ELG3575

Modulation d’angle

Introduction à la modulation d’angle

• Pour la modulation d’angle, l’amplitude de la porteuse est gardée fixe pendant que l’angle de l’onde porteuse varie en fonction du signal d’information.

• Pour la modulation d’angle, le processus qui transforme le signal d’information en signal modulé est un processus non-linéaire.

• Ceci rend difficile l’analyse des signaux employant ce type de modulation.

• Cependant, sa modulation et démodulation ne sont pas compliquées à réaliser.

Angle de la porteuse

• Supposons que i(t) représente l’angle instantanée du signal modulé.

• Nous exprimons le signal modulé par :

• où Ac est l’amplitude de la porteuse.

)(cos)( tAts ic

Fréquence instantanée

• Un cycle de l’onde arrive quand i(t) change par 2 radians, alors, la fréquence moyenne de l’onde s(t) sur l’intervalle t à t+t est :

• La fréquence instantanée, fi(t), du signal modulée est la fréquence moyenne dans la limite où t tend vers 0.

t

tttf iit

2

)()(

dt

tdtf i

i

)(

2

1)(

La modulation de phase et la modulation de fréquence

• Il y a deux techniques de modulation d’angle. • Le premier est la modulation de phase (« phase modulation » - PM) et

le deuxième est la modulation de fréquence (« frequency modulation » - FM).

• Pour la modulation de phase, la phase de la porteuse est une fonction linéaire du signal d’information, m(t). Alors le signal modulé, sPM(t), est :

• où kp est la sensibilité de phase et c est la phase de la porteuse non modulée.

• Pour simplifier l’expression, nous supposons que c = 0. Alors, l’angle instantanée du signal modulé est i(t) = 2fct + kpm(t).

cpccPM tmktfAts )(2cos)(

• Pour la modulation de fréquence, la fréquence instantanée varie en fonction linéaire du signal d’information. Alors pour un signal FM, la fréquence instantanée est donnée par :

• où kf est la sensibilité de fréquence.

)()( tmkftf fci

t

fc

t

ii dmktfdft )(22)(2)(

t

fccFM dmktfAts )(22cos)(

Fréquence instantanée d’un signal PM / Phase instantanée d’un signal FM

• De l’expression d’un signal PM, on trouve que

• De l’expression d’un signal FM

dt

tdmkftf

pcPMi

)(

2)(

t

fFMi dmkt )(2)(

m(t) d/dt kp/2kf ModFM

sPM(t)

m(t) ∫ 2kf/kp ModPM

sFM(t)

Exemple

• Trouvez les expressions des signaux PM et FM pour m(t) = Acos(2fmt).

– SOLUTION

tfAktfAts mpccPM 2cos2cos)(

tff

AdfA m

m

t

m

2sin2

2cos

tff

AktfAts m

m

fccFM 2sin2cos)(

• Les signaux PM et FM de l’exemple sont démontrés ci-dessous pour Ac = 5, A = 1, fc = 1 kHz, fm = 100 Hz, kp = 2 rads/V et kf = 500 Hz/V.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6

-4

-2

0

2

4

6

sPM(t)

sFM(t)

t en secondes

t en secondes

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6

-4

-2

0

2

4

6

sPM(t)

sFM(t)

t en secondes

t en secondes

Les caractéristiques des signaux modulés en angle

Signal modulé en phase

Signal modulé en fréquence

Phase instantanée

i(t)

Fréquence instantanée

Déviation maximum de phase max

où

Déviation maximum de frequence fmax

où

Puissance

)(tmk p t

f dmk0

)(2

dt

tdmkf

pc

)(

2 )(tmkf fc

max|)(| tmk pmax|)(|2 txk f

t

dmtx )()(

max|)(|2

txk p dt

tdmtx

)()( max|)(| tmk f

2

2cA

2

2cA

Les indices de modulation

• Supposons que m(t) = Amcos(2fmt). Les signaux PM et FM sont :

• Pour le signal PM, nous définissons

• Et pour le signal FM

)2sin(2cos)(

)2cos(2cos)(

tff

kAtfAts

tfAktfAts

mm

fmccFM

mmpccPM

max mpp Ak

mm

mfF f

f

f

Akmax

Les indices de modulation

• Pour n’importe quel signal m(t) qui a une largeur de bande Bm, nous définissons les indices de modulation comme :

maxmax|)(| tmk pp

mm

pF B

f

B

tmkmaxmax|)(|

Exemple

• Le signal m(t) = 5sinc2(10t). Trouvez l’indice de modulation si

1. Nous transmettons m(t) avec la modulation PM pour kp = 0.3 rads/V.

2. Nous transmettons m(t) avec la modulation FM pour kf = 20 Hz/V.– SOLUTION

• |m(t)|max = 5, alors p = 0.3×5 = 1.5 rads.

• Bm = 10Hz, alors F = 20×5/10 = 10.

La modulation FM à bande étroite

• Pour un signal FM donné par :

• nous disons que le signal sFM(t) est un signal FM à bande étroite (« Narrowband FM » - NBFM).

• Par exemple, considérons le cas où m(t) = Amcos(2fmt).

t

fccFM dmktfAts0

)(22cos)(

1)(20

t

f dmk où

)2sin(2cos)(

)2sin(2cos)(

tftfAts

tff

kAtfAts

mFccFM

mm

fmccFM

La modulation FM à bande étroite

• Alors, on dit que le signal FM est un signal NBFM si F << 1.

• L’identité cos(A+B) = cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B). Alors

tfdmkAtfA

dmktfAdmktfA

dmktfAts

c

t

fccc

t

fcc

t

fcc

t

fccFM

2sin)(22cos

)(2sin2sin)(2cos2cos

)(22cos)(

0

00

0

(si A << 1, cos(A) ≈ 1 et sin(A) ≈ A.)

Modulateur NBFM

Accos(2fct)

m(t) t

d0

)(

t

dm0

)(

2kf ×

Trans. Hilbert

++

-

sNBFM(t)

Acsin(2fct)

Accos(2fct)

m(t) t

d0

)(

t

dm0

)(

2kf ×

Trans. Hilbert

++

-

sNBFM(t)

Acsin(2fct)

Spectre d’un signal NBFM

• En supposant que M(0) = 0, le spectre d’un signal FM à bande étroite est :

• M(f-fc) = 0 à f=fc et M(f+fc) = 0 à f=-fc.

• La largeur de bande de sNBFM(t) est alors 2Bm où Bm est la largeur de bande de m(t).

)()()(2

)(2

)( cc

fcc

c

fcc

cc

cNBFM ffM

ff

kAffM

ff

kAff

Aff

AfS