esercitazioni fond. mecc. strutturale

Fondamenti di Meccanica Strutturale – 09IHRMN Anno accademico 2011-2012

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EEsseerr ccii ttaazziioonnee 11

PARTE A Questa parte dell’esercitazione ha come oggetto una serie di esercizi sul calcolo del numero dei gradi di libertà di corpi rigidi nel piano. In particolare sono proposti esercizi a partire da un grado di difficoltà elementare fino a un grado di difficoltà media.

CORPO RIGIDO NEL PIANO

A) ASTA LIBERA NEL PIANO L’asta è un corpo rigido. Quanti gradi di libertà (DOF) ha un asta nel piano? n-m=l

3-0=3 l=3

Per descrivere la posizione dell’asta possiamo

utilizzare ad esempi le tre coordinate xA, yA ed αααα. Intuitivamente possiamo concludere che l’asta nel piano ha tre gradi di libertà. Non essendo presente nessun vincolo. “In generale qualunque corpo rigido non vincolato

nel piano ha tre DOF”

B) ASTA INCERNIERATA AD UN ESTREMO Qual è il numero di gradi di libertà (DOF) dell’asta?

Uno. Ad esempio αααα .


2

C) ASTA INCERNIERATA AD UN CARRELLO Numero di DOF dell’ asta? Due DOF:

xA, ed αααα.

D) TRAVE INCASTRATA

Numero di DOF della trave o asta incastrata? Nessun movimento possibile. Zero DOF.

OSSERVAZIONE: Abbiamo visto le caratteristiche dei più comuni vincoli nel piano. Ogni vincolo elimina alcuni dei DOF del corpo libero: possiamo schematizzare così i vincoli in base al numero di DOF che eliminano: INCASTRO: m=3 CERNIERA FISSA: m=2 CARRELLO: m=2 CARRELLO INCERNIERATO (APPOGGIO): m=1


3

E) LASTRA INCERNIERATA AD UN ESTREMO Numero di DOF? Anche la lastra è un corpo rigido. Nel piano ha n=3. La cerniera ne toglie DUE. n-m=l 3-2=1 DOF

F) ASTA INCERNIERATA IN A ED APPOGGIATA IN B

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano =3 DOF (n=3) Cerniera Fissa = -2 DOF (m=2) Appoggio = -1 DOF (m=1) Totale 0 DOF (l=0) “Una struttura con zero DOF si definisce

ISOSTATICA”


4

G) ASTA INCERNIERATA A DUE CARRELLI ORIZZONTALI

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Appoggio = -1 DOF (m=1) Appoggio = -1 DOF (m=1) Totale 1 DOF (l=1) “Una struttura con un numero di DOF

maggiore di zero si dice LABILE o

IPOSTATICA”

H) ASTA INCERNIERATA-INCERNIERATA Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -1 DOF (l=-1)

“Una struttura con un numero di DOF minore di zero si dice IPERSTATICA”

I) ASTA INCASTRATA- INCERNIERATA Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -2 DOF (l=-2) “Struttura due volte iperstatica”


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L) ASTA APPOGGIATA AD UNESTREMO ORIZZONTALMENTE E ALL’ALTRO VERTICALMENTE

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Appoggio =-1 DOF (m=1) Appoggio =-1 DOF (m=1) Totale 1 DOF (l=1) A piacere possiamo prendere xB o yA. Fissata la lunghezza dell’asta ciascuna delle coordinate è legata all’altra. Una sola variabile indipendente.

M) LASTRA DI FORMA QUALUNQUE INCERNIERATA IN DUE PUNTI NEL PIANO

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -1 DOF (l=-1)


6

SISTEMI DI CORPI RIGIDI N) ASTA INCASTRATA IN A ED INCERNIERATA AD UNA SECONDA ASTA IN B

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera tra due aste =???

Si può vedere che in Totale l= 1 , ad esempio αααα.

Quindi deduciamo che: Cerniera tra due aste =-2 DOF (m=2) O) ASTA INCASTRATA IN A ED INCERNIERATA A DUE ASTE IN B

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n =3 Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera tra tre aste =??? Si può vedere che in Totale l=2 :

Ad esempio α α α α e β β β β.

Quindi deduciamo che: Cerniera tra tre aste=-4 DOF (m=4)


7

P) ASTA INCASTRATA IN A ED INCERNIERATA A TRE ASTE IN B Numero di DOF? 4 Corpi rigidi nel piano = 4 X 3=12 (n=12) Cerniera tra quattro aste =??? Incastro m=3 Si può vedere che in Totale l = 3

Ad esempio α ,β α ,β α ,β α ,β e γ γ γ γ.:

Quindi deduciamo che: Cerniera tra quattro aste =-6 DOF (m=6) Possiamo ricavare una regola generale:

“Una cerniera fissa toglie 2 DOF.

Una cerniera che collega N corpi rigidi nel piano

toglie [2x(N-1)] DOF ”

OSSERVAZIONE: Tutti questi esempi sono schematizzazioni, modelli della realtà. A fronte della realtà si genera un modello schematico compatibile e si lavora su quello. L’esempio P potrebbe essere il modello di una struttura reale come in figura:


8

Q) QUATTRO ASTE INCERNIERATE TRA LORO Numero di DOF? 4 Corpi rigidi nel piano = 4 X 3=12 (n=12) Cerniera tra quattro aste : N=4, m=[ 2 x (4-1) ]=6 Totale l=6

Ad esempio xA yA , α β γα β γα β γα β γ e δδδδ:

R) TRAVE A L INCERNIERATA AD UN ESTREMO

Si può vedere come un unico corpo rigido o come due travi una incastrata all’altra, il risultato è lo stesso: Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n =3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro m=3 Cerniera Fissa m= 2

Totale l=1 , ad esempio α α α α.


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S) PORTALE ZOPPO Si può vedere come un unico corpo rigido o come tre travi una incastrata all’altra, il risultato è lo stesso: Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n =3 Incastro m= 3 Incastro m=3 Cerniera Fissa m= 2 Totale l=0, isostatica.

T) DUE ASTE INCERNIERATE SENZA INTERRUZIONE DI CONTINUITA’

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Cerniera Fissa m= 2 Cerniera tra due aste m = 2 Appoggio m=1 Totale l=1 ad esempio xA

OSSERVAZIONE:

Se la cerniera avesse interrotto la continuità dell’asta C-D avremmo avuto TRE e non DUE aste, la cerniera mobile avrebbe tolto 4 DOF e in totale avremmo avuto 2 DOF (l=2).


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ESEMPIO DI MODELLIZAZIONE DEI VINCOLI REALI: U) MONTACARICHI La struttura reale montacarichi può essere vista nel piano (immaginiamo di vederla di profilo) come nella figura sotto.

Il vincolo reale rappresentato tridimensionalmente per sommi capi appare come sotto:

Il vincolo A impedisce la traslazione orizzontale, ma non quella verticale ne la rotazione. Possiamo schematizzarlo con un carrello verticale con cerniera (-1 DOF)

Lo stesso vale per il vincolo B. Il vincolo C (catena su anello) impedisce la traslazione verticale ma non la rotazione e, entro un certo limite, nemmeno la traslazione orizzontale. Possiamo quindi schematizzarlo come un carrello orizzontale più cerniera. In totale la struttura risulta isostatica

.


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PARTE B

Forze : tipologie, definizioni e loro caratteristiche

TIPOLOGIE DI FORZE:

Il concetto di forza è stato introdotto nei corsi di fisica e lo si sperimenta nella realtà di ogni giorno.

Di seguito spiegheremo come si possono trattare le forze quando sono applicate alle strutture che vogliamo calcolare.

Alle strutture possono essere applicate Forze o Coppie (momenti puri ).

Le forze possono essere concentrate o distribuite, le rappresentiamo in modo diverso.

Consideriamo la ormai famigliare asta nel piano. Sottoposta a un carico distribuito (“q” forza per unità di lunghezza [N/m]) la rappresentiamo così:

Un esempio fisico nel bidimensionale è una trave snella di materiale particolarmente pesante che si deforma sotto il suo stesso peso (q= g*massa/unità di lunghezza)

Nel tridimensionale un esempio di carico distribuito è un tetto piatto di lamiera carico con un metro di neve ([N/m2])

Le forze concentrate sono idealmente applicate ad un punto privo di dimensioni

Le rappresentiamo con una freccia.

Esempio di forza concentrata è una ginnasta su un asta (schematizzabile bidimensionale) o un dito premuto sulla cattedra.


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Stiamo parlando di modelli rappresentativi di una realtà. Nella realtà la forza concentrata non esiste.

“Parliamo di forza concentrata in un punto quando si ha una forza distribuita la cui risultante può

essere spostata in un punto qualunque della sua area di azione con un effetto che, ai fini del nostro

calcolo, è trascurabile”

Pensiamo all’esempio del dito premuto sulla cattedra.

Coppia (o Momento Puro) viene definita in fisica come una forza per un braccio ([Nm]): se vogliamo dare un esempio nella realtà di coppia possiamo citare la coppia di serraggio di un dado esercitata dalle dita di una mano.

CARATTERISTICHE DI UNA FORZA

Le forze si rappresentano vettorialmente e sono caratterizzate completamente da modulo, direzione e verso.

Analogamente si da’ una rappresentazione delle Coppie che risultano caratterizzate da direzione (asse intorno cui è applicato il momento,) verso (secondo la regola della mano destra) e modulo (intensità del momento)


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SISTEMI DI FORZE

Iniziamo con parlare di Forze concorrenti in un punto.

In tal caso le forze si sommano vettorialmente.

Un metodo “visivo” per comporre vettorialmente le forze è il “Punta- Coda”: a partire dal punto di applicazione P si “appoggia la coda di una forza sulla punta della precedente, la forza risultante è rappresentata dal vettore che unisce il punto di applicazione alla punta dell’ultima forza.

Le figure sono nel piano ma è ovvio che tutto è esattamente lo stesso nello spazio-

Se siamo nel piano e abbiamo solo due forze la regola prende il nome di “regola del

parallelogramma” per cui la risultante delle due forze è la diagonale del parallelogramma che ha come lati F1 ed F2.

Ovviamente la regola funziona anche nello spazio


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SCOMPOSIZIONE DI FORZE

Pensando alla composizione di due forze nel piano con la regola del parallelogramma l’operazione inversa è la scomposizione di una forza nel piano nelle sue due componenti.

Dato un sistema di riferimento nel piano x, y e una forza applicata nell’origine posso trovare la sua componente lungo x e la sua componente lungo y : sono i lati del rettangolo avente F come diagonale

I moduli di Fx ed Fy si possono trovare facilmente per via geometrica.

θcosFFx

rr=

θsenFFrr

=y

Scomporre le forze torna utile perché permette di calcolare facilmente le risultanti di sistemi di forze concorrenti nello stesso punto complessi, specie nello spazio.

Infatti ricordiamo che due forze aventi la stessa retta di azione (direzione e punto di applicazione) si sommano algebricamente (o si sottraggono se di verso opposto).

Quando il sistema di forze è complesso si scompone ogni forza nelle sue componenti lungo gli assi di riferimento, si sommano algebricamente le componenti lungo lo stesso asse e si ottengono così le componenti lungo gli assi di riferimento della risultante, che composte come visto precedentemente danno la risultante stessa.

Vediamo un semplice esempio nel piano:


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+=

+=

+=

+=

22

21

21

y

yyy

FFF

FFF

FFF

FFF

x

YX

xxx

rrr

rrr

rrr

rrr

(Es. 1)


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TRASPOSIZIONE DI FORZE

Date due forze parallele e separate da una distanza (braccio ) b è noto che queste generano una coppia C: C= F*b

Possiamo sfruttare questa conoscenza quando ad esempio vogliamo trasportare una forza da un punto ad un altro di un corpo rigido (esempio la forza F dal punto P al punto P’).

Il sistema di forze equivalente alla forza F (agente nel punto P) trasportata nel punto P’ corrisponde alla stessa forza F agente questa volta nel punto P’ più il cosiddetto momento di trasporto pari ad F per il braccio (pari alla distanza L fra P e P’).


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ESERCIZIO 1

Calcolare la risultante di tre forze convergenti e giacenti su di un unico piano, con modulo 30 N, 50 N e 25 N e che formano angoli rispettivamente di 45, -30 e -120° rispetto all’asse x (positivo se antiorario) di un sistema cartesiano ortogonale.

ESERCIZIO 2

Date le forze F1 = 20 N, F2 = 10 N, F3 =15 N riportate in figura, calcolare il momento risultante rispetto al punto P.

ESERCIZIO 3

F FF1 2

3

1 2 3x x x x

y

α α α32

1

O

Sostituire il sistema di forze schematizzato in figura con la sola risultante opportunamente applicata.

Moduli delle forze: F1 = 100 N, F2 = 200 N, F3 = 50 N.

Distanze delle direzioni delle forze dall’origine del riferimento:

x1 = 2 m, x2 = 3 m, x3 = 4 m.

y1 = y2 = y3 = 0 m.

Angoli formati dalla direzione delle forze con l’asse delle ascisse: α1 = 60°, α2 = 135°, α3 = 90°.


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RRiissuullttaattii ddeeggllii eesseerrcciizzii pprrooppoossttii nneellllaa EEsseerrcciittaazziioonnee NN.. 11 ESERCIZIO 1 Fx = 52 N

Fy = -25.44 N

F = 57.9 N

α = −26°

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESERCIZIO 2 Momento Risultante = 62 Nm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESERCIZIO 3 Fx = −91 N

Fy = 278 N

F = 293 N

α = −72°

xR = 2,9 m

Fondamenti di Meccanica Strutturale – 09IHRM Anno accademico 2011-2012

1

EEsseerr ccii ttaazziioonnee 22 CCaallccoolloo ddeell llee rr eeaazziioonnii vviinnccoollaarr ii ddii ssiisstteemmii ppiiaannii ee ssppaazziiaall ii

ESERCIZIO 1 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari della struttura illustrata in figura (F1 = 3000 N, F2 = 2000 N, l =1m).

ESERCIZIO 2 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari della struttura illustrata in figura (F = 2000 N, l = 2 m, h = 0,5 m).

F2

A

B

l 2l

3l

F1

A

B

l 2l

h F


2

ESERCIZIO 3 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari della struttura illustrata in figura (F = 4000 N, l = 0,5 m).

ESERCIZIO 4 La figura mostra lo schema di un cassone ribaltabile installato su un veicolo. Tenendo conto che l’altezza indicata “h” è quella del baricentro di massa del sistema “cassone + contenuto”, si chiede di individuare il valore dell’accelerazione del veicolo per cui si annulla la reazione dell’appoggio B (h=0.9m, b=0.2m, l=0.6m).

F

A

B

l 2l

2l


3

ESERCIZIO 5 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari Ra, Rb nei punti A, B e la forza T (senza attrito in A e B) della struttura illustrata in figura: Dati: a = 400 mm d = 600 mm c = 160 mm b = a +100 mm P = 10000 N R = 1200 N

ESERCIZIO 6 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari della struttura illustrata in figura (F = 2000 N, l = 1 m).

F

A D

B

C

l l

45° 45°

l

l


4

ESERCIZIO 7 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari della struttura illustrata in figura (l = 1 m, F = 1000 N, M = 500 N).

ESERCIZIO 8 In figura è riportato lo schema costruttivo di una ruota dentata a denti elicoidali calettata su un albero supportato da cuscinetti orientabili a rulli. Si chiede di realizzare uno schema semplificato delle forze e di calcolare le reazioni vincolari nei due supporti. Si chiede inoltre di determinare quale dei due cuscinetti è il più caricato ed in quale condizione. Dati: a = 120 mm tF = 2667 N

l = 160 mm rF = 970 N

R = 45 mm (raggio primitivo della ruota) aF = 1132 N

ESERCIZIO 9 Si chiede di sostituire il sistema di forze schematizzato in figura con la sola risultante opportunamente applicata (F1 = 500 N, F2 = 800 N, F3 = 1000 N; x1 = 5 m, x2 = 7 m, x3 = 8 m).

l

F

M

A B

ll

CF2

2

P

l

F

F

F1

2

3

1 2 3x x x x

y

O


5

MOMENTO EQUIVALENTE E FORZE NEI PIANI

Forze nel piano X-Y

Trasportando le forze della ruota dentata sull’albero, occorre aggiungere il momento di trasporto: M=Fa•r

Fa

Fr

R1xy R2xyM

Ra

Y

X

Fa

FrR1xy R2xy

Rar

Y

X


6

RRII SSUULL TTAATTII EESSEERRCCII TTAAZZII OONNEE NN°°22

ESERCIZIO 1

VAR = 5500 N oAR = 3000 N BR = 7500 N

ESERCIZIO 2

AR = 167 N oBR = 2000 N

VBR = 167 N

ESERCIZIO 3

oAR = 2000 N VAR = 4000 N BR = 2000 N

ESERCIZIO 4 a = 2.18 2/ sm ESERCIZIO 5

AR = 9527 N BR = 10727 N T = 10000 N

ESERCIZIO 6

oBR = 2000 N VBR = 2000 N

oAR = 2000 N

VAR = 0 N oDR = 2000 N

VDR = 2000 N

ESERCIZIO 7

AR = 250 N BR = 125 N oPR = 2000 N

VPR = 250 N

oCR = 2000 N VCR = 625 N

ESERCIZIO 8 a) Forza assiale verso sinistra: b) Forza assiale verso destra:

AR = 871 N AR = 671 N

BR = 2041 N BR = 2257 N

AaR = 1132 N BaR = 1132 N

ESERCIZIO 9 R = 700 N, ξ = 7 m (misurata da O)


1

EEsseerr ccii ttaazziioonnee NN.. 33 GGeeoommeettrr iiaa ddeell llee aarr eeee

ESERCIZIO 1 Per le sezioni illustrate nelle Figure 1-10 si chiede di calcolare la posizione dei baricentri G e di calcolare i momenti d’inerzia rispetto agli assi baricentrici.

a = 380 mm b = 500 mm h = 400 mm

a

b

h

Figura 3

a b

h a = 100 mm b = 400 mm h = 500 mm

Figura 1

b

h b = 400 mm h = 500 mm

Figura 2


2

a

a = 100 mm b = 400 mm c = 120 mm h = 500 mm

c

b

h

a

Figura 5

a = 100 mm b = 400 mm c = 150 mm h = 500 mm

c

b

h

Figura 4

c

a = 100 mm b = 400 mm c = 120 mm h = 400 mm

b

h

a

a

Figura 6


3

a = 100 mm b = 400 mm c = 100 mm h = 400 mm

b

h

a

a

c

Figura 7

d

c

a b

Figura 9

h

e

f

g

a = 170 mm b = 270 mm c = 430 mm h = 600 mm d = 110 mm e = 250 mm f = 280 mm g = 400 mm D foro = 40 mm

h

a = 200 mm b = 250 mm h = 400 mm D foro = 40 mm

a

Figura 8

b

= =


4

Figura 10 ESERCIZIO 2 La figura illustra la sezione di un profilato di alluminio ottenuto per estrusione. Con riferimento ai dati assegnati, si chiede di determinare la posizione del baricentro G della sezione e i momenti d’inerzia rispetto agli assi baricentrici (b=100mm, h=50mm, s=5mm).

ESERCIZIO 3 La figura illustra la sezione di una trave ottenuta unendo per saldatura quattro cantonali a lati eguali UNI 5387 ad un profilato a sezione rettangolare. Con riferimento ai dati indicati in figura, si chiede di determinare i valori dei momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici orizzontale e verticale (b=10mm, h=120mm; dati cantonale: e=5mm, d=11.6mm, A=379mm2, I=5.43*106mm4).

a = 35 mm h = 65 mm c = 30 mm b = 50 mm r = 15 mm yG = 4r/3π (semicerchio) Id = 1/8 πr4 (semicerchio)


5

ESERCIZIO 4 La figura illustra la sezione di una trave ottenuta unendo per saldatura due profilati piatti su uno scanalato. Con riferimento ai dati indicati di seguito, si chiede di determinare i valori dei momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici orizzontale e verticale (B = 240 mm, H = 200 mm, b = 120 mm, h = 20 mm, s = 10 mm).

ESERCIZIO 5 La figura mostra la sezione di una trave ottenuta saldando, in posizione simmetrica rispetto all’asse verticale di simmetria della trave principale (trave a doppio T), un profilato a sezione rettangolare (dati: b = 60 mm, a = 10 mm, h = 100 mm, B = 90 mm, p = 5 mm, H = 10 mm). Si chiede di determinare:

- la distanza (in verticale) del baricentro G della figura complessiva dal baricentro G1 dell’elemento principale (trave a doppio T);

- il valore del momento di inerzia della figura complessiva rispetto ad un asse orizzontale passante per G.


6

ESERCIZIO 6 Data la figura e i seguenti dati, si chiede di calcolare Inn ( nn = asse di simmetria) e XG ( G rappresenta il baricentro del profilato superiore) (dati: H = 90 mm, s = 4 mm, B = 80 mm, h = 40 mm).

RRII SSUULL TTAATTII EESSEERRCCII TTAAZZII OONNEE NN°°33 ESERCIZIO 1 Figura 1 x0=200 mm y0=166.6 mm Ix0=137777 cm4 Iy0=116667 cm4 Figura 2 x0=133.3 mm y0=166.6 mm Ix0=137777 cm4 Iy0=89777 cm4 Figura 3 x0=221.4 mm y0=190.9 mm Ix0=233212 cm4 Iy0=294474 cm4 Figura 4 x0=125 mm y0=200 mm

Ix0=233333 cm4 Iy0=102083 cm4 Figura 5 x0=200 mm y0=186 mm Ix0=203698 cm4 Iy0=59093 cm4 Figura 6 x0=200 mm y0=300 mm Ix0=570667 cm4 Iy0=112427 cm4 Figura 7 x0=200 mm y0=300 mm Ix0=666667 cm4 Iy0=316667 cm4

Figura 8 x0=100 mm y0=199 mm Ix0=106343 cm4 Iy0=26654 cm4 Figura 9 x0=194 mm y0=300 mm Ix0=718153 cm4 Iy0=322678 cm4 Figura 10 x0=0 mm y0=29.2 mm Ix0=533119 mm4 Iy0=589703 mm4

ESERCIZIO 2 x0 = 50 mm, y0 = 35.66 mm

Ix0 = 224863 mm4 Iy0 = 1432917 mm4 ESERCIZIO 3 Ix0 = 26.711 x 106 mm4

Iy0 = 22.148 x 106 mm4 ESERCIZIO 4 Ix0 = 147.88 x 106 mm4 Iy0 = 59.88 x 106 mm4 ESERCIZIO 5

1GG = 20.625 mm, IxG = 3671563 mm4

ESERCIZIO 6 Inn = 1551125 mm4 xG = 33.53 mm


1

EEsseerr ccii ttaazziioonnee NN.. 44

DDiiaaggrr aammmmii ddeeggll ii ssffoorr zzii ESERCIZIO 1 Per la struttura illustrata in figura si chiede di calcolare (l=0.4 m, h= 0.15 m, F1=80 N, F2=120 N) le reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi.

ESERCIZIO 2 Per l’albero illustrato in figura sul quale è calettata una ruota dentata conica di raggio medio r, si chiede di calcolare le reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi.

ESERCIZIO 3 Per la trave illustrata in figura si chiede di calcolare le reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi (a=0.8 m, b=0.3 m, q=80 N/m, C=100 Nm).

A B

l 2l

h

F2

l l

F1

A B

a/2

C

a/2 b

q

A

a

l

b

Fr

Fa Ft

B

Dati: Ft = 2000 N Fr = 600 N Fa = 1000 N r = 0,1 m a = 0,4 m b = 0,8 m


2

ESERCIZIO 4 Si chiede di calcolare le reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi della trave a sbalzo rappresentata in figura (l=0.5 m, L=1.2 m, q=50 N/m).

ESERCIZIO 5 Si chiede di calcolare reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi i diagrammi della struttura illustrata in figura (l=10 m, a=7 m, q=8000 N/m, C=600 Nm, P = 1000 N).

l

L

q

A

B

l

C

a

l

q

P


3

ESERCIZIO 6 La figura mostra lo schema di una struttura a T ribaltato, caricata uniformemente sulla parte orizzontale CD, e vincolata agli estremi A e B della parte verticale. Si chiede di calcolare le reazioni vincolari, l’espressione analitica degli sforzi ed i corrispondenti diagrammi. Dati: q = 1.5 N/mm, L = 3000 mm, s = 2000 mm.

ESERCIZIO 7 Con riferimento alla struttura indicata in figura e ai dati sotto indicati, calcolare le reazioni vincolari sui supporti, tracciare i diagrammi delle tre caratteristiche di sollecitazione (sforzo normale, taglio, momento flettente), riportando anche i valori numerici corrispondenti ai punti ritenuti più significativi. Dati: s = 100 mm, L = 400 mm, h = 1000 mm, P = 1500 N.


4

RRII SSUULL TTAATTII EESSEERRCCII TTAAZZII OONNEE NN°°44

ESERCIZIO 1

ESERCIZIO 2

N1000RaA = N33,483R

xyA = N7,116R xyB = N33,1333RAxz = N67,666R xzB =

T piano XY 116,67 N

483,33 N

1000 N

N piano XY

533,33 Nm

Mf piano XZ

T piano XZ 666,67 N

1333,33 N

Mf piano XY

193,33 Nm

93,33 Nm


5

ESERCIZIO 3

|RAo| = 0 |RAv| = 133 N

|RB| = 101 N

T

M f

ESERCIZIO 4

|RAo| = 0 |RAv| = 35 N |Mv| = 29,75 N

T

Mf


6

ESERCIZIO 5

ESERCIZIO 6

|RA| = 1000 N |RBV| = 1000 N |RBo| = 3000 N


7

ESERCIZIO 7

|RAo| = 1500 N |RAv| = 600 N |RB| = 600 N


1

EEsseerrcciittaazziioonnee NN.. 55

CCaallccoolloo ddeellllee tteennssiioonnii ESERCIZIO 1 Data una trave di sezione rettangolare (b=60 mm, h=100 mm), incastrata ad un estremo e soggetta ad una forza normale F =60.000 N all’altro, si chiede di calcolare la tensione normale.

ESERCIZIO 2 Data la trave di sezione rettangolare dell’esercizio 1, soggetta ad un momento flettente negativo Mz= -12.000 Nm, si chiede di: a) Tracciare l’andamento delle sollecitazioni lungo la sezione, b) Calcolare le tensioni minima e massima, c) Calcolare la tensione nel punto di coordinate z = -20 mm, y = -30 mm.

ESERCIZIO 3 Data la sezione rettangolare in figura (b=40 mm, h=80 mm) calcolare le tensioni nei quattro spigoli dovute alla presenza contemporanea dei momenti flettenti Mz = 10.000 Nm, My = 4.000 Nm e di uno sforzo normale N = 64.000 N.

b

h

z

y

y

x x z (entrante)

A B

C D

b

h

y

z

y

x

z (entrante)

F

D C

B A

b

h

y

z

B

C D

A


2

ESERCIZIO 4 Calcolare la tensione massima e minima nella sezione circolare (d=50 mm) soggetta ai momenti flettenti Mz = -5.000 Nm e My = -3.000 Nm. ESERCIZIO 5 L’asta di acciaio illustrata in figura ha sezione circolare di raggio r. Si chiede di calcolare la massima tensione xσ e l’allungamento massimo l∆ dell’intera asta (r = 25 mm, L1 = 400 mm, L2 =

800 mm, Q = 30000 N, P = 10000 N).

ESERCIZIO 6 Data una sezione circolare piena (d = 70 mm) soggetta a un momento torcente Mx = 5000 Nm si chiede di calcolare: a) il valore della tensione tangenziale massima; b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm.

ESERCIZIO 7 Data una sezione circolare cava (D = 70 mm e d = 50mm) soggetta a un momento torcente Mx = 5000 Nm si chiede di calcolare: a) il valore della tensione tangenziale massima; b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm.

P P

L2 L1 L1

Q Q

d

y

z

y

x x z (entrante)

Mx

D

y

z

y

x x z (entrante)

Mx

d


3

ESERCIZIO 8 Trovare la legge di variazione degli sforzi normali N, delle tensioni σ e degli spostamenti u nella trave di acciaio illustrata in figura (F=50kN, A=375 2mm , L=300mm) (tratto 1 - sezione A, tratto 2 – sezione 2A).

FA 2A

L L

ESERCIZIO 9 Un binario ferroviario di acciaio (α = 11,7x10-6 °C-1) è stato posato ad una temperatura pari a 6°C. Determinare la tensione agente nei binari quando la temperatura raggiunge i 48 °C, ipotizzando che le rotaie siano formate da tratti lunghi 10 m. ESERCIZIO 10 Per l’albero pieno di acciaio (G = 77 GPa) illustrato in figura, avente diametro D = 30 mm, si chiede di calcolare la deformazione angolare. Si chiede anche di calcolare la deformazione angolare per un albero simile, avente però sezione cava (D = 32 mm, d = 22 mm).

ESERCIZIO 11 La barra di torsione piena BC illustrata in figura (lunga l = 500 mm) ha braccio b (b = 350 mm) e carico P (P = 450 N). La freccia del punto A di applicazione del carico non deve superare un valore pari a 25 mm. Si chiede di valutare il diametro D della barra per due diversi materiali: a) acciaio τam = 105 MPa, G = 78 GPa; b) alluminio τam = 70 MPa, G = 27 GPa.

Mt

Mt = 260 Nm

D

l

P

C

B

A

b


4

ESERCIZIO 12 Determinare il modo migliore di sistemare una trave a sezione quadrata in flessione scegliendo tra le due possibilità seguenti: il piano del momento è parallelo ai lati del quadrato (Fig. a) oppure (Fig. b) esso contiene la sua diagonale.

y

x

h

Fig. b

y

x

h

Fig. a

RRIISSUULLTTAATTII EESSEERRCCIITTAAZZIIOONNEE NN°°55

ESERCIZIO 1

MPax 10−=σ

ESERCIZIO 2 MPa120max =σ MPa120min −=σ MPazy 72)20,30( =−=−=σ

ESERCIZIO 3 MPaxA 27−=σ MPaxB 402−=σ MPaxC 67=σ MPaxD 442=σ

ESERCIZIO 4 MPa475max =σ MPa475min −=σ

ESERCIZIO 5 MPax 3.15=σ mmltotale 097.0=∆

ESERCIZIO 6 MPa74max =τ MPar 585.27 ==τ

ESERCIZIO 7 MPa100max =τ MPar 795.27 ==τ

ESERCIZIO 8 N=50kN

1σ =133N/mm2 2σ =67N/mm2

1u =0.19mm 2u =0.095mm totaleu =0.285mm

ESERCIZIO 9

xσ =-103 N/mm2

ESERCIZIO 10

PIENAγ =0.00063 CAVAγ =0.00068

ESERCIZIO 11

accD = 20 mm allD = 26 mm

ESERCIZIO 12 Possibilità a).

esercitazioni fond. mecc. strutturale

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