Elektrotehnički fakultet

Univerziteta u Sarajevu

Z A D A C I (postavke i rezultati zadataka - odgovori) - Gr. A i B

S DRUGOG PARCIJALNOG ISPITA IZ PREDMETA

INŽENJERSKA MATEMATIKA 2

Akademska 2013 - 2014. godina

Sarajevo, 20. 06. 2014.

IME I PREZIME STUDENTA : ...............................................................

BROJ INDEKSA : .................................................................................

JEDINSTVENI MATIČNI BROJ : .............................................................

NASTAVNA GRUPA (BROJ) : ................................................................

UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka napisana su četiri odgovora od kojih je samo jedan tačan.

Riješite ove zadatke, a zatim za svaki od zadataka koji ste riješili zaokružite redni broj pod kojim

je naveden tačan odgovor za taj zadatak, pa taj broj upišite na odgovarajuće mjesto u dole

navedenoj tabeli. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i netačan odgovor.

Svaki tačan odgovor za koji je napisano odgovarajuće obrazloženje (a u zadacima 2. i 4. i

definirani svi pojmovi iz IM2 koji se koriste u postavci i/ili rješenju tih zadataka) boduje se sa po

2,5 boda/poena (prema naznačenom bodovanju uz zadatak), a svaki netačan odgovor se vrednuje

sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokruži niti jedan od ponuđena četiri odgovora, kao i u slučaju

kada za zaokruženi tačan odgovor nije napisano zadovoljavajuće obrazloženje, za taj zadatak

student ostvaruje 0 bodova.

2. Riješite detaljno peti zadatak, koji je s otvorenim odgovorom. Tačno urađen taj zadatak

donosi 10 bodova. Boduju se i tačno urađeni dijelovi tog zadatka (pri tom bodovanju najmanja

jedinica mjere je 0,5 bodova).

3. Nije dozvoljeno korištenje bilježaka, knjiga, kalkulatora, mobilnih telefona i bilo kakvih

elektronskih uređaja, niti drugih pomagala, kao ni drugih papira osim uvezanih papira dobijenih

za ovaj ispit. Takođe nije dozvoljen nikakav razgovor sa kolegama/studentima i dežurnim na

ovom ispitu, tj. svaku izradu bilo kojeg od zadataka na ovom parcijalnom ispitu mora svaki

kandidat samostalno uraditi. Svaki od kandidata koji prekrši bilo šta od ovdje navedenog, bit će

isključen sa ovog ispita i ovaj njegov parcijalni ispit vrednovan sa 0 bodova.

Rezultati drugog parcijalnog ispita iz IM2:

Zad. 1. ........ .........

Zad. 2. ........ .........

Zad. 3. ........ .........

Zad. 4. ........ .........

Zad. 5. .........

__________________________________

Ukupan broj ostvarenih bodova:

Vlastoručni potpis studenta:

______________________ Predmetni nastavnik:

__________________________

V. Prof. dr. sc. Huse Fatkić

2

Z A D A C I - Gr. A

s 2. parcijalnog ispita iz Inženjerske matematike 2 (IM2), ETF, Sarajevo, 20. 6. 2014.

Zad. 1. Riješiti diferencijalnu jednačinu

2''( ) 4 '( ) 4 ( ) cos 2sinty t y t y t e t t

s početnim uslovima (0) 1, (0) 1y y . [2,5 b.]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------

I.2

(( ) cos 2 sin )t

y t e t t t

. II. 2(( ) cos 2 sin )

ty t e t t t

. III.

2(( ) cos 2 sin )

ty t e t t t

.IV.

2( )

ty t e

.

Zad. 2. Izračunati trojni integral D

zyxzx ,ddd22gdje je

yzyxzyxzyxD 2,1:R),,(: 2222223

i pri tome definirati sve pojmove (iz IM2) koji se koriste u postavci i/ili rješenju ovog zadatka. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------

I. ).4

33

3

2(

4

II. ).4

33

3

2(

4

III. ).4

3

3

2(

4

IV. ).4

33

3

2(

3

(1,5 + 1 [ b.])

Zad. 3. Primjenom krivolinijskog integrala prve vrste i nejednakosti ,)1()1(22 cbcacbca

),10( c odrediti približnu vrijednost obima elipse čija je jednačina ,12425

22

yx

tako da greška

po apsolutnoj vrijednosti ne premašuje 0,002. [2,5 b.]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. 31,1011 . II. 31,200 III. 31,100. IV. 31,099.

Zad. 4. Rastaviti vektorsko polje zadano sa ,)(: kzjyizyxa

gdje su kji

,, ortovi

Kartezijevog pravouglog koordinatnog sistema, na potencijalno i solenoidalno polje. Pri tome odrediti

potencijal jednog od tih polja, te definirati sve pojmove (iz IM2) koji se koriste u postavci i/ili rješenju

ovog zadatka. (1 + 0,5 + 1 [b.])

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. ,cba

,3 ixb

.)2(: kzjyizyxc

II. ,cba

,3 ixb

.)2(: kziyxc

III. ,cba

,3 jyixb

.)2(: kzjyizyxc

IV. ,cba

,3 iyb

.)2(: izxc

Zad. 5. Zadana je realna funkcija f jedne realne promjenljive formulom f (x) = arc cos (sin 4x).

a) Ispitati da li je zadana funkcija f djelimično neprekidno diferencijabilna funkcija i pokazati

da je f periodična funkcija, te skicirati njen grafik i grafik njenog prvog izvoda. [2,5 b.]

b) Razviti u Fourierov red (u realnoj i u komleksnoj formi) zadanu funkciju f i ispitati

apsolutnu, uniformnu i konvergenciju u srednjem (odnosno konvergenciju u L2 normi, tj. u

normi definiranoj formulom || f || = za sve , gdje je skup svih

funkcija f za koje je ) dobijenog reda funkcije f . [2,5 b.]

c) Ispitati da li postoji Laplaceova transformacija zadane funkcije f i ako postoji odrediti je. [2,5 b.]

d) Odrediti (ili ustanoviti da ne postoji) Fourierovu transformaciju i Fourierov integral zadane

funkcije f i funkcije f za koju je ( ) ( )f x f x za svaki x (0, 10] i f (x) = 0 za svaki x R \

(0, 10] i ispitati da li se Fourierov red integrala može dobiti integrirajući (u b ))

dobijeni Fourierov red od f (x) član po član. [2,5 b.]

IME I PREZIME STUDENTA : __________________________________

3

Z A D A C I - Gr. B

s 2. parcijalnog ispita iz Inženjerske matematike 2 (IM2), ETF, Sarajevo, 20. 6. 2014.

Zad. 1. Primjenom Laplaceove transformacije riješiti sistem diferencijalnih jednačina

''( ) ( ) ''( ) '( ) , '( ) 2 ( ) '( ) ( )t tx t x t y t y t e y t y t x t x t e

pod uslovima (0) (0) (0) 0, (0) 1x y x y . [2,5 b.]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------

I. ( ( ), ( )) 1 / 4) sh , (1 / 4) sh 3t

x t y t t t t te

. III. )( ( ), ( )) (3 / 4) sh , (1 / 4) ( sh 3t

x t y t t t t te

.

II. ( ( ), ( )) (3 / 4) sh , sh 3t

x t y t t t t te

. IV. )( ( ), ( )) (3 sh , (1 / 4) ( sh 3t

x t y t t t t te

.

Zad. 2. Izračunati trojni integral D

zyxyx ,ddd22 gdje je

zzyxzyxzyxD 2,1:R),,(: 2222223 ,

i pri tome definirati sve pojmove (iz IM2) koji se koriste u postavci i/ili rješenju ovog zadatka. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. ).

4

33

3

2(

4

II. ).

4

33

3

2(

3

III. ).

4

3

3

2(

4

IV. ).

4

33

3

2(

4

(1,5 + 1 [b.])

Zad. 3. Primjenom krivolinijskog integrala prve vrste i nejednakosti ,)1()1(22 cbcacbca

),10( c odrediti približnu vrijednost obima elipse čija je jednačina ,12524

22

yx

tako da greška

po apsolutnoj vrijednosti ne premašuje 0,003. [2,5 b.]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. 31, 0995. II. 31, 100 . III. 31,200. IV. 31,1011 .

Zad. 4. Rastaviti vektorsko polje zadano sa ,)2(: kzjyizyxa

gdje su kji

,, ortovi

Kartezijevog pravouglog koordinatnog sistema, na potencijalno i solenoidalno polje. Pri tome odrediti

potencijal jednog od tih polja, te definirati sve pojmove (iz IM2) koji se koriste u postavci i/ili rješenju

ovog zadatka. (1 + 0,5 + 1 [b.])

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. ,cba

,3 ixb

.)22(: kzjyizyxc

II. ,cba

,3 ixb

.)2(: kziyxc

III. ,cba

,3 jyixb

.)22(: kzjyizyxc

IV. ,cba

,3 iyb

.)2(: izxc

Zad. 5. Zadana je realna funkcija f jedne realne promjenljive formulom f (x) = arc sin (cos 3x).

a) Ispitati da li je zadana funkcija f djelimično neprekidno diferencijabilna funkcija i pokazati

da je f periodična funkcija, te skicirati njen grafik i grafik njenog prvog izvoda. [2,5 b.]

b) Razviti u Fourierov red (u realnoj i u komleksnoj formi) zadanu funkciju f i ispitati

apsolutnu, uniformnu i konvergenciju u srednjem (odnosno konvergenciju u L2 normi, tj. u

normi definiranoj formulom || f || = za sve , gdje je skup svih

funkcija f za koje je ) dobijenog reda funkcije f . [2,5 b.]

c) Ispitati da li postoji Laplaceova transformacija zadane funkcije f i ako postoji odrediti je. [2,5 b.]

d) Odrediti (ili ustanoviti da ne postoji) Fourierovu transformaciju i Fourierov integral zadane

funkcije f i funkcije f za koju je ( ) ( )f x f x za svaki x (0, 10] i f (x) = 0 za svaki x R \

(0, 10] i ispitati da li se Fourierov red integrala može dobiti integrirajući (u b ))

dobijeni Fourierov red od f (x) član po član. [2,5 b.]

IME I PREZIME STUDENTA : ...............................................................