Extension latérale du déferlement

Y. Pomeau(1), T. Jamin(2), M. Le Bars(2), P. Le Gal(2) & B. Audoly(3)

(1)LPS-ENS, (2)IRPHE, (3)LMM

Equation de Burgers 1D (sans viscosité) :

Formation d’un choc en un temps fini:

Analyse de la solution au voisinage de la singularité

ou

Poisson (1808)

Singularité : dx/du=0

1ère singularité : dt/du=0 =>

Soit en inversant f =u0-1

t

x

U(x,t)

Première singularité

Tangente verticale

Redéfinition de l’origine des temps et invariance par transformation Galiléenne

Développement de Taylor de la fonction f

Lois d’échelle au voisinage de la singularité

Courbe noireCourbe bleue

Équations de Burgers 2D

Formation d’un choc : singularité en temps fini

Calcul de Y. Pomeau: Équations de Burgers 2D

où J(t) est la matrice Jacobiennedxdy = J(t)

dudv( ) ( )

det(J) =

On peut appliquer tout opérateur linéaire M qui modifie le repère mais pas l’ordre du développement de Taylor de F et Gx

y=u

v( ) ( )M M- t ( )FGM

Redéfinition de l’origine des temps & invariance par transformation Galiléenne => singularité à t = x = y = u = v = 0.

Développement de Taylor : det(J)=a t + b u + c v + d u2 + e uv + f v2 +…

1ère singularité : dt/du= dt/dv =0 b = c = 0

Il faut donc chercher les développements de F et G à l’ordre 3 pour que det(J) soit à l’ordre 2

= 0

Singularité quand solution multivaluée det(J) = 0

et

Valeur propre 0 de J(t=0) associée avec la direction x

= 0 0

0

(vague se propageant suivant x)

Dans le repère qui diagonalise J, une des valeurs propres s’annule

Pour u =v =t =0

à l’ordre le plus bas

et en remplaçant dans la solution :

Après mise à l’échelle, équation générique du déferlement 2D :

Lois d’échelles : u ~ y ~ t1/2 et x ~ t3/2

Vérification expérimentale : le déferlement s’étend en t1/2 selon y

change le support de la courbe (v~y)

-vt est négligeable par rapport à c’

disparaît par transformation Galiléenne u u+ey

Vagues en eau peu profonde

avec h = h0 + h, h<<h0, h0<<~ ~

Effets de dispersion (KdV) négligeables pour

[longueur] = h0 [vitesse] = (gh0)1/2

Taille caractéristique suivant x

h0

Effets capillaires négligeables pour grand

Donc les 2 équations se ramènent à

O(0), donc induit une correction dh ~ t, négligeable

lois d’échelles :

h ~ u ~ v ~ y ~ t1/2 x ~ t3/2

~

~

Changement de variable w = u + 1 (on se place dans le référence de la crête)

Termes de l’équation de Burgers

Solution vague simpleu ~ h ~ w~

Equivalence avec l’équation de Burgers aux premiers ordres

On retrouve les ’équations de Burgers 2D,avec ses lois d’échelles:

Lois d’échelles : u ~v~ y ~ t1/2 & x ~ t3/2

Extension latérale de la zone déferlée en t1/2

Vérification expérimentale

Induit une correction dv ~ cte et ~ tsur la solution, négligeable

Étude expérimentale en eau peu profonde

Dispositif expérimental: table à eau

• Fond horizontal ou légèrement incliné.

• Soliton rectiligne (suivant y) de hauteur 6.3mm à 10.6mm et d’extension ~5cm (suivant x), sur une profondeur d’eau de 15.5mm à 22.5mm.

• Visualisation par ombroscopie & enregistrement par caméra rapide (2800fps sur un carré de 32.5cm de côté).

Vue de dessus

Vue de côté

Approximations théoriques OK :

grand rapport d’aspect, faible amplitude et dispersion

négligeable…

Observation du déferlement

Durée du film 41s temps réel 0.37s

Profondeur d’eau 17.4mmHauteur de vague 8.0mm

Vague = ligne blanche (crête) et ligne noire (front) focalisation & défocalisation de la lumière par l’interface

Diagramme espace-temps

Progression de la vague : vitesse constante de 0.41m/sen accord avec la valeur théorique (gh0)1/2.

dans la direction de propagation

• Superposition d’images séparées par quelques ms

• Amélioration du contraste en prenant le gradient horizontal

y

x tDiverses sources de déferlement qui se rejoignent rapidement, puis progression vers l’extérieur

Progression du déferlement

(1) Initiation

(2) Extension latérale

Analyse systématique de 50 expériences (fond horizontal, bathymétrie >0 et <0)

Progression latérale en racine du temps est un comportement générique.

Etudes des lois d’échelles

Perspectives• Exploitation plus complète de l’expérience existante :

profil vertical de la vague, mesures de vitesses, …

• Nouvelles expériences de déferlement de vagues : variations de la hauteur de vague et de la profondeur d’eau sur de grandes gammes.

• Autres systèmes : ressaut hydraulique, choc sonore (3D)

Et pourquoi pas à très très grande échelle?