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ELEMENTOS DE MATEMATICA

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Lic. Nicolás Patetta Lic. Lucrecia Iglesias

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Juan B. Alberdi 571/7 - (1424) Bs.As.

Diagramación: Mariana A. Ortega

E L E M E N T O S D E M A T E M A T I C A

VOLUMEN IX NUMERO XXXVI J u n i o 1 9 9 5

SUMARIO

Editoria l 3

Introducción a las Probabilidades Discretas Dr. Héctor Guersenzvaig 5

M a t e m á t i c a E x p e r i m e n t a l Prof. Alicia Villar y Marta Fernández.... 19

Educación General Básica Prof. Alfredo R. Palacios 25

La C o m p u t a c i ó n c o m o R e c u r s o Prof. Elena I. García 31

Los Prob lemas en e l Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 35

P r o p u e s t a D i d á c t i c a Lic. Lucrecia D. Iglesias 42

Prob lemas y S o l u c i o n e s para publ icar Dr. Héctor Guersenzvaig 45

I S S N 0 3 2 6 - 8 8 8 8

ZU Editorial

Cumpliendo con la frecuencia prometida desde la aparición c/eElementos de Matemática, entregamos ahora a nuestros apreciados colegas el número XXXVI de la misma.

Lamentamos tener que informar que el Profesor Alfredo Palacios publica en este número su último aporte a la sección fija "Educación General Básica" ya que por razones de múltiples compromisos ha renunciado a continuar como aresponsable de la misma.Esperamos que para el próximo ejemplar otro distinguido colega pueda hacerse cargo de esa sección ya que es de gran interés para la Dirección de laRevista la continuidad del tratamiento de temas de ese nivel.

Esta entrega contiene los trabajos correspondientes a las cinco secciones fijas y se completa con los siguientes trabajos:

"Matemática Experimental" de Alicia Villar y Marta Fernández de Cansa, que consiste en la descripción de una experiencia concreta sobre temas geométricos, e "Introducción a las Probabilidades discretas" de Héctor Guersenzvaig que según adelantáramos en nuestro número anterior forma parte de un desarrollo completo del tema del título. El presente capítulo se completa con una extensa gía de aplicaciones propuestas, las que por razones ele espacio y diagramación será incluida en el próximo número.

ÍLL Director

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.IX, Nro. 36, Junio de 1995 t f. '

—. INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES DISCRETAS

por NATALIO H. GUERSENZVAIG

Estas notas constituyen una continuación natural del artículo ELEMENTOS DE COMBINATORIA (EC) de la edición anterior de esta revista. En ellas pretendemos introducir al lector en el mundo de la probabilidad y más precisamente en aquella parte conocida como PROBABILIDADES DISCRETAS. Tenemos en mente un doble objetivo. En primer lugar describir los modelos probabilísticos discretos más importantes y las relaciones entre ellos. Por otra parte deseamos desarrollar en el lector interesado la capacidad de pensar probabilísticamente (hacemos ésto de manera no totalmente consciente en muchas circunstancias de la vida diaria), lo cual creemos puede conseguirse a través de la resolución de problemas (los habrá de distintos grado de dificultad y el intentar resolverlos es una tarea indispensable para el aprendizaje del tema). Naturalmente, la materia no se agota con nuestra tarea y esperamos despertar el interés del lector, el cual puede consultar alguno de los excelentes libros de la lista siguiente (el de P.L.Meyer es una alternativa recomendable):

[1] S. Lipschutz, Probabilidad, Me Graw (serie Schaum), 1971. [2] M. Spiegel, Probabilidad y Estadística, Me Graw (serie Schaum), 1971. [3] B.V.Gnedenko, A.I.Jinchin, Introducción al cálculo de probabilidades, Cuadernos

de Eudeba, 1962. [4] E.Parzen, Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones, Limusa Wiley,

1971. [5] P.L.Meyer, Introducción a la probabilidad y a las aplicaciones estadísticas, Fondo

Educativo Interamericano, 1992. [6] I.O.Sanin, Teoría de la probabilidad, Limusa Wiley, 1975. [7] P.G.Hoel, Introducción a la estadística matemática, Ariel, 1976. [8] W.Feller, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones, Vol. I,

Limusa Wiley, 1973. [9] A.Papoulis, Probability & Statistics, Prentice Hall, 1990.

Dividiremos la tarea en dos partes. En la primera nos ocuparemos de introducir las nociones básicas de la probabilidad y los axiomas o leyes que gobiernan el cálculo de probabilidades (discretas o no). En la segunda describiremos los experimentos discretos más importantes y estableceremos los modelos apropiados paralos mismos.

PARTE I. MODELOS PROBABILISTICOS

Llamaremos experimento a cualquier fenómeno que origine resultados. Un experimento se dirá determinístico si tiene un único resultado posible (por ejemplo,

calcular el valor de la función dada por / ( x ) = x2 en x = 2, tiene siempre el resultado

6 INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES DISCRETAS

fg(2) = 4 y por lo tanto es un experimento determinístico). Naturalmente, estos experimentos no presentan interés alguno debido a lo previsible del resultado, razón por la cual quedan excluidos de ahora en más de nuestras consideraciones.

2.1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Un experimento se dirá aleatorio si no es posible anticipar el resultado del mismo y los resultados de cualquier suce-sión de experimentos, siempre bajo las mismas condiciones iniciales, presentan una cierta "regularidad" (noción que explicitaremos posteriormente). En todo lo que sigue 3, e, etc. denotan experimentos cualesquiera. El conjunto de los resultados posibles de e se denomina espacio muestral de e y se denota Se o sim-plemente S si no hay lugar a confusión sobre el experimento en cuestión. Diremos que e es discreto si Se lo es (es decir, S£ es finito o numerable). Consideramos seguidamente algunos ejemplos típicos de experimentos aleatorios discretos.

i) Uniformes. Se "elige al azar" una bolilla de un bolillero que contiene n bolillas numeradas de 1 a 77 y se anota el número de la bolilla extraída. Tenemos entonces

S = { 1, 2, . . . ,«}.

ii) Hipergeométrico. Se extraen al azar, una a una y sin reposición, n bolillas de una caja que contiene Nbolillas distintas, de las cuales M son blancas y las restantes N-M de otros colores, y se cuenta el número de bolillas blancas extraídas. Tenemos entonces (aquí, por comodidad, S puede contener resultados "imposibles")

5 = {o, 1, . . . ,min{n,M}}.

iii) Binomial. Se lanza una moneda y se anota el resultado, "cara", que denotamos a, o "ceca", que denotamos b; es decir

S = {a,b}. El experimento se dice "binomial porque hay solamente dos resultados posibles. El mismo calificativo se aplica a los experimentos siguientes: Se lanza una moneda n veces y se anota el resultado de cada lanzamiento ("cara" o "ceca"). Cada resultado constituye una 77-upla que en la /-ésima coordenada tiene el resultado del /-ésimo lanzamiento. Resulta entonces la potencia cartesiana

s={a,b}n. El mismo espacio muestral resulta si, en lugar de lanzar una moneda n veces, se lanzan al mismo tiempo n monedas iguales numeradas de la n. En esta situación la ¿-ésima coordenada de cada elemento de S es el resultado ocurrido al lanzar la 7-ésima moneda. Si, además de los lanzamientos, el experimento incluye el conteo del número de veces que salió "cara", tenemos el espacio muestral siguiente:

S = { 0 , 1, . . . , 7 7 } .

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVAIG 7

iv) Multinomial. Los experimentos "multinomiales" son aquellos donde hay más de dos resultados posibles. Por ejemplo, al arrojar un dado tenemos el espacio muestral

5 = {l, 2, 3, 4, 5, 6}.

Si se realizan n lanzamientos de un dado (o se lanzan n dados a la vez), resulta

S = {\, 2, 3, 4, 5,6}".

Si, además de los lanzamientos, se cuentan las veces que salieron, por ejemplo, el 1 y el 5, tenemos que el espacio muestral está dado por

S = {{i,j):i,jZ0, i+j<n],

donde (ij) es el par que indica que el 1 y el 5 salieron i y j veces, respectivamente.

iv) Binomial negativo o de Pascal. Se lanza una moneda hasta que sale cara k veces y se cuenta el número de lanzamientos realizado. Si k= 1 el experimento se llama geométrico. Tenemos

S = {k, k +1, k + 2, ..., }.

v) Hipergeométrico negativo. Se extraen bolillas, una auna y sin reposición,(de la caja del experimento hipergeométrico) hasta que se obtienen k bolillas blancas y se cuenta el número de extracciones realizada. Tenemos entonces

S = {k,k + l, ...,N}. Cabe señalar que si las bolillas se devuelven a la caja luego de cada extracción resulta un experimento binomial negativo (ésta analogía justifica la denominación "hipergeométrico negativo").

vi) Poisson. Se cuenta el número de accidentes ocurrido en un cierto cruce de carreteras entre las 8 y las 12 horas de un día determinado. Resulta entonces

S = {0, 1, 2, . . . . }.

Consideramos a continuación la noción de suceso (o "evento").

2.2 Sucesos. Sea e un experimento aleatorio cualquieracon espacio muestral S = Se. Llamaremos suceso de e a cualquier subconjunto de S (esto no es necesariamente cierto si e no es discreto). La colección de sucesos de 8 se denotará Ae o simplemente a si no hay lugar a confusión sobre e (si £ es discreto A = P(S), el conjunto de partes de S). Los sucesos que tienen un único elemento suelen denominarse sucesos elementales. Diremos que el suceso A ocurre (en una realización determinada de e), si el resultado de e es un elemento de A. Con las operaciones conjuntistas habituales podemos formar sucesos a partir de otros dados y por ello se dice que Ae es el álgebra de sucesos de e. El par (S, A) se llama espacio de probabilidad sobre e. Introducimos a continuación algunos hechos y terminología relacionados con los sucesos de e.


i) Algebra de sucesos. El conjuntarse denomina suceso imposible, pues nunca ocurre; el espacio muestral S se denomina suceso cierto o seguro, pues siempre

ocurre. Sean A y B sucesos cualesquiera de e: el suceso A = S- A se denomina complementario de A y ocurre si y sólo si no ocurre A; el suceso AUB se denomina unión de A y B y ocurre si y sólo si ocurre al menos uno de los sucesos A y B (launión de varios sucesos ocurre si y sólo si ocurre al menos uno de dichos sucesos);el suceso Af]B (cuando convenga escribiremos AS en lugar de Af\B) se denomina suceso compuesto de A y B y ocurre si y sólo si ocurren ambos sucesos A y B (la intersección de varios sucesos ocurre si y sólo si ocurre cada uno de dichos sucesos); diremos que A y B son sucesos incompatibles o mutua-mente excluyentes si AC\B = (¡); el suceso tí - A se denomina diferencia entre tí y A (conviene recordar las igualdades B- A = B- A(~)B = A \JB- A) y ocurre si y sólo ocurre B y no ocurre A; el suceso AAB se denomina diferencia simétrica de A y B y ocurre si y sólo si ocurre exactamente uno de los sucesos A y B.

ii) Sistema completo de sucesos. Llamaremos sistema completo de sucesos a cualquier partición del espacio muestral S. En forma equivalente, A¡ ,A2>... ,Ar ,... constituyen un sistema completo de sucesos si al realizar e ocurre uno y sólo uno de los A¡ (cabe decir que cualquier sistema completo de sucesos puede considerarse como espacio muestral del experimento que consiste en realizar e y a continuación observar cual resultado del sistema ocurrió). Por otra parte, conviene realizar un diagrama de Venn con el sistema completo de sucesos A¡ ,A2,... ,Ar,... y otro suceso B arbitrario; luego obsérvese que los sucesos

Alf]B,A2nB, ...,A, f]B

constituyen una partición de B.

i v) Sucesos condicionales. Dados sucesos A y B, el suceso que ocurre cuando ocurre A sabiendo que ocurrió B, se denomina suceso condicional A dado B y se denota

A\B (conviene realizar un diagrama de Venn para "ver la situación; obsérvese

luego que la ocurrencia de B restringe la ocurrencia de A a la ocurrencia de A D B,

de donde sigue que, si BE A, la ocurrencia de B implica la ocurrencia de A\B

y la no ocurrencia de A\B). Consideramos seguidamente la noción de probabilidad.

2.3 Probabilidad. Intuitivamente, la "probabilidad" de un suceso A es una medida de la certidumbre que existe acerca de la ocurrencia de A. Por ejemplo, al decir que A tiene "probabilidad" 60%, esperamos que A ocurra aproximadamente en el 60% de las veces que se realiza e, lo cual significa que el cociente entre el número de veces que ocurrió A y el número de repeticiones dee, (que se llama frecuencia relativa de ocurrencias de A) es aproximadamente 0.60. Por otra


parte, podríamos decir también que la "probabilidad" del suceso A es una medida del conocimiento que poseemos acerca de dicho suceso. Esta interpretación puede calificarse de "subjetiva", pues depende de cada individuo en particular, en contra-posición con la siguiente interpretación "objetiva" (dada por M. Frechet en 1937).

Las frecuencias relativas de un sucesoA en diversas series de experimentos reali-zados en las mismas condiciones C, son los valores experimentales de una misma constante física determinada por la naturaleza del suceso y por las condiciones C. Esta constante física se llama la "probabilidad" del suceso A para las condiciones C. La definición precedente parece "razonable". Admitiéndola, si para cada suceso A denotamos Prob(A) la constante in volucrada en dicha definición, tiene sentido considerar la función (R denota el conjunto de los números reales)

Prob:A H> R: A Prot(Á),

la cual podemos llamar (con todo derecho función de probabilidad del espacio (S, A). En general, la función Prob es desconocida, así que, si queremos "estimar" las probabilidades de los sucesos de £, lo mejor que podemos hacer es definir una "buena aproximación" de la función Prob. Esta discusión nos conduce a la siguiente definición axiomática de la probabilidad (dada en 1935 por el matemático ruso A.N. Kolmogorov).

Llamaremos asignación de probabilidad sobre £ a cualquier función

P:A->R:A->P(Á)„

donde P(A) es la "probabilidad" asignada al suceso A, que verifique las tres condiciones siguientes (llamadas "axiomas" de probabilidad):

Ax. 1 No negatividad. P(A) > 0, cualquiera sea el suceso A de e

Ax. 2 Finitud. P(S) = 1

Ax. 3 Aditividad discreta. Si A¡, A2, ..., Ar, ... son sucesos cualesquiera de e,

incompatibles dos a dos (esto es, A • fl A • = <¡) cuando I * J), entonces ' J

p{ A,UA2U.. ,UA,.U. ..) = />( A,) + P( A2 )+• • -+p( A,.)+...

Sea P una asignación dada para £. Diremos que la terna (S,A,P) es un modelo probabilístico para £. Antes de mostrar como pueden definirse "buenas" asigna-ciones de probabilidad sobre £ (naturalmente, Prob es la "mejor" de las asigna-ciones), establecemos distintas propiedades que se deducen de los axiomas y que facilitan el cálculo de probabilidades (el lector debe verificar que muchas de tales propiedades son análogas a las de la función N que cuenta el número de elementos de los conjuntos finitos definida en EC; de hecho, bastará reemplazar en éstas N por P y N(S) por 1). Consideramos en lo que sigue sucesos cualesquiera de £.


i) Suceso imposible. p(§) = 0.

ii) Principio Aditivo. Si A y B son incompatibles entonces

P(A\JB) = P(A) + P(B),

que puede extenderse (por inducción o considerando A. - (j) si i > r en el Ax. 3) como sigue:

Si A¡, A2, ..., Ar son incompatibles dos a dos, entonces

P(A1UA2U...UAr) = P(A1) + P ( A 2 ) + - + P ( A , ) .

iii) Sistema completo de sucesos. Si Aj, A2, ..., Ar, ..., es un sistema completo de sucesos (esto es, una partición de S), entonces

I = P ( A 1 ) + j P ( A 2 ) + - . + P ( A > . . . .

iv) Complemento. Sea A = S- A el complemento de A en S. Tenemos

P(A) = \-P{A).

v) Inclusión. Sea A c f i , Entonces

/) P(B-Á) = P{B)-P(A);

IT) 0 <P(A)<P(B).

III) Si P(B) = 0, entonces P(A) = 0.

IV) Si P(A) = 1, entonces P{B) = 1.

vi) Diferencia. P(B - A) = P(B) - P{AC\B) = P(AÜB)- P(A) .

vií) Unión. P{AUB) = P(A) + P(B)-P(A[)B).

viii) Fórmula de inclusión-exclusión. Para tres sucesos A, B y C, resulta de viii) (considerando BUC en lugar de Q

P(AUBUC) = P(A)+ P(B) + P(c) -P{AF]B)

-P{Anc)-p{Bf]c) + p{Af]Bf]c),

fórmula que, para A¡, A2, ..., Ar, se extiende como sigue:

P(A,U.. .UAJ= J ^ P Í A í ) - X P{A^A^)+-• •+( - I ) '~ 1 P(A,n . . .nA, ) . 1 <i<r 1 <í< j<r

ix) Diferencia simétrica. P{A&B) = p(Á) +P(B)-2P{A^B).

Consideramos ahora probabilidades condicionales. Sea B un suceso tal que

P(B) > 0 (en el caso discreto, si S no contiene resultados imposibles y P es

razonable, se tiene que P(B) = 0 si y sólo si B = d>. Esto no es cierto para


experimentos no discretos). La probabilidad condicional de A dado B, que

denotamos P{A\B) (y que también se lee "probabilidad de A sabiendo que

ocurrió B"), es la probabilidad del suceso condicional A\B y está definida como

sigue (recordar que AB=AC\B-, para ver el porqué de esta definición se recomienda realizar el diagrama de Venn correspondiente):

P (A\B) = P{AB) P(B) •

Dado que ocurre (verifiqúese)

1 P(A\B) > 0, cualquiera sea el suceso A

2 jp(S|B)=I

3 Si A,, . . . , A r , ... sonsucesoscualesquieraincompatiblesdosados,entonces

P( A,UA2U.. ,UA,U... | s ) = P(A] |B) + P( A2\B)+- • • +/>( AR\B)+...,

resulta que la función

PB :A ->R: A PB(A) = P(A\B),

es una asignación de probabilidad sobre e y por lo tanto, verifica cualquiera de las propiedades que se deducen de los axiomas, en particular i) ax). Por ejemplo

También

P\ •(A|s) = I-/5(A|B)

mientras que para P{B) no nulo y distinto de 1, en general es falso que

Toca ahora el turno a la noción de independencia. Intuitivamente, los sucesos A y B son "independientes" si la ocurrencia, o no, de alguno de ellos, no afecta la ocurrencia del otro. También puede decirse (con una visión "subjetiva"de la probabilidad) que son independientes si el conocimiento de que ha ocurrido uno de los sucesos no afecta la asignación de probabilidad para el otro suceso. En el

caso P{B) > 0, ésto puede traducirse como sigue:

/J(A|B) = P(A).

La igualdad precedente se cumple también cuando P(B) = 0 (pues de la inclusión

ABQB resulta P(AB) < P(B) = 0 por v) IT)). Conviene entonces la siguiente definición. Diremos que los sucesos A y B son independientes si ocurre

P{AB) = P(A)P(B).


x) Independenciay probabilidad condicional. Por lo dicho previamente, si p(b) > 0, las afirmaciones siguientes son equivalentes.

1) A y B son independientes;

II) P(a\B) = P{A).

Para la independencia de varios sucesos tenemos la siguiente definición (razonable, pues cada subconjunto de un conjunto independiente de sucesos debe ser también independiente):

Los sucesos A¡, A2, ..., Ar son independientes entre sí, si para cada k < r se tiene

P{B{B2...Bk) = P{B{)p{B2) ...P{Bk),

cualesquiera sean B{ B-, ... Bk elegidos entre A¡, A? , ..., Ar de modo que si

i^t j, entonces B¡ y Bj tienen distintos índice considerados como A ,' s. En tal

caso y en particular resulta

P{A{,A2, ..., Ar) = P{A\)P{A2)...P(A§),

igualdad que, en general, no implica la independencia de los A¡.

xi) Independencia y complemento. Es intuitivamente evidente que si A y B son

independientes, también lo serán, por ejemplo, A y B. Con mayor precisión, tenemos la equivalencia de las afirmaciones siguientes (la generalización a más de dos sucesos es inmediata).

I) A B son independientes;

II) A*yB* son independientes, dondeA* yB* son elementos arbitrarios

de {A, A} y {S .B} , respectivamente.

xii) Independencia y unión. Si A y 5 son independientes, resulta de xi) (tomando dos veces complemento) la siguiente aplicación de la independencia al cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos.

P{ AU5) = P( A) + P(B) - F(A)P(B) -1 - A ) p ( f i ) .

En general, si los sucesos A¡, A0 , ..., Ar son independientes, entonces

P{Ax UA2 U ...UA,.) = I - P ( A I ) P ( A 2 ) . . . P ( A , - ) ,

fórmula muy conveniente para el cálculo, que en el caso

p{Al) = P{A2)=...= P{Ar) = p

se reduce a la siguiente:

P{Al U A2 U ...U A,.) = ! - ( ! -p)r.


xiii) Principio de las Probabilidades Compuestas (PPC). Sea P(B)>0. De la definición de probabilidad condicional se deduce

P(A#) = />(£)/>( A|S)

(igualdad que puede considerarse como una generalización del Principio Multi-

plicativo). Naturalmente, si P{Á)T- 0, tenemos la siguiente versión del PPC

P(AB) = P{A)P(B\A),

que puede generalizarse (suponiendo que los "denominadores" no tienen probabilidad nula) como sigue:

P(AlA2 ... Ar) = P{A[)p(A2\A,)p(A^\A{A1)...p(Ar\Al...Ar_[).

xiv) Principio ele las Probabilidades Totales (PPT). Sean A y B sucesos tales que

P{A) y p ( A ) son positivos. Dado que

y BF]A, fifi A constituyen una partición de B, resulta

P ( f í ) - P ( B n A ) + ( s n A ) .

Utilizando el PPC en cada término del miembro derecho obtenemos

P{B) = P (A)P(S |A) + P(A)P(P A),

resultado que se conoce como "Principio de las Probabilidades Totales". Con mayor generalidad, si Al, A2 , ..., Ar es un sistema completo de sucesos y B un suceso arbitrario, tenemos

P ( 5 ) = P(A I )P(5 |A 1 ) + P(A2)P(S|A2)+.. .+P(/\ , .)JP(5|A,.) .

xv) Fórmula de Bayes (FB). Sean A yB sucesos tales que P (A) , P( A) y P{B) son

positivos. De las dos versiones del PPC resulta la útil fórmula

P{A)P(B\A)

P(B)

que en combinación con el PPT (aplicado a P(B) en el denominador) proporciona la llama "Fórmula de Bayes"

ÍA\B) = P{A)P(B\A)

P{A)P 5 A) + P A)P[B


Para un sistema completo de sucesos , A2, ..., AR tenemos

Las asignaciones P(A¡), P(A¡\B) y P(B |A .) se denominan probabilidades a

priori, probabilidades a posteriori y factores de verosimilitud, respectivamente.

La fórmula de Bayes ha despertado muchas controversias debido a la posible "subjetividad" (y por lo tanto sujetas a error) de las probabilidades a priori. Un ejemplo esclarecedor es el siguiente.

Un individuo asiste a una consulta médica. El profesional actuante, luego de "revisar" al paciente, estima que los síntomas observados pueden deberse a alguna de las distintas enfermedades A,, A2 , . . . , AR, a las cuales asigna ("inconscientemente" y basado en su conocimiento, intuición o experiencia) las

probabilidades P{A¡). Para realizar el diagnóstico necesita descartar todas las enfermedades salvo una. A tal fin planea un experimento (por ejemplo, un análisis de sangre o una radiografía o un electrocardiograma, etc.) uno de cuyos

resultados es B. Las probabilidades P[B\A.) son conocidas por laexperiencia

(de allí el nombre "factores de verosimilitud"; por ejemplo, se conoce la

probabilidad de que la concentración de azúcar en sangre supere un cierto nivel

si el individuo es diabético). Realizado el experimento y ocurrido B (en otro caso

se reemplaza B por B), el médico descarta aquellas enfermedades A, tais que

P(A¡\B) es pequeña (naturalmente, este proceso mental es inconsciente). Si no

es posible todavía realizar el diagnóstico, se plantea otro experimento donde las

probabilidades a posteriori p{ A, | s ) juegan el rol de probabilidades a priori. Este

procedimiento continúa (si el paciente sigue vivo) hasta realizar el diagnóstico. El lector habrá tomado nota de la gravedad de la situación si, por ejemplo, las probabilidades a priori no son apropiadas al caso.

xvi) Diagramas de árbol. Los llamados "diagramas de árbol" constituyen generalizaciones del PPT (su representación gráfica es el caso más simple de tales diagramas) que facilitan la descripción de situaciones que involucran distintos sistemas completos de sucesos. Muestran también la relación del PPT con el PPC y la Fórmula de Bayes. Por ejemplo, si Aj, A2 y A3, 5 , , B2 = BX y C{, C2 = C¡ son tres sistemas completos de sucesos vinculados por el diagrama (obsérvese que en cada nodo se abre un sistema completo de sucesos)


- c¡ - 3 *

A, •= 0 3 ^ . c2 B, *

A2 0 5 ^ , > 1

A •=

A3 •= - ^ 0 5 • Jh * — ^ 0 6

c,

el producto de las probabilidades sobre la rama superior del mismo es justamente la instancia del PPC

P{ A^Q) = P( AX )P(BX | A,) P(CX | AFT) = (0.2)( 0.3) (0.4) = 0.024.

La suma de todos los productos, que como el precedente tienen C{ como suceso

final, es una generalización del PPT que proporciona P(C{). Numéricamente,

tenemos

P{C\) = 0.024+ 0.098 + 0.07 + 0.20 + 0.03 + 0.09 = 0.512.

Asimismo, si partimos de algún suceso intermedio como A2, obtenemos

p(c 1 |A 2 ) = (0.2)(0.7) + (0.8)(0.5) = 0.54,

que no es otra cosa que el PPT en el subárbol que comienza en A,. Por otra parte, la Fórmula de Bayes debe aplicarse cuando hay que calcular la probabilidad de un suceso intermedio dado uno final (si la probabilidad de este suceso final es conocida, sólo se trata de calcular una probabilidad condicional). Por ejemplo

P(A2 |C,) = P{A2)P(C1\A2) (O.5)(0.54)

r(c>) 0.512 = 0.53.

Nos preguntamos ahora de qué manera podemos realizar buenas asignaciones de probabilidad. Consideramos en primer lugar un experimento discreto cualquiera con espacio muestral (que puede ser finito)

•S = {a,, «2. -••> ar< •••>}•

Llamaremos densidad discreta sobre £ a cualquier función

p.S-) R:a¡ —> p(a¡)

que verifique las dos condiciones siguientes (que suelen llamarse "condiciones de cierre"):


I) p(a¡)>0, para i = l, 2, . . . , r, ...

¡I)" p{al) + p{ch)+ ••• + p{ar)+ •••=}.

La densidad p induce la asignación de probabilidad definida para cada suceso A por

P(A)= XP(A¡)• i:a¡eA

Dejamos a cargo del lector probar que la P así definida satisface los tres axiomas de probabilidad. Ciertamente, la "bondad" de esta asignación depende solamente de lo razonable que sea la definición de la densidad p. Por otra parte, no está de más tener presente que cada asignación de probabilidad P tiene una densidad asociada p dada por

p{a¡) = P({a¡}); i = 1,2,-,r ,•••,

con lo cual, para experimentos discretos, las únicas asignaciones de probabilidad

son las inducidas por densidades, lo cual justifica que, en lugar de (S ,A,P),

utilicemos la notación (S, A ,p), donde p es la densidad inducida por P.

Un caso particularmente importante es aquel en el cual S es finito, digamos

S = {a}, a2 , ..., an)

(donde n es el número de "casos posibles") y, debido a que no hay motivos o información para suponer que un resultado es "más probable" que otro (hecho conocido como "Principio de razón suficiente"), se define

p(al) = p{a2)=---= p{an) = \/n.

En esta situación, para cualquier suceso A, tenemos

H a ) ^ ^ . *n n

aeA donde m es el número de elementos de A (o número de "casos favorables"). Esto es (recordar lo hecho en el artículo "Elementos de Combinatoria").

P ( A ) - ^ N{S) '

que no es otra cosa que la llama definición clásica de probabilidad, dada por Laplace en los términos siguientes: La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de resultados favorables a A y el número total de resultados posibles del experimento, siempre que éstos sean igualmente probables. Esta definición proporciona una asignación "a priori" (de cualquier realización del experimento), y reduce el cálculo de las probabilidades a la determinación

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVA1G 17

del número de elementos de algún conjunto finito. Suele ocurrir que la asignación precedente (como cualquier otra que se haya hecho a priori en un experimento arbitrario) no sea buena, en el sentido de que lo "predicho" por la misma difiera sensiblemente de la realidad. En tales casos habrá que realizar otra asignación más apropiada y como medio para ello se acostumbra utilizar la definición "a posterior" conocida como "definición frecuencial" que daremos a continuación, la cual está de acuerdo con la definición física de probabilidad y proporciona una buena asignación para cualquier tipo de experimento. Para realizar la asignación repetimos 8 (siempre en las mismas condiciones) un cierto número n de veces. Para cada suceso A se obtiene el número nA de veces que ocurrió A en las n repeticiones del experimento, el cual se llama frecuencia absoluta de ocurrencias de A. Resulta la "definición frecuencial"

PÁA) = X n

que es justamente lafrecuencia relativa de ocurrencias de A en las n repeticiones de e. Dejamos a cargo del lector verificar que la asignación Pn satisface los axiomas de probabilidad y señalamos que en diferentes "series" de n repeticiones pueden obtenerse distintos valores de P . Sin embargo, es un hecho (observado y no probado) que al aumentar n los valores Pn obten idos tienden a "estabilizarse" alrededor de algún número desconocido, el mismo que denotamos Prob(A). Se podría pensar entonces que para una serie infinita "dada" de repeticiones del experimento ocurre

(*\ lím Ph(A) = PRob(A)

lo cual no se puede probar, yaque no hay modo de realizar infinitos experimentos. Sin embargo, se puede probar que

(**) Prob ( lím PN(A) \ = Prob (A) = 1>

hecho conocido como Ley de los Grandes Números, el cual expresa que (*) se verifica "casi siempre" (esto es, en el espacio muestral de las series infinitas de repeticiones de e, el suceso consistente de las series que no verifican (*) tiene probabilidad 0) y garantiza que, para n suficientemente grande, Pn es una buena asignación de probabilidad.

Nota: En el próximo número se publicará una guía de problemas sobre este tema.

• I • = 13

ENTRE DOCENTES Y ALUMNOS SIEMPRE A Z EDITORA

Serie temas y problemas

INVESTIGUEMOS PARA APRENDER

Una propuesta destinada al Nivel Medio, para acceder desde la investigación al conocimiento matemático. Sugerencias metodológicas - Desarrollo de experiencias.

Serie del alba

PRO-A PROYECTO DE APRENDIZAJE POR ÁREAS Textos pensados para "ayudar a aprender", asociando la capacidad de profesores y alumnos en la tarea del aula.

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Serie plata MATEMÁTICA A-Z 1,2 y3 ENGLEBERT, PEDEMONTI Y SEMINO. Un camino diferente para que los alumnos conozcan los conceptos matemáticos. Explicaciones precisas y ejercitación abundante y amena.

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CASA MATRIZ: Paraguay 2351 (1121) Cap. Tel: 961-4036 y seis líneas rotativas. Fax: 961 -0089

A - Z e d i t o r a

ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL IX Nro. 36, Junio de 1995

MATEMATICA EXPERIMENTAL

por ALICIA VILLAR y MARTA FERNANDEZ de CANOSA

INTRODUCCION

Todas las actividades basadas en la creatividad, donde tiene fundamental importancia el descubrimiento, la invención y la construcción de un modelo, constituyen la esencia del método experimental. Por ello:

• Si las actividades educativas son presentadas en términos de búsqueda, experimentción, análisis y aplicación, el nivel de interés que ellas pueden despertar aumenta, y los resultados del proceso enseñanza-aprendizaje se optimizan.

m Si se plantean propuestas que representen un problema donde el alumno explore, experimente y compruebe, el aula se transforma en un taller experimental y cada alumno, en un activo partícipe.

• Si es un arte formular preguntas y probar respuestas, la Matemática es un arte, donde el docente actúa como orientador guiando con procedimientos heurísticos la búsqueda y demostración de conocimientos verificables. Como dijo Demócrito:

"Una sola demostración vale más que el reino de los persas".

Un ejemplo de todo lo expresado es la experiencia de aula que vamos a relatar.

CONOCIENDO EL CUBO

En una clase de Matemática se está estudiando el cubo. De pronto, el profesor formula la siguiente pregunta:

- ¿Qué ángulo forman las diagonales del cubo?

Un alumno asegura:

- Son perpendiculares, por lo tanto el ángulo es de 90°.

- ¡No! - exclama otro alumno mientras señala en el aula que, casualmente, es casi un cubo. - Es un ángulo mayor que 1 Recto.

Como en una clase de Matemática Experi-mental abunda el material auxiliar construido por los alumnos, no falta un cubo armado en cartulina para representar al hexaedro regular. El segundo alumnotomaunodeellosyensayaunacomprobación: - Si colocamos cuatro palillos en la posición de las diagonales...

-¡Yaloveo! ¡Es mayor que 1 Recto! Pero... ¿cuál es el valor exacto?

20 MATEMATICA EXPERIMENTAL

• Es fácil. Comencemos por esquematizar el problema y después, resolvamos por partes:

Primera parte

- ¿Qué ángulo forma una diagonal del cubo con una arista?

Para facilitar la resolución consideremos un cubo de arista unidad y en consecuencia: med A = 1.

En adelante siempre se expresarán las cantidades por sus medidas, respecto de esa unidad.

A A _

- En el abe rectángulo en b, ¿cuál es el valor de D2?

Recordemos que la base del cubo es un cuadrado y por lo tanto, por aplicación pitagórica resulta

D22 = l 2 +12

a

ct A \

ct

D y / y b

¡y®2 \

¡y®2 \ \

D2 = V2

Determinemos el valor de Do con e< 0,01 y comparémoslo con el valor de la arista.

• ¿Cuál es la conclusión? A

Retomemos el abe. Si deseamos calcular D,, reiteramos la propiedad pitagórica y obtenemos:

-2 Di2 = V2" + l2

Di = V3

Conclusión: A < D2 < Di A

Para calcular P consideremos la siguiente figura:

PROF. ALICIA VILLAR Y MARTA FERNANDEZ de CANOSA 21

Recordemos las funciones trigonométricas fundamentales y sus definiciones:

R ° 2 sen p =

I) R A

eos p = = -D,

f £ D2 tg p = — A

Con cualquiera de ellas obtendremos:

(3 = 54°44'08",2

Observemos que si aplicamos la función tangente, no es necesario el cálculo de la diagonal del cubo.

Segunda parte

Recordemos que la propuesta inicial eracalcularel ángulo que forman las diagonales de un cubo.

Consideremos el plano diagonal del cubo que incluye un par de aristas opuestas en la figura inicial del problema.

- ¿Qué figura geométrica representa?

Recordemos larelación 1 < S < y¡3 ylaamplitud del ángulo que forma la arista con la diagonal de la base.

Existen varios procedimientos para determinar el A

valor del a • Elija el que prefiera y haga sus cálculos.

Comprobará que

\

\ / —

[b \

\ \ \

90°<a<2j3n

Observación. Uno de esos procedimientos es el siguiente: A A

a = 18(T - a' por adyacencia de ángulos.

ot' = ] 8(J - ? ¡3 P o r ProP'e<lad de los ángulos interiores del triángulo.

Reemplazando:

a = 18Cf -

A

a :

18CP-2p

+ 2p a = 2(3


Este problema también se puede analizar utilizando cuerpos geométricos como material experimenta], para resolverlo en forma más intuitiva y así poder presentarlo a alumnos del último ciclo del EGB.

Construyamos un cubo cuya arista se considera unidad de medida y una pirámide de igual base y altura que las del cubo.

- ¿Cuál es la relación entre el volumen de estos cuerpos con las características señaladas?

Como sabemos: Vol. cubo = Sup. base x h —3

Es decir: Vol. cubo = A y Vol. pirámide = 1/3 Sup. base x h.

Se puede comprobar experimentalmente la fórumula del volumen de la pirámide y formalizar así:

Es decir que, en las condiciones establecidas, se necesitan tres pirámides para igualar el volumen del cubo.

Realicemos la experiencia usando las tres pirámides mencionadas para completar el volulmen del cubo, tratando de incluirlas en él.

- ¿Qué dificultad surge al intentarlo?

Construyamos ahora una pirámide de igual base que la anterior pero de altura igual a la mitad de la arista del cubo.

Comparemos el volumen de esta nueva pirámide con el volumen del cubo, introduciéndola en el mismo.

- ¿Cuántas pirámides se necesitan ahora para completar el volumen del cubo?

Como podemos ver, el resultado coincide con el valor obtenido experimentalmente cuando en el cubo representamos las diagonales por medio de cuatro palillos y quedan formadas seis pirámides. Si consideramos una de dichas pirámides:

PROF. ALICIA VILLAR Y MARTA FERNANDEZ de CANOSA 23

£

A

(3 = 54°44'08" ,2

Y el ángulo que forman las diagonales del cubo es el doble, es decir:

A

a = 109°28'16",3

pues coincide con el ángulo determinado por dos aristas laterales no consecutivas de la pirámide.

Otra alternativa para la solución de este problema es el procedimiento vectorial en el espacio tridimensional.

Consideremos los vectores del espacio de dimensión tres, representados en la figura:

Las coordenadas cartesianas correspondientes a los vértices de un cubo o hexaedro regular de arista 1, tal que tres aristas concurrentes coinciden con los versores del sistema, son:

Recordemos la definición de producto escalar de 2 vectores en función de las componentes de los mismos.

Definición: Sean A y B pertenecientes a R" tales que

A = { a i ) a 2 , . . . , a n } y B = {b 1 ,b 2 , . . . ,b n}

A» B = a^b j + a 2 .b 2+. . .+a n .b , n


Observamos que las diagonales del cubo están representadas por y¡ y y2 que

determinan el a.

v , = ( l ; l ; l ) - ( 0 / 0 / 0 )

í = (1/1/1)

v2 = ( 0 ; 0 ; l ) - (l ;1 ;0)

Aplicando producto escalar: v r v2 = ( l / l / l ) - ( - l / - l / l )

í = l . ( - l ) + l . ( - l ) + l . l

v¡-v2 = —1 — 1 + 1

Vj- v2 = - 1

A

El ángulo de dos vectores se calcula con la expresión: eos a

donde es la longitud o norma del vector y se calcula así:

- »

VI v2

—> —>

Vi v2

Análogamente:

, 2 + l 2 + l 2

= a/(-I)2 + ( - i )2 + I2

Es decir, v, y v2 tienen la misma longitud que es

Reemplazando en la fórmula del ángulo de dos vectores:

-1 A

eos ct =

1 eos a = - —

a = 109°28'16",3

BIBLIOGRAFIA

- SANTALO, Luis: Vectores y Tensores con sus aplicaciones. EUDEBA, 1966.

- SANTALO, Luis: Enfoques. Troquel, 1994.

- LIPSCHUTZ, Seymour: Algebra Lineal. Compendios Schaum, México, 1978.

- U.M.A. Informe del Consejo Superior de Educación de la Unión Matemática Argentina. Diciembre 1994.

- ELEMENTOSDEMATEMATICA.PublicaciónDidácticocientíficadelaUniversidadCAECE.

- Material complementario del curso "AlgebraLineal" dictado por el profesor Juan A. Foncuberta, segundo cuatrimestre de 1994 en la Universidad CAECE.

ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL IX Nro. 36, Junio de 1995 25

EDUCACION GENERAL BASICA

por ALFREDO RAUL PALACIOS

PITAGORAS de SAMOS y sus redonditos de sumota. (Actúan para números naturales solamente)

Podemos observar que para representar números gráficamente no es obligatorio utilizar las cifras con las que usualmente lo hacemos. Con un agrupamiento de signos iguales entre ellos, y tantos como sean las unidades del número en cuestión, podemos satisfacer esa necesidad.

Por ejemplo, en los dados los números están representados mediante puntos,

Y, en los naipes, mediante unidades figurativas (bastos, copas, espacias, oros).

Los arduos alumnos de Pitágoras -en el siglo VI antes de Cristo- construyeron una interesante representación de los números utilizando puntos y desarrollaron una aritmética geométrica o aritmo-geométrica, al estudiar lo numérico sobre la base de los conocimientos que poseían .

Aplicaron un principio humano fundamental: RESOLVER LO DESCONOCIDO A PARTIR DE LO CONOCIDO

Desde su geometría fueron hacia lo aritmético. Y así apareció un nuevo modelo: los números figurados de los pitagóricos.

Representemos números a lo Pitágoras:

26 EDUCACION GENERAL BASICA

O O O > 3 - — — tres O O O O > 4 cuatro O > 1 uno

O O O O O O O > 7 siete

O O O O O O O O O ——>9 nueve

(en una sola fila) o bien así ^ ® (en dos filas, una debajo de la otra).

La disposición de los puntos admite variaciones. El 4 puede representarse así OOOO

na sola fila) o bien así ? ? y O O

El 6 puede representarse así O O O 0 0

O O O O O O O O O 0 0

O O en una sola fila en dos filas o en tres filas

Es decir que existen números que admiten ser representados formando un rectángulo. A estos números los llamaron números rectangulares.

EJERCICIO: Estudia a cada uno de los siguientes números y determina cuáles de ellos son números rectangulares. Represéntalos.

1 6 11 2 7 12 3 8 14 4 9 21 5 10 30

El rectángulo que se puede formar para representar al número ocho, tiene dos filas de cuatro puntos cada una. Observa que 2 x 4 = 8.

Si analizamos los otros números rectangulares vemos que

Icada número rectangular es igual al producto de dos números más pequeños y distintos de 1

Pero hay números que no admiten una disposición rectangular. Por ejemplo, cinco. O O

O O O O O O O

una fila de cinco puntos o cinco filas de un solo punto

Cinco no es un número rectangular. Los números no rectangulares se llaman números primos.

Los números primos no pueden representarse de manera que formen rectángulos.

Los números primos no se pueden expresar como un producto de números más pequeños y distintos de uno.

PROF. ALFREDO RAUL PALACIOS 27

Esta asociación número-figura fue ' ampliamente estudiada y cultivada por los

pitagóricos. Luego de trabajar los números rectangulares vieron que era posible obtener números triangulares, euadrangulares, pentagonales y así

continuar toda su obra sobre los números "polígonos" o poligonales.

Al comenzar la Era Cristiana a rece, en el siglo I, el notable

tico Nicómaco de GERASA, y es obra Isagoge aritmética (Introducción

a la aritmética) donde define los números trígonos, tetrágonos,

gonos, exágonos y eptágonos y d correspondientes tablas.

Sin embargo, fue Diofanto de Alejandría quien hizo y presentó, en el siglo III, el estudio más acabado sobre los números poligonales. Comienza diciendo que los números naturales, a partir del 3, son números poligonales, y cada número indica la especie.

En la representación gráfica presenta tantos ángulos como unidades:

3 4 5 6 7 o o - o ,o N o-ov ^ o ^ / \ I I o O n n O O

o - o o - o \ y ° ° / \ O-O O-O o o s o - o '

Observamos: todos tienen de lado el número dos.

El lado de un número poligonal es el número de puntos que tiene por cada "lado" en su prepresentación gráfica.

Unaconsideración especial merece el número uno. El 1 es el principio de los números; se le da el carácter de número poligonal potencial, no actual. En este sentido, los pitagóricos consideraron que, potencialmente, el 1 tomaba la forma de cualquier polígono.


NUMEROS TRIANGULARES

Algunos números poligonales, admiten, también, una representación triangular.

O O O O

o o o o o o o o o o o o o o o o

1 3 6 10

Para encontrar los números triangulares, se pueden formar filas, unas debajo de otras, con la condición siguiente:

un punto y sólo uno en la primera fila

0 primera fila

luego dos y sólo dos en la segunda fila

O primera fila O o segunda fila

siguen tres y sólo tres en la tercera fila

0 primera fila

O o segunda fila

O O O tercera fila

y así siguiendo. Van apareciendo entonces, sucesivamente, los números triangulares. Como acabas de ver, los primeros cuatro números triangulares son el 1, el 3, el 6 y el 10.

Observa que pueden construirse los "triángulos" de manera que sean equiláteros.

número triangular lado total de puntos

O 1 1 1

o o o 3 2 3

o O 0

o o o 6 3 6

o o o

o o o o o o o

10 4 10

o o o

o o o o o o o

o o o o o

15 5 15

P R O F . A L F R E D O R A U L P A L A C I O S 2 9

O o o

o o o o o o o

o o o o o o o o o o o

21 21

E J E R C I C I O : ¿ Cuál es el séptimo número triangular? Constrúyelo.

Terminada la "construcción" del séptimo número triangular y luego de contar uno por uno sus puntos, has encontrado que esa representación corresponde al número 28.

• Avancemos en el análisis "geométrico" de las representaciones numéricas. ¿Podemos construir números triangulares donde los puntos se dispongan en forma de triángulo rectángulo? Sí.

O O o

de lado 1 de lado 2

O O O O O O

de lado 3

O O O O O O O O O O

de lado 4

O O O o o o o o o o o o o o o

de lado 5

(Recordemos que lado es el número de puntos que hay en cada "lado gráfico" de la figura).

Ahorabien, tomemos dos triángulos de lado 4 y formemos, con ellos, un rectángulo:

o o o O Os£> o o o o o \ o o o o o ó ^

Vemos que tiene 4 filas de 5 puntos cada una; por tanto, representa el número rectangular 4 x 5, o sea 20, cuya mitad es 10.

I M P O R T A N T E : OBSERVAMOS QUE EL NUMERO DE PUNTOS DE

CADA FILA ( 5 ) ES "UNO MAS" QUE EL NUMERO DE FILAS ( 4 ) .

E J E R C I C I O : Con dos triángulos rectángulos de lado 7, construye -punto por punto- el respectivo rectángulo, completando la figura.

C vQ O O O OND O O o o

\ \

Observa que el rectángulo que has construido representa a un número rectangular. ¿Cuál es ese número?


Vemos que un lado del rectángulo es 7 y que el otro es 8. Es decir que el rectán-gulo tiene 7 filas de 8 puntos cada una; por tanto representa al número 7 x 8 = 56.

Como en el caso anterior (el rectángulo de 4 x 5), los dos números triangulares utilizados para formar el rectángulo son iguales. Por lo tanto, 56 /2 = 28 es el número representado por cada triángulo rectángulo de lado 7.

Lo realizado hasta ahora nos permite suponer que, para encontrar un número triangular, por ejemplo el octavo, podemos hacer así:

Observamos, una vez más, que el número de puntos de cada fila (8) es "uno más" que el número de filas (7).

multiplicamos el número de filas, que es 8, por ese mismo número aumentado en uno, o sea 9; al resultado lo dividimos por 2.

8 x 9 = 72, 72 / 2 = 36 ^ ^ octavo número triangular

o número triangular de lado 8.

¿Es realmente 36 el octavo triangular? Compruébalo gráficamente.

Se verifica, efectivamente, que cada número triangular, de lado n, representa el número que se obtiene como resultado del siguiente cálculo:

n.(n + 1) 2

número triangular de lado n

Los números figurados son una excelente propuesta constructiva para iniciar a nuestros alumnos en la obtención de fórmulas que sean, vivamente, la forma simbólica de una idea comprendida. •

ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL IX Nro. 36, Junio de 1995 31

LA COMPUTACION C O M O RECURSO

por ELENA INES GARCIA

Extendiendo la sucesión de Fibonacci.

En el número anterior presentamos varias situaciones a partir de las cuales se generan suceciones que coinciden salvo en los primeros términos. Todas estas sucesiones tienen en común que fijados dos valores iniciales, el resto de los términos se define como la suma de sus dos anteriores, por lo tanto la ley de formación es común para todas ellas y la podemos generalizar así:

Para una sucesión (a ) con n e 7. Se fijan los dos primeros términos

a0 = k

a¡ = k'

y cualquier otro término se define como la suma de sus dos predecesores inmediatos a = a . + a . si n > 2 (1) n n -1 n-2 v J

Pero también podríamos expresar cada término en función de sus siguientes. Si de (1) despejamos an_,:

a = a - a . (2) n-2 n n-l v '

Con lo cual si conociéramos dos términos sucesivos de una sucesión de estas características, podríamos calcular los anteriores y por supuesto los siguientes.

Esto nos permitirá "extender" la sucesión de Fibonacci definiendo una función de enteros en enteros que sobre los no negativos coincida con los términos de la sucesión y sobre los negativos cumpla con (2).

Definamos la sucesión de Fibonacci F de la siguiente forma:

F0 = 0

F, = l F = F + F si n > 2

n n-l n-2 Sus primeros términos son:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

F 0 1 1 2 3 5 8 13 21 n

y definamos una función /: Z —> Z que

1) para los enteros no negativos coincida con la sucesión F: ,/fx)=F si x > 0

32 LA COMPUTACION COMO RECURSO

2) y su extensión para los enteros negativos se de según (2), entonces:

/ ( - l ) = / ( l ) - / ( 0 ) = F , - F 0 = l - 0 = l

/ ( - 2 ) = / ( 0 ) - / ( - l ) = 0 - l = - l

/ ( - 3 ) = / ( - l ) - / ( - 2 ) = l - ( - 1 ) = 2

/ ( - 4 ) = / ( - 2 ) - / ( - 3 ) = - l - 2 = - 3

f{x) = f(x+2)-f{x+\)

Propuesta de ejercitación:

1. Generar los valores de/para [-20, 20]

2. Comparar los valores de/para x y -x si - 2 0 < x < 20

3. Demostrar que /(-x)= (-1 )v+l fix) con x entero.

Comenzaremos a mostrar algunas de las propiedades que hacen interesante a la sucesión de Fibonacci.

Ejercicio 1: Generar los primeros 30 términos de las siguientes sucesiones:

1.1 (an) con an = n n > 0

1.2 (Fn) siendo

F0 = 0

F, = l

|F n =F n _ 1 + Fn .2 s i n >2

(Sucesión de Fibonacci)

1-3 Un) gn = F n2con n > 0> siendo Fn el n-ésimo término de la sucesión de

Fibonacci generada en el punto anterior.

I-4 (/?n) hn - Fn_[ * Fn+1 con n >1, siendo Fn .j y Fn+1 los términos (n - l ) y

(n +1) de la sucesión de Fibonacci

1-5 Un) K = hn — gn con n > 1, siendo hn y gn los términos de las sucesiones generadas en los puntos 1.3 y 1.4

Acontinuación mostramos las primeras filas de una tabla como la propuesta realizada en QPRO.

PROF. ELENA I. GARCIA

a n (FJ U n ) (K) ( O

0 0 0 1 1 1 0 -1 2 1 1 2 1 3 2 4 3 -1 4 3 9 10 1 5 5 25 24 -1 6 8 64 65 1 7 13 169 168 - 1 8 21 441 442 1 9 34 1156 1155 -1

10 55 3025 3026 1 11 89 7921 7920 -1 12 144 20736 20737 1 13 233 54289 54288 -1 14 377 142129 142130 1 15 610 372100 372099 -1 16 987 974169 974170 1 17 1597 2550409 2550408 -1 18 2584 6677056 6677057 1 19 4181 17480761 17480760 -1 20 6765 45765225 45765226 1 21 10946 119814916 119814915 -1 22 17711 313679521 313679522 1 23 28657 821223649 821223648 -1 24 46368 2149991424 2149991425 1 25 75025 5628750625 5628750624 -1 26 121393 14736260449 14736260450 1 27 196418 38580030724 38580030723 -1 28 317811 101003831721 101003831722 1 29 514229 264431464441 264431464440 -1

Observando la planilla notamos que la diferencia entre el cuadrado de uno de los términos de la sucesión de Fibonacci y el producto de su antecesor por el siguiente es de una unidad.

Esta propiedad fue estudiada en 1680 por el astrónomo francés Jean Dominique Cassini y puede demostrarse por inducción completa.

La identidad de Cassini es la base de las paradojas geométricas usadas por Lewis Caroll en sus famosos rompecabezas.

Consideremos, por ejemplo, un cuadrado al que dividimos en 8x8 cuadraditos como si fuera un tablero de ajedrez. Dividamos este cuadrado en cuatro regiones: dos triángulos rectángulos de catetos 3 y 8, y dos trapecios de bases 3 y 5 tal como lo muestra la figura:

34 LA COMPUTACION COMO RECURSO

El área del cuadrado original es 8x8: 64 cuadraditos y fue transformado en un rectángulo de 5x 13 = 65 cuadraditos.

¡Ganamos un cuadradido! (La explicación corre por cuenta del lector).

Se pueden lograr efectos semejantes seccionando cuadrados de lado Fn en cuatro

figuras de dimensiones Fn+1, Fn , Fn_[ y Fn_2; en el ejemplo usamos 13, 8, 5 y 3.

Propuesta de ejercicios:

4.- Escribir los primeros 30 naturales como suma de números de Fibonacci. 5.- Escribir los primeros términos de las sucesiones:

5.1.(an) a n = F n / F n . , si n > 2

5.2. ( b j bn =F n . , /F n si n > 1

ELEMENTOS DE MATEMATICA VOL. IX Nro. 36, Junio de 1995 35

LOS PROBLEMAS EN EL AULA

por JUAN ANGEL FONCUBERTA

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y LA RELATIVIDAD

# A Consideremos dos ejes de referencia O* con orígenes O y O' respectivamente.

0, f En el instante r = 0; O = O'. Pero O'

m a r c h a h a c i a l a d e r e c h a con

velocidad uniforme v en la dirección y sentido de las x positivas siendo |v| = 5m/s . Para t = 0, la abscisa de A es en los dos sistemas 35 (metros).

Para t = 1, en el sistema O la abscisa es 35 mientras que en el sistema O' es 30. Al cabo de 10 segundos, la abscisa (O) de A es 35 y en O' es -15. La transformación de abscisas sigue la fórmula:

x'=x-vt (1)

Si agregamos los ejes y, z, como el movimiento es paralelo al eje x tendremos

y'=y z = z' t = t' Estas cuatro ecuaciones resumen la llamada transformación de Galileo.

Supongamos que el sistema O' está ligado a un largo vagón que marcha a 5m/s. Si una bola de billar dentro del tren se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad 6m/s, para el observdor en O' la velocidad de la bola es lm/s porque por ejemplo para t- 1, él está a 30 metros de A y la bola a 29 metros. Esto resulta como consecuencia de la fórmula (1); en efecto, si derivamos:

dx' dx dt dt

es decir:

velocidad de la bola en el sistema O' = velocidad de la bola en el sistema O - velocidad del sistema O' respecto de O.

La transformación de Galileo fue verificada para los fenómenos de la mecánica pero las objeciones aparecieron en la segunda mitad del siglo XIX cuando trató de aplicarse a los fenómenos ligados a la electricidad, al magnetismo y a la luz Maxwell describió estos fenómenos en sus célebres ecuaciones. Pero estas ecuaciones comenzaron a sembrar dudas sobre la transformación de Galileo.

36 LOS PROBLEMAS EN EL AULA

Se pensó el siguiente experimento ideal: si un automóvil marchase a lOO.OOOkm/seg, y una luz partiese de su parte trasera a 300.000km/seg, la velocidad de la luz para el automovilista debiera ser como en el caso de la bola de billar:

Esto quiere decir que, como la velocidad de la luz en el vacío era conocida, si se medía en el automóvil era posible deducir la velocidad del automóvil.

Además, sabido es que como el sonido no se propaga en el vacío, se pensó que la luz también necesitaba de un medio para propagarse y a ese medio misterioso y que debía estar provisto de extrañas cualidades se le llamó "éter". Quedó pendiente la necesidad de medir la velocidad de la luz con respecto al "éter", así como es posible medir la velocidad del sonido con respecto al aire en reposo.

En 1877, Michelson y Morley llevaron a cabo su crucial experimento.

El diagrama permite descubrir elementalmente el experimento: la luz que proviene de la fuente F llega a una placa semiplateada que refleja hacia el espejo C y refracta hacia el espejo E. Como BC=BE los caminos son iguales si el aparato está en reposo, de modo que la luz emerge hacia D en fase.

Ahora analicemos qué debería suceder cuando el aparato se mueve con velo-cidad constante u hacia la derecha: mientras el rayo va de B a C, C adelanta su posición en ut{ siendo u la velocidad del aparato y tl el tiempo para u de B a C.

300000 km/s - 100000 km/s = 200000 km/s.

EL EXPERIMENTO DE MICIIELSON-MORLEY

c e

Resultará: (1)

PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA 37

pero BC = ctl siendo c la velocidad de la luz. El rayo reflejado en C llega a B' (porque el aparato sigue su marcha). De modo que el camino B —» C —» B' será

igual a 2BC. Por lo tanto, en (1)

(cí t)2 = L" 2 . 2.2 + U t j

(c^ - u )r,2 = L2 í, = V7

Para el camino total BCB' el tiempo será

(2)

¿Qué sucedería entretanto con el rayo horizontal? El rayo que sale de B tarda más en alcanzar E que cuando el aparato estaba en reposo porque su camino es ahora L + ut2 = ct2 • Al regresar de E a B su camino se acorta y podemos escribir

L - ut3 = ct3 siendo t2 el tiempo de ida BE y t3 el de regreso EB. Por lo tanto

uti 0 - L - w/.

ida ' vuelta

En consecuencia el rayo horizontal completa su recorrido en el tiempo

L L t2+t3 =

u c+ u

2Lc t2 + í3 — '


2L/c o bien h + h = T tiempo del haz horizontal.

a

También podemos escribir (2) así:

2 u tiempo del haz que pasa por C. c

El tiempo del rayo horizontal debiera ser mayor que el del rayo que pasa por C. Esto quiere decir que debería advertirse una diferencia de fases en el aparato llamado interferómetro. Sin embargo, pese a la gran precisión y cuidado de la experiencia de Michelson no fue posible detectar este desfasaje. Todo sucedió como si la Tierra no se moviera. El experimento produjo perplejidad.

Lorentz sugirió que el enigma podía aclararse si los cuerpos materiales se contraen cuando se mueven y que la contracción es en la dirección del movimiento. Además dio la fórmula

(Si u es despreciable con respecto a c no es detectable la contracción).

De modo que la explicación de Lorentz para el desfasaje observado en el interferómetro es la siguiente: la longitud que recorre el rayo horizontal es L mientras que el movimiento del aparato no afecta las longitudes del rayo que pasa por C.

Tendremos entonces que

con lo cual los tiempos se igualan.

Albert Michelson (1852-1931) profesor de Física en la Universidad de Chi-cago y premio Nobel en 1907.

u - velocidad del cuerpo L() = longitud en reposo

PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA 39

LA CONTRACCION DE LORENTZ

Volvamos a los sistemas O y O'. Si el observador en O mide la abscisa de A con una varilla ligada al sistema O', la transformación a aplicar no será la de Galileo

x-vt x - vf sino x'= i = porque, por ejemplo, si en O 'se posee una varilla

u~ i 1 - 2 de 1 metro en reposo, a la velocidad v para O, esa

c varilla medirá J\-u

2/c2 •

Hendrik Lorentz (1853-1928). Físico holandés; profesor en Leyden. Premio Nobel en 1902.

BIBLIOGRAFIA

- Einstein, A; Infeld, L. La Física, Aventura del Pensamiento. Losada. - Feynman, R. Física (Vol. 1). Addison-Wesley Iberoamericana. - Tipler, P. Física II. Reverté.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DEL NUMERO ANTERIOR

i, y = ~T-U-5Y

2- a) Hay dos secuencias en las cuales no aparecen dos ca ras o dos cruces repetidas en las primeras cinco jugadas:

c + c + c p = 32 o + c + c + p =

Entonces la probabilidad de que el juego finalice antes del sexto tiro es:

1 -1 /16 = 15/16

b) La probabilidad de que el juego finalice en dos jugadas es 1/2 (cc; ++); de que finalice en la cuarta jugada es 1/8 (c+cc; +c++); del ismo modo la probabilidad de que finalice en la sexta jugada es 1/32 (c+c+cc; +c+c++). Tendremos entonces:

(Prob. de que finalice en un n° par de jugadas) =

1 1 1 1 l - ( l / 4 ) " 2 = —+ - + — + A = lím = —

2 8 32 2 1 - 1 / 4 3


PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Hallar la probabilidad de que al ordenar al azar las cuarenta cartas españolas no aparezcan dos ases adyacentes.

2.- Representamos dos ejes graduados ortogonales. De una caja en la cual hay muchos cartones con el número 1 o con el número (-1) extraemos al azar cinco. Salimos del origen; si en el primer tiro obtenemos 1 pasamos al punto (1,1), ..., etc. ¿Cuántos caminos hay desde el origen al punto (5,2)?

DOS APLICACIONES PRACTICAS DE LA CONTRACCION DE LORENTZ

( víJa oíc o kaJrAovf \ & f. co \aA< c o ¡i í\

cJ «2. Lo ve. VA,

T-KAJCS A

S E f t S E 1 : R E V I S T A S

Revista "Elementos de Matemática"

SEBEE 2s ENSAYOS

La Teor ía de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas

Autor: Gregorio Klimovsky

Contrapedagogía y Conocimiento

Autor: Jorge E. Bosch

SERIE 3: DIDACTICA

No por mucho calcular se razona más temprano

Autores: Alfredo Palacios - Emilio Giordano Germán Gómez - María Ester Rey

SERIE 4: CONGRESOS Y SEMINARIOS

El S istema Cerebral y sus modelos : desde la Cu l tura a la Neurona.

Autores: Ricardo Avenburg - Aníbal Duarte - Gregorio Klimovsky Tomás A. Mascitti - Eduardo Rabossi - Enrique T. Segura y otros

S3

SERIE 5s TEXTOS [en prensa)

Probabi l idades Autora: Lic. Susana Pasciullo

Ed ic i ones U n i v e r s i d a d CAECE: Avda. de Mayo 1400 - ( 1 0 8 5 ) - Capi ta l Federal - Tel. 3 8 1 - 3 2 2 9 3 8 3 - 3 8 1 5

42 ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL IX Nro. 36, Junio de 1995

PROPUESTA DIDACTICA

por LUCRECIA DELIA IGLESIAS

¿QUÉ ES LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA?

Cuando los matemáticos escriben sobre alguna noción de su área científica son muy cuidadosos al exponer las ideas. Las describen con un lenguaje escueto y preciso que no dé lugar a ambigüedades ni contradicciones. Lo hacen formalmente. No muestran las motivaciones o las dificultades del proceso que acompañó al nacimiento o al desarrollo de las ideas.

Por ejemplo:

MAXIMO COMUN DIVISOR

Definición: Dados dos números naturales z y w, se llama máximo común divisor entre z y w al número natural x que verifica:

1 - x es divisor de z y divisor de w 2- entre todos los números naturales que cumplen 1-, x es el mayor.

Ejemplo: 1- 6 es el máximo común divisor entre 12 y 18 porque es el mayor de los

divisores comunes (1,2, 3,6). 2.- 1 es el máximo común divisor entre 10 y 21 porque siendo el único

divisor común, es también el mayor. 3.- 14 es el máximo común divisor entre 11 y 44 porque siendo 11 divisor

de 44, es divisor común a ambos y también es el mayor. Ejercicio: ¿Cuál es el máximo común divisor entre 60 y 90?

Una exposición de esta naturaleza comunica un saber originado en un contexto abs-tracto. Para que sirvacomo instrumento de enseñanza es necesario que el lector o el alumno al que va dirigida posea estructuras asimiladoras capaces de darle significado y de sufrir laacomodación indispensable para comprenderelnuevoconcepto.Sinuna tarea previa, estas condiciones sondifícilesdealcanzaruniformementeen todos los alumnos de un mismo grado.

Por eso vamos a analizar otras formas de presentar el mismo saber.

A. Resolver los siguientes problemas:

1- Lucía tiene dos trozos de cinta: la azul de 12dm.ylarojade 18dm.de largo. Quiere hacer lazos de igual longitud de un número exacto de dm. y sin desperdiciar nada de ninguna de las dos cintas. No termina de decidirse porque se le ocurren varias posibilidades. ¿Qué longitudes en dm. puede elegir? Decirlas todas.

LIC. LUCRECIA DELIA IGLESIAS

2- Para fijar un cable a lo largo de dos muros que hacen una esquina hay que poner grampas aun número fijo de metros de modo que las grampas estén a la misma distancia y que esa sea la mayor posible. Un muro mide 20 m. y el otro 16m. ¿a cuántos metros de distancia hay que poner las grampas?

_!> ti

GUÍA DE TRABAJO

I - Para cada par de números naturales que siguen a continuación hallar todos los divisores que tienen en común.

a) 12 y 18 b) 20 y 16 c) 24 y 18 d) 30 y 45 e) 10 y 21 f) 11 y 44

2- ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes en cada par? Completar el cuadro con las respuestas.

a) b) c) d) e) f)

3- Para designar al mayor de los divisores comunes entre dos números naturales usaremos la expresión MAXIMO COMUN DIVISOR, ¿Cuál es el máximo común di visor entre 12 y 18? ¿y entre 16 y 24? ¿y entre 10 y 21? ¿y entre 14 y 28?

A, B y C presentan situaciones cuya solución implica: • hallar los divisores comunes a dos números, • determinar el mayor entre los divisores comunes.

En las tres situaciones quienes resuelven hacen uso del mismo recurso aritmético sin saber que corresponde a una noción formal. Como la solución es accesible en el contexto material (A) o en el contexto geométrico (B) o en el contexto aritmético (C), el pensamiento se organiza construyendo un instrumento implícito, en los tres casos.

44 PROPUESTA DIDACTICA

La guía de trabajo, propone situaciones aritméticas análogas a las de C pero con sufi-ciente variedad de ejemplos como para establecer la generalidad del uso del instrumento organizado. Además obliga a hacerlo explícito y le da un nombre. Esta forma de presenta-ción termina con un enunciado análogo al que es el punto de partida en la presentación formal.

Hacer propuestas para que los alumnos construyan los conceptos en interacción con situaciones, implica transponer los conocimientos formales al contexto escolar. "Los epistemólogos llaman transposición didáctica a esta operación. Tiene su utilidad, sus inconvenientes y su función, aún para la construcción de la ciencia. Es a la vez inevitable, necesaria y, en cierto sentido, lamentable. Debe ser puesta bajo vigilancia"*.

Para organizar su propia presentación del tema en un aula determinada el docente puede elegir abordar una o más situaciones en un contexto material, una o más situaciones en un contexto geométrico, la guía que supone un contexto aritmético, en el orden que convenga a las experiencias anteriores de sus alumnos. Para los chicos, cintas que se pueden cortar, segmentos que se pueden dibujar son más significativos que comportamientos numéricos abstractos y deben precederlos.

Elegir distintos contextos garantiza un adecuado juego de marcos. Se trata de que cada alumno pueda acceder al concepto a través del canal que le resulte más accesible, sin dejar de transitar por las otras vías. Esto es necesario para que el concepto resulte bien diferenciado de las actividades que le dieron origen y se desprenda de todo lo que está presente en el contexto (objetos particulares, figuras geométricas, números determinados) y que no pertenecen al concepto. Estas "adherencias contextúales" dificultan el reconocimiento de la noción en otras situaciones.

ACTIVIDAD: ¿Qué sentido tienen para usted las palabras de Guy Brousseau? ¿Está de acuerdo con él sobre poner bajo vigilancia la transposición didáctica? ¿Por qué?

Por ejemplo: supongamos que un profesor propone: Resolver: 1 - Dar dos conjuntos de A y B, por extensión

A= {divisores de 12} B= {divisores de 18} 2- Hacerun diagrama de Venn con universo en el conjunto de números naturales. 3- ¿Cuál es el conjunto A ^ B ? En el conjunto intersección ¿cuál es el número

mayor? Lo llamaremos MAXIMO COMUN DIVISOR entre 18 y 12. 4- Explicar cómo se calcula el MAXIMO COMUN DIVISOR y mostrar el

procedimiento para calcularlo para los siguientes casos: a) 18y24 b) lOy21 c ) l l y 4 4 d ) 6 0 y 9 0

Usar el modelo conjuntista exclusivamente para que los alumnos hallen el M.C.D encontrando la intersección de los conjuntos divisores y eligiendo el concepto. Mientras no se propongan otros ejemplos, que aporten a la descontextualización del concepto el alumno no llegará a tenerlo disponible en situaciones materiales (A) o geométricas (B).

(*) BROUSSEAU, G. "Fondaments et méthodes de la Didactique des Mathématiques", en Recherche en Didactiques des Mathématiques. Grenoble. La Pensée Sauvage, Vol.7, N°2 (1986).

ELEMENTOS DE MATEMATICA VOL. IX Nro. 36, Junio de 1995 45

PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR

por NATALIO H GUERSENZVAIG

Esta sección contiene problemas sobre distintos temas de matemática. Invitamos a nuestros lectores a participar activamente en esta sección enviando soluciones de los problemas propuestos.

Las soluciones deben estar escritas apropiadamente y ser claramente legibles. Cada solución debe comenzar en una hoja separada conteniendo el nombre y dirección del autor.

Para ser consideradas para su publicación, las soluciones ele los problemas de esta edición deben ser remitidas por duplicado al editor antes del 15 de Septiembre de 1995.

PROBLEMAS PROPUESTOS

7.- Hallar todas las matrices reales ' i ^ a b c d que verifican

/

v

a b

c d

í a c

b el

\

/

1 0

0 - 1

Nota. v

a b c d

e f g h

1ae + bg af + bh N

ce + dg cf + dh

8.- ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco cartas de un mazo de poker de 36 cartas (6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A, con palos trébol, pica, corazón y diamante) se obtenga un full (por ejemplo, ful de jotas con ochos JJJ8S)?

9.- Determine la mayor potencia de 10 que divide al número combinatorio

1000! A1000A

v 3 0 0 y 3001700!'

SOLUCIONES (Problemas propues tos en

Dic iembre de 1994)

U N A APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN

1.- Determínese cuántos elementos del conjunto {1001, 1002, ..., 500}

son múltiplos de 4 ó de 6 ó de 9, pero no son mútiplos de 36.

46 PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR

Solución del editor.

1445. Sean n, m y a enteros positivos con m<n. El número de múltiplos de a en el conjunto

{1,2, ...,«}

es el cociente de dividir n por a, o sea \n/a\ ([x] denota la parte entera de x). Si

denotamos M{a) al conjunto de los múltiplos de a en el conjunto

{m+1, m+2, ..., n),

y N(a) denota el número de elementos de un conjunto finito cualquiera^, observemos

i) N{M(a)) = [n/a]-[m/a]

ii) a divisor de b si y sólo si M(b) c M(a) (*)

iü) M(a)VM(b) = M([ donde [a;¿>] denota el mínimo común múltiplo entre a y b.

Considerando «=5000 y /7?=1000 tenemos que calcular

Ar(M(4)UAf(6)UM(9)-M(36)).

Utilizando (*) y la fórmula de inclusión-exclusión (véase el artículo "Elementos de Combinatoria" en el número anterior de esta revista), obtenemos

W(M(4)UM(6)UM(9) - M(36)) - N{ M(4)UM(6)UA/(9)) - N{ Af (36))

= N{M(4)) + N{M(6))+ N(M(9))

- í / ( M ( 4 ) n M ( 6 ) ) - J V ( M ( 4 ) n M ( 9 ) )

- JV(M(6)nM(9) )

= Af(M(4))+ A^(M(6)) + N(M(9))

-N(M(\2))- N(M(36))- N(M(\8))

= (1250-250)+(833-166)+(555-111) -(416-83)-( 138-27)-(277-55)

= 1445.

Resuelto también por Silvia A. Seminara (Capital) y Rubén R. Rosas (Paraná).

¡a/V5+ 2 - ^ / A / 5 - 2 = 1! 1.- ¿ Es el número real

¡VV5 + 2 - ^ / V 5 - 2 = l! un número racional?


Solución de Rubén R. Rosas, Paraná, Entre Ríos.

Sea x-a-b, donde

a = \jj5 + 2 y b = \l-J5-2-Resulta entonces

x3 = a3 — 3ab (a—b) — b3 = 4 — 3.x, pues

ab = ^ S - 4 = 1 y í z 3 - 6 3 = 4 -ÍZ

Luego JC es una raíz real del polinomio

P(X) = X 3 + 3 X - 4 . Un bien conocido criterio de Gauss establece que las únicas posibles raíces racionales de P son los enteros divisores de -4, es decir, ±1, +2 , y + 4 . Evaluando en tales valores resulta que 1 es la única raíz racional de P. Factoreando P obtenemos

de donde sigue X= 1, pues las restantes raíces deP (ésto es, las raíces de X + X - 4) son complejas conjugadas no reales.

Resuelto también (en lo esencial) por Silvia A. Seminara (Capital).

3.- ¿Cómo se podrá elegir n para que 10" - 1 sea divisible por 121?

I. Solución de Silvia A. Seminara (Capital) corregida por el editor.

El entero n puede ser cualquier múltiplo de 22. Observemos que 121 divide a

10" - 1 si y sólo si 11 lo divide y 11 divide al cociente entre 10" - 1 y 11. Ahora bien, 10" es la unidad seguida de ceros, de donde sigue

Por otra parte, un número es divisible por 11 si y sólo si la suma alternada de sus cifras es múltiplo de 11. Luego 11 es divisor del número

si y sólo si n es par. Supongamos entonces n par. Debemos determinar n para que 11 sea divisor del cociente entre 99...9 (n nueves) y 11. Este cociente es justamente

9090...9 (n/2 nueves y n/2-1 ceros),

y será divisible por 11 si y sólo si

P(X) = (X-\)(X2 +X-4),

ÜN PROBLEMA DE DIVISIBILIDAD

10"-1=99...9 (n nueves).

9 si n es impar

0 si n es par

48 PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR

9-0+9- ... +9 = 9n/2

es divisible por 11, ésto es (dado que 11 y 9 son coprimos), si y sólo si 22 es divisor de n, como queríamos mostrar.

II. Solución del editor.

Utilizando la fórmula del binomio (de Newton), resulta

10" - 1 = (11 - 1)" - 1 = (-1)" +(múltiplos de 11)- 1.

Si 121 divide a 10" - 1, entonces también 11 lo divide y, por la igualdad precedente deberá ser n par. Sea entonces n par. Desarrollando con un término más, tenemos

10" -1 = 1-11/2 + (múltiplos de l l 2 ) - 1.

= -1 ln + (múltiplos de 121),

así que 121 es divisor de 10" - 1 si y sólo si 121 divide a -11 n, lo cual equivale a decir que n debe ser múltiplo de 22, como queríamos probar.

Resuelto también (parcialmente) por Rubén R Rosas (Paraná).

elementos de elementos de matematica...

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