P(X)ESTADÍSTICA Y LA GESTION DEL MANTENIMIENTO

Juan Carlos Orrego Barrera

Ingeniero Mecánico

Especialista en Finanzas – Preparación y Evaluación de Proyectos

www.mantonline-rcm.com

La información en el mantenimiento es la mejor herramienta con la que puede contar un gerente de esta área, de la calidad de la misma y la confianza que le pueda dar, dependen las decisiones acertadas o no que pueda tomar

chispis.blogia.com

P(X)Información

Fechas de;•Programación de actividad•Ocurrencia del suceso•Solicitud de la intervención o reporte de suceso•Realización de actividad

Horas•Programación de actividad•Ocurrencia del suceso•Solicitud de la intervención o reporte de suceso•Realización de actividad

Activo al cual le ocurre un evento o se realizara una acción http://lh5.ggpht.com

P(X)Información

Tipo de suceso ocurrido o programado:•Instalación•Puesta en marcha•Ajuste•Reparación•Revisión

Tipo de falla:•Parcial•Total•Oculto

http://www.boletin-grafico.com

P(X)InformaciónCostos•Mano de obra•Repuestos•Trabajos externos

Personal que interviene•Técnicos•Supervisores•Ingenieros•Administradores•Operarios

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P(X)Objetivo de la Información

Categorizar variables de acuerdo a los niveles de impacto ocasionados dentro del proceso en el cual están inmersas y a las metas de compañía que permitan trazar planes de mejoramiento dentro del área.

http://www.cepvi.com/

P(X)La probabilidad

“Probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." Incertidumbre

La teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la confiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las acciones realizadas

http://gonzalezdelariva.files.wordpress.com

P(X)Incertidumbre 

Expresión del grado de desconocimiento de una condición futura (por ejemplo, de un sistema o equipo).

Debida a:Falta de información  Desacuerdo sobre lo que se sabe o lo que podría saberse

adj. Dicho de una persona o de una cosa: En la que se puede confiar. http://www.wordreference.com

Confiabilidad ‐ Confiar

P(X)Situaciones de Incertidumbre

•Certidumbre subjetiva: Se prevée subjetivamente un solo resultado posible para el futuro (p.e.: pronóstico de un determinado volumen de ventas). En este caso se planea con certeza subjetiva

•Riesgo subjetivo: sabiendo que el futuro es incierto, se aceptan como posibles varios resultados.

•Incertidumbre pura o subjetiva: se observan múltiples distribuciones con pronósticos ,de distribución de probabilidades sobre bases inciertas (economía, mercado, competencia, etc.).

P(X)Criterios de Racionalidad1.Criterio de Laplace: Toma su decisión con el criterio del valor esperado, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables.

2.Criterio optimista: Supone que la naturaleza es benévola; por lo tanto elige siempre lo mejor.

3.Criterio pesimista o de Wald: Supone que la naturaleza es malévola y, analizando por ejemplo cada estrategia, considera la peor situación que pueda presentarse. Una vez halladas las peores situaciones para cada estrategia, elige de entre ellas la mejor.

4.Criterio intermedio o de Hurwicz: El tomador de la decisión tiene cierto coeficiente que es índice de su grado de optimismo y que varía entre cero y uno.

P(X)Espacio muestral ( U )

Conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado.

Cada uno de sus elementos se denomina punto muestral o muestra.

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P(X)Espacio muestral ( U ) – Ejemplos1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

2 ) Lanzamiento de monedas: Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ): U = { c , s }

3) Garantía de productos: Si el experimento se basa en encontrar el numero de balineras que presentan fallas en un periodo determinadoU = { Descamacion ,Desgaste, Rayaduras,Fractura, Jaula Dañada, Corrosion, Deslizamiento, Grietas,Sobrecalentamiento, Corrosion Electrica, Patinaje, Abolladuras, Agarrotamiento…. }

P(X)Suceso o Evento 

Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso ( o evento ) . Si consta de un solo elemento se le dice evento elemental.

EjemploSean U el espacio muestral formado por los 10 dígitos, A y B eventos tales que:A ocurre si y sólo si el dígito es par.B ocurre si y sólo si el dígito es múltiplo de 3.Entonces:A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }B = { 0 , 3 , 6 , 9 }

P(X)ProbabilidadFrecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientementeestables.

Posibilidad de que se produzca un suceso o aparezca un valor de entre el conjunto de casos o situaciones consideradas. Clásicamente se define por el cociente de casos favorables entre los casos posibles.

P(X) = nX = Cantidad de resultados que implican la aparición de X

N  Cantidad total de resultados

P(X)Definición axiomática de Probabilidad

Sea U: espacio muestral y  P(U) conjunto de las partes de U

Se define probabilidad, o función de probabilidad, a cualquier función p: P(U)    K ; que cumpla los axiomas siguientes:  

i) p(A) ≥ 0 ∀ A ∈ P(U) ii) p(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...) = p(A1) + p(A2) + p(A3) + ...

si Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j (sucesos mutuamente excluyentes)

iii) p(U) = 1

P(X)Propiedades de la probabilidad

1) p(Ac) = 1 - p(A)

Ac representa el suceso complementario de A, es decir el formado por todos los resultados que no están en A.

2) A1⊂ A2 ⇒ p(A1) ≤ p(A2)

3) p(∅) = 0 4) p(A) ≤ 1 5) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) (Regla general de

la adicción)

P(X)Probabilidad Condicionada

La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada.

P(X)Probabilidad Compuesta

La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.

P(X)Probabilidad TotalPermite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas

La probabilidad de que ocurra el suceso B , es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas por la probabilidad de cada suceso A.

P(X)Teorema de BayesA partir de que ha ocurrido el suceso B deducimos las probabilidades del suceso.

Explicar esta fórmula con palabras es confuso, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemplo

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que caiga granizo: probabilidad del 30%c)  Que haya niebla: probabilidad del 20%.

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemplo

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b) Si cae granizo : probabilidad de accidente del 10%.c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemplo

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (cayo granizo, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: 

Las probabilidades que tenemos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, granizo con el 30% y niebla con el 20%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemploa) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemploa) Probabilidad de que estuviera cayendo Granizo:

http://www.elpais.com

P(X)Teorema de Bayes ‐ Ejemploa) Probabilidad de que hubiera niebla:

www.ictisp.com

P(X)Teoremas

Aδ

TEOREMA 1. Si φ es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra φ debe ser cero.

p(φ)=0

P(X)TeoremasLa probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

Ac

δ

A

P(X)Teoremas

δ

AB\A

B

TEOREMA 3. Si un evento A ⊂ B, entonces la p(A) ≤ p(B).

P(X)Teoremas

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(A∩B)

A B

A\B

δ

A∩B

P(X)TeoremasTEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(A∪B)=p(A) + p(B) – p(A∩B).

A Bδ

COROLARIOPara tres eventos A, B y C, p(A∪B∪C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A∩B) – p(A∩C) – (B∩C) + p(A∩B∩C).

A B

C

δ

A∩B A∩B∩C

B∩CA∩C

A∩B

P(X)Distribuciones ProbabilísticasNormal

2

2

2

)(

21

)( σ

μ−−

πσ=

x

exfFunción densidad normal

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 20 40 60 80

x

f(x)

P(X)Distribuciones Probabilísticas Binomial

f(x) distribución binomial

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25n

f(x)

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:•En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario⎯Α (fracaso).•El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.•La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de ⎯Α es 1- p y la representamos por q .•El experimento consta de un número n de pruebas.

P(X)Distribuciones Probabilísticas Binomial negativa

Siendo el combinatorio

P(X)Distribuciones Probabilísticas Geométrica

f(x) distribución geométrica

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

n

f(x)

P(X)Distribuciones Probabilísticas Poisson

f(x) distribución Poisson

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

n

f(x)

P(X)Distribuciones Probabilísticas Exponencial

00,10,20,30,40,50,6

0 5 10 15 20 25 30 35

f(x)

x

Función densidad distribución exponencial

P(X)Distribuciones ProbabilísticasOtras

Distribución de GaussDistribución de Gauss MultivariadaDistribución X2Distribución de Weibull

P(X)HerramientasPareto

TPM‐Pareto

36

27

95 4 4

1 1 1 0

41%

72%82% 88% 92% 97% 98% 99% 100% 100%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 OTRAS

Fallas

Frec

uenc

ia F

alla

s

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

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P(X)Herramientas Promedio o Media Aritmética

Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos.

Análisis espectral de las mediciones obtenidas en la válvula de prueba, donde podemos ver lo siguiente: Punto A color blanco, Punto B color verde, Punto C color celeste, Punto D color Rojo. De acuerdo a éste espectro podemos confirmar la presencia de una fuga en la válvula, vemos como el punto C tiene una medida superior a la del punto A y B. Esto es porque en el punto C, que es el punto inmediato posterior aguas debajo de la válvula, es la zona donde se acaba de formar la turbulencia de la fuga.

P(X)Distribución de Weibull como herramienta de Predicción

La distribución de Weibull es una herramienta estadística usada generalmente para estimaciones de supervivencia, en este caso es usada en relación a las fallas aparecidas en determinado sistema. Es una aproximación a una distribución normal y a una exponencial.

P(X)Weibully Confiabilidad

Recordemos que Nolan y Heap encontraron diferentes combinaciones para la curva trazada con Weibull

P(X)Weibull

donde; R(t) = Confiabilidad del elemento evaluado e = Base de los logaritmos naturales = 2.718281....... t = Parámetro de interés o valor en t γ = valor en t inicial (tercer parámetro de Weibull) η = Vida característica ( cantidad de datos analizados) β = Factor de forma

P(X)Weibull

X

Y

P(X)

F(t) esta determinado por los rangos que utilicemos.

Para: Rangos Medianos

Rangos Pequeños

P(X)Weibull

Confiabilidad significa el mínimo tiempo que el equipo funcionará con seguridad antes de fallar. La variable característica γ es similar a la media y representa un valor de t debajo del cual se encuentra el 63.2% de los datos. El parámetro de forma o geométrico β controla la asimetría de la distribución.

P(X)Weibull

Beta = Pendiente , de la curva que tracemos con los datos y el calculo realizado para hallar X & Y

1(Intercepto / Pendiente)eEta (η)=

P(X)WeibullEjemplo

Se tiene la siguiente información para la Moto Bomba Impulsora - BIE-1012. Para lo cual debemos calcular el Tiempo entre fallas acumulado y ordenar su aparición, así;

P(X)Tiempo entre fallas acumulado y orden de Aparición

P(X)Rango Medio 

P(X)Hallando X

P(X)Hallando Y

P(X)La pendiente y el interceptoIntercepto -15,50283037

Pendiente 3,28780429

Beta 3,28780429

Eta 111,6370969

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P(X)Comportamiento de β

1<β<4, Implica el desgaste precoz. Las

fallas de este tipo,generalmente, no se espera dentro de la fase de diseño. Las fallas en mecanismos tales como

corrosión, erosión, la fatiga de bajo ciclo aparecen.

Mantenimiento a menudo implica retrabajos o tareas

de prolongación de vida útil.

β<1, Implica la mortalidad infantil.

Componentes electrónicos y

mecánicos a menudo tienen altos índices de

fracaso en su inicio. Algunos componentes son "quemados" antes

de su uso, mientras que otros requieren

cuidadosa atención después de la

instalación.

β=1, Implica fracasos al azar. Estas fallas son independientes del

momento en que una parte antigua es tan buena como

una parte nueva. Revisiones de

mantenimiento no son apropiadas. Condición de

control e inspección son las estrategias utilizadas para

detectar la aparición de fallas, y reducir sus

consecuencias .

β>4 Se trata fallas al final de la vida. La renovación es una actividades de mantenimiento mas apropiadas. Fallas relacionades con la edad son el estrés, aparición de fisuras por corrosión, fluencia, fatiga y erosión.

P(X)Puntos de la Curva

P(X)CurvaFuncion de Distribucion Acumulada

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

0 50 100 150 200 250

Tiempo

Prob

abili

dad

de F

alla

ObservadoEstimado

110

61.43%

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P(X)Ficha de un activo confiable

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P(X)EjemplosPareto

Se dispone de los datos de un equipo como se muestra en la siguiente tabla.

Indique las fallas que son “criticas” en cantidad aplicando Pareto

P(X)Ejemplos ‐ Pareto

Para solucionar el problema, lo primero es resumir la información

Luego hay que ordenar la información agrupándola por falla ocurrida en forma descendente

P(X)EjemplosPareto

Sumamos el total de fallas y hallamos el porcentaje que cada una de ellas representa del total y lo vamos acumulando

P(X)Ejemplos ‐ ParetoCon los datos de la tabla anterior, podemos utilizar la siguiente grafica

Se observa que las fallas

No para el motor cuando alcanza la temperaturaEl motor arranca pero no enfria

No alcanza a lubricar la maquina

Son las que mas se repiten y debemos prestarles atención

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P(X)WeibullPara la intervención de una maquina , se conocen los siguientes datos:

Costo de mantenimiento preventivo: US$600

Costo de Falla del servicio: US$3.000

Modelo de Vida, distribución de Weibull: η=600 y β=3

Determinar el tiempo optimo de intervención.

Nota: el costo de mantenimiento preventivo incluye el costo de repuestos nuevos y mano de obra. El costo de falla del servicio incluye costo de repuestos nuevos, mano de obra y los costos por perdida de producción.

P(X)WeibullSolución

El costo total del mantenimiento será:

C=Cp+Cd*{1-R(t)} = Cp+Cd*{1 - e } =(t-λ)−β

η

= 600+3.000 *{1 - e } (t) −3

600

El costo promedio por unidad de tiempo será:

Cm = tC

P(X)Weibull

P(X)Optimización Basados en CostoUsando la información calculada hasta el momento para el ejemplo de la distribución de Weibull, y conociendo los costos del mantenimiento preventivo y el correctivo, podemos hallar el punto optimo de intervención, referidos a dichos costos, para lo cual, introduciremos el valor de gamma, el cual nos ayuda a ajustar los cálculos debido a su similitud a una distribución exponencial y el ajuste de la varianza para el calculo.

Con β = 3,28 y η = 111,6

Costo Reemplazo:NO Planeado = 1.000.000Planeado = 300.000

P(X)Optimización Basados en Costo

Y que

Iw(t) = Costo Total por Unidad de Tiempo

P(X)Optimización Basados en Costo

Donde:

h*(G1-G2*(1-F(G)((l*t)^b1/b)/b)

Costo Unitario Planeado = (Costo Planeado*R(t)) / Integral de R(t)

Costo Unitario NO Planeado = (Costo No Planeado*(1-R(t))) / Integral de R(t)

P(X)Puntos para la Curva

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P(X)Punto Optimo Tradicional

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P(X)Punto Optimo

P(X)Punto Optimo con Weibull

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P(X)

Confiabilidad el Camino a la COMPETITIVIDAD

Juan Carlos Orrego Barrera

Ingeniero Mecánico

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