ensenanza geometria mexico

La enseanza de la GeometraColeccin: Materiales para apoyar la prctica educativa

Coordinacin editorial:Miguel . Aguilar R.Teresa Ramrez Vadillo

Diseo y formacin:Luis E. Ramrez Jurez

Ilustraciones:Carlos E. Elenes Daz

INSTITUTO NACIONAL PARA LAEVALUACIN DE LA EDUCACINJos Ma. Velasco 101-5 pisoCol. San Jos InsurgentesDelegacin Benito Jurez03900 Mxico, D.F.

Primera edicin, 2008

El contenido, la presentacin y disposicin en conjunto y de cada pgina de esta obra son propiedad del editor. Se autoriza su reproduccin parcial o total por cualquier sistema mecnico, electrnico y otros, citando la fuente.

Impreso y hecho en Mxico

ISBN 978-968-5924-35-1

La enseanza de la Geometra

Silvia Garca PeaOlga Leticia Lpez Escudero

El Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE) tiene como misin contribuir al mejoramiento de la educacin en Mxico a travs de la realizacin de evaluaciones integrales de la calidad del sistema educa-tivo y de los factores que la determinan, as como de la difusin transparente y oportuna de sus resultados para apoyar la toma de decisiones, la mejora pedaggica en las escuelas y la rendicin de cuentas.

Aunque a lo largo de sus seis aos de vida el INEE ha producido una gran cantidad de publicaciones para dar a conocer los resultados de sus evalua-ciones a pblicos diversos, fue slo a mediados de 2007 cuando se propuso elaborar materiales expresamente dirigidos a profesores y directivos escolares. Para ello se busc la colaboracin de especialistas que, adems de un ade-cuado dominio de su disciplina, tuvieran conocimiento cercano del quehacer docente en escuelas de Educacin Bsica. A estos especialistas se les invit a elaborar textos que versaran en torno a algunos de los problemas identificados por las evaluaciones del instituto, a la vez que ofrecieran a los maestros formas novedosas de atenderlos y reflexionar sobre ellos.

Los borradores fueron revisados por un Comit Tcnico conformado por expertos reconocidos a nivel nacional y por un Comit Didctico integrado por profesores de primaria y secundaria que laboran en escuelas urbanas, rurales e indgenas. Estos ltimos probaron los materiales en sus aulas y, con base en ello, hicieron observaciones respecto a las fortalezas y debilidades de las propuestas, as como sugerencias para enriquecer los textos.

Hoy el INEE se enorgullece de poder ofrecer a los maestros de primaria y secundaria la coleccin Materiales para apoyar la prctica educativa. Los cuatro libros que la conforman buscan brindar a los profesores herramientas creativas para mejorar la enseanza en sus salones de clase, proponiendo for-mas novedosas de apoyar el aprendizaje de los estudiantes. Dos de los mate-

Materiales para apoyar la prctica educativa


6

riales tratan sobre la promocin y el desarrollo de las habilidades de escritura, mientras que los otros dos abordan temas puntuales de las Matemticas: los nmeros decimales y la geometra.

Al poner estos textos a su alcance, el INEE refrenda su conviccin de que la evaluacin puede contribuir efectivamente a la calidad educativa. Es nuestro deseo que esta nueva lnea de publicaciones sea de gran inters para los maestros; que en ella encuentren retroalimentacin valiosa para ofrecer a los nios y jvenes mexicanos ms y mejores oportunidades de aprendizaje.

Annette Santos del RealDirectora General Adjunta, INEE

Estimadas maestras, estimados maestros:

El libro que tienen en sus manos forma parte de una coleccin de textos cuya finalidad es contribuir a mejorar la enseanza y los procesos de aprendizaje en la Educacin Bsica, atendiendo a un doble compromiso. En primer trmino, al que deriva como parte de todo proceso evaluativo y que consiste en ofre-cer a la poblacin evaluada una retroalimentacin congruente y pertinente y brindarle mecanismos para mejorar sus logros. En este sentido, los materiales centran su atencin en el tratamiento de temas y contenidos que, conforme a las pruebas nacionales e internacionales como las aplicadas por el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE), han presentado mayores dificultades para los alumnos de primaria y secundaria.

En segundo trmino, el compromiso que tiene la Secretara de Educacin Pblica de dotar a los maestros de Educacin Bsica de herramientas que me-joren su enseanza y, en consecuencia, favorezcan mejores aprendizajes en los nios y adolescentes. Por esta razn, los materiales estn dirigidos a todos los maestros de Educacin Bsica, aunque se destinan de manera prioritaria a quienes trabajan en las escuelas que presentan condiciones de vulnerabilidad (Escuelas en Contextos Vulnerables y Escuelas de Tiempo Completo), donde se han detectado mayores dificultades para alcanzar el aprendizaje y la forma-cin de calidad a los que nios y adolescentes tienen derecho.

Estos textos constituyen un referente donde los maestros encuentran pro-puestas alternativas para la enseanza de los temas seleccionados. Lejos de pretender constituirse en la respuesta nica a los problemas detectados, son un insumo para que los docentes amplen el conocimiento, conozcan otras opciones y, lo ms importante, desarrollen su invaluable creatividad para favo-recer la construccin de conocimientos y el desarrollo de habilidades en sus



8

alumnos. Estos materiales no son un manual que pretenda que los maestros sigan determinadas secuencias; por el contrario, son textos que interpelan a su dominio sobre los contenidos y sus mtodos de enseanza para que ge-neren, por s mismos y a travs del dilogo con sus colegas, nuevas estrategias didcticas en las que reconozcan las condiciones particulares del con-texto en que trabajan, valoren los saberes previos de sus alumnos y los acom-paen en la generacin de sus propios aprendizajes.

Mediante el diseo, la produccin y distribucin de los materiales que aqu se presentan, tanto el INEE como la SEP buscan impulsar mejores prcticas docentes y aprendizajes de mayor nivel, conscientes de que esta medida pue-de contribuir a elevar la calidad y la equidad de la educacin que se ofrece a los alumnos de Educacin Primaria y Secundaria.

La SEP, en especial la Subsecretara de Educacin Bsica, agradece al INEE y a los autores de los textos su generosidad y su valiosa contribucin. Asimismo, confa en la capacidad de los maestros para aprovechar de la mejor manera estos materiales y espera de ellos sus aportaciones y observaciones para enriquecerlos, as como sugerencias para ampliar esta coleccin con temas que aborden los problemas que maestros y alumnos enfrentan en su trabajo cotidiano con los planes y programas de estudio, y las estrategias que favorecen el logro de las competencias y de los rasgos deseables en los egresados de Educacin Bsica.

Jos Fernando Gonzlez SnchezSubsecretario de Educacin Bsica, SEP

ndice

Presentacin 13Introduccin 19I. Ensear Geometra 25 1. Ensear Geometra, para qu? 27 2. Tareas en la enseanza de la Geometra 32

2.1. Tareas de conceptualizacin 32 2.2. Tareas de investigacin 38 2.3. Tareas de demostracin 41

3. Habilidades por desarrollar en la clase de Geometra 47 3.1. Habilidades visuales 48 3.2. Habilidades de comunicacin 52 3.3. Habilidades de dibujo 58 3.4. Habilidades de razonamiento 65 3.5. Habilidades de aplicacin y transferencia 67 4. Los niveles de razonamiento geomtrico 69II. La Geometra en el aula 75 1. El enfoque de resolucin de problemas en la enseanza de la Geometra 77 2. Propuesta para la enseanza: el aula-taller de Geometra 80 2.1. Materiales para construir la Geometra 81 2.2. Actividades para el aula-taller de Geometra 91 2.3. Organizacin del aula-taller de Geometra 93 3. En conclusin... 93III. La Geometra y sus resultados en los Excale 97

1. El aprendizaje de las Matemticas en la Educacin Bsica en Excale 2005 99 1.1. El aprendizaje de la Geometra en la Educacin Primaria.

Resultados Excale 2005 102



10

1.2. El aprendizaje de la Geometra en la Educacin Secundaria. Resultados Excale 2005 110

IV. Actividades para practicar 121 1. Acerca de las actividades 123 1.1. Rompecabezas 124 1.2. Copiando figuras 127 1.3. Identificando cuerpos 129 1.4. Pentamins 132 1.5. Definiendo trianpen 134 1.6. Explorando cuadrilteros 135 1.7. Construyendo y probando 138 1.8. Geometra y azulejos 140 1.9. El crculo 143Anexo. Hojas de trabajo 147Bibliografa consultada 165 Lecturas recomendadas 169Colaboradores 173

Presentacin

1

El libro La enseanza de la Geometra, que forma parte de la coleccin Ma-teriales para apoyar la prctica educativa, tiene como propsito introducir a los maestros en servicio de primaria y secundaria en la problemtica de la enseanza de la Geometra, as como presentar un anlisis de los resultados obtenidos por los estudiantes de sexto de primaria y tercero de secundaria en los Excale en la asignatura de Matemticas, particularmente en los contenidos relacionados con la Geometra.

Los resultados de las evaluaciones aplicadas por el INEE, y de las pruebas internacionales, en particular PISA, muestran que si bien hay avances en la calidad de los aprendizajes en Matemticas, la distancia que separa los resul-tados obtenidos con los esperados es muy grande.

Si bien el enfoque de resolucin de problemas, introducido en los planes y programas de estudio de las Matemticas en la reforma curricular de 1993 y profundizado en la reforma de secundaria en 2006, plantea que el aprendi-zaje de las Matemticas debe permitir a los alumnos desarrollar una forma de pensamiento que les permita resolver problemas que se presentan en diversos contextos, las evaluaciones ponen de manifiesto el predominio de una ense-anza memorstica, en la que la aplicacin mecnica de frmulas o algoritmos parece un fin en s mismo.

La enseanza de la Geometra es una de las reas de las Matemticas en las que hay ms puntos de desencuentro entre matemticos y educadores, no slo en relacin con sus propsitos y contenidos sino tambin con la manera de ensearla. Es probable que esto ocurra debido a los aspectos que abarca: por un lado la Geometra es considerada como una herramienta para el enten-dimiento, tal vez la parte de las Matemticas ms intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la Geometra como disciplina se apoya en un pro-



16

ceso extenso de formalizacin, el cual se ha venido desarrollando por ms de dos mil aos en niveles crecientes de rigor, abstraccin y generalidad.

Frente a la dificultad y complejidad de la temtica abordada, la escasa difusin de propuestas didcticas de la enseanza de la Geometra y conside-rando las diferencias existentes entre los niveles educativos a los que se dirige este material, su intencin es brindar un panorama que d cuenta de algunos de los componentes que se encuentran presentes en la enseanza de esta disciplina, desde diferentes posturas tericas.

Silvia Garca Pea y Olga Leticia Lpez Escudero, autoras del libro, se han preocupado por vincular en su propuesta los aspectos tericos con ejemplos, y actividades de reflexin dirigidas al maestro.

Los contenidos de Geometra no han cambiado de manera importante en las ltimas dcadas; lo que se intenta ofrecer en este material es una forma di-ferente de ensearlos. As, por ejemplo, se presentan actividades de dibujo de figuras que permitan que el alumno busque relaciones y propiedades geom-tricas y convertir la construccin de figuras en un medio para desarrollar el razonamiento geomtrico. Lo mismo sucede con el uso del material concreto y con las diferentes actividades que se proponen.

Los docentes encontrarn en este libro una propuesta de cmo comenzar a cambiar sus prcticas, con el objeto de que sus alumnos desarrollen habi-lidades propias del razonamiento geomtrico y encuentren el sentido de los conocimientos que aprenden. Al estudiar este material y llevar al aula las ac-tividades que aqu se proponen, maestros y alumnos tendrn la oportunidad de disfrutar sus clases.

Lo invitamos a que, junto con sus compaeros de trabajo, comience a in-troducir algunos cambios en la enseanza de la Geometra y pueda compartir con ellos los logros y las dificultades encontradas; sta es la mejor manera de aprender y mejorar.

Mucha suerte!

Mnica SchulmaisterUniversidad Autnoma de la Ciudad de Mxico

Introduccin

21

Iniciar un viaje a travs del mundo de la Geometra representa una interesan-te aventura alrededor de la ciencia que modela el espacio que percibimos: cuadrados, rectngulos, crculos, paralelas y perpendiculares son modelos tericos de objetos y relaciones que encontramos en nuestro entorno. Esta travesa tambin permite adentrarnos en formas de pensamiento avanzado: la Geometra trabaja con objetos ideales que se pueden manipular mentalmente, que no dependen de lo que perciben nuestros sentidos. Adems, este recorrido nos depara otra sorpresa: estudiar Geometra ofrece la oportunidad de conocer a la primera ciencia en la que, a partir de unas cuantas definiciones y postula-dos considerados verdaderos, se construye un slido edificio de afirmaciones cuya veracidad puede demostrarse.

Si bien es cierto que esta ciencia modela nuestro entorno, es importante mencionar que la Geometra que trata este trabajo es slo una de las repre-sentaciones de ese entorno, una manera de modelar el espacio; en la actuali-dad hay otras geometras, la mayora de ellas propias de estudios superiores, por lo que en este documento, al hablar de Geometra, nos referimos a la que se ensea en la Educacin Bsica y, en particular, al estudio de las figuras geomtricas de dos y tres dimensiones. Se ha evitado el uso de la simbologa geomtrica para hacerlo ms entendible, sobre todo para aquellos profesores que no estn familiarizados con ella.

El propsito de este trabajo es invitar al docente a reflexionar acerca de toda la riqueza que gira alrededor de la enseanza de la Geometra, a que tome conciencia de que su tratamiento en el aula no consiste slo en la trans-misin de los contenidos geomtricos sino en adentrar al alumno en todo un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que percibe y en formas de pensamiento propias de la Geometra. El trabajo est dividido en cuatro captulos, los dos primeros escritos por Silvia Garca Pea y los dos



22

siguientes por Olga Leticia Lpez Escudero. El primer captulo presenta una serie de consideraciones sobre los diferentes tipos de tareas que el docente puede realizar en las clases de Geometra, las habilidades que se pueden de-sarrollar en los alumnos y los diferentes niveles de pensamiento geomtrico que paulatinamente se pueden promover.

En el segundo se presentan ideas concretas para trabajar en el aula par-tiendo de los supuestos del enfoque de resolucin de problemas; a manera de ejemplos, se presentan algunos materiales que el docente puede utilizar dentro de las clases y sugerencias de tipo didctico para el trabajo en el aula.

En el tercero se muestran algunos de los resultados obtenidos en las prue-bas de Excale 2006 en Geometra y se hace un breve anlisis de los reactivos muestra que se utilizaron para evaluar contenidos geomtricos.

En el cuarto se proponen nueve actividades en las que se podr identificar el tipo de tareas, habilidades y niveles que se presentan en la primera parte de este documento. Al finalizar, el docente encontrar una lista de lecturas que se sugieren para profundizar en el tema.

Esperamos que este trabajo despierte en los profesores el inters y el gus-to por esta ciencia que tiene mucho que ofrecer tanto al aprenderla como al ensearla.

Ensear Geometra

Ensear Geometra

I

2

La filosofa est escrita en ese inmenso libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el Universo, pero no se puede entender si antes no

se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que est escrito. Est escrito en lengua matemtica y sus caracteres son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas sin las cuales es imposible entender ni

una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.

Galileo

1. Ensear Geometra, para qu?

Muchas de las limitaciones que nuestros alumnos manifiestan sobre su com-prensin acerca de temas de Geometra se deben al tipo de enseanza que han tenido. Asimismo, el tipo de enseanza que emplea el docente depende, en gran medida, de las concepciones que l tiene sobre lo que es Geometra, cmo se aprende, qu significa saber esta rama de las Matemticas y para qu se ensea.

Muchos profesores identifican a la Geometra, principalmente, con temas como permetros, superficies y volmenes, limitndola slo a las cuestiones mtricas; para otros docentes, la principal preocupacin es dar a conocer a los alumnos las figuras o relaciones geomtricas con dibujos, su nombre y su definicin, reduciendo las clases a una especie de glosario geomtrico ilustrado.

Es importante reflexionar sobre las razones para ensear Geometra. Si el maestro tiene claro el porqu, estar en condiciones de tomar decisiones ms acertadas acerca de su enseanza. Una primera razn para dar esta asigna-tura la encontramos en nuestro entorno inmediato, basta con mirarlo y des-cubrir que en l se encuentran muchas relaciones y conceptos geomtricos: la Geometra modela el espacio que percibimos, es decir, la Geometra es la Matemtica del espacio.1 Por ejemplo, una habitacin: es muy probable que

1 Bishop (1983), citado por Bressan (2000), Razones para ensear Geometra en la Educacin Bsica.

La Geometra modela el espacio que percibimos, es decir, la Geometra es la Matemtica del espacio.



28

tenga forma de prisma rectangular con sus caras, aristas y vrtices; las paredes y los techos generalmente son rectangulares; las paredes son perpendiculares al techo y ste es paralelo al piso; si hay alguna ventana lo ms seguro es que tenga forma de una figura geomtrica con lados que son segmentos de recta; al abrir y cerrar la puerta se forman diferentes ngulos; si el piso est cubier-to de mosaicos, stos tienen forma de una o varias figuras geomtricas que cubren el plano sin dejar huecos ni empalmarse y en l se pueden observar diversas transformaciones geomtricas: rotaciones, traslaciones y simetras.

No obstante que la presencia de la Geometra en el entorno inmediato podra ser una razn suficiente para justificar su enseanza y su aprendizaje, cabe aclarar que no es la nica. La Geometra ofrece, a quien la aprende, una oportunidad para emprender un viaje hacia formas superiores de pensamiento. El siguiente pasaje de uno de los dilogos de Platn, La Repblica, ilustra la gran importancia que se le daba al estudio de la Geometra en la poca de la Grecia clsica. Los protagonistas son Scrates y Glaucn:

Scrates: Entonces, oh, mi noble amigo!, la Geometra atraer el alma hacia la verdad y formar mentes filosficas que dirijan hacia arriba aquello que ahora dirigimos indebidamente hacia abajo.Glaucn: S, y en gran manera.Scrates: Pues bien, en gran manera tambin hay que ordenar a los de tu Calpolis que no se aparten en absoluto de la Geometra. Porque tampoco son exiguas sus ventajas accesorias.Glaucn: Cules?Scrates: No slo las que t mismo citaste con respecto a la guerra, sino que tambin sabemos que, por lo que toca a comprender ms fcilmente en cualquier otro estudio, existe una diferencia total y absoluta entre quien se ha acercado a la Geometra y quien no.Glaucn: S, por Zeus!, una diferencia absoluta. Establecemos, pues, sta como segunda enseanza para los jvenes?Scrates: Establezcmosla.2

2 Fuente: http://www.bibliotecasvirtuales.com/biblioteca/otrosautoresdelaliteraturauniversal/Platon/ larepublica/IX.asp

La Geometra ofrece una oportunidad para empren-der un viaje hacia formas

superiores de pensamiento.

2

I. Ensear Geometra

Los matemticos y filsofos griegos, amantes y buscadores incansables de la verdad, tenan en alta estima a la Geometra porque para ellos represent un cuerpo de conocimientos que eran verdaderos y que, adems, poda demos-trarse que lo eran, que no dependan del humor de las personas ni de los dio-ses; a tal grado lleg esta valoracin, que en la Academia, la escuela filosfica de Platn, estaba escrito: Nadie entre aqu que no sepa Geometra. No obstante que la palabra Geometra significa medida de la tierra, que hace alusin a su origen prctico, a partir de los griegos y hasta la actualidad lo que se estudia en Geometra dista mucho de ser slo lo que fue en sus inicios.

Veamos en qu consiste esta forma de pensar que se puede desarrollar con la enseanza de la Geometra. Las personas construyen de manera intui-tiva algunas relaciones y conceptos geomtricos, producto de su interaccin con el espacio; la enseanza de la Geometra debe permitir avanzar en el de-sarrollo del conocimiento de ese espacio, de tal manera que en un momento dado pueda prescindir de l y manejar mentalmente imgenes de figuras y re-laciones geomtricas, es decir, hacer uso de su capacidad de abstraccin. El estudio de la Geometra permite al alumno estar en interaccin con relaciones que ya no son el espacio fsico sino un espacio conceptualizado y, por lo tan-to, en determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras geomtricas ya no se comprobarn empricamente sino que tendrn que apoyarse en razonamientos que obedecen a las reglas de argumentacin en Matemticas, en particular, la deduccin de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen.

Por ejemplo, en un nivel emprico, los alumnos podran medir los ngulos de la siguiente figura y encontrar que la medida del ngulo a ms la medida del ngulo b suman 180 y tambin, midiendo, pueden encontrar que el ngulo b mide lo mismo que el ngulo c.

abc



30

En un nivel de razonamiento deductivo, sin necesidad de medir, los estu-diantes pueden deducir que los ngulos a y b suman 180 y argumentar: por-que los lados rojos de estos ngulos forman una lnea recta y esto hace que ambos formen un ngulo de 180.

Tambin pueden deducir que los ngulos b y c miden lo mismo, con el si-guiente razonamiento:

El ngulo a ms el ngulo b suman 180 El ngulo a ms el ngulo c suman 180Entonces el ngulo b y el ngulo c miden lo mismo.

Este tipo de razonamiento deductivo debe ser la culminacin de una serie de actividades llevadas a cabo a lo largo toda la Educacin Bsica; se espera que los alumnos que egresan de Educacin Secundaria puedan hacer razonamien-tos similares.

Lo anterior nos lleva a concluir que el aspecto formativo de la enseanza de la Geometra es tan relevante como el aspecto informativo, es decir, los procesos de pensamiento que los alumnos desarrollan con un adecuado tra-tamiento de la Geometra en clase son tan importantes como el aprendizaje de los contenidos geomtricos.

La Geometra:

Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escultura, la astronoma, los deportes, la carpintera, la herrera, etctera).Se usa en el lenguaje cotidiano (por ejemplo, se dice: calles paralelas, tina-cos cilndricos, la escalera en espiral, etctera).Sirve en el estudio de otros temas de las Matemticas (por ejemplo, un mo-delo geomtrico de la multiplicacin de nmeros o expresiones algebraicas lo constituye el clculo del rea de rectngulos).Permite desarrollar en los alumnos su percepcin del espacio, su capacidad de visualizacin y abstraccin, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geomtricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace.

1.2.3.

31

I. Ensear Geometra

Constituye el ejemplo clsico de ciencia organizada lgica y deductivamente (a partir de axiomas y postulados se deducen teoremas).

Terminaremos este apartado con una lista de respuestas a la pregunta para qu ensear y aprender Geometra?:

Para conocer una rama de las Matemticas ms instructivas.Para cultivar la inteligencia.Para desarrollar estrategias de pensamiento.Para descubrir las propias posibilidades creativas.Para aprender una materia interesante y til.Para fomentar una sensibilidad hacia lo bello.Para trabajar Matemticas experimentalmente.Para agudizar la visin del mundo que nos rodea.Para gozar de sus aplicaciones prcticas.Para disfrutar aprendiendo y enseando.3

Actividades

Escriba en su cuaderno ejemplos de figuras o relaciones geomtricas que estn en su entorno, procure que sean diferentes a las mencionadas en este apartado.Piense en algn oficio o profesin que haga uso de la Geometra, escriba cmo usan la Geometra quienes se dedican a ese oficio o profesin.Responda en su cuaderno, lo ms ampliamente posible, las siguientes pre-guntas:

Qu ideas le vienen a la mente cuando escucha la palabra Geometra?Cules son los objetos de estudio de la Geometra?Cmo acostumbra ensear Geometra?Por qu la ensea as?

3 C. Alsina, J. Fortuny y R. Prez (1997), Por qu Geometra?

1.

2.

3.

a.b.c.d.



32

4. Antes de leer este apartado usted tena algunas ideas de para qu ensear Geometra, cules eran?, coinciden con lo que acaba de leer? Si su res-puesta es negativa, en qu diferan?

2. Tareas en la enseanza de la Geometra

Bsicamente se pueden categorizar en tres tipos las tareas que se realizan en las clases al estudiar las figuras geomtricas de dos y tres dimensiones: conceptualizacin, investigacin y demostracin,4 con las que se espera que los alumnos desarrollen su razonamiento geomtrico. Cabe aclarar que estas tareas pueden presentarse de manera simultnea en las situaciones proble-mticas que se plantean a los alumnos y, con frecuencia, la lnea que divide a una de otra es tan tenue que no se pueden separar. Por ejemplo, una tarea de investigacin puede dar lugar a la construccin del concepto de una relacin geomtrica y a la vez propiciar que los alumnos argumenten los resultados de esa investigacin, esto ltimo como parte de una tarea de demostracin.

Estos tres tipos de tareas (conceptualizacin, investigacin y demostracin) pueden realizarse dentro del marco del enfoque de resolucin de problemas, cuya idea principal radica en el hecho de que los alumnos construyen conoci-miento geomtrico al resolver problemas.

2.1. Tareas de conceptualizacin

Como su nombre lo indica, las tareas de conceptualizacin se refieren a la construccin de conceptos y de relaciones geomtricas. Es importante aclarar que no se trata de definir objetos geomtricos sino de conceptualizarlos. Por ejemplo, si lo que se desea es que los alumnos construyan el concepto de cuadriltero no es suficiente, ni deseable, que en principio se d la definicin de cuadriltero como polgono de cuatro lados y se ilustre dibujando varios cuadrilteros, creyendo que con ello el alumno aprender lo que son estas figuras. Desafortunadamente, una manera comn de ensear Geometra es la denominada enseanza ostensiva:

4 C. Samper, L. Camargo y C. Leguizamn, C. (2003), Cmo promover el razonamiento en el aula por medio de la Geometra.

Las tareas de conceptualiza-cin se refieren a la cons-

truccin de conceptos y de relaciones geomtricas.

33

I. Ensear Geometra

Mediante esta ltima expresin se alude a una cierta presentacin de los ob-jetos de enseanza en la que todos los elementos y relaciones constitutivas de la nocin prevista son proporcionados de un solo golpe por el profesor o el libro de texto.5

Es decir, el maestro muestra directamente los contenidos geomtricos para que los alumnos observen una realidad sensible o una representacin, en el supuesto de que los alumnos son capaces de apropiarse del contenido y de entender su aplicacin en otras situaciones. En definitiva, sta no es la mejor manera para ensear un contenido geomtrico.

Considrese, por ejemplo, que un maestro, para ensear lo que es un tringulo issceles, lo haga solamente dibujando a sus alumnos la siguiente figura:

Es muy importante tener claro que la figura anterior es slo una represen-tacin de un concepto: el tringulo issceles. No se est viendo el concepto de tringulo issceles sino un representante (y slo uno) de un conjunto de figuras que comparten una caracterstica: dos lados iguales. Si la imagen conceptual de un tringulo issceles fuera slo la anterior, se tendra una idea muy limitada de este concepto. Para enriquecer la imagen conceptual de cualquier figura es necesario trabajarla y explorarla de diferentes ma-neras (posicin, material, color, tamao) conservando sus caractersticas esenciales y por medio de diferentes situaciones que funcionalicen el con-

5 H. Ratsimba-Rajohm, citado por A. vila (2006), Transformaciones y costumbres en la Matemtica escolar, p. 63.

Para enriquecer la imagen conceptual de cualquier figura es necesario trabajarla y explorarla de diferentes maneras.



34

cepto. Por ejemplo, las siguientes figuras tambin tienen forma de tringulos issceles.

Se pretende que la imagen conceptual de un objeto geomtrico est lo ms cercanamente posible al concepto:

...la complejidad de la educacin geomtrica a diferencia de la educacin numri-ca, radica en la omnipresente e inevitable dialctica entre la conceptualizacin y la visualizacin [] De esta manera, la Geometra puede ser considerada una bs-queda de modelos guiada tanto por el ojo visual como por el ojo de la mente.6

Muchos de los errores que cometen los alumnos se deben a que tienen imge-nes conceptuales pobres. Por ejemplo, si los alumnos creen que la base de un tringulo es el lado horizontal porque en l se apoya, entonces pensarn que el primero de los siguientes tringulos tiene base pero el segundo no, lo cual es falso: cualquier lado de un tringulo puede ser tomado como su base.

6 J. Fortuny (1994), La educacin geomtrica 12-16. Sistemtica para su implementacin, La Geome-tra: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula.

3

I. Ensear Geometra

Si cualquier lado puede ser base del tringulo, y se sabe que la altura de un tringulo es la perpendicular a un lado que pasa por el vrtice opuesto, enton-ces los tringulos tienen tres alturas (una por cada lado) y no slo, una como muchos alumnos creen:

Cuando los estudiantes consideran que todas las alturas de un tringulo estn dentro de l, generalmente se debe a la imagen conceptual que tienen de las alturas de un tringulo. Puede ser que siempre hayan visualizado alturas como las siguientes:

Para ampliar esa imagen se requiere que los alumnos trabajen con alturas que coinciden con los lados del tringulo, como es el caso de los tringulos



36

rectngulos, en los que los lados que forman el ngulo recto son, al mismo tiempo, dos de las alturas de los tringulos,

y con alturas que quedan fuera del tringulo, como en el caso de los tringulos obtusngulos.

En conclusin, dado que en Geometra el concepto est muy ligado a la imagen conceptual conviene enriquecer lo ms que se pueda esta ltima.

Por ejemplo, una actividad que permite una comprensin dinmica del con-cepto de altura es formar en el geoplano un tringulo como el rojo y que, partir de l y cambiando slo el vrtice superior, se encuentren otros tringulos con

En Geometra el concepto est muy ligado a la imagen conceptual.

3

I. Ensear Geometra

la misma base y la misma medida de la altura. Con lo anterior se espera que los alumnos construyan tringulos como los siguientes (se usaron colores di-ferentes para distinguir un tringulo de otro):

BA

La actividad puede realizarse tambin en el cuaderno trazando dos rectas paralelas y varios tringulos, todos con la misma base en una de las paralelas y el tercer vrtice sobre la otra paralela.

No slo es importante enriquecer la imagen conceptual al variar las posibili-dades de representacin, sino tambin, cuando se pueda, ampliar el concepto mismo. Muchos objetos geomtricos pueden ser estudiados a partir de dife-rentes conceptos. Por ejemplo, al segmento AB se le ha trazado una perpen-dicular que pasa por el punto medio:



38

Esta perpendicular en el punto medio recibe el nombre de mediatriz. Pero la mediatriz es ms que eso, observe que tambin es el eje de simetra del segmento. Y si elige cualquier punto de la mediatriz y mide la distancia en-tre l y cada uno de los extremos A y B notar que ese punto est a la mis-

ma distancia de ellos; esto se puede hacer con cualquier punto de la mediatriz. Es decir, la mediatriz tambin es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.

2.2. Tareas de investigacin

Las actividades o tareas de investigacin son aqullas en las que el alumno indaga acerca de las caractersticas, propiedades y relaciones entre objetos geomtricos con el propsito de dotarlas de significados. Probablemente es en este tipo de tareas donde se aprecia de mejor ma-nera el enfoque de resolucin de problemas en la ense-anza de la Geometra.

Un problema se concibe como una situacin ante la cual no se cuenta con un proceso de resolucin inme-diato; si ya se sabe cmo resolverlo, entonces no es un problema. Es decir, podemos plantear a los alumnos pro-blemas para practicar un conocimiento o problemas para construir un conocimiento, estos ltimos son los que en-tran dentro de las tareas de investigacin.

Un ejemplo de tarea de investigacin es el siguiente: los alumnos han trabajado el concepto de tringulo issceles pero no su tra-zo; se les pide entonces que usen sus instrumentos geomtricos para trazar uno. En la clase surgen diferentes procedimientos:

3

I. Ensear Geometra

Procedimiento A

A partir del segmento AB se trazan dos circunferencias con igual radio, donde A es el centro de la circunferencia c1 y B el de la circunferencia c2. Se unen A y B con el punto donde se cortan las circunferencias, el punto C.

A B

A B

C

c1 c2

Procedimiento B

Se dibuja una circunferencia y, trazando dos radios cualesquiera y una cuerda se obtiene un tringulo issceles.



40

Procedimiento C

Se traza un segmento AB y su mediatriz (la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento). Se elige un punto cualquiera de la mediatriz (P) y se une con los extremos del segmento.7

En las tareas de investigacin los alumnos ponen en juego las relaciones y los conceptos geomtricos para obtener lo que se pide. Es importante mencionar que las tareas de conceptualizacin y de investigacin no necesariamente se dan por separado. Por ejemplo, considrese el siguiente problema:

Carlos vive a la misma distancia de la casa de Ara (punto A) que de la de Bety (punto B). Marca con puntos cinco lugares diferentes donde puede estar la casa de Carlos.8

7 S. Llinares (2003), Matemticas escolares y competencia matemtica.

8 Matemticas I. Telesecundaria, vol. I, primer grado, p. 148.

A

B

P

A

B

41

I. Ensear Geometra

Es muy probable que los alumnos localicen, en primer lugar, el punto medio entre los puntos A y B, pero como se les solicitan otros cuatro lugares tendrn que buscar la manera de hallarlos; quiz lo hagan al tanteo y utilicen la regla para medir la distancia de los puntos que marquen a los puntos A y B. Un alumno con ms experiencia en el uso de los instrumentos podra observar que un comps ser de gran utilidad para hallar los puntos restantes: se trazan dos circunferencias que se corten y que tengan el mismo radio, una con centro en A y otra con centro en B, se traza la recta que pasa por los puntos donde se cor-tan; cualquier punto de esa recta puede ser la ubicacin de la casa de Carlos.

En esta tarea de investigacin el contenido matemti-co que est en juego es una de las definiciones de la mediatriz: el lugar geom-trico de todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento, es decir, se trata, al mismo tiempo, de una tarea de investigacin que tiende a formar un concepto en los alumnos; ms adelante se podra trabajar la defini-cin de ese concepto.

2.3. Tareas de demostracin

Las actividades de demostracin tienden a desarrollar en los alumnos la capaci-dad para elaborar conjeturas o procedimientos de resolucin de un problema que despus tendrn que explicar, probar o demostrar a partir de argumentos que puedan convencer a otros de su veracidad. Es en este tipo de actividades donde puede apreciarse la socializacin del conocimiento geomtrico, ya que desde el enfoque de resolucin de problemas se concibe al conocimiento como una construccin social.

Las tareas de deomostracin son esenciales en Geometra y deben estar presentes en la interaccin del aula escolar; la construccin de argumentos lgicos es una habilidad que forma parte esencial de la cultura geomtrica y es deseable que todos los alumnos la desarrollen.



42

En el mbito escolar se pueden considerar tres tipos de demostraciones: la explicacin, la prueba y la demostracin propiamente dicha.9

Se entiende por explicacin un discurso que trata de hacer inteligible el ca-rcter de verdad de una proposicin o de un resultado. Las razones expuestas pueden ser discutidas, refutadas o aceptadas. Un ejemplo escolar es cuando se pide a los estudiantes que expliquen la manera en que llegaron al resultado de un problema para que convenzan a sus compaeros de que dicho resultado es correcto.

Una prueba es una explicacin aceptada por una comunidad dada en un momento determinado, puede ser objeto de un debate cuya significacin es determinar un sistema de validacin comn entre los que intervienen en la dis-cusin de la prueba. Generalmente, cuando se trabajan las demostraciones en el aula escolar lo que realmente se hace es probar que ciertos enunciados son verdaderos; no se consideran demostraciones rigurosas porque no forman parte de un sistema axiomtico que parte de definiciones y axiomas10 sino que co-rresponden a pruebas aisladas de ciertos enunciados. Por ejemplo, cuando se prueba que:

Los ngulos opuestos por el vrtice son igualesLa suma de los ngulos de un tringulo es 180Un ngulo inscrito mide la mitad del ngulo central que abarca el mismo arcoDos tringulos rectngulos son semejantes si tienen igual un ngulo agudoEtctera.

En una comunidad matemtica slo se pueden aceptar como pruebas las explicaciones que toman una forma particular. Una demostracin11 matemtica se organiza mediante una secuencia de enunciados reconocidos como verda-deros o que se pueden deducir de otros, con base en un conjunto de reglas

9 Balachef, citado por G. Arsac (1987), El origen de la demostracin: ensayo de epistemologa didctica, Recherches en Didactique des Mathematiques, vol. 8, nm. 3, pp. 267-312.

10 Un axioma es un enunciado que se acepta como verdadero sin que se tenga que demostrar que lo es.

11 Matemticas. Educacin Bsica. Secundaria. Programas de estudio 2006.

Se pide a los estudiantes que expliquen la manera en que llegaron al resul-

tado de un problema.

43

I. Ensear Geometra

B

A A

B

A

B

A

B

bien definido. En la Educacin Bsica, tal y como estn actualmente estruc-turados los programas de Geometra, no se llega a demostraciones rigurosas, slo a explicaciones y pruebas. Se espera que los estudiantes de Educacin Bsica desarrollen habilidades que les permitan explicar y probar por medio de argumentos convincentes; en secundaria es probable que hagan pruebas usando deducciones sencillas.

Las tareas de demostracin constituyen una prctica habitual entre los matemticos, no obstante, los alumnos no siempre ven la necesidad de probar o demostrar algo que para ellos resulta evidente.

Por ejemplo, una propiedad de los paralelogramos (cuadrilteros que tienen dos pares de lados paralelos) es que sus ngulos opuestos son iguales. Si los alumnos observan varios paralelogramos notarn que, efectivamente, sus n-gulos opuestos (A y B en las siguientes figuras) miden lo mismo.

Los estudiantes no sienten la necesidad de probar o demostrar que los ngulos internos A y B son iguales, como lo ven en estos ejemplos. Pensar matemticamente implica ir ms all de lo que se ve, requiere pensar que no basta con ver porque los sentidos engaan; pero, adems, tampoco basta con ver unos cuantos ejemplos, tendramos que probar que esos ngulos son igua-les para todos los paralelogramos, de diferentes formas y tamaos, y esto es imposible ver porque existe una infinidad de paralelogramos y no se pueden trazar todos. Una prueba o una demostracin matemtica es una poderosa he-rramienta que permite comprobar que algo es verdadero para todos los casos.

Para diferenciar lo que aqu consideramos prueba y demostracin se plan-tear el siguiente ejemplo.



44

Una propiedad de los tringulos que suele trabajarse en la escuela secun-daria es la siguiente:

La suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180

Esto significa que si se miden los tres ngulos de cualquier tringulo y se suman las tres medidas el resultado es 180. Por ejemplo:

P

R

Q

B

A

C

En un primer nivel, el alumno podra medir los ngulos de uno o varios tringulos, sumarlos y deducir que, efectivamente, la suma es 180. Es pro-bable que, al medir, algunos estudiantes no obtengan la suma exacta de 180, sino un poco ms o un poco menos, debido a la imprecisin de los instrumen-tos de medicin o a la forma en que son utilizados.

Tambin puede mostrarse que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180 haciendo lo siguiente: se pide a los alumnos que tracen y recorten un tringulo cualquiera, cada alumno tendr un tringulo diferente a los de sus compaeros.

P + Q + R = 180

4

I. Ensear Geometra

BA C

P

Q

R

a

b

Despus se les pide que corten sus ngulos y que pongan uno al lado de otro:

Los alumnos notarn que al poner los tres ngulos se forma un ngulo de 180. Tanto midiendo como recortando los ngulos, los estudiantes cree-rn que, como se cumpli para algunos tringulos, entonces se cumple para todos; no obstante, pensar de esta manera no es admisible en Matemticas: qu garantiza que existe un tringulo en el que la suma de sus ngulos in-ternos sea diferente a 180? Esto es lo que propicia la necesidad de probar o demostrar, de una manera general, para cualquier tringulo y no slo para algunos.

Una prueba comn es la siguiente:Se traza un tringulo cualquiera PQR y se traza una paralela al lado PR que

pase por Q.



46

Se tiene entonces que:

El ngulo a ms el ngulo Q ms el ngulo b suman 180 porque forman un ngulo colineal.El ngulo a es igual al ngulo P porque son ngulos alternos internos entre paralelas.El ngulo b es igual al ngulo R porque son ngulos alternos internos entre paralelas.Entonces el ngulo P ms el ngulo Q ms el ngulo R suman 180 sustitu-yendo el ngulo a por P y el ngulo b por R.

Lo anterior es una prueba, pero no se trata exactamente de una demos-tracin rigurosa, pues para ser considerada como tal se tendra que haber de-mostrado previamente que los ngulos alternos internos son iguales; es decir, en una demostracin rigurosa todo lo que se afirma se debe demostrar antes, de otra manera no se puede usar una afirmacin. En el caso de las pruebas, que son las que comnmente se trabajan en el mbito escolar, se permite uti-lizar algunas afirmaciones que no se hayan demostrado.

Actividades

Escriba un ejemplo de algn error que los alumnos cometen debido a que tienen una imagen conceptual limitada de un concepto geomtrico.Un alumno opina que las diagonales de un rectngulo son sus ejes de simetra, cul es su concepto de eje de simetra?, por qu este concepto es errneo?A un diseador le encomiendan disear una caja en forma de prisma y l hace una en forma de prisma rectangular.

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

4

I. Ensear Geometra

Es el nico prisma que puede usar para hacer una caja?, qu otros pris-mas se pueden utilizar para hacer cajas?, de qu depende la forma ms adecuada?, habr hecho esta forma porque es el nico prisma que conoce? o qu otras razones pudo haber tenido?

4. Utilice sus instrumentos geomtricos para trazar en su cuaderno tringulos issceles usando los procedimientos A, B y C presentados en el apartado de tareas de investigacin.

5. Explique, en cada caso, por qu el tringulo que se obtiene es issceles.6. El logotipo de un banco est formado por un tringulo equiltero azul y un

crculo rojo:

BM

Trace en su cuaderno el logotipo, puede ser a un mayor tamao. Justifique por qu el tringulo que traz es equiltero.

7. Identifique en algn libro de texto de Matemticas de Educacin Bsica al-gunas actividades de las lecciones de Geometra, determine si se tratan de tareas de conceptualizacin, investigacin o demostracin.

3. Habilidades por desarrollar en las clases de Geometra

Por medio de las tareas de conceptualizacin, investigacin y demostracin que se propongan a los alumnos, las habilidades bsicas por desarrollar en las clases de Geometra son:

VisualesDe comunicacin



48

De dibujoLgicas o de razonamientoDe aplicacin o transferencia.12

En las diferentes actividades que se plantean a los alumnos estas habili-

dades no se dan por separado, generalmente estn presentes dos o ms; no obstante, aqu se separan para efectos de exposicin.

3.1. Habilidades visuales

En relacin con la enseanza de las Matemticas,13 la visualizacin es una ac-tividad del razonamiento o proceso cognitivo basada en el uso de elementos visuales o espaciales, tanto mentales como fsicos, utilizados para resolver pro-blemas o probar propiedades.

La Geometra es una disciplina eminentemente visual. En un principio, los conceptos geomtricos son reconocidos y comprendidos a travs de la visua-lizacin. Por ejemplo, el primer contacto que el alumno tiene con la idea de tringulo es mediante su visualizacin. Como ya se mencion, es importante que los tringulos se exploren de las maneras ms diversas para que el alumno sea capaz de discernir, poco a poco, lo que es inherente al concepto de trin-gulo (polgono que tiene tres lados) y lo que no lo es (posicin, color, material del que est hecho).

Cabe aclarar que, si bien la habilidad de visualizacin es un primer acer-camiento a los objetos geomtricos, no podemos aprender la Geometra slo viendo una figura u otro objeto geomtrico. La generalizacin de las propie-dades o la clasificacin de las figuras no puede darse a partir nicamente de la percepcin. Es necesario que el alumno se enfrente a diversas situaciones donde los conocimientos adquieran sentido, por ejemplo, a travs de las cons-trucciones geomtricas, en las que se puede variar el tipo de informacin que se les da.

12 Segn Hoffer, citado por Bressan (2000), Razones para ensear Geometra en la Educacin Bsica.

13 Segn Gutirrez, citado por Bressan (2000), Razones para ensear Geometra en la Educacin Bsica.

La Geometra es una disciplina

eminentemente visual.

4

I. Ensear Geometra

Desarrollar la habilidad de visualizacin es muy importante en Geometra; es posible que al resolver un problema los estudiantes tengan dificultades debido a que no logran estructurar lo que observan o lo estructuran de una manera que no lleva a la solucin del problema o no facilita demostrar cierta propiedad. Las configuraciones geomtricas generalmente pueden visuali-zarse de varias maneras y es importante que esto se trabaje con los alumnos. Por ejemplo, el siguiente conjunto puede ser visto como cinco parejas de segmentos paralelos:

Pero tambin puede verse como un segmento inicial, uno final y cuatro parejas de segmentos paralelos entre ellos.

La habilidad de visualizacin est muy relacionada con la imaginacin es-pacial: la visualizacin puede ser en la mente. Por ejemplo, es importante que los alumnos aprendan a interpretar la representacin plana de un cuerpo de tres dimensiones:



0

En el prisma anterior algunas de las aristas estn representadas con lneas punteadas, esto significa que se est suponiendo que el cuerpo es transparen-te y que esas aristas realmente estn detrs de las aristas trazadas en lneas continuas. Al visualizar esta imagen se espera que el alumno comprenda que se trata de un cuerpo que tiene tres dimensiones.

Actividades

Trabaje su habilidad visual contando el nmero de rectngulos de la siguiente ventana. Cuidado, son ms de 4!

1.

Cuntos tringulos hay en la siguiente figura? Cuidado, son ms de 17!2.

1

I. Ensear Geometra

Considere un piso de azulejos, la figura de la derecha es una parte de l, aun-que se ha cambiado de posicin. Identifique y remarque en el piso esa figura.

3.

Cuntas caras, aristas y vrtices tiene un cubo?4.

Ahora considere que al cubo anterior se le trunca un vrtice. Cuntas caras, aristas y vrtices tiene el cubo truncado?

5.



2

3.2. Habilidades de comunicacin

La habilidad de comunicacin se refiere a que el alumno sea capaz de inter-pretar, entender y comunicar informacin geomtrica, ya sea en forma oral, escrita o grfica, usando smbolos y vocabulario propios de la Geometra.

Las habilidades del lenguaje estn estrechamente relacionadas con el pensamiento y estn presentes en muchos sentidos durante las clases de Matemticas y de Geometra en particular, por ejemplo, cuando:

Se lee e interpreta la informacin de un problema para empezar a resolverlo.Se discute con los compaeros de equipo las posibles estrategias de reso-lucin.Se presenta ante el grupo el resultado y procedimiento que se sigui para resolver un problema. Se justifica un resultado o un procedimiento.Se valida una conjetura que se hizo.

Dentro de estas habilidades est el proceso de designar por su nombre a las relaciones y a los objetos geomtricos: paralelas, perpendiculares, cua-drado, rombo, crculo, mediatriz, bisectriz, etctera. Muchas de las palabras que forman parte del vocabulario geomtrico aparecen tambin en el lenguaje cotidiano, algunas veces con el mismo significado y otras con significado muy diferente; por ejemplo, la concepcin inicial que los alumnos puedan tener so-bre las palabras radio y diagonal es muy diferente a las concepciones geom-tricas de esas palabras.

Una actividad recomendable en las clases de Geometra es la de invitar continuamente a los alumnos a que, siempre que el ejercicio lo permita, argu-menten sus respuestas: no slo es importante dar el resultado sino explicar cmo se obtuvo y probar que es correcto, de esta manera convertimos las actividades en tareas de demostracin fomentando la cultura de la argumen-tacin lgica y el desarrollo de su habilidad para comunicarse.

Muchas de las palabras que forman parte del vocabulario

geomtrico aparecen tam-bin en el lenguaje cotidiano.

3

I. Ensear Geometra

Por ejemplo, consideremos la siguiente tarea:

Si el radio de la circunferencia mide 5 cm, cul es el rea del cuadrado?

Los alumnos pueden seguir diferentes procedimientos y llegar al resultado correcto, que es 50 cm2. No obstante, es muy importante que argumenten por qu 50 cm2 es una respuesta correcta. Algunas explicaciones y argumentos posibles son los siguientes:

Las diagonales de los cuadrados son perpendiculares, al trazar dos radios que pertenezcan a las diagonales tambin sern perpendiculares y formarn un tringulo rectngulo con base 5 cm y altura 5 cm, que es la cuarta parte del cuadrado. El rea de este tringulo es , este resultado por 4 da 50.

252 =12.5252 =12.5

5cm

5cm



4

El cuadrado es un rombo, de manera que se puede aplicar la frmula para calcular el rea del rombo: el producto de las diagonales entre dos. Las dia-gonales del cuadrado son dimetros del crculo, es decir, miden 10 cm, as que el rea es:

10 c

m.

10 cm.

Al trazar una de las diagonales del cuadrado se forman tringulos rectn-gulos cuya hipotenusa es esta diagonal y cuyos catetos son los lados del cuadrado. Como la diagonal es tambin dimetro del crculo, entonces mide 10 cm.

10 cm.

aa

10x102 =50

I. Ensear Geometra

Aplicando el teorema de Pitgoras y considerando que el cuadrado mide de lado a, tenemos:

a2 + a2 = 1002a2= 100

a2 = 50

La actividad Adivina la figura, que consiste en mantener una figura oculta y los estudiantes, por medio de preguntas que se responden slo con s o no, tratan de adivinar de cul figura se trata, desarrolla el vocabulario geomtrico de los alumnos, permitiendo incorporar las palabras adecuadas para referirse a las partes de las figuras. Por ejemplo, si los alumnos preguntan:

La figura tiene tres picos? (o tres puntas)

El maestro puede contestar:

No, no tiene tres vrtices.

Sin que tenga que definir lo que es un vrtice. Otras actividades recomendables son aqullas en las que hay que enviar un mensaje a un receptor con algn fin; como en las dos situaciones siguientes, la primera se refiere a una figura plana y la segunda a un cuerpo geomtrico:

Se le da a un alumno, que ser el emisor, una figura geomtrica recortada y se le pide que elabore un mensaje a otro compaero para que ste a su vez trace una figura idntica en forma y tamao. El alumno receptor recibe el mensaje y reconstruye la figura.Se le da a un alumno, que ser el emisor, una caja pequea y se le pide que elabore las instrucciones para que otro compaero construya con cartulina una caja idntica en forma y tamao. El alumno receptor recibe las instruc-ciones escritas y reconstruye la caja.

En la consigna de estas actividades se debe indicar que est prohibido ha-cer dibujos. Al terminar se comparan las figuras (o los cuerpos) y, si no son

Hay que enviar un mensaje a un receptor con algn fin.



6

iguales, se analiza si el error estuvo en el mensaje o en la interpretacin del mismo.

Al principio los mensajes suelen ser ambiguos, les falta informacin impor-tante e incluyen otra que no se requiere; poco a poco los alumnos van mejo-rando en la redaccin de las indicaciones.

Otra actividad de comunicacin consiste en organizar a los alumnos por parejas, se colocarn frente a frente con un obstculo en medio (puede ser la mochila) y se le pide a uno de ellos que, sin que su pareja lo vea, haga una figura utilizando, por ejemplo, cuatro piezas del tangram:

Despus le dar oralmente las instrucciones para que su compaero haga una figura idntica. Cuando terminan se quita el obstculo y se comparan las figuras.

El desarrollo del lenguaje geomtrico es muy importante para la comprensin, de ah la gran importancia que tiene enfrentar a los alumnos constantemente a situaciones en las que tengan que comunicar informacin geomtrica.

Dentro de las habilidades de comunicacin y estrechamente relacionada con las tareas de demostracin est la competencia de argumentacin:

Cuando el profesor logra que sus alumnos asuman la responsabilidad de re-solver cada problema que plantea, junto con ella crea las condiciones para que dichos alumnos vean la necesidad de formular argumentos que les den sustento al procedimiento y/o solucin encontrados, segn las investigaciones que se han consultado, en tres niveles de complejidad y que corresponden a

I. Ensear Geometra

tres finalidades distintas: para explicar, para mostrar o justificar informalmente o para demostrar.14

Pero la argumentacin va ms all de la comunicacin, hay que comunicar para convencer; el estudiante no slo debe manejar el lenguaje geomtrico adecua-do sino tambin hacerlo de manera que forme una cadena de argumentos que muestren la veracidad de su propuesta. Esta cultura de la argumentacin es ne-cesaria no slo dentro del mbito matemtico escolar sino en cualquier mbito en el que se desenvuelva el alumno.

Dentro de la habilidad de comunicacin est el uso de smbolos geomtri-cos, que constituyen una poderosa herramienta que permite, en un momen-to dado, abandonar todo referente concreto e incluso vocablos lingsticos y trabajar nicamente con smbolos. Por ejemplo, al anotar AB // CD, se est simbolizando que el segmento AB es paralelo al segmento CD de una manera mucho ms breve. El docente debe considerar la pertinencia de introducir la simbologa sin que esto represente un obstculo en el entendimiento de los alumnos.

Actividades

Trabaje su habilidad de comunicacin; escriba un mensaje para que alguien pueda reproducir la siguiente figura. Entregue el mensaje a un compaero y pdale que siga las instrucciones; al final comparen las figuras.


1.

2.



8

Consiga dos tangram y d las instrucciones orales para que un compaero construya una figura idntica a la siguiente:

3.

Escriba una lista de los smbolos geomtricos que conoce e indique cmo se leen y qu significan.Escriba una lista de las palabras del vocabulario geomtrico que conoce e investigue lo que significan.Escriba un enunciado que se refiera a una situacin real para cada una de las siguientes palabras: paralelas, perpendiculares, diagonal, rectngulo, cua-drado, ngulo, crculo, rombo, cubo, prisma.Investigue cmo se simbolizan en Geometra los segmentos, los ngulos, la relacin de perpendicularidad, el ngulo recto, la congruencia de figuras y la semejanza de figuras.

3.3. Habilidades de dibujo

Las habilidades de dibujo estn relacionadas con las reproducciones o cons-trucciones grficas que los alumnos hacen de los objetos geomtricos. La re-produccin se refiere a la copia de un modelo dado, ya sea del mismo tamao o a escala, cuya construccin15 puede realizarse con base en informacin que se da en forma verbal (oral o escrita) o grfica.

15 En este apartado se debe leer con cuidado cundo se usa la palabra construccin para referirse a trazos geomtricos y cundo para referirse a la construccin de conocimientos (constructivismo).

4.

5.

6.

7.

I. Ensear Geometra

Es necesario enfatizar que las actividades de trazo de figuras geomtricas son de una gran riqueza didctica debido a que promueven en el alumno su capacidad de anlisis de las mismas al buscar las relaciones y propiedades que estn dentro de su construccin. La construccin de figuras por s misma no slo es un propsito de la enseanza de la Geometra sino que, adems, constituye un medio para que los alumnos sigan explorando y profundizan-do en los conocimientos que ya tienen e incluso construyan otros nuevos. Asimismo, las actividades de construccin o reproduccin de una figura per-miten seguir desarrollando la habilidad para argumentar:

Por ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las razones por las que un trazo en particular es vlido o no, tomando como base las propiedades de dicha figura.16

De ah la gran importancia que tiene promover entre los alumnos el uso conti-nuo de los instrumentos geomtricos: regla, escuadras, comps y transporta-dor. Dichos instrumentos constituyen una herramienta indispensable en la en-seanza de la Geometra y es necesario desarrollar en los alumnos su destreza para utilizarlos y sus habilidades de dibujo.

Al pedir a los alumnos que, usando sus instrumentos geomtricos, repro-duzcan una figura tendrn que identificar las figuras involucradas y la manera en que estn relacionadas dentro de la configuracin completa, con lo cual estarn desarrollando su habilidad de visualizacin. Al reproducir una figura los alumnos practican el trazo de paralelas, perpendiculares, circunferencias (con determinado centro y radio), etctera.

Entre las actividades que desarrollan las habilidades de dibujo y la imagi-nacin espacial estn aqullas en las que, con un cuerpo geomtrico dado, el estudiante tiene que trazar el desarrollo plano (molde o patrn) que permite construirlo.

Existen diferentes maneras de trabajar y presentar una serie de pasos para llevar a cabo una construccin geomtrica; a continuacin se muestran algunas:


Promover entre los alumnos el uso continuo de los instrumentos geomtricos: regla, escuadras, comps y transportador.



60

a) Se da la serie de instrucciones y se ilustran, el alumno las lleva a cabo apo-yndose tanto en la lectura como en las ilustraciones. Por ejemplo, la si-guiente es una serie de pasos para construir un tringulo equiltero que mide 2.5 de cada lado.

Se traza un segmento de 2.5 cm (sus extremos pueden nombrarse A y B):

Se traza una circunferencia con centro en A y radio AB:

Se traza otra circunferencia con centro en B y radio AB. Se nombra C a uno de los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias:

A B

61

I. Ensear Geometra

Se une C con A y con B. El tringulo obtenido es equiltero:

b) Se da una serie de pasos para una construccin geomtrica, el alumno los lleva a cabo apoyndose slo en el texto escrito. Por ejemplo, las siguientes son las instrucciones para trazar dos rectas perpendiculares:

Traza una recta.Con el comps traza dos circunferencias que tengan su centro en diferen-tes puntos de la recta y que se corten entre s.Encuentra los dos puntos de corte de ambas circunferencias.Traza la recta que pase por estos dos puntos.17

c) Se dan los pasos de una construccin geomtrica ilustrndolos y los alumnos

tienen que reproducirlos y/o redactar lo que se hace en cada paso. Por ejem-plo, la siguiente es una secuencia de pasos para trazar dos rectas paralelas:

17 S. Garca y D. Block (2006), Fractal 2, p. 36.

1



62

d) Se da la figura resultante de todo un trazo y el alumno tiene que reproducirlo o redactar la serie de pasos para llegar a esa figura. Por ejemplo, cuando se traza un cuadrado inscrito en una circunferencia se obtiene, como resultado final, la siguiente figura:

2

3A

B

63

I. Ensear Geometra

Las anteriores son slo algunas de las formas en que pueden traba-jarse las actividades de construccin haciendo uso de los instrumentos geomtricos.

Los ejercicios en los que los alumnos tienen que uti-lizar sus instrumentos geomtricos, adems de que les permiten desarrollar conjuntamente muchas habilidades propias de la Geometra, tambin son propicias para que construyan nuevos conocimientos.

Por ejemplo, actividades como la nmero 7 de la p-gina 64 permiten que los alumnos construyan conoci-mientos; en este caso observarn que una terna de me-didas necesita reunir ciertas propiedades para que con ellas se pueda trazar un tringulo. Para el caso de los la-dos, se darn cuenta de que la suma de dos lados siem-pre es mayor que el tercer lado; para el de los ngulos, que la suma de las tres medidas debe ser igual a 180. En cualquier otro caso no podrn obtener tringulos.

Una vez que se ha realizado la construccin en algu-na de las formas anteriormente mencionadas, o en cual-quier otra, tambin se puede trabajar esa actividad como una tarea de demostracin: que los alumnos argumenten por qu la secuencia de pasos descrita efectivamente da como resultado la figura que se pide, es decir, por qu puede garantizarse que el tringulo construido en el inciso a) es realmente equiltero? O bien, por qu la figura del inciso d) es un cuadrado? Dar respuesta a estas preguntas permite que los alumnos desarrollen su capacidad para argumentar y hacer deducciones lgicas, lo que constituye parte esencial de las Matemticas en general y de la Geometra en particular.



64

Actividades

Utilice sus instrumentos geomtricos para reproducir la siguiente figura (pue-de ser del tamao que desee):

1.

Construya tringulos cuyos lados midan: 6 cm, 6 cm, 8 cm 6 cm, 8 cm, 10 cm Siga el procedimiento del inciso b) de la pgina 61 y verifique que, efectiva-mente, se obtienen rectas perpendiculares.Redacte una secuencia de instrucciones para que un alumno trace un rec-tngulo de base 6 cm y altura 4 cm.Busque en libros secuencias de instrucciones escritas y llvelas a cabo.Escriba las instrucciones para realizar la secuencia de trazos del inciso c) de la pgina 61.Tringulos imposibles. Utilice sus instrumentos geomtricos para construir, en cada caso, un tringulo que cumpla con las medidas indicadas y descu-bra cules medidas no permiten obtener tringulos.

2.

3.

4.

5.6.

7.

6

I. Ensear Geometra

a) Lados: 5 cm, 6 cm, 8 cm 2 cm, 2 cm, 4 cm 7 cm, 3 cm, 2 cm 9 cm, 6 cm, 8 cm b) ngulos: 60, 80, 40 90, 50, 40 10, 20, 60 25, 40, 30 Trabaje sus habilidades de dibujo utilizando sus instrumentos geomtricos para trazar, en una hoja blanca, un cuadrado cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.Imagine un cilindro apoyado sobre uno de los crculos que sirven de base. Dibuje cmo se vera de frente y cmo se vera por arriba.

a) Trace el desarrollo plano para hacer un lapicero en forma de cilindro que mida 3.5 cm en el radio de su base y 12 cm de altura.

3.4. Habilidades de razonamiento

Al aprender Matemticas, los alumnos desarrollan su razonamiento, es decir, aprenden a razonar. Esto es particularmente cierto para el caso de la Geometra, con cuyo estudio se pretende desarrollar habilidades de razonamiento como:

La abstraccin de caractersticas o propiedades de las relaciones y de los conceptos geomtricos.Argumentar.Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo. Seguir una serie de argumentos lgicos.Identificar cundo un razonamiento no es lgico.Hacer deducciones lgicas.

A pesar de que tradicionalmente la Geometra ha sido considerada como el prototipo de una disciplina deductiva (sus demostraciones son deductivas porque algunas propiedades se demuestran o derivan a partir de otras ya de-

8.

9.



66

mostradas o aceptadas como verdades), en la enseanza es conveniente usar la induccin para elaborar conjeturas o construir conceptos.

Actividades

Juanito observa los siguientes rectngulos y deduce: las figuras con dos lados cortos y dos largos son rectngulos. Es correcta su deduccin?, por qu? Qu otras figuras tienen dos lados largos y dos cortos y no son rectngulos?

1.

Lety traza un eje de simetra a cada una de las siguientes figuras. Al ana-lizarlas deduce que: si un segmento divide a una figura en dos tringulos iguales, entonces el segmento es eje de simetra de la figura. La deduc-cin de Lety es correcta? Argumente su respuesta.

2.

6

I. Ensear Geometra

Carlos traza las tres alturas de los siguientes tringulos:3.

Y deduce que: las tres alturas de un tringulo se cortan en un punto. El punto siempre est dentro del tringulo. Son correctas sus deducciones? Argumente su respuesta a partir de un contraejemplo, es decir, d un ejemplo que muestre que estas deducciones no siempre se cumplen.

3.5. Habilidades de aplicacin y transferencia

Como su nombre lo indica, con las habilidades de aplicacin y transferencia se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido no slo a otros contextos, al resolver problemas dentro de la misma Geometra, sino tambin que modelen geomtricamente situaciones del mundo fsico o de otras disci-plinas.

Algunos investigadores consideran que la comprensin en Geometra se ha dado slo si los alumnos son capaces de aplicar el contenido aprendido a problemas nuevos, es decir, a problemas diferentes a los que inicialmente fueron presentados.

La transferencia puede darse de varias maneras. Puede ser que el alumno transfiera el contenido aprendido en Geometra para resolver otra tarea que tam-bin pertenece al mbito matemtico, como el lgebra; o bien, que transfiera lo aprendido en Geometra a una tarea que pertenece a otra rea del conocimien-to, como la fsica, en cuyo caso se habla de la aplicacin de las Matemticas.



68

Se puede llevar an ms lejos: cuando el alumno transfiere lo aprendido en Geometra a un problema de carcter no matemtico de otra asignatura o de la vida misma, en este caso se dice que la enseanza de la Geometra ha cum-plido su valor formativo: el alumno razona en terrenos distintos a como lo hace cuando se enfrenta a una tarea geomtrica, por ejemplo, al tratar de convencer a otros utiliza una serie de argumentos estructurados lgicamente.

Actividades

1. Trabaje sus habilidades de aplicacin: vuelva a leer los conceptos de me-diatriz que se mencionaron en el apartado de Tareas de conceptualizacin y trate de usar ese conocimiento para resolver el siguiente problema.

Los puntos representan tres unidades habitacionales:

B

C

A

Se va a construir un centro comercial y se desea que est a la misma distancia de las tres unidades. Identifique con un punto el lugar donde se tendra que construir el centro comercial. Haga la construccin en su cuaderno.

2. Busque o disee actividades en las que se trabajen, al menos, cada una de las habilidades descritas.

3. Identifique las lecciones de Geometra de un libro de texto y analice cules de las habilidades mencionadas se trabajan en cada una.

6

I. Ensear Geometra

4. Los niveles de razonamiento geomtrico

La teora de los niveles de razonamiento fue propuesta por un matrimonio holands de apellido Van Hiele, por lo que se conoce como la teora de Van Hiele.

El modelo Van Hiele est formado por dos partes, que son los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje; para el presente trabajo slo se to-marn como marco conceptual los primeros. A continuacin se sealan los niveles de razonamiento y, de manera general, los principales rasgos que presenta un estudiante en cada nivel.

Nivel 1. Reconocimiento (o descripcin): percibe los objetos en su totalidad y como unidades; describe los objetos por su aspecto fsico y los clasifica con base en semejanzas o diferencias fsicas globales entre ellos; no reconoce explcitamente las componentes y propiedades de los objetos. Un estudiante de este nivel es capaz de identificar que la siguiente figura es un cuadrado, pero no sabe ms acerca de l.

Nivel 2. Anlisis: percibe los objetos como formados por partes y dotados de propiedades, aunque no identifica las relaciones entre ellas; puede describir los objetos de manera informal mediante el reconocimiento de sus componen-tes y propiedades, pero no es capaz de hacer clasificaciones lgicas; deduce nuevas relaciones entre componentes o nuevas propiedades de manera infor-

El modelo Van Hiele est formado por los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje.



0

mal a partir de la experimentacin. Un estudiante de este nivel puede enumerar algunas caractersticas de un cuadrado:

Tiene dos pares de lados paralelos.Tiene cuatro ngulos y los cuatro son rectos.

Nivel 3. Clasificacin (o abstraccin): realiza clasificaciones lgicas de los objetos y descubre nuevas propiedades con base en propiedades o relacio-nes ya conocidas y por medio de razonamiento informal; describe las figuras de manera formal, es decir que comprende el papel de las definiciones y los requisitos de una definicin correcta; entiende los pasos individuales de un razonamiento lgico de forma aislada, pero no comprende el encadenamiento de estos pasos ni la estructura de una demostracin; no es capaz de realizar razonamientos lgicos formales, ni siente la necesidad de hacerlos. Por ese motivo, tampoco comprende la estructura axiomtica de las Matemticas. Un estudiante de este nivel no tiene dificultad en aceptar que el cuadrado es, al mismo tiempo, un rectngulo (por tener ngulos rectos y dos pares de lados opuestos paralelos) y un rombo (por tener lados iguales y dos pares de ngu-los opuestos de igual medida).

1

I. Ensear Geometra

Nivel 4. Deduccin (o prueba): es capaz de realizar razonamientos l-gicos formales; comprende la estructura axiomtica de las Matemticas; acepta la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas (definiciones equivalentes, etctera). Un estudiante de este nivel puede de-mostrar que las diagonales de un cuadrado son iguales, siguiendo un razo-namiento deductivo.

Hiptesis: ABCD es un cuadrado.Tesis: AC = BD

Demostracin:AB =DC por ser lados de un cuadrado.BC = BC por ser lado comn.ngulo B = ngulo C = 90 por ser ngulos de un cuadrado.ABC = BCD por LALAC = BD por ser lados correspondientes de tringulos con-gruentes.

El modelo propuesto por los Van Hiele considera un nivel ms, cuyas ca-ractersticas son: capacidad para manejar, analizar y comparar diferentes Geometras, cuestiones que no se toman en cuenta en los contenidos del cu-rrculo de Educacin Bsica, adems de que en diversas investigaciones no es considerado porque estas caractersticas se encuentran en matemticos profesionales y estudiantes de nivel superior.

El propsito de mencionar en este trabajo los niveles de Van Hiele no es que es docente clasifique a sus alumnos y trate de ubicar a cada uno en el nivel en que se encuentra. Lo que se desea mostrar es el hecho de que el ra-zonamiento geomtrico evoluciona desde niveles muy elementales de reco-nocimiento e identificacin de las figuras geomtricas hasta el desarrollo de razonamientos deductivos y que si un docente insiste en preocuparse porque sus alumnos slo aprendan a identificar las figuras geomtricas con sus nom-bres (e incluso definiciones) est condenndolos a mantenerse en un nivel muy elemental del pensamiento geomtrico.

!

" #

$



2

En resumen, se ha expuesto que hay diferentes tipos de tareas que pueden trabajarse con los alumnos en la clase de Geometra:

Y que se esperara que los maestros tuvieran en cuenta esto cuando eligen o disean las actividades que piensan trabajar con los alumnos. Tambin es importante considerar que, aunado a los contenidos geomtricos, deben de-sarrollar habilidades a travs de las tareas propuestas:

#ONCEPTUALIZACIN

)NVESTIGACIN

$EMOSTRACIN

4!2%!3

DE!PLICACINO

TRANSFERENCIA

DE$IBUJO

,GICASYDE

RAZONAMIENTO

6ISUALESDE#OMUNICACIN

(!"),)$!$%3

Por ello, al momento de elegir las actividades a realizar es importante que se reflexione no slo sobre el contenido que est en juego sino tambin en las habilidades que se podrn desarrollar en los alumnos.

3

I. Ensear Geometra

Finalmente, segn los esposos Van Hiele, las personas desarrollan ciertos niveles de razonamiento geomtrico:

!NLISIS

#LASIFICACIN

$EDUCCIN

.)6%,%3

2ECONOCIMIENTO

Lo hasta aqu expuesto no constituye un recetario de lo que se debe hacer en clase; su propsito principal es que el docente reflexione y tome concien-cia de la riqueza que encierra la enseanza de la Geometra, que considere el hecho de que va mucho ms all de la simple transmisin o explicacin de trminos geomtricos y, sobre todo, que cuente con ms herramientas que le permitan enriquecer sus clases y, por lo tanto, el aprendizaje de sus alumnos.

La Geometra en el aula

II

Es correcto, pregunto, es incluso prudente, aburrirse a s mismo y aburrir a los estudiantes.

Goethe

1. El enfoque de resolucin de problemas en la enseanza de la Geometra

Las tendencias actuales sobre enseanza de la matemtica promueven su aprendizaje mediante la resolucin de problemas: resolver problemas constitu-ye no slo la finalidad de ensear Matemticas sino tambin un medio a travs del cual los alumnos construyen conocimientos matemticos. Acorde con este enfoque, se sugiere que la enseanza de la Geometra gire en torno a la resolu-cin de problemas que impliquen el uso de relaciones y conceptos geomtricos. Los problemas deben ser lo suficientemente difciles para que realmente cons-tituyan un reto para los alumnos y lo suficientemente fciles para que cuenten con algunos elementos para su resolucin.

Una situacin problemtica es aqulla en la que se desea obtener un re-sultado pero no se conoce un camino inmediato para obtenerlo, en este senti-do la concepcin de problema es relativa: lo que para unos alumnos puede re- sultar un problema para otros ya no lo es si cuentan con un camino para su resolucin. La concepcin de un problema como una situacin de aprendizaje es muy amplia, los siguientes son ejemplos de problemas en Geometra:

Armar un rompecabezasHacer el croquis del camino de la casa a la escuelaCalcular el nmero de diagonales de un polgono cualquieraCalcular la altura de un poste (sin medirlo)Hallar el nmero de vrtices de un poliedro a partir de su desarrollo planoImaginar el resultado de girar un cuerpo geomtricoImaginar el cuerpo geomtrico que se forma con cierto desarrollo plano.

Se sugiere que la enseanza de la Geometra gire en torno a la resolucin de problemas de relaciones y conceptos geomtricos.



8

Este enfoque supone un modelo de clase muy diferente a aquel en el que se acostumbra mostrar un concepto geomtrico o dar una explicacin de los contenidos para despus aplicarlos a problemas. Se trata ahora de realizar tareas que lleven a los estudiantes a experiencias ms significati-vas: visualizar, explorar y analizar, abstraer propiedades, clasificar, elaborar conjeturas y tratar de validarlas. Por ejemplo, considrese la siguiente ac-tividad. Se le da al alumno la siguiente informacin:

1. Es una diagonal

5. Es una diagonal 7. Es una diagonal 8. Es una diagonal

9. Es una diagonal 11. Es una diagonal 12. Es una diagonal

2. No es una diagonal 3. No es una diagonal 4. No es una diagonal

6. No es una diagonal

10. No es una diagonal

En esta parte de la actividad los alumnos visualizan las figuras e identifican cul es o no una diagonal.

II. La Geometra en el aula

Qu procesos pone en juego el alumno al tratar de decidir si el segmento rojo es o no es una diagonal de la figura? Ya no slo se trata de visualizar, aho-ra tendr que explorar y analizar cul es la caracterstica principal de una dia-gonal. Empieza entonces un proceso de abstraccin en donde el alumno debe fijarse en qu es lo que se mantiene invariante en las diagonales, qu es lo que determina que el segmento indicado sea diagonal. Empezarn a elaborar conjeturas de lo que es una diagonal, algunas sern falsas o slo se cumplirn en ciertos casos; por ejemplo, las siguientes son definiciones errneas:

Un segmento inclinadoUn segmento que pasa por el centro de la figura Un segmento que une dos ngulos de la figura Un segmento que une dos vrtices de la figuraUn segmento que atraviesa la figura

A partir de la informacin anterior, anota si el segmento rojo es o no es una de las diagonales de la figura.

Despus se le plantea el siguiente problema:



80

Con base en la idea que hayan construido sobre lo que es una diago-nal, podrn clasificar en el segundo grupo de figuras aquellas que tienen sealada la diagonal de las que no lo tienen. Es importante que cuando los alumnos enuncien sus conjeturas acerca de lo que es una diagonal o cuan-do determinen si un segmento es o no diagonal de una figura se les invite a argumentar por qu lo crees as? La argumentacin es una de las com-petencias bsicas que se pretende que los alumnos desarrollen durante su Educacin Bsica.

Una manera de trabajar los problemas consiste, grosso modo, en organi-zar al grupo en pequeos equipos o parejas y plantear el problema; se da el tiempo necesario para que los alumnos interacten y traten de hallar la solu-cin, despus del cual se puede hacer una puesta en comn o confrontacin de resultados de manera grupal en donde algunos equipos, previamente se-leccionados por el maestro, podrn exponer al frente sus procedimientos y resultados.

2. Propuesta para la enseanza: el aula-taller de Geometra

Todo lo expuesto anteriormente implica una enseanza de la Geometra en la que el docente dista mucho de ser un simple transmisor de contenidos geomtricos. Sin descuidar stos, la propuesta es llevar a cabo los diferentes tipos de tareas (conceptualizar, investigar, demostrar) en las que se trabaje el desarrollo de las habilidades mencionadas (visualizacin, de dibujo, comuni-cacin, razonamiento lgico y transferencia), considerando los diferentes ni-veles de razonamiento geomtrico propuestos por Van Hiele (reconocimiento, anlisis, clasificacin y deduccin); todo ello bajo el enfoque de resolucin de problemas.

Tambin se dijo que el punto de partida para el aprendizaje de la Geometra es el entorno fsico: en esta disciplina el uso de material concreto (sobre todo en los primeros grados de escolaridad) cobra particular impor-tancia al constituirse en un primer acercamiento hacia los diferentes grados de abstraccin que se espera que los alumnos alcancen; sin embargo, es necesario mencionar que se debe ser muy cauteloso en la utilizacin de este material, pues debe estar supeditada a actividades que realmente con-

El docente dista mucho de ser un simple transmisor

de contenidos geomtricos.

81


duzcan a un aprendizaje adecuado de los contenidos geomtricos y al desarrollo de las habilidades geom-tricas mencionadas. El uso de material concreto, por s mismo, no garantiza un aprendizaje significativo, se requiere que el profesor tenga un propsito especfico para que la actividad que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al aprendizaje de conte-nidos geomtricos. Al utilizar material concreto se debe estar alerta de que realmente se use bajo el enfoque de resolucin de problemas.

El aula-taller de Geometra o aula-laboratorio se con-cibe como un espacio en el donde el alumno se hace responsable de su propio aprendizaje y el maestro es quien:

Elige, adapta o disea las actividades a trabajar.Organiza al grupo.Indica las consignas de las actividades a trabajar o problemas a resolver.Observa a los alumnos mientras trabajan, auxiliando a los que no hayan en-tendido lo que se tiene que hacer, dando pistas a los que hayan entendido pero requieren algo de ayuda; claro est, siempre sin solucionarles los pro-blemasDirige la confrontacin grupal o puesta en comn de resultados y procedi-mientos.Cierra la actividad institucionalizando o formalizando los contenidos geom-tricos trabajados durante la clase.

2.1. Materiales para construir la Geometra

Existen diferentes materiales que el maestro puede emplear para realizar activi-dades que favorezcan el desarrollo de habilidades geomtricas y la adquisicin de conocimiento geomtrico. A continuacin se presentan algunos ejemplos:



82

a) Tangram. El uso de estos rompecabezas geomtricos desarrolla la visuali-zacin, las habilidades de reproduccin, construccin y comunicacin. Los siguientes son dos ejemplos de ellos:

Algunas actividades que se pueden desarrollar con los tangram son:

Recortar las diferentes piezas del rompecabezas y con ellas armar cuadra-dos, rectngulos, romboides, trapecios, utilizando una, dos, tres, cuatro o ms piezas.Reproducir con regla y comps los rompecabezas.

El trabajo con tangram, entre otras cosas, permite enriquecer la imagen conceptual de las figuras, ya que van apareciendo en diferente posicin y es-tn formados por distintas piezas. Tambin prepara a los alumnos para la de-duccin de las frmulas de las reas, pues construyen la idea de unas figuras que pueden descomponerse o ser formadas por otras.

b) Geoplano. Consiste en un cuadrado de madera al que previamente se le traza una cuadrcula (del tamao deseado) y en cada punto de interseccin de dos lneas de la cuadrcula se clava un clavo dejando una parte de l

83


fuera para que pueda sujetar ligas. Un buen nmero de clavos es 5 x 5 = 25. Con las ligas de colores pueden formarse diferentes figuras geomtricas.

Los usos del geoplano son mltiples, algunos ejemplos de actividades de investigacin son:

Formar en el geoplano un cuadrado, un rectngulo, un tringulo, un trapecio, etctera.Reproducir en el geoplano una figura dibujada en el pizarrn o construida en el geoplano del maestro.Formar en el geoplano todos los segmentos diferentes que puedan cons-truirse (cuando se haya estudiado el teorema de Pitgoras puede pedirse la longitud de cada uno).Formar en el geoplano todos los cuadrados de diferentes tamaos que pue-dan formarse (lo mismo para rectngulos, tringulos rectngulos, etctera).Hallar la figura simtrica con respecto al eje indicado.



84

Formar un polgono irregular y dar las instrucciones oralmente para que otro u otros compaeros formen un polgono idntico y en la misma po-sicin.

c) Doblado de papel. El origami o papiroflexia constituye un excelente recurso para trabajar la Geometra, desde elaborar figuras siguiendo las instruccio-nes dadas por el profesor o por un manual hasta resolver problemas con el doblado de papel. Un problema de investigacin podra ser: por medio de dobleces construir, a partir de un cuadrado, el mayor nmero de figuras geomtricas que tengan diferente nombre (dos tringulos se cuentan por uno solo).

Seguir las instrucciones para hacer una figura de papel tambin desarrolla habilidades de visualizacin y comunicacin.

8


Adems, al hacer los dobleces implcitamente los alumnos estn en con-tacto con diversos conceptos geomtricos: cuadrado, diagonal, tringulo, tringulo rectngulo, etctera.



86

Si lo que se desea es que los estudiantes se apropien del vocabulario geomtrico, la papiroflexia puede trabajarse dando las indicaciones oral-mente o por escrito usando trminos geomtricos y cuestionando a los alumnos sobre las figuras que van obteniendo y sus caractersticas. Por ejemplo:

Tomen un cuadrado:

Dblenlo por una de sus diagonales:

Segn sus lados, qu tipo de tringulo obtienen? Segn sus ngulos, qu tipo de tringulo obtienen?

8


d) Espejos. Ideales para validar o construir figuras simtricas. Si se hace un libro de espejos (dos espejos pegados por uno de sus

ensenanza geometria mexico

Documents