estatica de fluidos fic 2013 i
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ESTATICA DE FLUIDOS
PRESENTADO POR
OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIA
DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS
UNASAM- HUARAZ-PERÚ
© 2014
I. OBJETIVOS:Al finalizar la unidad el alumno está
en las condiciones de
• Entender el concepto de distribuciones de presiones
hidrostáticas.
• Usar la ley fundamental de la hidrostática en la
medición de presiones mediante el uso de
manómetros
• Determinar fuerzas hidrostáticas sobre superficies
sumergidas y los centros de presiones
Determinar las fuerzas de flotación y sus
correspondientes puntos de aplicación
II. INTRODUCCIÓN
Gases Líquidos Estatica Dinámica
Air, He, Ar,
N2, etc.
Agua, aceites,
alcoholes, etc.
0 iF
Viscoso/ sin viscocidad
Estable/inestable
Compressible
Incompresible
0 iF
Laminar
Turbulento
← Flujos
Compresibilidad ViscosidadPresión
de vapor
Densidad
PresiónreBuoyantezEstabilidad
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
Capitulo II.
Estatica de fluidos
Dinámica de fluidos
Tensión
superficial
Mecanica de fluidos
III. DEFINICIÓN DE FLUIDOUn fluido es la sustancia que cambia su forma
continuamente siempre que esté sometido a un esfuerzo
cortante, sin importar que tan pequeño sea.
Estados de la materiaLa materia puede existir en cuatro estados:
SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA
Cada uno de estos estados depende de la fuerza de
cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo
SOLIDOS Tienen volumen y forma
definida.
Sus moléculas tienen
ubicaciones específicas
debido a fuerzas eléctricas
Vibran alrededor de sus posiciones
de equilibrio.
Pueden ser modeladas como esferas
rígidas unidas por resortes
SOLIDOS Cuando se aplica fuerzas
externas al sólido, éste puede
estirarse o comprimirse. En el
modelo de resortes, estos se
estiran o comprimen
Si se suprime la fuerza el
sólido recupera su forma original:
esta propiedad se concoce como
elasticidad
SOLIDO CRISTALINO
1. Los átomos dentro del
cristal tienen una
estrucctura ordenada
2. En la figura se presenta
el cloruro de sodio,
Las esferas grises son los iones
sodio y las verdes el ion cloro
SOLIDOS AMORFOS
1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente
como se muestra en la figura
Entre otros se tiene a los vidrios.
LIQUIDOS
1. Tienen volumen
definido pero no tienen
forma definida
Las fuerza intermoleculaleres no son suficientes
para mantener las moléculas en posiciones fijas
2. Existen a temperaturas
mayores que los
sólidos
2. Las moléculas se
mueven aleatoriamente
dentro del líquido
PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS
1. Propiedades hidrostáticas:
a) Presión
b) Tensión superficial
c) Boyantez
2. Propiedades hidrodinámicas:
a) Viscocidad
b) Flujo y transporte
GASES
1. No tienen volumen ni forma definida
2. Las moleculas de un gas se encuentran en
continuo movimiento
3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas
muy débiles
4. La distancia promedio entre sus moléculas es
mucho mayor que el tamaño de las moleculas
PLASMA1. Materia caliente a muy alta temperatura
2. Muchos de los electrones en estas sustancias se
encuentran libres de sus átomos
3. Esto da como resultado una gran cantidad de
iones libres electricamente cargados
4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas
PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS
Una propiedad es una carácterística de una sustancia , lacual es invariante cuando está en un estado particular
Las propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cuales
dependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energia
momentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales son
independientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico,
densidad, energía especifica, etc
La propiedades intensivas son los valores de las propiedadesque se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico,gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión devapor, compresibilidad
DENSIDADLa densidad , de una sustancia es una medida de la
concentración de la materia, y se expresa como la masa
por unidad de volumen
Matemáticamente se expresa
*
, , , limV V
mx y z t
V
, , ,
dmx y z t
dV
Para cuerpos homogéneos m
V
La densidad es función de la presión y de la temperatura
y su unidad SI es el kg/m3
Densidad de algunas sustancias
Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103
Hielo 0,917 Agua 1,00
Aluminio 2,7 Glicerina 1,26
Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806
Cobre 8,92 Benceno 0,879
Plata 10,5 Aire 1,29
Plomo 11,3 Oxigeno 1,43
Oro 19,3
Platino 21,4
PESO ESPECÍFICOEl peso específico , es la fuerza debido a la gravedad
sobre la masa contenida en la unidad de volumen de una
sustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen.
Matematicamente se expresa
Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el
sistema británico. Por otro lado, debido a que
w = mg = ρVg, la ecuación del peso específico puede
escribirse
W
V
mgg
V
GRAVEDAD ESPECIFICAEs una cantidad que permite comparar la
densidad de unas sustancia con la del agua si el
fluido es un líquido y con la del aire si es un gas
Matematicamente se expresa
Debido a que la densidad es función de la presión y
la temperatura, para los valores precisos de la
gravedad específica debe expresarse la presión y la
temperatura
susr
w
PRESIÓNLa presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una
magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una
fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial
implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una
manifestación normal a la superficie.
Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro
de una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la
superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es , en
donde , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza
que ejercerá el fluido sobre ΔA es . Entonces la presión no es más
sino la fuerza por unidad de área, esto es:
Fp
A
0
limA
Fp
A
dFp
dA
A An
nF
Módulo de elasticidad volumétrico (Ev)
Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la
aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se
almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos
se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas
convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica
se define mediante el módulo de elasticidad volumétrico,
cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un embolo
al que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura
1
V
dpE
dVV
Viscosidad (µ)Cuando se observa el movimiento de fluidos se
distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero
es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que
las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras
en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento
es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del
movimiento de las partículas observándose remolinos de
varios tamaños.
Para determinar la viscosidad consideremos el flujo
laminar de un fluido real que está confinado a moverse
entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la
figura
Viscosidad (µ)
• Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia laderecha. El esfuerzo cortante será
• La rapidez de deformación será
0limA
F dF
A dA
0rapidez de deformación lim
t
d
t dt
Viscosidad (µ)
• Por otro lado de la figura se observa además que ladistancia Δl entre los puntos M y M’ es
• Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarsecomo
l v t
l y
Viscosidad (µ)
• Igualando estas ecuaciones
• Llevando al límite se tiene
vv t y
t y
d dv
dt dy
Viscosidad (µ)
• Para fluidos newtonianos
• En donde μ es la constante de proporcionalidad y se lellama “coeficiente de viscosidad dinámica”
• En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistemac.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamadacomo poise
d dv
dt dy
Viscosidad (µ)• La viscosidad no depende en gran medida de la presión.
Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquidodisminuye con un aumento en la temperatura mientras queen un gas ocurre lo contrario. La explicación de estastendencias es la siguiente: en un líquido las moléculastienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivasgrandes presentes entre moléculas.
• Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entremoléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decirun descenso en la viscosidad. En un gas las moléculastienen una alta movilidad y generalmente están separadasexistiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculasinteractúan chocando unas con otras dando lugar a unadisminución en la viscosidad.
ESTATICA DE FLUIDOS• Un fluido se considera estático si todas sus partículas
permanecen en reposo o tienen la misma velocidadconstante con respecto a una distancia de referenciainercial. En esta sección se analizará la presión y susvariaciones a través del fluido así como se estudiará lasfuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.
Presión en un punto • Para determinar la presión en un punto interior a un fluido
consideremos un elemento de fluido en forma de cuñacomo se muestra en la figura.
Presión en un punto • Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones
mostradas y teniendo en cuenta que 𝐹 = 𝑝𝐴, resulta
1 14 52 2
0
0
xF
p dydz p dydz
1 3
0
0
yF
p dxdz p dxds sen
2 3
0
cos 0
zF
p dxdy p dx ds dW
5 4p p 1 3p p
12 3 2
p p dz
Presión en un punto • Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación de
presión en dirección horizontal, mientras que la últimaecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de lapresión dicha variación depende de la densidad del fluido, dela aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sinembargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuaciónse escribe
• Por tanto
2 3p p
1 2 3p p p
Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la
hidrostática• Las variaciones de presión en una determinada dirección se
obtienen estudiando las variaciones que la presión experimentaa lo largo de una dirección horizontal y vertical.
Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la
hidrostática
• Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, secumple.
0
0
x
xx x
F
pp dydz p dx dydz
x
0
0
y
y
y y
F
pp dxdz p dy dxdz
y
0
0
z
zz z
F
pp dxdy p dz dxdy dW
z
0
x
px
0
y
p y
gz
pz
Variación de la presión en un fluido incomprensible
• La presión experimenta variaciones en la dirección vertical.
• La presión depende de la densidad ρ así como de la
aceleración de la gravedad g y ésta varía con la alturaentonces afectará a la presión. Sin embargo, parapropósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleraciónde la gravedad como una constante, de otro lado como setrata de un fluido incompresible la densidad es constanteentonces
zpg
z
constantezdpg
dz
Variación de la presión en un fluido incomprensible
• Para el sistema de referencia mostrado la variación de presiónde un fluido incompresibles es
Variación de la presión en un fluido incomprensible
A partir de este resultado, se observa que un incremento enla elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución enla presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las presiones en lospuntos z1 y z2, respectivamente,
Por otro lado, si el recipiente está abierto en la partesuperior como se ve en la Figura , la presión a cualquierprofundidad h = z1 – z2 es
2 2
1 1
p z
zp z
dp g dz 2 1 2 1p p g z z
0p p gh
Variación de la presión en un fluido incomprensible
• La presión ejercida por el aire es constante
• La presión ejercida por el líquido varía con laprofundidad
Variación de la presión con la profundidad
La presión en un fluido en reposo es independientede la forma del recipiente que lo contiene.
La presión es la misma en todos los puntos de unplano horizontal en un fluido dado
Principio de Pascal.• Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad,
cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir acualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vezpor Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece:
“Un cambio en la presión aplicada a un fluidoencerrado en un depósito se transmite íntegramentea cualquier punto del fluido y a las paredes delrecipiente que l contiene”
Principio de Pascal. Prensa hidraulica• Una de las aplicaciones más importantes del principio de
Pascal es la prensa hidráulica
1 2 2 21 2
1 2 1 1
F F F AP P
A A F A
Variación de la presión para fluidos compresiblesGases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal
forma que debe considerarse la variación de la densidad
Note: γ = ρg , no es constante y gdz
dp
Ley de gases ideales Asi RT
p
R Constante universal de
gases
T es la temperatura
ρ es la densidadEntonces,
Para condiciones isotérmicas, T es constante, To:
Presión absoluta y manométrica
El Barómetro• Fue inventado por Torricelli
• Permite medir la presiónatmosférica local.
• Consta de un tubo largo de vidriocerrado por un extremo y abiertopor el otro y una cubeta conmercurio
,
0
atm vapor Hg Hg
Hg
atm Hg
p p h
h
p h
El Barómetro
El manómetro Los manómetros son
dispositivos que sirven paramedir la diferencia depresión.
Uno de ellos es elmanómetro en U
2 3
1 1 0 2 1
0 2 2 1 1
, 2 2 1 1
A
A
A man
p p
p h p h
p p h h
p h h
El manómetro diferencialEn el manómetro mostrado en la figura. Determinela diferencia de presiones entre A y B
EJEMPLO 01Un tanque cerrado contiene aire comprimido y aceite(GE = 0,90) como se muestra en la figura. Un tubomanométrico que usa mercurio (GE = 13,6) es conectado altanque como se muestra. Para las alturas en las columnasℎ1 = 36 𝑝𝑢𝑙; ℎ2 = 6 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑦 ℎ3 = 9𝑝𝑢𝑙𝑔 . Determine la lectura
del manómetro instalado en el tanque
EJEMPLO 02Un tanque cilíndrico cerrado llenado con agua tiene un domohemisférico y está conectado a un sistema de tuberíasinvertido como se muestra en la figura. Si el manómetro en Aindica 60 kPa. Determine la presión en el tanque B y (b) lapresión en el punto C inmediatamente debajo del domohemisférico
EJEMPLO 03Si la presión atmosférica local es 14,2 psi. Determinela presión absoluta en la tubería de gas natural.
EJEMPLO 04Una tanque de gasolina está conectado a un manómetro depresión a través de un manómetro doble-U, como se muestraen la figura. Si la lectura del manómetro es 370 kPa.Determine la presión en el manómetro de la línea de lagasolina
EJEMPLO 05Calcule la diferencia de presiones entre los centros de lostanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededordel eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanquesserán necesarios para mantener inalterables las posiciones delos fluidos?
EJEMPLO 06¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos Ay B de los tanques?
EJEMPLO 07Determine la presión del aire en el recipiente de laizquierda, si la cota del líquido manométrico en eltubo en A es 32,5 m
EJEMPLO 08Los fluidos del manómetro invertido de la figura seencuentran a 𝟐𝟎°𝑪. Si 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 = 𝟗𝟕𝒌𝑷𝒂. ¿Cuál es laaltura H en centímetros
EJEMPLO 09La presión del punto A de la figura es de 25 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2.Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es lapresión del aire a la cual se encuentra la cámaracerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891
EJEMPLO 10Para el sistema de manómetros mostrados en lafigura, determine la lectura h del manómetro en U
EJEMPLO 11Los dos tanques de agua son conectados a través deun manómetro de mercurio mediante tubosinclinados, como se muestra en la figura. Si ladiferencia de presiones entre los dos tanques es 20kPa. Determine las cantidades a y
EJEMPLO 12La diferencia de presiones entre el tanque de aceite yel tanque de agua es medido por el manómetromostrado en la figura. Para las alturas y densidadesrelativas de los fluidos. Determine ∆𝑃 = 𝑝𝐵 − 𝑝𝐴
EJEMPLO 13La presión del agua que fluye a través de la tuberíaes medida por el manómetro mostrado en la figura.Con los datos consignados determine la presión en latubería.
EJEMPLO 14Los compartimentos B y C en la figura se encuentranllenos de aire, el barómetro lee 26 cm de mercuriocuando los manómetros leen «x» y 25 cm,respectivamente. ¿Cuál será el valor de x
EJEMPLO 14En la figura mostrada el tanque A contiene gasolina(SG = 0,70), el tanque B contiene aceite (SG = 0,9), y elfluido manométrico es mercurio. Determine la nueva lecturadiferencial si la presión en el tanque A decrece 25 kPa, y lapresión en el tanque B permanece constante. La lectura delmanómetro diferencial es 0,30 m como se muestra.
EJEMPLO 15La presión manométrica del aire en la parte superior deltanque mostrado en la figura es 10,7 kPa y la densidad (ρs)del fluido manométrico de una de las ramas en U esdesconocida. Determinar ρs para las deflexiones indicadas.Considere que la densidad relativa del Heptano es 0,681 y delMercurio es 13,6
EJEMPLO 15
FUERZAS HIDROSTÁTICAS Una válvula de una compuerta de una presa seencuentra sometida a presiones distribuidas como semuestra en la figura
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida
Consideremos la superficie sumergida
mostrada en la figura
La fuerza hidrostática sobre dA será
dF pdAk
La fuerza hidrostática resultante
será
R
A
F pdAk
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida
Teniendo en cuenta la
variación de la presión con
la profundidad
Debido a que todos los
puntos de la superficie
están, a la misma
profundidad
0R
A
F p gh dAk
0R
A
F p gh dAk
0RF p gh Ak
Fuerza hidrostática:CENTRO DE PRESIONES
El centro de presiones se determina aplicando el teorema
de momentos
El momento de la fuerza
resultante con respecto a los ejes
x ó y es igual al momento del
conjunto de fuerzas distribuidas
respecto al mismo eje x ó y. Es
decir
C R
A
x F xpdA
C R
A
y F ypdA
Fuerza hidrostática:CENTRO DE PRESIONES
Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión
a una profundidad h, tenemos
0 0C
A
x p gh A x p gh dA 1
C
A
x xdAA
Cx x
0 0C
A
y p gh y p gh dA 1
C
A
y ydAA
Cy y
Esta ecuaciones indican que la
fuerza hidrostática esta dirigida
hacia abajo y esta aplicada en el
centroide de la región
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida
Considere la superficie
inclinada un ángulo
Para encontrar la fuerza
resultante se divide a la
superficie en elementos
de área dA.
Debido a que el fluido
esta en reposo no existe
esfuerzos cortantes,
entonces la fuerza FR
actuará
perpendicularmente a
dA. Esto es
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida
• En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida
• En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida
La fuerza hidrostática será
dF pdAk
Teniendo en cuenta que la
presión a una profundidad h
es 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
0 0dF p gh dAk
De la figura se tiene además
que ℎ = 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃, entonces
0 0dF p gysen dAk
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida
La fuerza resultante será
Teniendo en cuenta la definición
de centroide
R 0
R 0
ˆF ρgysen dA
ˆ ˆ F Ak ydA
A
A
p k
p gsen k
CGA
ydA y A
0ˆ ( ) R CGF p A gsen y A k
De la figura se observa CG CGh y sen
0ˆ ( ) R CGF p gh Ak
La magnitud de la fuerza
hidrostática será R CGF p A
Centro de presiones
El punro de aaplicación de la fuerza
resultante se determina aplicando el
principio de momentos
Momento respecto al eje x
Donde 𝑰𝒙𝒙 = 𝒚𝟐𝒅𝑨 es el momento de inercia de área, respecto al
eje x
0
0
2
0
0
( )
( )
CP R
CP R CG xx
y F ydF y p h dA
y p y sen dA
p ydA sen y dA
y F p y A sen I
Centro de presiones
Utilizando el teorema de los ejes
paralelos
Entonces se tiene
2
,xx G x CGI I y A
2
0 ,
0 ,
0 ,
,
( )
( )
( )
CP CG CG G x CG
CG CG G x
CG CG G x
CP CG CG CG G x
y p A p y A sen I y A
p sen y y A sen I
p h y A sen I
y p A p y A sen I
,G x
CP CG
CG
sen Iy y
p A
Centro de presiones
Momento respecto al eje y
Donde 𝑰𝒙𝒚 = 𝒙𝒚𝒅𝑨 es el
producto de inercia del área.
Utilizando el teorema de Steiner se
tiene
0
0
0
0
( )
( )
CP R
CP R CG xy
x F xdF x p h dA
x p y sen dA
p xdA sen xydA
x F p x A sen I
,xy G xy CG CGI I x y A
Centro de presiones
Entonces se tiene
0 ,
0 ,
0 ,
,
( )
( )
( )
CP CG CG G xy CPG CG
CG CG G xy
CG CG G x
CP CG CG CG G xy
x p A p x A sen I x y A
p sen y x A sen I
p h x A sen I
x p A p x A sen I
,G xy
CP CG
CG
sen Ix x
p A
FUERZA RESULTANTE
La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre unasuperficie plana de una placa completamente sumergida enun fluido homogéneo es igual al producto de la presión en elcentro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dichaplaca y está actuando en el centro de presiones
Propiedades geométricas de regiones conocidas
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical: Prisma de presiones
Consideremos una superficie vertical de altura ℎ y ancho 𝑏como se muestra en la figura.
La fuerza hidrostática resultante es
( )( )2
R CG CG
hF p A h A bh
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prismade presiones
1
2RF Volumen del prisma de presiones h bh
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
Su punto de aplicación será390 ( /12)
( / 2)( ) 2 6
2
3
CP CG
CP
sen bh h hy y
h bh
y h
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre(compuerta) como se muestra en la figura
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de
presiones más la cuña de presiones
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
La fuerza resultante se obtiene
sumando el paralelepípedo de
presiones más la cuña de presiones
1,( ) 2,( )
1 2 1( ) ( )
R paralelipipedo prisma
R ABDE BCD
R
F V V
F F F
F h A h h A
La localización de la fuerza
resultante se obtiene tomando
momentos. Es decir
Donde
MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS
El momento de inercia delárea alrededor del eje x, es
El momento de inercia delárea alrededor del eje y, es
• El productor de inercia
Teorema de los ejes paralelos
• El momento del area conrespecto a ejes paralelosse expresa en la forma
EJEMPLO 01
La placa AB de 3 m por 4 m deun depósito al aire esbasculante en torno a su bordeinferior y se mantiene enposición mediante una barradelgada BC. Sabiendo que va allenarse de glicerina, cuyadensidad es 1263 kg/m3.Determinar la fuerza T en labarra y las reacciones en labisagra A cuando el depósitose llena hasta una profundidadd = 2,9 m.
EJEMPLO 02La compuerta de 6 m deancho mostrada en lafigura se mantiene en laposición mostrada en lafigura mediante unmomento M aplicado ensentido antihorario. Halle elvalor de dicho momentopara mantener cerrada lacompuerta
EJEMPLO 03La placa rectangular AB,mostrada en sección verticaltiene 4 m de altura por 6 m deanchura(normal al plano de lafigura) y bloquea el extremo deun depósito de agua de 3 m deprofundidad. La placa seencuentra articulada en A y enel extremo inferior B essostenida por una paredhorizontal. Encuentre la fuerzaen B ejercida por el muro decontención
EJEMPLO 04
La compuerta semicircular AB se encuentraembisagrada en su borde inferior y mantenida enposición vertical gracias a una fuerza horizontal P.¿Cuál es el valor de la fuerza P mínima necesariapara esto
EJEMPLO 5La compuerta rígida OAB, tiene 3 m de ancho normal al planodel dibujo y se encuentra articulada en O y apoyada en B.Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que elrozamiento de la bisagra es despreciable. Determine lamagnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada lacompuerta.
EJEMPLO 6El tanque de agua mostrado en la figura seencuentra presurizado como se muestra mediante lalectura del manómetro. Determine la fuerzahidrostática por unidad de anchura de la compuerta.
EJEMPLO 07
En la figura se muestra un tanque de agua dulce confondo inclinado. La compuerta rectangular del fondo(normal al plano del dibujo), de 1,6 m por 0,8 m, seencuentra engoznada en A y se abre venciendo lapresión del agua por acción de la tracción P del
cable. Determine la magnitud de la fuerza 𝑃.
EJEMPLO 08La compuerta vertical accionada por el resorte estáengoznada por su borde superior A según un eje horizontal ycierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la
fuerza 𝐹 que debe ejercer el resorte para limitar la
profundidad del agua a una profundidad h =1,8 m.
EJEMPLO 09El eje de la compuerta de 2 m de ancho normalplano del papel fallará con un momento de160 kN.m. Determine el máximo valor de laprofundidad del líquido h. El peso específico dellíquido es 10 kN/m3.
EJEMPLO 10La presa de concreto está diseñada para que su cara ABtenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra.Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa seincrementa debido a la fuerza hidrostática del agua queactúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúaen la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de60 pies. 𝜌𝑤 = 62,4 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒3.
EJEMPLO 12El aire del espacio superior del tanque cerrado esmantenido a una presión de 5,5 kPa sobre laatmosférica- Determine la fuerza resultante ejercidapor el aire y el agua sobre uno de los extremos deltanque
EJEMPLO 13Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada quecierra la compuerta vertical venciendo la presión delagua dulce represada al otro lado. La compuerta esrectangular con una anchura de 2 m perpendicular alplano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m,calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistónde 150 mm del cilindro hidráulico
EJEMPLO 14
Una placa rectangularuniforme AB, representadaen sección, tiene una masade 1600 kg y separa los doscuerpos de agua dulce enun depósito que tiene unaanchura de 3 m (normal alplano de la figura).Determine la tensión T delcable soportante.
EJEMPLO 15En la figura se representa lasección normal de una compuertarectangular AB de dimensiones 4mpor 6m que cierra el paso de uncanal de agua. La masa de lacompuerta es de 8500 kg y estáengoznada en un eje horizontalque pasa por C. Determine: (a)La fuerza ejercida por el aguasobre la compuerta, (b) el puntode aplicación de dicha fuerza y (c)la fuerza vertical P ejercida por lacimentación sobre el borde inferiorA de la compuerta.
EJEMPLO 16Calcular la magnitud, dirección y localización de lafuerza resultante ejercida por los fluidos sobre elextremo del tanque cilíndrico de la figura.
EJEMPLO 17Una placa rectangular,mostrada de perfil en lafigura, tiene una altura de274 cm y una anchura de244 cm (normal al papel) ysepara depósitos de aguadulce y petróleo. El petróleotiene una densidad relativade 0,85. determine la alturah que ha de alcanzar elagua para que sea nula lereacción en B.
EJEMPLO 18Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida paramantener cerrada la cubierta de esta caja. Lacubierta tiene una anchura de 3m de perpendiculara plano del dibujo.
EJEMPLO 19En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza únicaresultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por lapresión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El anchode la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3,(b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.
EJEMPLO 20
En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construyeun dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados alos lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contralos pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción,determine la magnitud y la dirección de la tensión mínimarequerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.
EJEMPLO 21La compuerta AB estásituada al final del canal deagua de 6 ft de ancho y semantiene en la posiciónmostrada en la figuramediante bisagras instaladasa lo largo de su extremosuperior A. Si el piso delcanal no tiene fricción,determine las reacciones enA y B.
EJEMPLO 22
Una compuerta colocada enel extremo de un canal deagua dulce de 1 m deancho fue fabricada contres placas de acerorectangulares de 125 kgcada una. La compuertaestá articulada en A ydescansa sin fricción sobreun apoyo puesto en D. Si d0.75 m, determine lasreacciones en A y D.
EJEMPLO 23Al final de un canal de agua dulce se encuentra unacompuerta en forma de prisma que está sostenida por mediode un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sinfricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localizaa una distancia de h = 4 pulg. por abajo del centro degravedad C de la compuerta. Determine la profundidad delagua d para la cual se abrirá la compuerta.
EJEMPLO 24Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m delargo con un peso de 300 kg se mantiene en su lugarmediante un cable flexible horizontal como se muestraen la Figura. El agua actúa contra la puerta que estáarticulada en el punto A. La fricción de la bisagra esinsignificante. Determine la tensión en el cable
EJEMPLO 25Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene sucentro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, ydescansa sobre un plano con pendiente de 60º.Determine la magnitud, dirección y localización de lafuerza total sobre la compuerta debido al agua.
EJEMPLO 26Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m dealtura tiene su base horizontal y yace en un planoinclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a2,75 m debajo de la superficie libre del agua.Determine la magnitud, dirección y la localización dela fuerza resultante del agua sobre el áreatriangular.
EJEMPLO 27Una compuerta, cuyasección transversal semuestra en la figura,cierra una abertura de 0,6m de ancho por 1,2m dealto. La compuerta eshomogénea y su masa esde 600 kg. Calcular lafuerza P requerida paraabrir la compuerta.
EJEMPLO 28La compuerta AB es una placarectangular de 280 Kgf que tiene 1,5m de altura y 1,1 m de anchura y seutiliza para cerrar el canal de desagüeen la parte inferior de un depósito depetróleo. A consecuencia de lacondensación en el depósito, serecoge agua dulce en la parte inferiordel canal. Calcular el momento Mrespecto del eje del pasador en Bnecesario para cerrar la compuertacontra la acción de las fuerzashidrostáticas del agua y del petróleo,la densidad relativa del petróleo es0,85.
Ejemplo 29
La compuerta rectangularmostrada en la figura tiene1,2 m de ancho y unresorte se encarga demantenerla cerrada.Cuando la compuerta estácerrada la fuerza decompresión sobre el resortevale 15000 N. Determine elvalor de H para que lacompuerta empiece aabrirse.
Ejemplo 30
Una placa plana cierrauna abertura triangularexistente en la paredvertical del depósito quecontiene un líquido dedensidad ρ . La placa estáarticulada en el bordesuperior O del triángulo.Determine la fuerza Prequerida para cerrar lacompuerta venciendo lapresión del líquido.
Ejemplo 31La tapa de la abertura de 20por 30 cm del depósito estároblonada, siendo despreciableslas tensiones iniciales en losroblones. Si el depósito se llenacon mercurio (DR = 13,6) hastael nivel que se indica.Determine: (a) La fuerzaejercida por el mercurio sobrela tapa de la abertura y (b) latensión inducida en cada unode los roblones A y B.
Ejemplo 32
Las caras de un canjilón enforma de V para agua dulce,representado en sección,están articuladas por suintersección común quepasa por O y unidas por uncable y un torniquetecolocados cada 183 cm a lolargo del canjilón. Determinela tensión T que soportacada torniquete.
Ejemplo 33En la figura puede verse lasección de una compuerta ABDque cierra una abertura de 1,5 mde anchura en un calla de aguasalada. Para el nivel del aguaindicado. Determine la fuerza decompresión F del vástago delcilindro hidráulico que mantengauna fuerza de contacto de 3 kNpor metro de anchura decompuerta a lo largo de la líneade contacto que pasa por A. Lacompuerta pesa 17 kN y sucentro de gravedad está en G.
Ejemplo 34
Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y elmomento de esta fuerza respecto del fondo de lacompuerta.
Ejemplo 35
Una compuerta rectangular uniforme de peso W,altura r y longitud b es sostenida por goznes en A.Si el peso específico del fluido es 𝛾, determine el
ángulo θ requerido si la compuerta debe permitirflujo cuando d = r
Ejemplo 35La compuerta ABC de 500 lb depeso, cierra un orificio rectangularde 4 pies de alto por 5 pies deanchura normal al plano del dibujode un canal de agua dulce. Si elcentro de gravedad de lacompuerta se ubica a 1 pie a laizquierda de AC y a 2 pies sobreBC. Determine la reacción en labisagra en A y la reacciónhorizontal que es producida en lacompuerta en C. Para el agua = 62,4 lb/pie3
Problema 36El agua fresca de un canal es retenida por una compuerta ABrectangular plana que tiene una anchura a = 0,6 m (normal alplano del dibujo) y se encuentra articulada en B. El murovertical BD se encuentra fijo. Despreciando el peso de lacompuerta. Determine la fuerza F necesaria para comenzarabrir la compuerta
Problema 36La compuerta mostrada en la figura se encuentraarticulada en el punto H. Si la compuerta tiene unaanchura de 3 m (normal al plano del dibujo) y esutilizada para retener agua dulce (ρ = 1000 kg/m3).Determine la fuerza F aplicada en el extremo A de lacompuerta para mantenerla cerrada.
Problema 36Una compuerta en forma de L abisagrada en O pesa 9000 N ytiene su centro de gravedad G a 0,5 m a la derecha de la caravertical como se muestra en la figura. Si la compuerta tiene 2m de ancho (normal al plano del dibujo). (a) ¿Cuál podría serel valor del contrapeso W para ayudar a mantener lacompuerta en la posición indicada?, (b) ¿Cuál es la magnitud yla dirección de la reacción de la bisagra en O?
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASCuando la placa sumergida es curva, la presión que actúaperpendicularmente, cambia de dirección continuamente. por
tanto la magnitud y punto de aplicación de 𝐹𝑅 se determina
calculando sus componentes horizontal y vertical.
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura,
permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultanteejercida por la superficie AB, F’H y F’V, sobre el fluido, yposteriormente las respetivas e iguales y opuestas FH y FV . Esdecir
'́
'
0x BC H
H BC
F F F
F F
'
'
0y V AC ABC
V AC ABC
F F F W
F F W
debe ser colineal con FBC y
colineal con la resultante de
FAC y WABC
'
HF'
VF
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen las
componentes de las fuerzas resultantes producidas pordistribuciones de presión sobre superficies curvas
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• La componente horizontal
actuando sobre 𝑑𝐴 será
• La fuerza resultante horizontalserá
• Teniendo en cuenta lageometría de la figura
• El punto de aplicación de FH seobtiene aplicando el teoremade momentos
• Es decir
HdF dF sen p sen dA
HF p sen dA
,H yz CG yz proy
A
F zdA z A
2
21
CP H yz
CP yz
H
z F z dA
z z dAF
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASEsto es: La componente horizontal 𝑭𝑯 de la fuerzadebida a las presiones sobre una superficie curva esigual a la fuerza debía a las presiones que se ejerceríasobre la proyección de la superficie curva. El planovertical de proyección es normal a la dirección de lacomponente.
El punto de aplicación de la fuerza horizontal seencuentra en el centro de presiones del áreaproyectada
,H CG yz proyF z A
21CP yz
H
z z dAF
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASLa componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• La componente vertical
actuando sobre 𝑑𝐴 es
• La fuerza resultante verticalserá
• De la geometría de la figura
• Pero 𝑑𝑉 = ℎ(𝑑𝐴𝑥𝑦), entonces
La componente verticaldebida a las presionessobre una superficie curvaes igual al peso del fluidosituado verticalmente porencima de la superficiecurva y extendida hasta lasuperficie libre.
cos cosVdF dF p dA
cosV
A
F p dA
H xy xy
A A
F pdA hdA
VF V
VA
F dV
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• La línea de acción de la componente vertical se determina
igualando los momentos de las componentes diferencialesverticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con elmomento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, estoes
1
CP V
CP
CP
x F xdV
x xdVV
x xdVV
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASEs decir la fuerza vertical pasa por el centroide delvolumen de fluido real o imaginario que se extiendepor encima de la superficie curva hasta la superficielibre real o imaginaria. El punto de aplicación de la fuerzavertical pasa por el centroide del volumen
Ejemplo 01
Calcular las componentes horizontal y vertical de lafuerza hidrostática que se ejerce sobre el panel encuarto de círculo situado en el fondo del depósito deagua mostrado en la figura.
Ejemplo 02
Determine completamente la fuerza hidrostáticaejercida por el agua ( 𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3 ) sobre lacompuerta en forma de cuarto circular de r = 4 𝑚 deradio y ancho 𝑏 = 30 𝑚
Ejemplo 03
La compuerta AB cuarto cilíndrica, mide 10 𝑝𝑖𝑒𝑠 deanchura y está abisagrada en B. Determine la
mínima fuerza 𝐹 necesaria para impedir su apertura.La compuerta es uniforme y pesa 𝑊 = 3000 𝑙𝑏.
Ejemplo 04La compuerta de 2 𝑚 de ancho retiene un líquido de pesoespecífico 𝛾 = 9𝑘𝑁/𝑚3 como se muestra en la figura.
Determine: (a) la fuerza horizontal así como su punto deaplicación; (b) la fuerza vertical ejercida por el fluido si comosu punto de aplicación y (c) el momento M requerido paramantenerla compuerta en dicha posición. Desprecie el pesode la compuerta.
Ejemplo 05La compuerta cuarto circular de 2 𝑚 de anchura, mostrada seencuentra abisagrada en la parte inferior. Determine: (a) lasfuerzas horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la
compuerta, (b) la fuerza 𝑃 necesaria para mantener la
compuerta en dicha posición
Ejemplo 06
Calcule la fuerza P necesaria para mantener lacompuerta de 4 𝑚 de ancho en la posición que semuestra. Desprecie el peso de la compuerta
Ejemplo 07
Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas lacompuerta mostrada en la figura si H = 6 m,R = 2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud
Ejemplo 08La compuerta homogénea mostrada en la figura consiste en uncuarto de cilindro circular de 1 m de radio y es utilizada paramantener el agua a una profundidad de 4 m. Es decir, cuandola profundidad del agua excede los 4 m la compuerta se abrelentamente y por su base comienza a fluir el agua. Determineel peso de la compuerta por unidad de longitud.
Ejemplo 09
Calcule las componentes horizontal y vertical de lafuerza hidrostática sobre la pared semiesférica deradio R = 600 mm del fondo del depósito mostradoen la figura.
Ejemplo 10Un tanque cerrado que tiene un domo hemisférico de 4 𝑝𝑖𝑒𝑠 dediámetro es llenado con agua como se muestra en la figura. Untubo manométrico en U es conectado al tanque como semuestra. Determine la fuerza vertical del agua sobre el domo siel manómetro diferencial lee 7 pies y la presión del aire sobreel extremo del manómetro es 12,6 psi
Ejemplo 11El cilindro de 0,5 m de radio mostrado en la figuratiene una longitud de 3 m. Determine lascomponentes horizontal y vertical de la fuerza queejerce el agua sobre el cilindro.
Ejemplo 12
Determine la fuerza 𝑃 , necesaria para que la
compuerta parabólica mostrada se encuentre enequilibrio. Considere que 𝐻 = 4𝑚y el ancho de lacompuerta es 𝑎 = 4 𝑚.
Ejemplo 13
En la compuerta de la figura que posee una anchuraperpendicular al papel de 1 𝑚. Calcular la resultantey línea de aplicación de las fuerzas horizontales yverticales y el momento que crean en el punto 0.
Ejemplo 14
El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa24500 N y tiene una longitud de 1.5 m, normal aldibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgfdespreciando rozamientos.
Ejemplo 15
Calcular la fuerza Fnecesaria para mantenerla compuerta mostradaen la figura en la posicióncerrada. Considere queR = 60 cm y que lacompuerta tiene unancho de 1,2 m
Ejemplo 16La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tieneuna anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel)y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. Lacompuerta tiene un peso total de 30840 N y está articuladapor su borde superior A. Determine la fuerza mínimanecesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie elgrosor frente a su radio de 275 cm.
Ejemplo 17El costado correspondiente al agua de una presa de hormigóntiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posiciónb del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante delagua contra el frente C de la presa.
Ejemplo 18El apoyo semicónico BC de 1,2 m deradio y 1,8 m de altura, se utilizapara soportar el cuarto de esfera ABde 1,2 m de radio, sobre la cara decorriente arriba de un dique.Determine: (a) La magnitud,dirección y punto de aplicación de lafuerza horizontal hidrostática sobreel cuarto de esfera; (b) La magnitudy dirección de la fuerza verticalhidrostática sobre el cuarto deesfera; (c) La magnitud y lalocalización de las componenteshorizontal y vertical de la fuerzahidrostática ejercida por el aguasobre la superficie semicónica BC
Ejemplo 19La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto decircunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular lascomponentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostáticasobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto deaplicación y el momento que crean en el punto O.
Ejemplo 20
¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dossecciones del tanque están completamente aisladasuna de la otra por el tabique AB?.
Ejemplo 21En la figura se muestra un tanque que se encuentraherméticamente dividido en dos partes que contienen agua yaire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D seencuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúacomo partición EC y se extiende por igual en el agua porencima y en el aceite por debajo, como se muestra en eldiagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidossobre la esfera?.
Ejemplo 22Un tronco está en equilibrio como se muestra en lafigura. Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceitesobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobreel tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre eltronco y (d) El peso específico relativo del tronco si sulongitud es de 4m m y R = 0,6 m.
Ejemplo 23
El agujero que hay en el fondo del depósito de lafigura, está cerrado con un tapón cónico cuyadensidad es 400 𝑘𝑔/𝑚3 . Determine la fuerza Fnecesaria para mantener cerrado el depósito.
Ejemplo 24El depósito cuya sección recta se muestra en la figura, tiene2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine lascomponentes de la fuerza requerida para mantener el cilindrode 1 m de radio en la posición mostrada, despreciando elpeso del mismo.
Ejemplo 25Un taque se encuentra divididoen dos cámaras independientes.La presión del aire actúa enambas secciones. Unmanómetro mide la diferenciaentre éstas presiones. Unaesfera de madera (DR = 0,60)se coloca en la pared tal comose muestra. Determine: (a) Lafuerza vertical sobre la esfera,(b) la magnitud (solamente) dela fuerza horizontal resultantecausada por los fluidos.
Ejemplo 26
El depósito mostrado en lafigura se usa para almacenaraceite (𝑆𝐺 = 0,90). Determinela magnitud de la fuerzaresultante que actúa sobre lasuperficie en forma dehemisferio de 1,40 𝑚 dediámetro
Ejemplo 27¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido portodos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativadel aceite es 0,8.
Ejemplo 28El apoyo semicónico se usa para soportar una torresemicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique.Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentesvertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre elapoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en labase del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua seencuentra a 1,2 m sobre este punto.
Ejemplo 29
Hallar las componentes vertical y horizontal, valor ypunto de aplicación, sobre la compuerta de la figuracuyo perfil responde a la ecuación de una parábolay una longitud perpendicular al papel de 2 m. Ellíquido que retiene la compuerta tiene un pesoespecifico de 𝛾 = 9000 𝑁/𝑚3.
Ejemplo 30La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizadapara retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene laforma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m,está articulada en B y se apoya en A. Determine lasfuerza de reacción en A y B.
Ejemplo 31La figura muestra un depósitoabierto de gasolina que tieneuna anchura de 4 m normal alplano del dibujo. Determine:(a) la magnitud de lascomponentes horizontal yvertical de la fuerza que lagasolina ejerce sobre lasuperficie curva; (b) lamagnitud y dirección de lafuerza resultante ejercida por elfluido sobre la superficie curva
Ejemplo 32El domo hemisférico de la figura tiene un peso de30 𝑘𝑁 , está lleno de agua y remachada al suelomediante seis remaches igualmente espaciados.Determine la fuerza que soporta cada remache paramantener el domo en su posición
Ejemplo 33Dos cascarones hemisféricos son unidos con ocho pernosequidistantes como se muestra en la figuras. El contenedoresférico resultante, el cual pesa 300 lb, es llenado conmercurio ( 𝜌𝑟 = 13,6) y soportado por un cable como se
muestra. Si el contenedor tiene una ventilla en su partesuperior. Determine la fuerza que aparece en cada uno de lospernos
Ejemplo 34
Calcular la magnitud y dirección de la fuerzaresultante del agua sobre el tapón cónico sólido
Ejemplo 35Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene 8m de profundidad. Determine la fuerza hidrostáticaresultante que actúa por metro de longitud a lo largo de lalongitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho
Ejemplo 36
Ejemplo 37Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo defluido estático. Calcule la magnitud de las componenteshorizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluidoejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie mide3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido es agua(Calcular en sistema Ingles consistente.
Ejemplo 38El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremosemiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua.Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultantesobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud ydirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por losfluidos sobre la superficie semiesférica ABC.
Ejemplo 38
1 sup.
1 1. 2 4
32
.
2 3
1
1 1 4 ..
2 4 3
(3 )(5) .(3 )900
2 3
38170,4
V ace sobrela
acei cilindro esfera
acei
V
F V
V V
RR H
F kgf
Ejemplo 38
1 12 2 4
2 3
2 3
2
( ) ( )
1 4( )
2 4 3
(3 )(5) (3 )900 1000
2 3
91891,6
V aceite cilindro w esfera
aceite w
V
F V V
R H R
F kgf
• Fuerza horizontal
2 2
1 . .
1
4(3) (3 )900 5
2 3 2
47417,3 .................(3)
H CG pro acei CG
H
RF p A h
F kg
2 2
. . .
4 4 3 (3 )( ) 900(5) 1000( )3 2 3 2
81617,3 .................................(4)
H CG pro acei acei w
H
R R xF p A h
F kg
Problema N° 39 El agua fresca de un canal es retenida por unacompuerta cilíndrica de radio 𝑟 = 1,5 𝑚 y una anchura𝑎 = 2 𝑚 (normal al plano del papel). La compuerta essoportada por un pasador en B y un cable AC.Despreciando el peso de la compuerta. Determine: (a)la fuerza soportada por el cable y (b) la reacción en B.
Problema N° 40 En la figura se muestra una compuerta con una porción curvautilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3).Cuando el nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerzaejercida por el fluido abre la compuerta y el agua de mar fluyea través de ella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normalal plano del dibujo) y ésta ha sido diseñada para que el niveldel agua de mar no exceda 2 m de profundidad. Determine lalongitud L de la porción recta de la compuerta requerida paraesto.
Problema N°41
El agua en un canal es retenida poruna compuerta de 5 pulg deanchura. La compuerta essoportada por un pasador en B y uncable vertical en A, y el contactoentre la compuerta y la base deldepósito es de rozamientodespreciable. El muro vertical BCestá fijo. Si la compuerta uniformetiene un peso de 50 lb. Determine lafuerza T requerida en el cable paracomenzar a abrir la compuerta.Considere que γagua = 62,4 lb/pie3;g = 32,2 pies/s2
Problema N° 42El agua es retenida en un canal por una compuerta cilíndricade 0,6 m de anchura (normal al dibujo) articulada en B. Si elmuro vertical BD se encuentra fijo y el peso de la compuerta esdespreciable. Determine la fuerza F requerida para iniciar laapertura de la compuerta
Problema N° 43La compuerta AB en forma de sector circular es un sexto de uncirculo de radio R = 6 m y tiene una anchura de 10 m normalal plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud, dirección ylocalización respecto de A de la componente horizontal de lafuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) lamagnitud, la dirección y localización respecto de A de lacomponente vertical de la fuerza hidrostática
•
Problema N° 44En la figura se muestra una compuerta con una porción curvautilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3). Cuandoel nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerza ejercida por elfluido abre la compuerta y el agua de mar fluye a través deella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normal al plano deldibujo) y ésta ha sido diseñada para que el nivel del agua noexceda 2 m de profundidad. Determine la longitud L de laporción recta de la compuerta requerida para esto.
Problema N° 45La compuerta BC en forma de arco circular que subtiene unángulo de 60° tiene 4 m de anchura (normal al plano del papel,es utilizada para almacenar el cuerpo de agua mostrado en lafigura. Determine: (a) la magnitud, dirección y punto deaplicación de la componente horizontal de la fuerza hidrostáticaque el agua ejerce sobre la compuerta y (b) la magnitud ydirección de la fuerza hidrostática vertical.
Problema N° 46La compuerta ABC es un arco circular, a veces llamadacompuerta Tainter, que se puede subir o bajar mediante unaarticulación en O como se muestra en la figura. Para laposición mostrada determine: (a) la fuerza hidrostática ejercidapor el agua sobre la compuerta, (b) la línea de acción de lafuerza resultante. ¿Pasa esta fuerza por O?
LEY DE ARQUÍMEDES
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓNCuando un cuerpo se encuentra total o parcialmentesumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendenteque actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación.
La causa de esta fuerza es la diferencia de presionesexistentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyesde boyantez o empuje se enuncian:
1° Un cuerpo sumergido en un fluidoexperimenta una fuerza de flotación(empuje) verticalmente hacia arriba igualal peso de fluido que desaloja.
2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen defluido equivalente a su propio peso.
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓNPara demostrar la primera de éstas leyes consideremos uncuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestraen la Figura
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓNLa fuerza de flotación o empuje sobre el cuerpo sumergido esla diferencia entre la componente vertical debida a la presiónsobre la parte inferior AMB y la componente vertical de lafuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Estoes
Pero 𝑑𝑉 = ℎ 𝑑𝐴, entonces
'
0 2 0 1
2 1
'
( ) ( )
( )
B V V
B
dF dF dF
p dA pdA
p h dA p h dA
h h dA
dF hdA
BdF dV B sumergV
F dV V
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓNPara encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación setoma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un ejeconveniente y se iguala al momento de la resultante conrespecto al mismo eje, esto es
C B
V
VC
V
y F ydV
ydV
ydV
La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a
través del centroide del volumen de fluido desplazado.
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal
como se muestra en la figura, la fuerza de flotación vieneexpresada en la forma
• Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que elpeso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje , portanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluidoequivalente a su propio peso
B desplazadoF V f SW gV
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓNPor otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie deseparación de dos fluidos inmiscibles como se muestra en lafigura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical desección recta dA, es
2 1
1 2 2 1 1
2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
( )
( ) ( )
( )
( )
B
B
B
B
dF p p dA
H h H h dA
dF h h dA
F h h dA
F V V
Para ubicar la fuerza de
flotación se toma momentos
respecto a un eje
convenientemente elegido
esto es 1 1 1 2 2 2C By F y dV y dV
ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS
La estabildad rotacional de un cuerpo sumergidodepende de la ubicación del centro de gravedad G yel centro de flotación B.
– Cuando G se encuentra debajo de B: Estable
– Cuando G se encuentra sobre B: Inestable
– Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.
ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOSSin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede serestable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura a.Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluidodesplazado se mueve a un nuevo punto B’, que se muestra en la figura b.Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momentorestaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la alturametacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto deintersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza deflotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, elcuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo esinestable.
Ejemplo 01¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga paraque flote como se muestra en la figura?.Considere que la barcaza tiene 6 m de ancho.
Ejemplo 02Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 esforzada dentro del agua mediante una fuerza de150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál esla profundidad d ?.
Ejemplo 03El tapón circular de 0,25 mde diámetro y 0,025 m deespesor tiene un pesoespecífico de 76 kN/m3.Calcular el diámetro D de laesfera de peso despreciablepara que la válvula se abracuando el agua tenga 1,5m de profundidad.Considere que el peso delcable es despreciable.
Ejemplo 04El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3 mcuya densidad es 400 kg/m3 de la figura semantiene en la posición mostrada por la acción de lacuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θcuando ℎ = 0,90 𝑚, (b) El valor mínimo de ℎparaque θ sea 90º.
Ejemplo 05El cuerpo homogéneo Ade la figura es un conocircular recto (ρ =640kg/m3). El cuerpo B(ρ = 2400kg/m3) se fija aA mediante un alambre.Si los cuerpos están enequilibrio en la posiciónmostrada. Determinar:(a) El volumen del bloqueB, (b) La resultante de lafuerza que el fluidoejerce sobre la superficielateral del cono
Ejemplo 06Los cuerpos A y B de la figura sondos cilindros sólidos y homogéneos,la sección transversal de cadacilindro es 0,09 m2. Las densidadesde los cilindros A y B son de 1800 y2600 kg/m3, respectivamente. Unresorte de tensión (uno que sóloactúa a tensión) interconecta a Acon el fondo del tanque. En la figurase representa al resorte sindeformar. Calcule la posición de lasuperficie del cilindro A conrespecto a la superficiecorrespondiente del cilindro Bcuando el módulo de elasticidad delresorte es 900 N/m.
Ejemplo 07Los dos bloques prismáticos Ay B de la figura son de madera(ρm= 600 kg/m3). Las áreas delas secciones transversales son0,045 m2 para A y 0,108 m2
para B. La barra CD seconstruyó con la mismamadera y el área de su seccióntransversal es 0,018 m2.Calcular la distancia que elbloque B debe subir o hundirsepara que el sistema recobre suconfiguración de equilibrio.
Ejemplo 08La cáscara de acero semicilíndrica con los extremoscerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa mdel lastre de plomo que debe colocarse en la cáscarapara que ésta sobresalga del agua la mitad de suradio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg/m3.
Ejemplo 09Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones de0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m por0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en lafigura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flotaen agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flotenivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa yla superficie del agua.
Ejemplo 10La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantieneen posición horizontal por el ancla de concreto (24kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puedetener el ancla de concreto.
Ejemplo 11• Una baliza de canal consta de un
cilindro de acero hueco de 300mm de diámetro y 90 kg demasa, que se ancla en el fondocon un cable como se indica. Conla marea alta, h = 0,6 m.Determine la tensión T en elcable. Hallar así mismo el valorde h cuando el cable se afloja albajar la marea. La densidad delagua marina es de 1030 kg/m3.Supóngase que la baliza estálastrada para que se mantengaen una posición vertical.
Ejemplo 12Un cilindro de masa 𝑚 y 1 m de diámetro es conectado a unacompuerta de 2 m de anchura (normal al plano del dibujo)como se muestra en la figura. La compuerta se abre cuandoel nivel del agua h es inferior a los 2,5 m. Despreciando elpeso de la polea y el rozamiento. Determine la masa que serequiere para el cilindro.
Ejemplo 13En la figura mostrada, la esfera boyante de radio R unida elextremo de la compuerta AB mediante un cable de pesodespreciable atado en B. Si la compuerta cuadrada AB se abrecuando el agua alcanza el punto medio de la esfera boyante.Determine: (a) la fuerza hidrostática sobre la compuerta, (b)el radio R de la esfera boyante necesaria para abrir lacompuerta y (c) La reacción en la articulación A. Desprecie el
peso de la esfera y de la compuerta.
Ejemplo 14Un tanque cilíndrico de paredesdelgadas cerrado por un extremotiene 1 m de diámetro y 90 kg demasa. El extremo abierto del tanquese sumerge en agua y se mantiene enla posición mostrada mediante unbloque de acero de densidad 7840kg/m3. Suponiendo que el aireatrapado en el depósito escomprimido a temperatura constante.Determine: (a) la lectura delmanómetro de presión colocado en laparte superior del tanque y (b) elvolumen del bloque de acero
Ejemplo 15La placa de peso despreciable cierra un hueco de 1 𝑝𝑖𝑒 de diámetrode un tanque que contiene aire y agua como se muestra en lafigura, un bloque de concreto (𝛾 = 150 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒3) y que tiene unvolumen de 1,5 𝑝𝑖𝑒3 es suspendido de la placa y se encuentrasumergido completamente en agua. Conforme la presión del aire esincrementada, la lectura diferencial ∆ℎ en el tubo manométrico demercurio inclinado, se incrementa. Determine la lectura ∆ℎdinamómetro antes de que la placa se abra. El peso del aire tieneun efecto despreciable sobre la lectura del manómetro.
Ejemplo 16Un cilindro de 2 m de longitud y 1 m de diámetro, flota en untanque abierto el cual contiene un líquido de peso específicoγ. Un tubo manométrico es conectado al tanque como semuestra en la figura. Cuando la presión en el tanque A es 0,1psi por debajo de la presión atmosférica , los niveles de losfluidos son los mostrados. Determine el peso del cilindro.
Ejemplo 16
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS• Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal
como se muestra, sometido a una aceleración uniformehorizontal.
• En la figura se observa que después de ser sometido a dichaaceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma quese mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora.
•
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
• Para determinar la variación de presión en direcciónvertical se considera el DCL de una porción de fluidoen forma vertical y se aplica la segunda ley deNewton.
2 1
2 1
2 1
2 1
(0)
( )
y yF ma
dF dF dW m
p dA p dA gdV
p p dA ghdA
p p gh
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
• Para determinar la variación de presión en la direcciónhorizontal, se considera el DCL en la posición horizontal talcomo se muestra en la figura, y se aplica la segunda leyde Newton, esto es
TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS
• La aplicación de la ley de Newton nos da
• Simplificando se tiene
1 2
0 1 0 1
( )
y y
x
x
F ma
dF dF dm a
p gh dA p gh dA L dA a
1 2
1 2
( )
( )
x
x
x
g h h L a
ah h
L g
atg
g
TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo unfluido, en dirección vertical con una aceleración 𝑎𝑦. La figura,
muestra en este caso la superficie libre permanece horizontaldurante el movimiento. Es decir la presión en planoshorizontales permanece constante, pero en dirección verticalno,
TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical setiene
2 1
2 1
2 1
2 1
( )
( ) ( )
( )
( )
y y
y
y
y
y
F ma
dF dF dm a
p p dA gdV dV a
p p dA ghdA h dA a
p p h g a
Esta ecuación indica que la
presión varía con la
profundidad y con la
aceleración del depósito
TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene
En el caso de que el tanque se
suelta desde el reposo, es decir
tiene un movimiento de caída libre
2 1
1 2
1 2
2 1
( )
( )
( )
( )
y y
y
y
y
y
F ma
dF dF dW dm a
p p dA gdV dVa
p p dA ghdA hdAa
p p h g a
2 1
2 1
( )p p h g g
p p
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
Consideremos un depósito que contiene un fluido dedensida ρ el cual se hace rotar alrededor de su ejecomo se muestra en la figura
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDASDel DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presiónen la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es
2 1 0
( ) ( )( )
z z
z
z
F ma
dF dF dW
ppdA p dz dA g dz dA
z
pg
z
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDASAnalizando el movimiento en dirección normal se tiene
En la dirección azimutal
' '
2 1
2
2
( )
( ) ( )( )
n n
n
rr r
r
F ma
dF dF dm a
pp dr dA p dA dr dA r
r
pr
z
0p
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS• La variación total de la presión será
• Integrando indefinidamente
• La constante C esta dada por
2
r zpp p
dp dr dz dr z
dp rdr gdz
2
2 2
2
dp rdr gdz
rp gz C
0 0
0 0
p gz C
C p gz
Remplazando C
se obtiene2 2
0 0( )2
rp p g z z
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDASLa forma que adopta la superficie libre del fluido se obtienehaciendo 𝑝 = 𝑝0 debido a que en la superficie libre la presiónes 𝑝0 , entonces tenemos
2
0 0 0
2 2
0
( )2
2
rp p g z z
rZ Z
g
Esta ecuación indica que la superficie
libre es un paraboloide de revolución
Cuando existe una superficie libre en el recipiente
que está girando el volumen que ocupa el fluido
que está debajo de la superficie libre del
paraboloide de revolución tiene que ser igual al
volumen de fluido que tenía cuando estaba en
reposo.
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDASEn el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje,la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared delcilindro es según la ecuación
2 2
02
Rh
g
Por otro lado, debido a que el volumen
del paraboloide de revolución es igual
a la mitad del volumen del cilindro
circunscrito, el volumen del líquido
por encima del plano horizontal es,
2 2 4 221
( )( )2 2 4
R RV R
g g
EJEMPLO 01Un depósito rectangular de 8 m de longitud, 3 m deprofundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m deagua. Si está sometido a una aceleración horizontalen la dirección de su longitud de 2,45 𝑚/𝑠2 . (a)Calcular la fuerza total sobre cada uno de losextremos del depósito debido a la acción del agua y(b) demostrar que la diferencia entre estas fuerza esigual a la fuerza no equilibrada, necesaria paraacelerar la masa líquida
EJEMPLO 02
Si el depósito del problema anterior se llena deagua y se acelera en la dirección de su longitud conuna aceleración de 1,52 𝑚/𝑠2. ¿Cuántos litros deagua se verterán del depósito?
EJEMPLO 03Un recipiente que contiene agua se aceleraparalelamente y hacia arriba de un plano inclinado30° con respecto a la horizontal con una aceleraciónde 3,66 𝑚/𝑠2. ¿Qué ángulo formará la superficie librecon la horizontal?.
EJEMPLO 04Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite dedensidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerzaque actúa sobre uno de los lados del depósitocuando: (a) se somete a una aceleración vertical ydirigida hacia arriba de 4,9 𝑚/𝑠2 y (b) cuando laaceleración de 4,9 𝑚/𝑠2 es vertical y dirigida haciaabajo.
EJEMPLO 05
Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua.Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N endirección horizontal tal como se muestra en la figura.¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre delagua alcanza una orientación fija con respecto altanque?.
EJEMPLO 06Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de ladopesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a laacción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela auno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes deldepósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene lafuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad esmayor?.
EJEMPLO 06El tanque rectangular cerrado mostrado en la figuratiene 1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho,está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y lapresión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éstetanque cuando se le acelera horizontalmente según ladirección de su longitud, a 4,5 m/s2. Considere que ladensidad de la gasolina es 680 kg/m3.
EJEMPLO 07Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a de0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la paredizquierda AB cuando se alcanza una configuración estable delagua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5pies.
EJEMPLO 08Un depósito cilíndricoabierto de 2 m de altura y0,5 m de radio, contiene1,5 m de agua. Si elcilindro gira alrededor desu eje geométrico. (a)¿Qué velocidad angular sepuede alcanzar sin que sederrame nada de agua?.(b) ¿Cuál es la presión enel fondo del depósito en Cy en D cuando la velocidadangular es = 6 rad/s?.
EJEMPLO 09Considere que el depósitodel problema 08 seencuentra cerrado y que elaire en la parte superiordel cilindro es de1,9 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Cuando se
hace girar al cilindro a unavelocidad angular de 12rad/s. ¿Cuáles son laspresiones, en los puntosC y D de la figura?
EJEMPLO 10
Un depósito cilíndricoabierto de 1,2 m dediámetro y 1,8 m deprofundidad se llena conagua y se le hace girar a60 RPM. (a) ¿Qué volumende líquido se derrama?¿cuál es la profundidad enel eje? Y ¿Cuál es lapresión en la parte inferiordel eje en el centro de labase del tanque?
EJEMPLO 11Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m dediámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m.Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en elespacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en laintersección de la pared y el fondo del tanque cuando este sehace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.