ELG3575

10. La modulation FM à large bande

La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM)

• La modulation FM à bande étroite exige que F << 1.

• Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont considérés d’être la modulation à large bande.

• Cependant, typiquement F > 1

• Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que fmax est plus grande.

• Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.

Signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt et son enveloppe complexe.

• Prenons l’exemple où m(t) = Amcos2fmt.

• Le signal FM est :

tftfAtff

kAtfAts mFccm

m

fmccFM 2sin2cos2sin2cos)(

tftfjcFM

mFceAts 2sin2Re)(

})(~Re{)( 2 tfjFMFM

cetsts

)2sin()(~ tfjcFM

mFeAts

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.

• L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale fm.

n

tnfjnFM

meSts 2~)(~

m

m

mmF

m

m

mmF

f

f

tnftfjcm

f

f

tnfjtfjcmn

dteAf

dteeAfS

2/1

2/1

)2)2sin((

2/1

2/1

2)2sin(~

où

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.

• En remplaçant 2fmt par x, devient

• La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn() est donnée par :

• Alors

nS~

dxe

AS nxxjcn

F )sin(

2

~

dxeJ nxxj

n)sin(

2

1)(

)(~

Fncn JAS

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2fmt.

• Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par

• Et le signal FM est:

n

tnfjFncFM

meJAts 2)()(~

nmcFnc

n

tnftfjFnc

tfjFMFM

tnffJA

eJA

etsts

mc

c

))(2cos()(

)(Re

})(~Re{)(

)22(

2

Le spectre du signal WBFM quand m(t) = Amcos2fmt.

• Le spectre de ce signal est :

• Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm.

• Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie. • Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier

genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM.

• Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.

nmcmcFn

cFM nfffnfffJ

AfS )()()(

2)(

La fonction Jn()

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Jn()

n=0

n=1n=2

n=3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Jn()

n=0

n=1n=2

n=3

Les propriétés de Jn()

Si n est un entier :

Jn() = J-n() pour n paire

et

Jn() =-J-n() pour n impaire

Quand << 1

J0() ≈ 1

J1() ≈ /2

et

Jn() ≈ 0, n > 1

nnJ 1)(2

1)

2)

3)

4) Im{Jn()}=0

Puissance du signal FM

• La puissance d’un signal FM est :

• Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on trouve:

2

2c

FMA

P

nmcFncFM tnffJAts ))(2cos()()(

nFn

c JA

P )(2

22

Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur de bande.

B

f

x(t)

nmcFnc

FM

tnffJA

ts

))(2cos()(

)(

-fc fc

B

f

x(t)

nmcFnc

FM

tnffJA

ts

))(2cos()(

)(

-fc fc

Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0.99× la puissance de sFM(t).

où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations :

X

XnmcFnc tnffJAtx ))(2cos()()(

2

BfXff cmc et

2

BfXff cmc

• La puissance de x(t) est :

• Alors, on doit choisir X pour que :

• On sait que Jn2(F) = J-n

2(F). Alors

X

XnFn

cx J

AP )(

22

2

99.0)(2

X

XnFnJ

99.0)(2)(1

220

X

nFnF JJ

Valeurs de la fonction Jn(). n =0.1 =0.2 =0.5 =1 =2 =3 =5 =10

0 0.997 0.99 0.938 0.765 0.224 -0.2601 -0.178 -0.246

1 0.05 0.1 0.242 0.44 0.577 0.3391 -0.323 0.043

2 0.001 0.005 0.031 0.115 0.353 0.4861 0.047 0.255

3 2×10-5≈0 1.6×10-4 0.0026 0.02 0.129 0.3091 0.365 0.058

4 0.002 0.034 0.1320 0.391 -0.220

5 0.007 0.0430 0.261 -0.234

6 0.001 0.0114 0.131 -0.014

7 0.0025 0.053 0.217

8 0.018 0.318

9 0.006 0.292

10 0.001 0.207

11 0.123

12 0.063

13 0.029

Exemple

• Le signal m(t) = Amcos(2fmt) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour

(a) Am = 5V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V

(b) Am = 10V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V.

• SOLUTION

(a) Dans cette exemple, F = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X

pour que S = . Du tableau, si X = 1, S =

(0.7652+2×0.442)=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.1152 = 0.9912. Alors X = 2 et B = 4fm.

(b) Ici, F = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0.994. Alors B = 12fm.

99.0)(2)(1

220

X

nFnF JJ

La règle de Carson

• Pour m(t) = Amcos(2fmt), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque où est un entier, on trouve que X = +1.

• Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2(F+1)fm.

• Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver.

• Mais le pire cas, c’est quand c’est quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une onde sinusoïdale).

• Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit :

mFFM BB )1(2 (*****)