298 Capítulo3: Aplicaçõesdas Derivadas

EXERCfcIOS3.6

Determinando Linearizações

Nos exercícios1-5, detenninea linearizaçãoL(x) de f(x) quandox=a.

1. f(x) = X3 - 2x + 3, a = 2

2. f(x) = Y X2+ 9, a = -4

13. f(x) = x + x' a = 1

4. f(x) =~, a = -8

5. f(x) = tgx, a = 7T

6. Aproximações lineares comuns quando x = O Determine as linea-

rizações das seguintes funções quando x = O.

(a) sen x

(d) ~

(b) cos x

(e) ln (1 + x)

(c) tg x

Linearização para Potênciase Raízes7. Demonstre que a linearização de f(x) ='(1 + X)k quando

x=OéL(x)=I+kx.

8. Utilize a aproximação linear (1 + X)k= 1 + kx para determi-nar uma aproximação da função f(x) para valores de x próxi-mos de zero.

(a) f(x) = (1 - X)6

2(b) f(x) =- l-x

1(c) f(x) = .. r;-:-vl+x

(d) f(x) = Y2 + X2

(e) f(x) = (4 + 3X)I/3

(f) f{x) ~ 4(1 - 2 ~ x)'

Linearização para AproximarNosexercícios 9-12, escolha uma linearização cujo centro não es-teja em x = a, mas em um valor próximo no qual a função e sua de-rivada sejam fáceis de calcular. Expresse a linearização e o centro.

9. f(x) = 2X2 + 4x - 3, a = -0,9

10. f(x) =~, a = 8,5

x11. f(x) = x + l' a = 1,3

12. f(x) = cosx, a = 1,7

13. Maisrápidodo que uma calculadora Use a aproximação (1 + X)k =1 + kx para estimar

(a) (1,0002)50 (b) V 1,009.

14. Escrevendopara aprenderDetermine a linearização de f(x) =~ + senx quandox = O.Comoelaestárelacionadacomaslinearizaçõesindividuaisde ~ e de senx quandox = O?

Derivadas na Forma DiferencialNos exercícios 15-24 determine dy.

15. y=x3-3~ 16. y=x~

18. y = 2~3(1 + VX)

17. y = X2 ln x

19. 2y3/2+ xy - x = O 20. xy2 - 4X3/2- Y = O

22. y = cos (X2)21. y = esenx

23. y =xeX 24. y = sec (x2 - 1)

Erro de AproximaçãoNosexercícios25-28, a funçãof variaquandox variadea paraa + dx. Determine

(a) a variação absoluta D.f = f(a + dx) - f(a)

(b) a variação estimadadf= f'(a) dx

(c) o erro de aproximação ID.f - dfl.y

ox

rtJ.f= f(a + dx) - f(a)

1I

Tangente I

a a+dx

25. f(x) = X2 + 2x, a = O, dx = 0,1

26. f(x) = X3 - x, a = 1, dx = 0,1

27. f(x) = X-I, a = 0,5, dx = 0,05

28. f(x) = X4, a = 1, dx = 0,01

Estimativas Diferenciais de VariaçãoNos exercícios 29-32, escreva a equação diferencial que permitaestimar a variação dada do volume ou da área da superfície.

29. Volume A variação do volume V = (4/3)1773 de uma esfera

quando o raio varia de a para a + dr.

x

v = 11Tr3 S = 41Tr23 ' v = x3, S = 6x2

30. ÁreadasuperfícieA variação da área da superfície S = 41Tr2deuma esfera quando o raio varia de a para a + dr.

31. Volume A variação do volume V = X3 de um cubo quandoocomprimento das arestas varia de a para a + dx.

32. Áreadasuperfície A variação na área da superfície S = 6X2 de

um cubo quando o comprimento das arestas varia de a paraa+dx.

Teoriae Exemplos33. ExpandindoumacircunferênciaO raio de uma circunferência

aumentoude 2,00 m para 2,02 m.

(a) Estime a variação re~ultantena área.

(b) Expressea estimativa como uma porcentagem da área ini-cialda circunferência."

34. Ocrescimentode uma árvoreO diâmetro de uma árvore era 10pol. Durante o ano seguinte, a circunferência aumentou 2 poLQuanto variou aproximadamente o diâmetro da árvore? E aárea da secção transversal?

35. Estimandoo volumeEstime o volume de material presente emuma embalagem cilíndrica de 30 pol de altura, 6 pol de raio e

0,5 pol de espessura.

0,5 paI '-.,..I

I

3T1-+16 paI

16. Estimandoa altura Um agrimensor a 30 pés da base de um edi-fício mede o ângulo de elevação até o topo do edifício comosendo 75°. Que exatidão deve apresentar a medição desse ân-gulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edi-fício seja inferior a 4%?

,7. TolerânciaA altura e o raio de um cilindro reto são iguais, demodo que o volume desse cilindro é dado por V = 7Th3. O

volume deve ser calculado com erro não maior que 1% em re-lação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro

que pode ser tolerado na medida de h, expressando-o comoporcentagem de h.

8. Tolerância

(a) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição dodiâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagemcom 10m de altura para que o cálculo de seu volume nãoexceda 1% do valor real?

(b) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição dodiâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quan-tidade de tinta para pintar sua parede não exceda 5% daquantidadereal?

. CunhandomoedasUma empresa foi contratada para cunharmoedaspara o governo federaL Que variação dr pode ser tole-radano raio r das moedas para que o peso das moedas não ex-ceda1/1.000 do peso ideal? Suponha que não haja variação daespessuradas moedas.

~.LucroOlucroP de umcertofabricante,aovenderx itens,é

P(x) = 200xe-x/400.

3.6 Linearizaçãoe Diferenciais 299

Estime a variação e a variação percentual conforme as vendasaumentam de x = 145 para x = 150 itens.

41. Oefeitodasmanobrasdevôosobreo coraçãoA quantidadedetrabalho realizado pela principal câmara de bombeamento docoração, o ventrículo esquerdo, é dada pela equação

W = PV + V6v22g ,

onde W é o trabalho por unidade de tempo, P é a pressão arte-rial média, V é o volume de sangue bombeado por unidade detempo, 8 ('delta') é a densidade do sangue, v é a velocidademédia do sangue ejetado e g é a aceleração da gravidade. -

Quando P, V, 8 e v permanecem constantes, W se tomauma função de g e a equação toma a forma de

W=a+Qg (a, b constantes).

Como membro da equipe médica da Nasa, você quer saberqual é a sensibilidade de T às variações aparentes de g cau-sadas pelas manobras de vôo, e isso depende do valor inicialde g. Como parte de seu estudo, você decide comparar o efeitoem T causado por uma dada variação dg na Lua, ondeg = 5,2 pés/s2, com o efeito que a mesma variação dg teria naTerra, onde g = 32 pés/s2. Utilize a equação simplificada paradeterminar a razão dTLua sobre dTTerra'

42. MedindoaaceleraçãodagravidadeQuandoo comprimentoL dopêndulo de um relógio é mantido constante, controlando-se atemperatura, o período T do pêndulo depende da aceleração gda gravidade. Portanto, o período variará ligeiramente à me-dida que o relógio for deslocado para diferentes posições nasuperfície da Terra, dependendo das variações de g. Acompa-nhando-se as variações de D.T,podemos estimar a variação deg pela equação T = 2Tr(L/g)1/2que relaciona T, g e L.

(a) Mantendo-se L constante e sendo g a variável indepen-dente, ca1euledT e use-o para responder aos itens (b) e (c).

(b) EscrevendoparaaprenderSe g aumenta,T vaiaumentaroudiminuir? Um relógio de pêndulo adiantará ou atrasará?Explique.

(c) Um relógio cujo pêndulo mede 100 cm é deslocado de umlugar (onde g = 980 cm/s2) para outro. Isso aumenta operíodo em dT = 0,001 s. Determine dg e estime o valorde g nesse outro lugar.

1143. Ampliandoa imagempara'ver'seumafunçãoéderivávelAlgumadestas funções é derivável quando x = O?

f(x)=lxl+l, g(x) = v? + 0,0001+ 0,99

(a) Já sabemos que f não é derivável quando x = O; seu grá-fico apresenta um vértice nesse ponto. Esboce o gráfico def e amplie a imagem no ponto (O, 1) várias vezes. O vér-tice mostra sinais de que vai se tomar linear?

(b) Agora faça o mesmo com g. O gráfico de g mostra sinaisde que vai se tomar linear? Sabemos que g é derivávelquando x = O e, de fato, possui uma tangente horizontalnesse ponto.

(c) Quantos 'zooms' foram necessários para que o gráfico deg se parecesse exatamente com uma reta horizontal?

300 Capítulo 3: Aplicaçõesdas Derivadas

(d) Agora, trace o gráfico def juntamente com o de g em urnajanela normal. Eles parecem idênticos até que você use o'zoom'. A função derivável acaba por se assemelhar aurna reta, enquanto a função não derivável permaneceinalterada.

1144. Lendo as derivadas a partir dos gráficos A idéia de que curvasderivávei~ tomam-se retas quando ampliadas pode ser uti-lizada para estimar o valor das derivadas dessas funções em al-

- guns pontos específicos. Ampliamos a curva até que a porçãoobservada se assemelhe a urna reta no ponto em questão; de-pois, usamos a escala das coordenadas na tela para determinara inclinação da curva corno sendo a inclinação da reta à qualesta se assemelha.

(a) Para ver corno o processo funciona, tente fazê-Io primeirocom a função y = X- quando x = 1. O coeficiente angularobtido deve ser 2.

(b) Depois, tente fazê-Io com a curva y = lf quando x = 1,x = Oe x = -1. Em cada caso, compare sua estimativa daderivada com o valor de er: em cada ponto. Que padrãovocê pode observar? Teste isso usando outros valores de x.

45. A linearizaçãoé a melhoraproximaçãolinear (Por 'isso utilizamosa linearização.) Suponha que y = f(x) seja derivável quando x= a e queg(x) = m(x - a) + c sejaumafunçãolinearemquem e c são constantes. Se o erro E(x) = f(x) - g(x) for suficien-temente pequeno perto de x = a, poderemos pensar em utilizarg corno aproximação linear def em vez da linearização L(x) =f(a) + f'(a)(x - a). Demonstre que se impusermos a g ascondições

1. E(a) = O o erro de aproximação é nulo quando x = a é zero.

. E(x)2. 11mX -a = O,O erro é desprezível quando comparado com x - a.x-4a

então g(x) = f(a) + f'(a)(x - a). Assim, a linearização L(x)fornece a única aproximação cujo erro é zero para x = a,sendo ainda desprezível em relação a x - a.

A linearização, L(x):

y = f(a) + f' (a)(x - a)

\Uma outra aproximação linear, g(x):y = m(x - a) + c

I

y = f(xl

(a, f(a» III

1a

~x

46. Aproximaçõesquadráticas

(a) Seja Q(x) = bo + b1(x - a) + b2(x - a)2 urna aproxi-mação quadrática de f(x) quando x = a com as seguintespropriedades:

i. Q(a) = f(a)

ii. Q'(a) = f'(a)

iii. Q"(a) = f"(a).

Determine os coeficientes bo, b1 e b2.

(b) Determine a aproximação quadrática de f(x) = 1/ (1 - x)quando x = O.

.. (c) Esboce o gráfico de f(x) = 1/ (1 - x) e sua aproximaçãoquadrática quando x = O.Depois, amplie os dois gráficosno ponto (O,1). Comente o que você observa.

.. (d) Determine a aproximação quadrática de g(x) = l/x emx = 1. Trace juntamente os gráficos de g e de sua aproxi-mação quadrática. Comente o que você observa.

.. (e) Determine a aproximação quadrática de h(x) = ~quando x = O. Trace juntamente os gráficos de h e de suaaproximação quadrática. Comente o que você observa.

(O Quais são as linearizações de f, g e h nos respectivos pon-tos dos itens (b), (d) e (e)?

47. A linearizaçãode 2x

(a) Determine a linearização de f(x) = 2x quando x = O.De-pois, arredonde seus coeficientes para duas casas decimais.

.. (b) Trace juntamente os gráficos da linearização e da funçãopara - 3 ::s;x ::s;3 e -1 ::s;x ::s; 1.

48. A linearização de log3x

(a) Determine a linearizaçãodef(x) = log3x quandox = 3.De-pois, arredonde seus coeficientes para duas casas decimais.

.. (b) Trace juntamente os gráficos da linearização e da funçãopara O ::s;x ::s; 8 e 2 ::s;x ::s;4.

49. Linearizaçãoempontos de inflexão Corno a Figura 3.58 sugere,as linearizações ajustam-se particularmente bem a pontosdeinflexão. Você entenderá o porquê no Capítulo 8, Volume 2.Corno outro exemplo, trace juntamente os gráficos da ser-pentina de Newton, f(x) = 4x/ (X2 + 1), e de sua linearizaçãoquando x = Oe x = vi

1150. Escrevendopara aprender:Radiciação repetitiva

(a) Digite '2' em sua calculadora e extraia sucessivas raízesquadradas pressionado repetidamente a tecla correspon-dente (ou elevando o número apresentado a 0,5). Quepadrão você vê surgindo? Explique o que está aconte-cendo. O que vai acontecer se, em vez disso, você tirarsu-cessivas raízes décimas?

(b) Repita o procedimento com 0,5, em vez de 2, cornovalorinicial. O que acontece agora? Você poderia utilizar qual-quer número positivo x, em vez de 2? Explique o queestáacontecendo.

f U~AN~O~COMPUTADOR

Nosexercícios51-54,utilizeumSACparaestimara magnitudedoerrono uso da linearização,emlugardafunçãoaolongodeumin-tervalo I determinado. Siga os passos indicados.

(a) Esboce o gráfico da função f ao longo 'deI.

(b) Determine a linearização L da função no ponto a.

(c) Trace os gráficos def e L juntos em um mesmo gráfico.

(d) Trace o erro absoluto If(x) - L(x) Iao longo de I determi-nando seu valor máximo.

(e) A partir do gráfico do item (d), estime o maior S > Oquevocê conseguir que satisfaça

Ix - a I< S => If(x) - L(x) I < €