facultad de ingenieria maestria en ingenieria …
TRANSCRIPT
FACULTAD DE INGENIERIA
MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
TESIS DE GRADO
GENERACION SINTETICA DE CAUDALES REPRODUCIENDO CARACTERISTICAS HISTORICAS ASOCIADAS A LAS ANOMALIAS DE
CALENTAMIENTO DEL PACIFICO
LUIS ALBERTO BAQUERO NEIRA
BOGOTA, DICIEMBRE 11 DE 2008
A mi papá
Luis A Baquero Herrera
quien se rompió el cuero para darme lo mejor de lo mejor
A mi mamá
Sofía Neira de Baquero
PREFACIO
El modelaje de procesos espacio-temporales como series de tiempo
multivariadas tiene dos usos principales en el manejo de recursos hidráulicos: la
generación sintética de caudales, llamada también generación (o simulación) de
series sintéticas (o muestras) de caudales, y el pronóstico de futuros caudales.
La generación de series sintéticas se ha usado universalmente en el análisis de
confiabilidad en sistemas hidroeléctricos, el cálculo de tamaño de embalses, el
cálculo de riesgo de falla en sistemas de riego, estudios de planeación de
operación de embalses, planeamiento de la expansión de capacidad de sistemas
de acueductos y aplicaciones similares. La definición de reglas y compromisos
dentro de los mercados nacionales e internacionales de gas y electricidad se
pueden ver beneficiados con las predicciones efectuadas por simulaciones
alimentadas con las series sintéticas.
El pronóstico (en contraposición con la generación de series sintéticas) de
caudales se ha usado en el planeamiento de la operación de embalses en el
corto plazo, la operación en tiempo real (o en el corto plazo) de cuencas y de
sistemas de ríos, así como para planear la operación durante una sequía ya
iniciada. (Salas, Delleur, Yevjevich & Lane, 1980).
Abundantes modelos estocásticos han sido propuestos para modelar series de
tiempo hidrológicas. Entre éstos: autorregresivos o AR (Thomas & Fiering, 1962;
Yevjevich, 1963; Matalas, 1967), ruido fraccional gaussiano o FGN
(Mandelbrot & Wallis, 1968; Matalas & Wallis, 1971), autorregresivos y de
promedio móvil o ARMA (Carlson et al, 1970; O’Connell, 1971), línea quebrada
o BL (Mejía, 1971), shot-noise models (Weiss, 1973), procesos intermitentes
(Yakowitz, 1973; Kelman, 1977), desagregación (Valencia & Schaake, 1973),
mezcla Markoviana (Jackson, 1975), ARMA-Markov (Lettenmaier & Burgues,
1977) y modelos de mezcla generales (Boes & Salas, 1978).
vi
Cada uno de los anteriores modelos tiene sus méritos y a pesar de que algunos
han sido aplicados exitosamente en la práctica, tienen sus limitaciones. Todos
han sido criticados por una o más de las siguientes razones: incapacidad para
reproducir dependencia de corto o largo plazo; dificultad en la estimación de
parámetros; limitaciones para generar series sintéticas largas; ausencia de
fundamento físico; demasiados parámetros.
Todos estos modelos fueron supuestamente desarrollados para preservar los
principales parámetros de las series históricas: media, desviación estándar,
asimetría y autocorrelación. Las otras características útiles en estudios de
recursos hidráulicos son el rango (relacionado con la capacidad de
almacenamiento de los embalses) y aquellas asociadas a las rachas. Su
interpretación y uso en hidrología ha dado lugar a controversias entre hidrólogos.
Cuando se usan modelos estocásticos de generación sintética de caudales, el
problema es cómo incorporar las rachas históricas en el modelo. No hay una
respuesta única a dicho interrogante. Según Salas, en últimas ello dependerá del
análisis de cada caso particular.
Los modelos AR, ARMA y ARIMA describen una clase extensa de modelos
aplicables a las series hidrológicas y poseen una amplia gama de posibilidades
para ser modificados y extendidos, lo cual permite adecuarlos a las series que se
estén considerando y variarlos para mejorar la calidad de sus resultados.
El tema de la persistencia de largo plazo es controvertido. Los modelos AR y
ARMA son buenos para conservar persistencia de corto plazo; cuando se usa el
ARMA para preservar persistencia de largo plazo, se resiente la de corto plazo.
Una de las críticas que se le hacen a los modelos ARIMA cuando se usan para
simular series de caudales o precipitación es que no producen períodos secos y
húmedos de las magnitudes ofrecidas por los registros históricos. A la presencia
de períodos largos con precipitación muy alta o muy baja, Mandelbrot y Wallis
(1968) la han denominado el “efecto José”; a valores de precipitación
extremadamente altos, aunque no necesariamente sostenidos en períodos
largos, los han denominado el “efecto Noé”. Estos autores sostienen que los
modelos Markovianos no son capaces de reproducir ni el efecto José ni el Noé;
aún si se usara un Markoviano con múltiples rezagos, para reproducir
vii
satisfactoriamente rachas secas o húmedas -largas- de la historia, con la
aparición de nuevos datos -sostienen ellos- se observarían nuevas rachas que
exigirían redefinir el modelo.
Investigadores de la Universidad Técnica de Estambul (Z. Sen, Altunkaynak, A.,
Asce, M. & Ozger, M., 2004) han diseñado una metodología tomando en
consideración simultáneamente el IOS y la TSM (temperatura superficial del
mar). Definiendo categorías de El Niño y La Niña; observan los caudales en
cada categoría para rezagos de 3 a 7 meses, usan la técnica geoestadística
Kriging y efectúan pruebas que han considerado satisfactorias prediciendo los
caudales del río Delatite en Australia.
J.M. Mejía (2007) ha observado que cuando se efectúan agregaciones
temporales y espaciales de los caudales, los modelos autorregresivos tampoco
garantizan que se conserva la varianza del caudal (transformado a energía)
agregado.
Habidas las anteriores consideraciones, se presenta como motivación del
estudio responder a las críticas que tradicionalmente se le han hecho a los
modelos de generación de series sintéticas, en particular a los AR, sin
abandonarlos y sin buscar otros modelos (ej. no lineales), sino mejorándolos
Se diseña un modelo para generar series sintéticas de caudales, que vincula
información de anomalías del Pacífico con el ánimo de reproducir más fielmente
los parámetros de agregaciones espacio-temporales y características de las
rachas largas sin desmejorar la reproducción de la media y varianza mensuales
de los caudales.
La información del IOS, presentada en la forma de series sintéticas de longitudes
de racha del IOS, es generada por un algoritmo genético (GA) o por un modelo
ARIMA (MA) y acoplada a un modelo multivariado AR(1).
ix
AGRADECIMIENTOS
Esta investigación fue desarrollada con la valiosa colaboración de personas e
instituciones, encabezadas por mi asesora y profesora de Series de Tiempo,
María Elsa Correal con una envidiable formación matemática y experiencia en el
manejo de las series de caudales; su tesis doctoral –asesorada por el célebre
Daniel Peña- versó también sobre la manera de mejorar el modelaje de caudales
considerando el IOS. Identificando instantáneamente los aspectos relevantes a
donde debía orientarme, sin distraerme en asuntos menores pero también sin
restringir la rica gama de posibilidades que iban cautivando mi atención,
colaboró para hacer de ésta una muy agradable experiencia.
Especial mención merece el profesor José Fidel Torres, quien me abrió las
puertas del mundo de las Metaheurísticas. Gracias a su interpretación del ritmo
ideal de aprendizaje terminé conociendo estas novedosas técnicas y
simultáneamente aprendiendo un nuevo lenguaje de computador, sin naufragar
en el intento.
Mi asesor externo, autor de contribuciones reconocidas mundialmente en el área
de los modelos hidrológicos, José Manuel Mejía, me brindó el apoyo requerido
para dimensionar las fases del estudio, para contar con herramientas que me
facilitaran el trabajo y para pensar en la aceptación que debía tener el enfoque
que había decidido darle al problema objeto de la investigación. No puedo dejar
de mencionar el aspecto positivo del ejemplo personal y profesional que me
brindó en las ocasiones en que tuve la oportunidad de visitarlo en su oficina.
Los físicos y matemáticos que me brindaron la oportunidad de comunicarles el
proyecto que tenía en mente para recibir su impresión al observarlo a la luz del
caos fueron muy generosas con el tiempo que me dedicaron y me permitieron
pensar que el caos no era un semáforo en rojo para el proyecto. Ellos fueron
Ramón Fayad (Universidad del Rosario; mi profesor de Física en el colegio),
Jorge Ricardo Cuéllar (Siemens en Alemania; gran matemático, compañero y
amigo en el Colegio San Carlos y luego en la Universidad de los Andes) y
Rodrigo Cardozo (Universidad de los Andes; ingeniero, matemático y compañero
en nuestros días de pregrado).
x
Hernando Durán, profesor de Ingeniería Eléctrica y a quien también tuve la
oportunidad de compartirle las ideas centrales de la investigación antes de
iniciarla, siempre estuvo dispuesto a hacer abstracción del problema y de la
alternativa planteada, para ofrecerme con meridiana claridad sus valiosas y
agudas opiniones así como la confianza de que se iba por un camino promisorio.
Esta misma sensación la percibí en una larga conversación con Jaime
Saldarriaga (experto CREG y discípulo de Yevjevich en Colorado State
University) quien generosamente me brindó innumerables y valiosos detalles de
su disertación doctoral.
El apoyo ofrecido por Pablo Hernán Corredor, Gerente de XM, me permitió
brindarle a la maestría el tiempo requerido sin perjuicio para mis actividades
laborales; a Luis Alejandro Camargo, Gerente de Operaciones Financieras y a
su Directora de Riesgos, Cecilia Inés Maya, les debo reconocer el valioso apoyo
que significó mi reciente traslado a esta nueva dependencia.
xi
CONTENIDOS
1. LOS FENOMENOS DEL PACIFICO Y EL CLIMA 1
1.1 LA OSCILACION DEL SUR 1
1.2 EL NIÑO 41.2.1 OCEANO-ATMOSFERA 4
1.2.2 PERSPECTIVA OCEANOGRAFICA 6
1.2.3 CRONOLOGIA DE EVENTOS EN LA COMPRENSION DE EL NIÑO 8
1.3 MODELO DE EVOLUCION DE UN EVENTO EL NIÑO 9
1.4 TELECONEXIONES 13
1.5 EL NIÑO EN COLOMBIA 141.5.1 GENERALIDADES DEL CLIMA EN COLOMBIA 14
1.5.2 EL NIÑO 97-98 17
2. LA SERIE DEL IOS 18
2.1 EL INDICE DE OSCILACION DEL SUR 18
2.2 LA FORMULA DE LA NOAA 19
2.3 LAS SERIES DE PRESION 20
2.4 ANALISIS DE LA FORMULA DE LA NOAA 21
2.5 ALTERNATIVAS A LA FORMULA DE LA NOAA 21
2.6 ANALISIS DE LA INFORMACION BASICA DE LA NOAA 21
2.7 ALTERNATIVA DEFINITIVA 23
2.8 ALGUNOS PARAMETROS DE INTERES DE LA SERIE DEFINITIVA 24
2.9 FUENTE DE INFORMACION 25
2.10 SERIE CONSTRUIDA CON LA METODOLOGIA DEFINITIVA 25
3. RACHAS 27
3.1 DEFINICIONES BASICAS 27
3.2 SERIES DE VARIABLES INDEPENDIENTES 28
xii
3.3 SERIES DE VARIABLES DEPENDIENTES 303.3.1 RACHAS DE UN PROCESO LINEAL AUTOREGRESIVO DE ORDEN 1 30
3.4 ESPECIFICACIONES DE LAS RACHAS (DEL IOS O DE CAUDALES) 313.4.1 RACHAS EN SERIES HISTORICAS DE CAUDALES E IOS 32
3.5 VARIABLES (CARACTERISTICAS) DE RACHAS EN IOS Y CAUDALES 33
3.6 CATEGORIAS DEL IOS DADA LA LONGITUD DE LA RACHA 36
3.7 RACHAS ESTRICTAS Y RELAJADAS 413.7.1 ESTRICTAS 41
3.7.2 RELAJADAS 41
3.8 HISTOGRAMAS 473.8.1 CONTINUO 47
3.8.2 DISCRETO 47
4. MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIES SINTETICAS DE CAUDALES: GENERALIDADES 50
4.1 ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO 504.1.1 DEFINICIONES BASICAS 50
4.1.2 METODOLOGIA DE BOX-JENKINS 54
4.2 MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIES SINTETICAS DE CAUDALES 55
4.2.1 AR(1) 56
4.2.2 AR(p) 60
4.3 ALGUNOS MODELOS DESARROLLADOS POR COLOMBIANOS 624.3.1 LINEA QUEBRADA (1971) 62
4.3.2 SALDARRIAGA (1972) 62
4.3.3 DESAGREGACION (1973) 62
4.3.4 ALARCON (1975) 62
4.3.5 MEJIA (1995) 63
4.4 CONCEPTO DE ERGODICIDAD EN LAS SERIES SINTÉTICAS 63
5. MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIESSINTETICAS DE CAUDALES: MODELO PROPUESTO 64
5.1 NOMENCLATURA DE LOS MODELOS 66
5.2 PROBLEMA DE GENERACION DE CATEGORIAS SINTETICAS IOS 66
5.3 ALGORITMOS GENETICOS 69
5.4 GENERACION DE CATEGORIAS IOS VIA ALGORITMO GENETICO 695.4.1 ESQUEMA 1 70
5.4.2 ESQUEMA 2 71
5.5 PLANTEO DEL PROBLEMA DEL GA COMO UNO DE OPTIMIZACION 73
xiii
5.6 TAMAÑO DEL PROBLEMA COMBINATORIO 74
5.7 GA_CatIOS 745.7.1 FUNCION DE ADAPTABILIDAD 74
5.7.2 VARIABLES 75
5.7.3 CODIFICACION 75
5.7.4 DISEÑO DE EXPERIMENTOS 75
5.7.5 POBLACION INICIAL 77
5.7.6 OPERADOR DE CRUCE 77
5.7.7 OPERADORES DE MUTACION 79
5.7.8 PROBABILIDADES DE CRUCE Y MUTACION 80
5.7.9 RESULTADOS 80
5.7.10 EVALUACION DE UN CONJUNTO DE 100 EXPERIMENTOS 83
5.8 GENERACION DE SERIES DE IOS MENSUALES CON UN MODELO ARIMA COMO ALTERNATIVA AL GA PARA LA OBTENCIÓN DE CATEGORÍAS IOS 85
5.8.1 CHEQUEO DE ESTACIONARIDAD DE LA SERIE 86
5.8.2 IDENTIFICACION DEL MODELO 88
5.8.3 PRONOSTICOS 92
5.9 SSIOS_MA 93
5.10 GA-KMEANS-PRONOSTICADOR 955.10.1 INFORMACION BASICA 95
5.10.2 PREPROCESAMIENTO DE LA INFORMACION 95
5.10.3 ALGORITMO DE CLUSTERIZACION 95
5.10.4 ALGORITMO GENETICO (GA) 96
5.10.5 CONFIGURACION DEL INDIVIDUO 96
5.10.6 PSEUDOCLUSTERS 97
5.10.7 PRONOSTICO 97
5.10.8 DISEÑO DEL GA-KMEANS 98
5.11 AR(6) 99
5.12 MODELOS AR(1) EVALUADOS 1005.12.1 AR(1) 100
5.12.2 AR(1)[GA] 100
5.12.3 AR(1)[GA]2 101
5.12.4 AR(1)[MA] 101
5.12.5 AR(1)[MA]2 101
5.13 EVA_SERIES 101
6. EVALUACION DEL MODELO PROPUESTO 102
6.1 GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS 102
6.2 RESULTADOS 1036.2.1 DESAJUSTE DE PARAMETROS MENSUALES 104
6.2.2 DESAJUSTE DE PARAMETROS: AGREGACIONES ESPACIO TEMPORALES 105
6.2.3 CARACTERISTICAS DE RACHAS 105
6.2.4 CAPACIDAD PREDICTIVA 108
6.3 COMENTARIOS 1096.3.1 MEDIA MENSUAL DE RIOS INDIVIDUALES 109
xiv
6.3.2 DESVIACION ESTANDAR MENSUAL DE RIOS INDIVIDUALES 109
6.3.3 MEDIA DE LAS AGREGACIONES ESPACIO-TEMPORALES 109
6.3.4 DESVIACIÓN ESTANDAR DE LAS AGREGACIONES ESPACIO-TEMPORALES 109
6.3.5 PROBABILIDAD DE TRANSICIONES: CATEGORIAS NO NEUTRAS DE RACHA110
6.3.6 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA: CATEGORIAS NO NEUTRAS DE RACHAS 110
6.3.7 PROBABILIDAD DE SUPERAR VALORES CRITICOS: LONGITUD DE RACHA 110
6.3.8 FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD: LONGITUD DE RACHA 111
6.3.9 CAPACIDAD PREDICTIVA 112
7. CONCLUSIONES 112
7.1 CONCLUSIONES GENERALES 114
7.2 CONCLUSIONES PARTICULARES 115
8. FUTUROS DESARROLLOS 117
8.1 IOS 117
8.2 RACHAS 117
8.3 GA_CatIOS 117
8.4 GA_Kmeans 117
8.5 AR(1)[GA] 117
8.6 SSIOS_MA 118
8.7 AR(1)[MA] 118
8.8 AR(6) 118
8.9 EVALUACION 118
8.10 OTROS CASOS DE PRUEBA 118
8.11 OTROS CAMPOS DE APLICACION 119
8.12 INFORMATICA 119
REFERENCIAS 120
BIBLIOGRAFÍA 121
ANEXOS 127
1. LOS FENOMENOS DEL PACIFICO Y EL CLIMA
ENSO: Abreviación del El Niño Southern Oscillation. Hace referencia a un
proceso global que se origina en una interacción de gran escala entre el océano
y la atmósfera. Cuando las aguas en el Pacífico Tropical Central se calientan
anormalmente (evento El Niño), la presión atmosférica al nivel del mar oscila:
baja en el Pacífico Tropical Central y sube en el Occidental.
1.1 LA OSCILACION DEL SUR
Las primeras piezas para resolver el enigma de El Niño vinieron de estudios
atmosféricos. A comienzos del siglo XX, el matemático británico Sir Gilbert
Walker, director general de los observatorios meteorológicos en la India, utilizó
los datos climatológicos para lograr un avance significativo en las ciencias
atmosféricas. En 1899 las lluvias de los monzones de las cuales dependían los
agricultores indios, no llegaron y ocasionaron una devastadora hambruna. Al
serle solicitada una forma de predecir tales caprichos del clima, Walker se puso
a repasar 40 años de datos de temperaturas, presiones atmosféricas y lluvias
alrededor del mundo. Se dio cuenta de que había una relación estilo sierra entre
la presión atmosférica en el Pacífico Sur (Oriente de Tahití) y el Océano Indico
(Occidente de Darwin, Australia). Es decir, si estaba alta en una, usualmente
estaba baja en la otra. En un artículo presentado a la Royal Meteorological
Society en 1928, Walker llama a este patrón la Oscilación del Sur.
En la Figura 1.1 se observan presiones en Tahití y Darwin en meses con evento
El Niño (mayo/97-abril/98) seguidos por meses con características de evento La
Niña; el Indice de Oscilación del Sur (IOS) es primordialmente negativo durante
el primer tipo de evento y positivo durante el segundo.
2 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
May
-97
Jun
-97
Jul-
97
Au
g-9
7
Sep
-97
Oct
-97
No
v-97
Dec
-97
Jan
-98
Feb
-98
Mar
-98
Ap
r-98
May
-98
Jun
-98
Jul-
98
Au
g-9
8
Sep
-98
Oct
-98
No
v-98
Dec
-98
Jan
-99
Feb
-99
Mar
-99
Ap
r-99
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
Tahití Darwin IOS
Figura 1.1 Presiones en Tahití y Darwin (sobre 1000mb)
IOS
Walker encontró que cuando las presiones eran altas en el Oriente y bajas en el
Occidente, las lluvias de los monzones en la India eran altas; cuando la
diferencia de presiones era baja, las lluvias no llegaban y a veces había sequías.
Las investigaciones de Walker mostraron que las condiciones de sequía
afectaban no solo a la India, Indonesia y Australia sino también partes del sub-
Sahara africano, y simultáneamente los inviernos en Canadá. Walker planteó
algunas correlaciones temporales entre estas presiones y pensó que se podrían
hacer pronósticos de largo plazo en algunos lugares. A pesar de su visión y
abstracción, Walker no pudo identificar los procesos físicos responsables de la
Oscilación del Sur y numerosos factores obstaculizaron sus investigaciones
durante los siguientes 30 años, hasta 1957. Algunos investigadores en los 50’s
notaron una relación entre la temperatura superficial del mar en las costas de
Perú y la pequeña diferencia de presiones a lo largo del Pacífico Tropical. Pero
no fue sino hasta finales de los 60’s que el meteorólogo noruego Jacob Bjerknes,
de la Universidad de California, describió un mecanismo que vinculaba las
observaciones de Walker acerca de la Oscilación del Sur con El Niño.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 3
Central dentro de la concepción de Bjerknes es que la interacción entre el mar y
el aire puede tener un gran impacto sobre la circulación de los vientos, lluvias y
clima. Bjerknes describió un patrón de circulación de aire sobre todo el Pacífico
que denominó la Circulación de Walker.
Figura 1.2 : Circulación de Walker (Fuente: NOAA-Internet)
Dentro del patrón de circulación típica de Walker, el aire sobre las aguas frías del
Pacífico es muy denso como para subir lo suficiente para que el vapor de agua
se condense y forme nubes, dejando porciones de Perú y Ecuador desérticas.
Alta presión en el Oriente y baja presión sobre más cálidas aguas en el
Occidente mueven el aire hacia el Occidente, generando y reforzando los vientos
Alisios ecuatoriales. Los vientos siembran humedad partiendo del océano a
medida que soplan hacia el Pacífico Occidental; allá, el cálido y húmedo aire
sube, se condensa y luego descarga las lluvias de los monzones que caen sobre
las selvas de Nueva Guinea e Indonesia.
Bjerknes reconoció que durante las condiciones El Niño, cuando las aguas del
Norte del Perú están más cálidas de lo normal y la presión del aire sobre la
4 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
superficie es menor como consecuencia, la diferencia de presiones entre Este y
Oeste se debilita y lo mismo hacen los vientos Alisios que soplan al Occidente. A
medida que los vientos fallan, el aire caliente sube sobre el Pacífico Central en
lugar de más hacia el Occidente, descargando las lluvias que estaban
destinadas a los monzones de la India e Indonesia.
1.2 EL NIÑO
Originalmente el nombre El Niño proviene de los pescadores sobre las costas
del Perú para referirse a la invasión de una corriente de agua caliente en
dirección Sur que desplaza la corriente fría en dirección Norte, que normalmente
aprovechaban para pescar; típicamente esto sucedía alrededor de la Navidad,
cuando se celebraba el nacimiento de El Niño Jesús. Hoy en día El Niño se
refiere a los efectos más pronunciados asociados con las anómalas
temperaturas superficiales del mar interactuando con el aire sobre él en el
Pacífico Oriental y Central. Su contraparte, efectos asociados con temperaturas
más frías de lo normal en la misma región, vino a ser acuñada como La Niña en
1985.
1.2.1 OCEANO-ATMOSFERA
Muchos discuten que el principal factor que maneja el clima en el largo plazo es
el calentamiento y enfriamiento del Pacífico Tropical. Un ejemplo familiar es la
brisa del mar. En una tarde soleada la tierra se calienta más rápido que el
océano; a medida que el aire sobre la tierra se calienta y sube, el aire sobre la
más fría superficie del mar se desplaza hacia la costa. El aire caliente regresa al
mar y cae sobre él para completar el circuito. A nivel global sucede lo mismo. El
sol calienta más las regiones tropicales que las latitudes medias o los polos;
como resultado, el océano tropical absorbe una mayor cantidad de calor que las
aguas en cualquier otra parte. A medida que el aire cerca de la superficie del
mar se calienta, se expande y sube, desplazándose hacia los polos; aire más frío
de los subtrópicos y los polos se mueve hacia el Ecuador y toma su lugar.
En otras palabras, la atmósfera y el océano actúan como una máquina térmica
global. La continua redistribución de calor, modificada por la rotación del planeta
Oeste-Este, da lugar a altas corrientes de chorro y los prevalecientes vientos
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 5
Alisios que soplan hacia el Occidente. El viento, a la vez, conduce largas
corrientes oceánicas como la Corriente del Golfo en el Atlántico Norte, la
Corriente de Humboldt en el Pacífico Sur y las Corrientes Nor(Sur) Ecuatoriales.
En el océano tropical, los vientos Alisios que soplan hacia el Occidente siembran
vapor de agua sobre el océano, llevándolo de una parte del mundo a otra. El
resultado de esta dinámica es que la costa Pacífica de Sur América es
generalmente seca cuando del lado contrario, en Indonesia y Nueva Guinea,
tiene selvas. Los vientos Alisios también llevan agua caliente en la capa superior
del océano tropical hacia el Occidente. A medida que el viento caliente se apila
en el Pacífico Occidental, el agua fría en las capas inferiores del Pacífico sube a
la superficie.
Los investigadores han aprendido que si conocen la temperatura subsuperficial
en algunas partes del Pacífico Tropical, pueden mejorar las predicciones de los
vientos Alisios algunos meses adelante. Si tienen información acerca de los
vientos Alisios, pueden predecir mejor las temperaturas superficiales del mar.
Figura 1.3 : Anomalías de la TSM en abril de 2008
(Fuente: NOAA - Internet)
6 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
1.2.2 PERSPECTIVA OCEANOGRAFICA
Una contribución clave, confirmando la concepción de Bjerknes de que los
efectos de El Niño no estaban confinados a la costa del Perú y Ecuador, vino
cuando Klaus Wyrtki de la Universidad de Hawai estableció (1975) que fuertes
vientos Alisios esencialmente empujaban las cálidas aguas superficiales hacia el
Occidente sobre el Ecuador hasta que se apilan sobre las costas de Indonesia.
Este engrosamiento de la capa de agua caliente, que sube el nivel del agua en
el Pacífico Occidental hasta 18 pulgadas, efectivamente deprime una capa de
agua subsuperficial denominada la termoclina, una especie de interfase entre las
aguas cálidas superficiales y otras mucho más frías en las profundidades del
océano. En el Pacífico Oriental, por el contrario, la capa cálida superficial es
mucho más delgada. Como resultado, la termoclina yace más cerca de la
superficie, así como aguas frías que provienen de las profundidades del océano
y traen con ellas los nutrientes que soportan a las poblaciones de peces. Cuando
los vientos Alisios fallan, ondas de agua caliente se mueven en dirección
Occidente-Oriente a lo largo del Pacífico, empujando la termoclina hacia abajo
en el Pacífico Oriental y suprimiendo el ascenso de agua fría desde el océano
profundo. Como resultado, la TSM en el Oriente sube y el agua superficial queda
privada de los nutrientes necesarios para mantener ciertas poblaciones de
pescados.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 7
Figura 1.4 : Relación Océano-Atmósfera en el Océano Pacífico
(Fuente: NOAA - Internet)
8 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
1.2.3 CRONOLOGIA DE EVENTOS EN LA COMPRENSION DE EL NIÑO
Finales de los 1800s
Pescadores acuñan el nombre El Niño para referirse al período de aguas
cálidas que aparece fuera de las costas del Peru y Ecuador alrededor de la
Navidad.
1928
Gilbert Walker describe la Oscilacion del Sur, el patrón que relaciona las
presiones atmosféricas en los sectores Central y Occidental del Océano
Pacifico.
1957
Ocurre un largo evento El Niño y es registrado por los científicos participantes
en el Año Geofísico Internacional. Como resultado se revela que El Niño afecta
no solamente las costas del Perú y Ecuador sino también todo el Pacifico.
1969
Jacob Bjerknes, de la Universidad de California, Los Angeles, publica un
artículo seminal que vincula la Oscilación del Sur con El Niño.
1975
Klaus Wyrtki, de la Universidad de Hawaii, registra niveles del mar a través del
Pacífico y establece que un flujo de aguas superficiales cálidas provenientes
del Pacífico Occidental ocasiona aumento de la temperatura superficial del mar
en el Pacifico Central y Oriental .
1976
Los investigadores demuestran que vientos sobre el lejano Pacífico Ecuatorial
Occidental pueden ocasionar cambios en la temperatura superficial del mar en
las costas del Perú.
1982
Un evento fuerte El Niño se desarrolla de una manera inesperada y su
evolución es registrada en detalle con boyas marinas.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 9
1985
Varias naciones lanzan el programa TOGA (Tropical Ocean-Global
Atmosphere), un estudio de 10 años de los océanos tropicales y la atmósfera
global.
1986
Investigadores diseñan el primer modelo acoplado océano-atmósfera que
predice un evento El Niño en 1986.
1988
Investigadores explican cómo la "memoria" del océano -el rezago entre un
cambio en los vientos y la respuesta del océano- influye en las terminaciones
de El Niño y el inicio de La Niña.
1996-1997
Los instrumentos monitoreando el Pacífico, acoplados con modelos océano-
atmósfera, permiten a los científicos alertar al público de un próximo evento El
Niño.
1.3 MODELO DE EVOLUCION DE UN EVENTO EL NIÑO
Se presenta la caracterización de la evolución de un evento El Niño, siguiendo
para ello el ejemplo de El Niño 2002-2003.
Entre enero y abril/2001 vientos Alisios del Este, más fuertes de lo normal,
prevalecieron a lo largo del Pacífico Ecuatorial, mientras que la piscina caliente
del Oeste y una profunda convección atmosférica se localizaban al Oeste de los
160ºE. En el Pacífico, las temperaturas superficiales del mar estaban más frías
que lo normal; la Corriente Ecuatorial del Sur, con dirección Oeste estaba más
fuerte de lo normal y la pendiente de la termoclina se inclinaba hacia abajo en
dirección Oeste. El nivel del mar que tiende a reflejar la profundidad de la
termoclina en el Pacífico Tropical, subió hacia el Oeste, viéndose niveles del mar
inusualmente bajos en el Pacífico Oriental.
10 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
Figura 1.5 : Anomalías de Vientos y Temperaturas 2001-2003
(Fuente: Evolution of the 2002-03 El Niño. Internet)
Las anteriores condiciones vinieron a debilitarse a mediados del 2001, cuando la
TSM aumentó en fecha coincidente con actividad de los vientos en el Pacífico
Occidental, en dirección Oeste. Estos vientos excitaron ondas ecuatoriales
intraestacionales Kelvin, a finales del 2001 y comienzos del 2002. Fuertes
vientos del Oeste en diciembre de 2001 forzaron una onda Kelvin que deprimió
la termoclina unos 20-30 m, debilitó la Corriente Ecuatorial del Sur hasta 40 cm/s
y dejó TSM superior a lo normal en todas las longitudes al Este de los 180º en
febrero-marzo del 2002. Simultáneamente, el enfriamiento de la piscina caliente
al Oeste del los 160ºE ocurría en asociación con aumentos locales de la
velocidad de los vientos superficiales. Como resultado la TSM se debilitó
zonalmente a lo largo de la franja Ecuatorial y una fuerte convección atmosférica
se extendió en dirección Este, hacia los 180º.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 11
En mayo/2002, una abrupta relajación de los vientos Alisios extendiéndose hasta
los 140ºO condujo a calentamiento del mar de más de 1ºC. La segunda mitad
del 2002 presenció la amplificación tanto de las anomalías oceánicas como
atmosféricas de El Niño. Anómalos vientos del Oeste continuaban excitando
ondas Kelvin ecuatoriales que deprimieron la termoclina y elevaron el nivel del
mar a medida que se propagaban hacia el Este. Se observó un calentamiento
sostenido de la TSM en la lengua fría del Pacífico Oriental. En el Pacífico
Occidental, se elevaba el nivel de la termoclina y deprimía el nivel del mar. La
TSM se deprimía en el Pacífico Occidental a medida que la termoclina ascendía
para facilitar el transporte vertical de agua fría del interior del océano a la
superficie. Los cambios resultantes en la TSM Ecuatorial reforzaban la
expansión en dirección Este de una profunda convección atmosférica.
Figura 1.6 : Anomalías de la TSM y Corrientes Superficiales en la Fase Pico
(Fuente: Evolution of the 2002-03 El Niño. Internet)
La fase en que las anomalías alcanzaron el pico para casi todas las variables
oceánicas y atmosféricas ocurrió entre octubre y diciembre/2002. Las anomalías
en la región Niño3-4 alcanzaron 1.8ºC en noviembre/2002; las mayores
anomalías en la TSM se concentraron en el Pacífico Central Ecuatorial, con
máximos puntuales de 2.5ºC cerca de los 170ºO. Al contrario, las anomalías en
la TSM se observaron débiles y de corta duración en la costa Oeste de las
Américas. En los eventos típicos, las mayores anomalías se concentran en el
extremo Este sobre el Ecuador y los calentamientos costeros son más
pronunciados. Las anomalías en las tensiones de los vientos del Este sobre el
12 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
Ecuador en el Pacífico Central y Oriental no fueron usuales, ya que típicamente
se encuentran confinadas al Este de los 100-120ºO durante El Niño; este pudo
haber sido un factor de peso para que la termoclina no se sumergiera y la TSM
no bajara como se hubiera esperado. Las anomalías de velocidad de los vientos
del Oeste fueron también las mayores entre octubre y diciembre de 2002. Las
mayores anomalías del nivel del mar (25 cm) se observaron sobre el Ecuador en
el Pacífico Central asociadas con una profunda piscina caliente superficial; en el
extremo Pacífico Occidental, el nivel del mar se deprimió 10-20 cm.
En respuesta al debilitamiento de los vientos Alisios a lo largo del Ecuador en el
Pacífico Occidental y Central, la termoclina se hundió 30-40m en el Este y subió
20-30m en el Oeste hasta el punto que su pendiente era esencialmente plana
entre los 140ºO y 140º E. Anómalas corrientes marinas en dirección Este a lo
largo de la linea ecuatorial brindaron el flujo necesario para soportar estos
cambios en la termoclina. Fuertes lluvias cerca de los 180º y condiciones
inusualmente secas en el extremo Pacífico Occidental durante la fase pico del
evento fueron asociadas con un desplazamiento Este de la rama ascendente de
la circulación de Walker en unión con una expansión hacia el Este de la piscina
caliente. Una banda de lluvias anómalas entre 5ºN y 10ºN en el Pacífico Central
y Oriental, moviéndose hacia el Oeste, indicaron el desplazamiento de la ZCIT
(zona de confluencia intertropical) en dirección ecuatorial. La piscina caliente del
Oeste se caracteriza no solo por una TSM alta (>28ºC) sino también por baja
salinidad superficial (<35 psu); en el Pacífico Central se mezclan franjas
calientes y frías superficiales, debajo de las cuales hay una franja de
temperatura uniforme (franja barrera) que separa la termoclina de la superficie.
Esta franja pudo haber sido otro factor que amplificara la TSM en el Pacífico
Central y ocasionara asimetrías en las anomalías de la TSM.
Para comienzos de mayo/2003 las anomalías de la TSM se habían reducido a
0.5ºC y confinado al Oeste de los 180º, mientras que anomalías frías habían
comenzado a aparecer en el Pacífico Ecuatorial Oriental. En mayo se
desarrollaron vientos en dirección Oeste en el Pacífico Occidental generando
una onda Kelvin que dio lugar a anomalías débiles y calientes de la TSM entre
junio y julio/2003. Otros vientos Oeste débiles siguieron en julio y en
septiembre/2003 las condiciones estaban cerca de las neutrales.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 13
La Oscilación Maden-Julian (MJO), a pesar de que no se tienen argumentos
convincentes de que existe una relación de causalidad entre ésta y el ENSO,
parece haber tenido una influencia significativa en el inicio, desarrollo y
terminación de El Niño 2002/03, debido a la asociada tensión de forzamiento de
los vientos superficiales del Oeste. Otra cuestión que permanece abierta es la
relación entre la Oscilación Decadal del Pacífico y el ENSO.
Las características de El Niño 2002/03 ilustran también el punto de que no hay 2
eventos iguales, lo cual complica su predictibilidad. En marzo del 2002 no había
concenso acerca de si las 3 estaciones siguientes iban a ser cálidas, neutrales o
aún frías; después de identificada la iniciación del evento, los gobiernos de Perú
y Ecuador se prepararon contra fuertes lluvias en la región costera. Sin embargo,
la ausencia de un prolongado calentamiento de las aguas en el Pacífico Oriental
condujo a una inesperada sequía. Este ejemplo subraya la importancia de
reducir la incertidumbre en las predicciones del ENSO; mucho ha avanzado la
capacidad predictiva en los últimos 20 años pero aún hay mucho campo para
progresar.
1.4 TELECONEXIONES
Son correlaciones estadísticamente significativas entre eventos climáticos que
ocurren en diferentes partes del planeta. En la siguiente gráfica se ilustran
teleconexiones de El Niño:
Figura 1.7 : Teleconexiones de El Niño observadas durante un evento
(Fuente: Oceanworld-Internet)
14 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
La gráfica muestra regiones del globo que recibieron fuertes lluvias (lineas
punteadas) o sequías (lineas continuas) durante un evento El Niño. (0) indica el
año de iniciación del evento; (+), el año siguiente.
Se observa simultaneidad de sequías en el Sureste Asiático, Nueva Guinea,
Australia, India, Sureste Africano y la costa Atlántica Norte de Suramérica; de
lluvias, en Tahití, Hawai, Golfo de México, costa Oeste de Estados Unidos,
Noreste Argentino, Sureste de Brasil y zona Centro Africana.
Las siguientes secciones se basan en el documento El Fenómeno El Niño. 1997-
1998. Memoria, Retos y Soluciones.
1.5 EL NIÑO EN COLOMBIA
1.5.1 GENERALIDADES DEL CLIMA EN COLOMBIA
1.5.1.1 ZCIT (ZONA DE CONFLUENCIA INTERTROPICAL)
La confluencia de los vientos Alisios del Noreste y del Sureste en la ZCIT
produce un movimiento ascendente del aire, el transporte de humedad por la
vertical y la consecuente condensación y generación de nubosidad y de
precipitación. LA ZCIT se desplaza latitudinalmente siguiendo el movimiento
aparente del Sol con respecto a la latitud, con un retraso aproximado de 2
meses. Con este desplazamiento la ZCIT pasa sobre territorio colombiano 2
veces al año, generando dos máximos de la precipitación en el año, en el Sur y
Centro, y un máximo en la región Caribe.
1.5.1.2 RELIEVE
A lo largo de la Cordillera Oriental se registran altas precipitaciones, debido a la
formación de masas nubosas provocadas por el ascenso de las corrientes
húmedas procedentes especialmente de la selva amazónica. Este mismo efecto
se registra en la vertiente Pacífico de la Cordillera Occidental, por las corrientes
procedentes del océano.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 15
Figura 1.8 : Precipitación Media Anual para el Período 1961-1990
(Fuente: IDEAM; CAF)
En la vertiente Oriental de la Cordillera Occidental se registran entre 2000 y
3000 mm de lluvias en 150 días al año; en la vertiente Occidental, la lluvia oscila
entre 8000 y 9000 mm, observados entre 250 y 300 días al año. En la Cordillera
Oriental, se tienen 2000 mm en 150 días en su vertiente Oriental y 5000 mm en
200 días en su vertiente Occidental.
1.5.1.3 OCEANO PACIFICO
El océano, en interacción con una circulación de tipo monzónico que se
desarrolla en la zona ecuatorial, aporta humedad al Sur de la vertiente
Occidental de la cordillera Occidental. En el Norte del Pacífico colombiano, un
sistema cuasipermanente dirige la humedad hacia la cordillera. Lo anterior hace
16 Los Fenómenos del Pacífico y el Clima
que la región Pacífica colombiana sea una de las zonas más lluviosas del
mundo.
1.5.1.4 OCEANO ATLANTICO
Influye en el clima nacional a través de los sistemas de alta presión. La
subtropical de los Azores extiende su influencia con una zona de alta presión
sobre el Mar Caribe, la cual afecta estacionalmente el Norte del territorio
colombiano. Esta influencia se manifiesta en la distribución estacional de los
vientos (predominio de los Estes o de Nordestes), la nubosidad (escasa en el
extremo Norte) y la precipitación (regiones relativamente secas).
1.5.1.5 AMAZONIA
Los procesos que se desarrollan en la Amazonía son uno de los factores que
influyen de manera determinante en la distribución espacio-temporal de la
humedad y de la precipitación del territorio colombiano. La Amazonía es una rica
fuente de humedad, transportada por los vientos Alisios hacia la cordillera, que
genera en el piedemonte abundante nubosidad y lluvias que convierten al
Occidente de la Amazonía colombiana en una de las regiones más húmedas de
Suramérica, tan húmeda como la vertiente del Pacífico colombiano.
1.5.1.6 DISTRIBUCION DE LA RADIACION SOLAR
La radiación que llega del sol a la superficie de la Tierra se llama radiación
directa; la parte que es difundida por las partículas atmosféricas y nubes llega a
la tierra en forma de radiación difusa. La suma de estas dos radiaciones se
denomina radiación global. La distribución de la radiación global es como sigue:
la zona de mayor radiación es la Guajira, alcanzo su máximo en julio y su
mínimo en diciembre; le siguen el Cauca medio, el Magdalena hasta la costa
Atlántica y la zona de Cúcuta, también con mínimos y máximos en julio y
diciembre respectivamente. Sigue la Amazonía, con máximo en octubre y
mínimo en mayo.
Los Fenómenos del Pacífico y el Clima 17
1.5.2 EL NIÑO 97-98
El efecto más destacado del evento 1997-1998 fue la deficiencia de precipitación
en la mayor parte del territorio nacional. Dicho déficit cubrió mayor área que en
eventos anteriores. Esta particularidad se debió a que atípicamente la deficiencia
de lluvias se presentó también en la región Pacífica de Valle, Chocó y el
Occidente de la Amazonía. En la siguiente gráfica se ilustra el brusco cambio de
precipitación en el territorio nacional de febrero a marzo de 1997.
Figura 1.9 : Precipitación en febrero y marzo de 1997
(Fuente: IDEAM; CAF)
Las secciones de este capítulo fueron elaboradas recopilando información de
Internet, proveniente de:
NOAA:
http://www.pmel.noaa.gov/tao/elnino/el-nino-story.html
http://www.pmel.noaa.gov/tao/proj_over/BAMS_May04.pdf
National Academy of Sciences:
http://www.nasonline.org
http://oceanworld.tamu.edu/resources/oceanography-book/teleconnections.htm
Corporación Andina de Fomento
18
2. LA SERIE DEL IOS
2.1 EL INDICE DE OSCILACION DEL SUR
“Anómalías del Pacífico” hace referencia a variables oceánicas o atmosféricas
en el Océano Pacífico. Uno de los índices usados para identificar tales
anomalías es el IOS (Indice de Oscilación del Sur).
Se calcula con base en las observaciones de presión atmosférica al nivel del mar
(PNM) en Tahití y Darwin.
Figura 2.1 : Tahití y Darwin
La Oscilación del Sur es un fenómeno atmosférico, que se caracteriza por la
relación entre las presiones en el Pacífico Occidental y Oriental: cuando sube
una, baja la otra.
Los valores de las presiones en Tahití y Darwin en el intervalo 1951-2007 se
observan en la Figura 2.2.
La Serie del IOS 19
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Jan
-51
Jan
-54
Jan
-57
Jan
-60
Jan
-63
Jan
-66
Jan
-69
Jan
-72
Jan
-75
Jan
-78
Jan
-81
Jan
-84
Jan
-87
Jan
-90
Jan
-93
Jan
-96
Jan
-99
Jan
-02
Jan
-05
Tahití Darwin
Figura 2.2 : PNM en Tahití y Darwin (sobre 1000 mb)
El Niño es un fenómeno océanico, caracterizado por aumento de la termoclina
en el Pacífico Oriental, con aumento en la temperatura del agua en las costas de
las Américas. Los dos fenómenos interactúan a través de un puente océano-
atmósfera. Durante los episodios El Niño, baja la presión en el Pacífico Oriental
(Tahití, [18S,150W]); durante La Niña, baja en el Occidental
(Darwin,[13S,131E]).
El IOS refleja las anomalías (desviaciones con respecto a la media) en la
diferencia de presiones entre Tahití y Darwin.
2.2 LA FORMULA DE LA NOAA
El IOS lo calcula en la actualidad la NOAA de la siguiente forma:
20 La Serie del IOS
(2.1)
(2.2)
(2.3)
2.3 LAS SERIES DE PRESION
Las series de presión tienen las siguientes características:
Darwin y Tahití:
1882-1950. Unidades: Décimos de mb; 1000mb restados
1951-2007. 1000 mb restados
Según la National Center for Atmospheric Research, hay cuestionamientos
acerca de la consistencia y calidad de las mediciones de presión en Tahití,
anteriores a 1935. Independientemente de si las mediciones efectuadas son o
no fidedignas, lo que se observan son datos faltantes, los cuales podrían ser
rellenados mediante correlación con Darwin, muy posiblemente mejorando los
estimadores de Tahití y obteniendo de esta manera para ella y para el IOS
buenas y completas series desde 1882.
IOS
mlmlml
ikikik
mlDml
Dikk
mlTml
Tikik
nDT
DT
nD
D
nT
T
m
i
m
i
,
2/12,,
,,,
,
2/12,
,,
,
2/12,
,,
)/)((
)(
)/)((
)(
)/)((
)(
n
D ikik
D
T
k,i
ik
i
i
1980-1951 base período nes,observacio de número
adasestandariz Darwin,y Tahitíen presiones y
1980-1951 base período i, mes Darwin, de mediapresión
1980-1951 base período i, mes Tahití, de mediapresión
k año i, mes Darwin,en presión
k año i, mes Tahití,en presión
, ,
,T
D
T
T
iD
La Serie del IOS 21
2.4 ANALISIS DE LA FORMULA DE LA NOAA
La fórmula presentada por la NOAA (National Oceanic and Atmospheric
Administration) tiene estas particularidades:
2.4.1 Usa las medias mensuales, correspondientes al período 1951-1980
2.4.2 Usa 1951-1980 para calcular la suma de cuadrados de anomalías
2.4.3 Agrega la suma de cuadrados de todos los meses y obtiene una sola
varianza que luego aplica a cada mes
2.4.4 Para estandarizar la diferencia de anomalías estandarizadas asume que
sus medias mensuales son 0, a pesar de que su valor va a ser diferente de 0, ya
que para estandarizar usó la media de solo una parte de la muestra
Para estandarizar la diferencia de anomalías estandarizadas, no usa
varianzas mensuales; efectúa una suma de cuadrados sobre toda la serie en el
intervalo 1951-1980 y obtiene una sola varianza
2.5 ALTERNATIVAS A LA FORMULA DE LA NOAA
Las particularidades anteriores dan lugar a alternativas para el cálculo del IOS,
aplicando entre otras las siguientes modificaciones:
Utilización de datos anteriores a 1951
Utilización de la variable: presión en Tahití-presión en Darwin
Estandarización usando varianzas mensuales y no una varianza general
Utilizando la serie de 1882 a 2007, se obtienen resultados para las siguientes
combinaciones:
Medias y varianzas calculadas sobre el período 1882-2000
Medias y varianzas calculadas sobre el período 1951-1980
Medias calculadas en el período 1951-2007 y varianzas en 1882-2007
2.6 ANALISIS DE LA INFORMACION BASICA DE LA NOAA
Se observa, dentro de la metodología usada por la NOAA para producir la serie
histórica del IOS, que:
22 La Serie del IOS
Los parámetros de media y varianza, correspondientes al período 1951-1980,
usados para estandarizar las series de presiones de Tahití y Darwin, tienen
importantes diferencias con relación a los parámetros de la serie histórica
En la Tabla 2.1 se observan diferencias entre los parámetros de media y
varianza de Tahití, correspondientes a 1951-1980 y a 1951-2007; la diferencia
de varianza en los meses de diciembre, enero y febrero es considerable.
Tabla 2.1 : Media y desviación estándar mensual . Presión en Tahití
media 1950-
200710.93 11.10 11.55 11.73 12.63 13.63 14.01 14.51 14.40 13.53 11.86 10.85
media 1950-
198010.83 11.24 11.65 11.76 12.55 13.68 13.91 14.55 14.32 13.68 11.90 10.99
desv 1951-
20071.43 1.36 1.05 0.76 0.77 0.77 0.85 0.93 0.94 0.88 0.87 1.14
desv 1951-
19801.35 1.18 1.01 0.70 0.67 0.69 0.91 0.90 0.99 0.83 0.85 1.08
En la Tabla 2.2 se observan diferencias entre los parámetros de media y
varianza de Darwin, correspondientes a 1951-1980 y a 1951-2007; las
diferencias en algunos meses, principalmente de la varianza en marzo, es
considerable.
Tabla 2.2 : Media y desviación estándar mensual. Presión en Darwin
media 1951-
20076.51 6.65 7.84 9.63 11.20 12.59 13.14 13.01 12.10 10.67 8.83 7.37
media 1950-
19806.24 6.40 7.42 9.37 10.88 12.30 12.84 12.63 11.89 10.57 8.73 7.26
desv 1951-
20071.26 1.43 1.25 1.06 1.00 0.88 0.95 0.96 1.02 1.06 1.05 1.20
desv 1951-
19801.20 1.30 0.98 0.89 1.07 0.79 0.95 0.81 0.96 1.05 1.02 1.10
La varianza mensual, correspondientes al período 1951-1980 (con base en
el cual la NOAA estandariza la serie de diferencias de presiones
estandarizadas), muestra importantes diferencias tanto con respecto a 1951-
2007 como a los demás meses del mismo período, como se observa en la Tabla
2.3.
La Serie del IOS 23
Tabla 2.3 : Desviación estándar mensual. Tahití Std – Darwin Std
desv 1951-
20072.27 2.44 1.99 1.42 1.42 1.25 1.52 1.60 1.70 1.69 1.65 1.89
desv 1951-
19802.03 2.18 1.73 1.09 1.45 1.07 1.61 1.53 1.78 1.63 1.61 1.83
El cálculo de la media no discrimina entre meses del año. Este factor tiene
importancia puesto que se observan claras diferencias entre los meses del año
en las series históricas de presiones de Tahití y Darwin
La varianza de la diferencia de presiones estandarizada es calculada a partir
de una suma de cuadrados que no discrimina entre meses del año
Dadas las anteriores observaciones se procede a regenerar la serie del IOS, con
base en las series históricas de Tahití y Darwin, siguiendo la metodología de la
NOAA pero apartándose de ella en 2 puntos:
Se diferencia entre meses del año al calcular los parámetros de medias y
varianzas
Se utiliza la totalidad de la serie examinada (enero/1947-diciembre/2006)
para el cálculo de los parámetros
Dadas estas dos modificaciones, se consideran dos posibilidades de llegar a la
diferencia de presiones estandarizada:
Estandarizar las presiones de Tahití y Darwin; tomar su diferencia; dividir por
la varianza de la diferencia (Opción1)
Obtener la diferencia de presiones y luego estandarizarla (Opción2)
Los dos caminos producen resultados muy parecidos, por lo cual se sigue la
opción más parecida a la que usa la NOAA: primero estandarizar las presiones
de Tahití y Darwin.
2.7 ALTERNATIVA DEFINITIVA
Tras los análisis anteriores, se resuelve utilizar la alternativa que contiene los
siguientes pasos:
24 La Serie del IOS
i
ikik
D
T
k,i
ik
D
i
i
Estandarización de las presiones en Tahití y Darwin con base en las medias
y desviaciones mensuales
Obtención de Tahití estándar-Darwin estándar
Estandarización de la diferencia entre Tahití estándar y Darwin estándar, con
base en las medias (=0) y desviaciones mensuales
Con ella se obtiene en el período seleccionado para su cálculo una media = 0;
en los meses con las mayores varianzas se evitan los valores inusitadamente
desviados que se obtienen usando una misma varianza para todos los meses.
La fórmula usada dentro del estudio para el cálculo del IOS es:
T
D
T
n i mes nes,observacio de número
adasestandariz Darwin,y Tahitíen presiones y
1980-1951 base período i, mes ,Darwin de mediapresión
1980-1951 base período i, mes Tahití, de mediapresión
k año i, mes Darwin,en presión
k año i, mes Tahití,en presión
, ,
,
(2.4)
(2.5)
(2.6)
ii i
2/)/)(
iIOS
liilil
ikkik
lDl
Dikik
liTil
Tikik
nDT
DT
nD
DD
nT
TT
i
i
i
2/12,,
,,,
12,
,,
2/12,
, ,
)/)((
)(
(
)(
)/)((
)(
2.8 ALGUNOS PARAMETROS DE INTERES DE LA SERIE DEFINITIVA
Metodología: Ver sección 2.6 y ecuaciones (2.4) a (2.6)
La Serie del IOS 25
Longitud de la serie: 720 datos
Intervalo de tiempo: Enero 1947-Diciembre 2006
Unidad de medida: adimensional
Formato: Real con 2 decimales
Rango de valores: [-3.13, 2.95]
2.9 FUENTE DE INFORMACION
Las series definitivas son obtenidas a partir de la información de presiones de
Tahití y Darwin, consignada en la página http://www.cpc.noaa.gov/data/indices/
2.10 SERIE CONSTRUIDA CON LA METODOLOGIA DEFINITIVA
La mayor varianza presentada por la metodología de la NOAA, en los meses de
diciembre a febrero es reflejada en la Tabla 2.4 y Figura 2.3 que se presentan a
continuación. Los parámetros de media y varianza para la serie construida y
usada por el estudio (1947-2006) son respectivamente 0 y 1.
Tabla 2.4 : Media y desviación estándar. Serie IOS de la NOAA
JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DECmedia 1951-
19800.01 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.01 -0.01 0.00
desv 1951-1980
1.25 1.34 1.06 0.65 0.88 0.66 0.99 0.93 1.09 1.00 0.99 1.13
media 1951-2006
-0.09 -0.25 -0.31 -0.18 -0.13 -0.21 -0.12 -0.26 -0.08 -0.15 -0.09 -0.16
desv 1951-2006
1.39 1.50 1.22 0.86 0.87 0.77 0.93 0.98 1.04 1.03 1.02 1.16
26 La Serie del IOS
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
1947
1950
1953
1956
1959
1962
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
Estudio NOAA
Figura 2.3 : Series IOS. NOAA y estudio
27
3. RACHAS
La teoría de rachas (runs) se aplica para series discretas; la teoría de cruces
(crossing theory) se aplica para series continuas. En el tema de la
hidroclimatolología, estas series están conformadas por valores contínuos
(caudales, IOS, etc.).
Su relación se da -dentro de la presente investigación- con el mecanismo de
solución propuesto. El AR(1) multivariado recibe la información acerca del tipo
de racha que se encuentra transitando en cada mes de cada serie sintética.
3.1 DEFINICIONES BASICAS
En el siguiente esquema se ilustran los principales conceptos alrededor de las
rachas.
-6
-4
-2
0
2
4
6
1
S
D
1
2
4
3
Xt
Figura 3.1 : Terminología Teoría de Rachas
28 Rachas
1 es la duración (>0) de una racha positiva (positive run-length)
)
)
sitive run-sum)
tras características son:
ango: diferencia entre la mayor desviación positiva y la mayor negativa
inado tipo
de nivel de referencia para determinar ‘por encima’ y
egún lo menciona Saldarriaga (1970) las propiedades estadísticas de las
ente
on
bservaciones consecutivas e independientes de una variable estacionaria
a
.2 SERIES DE VARIABLES INDEPENDIENTES
a teoría clásica de rachas ha estudiado principalmente series de variables
2 es la duración (>0) de una racha negativa (negative run-length
3 es la duración (>0) entre cruces hacia arriba (upcrosses)
4 es la duración (>0) entre cruces hacia abajo (downcrosses
S es el acumulado de X durante una racha positiva (surplus; po
D es el acumulado de X durante una racha negativa (deficit; negative run-sum)
O
R
Número de rachas de determinada longitud y tipo (positiva o negativa)
Número de rachas de determinado tipo
Media de la longitud de rachas de determ
Media de la longitud de rachas
Número total de rachas
X0 : nivel de truncación (o
‘por debajo’ )
S
rachas pueden representar una de las mejores maneras de definir objetivam
una sequía. En teoría de la probabilidad, una racha es una sucesión de eventos
similares, precedidos y seguidos por eventos diferentes. Una racha positiva
puede estar asociada con la duración de un período húmedo y una negativa c
la de una sequía, dependiendo de su duración e intensidad.
O
tienen una longitud de racha esperada de 2, para un nivel de truncación igual
la mediana de su distribución; una variable estacionaria con un coeficiente de
correlación serial positivo estará caracterizada por una longitud de racha
esperada mayor que 2.
3
L
independientes en el tiempo. Para éstas se han estudiado las funciones de
Rachas 29
densidad tales como la del número de rachas de cada tipo, dado el número total
de rachas.
Sea R1 y R2 el número total de rachas de n1 objetos de tipo 1 y n2 objetos de tipo
2 en una muestra aleatoria de tamaño n1 + n2. La distribución de probabilidad
conjunta de R1 y R2 será
1 si 1cy si 2c donde
1 ó
,...,2,1 ___________ ),(
,...,2,1 1
1
1
1
2121
21211
21
2221
112
2
1
1
2,1
rrrr
rrrrn
nn
nrrrf
nrr
n
r
nc
RR
(3.1)
La distribución de probabilidad marginal de R1 será:
___________ )(
,...,2,1 1
1
1
1
21
1
11
1
2
1
1
1
n
nn
rf
nrr
n
r
n
R (3.2)
Resulta también de interés la distribución de probabilidad del número total de
rachas, R, que se forman con n1 objetos de tipo 1 y n2 de tipo 2, en una
muestra aleatoria:
par ___________________ )(
12/
1
12/
1 2
1
21
21
n
nn
rrf
r
n
r
n
R (3.3)
30 Rachas
impar _____________________________________________ )(
2/)1(
1
2/)3(
1
2/)3(
1
2/)1(
1
1
21
2121
n
nn
rrf
r
n
r
n
r
n
r
n
R
(3.4)
Usando las anteriores distribuciones se pueden efectuar tests sobre la hipótesis
nula de aleatoriedad o independencia de las observaciones de la muestra. Para
n1 = n2 y n1 grande, las anteriores distribuciones son asintóticamente Normales
con E(r)=2n1/(1+ ) y var(r)=4 n1 /(1+ )3 . Para =1, el estadístico
)2//()(11
nnrZ sigue una distribución normal estándar.
El valor esperado del número de rachas (ri) de determinada longitud i es
]2)1[)( qinqprE i
i (3.5)
donde p y q son probabilidades de estar por encima o debajo del nivel de
truncación.
Cuando la serie no es de observaciones independientes y se duda acerca del
proceso que la genera, una posibilidad es simular una serie larga siguiendo tal
proceso y ubicar, dentro de la distribución del número de rachas generadas
sintéticamente, el número de rachas histórico.
3.3 SERIES DE VARIABLES DEPENDIENTES
Saldarriaga estudió las longitudes de racha generadas por algunos modelos
usados para representar procesos hidrológicos estacionarios.
3.3.1 RACHAS DE UN PROCESO LINEAL AUTOREGRESIVO DE ORDEN 1
Saldarriaga calculó las probabilidades asociadas a las siguientes longitudes de
racha, para diferentes valores del coeficiente de autocorrelación de lag 1:
Rachas 31
(N+ =j) Racha positiva de longitud igual a j
(N+ j) Racha positiva de longitud mayor o igual a j
Para =0.5 ofrece los siguientes valores de probabilidades (P), con respecto al
punto de referencia (o de cruce) superado con probabilidad p=0.5 (0 para una
Normal estándar)
Tabla 3.1 : Probabilidades de longitud de racha ( =0.5)
j P(N+ =j) P(N+ j)
1 0.222952 1.000000
2 0.147124 0.777048
3 0.126770 0.629924
4 0.102085 0.503154
5 0.082396 0.401069
6 0.066450 0.318673
7 0.053437 0.252223
8 0.042798 0.198786
9 0.034117 0.155988
10 0.027060 0.121871
Saldarriaga calculó las anteriores probabilidades de 2 formas: utilizando una
simulación de procesos autoregresivos y efectuando el cálculo analítico. La
diferencia entre ambos no fue significativa. Para el nivel de cruce asociado a la
probabilidad de excedencia de 0.5 y =0.5, dichas diferencias son máximas para
longitud de 3 (0.018) y mínimas para longitud de 7 (0.005), dentro de la
evaluación de P(N+ j). Para los detalles de la evaluación analítica se puede
examinar el capítulo 3 de Saldarriaga, J. & Yevjevich, V. (1970) Application of
run-lengths to hydrologic series.
3.4 ESPECIFICACIONES DE LAS RACHAS (DEL IOS O DE CAUDALES)
La definición de un nivel con respecto al cual clasificar un valor de una variable
de tiempo (IOS o caudal) por encima o debajo del mismo, la categorización de
apariciones consecutivas de la variable (rachas) ya sea por encima o debajo de
este nivel, la variabilidad de la referencia al ser definida como valor asociado a
32 Rachas
una probabilidad en una función de densidad acumulada y la asignación de
probabilidad a longitudes de racha no observadas en la historia, se examinan en
esta sección.
3.4.1 RACHAS EN SERIES HISTORICAS DE CAUDALES E IOS
A continuación se adoptará la siguiente terminología:
N+ Longitud de racha positiva (por encima de 0)
N- Longitud de racha negativa (por debajo de 0)
Zt Variable Normal estándar en el tiempo t. Corresponde a un logaritmo de
caudal estandarizado o al IOS (sin transformación).
ct Variable categorizada. Corresponde a la categoría de Zt (1, por encima
del nivel de referencia (0); -1, por debajo)
(3.6)
jS Longitud de la j-ésima racha. Igual al agregado de valores
consecutivos de ct , t = ti,tf
}1,1{... , 1 jfjiji
jf
ji
ttt
t
tttj ccccS
(3.7)
,1jiji tt cc1jfjf tt cc
jS Longitud de la j-ésima racha positiva
(3.8) 1
,1 ,
11
1
jfji
jf
ji
tt
jfjijit
t
tttj
c c
...t,tt , t ccS
0 1,
0 ,1
T1,2,...,t t
t
tt
Z
Zc
Rachas 33
jS Longitud de la j-ésima racha negativa
1
,1 ,
11
1
jfji
jf
ji
tt
jfjijit
t
tttj
c c
...t,tt , t - ccS
(3.9)
El acumulado de la longitud de racha, desde la primera hasta la j-ésima, es:
1
j
ttj SSR (3.10)
Expresiones para la media, varianza y asimetría de , , , : jSj
Sj
S jSR
(skewness) Asimetría
estándar Desviación
Media
,,,
,,
,,,
,
SRSSS
SRSSS
SRSSS
3.5 VARIABLES (CARACTERISTICAS) DE RACHAS EN IOS Y CAUDALES
La Figura 3.2 muestra la evolución de la variable S para el IOS; la 3.3, la de SR.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1 25 49 73 97 121 145 169 193 217
Figura 3.2 : S del IOS histórico (1947-2006)
34 Rachas
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221
Figura 3.3 : SR del IOS histórico (1947-2006)
En el Anexo 3 se ilustran las variables , , . Se incluyen para ello las
cifras obtenidas para los ríos Nare (el más importante de Colombia desde el
punto de vista energético), Grande, Calima y Urrá (Río Sinú a la altura del
embalse de Urrá), así como para el IOS.
ttSc ,
jS
jS
Se estiman los parámetros ,, , ,, ,,,SSSSSSSSS
correspondientes a los ríos mencionados, dada información histórica desde 1947
hasta 2006. Estos se muestran en la Tabla 3.2.
Tabla 3.2 : Parámetros históricos de variables de rachas
Calima Grande Nare Urrá
Sj 66.8333 9.7051 -11.0227 40.2128
{Sj+
, Sj-} 0.1990 -0.0877 -0.1097 0.1469
Sj+
3.8218 3.3333 3.8462 3.3146
Sj- -3.4600 -3.5088 -4.1169 -3.0568
Sj 27.8858 15.1176 11.8033 14.1477
{Sj+
, Sj-} 5.6745 5.5437 6.0502 4.7746
Sj+
4.6463 4.6271 4.1028 4.3133
Sj- 4.0413 4.0881 4.9788 2.5791
Sj -12861.68 759.86 847.70 -511.35
{Sj+
, Sj-} 97.09 99.04 -141.97 211.48
Sj+
275.31 336.34 124.21 334.29
Sj- -139.09 -186.04 -315.61 -25.59
Asim
etr
íaM
edia
Varianza
Rachas 35
El efecto de una racha seca (o húmeda) del IOS sobre la simultánea racha (o
rachas) de los caudales se aprecia en la Figura 3.4, donde se combina la
del IOS y la de los ríos Calima, Grande, Nare y Urrá. (Tiempo inicial común:
1/63).
tSR
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501
Nare Grande Calima Urrá IOS
Figura 3.4 : Evolución de la variable de rachas SRt
A pesar de que no se espera que exista una correlación notaria entre la variable
ct del IOS y la de los caudales en todo tiempo sino solamente durante las
excursiones (largas) del IOS, los valores de la correlación entre del IOS y los
caudales de los ríos mostrados en la Figura 3.4 -calculada en todo el intervalo
1/63-12/06- es asombrosamente alta (ver Tabla 3.3). De calcularse solamente en
los períodos de excursión del IOS, debería ser aún mayor, lo cual es una razón
de mucho peso para esperar que un modelo de predicción o de generación
sintética de caudales se vea especialmente beneficiado cuando utiliza de una
manera adecuada la información de esta variable macroclimática.
tS
36 Rachas
En la siguiente tabla se presenta la correlación entre el caudal mensual y el IOS,
en tres tipos de meses, de acuerdo a la longitud y signo de la racha en la que
estén transitando: independientes de la racha; rachas positivas de longitud
mayor a seis; rachas negativas de longitud menor que 6. El tiempo inicial común
para el cálculo de es 1/63; el final, 12/06. t
S
Tabla 3.3 : Correlación de del IOS con de algunos caudales t
St
S
RACHAS CALIMA GRANDE NARE URRA
Todas 0.709448 0.862188 0.869415 0.83263
>6 0.872407 0.967885 0.936016 0.851712
<-6 0.755588 0.847031 0.815009 0.798677
3.6 CATEGORIAS DEL IOS DADA LA LONGITUD DE LA RACHA
Las categorías de rachas del IOS y de caudales se definen con base en el
número de meses en que la variable se encuentre en racha por encima o debajo
de la media; se considera como época normal aquella en que la racha (positiva o
negativa) tiene asociada una longitud cuyo valor cumple con un criterio
específico de “normalidad”. Las variables escogidas para caracterizar tal criterio
son, usando la nomenclatura de Saldarriaga, P(N+ =j) y P(N- = j)
Las Figuras 3.5 a 3.8 muestran -para algunos ríos- los valores de P(N+ =j),
j=1,10, dentro del conjunto de todas las rachas positivas, y P(N- =j), j=1,10,
dentro del conjunto de todas las rachas negativas, así como los valores dados
por Saldarriaga dentro del AR(1) y =0.5.
Rachas 37
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grande Calima Nare Urrá Saldarriaga
Figura 3.5 : P(N+)=j
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grande Calima Nare Urrá Saldarriaga
Figura 3.6 : P(N+) j
38 Rachas
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grande Calima Nare Urrá Saldarriaga
Figura 3.7 : P(N-)=j
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grande Calima Nare Urrá Saldarriaga
Figura 3.8 : P(N-) j
Rachas 39
Al observar las gráficas de la probabilidad de longitud de racha (P(N*)=j), se
observa un comportamiento disímil del que se esperaría para el autoregresivo
estudiado por Saldarriaga.
Para j=1, la probabilidad de ocurrencia de una racha negativa o positiva es en la
muestra mucho mayor que los valores teóricos calculados; lo anterior se observa
en todos los ríos presentados. De ahí en adelante las lecturas de la gráfica
(P(N*)=j), que son fracciones que deben sumar 1, están afectadas por lo
observado en j=1. No obstante, se puede detectar en estos ríos que la función
(P(N*)=j) tiene un comportamiento que no es continuo, como el de la función
teórica, pero presenta brincos, los cuales podrían atribuírse a una escasez
relativa de información (es decir, que la obtención de una curva suavizada como
la teórica requiriera de mucho más que los aproximadamente 50 años de datos)
o a un proceso de mayor escala. Las siguientes gráficas que muestran (P(N*)=j)
para el IOS sugieren que la longitud de las rachas de los caudales podría estar
dictada por un proceso de gran escala como los que se observan en el Pacífico,
más que por el mencionado proceso autoregresivo estudiado por Saldarriaga.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Figura 3.9 : P(N+)=j en serie IOS
40 Rachas
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Figura 3.10 P(N-)=j en serie IOS
Las anteriores 2 gráficas del IOS muestran un asombroso parecido con las
correspondientes de caudales; no son curvas que decaen exponencialmente
como las calculadas por Saldarriaga, sino sinusoidales amortiguadas. Las altas
probabilidades para la racha de longitud=1, muy superiores a las del
autoregresivo mencionado, son otra importante similitud; con base en la
información de las P(N*)=j, presentadas por el IOS, se plantea una
categorización de las rachas, de acuerdo a su longitud, así:
Tabla 3.4 : Categorización de rachas IOS de acuerdo a su longitud
Categoría Positiva Negativa
1 >13
2 6 a 12
3 1 a 9 1 a 5
4 10 a 17
5 >17
Estas categorías son la información externa macroclimática que recibe el modelo
AR(1), con la cual se espera que mejore sus resultados, no solamente en cuanto
a la medida de los parámetros usuales (media, varianza, asimetría) y menos
usuales (agregándolos en el espacio-tiempo) sino también en lo referente a las
Rachas 41
características de las rachas generadas, para los caudales. La altísima
correlación observada entre la variable de racha de los caudales y del IOS
ofrece grandes esperanzas de encontrar mejoras al explorar en este terreno. La
investigación responderá en qué medida puede el análisis de rachas apoyar al
AR(1) multivariado para mejorar las series sintéticas.
tS
3.7 RACHAS ESTRICTAS Y RELAJADAS
3.7.1 ESTRICTAS
Resultan de la asignación de la condición de IOS positivo a cualquier valor del
IOS > 0 e IOS negativo a cualquier valor <= 0. Asignada la polaridad de esta
manera, que no considera posibilidad de error en el estimativo del nivel de
referencia (la media en el presente estudio), se obtienen las rachas “estrictas”.
3.7.2 RELAJADAS
Resultan de la consideración de que el estimativo de la media tiene una varianza
y por lo consiguiente hay una probabilidad de que un valor que esté por encima
de la media muestral esté por debajo de la media poblacional. De esta
consideración surge la idea de aplicar filtros a los valores del IOS, clasificando
como “definidos” a los valores que pasan dichos filtros, e “indecisos” a los que
no. Estos indecisos serían análogos no a “outliers” sino a “inliers”.
Como el objeto es encontrar las rachas de longitudes anormales (la racha neutra
o normal se definió como aquella con longitud entre -5 y +9), dichos filtros solo
se aplican cuando el indeciso se encuentra dentro de una posible racha anormal.
Un primer filtro se aplica al IOS mensual y surge de la ubicación de un valor
crítico (análogo a un treshold) de la media del IOS dentro de su función de
densidad, para lo cual se escoge el valor positivo y negativo asociado a una
probabilidad de ser superado de 0.001. El valor estimado de filtro1 es
0.4093/-0.4093 dada una muestra de 57 años, un estimativo de la media para
cada mes del año suponiendo Normalidad de ésta e independencia entre los
valores de la muestra. Como resultado de este primer filtro, los IOS surgen
como indecisos o definidos (ya sean positivos o negativos).
42 Rachas
Tabla 3.5 : Configuración de rachas relajadas. Aplicación del filtro1
IOS IOS-filtro1
Jan-57 0.49 0.41 Definido+
Feb-57 -0.18 -0.41 Indeciso
Mar-57 -0.12 -0.41 Indeciso
Apr-57 0.20 0.41 Indeciso
May-57 -0.99 -0.41 Definido-
Un segundo filtro se aplica al IOS promedio y surge de la ubicación del promedio
móvil del IOS –a partir del mes inicial de una posible racha, el cual es un mes
con IOS definido- con respecto a un valor crítico dentro de la función de
densidad de dicho promedio móvil. Para construir dicha función se emplea el
modelo ARIMA estimado para el IOS; se efectuan generaciones sucesivas del
IOS hasta haber obtenido 1000 rachas de longitud 37 meses, tanto positivas
como negativas. De los histogramas resultantes se seleccionan los valores
críticos correspondientes a una probabilidad 1 de ser superada (1- 1 en rachas
negativas) de 0.025, para cada una de las diferentes longitudes (en esta
evaluación de valor crítico, una longitud corresponde a una racha cuyo primer
valor es de una polaridad diferente al anterior, pero cuyo último valor puede ser o
no de la misma polaridad del siguiente).
Tabla 3.6 : Configuración de rachas relajadas. Aplicación del filtro2
IOSPromedio
móvil1
IOS-
filtro1,2
May-57 -0.99 -0.41 -0.99 -0.02 Definido-
Jun-57 -0.06 -0.41 -0.53 -0.10 Indeciso
Jul-57 0.16 -0.41 -0.30 -0.19 Indeciso
Aug-57 -0.81 -0.41 -0.43 -0.26 Definido-
Sep-57 -1.00 -0.41 -0.54 -0.30 Definido-
Oct-57 0.01 -0.41 -0.45 -0.40 Indeciso
Nov-57 -1.18 -0.41 -0.55 -0.43 Definido-
Dec-57 -0.34 -0.41 -0.53 -0.47 Indeciso
Jan-58 -1.67 -0.41 -0.65 -0.51 Definido-
Feb-58 -0.52 -0.41 -0.64 -0.54 Definido-
Mar-58 -0.04 -0.41 -0.58 -0.55 Indeciso
Apr-58 0.22 -0.41 -0.52 -0.59 Definido+
May-58 -1.03 -0.41 -0.56 -0.62 Definido-
Rachas 43
El mes de abril/58 presenta un IOS indeciso que no pasa el filtro2 y se reclasifica
como definido positivo, quedando cortada la racha negativa precedente, con
longitud de 11 meses.
La intención del segundo filtro es probar la hipótesis nula de que un indeciso es
efectivamente un definido del mismo signo que los anteriores de la racha. Si los
primeros n meses fueran de un determinado signo, el promedio de n+1 meses, si
fueran del mismo signo, seguiría una distribución estimada por simulación. De
esta manera los indecisos seguirán como tales o se habrán convertido en
definidos del signo contrario al que trae la racha, tras rechazar H0, con
probabilidad de error de 0.025.
Otro estadístico que se puede medir en relación con el segundo filtro, es el que
resulta de tomar el valor crítico del promedio móvil de n meses, agregándole el
IOS definido, de signo contrario al del que trae la racha y de tamaño mínimo, en
el período n+1. Si el promedio móvil observado hasta n+1 es inferior a este
nuevo valor crítico, se rechaza la hipótesis de que el indeciso es efectivamente
un IOS definido del mismo signo que trae la racha. Como resultado, los IOS
seguirán como tales o se habrán convertido en definidos del signo contrario al
que trae la racha, al rechazar H0, con probabilidad máxima de error de 0.025.
Las rachas relajadas están construidas con IOS del mismo signo y que se
encuentren definidos después de aplicados los filtros. Para definir la longitud de
la racha que trae indecisos, además de identificarlos se requiere una
metodología para definir qué tratamiento se les da, lo cual puede ser objeto de
otra investigación.
Los conceptos de rachas relajadas se ilustran a continuación.
44 Rachas
Tabla 3.7 : Construcción de una racha relajada positiva
IOS IOS-filtro1 Promedio móvil 1IOS-
filtro1,2
Apr-98 -2.15 -0.41 Definido- Definido-
May-98 0.29 0.41
Jun-98 1.17 0.41 Definido+ 1.17 0.02 Definido+
Jul-98 1.38 0.41 Definido+ 1.27 0.11 Definido+
Aug-98 1.24 0.41 Definido+ 1.26 0.18 Definido+
Sep-98 1.23 0.41 Definido+ 1.25 0.26 Definido+
Oct-98 1.09 0.41 Definido+ 1.22 0.31 Definido+
Nov-98 1.11 0.41 Definido+ 1.20 0.36 Definido+
Dec-98 1.34 0.41 Definido+ 1.22 0.41 Definido+
Jan-99 1.55 0.41 Definido+ 1.26 0.48 Definido+
Feb-99 0.65 0.41 Definido+ 1.19 0.52 Definido+
Mar-99 0.87 0.41 Definido+ 1.16 0.55 Definido+
Apr-99 1.87 0.41 Definido+ 1.23 0.58 Definido+
May-99 0.42 0.41 Definido+ 1.16 0.58 Definido+
Jun-99 0.17 0.41 Definido+ 1.08 0.62 Definido+
Jul-99 0.57 0.41 Definido+ 1.05 0.63 Definido+
Aug-99 0.28 0.41 Definido+ 1.00 0.64 Definido+
Sep-99 -0.01 -0.41 Indeciso 0.93 0.66 Indeciso
Oct-99 1.03 0.41 Definido+ 0.94 0.69 Definido+
Nov-99 1.21 0.41 Definido+ 0.95 0.71 Definido+
Dec-99 1.44 0.41 Definido+ 0.98 0.71 Definido+
Jan-00 0.52 0.41 Definido+ 0.96 0.74 Definido+
Feb-00 1.24 0.41 Definido+ 0.97 0.75 Definido+
Mar-00 1.01 0.41 Definido+ 0.97 0.74 Definido+
Apr-00 1.57 0.41 Definido+ 1.00 0.75 Definido+
May-00 0.51 0.41 Definido+ 0.98 0.76 Definido+
Jun-00 -0.46 -0.41 Definido- Definido-
El valor crítico de 0.41 (columna 3) está asociado a la probabilidad = 0.001,
estimada la varianza de la media en 0.132453236, asumida Normalidad y no
correlación entre las observaciones de cada mes del año. Este valor define el
filtro1.
El IOS de abril/08 supera el filtro1 y se califica como “definido” - (negativo).
Jun/98 lo supera y se califica como “definido” + (positivo); desde este mes el
Rachas 45
último definido+ observado, antes de un definido- , es mayo/00. Resulta como
candidata a racha positiva de longitud 24, jun/98-mayo/00.
El IOS de sep/99 no supera el filtro1 y se califica como “indeciso”.
Los promedios móviles del IOS (columna 5) corresponden a los intervalos
que comienzan en el mes inicial de la racha candidata (jun/98). El valor crítico
asociados a 1 =0.025 (columna 6) define el filtro 2. A éste se somete el
indeciso sep/99; el promedio móvil observado (0.93) supera al valor crítico (0.66)
por lo cual se rechaza la hipótesis de que el caso es el de una racha positiva de
15 valores seguido de un valor negativo definido. En consecuencia, sep/99 sigue
indeciso.
La definición de la racha relajada dependerá de los valores , 1 y del criterio
para la asignación de polaridad a los indecisos finales. Aceptar que los indecisos
tienen la polaridad de los precedentes elementos de la racha daría una longitud
de 26; asignarle su polaridad original, daría una longitud de 15.
Bajo la óptica de rachas estrictas, el valor -0.01 de sep/99 es negativo y la racha
positiva observada sería jun/98-ago/99, de longitud 15.
La expresión matemática de los dos filtros diseñados para tratar rachas relajadas
es:
Filtro 1:
ˆ )ˆ,0( 2NIOS
Estima el valor de asumiendo independencia entre IOSt e IOSt+12
Obtiene el valor (rachas positivas) )001.0ˆ(| IOSpr
=0.41
Filtro2:
Construye el promedio móvil (PM) del IOS a partir del inicio de la racha
Para cada longitud de racha abierta obtiene positivas) (rachas 025.0)(| 11 PMpr
Rechaza H0 si PM< 1
46 Rachas
La Figura 3.11 muestra una racha donde no hay ningún indeciso tras aplicar el
filtro 1.
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Mar
-97
Ap
r-97
May
-97
Jun
-97
Jul-
97
Au
g-9
7
Sep
-97
Oct
-97
No
v-97
Dec
-97
Jan
-98
Feb
-98
Mar
-98
Ap
r-98
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
IOS Promedio móvil Filtro2 Filtro1
Figura 3.11 : 100% de meses definidos
La Figura 3.12 muestra una candidata a racha de longitud 13, con 5 indecisos:
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
May
-62
Jun
-62
Jul-
62
Au
g-6
2
Sep
-62
Oct
-62
No
v-62
Dec
-62
Jan
-63
Feb
-63
Mar
-63
Ap
r-63
May
-63
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
IOS Promedio móvil Filtro2 Filtro1
Figura 3.12 : Candidata a racha, con meses indecisos
Rachas 47
3.8 HISTOGRAMAS
La construcción del histograma de longitud de rachas puede efectuarse dejando
a las longitudes intermedias que no tienen observaciones asociadas con
probabilidad=0 (histograma discreto) o distribuyendo entre ellas la probabilidad
de ocurrencia de otras longitudes que sí tienen observaciones (histograma
continuo).
3.8.1 CONTINUO
Se obtiene al asignarle probabilidades de ocurrencia a aquellas longitudes para
las cuales no hay observaciones, menores a otras para las cuales sí las hay. La
racionalidad de efectuar este ajuste es que si hubiera una serie IOS muy
extensa, toda longitud de racha entre 1 y la longitud de la mayor racha de la
historia considerada en el actual estudio (60 años) sería observada (tendrían
probabilidad de ocurrencia > 0). La asignación de probabilidades de ocurrencia,
a las longitudes sin observaciones, puede hacerse de la siguiente manera:
h(k) = frecuencia de la longitud de racha k
Si:
h(k)>0
h(k+1), h(k+2),…,h(k+n) = 0
h(k+n+1)>0,
entonces: se asigna el valor h(k+n+1)/n a la frecuencia de cada longitud entre
k+1 y k+n+1.
3.8.2 DISCRETO
Es aquel histograma que se obtiene directamente de la serie histórica, así
presente longitudes de racha intermedias con valores de cero.
La definición del tipo de racha (estricta o relajada) y de la forma del histograma
(discreto o continuo) puede tener implicaciones sobre la evaluación de las series
sintéticas de caudales que se generan a partir de la generación sintética de
48 Rachas
rachas. Al variar las definiciones, las rachas IOS generadas serán diferentes y,
además a una diferente valoración de la función de adaptabilidad en el algoritmo
genético, habrá diferencias en los parámetros históricos de varianza, asimetría y
rango de longitud de racha, empleados para tal evaluación.
En el Anexo 3 se pueden observar los histogramas discreto y continuo, para
rachas estrictas y relajadas.
También se ofrecen en el Anexo 1 los intervalos históricos candidatos a racha de
longitud anormal, mostrando en cada uno los valores críticos (constante), 1
(serie) y el promedio móvil dentro de la racha.
En el Anexo 3 se presentan gráficas con los valores críticos 1 para rachas
positivas y negativas de longitud 1 a 37, para probabilidades de ser superado de
.001, .01, .02 y .025.
En la Tabla 3.8 se muestra la configuración de un histograma continuo a partir
del histograma discreto histórico, siguiendo el criterio de repartir la probabilidad
de un punto entre los anteriores sin observación.
Tabla 3.8 : Configuración del histograma continuo
Histograma discreto Histograma continuo Longitud Prob. acumulada Densidad
10 0.93693694 0.01801802
11 0.93693694 0
12 0.93693694 0
13 0.93693694 0
14 0.93693694 0
15 0.94594595 0.00900901
Longitud Prob. acumulada Densidad
10 0.93693694 0.01801802
11 0.93873874 0.00180180
12 0.94054054 0.00180180
13 0.94234234 0.00180180
14 0.94414414 0.00180180
15 0.94594595 0.00180180
En la Figura 3.13 se observa la función de distribución de probabilidad
acumulada de longitud de racha positiva y negativa, para la definición estricta de
rachas.
Rachas 49
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Negativas Positivas
Figura 3.13 : Función de distribución de probabilidad acumulada.
Longitud de racha. Definición estricta.
En la Figura 3.14 se observa la función de distribución de probabilidad
acumulada de longitud de racha positiva y negativa, para una definición relajada
de rachas.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52
Negativas Positivas
Figura 3.14 : Función de distribución de probabilidad acumulada.
Longitud de racha. Definición relajada.
50
4. MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIES
SINTETICAS DE CAUDALES: GENERALIDADES
Los estudios de Hazen (1914) y Sudler (1927) mostraron la factibilidad de usar la
teoría de Probabilidad y Estadística en el análisis de caudales de ríos. Barnes
(1954) extendió los estudios de Hazen y Sudler e introdujo la idea de generación
sintética de caudales usando una tabla de números aleatorios. Sin embargo no
fue sino hasta comienzos de la década de 1960 que comenzó el desarrollo
formal del modelamiento estocástico con el programa multidisciplinario Harvard
Water Program (A. Maass, R. Hufschmidt, R. Dorfman, H.A. Thomas, S.A.
Marglin y G.M. Fair), en el marco del cual se desarrolló el primer modelo
autorregresivo para generación sintética de caudales (Thomas y Fiering, 1962)
seguido por el de Yevjevich (1963). El modelo de Matalas fue un avance
significativo al permitir realizar una generación sintética multivariada,
considerando la correlación espacial entre varios ríos.
4.1 ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO
Su relación se da -dentro de la presente investigación- con el mecanismo de
solución propuesto. Se usa para obtener series sintéticas del IOS, a partir de un
modelo ARIMA univariado.
4.1.1 DEFINICIONES BASICAS
La comprensión del análisis de series de tiempo requiere algunas definiciones
básicas.
4.1.1.1 PROCESOS ESTOCASTICOS
El modelamiento de la evolución de un proceso en el tiempo, basado en las
leyes físicas, puede producir resultados idénticos o supremamente ajustados a la
realidad; un ejemplo podría ser un modelo para proyectar la trayectoria de un
proyectil. Si los cálculos se pudieran hacer sin margen de error, sería un proceso
determinístico.
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 51
Es prácticamente imposible modelar un proceso sin margen de error, sobretodo
dada la información incompleta o imprecisa con que se cuenta; un inesperado y
pequeño cambió en los vientos puede desviar el proyectil de la ruta calculada.
No obstante, es posible establecer modelos que permitan calcular la probabilidad
de que en cada etapa, que en este ejemplo corresponde al tiempo, el proyectil
se encuentre en una posición, dentro de ciertos límites. Un modelo de este tipo
se conoce como un modelo probabilístico o estocástico.
El modelaje de series de tiempo para efectos de generación de pronósticos o de
series sintéticas se efectúa mediante modelos estocásticos. Los valores
históricos de la serie de tiempo se entienden como una muestra de una
población infinita que es generada por un modelo o proceso estocástico.
4.1.1.2 PROCESOS ESTACIONARIOS Y NO ESTACIONARIOS
Si las propiedades de un proceso estocástico no cambian en el tiempo se
considera que éste es estacionario. Se denomina estacionario en la media, si la
media de x(t), variable generada por el proceso, es igual a la media ( ) de la
población, para todo t. Se denomina estacionario en la covarianza, si
),cov(xt kt
x depende del rezago (lag) k y es independiente de t. Si la serie es
estacionaria en la media y la covarianza, se denomina estacionaria de segundo
orden, estacionaria en el sentido amplio o que la serie es estacionaria débil. Si
todos los momentos más altos (3º, 4º, 5º,…) de x(t), x(t+k1), x(t+k2),… son
independientes de t y dependientes de k1,k2,… y convergen a los valores de la
población, la serie es estacionaria fuerte o estacionaria en el sentido estricto. Si
la distribución de x es Normal, estacionaridad de segundo orden implica
estacionaridad fuerte.
4.1.1.3 OPERADORES Y FILTROS LINEALES
El filtro lineal que transforma la serie de valores no correlacionados at en una
secuencia de valores correlacionados de Zt se conoce como (B) . Esta idea
está basada en la idea de Yule de que una serie de tiempo puede ser entendida
como generada por una serie de choques independientes at, at-1 , at-2 …
Usualmente se asume que los at provienen de una distribución Normal con
52 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
media 0 y varianza 2a en cuyo caso la secuencia at, at-1 , at-2 … se conoce como
ruido blanco.
Ruido blanco
at zt
Filtro lineal
ptptttt
t
tttt
aaaaZ
aB
aaaZ
...
)(
...
2211
2211
(4.1)
Si se utiliza el valor de la variable desviado de la media, , se tiene: tZ.
ptptttt aaaaZ ...
2211
. (4.2)
A continuación se denomina a como .tZ.
tZ
B es el operador de retraso, usando la terminología de Box y Jenkins:
mttm
tt aaBaBa ;1 (4.3)
...1)( 3
3
2
21BBBB (4.4)
se conoce como la función de transferencia del filtro.
1 donde , )(0
0
j
jj
BB (4.5)
La varianza del proceso es y su covarianza 2
0
2
0 jj
a kjjj
k0
la cual es independiente del tiempo. Varianza finita y estacionaridad requieren
que el polinomio converja para |B|)(B 1.
Otros operadores usados en la representación de series de tiempo son F, el
inverso del operador de retraso:
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 53
mtt
m
ttaaFaFaBF ;;
1
1 (4.6)
el operador de diferencia hacia atrás, (1-B):
ttttaBaaa )1(
1 (4.7)
y su inverso, el operador de suma S, dado por
ttttttaBaaaaSa 11
21)1(... (4.8)
El mismo proceso que ha sido expresado como una suma infinita de ruidos
blancos pasados se puede expresar de manera equivalente como una secuencia
infinita autoregresiva:
tt
jjtj
ttttt
aZB
Z
aZZZZ
)( ó
...
1
332211
(4.9)
Si el polinomio converge para |B|1
)( j
j
jBB 1, el proceso se considera
invertible .)1 ( 0
Procesos finitos. Un proceso llamado de promedio móvil (MA) de orden q tiene la
forma:
qtqttttaaaaZ ...
2211
donde el símbolo ha sido remplazado por - . Algunos autores prefieren
remplazarlo por + . A continuación se usa la expresión negativa.
t
t
q
qt
aB
aBBBZ
)(
)...1( 2
21
(4.10)
Como el polinomio )(B es finito, siempre converge y es estacionario. Para que
sea invertible requiere que las raíces del polinomio característico
)...1( 2
21
q
qBBB caigan fuera del círculo unitario.
El proceso denominado autoregresivo (AR) de orden p tiene la forma:
54 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
tt
ttp
p
tptpttt
tptpttt
aZB
aZBBB
aZZZZ
aZZZZ
)(
)...1(
...
...
221
2211
2211
(4.11)
Como el polinomio )(B es finito, siempre converge y es invertible. Para que sea
estacionario, se requiere que las raíces del polinomio característico )(B caigan
por fuera del círculo unitario.
Con las definiciones anteriormente mencionadas, se plantea el modelo mixto
autoregresivo y de promedio móvil ARMA(p,q) como tt
aBZB )()(
t
p
pZBBB )...1( 2
21 t
q
qaBBB )...1( 2
21 (4.12)
Este proceso es estacionario si las raíces de )(B caen fuera del círculo
unitario, e invertible si las raíces de )(B caen fuera del círculo unitario.
4.1.2 METODOLOGIA DE BOX-JENKINS
La metodología de Box-Jenkins propuesta para construír un modelo de una serie
de tiempo que vaya a ser usado en la elaboración de buenos pronósticos, es un
proceso iterativo que consta de las siguientes etapas: identificación, estimación,
diagnóstico y pronóstico.
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 55
Identificar
tentativamente un
modelo
Estimar los
parámetros del
modelo
Efectuar pruebas
de diagnóstico
Pruebas son
satisfactorias?
No Sí Usar el modelo para
pronosticar
Figura 4.1 : Algoritmo que describe la metodología propuesta por Box y Jenkins
4.2 MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIES
SINTETICAS DE CAUDALES
Su relación se da –dentro de la presente investigación- tanto con las series
sintéticas como con el mecanismo de solución propuesto. Sirve para examinar
los detalles teóricos del modelo AR(1) multivariado, al cual se le vincula la
información macroclimática para mejorar su desempeño.
Los modelos multivariados de procesos hidrológicos estocásticos han seguido
en su mayoría la filosofía de ajustar momentos de la serie de tiempo histórica.
Esto contrasta con la filosofía antes descrita de una extensiva identificación,
56 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
estimación y verificación, que enfatiza una detallada reproducción de las
propiedades de las serie de tiempo individuales.
4.2.1 AR(1)
De lejos, el modelo más popular (Bras, 1985) en la generación de series
sintéticas de caudales ha sido el AR(1). Su uso en hidrología fue sugerido por
primera vez por Matalas (1967); es el que se adopta en la actual investigación.
De esta manera, tratándose del modelo más parsimonioso, se puede no solo
ver en su mayor dimensión el aporte del ensamble de la variable climática (IOS)
con los caudales, sino también brindarle apoyo al AR(1) para competir con otros
modelos, lineales y no lineales, que se han formulado tratando de suplir sus
naturales limitaciones.
Series periódicas. Para series mensuales las características periódicas están
dadas usualmente por la media y varianza mensual; las estocásticas por
coeficientes de correlación (constantes o periódicos). El modelo de Matalas
supone coeficientes constantes en el tiempo; Salas y Pergram (1975)
extendieron el modelo de Matalas a uno con coeficientes de correlación
periódicos. Sin embargo, cuando el modelo trata de incorporar más
características de las series históricas, el número de parámetros aumenta y el
proceso de estimación se vuelve más complejo, así como las pruebas de bondad
de ajuste.
4.2.1.1 MATALAS
ttY Ytt
tt
t
YZ
XY
X
/)(
)ln(
t tiempoelen caudales deVector
(4.13a)
1 ttt BAZZ (4.13b)
t , 0)E(
)E(
]...[ ]...[ ,,1
T
t,,1
T
t
T
tt
tnt
T
tn
T
t
T
t
Z
I
ZZZ
(4.13c)
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 57
Multiplicando (4.11b) por Zt-1T y tomando valores esperados,
bajo suposición de independencia entre Zt-1, t ,
AMM o1 (4.14)
MMA 101 (4.15)
M0 = matriz de varianza covarianza de Zi, Zi
M1 = matriz de varianza covarianza de Zi,Zi-1
Multiplicando (4.13b) por ZtT y tomando valores esperados,
M0 = AM1T+BB
T (4.16)
Empleando (4.15) se transforma (4.16) en:
BBT = M0 - M1M0
-1M1
T (4.17)
Esta ecuación es de la forma BBT=S; condiciones suficientes para su solución
son que S sea positiva semidefinida y real-simétrica.
Los estimadores de A y B pueden ser obtenidos de las ecuaciones (4.15) y
(4.17) usando los estimadores muestrales y de la covarianza de
rezagos 0 y 1.
0ˆ
1ˆ
Estos estimadores tienen la forma:
(4.18)
20
02
^
0
11
111
M
nnn
nn
ZZZZZ
ZZZZZ
......S....................SSr
. .
. .
. .
SS........r....................S
58 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
(4.19)
211
121
^
1
11
11111
M
nnnnn
nn
ZZZZZZZ
ZZZZZZZ
S......r....................SSr
. .
. .
. .
SS........r....................Sr
donde es la desviación estándar muestral de la variable ZiZ
S i
jiZZkr es el coeficiente de correlación de rezago k entre Zi , Zj
Las matrices de la forma BBT=S se conocen como Gramianas, donde S es el
Gramian de B. Dado S, que debe ser positiva semidefinida, hay infinidad de
soluciones para B, ya que la anterior ecuación se satisface por cualquier matriz
B·C, donde CCT=I. Hay diferentes algoritmos para encontrar B. Una usa las
propiedades de componentes principales, valores y vectores propios
(eigenvalues y eigenvectors), considerando que B tiene rango menor que n,
donde S tiene dimensión nxn; finalmente se obtiene B de rango n-k, donde k es
el número de valores propios iguales en S iguales a 0. En el Anexo 12 se
presentan los métodos de descomposición de Jacobi y QR para obtener B,
hallando los vectores y valores propios. Una segunda solución sugiere una forma
triangular inferior para B:
(4.20)
2nnn1
2221
11
b . . b
. . . .
0 . b b
0 . 0 b
B
y multiplicándola por su traspuesto, BBT=S.
2ni
n
1in22221n111n1
222
2211121
211
b . . bbbb bb
. . .
0 . . . 0 bb bb
0 . . . 0 0 b
S (4.21)
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 59
Conocido S, se pueden encontrar los elementos de B de manera secuencial
comenzando por
db,db 111111211
la cual se obtiene suponiendo que el término al cual se le obtiene la raíz
cuadrada es positivo, condición que se cumple al ser S positiva semidefinida.
Los dos métodos mencionados anteriormente son buenos para matrices
pequeñas; para matrices grandes pueden aparecer errores numéricos dada la
gran cantidad de operaciones requeridas. En este caso el primer método es más
preciso y es factible aún si se encuentran valores propios 0 o negativos como
consecuencia de errores numéricos. El segundo, en cambio, puede colapsar al
encontrar una raíz cuadrada negativa, lo cual es una posible anomalía numérica
que se puede presentar en la práctica.
La BBT resultante de los estimativos muestrales puede no ser positiva
semidefinida, como consecuencia de diferentes longitudes de serie. En tal caso
se puede aplicar el procedimiento de Crosby-Maddock (1970), que se describe a
continuación.
4.2.1.2 CROSBY-MADDOCK
Se agrupan las estaciones de acuerdo a la longitud de la serie histórica; al
grupo k corresponden las series de longitud Nk, siendo N1>N2>…>NE y X1(k) la
observación más reciente para el grupo k
Supóngase que se ha estimado la matriz de varianza-covarianza para los
primeros (h-1) grupos.
Se calculan los coeficientes de regresión de los primeros (h-1) grupos, sobre
el h-ésimo grupo. Sea la información de los primeros h-1 grupos en el tiempo j ,
(4.22) jX )(1
h
h
hN,j
jX
jXjV ...,1
)(
)()(
1
2
Se calcula el coeficiente de regresión de Vh sobre Xh
60 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
(4.23) 1
11
))((*))((*.))((*))(( T
El estimador de la varianza para los primeros h grupos será
(4.24)
(4.25)
11B
El proceso continúa hasta que la matriz de varianza covarianza para todos los
grupos sea obtenida; reordenando las observaciones se llega a un estimador
la cual es una matriz positiva definida y también lo será
(4.26)
Estima las medias para el grupo h, dado que previamente se ha estimado la
media para los h-1 grupos, con series de mayor longitud. Bh es la matriz de
regresión de X1,…,Xh-1 sobre Xh .
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
/
1 1
/
11
1/))()()(())((*))((h h
Nh
j
Nh
j
T
h
T
hhh
Th
hh
h
h
h h
T
hhhh
h
T
hh
NBhVjVhVjVBXjXXjX
BBB
1
1
o
o
M
MM
NiXVj
V
V
X
W
VWBXX
h
/))((
*
**
*
**
)(*
/))(
1
1
2
1
1
2
1
1
donde
*TM
Nh
j
hh
hh
Th
h
N
jhhh
VjVVjVVjVXjXBh
1
1
T
oMMMC
1
*
oM
h
Nh
ij
h
h
h
h
hhhhh
N
jhhh NjXX (*
***
V
V
X
X
*
4.2.2 AR(p)
En su forma general el modelo autoregresivo períodico de orden p se puede
plantear como:
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 61
))(,(
)2,(
)1,(
),(
1 inik
ik
ik
ik i U(i) + V(k,i) + (4.32)
))(,(V
)2,(V
)1,(V
2 inik
ik
ik
i
donde es un vector que tiene los caudales normalizados del año k,
período i, que puede ser un mes, en n
),( ik
0 estaciones de medición, que pueden
corresponder a ríos diferentes.
),(
),(
),(
),(
0
2
1
ik
ik
ik
ik
n
(4.33)
U(i) es un término determinístico que representa las diferencias estacionales en
la media del proceso.
V(k,i) es un vector de términos aleatorios
),(V
),(V
),(V
),(V
0
2
1
ik
ik
ik
ik
n
(4.34)
Los elementos del vector anterior pueden estar correlacionados.
(4.35)0
1
),(),(),(Vn
mmi ikWmjCik
La matriz , de dimensión ni 0xn0xn2(i) introduce correlación entre los términos
aleatorios en diversos períodos.
El modelo anterior puede no ser parsimonioso; además, los valores de Ci, n1(i) y
n2(i) para cada estación deben ser ajustados. La estimación de sus parámetros
puede estar precedida de simplificaciones estructurales, dando lugar a una
62 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades
buena cantidad de parámetros en cero. Tales simplificaciones son fruto de un
buen conocimiento del proceso modelado.
La estimación dependerá de las simplificaciones realizadas; para ello existen
algoritmos especializados, de cuyas características se puede obtener una buena
idea consultando a Bras y Rodríguez Iturbe (1993), así como a Salas (1980). La
descripción del modelo AR(p), p 6 , desarrollado por M. Maceira, J. Kelman y
J.M. Damazio (1987) se encuentra en los manuales del SSDP (PSRI de Brasil).
4.3 ALGUNOS MODELOS DESARROLLADOS POR COLOMBIANOS
4.3.1 LINEA QUEBRADA (1971)
Por J.M. Mejía. Ver detalles en Bras (1993).
4.3.2 SALDARRIAGA (1972)
4.3.3 DESAGREGACION (1973)
Por D. Valencia y Schaake, J.C. Ver detalles en Bras (1993).
4.3.4 ALARCON (1975)
Y ijiijijijiiij ZDECXBYA 1,1
)1(...)1()1()1(
,
,11,2i1,i
1,2,31,2
i
i
ij
i
iininiiii
iiiiii
t
estubtubtu
tubtubtubtu
estándar normal aleatoria variable
error delestándar desviación la de estimativo
i)(jen t o i)(j 1en t j río elcon i río al asocia queregresor
1 tmes i, río elen caudal )1(
)(...)()(b
u
b
s
e
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Generalidades 63
1 y varianza 0 mediacon odistribuíd enormalment vector
de promedio
de promedio
j año i, mes elen caudales de vector
11
ij
kjij
ijj
ijY
X
i , kY
Y
Z
E
4.3.5 MEJIA (1995)
Introduce el concepto de parámetros del caudal de un mes condicionados al
promedio del IOS en el año y lo acopla al modelo de Alarcón.
4.4 CONCEPTO DE ERGODICIDAD EN LAS SERIES SINTÉTICAS
Dado un conjunto de series sintéticas, i=1,2,…m con longitud T , si la media de
cualquier serie i tiende a (la media de la población) cuando , si T
cualquier para ),cov( 2
xttXX y serie i, converge a la covarianza de la
población, cuando y si lo anterior es válido para los momentos de mayor
orden, entonces el proceso estocástico se dice que es ergódico.
T
En la práctica las series son de longitud finita; tests sobre las series sintéticas,
de ergodicidad y estacionaridad se pueden efectuar, según el siguiente esquema
Tj
mTmjmmm
Tj
Tj
XXXX
XXXX
XXXX
*,
^^
*,
^
2*,1*,
^
_____________________________________________________
,*
^
,,2,1,
,*2
^
,2,22,21,2
,*1
^
,1,12,11,1
... ......
............................................
... ......
... ......
j=1,…T (tiempo) ; i=1,…m (series); se pueden efectuar tests estadísticos ( 2
entre otros) que muestren si los estimativos son significativamente diferentes
entre ellos; igualmente se pueden efectuar tests sobre los y determinar si el
proceso resultante es estacionario y ergódico
j*,
^
,*
^
i
64
5. MODELOS MULTIVARIADOS DE GENERACION DE SERIESSINTETICAS DE CAUDALES: MODELO PROPUESTO
Con el propósito de responder a las limitaciones mencionadas en la literatura
sobre el desempeño de los modelos AR(1) multivariados de generación sintética
de caudales se propone un modelo que pretende superar algunas de ellas;
principalmente, la capacidad para reproducir rachas largas.
Conservar el modelo AR(1), parsimonioso por excelencia, evita dudas acerca de
si cualquier mejora detectada es producto de un aumento del número de rezagos
o de alguna otra novedad que se introduzca en el modelaje.
También se opta por: la no consideración explícita de variable diferente al caudal
mensual en la formulación (5.1); distribución lognormal del caudal; matrices de
varianza-covarianza no simplificadas; correlaciones temporales no
condicionadas explícitamente a la magnitud del caudal; parámetros no
cambiantes con el tiempo.
Algo novedoso del modelaje lo constituye la implícita introducción del concepto
de múltiples procesos, cada uno de los cuales genera el caudal en intervalos de
tiempo caracterizados por la longitud y signo de la racha IOS que esté
transitando.
(5.1a) tXY )ln
(5.1b) BAZZ
Z
(5.1c) )E( I
rtrtY Yrtt
r
E(
rt
rt
YZ
rtX
,,/)(
(
racha de categoría , tiempoelen caudales de vector
,
,,
,
]...[ ]...[ ,,1Tt,,1
Tt
Ttt
tntT
tnT
tTt
Z
ZZ
1 ttt
t , 0)
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 65
La racha IOS sintética se convierte en un insumo para identificar el proceso que
genera el caudal en una serie y tiempo; las rachas IOS históricas, para identificar
y estimar dichos procesos.
La aplicación del modelo propuesto incluye la generación de rachas sintéticas
del IOS, para lo cual se consideran dos modelos auxiliares:
Algoritmo genético para generar longitudes de racha ordenadas en el tiempo
ARIMA para generar IOS mensuales
Los anteriores modelos se identifican con los términos GA y MA. Al acoplarse
con el AR(1), como los modelos AR(1)[GA] y AR(1)[MA].
Una variante tanto del modelo AR(1)[GA] como del AR(1)[MA] es el considerar
igual para todas las rachas el término rtY ,.
Adicionalmente se incorporan a los modelos desarrollados flexibilidades como:
Generar el signo de la primera racha IOS, para lo cual se cuenta con el
apoyo del modelo auxiliar GA_Kmeans_Pronosticador , algoritmo genético
desarrollado en el contexto de la investigación
Generar externamente el valor de una o más rachas IOS iniciales, tomando
en consideración los pronósticos de las agencias mundiales
La evaluación de los modelos propuestos, avanzando sobre la observación de
las medias y varianzas mensuales, ha requirido la elaboración de un modelo que
evaluara parámetros históricos y sintéticos de agregaciones espacio-temporales
y también características de las rachas, como la función de distribución de
probabilidad de su longitud, la distancia entre rachas de longitud anormal, la
probabilidad de transición entre éstas, la probabilidad de categorías no neutras y
la probabilidad de excedencia de longitudes anormales.
Para efectos de comparación se observan los resultados producidos por un
AR(1) y un AR(6).
66 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Los ríos seleccionados para examinar el modelo han sido Grande, Calima,
Salvajina, Nare, Batá y Urrá (río Sinú a la altura del embalse de Urrá), todos
ellos de Colombia; el período histórico seleccionado ha sido 1947-1996, con
generaciones sintéticas de 100 series y 25 años, condicionadas al valor de
diciembre de 1996.
5.1 NOMENCLATURA DE LOS MODELOS
A continuación se hace referencia a múltiples modelos construídos dentro del
marco de la investigación:
5.1.1 AR(1) Modelo autorogresivo multivariado de rezago 1, especificado en la
sección 4.2.1
5.1.2 AR(1)[GA] Modelo AR(1) modificado para tomar en consideración la
variable de clasificación “rachas”, utilizando las salidas del modelo GA_CatIOS .
Varianza condicionada a la racha.
5.1.3 AR(1)[GA]2 Modelo AR(1)[GA] con la varianza no condicionada a la
racha.
5.1.4 AR(1)[MA] Modelo AR(1) modificado para tomar en consideración la
variable de clasificación “rachas”, utilizando las salidas del modelo SSIOS_MA,
de generación de IOS sintéticos. Varianza condicionada a la racha.
5.1.5 AR(1)[MA]2 Modelo AR(1)[MA] con la varianza no condicionada a la
racha.
5.1.6 AR(6) Modelo autoregresivo multivariado de rezago 6
5.1.7 GA_CatIOS Modelo que implementa un algoritmo genético que produce
categorías de racha ordenadas en el tiempo
5.1.8 SSIOS_MA Modelo de generación de series sintéticas del IOS,
obedeciendo a un modelo ARIMA estimado externamente
5.1.9 GA_Kmeans_Pronosticador Modelo que utiliza un algoritmo genético
para producir una semilla al Kmeans, el cual le envía la información de los
clusters óptimos al pronosticador, que produce pronósticos del mes siguiente
5.2 PROBLEMA DE GENERACION DE CATEGORIAS SINTETICAS IOS
Se plantea el mecanismo general de solución del problema de generar una serie
sintética de categorías de racha como:
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 67
Paso 1 generar una serie de IOS mensuales en cada mes del horizonte
Paso 2 obtener la serie de IOS transformados a 1’s y -1’s
Paso 3 obtener la serie de longitudes de las rachas generadas
Paso 4 categorizar las longitudes de racha
Se observa que para llegar al paso 4 no son necesarios todos o alguno en
especial de los anteriores. Se plantea la solución, iniciando en el paso 2 o 3, por
medio de un algoritmo genético; partiendo del paso 1, con la generación de
series de IOS mensuales siguiendo un modelo ARIMA.
Con la idea de preservar características de la serie histórica del IOS, se plantea
inicialmente como función objetivo la conservación de características de la
variable Sct, descritas a continuación.
Sea:
Zj = IOS en el mes j
j en 1,2,…T cj = -1 , Zj 0
1 , Zj > 0
1
t
jjt cSc t = 1,2,…T (5.2)
SS1 = (5.3) /1
T
tt TSc
tt SccS - SS1 (5.4)
SS2 = (5.5) TcST
tt /)( 2
1
SS3 = (5.6) /)(1
3T
tt TcS
Rango = max(Sct ) - min(Sct ) , t = 1,2,…T (5.7)
Función objetivo:
min f (SS2,SS3,Rango) (5.8)
sujeto a :
68 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
ct = {1,-1} , t = 1,2,…T (5.9)
La función objetivo plantea la conservación de los valores históricos de los
segundo y tercer momentos y del rango de Sct .
Se observa la importancia de un tiempo suficientemente largo de T meses, para
evitar caer en épocas con evolución particular del IOS; además, que sea múltiplo
de 30 años, lapso utilizado por la NOAA para el cálculo de los parámetros
relativos al IOS.
La cantidad de ct positivos y negativos, generados en T meses, podría ser igual
a la referencia histórica, pero la serie no ser satisfactoria debido a la
acumulación de valores consecutivos del mismo signo (rachas), que no tuviera
parecido con la histórica. (Un caso extremo podría darse en una serie generada
cuyos primeros valores son todos 1 y sus últimos -1). Para evitar esta situación
se plantea el criterio de que la varianza de Sct sea parecida a la varianza
histórica.
Cumplida la anterior condición, es posible que el alejamiento de Sct con respecto
a su media tenga una asimetría que no refleje la historia; un caso extremo podría
darse en una serie con pocas y largas excursiones de un signo, y muchas pero
no tan largas del signo contrario. Para evitar esta situación se plantea que una
medida de la asimetría sea parecida a la histórica.
Cumpliendo las anteriores condiciones deseables referentes a la varianza y a la
asimetría, es posible que el alejamiento de Sct con respecto a su media no esté
dentro del rango observado en la historia; un caso extremo podría darse en una
serie cuyas excursiones se compensan inmediatamente con otra de signo
contrario. Para evitar esta situación se plantea que el Rango sea parecido al
histórico.
Las series de miles o millones de años sugieren la posibilidad de evoluciones del
IOS que no se parezcan a la historia reciente; del Rango no extrañaría ver
valores proporcionales a la raíz cuadrada de la longitud de la historia observada.
No obstante, el objetivo de las series generadas es que sirvan para hacer
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 69
planeamiento en un futuro de no más de 50 años, en los cuales no es de
esperarse un cambio dramático con respecto a los anteriores 50 años.
5.3 ALGORITMOS GENETICOS
Los algoritmos genéticos son algoritmos de búsqueda basados en la selección
natural y la genética. Combinan el principio de supervivencia del más adaptado
con un intercambio de información genética, que a pesar de ser aleatorio, está
estructurado. Fueron desarrollados por John Holland y sus estudiantes y colegas
en la Universidad de Michigan.
La validez de esta técnica en la solución de problemas de optimización está
mostrada en muchos artículos que tratan de su aplicación en problemas
específicos (ruteo, planeamiento, distribución de planta, programación de la
producción entre otros). Cuando el problema es manejable por las técnicas de
optimización que brindan una solución exacta, ésta es preferida a la que brinda
el algoritmo genético, cuya respuesta a pesar de ser buena y cercana al óptimo,
no puede ser garantizada como óptima.
Tienen la gran ventaja de que la técnica no está sometida a restricciones a las
que comúnmente pueden estar sujetas técnicas de optimización matemática,
como lo pueden ser linealidad, continuidad, existencia de derivadas y otros.
Un símil entre el lenguaje de la genética y el de los algoritmos genéticos es el
siguiente:
Naturaleza Algoritmo genético (GA)
Cromosoma String
Genes Bits; detectors
Alele Valor
Locus Posición
Fenotipo: interacción con el ambiente Parámetros; decodificación
Genotipo: Paquete genético total Estructura; Adaptabilidad,
Reproducción, Cruce, Mutación
5.4 GENERACION DE CATEGORIAS IOS VIA ALGORITMO GENETICO
70 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Se plantean a continuación dos esquemas de solución al problema planteado en
la sección 5.2 vía GA, cuyo diferencia fundamental radica en la representación
del cromosoma. Hacen referencia a la generación de la serie i-ésima de rachas.
Zij = IOS del mes j en su serie sintética i-ésima
j en 1,2,…T cij = -1 , Zij 0
1 , Zij > 0
5.4.1 ESQUEMA 1
Cromosoma:
Mes j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … T
cij 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 … 1
La función de adaptabilidad del individuo se plantea como función de la media,
varianza, asimetría y rango, como se observa de (5.5) a (5.7). La variable a la
cual se le calculan estos valores en este esquema 1 es:
j
titij cS
1, j=1,2,…,T (5.10)
De acuerdo al cromosoma anterior :
Mes j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … T
j
titc
1=
ijS 1 2 1 2 1 0 -1 -2 -1 0 -1 … …
Refinando (5.5) a (5.7):
TST
jijiS /
1
2/12
1
}/)({ TS
iS
T
jijiS (5.11)
3/13
1
}/)({ TS
iS
T
jijiS (5.12)
Rango = max(Sij ) - min(Sij ) , j = 1,2,…T (5.13)
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 71
Se observa una carga computacional para el cálculo de la función de
adaptabilidad, función del número de meses T; el cambio de un solo bit del
cromosoma (un cambio en cij ) generaría una cascada de cambios en: , ,
y Rango. Surge la simplificación del esquema 1 como alternativa para
disminuir la carga computacional, que da lugar al esquema 2.
iS iS
iS
5.4.2 ESQUEMA 2
Cromosoma:
Racha j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … T
Rij 2 -1 1 -4 2 -1 1 -3 2 -1 5 … …
i = 1,2,…N series sintéticas
t = 1,2,…T meses
j =1,2,…nr rachas
tj1 = mes de iniciación de la racha j-ésima
tj2 = mes de terminación de la racha j-ésima
2
1
jt
jttitij cR (5.14)
c c
c c
c ...c c
1j21-j1
j11-j1
j21j1j1
itit
itit
ititit
(5.15)
Esta representación tiene las siguientes características especiales:
Cada bit tiene una polaridad (signo) diferente a la del anterior
La longitud del string es menor que en el esquema 1 (aproximadamente se
reduce al 25%)
La representación de cada bit es real (no binaria)
72 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
La función de adaptabilidad del individuo se calcula sobre la variable que agrega
valores de (en lugar de valores de ). Los valores a usar son: ij
Rij
c
Racha j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … T
SRij 2 1 2 -2 0 -1 0 -3 -1 -2 3 … …
SRij = , j = 1,2,…nr (5.16)1
j
titR
nr = número de rachas
Se observa que los valores de (j, rachas) corresponden a los de (j, meses)
en los meses de fin de racha.
ijSR
ijS
Los valores de la media, varianza, asimetría y rango de la serie histórica se
calcularían de manera análoga a los de la serie i-ésima de valores Rij
generados sintéticamente.
Para cualquier serie de rachas i, histórica o sintética, los parámetros
mencionados serían:
iSR = (5.17)
= - (5.18)
/1
nr
tit nrSR
'itSR
itSRiSR
iSR = (5.19)2/12
1
' }/)({ nrSRnr
tit
iSR = (5.20) }/)({1
3/13'nr
tit nrSR
RangoSR = max(SRit ) - min(SRit ) , t = 1,2,…nr (5.21)
Para efecto de la investigación se adopta el esquema 2, considerando la
reducción en la carga computacional de evaluar la función de adaptabilidad.
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 73
5.5 PLANTEO DEL PROBLEMA DEL GA COMO UNO DE OPTIMIZACION
Antes de construir un algoritmo genético(GA) conviene examinar la posibilidad
de resolver el problema de optimización equivalente, utilizando un paquete de
optimización matemática. Tal problema se plantea así, para la serie k no
ordenada (serie inicial que luego de ser reordenada por el GA da lugar a una
serie sintética de longitudes de racha IOS, que conserva las características
históricas):
akj = longitud de la racha j , en la serie k no ordenada
xij = variable binaria de decisión 1, si la racha i se ordena en la posición j
0, en caso contrario
Rkj = j = 1,2,…nr (5.22)ki
nr
iijax
1
Con los valores de Rkj se calculan las componentes de la función de
adaptabilidad usando (5.18) a (5.21).
Continuando con la refinación de la función de adaptabilidad, para el problema
de optimización se presenta la siguiente,
Función Objetivo:
(5.23)
SR de histórico rango
SR de histórica asimetría de medidaˆ
SR de históricaestándar desviaciónˆ
|)))(||,)||,)max(|minRangoRango
((ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
hSR
hSR
hSR
hSR
hSRiSR
hSR
hSRiSR
hSR
hSRiSR
Rango(
Rango
sujeto a :
11
nr
jijx i = 1,2,…nr (5.24)
11
nr
iijx i = 1,2,…nr (5.25)
74 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Rkj * Rkj-1 < 0 j = 2,…nr (5.26)
xi,j = {0,1} (5.27)
El problema de optimización tiene características no lineales: la desviación
estándar y la asimetría; ayudan a complicar la situación el valor absoluto y
posiblemente la restricción de signos opuestos para rachas consecutivas (5.26).
El número de variables es algo mayor que nr2, que para la serie histórica del
IOS, de 1947 al 2006, equivaldría a 2232.
5.6 TAMAÑO DEL PROBLEMA COMBINATORIO
Cómo combinar nr/2 rachas positivas y nr/2 rachas negativas, de manera que se
optimice el criterio escogido?
Una búsqueda exhaustiva equivale a buscar en ((nr/2)!)2 ordenamientos que
para la serie mencionada de 1947 al 2006 (112 rachas negativas y 111 positivas)
equivale a:
111! X 112! = 1.97 X 10182 X 1.76 X 10180
5.7 GA_CatIOS
Modelo que se plantea como una alternativa para obtener series sintéticas de
categorías de racha, a partir de la generación de series sintéticas de longitudes
de racha, ordenadas en el tiempo por un algoritmo genético. Adopta el esquema
2 (sección 5.4.2).
5.7.1 FUNCION DE ADAPTABILIDAD
Se emplea la función (5.23), donde los valores históricos (h) corresponden al
intervalo de 30*2 años, 1947-2006, y los que se comparan con ellos
corresponden a la unión de igual número de años (30*2), del horizonte
generado: 1997-2026 (30 años) con el intervalo histórico inmediatamente
anterior: 1967-1996, de 30 años. El uso de 30*n años hace eco a la evaluación
de parámetros para el cálculo del IOS por parte de la NOAA, la cual usa un
período de 30 años que renueva cada 10 años.
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 75
En la definición de la función de adaptabilidad, desviación corresponde a la
desviación estándar, asimetría a la raíz cúbica del tercer momento y rango al
intervalo entre el mayor y menor valor observados en la serie de de 60 años. ijSR
En la Figura 5.2 se muestra la función de adaptabilidad de las 100 mejores
series generadas: desordenadas (eje izquierdo), con valores entre 0.015761091
y 0.231884058 y ordenadas (rombos; eje derecho), con valores entre
0.001003407 y 0.017428378.
5.7.2 VARIABLES
Cada variable (gene) corresponde a la longitud de una racha, expresada en
número de meses. Un valor negativo representa la longitud de una racha
negativa (por debajo de la media). El primer gene corresponde a la primera
racha en el horizonte de tiempo; la polaridad (signo) de las rachas se invierte al
pasar de una a la siguiente; el número de rachas generadas en el horizonte no
es igual en todas las series, pero sí cubren el mismo horizonte de tiempo.
Un valor n positivo significa n meses consecutivos con IOS por encima de 0.0
(media del IOS en el intervalo histórico seleccionado), con IOS negativo antes
del primer mes y después del último; n negativo significa n meses consecutivos
por debajo de 0.0, con IOS positivo antes del primer mes y después del último.
5.7.3 CODIFICACION
Cada longitud de una racha se expresa en un solo bit, con codificación real. Un
ejemplo de los primeros 10 bits de una serie que inicia con una racha de
polaridad positiva es:
1 -2 1 -7 1 -2 3 -2 2 -1
5.7.4 DISEÑO DE EXPERIMENTOS
5.7.4.1 UNA SERIE INICIAL NO ORDENADA (1 EXPERIMENTO)
76 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
… … …
Un experimento se realiza a partir de una serie inicial no ordenada. Se genera
una población de individuos (100), cada uno de los cuales consta de las mismas
rachas de la serie inicial, ordenadas de diferente manera. La población
evoluciona a través de generaciones (100), al cabo de las cuales se obtiene el
mejor individuo de todas als generaciones: el ordenamiento con mejor función de
adaptabilidad para una serie inicial. La Figura 5.1 muestra valores de la función
de adaptabilidad para 1000 series de rachas sin ordenamiento.
0
1
2
3
4
5
6
7
1 101 201 301 401 501 601 701 801 901
Figura 5.1 Función de Adaptabilidad . 1000 Series de rachas no ordenadas
5.7.4.2 VARIAS (100) SERIES INICIALES DESORDENADAS
Para cada serie inicial desordenada se ejecuta un experimento; por lo tanto
resultan 100 experimentos diferentes.
Para cada una de las series iniciales se efectúa una ejecución completa del
algoritmo genético, seleccionándose su mejor ordenamiento al cabo de 100
generaciones. Finalmente se tiene el mejor ordenamiento para cada una de
Experim
ento
1
Serie
no o
rden
ada
1
Ordenada
1,1
:
Ordenada
1,100
Mejor ind (1)
Experi
o1
ment
Serie
no o
rden
ada
1
Ordenada
1,1
:
Ordenada
1,100
Mejor ind (1)
Experim
ento
10
0
Serie
no o
rden
ada
100Ordenada
100,1
:
Ordenada
100,100
Mejor ind (100)
Experim
ento
10
0
Serie
no o
rden
ada
100Ordenada
100,1
:
Ordenada
100,100
Mejor ind (100)
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 77
100 series iniciales diferentes, completando 100 experimentos independientes y
obteniendo 100 series sintéticas de rachas IOS.
5.7.5 POBLACION INICIAL
De la población de 1000 series desordenadas se extraen las 100 que exhiban
mejor (menor) valor de la función de adaptabilidad. Para cada una de ellas se
realiza un experimento. Alternativamente, para realizar un experimento, el
modelo GA podría generar una serie inicial (no ordenada), pero se perdería la
oportunidad de disminuír la carga computacional, lo cual se obtiene escogiendo
100 series (no ordenadas) de 1000, filtradas a un costo muy bajo -de tiempo de
cómputo)- ya que ello no contempla resolver el complicado problema de
ordenamiento de las rachas.
Independientemente de la manera como se obtiene la serie inicial no ordenada,
la población inicial (100 individuos) resulta del ordenamiento aleatorio,
respetando la alternación de signo, de las rachas de la serie inicial. Esto significa
que toda la población tendrá las mismas rachas, ordenadas de diferente manera,
dentro de un experimento.
5.7.6 OPERADOR DE CRUCE
Su diseño está orientado a la conservación de la distancia entre rachas largas,
positivas y negativas, exhibido por un papá, y al ordenamiento de las demás
rachas, exhibido por el otro papá.
Tanto la distancia entre rachas de determinada longitud como la probabilidad de
transición entre ellas se considera al nivel de categoría de longitud de racha. La
categorización empleada se observa en la siguiente tabla, y es la misma que se
aplica a lo largo de la investigación. La categoría 3 se califica como “neutra” y las
demás como “anormales”.
Tabla 5.1 : Definición de categorías de rachas
78 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
CategoríaDuración
mínima
Duración
máxima
1 -60 -13
2 -12 -6
3 -5 9
4 10 17
5 18 60
En consecuencia, la racionalidad del operador de cruce se basa en la
conservación de la distancia entre categorías no neutras (1,2,4,5) que traiga un
individuo bien adaptado.
La implementación del operador se resume en los siguientes pasos:
Paso 1 genera un número n entre 1 y número de rachas/2
Paso 2 selecciona las n mayores rachas negativas y positivas
Paso 3 identifica el intervalo (número de rachas) comprendido entre la más
temprana y la más tardía de las anteriores rachas, en papa1
Paso 4 ubica en hijo1 las rachas del intervalo identificado, en la misma
posición que traen en papa1
Paso 5 ubica en hijo1 las rachas restantes respetando el orden que exhiban
en papa2
Se repite el mismo proceso para generar hijo2, invirtiendo los roles de papa1 y
papa2.
Ilustración del operador de cruce:
Papá1 -2 4 -3 12 -8 9 -5 3 -10 5 -6
Papá2 -5 4 -6 9 -10 3 -8 5 -3 12 -2
Paso1 genera un número n entre 1 y número de rachas/2
n=2
Paso 2 positivas = 12,9
negativas = -10,-8
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 79
Paso 3 extrae de papá1: 12 -8 9 -5 3 -10
Paso 4 hijo1: * * * 12 -8 9 -5 3 -10 * *
Paso 5 extrae de papá2: -6 4 -3 * * * * * * 5 -2
hijo1: -6 4 -3 12 -8 9 -5 3 -10 5 -2
Similarmente
hijo2: -2 4 -5 9 -10 3 -8 5 -3 12 -6
5.7.7 OPERADORES DE MUTACION
Se diseñaron los siguientes operadores:
5.7.7.1 desplazamiento orientado por la distancia entre categorías no neutras,
de una racha histórica y una futura, para que respeten los valores históricos de
distancia máxima y mínima
5.7.7.2 desplazamiento orientado por la distancia entre categorías no neutras,
de 2 rachas futuras, para que respeten los valores históricos de distancia
máxima y mínima
5.7.7.3 desplazamiento de un conjunto par de rachas
5.7.7.4 swap entre dos conjuntos par de rachas
dirigido: cuando un parámetro de la serie sintética tiene una
desviación del histórico superior a una tolerancia determinada. En este caso se
le hace swap a un conjunto que incluya el tiempo que exhiba el mayor valor de
ijS
no dirigido: cuando los parámetros de la serie sintética se encuentran
dentro de ciertos límites de tolerancia con respecto a los históricos
swap entre dos conjuntos pares de rachas consecutivas
5.7.7.5 rotación de un conjunto impar de rachas consecutivas
5.7.7.6 reordenamiento aleatorio de un conjunto de rachas consecutivas
Los primeros dos operadores buscan reducir la presencia de distancias
inusuales entre rachas no neutras; el tercero reubica un conjunto de rachas,
80 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
conservando sus posiciones relativas, reubicando el mes con mayor | |
buscando con ello modificación importante de varianza y asimetría; el cuarto
intercambia dos conjuntos de rachas, conservando las posiciones relativas
dentro de cada uno; el quinto y el sexto rompen el ordenamiento relativo que
pudiera haber traído un conjunto de rachas.
ijSR
Es de anotar que de los anteriores operadores de mutación, los primeros tres
evitan ordenamientos indeseados (si se detectan) y los restantes tres buscan
recuperar algún ordenamiento que se halla perdido en el transcurso de las
generaciones.
5.7.8 PROBABILIDADES DE CRUCE Y MUTACION
Se sintonizó el modelo con probabilidad de cruce de 0.5 y probabilidades
acumuladas para los 6 tipos de mutación, de 0.01, 0.02, 0.5, 0.74, 0.98 y 1, y
una probabilidad de mutación de 0.8. Dadas las anteriores probabilidades, un
individuo resulta modificado con probabilidad 0.9, con probabilidad de 0.5 de que
lo sea por cruce y 0.4 de que lo sea vía una de las llamadas mutaciones.
5.7.9 RESULTADOS
Se generan 100 series sintéticas de rachas ordenadas.
Inicialmente se seleccionan 200 (de una muestra de 1000 series de rachas
desordenadas, generadas partiendo de un histograma contínuo y una definición
estricta de rachas), que posteriormente son convertidas en 200 series
ordenadas por el GA. De éstas se seleccionan las mejores 100.
En la Tabla 5.2 (2 ejes) se muestran los valores de la función de adaptabilidad
de las 100 series finalistas, ya ordenadas por el GA (eje derecho), y el que
tenían cuando estaban desordenadas (eje izquierdo).
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 81
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
No ordenadas Ordenadas
Figura 5.2 : Función de Adaptabilidad
100 series de rachas, ordenadas y no ordenadas
En las siguientes gráficas se muestran los valores de las longitudes de racha de
las series (ordenadas) con el mejor y peor valor de la función de adaptabilidad.
82 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Función de adaptabilidad = 0.001003407
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101
Figura 5.3 : Serie de rachas ordenadas con la menor función de adaptabilidad
Función de adaptabilidad = 0.017428378
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101
Figura 5.4 : Serie de rachas ordenadas con la mayor función de adaptabilidad
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 83
5.7.10 EVALUACION DE UN CONJUNTO DE 100 EXPERIMENTOS
A continuación se presentan cifras relacionadas con un nuevo conjunto de 100
experimentos realizados. Para ello se seleccionaron las 100 mejores series no
ordenadas, de las 1000 iniciales, las cuales fueron posteriormente ordenadas.
5.7.10.1 100 GENERACIONES
En la siguiente gráfica se muestran, para cada experimento: media, mejor y peor
valor de la función de adaptabilidad sobre las 100 generaciones y su
correspondiente valor para la serie inicial, no ordenada.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Desordenadas Mejor_generaciónPeor_generación Media_generaciones
Figura 5.5 : Valores medio y extremos. Función de adaptabilidad de 100
experimentos
A continuación se muestran, al recorrer el conjunto de experimentos, la media,
desviación estándar, máximo y mínimo para:
función de adaptabilidad del mejor individuo
84 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
duración (tiempo de ejecución en segundos/generación-individuo) obtenida
en un computador con procesador Pentium4 de 3 GHz y con 1 GB de RAM
mejoramiento (probabilidad de mejorar en una generación el mejor valor de la
anterior)
Tabla 5.2 : Estadísticas de 100 experimentos
Adaptabilidad del
mejor individuo
Mejoramiento
generacional
Duración
(seg/gen-ind)
media 0.0212 0.3688 0.0404
desviación estándar 0.0267 0.3724 0.0408
mínimo 0.0016 0.0816 0.0293
máximo 0.1304 0.4694 0.0665
5.7.10.2 MEJOR INDIVIDUO DE CADA EXPERIMENTO
A continuación se presentan, ordenadas de acuerdo a la adaptabilidad de la
serie no ordenada, el mejor valor: adaptabilidad del mejor individuo de la mejor
generación (Figura 5.6, eje derecho), el número de la generación en la cual éste
se obtiene (Figura 5.6. eje izquierdo) y la duración del experimento (Figura 5.7).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
gen
erac
ión
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Mejor Generación Adaptabilidad Serie inicial (no ordenada)
Figura 5.6 : Identificación de la mejor generación en cada experimento
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 85
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
seg
/ind
-gen
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Duración (seg/ind-gen) Adaptabilidad serie inicial (no ordenada)
Figura 5.7 : Tiempo de ejecución del experimento para cada serie inicial
5.7.11 HERRAMIENTA COMPUTACIONAL GA_CatIOS
Se implementó el algoritmo genético en Visual Basic; sus datos de entrada,
adicionales a los que describen el experimento, son la función de distribución de
probabilidad de longitud de rachas positivas y negativas, la descripción de las
categorías de rachas, las distancias máximas y mínimas entre categorías de
rachas no neutras (de longitud “anormal”) tanto para cuando la categoría destino
es la siguiente “anormal”, con respecto a la origen, como para cuando no lo es y
la colección preliminar de series de rachas no ordenadas (éstas lo facilitan mas
no son un requisito del proceso).
5.8 GENERACION DE SERIES DE IOS MENSUALES CON UN MODELO
ARIMA COMO ALTERNATIVA AL GA PARA LA OBTENCIÓN DE
CATEGORÍAS IOS
La filosofía de los modelos ARIMA se presenta en la sección 4.1. A continuación
se presenta la identificación y estimación de un modelo ARIMA para la serie del
IOS; posteriormente, su uso para generar series sintéticas.
86 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
5.8.1 CHEQUEO DE ESTACIONARIDAD DE LA SERIE
El primer chequeo que se efectúa es de tipo visual sobre la gráfica de la serie;
no se percibe mediante éste ninguna de las siguientes: tendencia,
estacionalidad, ‘outliers’ o varianzas no constantes.
El siguiente chequeo que se efectúa es sobre la varianza. Las transformaciones
introducidas por Box-Cox,
/1)( )(
tttZZZT
no son aplicables a la serie estudiada, ya que tiene elementos negativos.
Por lo anterior, el chequeo de la varianza se reduce a observar su
comportamiento en diferentes sectores de tiempo. Se examinan intervalos de 5
años, con los resultados que se presentan a continuación:
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
19
47
19
52
19
57
19
62
19
67
19
72
19
77
19
82
19
87
19
92
19
97
20
02
Varianza Media
Figura 5.8 : Varianza y media del IOS en intervalos de 5 años
No se observa en la anterior gráfica evidencia de un comportamiento de la
varianza como función del tiempo, ni como función de la media (nivel).
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 87
A pesar de que tampoco se evidencia falta de estacionaridad en la media, se
efectúa el test de raíz unitaria.
Se realizan los tests de Dickey-Fuller aumentado y de Philips-Perron.
No se usa la opción de término constante ni la de tendencia, dado que no existe
ninguna señal de que la serie tenga una o la otra.
Cuadro 5.1 : Test aumentado de Dickey-Fuller
AUGMENTED DICKEY-FULLER
Null Hypothesis: IOS has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=19)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test
statistic -7.14315 1.06E-11
Test critical values: 1% level -2.56819
5% level -1.94127
10% level -1.6164
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Se rechaza H0: hay raíz unitaria, con un nivel de significancia superior al 99%.
Cuadro 5.2 : Test de Philips-Perron
PHILIPS-PERRON
Null Hypothesis: IOS has a unit root
Exogenous: None
Bandwidth: 17 (Newey-West using Bartlett kernel)
Adj. t-Stat Prob.*
Phillips-Perron test statistic -14.7783 4.51E-31
Test critical values: 1% level -2.56818
5% level -1.94126
10% level -1.6164
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
88 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Se rechaza H0: hay raíz unitaria, con un nivel de significancia superior al 99%.
Se pasa al proceso iterativo sugerido por Box y Jenkins con la serie original, sin
ninguna transformación ni diferenciación regular o estacional.
5.8.2 IDENTIFICACION DEL MODELO
Dentro del proceso sugerido por Box y Jenkins (Figura 4.1) se efectúan varias
iteraciones, a partir del examen del correlograma.
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
FAS FAP
Figura 5.9 : Correlograma
Características del correlograma:
La fas decae no muy rápidamente (sin comportamiento exponencial o sinusoidal)
y se queda fluctuando entre 0 y -1, dando la impresión de ser una serie infinita.
La fap decae exponencialmente y luego se transforma en una serie de senos
que parece ser infinita.
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 89
De acuerdo a las características generales de los procesos ARMA, este
comportamiento concuerda con el de un ARMA(p,q), cuya
fas es infinita, conformada por exponenciales amortiguados y/o senos
después de q-p lags
fap es infinita dominada por exponenciales amortiguados y/o senos después
de p-q lags
La consideración de que la fap tiene las características mencionadas
(exponenciales amortiguados y/o senos ) desde el lag 0, sugiere que q>p.
Box y Jenkins señalan que si q-p<0 la forma de la fas, en su totalidad, estará
dictada por el polinomio (B) y los valores iniciales q,…, q-p+1 y consistirá en
una mezcla de exponenciales amortiguados y/o senos.
Por el contrario, si q-p>=0, habrá q-p+1 valores iniciales en la fas
0 ,…, q-p que no seguirán este patrón.
Una primera observación de la fas sugiere que:
q>p, basada en la consideración de que la fas no tenga la forma de
exponenciales amortiguados y/o senos desde el lag 0
dado lo anterior, que q-p puede llegar a 12, lo cual implica un número
relativamente grande de parámetros
Una primera observación de la fap sugiere que:
está dominada por exponenciales amortiguados y/o senos desde el primer
lag y por lo tanto que q>p
Una segunda observación de la fas indica claramente que desde el período 13
tiene un comportamiento sinusoidal; desde qué lag podrá haber tenido un
comportamiento exponencial o sinusoidal? La respuesta resulta muy subjetiva,
ya que unos podrían estar observando tal comportamiento desde el lag 0 y otros
no observarlo en ningún lag antes del 12. La rama que se examina a
continuación, dentro del árbol de posibilidades de (p,q), considera que el
trayecto inicial de la fas (desde lag 0) no es exponencial o sinusoidal y por lo
90 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
tanto q>p. El resumen de las ramas a examinar inicialmente, obtenidas a partir
de las observaciones del correlograma, se presenta en el siguiente cuadro:
Cuadro 5.3 : Valores de (p,q) a considerar en la identificación
q-p (p,q)
1 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9,10 10,11 11,12
2 0,2 1,3 2,4 3,5 4,6 5,7 6,8 7,9 8,10 9,11 10,12
3 0,3 1,4 2,5 3,6 4,7 5,8 6,9 7,10 8,11 9,12
4 0,4 1,5 2,6 3,7 4,8 5,9 6,10 7,11 8,12
5 0,5 1,6 2,7 3,8 4,9 5,10 6,11 7,12
6 0,6 1,7 2,8 3,9 4,10 5,11 6,12
7 0,7 1,8 2,9 3,10 4,11 5,12
8 0,8 1,9 2,10 3,11 4,12
9 0,9 1,10 2,11 3,12
10 0,10 1,11 2,12
11 0,11 1,12
12 0,12
La interpretación del correlograma que da lugar al anterior cuadro, ocasiona un
proceso iterativo para identificar el modelo, orientado por los criterios AIC
(Akaike Info Criterion, SBC (Schwarz criterion) y SSE (suma de residuos al
cuadrado) y los tests de los residuales (Q, de Ljung-Box; LM, de Breusch-
Godfrey; Normalidad, de Jarque-Bera).
Dentro del rango examinado surgen como los más interesantes los siguientes
modelos:
Tabla 5.3 : Test de Residuos
ModeloMin
prob(Q)Prob(LM) JarqueBera
MA(1)MA(2)…MA(10) 0.078 0.1727 0.3946
MA(1)MA(2)…MA(11) 0.121 0.1210 0.3049
MA(1)MA(2)…MA(12) 0.158 0.1013 0.5167
AR(1)MA(1)MA(5)MA(6) 0.028 0.1634 0.4508
AR(1)AR(2)MA(1)MA(2)MA(3) 0.062 0.1857 0.3960
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 91
Tabla 5.4 : Criterios
Modelo SBC AIC SSE
MA(1)MA(2)…MA(10) 2.306324 2.242724 386.1864
MA(1)MA(2)…MA(11) 2.312917 2.242956 385.2046
MA(1)MA(2)…MA(12) 2.319978 2.243657 384.4054
AR(1)MA(1)MA(5)MA(6) 2.262168 2.2367 389.7703
AR(1)AR(2)MA(1)MA(2)MA(3) 2.262895 2.231025 385.9433
Se selecciona al MA(1)MA(2)…MA(12) cuyo estadístico Q indica que la
probabilidad de error, si se afirma que están correlacionados los residuos,
supera la de los demás modelos considerados.
El estadístico Q resulta decisivo al aplicarlo al modelo AR(1)MA(1)MA(5)MA(6).
Este tiene el menor valor del criterio SBC, pero la probabilidad de error al
rechazar H0:residuos no correlacionados, es muy baja (0.028) y ocasiona el
rechazo del modelo.
La prueba de ruido blanco para el modelo seleccionado: forma del histograma
y estadística Jarque-Bera, para probar normalidad de los residuos, se presentan
a continuación:
0
20
40
60
80
100
120
-2 -1 0 1 2
Series: Residuals
Sample 1947M01 2006M12
Observations 720
Mean 0.000373
Median -0.005693
Maximum 2.447461
Minimum -2.526532
Std. Dev. 0.731190
Skewness -0.027131
Kurtosis 3.119499
Jarque-Bera 0.516733
Probability 0.772312
Figura 5.10 : Test de Jarque-Bera
La hipótesis nula H0: los residuos son Normales, no se rechaza.
92 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
El modelo identificado no tiene elemento AR. Se examina fuera del rango de
(p,q) previamente seleccionado, en combinaciones caracterizadas por q>p;
teniendo en cuenta correlaciones observadas en los lags 14,24 y 28 en varias
iteraciones, se obtiene como mejor al: MA(1)…MA(13)AR(24)AR(28) con los
siguientes indicadores: test Q Prob=0.157, test LM prob=0.3713, AIC=2.2326,
SBC= 2.3306, SSE=363.96 y JarqueBera=0.8323; se efectúan predicciones y no
se observa mejoría significativa con respecto al MA(1)MA(2)...MA(12).
En la Tabla 5.5 se presentan los valores de los parámetros del modelo MA(12)
estimado. La varianza del error se estimó en 0.733769.
Tabla 5.5 : Parámetros del modelo estimado
i i i i
1 0.398139 7 0.241607
2 0.348553 8 0.209675
3 0.350603 9 0.179061
4 0.294856 10 0.145994
5 0.32988 11 0.064903
6 0.330063 12 0.05564
5.8.3 PRONOSTICOS
Las pruebas efectuadas sobre los pronósticos, estático y dinámico, para el año
2007 -dejado fuera del proceso de estimación- dan los siguientes resultados:
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dynamic Static Real
Figura 5.11 : Pronósticos estáticos y dinámicos 1/07 a 12/07
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 93
La siguiente es la reconstrucción de la historia, de 1948 al 2007, usando el
modelo seleccionado. El intervalo de confianza del 95% está denotado por las
lineas grises.
-4
-2
0
2
4
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Figura 5.12 : Pronósticos estáticos 1948-2006
Dados los anteriores resultados el reto que se plantea para un desarrollo futuro
es encontrar el modelo que mejore el SBC o AIC del modelo que fue
seleccionado, pero sin dar sospechas de correlación en los residuos. Para tal
efecto se identifican dos caminos:
examinar en la rama identificada por q>p , probando con coeficientes AR de
lags (adicionales al 14,24,28), a pesar de que tengan ubicada su correlación de
residuos dentro del intervalo de confianza del 95%
examinar en la rama p>q de una manera iterativa, como se realizó en la rama
q>p, lo cual significa invertir el rol de la fas y la fap dentro de la apreciación
subjetiva inicial: la fap, desde el lag 0, mostraba un comportamiento exponencial
o sinusoidal, mientras que la fas lo hacía desde un lag>0.
Del modelo MA(1)…MA(12) y con miras a su utilización en una subsiguiente
categorización del IOS como +1 ó -1, se destaca que muestra un alto grado de
aciertos al pronosticarla correctamente en el 89.5% de los meses en el período
histórico, usando el pronóstico estático.
5.9 SSIOS_MA
A partir del modelo identificado y estimado en la sección 5.8, se efectúa
generación de series sintéticas del IOS.
94 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
1
12
111 t
iitit eeZ (5.28)
1tZ es el valor del IOS generado para el mes t+1, desde t (similar al pronóstico
estático, pero no usando en la posición de su valor esperado de 0 sino un
valor estimado).
1te
1te Valor estimado del choque 1ta
),0(ˆ 2at Ne
El proceso se inicializa de la siguiente manera:
1
12
111 eeZ
iii (5.29)
Para la generación de este primer valor todos los choques que multiplican a los
coeficientes MA son históricos. Los valores históricos y futuros de los choques
se describen de la siguiente manera:
ie ii ZZ para ; para , generado de una 0i 0i ),0( 2
aN (la alternativa
es extraerlos con probabilidad uniforme de la muestra de los ).ie
Las expresiones para reconstrucción de los choques históricos:
(5.30) i
it Ze12
1
ˆˆ tit e 0t
l = longitud serie histórica (5.31)
t < 1-l (5.32)
Para los meses futuros se utiliza
1
12
111 t
iitit eeZ (5.33)
y los coeficientes MA están multiplicando choques generados sintéticamente.
Por esto se llaman también series simuladas.
0ˆ
ˆ 11 lZe
t
l
e
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 95
Así se obtiene una secuencia { , }, donde N es la longitud de la
serie sintética.
1tZ ...,2tZ NtZ
Repitiendo este proceso M veces se obtienen M series sintéticas diferentes del
IOS, cada una de ellas de longitud N.
5.10 GA-KMEANS-PRONOSTICADOR
El modelo GA-Kmeans-pronosticador se puede usar dentro de la generación
sintética de caudales con alguno de los siguientes fines:
Proveerle al GA_CatIOS la polaridad de la primera racha (por encima o
debajo de la media)
Proveerle directamente al modelo que genera las series sintéticas de
caudales el parámetro de la media de los caudales para el primer mes
A continuación viene una descripcion del modelo.
5.10.1 INFORMACION BASICA
Se parte de información de caudales mensuales para un conjunto de ríos;
además, los índices mensuales del IOS (Indice de Oscilación del Sur) y la TSM
(Temperatura Superficial del Mar) en la región Niño 3-4.
5.10.2 PREPROCESAMIENTO DE LA INFORMACION
Los caudales mensuales son sustituídos por su logaritmo estandarizado,
utilizando las medias y varianzas mensuales. Tanto para el IOS como para la
TSM se crean 3 variables adicionales: promedio de los trimestres (t,t-1,t-2), (t-3,t-
4,t-5) y (t-6,t-7,t-8). Por definición el IOS está estandarizado; las variables
relativas al TSM son estandarizadas.
5.10.3 ALGORITMO DE CLUSTERIZACION
96 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
Se utiliza una de las variantes del Kmeans, mediante la cual a partir de una
semilla se crea el primer cluster; el siguiente se obtiene por división de uno de
los clusters existentes, hasta completar el número de clusters especificado. La
descripción de esta variante es ofrecida por Hartigan.
5.10.4 ALGORITMO GENETICO (GA)
Para optimizar el resultado de la clusterización se emplea un GA que se diseña
con 5 opciones básicas de función de adaptabilidad: suma de cuadrados (SSE),
máxima varianza dentro de un cluster (VARmx); las otras 3 opciones realizan
una búsqueda profunda, llegando a incluír el valor del pronóstico: promedio de la
distancia promedio entre pronósticos y caudales reales, máxima distancia
promedio y distancia promedio para el río más importante. Estas funciones se
especifican a continuación.
Valor de la variable i en el mes t, Xit ; promedio de la variable i en el cluster j, j
iX ;
valor real del caudal i en el mes t, Xit; valor real del caudal i en el mes t, Wit ;
valor pronosticado para el caudal i en el mes t, Yit; n ríos; m meses de historia;
NC clusters; N variables.
2
11
)(j
i
jCtit
N
i
NC
j
XXSSQ (5.34)
2
1
)(maxj
i
jCtit
N
ij
XXVARmx (5.35)
(5.36)
(5.37)
(5.38)
)/(100*||1 1
itit
n
iit
m
t
nWYWprodispro
itit
m
tit
iWYWmaxdispro /100*||
1max
titi
m
tti WYWprodis **
1* /100*||*
5.10.5 CONFIGURACION DEL INDIVIDUO
El individuo que se va a clusterizar está conformado por la información de un
mes t en particular; ésta es: caudales de todos los ríos considerados en t;
además, IOS, TSM y sus mencionados promedios trimestrales. La identificación
del individuo es la identificación del mes t. Todas las variables toman valores
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 97
entre -3.6 y 3.6, con precisión de 10-2; esto es, cada variable tiene (3.6-(-
3.6))/100=720 intervalos. Se usa representación binaria, que da lugar a 10 bits
por variable. Por consiguiente, la representación de un individuo será un string
de 280 bits (10 bits/variable; 28 variables).
5.10.6 PSEUDOCLUSTERS
Figura 5.13 : Ilustración de un pseudocluster
La Figura 5.13 muestra cómo funciona el módulo pronosticador, en lo referente a
la configuración de un pseudocluster. Una vez obtenida la clusterización óptima
dado un criterio, se configura –para cada cluster- un pseudocluster. A cada
miembro del cluster, identificado por un mes t, le correponde uno del pseudo
cluster, que es el individuo t+1. Habrá tantos clusters como pseudoclusters. Si Ci
es el cluster i, PCi es el pseudocluster i; si Xt Ci entonces Xt+1 PCi.
1
28
N
9
76
5
4
3
1
5
N6
43
2
9
8
7
N
Ni = ji + ji ( NNi - i )
= nueva observación Pronóstico = valor de
Para la variable i
N N
1
28
N
9
76
5
4
3
1
5
N6
43
2
9
8
7
N
Ni = ji + ji ( NNi - i )
= nueva observación Pronóstico = valor de
Para la variable i
N N
5.10.7 PRONOSTICO
Ante la llega de un individuo, éste es clusterizado; para evaluar su desconocida
pareja del pseudocluster, se emplea un modelo lineal que establece la relación
entre cada cluster y su correspondiente pseudocluster. Se obtiene la relación
con el criterio de minimizar la suma de cuadrados. Una vez obtenido el
estimativo, éste es transformado a caudal:
98 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
itittiitPCYCYYY
1,1 , (5.39)
5.10.8 DISEÑO DEL GA-KMEANS
Figura 5.14 : Algoritmo GA-Kmeans
5.10.8.1 GENERACION POBLACION INICIAL
Se genera aleatoriamente.
5.10.8.2 EVALUACION DE LA POBLACION
El usuario escoge una de las 5 funciones de adaptabilidad mencionadas en 2.4,
con el objetivo de minimizar.
5.10.8.3 PROBABILIDADES DE SELECCION
Se da en función de la diferencia entre la evaluación del peor individuo y la del
individuo corriente.
5.10.8.4 INDIVIDUOS A CRUZAR
Se seleccionan por el sistema ruleta, dada la probabilidad de cruce.
5.10.8.5 OPERADOR DE CRUCE
Se efectúa cruce por dos puntos
5.10.8.6 OPERADOR DE MUTACION
Se cambia el valor de un bit, de acuerdo a la probabilidad de mutación.
5.10.8.7 EVALUACION KMEANS
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 99
El GA le transmite a Kmeans el individuo a evaluar, el cual juega el papel de
semilla (primer centroide); Kmeans clusteriza a la población y le entrega al GA
el valor de la función escogida.
5.11 AR(6)
El objetivo de usar este modelo es utilizarlo en la evaluación de los modelos
propuestos que consideran rachas. El modelo matemático general AR(p) se
encuentra descrito en la sección 4.3. El modelo AR(6) utilizado tiene las
siguientes particularidades:
Así como en el modelo de Matalas, éste fue aplicado sobre el logaritmo
estandarizado del caudal, Zj(k,i)
Xj(k,i) = caudal del río j en el mes i del año k
Yj(k,i) = log Xj(k,i)
ji = media de Yj(k,i) , para el río j y mes i
ji = desviación estándar de Yj(k,i) , para el río j y mes i
Zj(k,i) = (Yj(k,i)- ji)/ ji
El término de error se remplaza por un vector de residuos de la serie
histórica, seleccionado al azar
Sin término constante
El modelo se podría reescribir como:
Z(k,i) =6
1
),(),(p
p ikEpikZA
Remplazando la identificación del tiempo (k,i) por t ,
Z(t) =6
1
)()(p
p tEptZA
Para efecto de la estimación se utilizó el paquete Eviews; la matriz A y los
residuos sirven para alimentar el módulo que se construyó en Visual Basic para
efectuar la generación de las series sintéticas.
100 Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto
5.12 MODELOS AR(1) EVALUADOS
El modelo matemático que soporta a los que se mencionan a continuación está
sintetizado en las ecuaciones (5.1); sus componentes AR(1) están descritas en
la sección 4.2.1.
Un pseudocódigo de las herramientas computacionales que implementan los
modelos AR* evaluados es:
5.12.1 AR(1)
Leer series de caudales mensuales
Transformar a logaritmo natural las series de caudales
Estandarizar las series logarítmicas
Configurar la matriz de datos en la forma señalada en la sección 4.2.1.2
Calcular iterativamente la matriz de varianza-covarianza, ecuación (4.22)
Reordenar la matriz de varianza-covarianza final; ecuación (4.24)
Configurar la matriz positiva semidefinida BBT ; ecuación (4.15)
Encontrar B usando un método de descomposición (Anexo 12)
Calcular A; ecuación (4.13)
Realizar generación sintética; ecuación (4.11)
Recuperar los caudales de cada (río,mes,serie) usando los parámetros
históricos estimados
5.12.2 AR(1)[GA]
Leer descripción de categorías de racha IOS
Leer serie histórica IOS
Leer series de caudales mensuales
Encontrar la categoría IOS de cada mes histórico de la serie de caudales
Transformar a logaritmo natural las series de caudales
Encontrar la media y varianza de cada (río,mes,categoría IOS)
Estandarizar las series logarítmicas
: (continúa igual a AR(1)
Realizar generación sintética; ecuación (5.1)
Leer series de rachas sintéticas generadas por GA_CatIOS
Modelos Multivariados de Generación de Series Sintéticas: Modelo Propuesto 101
Encontrar la categoría IOS de cada mes futuro de cada serie de rachas
Recuperar los caudales de cada (río,mes,serie) usando los parámetros
asociados a la categoría IOS, dado (mes,serie)
5.12.3 AR(1)[GA]2
Difiere de AR(1)[GA] en que utiliza la varianza para cada (río,mes)
independiente de la categoría IOS que se presente
5.12.4 AR(1)[MA]
Leer descripción de categorías de racha IOS
: (continúa igual a AR(1)[GA])
Realizar generación sintética; ecuación (5.28)
Leer series sintéticas IOS generadas por SSIOS_MA
Transformar series sintéticas IOS a series de rachas IOS
Encontrar la categoría IOS de cada mes futuro de cada serie de rachas
Recuperar los caudales de cada (río,mes,serie) usando los parámetros
asociados a la categoría IOS, dado (mes,serie)
5.12.5 AR(1)[MA]2
Difiere de AR(1)[MA] en que utiliza la varianza para cada (río,mes)
independiente de la categoría IOS que se presente
5.13 EVA_SERIES
Se construye este modelo con el objeto de evaluar el desempeño de las series
sintéticas, calculando variables adicionales a las medias y varianzas mensuales.
Estas incluyen:
Medias y varianzas de agregaciones espacio-temporales
Probabilidades de transición entre categorías anormales de rachas
Distancia (meses) entre categorías anormales de rachas
Función de distribución de probabilidad de la longitud de rachas
102
6. EVALUACION DEL MODELO PROPUESTO
Las pruebas consisten en la generación multivariada de 100 series sintéticas de
25 años, de los ríos: Grande, Calima, Salvajina, Nare, Batá y Urrá. Las
desviaciones estándar del AR(1)[GA]2 y del AR(1)[MA]2 (ver Tabla 6.1 y Anexo
7) se observan demasiado elevadas; en consecuencia, los modelos propuestos
(MP) para efecto de presentación de resultados se reducen al AR(1)[GA] y al
AR(1)[MA]; los modelos de comparación (MC) al AR(1) y al AR(6). La generación
es condicionada al caudal de diciembre de 1996 en los modelos AR(1) y al de
julio-diciembre de 1996 en el AR(6).
Agregación Ríos Meses Histórico AR(1)[GA] AR(1)[GA]2 AR(1)[MA] AR(1)[MA]2
1 12 953.4 910.6 1074.7 939.0 1111.2
2 24 1442.3 1363.4 1626.6 1455.0 1706.9
3 12 77.5 67.4 73.6 70.0 79.2
4 24 125.7 101.9 110.0 112.7 123.8
5 12 40.9 37.9 49.4 37.9 50.2
6 24 66.3 56.9 74.6 59.5 77.3
7 12 356.1 318.9 391.9 339.3 416.1
8 24 559.8 484.8 593.5 532.4 647.3
9 12 103.5 95.4 115.5 96.6 117.9
10 24 174.2 141.9 171.6 148.8 179.2
11 12 114.8 111.2 125.0 108.4 121.9
12 24 128.3 157.7 172.1 152.0 169.8
13 12 606.1 540.8 660.8 542.9 662.0
14 24 1061.0 788.3 981.7 806.2 984.9
Salvajina
Nare
Batá
Urrá
Todos
Grande
Calima
Tabla 6:1 Desviación estándar en agregaciones espacio-temporales
6.1 GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS
El algoritmo implementado en Excel 2007 fue desarrollado por B.A. Wichman e
I.D. Hill. Este generador de números aleatorios supera las pruebas de DIEHARD
y otras pruebas adicionales desarrolladas por el National Institute of Standards
and Technology NIST, (denominado anteriormente National Bureau of
Standards). El algoritmo es el siguiente:
IX = MOD(171 * IX, 30269)
IY = MOD(172 * IY, 30307)
Evaluación del Modelo Propuesto 103
IZ = MOD(170 * IZ, 30323)
RANDOM = AMOD(FLOAT(IX) / 30269.0 + FLOAT(IY) / 30307.0 + FLOAT(IZ) /
30323.0, 1.0)
La combinación de números aleatorios según el procedimiento de Wichman-Hill
garantiza que se generarán más de 1013 números antes de que comience la
repetición.
6.2 RESULTADOS
Se desarrolló un módulo especial, EVASERIES, para calcular parámetros de las
agregaciones espacio-temporales y características de las rachas.
Los Anexos presentan las siguientes cifras correspondientes a los MP y MC:
Medias y desviaciones estándar mensuales de las series históricas
Medias y desviaciones estándar mensuales estimadas por los modelos
Medias y desviaciones estándar mensuales de las series sintéticas
Medias y desviaciones estándar de las agregaciones espacio-temporales
Probabilidad de transiciones entre rachas no neutras
Distancia promedio entre rachas no neutras
Función de distribución de probabilidad de longitud de racha
Probabilidad de ocurrencia de categorías de racha no neutras
Probabilidad de excedencia de longitudes de racha críticas
Calidad de los pronósticos del año 1997
A continuación se presenta un análisis con gráficos y comentarios basados en
dichos resultados; para ello se emplean primordialmente los desajustes entre los
valores históricos y sintéticos, calculados como:
desajuste = (Vs-Vh)/Vh
donde Vs es un valor sintético y Vh el correspondiente valor histórico.
|desajuste| representa el valor absoluto del desajuste.
104 Evaluación del Modelo Propuesto
6.2.1 DESAJUSTE DE PARAMETROS MENSUALES
6.2.1.1 MEDIA MENSUAL
AR(1)
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(1)[GA]
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(1)[MA]
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(6)
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
6.2.1.2 DESVIACION ESTANDAR MENSUAL
AR(1)
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(1)[GA]
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(1)[MA]
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(6)
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Evaluación del Modelo Propuesto 105
6.2.2 DESAJUSTE DE PARAMETROS: AGREGACIONES ESPACIO
TEMPORALES
6.2.2.1 MEDIA
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24
Todos Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
6.2.2.2 DESVIACION ESTANDAR
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24
Todos Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
6.2.3 CARACTERISTICAS DE RACHAS
6.2.3.1 PROBABILIDADES DE TRANSICIONES ENTRE CATEGORIAS NO
NEUTRAS
Grande
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Calima
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Salvajina
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Nare
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Batá
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Urrá
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
16
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
106 Evaluación del Modelo Propuesto
6.2.3.2 DISTANCIAS ENTRE CATEGORIAS NO NEUTRAS
Grande
0
5
10
15
20
25
30
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Calima
0
10
20
30
40
50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Salvajina
0
10
20
30
40
50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Nare
0
10
20
30
40
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Batá
0
10
20
30
40
50
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
Urrá
0
20
40
60
80
1>
1
1>
2
1>
4
1>
5
2>
1
2>
2
2>
4
2>
5
4>
1
4>
2
4>
4
4>
5
5>
1
5>
2
5>
4
5>
5
histórica AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
6.2.3.3 PROBABILIDAD DE CATEGORIAS NO NEUTRAS
CAT1
0.00
0.05
0.10
0.15
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
CAT2
0.00
0.10
0.20
0.30
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
CAT4
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
CAT5
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Evaluación del Modelo Propuesto 107
6.2.3.4 PROBABILIDADES DE EXCEDENCIA DE LONGITUDES CRITICAS
Rachas negativasNivel crítico ~ 90%
10 10 10
67
12
0.88
0.90
0.92
0.94
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
5
10
15
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas negativasNivel crítico ~ 95%
98
1412
16
13
0.91
0.93
0.95
0.97
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
5
10
15
20
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas negativasNivel crítico ~ 97.5%
1517 16
24
10
10
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
10
20
30
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas negativasNivel crítico 100%
24
11
282421
29
0.96
0.98
1.00
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
10
20
30
40
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas positivasNivel crítico ~ 90%
6
4
10
6
8
6
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
5
10
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas positivasNivel crítico ~ 95%
12
710
12
9
13
0.94
0.96
0.98
1.00
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
5
10
15
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas positivasNivel crítico ~ 97.5%
13
19
13
21
815
0.94
0.96
0.98
1.00
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
5
10
15
20
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Rachas positivasNivel crítico 100%
18
2625 27
1018
0.98
0.99
1.00
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
0
9
18
27
Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
6.2.3.5 |DESAJUSTE| DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD ACUMULADA DE LONGITUD DE RACHA
Rachas negativas |Desajuste| fpa
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Rachas positivas |Desajuste| fpa
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
108 Evaluación del Modelo Propuesto
6.2.4 CAPACIDAD PREDICTIVA
6.2.4.1 SIN RACHAS PREDETERMINADAS EN AR(1)[GA]
Probabilidad de caudal simulado < histórico 1997
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra Agregado0
2000
4000
6000
8000
m3/s
1967-1996
AR(1)
AR(1)[GA]
AR(1)[MA]
AR(6)
Caudal 1997
6.2.4.2 CON RACHAS PREDETERMINADAS EN AR(1)[GA]
Probabilidad de caudal simulado 1997 < histórico 1997
0.00
0.23 0.
33
0.03
0.30
0.03
0.03
0.02
0.51
0.84
0.17
0.36
0.08 0.
20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra Agregado0
2000
4000
6000
8000
m3/s
1967-1996AR(1)[GA]
Caudal 1997
|Desajuste| medias anuales 1997
0.1
8
0.5
0
0.3
7
0.0
7
0.2
5
0.0
9
0.2
2
0.0
8
0.2
5
0.0
0
0.1
3
0.1
2
0.0
5
0.1
7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
AR(1)
AR(1)[GA]
109
6.3 COMENTARIOS
Se resume la capacidad de los MP de reproducir parámetros y características
históricas, tanto en términos absolutos como en relación con los MC, así:
6.3.1 MEDIA MENSUAL DE RIOS INDIVIDUALES
• El AR(1) muestra tendencia a presentarlos en la misma dirección en cada
río, en un mismo mes
• Los MP los presentan en diferentes direcciones para los diferentes ríos,
en un mismo mes; el rango de desajustes se observa más estrecho en los MP
que en los MC
• El AR(6) los presenta en un rango más amplio que los demás modelos y
en diferentes direcciones para diferentes ríos, en un mismo mes
6.3.2 DESVIACION ESTANDAR MENSUAL DE RIOS INDIVIDUALES
• El AR(1) presenta tendencias a la subvaloración, cubriendo un rango
relativamente amplio
• En los MP dicho rango es inferior así como la tendencia a subvalorar; el
AR(1)[MA] presenta un notorio equilibrio entre los desajustes positivos y
negativos
• El AR(6) los presenta en un rango superior al de los demás modelos
examinados, aunque alternando entre positivos y negativos en el mismo mes
6.3.3 MEDIA DE LAS AGREGACIONES ESPACIO-TEMPORALES
• Los AR(1) presentan cifras muy similares al agregar todos los ríos tanto
en 12 como 24 meses; el AR(6) muestra menores valores
• Al agregar en el tiempo los caudales ríos individuales, ningún modelo se
destaca por lograr mejores ajustes que los demás; en cada río, los desajustes de
los modelos se observan de similar magnitud
6.3.4 DESVIACIÓN ESTANDAR DE LAS AGREGACIONES ESPACIO-
TEMPORALES
110 Conclusiones
• El AR(1)[MA] presenta las menores cifras, que son notablemente bajas, al
agregar todos los ríos tanto en 12 como 24 meses
• Ningún modelo se destaca en las agregaciones temporales de un solo río
como persistentemente el mejor
6.3.5 PROBABILIDAD DE TRANSICIONES: CATEGORIAS NO NEUTRAS
DE RACHA
• Los diferentes modelos presentan un perfil notablemente similar en esta
característica; la comparación con la historia no es muy significativa dado el
reducido número de observaciones históricas en algunas categorías
• Distancia (meses) entre categorías no neutras de rachas
• La variabilidad entre los modelos es muy alta, independientemente del río
considerado; la comparación con la historia no es muy significativa por la razón
antes expuesta
6.3.6 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA: CATEGORIAS NO NEUTRAS DE
RACHAS
• No se detecta un modelo que presente de manera sostenida desajustes
inferiores al de los demás
• Los desajustes se observan altos, lo cual se debe en parte a que las
probabilidades de ocurrencia histórica de estas categorías son relativamente
pequeñas
• Mientras el mayor desajuste es del 324%, la magnitud de la mayor
diferencia de probabilidades es de 0.12
• La categoría 5 tiene una probabilidad de ocurrencia subvalorada en todos
los ríos y modelos
• El río Nare tiene una probabilidad subvalorada en todos los modelos y
categorías
6.3.7 PROBABILIDAD DE SUPERAR VALORES CRITICOS: LONGITUD DE
RACHA
Negativas:
Conclusiones 111
• El rio Batá, del cual se ha pensado que no es afectado por las anomalías
del Pacífico durante eventos Niño, presenta longitudes de racha
significativamente inferiores a las de los demás ríos
• El río Urrá, en una región en la cual se ha pensado que el efecto de un
evento el Niño se ve debilitada, debido a su latitud, las longitudes de racha se
observan inferiores a las de los demás ríos, exluyendo Batá
• En todos las longitudes críticas y modelos, la probabilidad de excedencia
en Nare está subvalorada
• El AR(6) muestra mayores probabilidades de excedencia que los demás
modelos, incluso superiores en no pocos casos a las históricas
• Ningún modelo se destaca por un desajuste persistentemente inferior
Positivas:
• El rio Batá presenta longitudes de racha significativamente inferiores a
las de los demás ríos
• El río Urrá muestra longitudes de racha algo inferiores a las de los demás
ríos, excluyendo Batá
• En todos las longitudes críticas y modelos, la probabilidad de excedencia
en Nare está subvalorada
• La tendencia general en todas las longitudes críticas y modelos es
subvalorar la probabilidad de excedencia
• El AR(1)[GA] se destaca por la menor magnitud de sus desajustes, la cual
no pasa de 0.056.
General:
• Para el mismo nivel crítico, se observa de mayor tamaño la racha
negativa que la positiva
• La racha del nivel crítico del 0% más que dobla la del 90%
• Los desajustes en las probabilidades de excedencia de las longitudes son
considerablemente menores a los que se presentan en las probabilidades de
ocurrencia de las categorías
6.3.8 FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD: LONGITUD DE
RACHA
• El desempeño depende del signo de la racha, del río y del modelo
112 Conclusiones
• Para rachas positivas se destaca el superior desempeño del AR(6),
aunque en Calima ofrece el peor ajuste, así como el reiterado desempeño
inferior del AR(1)
• Para rachas negativas se destaca el inferior desempeño del AR(6) en
Grande y Calima
• En Nare y Grande es muy superior el desajuste en las rachas positivas al
de las negativas
• En Calima y Batá es muy superior el desajuste en las rachas negativas al
de las positivas
• El desempeño de los MP es similar
6.3.9 CAPACIDAD PREDICTIVA
• La probabilidad de haber generado valores anuales de 1997 (dada la
información hasta diciembre de 1996), inferiores a los reales (sequía modelo), es
muy superior a la histórica y cercana al 0.5 (valor ideal) en Calima -con AR(6)-,
Salvajina -con AR(1)[GA]- y Batá -con AR(1)[MA]-
• En Urrá la anterior probabilidad es muy superior a la histórica aunque
lejana de 0.5, con el AR(1)[MA]
• Al agregar el caudal de 1997 sobre los ríos, el AR(1) exhibe un valor muy
superior al histórico para la anterior probabilidad, aunque muy inferior a 0.5
7. CONCLUSIONES
Se presentan a continuación las Tablas 7.1 a 7.5 que contienen un resumen de
la capacidad de reproducir parámetros y características históricas, así como de
la capacidad predictiva, exhibida por los distintos modelos observados. Los
resultados más destacados aparecen sombreados.
Conclusiones 113
Tabla 7.1 : Parámetros mensuales
|Desajuste|
parámetrosAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
min 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
prom 0.0096 0.0141 0.0140 0.0215
max 0.1031 0.0580 0.0580 0.1013
min 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
prom 0.0832 0.0718 0.0651 0.0948
max 0.6216 0.5676 0.4865 0.5000
media
mensual
desviación
mensual
Tabla 7.2 : Parámetros de agregaciones espacio-temporales
|Desajuste|
parámetrosAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
min N.A. N.A. N.A. N.A.
prom 0.0448 0.0446 0.0436 0.0165
max N.A. N.A. N.A. N.A.
min N.A. N.A. N.A. N.A.
prom 0.0396 0.0448 0.0151 0.0901
max N.A. N.A. N.A. N.A.
min N.A. N.A. N.A. N.A.
prom 0.0450 0.0440 0.0443 0.0136
max N.A. N.A. N.A. N.A.
min N.A. N.A. N.A. N.A.
prom 0.0204 0.0547 0.0088 0.2223
max N.A. N.A. N.A. N.A.
media
agregación
esp 1 año
desviación
agregación
esp 1 año
media
agregación
esp 2 años
desviación
agregación
esp 2 años
Tabla 7.3 : Parámetros de agregaciones temporales
|Desajuste|
parámetrosAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
min 0.0012 0.0002 0.0013 0.0005
prom 0.0046 0.0038 0.0038 0.0090
max 0.0128 0.0062 0.0088 0.0296
min 0.0080 0.0312 0.0472 0.0191
prom 0.0547 0.0750 0.0632 0.1014
max 0.1331 0.1299 0.1043 0.2328
min 0.0007 0.0008 0.0010 0.0007
prom 0.0050 0.0043 0.0043 0.0092
max 0.0136 0.0069 0.0079 0.0262
min 0.0456 0.1339 0.0490 0.0016
prom 0.1479 0.1623 0.1179 0.1418
max 0.2987 0.2570 0.2401 0.5287
desviación
agregación
2 años
media
agregación
1 año
desviación
agregación
1 año
media
agregación
2 años
114 Conclusiones
Tabla 7.4 : Características de rachas
|Desajuste|
característicasAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
min 0.5024 0.4993 0.4858 0.4394
prom 0.6494 0.6116 0.6040 0.6003
max 0.7998 0.7845 0.7494 0.7783
min 0.2665 0.2503 0.2464 0.2603
prom 0.3089 0.3182 0.3133 0.3292
max 0.3851 0.3627 0.3817 0.4395
min 0.1811 0.1366 0.1405 0.1465
prom 0.3405 0.2934 0.2908 0.2711
max 0.5218 0.4502 0.4583 0.4841
min 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006
prom 0.0219 0.0217 0.0199 0.0210
max 0.1199 0.0927 0.0826 0.0924
min 0.0012 0.0000 0.0005 0.0014
prom 0.0113 0.0146 0.0118 0.0202
max 0.0304 0.0495 0.0413 0.0383
min 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000
prom 0.0169 0.0142 0.0156 0.0176
max 0.0626 0.0561 0.0555 0.0661
fpa
fpa negativas
fpa positivas
prob categoría no
neutra
prob de
excedencia long
crítica positiva
prob de
excedencia long
crítica negativa
Tabla 7.5 : Capacidad predictiva
|Desajuste|
pronósticosAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
min 0.0707 0.0420 0.0753 0.0572
prom 0.2392 0.2249 0.2688 0.2003
max 0.4970 0.4788 0.5393 0.3774
min NA 0.0024 NA NA
prom NA 0.1159 NA NA
max NA 0.2519 NA NA
1997 (con
signo mes
inicial)
1997 (con 2
rachas
iniciales)
7.1 CONCLUSIONES GENERALES
El modelo AR(1)[MA] se destaca por la menor varianza que exhibe tanto a nivel
mensual como de agregaciones espacio-temporales.
El modelo AR(1)[GA] se destaca por la notoria superioridad en la capacidad
predictiva de los caudales en los meses futuros en que es razonable asignar un
signo al IOS. Tal capacidad se magnifica en los tiempos en que se está viviendo
dentro de una racha larga o ad-portas de ella. En esos mismos meses la calidad
Conclusiones 115
de las series sintéticas se va a ver notablemente beneficiada por la mejora en la
media simulada.
La crítica que ha recibido el AR(1) en el sentido de incapacidad para reproducir
rachas largas no fue confirmada y por el contrario se observó que en tal sentido
deja una buena impresión.
7.2 CONCLUSIONES PARTICULARES
El rendimiento de los MP frente a los criterios de evaluación y los MC fue:
• Media mensual : desajuste satisfactorio en los MP, en un rango más
estrecho que los MC
• Desviación estándar mensual: desajuste de los MP en un rango más
amplio que el de la media, aunque inferior al del AR(6); tanto en los MP como
en los MC el mayor desajuste se da en el sentido de subvalorar
• Media de agregación tanto espacial como temporal: desajuste
satisfactorio de los MP, similar al del AR(1) y superior al del AR(6)
• Desviación de agregación tanto espacial como temporal: AR(1)[MA] con
una desviación inferior a los demás, en particular a la del AR(6)
• Media de agregación temporal: desajustes satisfactorios y similares en los
diferentes ríos para los MP, no así para los MC; máximo desajuste de los MP
inferior al máximo desajuste de cualquiera de los MC
• Desviación de agregación temporal: tanto en MP como en MC,
desajustes notablemente superiores a los de la media; AR(1)[MA] con un
desajuste más estable, al transitar sobre los ríos
• Agregaciones: AR(1)[MA] se destaca por sus desajustes más estables y
generalmente menores; el desajuste de su desviación en la agregación espacio-
temporal es inferior al que presenta en cualquier agregación temporal
• Probabilidades de transición entre categorías no neutras: notable
aproximación a la historia en los MP y MC, a pesar de escasez de información
histórica en algunas parejas
• Distancia entre categorías no neutras: los MP y MC se ubican en torno a
la historia; escasa información histórica en parejas de categorías
116 Conclusiones
• Probabilidad de categorías no neutras: no se observa mayor diferencia
entre los MP y los MC; la probabilidad se encuentra persistentemente
subvalorada para el río Nare y para la categoría 5
• Probabilidad de superar valores críticos de longitud de racha: para rachas
negativas, ningún modelo, MP o MC, luce netamente superior a los demás; para
rachas positivas, el AR(1)[GA], a pesar de no tener persistentemente los
menores desajustes, se destaca por tenerlos pequeños
• Función de distribución de probabilidad de longitud de racha: desajuste de
los MP similar al de los MC en rachas negativas y positivas; notablemente bajo
en rachas positivas
• Potencia predictiva: Considerando que no se emplee la opción de rachas
predeterminadas en el AR(1)[GA], los MP se aproximaron a la sequía de 1997,
aumentando el peso de la cola a la izquierda del valor real hasta un 6.7%, lo cual
es meritorio ya que los modelos no fueron diseñados con éste propósito. Se da
por descontado que el AR(1)[GA], introduciéndole una o más rachas iniciales
predeterminadas basadas en la información de anomalías del Pacífico, habría
aumentado mucho más tal peso.
• El AR(1)[GA] se destaca por su facilidad para incorporar pronósticos que
son permanentes, públicos y del más elevado nivel: los del calentamiento del
Pacífico, sin tener que pasar del mundo estocástico al determinístico, no pocas
veces escogido de manera caprichosa y sin mayor sustento.
117
8. FUTUROS DESARROLLOS
8.1 IOS
Reconstruír el IOS desde 1882 hasta 1946, con 13% de datos faltantes,
para ampliar la información de las rachas históricas
Pasar de un análisis de una sola anomalía –IOS- a uno de 2 anomalías:
IOS y TSM
8.2 RACHAS
Reexaminar la definición de las categorías de rachas IOS y su cantidad
Probar la utilización de rachas relajadas siguiendo la metodología
propuesta para construirlas
8.3 GA_CatIOS
Reexaminar la función de adaptabilidad
Reexaminar las probabilidades de cruce y mutación
Experimentar reformulando la función de adaptabilidad y examinando la
posibilidad de efectuar el ordenamiento con un paquete de Optimización
8.4 GA_Kmeans
Usar el GA_Kmeans para generar series sintéticas de caudales por sí
solo
Usar el GA_Kmeans para generar el signo del IOS de los primeros meses
futuros
Incluír ríos a nivel mundial para generar el signo del IOS del primer mes
futuro, usando GA_Kmeans
8.5 AR(1)[GA]
Reexaminar el supuesto de lognormalidad de las series de caudales
mensuales
Examinar alternativas para el modelaje de Zt en el mes inicial de una
categoría no neutra del IOS
Probar el rendimiento del AR(1)[GA] optimizando y simulando mes por
mes al sistema eléctrico colombiano durante la sequías de 1991-1992 y
1997-1998, incorporando la información de las expectativas que hubiera
118 Futuros Desarrollos
habido en cada mes acerca de las anomalías del Pacífico, usando la
opción de rachas predeterminadas
8.6 SSIOS_MA
Reexaminar el modelo ARIMA propuesto para el IOS
8.7 AR(1)[MA]
Evaluar el rendimiento del AR(1)[MA] al introducir la restricción de un
número mínimo de meses iniciales con determinada polaridad
8.8 AR(6)
Aplicar los MP al AR(6)
Integrar automáticamente los parámetros de modelos ARIMA estimados
por paquetes especializados a programas externos a ellos
8.9 EVALUACION
Establecer un escalafón de métodos de generación sintética de caudales,
que consideren su capacidad para conservar los parámetros históricos de
las agregaciones espacio-temporales, relativos a casos (instancias) que
cubran un amplio espectro en cuanto a número de ríos y región
8.10 OTROS CASOS DE PRUEBA
Ampliar el estudio para cubrir ríos de todos los países del mundo que
tengan litoral Pacífico
Probar el rendimiento de los MP, observando la generación sintética de
1991-1992 y de 1997-1998, asignando valores a la primera racha IOS (o
limitando a un mínimo el número de meses iniciales con IOS negativo en
la generación de series sintéticas IOS) con base en la información de los
modelos de las agencias internacionales, antes y durante las
mencionadas sequías
Evaluar los beneficios de mejores series sintéticas para el sector
energético en Colombia y otros países de la región, observando 1991-
1992 y 1997-1998
Examinar el rendimiento de los modelos examinados al aumentar
significativamente el número de ríos
Plantear alternativas de modelaje al caso en que el número de ríos
analizados se convierta en una limitante
Futuros Desarrollos 119
8.11 OTROS CAMPOS DE APLICACION
Introducir el concepto de series sintéticas al análisis de problemas de
derivados financieros que tradicionalmente no las hayan usado
Aplicar las metodologías propuestas en otros campos donde se presenten
series de tiempo con aparentemente múltiples aunque pocos procesos
que aparecen intermitentemente
8.12 INFORMATICA
Promover la creación de una base de datos pública de caudales, por lo
menos a nivel latinoamericano, como la ofrecida por la USGS que
contiene series para 24214 sitios de medición en EE.UU., y que se puede
acceder desde Internet sin ningún costo
120
REFERENCIAS
Alarcón, L.F. (1975) Generación secuencial de hidrología multivariada
preservando estadísticas en 2 niveles de agregación. Bogotá, Colombia:
Uniandes.
Box, G.E.P. & Jenkins, G.M. (1976) Time Series Analysis. Forecasting and
Control. San Francisco, California, EE.UU.: Holden-Day.
Bras, R. & Rodríguez-Iturbe, I. (1993) Random Functions and Hydrology.
Mineola, NY, EE.UU.:Dover.
Corporación Andina de Fomento. El Fenómeno El Niño. 1997-1998. Memoria,
Retos y Soluciones. Volumen III:Colombia.
Correal, M.E. (2006). A model for a system of flow river with non-linear behavior.
Mejía, J.M. (1994) Consideraciones del fenómeno del Niño en los modelos de
generación sintética de caudales. Bogotá, Colombia: CREG.
Mejía, J.M. (2007). Modelo secuencial de generación de caudales con
preservación de estadísticas a nivel temporal y espacial. I Workshop sobre
Previsão de Vazões-ABRH. Rio de Janeiro, Brazil.
Mejía, P. (1995) Simulación con series de tiempo teniendo en cuenta el
fenómeno del Niño. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Salas, J.D., Delleur,J.W., Yevjevich,V. & Lane,W.L. (1980) Applied modelling of
hydrologic time series (4a Ed.). Highlands Ranch, Colorado, EE.UU.: Water
Resources Publications.
Saldarriaga, J. & Aguilar, A. (1972) Modelos estocásticos para la simulación de
sistemas de recursos hídricos. Bogotá, Colombia: Fedesarrollo.
Bibliografiía 121
Saldarriaga, J. & Yevjevich, V. (1970) Application of run-lengths to hydrologic
series. (Hydrology Paper No. 40). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado
State University.
Sen, Z., Altunkaynak, A., Asce, M. & Ozger, M. El Niño Southern Oscillation
(ENSO) templates and streamflow prediction. (2004). Journal of Hydrologic
Engineering, 9, (5), 368-391
Yevjevich, V. (1972) Stochastic Processes in Hydrology. Fort Collins, Colorado,
EE.UU.: Water Resources Publications.
BIBLIOGRAFÍA
Alarcón, L.F. (1975) Generación secuencial de hidrología multivariada
preservando estadísticas en 2 niveles de agregación. Bogotá, Colombia:
Uniandes.
Alarcón, L.F. & Mejía,J.M. (1981) Desarrollo e implementación de un modelo
secuencial para operación de hidrologías sintéticas con capacidad para
reproducir estadísticas a diferentes niveles de agregación : informe final.
Bogotá, Colombia: Uniandes-CIFI.
Albeverio,S., Jentsch,V. & Kantz, H. (Eds.) (2006) Extreme events in nature and
society. Berlín, Alemania: Springer.
Box, G.E.P. & Jenkins, G.M. (1976) Time Series Analysis. Forecasting and
Control. San Francisco, California, EE.UU.: Holden-Day.
Corporación Andina de Fomento. El Fenómeno El Niño. 1997-1998. Memoria,
Retos y Soluciones. Volumen III:Colombia
Chin, W.Q. & Yevjevich V. (1965) Almost-periodic, stochastic process of long-
term climate changes. (Hydrology Paper No. 65). Fort Collins, Colorado,
EE.UU.: Colorado State University.
122 Bibliografía
Gil, M.M., Quiceno, N. & Poveda, G. (1998). Efecto del ENSO y la NAO sobre el
ciclo anual de la hidrología de Colombia: análisis de correlación, reanálisis de
NCEP/NCAR y modelos de pronóstico. Avances en Recursos Hidráulicos, (5)
Gumbel, E.J. (1958). Statistics of Extremes. New York, EE.UU.: Columbia
University Press.
Hartigan, John A.(1975). Clustering Algorithms. EE.UU: Wiley.
Hogg, R.V. & Tanis, E.A. (1989) Probability and Statistical Inference. (3a Ed.).
New York, NY, EE.UU.: Maxwell Macmillan.
Jazwinski, A.H. (1970) Stochastic Processes and Filtering Theory. (3a. Ed.) New
York, NY, EE.UU.: Academic Press.
Kyoung-jac K. & Hyunchul, A. (2008). A recommender system using GA K-
means clustering in an online shopping market. Expert Systems with
Applications. (34), 1200-1209. Recuperado de www.sciencedirect.com
Llamas, J. (1969) Runs of precipitation series. (Hydrology Paper No. 33). Fort
Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Macharé, J. & Ortlieb, L. (Compiladores). (1993). Registro del fenómeno El Niño
y de eventos ENSO en América del Sur. Bulletin de l‘Institut Francais d’Etudes
Andines, 22, (1).
Mageña, V., Pérez, J.L., Conde, C., Gay, C. & Medina, S. (1997) El fenómeno
del Niño y la Oscilación del Sur (ENOS) y sus impactos en México. México:
Universidad Nacional de México.
Mandelbrot, B.B. & Wallis, J.R. (1968) Noah, Joseph, and operational Hydrology.
Water Resources Research, 4,(5)
Marco, J.B., Harboe, R. & Salas, J.D. (1993) Stochastic Hydrology and its use in
water resources systems simulation and optimization. Dordrecht, Holanda:
Kluwer Academic Publishers.
Bibliografiía 123
Matalas, N.C. (1963) Autocorrelation of rainfall and streamflow minimums.
(Professional Paper 434-B). EE.UU: Geological Survey.
Matalas, N.C. (1967) Mathematical assesment of Synthetic Hydrology. Water
Resources Research, 3.
Matalas, N.C. & Jacobs, Barbara (1964) A correlation procedure for augmenting
hydrologic data. Washington D.C., EE.UU.: Government Printing Office.
Matalas, N.C. (1998) Ground water and surface water: a single resource (U.S.
Geological Survey Circular, 1139). EE.UU: Geological Survey.
Mejía, J.F., Montoya, M.I. & Vélez, M.V. Cuantificación de sequías: su severidad
y duración en caudales medios diarios y análisis del fenómeno del ENSO en la
curva de duración de caudales tradicionales. (2000). Avances en Recursos
Hidráulicos, (7), 29-42.
Mejía, J.M. (1994) Consideraciones del fenómeno del Niño en los modelos de
generación sintética de caudales. Bogotá, Colombia: CREG.
Mejía, J.M., Rodríguez-Iturbe, I & Córdova, J.R. (1974) Multivariate generation of
mixtures of normal and lognormal variables. Water Resources Research, 10.
Mejía, P. (1995) Simulación con series de tiempo teniendo en cuenta el
fenómeno del Niño. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Mesa, O. & Poveda, G. (1993) Metodologías de predicción de la hidrología
colombiana considerando el fenómeno del Niño/Oscilación del Sur ENOS.
Congreso Colombiano de Meteorología.
Millan, J. & Yevjevich, V. (1971) Probabilities of observed droughts. (Hydrology
Paper No. 50). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
124 Bibliografía
Pinkayan, S. (1966) Conditional probabilities of occurrence of wet and dry years
over a large continental area. (Hydrology Paper No. 12). Fort Collins, Colorado,
EE.UU.: Colorado State University.
Poveda, G. & Mesa, O. El Niño, La Niña y la predicción de la hidrología
colombiana. (1995). Energética, (16), 105-128
Poveda, G., Mesa, O., Carvajal, L.F., Hoyos, C.D., Mejía, J.F., Cuartas, A. &
Pulgarín, A. (2002). Predicción de caudales medios mensuales en ríos
colombianos usando métodos no lineales. Meteorología Colombiana, (6), 101-
110.
Poveda, G. Efectos del fenómeno El Niño/Oscilación del Sur (ENSO) sobre
caudales de ríos de Huila y Tolima. (2003). Entornos, (17), 43-65
Poveda, G., Vélez, J.I., Mesa, O., Hoyos, C.D., Mejía, J.F., Barco, O.J. & Correa,
P.L. (2002). Influencia de fenómenos macroclimáticos sobre el ciclo anual de la
hidrología colombiana. Cuantificación lineal, no lineal y percentiles
probabilísticos. Meteorología Colombiana, (6), 121-130
Puente, C.E. (1978) Algunos modelos multivariados de generación sintética de
datos. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Reiss, R.D. & Thomas, M. (2001). Statistical analysis of extreme values. Berlin,
Alemania: Birkhauser.
Rodríguez-Iturbe, I. (1967) The application of cross spectral analysis to hidrologic
time series. (Hydrology Paper No. 24). Fort Collins, Colorado, EE.UU.:
Colorado State University.
Rodríguez-Iturbe, I. & Yevjevich, V. (1968) The investigation of relationship
between hydrologic time series and sunspot numbers (Hydrology Paper No. 26).
Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Rodríguez-Iturbe, I., Mejía, J.M. & Daudy, D.R. (1972) Streamflow Simulation. 1.
A new look at Markovian models, fraccional Gaussian noise and Crossing
Bibliografiía 125
Theory 2. The Broken Line Process as a potential model for hydrologic
simulation. Water Resources Research, 8(4).
Roesner, L.A. & Yevjevich, V. (1966) Mathematical models for time series of
monthly precipitation and monthly runoff (Hydrology Paper No. 15). Fort Collins,
Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Sáenz, J.A. (1999) Generación de caudales teniendo en cuenta el fenómeno de
El Niño. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Salas, J.D., Delleur,J.W., Yevjevich,V. & Lane,W.L. (1980) Applied modelling of
hydrologic time series (4a Ed.). Highlands Ranch, Colorado, EE.UU.: Water
Resources Publications.
Saldarriaga, J. & Yevjevich, V. (1970) Application of run-lengths to hydrologic
series. (Hydrology Paper No. 40). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado
State University.
Searle, S.R. (1971) Linear Models. (2a. Ed.). New York, NY, EE.UU.: Wiley.
Sen, Z., Altunkaynak, A., Asce, M. & Ozger, M. El Niño Southern Oscillation
(ENSO) templates and streamflow prediction. (2004). Journal of Hydrologic
Engineering, 9, (5), 368-391
Trujillo, E. (1998) Estudio de correlación entre variables que representan el
comportamiento del Fenómeno del Pacífico y otros procesos macroclimáticos y
variables hidrológicas en Colombia. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Torranin, P. (1972) Applicability of canonical correlation in Hydrology. (Hydrology
Paper No. 58). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Valencia, D. & Schaake, J.C. (1972) A dissaggregation model for time series
analysis and synthesis. Cambridge, Mass., EE.UU.: MIT.
Valencia, D. & Schaake, J.C. (1973) Dissaggregation process in Stochastic
Hydrology. Water Resources Research, 9.
126 Bibliografía
Wei, W.W.S. (1990) Time Series Analysis. Redwood City, Ca., EE.UU.: Addison-
Wesley
Wilches, C.A. (2002) Búsqueda y caracterización de comportamiento
determinístico y no lineal en series de tiempo de precipitación y fenómeno de El
Niño. Bogotá, Colombia: Uniandes.
Yevjevich, V. (1963) Fluctuations of wet and dry years. Part I. Research data
assembly and mathematical models. (Hydrology Paper No. 1). Fort Collins,
Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Yevjevich, V. (1964) Fluctuations of wet and dry years. Part II. Analysis by serial
correlation. (Hydrology Paper No. 4). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado
State University.
Yevjevich, V. (1965) The application of surplus, deficit and range in Hydrology.
(Hydrology Paper No. 10). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State
University.
Yevjevich, V. (1965) Stochastic Processes in Hydrology. Fort Collins, Colorado,
EE.UU.: Water Resources Publications.
Yevjevich, V. (1967) An objective approach to definitions and investigations of
continental hydrologic droughts. (Hydrology Paper No. 23). Fort Collins,
Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Yevjevich, V. (1972) Structural analysis of hydrologic time series. (Hydrology
Paper No. 56). Fort Collins, Colorado, EE.UU.: Colorado State University.
Yevjevich, V. (1972) Probability and Statistics in Hydrology. Fort Collins,
Colorado, EE.UU.: Water Resources Publications.
Yevjevich, V. (1972) Stochastic Processes in Hydrology. Fort Collins, Colorado,
EE.UU.: Water Resources Publications.
Anexos 127
ANEXOS
IOS:
ANEXO 1 RACHAS DEL IOS 1947-2006 ANEXO 2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD LONGITUD RACHAS IOS ANEXO 3 CARACTERISTICAS HISTORICAS LONGITUD RACHAS IOS
SERIES DE VARIABLES DE RACHAS
CAUDALES:
ANEXO 4 PARAMETROS DE LAS SERIES HISTORICAS ANEXO 5 PARAMETROS ESTIMADOS POR LOS MODELOS ANEXO 6 PARAMETROS DE LAS SERIES SINTETICAS ANEXO 7 PARAMETROS AGREGACIONES ESPACIO-TEMPORALES ANEXO 8 PROBABILIDADES DE TRANSICIONES Y DISTANCIAS ANEXO 9 DISTRIBUCION DE LONGITUD DE RACHA SINTETICA ANEXO 10 PROBABILIDAD OCURRENCIA CATEGORIAS NO NEUTRAS
PROBABILIDAD EXCEDENCIA DE LONGITUDES CRITICAS ANEXO 11 POTENCIA PRONOSTICADORA DE LAS SERIES SINTETICAS
ANEXO 12 ALGORITMOS DE DESCOMPOSICIONANEXO 13 FORMULAS EMPLEADAS EN LAS EVALUACIONES
128 Anexo 1 : Rachas del IOS 1947-2006
0.00.51.01.52.02.53.0
Dic
-49
Feb
-50
Ab
r-50
Jun
-50
Ag
o-5
0
Oct
-50
Dic
-50
Feb
-51
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Mar
-51
May
-51
Jul-
51
Sep
-51
No
v-51
En
e-52
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0
Dic
-52
Feb
-53
Ab
r-53
Jun
-53
Ag
o-5
3
Oct
-53
Dic
-53
-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
May
-55
Ag
o-5
5
No
v-55
Feb
-56
May
-56
Ag
o-5
6
No
v-56
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
May
-57
Jul-
57
Sep
-57
No
v-57
En
e-58
Mar
-58
May
-58
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Oct
-59
Dic
-59
Feb
-60
Ab
r-60
Jun
-60
Ag
o-6
0
Oct
-60
Dic
-60
Feb
-61
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
IOS —— —— Promedio móvil - - - - - - 1 (.025) —— (.001) (El IOS y se leen en el eje izquierdo; el promedio móvil y 1 en el derecho)
Anexo 1 : Rachas del IOS 1947-2006 129
-0.20.00.20.40.60.81.01.21.4
May
-62
Jul-
62
Sep
-62
No
v-62
En
e-63
Mar
-63
May
-63
0.00.10.20.30.40.50.60.70.8
-3.0-2.5-2.0-1.5
-1.0-0.50.0
Ab
r-65
Jun
-65
Ag
o-6
5
Oct
-65
Dic
-65
Feb
-66
Ab
r-66
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0
En
e-69
Mar
-69
May
-69
Jul-
69
Sep
-69
No
v-69
En
e-70
-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Ag
o-7
0
Oct
-70
Dic
-70
Feb
-71
Ab
r-71
Jun
-71
Ag
o-7
1
Oct
-71
Dic
-71
Feb
-72
0.0
0.5
1.0
1.5
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0
May
-72
Jul-
72
Sep
-72
No
v-72
En
e-73
-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0
0.00.51.01.52.02.53.03.5
May
-73
Jul-
73
Sep
-73
No
v-73
En
e-74
Mar
-74
May
-74
Jul-
74
Sep
-74
0.00.20.40.60.81.01.21.41.6
IOS —— —— Promedio móvil - - - - - - 1 (.025) —— (.001) (El IOS y se leen en el eje izquierdo; el promedio móvil y 1 en el derecho)
130 Anexo 1 : Rachas del IOS 1947-2006
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0M
ay-7
3
Jul-
73
Sep
-73
No
v-73
En
e-74
Mar
-74
May
-74
Jul-
740.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Mar
-77
May
-77
Jul-
77
Sep
-77
No
v-77
En
e-78
Mar
-78
-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5
Mar
-80
May
-80
Jul-
80
Sep
-80
No
v-80
En
e-81
Mar
-81
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0
May
-82
Jul-
82
Sep
-82
No
v-82
En
e-83
Mar
-83
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
No
v-86
En
e-87
Mar
-87
May
-87
Jul-
87
Sep
-87
No
v-87
En
e-88
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
May
-88
Jul-
88
Sep
-88
No
v-88
Jan
-89
Mar
-89
May
-89
Jul-
89
0.00.20.40.60.81.01.21.4
IOS —— —— Promedio móvil - - - - - - 1 (.025) —— (.001) (El IOS y se leen en el eje izquierdo; el promedio móvil y 1 en el derecho)
Anexo 1 : Rachas del IOS 1947-2006 131
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5
Mar
-91
Jun
-91
Sep
-91
Dec
-91
Mar
-92
Jun
-92
Sep
-92
Dec
-92
Mar
-93
Jun
-93
Sep
-93
Dec
-93
Mar
-94
Jun
-94
Sep
-94
Dec
-94
Mar
-95
Jun
-95
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
-0.3
0.3
0.8
1.3
1.8
En
e-96
Mar
-96
May
-96
Jul-
96
Sep
-96
No
v-96
En
e-97
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Mar
-97
May
-97
Jul-
97
Sep
-97
No
v-97
Jan
-98
Mar
-98
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
-0.1
0.4
0.9
1.4
1.9
2.4
Jun
-98
Au
g-9
8O
ct-9
8D
ec-9
8F
eb-9
9A
pr-
99Ju
n-9
9A
ug
-99
Oct
-99
Dec
-99
Feb
-00
Ap
r-00
0.00.20.40.60.81.01.21.4
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
Mar
-02
May
-02
Jul-
02
Sep
-02
No
v-02
Jan
-03
Mar
-03
May
-03
-1.0
-0.5
0.0
IOS —— —— Promedio móvil - - - - - - 1 (.025) —— (.001) (El IOS y se leen en el eje izquierdo; el promedio móvil y 1 en el derecho)
132 Anexo 1 : Rachas del IOS 1947-2006
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5
Jun
-04
Au
g-0
4
Oct
-04
Dec
-04
Feb
-05
Ap
r-05
Jun
-05
Au
g-0
5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
IOS —— —— Promedio móvil - - - - - - 1 (.025) —— (.001) (El IOS y se leen en el eje izquierdo; el promedio móvil y 1 en el derecho)
Anexo 2 : Distribución de probabilidad de longitud de racha IOS 133
Tabla A2.1 : Longitud de rachas del IOS – Probabilidad (Definición estricta de rachas)
LongitudProbabilidad
acumuladaProbabilidad Longitud
Probabilidad
acumuladaProbabilidad
1 0.4324 0.4324 -1 0.4286 0.4286
2 0.6577 0.2252 -2 0.7054 0.2768
3 0.7838 0.1261 -3 0.7768 0.0714
4 0.8468 0.0631 -4 0.8125 0.0357
5 0.8739 0.0270 -5 0.8571 0.0446
6 0.8919 0.0180 -6 0.8839 0.0268
7 0.8919 0.0000 -7 0.8929 0.0089
8 0.9009 0.0090 -8 0.8929 0.0000
9 0.9189 0.0180 -9 0.9018 0.0089
10 0.9369 0.0180 -10 0.9018 0.0000
11 0.9369 0.0000 -11 0.9196 0.0179
12 0.9369 0.0000 -12 0.9464 0.0268
13 0.9369 0.0000 -13 0.9464 0.0000
14 0.9369 0.0000 -14 0.9821 0.0357
15 0.9459 0.0090 -15 0.9821 0.0000
16 0.9550 0.0090 -16 1.0000 0.0179
17 0.9730 0.0180
18 0.9820 0.0090
19 0.9820 0.0000
20 0.9910 0.0090
21 1.0000 0.0090
Tabla A2.2 : Longitud de rachas del IOS – Probabilidad (Definición relajada de rachas)
LongitudProbabilidad
acumuladaProbabilidad Longitud
Probabilidad
acumuladaProbabilidad Longitud
Probabilidad
acumuladaProbabilidad
1 0.3750 0.3750 -1 0.4421 0.4421 -27 0.9895 0.0000
2 0.6250 0.2500 -2 0.7053 0.2632 -28 0.9895 0.0000
3 0.7604 0.1354 -3 0.7789 0.0737 -29 0.9895 0.0000
4 0.8333 0.0729 -4 0.8105 0.0316 -30 0.9895 0.0000
5 0.8646 0.0313 -5 0.8211 0.0105 -31 0.9895 0.0000
6 0.8854 0.0208 -6 0.8421 0.0211 -32 0.9895 0.0000
7 0.8854 0.0000 -7 0.8421 0.0000 -33 0.9895 0.0000
8 0.8854 0.0000 -8 0.8526 0.0105 -34 0.9895 0.0000
9 0.9063 0.0208 -9 0.8632 0.0105 -35 0.9895 0.0000
10 0.9167 0.0104 -10 0.8737 0.0105 -36 0.9895 0.0000
11 0.9167 0.0000 -11 0.8947 0.0211 -37 0.9895 0.0000
12 0.9167 0.0000 -12 0.9263 0.0316 -38 0.9895 0.0000
13 0.9167 0.0000 -13 0.9263 0.0000 -39 0.9895 0.0000
14 0.9271 0.0104 -14 0.9684 0.0421 -40 0.9895 0.0000
15 0.9375 0.0104 -15 0.9684 0.0000 -41 0.9895 0.0000
16 0.9375 0.0000 -16 0.9895 0.0211 -42 0.9895 0.0000
17 0.9583 0.0208 -17 0.9895 0.0000 -43 0.9895 0.0000
18 0.9688 0.0104 -18 0.9895 0.0000 -44 0.9895 0.0000
19 0.9688 0.0000 -19 0.9895 0.0000 -45 0.9895 0.0000
20 0.9792 0.0104 -20 0.9895 0.0000 -46 0.9895 0.0000
21 0.9896 0.0104 -21 0.9895 0.0000 -47 0.9895 0.0000
22 0.9896 0.0000 -22 0.9895 0.0000 -48 0.9895 0.0000
23 0.9896 0.0000 -23 0.9895 0.0000 -49 0.9895 0.0000
24 0.9896 0.0000 -24 0.9895 0.0000 -50 0.9895 0.0000
25 1.0000 0.0104 -25 0.9895 0.0000 -51 0.9895 0.0000
-26 0.9895 0.0000 -52 1.0000 0.0105
134 Anexo 3 : Características históricas de longitud rachas IOS
Tabla A3.1 : Categorías de rachas
CategoríaDuración
mínima
Duración
máxima
1 -60 -13
2 -12 -6
3 -5 9
4 10 17
5 18 60
Tabla A3.2 : Distancias mínima y máxima entre categorías de rachas del IOS
Categoría
inicial
Categoría
final
Distancia
mínima
Distancia
máxima
Distancia
mínima si
consecutivas
Distancia
máxima si
consecutivas
1 1 5 102 5 5
1 2 3 73 3 48
1 3 0 360 0 0
1 4 0 118 0 0
1 5 0 360 0 0
2 1 24 300 42 42
2 2 11 130 11 16
2 3 0 360 0 0
2 4 10 131 10 41
2 5 2 137 2 56
3 1 0 360 0 0
3 2 0 129 0 0
3 3 0 360 0 0
3 4 0 137 0 0
3 5 0 160 0 0
4 1 4 312 4 30
4 2 0 91 0 0
4 3 0 360 0 0
4 4 18 140 18 140
4 5 50 86 50 86
5 1 28 241 28 28
5 2 0 90 0 19
5 3 0 360 0 0
5 4 3 66 3 3
5 5 13 162 13 162
Anexo 3 : Características históricas de longitud rachas IOS 135
Promedio IOS en rachas positivas de diferente longitud Probabilidad de excedencia de 0.001, 0.01, .02 y .025
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
0.025 0.02 0.01 0.001
(a)
Promedio IOS en rachas negativas de diferente longitud Probabilidad de excedencia de 0.999, 0.99, .98 y .975
-2.5
-2.3
-2.1
-1.9
-1.7
-1.5
-1.3
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
0.999 0.99 0.98 0.975
(b)
Figura A3.1 : Valores extremos del promedio móvil del IOS
136 Anexo 3 : Variables de rachas IOS
Ct , t=1,36 (1/04-12/06)Río Nare
-1
0
1
1 6 11 16 21 26 31 36
Sj , j=1,617 (8/55-12/06)Río Nare
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Anexo 3 : Variables de rachas IOS 137
S+j Longitud de rachas positivas (8/55-12/06)
Río Nare
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76
S-j Longitud de rachas negativas (8/55-12/06)
Río Nare
-30
-24
-18
-12
-6
0
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76
138 Anexo 3 : Variables de rachas IOS
Ct Grande (1/04-12/06)
-1
0
1
1 6 11 16 21 26 31
Ct Calima (1/04-12/06)
-1
0
1
1 6 11 16 21 26 31 36
Ct Urrá (1/04-12/06)
-1
0
1
1 6 11 16 21 26 31 36
Ct IOS (1/04-12/06)
-1
0
1
1 6 11 16 21 26 31 36
Grande S (1/42 -12/06)
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
1942 1947 1952 1957 1962 1967 1972 1977 1982 1987 1992 1997 2002
Calima S (1/46 -12/06)
-20
0
20
40
60
80
100
120
1946 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006
Urrá S (1/60 -12/06)
0
10
20
30
40
50
60
70
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
S IOS (1/47 -12/06)
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
1947 1952 1957 1962 1967 1972 1977 1982 1987 1992 1997 2002
Anexo 3 : Variables de rachas IOS 139
S+j Grande (1/42-12/07)
0
5
10
15
20
25
30
35
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109
S+j Calima (1/46-12/06)
0
5
10
15
20
25
30
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
S+j Urrá (1/60-12/06)
0
5
10
15
20
25
30
35
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
S+j IOS (1/47-12/06)
0
5
10
15
20
25
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109
S-j Río Grande (1/42-12/06)
-30
-24
-18
-12
-6
0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109
S-j Río Calima (1/46-12/06)
-24
-18
-12
-6
0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
S-j Río Urrá (1/60-12/06)
-18
-12
-6
0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82
S-j IOS (1/47-12/06)
-18
-12
-6
0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109
140 Anexo 4 : Parámetros de las series históricas
PARAMETROS HISTORICOS
Medias mensuales
1947-2006
Grande 23.1 21.9 23.3 31.5 39.3 36.4 32.6 32.4 36.6 44.0 43.9 32.8
Calima 11.1 9.6 9.5 13.1 15.6 13.0 8.4 6.6 8.0 14.8 20.0 15.9
Salvajina 164.9 144.9 136.8 150.3 151.3 126.7 103.0 74.3 62.7 109.8 196.4 213.9
Nare 35.3 31.4 33.7 45.3 60.2 56.8 46.8 47.5 58.3 65.9 66.0 49.5
Batá 11.8 9.8 13.2 33.0 71.2 112.1 139.9 122.4 75.3 60.9 50.6 25.9
Urrá 171.5 131.9 130.7 228.1 417.1 476.8 491.4 450.0 431.5 458.9 407.4 286.5
Desviaciones mensuales
1947-2006
Grande 7.2 8.7 9.0 9.0 10.9 9.8 10.7 10.6 11.2 11.0 9.4 8.9
Calima 5.0 5.3 5.2 5.4 5.7 5.0 3.8 3.5 4.3 5.9 6.6 5.8
Salvajina 66.5 68.2 63.4 51.2 46.4 34.3 26.5 17.5 21.0 42.0 64.6 84.9
Nare 9.7 9.9 11.3 13.9 18.4 16.5 15.4 16.4 19.3 15.7 17.9 15.1
Batá 4.9 3.5 6.6 14.8 28.3 34.7 37.3 39.1 22.1 19.1 15.5 10.8
Urrá 78.9 57.9 75.8 103.6 115.8 104.7 100.7 102.2 72.3 85.6 81.5 76.8
Medias mensuales
1947-1996
Grande 23.2 22.1 23.2 31.6 39.6 36.2 33.4 33.9 37.1 45.8 44.8 32.7
Calima 11.1 9.7 9.3 12.9 16.0 13.4 8.7 6.9 7.9 15.3 20.1 15.9
Salvajina 163.2 144.5 137.5 149.5 154.4 128.1 105.6 76.1 64.1 114.3 199.6 217.1
Nare 35.1 30.7 32.3 44.2 59.5 55.0 46.8 49.4 58.3 66.9 65.0 48.1
Batá 11.8 9.6 13.1 32.7 69.5 111.7 141.2 121.9 75.5 61.8 50.6 26.4
Urrá 180.2 129.7 130.0 219.1 411.6 475.4 495.5 462.1 436.0 470.0 411.5 282.2
Anexo 4 : Parámetros de las series históricas 141
Desviaciones mensuales
1947-1996
Grande 7.3 8.8 8.8 9.2 11.0 10.2 10.9 10.3 10.3 10.3 9.2 8.5
Calima 4.9 5.3 4.8 5.3 5.6 5.3 4.0 3.7 4.3 5.8 6.8 5.8
Salvajina 58.3 64.1 62.7 51.5 48.1 36.1 26.5 17.3 20.9 43.2 64.3 85.6
Nare 9.6 8.4 8.9 13.9 18.3 15.5 15.3 16.1 17.8 14.4 16.6 11.7
Batá 5.1 3.4 7.0 14.6 28.2 29.7 33.5 40.8 21.7 19.0 15.9 11.0
Urrá 85.0 54.4 79.1 102.6 123.3 115.7 105.6 107.8 72.6 85.6 86.2 78.3
Medias mensuales
1960-1996
Grande 23.7 22.1 24.0 32.5 40.3 36.2 32.7 33.4 38.4 46.5 45.8 33.0
Calima 10.4 8.9 8.6 12.2 14.7 11.9 7.7 6.3 7.9 14.5 19.5 14.7
Salvajina 160.0 142.7 134.7 149.1 151.2 123.1 104.0 74.4 65.3 111.6 198.1 210.5
Nare 35.0 30.6 32.4 44.9 59.7 55.9 47.8 49.9 59.3 67.6 65.6 48.4
Batá 12.1 9.9 13.4 33.7 69.4 111.0 138.7 116.8 74.2 60.8 50.9 27.0
Urrá 180.2 129.7 130.0 219.1 411.6 475.4 495.5 462.1 436.0 470.0 411.5 282.2
Desviaciones mensuales
1960-1996
Grande 7.1 7.8 9.3 9.4 12.0 9.8 11.1 9.7 10.4 9.4 9.5 8.2
Calima 5.1 5.1 4.3 5.0 4.5 3.8 3.6 3.6 4.6 5.1 6.9 5.1
Salvajina 58.8 58.3 56.0 44.7 37.4 26.3 23.0 15.1 22.3 40.6 63.9 87.4
Nare 8.2 7.2 8.4 14.1 18.3 15.1 15.3 16.9 18.1 13.5 16.0 11.0
Batá 5.3 3.4 7.3 14.9 28.2 30.7 30.9 33.7 21.0 17.8 15.9 11.2
Urrá 85.0 54.4 79.1 102.6 123.3 115.7 105.6 107.8 72.6 85.6 86.2 78.3
142 Anexo 4 : Parámetros de las series históricas
MEDIAS HISTORICAS
GRANDE
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
CALIMA
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
SALVAJINA
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
1947-2006 1947-1996 1960-1996
NARE
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
BATA
0.0
30.0
60.0
90.0
120.0
150.0E
ne
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
URRA
0.0
100.0
200.0
300.0
400.0
500.0
600.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
1947-2006 1947-1996 1960-1996
Anexo 4 : Parámetros de las series históricas 143
DESVIACION ESTANDAR HISTORICA
GRANDE
0.0
5.0
10.0
15.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
CALIMA
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
SALVAJINA
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
1947-2006 1947-1996 1960-1996
NARE
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
BATA
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
URRA
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
En
e
Feb
Mar
Ab
r
May
Jun
Jul
Ag
o
Sep Oct
No
v
Dic
1947-2006 1947-1996 1960-1996
144 Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos
MODELO
AR(1)
Medias mensuales
Grande 23.2 22.0 23.2 31.6 39.5 36.2 33.4 33.9 37.2 45.9 44.8 32.7
Calima 11.1 10.3 9.3 12.9 16.0 13.4 8.8 7.6 8.0 15.4 20.2 15.9
Salvajina 163.4 144.9 137.9 149.6 154.2 127.9 105.5 76.1 63.9 114.7 199.7 216.0
Nare 34.8 30.5 32.0 43.8 59.0 54.7 46.4 48.9 57.9 66.6 64.6 47.8
Batá 11.7 9.6 13.1 32.9 69.8 112.0 141.4 121.9 75.6 62.0 50.6 26.4
Urrá 181.7 131.5 129.8 223.4 417.4 479.8 501.1 466.1 438.5 473.0 413.9 284.7
Matriz A
0.48991 -0.04859 0.17177 0.10115 -0.01304 0.01860
-0.03863 0.61503 0.12371 0.03168 -0.03390 0.05227
0.12327 -0.00836 0.55239 0.03318 -0.03919 0.03904
0.03987 -0.01465 0.11075 0.57857 -0.02324 0.01084
-0.00249 -0.05588 -0.02186 0.02861 0.42529 0.06802
-0.05420 0.04581 0.10192 0.09469 -0.06706 0.51222
Matriz B
0.59586 -0.24060 -0.10822 -0.22955 -0.01902 -0.25072
0.49038 -0.12914 -0.14697 0.32752 0.32472 0.00930
0.54015 0.12692 -0.20691 0.31657 -0.30806 0.01125
0.54536 -0.23507 -0.17991 -0.28618 -0.01304 0.23215
0.53756 0.68987 0.15551 -0.14041 0.08683 0.00174
0.40398 -0.25872 0.65063 0.09090 -0.05214 0.02775
Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos 145
MODELO
AR(1)[GA]
Medias mensuales - Categoría 1
Grande 17.4 15.0 18.3 25.5 34.6 24.2 25.4 27.6 31.1 37.4 38.0 26.6
Calima 6.3 4.7 5.8 9.1 12.4 8.1 5.6 5.9 6.0 11.3 13.4 9.0
Salvajina 118.9 86.0 84.3 116.5 134.5 97.0 87.0 71.0 61.8 88.9 162.0 148.3
Nare 31.4 27.5 28.6 42.9 52.0 40.1 38.9 45.5 48.5 59.3 55.5 42.3
Batá 9.1 8.6 11.6 30.4 60.1 98.9 145.6 123.4 82.6 52.8 52.5 21.9
Urrá 119.3 102.4 98.9 237.1 444.8 430.8 484.8 441.4 372.5 474.2 381.2 265.3
Medias mensuales - Categoría 2
Grande 18.0 15.7 25.2 34.3 46.6 33.9 29.8 29.2 28.3 38.1 41.4 28.2
Calima 7.1 6.4 10.9 13.9 18.3 12.2 7.0 4.8 5.9 12.5 20.2 13.6
Salvajina 122.9 100.5 138.6 164.9 164.3 117.7 99.5 69.3 54.3 92.2 192.4 197.5
Nare 25.8 21.8 28.6 48.4 82.3 48.1 39.3 40.5 44.0 57.5 60.8 37.1
Batá 9.6 7.9 21.0 55.0 99.1 115.1 155.9 135.7 82.2 56.6 46.4 17.9
Urrá 113.1 77.0 94.5 221.7 510.3 459.0 428.5 381.8 425.5 393.2 352.2 213.0
Medias mensuales - Categoría 3
Grande 21.8 20.7 20.2 30.7 36.2 35.1 32.2 31.2 36.0 45.1 44.0 31.0
Calima 11.1 9.3 8.0 13.2 15.1 13.6 9.0 7.5 7.4 15.3 18.9 15.6
Salvajina 156.8 133.1 125.2 144.2 145.3 126.5 98.8 72.5 58.5 112.0 187.7 206.9
Nare 33.0 28.7 28.9 40.4 54.9 54.4 44.6 45.2 55.3 63.4 61.8 46.3
Batá 11.6 9.3 11.0 31.5 64.8 115.0 141.3 123.1 72.0 64.1 49.1 27.8
Urrá 176.8 139.5 125.2 211.1 390.2 494.2 498.0 454.5 431.4 463.6 404.7 279.9
146 Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos
Medias mensuales - Categoría 4
Grande 27.9 28.3 30.2 32.7 43.7 44.3 43.6 48.6 44.8 50.0 53.8 42.5
Calima 12.3 14.4 13.5 13.0 18.7 14.9 11.9 9.7 10.3 16.2 29.8 22.5
Salvajina 195.0 227.7 202.9 182.1 192.3 154.3 152.7 91.6 77.8 123.1 274.2 316.3
Nare 44.5 39.4 40.4 49.9 62.9 64.6 63.5 66.5 72.2 80.7 89.3 67.0
Batá 12.5 11.3 18.6 29.5 80.8 117.8 131.4 94.9 60.4 63.6 65.7 37.1
Urrá 265.7 154.6 156.6 222.8 421.7 478.2 591.9 626.1 497.0 547.7 507.9 367.5
Medias mensuales - Categoría 5
Grande 37.3 41.1 39.2 45.4 50.4 45.8 41.8 43.8 52.0 62.9 56.0 45.3
Calima 19.2 18.3 15.3 15.4 17.6 16.4 9.7 10.0 12.9 21.9 26.5 20.6
Salvajina 255.7 228.3 197.7 168.6 161.1 144.4 121.8 91.7 92.6 167.9 263.3 260.9
Nare 49.3 45.3 45.6 56.2 70.1 67.7 58.5 62.1 79.5 84.7 78.8 61.6
Batá 16.5 11.9 15.8 32.5 69.7 94.9 127.2 121.3 89.5 66.1 50.4 26.0
Urrá 286.9 147.4 188.6 259.5 424.5 448.3 494.8 471.0 481.6 520.7 526.1 345.6
Matriz A
0.35437 -0.10205 0.17680 0.10179 -0.04134 0.04158
-0.14463 0.56479 0.08969 0.08810 -0.00309 0.05229
0.00472 -0.02403 0.50807 0.06533 -0.03913 0.01150
0.00712 -0.05868 0.09128 0.49813 -0.01674 -0.02729
-0.08349 -0.09184 0.01733 0.02561 0.37457 0.08853
-0.06423 0.03391 0.08342 0.07086 -0.01794 0.46008
Matriz B
0.72070 -0.24046 -0.04770 -0.23860 -0.03323 -0.33341
0.52744 -0.09324 -0.22358 0.39047 0.35482 0.01372
0.60251 0.23350 -0.23917 0.34312 -0.33451 0.03787
0.65262 -0.26178 -0.11485 -0.36130 -0.00505 0.29721
0.46637 0.73671 0.22395 -0.19185 0.12412 0.00051
0.37620 -0.24175 0.70951 0.22473 -0.04318 0.04262
Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos 147
MODELO
AR(1)[MA]
Medias mensuales - Categoría 1
Grande 17.4 15.0 18.3 25.5 34.6 24.2 25.4 27.6 31.1 37.4 38.0 26.6
Calima 6.3 4.7 5.8 9.1 12.4 8.0 5.6 5.9 6.0 11.3 13.4 9.0
Salvajina 118.9 85.9 84.2 116.4 134.5 97.0 87.0 70.9 61.8 88.8 161.9 148.2
Nare 31.4 27.5 28.6 42.9 52.0 40.1 38.9 45.5 48.5 59.3 55.5 42.3
Batá 9.1 8.6 11.6 30.4 60.1 98.9 145.6 123.4 82.5 52.8 52.4 21.9
Urrá 119.3 102.4 98.9 237.1 444.8 430.8 484.8 441.4 372.5 474.2 381.2 265.3
Medias mensuales - Categoría 2
Grande 18.0 15.7 25.2 34.3 46.6 33.9 29.8 29.2 28.3 38.1 41.4 101.3
Calima 7.1 6.4 10.9 13.9 18.3 12.2 7.0 4.8 5.9 12.5 20.2 101.3
Salvajina 122.9 100.5 138.6 164.9 164.3 117.7 99.5 69.3 54.3 92.2 192.4 101.3
Nare 25.8 21.8 28.6 48.4 82.3 48.1 39.3 40.5 44.0 57.5 60.8 101.3
Batá 9.6 7.9 21.0 55.0 99.1 115.1 155.9 135.7 82.2 56.6 46.4 101.3
Urrá 113.1 77.0 94.5 221.7 510.3 459.0 428.5 381.8 425.5 393.2 352.2 101.3
Medias mensuales - Categoría 3
Grande 21.8 20.7 20.2 30.7 36.2 35.1 32.2 31.2 36.0 45.1 44.0 31.0
Calima 11.1 9.3 8.0 13.2 15.1 13.6 9.0 7.5 7.4 15.3 18.9 15.6
Salvajina 156.7 133.1 125.1 144.1 145.3 126.5 98.8 72.4 58.4 111.9 187.7 206.8
Nare 33.0 28.7 28.9 40.4 54.9 54.4 44.6 45.2 55.3 63.4 61.8 46.3
Batá 11.6 9.3 11.0 31.5 64.8 115.0 141.3 123.0 72.0 64.1 49.1 27.7
Urrá 176.8 139.5 125.2 211.1 390.3 494.2 498.0 454.5 431.4 463.6 404.7 279.9
148 Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos
Medias mensuales - Categoría 4
Grande 27.9 28.3 30.2 32.7 43.7 44.3 43.6 48.6 44.8 50.0 53.8 42.5
Calima 12.3 14.4 13.5 13.0 18.7 14.9 11.9 9.7 10.3 16.2 29.8 22.5
Salvajina 194.9 227.6 202.7 182.0 192.2 154.2 152.7 91.5 77.7 123.0 274.1 316.2
Nare 44.5 39.4 40.4 49.9 62.9 64.6 63.5 66.5 72.2 80.7 89.3 67.0
Batá 12.5 11.3 18.6 29.5 80.8 117.8 131.4 94.8 60.4 63.6 65.7 37.0
Urrá 265.7 154.6 156.6 222.8 421.7 478.2 591.9 626.1 497.0 547.7 507.9 367.5
Medias mensuales - Categoría 5
Grande 37.3 41.1 39.2 45.4 50.4 45.8 41.8 43.8 52.0 62.9 56.0 45.3
Calima 19.2 18.3 15.3 15.4 17.6 16.4 9.7 10.0 12.9 21.9 26.5 20.6
Salvajina 255.6 228.2 197.7 168.5 161.0 144.4 121.8 91.6 92.6 167.9 263.2 260.8
Nare 49.3 45.3 45.6 56.2 70.1 67.7 58.5 62.1 79.5 84.6 78.8 61.6
Batá 16.5 11.9 15.8 32.5 69.7 94.9 127.2 121.3 89.5 66.1 50.3 26.0
Urrá 286.9 147.4 188.6 259.5 424.5 448.3 494.8 471.0 481.6 520.7 526.2 345.6
Matriz A
0.35492 -0.10384 0.17694 0.10177 -0.04134 0.04157
-0.14482 0.56342 0.09110 0.08807 -0.00308 0.05228
0.00473 -0.02512 0.50884 0.06531 -0.03913 0.01149
0.00747 -0.06002 0.09152 0.49812 -0.01674 -0.02729
-0.08337 -0.09236 0.01745 0.02561 0.37457 0.08853
-0.06411 0.03336 0.08358 0.07085 -0.01794 0.46008
Matriz B
0.72082 -0.24003 -0.04762 -0.23858 -0.03314 -0.33348
0.52827 -0.09418 -0.22297 0.39001 0.35490 0.01396
0.60366 0.23253 -0.23894 0.34329 -0.33442 0.03796
0.65267 -0.26147 -0.11470 -0.36188 -0.00517 0.29697
0.46653 0.73708 0.22329 -0.19126 0.12408 0.00051
0.37610 -0.24145 0.71003 0.22369 -0.04317 0.04260
Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos 149
MODELO
AR(6)
Medias mensuales
Grande 23.7 22.1 24.0 32.5 40.3 36.2 32.7 33.4 38.4 46.5 45.8 33.0
Calima 10.4 8.9 8.6 12.2 14.7 11.9 7.7 6.3 7.9 14.5 19.5 14.7
Salvajina 160.0 142.7 134.7 149.1 151.2 123.1 104.0 74.4 65.3 111.6 198.1 210.5
Nare 35.0 30.6 32.4 44.9 59.7 55.9 47.8 49.9 59.3 67.6 65.6 48.4
Batá 12.1 9.9 13.4 33.7 69.4 111.0 138.7 116.8 74.2 60.8 50.9 27.0
Urrá 180.2 129.7 130.0 219.1 411.6 475.4 495.5 462.1 436.0 470.0 411.5 282.2
MATRIZ A - REZAGOS [1] a [6]
Matriz A
GrandeGrande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] 0.46607 0.14978 0.18318 -0.01678 0.01406 0.01733
[2] 0.11088 0.00379 0.01826 0.06506 0.02135 0.09940
[3] -0.00024 -0.00127 -0.00721 -0.01689 -0.06485 -0.07005
[4] 0.12754 0.05947 0.01317 0.03420 0.02274 0.06117
[5] 0.06027 0.00346 -0.04406 0.01742 0.06004 -0.02203
[6] -0.13840 -0.10425 0.06328 -0.03295 -0.05864 -0.07023
Matriz A
CalimaGrande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] -0.00691 0.53079 0.13565 0.15431 0.04946 0.07668
[2] 0.09583 0.15072 0.05895 -0.17100 -0.02766 -0.06876
[3] -0.07197 -0.10916 -0.12168 -0.03764 -0.02237 0.00134
[4] 0.00771 0.02762 0.08447 0.00433 0.11624 0.08214
[5] -0.00499 0.05591 0.05144 0.02547 -0.16897 -0.01695
[6] 0.06832 0.14649 -0.06207 0.05367 0.10435 0.00061
150 Anexo 5 : Parámetros estimados por los modelos
Matriz A
Salvajina Grande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] 0.03131 -0.04812 0.28413 -0.07897 0.07765 -0.07742
[2] 0.00528 -0.02206 0.03593 0.02002 -0.09487 0.02597
[3] 0.10192 0.02953 0.12540 -0.02139 0.03074 -0.04666
[4] -0.04336 -0.03084 0.04922 0.06481 -0.03011 -0.02642
[5] -0.01704 -0.08657 -0.06905 -0.05855 0.01023 0.07611
[6] -0.02446 -0.11552 -0.07267 -0.05865 -0.01531 0.02234
Matriz A
NareGrande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] -0.06852 -0.04065 -0.00681 0.59412 -0.05322 -0.07263
[2] 0.06229 0.07361 0.07005 -0.01781 0.07205 0.01358
[3] 0.04111 -0.01366 -0.02277 0.06740 -0.04088 0.07720
[4] -0.03391 -0.01128 0.02934 0.08525 0.17717 -0.09089
[5] 0.03520 0.03856 -0.00827 0.02212 -0.10611 0.03927
[6] 0.02657 -0.02542 -0.02962 -0.04698 0.00163 -0.02344
Matriz A
BatáGrande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] -0.00586 -0.05247 -0.02361 0.02166 0.43006 0.06966
[2] 0.01069 0.08082 -0.03745 0.04729 0.04312 -0.00800
[3] -0.08831 -0.06826 -0.02746 -0.04739 0.02321 -0.05119
[4] 0.01935 -0.03623 -0.02889 0.00064 0.09824 -0.01903
[5] 0.04342 0.13353 0.03570 0.03408 -0.03943 0.04427
[6] -0.01392 -0.00205 -0.05726 0.04599 -0.00930 -0.01139
Matriz A
UrráGrande Calima Salvajina Nare Bata Urrá
[1] 0.01956 0.06992 0.04499 -0.02362 -0.03548 0.42965
[2] -0.04274 -0.08686 -0.05653 -0.02008 0.05506 0.09154
[3] -0.01402 -0.03359 -0.03182 0.04593 0.04750 0.06205
[4] 0.03288 0.03514 0.05551 -0.02652 -0.08661 0.01425
[5] 0.08410 0.05173 0.08505 -0.05478 0.02099 -0.02464
[6] -0.00688 -0.01647 0.01187 -0.01871 -0.03132 -0.06694
Anexo 6 : Parámetros de las series sintéticas 151
MODELO
AR(1)
Medias mensuales
Grande 23.2 22.1 23.2 31.7 39.4 36.1 33.5 33.7 37.0 45.7 44.9 32.5
Calima 11.3 10.7 9.4 13.1 16.0 13.4 8.8 7.5 7.8 15.1 20.0 15.9
Salvajina 165.4 146.4 137.9 151.0 154.9 128.3 106.2 76.1 63.5 113.8 199.2 220.0
Nare 35.0 30.6 32.1 43.7 58.7 54.3 46.4 48.8 57.7 66.4 64.6 47.6
Batá 11.5 9.4 13.0 33.2 70.4 112.2 142.3 122.5 75.3 62.1 50.5 26.1
Urrá 177.5 129.4 129.5 221.9 415.7 479.6 498.1 462.4 437.6 470.8 412.2 278.6
Desviación estándar mensual
Grande 6.5 7.6 7.7 8.7 9.7 10.2 11.1 9.8 10.5 10.3 9.1 7.8
Calima 5.3 7.9 4.5 5.6 5.1 5.1 4.6 6.0 4.5 6.0 7.5 5.4
Salvajina 57.6 64.6 59.4 50.8 42.3 31.1 24.3 15.8 18.1 44.4 64.3 72.2
Nare 8.4 7.5 7.9 11.8 16.8 14.6 14.6 13.6 17.4 13.6 16.2 10.5
Batá 3.9 3.2 6.4 15.3 29.9 30.7 34.0 37.1 21.5 19.5 15.3 10.2
Urrá 76.5 55.9 64.9 107.0 134.6 121.1 120.9 108.3 73.6 87.0 81.2 82.4
Agregación 1 3 5 7 9 11 13
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 12 12 12 12 12 12 12
Media 7642.2 402.9 148.9 1662.8 585.9 728.5 4113.2
Desviación 991.1 67.2 41.9 321.3 95.0 119.1 610.9
Agregación 2 4 6 8 10 12 14
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 24 24 24 24 24 24 24
Media 15287.4 806.3 298.1 3327.0 1172.5 1455.4 8228.1
Desviación 1471.7 99.9 63.3 487.3 139.9 166.6 892.3
152 Anexo 6 : Parámetros de las series sintéticas
MODELO
AR(1)[GA]
Medias mensuales
Grande 22.7 21.9 23.1 32.2 39.6 35.8 33.6 33.3 36.5 45.3 45.3 32.6
Calima 10.9 9.9 9.4 13.1 15.9 13.2 8.8 7.3 7.8 15.2 20.5 16.2
Salvajina 160.3 142.5 138.5 151.3 154.3 127.4 106.0 75.1 62.8 112.2 201.5 221.8
Nare 34.3 30.1 31.4 44.2 60.7 54.4 46.6 48.1 56.4 65.5 65.9 48.2
Batá 11.4 9.5 13.7 34.1 70.7 113.1 142.1 121.5 74.1 61.8 51.5 26.9
Urrá 177.9 130.3 128.0 222.5 417.4 477.8 496.8 464.6 435.6 470.7 418.5 281.4
Desviación estándar mensual
Grande 6.5 8.0 8.4 8.5 10.3 9.8 11.3 9.6 9.7 9.9 9.1 8.2
Calima 4.6 6.1 4.6 5.1 5.0 4.9 4.8 5.8 4.5 5.6 7.1 5.5
Salvajina 54.8 60.4 63.2 50.0 43.4 31.9 26.2 15.9 18.3 40.6 66.0 74.6
Nare 8.4 7.5 7.8 11.6 19.1 15.0 15.1 13.5 16.7 13.5 17.2 12.6
Batá 3.8 3.2 6.9 16.4 28.0 32.0 33.0 36.3 21.6 18.9 15.6 10.8
Urrá 82.4 55.6 64.8 102.6 126.7 111.7 105.7 110.4 75.0 83.4 82.0 88.6
Agregación 1 3 5 7 9 11 13
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 12 12 12 12 12 12 12
Media 7640.7 401.7 147.9 1653.5 585.9 730.3 4121.4
Desviación 910.6 67.4 37.9 318.9 95.4 111.2 540.8
Agregación 2 4 6 8 10 12 14
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 24 24 24 24 24 24 24
Media 15272.0 803.0 295.7 3304.9 1171.7 1461.1 8235.6
Desviación 1363.4 101.9 56.9 484.8 141.9 157.7 788.3
Anexo 6 : Parámetros de las series sintéticas 153
MODELO
AR(1)[MA]
Medias mensuales
Grande 22.7 21.9 23.4 31.8 39.2 35.3 33.4 33.9 36.5 45.0 44.9 32.2
Calima 10.7 9.8 9.5 13.1 16.0 13.0 8.7 7.3 7.7 14.8 20.0 15.7
Salvajina 161.2 145.1 139.0 151.9 155.7 127.3 107.8 76.1 63.4 111.0 199.6 218.7
Nare 34.9 30.6 31.9 44.3 60.0 53.8 47.0 48.9 57.0 66.1 65.2 47.8
Batá 11.2 9.4 13.8 34.3 72.1 112.0 141.9 120.1 73.8 61.7 51.1 26.4
Urrá 179.0 127.4 125.9 220.5 420.2 477.4 499.1 466.5 435.0 470.7 413.5 279.4
Desviación estándar mensual
Grande 6.6 8.2 8.3 8.7 9.6 10.1 11.7 10.2 10.0 9.6 8.9 7.9
Calima 4.6 5.5 4.9 5.3 5.2 5.1 4.5 5.5 4.3 5.5 7.2 5.5
Salvajina 54.1 64.1 62.0 51.1 45.0 34.0 28.0 16.7 18.9 40.1 66.8 74.8
Nare 9.0 7.9 7.9 11.3 17.9 14.6 15.8 14.0 17.1 13.2 17.1 11.9
Batá 3.6 3.2 7.6 16.5 31.2 30.3 32.9 35.9 20.6 18.7 15.4 10.8
Urrá 83.7 55.7 67.1 100.9 127.7 118.9 106.1 118.5 75.2 87.9 82.4 85.2
Agregación 1 3 5 7 9 11 13
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 12 12 12 12 12 12 12
Media 7633.3 400.2 146.3 1656.9 587.5 727.9 4114.4
Desviación 939.0 70.0 37.9 339.3 96.6 108.4 542.9
Agregación 2 4 6 8 10 12 14
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 24 24 24 24 24 24 24
Media 15276.5 801.2 292.9 3317.4 1176.4 1453.6 8234.9
Desviación 1455.0 112.7 59.5 532.4 148.8 152.0 806.2
154 Anexo 6 : Parámetros de las series sintéticas
MODELO
AR(6)
Medias mensuales
Grande 23.3 22.1 23.3 32.2 40.0 36.7 34.4 35.0 37.7 46.4 45.1 32.8
Calima 10.0 8.7 8.3 11.8 14.8 12.2 8.0 6.7 7.1 14.1 18.8 14.9
Salvajina 159.2 140.3 132.9 147.4 151.3 124.8 104.8 75.7 62.9 112.3 197.6 211.1
Nare 35.0 30.7 32.3 44.8 59.6 55.7 48.0 50.0 58.6 67.4 65.5 48.0
Batá 11.5 9.4 13.1 33.1 69.5 111.6 141.2 120.1 75.3 60.8 50.6 25.7
Urrá 166.8 121.5 121.1 209.1 398.0 463.8 487.5 451.3 427.1 461.6 401.3 272.8
Desviación estándar mensual
Grande 6.5 7.5 8.1 9.4 10.1 10.3 11.7 10.9 10.2 10.7 9.2 7.8
Calima 4.9 6.8 4.3 5.5 4.9 4.9 4.4 5.4 4.1 6.1 7.3 5.3
Salvajina 58.6 62.3 62.4 50.7 43.8 29.8 24.7 15.7 17.3 43.6 64.4 69.4
Nare 8.6 7.5 8.0 13.3 18.1 15.4 15.7 14.4 17.9 14.7 16.5 10.4
Batá 4.1 3.5 6.9 16.6 30.3 31.4 35.1 37.0 22.2 19.1 15.4 10.3
Urrá 70.8 48.0 56.4 99.3 122.3 109.2 113.2 101.0 68.0 82.6 74.4 70.6
Agregación 1 3 5 7 9 11 13
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 12 12 12 12 12 12 12
Media 7463.8 408.9 135.5 1620.0 595.4 722.0 3981.9
Desviación 818.5 75.9 39.8 302.1 100.3 129.5 521.0
Agregación 2 4 6 8 10 12 14
Ríos Todos Grande Calima Salvajina Nare Batá Urrá
Meses 24 24 24 24 24 24 24
Media 14923.8 817.9 270.5 3239.5 1189.9 1441.2 7964.7
Desviación 1220.7 113.9 61.7 454.7 157.7 190.8 756.9
Anexo 7 : Parámetros de agregaciones espacio-temporales 155
MEDIAS DE AGREGACIONES TEMPORALES
Sintéticas Históricas
Agreg Ríos MesesAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1947-
1996
1960-
1996
1 12 7642.2 7640.7 7633.3 7463.8 7314.5 7589.1
2Todos
24 15287.4 15272.0 15276.5 14923.8 14628.9 15129.8
3 12 402.9 401.7 400.2 408.9 403.8 408.7
4Grande
24 806.3 803.0 801.2 817.9 807.6 811.1
5 12 148.9 147.9 146.3 135.5 147.1 137.3
6Calima
24 298.1 295.7 292.9 270.5 294.1 274.4
7 12 1662.8 1653.5 1656.9 1620.0 1653.8 1624.6
8Salvajina
24 3327.0 3304.9 3317.4 3239.5 3307.6 3241.7
9 12 585.9 585.9 587.5 595.4 586.7 597.1
10Nare
24 1172.5 1171.7 1176.4 1189.9 1173.3 1187.4
11 12 728.5 730.3 727.9 722.0 725.8 718.0
12Bata
24 1455.4 1461.1 1453.6 1441.2 1452.2 1436.2
13 12 4113.2 4121.4 4114.4 3981.9 4103.3 4103.3
14Urrá
24 8228.1 8235.6 8234.9 7964.7 8179.0 8179.0
DESVIACION ESTANDAR DE AGREGACIONES TEMPORALES
Sintéticas Históricas
Agreg Ríos MesesAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1947-
1996
1960-
1996
1 12 991.1 910.6 939.0 818.5 953.4 899.5
2Todos
24 1471.7 1363.4 1455.0 1220.7 1442.3 1569.6
3 12 67.2 67.4 70.0 75.9 77.5 74.5
4Grande
24 99.9 101.9 112.7 113.9 125.7 123.7
5 12 41.9 37.9 37.9 39.8 40.9 34.2
6Calima
24 63.3 56.9 59.5 61.7 66.3 56.8
7 12 321.3 318.9 339.3 302.1 356.1 279.3
8Salvajina
24 487.3 484.8 532.4 454.7 559.8 455.5
9 12 95.0 95.4 96.6 100.3 103.5 93.6
10Nare
24 139.9 141.9 148.8 157.7 174.2 159.3
11 12 119.1 111.2 108.4 129.5 114.8 105.0
12Bata
24 166.6 157.7 152.0 190.8 128.3 124.8
13 12 610.9 540.8 542.9 521.0 606.1 606.1
14Urrá
24 892.3 788.3 806.2 756.9 1061.0 1061.0
156 Anexo 7 : Parámetros de agregaciones espacio-temporales
AJUSTE MEDIAS SINTETICAS DE AGREGACIONES TEMPORALES
Sintéticas
Agreg Ríos MesesAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 12 0.0448 0.0446 0.0436 0.0165
2Todos
24 0.0450 0.0440 0.0443 0.0136
3 12 0.0023 0.0051 0.0088 0.0005
4Grande
24 0.0016 0.0056 0.0079 0.0084
5 12 0.0128 0.0054 0.0049 0.0130
6Calima
24 0.0136 0.0052 0.0043 0.0143
7 12 0.0054 0.0002 0.0019 0.0028
8Salvajina
24 0.0058 0.0008 0.0029 0.0007
9 12 0.0012 0.0014 0.0013 0.0028
10Nare
24 0.0007 0.0014 0.0027 0.0022
11 12 0.0037 0.0062 0.0029 0.0055
12Bata
24 0.0022 0.0061 0.0010 0.0035
13 12 0.0024 0.0044 0.0027 0.0296
14Urrá
24 0.0060 0.0069 0.0068 0.0262
AJUSTE DESVIACION SINTETICA AGREGACIONES TEMPORALES
Sintéticas
Agreg Ríos MesesAR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 12 0.0396 0.0448 0.0151 0.0901
2Todos
24 0.0204 0.0547 0.0088 0.2223
3 12 0.1331 0.1299 0.0958 0.0191
4Grande
24 0.2050 0.1890 0.1029 0.0795
5 12 0.0248 0.0742 0.0727 0.1635
6Calima
24 0.0456 0.1420 0.1024 0.0856
7 12 0.0977 0.1044 0.0472 0.0819
8Salvajina
24 0.1295 0.1339 0.0490 0.0016
9 12 0.0820 0.0774 0.0664 0.0719
10Nare
24 0.1971 0.1853 0.1459 0.0105
11 12 0.0371 0.0312 0.0560 0.2328
12Bata
24 0.2987 0.2292 0.1849 0.5287
13 12 0.0080 0.1077 0.1043 0.1404
14Urrá
24 0.1590 0.2570 0.2401 0.2866
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.0476 0.0336 0.0250 0.0526 0.0547 0.2022 0.1481 0.2533 0.2341
1 2 0.0476 0.0990 0.1123 0.1283 0.1158 0.3333 0.5956 0.6667 0.6178 0.4960
1 4 0.0476 0.0327 0.0241 0.0175 0.0528 0.3333 0.1967 0.1429 0.0844 0.2262
1 5 0.0009 0.0071 0.0092 0.0102 0.0055 0.0423 0.0444 0.0437
2 1 0.0952 0.0926 0.1087 0.1320 0.1094 0.1538 0.1409 0.1640 0.2082 0.2107
2 2 0.3333 0.4441 0.4189 0.4072 0.2706 0.5385 0.6754 0.6317 0.6419 0.5214
2 4 0.0952 0.1090 0.1034 0.0711 0.1094 0.1538 0.1657 0.1559 0.1121 0.2107
2 5 0.0952 0.0118 0.0321 0.0240 0.0297 0.1538 0.0180 0.0484 0.0378 0.0571
4 1 0.0336 0.0276 0.0166 0.0565 0.2090 0.2095 0.1374 0.2735
4 2 0.1429 0.1035 0.0856 0.0840 0.1196 1.0000 0.6441 0.6486 0.6947 0.5785
4 4 0.0200 0.0143 0.0148 0.0269 0.1243 0.1081 0.1221 0.1300
4 5 0.0036 0.0045 0.0055 0.0037 0.0226 0.0338 0.0458 0.0179
5 1 0.0476 0.0053 0.0092 0.0120 0.5000 0.1463 0.2500 0.2955
5 2 0.0476 0.0127 0.0276 0.0203 0.0213 0.5000 0.8235 0.7561 0.5500 0.5227
5 4 0.0027 0.0036 0.0074 0.0056 0.1765 0.0976 0.2000 0.1364
5 5 0.0019 0.0455
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 12.0 14.5 12.0 10.8 11.6 1 37 28 57 59
1 2 13.0 12.8 12.3 12.7 13.6 1 109 126 139 125
1 4 6.0 8.1 8.6 14.1 9.9 1 36 27 19 57
1 5 0.0 3.1 5.4 10.1 0 1 8 10 11
2 1 17.0 15.0 11.7 11.3 11.0 2 102 122 143 118
2 2 10.4 14.5 13.9 13.8 14.2 7 489 470 441 292
2 4 16.0 12.3 13.6 12.5 9.4 2 120 116 77 118
2 5 20.0 7.7 10.3 11.0 11.6 2 13 36 26 32
4 1 11.9 8.6 19.3 7.9 0 37 31 18 61
4 2 18.7 9.8 12.8 12.9 11.1 3 114 96 91 129
4 4 10.1 11.4 9.8 10.6 0 22 16 16 29
4 5 8.5 5.6 18.2 15.8 0 4 5 6 4
5 1 12.0 28.2 10.2 10.3 1 0 6 10 13
5 2 0.0 15.5 11.1 10.8 9.6 1 14 31 22 23
5 4 20.0 16.3 5.9 16.0 0 3 4 8 6
5 5 13.5 0 0 0 0 2
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO GRANDE
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias 157
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.1667 0.0465 0.0370 0.0629 0.1049 0.4286 0.2151 0.2040 0.2594 0.3073
1 2 0.1667 0.1264 0.1082 0.1340 0.1969 0.4286 0.5849 0.5970 0.5526 0.5768
1 4 0.0556 0.0383 0.0280 0.0356 0.0370 0.1429 0.1774 0.1542 0.1466 0.1083
1 5 0.0049 0.0081 0.0100 0.0026 0.0226 0.0448 0.0414 0.0076
2 1 0.1667 0.1338 0.1190 0.1404 0.1874 0.3750 0.2161 0.1818 0.2380 0.3417
2 2 0.2778 0.3768 0.4247 0.3619 0.2906 0.6250 0.6087 0.6488 0.6136 0.5298
2 4 0.0971 0.0911 0.0766 0.0636 0.1568 0.1391 0.1298 0.1160
2 5 0.0114 0.0198 0.0109 0.0069 0.0184 0.0303 0.0185 0.0125
4 1 0.0556 0.0424 0.0252 0.0319 0.0387 1.0000 0.2889 0.1830 0.2229 0.3846
4 2 0.0905 0.0875 0.0875 0.0559 0.6167 0.6340 0.6115 0.5556
4 4 0.0131 0.0234 0.0219 0.0060 0.0889 0.1699 0.1529 0.0598
4 5 0.0008 0.0018 0.0018 0.0056 0.0131 0.0127
5 1 0.0556 0.0041 0.0027 0.0091 0.0043 0.5000 0.2273 0.1034 0.3704 0.4545
5 2 0.0131 0.0207 0.0119 0.0052 0.7273 0.7931 0.4815 0.5455
5 4 0.0008 0.0018 0.0018 0.0455 0.0690 0.0741
5 5 0.0556 0.0009 0.0018 0.5000 0.0345 0.0741
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 16.3 15.5 10.6 13.0 13.0 3 57 41 69 122
1 2 6.7 13.2 15.3 11.4 10.6 3 155 120 147 229
1 4 0.0 8.3 13.6 14.1 8.7 1 47 31 39 43
1 5 6.8 4.9 6.5 0.0 0 6 9 11 3
2 1 23.0 12.6 11.4 12.9 10.0 3 164 132 154 218
2 2 18.8 10.9 13.0 12.5 9.6 5 462 471 397 338
2 4 7.3 14.7 11.0 7.5 0 119 101 84 74
2 5 10.4 9.3 16.9 7.3 0 14 22 12 8
4 1 25.0 9.4 9.9 12.5 7.4 1 52 28 35 45
4 2 8.4 11.1 10.9 8.1 0 111 97 96 65
4 4 8.9 12.3 9.4 4.6 0 16 26 24 7
4 5 3.0 1.0 13.5 0 1 2 2 0
5 1 6.0 17.2 4.3 15.0 8.2 1 5 3 10 5
5 2 11.9 8.0 14.3 4.2 0 16 23 13 6
5 4 34.0 20.5 5.5 0 1 2 2 0
5 5 42.0 37.0 7.5 1 0 1 2 0
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO CALIMA
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
158 An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.0385 0.0366 0.0169 0.0335 0.0445 0.2500 0.1990 0.1053 0.1800 0.2196
1 2 0.1154 0.1098 0.1024 0.1217 0.1270 0.7500 0.5970 0.6374 0.6550 0.6262
1 4 0.0311 0.0367 0.0260 0.0303 0.1692 0.2281 0.1400 0.1495
1 5 0.0064 0.0047 0.0046 0.0009 0.0348 0.0292 0.0250 0.0047
2 1 0.0385 0.1098 0.1165 0.1348 0.1280 0.0588 0.1729 0.1706 0.2077 0.1909
2 2 0.4231 0.4062 0.4568 0.4117 0.4493 0.6471 0.6398 0.6685 0.6347 0.6704
2 4 0.1538 0.1034 0.0940 0.0901 0.0882 0.2353 0.1628 0.1376 0.1390 0.1315
2 5 0.0385 0.0156 0.0160 0.0121 0.0047 0.0588 0.0245 0.0234 0.0186 0.0071
4 1 0.0769 0.0339 0.0226 0.0288 0.0218 0.5000 0.2126 0.1702 0.1950 0.1797
4 2 0.0769 0.1070 0.0959 0.1013 0.0910 0.5000 0.6724 0.7234 0.6855 0.7500
4 4 0.0165 0.0113 0.0177 0.0076 0.1034 0.0851 0.1195 0.0625
4 5 0.0018 0.0028 0.0009 0.0115 0.0213 0.0078
5 1 0.0046 0.0038 0.0019 0.0009 0.2083 0.1600 0.1053 0.1667
5 2 0.0385 0.0119 0.0169 0.0130 0.0047 1.0000 0.5417 0.7200 0.7368 0.8333
5 4 0.0055 0.0028 0.0019 0.2500 0.1200 0.1053
5 5 0.0009 0.0526
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 3.0 14.6 11.5 15.6 15.7 1 40 18 36 47
1 2 4.7 14.4 13.0 12.4 15.5 3 120 109 131 134
1 4 14.6 14.6 9.1 9.7 0 34 39 28 32
1 5 17.7 22.2 17.2 11.0 0 7 5 5 1
2 1 23.0 16.0 14.4 11.3 15.1 1 120 124 145 135
2 2 8.1 13.4 14.1 13.8 13.9 11 444 486 443 474
2 4 21.0 11.5 12.5 13.2 9.0 4 113 100 97 93
2 5 8.0 8.4 5.8 14.4 8.8 1 17 17 13 5
4 1 8.5 11.7 17.5 14.6 12.6 2 37 24 31 23
4 2 14.5 10.1 12.6 14.5 12.1 2 117 102 109 96
4 4 12.7 7.5 10.6 8.3 0 18 12 19 8
4 5 8.5 40.0 7.0 0 2 3 0 1
5 1 7.4 20.8 16.5 5.0 0 5 4 2 1
5 2 14.0 9.5 14.3 8.4 7.4 1 13 18 14 5
5 4 20.8 18.0 3.5 0 6 3 2 0
5 5 0 0 0 1 0
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO SALVAJINA
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias 159
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.0219 0.0175 0.0228 0.0416 0.1289 0.1066 0.1588 0.2136
1 2 0.1429 0.1103 0.1160 0.0972 0.1135 0.7500 0.6495 0.7056 0.6765 0.5825
1 4 0.0476 0.0350 0.0259 0.0203 0.0369 0.2500 0.2062 0.1574 0.1412 0.1893
1 5 0.0026 0.0050 0.0034 0.0028 0.0155 0.0305 0.0235 0.0146
2 1 0.0952 0.1156 0.1093 0.0964 0.1135 0.1667 0.1737 0.1658 0.1449 0.1911
2 2 0.3333 0.4361 0.4190 0.4455 0.3576 0.5833 0.6553 0.6354 0.6696 0.6019
2 4 0.1429 0.1060 0.1160 0.1107 0.1060 0.2500 0.1592 0.1759 0.1665 0.1783
2 5 0.0079 0.0150 0.0127 0.0170 0.0118 0.0228 0.0191 0.0287
4 1 0.0476 0.0271 0.0242 0.0237 0.0350 0.2500 0.1792 0.1568 0.1373 0.1897
4 2 0.0952 0.1042 0.1052 0.1234 0.1126 0.5000 0.6879 0.6811 0.7157 0.6103
4 4 0.0476 0.0166 0.0217 0.0220 0.0303 0.2500 0.1098 0.1405 0.1275 0.1641
4 5 0.0035 0.0033 0.0034 0.0066 0.0231 0.0216 0.0196 0.0359
5 1 0.0476 0.0009 0.0042 0.0034 0.0095 1.0000 0.0667 0.1923 0.1818 0.3571
5 2 0.0105 0.0125 0.0118 0.0132 0.8000 0.5769 0.6364 0.5000
5 4 0.0018 0.0050 0.0034 0.0028 0.1333 0.2308 0.1818 0.1071
5 5 0.0009 0.0357
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 10.4 12.6 10.5 14.4 0 25 21 27 44
1 2 8.7 13.5 13.2 12.3 11.6 3 126 139 115 120
1 4 36.0 12.0 14.3 11.4 9.5 1 40 31 24 39
1 5 2.0 10.5 6.5 7.0 0 3 6 4 3
2 1 6.0 13.4 12.3 10.6 14.0 2 132 131 114 120
2 2 12.6 13.9 11.7 12.9 13.0 7 498 502 527 378
2 4 13.7 9.5 11.4 11.9 11.7 3 121 139 131 112
2 5 7.7 12.7 11.1 11.2 0 9 18 15 18
4 1 0.0 9.2 11.7 7.7 13.0 1 31 29 28 37
4 2 8.5 10.8 11.0 10.2 13.5 2 119 126 146 119
4 4 5.0 9.4 17.4 10.7 12.8 1 19 26 26 32
4 5 7.3 12.8 7.3 6.6 0 4 4 4 7
5 1 2.0 0.0 5.8 11.3 15.7 1 1 5 4 10
5 2 20.0 12.3 11.6 15.6 0 12 15 14 14
5 4 7.5 5.7 6.5 10.0 0 2 6 4 3
5 5 9.0 0 0 0 0 1
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO NARE
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
160 An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.0074 0.0014 0.0027 0.0213 0.1132 0.0233 0.0465 0.1610
1 2 0.0539 0.0536 0.0535 0.0997 0.8302 0.9070 0.9070 0.7542
1 4 0.0037 0.0041 0.0027 0.0112 0.0566 0.0698 0.0465 0.0847
1 5
2 1 0.0576 0.0481 0.0549 0.1120 0.0659 0.0548 0.0613 0.1443
2 2 0.9000 0.7525 0.7734 0.7929 0.6013 0.9474 0.8612 0.8811 0.8851 0.7749
2 4 0.0500 0.0637 0.0563 0.0453 0.0594 0.0526 0.0729 0.0642 0.0505 0.0765
2 5 0.0027 0.0034 0.0031 0.0043
4 1 0.0074 0.0055 0.0146 0.1200 0.0870 0.1667
4 2 0.0500 0.0515 0.0536 0.0398 0.0616 1.0000 0.8400 0.8478 0.9355 0.7051
4 4 0.0025 0.0041 0.0027 0.0112 0.0400 0.0652 0.0645 0.1282
4 5
5 1
5 2 0.0027 0.0045 1.0000 1.0000
5 4
5 5
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 4.7 35.0 16.0 14.3 0 6 1 2 19
1 2 20.9 24.2 24.6 16.0 0 44 39 39 89
1 4 15.0 24.0 20.0 14.4 0 3 3 2 10
1 5 0 0 0 0 0
2 1 18.9 17.4 22.6 17.0 0 47 35 40 100
2 2 16.9 21.7 24.6 24.7 17.6 18 614 563 578 537
2 4 10.0 17.7 30.0 18.4 16.4 1 52 41 33 53
2 5 24.5 22.0 0 0 0 2 3
4 1 9.0 22.0 14.5 0 6 4 0 13
4 2 2.0 22.6 23.9 20.6 17.0 1 42 39 29 55
4 4 31.0 13.0 29.0 25.0 0 2 3 2 10
4 5 0 0 0 0 0
5 1 0 0 0 0 0
5 2 43.5 20.8 0 0 0 2 4
5 4 0 0 0 0 0
5 5 0 0 0 0 0
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO BATA
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias 161
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 0.0081 0.0067 0.0108 0.0211 0.0684 0.0769 0.1176 0.1401
1 2 0.0625 0.0962 0.0697 0.0726 0.1248 1.0000 0.8120 0.7949 0.7882 0.8280
1 4 0.0121 0.0101 0.0076 0.0048 0.1026 0.1154 0.0824 0.0318
1 5 0.0020 0.0011 0.0011 0.0171 0.0128 0.0118
2 1 0.0625 0.0850 0.0730 0.0683 0.1180 0.0833 0.1116 0.0945 0.0862 0.1509
2 2 0.6250 0.5789 0.5775 0.6349 0.6094 0.8333 0.7596 0.7471 0.8016 0.7791
2 4 0.0891 0.1180 0.0813 0.0518 0.1169 0.1526 0.1026 0.0663
2 5 0.0625 0.0091 0.0045 0.0076 0.0029 0.0833 0.0120 0.0058 0.0096 0.0037
4 1 0.0172 0.0067 0.0163 0.0096 0.1604 0.0508 0.1515 0.1515
4 2 0.0779 0.1067 0.0791 0.0489 0.7264 0.8051 0.7374 0.7727
4 4 0.0111 0.0180 0.0119 0.0048 0.1038 0.1356 0.1111 0.0758
4 5 0.0625 0.0010 0.0011 1.0000 0.0094 0.0085
5 1 0.0011 0.0011 0.1667 0.1250
5 2 0.1250 0.0101 0.0056 0.0054 0.0038 1.0000 0.8333 0.8333 0.6250 1.0000
5 4 0.0020 0.0022 0.1667 0.2500
5 5
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 1 23.4 33.5 21.2 14.6 0 8 6 10 22
1 2 6.0 17.1 20.1 21.5 16.7 1 95 62 67 130
1 4 15.3 20.8 17.1 8.2 0 12 9 7 5
1 5 11.5 4.0 0.0 0 2 1 1 0
2 1 7.0 16.7 19.9 18.3 16.0 1 84 65 63 123
2 2 16.2 17.6 19.6 17.8 15.3 10 572 514 586 635
2 4 15.6 18.4 15.5 14.8 0 88 105 75 54
2 5 51.0 18.6 5.5 28.7 22.0 1 9 4 7 3
4 1 10.1 14.8 21.5 11.4 0 17 6 15 10
4 2 11.6 16.8 11.9 12.0 0 77 95 73 51
4 4 29.8 17.4 13.6 15.8 0 11 16 11 5
4 5 7.0 7.0 31.0 1 1 1 0 0
5 1 4.0 65.0 0 0 1 1 0
5 2 5.5 13.0 6.4 8.0 12.8 2 10 5 5 4
5 4 31.0 9.0 0 2 0 2 0
5 5 0 0 0 0 0
Categoría
origen
Categoría
destino
Distancia entre racha origen y destino (meses) Replicaciones origen-destino
históricasintética
históricasintética
RIO URRA
Categoría
origen
Categoría
destino
Probabilidad de transición Probabilidad condicional de transición
históricasintética
históricasintética
162 An
exo 8 : P
rob
abilid
ades d
e transicio
nes y d
istancias
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3333 0.3345 0.3172 0.3344 0.4214 0.5357 0.3803 0.4380 0.4302 0.4417
2 0.1905 0.1725 0.1857 0.1748 0.1668 0.1429 0.1965 0.2146 0.2109 0.1717
3 0.1310 0.1165 0.1176 0.1109 0.1024 0.1310 0.1141 0.1115 0.1144 0.1119
4 0.0714 0.0817 0.0873 0.0838 0.0578 0.0476 0.0792 0.0684 0.0752 0.0619
5 0.0714 0.0535 0.0607 0.0617 0.0349 0.0357 0.0565 0.0461 0.0456 0.0347
6 0.0238 0.0443 0.0495 0.0462 0.0407 0.0000 0.0486 0.0299 0.0348 0.0338
7 0.0119 0.0409 0.0348 0.0365 0.0241 0.0000 0.0347 0.0196 0.0186 0.0287
8 0.0119 0.0280 0.0325 0.0292 0.0232 0.0119 0.0225 0.0140 0.0134 0.0248
9 0.0476 0.0265 0.0227 0.0212 0.0198 0.0357 0.0166 0.0090 0.0129 0.0204
10 0.0000 0.0216 0.0206 0.0191 0.0149 0.0238 0.0108 0.0097 0.0103 0.0109
11 0.0357 0.0190 0.0128 0.0165 0.0137 0.0000 0.0103 0.0088 0.0078 0.0119
12 0.0238 0.0114 0.0121 0.0080 0.0122 0.0000 0.0081 0.0062 0.0056 0.0090
13 0.0000 0.0078 0.0085 0.0106 0.0110 0.0119 0.0054 0.0035 0.0023 0.0061
14 0.0119 0.0088 0.0057 0.0064 0.0093 0.0000 0.0049 0.0025 0.0028 0.0061
15 0.0119 0.0054 0.0076 0.0049 0.0061 0.0000 0.0024 0.0023 0.0021 0.0073
16 0.0000 0.0056 0.0066 0.0068 0.0083 0.0000 0.0029 0.0021 0.0012 0.0029
17 0.0000 0.0044 0.0041 0.0038 0.0044 0.0000 0.0020 0.0025 0.0019 0.0039
18 0.0000 0.0019 0.0018 0.0061 0.0049 0.0000 0.0012 0.0016 0.0019 0.0024
19 0.0000 0.0029 0.0037 0.0021 0.0044 0.0000 0.0012 0.0018 0.0005 0.0022
20 0.0000 0.0027 0.0016 0.0021 0.0020 0.0000 0.0002 0.0018 0.0016 0.0015
21 0.0000 0.0019 0.0014 0.0031 0.0029 0.0000 0.0007 0.0023 0.0009 0.0015
22 0.0000 0.0017 0.0007 0.0019 0.0022 0.0000 0.0002 0.0014 0.0012 0.0007
23 0.0000 0.0010 0.0011 0.0016 0.0012 0.0000 0.0000 0.0009 0.0007 0.0002
24 0.0000 0.0012 0.0007 0.0014 0.0015 0.0119 0.0000 0.0007 0.0005 0.0002
25 0.0119 0.0002 0.0005 0.0014 0.0017 0.0119 0.0002 0.0005 0.0009 0.0005
26 0.0000 0.0002 0.0005 0.0014 0.0012 0.0000 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000
27 0.0000 0.0010 0.0005 0.0007 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002
28 0.0000 0.0017 0.0002 0.0005 0.0020 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0007
29 0.0119 0.0000 0.0000 0.0007 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002
RIO GRANDE
Probabilidad de longitud en rachas negativas Probabilidad de longitud en rachas positivas
sintética sintéticaLongitud
histórica histórica
An
exo 9 : P
rob
abilid
ad d
e lon
gitu
d d
e racha sin
tética 163
164 An
exo 9 : P
rob
abilid
ad d
e lon
gitu
d d
e racha sin
tética
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3293 0.3064 0.3178 0.3409 0.2907 0.4146 0.3811 0.4018 0.4036 0.4584
2 0.2561 0.1724 0.1719 0.1589 0.1537 0.1951 0.1777 0.1988 0.1925 0.2015
3 0.0976 0.0980 0.1106 0.1066 0.1171 0.1220 0.1246 0.1200 0.1221 0.1044
4 0.0366 0.0718 0.0879 0.0899 0.0701 0.0610 0.0827 0.0793 0.0808 0.0680
5 0.0854 0.0577 0.0686 0.0568 0.0614 0.0610 0.0646 0.0531 0.0530 0.0485
6 0.0122 0.0561 0.0437 0.0431 0.0456 0.0366 0.0395 0.0373 0.0346 0.0292
7 0.0366 0.0368 0.0415 0.0354 0.0325 0.0366 0.0326 0.0281 0.0279 0.0218
8 0.0122 0.0373 0.0319 0.0284 0.0267 0.0122 0.0246 0.0172 0.0204 0.0160
9 0.0122 0.0291 0.0278 0.0264 0.0251 0.0244 0.0147 0.0153 0.0142 0.0143
10 0.0122 0.0233 0.0176 0.0157 0.0227 0.0000 0.0163 0.0121 0.0122 0.0088
11 0.0000 0.0191 0.0159 0.0159 0.0197 0.0122 0.0101 0.0075 0.0082 0.0074
12 0.0122 0.0156 0.0118 0.0107 0.0177 0.0000 0.0075 0.0044 0.0065 0.0066
13 0.0122 0.0132 0.0092 0.0134 0.0115 0.0000 0.0061 0.0063 0.0060 0.0033
14 0.0366 0.0103 0.0087 0.0105 0.0131 0.0000 0.0043 0.0039 0.0032 0.0022
15 0.0000 0.0101 0.0085 0.0102 0.0117 0.0000 0.0037 0.0022 0.0027 0.0030
16 0.0000 0.0072 0.0058 0.0047 0.0115 0.0000 0.0029 0.0034 0.0015 0.0025
17 0.0244 0.0058 0.0053 0.0045 0.0076 0.0000 0.0008 0.0010 0.0030 0.0008
18 0.0122 0.0064 0.0034 0.0052 0.0057 0.0000 0.0008 0.0010 0.0010 0.0011
19 0.0000 0.0034 0.0027 0.0032 0.0085 0.0000 0.0008 0.0012 0.0012 0.0011
20 0.0000 0.0042 0.0019 0.0030 0.0068 0.0000 0.0016 0.0019 0.0010 0.0003
21 0.0122 0.0024 0.0010 0.0020 0.0057 0.0000 0.0008 0.0012 0.0012 0.0000
22 0.0000 0.0021 0.0012 0.0035 0.0044 0.0122 0.0000 0.0010 0.0007 0.0000
23 0.0000 0.0013 0.0002 0.0020 0.0038 0.0000 0.0003 0.0005 0.0002 0.0000
24 0.0000 0.0011 0.0010 0.0007 0.0035 0.0000 0.0003 0.0005 0.0005 0.0000
25 0.0000 0.0024 0.0002 0.0007 0.0044 0.0000 0.0003 0.0002 0.0005 0.0000
26 0.0000 0.0013 0.0005 0.0007 0.0016 0.0000 0.0003 0.0007 0.0005 0.0003
27 0.0000 0.0008 0.0005 0.0012 0.0025 0.0122 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
28 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0027 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000
29 0.0000 0.0000 0.0000 0.0012 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
30 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0027 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003
31 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000
32 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
33 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Longitud
RIO CALIMA
Probabilidad de longitud en rachas negativas Probabilidad de longitud en rachas positivas
históricasintética
históricasintética
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3295 0.3352 0.3198 0.3447 0.3547 0.4943 0.3867 0.4229 0.4163 0.4549
2 0.2614 0.1818 0.1826 0.1753 0.1944 0.1839 0.1972 0.2091 0.2102 0.2113
3 0.1023 0.1140 0.1198 0.1221 0.1177 0.1034 0.1192 0.1214 0.1251 0.1169
4 0.0227 0.0723 0.0888 0.0751 0.0653 0.0575 0.0823 0.0749 0.0755 0.0574
5 0.0341 0.0637 0.0671 0.0591 0.0457 0.0805 0.0538 0.0465 0.0491 0.0430
6 0.0341 0.0441 0.0450 0.0411 0.0416 0.0000 0.0419 0.0321 0.0293 0.0291
7 0.0227 0.0379 0.0339 0.0352 0.0301 0.0115 0.0299 0.0205 0.0225 0.0243
8 0.0227 0.0310 0.0292 0.0306 0.0282 0.0000 0.0225 0.0187 0.0125 0.0194
9 0.0341 0.0200 0.0255 0.0253 0.0211 0.0115 0.0148 0.0123 0.0148 0.0117
10 0.0341 0.0177 0.0197 0.0155 0.0178 0.0000 0.0151 0.0102 0.0130 0.0086
11 0.0341 0.0153 0.0133 0.0132 0.0176 0.0000 0.0079 0.0059 0.0077 0.0073
12 0.0227 0.0153 0.0140 0.0123 0.0132 0.0000 0.0081 0.0036 0.0043 0.0035
13 0.0227 0.0105 0.0079 0.0091 0.0062 0.0345 0.0060 0.0052 0.0057 0.0044
14 0.0000 0.0095 0.0079 0.0080 0.0088 0.0000 0.0038 0.0050 0.0036 0.0024
15 0.0000 0.0076 0.0043 0.0064 0.0073 0.0000 0.0014 0.0018 0.0030 0.0020
16 0.0000 0.0055 0.0045 0.0062 0.0055 0.0115 0.0017 0.0025 0.0011 0.0013
17 0.0114 0.0050 0.0036 0.0048 0.0051 0.0000 0.0012 0.0016 0.0016 0.0009
18 0.0000 0.0041 0.0036 0.0030 0.0042 0.0115 0.0024 0.0009 0.0007 0.0002
19 0.0000 0.0031 0.0018 0.0030 0.0026 0.0000 0.0007 0.0014 0.0014 0.0004
20 0.0000 0.0012 0.0014 0.0016 0.0022 0.0000 0.0014 0.0007 0.0002 0.0002
21 0.0000 0.0014 0.0011 0.0016 0.0020 0.0000 0.0010 0.0009 0.0002 0.0002
22 0.0000 0.0002 0.0011 0.0016 0.0004 0.0000 0.0002 0.0005 0.0002 0.0000
23 0.0000 0.0007 0.0014 0.0014 0.0020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000
24 0.0114 0.0002 0.0007 0.0011 0.0013 0.0000 0.0000 0.0005 0.0005 0.0000
RIO SALVAJINA
sintéticaLongitud
Probabilidad de longitud en rachas negativas Probabilidad de longitud en rachas positivas
históricasintética
histórica
An
exo 9 : P
rob
abilid
ad d
e lon
gitu
d d
e racha sin
tética 165
166 An
exo 9 : P
rob
abilid
ad d
e lon
gitu
d d
e racha sin
tética
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3594 0.3278 0.2985 0.3062 0.3359 0.5397 0.3676 0.4274 0.4056 0.3835
2 0.1406 0.1669 0.1667 0.1538 0.1961 0.0794 0.1999 0.2232 0.2323 0.2152
3 0.1406 0.1142 0.1083 0.1232 0.1273 0.0952 0.1174 0.1179 0.1107 0.1279
4 0.0469 0.0781 0.1017 0.0950 0.0726 0.0635 0.0905 0.0670 0.0662 0.0688
5 0.0625 0.0555 0.0731 0.0721 0.0511 0.0476 0.0571 0.0409 0.0427 0.0508
6 0.0313 0.0475 0.0518 0.0504 0.0419 0.0317 0.0446 0.0223 0.0355 0.0317
7 0.0469 0.0356 0.0383 0.0429 0.0352 0.0159 0.0307 0.0202 0.0211 0.0262
8 0.0156 0.0351 0.0329 0.0340 0.0274 0.0000 0.0232 0.0155 0.0134 0.0208
9 0.0156 0.0274 0.0272 0.0241 0.0237 0.0317 0.0177 0.0100 0.0132 0.0182
10 0.0313 0.0241 0.0232 0.0256 0.0135 0.0000 0.0127 0.0112 0.0144 0.0149
11 0.0313 0.0187 0.0182 0.0150 0.0140 0.0159 0.0087 0.0074 0.0122 0.0095
12 0.0156 0.0172 0.0114 0.0137 0.0076 0.0000 0.0070 0.0088 0.0093 0.0057
13 0.0156 0.0104 0.0116 0.0082 0.0080 0.0476 0.0057 0.0050 0.0048 0.0054
14 0.0000 0.0062 0.0066 0.0051 0.0088 0.0159 0.0050 0.0062 0.0048 0.0064
15 0.0156 0.0072 0.0099 0.0048 0.0083 0.0000 0.0030 0.0036 0.0024 0.0040
16 0.0000 0.0050 0.0054 0.0051 0.0064 0.0000 0.0027 0.0031 0.0031 0.0024
17 0.0000 0.0037 0.0038 0.0041 0.0033 0.0000 0.0025 0.0038 0.0024 0.0012
18 0.0000 0.0030 0.0031 0.0022 0.0033 0.0159 0.0010 0.0017 0.0019 0.0014
19 0.0000 0.0037 0.0012 0.0027 0.0033 0.0000 0.0007 0.0007 0.0005 0.0014
20 0.0000 0.0022 0.0012 0.0019 0.0021 0.0000 0.0007 0.0007 0.0012 0.0009
21 0.0000 0.0025 0.0014 0.0017 0.0009 0.0000 0.0010 0.0010 0.0007 0.0007
22 0.0000 0.0025 0.0017 0.0014 0.0019 0.0000 0.0000 0.0010 0.0002 0.0002
23 0.0000 0.0007 0.0007 0.0007 0.0005 0.0000 0.0002 0.0007 0.0010 0.0005
24 0.0000 0.0007 0.0012 0.0010 0.0017 0.0000 0.0000 0.0005 0.0000 0.0005
25 0.0156 0.0005 0.0009 0.0002 0.0009 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0005
26 0.0000 0.0002 0.0000 0.0007 0.0019 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002 0.0002
27 0.0000 0.0012 0.0000 0.0010 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002
28 0.0156 0.0007 0.0000 0.0010 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002
Longitud
Probabilidad de longitud en rachas negativas Probabilidad de longitud en rachas positivas
históricasintética
históricasintética
RIO NARE
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3956 0.3401 0.3546 0.3439 0.3678 0.4725 0.4438 0.4290 0.4571 0.4885
2 0.2198 0.1975 0.1902 0.1966 0.1995 0.1978 0.2272 0.2325 0.2202 0.2162
3 0.0769 0.1418 0.1437 0.1480 0.1279 0.1648 0.1244 0.1394 0.1341 0.1190
4 0.0440 0.0977 0.1017 0.1006 0.0740 0.0549 0.0844 0.0753 0.0765 0.0582
5 0.0440 0.0630 0.0678 0.0687 0.0597 0.0220 0.0437 0.0509 0.0451 0.0398
6 0.1099 0.0450 0.0438 0.0420 0.0397 0.0220 0.0285 0.0284 0.0283 0.0263
7 0.0330 0.0340 0.0314 0.0314 0.0264 0.0330 0.0203 0.0178 0.0166 0.0168
8 0.0330 0.0260 0.0237 0.0243 0.0251 0.0110 0.0084 0.0101 0.0079 0.0124
9 0.0220 0.0181 0.0148 0.0173 0.0176 0.0110 0.0081 0.0077 0.0069 0.0063
10 0.0000 0.0112 0.0095 0.0081 0.0164 0.0110 0.0043 0.0026 0.0029 0.0044
11 0.0220 0.0073 0.0053 0.0070 0.0117 0.0000 0.0032 0.0026 0.0014 0.0044
12 0.0000 0.0000 0.0049 0.0000 0.0079 0.0000 0.0000 0.0016 0.0000 0.0023
13 0.0000 0.0000 0.0015 0.0000 0.0059 0.0000 0.0000 0.0009 0.0000 0.0019
14 0.0000 0.0000 0.0020 0.0000 0.0040 0.0000 0.0000 0.0007 0.0000 0.0010
15 0.0000 0.0000 0.0020 0.0000 0.0034 0.0000 0.0000 0.0004 0.0000 0.0011
16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0028 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002
17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006
18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002
21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004
Probabilidad de longitud en rachas negativas
históricasintética
histórica
Probabilidad de longitud en rachas positivas
Longitud sintética
RIO BATA A
nexo
9 : Pro
bab
ilidad
de lo
ng
itud
de rach
a sintética 167
168 An
exo 9 : P
rob
abilid
ad d
e lon
gitu
d d
e racha sin
tética
AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6) AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR(6)
1 0.3623 0.3320 0.3386 0.3316 0.3702 0.4928 0.4026 0.4118 0.4198 0.4822
2 0.1594 0.1923 0.1918 0.1892 0.1824 0.1884 0.2087 0.2111 0.2163 0.2111
3 0.1739 0.1183 0.1377 0.1363 0.1055 0.1304 0.1272 0.1296 0.1220 0.1100
4 0.0290 0.0910 0.0917 0.0900 0.0702 0.0435 0.0857 0.0721 0.0794 0.0622
5 0.0725 0.0627 0.0673 0.0673 0.0566 0.0000 0.0511 0.0506 0.0487 0.0476
6 0.0580 0.0520 0.0462 0.0503 0.0433 0.0290 0.0398 0.0380 0.0342 0.0293
7 0.0435 0.0458 0.0334 0.0397 0.0370 0.0580 0.0244 0.0265 0.0255 0.0204
8 0.0290 0.0243 0.0270 0.0264 0.0368 0.0145 0.0180 0.0192 0.0177 0.0137
9 0.0145 0.0183 0.0185 0.0205 0.0219 0.0000 0.0141 0.0125 0.0126 0.0087
10 0.0290 0.0122 0.0126 0.0135 0.0183 0.0145 0.0075 0.0094 0.0084 0.0046
11 0.0145 0.0134 0.0089 0.0086 0.0139 0.0000 0.0066 0.0067 0.0049 0.0028
12 0.0000 0.0113 0.0081 0.0072 0.0093 0.0000 0.0045 0.0045 0.0031 0.0030
13 0.0000 0.0066 0.0063 0.0055 0.0089 0.0000 0.0028 0.0035 0.0022 0.0020
14 0.0000 0.0053 0.0026 0.0041 0.0056 0.0000 0.0017 0.0008 0.0020 0.0006
15 0.0000 0.0036 0.0031 0.0029 0.0040 0.0000 0.0013 0.0012 0.0006 0.0000
16 0.0000 0.0030 0.0018 0.0004 0.0032 0.0000 0.0009 0.0006 0.0006 0.0008
17 0.0000 0.0026 0.0012 0.0008 0.0036 0.0000 0.0006 0.0006 0.0002 0.0000
18 0.0000 0.0006 0.0008 0.0012 0.0018 0.0000 0.0013 0.0008 0.0004 0.0004
19 0.0000 0.0009 0.0012 0.0010 0.0012 0.0000 0.0000 0.0004 0.0002 0.0002
20 0.0000 0.0006 0.0004 0.0012 0.0014 0.0145 0.0004 0.0000 0.0006 0.0000
21 0.0000 0.0009 0.0002 0.0006 0.0012 0.0000 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000
22 0.0000 0.0004 0.0000 0.0006 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
23 0.0000 0.0002 0.0002 0.0002 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002
24 0.0145 0.0000 0.0002 0.0000 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
25 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
26 0.0000 0.0002 0.0000 0.0004 0.0002 0.0145 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000
27 0.0000 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
28 0.0156 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
sintéticahistórica
sintéticahistórica
Probabilidad de longitud en rachas positivas
RIO URRA
Longitud
Probabilidad de longitud en rachas negativas
Anexo 10 : Probabilidad de ocurrencia de categorías no neutras 169
Tabla 10.1 : Probabilidad de ocurrencia de categorías no neutras
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Grande 0.04762 0.04841 0.04515 0.05558 0.06462
Calima 0.09756 0.07203 0.04999 0.06972 0.11053
Salvajina 0.04545 0.04914 0.03933 0.04771 0.04750
Nare 0.06250 0.05073 0.04872 0.04172 0.05205
Bata 0.00000 0.01102 0.00547 0.00505 0.02437
Urra 0.01449 0.02516 0.01810 0.01903 0.03362
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Grande 0.15476 0.19168 0.18519 0.17664 0.14850
Calima 0.09756 0.21743 0.19029 0.17555 0.18996
Salvajina 0.20455 0.18130 0.18061 0.17325 0.16956
Nare 0.18750 0.20542 0.20293 0.20569 0.16324
Bata 0.21978 0.14892 0.13327 0.13717 0.14488
Urra 0.18841 0.17740 0.15477 0.16612 0.18056
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Grande 0.03571 0.04668 0.03754 0.03405 0.05804
Calima 0.01220 0.05177 0.04074 0.04327 0.03469
Salvajina 0.04598 0.04523 0.03598 0.04004 0.03044
Nare 0.07937 0.04736 0.04897 0.05345 0.04942
Bata 0.01099 0.00750 0.00879 0.00433 0.01582
Urra 0.01449 0.02587 0.02736 0.02200 0.01393
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6
Grande 0.02381 0.00415 0.01129 0.00869 0.01044
Calima 0.02439 0.00507 0.00824 0.00771 0.00303
Salvajina 0.01149 0.00574 0.00478 0.00341 0.00199
Nare 0.01587 0.00399 0.00642 0.00599 0.00686
Bata 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00057
Urra 0.02899 0.00257 0.00122 0.00163 0.00081
CAT1
CAT2
CAT4
CAT5
170 Anexo 10 : Probabilidad de excedencia de longitudes críticas
Tabla 10.2 : Probabilidad de excedencia de longitudes de racha negativa para
niveles críticos del 90%,95%,97.5% y 100%
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.8929 0.9200 0.9287 0.9178 0.9059 10
Calima 0.9024 0.9237 0.9471 0.9285 0.8829 12
Salvajina 0.8977 0.9177 0.9315 0.9240 0.9166 10
Nare 0.8906 0.9120 0.9217 0.9274 0.9248 10
Bata 0.8901 0.8851 0.9017 0.8998 0.8685 6
Urra 0.8986 0.8942 0.9067 0.9045 0.8651 7
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.9524 0.9582 0.9622 0.9529 0.9427 13
Calima 0.9512 0.9645 0.9792 0.9674 0.9307 16
Salvajina 0.9545 0.9482 0.9589 0.9496 0.9474 12
Nare 0.9531 0.9644 0.9695 0.9694 0.9631 14
Bata 0.9560 0.9451 0.9568 0.9555 0.9201 8
Urra 0.9420 0.9369 0.9522 0.9513 0.9239 9
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.9762 0.9723 0.9755 0.9642 0.9581 15
Calima 0.9756 0.9703 0.9845 0.9719 0.9383 17
Salvajina 0.9773 0.9814 0.9835 0.9792 0.9751 16
Nare 0.9688 0.9958 0.9991 0.9949 0.9948 24
Bata 0.9780 0.9744 0.9810 0.9809 0.9541 10
Urra 0.9710 0.9490 0.9648 0.9648 0.9422 10
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 1.0000 0.9988 0.9989 0.9979 0.9963 29
Calima 1.0000 0.9868 0.9935 0.9853 0.9651 21
Salvajina 1.0000 0.9974 0.9982 0.9973 0.9949 24
Nare 1.0000 0.9985 0.9863 0.9978 0.9983 28
Bata 1.0000 0.9817 0.9863 0.9879 0.9658 11
Urra 1.0000 0.9985 1.0000 0.9992 0.9986 24
100%
97.50%
95%
90%
Anexo 10 : Probabilidad de excedencia de longitudes críticas 171
Tabla 10.3 : Probabilidad de excedencia de longitudes de racha positiva para
niveles críticos del 90%,95%,97.5% y 100%
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.9048 0.9323 0.9422 0.9429 0.9405 8
Calima 0.8902 0.8703 0.8904 0.8866 0.9100 6
Salvajina 0.9195 0.8811 0.9069 0.9056 0.9126 6
Nare 0.9048 0.9614 0.9556 0.9549 0.9581 10
Bata 0.8901 0.8798 0.8762 0.8879 0.8818 4
Urra 0.8841 0.9151 0.9132 0.9206 0.9425 6
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.9643 0.9780 0.9758 0.9796 0.9614 12
Calima 0.9634 0.9584 0.9631 0.9612 0.9708 10
Salvajina 0.9425 0.9794 0.9781 0.9804 0.9874 12
Nare 0.9683 0.9828 0.9767 0.9813 0.9787 13
Bata 0.9670 0.9722 0.9733 0.9780 0.9647 7
Urra 0.9565 0.9716 0.9714 0.9764 0.9853 9
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 0.9762 0.9834 0.9793 0.9819 0.9675 13
Calima 0.9756 0.9979 0.9971 0.9968 0.9992 21
Salvajina 0.9770 0.9907 0.9902 0.9927 0.9962 15
Nare 0.9683 0.9828 0.9767 0.9813 0.9787 13
Bata 0.9780 0.9807 0.9833 0.9859 0.9771 8
Urra 0.9710 0.9987 1.0000 0.9990 0.9998 19
Río Histórico AR(1) AR(1)[GA] AR(1)[MA] AR6_6 Long
Grande 1.0000 0.9995 1.0000 0.9981 0.9968 25
Calima 1.0000 0.9989 1.0000 0.9993 0.9994 27
Salvajina 1.0000 0.9959 0.9952 0.9961 0.9987 18
Nare 1.0000 0.9970 0.9950 0.9959 0.9941 18
Bata 1.0000 0.9931 0.9936 0.9957 0.9878 10
Urra 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 1.0000 26
90%
95%
97.50%
100%
172 Anexo 11 : Potencia pronosticadora de las series sintéticas
Tabla A11.1 : Probabilidades históricas de caudales agregados anuales inferiores a los presentados en 1997
Intervalo Grande Calima Salvajina Nare Bata Urra Agregado
Caudal 1997 259.5 105.3 1541.0 447.6 662.7 3245.0 6261.1
Prob 1967-1996 0.0000 0.2333 0.3333 0.0333 0.3000 0.0333 0.0333
Tabla A11.2 : Probabilidades sintéticas de caudales agregados anuales inferiores a los presentados en 1997
(condicionados a 1996; horizonte de 25 años)
Sin rachas predeterminadas
Intervalo Modelo Grande Calima Salvajina Nare Batá Urra Agregado
AR(1) 0.0000 0.1500 0.3600 0.0900 0.2800 0.1000 0.1400
AR(1)[GA] 0.0000 0.1600 0.4300 0.0300 0.3100 0.1200 0.1000
AR(1)[MA] 0.0000 0.0800 0.3000 0.0700 0.3900 0.0500 0.06001997
AR(6) 0.0300 0.3300 0.6700 0.0700 0.1200 0.1000 0.1000
AR(1) 0.0028 0.1212 0.3764 0.0492 0.3056 0.0612 0.0644
AR(1)[GA] 0.0016 0.1064 0.4012 0.0344 0.2840 0.0340 0.0420
AR(1)[MA] 0.0020 0.1308 0.4116 0.0292 0.2860 0.0360 0.0476
Horizontede 25 años
AR(6) 0.0080 0.2264 0.4304 0.0536 0.3372 0.0640 0.0592
(a)
Con rachas predeterminadas (pd)
Intervalo Modelo Grande Calima Salvajina Nare Batá Urra Agregado
1997AR(1)[GA]
pd0.0200 0.5100 0.8400 0.1700 0.3600 0.0800 0.2000
(b)
Anexo 11 : Potencia pronosticadora de las series sintéticas 173
Tabla A11.3 : Caudales agregados 1997
Media
Sintéticos Históricos
Agreg Ríos MesesAR(1)
AR(1)[GA]pd
1997
1 Todos 12 7412.0 6779.9 6261.1
3 Grande 12 388.5 324.9 259.5
5 Calima 12 144.1 105.0 105.3
7 Salvajina 12 1649.9 1343.9 1541.0
9 Nare 12 559.7 501.3 447.6
11 Bata 12 720.7 698.0 662.7
13 Urrá 12 3949.1 3806.8 3245.0
(a)
Desviación estándar
Sintéticos Históricos
Agreg Ríos MesesAR(1)
AR(1)[GA]pd
1997
1 Todos 12 982.9 605.6 0.0
3 Grande 12 60.5 34.1 0.0
5 Calima 12 41.4 22.3 0.0
7 Salvajina 12 260.5 144.7 0.0
9 Nare 12 88.3 51.3 0.0
11 Bata 12 122.4 81.4 0.0
13 Urrá 12 639.5 454.7 0.0
(b)
174 Anexo 12 : Algoritmos de descomposición
Los métodos de descomposicion de Jacobi y QR se pueden usar
para encontrar B en BBt=S.
A12.1 JACOBI
Los métodos de Jacobi para resolver el problema de encontrar valores propios de
una matriz simétrica son más precisos que los métodos basados en QR para
resolver el mismo problema, según Zhou (1994).
Usa una secuencia de transformaciones ortogonales de similitud que
eventualmente resultan en la transformación
1BWBS (A12.1)
(Los valores propios de matrices similares son los mismos). Las matrices para las
transformaciones de similitud son las matrices de rotación de Givens o Jacobi. La
forma general de una de estas matrices ortogonales )(pqG es la matriz identidad
con cos en las posiciones (p,p) y (q,q), sen( ) en la (p,q) y –sen( ) en la (q,p).
I
CosSen
I
SenCos
I
G pq
0000
0
0
0
0
00
000
00
000
)( (A12.2)
La iteración de Jacobi es
(A12.3) )()( )1()(
kkk
k
kkk
Tk qGpAqpGA
donde , y kp kq k son escogidos de manera que sea “más diagonal” que
.
kA
1kA
Anexo 13 : Fórmulas empleadas en las evaluaciones 175
Específicamente, las iteraciones se escogen de manera que se reduzca la suma
de los cuadrados de los elementos fuera de la diagonal, que para cualquier matriz
cuadrada S es
i
iiF aA 22|||| (A12.4)
Las transformaciones ortogonales de similitud conservan la norma de Frobenius
2)1(2)( |||||||| F
k
F
k AA (A12.5)
Las matrices de rotación modifican solamente las posiciones (p,p), (q,q), (p,q),
(q,p), cumpliéndose que:
2)1(2)1(2)1(2)(2)(2)( )(2)()()(2)()( k
pq
k
k
pp
k
pq
k
k
pp aaaaaa (A12.6)
La suma de los elementos fuera de la diagonal en la etapa k en términos de la
etapa k-1 es:
))()(()(||||)(|||| 2)(2)(2
,
)(2)(2)(2)( k
k
pp
qpi
k
iiF
k
i
k
iiF
k aaaAaA (A12.7)
= 2)(2)1(2)1(2)1( )(2)(2)(|||| k
pq
k
pq
i
k
iiF
k aaaA
Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los elementos fuera de la diagonal se
minimiza escogiendo una matriz de rotación con la cual
0)(k
pqa (A12.8)
Esto implica
0cos)()(cos )1()1(22)1( senaasena k
k
pp
k
pq (A12.9)
Usando las identidades trigonométricas:
176 Anexo 12 : Algoritmos de descomposición
22cos)2cos( sen (A12.10)
sensen cos2)2( (A12.11)
se obtiene:
)1()1(
)1(2)2tan(
k
k
pp
k
pq
aa
a (A12.12)
que produce un único ángulo en [- /4, - /4]. Los valores de sen( ) y cos( ) se
obtienen a partir de tan(2 ) siguiendo las siguientes identidades:
)2(tan11
)2tan()tan(
2 (A12.13)
2tan1
1)cos( (A12.14)
sin( ) = cos( )tan( ) (A12.15)
Se presenta convergencia cuando los elementos fuera de la diagonal son
suficientemente pequeños. La suma de cuadrados de los elementos fuera de la
diagonal se usan para determinar convergencia, usando un criterio
Si se escoge la pareja (p,q) tal que
||max|| )1()1( k
ijji
k
pq aa (A12.16)
el método de Jacobi converge, y se conoce como el método clásico de Jacobi.
Conocido el valor propio se obtiene su vector propio a partir de
. Conocida cada , B tiene columnas
iw ir
0)( ii rwS ),( ii rw ii rw 2/1 que se ordenan en
orden descendente de magnitud de los valores propios.
Anexo 13 : Fórmulas empleadas en las evaluaciones 177
A12.2 QR
El método más popular para obtener valores propios en cualquier tipo de matriz es
el QR. Este requiere que la matriz sea transformada a la forma Hessenberg
superior; esto se puede lograr en un número finito de transformaciones de similitud
usando reflexiones de Householder o rotaciones de Givens.
El método QR es iterativo y produce una secuencia de matrices de Hessenberg
A(0),A(1),…A(n) donde A(n) es una matriz triangular. La matriz superior Hessenberg
es formada y sus valores propios extraídos por un proceso de “cacería”,
consistente en pasos en que alternan la creación de entradas no-cero en las
posiciones (i+2,i),(i+3,i) e (i+3,i+1) y restaurando estas entradas a 0 a medida que
se recorre la matriz.
En el paso j-ésimo las transformaciones , usualmente de Givens
k
kj
k GAG ),1(1 (A12.17)
se basan en los valores propios de matrices de 2x2 en la parte inferior derecha de
la matriz.
Un procedimiento para efectuar la “cacería” es el de Haag y Watkins(1993). Para
la matriz de Hessenberg A(0,0) el primer paso del procedimiento Haag-Watkins
comienza con una matriz de Householder de reflexión de 3x3 , 0
~G cuya primera
columna es:
(A12.18) 12
)0,0(
1
)0,0( )()( eIAIA
donde 1 y 2 son los valores propios de la matriz 2x2:
nnnn
nnnn
aa
aa
,,1
,11,1 (A12.19)
y e1 es el primer vector unitario de longitud n. La matriz nxn, G0 es diagonal
( 0
~G ,I).
178 Anexo 12 : Algoritmos de descomposición
La transformación inicial crea un area con elementos no-cero a0
)0,0(1
0 GAG 31(0,1),
a41(0,1) y a42
(0,1) . En seguida el procedimiento Haag-Watkins hace n-3
transformaciones
(A12.20) k
k
k
k GAGA ),0(1)1,0(
para k=1,2,n-3 que efectúan “cacería” de manera que (A(0,k+1)) va a diferir de forma
Hesenberg solamente en los elementos no-cero , , . Para
lograrlo, la matriz G
)1,0(
1,3
k
kka )1,0(
1,4
k
kka )1,0(
2,4
k
kka
k difiere de la identidad solo en las filas y columnas k+1,k+2 y
k+3. La transformación
),0(1 k
k AG (A12.21)
aniquila las entradas ),0(
,2
k
kka y y la transformación ),0(
,3
k
kka
k
k
k GAG )( ),0(1 (A12.22)
produce )1,0( kA con dos nuevos elementos diferentes de cero, )1,0(
1,4
k
kka
y . La transformación final en el primer paso, para k=n-2, aniquila .)1,0(
2,4
k
kka ),0(
2,
k
nna
La matriz de transformación difiere de la identidad solo en las filas y
columnas n-1 y n. Estas etapas se efectúan de manera iterativa hasta que la
matriz se vuelve triangular. A medida que los elementos subdiagonales convergen
a cero, los cambios para usar en la primera transformación de un paso
(correspondientes a
2nG
1 y 2 están determinados por submatrices de 2x2,
ubicadas sobre la diagonal. Existen diferentes variantes para ejecutar el proceso;
en el procedimiento de Haag-Watkins (1993), por ejemplo, los no son únicos y
su forma puede afectar la estabilidad y eficiencia del algoritmo. Haag y Watkins
describen criterios para seleccionar los . Ellos también discuten detalles acerca
de la programación del algoritmo.
kG
kG
Anexo 13 : Fórmulas empleadas en las evaluaciones 179
Media mensual ns = número de series
na = número de años
Xkjil = caudal en la serie k, año j, río i, mes l
Desviación estándar mensual
Media de agregación (i = agregación espacio temporal)
nri = número de ríos agregados
nmi = número de meses agregados
nagi = número de agregaciones de nm meses
Xkji = caudal en la serie k, agregación de meses j
Desviación de agregación
Probabilidad de transición entre categorías no neutras C = cardinalidad (tamaño del conjunto)
ri = racha i-ésima
RNN = conjunto de rachas no neutras
cat(ri)= categoría racha i-ésima
Independiente de categoría inicial
212 ))1/()ˆ((ˆ /i
ns
1k
nag
1jikjii nagnsx
i
kjitr
nm
t
nr
rkji xx
i i
1 1
212 ))1/()((ˆ /ns
1k
na
1jilkjilil nansx
/ˆ1 1
na)(nsxns
k
na
jkjilil
),(),(
2)(,1)(|),(),(
),(
1
1
21
RNNRNNrrC
ircatircatRNNRNNrr
p ii
ii
ii1iiC
180 Anexo 13 : Fórmulas empleadas en las evaluaciones
Dependiente de la categoría inicial
11
2111
121
)(|),(),(
)(,)(|),(),(
)|,(
ircatRNNRNNrrC
ircatircatRNNRNNrr
p iii
iii
iiiiC
Distancia entre categorías no neutras d(i,i+1) = distancia (meses) entre las categorías no neutras i,i+1
nr = número de rachas
ti = tiempo inicial
tf = tiempo final
cat(ri)= categoría de la racha i-ésima
2111
1
1
1
21
)(,)(),,(),(
)1)()((
),(
ircatircatRNNRNNrr
d
Desajuste función de probabilidad acumulada fpa_h = fpa históric
afpa_s = fpa sintético
j = longitud de racha (meses) , j=1,2,…,lmax
lmax = longitud máxima (positiva o negativa)
desajuste_fpa = desajuste_fpa(lmax)
rtfrti
ii
iiii
ii
nr
i
1
|)(_)(_|)(_
C
j
i
isfpaihfpajfpadesajuste
Probabilidad de categorías de rachas no neutras p(i) = probabilidad de categoría de racha no neutra i
i1 = categoría de racha no neutra
CNN = conjunto de categorías no neutras
),()( 211
2
iipipCNNi
),(),(
2)(,1)(|),(),(),(
1
121
RNNRNNrrC
ircatircatRNNRNNrrCii
Probabilidad de superar longitudes críticas históricas = nivel crítico ( = 0.10,0.05,0.025,0.00)
l( )= { long | fpa_histórica(long)=1- }
fpa_sintética(l( )) = probabilidad de superar longitud crítica de racha, l( )
pii
ii1ii
Anexo 13 : Fórmulas empleadas en las evaluaciones 181
Capacidad pronosticadora
Será mejor cuando la probabilidad de que el valor de la variable sintética que simula un período histórico, sea menor (o mayor) que el observado, tenga un valor de 0.5. También será mejor cuando la media sintética sea exactamente igual al valor histórico.
Probabilidad caudal simulado menor que caudal histórico
C
Xki = caudal asociado a la serie k, río (agregación) i
Xtki = caudal en la serie k, río (agregación) i, mes t
t1 = mes inicial del período de evaluación
t2 = tiempo final del período de evaluación
Xhi = caudal histórico en el período de evaluación, río (agregación) i
x
Desajuste de la media sintética que simula un período histórico
Vh = valor histórico
Vs = valor sintético
Desajuste = (Vs-Vh)/Vh
tki
t
ttki x
2
1
hiki /})(|{ nsxxSSk