estatica

Temario de la asignatura de Estática

I Introducción 1.1 Vectores1.2 Sistemas de Fuerzas

1.2.1 Concepto de fuerza1.2.2 Descomposición de fuerzas en 2D y 3D1.2.3 Sistemas de fuerzas concurrentes

II Equilibrio de la partícula2.1. Condiciones para el equilibrio de partículas2.2. Diagrama de cuerpo libre2.3. Ecuaciones de equilibrio2.4. Resultante de sistemas de Fuerzas

III Equilibrio de cuerpos rígidos3.1. Condiciones de equilibrio de cuerpos rígidos

3.1.1. Fuerzas internas y externas3.1.2. Principio de transmisibilidad

3.2. Diagrama de cuerpo libre3.3. Ecuaciones de equilibrio

3.3.1. Ecuaciones de equilibrio para diferentes sistemas de fuerzas3.3.2. Momento de una fuerza respecto a un punto3.3.3. Momento de una fuerza con respecto a un eje3.3.4. Sistemas equivalentes

3.4. Restricciones de un cuerpo rígidoIV Estructuras simples

4.1. Vigas4.2. Armaduras

4.2.1. Método de nudos4.2.2. Método de secciones

4.3. MecanismosV Fuerzas distribuidas

5.1. Centros de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo5.1.1. Primer momento de líneas y áreas5.1.2. Centroides de líneas y áreas

5.1.2.1. Por integración5.1.2.2. De áreas compuestas

5.2. Cuerpos compuestos5.3. Resultante de un sistema de fuerzas distribuidas5.4. Cables

VI Momentos de inercia 6.1. Definición6.2. Teorema del eje paralelo a un área6.3. Radio de giro de una área6.4. Momento de inercia de una área por integración6.5. Momento de inercia de áreas compuestas6.6. Producto de inercia de una área.

VII Fricción 7.1 Fenómeno de fricción7.2 Fricción seca7.3 Plano inclinado

Índice

Temario de la asignatura de Estática.................................................................................Índice..................................................................................................................................Forma de calificación del curso.........................................................................................UNIDAD I - INTRODUCCIÓN........................................................................................

1.1Vectores..........................................................................................................Elementos de un vector..........................................................................Tipos de vectores...................................................................................Representación gráfica..........................................................................Notación................................................................................................

1.2 Sistemas de Fuerza........................................................................................1.2.1 Concepto de fuerza.......................................................................

Tipos de fuerza.........................................................................Representación de una fuerza..................................................

1.2.2 Descomposición de fuerzas..........................................................Descomposición de fuerzas en 2D...........................................Descomposición de fuerzas en 3D...........................................

1.2.3 Sistemas de fuerzas concurrentes.................................................UNIDAD II – EQUILIBRIO DE LA PÁRTICULA.........................................................

2.1 Condiciones para el equilibrio de partículas................................................2.2 Diagrama de cuerpo libre...............................................................................2.3 Ecuaciones de equilibrio................................................................................2.4 Resultante de sistemas de fuerzas..................................................................

Métodos para calcular la resultante de un sistema de fuerzas en 2D... .I. Traslado de vectores (Método del paralelogramo)...............II. Descomposición de fuerzas.................................................

Resultante de sistemas en 3D................................................................

ANEXOS...........................................................................................................................A-I Sistema Internacional de Unidades...............................................................A-II Alfabeto Griego............................................................................................A-III Leyes de Newton........................................................................................A-IV Leyes y formulas trigonométricas..............................................................

Forma de calificación del curso

El 100% de la calificación se desglosa como sigue:

Ya que el curso se compone de 7 unidades, cada una de ellas cuenta con un valor máximo de calificación total.

Unidad Valor en %I 5II 10III 20IV 10V 10VI 5VII 5

De lograr contestar acertadamente todas las evaluaciones en su primera fase se obtendrá hasta un 65% de la calificación total, en caso de requerir presentarse en un segunda fase, de obtener resultado positivo se descontaran 2 puntos de la unidad correspondiente.

El 35% restante se lograra de la siguiente forma:

Por participación en el aula se obtendrá hasta un 20% de la calificación total, esto es, pasando al pizarrón, exposición de algún tema, resumen de conceptos teóricos vistos en clases y opciones de participación propuestas por el catedrático.

Presentar apuntes en limpio y completos permitirá obtener otros 10 puntos y el 5 % restante se obtiene dependiendo de la calidad y la complementariedad de dichos apuntes como la incorporación de ejercicios de ejercicios adicionales, textos explicativos, presentación, dibujos, etc. No deberá de venir en hojas sueltas, dichos apuntes se revisaran si se encuentran completos y en limpio. Se prevén 3 revisiones aleatorias durante el curso a 5 alumnos por ocasión revisando al total al final del curso.

Importante

Apuntes completos significa que incluyan y presenten todas y cada una de las notas y ejercicios vistos en clases.

Apuntes en limpio significa que se escriban de nuevo independientemente del tiempo que se tome en clases.

El compromiso de entrega para revisión de apuntes en limpio y completos es insoslayable aún exentando una o varias unidades. La puntualidad, la buena conducta, el esmero, son factores importantes en el desempeño de cualquier esfuerzo, en esta ocasión no será la excepción.

______________________________ ______________________________

Rafael Guadalupe Acosta Tovar Ing. José Luis Cruz OrtizUNIDAD I

INTRODUCCIÓN1.1 Vectores1.2 Sistemas de Fuerzas 1.2.1 Concepto de fuerza 1.2.2 Descomposición de fuerzas en 2D y 3D. 1.2.3 Sistemas de fuerzas concurrentes.

UNIDAD I - INTRODUCCION

1.1 Vectores

Un vector, es una magnitud física caracterizable mediante una dirección, sentido y longitud o módulo. Algunas magnitudes físicas como el tiempo, la temperatura, la masa y otras que se verán en el módulo de Física, las identificamos con un número y una unidad, sin preocuparnos por nada más. Otras, sin embargo, tienen una direccionalidad que no pueden ser descritas por un sólo número. Es decir, necesitamos como mínimo, tres números para determinar esa posición.

Elementos de un vector

Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las tres características mencionadas anteriormente:

Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector. Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector. Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no tienen su extremo inicial u origen fijado en ningún punto en particular. Vectores fijos: tienen su extremo inicial u origen fijado en algún punto en particular. Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos. Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta. Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial u origen. Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno. Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección.

Representación gráfica

Se representa como un segmento de recta con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación

Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que desmontan el origen y el extremo de un vector, los cuales tienen

1.1.1 Elementos de un vector

1.1.2 Notación de un vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

superpuesta una flecha, también se puede señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior.

1.2 Sistemas de fuerza

Con frecuencia varias fuerzas actúan al mismo tiempo sobre un mismo cuerpo. Se llama sistema de fuerzas al conjunto de fuerzas que actúan simultáneamente sobre un mismo cuerpo. Cada una de las fuerzas actuantes recibe el nombre de componente del sistema. Cuando varias fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo, siempre es posible sustituirlas por una única fuerza capaz de producir el mismo efecto. Esa fuerza única que puede sustituir a todas las componentes de un sistema de fuerzas y que produce el mismo efecto, ya que es la suma de todos los vectores, recibe el nombre de resultante1. Se llama fuerza equilibrante la fuerza igual y contraria a la resultante.

1.2.1 Concepto de fuerza

El primer físico en describir el concepto de fuerza fue Arquímedes, aunque sólo lo hizo en términos estáticos. Galileo Galilei le otorgó la definición dinámica, mientras que Isaac Newton fue quien pudo formular en forma matemática la definición moderna de fuerza.

Se llama fuerza a cualquier interacción entre dos o más cuerpos. Suele ser común hablar de la fuerza aplicada sobre un objeto, sin tener en cuenta al otro objeto con el que está interaccionando; en este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo, dirección, o sentido de su velocidad), o bien de deformarlo.

Tipos de fuerzas

Existen dos tipos de fuerzas principales, fuerzas de acción a distancia y fuerzas de contacto

La fuerza a distancia: es la que se produce sin contacto entre los cuerpos que accionan uno sobre otro.Ejemplos: a) La fuerza magnética que ejerce un imán, a distancia sobre un clavo colocado cerca; b) Lafuerza eléctrica que existe entre dos cuerpos cargados de electricidad contraria; c) La fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto o cuerpo.

Ejemplos: un pájaro, un globo, un avión, etc., que se levantan del suelo no escapan a la gravedad; la Tierra continúa ejerciendo sobre ellos, a distancia, una fuerza de atracción, tanto más débil cuanto más se eleva el objeto.

La fuerza por contacto: es la fuerza que un cuerpo aplica a otro en contacto con él Ejemplos: a) la fuerza muscular desarrollada por un hombre o un animal para poner un cuerpo en

movimiento, impedirlo o modificarlo. b) la fuerza elástica resultante de la deformación de un cuerpo elástico, por ejemplo, las

gomas de una honda.

1 La resultante se estudiara a partir de la unidad II

http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido

http://es.wikipedia.org/wiki/Direcci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei

http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes

c) la fuerza por empuje, ejercida por un gas comprimido, el aire o el agua en movimiento (Sobre las velas de un bote, sobre los álabes de una turbina hidráulica, etc.).d) la fuerza por frotamiento que se produce al oprimir un cuerpo sobre otro en movimiento,

por ejemplo, al accionar el freno sobre las ruedas de un vehículo en marcha.e) Tensión, cuando un cuerpo es tirado mediante una cuerda, la cuerda ejerce una tracción

denominada tensión y se designa por T.

Representación de una fuerza

Como es necesario representar una fuerza, existe un acuerdo que señala que la fuerza se debe representar a partir del cuerpo que recibe la acción de dicha fuerza.

El medio grafico que se utiliza para representar una fuerza consiste en una flecha dirigida, es decir un vector.

1.2.2 Descomposición de fuerzas

Al trabajar con las fuerzas, a veces es conveniente saber cuáles son las componentes de una fuerza determinada. En la descomposición de fuerzas, conocemos la resultante y nos interesa conocer sus componentes.

La descomposición de una fuerza en sus componentes se puede hacer sobre cualquier dirección. Sin embargo, lo más frecuente es descomponer una fuerza en direcciones perpendiculares (horizontal y vertical, ejes coordenados). Para ello, se coloca la fuerza dada en el origen de unos ejes coordenados y desde el extremo (flecha) de la fuerza se trazan líneas perpendiculares a los ejes. Las distancias desde el origen hasta los pies de esas perpendiculares nos dan la medida de las componentes horizontal y vertical de la fuerza dada.

1.2.2 Descomposición de fuerzas en 2D

x

y

1.2.1 Representación grafica de una fuerza por medio de un vector

Descomposición de fuerzas en 2D

De acuerdo a la figura 1.2.2 podemos calcular las componentes en x y en y por medio de la trigonometría básica, de modo que:

Por lo tanto:

y

Descomposición de fuerzas en 3D

Como se muestra en la figura 1.2.3 Se sitúa la fuerza en el origen del espacio es decir la intersección de los ejes X, Y y Z, a partir de esto se procede a realizar la descomposición de dicha fuerza:

Si se traza una línea paralela al plano X-Z desde el extremo del vector al eje Y se obtiene un triangulo rectángulo como se muestra en la figura 1.2.4 mediante el cual podemos obtener la componente de la fuerza en dicho eje por el mismo método que en la descomposición en 2D:

Ahora bien, si se hace una proyección del vector sobre el plano X-Z se obtiene otra fuerza componente a la que llamaremos Fh que sería la suma de las componentes en X y en Z como lo muestra la figura 1.2.5:

A partir de esto determinamos:

Por lo cual la fuerza inicial quedaría:

1.2.3 Vector en el origen

1.2.4 Componente en Y

Sustituyendo:

Ahora, nos enfocaremos a encontrar los valores de las componentes en X y en Z desde otro punto de estudio, éste será igual a como encontramos la componente en y, lo primero es dibujar un prisma donde participen todas las componentes, éste prisma se muestra en la figura 1.2.6.

Si trazamos un triángulo con vértices en O-A-G seremos capaces de encontrar la componente en X de la siguiente manera:

Por lo tanto se deduce:

Si realizamos lo mismo pero ahora con el triángulo O-A-E podemos encontrar la componente en el eje Z:

Asi obtenemos:

1.2.5 Componente Fh

1.2.6 Prisma de componentes

1.2.7 Componente en X

1.2.8 Componente en Z

Con esto ya tenemos las 3 componentes de la fuerza expresadas en la figura 1.2.9.

Ahora Sabiendo el valor de las componentes las desarrollamos de la siguiente manera:

Por lo tanto:

Los valores de las fuerzas los obtuvimos por medio de la trigonometría por lo cual se aplicarían las mismas formulas para distancias en lugar de fuerzas, de esta forma:

y

1.2.3 Sistema de fuerzas concurrentes

Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes (Ofi). Como ya se había mencionado la resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas y que tiene el mismo punto de inicio que los vectores que componen dicho sistema es decir el punto común entre todos éstos. Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo.

2

3

1.2.9 Componentes X, Y y Z de la fuerza

UNIDAD II – EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA

2.1 Condiciones para el equilibrio de partículas

Con partícula nos referimos a aquellos cuerpos donde todas las fuerzas son concurrentes en un punto o aquellos cuerpos donde no se producen efectos de rotación y el movimiento solo puede darse en una dirección (cuerpos sometidos a fuerzas paralelas sin efecto de rotación).

UNIDAD II

EQUILIBRIO DE LA PARTICULA

2.1. Condiciones para el equilibrio de partículas 2.2. Diagrama de cuerpo libre2.3. Ecuaciones de equilibrio2.4. Resultante de sistemas de fuerzas


1

La condición primordial para que una partícula esté en equilibrio o reposo es que la fuerza neta aplicada sobre ella sea igual a cero (Primera ley de Newton)2. Esta condición implica que la resultante R sea cero y por lo tanto no se producirán efectos de traslación sobre el cuerpo en ninguna dirección.

A partir de esta condición se originan tres sub-condiciones, por llamarlo de alguna manera, ya que en realidad estas tres condiciones son necesarias para que la primera sea efectiva, estas son:

Que la sumatoria de fuerzas en X sea igual a O.

Que la sumatoria de fuerzas en Y sea igual a O.

Que la sumatoria de fuerzas en Z sea igual a O.

Estas condiciones de equilibrio se expresarán de manera analítica en la sección 2.3.

2.2 Diagrama de cuerpo libre

Un diagrama de cuerpo libre no es más que la representación esquemática del cuerpo en estudio aislado, donde se ubican todas las fuerzas externas que actúan sobre dicho cuerpo; dichas fuerzas se representan mediante vectores. El sistema de fuerzas externas esta constituido por:

Las fuerzas explícitamente aplicadas, por ejemplo el peso.

Las fuerzas ejercidas por los cuerpos que se consideran suprimidos. Estos cuerpos suprimidos pueden ser elementos de interconexión, o elementos de fijación a la tierra. Estas fuerzas se denominan comúnmente tensiones.

En el diagrama de cuerpo libre se representan también todas las distancias que sirven par ubicar puntos esenciales, y todas las dimensiones que se consideran pertinentes.

El cuerpo o sistema en estudio puede ser cualquier sistema mecánico: una estructura, un bloque, una maleta apoyada en el suelo, un gas encerrado a presión dentro de un cilindro, una represa, un estudiante sentado en un pupitre, entre otros.

Para realizar el diagrama de cuerpo libre, debe colocarse un sistema de referencia sobre el cuerpo, generalmente el origen de dicho sistema es el punto donde están aplicadas todas las fuerzas, dicho punto de referencia no es mas que el origen del plano cartesiano o el origen del espacio según sea el caso (figura 1.2.2). Al hablarse de un punto en que todas las

2 Ver Anexo A-III

2.2.1 Representación de las fuerzas aplicadas a un cuerpo, y su diagrama de

cuerpo libre.

fuerzas están aplicadas se dice que todas las fuerzas parten de él, creando así, un sistema de fuerzas concurrentes.

Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley del movimiento a un sistema mecánico, se debe ser capaz primero de saber y reconocer todas fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, debemos poder construir el diagrama de cuerpo libre correcto, el crear el diagrama de cuerpo libre de manera correcta es de vital importancia en la resolución de problemas ya que, a partir de este, se basan los diferentes métodos de solución para éstos.

Pasos para realizar un diagrama de cuerpo libre

1. Dibujar el eje coordenado2. Representar mediante vectores todas las fuerzas exteriores actuantes sobre el cuerpo3. Anotar todo lo conocido sobre cada una de las fuerzas, es decir, los módulos, las

direcciones y sus sentidos si es que se conocen.4. Anotar literales por cada una de las incógnitas, es decir, en los elementos de cada

vector que son desconocidos.

2.3 Ecuaciones de Equilibrio

Recordando:

“La condición primordial para que una partícula esté en equilibrio o reposo es que la fuerza neta aplicada sobre ella sea igual a cero”

F1=120Kg

F3=135Kg

30º θ

φ

F1=120Kg

F3=135Kg

30º

F2=?

2.2.2 Pasos para dibujar un diagrama de cuerpo libre.

1 2 3 4

Notemos que cuando se habla que la fuerza neta aplicada es igual a 0, el vector resultante es 0 y por lo tanto se está condicionando a que cada una de sus componentes sea cero. En ningún caso una componente anula a otra componente, por lo tanto es condición necesaria que cada componente sea cero. A partir de esto deducimos la siguiente ecuación.

Ésta ecuación es una ecuación vectorial. Al descomponer las fuerzas y hacer la sumatoria por componentes nos resultan tres ecuaciones escalares independientes:

Tanto la resultante de las fuerzas en X como la de Y y la de Z deben ser iguales a cero.

A estas ecuaciones se les llama “Ecuaciones de Equilibrio de una Partícula”

En el caso de estudiar cuerpos modelados en un plano XY, la componente en Z de las fuerzas, de hecho es igual a cero, por lo tanto las condiciones o ecuaciones de equilibrio independientes son dos, en vez de tres.

Una manera grafica para saber que el sistema esta en equilibrio es que por el método del paralelogramo3 los vectores tendrían el mismo punto de partida y de llegada. Según lo antes explicado la figura 2.2.1 mostraría que el sistema esta en equilibrio.

2.4 Resultante de sistemas de fuerzas

Durante todos los temas anteriores hemos hablado sobre la resultante pero, ¿Qué es la resultante?

La resultante de un sistema de fuerzas es, por decirlo así, la representación más simple que tiene dicho sistema ya que produce el mismo efecto que las diversas fuerzas que lo conforman y que actúan simultáneamente sobre un mismo cuerpo.

3 Este método es explicado en el Tema 2.4

2.3.1 Sistema de fuerzas en equilibrio

Una definición más estrictamente matemática nos dice que la resultante es la suma algebraica vectorial de cada uno de los vectores que representan a las fuerzas actuantes sobre un sistema de fuerzas.

Las líneas de acción de cualquier sistema de dos fuerzas no paralelas deben tener un punto en común y la resultante de las dos fuerzas pasará por este punto común.

Métodos para calcular la resultante de un sistema de fuerzas en 2D:

I. Traslado de vectores (Método del paralelogramo)

La resultante de dos fuerzas no paralelas se puede hallar gráficamente mediante la construcción de un paralelogramo de fuerzas. Esta construcción gráfica se basa en la ley del paralelogramo, la cual se puede enunciar como sigue:

“Dos fuerzas no paralelas se trazan a cualquier escala, ambas fuerzas se dirigen hacia el punto de intersección de sus líneas de acción o se alejan de él. Se construye entonces un paralelogramo con las dos fuerzas como lados adyacentes. La diagonal del paralelogramo que pasa por el punto común es la resultante en magnitud, dirección y sentido”

A partir del apoyo gráfico que nos brinda el método del paralelogramo y mediante la utilización de artificios trigonométricos podemos calcular la resultante:

A continuación se verán algunos ejemplos resueltos mediante el traslado de vectores o método del paralelogramo.

Ejemplo 1:

Encontrar la resultante total de los siguientes vectores.

F2=120Kg

Para poder encontrar la resultante total de este conjunto de vectores es necesario realizar la suma por partes, es decir, hallar primero la resultante de dos vectores y después hallar la resultante total de la resultante y el tercer vector.

De la figura 1.3 tomamos primero los vectores 1 y 2 para encontrar la resultante de estos dos vectores.

Para comenzar trasladamos los vectores a los vértices del otro mediante el anteriormente citado método del paralelogramo y así obtenemos la resultante grafica que después calcularemos analíticamente.

Si observamos la figura 2.4.2 notaremos que al final hemos obtenido un triangulo oblicuángulo del cual podemos obtener la resultante analíticamente de la siguiente forma:

Mediante la ley de los cosenos obtendremos el valor de sabiendo que θ tiene un valor de 105º:

30º

75º

20º

F1=100Kg

F3=110Kg


30º

75º

F2=120Kg

F1=100KgF1=100Kg

F2=120Kg

30º

75º

F2=120Kg

F1=100Kg

θ

2.4.2 Traslado de vectores

Ya tenemos el modulo o la magnitud del vector ahora tenemos que obtener la dirección para esto ahora nos basamos en la ley de los senos:

De esta manera el resultado que obtenemos es que el seno del ángulo A y sería igual a 0.662 ahora necesitamos encontrar el inverso del seno

Ahora tenemos el ángulo formado por la resultante y el vector 1, ya solo nos resta sumarle el ángulo inicial de dicho vector y obtenemos que el ángulo de la resultante es de 71.49º de esta manera la resultante que obtenemos es:

Modulo: Dirección: 71.49º

Para encontrar la resultante total ahora tomamos el vector y realizamos el mismo proceso

anterior ahora tomando al vector :

=120Kg

71.49º

1=174.96Kg

2.4.3 Resultante Obtenida

=120Kg

71.49º20º

=110Kg

=120Kg

=110Kg

φ

De igual manera mediante la ley de los cosenos obtendremos el valor de sabiendo que φ tiene un valor de 91.49º :

Ya tenemos el modulo de la resultante total ahora tenemos que obtener la dirección para esto ahora nos basamos en la ley de los senos:

De esta manera el resultado que obtenemos es que el seno del ángulo A y sería igual a 0.525 ahora necesitamos encontrar el inverso del seno

Ahora tenemos el ángulo formado por la resultante total y el vector 3, ya solo nos resta sumarle el ángulo inicial de dicho vector y obtenemos que el ángulo de la resultante es de 103.22º de esta manera la resultante total que obtenemos es:

Modulo: Dirección: 103.22º

103.22º

=209.07Kg

2.4.5 Resultante Total

2.4.4 Traslado de vectores

Ejemplo 2:

Hallar la resultante total del sistema de fuerzas:

Este ejercicio se realizara de manera similar al anterior:

Resultante:

Angulo:

Se le suma el ángulo de 1 y tenemos un ángulo de la resultante de 59.57º

Resultante: Ahora para calcular la resultante total:

30º

50º

25º

F2=35Kg

F1=40Kg F3=25Kg

θ

25º

φ

F2=35Kg

F1=40Kg

59.57º59.57º

=59.57 Kg

θ

φ

Angulo:

Se le suma el ángulo de y tenemos un ángulo de la resultante de 82.4º

Resultante total:

Ejemplo 3:

Hallar la resultante total del sistema de fuerzas:

=59.57 Kg

= 64.43 Kg

82.4º

F3=25Kg

F1=20Kg

F2=18Kg

20º

F3=18Kg

F3=20Kg

φ

F3=25Kg

Angulo:

Como el ángulo de 1 es 0 el ángulo de la resultante sigue siendo el mismo.

Resultante total:

Angulo:

Se le suma el ángulo de y tenemos un ángulo de la resultante de 97.51º

42º

=26.9 Kg

θ

φ

F3=25Kg

Resultante total:

Ejemplo 4:

Una balsa es jalada por dos remolcadores si la resultante de 2 fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 6000 Kg. dirigida según el eje de la balsa. Hallar la tensión en cada uno de los cables sabiendo que α = 45

= 26.78 Kg

97.51º

30º

α

T1

T2

6000 Kg

Primero formamos el triangulo imaginario con las tensiones:

Ahora por la ley de los senos:

Para calcular T1:

Para calcular T2:

II. Descomposición de fuerzas

De acuerdo a lo expresado en la sección 1.2.2 Toda fuerza F, puede descomponerse en dos direcciones perpendiculares entre sí, una componente horizontal en un eje X que puede denominarse Fx y otra componente vertical, en un eje Y, que puede denominarse Fy, de esta manera podemos obtener una resultante total sin tener que calcular resultantes preliminares ya que según lo explicado anteriormente la resultante representa la suma de las componentes tanto de X como de Y de las fuerzas existentes dentro de un sistema, por lo tanto:

Mediante Pitágoras:

6000 Kg

30º α = 45º

105ºT1 T2

Ejemplo 1:

Retomando el ejemplo 2 de la sección traslado de vectores (método del paralelogramo).

Calcular la resultante total por el método de descomposición de fuerzas:

Lo primero es tomar los ángulos y crear un nuevo origen desde el ángulo 0 es decir el eje x quedando:

Y ahora de acuerdo a las formulas citadas anteriormente calculamos:

F2=35Kg

F1=40Kg F3=25Kg330º280º

205º

ΣFxi

F1x= 40cos205º = -36.25231148F2x= 35cos280º = 6.077686218F3x= 25cos330º = 21.65063509 -8.523990171

ΣFyj

Fy1= 40sen205º = -16.90473046Fy2= 35sen280º = -34.46827135Fy3= 25sen330º = -12.5 . -63.87300181

Fix = 8.52

Fiy = 63.87300181

= 64.43 Kg

82.4º

Ejemplo 2:

Retomando el ejercicio 4 de la sección anterior:

Una balsa es jalada por dos remolcadores si la resultante de 2 fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 6000 Kg. dirigida según el eje de la balsa. Hallar la tensión en cada uno de los cables sabiendo que α = 45

Primero notamos que la resultante esta en el eje de las x, por lo tanto la componente en x es de 6000 Kg mientras que la componente en y es igual a 0, por lo tanto:

1.- T1cos(30º) + T2cos(315º) = 6000 Kg2.- T1sen(30º) + T2sen(315º) = 0 Kg Con lo cual tenemos un sistema de ecuaciones de 2 x 2 que al resolver tendremos los valores para T1 y T2:

Despejando T1 en 1:

Sustituyendo en 2:

Resolviendo para T2:

30º

α

T1

T2

6000 Kg

30º315º

T1

T2

315º

Resolviendo para T1:

Ejemplo 3:

Calcular la resultante del sistema mediante la descomposición de fuerzas

Primero expresamos los ángulos tomados desde el eje x:

F1=100Kg

F3=140Kg

F4=150Kg

85º

15º

40º

10º50º

270º

285ºF1=100Kg

F1=110Kg

F3=140Kg

F4=150Kg

F1=110Kg

Calculando la sumatoria de fuerzas:

Resultante:

Ejemplo 4:

Calcular la resultante del sistema mediante la descomposición de fuerzas

Primero rotamos el sistema

Realizando la sumatoria de componentes:

ΣFxi

Fx1= 140cos10º = 137.8730854Fx2= 150cos50º = 96.41814145Fx3= 100cos270º = 0Fx4= 110cos285º = 28.47009496 262.7613218

ΣFyj

Fy1= 140sen10º = 24.31074487Fy2= 150sen50º = 114.9066664Fy3= 100sen270º = -100 Fy4= 110sen285º = -106.2518408

-67.03442953

Fiy = 63.87300181

F4=80Kg

F3=120Kg

F2=140Kg

F1=70Kg

40º

110º

20º F4=80Kg

F3=120Kg F2=140Kg

F1=70Kg

110º

40º

20º

ΣFxi

Fx1= 70cos0º = 70Fx2= 140cos40º = 107.2462220Fx3= 120cos60º = 60Fx4= 80cos170º = -78.78462024 158.4616017

ΣFyj

Fy1= 70sen0º = 0Fy2= 140sen40º = 89.99026535Fy3= 120sen60º = 103.9230484 Fy4= 80sen170º = 13.89185421

207.8051679

= 271.18Kg

345.69º

Resultante:

Ejemplo 5:

Determinar las componentes de la fuerza de 300Kg en las posiciones paralela y perpendicular de la viga A-B.

Primero encontramos el triangulo con las componentes a resolver:

6000 Kg

20º

40º

Fiy = 63.87300181

52.67º

= 261.33Kg

Por la ley de los senos:

Para calcular T1:

Para calcular T2:

Ejemplo 6:

Una trabe se sujeta por 3 cables en el punto A, si se conocen las tensiones de los cables determine la magnitud de la tensión del cable A-B para que la resultante del sistema sea vertical.

300 Kg 300 Kg

40º

20º20º

90º

70ºF2

F1

A

B

185º

205º

α

20 m

15 m

T1 = 4 tons.

T2= 2 tons.

T3

Como se nos pide que la resultante del sistema sea vertical, la suma de las fuerzas en x debe ser 0 por lo tanto la tensión en T3 multiplicada por el coseno del ángulo α debe ser igual a la suma de las otras dos tensiones pero con signo contrario:

Primero calculamos el ángulo α:

Ahora se calcula la sumatoria de fuerzas en x:

Ahora hacemos la solución para T3:

De esta manera queda resuelto el problema, si se desea se puede calcular la sumatoria de fuerzas en y que para este caso seria igual a la tensión de la resultante total:

De esta forma se obtiene que la resultante tiene 5.54 tons de modulo con dirección de 270º.

Ejemplo 7:

Si aplicamos fuerzas P y Q de módulos P=1000Kg y Q=1200Kg a la conexión indicada y sabiendo que la conexión esta en equilibrio hallar las tensiones T1 y T2.

Fiy = 63.87300181

ΣFxi

F1x= 4cos185º = -3.984778792F2x= 2cos205º = -1.812615574F3x= T3cos323.13º = 5.797394365 0

ΣFyj

Fy1= 4sen185º = -0.3486229709Fy2= 2sen205º = -0.8452365234Fy3= 7.24sen323.13º = -4.348061955 -5.541921449

Según las condiciones y las ecuaciones de equilibrio estudiadas en las secciones 2.1 y 2.3 respectivamente sabemos que para que un sistema este en equilibrio la sumatoria tanto de sus componentes en x como de sus componentes en Y deben ser 0.

Primero calculamos las componentes rectangulares:

Ahora sabiendo que las componentes rectangulares en ambos casos deben ser igual a cero creamos un sistema de ecuaciones lineales:

1.- T1 + ½T2 = 1159.11Kg2.- (√3/2)T2 = 689.41Kg

Esto se debe a que los elementos desconocidos nos tienen que dar el mismo valor que los conocidos pero con diferente signo para que “se eliminen” entre sí y se cumpla la condición de equilibrio

Despejando T2 de 2 obtenemos: Despejando T1 de 1 y sustituyendo T2 obtenemos:

Ahora que ya tenemos las tensiones solo resta comprobar que las sumatorias sean 0:

ΣFxi

Fx1= 1200cos165º = -1159.110991Fx2= 1000cos270º = 0Fx3= T1cos0º = T1

Fx4= T2cos60º = ½ T2 , 0

ΣFyj

Fy1= 1200senn165º = 310.5828541Fy2= 1000sen270º = -1000Fy3= T1sen0º = 0 Fy4= T2sen60º = (√3/2) T 2 .

0

ΣFxi

Fx1= 1200cos165º = -1159.110991Fx2= 1000cos270º = 0Fx3= T1cos0º = 761.0758163Fx4= T2cos60º = 398.0351747 0

ΣFyj

Fy1= 1200senn165º = 310.5828541Fy2= 1000sen270º = -1000Fy3= T1sen0º = 0 Fy4= T2sen60º = 689.4171457 0

60º15

º

T1

T2

Q=1200Kg

P=1000Kg

Ejemplo 8:

Calcular la resultante del siguiente esquema:

Como sería un poco complicado obtener la resultante del sistema mediante esta expresión creamos un diagrama de cuerpo libre con los elementos que el problema nos brinda, de tal modo que obtenemos:

Primero Calculamos las sumatorias de las componentes rectangulares:

Ahora creamos nuestro sistema de ecuaciones lineales:

1.- T1cos(130º) + (√3/2)T2 = 02.- T1sen(130º) + ½ T2= 200Kg

Despejando T1 de 1 tenemos:

30º

30º

50º

130º

T1

T1

T2

T2

= 200Kg

ΣFxi

Fx1= T1cos130º= ?Fx2= T2cos30º = (√3/2) T 2 . 0

ΣFyj

Fy1= T1sen130º = ? Fy2= T2sen30º = ½ T2

200

Sustituyendo en 2:

Resolviendo pare T2: Resolviendo para T1:

Ahora si se desea se puede hacer la comprobación:

Ejemplo 9:

Encuentra la fuerza que equilibra el sistema:

ΣFxi

Fx1= T1cos130º= -113.0515876Fx2= T2cos30º = 113.0515876 0

ΣFyj

Fy1= T1sen130º = 134.7296356 Fy2= T2sen30º = 65.27036454 200

F1=80Kg

20º

40º

15º

20º

F3=60Kg F4=100Kg

F2=90Kg

Primero calculamos la resultante del sistema actual:

El vector en azul representa la resultante del sistema de fuerzas anterior, el problema nos pide obtener la fuerza que equilibre el sistema, por lo tanto dicha fuerza tendrá que tener la misma magnitud y la misma dirección que la resultante pero en diferente sentido ya que

según las condiciones de equilibrio al sumar la resultante ( ) y la fuerza equilibrante (FE) el resultado seria 0 por lo tanto el vector en rojo representa la fuerza que equilibra el sistema.

Ejemplo 10:

Encontrar las tensiones entre las cuerdas A-C y B-C.

Primero se representan las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre

ΣFix

Fx1= 80cos110º = -27.36161146Fx2= 90cos165º = -86.93332436Fx3= 60cos250º = -20.52120859Fx4= 100cos320º = 76.60444431 -58.21170009

ΣFyj

Fy1= 80sen110º = 75.17540966Fy2= 90sen165º = 23.29371405Fy3= 60sen250º = -56.38155724 Fy4= 100sen320º = -64.27876096 -22.19119448

20.86º20.86º

= 62.29Kg

FE= 62.29Kg

4m 2m

2m

A B

C

θ φ

θφ

= 1000Kg

T1 T2

Después se calculan los ángulos entre el eje horizontal y las cuerdas:

Ahora calculamos las sumatorias de fuerzas descompuestas sabiendo que el resultado en x es 0 y en Y es igual 1000:

A partir de esto tenemos las siguientes ecuaciones:

1. T1cos153.44º+ (√2/2) T2=02. T1sen130º+ (√2/2) T2=1000

Despejando T1 de 1 tenemos:

Sustituyendo en 2:

Resolviendo pare T2: Resolviendo para T1:

Si se desea el resultado puede ser comprobado mediante su descomposición de fuerzas.

ΣFxi

Fx1= T1cos153.44º= ?Fx2= T2cos45º = (√2/2) T 2 . 0

ΣFyj

Fy1= T1sen130º = ? Fy2= T2sen30º = (√2/2) T 2

1000

Ejemplo 1:

Un tirante de una torre esta anclado en “A” mediante un perno. La tensión en el cable es de 2500Kg, hallar:

a) las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno.b) Los ángulos θx, θy y θz que definen la dirección de la fuerza

θx

θy

θzA

B

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar los ángulos entre las diferentes componentes y la fuerza principal, para esto tenemos que saber cual es la distancia entre la cima de la torre (B) y el punto de anclaje (A):

Sabiendo las distancias en X, Y y Z, mediante Pitágoras procedemos a calcular la distancia A-B tomando como origen el punto A:

Ahora conociendo las distancias de las componentes y la distancia A-B podemos calcular los ángulos (b)) de la siguiente manera:

Teniendo los ángulos de las componentes solo es cuestión de multiplicar sus cosenos para obtener las magnitudes de dichas componentes (a)):

Ejemplo 2:

Una sección de pared de concreto esta sujeta temporalmente por los cables que indica la figura.

AD

B

C

a) Si la tensión del cable A-B es 700Kg hallar las componentes de la fuerza ejercida en A.

Lo primero es hallar la longitud del cable A-B, esto lo haremos mediante el teorema de Pitágoras sabiendo que el origen se localiza en el punto A:

Ahora conociendo todas las distancias también conocemos los cosenos de las componentes de la fuerza A-B con lo que solo resta multiplicarlos por dicha fuerza:

b) Sabiendo que la tensión B-C es de 900Kg, Hallar las componentes de la fuerza ejercida en C.

De igual manera que el ejercicio anterior primero tenemos que calcular la distancia pero ahora del B-C sabiendo que el origen se encuentra en C:

Ahora solo tenemos que multiplicar la fuerza B-C por los cosenos de las componentes:

c) Si la tensión del cable A-B es 700 Kg y la tensión en el cable B-C es de 900Kg, Hallar la resultante de las 2 fuerzas ejercidas en el punto B por estos dos cables.

Lo único que tenemos que hacer es aplicar la formula:

Por último si se desean conocer los ángulos de la resultante solo tenemos que hacer lo siguiente:

ΣFxi

FxA-B= - 600FxB-C= -600 -1200

ΣFyj

FyA-B= 300 FyB-C= 300 600

ΣFzk

FzA-B= 200FzB-C= -600 -400

Ejemplo 3:

Varios tirantes están sujetos a la cúspide de la torre en A, la tensión en A-B es igual a 2000Kg y la tensión en A-C es igual a 1750Kg hallar la resultante de la fuerza ejercida sobre el punto A por estos dos cables.

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar las componentes en X, Y y Z de ambas tensiones:

A

D

B

C

Tensión A-B

Calculando distancias:

Calculando componentes:

Tensión A-C Calculando distancias:


Haciendo sumatoria de componentes:

ΣFxi

FxA-B= 800FxA-C= 500 1300

ΣFyj

FyA-B= -2400 FyA-C= -1500 -3900

ΣFzk

FzA-B= 600FzA-C= -750 -150

Sabiendo que en la torre la tensión A-C es igual a 3500Kg hallar los valores necesarios de las tensiones A-B y A-D para que la resultante de las fuerzas aplicadas en A sea vertical.

Al decirnos que es vertical significa que la sumatoria de fuerzas en X y en Z deben de ser cero, entonces calculamos:

Tensión A-C


Ya hemos calculado la longitud de este cable.


Tensión A-B


Ya hemos calculado la longitud de este cable.


Tensión A-D



Realizando las sumatorias:

1. 1000 + (4/13)AB - (3/5)AD = 02. -3000 – (12/13)AB – (4/5)AD = R3. -1500 + (3/13)AB = 0

Despejando AB en 3: Sustituyendo AB en 1:

Comprobando:

Ejemplo 4:

Tres sogas sostienen una caja, encuentre el valor de W sabiendo que la tensión en el cable BD es igual a 200Kg.

ΣFxi

FxA-B= 2000FxA-C= 1000FxA-D= -3000 0

ΣFyj

FyA-B= -6000FyA-C= -3000 FyA-D= -4000 -13000

ΣFzk

FzA-B= 1500FzA-C= -1500FzA-D= 0 , 0

A

B

C

D

Se nos pide el peso de la caja y éste esta determinado por la resultante que, para este caso, seria la sumatoria de fuerzas en Y por lo tanto primero calculamos las componentes de las tensiones.

Tensión D-A Calculando distancias:


Tensión D-B Calculando distancias:


Tensión D-C Calculando distancias:



1. DA(1/3.5) – 120 + 0 = 02. DA(3/3.5) + 160 + DC(3/5) - W=0 3. -DA(1.5/3.5) + 0 +DC(4/5) = 0

Despejando DA en 1: Sustituyendo DA en 3:

Sustituyendo DA y DC en 2

Encuentre el valor de W sabiendo que la tensión en el cable CD es igual a 450Kg

Tensión D-A Calculando componentes:

Tensión D-B


Tensión D-C Calculando componentes:


1. DA(1/3.5) – DB(2.25/3.75) + 0 = 02. DA(3/3.5) + DB(3/3.75) + 270 - W=0 3. -DA(1.5/3.5) + 0 +360 = 0

Despejando DA en 3: Sustituyendo DA en 1:

Sustituyendo DA y DC en 2

Ejemplo 5:

Una caja de 50Kg. Se encuentra sujeta por 3 cuerdas, encontrar el valor de la fusión en cada cuerda.

Calculando las componentes de las tensiones:



A

B

C

D

Tensión D-B Calculando distancias:




Realizando sumatorias, se sabe que las sumatorias en X y en Z deben ser igual a cero, y que la sumatoria en Y tiene que ser igual al peso de la caja, es decir, 50Kg:

1.-

2.-

3.-

Se observa que se ha obtenido un sistema de ecuaciones de 3x3, resolviendo por el método de reducción.

Tomando 1 y 2

Tomando 1 y 3

Sustituyendo DC y DB en 1

Tensiones obtenidas:

DA = 10.39KgDB = 31.18KgDC = 22.90Kg

UNIDAD I

EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS

3.1. Condiciones de equilibrio de cuerpos Rígidos.

3.1.1. Fuerzas internas y externas.3.1.2. Principio de transmisibilidad.

3.2. Diagrama de cuerpo libre.3.3. Ecuaciones de equilibrio.

3.3.1. Ecuaciones de equilibrio para diferentes sistemas de fuerzas.3.3.2. Momento de una fuerza respecto a un punto.3.3.3. Momento de una fuerza con respecto a un eje.3.3.4. Sistemas equivalentes.

3.4. Restricciones de un cuerpo rígido.

UNIDAD III – EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS

3.1 Condiciones de equilibrio de cuerpos rígidos

Un cuerpo rígido se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto es despreciable. El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación.

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación.A partir de estos dos movimientos nacen las condiciones de equilibrio en cuerpos rígidos.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados como anteriormente se menciono condiciones de equilibrio.

La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton4 al igual que en las partículas, que garantiza el equilibrio de traslación y que se enuncia “Si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un objeto es cero, el objeto permanecerá en reposo o seguirá moviéndose a velocidad constante” .

A partir de estas nacen 3 Sub-condiciones. La sumatoria de fuerzas en X debe ser igual a O. La sumatoria de fuerzas en Y debe ser igual a O. La sumatoria de fuerzas en Z debe ser igual a O.

La segunda condición de equilibrio, es necesaria para que se presente el equilibrio de rotación y se enuncia de la siguiente forma: “La suma vectorial de todos los torques, torciones o momentos de fuerza externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen debe de ser cero”.

A partir de estas nacen 3 Sub-condiciones. La sumatoria de los momentos de fuerza en X debe ser igual a O. La sumatoria de los momentos de fuerza en Y debe ser igual a O. La sumatoria de los momentos de fuerza en Z debe ser igual a O.

En caso de que las fuerzas actuantes sobre un cuerpo sean coplanares las 6 anteriores sub-condiciones de equilibrio se convierten solo en 3:

La sumatoria de fuerzas en X debe ser igual a O. La sumatoria de fuerzas en Y debe ser igual a O. La sumatoria de los momentos de fuerza en Z debe ser igual a O.

4 Véase anexo A-III

3.1.1. Fuerzas internas y externas.

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Ejemplo 1:

Se aplica una carga de 10Kg a una placa de 20x30cms hallar el momento que provoca la carga.

a) En el punto A

Utilizando la formula del momento de fuerza :

Encontrando el vector distancia: Encontrando componentes de la fuerza:

Realizando el producto vectorial:

Comprobación mediante la formula

Primero tenemos que calcular la distancia existente entre A y C mediante Pitágoras así como el ángulo β expresado en la imagen:

Se observa en la imagen que el ángulo α esta dado por la diferencia entre 60º y el ángulo β de tal modo que dicho ángulo tiene un valor de 26.31º, calculando Momento de fuerza:

b) En el punto B



A

B C

D

F=10Kg

A

B C

D

F=10Kg

β

α

β



Se observa que en el punto B no existe componente en j respecto a la fuerza ejercida en C, y que el ángulo α es el expresado en la imagen del problema:

c) En el punto C





Se observa que en el punto A no existe componente en i respecto a la fuerza ejercida en C, pero que el ángulo α para este caso es el ángulo complementario a 60º es decir tiene un valor de 30º.

Ejemplo 2:

Halle el momento que provoca la fuerza de 300Kg.

A

B F=300Kg

a) En el punto A




b) En el punto B




estatica

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