta

FINANCIJSKA MATEMATIKA

Hvala na paznji i strpljenju!

financijska matematika ips-iiidio

Documents