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Enseñanza de los maravillososnúmeros fraccionarios

Reflexiones y recomendaciones para abordar el conceptode fracción y la enseñanza de los fraccionarios en laprimaria. Autor : Tommy Davila U. Asesora pedagógica Fucai enproyectos de la Fundación Promigas

Una de las dificultades de aprendizaje más comunes en la primaria se da en laconstrucción del concepto de fracción y entre las causas está la manera deabordar su enseñanza. En este artículo queremos presentar a los docentes,algunas consideraciones sobre la enseñanza de los maravillosos númerosfraccionarios, o como muchos llaman “números de medir”; en dónde y por quése originaron; y cómo abordar su enseñanza en la primaria, para superar losobstáculos en su aprendizaje.

Origen de los fraccionarios

Así como los números naturales, los números fraccionarios, tienen su origen en

las primeras civilizaciones, Babilónica y Egipcia, donde el modo de vida erafundamentalmente agrícola y surgen por necesidad de medir las diferentesmagnitudes, longitud, y área de los terrenos, tiempo, volumen. Esto conlleva acrear los números fraccionarios como herramienta para expresar los resultadosde las mediciones y poder operar con ellas.

El paso del número natural al número racional (incluido los fraccionarios)implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad demedida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se

desea medir, o en las que es necesario expresar una magnitud en relación conotras magnitudes

El profesor Carlo Federici llamaba a los números naturales “cardinalespropietivos”, porque nos dan la propiedad del conjunto que se llama“numerosidad” o “cardinalidad”.



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A los números fraccionarios que muchos, entre ellos el Matemático EduardoVasco Uribe, llaman “números de medir”, Federici llamaba los “cardinalesrelativos”, porque nos dan las relaciones multiplicativas entre cantidades de lasdistintas magnitudes, como entre longitudes, áreas, pesos, masas.

Importancia de la enseñanza de los números fraccionarios en primaria

Las fracciones son importantes en el currículo de primaria por razonesculturales y formativas. Culturales, ya que las fracciones están presentes en lasoperaciones y actividades cotidianas en el comercio, la industria, los bancos yla administración pública. Como ejemplos tenemos: “medio kilo de..., trescuartos de hora, la ropa se encuentra a mitad de precio.” Y formativa, porque elaprendizaje de estas permite un mejor acceso a los futuros conocimientos quese obtendrán al continuar con los estudios en diversos campos del saber queinvolucran al concepto de fracción.

Al respecto Eduardo Vasco en la ponencia “ Problemas y retos de la educaciónpor competencias en las matemáticas de 5º grado” incluida en el libro Losfraccionarios en primaria: retos, experiencias didácticas y alianzas paraaprender matemáticas con sentido , opina que:

“Los números de medir van a aparecer por todas partes en la técnica, latecnología, las facturas de la energía y los demás servicios públicos, la subidadel sueldo o del arriendo, el descuento en el almacén, el producto per cápita, lareforma tributaria, las encuestas electorales, la elección de los congresistas, yhasta la corrupción y los desfalcos.

Si nuestros estudiantes no saben manejar eficientemente los sistemassimbólicos operatorios con los racionales, menos los van a poder utilizar conotros sistemas numéricos más refinados. Más aún, si no los saben manejar conlos números racionales, nunca van a poder comprender ni la importancia ni labelleza de la extensión de los números racionales a los reales y a loscomplejos. Tendrían que aprendérselos de pura memoria y por puro

autoritarismo.” (pg. 44)Cómo abordar la enseñanza de las fracciones en primaria

Hasta hace un tiempo, las fracciones se enseñaban, en la perspectiva derelación parte - todo y con cantidades continuas: fracción de una pizza, unchocolate, una torta…. Se trabajaba la unidad continua y se representaba (una



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barra de chocolate entera) dividida en partes iguales (congruentes) Se usabanhojas cuadriculadas para que estas dos características se mantuvieran: “ unúnico todo, dividido en partes iguales”. Después, se seguía con las fraccionespropias e impropias, los números mixtos, las fracciones equivalente y lasoperaciones. Sin embargo a pesar que esta secuencia se desarrollaba desdecuarto de primaria hasta séptimo grado, los estudiantes llegaban a octavo sin

la competencia requerida para el manejo de los números fraccionarios, lo queevidenciaba la ausencia de un aprendizaje significativo.

Esta dificultad detectada en la enseñanza- aprendizaje de las fraccionescondujo investigar sobre su enseñanza-aprendizaje. Algunas de estasinvestigaciones concluyen que es necesario enseñar las fracciones desdediversas situaciones, contextose interpretaciones, como: partidor (relaciónparte-todo), cociente, operador, razón y medidas¸ y desde distintasrepresentaciones. Al respecto los estándares de competencias para el área de

Matemáticas del MENesperan que los estudiantes al terminar quinto gradointerpreten las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición,relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones.

Otro obstáculo detectado para el aprendizaje de las fracciones se da cuando laenseñanza se orienta de manera perceptiva por medio de gráficas, o por mediode representaciones simbólicas, algoritmos o recetas, que el estudianteaprende mecánicamente y pronto olvida. En estos tipos de enseñanza sereemplaza las acciones mentales de los niños y las niñas por lasrepresentaciones gráficas y los problemas verbalizados. Al respecto, Piaget(1985) al hablar sobre la Didáctica de la Matemática expresa que:

“El matemático no acostumbrado a la psicología puede temer en todo ejercicioconcreto un obstáculo para la abstracción, mientras que el psicólogo estáhabituado a distinguir cuidadosamente la abstracción a partir de los objetos(origen de la experiencia física, extraño a la matemática) y la abstracción apartir de las acciones, origen de la deducción y de la abstracción matemática[…] Tampoco hay que confundir lo concreto […] con las presentacionesintuitivas en el sentido de figurativas, ya que las operaciones nacen de lasacciones y no de configuraciones perceptivas o imaginadas. (1985: 58, En:Vilma Pruzzo de Di Pego, 2012:)”

En la mayoría de los casos, estas consideraciones no son tenidas en cuenta,con lo que se enfrenta al niño en las configuraciones perceptivas, sustrayéndolode la acción que le permitiría construcciones operativas. Un ejemplo es cuando



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a partir de un rectángulo y un triángulo dibujados por separado se le pregunta alniño “¿Qué parte es el triángulo del rectángulo?

La parte (triangular) no tiene que estar “metida” en el todo, ni es indispensableque estén señaladas las líneas que ayudan a visualizar cuántos triángulos delos blancos cubren el rectángulo. Por lo tanto, se pide al niño que imagine“desplazamientos” y “rotaciones” de una figura externa en otra. Esta situaciónno tiene presente la observación de Piaget de que la visualización no ayuda a laconstrucción de la noción, la cual depende de la acción que luego se interiorizaen operación.

Por lo tanto este problema no se debería presentar a través de imágenes sinoque se debería construir a partir de la acción de superponer un triángulorecortado sobre la superficie del cuadrado. El “ejercicio operatorio” le permitiríainteriorizar la acción con lo que luego podría operar con desplazamientos defiguras. Pero el desconocimiento de estos fundamentos pedagógicos de laenseñanza hace que las docentes enseñen usando directamente esos gráficos.En consecuencia, acogiéndonos al planteamiento de Piaget el aprendizaje delas fracciones se debe orientar a partir de la acción sobre los objetos para quepermita interiorizar la acción y de esta manera, posteriormente, se podrá operaren las diferentes situaciones.

Por otra parte la complejidad del concepto de fracción, conlleva abordarlodesde los inicios de la primaria y permitir la construcción progresiva de este,

cada vez hacia mayores niveles de complejidad.Llinares y Sánchez, afirman por la complejidad del concepto de fracción noconviene abordarlo desde la enseñanza en forma simultánea, , por lo queplantean la siguiente secuenciación de contenidos, donde Las primerasactividades deben estar dirigidas únicamente a que:

los niños puedan identificar la unidad; realicen divisiones congruentes;

cuenten el número de partes en que se divide el todo, y descubran que el número de divisiones no da el número de partes, ni porlo tanto la fracción. Los niños tienen dificultades inicialmente en relación aeste aspecto (LLinares y Sánchez, 1997:99).

Según Vasco: Para la competencia en el manejo de los números de medir en lavida real hay que trabajarle mucho a la medición, a las magnitudes, a lascantidades de cada magnitud, a las unidades, a los instrumentos y técnicas de



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medir. A eso lo llamamos en los lineamientos “el pensamiento métrico”. Elpensamiento matemático que llamamos “pensamiento numérico” tiene que vercon los números de contar de 1º a 7º; pero de 4º a 9º hay que trabajarconjuntamente el pensamiento numérico, el espacial y el métrico, porque esosson los que se necesitan para el uso flexible y eficaz de las matemáticas en lasolución de los problemas de la vida real. Algunos datos de los problemas

pueden aparecer en números de contar o en números de medir, pero losresultados van a aparecer casi siempre en números de medir. (En: Arteta yEscudero, 2012: 44)

Al respecto, los estándares de primero a tercero, dados por el Ministerio deEducación Nacional, esperan que los niños al terminar tercero: describansituaciones de medición utilizando fracciones comunes.

Comprensiones que los estudiantes requieren para construir el concepto defracción

Reconceptualizar el concepto de unidad que se trabaja en los númerosnaturales, donde la unidad siempre es una unidad simple, un todo continuo,mientras que en los números fraccionarios la unidad puede ser un todocompuesto por otras unidades. Esto se logra trabajando el todo continuo (unrectángulo o una pizza) y el todo discreto (un conjunto de dulces o de flores).

Dividir el todo (la unidad continua o discreta) en partes exactamente iguales, yaque en el lenguaje cotidiano muchas veces utilizan términos propios dellenguaje matemático de las fracciones, sin embrago estos no guardan unarelación estrecha, por eso cuando dice : “me comí media manzana ”, no quieredecir que necesariamente se haya realizado una partición exacta en dos partesiguales.

Contar el número de partes en que se divide el todo.

Identificar que el número de divisiones del todo no da el número de partes, ni

por lo tanto la fracción.Identificar que si se divide el todo (unidad) en partes iguales, al unir las partesforman el todo, es decir el todo se conserva aunque sea dividido en partes.

Lo anterior se recomienda comenzar a trabajarlo desde preescolar.

Comenzar en 1° a trabajar, en situaciones de medición, la necesidad defraccionar la unidad de medida en partes iguales.



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Establecer la relación cuantitativa (en este caso multiplicativa) entre la cantidadde magnitud de la unidad y la cantidad de magnitud de la parte, ya quegeneralmente, se hace énfasis en la partición y el conteo, centrándose en elnúmero de partes que representa el numerador y el denominador.

Basar la partición en la medida de la magnitud ya que la basan en procesosvisuales que privilegian la congruencia geométrica entre las partes, lo quedificulta las relaciones cuantitativas entre áreas con diferentes formas.

Interpretar la fracción como una relación entre dos cantidades o magnitudes, yaque generalmente se interpreta como dos cantidades separadas por una raya;como una consecuencia de esto identifican que ¼ e mayor que ½ ya que 4 esmayor que 2 o al sumar suman numerador con numerador y denominador condenominador

Permitir a partir de 3°el realizar relaciones de equivalencia, orden y operacionesa partir de la acción sobre los objetos que le permita al estudiante interiorizar laacción con lo que posteriormente podría operar en las diferentes situaciones demanera gráfica y simbólica. Al respecto los estándares esperan que unestudiante de tercero: reconozca y genere equivalencias entre expresionesnuméricas y describa cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual.

Usar material concreto para recrear situaciones problemas usando la fracción

como: medida, partidor (relación parte-todo), cociente, operador y razón. Alrespecto los estándares espera que al terminar 5°los estudiantes interpreten lasfracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones partetodo, cociente, razones y proporciones.

Haciendo uso de la relación de equivalencia identificar representar lasfracciones decimales y los porcentajes. Al respecto los estándares esperan quelos estudiantes de 5°utilicen la notación decimal para expresar fracciones endiferentes contextos y relacionar estas dos notaciones con la de losporcentajes.Presentar situaciones que conlleven la interpretación de las fracciones endiferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente,razones y proporciones.



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Sobre los diferentes significado de las fracciones

La fracción como relación multiplicativa parte-todo (un todo continuo odiscreto) , se interpreta como un número que expresa la relación cuantitativa

entre una cierta cantidad de magnitud tomada como unidad (todo) y otracantidad de magnitud tomada como parte. La fracción que vincula la parte conel todo , va encaminada a responder la pregunta ¿qué parte es? Constituye lainterpretación más intuitiva y natural para los niños y además es la base paracomprender las demás interpretaciones y además es un camino natural ointuitivo, para la conceptualización de algunas propiedades (como la queconduce a la denominación “fracción propia” e “impropia”), algunas relaciones(como la de equivalencia), y algunas operaciones (como la suma y la resta.

La fracción como cociente indicado , es el resultado de repartir equitativamenteuno o varios objetos entre un número de personas o partes. En este caso lafracción aparece en un contexto de reparto. Aquí la fracción da respuesta a lapregunta ¿cuánto le corresponde a cada uno? La fracción como cocientelleva al concepto de número decimal y está relacionada con otrasinterpretaciones de las fracciones como la recta numérica o las razones.

La fracción como medida: aparece cuando se desea medir una determinadamagnitud, en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces enla magnitud que se quiere medir. La conceptualización de la fracción como

medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fracción a/b es a veces 1/b y que la fracción como medida lleva, en forma natural o intuitiva, a lamultiplicación de un natural por una fracción de la forma 1/b y a resolver conmayor habilidad sumas y restas de fracciones y relacionarlos con otrasrepresentaciones como lo son los números decimales.

La fracción como razón: se utiliza para indicar una comparación entre doscantidades de una misma magnitud o de magnitudes diferentes. En este casose comparan dos totalidades. La pregunta importante en este caso es: ¿ en qué

relación están ? Se comprueba que la fracción como razón lleva intuitivamentea la relación de proporcionalidad y al concepto de probabilidad de un evento yde porcentaje.

La fracción como operador: Bajo esta interpretación, las fracciones se vinculancon el papel de transformaciones, es decir, “algo que actúa sobre una situación(una parte, un grupo o un número) y la modifica. Así, la fracción n/a se puede



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interpretar como una composición de dos operadores: uno que amplifica ( xn ) yuno que reduce ( 1/a ); Se identifica que las fracciones propias son reductoras ylas impropias amplificadoras. También que La fracción que vincula, comooperador la parte con el todo, va encaminada a responder la pregunta ¿quécantidad es? , ¿cuánto es?

Conclusión

El maestro, como uno de los agentes responsables del proceso de enseñanza-aprendizaje, está comprometido a tener conocimientos disciplinares ymetodológicos acerca de las fracciones.

Es necesario superar la enseñanza mecánica de las fracciones por el contrarioy abordarla desde diversos contextos significativos (juegos o situaciones de suentorno e interés), tal como lo proponen los Lineamientos Curriculares,

Matemáticas (MEN, 1998), de manera que impliquen a los niños una adecuadaexperiencia con las diferentes interpretaciones, que les permita comprender losdistintos significados, sus relaciones y operaciones, y de esta maneraprogresen en la construcción del concepto.

A través del análisis y las soluciones de tales situaciones, realizando en uninicio acciones sobre los objetos, los estudiantes irán construyendointuitivamente, además, de los diferentes significados de las fracciones, lasrelaciones y operaciones existentes entre ellos, y sus propios procesos de

solución. A los procedimientos algorítmicos se debe llegar como síntesis ogeneralizaciones de los procesos personales de los estudiantes, de ahí laimportancia que se debe dar a los procesos que los niños utilizan parasolucionar las situaciones planteadas, encauzándolos para que al final delcamino se puedan comprender las reglas del cálculo algorítmico como síntesiso generalización de los procesos utilizados.

Referencias bibliograficas

Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares básicos decompetencias. Bogotá: Magisterio.

Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares:Matemáticas. Bogotá: Magisterio.



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Judith Arteta Vargas ; Rafael Escudero Trujillo … [et al.]. “ Los fraccionarios enprimaria: retos, experiencias didácticas y alianzas para aprender matemáticascon sentido” / ed.,– Barranquilla: Editorial Universidad del Norte, 2012:

Vilma Pruzzo de Di Pego, “Las fracciones: ¿problema de aprendizaje oproblemas de la enseñanza?”, documento, en la Revista Pilquen, SecciónPsicopedagogía. 2012 , Año XIV, Nº 8,

Llinares, S., (2003). Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid:Pearson Educación S.A.

Piaget, Jean. “Psicología de la Primera Infancia” en Katz, Psicología yPedagogía. Buenos Aires: Sudamericana-Planeta. 1985.

Acevedo, Myriam. (2003). Los Procesos en la propuesta de estándares básicosde calidad. En: Quinto Encuentro Colombiano de Matemática Educativa.Memorias. Memorias. Bogotá. Ed. Gaia. MINISTERIO DE EDUCACIÓN

NACIONAL. (1998). Ávila, A., y Mancera, E. (1989). La fracción: una expresión difícil de interpretar.En Pedagogía. Revista de la Universidad Pedagógica Nacional, 6.

Vergnaud, Gerard (1990). "La teoría de los campos conceptuales. EN: Lecturasde didáctica de las matemáticas, escuela francesa. Compilación de ErnestoSánchez y Gonzalo Zubieta. 1993.

Barrantes, Hugo. (2011), “ La teoría conceptual de Gérard Vergnaud ”.

Recuperado Noviembre 18 de 2011 de:www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/pena_2006.pdf

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