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Grupos de Lie
Alonso Sepulveda S.
Instituto de FısicaUniversidad de Antioquia
Medellın, junio 2014
Indice general
1. Grupo de Lie 1
1.1. Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Definicion de grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Antisimetrıa de cijk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Representacion regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Grupo SU(N) 9
2.1. Definicion y reglas de transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Matrices escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Producto directo. Representaciones simetricay antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Representacion adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Representacion regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. Representacion regular, adjunta y matrices escalera . . . . . . . . . . 19
2.7. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Grupo SO(3) 21
3.1. Representacion definitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Cinematica en un sistema rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Grupo SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4. Rotacion de coordenadasversus rotacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Adicion de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6. Autofunciones del operador de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7. Reduccion del producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8. SO(3) y angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
iv/ Grupos de Lie
4. Grupo SU(2) 354.1. Representacion definitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1. Autofunciones de J2 y J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2. Reduccion de un producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1. Ejemplos de reducciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Homomorfismo entre SO(3) y SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1. Rotaciones en SO(3) y SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.2. Conexion entre U y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.3. Vectores, tensores y espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4. SU(2) y angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Isospın 465.1. Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2. Grupo SU(2) de isospın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1. Nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.2. Otros multipletes de SU(2) de isospın . . . . . . . . . . . . . 495.2.3. Producto directo de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6. Quarks 526.1. Grupo SU(3) y quarks. El camino octuple . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.1. Representacion definitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.2. Operadores escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.3. Grupos SU(2) en SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.4. Quarks y antiquarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2. Productos directos de SU(3) del sabor . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.1. Representacion 3⊗ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.2. Representacion 3⊗ 3∗. El octete de mesones . . . . . . . . . . 60
6.3. Metodos tensoriales para la reduccion de representaciones de SU(3) . 666.3.1. Decuplete de bariones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.2. Octete de bariones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4. Notas sobre el grupo SU(3) del color . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7. Grupo SU(5) de unificacion 747.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2. Matrices escalera. Representacion definitoria . . . . . . . . . . . . . . 747.3. Representaciones simetrica y antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . 797.4. Representacion adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5. Asignacion de fermiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.6. La representacion adjunta y la asignacion de bosones gauge . . . . . 867.7. El lagrangiano de SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Apendices 93
Indice general /v
A. Producto directo y suma directa de matrices 95
B. Algebra de Lie graduada 99
Bibliografıa 103
vi/ Grupos de Lie
1
Grupo de Lie
1.1. Prologo
La teorıa de grupos de Lie esta en el centro matematico de la fısica de laspartıculas elementales. Ella contiene la esencia de la nocion de simetrıa que, asu vez, esta en la base de la formulacion variacional lagrangiana, que genera lasecuaciones de movimiento y las leyes de conservacion del momento lineal, angular,energıa, etc.
Este librito es una introduccion corta y simple al tema.
1.2. Definicion de grupo de Lie
Un grupo es un conjunto G = A,B, C, · · · finito, enumerablemente infinito ocontinuo, y una regla binaria de composicion A ·B sobre G que satisface:
1. Existencia de la identidad: I ·A = A · I = A para todo A en G.2. Completez: si A y B estan en G, A ·B es unico y esta en G.3. Existencia del inverso para cada elemento de G, tal que A−1A = AA−1 = I.4. Asociatividad: (A ·B) · C = A · (B · C).Nos restringiremos en todo lo que sigue a grupos continuos.Sea G = U(α) un conjunto continuo de operadores lineales con αk parame-
tros reales y continuos. El ındice k va de 1 a N , siendo N la dimension del espacioparametrico. Los U(α) actuan sobre un espacio lineal. U(α) es una funcion analıtica,con derivadas de todos los ordenes respecto a αk.
En aplicaciones fısicas U(α) es una matriz cuadrada que actua sobre un espaciovectorial de dimension finita o un operador diferencial que actua sobre un espaciode funciones de dimension infinita.
Impondremos sobre el conjunto G = U(α) las condiciones que lo conviertenen un grupo de Lie:
1
2/ Grupos de Lie
1. Existencia de la identidad. El elemento identidad I corresponde al valor α =0; esto es, U(0) = I. Cada elemento del grupo esta conectado con la identidad,puede generarse desde ella por variacion continua de los parametros αk.
Infinitesimalmente, e introduciendo la convencion suma sobre ındices repetidos(que sera utilizada en lo sucesivo, a menos que explıcitamente sea dicho lo contrario)puede escribirse:
U(dα) = I − i dαkGk = I − i dα ·G,
donde G es un conjunto de n operadores linealmente independientes. El vector α,del espacio parametrico, tiene n componentes.
Una transformacion finita puede generarse por aplicacion repetida de U(dα):
U(dα)U(dα) · · · (n) = (I − i dα ·G)n =(
I − iα ·Gn
)n
,
con ndα = α. En el lımite n→ ∞ se obtiene
U(α) = e−iαkGk = e−iα·G , (1.1)
El conjunto de los elementos Gk se conoce como generadores del grupo. En lo quesigue asumiremos que los parametros αi son cantidades ordinarias que conmutanentre sı y con los generadores, esto es: [αi, αj ] = 0 y [αi, Gj ] = 0. Esto se conocecomo un algebra de Lie ordinaria. Las algebras donde algunos αi conmutan y otrosanticonmutan se conocen como algebras de Lie graduadas y son propuestas en elApendice B.
Expandiendo (1.1) en serie de Taylor se obtiene:
U(α) = e−iα·G = I − iα ·G+1
2!(−iα ·G)(−iα ·G) + · · · ;
se sigue:(∂U(α)
∂αk
)
α=0
= −iGk. (1.2)
Ası pues, los generadores Gk pueden evaluarse con:
Gk = i(∂U(α)
∂αk
)
α=0
, (1.3)
1. Grupo de Lie /3
Ejemplo:
En el espacio tridimensional ordinario la rotacion alrededor del eje z escritacomo X′ = UX tiene la forma matricial explıcita:
x′
y′
z′
= U(θ)
xyz
=
cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0
0 0 1
xyz
, (1.4)
de donde
∂U(θ)
∂θ=
− sen θ cos θ 0− cos θ − sen θ 0
0 0 0
,
de modo que, de acuerdo con (1.3), el generador de la rotacion en z es:
G =
0 i 0−i 0 00 0 0
.
Ası pues:
U(θ) = e−iθG = exp
−iθ
0 i 0−i 0 00 0 0
= exp
θ
0 1 0−1 0 00 0 0
.
2. Si G es un grupo, sera cerrado bajo la composicion de transformaciones. Estoes:
U(α)U(β) = U(γ). (1.5)
Si U(α) y U(β) pertenecen al grupo, tambien pertenecera U(γ); entonces, poraplicacion del teorema de Haussdorf:
eAeB = exp
A+B +1
2![A,B] +
1
3!
[
A,1
2[A,B]
]
+1
3!
[1
2[A,B], B
]
+ · · ·
, (1.6)
donde [A,B] = AB −BA es el conmutador de A y B. Se sigue que:
U(α)U(β) = e−iα·Ge−iβ·G = U(γ) = e−iγ·G
= exp
− i(α+ β) ·G− 1
2[α ·G,β ·G]
+i
3!
[
α ·G, 12[α ·G,β ·G]
]
+i
3!
[1
2[α ·G,β ·G],β ·G
]
+ · · ·
,
o tambien:
(αk + βk)Gk −i
2αiβj [Gi, Gj ] + · · · = γkGk. (1.7)
Si αk, βk son reales, γk sera real (es el caso de las rotaciones espaciales, porejemplo); esto exige que [Gi, Gj ] sea proporcional al numero i. Ademas, para podercancelar los generadores en la ecuacion (1.7), y ası obtener una expresion que rela-cione αk, βk, γk es necesario que [Gi, Gj ] sea proporcional a Gk. Ası pues, en forma
4/ Grupos de Lie
general:
[Gi, Gj ] = i cijkGk . (1.8)
donde se asume que hay suma sobre k y las constantes de estructura son numerosreales. Esta ecuacion asegura que el conjunto de los generadores es cerrado bajo elproducto de Lie [Gi, Gj ] y define el algebra de Lie de los generadores. Cualquierconjunto de soluciones a esta ecuacion es representacion del algebra de Lie. Entonces,en (1.7):
(αk + βk)Gk +i
2αiβj(icijkGk) + · · · = γkGk.
Si el conjunto de los generadores es linealmente independiente, la conexion entrelos parametros tiene la forma:
αk + βk −1
2αiβjcijk + · · · = γk;
en la anterior ecuacion, como los parametros son reales, lo seran tambien las cons-tantes de estructura c
ijk.
De [Gi, Gj ] = −[Gj , Gi] se sigue la antisimetrıa de cijk
respecto a los dos prime-ros subındices:
cijk
= −cjik
. (1.9)
De (1.8), tomando el complejo conjugado se obtiene [G∗i , G
∗j ] = −icijkG∗
k quepuede escribirse como:
[(−G∗i ), (−G∗
j )] = icijk(−G∗k).
Ası, si Gk es un generador, que satisface el algebra de Lie, tambien la satisface−G∗
k.Al conjunto de los generadores −G∗
k se le conoce como representacion conju-
gada.
3. Existencia del inverso. Se sigue de (1.1) que:
U(−α) = eiαkGk = U−1(α),
con U(α)U−1(α) = I. De acuerdo al teorema de Haussdorf (1.6):
U(α)U−1(α) = exp1
2[−iα ·G, iα ·G] + · · ·
= I.
que se satisface si se cumple (1.9). En efecto:
[α ·G,α ·G] = αiαj [Gi, Gj ] = iαiαjcijkGk = 0, (1.10)
pues αiαjcijk = 0 (suma en i, j) ya que αiαj = αjαi mientras cijk
= −cjik.
1. Grupo de Lie /5
4. La asociatividad implica:
U(α)U(β)U(γ) = U(α)U(β)U(γ).
Utilizando el teorema de Haussdorf (1.6) puede demostrarse que la asociatividadconduce a:
[[A,B], C] + [B,C], A] + [[C,A], B] = 0,
de donde se obtiene la identidad de Jacobi para los generadores:
[[Gk, Gl], Gm] + [Gl, Gm], Gk] + [[Gm, Gk], Gl] = 0 . (1.11)
Para representaciones matriciales de grupos de Lie impondremos la siguientenormalizacion:
Tr(GiGj) = Tr(GjGi) = λδij , (1.12)
donde λ es el mismo para todas las matrices de la misma representacion. Puedeimponerse que λ sea el mismo independientemente de la representacion.
Si a cada elemento U de un grupo abstracto le corresponde una transformacionΓ(U) en algun espacio vectorial lineal, llamado el espacio de representacion, yde modo que al producto UU ′ le corresponda el producto Γ(U)Γ(U ′), entoncesel conjunto de los Γ(U) es llamado una representacion del grupo. La represen-tacion sera fiel si a U 6= U ′ le corresponde Γ(U ′) 6= Γ(U). Dos representacionesΓ,Γ′ son equivalentes si estan relacionadas por una transformacion de simi-
laridad Γ′ = UΓU−1.Una representacion es reducible si es equivalente a una representacion diagonalen bloques:
Γ′ = UΓU−1 =
(
Γ′1 00 Γ′
2
)
.
El espacio vectorial sobre el que actua Γ se rompe en dos subespacios ortogo-
nales. Diremos que Γ′ es la suma directa de Γ′1 y Γ′
2, esto es: Γ = Γ′1 ⊕ Γ′
2.
1.3. Antisimetrıa de cijk
En (1.9) se ha asegurado la antisimetrıa de cijk
respecto a los dos primerosındices. Demostramos a continuacion la antisimetrıa respecto a los dos ultimos.
Utilizando (1.12) se sigue que:
Tr(Gk[Gi, Gj ]) = icijlTr(GkGl) = iλc
ijlδkl
= iλcijk. (1.13)
Pero tambien, de (1.13):
Tr(Gk[Gi, Gj ]) = TrGk(GiGj)−Gk(GjGi) = Tr(GiGj)Gk −Gi(GkGj)= Tr(Gi[Gj , Gk]) = iλc
jki. (1.14)
6/ Grupos de Lie
De (1.13) y (1.14):cijk
= cjki,
y como este sımbolo es antisimetrico en los dos primeros ındices se sigue que:
cijk
= cjki
= −cjik
= −ckji,
de donde se concluye la antisimetrıa de los dos ultimos ındices:
cjki
= −cjik
. (1.15)
1.4. Representacion regular
Reemplazando (1.8) en (1.11) se obtiene la identidad de Jacobi para los coefi-cientes cijk:
clmn
cknp
+ cmkn
clnp
+ cklncmnp
= 0, (1.16)
que puede escribirse:
(iclmn
)(icknp
)− (ickmn
)(iclnp
) = (ickln
)(−icnmp
). (1.17)
Si se introduce la notacion matricial
(Gl)mn = iclmn
, (1.18)
y reemplazando en (1.17), esta escritura equivale a la expresion
[Gl,Gk]mp = iclkn
(Gn)mp,
la que, sin los ındices matriciales mp, toma la forma:
[Gl,Gk] = iclkn
(Gn), (1.19)
que no es otra que el algebra de Lie de los generadores del grupo. Se sigue entoncesque las n matrices Gl de elementos mn, definidas por (1.18) conforman una repre-sentacion de los generadores, a la que se conoce como representacion regular. Esfacil probar que las matrices G satisfacen la condicion de hermiticidad G†
l = Gl.
1.5. Operadores de Casimir
Los generadores Gi no conmutan, excepto los diagonales. Por tanto, no existencombinaciones lineales C1 =
∑aiGi que conmuten con cada Gi; vale decir, que la
expresion [C1, Gj ] = [∑aiGi, Gj ] = 0 se satisface solo si ai = 0 para i 6= j.
1. Grupo de Lie /7
A. Busquemos un operador C2 = aijGiGj (suma en i, j) que conmute con todos
los generadores, esto es:[C2, Gk] = 0
Reemplazando C2 en la anterior y teniendo en cuenta que:
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B, (1.20)
se sigue:
aijGi[Gj , Gk] + [Gi, Gk]Gj = a
ijcjkl
+ ajlcjki
GiGl = 0.
Es suficiente que aij= aδij , con a escalar, para que el ultimo corchete sea cero;
lo que implica que:
C2 = a∑
i
G2i . (1.21)
Esta cantidad se conoce como el operador de Casimir. Como se vera despues, enrepresentacion matricial, C2 es multiplo de la identidad.
B. Busquemos ahora una forma trilineal en Gi que conmute con cada Gl. ConC3 = a
ijkGiGjGk exigimos:
[C3, Gl] = 0.
Por aplicacion repetida de (1.20) se obtiene:
aijkcjlm
+ ajmk
cjli
+ aimj
cjlk
GiGmGk = 0,
que se reduce a:a
ijkcjlm
+ ajmk
cjli
+ aimj
cjlk
= 0,
tomando en cuenta la independencia lineal de los generadores. Por la identidad(1.17) se sabe que:
cijkcjlm
+ cjmk
cjli
+ cimj
cjlk
= 0,
de modo que es suficiente que: aijk
= b cijk
, siendo b un escalar. Ası pues, el operadorde Casimir trilineal tiene la forma:
C3 = b cijkGiGjGk, (1.22)
con b constante. Dada la antisimetrıa de cijk
puede probarse que C3 es identicamentecero. En efecto:
cijkGiGjGk =
1
2cijkGi[Gj , Gk] =
i
2cijkcjklGiGl
=i
4cijkcjkl
[Gi, Gl] = −1
4cijkcjklcilmGm
= −1
8cijkcjklcilm
(Gm −Gm) = 0.
8/ Grupos de Lie
C. Es posible proponer un Casimir tetralineal C4 = aijklGiGjGkGl. Puedeprobarse que aijkl = aicjkl
, donde ai es un vector arbitrario. Si se escribe comoC4 = aiGi(cjkl
GjGkGl) ∝ aiGiC2 resulta que C4 = 0. Extendiendo el razonamien-to resulta que el unico Casimir no nulo es C2.
Teorema:
Para cada grupo de Lie, donde existan n generadores que conmutan entre
sı, existe un conjunto de n operadores de Casimir. Es demostrable que los
operadores de Casimir son proporcionales a la identidad. Los autovalores de
los operadores de Casimir rotulan las representaciones irreducibles.
En los capıtulos siguientes se presentan las nociones basicas de los grupos SU(N),matizadas en el capıtulo 3 por el grupo SO(3) de las roatciones espaciales, quepresentan isomorfismo con SU(2).
2
Grupo SU(N)
2.1. Definicion y reglas de transformacion
El grupo continuo SU(N) esta formado por matrices unitarias y unimodularesU cuya representacion definitoria tiene dimension N × N . Esto significa que loselementos del grupo satisfacen U †U = I y |U | = 1.
De acuerdo con la ecuacion (1.1), la matriz U puede expresarse en la forma:
U = e−iG·Θ = e−iGkθk , (2.1)
con θk reales y convencion suma sobre ındices repetidos. La condicion de unitariedad
U †U = I implica U † = U−1, es decir eiG†kθk = eiGkθk , lo que implica que las matrices
Gk son hermıticas: G†k = Gk. De otro lado, la exigencia de que las matrices U sean
unimodulares implica que: |U | = |e−iGkθk | = e−iTrGkθk = 1, segun lo cual, la trazade las matrices Gk es nula: TrGk = 0. Los generadores se normalizan segun (1.12)escogiendo, en particular, la condicion:
Tr(GiGj) =1
2δij . (2.2)
En su representacion definitoria, una forma de escritura conveniente y amplia-mente utilizada para la forma mas general de la matriz θ = Gkθk, es la mostradaen la figura 2.1.
El factor 1/2 que precede la matriz de la figura 2.1 garantiza la normalizacionpropuesta en (2.2). El numero de matrices independientes Gk (y de parametros θk)es N2 − 1, correspondiente al de elementos de una matriz hermıtica de traza cero,por lo cual
a.) el grupo SU(2) contiene tres parametros θ1, θ2, θ3 y tres matrices 2 × 2,asociadas a las de Pauli,
b.) el grupo SU(3) contiene ocho parametros θ1, · · · θ8 y ocho generadores 3× 3,
9
10/ Grupos de Lie
Gkθk = 12
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
θ1 − iθ2 θ4 − iθ5 θ9 − iθ10 θ16 − iθ17
θ1 + iθ2 θ6 − iθ7 θ11 − iθ12 θ18 − iθ19
θ4 + iθ5 θ6 + iθ7 θ13 − iθ14 θ20 − iθ21
θ9 + iθ10 θ11 + iθ12 θ13 + iθ14 θ22 − iθ23
θ16 + iθ17 θ18 + iθ19 θ20 + iθ21 θ22 + iθ23
θ3 +θ8√3
+θ15√
6
+θ24√10
+ · · ·
−θ3 +θ8√3
+θ15√
6
+θ24√10
+ · · ·
−2θ8√3
+θ15√
6
+θ24√10
+ · · ·
−3θ15√
6+
θ24√10
+ · · ·
−4θ24√10
+ · · ·
SU(2) SU(3) SU(4) SU(5)
Figura 2.1: Matriz θ = Gkθk para SU(N)
c.) el grupo SU(5) contiene 24 parametros y 24 generadores 5× 5, etc.
Lo anterior es valido para la representacion definitoria, de dimension N × N .Observese en la figura 2.1 que, como se anticipo, la traza de cada una de los gene-radores es nula.
En la matriz de la figura 2.1 el rectangulo mas interno (de dimension 2 × 2),exceptuando θ8 y siguientes, corresponde a SU(2); el siguiente rectangulo, excep-tuando θ15 y siguientes, corresponde a SU(3), etc.
El numero de generadores diagonales del grupo SU(N) es N − 1. Debido a lahermiticidad de Gi, los elementos de todos los generadores diagonales de SU(N) sonnumeros reales.
Los generadores del grupo forman un conjunto de matrices linealmente indepen-diente (es decir,
∑aiGi = 0 solo si ai = 0) de traza cero. Los generadores diagonales
de SU(N), segun la escogencia propuesta en la matriz de la figura 2.1 tienen comoelementos:
G3 = (1,−1, 0, 0, 0, 0 · · · ), G8 = (1, 1,−2, 0, 0, 0, · · · ),G15 = (1, 1, 1,−3, 0, 0, · · · ), G24 = (1, 1, 1, 1,−4, 0 · · · ),G35 = (1, 1, 1, 1, 1,−5 · · · ), etc.Para ejemplificar, los generadores de los grupos SU(2) y SU(3) son:
2. Grupo SU(N) /11
1. Para SU(2):
G1 =1
2
(0 11 0
)
=σ12, G2 =
1
2
(0 −ii 0
)
=σ22,
G3 =1
2
(1 00 −1
)
=σ32, (2.3)
donde σi son las matrices de Pauli.2. Para SU(3):
G1 =1
2
0 1 01 0 00 0 0
, G2 =1
2
0 −i 0i 0 00 0 0
, G3 =1
2
1−1
0
,
G4 =1
2
0 0 10 0 01 0 0
, G5 =1
2
0 0 −i0 0 0i 0 0
, G6 =1
2
0 0 00 0 10 1 0
,
G7 =1
2
0 0 00 0 −i0 i 0
, G8 =1
2√3
11
−2
. (2.4)
Las matrices U en (2.1) actuan sobre una base ψ con elementos ψa linealmenteindependientes, con a = 1, · · · , N , en su representacion definitoria. Estos elementos,que conforman el espinor ψ (un vector complejo en SU(N)), se transforman bajo Ucomo:
ψ′ = Uψ = e−iG·Θψ , (2.5)
o, en componentes:
ψ′a = Uaa′ψa
′. (2.6)
De acuerdo con (2.5), una transformacion infinitesimal tiene la forma:
U = I − iG · δΘ ; (2.7)
donde I es la identidad N ×N . Ası pues:
ψ′a = Uaa′ψa
′= (δaa
′ − iGaa′
k δθk)ψa′ o tambien: (2.8)
ψ′a = ψa − iGaa′ψa′ · δΘ . (2.9)
En las ecuaciones (2.6) y (2.8) hay suma hasta N sobre los ındices repetidosa, a′ y k = 1, · · · , N2−1; las expresiones son validas para la llamada representaciondefinitoria.
12/ Grupos de Lie
La representacion definitoria conjugada se construye tomando el complejo con-jugado de la ecuacion (2.8):
ψ′∗a = U∗aa′ψ∗a′ = (δaa′+ iG∗aa′
k δθk)ψ∗a′ ; (2.10)
tendremos en cuenta que la delta de Kronecker es real. En lo que sigue usaremos laconvencion ψ∗a = ψa, de modo que:
ψ′a = U∗aa′ψa′ = (δaa
′ − i(−G∗aa′k )δθk)ψa′ o: (2.11)
ψ′a = ψa − i(−Gaa′)ψa′ · δΘ . (2.12)
En estas expresiones solo se adjudica valor posicional arriba-abajo a los ındicesasociados a los espinores, no a los asociados a las matrices de transformacion, nia los generadores, por lo que Gab = Gab. Es cierto que ψa transforma segun Gaa
′,
mientras ψa transforma segun −G∗aa′ . A la primera se llama tambien representacionN , y a la segunda representacion N∗.
Es facil demostrar que Gk y −G∗k satisfacen la misma algebra de Lie; en efecto,
de [Gk, Gl] = ifklmGm, tomando el complejo conjugado, se sigue: [(−G∗k), (−G∗
l )] =ifklm(−G∗
m).
Excepto dos casos especiales, las representaciones G y −G∗ son inequivalen-
tes; en consecuencia lo son U y U∗. Esto significa que no hay una transfor-macion unitaria generada por A, tal que U∗ = AUA−1. Esta condicion im-
plicarıa U∗ = eiG∗·Θ = Ae−iG·ΘA−1 = e−iAG·ΘA−1
(la ultima igualdadpuede demostrarse utilizando el teorema de Haussdorf), lo que darıa lugar a−G∗
k = AGkA−1, expresion que, en particular, no se cumple para los generado-
res diagonales (pues no es cierto que −G∗k = Gk, para generadores diagonales,
dado que estos son reales).Las dos excepciones son las siguientes:
a. SU(2), cuyos generadores definitorios son σi/2, veanse las matrices (2.3).Las matrices de Pauli obedecen la condicion −σi = σ2σiσ2, que es, precisamen-te la condicion necesaria para la equivalencia de Gk y −G∗
k; existe, entonces,un A = σ2 que hace que 2 = 2∗, para la representacion definitoria.
b. La representacion regular, definida como el conjunto de las matrices Gi
con elementos (Gi)jk = −ifijk. En efecto, tomando el conjugado se sigue:(G∗
i )jk = ifijk = −(Gi)jk, por lo cual, −G∗i = Gi, tal que se cumple
−G∗k = AGkA
−1 con A = I. Ası, para la representacion regular, la original yla conjugada son equivalentes.
Observemos ahora que en el espacio de los espinores ψ en SU(N), ψ†ψ es uninvariante. En efecto, ψ′†ψ′ = (Uψ)†(Uψ) = ψ†U †Uψ, y como U †U = I se sigue:ψ′†ψ′ = ψ†ψ. En forma equivalente ψ′
aψ′a = ψaψ
a. Diremos que ψaψa (con suma
sobre a) es un singlete de SU(N).
2. Grupo SU(N) /13
En general, un escalar o singlete φ de SU(N) transforma bajo U como φ′ = φ.En terminos de los generadores, la condicion necesaria para que una funcion φ seaun escalar se sigue de φ′ = Uφ = φ, que, para una transformacion infinitesimal seescribe φ′ = Uφ ≃ (I − iG · δΘ)φ = φ, lo que implica Gk δθk φ = 0, de donde sesigue que φ es singlete de SU(N) si Gkφ = 0.
Puesto que ψa transforma con Gk y ψa con −G∗k, se sigue que las “cargas“ (o
mejor, los numeros cuanticos, que son los autovalores de los generadores diagonales,y que son reales), asociadas a ψa y ψa tienen signos diferentes. Lo anterior impli-cara que funciones de onda complejas permiten describir partıculas con “cargas”,electricas o de otros tipos.
2.2. Matrices escalera
Expresada en terminos de sus elementos, la matriz θ = θkGk de la figura 2.1, es:
θab = (Gk)abθk , (2.13)
cuya inversion da θk = 2(Gk)abθba. En θ
ba, a indica filas y b columnas. Los parametros
θk son reales, las matrices Gk son hermıticas y, en consecuencia, los elementos θdcson complejos. De la ecuacion (2.13), por conjugacion compleja, se sigue que:
θa∗b = (G∗k)abθk = (Gk)
†baθk = (Gk)baθk = θba ,
De la matriz 2.1 puede leerse directamente:
2θ12 = θ1 − iθ2 = θ2∗1 2θ11 = θ3 +θ8√3+ θ15√
6+ θ24√
10+ · · ·
2θ13 = θ4 − iθ5 = θ3∗1 2θ22 = −θ3 + θ8√3+ θ15√
6+ θ24√
10+ · · ·
2θ14 = θ9 − iθ10 = θ4∗1 2θ33 = −2 θ8√3+ θ15√
6+ θ24√
10+ · · ·
2θ15 = θ16 − iθ17 = θ5∗1 2θ44 = −3 θ15√6+ θ24√
10+ · · ·
· · · · · ·
Ahora bien, con el proposito de definir las matrices escalera introducimos (conconvencion suma) la identidad:
θab = [δac δdb −
1
Nδab δ
dc ]θ
cd = (Ldc)
abθcd , (2.14)
donde se ha definido la matriz escalera:
(Ldc)ab = δac δ
db −
1
Nδab δ
dc . (2.15)
14/ Grupos de Lie
Recuerdese que Tr θ = 0, lo que esta de acuerdo con (2.14). Las matrices escalerason, por su definicion (2.15), reales. Matricialmente, de nuevo:
θ = Gkθk = Ldcθcd , (2.16)
Para estudiar la propiedad basica de las matrices Ldc , que le da su nombre,tomemos en cuenta los vectores base unitarios:
φ1 =
100· · ·
, φ2 =
010· · ·
, φ2 =
001· · ·
, etc.,
que, genericamente, escribimos: (φa)d = δad. El efecto de la matriz Lab sobre estosvectores de la base puede evaluarse escribiendo:
(Labφa′)c = (Lab )cd(φa′)d = δcbδaa′ −
1
nδca′δ
ab = δaa′(φb)c −
1
Nδab (φa′)c ,
de donde: Labφa′φa′ = δaa′φb − 1N δ
abφa′ ,
de modo que, si a = a′, a 6= b, y sin convencion suma sobre a:
Labφa = φb ,
lo que significa que al actuar Lab sobre un espinor unitario φa genera otro diferenteφb, pues a y b difieren al menos por una unidad. Esta es la razon para llamar estascantidades matrices escalera. Si a > b es ascendente, si a < b es descendente.
La regla de conmutacion de estas matrices (el algebra de Lie) es:
[Lba, Lb′
a′ ] = δab′La′
b − δa′
b Lab′ . (2.17)
Ası como fue posible establecer la conexion entre θdc y θk, podemos establecer lacorrespondiente entre Ldc y Gk; para esto es suficiente invertir la ecuacion (2.16), pa-ra obtener: Ldc = 2Gk(Gk)
dc , con convencion suma sobre k. Explıcitamente, algunas
de las relaciones son:
L11 = G3 +
G8√3+G15√6+G24√10
+ · · · L22 = −G3 +
G8√3+G15√6+G24√10
+ · · ·
L33 = −2
G8√3+G15√6+G24√10
+ · · · L44 = −3
G15√6+G24√10
+ · · ·
L21 = G1 + iG2 L3
1 = G4 + iG5 L41 = G9 + iG10
L12 = G1 − iG2 L1
3 = G4 − iG5 L14 = G9 − iG10
L51 = G16 + iG17 L3
2 = G6 + iG7 L42 = G11 + iG12
L15 = G16 − iG17 L2
3 = G6 − iG7 L24 = G11 − iG12
L52 = G18 + iG19 L4
3 = G13 + iG14 L53 = G20 + iG21
L25 = G18 − iG19 L3
4 = G13 − iG14 L35 = G20 − iG21
2. Grupo SU(N) /15
2.3. Producto directo. Representaciones simetricay antisimetrica
Consideremos la regla de transformacion infinitesimal del producto ψaφb de dosbases en SU(N). Utilizando (2.8):
ψ′aφ′b = (δaa′ − iGaa′ · δΘ)ψa
′(δbb
′ − iGbb′ · δΘ)φb′
= (δaa′δbb
′ − iδaa′Gbb′ · δΘ− iδbb
′Gaa′ · δΘ)ψa
′φb
′
= θab − iGbb′θab′ · δΘ− iGaa′θa
′b · δΘ = θ′ab ,
donde se ha definido θab = ψaφb. De este modo obtenemos la regla de transformacioninfinitesimal de un espinor de segundo orden en SU(N):
θ′ab = θab − i[Gbb′θab′+Gaa′θa
′b] · δΘ , (2.18)
La nueva base es reducible, es decir, puede ser expresada como la suma de basesde dimension menor. Podemos demostrarlo partiendo de la siguiente identidad:
θab =1
2(θab + θab) +
1
2(θab − θab) ≡ θab+ + θab− , (2.19)
Se sigue que θab+ = θba+ y θab− = −θba− . Con la anterior definicion, de la ecuacion(2.18) se sigue que:
θ′ab+ + θ′ab− = θab+ + θab− − i[Gbb′(θab′
+ + θab′
− ) +Gaa′(θa′b
+ + θa′b
− )] · δΘ ,
de donde se sigue que θab+ y θab− se transforman separadamente, sin mezclarse, porlo que conforman subespacios invariantes:
θ′ab+ = θab+ − i[Gbb′θab′
+ +Gaa′θa′b
+ ] · δΘ (2.20)
θ′ab− = θab− − i[Gbb′θab′
− +Gaa′θa′b
− ] · δΘ
θab+ y θab− tienen la misma regla de transformacion mas no el mismo numerode elementos; son bases de dimension diferente. El numero de elementos de θab+ esN(N + 1)/2, mientras el de θab− es N(N − 1)/2. La primera es una base simetrica,la segunda antisimetrica. Ası, la descomposicion realizada del producto directo delas bases puede escribirse como una suma directa:
N ⊗N =N(N + 1)
2⊕ N(N − 1)
2.
Como ejemplos: 2⊗ 2 = 3⊕ 1, 3⊗ 3 = 6⊕ 3, 5⊗ 5 = 15⊕ 10.
16/ Grupos de Lie
Observese que la traza de la representacion simetrica no es un escalar; de (2.20),con a = b y con convencion suma:
θ′aa+ = θaa+ − i[Gab′θab′
+ +Gaa′θa′a
+ ] · δΘ 6= θaa ,
luego θaa+ no es un invariante, lo mismo con θaa− . Como se vio con el producto ψaψa,solo se forman singletes si los ındices se equilibran, uno sub otro super; vale decir,uno normal (N) y el otro conjugado (N∗).
La regla de transformacion (2.18) puede escribirse como:
θ′ab = θab − i[δaa′Gbb
′
k +Gaa′
k δbb′]θa
′b′δθk (2.21)
= θab − iGab,a′b′
k θa′b′δθk
donde se ha definido el generador del producto directo N⊗N en la forma: Gab,a′b′ =
δaa′Gbb
′
k +Gaa′
k δbb′, que puede tambien escribirse:
G(N⊗N)k = G
(N)k ⊗ I(N) + I(N) ⊗G
(N)k (2.22)
En forma mas compacta, y teniendo en cuenta el Apendice A:
ψ′ ⊗ φ′ = Uψ ⊗ Uφ = (U ⊗ U)ψ ⊗ φ = (I − iG · δΘ)⊗ (I − iG · δΘ)ψ ⊗ φ
= [I ⊗ I − i(I ⊗G+G⊗ I) ·Θ]ψ ⊗ φ = [I − iG · δΘ]ψ ⊗ φ
donde I = I ⊗ I y G = I ⊗G+G⊗ I, equivalente a (2.22).En forma analoga, tomando el conjugado de (2.21) puede demostrarse que:
G(N∗⊗N∗)k = G
(N∗)k ⊗ I(N
∗) + I(N∗) ⊗G
(N∗)k , (2.23)
correspondiente a: N∗ ⊗N∗ =[N(N+1)
2
]∗⊕[N(N−1)
2
]∗.
2.4. Representacion adjunta
En la seccion anterior realizamos el producto de dos bases definitorias de SU(N).Realizamos ahora el producto y la descomposicion de una base definitoria χb y unadefinitoria conjugada ψ∗a = ψa. El calculo de la regla de transformacion infinitesi-mal, utilizando (2.8) y (2.11), es como sigue:
ψ′aχ
′ b = ψa′(δaa′ + iG∗aa′δΘ)(δbb
′ − iGbb′δΘ)χb′
= ψaχb + i[G∗aa′ψa′χ
b −Gbb′ψaχb′ ] · δΘ ;
definiendo ϕba = ψaχb, y con G∗aa′ = G∗Ta′a = G†a′a = Ga′a, debido a la hermiti-
cidad de los generadores, se sigue:
ϕ′ba = ϕba − i[Gbb′ϕb
′
a −Ga′aϕba′ ] · δΘ ; (2.24)
2. Grupo SU(N) /17
o, factorizando ϕb′
a′ :
ϕ′ba = ϕba − i[Gbb′δaa
′ −Ga′aδbb′] · δΘϕb′a′
= ϕba − iGab,a′b′ · δΘϕb′a′ ,
donde se ha definido el generador del producto directo en la forma:
Gab,a′b′ = Gbb′δaa′ −Ga′aδbb
′,
que puede expresarse como:
G(N⊗N∗) = IN ⊗GN∗
k −G∗Nk ⊗ IN ,
Evaluemos, ahora, la regla de transformacion de la traza de este producto directo.Haciendo a = b en (2.24), cambiando en el segundo renglon b′ por a′, y en el tercerointercambiando a y a′, se obtiene:
ϕ′aa = ϕaa − i[Gab′ϕb
′
a −Ga′aϕaa′ ] · δΘ= ϕaa − i[Gaa′ϕa
′
a −Ga′aϕaa′ ] · δΘ= ϕaa − i[Ga′aϕaa′ −Ga′aϕaa′ ] · δΘ = ϕaa .
Esto significa que la traza ϕaa es un invariante, un singlete de SU(N). Podemosentonces descomponer ϕba en un espinor φba de traza cero mas su traza:
ϕba =(ϕba −
1
Nδabϕcc
)+
1
Nδabϕcc = φba +
1
Nδabϕcc ,
donde φaa = 0. Facilmente se comprueba, partiendo de (2.24), que la representacionφba de traza nula satisface la regla de transformacion:
φ′ba = φba − i[Gbb′φb′
a −Ga′aφba′ ] · δΘ = φba − iGaba′b′φ
b′
a′ · δΘ ; (2.25)
Resulta, entonces, que mientras ϕba contiene N2 elementos, φba conforma unarepresentacion con N2 − 1 componentes. Por tanto:
N ⊗N∗ = (N2 − 1)⊕ 1
De φba = ψaχb = ψ∗aχb se sigue que φb∗a = (ψ∗aχb)∗ = ψaχb∗ = ψaχb = φab .
Esta ultima conclusion es util si consideramos el conjunto φba como los ele-mentos de una matriz φ, donde b numera las filas y a las columnas. De este modo,podemos escribir:
φ = φba =
φ11 φ12 · · ·φ21 φ22 · · ·· · · · · · · · ·
18/ Grupos de Lie
Utilizando φba = φa∗b es posible probar que la matriz φ es hermıtica, esto esφ = φ†. A la representacion φ se le llama adjunta; es una matriz N × N conTrφ = 0. Tendremos, entonces, de (2.25):
φ′ba = φba + i[φba′Ga′ak −Gbb
′
k φb′
a ]δθk
= φba + i[φ,Gk]baδθk .
En forma matricial, y definiendo la transformacion infinitesimal δφ = φ′ − φ,podemos escribir:
δφ = i[φ,Gk]δθk (2.26)
2.5. Representacion regular
Hay aun otra forma de expresar la representacion adjunta; se le llama represen-tacion regular y se construye definiendo un vector columna ϕ de componentes ϕken la forma:
ϕk =√2φba(Gk)
ab =√2Tr(φGk) , (2.27)
donde, como antes, a, b = 1, · · · , N , k = 1, · · · , N2 − 1. Observese de (2.27) queϕ∗k = ϕk, de modo que ϕk es real. La columna ϕ consta, entonces, de N2 − 1
elementos, y su regla de transformacion, utilizando (2.27) y (2.26) es:
ϕ′k =
√2Tr(φ′Gk) =
√2Tr[(φ+ i[φ,Gl]δθl)Gk]
= ϕk + iδθl√2Tr(φGlGk −GlφGk) = ϕk + iδθl
√2Tr[φ[Gl, Gk]]
= ϕk + iδθl√2Tr[iφclkmGm] = ϕk + iδθl
√2(iclkm)Tr[φGm]
= ϕk + iδθl(iclkm)ϕm .
Puesto que los elementos de matriz de la representacion regular son (GRl )km =−iclkm (vease (1.18)), resulta que los elementos ϕk se transforman como los vectoresbase de la representacion regular:
ϕ′k = ϕk − iδθl(G
Rl )kmϕm = ϕk − i(GR
l · δΘ)kmϕm . (2.28)
La representacion regular tiene un numero de elementos igual a N2−1, como larepresentacion adjunta. Puesto que la representacion regular transforma simultanea-mente bajo GR y bajo −GR∗, pues GR∗ = −GR y ϕ∗
k = ϕk, la representacion esautoadjunta.
Utilizando la condicion de normalizacion (2.2) la definicion (2.27) puede inver-tirse para dar:
φba =√2ϕkG
abk , (2.29)
2. Grupo SU(N) /19
o, en forma matricial:φ =
√2ϕkGk , (2.30)
de donde se sigue:φ† =
√2ϕ∗
kG†k =
√2ϕkGk = φ ,
en pleno acuerdo con lo demostrado antes. Esta ultima ecuacion es util para expresarlos campos gauge, que transforman globalmente de acuerdo con la representacionregular.
2.6. Representacion regular, adjunta y matrices es-calera
Una forma alterna de escritura de la representacion adjunta hace uso de lasiguiente identidad:
φba = [δbcδda −
1
Nδbaδ
dc ]φ
cd = (Ldc)
baφ
cd , (2.31)
donde las matrices escalera Ldc (que en numero son N2) con elementos ba, son talesque TrL = 0, por lo que quedan N2 − 1 matrices independientes.
Matricialmente, (2.31) se escribe:
φ = Ldcφcd .
Dos formas de escritura son, entonces:
φ =√2ϕkGk = Ldcφ
cd .
2.7. Derivada covariante
Al exigir que el lagrangiano sea invariante bajo transformacionales locales deSU(N), se hace necesario generalizar la derivada parcial ordinaria definendo la de-
rivada covariante en la forma:
Dµ = ∂µ − igAµ = ∂µ − igAiµGi , (2.32)
donde Gi es una representacion de los generadores del grupo. Hay suma en i sobreel numero de generadores del grupo. Esta derivada puede actuar sobre representa-ciones diversas de SU(N). Por ejemplo, para una columna ψ correspondiente a larepresentacion definitoria N del grupo, que transforma de acuerdo con (2.5) escri-bimos:
Dµψ = ∂µψ − igAµψ = ∂µψ − igAiµGiψ , (2.33)
20/ Grupos de Lie
donde Gi esta dado por las matrices de la figura (2.1), que dan su representaciondefinitoria. En forma explıcita, con todos sus ındices espinoriales:
(Dµψ)a = [δab ∂µ − ig(Aµ)
ab ]ψ
b = ∂µψa − igAiµ(Gi)
abψ
b .
Para la representacion adjunta ϕba, que transforma infinitesimalmente de acuerdocon (2.24), escribimos:
(Dµϕ)ba = (Dµ)
aba′b′ϕ
b′
a′ = [δaa′δbb′∂µ − igAiµ(Gi)
aba′b′ ]ϕ
b′
a′
= ∂µba − igAiµ(Gi)
aba′b′ϕ
b′
a′
= ∂µba − igAiµ[−(Gi)a′aϕ
ba′ + (Gi)bb′ϕ
b′
a ] , (2.34)
donde hemos utilizado la ecuacion (2.25), para la representacion adjunta de lasmatrices Gi. La anterior expresion puede escribirse, en forma matricial como:
Dµφ = ∂µφ+ ig[φ,Aµ] . (2.35)
3
Grupo SO(3)
3.1. Representacion definitoria
La representacion definitoria del grupo SO(3) consiste en un conjunto de matri-ces 3× 3, ortogonales y unimodulares. Conforman un grupo de Lie de 3 parametros(3 angulos) y 3 generadores (asociados al momento angular o, equivalentemente, alos operadores de rotacion).
Para construir el grupo, a la rotacion de coordenadas X ′ = RX le exigiremosque mantenga invariante la distancia entre dos puntos, en particular entre el origeny el punto (x, y, z). Esto es:
x′ix′i = xixi.
Reemplazando x′i = Rijxj se obtiene RTjiRik = δjk, tambien expresable como
RTR = I o RT = R−1, (3.1)
RT representa la matriz transpuesta. Ası, la invarianza de la longitud exige que lamatriz R sea ortogonal. De esta ecuacion se sigue, tomando el determinante:|RT ||R| = |R|2 = 1, de modo que |R| = ±1. La escogencia +1 se restringe atransformaciones propias, que excluyen reflexion e inversion de coordenadas (trans-formaciones denominadas impropias y cuyo determinante es −1). El grupo O(3) sedefine por (3.1) con |R| = ±1, de modo que contiene reflexion e inversion.
Puesto que la rotacion esta ligada de un modo continuo con la identidad esposible describir la rotacion en la forma:
R = e−i θ·M, (3.2)
donde θ son los parametros y M los generadores. De (3.1) y (3.2) se sigue que lamatriz −iθ ·M y por tanto las matricesM son antisimetricas; y de |R| = |e−i θ·M| =eTr(−i θ·M) = 1 se concluye que la traza de M es cero, lo que en verdad nada anadea la condicion de antisimetrıa.
21
22/ Grupos de Lie
Como las coordenadas xi son cantidades reales, es cierto que R ha de ser unamatriz real, por lo que los generadores son matrices imaginarias puras, esto es:M∗ = −M.
La matriz M de dimension 3× 3, antisimetrica e imaginaria pura, mas generales:
M = i
0 a3 −a2−a3 0 a1a2 −a1 0
,
con a1, a2, a3 reales. Hay entonces tres matrices de la forma:
M1 =
0 0 00 0 i0 −i 0
, M2 =
0 0 −i0 0 0i 0 0
, M3 =
0 i 0−i 0 00 0 0
. (3.3)
De acuerdo con (3.3), los elementos de estas matrices, generadores de la rotacion,tienen la forma
(Mk)ij = iǫkij , (3.4)
que corresponde a la representacion regular. Las matrices (3.4) satisfacen un algebrade Lie con c
ijk= ǫ
ijk, donde ǫ
ijkson los sımbolos de Levi-Civita:
[Mi,Mj ] = iǫijkMk.
Si se tiene en cuenta que:
(a ·M)2n = (a ·M)2 , para n = 1, 2 · · · y
(a ·M)2n+1 = (a ·M) , para n = 0, 1, 2 · · · ,donde a es un vector unitario arbitrario, se sigue:
R = e−iθ·M = cos(θ ·M)− i sen (θ ·M)
= I − (θ ·M)2 + (θ ·M)2 cos θ + i(θ ·M) sen θ.
a. En particular, si θ1 = θ2 = 0, θ3 = θ, se obtiene la matriz de rotacionalrededor del eje z por un angulo θ:
R =
cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0
0 0 1
. (3.5)
como en la ecuacion (1.4).b. La rotacion por un angulo α alrededor del eje n = α/α, con n dado en
coordenadas esfericas por:
n = i sen θ cosϕ+ j sen θ senϕ+ k cos θ,
3. Grupo SO(3) /23
n
x
y
z
ϕ
θ
Figura 3.1: El vector n se descompone en terminos de los angulos θ y φ
se describe con:
R = e−iα·M = I + (n ·M)2(cosα− 1) + i(n ·M) senα,
donde:n ·M = M1 sen θ cosϕ+M2 sen θ senϕ+M3 cos θ.
y M1,M2,M3 dadas por (3.3) La expresion (3.2) puede obtenerse, invirtiendo elprocedimiento, mediante un analisis infinitesimal. Ante todo, para pequenas rota-ciones es cierto que x′ = Rx = (I+ω)x, donde ω es una matriz infinitesimal. Puestoque RTR = I se sigue (I + ωT )(I + ω) = I, de donde ωT = −ω, de modo que lamatriz ω es antisimetrica. Entonces,
x′i = Rijxj = (I + ω)ijxj = (δij + ωij)xj .
La matriz ω es antisimetrica, por lo que tiene 3 elementos diferentes, con los cualespuede formarse un vector axial de componentes dθk, en la forma:
ωlm = ǫlmk
dθk, (3.6)
con lo cual podremos escribir:
x′i = (δij + dθkǫijk)xj = (δij + dθkǫkij)xj
= [δij − idθk(Mk)ij ]xj = [I − idθ ·M]ijxj = Rijxj ,
donde se ha reemplazado (3.4). Para rotaciones finitas se obtiene R = e−iθ·M.Ademas de esta representacion matricial existe una representacion diferencial
que se obtiene teniendo en cuenta que, para una transformacion infinitesimal, x′i =(δij + ωij)xj , que puede escribirse en la forma equivalente:
x′i = (δij + ωij)xj = xi + ωkjxj∂xi∂xk
=[
1 + ωkjxj∂
∂xk
]
xi.
24/ Grupos de Lie
Utilizando (3.6):
x′i =[
1− idθn(ǫ
njk
i
)xj∂k
]
xi = [1− idθnLn]xi = [1− idθ · L]xi = Θ(dθ)xi,
donde se ha introducido el operador diferencial
Ln = −iǫnjkxj
∂
∂xk= −iǫ
njkxj∂k, (3.7)
que equivale a
L =1
ir×∇. (3.8)
Entonces, para transformaciones finitas:
Θ(θ) = e−i θ·L.
El operador vectorial L satisface el algebra de Lie. Es facil reconocer en la expre-sion adimensional (3.8) el operador de rotacion en mecanica cuantica. En esta, eloperador momento angular es ~L, donde ~ = h/2π y h es la constante de Planck.
3.2. Cinematica en un sistema rotante
Como una aplicacion simple del grupo de rotacion consideremos la transforma-cion de un sistema inercial a uno rotante, S y S′, respectivamente, cuyos orıgenescoinciden en todo momento. Es cierto que la posicion de un punto observada desdelos dos sistemas de referencia se describe con r y r′, tales que r = r′. En terminosde los vectores unitarios, esta igualdad toma la forma:
eixi = e′ix′i, (3.9)
donde opera la convencion suma sobre ındices repetidos. Utilizando las siguientesdefiniciones:
e =
e1e2e3
, X =
x1x2x3
, eT = (e1, e2, e3) , XT = (x1, x2, x3) ,
podemos escribir la expresion (3.9) en la forma:
e′TX ′ = eTX . (3.10)
Asumiremos una regla de transformacion de coordenadas entre S y S′ del tipoSO(3):
X ′ = RX = e−iθ·MX (3.11)
3. Grupo SO(3) /25
de acuerdo con (3.2). Ası, reemplazando en (3.10), tendremos:
e′TRX = eTX , de donde:
e′TR = eT , o: (3.12)
e = RT e′ . (3.13)
Invirtiendo (3.11) se obtiene: X = RTX ′; derivando respecto al tiempo, conMT = −M, ω = dΘ/dt, R = (−iω ·M)R, RT = RT (−iω ·MT ) = RT (iω ·M):
X = RTX ′ +RT X ′ = RT (iω ·MX ′ + X ′) , (3.14)
Multiplicando la ultima ecuacion por eT , y utilizando (3.12) a la derecha, seobtiene eT X = e′T (iω ·MX ′ + X ′), y segun (3.12):
eT X = e′T (iω ·MX ′ + X ′). (3.15)
Ahora, derivando en el tiempo la ecuacion (3.14):
X = RT (iω ·MX ′ + X ′) +RT (i ω ·MX ′ + iω ·MX ′ + X ′)
= RT (iω ·M)(iω ·MX ′ + X ′) +RT (i ω ·MX ′ + iω ·MX ′ + X ′)
= RT [−(ω ·M)(ω ·M)X ′ + 2iω ·MX ′ + i ω ·MX ′ + X ′]
Por tanto:
xi = RT ij [−(ω ·M)(ω ·M)X ′ + 2iω ·MX ′ + i ω ·MX ′ + X ′]j . (3.16)
Como en la obtencion de (3.15) a partir de (3.14), la ecuacion (3.16) conduce a:
eT X ′ = e′T [−(ω ·M)(ω ·M)X ′ + 2iω ·MX ′ + i ω ·MX ′ + X ′] . (3.17)
En las ecuaciones (3.15) y (3.17) necesitamos evaluar en forma explıcita losproductos ω ·MX ′ y ω ·MX ′. Ası:
(ω ·MX ′)j = (ωiMiX′)j = ωi(Mi)jkx
′k
= iωiǫijkx′k = iǫijkx
′kωi
= i(r′ × ω)j = −i(ω × r′)j . Tambien: (3.18)
[(ω ·M)(ω ·M)]j = ωi(Mi)jk(ωl(Ml)knx′n) = [ω × (ω × r′)]j (3.19)
Reemplazando (3.18) y (3.19) en (3.15) y (3.17), y con v = eT X, a = eT X, etc,obtenemos la relacion entre las velocidades en S y S′ y entre las aceleraciones, queinvolucra las contribuciones centrıfuga, de Coriolis y un termino asociado a ω:
v = v′ + ω × r′
a = a′ + ω × (ω × r′) + 2ω × v′ + ω × r′ .
Estas expresiones son la base de la descripcion newtoniana de los efectos fısicosen sistemas rotantes.
26/ Grupos de Lie
3.3. Grupo SO(N)
La representacion definitoria del grupo SO(N) esta conformada por el conjuntode las matrices N ×N ortogonales y unimodulares, que actuan sobre un espacio N -dimensional real. Es cierto entonces que los generadores del grupo son antisimetricose imaginarios puros.
Los elementos diagonales de una matriz antisimetrica son nulos de modo quequedan N(N − 1)/2 elementos diferentes, todos imaginarios. Ası, hay N(N − 1)/2generadores y N(N −1)/2 parametros de SO(N). En SO(3) son 3, en SO(4) son 6.
3.4. Rotacion de coordenadasversus rotacion de funciones
La rotacion de los ejes x y y alrededor del eje z se describe como:
x′ = x cos θ + y sen θ,
y′ = −x sen θ + y cos θ,
z′ = z.
Esta rotacion de los ejes, por un angulo θ, es realizada por la matriz R en (3.5)y mantiene las funciones fijas (region sombreada en la figura 3.2a). La regla detransformacion relaciona las coordenadas del mismo punto P en S y S′.
P
yy′
x′
x
r
θ
P
y
P ′
dr
x
r
−θr′
a b
Figura 3.2: a. Rotacion del sistema coordenado un angulo θ, b. rotacion de la funcionsombreada un angulo −θ
Es tambien posible mantener los ejes coordenados fijos y rotar las funciones unangulo −θ; en ambos casos el efecto es el mismo. Al rotar las funciones la regla de
3. Grupo SO(3) /27
transformacion de las coordenadas de P a las coordenadas de P ′ (figura 3.2b) es:
x′ = x cos θ − y sen θ,
y′ = x sen θ + y cos θ,
z′ = z.
Esta transformacion cambia las coordenadas de cada punto de la funcion segun laregla x′ = R−1x. En forma infinitesimal, cos θ ≃ 1, sen θ ≃ dθ, de modo que:
x′ = x− y dθ, y′ = y + x dθ, z′ = z,
de donde se sigue:
dr = idx+ jdy + kdz = −iy dθ + jx dθ = dθ × r.
Evaluemos ahora el operador Θ que rota funciones, correspondiente al operadormatricial R−1 que rota puntos con ejes fijos. Es cierto que:
Θf(r) = f(r′) = f(R−1r), con r′ = r+ dr, entonces: (3.20)
Θf(r) = f(r+ dr) = f(r) + dr · ∇f(r);
como dr = dθ × r la ecuacion anterior puede escribirse:
Θf(r) = f(r) + dθ × r · ∇f(r) = f(r) + dθ · r×∇f(r) = [1 + dθ · r×∇]f(r).
Introduciendo el operador de rotacion (3.8) se sigue:
Θf(r) = [1 + idθ · L]f(r),
de donde, para rotacion infinitesimal: Θ = 1 + idθ · L, y para una transformacionfinita:
Θ(θ) = e+i θ·L. (3.21)
El conjunto de generadores Li constituye la representacion adjunta asociada quesatisface el algebra de Lie:
[Li, Lj ] = iǫijkLk,
equivalente a L × L = iL. Observese que las componentes cartesianas de L estandadas por (3.7).
Ejemplo:
Si se quiere rotar la elipse f(x, y) = x2/a2 + y2/b2 alrededor de z, por unangulo δθ, basta aplicar el operador Θ:
Θf(x, y) = [1 + δθ(x∂y − y∂x)]f(x, y) =x2
a2+y2
b2+ 2xy
( 1
b2− 1
a2
)
δθ.
La operacion Θ gira la elipse en la direccion de las agujas del reloj.
28/ Grupos de Lie
3.5. Adicion de rotaciones
Si una funcion es rotada un angulo θ y luego un angulo ϕ, el resultado tiene, deacuerdo con (3.20), la forma:
Θ(ϕ)Θ(θ)f(r) = Θ(ϕ)f(r′) = f(r′′)
= f(R−1(ϕ)r′) = f(R−1(ϕ)R−1(θ)r) = f(R−1r).
Ası, a Θ(ϕ)Θ(θ) le corresponde, isomorficamente, R−1 = R−1(ϕ)R−1(θ).
3.6. Autofunciones del operador de rotacion
De la ecuacion (3.8) se obtiene en coordenadas esfericas:
Lf =1
i
[
− eθsen θ
∂f
∂ϕ+ eϕ
∂f
∂θ
]
,
y reemplazando eθ y eϕ por sus componentes cartesianas,
eθ = i cos θ cosϕ+ j cos θ senϕ− k sen θ
eϕ = −i senϕ+ j cosϕ,
se obtienen las componentes cartesianas del operador L en terminos de sus coorde-nadas esfericas:
Lx = −i(
− senϕ∂
∂θ− cosϕ cot θ
∂
∂ϕ
)
Ly = −i(
cosϕ∂
∂θ− senϕ cot θ
∂
∂ϕ
)
Lz = −i ∂∂ϕ
. (3.22)
El operador diferencial de Casimir en SO(3) es:
L · L = L2 = L2x + L2
y + L2z = − 1
sen 2θ
∂2
∂ϕ2− 1
sen θ
∂
∂θ
(
sen θ∂
∂θ
)
. (3.23)
Introduciendo la definicion:
L± = Lx ± iLy, (3.24)
se obtiene:
L± = ±e±iϕ( ∂
∂θ± i cot θ
∂
∂ϕ
)
. (3.25)
3. Grupo SO(3) /29
De (3.22) y (3.23) puede demostrarse que [L2, Lz] = 0, tal que existe un con-junto simultaneo de autofunciones Ylm(θ, ϕ) de L2 y Lz, conocido como armonicos
esfericos. Estos se obtienen resolviendo el problema de autovalores:
L2Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ) , LzYlm(θ, ϕ) = mYlm(θ, ϕ), (3.26)
con l = 0, 1, 2, · · · y m = −l, · · · l. Hay 2l + 1 valores de m.Cada conjunto, Y00, Y1m, Y2m, etc. constituye una base irreducible para re-
presentaciones de SO(3). El conjunto de funciones
Sl = Yl,−l, Yl,−l+1, · · · , Yl,l−1, Yl,les un subespacio de dimension 2l+1, invariante bajo operaciones con L. Invariantesignifica que, al operar con L2 sobre algun elemento de Sl se obtiene otro elementode Sl. Esto es claro en las siguientes ecuaciones:
L2Ylm = l(l + 1)Ylm
LzYlm = mYlm
L±Ylm =√
(l ∓m)(l ±m+ 1)Yl,m±1. (3.27)
De la ultima ecuacion notese que operando con L± sobre Ylm se obtienen armoni-cos esfericos con el mismo l pero diferente m; el resultado se queda en el subespaciol de dimension 2l + 1. El operador L± tiene el efecto de subir o bajar el valor dem en Ylm; por esto se conoce como operador escalera. Cada subespacio Sl se rotulacon el autovalor l del operador de Casimir L2 y cada elemento de la base con losautovalores m de Lz.
Genericamente, las tres expresiones (3.27) son de la forma:
AYlm =
l∑
m′=−lalm′mYlm′ , (3.28)
donde A es uno de los operadores L2, Lz, L±, correspondiente a una transformacionlineal en el mismo subespacio Sl. El operador diferencial A actua sobre los vectoresbase Ylm(θ, ϕ). Que Ylm(θ, ϕ) sea una base completa significa que cualquierfuncion f(θ, ϕ) puede expresarse como una combinacion lineal de la base, esto es:
f(θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−lαlmYlm.
Las condiciones de ortonormalidad y completez de la base Ylm(θ, ϕ) son:∫
Y ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) dΩ = δll′δmm′
∞∑
l=0
l∑
m=−lY ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ − cos θ′).
30/ Grupos de Lie
El conjunto de las funciones Ylm es base de todas las representaciones irreduciblesde SO(3). Las bases irreducibles tienen dimension 2l + 1. Las bases de dimension2l + 1 se conocen como tensores esfericos.
Proposicion:
Los tensores cartesianos conforman bases de representaciones reducibles de
SO(3), reducibles a bases irreducibles de dimension 2l+1. Las bases reducidas
son las de los tensores esfericos. Vease la seccion 3.2.1.
Facilmente puede probarse que los alm′m en 3.28 conforman representacionesmatriciales de A. Para ello basta probar que de la secuencia de operaciones AB sesigue la regla del producto matricial:
ABYlm = A
l∑
m′=−l′blm′mYlm′ =
∑
m′=−lblm′mAYlm′ =
∑
m′m′′
blm′malm′′m′Ylm′′
=∑
m′′
(∑
m′
alm′′m′blm′m
)
Ylm′′ =∑
m′′
(AB)m′′mYlm′′ .
El parentesis, en efecto, define el producto de matrices. Luego los coeficientes alm′m
conforman una representacion matricial del operador A.El operador A puede pensarse como un polinomio formado con los operadores
Li; si es cierto que al operar con Li sobre Ylm se genera el mismo subespacio l,entonces, de (3.28), multiplicando por Y ∗
lm′′ , integrando sobre dΩ = sen θ dθ dϕ yutilizando la ortogonalidad de la base Ylm:
∫
Y ∗lm′′AYlm dΩ =
∑
m′
alm′m
∫
Y ∗lm′′Ylm′ dΩ
=∑
m′
alm′mδm′′m′ = alm′′m.
Ası, los elementos de matriz del operador diferencial A son:
almm′ =
∫
Y ∗lmAYlm′ dΩ .
En particular, los elementos de matriz asociados a los operadores de las ecua-ciones (3.27) son: 1. Si A = L2:
(L2)mm′ =∫Y ∗lmL
2Ylm′ dΩ = l(l+1)δmm′ , que es matriz diagonal. 2. Si A = Lz:
(Lz)mm′ =∫Y ∗lmLzYlm′ dΩ = m′δmm′ , que tambien es diagonal.
3. Grupo SO(3) /31
3. Si A = L±:
(L±)mm′ =
∫
Y ∗lmL±Ylm′ dΩ =
√
(l ∓m′)(l ±m′ + 1)
∫
Y ∗lmYl,m′±1 dΩ
=√
(l ∓m′)(l ±m′ + 1) δm,m′±1,
que es un operador que sube o baja estados, como lo expresa δm,m′±1. Con lasanteriores expresiones se sigue, para l = 1, y con
L1 = (L+ + L−)/2 y L2 = (L+ − L−)/2i :
A27aL1 =1√2
0 1 01 0 10 1 0
L2 =1√2
0 −i 0i 0 −i0 i 0
L3 =
1 0 00 0 00 0 −1
.
(3.29)
3.7. Reduccion del producto directo
Tensores cartesianos de segundo orden pueden formarse con productos directosde vectores en SO(3). Ası:
Ai ⊗Bj = Tij
Un tensor Tij arbitrario puede expresarse como la suma de una parte simetricay otra antisimetrica:
Tij =1
2(Tij + Tij) +
1
2(Tij − Tij),
y la parte simetrica a su vez puede expresarse como la suma de una parte simetricade traza nula mas la traza T =
∑Tii:
1
2(Tij + Tij) =
1
2(Tij + Tij −
2
3T δij) +
1
3T δij = Sij +
1
3T δij .
Ası pues:
Tij = Sij +Aij +1
3T δij ;
Sij es un tensor simetrico de traza cero (Sij = Sji, TrS = 0), con 5 componentesdiferentes. Aij es un tensor antisimetrico (Aij = −Aji), que tiene tres componentesdiferentes con las que puede formarse un vector axial.
En sıntesis, el producto directo 3 ⊗ 3 se escribe como la suma directa 3 ⊗ 3 =5⊕ 3⊕ 1.
32/ Grupos de Lie
Introduciendo los vectores de la base, e1 = i, e2 = j, e3 = k, el tensor T desegundo orden se escribe:
T = Tij eiej = Sij eiej +Aij eiej +1
3T eiei. (3.30)
Los ındices repetidos indican suma de 1 a 3; con S33 = −S11 − S22 se sigue que:
1.) S = Sij eiej = S11(e1e1 − e3e3) + S22(e2e2 − e3e3)
+ S12(e1e2 + e2e1) + S23(e2e3 + e3e2)
+ S31(e3e1 + e1e3),
2.) Aij eiej = A12(e1e2 − e2e1) +A23(e2e3 − e3e2)
+ A31(e3e1 − e1e3) = B1ǫ1 +B2ǫ2 +B3ǫ3 = Biǫi,
donde ǫi = ǫijkej ek y Aij = ǫijkBk, con suma en k. Las cantidades Bi son compo-nentes de un vector axial.
Es facil demostrar que ǫi es una base invariante, es decir, que una transformacionde coordenadas mezcla los ǫi entre sı. En efecto, de e′i = ajiej (que proviene de lainvarianza e′ix
′i = ejxj , usando x
′i = aijxj) se sigue:
ǫ′i = ǫijke′j e
′k = ǫijkaljamkelem,
de modo que:
aniǫ′i = ǫijkanialjamkelem = |A|ǫnlmelem = |A|ǫn;
esto es: ǫn = |A|−1aniǫ′i, como se querıa demostrar. Se ha hecho uso de la definicion
de una matriz |A| en terminos de sus elementos aij :
ǫnlm|A| = ǫijkanialjamk.
De otro lado, la base eiei (con suma en i) coincidente con la identidad I que acom-pana a la traza en (3.30) es un invariante, es decir, se trata de un espacio unidi-mensional:
e′ie′i = ajiakiej ek = δjkej ek = eiei = I.
Queda por demostrar que la base de los Sij es invariante; lo dejamos comoejercicio. Ha tenerse presente que irreducibilidad e invarianza no son equivalentes;la base Tij (de dimension 9) es invariante pero reducible, en tanto que Sij (dedimension 5) es invariante e irreducible.
3. Grupo SO(3) /33
3.8. SO(3) y angulos de Euler
Los angulos de Euler, de notable importancia en el estudio de la rotacion del soli-do rıgido, pueden definirse a traves de la siguiente secuencia de operaciones (veasefigura 3.3): rotar el sistema coordenado (x, y, z) alrededor de z en sentido antihora-rio por un angulo ϕ. El sistema coordenado resultante es (x′, y′, z′). A continuacionse rota este sistema en sentido antihorario, por un angulo θ alrededor del eje x′, paraobtener el sistema coordenado (x′′, y′′, z′′). Si este sistema se gira alrededor de z′′ ensentido antihorario por un angulo ψ se obtiene el sistema coordenado (x′′′, y′′′, z′′′).
En forma matricial, con:
X =
xyz
, X ′ =
x′
y′
z′
, X ′′ =
x′′
y′′
z′′
, X ′′′ =
x′′′
y′′′
z′′′
,
las reglas de transformacion correspondientes a cada operacion son:
X ′ = R(ϕ)X, X ′′ = R(θ)X ′, X ′′′ = R(ψ)X ′′,
de donde se obtiene:
X ′′′ = R(ψ)R(θ)R(ϕ)X = R(ψ, θ, ϕ)X.
En la anterior ecuacion
R(ψ, θ, ϕ) = R(ψ)R(θ)R(ϕ) (3.31)
es la matriz de Euler. Explıcitamente:
R(ϕ) =
cosϕ senϕ 0− senϕ cosϕ 0
0 0 1
, R(θ) =
1 0 00 cos θ sen θ0 − sen θ cos θ
,
R(ψ) =
cosψ senψ 0− senψ cosψ 0
0 0 1
.
En consecuencia, con la notacion simplificada Cψ ≡ cosφ,Sψ ≡ senψ, etc, lamatriz de Euler (3.31) toma la forma:
R(ψ, θ, ϕ) =
CψCϕ− SψCθSϕ SϕCψ + SψCθCϕ SψSθ−SψCϕ− CψCθSϕ −SψSϕ+ CψCθCϕ CψSθ
SθSϕ −SθCϕ Cθ
.
34/ Grupos de Lie
x
θ
ϕ ψ
θz′′, z′′′ z, z′
yy′
y′′y′′′
x′, x′′x′′′
Figura 3.3: Angulos de Euler φ, θ, ψ
En forma infinitesimal, con Cψ ≃ 1,Sψ ≃ δψ, etc.:
(δψ, δθ, δϕ) =
1 δϕ+ δψ 0−δϕ− δψ 1 δθ
0 −δθ 0
= I + (δϕ+ δψ)
0 1 0−1 0 00 0 0
+ δθ
0 0 00 0 10 −1 0
= I + i[(δϕ+ δψ)M3 + δθM1],
con M1 y M3 dados por (3.3). Ası pues, para rotaciones finitas, la matriz de Eulertiene la forma equivalente:
R(ψ, θ, ϕ) = ei ψM3ei θM1ei ϕM3 .
4
Grupo SU(2)
4.1. Representacion definitoria
La representacion definitoria del grupo SU(2) esta conformada por matrices2× 2, unitarias y unimodulares, que actuan en un espacio 2-dimensional complejo
ξ =
(ξ1ξ2
)
.
La transformacion generada por las matrices U sobre ξ mantiene invarianteel producto ξ†ξ, en el cual ξ† es el adjunto hermıtico de ξ; entonces, con ξ′ =Uξ se sigue: U †U = I, por lo que la transformacion es unitaria. Puesto que latransformacion es continua, y proviene de la identidad en pasos infinitesimales,puede escribirse:
U = e−iβ·G. (4.1)
En consecuencia, de U † = U−1: β · G† = β · G. Ademas, por ser unimodular:|U | = |e−iβ·G| = e−iβ·TrG = 1, lo que implica TrG = 0. Entonces, la forma masgeneral de β ·G es:
β ·G =1
2
(β3 β1 − iβ2
β1 + iβ2 −β3
)
= βiσi2
= βiGi,
donde los βi son parametros reales y
σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ii 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
son las matrices de Pauli (hermıticas, σ†i = σi), que satisfacen el algebra de Lie
[Gi, Gj ] = iǫijkGk en la forma:
[σi2,σj2
]
= iǫijk
σk2. (4.2)
35
36/ Grupos de Lie
Para estas matrices es cierto que:
σiσj = δij + iǫijkσk, y Trσi = 0 ; (4.3)
ası pues, los elementos del grupo SU(2) se escriben:
U = e−iβ·σ/2. (4.4)
Las matrices σi permiten la descripcion del espın y del isospın.
4.1.1. Autofunciones de J2 y J3
En general, diremos que cualquier terna de cantidades Ji que satisfaga:
[Ji, Jj ] = iǫijkJk (4.5)
es una representacion de SU(2). El operador de Casimir, que satisface por definicion[J2, Ji] = 0, es J2 = J2
1 + J22 + J2
3 , de modo que existen autofunciones simultaneasde las matrices J2 y J3 (ya que los Ji no conmutan entre sı); las llamaremos |j,m〉.Resulta que (Ver Schiff, cap VI):
J2|j,m〉 = j(j + 1)|j,m〉J3|j,m〉 = m|j,m〉J±|j,m〉 =
√
(j ∓m)(j ±m+ 1)|j,m± 1〉, (4.6)
con j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . y m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j. Se ha definido J± =J1 + iJ2.
En la obtencion de las ecuaciones (4.6) no se hace uso, como en el caso de SO(3),de versiones diferenciales de los operadores, solo de:
a. Las relaciones de conmutacion [J2, J3] = 0, [J3, J±] = ±J±.
b. La existencia de autokets, esto es, autofunciones simultaneas de los operadoresque conmutan. En particular, de [J3, J±]fm = ±J±fm se sigue
J3(J±fm) = (m± 1)J±fm,
de donde se concluye que J±fm ∝ fm.
c. La hermiticidad de J.
Por tanto, J no es necesariamente un operador de momento angular orbital.Como se vera, se referira tambien a grados internos (como espın e isospın).
4. Grupo SU(2) /37
El subespacio con base |j,m〉, con j fijo, es invariante bajo operaciones generadascon Ji, J
2, J±, etc. En general, si A es un operador polinomial en Ji, sera cierto que:
A|j,m〉 =∑
m′
ajm′m|j,m′〉,
de donde se sigue, premultiplicando por 〈j,m′′|:
〈j,m′′|A|j,m〉 =∑
m′
〈j,m′′|ajm′m|j,m′〉 =∑
m′
ajm′m〈j,m′′|j,m′〉 = ajm′′m.
Ası pues:
ajmm′ = 〈j,m|A|j,m′〉.
Esta expresion contiene todas las representaciones matriciales de SU(2). Loselementos de matriz para cada representacion j (autovalor de Casimir) son:
U jmm′ = 〈j,m|e−i θ·J|j,m′〉.
En particular:
1. (J±)mm′ = 〈j,m|J±|j,m′〉 =√
(j ∓m′)(j ±m′ + 1)〈j,m|j,m′ ± 1〉=
√
(j ∓m′)(l ±m′ + 1) δm,m′±1.
2. (J3)mm′ = 〈j,m|J3|j,m′〉 = 〈j,m|j,m′〉 = m′δmm′ .
Ası, con J1 = Jx, J2 = Jy, J3 = Jz se sigue que:
1. con j = 0 se obtiene J+ = J− = J3 = 0, de donde U = I.
2. con j = 1/2:
J+ =
(0 10 0
)
, J− =
(0 01 0
)
, J3 =
(1 00 −1
)
, J2 =3
4
(1 00 1
)
,
J1 =1
2
(0 11 0
)
=1
2σ1, J2 =
1
2
(0 −ii 0
)
=1
2σ2, J3 =
1
2σ3.
La base de este espacio es:
(10
)
,
(01
)
.
38/ Grupos de Lie
3. Con j = 1:
J+ =
0 1 00 0 10 0 0
, J− =
0 0 01 0 00 1 0
, J3 =
1 0 00 0 00 0 −1
J1 =1√2
0 1 01 0 10 1 0
, J2 =1√2
0 −i 0i 0 −i0 i 0
, J2 = 2
1 0 00 1 00 0 1
.
Como en (??). La base es:
100
,
010
,
001
.
4. Con j = 3/2:
J1 =
0√32 0 0√
32 0 1 0
0 1 0√32
0 0√32 0
, J2 =
0 −i√32 0 0
i√32 0 −i 0
0 i 0 −i√32
0 0 −i√32 0
.
J3 =
32 0 0 00 1
2 0 00 0 − 1
2 00 0 0 − 3
2
, J2 =
15
4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
La base es:
1000
,
0100
,
0010
,
0001
.
Con las anteriores matrices pueden evaluarse las matrices U j(θ) que actuansobre los vectores ξjm y los transforman de acuerdo a la regla ξ′jm =
∑
m′ Ujmm′ξ
jm′ .
Para SU(2), en particular:
U = e−i2θ·σ = cos(θ · σ/2)− i sen (θ · σ/2) = I cos(θ/2)− i(σ · n) sen (θ/2),
con n = θ/θ. Si n = e3, e infinitesimalmente:
U =
(e−iθ/2 0
0 e−iθ/2
)
≃ I − i
2δθ
(1 00 −1
)
= I − i
2δθ σ3.
4. Grupo SU(2) /39
Puede observarse que la matriz U(θ) no toma los mismos valores en 0 y 2π:U(0) = 1, U(2π) = −1, en tanto que U(4π) = 1. No obstante la forma ξ†ξ es lamisma en 0 y 2π.
La base para representaciones de SU(2) puede escribirse:
Sj = f−jj , f−j+1
j , · · · fj−1j , f−j
j
y contiene 2j + 1 elementos, con j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . .a. Si j = 0, 1, 2, 3, . . ., la dimension 2j + 1 de la representacion matricial esimpar (1, 3, 5, . . .). Los vectores de la base son Yjm(θ, φ). Hay entonces homo-morfismo entre SO(3) y SU(2). V’ease la seccion 4.3.
b. Si j = 1/2, 3/2, 5/2 . . ., la dimension 2j + 1 de la representacion matricial
es par (2, 4, 6, . . .). La base esta conformada por spinores.
4.2. Reduccion de un producto directo
Consideremos dos representaciones irreducibles de SU(2), U j1 y U j2 de dimen-siones 2j1 + 1 y 2j2 + 1. Las bases son:
Sj1 = ψm1
j1 = ψ−j1
j1, · · ·ψj1j1, con 2j1 + 1 funciones ψm1
j1,
Sj2 = φm2
j2 = φ−j2j2
, · · ·φj2j2, con 2j2 + 1 funciones φm2
j2.
El producto directo de estas bases es:
Sj1 ⊗ Sj2 = Sj1⊗j2 = ψm1
j1φm2
j2,
y es reducible, es decir, es cierto que:
Sj1 ⊗ Sj2 = Sj1+j2 ⊕ Sj1+j2−1 ⊕ · · · ⊕ S|j1−j2| =
|j1−j2|∑
j=j1+j2
Sj ,
donde cada subespacio es irreducible. Entonces:
Uj1 ⊗ Uj2 =
|j1−j2|∑
j=j1+j2
Uj .
La matriz U producto directo, de dimension (2j1+1)(2j2+1), queda reducida abloques diagonales. De este modo cada Uj de la suma actua solo sobre el subespacioj. Las dimensiones de las representaciones pueden escribirse:
j1 ⊗ j2 = (j1 + j2)⊕ (j1 + j2)− 1⊕ · · · |j1 − j2| =|j1−j2|∑
j=(j1+j2)
j,
40/ Grupos de Lie
donde∑
indica suma directa. Por ejemplo, 1⊗1/2 = 3/2⊕1/2. En la seccion 4.2.1aparecen algunos ejemplos de reducciones de productos directos.
Obtengamos ahora los generadores de la representacion (reducible) productodirecto:
U1 ⊗ U2 = e−iθ·J1 ⊗ e−iθ·J2 .
Escrito en forma infinitesimal:
U1 ⊗ U2 = (I1 − iδθ · J1)⊗ (I2 − iδθ · J2)
≃ I1 ⊗ I2 − i(I1 ⊗ J2 + J1 ⊗ I2) · δθ = I − iδθ · J.
Se ha obtenido el generador de la representacion producto directo:
J = I1 ⊗ J2 + J1 ⊗ I2. (4.7)
Ademas, la identidad en la nueva representacion es: I = I1⊗2 = I1 ⊗ I2.
En lo anterior hemos utilizado el producto directo de matrices cuadradas A =alm y B = blm, de dimensiones n× n y m×m, respectivamente, que se define(vease Apendice A) por:
A⊗B =
a11B a12B · · ·a21B a22B · · ·· · · · · · · · ·
.
Entonces: A⊗B = almbαβ.
Ejemplo:
Evaluacion del generador Jx de 1⊗ 1/2 (j1 = 1, j2 = 1/2).Utilizando (4.7):
J1⊗1/2 = I1 ⊗ J1/2 + J1 ⊗ I1/2 , de donde :
J1⊗1/2x = I1 ⊗ J
1/2x + J1
x ⊗ I1/2.
Los componentes de la anterior expresion son:
J1x =
1√2
0 1 01 0 10 1 0
, J1/2x =
1
2
(
0 11 0
)
,
I1x =
1 0 00 1 00 0 1
, I1/2x =
(
1 00 1
)
.
4. Grupo SU(2) /41
Por tanto:
J1⊗1/2x = I1 ⊗ J
1/2x + J1
x ⊗ I1/2
=
1 0 00 1 00 0 1
⊗ 1
2
(
0 11 0
)
+1√2
0 1 01 0 10 1 0
⊗(
1 00 1
)
=1
2
0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0
+1√2
0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0
.
Ası pues:
J1⊗1/2x =
0 1/2 1/√2 0 0 0
1/2 0 0 1/√2 0 0
1/√2 0 0 1/2 1/
√2 0
0 1/√2 1/2 0 0 1/
√2
0 0 1/√2 0 0 1/2
0 0 0 1/√2 1/2 0
.
De un modo analogo pueden evaluarse los generadores J1⊗1/2y y J
1⊗1/2z .
Existe una transformacion de similaridad que reduce las matrices Jx, Jy , Jz abloques diagonales:
SJ1⊗1/2i S−1 = J3/2 ⊕ J1/2.
La matriz S esta formada por los llamados coeficientes de Clebsh-Gordan. Equi-valentemente, S pasa de la base ψm1
j1φm2
j2a la base ξmj con j desde |j1 − j2|
hasta j1 + j2.
4.2.1. Ejemplos de reducciones
Los tensores cartesianos forman bases de representaciones reducibles del grupode rotaciones.
Las bases reducidas son los tensores esfericos, que son bases de espacios vecto-riales de dimension 2j + 1, con l = 0, 1, 2, . . .
j1 ⊗ j2 (2j1 + 1)⊗ (2j2 + 1)
1⊗ 1/2 = 3/2⊕ 1/2 3⊗ 2 = 4⊕ 21/2⊗ 1/2 = 1⊕ 0 2⊗ 2 = 3⊕ 11⊗ 1 = 2⊕ 1⊕ 0 3⊗ 3 = 5⊕ 3⊕ 11⊗ 3/2 = 5/2⊕ 3/2⊕ 1/2 3⊗ 4 = 6⊕ 4⊕ 21⊗ 2 = 3⊕ 2⊕ 1 3⊗ 5 = 7⊕ 5⊕ 3
42/ Grupos de Lie
El producto directo triple se ejemplifica con los dos siguientes casos:
a. 1⊗ 1⊗ 1 = 1⊗ (1⊗ 1) = 1⊗ (2⊕ 1⊕ 0) = 3 ⊕ 2⊕ 1⊕ 2⊕ 1⊕ 0⊕ 1,
b. (3⊗ 3⊗ 3 = 7⊕ 5⊕ 5⊕ 3⊕ 3⊕ 3⊕ 1).
4.3. Homomorfismo entre SO(3) y SU(2)
Al explorar la relacion entre rotaciones en SU(2) y SO(3) se descubre que a cadarotacion completa en SO(3) le corresponde media en SU(2). Esta caracterıstica dalugar a la diferencia basica entre un tensor y un espinor. El isomorfismo entre SO(3)y SU(2) revela como el momento angular orbital y el espın hacen parte de una solacantidad conservada, el momento angular total.
4.3.1. Rotaciones en SO(3) y SU(2)
Las matrices de Pauli son linealmente independientes (esto significa que∑aiσi =
0 solo si ai = 0) y de traza nula. Pueden por tanto servir, junto con la identidad, co-mo base para expandir cualquier matriz 2×2 de traza cero, puesto que son conjuntocompleto.
Comencemos estudiando la matriz P definida como:
P =
(x3 x1 − ix2
x1 + x2 −x3
)
= σixi. (4.8)
La matriz P es hermıtica y de traza cero (P = P †,TrP = 0). Se sigue, multipli-cando por σj y utilizando (4.3):
Pσj = σiσjxi = (Iδij + iǫijkσk)xi,
de donde:
Tr(Pσj) = 2δijxi + 0, o xj =1
2Tr(Pσj).
El determinante de la matriz P es:
|P | = −(x21 + x22 + x23) (4.9)
Bajo una transformacion de similaridad
P ′ = UPU †, (4.10)
realizada sobre P por una matriz U de SU(2), se mantienen invariantes:
a. La hermiticidad de P , pues si P = P † entonces P ′ = P ′†.
4. Grupo SU(2) /43
b. La traza de P : TrP=TrP ′.
c. El determinante de P . De (4.10): |P ′| = |U ||P ||U †| = |P |, pues |U †| = |U |−1.Esto implica
∑x′i
2 =∑x2i .
En consecuencia:
P ′ =
(x′3 x′1 − ix′2
x′1 + x′2 −x′3
)
= σix′i.
En acuerdo con∑x′i
2 =∑x2i , las cantidades xi se comportan como componen-
tes de un vector, invariante en su modulo. Podemos, entonces, asociar a transfor-maciones de similaridad en SU(2), rotaciones en SO(3). A cada matriz U , unitariay unimodular 2× 2 le corresponde una matriz R, ortogonal y 3× 3.
Probemos que la correspondencia entre U y R preserva la regla de multiplicacion,en forma tal que cada relacion que se cumpla para las U , se cumple para las R. Hayası, homomorfismo entre SO(3) y SU(2):
Sea X ′ = R1X y X ′′ = R2X′; entonces: X ′′ = R2R1X = RX, con R = R2R1.
Ası mismo, de P ′ = U1PU†1 y P ′′ = U2P
′U †2 , se sigue P ′′ = (U2U1)P (U2U1)
† =P ′′ = UPU †, con U = U2U1.
4.3.2. Conexion entre U y R
Se trata ahora de establecer la conexion entre U y R. Reemplazando P = σjxjy P ′ = σix
′i = σiRijxj en P
′ = UPU † se obtiene:
σiRij = UσjU†. (4.11)
La ultima ecuacion puede escribirse σi(RT )ji = UσjU
† = σi(R)−1ji = UσjU
†.
Multiplicando por (R)kj , premultiplicando por U † y posmultiplicando por U , seobtiene:
Rijσj = U †σiU. (4.12)
Premultiplicando (4.11) por σk y tomando la traza:
Tr(σkσiRij) = Tr(σkUσjU†),
de modo que, utilizando (4.3):
Rkj =1
2Tr(σkUσjU
†).
Es claro de esta expresion que a ±U le corresponde +R. En particular, a U =±I en SU(2) le corresponde +I en SO(3). No estan incluıdas las inversiones yreflexiones. Por esto, el isomorfismo es entre SU(2) y SO(3).
44/ Grupos de Lie
Para resolver la ecuacion (4.11) en la forma U = U(R), trabajemos en formainfinitesimal. En primer lugar R se escribe R = I+ω; con RTR = I y ω infinitesimalse sigue ω = −ωT . En segundo lugar, U = I+Λ, con Λ infinitesimal. Como U †U = Ise obtiene Λ† = −Λ. Entonces, reemplazando en (4.11):
σi(δij + ωij) = (I + Λ)σj(I − Λ),
de donde:σiωij = Λσj − σjΛ. (4.13)
La matriz Λ, por tanto, debe depender linealmente de ωik y debe equilibrarapropiadamente los ındices; esto sugiere Λ = aσiσkωik (Λ† = −Λ, con σ†
i = σi exigeque a sea real); por substitucion en (4.13) se sigue a = 1/4; Por tanto, reemplazando(4.3):
Λ =1
4σiσkωik =
i
4ωikǫikm
σm, (4.14)
y reemplazando (3.6) se sigue:
Λ =i
4dθjǫjikǫikm
σm =i
4dθj(δjmδii − δjiδim)σm
=i
2dθmσm =
i
2dθ · σ,
tal que para transformaciones finitas:
U = eiθ·σ/2.
4.3.3. Vectores, tensores y espinores
En la representacion definitoria, o representacion 2, el espinor ξ transforma segunla regla ξ′ = Uξ, donde
U = e−iθ·σ/2,
mientras ξ∗ se transforma segun la representacion 2∗, correspondiente a ξ′† = ξ†U †,esto es, con:
U † = eiθ·σ†/2 = eiθ·σ/2 = e−iθ·(−σ/2),
lo que significa que si los generadores de la representacion 2 son σi/2, los de larepresentacion 2∗ son −σi/2.
Entonces: ξ′†ξ′ = ξ†U †Uξ = ξ†ξ = invariante, por lo cual transforma como unescalar.
¿Como transforma ξ†σiξ bajo rotacion? Utilizando (4.12):
ξ′†σiξ′ = ξ†U †σiUξ = Rij
(ξ†σjξ
),
4. Grupo SU(2) /45
tal que ξ†σiξ transforma como un vector en 3D (como x′i = Rijxj). Ası pues, apartir del espinor ξ puede formarse el vector en 3D: A = ξ†σξ, con componentescartesianas Ai = ξ†σiξ.
Es facil probar, de un modo analogo, que ξ†σiσjξ transforma, bajo rotacionen 3D, como un tensor de segundo orden (es decir, como T ′
ij = RikRjlTkl). En
consecuencia, a partir del espinor ξ puede formarse el tensor Tij = ξ†σiσjξ, quepuede tambien escribirse: T = ξ†σσξ.
4.4. SU(2) y angulos de Euler
Ahora bien, repitamos la conexion entre U y R para angulos de Euler. De (3.32):
R = I + ω = I + i[(δϕ+ δψ)M3 + δθM1],
de modo que, reemplazando ωik en (4.14), con (Mi)jk = iǫijk
:
Λ =i
4σiσk[(δϕ+ δψ)(iǫ
3ik) + δθ(iǫ
1ik)]
= −1
4[(δϕ+ δψ)(σ1σ2 − σ2σ1) + δθ(σ2σ3 − σ3σ2)]
= − i
4[(δϕ+ δψ)σ3 + δθσ1],
y como U = I + Λ, se sigue, para transformacion finita:
U(ϕ) = e−iϕσ3 =
(e−iϕ/2 0
0 eiϕ/2
)
U(θ) = e−iθσ1 =
(cos(θ/2) −i sen (θ/2)
−i sen (θ/2) cos(θ/2)
)
U(ψ) = e−iψσ3 =
(e−iψ/2 0
0 eiψ/2
)
,
y puesto que U = U(ψ)U(θ)U(φ) se obtiene la matriz de Euler:
U =
(cos(θ/2)e−i(ψ+ϕ)/2 −i sen (θ/2)e−i(ψ−ϕ)/2−i sen (θ/2)ei(ψ−θ)/2 cos(θ/2)ei(ψ+ϕ)/2
)
,
lo que muestra que las funciones spinoriales ξ retoman su valor original despues deuna rotacion de 4π.
5
Isospın
5.1. Prologo
El grupo SU(2) fue introducido por Pauli, en los anos veinte del siglo pasa-do, en su descripcion del espın del electron, y hace parte de la ecuacion de Pauli(vease el cuaderno “El electron de Dirac”, seccion 1.3) que generaliza la ecuacion deSchrodinger . En aquella ecuacion aparecen los espinores de Pauli, que son la basedel espacio complejo bidimensional SU(2). Este grupo fue utilizado por Heisenberg,pocos anos despues, para describir la casi igualdad de las masas del proton y elneutron, con lo que se llamo el grupo de isospın. En los anos sesenta del siglo XX seintrodujo el grupo SU(3) en la descripcion de la estructura interna de los barionesy los mesones, en lo que se conocio como el “camino octuple”. En este contextose introdujeron los quarks como componentes fundamentales de las partıculas queexperimentan fuerzas fuertes.
5.2. Grupo SU(2) de isospın
5.2.1. Nucleones
Los nucleos atomicos estan conformados por protones y neutrones. Los protonesexperimentan entre sı fuerzas electricas repulsivas que impiden la estabilidad delos nucleos. Resulta, entonces, que debe existir una fuerza de gran intensidad entreprotones-protones, protones-neutrones y neutrones-neutrones, que contrarresta larepulsion electrica nuclear posibilitando la estabilidad de los nucleos y que es in-dependiente de la carga electrica. Es una nueva fuerza natural, a la que se conocecomo fuerza nuclear.
De acuerdo con Heisenberg (1932), puesto que protones y neutrones tienen elmismo espın, casi la misma masa (siendo atribuible la diferencia a la interaccionelectromagnetica) y las interacciones entre las parejas p-p, p-n y n-n son de la misma
46
5. Isospın /47
intensidad, sera util considerar p y n como estados diferentes de la misma partıcula,el nucleon, ası como en mecanica cuantica se consideran los espines ↑ y ↓ comoestados diferentes de una misma partıcula: el electron.
Unos quince anos despues, Heisenberg propuso otra familia de partıculas dotadade interaccion fuerte, los piones. Muchas otras parejas y tripletes fueron descubiertosen los anos posteriores.
Segun la propuesta de Heisenberg, los protones y neutrones −fermiones de espın1/2, cuyas funciones de onda de Dirac denotamos con p y n− forman un dobletede SU(2); vale decir que p y n son las componentes de un espacio 2D complejo (ala vez, cada uno de ellos es un espinor de Dirac de cuatro componentes). El nuevoespinor N para el nucleon se escribe como:
N =
(pn
)
,
y los generadores del grupo SU(2), en representacion definitoria, son:
I1 =
(0 11 0
)
, I2 =
(0 −ii 0
)
, I3 =
(0 10 −1
)
, (5.1)
Como puede reconocerse, aquı estan las matrices de Pauli. La propiedad analoga alespın, propuesta por Heisenberg, fue llamada espın isotopico, dada su utilidad enla clasificacion de los estados del nucleo, de acuerdo con su numero de protones yneutrones. Cuando su aplicacion se extendio al estudio de las partıculas elementalesno nucleares, el nombre paso a ser el de isospın.
La conservacion del isospın puede expresarse en terminos de una nueva simetrıaque es rota por los efectos electromagneticos. Esta simetrıa se asocia a la invarianzadel lagrangiano bajo “rotacion” en el espacio de isospın.
La base espinorial
N =
(pn
)
=
(p0
)
+
(0n
)
= p
(10
)
+ n
(01
)
,
se transforma bajo el grupo cuyos elementos son las matrices unitarias U = e−iIiθi ,que permiten la rotacion de N , generando un nuevo N ′, mediante una regla de laforma: N ′ = UN . El invariante asociado es N ′†N ′ = N†U †UN = N†N , puesto quela matriz U satisface la condicion de unitariedad U †U = I. Los operadores escalera
I± = I1 ± I2 tienen las propiedades:
I+
(01
)
=
(0 10 0
)(01
)
=
(10
)
, I−
(10
)
=
(0 01 0
)(10
)
=
(01
)
.
Lo anterior significa que estos operadores escalera “convierten” p en n y n en p;
el I+ convierte n en p, y el I− convierte p en n. Esto es, si p =
(10
)
y n =
(01
)
48/ Grupos de Lie
son los vectores unitarios en direccion del proton y el neutron, entonces I+n = p yI−p = n.
n p
I−
I+I3
−1/2 1/2
• •
Figura 5.1: Doblete SU(2) de nucleones que contieneel proton y el neutron.
El isospın I del proton y del neutron es 1/2 y hay 2I + 1 = 2 estados I3,
correspondientes a 1/2 y −1/2. Esto es,
(10
)
tiene I3 = 1/2, y
(01
)
tiene
I3 = −1/2. Tambien: I3p =12 p, I3n = − 1
2 n, donde I3 en (5.1) es el unico generadordiagonal de SU(2).
El generador de carga electrica es Q =
(1 00 0
)
, en acuerdo con las ecuaciones
de autovalores
Q
(10
)
=
(1
0
)(10
)
= 1·(
10
)
, Q
(01
)
=
(1
0
)(01
)
= 0·(
01
)
.
que pueden escribirse: Qp = 1 · p y Qn = 0 · n.Existe una conexion simple entre I3 y Q:
Q =
(1
0
)
=
(12
− 12
)
+
(12
12
)
, ası pues:
Q = I3 +B/2, con B =
(1
1
)
.
La matriz B identifica a ambas partıculas, con los mismos numeros; aseguraque ambas son del mismo tipo. Diremos que son bariones. El numero barionico delproton y del neutron es 1, y es una cantidad conservada; esto es, el numero barionicototal es constante en todos los procesos. Esto implica, en particular, la estabilidaddel proton; en efecto, p+ es el mas liviano de todos los bariones; no puede decaer, enestado libre, en otras partıculas mas livianas sin violar la conservacion del numerobarionico. El numero barionico de los antibariones, en particular p y n, es −1.
De acuerdo con Heisenberg, si se desprecian las interacciones electromagneti-cas, las partıculas del doblete (p, n) tienen la misma masa. No son dos partıculasdiferentes sino dos estados de isospın, (+1/2,−1/2), de un nucleon, ambos con elmismo numero barionico 1.
5. Isospın /49
Los autoestados de la interaccion fuerte exhiben una degeneracion en energıa,que se rompe al “encender” la electrodinamica; esta elimina la degeneracion en lamasa, con lo que resulta que las masas del neutron y del proton toman los valoresMn = 939,5 MeV y mp = 938,3 MeV. La degeneracion, como puede comprobarse,es consecuencia de la simetrıa de isospın presente en el lagrangiano.
En el efecto Zeeman, presente en el atomo de hidrogeno colocado en un campomagnetico, la degeneracion en los niveles de energıa del electron es eliminada alintroducir el campo magnetico, que reduce la simetrıa esferica del lagrangiano auna cilındrica, y “despierta” los numeros cuanticos azimutales ml. Como es sabido,las 2l + 1 orientaciones del momento angular diferencian los niveles de energıa alintroducir un termino asociado al momento magnetico del electron.
Al romper la simetrıa de isospın, el electromagnetismo define (analogamente alcaso Zeeman) una direccion I3 en el espacio de isospın: las partıculas del dobleteaparecen entonces con diferente masa.
Hamiltoniano y simetrıas
Siendo Gk un generador de algun grupo de simetrıa, si [H,Gk] = 0 (donde Hes el hamiltoniano) entonces esa es una simetrıa exacta. Con H = Hf +HEM ,que contiene los hamiltonianos fuerte y electromagnetico, si hay una simetrıade isospın, entonces [Hf , Gk] = 0, pero [HEM , Gk] 6= 0. En tal caso, la deisospın es una simetrıa aproximada.
5.2.2. Otros multipletes de SU(2) de isospın
1. Doblete de kaones:
(K+
K0
)
, correspondiente respectivamente a I3 = 1/2
e I3 = −1/2. Este es un doblete de partıculas extranas (llamadas ası porque decaenen tiempos del orden de 10−8 s), a la que se asocia un nuevo numero cuantico: laextraneza. Ademas son mesones escalares, es decir, de espın cero. Para este dobletees cierto que:
Q =
(1
0
)
, S = extraneza =
(1
−1
)
, B =
(0
0
)
.
Resulta que, definiendo la hipercarga como:
Y = B + S ,
tendremos, volviendo por un momento al doblete de nucleones, que:
a. Y = B =
(1
1
)
, con S =
(0
0
)
, de modo que:
(pn
)
tiene extra-
neza cero.
50/ Grupos de Lie
b. Para el doblete de mesones
(K+
K0
)
:
Y = S =
(1
1
)
, con B =
(0
0
)
, para mesones .
Se sigue que, en ambos casos:
Q = I3 + Y/2
Las interacciones fuertes conservan S, I, Q y B, pero las debiles no conservanni I3, ni S.
2. Doblete de antikaones:
(K0
K−
)
. Son antimesones escalares (espın cero)
con isospın I3 = 1/2 e I3 = −1/2. Para este doblete es cierto que:
S =
(−1
−1
)
, B =
(0
0
)
, Y = B + S =
(−1
−1
)
,
Q = I3 + Y/2 =
(12
− 12
)
+
(− 1
2− 1
2
)
=
(0
−1
)
.
3. Triplete de piones:
π+
π0
π−
. Son mesones escalares (espın cero) con isospın
I3 = 1, 0,−1. Para este triplete es cierto que:
Q = I3+Y/2 = I3+1
2(B+S) = I3+S/2 =
10
−1
=
10
−1
+S/2 ,
de donde S = 0. Estos son mesones de extraneza cero. La hipercarga Y = B + S esentonces cero.
4. Triplete de Sigmas:
Σ+
Σ0
Σ−
, con valores de isospın I3 = 1, 0,−1. Son
bariones de numero barionico 1 y de espın 1/2. Ademas, con Y = B + S = S :
Q = I3 + Y/2 = I3 + S/2 =
10
−1
=
12
12
12
+ S/2
=
10
−1
, con S =
−1−1
−1
y Y =
00
0
.
5. Isospın /51
5. Doblete de Zetas:
(Ξ0
Ξ−
)
, con isospın I3 = 1/2,−1/2. Son bariones de
espın 1/2 y extraneza −2. Para este doblete es cierto que:
Q =
(0
−1
)
= I3 +1
2(B + S) =
(12
− 12
)
+
(12
12
)
+ S/2 ,
de donde: S =
(−2
−2
)
.
5.2.3. Producto directo de SU(2)
Consideremos dos bases ψ y φ en la representacion definitoria de SU(2), cadauna con elementos ψa y φb, donde a y b pueden tomar valores 1 y 2. Realicemos elproducto directo mas simple, ψaφb:
ψaφb =1
2(ψaφb + ψbφa) +
1
2(ψaφb − ψbφa) = θab+ + θab− ,
donde θab+ y θab− son, respectivamente, un triplete y un singlete. Estos estados sedefinen como:
θab+ =1
2(ψaφb + ψbφa) = (pp, (pn+ np)/2, nn)
θ12− =1
2(ψ1φ1 − ψ2φ1) = (pn− np) , pues: θ11− = θ22− = 0
Considerando interacciones fuertes unicamente, y teniendo en cuenta su inde-pendencia de la carga electrica, resulta que el triplete θab+ corresponde a un parde nucleones en cualquiera de los tres siguientes estados de isospın 1: pp, nn y(pn + np)/2. Respectivamente, estos son: un nucleo de helio 2 (sin neutrones), unestado ligado de dos neutrones, y un nucleo de deuterio con funcion de onda simetri-ca. Ademas, hay un estado del deuterio, (pn−np), con funcion de onda antisimetrica.El producto directo aquı realizado se descompone del siguiente modo: 2⊗2 = 3⊕1.
Otros productos directos pueden ser estudiados, como: ψaφb, donde φb = φb∗.
6
Quarks
6.1. Grupo SU(3) y quarks. El camino octuple
La teorıa de los quarks fue propuesta en los anos sesenta del siglo XX por MurrayGell-Mann y Yuval Nee’man. En esencia asume que los bariones y los mesones(partıculas dotadas de interaccion fuerte, los primeros son fermiones y los segundosbosones) son estructuras conformadas, respectivamente, por tres y dos partıculas,a las que se conoce como quarks. El grupo SU(3), como se vera en las siguienteslıneas, provee la base matematica de esta propuesta.
6.1.1. Representacion definitoria
SU(3) es un grupo continuo de matrices U , especial (de determinante 1) y uni-tario, de ocho parametros y ocho generadores (el numero de generadores esta dadopor 32 − 1 = 8). En su representacion definitoria los generadores son matrices 3× 3y los vectores base son columnas complejas de tres elementos, a los que llamaremostambien espinores, extendiendo la denominacion nacida con SU(2).
La forma general de las matrices U es: U = e−iG·Θ = e−iGkθk , donde hay sumasobre los ındices k entre 1 y 8; los coeficientes θk son los parametros del grupo. De la
condicion de unitariedad U † = U−1 se sigue: e−iG†·Θ = eiG·Θ, por lo cual G† = G:
los generadores son hermıticos. Ademas, la imposicion del determinante 1, permiteescribir |U | = |e−iG·Θ| = e−iTrG·Θ = 1, con lo cual se concluye que TrG = 0, ycomo los generadores son linealmente independientes, resultara que su traza es cero:TrG = 0.
La matriz G ·Θ de dimension 3× 3, mas general, que satisface estas dos condi-
52
6. Quarks /53
ciones y que es una parte de la matriz de la figura 2.1, se escribe como:
G ·Θ =1
2
β3 +1√3β8 β1 − iβ2 β4 − iβ5
β1 + iβ2 −β3 + 1√3β8 β6 − iβ7
β4 + iβ5 β6 + iβ7 − 2√3β8
Ası pues, las ocho matrices generadoras del grupo SU(3) se escriben:
G1 =1
2
0 1 01 0 00 0 0
, G2 =1
2
0 −i 0i 0 00 0 0
, G3 =1
2
1−1
0
,
G4 =1
2
0 0 10 0 01 0 0
, G5 =1
2
0 0 −i0 0 0i 0 0
, G6 =1
2
0 0 00 0 10 1 0
,
G7 =1
2
0 0 00 0 −i0 i 0
, G8 =1
2√3
11
−2
. (6.1)
Los mismos argumentos, reducidos a matrices 2 × 2, pueden ser utilizados enel marco del grupo SU(2), para obtener las tres matrices de Pauli (5.1), ya que setrata de un grupo unimodular, continuo y unitario.
Ahora bien, los espinores φ de tres elementos se transforman bajo el grupo SU(3)segun la regla φ′ = Uφ; a las componentes del espinor las nombraremos comoφa y seran llamadas la representacion definitoria 3. Definimos la representaciondefinitoria conjugada tomando el adjunto hermıtico φ†, cuyos elementos φa∗ seranllamados φa; la representacion sera 3∗ y la regla de transformacion toma la formaφ† = (Uφ)† = φ†U † = φ†U−1.
6.1.2. Operadores escalera
Volvemos aquı sobre los desarrollo de la seccion 1.2., para el caso particular deSU(3).
En la expresion U = e−iG·Θ, escribamos θ = G·Θ, de modo que sus componentesmatriciales son:
θab = (Gk)abθk = (Gk)abθk , (6.2)
con a, b = 1, 2 y suma en k. Puesto que la traza de Gk es cero, es cierto que:
Tr θ = θaa = 0 . (6.3)
De (6.3), utilizando (6.1) se sigue:
2θ11 = θ3 + θ8/√3 2θ12 = θ1 − iθ2 2θ13 = θ4 − iθ5
2θ21 = θ1 + iθ2 2θ22 = −θ3 + θ8/√3 2θ23 = θ6 − iθ7
2θ31 = θ4 + iθ5 2θ32 = θ6 + iθ7 2θ33 = −2θ8/√3 ,
(6.4)
54/ Grupos de Lie
Ahora bien, los operadores escalera Ldc se definen haciendo uso de la siguienteidentidad:
θab = [δac δdb −
1
3δab δ
dc ]θ
cd = (Ldc)
abθcd , con:
(Ldc)ab = δac δ
db −
1
3δab δ
dc (6.5)
Los elementos a, b de las ocho matrices escalera Ldc son reales. Podemos, entonces,escribir:
θ = Gkθk = Ldcθcd . (6.6)
Reemplazando θab en (6.6) se sigue:
L12 = G1 − iG2, L2
1 = G1 + iG2, L13 = G4 − iG5,
L31 = G4 + iG5, L2
3 = G6 − iG7, L32 = G6 + iG7,
L11 = G3 − G8√
3, L2
2 = −G3 − G8√3, L3
3 = −2G8√3
Ahora bien, los parametros θk son reales, las matrices Gk son hermıticas, loscoeficientes θcd son complejos y Ldc son matrices reales, ni simetricas ni antisimetricas.
De θab = (Gk)abθk, por conjugacion compleja se obtiene: θb∗a = (Gk)∗abθk =
(Gk)†baθk = θba .
Las matrices Ldc satisfacen la regla de conmutacion:
[Lab , La′
b′ ] = δab′La′
b − δa′
b Lab , (6.7)
que define el algebra de Lie de los operadores escalera en SU(3).
6.1.3. Grupos SU(2) en SU(3)
Con el proposito de encontrar sugrupos SU(2) en SU(3), definimos las matricesescalera en SU(2), Aαβ , en la forma:
Aαβ = Lαβ − 1
2δαβL
γγ ; α, β, γ = 1, 2. (6.8)
Esto implica, en componentes matriciales, que:
(Aαβ )σρ = (Lαβ )
σρ − 1
2δαβ (L
γγ)σρ = δαρ δ
σβ − 1
2δαβ δ
σρ ,
por lo que la regla de conmutacion de Aαβ tiene la misma forma de (6.7):
[Aαβ , Aα′
β′ ] = δαβ′Aα′
β − δα′
β Aαβ′ ,
6. Quarks /55
que es el algebra de Lie de los operadores escalera en SU(2). Ası, SU(3) contienesubgrupos SU(2) que seran encontrados en lo que sigue. Los ındices a, b, c puedentomar los valores 1,2,3 y α, β, γ permiten formar las parejas 1,2 o 2,3 o 3,1. Ası pues:
a. Con α = 1, 2, en (6.8):
A12 = L1
2 = G1 − iG2 = I−A2
1 = L21 = G1 + iG2 = I+
A11 = L1
1 − (L11 + L2
2)/2 = (L11 − L2
2)/2 = G3 = I3A2
2 = L22 − (L1
1 + L22)/2 = (L2
2 − L11)/2 = −G3 = −I3.
(6.9)
b. Con α = 3, 1, en (6.8):
A31 = L3
1 = G4 + iG5 = V+ = V−A1
3 = L13 = G4 − iG5 = V− = V+
A11 = L1
1 − (L11 + L3
3)/2 = (G3 +√3G8)/2 = V3
A33 = L3
3 − (L33 + L1
1)/2 = −(G3 +√3G8)/2 = −V3.
(6.10)
c. Con α = 2, 3, en (6.8):
A23 = L2
3 = G6 − iG7 = U−A3
2 = L32 = G6 + iG7 = U+
A22 = L2
2 − (L22 + L3
3)/2 = (−G3 +√3G8)/2 = U3
A33 = L3
3 − (L22 + L3
3)/2 = −(−G3 +√3G8)/2 = −U3.
(6.11)
Hay, ası, tres subgrupos SU(2) en SU(3):
I+, I−, I3, V+, V−, V3, U+, U−, U3, o tambien:
I1, I2, I3, V1, V2, V3, U1, U2, U3 ,
donde: I± = I1 ± I2, V± = V1 ± V2, U± = U1 ± U2, y
[Ii, Ij ] = iǫijkIk, [Vi, Vj ] = iǫijkVk, [Ui, Uj ] = iǫijkUk.
Utilizando (6.1), (6.9), (6.10) y (6.11) las matrices I, U y V son las siguientes:
I+ =
0 1 00 0 00 0 0
, I− =
0 0 01 0 00 0 0
, I3 =
12
− 12
0
,
V+ =
0 0 00 0 01 0 0
, V− =
0 0 10 0 00 0 0
, V3 =
12
0− 1
2
,
U+ =
0 0 00 0 10 0 0
, U− =
0 0 00 0 00 1 0
, U3 =
012
− 12
,
56/ Grupos de Lie
En la siguiente notacion aparecen los tres quarks u, d, s como autovectores deSU(3):
φ1 =
100
= u, φ2 =
010
= d, φ3 =
001
= s . (6.12)
Ademas, utilizando las expresiones para I, V y U contenidas en las ecuaciones(6.9), (6.10) y (6.11), se obtienen las siguientes conclusiones:
1. I+d = u, I−u = d, I±s = 0; ası, d y u forman un I-doblete,
y s es un I-singlete,
2. V+u = s, V−s = u, V±d = 0; ası, u y s forman un V -doblete,
y d es un V -singlete,
3. U+s = d, U−d = s, U±u = 0; ası, s y d forman un U -doblete,
y u es un U -singlete.
Definicion de singlete
Recuerdese que ψ es un singlete de SU(N) si ψ′ = Uψ = ψ. Esto es, escrito enforma infinitesimal, ψ′ = Uψ = e−iG·δΘψ ≃ (I−iG·δΘ)ψ = ψ, lo que implicaGkδθkψ = 0. Puesto que los generadores Gk son linealmente independientes,ψ es singlete de SU(N) si Gkψ = 0.
6.1.4. Quarks y antiquarks
Los quarks, autovectores de SU(3), estan dados por la ecuacion (6.12). Sus esta-dos se rotulan con los autovalores de los generadores diagonales y la representacionse rotula con los autovalores de los dos operadores de Casimir. Los generadores dia-gonales son G3 y G8 mostrados en la seccion anterior. A partir de estas dos matricesdefinimos la hipercarga Y = 2/
√3, y la componente 3 de isospın I3 = G3; adicio-
nalmente, tendremos en cuenta que la carga electrica se define como Q = I3 + Y/2;entonces:
Y =
13
13
− 23
, I3 =
12
− 12
0
, Q =
23
− 13
− 13
.
Obervese que los valores de carga electrica e hipercarga tienen valores fracciona-rios. Este resultado es notable ante todo con la carga electrica, pues desde comienzosdel siglo XX se supuso que la carga del electron y el proton, iguales numericamente,eran las mınimas unidades naturales de carga electrica. Ahora bien, si los quarks
6. Quarks /57
son bariones (de numero barionico 1/3), si u y d no son partıculas extranas, perosı el quark s, entonces, de acuerdo con S = Y −B:
B =
13
13
13
, S =
00
−1
.
Los autovalores de los generadores diagonales son llamados tambien pesos. Elgrafico de Y versus I3, llamado el diagrama de pesos, se muestra en la figura 6.1.
• •
•
d u
s
−1/2 1/2
1/3
−2/3
| |
Y
I3
I+
I−
V+
V−
U+
U−
a b• •
•
u d
s
−1/2 1/2
2/3
| |
Y C
I3C
IC
+
IC
−
V C
+
V C
−
U C
+
U C
−
Figura 6.1: Diagramas de peso para SU(3) de los quarks u, d, s. a. Representacion3; b. representacion 3∗.
La estructura de dobletes y singletes, en cada caso, puede verse en la grafica 6.2,que hace referencia a la figura 6.1a.
•
•
• •
•
• •
•
•
a b c
Figura 6.2: Diagrama de pesos para la representacion 3. a. I-doblete e I-singlete; b.V -doblete e V -singlete; c. U -doblete e U -singlete.
Ahora bien. Recordemos que los generadores asociados a la representacion de-finitoria 3 son Gk, los asociados a la representacion definitoria conjugada 3∗ sonGC
k = −G∗k. En efecto, de U = e−iG·Θ, se sigue U∗ = eiG
∗·Θ = e−i(−G∗·Θ, con Θ
un vector real con ocho componentes, en el espacio de los generadores.
58/ Grupos de Lie
En particular, para los generadores de 3∗:
U C
3 =
0− 1
212
, V C
3 =
− 12
012
,
Y C =
− 13
− 13
23
, IC
3 =
− 12
12
0
,
tal que su diagrama de pesos es el mostrado en la figura 6.1b. Ası, los autovaloresde los generadores diagonales (que son numeros reales) de la representacion 3∗ sonlos negativos de los correspondientes a la representacion 3. Ademas.
QC = IC
3 + Y C/2 =
− 23
13
13
.
En consecuencia, para la representacion definitoria conjugada 3∗:
IC
+ = −I−, U C
+ = −U−, V C
+ = −V−,IC
− = −I+, U C
− = −U+, V C
− = −V+ ,
Entonces:
IC
+u = −I−u = −d, IC
−d = −I+d = −u, IC
±s = 0 ,
lo que significa que (−u, d) es un I-doblete, mientras s es un I-singlete. Ademas:
V C
+s = −V−s = −u, V C
−u = −V+u = −s, V C
±d = 0 ,
por tanto (−s, u) es un V -doblete, mientras d es un V -singlete. Finalmente:
U C
+d = −U−d = −s, U C
−s = −U+s = −d, U C
±u = 0 ,
por lo cual (−d, s) es un U -doblete, mientras u es un U -singlete.
Si los tres estados u, d, s de la representacion 3 de SU(3) son concebidos comoestados de partıculas tendremos, entonces, los quarks. La representacion 3∗ corres-pondera a antiquarks u, d, s. Diremos que los quarks vienen en tres sabores, u, d, s,y que el grupo que los define es el SU(3) del sabor. La carga electrica de los quarkses una fraccion de la carga del electron.
6. Quarks /59
6.2. Productos directos de SU(3) del sabor
Consideremos las bases ψa y φb con a, b = 1, 2, 3, correspondientes a componen-tes de espinores en SU(3), cuya forma es como sigue:
ψ = ψ1
100
+ ψ2
010
+ ψ3
001
,
φ = φ1
100
+ φ2
010
+ φ3
001
,
6.2.1. Representacion 3⊗ 3
Formemos el producto ψaφb = θab, que podemos escribir como partes simetricay antisimetrica, en analogıa con la seccion 1.2.3:
θab =1
2(θab + θba) +
1
2(θab − θba) = θab+ + θab− .
El termino θab+ tiene 6 elementos diferentes, mientras θab(−) tiene 3 diferentes. Enforma explıcita podemos escribir:
θab+ =1
2(ψaφb + ψbφa) = [uu, (ud+ du)/2, (us+ su)/2, dd, (ds+ sd)/2, ss] ,
θab− =1
2(ψaφb − ψbφa) = [ds− sd, su− us, ud− du]/2 ,
θab− puede escribirse en una forma que revela de modo directo sus tres elementosindependientes: θab− = ǫabcηc, con ηc =
12ǫcdeψ
dφe. Ası:
θab = θab+ + θab− = θab+ + ǫabcηc, con:
ηc = (ds− sd, su− us, ud− du)/2 .
Las nuevas bases simetrica y antisimetrica conforman las representaciones irre-ducibles 6 y 3∗:
3⊗ 3 = 6⊕ 3∗.
El asterisco en 3∗ proviene de que esta representacion contiene el termino ηc,con sub-ındice, que se tranforma segun el complejo conjugado de ηc.
Los diagramas de pesos se obtienen colocando el origen coordenado del primertriangulo en la figura 6.3 (incluyendo las letras que nombran los quarks) en cadauno de los vertices del segundo triangulo; se obtiene un triangulo con 8 partıculas
60/ Grupos de Lie
d u
s
• •
•
d u
s
• •
•
dd du ud uu
ds sd
ss
us su
• •• •
•• ••
•dd (ud+ du)/2 uu
(ds+ sd)/2
ss
(us+ su)/2
• • •
• •
•
(ud− du)/2
(ds− sd)/2 (us− su)/2• •
•
⊗ =
= ⊕
Figura 6.3: Diagrama de pesos para la descomposicion del producto directo 3⊗ 3 en 6⊕ 3∗
cada una compuesta de dos quarks (o combinaciones de dos) mas un triplete, quecorresponde al ultimo triangulo.
Las seis partıculas θab+ y las tres θab− , compuestas cada una de dos quarks, ycorrespondientes a las representaciones 6 y 3∗, nunca han sido detectadas y el con-senso es que no existen. Sobre la explicacion teorica del por que, una hipotesis−actualmente aceptada− sera propuesta en la seccion 6.4.
6.2.2. Representacion 3⊗ 3∗. El octete de mesones
Consideremos ahora la representacion producto directo 3⊗ 3∗, producto de lasbases ψ y φ∗: ψ⊗φ∗ = ψaφb, donde ψ contiene (u, d, s) y φ contiene (u, d, s). En laexpresion siguiente, el primer renglon es una identidad, y en el segundo introducimosdos definiciones, una para η′ y otra para θab :
ψaφb =
(
ψaφb −1
3δabψ
cφc
)
+1
3δabψ
cφc
=
(
ψaφb −1
3δabψ
cφc
)
+1
3δab η
′ = θab +1
3δab η
′ .
El primer parentesis es la representacion adjunta. Se expresa mediante una ma-triz 3× 3 de traza cero, que contiene ocho elementos independientes. Su dimensionesta dada por la regla 32 − 1 = 8. Se le conoce como la representacion octete.Ademas, hay un singlete η′ de la forma:
η′ = ψcφc = uu+ dd+ ss .
6. Quarks /61
Que η′ sea un singlete significa, de acuerdo con la definicion de singlete al finalde la seccion 6.1.3, que las siguientes expresiones son validas:
I±η′ = −U±η
′ = V±η′ = I3η
′ = V3η′ = U3η
′ = 0 ,
Ası pues: 3⊗ 3 = 8⊕ 1.
En acuerdo con la seccion 6.1.1, el octete, puede expresarse en la forma de unamatriz cuadrada de traza nula:
θ =
θ11 θ12 θ13θ21 θ22 θ23θ31 θ32 θ33
= θabLba (6.13)
=√2φkGk =
1√2
φ3 +1√3φ8 φ1 − iφ2 φ4 − iφ5
φ1 + iφ2 −φ3 + 1√3φ8 φ6 − iφ7
φ4 + iφ5 φ6 + iφ7 − 2√3φ8
Los autovalores de Y , I3 y Q, en esta representacion, son:
Y =
0 0 10 0 1−1 −1 0
, I3 =
0 1 12
−1 0 − 12
− 12
12 0
, Y =
0 1 1−1 0 0−1 0 0
.
Partıculas con estos autovalores han sido observadas; corresponden a un octete de
mesones. Hay, de hecho, dos octetes de mesones: uno pseudoescalar y otro vectorial.Esta denominacion se refiere al espın de la partıcula, que es la suma de los espınesde los quarks participantes. Si son antiparalelos, el espın de la partıcula es cero y setrata de mesones pseudoescalares; si son paralelos seran mesones vectoriales. Parael primer octete, la asignacion en la matriz θab es como sigue:
θab =
π0 + η π+ K+
π− −π0 + η K0
K− K0 −2η
, entonces:
θ11 = ψ1φ1 −1
3δ11(ψ
1φ1 + ψ2φ2 + ψ3φ3)
=1
3(2ψ1φ1 − ψ2φ2 − ψ3φ3)
=1
3(2uu− dd− ss) .
62/ Grupos de Lie
De un modo analogo se evaluan las restantes componentes. Resulta ası:
π0 + η = θ11 = (2uu− dd− ss)/3
π+ = θ12 = ud
K+ = θ13 = us
π− = θ21 = du
−π0 + η = θ22 = (2dd− uu− ss)/3
K0 = θ23 = ds
K− = θ31 = su
K0 = θ32 = sd
−2η = θ33 = (2ss− uu− dd)/3
De la primera, quinta y novena lıneas de la anterior columna, se obtiene
η =1
6(uu+ dd− 2ss) , π0 =
1
2(uu− dd)
El octete de mesones pseudoescalares (0−) puede descomponerse ası (vease figura6.4a): (π+, π0, π−), que es un triplete de SU(2); (K+,K0) es un doblete de SU(2),tambien lo es (K−, K0), y η es un singlete de SU(2).
Cada meson pseudoescalar, como se ha dicho, esta formado por una pareja quark-antiquark, qq, con espines opuestos. El diagrama de pesos tiene la forma mostradaen la figura 6.4a.
•
• •
•
••
••
K0 K+
π− π0 π+
η0
K− K0
Y
I3
1
−1
−1 −1/2 1/2 1•
• •
•
••
••
K0 K∗+
ρ− W ρ+
ρ0
K∗− K∗0
Y
I3
1
−1
−1−1/2 1/2 1
a b
Figura 6.4: Diagrama de pesos, a. para el octete de mesones pseudoescalares(0−) y b. para el octete de mesones vectoriales (1−). Los mesones estanformados por una pareja quark-antiquark. Las partıculas ubicadas a lo largo decada lınea punteada tienen igual carga electrica.
Otro octete conocido es el de los mesones vectoriales (1−), en el que cada partıcu-la esta conformada por una pareja quark-antiquark de espines alineados. Sus masas
6. Quarks /63
son diferentes a las del octete pseudoescalar. El diagrama de pesos se muestra en lafigura 6.4b.
En cada uno de los dos octetes de la figura 6.4 las masas de las partıculas deberıanser iguales, para garanizar una simetrıa exacta del lagrangiano. En realidad, estasimetrıa es aproximada, pues es rota por el electromagnetismo.
El octete y el singlete provienen, graficamente, de los triangulos mostrados en eldiagrama de pesos de la figura 6.5, el primero para la representacion 3 y el segundopara 3∗; el origen coordenado del primero se coloca en cada uno de los vertices delsegundo.
La representacion adjunta del octete de mesones ha sido expresada como lamatriz 3×3 de la ecuacion (6.13). Esta representacion puede tambien ser escrita enforma de una columna de ocho elementos, a la que se llama representacion regular.
Definamos la columna como:
ϕk =√2θba(Gk)
ab =
√2Tr(φGk) ; (6.14)
• •
•
u d
s• •
•
u d
s
•
• •
•
••
• ••du
ds us
ud
sdsu
uu
ss
dd
•
• •
•
••
•• •
⊗ =
= ⊕
Figura 6.5: Diagrama de pesos para la descomposicion del producto 3⊗ 3 en 8⊕ 1.
En esta expresion, a, b = 1 · · ·n y k = 1 · · ·n2 − 1, con n = 3. Se obtiene:
G3 = −i
0 1 0 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1
2 0 0 00 0 0 − 1
2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 − 1
2 00 0 0 0 0 1
2 0 00 0 0 0 0 0 0 0
,
64/ Grupos de Lie
G8 = −i
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0√32 0 0 0
0 0 0 −√32 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0√32 0
0 0 0 0 0 −√32 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
La siguiente matriz, A, con la propiedad de unitariedad A−1 = A†, diagonalizaG3 y G8, mediante las operaciones G′
3 = AG3A−1 y G′
8 = AG8A−1. La matriz A
tiene la forma:
A = − 1√2
1 −i 0 0 0 0 0 01 i 0 0 0 0 0 0
0 0√2 0 0 0 0 0
0 0 0 1 −i 0 0 00 0 0 1 i 0 0 00 0 0 0 0 1 −i 00 0 0 0 0 1 i 0
0 0 0 0 0 0 0√2
,
Como G3 y G8 no son diagonales en la representacion regular original, entonceslos elementos de ϕ, de la ecuacion (6.14), no son sus autovectores. Despues de dia-gonalizar y obtener G′
3 y G′8, los ϕ
′ = Aϕ son autovectores. Los autovalores (I3, Y )denotan los estados de isospin e hipercarga. Como resultado de la diagonalizacionse sigue:
G′3 = −i
1−1
012
− 12
− 12
12
0
,
6. Quarks /65
G′8
√3
2= −i
00
01
−11
−10
,
La base donde estas matrices son diagonales es:
ϕ′ = Sϕ =
ϕ′1
ϕ′2
ϕ′3
ϕ′4
ϕ′5
ϕ′6
ϕ′7
ϕ′8
=1√2
ϕ1 − iϕ2
ϕ1 + iϕ2
ϕ3
√2
ϕ4 − iϕ5
ϕ4 + iϕ5
ϕ6 − iϕ7
ϕ6 + iϕ7
ϕ8
√2
=
π+
π−
π0
K+
K−
K0
K0√3η8
, o
ρ+
ρ−
ρ0
K∗+
K∗−
K∗0
K∗0√3Ω8
, o
Σ+
Σ−
Σ0
p+
Ξ−
n0
Ξ0√3Σ8
La ultima columna es un octete de bariones de espın 1/2, la penultima es unoctete vectorial de mesones de espın 1 y la antepenultima es un octete escalar demesones de espın cero. Vease la figura 6.6.
•
• •
•
••
••
ϕ′6 ϕ′
4
ϕ′2
ϕ′3 ϕ′
8 ϕ′1
ϕ′5 ϕ′
7
Y
I3
1
−1
−1 −1/2 1/2 1
Figura 6.6: Diagrama de pesos para el octeteescalar de mesones en la representacion regular
66/ Grupos de Lie
6.3. Metodos tensoriales para la reduccion de re-presentaciones de SU(3)
Como preliminar, introducimos algunas operaciones con los sımbolos de Levi-Civita. Ante todo, el producto de dos sımbolos puede expresarse como:
ǫabcǫfde =
∣∣∣∣∣∣
δaf δad δaeδbf δbd δbeδcf δcd δce
∣∣∣∣∣∣
, con: a, b, c . . . = 1, 2, 2
= δafδbdδbe + δadδ
beδcf + δae δ
bfδcd − δae δ
bdδcf − δafδ
beδcd − δadδ
bfδce , (6.15)
de donde se sigue, por contraccion sucesiva de ındices:
ǫabcǫcde = δadδbe − δae δ
bd, y
ǫabcǫcbe = δae − 3δae = −2δae , (6.16)
1. Reconsideremos el producto ψaφb, al que, usando (6.16), podemos escribiren la forma:
ψaφb = δadδbeψ
dφe = [ǫabcǫcde + δae δbd]ψ
dφe = ψbφa + ǫabcǫcdeψdφe, o:
=1
2(ψaφb + ψbφa) +
1
2ǫabcηc = θab+ +
1
2ǫabcηc ,
con ηc = ǫcdeψdφe. Debido a la simetrıa de θab+ , hay seis elementos independientes;
esta es la representacion 6; por otra parte, ηc contiene tres elementos independientesy corresponde a 3∗. Ası: 3⊗ 3 = 6⊕ 3∗, como se vio en la seccion 6.2.1.
2. De acuerdo con la seccion 6.2.2:
ψaφb =
(
ψaφb −1
3δabψ
cφc
)
+1
3δabψ
cφc = φab +1
3δab η ,
Notese que φaa = 0 (traza nula); hay entonces 32 − 1 = 8 elementos indepen-dientes en φab . Esta es la representacion adjunta. Ademas, η = ψcφcc es un escalary corresponde a un singlete (representacion 1). Entonces 3⊗ 3 = 8⊕ 1.
3. Consideremos ahora la representacion ψaφbc = φabc , que incluye la condicionφabb = 0, que equivale a tres trazas nulas; φbc es el octete del numeral anterior(en su
6. Quarks /67
representacion adjunta). Entonces:
ψaφbc = φabc =1
2[(ψaφbc + ψbφac ) + (ψaφbc − ψbφac )]
=1
2[(ψaφbc −
1
3δacψ
dφbd + ψbφac −1
3δbcψ
dφad)
+ (ψaφbc −1
3δacψ
dφbd − ψbφac +1
3δbcψ
dφad) +2
3δacψ
dφbd]
=1
2[(φabc + φbac ) + (φabc − φbac ) +
2
3δacψ
dφbd]
= φabb+ + φabc− +2
3δacψ
dφbd , ]
con φabb = 0 (tres trazas nulas); debido a su simetrıa en ab, φabc+ contiene 6×3−3 = 15elementos independientes mientras, debido a su antisimetrıa en ab, φabc− contiene3× 3− 3 = 6 independientes; por su parte, el termino ψdφdd contiene 3. En sıntesis:3× 8 = 15⊕ 6∗ ⊕ 3.
4. Consideremos ψaφbθc. Tendremos:
ψaφbθc = δafδbdδceψ
fφdθe .
Reemplazando en la anterior ecuacion el primer triple producto de deltas a laderecha en la ecuacion (6.15), se sigue:
ψaφbθc = ǫabcǫfdeψfφdθe + −ψcφaθb − ψbφaθc + ψcφbθa + ψaφcθb + ψbφaθc
=1
2[ψaφbθc + ǫabcǫfdeψ
fφdθe
+ −ψcφaθb − ψbφaθc + ψcφbθa + ψaφcθb + ψbφaθc] ,
factorizando, se obtiene:
ψaφbθc =1
2[ψa(φbθc + φcθb) + ψc(φbθa + φaθb) + ψb(φaθc − φcθa) + ǫabcη] .
donde η = ǫfdeψfφdθe, que es un singlete. Como φbθa − φaθb = ǫabcηb, equivalente
a ηd = ǫdefφeθf . Ası:
ψaφbθc =1
2[ψa(φbθc + φcθb)− ǫabdψcηd + ǫacdψbηd + ǫabcη], con:
ψcηd =
(
ψcηd −1
3δcdψ
eηe
)
+1
3δcdψ
eηe = φcd +1
3δcdη
ψbηd =
(
ψbηd −1
3δbdψ
eηe
)
+1
3δbdψ
eηe = φdd +1
3δbdη ,
68/ Grupos de Lie
puede escribirse:
ψaφbθc =1
2[ψa(φbθc + φcθb)− ǫabdφcd + ǫacdφbd + ǫabcη − 2
3δbdψ
eη] de donde:
ψaφbθc =1
2[ψa(φbθc + φcθb)− ǫabdφcd + ǫacdφbd +
1
3ǫabcη]
=1
6[ψa(φbθc + φcθb) + φa(ψbθc + ψcθb) + θa(ψbφc + ψcφb)]
+1
2[−ǫabdφcd + ǫacdφbd +
1
3ǫabcη]
=1
6θabc+ +
1
2[−ǫabdφcd + ǫacdφbd +
1
3ǫabcη] .
Se ha definido:
θabc+ = ψa(φbθc + φcθb) + φa(ψbθc + ψcθb) + θa(ψbφc + ψcφb) , (6.17)
que es un decuplete de bariones. Ası pues: 3⊗3⊗3 = 10⊕8⊕8⊕1. Ademas, puedeescribirse:
φab = ǫbefψaφeθf − 1
3δab η , (6.18)
que es un octete de bariones. De hecho, son dos octetes y, ademas, un singlete.Analicemos ahora, separadamente, cada uno de estos multipletes del numeral 4.
6.3.1. Decuplete de bariones
Este decuplete de bariones de espın 3/2 se ha definido en la ecuacion (6.17) y semuestra en la figura 6.7. La diferencia de masa entre las partıculas ∆ y Σ es de 151MeV, y la diferencia entre Σ y Ξ es de 150. Ası, es de esperar que Ω− deberıa teneruna masa cercana a 1532+150=1682 MeV. Esta es la prediccion de Gell-Mann. Aldetectarse esta partıcula, su masa resulto ser de 1672 MeV!
En la representacion regular, toma la forma de una columna de diez elementos:
θ111
θ112
θ113
θ221
θ222
θ223
θ331
θ332
θ333
θ123
=
∆++
∆+
Σ+δ
∆0
∆−
Σ−
Ξ0δ
Ξ−δ
Ω−
Σ0δ
6. Quarks /69
| | | |
• • • •
• • •
• •
•
∆− ∆0 ∆+ ∆++
Σ−δ Σ0
δΣ+δ
Ξ−δ Ξ0
δ
Ω−
q = −1 q = 0 q = 1 q = 2
s = 0
s = −1
s = −2
s = −3
(1232)
(1382)
(1532)
1
−3/2 −1/2 1/2 3/2
−1
−2
Figura 6.7: Diagrama de pesos para el decuplete de bariones de espın 3/2.
Las matrices diagonalizadas que proveen los autovalores son:
Y =
11
01
10
-1-1
-20
,
I3 =
32
12
1− 1
2− 3
2−1
12
− 12
00
,
70/ Grupos de Lie
Q =
21
10
-1-1
0-1
-10
,
B =
11
11
11
11
11
,
S =
00
−10
0−1
−2−2
−3−1
,
6. Quarks /71
6.3.2. Octete de bariones
El octete de bariones esta definido en la ecuacion (6.18). La matriz correspon-diente a la representacion adjunta tiene por componentes:
φ11 = (2uds− 2usd− dsu+ dus− sud+ sdu)/3 = Σ0 + Λ0
φ22 = (2dsu− 2dus− uds+ usd− sud+ sdu)/3 = −Σ0 + Λ0
φ33 = (2sud− 2sdu− uds+ usd− dsu+ dus)/3 = −2Λ0
φ12 = usu− uus = Σ+
φ21 = dds− dsd = Σ−
φ13 = uud− udu = p+
φ31 = sds− ssd = Ξ−
φ23 = dud− ddu = n0
φ32 = ssu− sus = Ξ− .
•
• •
•
••
••
n0 p+
Σ− Λ Σ0 Σ+
Ξ− Ξ0
Y
I3
1
−1
−1 −1/2 1/2 1
Figura 6.8: Diagrama de pesos para el octete debariones de espın 1/2. Los bariones estan formadospor tres quarks.
Las asignaciones de bariones propuestas en las lıneas anteriores se han basadoen el calculo de Y , I3 y Q. Para la representacion adjunta es cierto que:
Y =
0 0 10 0 1−1 −1 0
, I3 =
0 0 12
−1 0 − 12
− 12
12 0
, Q =
0 1 1−1 0 0−1 0 0
,
y como Y = B + S, se sigue, con:
B =
1 1 11 1 11 1 1
, que: S =
−1 −1 0−1 −1 0−2 −2 −1
.
72/ Grupos de Lie
Ocho partıculas con estas caracterısticas corresponden en esta representacion a:
Σ0 + Λ0 Σ+ p+
Σ− −Σ0 + Λ0 n0
Ξ− Ξ0 −2Λ
.
En este caso, hay un singlete asociado al octete:
η = ǫecfψeφcθf
= ψ1φ2θ3 − ψ1φ3θ2 + ψ2φ3θ1 − ψ2φ1θ3 + ψ3φ1θ2 − ψ3φ2θ1
= uds− usd+ dsu− dus+ sud− sdu
6.4. Notas sobre el grupo SU(3) del color
De acuerdo con Gell-Mann y Ne’eman (1961), los hadrones (bariones y meso-nes) pueden ser clasificados de acuerdo con representaciones de SU(3). Solo pocasopciones tienen lugar: singletes, octetes y decupletes. En cada una de estas familiasel espın es el mismo.
En 1964 Gell-Mann y Zweig postularon que los hadrones (nombre generico de laspartıculas que experimentan interaccion fuerte) son objetos compuestos de quarks,qq para mesones y qqq para bariones. Solo ocurren aquellas representaciones deSU(3) que pueden ser obtenidas por reduccion de 3⊗ 3 y 3⊗ 3⊗ 3. Los quarks sonpartıculas de espın 1/2; los mesones seran, entonces, partıculas de espın 1 o 0 y losbariones tendran espın 1/2 o 3/2, como es el caso.
La existencia de la partıcula ∆++, conformada por u↑u↑u↑, donde las flechasindican la direccion del espın, viola el principio de exclusion de Pauli, pues todossus numeros cuanticos (Y , I3, S, B, espın y direccion z del espın) son iguales. Paraobviar este inconveniente, Han y Nambu introdujeron un nuevo numero cuantico, alque Gell-Mann llamo color; cada quark genera un espacio SU(3) del color, nombradocomo SU(3)C y diferente al grupo SU(3) del sabor. Los sabores de los quarks sonu, d, s, los colores son tres y son convencionalmente llamados a, b, c. De este modo,la estructura de la partıcula ∆++ puede expresarse como:
∆++ ∝3∑
α,β,γ=1
ǫαβγuα↑u
β↑u
γ↑ ,
donde i, j, k son ındices de color. Debido a la presencia del sımbolo de Levi-Civita,la funcion de onda que describe esta partıcula es antisimetrica, como lo exige elprincipio de exclusion. Los tres quarks tienen, en consecuencia, color diferente.
La ausencia de estados con dos quarks (qq) o cuatro o mas puede explicarsepostulando que los hadrones son singletes de color, es decir, estados neutros en
6. Quarks /73
color. Estos estados singlete se consiguen si un meson contiene color y anticolor, yun barion contiene tiene sus tres quarks con tres colores diferentes. Ası, para unmeson:
Meson ∝3∑
i=1
qαi qαi ,
donde i es ındice de sabor (u, d, s) y α es ındice de color (a, b, c). Para un barion,por su parte:
Barion ∝3∑
i,j,k=1
3∑
α,β,γ=1
ǫαβγqαi q
βj q
γk ,
debido a la presencia del sımbolo de Levi-Civita los tres colores seran diferentes.El grupo SU(3)C es una simetrıa exacta.
7
Grupo SU(5) de unificacion
7.1. Introduccion
Introducida en 1974 por Georgi y Glashow, la teorıa SU(5) incluye los gruposSU(2) de interaccion debil y SU(3) fuerte.
En la epoca de enunciacion de esta teorıa se suponıa que los neutrinos eranpartıculas de masa cero y paridad izquierda, por lo cual no hay en ella neutrinosderechos. La prediccion realizada por SU(5) del decaimiento del proton, no corro-borado por los experimentos, quito a esta teorıa su apoyo basico. No obstante, esinteresante estudiar la teorıa SU(5), porque es un excelente ejercicio en teorıa degrupos.
Como se vera, en SU(5) los quarks u y d, cada uno existente en tres sabores,mas el electron y el neutrino, conforman la primera familia. Algo analogo puedeproponerse para incluir los quarks c, s, t, y b, mas las partıculas µ y τ y sus corres-pondientes neutrinos. Los campos gauge, despues del rompimiento de la simetrıaSU(5), dara lugar a los gluones, fotones, W+, W−, Z0 y nuevos campos llamadosX y Y , que son responsables de transmutaciones de quarks a leptones y viceversa yque, en particular, dan lugar al decaimiento no observado del proton, que violarıala conservacion del numero barionico.
7.2. Matrices escalera. Representacion definitoria
De acuerdo con la matriz de la figura 2.1, cuaderno 1, el grupo SU(N) contienesubgrupos de dimension menor; ası, SU(5) contiene SU(4), SU(3), SU(2). Con elfin de probar esto explıcitamente para SU(N), con el conjunto de matrices escaleraLab (a, b = 1, · · · , N2 − 1) que son representacion de los generadores de SU(N),formemos el conjunto:
Axy = Lxy −1
kLzz , (7.1)
74
7. Grupo SU(5) de unificacion /75
con k < N ; x, y, z = 1, · · · , k, con k2 − 1 matrices Axy independientes, pues Axx = 0(con convencion suma, como es usual). Las componentes de Lxy tienen una formaanaloga a la ecuacion (2.15):
(Lxy)x′
y = δx′
y δxy′ −
1
kδxy δ
x′
y′ .
Probemos que Axy obedece el algebra de SU(k). Evaluamos el conmutador usando(7.1) y la regla de conmutacion para Aab , (2.17):
[Lab , La′
b′ ] = δab′La′
b − δa′
b Lab′ . (7.2)
Tendremos entonces:
[Axy , Ax′
y′ ] = [Axy −1
kδxyL
zz, A
x′
y′ −1
kδx
′
y′Lz′
z′ ]
= δxy′Ax′
y − δx′
y Axy′ ,
lo que demuestra que el conmutador tiene la misma forma, luego Axy satisface elalgebra de SU(k), como Lab satisface la de SU(N). Ası:
Ars con r, s, t = 4, 5 satisface SU(2) → Ars = Lrs −1
2δrsL
tt
Aαβ con α, β, γ = 1, 2, 3 satisface SU(3) → Aαβ = Lαβ − 1
3δαβL
γγ
Alm con l,m, n = 1, 2, 3, 4 satisface SU(4) → Alm = Llm − 1
4δlmL
nn
Escribamos explıcitamente los generadores para SU(3) y SU(2) a partir de Labpara SU(5):
a. Para SU(3): Aαβ = Lαβ − 13δαβL
γγ , donde (Lαβ )
γδ = δγβδ
αδ − 1
5δαβ δ
γδ , con α, β, γ =
1, 2, 3. Ası pues:
A11 =
1
3(2L1
1 − L22 − L3
3) = G3 −G8√3
A22 =
1
3(2L2
2 − L11 − L3
3) = −G3 +G8√3
A33 =
1
3(2L3
3 − L11 − L2
2) = 2G8√3
A12 = L1
2, A13 = L1
3, A21 = L2
1
A31 = L3
1, A23 = L2
3, A32 = L3
2
76/ Grupos de Lie
Explıcitamente las matrices Lab diagonales son:
A11 =
1
3
2−1
−10
0
, A22 =
1
3
−12
−10
0
,
A33 =
1
3
−1−1
−20
0
,
y los generadores Gk se obtienen de la matriz de la figura 2.1, cuaderno I:
G1 =1
2
0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
, G2 =1
2
0 −i 0 0 0i 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
,
G3 =1
2
1−1
00
0
, G4 =1
2
0 0 1 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
,
G5 =1
2
0 0 −i 0 00 0 0 0 0i 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
, G6 =1
2
0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
,
G7 =1
2
0 0 0 0 00 0 −i 0 00 i 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
, G8 =1
2
11
−20
0
,
7. Grupo SU(5) de unificacion /77
b. Para SU(2): Ars = Lrs − 12δrsL
tt, con r, s = 4, 5. Ası pues:
A44 =
1
2(L4
4 − L55) =
1
4(−G15
√6 +G24
√10) = I3
A45 = L4
5, A54 = L5
4
G22 =1
2(L5
4 + L45) G23 =
1
2i(L5
4 − L45)
Explıcitamente:
A44 = I3 =
1
2
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 −1
, A45 =
1
2
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 0
, (7.3)
A54 =
1
2
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 0
,
G22 = I1 =1
2
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0
, G23 = I2 =1
2
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 −i0 0 0 i 0
.
Los subgrupos Ars, con r, s = 4, 5 y Aαβ , con α, β = 1, 2, 3, conmutan, esto es[Ars, A
αβ ] = 0. Este resultado ([SU(3), SU(2)] = 0) permite intuir que un quintuplete
ψa puede descomponerse en dos sectores ψα (α = 1, 2, 3) y ψr (r = 4, 5) quetransforman, respectivamente, como triplete de SU(3) y doblete de SU(2).
Nuestro objetivo inmediato es encontrar el contenido de productos directosSU(3)⊗SU(2) en SU(5). Con este fin consideramos particiones del ındice a (1, . . . , 5)en α (1,2,3) y r (4,5).
Notemos, ante todo, que de la condicion Laa = 0 se sigue: Lγγ + Lrr = 0, esto es:Lγγ = −Lrr, y que:
[Lαβ , Lrr] = [Lrs, L
rr] = [Lrr, L
r′
r′ ] = [Lrr, Lγγ ] = 0 ,
lo que equivale a
[SU(3), U(1)] = [SU(2), U(1)] = [U(1), U(1)] = 0 .
78/ Grupos de Lie
El escalar Lrr es el generador de un grupo uniparametrico U(1) = e−iθY , al quedefinimos como:
Y =5
6Lrr ,
y denominamos la hipercarga. Explıcitamente tiene la forma:
Y =
− 13
− 13
− 13
12
12
. (7.4)
Descompongamos ahora el multiplete definitorio de SU(5) en sus “componentes”en SU(3) y SU(2):
ψ =
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
=
ψ1
ψ2
ψ3
(ψ4
ψ5
)
=
ψ1
ψ2
ψ3
⊕(ψ4
ψ5
)
.
El sımbolo ⊕ representa una suma directa (vease el Apendice A). La columnaque contiene ψ1, ψ2, ψ3 es un triplete de SU(3) y singlete de SU(2), mientras laque contiene ψ4, ψ5 es un doblete de SU(2) y singlete de SU(3). Lo anterior puededemostrarse partiendo de la regla de transformacion para ψa (ecuacion (2.9)):
ψ′a = (δaa′ − iGaa′ · δΘ)ψa
′, de donde se sigue:
ψ′α = (δαa′ − iGαa′ · δΘ)ψa
′= (δαα
′ − iGαα′ · δΘ)ψα′+ (δαr
′ − iGαr′ · δΘ)ψr′
= (δαα′ − iGαα′ · δΘ)ψα
′,
. pues debido a la estructura en bloques de G, es cierto que Gαr′ = 0, ademas,δαr = 0, por lo cual ψα es un triplete de SU(3) y un singlete de SU(2), puesGαα′
(2) = 0, que significa que la matriz 2 × 2 de SU(2) en SU(5) no tiene elementos
αα′. Tambien:
ψ′r = (δra′ − iGra′ · δΘ)ψa
′= (δrα
′ − iGrα′ · δΘ)ψα′+ (δrr
′ − iGrr′ · δΘ)ψr′
= (δrr′ − iGrr′ · δΘ)ψr
′,
puesto queGrα′= 0. Ası, ψr es doblete de SU(2) y singlete de SU(3), puesGrr′ = 0,
que significa que la matriz 3×3 de SU(3) en SU(5) no tiene elementos rr′. Podemos
7. Grupo SU(5) de unificacion /79
escribir, entonces:5 = (3⊗ 1)−1/3
︸ ︷︷ ︸
ψα
⊕ (1⊗ 2)1/2︸ ︷︷ ︸
ψr
,
En esta notacion, (3 ⊗ 1)−1/3 indica que ψα es triplete de SU(3) y singlete deSU(2), con autovalor −1/3 de Y , mientras que (1⊗ 2)1/2 indica que ψr es singletede SU(3) y doblete de SU(2) con autovalor 1/2 de Y .
Un procedimiento similar permite demostrar que, para el multiplete definitorioconjugado ψa, es cierto que:
5∗ = (3 ∗ ⊗1)1/3︸ ︷︷ ︸
ψα∗=ψα
⊕ (1⊗ 2∗)−1/2︸ ︷︷ ︸
ψr∗=ψr
7.3. Representaciones simetrica y antisimetrica
Consideremos ahora la representacion N ⊗ N , cuya base es θab, a, b = 1, . . . , 5(vease la seccion 1.2.3). El tensor θab en SU(N) puede descomponerse en partessimetrica y antisimetrica. La base simetrica consta de N(N + 1)/2 = 5× 6/2 = 15elementos, mientras la antisimetrica consta de N(N − 1)/2 = 5× 4/2 = 10.
La parte simetrica θab+ puede descomponerse en los conjuntos θαβ+ , θαr+ y θrs+ .Puede demostrarse que, de la regla de transformacion (2.20):
θ′ab+ = θab+ − i[Gbb′θab′
+ +Gaa′θa′b
+ ] · δΘ se obtiene:
θ′αβ+ = θαβ+ − i[Gββ′θαβ
′
+ +Gαα′θα
′β+ ] · δΘ , (7.5)
θ′rs+ = θrs+ − i[Gss′θrs′
+ +Grr′θr′s
+ ] · δΘ , (7.6)
θ′αr+ = θαr+ − i[Grr′θαr′
+ +Gαα′θα
′r+ ] · δΘ , (7.7)
donde hemos tenido en cuenta, debido a la estructura de G en bloques diagonales,que Gαr = Grα = 0. Las ecuaciones (7.5), (7.6) y (7.7) implican que cada uno de
los conjuntos θαβ+ , θαr+ y θrs+ es una base invariante.
a. La base θαβ+ que contiene 6 elementos diferentes, es un tensor simetrico enSU(3), como lo afirma la ecuacion (7.5), expresable como una matriz simetrica 3×3en la forma:
θ′αβ+ = θαβ+ − i[Gββ′
(3) θαβ′
+ +Gαα′
(3) θα′β+ ] · δΘ ,
donde Gαβ(3) indica los generadores 3 × 3 de SU(3), con elementos αβ. Tambien, de
la ecuacion (7.5) con Gαβ(2) = 0 se sigue que, bajo SU(2), θαβ+ es un singlete:
θ′αβ+ = θαβ+ .
80/ Grupos de Lie
b. La base θrs+ contiene 3 elementos diferentes, y es triplete de SU(2) como loafirma la ecuacion (7.6), que puede escribirse:
θ′rs+ = θrs+ − i[Gss′
(2)θrs′
+ +Grr′
(2)θr′s+ ] · δΘ ,
y es un singlete de SU(3), como se sigue de:
θ′rs+ = θrs+ − i[Gss′
(3)θrs′
+ +Grr′
(3)θr′s+ ] · δΘ ,
con Grr′
(3) = 0, de donde:
θ′rs+ = θrs+ .
c. Ahora bien, de (7.7), con r = 4:
θ′α4+ = θα4+ − i[G4r′θαr′
+ +Gαα′θα
′4+ ] · δΘ
= θα4+ − i[G44θα4+ +G45θα5+ +Gαα′θα
′4+ ] · δΘ ,
pero todas las componentes 44 y 45 de las matrices G de SU(3) y SU(2) son cero,de modo que:
θ′α4+ = θα4+ − iGαα′θα
′4+ · δΘ .
Para matrices SU(2) y SU(3), respectivamente:
θ′α4+ = θα4+ − iGαα′
(2) θα′4+ · δΘ (singlete de SU(3)) ,
θα4+ = θα4+ − iGαα′
(3) θα′4+ · δΘ (triplete de SU(3)) ,
El triplete de SU(3) esta formado por (θ14+ , θ24+ , θ
34+ ).
De manera analoga, θα5+ es singlete de SU(2) y triplete de SU(3) con componentes(θ15+ , θ
25+ , θ
35+ ).
Tambien es cierto que (θ14+ , θ15+ ), (θ24+ , θ
25+ ) y (θ34+ , θ
35+ ) son tres dobletes de SU(2).
Facilmente se demuestra que, para (θ14+ , θ15+ ):
θ′1r+ = θ1r+ − i[Grr′θ1r′
+ +G1α′θα
′r+ ] · δΘ ,
de donde, para SU(2):
θ′1r+ = θ1r+ − i[Grr′
(2)θ1r′
+ +G1α′
(2) θα′r+ ] · δΘ = θ1r+ − iGrr′
(2)θ1r′
+ · δΘ
pues G1α′
(2) = 0. En sıntesis podemos escribir, para la descomposicion de la repre-sentacion simetrica la siguiente suma directa:
15 = (3⊗ 2)1/6︸ ︷︷ ︸
ψαr
⊕ (6⊗ 1)−2/3︸ ︷︷ ︸
ψαβ
⊕ (1⊗ 3)1︸ ︷︷ ︸
ψrs
.
7. Grupo SU(5) de unificacion /81
Lo anterior se ha referido a la representacion simetrica. Pasemos ahora a laparte antisimetrica θαr− , que contiene 10 elementos. Esta puede descomponerse en
los conjuntos θαβ− , θαr− y θrs− .
El primero de ellos, θαβ− , contiene 3 elementos diferentes y es un triplete 3* deSU(3) y singlete de SU(2).
En el segundo, θα4− y θα5− son, cada uno, un triplete de SU(3), mientras θ1r− , θ2r−y θ3r− son, cada uno, un doblete de SU(2).
El tercero, θrs− , contiene un solo elemento diferente θ45− y es un singlete simultaneode SU(2) y SU(3).
Volvamos un momento sobre el sector θαβ− , cuya regla de transformacion tienela forma:
θ′αβ− = θαβ− − i[Gβb′θαb′
− +Gαa′θa′β
− ] · δΘ= θαβ− − i[Gββ′
θαβ′
− +Gαβ′θβ
′β− ] · δΘ (7.8)
donde hemos tenido en cuenta que Gβr = 0. En la anterior expresion θαβ− , dadasu antisimetrıa, contiene solo 3 elementos diferentes, con los que puede formarse elpseudovector ηγ mediante la definicion ηγ = 1
2ǫγαβθαβ− o, recıprocamente: θαβ− =
ǫαβγηγ . Ası, multiplicando (7.8) por ǫγαβ , reemplazando luego, dentro del corchete
cuadrado θαβ− = ǫαβγηγ , con convenientes cambios de ındices, y tomando en cuentala identidad para sımbolos de Levi-Civita:
ǫβγαǫβ′α′α = δβ
′
β δαγ − δα
′
β δβ′
γ ,
con suma sobre el ındice repetido α, obtenemos, finalmente.
η′γ = ηγ − i(−Gα′γ)ηα′ · δΘ ;
tomando en consideracion la hermiticidad de los generadores, que implica Gαβ =G∗βα, obtenemos:
η′γ = η′γ − i(−G∗γα′)ηα′ · δΘ ,
y esta es la regla de transformacion de un vector ηγ , que corresponde a la re-presentacion definitoria conjugada 3∗, puesto que ηγ = η∗γ . Con lo anterior hemos
demostrado que el sector θαβ′
− equivale a un vector en la representacion 3∗. Ası pues,para la representacion antisimetrica podemos escribir:
10 = (3⊗ 2)1/6︸ ︷︷ ︸
ψαr
⊕ (3∗ ⊗ 1)−2/3︸ ︷︷ ︸
ψαβ∼ηγ
⊕ (1⊗ 1)1︸ ︷︷ ︸
ψ45
.
82/ Grupos de Lie
7.4. Representacion adjunta
La representacion adjunta tiene la forma de un arreglo matricial φ con elementosφba, que cumplen la condicion φba = φa∗b , que da lugar a que la matriz φ sea hermıtica.Estos elementos pueden clasificarse en los siguientes conjuntos: φαβ , φ
αr , φ
rα y φrs.
El tensor de segundo orden en SU(N), φαβ , tiene su traza (φαα) invariante, lo quepermite descomponer el tensor en uno con traza cero cero y la traza, esto es:
φαβ = (φαβ − δαβφγγ) + δαβφ
γγ = Φαβ + δαβφ
γγ ,
con Φαα = 0. Tambien, puede escribirse:
φrs = (φss − δrsφtt) + δrsφ
tt = Φrs + δrsφ
tt ,
con Φrr = 0. Las reglas de transformacion de los conjuntos en que hemos descom-puesto la representacion adjunta permiten demostrar que:
a. φαβ es un nonete reducible a un octete Φαβ y un singlete φαα que son represen-taciones de SU(3) y ambos son singletes de SU(2), con autovalor 0 de Y .
b. φα4 y φα5 dos son tripletes 3 de SU(3) y φ1r, φ2r y φ3r son tres dobletes 2∗ de
SU(2), con autovalor −5/6 de Y .c. φ4α y φ5α son dos tripletes 3∗ de SU(3) y φr1, φ
r2 y φr3 son tres dobletes 2 de
SU(2), con autovalor 5/6 de Y .d. φrr es singlete de SU(3) y SU(2), con autovalor 0 de Y . En sıntesis:
24 = 24∗ = (8⊗ 1)0︸ ︷︷ ︸
Φαβ
⊕ (3⊗ 2∗)−5/6︸ ︷︷ ︸
φαr
⊕ (3∗ ⊗ 2)5/6︸ ︷︷ ︸
φrα
⊕ (1⊗ 3)0︸ ︷︷ ︸
Φrs
⊕ (1⊗ 1)0︸ ︷︷ ︸
φαα=−φr
r
.
7.5. Asignacion de fermiones
Consideramos solo la primera generacion de quarks y fermiones, e incluimosseparadamente las partes izquierda y derecha para posibilitar la violacion de laparidad. Las “partıculas” son, entonces, las siguientes 15:
u1L
u1R
d1L
d1R
e−L
e−R
u2L
u2R
d2L
d2R
νL
u3L
u3R
d3L
d3R
En la lista anterior, cada uno de los quarks u y d viene en tres colores, los quenombramos 1, 2, 3, y todos ellos tienen parte izquierda y derecha, lo que permi-tira garantizar en el lagrangiano la conservacion de la paridad para interacciones
7. Grupo SU(5) de unificacion /83
fuertes y electromagneticas. Aunque para los electrones aparecen sus partes iz-quierda y derecha habra violacion de la paridad, lo que ocurrira tambien para losneutrinos, que solo tienen parte izquierda. En la teorıa SU(5) los neutrinos no tienenmasa.
Giorgi y Glashow proponen escoger representaciones apropiadas que involucrentodas estas “partıculas”. La escogencia de la hipercarga sera la dada por la matriz(7.4), en la que el factor de 5/6 fue escogido de modo que diese los autovalores dehipercarga conocidos para los quarks, esto automaticamente da los correspondientespara los dos leptones e− y ν. La componente 3 de isospın tiene la forma:
I3 =1
2(A4
4 −A55) =
1
2(L4
4 − L55)
que da lugar a la matriz (7.3):
I3 =
00
012
− 12
. (7.9)
Definiendo la carga en la forma conocida, Q = Y/2 + I3, y con la matriz Y dela representacion definitoria, dada por (7.4) obtenemos:
Q =
− 13
− 13
− 13
10
. (7.10)
Tanto en Y como en Q, los tres primeros elementos corresponden a los autovalo-res de hipercarga y carga electrica de un triplete de color ya conocido de SU(3), el u,con sus tres colores 1,2,3. Los dos ultimos elementos son autovalores de hipercargay carga electrica del doblete positron-antineutrino, (e+,−ν). En la teorıa de Georgiy Galshow se asume paridad izquierda para el neutrino (sin parte derecha), por locual el antineutrino es derecho y en consecuencia el quintuplete es derecho. Ası,
ψR=
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
R
=
d1
d2
d3
e+
−ν
R
, (7.11)
correspondientes al quintuplete definitorio, derecho o izquierdo, de SU(5).
84/ Grupos de Lie
Justificacion de la escogencia de (e+,−νC)
En la teorıa de Weinberg-Salam, el electron y el neutrino forman el doblete ψ =(
νe−
)
, que es una representacion 2 de SU(2). Demostraremos a continuacion
que la columna ϕ =
(
e−
−ν
)
es un doblete 2∗ de SU(2). Ante todo, podemos
escribir:
ϕ =
(
0 1−1 0
)
ψ = iσ2ψ,
cuya regla de transformacion es: ϕ′ = V ϕ, mientras ψ se transforma segunψ′ = Uψ. Por tanto, V = σ2Uσ2, donde se ha tenido en cuenta que σ2σ2 = I.Reemplazando U = e−iΘ·σ en V = σ2Uσ2, expandiendo en Taylor el expo-nencial y utilizando σ2σiσ2 = −σ∗
i , se obtiene: V = U∗, con lo cual quedademostrado que ϕ transforma como 2∗.
De otro lado, en la ecuacion (7.11) se ha utilizado solo la componente izquierdade las partıculas, que se define, en general, partiendo de la identidad
ψ =1
2(1 + γ5) +
1
2(1− γ5) = ψ
R+ ψ
L.
Introduciendo la definicion de antipartıcula como ψ = iγ2ψ∗, podemos escribir,para la componente izquierda:
ψL
= i1
2(1− γ5)γ2ψ = i
1
2γ2(1 + γ5)ψ = iγ2ψ
R.
Recıprocamente, ψR
= iγ2ψL, de acuerdo con lo cual la antipartıcula de la
componente izquierda es derecha y recıprocamente.
Cinco partıculas han sido colocadas en un quintuplete 5R, quedando todavıa 10:
d1L
u1L
u1R(o: u1
L) e+
L(o: e−
R)
d2L
u2L
u2R(o: u1
L)
d3L
u3L
u3R(o: u1
L)
No es posible introducir un nuevo quintuplete pues, ahora, no hay un dobletede SU(2).
Sin embargo, la representacion antisimetrica ψab = −ψba contiene 10 elementosdistribuidos en dos tripletes de SU(3), un triplete 3∗ de SU(3), y un singlete. Esnecesario, sin embargo, evaluar ante todo los generadores I3, Y y Q. Con estefin, recordemos la regla de transformacion de la representacion ψab, dadas por laecuacion (2.18):
δψab = −i[Gaa′k ψa′b +Gbb
′
k ψab′]δθk .
7. Grupo SU(5) de unificacion /85
Si consideramos solo los generadores diagonales, podemos escribir la anteriorecuacion como:
δψab = −i[λk(a)δaa′ψa
′b + λk(b)δbb′ψab
′]δθk
= −i[λk(a) + λk(b)]ψabδθk
= −iGkabψabδθk ,
donde Gkab = λk(a) + λk(b) son los generadores diagonales de la representacion an-tisimetrica, mientras los λk(a) son los generadores diagonales de la representacion
definitoria. Resulta, entonces, que los generadores de la representacion ψab anti-simetrica tienen la forma:
I3 =
0 0 0 1/2 −1/20 0 0 1/2 −1/20 0 0 1/2 −1/2
1/2 1/2 1/2 0 0−1/2 −1/2 −1/2 0 0
,
Y =
0 −2/3 −2/3 1/6 1/6−2/3 0 −2/3 1/6 1/6−2/3 −2/3 0 −1/6 −1/61/6 1/6 1/6 0 11/6 1/6 1/6 1 0
,
Q =
0 −2/3 −2/3 2/3 −1/3−2/3 0 −2/3 2/3 −1/3−2/3 −2/3 0 2/3 −1/32/3 2/3 2/3 0 1
−1/3 −1/3 −1/3 1 0
.
Podemos, en consecuencia, proponer las siguientes asignaciones:ψ12 = u3L/
√2, ψ23 = u1L/
√2, ψ31 = u2L/
√2 como triplete 3∗ de SU(3).
ψα4 = −uαL/√2, ψα5 = −dαL/
√2 como dos tripletes de SU(3) y doblete de SU(2),
yψ45 = −e+L/
√2 singlete de SU(3) y SU(2).
Ası pues, la asignacion para la representacion antisimetrica es como sigue:
ψab =
0 u3 −u2 −u1 −d1−u3 0 u1 −u2 −d2u2 −u1 0 −u3 −d3u1 u2 u3 0 −e+d1 d2 d3 e+ 0
L
. (7.12)
86/ Grupos de Lie
Con las asignaciones anteriores, la definitoria y la antisimetrica se incluyen todaslas partıculas de la primera generacion, exceptuando el neutrino derecho, que en laepoca del desarrollo de la teorıa SU(5) se consideraba no existente; esto supone queel neutrino no tiene masa, lo que luego se probo incorrecto. En la teorıa SU(5) elneutrino derecho podrıa incluirse como un singlete.
7.6. La representacion adjunta y la asignacion debosones gauge
Para la representacion adjunta, ecuacion (2.24), es cierto que:
δφba = −i[Gbb′k φb′
a −Ga′ak φb
′
a′ ]δθk .
Si consideramos solo generadores diagonales, resulta que:
δφba = −i[λk(b) − λk(a)]ψbaδθk = −iGkbaψbaδθk ,
donde Gkba = λk(b) − λk(a) son los generadores diagonales de la representacionadjunta. La representacion adjunta se expresa como:
φ =
φ11 φ12 φ13 φ14 φ15φ21 φ22 φ23 φ24 φ25φ31 φ32 φ33 φ34 φ35φ41 φ42 φ43 φ44 φ45φ51 φ52 φ53 φ54 φ55
,
y los correspondientes generadores I3, Y y Q tienen la forma:
I3 =
0 0 0 −1/2 1/20 0 0 −1/2 1/20 0 0 −1/2 1/2
1/2 1/2 1/2 0 1−1/2 −1/2 −1/2 −1 0
,
Y =
0 0 0 −5/6 −5/60 0 0 −5/6 −5/60 0 0 −5/6 −5/6
5/6 5/6 5/6 0 05/6 5/6 5/6 0 0
,
Q =
0 0 0 −4/3 −1/30 0 0 −4/3 −1/30 0 0 −4/3 −1/3
4/3 4/3 4/3 0 11/3 1/3 1/3 −1 0
.
7. Grupo SU(5) de unificacion /87
Ahora bien, de la teorıa de campos se sigue que los campos gauge se compor-tan como la representacion adjunta. Esto significa que estos bosones intermediariospueden escribirse en general en la forma (2.24), con φaa = 0, que da lugar a: φγγ = φrr.
Como se sabe de la seccion 7.4, los elementos de matriz φβα (α, β = 1, 2, 3) formanun nonete de SU(3) reducible a un octete Gβα (con traza nula) y a un singlete B,correspondiente a la traza φγγ :
φβα =
(
φβα − 1
3δβαφ
γγ
)
+1
3δβαφ
γγ = Gβα − aB
3δβα, equivalente a: 3⊗ 3∗ = 8⊕ 1,
donde aB = −φγγ = φrr es singlete de SU(3) y SU(2); en esta expresion, a es unnumero y B es un campo; y
Gβα = φβα − 1
3δβαφ
γγ , tal que Gγγ = 0
Analogamente, la cuarteta φsr (2⊗ 2∗) puede reducirse a:
φsr =
(
φsr −1
2δsrφ
tt
)
+1
2δsrφ
tt =W s
r +aB
2δsr , equivalente a: 2⊗ 2∗ = 3⊕ 1, con:
W sr = φsr −
1
2δsrφ
tt y W r
r = 0. conW sr un triplete de SU(2).
Ademas, (φ14, φ24, φ
34) = (X1, X2, X3) y (φ15, φ
25, φ
35) = (Y 1, Y 2, Y 3) son tripletes
3 de SU(3); tambien, (X1, Y 1), (X2, Y 2), (X3, Y 3) son dobletes 2∗ de SU(2).En consecuencia, (φ41, φ
22, φ
43) = (X1, X2, X3) y (φ51, φ
51, φ
53) = (Y 1, Y 2, Y 3) son
tripletes 3∗ de SU(3), y (X1, Y 1), (X2, Y 2), (X3, Y 3) son dobletes 2 de SU(2).Por ahora, podemos escribir, entonces, la matriz de los bosones de gauge φ como:
G11 − aB/3 G1
2 G13 X1 Y 1
G21 G2
2 − aB/3 G23 X2 Y 2
G31 G3
2 G33 − aB/3 X3 Y 3
X1 X2 X3 W 44 + aB/2 W 4
5
Y 1 Y 2 Y 3 W 54 W 5
5 + aB/2
. (7.13)
Con σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ii 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
,
σ1 + iσ2 = 2
(0 10 0
)
=√2σ+, σ1 − i2 = 2
(0 01 0
)
=√2σ−,
W+ =W 45 = (W1 − iW2)/
√2, W− =W 5
4 = (W1 + iW2)/√2, W 4
4 =W3/√2,
podemos escribir, para la submatriz asociada a W :
(W 4
4 W 45
W 54 W 5
5
)
=
3∑
1
Wiσi/√2 = (W+σ+ +W−σ− +W 3σ3)/
√2,
88/ Grupos de Lie
y la matriz asociada a B es:
Q =
−1/3−1/3
−1/31/2
1/2
.
Imponiendo la normalizacion TrU2 = 1 se obtiene a = 6/√30, y escribimos
U = 6Y/√30, donde Y es la hipercarga. Ası pues, la matriz (7.13) toma la forma:
G11 − 2B/
√30 G1
2 G13 X1 Y 1
G21 G2
2 − 2B/√30 G2
3 X2 Y 2
G31 G3
2 G33 − 2B/
√30 X3 Y 3
X1 X2 X3 W 3/√2 + 3B/
√30 (W 1 − iW 2)/
√2
Y 1 Y 2 Y 3 (W 1 + iW 2)/√2 −W 3/
√2 + 3B/
√30
(7.14)
La matriz (7.14) contiene una submatriz 3×3 que contiene los 8 gluones de la
interaccion fuerte correspondientes aquı a la representacion adjunta Gβα con Gββ = 0,lo que da un total de 8 componentes diferentes. En la representacion regular, puedeexpresarse mediante 8 elementos Gk, de modo que esta porcion de la matriz (7.14)puede expresarse como:
3∑
1
GαβGβα =
8∑
1
GkGk.
Aparece tambien la submatriz 2×2 de los campos W asociados a la interacciondebil,
∑31Wiτi, donde los τi son matrices 5×5 que contienen como submatrices las
matrices de Pauli. Tambien esta la matriz Y de hipercarga y finalmente las columnasy filas que contienen los campos nuevos X y Y , responsables de interacciones quetransmutan entre sı quarks y leptones y que son responsables del decaimiento delproton.
Las expresiones (7.11) y (7.14), correspondientes las dos primeras a los fermiones(representacion definitoria y antisimetrica) y la tercera (la regular) a los bosonesgauge, permiten escribir la densidad lagrangiana de la teorıa SU(5).
7.7. El lagrangiano de SU(5)
La densidad lagrangiana en la que se basa la teorıa es invariante local bajotransformaciones generadas por el grupo SU(5); esto exige la introduccion de uncampo gauge Aµ, de modo que la derivada covariante ha de escribirse como:
Dµ = ∂µ − igAµ . (7.15)
7. Grupo SU(5) de unificacion /89
El campo Aµ puede expandirse en terminos de los generadores del grupo SU(5),tal que Aµ = AkµGk, con suma sobre k de 1 a 24. Esto implica que la derivadacovariante, para la representacion definitoria (7.11), que contiene las componentesderechas de las partıculas, tiene la forma:
DµψR= ∂µψR
− ig5AkµGkψR
= ∂µψR− i
g5√2AµψR
;
La densidad lagrangiana, en este caso, L se escribe:
L = iψRγµDµψR
,
que da lugar a un termino cinetico y otro de interaccion con los campos gauge(bosonicos). Las matrices Gk corresponden a la representacion definitoria y hay una
sola constante de acoplamiento g5, lo que hace que este sea un grupo de unificacion.
Para la representacion antisimetrica (7.5):
Dµψab = ∂µψ
ab − ig5
24∑
k=1
(Akµ)bb′ψab′ = ∂µψ
ab − ig5√2(Akµ)bb′ψ
ab′ ,
y L se escribe:
L = iψabγµDµψab ,
que, a su vez, contiene una parte cinetica y otra de interaccion con los camposgauge.
El termino cinetico total, resultante de la representacion definitoria y la anti-simetrica, tiene la forma:
Lcin = i[dγµ∂µd+ uγµ∂µu+ e−γµ∂µe− + ν
Lγµ∂µνL
] ,
que es el termino cinetico esperado para quarks u, d y fermiones e− y νL. Paraobtener la anterior expresion se utilizan las siguientes identidades:
χaRγµψbR = −ψbLγµχaL, χC
Lγµ∂µψ
C
L = ψRγµ∂µχR,
donde χ y ψ son cualquier dos espinores. Recuerdese que incluimos solo la primerageneracion de quarks y leptones. Para las dos siguientes generaciones la inclusiones directa.
90/ Grupos de Lie
El termino de interaccion entre fermiones y campos gauge toma la forma:
L = g5(u, d)GkGk(ud
)
+ g5
[
1
2(e+,−νC)
RτkWk
(e+
−νC
)
R
+1
2(u, d)
LτkWk
(ud
)
L
]
+ g5
√
3
5
[
1
2(e+,−νC)B
(e+
−νC
)
R
+1
6(u, d)
LB
(ud
)
L
− 1
3d
RBd
R+
2
3u
RBu
R+ e+
LBe+
L
]
+g5√2
Xαµ [e
+Rγµdα
R+ e+
Rγµdα
R+ ǫαγσuγ
LγµuC
σL]
+ [dαRγµe+
R+ d
Rγµe+
R+ ǫαγσuC
σLγµuγ
L]Xα
µ
+g5√2
Y αµ [−νC
Rγµdα
R− e+
Lγµu
R+ ǫαγσdγ
LγµuC
σL]
+ [−dαRγµνC
R− uα
Lγµe+
L+ ǫαγσuC
σLγµdγ
L]Y αµ
.
El anterior es el lagrangiano de SU(5), antes del rompimiento espontaneo de lasimetrıa.
En la teorıa estandar, la derivada covariante se escribe
Dµ = ∂µ − i
2g′Y B − i
2gτiWi ,
y la densidad lagrangiana se escribe:
L = g(e+,−νC)RτkWk
(e+
−νC
)
R
+g
2(u, d)
LτkWk
(ud
)
L
− g′
2(e+,−νC)B
(e+
−νC
)
R
+g′
6(u, d)
LB
(ud
)
L
− g′
3d
RBd
R+
2g′
3u
RBu
R− g′e+
LBe+
L,
que coincide con el correspondiente para SU(5), exceptuando los de interaccionfuerte y los asociados a los bosones X y Y , si se hace:
g′ = g5
√
3
5, g = g5 .
En el modelo estandar (despues del rompimiento de la simetrıa) se define:
e =gg′
√
g2 + g2′, de donde: e = g5
√
3
8.
7. Grupo SU(5) de unificacion /91
dγ
Xαe+
uC
σ
Xαuγ
dα
Y ανC
uC
Y αdα
a b c d
Figura 7.1: Vertices basicos en las interacciones hiperdebiles, mediadas por bosones X yY . a. Decaimiento de quark d a positron, mediada por X; b. de antiquark u a quark u,mediada por X; c. de quark d a antineutrino, mediada por Y ; d. de antiquark u a quarkd, mediada por Y .
u u d
u uC e+
X
u u d
u e+ uC
Y
u u d
dC e+ d
Y
u u d
u dC νC
Y
a b c d
Figura 7.2: Decaimiento del proton. a., b. y c. El proton decae en un positron y unmeson neutro, (uuC), (uuC) y (ddC), respectivamente; d. el proton decae en unantineutrino y un meson de carga 1, (udC).
Ademas, el angulo de Weinberg se define como:
sen θW =g′
√
g2 + g2′, de donde: sen θW =
√
3
8.
Ası pues, el modelo SU(5) predice el angulo de Weinberg, ademas propone quetodas las interacciones (excepto la gravedad) tienen la misma constante de acopla-miento cuando aun no se rompe la simetrıa. Incluye, ademas del modelo estandar, ala cromodinamica y predice una nueva interaccion (hiperdebil) mediada por bosonesX y Y .
Estos nuevos bosones median interacciones entre quarks y leptones, que pueden
92/ Grupos de Lie
d u u
d e+ dC
X
u u d
u uC e+
Y
u u d
u dC νC
Y
a b c
Figura 7.3: Decaimiento del proton. a. y b. El proton decae en unpositron y un meson neutro, (ddC) y (uuC), respectivamente; c. elproton decae en un antineutrino y un meson de carga 1, (udC). Estosdiagramas dan el mismo resultado, en su orden, que los decaimientosc., a. y d. de la figura 7.2.
cambiar el sabor de los quarks. Al cambiar los numeros barionico y leptonico, se haceposible el decaimiento del proton, apareciendo tambien nuevos modos de decaimientodel neutron. Los vertices asociados a X y Y se muestran en la figura 7.1 y en lafigura 7.2 y 7.3 aparecen diversos canales de decaimiento del proton. Esta prediccionfundamental contradice las observaciones.
Una elaboracion muy completa de este tema puede encontrarse en el artıculo deLangacker. Se trata allı el decaimiento del proton, el rompimiento espontaneo desimetrıa, , predicciones sobre las constantes de acoplamiento, el sector de Higgs, lasmasas de los fermiones, detalles atractivos e inconvenientes del modelo.
Apendices
94/ Grupos de Lie
A
Producto directo y suma
directa de matrices
1. El producto directo de matrices, o producto de Kronecker, denotado con ⊗,es una operacion realizada con dos matrices A y B de dimensiones m × n y p × q,respectivamente, que da como resultado la siguiente matriz de dimension mp× nq:
A⊗B =
a11b · · · a1nb...
. . ....
am1b · · · amnb
=
a11
b11 · · · b1q...
. . ....
bp1 · · · bpq
· · · a1n
b11 · · · b1q...
. . ....
bp1 · · · bpq
.... . .
...
am1
b11 · · · b1q...
. . ....
bp1 · · · bpq
· · · amn
b11 · · · b1q...
. . ....
bp1 · · · bpq
(A.1)
El producto directo es asociativo y no conmutativo. Sus propiedades mas rele-vantes son las siguientes:
A⊗ (B + C) = A⊗B +A⊗ C (B y C son ambas m× n)
(A+B)⊗ C = A⊗ C +B ⊗ C (B y C son ambas m× n)
95
96/ Grupos de Lie
A⊗B 6= B ⊗A
(kA)⊗B = A⊗ (kB) = k(A⊗B) (k es un escalar)
(A⊗B)⊗ C = A⊗ (B ⊗ C)
(A⊗B)T = AT ⊗BT
Tr (A⊗B) = TrATrB
Det(A⊗B) = (DetA)q(DetB)n
El signo + representa la suma ordinaria de matrices. En la ultima igualdad, Ay B son matrices n× n y q × q.
Si A, B, C y D son matrices que permiten formar los productos AC y BD, elproducto mixto se escribe:
(A⊗B)(C ⊗D) = AC ⊗BD (A.2)
A este producto se le llama mixto porque mezcla el producto ordinario de ma-trices y el producto directo. En particular, si A y B son matrices y C = ψ y D = φson columnas, es cierto que:
(Aψ ⊗Bφ) = (A⊗B)(ψ ⊗ φ) (A.3)
De (A.2) se deduce que A⊗B es invertible solo si A y B son invertibles, en estecaso:
(A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1 , (A.4)
por lo cual:(A⊗B)−1(A⊗B) = (A−1 ⊗B−1)(A⊗B) .
2.Ahora bien, la suma directa de matrices, denotada por ⊕, es ejemplificablecon el siguiente caso simple, en el que aparecen una matriz A, 3×3, y otra B, 2×2:
A⊕B =
a11 a12 a13 0 0a21 a22 a23 0 0a31 a32 a33 0 00 0 0 b11 b120 0 0 b21 b22
En general, la suma directa de dos matrices A y B de dimensiones m × n yp× q da lugar a una matriz de dimension (m+ p)(n+ q) compuesta de dos bloquespuestos en diagonal.
De un modo analogo, para la suma de dos bases ψ y φ:
η = ψ ⊕ φ =
ψ1
ψ2
ψ3
⊕(φ1φ2
)
=
ψ1
ψ2
ψ3
φ1φ2
Apendice A. Producto directo y suma directa de matrices /97
Algunas propiedades de la suma directa son:
A⊕B 6= B ⊕A
(A⊕B)⊕ C = A⊕ (B ⊕ C) = A⊕B ⊕ C
k(A⊕B) = kA⊕ kB
Tr (A⊕B) = TrA+TrB
B
Algebra de Lie graduada
El algebra de Lie ordinaria, a la que nos hemos referido en estas notas, contieneun conjunto de parametros continuos y conmutativos α (vease su aparicion en laecuacion (1.1)). En contraste, un algebra de Lie graduada contiene dos tipos deparametros αk continuos que se agrupan en pares e impares. Los pares conmutanentre sı y con los impares, y son identicos a los α del algebra de Lie ordinaria, entanto que los impares anticonmutan.
Los parametros pares se identifican con subındices en mayusculas, A,B,C . . .; seescriben αA, con A = 1, 2, . . . , D, donde D es la dimension del espacio parametricopar. Para estos parametros es cierto que αAαB = αBαA; son los mismos del algebrade Lie ordinaria.
Los parametros impares se identifican con subındices en minusculas, a, b, c . . .,y se denotan como αa, con a = 1, 2, . . . , d, siendo d la dimension de su espacioparametrico. En este caso, αaαb = −αbαa.
La dimension del espacio parametrico graduado es n = D + d.En forma general podemos escribir, para el producto de dos parametros:
αkαl = (−1)g(kl)αlαk , (B.1)
donde g(kl) indica el grado del producto, que puede ser par o impar, g(kl = par) = 1,g(kl = impar) = −1. Los ındices kl en g(kl), aunque aparecen repetidos en elsegundo termino de (B.1), no suponen una suma en k y l. De (B.1) se sigue que:
a. αAαB = (−1)g(AB)αBαA = (−1)g(par)αBαA = αBαA ,
b. αaαb = (−1)g(ab)αbαa = (−1)g(impar)αbαa = −αbαa .c. αAαa = (−1)g(par)αaαA = αaαA .
Ahora bien, pretendemos que G = U(α) sea un grupo continuo, conectadocon la identidad. Ası;
99
100/ Grupos de Lie
1. U(α) es una funcion analıtica de αk alrededor de αk = 0. Infinitesimalmente,entonces:
U(dα) = I − i dαkGk = I − i dα ·G ,
donde Gk son los generadores, en numero D para grado par, y d para grado impar.Asumiremos, ademas, que:
αkGl = (−1)g(kl)Glαk , (B.2)
equivalente a:
a. αAGB = GBαA ,
b. αaGA = GAαa .
c. αaGb = −Gbαa .
El procedimiento realizado para obtener la ecuacion (1.1) es tambien valido eneste caso, por lo cual, para algebras graduadas es cierto que:
U(α) = e−iαkGk = e−iα·G , (B.3)
2. Existe la identidad; de (B.1): U(0) = 1.
3. Que sea grupo implica que es cerrado, esto es:
U(α)U(β) = U(γ) , y utilizando (B.3):
e−iα·Ge−iβ·G = e−iγ·G
utilizando la identidad de Haussdorf, ecuacion (1.6), valida en general para matrices,y donde [A,B] = AB−BA es el conmutador, se obtiene, en analogıa con la ecuacion(1.7):
(αm + βm)Gm − i
2[α ·G,β ·G] + · · · = γmGm .
Puesto que, segun (B.6), [α·G,β ·G] = (−1)g(kl)αkβl[Gk, Gl]g, donde el subındi-ce g significa “corchete graduado”, se sigue que:
(αm + βm)Gm − i
2αkβl[Gk, Gl]g + · · · = γmGm .
Para obtener cancelacion de los Gm en la anterior expresion, es necesario que[Gk, Gl]g sea proporcional a Gm, esto es:
[Gk, Gl]g = icklm
Gm ; (B.4)
Apendice B. Algebra de Lie graduada /101
expresion de acuerdo con la cual, el conjunto de los Gk es cerrado bajo la operacionproducto de Lie graduado, definido en (B.4). Los coeficientes c
klm—las constantes
de estructura del grupo— son, en general, numeros complejos, aunque para losgeneradores de ındice par son reales, como en el algebra de Lie ordinaria de SU(N).Una solucion a la ecuacion (B.4) es una representacion del algebra graduada.
4. Existe el inverso: U(−α) = U−1(α) = eiα·G, lo que implica, en completaanalogıa con (1.10), que:
[α ·G,α ·G] = 0. (B.5)
Demostracion de una identidad
[α ·G,β ·G] = [αkGk, βkGk] = αkGkβlGl − βlGlαkGk, y con (B.2):
= αkβlGkGl(−1)g(kl) − βlαkGlGk(−1)g(kl)
= αkβlGkGl(−1)g(kl) − αkβlGlGk(−1)g(kl)+g(kl), y g(kl) + g(kl) = 1
= αkβl[GkGl(−1)g(kl) −GlGk] = αkβl(−1)g(kl)[GkGl −GlGk(−1)g(kl)]
= αkβl(−1)g(kl)[Gk, Gl]g = iαkβl(−1)g(kl)cklm
Gm segun (B.4);
Ası, pues,[α ·G,β ·G] = iαkβl(−1)g(kl)c
klmGm (B.6)
donde hemos definido el producto de Lie graduado:
[Gk, Gl]g = GkGl − (−1)g(kl)GlGk = −(−1)g(kl)[Gl, Gk]g (B.7)
De ecuacion (B.7) se sigue, como se espera:
a. [GA, GB ]g = GAGB −GBGA = −[GB , GA]g = conmutador ,
b. [Ga, GA]g = GaGA −GAGa = −[GA, Ga]g = conmutador ,
c. [Ga, Gb]g = GaGb +GbGa = [Gb, Ga]g = anticonmutador .
Es usual escribir GAGB −GBGA = [GA, GB ] y GaGb +GbGa = Ga, Gb.Las ecuaciones (B.1) y (B.2) pueden escribirse entonces: [αk, αl]g = 0 y[αk, Gl]g = 0.
Utilizando la ecuacion (B.6) con β = α:
[α ·G,α ·G] = iαkβl(−1)g(kl)cklm
Gm
=i
2[αkβl(−1)g(kl)c
klmGm + αlβk(−1)g(kl)c
lkmGm]
=i
2[αkβl(−1)g(kl)c
klmGm + αkβl(−1)g(kl+kl)c
lkmGm]
=i
2αkβl[(−1)g(kl)c
klm+ c
lkm]Gm ,
segun lo cual, la condicion (B.5) conduce a:
clkm
= −(−1)g(kl)cklm
102/ Grupos de Lie
que expresa la simetrıa o antisimetrıa en lk. En consecuencia:
cABm
= −cBAm
, en particular: cABC
= −cBAC
, como en (1.9),
cabm
= +cbam
,
cAam
= −caAm
.
donde el ındice m es par o impar.5. La condicion de asociatividad equivale a:
(U(α)U(β)
)U(γ) = U(α)
(U(β)U(γ)
).
Utilizando la identidad de Haussdorf se obtiene la identidad de Jacobi:
[[A,B], C] + [[B,C], A] + [[C,A], B] = 0 .
Para algebras graduadas y con A = α · G, B = β · G y C = γ · G, se sigue,utilizando (B.8):
(−1)nk[Gn, [Gk, Gl]g]g + (−1)kl[Gk, [Gl, Gn]g]g + (−1)g(nl)[Gl, [Gn, Gk]g]g = 0 ,
que corresponde a la identidad de Jacobi para los generadores Gk del algebra gra-duada, la generalizacion de (1.11).
Identidades
En la siguiente lista presentamos, sin demostracion, algunas identidades queinvolucran los generadores Gk del algebra graduada.
[[α ·G,β ·G],γ ·G] = −(−1)klαkβlγm[Gm, [Gk, Gl]g ]g , (B.8)
[α ·Gβ ·G,γ ·G] = −(−1)klαkβlγm[Gm, GkGl]g ,
[Gm, GkGl]g = GmGkGl − (−1)g(m(k+l))GkGlGm,
[GkGl, Gm]g = GkGlGm − (−1)g(m(k+l))GmGkGl.
Bibliografıa
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Langacker, P., Grand Unified Theories and Proton Decay, Physics Reports, Vol 72,(1981).
Merzbacher, G., Quantum Mechanics, John Wiley and sons, New York (1970).
Tinkham, M., Group Theory and Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Co.,New York (1964).