ele2611 classe 9 - notions d'électrotechnique

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 9 - Notions d’electrotechnique

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 17 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/48

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Motivation pour ce cours

I Dans le cours 9, nous introduisons des notions de base pour l’analyse desreseaux electriques (electrotechnique), que vous poursuivrez dans le coursELE3400.

I Un reseau electrique est un systeme, generalement complexe, fonctionnantnormalement en regime permanent sinusoıdal (RPS), a une frequence fixe.

I Nous discutons tout d’abord le concept de puissance en RPS, qui est laquantite fondamentale pour l’analyse des reseaux electriques.

I Puis nous introduisons un nouveau composant de base, les bobines(magnetiquement) couplees. Ce composant est utilise couramment encommunications et dans les equipements de mesure. Mais surtout, lestransformateurs sont des types de bobines couplees cruciaux dans lesreseaux electriques pour changer le niveau de tension, par exemple pourfaire le lien entre les stations et les consommateurs.


Introduction

Les Reseaux Electriques


Introduction

Le cas d’Hydro-Quebec


Introduction

Outline

Puissance dans les circuits monophases alternatifsGrandeurs pour les signaux sinusoıdauxPhaseurs sinusoıdaux et puissance complexeFourniture d’electricite et correction du facteur de puissanceTransfert maximal de puissance

Circuits magnetiquement couples et transformateursAnalyse des circuits couplesTransformateurs


Introduction

Puissance dans les circuits monophases alternatifs

Grandeurs pour les signaux sinusoıdaux

Outline




Introduction



Grandeurs pour les signaux periodiques (rappel du cours 5)

I Signal periodique de periode T : f (t) = f (t + T ) pour tout t

I Valeur maximale fmax, Valeur crete a crete

I Valeur moyenne (constante) :

fm =1

T

∫ t0+T

t0

f (τ)dτ

I Exercice : montrer que la definition ne depend pas du choix de t0I Exercice : valeur moyenne de sin(ωt + φ), cos(ωt + φ) ?

I Valeur efficace (ou moyenne quadratique, ou RMS = Root Mean Square)

feff =

√1

T

∫ t0+T

t0

f 2(τ)dτ

I Exercice : montrer que la definition ne depend pas du choix de t0

I Applications :I Intensite et tension efficaces (ex : 120V RMS a la prise). Pourquoi pas

moyennes ?I Puissance moyenne. On ne parle pas de puissance efficace.


Introduction



Relations entre fmax et feff (rappel du cours 5)

I Soit un signal f de periode T , symetrique par rapport a l’axe du temps

f (t) = fmax g(t), g T-periodique, symmetrique, gmax = 1.

I On a

feff =

√1

T

∫ T

0

f 2maxg 2(τ)dτ = fmaxgeff

I Applications (calculs de geff en exercice) :I g(t) sinusoıde (g(t) = sin(ωt + φ))

→ feff =fmax√

2

C’est le cas qui nous interesse pour le RPSI g(t) signal triangulaire → feff = fmax/

√3.

I g(t) signal carre → feff = fmax .

I Exemple : Calculer Vmax si Veff = 120V en RPS.


Introduction



Motivation pour les tension et courants effectifs (rappel du cours 5)

I Soit une resistance R parcourue par : cas 1) un courant continu I et cas 2)un courant alternatif i(t).

I Puissance moyenne dissipee dans la resistance :

cas 1 : Pcc = RI 2

cas 2 : Pca =1

T

∫ T

0

Ri(t)2dt = RI 2eff

I Ieff est donc la valeur de l’intensite continue qui contribuerait a la memepuissance dissipee dans la resistance. Idem pour Veff .


Introduction


Phaseurs sinusoıdaux et puissance complexe

Outline




Introduction



Phaseurs sinusoıdaux (rappels)

I Pour l’etude d’un circuit lineaire stable, en regime permanent sinusoıdalI Duree des transients ≈ 4/|<[pole le plus a droite]—.I En RPS, tous les signaux oscillent a la meme frequence que la source.

I Choix d’un signal de reference par rapport auquel on mesure les phases,par ex. la source vs (t) = Vs cos(ωt) (choix d’un temps t = 0)

I Phaseur : x(t) = X cos(ωt + φ) = Re[X e jωt+jφ]↔ X = X e jφ

I Utilite pour les calculs pratiques en RPS : impedances complexes Z = VI

I L’amplitude et phase des signaux aux bornes d’un composant (en RPS)sont des fonctions de la frequence M(ω), φ(ω)

I Dans l’analyse des circuits dedies a la manipulation d’information (ex :filtrage) on s’interesse generalement a la reponse en frequence d’un circuit.

I Dans les circuits dedies au transport de l’energie electrique, on travaillenormalement avec une frequence unique (50 Hz ou 60 Hz), qui peut alorsetre omise de la notation des phaseurs et des impedances complexes.


Introduction



Diagramme de phaseurs (rappels)

I Un phaseur est un nombre complexe, ou de maniere equivalente unvecteur dans R2

I Application : addition de sinusoıdes de meme frequence

v3(t) = V1 cos(ωt + φ1) + V2 cos(ωt + φ2)

v3(t) = Re[(V1 + V2)e jωt ] = Re[V3ejωt ] = Re[|V3|e j(ωt+∠V3)]

v3(t) = |V3| cos(ωt + ∠V3), avec V3 = V1 + V2

→ Il suffit d’additioner les phaseurs

<

= !t

�1V1

V2

V3


Introduction



Puissance moyenne en RPS

+

-

V

I

Z = V/I

I Situation typique : source alimentant un circuit d’impedance ZI Puissance instantanee (en RPS) fournie a la charge

p(t) = v(t)i(t) = Vmax cos(ωt + φV ) Imax cos(ωt + φI )

=VmaxImax

2(cos(2ωt + φV + φI ) + cos(φV − φI ))

I ⇒ Puissance moyenne P ou puissance reelle ou puissance active :

P =VmaxImax

2cos(φV − φI ) = Veff Ieff cos(φV − φI )

I cos(φV − φI ) : facteur de puissance.I Pour les calculs de puissance en RPS, il est aussi pratique de definir les

phaseurs RMS ou effectif :

Xeff =X√

2↔ Xeff e

jφ → P = Re[Veff I∗eff ]


Introduction



Puissance complexe

I Les phaseurs sont utiles pour calculer les echanges de puissance en RPS

I Definition : puissance complexe

S =V I∗

2= Veff I∗eff =

VmaxImax

2e(j(φV−φI )) = Veff Ieff e

(j(φV−φI ))

I Puissance moyenne : P = Re[S ] = Veff Ieff cos(φV − φI ).I Unites de P : le watt (W).

I Puissance reactive : Q = Im[S ] = Veff Ieff sin(φV − φI ).I Due a l’echange d’energie entre source et charge, uniquement presente si la

charge est capacitive ou inductive.I Unites de Q : le volt-ampere-reactif (VAR).

I Puissance apparente : |S | = Veff Ieff =√P2 + Q2.

I Unites de |S| : le volt-ampere (VA).

I Les unites differentes pour ces puissances mettent en valeur leurs impactsphysiques differents. Par exemple, la puissance instantanee maximale dansle reseau est ≤ 2|S | donc la puissance apparente peut aider a dimensionnerles equipements comme transformateurs.


Introduction



Somme des puissances dans un circuit

I Propriete : La somme des puissances complexes delivrees aux composants

d’un circuit est 0 (en incluant les sources) :∑

k∈composants

Vk I∗k2

= 0.

I Meme chose donc pour les puissances moyennes et les puissances reactives(en prenant la partie reelle et imaginaire).


Introduction



Triangles des impedances et des puissances

I Impedance complexe Z = R + jX , avec R = resistance, X = reactance.

Z =VI

=Vmaxe

jφV

Imaxe jφI=

Vmax

Imaxexp (j(φV − φI ))

=Vmax

Imax(cos(φV − φI ) + j sin(φV − φI )) = R + jX ,

I Comparant avec S = Veff Ieff e(j(φV−φI )), on a ∠Z = ∠S = θ = φV − φI .

I φV − φI est l’angle de phase ou angle d’impedance, dephasage entretension et courant.

Z

|Z|

R

X

S

|S|

P

Q

< <

==

✓ = �V � �I

✓ ✓


Introduction



Calculs de puissance et impedances complexes

I Impedance complexe Z = R + jX , avec R = resistance, X = reactance.Admittance complexe Y = 1/Z = G + jB, avec G = conductance, B =susceptance.

I La puissance complexe delivree a Z peut s’exprimer en termes del’impedance

S =V I∗

2= Z

I I∗

2= Z|I|2

2= ZI 2

eff = I 2eff (R + jX ).

ou S =V I∗

2=

VV∗

2Z∗= Y ∗V 2

eff = V 2eff (G − jB).

I Puissance moyenne P = RI 2eff = GV 2

eff .

I Puissance reactive Q = XI 2eff = −BV 2

eff .

I Puissance apparente |S | =√R2 + X 2I 2

eff =√G 2 + B2V 2

eff .


Introduction



Exemples d’echange de puissance

I Resistance : Z = R∠0⇒ θ = 0. P = V 2eff /R > 0, Q = 0. Consomme de la

puissance active seulement, pas reactive.

I Bobine : Z = jωL = ωL∠π/2⇒ θ = π/2. P = 0,Q = ωLI 2eff =

V 2effωL

> 0.La bobine restitue toute l’energie qu’elle recoit en moyenne. Elleconsomme en moyenne de la puissance reactive.

I Condensateur : Z = 1jCω

= 1Cω

∠− π/2⇒ θ = −π/2. P = 0,

Q = −ωCV 2eff < 0. Le condensateur restitue toute l’energie qu’il recoit en

moyenne. Il produit en moyenne de la puissance reactive.

I Resistance et bobine en serie : Z = R + jLω → θ = tan−1(Lω/R) > 0,P = RI 2

eff , Q = ωLI 2eff .

I Resistance et condensateur en parallele : Y = G + jCω,θ = − tan−1(Cω/G) < 0, P = GV 2

eff , Q = −ωCV 2eff .


Introduction


Fourniture d’electricite et correction du facteur de puissance

Plan pour ce cours




Introduction



Considerations sur la puissance reactive

I Dans un reseaux electrique, il y a a la fois des moteurs (mettant en jeuxdes inductances) et des lignes de transmission (resistances et inductances).

I Il y a donc beaucoup de puissance reactive consommee dans le reseau.

I Par la conservation de la puissance reactive, celle-ci doit etre genereequelque part.

I Si cette puissance reactive est generee loin du lieu de consommation, elledoit etre transportee, ce qui augmente la puissance apparente, et ainsi lataille des courants dans les lignes de transmission → pertes ohmiquesaccrues et chutes de tension en allant vers les centres de consommation.

I Deux actions sont generalement prises pour corriger cette situation :I Exiger des gros consommateurs industriels de “corriger leur facteur de

puissance”, i.e., mettre en parallele de leurs charges des capacites de tailleadequate pour generer la puissance reactive necessaire. Ces capacites netirent pas de puissance active et ne changent donc pas la consommationfacturee a l’industriel, mais ajustent l’angle d’impedance percu par lacompagnie d’electricite.

I Introduire periodiquement le long des lignes de transmission/distribution descapacites pour la compensation.

I Nous mettons maintenant ce probleme en equations.


Introduction



Facteur de puissance et angle de phase (rappels)

I Facteur de puissance (f ) d’un composant d’impedance Z

f =Puissance moyenne

Puissance apparente=

P

|S | = cos(φV − φI )⇒ P = f |S |.

I Angle de phase θ = φV − φI . θ et −θ donnent le meme facteur depuissance.

I Pour θ > 0 (composant inductif) : on dit que le f.p. est en retard (laggingpower factor). Le courant est en retard sur la tension.

I Pour θ < 0 (composant capacitif) : on dit que le f.p. est en avance (leadingpower factor). Le courant est en avance sur la tension.

I Exemple : un f.p. de 0.8 en retard correspond a θ = cos−1(0.8) = 36.87◦.un f.p. de 0.8 en avance correspond a θ = − cos−1(0.8) = −36.87◦.


Introduction



Facteur de puissance et fourniture d’electricite

=+H.Q.

vs(t) = A cos!t

charge duclient / abonné

Z = R + j XLigne de

transmission

R1/2

R1/2

L1/2

L1/2

v(t) =

Vm cos(!t + �V )

+

-

i(t) =

Im cos(!t + �I)

I Sont fixes : R1, L1 pour la ligne de transmission. Tension Veff (ou Vm) etpuissance active P requises par le client.

I Ligne : Impedance Z1 = R1 + jωL1. Puissance active absorbee P1 = I 2eff R1.

I On a P = Veff Ieff f ⇒ Ieff = P/(fVeff ), requise par le client.

Donc P1 =R1P

2

V 2eff

1

f 2

I Il faut donc avoir f le plus proche possible de 1 (φV = φI , chargepurement resistive) pour limiter les pertes P1 pour H.Q.

I H.Q. impose aux consommateurs (industriels) un facteur de puissancesuffisamment eleve, ou penalise sur la facture. Permet de diminuer Ieff .


Introduction



Correction du facteur de puissance

I Probleme de correction du f.p. pour le client : diminuer |Q| (et donc |S |),sans changer P.

I Solution : Mettre une impedance en parallele de la charge pour compensersa reactance.

=+H.Q.

vs(t) = A cos!t

charge duclient / abonné

Z = R + j XLigne de

transmission

R1/2

R1/2

L1/2

L1/2

v(t) =

Vm cos(!t + �V )

+

-

i(t) =

Im cos(!t + �I)compensation

Z

|Z|

R

X

S

|S|

P

Q

< <

==

✓ = �V � �I

✓ ✓

f.p. f = cos θ ≈ 1 desire (i.e., charge∼ resistive)


Introduction



Correction du facteur de puissance : analyse

I Charge initiale : Z = R + jX = |Z |e jθ ↔ Y = 1|Z |e

−jθ = G + jB.

I N.B. : − tan θ = BG

.

I Compensation Z1 ↔ Y1 = 1Z1

.

I Charge totale : Yc = Y + Y1. Pour maintenir P constant, il fautY1 = jB1 ↔ Z1 = jX1 (compensation purement capacitive ou inductive).

I f ↔ θ : p.f. initial. fc ↔ θc : p.f. desire apres correction.

I On veut

Yc = G + j(B + B1)⇒ B + B1

G= − tan θc

B1 = −G tan θc − B = G(tan θ − tan θc ) =R

R2 + X 2(tan θ − tan θc )

I Typiquement B1 = ωC1


Introduction



Exemple

I On considere une charge industrielle consommant 300 kVA, avec unfacteur de puissance de 0.75 en retard. Cette charge est alimentee par unesource alternative de tension de 600 V rms a 60 Hz.

I Calculer S , I et Z pour cette charge.

I Calculer la valeur du condensateur necessaire pour ramener le facteur depuissante a 0.9 en retard.


Introduction


Transfert maximal de puissance

Plan pour ce cours




Introduction




=+

Zs

ZL

+

-

V

+

-

VL

I

I Puissance delivree a la charge

P = Re[VL,eff I∗eff ] = Re

[ZL

Zs + ZLVeff

1

Z∗s + Z∗LV∗eff

]=

Re[ZL]

|Zs + ZL|2V 2

eff

P =RL

(Rs + RL)2 + (Xs + XL)2V 2

eff .

I Maximum de puissance transferee atteint pour

XL = −Xs ⇒ P =RL

(Rs + RL)2V 2

eff

dP

dRL= 0⇒ RL = Rs

donc ZL = Z∗s et Pmax =V 2

eff

4Rs


Introduction

Circuits magnetiquement couples et transformateurs

Outline




Introduction


Analyse des circuits couples

Outline




Introduction



Bobine simple (rappel)

182 7 Transformers

defined. For such an arrangement, a magnetic flux φ is established in the ‘core’for an input dc current. If the input current I1 is increased, an induced voltageV1 arises with the polarity shown in Figure 7.1a, in a direction as to opposethe change in flux linkage, λ, which produces it (Lenz’s Law). The relationbetween the voltage and the changing flux linkage is Faraday’s Law.

I1

φ

V1

+

-

B

H

Rs

Rsh C L

(a) (b)

(c)

Fig. 7.1. (a) A simple coil of wire wound about a closed magnetic medium. (b) Atypical BH curve for an iron core. (c) Circuit model representation for the coil.

V1 =dλ

dt=

dNφ

dt(7.1)

where λ is the magnetic flux linkage between the flux and the coil. For a simplesituation, λ can be considered to be the product Nφ of the turns of the coilN and the flux φ produced by the current I1 flowing through the wire, i.e., asingle turn. Again for a simple case, the flux produced by I1 is

φ = KNI1 (7.2)

where K is a constant. This is the equivalent of Ohm’s Law for a simplemagnetic element, particularly if one identifies NI1 as the magnetomotiveforce, mmf. Using this expression, one obtains

I Si on enroule un fil conducteur autour d’un tore ferromagnetique, enfaisant N1 tours, et qu’on fait passer un courant i1 dans ce fil :

I Le courant produit un flux magnetique φ = KN1 i1, qui circule dans le toredans le sens compatible avec la “regle de la main droite”, avec K uneconstante.

I Si le flux φ (et donc i1) varie, il apparaıt une tension v1 telle que

v1 =dN1φ

dt= L1

di1

dt, avec L1 = KN2

1 .

I Donc si i1 augmente, la tension v1 est positive avec la convention de signeutilisee sur la figure (i1 entrant dans le terminal +).

I L1 est l’inductance propre de la bobine.


Introduction



Inductance mutuelle

184 7 Transformers

I2

V2V1

+

- +

-

I1

V2

φ

V1

+

-

+

-

(a) (b)

Fig. 7.2. (a) Two coils of wire wound on a core. (b) Two windings arranged on thesame side of the core.

V2 =dN2φ

dt(7.6)

A different turns number N2 is assumed for the output winding. The relationbetween the flux and the input current is next applied as in Equation (7.2)leading to

V2 = KN1N2dI1

dt(7.7)

The product KN1N2 is defined as the mutual inductance M of the coupledcoils.

V2 = MdI1

dt(7.8)

Note that the ratio of the input and output induced voltages is equal to theratio of the turns of the input to output windings of the coils.

V1

V2=

N1

N2= n (7.9)

where n is called the turns ratio of the coupled coils.In Figure 7.2b, the two windings are arranged on the same side of the core.

Notice that the two windings are shown to have the same winding sense. Usingthe ‘right-hand rule’ of basic electrical physics, one has an increasing flux in theup direction for an increasing input current. This produces a positive inducedvoltage for the defined port polarities of the figure for each coil. To denote thewinding sense of the coupled coils, we usually pole the coupled coils with a dotnotation. As shown in the figure, the dot is placed at the node of each pairwhich provides the same polarities of the two ports. If the two windings are infact the same winding with a ‘tap’ connection, the arrangement is called anautotransformer. It is clear that since the two windings have the same windingsense, the voltage across the combination must have the same polarity as thetwo separate ports.

I1

ɸ

I On enroule maintenant un deuxieme fil, avec N2 tours. Pour l’instant onlaisse ce cote du circuit ouvert, c’est-a-dire i2=0.

I On a toujours le courant i1 qui cree un flux magnetique φ dans le tore.I On choisit la convention de signes pour v2, i2 qui est compatible avec la

“regle de la main droite”, etant donne le sens du flux φ.I Si φ (et donc i1) varie, il s’etablit aussi une tension v2 aux bornes du

deuxieme enroulement (en negligeant ici les pertes de flux)

v2 =dN2φ

dt= KN1N2

di1dt

= M12di1dt, avec M12 = KN1N2.

I Si φ (ou i1) augmente, la tension v2 est positive avec la convention designe utilisee sur la figure.

I M s’appelle l’inductance mutuelle. Notons aussi que v1v2

= N1N2

, maisseulement en supposant qu’il n’y a pas de perte de flux dans le tore.


Introduction



Bobines couplees (ou circuits couples)

[Svoboda et Dorf p. 532]

I Ni nombre de tours dela bobine i

I position du pointdepend du sens del’enroulement

I Si on ferme le deuxieme circuit, c’est-a-dire i2 6= 0, en supposant lalinearite :

v2 = M12di1dt

+ L2di2dt

I Similairement v1 = L1di1dt

+ M21di2dt

.

I L’expression Mij = KNiNj = LiNj

Nin’est pas toujours valable, mais la

relation M12 = M21 = M oui : inductance mutuelle des bobines couplees.


Introduction



Bobines couplees : conventions de signe

I Les bobines couplees forment un quadripole.

I Convention standard des quadripoles pour les signes de v , i a chaque port :i rentre dans le terminal +.

I Systeme de points pour marquer les sens d’enroulement compatible avec laregle de la main droite.

I Permet la convention M > 0 : si i1 augmente, cela contribue un terme

positif M di1dt

a v2.


Introduction



Relations courant-tension pour les bobines couplees : recapitulatif

I En notation vectorielle (v =[v1, v2

]Ti =[i1, i2

]T)

v = Ld i

dt, avec L =

[L1 MM L2

]ou

d i

dt= Γv (si det L 6= 0).

I L est la matrice d’inductance, Li est l’inductance propre de la bobine i , etM est l’inductance mutuelle des bobines couplees.

I Γ = L−1 est la matrice d’inductance reciproque.

I Le systeme de points permet de representer symboliquement le sensd’enroulement des bobines, pour avoir la convention M > 0

Symbole et directions de reference :

Mi1 i2+

-

v1

+

-

v2


Introduction



Directions de reference et position des points : recapitulatif

I Le systeme de point indique que pour le port 2 ouvert, v1 = L1di1dt

et

v2 = M di1dt

ont le meme signe.I Pour un des ports (disons port 1), on fixe la position du point au choix.

On fait rentrer la direction de i1 positif dans le terminal avec le point. Celadetermine le sens positif du flux dans le tore par la regle de la main droite.

I Pour avoir M > 0, la regle de la main droite doit etre compatible dansl’autre bobine avec le meme sens positif de flux → fixe la direction positivedu courant 2. On place le point du cote ou ce courant positif rentre.

I Les directions de references pour les tensions sont prises suivant laconvention passive pour chaque port.


Introduction



Energie emmagasinee dans les bobines couplees

I Puissance instantanee delivree :

p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) =

(L1

di1dt

+ Mdi2dt

)i1 +

(L2

di2dt

+ Mdi1dt

)i2

=1

2

d

dt

(L1i

21 + L2i

22 + 2Mi1i2

)I Energie emmagasinee : E(t) =

∫ t

0p(τ)dτ = 1

2i(t)TLi(t).

I Comme ce composant est passif, on doit avoir

1

2iTLi ≥ 0, pour tout i =

[i1i2

].

I Ainsi, L est une matrice symmetrique qui doit etre (semi-definie) positive.I Cela implique :

L1 ≥ 0, L2 ≥ 0, et detL = L1L2 −M2 ≥ 0⇒ M ≤√L1L2.

I k := M√L1L2

, avec 0 ≤ k ≤ 1, s’appelle le coefficient de couplage.

I k = 0→ pas de couplage. k = 1→ couplage parfait (M =√L1L2) : cas

suppose si M n’est pas indique sur le symbole (pas exactement realisablephysiquement), pas de perte de flux magnetique.


Introduction



Exemples d’analyse de circuits couples

0.6H

1.6H0.4H

2Ω

vs(t) = 100p

2 cos(100t) 200Ω

i1 i2+

-

v2

+

-

I Question : calculer V2,rms en RPS.I On a, en omettant rms de la notation

Vs = 100 = 2I1 + 0.4jωI1 + 0.6jωI2, V2 = −200I2 = 1.6jωI2 + 0.6jωI1

i.e.,

[1 + 20j 30j

3j 10 + 8j

] [I1

I2

]=

[500

]⇒ I2 =

∣∣∣∣1 + 20j 503j 0

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + 20j 30j3j 10 + 8j

∣∣∣∣I2 =

−150j

10 + 8j + 200j − 160 + 90=

150j

60− 208j=

150∠90◦

216∠− 74= 0.694∠164◦

⇒ V2 = −200I2 = 139∠164◦ (i.e., v2(t) = 139 cos(100t + 0.9π))


Introduction




=+ =+

M

I1 I2

Loi des mailles: L1

L2

Vs1 Vs2RsL1 + R �sM � RR + sM �R � sL2

� I1

I2

�=

Vs1

Vs2

�

=+

L1

L2I1I2

RM

� ��

� I1

I2

�=

Vs1

0

�Vs

=+Vs

L1

L2

RI2

I1

C

M

� ��

� I1

I2

�=

Vs1

0

�

[sL1 + R −sM − RR + sM −R − sL2

] [I1I2

]=

[Vs1

Vs2

]

[I1I2

]=

[Vs

0

]

[I1

I2

]=[

Vs

0

]


Introduction




=+ =+

M

I1 I2

Loi des mailles: L1

L2

Vs1 Vs2RsL1 + R �sM � RR + sM �R � sL2

� I1

I2

�=

Vs1

Vs2

�

=+

L1

L2I1I2

RM

� ��

� I1

I2

�=

Vs1

0

�Vs

=+Vs

L1

L2

RI2

I1

C

M

� ��

� I1

I2

�=

Vs1

0

�

[sL1 + R −sM − RR + sM −R − sL2

] [I1I2

]=

[Vs1

Vs2

]

[(L1 −M + L2 −M)s s(M − L2)

s(M − L2) R + sL2

] [I1I2

]=

[Vs

0

]

[1

sC + s(L1 + L2 − 2M) s(2M − L1 − L2)s(2M − L1 − L2) R + s(L1 + L2 − 2M)

] [I1

I2

]=[

Vs

0

]


Introduction



Generalisation a plus de 2 bobines couplees

Ex. pour 3 : v = Ld i

dt, L =

L1 M12 M13

M12 L2 M23

M13 M23 L3

semi-definie positive

Figure 1.5 Three inductors wound on the &me core: the mutual inductances are not all positive.

Exercise Consider the three mutually coupled inductors shown in Fig. 1.5. Show that M,, > 0, M,, < 0, and M,, < Q.

Equation (1.15a) is of the form v(t) = L i ( t ) . As before we can calculate the magnetic energy stored and we find the same formula as Eq. (l.lO), namely,

8,(i) = f i T ~ i (1.15b)

E. Relation with ideal transformers It is very useful to know that any pair of coupled linear time-invariant inductors is equivalent to a two-port made up of an ideal transformer and two (uncoupled) inductors L, and L, as shown in Fig. 1.6.

The calculations are left as an exercise.

Exercise (a) Calculate the inductance matrix of the two-port shown in Fig. 1.6: More precisely show that we have v = L i where

(b) Given any pair of coupled inductors specified by Eq. (1.3) show that they are equivalent to the two-port shown in Fig. 1.6 provided

L22 n = - M* M L,=- L, = L,, - -

L 2 2 L22

.- l 1 Ideal I-

transformer Figure 1.6 A two-port equivalent to a pair of coupled inductors.

Meme circuit magnetique,M12 > 0,M13,M23 < 0, ou biensysteme de points unique ok en

inversant le port 3

ELE2611 – Circuits ActifsCours 10 – Inductances Mutuelles

Détermination de la position des points – système non uniforme

Dans ces situations,

on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées

Cours 10 - 11© C. Morin 2013Cas ou on ne peut pas definir unseul systeme de points

I On peut utiliser soit choisir les directions de reference arbitrairement pourchaque port et autoriser Mij > 0 ou Mij < 0, soit utiliser un ou plusieurssystemes de points pour forcer Mij > 0 et mettre les bons signes devantles variables pour chaque paire de ports.


Introduction



Insuffisance d’un systeme de points unique


Détermination de la position des points – système non uniformeSelon la topologie du circuit magnétique, il se peut que les points soient incompatibles

Par exemple, pour la construction suivante,

On pose le premier point, puis les deux autres conséquemment

Pour ensuite constater que la règle de courants entrants par le point du second

ne produit pas un flux dans le même sens

que celui produit par un courant entrant dans les autres pointsque celui produit par un courant entrant dans les autres points

Cours 10 - 10© C. Morin 2013

Le choix du premier point, puis desdeux autres en consequence aboutita une contradiction


Détermination de la position des points – système non uniforme

Dans ces situations,

on définit des marques de polarités distinctes pour chacune des paires de bobines couplées

Cours 10 - 11© C. Morin 2013

I Pour ne pas compliquer le modele, on peut autoriser Mij < 0. Dans tousles cas on a L � 0 (semi-definie positive).


Introduction


Transformateurs

Outline




Introduction


Transformateurs

Transformateur ideal

N1 : N2

n : 1ou

+

-

V1

I1

+

-

V2

I2

(n = N1 / N2)

Symbole:

idéal

I Le transformateur ideal est un quadripole tres utile pour la modelisation(au meme titre que les sources controlees et le gyrateur par exemple)

I Ses equations sont les contraintes lineaires statiques suivantes :

v1(t) = n v2(t)

(ou v1(t) =

N1

N2v2(t)

)i2(t) = −n i1(t)

soit

[v1

i1

]=

[n 00 1/n

] [v2

−i2

]I n est appele le rapport de transformation

I Puissance instantanee absorbee :

p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) = nv2(t)i1(t)− nv2(t)i1(t) = 0

I Idem : pas de puissance complexe, active, ou reactive absorbee

I Le transformateur ideal est un composant sans pertes


Introduction


Transformateurs

Remarque sur le modele du transformateur ideal

I Pour les bobines parfaitement couplees (sans perte de flux), on avait aussiobtenu sur la diapositive 31 que v1 = N1

N2v2.

I Toutefois le transformateur ideal est un modele theorique distinct, lescontraintes v1 = nv2 et i2 = −ni1 sont verifiees pour tout t, tout signal,toute frequence, meme DC, alors que les bobines couplees necessitent desvariations de courant pour donner v 6= 0.

I Pour des bobines parfaitement couplees, la matrice d’impedance et lesparametres (A,B,C,D) sont

Z(s) =

[L1s

√L1L2s√

L1L2s L2s

]⇒ T (s) =

[n 01√

L1L2s

1n

]

T (s) n’est pas definie pour s = 0.


Introduction


Transformateurs

Connection d’une source a une charge

I Pour transferer de la puissance a une charge en changeant le niveau detension dans un reseau electrique, on utilise des circuits couples quis’approchent le plus possible d’un transformateur ideal (donc sans perte depuissance) en RPS

n : 1

+

-

V1

I1

+

-

V2

I2

idéal

Zs

ZL

circuit primaire circuit secondaire

+

-

Vs

source charge

Zeq

Zs+

-

VsZeq

I Comme le transformateur ideal est sans perte, toute la puissance delivreepar la source au transformateur ideal est ensuite delivree a la charge.

I Impedance du secondaire reflechie au primaire :

Zeq =V1

I1= −n2 V2

I2= n2ZL.


Introduction


Transformateurs

Des bobines couplees aux transformateurs ideaux

+

-

V1

I1

+

-

V2

I2Zs

ZL


+

-

Vs

source chargeM

L1 L2

I Un transformateur reel est realise en RPS par des bobines couplees et nepeut qu’approcher un transformateur ideal.

I Equations du circuit :

V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = −ZLI2 = jωL2I2 + jωMI1

⇒ I1 = − jωL2 + ZL

jωMI2 ⇒ V1 =

[−L1

M(jωL2 + ZL) + jωM

]I2

V1 =L1

MV2 + jω

L1L2 −M2

M

V2

ZL

I Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 =√

L1L2V2


Introduction


Transformateurs

Des bobines couplees aux transformateurs ideaux (suite)

+

-

V1

I1

+

-

V2

I2Zs

ZL


+

-

Vs

source chargeM

L1 L2

I Si le couplage est parfait, M2 = L1L2 et V1 =√

L1L2V2

I De plus, Li = ciN2i , i = 1, 2, ou ci depend des proprietes magnetiques et

geometriques du noyau, et Ni est le nombre de tours de la bobine i . Pourc1 = c2, on obtient V1 = nV2 avec n = N1/N2, i.e., n est le rapport dunombre de tours des deux bobines.

I Finalement

I2 = − jω√L1L2

jωL2 + ZLI1

donne I2 ≈ −nI1 si ωL2 � |ZL|.I On obtient donc un transformateur ideal dans la limite k = 1 (couplage

parfait) et ωL2 � |ZL|.


Introduction


Transformateurs

Du transformateur ideal aux bobines couplees

1 : nI1'

+

-

V2

I2

idéal

I1

+

-

V1

La

Lm

I Montrer que pour le circuit ci-dessus, on a v = L didt

, avec

L =

[La + Lm nLm

nLm n2Lm

]I En deduire qu’on peut modeliser des bobines couplees par ce circuit avec

n =L2

M, Lm =

M2

L2, La = L1 −

M2

L2

I La est l’inductance de fuite (modelise les pertes de flux), Lm estl’inductance magnetisante (modelise le flux commun aux deux bobines).

I On retrouve le transformateur ideal pour La → 0, Lm →∞.


Introduction


Transformateurs

Conclusions

I Un reseau electrique est un grand circuit fonctionnant normalement enregime permanent sinusoıdal.

I Pour les reseaux electrique, la grandeur principale a laquelle on s’interesseest la puissance.

I Les notions de puissance complexe, apparente, active, reactive, jouenttoutes un role dans la conception des elements d’un reseau electrique.

I Les calculs de puissance sont facilites par l’emploi des phaseurssinusoıdaux.

I Les transformateurs permettent de transferer de la puissance des sourcesvers les charges tout en changeant le niveau de tension. Un transformateurideal ne consomme pas de puissance active ou reactive.

I Les transformateurs sont realises physiquement par des circuitsmagnetiquement couples.

I Les notions introduites dans ce cours seront approfondies dans ELE3400,Electrotechnique.


ele2611 classe 9 - notions d'électrotechnique

Engineering