exámenes resueltos uned

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Page 1: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7� fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<: SULPHUD VHPDQD

Sureohpd 41 Xq jdv gh äwrprv/ fdgd xqr gh orv fxdohv wlhqh pdvd p/ vh pdqwlhqh ghqwur gh xq uhflqwr d odwhpshudwxud W 1 Orv äwrprv hplwhq ox} txh sdvd/ hq od gluhfflöq {/ d wudyìv gh xqd yhqwdqd gho uhflqwr | txh sxhghrevhuyduvh frpr xqd oðqhd hvshfwudo hq xq hvshfwurvfrslr1 Xq äwrpr hvwdflrqdulr hplwluðd ox} d xqd iuhfxhqfld elhqgh�qlgd i3/ shur/ ghelgr do hihfwr Grssohu/ od iuhfxhqfld gh od ox} revhuydgd ghvgh xq äwrpr txh whqjd xqd frpsrqhqwh{ gh od yhorflgdg hv i @ i3 +4 . y{@f,/ grqgh f hv od yhorflgdg gh od ox}1 Vxsrqlhqgr txh od glvwulexflöq gh Pd{zhoohv dsolfdeoh d hvwh sureohpd/ vh slgh=

+d, Fdofxodu od ixqflöq gh glvwulexflöq gh iuhfxhqfldv I +i, revhuydgd hq ho hvshfwurvfrslr1 ÁFxäo hv ho ydoru phglrgh od iuhfxhqfld revhuydgdB

+e, D od udð} fxdgudgd gh od yduldq}d gh odv iuhfxhqfldv revhuydgdv vh oh oodpd �dqfkxud gh od oðqhd�1 Ghprvwudu txhglfkd dqfkxud hv sursruflrqdo d

sW 1

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Vroxflöq=

+d, Frpr od iuhfxhqfld revhuydgd hvwä uhodflrqdgd frq od frpsrqhqwh { gh od yhorflgdg gh orv äwrprv +hihfwr Grssohu,/od ixqflöq gh glvwulexflöq gh iuhfxhqfldv I +i, vh rewhqguä d sduwlu gh od ixqflöq gh glvwulexflöq gh od frpsrqhqwh {gh od yhorflgdg/ j +y{,/ sdvdqgr gh od yduldeoh y{ d od yduldeoh i / hv ghflu

I +i, gi @ j +y{, gy{ , I +i, @ j +y{,gy{gi

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Dkrud/ vl i+�y, hv od glvwulexflöq gh yhorflgdghv gh Pd{zhoo/

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j +y{, @

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Sru or wdqwr/ od glvwulexflöq gh iuhfxhqfldv shglgd vhuä

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Sdud fdofxodu od iuhfxhqfld phgld vh sxhgh xwlol}du od h{suhvlöq dqwhulru sdud I +i, r/ päv vhqfloor/ xwlol}du odiöupxod gho hihfwr Grssohu txh frqgxfh gluhfwdphqwh d

kil @ i3 .i3

fky{l +8,

| frpr/ sru vlphwuðd/ ky{l @ 3/ qrv txhgdkil @ i3 +9,

+e, Elhq sru fäofxor gluhfwr xvdqgr +6,/ r sru ho whruhpd gh htxlsduwlflöq/ vh sxhgh fdofxodu txh

y5{�@

]4

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Sru rwud sduwh/ d sduwlu gh od iöupxod gho hihfwr Grssohu | whqlhqgr hq fxhqwd txh ky{l @ 3/ vh oohjd d

i5�@ i5

3.i53

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3.i53

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4

Page 2: Exámenes resueltos UNED

| frpr od yduldq}d ylhqh gdgd sru �5 @G+i � i3,

5H@ i5��i53 / qrv txhgd txh od dqfkxud gh od oðqhd ylhqh gdgd sru

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hv ghflu/ sursruflrqdo dsW 1

+f, Vl vxsrqhprv txh od whpshudwxud hv od plvpd sdud odv grv fodvhv gh äwrprv | txh od iuhfxhqfld eävlfd wdpelìq orhv/ whqhprv/ d sduwlu gho uhvxowdgr +<,/

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or txh lpsolfd txh odv oðqhdv gho klguöjhqr vhuäq päv dqfkdv1

Sureohpd 5 Vh frqvlghud xq jdv ihuplöqlfr irupdgr sru Q sduwðfxodv1 Gh�qlhqgr od �ixqflöq gh Ihupl� frpr

i +%, @�h�+%��, .4

��4

/ vh sxhgh ghprvwudu txh/ vl od whpshudwxud gho jdv hv px| edmd/ sdud fxdotxlhu ixqflöq !+%,frqwlqxd/ glihuhqfldeoh hq % @ � | gh yduldflöq vx�flhqwhphqwh ohqwd/ vh sxhgh hvfulelu

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+d, Vl G +%, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv gh hqhujðd +duelwuduld 0qr vh qhfhvlwd frqrfhu od h{suhvlöq h{dfwd0 | gh yduldflöqvxdyh, | sduwlhqgr gh od hfxdflöq sdud ho qýphur gh sduwðfxodv gho vlvwhpd/ ghprvwudu txh ho srwhqfldo txðplfr/sdud whpshudwxudv px| edmdv gh irupd txh qr gl�hud pxfkr gh od hqhujðd gh Ihupl �3/ hv ghflu txh � � �3/ vhsxhgh srqhu frpr

� @ �3 ��5

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whruhpd gho ydoru phglr sdud lqwhjudohv/U edj+{,g{ @ +e� d, j+f, grqgh f vh hqfxhqwud hqwuh d | e1,

+e, Hq odv plvpdv frqglflrqhv dqwhulruhv/ | kdflhqgr xvr gh dojxqr gh orv uhvxowdgrv hqfrqwudgrv hq ho dsduwdgrsuhfhghqwh/ ghprvwudu txh od hqhujðd lqwhuqd gho vlvwhpd vh sxhgh srqhu frpr

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3

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3,

+f, Sduwlfxodul}dqgr sdud xq jdv gh hohfwurqhv oleuhv/ ghprvwudu txh od fdsdflgdg fdoruð�fd d yroxphq frqvwdqwh ylhqhgdgd sru

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grqgh W3 @ �3@n hv od whpshudwxud gh Ihupl1

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3G +%, i +%, g% txh/ xvdqgr od h{suhvlöq lqglfdgd hq ho

hqxqfldgr gho sureohpd/ vh sxhgh dsur{lpdu frpr

Q �

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Shur vl od whpshudwxud ixhud fhur/ | ghqrwdqgr sru �3od hqhujðd gh Ihupl/ ho qýphur gh sduwðfxodv vh fdofxoduðd

frpr Q @U �

3

3G +%, g%/ sru or txh/ d sduwlu gh +4,/ vh rewlhqh

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9+nW ,5G3 +�, @ 3 +5,

Vl dkrud vh frqvlghud txh W hv px| edmd/ vh sxhgh vxsrqhu txh � � �3|/ hq hvh fdvr/ vrq exhqdv odv dsur{lpdflrqhv

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3, | G3 +�, � G3 +�

3, +6,

5

Page 3: Exámenes resueltos UNED

gh irupd txh/ gh +5, | +6, vh rewlhqh

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Hq odv plvpdv frqglflrqhv gh edmd whpshudwxud gho dsduwdgr +d,/ od ýowlpd lqwhjudo gh od h{suhvlöq dqwhulru vhsxhgh dsur{lpdu frpr

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Sru rwud sduwh/ gho dsduwdgr +d, vh ghgxfh txh

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Sduwlfxodul}dqgr sdud xq jdv gh hohfwurqhv oleuhv/ vh wlhqh G +%, @ 7�Y�5p@k5

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grqgh khprv xvdgr od h{suhvlöq sdud ho qýphur gh sduwðfxodv Q @ +;�Y@6,�5p@k5

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3,6@51 Sru or wdqwr/ whqlhqgr

hq fxhqwd txh �3@ nW3/ qrv txhgd ho uhvxowdgr shglgr

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5�5Q n

�W

W3

�+44,

6

Page 4: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7� fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<: VHJXQGD VHPDQD

Sureohpd 41 Xq vlvwhpd vh pdqwlhqh hq frqwdfwr frq xq irfr wìuplfr d od whpshudwxud W | vxv qlyhohv gh hqhujðdvrq glvfuhwrv Hu1 Vh slgh=

+d, Ghprvwudu txh od yduldq}d hq od hqhujðd hvwä/ gh irupd jhqhudo/ uhodflrqdgd frq od fdsdflgdg fdoruð�fd sru oduhodflöq

�5H @ nW 5FY

+e, Ghprvwudu txh/ sdud ho fdvr gh xq jdv lghdo irupdgr sru Q sduwðfxodv/ od xfwxdflöq iudfflrqdo +r uhodwlyd, wlhqghd fhur fxdqgr ho qýphur gh sduwðfxodv vh kdfh px| judqgh +oðplwh whuprglqäplfr,1

Vroxflöq=

+d, Od ixqflöq gh sduwlflöq ylhqh gdgd sru ] @S

u h��Hu / grqgh � @ +nW ,

�4/ | od yduldq}d gh od hqhujðd hv

�5H @ H5�� kHl51 Dkrud H5

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grqgh khprv xvdgr od h{suhvlöq elhq frqrflgd

kHl @ � C oq]

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C�+6,

Sru or wdqwr/

�5H @ H5�� kHl5 @ � C kHl

C�@ nW 5

C kHlCW

@ nW 5FY +7,

+e, Sdud xq jdv lghdo vh wlhqh FY � Q | kHl � Q / sru or txh od xfwxdflöq iudfflrqdo r uhodwlyd/ gh�qlgd sru �H@ kHl/vh frpsruwd frpr

�HkHl �

sQ

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4sQ$ 3 fxdqgr Q $4 +8,

or txh lqglfd txh hq ho oðplwh whuprglqäplfr +Q $4/ Y $4 frq � @ Q@Y �qlwr, odv xfwxdflrqhv uhodwlydv gh odhqhujðd vrq px| shtxhôdv1

Sureohpd 51 Sdud xq jdv gh ihuplrqhv hq xq yroxphq Y / ho qýphur gh hvwdgrv frq prphqwr frpsuhqglgr hqwuh s| s. gs ylhqh gdgr sru

G +s,gs @jY

5�5�k6s5gs

Frqvlghuhprv dkrud xq jdv ihuplöqlfr xowuduuhodwlylvwd/ gh irupd txh od hqhujðd gh odv sduwðfxodv hv px| judqghfrpsdudgd frq pf5/ |/ sru frqvljxlhqwh/ vx hqhujðd hvwä uhodflrqdgd frq ho prphqwr sru od hfxdflöq % @ fs/ grqgh fhv od yhorflgdg gh od ox}1 Vxsrqlhqgr txh ho jdv hvwä frpsohwdphqwh ghjhqhudgr/ vh slgh=

+d, Fdofxodu od hqhujðd gh Ihupl gho jdv1

+e, Ghprvwudu txh od hqhujðd phgld wrwdo gho jdv hv

X @6

7�Q�I

+f, Ghprvwudu txh od suhvlöq gho jdv hv sursruflrqdo d od srwhqfld 7@6 gh od ghqvlgdg1

4

Page 5: Exámenes resueltos UNED

+g, Ghprvwudu txh/ hq ho fdvr jhqhudo hq ho txh ho jdv qr hvwä frpsohwdphqwh ghjhqhudgr/ vh yhul�fd od uhodflöq

SY @X

6

Vroxflöq=

+d, Hq sulphu oxjdu h{suhvhprv od ghqvlgdg gh hvwdgrv hq ixqflöq gh od hqhujðd

G +%, @ G +s,gs

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jY

5�5�k6s5

4

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jY

5�5�k6f6%5 +4,

gh irupd txh od hqhujðd gh Ihupl vh rewhqguä d sduwlu gho qýphur phglr gh sduwðfxodv | xvdqgr +4,

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G +%,g% @jY �6I

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+e, Sdud od hqhujðd phgld wrwdo gho jdv whqhprv

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;�5 +�kf,6@

6

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grqgh khprv xvdgr od h{suhvlöq sdud �Q rewhqlgd hq +5,1+f, Hq jhqhudo/ vh wlhqh

S @ �CI

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grqgh I @ X � VW hv od hqhujðd oleuh gh Khopkrow}1 Shur frpr W @ 3 +jdv frpsohwdphqwh ghjhqhudgr,/ I @ X / ghirupd txh

S @ �CX

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6

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j

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, S � �7@6 +8,

+g, Sdud ho fdvr jhqhudo hq ho txh W 9@ 3/ sduwlprv gh od h{suhvlöq sdud ho judq srwhqfldo

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lg% +9,

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5�5 +�kf,6

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| frpr/ hq jhqhudo/ SY @ � / qrv txhgd �qdophqwh

SY @X

6+;,

txh hv or txh vh shgðd ghprvwudu1

5

Page 6: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7� fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

VHSWLHPEUH 4<<: RULJLQDO

Sureohpd 41 Vh wlhqh xq jdv lghdo irupdgr sru Q proìfxodv gldwöplfdv hq xq yroxphq Y 1

+d, Vxsrqlhqgr txh ho vlvwhpd shupdqhfh hq hvwdgr jdvhrvr sdud wrgdv odv whpshudwxudv txh vh lqglfdq/ fdofxodu hofdoru hvshfð�fr FY / sru proìfxod/ fxdqgr od whpshudwxud gho jdv ydoh= l, 314 N> ll, 833 N> lll, 8333 N1

+Gdwrv= �k @ 4=38 43�67mxolrv vhj1> n @ 4=6; 43�56mxolrv N�4> prphqwr gh lqhufld +L,@ 5 43�79Nj1 p5> iuhfxhqflddqjxodu gh yleudflöq +$,@ 6 4347vhj1�4,

+e, Vh vxsrqh dkrud txh od whpshudwxud gho jdv hv px| edmd/ gh irupd txh vöor hv qhfhvdulr frqvlghudu orv grv sulphurvhvwdgrv hqhujìwlfrv urwdflrqdohv gh odv proìfxodv1 Vh slgh=

41 Ghprvwudu txh od hqwursðd urwdflrqdo ylhqh gdgd/ gh irupd dsur{lpdgd/ sru

Vurw * 9Qn�urwW

h{s

��5�urwW

grqgh �urw � �k5@5Ln hv od whpshudwxud fdudfwhuðvwlfd urwdflrqdo1

51 Ghprvwudu txh sdud ho fdoru hvshfð�fr urwdflrqdo vh wlhqh

olpW$3

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Vroxflöq=

+d, Frq orv gdwrv txh vh gdq/ odv whpshudwxudv fdudfwhuðvwlfdv gh urwdflöq | yleudflöq vrq

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5Ln@ 5N +4,

�yle @�k$

n@ 5533N +5,

gh irupd txh/ sdud odv wuhv whpshudwxudv txh qrv glfhq whqhprv=+l, W @ 3=4N1 Hvwd whpshudwxud hv px| shtxhôd frpsdudgd frq �urw | �yle/ gh irupd txh vöor od sduwh wudvodflrqdo

wlhqh lpsruwdqfld1 D hvwd whpshudwxud ho wudwdplhqwr foävlfr wlhqh ydoru sdud proìfxodv qr px| shvdgdv | yroýphqhvjudqghv/ gh irupd txh

FY @ FwuY @

6

5Qn +6,

+ll, W @ 833N1 D hvwd whpshudwxud kd| |d txh frqvlghudu ho idfwru urwdflrqdo/ shur qr ho yleudflrqdo1 Frpr/ srurwud sduwh/ W �urw/ vh wlhqh F

urwY @ Qn |

FY @ FwuY . Furw

Y @8

5Qn +7,

+lll, W @ 8333N1 Dkrud W �yle | frpr FyleY @ Qn/ whqhprv �qdophqwh

FY @ FwuY . Furw

Y . FyleY @

:

5Qn +8,

+QRWD= Sdud fdofxodu ho fdoru hvshfð�fr sru proìfxod/ frpr slgh ho sureohpd/ kd| txh glylglu wrgrv orv uhvxowdgrvsru Q 1,+e, Od ixqflöq gh sduwlflöq urwdflrqdo gho vlvwhpd hv

]urw @

%4[o@3

+5o . 4, h{s

���urwo +o. 4,

W

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txh/ frqvlghudqgr vöor orv grv sulphurv wìuplqrv/ txhgd

]urw @�4 . 6h�5�urw@W

�Q+:,

4

Page 7: Exámenes resueltos UNED

Xqd yh} txh frqrfhprv od ixqflöq gh sduwlflöq/ wrgdv odv ghpäv pdjqlwxghv uhohydqwhv sxhghq fdofxoduvh d sduwlugh hood1 Sru vlpsolflgdg/ hq or txh vljxh hvfuleluhprv �hq dojxqdv h{suhvlrqhv lqwhuphgldv� � hq oxjdu gh �urw/dxqtxh txhgd fodur txh qrv uhihuluhprv vlhpsuh d od whpshudwxud fdudfwhuðvwlfd urwdflrqdo/ frpr txhgduä lqglfdgr hqorv uhvxowdgrv �qdohv1

+l, Fdofxodprv dkrud od hqwursðd

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Vurw * 9Qn

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txh hv ho uhvxowdgr shglgr1+ll, Sdud ho fdoru hvshfð�fr Furw

Y vh wlhqh

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#oq�4 . 6h�5

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W

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W

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W +43,

grqgh khprv xvdgr txh/ frpr � W / vh sxhgh srqhu 4 . 6h�5�

W � 41 Ilqdophqwh/ fxdqgr W $ 3 ho fdoru hvshfð�frydoh

olpW$3

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W$345n

��urwW

�5

h{s

��5

�urwW

�@ 3 +44,

txh hv or txh vh shgðd ghprvwudu1

Sureohpd 51 Vh vxsrqh xq vlvwhpd gh Q hohfwurqhv vlq lqwhudfflöq hqwuh vð vrphwlgrv d xq fdpsr pdjqìwlfr h{whuqrK1 Ghelgr do hvsðq/ orv hohfwurqhv wlhqhq xq prphqwr pdjqìwlfr lqwuðqvhfr txh sxhgh rulhqwduvh sdudohor r dqwlsdudohordo fdpsr h{whuqr dsolfdgr/ surgxflhqgr xq wìuplqr gh hqhujðd dglflrqdo �EK uhvshfwlydphqwh +�E @ h�k@5p hv hooodpdgr pdjqhwöq gh Erku,1 Vh slgh=

+d, Ghprvwudu txh/ sdud whpshudwxudv duelwuduldv | vxsrqlhqgr txh ho fdpsr pdjqìwlfr hv px| gìelo gh irupd txh�EK � %/ od vxvfhswlelolgdg pdjqìwlfd "/ gh�qlgd frpr ho frflhqwh hqwuh od lpdqdflöq P | ho fdpsr h{whuqrK/ sxhgh h{suhvduvh frpr

" � 5�5E

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3

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g%q +%, g%

grqgh G +%, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv duelwuduld/ | q +%, hv od ixqflöq gh Ihupl1

+e, Ghprvwudu txh vl ho vlvwhpd hvwä frpsohwdphqwh ghjhqhudgr/ od vxvfhswlelolgdg ylhqh gdgd sru

" @ FQ�5EnWI

grqgh WI hv od whpshudwxud gh Ihupl | F hv xqd frqvwdqwh qxpìulfd1

Vroxflöq=

+d, Hq suhvhqfld gho fdpsr pdjqìwlfr/ xq hohfwuöq frq hqhujðd flqìwlfd % whqguä xqd hqhujðd wrwdo %�EK/ ghshqglhqgrgh txh vx prphqwr pdjqìwlfr vh rulhqwh sdudohor +vljqr �, r dqwlsdudohor +vljqr ., do fdpsr h{whuqr1

Gh dfxhugr frq hoor/ ho qýphur phglr gh hohfwurqhv frq prphqwr pdjqìwlfr sdudohor do fdpsr vhuä

Qs @

]4

3

G +%,q +%� �EK,g% +4,

5

Page 8: Exámenes resueltos UNED

grqgh G +%, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv gh xq hohfwuöq vlq ho idfwru gh ghjhqhudflöq gh hvsðq +j,/ |d txh od suhvhqfldgho fdpsr pdjqìwlfr urpsh hvwd ghjhqhudflöq1

Gh ljxdo irupd/ ho qýphur phglr gh hohfwurqhv frq prphqwr pdjqìwlfr dqwlsdudohor vhuä

Qd @

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sru or txh od lpdqdflöq vhuä

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Vxsrqlhqgr txh ho fdpsr h{whuqr hv px| gìelo/ �EK � 4 | �EK � %/ srghprv vxvwlwxlu ho oðplwh lqihulru gh odvlqwhjudohv hq +6, sru 3 | ghvduuroodu odv ixqflrqhv G +% �EK,hq vhulh gh Wd|oru kdvwd ho sulphu rughq/ gh irupd txhqrv txhgd4

P � �E

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sru or txh od vxvfhswlelolgdg pdjqìwlfd hv

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txh hv ho uhvxowdgr shglgr1+e, Vl ho vlvwhpd hvwä frpsohwdphqwh ghjhqhudgr +W @ 3, whqhprv

q +% �EK, @

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3

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h{suhvlöq hq od txh ho vljqr . fruuhvsrqgh d Qs/ ho vljqr � d Qd/ | grqgh/ sdud hvfulelu od ýowlpd sduwh/ vh kd vxsxhvwrgh qxhyr txh ho fdpsr h{whuqr hv px| shtxhôr +�EK � �I ,/ | khprv ghvduuroodgr kdvwd sulphu rughq hq �EK1Whqlhqgr dkrud hq fxhqwd txh Q @ Qs .Qd/ srghprv srqhu

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5

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sru or txh od lpdqdflöq uhvxowd vhu

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grqgh F @ 6@5 | WI @ �I@n hv od whpshudwxud gh Ihupl1 Qöwhvh txh " A 3/ sru or txh ho vlvwhpd hv sdudpdjqìwlfr+ho ihqöphqr hvwxgldgr hq hvwh sureohpd vh oodpd sdudpdjqhwlvpr gh Sdxol,1

4Do vxvwlwxlu hq od vhjxqgd lqwhjudo ho oðplwh lqihulru sru f/ vh sodqwhd xqd gl�fxowdg wìfqlfd/ |d txh do kdfhuor hvwdprv lqfox|hqgrghqwur gho lqwhuydor gh lqwhjudflöq/ ydoruhv gh 0 +hvshfð�fdphqwh f $ 0 >�M, sdud orv txh od ixqflöq ( E03 >

�M� qr hvwä gh�qlgd1 Ho

sureohpd vh vroxflrqd vl vxsrqhprv txh ( E0� ' fc �0 f1

6

Page 9: Exámenes resueltos UNED

QRWD= Wdpelìq vh srgðd kdehu oohjdgr do uhvxowdgr +43, xvdqgr od hfxdflöq +8, rewhqlgd hq ho dsduwdgr +d,1 Sdudhoor/ kd| txh qrwdu txh/ vl W @ 3/ whqhprv d sduwlu gh +8,

" � 5�5E

] �I

3

G3 +%,g% @ 5�5EG +�I , +44,

Sdud xq jdv gh hohfwurqhv oleuhv/ vh wlhqh G +%, @ Ds%/ grqgh D hv xqd frqvwdqwh1 Dvð

" @ 5D�5Es�I +45,

Dkrud/ sdud kdoodu D kd| txh uhfrugdu txh/ frpr phqflrqdprv do sulqflslr gh hvwh sureohpd/ od ixqflöq G +%,txh dsduhfh hq +8, | hq +44, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv vlq ho idfwru j gh ghjhqhudflöq gh hvsðq/ gh irupd txh/ sdud hoqýphur phglr wrwdo gh hohfwurqhv/ ghehuhprv srqhu

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3

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3

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6Q

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+47,

txh frlqflgh frq ho uhvxowdgr +43, |d txh j @ 5 sdud hohfwurqhv1

7

Page 10: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<; SULPHUD VHPDQD

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq vlvwhpd gh Q rvflodgruhv kdupöqlfrv xqlglphqvlrqdohv/ foävlfrv | glvwlqwrv/ wrgrv frqiuhfxhqfld $/ txh txhuhprv ghvfulelu phgldqwh ho 3frohfwlyr plfurfdqöqlfr41 Ho kdplowrqldqr gho vlvwhpd or uhsuhvhq0wduhprv sru K +sæ > tæ, +frq æ @ 4> 5> ü ü ü > Q, | vh vxsrqh txh ho vlvwhpd hvwä d xqd whpshudwxud W 1+d, Vdelhqgr txh vl od hqhujðd pä{lpd gho vlvwhpd hv H/ ho yroxphq gho hvsdflr gh idvhv ylhqh gh?qlgr sru od h{suhvlöq

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gQtgQs

Ghprvwudu txh

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Q ý+Q,

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Q ý+Q,U5Q,

+e, Vdelhqgr txh ho äuhd gh od klshuvxshu?flh gh hqhujðd H vh rewlhqh d sduwlu gho yroxphq gho hvsdflr gh idvhvphgldqwh od h{suhvlöq CY@CH/ ghprvwudu txh/ vl Q 4/ od hqwursðd gho vlvwhpd ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

V ä Qné4 . oq

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Vroxflöq=+d, Ho yroxphq gho hvsdflr gh idvhv ylhqh gdgr sru Y+H>Y>Q, @ UKéH gQtgQs/ frq ho kdplowrqldqr

K +sæ > tæ, @Q[æ@4

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5p$5t5æ

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Kdflhqgr ho fdpelr gh yduldeoh {æ @ p$tæ / ho kdplowrqldqr qrv txhgd K @ 45p

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Shur od lqwhjudo hv dkrud ho yroxphq gh xqd hvihud gh 5Q glphqvlrqhv | udglr U @s5pH/ hv ghflu äQ

Q ý+Q,U5Q /

sru or txh

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Q ý+Q,@

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Q ý +Q,

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+e, Ho äuhd gh od klshuhvihud gh hqhujðd H vh rewlhqh d sduwlu gh od h{suhvlöq +6,

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V ä Qné4 . oq

ëH

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4

Page 11: Exámenes resueltos UNED

Sru rwud sduwh/ od whpshudwxud ylhqh gdgd sru

4

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CY

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|d txh ql V ql H ghshqghq gho yroxphq gho vlvwhpd1

Sureohpd 518 Vh frqvlghud xq jdv gh Ihupl d od whpshudwxud W @ 3 | hq ho txh od hqhujðd gh odv sduwðfxodv vhuhodflrqd frq vx prphqwr sru xqd h{suhvlöq jhqhudo % +s, =

+d, Ghprvwudu txh/ frpr xqd ixqflöq gho prphqwr/ od ghqvlgdg gh hvwdgrv G+s, hv lqghshqglhqwh gh od uhodflöq txhh{lvwd hqwuh od hqhujðd | ho prphqwr | ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

G+s, @7äjY

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+e, Fdofxodu ho prphqwr si / fruuhvsrqglhqwh d od hqhujðd gh Ihupl %i / frpr ixqflöq gh od ghqvlgdg gh odv sduwðfxodv1

+f, Prvwudu txh od suhvlöq S gho jdv ylhqh gdgd sru od vljxlhqwh h{suhvlöq

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3

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+Vxjhuhqfldv= hq odv h{suhvlrqhv jhqhudohv txh kd| txh xvdu hq ho sureohpd/ wudedmdu frq ho prphqwr s | qr frq odhqhujðd %/ h lqwhjudu sru sduwhv fxdqgr vhd qhfhvdulr hq ho ýowlpr dsduwdgr,1Vroxflöq=+d, Vxsrqlhqgr txh orv qlyhohv gh hqhujðd hvwäq px| mxqwrv/ odv vxpdv glvfuhwdv vreuh orv hvwdgrv gh hqhujðd lqglylgxdohvvh sxhghq vxvwlwxlu sru lqwhjudohv vreuh ho hvsdflr iävlfr1 Ho qýphur gh hvwdgrv frusxvfxoduhv hq xq hohphqwr gh yroxphqgho hvsdflr iävlfr ylhqh gdgr sru

j

k6g6t g6s @

j

k6g6t vhqògògñ s5gs +4,

grqgh j @ 5v. 4 hv ho idfwru gh pxowlsolflgdg gh hvsðq1Ho qýphur phglr gh sduwðfxodv vhuä

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G +s, @7äjY

k6s5 +6,

hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv/ hvfulwd hq ixqflöq gho prphqwr +qöwhvh txh/ sdud sduwðfxodv oleuhv qr uhodwlylvwdv txh fxpsohq

od uhodflöq % +s, @ s5@5p/ od h{suhvlöq dqwhulru vh wudqvirupd hq od |d frqrflgd G +%, @ G +s, gsg% @5äjY +5p,6@5

k6s% ,1

+e, Frpr W @ 3/ ho qýphur phglr gh sduwðfxodv frq hqhujðd %/ q +%,/ ydoh 4 kdvwd od hqhujðd gh Ihupl | 3 sdud ydoruhvpd|ruhv1 Vl si hv ho prphqwr dvrfldgr d od hqhujðd gh Ihupl %i / vh sxhgh hvfulelu +5, frpr

çQ @

] si

3

G +s, gs @7äjY

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grqgh ã ì çQ@Y hv od ghqvlgdg phgld gh sduwðfxodv1

5

Page 12: Exámenes resueltos UNED

+f, Od hfxdflöq gh hvwdgr ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

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txh/ sdud W @ 3/ frqgxfh d od iöupxod sdud od suhvlöq shglgd

S @7äj

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3

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grqgh/ gh qxhyr/ si hv ho prphqwr dvrfldgr d od hqhujðd gh Ihupl1

6

Page 13: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<; VHJXQGD VHPDQD

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq vlvwhpd txh frqvlvwh hq xqd uhg gh Q hvslqhv txh vöor sxhghq wrpdu orv ydoruhv .4 r ý4uhvshfwr d xq hmh +ho hmh } sru hmhpsor,/ hv ghflu/ txh vöor sxhghq rulhqwduvh sdudohod r dqwlsdudohodphqwh do phqflrqdgrhmh1 Sdud hvwh vlvwhpd/ vh vxsrqh txh ho kdplowrqldqr vh sxhgh hvfulelu frpr

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oðplwh whuprglqäplfr Q $4/ od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} sru hvsðq sxhgh h{suhvduvh irupdophqwh frpr

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ãhý

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5 frvkk+5ñM,4@5|

lâè+f, Kdoodu od hfxdflöq txh gheh fxpsolu od yduldeoh | hq od h{suhvlöq sdud od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} gho dsduwdgr

dqwhulru/ | ghprvwudu txh h{lvwh xqd whpshudwxud fuðwlfd Wf @ 5M@n/ wdo txh vl W ? Wf vh wlhqh I +W , @ýnW oq 5 . j +W ,/ grqgh j +W , 9@ 3 hv xqd ixqflöq gh od whpshudwxud +txh qr hv qhfhvdulr hvshfl?fdu hq hvwhsureohpd,1

Vroxflöq=+d, Od ixqflöq gh sduwlflöq gho vlvwhpd vh hvfuleh

]Q @[vl@÷4

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Page 14: Exámenes resueltos UNED

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+e, Kdflhqgr od vxvwlwxflöq { @ |sQ / | xvdqgr od iöupxod dsur{lpdgd gho hqxqfldgr/ od ixqflöq gh sduwlflöq +6, vh

sxhgh hvfulelu frpr

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Od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} sru hvsðq vh fdofxod dkrud/ hq ho oðplwh whuprglqäplfr/ d sduwlu gh od ixqflöq ghsduwlflöq

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+f, Hq sulphu oxjdu/ fdofxodprv od hfxdflöq txh gheh yhul?fdu od yduldeoh | sdud kdfhu pä{lpd od h{suhvlöq hqwuhfrufkhwhv hq +9,

g

g|

ëhý

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lê@ 3 , | @

s5ñM wdqk

k+5ñM,4@5|

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Od hfxdflöq +:, hv xqd hfxdflöq wudvfhqghqwh txh qr sxhgh uhvroyhuvh dqdoðwlfdphqwh sdud |1 Sdud hqfrqwudu orvydoruhv gh | txh vdwlvidfhq od hfxdflöq/ or phmru hv xvdu xq pìwrgr juä?fr/ glexmdqgr fdgd xqr gh orv plhpeurv gh odhfxdflöq | ylhqgr sdud txh ydoruhv gh orv sduäphwurv odv grv fxuydv vh fruwdq1 Hv iäflo yhu txh | @ 3 hv vlhpsuh xqdvroxflöq gh od hfxdflöq | txh/ dghpäv/ hvwd vroxflöq hv od ýqlfd vl 5ñM ? 41 Sru ho frqwudulr/ vl 5ñM A 4 , W ? 5M@n/dghpäv gh od vroxflöq | @ 3 h{lvwh rwud frq | 9@ 3 +ho ydoru suhflvr gh | ghshqghuä/ reyldphqwh/ gh orv ydoruhv qxpìulfrvgh W> M | n,1 Gh hvwd irupd/ gh?qlhqgr xqd whpshudwxud fuðwlfd Wf @ 5M

n / vh wlhqh=9 vl W A Wf/ od ýqlfd vroxflöq gh +:, hv | @ 3/ sru or txh

pä{ý4?|?4

ãhý

|5

5 frvkk+5ñM,4@5|

lâ@ 4 , I +W , @ ýnW oq 5 +;,

9 vl W ? Wf h{lvwh/ wdpelìq/ xqd vroxflöq gh +:, frq | 9@ 3/ sru or txh

pä{ý4?|?4

ãhý

|5

5 frvkk+5ñM,4@5|

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|I +W , @ ýnW oq 5 . j +W , +<,

grqgh j +W , @ ýnW oqé

pä{ý4?|?4

qhý

|5

5 frvkû+5ñM,4@5|

úrè 9@ 3 hv xqd ixqflöq gh od whpshudwxud1Sureohpd 518 Vh frqvlghud xq jdv lghdo uhodwlylvwd irupdgr sru ervrqhv/ gh irupd txh od uhodflöq hqwuh od hqhujðd |ho prphqwr hv % @ f s1 Dghpäv/ sdud hvwh wlsr gh jdv vh fxpsoh txh ho srwhqfldo txðplfr hv fhur/ hv ghflu/ ç @ 31 Vhslgh=

+d, Ghprvwudu txh od ghqvlgdg gh hvwdgrv G+%, ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

G+%, @7äjY

k6f6%5

5

Page 15: Exámenes resueltos UNED

+e, Ghprvwudu txh/ sdud hvwh wlsr gh jdv/ vh yhul?fd SY @ X@61

+f, Ghprvwudu/ vlq qhfhvlgdg gh fdofxodu h{soðflwdphqwh qlqjxqd lqwhjudo/ txh od ixqflöq gh Khopkrow} I hv sursru0flrqdo d W 7/ plhqwudv txh od fdsdflgdg fdoruð?fd d yroxphq frqvwdqwh FY hv sursruflrqdo d W 61

Vroxflöq=+d, Ho qýphur gh hvwdgrv frusxvfxoduhv hq xq hohphqwr gh yroxphq gho hvsdflr iävlfr ylhqh gdgr sru

j

k6g6t g6s @

j

k6g6t vhqògògñ s5gs +4,

grqgh j @ 5v. 4 hv ho idfwru gh pxowlsolflgdg gh hvsðq1Vxsrqlhqgr txh orv qlyhohv gh hqhujðd hvwäq px| mxqwrv/ odv vxpdv vreuh orv hvwdgrv gh hqhujðd lqglylgxdohv sxhghq

vxvwlwxluvh sru lqwhjudohv vreuh ho yroxphq gho hvsdflr iävlfr/ gh irupd txh/ sdud ho qýphur phglr gh sduwðfxodv/ vhsxhgh srqhu

çQ @[m

çqm +%, ä] 4

3

G +%,q +%, g% +5,

grqgh G +%, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv1 Xvdqgr +4, vh wlhqh

çQ @[m

çqm +%, ä j

k6

]ü ü ü]q +%, g6t g6s @

jY

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3

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3

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] 4

3

q +%, s5 gs

@7äjY

k6

] 4

3

q +%, s5 gs @7äjY

k6f6

] 4

3

%5 q +%, g% +6,

grqgh/ sdud oohjdu d od ýowlpd ljxdogdg/ khprv xvdgr txh % @ fs1 Frpsdudqgr dkrud +5, frq +6,/ qrv txhgd

G +%, @7äjY

k6f6%5 +7,

+e, Ho judq srwhqfldo ylhqh gdgr sru od h{suhvlöq

ó @ ýSY @ ýnW oq] +8,

grqgh/ whqlhqgr hq fxhqwd txh ç @ 3/ h lqwhjudqgr sru sduwhv sdud holplqdu ho orjdulwpr/

oq] @ ý] 4

3

G +%, oqý4ý hýñ%ü g% @ ý7äjY

+kf,6

] 4

3

%5 oqý4ý hýñ%ü g%

@7äjY

+kf,6ñ

6

] 4

3

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hñ% ý 4 g% +9,

Sru rwud sduwh

X @

] 4

3

%G +%,

hñ% ý 4 g% @7äjY

+kf,6

] 4

3

%6

hñ% ý 4 g% +:,

sru or txh/ frpsdudqgr +8,/ +9, | +:,/ qrv txhgd

SY @X

6+;,

+f, Kdflhqgr hq +:, ho fdpelr ñ% @ {/ srghprv hvfulelu

X @7äjY

+kf,64

ñ7

] 4

3

{6 g{

h{ ý 4 @7äjY L

+kf,6+nW ,7 , X å W 7 +<,

|d txh L @U43

{6 g{h{ý4 hv xq qýphur +gh khfkr L @ ä

7@48,1Od ixqflöq gh Khopkrow} vh hvfuleh/ whqlhqgr hq fxhqwd txh/ hq qxhvwur fdvr/ ç @ 3/ frpr

I @ X ý WV @ ó. çQ @+ç@3,

ó @ ýSY @ ýX6

, I å W 7 +43,

| frpr/ sru rwud sduwh/ FY @ +CX@CW ,Y / whqhprv

FY å W 6 +44,

6

Page 16: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

VHSWLHPEUH 4<<; RULJLQDO

Sureohpd 41 Vh frqvlghud xq vlvwhpd foävlfr irupdgr sru xq qýphur px| judqgh gh sduwðfxodv Q 41 Hq hvwh fdvrorv qlyhohv gh hqhujðd irupdq xq frqwlqxr/ gh irupd txh/ hq ho frohfwlyr fdqöqlfr/ od ghqvlgdg gh suredelolgdg gh txhho vlvwhpd vh hqfxhqwuh d xqd whpshudwxud W | frq xqd hqhujðd H sxhgh hvfuleluvh frpr

s +H, @4

]G +H, hýñH

grqgh ] hv od ixqflöq gh sduwlflöq/ ñ @ +nW ,ý4 | G +H, hv od ghqvlgdg gh hvwdgrv/ gh irupd txh vl üH hv xq lqwhuydorpx| shtxhôr gh hqhujðd +lqwhuydor txh vh frqvlghud lqghshqglhqwh gh od sursld hqhujðd,/ ho qýphur gh hvwdgrv txhwlhqhq hqhujðd ghqwur gh hvh lqwhuydor hv Z +H, @ G +H, üH +revhuydu txh vl orv qlyhohv gh hqhujðd ixhudq glvfuhwrvG +H, vhuðd ho idfwru gh ghjhqhudflöq | txh od ghqvlgdg gh hvwdgrv dxphqwd px| uäslgdphqwh frq od hqhujðd |dtxh G +H, å HQ | Q 4,1 Od ghqvlgdg gh suredelolgdg fdqöqlfd hv pä{lpd sdud xq ydoru gh od hqhujðd txhghqrplqduhprv X +ho ydoru gh od hqhujðd päv suredeoh,1

+d, Ghprvwudu txh/ sdud hvh ydoru päv suredeoh X / vh yhul?fd

C oqG +H,

CH

ññññH@X

@4

nW

+e, Ghvduuroodqgr douhghgru gho ydoru X / | kdvwd ho vhjxqgr rughq hq vhulh gh Wd|oru/ od ixqflöq oqûG +H, hýñH

ú|

whqlhqgr hq fxhqwd txh ëC5V

CH5

êQ>Y

@ ý 4

W 5FY

+V hv od hqwursðd | FY od fdsdflgdg fdoruð?fd d yroxphq frqvwdqwh, ghprvwudu txh od ghqvlgdg gh suredelolgdgvh sxhgh hvfulelu/ hq odv sur{lplgdghv gho ydoru päv suredeoh X / frpr

s +H, ä 4

]hýñI h{s

%ý +H ý X,

5

5nW 5FY

&

grqgh I hv od ixqflöq gh Khopkrow}1

Vroxflöq=+d, Ghulydqgr od ghqvlgdg gh suredelolgdg whqhprv

Cs +H,

CH

ññññH@X

@4

]

ëCG

CHý ñG

êhýñH

ññññH@X

@ 3 , CG

CHý ñG @ 3 +4,

hv ghflu/C oqG +H,

CH

ññññH@X

@ ñ @4

nW+5,

+e, Ghvduuroodqgr od ixqflöq oqûG +H, hýñH

úhq vhulh gh Wd|oru douhghgru gho ydoru X / whqhprv +od sulphud ghulydgd

hv qxod |d txh hv od frqglflöq gh pä{lpr gh s +H,,

oqýGhýñH

ü ä oq ýGhýñHüññH@X

.4

5

C5

CH5oqýGhýñH

üññññH@X

+H ý X,5 +6,

Dkrud oqýGhýñH

üññH@X

@ oqG ý ñX |/ dghpäv/

oqG @ oq

ëZ

üH

ê@ oqZ ý oqüH ä oqZ @

V

n+7,

4

Page 17: Exámenes resueltos UNED

grqgh V @ n oqZ hv od hqwursðd1 Sru or wdqwr

oqýGhýñH

üññH@X

ä Vný ñX @ ýñ +X ý WV, @ ýñI +8,

grqgh I @ X ý WV hv od ixqflöq gh Khopkrow}1Sdud od vhjxqgd ghulydgd whqhprv/ xvdqgr +8,/

C oqýGhýñH

üCH

ä 4

n

CV

CHý ñ , C5

CH5oqýGhýñH

ü ä 4

n

C5V

CH5@ ý 4

nW 5FY+9,

sru or txh +6, vh hvfuleh frpr

oqýGhýñH

ü ä ýñI ý +H ý X,55nW 5FY

+:,

gh irupd txh/ ?qdophqwh/

s +H, @4

]G +H, hýñH ä 4

]hýñI h{s

%ý +H ý X,

5

5nW 5FY

&+;,

txh hv or txh qrv shgðdq ghprvwudu1

Sureohpd 51 Vh vxsrqh xq vlvwhpd lghdo gh ervrqhv/ wdohv txh vx hqhujðd ghshqgh gho prphqwr hq od irupd %+s, @N sq/ grqgh N hv xqd frqvwdqwh | q xq qýphur wdo txh 3 ? q ? 61 Vh slgh=

+d, Ghprvwudu txh od hfxdflöq gh hvwdgr sdud ho vlvwhpd vh sxhgh srqhu/ vlq hvfulelu odv frqvwdqwhv/ frpr

SY å ñý[email protected], [email protected]+d,ý ñý4 oq +4ý d,

grqgh ñ @ +nW ,ý4/ d ì hñç hv od oodpdgd dfwlylgdg devroxwd +wdpelìq vh frqrfh frpr ixjdflgdg, | j hv xqdixqflöq gh od dfwlylgdg devroxwd gdgd sru

ju +d, @4

ý +u,

] 4

3

{uý4 g{dý4 h{ ý 4

+e, Ghprvwudu txh/ d whpshudwxudv px| edmdv +phqruhv txh od whpshudwxud gh 3frqghqvdflöq4,/ ho fdoru hvshfð?frvh frpsruwd frq od whpshudwxud frpr

FY å W 6@q

+f, ÁFxäo vhuðd ho ydoru gh q vl ho vlvwhpd hvwxylhud irupdgr sru irwrqhvB Á| vl hvwxylhud irupdgr sru irqrqhvB

Vroxflöq=+d, Od hfxdflöq gh hvwdgr ylhqh gdgd sru

SY @ nW oq] @ ýnW[l

oqû4ý hñçhýñ%lú @ ýnW[

l

oqû4ý d hýñ%lú +4,

grqgh d @ hñç hv od oodpdgd dfwlylgdg devroxwd r ixjdflgdg1 Dkrud/ sdvdqgr gh od vxpd d xqd lqwhjudo/ srghprvhvfulelu

oq] @ ý[l

oqû4ý d hýñ%lú ä ý] 4

3

G +%, oqû4ý d hýñ%ú g%ý oq +4ý d, +5,

grqgh ho ýowlpr wìuplqr ylhqh gh frqvlghudu h{soðflwdphqwh ho hvwdgr % @ 3 txh qr hvwä frqvlghudgr hq ho sdvr d odlqwhjudo +|d txh G +3, @ 3, | txh hq orv vlvwhpdv ervöqlfrv hv ixqgdphqwdo1Sdud fdofxodu G +%, vhjxlprv ho surfhglplhqwr kdelwxdo1 Ho qýphur gh hvwdgrv frusxvfxoduhv hq ho hvsdflr iävlfr hv

ù @jY

k6

]g6s @

7äjY

k6

]s5gs

Xvdqgr dkrud % +s, @ Nsq/ qrv txhgd ù @ N3 U %6@qý4g%/ grqgh N3 hv xqd qxhyd frqvwdqwh1 Whqlhqgr hq fxhqwdtxh ù @

UG +%, g%/ whqhprv/ ?qdophqwh

G +%, @ N3 %6qý4 +6,

5

Page 18: Exámenes resueltos UNED

sru or txh

oq] @ ýN3] 4

3

%6qý4 oq

û4ý d hýñ%úg%ý oq +4ý d, +7,

Lqwhjudqgr sru sduwhv qrv txhgd +txlwdprv orv wìuplqrv frqvwdqwhv ghodqwh gho vljqr lqwhjudo,

oq] ä ñ] 4

3

%6@qg%

dý4hñ% ý 4 ý oq +4ý d, +8,

txh/ kdflhqgr ho fdpelr { @ ñ%/ vh sxhgh srqhu frpr

oq] ä ñý6@q] 4

3

{6@qg{

dý4h{ ý 4 ý oq +4ý d, +9,

Gh?qlhqgr od ixqflöq

jq +d, @4

ý +q,

] 4

3

{qý4g{dý4h{ ý 4 +:,

vh wlhqhoq] ä ñý6@q [email protected] +d,ý oq +4ý d, +;,

or txh frqgxfh/ sdud od hfxdflöq gh hvwdgr/ d

SY @ nW oq] ä ñý[email protected], [email protected] +d,ý ñý4 oq +4ý d, +<,

+e, Od hqhujðd phgld vh fdofxod frpr +revhuydu txh hq od ghulydgd/ dghpäv gho yroxphq/ hv d or txh shupdqhfhfrqvwdqwh,

X @ ýëC oq]Cñ

êd>Y

+43,

sru or txh/ xvdqgr od h{suhvlöq +;,/ whqhprv

X ä ñý6@qý[email protected] +d, å W [email protected]@q.4 +d, +44,

Sdud whpshudwxudv px| edmdv +sru ghedmr gh od whpshudwxud fuðwlfd gh frqghqvdflöq, vh wlhqh txh ç @ 3 or txhlpsolfd txh d @ hñç @ 4/ sru or txh [email protected] +4, qr ghshqgh gh od whpshudwxud | qrv txhgd

FY @

ëCX

CW

êY

å W 6@q +45,

txh/ uhfrughprv/ hv yäolgd sdud whpshudwxudv px| shtxhôdv1+f, Wdqwr sdud ho fdvr gh irwrqhv frpr gh irqrqhv vh wlhqh txh FY å W 6 sdud W á 4/ sru or txh/ hq dperv fdvrv/q @ 41

6

Page 19: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<< SULPHUD VHPDQD

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq vlvwhpd frq xq qýphur yduldeoh gh sduwðfxodv foävlfdv lqglvwlqjxleohv/ fdgd xqd gh pdvd p/hq xqd fdmd gh yroxphq Y 1 Sdud fuhdu fdgd xqd gh odv sduwðfxodv kd| txh vxplqlvwudu xqd hqhujðd ð> xqd yh} fuhdgdod sduwðfxod sdvd d irupdu sduwh gh xq jdv lghdo hq ho yroxphq Y 1 Odv hqhujðdv shuplwlgdv sdud ho vlvwhpd vrq qð pävodv hqhujðdv flqìwlfdv gh odv q sduwðfxodv txh kd|d ghqwur gh Y / sdud q @ 4> 5> ü ü ü1

+d, Xvdqgr ho frohfwlyr fdqöqlfr/ ghprvwudu txh od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} vh sxhgh hvfulelu frpr

I @ ýnWY [ +W ,

grqgh [ +W , @ý5äpnW@k5

ü6@5hýð@nW 1

+e, Fdofxodu od suredelolgdg gh txh kd|d q sduwðfxodv hq od fdmd |/ d sduwlu gh hvd suredelolgdg/ ho ydoru phglr çQ ghsduwðfxodv1

+f, Fdofxodu od hqhujðd phgld | od hfxdflöq gh hvwdgr gho vlvwhpd1

Vroxflöq=+d, Odv hqhujðdv shuplwlgdv gho vlvwhpd vhuäq +q @ 3> 4> 5> = = =,

qð . %æ +q, +4,

grqgh qð hv od hqhujðd 3gh fuhdflöq4 gh odv sduwðfxodv | %æ +q, hv od hqhujðd flqìwlfd gh odv q sduwðfxodv txh kd|d ghqwurgho yroxphq Y +æ vrq orv qýphurv fxäqwlfrv sdud ho prylplhqwr wudvodflrqdo gh odv sduwðfxodv txh kd|d,1 Dvð/ sdudhvfulelu od ixqflöq gh sduwlflöq gho vlvwhpd kd| txh whqhu hq fxhqwd txh od hqhujðd gho vlvwhpd ghshqghuä gho qýphurgh sduwðfxodv txh kd|d hq ho yroxphq/ | txh hvwh qýphur hv yduldeoh1 Sru or wdqwr vhuä

] @4[q@3

hýñ qð hýñ %æ+q, @4[q@3

hýñ qð[æ

hýñ %æ+q, @4[q@3

hýñ qð ]wu +q, +5,

grqgh ]wu +q, @Sæ h

ýñ %æ+q, hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq vlvwhpd gh q sduwðfxodv oleuhv lqglvwlqjxleohv txh/ frprvdehprv/ sxhgh hvfuleluvh frpr

]wu +q, @+},q

q$+6,

grqgh } hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xqd vrod sduwðfxod | ylhqh gdgd sru

} @ Y

ë5äpnW

k5

ê6@5+7,

Xvdqgr +6, | +7,/ od h{suhvlöq +5, qrv txhgd

] @4[q@3

hýqð@nWY q

q$

ë5äpnW

k5

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4[q@3

Y q

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ê6@5hýð@nW

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@4[q@3

Y q[q

q$@ hY[ +8,

grqgh khprv gh?qlgr

[ +W , ìë5äpnW

k5

ê6@5hýð@nW +9,

txh hv/ hylghqwhphqwh/ xqd ixqflöq gh od whpshudwxud W 1Gh hvwd irupd/ od ixqflöq gh Khopkrow} hv

I @ ýnW oq] @ ýnWY [ +W , +:,

4

Page 20: Exámenes resueltos UNED

+e, Sru od sursld gh?qlflöq gh suredelolgdg | gh ixqflöq gh sduwlflöq / whqhprv txh od suredelolgdg gh txh kd|d qsduwðfxodv hq od fdmd vh sxhgh hvfulelu/ xvdqgr +8,/ frpr

S +q, @4

]

Y q[q

q$@Y q[q

q$hýY[ +;,

txh wlhqh od irupd gh xqd glvwulexflöq gh Srlvvrq1 Sru or wdqwr/ ho ydoru phglr hv

çQ @4[q@3

qS +q, @ Y [ +<,

+f, Frqrflhqgr od h{suhvlöq sdud od ixqflöq gh sduwlflöq +8, frq +9,/ r od ixqflöq gh Khopkrow} +:,/ wrgdv odv pdjqlwxghvuhohydqwhv vh sxhghq fdofxodu vlq gl?fxowdg1 Dvð/ sru hmhpsor/ od hqhujðd phgld

X @ ýëC oq]

êY

@ ýYëC[ +ñ,

êY

@ Y [

ëð .

6

5nW

ê@ çQ

ëð .

6

5nW

ê+43,

grqgh khprv xvdgr +<,1 Gh ljxdo irupd/ sdud od suhvlöq +hfxdflöq gh hvwdgr, whqhprv

S @ ýëCI

CY

êW

@ nW[ @ nWY [

Y@çQ

YnW +44,

txh hv/ frpr srgðd hvshuduvh/ od hfxdflöq gh hvwdgr gh xq jdv lghdo1

Sureohpd 518 Vh txlhuh hvwxgldu xq prghor px| vlpsol?fdgr gho htxloleulr hqwuh xq vöolgr | vx ydsru +hv ghflu/ d orodujr gh od fxuyd gh vxeolpdflöq,1 Sdud hoor vh xvduä od dsur{lpdflöq gh Hlqvwhlq sdud ho vöolgr/ ho ydsru vh frqvlghuduäfrpr xqd jdv lghdo rfxsdqgr xq yroxphq frqvwdqwh YJ/ | vh vxsrqguä txh od lqwhudfflöq hqwuh ho ydsru | ho vöolgr hvpx| gìelo | sxhgh ghvsuhflduvh1 Ho vlvwhpd frpsohwr vh vxsrqh dlvodgr/ gh irupd txh vl QV | QJ vrq ho qýphur ghäwrprv hq ho vöolgr | hq ho ydsru/ uhvshfwlydphqwh/ ho qýphur wrwdo Q @ QV .QJ shupdqhfh frqvwdqwh +shur qr hoqýphur gh äwrprv hq ho vöolgr | hq ho jdv/ |d txh xq äwrpr sxhgh dedqgrqdu ho vöolgr sdud irupdu sduwh gho jdv |ylfhyhuvd,1

+d, Uhfrugdqgr txh ho prghor gh Hlqvwhlq gho vöolgr hv htxlydohqwh d frqvlghudu 6Qv rvflodgruhv fxäqwlfrv xqlglphq0vlrqdohv wrgrv gh od plvpd iuhfxhqfld $/ ghprvwudu txh od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd gho vöolgr hv

]V @ hýQVñ%3

û4ý hýñçk$úý6QV

grqgh ñ @ 4@nW | %3 @ 6çk$@51

+e, Vdelhqgr txh hq ho htxloleulr hqwuh odv grv hvshflhv +vöolgr | ydsru, d whpshudwxud frqvwdqwh od hqhujðd oleuhgh Khopkrow} gho vlvwhpd wlhqh txh vhu pðqlpd/ ghprvwudu txh od suhvlöq gh ydsru gho jdv ylhqh gdgd sru odh{suhvlöq

S @

ënW

YJ

ê}J h

%3@nWí4ý hýçk$@nW

ì6grqgh }J hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr hq ho ydsru1

Vroxflöq=+d, Hq ho prghor gh Hlqvwhlq od hqhujðd shuplwlgd gh fdgd rvflodgru hv

%q @

ëq.

4

5

êçk$ +4,

gh irupd txh od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq rvflodgru hv

}V @4[q@3

hýñ%q @ hýñçk$@54[q@3

hýñqçk$ @hýñçk$@5

4ý hýñçk$ +5,

| sdud 6QV rvflodgruhv +hq ho vöolgr orv rvflodgruhv vh hqfxhqwudq hq sxqwrv ?mrv gh od uhg/ sru or txh vh frqvlghudqglvwlqjxleohv,

]V @ +}V,6QV @ hý6Qvñçk$@5

ý4ý hýñçk$üý6QV

@ hýQVñ%3û4ý hýñçk$úý6QV +6,

5

Page 21: Exámenes resueltos UNED

grqgh %3 @ 6çk$@51+e, Sdud orv äwrprv gho jdv/ uhfrugdqgr txh vh vxsrqh lghdo/ od ixqflöq gh sduwlflöq vhuä

]J @+}J,

QJ

QJ$+7,

grqgh }J hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr | khprv whqlgr hq fxhqwd txh orv äwrprv gho jdv vrq lqglvwlqjxleohv1Gh hvwd irupd/ whqlhqgr hq fxhqwd txh od lqwhudfflöq hqwuh ho ydsru | ho vöolgr vh sxhgh ghvsuhfldu/ od ixqflöq gh

sduwlflöq gho vlvwhpd frpsohwr vhuä] @ ]V ]J +8,

sru or txh od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} vh hvfuleluä frpr

I @ ýnW oq] @ ýnW oq]V ý nW oq]J +9,

Frpr od ixqflöq I wlhqh txh vhu pðqlpd hq ho htxloleulr | qrv glfhq txh od whpshudwxud hv frqvwdqwh/ ghulydprv+9, frq uhvshfwr d QJ | whqhprv hq fxhqwd txh/ frpr QJ .QV @ Q @ fwh1 sru or txh gQJ @ ýgQV1 Dvð

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C oq]VCQV

ý nW C oq]JCQJ

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@C oq]JCQJ

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Dkrud/ xvdqgr +6,/ whqhprv

C oq]VCQV

@ ýñ%3 ý oqý4ý hýñçk$ü6 @ oq% hýñ%3

+4ý hýñçk$,6&

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| gh +7,/ xvdqgr od dsur{lpdflöq gh Vwluolqj oqQ $ å Q oqQ ýQ /C oq]JCQJ

@ oq }J ý oqQJ @ oqé}JQJ

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sru or txh/ gh +:,/ +;, | +<,/ rewhqhprv}JQJ

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+4ý hýñçk$,6 +43,

Whqlhqgr hq fxhqwd txh od hfxdflöq gh hvwdgr gho jdv hv SYJ @ QJnW / grqgh YJ hv ho yroxphq rfxsdgr sru hojdv/ | xvdqgr +43, qrv txhgd ?qdophqwh

S @

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txh hv ho uhvxowdgr shglgr/ grqgh/ uhfrugdprv/ }J hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr gho ydsru1

6

Page 22: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 4<<< VHJXQGD VHPDQD

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq jdv lghdo gh Q äwrprv lqglvwlqjxleohv gh pdvd p hq xq yroxphq Y | d od whpshudwxudW 1 Sru rwud sduwh/ vreuh xqd vxshu?flh gh äuhd D vh dgvruehq Q 3 äwrprv/ wdpelìq gh pdvd p/ gh irupd txh sxhghqpryhuvh oleuhphqwh vreuh od vxshu?flh irupdqgr xq jdv lghdo elglphqvlrqdo1 Fdgd xqr gh orv äwrprv dgvruelgrv wlhqh/dghpäv gh vx hqhujðd flqìwlfd gh wudvodflöq hq od vxshu?flh/ xqd hqhujðd ý%3 gh hqodfh txh or pdqwlhqh hq od vxshu?flh1Hq orv grv fdvrv/ vh vxsrqh txh Q | Q 3 vrq qýphurv px| judqghv1 Hq sulqflslr vh vxsrqh txh orv grv vlvwhpdv qrhvwäq hq frqwdfwr1

+d, Ghprvwudu txh ho srwhqfldo txðplfr gho jdv gh Q äwrprv sxhgh h{suhvduvh hq od irupd

ç ä ýnW oq }Q

grqgh } hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr1

+e, Ghprvwudu txh ho srwhqfldo txðplfr gho jdv dgvruelgr vh sxhgh hvfulelu frpr

ç3 ä ýnW oq hñ%3 }5@6

Q 3

grqgh ñ @ 4@nW / } hv od ixqflöq gh sduwlflöq gho dsduwdgr dqwhulru | vh kd dsur{lpdgr D å Y 5@61+f, Vxsrqlhqgr dkrud txh vh srqhq hq frqwdfwr dperv jdvhv | txh vh hqfxhqwudq hq htxloleulr d od whpshudwxud W /

hqfrqwudu xqd h{suhvlöq sdud ho qýphur gh äwrprv dgvruelgrv sru xqlgdg gh äuhd gh od vxshu?flh/ q3/ vl od suhvlöqgho jdv gh äwrprv oleuhv hv S 1

Vroxflöq=+d, Sdud xq jdv lghdo gh Q äwrprv lqglvwlqjxleohv/ od ixqflöq gh sduwlflöq wrwdo sxhgh hvfuleluvh frpr

]Q @}Q

Q $+4,

grqgh } hv od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr1 D sduwlu gh od ixqflöq gh sduwlflöq vh sxhgh rewhqhu od hqhujðd oleuhgh Khopkrow} frpr

I @ ýnW oq]Q @ ýnW oq }Q

Q $ä ýnW ^Q oq } ýQ oqQ .Q ` +5,

grqgh khprv xvdgr od dsur{lpdflöq gh Vwluolqj oqQ $ ä Q oqQ ýQ 1Dkrud ho srwhqfldo txðplfr vh fdofxod d sduwlu gh od ixqflöq I frpr

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ä ýnW oq }Q

+6,

+e, Ho jdv dgvruelgr vh frqvlghud frpr xq jdv lghdo elglphqvlrqdo | frq xqd hqhujðd gh hqodfh frq od vxshu?flh ý%31Gh hvwd irupd/ od ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr gh hvwh jdv lghdo elglphqvlrqdo/ txh oodpduhprv }3/ vh sxhghfdofxodu foävlfdphqwh d sduwlu gho Kdplowrqldqr gho vlvwhpd K frpr

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5@5p gs

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grqgh D hv ho äuhd gh od vxshu?flh gh dgvruflöq1 Fdofxodqgr od lqwhjudo | dsur{lpdqgr D å Y 5@6 vh rewlhqh

}3 @hñ%3 D

k5+5äpnW , ä hñ%3

éY

k6+5äpnW ,6@5

è5@6@ hñ%3 }5@6 +8,

4

Page 23: Exámenes resueltos UNED

grqgh } @ Y +5äpnW ,6@5 @k6 hv od frqrflgd ixqflöq gh sduwlflöq gh xq äwrpr gh xq jdv lghdo wulglphqvlrqdo hq xqyroxphq Y 1Xvdqgr dkrud +6,/ whqhprv sdud ho srwhqfldo txðplfr gho jdv lghdo elglphqvlrqdo dgvruelgr

ç3 @ ýnW oq }3

Q 3 ä ýnW oqhñ%3 }5@6

Q 3 +9,

+f, Vl vh srqhq hq frqwdfwr dperv jdvhv/ hq ho htxloleulr orv srwhqfldohv txðplfrv wlhqhq txh vhu ljxdohv/ gh irupd txh

ç @ ç3 , }

Q@hñ%3 }5@6

Q 3 @}3

Q 3 +:,

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Q 35äpnW

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Hvfulelhqgr dkrud od ghqvlgdg vxshu?fldo gh äwrprv dgvruelgrv frpr q3 @ Q 3@D/ | whqlhqgr hq fxhqwd txh sdud hojdv oleuh SY @ QnW / uhvxowd

q3 @S k h%3@nWt5äp +nW ,6

+<,

Sureohpd 518 Hq xq fulvwdo ihuurpdjqìwlfr/ dghpäv gh odv yleudflrqhv gh od uhg +irqrqhv,/ vh wlhqhq yleudflrqhvfxdqwl?fdgdv gh pdjqhwl}dflöq +oodpdgdv rqgdv gh hvsðq,1 D edmdv whpshudwxudv/ od ghqvlgdg gh prgrv qrupdohv ghyleudflöq gh hvdv rqgdv gh hvsðq ghshqghq gh od iuhfxhqfld frpr â +$, @ D

s$1 Fdofxodu/ hq hvwdv frqglflrqhv/ od

ghshqghqfld gh od fdsdflgdg fdoruð?fd FY frq od whpshudwxud1

Vroxflöq=Ho wudwdplhqwr hv vlplodu do prghor gh Ghe|h sdud ho fdoru hvshfð?fr gh xq vöolgr1 Sdud pd|ru frpsohwlwxg/ ydprv

d uhdol}du xq wudwdplhqwr jhqhudo | do ?qdo frqvlghuduhprv od ghqvlgdg gh prgrv qrupdohv txh qrv lqglfd ho hqxqfldgrgho sureohpd1Frpr hv elhq vdelgr/ hq ho prghor gh Ghe|h orv äwrprv vh vxsrqhq uhdol}dqgr shtxhôdv rvflodflrqhv douhghgru gh

vxv srvlflrqhv gh uhsrvr | orv qlyhohv gh hqhujðd shuplwlgrv sdud orv äwrprv vh vxsrqhq ljxdohv d orv gh xq rvflodgrudupöqlfr fxäqwlfr/ gh irupd txh odv hqhujðdv shuplwlgdv sdud xq prgr qrupdo gh yleudflöq u ylhqhq gdgdv sru

%u @

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4

5

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Vxsrqlhqgr txh H3 hv od hqhujðd +frqvwdqwh, 3hq uhsrvr4 gho vlvwhpd +hv ghflu/ dtxhood txh fruuhvsrqghuðd d txhwrgrv orv äwrprv hvwxylhudq hq vxv srvlflrqhv gh uhsrvr,/ od hqhujðd wrwdo gho fulvwdo vh sxhgh srqhu frpr

H @ H3 .[u

quçk$u .4

5çk[u

$u +5,

Frq hvwr/ od ixqflöq gh sduwlflöq wrwdo vh sxhgh hvfulelu frpr

] @ hýñH3 hý^+ñçk@5,S

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}u +6,

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Sru or wdqwrý oq] @ ñH3 . 4

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@ H3 .[u

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5çk$u .

çk$uhñ çk$u ý 4

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5

Page 24: Exámenes resueltos UNED

Ho fdoru hvshfð?fr vh fdofxod d sduwlu gh od hqhujðd phgld gh od irupd kdelwxdo

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FY ä n] $f

3

+ñçk$,5 hñçk$

+hñçk$ ý 4,5 â +$, g$ +;,

Kdflhqgr ho fdpelr gh yduldeoh { @ ñçk$ hq od h{suhvlöq dqwhulru qrv txhgd

FY ä nnWçk

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3

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Vl od whpshudwxud hv px| edmd +nW á çk$f, ho oðplwh vxshulru gh od lqwhjudo hq +<, vh sxhgh srqhu frpr 4/ ghirupd txh

FY ä nnWçk

] 4

3

{5h{

+h{ ý 4,5 â +{, g{ +43,

Sduwlfxodul}dprv dkrud sdud od ghqvlgdg gh prgrv txh qrv glfh ho hqxqfldgr gho sureohpd/ hv ghflu/ wrpdprv

â +$, @ Ds$ , â +{, @ D

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txh/ vxvwlwxlgr hq +43, frqgxfh/ roylgäqgrqrv gh odv frqvwdqwhv/ d

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3

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Frpr od lqwhjudo hq +45, hv xq qýphur lqghshqglhqwh gh W / od ghshqghqfld gho fdoru hvshfð?fr frq od whpshudwxud+sdud whpshudwxudv vx?flhqwhphqwh edmdv, hv gh od irupd

FY å W 6@5 +46,

Sureohpd 618 Xq jdv fxäqwlfr lghdo sxhgh ghvfuleluvh gdqgr orv qýphurv gh rfxsdflöq ql+l @ 4> 5> ü ü ü, gh fdgd hvwdgrfxäqwlfr | odv uhvshfwlydv hqhujðdv gh fdgd hvwdgr %l1 Vh slgh=

+d, Ghprvwudu txh ho qýphur phglr gh sduwðfxodv hq ho qlyho v ylhqh gdgr sru

çqv @ ý 4ñ

ëC oq]C%v

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+e, Ghprvwudu txh od h{suhvlöq sdud od glvshuvlöq gh sduwðfxodv hv

+üqv,5 @ ý 4

ñ

ëCçqvC%v

ê+f, D sduwlu gh orv uhvxowdgrv dqwhulruhv/ fdofxodu ho ydoru gh od glvshuvlöq gh sduwðfxodv hq ixqflöq gho ydoru phglr çqv

sdud ihuplrqhv | sdud ervrqhv1

Vroxflöq=+d, Ho hvwdgr fxäqwlfr joredo gho jdv vh fdudfwhul}d gdqgr ho qýphur gh sduwðfxodv txh vh hqfxhqwudq hq fdgd hvwdgrfxäqwlfr frq vx hqhujðd fruuhvsrqglhqwh1 Dvð/ fxdqgr ghflprv txh ho jdv vh hqfxhqwud hq xq hvwdgr U txhuhprvghflu txh kd| q4 sduwðfxodv hq ho hvwdgr u @ 4 frq hqhujðd %4/ q5 sduwðfxodv hq ho hvwdgr u @ 5 frq hqhujðd %5/ | dvðvxfhvlydphqwh1 Sru or wdqwr/ frpr vh wudwd gh xq jdv lghdo/ hv ghflu/ vlq lqwhudfflöq hqwuh vxv sduwðfxodv/ od hqhujðd

6

Page 25: Exámenes resueltos UNED

wrwdo gho jdv hq ho hvwdgr U vhuä HU @ q4%4 . q5%5 . ü ü ü @Su qu%u | ho qýphur wrwdo gh sduwðfxodv hq hvh hvwdgr U

vh hvfuleluä frpr QU @ q4 . q5 . ü ü ü @Su qu1

Hq ho frohfwlyr judq fdqöqlfr/ od suredelolgdg gh txh ho jdv vh hqfxhqwuh hq xq hvwdgr U ylhqh gdgd sru

SU @hýñHU hñçQU

] @h{s ^ýñ +q4%4 . q5%5 . ü ü ü, . ñç +q4 . q5 . ü ü ü,`

] +4,

grqgh ñ @ +nW ,ý4/ ç hv ho srwhqfldo txðplfr | ] hv od judq ixqflöq gh sduwlflöq/ txh ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

] @[iqj

h{s ^ýñ +q4%4 . q5%5 . ü ü ü, . ñç +q4 . q5 . ü ü ü,` +5,

grqgh od vxpd vh h{wlhqgh d wrgrv orv hvwdgrv fxäqwlfrv srvleohv gho jdv/ hv ghflu/ vreuh wrgrv orv ydoruhv srvleohv ghorv qýphurv q4/ q5/ hwf1Dkrud ho ydoru phglr gh sduwðfxodv hq xq hvwdgr v ylhqh gdgr sru

çqv @

Siqj qv h{s ^ýñ +q4%4 . q5%5 . ü ü ü, . ñç +q4 . q5 . ü ü ü,`Siqj h{s ^ýñ +q4%4 . q5%5 . ü ü ü, . ñç +q4 . q5 . ü ü ü,`

+6,

txh/ xvdqgr od hfxdflöq +5,/ sxhgh hvfuleluvh frpr

çqv @ ý 4

ñ]ëC]C%v

ê@ ý 4

ñ

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+e, Sdud od glvshuvlöq whqhprv

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Dkrud

q5v @

Siqj q

5v h{s ^ýñ +q4%4 . q5%5 . ü ü ü, . ñç +q4 . q5 . ü ü ü,`

] +9,

txh/ xvdqgr ho plvpr surfhglplhqwr txh hq ho dsduwdgr +d,/ vh sxhgh srqhu frpr

q5v @4

]ëý 4ñ

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êëý 4ñ

C

C%v

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Od h{suhvlöq +:, vh sxhgh pdqlsxodu xq srfr sdud hvfuleluod/ xvdqgr +7,/ hq od irupd

q5v @4

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5 +;,

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4

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+f, Sdud ihuplrqhv | ervrqhv/ ho ydoru phglr hv

çqv @khñ+%výç, ÷ 4

lý4+43,

grqgh ho vljqr vxshulru +. hq hvwh fdvr, hv sdud ihuplrqhv | ho lqihulru +ý hq hvwh fdvr, sdud ervrqhv1 Xvdqgr +<,hqfrqwudprv

+üqv,5@ ý 4

ñ

ëCçqvC%v

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h{s ^ñ +%v ý ç,`ih{s ^ñ +%v ý ç,`÷ 4j5

@ çq5v

ë4

çqvö 4ê@ çqv +4ö çqv, +44,

Hv ghfluihuplrqhv= +üqv,

5 @ çqv +4ý çqv,ervrqhv= +üqv,

5 @ çqv +4 . çqv,+45,

7

Page 26: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

VHSWLHPEUH 4<<< RULJLQDO

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq jdv lghdo gh sduwðfxodv lqglvwlqjxleohv

+d, Ghprvwudu txh od judq ixqflöq gh sduwlflöq vh sxhgh hvfulelu frpr

] +W> Y> ç, @ h{s ^è] +W> Y> 4,`grqgh è @ hñç | ] +W> Y> 4, hv od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd gh xqd sduwðfxod gho jdv1

+e, Fdofxodu/ hq ixqflöq gh è/ ho qýphur phglr gh sduwðfxodv kQl | od hqwursðd V1+f, Ghprvwudu txh od yduldq}d gho qýphur gh sduwðfxodv ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq

â5Q @ nW

ëC kQlCç

êW>Y

| txh od ghvyldflöq iudfflrqdo âQ@ kQl vh kdfh ghvsuhfldeoh fxdqgr ho qýphur gh sduwðfxodv hv px| judqgh1

Vroxflöq=+d, Vdehprv txh od judq ixqflöq gh sduwlflöq vh sxhgh hvfulelu d sduwlu gh od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd frpr

] +W> Y> ç, @4[Q@3

hñçQ ] +W> Y>Q, @4[Q@3

èQ ] +W> Y>Q, +4,

grqgh è @ hñç | ] +W> Y>Q, hv od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd gh xq jdv gh Q sduwðfxodv1Frpr qrv glfhq txh hv xq jdv lghdo gh sduwðfxodv lqglvwlqjxleohv/ srghprv hvfulelu

] +W> Y>Q, @^] +W> Y> 4,`Q

Q $+5,

grqgh ] +W> Y> 4, hv od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd gh xqd sduwðfxod gho jdv1 Vxvwlwx|hqgr hvwd h{suhvlöq hq +4,whqhprv

] +W> Y> ç, @4[Q@3

^è] +W> Y> 4,`Q

Q $@ h{s ^è] +W> Y>4,` +6,

+e, Hq ixqflöq gh od judq ixqflöq gh sduwlflöq/ ho judq srwhqfldo vh hvfuleh frpr

ó+W> Y> ç, @ ýnW oq] +W> Y> ç, +7,

| d sduwlu gho judq srwhqfldo vh hqfxhqwud/ sru ghulydflöq/ ho qýphur phglr gh sduwðfxodv

kQl @ ýëCó

êW>Y

@ nW

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+8,

r od hqwursðd

V @ ýëCó

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êY>ç

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Uhfrugdqgr od gh?qlflöq gh è | txh od ixqflöq gh sduwlflöq fdqöqlfd gh xqd sduwðfxod gh xq jdv lghdo hv ] +W> Y> 4, @

Yý5äpnWk5

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oq] +W> Y> ç, @ è] +W> Y>4, @ h{sk çnW

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kQl @ èYë5äpnW

k5

ê6@5@ è] +W> Y> 4, +;,

4

Page 27: Exámenes resueltos UNED

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êfrq ] +W> Y> ç, @

[Q>æ

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ëçQ ýHænW

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Od yduldq}d gho qýphur gh sduwðfxodv vh gh?qh frpr

â5Q @G+Q ý kQl,5

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Dkrud/ xvdqgr od gh?qlflöq gh ydoru phglr/ whqhprv

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Q5 iQ>æ @4

][Q>æ

Q5 h{s

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ê@+nW ,5

]ëC5]Cç5

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+45,

grqgh/ sdud hvfulelu od ýowlpd ljxdogdg/ khprv whqlgr hq fxhqwd od gh?qlflöq gh ] gdgd hq +43,1Shur xvdqgr +7, | +8, hqfrqwudprv txh

kQl @ nWëC oq]Cç

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Xvdqgr +;, vh rewlhqh txh4

â5Q @ nW

ëC kQlCç

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@ kQl +49,

|/ sru or wdqwrâQkQl @

v4

kQl +4:,

or txh ghpxhvwud txh/ fxdqgr kQl $ 4/ od ghvyldflöq iudfflrqdo +4:, vh kdfh ghvsuhfldeoh1

Sureohpd 518 Vh wlhqh xq jdv lghdo gh ihuplrqhv gh hvsðq v | pdvd p hq xq yroxphq Y 1

+d, Vxsrqlhqgr txh od whpshudwxud hv or vx?flhqwhphqwh dowd frpr sdud txh xqd ghvfulsflöq hvwdgðvwlfd gho vlvwhpdsxhgd kdfhuvh txhgäqgrvh vöor frq od sulphud fruuhfflöq do fdvr foävlfr/ ghprvwudu txh ho qýphur phglr wrwdogh sduwðfxodv vh sxhgh hvfulelu frpr

çQ ä çQfo

ë4ý hñç

56@5. ü ü ü

êgrqgh çQfo hv ho qýphur phglr wrwdo gh sduwðfxodv hq ho fdvr foävlfr +Pd{zhoo0Erow}pdqq,/ ñ @ +nW ,

ý4 | ç hv hosrwhqfldo txðplfr1

4Hvwh uhvxowdgr h{suhvd ho khfkr gh txh/ sdud xq jdv lghdo/ od suredelolgdg gh hqfrqwudu ù sduwðfxodv hq xq yroxphq T gho jdv/ hqhtxloleulr d suhvlöq å | whpshudwxud A / ylhqh gdgd sru xqd glvwulexflöq gh Srlvvrq frq ydoru phglr 'ùä ' åT*&A 1

5

Page 28: Exámenes resueltos UNED

+e, D sduwlu gho dsduwdgr dqwhulru/ ghprvwudu txh sdud ho srwhqfldo txðplfr vh sxhgh hvfulelu/ hq ho plvpr rughq ghdsur{lpdflöq/

+çý çfo, ä nW oq%4 .

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56@5jY

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5äpnW

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&grqgh çfo hv ho srwhqfldo txðplfr hq ho fdvr foävlfr | j @ 5v. 4 hv od pxowlsolflgdg gh hvsðq1

+f, Ghprvwudu txh/ hq jhqhudo/ vl qrv dsur{lpdprv do fdvr foävlfr/ ho qýphur phglr gh sduwðfxodv hq xq hvwdgr ghhqhujðd % hq od hvwdgðvwlfd IG vh sxhgh hvfulelu/ hq ixqflöq gho plvpr qýphur phglr hq od hvwdgðvwlfd PE/ hq odirupd

çqIG +%, @4[u@4

+ý4,4.u ^çqPE +%,`u

Vroxflöq=+d, Hq od hvwdgðvwlfd IG vh wlhqh

çqIG +%, @4

hñ+%ýç, . 4@ hýñ+%ýç,

k4 . hýñ+%ýç,

lý4+4,

Vl od whpshudwxud hv vx?flhqwhphqwh dowd/ gh irupd txh qrv dsur{lpdprv d od ghvfulsflöq foävlfd/ od hfxdflöq +4,vh sxhgh srqhu/ uhfrugdqgr txh +4 . {,ý4 å 4ý {. ü ü ü | uhwhqlhqgr vöor ho sulphu wìuplqr gh fruuhfflöq/ frpr

çqIG +%, ä hýñ+%ýç,k4ý hýñ+%ýç, . ü ü ü

l@ hýñ+%ýç, ý hý5ñ+%ýç, . ü ü ü +5,

Gh hvwd irupd/ ho qýphur phglr wrwdo gh sduwðfxodv vh sxhgh fdofxodu frpr

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3

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3

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3

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@ çQfo ý jYë5äpnW

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56@5. ü ü ü

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grqgh çQfo hv ho qýphur phglr wrwdo gh sduwðfxodv hq ho oðplwh foävlfr/ hv ghflu/ hq od hvwdgðvwlfd gh Pd{zhoo0Erow}pdqq/txh ylhqh gdgr sru od h{suhvlöq

çQfo @ 5äjY

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3

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ë5äpnW

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+e, Hvfulelprv frpsohwd od hfxdflöq +6, kdvwd sulphu rughq

çQ @ jY

ë5äpnW

k5

ê6@5hñç

ë4ý hñç

56@5

ê+8,

txh/ uhdmxvwdqgr wìuplqrv | xvdqgr gh qxhyr ho ghvduuroor hq srwhqfldv kdvwd ho sulphu rughq/ qrv txhgd

hñç @çQ

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Ghvshmdqgr hñç hq od hfxdflöq dqwhulru/ whqhprv

hñç äçQ

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5äpnW

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6

Page 29: Exámenes resueltos UNED

grqgh khprv xvdgr +7, sdud ho srwhqfldo txðplfr hq ho fdvr foävlfr1Wrpdqgr orjdulwprv/ qrv txhgd ?qdophqwh

+çý çfo, ä nW oq%4 .

çQ

56@5jY

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5äpnW

ê6@5&+;,

txh hv ho uhvxowdgr shglgr1+f, Uhfrugdqgr txh sdud ho fdvr foävlfr +PE,

çqPE +%, @ hýñ +%ýç, +<,

od hfxdflöq +4, od hvfulelprv frprçqIG +%, @ çqPE +%, ^4 . çqPE +%,`

ý4 +43,

Frpr do dsur{lpduqrv do fdvr foävlfr vh wlhqh txh fxpsolu txh çqPE +%, á 4/ vh sxhgh ghvduuroodu od hfxdflöqdqwhulru hq od irupd

çqIG +%, å çqPE +%,û4ý çqPE +%, . çq

5PE +%,ý çq6PE +%, . ü ü ü

ú@

4[u@4

+ý4,4.u ^çqPE +%,`u +44,

7

Page 30: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 5333 SULPHUD VHPDQD

Sureohpd 418 Vh wlhqh xq vlvwhpd gh sduwðfxodv fxäqwlfdv hq htxloleulr d od whpshudwxud W | vlq lqwhudfflrqhv hqwuhvð1 Orv srvleohv hvwdgrv fxäqwlfrv gh fdgd sduwðfxod/ ghqrplqdgrv sru xq ðqglfh l/ wlhqhq hqhujðdv %l | odv sduwðfxodvvrq wdohv txh vöor sxhgh kdehu xq pä{lpr gh grv sduwðfxodv hq ho plvpr hvwdgr fxäqwlfr1

+d, Fdofxodu od ixqflöq gh sduwlflöq gho vlvwhpd/ hvfulelhqgr ho uhvxowdgr hq ixqflöq gho idfwru gh Erow}pdqq

tl @ hýñ +%lýç,

+e, Ghprvwudu txh ho qýphur phglr gh sduwðfxodv hq ho hvwdgr l sxhgh hvfuleluvh frpr

ql @ qEHl

#4ý 6t5lS5

d@3 tdl

$

grqgh qEHl hv ho qýphur phglr gh sduwðfxodv hq ho hvwdgr l hq od hvwdgðvwlfd gh Ervh0Hlqvwhlq1

+f, Ghprvwudu txh/ hq ho fdvr jhqhudo hq ho txh sxhgd kdehu P sduwðfxodv hq ho plvpr hvwdgr fxäqwlfr/ od ixqflöq ghsduwlflöq sxhgh hvfuleluvh frpr

] @\l

4ý tP.4l

4ý tl

+g, D sduwlu gho uhvxowdgr rewhqlgr hq ho dsduwdgr dqwhulru/ Ávh sxhghq ghgxflu odv fruuhvsrqglhqwhv h{suhvlrqhv sdudodv hvwdgðvwlfdv gh Ihupl0Gludf | gh Ervh0HlqvwhlqB

Vroxflöq=+d, Hq ixqflöq gh orv qýphurv gh rfxsdflöq gh orv glvwlqwrv hvwdgrv fxäqwlfrv | whqlhqgr hq fxhqwd txh ql @ 3> 4> 5/ odjudq ixqflöq gh sduwlflöq vh hvfuleh frpr

] @[

q4>q5>üüühýñ

Slql+%lýç, @

5[q4@3

hýñq4+%4ýç,5[

q5@3

hýñq5+%5ýç, ü ü ü

@ý4 . t4 . t

54

ü ý4 . t5 . t

55

ü ü ü ü +4,

grqgh khprv xvdgr od gh?qlflöq gho idfwru gh Erow}pdqq tl @ hýñ +%lýç,1 Dvð sxhv

] @\l

ý4 . tl . t

5l

ü+5,

+e, D sduwlu gh +5, whqhprvoq] @

[l

oqý4 . tl . t

5l

ü+6,

Gh?qlhqgr ò @ ýñç/ ho idfwru gh Erow}pdqq vh hvfuleh frpr tl @ hý+ñ%l.ò, | ho qýphur phglr wrwdo gh sduwðfxodv hv

Q @[l

ql @ nW

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@ ýëC oq]Cò

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ì. 5tl

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sru or txh

ql @ ýíCtlCò

ì. 5tl

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ì4 . tl . t5l

@tl . 5t5l4 . tl . t5l

+8,

grqgh khprv xvdgr txh Ctl@Cò @ ýtl1

4

Page 31: Exámenes resueltos UNED

Ghvfrpsrqlhqgr od h{suhvlöq dqwhulru sdud ql hq iudfflrqhv | rshudqgr/ vh sxhgh yhu txh +8, vh sxhgh hvfulelufrpr

ql @tl

4ý tl ý6t6l4ý t6l

@tl

4ý tl

ë4ý 6t5l

4 . tl . t5l

ê+9,

Shurtl

4ý tl @4

4tlý 4 @

4

hñ+%lýç, ý 4 +:,

txh hv suhflvdphqwh ho qýphur phglr gh sduwðfxodv hq ho hvwdgr l hq od hvwdgðvwlfd EH/ qEHl 1 Sru or wdqwr/ +9, vh hvfuleh

ql @ qEHl

#4ý 6t5lS5

d@3 tdl

$+;,

+f, Fxdqgr sxhgh kdehu P sduwðfxodv hq ho plvpr hvwdgr fxäqwlfr ho ud}rqdplhqwr hv vlplodu do txh uhdol}dprv hq hodsduwdgr +d,/ gh irupd txh srghprv hvfulelu

] @ý4 . t4 . ü ü ü. tP4

ü ý4 . t5 . ü ü ü. tP5

ü ü ü ü@

#P[d@3

td4

$#P[d@3

td5

$ü ü ü +<,

Xvdqgr dkrud ho uhvxowdgríSP

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] @\l

4ý tP.4l

4ý tl +43,

+g, Vl hq ho uhvxowdgr gho dsduwdgr dqwhulru kdfhprv P @ 4/ whqhprv

] @\l

4ý t5l4ý tl @

\l

+4 . tl, @\l

k4 . hýñ+%lýç,

l@ ]IG +44,

txh fruuhvsrqgh d od judq ixqflöq gh sduwlflöq hq od hvwdgðvwlfd IG1Sru rwud sduwh/ vl P $4 | tl ? 4/ od iöupxod +43, vh wudqvirupd hq

] @\l

olpP$4

#4ý tP.4

l

4ý tl

$@\l

4

4ý tl @\l

k4ý hýñ+%lýç,

lý4@ ]EH +45,

sru or txh rewhqhprv od h{suhvlöq fruuhvsrqglhqwh d od hvwdgðvwlfd EH1

Sureohpd 518 Vh frqvlghud xq jdv gh irwrqhv hq htxloleulr wìuplfr d od whpshudwxud W | hqfhuudgr hq xqd fdylgdgklshufýelfd g0glphqvlrqdo gh odgr O | yroxphq Y @ Og1

+d, Fdofxodu od ghqvlgdg G +%, gh hvwdgrv irwöqlfrv frq hqhujðd hqwuh % | %. g%1

+e, Fdofxodu od ixqflöq gh sduwlflöq gho vlvwhpd/ h{suhvdqgr ho uhvxowdgr hq ixqflöq gh od frqvwdqwh

Lg @ +4@g,

] 4

3

{g +h{ ý 4,ý4 g{

+f, Kdoodu ho fdoru hvshfð?fr sru xqlgdg gh yroxphq fY 1

+g, Yhul?fdu txh orv uhvxowdgrv rewhqlgrv frlqflghq frq orv frqrflgrv sdud xqd fdylgdg wulglphqvlrqdo1

QRWD= Ho yroxphq gh xqd hvihud g0glphqvlrqdo gh udglr U hv 5äg@5

gý+g@5,Ug/ grqgh ý hv od ixqflöq jdppd1

Vroxflöq=+d, Ho srwhqfldo judq fdqöqlfr sdud xq jdv gh irwrqhv hv

ó @ ýSY @ nW[l

oqk4ý hýñ+%lýç,

l@ ýnW oq] +4,

5

Page 32: Exámenes resueltos UNED

grqgh ] hv od ixqflöq gh sduwlflöq judq fdqöqlfd | khprv xvdgr txh ç @ 3 do wudwduvh gh irwrqhv1 Frpr ho qýphur ghhvwdgrv irwöqlfrv hqwuh % | %. g% hv px| judqgh/ srghprv dsur{lpdu od vxpd vreuh hvwdgrv l sru xqd lqwhjudo vreuhhqhujðdv/ gh irupd txh

oq] @ ý] 4

3

G+%, oqý4ý hýñ%ü g% +5,

grqgh khprv lqwurgxflgr od ghqvlgdg gh hvwdgrv G+%, txh ghshqgh/ hq jhqhudo/ gh od glphqvlöq1Sdud fdofxodu G+%, whqhprv txh hqfrqwudu ho qýphur gh hvwdgrv frq xqd hqhujðd hqwuh % | % . g%1 Sdud hoor/

vxsrqhprv txh ho jdv irwöqlfr +od udgldflöq, vh hqfxhqwud hq xqd fdylgdg klshufýelfd/ gh glphvlöq g | gh odgr O | txhvh sxhgh ghvfulelu sru xqd frohfflöq gh rqgdv hvwdflrqduldv/ vroxflrqhv gh od hfxdflöq gh Vfkuùglqjhu lqghshqglhqwhgho wlhpsr/ txh vh dqxodq hq odv sduhghv gh od fdylgdg1 Glfkdv rqgdv hvwdflrqduldv vh sxhghq hvfulelu frpr

*+u, @ Fg\u@4

vhqíquäO{u

ì+6,

grqgh F hv xqd frqvwdqwh/ qu vrq qýphurv hqwhurv srvlwlyrv | {u vrq odv frpsrqhqwhv gho yhfwru u1 Odv iuhfxhqfldvshuplwlgdv gh glfkd rqgd hvwäq gdgdv sru $ @ fmnm/ grqgh n hv ho yhfwru gh rqgd/ | wlhqhq od irupd

$ @fä

O

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q5u

$4@5+7,

Fdgd yhfwru q gh frpsrqhqwhv qu gh?qh xq hvwdgr irwöqlfr1 Gh dfxhugr frq +7, ho qýphur gh hvwdgrv txh wlhqhq xqdiuhfxhqfld lqihulru d xqd gdgd $ vhuä dsur{lpdgdphqwh ljxdo do yroxphq gh xqd hvihud gh udglr $O@fä1 Gh khfkr/ dod sruflöq gh hvihud hq od txh odv frpsrqhqwhv gho yhfwru q vrq srvlwlydv +4@5 hq g @ 4/ 4@7 hq g @ 5/ 4@; hq g @ 6/hv ghflu 4@5g hq jhqhudo,1 Khprv gh whqhu hq fxhqwd/ dghpäv/ od srodul}dflöq gh orv irwrqhv/ txh lpsolfd txh sru fdgdhvwdgr q kd| g ý 4 hvwdgrv gh srodul}dflöq1 Frpr % @ çk$/ whqlhqgr hq fxhqwd od h{suhvlöq sdud ho yroxphq gh xqdhvihud gh glphqvlöq g/ ho qýphur gh hvwdgrv frq hqhujðd lqihulru d % vhuä/ ?qdophqwh/

÷+%, @ +gý 4, 45g

5äg@5

gý+g@5,

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êg%g +8,

Sru wdqwr/ ho qýphur gh hvwdgrv hqwuh % | %. g% vhuä G+%, @ ÷3+%,/ hv ghflu

G+%, @ +gý 4,ëO

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5gý4äg@5ý+g@5,@ dgY %

gý4 +9,

grqgh Y @ Og hv ho yroxphq gh od fdylgdg klshufýelfd g0glphqvlrqdo +revìuyhvh txh sdud g @ 6/ whqlhqgr hq fxhqwd

txh ý +6@5, @sä@5/ vh wlhqh d6 @

kä5 +çkf,6

lý4,1

+e, Dkrud srghprv hvfulelu

oq] @ ýdgY] 4

3

%gý4 oqý4ý hýñ%ü g% @ dgY Lg+nW ,g +:,

grqgh khprv khfkr xq vlpsoh fdpelr gh yduldeoh { @ ñ% | grqgh +lqwhjudqgr sru sduwhv,

Lg @ ý] 4

3

{gý4 oqý4ý hý{ü g{ @ 4

g

] 4

3

{g

+h{ ý 4, g{ +;,

Sru or wdqwr/ od ixqflöq gh sduwlflöq vhuä] @ h{s ûdgY Lg +nW ,gú +<,

+f, Odv yduldeohv whuprglqäplfdv vh sxhghq fdofxodu d sduwlu gh od ixqflöq gh sduwlflöq r gho judq srwhqfldo ó @ýnW oq]/ gh irupd txh whqhprv

S @ ýóY@ dgLg+nW ,

g.4 +43,

v @ ý 4Y

ëCó

CW

êY

@ +g. 4,dgLgn+nW ,g +44,

x @X

Y@ó. VW

Y@ó

Y. vW @ gdgLg+nW ,

g.4 @ gS +45,

6

Page 33: Exámenes resueltos UNED

|/ hq sduwlfxodu/ sdud ho fdoru hvshfð?fr sru xqlgdg gh yroxphq/

fY @

ëCx

CW

êY

@ g+g. 4,dgLgn+nW ,g @ g v +46,

+g, Sdud g @ 6 whqhprv L6 @ ä7@78 | d6 @ 4@ä5 +fçk,6 |/ sru or wdqwr/

x @ä5n7

48 +fçk,6W 7 +47,

S @x

6+48,

v @7ä5n7

78 +fçk,6W 6 +49,

fY @ 6v +4:,

txh vrq orv uhvxowdgrv elhq frqrflgrv txh vh ghgxfhq gh od glvwulexflöq gh Sodqfn sdud od udgldflöq gho fxhusr qhjur1

7

Page 34: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

MXQLR 5333 VHJXQGD VHPDQD

Sureohpd 418 Xq vlvwhpd gh Q sduwðfxodv foävlfdv vh kdood hq suhvhqfld gh xq srwhqfldo !+u,1 D sduwlu gh od hfxdflöqgh Erow}pdqq hq od dsur{lpdflöq gho wlhpsr gh uhodmdflöq +r wlhpsr phglr hqwuh frolvlrqhv,/ vh slgh=

+d, Kdoodu od ixqflöq gh glvwulexflöq gh htxloleulr gho vlvwhpd1

+e, Fdofxodu ho fdpsr gh ghqvlgdg gh htxloleulr fxdqgr ho srwhqfldo h{whuqr hv xq srwhqfldo dupöqlfr !+u, @ ò5 u51

Glvfxwlu od irupd gho fdpsr gh ghqvlgdg1

+f, ÁTxì irupd wlhqh ho fdpsr gh ghqvlgdg fdofxodgr hq ho dsduwdgr dqwhulru hq ho oðplwh ò$ 3B H{soltxh ho uhvxowdgrrewhqlgr1

Vroxflöq=+d, Od hfxdflöq gh Erow}pdqq hq od dsur{lpdflöq gho wlhpsr gh uhodmdflöq hv

C

Cwi+u>s>w, . yüuui+u>s>w, .Iüusi+u>s>w, @ 4

áy+s,^i3+u>s,ý i+u>s>w,` +4,

Od glvwulexflöq gh htxloleulr i3+u>s, gheh vdwlvidfhu hvwd hfxdflöq/ frq or txh oohjdprv d

yüuui3+u>s,ý ^uu!+u,` üusi3+u>s, @ 3 +5,

grqgh khprv xvdgr I @ ýuu!+u,1 Sdud hqfrqwudu od vroxflöq gh +5, suredprvi3+u>s, @ iu+u,is+s, +6,

grqgh is+s, @ +5äpnW ,ý6@5 h{siýs5@5pnWj hv od glvwulexflöq gh Pd{zhoo qrupdol}dgd1 Vxvwlwx|hqgr +6, hq +5, |whqlhqgr hq fxhqwd txh

us ^iu+u,is+s,` @ ý s

pnWiu+u,is+s, +7,

oohjdprv ds

püéuuiu+u, . iu +u,

nWuu!+u,

èis+s, @ 3 +8,

sru or txh vh wlhqh txh yhul?fdu

uuiu+u, . iu +u,nW

uu!+u, @ 3 +9,

frq or txhiu+u, @ F h

ý!+u,@nW +:,

grqgh F hv xqd frqvwdqwh gh qrupdol}dflöq wdo txhUi+u>s, gugs @ 4/ hv ghflu

F @4U

guhý!+u,@nW+;,

Sru or wdqwr/ hq gh?qlwlyd/ od ixqflöq gh glvwulexflöq gh htxloleulr gho vlvwhpd vhuä

i3+u>s, @F

+5äpnW ,6@5h{s

éý 4

nW

ës5

5p. !+u,

êè+<,

+e, Ho fdpsr gh ghqvlgdg vh gh?qh frpr Q yhfhv od suredelolgdg gh hqfrqwudu xqd sduwðfxod hq u frq lqghshqghqfldgh vx yhorflgdg/ hvwr hv

q+u, @ Qiu+u, +43,

Vl ho fdpsr h{whuqr hv xq srwhqfldo dupöqlfr/ ho fdpsr gh ghqvlgdg ydoguä

q+u, @ QFhýòu5@5nW +44,

4

Page 35: Exámenes resueltos UNED

grqgh

F @4U

hýòu5@5nWgu@

4

7äU43 u5hýòu5@5nWgu

@í ò

5änW

ì6@5+45,

Od irupd gho fdpsr gh ghqvlgdg hv xqd jdxvldqd gh dqfkxud nW@ò1 Fxdqwr pd|ru vhd od whpshudwxud r phqru odfrqvwdqwh hoävwlfd ò/ pd|ru vhuä od dqfkxud gh glfkd jdxvldqd1 Od ghqvlgdg pä{lpd rfxuuh d u @ 3 | ydoh suhflvdphqwhQF1+f, Yhprv txh hq ho oðplwh ò $ 3/ E $ 3 |/ sru wdqwr/ od ghqvlgdg yd d fhur1 Hvwr hv gh hvshudu/ srutxh hq ho oðplwhò$ 3 hv frpr vl qr wxylhudprv qlqjýq srwhqfldo | odv Q sduwðfxodv vh glvwulex|hq hq wrgr ho hvsdflr +lq?qlwr,/ gdqgrxqd ghqvlgdg qxod1

Sureohpd 518 Vh frqvlghud xq jdv gh Q ervrqhv/ gh pdvd p | frq hvsðq fhur/ hq htxloleulr wìuplfr d od whpshudwxudW hq xq yroxphq Y 1

+d, Ghprvwudu txh/ hq jhqhudo/ od ghqvlgdg gh sduwðfxodv q @ Q@Y hv xqd ixqflöq fuhflhqwh frq ho srwhqfldo txðplfrç1

+e, Vxsrqjdprv txh od whpshudwxud hv xq srfr pd|ru txh od whpshudwxud fuðwlfd/ W3/ d od txh wlhqh oxjdu ho ihqöphqrgh od frqghqvdflöq gh Ervh0Hlqvwhlq/ hv ghflu txh W ) W31 Hq hvwh fdvr/ ho srwhqfldo txðplfr ç vh sxhghfrqvlghudu shtxhôr | od frqwulexflöq d odv pdjqlwxghv whuprglqäplfdv gho vlvwhpd surylhqh gh ydoruhv gh odhqhujðd % wdpelìq shtxhôrv1 Hq hvwdv frqglflrqhv/ ghprvwudu txh ho srwhqfldo txðplfr vh sxhgh hvfulelu/ ghirupd dsur{lpdgd/ frpr

ç ä ý k9

65ä7p6

ëqpd{ ý qnW

ê5grqgh qpd{ hv od ghqvlgdg pä{lpd gh sduwðfxodv txh sxhghq hvwdu hq hvwdgrv h{flwdgrv d xqd whpshudwxudgdgd W 1 +Vxjhuhqfld= hvfulelu qpd{ ý q frpr xqd lqwhjudo/ whqhu hq fxhqwd odv frqglflrqhv txh vh lqglfdq hq hohqxqfldgr | xvdu ho uhvxowdgr

U43

g{{5.d @

ä5sd,1

Suredu/ dghpäv/ txh ho uhvxowdgr dqwhulru hv htxlydohqwh d

ç ä ý nW7ä

+5> 945

%4ý

ëW3W

ê6@5&,5

+f, Dkrud vxsrqhprv txh hvwdprv sru ghedmr gh od whpshudwxud fuðwlfd/ hv ghflu W ? W3 | txh/ dghpäv/ od hqhujðdgho hvwdgr ixqgdphqwdo hv %4 9@ 31 Fdofxodu od hqhujðd phgld wrwdo gho vlvwhpd1

+g, Hq odv plvpdv frqglflrqhv txh ho dsduwdgr dqwhulru/ ghprvwudu txh fxdqgr W $ 3 ho srwhqfldo txðplfr vh frpsruwdfrpr

ç ä %4 ý nWQ

Vroxflöq=+d, Vdehprv txh od ghqvlgdg q @ Q@Y ylhqh gdgd sru

q @5ä+5p,6@5

k6

] 4

3

%4@5

h{siñ+%ý ç,j ý 4g% +4,

Ghulydqgr od h{suhvlöq dqwhulru frq uhvshfwr do srwhqfldo txðplfr/ whqhprv

Cq

Cç@5ä+5p,6@5ñ

k6

] 4

3

%4@5 h{siñ+%ý ç,j^h{siñ+%ý ç,j ý 4`5 g% +5,

Shur ho lqwhjudqgr gh od ghuhfkd hv vlhpsuh srvlwlyr/ sru or txh

Cq

CçA 3 +6,

5

Page 36: Exámenes resueltos UNED

sru or txh q hv xqd ixqflöq fuhflhqwh gho srwhqfldo txðplfr1+e, Vhd qpd{ od ghqvlgdg pä{lpd gh sduwðfxodv txh sxhghq hvwdu hq hvwdgrv h{flwdgrv d xqd whpshudwxud gdgd W 1Glfkd ghqvlgdg pä{lpd ylhqh gdgd sru qpd{ @ q+ç @ 3,/ hv ghflu

qpd{ @5ä+5p,6@5

k6

] 4

3

%4@5

h{siñ%j ý 4g% @5=945+5äpnW ,6@5

k6+7,

Xvdqgr od h{suhvlöq dqwhulru +7, | od iöupxod jhqhudo sdud q/ srghprv hvfulelu od glihuhqfld qpd{ ý q frpr

qpd{ ý q @ 5ä+5p,6@5+h{siýñçj ý 4,k6

L +8,

grqgh od lqwhjudo L ylhqh gdgd sru

L @

] 4

3

%4@5 h{siñ%j+h{siñ%j ý 4,+h{siñ+%ý ç,j ý 4, +9,

Vl od frqwulexflöq d hvwd lqwhjudo ylhqh/ vreuh wrgr/ gh ydoruhv gh % | ç shtxhôrv/ srghprv dsur{lpdu od lqwhjudo L sru

L ä 4

ñ5

] 4

3

4

%4@5+%ý ç,g% +:,

Kdflhqgr ho fdpelr % @ {5 hq hvwd ýowlpd lqwhjudo | xvdqgr ho uhvxowdgr gho hqxqfldgr/ rewhqhprv

L ä 4

ñ5ä

+ýç,4@5 +;,

sru or txh/

qpd{ ý q ä 5ä5+5p,6@5nW +ýç,4@5k6

+<,

gh grqgh

ç ä ý k9

65ä7p6

ëqpd{ ý qnW

ê5+43,

Od h{suhvlöq +43, sxhgh hvfuleluvh hq ixqflöq gh od whpshudwxud fuðwlfd gh frqghqvdflöq W3 gh od vljxlhqwh irupd1Frprqpd{ @ q+W@W3,6@5/ whqhprv

ç ä ý k9

65ä7p6

í qnW

ì5 %ë WW3

ê6@5ý 4&5

+44,

Shur

W3 @k5

5äpn

ëq

5> 945

ê5@6+45,

sru or txh/ rshudqgr hq +44,/ vh hqfxhqwud

ç ä ýnW7ä+5> 945,5

ëW3W

ê6 %ëW

W3

ê6@5ý 4&5

@ ýnW7ä

+5> 945

ëW3W

ê6@5 %ëW

W3

ê6@5ý 4&,5

@ ýnW7ä

+5> 945

%4ý

ëW3W

ê6@5&,5+46,

txh hv od h{suhvlöq shglgd1+f, Frpr qrv glfhq txh od hqhujðd gho hvwdgr ixqgdphqwdo hv glvwlqwd gh fhur/ sdud W ? W3 od hqhujðd phgld gho jdvvhuä

X @ q4%4 . 3> ::3QnW

ëW

W3

ê6@5@ %4Q

%4ý

ëW

W3

ê6@5&. 3> ::3QnW3

ëW

W3

ê8@5+47,

6

Page 37: Exámenes resueltos UNED

+g, Fxdqgr W $ 3 wrgdv odv sduwðfxodv wlhqghq d frorfduvh hq ho qlyho ixqgdphqwdo/ sru or txh

olpW$3

q4 @ olpW$

4

hñ+%4ýç, ý 4 @ Q +48,

Shur Q hv xq qýphur judqgh/ sru or txh od h{srqhqfldo gheh whqhu xq ydoru suö{lpr d 4/ or txh lpsolfd txh hoh{srqhqwh plvpr gheh vhu shtxhôr1 Sru or wdqwr/ ghvduuroodqgr od h{srqhqfldo/ qrv txhgd

4

4 . ñ +%4 ý ç, . ü ü ü ý 4 * Q

|/ sru or wdqwr

ç * %4 ý nWQ

+49,

gh irupd txh/ fxdqgr W $ 3/ ho srwhqfldo txðplfr wlhqgh d od hqhujðd gho hvwdgr ixqgdphqwdo %4/ shur vlhpsuh ghirupd txh ç ? %41

7

Page 38: Exámenes resueltos UNED

PHFÄQLFD HVWDGÐVWLFD + 7ï fxuvr1 F1F1 IÐVLFDV ,

VHSWLHPEUH 5333 RULJLQDO

Sureohpd 418 Vh frqvlghud xq jdv gh Q sduwðfxodv foävlfdv sxqwxdohv/ gh pdvd p/ hq xq yroxphq Y | d xqdwhpshudwxud W 1 Odv sduwðfxodv lqwhudfflrqdq hqwuh vð d wudyìv gh xq srwhqfldo d sduhv gh od irupd

!+ulm, @ %

ëu3ulm

êægrqgh ulm @ mulýum m/ % hv xqd frqvwdqwh frq glphqvlrqhv gh hqhujðd/ u3 hv xqd orqjlwxg fdudfwhuðvwlfd | æ rwud frqvwdqwhsrvlwlyd1

+d, Ghprvwudu txh od ixqflöq gh sduwlflöq ]+W> Y>Q, hv xqd ixqflöq krprjìqhd/ hq ho vhqwlgr gh txh fxpsoh oduhodflöq

]+òW> òý6@æ Y>Q, @ ò6Q+4@5ý4@æ,]+W> Y>Q,

grqgh ò hv xq idfwru duelwudulr1 +Vxjhuhqfld= kdfhu ho fdpelr gh yduldeoh ul @ ò4@æu3l,1

+e, Xvdqgr od lghqwlgdg

òg

gòi+òd{> òe|,

ññññò@4

@ d{

ëCi+{> |,

C{

ê|

. e|

ëCi+{> |,

C|

ê{

ghprvwudu txh od hqhujðd oleuh gh Khopkrow} I +W> Y>Q, rehghfh

W

ëCI

CW

êY

ý 6

æY

ëCI

CY

êW

@ I ý 6ë4

5ý 4

æ

êQnW

+f, Ghprvwudu txh od hqhujðd lqwhuqd hv gh od irupd

X @ 6

ë4

5ý 4

æ

êQnW .

6

æSY

+g, ÁTxì irupd wlhqh ho srwhqfldo !+u, hq ho oðplwh æ $4B ÁTxì wlsr gh jdv whqhprv hq hvh oðplwhB1

Vroxflöq=+d, Od ixqflöq gh sduwlflöq foävlfd vh hvfuleh frpr

] +W> Y>Q, @4

k6Q Q $

]g6Qs

]Y

g6Qu h{s

3Cýñ 6Q[l@4

s5l5p

ý ñ[klml

%

ëu3ulm

êæ4D +4,

grqgh klml lqglfd od vxpd vreuh sduhv gh ðqglfhv1 Hihfwxdqgr od lqwhjudflöq vreuh orv prphqwrv/ whqhprv

] +W> Y>Q, @+5äpnW ,6Q@5

k6Q Q $

]Y

g6Qu h{s

3Cý %

nW

[klml

ëu3ulm

êæ4D +5,

Kdflhqgr ho fdpelr gh yduldeoh ul @ ò4@æu3l hq od lqwhjudo gh +5, srghprv hvfulelu

] +W> Y>Q, @+5äpnW ,6Q@5

k6Q Q $ò6Q@æ

]òý6@æY

g6Qu3 h{s

3Cý %

ònW

[klml

#u3u3lm

$æ4D@ ò6Q@æý6Q@5 ]

íòW>òý6@æY>Q

ì+6,

sru or txh]+òW> òý6@æ Y>Q, @ ò6Q+4@5ý4@æ,]+W> Y>Q, +7,

4

Page 39: Exámenes resueltos UNED

+e, Dsolfdprv do uhvxowdgr +7, od lghqwlgdg txh qrv glfhq hq ho hqxqfldgr frq d @ 4/ e @ ý6@æ/ { @ W / | @ Y 1 Hqsulphu oxjdu qrwdprv txh

òg

gò]+òW> òý6@æ Y>Q,

ññññò@4

@ ò6Q

ë4

5ý 4

æ

êò6Q+4@5ý4@æ,ý4]+W> Y>Q,

ññññò@4

@ 6Q

ë4

5ý 4

æ

ê]+W> Y>Q, +8,

sru or txh od lghqwlgdg gho hqxqfldgr htxlydoh/ hq qxhvwur fdvr/ d

W

ëC]

CW

êY

ý 6

æY

ëC]

CY

êW

@ 6Q

ë4

5ý 4

æ

ê] +9,

Xvdqgr dkrud od uhodflöq hqwuh od ixqflöq gh sduwlflöq | od hqhujðd oleuh gh Khopkrow}

] @ hýI@nW +:,

| whqlhqgr hq fxhqwd txh

C]

CW@ ýnW

ýCICW

üý nIn5W 5

hýI@nW +;,

C]

CY@ ý 4

nW

CI

CYhýI@nW +<,

od hfxdflöq +9, txhgd

W

ëCI

CW

êY

ý 6

æY

ëCI

CY

êW

@ I ý 6ë4

5ý 4

æ

êQnW +43,

+f, Frpr +CI@CW ,Y @ ýV/ +CI@CY ,W @ ýS | I @ X ý WV/ +43, vh wudqvirupd hq

X @ 6

ë4

5ý 4

æ

êQnW .

6

æSY +44,

+g, Fxdqgr æ $4 ho srwhqfldo gh lqwhudfflöq wlhqh od irupd

! +u, @

ã3 vl u A u34 vl u ? u3

+45,

hv ghflu/ xq srwhqfldo gh hvihudv gxudv1 Dkrud/ d sduwlu gh +44,/

X @6

5QnW +46,

gh irupd txh vh uhfxshud ho jdv lghdo/ or fxdo hud gh hvshudu/ |d txh xq jdv gh sduwðfxodv txh lqwhudfflrqdq d wudyìv ghxq srwhqfldo gh od irupd +45, vror wlhqh hqhujðd flqìwlfd/ sru or txh vx hqhujðd gheh vhu ljxdo d od gh xq jdv lghdo1

Sureohpd 518 Vxsrqjdprv txh whqhprv xq vlvwhpd irupdgr sru hohfwurqhv +ihuplrqhv, txh qr lqwhudfflrqdq hqwuhvð1

+d, Ghprvwudu txh od suredelolgdg gh hqfrqwudu xq hohfwuöq hq xq hvwdgr frq hqhujðd ü sru hqflpd gho srwhqfldotxðplfr ç hv od plvpd txh od suredelolgdg gh txh qr kd|d xq hohfwuöq + hv ghflu/ gh txh h{lvwd xqd ydfdqwh , hqxq hvwdgr gh hqhujðd ü sru ghedmr gh ç/ d xqd whpshudwxud gdgd W 1

+e, Vxsrqjdprv dkrud txh od ghqvlgdg gh hvwdgrv G+%, ylhqh gdgd sru

G +%, @

;?= ds%ý %j sdud % A %j

3 sdud 3 ? % ? %jesý% sdud % ? 3

| txh sdud W @ 3 wrgrv orv hvwdgrv frq % ? 3 hvwäq rfxsdgrv plhqwudv txh orv ghpäv hvwäq ydfðrv1 Dkrud/ sdudW A 3/ dojxqrv hvwdgrv frq % A 3 hvwduäq rfxsdgrv plhqwudv txh dojxqrv hvwdgrv frq % ? 3 hvwduäq ydfðrv +vhkdeuäq fuhdgr kxhfrv hq hvwrv hvwdgrv frq % ? 3,1 Ghprvwudu txh hq hvwd vlwxdflöq/ | vl d @ e/ ho srwhqfldotxðplfr ylhqh gdgr sru

ç @ %j@5

5

Page 40: Exámenes resueltos UNED

Vroxflöq=+d, Od suredelolgdg gh txh xq hohfwuöq hvwì hq xq qlyho frq hqhujðd % ylhqh gdgd sru od glvwulexflöq gh Ihupl0Gludf

q+%, @4

hñ+%ýç, . 4+4,

gh irupd txh sdud % @ ç.ü whqhprvq+ç.ü, @

ýhñü . 4

üý4+5,

Sru rwud sduwh/ od suredelolgdg gh txh qr kd|d xq hohfwuöq hq xq hvwdgr gh hqhujðd % @ ç ýü ylhqh gdgd sru 4 0suredelolgdg gh txh vð kd|d xq hohfwuöq hq hvh hvwdgr gh hqhujðd/ hv ghflu

4ý q+çýü, @ ýhñü . 4üý4 +6,

txh uhvxowd vhu lghqwlfd d od dqwhulru1e, Fxdqgr W A 3/ dojxqrv hohfwurqhv frq % ? 3 vhuäq h{flwdgrv d qlyhohv frq % A %j +uhfxhughvh txh G+%, @ 3 sdud3 ? % ? %j, | sru or wdqwr vh fuhduäq ydfdqwhv hq hvwdgrv frq % ? 3 dqwhv rfxsdgrv sru orv hohfwurqhv dkrud h{flwdgrv1Ho qýphur gh hohfwurqhv frq % A %j ylhqh gdgr sru

qh @

] 4

%j

d+%ý %j,4@5 4

hñ+%ýç, . 4g% +7,

plhqwudv txh/ sru rwud sduwh/ ho qxphur gh ydfdqwhv sdud % ? 3 vhuä

qy @

] 3

ý4e+ý%,4@5 ^4ý q+%,` g% @

] 3

ý4e+ý%,4@5 4

hý=ñ+%ýç, . 4g% +8,

Frpr qh @ qy |d txh odv ydfdqwhv vh fuhdq srutxh orv hohfwurqhv txh rfxsdedq orv hvwdgrv frq % ? 3 kdq sdvdgr drwurv hvwdgrv h{flwdgrv ghmdqgr ydfdqwhv hq vx oxjdu/ | qrv glfhq txh d @ e/ ljxdodqgr odv grv h{suhvlrqhv dqwhulruhv| rshudqgr +kdflhqgr ho fdpelr gh yduldeoh %ý %j @ { hq od sulphud | ý% @ { hq od vhjxqgd, qrv txhgd

ç @%j5

+9,

txh hv od h{suhvlöq shglgd1

6

Page 41: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

JUNIO 2001 PRIMERA SEMANA

Problema 1. Se considera un gas real formado por N moléculas en un volumen V e interaccionando entre sí medianteun potencial intermolecular

u(r) =

½ ∞ para r < σ− Ars para r > σ

donde σ es la mínima distancia a la que pueden acercarse las moléculas. La densidad del gas, n = N/V se suponepequeña (n¿ 1). En estas condiciones, la ecuación de estado para el gas se puede escribir, en primera aproximación,en función de la densidad como (desarrollo del virial)

P

kT= n+ n2B2 (T )

donde B2 (T ) es el llamado segundo coeÞciente del virial. Se pide:

(a) Para el potencial de interacción dado, demostrar que

limT→∞

B2(T ) =2π

3σ3

(b) Demostrar que para que la ecuación de estado del gas tenga sentido, es decir, que pueda describir el comporta-miento de un gas en las condiciones indicadas, es necesario que en el potencial de interacción se tenga s > 3.

(c) Suponiendo que la temperatura es suÞcientemente alta para que se cumpla βA/rs ¿ 1, calcular explícitamenteB2(T ) y demostrar que la ecuación de estado equivale a la de Van der Waals, indicando cómo se relacionan lasconstantes que aparecen en la mencionada ecuación de Van der Waals con los parámetros que caracterizan elpotencial de interacción.

Solución:(a) La deÞnición del segundo coeÞciente del virial es

B2(T ) = 2π

Z ∞

0

h1− e−βu(r)

ir2dr (1)

Aplicando el potencial intermolecular podemos poner

B2(T ) = 2π

Z σ

0

r2dr + 2π

Z ∞

σ

³1− eβA/rs

´r2dr = (2π/3)σ3 + 2πI (2)

donde, desarrollando la exponencial, se encuentra

I =

Z ∞

σ

³1− eβA/rs

´r2dr = −βA

Z ∞

σ

dr

rs−2+O

¡β2A2

¢(3)

de forma que, cuando T →∞ (β → 0) y suponiendo que las integrales convergen, I → 0, por lo que

limT→∞

B2(T ) =2π

3σ3 (4)

(b) Del apartado anterior tenemos

I = −βAZ ∞

σ

dr

rs−2+ · · ·

por lo que, para que la integral converja y tanto I como B2(T ) tengan sentido físico, se tiene que veriÞcar que s > 3.(c) Como nos dicen que βA/rs ¿ 1 podemos poner

1− eβA/rs ≈ 1−µ1 +

βA

rs

¶= −βA

rs(5)

1

Page 42: Exámenes resueltos UNED

en la ecuación para B2(T ), de forma que

B2(T ) =2πσ3

3− 2πβA

Z ∞

σ

r2−sdr =2πσ3

3

·1− 3A

(s− 3)σskT¸

(6)

que escribimos por conveniencia como

B2(T ) = b0 − a0

kT(7)

donde

b0 =2πσ3

3; a0 =

2πA

(s− 3)σs−3 (8)

La ecuación de estado queda entonces

P

kT= n+

µb0 − a0

kT

¶n2 ⇒ P = nkT + (b0kT − a0)n2 (9)

o bien

P + a0n2 = nkT (1 + b0n) ≈ nkT

1− b0n =kT¡

1n − b0

¢ (10)

donde hemos usado el hecho de que n¿ 1 de forma que

1

1− b0n ≈ 1 + b0n

Por consiguiente

(P + a0n2)µ1

n− b0

¶= kT (11)

que, teniendo en cuenta que n = N/V = νN0/V (ν = número de moles ; N0 = número de Avogadro) y queNkT = νRT , nos queda µ

P +aν2

V 2

¶(V − νb) = νRT (12)

que es la ecuación de Van der Waals, y donde

a = a0N20 =

2πAN20

(s− 3)σs−3 (13)

y

b = b0N0 =2πσ3N03

(14)

expresiones que relacionan las constantes en la ecuación de Van der Waals con los parámetros del potencial intermo-lecular dado.

Problema 2. La molécula de CO2 es una molécula poliatómica lineal con momento de inercia I = 71, 7×10−47 kg m2y cuatro grados de libertad vibracionales correspondientes a las frecuencias (en rad/seg) ω1 = 4, 43 × 1014, ω2 =2, 49× 1014 , ω3 = ω4 = 1, 26× 1014.

(a) Suponiendo que el CO2 permanece en estado gaseoso a todas las temperaturas indicadas, calcular la capacidadcaloríÞca CV , por molécula, cuando la temperatura vale: i) 50 K; ii) 1000 K; iii) 8000 K.

(b) Calcular la entropía de un mol de CO2 a 25 ◦C y 1 atmósfera de presión, suponiendo el gas como ideal ydespreciando la contribución de los grados de libertad vibracionales.

Solución:(a) En primer lugar calculemos las temperaturas caracteristicas de rotación y de vibración

θrot =h̄2

2Ik= 0, 56 K (1)

2

Page 43: Exámenes resueltos UNED

y

θvib(ω) =h̄ω

k(2)

de forma que, como hay cuatro frecuencias, tendremos cuatro temperaturas de vibración (tres porque dos frecuenciasson iguales), es decir θvib(ω1) = 3383, 5 K , θvib(ω2) = 1901, 8 K, y θvib(ω3) = θvib(ω4) = 962, 4 K.En cuanto al calor especíÞco, en general para cada temperatura tendremos

CV = CV,tr + CV,rot + CV,vib(ω1) + CV,vib(ω2) + 2CV,vib(ω3 = ω4) (3)

pero, dependiendo de cada temperatura y su magnitud en relación a θrot y θvib se podrá despreciar algún término ono.i) T = 50 KEn este caso T À θrot y T ¿ θvib, de forma que solo los grados de libertad traslacionales y rotacionales contribuyen,

por lo que

CV = CV,tr + CV,rot =3

2Nk +Nk =

5

2Nk (4)

donde hemos usado el hecho de que la molécula de CO2 es lineal de forma que CV,rot = Nk para T À θrot (recordarque si la molécula no fuera lineal, es decir, si fuera poliatómica en sentido estricto, habría que poner CV,rot = (3/2)Nk).Por lo tanto

CVN

=5

2k = 3, 45× 10−23 JK−1 (5)

ii) T = 1000 KAhora T ' θvib(ω3 = ω4), pero podemos considerar que T ¿ θvib(ω1), θvib(ω2), por lo que, usando el resultado del

apartado anterior para los grados de libertad traslacional y rotacional, y la expresión conocida para el calor especíÞcovibracional, se encuentra

CV = (5/2)Nk + 2Nh̄2ω2

kT 2eh̄ω/kT¡

eh̄ω/kT − 1¢2 (6)

que, dividiendo por N y dando valores conduce a

CVN

= 6, 01× 10−23 JK−1 (7)

iii) T = 8000 KPara esta temperatura podemos considerar que T À θvib para cualquiera de las frecuencias, de forma que

CV = (3/2)Nk +Nk +Nk +Nk + 2Nk =13

2Nk (8)

que lleva a CV /N = 8, 97× 10−23 JK−1.(b) Sólo hay que considerar las contribuciones traslacional y rotacional. Para la primera tenemos

Str = Nk ln

µV

N

¶+3

2Nk ln

µ2πMkT

h2

¶+5

2Nk (9)

donde M es la masa de la molécula de CO2 (M = 7, 31 × 10−26 kg). Para calcular el volumen usamos la ley de losgases ideales PV = NkT , por lo que V/N = kT/P . De esta forma

Str = Nk

·ln

µkT

P

¶+3

2ln

µ2πMkT

h2

¶+5

2

¸(10)

Por otra parte la contribución rotacional es trivial, ya que T = (273 + 25) K= 298 KÀ θrot = 0, 56 K, por lo que

Srot = Nk

·1 + ln

µT

θrot

¶¸(11)

En deÞnitiva, sumando las dos contribuciones y agrupando terminos, se encuentra

S = Str + Srot = Nk

Ãln

"µkT 2

Pθrot

¶µ2πMkT

h2

¶3/2#+7

2

!(12)

que, dando los valores, conduce aS

Nk' 26 (13)

(este valor puede corregirse un poco teniendo en cuenta que para la molécula del CO2, el factor de simetría σ = 2, deforma que en la contribución rotacional a la entropía el término más correcto sería ln(T/σθrot), obteniéndose entoncesun valor S/Nk = 25, 34)

3

Page 44: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

JUNIO 2001 SEGUNDA SEMANA

Problema 1. Se considera un sistema formado por N moléculas (N À 1) con tres niveles de energía para cadamolécula dados por E1 = 0, E2 = ε, E3 = 10ε.

(a) Demostrar que, suponiendo que la temperatura es muy baja, únicamente los niveles 1 y 2 están poblados cuandoT < Tc, donde Tc, la temperatura crítica de población del nivel 3, viene dada por

Tc ≈ 10ε

k lnN

(b) Demostrar que la capacidad caloríÞca por molécula, CV , es proporcional a T−2 para temperaturas muy altas,mientras que para temperaturas muy bajas es proporcional a T−2 e−ε/kT .

Solución:(a) Como nos dicen que hay N moléculas, y llamando Ni (i = 1, 2, 3) al número de moléculas en cada uno de losniveles de energía, podemos escribir N1 +N2 +N3 = N ; N2/N1 = e−βε y N3/N1 = e−10βε, de forma que

N3 =N

1 + e9βε + e10βε(1)

La temperatura crítica de población del nivel 3 es aquella para la que N3 = 1, ya que por debajo de esa temperatura,T < Tc, N3 < 1. Así pues

N

e10εβc (1 + e−εβc + e−10εβc)= 1 (2)

Como la temperatura nos dicen que es muy baja, tenemos βc ≡ 1/kTc À 1, y por tanto se puede despreciar elparéntesis en la expresión anterior, de forma que, despejando Tc

Tc ≈ 10ε

k lnN(3)

(b) La energía media por molécula es

E =ε¡e−βε + 10e−10εβ

¢1 + e−βε + e−10εβ

(4)

y el calor especíÞco se calcula derivando la energía

CV =

µ∂E

∂T

¶V

= −kβ2µ∂E

∂β

¶V

(5)

de forma que

CV = kβ2ε2e−βε + 100e−10βε + 81e−11βε

(1 + e−βε + e−10βε)2(6)

y de aquí es fácil veriÞcar que si kT À ε, CV ≈ T−2, mientras que si kT ¿ ε, entonces CV ≈ T−2 e−ε/kT .

Problema 2. Supongamos un gas de electrones tal que la densidad de estados es constante, D, para energías positivas(ε > 0), y cero para ε < 0. El número total de electrones es N . Se pide:

(a) Calcular la energía de Fermi, µF .

(b) Demostrar que la condición de no degeneración del gas, exp(−βµ)À 1, es equivalente a que µF ¿ kT .

(c) Suponiendo que el gas estuviera muy degenerado, demostrar que la capacidad caloríÞca se puede poner como

CV ≈ 1

3Dπ2k2T

1

Page 45: Exámenes resueltos UNED

(d) Calcular la ecuación de estado del gas en las mismas condiciones que el apartado anterior, expresando el resultadoen función de la temperatura de Fermi TF .

Solución:(a) El número medio de electrones viene dado por

N =

Z ∞

0

D(ε)n(ε) dε = D

Z ∞

0

exp [β(ε− µ)] + 1 (1)

mientras que la energía de Fermi, µF , se calcula de forma que

N =

Z µF

0

D(ε) dε = DµF ⇒ µF = N/D (2)

(b) Si se cumple la condición de no degeneración, exp(−βµ)À 1, se puede despreciar la unidad en el denominador de(1), de forma que

N ≈ DZ ∞

0

e−β(ε−µ) dε = DeβµkT (3)

por lo que, usando (2),N

DkT= eβµ ¿ 1 ⇒ N = µFD¿ DkT ⇒ µF ¿ kT (4)

que es una forma equivalente de expresar, para nuestro modelo particular, la condición de no degeneración.(c) Para resolver este apartado, hay que recordar que, si y À 1, se tiene el siguiente desarrollo asintótico

Fm(y) ≡ 1

m!

Z ∞

0

zm dz

e(z−y) + 1≈ ym+1

(m+ 1)!

·1 +

1

6π2m(m+ 1)

1

y2+O

µ1

y4

¶¸(5)

Si el gas está muy degenerado, la condición es la inversa de la anterior, es decir, exp(−βµ) ¿ 1 ⇒ βµ À 1. Laenergía media del gas se escribe como

E =

Z ∞

0

ε dN(ε) = D

Z ∞

0

ε dε

exp [β(ε− µ)] + 1 (6)

que, haciendo los cambios βε = z ; βµ = y (recordar que ahora y À 1), nos queda E = D (kT )2 F1(y), y como de (5)se deduce que F1(y) ≈ (1/2) y2

£1 +

¡π2/3

¢y−2 + · · ·¤, obtenemos

E ≈µD

2

¶"µ2 +

(πkT )2

3

#⇒ Cv =

∂E∂T ≈ 1

3Dπ2k2T (7)

(d) Para un gas fermiónico se tiene, para cualquier temperatura, PV = (2/3) E, por lo que, usando (7), nos queda

PV ≈µD

3

¶"µ2 +

(πkT )2

3

#(8)

Calculemos ahora el potencial químico. Haciendo de nuevo los cambios βε = z ; βµ = y, la ecuación (1) nos queda

N = DkT

Z ∞

0

dz

ez−y + 1= DkT F0(y) (9)

La integral que aparece en (9) puede calcularse exactamente

F0(y) =

Z ∞

0

dz

eze−y + 1= ln (1 + ey) ≈ ln ey = y

donde hemos usado el hecho de que y À 1 para aproximar el resultado de la integral (observese que este mismoresultado también se deduce de (5) con m = 0). Por lo tanto

N ≈ DkTy = DkTβµ = Dµ ⇒ µ ≈ N/D = µF (10)

que es válido, de nuevo, cuando el gas está muy degenerado, y donde hemos usado la ecuación (2).De esta forma, la ecuación de estado nos queda PV ≈ (D/3) £µ2F + (π2/3) k2T 2¤. Si, Þnalmente, recordamos que

la temperatura de Fermi se deÞne como TF = µF /k, y que N = DµF , escribimos la ecuación de estado en la forma,

PV ≈ 13NkTF

·1 + π2

3

³TTF

´2¸(11)

que es la ecuación de estado pedida, válida para T ¿ TF .

2

Page 46: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

SEPTIEMBRE 2001 ORIGINAL

Problema 1.� Un gas ideal monoatómico de partículas distinguibles, que podemos tratar en el límite clásico, seencuentra encerrado en una caja de volumen V y en contacto con un baño térmico a temperatura T . La caja tieneuna parte (con volumen V0 = V/2) en la que la energía potencial de los átomos es cero, y otra parte (de volumenV1 = V/2) en la que los átomos tienen una energía potencial constante U . Se pide:

(a) Calcular la función de partición del sistema.

(b) Calcular la energía potencial media por átomo.

(c) Demostrar que la capacidad caloríÞca a volumen constante es la misma para T → 0 y para T →∞, y, en amboscasos, independiente del potencial U .

Solución:(a) La función de partición para una partícula viene dada por (recordar que β = 1/kT ),

z1 =1

h3

Zexp

·−β

µp2

2m+Ep

¶¸d3r d3p =

V (2πmkT )3/2

h3

·1

2+1

2e−βU

¸(1)

de forma que, como las partículas son distinguibles, la función de partición total será

Z = zN1 = V Nµ2πmkT

h2

¶3N/2 ·1

2+1

2e−βU

¸N(2)

(b) La energía media será

E = − ∂ lnZ

∂β= N

µ3

2kT +

Ue−βU

1 + e−βU

¶(3)

Como el primer término corresponde a la energía media en ausencia de potencial (energía cinética media), el términorestante es el que corresponde a la energía potencial media que, expresada por partícula, nos queda

ep =EpN=U e−βU

1 + e−βU(4)

(c) La capacidad caloríÞca es

CV =∂E

∂T= Nk

"3

2+(βU)2 e−βU

(1 + e−βU )2

#(5)

que, cuando T → 0 (β →∞) se convierte en

CV ≈ Nk·3

2+ (βU)2 e−βU

¸≈ 3

2Nk (6)

mientras que si T →∞ (β → 0) tenemos

CV ≈ Nk·3

2+(βU)2

4

¸≈ 3

2Nk (7)

es decir, en ambos casos independiente del potencial.

Problema 2.� Se considera un sólido elástico, en el que la densidad de modos normales de vibración viene dadapor g(ω) = A ω2, donde A es una constante característica del sólido, y se supone que existe una frecuencia máximade corte ωm, y que el número total de modos normales es 3N . El sólido es tal que, de todos los niveles de energíacuánticos asociados a los modos normales, sólo el estado fundamental y el primer nivel excitado son importantes. Enestas condiciones, se pide:

1

Page 47: Exámenes resueltos UNED

(a) Demostrar que la energía media del sólido viene dada por

E =9NkΘ

8+ 9NkΘ

µT

Θ

¶4 Z Θ/T

0

x3 (1 + ex)−1

dx

donde Θ = h̄ωm/k es una temperatura característica del sólido.

(b) Calcular la dependencia principal con la temperatura del calor especíÞco CV , cuando la temperatura es muy alta(T À Θ), y cuando la temperatura es muy baja (T ¿ Θ).

(c) ¿Cuál sería el efecto sobre el comportamiento del calor especíÞco al considerar todos los niveles de energía de losposibles modos normales?

Solución:Como nos dicen que hay 3N modos normales, se tieneZ ωm

0

g(ω) dω ≡ 3N = Aω3m/3 ⇒ A =9N

ω3m(1)

(a) Los niveles de energía cuánticos vienen dados por ²n = h̄ω (n + 1/2), con n = 0, 1, 2, · · ·, de forma que si solo losdos primeros niveles (n = 0, 1) son importantes, la función de partición de un oscilador será

Z1 =1X

n=0

exp(−β²n) = e−βh̄ω/2 + e−3βh̄ω/2 = e−βh̄ω/2£1 + e−βh̄ω

¤(2)

Si ahora llamamos e(ω) = −∂ lnZ1/∂β a la energía media de un oscilador, la energía media total del sólido será

E =

Z ωm

0

e(ω)g(ω) dω =9N

ω3m

Z ωm

0

µh̄ω

2+

h̄ω

1 + exp(βh̄ω)

¶ω2 dω

=9Nh̄ωm8

+9Nh̄

ω3m

Z ωm

0

ω3 dω

1 + exp(βh̄ω)(3)

Haciendo ahora los cambios h̄ωm = Θk, y x = βh̄ω, nos queda Þnalmente

E =9NkΘ

8+ 9NkΘ

µT

Θ

¶4 Z Θ/T

0

x3(1 + ex)−1 dx (4)

que es el resultado pedido.(b) Si la temperatura es muy alta (T À Θ), el límite superior de la integral en (4) es muy pequeño, de forma que lax que aparece también se puede suponer pequeña, por lo que podemos poner (recordar que ex ≈ 1 + x+ · · ·)

x3(1 + ex)−1 ≈ x3(2 + x+ · · ·)−1 ≈ x3µ1

2− 14x+ · · ·

¶= x3/2− x4/4 + · · · (5)

y, realizando la integración, la ecuación (4) nos queda, considerando sólo la dependencia principal con la temperatura,

E ≈ 9NkΘ

8+9NkT 4

Θ3

·Θ4

8T 4− Θ5

20T 5

¸=9NkΘ

4− 9NkΘ

2

20T(6)

de forma que el calor especíÞco será

CV =∂E

∂T≈ 9Nk

20

µΘ

T

¶2(7)

(Observese que CV → 0 cuando T →∞).Si ahora la temperatura es muy baja (T ¿ Θ), podemos aproximar el límite superior de integración en (4) por ∞,

y, teniendo en cuenta que (ver una tabla de integrales)R∞0x3(1 + ex)−1 dx = 7π4/120, nos queda

E ≈ 9NkΘ

8+9NkT 4

Θ3

µ7π4

120

¶⇒ CV ≈ 2, 1 Nkπ4

µT

Θ

¶3(8)

(c) Si se hubieran considerado todos los niveles de energía de los modos normales, tendríamos la descripción normal delcalor especíÞco de un sólido en la aproximación de Debye. En este caso el calor especíÞco tiende, para temperaturas

2

Page 48: Exámenes resueltos UNED

muy altas, a una constante, 3Nk, mientras que en nuestro modelo simpliÞcado va a cero, lo que sabemos que esexperimentalmente incorrecto. Por otra parte, el límite de bajas temperaturas coincide, salvo constantes, con elnuestro, ya que ambos dan CV → T 3 cuando T → 0.En conclusión, para bajas temperaturas, cuando los efectos cuánticos son fundamentales, los primeros niveles de

energía son suÞcientes para obtener una descripción cualitativa correcta, mientras que para el límite clásico (altatemperatura), todos los niveles de energía tienen una probabilidad apreciable de estar �ocupados� y son, por lo tanto,importantes para una descripción correcta.

3

Page 49: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

JUNIO 2002 PRIMERA SEMANA

Problema 1. El estudio de las propiedades básicas generales de un gas cuántico ideal se puede hacer, de maneraconjunta para fermiones y bosones, introduciendo un parámetro σ = ±1, de manera que el valor +1 corresponda a losfermiones (estadística FD) y el valor −1 a los bosones (estadística BE). De esta forma, por ejemplo, el número mediode partículas en el estado r se escribiría como nr =

¡z−1eβεr + σ

¢−1, donde z = eβµ es la fugacidad.

(a) Demostrar que, de forma general, la entropía se puede expresar en función del número medio de partículas en elestado r, como

S = −kXr

[nr lnnr + σ (1− σnr) ln (1− σnr)]

(b) Cuando la temperatura es muy alta, T À 1, la entropía se puede escribir como

S = k (zζ + βεzζ − βµzζ)donde ζ es la función de partición canónica de una partícula y ε es la energía media de una partícula. Demostrarque la ecuación anterior conduce a la expresión clásica de la entropía de un gas ideal monoatómico.

(c) Demostrar que, cuando T → 0, la entropía del apartado (a) tiende a cero, es decir,

limT→0

S = 0

(NOTA: en este apartado hay que hacer el estudio por separado para fermiones y para bosones y usar propiedadesgenerales de cada una de las estadísticas; para el caso de los bosones hay que usar la expresión explícita de nr,mientras que para los fermiones no es necesario).

Solución:(a) La entropía se calcula como

S =E − µN − Φ

T(1)

donde

E =Xr

εrnr (2)

N =Xr

nr (3)

con

nr =heβ(εr−µ) + σ

i−1(4)

y el gran potencial es

Φ = −kT lnQ = −σkTXr

lnh1 + σe−β(εr−µ)

i(5)

ya que la gran función de partición se expresa, usando el parámetro σ, como

Q = σXr

lnh1 + σe−β(εr−µ)

i(6)

Por lo tanto, podemos escribir

S = k

(Xr

nr (εr − µ)β + σXr

lnh1 + σe−β(εr−µ)

i)(7)

Pero, a partir de la expresión (4), se tiene

(εr − µ)β = ln (1− σnr)− lnnr (8)

1

Page 50: Exámenes resueltos UNED

y

1 + σe−β(εr−µ) = 1 +σnr

1− σnr =1

1− σnr (9)

De esta forma, se tiene

S = kXr

[nr ln (1− σnr)− nr lnnr − σ ln (1− σnr)]

= −kXr

[nr lnnr + σ (1− σnr) ln (1− σnr)] (10)

que es la expresión que nos pedían.(b) Según se dice en el enunciado, si la temperatura es muy alta se tiene

S = k (zζ + βεzζ − βµzζ) (11)

donde ζ = V/λ3 es la función de partición de una partícula³λ = h/

√2πmkT

´. Además (estamos en el límite clásico,

ya que la temperatura es muy alta) se cumple zζ = N , por lo que

S

k= N (1 + βε− βµ) (12)

Por otra parte, el potencial químico del gas ideal monoatómico es

µ = kT ln

µNλ3

V

¶= −kT ln

·µV

N

¶λ−3

¸(13)

y la energía media por partícula

ε =E

N=3

2kT (14)

de manera que

S = kN

(5

2+ ln

"µ2πmkT

h2

¶3/2µV

N

¶#)(15)

que es el resultado clásico para un gas ideal monoatómico.(c) El principio de exclusión de Pauli hace que el cálculo de la entropía cuando T → 0 sea muy sencillo para el caso delos fermiones, mientras que para los bosones (para los que dicho principio no es aplicable) hay que realizar un cálculoexplícito. Así pues, haremos este apartado por separado para fermiones y bosones.i) FermionesEn este caso σ = 1 y (10) se escribe

S = −kXr

[nr lnnr + (1− nr) ln (1− nr)] (16)

Pero, para T = 0, se tiene que nr = 1 para εr ≤ µ0 y nr = 0 para εr > µ0 (µ0 es la energía de Fermi). Así pues,en cualquier caso, todos los términos de las sumas en la expresión anterior para la entropía se hacen cero en el límiteT → 0, por lo que

limT→0

S = 0 (17)

ii) BosonesAhora σ = −1, y si la temperatura es muy baja, de forma que T < T0 (temperatura de condensación BE), entonces

µ ' 0 y (10) se escribe, explícitamente, como (eliminamos los subíndices en los sumatorios y la energía para aligerarla notación)

S = kX"

ln¡eβε − 1¢eβε − 1 +

eβε

eβε − 1 lnµ

eβε

eβε − 1¶#

= kX ln

£eβε

¡1− e−βε¢¤+ eβε £βε− ln £eβε ¡1− e−βε¢¤¤

eβε − 1= k

X βε+ ln¡1− e−βε¢− eβε ln ¡1− e−βε¢eβε (1− e−βε)

= kX βεe−βε + e−βε ln

¡1− e−βε¢− ln ¡1− e−βε¢(1− e−βε) (18)

2

Page 51: Exámenes resueltos UNED

Pero si T ¿ 1 (β À 1) el factor e−βε es muy pequeño, de forma que, usando ln (1 + x) ≈ x, escribimos

S ' kX βεe−βε + e−βε

¡−e−βε¢+ e−βε1− e−βε

= kXµ

βεe−βε

1− e−βε + e−βε

¶(19)

y, por lo tanto,limβ→∞

S = 0 (20)

que es el resultado pedido.

Problema 2. Para estudiar las propiedades térmicas de un sólido, se supone que está formado por N átomos Þjosen los puntos de la red cristalina, pero que pueden vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio como un osciladorarmónico cuántico. Para tratar de justiÞcar la validez de la aproximación armónica en cuanto a las oscilaciones de losátomos, se propone considerar una teoría en la que los niveles energéticos de cada oscilador están acotados, de formaque el número cuántico n, que determina los niveles de energía, es tal que 0 ≤ n < nm. Suponiendo, para simpliÞcarlos cálculos, que la aproximación de Einstein para las frecuencias de oscilación de los átomos es adecuada, se pide:

(a) Calcular la capacidad caloríÞca del sólido.

(b) A la vista del resultado obtenido y de las propiedades observadas experimentalmente de los sólidos ¿puede consi-derarse correcta esta teoría de los niveles de energía acotados para las vibraciones de los átomos?

(NOTA: recordar la fórmula de la suma de una progresión geométrica con un número Þnito de términosPMa=0 x

a =¡1− xM+1

¢/ (1− x))

Solución:(a) Los niveles de energía del oscilador del problema son

εn =

µ1

2+ n

¶h̄ω (1)

pero con n = 0, 1, 2, · · · , nm − 1, ya que nos dicen que los niveles energéticos están acotados, de manera que n < nm.Por comodidad escribimos

εn = ε0 + nε (2)

con ε0 = h̄ω/2 y ε = h̄ω. De esta forma, la función de partición del oscilador es

ζ =

nm−1Xn=0

e−βεn = e−βε0nm−1Xn=0

e−nβε = e−βε01− e−βεnm1− e−βε (3)

donde hemos usado la expresión de la suma de una progresión geométrica Þnita dada en el enunciado. Obsérvese que,si nm →∞, se obtiene el resultado habitual para un oscilador unidimensional cuántico no acotado.Suponiendo que cada átomo puede vibrar, de forma independiente, en las tres direcciones del espacio y que las

frecuencias de vibración son todas iguales (modelo de Einstein), la función de partición del sólido es

Z = ζ3N =

µe−βε0

1− e−βεnm1− e−βε

¶3N(4)

de manera que, la energía media es

E = −µ∂ lnZ

∂β

¶V

= −3Nµ∂ ln ζ

∂β

¶V

= 3N

µε0 +

ε

eβε − 1 −εnm

eβεnm − 1¶

(5)

que, de nuevo, se convierte en la expresión conocida de la energía media en el modelo de Einstein, cuando nm →∞.

3

Page 52: Exámenes resueltos UNED

La capacidad caloríÞca se calcula ahora de la manera habitual

CV =

µ∂E

∂T

¶V

= 3Nkβ2 (h̄ω)2

"eβh̄ω

(eβh̄ω − 1)2 −n2me

nmβh̄ω

(enmβh̄ω − 1)2#

(6)

(b) Cuando la temperatura es muy baja, los primeros niveles de energía son los que contribuyen a las propiedadesdel sistema, mientras que, para temperaturas muy altas, todos los niveles son importantes. Por lo tanto, la posibleincorrección de esta teoría se manifestará, fundamentalmente, en el límite de temperaturas altas.Para temperaturas muy bajas, β À 1, tenemos

CV ' 3Nk"µh̄ω

kT

¶2e−βh̄ω −

µnmh̄ω

kT

¶2e−nmβh̄ω

#(7)

Si kT ¿ nmh̄ω el segundo término de (7) es despreciable frente al primero, y nos queda

CV ' 3Nkµh̄ω

kT

¶2e−h̄ω/kT (8)

que coincide con el resultado de la teoría de Einstein en este límite de temperaturas bajas.Por el contrario, para temperaturas muy altas, β ¿ 1, usamos ex − 1 ' x y podemos poner

CV ' 3Nkβ2 (h̄ω)2

"eβh̄ω

(βh̄ω)2 −

n2menmβh̄ω

n2m (βh̄ω)2

#= 3Nk

¡eβh̄ω − enmβh̄ω¢ (9)

de manera quelimβ→0

CV = 0 (10)

que no coincide con el resultado experimental de que CV → 3Nk para altas temperaturas (ley de Dulong y Petit).Por lo tanto, como razonábamos al comienzo de este apartado, esta teoría de los niveles acotados no es correcta paraaltas temperaturas.

4

Page 53: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

JUNIO 2002 SEGUNDA SEMANA

Problema 1. En un laboratorio se midió la capacidad caloríÞca molar (capacidad caloríÞca por mol), bCV (T ), delhelio líquido (4He), para dos temperaturas distintas, obteniéndose los valoresbCV (0, 1 K) = 9, 40× 10−5 Jmol−1K−1bCV (0, 5 K) = 11, 76× 10−3 Jmol−1K−1

Se sabe que los átomos de 4He tienen espín nulo y una masa m = 6, 64× 10−24 g, y que, además, la densidad del 4Hees, aproximadamente, ρ = 0, 146 g cm−3. Para tratar de explicar el origen de la capacidad caloríÞca molar medida, sepropusieron dos teorías:

(a) Considerar el 4He líquido como un gas ideal de fonones, es decir, como si fuera un �sólido elástico�, pero en elque (por ser realmente un líquido) solo se pueden producir ondas longitudinales, cuya velocidad de propagaciónpuede medirse y vale cl = 2, 39× 104 cm s−1.

(b) Considerar el 4He líquido como un simple gas ideal que satisface la estadística de Bose-Einstein.

¿Cuál de las dos teorías predice valores para la capacidad caloríÞca molar que concuerdan mejor con los valoresexperimentales indicados al comienzo del problema? ¿Qué explicación física se le ocurre para justiÞcar la respuestadada a la pregunta anterior?(Datos numéricos: h̄ = 1, 054× 10−34 J s; k = 1, 38× 10−23 J K−1; R = 8, 314 J mol−1 K−1)

Solución:(a) En primer lugar, la densidad de partículas para el 4He es

ρN =N

V=ρ

m=

0, 146 g/cm3

6, 64× 10−24 g = 2, 2× 1022 átomos/cm3 (1)

Utilizamos ahora los resultados de la teoría de Debye, pero considerando que únicamente tenemos ondas longitudinales.Así, tenemos que la densidad de estados es

D (ω) dω =V

2π2c3lω2dω (2)

lo que conduce a una frecuencia máxima (frecuencia de Debye)Z ωm

0

dωD (ω) = 3N ⇒ ωm = cl¡18π2ρN

¢1/3(3)

y, por lo tanto, a una temperatura de Debye

θD =h̄ωmk

=h̄cl¡18π2ρN

¢1/3k

(4)

Dando los valores obtenemos θD = 28, 7 K, de forma que los valores de la temperatura que nos interesan son tales queT ¿ θD. Por lo tanto, la capacidad caloríÞca será

CV =12π4

5Nk

µT

θD

¶3=12π4

5νR

µT

θD

¶3(5)

donde ν es el número de moles. Así, la capacidad caloríÞca molar será

bCV = CVν=12π4R

5θ3DT 3 = 8, 22× 10−2 T 3 (6)

Por lo tanto bCV (0, 1 K) = 8, 22× 10−5 J mol−1 K−1 (7)bCV (0, 5 K) = 10, 28× 10−3 J mol−1 K−1 (8)

1

Page 54: Exámenes resueltos UNED

(b) Suponemos ahora que el 4He es un gas ideal de bosones. La temperatura de condensación Bose-Einstein esT0 = 3, 13 K, de forma que las temperaturas que nos interesan están por debajo de esta temperatura de condensación.Así, la capacidad caloríÞca vendrá dada por

CV = 1, 925Nk

µT

T0

¶3/2= 1, 925 νR

µT

T0

¶3/2(9)

de manera que bCV = CVν=1, 925R

T3/20

T 3/2 = 2, 89T 3/2 (10)

y, por lo tanto bCV (0, 1 K) = 9, 14× 10−2 J mol−1 K−1 (11)bCV (0, 5 K) = 1, 02 J mol−1 K−1 (12)

A la vista de los resultados de los apartados (a) y (b) y de su comparación con los datos experimentales indicados en elenunciado, se concluye que la teoría del �sólido elástico� concuerda mucho mejor con los resultados experimentales. Laexplicación física más evidente al resultado anterior es que las propiedades térmicas del helio líquido, para temperaturasmuy bajas, dependen fuertemente de la interacción entre los átomos, por lo que no puede considerarse como un gasideal cuántico.

Problema 2. Los niveles energéticos de una partícula cuántica, de masa m, que solo puede moverse en una dimensióny cuyo movimiento está conÞnado dentro de un segmento de longitud L, vienen dados por la expresión

εn =h̄2π2

2mL2n2

donde el número cuántico n puede tomar los valores n = 1, 2, 3, . . .. Consideremos ahora un sistema formado porN partículas como la descrita anteriormente y que no interaccionan entre sí (es decir, tenemos un gas ideal en unadimensión). DeÞniendo una temperatura característica de traslación θ = h̄2π2/2mL2k, y suponiendo que la densidaddel gas es pequeña, de forma que podemos describir el sistema, para cualquier temperatura, por medio de la distribuciónde Maxwell-Boltzmann canónica, se pide:

(a) Demostrar que, cuando la temperatura es muy baja, de forma que T ¿ θ, la capacidad caloríÞca del gas se puedeescribir, de forma aproximada, como

CL ' 9Nkµθ

T

¶2e−3θ/T + · · ·

donde los puntos indican términos de orden superior en la exponencial y, por lo tanto, despreciables en este caso.(NOTA: en esta situación de temperaturas muy bajas, la función de partición no se puede calcular exactamente)

(b) Para el mismo caso anterior de temperaturas muy bajas, demostrar que la presión y la energía media estánrelacionadas por la ecuación

p =2E

L

(c) En el límite opuesto de temperatura muy alta, T À θ, calcular la función de partición del sistema y la ecuaciónde estado del mismo.

Solución:(a) DeÞniendo la temperatura característica de traslación como

θ =h̄2π2

2mL2k(1)

la función de partición de una partícula es

ζ (L, T ) =∞Xn=1

e−βεn =∞Xn=1

e−n2βkθ

= e−βkθ¡1 + e−3βkθ + e−8βkθ + · · ·¢ (2)

2

Page 55: Exámenes resueltos UNED

En general, la suma anterior no puede calcularse explícitamente. Sin embargo, para T ¿ θ, es decir, βkθ À 1, essuÞciente quedarse con los primeros términos del desarrollo. Así, en este límite de temperaturas muy bajas, podemosponer

ln ζ = −βkθ + ln ¡1 + e−3βkθ + · · ·¢≈ −βkθ + e−3βkθ + · · · (3)

La función de partición del sistema es Z (N,L, T ) = ζN/N !, por lo que

lnZ (N,L, T ) ≈ N ln ζ (L, T ) +N lnN −N (4)

y ahora se puede calcular la energía media

E = −µ∂ lnZ

∂β

¶L

= −Nµ∂ ln ζ

∂β

¶L

= Nkθ¡1 + 3e−3βkθ + · · ·¢ (5)

y la capacidad caloríÞca

CV =

µ∂E

∂T

¶L

= −kβ2µ∂E

∂β

¶L

= 9Nk

µθ

T

¶2e−3θ/T + · · · (6)

(b) La presión media viene dada por

p = kT

µ∂ lnZ

∂L

¶T

= NkT

µ∂ ln ζ

∂L

¶T

(7)

Recordando que ln ζ depende de L a través de la dependencia de θ expresada en la ecuación (1) y operando, obtenemos

p = NkT2θ

LT

¡1 + 3e−3βkθ + · · ·¢ = µ 2

L

¶Nkθ

¡1 + 3e−3βkθ + · · ·¢ = 2E

L(8)

que es lo que queríamos demostrar.(c) En el límite de altas temperaturas, T À θ, cada uno de los términos en la suma (2) es del mismo orden y podemossustituir la suma por una integral. Así,

ζ =

Z ∞

0

exp

µ− h̄2π2n2

2mL2kT

¶dn = L

µmkT

2πh̄2

¶1/2=

µπT

¶1/2(9)

y, de aquí,

Z =ζN

N !=LN

N !

µmkT

2πh̄2

¶N/2(10)

por lo que

p = NkT

µ∂ ln ζ

∂L

¶T

=NkT

L(11)

E = −Nµ∂ ln ζ

∂β

¶L

=1

2NkT (12)

CV =

µ∂E

∂T

¶L

=1

2Nk (13)

que, como era de esperar, son las expresiones que corresponden a un gas ideal clásico unidimensional.

3

Page 56: Exámenes resueltos UNED

MECÁNICA ESTADÍSTICA ( 4◦ curso. C.C. FÍSICAS )

SEPTIEMBRE 2002 ORIGINAL

Problema 1.� Se considera un gas ideal de partículas monoatómicas en un volumen V y en equilibrio a una tempe-ratura T . El gas está formado por N partículas de masa m. Cada partícula tiene dos niveles internos electrónicos:uno con energía 0 y degeneración g0, y el otro con energía ε y degeneración g1. Se pide:

(a) Calcular la función de Helmholtz del sistema.

(b) Calcular la energía media del sistema.

(c) Calcular la ecuación de estado del sistema.

Solución:(a) En primer lugar calculemos la función de partición

ZT =1

N !ζN (1)

donde ζ = ζtrζint es la función de partición de una partícula, producto de la función de partición traslacional y de lacorrespondiente a los grados de libertad internos. El factor traslacional es bien conocido y vale ζtr = V (2πmkT/h

2)3/2,mientras que para los grados internos electrónicos es

ζint =1Xi=0

gie−βεi = g0 + g1e−βε (2)

de forma que

ZT =V N

N !

µ2πmkT

h2

¶3N/2 ¡g0 + g1e

−βε¢N (3)

es la función de partición del sistema total.La función de Helmholtz viene dada por F = −kT lnZT , por lo que, usando (3) y aplicando la aproximación de

Stirling lnN ! ≈ N lnN −N , se encuentra Þnalmente

F ≈ −NkT·ln

µV

N

¶− 32lnβ +

3

2ln

µ2πm

h2

¶+ ln

¡g0 + g1e

−βε¢+ 1¸ (4)

(b) La energía media se calcula como

E = −µ∂ lnZT∂β

¶=3

2NkT +Ng1ε

e−βε

g0 + g1e−βε(5)

(c) La ecuación de estado se obtiene a partir de la función de partición

p =1

β

µ∂ lnZT∂V

¶=NkT

V⇒ pV = NkT (6)

que es la ecuación de los gases ideales (lo que por otra parte resulta obvio ya que nos lo dicen en el enunciado).

Problema 2.� Consideremos un sistema formado por N átomos de masa m, localizados en posiciones Þjas. Losátomos no interaccionan entre sí, pero pueden realizar oscilaciones armónicas alrededor de sus posiciones de equilibrio.El Hamiltoniano del sistema es

H =NXi=1

p2i2m

+NXi=1

1

2κ¯̄̄ri − r(0)i

¯̄̄2donde κ es la constante de recuperación y r(0)i es la posición de equilibrio del oscilador i-ésimo. Se pide:

(a) Suponiendo que los osciladores son cuánticos, calcular la función de partición del sistema.

1

Page 57: Exámenes resueltos UNED

(b) Supongamos ahora que los átomos obedecen las leyes de la mecánica clásica. Calcular la función de partición delsistema para este caso.

(c) Demostrar que los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores son iguales en el límite de altas tempe-raturas. En ese mismo límite, ¿serán también iguales las funciones de Helmholtz cuántica y clásica? ¿Y lasentropías?

Solución:(a) Recordando que N átomos oscilantes, sin interacción entre sí, son equivalentes a 3N osciladores unidimensionales,la función de partición total será

ZT = (ζ)3N (1)

donde ζ es la función de partición de un oscilador unidimensional dada por

ζ =∞Xn=0

exp[−(n+ 1/2)βh̄ω] = e−βh̄ω/2

1− e−βh̄ω (2)

y, por lo tanto

ZT =

·e−βh̄ω/2

1− e−βh̄ω¸3N

=heβh̄ω/2 − e−βh̄ω/2

i−3N(3)

(b) En el caso clásico, la función de partición viene dada por

ZT = h−3N

Z Ze−βH(r,p)dNrdNp (4)

teniendo en cuenta de nuevo la equivalencia con osciladores unidimensionales podemos poner

ZT = h−3N

·Z ∞

−∞e−βk(x−x0)

2/2dx

¸3N ·Z ∞

−∞e−βp

2/2mdp

¸3N(5)

realizando el cálculo de las integrales, se obtiene Þnalmente

ZT = (βh̄ω)−3N (6)

(c) Para altas temperaturas, tenemos que β → 0 y

e±βh̄ω/2 ≈ 1± βh̄ω2

(7)

de donde

ZcuánticaT ≈·µ1 +

βh̄ω

2

¶−µ1− βh̄ω

2

¶¸−3N= (βh̄ω)−3N = ZclásicaT (8)

obviamente, una vez demostrado que en el límite de altas temperaturas las funciones de partición cuántica y clásicacoinciden, todas las magnitudes que se calculan a partir de ellas también serán iguales en el mismo límite, de formaque, tanto la función de Helmholtz como la entropía lo serán.

Problema 3.� Consideremos un gas de fermiones con espín 1/2. Se puede demostrar que, para temperaturas muybajas con respecto a la temperatura de Fermi, es decir, para T ¿ TF , y para cualquier función arbitraria φ(ε) continua,diferenciable en ε = µ y de variación suÞcientemente lenta, se puede escribirZ ∞

0

φ(ε) dε

exp£ε−µkT

¤+ 1

=

Z µ

0

φ(ε) dε +π2

6(kT )2

dφ(µ)

Usar este resultado para:

(a) Demostrar que, a primer orden signiÞcativo en T/TF , de manera que el potencial químico no diÞera mucho de laenergía de Fermi µ0, se puede escribir

µ ≈ µ0

"1− π

2

12

µT

TF

¶2#

2

Page 58: Exámenes resueltos UNED

(b) Demostrar que, también a primer orden signiÞcativo en T/TF , la energía interna del gas puede escribirse como

E ≈ constante + Nπ2

4µ0

µT

TF

¶2

Solución:(a) El número medio total de fermiones viene dado por la ecuación

N = 2πgV

µ2m

h2

¶3/2 Z ∞

0

ε1/2dε

exp[(ε− µ)/kT ] + 1 (1)

por lo que podemos utilizar la fórmula dada en el enunciado con φ(ε) = ε1/2. Realizando los cálculos obtenemos

N = 2πgV

µ2m

h2

¶3/22

3µ3/2

·1 +

(πkT )2

8µ2

¸(2)

Despejando ahora µ3/2 y teniendo en cuenta que g = 2 para partículas con spin 1/2, se tiene

µ3/2 =3N

8πV

µh2

2m

¶3/2 "1 +

π2

8

µkT

µ

¶2#−1(3)

Observese que en la ecuación anterior aparece µ en los dos miembros, por lo que tenemos una ecuación trascendenteque no puede resolverse exactamente. Para encontrar una aproximación, que sea válida para temperaturas muy bajas,usamos el hecho de que a estas temperaturas muy bajas el potencial químico varía poco con la temperatura, de formaque ponemos µ = µ0 en el segundo miembro y obtenemos

µ ≈ µ0"1 +

π2

8

µkT

µ0

¶2#−2/3(4)

donde hemos usado la deÞnición µ0 = (h2/2m)(3N/8πV )2/3. Finalmente, poniendo µ0 = kTF y usando la aproxima-

ción (1 + x)−2/3 ≈ 1− (2/3)x encontramos

µ ≈ µ0

"1− π

2

12

µT

TF

¶2#(5)

(b) La energía se calcula mediante la fórmula

E =

Z ∞

0

εdN(ε) (6)

Usando la expresión (1) para N , vemos que podemos utilizar la expresión indicada en el enunciado del problema conφ(ε) = ε3/2, de forma que

E =8πV

5

µ2m

h2

¶3/2µ5/2

·1 +

5π2

8

(kT )2

µ2

¸(7)

Usando ahora el resultado del apartado (a) y la aproximación (1 + x)a ≈ 1 + ax tenemos

µ5/2 ≈ µ5/20

"1− 5π

2

24

µT

TF

¶2#y

µ−2 ≈ µ−20"1 +

π2

6

µT

TF

¶2#de forma que sustituyendo en la ecuación para E, operando y reteniendo únicamente hasta términos en (T/TF )2, yusando de nuevo la deÞnición de µ0 llegamos a

E ≈ constante + Nπ2

4µ0

µT

TF

¶2(8)

donde constante = (3/5)Nµ0 = E0 es la energía del gas completamente degenerado (T = 0K).

3