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www.matheux.c.la - GSP 15 - 1 -

Exercices résolus de mathématiques.

GSP 15

EXGSP150 – EXGSP159

http://www.matheux.be.tf

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Nicole Berckmans – Jan Frans Broeckx

Fabienne Zoetard

Aout 2012

http://www.matheux.c.la/

http://www.matheux.be.tf/


EXGSP150 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012

Soient ' et ' deux diamètres d'un cercle de centre et de rayon . Les angles au centre

qui interceptent les cordes et ' ' sont égaux et valent .

1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et p

AA BB O R

AB A B

ropre.

2. Quelle est la nature du quadrilatère , , ', ' ?

3. Exprimer l'aire du quadrilatère ainsi que son périmètre en fonction de et

uniquement.

4. Quelle est la valeur maximale de l'aire du quadrila

A B A B

R

tère? A quelle valeur de

correspond-t-elle?

5. Pour quelle valeur de le quadrilatère est-il un rectangle dont le rapport longueur

par largeur vaut 3 ?

NB. Pour les points 2 à 5, justifier les réponses e

n toutes généralités. Des mesures sur un

dessin ne constituent pas une démonstration.

Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François

2. Le quadrilatère est un rectangle car les 4 angles au sommet sous tendent un demi cercle.

3. Dans le triangle ' : sin . D'où 2 sin . De même 2 cos2 2 2 2

périmètre 4 sin cos ; aire 2 2

cOA M R c R d R

R cd

2 24 sin cos 2 sin2 2

4. Cette aire est maximum lorsque sin 1, c'est-à-dire . Dans ce cas le rectangle 2

est un carré. 2.

cos325. Si 3, alors 3 tan 30 60 .

2 3 2sin

2

Rem : dans le triangle

r R

c d R

d

c

', tan et dès lors 60 2 60d

ABAc

Le 26 novembre 2012.



EXGSP151 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013 série 1.

Soit un cercle de centre et de rayon . A partir d'un point fixe du cercle, on trace une

droite qui coupe le cercle en un point . Soit le point de tel que soit le milieu

du segment ,

1. Ill

O R A

D B M D B

A M

ustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.

2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .

3. Exprimer l'aire du triangle , , en fonction de et de la longueur

uniquement. On note cet

M

A O M R AB

T te aire.

4. On note l'aire du disque de centre et de rayon . Calculer la valeur maximale

du rapport . Pour quelle valeur de est-elle atteinte?

NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses e

S O R

T S AB

n toute généralité. Des mesures sur un


Solution proposée par Nicole Berckmans



2. L'homothétie de centre fixe et de rapport 2 envoie sur . Lorsque parcourt un

cercle de centre et de rayon alors parcourt un cercle de centre ' et de rayon 2 .

3. aire du triangle de

A B M B

O R M O R

T AOM

2

2 2 2

2

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2

base et de hauteur

1.2 Notons :

2 2 2

4.

42Maximum de 2

0 2 2

2... 0

4 4

1Conclusion : Max de vaut

AM h

AB xT AB R x AB T R x

S R

xR x

T x R x

S R R

x R R

d T S d T SR x

dx dxR R xT S Max

T S

Commentaire de Louis François

2Au point 4, on demande le maximum du rapport . Sachant que est constant,

il suffit de maximiser .

Or le triangle a un base constante ; par conséquent le maximum de l'aire

sera obtenu lor

T S S R

T

AOM OA R

2

2

2

sque la hauteur sera maxmum. Cette hauteur est celle issue de ,

perpendiculaire au côté . Elle sera maximum lorsuqe ' sera perpendiculaire à ' .

Dans ce cas 2 .

1 1. .2 . .2

2 2

1

M

OA MO O A

h R

T OA R R R R

T R

S R

2AB R

Le 16 septembre 2013.



EXGSP152 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013, série 2.

On considère deux points fixes et distants de , et un cercle de centre et de rayon .

A partir du point , on trace une droite qui coupe le cercle en un point .

On trace ensuite la médiatrice d

A B c B R c

A m

u segment , qui coupe le segment , en un point

milieu .

1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.

2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .

3. On note la distance entre et

A m B m

M

M

r A . On note l'aire du triangle , , .

Exprimer en fonction de , et uniquement.

4. Calculer la valeur de . Pour quelle valeur de est-elle atteinte? Illustrer la

solution sur le dessin du point 1.

M T A B M

T r R c

T r

NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses en toute généralité. Des mesures sur un


Solution proposée par Nicole Berckmans

2) Le triangle étant isocèle, on a :

Le lieu de est donc une ellipse de foyers et .

Note : c'est précisément une méthode de construction des ellipses.

AmM AM MB R

M A B



22 2 2

3) Une formule de géométrie donne en fonction de , , , les côtés du triangle

2

Ici cela donne : 2 2 2 2

1... 2

4

4) Les triangle

T a b c

p a b c

S p p a p b p c

R c R c R c R cT r R r c

T R c c R r

*

* * * * 2 2

s ont une base , constante donc l'aire sera maximale lorsque

la hauteur sera maximum, càd lorsque est un sommet de l'ellipse càd lorsque

24

Max

ABM AB c

M M

cR r r r R T R c




EXGSP153 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2013.

Deux disques de même rayon sont contenus dans un même plan et leurs centres respectifs

et ' sont distants de 2. On note la surface obtenue par l'union des deux disques.

1. Illustrer l'énoncé par

R

O O R S

un dessin clair et précis.

2. Exprimer l'airee de en fonction de uniquement.

3. On note la distance entre deux points extrêmes de situés sur la droite ' .

Exprimer en fonction de uniquement.

S R

L S OO

L R

*

*

4. On considère deux solides. Le premier est un cylindre de base S et de hauteur ,

Le second est un parallèlépipède de dimensions , et . Les deux solides ont

même volume. Exprimer en fonction de

H

L R H

H uniquement.

NB. Justifier les réponses 2 à 4 en toute généralité. Des mesures sur un dessin ne constituent

pas une démonstration.

H

Louis François



2 2

2

2) Comme ' 2, le triangle ' est rectangle en et isocèle : ' 4.

Comme est un axe de symétrie : ' est un carré 2 2

1 1 2Aire hachurée = cercle aire . 2. 2

4 4 2 2 4

2

OO R OAO A AOO

AB AOBO OM MA R

R R ROAB R

S R

2 2

2* *

*

*

2. 2 3 24 2

23) 2 2 2 2

2

.4) .2 . . 2 2 .2 . 3 2 .

2.2 .

3 2 13 2 2 2

84 2 2

cyl

pp

R RS

RL CD CO OM R L R

V S H RL R H S H R R H H

V L R H

H H H




EXGSP154 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.

Un triangle peut se déformer en tournant autour de son sommet fixe .

Dans l'gypothèse où se triangle reste semblable à lui-même, déterminez le lieu

géométrique de si décrit une droite fixe. Con

ABC A

C B struisez ce lieu.

Résolution utilisant les symétries

1

1 1

1

Soit le triangle avec sur la droite . Soit . Déplaçons en et construisons

le triangle semblable au triangle .

Soit . Faisons la rotation de centre et d'angle du trian

ABC B d BAC B B

AB C ABC

BAB A

, 1 , 1

gle . on obtient le

triangle ' ' avec Rot ' et Rot ' 1 .

Les triangles et ' ' sont isométriques puisque les rotations conservent les longueurs

des segments et l'amplitude des

A A

ABC

AB C B B AB C C AC

ABC AB C

1

, 1

1

'angles. On a donc 2

'

Faisons la rotation de centre et d'angle de : Rot '' 3

' '' ''. 2 devient . ' est donc l'image de ''

' ''

selon l'homothétie de c

A

AC ACr

AB AB

A B B B AC

AC AC ACAB AB AB r C B

AB AB AB

11 ,

1 1

1 12 1

entre et de rapport : '' ' 4

D'autre part comme les triangles et sont semblables et que les triangles

et ' ' sont égaux : . est donc l'image de ' selon l'homo' '

A rA r B C

ABC AB C ABC

AB ACAB C r C C

AB AC

2

1 2 1 2

2 , 1

, . 1 , . , 1

1

thétie de

centre et de rapport : ' 5 .

De 4 et 5 , on tire '' . Et avec 3 : Rot .

est donc l'image de selon une rotation suivie d'une homothétie. Lorsque décrit

A r

A r r A r r A

A r C C

B C B C

C B B

la

droite , décrit alorsune droite puisque les rotations et les homthéties d'une droite

sont une droite.

d C



1

1

Déterminons l'angle entre la droite et la droite du lieu de .

Envoyons à l'infini. Dans ce cas, sera une droite parallèle à .

est aussi à l'infini dans la direction ' formant un angle av

d C

B AB d

C AC ec .

La droite lieu de forme donc un angle avec .

d

C d

Résolution selon DALLE édition 1961 pages 479-481



Lieu du sommet lorsque le point parcourt la droite '

Par le point , traçons la droite ' qui forme avec ' un angle ' . Je dis que

la droite ' est le lieu demandé.

Supposons que :

C B XX

C YY XX CDX BAC

YY

AB m

AC

. Traçons ' quelconque; puis faisons l'angle ' et

tirons ' '/ Pour montrer que ' est le lieu du point , lorsque le triangle tourne

' 'autour du sommet , il suffit d'établir que : .

'

O

AB B AC BACn

B C YY C

A B mA

nAC

r le quadrilatère est inscriptible puisque les angles opposés sont supplémentaires;

partant les angles et ' sonr égaux. De plus, puisque les angles et ' '

sont égaux par construction,

ABDC

ABD ACC BAC B AC

en leur retranchant la partie commune ' , on a l'angle

' '. En conséquence, les triangles BAB' et ' sont semblables; d'où

'= =

'

Le lieu du point est donc la droite menée par un po

B AC

BAB CAC CAC

AB AB m

nAC AC

C

int quelconque du lieu et formant

avec ' un angle '= XX CDX BAC

Le 23 septembre 2013



EXGSP155 – FA FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.

Un triangle peut se déformer en tournant autour de son sommet fixe .

Dans l'gypothèse où se triangle reste semblable à lui-même, déterminez le lieu

géométrique de si décrit un cercle fixe. Cons

ABC A

C B truisez ce lieu.

Résolution utilisant les symétries



1

1 1

1

Soit le triangle avec sur le cercle . Soit . Déplaçons en et construisons

le triangle semblable au triangle .

Soit . Faisons la rotation de centre et d'angle du trian

ABC B BAC B B

AB C ABC

BAB A

, 1 , 1

gle . on obtient le

triangle ' ' avec Rot ' et Rot ' 1 .

Les triangles et ' ' sont isométriques puisque les rotations conservent les longueurs

des segments et l'amplitude des

A A

ABC

AB C B B AB C C AC

ABC AB C

1

, 1

1

'angles. On a donc 2

'

Faisons la rotation de centre et d'angle de : Rot '' 3

' '' ''. 2 devient . ' est donc l'image de ''

' ''

selon l'homothétie de c

A

AC ACr

AB AB

A B B B AC

AC AC ACAB AB AB r C B

AB AB AB

11 ,

1 1

1 12 1

entre et de rapport : '' ' 4

D'autre part comme les triangles et sont semblables et que les triangles

et ' ' sont égaux : . est donc l'image de ' selon l'homo' '

A rA r B C

ABC AB C ABC

AB ACAB C r C C

AB AC

2

1 2 1 2

2 , 1

, . 1 , . , 1

1

thétie de

centre et de rapport : ' 5 .

De 4 et 5 , on tire '' . Et avec 3 : Rot .

est donc l'image de selon une rotation suivie d'une homothétie. Lorsque décrit

A r

A r r A r r A

A r C C

B C B C

C B B

,

le

cercle , décrit alors un cercle puisque les rotations et les homothéties d'un cercle

sont un cercle.

Le centre de ' est telle que Rot '. Le triangle ' est semblable au triangleA

C

O O AOO

ABC



Résolution selon DALLE édition 1961 pages 479-481

Lieu du sommet lorsque le point parcourt la circonférence de centre .

Tirons , et faisons l'angle , l'angle donné. Déterminons ensuite sur

un point ' tel que et traçons'

C B O

AO OB OAX BAC AX

AB AO mO

nAC AO

' .

Tout d'abord, puisque a une direction fixe, ' aura aussi une direction fixe et le point

' est invaribale, comme le point .

D'autre part, les triangles et ' sont semblables, parce qu'i

O C

AO AO

O O

OAB O AC ls ont un angle égal

compris antre côtés proportionnels; d'où

ou ' .'

Partant ' a une longueur constante. Le lieu du point est donc la circonférence

décrite avec ' pou centre et

AB BO m nCO OB

n mAC CO

CO C

O

. pour rayonn

OBm

Le 23 septembre 2013



EXGSP156 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012.

2 2

On considère un triangle isocèle en (c'est-à-dire que l'on a , où

désigne la longueur d'un segment ). Soit un point situé sur le côté de ce

triangle. Démontrer que l'on a :

ABC A AB AC XY

XY P AB

APC PB

2

.P

BCAB

2 22 2 2 2

2

Transformons le premier membre de l'égalité :

PC PB PC PB PA AC PA AB

PA

2

2 .PA AC AC 22 2

2

AC AB AB

PA

2

2 .PA AB AB

2 2 22

2 2 .

L'expression a vérifier devient alors :

2 . 2 . .

2 . . 2

PA AC BA PA BC

AP AP PA BCPC PB BC PA BC BC BC BC

AB AB AP AB

PA BA AC PABC BC

AP AB AP

car

. . .

Or et sont des vecteurs unitaires orientés selon et est un vecteur

unitaire orienté selon .

Dès lors

.

AB AC

BA ACBC BC BC

AB AC

PA BA ACBA

AP AB AC

AC

PABC

AP

est la projection orthogonale de sur

. est également la projection orthogonale de sur

. est la projection orthogonale de sur

Comme le triangle

BC BA

BABC BC BA

AB

ACBC BC CA

AC

est isocèle, les projections orthogonales de

sur et sont égales; ce qui démontre l'égalité

ABC BC

BA CA

Le 13 octobre 2013.



EXGSP157 – FACSA, ULG, Liège, septembre 2012.

On considère un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, dont les diagonales

et sont perpendiculaires. On note le point d'intersection de ces diagonales et

, , et les projections or

ABCD

AC BD O

P Q R S thogonales respectives du point sur les droites , ,

et .

a) Démontrer que la droite est bissectrice de l'angle

b) Démontrer que le quadrilatère est inscriptible dans un cercle.

O AC BC

CD DA

OQ PQR

PQRS

1 1a) Les angles inscrits et interceptent le même arc. Ils sont donc égaux. Dès lors, les

triangles rectangles et sont égaux et ; . Par conséquent, les

triangles rectangles et

B A

DOA OCB OC OD OB CA

DOC OBA

2

1

sont isocèles et donc 45 .

D'autre part, et . Donc le quadrilatère est inscriptible dans un

cercle. On en déduit que l'angle 45 puisqu'il intercepte le même arc que .

On démon

C B

OR DC OQ CB OQCR

Q C

2tre de même que 45 . est donc le bissectrice de l'angle et de

plus le triangle est rectangle en .

b) De même on démontre que le triangle est rectangle en .

Le quadrila

Q OQ RQP

RQP Q

mutatis mutandis RSP S

tère est donc inscriptible dans un cercle.PQRS

Le 11 octobre 2013



EXGSP158 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2013.

1

2

3

Soit le carré . Soit le milieu de . Tracer le cercle de centre et de rayon .

Tracer l'arc de cercle de centre et de rayon qui coupe la demi-droite en .

Tracer le cercle de

ABCD M AB c B AB

c M MD MA E

c 1 3

4

5

centre et de rayon . et ont une intersection située dans le

carré . Par symétrie, on pourrait trouver le point , intersection des cercles (de

centre et de rayon ) et (de cent

A AE c c F

ABCD G c

A AB c

3 5

re et de rayon ), située dans le carré .

et ont une intersection à l'extérieur du carré .

Construire la figure géométrique. Démontrer analytiquement que est un pentagone

régulie

B AE ABCD

c c H ABCD

AFGBH

r.

Pour la construction du pentagone : voir EXGSP088



2 2

2

Considérons pour simplifier que le côté du carré vaut 1.

1 51) rect : 1

4 2

5 5 1 5 1

2 2 2 2

5 12

522) Calculons l'angle à partir du triangle isocèle : cos 12 4

3

ADM DM AD AM

EM AE AF FH

ABF ABF ABF

ABF

1

2

2

6 . est donc le côté d'un dodécagone convexe inscrit dans le cercle

180 36On en déduit que 72 .

2

5 12 1

1 523) Calculons l'angle dans le triangle isocèle : cos45 1

22

AF c

FAB

AHB AHB AHB

72 et 108

4) Par conséquent : 108 , et par symétrie 108

5) Considérons le pentagone . Par symétrie les angles et sont égaux et

on a 2 2 180 5 2 3 108

AHB BAH ABH

FAH FAB BAH GBH

AHBGF AFG FGB

AFG FGB

216 car la somme des angles d'un polygone

convexe à côtés est égale à 180° 2 .

Conclusion : les 5 angles du pentagone sont égaux, c'est donc un pentagone régulier.

n n

15 novembre 2013



EXGSP159 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2013.

On considère un pentagone régulier de côté .

a) Calculer l'aire du pentagone.

b) Considérons maintenant l'étoile à 5 branches formée en reliant les sommets dans

l'ordre . Calculer l'aire de

ABCDE c

ACEBDA la surface délimitée par cette étoile.E

Solution proposée par Dominique Druez

Le 16 aout 2009.


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