eso_1º - act. de ampliacion matematicas (abaco)

1 Coloca los números del 1 al 9 en los círculos del triángulo de modo quetodos los lados de este sumen 20.

2 Aparte del sistema de numeración decimal, existen otros sistemas de numeración que son aditivos. Los sistemas adi-tivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas… como sean necesarios hasta comple-tar el número. Una de sus características es, por tanto, que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunqueen general se ha preferido una determinada disposición. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el egipcio, que datade hace 5000 años y tiene base 10, utilizando los siguientes símbolos para las primeras 5 potencias de 10:

El número 1541 lo escribían así:

a) ¿Cómo escribían los antiguos egipcios el número 10324?

b) Busca información sobre al menos otros dos sistemas de numeración y escribe 1541 en esos sistemas.

3 Coloca los paréntesis donde sea necesario para que se cumplan las igualdades de las siguientes expresiones.

a) 3 � 2 � 5 � 3 � 8 � 6 � 22

b) 5 � 3 � 9 � 3 � 3 � 18 � 3 � 6 � 3

4 a) Calcula los siguientes cuadrados.

12 �

112 �

1112 �

11112 �

b) ¿Qué regularidad observas? ¿Eres capaz de predecir el resultado del cuadrado de 11111111?

c) Realiza el producto 11111111 � 11111111 para comprobar si el resultado que has anticipado en el apartado an-terior es correcto.

5 Juan tiene una colección de soldados de plomo. Los quiere colocar formando un cuadrado perfecto, pero no puede.Al tratar de colocarlos así le sobran 7, y si aumenta un soldado por fila, le faltan 10.

¿Cuántos soldados tiene?

6 Observa el ejemplo y reduce las siguientes expresiones a una única potencia.

�12

1

3

9�

29

� � �(22

�

26

3�

)3

3� 32

� � �26

�

263�

3�

332

� � 36

a) �125 �

1210 � 6� b) ��

43�

83�2

��

1A C T I V I D A D E S D E A M P L I A C I Ó N

Los números naturales

ÁBACO Matemáticas 1.o ESOAtención a la diversidad

falta 139812


1 Si el número d es un divisor de otros dos números, a y b:

a) ¿Es d divisor del número que resulta al sumar a y b?

b) ¿Y del número que resulta de restar a y b?

Acompaña tus respuestas de ejemplos concretos.

2 Para averiguar (sin tener que comprobar que la división es exacta) si un número es divisible por 7, le suprimimos lacifra de las unidades y al número que queda le restamos el doble de la cifra que hemos quitado. Si el resultado dela resta es un número múltiplo de 7, entonces también lo es el número inicial.

A veces es necesario aplicar el proceso varias veces. Observa el siguiente ejemplo.

8715 → 871 � (2 � 5) � 871 � 10 � 861

861 → 86 � (2 � 1) � 84

Como 84 � 12 � 7 es múltiplo de 7, tenemos que el número inicial 8715 es divisible por 7.

a) Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 7:

182 2184 1477 2108

b) Completa los siguientes números para que sean divisibles por 7.

57� 107� 3 �35

3 Comprueba, aplicando los criterios de divisibilidad, que el número 41158656 es divisible por 3, 7 y 11.

4 Un número es perfecto si la suma de sus divisores menores que él es igual a dicho número.

Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. La suma de los divisores que son meno-res que 6 da de resultado 6: 1 � 2 � 3 � 6.

Señala cuál de los siguientes números es perfecto.

a) 12

b) 15

c) 24

d) 28

5 ¿Eres capaz de distribuir a 18 personas en 6 filas de modo que en cada fila haya el mismo número de personas?

6 Toma un número de tres cifras distintas, por ejemplo, 123. Considera el número de seis cifras consistente en repe-tir el mismo número a continuación del anterior, 123123.

a) Comprueba que el número obtenido es divisible por 7, 11 y 13.

b) Realiza esta misma operación con otro número de tres cifras distintas y comprueba que también se cumple.

c) Este fenómeno se repite con cualquier número de tres cifras. Intenta explicar por qué.


Múltiplos y divisores

ÁBACO Matemáticas 1.o ESO Atención a la diversidad

AMPLIACIÓN 2En esta unidad se repasan y consolidan los conceptos de divisibilidad ya vistos en cursos anteriores, por eso pue-de haber alumnos que ya los dominen. Con ellos habrá que:• Potenciar más su pensamiento matemático, planteándoles problemas de matemática lúdica sobre distribuciones,

para que elaboren sus propias estrategias.• Plantear ejemplos numéricos en los que se observe alguna regularidad numérica y que los alumnos sean capaces

de establecerla por ellos mismos.• Ampliar los criterios de divisibilidad: mediante ejemplos se pueden describir los criterios del 4, del 6 y del 15.• Demostrar propiedades sobre los divisores de un número no estudiadas en la unidad.• Motivarles para que aprecien la teoría de números, que sean conscientes de que es una parte de las matemáticas

que está en continua evolución, haciendo referencia a la historia del teorema de Fermat.

O R I E N T A C I O N E S M E T O D O L Ó G I C A S

Crucigrama sobre divisibilidadFermat fue un matemático del siglo XVII que revolucionó la teoría de números. Planteó un teorema que no fue de-mostrado hasta finales del siglo XX. En este crucigrama, en el que muchas de las respuestas están relacionadas conla divisibilidad, los alumnos descubrirán el año de nacimiento de este genial matemático.

HORIZONTALES1. Tercer múltiplo de 12. m.c.m.(60, 90).2. Primer número primo de dos cifras. La unidad.3. Cuarto múltiplo de 3 dividido por 6. Dos a la sexta. El primer número primo.4. Primer número de tres cifras divisible por 3, 5 y 7. Dos al cubo.5. El cuadrado perfecto siguiente a 100. Cualquier número natural elevado a cero.6. Nada. m.c.m.(36, 120).VERTICALESA. m.c.d.(3, 6). El anterior al número romano III. Una decena.B. Primer número comprendido entre 60 y 70 que al dividirlo por 2 da de resto 1.

m.c.d.(24, 60).C. Año en que nació Fermat.D. El anterior al dos. m.c.m.(9, 15). El anterior al número romano IV.E. Tres elevado a la cuarta. La mayor potencia de 2 que divide a 80.F. Nada. m.c.m.(77, 44) dividido por 11. Nada.

A C T I V I D A D D E G R U P O

1. Como d es divisor de a y b, a � p � d y b � q � d.a) d es también divisor de la suma de a y b, pues:

a � b � p � d � q � d � (p � q) � db) d es también divisor de la resta de a y b, pues:

a � b � p � d � q � d � (p � q) � d2. a) Son divisibles por 7: 182, 2184 y 1477.

b) 574, 1071 y 3535.3. Es preciso aplicar los criterios más de una vez:

• Por 3: La suma de sus cifras es 36. Para ver que36 es múltiplo de 3, sumamos sus cifras, cuyo re-sultado es 9, múltiplo de 3.

• Por 7: 4115865 � 12 � 4115853• 411585 � 6 � 411579• 41157 � 18 � 41139• 4113 � 18 � 4095• 409 � 10 � 399• 39 � 18 � 21 � 7 � 3• Por 11: (6 � 6 � 5 �1) � (4 � 1 � 8 � 5) � 0

4. El 28 es un número perfecto.Los divisores de 28 son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.Y el resultado de la suma de los divisores que sonmenores que él mismo es 28: 1�2�4�7�14�28

5.

6. a) 123123 � 7 � 17589123123 � 11 � 11193123123 � 13 � 9471

b) y c) Cualquier número obtenido de esa manera es múl-tiplo de 1001, que es el producto de 7 por 11 y por 13.

(7 � 11 � 13) � abc � 1001 � abc �� (1000 � 1) abc � abc 000 � abc � abc abc

S O L U C I O N E S D E L A S A C T I V I D A D E S P R O P U E S T A S

Múltiplos y divisores

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

A B C D E F

1

2

3

4

5

6

1 Completa la pirámide con números enteros de modo que cada casilla contenga la suma de los dos números de lascasillas inferiores.

2 Completa la siguiente tabla para estudiar cómo son las potencias de los números negativos.

a) ¿Cómo son los valores absolutos de las potencias de (�2) comparadas con las potencias de 2?

b) ¿Cuáles son los exponentes de las potencias cuyo valor es negativo? ¿Qué relación guardan entre si?

c) ¿Cuáles son los exponentes de las potencias cuyo valor es positivo? ¿Qué relación guardan entre si?

d) Completa la siguiente tabla con las conclusiones que has obtenido.

3 Calcula el valor de la siguiente expresión.

4 Completa los siguientes cuadrados mágicos de manera que cada fila, columna y diagonal sumen la cantidad indica-da en cada caso.

a) Suman 0. b) Suman �6.

5 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) �2 � (�5)2 � (�2) � [13 � (3 � 18) � 2 � (�2)3] �

b) 15 � (15 � 12) � (8 � 14) � (�1)5 � [8 � (�2) � 5 � 3 � (�6) � 4 � (2 � 11)] �

(�3)3 � 48 � (�2)0

��(�12)2 � (�3)


Los números enteros


–13

27

–5

65

63

Potencia Exponente Producto Valor

(�2)1 1 (�2) �2

(�2)2 2 (�2) � (�2) 4

(�2)3

(�2)4

(�2)5

(�2)6

�24 18

�9 0

6 �12

12

�15 10

0

Exponente Valor

(�2)n parnegativo


AMPLIACIÓN 3Los números enteros, su significado y operaciones ya se han tratado en el último curso de primaria, por los quehabrá alumnos que con esta unidad consolidarán y afianzarán sus conocimientos.

• Se pueden hacer actividades que involucren, por parte de los alumnos, un dominio absoluto de la suma y restade números enteros, planteando situaciones en las que tengan que averiguar sumandos desconocidos.

• Sería interesante pedir a los alumnos que simplifiquen expresiones aritméticas con operaciones combinadas connúmeros enteros, con paréntesis y corchetes.

• Es conveniente que los alumnos comiencen a deducir por sí mismos propiedades numéricas no estudiadas en launidad, como son las potencias de base entera y exponente natural. Se empieza con ejemplos sencillos, pidiendoque utilicen únicamente la definición de potencia como un producto de factores iguales y la regla de los signosde la multiplicación de números enteros para calcular las primeras potencias de �2. Una vez que se hayan dadocuenta de la regularidad que se cumple, deberán deducir por ellos mismos cómo se calculan las potencias de losnúmeros enteros.


Tiro al blanco: un juego con números enteros

El material necesario para este juego es un tablero como el de la figura y dos dados de distinto color.

Se divide la clase en grupos de tres o cuatro alumnos cada uno.

El juego consiste en obtener mediante sumas de números del tablero el núme-ro entero que se obtiene al lanzar los dados.

Uno de los dados se utilizará para indicar el valor absoluto del número que hayque obtener, y el otro dado, para determinar el signo según el resultado del dadosea par o impar. Por ejemplo, se puede establecer que si en ese dado sale un nú-mero par, el signo será positivo, y si sale un número impar, el signo será negativo.

En cada turno, el jugador tachará del tablero los números empleados para ob-tener el número que le ha salido al tirar los dados.

El juego terminará cuando se hayan tachado todos los números del tablero. Ganael jugador que más números haya tachado, por lo que puede resultar útil quecada jugador utilice un código diferente para tachar los números que él hayautilizado (círculos, aspas, sombreado…), o bien un color diferente para hacer susanotaciones en el tablero.


1.

2. a) Iguales.

b) 1, 3 y 5. Todos son números impares.

c) 2, 4 y 6. Todos son números pares.

d) Las potencias de exponente impar son negativas,y las de exponente par, positivas.

3. 3.

4. a)

b)

5. a) �3 b) 62


Los números enteros


1 2 3 4 5 6 7 8

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8

1 2 3 4 5 6 7 8

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8

1 2 3 4 5 6 7 8

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8

1 2 3 4 5 6 7 8

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8

–13

27 –40

32 –5

–33 65

–35 2

–35

–70 35

63 –133 168

�24 18 15 �15

9 �9 �6 0

�3 3 6 �12

12 �18 �21 21

�15 10 5

20 0 �20

�5 �10 15

1 Almudena y Tomás han encargado un equipo de música cada uno. El de Almudena cuesta 168 euros, y el de Tomás, 102.

Han dejado una señal en concepto de reserva: Almudena, �78

� del precio de su equipo, y Tomás, �56

� del precio del suyo.¿Quién ha dejado a deber más dinero?

2 En un partido de baloncesto, entre los dos equipos han encestado 63 de los 84 lanzamientos intentados. César dice

que esa situación se puede representar por la fracción �284�; María, por �

192�, y Jesús, por �

34

�. ¿Cuál de los tres tie-ne razón?

3 En un concurso de lanzamiento de dardos, Javier ha obtenido 15 dianas de 35 lanzamientos; David, 18 de 42;Ana, 5 de 7, y Daniel, 20 de 70. ¿Cuáles tuvieron la misma eficacia?

4 En cada caso, completa los términos que faltan para que se cumplan las desigualdades.

a) �24

� � �8?

� � �34

� b) �47

� � �1?4� � �

7?

� � �1?1� � �

67

�

5 Juan, Sara y María se han comprado tres pizzas iguales. Juan se ha comido �23

� de la suya; Sara, �34

�, y María, �67

�. ¿Cuálde los tres ha comido el trozo más grande? ¿Cuál ha comido menos?

6 Jorge quiere comprarse un videojuego que vale 120 euros. En la hucha tenía ahorradas �25

� partes del dinero que ne-

cesita, y sus padres le han ayudado con las �38

� partes del total por las buenas notas que ha obtenido. ¿Cuánto dine-

ro le falta aún para poder comprar el videojuego?

7 a) Escribe la fracción �25

� como resultado de la resta de dos fracciones.

b) Escribe la fracción anterior como suma de tres fracciones distintas.

8 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

a) ��3 � �15

� � �23

�� 35

� b) �15

� � �38

� � �58

� � 3 � �56

�

9 Raquel ha utilizado �47

� del dinero que tenía ahorrado en la compra de un regalo para su hermano, y �25

� del dinero

que le quedaba en comprarse una bicicleta. Si en total se ha gastado 468 euros, ¿cuánto dinero tenía ahorrado?


Los números fraccionarios



AMPLIACIÓN 4Estos alumnos han alcanzado un nivel satisfactorio de conocimientos; por tanto, necesitarán algunas actividadescon un grado de dificultad mayor. Por ello conviene:

• Proponer aumentar la complejidad de los problemas de fracciones, para obligarles a que piensen un poco más.

• Introducir operaciones combinadas, para que se acuerden de que hay que respetar la jerarquía de las mismas.

• Se puede añadir el concepto de número mixto, que suele aparecer cada vez con menos frecuencia y, sin embargo,está presente en numerosas situaciones de la vida cotidiana, cercanas al alumno, como puede ser comprarun kilo y medio (1 1/2 kg) de carne picada.


Regletas de colores

Haremos grupos de 3 ó 4 alumnos y repartiremos a cada grupo regletas de colores como las siguientes.

Debemos tener cuidado al recortar, para quese conserven las proporciones.

A continuación propondremos las siguientes actividades.

1. Encontrar (y expresar con fracciones) la relación que hay entre las distintas regletas.

Solución: Si consideramos que la regleta de color negro representa la unidad, las relaciones son:

regleta roja � �13

� regleta amarilla � �12

� regleta azul � �14

� regleta violeta � �15

� regleta verde � �110�

2. Encontrar fracciones equivalentes, por ejemplo, si tengo tres regletas de color violeta, �35

�, ¿cuántas necesito decolor verde para que midan lo mismo?

Solución: Necesito 6 regletas verdes. Por tanto, �35

� y �160� son fracciones equivalentes.

3. Sumar fracciones con distinto denominador, por ejemplo, �35

� � �12

�.

Solución: Para ello deberán buscar una fracción que esté contenida un cierto número de veces en las dos frac-

ciones. La fracción representada por la regleta verde �110� está contenida 6 veces en �

35

��35

� � �160�� y 5 veces en

�12

��12

� � �150��. Por tanto: �

35

� � �12

� � �1101�.


1. Almudena ha dejado a deber más dinero.

2. Tienen razón María y Jesús.

3. Javier y David tuvieron la misma eficacia.

4. a) �24

� � �58

� � �34

� b) �47

� � �194� � �

57

� � �1141� � �

67

�

5. María es la que más ha comido, y Juan, el que menos.

6. Le faltan 27 euros.

7. Hay muchas posibilidades. Una de ellas:

a) �25

� � �35

� � �15

� b) �135� � �

125� � �

115� � �

165� � �

25

�

8. a) ��

952� b) �

3130�

9. 630 euros


Los números fraccionarios


violeta

azul

amarilla

roja

negra

1 Escribe todos los números comprendidos entre 32,3 y 32,4 que tengan dos cifras decimales.

2 Redondea a las milésimas los siguientes números decimales.

a) 3,2246 c) 2,01962

b) 4,25034 d) 5,399521

3 a) Escribe el número decimal que cumple que:

• Tiene cuatro centenas y setenta y dos unidades.

• La cifra de las unidades es igual que la cifra de las centésimas.

• La cifra de las centenas es la mitad que la cifra de las décimas.

b) Representa en la recta numérica el número decimal del apartado anterior.

4 Completa los números que faltan en las siguientes operaciones para que se cumplan las igualdades.

a) 12,43 � 321,�43 � 334,273 c) 247,�32 � 25,1� � 222,452

b) 17,15 � 12,�3 � 53,4� � 83,05 d) 4,324 � 15,17 � 9,8� � 9,�74

5 Completa los números que faltan en las siguientes series.

a) 2,641 → 2,761 → → → → 3,241

b) 3,24 → 4,23 → → → → 8,19

6 En el año 2002, el consumo medio de agua por habitante y día en Castilla-La Mancha se situó en 0,185 metros cú-bicos, y en las islas Baleares, en 0,127. Si el precio medio del metro cúbico de agua fue de 0,81 euros, ¿cuánto pa-garon en Castilla-La Mancha por el agua que consumieron cada día? ¿Y en las islas Baleares?

Redondea a las centésimas las cantidades anteriores y calcula de un modo aproximado cuánto pagó más Castilla-La Mancha que Baleares al cabo del año.

7 Rafael ha comprado en la papelería cinco cartulinas y una barra de pegamento para realizar un trabajo de plástica.Pagó con un billete de 10 euros y le devolvieron 3 euros y 42 céntimos. Calcula cuánto pagó por la barra de pega-mento si cada cartulina le costó 0,88 euros.

8 Realiza las siguientes operaciones.

a) 2,9 � 3,5 � 2,7 � 1,2 � c) 2,32 � 6,12 � 3,12 � 5,21�

b) 3,2 � 1,93 � 2 � 1,43 � d) 9,2 � 0,2 � 43,39 � 0,1�

9 Al finalizar la guerra, un país ha solicitado a la comunidad internacional 470 000 toneladas de alimentos y 21,4 millo-nes de dólares para atender las necesidades de la población durante un año. Si hay censados un total de 77431000 ha-bitantes, ¿cuánto dinero y alimento debería recibir aproximadamente cada uno?


Los números decimales



AMPLIACIÓN 5Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios delos que van a encontrarse en cursos posteriores, por eso les podemos proponer ejercicios con un nivel de dificul-tad mayor y aumentar la proporción de problemas planteados. También es aconsejable:• Introducir cálculos con operaciones combinadas donde sea necesario respetar la jerarquía de las operaciones.• Plantear situaciones extraídas de la prensa u otro medio de comunicación en las que aparezcan números deci-

males, para su posterior interpretación y manipulación.


El ahorroFormaremos grupos de 3 ó 4 alumnos y pediremos que cada uno del grupo lleve a clase un catálogo con las ofer-tas del supermercado en el que su familia haga la compra o del que se encuentre más próximo a su domicilio. Deeste modo, cada equipo tendrá 4 ó 5 folletos distintos para analizar.• La primera actividad consistirá en comparar precios.

Después de examinar y comparar los catálogos, los alumnos seleccionarán (y recortarán) los artículos que apa-rezcan en más de un folleto. De este modo conseguirán reunir una cantidad suficiente de productos acompaña-dos de dos (e incluso en algunos casos de tres) precios distintos. A continuación propondremos que calculen elvalor de una misma compra en la que figuren los artículos que han seleccionado y hallen cuánto dinero puedenahorrarse simplemente comparando los precios de los productos. Es muy importante que comprendan que, parapoder comparar precios, han de comprobar que en la etiqueta figuren exactamente las mismas características:igual marca, modelo, cantidad… Los alumnos se darán cuenta de que el precio de un mismo producto puede os-cilar a veces más de lo que sospechaban.

• La segunda actividad consistirá en agudizar el sentido crítico.Muchas veces supone un ahorro considerable comprar un tamaño mayor de envase o un lote de varias unida-des… pero otras veces no. En este caso se trata de calcular cuánto dinero nos ahorramos en cada unidad cuan-do compramos lotes de varias unidades o cuánto nos ahorramos en cada litro o kilogramo cuando compramosenvases de mayor tamaño. Nos sorprenderá comprobar que en muchas ocasiones, no solo el precio es el mismo,sino que pagamos más dinero en cada unidad por llevarnos más unidades.

Con estas actividades, los alumnos se darán cuenta de que, manejando con soltura las operaciones matemáticaselementales, pueden ahorrar mucho dinero al ir de compras, y sobre todo agudizarán su sentido crítico al comprobarlos peligros de la publicidad engañosa.


1. 32,31 - 32,32 - 32,33 - 32,34 - 32,35 - 32,36 - -32,37 - 32,38 y 32,39.

2. a) 3,225 b) 4,250 c) 2,020 d) 5,400

3. a) 472,82

b)

4. a) 12,43 � 321,843 � 334,273

b) 17,15 � 12,43 � 53,47 � 83,05

c) 247,632 � 25,18 � 222,452

d) 4,324 � 15,17 � 9,82 � 9,674

5. a) 2,641 → 2,761 → 2,881 → 3,001 → 3,121 →→ 3,241

b) 3,24 → 4,23 → 5,22 → 6,21 → 7,2 →8,19

6. Manchegos: 0,14985 €/día → aprox. 0,15 €/díaBaleares: 0,10287 €/día → aprox. 0,10 €/díaAproximadamente, los manchegos gastaron al año0,05 � 365 � 18,25 € más que los de Baleares.

7. El pegamento cuesta: 10 � 3,42 � 5 � 0,88 � 2,18 €

8. a) 2,9 � 9,45 � 1,2 � 11,15b) 3,2 � 0,965 � 1,43 � 3,665c) 14,1984 � 16,2552 � 30,4536d) 46 � 4,1339 � 41,661

9. Aproximadamente tocan a 6,07 kg de alimento y0,28 dólares por habitante.


Los números decimales


472 473

472,82

1 Escribe y resuelve las ecuaciones que corresponden a las frases siguientes.

a) El triple de un número menos la mitad del mismo es cinco.

b) La suma de tres números pares consecutivos es 18.

c) La suma de la cuarta parte de un número y la tercera parte del mismo número es siete.

d) Al dividir 14 entre un número se obtiene 6 como cociente y 2 como resto.

2 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes a 3 � (x � 4) � 2 � 5x � 3

a) 3x � 11 � 5x � 3 c) �3x2� 4� � 1 � �

10x4� 6�

b) 6x � 20 � 10x � 6 d) x � 4 � �23

� � �53x� � 1

3 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5 � 2 � (a � 1) � 5 � 3 � (a � 1) c) 5x � 1 � 2 � (x � 3) � 13 � 0

b) 6 � (b � 3) � 3 � (2b � 1) � 2 � (b � 9) � 1 d) 6x � 2 � (x � 5) � 4 � 3 � (2x � 5) � 3x � 9

4 Halla la solución de las siguientes ecuaciones.

a) �2x

� � �x �

31

� � 1 � �3 �

4x

� � �13

� c) 4 � (x � 1) � �25

� � (1 � x) � 3x

b) �3c2� 2� � �

c �5

1� � ��

25

� � c d) �x �4

1� � �

x �2

3� � �

18

� � ��x �2

3� � �

x �4

8��

5 Calcula el precio de un balón de baloncesto y de un balón de fútbol.

6 Ángel le dice a Marta: “Tú tienes el triple de canicas que yo, pero si me dieras 10, yo tendría el doble que tú”. Ave-rigua cuántas canicas tiene cada uno.

7 En una granja hay conejos y gallinas, contándose en total 158 patas y 47 cabezas. ¿Cuántos animales hay de cadaclase?

8 En una cooperativa tienen dos tipos de aceite: uno lo venden a 2 euros el litro, y otro, a 3 euros el litro. Quierenpreparar 50 litros de una mezcla de los dos tipos de aceite. ¿Cuántos litros deben poner de cada clase para conse-guir que cada litro de la mezcla cueste 2,10 euros?

9 En una clase de 1.º de ESO han asistido hoy dos terceras partes de los alumnos. Si han faltado 11 de ellos, ¿cuán-tos alumnos habrá en clase el día que vayan todos?


Lenguaje algebraico.Ecuaciones


++ = 34 €

– = 2 €


AMPLIACIÓN 6Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios de losque van a encontrarse en cursos posteriores, por eso:

• Propondremos ejercicios con un nivel de dificultad mayor, en los que necesiten resolver ecuaciones que tenganparéntesis y denominadores de forma simultánea, hasta que su domino sea total.

• Plantearemos problemas que puedan resolverse con una ecuación de primer grado con una incógnita pero queresulten mucho más sencillos de resolver si se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para in-troducirles de este modo en el manejo de los sistemas de ecuaciones.


Dominó de ecuaciones

Para esta actividad necesitamos contar con un dominó en el que cada una de sus fichas esté compuesta en unaparte por una ecuación, y en la otra, por un número. Formamos grupos de 3 alumnos y pedimos que cada grupoconstruya un dominó: pueden utilizar el modelo que se adjunta (que consta únicamente de 15 fichas), o podemosproponer que cada grupo construya su propio dominó (en este caso debemos revisar que cada ecuación tenga susolución correspondiente).

Se reparten las fichas entre los jugadores y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, conel mismo número en las dos partes de la ficha (en nuestro ejemplo, el 1 doble).

El juego consiste en hacer corresponder cada ecuación con su solución o viceversa. Si por cualquier circunstanciano se puede seguir jugando en un momento determinado, ganará el alumno cuya suma de soluciones sea menor.

Presentamos un ejemplo de dominó:


1. a) 3x � �2x

� � 5 ⇒ x � 2

b) 2x � (2x � 2) � (2x � 4) � 18 ⇒ x � 2los números buscados son 4, 6 y 8.

c) �4x

� � �3x

� � 7 ⇒ x � 12

d) 6x � 2 � 14 ⇒ el divisor es x � 2

2. a) No b) Sí c) No d) Sí

3. a) a � 3 b) b � 2 c) x � 2 d) x � 0

4. a) x � 1 b) c � �4 c) x � �272� d) x � �6

5. El balón de baloncesto cuesta 12 €, y el de fútbol, 10.

6. Ángel tiene 6 canicas, y Marta, 18.

7. En el corral hay 15 gallinas y 32 conejos.

8. 45 litros del aceite de 2 euros el litro y 5 litros delaceite de 3 euros el litro.

9. En total hay 33 alumnos.


Lenguaje algebraico.Ecuaciones


1 – x = 3 2

x—2

5x + 1 = 6 –2

2x + 4 = 8 10

–2x + 7 = 1 6

6x –2 = –2 3

x + 3 = 2 4

3x + 2 = 14 0

7x = 14 –4

2x – 1 = 1 1

x + 4 = 0 4

= 3 2

x – 1 = 4 1

6x = 24 1

2 = 5

4x + 1 = 5 –1

x—5

1 El reproductor de música que quiere comprar Ruth cuesta 73 euros en unos grandes almacenes y 96 euros en unatienda en la que hacen un descuento del 25%. ¿Cuánto dinero se ahorrará si lo compra en el sitio más barato?

2 En el colegio de Jaime suelen reciclar el 60% del papel que utilizan en los exámenes. Si este curso han reciclado3000 hojas de papel, ¿cuántas hojas han utilizado en total?

3 En un supermercado tienen la siguiente oferta:

Por compra hasta 30 euros: 10% de descuento.

Por compra de 30 a 60 euros: 15% de descuento.

Por compras superiores a 60 euros: 20% de descuento.

Juan ha realizado la compra semanal en este supermercado. Si ha gastado 70 euros y le han cobrado 59,50, con-testa a las siguientes preguntas.

a) ¿Le han aplicado bien el descuento?

b) ¿Cuánto debería haber pagado?

4 Yago juega como delantero en un equipo de fútbol. Cada semana recibe como paga una cantidad de dinero que esdirectamente proporcional al número de goles que ha marcado en el partido de la liga del barrio. Una semana quemarcó 5 goles recibió 4 euros. ¿Cuánto dinero recibe si mete 2 goles?

5 La razón entre dos números es �34

�, y el menor de los dos es 120. ¿Cuál es el otro número?

6 Calcula los términos que faltan en las siguientes proporciones si sabemos que corresponden a dos números iguales.

a) �3x

� � �2x7� b) �

5y4� � �

6y

�

7 Una bomba de llenado arroja 700 litros de agua cada 14 minutos a una piscina cuya capacidad es de 8 metros cú-bicos. Si el ritmo de llenado se mantiene constante, ¿cuánto tardará en llenarse la piscina?

8 Si una docena de ensaimadas cuesta 9 euros, ¿cuánto costarán 23 ensaimadas?

9 Pedro ha ido a Praga de viaje y ha pagado 2500 coronas checas por un encargo que le había hecho un amigo. Siun euro equivale a 28,33 coronas checas, ¿cuántos euros tendrá que pagar el amigo a Pedro por el encargo que lehizo?

10 Anabel ha recibido una oferta de trabajo en Argentina, con lo que ha pasado de percibir 1400 euros mensuales arecibir al mes 6500 pesos. Si en España tenía 14 pagas anuales y en Argentina tiene 12, ¿cuántos euros gana másal año con la nueva oferta?


Proporcionalidad



AMPLIACIÓN 7Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios de losque van a encontrarse en cursos posteriores. Así incrementaremos el número y la dificultad de los problemas plan-teados sobre proporciones y porcentajes.Además, podría ser interesante pedir a estos alumnos que diseñen por completo un juego de mesa como el que sepropone en la actividad de grupo. Posteriormente, cada grupo jugará con el que haya confeccionado otro equipo,y de este modo podrán detectar posibles errores o fallos de sus compañeros.


Juego de mesa

Formaremos grupos de un máximo de 4 alumnos. Cadagrupo deberá fabricar un tablero como el que se proponea continuación.Reglas del juego:• Cada grupo necesitará un dado y una ficha de distinto

color para cada jugador.• Situar todas las fichas en la casilla número 1. Comen-

zará el jugador que obtenga mayor puntuación al lan-zar el dado.

• En cada turno se avanza la ficha tantas casillas comoindica la puntuación obtenida en el lanzamiento del dado.

• Cuando un jugador caiga en una casilla en la que hayaformulada una pregunta deberá localizar la casilla quetenga la respuesta correspondiente para situar en ella suficha. Hay que tener en cuenta que hay casillas con res-puestas que no corresponden a ninguna de las pregun-tas formuladas.

• Si un jugador falla o no conoce la respuesta, retrocede-rá 3 casillas y pasará el turno al siguiente jugador.

• Gana la partida el primer jugador que llega a la META.


1. 25 % de 96 � 24 ⇒ 96 � 24 � 72 ⇒ se ahorra1 € si lo compra en la tienda que está de ofertas.

2. 60% de x � 3000 ⇒ x � 5000 hojas en total

3. 20% de 70 € � 14 €

a) No lo han aplicado bien.

b) 60 � 14 � 56 €

4.

�54

� � �2x

� ⇒ x � 1,60 €

5. �34

� � �12

x0

� ⇒ x � 160

6. a) x 2 � 3 � 27 ⇒ x � �81� � 9

b) y 2 � 54 � 6 ⇒ y � �324� � 18

7.

700x � 14 � 8000 ⇒ x � 160 minutos

8. Precio de una ensaimada: 9 � 12 � 0,75 €Precio de 23 ensaimadas: 0,75 � 23 � 17,25 €

9. 2500 � 28,33 � 88,2456Pagará 88,25 euros por el encargo.

10. España: 14 � 1400 � 19600 € al añoArgentina: 12 � 6500 � 78000 pesos al año ⇒

⇒ 78000 � 3,45 � 22608,70 € al añoCada año gana de más: 3008,70 €.


Proporcionalidad


Goles 5 2Euros 4 x

Litros 700 8000Minutos 14 x

20 % de 200

15 16 17

M E T A

14 18 46

13 19 45

12 20 44

11 21 43

10 22 42

9 23 41

8 24 40

7 25 39

6 26 38

5 27 37

4 28 36

3 29 35

2 30 34

1 31 32 33

4

=18—–54

3—x

23

40

162

=8—–12

2—3

¿ ?

9

=4—6

2—4

¿ ?

NO

SI

8 % de 25 25 4

2

37 % =?—–?

370——100

37——100

32——100

= ___ %

0,32

3,2

=100—––4

80—–x

32 x % de 40 = 12

30

35

=13—–12

3—2

¿ ?

SI

0,023 = ___ %

NO

2,3

=5—–15

?—3

9

23

1

1 Dibuja la circunferencia que pasa por estos tres puntos.

2 Dibuja un triángulo isósceles cuya base mida 6 cm, y su altura, 2,5 cm.

3 Dibuja dos rectas secantes y traza las bisectrices de los ángulos que se forman. ¿Qué posición relativa tienen las dosrectas que obtienes?

4 Dibuja un triángulo cualquiera en tu cuaderno y traza las tres mediatrices de sus lados. ¿Qué observas?

5 Dibuja un triángulo cualquiera en tu cuaderno y traza las tres bisectrices de sus ángulos. ¿Qué observas?

6 ¿Se puede trazar la mediatriz de la mediatriz de un segmento? ¿Por qué?

7 Calcula la medida de los siguientes ángulos.

a) El complementario del complementario de un ángulo de 35�.

b) El suplementario del suplementario de un ángulo de 75�.

c) El complementario del suplementario de un ángulo de 105�.

d) El suplementario del complementario de un ángulo de 65�.

8 El ángulo Ap mide 55�. ¿Cuánto miden los demás ángulos de la figura?


Rectas y ángulos


A

B

C

AB

CD

EF

GH

LK

JI


AMPLIACIÓN 8Nuestros alumnos ya dominan todos los conceptos básicos de la unidad, por eso hay que proponerles actividadesque les permitan descubrir nuevas propiedades de estos elementos geométricos.También podemos aprovechar para que observen la realidad con ojos matemáticos, buscando la geometría en loselementos que les rodean.Así, entre otras muchas posibilidades, podemos:• Proponer actividades guiadas para que descubran el incentro y el circuncentro de los triángulos a partir de las

mediatrices y bisectrices.• Orientarles para que con las herramientas básicas vistas hasta el momento obtengan resultados más complejos

e interesantes.• Guiarles para que en los problemas comprendan la utilidad de los elementos estudiados y distingan claramente

cada uno de los pasos necesarios para realizarlos.• Incitarles a que busquen los elementos geométricos estudiados en su entorno inmediato: centro de estudios, vi-

vienda, lugar de residencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes.


A la caza del ángulo obtuso

En los edificios que nos rodean es muy fácil encontrar segmentos, rectas paralelas, secantes, perpendiculares… Algomás complicado es encontrar ángulos agudos, aunque lo que resulta más difícil, pero no imposible, es encontrarángulos obtusos; esa es la actividad que se propone.En grupos de 3 ó 4 personas deben localizar en su entorno situaciones que ilustren el concepto elegido (ángulosobtusos, en este caso). Cuando ya tengan buscados unos cuantos (por ejemplo, 5), se analizarán en conjunto y sedecidirá qué fotos son las que se van realizar y entregar posteriormente. Para esta actividad resulta convenienterecoger por escrito las ideas surgidas en la puesta en común de manera que toda la clase disponga de ellas. Tam-bién resulta de gran ayuda, para la búsqueda de situaciones, entregarles una ficha en la que tengan que anotar:� ¿Qué busco?� Descripción gráfica de la situación elegida.� Descripción con palabras.� Posibles títulos de la futura foto.


1. Primero se trazan lasmediatrices de los seg-mentos AB y BC. Obte-nemos un punto P in-tersección de ambas.El punto P es el centro dela circunferencia busca-da. Trazamos con el com-pás la circunferencia concentro en P y radio PA.

2.

3. Son dos rectas perpendiculares.

4. Las mediatrices de los 3 lados de un triángulo se cor-tan en un punto (el circuncentro del triángulo: elcentro de la circunferencia circunscrita).

5. Las bisectrices de los 3 ángulos de un triángulo secortan en un punto (el incentro del triángulo: el cen-tro de la circunferencia inscrita).

6. No es posible porque la mediatriz de un segmentoes una recta, y no se puede trazar la mediatriz deuna recta. Solamente tiene sentido trazar mediatri-ces de segmentos.

7. a) 35� b) 75� c) 15� d) 155�

8. Bp � Fp � Dp � Hp � 125�

Cp � Ep � Gp � Jp � Kp � 55�

Ip � Lp � 35�


Rectas y ángulos


A

B

C

P

C

A 6 cm B

2,5 cm

Mediatriz de AB

1 ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

2 En el triángulo rectángulo de la figura se han trazado sus 4 puntos notables. ¿Qué observas?

Dibuja varios triángulos rectángulos más, localiza sobre ellos sus 4 puntos notables y comprueba si en todos ellosocurre lo mismo.

3 Observa estos dos triángulos y señala las características comunes que encuentres.

4 El triángulo ABC no es rectángulo, pero conocemos la medida de dos de sus lados y la distancia desde el vértice Aal pie M de la altura trazada desde B. Calcula la medida de la altura BM y del lado BC.

5 Calcula la medida de los lados de un triángulo equilátero cuya altura mide 24 centímetros.

6 Calcula el perímetro del siguiente polígono en función de la medida del lado L.


Triángulosy cuadriláteros


C

BI

O

A

12 cm2 cm

4 cm

C

B

M

A

2l

C

E D

Bl

l/2


AMPLIACIÓN 9Nuestros alumnos ya manejan con soltura y rapidez los conceptos elementales trabajados en esta unidad. Son ca-paces de clasificar triángulos y cuadriláteros, saben dibujar triángulos conociendo solo algunos datos, y manejansus rectas y puntos notables. Además dominan con soltura el teorema de Pitágoras. Por tanto, podemos dar un pasomás y proponerles ejercicios en cuya resolución no sea tan evidente cómo hay que aplicar dicho teorema.

Por eso ha llegado el momento de dar un paso más y aprovechar todos estos conocimientos para intentar resolverproblemas algo más complejos. Por ejemplo, podemos:

• Proponer actividades de utilización de los criterios de igualdad en las que los triángulos tengan posiciones diferentes.• Aplicar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.• Actividades que requieran de la aplicación reiterada del teorema de Pitágoras y en cuyos cálculos necesiten uti-

lizar el lado obtenido en la primera aplicación del teorema.• Problemas que involucren el cálculo de distancias y que requieran del planteamiento y resolución de ecuaciones

sencillas.


Trabajo de investigación: la recta de Euler

Una vez que conocen los puntos notables del triángulo, un paso añadido es obtener la recta de Euler. Se presenta la ac-tividad como un trabajo de investigación guiado de forma que al final construyan la recta y conozcan sus propiedades.

1. Cada grupo tiene que dibujar en una cartulina un triángulo escaleno. Es importante que cada grupo dibuje untriángulo diferente para comprobar que la recta de Euler es independiente del triángulo dibujado.

2. Sobre el triángulo deben localizar y señalar con lápiz los cuatro puntos notables: ortocentro (O), baricentro (G),circuncentro (C) e incentro (I).

3. Ahora trazarán la recta que determinan el ortocentro y el baricentro. Les pediremos que comprueben si pasa poralgún otro punto notable más.

4. Es el momento de la puesta en común; los distintos grupos compartirán los resultados obtenidos y descubriránque en cualquier triángulo el ortocentro, baricentro y circuncentro están alineados.

5. Pediremos que cada grupo mida la longitud de los segmentos GO y GC, y tras anotar en la pizarra los resulta-dos llegaremos a la conclusión de que se cumple que la distancia entre el baricentro y el ortocentro es el do-ble que la distancia entre el baricentro y el circuncentro, es decir: GO � 2 � GC.

6. Como continuación del trabajo de investigación se les puede proponer que averigüen en qué triángulos el in-centro está también en la recta de Euler y que comprueben qué ocurre en los triángulos equiláteros.


1. Hay 26 cuadrados: 15 de 1 � 1, 8 de 2 � 2, 3 de3 � 3.

Hay 22 rectángulos de 2 � 1, 14 de 3 � 1, 6 de4 � 1, 3 de 5 � 1, 10 de 3 � 2, 4 de 4 � 2, 2de 5 � 2, 2 de 3 � 4 y 1 de 3 � 5.

En total son 90.

2. El circuncentro coincide con el punto medio de lahipotenusa, y el ortocentro es el vértice del ángulorecto.

3. Los dos son triángulos rectángulos que tienen la mis-ma hipotenusa, pues tienen un ángulo inscrito queabarca una semicircunferencia.

4. BM � 42 � 22 → BM � �12� � 3,46 cm

BC � �12 ��102� � 10,58 cm

5. 242 � l 2 � ��2l��

2

242 � �34

�l 2

l � ��43

� � 24� � 27,71 cm

6. BD 2 � l 2 � ��2l��

2

� �54l 2

� ⇒ BD � �5� �2l�

Perímetro: l � l � 2l � 2 � �5� �2l� � 4l � �5l�


Triángulos y cuadriláteros


l/2

l l

24 cm

l/2

1 Determina el valor de x en los siguientes polígonos.

a) b)

2 Tenemos tres circunferencias C1, C2 y C3 cuyos radios miden 1 centímetro, 2 centímetros y 3 centímetros respecti-vamente. La tres circunferencias verifican las siguientes condiciones.

a) Los centro de las tres circunferencias están alineados.

b) C1 y C3 son tangentes interiores.

c) C2 y C3 son tangentes exteriores.

Averigua las posibles distancias entre sus centros.

3 Indica la posiciones relativa indicada en cada caso de las circunferencias y rectas de la siguiente figura.

a) C1 y C2 c) C1 y t e) C2 y sb) C1 y r d) C2 y t f) C1 y s

4 Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras.

a) b)

5 Dibuja un dodecágono regular inscrito en un circunferencia de radio 1,5 centímetros.

6 Un ángulo inscrito de una circunferencia mide 40� y abarca un arco de circunferencia de 18 centímetros.

Calcula la longitud que tiene la circunferencia.


Propiedadesde las figuras planas


2xx

140° 100°6x

160°150°

20°

t s

r

C1

C2

B

65 °

A2A

A

60°


AMPLIACIÓN 10Nuestros alumnos ya manejan con soltura y rapidez los conceptos elementales trabajados en esta unidad. Conocenla suma de los ángulos interiores de un polígono, saben dibujar los polígonos regulares y buscar simetrías en figurasplanas. Además conocen y dominan los ángulos en las circunferencias y las posiciones relativas de estas.Por eso ha llegado el momento de dar un paso más y aprovechar todos estos conocimientos para intentar resolverproblemas algo más complejos. Por ello, es útil:• Utilizar los elementos de los polígonos para intentar buscar otras características comunes a ellos.• Siempre que sea posible, trabajar con el entorno para plantear y resolver ejercicios en los que intervengan los

conceptos y propiedades estudiados.• Identificar las posiciones relativas entre circunferencia y entre circunferencias y rectas.


Busca simetrías

Formaremos grupos de un máximo de 4 alumnos. Cadagrupo deberá fabricar un tablero como el que se propo-ne a continuación.Reglas del juego:• Cada grupo necesitará un dado, un libro de espejos y

una ficha de distinto color para cada jugador.• Situar todas las fichas en la primera casilla. Comenza-

rá el jugador que obtenga mayor puntuación al lanzarel dado.

• En cada turno se avanza la ficha tantas casillas comoindica la puntuación obtenida en el lanzamiento del dado.

• Cuando un jugador caiga en una casilla en la que hayadibujada una figura deberá localizar, con ayuda del li-bro de espejos, los ejes de simetría que tiene la figuray avanzar tantas casillas como ejes de encuentre enella.

• Gana la partida el primer jugador que llega a la META.


1. a) x � 40� b) x � 20�

2. Hay cuatro posible dibujos pero dos son simétricos yno varían las distancias.

i) ii)

AB � 3 cm AB � 7 cmAC � 2 cm AC � 2 cmBC � 5 cm BC � 5 cm

3. a) Tangentes exteriores. d) Exteriores.b) Tangentes. e) Tangentes.c) Tangentes. f) Tangentes.

4. a) Ap � 30�

b) Ap �25�; Bp � 65�

5.

6. El ángulo central correspondiente al inscrito de 40�mide 80� y abarca un arco de circunferencia de 18 cm.Así:

360� � 80� � 4,5

18 � 4,5 � 81

La circunferencia tiene 81 cm de longitud.


Propiedades de las figuras planas


M E T A

C A B CA B

A B

1 Existen, además del metro, otras unidades para medir longitudes. Trata de buscar información sobre otros sistemasde medida, estableciendo las equivalencias con el metro y poniendo ejemplos de la vida diaria donde se utilicen.

2 El sistema métrico decimal no se estableció hasta el siglo XVIII. Antiguamente existían otros sistemas. Realiza un tra-bajo de investigación para ver cómo han ido evolucionando a lo largo de la historia las unidades de medida, estu-diando el sistema egipcio, el griego y el romano hasta la actualidad.

3 Ordena de mayor a menor las cantidades A, B y C.

A: 5 mag 300 dag 800 g

B: 28 dag 1 hg 5000 g

C: 5 Qm 300 dag 80000 dg

4 Un comerciante compra el kilogramo de café a 3,70 euros. Al tostarlo pierde un 25% de masa. ¿A cómo debe venderlos paquetes de cuarto kilogramo de café si quiere obtener un beneficio del 35%?

5 En muchas ocasiones es necesario utilizar unidades de longitud más pequeñas que el milímetro, por ejemplo, paramedir bacterias y virus. Las más extendidas son: la micra, el nanómetro y el ángstrom.

a) Busca información sobre la equivalencia de estas medidas.

b) Indica cuántos metros son 13500 nanómetros.

6 Problema de las pesas de Bachet: “¿Qué número mínimo de pesas hay que utilizar en un juego de balanzas para po-der pesar cualquier número entero de kilogramos entre 1 y 40?”.


Sistema de medidas


AMPLIACIÓN 11El sistema métrico decimal se ha estudiado en cursos anteriores, por lo que habrá alumnos que dominen plena-mente su manejo. El desarrollo de la unidad para este tipo de alumnos puede ir encaminado a:

• Ampliar los múltiplos y submúltiplos de alguna magnitud, estableciendo la necesidad de su uso con ejemplos.• Fomentar el gusto por la investigación matemática, guiándo a los alumnos en el estudio de la evolución histó-

rica de los diferentes sistemas de medidas, desde Grecia, Roma y Egipto hasta llegar, en el siglo XIX, al estable-cimiento del sistema métrico decimal (París, 1849).

• Apreciar la existencia de otros sistemas de medida diferentes al sistema métrico decimal, establecidos en otrospaíses, y pedirles que encuentren las equivalencias entre ellos.

Desarrollar un pensamiento lógico con el planteamiento y resolución de problemas de ingenio matemático, sobretodo los relacionados con pesos y pesadas.


Construcción de un dominó de medidas

Se divide la clase en seis grupos y cada grupo construirá un dominó diferente, de tal manera que haya dos domi-nós con medidas de capacidad, dos con medidas de longitud y dos con medidas de masa.

En un dominó normal hay 7 resultados, del 0 al 6, cada uno de los cuales se repite 8 veces. A cada grupo se leentrega, en un folio, siete medidas diferentes, con unidades distintas, y se les pide que expresen dichas medidas deocho maneras diferentes, empleando también unidades complejas. Una vez que lo hayan hecho, los grupos se in-tercambian las medidas entre ellos, por magnitudes, es decir, los dos grupos de capacidad las intercambian entreellos, y lo mismo el resto de los grupos; así, cada grupo corrige las equivalencias de las unidades dadas al princi-pio. Cuando estén corregidas, construyen el dominó correspondiente a esos valores, siguiendo la misma plantillaque se entregó en la actividad de grupo de la unidad 1.

En una clase posterior se reparten los dominós por grupos, para que los alumnos jueguen.


1. Algunos ejemplos serían:• La pulgada, que equivale a 0,0254 metros. Se uti-

liza para indicar las dimensiones de monitores ypantallas de televisión. Cuando se dice que un te-levisor es de 22 pulgadas, nos referimos a la me-dida de su diagonal.

• El pie, que equivale a 0,3048 metros. En muchospaíses, las profundidades de piscinas y mares, y lasalturas que alcanzan los aviones se miden en pies.

• La yarda, que equivale a 0,9144 metros (3 pies).En el fútbol americano, la distancia recorrida porlos jugadores se mide en yardas.

• La milla terrestre, que equivale a 1 760 yardas. En EE.UU., las distancias por carretera se miden en yardas.

2. En el libro Historia de la matemática, de Carl Boyer(Alianza Editorial), encontraremos información sobreel tema.

3. C � A � B

4. 1,42 euros

5. a) Las equivalencias de estas unidades son:• La micra, que equivale a la milésima parte del

mm, y cuyo símbolo es la letra griega _.• El nanómetro, que equivale a la millonésima

parte del mm, y cuyo símbolo es nm.• El ángstrom, que equivale a una milésima del

nanómetro, y cuyo símbolo es Å.

b) 13 500 nm � 0,0000135 m

6. Si se sitúan pesas en ambos lados de la balanza, deforma que también puedan ponerse junto con el ob-jeto que queremos pesar, son necesarias solo cuatropesas: de 1 kg, 3 kg, 9 kg y 27 kg, respectivamente.Consideraremos la pesa que se sitúa en el mismo pla-tillo que el objeto como un peso negativo.

En los siguientes ejemplos se pesan objetos de 2y 23 kg, respectivamente.


Sistema de medidas



23 kg2 kg

1 kg 3 kg 1 kg 3 kg27 kg

1 Calcula el área de la superficie coloreada en la siguiente figura.

2 En un patio cuadrado de 64 metros cuadrados van construir un estanque circular. Si quieren que la distancia entreel estanque y las paredes del patio sea de 1,5 metros.

a) ¿Cuánto debe medir el radio del estanque?

b) ¿Cuál será su área?

3 Un jardín rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho está cruzado por dos caminos perpendiculares. El ca-mino más largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Además, en una de las esquinas hay una fuente circularde 2,5 metros de diámetro.

¿Cuál es la superficie útil que queda en el jardín para plantar césped?

4 Calcula el área de cada uno de los cuatro triángulos que se forman al trazar las diagonales de un cuadrado de lado l,y exprésala en función del lado del cuadrado.

5 ¿Cuánto aumenta el área de un cuadrado si prolongamos cada uno de sus lados 5 centímetros?

6 El radio de la circunferencia de la figura mide 8,2 metros.

Calcula el área de la superficie sombreada.

7 Calcula el área del segmento circular representado en la siguiente figura.

8 El triángulo inscrito en la circunferencia de la figura es rectángulo, y lasregiones sombreadas reciben el nombre de lúnulas de Arquímedes.

Calcula su área.


Perímetros y áreasde figuras planas


12 cm

6 cm

10 cm

6 cm8 cm

AMPLIACIÓN 12Si los alumnos ya manejan con soltura las áreas y los perímetros de las figuras planas, debemos aprovechar paradar un paso más.

• Proponer figuras en las que, para calcular su área, los alumnos deban aplicar los conocimientos que han adquiri-do en otras unidades, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, parar obtener la medida de alguno de los elementos.

• Pedir que calculen el área de figuras planas que requieran de una descomposición en más de dos figuras elementales.• Plantear ejercicios basados en situaciones reales, en los que el alumno, para calcular el área, tenga que realizar

mediciones de objetos para obtener los datos.


Los pentaminós

Para realizar la actividad que se propone es necesario que cada uno de los alumnos tenga una cartulina en laque haya pegado una hoja de papel cuadriculado (resulta ideal que la cuadrícula sea de 1,5 cm de lado).Se formarán grupos de 3 ó 4 alumnos y se les darán las siguientes pautas:

1. Explicamos que se llama triminó a una figura formada por 3 cuadrados iguales unidos por sus lados de formaque al menos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado. Dibujamos en la pizarra los 2triminós posibles.

2. Explicamos que un cuatriminó es una figura formada del mismo modo, pero con 4 cuadrados, y pedimos que in-tenten dibujar todos los cuatriminós posibles. Después, en una puesta en común, analizamos las 5 posibilidades.

3. Planteamos que investiguen cuántos pentaminós (poliminó formado por 5 cuadrados) diferentes existen, paraposteriormente, en una puesta en común, analizar los 12 posibles.

4. Cada alumno se construirá su propio juego de pentaminós, en una cartulina en la que haya pegado una hoja depapel cuadriculado (resulta ideal que la cuadrícula sea de 1,5 cm de lado), y recortará las piezas.

5. Cada grupo construirá un tablero cuadrado de 8 � 8 cuadrículas y jugará al siguiente juego:a. Un jugador pone una de sus piezas sobre el tablero, el jugador de su derecha pone otra pieza (de las suyas) sin que

se superponga con la anterior, y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores no pueda poner ninguna pieza.b. Este jugador queda eliminado y los restantes empiezan de nuevo el juego hasta eliminar a otro jugador.c. Gana el jugador que consiga eliminar a los restantes del grupo.


1. A � �3,14

2� 242

� � 3,14 � 122 � 452,16 cm2

2. Lado del patio: �64� � 8 metrosDiámetro del estanque: 8 � 2 � 1,5 � 5 metros.

a) Radio del estanque: 2,5 metrosb) Área del estanque � 3,14 � 2,52 � 19,625 m2

3. 24 � 18 � (24 � 2,8 � 18 � 2,2 � 2,8 � 2,2 �

� 3,14 � 1,252) � 326,45375 m2

4. Las diagonales determinan 4 triángulos iguales, lue-

go el área de cada uno es: �l4

2

�

5. (l � 5)2 � l 2 � l 2 � 10l � 25 � l 2 � 10l � 25

Es decir, el área aumenta en 25 cm2 más 10 veces lalongitud del lado inicial.

6. Ic � ��16

2,42

�� 11,60 m

A. cuadrado: 11,602 � 134,48 m2

A. círculo: 3,14 � 8,22 � 211,1336 m2

A. sup. sombreada: �38,3268 m2

7. Apotema hexágono: 62 � a2 � 32 ⇒ a � 5,2 cm

A. círculo: 3,14 � 62 � 113,04 cm2

A. hex: �6 � 6

2� 5,2� � 93,6 cm2

A. del segmento circ.: �113,05

6� 93,6� � 3,24 cm2

8. A � �3,14

2� 32

� � �3,14

2� 42

� � ��3,142� 52

� � �6

2� 8��

A � 24 cm2

211,1336 � 134,48��

2


Perímetros y áreasde figuras planas



1 Calcula el volumen de estas dos figuras tomando como unidad de medida los siguientes modelos.

2 Copia y completa la siguiente tabla.

3 Diego está colocando paquetes de chicles dentro de cajas de cartón. Las dimensiones de las cajas son: 1,2 metrosde largo, 6 decímetros de ancho y 36 centímetros de alto. Las dimensiones de los paquetes de chicles son: 8 centí-metros de largo, 6 de ancho y 3 de alto.

¿Cuántos paquetes puede colocar en cada caja sin que sobren huecos?

4 En una fábrica necesitan cajas de plástico con forma de ortoedro de 48 centímetros cúbicos de volumen. Escribe lasposibles medidas, en centímetros, que tendrán las dimensiones si sabemos que todas serán números naturales.

5 Calcula el área lateral de las 6 caras de un cubo si sabemos que tiene un volumen de 64 centímetros cúbicos.

6 Un ortoedro tiene de dimensiones 9 centímetros de largo, 12 de ancho y 15 de alto. Calcula la longitud de las dia-gonales de sus caras.

7 Halla el volumen de un ortoedro sabiendo que su base es un cuadrado de 10 centímetros de lado y que el área desus cuatro caras laterales es cuatro veces el área de la base.

8 Expresa en centímetros cúbicos las siguientes fracciones de litro.

a) �12

� litro b) �14

� de litro c) �34

� de litro d) Cuarto y mitad de litro

9 David tiene dos cajas, una azul y otra roja. La caja azul es el doble de alta que la roja, pero la caja roja es una vezy media más ancha y más larga que la caja azul.

¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad?


Cuerpos geométricos


a) b)A) B) C)

Largo Ancho Alto Volumen

Ortoedro 1 15 cm 12 cm 18 cm

Ortoedro 2 10 cm 15 cm 175 cm3

Ortoedro 3 25 cm 20 cm 115 dm3

Ortoedro 4 11 cm 1 dm 111 m3

Cubo 1 15 cm

Cubo 2 1 216 cm3


AMPLIACIÓN 13Cuando los alumnos dominen los conceptos estudiados en esta unidad, daremos el paso siguiente, que consistirá en:• Proponerles figuras complejas dibujadas en dos dimensiones de las que tengan que hallar su volumen. Así desarro-

llaremos su capacidad de abstracción y visión espacial.• Expresar los datos con distintas unidades de medida, para que pongan especial atención y acepten que son una

parte más de las actividades.• Introducirles nuevos conceptos (área lateral y total, poliedros regulares, pirámides…) para despertar en ellos ga-

nas de saber y aprender más.• Proponerles problemas de la vida cotidiana para que sigan descubriendo la utilidad y necesidad de las matemá-

ticas en general y de la geometría en particular a la hora de enfrentarse a situaciones de la vida diaria y resol-verlas satisfactoriamente.


Del plano al espacio: los hexaminósEsta actividad pretende que los alumnos den el paso de dos a tres dimensiones de una forma lúdica y manipulando losmateriales. Es necesario que hayamos trabajado la actividad en grupo de la unidad 12, ya que esta es la continuación.Se formarán grupos de 3 ó 4 alumnos y se les darán las siguientes pautas:1. Recordaremos qué son los poliminós y en particular los 12 pentaminós obtenidos en la unidad 12.2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 � 1, 5 cm sería ideal) y les pediremos que, de for-

ma individual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible.3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes y en ese momento empezará la

labor del grupo.4. Entre los miembros del grupo deben intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan

y completar la colección.5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo

limpio y ordenado para poder realizar la actividad final.6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concep-

to, habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual lesproporcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos…


1. a) 26 A; 13 B; �236� C

b) 39 A; 19,5 B; 13 C

2.

3. Volumen de las cajas: 120 � 60 � 36 � 259200 cm3

Volumen del paquete de chicles: 8 � 6 � 3 � 144 cm3

259200 � 144 � 1800

En cada caja caben 1800 paquetes de chicles.

4. 1 � 1 � 48; 1 � 2 � 24; 1 � 3 � 18;1 � 4 � 12; 1 � 6 � 8; 2 � 2 � 12;2 � 3 � 8; 2 � 4 � 6; 3 � 4 � 4

5. Como 43 � 64 → el lado del cubo mide 4 cm.Área de una cara lateral: 4 � 4 � 16 cm2.Como hay seis caras, el área total será: 16 � 6 � 96 cm2.

6. Las diagonales de las caras miden: 15, 17,49 y 19,21 cm,respectivamente.

7. Se trata de un cubo de 1000 cm3 de volumen.

8. a) 50 cm3 b) 25 cm3 c) 75 cm3 d) 37,5 cm3

9. Va � 2x � y � z � 2xyzVr � x � 1,5y � 1,5z � 2,25xyz

�VV

a

r� � �2,

22x5yxzyz

�� 1,125

La capacidad de la caja roja es 1,125 veces mayorque la de la caja azul.


Cuerpos geométricos


Largo Ancho Alto VolumenOrtoedro 1 15 cm 12 cm 8 cm 1440 cm3

Ortoedro 2 10 cm 15 cm 0,5 cm 75 cm3

Ortoedro 3 25 cm 10 cm 20 cm 5 dm3

Ortoedro 4 100 km 1 cm 1 dm 1 m3

Cubo 1 5 cm 5 cm 5 cm 125 cm3

Cubo 2 6 cm 6 cm 6 cm 216 cm3

1 Cuatro amigos han anotado en la siguiente gráfica el número de mensajes que se han enviado y el precio que leshan costado.

a) ¿Todos han pagado lo mismo por cada mensaje?

b) ¿A quién le cuesta menos cada mensaje?

c) ¿A quién le cuesta más cada mensaje?

2 Relaciona cada situación con las siguientes gráficas.

a) Altura de una persona según su edad.

b) Dinero que pago por el alquiler de una película según el tiempo que la tengo.

c) Distancia a la que estoy de mi casa durante 24 horas.

3 Identifica cuáles de las siguientes gráficas son de proporcionalidad directa y encuentra en ellas la fórmula.

4 Representa las siguientes funciones.

a) b)


Funciones


N.° de mensajes1

5

Prec

io (

cont

)O

JuanMaría

Paula

Pedro

1

1

O

Y

X 1

1

O

Y

X 1

1

O

Y

X

III)II)I)

1

1

O

Y

X 1

1

O

Y

X 1

1

O

Y

X

a) b) c)

f (x) � � 4x si x es menor que 02x si x es mayor o igual que 0

f (x) � � x si x es mayor que 0�x si x es menor o igual que 0


AMPLIACIÓN 14Estos alumnos deben resolver problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores. Así:

• Puesto que dominan la representación de puntos en el plano, añadiremos gráficas cartesianas para que, despuésde analizarlas, puedan interpretarlas correctamente.

• Pasaremos a interpretar gráficas que describan situaciones más complejas en las que aparecen característicascomo el crecimiento, el decrecimiento, la continuidad, ...

• Un vez que sepan representar las funciones de proporcionalidad directa, se les pueden proponer actividades enlas que donde se trabaje el proceso inverso. Por ejemplo, dadas unas gráficas, identificar cuáles son de propor-cionalidad directa y hallar su fórmula.

• Propondremos dibujar funciones definidas a trazos en los que cada trozo sea una función de proporcionalidad.


Hundir la flota

Dividimos la clase en grupos de dos alumnos, cada uno de los cua-les tiene que dibujar un eje de coordenadas como el de la figura.

Cada jugador tiene que dibujar tres barquitos que tienen que cu-brir una, dos y tres coordenadas en forma horizontal o vertical.

Se elige al azar al jugador que comienza y, por turnos cada unoindica una coordenada, el otro jugador tiene que decir “hundi-do” si se han descubierto todas las coordenadas de un barco, “to-cado” si en la coordenada hay un barco pero quedan coordena-das por descubrir, y “agua” si en esa casilla no hay un barco.

Gana el jugador que descubre dónde están todos los barcos delcontrario.


1. a) No

b) Pedro ha pagado 1 céntimo por mensaje.

c) Juan ha pagado 10 céntimos por mensaje.

2. a) II b) III c) I

3. a) Sí. y � �13

� x

b) No.

c) Sí. y � �2x

4. a)

b)


Funciones


1

1

O

Y

X

1

1

O

Y

X

O 1

1

X

Y

Barco bien colocado Barco mal colocado

1 La gráfica muestra la producción de energía eléctrica en Españadesde 1995 hasta 2003. Obsérvala con atención y responde a lassiguientes preguntas.

a) ¿Crees que la energía obtenida del agua, del viento y del solpuede igualar a la energía nuclear?

b) ¿Cuál es la energía que ha experimentado un mayor crecimiento?

c) ¿En qué períodos se produjo una disminución de la energía hi-droeléctrica? ¿Qué repercusión tuvo en la producción de las ener-gías térmicas?

2 Según la Dirección General de Tráfico, la siguiente gráfica recoge el número de muertos que se han producido enlas carreteras españolas entre los años 1990 y 2003.

a) ¿Cuáles son los dos períodos en que más rápidamente descen-dió el número de muertos en carretera?

b) ¿Entre qué dos años se alcanzó el menor número de víctimasmortales?

c) ¿Qué ocurrió en el espacio de tiempo comprendido entre 1999y 2001?

3 Completa la siguiente tabla de frecuencias.

4 En los últimos 10 años, el número de alumnos extranjeros que es-tudian en España se ha multiplicado por 8. En el curso 2003-2004alcanzaba los 389726 alumnos, lo que representaba un 5,7% deltotal.

a) Calcula, aproximadamente, cuántos alumnos estudiaron en Es-paña en el curso 2003-2004.

b) Observa la gráfica y calcula cuántos alumnos extranjeros pro-venían de América en el curso 2003-2004.

5 Calcula la probabilidad de que la aguja de la ruleta marque los siguientes casos.

a) La casilla 2. c) Casilla blanca y par.

b) Una casilla blanca. d) Casilla impar y blanca.


Estadística y probabilidad


DATOS F. ABSOLUTA F. RELATIVA %A 7B 0,24CD 4

TOTAL 25 1 100

Añ02009896 0301999795

Hidroeléctrica,eólica y solar

Térmica nuclearTérmica clásica

16014012010080604020

Mue

rtos

en

carr

eter

a

1990

5 800

4 3001995 2000 2003

4 600

4 900

5 200

5 500

Años

América del Norte1,1 %

Alumnado extranjero por área geográfica de nacionalidad.Curso 2003–04

América del Sury Central 50,5 %

Europa 25,2 %

África 18,9 %

Asia y Oceanía 4,4 %

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

I) II) III) IV)


AMPLIACIÓN 15Estos alumnos deben resolver problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores. Así:

• Aumentaremos el nivel de dificultad en las actividades relacionadas con el agrupamiento de datos en tablas es-tadísticas.

• Aportaremos gráficos de barras o diagramas de sectores (si es posible, sacados de la prensa o de cualquier otromedio), para pedir que los interpreten y realicen algún comentario crítico.

• Calcularemos la probabilidad de sucesos más complejos.


Vamos a las carrerasPara esta actividad se necesita un tablero como el de la figura, dos dados cúbicos de distinto color y fichas de colores.Se agrupa a los alumnos en grupos. El número mínimo de alumnos en el grupo debería de ser 5 para cubrir lasdistintas probabilidades que se pueden asignar a los distintos números, y el número máximo es diez.El juego consiste en lanzar sucesivamente los dos dados y avanzar una casilla el jugador que ha elegido esa casilla.Es aconsejable repetir varias veces el juego para que los alumnos vean que la probabilidad de cada casilla es dis-tinta, también convendría repetir el juego con un tablero con 6 números y utilizar un solo dado, comprobando queen este caso la probabilidad de cada casilla es la misma.


Estadística y probabilidad


1. a) Síb) La térmica clásicac) Desde el año 1996 hasta el 1999 y desde el año

2001 hasta el 2002. En esos períodos se pro-dujo un gran aumento de la térmica y un lige-ro aumento de la térmica nuclear.

2. a) Desde 1990 hasta 1992 y desde 1993 hasta 1994.b) Entre 1996 y 1997.c) El número de víctimas se mantuvo estable.

3.

4. a) 5,7% de x � 389 726 ⇒⇒ x � 389 726 � 0,56 � 683729,824Aproximadamente 6 837 298 alumnos en total.

b) 51,6% de 389726 � 201098,616Aproximadamente, 201099 alumnos provenían deAmérica.

5.


DATOS F. ABSOLUTA F. RELATIVA %A 7 0,28 28B 6 0,24 24C 8 0,32 32D 4 0,16 26

TOTAL 25 1 100

23456789101112

M

E

T

A

a) b) c) d)

Ruleta I �16

� �12

� 1 0

Ruleta II �16

� �12

� �16

� �12

�

Ruleta III �16

� �12

� �12

� �16

�

Ruleta IV �16

� �12

� 0 1

eso_1º - act. de ampliacion matematicas (abaco)

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