esami completi

Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 19 aprile 2004 1

Esercizio 1Un canale di irrigazione, limitatamente ad un tratto di lunghezza L = 7 km, non è rivestito e scorreparallelamente ad un corso d'acqua come mostrato nella sezione trasversale in Figura.Il terreno sottostante è argilla attraversata da una lente di sabbia (k = 9x10-2cm/s) di spessore S = 0.2 m. Si determini la perdita d'acqua dovuta alla filtrazione, attraverso lo strato di sabbia, dal canale al corso d'acqua.

Dati:Quota del livello d'acqua nel canale: h1 = 57 (m) s.l.m.Quota del livello d'acqua nel fiume: h2 = 37 (m) s.l.m.Lunghezza del percorso di filtrazione: H = 150 (m)Lunghezza del tratto filtrante: L = 7000 (m)Spessore della lente di sabbia: s = 0.2 (m)Permeabilità della lente di sabbia: k = 9.E-04 (m/s)Soluzione:Si determinala differenza di carico che si instaura tra il canale e il corso d'acqua:∆h =h1 - h2 = 20 (m)ed il gradiente idraulico corrispondente:i = Dh /H = 0.133 (-)e, applicando la legge di Darcy, la velocità di filtrazionev = k i = 1.2E-04 (m/s)e con riferimento all'area della sezione attraversata:A = sxL = 1400 (m2)si trova la portata di acqua filtrante:Q = v A = 1.7E-01 (m3/s) = 435456 (m3/mese)

Esercizio 2Si consideri la stratigrafia riportata in Figura e, nell'ipotesi che, su un'area molto estesa, venga realizzato unterrapieno di spessore (H = 3.5 m) e caratteristiche uniformi (γ = 19.7 kN/m3), si determini e si disegni l'andamento con la profondità della pressione idrostatica, della sovrappressione indottae della pressione neutra risultante, ad un tempo tr = 10 anni dalla realizzazione del terrapieno.

57 m s.l.m.

Lente di sabbia

Argilla

150 m 0.2 mFiume

CanaleArgilla

37 m s.l.m.

3.5 m

3.0 m

Terreno di riempimento

5 m

10 m

Sabbia fine

Argilla

Sabbia limosa

γγ = 19.0 kN/m = 19.2 kN/msat

v

00

-33

2

3

3

3

c = 3 x 10 m /giorno = 14.8 kN/mγ

Cc/(1+e ) = 0.21Cr/(1+e ) = 0 .06

γ = 19.7 kN/m

19 aprile 2004 testo 1

Dati:Spessore del terrapieno: Hr = 3.5 (m)Spessore dello strato 1 (sabbia fine): H1 = 5.0 (m)Spessore dello strato 2 (argilla): H2 = 10.0 (m)Peso di volume del terrapieno: γr = 19.7 (kN/m3)

Peso di volume dello strato 1: γ1 = 19.0 (kN/m3)γ1sat = 19.2 (kN/m3)

Peso di volume dello strato 2: γ2 = 14.8 (kN/m3)

Coefficiente di consolidazione verticale: cv = 3.0E-03 (m2/gior) = 3.5E-08 (m2/s)Tempo di consolidazione: tr = 10 (anni) Quota della falda rispetto al piano di campagna originario: zw = 3 (m)γw = 9.81 (kN/m3)Soluzione:Si determina il massimo percorso di filtrazione nello strato di argilla (drenato da entrambi i lati):H = H2/2 = 5 (m)Si determina il fattore di tempo adimensionale corrispondente al tempo di consolidazione fissato, Tr:Tv = (cv tr)/H

2 = 0.438ed l'incremento di carico ∆σ'v indotto dalla realizzazione del terrapieno: ∆σv = γr Hr = 68.95 (kPa)Ad intervalli di 1 m di profondità,z, misurata a partire dal piano di campagna originario, si trova lapressione idrostatica, u0 = γw (z-zw) e la sovrappressione neutra indotta dal carico applicato al tempo tr, ue, ottenuta dal seguente diagramma:

dove si considera, per interpolazione, la curva corrispondente a Tv = 0.438 e misurando la profonditàzdr a partire dal tetto dello strato e quindi il rapporto zdr/H, si ricava il corrispondente valore del gradodi consolidazione:


Uz = (ue,0 - ue)/ue,o = (∆σv - ue)/∆σv, quindi ue e infine la pressione neutra u = u0 + ue.

z(m)

Terreno uo

(kPa)zdr

(m)zdr/H(-)

Uz

(-)ue

(kPa)u

(kPa)0 0.00 - - - 0.00 0.001 0.00 - - - 0.00 0.002 0.00 - - - 0.00 0.003 0.00 - - - 0.00 0.004 9.81 - - - 0.00 9.815 19.62 0.0 0.0 1.00 0.00 19.626 29.43 1.0 0.2 0.87 8.96 38.397 39.24 2.0 0.4 0.75 17.24 56.488 49.05 3.0 0.6 0.65 24.13 73.189 58.86 4.0 0.8 0.59 28.27 87.13

10 68.67 5.0 1 0.56 30.34 99.0111 78.48 6.0 1.2 0.59 28.27 106.7512 88.29 7.0 1.4 0.65 24.13 112.4213 98.10 8.0 1.6 0.75 17.24 115.3414 107.91 9.0 1.8 0.87 8.96 116.8715 117.72 10.0 2 1.00 0.00 117.7216 Limo sab. 127.53 - - - 0.00 127.53

Esercizio 3Un palo elettrico trasmette al terreno un carico puntiforme di 150 kN. Con riferimento alla stratigrafia riportata in Figura, si calcolino le tensioni geostatiche ed indotte dal carico applicato in superficie, totali ed efficaci, orizzontali e verticali nel punto A, ubicato ad una profondità Z = 2.8 m dal pianodi campagna, ad una distanza dall'asse di applicazione del carico, X = 1 m in direzione Est e Y = 2 m in direzione N.

Sabbialimosa

Argilla

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 50 100 150Pressione (kPa)

Prof

ondi

tà (m

)

pressioneidrostaticasovrappressione

pressione neutra


Dati:Carico trasmesso dal palo: Q = 150 kNSpessore dello strato di riporto: Hr = 1 (m)Spessore dello strato di sabbia fine: H = 4.5 (m)Peso di volume del riporto: γr = 19 (kN/m3)

Peso di volume dello strato: γ1 = 19.2 (kN/m3)γ1sat = 19.6 (kN/m3)γw = 9.81 (kN/m3)

Coefficiente di spinta a riposo: Κ0 = 0.68 (-)Coefficiente di Poisson: υ = 0.45 (-)Profondità della falda dal p.c.: zw = 2 (m)Coordinate del punto A: xA = 1 (m)

yA = 2 (m)zA = 2.8 (m)

Soluzione:Si calcola la tensione verticale totale nel punto A:σV,0 = γr Hr + γ1 (zw - Hr) + γ1sat (zA - zw) = 53.88 (kPa)la pressione neutra:u0 = γw (zA - zw) = 7.8 (kPa)la tensione litostatica efficace verticale:σ'v,0 = σ0 - u0 = 46.0 (kPa)la tensione litostatica efficace orizzontale:σ'x,0 = σ'y,0 = σ'h,0 = K0 σ'v,0 = 31.3 (kPa)la tensione orizzontale totale:σx,0 = σy,0 = σh,0 = σ'h,0 + u0 = 39.1 (kPa)Adottando il metodo di Boussinesq si determina l'incremento delle tensioni totali, verticali ed orizzontali, conseguente all'applicazione del carico:

Te rreno di riporto

Sabbia fine

K = 0.68

γγ = 19.2 kN/m = 19.6 kN/msat

3

0

3

υ = 0.45

3γ = 19.0 kN/m1.0 m

150 kN

2.8 m1.0 m

4.5 m

A

( )( )

( )

( )( )

( )

−

+

+−

+⋅⋅

−+⋅=

−

+

+−

+⋅⋅

−+⋅=

⋅=

323

2

5

2

y

323

2

5

2

x

5

3

z

Rz

zRRyzR2

zRR1

321

Rzy

2Q3

Rz

zRRxzR2

zRR1

321

Rzx

2Q3

Rz

2Q3

νπ

σ∆

νπ

σ∆

πσ∆

222 zyxR ++=


R = 3.58 (m)r = 2.24 (m)∆σv = 2.66 (kPa)∆σx = 0.29 (kPa)∆σy = 1.27 (kPa)Quindi si calcolano le tensioni totali verticali e orizzontali finali:σv = σv,0 + ∆σv = 56.54 (kPa)σx = σh,0 + ∆σx = 39.44 (kPa)σy = σh,0 + ∆σy = 40.42 (kPa)e le tensioni efficaci verticali e orizzontali (trattandosi di terreno sabbioso non vi sono sovrappressioni:indotte dall'applicazione del carico):σ'v = σv - u0 = 48.69 (kPa)σ'x = σx - u0 = 31.59 (kPa)σ'y = σy - u0 = 32.57 (kPa)


Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 18/04/2005 1

Esercizio 1I risultati di una prova triassiale consolidata isotropa non drenata condotta su tre provini, completamente saturi, di un campione di argilla sono di seguito riportati.La back pressure applicata per ciascuno dei tre provini è 200 kPa.

Provino 1 Provino 2 Provino 3Pressione di cella, σc (kPa) 300 400 600Deviatore a rottura, qf (kPa) 326 416 635Pressione neutra a rottura, uf (kPa) 146 206 280

Si disegnino i cerchi di Mohr a rottura, si determinino le tensioni principali a rottura, i parametri di resistenza al taglio e il coefficiente di Skempton, a rottura, Af.

Esercizio 2Uno strato di terreno di riporto sabbioso (γ = 16 kN/m3) di spessore 3 m viene distribuito su una vasta area sopra uno strato di argilla di spessore 8 m e con il livello di falda coincidente con il preesistente piano di campagna. Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è pari a 8 m2/anno ed il pesodi volume è 20 kN/m3.Si determini la pressione intersitiziale e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla 3 mesi dopo la sistemazione del terreno di riporto, nell'ipotesi che questo venga applicato istantaneamente e che lo strato di argilla sia drenato inferiormente.

Esercizio 3Una fondazione nastriforme di larghezza B = 3 m viene realizzata ad una profondità D = 1.5 m dal piano di campagna in un deposito di sabbia asciutta e densa di elevato spessore. L'angolo di resistenza al taglio della sabbia è 35° e il peso di volume è 19 kN/m3.Si determini:a) il carico ammissibile per un fattore di sicurezza FS = 3;b) il carico limite nell'ipotesi che il carico trasmesso alla fondazione abbia una componente verticale di 220 kN/m con eccentricità di 0.3 m rispetto alla larghezza B e una componente orizzontale di 50 kN/m applicata alla base.

18 aprile 2005 testo 1 1


Esercizio 1Viene realizzato un muro di sostegno a gravità in c.a.(γm = 25 kN/m3), della forma e delle dimensioni riportate in Figura,per sostenere un terrapieno omogeneo costituito prevalentemente da sabbia (γ = 19.5 kN/m3, ϕ' =38°) e con piano dicampagna inclinato di un angolo β = 15°. Si consideri la presenza dell'attrito tra terreno e muro (δ = 25°) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche del terrapieno e che la falda sia a grande distanza dal pianodi campagna.Si determini:a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;c) Si verifichi la stabilità della fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno).

Esercizio 2Un deposito è costitutito, nell'ordine procedendo dal piano di campagna verso il basso, da: - uno strato di sabbia sciolta (spessore H1 = 4.1 m,γ1 = 17.8 kN/m3, γ1sat = 18.1 kN/m3, Dr = 44%, cc/(1+e0) = 0.008) - uno strato di argilla limosa NC (spessore H2 = 4.6 m, γ2sat = 19.5 kN/m3, w = 37.5%, wL = 42.4%, wP = 24.8%, cC = 0.37, e0 = 0.94, cV = 6.72 10-7 m2/s) - uno strato di sabbia sciolta (spessore H3 = 3.8 m, γ3 = 18.5 kN/m3, Dr = 54%, cc/(1+e0) = 0.0045) - uno strato di limo argilloso NC (spessore H4 = 6.8 m, γ4 = 19.2 kN/m3, w = 28%, wL = 31.6%, wP = 15.5%, cC = 0.287, e0 = 0.77, cV = 2.9 10-6 m2/s)Il basamento del deposito è costituito da sabbie e ghiaie addensate e la falda si trova a 1.4 m dal piano di campagna.Su tale deposito viene posto un terrapieno (γR = 18 kN/m3) di grande estensione e spessore costante pari a HR = 3.8 ma) Stimare il cedimento di consolidazione primaria finale del piano campagna originario (considerando anche il contributo degli strati sabbiosi).b) Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo (espresso in giorni e con incremento logaritmico, es. 0.1 g, 0.2 g, 0.5 g, 1g, 2g, 5g..).

Esercizio 3E' eseguito uno scavo di profondità h = 4 m in un terreno costituito da uno strato superficiale di sabbia fine (γ1 = 18 kN/mϕ1' = 36°, k1 = 0.002 m/s) di spessore H1 = 3 m, seguito da uno strato di limo sabbioso (γ2 = 20 kN/m3, ϕ'2 = 32°, k2v = 3 10-6 m/s, k2h = 3.5 10-5 m/s) e sul quale agisce un sovraccarico di intensità q = 20 kPa. La falda si trova a zw = 1,5 m dal piano di campagna originario ed il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Per sotenere lo scavo viene utilizzato un diaframma in c.a. di spessore s = 0.7 m e con profondità di infissione d = 6 mNell'ipotesi che a valle della parete il livello di falda venga mantenuto al fondo dello scavo, determinare nei punti A, B, C1, C2, D riportati in Figura:a) la pressione interstiziale, la tensione verticale efficace e totale b) le tensioni efficaci orizzontali nelle condizioni di equilibrio limite.

5 m

1.6 m

15°

α

2.7 m

q

H1

zw

B

A

C1C2

D

sabbia fine

limo sabbioso

s

d

h

O

limo sabbioso



Si risponda alle seguenti domande, giustificando con i calcoli o considerazioni teoriche ciascuna risposta:

1. La consolidazione è: a) un processo indipendente dal tempo b) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana grossa c) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana fine

2. La consolidazione è il risultato della: a) compressione dei grani solidi b) diminuzione dell'indice dei vuoti c) diminuzione del volume d'aria

3. Viene applicata una tensione totale isotropa di 120 kPa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale all'istante di applicazione del carico è di: a) 120 kPa b) 0 kPa c) 60 kPa

4. Viene applicata, in condizione edometriche, una tensione totale verticale di 120 kPa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale dopo due anni dall'applicazione del carico è di 30 kPa, la variazione delle tensioni efficaci è di: a) 90 kPa b) 0 kPa c) 30 kPa

5. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.92 (mm2/min): b) 4.02 (mm2/min): c) 5.96 (mm2/min):

6. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γsat = 18 kN/m3, ϕ' = 30°, c' = 0; la spinta totale agente sul muro (in kN), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale e di assenza di attrito, è (assumendo γw = 9.81 kN/m3): a) 51.5 b) 241 c) 56.9

7. La spinta attiva eserciata in condizioni non drenate da un terrapieno omogeneo caratterizzato da γsat = 20 kN/m3, ϕ' = 32° e cu = 20 kPa su una parete verticale, priva di attrito e di altezza H = 4m, è, nell'ipotesi di terreno saturo e di adesione tra terreno e muro (espressa in kN): a) 0 b) 5 c) -4.58. Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) -0.02 b) -0.008 c) -0.01

9. Si dimostrino le seguenti relazioni:

a) b) c)

10. Sono di seguito riportate le proprietà di due campioni di terreno. Si individuino i valori poco plausibili fornendone le motivazioni.

γsat

[kN/m3]γd

[kN/m3]e0

[-]emax,emin

[-]wN

[%]wL

[%]wP

[%]Sabbia fine addensata 12,7 16,6 0,495 0.62,0.132 12 - -Argilla molto consistente 17,4 18,4 2,9 - 45 42 30

een+

=1

wrS

eeSG

γγ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅+

=1 e

GwS s

r⋅

=



Esercizio 1Una parete rigida e liscia di altezza H = 6m sostiene un terrapieno costituito da due strati.Lo strato superiore, di spessore pari a 1.2 m, è costituito da argilla sabbiosa (γ = 16.4 kN/m3;c' = 18.15 kPa; ϕ' = 24°). Lo strato inferiore è costituito da sabbia normalconsolidata (γ = 17.25 kN/m3;ϕ' = 30°). Si disegni il diagramma delle pressioni agenti sul parametro interno del muro, la risultanteed il relativo punto di applicazione nell'ipotesi che la falda sia assente.

Esercizio 2I valori della resistenza alla punta qc e dell'attrito laterale fs misurati durante una prova CPT, eseguitacon un penetrometro elettrico, ad una profondità z = 14.5 m sono rispettivamente 1.896 MN/m2

e 0.128 MN/m2. Assumendo la falda a 3 m dal piano di campagna ed un peso di volume costanteper il terreno sovrastante (uguale sopra e sotto falda), pari a 18 kN/m3, si classifichi il terreno alla profondità di misura e si stimi la coesione non drenata cu.

Esercizio 3Un provino saturo di sabbia limosa normalconsolidata viene sottoposto ad una prova TXCIU.Sapendo che il deviatore a rottura misura 482 kN/m2 ed il piano di rottura risulta inclinatodi 60° rispetto all'orizzontale, si determinino le tensioni principali.Quanto misurerebbe il deviatore a rottura e la tensione totale principale maggiore se venisse ripetuta la prova TXCIU su un provino dello stesso materiale con una pressione di cella di 200 kN/m2 ed una pressione a rottura di 57 kPa?

Esercizio 4Le indagni eseguite in corrispondenza di un deposito di terreno hanno fornito le seguenti informazioni: - è presente sabbia fine fino ad una profondità di 10.6 m seguita da uno strato di argilla soffice di spessore pari a 7.60 m; - la falda si trova ad una profondità di 4.60 m dal piano di campagna; - il peso di volume della sabbia al di sopra della falda è pari a 17.6 kN/m3 e il peso di volume alleggerito è di 10.4 kN/m3; - il contenuto d'acqua dell'argilla normalconsolidata è di 40%, il limite liquido è 45% (Gs = 2.78).

Si determini il cedimento medio dello strato di argilla nell'ipotesi che la costruzione progettata trasmettaal terreno sottostante una pressione netta di 120 kPa (stimata al centro dello strato di argilla).

13 dicembre 2005 testo 1 1


Esercizio 1Su un campione di argilla satura, del volume di 1 m3 e con una massa paria 1.98 Mg, vengono determinati i limitidi Atterberg (wL = 48%, wP = 31%, wS = 12%). Successivamente viene estratto un provino cilindrico di diametro 38 mm e altezza 76 mm, su cui viene eseguita una prova di compressione semplice (ELL), che ha dato i seguenti risultati in termini di carico assiale applicato N e di altezza h raggiunta dal provino:

N (N) 0.0 135.3 383.3 499.0 587.5 746.2 778.0 780.3 767.8h(mm) 76.00 75.62 75.24 74.86 74.48 73.72 72.96 72.20 71.44N (N) 751.9 732.6h(mm) 69.92 68.40

a) Si disegni il cerchio di Mohr a rottura e si determini il valore della coesione non drenata del terreno.b) Nell'ipotesi che su un provino estratto dallo stesso campione venga eseguita una prova TXUU con pressione di cella pari a 200 kPa, si determinino i valori delle tensioni principali a rottura.c) Con riferimento alla tabella sotto riportata ed assumendo per il terreno una densita' dei grani solidi di 2.75 Mg/m3, si valuti la coerenza tra il valore stimato della resistenza a compressione e quello misurato.

Ic < 0.25 0.25<Ic<0.5 0.5<Ic<0.75 0.75<Ic<1 Ic>1(w>wS) Ic>1(w<wS)

Esercizio 2In un deposito di terreno coesivo, con falda a 3.5 m dal piano di campagna, viene estratto a una profondita' di 10 mun campione con peso di volume γ = 20 kN\m3, da cui vengono estratti tre provini su cui vengono eseguite le provedi laboratorio con gli esiti di seguito riportati:

Provino Prova Pressionedi cella (kPa)

Back pressure

(kPa)

Deviatore a rottura

(kPa)

Pressionea rottura

(kPa)

1 TXCID 300 100 480 non misurata2 TXCIU 440 100 240 3403 TXCIU 150 50 70 non misurata

a) Si determini il valore dei parametri di resistenza al taglio c' e ϕ' dell'argilla, del coefficiente di proporzionalita' λ tra la coesione non drenata e la pressione di consolidazione e quindi lo stato di consolidazione dell'argilla.b) Si determini il valore della coesione non drenata dell'argilla a 10 m di profondita'.c) Nell'ipotesi che venga realizzato un rilevato di grande estensione, avente altezza 5 m e costituito da materiale con peso di voulme γ = 21 kN/m3, si stimi quale sara' il valore della coesione non drenata alla profondita' di 10 m quando l'argilla avra' raggiunto il 50% della consolidazione.

Esercizio 3Una parete verticale liscia di altezza 6 m sostiene un fronte di terreno costituito da argilla (γ = 19 kN\m3, cu = 50 kPa, c' = 10 kPa, ϕ' = 26°, k0 = 0.87) dove il livello di falda si trova a 2 m dal piano di campagna.a) Si determini il diagramma delle spinte che il fronte esercita sulla parete con riferimento a condizioni di breve e lungo termine e le relative risultanti, trascurando il moto di filtrazione dell'acqua.b) Con riferimento al lungo termine si disegnino i cerchi di Mohr corrispondenti allo stato tensionale nei punti A, B e C.c) Nell'ipotesi di attrito (δ = 12°) come si modificherebbe il cerchio di Mohr nel punto B?d) Nell'ipotesi che a valle della parete il piano di campagna, come il livello di falda, sia allo stesso livello di quello a monte, quale sarebbe il diagramma delle spinte esercitate dal terreno sulla parete a monte e a valle?

Esercizio 4La stratigrafia di un deposito alluvionale e' costituita, partendo dal piano di campagna, da uno strato di ghiaia (γ1 = 17 kN\m3, γ1sat = 19 kN\m3) di spessore 2 m, seguito da uno strato di argilla (γ2 = 21 kN\m3) di 10m che insiste su un basamento roccioso formato da arenaria fratturata con permeabilita' relativamente alta. In corrispondenza dello strato di ghiaia vi e' una falda con superficie piezometrica a 0.5m dal piano di campagna, mentre in corrispondenzadell'arenaria vi e' una falda in pressione la cui altezza piezometrica si trova 7m sopra il piano di campagna.a) Calcolare e diagrammare le tensioni verticali totali ed efficaci e le pressioni interstiziali in funzione della profondita'.

2 ÷ 4 > 4

Indice di consistenzaResistenza alla compressione

semplice, q u (kg\cm 2 )< 0.25 0.25 ÷ 0.5 0.50 ÷ 1 1 ÷ 2

A

BC

2m

6m

2m


b) A quale profondita' puo' essere spinto uno scavo di grandi dimensioni nello strato di argilla prima che si verifichi il sollevamento del fondo scavo, nell'ipotesi che lo scavo venga mantenuto asciutto mediante pompaggio?c) Qualora occorresse eseguire uno scavo di 8 m di profondita' al di sotto del piano di campagna, di quanto si dovrebbe ridurre l'altezza piezometrica nello strato di arenaria per garantire la stabilita' nei confornti del sollevamento del fondo scavo con un fattore di sicurezza pari a 1.5?


Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 18 dicembre 2006

Esercizio 1E' eseguita una prova di pompaggio per la determinazione sperimentale del coefficiente di permea-bilità in sito di un acquifero non confinato, costituito da uno strato di sabbia e ghiaia, di spessore H = 15.2 m, sovrastante uno strato di argilla.Il livello statico della falda coincide con il piano campagna. Vi sono due pozzi di osservazione, distanti rispettivamente dal pozzo di emungimento:r1 = 3.05 m e r2 = 7.6 m.Dopo 24 ore di pompaggio è raggiunta la condizione di regime con portata q = 21.55 m3/min.L'abbassamento del livello dell'acqua nei due pozzi di osservazione è rispettivamente:∆h1 = 1.68 m e ∆h2 = 0.37 m.Stimare il coefficiente di permeabilità del terreno.SoluzioneSi applica l'equazione: k = q / [π (h2

2 - h12)] ln(r2/r1)

q = 21.55 m3/min = 3.59E-01 m3 / sech1 = H - ∆h1 = 13.52 mh2 = H - ∆h2 = 14.83 m da cui:k = 2.81E-03 m / sec

Esercizio 2Tre provini di argilla satura sono sottoposti a prova TxCIU, i cui risultati sono riportati in tabella.Determinare i parametri di resistenza al taglio.

σ3 (σ1 - σ3)f uf

( kPa ) ( kPa ) ( kPa )150 192 80300 341 154450 504 222

Soluzioneσ1f = (σ1 - σ3)f + σ3 σ1f σ'1f σ'3 tf s'f σ'1f = σ1f - uf ( kPa ) ( kPa ) ( kPa ) ( kPa ) ( kPa )σ'3 = σ3 - uf 342 262 70 96 166tf = (σ1 - σ3)f / 2 641 487 146 170.5 316.5s'f = (σ'1 + σ'3)f / 2 954 732 228 252 480dalla retta di regressione:t = a' + s' tanα tanα = 0.4968a' = 13.431φ' = arcsen(tanα) = 29.8 °c' = a' / cosφ' = 15.5 kPa

t = 0,4968 s' + 13,431R2 = 1

0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400 500 600

s' (kPa)

t (kP

a)

18 dicembre 2006 sol. 1

Esercizio 3Determinare la profondità di infissione corrispondente ad un fattore di sicurezza FS=2 applicato alcoefficiente di spinta passiva, e la forza nei tiranti di ancoraggio del diaframma in c.a. rappresentatoin figura. Il livello dell'acqua libera a valle coincide con il livello di falda a monte.

dati geometrici:H = 8 ma = 1.5 mi = 2.5 mi = interasse fra i tirantiHw = 3 m

dati geotecnici:terreno naturale di fondazioneγsat = 21 kN/m3

c' = 10 kPaφ' = 27 °terreno di riportoγsat = 20 kN/m3

sopra falda γ = 17 kN/m3

c' = 0 kPaφ' = 35 °

FS = 2

Soluzioneper il terreno di riporto:φ' = 35 ° = 0.6109 radKA = 0.271γ' = 10.19 kN/m3

per il terreno naturale di fondazione:φ' = 27 ° = 0.4712 radKA = 0.376KP = 2.663γ' = 11.19 kN/m3

Lo schema della distribuzione delle pressioni esercitate dal terreno è mostrato in figura.Le spinte dell'acqua si bilanciano (condizione idrostatica).

H

d

a

Hw

tirante

acqua

terreno naturale di fondazione

terreno di riporto

T

1

23

4

5

67

8

a

H

Hw

d


Forze (F), bracci (b) e momenti (M) rispetto al punto di ancoraggio, a metro lineare di struttura:

1F1 = 0,5 x 0,271 x 17 x (8 - 3)2 = 57.585 kN/mb1 = (8 - 3) x 2/3 - 1,5 = 1.83 mM1 = F1 x b1 = 105.573 kN m/m

2F2 = 0,271 x 17 x (8 - 3) x 3 = 69.102 kN/mb2 = (8 - 3) x 3/2 - 1,5 = 5 mM2 = F2 x b2 = 345.512 kN m/m

3F3 = 0,5 x 0,271 x 10,19 x 32 = 12.430 kN/mb3 = 8 - 3/3 - 1,5 = 5.5 mM3 = F3 x b3 = 68.364 kN m/m

4F4 = 0,376 x [17 x (8 - 3) + 10,19 x 3] x d = 43.403 d kN/mb4 = 8 - 1,5 + 0,5 x d = 6.5 + 0,5d mM4 = F4 x b4 = 282.118 d + 21.701 d2 kN m/m

5F5 = 0,5 x 0,376 x 11,19 x d2 = 2.102 d2 kN/m b5 = 8 - 1,5 + 2/3 d = 6.5 + 0,667d mM5 = F5 x b5 = 13.661 d2 + 1.401 d3 kN m/m

6F6 = - 2 x 10 x 0,3760,5 x d = -12.25602 d kN/mb6 = 8 - 1,5 + 0,5 d = 6.5 + 0,5d mM6 = F6 x b6 = -79.664 d -6.128 d2 kN m/m

7F7 = -0,5 x 11,19 x (2,663/2) x d2 = -7.452 d2 kN/m b7 = 8 - 1,5 + 2/3 d = 6.5 + 0,667d mM7 = F7 x b7 = -48.435 d2 - -4.968 d3 kN m/m

8F8 = -2 x 10 x (2,663/2)0,5 d = -23.078 d kN/mb8 = 8 - 1,5 + 0,5d = 6.5 + 0,5 d mM8 = F8 x b8 = -150.0061 d -11.539 d2 kN m/m

Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio:ΣM = -3.567 d3 -30.740 d2 + 52.448 d + 519.450 = 0da cui:d = 4.02 mF1 = 57.59 kN/mF2 = 69.10 kN/mF3 = 12.43 kN/mF4 = 174.69 kN/mF5 = 34.05 kN/mF6 = -49.33 kN/mF7 = -120.72 kN/mF8 = -92.89 kN/mΣF = 88.95 kN/mEquazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣF + T = 0da cui T = -88.95 kN/mLa forza nei tiranti di ancoraggio vale: t = - T i = 222.38 kN

Si prevede una profondità di infissione D = 1,2 d = 4.8 m



Esercizio 1Con riferimento a un deposito di argilla sovraconsolidata (γsat = 20 kN/m3, ϕ' = 20°, OCR = 10) infinitamente esteso in direzione orizzontale e con piano di campagna orizzontale, si consideri un elemento di terreno a profondità z = 6 m dal piano di campagna. Assumendo il livello di falda coincidente col piano di campagna (γw = 9.81 kN/m3):a ) si calcolino le tensioni (efficaci e totali) agenti allo stato attuale sull'elemento e si disegnino i cerchi di Mohr che ne rappresentano lo stato tensionale.b) si determini il modulo della tensione agente su un piano inclinato di β = 15° in senso antiorario rispetto all'orizzontalec) si individui il piano su cui agisce la massima tensione (intesa in modulo).d) si determini e si disegni lo stato di sforzo massimo (totale ed efficace) a cui l'elemento è stato sottoposto nella sua storia

Esercizio 2Si riportano i dati di una prova TXCIU condotta a pressione di cella costante, pari a 400 kPa, e con back pressure di 100 kPa su un provino di argilla.All'inizio della prova il campione ha lunghezza L0 = 78 mm e diametro D0 = 38 mm.Considerando le eventuali variazioni dell'area della sezione del provino durante la prova:a) si disegni l'andamento del deviatore con la deformazione assiale e si definisca lo stato di consolidazione del provinob) si disegni l'andamento della pressione interstiziale con la deformazione assialec) si disegnino i cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale a fine consolidazione e a rotturad) si determinino le caratteristiche di resistenza al taglio del materiale

Esercizio 3Uno strato omogeneo di argilla NC di spessore 5 m e delimitato inferiormente da una superficie impermeabile e superiormente da uno strato di sabbia di spessore 3 m, il cui tetto definisce il piano di campagna, su cui è applicato un carico uniformemente distribuito e infinitamente esteso di 200 kPa. Il livello di falda si trova a 1.5 m al di sotto del piano di campagna.La pressione interstiziale misurata al confine impermeabile inferiore dello strato di argilla, dopo 18 mesi dall'applicaziondel carico, è di 242.5 kPa, mentre il cedimento di consolidazione corrispondente dello strato di argilla è di 230 mm.Assumendo per la sabbia ρd = 1.75 Mg/m3 e ρsat = 2 Mg/m3 e per l'argilla: ρsat = 1.95 Mg/m3 e e0 = 0.8 (γw=9.81 kN/m3)a) determinare i valori di cv e di Cc relativi allo strato di argillab ) stimare il cedimento di consolidazione primaria finale dello strato di argillac) stimare il cedimento dello strato di argilla e la pressione interstiziale alla base di tale strato dopo tre anni dall'applicazione del carico.

148 -19,5 232

124 -9,36 224136 -14,04 232

58 -1,95 16596 -4,29 200

Forza assiale, Variazione di lunghezza, Sovrapressione interstiziale,0 0 0


Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 9 febbraio 2004 1

Esercizio 1Un muro di sostegno a gravità, le cui caratteristiche geometriche sono riportate in Figura, viene realizzato per sostenere un terrapieno di altezza H. Il terreno di fondazione è costitutito da sabbia limosa mediamente addensata (γsat2, ϕ2'), mentre il terrapieno è costitutito da sabbia fine addensata (γsat1, ϕ1'). Alla base del muro è stato realizzato un sistema di drenaggio che consentedi mantenere il livello di falda a 4.5 m al di sotto della base del muro.Assumendo un angolo di attrito tra la base del muro e il terreno di fondazione δb = 2/3 ϕ' etrascurando la resistenza passiva a valle del muro, verificare la stabilità del muro alla traslazione ed alla rotazione nelle seguenti ipotesi:a) assenza di attrito lungo il parametro interno del muro (δ = 0)b) presenza di attrito lungo il parametro interno del muro (δ = 20°)Qualora il sistema di drenaggio si occluda e, a causa del suo malfunzionamento, il livello di falda risalga fino alla superficie del terrapieno, verificare, con riferimento ai casi a) e b) precedentemente considerati e trascurando eventuali forze di filtrazione, che il muro rimanga stabile.Si assuma un peso di volume per l'acqua di γw = 9.81 kN/m3 e per il muro di γc = 24 kN/m3.

Dati:a = 0.6 (m)b = 4.2 (m)H = 5 (m)D = 1 (m)γsat1 = 18 (kN/m3)γsat2 = 20 (kN/m3)ϕ1' = 30 (°)ϕ2' = 28 (°)γc = 24 (kN/m3)γw = 9.81 (kN/m3)zw = 4.5 (m)

Soluzione:Si determina il sistema di forze che agisce sul muro ed i relativi punti di applicazione.Nel caso in cui il sistema di drenaggio funzioni, la falda si trova al di sotto della base del muro per cui si può considerare asciutto sia il terreno di fondazione che il terrapieno.Per il calcolo della spinta attiva che il terrapieno esercita sul parametro interno del muro,trattandosi di terreno incoerente ed omogeneo, si ha , con riferimento ad un tratto di muro di lunghezza unitaria, nel caso:a) δ (°) = 0 posso applicare la teoria di Rankine:ka = tg2 (45° - ϕ'/2) = 0.33 (-)Sa = 1/2 ka γsat1 H

2 = 75 (kN)La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro:zA = 1.67 (m)b) δ = 20 (°) posso applicare la teoria di Coulomb:η = 0 (°)β = 0 (°)ϕ' = ϕ1' = 30 (°)

2 )'(cos −ηϕ

a

Sabbia (

Sabbia (

)

)

H

z

D

γ

γ

, ϕ

, ϕb

sat1

wsat2

1

2

‘

‘

Cls (

Filtro drenante

)γc

O A

BC

D

9 febbraio 2004 testo 1 1

ka = 0.30 (-)Sa = 1/2 ka γsat1 H

2 = 66.9 (kPa)La spinta è inclinata di δ rispetto al parametro interno del muro (orizzontale), per cui le componenti orizzontali e verticali sono:Sah = Sa cos δ = 62.9 (kN)Sav = Sa sin δ = 22.9 (kN)ed è applicata ad una distanza dalla base del muro:zA = 1.67 (m)Per il calcolo del peso del muro, esso viene scomposto nelle sezioni OCD e ABCD e i pesi,sempre riferiti ad una lunghezza unitaria del muro, risultano rispettivamente:W1 = γc(b-a) h /2 = 216.0 (kN)W2 = γc a h = 72.0 (kN)e sono applicati ad una distanza dal punto O:x1 = 2/3 (b-a) = 2.4 (m)x2 = (b-a)+ a/2 = 3.9 (m)W = W1 + W2 = 288.0 (kN)La risultante delle azioni verticali agenti sul muro è data nel caso:a) Rv = W = 288.0 (kN)b) Rv = W + Sav = 310.9 (kN)La resistenza che il terreno esercita sul muro, e che si oppone allo scorrimento, è data da:a) T =Rv tg δb = Rv tg(2/3 ϕ2') = 97.3 (kN)b) T =Rv tg δb = Rv tg(2/3 ϕ2') = 105.0 (kN)La risultante delle azioni orizzontali, trascurando la spinta passiva, è data da:a) RH = T - Sa = 22.3 (kN)b) RH = T - Sah = 42.2 (kN)Il momento risultante delle forze che agiscono sul muro è dato da:a) M = W1 x1 + W2 x2 - Sa za = 674.2 (kN m)b) M = W1 x1 + W2 x2 + Sav b - Sah za = 790.5 (kN m)La distanza del punto di applicazione della risultante rispetto al punto O è paria a:xR = M/Rv = 2.34 (m)xR = M/Rv = 2.54 (m)Per la verifica al ribaltamento si controlla che la risultante delle azioni agenti sul muro ricada nel terzo medio:a) e = |b/2 - xR| = 0.24 (m) < b/6 = 0.70 (m)b) e = |b/2 - xR| = 0.44 (m) < b/6 = 0.70 (m)Il momento stabilizzante risulta pari a :a) MS = W1 x1 + W2 x2 = 799.2 (kN m)b) MS = W1 x1 + W2 x2 + Sav b = 590.5 (kN m)Il momento ribaltante risulta pari a :a) MR = Sa za = 125.0 (kN m)b) MR = Sah za = 104.8 (kN m) (kN m)Quindi il fattore di sicurezza nei confronti del ribaltamento rispetto al punto O risulta:a) FS = Ms/Mr = 6.4 > 1.5 Soddisfattab) FS = Ms/Mr = 5.6 > 1.5 SoddisfattaPer la verifica lla traslazione orizzontale si calcola il fattore di sicurezza:a) FS = T/Sa = 1.3 > 1.3 Soddisfatta

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

2

a

coscos'sin'sin1coscos

)'(cosk

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βηδηβϕδϕδηη

ηϕ


b) FS = T/Sah = 1.7 > 1.3 SoddisfattaNel casodi malfunzionamento del sistema di drenaggo, la presenza dell'acqua con livello di falda al piano di campagna modifica il valore della spinta attiva:a) Sa = 1/2 ka γ'1 H

2 = 34.1 (kN)La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro:zA = 1.67 (m)b) Sa = 1/2 ka γ'1 H

2 = 30.4 (kPa)La spinta è inclinata di δ rispetto al parametro interno del muro (orizzontale), per cui le componenti orizzontali e verticali sono:Sah = Sa cos δ = 28.6 (kN)Sav = Sa sin δ = 10.4 (kN)ed è applicata ad una distanza dalla base del muro:zA = 1.67 (m)In entrambi i casi a) e b) agisce anche una spinta idrostatica, per unità di lunghezza del muro:Sw = 1/2 γw H2 = 122.6 (kN)La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro:zw = 1.67 (m)La risultante delle azioni verticali agenti sul muro è data nel caso:a) Rv = W = 288.0 (kN)b) Rv = W + Sav = 298.4 (kN)La resistenza che il terreno esercita sul muro, e che si oppone allo scorrimento, è data da:a) T =Rv tg δb = Rv tg(2/3 ϕ2') = 97.3 (kN)b) T =Rv tg δb = Rv tg(2/3 ϕ2') = 100.8 (kN)La risultante delle azioni orizzontali, trascurando la spinta passiva, è data da:a) RH = T - Sa - Sw = -59.5 (kN)b) RH = T - Sah - Sw = -50.4 (kN)Il momento risultante delle forze che agiscono sul muro è dato da:a) M = W1 x1 + W2 x2 - Sa za - Sw zw = 538.0 (kN m)b) M = W1 x1 + W2 x2 + Sav b - Sah za - Sw zw = 667.3 (kN m)La distanza del punto di applicazione della risultante rispetto al punto O è paria a:xR = M/Rv = 1.87 (m)xR = M/Rv = 2.24 (m)Per la verifica al ribaltamento si controlla che la risultante delle azioni agenti sul muro ricada nel terzo medio:a) e = |b/2 - xR| = 0.23 (m) < b/6 = 0.70 (m)b) e = |b/2 - xR| = 0.14 (m) < b/6 = 0.70 (m)Il momento stabilizzante risulta pari a :a) MS = W1 x1 + W2 x2 = 799.2 (kN m)b) MS = W1 x1 + W2 x2 + Sav b = 842.9 (kN m)Il momento ribaltante risulta pari a :a) MR = Sa za + Sw zw = 261.3 (kN m)b) MR = Sah za + Sw zw = 252.0 (kN m)Quindi il fattore di sicurezza nei confronti del ribaltamento rispetto al punto O risulta:a) FS = Ms/Mr = 3.1 > 1.5 Soddisfattab) FS = Ms/Mr = 3.3 > 1.5 SoddisfattaPer la verifica lla traslazione orizzontale si calcola il fattore di sicurezza:a) FS = T/(Sa +Sw) = 0.6 < 1.3 Non Soddisfattab) FS = T/(Sah +Sw) = 0.7 < 1.3 Non SoddisfattaL'innalzamento della falda rende il muro instabile alla traslazione orizzontale.


Esercizio 2L'indice dei vuoti di un campione di argilla satura sottoposto ad una prova edometrica ad incrementi di carico, in corrispondenza di una tensione efficace verticale di 200 kPa, è 1.52. a) Nell'ipotesi che il provino si trovi sul tratto di compressione vergine (NCL) e che un incremento di carico di 150 kPa riduca l'indice dei vuoti a 1.43, determinare l'indice di compressione, Cc.b) Nell'ipotesi che il provino venga successivamente scaricato fino a 200 kPa e l'indice dei vuoti aumenti fino a 1.45, determinare l'indice di ricompressione, Cr.c) Determinare il grado di sovraconsolidazione dell'argilla al punto b).d) Se il provino viene infine ricaricato ad una tensione efficace verticale di 500 kPa quale è l'indice dei vuoti raggiunto?Dati:σ'vA = 200 (kPa)eA = 1.52 (-)∆σ1 = 150 (kPa)eB = 1.43 (-)σ'vC = 200 (kPa)eC = 1.45 (-)σ'vD = 500 (kPa)Soluzione:a) Il provino si trova sulla linea di normalconsolidazione (punto A) con pendenza Cc. Aumentando la tensione fino a (punto B):σ'vB = σ'vA + ∆σ1 = 350 (kPa)nota la tensione efficace iniziale e l'indice dei vuoti iniziale e finale si ricava l'indice di compressione :Cc = -∆e/∆logσ'v = - (eB - eA)/(log σ'vB - log σ'vA) = 0.370 (-)b) Il provino viene scaricato alla tensione iniziale (punto C), quindi muovendosi su un tratto di pendenzCr = -∆e/∆logσ'v = - (eB - eC)/(log σ'vB - log σ'vC) = 0.082 (-)c) La pressione di preconsolidazione, cioè la massima pressione subita dal provino, è quella raggiunta in B, cioè:σ'p = σ'vB = 350 (kPa)Nel caso b) la tensione efficace veritcale del provino è di:σ'v0 = σ'vC = 200 (kPa)Quindi il grado di sovraconsolidazione è pari a :OCR = σ'p/σ'v0 = 1.75 (-)d) In fase di ricarico viene superata la pressione di preconsolidazioneσ'vD = 500 (kPa) > σ'p = σ'vB = 350 (kPa)quindi ci muoviamo sul tratto di normalconsolidazione di pendenza Cc dal punto B al punto D e l'indice dei vuoti al punto D è dato da :eD = eC - Cc (log σ'vD - log σ'vB) = 1.37 (-)

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

1.5

1.52

1.54

100 1000log σ'v [kPa]

e [-] C

A

B

D


Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 7 febbraio 2005 1

Esercizio 1Una parete verticale liscia di altezza H = 6 m sostiene un terrapieno, costituito da uno strato superficialedi sabbia mediamente addensata (γ1 = 16.5 kN/m3; φ' = 30°) di spessore H1 = 1.2 m, seguito da uno strato di di sabbia densa (γ2,sat = 19.2 kN/m3; φ' = 35°). Nell'ipotesi di piano di campagna orizzontale e di falda a profondità zw = 1.2 m dal piano di campagna,e trascurando eventuali moti di filtrazione:

a) disegnare i profili, con la profondità, della pressione limite attiva, σ'a, e della pressione interstiziale, u;b) determinare la risultante, e il relativo punto di applicazione, delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete.

Dati:Altezza della parete: H(m) = 6Spessore dello strato superficiale: H1 (m) = 1.20

Strato superficiale Strato sottostantePeso di volume: γ1 (kN/m3) = 16.50 γ2,sat (kN/m3) = 19.20Angolo di resistenza al taglio: φ1 (°) = 30 φ2 (°) = 35Profondità della falda: zw (m) = 1.20Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) = 9.81

Soluzione:a) Trattandosi di una parete liscia si può applicare il metodo di Rankine.Si determina il coefficiente di spinta attiva del terreno costituente lo strato piu' superficiale e lo stratosottostante:ka1 (-) = (1 - sinφ1')/(1+sin φ1') = 0.33ka2 (-) = (1 - sinφ2')/(1+sin φ2') = 0.27Si determina il valore della tensione veritcale totale, della pressione neutra, della tensione efficace verticale, e della pressione limite attiva, in corrispondenza del piano di campagna (punto A), dell'interfaccia dei due strati (punto B) e della base della parete (punto C):

Punto Az = 0σv (kPa) = 0u (kPa) = 0σ'v (kPa) = σv - u = 0σ'a (kPa) = ka1 σ'v = 0

Punto B z = 1.20σv (kPa) = γ1 H1 = 19.8u (kPa) = γw (z - zw) = 0σ'v (kPa) = σv - u = 19.8σ'a

- (kPa) = ka1 σ'v = 6.6σ'a

+ (kPa) = ka2 σ'v = 5.4

Punto Cz = 6.00σv (kPa) = γ1 H1+ γ2 (H-H1) = 112.0u (kPa) = γw (z - zw) = 47.088

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Pressione limite attiva, σ'a (kPa)

Prof

ondi

tà (m

)

S1

S2

S3


σ'v (kPa) = σv - u = 64.872σ'a (kPa) = ka2 σ'v = 17.6

z (m) σ'a (kPa) u (kPa)0.0 0.0 0.01.2 6.6 0.01.2 5.4 0.06.0 17.6 47.1

Si determina la spinta attiva:

S1 = 1/2 σ'a-(B) H1 = 3.96 (kN/m)

S2 = (H - H1) σ'a+(B) = 25.75 (kN/m)

S3 = 1/2 (σ'a (C) - σ'a+(B)) (H-H1) = 29.31 (kN/m)

Sa = S1 + S2 + S3 = 59.03 (kN/m)e la spinta idrostatica:Sw = 1/2 γw (H - zw)2 = 113.01 (kN/m)e la spinta totale:S = Sa + Sw = 172.04 (kN/m)ed il momento risultante rispetto alla base del muro:M = 310.12 (kN)e quindi si ricava il punto di applicazione:zA = M/S = 1.80 (m)

Esercizio 2Da un'analisi preliminare effettuata sul terreno di fondazione di un edificio, consistente in un deposito di sabbia contenente al suo interno uno strato di argilla compressibile sotto falda, è stato stimato un cedimento di consolidazione primaria ∆h = 50 mm. L'incremento della tensione efficace verticale medio trasmesso dall'edificio allo strato di argilla è di 150 kPa.Da un'analisi più approfondita è risultato che lo strato di argilla ha uno spessore maggiore del 30% di quello stimato inizialmente ed il livello di falda si trova due metri al di sotto di quello inizialmenteconsiderato. Determinare il nuovo valore del cedimento di consolidazione primaria.

Dati:Cedimento stimato: ∆Hini(mm) = 50Incremento di carico: ∆σv (kPa) = 150Errore sullo spessore dello strato εH (%) = 30Errore sulla posizione della falda: ∆zw (m) = 2Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) 9.81

Soluzione:Per stimare il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla satura si adotta la formula:∆H = H0 mV ∆σv

e nell'ipotesi che il coefficiente di compressibilità di volume mv sia lo stesso,a parità di incremento di tensione verticale ∆σv, il cedimento è proporzionale allo spessore dello strato, da cui:∆Hcorr/∆Hini = H0,corr/H0,ini

da cui:∆Hcorr = ∆Hini * (H0,ini + εH H0,ini/100)/H0,ini = 65 (mm)

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 20.0 40.0 60.0

Pressione neutra, u (kPa)

Prof

ondi

tà (m

)

Sw


L'abbassamento della falda di 2 m comporta un incremento della tensione efficace verticale:γw ∆zw = 19.62 (kPa)per cui a parità sempre di mv e ora anche dello spessore, il cedimento risulta proporzionale all'incremento della tensione verticale:∆Hcorr'/∆Hcorr = (∆σv + γw ∆zw)/∆σv =da cui:∆Hcorr' = ∆Hcorr *(∆σv + γw ∆zw)/∆σv = 73.5 (mm)

Esercizio 3Viene realizzato uno scavo in uno strato di argilla limosa (Gs = 2.7, e = 0.62) di spessore H = 14.2 m, che insiste su uno strato di sabbia. Il livello di falda si trova a 2 m dal piano di campagna.Si determini la profondità critica di escavazione (relativamente al problema del sollevamento del fondo scavo).

Dati:Gravità specifica: Gs (-) = 2.70Indice dei vuoti: e (-) = 0.62Spessore dello strato di argilla: H (m) = 14.2Profondità della falda: zw (m) = 2.00Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) = 9.81

Soluzione:Si determina il peso di volume saturo dell'argilla:γs = Gs γw = PS/VS = 26.49 (kN/m3)γw = Pw/Vw = 9.81 (kN/m3)e = VV/VS = VW/VS = 0.62 (-)Si assume:V = Vs + Vv = Vs + Vw = 1 (m3) (terreno saturo)

Risolvendo il sistema di 4 equazioni in 4 incognite si ottiene:VS = 0.62 (m3)Vw = 0.38 (m3)PW = 3.75 (kN)PS = 16.35 (kN)P = Pw + PS = 20.10 (kN)γsat = P/V = 20.10 (kN/m3)Essendo lo scavo realizzato in un terreno a grana fine occorre ragionare, con riferimento al breve terminein termini di tensioni totali e si determina il fattore di sicurezza, definito mediante il rapporto tra la pressione verticale totale e la pressione interstiziale all’intradosso dello strato di argilla a valle

dove D è la distanza del fondo scavo dalla base dello strato, incognita, e Hw la distanza della faldadalla base dello strato:Hw = H - zw = 12.20 (m)Quindi ponendo FS = 1si ottiene il valore critico di D:Dcr = 5.95 (m)e quindi la profondità di escavazione critica:hcr = (Η − Dcr) = 8.25 (m)

ww HDFS

⋅⋅

=γ

γ


Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 26 gennaio 2004 1

Esercizio 1Per realizzare una diga in terra sono necessari 1 milione di m3 di terreno compattato ad un indice dei vuoti pari a 0.8. In prossimità della diga da realizzare sono stati identificati 3 possibili siti in cui il terreno presenta le caratteristiche desiderate. Nell'ipotesi che i costi di acquisto e di escavazionesiano gli stessi e che cambi solo il costo di trasporto del terreno, come indicato in tabella, determinare la scelta più economicamente conveniente.

Sito

123

Dati:Volume di terreno compattato necessario: Vf = 1.0E+06 (m3)

Indice dei vuoti del terreno compattato: ef = 0.8 (-)Indice dei vuoti del terreno in sito: e01 = 1.8 (-)

e02 = 0.9 (-)e03 = 1.5 (-)

Costo unitario di trasporto del terreno: UC1 = 0.6 (Euro/m3)UC2 = 1 (Euro/m3)UC3 = 0.75 (Euro/m3)

Soluzione:Si adotta la relazione:∆V/V0i = (Vf - V0i)/V0i = ∆e/(1+e0) = (ef - e0i)/(1+e0i)da cui si ricava il volume V0i di materiale da estrarre da ciascuna cava:V0i = Vf*(1 + e0i)/(1+ef)V01 = 1.56E+06 (m3)V02 = 1.06E+06 (m3)V01 = 1.39E+06 (m3)e quindi il costo di trasporto complessivo:C1 = € 933,333C2 = € 1,055,556C3 = € 1,041,667Da cui si deduce che la cava economicamente più conveniente è la prima.

Esercizio 2Si consideri un deposito di terreno omogeneo costitutito da sabbia NC (γsat = 18 kN/m3, ϕ' = 30°)e con livello di falda al di sotto del piano di campagna di 1m. Determinare l'incremento di tensioneefficace verticale che porta a rottura un elemento di terreno situato a 3 m di profondità nell'ipotesiche l'incremento di tensione efficace orizzontale sia pari al 20% dell'incremento della tensione efficace verticale.

Dati:profondità della falda: zw = 1 (m)peso di voulme acqua: γw = 9.81 (kN/m3)

peso di volume saturo: γsat = 18 (kN/m3)angolo di resistenza al taglio: ϕ' = 30 (°)

B = ∆σ'h/∆σ'v = 20 (%)profondità dell'elemento di terreno z: 3 (m)

11.5 0.750.9

Indice dei vuoti[-]

Costo di trasporto[Euro/m3]

1.8 0.6

15 settembre 2003 testo 1 1

Soluzione:Assumendo il terreno al di sopra del livello di falda saturo, si determina la tensione efficace verticale iniziale alla profondita z:σ'v0 = 34.38 (kPa)Quindi si determina il coefficiente di spinta a riposo k 0 adottando la relazione, valida per le sabbie:k0 = 1-sinϕ' = 0.5 (-)e la tensione efficace orizzontale iniziale:σ'h0 = 17.19 (kPa)A rottura l'elmento di terreno raggiunge una situazione di equilibrio limite attiva e la tensione efficaceorizzontale a rottura è data, in base alla teoria di Rankine, da (ricordando che il terreno è incoerente):σ'ha = ka σ'vdove il coefiiciente di spinta attiva è:ka = (1-sinϕ')/(1+sinϕ') = 0.33 (-)e:σ'ha = σ'h0 + ∆σ'hσ'v = σ'v0 + ∆σ'vda cui:σ'h0 + ∆σ'h = σ'h0 + B∆σ'v = ka (σ'v0 + ∆σ'v) da cui si ricava :∆σ'v = 42.98 (kPa)

Esercizio 3Si classifichino secondo il sistema USCS i due terreni A e B, di cui sono riportati i risultati dell'analisigranulometrica ed i limiti di Atterberg.

Passante[%]

Passante[%]

100 10069 9658 9039 8130 6820 52

2 393330

Dati:Terreno A Terreno B

Passante[%]

Passante[%]

0.015 2 0.002 300.074 20 0.003 330.21 30 0.004 390.42 39 0.01 521.19 58 0.02 68

2 69 0.074 8110 100 0.105 90

0.21 960.297 100

wl = 26 (%)wp = 19 (%)

0.002

Diametro[mm]

Diametro[mm]

0.074 0.010.0040.003

0.015

0.42 0.0740.21 0.02

2 0.211.19 0.105

Diametro[mm]

Diametro[mm]

10 0.297

Terreno A Terreno B (wl = 26%; wp = 19%)


Soluzione:Terreno A:Si determina la percentuale dei costituenti del terreno A:Ghiaia (D > 4.76 mm) 16 (%)Sabbia (4.76 mm < D < 0,074 mm) 64 (%)Limo (0.002 mm < D < 0.074 mm) 20 (%)Argilla (D < 0.002 mm) 0 (%)Si considera il passante al setaccio N.200 (D = 0.074 mm):P200 = 20 (%) < 50%per cui si tratta di un terreno a grana grossa.Si stima dal grafico della curva granulometrica il passante al setaccio N.4 (D = 4.76 mm):P4 = 84 (%) > 50%per cui si tratta di sabbia (S)Quindi si calcola il coefficiente di uniformità e di curvatura:UC = D60/D10 = 12.0 (-)CC = D30

2/(D10*D60) = 0.4D60 = 1.2 (mm)D30 = 0.21 (mm)D10 = 0.1 (mm)Essendo la percentuale di fine maggiore del 12% va analizzata e dalla granulometria risulta che essa è limosa per cui si tratta di sabbia limosa: SM

Terreno B:Si determina la percentuale dei costituenti del terreno B:Ghiaia (D > 4.76 mm) 0 (%)Sabbia (4.76 mm < D < 0,074 mm) 19 (%)Limo (0.002 mm < D < 0.074 mm) 51 (%)Argilla (D < 0.002 mm) 30 (%)Si considera il passante al setaccio N.200 (D = 0.074 mm):P200 = 81 > 50%per cui si tratta di un terreno a grana fine.Si calcola l'indice di plasticità:Ip = wl - wp = 7 (%)Il valore corrispondente sulla retta A della carta di plasticità, è 0.73 (WL - 20) = 4.38Quindi il punto si trova al di sopra della retta A e il limite di liquidità:wl = 26 < 50%

Curve granulometriche

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.0010.010.1110D (mm) log

P (%

)

Terreno ATerreno B


Considerato il valore dell'indice di plasticità e la composizione del materiale (prevalentemente limoso) il terreno si colloca al di sopra della retta A tra i terreni a bassa plasticità (L) nella zona tratteggiata(CL-ML).

Esercizio 4Il sito prescelto per la realizzazione di un edificio è costituito da un deposito di sabbia fine (e = 0.76, GS = 2.7) di spessore 10.4 m poggiante su uno strato di argilla soffice sovraconsiolidata (OCR = 2.5) di spessore 2 m, seguito da uno strato di sabbia grossolana. Determinare il cedimento di consolidazione edometrica assumendo il livello di falda a 3 m dal piano di campagna e le seguenti proprietà per lo strato di argilla: wN = 38%, Cr = 0.05, GS = 2.7.Il carico verticale trasmesso dall'edificioche si assume uniformemente distribuito ed infinitamente esteso, è di 140 kPa.

Dati:Spessore dello strato di sabbia sovrastante: H1 = 10.4 (m)Spessore dello strato di argilla: H = 2.0 (m)Livello di falda: zw = 3.0 (m)Indice dei vuoti della sabbia: e = 0.8 (-)Grado di sovraconsolidazione: OCR = 2.5 (-)Contenuto d'acqua naturale: wN = 38.0 (%)Indice di ricompressione: Cr = 0.05 (-)Peso specifico dei grani solidi: GS = 2.7 (-)Carico trasmesso: q = 140.0 (kPa)peso di voulme acqua: γw = 9.81 (kN/m3)Soluzione:Trattandosi di uno strato di terreno di spessore limitato si può calcolare il cedimento facendo riferimento all'intero strato senza suddividerlo.Si determina il peso di volume saturo della sabbia:γsat,s = γw*(Gs + e)/(1+e) = 19.3 (kN/m3)l'indice dei vuoti iniziale dell'argilla (satura):e0 = w*GS = 1.03 (-)ed il peso di volume saturo dell'argilla:γsat,c = γw*(Gs + e)/(1+e) = 18.0 (kN/m3)Si calcola la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla:σ'v0 (z = 11.4 m) = 136.21 (kPa)si determina la pressione di preconsolidazione:σ'p = OCR*σ'vo = 340.52 (kPa)Essendo:σ'vf = σ'v0 + ∆σ'v = σ'v0 + q = 276.21 (kPa) < σ'p = 340.52 (kPa)Allora:∆H = H0/(1 + e0) Cr LN (σ'vfin / σ'v0) = 0.015154719 (m) = 15.2 (mm)

Esercizio 5Una prova di compressione semplice viene effettuata su un provino di argilla satura avente diametro D = 38 mm e altezza H = 76 mm. Il massimo carico sostenuto è di 127 N e l'abbassamento verticale corrispondente è di 0.8 mm. Disegnare il cerchio di Mohr a rottura e determinare la resistenza al taglionon drenata del materiale.

Dati:Diametro del provino: D0 = 38 (mm)Altezza del provino: H0 = 76 (mm)Carico assiale: P = 127 (N)Abbassamento: ∆H = 0.8 (mm)

Soluzione:Si determina l'area iniziale della sezione provino:


A0 = π D02/4 = 1134.11 (mm2)

e quella finale dalla relazione (ricordando che la prova avviene in condizioni non drenate ed εv = 0):A1 = A0 (1-εv)/(1-εz) = A0/(1-εz) = 1146.180001 (mm2)con:εz = ∆H/H0 = 0.0105 (-)Si determina la tensione principale maggiore a rottura (quella verticale):σ1r = P/A1 = 110.8 (kPa)mentre quella inferiore (orizzontale) è nulla:σ3r = 0 (kPa)e la resistenza al taglio non drenata:cu = (σ1r - σ3r)/2 = 55.4 (kPa)


Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 24 gennaio 2005 1

Esercizio 1

Una fondazione rettangolare, di dimensioni B = 2m e L = 4m, trasmette al terreno sottostante un carico di esercizio Qes = 800 kN, centrato rispetto alla fondazione, giacente sul piano verticale parallelo alla dimensione minore, e inclinato di un angolo α ≤ 30° rispetto alla verticale. Il terreno compreso tra il piano di posa, orizzontale e a profondità D = 1.5 m, e il piano campagna, anch'esso orizzontale, è formato da materiale di riporto (γ = 17 kN/m3; φ' = 23°).Il terreno di fondazione è invece costituito da sabbia densa (γd = 17 kN/m3; γs = 26 kN/m3; φ' = 34°).La falda si trova a profondità zw dal piano di campagna.Assumendo un fattore di sicurezza F = 3, si verifichi la stabilità della fondazione con riferimento alla situazione più criitca:

a) nel caso di terreno asciutto e al variare dell'angolo α, ;b) nel caso di carico verticale, al variare della posizione della falda (zw ≥ 0,5 ).

Dati:Larghezza della fondazione: B (m) = 2Lunghezza della fondazione: L (m) = 4Profondità del piano di posa: D (m) = 1.5Carico di esercizio: Qes (kN) = 800Inclinazione del carico rispetto alla verticale: α (°) ≤ 30Inclinazione dela proiezione del carico rispetto alla dimensione maggiore: θ (°) = 90Fattore di sicurezza: F = 3Profondità della falda: zw ≥ 0.5Terreno di riporto:Peso di volume: γr (kN/m3) = 17.00Angolo di resistenza al taglio: φ'r (°) = 23Terreno di fondazione:Peso di volume secco: γd (kN/m3) = 17.00Peso specifico dei costituenti solidi: γs (kN/m3) = 26.00Angolo di resistenza al taglio: φ' (°) = 34Profondità della falda: zw (m) ≥ 0.5Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) = 9.81

Soluzione:Essendo il terreno di fondazione di tipo incoerente (c' = 0) verrà effettuata una verifica a lungo termine(in termini di pressioni efficaci) calcolando la capacità portante secondo la seguente formula:

dove essendo il piano di campagna e di posa della fondazioni orizzontali risulta:gγ = gq = 1bγ = bq = 1essendo il carico centrato risulta B' = B

I fattori di capacità portante vengono determinati con le formule:

= 29.44= 38.37

qqqqqqlim gbidsNq'gbidsNB''21q ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= γγγγγγγ

)2

(45 tgeN 2tgq

φϕπ +°= ⋅

( ) φγ tg1N 2N q ⋅−⋅=

24 gennaio 2005 testo 1

I fattori di forma della fondazione sono calcolati con le seguenti formule (per fondazione rettangolare):

= 1.34

= 0.80

I fattori di profondità si calcolano con la formula (essendo D/B = 0.75 ≤ 1)

= 1.20

dγ = 1

Trattandosi di terreno di riporto si assume cautelativamente: dq = 1.2

Per determinare i fattori di inclinazione del carico si considerano le formule:

dove:H/V = tg α

= mB

= 1.67

a) La situazione più critica corrisponde al valore massimo di α, cioè:α (°) = 30da cui si ricava che:iq = 0.24iγ = 0.10

Si suppone il terreno di fondazione asciutto, cioè zw ≥ D + B = 3.5per cui:1/2 γ' B 1/2 γd Bq' q = γr D = 25.5 (kPa)

Si determina la capacità portante:qlim = 339.24 (kPa)e la pressione ammissibile:

130.08 (kPa)

e quindi il carico ammissibile:Qamm = qamm B L = 1040.65 (kN)(non c'e' sottospinta idraulica)La componente verticale del carico di esercizio è:Qes,V = Qes cosα = 692.82 (kN)Qes,V = 692.82 < Qamm

La verifica è soddisfatta.

b) La situazione più critica corrisponde a:zw (m) = 0.5

φtanLB1s q ⋅+=

LB4,01s ⋅−=γ

( )BDsen1tan21d 2

q ⋅−⋅+= φφ

m

q VH1i ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1m

VH1i

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=γ

ϑϑ 2B

2L senmcosmm ⋅+⋅=

LB1

LB2

m B

+

+=

qFS

qqq limamm +

−=


e nell'ipotesi di carico verticale: α (°) = 0iq = 1iγ = 1

1/2 γ' B 1/2 γ' B

Per trovare il peso di volume saturo dell'argilla si sfruttano le relazioni:γd = PS/Vγs = PS/VS

γw = Pw/Vw

Si assume:V = Vs + VW = 1 (terreno saturo)Risolvendo il sistema di 4 equazioni in 4 incognite si ottiene:PS = 17.00 (kN)VS = 0.65 (m3)VW = 0.35 (m3)Pw = 3.40 (kN)P = Pw + PS = 20.40 (kN)γsat = P/V = 20.40 (kN/m3)γ' = γsat - γw = 10.59 (kN/m3)Il peso di volume alleggerito del terreno di riporto risulta:γ'r = γr - γw = 7.19 (kN/m3)

q' q' = γ'r (D-zw) + γr zw = 15.69 (kPa)Si determina la capacità portante:qlim = 1066.13 (kPa)e la pressione ammissibile:

365.84 (kPa)

e quindi il carico ammissibile:Qamm = qamm B L = 2926.71 (kN)La sottospinta idraulica è pari a:Sw = γw B L (D-zw) = 78.48 (kN)Q'es = Qes - SW = 721.52 < Qamm = 2926.71 (kN)La verifica è soddisfatta.

Esercizio 2Una prova di consolidazione edometrica, condotta su un provino di altezza H0 = 20 mm, ha prodottoi seguenti risultati:σ1' = 50 kN/m2; e1 = 0.92;σ2' = 120 kN/m2; e2 = 0.78;

t50 = 2.5 minSi determini, limitatamente all'intervallo di carico considerato, il coefficiente di permeabilità k delterreno (si assuma l'indice dei vuoti iniziale e0 = e1).

Dati:Altezza iniziale del provino: H0 (mm) = 20Indice dei vuoti iniziale: e0 (-) = 0.92σ1' (kN/m2) = 50σ2' (kN/m2) = 120e1 (-) = 0.92

=+−

= q'FS

q'qq lim

amm


e2 (-) = 0.78t50 (min) = 2.5Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) = 9.81

Soluzione:Si utilizza la definizione di coefficiente di consolidazione verticale per determinare il coefficiente dipermeabilità:K = cv av γw /(1+e0)dove:av = -∆e/∆σ' = (e2-e1)/(s'2-s'1) = 0.002 (m2/kN)cv = (TV,50 H

2)/t50

Per un grado di consolidsazione medio Um = 50%, si ha che:TV,50 = 0.197Essendo il provino drenato da entrambi i lati:H = H0 /2= 0.010 (m)da cui:cv = 7.88E-06 (m2/min)Il coefficiente di permeabilità risulta quindi:k = 8.05E-08 (m/min) = 1.34E-09 (m/s)

Esercizio 3Una prova di taglio diretto eseguita su un provino di sabbia satura (avente dimensioni 60mmx60mmx25mm)ha fornito come risultato una forza di taglio a rottura Tf = 262 N in corrispondenza di un carico verticaleP = 350 N.Adottando la relazione, valida per le sabbie, tgφ' = 0.65/e, si determini il peso di volume del terreno (GS = 2.65, γw = 10 kN/m3).

Dati:Lunghezza del provino, L (mm) = 60Larghezza del provino (mm), B = 60Altezza del provino, H (mm) = 25Forza di taglio a rottura, Tf (N) = 262Carico verticale, P (N) = 350GS (-) = 2.65Peso di volume dell'acqua: γw (kN/m3) = 9.81

Soluzione:Il peso di volume del terreno (saturo) è dato da:γsat = P/V Dove il volume del provino è :V = B L H = VV + Vs = VW + VS = 9.00E-05 (m3)P = Pw + PS

Trattandosi di un terreno incoerente, vale il criterio di rottura di Mohr-Coulomb nella forma:τf = σ' tgφ'dove :τf = Tf/A = Tf/(BL) = 72.78 (kPa)σ' = N/A = 97.22 (kPa)da cui si ricava :φ' = arctg(τf/σ') = 36.8 (°)e quindi dalla relazione adottata, si ricava:e = VV/VS = 0.65/tgφ' = 0.868 (-)Quindi si ricava:γS = PS/VS = GS γw = 26.0 (kN/m3) Essendo:


Vw/VS = 0.868PS/VS = 26.0VW + VS = 9.00E-05Pw/Vw = 9.81Si rsolve il sistema di 4 equazioni in 4 incognite:VS = 4.82E-05 (m3)Vw = 4.18E-05 (m3)PS = 1.25 (N)Pw = 0.41 (N)P = Pw + PS = 1.66 (N)da cui si ricava :

γsat = P/V = 18.5 (kN/m3)



Esercizio 1Uno strato di argilla satura relativamente impermeabile di spessore 12 m giace su un acquifero in pressione costituito prevalentemente da ghiaia. Il livello dell'acqua raggiunto all'interno di un tubo piezometrico applicato in corrispondenza tetto dello strato di ghiaia è di 3 m al di sopra del tettodello strato di argilla. Le proprietà dello strato di argilla sono le seguenti: e = 1.2, Gs = 2.7 e γsat = 17.4 kN/m3.SI determini:a) il gradiente idarulico critico per lo strato di argilla;b) la tensione efficace verticale in corrispondenza del contatto tra lo strato di ghiaia e di argilla;c) la profondità massima di escavazione nello strato di argilla nei confronti del fenomeno del sollevament del fondo scavo, assumendo un fattore di sicurezza di 1.1

Esercizio 2Una fondazione di forma anulare, avente diametro esterno di 8 m e diametro interno di 4 m è ubicata ad una profondità di 2 m dal piano di campagna. La pressione agente sul terreno sottostante incorrispondenza del piano di posa è di 150 kPa, il peso di volume del terreno compreso tra piano di campagna e piano di posa della fondazione è di 18.3 kN/m3, mentre il terreno di fondazione ha un peso di volume pari a 19.8 kn/m3. Nell'ipotesi di terreno asciutto, si determini la tensione efficace veriticale ad una profondità di 2.4 m dal piano di posa della fondazione, in corrispondenza :a) dell'asse della fondazioneb) ad una distanza di 4 m dall'asse della fondazione

Esercizio 3Una fondazione rettangolare di larghezza 3 m e lunghezza 5 m è ubicata ad una profondità di 2 m dal piano di campagna, su un argilla normalconsolidata (c' = 10 kPa, cu = 80 kPa, ϕ' =26°)caratterizzata da un peso di volume sopra falda pari a 17.25 kN/m3 e sotto falda pari a 18.5 kN/m3.La falda si trova a 5 m dal piano di campagna. Si determini in un grafico come varia il carico ammissibile Q, supposto verticale e con riferimento a condizioni a lungo termine, assumendo un fattore di sicurezza pari a 3, man mano che si innalza il livello di falda rispettivamente:a) ad 1.25 m al di sotto del piano di posa della fondazioneb) alla quota del piano di posa della fondazionec) ad 1.25 m al di sopra del piano di posa della fondazioned) alla quota del piano di campagna

10 gennaio 2006 testo 1 1


Esercizio 1Viene realizzato un rilevato molto esteso, in materiale granulare (γR = 18 kN/m3) e di altezza 1 m, su uno strato omogeneo di argilla satura (γsat = 16 KN/m3, wN = 66%, CC = 0.7, Gs = 2.72) di spessore 12 m e con livello di falda coincidente col piano di campagna.a) Nell'ipotesi di terreno NC, si confronti il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla che si ottiene prima considerando un unico strato, poi suddividendo lo strato in 4 sotto-strati di uguale spessore e infine per integrazione (si ricordi che ).

b) Si supponga che la parte superiore dello strato di argilla, di spessore 1.5 m, a causa di fenomeni di essiccamento, sia sovraconsolidata e che la pressione di preconsolidazione vari linearmente con la profondità da 18 kPa, al tetto dello strato, fino a ritornare uguale alla tensione litostatica a 1.5 m di profondità dal tetto dello strato. Si calcoli di quanto varia il cedimento dello strato di argilla rispetto al caso a) assumendo Cs = 0.1 CC.

Esercizio 2Su un campione di argilla NC viene eseguita una prova triassiale consolidata non drenata ad una pressione di celladi 250 kPa e con una back pressure di 100 kPa, i cui risultati sono di seguito riportati:

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00

49 73 86 94 100 96 89

35 57 72 79.5 88 92 99

Si calcolino:a) I parametri di resistenza al taglio del terrenob) L'angolo di inclinazione del piano di rottura rispetto al piano orizzontalec) Il coefficiente di Skempton A a rotturad) Con riferimento alle variabili t = (σ1 - σ3) /2 e s = (σ1 + σ3) /2 si disegnino sul piano s,t i percorsi tensionali del provino in termini di tensioni totali ed efficaci.

Esercizio 3Deve essere progettata una fondazione superficiale quadrata per trasmettere un carico verticale centrato di 2270 kN ad uno strato di argilla omogenea di elevato spessore (γ = 16 kN\m3, γsat = 18 kN\m3, cu = 100 kPa, ϕ' = 30°, c' = 30 kPa).Assumendo la falda coincidente col piano di posa della fondazione, e quest'ulitmo a una profondità di 1 m dal piano di campagna, si determini:a) la lunghezza minima del lato della fondazione che garantisce un fattore di sicurezza pari a 3 all'istante di applicazione del caricob) la pressione limite ed il corrispondente fattore di sicurezza al termine della consolidazione avvenuta sotto l'effetto dell'applicazione del carico, assumendo le dimensioni della fondazione calcolate al punto a).Nell'ipotesi che alla profondità di 4 m dal piano di campagna la coesione non drenata si riduca, se ne trovi il valore minimo che garantisce la stabilità a breve termine con il fattore di sicurezza riportato nel punto a). Si assuma per il calcolo della diffusione delle tensioni la formula di Steinbrenner riportata nelle Dispense.

Deformazione assialeεa (%)

Deviatoreσ1-σ3 (kPa)

Sovrappressione∆u (kPa)

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++=+∫ 10ln

log1log azbazbaza

dzbaz



Esercizio 1Viene realizzato un rilevato molto esteso, in materiale granulare (γR = 19 kN/m3) e di altezza 2 m, su uno strato omogeneo di argilla satura (γsat = 17 KN/m3, wN = 60%, CC = 0.6, Gs = 2.72) di spessore 12 m e con livello di falda coincidente col piano di campagna.a) Nell'ipotesi di terreno NC, si confronti il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla che si ottiene prima considerando un unico strato, poi suddividendo lo strato in 3 sotto-strati di uguale spessore e infine per integrazione (si ricordi che ).

b) Si supponga che la parte superiore dello strato di argilla, di spessore 2 m, a causa di fenomeni di essiccamento, sia sovraconsolidata e che la pressione di preconsolidazione vari linearmente con la profondità da 38 kPa, al tetto dello strato, fino a ritornare uguale alla tensione litostatica a 2 m di profondità dal tetto dello strato. Si calcoli di quanto varia il cedimento dello strato di argilla rispetto al caso a) assumendo Cs = 0.1 CC.

Esercizio 2In fase progettuale è stato stimato che un'opera realizzata su un deposito di terreno coesivo saturo e omogeneo, drenato sia superiormente che inferiormente, determinerà un cedimento di consolidazione primaria totale dell'ordine di 28 cm e,dopo due anni dalla realizzazione dell'opera, un cedimento parziale di 10 cm.

a) Si ricalcoli il cedimento di consolidazione primaria totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm nel caso in cui lo strato di argilla sia drenato da un lato solo.b) Un sondaggio stratigrafico ha rilevato l'esistenza di uno strato sabbioso drenate alla base dello strato argilloso e la presenza di livelli sabbiosi, di modesto spessore ma continui per l'intera estensione dell'opera, ad 1/3 e 2/3 dello spessore dello strato di argilla. Si ricalcoli in questo caso il cedimento di consolidazione primaria totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm.c) Prove di compressione edometriche eseguite successivamente su campioni prelevati nello strato di argilla hanno fornito valori dell'indice di compressione e del coefficiente di consolidazione verticale inferiori rispettivamente del 70% e del 60% rispetto a quelli inizialmete stimati. Si determini di quanto varia il cedimento di consolidazione primaria totale ed il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm rispetto al caso di drenaggio da entrambi i lati e rispetto al caso b).

Esercizio 3Deve essere progettata una fondazione superficiale quadrata per trasmettere un carico verticale centrato di 3000 kN ad uno strato di argilla omogenea di elevato spessore (γ = 17 kN\m3, γsat = 19 kN\m3, cu = 80 kPa, ϕ' = 28°, c' = 25 kPa).Assumendo la falda coincidente col piano di campagna e il piano di posa della fondazione a una profondità di 1,5 m dal piano di campagna, si determini:a) la lunghezza minima del lato della fondazione che garantisce un fattore di sicurezza pari a 3 all'istante di applicazione del caricob) la pressione limite ed il corrispondente fattore di sicurezza al termine della consolidazione avvenuta sotto l'effetto dell'applicazione del carico, assumendo le dimensioni della fondazione calcolate al punto a).Nell'ipotesi che alla profondità di 5 m dal piano di campagna la coesione non drenata si riduca, se ne trovi il valore minimo che garantisce la stabilità a breve termine con il fattore di sicurezza riportato nel punto a). Si assuma per il calcolo della diffusione delle tensioni la formula di Steinbrenner riportata nelle Dispense.

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++=+∫ 10ln

log1log azbazbaza

dzbaz( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++=+∫ 10ln

log1log azbazbaza

dzbaz


Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 9 gennaio 2007

Esercizio 1Deve essere costruito un rilevato molto esteso che trasmette al terreno di fondazione una pressioneverticale uniforme q = 65 kPa. Il terreno di fondazione è costituito da uno strato di argilla di spessoreH = 10 m, sovrastante un bedrock rigido e impermeabile.L'argilla ha coefficiente di compressibilità di volume medio mv = 0,25 m2/MN, coefficiente di consolida-zione verticale medio cv = 4,7 m2/anno e coefficiente di consolidazione orizzontale medioch = 7,9 m2/anno. E' richiesto che il cedimento di consolidazione residuo dopo 6 mesi dalla costruzione del rilevato non sia superiore a 25 mm. Per raggiungere tale obiettivo si decide di utilizzarepali di sabbia di diametro 400 mm, con funzione di dreni verticali, disposti con maglia quadrata.Calcolare l'interasse dei dreni.

Soluzionedatiq = 65 kPa t = 6 mesi = 0.5 anniH = 10 m dw = 400 mm = 0.4 mmv = 0.25 m2/MN ∆s (t) = 25 mm cv = 4.7 m2/annoch = 7.9 m2/anno

sfin = mv H q = 162.5 mms(t) = sfin - ∆s(t) = 137.5 mmU(t) = 100 s(t)/sfin = 84.6 %Tv = cv t / H

2 = 0.0235 da cui Uv (Tv) = 17.3 %U(%) = 100 - (1 - Uv)(1 - Ur)/100 da cui Ur(t) = 81.4 %Tr = ch t / de

2 n = de / dw F = ln(n) - 0,75 Ur (%) = 100[1 - exp(-8Tr/F)]da cui:Tr / F = - (1/8) ln(1 - Ur/100) = 0.210de = 3.6 m soluzione per tentativiTr = 0.305n = 9F = 1.447Tr/F = 0.211i = de π

0,5 / 2 = 3.2 m

Esercizio 2Determinare la larghezza B di una fondazione nastriforme che deve sostenere un carico massimo verticale totale di 800 kN/m. Il piano di posa della fondazione è alla profondità di 0,7m da p.c.Il terreno di fondazione è una sabbia ghiaiosa con angolo di resistenza al taglio φ' = 40°La falda freatica è alla profondità del piano di fondazione. Il peso di volume medio del terreno sopra falda è 17 kN/m3 e sotto falda 20 kN/m3. Il fattore di sicurezza richiesto è FS = 3.

SoluzionedatiQ = 800 kN/m φ' = 40 ° = 0.698 radD = Dw = 0.7 m γ = 17 kN/m3

FS = 3 γsat = 20 kN/m3

q = γ D = 11.9 kPaγ' = γsat - γw = 10.19 kN/m3


qamm = Q/B = (qlim - q)/FS + qqlim = q Nq + 0,5 γ' B Nγ Nq = 64.20

Nγ = 106.05si ottiene un'equazione di secondo grado nell'incognita B: aB2 + bB + c = 0 in cui:a = 0,5 γ' Nγ = 540.35b = q (Nq - 1 + FS) = 787.72c = -Q FS = -2400 da cui: B = 1.50 m

qlim = 1575 kPaqamm = 533 kPaQ/B = 533 kPa

Esercizio 3Deve essere eseguito uno scavo di altezza 9 m in un'argilla satura avente peso di volume 19 kN/m3

e resistenza al taglio non drenata 30 kPa. Alla profondità di 11 m da p.c. è presente un substrato rigido. Determinare per quale angolo di pendio si verifica la condizione di rottura e a quale angolo di pendio corrisponde un fattore di sicurezza 1,2.

SoluzioneSi utilizza la carta di Taylor.H = 9 m Ns = (FS γ H) /cu

H1 = 11 m cu = 30 kPand = H1/H = 1.22 γ = 19 kN/m3

FS = 1 FS = 1.2Ns = 5.7 Ns = 6.84β = 50 ° β = 27 °



Esercizio 1Una parete verticale di altezza 12 m sostiene, per la sua intera altezza, un terrapieno costituito da uno strato superficiale di altezza 5 m (cu = 12 kPa, ϕu = 0°, γ = 17 kN/m3) seguito da uno strato di altezza 7 m (cu = 35 kPa, ϕu = 0°, γ = 18 kN/m3).Utilizzando il poligono delle forze ed applicando il criterio dell'equilibrio limite globale al cuneo di rottura, si determini l'ampiezza della spinta attiva in termini di tensioni totali (con riferimento a condizioni di breve termine) e l'inclinazione del piano di rottura (si tenga conto anche del contributo dell'acqua di infilitrazione superficiale).Si assuma al contatto tra terreno e parete un angolo di attrito δ = 0° e un coefficiente di adesione Ca = 10 kPa e γw = 9.81 kN/m3.

Esercizio 2In un punto all'interno di un deposito (ϕ' =30°, c' = 20 KPa), la tensione efficace orizzontale è di 100 kPa, mentre la tensione tangenziale agente sul piano orizzontale è di 50 kPa. Nell'ipotesi che il terreno venga portato a rottura per incremento della tensione verticale, mantenendo costante quella orizzontale e tangenziale, si determini:a) la tensione efficace verticale che determina la rottura nel terreno b) la tensione normale e tangenziale agenti in corrispondenza della superficie di rotturac) l'inclinazione del piano di rottura rispetto all'orizzontaled) le tensioni principali a rottura

Esercizio 3Durante una prova edometrica ad incrementi di carico, passando da un carico verticale di 60 kPa a 120 Kpa, è statoosservato, dalla misura delle sovrappresioni interstiziali, che il tempo richiesto per il 50% della consolidazione primaria del provino è di 154 sec ed il cedimento corrispondente è di 1.25 mm.Sapendo che l'indice dei vuoti iniziale è di 0.65 e l'altezza iniziale del campione è 20 mm, determinare:a) il coefficiente di permeabilità in m/sb) il tempo richiesto per il 90% della consolidazione c) l'indice di compressioned) Inoltre si disegni sul piano e - log σ'v il percorso tensionale in termini di tensioni totali ed efficaci, evidenziando l'evoluzione delle sovrappressioni interstiziali.


Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 21 giugno 2004 1

Esercizio 1Con riferimento alla Figura di seguito riportata, si determini la resistenza al taglio del terreno nei punti A, B e C relativamente al piano verticale ed orizzontale.

Dati:Strato A (limo sabbioso):Peso di volume : γ1 = 17.0 (kN/m3)

γ1sat = 17.5 (kN/m3)

Coesione: c 1 ' = 10 (kPa)Angolo di resistenza al taglio: ϕ1' = 28 (°)Coefficiente di spinta a riposo: Κ01 = 0.54 (−)Spessore : Η1 = 3 (m)

Η2 = 5 (m)Strato B (limo sabbioso):Peso di volume : γ2sat = 18.0 (kN/m3)

Coesione: c 2 ' = 0 (kPa)Angolo di resistenza al taglio: ϕ2' = 37 (°)Coefficiente di spinta a riposo: Κ02 = 0.8 (−)Livello di falda: zw = 3 (m)Profondità dei campioni zA = 1.1 (m)dal livello di falda: zB = 4.9 (m)

zC = 5.1 (m)γw = 9.8 (kN/m3)

Soluzione:Si determinano le tensioni efficaci verticali ed orizzontali nei punti A, B e C.Nel punto A:σ'vA = γ1 H1 + (γ1sat-γw) zA = 59.5 (kN/m2)σ'hA = K01 σ'vA = 32.1 (kN/m2)Nel punto B:σ'vB = γ1 H1 + (γ1sat-γw) zB = 88.7 (kN/m2)σ'hB = K01 σ'vB = 47.9 (kN/m2)Nel punto C:σ'vC = γ1 H1 + (γ1sat-γw) H2+ (γ2sat-γw) (zC -H2) = 90.3 (kN/m2)σ'hC = K02 σ'vC = 72.2 (kN/m2)

sopra faldasotto falda

1.1 m

A

3.0 m

5.0 m

Limo sabbioso

Sabbia media

γ = 17.0 kN/m

3 = 17.5 kN/mγ

3

4.9 m

B

C

c’ = 10 kPaϕ ‘ = 28°c’ = 10 kPa

K = 0.5 40

3 = 18 k N/mγc’ = 0 kPa

ϕ‘ = 37°K = 0.800

0.1 m

21 giugno 2004 testo 1

Per il calcolo della resistenza al taglio del terreno si applica il criterio di Mohr-Coulomb:τ = σ' tgϕ' + c'e ricordando che σ' rappresenta la componente normale della tensione agente rispetto al piano considerato, si determina la resistenza al taglio agente sul piano orizzontale:τAH = σ'vA tgϕ1' + c1' = 41.6 (kN/m2)τBH = σ'vB tgϕ1' + c1' = 57.2 (kN/m2)τCH = σ'vC tgϕ2' + c2' = 68.0 (kN/m2)e sul piano verticale:τAV = σ'hA tgϕ1' + c1' = 27.1 (kN/m2)τBv = σ'hB tgϕ1' + c1' = 35.5 (kN/m2)τCv = σ'hC tgϕ2' + c2' = 54.4 (kN/m2)

Esercizio 2Una prova triassiale consolidata isotropa non drenata viene eseguita su un provino di argilla saturanormalconsolidata ad una pressione di cella di 150 kPa. Il valore del deviatore a rottura è di 160 kPa e la pressione neutra corrispondente è di 54 kPa. Si determini l'angolo di resistenza la taglio e la coesione non drenata del terreno e si disegnino i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni totalied efficaci.Dati:Pressione di cella: σc = 150.0 (kPa)Deviatore a rottura: qf = (σ1f - σ3f) = (σ'1f - σ'3f) = 160 (kPa)Pressione neutra a rottura: uf = 54 (kPa)Soluzione:La tensione totale radiale σ3 rimane sempre costante durante la prova e paria quella di cella, σc:σ3f = σc = 150.0 (kPa)σ1f = σ3f + (σ1f - σ3f) = 310.0 (kPa)σ'3f = σ3f - uf = 96.0 (kPa)σ'1f = σ1f - uf = 256.0 (kPa)La coesione non drenata risulta pari a:cu = (σ1f - σ3f) /2 = 80.0 (kPa)L'angolo di resistenza al taglio (ricordando che il terreno è NC e perciò c' = 0):ϕ' = arcsin[(σ'1f-σ'3f)/(σ'1f+σ'3f)] = 27 (°)

Esercizio 3Rispondere alle seguenti domande:1. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.90 (mm/min):

σ σ, ’ [kPa ]σ’ 3f

ϕ’

cu Tensioni totaliTensioni efficaci

τ [k

Pa]

σ’ 1f σ 3fσ 1f


b) 4.02 (mm/min): c) 5.96 (mm/min):2. La teoria di Coulomb per il calcolo della spinta delle terre in generale sovrastima a) la spinta atttiva b) la spinta passiva c) la spinta a riposo3. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γsat = 18 kN/m3, ϕ' = 30°. c' = 0; la spinta attiva agente sul muro (in kN), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale, è (assumendo γw = 9.81 kN/m3): a) 51.5 b) 241 c) 56.44. Un terreno è sottoposto ad una tensione verticale di 140 kPa, una tensione orizzontale di 80 kPa, e ad una tensione di taglio di 40 kPa. La tensione principale maggiore è (in kPa): a) 110 b) 60 c) 1605. Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) -0.02 b) -0.008 c) -0.01Soluzione:1. a)Si applica la formula: 4.90 (mm/min)con H = 10 mm; t = 4 min; Tv = 0.1962. b)La teoria di Coulomb sovrastima la spinta passiva (l'errore commesso nella stima della spinta attiva è in genere trascurabile).3. c)Si applica la formula: Sa = KA γ' H2/2 + γw H2/2 = 56.43 (kN)calcolata, per unità di alrghezza della parete, con KA = tan2 (π/4 - ϕ'/2) = 0.33 e H = 3 m 4. c)Si considerano i punti sul piano di Mohr di coordinate (140,40) e (80, -40) appartenenti al cerchio di Mohda cui si ricavano le coordinate del centro del cerchio (C,0), con C = 110 kPa, e il raggio R = 50 kPa, e quindi la tensione principale maggiore: σ1 = C+ R = 160 kPa5. c)Si applica la definizione: εv = εa + 2 εr = ∆H/H0+ e ∆R/R0 = (3)/100 - 2 (0,5)/25 = -0.01

=⋅

=t

THc v

2

v



Esercizio 1Una fondazione avente la forma rappresentata in Figura (area tratteggiata) esercita sul terreno sottostante una pressione uniforme di 420 kPa. Si determini l'incremento di tensione verticale indotta ad una profondità di 3 m lungo la verticale condotta dal punto A.

Esercizio 2Su un campione estratto al centro di uno strato di argilla satura di spessore 3.5 m viene eseguita una prova di consolidazione edometrica i cui risultati sono riassunti in Figura.Si determini l'incremento di tensione efficace verticale che produce un cedimento di 12 cm, nell'ipotesi dia) terreno NCb) terreno OC con OCR = 3

Esercizio 3Vengono prelevati tre campioni indisturbati da un terreno di riporto compattato e sottoposti a provetriassiali consolidate isotrope non drenate, i cui risultati sono di seguito riassunti. Si assuma la backpressure uguale a 0 ed i provini cilindrici di altezza 76.2 mm e diametro 38.1 mm.

Pressione di cella Carico assiale a rottura Pressione interstiziale a rottura

Si determini il valore della coesione e dell'angolo di resistenza al taglio.

(kPa) (N) (kPa)200400600

741.1877.91003.3

50200350

6 m

A

5 m

2 m

2 m

20 giugno 2005 testo 1 1

Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 26 giugno 2006

Esercizio 1E' eseguita una prova di emungimento per la determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità in sito di un acquifero non confinato. Il pozzo di prova, attraversa l'intero spessore dello strato acquifero e si immorsa in uno strato di base pressoché impermeabile. Il diametro del pozzo è: d = 2r0 = 40 cml'altezza della falda dallo strato di base è: H = 8 mla portata emunta a regime è: q = 4 m3 / min.l'abbassamento del livello dell'acqua nel pozzo a regime è: D0 = 4.5 mil raggio di influenza osservato è: Ri = 150 mStimare il coefficiente di permeabilità del terreno.SoluzioneSi applica l'equazione: k = q / [π (H2 - h0

2)] ln(Ri/r0) ma, essendh0 = H - D0

si può scrivere: k = q / [π D0 (2H - D0)] ln(Ri/r0)

q = 4 m3 / min = 6.67E-02 m3 / secr0 = 0.2 m da cui:k = 2.71E-03 m / sec = 0.163 m /min

Esercizio 2In un deposito di argilla consistente satura è eseguito un grande scavo di sbancamento.Il peso di volume dell'argilla è: γ = 17.3 kN/m3 Quando la profondità di scavoraggiunge il valore d = 7.5 m compaiono delle fratture dallequali fuoriesce sabbia e acqua. Perforazioni di sondaggio, eseguite successivamente, rivelano chelo strato di argilla ha spessore H = 11 m, e sovrasta uno strato di sabbia.Quale era la profondità Zw del piano di falda da p.c. prima delle operazioni di sbancamento?SoluzioneLo scavo di sbancamento determina un gradiente idraulico fra il tetto dello strato di sabbia e il fondo dello scavo, e conseguentemente un moto di filtrazione ascendente. A causa della bassa permeabilità dell'argilla la condizione di flusso stazionario richiede un tempo molto lungo, ed è quindi necessario considerare la condizione a breve termine (non drenata).Il fondo scavo è stabile finché la pressione dell'acqua al tetto dello strato di sabbia è inferiore allapressione verticale totale. Il fenomeno osservato denuncia la condizione di equilibrio limite.Pertanto:σv = γ (H - d) u = γw (H - Zw) σv = u da cui:Zw = H - (γ/γw) (H - d) = 4.83 m

Esercizio 3Stimare il cedimento edometrico e i tempi t20 e t80 di uno strato di argilla N.C. drenato da un sololato conseguenti all'applicazione di un sovraccarico verticale uniforme.datialtezza dello strato H = 3 mcoefficiente di permeabilità dell'argilla N.C. k = 4.70E-10 m/seccoefficiente di compressibilità di volume mv = 1.25E-04 m2/kNintensità del sovraccarico ∆p = 250 kPaSoluzionecedimento edometrico ∆H = mv H ∆p = 0.094 mcoefficiente di consolidazione cv = k / (γw mv) = 3.83E-07 m2/secfattore di tempo per:Um = 20 % Tv = 0.0317

H

L

Zw

B

1

t20 = H2 Tv /cv = 8.6 giorniUm = 80 % Tv = 0.5621

t80 = H2 Tv /cv = 152.7 giorni

Esercizio 4Un'argilla sovraconsolidata ha coesione c' = 80 kPa ed angolo di resistenza al taglioφ' = 20 °. Se un provino indisturbato di tale argilla è sottoposto a prova triassiale TxCID con pressione di confinamento σ'c = 100 kPa, quale sarà la tensione deviatorica a rottura? Quale l'inclinazione del piano di rottura rispetto all'asse del provino?Soluzioneσ'3 = σ'c = 100 kPa φ' = 20 ° = 0.349 radKP = (1+senφ')/(1-senφ') = 2.040σ'1f = KP σ'3 + 2c' KP

0,5 = 432 kPa(σ'1 - σ'3)f = 332 kPaθ = φ'/2 + 45° = 55 ° inclinazione del piano di rottura rispetto al piano orizzontale90° - θ = 35 ° inclinazione del piano di rottura rispetto all'asse del provino.

2


Esercizio n. 1Deve essere realizzato un terrapieno di spessore 3m per una grande estensione e con materiale di riporto avente pesodi volume pari a 20.5 kN/m3. Per caratterizzare il deposito sottostante è stato realizzato un sondaggio geotecnico che ha rilevato la presenza di uno strato di sabbia superficiale di spessore 4 m, seguito da uno strato di argilla pressochè omogeneo di spessore pari a 10 m. Nella parte terminale del sondaggio è stata rilevata la presenza di un substrato marnoso di cui però non si conosce lo spessore né il grado di alterazione e fratturazione.Da prove di laboratorio eseguite su campioni estratti in corrispondenza dei materiali incontrati è stato stimato sia per la sabbia che per l'argilla un peso di volume di 19.2 kN/m3. La falda è pressochè coincidente col piano di campagna.Infine dai risultati di una prova edometrica eseguita su un campione di argilla è stato stimato un valore del coefficiente di consolidazione verticale pari a 2.2m2/anno e sono stati determinati i punti della curva edometrica [σ'v (kPa),e (-)] :[(27, 1.181) (54, 1.156) (107, 1.087) (214, 1.015) (429, 0.944) (214, 0.951) (107, 0.961) (54, 0.972)]a) Si stimi il cedimento finale del deposito dopo la messa in opera del rilevato, trascurando il contributo dello strato di sabbia (si divida lo strato di argilla in almeno 4 sottostrati).b) Qualora il rilevato venga messo in opera molto rapidamente quanto varrebbe la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla inizialmente e dopo 1 anno?c) Come e di quanto varierebbe il piano di posa del rilevato nell'ipotesi che il rilevato venga rimosso?

Esercizio 2Si consideri un blocco in calcestruzzo di larghezza B = 2.6 m , altezza D = 2.2 m ed estensione molto grande, interrato in un deposito di argilla omogenea e NC (γ = 20.2 kN/m3, cu = 35 kPa, ϕ' = 26°).Si supponga che la profondità di interramento coincida con D, che il piano di campagna sia orizzontale e la faldacoincida col piano di campagna. Si determini il valore limite che deve raggiungere, prima di portare il terreno sottostante alla rottura , un carico verticalecentrato applicato in superficie e centrato rispetto al blocco sia con riferimento a condizioni a breve termine che a lungotermine. Si assuma γw = 9.81 kN/m3 e γcls = 24.5 kN/m3.

Esercizio 3Su un provino cilindrico di argilla di diametro pari 38 mm e altezza di 76 mm viene eseguita una prova triassialeconsolidata isotropa e drenata. La pressione di cella applicata è di 200 kPa e la pressione efficace di consolidazioneraggiunta è di 120 kPa. L'indice dei vuoti iniziale misurato è di 1.22.Durante l'applicazione del deviatore,q, vengono misurati i valori della forza assiale applicata Fa (N), della variazione dialtezza del provino, ∆H (mm) e del volume d'acqua che fuoriesce dal provino ∆V (cm3) e sono di seguito riportati:(0,0,0); (69, -1.95, -0.89); (141, - 5.85, -3.76); (195, -11.7, -7.14); (236, -19.11, -8.48); (275, -27.30, -8.48)Calcolare e disegnare i grafici: εa-q, εa-εv, p'-q, p'-e.

26 giugno 2007 testo 1 1

Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 5 luglio 2004 1

Esercizio 1Verificare la stabilità alla traslazione ed alla rotazione del muro di sostegno a gravità riportato in Figura,assumendo un angolo di attrito tra la base del muro e il terreno di fondazione δb = 2/3 ϕ' e trascurandola resistenza passiva a valle del muro.Si asuma un angolo di attrito lungo il parametro interno del muro δ = 20°, un peso di volume per l'acquadi γw = 9.81 kN/m3 e per il muro di γc = 24 kN/m3.

Dati:a = 0.6 (m)b = 4.2 (m)H = 5 (m)D = 1 (m)γsat1 = 17 (kN/m3)γsat2 = 20 (kN/m3)ϕ1' = 32 (°)ϕ2' = 27 (°)γc = 24 (kN/m3)γw = 9.81 (kN/m3)zw = 3 (m)

Es. 2Su tre campioni di sabbia viene eseguita una prova triassiale consolidata non drenata. I valori misurati delle tensioni e della pressione neutra a rottura sono riportati in in tabella.Per ciascuno dei campioni esaminati:a) disegnare i cerchi di Mohr, in termini di tensioni efficaci;b) determinare l'angolo di resistenza al taglio ϕ' ;c) calcolare il parametro A di Skempton a rottura;

Campione σ3f (σ1-σ3)f uf

(kPa) (kPa) (kPa)1 180 112 1012 330 211 1813 660 453 344

a

Sabbia (

Sabbia (

)

)

H

z

D

γ

γ

, ϕ

, ϕb

sat1

wsat2

1

2

‘

‘

Cls (

Filtro drenante

)γc

5 luglio 2004 testo 1


Esercizio 1Un muro di sostegno in c.a.(riportato in figura) sostiene un terrapieno costituito da argilla NC (γ1 = 18 kN/m3) ed è fondato su uno strato di ghiaia (γ2 = 19 kN/m3, ϕ' = 32°).Assumendo le dimensioni del muro riportate in figura e la falda molto profonda, utilizzando i risultati, di seguito riportati, della prova triassiale consolidata isotropa non drenata eseguita su tre provini estratti nello strato di argilla di argilla NC:a) si determinino le azioni che agiscono sull'opera di sostegno, assumendo un angolo di attrito δ = 2ϕ'/3, i punti di applicazione ed il momento risultante rispetto al piede del muro (O)b) si effettui una verifica della capacità portante del terreno di fondazione.

σc

[kPa](σ1-σ3)r

[kPa]∆ur

[kPa]Provino A 350 157 56Provino B 450 288 77Provino C 550 418 99

(back pressure u0 = 200 kPa)

Dati:Dati geometrici:

H = 5.00 mB = 3.60 ms = 0.50 mD = 1.60 ma = 0.50 mb = 1.80 m

Sovraccarico agente a monte del muro: qm = 70 kPaSovraccarico agente a valle del muro: qv = 50 kPaPeso di volume dell'argilla : γ1 = 18.0 kN/m3

Peso di volume della ghiaia : γ2 = 19.0 kN/m3

Angolo di resistenza al taglio della ghiaia: φ'2 = 32 ° = 0.5585 radPeso di volume del muro : γca = 25.0 kN/m3

Risultati della prova TXCIU:σc

[kPa](σ1-σ3)r

[kPa]∆ur

[kPa]Provino A 350 157 56Provino B 450 288 77Provino C 550 418 99

back pressure u0 = 200 (kPa)

Soluzione:a)

O

4 luglio 2005 testo 1 1

Si determinano i parametri di resistenza al taglio dell'argilla NC a partire dai risultati della prova TXCIU:vengono calcolate le tensioni principali a rottura, σ'1r e σ'3r, per i tre provini e il raggio, R, e l'ascissa delcentro, C, dei cerchi di Mohr a rottura corrispondenti:Provino A

σ'3r = σc-u0-∆ur = 94.00 RA = (σ'1r-σ'3r)/2 = 78.50 kPa raggio cerchio di Mohr Aσ'1r = (σ1-σ3)r+σ'3r = 251.00 CA = (σ'1+σ'3)/2 = 172.50 kPa centro cerchio di Mohr A

Provino Bσ'3r = σc-u0-∆ur = 173.00 RB = (σ'1-σ'3)/2 = 144.00 kPa raggio cerchio di Mohr B

σ'1r = (σ1-σ3)r+σ'3r = 461.00 CB = (σ'1+σ'3)/2 = 317.00 kPa centro cerchio di Mohr BProvino C

σ'3r = σc-u0-∆ur = 251.00 RC = (σ'1-σ'3)/2 = 209.00 kPa raggio cerchio di Mohr Cσ'1r = (σ1-σ3)r+σ'3r = 669.00 CC = (σ'1+σ'3)/2 = 460.00 kPa centro cerchio di Mohr C

φ'1,AB = arcsin [(RB-RA)/(CB-CA)] = 0.4704 rad = 26.95 °φ'1,AC = arcsin [(RC-RA)/(CC-CA)] = 0.4712 rad = 27.00 °φ'1,BC = arcsin [(RC-RB)/(CC-CB)] = 0.4719 rad = 27.04 °

si assume il valore medio φ'1 = 0.4712 rad = 27.00 °c'A = (RA/sinφ'1-CA)tgφ'1 = 0.22 kPac'B = (RB/sinφ'1-CB)tgφ'1 = 0.11 kPac'C = (RC/sinφ'1-CC)tgφ'1 = 0.20 kPa

si assume il valore medio c'1 = 0.00 kPa

Si detrminano i coefficienti di spinta attiva e passiva per lo strato di argilla:KA = 0.334 (Muller-Breslau)KP = 2.663 (Rankine) 4.754 Si assume il il valore più cuatelativo (Rankine)

Si calcolano le azioni verticali e i rispettivi bracci rispetto al punto O:

W1 = bx[qm + γ1xH]= 288.00 kN/mW2 = γcaxHxa = 62.50 kN/mW3 = γcaxBxs = 45.00 kN/m

W4 = (B-b-a)*[qv+γ1x(D-s)]= 90.74 kN/mWtot = 486.24 kN/m

b1 = B-b/2= 2.70 m

Trascurando il contributo stabilizzante della parte del carico accidentale, qm, agente sul piede di fondazione si

0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400 500 600 700σ' [kPa]

τ [k

Pa]


b2 = B-b-a/2= 1.55 mb3 = B/2= 1.80 m

b4 = (B-b-a)/2= 0.65 mbtot = 2.09 m

Si determinano le spinte esercitate dal terrapieno sul muro ed i relativi bracci:Si determina la spinta attiva agente alle spalle del muro dovuta al terrapieno ed al sovraccarico,inclinata di δ rispetto alla normale rispetto al parametro interno del muro.Si assume un angolo di attrito:δ 1 = 2φ'1/3 = 0.3141 rad = 18.00 °SPINTA S1 S1 = qmxKA1x(H+s)= 128.59 kN/m

S1h = S1xcosδ1= 122.30 kN/m b1z = (H+s)/2 = 2.75 mS1v = S1xsinδ1= 39.73 kN/m b1x = B = 3.60 m

SPINTA S2

S2 =γ1xKax(H+s)^2/2 = 90.93 kN/mS2h = S2xcosδ1= 86.48 kN/m b2z = (H+s)/3 = 1.83 mS2v = S2xsinδ1= 28.10 kN/m b2x = B = 3.60 m

Si determina la spinta passiva agente al piede del muro dovuta al terrapieno ed al sovraccarico,inclinata di δ rispetto alla normale rispetto al parametro interno del muro.SPINTA S3

S3 = qvxDxKP= 213.02 kN/m b3z = D / 2 = 0.80 mS3h = S3xcosδ1= 202.59 kN/m b3x = 0.00 mS3v = S3xsinδ1= 65.82 kN/m

SPINTA S4

S4 =γ1xD2xKP / 2 = 61.35 kN/m b4z = D/3 = 0.53 mS4h = S4xcosδ1= 58.35 kN/m b4x = 0.00 mS4v = S4xsinδ1= 18.96 kN/m

Si determina il momento risultante delle azioni stabilizzanti che agiscono sul muro:considerando, cautelativamente le spinte che agiscono al piede, S3 e S4, pari a metà del proprio valore.Mr =Wtot x btot + (S3h/2)xb3z+(S4h/2)xb4z+(S1vxb1x + S2vxb2x + S3vxb3x +S4vxb4x) =

1355.24 kNm/m (azione resistente)

nel caso in cui, come previsto dalla normativa, si ipotizzino le spinte passive orizzontali, allora:Mr1 =Wtot x btot + (S3/2)xb3z+(S4/2)xb4z+(S1vxb1x + S2vxb2x) =

1360.21 kNm/m Si determina il momento risultante delle azioni instabilizzanti che agiscono sul muro:Mi =S1hxbiz + S2hxb2z = 494.86 kNm/m (azione instabilizzante)


nel caso in cui, come previsto dalla normativa, si ipotizzino le spinte passive orizzontali, allora:Mi1 =S1xbiz + S2xb2z = 520.32 kNm/m (azione instabilizzante)

e quindi il momento risultante:Mtot = Mr - Mi = 860.38 kNm/m Mtot,1 = Mr1 - Mi1 = 839.89 kNm/m b)Si determina la componente verticale e orizzontale della risultante delle azioni trasmesse al terreno di fondazione:Carico verticale totale N = Wtot + S1v + S2v - S3v - S4v = 469.29 kN/m

N1 = Wtot + S1v + S2v = 554.07 kN/mCarico orizzontale totale H = S1h+S2h-(S3h+S4h)/2-Ntgδ = 77.98 kN/m (orientato verso il piede

H1 = S1h+S2h -(S3+S4)/2 - Ntgδ = 71.27 kN/mInclinazione della risultante rispetto alla verticale α = arctg(H/N) = 0.1647 rad = 9.44

α1 = arctg(H1/N1) = 0.1279 rad = 7.33Fattori di capacità portante e di inclinazione del carico secondo Meyerhof

Nq = e π tg φ' tg 2(π/4+φ'/2) = 23.18Nγ = (Nq - 1)tg(1,4φ') = 22.03

iq = (1-α/90°)2 = 0.80iγ = (1-α/φ')2 = 0.50

Momento ribaltante rispetto a B/2 (+ antiorario)MB/2 = S1hxb1z + S2hxb2z-(S1v+ S2v + S3v + S4v)xB/2-Wtotx(btot-B/2)-(S3h/2)xb3z-(S4h/2)xb4z =

-15.65 kN/mMB/2,1 = S1hxb1z + S2hxb2z-(S1v+ S2v)xB/2-Wtotx(btot-B/2)-(S3/2)xb3z-(S4/2)xb4z =

131.98 kN/mEccentricità e = MB/2/N = 0.033

m e < B/6 ---> sezione completamente reagentee1 = MB/2,1/N1 = 0.238

m e < B/6 ---> sezione completamente reagentePressione di contatto massima

σmax = Nx(1+6e/B)/B = 137.61 kPa/mσmax,1 = N1x(1+6e1/B)/B = 215.01 kPa/m

Dimensione ridotta della fondazioneB' = B-2e = 3.5 m

B1' = B-2e1 = 3.1 mCarico limite

qlim = 0,5xγ2xB'xNγxiγ + σ'v(A)xNqxiq = 1831.19 kPa/mqlim,1 = 0,5xγ2xB'xNγxiγ + σ'v(A)xNqxiq = 1788.57 kPa/m

FSq1 = qlim/σmax = 13.31 8.32 VERIFICA SODDISFAFSq2 = qlimB'/N = 13.79 10.08

Esercizio 2Sono di seguito riportati i risultati di una prova di consolidazione edometrica eseguita su un campionedi argilla satura in termini di pressione applicata e di altezza raggiunta dal campione al termine della consolidazione:

Pressione Altezza(kPa) (mm)

0 20.0050 19.65100 19.52200 19.35


400 19.15800 18.950 19.25

Al termine della prova il valore del contenuto d'acqua del provino è del 25%.Assumendo un valore della gravità specifica Gs pari a 2.65, si disegni la curva e-σ'v e si determini il valore del coefficiente di compressibilità di volume mv nell'intervallo 250 - 350 kPa.

Dati: σ'i Hi

(kPa) (mm)0 20.00 i = 050 19.65 i = 1100 19.52 i = 2200 19.35 i = 3400 19.15 i = 4800 18.95 i = 50 19.25 i = 6

w (%) = 25 (i = 6) σ'i (kPa) = 250Gs (-) = 2.65 σ'f (kPa) = 350

Soluzione: Si determina il valore dell'indice dei vuoti corrispondente a ciascun gradino di carico:essendo il provino saturo vale la relazione e = w Gsal termine della prova (i = 6) il valore dell'indice dei vuoti corrispondente risulta allora:e6 = w6 Gs = 0.6625corrispopndente ad un'altezza del provino:H6 = 19.25 (mm)Quindi si sfrutta la relazione ∆H/H0 = ∆e/(1+e0)da cui:(Hi+1-Hi)/Hi = (ei+1 - ei)/(1+ei) per i = 1,…6da cui noto Hi+1 - Hi ed ei, si ricava ei+1 - ei e quindi ei:

i σ'i Hi Hi - Hi-1 ei - ei-1 ei

(kPa) (mm) (mm) (-) (-)0 0 20.00 -0.35 -0.030227 0.7271 50 19.65 -0.13 -0.011227 0.6972 100 19.52 -0.17 -0.014682 0.6863 200 19.35 -0.20 -0.017273 0.6714 400 19.15 -0.20 -0.017273 0.6545 800 18.95 0.30 0.025909 0.6376 0 19.25 - - 0.663

Si disegna la curva e-σ'v corrispondente:

0.660.670.680.690.700.710.720.730.74

ndic

e de

i vuo

ti, e


Si determina il valore del coefficiente di compressibilità di volume mv:Si calcola:av = ∆e/∆σ'v = (e250 - e350)/(350- 250) = 0.0001 (m2/kN)dove :e250 = 0.668e350 = 0.658e quindi:mv = av/(1+e250) = 6.00E-05 (m2/kN)

0.630.640.650.66

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

σ'v (kPa)

indi

c



Esercizio 1Un campione saturo di argilla normalconsolidata (G s = 2.65) è stato estratto al centro di uno strato omogeneo di spessore 6.1 m, dove la tensione efficace misura 107.3 kPa. Su un provino realizzato dal campione viene eseguita una prova di consolidazione edometrica ad incrementi di carico. I risultati della prova, in termini di pressioniapplicate e di altezze finali raggiunte alla fine del processo di consolidazione, sono di seguito riportati.

0 17.3253.65 16.84107.3 16.48214.6 16.18429.2 15.85

0 16.51

Al termine della prova viene misurato il contenuto d'acqua dell'argilla che risulta pari a 30.2%.a) Si disegnino le curve e-σ'v e e-log σ'v.

b) Si calcoli il valore dell'indice di compressione del terreno.c) Nell'ipotesi che una fondazione superficiale trasferisca al centro dello strato un incremento della tensione efficace verticale pari a 80.5 kN/m2, si calcoli l'entita del cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla, sia utilizzando l'indice di compressione che il coefficiente di compressibilità di volume e si confrontino i risultati.Esercizio 2Uno strato di argilla soffice normalconsolidata ( γsat = 18 kN/m3) ha spessore pari a 9.25 m e la tensione efficace verticale calcolata al centro dello strato è di 85 kPa. Su due provini indisturbati estratti al centro dello strato sonostate eseguite prove triassiali consolidate non drenate, i cui risultati sono di seguito riportati in termini di deformazioneassiale εa, tensione deviatorica q e pressione interstiziale, u:

εa (%) q (kPa) u (kPa) q (kPa) u (kPa)0 0 0 0 01 10.4 0.4 20.7 4.12 20.7 4.8 42.7 12.83 29 9.7 54.4 22.14 33.2 13.2 63.4 30.45 35.8 16.6 66.1 34.86 37.3 17.9 71.7 37.9

6.8 37.8 19.37 75.8 40.7

Sul tetto dello strato è prevista la realizzazione di una fondazione flessibile e gli incrementi della tensione efficace verticale ed orizzontale calcolati al centro dello strato al di sotto della fondazione sono rispettivamente di 28.8 kPae 19.2 kPa. Si calcolino le tensioni verticali e orizzontali,efficaci e totali al centro dello strato prima e dopo la realizzazione della fondazione nell'ipotesi di falda al piano di campagna.Esercizio 3Si consideri una fondazione avente la forma e le dimensioni indicate in figura che trasmette al terreno sottostante una pressione uniforme di 40 kN/m 2.

Si determini l'incremento di tensione verticale indotto dalla fondazione 5 m al di sotto del punto indicatoin Figura con X .

Pressione di consolidazione(kN/m2)

Altezza finale del provino(mm)

Pressione di cella = 35 kPa

Pressione di cella = 70 kPa

0.5

m

3 m 3 m 3 m

2m2m 1.5 m


Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 10 luglio 2006

Esercizio 1E' eseguita una prova triassiale TxCID su un provino di sabbia. La pressione di confinamento è: σ'3 = 100 kPaA rottura il rapporto tra le tensioni principali è: (σ'1/σ'3)f = 4Determinare l'angolo di resistenza al taglio della sabbia e la tensione deviatorica a rottura.Soluzioneσ'3 = 100 kPaσ'1f = 400 kPa(σ'1 - σ'3)f = 300 kPaφ' = arcsen[(σ'1 - σ'3)/(σ'1 + σ'3)] = 36.9 °

Esercizio 2Stimare i coefficienti di permeabilità equivalenti medi in direzione orizzontale e in direzione verticaledi due strati di terreno aventi eguale spessorez1 = z2 = 150 cm.Su un campione di terreno di ciascuno dei due strati è eseguita una prova di permeabilità a carico variabile. Il permeametro ha le seguenti caratteristiche:lunghezza del campione: L = 5 cmarea della sezione retta: A = 28 cm2

area della sezione del tubo di adduzione è: a = 4 cm2

altezza di carico iniziale: h0 = 100 cmaltezza di carico finale: h1 = 20 cmIl tempo misurato nelle prove sui due campioni è rispettivamente: t1 = 500 sec

t2 = 15 secSoluzioneSi applica l'equazione: k = 2,3 (aL / At) log10(h0 / h1) da cui: k1 = 2.30E-03 cm/sec

k2 = 7.66E-02 cm/seckh = (k1 z1 + k2 z2) / (z1 + z2) = 3.94E-02 cm/seckv =(z1 + z2) / (z1/k1 + z2/k2) = 4.46E-03 cm/sec

Esercizio 3Determinare le tensioni verticali indotte dal rilevato di forma di trapezia indicato in figura nei puntiP0, P1, P2 e P3 alla profondità z dal piano di fondazione.

dati2a = 12 m2a' = 6 mh = 3 mγ = 19 kN/m3

z = 3 mx0 = 0 mx1 = 1.5 mx2 = 4.5 mx3 = 7.5 m

2a'

2a

h

z

P0 P1 P2 P3

x


SoluzioneLa pressione massima trasmessa in superficie dal rilevato vale: q = γ h = 57 kPaPer la determinazione della pressione verticale indotta nel punto P0 si può utilizzare la formula:

da cui: σz (P0) = 51.85 kPaPer la determinazione della pressione verticale indotta nei punti P1, P2 e P3, si deve inveceprocedere per sovrapposizione di effetti, considerando i contributi del carico rettangolare e dei due carichi triangolari.Per il carico rettangolare si utilizza la relazione:

Per i carichi triangolari si utilizza la relazione:

q / π = 18.14 kPa

carico rettangolare(α + β) = arctan[(x + a')/z]β = arctan[(x - a')/z]Punto x α + β α β σz (kPa)P1 1.5 0.983 1.446 -0.464 41.88P2 4.5 1.190 0.727 0.464 12.18P3 7.5 1.292 0.310 0.983 2.04

carico triangolare sinistroB = (a - a') = 3 mx = xi + a(α + β) = arctan(x/z)β = arctan[(x - B)/z]Punto x α + β α β σz (kPa)P1 7.5 1.190 0.207 0.983 1.04P2 10.5 1.292 0.102 1.190 0.23P3 13.5 1.352 0.060 1.292 0.08

carico triangolare destroB = (a - a') = 3 mx = -xi + a(α + β) = arctan(x/z)β = arctan[(x - B)/z]Punto x α + β α β σz (kPa)P1 4.5 0.983 0.519 0.464 6.87P2 1.5 0.464 0.927 -0.464 15.67P3 -1.5 -0.464 0.519 -0.983 3.66

Complessivamente:Punto x (m) σz (kPa)P0 0 51.85P1 1.5 49.78P2 4.5 28.09P3 7.5 5.78

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

π⋅−⋅

=σ = z'aarctan'a

zaarctana

'aaq2

0xz

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β⋅−α⋅⋅

π=σ 2sen

21

Bxq

z

( )[ ]β⋅+α⋅α+α⋅π

=σ 2cossenqz


Esercizio 4Determinare il valore del gradiente idraulico critico per i seguenti materiali:a) Ghiaia grossa b) Limo sabbioso

k = 10 cm/sec k = 1.0E-06 cm/secGs = 2.67 Gs = 2.67e = 0.65 e = 0.80

Soluzioneic = γ'/γw = (Gs - 1)/(1 + e) per cui:a) ic = 1.01 b) ic = 0.93



Esercizio 1Si consideri un deposito costituito, procedendo dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia di spessore 4 m, seguito da uno strato di argilla omogenea di spessore 6 m e ancora dalla sabbia per uno spessore di 4m.In corrispondenza dello strato superficiale di sabbia è stata rilevata una falda libera (con livello di falda a 2 m sotto il pianodi campagna), mentre nello strato di sabbia più profondo una falda in pressione. Un piezomentro posto alla sommitàdello strato di sabbia più profondo ha rilevato un altezza d'acqua di 14 m, inoltre è stato prelevato un campione di argilla avente peso di 124.12 N e volume di 6226 cm3, contenuto d'acqua pari al 23.2% .Assumendo per l'argilla γs = 26 kN/m3 e per la sabbia un peso di volume sopra falda di 16.5 kN/m3 e sotto faldadi 18 kN/m3:a) verificare il grado di saturazione dell'argilla e determinarne l'indice dei vuoti, la prosità e il peso di volume secco;b) calcolare e disegnare i profili delle pressioni verticali totale, efficace e interstiziale (γw = 9.81 kN/m3).

Esercizio 2Per determinare le caratteristiche di resistenza al taglio di un argilla vengono eseguite delle prove triassiali su 4 provini,i quali prima vengono consolidati ad una medesima pressione di 1000 kPa e poi decompressi, a drenaggi aperti e sempre in condizioni isotrope, fino a pressioni rispettivamente di: 100, 200, 400 e 600 kPa.Successivamente tali provini vengono portati a rottura per compressione assiale, a drenaggi chiusi.Noti per ciascuno dei 4 provini i valori a rottura della tensione deviatorica (rispettivamente 430, 546, 756 e 1029 kPa) e della variazione della pressione interstiziale (rispettivamente di -68, -11, 84 e 189 kPa):a) si disegnino i cerchi di Mohr a rottura per i 4 provini e si determinino le caratteristiche di resistenza al taglio dell'argillab) si determini e si disegni la variazione del coefficiente A di Skempton a rottura in funzione del grado di sovraconsolidazi isotropo.

Esercizio 3Si determini il fattore di sicurezza, nei confronti della capacità portante, di un muro di sostegno a gravità di larghezza3.6 m e lunghezza molto grande, interrato a valle per una profondità di 1.2 m.La risultante delle azioni trasmesse dal muro al terreno di fondazione ha una componente verticale di 423 kN/m con eccentricità 0.4 m e componente orizzontale di 153 kN/m.Si supponga il terreno di fondazione normalconsolidato (γ = 18.5 kN/m3, ϕ' = 32°) e con livello di falda molto profondo.Come varierebbe il fattore di sicurezza qualora il livello di falda si sollevasse fino a raggiungere il piano di campagna?



Esercizio 1Il risultato dell'analisi granulometrica eseguita su un campione di terreno è di seguito riportato:N° Setaccio (ASTM) 4 10 20 60 200Diametro [mm] 4.75 2.00 0.84 0.25 0.07Peso trattenuto [N] 3.1 5.8 3.8 2.6 6.8Sapendo che il peso del materiale raccolto nel recipiente posto al di sotto dell'ultimo setaccio è di1.1 N, che l'indice dei vuoti del terreno è di 0.85 ed il peso specifico dei costituenti solidi è 26.6 kN/m3: a) si disegni la curva granulometrica del terrenob) si determini la classe del terreno secondo il sistema di classificazione USCSc) si stimi l'errore percentuale che si commetterebbe nel calcolo del peso di volume del terreno qualora si assumesse un grado di saturazione del 100% anziche del 95%.

Esercizio 2Si determini l'incremento della tensione verticale indotto dai carichi trasmessi al terreno da tre fondazioni rettangolari, delle dimensioni e nella posizione riportate in figura, ad una profondità z = 2m dal piano di campagna al di sotto del punto A

Esercizio 3Durante un prova edometrica ad incrementi di carico eseguita su un provino avente diametro di 75 mmed altezza di 20 mm, vengono registrate le seguenti letture in corrispondenza di un incremento di carico di 20 kPa:tempo[min] 0.25 1 2.25 4 9 16 25 36 (24h)∆H[mm] 0.12 0.23 0.33 0.43 0.59 0.68 0.74 0.76 (0.89Si determini il rapporto tra il valore del coefficiente di consolidazione verticale ottenuto con il metodo di Taylor e quello ottenuto con il metodo di Casagrande.

Esercizio 4Con riferimento alla figura di seguito riportata si determini in quale delle due situazioni agisce sul muro la spinta orizzontale maggiore.

c’ =0ϕ‘ = 30°δ = 15°

γ = 18 kN/m3

H = 3 m

β = 60° β = 60°

H = 3 m

Aq = 90 kPa

1q = 120 kPa

2

q = 100 kPa3

4 m

3 m

5 m

2.5 m

2.5 m

6 m

3 m

4 m

20 marzo 2006 testo 1 1


Esercizio 1Per sostenere le parte di uno scavo di altezza H = 10 m, realizzato in un deposito di sabbia densa omogeneo (γ = 19.2 kN/m3; γsat = 20.5 kN/m3; ϕ' = 37°) viene utilizzata una parete verticale liscia. Nell'ipotesi che il livello di falda sia a zw = 4m dal piano di campagna (e rimanga tale anche dopo lo scavo) ed applicando un fattore di sicurezza FS = 1.5 al coefficiente di spinta passiva, si determini la profondità minima di infissione, D, e la forza orizzontale F (per unità di larghezza della parete) da applicare alla parete ad una profondità a = 3m dal piano di campagna per garantire la stabilità nei confronti della traslazione orizzontale e della rotazione rispetto al punto di applicazione di F.

Esercizio 2Deve essere progettata una fondazione a base quadrata di lato B = 2.7 m su un deposto di argilla NC (γ = 19 kN/m3; cu = 60 kPa; ϕ' = 25°) ad una profondità dal piano di campagna pari a D = 2.2 m. Tenendo conto che le azioni che la fondazione dovrà trasmettere al terreno sottostante, riferite al piano di posa della fondazione, sono diverse a breve (N = 1500 kN, Mx = 100 kN m, My = 200 kN m) e a lungo termine (N = 1200 kN, Mx = 60 kN m, My = 60 kN m),si esegua la verifica della capacità portante della fondazione supponendo che la falda sia al piano di campagna.

Esercizio 3Un deposito di terreno stratificato orizzontalmente è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia di spessore H1 = 8 m (γ1 = 17 kN/m3; γ1sat = 19 kN/m3), uno strato di argilla NC di spessore H2 = 6m (γ2sat = 20kN/m3

cv = 1.26 m2/anno, e = 0.88-0.32 log(σ'v/100) con σ'v in kPa) ed un basamento roccioso impermeabile.Nell'ipotesi in cui venga posto in opera su un'area molto estesa uno strato di terreno di riporto di spessore HR = 3me con peso di volume γR = 20 kN/m3, e che la falda si trovi a 2 m dal piano di campagna:a) si calcoli il cedimento di consolidazione primaria finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazione del carico.b) si determini come i cedimenti calcolati al punto a) si modificano nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto(ad una distanza di a = 2.0 m dal substrato roccioso) da uno strato di sabbia molto permeabile di piccolo spessore

H

D

zwFa



Esercizio 1 (valore: 8/30)Viene realizzato uno scavo in un deposito secondo la geometria e la stratigrafia riportate in figura.Il livello di falda, all'interno dello scavo, viene abbassato fino al fondo e mantenuto tale per un tempo sufficientemente lungo da instaurare un moto di filtrazione. a) Si determini il gradiente idraulico critico.b) Si calcolino i valori delle tensioni efficaci nei punti A, B e C e si verifichi la stabilità del fondo scavo (con riferimento a un valore medio del gradiente idraulico).c) Per una verifica più accurata della stabilità del fondo scavo di quali altri dati avrei avuto bisogno?

Esercizio 2 (valore: 8/30)Si riportano i risultati di una prova TXCID a pressione di cella costante di 300 kN/m2 e pressione interstiziale costantedi 100 kN/m2. All'inizio della prova il diametro e l'altezza del provino sono rispettivamente 38 mm e 76 mm.a) Si disegnino i grafici q/εa e εv/εa.b) Si stabilisca se il terreno può essere considerato NC oppure OC.c) Si possono stimare i parametri c', ϕ' e cu dai soli risultati di questa prova? Nel caso, calcolarne il valore, in caso contrario suggerire delle prove alternative.

Forza assiale Variazione di altezza Volume di acqua espulsoFa(N) ∆H (mm) ∆Vw (mm3)

0 0 0115 -1,95 880235 -5,85 3720325 -11,7 7070394 -19,11 8400458 -27,3 8400

Esercizio 3 (valore: 14/30)In Figura è riportato uno scatolare (s = 0.15 m, t = 0.4 m, B = 2.7 m, H = 2.2 m) in c.a. (γca = 25 kN/m3), interrato in un deposito omogeneo di sabbia sciolta (γ = 17 kN/m3; γsat = 19 kN/m3, ϕ' = 32°). La profondità di interramento d è pari a 1.05 m e la profondità della falda, zw, è di 1 m dal piano di campagna.Assumendo γw = 10 kN/m3, trascurando il carico accidentale q agente in superficie e nell'ipotesi che lo scatolarerimanga vuoto al suo interno:a) si determini il fattore di sicurezza nei confronti del galleggiamento al variare della profondità della falda zw dal piano di campagna (si assuma zw = 0;1;2;4 m) e si indichi il valore minimo (condizione più gravosa), b) si effettui la verifica della capacità portante del terreno di fondazione della struttura,Infine si calcoli e si disegni lo schema delle pressioni di contatto tra la superficie esterna dello scatolare e il terrenonella condizione di carico in cui è presente il massimo carico accidentale di superficie (q = 10 kPa) e lo scatolare è vuoto al suo interno.

2 m

2 m

3.5 m0.5 m1.5 m2.5 m

ABC

Argilla limosa

(γ1 = 17.66 kN/m3)

Sabbia grossolana

(γ = 19.62 kN/m3)

B

H

d Zw

q

s s

s

t

B

Bs s

s

s

1 12 2

Sez. 1-1 Sez. 2-2


Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 8 novembre 2004 1

Esercizio 1Viene realizzato uno scavo in un deposito di argilla satura consistente, che poggia su uno stratosabbioso. Con riferimento alle condizioni idrauliche e geometriche riportate in Figura si determinil'altezza d'acqua h che si deve realizzare nello scavo per garantire la stabilità dello strato di argilla.

Esercizio 2Con riferimento alla mezzeria di uno strato di argilla NC di spessore 4 m e drenato da un lato solo,siano noti la tensione litostatica σ'v0 = 200 kPa, l'incremento della tensione verticale ∆σv = 200 kPa, l'indice dei vuoti all'inizio, e0 = 1.22, e alla fine del processo di consolidazione primaria, e = 0.98. Si determini, supponendo che il coefficiente di permeabilità sia k = 0.61x10-4 m/giorno:a) Il tempo necessario per raggiungere il 60% della consolidazioneb) Il cedimento corrispondente al 60% della consolidazione

Esercizio 3Una parete di altezza H = 6m sostiene un terrapieno di argilla soffice satura (γsat = 15.7 kN/m3,cu = 17 kPa). Con riferimento a condizioni non drenate si determini: a) la massima profondità fino a cui si estendono le fessurazioni nel terrenob) la spinta attiva del terreno nell'ipotesi che non si siano ancora formate le fessure (terreno aderente al muro)c) la spinta attiva del terreno successiva alla formazione delle fessure

h

sat

sa t

3

3

H = 4.8 m

1

∆H = 3.2 m

S = 6 m

Argilla satura( = 1.92 Mg/m )ρ

Sabbia( = 1.84 Mg/m )ρ

2S = 2 m

A

8 novembre 2004 testo 1

Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 6 settembre 2004 1

Esercizio 1Allo scopo di determinare la densità di un terreno argilloso è prelevato un campione indisturbatocon un tubo campionatore di volume 0.001664 m3.Sono state ottenute le seguenti misure:Massa del tubo (vuoto): 1.864 (kg)Massa del tubo e del campione: 5.018 (kg)Massa del tubo e del campione dopo l'essiccamento in forno: 4.323 (kg)

Calcolare il contenuto di acqua, la densità secca e, nell'ipotesi che la gravità specifica sia 2.69,l'indice dei vuoti e il grado di saturazione dell'argilla.

Dati:Massa del tubo, Mv: 1.864 (kg)Massa del tubo e del campione, Mt: 5.018 (kg)Massa del tubo e del campione dopo l'essiccamento in forno, Mt1: 4.323 (kg)Volume del campionatore, V: 0.001664 (m3)Gravità specifica, GS: 2.69 (-)

Soluzione:Si calcola la massa dell'acqua contenuta nel campione: Mw = Mt1 - Mt = 0.695 (kg)e la massa della fase solida del campione: Ms = Mt1 - Mv = 2.459 (kg)e quindi il contenuto d'acqua: w = (Mw/Ms) 100 = 28.3 (%)La densità secca è: ρd = Ms/V = 1.48 (Mg/m3)Essendo Gs = ρs/ρw si ricava: ρs = Ms/Vs = 2.69 (Mg/m3)

e quindi: Vs = Ms/ρs =0.000914 (m3)e Vv = V - Vs = 0.00075 (m3)

L'indice dei vuoti risulta: e = Vv/Vs = 0.82Si calcola il volume dell'acqua contenuta nel campione, Vw = Mw /ρw = 0.000695 (m3)e quindi il grado di saturazione, Sr = (Vw/Vv) 100 = 92.7 (%)

Esercizio 2Sono di seguito riportati i risultati di una prova triassiale consolidata isotropa non drenata eseguitaad una pressione di cella di 300 kN/m2 su un campione di terreno compattato. Prima dell'applicazionedella pressione di cella la pressione dell'acqua interstiziale all'interno del campione è nulla.

σ1 (kN/m2) u (kN/m2)300 120500 150720 150920 1201050 801200 101250 -60

a) Si determini il valore del coefficiente B di Skempton e lo stato di saturazione del campioneb) Si disegni la variazione della tensione deviatorica con la deformazione c) Si disegni la variazione del coefficiente A di Skempton con la deformazione

Deformazioneassiale (%)

0.02.55.07.510.015.020.0

6 settembre 2004 testo 1

Dati:Pressione di cella, σ3c = 300 (kPa)Incremento di pressione iniziale, ∆uc = 120 (kPa)

σ1 (kN/m2) u (kN/m2)

300 120500 150720 150920 1201050 801200 101250 -60

Soluzione:a) Il coefficiente B di Skempton è :B = ∆uc/σc = 0.4 ed essendo minore di 1 il campione non è saturo.b) Si calcola la tensione deviatorica σ1 - σ3 = σ1 - σc

c) e il coefficiente A di Skempton, A = A/B = [∆ud/(∆σ1 - ∆σ3)]/B = [(u - uc)/(σ1 - σ3c)]/B

εa

(%)∆ud

(kPa)(∆σ1 - ∆σ3)

(kPa)Α Α

0.0 02.5 30 200 0.15 0.385.0 30 420 0.07 0.187.5 0 620 0.00 0.00

10.0 -40 750 -0.05 -0.1315.0 -110 900 -0.12 -0.3120.0 -180 950 -0.19 -0.47

Esercizio 3Con riferimento alla parete verticale riportata in Figura, si disegni il diagramma delle pressioni limite attive agenti sulla parete e si determini la spinta attiva risultante nell'ipotesi a) di parete liscia b) di presenza di attrito (δ = φ'/2).

Deformazioneassiale, εa (%)

0.0

15.020.0

2.55.07.510.0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deformazione assiale (%)

Tens

ione

dev

iato

rica

(kP

a)

-0.60-0.50-0.40-0.30-0.20-0.100.000.100.200.300.400.50

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deformazione assiale (%)

Coe

ffici

ente

A d

i Ske

mpt

on


Dati:Peso di volume dello strato superiore, γ1 = 16 (kN/m3)Peso di volume dello strato superiore, γ2 = 24 (kN/m3)Angolo di resistenza al taglio dello strato superiore, ϕ'1 = 30 (°)Angolo di resistenza al taglio dello strato inferiore, ϕ'2 = 20 (°)Coesione dello strato superiore, c1' = 0 (kPa)Coesione dello strato inferiore, c2' = 0 (kPa)Spessore dello strato superiore, H1 = 3 (m)Spessore dello strato inferiore, H2 = 4.50 (m)Attrito tra terreno e muro (strato superiore), δ1 = ϕ'1/2 = 15 (°)Attrito tra terreno e muro (strato superiore), δ2 = ϕ'2/2 = 10 (°)Inclinazione del parametro interno del muro, η = 0 (°)Inclinazione del terrapieno, β = 0 (°)

Soluzione:a) Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato superiore:Ka1 = (1 - sin φ'1)/(1 + sin φ1') = 0.33Pressione limite attiva agente in cima allo strato superiore, σ'a1 = 0.00 (kPa)Pressione limite attiva agente alla base dello strato superiore, σ'a2 = Ka1 γ1 H1 = 16.00 (kPa)Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato inferiore:Ka2 = (1 - sin φ2')/(1 + sin φ2') = 0.49Pressione limite attiva agente in cima allo strato inferiore, σ'a3 = Ka2 γ1 H1 = 23.53 (kPa)Pressione limite attiva agente alla base dello strato inferiore, σ'a4 = ka2 (γ1 H1 + γ2 H2) =

76.49 (kPa)La spinta attiva parziale esercitata dallo strato superiore è S1 = (σ'a1 H1)/2 = 24 (kN/m)La spinta attiva parziale esercitata dallo strato inferiore è S2 = (σ'a3 + σ'a4) H2/2 = 225.04 (kN/m)La spinta attiva risultante è S = 249.04 (kN/m)b) Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato superiore applicando la seguente formula:

Ka1 = 0.30La spinta attiva parziale esercitata dallo strato superiore è S1 = (Ka1 γ1 H1

2)/2 = 21.70 (kN/m)e la componente orizzontale è S1h = 20.96 (kPa)

3 mγφ = 16 kN/m’ = 30°

c’ = 0

3

Piano di campagna

4.5 m

γφ = 24 kN/m’ = 20°

c’ = 0

3

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

2

a

coscos'sin'sin1coscos

)'(cosk

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βηδηβϕδϕδηη

ηϕ


Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato inferiore:Ka2 = 0.45La spinta attiva parziale esercitata dallo strato inferiore è S2 = [Ka2 γ1 H1 + Ka2 (γ1 H1 + γ2 H2)] H2/2 =

205.05 (kPa)e la componente orizzontale è S2h = 201.94 (kN/m)

Prof.(m)

Pressione(Rankine)(kPa)

0 0.003 16.003 23.53

7.50 76.49

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

Pressione limite attiva (kPa)

Prof

ondi

tà (m

)



Esercizio 1Un campione di sabbia secca, con peso dell' unità di volume di 16.5 kN/m3 e gravità specifica Gs = 2.70,viene esposto alla pioggia. Sotto la pioggia il volume del campione rimane inviariato mentre il grado disaturazione aumenta del 40%. Determinare il peso di volume del campione e il contenuto d'acquadopo l'esposizione alla pioggia.

Esercizio 2Si determini la grandezza e la direzione delle tensioni principali per l'elemento piano e quadrato di lato L = 2 m riportato in figura.

Esercizio 3Una prova di carico su piastra , condotta fino a rottura del terreno, fornisce un valore della pressione dirottura di 345 kN/m2. La piastra è quadrata con lato di 0.3 m e viene posta ad una profondità di 0.9 m dal piano di campagna. Il peso dell'unità di volume del terreno è di 17.7 kN/m3.Nell'ipotesi di terreno omogeneo, determinare il carico limite di una fondazione quadrata di lato pari a 1.8 m da poggiare sullo stesso terreno ad una profondità dal piano di campagna di 0.9 m.

Esercizio 4Con riferimento allo schema riportato in figura si determini il profilo, con la profondità, dell'altezza geometrica z, dell'altezza di pressione u/γw e del carico piezometrico h, nonché la velocità di filtrazione reale ed apparente attraverso i due tipi di terreno indicati in figura.

160 kN

80 kN30°

40 kN

40 kN

0.6 m

0.6 m

1.2 m

1.2 m

AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s

A’

A2

AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s

2


Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 6 settembre 2006

Esercizio 1Classificare nel sistema USCS i terreni A, B, C, e D.

Composizione granulometricad A B C D

( mm )63 100 9320 64 766.3 39 100 652 24 98 59

0.6 12 90 540.212 5 9 47 1000.063 1 2 34 950.02 23 690.006 7 460.002 4 31

Limiti di AtterbergwL (%) - - - 42wP (%) - - - 24Soluzione

x y0.002 0 argilla0.002 1000.075 0 limo0.075 1000.2 0 sabbia fine0.2 1000.6 0 sabbia media0.6 1006 0 sabbia grossa6 10060 0 ghiaia60 100

Coefficienti di uniformità U e di curvatura CTerreno D10 (mm) D30 (mm) D60 (mm) U C

A 0.47 3.5 16 34.0 1.63B 0.23 0.3 0.41 1.8 0.95C 0.004 0.036 2.4 600.0 0.135

Terreno ALa frazione di ghiaia è più del 50%, la frazione di fine è meno del 5%, U>4, 1<C<3. Ghiaia sabbiosa ben gradata GWTerreno BLa frazione di sabbia è del 96%, la frazione di fine è meno del 5%, U=1,8, C<1.

% passante

0

20

40

60

80

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100

diametro (mm)

% p

assa

nte

A B C D

limo sabbia ghiaia


Sabbia poco gradata SPTerreno CLa frazione grossa è più del 66%, la frazione di fine è meno del 34%. Il terreno non è plastico.U è molto alto ma C è solo 0,135.Miscela di ghiaia, sabbia e limo GMTerreno DLa frazione fine è del 95%, e la frazione di argilla è il 31%. Nella carta di plasticità il punto cade sopra la linea A nella zona CL.Argilla limosa di bassa plasticità CL

Esercizio 2Utilizzando il modello CCM determinare e disegnare per due provini eguali di argilla debolmente sovraconsolidata aventi le seguenti caratteristiche e stato iniziale:Μ = 1.02 p'c = 200 kPaΓ = 3.17 p'0 = 100 kPaλ = 0.2 q0 = 0 kPaΝ = 3.32κ = 0.051. la linea NCL 2. la linea CSL3. la linea URL dello stato iniziale4. la curva di plasticizzazione iniziale (CP0)5. lo stato iniziale dei provini6. lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCID7. lo stato del provino a rottura in prova TxCID8. il percorso ESP in prova TxCID nel piano p'-q e nel piano p'-v (qualitativo)9. la pressione di consolidazione a rottura in prova TxCID10. la curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCID11. lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCIU12. lo stato del provino a rottura in prova TxCIU13. il percorso ESP in prova TxCIU nel piano p'-q e nel piano p'-v (qualitativo)14. la pressione di consolidazione a rottura in prova TxCIU15. la curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCIU

Soluzione1. La linea NCL ha equazione: q = 0

v = Ν - λ lnp' Ν = 3.32λ = 0.2

2. La linea CSL ha equazione: q = Μ p' Μ = 1.02v = Γ - λ lnp' Γ = 3.17

3. La linea URL dello stato iniziale ha equazione:q = 0 vκ = Ν - (λ − κ) lnp'c = 2.525v = vκ - κ lnp' κ = 0.05

4. La curva di plasticizzazione iniziale (CP0) ha equazione:(p')2 - p' p'c + (q/Μ)2 = 0 p'c = 200 kPa

5. Lo stato iniziale dei provini è: p'0 = 100 kPaq0 = 0 kPav0 = vκ - κ lnp'0 = 2.295

6. Lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCID è:


p'P = 132.19 kPa a p'P2 + b p'P + c = 0

qP = 3 (p'P - p0) = 96.57 kPa a = 1 + 9/M2 = 9.651vP = vκ - κ lnp'P = 2.281 b = -(pc + 18p'0/Μ

2) = -1930c = 9 (p'0/Μ)2 = 86505

7. Lo stato del provino a rottura in prova TxCID è:p'F = 3p'0 / (3 - Μ) = 151.52 kPaqF = Μ p'F = 154.55 kPavF = Γ - λ lnp'F = 2.166

8. Il percorso ESP in prova TxCID nel piano p'-q e nel piano p'-v nel piano p'-q q = 3 (p' - p0)nel piano p'-v in fase elastica: v = vκ - κ lnp'

in fase elasto-plastica: dal punto P al punto FESP TxCID

p' (kPa) q (kPa) vO 100 0 2.295P 132.19 96.57 2.281F 151.52 154.55 2.166

9. La pressione di consolidazione a rottura in prova TxCID è:p'cF = (p'F

2 + qF2/M2) / p'F = 303.03 kPa

10. La curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCID ha equazione:(p')2 - p' p'F + (q/Μ)2 = 0 p'F = 303.03 kPa

prova TxCID

0

50

100

150

200

0 100 200 300

p' (kPa)

q (k

Pa)

CP0CPFCSLESP


11. Lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCIUp'P = p'0 = 100.00 kPaqP=Μ(p'P p'c-p'P

2)0,5= 102.00 kPavP = v0 = 2.295

12. Lo stato del provino a rottura in prova TxCIUp'F =exp[(Γ - vF) / λ]= 79.44 kPaqF = Μ p'F = 81.03 kPavF = v0 = 2.295

13. Il percorso ESP in prova TxCIU nel piano p'-q e nel piano p'-v Il percorso è a volune costante. Nella prima fase, da O a P, anche a pressione media efficace costante.

ESP TxCIUp' (kPa) q (kPa) v

O 100 0 2.295P 100.00 102.00 2.295F 79.44 81.03 2.295

14. La pressione di consolidazione a rottura in prova TxCIU è:p'cF = (p'F

2 + qF2/M2) / p'F = 158.88 kPa

15. La curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCIU ha equazione:(p')2 - p' p'F + (q/Μ)2 = 0 p'F = 158.88 kPa

prova TxCID

2

2.5

3

0 50 100 150 200 250 300

p' (kPa)

v

NCLCSLURLoESP TxCID


prova TxCIU

0

50

100

150

0 50 100 150 200

p' (kPa)

q (k

Pa)

CP0CPFCSLESP

prova TxCIU

2

2.5

3

0 50 100 150 200

p' (kPa)

v

NCLCSLURLoESP TxCIU



Esercizio 1Si consideri un deposito di terreno costituito da uno strato di argilla omogenea e satura (γ = 20 kN/m3, γs = 27.2 kN/m3) di spessore 5 m, poggiante su uno strato di sabbia . È prevista la realizzazione di un terrapienoin sabbia (γd = 18 kN/m3, ϕ' = 38°) di spessore 4 m, che dovrà essere sostenuto per l'intera altezza da una pareteverticale infissa nell'argilla per una profondità di 1 m. Il livello di falda viene mantenuto al tetto dello strato di argilla.Da un campione estratto al centro dello strato di argilla vengono estratti più provini su cui vengono eseguite le provedi seguito elencate con i relativi risultati:(i) prova di compressione edometrica (σ'p = 35 kPa, Cc = 0.25; Cs = 0.01, cv = 2.57 10-7 m2/s)(ii) prova di compressione semplice (qu = 180 kPa)(iii) prova TXCID (σ'1f = 150 kPa, σ'3f = 40 kPa)(iv) prova TXCIU (σ1f = 600 kPa, σ3f = 250 kPa, uf = 90 kPa)a) Determinare l'indice dei vuoti e i parametri di resistenza al taglio dell'argilla (in termini di tensioni totali ed efficaci).b) Determinare lo stato di consolidazione dell'argilla prima della messa in opera del riporto.c) Calcolare il cedimento dello strato di argilla per effetto del peso del terrapieno, ipotizzato come infinitamente esteso, alla fine della consolidazione primaria e dopo un anno dalla realizzazione del terrapieno.d) Disegnare il diagramma delle spinte agenti sulla parete verticale (supposta liscia) a breve e a lungo termine e la loro risultante.

Esercizio 2Viene eseguita una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura (Gs = 2.72); il percorso tensionale applicato durante la prova nella fase di carico e scarico e i corrispondenti valori dell'altezza misurati al termine di ciascuna fase di consolidazione sono di seguito riportati:σ'v (kPa) 50 100 150 200 250 200 150h (mm) 19.6 19.31 19.09 18.78 18.48 18.59 18.72L'altezza iniziale del provino è di 20 mm.Al termine della prova viene misurato il contenuto d'acqua del provino (massa del contenitore vuoto = 4.64 g;massa del contenitore + provino umido = 22.98 g; massa del contenitore + provino secco = 20.41 g).a) Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti al termine della prova. b) Rappresentare il grafico indice dei vuoti e - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ'v

c) Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica vergine e discarico-ricarico.


esami completi

Documents