Departamento de Ciencias

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

Cinemática del M.A.S.

• En la nave espacial la gravedad es despreciable, por lo que imposible que una persona sepa su masa usando una balanza de resorte. A cambio, la masa se determina usando la silla que se muestra en la figura, cuyo modelo físico se muestra. ¿Cómo se podría calcular la masa del astronauta?

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MEDIDA DE LA MASA DE UN ASTRONAUTA

ALGUNAS PREGUNTAS:

• ¿Cuál es el modelo físico del oscilador armónico (OA)?

• ¿Cuál es el diagrama de cuerpo libre?

• ¿Cuál es la ecuación de la 2ª Ley de Newton?

• ¿Cuáles son las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del OA?

LOGRO

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de movimiento armónico simple, haciendo uso de ecuaciones de cinemática y dinámica del MAS, de forma correcta.

Movimiento Periódico es aquel movimiento que se repite regularmente; es decir, vuelve a suceder al cabo de cierto tiempo T, denominado periodo.

Son ejemplos de movimiento periódico:•Los planetas moviéndose alrededor del Sol•El cilindro que se desliza por un doble plano inclinado en ausencia de fricción.•Observe y comente:http://static.consumer.es/www/vivienda/infografias/swf/2ascensores.swf

El movimiento de los planetas alrededor del Sol

αα

0

Movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada

MOVIMIENTO PERIÓDICO

Movimiento Oscilatorio: movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio.•Este movimiento se debe a que existe una fuerza de restitución.•En la figura, el peso produce la oscilación del péndulo.

OSCILACIÓN

a) Oscilación completa o ciclo

b) Período (T)

c) Frecuencia (f)

d) Elongación x(t)

e) Amplitud (A)

1f Hz

T 2 f

CANTIDADES FÍSICAS EN EL MAS

Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0,800 s su desplazamiento es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule:

a) la amplitud b) el periodo c) la frecuencia d) frecuencia angular

Respuestasa) A = 0,120 m b) T = 1,60 s

1f Hz 0,625Hz

1,60

EJEMPLO DE APLICACIÓN 1:

El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio en el que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de la fuerza recuperadora de un resorte sobre una superficie sin fricción.Por la segunda ley de Newton,

ka x

m

F kx

Posición de equilibrio

Amplitud

Periodo

AA

F

x

F

x

a – máximaF- máximav = 0

a – máximaF- máxima

v = 0

a = 0F = 0

v máxima

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Siempre que la aceleración de un objeto es proporcional a su desplazamiento, el objeto se mueve con MAS.

Por la Segunda Ley de Newton

Considerando que la frecuencia angular es

Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene

La solución de la ecuación es:

ka x

m

2 kω

m

22

2

d xx

dt

x(t) Acos( t )

km

1

2

kf

m

2m

Tk

ECUACIONES DEL MAS

• ¿Cuál sería el procedimiento para determinar la masa del astronauta cuando realiza MAS sentado en la silla en el espacio exterior?

PERIODO Y FRECUENCIA

• Sea la ecuación de movimiento:

A , ω y δ son constantes

A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio.

El argumento de la función coseno, (ωt +δ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase.

x(t) Acos( t )

FASE Y ÁNGULO DE FASE

Inicio

Caso (a)

Caso (b)

v

v0 = 0

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2:

• Escriba la ecuación general de un MAS para un bloque de 5,00 kg que descansa en una superficie horizontal sin fricción y está conectada a un resorte en equilibrio de k = 120 N/m, a) si la masa recibe inicialmente un empujón rápido (4,9 m/s) que comprime el resorte, b) si se comprime el resorte 4 m y luego se suelta.

t

x Acos( t)

2a x

EXPLICACIÓN DEL SIGNIFICADO DE LA FRECUENCIA ANGULAR

x(t) Acos( t )

v(t) A sen( t )

2a(t) A cos( t )

POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

• Respuestas:

a)0 0v vω k m

A 0,98 m

,2

π20, por lo que

x 0,98 sen(12,2 t)m

b)

c)

EJEMPLO DE APLICACIÓN 3:

• Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m. En t = 0 s, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s. Calcule : a) la amplitud ; b) el ángulo de fase, c) escriba la ecuación de la posición en función del tiempo.

El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1,50 kg en un resorte está dado por la ecuación:

Calcule (a) el tiempo que tarda una vibración completa; (b) la constante elástica del resorte; (c) la rapidez máxima de la masa, (d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa; (e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1,00 s, y la fuerza que actúa sobre la masa en ese momento.

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x(t) 7,40cos(4,16t 2,42)

EJEMPLO DE APLICACIÓN 4

CONCLUSIONES

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El movimiento armónico simple se produce por la acción de una fuerza elástica (que cumple con la ley de Hooke).

La resolución de la ecuación que se obtiene al aplicar la segunda ley de Newton es una función armónica de la posición con respecto al tiempo.

Con ayuda de la función de la posición con respecto al tiempo se puede describir la velocidad y la aceleración del MAS.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 419-426.

J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 433-439.

Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 419-428.