Électronique systèmes

Version du 22 janvier 2007

Université de Versailles Saint-Quentin

LICENCE Sciences pour l’Ingénieur (ex E.E.A.)

Cours d’Électronique systèmes (L3 Si234)

2006-2007

Luc Chassagne

Chapitres : 1 – Diagramme de Bode 2 – Amplification – Bande passante

3 – Filtrage 4 – Conversions analogiques ↔ numériques 5 – Modulations - démodulations analogiques

Documents associés : Polycopiés de TD : 6 TD Polycopiés de TP : 3 TP

Annales d’examen

2

TABLE DES MATIÈRES

..............................................................................................................................................1

CHAPITRE 1 .........................................................................................................................................................7

DIAGRAMME DE BODE ....................................................................................................................................7

1. FONCTIONS DE TRANSFERT ...............................................................................................................7 1.1. Rappels : quelques propriétés du logarithme et de l’Arctangente...................................................7 1.2. Définitions........................................................................................................................................8 1.3. Produits de formes canoniques ........................................................................................................8

2. FORMES CANONIQUES DU PREMIER ORDRE................................................................................10 2.1. Le gain pur .....................................................................................................................................10 2.2. Le dérivateur ..................................................................................................................................10 2.3. L’intégrateur ..................................................................................................................................11 2.4. Le pseudo dérivateur......................................................................................................................12 2.5. Le pseudo intégrateur ....................................................................................................................14

3. EXEMPLES DU PREMIER ORDRE......................................................................................................16 3.1. Passe bas passif .............................................................................................................................16 3.2. Passe haut passif ............................................................................................................................16 3.3. Pont diviseur passe bas..................................................................................................................17

4. FORMES CANONIQUES DU SECOND ORDRE.................................................................................19 4.1. Passe-bas .......................................................................................................................................19 4.2. Passe-haut......................................................................................................................................22 4.3. Passe-bande ...................................................................................................................................23

5. CONCLUSIONS .....................................................................................................................................25

CHAPITRE 2 .......................................................................................................................................................27

AMPLIFICATION – BANDE PASSANTE ......................................................................................................27

1. L’AMPLIFICATEUR : CARACTÉRISTIQUES....................................................................................27 1.1. Définitions......................................................................................................................................27 1.2. Caractéristiques .............................................................................................................................28 1.3. Quelques rappels sur les unités de gain.........................................................................................29 1.4. Mise en cascade de quadripôles amplificateurs ............................................................................30

2. AMPLIFICATION : ÉTUDE EN FRÉQUENCE....................................................................................32 2.1. Structure générale d’un amplificateur ...........................................................................................32 2.2. Étude en fréquence.........................................................................................................................32

3

2.3. Compensation en fréquence ...........................................................................................................33 2.4. Effet Miller .....................................................................................................................................34

3. DEUX QUADRIPÔLES FONDAMENTAUX .......................................................................................36 3.1. L’intégrateur ..................................................................................................................................36 3.2. Le dérivateur ..................................................................................................................................37

4. CONCLUSIONS .....................................................................................................................................40

CHAPITRE 3 .......................................................................................................................................................41

FILTRAGE ANALOGIQUE..............................................................................................................................41

1. INTRODUCTION À LA SYNTHÈSE DES FILTRES ...........................................................................41 2. DÉFINITION DU GABARIT .................................................................................................................42

2.1. Gabarit réel....................................................................................................................................42 2.2. Gabarit normalisé ..........................................................................................................................44

3. CHOIX D’UNE FONCTION D’APPROXIMATION ............................................................................47 3.1. Types de filtres existants ................................................................................................................47 3.2. Filtres de Butterworth ....................................................................................................................47 3.3. Filtres de Tchebytchev ...................................................................................................................49 3.4. Filtres de Bessel .............................................................................................................................52 3.5. Critères de choix ............................................................................................................................52

4. SYNTHÈSE DU FILTRE........................................................................................................................53 4.1. Détermination de l’ordre nécessaire..............................................................................................53 4.2. Rappels : fonctions du premier ordre ............................................................................................53 4.3. Rappels : fonctions du second ordre..............................................................................................53

5. RÉALISATION DE FILTRES ................................................................................................................56 5.1. Structure de Rauch.........................................................................................................................56 5.2. Structure de Sallen-Key..................................................................................................................57 5.3. Structure Bi-quad...........................................................................................................................58 5.4. Réglages et sensibilité ....................................................................................................................58

6. CONCLUSIONS .....................................................................................................................................59

CHAPITRE 4 .......................................................................................................................................................61

CONVERSION ANALOGIQUE ↔ NUMÉRIQUE ........................................................................................61

1. NOTION D’ÉCHANTILLONNAGE......................................................................................................61 1.1. Définitions......................................................................................................................................61 1.2. Recouvrement spectral et théorème de Shannon............................................................................62 1.3. Réalisation d’échantillonneur-bloqueur ........................................................................................63

2. CONVERSIONS ANALOGIQUES ↔ NUMÉRIQUES ........................................................................65 2.1. Définitions......................................................................................................................................65 2.2. Principes généraux de fonctionnements.........................................................................................65 2.3. Caractéristiques des convertisseurs...............................................................................................66 2.4. La quantification ............................................................................................................................69

3. DIFFÉRENTS TYPES DE CONVERTISSEURS...................................................................................71

4

3.1. Liste des convertisseurs..................................................................................................................71 3.2. CNA à résistances pondérées.........................................................................................................71 3.3. CNA à réseau R-2R ........................................................................................................................72 3.4. CAN parallèle ................................................................................................................................74 3.5. CAN à approximations successives................................................................................................75 3.6. CAN simple rampe .........................................................................................................................76 3.7. CAN double rampe.........................................................................................................................77 3.8. CAN tension-fréquence ..................................................................................................................77

4. CONCLUSIONS .....................................................................................................................................79

CHAPITRE 5 .......................................................................................................................................................81

MODULATIONS - DÉMODULATIONS .........................................................................................................81

1. TRANSMISSION SUR UN CANAL ......................................................................................................81 1.1. Généralités .....................................................................................................................................81 1.2. Bande passante d’un signal utile ...................................................................................................82

2. CHANGEMENT DE FRÉQUENCE.......................................................................................................83 2.1. Étude dans le domaine fréquentiel .................................................................................................83 2.2. Étude dans le domaine temporel ....................................................................................................83 2.3. Démodulation.................................................................................................................................84 2.4. Fréquence image............................................................................................................................84 2.5. Produits d’intermodulation............................................................................................................85 2.6. Détection superhétérodyne.............................................................................................................85 2.7. Détection synchrone.......................................................................................................................87

3. LES MÉLANGEURS - MULTIPLIEURS ..............................................................................................88 3.1. Principe général.............................................................................................................................88 3.2. Caractéristiques .............................................................................................................................89

4. LES DIFFÉRENTES MODULATIONS EXISTANTES ........................................................................90 4.1. La modulation d’amplitude (AM)...................................................................................................90 4.2. La modulation de fréquence (FM) .................................................................................................90 4.3. La modulation de phase (PM)........................................................................................................90 4.4. La modulation par impulsions .......................................................................................................90

5. LA MODULATION D’AMPLITUDE....................................................................................................91 5.1. Définitions......................................................................................................................................91 5.2. Indice de modulation......................................................................................................................91 5.3. Encombrement spectral..................................................................................................................92 5.4. Rendement......................................................................................................................................94 5.5. Autres types de modulation d’amplitude........................................................................................94

6. LA MODULATION DE FRÉQUENCE..................................................................................................95 6.1. Définition .......................................................................................................................................95 6.2. Avantages et inconvénients ............................................................................................................95 6.3. Rappels...........................................................................................................................................95 6.4. Aspect temporel..............................................................................................................................95 6.5. Expression du signal modulé .........................................................................................................96

5

6.6. Cas d’une modulation sinusoïdale .................................................................................................96 6.7. Analyse spectrale ...........................................................................................................................97 6.8. Encombrement spectral..................................................................................................................98 6.9. Séries de Bessel ..............................................................................................................................99

7. LA MODULATION DE PHASE ..........................................................................................................101 7.1. Définition .....................................................................................................................................101 7.2. Avantages et inconvénients ..........................................................................................................101 7.3. Expression du signal modulé .......................................................................................................101 7.4. Cas d’une modulation sinusoïdale ...............................................................................................101 7.5. Analyse spectrale .........................................................................................................................102 7.6. Relation entre modulation de fréquence et de phase ...................................................................102 7.7. Modulations numériques..............................................................................................................102

8. CONCLUSIONS ...................................................................................................................................103

7

CHAPITRE 1

DIAGRAMME DE BODE Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement en fréquence d’un quadripôle. Il permet une résolution graphique qui est souvent la méthode la plus rapide. Quelques définitions et rappels débutent ce chapitre. Puis le détail des formes canoniques utiles à l’étude des diagrammes de Bode va permettre de mettre en avant cet intérêt de l’étude graphique. Un ensemble d’exemple permettra d’appuyer le cours.

1. FONCTIONS DE TRANSFERT

1.1. Rappels : quelques propriétés du logarithme et de l’Arctangente

L’intérêt du diagramme de Bode réside dans certaines propriétés de la fonction logarithme qui rendent l’expression du gain en décibel plus facile à manipuler. Certaines opérations se font graphiquement. On utilise dans la suite le logarithme base 10.

Log(a×b) = Log(a) + Log(b) Log(a/b) = Log(a) – Log(b) Log(an) = n×Log(a)

Il est de plus intéressant d’avoir en tête quelques valeurs particulières :

Log (1) = 0 → 20.Log(1) = 0 dB Log(10n) = n → 20.Log(10n) = n.20 dB Log(2) ≅ 0,3 → 20.Log(2) ≅ + 6 dB

Pour l’étude de la phase :

Arctan (0) = 0 Arctan(± 1) = ± π/4 Arctan(± ∞) = ± π/2

8

1.2. Définitions Considérons une fonction de transfert d’un quadripôle ( )H jω . On désire connaître son

comportement en fréquence en régime harmonique, c'est-à-dire en supposant que le signal à l’entrée est de forme purement sinusoïdale. La fréquence de ce signal peut varier de 0 à + ∞. Le diagramme de Bode qui va servir à décrire ce comportement, aura donc en abscisse des fréquences (ou des pulsations au choix à un facteur 2π près).

On définit son diagramme de Bode en gain par la fonction ( ) ( )( )20logdBH H jω ω= . Il faut donc calculer son module ( )H jω puis ensuite

calculer 20log(module) pour passer en unité de décibel. L’unité des ordonnées est le décibel.

On définit son diagramme de Bode en phase par la fonction

( )( )H Argument H jφ ω= . L’unité en ordonnée est le degré ou le radian. S’agissant de

fonction complexe, on retrouve l’utilité de la fonction Arctangente. On définit d’autre part les notions suivantes :

Décade : rapport dix entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport dix entre deux fréquences.

Octave : rapport deux entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du

diagramme de Bode pour parler d’un rapport deux entre deux fréquences.

1.3. Produits de formes canoniques Lorsque l’on connaît l’expression d’une fonction de transfert ( )H jω , il est possible de la

mettre sous la forme d’un produit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ... nH j H j H j H j H jω ω ω ω ω= × × × ,

où les ( )xH jω sont des fonctions de transfert de formes canoniques du premier ordre ou du

second ordre. Grâce au logarithme, le diagramme en gain se transforme alors en une somme de fonctions :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...dB dB dB dB ndBH j H j H j H j H jω ω ω ω ω= + + + .

9

De même pour la phase :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...H H H H Hnj j j j jφ ω φ ω φ ω φ ω φ ω= + + +

Il est alors possible d’effectuer ces sommes très simplement d’une manière graphique ce qui rend l’étude du diagramme de Bode particulièrement utile. L’étude préalable des formes canoniques est donc importante. Nous en distinguerons cinq du premier ordre et trois du second ordre que nous allons étudier dans les paragraphes suivants.

10

2. FORMES CANONIQUES DU PREMIER ORDRE

2.1. Le gain pur Soit la fonction de transfert constante en fréquence ( )H j Hω = .

Module : ( ) 20logdBH Hω = si 1H > alors dBH > 0 dB

si 1H < alors dBH < 0 dB

Phase : ( )Hφ ω = 0 si 0H >

= π (modulo 2π) si 0H <

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

si H > 1

0 dB

si H < 1 0

si H < 0

0 si H > 0

π

Figure 1 : Diagrammes de Bode d’un gain pur

2.2. Le dérivateur Soit la fonction de transfert telle que :

0

dH j jω ωτω

= = avec τ

ω 10 =

Module : ( )0

20log 20logdB dH H ωωω

= =

On remarque que : • ( )dBH ω = 0 dB si ω = ω0

• ( )dBH ω augmente avec ω

→ on parle de pente +1

• ( )dBH ω = + 20 dB si ω = 10.ω0

( )dBH ω = - 20 dB si ω = ω0/10

11

→ on parle de pente + 20 dB/décade • ( )dBH ω = + 6 dB si ω = 2.ω0

( )dBH ω = - 6 dB si ω = ω0/2

→ on parle de pente + 6 dB/octave

On définit donc une pente +1 ce qui correspond à +6 dB/octave ou +20 dB/décade

Phase : ( )Hφ ω = Arg(jωτ) = + 2π

La suivante représente le tracé du module du gain et la phase de la fonction dérivateur.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

π/2

ω0

Pente +1 + 6 dB/octave + 20 dB/décade

20 dB

10ω0

Figure 2 : Diagrammes de Bode d’un dérivateur pur

2.3. L’intégrateur Soit la fonction de transfert telle que :

0

1 1iH

jj ω ωτω

= = avec τ

ω 10 =

Module : ( ) 0

0

20 log 20log 20log 20logdB i dH H H ω ωωω ω

= = − = = −

On remarque que : • ( )dBH ω = 0 dB si ω = ω0

• ( )dBH ω diminue avec ω

→ on parle de pente -1

• ( )dBH ω = - 20 dB si ω = 10.ω0

( )dBH ω = + 20 dB si ω = ω0/10

12

→ on parle de pente - 20 dB/décade • ( )dBH ω = - 6 dB si ω = 2.ω0

( )dBH ω = + 6 dB si ω = ω0/2

→ on parle de pente +- 6 dB/octave

On définit donc une pente -1 ce qui correspond à -6 dB/octave ou -20 dB/décade

Phase : ( )Hφ ω = Arg(-jωτ) = -2π

La suivante représente le tracé du module du gain et la phase de la fonction intégrateur.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω 0 dB 0

- π/2

ω0

Pente -1 - 6 dB/octave - 20 dB/décade

- 20 dB

10ω0

Figure 3 : Diagramme de Bode d’un intégrateur pur

2.4. Le pseudo dérivateur Soit la fonction de transfert telle que :

0

1 1pdH j jω ωτω

= + = + avec τ

ω 10 =

Lorsqu’on trace le module et la phase de cette fonction, on effectue en général une première étude dite asymptotique qui est une représentation simplifiée mais suffisante dans la plupart des cas.

Module : ( ) ( )220log 20log 1dB pdH Hω ωτ= = +

On remarque que : • ( ) 20log 2dBH ω = = 3 dB si ω = ω0

→ on associe à ce point particulier ω = ω0 le terme « pulsation de coupure »

• ( )dBH ω → 0 dB quand ω → 0

13

→ on y associe l’asymptote ydB = 0 dB • ( )dBH ω → + ∞ dB quand ω → + ∞

→ on peut négliger 1 devant (ωτ), on retrouve alors le cas du dérivateur : on associe une asymptote de pente +1 pour ω → + ∞.

Phase : ( )Hφ ω = Arctan(ωτ)

• ( )Hφ ω → 0 si ω → 0

→ on y associe l’asymptote φ0 = 0 rad • ( )Hφ ω → + π/2 quand ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote φ∞ = + π/2 rad • ( )Hφ ω = + π/4 si ω = ω0


La Figure 4a présente le tracé asymptotique classiquement utilisé pour représenter le module du gain et la phase de cette fonction. La Figure 4b représente le tracé réel. On note que la courbe réelle de gain passe + 3 dB au dessus du croisement des deux asymptotes. La courbe de phase passe par le milieu du créneau très grossier utilisé au premier abord. Un tracé asymptotique plus réaliste est parfois utilisé pour la phase - représenté Figure 4c.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

90°

ω0

Pente +1 20 dB

10ω0

ω0

a)

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

90°

ω0

ω0

b)

45°

+3 dB

14

φH(ω)

ω 0

90°

ω0

c) 45°

10 ω0 ω0 / 10

Figure 4 : Digrammes de Bode d’un pseudo dérivateur a) Asymptotiques, b) Réels et c) Semi-asymptotique pour la phase

2.5. Le pseudo intégrateur Soit la fonction de transfert telle que :

0

1 111

piHjj ω ωτ

ω

= =++

avec τ

ω 10 =

De même que précédemment, une étude dite asymptotique est dans un premier temps souvent suffisante.

Module : ( ) ( )220 log 20log 20log 1dB pi pdH H Hω ωτ= = − = − +

On remarque que : • ( ) 20log 2dBH ω = − = - 3 dB si ω = ω0


• ( )dBH ω → 0 dB quand ω → 0

→ on y associe l’asymptote ydB = 0 dB • ( )dBH ω → - ∞ dB quand ω → ∞

→ on peut négliger 1 devant (ωτ), on retrouve alors le cas de l’intégrateur : on associe une asymptote de pente -1 pour ω → + ∞.

Phase : ( )Hφ ω = Arctan(ωτ)

• ( )Hφ ω → 0 si ω → 0

→ on y associe l’asymptote φ0 = 0 rad • ( )Hφ ω → - π/2 quand ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote φ∞ = - π/2 rad • ( )Hφ ω = - π/4 si ω = ω0

15


La figure suivante représente les différents tracés possibles pour le gain et la phase d’un pseudo-intégrateur similairement au cas précédent du pseudo-dérivateur.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

-90°

ω0

Pente -1 -20 dB

10ω0

ω0 a)

HdB(ω)

ω

φH(ω) ω

0 dB 0

- 90°

ω0 ω0

b) - 45° -3 dB

φH(ω)

ω 0

- 90°

ω0

c) - 45°

10 ω0 ω0 / 10

Figure 5 : Diagrammes de Bode d’un pseudo intégrateur Asymptotiques, b) Réels et c) Semi-asymptotique pour la phase

16

3. EXEMPLES DU PREMIER ORDRE

3.1. Passe bas passif La fonction de transfert du circuit de la ci-dessous s’exprime par :

( ) 11

s c

e c

v ZH jv Z R j RC

ωω

= = =+ +

En posant RC1

0 =ω on obtient : ( )

0

1

1H j

jω ω

ω

=+

ve

vs

R = 1 kΩ

C = 1 nF

Figure 6 : Circuit passe bas RC passif

Le diagramme de Bode correspondant est celui de la forme canonique d’un pseudo intégrateur

de fréquence de coupure ==RC

fπ21

0 160 kHz. La bande passante est 0 → f0.

3.2. Passe haut passif La fonction de transfert du circuit de la figure ci-dessous s’exprime par :

( )1

s

e c

v R j RCH jv Z R j RC

ωωω

= = =+ +

ve

vs

C = 1 µF

R = 1 kΩ

Figure 7 : Circuit passe haut RC passif

17

En posant RC1

0 =ω on obtient : ( ) 0

0

1

jH j

j

ωωω ωω

=+

. On reconnaît le produit de deux formes

canoniques, un dérivateur pur 0

1 ωωjH = et un pseudo intégrateur

0

2

1

1

ωωj

H+

= . Le

diagramme de Bode de H(jω) est alors la somme des deux diagrammes respectifs. La

fréquence de coupure des deux fonctions est identique et vaut ==RC

fπ21

0 160 Hz. La bande

passante est f0 → +∞.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

90° ω0

ω0

H1dB

H2dB

-90°

H1

H2

Figure 8 : Diagramme de Bode d’un passe haut RC passif

3.3. Pont diviseur passe bas Considérons le circuit suivant et calculons sa fonction de transfert.

( ) ( )( )

2

2 1

////

cs

e c

Z RvH jv Z R R

ω = =+

ve vs

R1 = 1 kΩ

C = 1 nF

R2 = 1 kΩ

Figure 9 : Circuit pont diviseur passe bas

On peut calculer CRj

RRZ c

2

22 1

//ω+

= , ce qui permet d’obtenir :

18

( )2

2 2

2 1 2 1 21

2

1

1

Rj R C RH j R R R j R R CR

j R C

ωωω

ω

+= =

+ +++

Il est nécessaire de retrouver un produit de formes canoniques. Pour cela au dénominateur les deux résistances sont isolées et factorisées. On obtient ainsi :

( )C

RRRR

jRRR

CRRjRRR

H

21

2121

2

2121

2

1

1

++

⋅+

=++

=ωω

ω

En posant ( )CRRCRR

RR 21

21

210 //

11=

+

=ω , on obtient le produit d’un gain pur 21

1 2

RHR R

=+

(H1dB = - 6 dB puisque R1 = R2), et d’un pseudo intégrateur

0

2

1

1

ωωj

H+

= avec f0 = 318 kHz.

HdB(ω)

ω

φH(ω)

ω

0 dB

0

ω0

ω0 H1

H2

-90°

H1

H2

-6 dB

HdB H

Figure 10 : Diagramme de Bode d’un pont diviseur passe bas

La somme est aisément tracée graphiquement pour obtenir la fonction globale HdB(jω).

19

4. FORMES CANONIQUES DU SECOND ORDRE

Il peut arriver que la fonction de transfert ne puisse pas se décomposer uniquement en formes canoniques du premier ordre. Par exemple dans des circuits comportant des parties RLC (voir cours d’électrocinétique), on arrive à une fraction dont le dénominateur est une fonction du second ordre avec un discriminant négatif et donc deux racines complexes. Il est nécessaire de faire appel aux fonctions du second ordre.

Considérons la fonction ( ) ( )( )

02

1 2

.1

H N jH j

a j a jω

ωω ω

=+ +

telle que le dénominateur ait deux

racines complexes. Si ce n’est pas le cas, il s’agît en fait d’un faux second ordre qui est le produit de deux premiers ordres. On peut mettre ( )H jω sous la forme :

( ) ( )02

0 0

.

21

H N jH j

m jj

ωω

ωωω ω

=

+ +

où m est le coefficient d’amortissement ; 0ω la pulsation de

coupure, et 0H le gain statique. Selon la nature de ( )N jω , la réponse en fréquence

correspond à un passe-bas, un passe bande ou un passe haut. On peut aussi trouver dans la littérature le symbole ξ pour l’amortissement. Il est aussi

usuel de faire appel au coefficient de surtension Q, avec la relation 12

Qm

=

4.1. Passe-bas Lorsque ( ) 1N jω = , alors :

Lorsque 0ω → alors ( ) 0H j Hω →

Lorsqueω → +∞ alors ( ) 0H jω →

On a donc ( )H jω qui est une fonction de transfert de type passe-bas.

Contrairement aux cas du premier ordre, il est délicat de se contenter d’une étude asymptotique. Le coefficien d’amortissement joue un rôle important aux abords de la fréquence de coupure, les asymptotes sont insuffisantes. Il est préférable de calculer le module exact. Dans la suite, on considère que H0 = 1.

Module : ( )22 2 2

2 20 0

1

41

H jm

ωω ωω ω

= − +

20

On remarque que : • Le module dépend fortement de m • ( ) 0H jω → dB quand ω → 0

→ on y associe l’asymptote ydB = 0 dB • ( )H jω → −∞dB quand ω → + ∞

→ on peut négliger 1 et m souvent petit ; on retrouve le cas d’un

double intégrateur : ( )202H j ωω

ω∞→ ; on associe une asymptote de

pente - 2 pour ω → ∞, soit - 40 dB/décade (-12 dB/octave)

Phase : L’étude complète est assez longue ; notons que : • φH(ω) → 0 si ω → 0

→ on y associe l’asymptote φ0 = 0 rad • φH(ω) → - π quand ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote φ∞ = - π rad • φH(ω) = - π/2 si ω = ω0

→ on associe à ce point particulier ω = ω0 le terme « pulsation de coupure » ; il s’agit d’un point de symétrie de la courbe

Les deux figures ci-dessous représentent respectivement les diagrammes de Bode en gain et en phase pour différentes valeurs de m et H0 = 1. On considère une pulsation normalisée, c'est-à-dire que 0 1ω = .

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0,1 1 10

Pulsation normalisée

Gai

n (d

B)

m = 0,1

m = 2

m = 1

m = 0,3

m = 0,5

m = 0,7

Figure 11 : Gain d’un passe bas deuxième ordre normalisé

21

Soulignons l’importance du facteur d’amortissement :

Si m < 0,7, un phénomène de rebond apparaît au niveau de la fréquence de coupure. On considère que si m > 0,7 ce n’est pas le cas. On peut montrer (étude de la dérivée du module) que le maximum du rebond est situé

à l’abscisse 2max 0 0 2

11 2 12

mQ

ω ω ω= − = −

La valeur maximale de la fonction pour cet abscisse est

0 0max 2

2

.20 log 20log12 . 1 1

4

dB

H H QHm m

Q

= = − −

La variation de phase est d’autant plus raide que le coefficient d’amortissement est faible.

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,1 1 10


Phas

e (°

)

m = 2m = 1

m = 0,7

m = 0,5

m = 0,3

m = 0,1

Figure 12 : Phase d’un passe bas deuxième ordre normalisé

22

4.2. Passe-haut

Lorsque ( )2

0

jN j ωωω

=

, alors :

Lorsque 0ω → alors ( ) 0H jω →

Lorsqueω → +∞ alors ( ) 0H j Hω →

On a donc ( )H jω qui est une fonction de transfert de type passe-haut. On peut mener une

étude complète similaire au cas du passe bas (H0 = 1).

Module : ( )

2

2022 2 2

2 20 0

41

H jm

ωωω

ω ωω ω

= − +

On remarque que : • Le module dépend fortement de m • ( ) 0H jω → dB quand ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote ydB = 0 dB • ( )H jω → −∞dB quand ω → 0

→ on retrouve le cas d’un double dérivateur ; on associe une asymptote de pente + 2 , soit + 40 dB/décade (+12 dB/octave)

Phase : L’étude complète est assez longue ; notons que : • φH(ω) → 0 si ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote φ0 = 0 rad • φH(ω) → + π quand ω → 0

→ on y associe l’asymptote φ∞ = + π rad • φH(ω) = + π/2 si ω = ω0


Les diagrammes de Bode sont similaires à ceux du passe bas mais bien sur symétriques par rapport à la pulsation de coupure. L’influence de m est identique (valeur du rebond identique ; abscisse du maximum décalé au-dessus de 0ω symétriquement).

23

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

m = 0,1

m = 0,3

m = 0,5

m = 0,7

m = 1

m = 2

Figure 13 : Gain d’un passe haut deuxième ordre normalisé

4.3. Passe-bande

Lorsque ( )0

2mjN j ωωω

= , alors :

Lorsque 0ω → alors ( ) 0H jω →

Lorsqueω → +∞ alors ( ) 0H jω →

On a donc ( )H jω qui est une fonction de transfert de type passe-bande. On peut mener une

étude complète similaire au cas du passe bas (H0 = 1).

Module : ( ) 022 2 2

2 20 0

2

41

m

H jm

ωωω

ω ωω ω

= − +

On remarque que : • Le module dépend fortement de m • ( )H jω → −∞ dB quand ω → + ∞

→ on retrouve le cas d’un intégrateur ; on associe une asymptote de pente - 1 , soit - 20 dB/décade

24

• ( )H jω → −∞dB quand ω → 0

→ on retrouve le cas d’un dérivateur ; on associe une asymptote de pente + 1 , soit + 20 dB/décade

Phase : L’étude complète est assez longue ; notons que : • φH(ω) → - π/2 si ω → + ∞

→ on y associe l’asymptote φ0 = - π/2 rad • φH(ω) → + π/2 quand ω → 0

→ on y associe l’asymptote φ∞ = + π/2 rad • φH(ω) = 0 si ω = ω0


L’influence de m est très forte sur le gain aux abords de la fréquence de coupure, bien que la notion de rebond soit différente ; dans ce cas, la notion de coefficient de qualité Q est plus adaptée. Lorsqu’on s’en éloigne, on retrouve bien les pentes ± 1.

-40

-30

-20

-10

0

10

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

m = 0,1

m = 0,3

m = 0,5

m = 0,7

m = 1m = 2

Figure 14 : Gain d’un passe bande deuxième ordre normalisé

25

5. CONCLUSIONS

L’étude du diagramme de Bode porte sur une fonction de transfert en régime harmonique.

On définit son diagramme en gain et en phase. Les études asymptotiques sont très généralement utilisées,

La fonction de transfert est dans un premier temps décomposée en produit de formes

canoniques – cinq du premier ordre et tris du second ordre - ce qui permet une étude graphique ensuite,

Les formes canoniques du second ordre font apparaître le coefficient d’amortissement, qui

peut éventuellement entraîner des phénomènes de surtension dans une zone de fréquence.

27

CHAPITRE 2

AMPLIFICATION – BANDE PASSANTE

1. L’AMPLIFICATEUR : CARACTÉRISTIQUES

1.1. Définitions Un amplificateur est un quadripôle ayant pour rôle de passer d’une tension/courant/puissance d’entrée à une tension/courant/puissance de sortie, a priori supérieur(e).

Quadripôle VE

IE

VS

IS

PS PE

Figure 15 : Amplificateur

On peut définir l’amplification :

- en tension Sv

E

VAV

= (>1 a priori pour un amplificateur de tension)

- en courant SI

E

IAI

= (>1 a priori pour un amplificateur de courant)

- en puissance SP

E

PAP

= (>1 a priori pour un amplificateur de puissance)

Il s’agît d’un composant actif. Il est nécessaire de l’alimenter par une source d’énergie extérieure, en règle générale une alimentation électrique. On peut alors définir un rendement lié aux pertes par dissipation thermique.

Quadripôle PS PE

Alimentation

Pertes par dissipation

Figure 16 : Amplificateur = composant actif

28

Le rendement est évidemment inférieur à 100%. On peut établir un bilan général : limTotale A E Pertes SP P P P P= + = + Le rendement est égal au rapport entre la puissance utile et la puissance apportée par

l’alimentation : lim

1S

A

PP

η = <

1.2. Caractéristiques Le schéma de principe est présenté ci-dessous.

Vs

VE ZE

ZS

AVE

Figure 17 : Schéma de principe de l’amplificateur

On peut définir les caractéristiques suivantes :

L’impédance d’entrée : EE

E

VZI

=

L’impédance de sortie : SS

S

VZI

=

L’amplification : VA ou IA ou PA tel que défini au paragraphe précédent Le gain : ( )20 logV VG A= × ou ( )20 logI IG A= ×

ou ( )10 logP PG A= × .

Le gain est exprimé en déciBel (dB).

Le rendement : lim

1S

A

PP

η = <

La dynamique de sortie : c’est l’amplitude maximale au-delà de laquelle l’amplificateur n’est plus dans un régime de fonctionnement linéaire. Elle est généralement liée à une saturation due à l’alimentation, ou au blocage ou à la saturation d’un transistor.

La bande passante : c’est la bande de fréquence dans laquelle les spécifications de gain sont tenues. On peut définir la bande passante par haute basseBP f f= − où la fréquence haute est la fréquence de coupure haute et la fréquence basse la fréquence de coupure basse. Par convention ces deux fréquences sont définies à – 3 dB, c'est-à-

29

dire que le gain à ces fréquences vaut – 3 dB par rapport au gain nominal dans la bande.

Le produit gain-bande : il s’agit d’un abus de langage, il faudrait plutôt parler du produit amplification-bande. Il correspond au produit de la bande passante par l’amplification dans cette bande : minno alGBP BP A= × . Dans l’exemple de la figure suivante, le produit gain-bande vaut 107.

f (Hz)

G (dB)

pente -1

120 dB (soit 106 d’amplification)

10 Hz

0 dB

107 Hz

Figure 18 : Produit Gain-Bande

On peut alors noter une propriété importante dans le cas d’amplificateur ayant une fréquence de coupure suivie d’une pente -1, c'est-à-dire – 20 dB/décade, (soit 1/10 par décade en amplification). On parle du produit Gain-bande constant. En effet dans la bande passante, le produit amplification × bande = 106 × 10. Il se retrouve à n’importe quel point de la caractéristique. Ainsi, à une fréquence de 100 Hz, l’amplification vaut 107/100 = 105 ; à 1 kHz, l’amplification vaut 104, etc… Le gain unitaire est alors à 107 Hz. Remarque importante : Amplification et bande passante sont deux caractéristiques en opposition. Il est difficile d’avoir une grande amplification sur une grande bande passante. La présence de capacités parasites limite la bande très rapidement, et d’autant plus vite que le gain est grand comme on le verra par la suite. Dans le choix d’un amplificateur, ces deux critères sont donc parmi les plus importants. En conséquence le produit Gain-bande est une information primordiale.

1.3. Quelques rappels sur les unités de gain Outre le dB définit précédemment ( 20 logG A= × ), d’autres unités dérivées sont utilisées :

Le dBm : le dBm ne s’applique qu’aux puissances. L’expression est identique à celle

du dB ( 10 log S

E

PGP

= × ), mais on considère que PE est un niveau de référence de

1 mW (calculé sur 50 Ω, cela donne 0,223 V efficace). Le dBm est donc plutôt une

30

unité de niveau de puissance que réellement un gain. Par exemple 0 dBm implique que PS = 1 mW, 10 dBm donne 10 mW, etc.

Le dBc : de la même manière, le niveau de référence n’est pas pris au hasard. Le « c » évoque le terme « carrier », « porteuse » en anglais. On considère ici que PE est le niveau d’un signal de référence. Cette unité est souvent utilisée pour exprimer le niveau des harmoniques par rapport à un fondamental par exemple.

Le dBV : identiquement, PE est un niveau de référence calculé tel que le signal de référence vaut 1 V (la puissance est ensuite calculée sur 50 Ω ou 75 Ω ou 600 Ω ou autre selon le domaine).

Autres selon le domaine (en audio, dBm0, dBmO,…).

1.4. Mise en cascade de quadripôles amplificateurs Considérons deux amplificateurs : A1 d’amplification en tension Av1 et A2 d’amplification Av2. Les impédances d’entrées respectives sont Ze1 et Ze2, et les impédance de sorties respectives Zs1 et Zs2. Ces deux amplificateurs sont positionnés en série.

Vs1

VE

ZE1

A1 ZS1

AV1 Vs2

A2 ZS2

AV2

ZE2

Figure 19 : Mise en série de deux amplificateurs

On peut espérer avoir le produit des deux amplifications 2 1 2S E V VV V A A= × × . Or ce n’est pas le cas. En effet on peut voir que :

21 1

1 2

ES E V

E E

ZV V AZ Z

= × ×+

,

et 2 2 1S V SV A V= × .

On a donc en final : 21 2

1 2

EVTotal V V

E E

ZA A AZ Z

= × ×+

.

Il faut donc avoir 1 0EZ → ou 2EZ →∞ pour avoir un bon transfert de l’amplification en tension des amplificateurs.

31

Toutefois, si l’on considère qu’il s’agit d’amplificateurs de puissance d’amplifications respectives Ap1 et Ap2, la problématique est différente, on espère avoir cette fois-ci

2 1 2S E P PP P A A= × × .

Or 21

12

SE

E

VPZ

= . On voit donc que si 2EZ →∞ , la puissance transmise au deuxième

amplificateur tend vers 0. Pour transférer le maximum de puissance, il est nécessaire d’avoir 2 1E EZ Z= (plus généralement, si les impédances sont imaginaires, on montre qu’il est nécessaire d’avoir

*2 1E EZ Z= ). On parle d’adaptation d’impédance, l’impédance d’entrée du second

amplificateur doit être égale à l’impédance de sortie du premier amplificateur. En résumé, selon qu’il s’agit d’amplificateur de tension ou de puissance, les impératifs sont contradictoires.

Transfert optimal de tension si 1 0EZ → ou 2EZ →∞ , Transfert optimal de puissance si 2 1E EZ Z= .

32

2. AMPLIFICATION : ÉTUDE EN FRÉQUENCE

2.1. Structure générale d’un amplificateur Considérons le cas d’un amplificateur opérationnel, et essayons de schématiser sa structure :

1° étage 2° étage 3° étage

Amplificateur à fort gain en

tension

Préamplificateur de tension

Assure l’impédance

d’entrée

Amplificateur de courant ou de

puissance Assure

l’impédance de sortie

Figure 20 : Structure générale d’un amplificateur

Le premier étage assure l’impédance d’entrée, très grande dans le cas d’un AOP. Il assure en même temps une première amplification en tension. Il est généralement composé d’un paire différentielle à transistor. Le second étage est l’étage principal avec un gain en tension très grand. Généralement composé d’un ou plusieurs montages à base de transistors montés en émetteur commun. Le troisième étage établit l’impédance de sortie très faible, ainsi qu’une amplification en courant et donc en puissance. Généralement composé de montages collecteurs communs ou d’amplificateurs type push-pull.

2.2. Étude en fréquence L’allure typique du diagramme de Bode en gain et en phase correspondant au schéma de principe vu ci-dessus est représentée ci-après. La première fréquence de coupure fc1 est généralement due à la capacité de liaison entre le premier et le second étage qui est amplifiée par effet Miller. La seconde fréquence de coupure fc2 est liée à des capacités parasites dans les autres étages. Il peut y avoir ensuite d’autres fréquences de coupures plus hautes. On sait que l’amplificateur est stable si fc2 arrive pour G < 0 dB (voir plutôt - 6 dB si l’on considère la marge de gain ou la marge de phase). Si cette condition n’est pas remplie, l’amplificateur peut être instable et osciller tout seul.

33

f (Hz)

G (dB)

pente -1

G

fc1

0 dB

pente -2 φ (°) fc2

-90°

-180°

Figure 21 : Allure du diagramme de Bode de l’amplificateur 3 étages

2.3. Compensation en fréquence La plupart des amplificateurs de type AOP intégrés ont une amplification extrêmement grande (> 106). La deuxième fréquence de coupure fc2 satisfait alors rarement la condition de stabilité. Afin de rendre le composant stable, une compensation en fréquence est effectuée. Le principe en est illustré ci-dessous :

f (Hz)

G (dB)

pente -1

G

fc1

0 dB

pente -2 φ (°)

fc2

Figure 22 : Compensation en fréquence

La première fréquence de coupure est volontairement réduite. En pratique, la capacité de liaison entre le premier et le deuxième étage est volontairement augmentée. Ceci a pour conséquence – en considérant que la deuxième fréquence de coupure ne bouge pas – de rendre l’amplificateur stable car alors G < 0 dB lorsque arrive fc2. La stabilité se fait au détriment de la bande passante puisque fc1 a été diminuée.

34

2.4. Effet Miller Considérons un amplificateur de gain en tension A, supposé parfait, et d’admittance d’entrée notée YE. On rajoute une admittance Y entre son entrée et sa sortie.

A

Vs VE

Y

i

Figure 23 : Effet Miller

On peut voir que ( )E Si Y V V= × − ou encore ( )1Ei Y V A= × × − soit ( )1E

i Y AV

= × − .

On peut ainsi établir un schéma équivalent où l’admittance Y est ramenée en entrée sous la forme d’une admittance :

( )1MillerY Y A= × − .

Ce phénomène est dénommé effet Miller.

A

Vs VE

YMiller

Figure 24 : Effet Miller

On a alors ETotale E MillerY Y Y= + .

On peut également raisonner en impédance ( )11

Miller

AZ Z

−= soit

( )1MillerZZ

A=

−.

35

Prenons deux exemples pour illustrer :

Montage inverseur

Vs VE

R1

R2 _ +

Figure 25 : Effet Miller sur un montage inverseur

Si l’on considère que l’impédance d’entrée de l’AOP est infinie, on pourrait penser au premier abord que l’impédance d’entrée du montage est égale à 1 2R R+ . Si l’on applique l’effet Miller sur R2, on peut ramener une impédance équivalente qui vaut

( )2

1R

A−. En considérant A très grand, cette impédance tend vers 0. En

conséquence, l’impédance d’entrée du montage vaut en fait 1R .

Effet d’une capacité

Considérons que l’admittance Y correspond à une capacité j Cω qui relie l’entrée et la sortie de l’amplificateur. C’est par exemple le cas de la capacité parasite base-collecteur dans un montage émetteur commun. L’admittance qui sera ramenée en entrée par effet Miller vaudra (1 )MY j C Aω= − . Dans ce cas précis, on peut considérer que l’on ramène une capacité de valeur (1 )MC C A= − . Si le gain est très fort, la capacité ramenée peut alors être très importante.

A

Vs VE ZE

CM Eg

Rg

Figure 26 : Effet Miller sur une capacité

Associée à l’impédance d’entrée et l’impédance de sortie de l’étage précédent, la capacité de Miller agit comme un filtre passe bas qui peut être très restrictif si le gain est fort. C’est l’origine classique de la première fréquence de coupure des AOP.

36

3. DEUX QUADRIPÔLES FONDAMENTAUX

3.1. L’intégrateur

3.1.1. Rappel sur l’intégrateur passif

La fonction de transfert du circuit RC s’exprime par :

( )RCjRZ

Zvv

Hc

c

e

s

ωω

+=

+==

11

En posant RC1


0

1

1

ωω

ωj

H+

=

ve vs

R

C

Figure 27 : Circuit passe bas RC passif

Le diagramme de Bode correspondant est représenté ci-dessous ; la fréquence de coupure vaut

01

2f

RCπ= . La bande passante est 0 → f0. La pente – 1 est significative d’un effet

intégrateur. G (dB)

ω

φ (°)

ω

0 dB

0

-90°

ω0

Pente -1 -20 dB

10ω0

ω0

Figure 28 : Bode d’un intégrateur passif

3.1.2. L’intégrateur actif

Le schéma de principe d’un intégrateur à AOP est représenté ci-dessous.

37

ve vs

R

C

_

+

i

Figure 29 : Intégrateur actif à AOP

La fonction de transfert s’exprime par :

( ) 1s

e

vHv j RC

ωω

= = − .

Il s’agît donc en théorie d’une pente - 1 pure. En pratique le gain - certes très grand mais non infini - de l’AOP introduira une fréquence de coupure et la fonction de transfert sera plutôt identique à celle de l’intégrateur passif, avec une fréquence de coupure très basse et un gain fini en très basse fréquence. On peut montrer ici que la pente – 1 correspond bien à une intégration.

Il apparaît que : S CV V= − d’une part et C EdV Vi Cdt R

= = d’autre part.

On obtient : 1 ( ).S EV V t dt

RC= − ∫

3.2. Le dérivateur

3.2.1. Rappel sur le dérivateur passif

La fonction de transfert du circuit CR s’exprime par :

( )RCj

RCjRZ

Rvv

Hce

s

ωωω

+=

+==

1

ve vs

C

R

Figure 30 : Circuit passe haut RC passif

38

En posant RC1


0

0

1ωω

ωω

ωj

jH

+= . On reconnaît le produit de deux formes

canoniques, un dérivateur pur 0

1 ωωjH = et un pseudo intégrateur

0

2

1

1

ωωj

H+

= . Le

diagramme de Bode est alors la somme des deux diagrammes respectifs. La fréquence de

coupure des deux fonctions est identique et vaut 01

2f

RCπ= . La bande passante est f0 → +∞.

G(dB)

ω

φ(°)

ω

0 dB

0

90° ω0

ω0

H1

H2

-90°

H1

H2

Figure 31 : Diagramme de Bode d’un passe haut RC passif

3.2.2. Le dérivateur actif

Le schéma de principe d’un intégrateur à AOP est représenté ci-dessous :

ve vs

R

C _

+

i

Figure 32 : Dérivateur à AOP

La fonction de transfert s’exprime par :

( ) s

e

vH j RCv

ω ω= = − .

39

Il s’agît donc en théorie d’une pente + 1 pure. On peut montrer ici que la pente + 1 correspond bien à une dérivation.

Il apparaît que : S RV V Ri= − = − d’une part et EdVi Cdt

= = d’autre part.

On obtient : ( )E

S

dV tV RC

dt= − .

En pratique, un gain qui tend vers l’infini pour les hautes fréquences a tendance à rendre le système instable. On insère donc une résistance de quelques ohms en série avec la capacité, ce qui donne une expression de fonction de transfert avec un gain très grand mais fini en haute fréquence. Cela permet de rendre le montage stable.

40

4. CONCLUSIONS

Un amplificateur est caractérisé par ses caractéristiques internes :

Amplification/Gain – Bande passante – Impédances d’entrée/sortie – …,

Il y a systématiquement des capacités parasites qui vont limiter sa bande passante, notamment par effet Miller,

Les deux caractéristiques Gain – Bande passante sont souvent en opposition,

l’optimisation des deux est donc un compromis.

41

CHAPITRE 3

FILTRAGE ANALOGIQUE

1. INTRODUCTION À LA SYNTHÈSE DES FILTRES

Le filtrage analogique peut être réalisé à partir d’éléments passifs (RLC) ou actifs (structures à AOP + RC). Il est basé sur la détermination d’un cahier des charges et du calcul d’une fonction de transfert associée. Pour les signaux numériques, le filtrage numérique (manipulation d’équation en z-1) existe mais ne sera pas abordé dans ce cours. Le but du filtrage est d’isoler une information utile contenue dans une bande passante déterminée, par rapport aux bruits et aux autres informations existants hors de cette bande. Il s’agit donc d’un filtrage fréquentiel. La décomposition dans le domaine de Fourier du signal et le travail sur son spectre sont donc dans un premier temps indispensables. La synthèse d’un filtre peut se faire d’une manière assez linéaire :

Étude du spectre du signal à filtrer,

Définition du cahier des charges du filtre,

Définition du gabarit : adaptation du cahier des charges à un diagramme de filtre,

Calcul du gabarit normalisé correspondant : la gabarit défini est ramené à un gabarit normalisé de type passe-bas afin de faciliter les calculs,

Choix d’une fonction d’approximation du gabarit (Butterworth, Tchebytchev,…),

Choix d’une structure de réalisation à partir d’élément RLC-AOP,

Synthèse de cette structure à partir de cellules élémentaires,

Vérification des performances et réglages.

42

2. DÉFINITION DU GABARIT

2.1. Gabarit réel Il existe quatre types de filtres : passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande. Pour un filtre donné, il est nécessaire de définir :

Les caractéristiques dans la bande passante o Le gain minimum Gmin o Le gain maximum Gmax o Les fréquences bornant la bande passante

Les caractéristiques en dehors de la bande passante appelée bande de coupure o Le gain maximum Gamax o Les fréquences bornant la bande de coupure

On définit parfois plutôt un filtre par les caractéristiques en phase et/ou en temps de propagation de groupe (non abordé dans ce cours).

On représente le gabarit sous forme d’un diagramme de Bode soit en gain soit en phase. Dans le cas du gabarit en gain, on dessine parfois plutôt le gabarit en atténuation qui est le symétrique puisque l’on rappelle que :

20log sdB

E

VGV

= et 20 log EdB

S

VAV

= soit dB dBA G= −

fc

f Gmin

Gmax fatténuation

f

Aamin

GdB AdB

Gamax fc fatténuation

Amax

Amin

Passe bas

Bande de coupure Bande passante

fc

f

Gmin

Gmax

fatténuation

f

Aamin

GdB AdB

Gamax fc fatténuation

Amax

Amin

Passe haut

Bande passante Bande de coupure

43

f

Gamax

faH GdB faL f0

fcH fcL BP

Gmax

Gmin

Passe bande

Figure 33 : Gabarit de filtres réels

La figure précédente représente les gabarits réels en gain et en atténuation pour un passe bas, un passe haut et un passe bande. Pour ce dernier le gabarit en atténuation n’est pas porté, il se retouve aisément en symétrisant la figure. De même les gabarits du coupe bande ne sont pas représentés étant symétriques du passe-bande. Dans le cas du passe bas : la bande passante va ici de 0 → cf ; la bande d’atténuation de

atténuationf à +∞. Dans cette bande, il n’y a pas vraiment de notion de gain minimum, alors que dans la bande passante qui est la plus importante, on spécifie une limite basse et une limite haute du gain. Dans le cas du passe-haut, le gabarit est inversé. Dans le cas du passe bande, la bande passante BP (toujours définie à – 3 dB) est centrée autour de 0f . Ce n’est pas obligatoirement le cas, mais on considère souvent que 0f est le

centre géométrique entre cLf et cHf . On a donc 0 .cL cHf f f= (et non pas 0 2cL cHf ff +

= !).

De même il est usuel de considérer que la bande d’atténuation est centrée elle aussi sur 0f , on

a donc également 0 .aL aHf f f= .

On peut définir le coefficient de qualité du filtre passe-bande par 0 0

cH cL

f fQBP f f

= =−

qui

traduit la finesse du filtre. Il est courant de définir la notion de sélectivité du filtre :

Passe-bas c

a

fSf

=

Passe-haut a

c

fSf

=

Passe-bande cH cL

aH aL

f fSf f

−=

−

Coupe-bande aH aL

cH cL

f fSf f

−=

−

44

2.2. Gabarit normalisé Afin de simplifier le calcul de ( )H p qui satisfait le gabarit voulu, il existe certains types de

transmittances pré-calculées ( )N NH p classiquement utilisées car les calculs peuvent être

fastidieux. Pour pouvoir les utiliser, il est nécessaire de transformer le gabarit en un gabarit normalisé. Nous allons voir que tout gabarit réel ( )G p peut se ramener à un gabarit normalisé de type

passe-bas ( )N NG p .

On détermine ensuite ( )N NH p qui satisfait ( )N NG p , puis pour retrouver la fonction de

transfert réelle, on effectue le changement de variable inverse :

Passe-bas Nc

ppω

=

Passe-haut cNp

pω

=

Passe-bande 0

0N

pp Qpω

ω

= −

Coupe-bande 0

0

1

N

pQp p

ωω

= −

2.2.1. Normalisation selon l’axe des ordonnées

La normalisation selon l’axe des ordonnées est assez simple et valable quel que soit le type de filtre. On repère dans le gabarit réel le gain maximal. On applique alors au gabarit le décalage

maxN réelG G G= − afin de recentrer le gabarit sur l’axe 0 dB. La figure ci-dessous illustre un exemple :

10 MHz

f

- 20 dB

20 dB

22 dB 30 MHz

- 42 dB

- 2 dB0 dB

GdB GNdB

f 30 MHz

10 MHz - 22 dB

Figure 34 : Gabarit normalisé en ordonnée

Dans cet exemple, le gain maximal sur le gabarit réel est + 22 dB. Un décalage de – 22 dB est effectué pour tout le gabarit.

45

2.2.2. Normalisation selon l’axe des abscisses

La normalisation selon l’axe des abscisses est plus complexe, elle dépend du type de filtre.

Cas du passe-bas : on repère la fréquence de coupure afin d’effectuer une normalisation

de l’axe des fréquences par rapport à cette valeur par la relation c

N fff = . Dans l’exemple

ci-dessus, fc = 10 MHz, ce qui donne : 10 MHz

f

- 20 dB

20 dB

22 dB 30 MHz

fN

- 42 dB

- 2 dB0 dB 3

GdB GNdB

1

Figure 35 : Gabarit passe-bas normalisé

L’axe des fréquences est donc maintenant sans unité. Pour plus de clarté, il sera tout de même noté Nf (ou Ω si on raisonne en pulsation normalisée par rapport à ω).

Cas du passe-haut : on repère la fréquence de coupure également. Mais cette fois-ci le but est de transformer le gabarit passe-haut en gabarit passe-bas. Ceci est facilement réalisé

par le changement de variable inverseur suivant : ff

f cN = .

15 MHz

f

- 20 dB

10 dB12 dB

60 MHz

fN

- 32 dB

- 2 dB0 dB 4

GdB GNdB

1

Figure 36 : Gabarit passe-haut normalisé

Cela revient à inverser le sens de l’axe des abscisses.

46

Cas du passe-bande : considérons le gabarit réel de la figure ci-dessous.

10 MHz

f

- 30 dB

10 dB fN

- 40 dB

- 100 dB 4

GdB GNdB

1 0 dB

100 kHz

400 kHz

Figure 37 : Gabarit passe-bande normalisé

On voit que l’on peut définir un axe de symétrie passant par 0f . Si l’on ne considère que la partie à droite de cet axe, on reconnaît alors un gabarit passe-bas, avec son symétrique

sur la gauche. En effectuant le changement de variable suivant,

−=

ff

ffQf N

0

0

avec

ff

Q∆

= 0 , le gabarit passe-bande sera transformé en gabarit passe-bas normalisé. Dans

l’exemple précédent, Q = 100.

Cas du coupe-bande : non-détaillé ici.

47

3. CHOIX D’UNE FONCTION D’APPROXIMATION

3.1. Types de filtres existants Une fois le gabarit normalisé calculé, le but est de trouver la fonction ( )N NH p qui approche

au mieux le gabarit ( )N NG p . On cherche une fonction réalisable, donc de la forme

polynomiale au numérateur et au dénominateur, soit ( ) ( )( )

N NN N

N N

N pH p

D p= . Il existe

essentiellement deux grandes familles.

Filtres dits polynomiaux = le numérateur est égal à 1,

( ) ( ) 20 1 2

1 1...N N

N N N N

H pD p a a p a p

= =+ + +

.

L’atténuation est infinie pour Ω → ∞. Ce sont les filtres les plus courant, il en existe de nombreux types différents : filtres dits de Butterworth, de Tchebytchev, de Legendre, de Bessel (filtres de phase). Les deux plus classiques, Butterworth et Tchebytchev seront détaillés dans la suite.

Filtres dits elliptiques = le numérateur est un polynôme ayant n zéros et le dénominateur est également un polynômes ayant m pôles complexes. Ce sont par exemple les filtres dits de Cauer. Ces filtres ne seront pas détaillés par la suite.

3.2. Filtres de Butterworth On utilise une fonction d’erreur 2 2

I NG Hε = − où IG est un fonction parfaite égale à 1

(0 dB) dans la bande et 0 ensuite. Cette fonction d’erreur est développée en série de Taylor autour de 0Np = . On cherche bien sûr à minimiser ε . La solution suivante est obtenue :

( )2

11

N N nH p =

+Ω,

où n est l’ordre du filtre, Ω la pulsation normalisée. Les pôles du filtre sont les racines complexes de 1. Des tabulations existent en fonctions de n. On peut voir que :

0N dBH dB→ quand Ω → 0 ,

2

120log 20 /NdB nH n dB décade

→ = − ×

Ω quand Ω → ∞,

3NdBH dB= − quand Ω = 1, ceci quel que soit n.

48

Le tableau ci-dessous récapitule les coefficients de Butterworth : Ordre a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6

1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 2 1 4 1 2,6131 3,4142 2,6131 1 5 1 3,2361 5,2361 5,2361 3,2361 1 6 1 3,8637 7,4641 9,1416 7,4641 3,8637 1

Ou bien : Ordre 1/Hn(p)

1 p+1 2 2414,11 pp ++ 3 ( )( )211 ppp +++ 4 ( )( )22 848,11765,01 pppp ++++ 5 ( )( )( )22 618,11618,011 ppppp +++++ 6 ( )( )( )222 9319,114142,115176,01 pppppp ++++++

Tableau 1 : Coefficient des fonctions de Butterworth ( ) 1N N i

i N

H pa p

=∑

La figure ci-dessous représente les fonctions de Butterworth en fonction de n. On discerne bien la coupure à -3 dB quel que soit l’ordre et une coupure à –n × 20 dB par décade ensuite. Un point important est la réponse plate dans la bande passante.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

Figure 38 : Fonctions de Butterworth pour n = 1 à 6

49

3.3. Filtres de Tchebytchev Cette fois-ci la fonction d’erreur n’est pas développée en série de Taylor. On utilise les polynômes de Tchebytchev ( ) ( )cos cosnT nArcΩ = Ω pour 1Ω ≤ et

( ) ( )cnT h nArchΩ = Ω pour 1Ω > .

Sans détailler ces polynômes, il est important de noter qu’il existe une relation récursive entre ( )nT Ω , ( )1nT − Ω et ( )1nT + Ω : ( ) ( ) ( )1 12n n nT T T+ −Ω = Ω Ω − Ω . Ces polynômes sont des

fonctions oscillantes entre deux extremums ± 1, avec 1n + extremums pour 0 1≤ Ω ≤ . La solution obtenue ( )N NH p est de la forme :

( )( )2 2

11

N N

n

H pTµ

=+ Ω

où µ caractérise l’ondulation dans la bande passante. Le tableau ci-dessous récapitule les coefficients de Tchebytchev :

Ordre a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 1 1 2 1 0,9957 0,907 3 1 2,5206 2,0116 2,0353 4 1 2,6942 5,2749 3,4568 3,628 5 1 4,7264 7,933 13,75 7,6271 8,1415 6 1 4,456 13,632 17,445 28,02 13,47 14,512

Ou bien : Ordre 1/Hn(p)

1 p+969,1 2 2098,1103,1 pp ++ 3 ( )( )2494,0994,0494,0 ppp +++ 4 ( )( )22 674,0279,0279,0987,0 pppp ++++ 5 ( )( )( )22 468,0429,0179,0998,0289,0 ppppp +++++ 6 ( )( )( )222 464,0125,0340,0558,0124,0991,0 pppppp ++++++

Tableau 2 : Coefficient des fonctions de Techbytchev (1 dB) ( ) 1N N i

i N

H pa p

=∑

On peut voir que :

0NdBH dB→ quand Ω → 0 si n est impair et 220 log 1NdBH µ→− + si n est pair, la fonction comporte n extremums (en comptant celui à Ω = 0) dans la bande passante entre Ω = 0 et Ω = 1,

50

GN

Ω

n impair 1

220 log 1 µ− +

GN

Ω

n pair 1

220log 1NdBH µ= − + quand Ω = 1, ceci quel que soit n. Remarque : à la fréquence de coupure Ω = 1, le gain n’est donc pas égal à – 3 dB ; il ne s’agît donc pas d’une fréquence de coupure telle que définie classiquement.

1

120log( )2NdB n nH dB

µ −→Ω

quand Ω → ∞, ou encore

( )20log 20 1 log 2 20 logNdBH µ n n→− − − − Ω dB. Ce dernier terme

représente l’atténuation d’un filtre de Butterworth. Le filtre de Tchebytchev correspondant possède donc une atténuation supplémentaire de ( )20log 20 1 log 2µ n− − − dB.

Il y a ondulation dans la bande passante, liée à la valeur de µ. Ceci permet une coupure plus raide après la fréquence de coupure. Les filtres de Tchebytchev sont donc plus sélectifs que ceux de Butterworth, à n identique. Différentes courbes pré-tracées existent avec des taux d’ondulations différents (typiquement 0,1 dB, 0,5 dB et 1 dB) selon les exigences. Plus l’ondulation est forte, plus la coupure peut être raide ensuite. Les figures ci-dessous représentent les fonctions de Tchebytchev en fonction de n pour un taux d’ondulation de 1 dB dans la bande.

51

-60,0

-50,0

-40,0

-30,0

-20,0

-10,0

0,0

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

Figure 39 : Fonctions de Tchebytchev pour n = 1 à 6 (ondulation 1 dB)

-10,0

-9,0

-8,0

-7,0

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

Figure 40 : Loupe sur les ondulations de Tchebytchev

52

3.4. Filtres de Bessel Ces filtres sont importants car ils se distinguent des précédents mais ils ne seront pas détaillés ici. Les filtres dits de Bessel sont spécifiés en phase et non en module. On se fixe par exemple une contrainte de phase linéaire en fonction de la fréquence ou un retard pur. La solution est relativement différente.

3.5. Critères de choix Parmi tous ces types de filtres, il est ensuite nécessaire de choisir le plus adéquat. Le choix ne peut se faire qu’en vertu d’un compromis. Le tableau suivant récapitule quelques aspects vus précédemment.

Butterworth Tchebytchev Bessel Réponse plate dans la bande Ondulation ± forte dans la

bande Réponse plate dans la bande

Coupure moyennement raide Coupure très raide Coupure assez peu raide Bonne linéarité de phase Très mauvaise linéarité de

phase Excellente phase

Transitoires moyens Transitoires agités Pas de dépassement m > 0,7 Ordre souvent + faible que

Butterworth Ordres assez élevés

53

4. SYNTHÈSE DU FILTRE

4.1. Détermination de l’ordre nécessaire Un fois le gabarit normalisé tracé, l’ordre minimum nécessaire est déterminé. Pour cela, on utilise les abaques existants qui permettent de trouver aisément et graphiquement n. L’ordre obtenu est soit pair, soit impair. Si n est pair, le filtre sera réalisé par une association série de cellules élémentaires du second ordre. Si n est impair, on y couplera en plus une cellule du premier ordre. Dans le cas d’une synthèse par Butterworth, on associera des cellules élémentaires ayant toutes la même fréquence de coupure mais des facteurs d’amortissements différents ce qui entraîne une réponse plate dans la bande. Dans le cas d’une synthèse par Tchebytchev, les cellules auront également des fréquences de coupure différentes ce qui entraînera des oscillations dans la bande passante.

4.2. Rappels : fonctions du premier ordre Les fonctions du premier ordre sont typiquement les fonctions de types RC ou CR détaillés dans le chapitre précédent.

4.3. Rappels : fonctions du second ordre On rappelle ici quelques points importants ; on peut se reporter au chapitre 1 pour plus de

détails. Soit la fonction ( ) ( )02

20 0

.21

H N pF p

m ppω ω

=+ +

où m ξ= est le coefficient d’amortissement,

0ω la pulsation de coupure, et 0H le gain statique. On considère que les racines du dénominateur sont complexes. Si ce n’est pas le cas, il s’agît en fait d’un faux second ordre qui est le produit de deux premiers ordres.

4.3.1. Passe-bas

Lorsque ( ) 1N p = , alors ( )F p est de type passe-bas puisque ( ) 0F p H→ lorsque 0p → et

( ) 0F p → lorsque p →∞ . La pente de coupure est une pente – 2.

Si m < 0,7, un phénomène de rebond apparaît au niveau de la fréquence de coupure. On considère que si m > 0,7 ce n’est pas le cas. Les deux figures ci-dessous représentent respectivement les diagrammes de Bode en gain et en phase pour différentes valeurs de m.

54

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0,1 1 10


Gai

n (d

B)

m = 0,1

m = 2

m = 1

m = 0,3

m = 0,5

m = 0,7

Figure 41 : Gain d’un passe bas deuxième ordre normalisé

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,1 1 10


Phas

e (°

)

m = 2m = 1

m = 0,7

m = 0,5

m = 0,3

m = 0,1

Figure 42 : Phase d’un passe bas deuxième ordre normalisé

55

4.3.2. Passe-haut

Lorsque ( )2

20

pN pω

= , alors ( )F p est de type passe-haut puisque ( ) 0F p H→

lorsque p →∞ et ( ) 0F p → lorsque 0p → . La pente de coupure est une pente + 2.

Comme le passe-bas, si m < 0,7, on considère qu’un phénomène de rebond apparaît à la fréquence de coupure.

4.3.3. Passe-bande

Lorsque ( )0

2mpN pω

= , alors ( )F p est de type passe-bande puisque ( ) 0F p →

lorsque p →∞ et 0p → . Les deux pentes de coupures sont des pentes ± 1. Le facteur de

qualité du filtre s’exprime par 0 12

fQBP m

= = .

56

5. RÉALISATION DE FILTRES

De nombreuses réalisations à base de circuits passifs de types RLC existent. Elles sont toutefois délicates pour des ordres élevés. Dans la suite seront développées quelques structures d’ordre 2 actives contenant des AOP.

5.1. Structure de Rauch Le schéma correspondant à un filtre de structure dite de Rauch est illustré ci-dessous.

+

-

Vs

Z5

Ve

Z1

Z2

Z3

Z4

A

Figure 43 : Structure de Rauch

Pour des raisons de simplicité dans les calculs, on se sert des admittances. On utilise la loi des courants aux nœuds A et (-) :

0=∑enA

i soit ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0E A A A S AY V V V Y Y V V Y V V−− − + − + − =

ce qui donne ( ) 0414321 =+++++− SEA VYVYYYYYV car V- = 0 0

)(=∑

−eni soit ( ) ( ) 053 =−+− −− VVYVVY SA

ce qui donne 3

5

YYVV SA −= que l’on peut placer dans la première expression.

Il vient alors : ( )4321543

31)(YYYYYYY

YYVV

pHE

S

++++−==

Selon la nature des admittances, il est possible d’obtenir soit :

un passe-bas si l’on remplace Y1 par 1/R, Y3 par 1/R, Y4 par 1/R, Y2 par jωC2, et Y5 par jωC5,

57

( ) 131

13

1

)(552

22

225

2

++−=

+

+

−=RCjCCRj

RCj

RCj

RjHωωωω

ω

ce qui correspond bien à un passe-bas car le numérateur est d’ordre 0. La pulsation

de coupure vaut 52

01

CCR=ω . Le coefficient d’amortissement est tel que

50

32 RCm=

ω, soit 5 03

2RCm ω

= .

un passe-haut, si l’on remplace Y1 par Cjω , Y3 par Cjω , Y4 par Cjω , Y2 par

1/R2, et Y5 par 1/R5, ( )

( )

( )( ) 13311

)(252

252

2

2

25

2

++−=

+

+

−=CRjRRCj

RRCj

CjCjRR

CjjHωω

ω

ωω

ωω

ce qui correspond bien à un passe-haut car le numérateur est d’ordre 2. La

pulsation de coupure vaut 52

01

RRC=ω . Le coefficient d’amortissement est tel

que CRm2

0

32=

ω, soit

23 02 ωCR

m = .

un passe-bande si l’on remplace Y1 par 1/R1, Y4 par 4j Cω , Y3 par 3j Cω , Y2 par

1/R2, et Y5 par 1/R5 (non détaillé ici, voir document Annales).

5.2. Structure de Sallen-Key Le schéma correspondant à un filtre de structure dite Sallen-Key est illustré ci-dessous.

+

-

Vs

Z5 Ve

Z1

Z2

Z3

Z4

A

Figure 44 : Structure de Sallen-Key

58

Une étude similaire au paragraphe précédent est possible, mais elle ne sera pas développée plus en détail dans ce cours.

5.3. Structure Bi-quad Le schéma correspondant à un filtre de structure dite de Biquad est illustré ci-dessous.

+

-

Vs

Ve

R1

+

-

+

-

Ve

R2

R3

R4

R5

R6

C1

C2

Figure 45 : Structure Biquad

Une étude similaire au paragraphe précédent est possible, mais elle ne sera pas développée plus en détail dans ce cours. Ce type de schéma est assez lourd à cabler mais s’adapte bien à une structure de circuit intégré car il permet alors la réalisation de plusieurs fonctions d’une manière assez souple.

5.4. Réglages et sensibilité Les impédances sont des résistances ayant typiquement une incertitude de 5%, voire au mieux 1%. Les capacités ont classiquement des incertitudes de 20 %, voire 10 %. Lorsque l’on calcule la fonction de transfert comme vue ci-dessus, les paramètres ω0 et m dépendent de plusieurs impédances. Les incertitudes sont sommées et les incertitudes sur la fréquence de coupure et sur le coefficient d’amortissement peuvent alors être très importantes. Dans le cas de filtres assez sélectifs, cela peut être très rapidement gênant, surtout si un ordre élevé est requis, car alors les incertitudes sur chaque cellule du second ordre se somment également. Le coefficient d’amortissement est souvent réglé très finement, là aussi une incertitude importante peut être très problématique. Les réglages sont donc souvent délicats. Il est nécessaire soit de prendre des composants avec des valeurs triées, soit de prévoir des réglages par des potentiomètres ou des varactors.

59

6. CONCLUSIONS

La synthèse de filtre passe par une procédure stricte depuis la définition du cahier des

charges dans le domaine fréquentiel jusqu’à la réalisation proprement dite,

L’étape la plus importante est la définition d’un gabarit de filtre qui permet d’aboutir à un gabarit normalisé ; des bibliothèques de filtres types existent alors,

Ces filtres types sont nombreux, le choix se fait sur des compromis de comportements,

La réalisation présentée ici pour les filtres analogiques se fait à partir de cellules du

premier et second ordre à base d’AOP.

61

CHAPITRE 4

CONVERSION ANALOGIQUE ↔ NUMÉRIQUE

1. NOTION D’ÉCHANTILLONNAGE

1.1. Définitions Soit un signal analogique ( )e t . Il s’agît d’une fonction continue en fonction du temps.

Soit un signal échantillonné ( )*e t . Il s’agît d’une suite discrète de valeurs numériques. Il sera

représenté par une suite d’impulsions de Dirac en fonctions du temps. Les temps entre chaque impulsion sont a priori identiques et égaux à Te.

t

e(t)

a) t

e*(t)

b) Te

Figure 46 : Signaux analogiques et numériques

Un signal analogique peut donc être échantillonné à une fréquence 1e

e

fT

= .

En pratique, l’échantillonnage ne peut pas être instantané. La valeur discrète prise à instant multiple de Te, est figée pendant un temps non pas infiniment cours mais un temps eTτ < .

t

e*(t)

Te

τ

Figure 47 : Échantillonneur – bloqueur

62

Cette opération de tenue de la valeur s’appelle blocage. On parle alors d’échantillonneur-bloqueur. Les modèles les plus répandus sont des échantillonneurs-bloqueurs dits d’ordre 0, où eTτ = .

t

e*(t)

Te

τ =Te

Figure 48 : Échantillonneur-bloqueur d’ordre 0

1.2. Recouvrement spectral et théorème de Shannon Ce paragraphe rappelle quelques notions développées dans le cours de traitement du signal auquel on se reportera pour les démonstrations et les détails. Lorsque l’on échantillonne le signal à une fréquence ef , son spectre est convolué par un peigne de Dirac de périodicité ef .

S*(f)

f fe fe+fmax fe – fmax

spectre BF

fmax 2fe

Figure 49 : Spectre d’un signal échantillonné

On voit alors que si la fréquence maximale du spectre du signal analogique est supérieure à / 2ef , l’effet de convolution peut conduire à ce que l’on appelle du recouvrement de spectre.

S(f)

f fe

spectre BF

fmax > fe/2

recouvrement

Figure 50 : Recouvrement spectral

63

L’information contenue dans le spectre initial peut être dénaturée si le recouvrement est important. Il est donc impératif pour éviter ce problème de respecter la condition dite de Shannon :

max2ef f≥

Cette relation est à respecter impérativement. Le choix des échantillonneurs et des convertisseurs commence donc par aboutir sur un composant qui possède une fréquence d’échantillonnage suffisante par rapport à la fréquence maximale du spectre du signal analogique. Cela suppose que l’étude du spectre de celui-ci a été correctement menée auparavant. Si cette relation n’est pas satisfaite, on fait souvent appel à un filtre dit anti-repliement. Il s’agit d’un filtre passe-bas qui filtre sévèrement à / 2ef . Ceci limite le spectre du signal basse fréquence au détriment parfois de sa partie supérieure mais évite le recouvrement qui peut être très néfaste.

1.3. Réalisation d’échantillonneur-bloqueur Réaliser un échantillonneur-bloqueur peut être en principe très simple :

l’effet échantillonnage est réalisé par un interrupteur commandé par une horloge, l’effet mémoire-blocage est réalisé par une charge de capacité.

La figure ci-dessous représente le schéma de principe. L’horloge H de fréquence ef commande l’ouverture et la fermeture de l’interrupteur.

e*(t)

e (t)

K

Interrupteur commandé par une horloge H

C

Figure 51 : Échantillonneur-bloqueur

A tout les instant multiple de Te, l’interrupteur se ferme, la capacité se charge instantanément et alors ( ) ( )*e t e t= . Puis l’interrupteur s’ouvre. La capacité n’a pas de raison de se décharger

a priori et la tension de sortie est maintenue jusqu’à la prochaine fermeture de l’interrupteur.

64

On peut déjà discerner un compromis : la capacité doit être la plus faible possible pour se charger vite à travers l’impédance de sortie de ( )e t lors de la phase de charge, mais doit être

la plus forte possible pour éviter des décharges rapides à travers l’impédance d’entrée de l’étage ( )*e t . Ces deux points sont en contradiction.

On rajoute donc souvent un suiveur de part et d’autre. En amont pour assurer une charge rapide à travers une impédance très faible, et en aval pour assurer une parfaite isolation via une impédance d’entrée très forte.

e*(t)

e (t)

K +

-

+

- C

Figure 52 : Échantillonneur-bloqueur amélioré

Ceci reste un schéma de principe qui dépend également des performances de l’interrupteur analogique K qui n’est jamais parfait : résistances parasites, temps de fermeture et d’ouverture, etc…

65

2. CONVERSIONS ANALOGIQUES ↔ NUMÉRIQUES

2.1. Définitions On utilisera dans la suite les abréviations suivantes :

CAN : Convertisseurs Analogique-Numérique ADC en anglais : Analog to Digital Converter

CNA : Convertisseur Numérique-Analogique DAC en anglais : Digital to Analog Converter

Il s’agit de deux composants aux fonctions contraires. Un CAN transforme une tension analogique ( )e t en une série de codes numériques, souvent codés en binaire sur n bits. ( )e t

peut être une tension continue ou une tension variable en fonction du temps.

CAN e(t) n bits

Code numérique N

Figure 53 : Convertisseur CAN

Un CNA transforme une série de codes numériques en une suite de tensions qui varient en fonction du temps.

CAN

e(t)

n bits

Code numérique N

Figure 54 : Convertisseur CNA

2.2. Principes généraux de fonctionnements Dans le cas général la tension E à convertir est dépendante du temps, elle sera notée ( )e t .

Pour les CAN, le signal est déjà échantillonné et bloqué comme vu précédemment. Pendant ce temps de blocage, un circuit complémentaire convertit la tension bloquée en une valeur numérique. Il est évidemment nécessaire que cette conversion se fasse dans le laps de temps de blocage. Différents types de conversions existent qui seront précisés dans les paragraphes suivants. Une fois le codage effectué, un nouvel échantillonnage-blocage est permis et ainsi de suite.

66

Conversion

e(t)

Code numérique N

Echantillonneur bloqueur

Figure 55 : Principe général du CAN

Pour les CNA, la première étape consiste à convertir le code numérique en une grandeur analogique, en règle générale un courant. Plusieurs types de conversion existent qui seront détaillées plus loin. Le courant est ensuite converti en une tension par un étage de sortie à base d’un amplificateur opérationnel monté en inverseur.

N → i e(t)

Code numérique N

-

+

R

Is

Figure 56 : Principe général du CNA

2.3. Caractéristiques des convertisseurs Les caractéristiques suivantes sont décrites pour des CAN ; l’analogie est valable et parfois précisée pour les CNA.

2.3.1. La tension de référence

Pour effectuer sa conversion, le convertisseur a besoin d’une tension de référence à laquelle il compare les tensions à convertir. Cette tension est souvent intégrée directement dans le composant. On la notera refE . Sa stabilité est très importante car toute fluctuation de sa valeur

peut entraîner des erreurs dans les conversions.

2.3.2. La pleine échelle

Il s’agit de la tension analogique maximale acceptée par le CAN (respectivement délivrée en sortie par le CNA). Elle peut être

unipolaire ( ) max0 e t E< < ou

bipolaire ( )max maxE e t E− < < .

2.3.3. Le nombre de bits

Le code binaire N en entrée (respectivement en sortie) est codé sur n bits. Cela donne 2n combinaisons.

67

2.3.4. La résolution

La résolution est le pas minimum de codage, appelée pas de quantification. Elle est liée à la pleine échelle et au nombre de bits :

max

2n

Eq = dans le cas d’un CAN/CNA unipolaire et

max2.2n

Eq = dans le cas d’un CAN/CNA bipolaire.

On peut noter que plus le nombre de bits est grand, plus la résolution est bonne. La tension de référence doit être impérativement stable à mieux que la résolution.

2.3.5. Fréquence d’échantillonnage maximale

C’est la fréquence d’échantillonnage à laquelle peut travailler le CAN. Elle dépend de sa structure interne. Le signal à l’entrée ne pourra donc pas avoir de composante spectrale supérieure à max / 2ef pour respecter le théorème de Shannon. Pour un CNA, c’est la fréquence maximale où les codes numériques peuvent être convertis en tension analogique en sortie. C’est avec le nombre de bits la caractéristique la plus importante. Plus un convertisseur a une fréquence d’échantillonnage grande ou un nombre de bits important, plus il est complexe et cher.

2.3.6. Erreur de zéro ou de décalage

C’est l’écart entre la tension correspondant normalement au code 0 et la tension d’entrée (resp. de sortie) réelle pour laquelle le code de sortie est effectivement 0.

V

N

Erreur de zéro

N

V

Erreur de zéro CAN

CNA

Figure 57 : Erreur de zéro

Elle est exprimée en % du pas de quantification ou en % de la tension de référence. On la veut la plus faible possible.

2.3.7. Erreur de gain ou erreur d’échelle

Cette erreur se mesure une fois l’erreur de zéro compensée. C’est l’écart entre la tension correspondant normalement au code maximal et la tension d’entrée (resp. de sortie) réelle pour laquelle le code de sortie est effectivement le code maximal. Cela revient également à l’erreur de la pente moyenne d’où le nom erreur de gain.

68

V

N Erreur de gain

CAN

VErreur de gain

CNA

N

Figure 58 : Erreur de gain

2.3.8. Erreur de non-linéarité

Cette erreur se mesure une fois les erreurs de zéro et de gain compensées. Il s’agit de l’écart maximal entre la droite moyenne idéale et la courbe réelle sur toute la gamme d’entrée.

V

N

CAN

Vmax

Nmax

ε N

V

CNA

Nmax

Vmax

ε

Figure 59 : Erreur de non-linéarité

2.3.9. Monotonicité

Il y a non-monotonicité lorsqu’il y a un code manquant ou décalé.

V

N

CAN

Code manquant

Figure 60 : Erreur de monotonicité

69

2.3.10. Erreur de non-linéarité différentielle

Il s’agit de l’écart maximal entre une transition réelle et le pas théorique, ceci examiné à chaque code. On observe pour chaque pas V q∆ − . L’erreur de non-linéarité différentielle

correspond au max

V q∆ − . Il s’agit en fait d’une erreur qui tient compte à la fois de la non-

linéarité et de la non-monotonicité.

V

N

CAN

q ∆V

Figure 61 : Erreur de non-linéarité différentielle

2.4. La quantification La quantification représente le passage de la valeur analogique à la valeur numérique (et réciproquement). Cette valeur numérique codée sur n bits est un multiple de la résolution q. Deux principales familles de méthodes existent : par troncature et par arrondi.

Quantification par arrondi La tension ( )e t est arrondie au multiple de la résolution le plus proche :

Si ( )1 12 2

n q e t n q − < < +

alors ( )* .e t n q=

Quantification par troncature

La tension ( )e t est tronquée (comme une partie entière) au multiple de la

résolution juste en-dessous : Si ( ) ( ). 1 .n q e t n q< < + alors ( )* .e t n q=

On peut exprimer ( )tε le résidu égal à ( ) ( ) ( )*t e t e tε = − . En considérant des variations

fortes du signal ( )e t , le signal d’erreur ( )tε aurait l’allure représentée ci-dessous :

70

t

q/2

t

q ε ε

arrondi troncature

Figure 62 : Signal d’erreur de quantification

On peut relever deux points importants :

La valeur moyenne de ( )tε est nulle pour le cas de la quantification par arrondi et

égale à 2moyqv = dans la cas de la quantification par troncature. Le premier cas est

donc meilleur.

La valeur efficace de ( )tε vaut dans les deux cas :

Arrondi : ( )/ 22/ 2 / 2 2 3

23

/ 2 / 2 / 2

1 1 .. . . . .3 12

TT T

effT T T

q t q t qv f t dt dtT T T T− − −

= = = =

∫ ∫

Troncature : ( )2 2 3

23

0 0 0

1 1 .. . . . .2 3 3

TT T

effq t q t qv f t dt dt

T T T T = = = =

∫ ∫

De même, le cas arrondi est préférable car l’énergie contenu dans ( )tε est plus

faible.

La quantification par arrondi est donc généralement préférable car l’erreur est minimisée. Toutefois la quantification par troncature est parfois plus simple à réaliser.

71

3. DIFFÉRENTS TYPES DE CONVERTISSEURS

3.1. Liste des convertisseurs Les moyens de réaliser la conversion, soit tension bloquée → code numérique, soit code numérique → courant, sont multiples. Les paragraphes suivants décrivent quelques uns des convertisseurs typiques existants :

CNA à résistances pondérées CNA à réseau R/2R CAN parallèle CAN à approximations successives CAN simple rampe CAN double rampe CAN tension-fréquence

3.2. CNA à résistances pondérées Le principe d’un CNA à résistances pondérées est illustré ici :

-

+

R

Vs Eref

2n-1.R

R

2R

A0

An-2

.

.

.

Is

4R

An-1

.

.

.

Figure 63 : CNA à résistances pondérées

On peut calculer aisément le courant de sortie :

0 1 2 1...S n nI I I I I− −= + + + + par superposition, ce qui donne

0 1 2 11 2

. . . ....

2 . 2 . 2.ref ref ref n ref n

S n n

E A E A E A E AI

R R R R− −

− −= + + + + ,

en adoptant la notation suivante : si Ax = 0 alors, l’interrupteur x est ouvert, si Ax = 1 alors l’interrupteur est fermé. Les interrupteurs sont ainsi actionnés par des bits de commandes. On obtient alors :

0 111 2 ...

2 2s ref nn n

A AV E A −− −

= − + + +

.

72

Dans l’exemple d’un CNA 4 bits, 0 31 2

8 4 2 1s refA AA AV E = − + + +

. Le pas de quantification est

8refE

.

Ce type de convertisseur est limité à un faible nombre de bits car sa précision dépend de la bonne réalisation des 2n-1 résistances et de leurs valeurs respectives. On peut noter également que ce type de convertisseur est peu rapide : les courants de commutation dans les résistances et les inévitables capacités parasites entraînent des temps de conversion assez longs.

3.3. CNA à réseau R-2R Le principe d’un CNA à réseau R-2R est illustré par un exemple 4 bits.

-

+

R

Vs2R

R R R

2R 2R 2R 2R

Eref

A0 A1 A2 A3

Is

A B C D

Figure 64 : CNA à réseau R-2R

Afin de calculer la tension de sortie, il est nécessaire de calculer le courant SI . On procède par superposition. Dans un premier temps, A0 est à Eref et les autres interrupteurs à la masse : on peut calculer I0. Ainsi de suite pour les autres courant In. Le courant de sortie est la somme des quatre courants calculés séparément. Revenons sur le calcul de I0. En appliquant Thévenin au point A, il vient le nouveau schéma :

73

-

+

R

Vs

R

R R R

2R 2R 2R

Eref/2

I0

Figure 65 : Simplification du réseau R-2R

On peut procéder ensuite en réitérant Thévenin jusqu’à obtenir le schéma équivalent de la figure suivante.

-

+

R

Vs

R

Eref/16

I0

Figure 66 : Calcul du courant de sortie du réseau R-2R

On obtient R

EAI ref

16.0

0 = . On peut procéder de même pour calculer I1 ce qui donne

REA

I ref

8.1

1 = ; puisREA

I ref

4.2

2 = et REA

I ref

2.3

3 = .

Ce qui donne en final : REA

REA

REA

REA

I refrefrefrefs 2

.4.

8.

16. 3210 +++= , soit la tension de sortie

suivante :

( )321043210 842

22.

4.

8.

16.

AAAAEEAEAEAEA

RIV refrefrefrefrefss +++−=

+++−=−= .

On peut reconnaître 24 qui correspond à un convertisseur 4 bits. A0 est le bit de poids faible et A3 le bit de poids fort.

74

On retrouve les défauts de commutation et de rapidité du CNA à réseau de résistances dans ce type de convertisseurs : lenteur due aux commutations et précision fortement dépendante des valeurs de résistances.

3.4. CAN parallèle Le principe d’un CAN parallèle est illustré par un exemple 2 bits.

+

_

R

e(t)

Eref

A1

A0

+

_

+

_

Système logique de

codage

R

R

R

A

B

C

C0

C1

C2

Figure 67 : CAN parallèle 4 bits

Grâce à 3 comparateurs (2n-1 comparateurs pour un CAN n bits), , la tension à convertir est

comparée à une tension de référence refE . La résolution vaut 4refE

. La tension au point A vaut

3.4

refE, au point B

2refE

et au point C 4refE

. Toutes les comparaisons se font en même temps

d’où le nom de parallèle. Les comparateurs fournissent des 0 ou des 1 logiques. Une logique de décodage transforme les 3 bits (respectivement 2n-1) en 2 bits (respectivement n bits) qui forment alors le code N.

Prenons un exemple : ( )2.

5refE

e t = . On a les trois sorties des comparateurs C0 = 1, C1 = 0 et

C2 = 0. La logique de codage compte alors le nombre de 1 et transforme le code en N = A1A0 = 01.

75

De part ses comparaisons simultanées, ce type de convertisseur s’avère très rapide. Il est par contre nécessaire d’avoir 2n-1 comparateur ce qui aboutit à une structure très lourde en cas de convertisseurs avec n grand.

3.5. CAN à approximations successives Le principe d’un CNA à approximations successives est représenté sur la figure suivante :

+

_

e(t)

Registre à décalage n bits

Eref

Horloge C

CNA

V0

…

n bits

Figure 68 : CAN à approximations successives

Un CNA est intégré à l’intérieur. Le registre élabore n bits An-1…A1A0 par une suite de comparaisons cadencées par une horloge. Si C = 1, alors le registre mets le bit de poids le plus fort à 1. Si ce bit est déjà à 1, c’est le bit de poids juste inférieur qui est mis à 1, et ainsi de suite. Si C = 0, le registre repère le bit de poids le plus faible qui est déjà à 1 noté Ax ; ce bit est mis à 0 et le bits Ax-1 est mis à 1. S’il s’agit de A0, la série de comparaisons s’arrête et la valeur obtenue est la valeur finale. Prenons un exemple de CAN 4 bits et de résolution égale à 1 V. On a donc A3A2A1A0 avec les bits qui valent respectivement 8 V, 4 V, 2 V et 1 V. La tension à convertir vaut ( )e t = 9 V.

Première étape : le registre vaut A3A2A1A0 = 0000 = 0 V < 9 V → C = 1 → A3 mis à 1

Seconde étape : le registre vaut A3A2A1A0 = 1000 = 8 V < 9 V → C = 1 → A2 mis à 1

Troisième étape : le registre vaut A3A2A1A0 = 1100 = 12 V > 9 V → C = 0 → A2 mis à 0 et A1 mis à 1

Quatrième étape : le registre vaut A3A2A1A0 = 1010 = 10 V > 9 V → C = 0 → A1 mis à 0 et A0 mis à 1

76

→ La comparaison s’arrête ; on a A3A2A1A0 = 1001 = 9 V = ( )e t .

Ce type de CAN dépend fortement du CNA interne. Bien qu’il procède par plusieurs étapes successives, si le CNA est rapide, l’horloge de cadencement peut être assez haute et le convertisseur assez rapide également.

3.6. CAN simple rampe Le principe d’un CAN simple rampe est illustré ci-dessous :

-

+

C

Ve(t) = E > 0 Tension à convertir

R

Eref < 0 -

+ V1(t)

V2(t)

&

H V3(t)

Compteur

RAZ

N

Figure 69 : CAN simple rampe

Le premier AOP est un système intégrateur. On a : dt

dVCR

Ei ref 1−== , il vient donc

RCE

dtdV ref−=1 ; soit en intégrant par rapport au temps :

01 EtRCE

V ref +−= . En prend E0 = 0.

La tension à la sortie du premier AOP croit linéairement avec une pente positive. Lorsque sa valeur arrive à E, le deuxième AOP bascule en saturation négative, le condensateur se décharge quasiment instantanément, et ainsi de suite. Le & logique n’est là que pour passer en raisonnement numérique. On considère que la période de l’horloge H est très petite devant la constante de temps de charge du condensateur. Les chronogrammes des différentes tensions sont reportés ci-dessous.

77

E

V1(t)

V3(t)

t1

Pente : -Eref/RC t

V2(t) +vsat

-vsat

Figure 70 : Chronogrammes du CAN simple rampe

N représente le nombre de coups d’horloge H de période T pendant le temps de charge t1. On

pose donc 1t N T= × . D’autre part, on sait que ( ) EtRCE

tV ref =−= 111 .

On obtient donc NTRCE

E ref−= ce qui donne donc ETE

RCNref

×−= . On obtient bien un code

N proportionnel à une tension E. Dans ce type de CAN, la précision sur N est assez mauvaise car N dépend de trop de paramètres : R, C, Eref et T. On peut connaître assez finement T, et assez bien Eref. Mais R et C dépendent de la température d’une manière forte, ce qui induit une incertitude sur la pente de charge à tout instant.

3.7. CAN double rampe Le défaut du convertisseur simple rampe de dépendance des valeurs de R et de C est évité dans le CAN double rampe. Le principe global reste identique, un intégrateur charge une capacité. Un temps de charge t1 est alors mesuré. Puis le condensateur est déchargé jusqu’à 0, cette fois-ci non pas instantanément mais pendant un temps t2. Ce deuxième temps dépend également de R et de C. Le rapport des temps permet de s’affranchir des incertitudes sur R et C, améliorant ainsi la précision du convertisseur.

Voir document associé des annales d’examens pour le schéma complet et les détails.

3.8. CAN tension-fréquence Le principe d’un CAN tension-fréquence est très similaire au convertisseur simple rampe mais fonctionne en fait sur le principe inverse. Au lieu de compter un nombre de coup

78

d’horloge rapide pendant un temps de charge long, on compte un nombre de charge du condensateur pendant un temps d’horloge long.

Voir document associé des travaux dirigés pour le schéma complet et les détails.

-

+

C

Ve(t)

R

Eref

-

+V1(t)

V2(t)

&

H V3(t)

Compteur N

Figure 71 : CAN tension-fréquence

Le principe étant relativement similaire, les avantages et défauts sont comparables à ceux du CAN simple rampe.

79

4. CONCLUSIONS

Un CAN comprend un échantillonneur-bloqueur qui doit impérativement respecter le

théorème de Shannon,

Les paramètres des CAN-CNA sont multiples, les plus importants sont le nombre de bits n, la résolution qui diminue avec n, et la fréquence d’échantillonnage,

Différents types de structures de conversions existent pour les CAN et les CNA ; chacun à

ses intérêts et inconvénients,

Quelle que soit la méthode de conversion, il existe toujours une erreur résiduelle entre le signal analogique et le signal quantifié ( ) ( ) ( )*t e t e tε = − .

81

CHAPITRE 5

MODULATIONS - DÉMODULATIONS

1. TRANSMISSION SUR UN CANAL

1.1. Généralités Supposons que l’on désire transmettre une information à travers un canal avec le moins d’erreur possible. Cette information est sous forme d’un signal électrique.

Information à transmettre

Emetteur

Récepteur

Canal de transmission

Information reçue

Perturbations déterministes dus aux autres canaux et

bruits aléatoires

Figure 72 : Transmissions sur un canal

Il est nécessaire de trouver le moyen de transmission qui soit adapté au canal et minimise les erreurs quelles que soient les sources de bruit. Le canal de transmission peut être soit un câble, soit une onde électromagnétique par un système d’antenne. Prenons le cas d’une antenne. La taille de l’antenne n’est pas anodine, il est nécessaire de respecter la relation / 2L λ= afin de transférer au mieux la puissance du signal. Dans le cas d’un signal audio à 10 kHz par exemple, on trouve par la relation bien connue /c fλ = une longueur de 15 km ce qui est évidemment impossible. Une émission par une antenne ne peut donc se faire qu’en plus haute fréquence. La modulation consiste à introduire l’information utile, a priori basse fréquence (indicée BF par la suite dans toutes les relations), dans une signal haute fréquence (HF).

Le signal HF est appelé porteuse ou signal porteur, Le signal BF est le signal modulant, Le signal transmis sur le canal qui est composé de ces deux signaux est appelé signal modulé.

82

Information à transmettre

Emetteur

Récepteur

Canal de transmission

Information reçue

Perturbations déterministes dus aux autres canaux et

bruits aléatoires

Modulateur

Démodulateur

Figure 73 : Transmission avec modulation sur un canal

L’émetteur consiste donc en un système de modulation pour coder l’information BF avant l’émission. Le récepteur possède un système symétrique de démodulation pour décoder l’information reçue et enlever le signal HF devenu inutile après la transmission.

1.2. Bande passante d’un signal utile Comme on le verra plus en détail par la suite, une hypothèse importante est que la fréquence HF de l’onde porteuse est très supérieure à la fréquence de l’information BF. Si celle-ci est multifréquence, l’hypothèse généralisée est naturellement que la fréquence de l’onde HF est très supérieure à la fréquence la plus haute contenue dans le spectre de l’information BF. La figure suivante rappelle quelques domaines spectraux usuels.

f 0

Signaux marins très basses fréquences < 1 kHz

Bande téléphonique analogique 300-3400 Hz

Bande sonore 20 -20000 Hz

Ultrasons (domaine médical) qq MHz

Radio AM 100 kHz < 1 MHz

Radio FM ~ 100 MHz

Télévision ~ 500 MHz

Téléphonie mobile ~ 1 GHz

Radar > 1 GHz

Liaisons satellites > 10 GHz

Transmissions optique

Figure 74 : Domaines spectraux usuels

Par exemple la bande audible par l’oreille humaine est bornée environ par 20 Hz – 20 kHz. Les transmissions téléphoniques analogiques ne transmettent que la bande centrée sur la voie (300 - 3,4 kHz), ceci directement sans modulation. Les radios grandes ondes fonctionnent en modulation d’amplitude, avec une porteuse de quelques centaines de kHz ; les radios FM fonctionnent en modulation de fréquence avec une porteuse centrée autour de 100 MHz. La télévision nécessite une bande passante vidéo plus importante (environ 6 MHz), il est donc nécessaire d’utiliser une onde porteuse plus haute en fréquence ; la plupart des canaux utilisés ont une porteuse ayant une fréquence d’environ 500 MHz.

83

2. CHANGEMENT DE FRÉQUENCE

2.1. Étude dans le domaine fréquentiel On veut transposer le signal BF dans le domaine HF (ou réciproquement).

SBF(f)

f

spectre BF

fmax fmin

Sm(f)

f

fp Décalage vers les hautes fréquences

Modulation

Démodulation

Figure 75 : Changement de fréquence

Dans le domaine spectral, on pose ( )BFS f le spectre de ( )BFs t . Le changement de fréquence

est un décalage en fréquence. On note ( )m pS f f+ le spectre du signal transposé d’une

quantité pf vers le domaine HF.

On sait que : ( ) ( ) 2 .j ftBF BFS f s t e dtπ+∞ −

−∞= ∫

On a donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 .pj f f tm p BF BFS f f s t e dt S f S p tπ+∞ − −

−∞+ = = ∗ ∫

où ( )p t est un signal temporel ayant pour spectre une raie à pf , soit un signal sinusoïdal de fréquence pf .

Si dans le domaine fréquentiel le changement de fréquence correspond à une convolution, dans le domaine temporel, la convolution devient une multiplication. On obtient donc ( ) ( ) ( )m BFs t s t p t= × .

2.2. Étude dans le domaine temporel Partons de ( ) ( ) ( )m BFs t s t p t= × .

On pose de plus ( )( )

0 0.cos .cos

.cosp p

BF BF BF

p t V t V t

s t V t

ω ω

ω

= =

= (l’indexation pour le signal porteur peut être

soit « p », soit « 0 » indifféremment par convention).

84

Il vient ( ) ( ) ( ). .cos .cosm p BF p BFs t V V t tω ω=

En développant le produit de cosinus :

( ) ( ) ( ).. cos cos

2p BF

m p BF p BF

V Vs t t t t tω ω ω ω = + + −

Remarque : on aurait pu aussi bien écrire ( )cos BF Pt tω ω− , cela aurait été mathématiquement

correct. Comme le cosinus est une fonction paire, cela serait parfaitement équivalent. Toutefois, il est plus raisonnable d’écrire ( )cos P BFt tω ω− car p BFω ω>> , on obtient donc une

différence de pulsation positive. Si l’on trace le spectre du signal ( )ms t , on retrouve une composante à la pulsation somme

p BFω ω+ , et une composante à la pulsation différence p BFω ω− . Ces deux composantes sont

parfaitement équivalentes, il y a redondance de l’information, on pourrait très bien n’en garder qu’une par filtrage. On peut donc schématiser la modulation par une multiplication de deux signaux, appelé aussi « mélange » :

OL Oscillateur Local Signal porteur à fp

Signal modulant à fBF Signal modulé à fp ± fBF

Figure 76 : Modulation = mélange de fréquence

2.3. Démodulation La démodulation consiste à effectuer l’opération inverse, c'est-à-dire repasser dans un domaine spectral basse fréquence pour récupérer uniquement le signal BF. Elle se fait de la même manière avec un mélangeur et un oscillateur appelé oscillateur local.

2.4. Fréquence image La notion de fréquence image est délicate mais toutefois extrêmement importante. En entrée du mélangeur, il peut exister des composantes parasites à n’importe quelle fréquence. Or le mélangeur ne fait aucune distinction – tout du moins dans sa bande passante – et le signal utile ainsi que toutes ces fréquences parasites vont être multipliées par le signal porteur. Parmi toutes ces fréquences parasites, il va peut être en exister une (ou plusieurs) qui après le

85

mélangeur donnera un signal situé au même domaine spectral que le signal utile. Si elle existe, cette fréquence sera appelée fréquence image.

OL

Signal porteur à fp

Signal utile à fBF Signal modulé à fp ± fBF

+ Signal parasite à fimage + Signal parasite à fp ± fimage

Figure 77 : Fréquence image

On démontre aisément qu’il existe nécessairement au moins une fréquence image. Prenons l’exemple illustré à la figure précédente. Les signaux sont supposés sinusoïdaux. Le signal en sortie du mélangeur est donc composé de deux ondes sinusoïdales, l’une à la fréquence somme p BFf f+ et l’autre à la fréquence différence p BFf f− . On voit que si 1 02.image BFf f f= + alors après le mélangeur le bruit sera ramené à 0 BFf f+ . De même si 2 02.image BFf f f= − alors après le mélangeur le bruit sera ramené à 0 BFf f− . Ce sont

les fréquences images respectives pour les deux composantes utiles du signal modulé. Il est important de noter qu’il est impossible après le mélangeur de distinguer l’information utile de l’information parasite issue de la fréquence image. Il est impossible également de filtrer. Il est donc impératif de filtrer avant le mélangeur les fréquences images.

2.5. Produits d’intermodulation D’une manière pratique, les signaux ne sont jamais parfaitement sinusoïdaux. Donc ( )p t peut avoir des harmoniques aux fréquences 0n f× ,

( )BFs t peut avoir des harmoniques aux fréquences BFm f× . Après multiplication toutes les combinaisons 0. . BFn f m f± peuvent apparaître. Ces résultats indésirables sont appelés produits d’intermodulation. Ils doivent être filtrés avant ou après le mélangeur.

2.6. Détection superhétérodyne Lorsque l’on démodule, on ne le fait pas obligatoirement à la même fréquence que la fréquence porteuse pf . Par contre il est pratique et courant de transposer le signal reçu dans

un autre domaine spectral que l’on appellera fréquence intermédiaire.

86

OL

Signal de démodulation à f0L

Signal modulé autour d’une porteuse à fp

Signal démodulé à une fréquence intermédiaire fp ± fOL

Figure 78 : Détection superhétérodyne

Cela permet d’une part de se placer dans un domaine spectral où le filtrage des fréquences utiles et parasites est plus simple (composants existants plus simples et moins chers par exemple). D’autre part, si on n’effectue pas le changement de fréquence, le système peut être instable dans le cas d’une réception. En effet, les signaux en sortie de l’antenne sont relativement faibles. Il est donc nécessaire de les amplifier. Les amplificateurs sont adaptés pour amplifier les fréquences reçues par l’antenne et vont alors rayonner dans le même domaine spectral. Ces rayonnements pourront alors captés par l’antenne et le système peut se mettre à osciller. Avec le principe de changement de fréquence, seul un léger gain est mis en sortie d’antenne, puis un fort gain après le changement de fréquence. Le rayonnement des amplificateurs est donc principalement dans un autre domaine spectral et ne risque pas d’affecter l’antenne si la fréquence intermédiaire est suffisamment éloignée spectralement.


Gain


Rayonnement

Figure 79 : Détection sans décalage en fréquence

La détection superhétérodyne est extrêmement répandue et constitue le principe de base de la grande majorité des récepteurs.

87

2.7. Détection synchrone On peut imager un cas particulier où le signal qui sert à démoduler est exactement le même que le signal porteur. L’oscillateur local est donc l’oscillateur qui a servi au modulateur (même fréquence d’une part et accord en phase d’autre part). Dans ce cas particulier, la démodulation portera le nom de démodulation synchrone ou détection synchrone. Ce type de démodulation est très largement utilisé dans des systèmes de détection faible bruit ou même d’asservissement en fréquence de signaux modulés en fréquence. Elle présente certaines propriétés intéressantes qui ne seront pas développées plus en détail ici.

88

3. LES MÉLANGEURS - MULTIPLIEURS

3.1. Principe général Le phénomène de multiplication est toujours basé sur un phénomène de non-linéarité dans un composant. Prenons un exemple simple, la diode. L’expression du courant dans une diode est une

expression exponentielle : 0 1dqV

kTdI I e

− = −

où q est la charge de l’électron, k la constante de

Boltzmann et T la température ambiante en Kelvin. On peut approximer cette fonction par une loi polynomiale 2 3

0 1 2 3. . . ....d d d dI I I V I V I V= + + + + Dans la suite, on néglige les termes supérieurs à l’ordre 2. Considérons maintenant que ( ) ( )d p BFV V t V t= + , c'est-à-dire une somme de deux tensions,

l’une haute fréquence et l’autre basse fréquence. Une somme est relativement facile à faire avec des montages simples en électronique. Il vient alors : ( ) ( )2

0 1 2. .d p BF p BFI I I V V I V V= + + + +

( ) ( )2 20 1 2. . 2. .d p BF p BF p BFI I I V V I V V V V= + + + + +

On voit donc apparaître le terme produit 2 p BFV V× × . Les autres termes ne sont pas

intéressants, il faut essayer de s’en affranchir au mieux.

0I est un terme de courant continu que l’on peut aisément filtrer,

Le terme 2pV peut se décomposer en deux termes (décomposition d’un cosinus au

carré), l’un situé dans le domaine spectral continu et l’autre à une fréquence porteuse double ; on peut donc s’en affranchir par filtrage,

Les termes 1. BFI V et 2

BFV sont des termes basse fréquence faciles à filtrer,

Le terme 1. pI V est le seul qui soit gênant ; il est difficile à filtrer car spectralement

proche du terme utile. Il faut alors insérer la diode dans un schéma plus complexe afin de s’en affranchir.

89

3.2. Caractéristiques

Le Gain de conversion On définit le gain de conversion par le rapport entre la puissance utile de sortie et la

puissance d’entrée : 10.log Sc

E

PGP

=

.

Le point de compression Le point de compression traduit la non-linéarité du gain. C’est la valeur de la puissance d’entrée pour laquelle le gain diminue de 1 dB par rapport à un comportement linéaire.

PE (dBm)

PS (dBm) Courbe théorique

Courbe pratique 1 dB

Figure 80 : Point de compression

90

4. LES DIFFÉRENTES MODULATIONS EXISTANTES

Ce paragraphe rapide ne fait qu’énumérer les différents types de modulations analogiques existantes, les paragraphes suivants détaillants certaines d’entre elles.

4.1. La modulation d’amplitude (AM) L’amplitude de l’onde porteuse varie avec le signal modulant BF, la fréquence et la phase ne variant pas.

4.2. La modulation de fréquence (FM) La fréquence de l’onde porteuse varie avec le signal modulant BF, l’amplitude et la phase ne variant pas.

4.3. La modulation de phase (PM) La phase de l’onde porteuse varie par rapport à un état de phase initial avec le signal modulant BF, la fréquence et l’amplitude ne variant pas.

4.4. La modulation par impulsions Dans ce cas là, la porteuse est un train d’impulsions. La modulation peut alors être une modulation de l’amplitude de ces impulsions (PAM), mais également la durée (PDM) ou la position (PPM) des ces impulsions dans le train d’onde.

91

5. LA MODULATION D’AMPLITUDE

5.1. Définitions L’amplitude de l’onde porteuse varie en fonction de l’onde basse fréquence. Sa fréquence et sa phase restent invariantes. En pratique, la modulation d’amplitude traduit directement une opération de multiplication de deux signaux. Considérons deux signaux sinusoïdaux :

( ) ( ).cosp p p pV t A tω φ= + signal porteur,

et ( ) ( ).cosBF BF BF BFV t A tω φ= + signal modulant basse fréquence.

On considère dans la suite par souci de simplicité que 0p BFφ φ= = .

Le signal basse fréquence vient moduler l’amplitude du signal porteur ce qui peut s’écrire par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).cos .cos . 1 .cos .cosBFm p BF BF p p BF p

p

As t A A t t A t tA

ω ω ω ω

= + = + .

5.2. Indice de modulation

On définit l’indice de modulation BF

p

AmA

= . C’est le rapport entre les deux amplitudes, celle

de l’onde modulante par celle de l’onde porteuse. Il vient alors :

( ) ( ) ( ). 1 .cos .cosm p BF ps t A m t tω ω = + .

Le cosinus étant borné par ± 1, l’amplitude de l’onde porteuse varie entre ( )1pA m± . On a

donc ( )( )

max

min

1

1m p

m p

s A m

s A m

= +

= −.

On peut donc aussi définir l’indice de modulation par le rapport max min

max min

m m

m m

s sms s

−=

+.

Lorsque 1m > , on constate que le signal porteur se trouve en inversion de phase pour une demi période de son signal. On parle de surmodulation, cas à proscrire a priori.

92

Les graphiques ci-dessous illustrent un signal modulé en amplitude pour plusieurs cas de m.

sm(t)

t

1 V

0,5 V

m = 0,33

t

1 V m = 1

t

1 V m = 1,85

0,3 V

Figure 81 : Exemples de modulation d’amplitude

5.3. Encombrement spectral L’encombrement spectral est la largeur de la bande de fréquence qu’occupe le spectre du signal modulé en amplitude. Considérons le signal modulé vu précédemment : ( ) ( ) ( ). 1 .cos .cosm p BF ps t A m t tω ω = + .

On peut développer le produit et obtenir :

( ) ( ) ( ) ( ).cos .cos .cos2 2

p pm p p p BF p BF

mA mAs t A t t tω ω ω ω ω = + + + − .

Le spectre correspondant est composé de trois raies : une à la fréquence porteuse et deux raies latérales espacées de la fréquence de modulation.

93

Sm(f)

f

fp fp+fBFfp - fBF

Figure 82 : Spectre monolatéral d’une modulation d’amplitude sinusoïdale

L’encombrement spectral est ici 2 BFBP f= × . Dans l’expression du signal porteur ci-dessus, il avait été fait l’hypothèse que le signal modulant était une onde sinusoïdale. On peut étendre cette étude à un signal de forme d’onde générale. S’il est périodique, celui-ci peut toujours être décomposé en séries de Fourier. L’étude précédente reste similaire car alors l’expression peut se décomposer en produit d’une somme de cosinus/sinus. Le résultat général est donc de la même forme : le spectre basse fréquence se retrouve de part et d’autre d’une raie porteuse et ce d’une manière symétrique. La figure suivante illustre le spectre obtenu.

S(f)

f

fp fp+fmax fp – fmax

spectre BF

fmax fmin

spectre du signal modulé

Figure 83 : Spectre d’une modulation d’amplitude générale

La partie qui se retrouve au-dessus de la raie porteuse est appelée bande latérale supérieure (USB : Upper Side Band). La partie qui se retrouve au-dessus de la raie porteuse est appelée bande latérale inférieure (LSB : Lower Side Band). L’encombrement spectral vaut max2BP f= × .

94

5.4. Rendement L’onde modulée est ensuite transmise via une antenne ou un câble de résistance R. On peut calculer la puissance contenue dans chaque partie du spectre. Reprenons pour cela l’hypothèse du signal modulant sinusoïdal. La puissance totale contenue dans le signal est : T p USB LSBP P P P= + +

2 2 2 2 2

2 8 8p p p

T

A m A m AP

R R R= + +

2 2 2

1 12 2 2

pT p

A m mP PR

= + = +

.

L’information utile est contenue dans les bandes latérales, la porteuse ne comporte pas vraiment d’information. Or au mieux – si m = 1 – la porteuse contient deux tiers de la puissance, et les bandes latérales chacune 1/6. Le rendement est donc relativement mauvais.

5.5. Autres types de modulation d’amplitude Afin d’améliorer le rendement, certaines modulations particulières existent :

La DSB Double Side Band qui supprime la porteuse par filtrage une fois la modulation effectuée.

La SSB Single Side Band ou BLU (Bande Latérale Unique) - qui peut être LSB ou USB - qui supprime par filtrage la porteuse et l’une des deux bandes latérales. Cette modulation permet aussi de réduire l’encombrement spectral par deux et donc de libérer des canaux fréquentiels.

Se reporter aux TD et Annales pour des exemples applicatifs.

95

6. LA MODULATION DE FRÉQUENCE

6.1. Définition L’amplitude de l’onde porteuse reste cette fois-ci constante mais sa fréquence varie en fonction du temps.

6.2. Avantages et inconvénients

Avantages : la modulation de fréquence possède un meilleur rendement en puissance que la modulation d’amplitude. Elle possède une bien meilleure immunité aux bruits.

Inconvénients : les modulateurs et démodulateurs associés sont plus complexes à réaliser.

L’encombrement spectral est nettement plus important que pour la modulation d’amplitude (inconvénient moins fort en modulation de phase).

6.3. Rappels Dans la suite des paragraphes modulation de fréquence et modulation de phase, il est nécessaire d’avoir toujours à l’esprit la relation qui lie fréquence et phase. On rappelle donc

que ( ) ( )d tt

dtφ

ω = ,

et réciproquement ( ) ( )t t dtφ ω= ∫ .

6.4. Aspect temporel La figure ci-dessous illustre un signal modulé triangulairement en fréquence. La porteuse ici sinusoïdale voit sa fréquence augmenter linéairement en fonction du temps, puis repartir à sa fréquence initiale. Il s’agit ici d’un cas simple, mais il n’est pas toujours aisé de représenter les chronogrammes d’un signal modulé en fréquence.

96

Signal modulant BF

t

Signal modulé en fréquence

t

Figure 84 : Aspect temporel d’un signal modulé en fréquence

6.5. Expression du signal modulé Considérons un signal porteur de pulsation constante 0 csteω = . On l’exprime par

( ) ( ) ( )0 0 0.cos .cos .p p ps t A t A dtω φ ω= + = ∫ puisque 0 0 0.dt tω ω φ= +∫ .

Sa pulsation est maintenant modulée ; on considère qu’elle dépend du temps par une fonction quelconque : ( ) ( )0 .t k f tω ω= + . 0ω est la pulsation centrale, ( )f t une fonction quelconque

et k un facteur d’homogénéité. La phase de l’onde vaut : ( ) ( )0 . .t t k f t dtφ ω= + ∫ .

L’expression de l’onde modulée devient donc :

( ) ( )( )0.cos . .m ps t A t k f t dtω= + ∫ .

Selon ( )f t , l’expression peut être relativement complexe.

6.6. Cas d’une modulation sinusoïdale L’onde modulante est de type sinusoïdale :

( ) ( )

( ) ( )

.cos

sin

BF BF

BFFB

BF

f t A tAf t dt t

ω

ωω

= =∫

L’onde modulée s’écrit :

( ) ( )0.cos .sinBFm p BF

BF

kAs t A t tω ωω

= +

.

97

On note alors :

0ω = pulsation porteuse,

BFω = pulsation de modulation,

. BFk A ω= ∆ = excursion de pulsation du signal modulé. En effet la pulsation du signal modulé est comprise entre 0 . mk Aω ± (ne pas oublier de dériver

( )0 .sinBFBF

BF

kAt tω ωω

+ ),

. BF

BF BF

k Am ωω ω

∆= = = indice de modulation ; il dépend de l’amplitude et de la

fréquence de l’onde modulante.

6.7. Analyse spectrale L’onde modulante est de type sinusoïdale :

( ) ( )0.cos .sinm p BFs t A t m tω ω = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0. cos .cos .sin sin .sin .sinm p BF BFs t A t m t t m tω ω ω ω = −

L’expression ci-dessus n’est pas facilement simplifiable, notamment au niveau du cos(sin(x)) et du sin(sin(x)). Le seul moyen est de développer ces deux expressions en séries de Fourier. Le développement en série aboutit à des séries que l’on nomme séries de Bessel - notées Jn(x) et qui possèdent quelques particularités (voir paragraphe plus loin). En utilisant ces séries de Bessel, on obtient l’expression du signal modulé suivante :

( ) ( ) ( )0. .cosm p n BFs t A J m n tω ω+∞

−∞

= ± ±∑

( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 0.cos . cos cosm p p BF BFs t A J t A J t tω ω ω ω ω = + + − −

( ) ( )( ) ( )

2 0 0

3 0 0

. cos 2. cos 2.

. cos 3. cos 3.

.....

p BF BF

p BF BF

A J t t

A J t t

ω ω ω ω

ω ω ω ω

+ + − − + + − −

+

Les valeurs des fonctions de Bessel dépendent de l’indice de modulation m.

98

Le spectre du signal modulé est donc obligatoirement symétrique par rapport à la fréquence porteuse. L’expression est assez lourde, quelques exemples sont illustrés ci-dessous.

ω

S(f)

m = 0,25

ωp

ApJ0 = 0,98 si Ap = 1

0,12 0,12

ωp + ωBF ωp - ωBF

S(f) m = 2,4

ωp

J0 = 0

J1=0,54

S(f)

m = 4

ωp

J0 = 0,4

J2=0,4 J3=0,2 J4=0,08

ωp + 4ωBF ωp - 4ωBF

J1=0,07

J2 = 0,36

J3 = 0,43

J4 = 0,28 J5 = 0,13 J6 = 0,05

ωp + 6ωBF ωp - 6ωBF

Figure 85 : Spectre d’un signal modulé en fréquence sinusoïdalement

A priori, plus m est grand, plus il y a de composantes. On note qu’il peut exister des valeurs de m où la porteuse est annulée, par exemple m = 2,4.

6.8. Encombrement spectral Comme le montrent les spectres précédents, la largeur spectrale est beaucoup plus importante que pour la modulation d’amplitude. On peut toutefois distinguer deux cas :

m < ~ 0,1

L’expression du signal modulé peut être simplifiée : ( )( )cos sin 1BFm tω = et

( )( ) ( )sin sin .sinBF BFm t m tω ω= . On obtient alors :

( ) ( ) ( ) ( )0 0. cos sin . .sinm p BFs t A t t m tω ω ω = −

99

On se retrouve dans un cas ressemblant à la modulation d’amplitude :

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0. cos sin sin2 2m p BF BFm ms t A t t tω ω ω ω ω = − + + −

avec une raie porteuse centrale et deux raies latérales.

L’encombrement spectral vaut alors max2BP f= × .

m > ~ 0,1

Il n’est pas possible de simplifier l’expression du signal modulé, il est indispensable de calculer les séries de Bessel. On peut approximer l’encombrement spectral par la formule de Carson : ( ) ( )2. 1 2.BF BFBP m f f f= + = ∆ +

Les raies qui sont en dehors de cette bande ne contiennent que très peu d’énergie (< 5%).

6.9. Séries de Bessel Voici quelques rappels sur les séries de Bessel. Voir cours de mathématiques pour plus d’informations. Fonctions de Bessel du premier ordre :

∑∞

=

++ +−

=0

22 )!(!2

)1()(i

nini

i

n mini

mJ

−+

++

−

= ...

)!2(!22

)!1(!12

!1

2)(

42

n

m

n

m

nmmJ

n

n

)()1()( mJmJ n

nn −=−

...)4cos()(2)2cos()(2)()sincos( 420 +++= tmJtmJmJtm mmm ωωω

...)3sin()(2)sin()(2)sinsin( 31 ++= tcmJtmJtm mmm ωωω

100

Figure 86: Fonctions de Bessel du premier ordre

Jo(m)

m

J1(m)

J2(m)

101

7. LA MODULATION DE PHASE

7.1. Définition L’amplitude et la fréquence de l’onde porteuse restent cette fois-ci constantes mais sa phase varie en fonction du temps, par rapport à une phase initiale.

7.2. Avantages et inconvénients La modulation de phase est très similaire dans son étude à la modulation de fréquence. Elle aboutit cependant à un encombrement spectral plus réduit que la modulation de fréquence.

7.3. Expression du signal modulé Cette fois-ci, c’est la phase qui dépend du temps par une fonction quelconque :

( ) ( ) ( )( )0 0 0.cos .cos .m p ps t A t A t k f tω φ ω= + = + .

L’expression est donc finalement plus simple.

7.4. Cas d’une modulation sinusoïdale Considérons le cas d’un signal basse fréquence sinusoïdal :

( ) ( )( )0.cos . .cosm p BF BFs t A t k A tω ω= + .

On note alors :

0ω = pulsation porteuse,

BFω = pulsation de modulation,

. .BF BFk A ω ω= ∆ = excursion de pulsation du signal modulé. En effet la pulsation du signal modulé est comprise entre 0 . .m BFk Aω ω± ,

. BFm k A= = indice de modulation ; il dépend uniquement de l’amplitude

de l’onde modulante.

102

7.5. Analyse spectrale On procède de la même manière que pour la modulation de fréquence.

7.6. Relation entre modulation de fréquence et de phase Dans le cas d’une modulation sinusoïdale :

FM : ( ) ( )( )0.cos .sinm p F BFs t A t m tω ω= + avec /F BFm ω ω= ∆ ,

PM : ( ) ( )( )0.cos .cosm p BFs t A t m tφω ω= + avec . BFm k Aφ = .

Si l’on visualise ces deux signaux sur un oscilloscope, on observe exactement la même chose à un déphasage initial de / 2π près. Il est impossible de les distinguer. En pratique, les signaux modulés en phase ont des indices de modulation beaucoup plus faibles et sont donc à encombrement spectral plus réduit.

7.7. Modulations numériques On peut citer quelques termes de modulations numériques particulières :

FSK : Frequency Shift Keying : la fréquence du signal modulé vaut alternativement f1 et f2 qui codent alors deux niveaux numériques 0 et 1. On peut généraliser à n niveaux.

PSK : Phase Shift Keying : l’état de phase du signal modulé vaut alternativement φ1 et φ2

(par exemple 0 et π) qui codent alors deux niveaux numériques 0 et 1. On peut généraliser à n niveaux.

103

8. CONCLUSIONS

La modulation est avant tout un décalage d’un signal basse fréquence dans le domaine des

hautes fréquences ; la démodulation le procédé inverse,

Dans le domaine temporel, il s’agit du produit de deux signaux ; en pratique on fait appel à des composants dont on exploite la non-linéarité,

Différents types de modulations existent : modulation d’amplitude (AM), la plus simple ;

modulation de fréquence et de phase (FM et PM), plus complexes mais plus performantes,

La modulation d’amplitude aboutit à un encombrement spectral plus réduit a priori qu’une modulation de fréquence ou de phase.