exercitii statistica - partea a 2-a

Statistica Anul I, 2012-2013

Regula de compunere a variabilitatii; Coeficientul de determinatie Problema rezolvata si probleme propuse

Problema rezolvata Un cercettor face un studiu asupra unor firme, privind ansele pe care acestea le ofer tinerilor angajai de a promova repede i de a avansa n carier. Pentru aceasta el a cuprins n studiu un numr de 20 de companii productoare de tehnologie de vrf i a nregistrat timpul scurs de la angajarea iniial a unui salariat n firm pn la prima promovare a acestuia. Firmele au fost grupate dup mrime, iar datele nregistrate sunt:

Mrimea firmelor Numr de sptmni de la angajare pn la prima promovare

Mici 30; 26; 30; 32; 38; 24; 32; 28; Medii 34; 32; 25; 36; 33 Mari 47; 41; 43; 48; 40; 49; 40.

Se cere: a) s seprecizeze care este grupa de firme cu un grad mai ridicat de omogenitate; b) sa se determine in ce proportie marimea companiei influenteaza variatia timpului

pana la prima promovare a unui salariat.

Rezolvare: a) o Populatia statistica este multimea companiilor producatoare de tehnologie de varf. o Unitatea statistica este o companie (firma). o Caracteristicile urmarite sunt:

X - variabila ce arata marimea unei firme; - variabila nenumerica avand r=3 categorii sau variante de raspuns: firme mici,

firme mijlocii si firme mari: aceste categorii ale variabilei X vor determina impartirea populatiei statistice in r =3 grupe si anume:

Grupa 1 (grupa firmelor mici), Grupa 2 (grupa firmelor mijlocii),

Grupa 3 (grupa firmelor mari); - astfel, variabila X, marimea firmei, se mai numeste si factor de grupare.

si

Y - variabila ce arata durata de timp, in saptamani, de la angajare la prima promovare a unui salariat al unei firme producatoare de tehnologie de varf;

- variabila numerica de interes. Din Grupa 1 (grupa firmelor mici) se selecteaza un subesantion de volum 81 =n

firme pentru care se inregistreaza valorile variabilei Y: } 28;32;24;38;32;30;26;30{

1,18,17,16,15,14,13,12,11,1========= nyyyyyyyyy

saptamani.

2

Media de selectie de grupa este 308

240...

1

1,1

1

,12,11,11

1

1 ===+++

=

=

n

y

n

yyyy

n

j

j

n

saptamani, dispersia de selectie de grupa este

( ) ( ) ( ) ( )2857,18

11

...

1

1

21,1

1

21,1

212,1

211,12

1

1

1 =

=

+++=

=

n

yy

n

yyyyyys

n

j

j

n ,

abaterea standard de selectie de grupa este 2762,42857,18211 === ss saptamani,

iar coeficientul de variatie al acestei grupe este %25,1410030

2762,4100

1

11 ===

y

sv .

Din Grupa 2 (grupa firmelor mijlocii) se selecteaza un subesantion de volum 52 =n

firme pentru care se inregistreaza valorile variabilei Y: }33 ,36 ,25 ,32 ,34{

2,25,24,23,22,21,2====== nyyyyyy saptamani.


160...

2

1,2

2

,22,21,22

2

2 ===+++

=

=

n

y

n

yyyy

n

j

j

n

saptamani, dispersia de selectie de grupa este

( ) ( ) ( ) ( )5,17

11

...

2

1

22,2

2

22,2

222,2

221,22

2

2

2 =

=

+++=

=

n

yy

n

yyyyyys

n

j

j

n ,



1833,4100

2

22 ===

y

sv .

Din Grupa 3 (grupa firmelor mari) se selecteaza un subesantion de volum 73 =n

firme pentru care se inregistreaza valorile variabilei Y: } 40;49;40;48;43;41;47{

2,37,36,35,34,33,32,31,3======== nyyyyyyyy

saptamani.


308...

3

1,3

3

,32,31,33

3

3 ===+++

=

=

n

y

n

yyyy

n

j

j

n

saptamani,

3

dispersia de selectie de grupa este

( ) ( ) ( ) ( )3333,15

11

...

3

1

23,3

3

23,3

232,3

231,32

3

3

3 =

=

+++=

=

n

yy

n

yyyyyys

n

j

j

n ,



9158,3100

3

33 ===

y

sv .

Cum coeficientii de variatie pentru cele trei grupe sunt mai mici ca 30%-35%,

atunci toate grupele sunt omogene. Grupa 3 (grupa firmelor mari) este mai omogena in privinta duratei de timp de la angajare la prima promovare a unui salariat deoarece are cel mai mic coeficient de variatie 123 vvv

4

Fereastra de dialog este prezentata in Figura 2.

Figura 2. Fereastra de dialog pentru Descriptive Statistics.

Output-ul consta din urmatorul tabel, corepunzator prelucrarii datelor din cele trei

grupe:

Grupa 1 (firme mici)

Grupa 2 (firme mijlocii)

Grupa 3 (firme mari)

Mean 30= 1y 32= 2y 44= 3y

Standard Error 1,5119 1,8708 1,4800

Median 30 33 43

Mode 30 #N/A 40

Standard Deviation 4,2762=211 ss = 4,1833=

222 ss = 3,9158=

233 ss =

Sample Variance 18,2857=21s 17,5=

22s 15,3333=

23s

Kurtosis 0,9406 2,9143 -2,3115

Skewness 0,5846 -1,5367 0,2332

Range 14 11 9

Minimum 24 25 40

Maximum 38 36 49

Sum 240==

1

1,1

n

j

jy 160==

2

1,2

n

j

jy 308==

3

1,3

n

j

jy

Count 8= 1n 5= 2n 7= 3n

5

b)

o Media totala la nivelul intregului esantion de volum 20321 =++= nnnn firme este

20

744532830

321

332211 ++=++

++=

nnn

nynynyy

4,35= y saptamani. o Pe baza datelor de selectie calculam:

Variatia dintre grupe (Sum of Squares Between Groups)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 74,354454,353284,3530 2223

232

221

21

++=

=++= nyynyynyySSB

8,808= SSB

Variatia din interiorul grupelor (Sum of Squares Within Groups) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3333,15175,17152857,1818

111 233222

211

++=

=++= snsnsnSSW

290= SSW Variatia totala

2908,808 +=

+= SSWSSBSST

8,1098= SST

Coeficientul de determinatie este

...8,1098

8,8082 ===SST

SSBR

sau, exprimat procentual, %...1008,1098

8,8081002% ===

SST

SSBR arata ca factorul

de grupare, tipul companiei, explica variatia totala a duratei de timp pana la prima promovare in proportie de ... %, restul de ... % din variatia totala a timpului se datoreaza altor factori care nu au fost considerati de cercetator.

o Dispersia de selectie la nivelul intregului esantion de volum 20=n de firme este

8315,57120

8,1098

11

esantion intregului nivelul la totalaVariatia2 =

=

=

=n

SST

ns y

cu o abatere standard 6047,78315,572 === yy ss saptamani,

iar coeficientul de variatie este %48,211004,35

6047,7100 ===

y

sv

y

y .

6

Probleme propuse

1. Managerul unui lan de supermarketuri dorete s deschid un nou magazin n unul din cele 4 cartiere principale ale unui oras. Unul din factorii importanti luati in considerare in luarea deciziei de amplasare este venitul mediu lunar al rezidentilor fiecarui cartier. Se selecteaz astfel un eantion de 80 gospodarii i se nregistreaz veniturile (mii lei). n urma prelucrrii datelor in Excel s-au obinut rezultatele:

Groups Count Sum Average Variance

Cartierul A 19 44,2 2,33 0,24 Cartierul B 24 78,3 3,26 0,33 Cartierul C 16 33,6 2,10 0,17 Cartierul D 21 57,3 2,73 0,46

Se cere: a) precizati care este grupa cu cel mai ridicat grad de omogenitate; b) calculati proportia in care cartierul influenteaza variatia venitului lunar al rezidentilor; c) calculati dispersia de selectie la nivelul intregului esantion pentru venitul unei gospodarii si coeficientul de variatie; d) determinati si interpretati intervalul de incredere 98% al venitului mediu al unei gospodarii. 2. Un cercetator doreste sa determine daca un nou produs software ajuta studentii sa nvete la matematica. Pentru aceasta el formeaza 3 grupe de studiu: studentii din Grupul 1 nu beneficiaza de pregatire suplimentara la matematica n afara orelor din programa universitara, studentii din Grupul 2 beneficiaza de pregatire suplimentara n cadrul consultatiilor, iar studentii din Grupul 3 se pregatesc pe baza programului tutorial pe calculator. Dupa o luna de zile de pregatire la matematica, studentii primesc un test, punctajele obtinute la test fiind prezentate in tabelul urmator:

Grupul 1 - Fara pregatire suplimentara Grupul 2 - Consultatii Grupul 3 Program tutorial

23 30 32

22 27 30

22 22 24

23 23 22

17 19 21

18 19 20

15 21 19

Determinati in ce proportie modul de pregatire la matematica a influentat rezultatele obtinute la test de catre studenti. Rezolvati problema in Excel. 3. O fabrica de produse de patiserie produce un tip de fursecuri pe care l comercializeaza ntr-un supermarket. n vederea stimularii vnzarilor, managerul supermarketului hotaraste sa schimbe locatia de amplasare a produsului timp de 15 saptamni. Astfel, produsul este mutat saptamnal n 3 locatii: la raionul de patiserie, la raionul de lactate si lnga casa de marcat, nregistrndu-se vnzarile saptamnale obtinute. n urma prelucrarii datelor s-au obtinut urmatoarele rezultate preliminare:

Group Count Average Standard deviation

Raionul de lactate 5 35,0 7,96

Casa de marcat 5 49,0 11.85

Raionul de patiserie 5 23,4 5.63

Determinati in ce proportie variatia vanzarilor este influentata de locatia de expunere a produselor.

7

4. Managerul unui lant de supermarketuri doreste sa deschida un nou magazin n una din cele 4 zone diferite ale unui oras mare. Unul din factorii importanti n luarea acestei decizii l constituie venitul mediu anual al gospodariilor rezidentilor din fiecare zona. ntr-un studiu preliminar, diferiti rezidenti ai celor 4 zone sunt ntrebati care este venitul mediu anual al gospodariilor din care fac parte (Y). In urma prelucrarii datelor s-au obtinut urmatoarele rezultate:

Zona (X) Numar gospodarii i

iy i

iy2

A 6 159 4345

B 9 294 10464

C 7 182 5550

D 5 138 4134

Completati tabelul:

Groups Count Sum Average Variance Standard Deviation Coefficient of variation

Calculati in ce proportie variatia venitului lunar al gospodariilor este influentata de alti factori, in afara cartierului de rezidenta. 5. O agentie de ocupare a fortei de munca este interesata sa studieze care din cele 3 tipuri de anunt publicitar, publicat la rubrica de "Cereri si oferte de angajare" dintr-un ziar local este cel mai eficient. Cele 3 tipuri de anunturi (cel tiparit cu caractere mari, cel tiparit cu caractere obisnuite si cele tiparit cu caractere bold) sunt alternate aleator timp de 18 saptamni si este inregistrat numarul persoanelor care au raspuns la anunt in fiecare saptamna. Rezultatele preliminare ale prelucrarii datelor sunt:

Groups Count Average

Caractere mari 7 33,43

Caractere obisnuite 5 23,60

Caractere bold 6 34,00

Stiind ca numarul respondentilor inregistreaza - pe total esantion - un coeficient de variatie de 27,2%, aflati in ce proportie tipul de anunt influenteaza eficacitatea acestuia (masurata prin numarul mediu de respondenti). 6. Pentru compararea puterii de frnare a 4 tipuri de anvelope auto a fost inregistrata distanta de frnare a unui vehicol pe carosabil umed. Este testata cte o anvelopa din fiecare tip pe acelasi autovehicol. Se dau urmatoarele rezultate preliminare:

Groups Count Variance

Tip A 6 4,00

Tip B 5 4,00

Tip C 4 4,67

Tip D 7 1,67

Stiind ca dispersia distantei de frnare, la nivelul esantionului este de 3,636, determinati coeficientul de determinatie.

exercitii statistica - partea a 2-a

Documents