elecci ones

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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp) Vol. 101, Nº. 1, pp 21-33, 2007 VII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES FCO. JAVIER GIRÓN GONZÁLEZ-TORRE *; JOSÉ MIGUEL BERNARDO HERRÁNZ ** * Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Facultad de Ciencias Matemáticas. Universidad de Malaga. 29071 Málaga. [email protected]. ** Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (A. Correspondiente). Departamento de Estadística. Facultad de Matemáticas. Universidad de Valencia. 46100 Burjassot (Valencia). 1. INTRODUCCIÓN Detras del aparentemente simple hecho de buscar una solución al problema de la representatividad de las diversas opciones que los partidos políticos ofrecen a la ciudadania en aquellos países en los que está asentada una democracia, se oculta un problema, en apariencia simple, pero complejo desde el punto de vista matemático, que es el de distribuir los escaños de un Parlamento de acuerdo con las preferencias que los ciudadanos expresan en las consultas de carácter político. Los sistemas de representación democrática exigen un metodo de selección justa de un pequeño número de individuos que representen a una mayoria de los ciu- dadanos. Un sistema electoral es una herramienta constitu- cional utilizada para resolver el problema anterior que transforma los votos de los ciudadanos en un cierto reparto del número de escaños. Aunque detrás de todos los sistemas electorales está la idea de que el reparto de escaños sea propor- cional al número de votos que obtiene cada grupo político, al ser el número de escaños muy inferior al de votos y al ser necesariamente este un numero entero, se produce un desajuste —un problema de redondeo— a la hora de asignar las partes no enteras sobrantes de los escaños a alguno de los partidos políticos en liza. A lo largo de la historia se ha propuesto una gran variedad de procedimientos o sistemas electorales (más de 300). El adoptar uno de ellos ha dependido de la historia, de la herencia y de los debates politicos de cada pais sobre todo en los dos ultimos siglos y la reforma electoral es un tema que afecta por igual a las nuevas democracias como a las más antiguas. El diseño de sistemas electorales nuevos es algo tan difícil como elegir uno de entre los muchos que actual- mente existen. En su elección suele haber factores cul- turales e históricos, además de intereses políticos, a veces espúreos. De modo que la elección de un sistema electoral no puede considerarse como una decisión imparcial o insesgada. Las votaciones per se no son garantia de equilibrio ya que el procedimiento elegido puede producir diferencias radicales en los resultados de la votación. La ingenieria electoral se ocupa del diseño. el análisis y la selección de procedimientos que se suelen utilizar para transformar votos en escaños (fórmulas electorales), que constituyen el grueso de cada sistema electoral. Algo que no podemos olvidar es que no hay sis- temas electorales perfectos. No se puede diseñar nin- gún sistema electoral que satisfaga todas las propie- dades dictadas por el sentido común. Esto sería una versión electoral del famoso teorema de imposibilidad de Arrow (1951). Así pues, la elección de un sistema electoral apropiado se reduce a elegir un cierto subcon- junto de aquellas propiedades que se consideren fun- damentales. En este artículo nos referiremos básicamente al modelo español y al de las Comunidades Autónomas, señalando de paso brevemente algunos comentarios sobre otros procedimientos que se aplican a otros países. Siguiendo el mandato constitucional de atender

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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 101, Nº. 1, pp 21-33, 2007VII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALESFCO. JAVIER GIRÓN GONZÁLEZ-TORRE *; JOSÉ MIGUEL BERNARDO HERRÁNZ **

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Facultad de Ciencias Matemáticas. Universidad de Malaga. 29071 Málaga. [email protected].

** Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (A. Correspondiente). Departamento de Estadística. Facultad de Matemáticas. Universidad de Valencia. 46100 Burjassot (Valencia).

1. INTRODUCCIÓN

Detras del aparentemente simple hecho de buscaruna solución al problema de la representatividad de lasdiversas opciones que los partidos políticos ofrecen ala ciudadania en aquellos países en los que estáasentada una democracia, se oculta un problema, enapariencia simple, pero complejo desde el punto devista matemático, que es el de distribuir los escaños deun Parlamento de acuerdo con las preferencias que losciudadanos expresan en las consultas de carácterpolítico.

Los sistemas de representación democrática exigenun metodo de selección justa de un pequeño número deindividuos que representen a una mayoria de los ciu-dadanos.

Un sistema electoral es una herramienta constitu-cional utilizada para resolver el problema anterior quetransforma los votos de los ciudadanos en un ciertoreparto del número de escaños.

Aunque detrás de todos los sistemas electoralesestá la idea de que el reparto de escaños sea propor-cional al número de votos que obtiene cada grupopolítico, al ser el número de escaños muy inferior al devotos y al ser necesariamente este un numero entero,se produce un desajuste —un problema de redondeo—a la hora de asignar las partes no enteras sobrantes delos escaños a alguno de los partidos políticos en liza.

A lo largo de la historia se ha propuesto una granvariedad de procedimientos o sistemas electorales(más de 300). El adoptar uno de ellos ha dependido dela historia, de la herencia y de los debates politicos de

cada pais sobre todo en los dos ultimos siglos y lareforma electoral es un tema que afecta por igual a lasnuevas democracias como a las más antiguas.

El diseño de sistemas electorales nuevos es algo tandifícil como elegir uno de entre los muchos que actual-mente existen. En su elección suele haber factores cul-turales e históricos, además de intereses políticos, aveces espúreos. De modo que la elección de un sistemaelectoral no puede considerarse como una decisiónimparcial o insesgada. Las votaciones per se no songarantia de equilibrio ya que el procedimiento elegidopuede producir diferencias radicales en los resultadosde la votación.

La ingenieria electoral se ocupa del diseño. elanálisis y la selección de procedimientos que se suelenutilizar para transformar votos en escaños (fórmulaselectorales), que constituyen el grueso de cada sistemaelectoral.

Algo que no podemos olvidar es que no hay sis-temas electorales perfectos. No se puede diseñar nin-gún sistema electoral que satisfaga todas las propie-dades dictadas por el sentido común. Esto sería unaversión electoral del famoso teorema de imposibilidadde Arrow (1951). Así pues, la elección de un sistemaelectoral apropiado se reduce a elegir un cierto subcon-junto de aquellas propiedades que se consideren fun-damentales.

En este artículo nos referiremos básicamente almodelo español y al de las Comunidades Autónomas,señalando de paso brevemente algunos comentariossobre otros procedimientos que se aplican a otrospaíses. Siguiendo el mandato constitucional de atender

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a criterios de representación proporcional, analizare-mos estos criterios desde la perspectiva de los pro-blemas de optimización con números enteros.

De hecho, las llamadas fórmulas electorales no sonfórmulas matemáticas en el sentido tradicional, sinoque son algoritmos que con el input de la distribuciónde votos generan un output que es el reparto de losescaños, utilizando para ello operaciones elementales.

Desde el punto de vista matemático, veremos queuna fórmula electoral es simplemente un algoritmodiseñado para minimizar una cierta función de costo.En particular, las fórmulas de representación propor-cional son algoritmos eficientes para resolver unproblema de optimización con una función objetivoespecífica. Estas funciones objetivo, distintas paracada fórmula, representan de hecho diversos índicesde proporcionalidad. A estos los podemos considerarcomo los criterios ocultos sobre los que se basa cadauna de las fórmulas.

Este modo de enfocar el problema nos proporcionaun susbstrato teórico de las conocidas fórmulas de re-presentación proporcional y nos permite estudiar lospuntos débiles de muchas de las metodologías usualesen el análisis de los sistemas proporcionales.

No tratamos aquí los sistemas mayoritarios—donde el candidato más votado es elegido en su dis-trito— como los usados sobre todo en los paisesanglosajones como Gran Bretaña, Estados Unidos,Nueva Zelanda y también en Italia. En Francia, sinembargo, se usa el sistema de doble votación.

2. EL MANDATO CONSTITUCIONAL

Reproducimos aquí el artículo de la Constituciónespañola referido al modo de elegir los representantesde la Cámara Baja. Como puede comprobarse, elartículo 68 no es muy explícto a la hora de fijar elmétodo de reparto de los Diputados, salvo la referen-cia a que sea proporcional. La descripción por-menorizada del procedimiento electoral vigente ennuestro país se desarrolla en los artículos de la Leyelectoral, que reproducimos en el Apéndice A de esteartículo.

TÍTULO IIIDe las Cortes GeneralesCAPÍTULO PRIMERO

De las CámarasArtículo 68.

1. El Congreso se compone de un mínimo de 300y un máximo de 400 Diputados, elegidos porsufragio universal, libre, igual, directo y secre-to, en los términos que establece la ley.

2. La circunscripción electoral es la provincia. Laspoblaciones de Ceuta y Melilla estarán repre-sentadas cada una de ellas por un Diputado. Laley distribuirá el número total de Diputados,asignando una representación mínima inicial acada circunscripción y distribuyendo los demásen proporción a la población.

3. La elección se verificará en cada circunscrip-ción atendiendo a criterios de representaciónproporcional.

3. MÉTODOS PROPORCIONALES

La elección de los representantes del Congreso delos Diputados en España, o dentro de cada ComunidadAutónoma del correspondiente Parlamento, comportados problemas de asignación proporcional, a saber: elreparto del total de los escaños del Parlamento porprovincias y, dentro de cada provincia, el posteriorreparto de los correspondientes escaños entre los par-tidos políticos concurrentes. Cada uno de ellos seresuelve por métodos diferentes tal como se estableceen la ley electoral.

3.1 El Método de los Restos mayores

Se utiliza para obtener la distribución de losescaños entre las provincias, aunque previamente se leaplican ciertas restricciones, a saber: a las ciudadesautómas de Ceuta y Melilla se les asigna un escaño acada una, y el resto de las provincias recibe automáti-camente dos escaños cada una. La asignación del restode los escaños se hace mediante el método de losRestos Mayores.

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3.1 El Método de los Restos mayores

Uno de estos métodos, conocido como ley o méto-do de d’Hondt, se aplica a la asignación de escaños alos partidos dentro de cada provincia, con la restric-ción de que se excluyen aquellos partidos que noobtengan un mínimo del 3 % en cada distrito electoral.

Estos dos métodos son casos particulares de lo quese conoce como problemas de asignación proporcionalentera, que se describen en la sección siguiente.

4. EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓNPROPORCIONAL ENTERA

Entre estos problemas, además de los dos especifi-cados de la distribución de escaños entre provincias yla asignación de escaños a los partidos políticos, seincluirían otros muchos como, p. ej., la asignación decentros escolares en proporción a la población, omuchos de los problemas de asignación de recursos enEconomía.

La descripción matemática de todos estos pro-blemas es la misma y se conoce con el nombre demodelo de urnas (o cajas) y bolas.

Adaptado a nuestro contexto, supongamos que hayque repartir una cantidad de escaños S entre n forma-ciones políticas a partir del número de votos v1,…, vnque recibe cada partido. Si s1,…, sn representa elnúmero de escaños asignados a los partidos 1,…, n, unmétodo de asignación proporcional determina losnúmeros enteros s1,…, sn de modo que los cocientes

,…, sean lo más parecidos entre si.

Si definimos las cuotas q1,…, qn asociadas alnúmero de votos v1,…, vn como la parte del número deescaños proporcional al número de votos

y si estas cuotas fuesen números enteros, que necesari-amente suman S, tendríamos resuelto el problema puesentonces la solución sería si qi ya que los cocientes

, donde sería el total devotos.

En general, las cuotas no son números enteros porlo que una solución al problema de asignación propor-cional entera consistirá en encontrar unos númerosenteros s1,…, sn próximos a las cuotas y que sumen S.

Pero, de manera natural, surge la pregunta de¿cómo se pueden construir métodos de asignación pro-porcional entera?

Históricamente se han utilizado esencialmente dosmétodos, a saber: el de los restos mayores y losmétodos basados en divisores.

Estos métododos parten de una idea simple y, comoveremos, terminan siendo la solución de un problemade optimización en números enteros.

Todos los métodos propuestos tienen ciertas ven-tajas e inconvenientes. De hecho, no existe ningúnmétodo comunmente aceptado por todos ni puedeexistir un método de asignación proporcional que sa-tisfaga una lista de propiedades razonables, comodemuestra el teorema de imposibilidad de Balinski yYoung (1982).

Como cabe esperar, la relación existente entre losmétodos de asignación proporcional y los métodos de

=

1 ...i i

in

v vq S Sv v V= =+ +

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Figura 1. Modelo de caja negra que describe la transformación de votos v1, ..., vi, ..., vn en escaños s1, ..., si, ..., sn, de modo quesuman un total de escaños.

1

nii

s S=

=∑

1 1s v n ns v

i is v S V= 1 ... nV v v= + +

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optimización permite profundizar en las propiedadesde estos métodos y, de este modo, abre el camino paraintroducir nuevos métodos potenciales de asignaciónproporcional más razonables que los actuales.

A continuación, pasamos a describir el primero delos métodos de asignación proporcional.

5. EL MÉTODO DE LOS RESTOSMAYORES

5.1 Descripción del método

Se asigna, en primer lugar, a cada partido la parteentera de su cuota [qi]; a continuación, se ordenan demayor a menor los restos qi [qi] y se asigna unescaño más a cada uno de los partidos con mayor restohasta completar los S escaños.

Una de las ventajas de este método es que satisfacela propiedad de verificación de la cuota, a saber, quelas soluciones s1,…, sn difieren de la cuota en menosde un escaño, es decir .

Sin embargo, tiene algunas desventajas, como la deque no es necesariamente monótono respecto de laasignación de escaños, lo que se conoce con el nombrede Paradoja de Alhabama, tal como se explica a con-tinuación.

Tampoco es necesariamente monótono respecto dela asignación de los votos, lo que se conoce comoParadoja de los votos: Puede ocurrir que, al comparardos elecciones distintas, un determinado partido hayaobtenido más votos pero menos escaños.

• La Paradoja de Alhabama

En 1881, el método de los Restos Mayores fue muycriticado por lo que, en su momento, el Congreso delos Estados Unidos lo eliminó debido al hecho de queel estado de Alhabama que tenía derecho a ocho repre-sentantes cuando el tamaño de la cámara era de 299escaños pasó a tener siete cuando cuando el número derepresentantes se aumentó a 300, habiéndo mantenidolos estados la misma población.

• La Paradoja de los estados nuevos

En 1907, Oklahoma se convirtió en un nuevo esta-do y se le asignaron 5 representantes en base a supoblación, con lo cual el total de representantes pasóde 386 a 391. La entrada de este nuevo estado produjocambios colaterales inesperados. En concreto, y sinrazón aparente, un escaño que previamente se habíaasignado a Nueva York pasó a engrosar los del estadode Maine, de modo que Nueva York pasó de 38 a 37escaños mientras que Maine pasó de 3 a 4 escaños.

Podríamos pensar que las paradojas son simple-mente cuestiones puramente académicas o bien quepudieran ser sucesos o acontecimientos históricosraros o poco probables: no osbtante, para bien o paramal, pueden tener implicaciones políticas de enormeimportancia.

La mayoría de los debates parlamentarios sobre losmétodos proporcionales se produce por la designaciónde un solo escaño. En 1991, los distritos de Montana yMassachusetts presentaron alegaciones contra la cons-titucionalidad del método de las Proporciones Igualeso de Hill-Huntington, que había estado en vigordurante más de 50 años. Ambos propusieron métodosalternativos basados en el censo de 1990 pero elTribunal Supremo confirmó la constitucionalidad delmétodo.

5.2 Ejemplo de aplicación del Método de los RestosMayores

Presentamos un caso real tomado de las eleccionesautonómicas catalanas celebradas el 16 de noviembrede 2003. Los datos corresponden a la provincia deLérida y el total de escaños que había que repartir oasignar era de 15. Aunque para la asignación real deescaños se utiliza la regla d’Hont, a continuación ofre-cemos la asignación que resultaría de aplicar a estosmismos datos el método de los restos mayores, paracomprobar que puede haber diferencias sustancialesentre los dos métodos.

En la Figura 2, se muestra el resultado de aplicar elmétodo de los restos mayores para obtener la asig-nación de los 15 escaños. Como se puede comprobar,

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1i iq s− ≤

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en la primera iteración se asignan 13 de los 15 escaños,de modo que son necesarias dos iteraciones más paraasignar el total de los quince escaños.

El resultado de la aplicación de este método con-duciría a la asignación que aparece en la última fila,que consistiría en asignar 6, 3, 3, 2 y 1 escaños a lospartídos políticos CiU, PSC, ERC, PP e ICV, respecti-vamente. Sin embargo, la asignación real que se obtu-vo aplicando la ley de dHondt fue de 7, 4, 3, 1 y 0escaños para CiU, PSC, ERC, PP e ICV, respectiva-mente.

El resultado anterior, que compara ambos métodos,revela un hecho frecuente y bien conocido —y tam-bién muchas veces criticado—, que es el que la reglad’Hont tiende sistemáticamente a favorecer a los par-tidos mayoritarios en detrimento de las minorías.

6. MÉTODOS DE LOS DIVISORES

En realidad, no se debe hablar de un solo método delos divisores sino que estos constituyen toda una clasede procedimientos de asignación proporcional, depen-diendo del criterio divisor que se utilice. Varios de losmétodos más utilizados en la práctica se enumeran enla Tabla 1.

6.1 Descripción de los métodos

Cada uno de los métodos se asocia con un criteriodivisor. Un criterio divisor es una función real d(s)definida sobre los números enteros s 0, 1, 2,… demodo que satisfaga las condiciones

=

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Figura 2. Ejemplo del funcionamiento del método de los restos mayores a la asignación de escaños en un caso real.

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y

A continuación, una vez fijado el criterio divisor,para cada i 1, 2,…, n y para cada s 0, 1,…, S se cal-culan los cocientes

se eligen los S mayores y se asignan a los respectivospartidos. Si hay empate, la ley electoral correspondi-ente decide el método de asignación (véase el ejemplode la Figura 3).

6.2 Algunos casos particulares

El Método de d’Hondt, introducido por Jeffersonpara el reparto de escaños del Congreso de los EstadosUnidos en 1794 y el más utilizado en Europa, a pesarde que se le haya criticado por ser el menos propor-cional de todos. En Bélgica se atribuye al juriconsultoVictor d’Hondt la creación del método. El criterio divi-sor correspondiente es: .

El Método Sainte Laguë, introducido por elmatemático francés del mismo nombre en 1910—aunque Webster lo había sugerido algunos añosantes— como alternativa al método de Jefferson quefavorecía a los grandes estados. El criterio divisor co-rrespondiente es: .

El Método de los Divisores Pequeños, desarrolladopor Adams, se puede considerar como la antítesis delde d’Hondt ya que tiende a favorecer a los partidospequeños. No se suele utilizar en Europa. El criteriodivisor correspondiente es: .

Obsérvese que, en este caso, como todoslos cocientes , lo que implica que cada partidoobtiene al menos un escaño.

Una ventaja importante de todos los métodos dedivisores es que son monótonos pero no necesaria-mente verifican la propiedad de la cuota.

6.3 Propiedades deseables que debe satisfacer uncriterio de asignación proporcional entera

Aunque ya hemos mencionado algunas de las ven-tajas e inconvenientes de los métodos que hemos con-

==

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Tabla 1. Ejemplos de los métodos de divisores.

* Además de en España, la ley d’Hont también se emplea en Austria, Bélgica, Finlandia, Islandia, Portugal, Holanda, Suiza y Francia(solamente se empleó en el año 1986).** En Dinamarca se empleó durante el período 1945-1953.

( )d s s=

( ) 0d s =0ic = +∞

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Figura 3. Ejemplo real de aplicación de la ley d’Hont. Obsérvese que, en este caso, el corte para quedar excluído de la asignación deescaños se situa en el 5% en vez del 3% que dicta la ley electoral.

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siderado, nos planteamos ahora el problema muchomás interesante de abordar el estudio de los métodosde asignación proporcional desde el punto de vistaaxiomático, es decir, de los principios que sondeseables que verifique un criterio de asignación pro-porcional. La conclusión es —como por otra ladocabría esperar, dada la diversidad de métodos y lascríticas que todos han recibido— decepcionante y nosconduce al siguiente teorema de imposibilidad, similaren espíritu, al famosos teorema de imposibilidad deArrow.

Teorema de imposibilidad (Balinski y Young,1982). No existe ningún criterio de asignación quecumpla simultáneamente las cuatro propiedades oaxiomas siguientes:

1. Verificación de la cuota: Ninguna de las dife-rencias entre escaños y cuotas debe ser superiora la unidad.

2. Monotonía respecto de los escaños: Al aumen-tar el número de escaños S ningún partido debe-ría recibir menos escaños, para una asignaciónfija de votos.

3. Monotonía respecto de los votos: Al compararlos resultados de dos elecciones, si el número devotos de un partido aumenta y el de otro dismi-nuye, no debería ocurrir que el primero tuviera

menos escaños y el segundo más que los quetuvieran anteriormente.

4. Homogeneidad: La solución no se altera si losnúmeros de votos se multiplican por un factorλ > 0.

6.4 Comparación entre los métodos de los RestosMayores y el de d’Hondt

A modo de ejemplo —que además ilustra alguna delas paradojas y señala la posibilidad de que se incum-plan algunos de los axiomas anteriores—, supongamosque el número de votos obtenidos por tres partidos A,B y C son 99, 245 y 32, respectivamente. La Tabla 2compara los resultados de asignar uno, dos, …, hastadiez escaños a estos partidos, utilizando las fórmulaselectorales de los Restos Mayores y la ley de d’Hondt.En la última columna aparecen las cuotas correspon-dientes. Aparte de las diferentes asignaciones que losdos métodos producen, se señalan con con uno y dosasteriscos, respectivamente, aquellas asignaciones queincumplen las propiedades de monotonía y de verifi-cación de la cuota.

Para estos mismos datos, y como complemento a laTabla 2, las Figuras 3a y 3b representan las asigna-ciones de los escaños a cada uno de los partidos, en

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Tabla 2. Comparación entre los métodos de los Restos Mayores y el de d’Hondt.

* Esta asignación no verifica la propiedad de monotonía.** Estas soluciones no verifican la cuota.

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cada una de las diez etapas de asignación, en la que secomprueba visualmente la diferencia entre ambosmétodos y los problemas debidos al incumplimientode alguna de las propiedades que deberían satisfacerlos dos criterios anteriormente señalas. El punto negro,que representa el reparto ideal, sería la solución ópti-ma para un número de escaños suficientementegrande, de modo que al hacerse más fina la retícula—es decir, al aumentar el número de escaños—, aque-lla coincidiría con alguno de los puntos de intersecciónde la retícula. Este hecho refleja la idea intuitiva de quetodos los métodos de reparto proporcional coincidiríansi el número de escaños fuese suficientemente grande(se tendría una malla o retícula muy fina), y las propor-ciones de votos de los diversos partidos no fuesendemasiado dispares, lo que impediría que hubiesemayorías o minorías demasido acusadas (ya que, enestas circunstancias, estaríamos demasido cerca de unvértice).

7. RELACIÓN CON LOS MÉTODOS DEOPTIMIZACIÓN

Uno de los problemas más importantes que se nosplantean en el estudio de los métodos de reparto o asig-nación proporcional es saber cómo se puede medir sugrado de proporcionalidad.

Parece ser un sentir general que el método de losRestos Mayores es el más proporcional mientras que elmétodo de d’Hondt es el menos proporcional. Larespuesta o la explicación a este sentir no está prioridel todo clara; sin embargo, se puede aclarar enfo-cando el problema de la asignación proporcional comoun problema de optimización con números enteros.

Pero, ¿cuál es la función objetivo que se encuentradetrás de cada uno los métodos de asignación propor-cional? La optimización entera nos permite descubrir,a posteriori, la función objetivo que cada criterio mini-miza.

Este nuevo enfoque del problema original en tér-minos de las soluciones de problemas de optimizaciónpermite diseñar nuevas fórmulas electorales que co-rrespondan a ciertas funciones objetivo o medidas dedesproporcionalidad.

El planteamiento del problema de optimizaciónpara la asignación proporcional sería pues el siguiente.

Consideremos n partidos y S escaños. Seael vector de los votos que obtiene cada

partido y . El problema de representaciónproporcional consiste en determinar la configuración ovector tal que

donde la relación vi intenta representar el quelos escaños asignados si sean lo más proporcionalesposible a los votos obtenidos vi.

Para que el número de escaños si fuese exactamenteproporcional al número de votos de cada uno de los

1

más

0, entero, para 1, 2, ..., ,

n

ii

i

i i

s S

s i n

s v

=

=

≥ =

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Figura 3a. Comportamiento gráfico del Método de los RestosMayores. El punto negro representa el reparto ideal.

Figura 3b. Comportamiento gráfico del Método de d’Hondt.El punto negro representa el reparto ideal.

{ }1,..., nv v v=

1

nii

V v=

= ∑{ }1,... ns s s=

(P1)

más

i is v∝

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partidos i 1,…, n, se debería cumplir exactamente laigualdad

Como la cuota, , es generalmente un número frac-cionario, hay que redondearla de algún modo y, porconsiguiente, no hay solución única del problema(P1).

Se puede demostrar que la solución del problema(P1) dado por las diferentes fórmulas de asignaciónson soluciones óptimas del siguiente problema de opti-mización

en el que la función de costo es una medida dela falta de equidad (o índice de desproporcionalidad)específica de cada método, que toma valores no nega-tivos y generalmente satisface el que si ysolo si para todo i 1, 2,…, n.

7.1 Métodos de asignación y sus correspondientesmedidas de desproporcionalidad

A continuación, damos una lista de varios de losmétodos de asignación proporcional más utilizados,con sus correspondeintes funciones de costo. Obsérve-se que para un mismo criterio puede haber más de unafunción de costo.

8. EPÍLOGO

Finalizamos el artículo con unos comentarios refer-entes a las consecuencias que tiene la ley electoralvigente y, de paso, señalamos alguna posibilidad demejora de ésta conducente a aumentar el grado de pro-porcionalidad de la misma, sin olvidar la importante ydifícil tarea que supone la modificación de una leyelectoral, atendiendo a criterios objetivos y no de opor-tunidad política que, como es bien sabido y la historianos lo recuerda, se pueden volver en su contra en otrascircunstancias.

Un examen global de los resultados de las diezelecciones generales habidas en nuestro país muestrauna baja proporcionalidad entre el número total devotos y el número total de escaños recibidos por cadapartido.

Esta baja proporcionalidad no solamente se debe ala aplicación del método de d’Hondt sino principal-mente a la existencia de muchas circunscripcionespequeñas.

Balinski y Ramírez proponen las siguientes modifi-caciones a la ley electoral con el objeto de aumentar laproporcionalidad:

1

1

1

1,2,...,

para todo 1

Método de los Restos Mayorespara todo 1

max

np

i iin

ii

iipn

i i

i

i ii n

s q p

s Sv v V

s v pS V

s vS V

=

=

=

=

⎧ − ≥⎪⎪⎪

−⎪⎪⎨⎪ − ≥⎪⎪⎪ −⎪⎩

=

para 1, 2, ..., .i iSs v i nV= =

=

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iSv V

(P2)

i iSs v V=

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a) Aumentar el tamaño de la Cámara al máximo quecontempla la Constitución (400 escaños), asignar sola-mente un escaño inicial por provincia y repartir el restomediante el método de Sainte-Laguë.

b) Sustituir el método de d’Hondt para el reparto deescaños por el método de los divisores con criteriodivisor .

Por otra parte, Bernardo sugiere sustituir la ley ded’Hondt por otro criterio que minimice alguna métricao distancia entre las cuotas y los escaños como ocurre,p. ej., con el método de los Restos Mayores.

9. CONCLUSIONES

El teorema de imposibilidad de Balinsky y Youngafirma que no hay ningún método de reparto propor-cional óptimo.

Por otra parte, la fórmula electoral ideal ha de ser, ala vez, fácil de entender y de calcular.

El que sea fácil de entender es una condición muyimportante ya que “en un sistema realmente democrá-tico cada elector debe ser consciente y tener una ideaclara de las consecuencias de su voto”.

El segundo requisito, de que sea fácil de calcular,antaño fue importante, pero hoy ya no lo es. Podemosconcluir, por consiguiente, que la elección de unafórmula electoral es una decisión política importanteque debe compatibilizarse con el mandato constitu-cional.

El que los métodos de reparto proporcionales sepuedan considerar como un problema de optimizacióncon una determinada función de costo ayuda aentender los pros y los contras de cada uno de losmétodos comunmente usados e, incluso, a diseñarnuevas fórmulas electorales que minimicen ciertasmedidas de desproporcionalidad o distancia entre larepresentación política de cada partido medida por

y la ideal . Otra gran ventaja, es que ademáspermiten que se puedan añadir restricciones alproblema de optimización de modo que fuercen a laasignación de escaños resultante a respetar ciertaspropiedades.

De aquí deducimos, como conclusión final, que lasmatemáticas pueden ayudar a encontrar la solución alproblema de la asignación proporcional que mejor seajuste a unas determinadas circunstancias políticas,independientemente de éstas circunstancias y de otroselementos que pudieran distorsionar la idea que subs-yace detrás del concepto de reparto proporcional.

APÉNDICE A: LA LEY ELECTORAL

LEY ORGÁNICA 5/1985, DE 19 DE JUNIO DELRÉGIMEN ELECTORAL GENERAL, MODI-FICADA POR LA LEY ORGÁNICA 1/1987, DE 2DE ABRIL, POR LA LEY ORGÁNICA 8/1991, DE13 DE MARZO, POR LA LEY ORGÁNICA 6/1992,DE 2 DE NOVIEMBRE, POR LA LEY ORGÁNICA13/1994, DE 30 DE MARZO, POR LA LEYORGÁNICA 3/1995, DE 23 DE MARZO, POR LALEY ORGÁNICA 1/1997, DE 30 DE MAYO, PORLA LEY LEY ORGÁNICA 3/1998, DE 15 DE JUNIOY POR LA LEY ORGÁNICA 8/1999, DE 21 DEABRIL.

CÁPITULO III

Sistema electoral

Artículo 161. 1. Para la elección de Diputados ySenadores, cada provincia constituirá una circuns-cripción electoral. Asimismo, las ciudades de Ceuta yMelilla serán consideradas, cada una de ellas, comocircunscripciones electorales. 2. Se exceptúa de lo dis-puesto en el párrafo anterior, para las elecciones deSenadores, a las provincias insulares, en las que a talesefectos se consideran circunscripciones cada una de lassiguientes islas o agrupaciones de islas: Mallorca,Menorca, Ibiza-Formentera, Gran Canaria, Fuerte-ventura, Lanzarote, Tenerife, Hierro, Gomera y LaPalma.

Artículo 162. 1. El Congreso está formado por tres-cientos cincuenta Diputados. 2. A cada provincia lecorresponde un mínimo inicial de dos Diputados. Laspoblaciones de Ceuta y Melilla están representadascada una de ellas por un Diputado. 3. Los doscientoscuarenta y ocho Diputados restantes se distribuyen

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entre las provincias en proporción a su población, con-forme al siguiente procedimiento:

a) Se obtiene una cuota de reparto resultante dedividir por doscientos cuarenta y ocho la cifra total dela población de derecho de las provincias peninsularese insulares.

b) Se adjudican a cada provincia tantos Diputadoscomo resulten, en números enteros, de dividir lapoblación de derecho provincial por la cuota dereparto.

c) Los Diputados restantes se distribuyen asig-nando una a cada una de las provincias cuyo cociente,obtenido conforme al apartado anterior, tenga unafracción decimal mayor.

Descripción del método de los restos mayores

4. El Decreto de convocatoria debe especificar elnúmero de Diputados a elegir en cada circunscripción,de acuerdo con lo dispuesto en este artículo.

Artículo 163. 1. La atribución de los escaños enfunción de los resultados del escrutinio se realiza con-forme a las siguientes reglas:

a) No se tienen en cuenta aquellas candidaturas queno hubieran obtenido, al menos, el 3 por 100 de losvotos válidos emitidos en la circunscripción.

b) Se ordenan de mayor a menor, en una columna,las cifras de votos obtenidos por las restantes candi-daturas.

c) Se divide el número de votos obtenidos por cadacandidatura por 1, 2, 3, etcétera, hasta un número igualal de escaños correspondientes a la circunscripción,formándose un cuadro similar al que aparece en elejemplo práctico. Los escaños se atribuyen a las candi-daturas que obtengan los cocientes mayores en elcuadro, atendiendo a un orden decreciente.

Aquí se describe un ejemplo práctico de aplicación dela ley d’Hondt

d) Cuando en la relación de cocientes coincidan doscorrespondientes a distintas candidaturas, el escaño seatribuirá a la que mayor número total de votos hubieseobtenido. Si hubiera dos candidaturas con igualnúmero total de votos, el primer empate se resolverápor sorteo y los sucesivos de forma alternativa.

e) Los escaños correspondientes a cada candidaturase adjudican a los candidatos incluidos en ella, por elorden de colocación en que aparezcan.

2. En las circunscripciones de Ceuta y Melilla seráproclamado electo el candidato que mayor número devotos hubiese obtenido.

Artículo 164. 1. En caso de fallecimiento, inca-pacidad o renuncia de un diputado, el escaño seráatribuido al candidato o, en su caso, al suplente, de lamisma lista a quien corresponda, atendiendo a suorden de colocación. 2. Las vacantes de los Diputadoselegidos en Ceuta y Melilla serán cubiertas por susrespectivos suplentes, designados en los términos delartículo 170 de esta Ley.

APÉNDICE B: LA TEORÍA DE LAELECCIÓN SOCIAL

Como complemento de este artículo, ofrecemosuna breve descripción del teorema de imposibilidad deArrow, al que se ha hecho referencia en varias oca-siones.

Formulación del problema

Si cada individuo de un grupo tiene un cierto ordende preferencias entre las diferentes alternativas A, B,C, etc., ¿cómo se pueden convertir las distintas prefer-encias individuales en una sola elección para todo ungrupo?

La herramienta básica es la definición de función debienestar social, que es una regla o procedimiento deagregación que permite ordenar las distintas alterna-tivas a partir de las preferencias individuales.

Como ejemplos de funciones de bienestar social,que se han utlizado con profusión se encuentran lassiguientes:

a) El método de la mayoría relativa.

b) El índice de recuento de Borda.

c) El método de comparación por parejas.

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A la pregunta de qué propiedades debería verificaruna función de bienestar social razonable, Arrow(1951) en su histórico artículo que adoptaba la per-spectiva axiomática imperante en la época, introdujolas siguientes como axiomas que una función de bien-estar social ideal debería satisfacer.

a) Dominio Universal: Cualquier preferencia indi-vidual es legítima.

b) El Principio de Pareto: Si hay unanimidad enconsiderar una alternativa mejor que otra entonces elprocedimeinto de agregación debería colocar siemprela alternativa mejor antes de la peor.

c) Independencia de alternativas irrelevantes:La ordenación social de dos alternativas sólo dependede su ordenación en cada lista individual y no de surelación con otras alternativas.

Con estas premisas, Arrow demostró su teorema deimposibilidad, que enunciamos de la manera siguiente.

Teorema de Imposibilidad de Arrow (1951)

Si hay más de dos alternativas, cualquier función debienestar social que cumpla las propiedades anteriorescoincide con las preferencias de un cierto individuo,que variará según cual sea la función, por lo que ten-dríamos necesariamente una dictadura.

NOTA BIBLIOGRÁFICA

En la referencia 4 puede encontrarse una extensa yreciente bibiografía, clasificada según los diversosaspectos que ofrece el tema de las Matemáticas de losSistemas Electorales, desde las contribuciones funda-mentales de los pioneros, como Arrow y Black, alanálisis de los métodos proporcionales, pasando porlas reformas electorales, la estabilidad de los gobiernosy los efectos y consecuencias de los sistemas elec-torales.

BIBLIOGRAFÍA

1. Arrow, K. (1963). Social Choice and IndividualValues (2nd edition). Wiley: New York.

2. Balinski, M. L. and Young, H. P. (1982a). FairRepresentation: Meeting the Ideal of One Man OneVote. Yale University Press: New Haven, CT.

3. Balinski, M. L. and Young, H. P. (1982b). The quotamethod of apportionment. American MathematicalMonthly, 82, pp. 701–729.

4. Grilli di Cortona, P. Manzi, C. Pennisi, A., Ricca, F.,and Simeone, B. (1999). Evaluation andOptimization of Electoral Systems. SIAMMonographs on Discrete Mathematics andApplications.