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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp) Vol. 101, Nº. 1, pp 35-58, 2007 VII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica EL AZAR EN FÍSICA Y BIOLOGÍA Y LAS MATEMÁTICAS DEL AZAR DARIO MARAVALL CASESNOVES * * Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22. 28004 Madrid. El Cálculo de Probabilidades es una de las grandes ramas del árbol de las Matemáticas, se le puede definir como la ciencia del azar y aunque esta definición no es exacta del todo, si es muy aproximada. El Cálculo de Probabilidades permite el tratamiento matemático y cuantitativo de las posibilidades de realización de un hecho o fenómeno, que todavía no ha sucedido pero que puede suceder; es útil para la previsión de ciertos hechos y fenómenos posibles, pero que no tienen por qué suceder necesariamente, como puede ser la predicción del tiempo meteorológico, predecir si va a haber una buena cosecha o no, si hay peligro de inun- daciones o cualquier otra calamidad pública, etc. También es útil para aconsejarnos sobre las apuestas en un juego de azar, sobre las primas que se pueden pagar por un seguro de vida o de accidentes, el com- portamiento económico de las personas, empresas o del Estado, etc. El Cálculo de Probabilidades tiene dos campos de actuación, uno es el de las Matemáticas puras, y el otro es el de las Matemáticas aplicadas a la Física, la Biología, la Economía, la Investigación Operativa e incluso la Sociología. Es la base de la Estadística. Su origen se puede fechar en el siglo XV, por tanto es anterior a la Geometría Analítica que nace con Descartes (siglo XVII) al Cálculo Infinitesimal que nace con Newton y Leibniz (siglos XVII y XVIII), pero es posterior a la Geometría como ciencia deductiva que se inicia con Tales de Mileto (siglo VII a C), y que alcanza su primera axiomatización con Euclides (siglos IV y III a.C.); a la Trigonometría que se inicia con Arquímedes (siglo II a C) como ciencia auxiliar de la Astronomía, y que en el siglo XIII se convierte en una ciencia independiente en Bagdad con Nasir al Diny; y al algebra debida al árabe Al Khwarizmi (siglos VIII y IX). La palabra española azar que es muy parecida en otros idiomas como el italiano, el francés o el inglés, aunque en este último idioma también se usa una palabra distinta random, es muy probable que proceda de la palabra árabe azzahr, que según el literato Amin Maalouf en su libro “Las Cruzadas vistas por los árabes” era el nombre de un juego de dados del Egipto faraónico, al que jugaban los árabes y los turcos seld- jucidas en el tiempo de las cruzadas y que allí aprendieron los franys (los cruzados) y lo trajeron a Europa. Hay ciertas palabras que usamos en lenguaje colo- quial, que han pasado al lenguaje científico, pero exacta y perfectamente definidas, porque es la única forma en que pueden utilizarse para que los Científicos se entiendan entre sí. Entre estas figuran las palabras contrapuestas: azar y necesidad, indeterminismo y determinismo, incertidumbre y certidumbre; las tres primeras de los tres pares de palabras anteriores, pertenecen al campo sobre el que opera la proba- bilidad. Como veremos en el desarrollo de la confe- rencia, el azar no es único sino múltiple, los mecanismos de actuación del azar son varios, y no tener esto en cuenta puede dar origen a paradojas con- sistentes en que un mismo problema tenga distintas soluciones, pero eso no es así, porque en el enunciado

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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 101, Nº. 1, pp 35-58, 2007VII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

EL AZAR EN FÍSICA Y BIOLOGÍA Y LAS MATEMÁTICAS DELAZAR

DARIO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22. 28004 Madrid.

El Cálculo de Probabilidades es una de las grandesramas del árbol de las Matemáticas, se le puede definircomo la ciencia del azar y aunque esta definición no esexacta del todo, si es muy aproximada. El Cálculo deProbabilidades permite el tratamiento matemático ycuantitativo de las posibilidades de realización de unhecho o fenómeno, que todavía no ha sucedido peroque puede suceder; es útil para la previsión de ciertoshechos y fenómenos posibles, pero que no tienen porqué suceder necesariamente, como puede ser lapredicción del tiempo meteorológico, predecir si va ahaber una buena cosecha o no, si hay peligro de inun-daciones o cualquier otra calamidad pública, etc.También es útil para aconsejarnos sobre las apuestasen un juego de azar, sobre las primas que se puedenpagar por un seguro de vida o de accidentes, el com-portamiento económico de las personas, empresas odel Estado, etc.

El Cálculo de Probabilidades tiene dos campos deactuación, uno es el de las Matemáticas puras, y el otroes el de las Matemáticas aplicadas a la Física, laBiología, la Economía, la Investigación Operativa eincluso la Sociología. Es la base de la Estadística.

Su origen se puede fechar en el siglo XV, por tantoes anterior a la Geometría Analítica que nace conDescartes (siglo XVII) al Cálculo Infinitesimal quenace con Newton y Leibniz (siglos XVII y XVIII),pero es posterior a la Geometría como cienciadeductiva que se inicia con Tales de Mileto (siglo VII aC), y que alcanza su primera axiomatización conEuclides (siglos IV y III a.C.); a la Trigonometría que

se inicia con Arquímedes (siglo II a C) como cienciaauxiliar de la Astronomía, y que en el siglo XIII seconvierte en una ciencia independiente en Bagdad conNasir al Diny; y al algebra debida al árabe AlKhwarizmi (siglos VIII y IX).

La palabra española azar que es muy parecida enotros idiomas como el italiano, el francés o el inglés,aunque en este último idioma también se usa unapalabra distinta random, es muy probable que procedade la palabra árabe azzahr, que según el literato AminMaalouf en su libro “Las Cruzadas vistas por losárabes” era el nombre de un juego de dados del Egiptofaraónico, al que jugaban los árabes y los turcos seld-jucidas en el tiempo de las cruzadas y que allíaprendieron los franys (los cruzados) y lo trajeron aEuropa.

Hay ciertas palabras que usamos en lenguaje colo-quial, que han pasado al lenguaje científico, peroexacta y perfectamente definidas, porque es la únicaforma en que pueden utilizarse para que los Científicosse entiendan entre sí. Entre estas figuran las palabrascontrapuestas: azar y necesidad, indeterminismo ydeterminismo, incertidumbre y certidumbre; las tresprimeras de los tres pares de palabras anteriores,pertenecen al campo sobre el que opera la proba-bilidad. Como veremos en el desarrollo de la confe-rencia, el azar no es único sino múltiple, losmecanismos de actuación del azar son varios, y notener esto en cuenta puede dar origen a paradojas con-sistentes en que un mismo problema tenga distintassoluciones, pero eso no es así, porque en el enunciado

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de un problema no se puede decir simplemente“escogido al azar” sin más, porque hay que enunciar elmecanismo según el cual actúa el azar en esteproblema, y entonces lo que aparenta ser un soloproblema, se desdobla en varios, cada uno con susolución distinta.

Haremos un resumen de la Historia del Cálculo deProbabilidades, desde sus orígenes en el siglo XVhasta nuestros días pasando por la definición de proba-bilidad de Laplace (1812) hasta la axiomatizaciónactualmente aceptada de Kolmogorov (1929-1933).Haremos mención especial del papel que los juegos deazar han desempeñado, así como de ciertas teoríasmatemáticas, tales como la teoría de conjuntos, lasalgebras de Boole, los integrales de Lebesgue y deStieltjes y muy especialmente de las cadenas deMarkov y sobre todo de los procesos estocásticos y delmovimiento browniano. Todo ello dentro del campode las Matemáticas puras.

En cuanto a las aplicaciones haremos un resumenhistórico de la Física Estadística clásica de fines delsiglo XIX, aún vigente y de la Física Estadísticacuántica del siglo XX. Así como de la aplicación delos procesos estocásticos al estudio de los rayos cós-micos, descubiertos en el siglo XX, y a su aplicación ala Física Nuclear.

Haremos también un breve resumen de las aplica-ciones del Cálculo de Probabilidades a la Biología enmaterias tales, como la Dinámica de Poblaciones, laEpidemiología y la Genética de Poblaciones, Teoríastodas que salvo algunas escasas aportaciones del sigloXIX, caen de lleno dentro del siglo XX.

Mi aportación personal en este campo se extiende amedio siglo, comenzaron en los años cincuenta y miúltima publicación aparecida es del 2004.

Aunque los fenómenos físicos y biológicos a losque se aplican los Procesos Estocásticos son de natu-raleza muy distinta, sin embargo el planteamientomatemático y su resolución son iguales, y así porejemplo conceptos como natalidad, mortalidad, inmi-gración o contagio tan específicos de la Biología hanpasado a la Física.

Curiosamente las palabras aleatorio y estocásticode tan frecuente uso en la Teoría de la Probabilidad de

nuestros días, son derivadas del latín y del griego.Aunque en el mundo grecorromano la probabilidadcientífica no existía, ya entonces e incluso en tiemposmás antiguos los hombres sufrían o se beneficiaban delos efectos del azar, de la casualidad y de la suerte. Lafrase “alea jacta est” de Julio Cesar al cruzar el ríoRubicón y marchar sobre Roma, clara alusión al azar ya la suerte, cambió el curso de la Historia.

Concluiremos con una breve referencia a misinvestigaciones sobre un nuevo tipo de variablesaleatorias que he denominado fractales, por estardefinidas en conjuntos de “medida nula” y que no seajustan a la axiomática de Kolmogorov. Son conse-cuencia de mi extensión de la Geometría de Masas, laDinámica, la Integración y las Probabilidades a losmodernos conjuntos fractales tan distintos de losclásicos. En estos conjuntos no existen las integralesde Riemann o Lebesgue (son nulas) pero si existe elcociente de dos integrales, como el valor de unafunción indeterminada (cero dividido por cero) cuyocálculo es posible, eliminando su indeterminaciónmediante una generalización de la vieja regla deL'Hôpital.

En la Física, la Biología, la Economía, así como enla Meteorología y en otras actividades humanas, si sedan unas condiciones determinadas se presentan tresclases de sucesos que son:

1) ocurre necesariamente un suceso S2) un suceso S no puede realizarse, es imposible.

Estos dos primeros casos, caen en el terreno dela necesidad. El porvenir se dice que está deter-minado.

3) el suceso S puede o no realizarseEste caso se subdivide en dos.

3.a es posible asignar al suceso S, que llama-mos aleatorio, un número real positivoque mide el grado de posibilidad de reali-zación del suceso, al que llamamos suprobabilidad. El porvenir se dice que esprobabilizable.

3.b es imposible asignar una probabilidad alsuceso, y entonces se dice que el provenires indeterminado. Estos sucesos se danen Economía y en Meteorología. Puedeocurrir que exista una probabilidad, peroque seamos incapaces de descubrirla, opuede que no exista tal probabilidad.

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Se llama variable aleatoria, una variable que puedetomar diversos valores y tal que a cada valor se lepueda atribuir una probabilidad, las cuales forman ladistribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Un ejemplo sencillo es el de arrojar un dado, elsuceso aleatorio que puede ocurrir es que salga desdeun uno a un seis, y a cada uno de estos valores se leasigna la probabilidad un sexto, que expresa que exis-te la misma probabilidad (o posibilidad) de que salgauno cualquiera de dichos valores. Si arrojamos dosdados, entonces la variable aleatoria puede tomar unvalor que va desde dos hasta doce, y a cada uno deestos valores se le puede asignar una probabilidad (cal-culable) distinta. Es mucho más difícil que salga 2 ó 12que 6 ó 7.

La Ciencia que trata de las variables aleatorias y desus probabilidades, es una parte de las Matemáticasllamada Cálculo de Probabilidades muy amplia.Comprende desde problemas y cuestiones muy ele-mentales hasta otras de una grandísima dificultad, eincluso contiene problemas abiertos, todavía no resuel-tos. Por tanto los métodos matemáticos que empleavan desde unos muy sencillos hasta otros sumamentedifíciles y complicados. Para resolver algunos de estosproblemas basta con conocer las Matemáticas delBachillerato, para comprender y resolver otros se pre-cisan los conocimientos de un Ingeniero o de unLicenciado en Ciencias; el planteamiento y resoluciónde algunos problemas pueden ser la base de una tesisdoctoral o de una investigación de muchísima altura.El Cálculo de Probabilidades es una ciencia viva y enpleno desarrollo, con un gran porvenir por delante.

El Cálculo de Probabilidades, como ya hemosdicho es muy reciente, no comienza hasta finales delsiglo XV, mientras que la Geometría, la Astronomíamatemática, el Algebra, la Trigonometría y laMecánica son mucho más antiguas. Como ya dijimosla Geometría como ciencia es del siglo VII a C.

Los primeros problemas de Probabilidades, segura-mente aparecen en un libro de Luca Pacioli (1445-1517) publicado en 1494, que lleva por título “Summade arithmética y geometría proportioni y proportiona-lita”.

Poco después Cardano (1501-1576) se ocupó deprobabilidades, es otro precursor y publicó en 1545 su

libro “Ars Magna”, pero lo más importante de su obrafue la resolución de las ecuaciones de tercer y cuartogrado, que es debida a él y a Tartaglia (1499-1557).Cardano realizó un invento muy importante, que aunse usa en nuestros días, que es la junta de Cardan, unmecanismo que permite el desplazamiento angular entodas direcciones de dos árboles, cuyos ejes son con-currentes, mecanismo que permitió librar a la brújulade un barco, de sufrir los efectos de su movimiento.

Se consideran como cofundadores del Cálculo deProbabilidades a Fermat (1601-1665) y a Pascal(1623-1662) que mantuvieron entre si la más impor-tante correspondencia en 1654, donde se puede decirque se encuentran los principios del Cálculo deProbabilidades como ciencia.

Huygens (1629-1695) conoció estas cartas y las uti-lizó junto a otras aportaciones suyas como fueron laintroducción de la esperanza matemática y la resolu-ción de algunos problemas de probabilidades de suépoca, para escribir un libro en 1657 titulado “Deratiociniis in ludo aleae”.

El concepto de esperanza matemática o valormedio de una variable aleatoria ξ, que se representapor ξ es muy importante, se define como la suma delos productos de los valores de la variable aleatoria ξpor sus probabilidades. Da una medida de la posiciónde ξ, si por ejemplo se trata de la altura de los indivi-duos de un colectivo escogido al azar dentro de unagran ciudad, el valor medio nos indica si la poblaciónen general es alta o baja.

Otro concepto importante es el de varianza, que serepresenta por σ2 y se define como la suma de los pro-ductos de los cuadrados de las diferencias entre losvalores de ξ y de su valor medio ξ por sus probabilida-des, la varianza da una medida de la dispersión y portanto de la concentración de ξ respecto a un valormedio; si σ2 es grande en el ejemplo anterior significaque la estatura de los individuos está repartida muyuniformemente.

En general se llama momento de orden r a la sumade los productos de las potencias de exponente r de losvalores que puede tomar la variable aleatoria por susprobabilidades.

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Hay variables aleatorias discretas y continuas. Lasprimeras son aquellas que pueden tomar un valor dis-creto finito o infinito. Por ejemplo la suma de los pun-tos de un dado que se arroja un número entero de veceso infinitas veces. Los segundos, también llamadas geo-métricas, son aquellas que toman un valor cualquieraen el interior de un segmento, de un área o de un volu-men. Por ejemplo los impactos de una bala de fusil ode pistola sobre un blanco, o los impactos de un pro-yectil de cañón en el frente o en un campo de tiro. Enalgunos casos el segmento, área o volumen puede serinfinito.

Más adelante describiré un nuevo tipo de variablesaleatorias que no encajan dentro de las anteriores, quehe encontrado en mis investigaciones y que he deno-minado fractales; a los que ya anteriormente hice refe-rencia.

Pascal utilizó el artificio de los triángulos aritméti-cos para la resolución de problemas de probabilidades.Un triángulo aritmético es una figura geométrica quese represente a continuación, que se prolonga indefini-damente

que se obtiene escribiendo las dos primeras filas comoestán en la figura y las siguientes se obtienen escri-biendo en los dos extremos 1, y los restantes númerosse obtienen sumando los dos de la fila superior entrelos que está. Así se tiene que la tercera fila tiene dos 1en los extremos, y en el centro 2 suma de los dos 1 dela segunda fila entre los que está; la cuarta fila tienendos 1 en los extremos y dos 3 en el centro, suma de 1y 2 de la tercera fila entre los que está. Y así sucesiva-mente para las infinitas filas que siguen.

Para el lector matemático vamos a dar la ley de forma-ción de los triángulos aritméticos. Numeramos las filas

n 0, n 1, n 2,... para las tres primeras y así suce-sivamente. Los números de la fila n son los coeficien-tes bimoniales que son en número de n 1,los cuales numeramos desde p 0 hasta p n. Se pue-den calcular los números de la fila n 1, en función delos de la fila n por la fórmula:

válida desde p 1 hasta p n. Para p o, cualquieraque sea n el primer número (p o) siempre vale 1.

Pascal estudió detalladamente estos triángulos arit-méticos, de los que hizo un gran uso; hoy llevan sunombre, pero el matemático persa Al Kachi que vivióen Samarcanda entre los siglos XIV y XV ya los utili-zó.

El primer libro sobre probabilidades muy importan-te fue escrito por Jacobo Bernoulli (1654-1705) se titu-la “Ars Conjectandi”, fue publicado en 1713 despuésde su muerte.

En él figura la primera demostración rigurosa de laley débil de los grandes números en el juego de cara ycruz, hoy es conocido como el teorema de Bernoulli yse hace un gran uso de él, establece un puente decomunicación entre frecuencia relativa y probabilidad,entre Realidad práctica y Teoría abstracta, entreMatemática pura y Matemática aplicada.

Bernouilli introdujo la distribución de probabilidadque lleva su nombre, que es la suma de n variable alea-torias binomiales independientes, y de la misma proba-bilidad. La distribución binomial es la de una variablealeatoria que solamente puede tomar dos valores conprobabilidades complementarias p y 1-p. El lanza-miento de una moneda es una variable binomial y el den monedas es una variable de Bernoulli. Un ejemplode aplicación del teorema de Benoulli es el siguiente:si se arrojan n dados y el número de veces que sale el5 es N(5), la frecuencia relativa del 5 es el cociente dedividir N(5) por n, y cuando n tiende a infinito, secumple que el límite de N(5)/n tiende a un sexto (1/6);pero como además esta frecuencia relativa es tambiénuna variable aleatoria se cumple también que

====

11

n n np p p+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+==

+

===

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, ,....;0 1n n n

n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1)

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es decir que el límite de la probabilidad de que N(5)/ncuando n tiende a infinito es un sexto vale 1. En len-guaje más técnico se dice que la frecuencia relativaN(5)/n converge en probabilidad a la probabilidad unsexto de que salga el número 5. Esta es la ley débil delos grandes números, sobre la que volveremos másadelante.

Jacobo Bernouilli destacó mucho en otras partes delas Matemáticas. La familia Bernouilli tuvo ochomatemáticos importantes distribuidos en tres genera-ciones. La primera estaba formada por Jacobo y suhermano Juan (1667-1748) que también fue un mate-mático muy importante.

Daniel Bernoulli (1700-1782) hijo de Juan, ha sidouno de los físicos matemáticos más importantes, entreotras cosas es autor del teorema o principio que llevasu nombre fundamental en la Hidrodinámica que rela-ciona el aumento de la velocidad de un fluido con ladisminución de la presión. En un libro reciente deMichael Guillen que lleva por título “Cinco ecuacio-nes que cambiaron el mundo” se afirma que estascinco ecuaciones fueron: La ley de la gravitación uni-versal de Newton, el antecitado principio de Bernoulli,la ley de inducción electromagnética de Faraday, elprincipio de la entropía de Clausius y la ecuación deEinstein de que la energía es igual al producto de lamasa por el cuadrado de la velocidad de la luz (Emc2) en el vacío.

Daniel Bernouilli hizo una aportación muy impor-tante de la aplicación de las probabilidades a las acti-vidades humanas, muy adelantado para su tiempo, esla introducción de lo que el llamó esperanza moral, fueel iniciador de la teoría matemática de la utilidad, queha sido extraordinariamente desarrollada por los mate-máticos y economistas del siglo XX. La hipótesis deBernouilli establece que la riqueza R proporciona alque la posee una utilidad U, tal que el incremento de laúltima ∆U es directamente proporcional al incrementode la riqueza ∆R e inversamente proporcional a lariqueza poseída antes de su incremento. Se expresa porla fórmula:

siendo

siendo K una constante.

De esta ecuación se sigue que si la riqueza crece enprogresión geométrica, la utilidad solo crece en pro-gresión aritmética. La ecuación anterior también esaplicable si hay decrecimiento de riqueza y utilidad envez de crecimiento.

La hipótesis de Bernouilli está relacionada con lasideas del filósofo y economista inglés. Bentham(1748-1832) autor de la teoría del utilitarismo que esun proyecto de relacionar matemáticamente la riquezacon la felicidad y el bienestar. En nuestros días estasideas se han puesto de modo con la Sociedad del bien-estar y la teoría matemática de las funciones del bien-estar de la matemática moderna.

Para el lector matemático incluimos este párrafo,que se puede saltar. La ecuación (3) tiene la solución

ya que

para u 0, Uo y Ro son la utilidad y la riqueza mínimasy para que se note el aumento de utilidad h, el incre-mento de la riqueza ha de ser la fracción h/k de Rn.

Ha de existir una riqueza mínima Ro y una utilidadUo mínima, para que sea válida la ecuación (3), porqueen caso contrario bastaría con ganar un céntimo, si nose tuviese absolutamente nada de dinero para obteneruna utilidad infinita. Por otra parte ha de haber tam-bién un incremento mínimo de utilidad h que sea apre-ciable, por debajo del cual no se aprecie la utilidadobtenida, de modo que incrementos de riqueza inferio-res a la fracción h/k de la que se posee no incrementala utilidad.

=

1 1;n n n n n nU U U R R R+ +∆ = − ∆ = −

nn

n

RU k R∆∆ =

=

( )5 1lim Pr 0 16n

Nob n→∞

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dario Maravall Casesnoves Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 39

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

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Si en la ecuación (3) se sustituye el incremento ∆por la diferencial se obtiene una ley exponencial queliga a la riqueza con la utilidad.

Es curioso que la hipótesis de Bernouilli tiene unarelación matemática muy estrecha con la ley fisiológi-ca de Weber (1795/1878) y Fechner (1801-1887). Laecuación (3) y sus consecuencias son válidas si se sus-tituye el significado de las letras, U y R por el de lasnuevas letras S y E sensación y estímulo

que es la expresión matemática de la ley de Weber-Fechner, la cual ha sido experimentada en muchoscasos, como por ejemplo la sensación S que siente unapersona al aumentar el peso E que ha de soportar conla mano, o la sensación S que siente una persona alaumentar la iluminación E de un local en cuyo interiorestá.

Las ecuaciones (3) y (7) un también las de la evo-lución de un capital en el tiempo, colocado al interéscompuesto.

En resumen la sensación o la utilidad son variablesdiscretas que varían a saltos, aumentando de h en h,son siempre un número entero de unidades h. Para queel incremento del estímulo o de la riqueza produzcanun incremento de h en la sensación o en la utilidad, espreciso que el estímulo o la riqueza se incrementen enuna fracción h/k de sus valores; cualquier incrementomenor no produce aumento de la sensación o de la uti-lidad.

Existen varias clases de sucesos aleatorios, entreellos están los sucesos raros, son aquellos que tienenuna probabilidad p muy pequeña de realizarse, peroque no lo es si se realiza un gran número n de pruebaso ensayos, de modo que el límite del producto np,cuando p tiende a cero y n a infinito, tiene un valor λ;entonces se realizan de acuerdo con una distribuciónde probabilidad. Tal es el caso de la distribución dePoisson, que se obtiene como el límite de una distribu-ción de Bernoulli cuando la probabilidad p tiende acero y el exponente n de la misma (número de ensa-yos) tiende a infinito, de modo que el límite del pro-ducto np es finito. Tiene muchas aplicaciones.

Dos sucesos aleatorios E1 y E2 se dice que son inde-pendientes, si la probabilidad de realización de unocualquiera de ellos es independiente de que se hayarealizado o no el otro. Para los dos sucesos E1 y E2 queno son independientes la probabilidad de que se reali-cen ambos es igual a la probabilidad deque se realice uno de ellos P (E1) por la probabilidadP(E2/E1) de que se realice E2 habiéndose realizado E1.La P(E2/E1) se llama probabilidad condicional y es unconcepto muy importante.

Me he ocupado de lo que he llamado casi probabi-lidades, que es cuando no existen las probabilidades,pero si existen las probabilidades condicionales, comoes el caso de un plano ilimitado donde no existe la pro-babilidad de elegir un punto al azar dentro de un círcu-lo C1, pero si existe la probabilidad de elegir un puntoal azar dentro de un círculo C1 sabiendo que el puntoestá dentro de un círculo C2 que rodea al C1. La proba-bilidad condicional de este último caso es el cocientede dividir el área del círculo interior C1 por la del cír-culo exterior C2.

Así como Daniel Bernouilli se adelantó a su tiem-po con la introducción de la esperanza moral, tambiénBayes (1702-1761) se adelantó al suyo, con el teoremao principio que lleva su nombre, que da origen a lasprobabilidades de las causas. Sobre este teorema se hapolemizado y se han cometido muchos errores, por unamala interpretación del mismo. Vamos a dar un ejem-plo: supongamos que tenemos tres urnas U1, U2, U3,la primera con 1 bola blanca y 1 negra, la segunda con2 blancas y 1 negra y la tercera con 2 blancas y 3negras; se extrae al azar una bola que es blanca, sinsaber de que urna se ha extraído, el tratar de averiguarla probabilidad de que haya sido extraída de una deter-minada, por ejemplo la U1, sin conocer a priori la pro-babilidad de escoger cada una de las tres urnas, esimposible, el problema no tiene solución; a veces se haresuelto erróneamente el problema, atribuyendo lamisma probabilidad de elección a cada una de las tresurnas y se ha calculado entonces la probabilidad pedi-da por la fórmula que vamos a dar; pero esta soluciónes incorrecta, porque la hipótesis de equiprobabilidaden la elección de las urnas carece de fundamento, esgratuita. Sin embargo si se conocen las probabilidadesde elección P(U1), P(U2), P(U3) de las tres urnas,entonces el problema si tiene solución. Supongamosque estas tres sean 1/2, 1/3 y 1/6, entonces si se puede

ES k E∆∆ =

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(7)

( )1 2P E E∩

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calcular la probabilidad pedido P(U11/B) que es unaprobabilidad condicional, que vale:

que en este caso particular vale:

Actualmente el teorema de Bayes o de las probabi-lidades de las causas tiene una gran importancia, y asíla Estadística de nuestros días se divide en Bayesianay no Bayesiana. En el ejemplo anterior la causa es laurna escogida y el efecto la bola extraída.

He investigado por los métodos del análisis deárboles, el caso más general en que supongo que exis-te una cadena de causas en vez de una sola, de modoque hay una causa primera, cuyo efecto es una causasegunda y así sucesivamente hasta una causa última,efecto de la anterior y cuyo efecto es la extracción deuna bola. El ejemplo más sencillo es aquel en el quehay dos urnas, cada una de las cuales contiene dosurnas y cada una de las cuales tiene una composiciónconocida de bolas blancas y negras. Para poder resol-ver el problema hay que conocer las probabilidades apriori de elección de las dos urnas primeras; las demásprobabilidades son calculables y se disponen como lasramas de un árbol.

En el Cálculo de Probabilidades tiene mucho inte-rés cálcular límites inferiores de la probabilidad de rea-lización de un suceso deseable y superiores cuando elsuceso es indeseable, por lo que es muy grande elnúmero de esta clase de límites calculados matemáti-camente; se llaman desigualdades. Nos vamos a limi-tar a una de ellas, la llamada de Tchebycheff por lamayoría de los autores, y de Bienaymé-Tchebycheffpor otros, sobre todo los autores franceses.

Bienaymé (1796-1876) de vida muy agitada, expul-sado de la Escuela Politécnica por Luis XVIII en 1816,acusado de ser contrario a la monarquía, cesado comoInspector de Hacienda, acusado de ser contrario a larepública y de la Sorbona en 1851. Fue uno de los ini-ciadores de las variables aleatorias, formuló por prime-ra vez esta desigualdad en 1853.

Tchebycheff (1821-1894) fue un matemático muyimportante por sus aportaciones a la Teoría deNúmeros, por los polinomios e integrales que llevan sunombre; redescubrió y le dio mas generalidad a estadesigualdad, que afirma que “la probabilidad de que elvalor absoluto de la diferencia entre una variable alea-toria y su valor medio, sea mayor que el producto de laraíz cuadrada de la varianza por un número positivo t,es menor o igual que 1/t2“. Esta desigualdad es válidapara toda distribución de probabilidad, cuya varianzasea finita, y es muy importante para establecer criteriosde convergencia estocástica y para demostrar las leyesde los grandes números.

Una de las consecuencias prácticas más importantede esta desigualdad es que si las varianzas σ1

2,…,σn

2,... de una sucesión de variables aleatoriasξ1,...,ξn,... de valor medio nulo, converge a cero, enton-ces también la sucesión de las ξ converge a cero.

Entre las distintas clases de convergencia estocásti-ca figuran como muy importantes la convergencia enprobabilidad y la convergencia casi cierta. La primerase define así, se dice que una sucesión de variables ale-atorias ξ1,...,ξn,... converge en probabilidad a cero si

Se dice que una sucesión de variables aleatoriasξ1,...,ξn,..., converge en probabilidad a una variablealeatoria µ, que eventualmente puede ser un númerocierto, si la sucesión ξ1 µ1,...,ξn µn converge en pro-babilidad a cero.

La convergencia casi cierta se define así la sucesiónde variables aleatorias ξ1,...,ξn,..., converge casi cierta-mente a cero si

La sucesión de variables aleatorias ξ1,...,ξn,..., con-verge casi ciertamente a la variable aleatoria µ queeventualmente puede ser un número cierto si la suce-sión ξ1 µ,...,ξn µ,... converge casi ciertamente acero.

La convergencia casi cierta es más fuerte que laconvergencia en probabilidad o lo que es lo mismo

−−

−−

( )lim Pr 0 1nnob ξ

→∞= =

( )11 2 1 2

1 2 1 2 1 3 2 3 1 6 2 5xP U B x x x= + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11

1 1 2 2 3 3

P U P B UP U B P U P B U P U P B U P U P B U=+ +

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esta última es más débil que la primera. Ser más fuer-te significa que si una sucesión converge casi cierta-mente, también converge en probabilidad, es decir quela (11) implica la (10). Ambas convergencias son muyimportantes para la demostración de las leyes de losgrandes números.

Se dice que una sucesión de variable aleatoriasξ1,...,ξn,..., del mismo valor medio m sigue la ley débilde los grandes números, cuando la sucesión de lasmedias aritméticas

converge en probabilidad a su valor medio m, cuandon tiende a infinito. Como dijimos anteriormenteJacobo Bernoulli obtuvo este resultado para las varia-bles aleatorias que siguen la distribución de probabili-dad que lleva su nombre, en particular en el juego decara y cruz de una moneda.

Si en la definición anterior se sustituye la conver-gencia en probabilidad por la convergencia casi cierta,entonces se dice que la sucesión de las ξ cumple la leyfuerte de los grandes números.

Obsérvese que la diferencia entre (10) y (11) estáen que en la primera el límite está antes que la proba-bilidad, se trata del límite de una probabilidad y que en(11) el límite está detrás de la probabilidad, se trata dela probabilidad de un límite.

La diferencia esencial entre la convergencia en pro-babilidad y la convergencia casi cierta, es que la pri-mera la probabilidad de que ξn µ sea inferior a cual-quier número por pequeño que sea, se hace tan próxi-ma a la unidad como se quiera, con tal de escoger nsuficientemente grande, que es lo que expresa la (10).Por el contrario en la convergencia casi cierta la rique-za de resultados es mayor, la probabilidad de que con-juntamente todas las diferencias ξn+p µ (p cualquiernúmero natural), o lo que es lo mismo, la máxima deestas diferencias, sean inferiores a cualquier númerospor pequeño que sea, se hace tan próxima a la unidadcomo se quiera, con tal de escoger n suficientementegrande, que es lo que expresa la (11). Es decir que laprobabilidad de que la sucesión de los valores particu-lares de todas las ξ converja al de µ es igual a la uni-dad en cualquier experiencia o prueba a la que estánasociadas las ξ.

Si nos fijamos en el juego de cara y cruz, en virtudde la convergencia en probabilidad, la frecuencia delnúmero de veces que sala cara difiere de 1/2 tan pococomo se quiera, con tal de echar un número n de vecesla moneda suficientemente grande. Mientras que en laconvergencia casi cierta, la sucesión de dichas fre-cuencias (a medida que varía n) converge a 1/2 cuan-do n tiende a infinito, lo que establece un lazo entre lateoría de la frecuencia de Von Mises (1883-1953) y laaxiomática de la probabilidad que veremos más ade-lante.

Las dos convergencias estocásticas anteriores danvalor práctico a las probabilidades y contribuyen alfundamento científico de los sondeos y muestreosestadísticos. En mi libro “Cálculo de Probabilidades yProcesos Estocásticos” (edit. Paraninfo 1974) puedenverse ejemplos de variables aleatorias que convergenen probabilidad a otras, pero que no convergen casiciertamente.

Laplace (1749-1827) en 1812 publicó su “Teoríaanalítica de las Probabilidades” y en 1814 su “Ensayofilosófico de las Probabilidades”. El primero de estoslibros es una obra maestra que marca una época, desdesu aparición se puede hablar en Probabilidades deantes y después de Laplace, es un libro difícil por elaparato matemático que emplea, es de gran altura cien-tífica. El Ensayo está escrito en forma muy clara ydidáctica y no utiliza las matemáticas.

La definición de probabilidad de Laplace, que paramuchos casos prácticos sigue teniendo valor, es lasiguiente: “La probabilidad es el cociente entre elnúmero de casos favorables y el número de casos posi-bles en la realización de un suceso”.

En realidad es el método que habían seguido losmatemáticos anteriores a él (Pascal, Fermat,Bernouilli, De Moivre, Bayes, Buffon, etc.) y que sesigue utilizando en muchos casos.

El nombre de probabilidad tiene apellidos y así sehabla de probabilidades directas o a posteriori y deprobabilidades inversas o a priori. Las probabilidadesdirectas son las que pueden calcularse a partir de pro-babilidades conocidas, cuando se trata de sucesos ale-atorios que son el efecto de causas conocidas, comopor ejemplo la probabilidad del número de veces que

2 21 21

..., ,..., ,2n

nξ ξ ξξ ξξ + + ++

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sale caro cuando se echan n monedas; en estos proble-mas se trata de prever el futuro. Las probabilidadesinversas o a posteriori son las ligadas al teorema deBayes, se trata de conocidos los efectos aleatorios cal-cular las probabilidades de las causas que los han pro-ducido, como en el caso antes explicado de la extrac-ción de bolas de diversas urnas, que a su vez han sidoelegidas de acuerdo con probabilidades dadas a priori.

El juego de azar se llama equitativo y noble, si elcoste de cada partida es igual a la ganancia esperada.Si dos jugadores A y B juegan una partida con proba-bilidades p y q de ganarla (p+q 1), sus apuestas a y bhan de ser tales que las esperanzas matemáticas deganancia de A y B sean iguales, estas son pb y qa,luego las apuestas de cada uno han de ser proporciona-les a sus probabilidades de ganar.

En los textos se comenta que si dos jugadores 1 y 2disponen de cantidades de dinero A y B distintas, sijuegan hasta la ruina de uno de ellos, el que tiene másdinero tiene mayor probabilidad de arruinar al otro,por tanto tiene ventaja y el juego no es justo, pero noes así, porque el que tiene más dinero arriesga más enel juego, porque si gana, gana menos que el otro, si eséste el que gana, y si pierde, pierde mas que el otro sies éste el que pierde.

De Moivre (1667-1754) fue un hugonote francés,cuya familia huyó de Francia a Inglaterra, cuando serevocó el edicto de Nantes. Hizo importantes aporta-ciones a las probabilidades, introdujo la ley normal ode Gauss, como límite de la distribución de Bernouilli.La distribución de probabilidad de Gauss es la másimportante de todas, su función de densidad de proba-bilidad f(x) es:

que se representa en la figura 1

La ordenada y f(x) por dx da la probabilidad deque la variable aleatoria x esté comprendida entre x yx+dx. La figura 2 representa la función de distribuciónde probabilidad, en la que la ordenada F(x) representala probabilidad de que x esté comprendida entre yx.

El valor medio es cero, y σ es la raíz cuadrada de lavarianza. La ordenada máxima OA es inversamenteproporcional a σ, y en la figura 3 se muestra que cuan-do A está más alto sobre OX, la variable aleatoria estámás concentrada alrededor de su valor medio O, o loque es lo mismo que cuando está más baja, la variablealeatoria está más dispersa. Las variables aleatoriasque siguen esta distribución de probabilidad se llamannormales y también gaussianas. Observese que lacurva de la figura 1 tiene forma de campana.

Se conocen como teoremas centrales del límite, losque dan las condiciones que han de cumplir las varia-bles aleatorias, cuya suma, cuando viene expresadacomo medida estandarizada, y el número de sumandostiende a infinito, tiende a la distribución de Gauss.

Son muchos estos teoremas y muchos los matemá-ticos que han contribuido a ellos. El primero en elorden cronológico, y aplicado a la distribución deBernoulli, como ya hemos dicho es debido a DeMoivre y de forma más general se debe a Laplace queno lo demostró de modo riguroso. Fué Liapounov en1901 quien le dio una forma muy precisa y rigurosa.Otras expresiones de este teorema son debidos a Levyy Cramer, que lo enunciaron independientemente unode otro en 1925.

Lindeberg y Levy demostraron que si ξ1,...,ξn,...,son variables aleatorias de valor medio nulo, varianzafinita y de la misma función de distribución de proba-bilidad, se cumple que el límite

−∞

=

( ) 2 2212

xf x e σ

σ π−=

=

Dario Maravall Casesnoves Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 43

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converge a la ley normal de valor medio nulo y varian-za igual a la de los sumandos aleatorios.

Los teoremas del límite central son la causa de queen la Ciencia, la Técnica y la Naturaleza tenga tantaimportancia la ley normal, y que bajo condiciones muygenerales la suma de variables aleatorias iguales eindependientes, dividida por la raíz cuadrada delnúmero n de sumandos, tienda a comportarse asintoti-camente como una variable normal. Concretamente loserrores en las medidas físicas, tienden a distribuirsesegún la ley normal alrededor de cero, y cuanto menores su varianza, mayor es la precisión en las medidas.

Las variables aleatorias para las que son válidos losteoremas anteriores, se dice que pertenecen al dominiode atracción de la ley normal. Sin embargo existenotras variables aleatorias, cuyas sumas (14) divididapor otra potencia de n, no pertenecen al dominio deatracción de la ley normal sino al de otras leyes, llama-das estables. Si en (14) se sustituye la raíz cuadrada den por n, y la expresión converge lo hace a la distribu-ción de Cauchy, y si se sustituye por n2 , si converge lohace a la distribución de Levy. Puede verse mi anteci-tado libro “Cálculo de Probabilidades y Procesos esto-cásticos”.

Un ejemplo de distribución de probabilidad, cuyoteorema central del límite conduce a la distribución deLevy es el número de lanzamientos necesarios paraconseguir un empate en el juego de cara y cruz. Otroejemplo investigado y desarrollado por mi es la evolu-ción de una población física o biológica en un procesode natalidad y mortalidad, cuando éstas tienen lamisma probabilidad, es decir son iguales en un instan-te dado la probabilidad de nacimiento que de muertede un individuo.

Cauchy en 1853 en los “Comptes rendus” de laAcademia de Ciencias de Paris introdujo el conceptode función característica ϕ(t), íntimamente ligado a lafunción de distribución de probabilidad F(x) que hamostrado ser uno de los métodos más fecundos en elestudio de las convergencias estocásticas, de las leyesde los grandes números y de los teoremas centrales dellímite. Levy dio una nueva definición de la función

característica como la esperanza matemática de loexponencial eitx y la utilizó para estudiar las distribu-ciones de probabilidad estables y que no pertenecen aldominio de atracción de la ley normal.

Ya he utilizado (véase mi libro antecitado) la fun-ción característica para estudiar el producto y elcociente de variables aleatorias independientes o no,con lo que se encuentran propiedades de las funcionestrascendentes superiores. Estas operaciones con varia-bles aleatorias presentan diferencias con el caso devariables ciertas y así por ejemplo el producto de unavariable aleatoria por una suma de variables aleatoriasno es distributivo, propiedad rara, porque desde lostiempos de Hamilton (1805-1865) se conocen objetosmatemáticos para los que la multiplicación no es con-mutativa (el orden de factores altera el producto),como es el caso de los cuaternios y de las matrices,pero son raros los objetos matemáticos, para los que lamultiplicación no es distributiva.

El primer problema de probabilidades geométricaslo formuló Buffon (1707-1788), que consiste en calcu-lar la probabilidad de que al echar al azar una aguja delongitud sobre un papel lleno de rectas paralelasequidistantes a distancia d (d > ) unas de otras, laaguja corte a una raya) esta probabilidad vale 2 l/πd.

Siglos más tarde, durante la segunda guerra mun-dial, la resolución de este problema fue el inicio delmétodo de Monte Carlo, muy usado en CálculoNumérico, basado en la obtención, usando las probabi-lidades, del valor de integrales, de la solución de siste-mas de ecuaciones diferenciales, determinación depuntos extremales, etc. El problema de la aguja deBuffon se puede usar para calcular el valor de π a par-tir del cociente entre el número de veces que se echa laaguja y el número de veces que corta la aguja a unaraya.

Lo problemas sobre probabilidades geométricasexperimentaron un gran aumento en el siglo XIX;entre ellos figura el de Cesàro, que consiste en calcu-lar la probabilidad de que una cónica sea elipse ohipérbola escogiendo al azar tres de los seis coeficien-tes de la ecuación de una cónica, técnicamente los quecomponen su A33 que son los que determinan si lacónica es elipse o hipérbola. Naturalmente la probabi-lidad de que la cónica sea parábola vale cero.

l

l

1 ...lim nn n

ξ ξ→∞

+ +

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Laplace generalizó el problema de Buffon.Poincaré introdujo el concepto de medida cinemática yespecialmente Crofton destacó mucho en este campo.Blaschke (1885-1962) elevó esta disciplina a la cate-goría de una ciencia nueva que llamó GeometríaIntegral, que durante el siglo XX alcanzó un granesplendor. Dos anécdotas de Blaschke: Rey Pastor lepreguntó porque había escogido el nombre deGeometría Integral y le contestó que no sabía comollamarla y como tenía que ponerle un nombre, le pusoese porque habían muchos integrales. CuandoHazidakis le presentó en Atenas, le llamo el creador dela Geometría Integral, y le replicó que el creador habíasido su compatriota Arquímedes.

Bertrand (1822-1900) aparte de sus trabajos sobreGeometría y Teoría de Números, hizo importantesaportaciones a las Probabilidades y en su libro sobreesta materia planteó varias paradojas que en su épocacausaron sensación entre los matemáticos. La másconocida es la de averiguar la probabilidad de que altrazar una cuerda en un círculo al azar, sea de longitudmayor que el lado del triángulo equilátero inscrito.Según que se fije la cuerda por su dirección, por unode los dos puntos en que corta a la circunferencia, opor su punto medio, se obtienen tres soluciones distin-tas que valen respectivamente 1/2, 1/3 y 1/4. La para-doja consiste en que un mismo problema admite tressolucione distintas y los matemáticos se plantearoncual era la correcta de estas tres soluciones.

Mucho y muy dispar se escribió sobre este tema,sin haber consenso. A mi me parece que esta preguntano tiene sentido, porque es necesario agregar a la pre-gunta la correcta con relación a que hipótesis o leyes,porque según sean éstos, la solución correcta será dis-tinta. En los tres casos el azar actúa según un mecanis-mo distinto, por tanto no se trata de un problema sinode tres problemas distintos con tres soluciones distin-tas. He aquí, a mi juicio, como pueden proyectarse lasexperiencias, o lo que es lo mismo como actúa el azaren cada uno de los tres casos. En el primero dejandoconstante la dirección de la cuerda, la comprobaciónexperimental sería: echar una moneda circular sobreun papel rayado, siendo la distancia entre paralelasconsecutivas igual al diámetro de la moneda. En elsegundo problema dejando constante uno de los dospunto de intersección de la cuerda y la circunferencia,la comprobación experimental sería sujetar una varilla

(la cuerda) de longitud superior al diámetro de la cir-cunferencia, por uno de sus extremos a un punto cual-quiera de la circunferencia dibujada en un papel ydejando caer al azar sobre el papel. En el tener proble-ma fijando la cuerda para su punto medio, la compro-bación experimental sería escoger al azar un punto enel interior de la circunferencia dibujada en un papel ytrazar la cuerda perpendicular a la recta que une el cita-do punto con el centro de la circunferencia.

Hay que tener en cuenta que la naturaleza no puededar la respuesta a una pregunta mal hecha. Lo primeroque hay que hacer en Cálculo de Probabilidades, comoen cualquier otra ciencia experimental es saber pregun-tar a la realidad.

Bertrand planteó otras muchas paradojas interesan-tes todas ellas, de algunas de las cuales me he ocupa-do en mis libros “Filosofía de las Matemáticas” y“Cálculo de Probabilidades y Procesos Estocásticos”.

La Teoría de las Probabilidades tardó mucho tiem-po en formular una Axiomática consensuada; hubo afines del XIX a pesar del gran desarrollo que habíaalcanzado esta Teoría, mucho confusionismo sobreimportantes cuestiones de esta Ciencia. En relacióncon las leyes de los grandes números y de los teoremascentrales del límite, se decía mitad en broma y mitaden serio que eran las verdades científicas más firmes,porque los matemáticos creían que eran fenómenosfísicos bien comprobados y los físicos creerán que eranteoremas matemáticos correctamente demostrados.

Von Mises (1883-1953) nació en Lemberg (hoyLvov) en la Polonia que formaba parte de Austria-Hungria, vivió en Berlín hasta 1933 en que se exilió alos Estados Unidos, por la llegada al poder de Hitler, apesar de haber sido aviador en la primera guerra mun-dial. Hizo importantes aportaciones a las Matemáticasy a la Física, y en lo que nos ocupa, fue el primero enintentar una axiomatización de las probabilidades yaunque no lo logró, su ensayo ha sido muy importan-te. La definición de Von Mises de la probabilidad, aun-que no es rigurosa es suficiente desde un punto devista práctico, su definición es: “La probabilidad es elvalor límite de la frecuencia relativa del numero derealizaciones de un suceso cuando el número de expe-riencias tiende a infinito”. Lo anterior permite definirla probabilidad condicional como “el cociente de divi-

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dir la frecuencia con que ocurren simultáneamente dossucesos por la frecuencia con que ocurren uno de ellos,cuando el número de experiencias tiende a infinito”.Esto tuvo lugar en 1919, Von Mises es el fundador dela teoría frecuentista de la probabilidad, tomó comomodelo la Mecánica Racional, es decir parte de la rea-lidad para poder extraer de la misma el conocido con-cepto de frecuencia, lo idealiza, admitiendo que tomaun valor límite, cuando el número de experiencias tien-de a infinito. Su teoría está expuesta en su libro“Probabilidad, Estadística y Verdad” que alcanzóvarias ediciones, escrito sin recurrir al simbolismomatemático. Más elevado es su libro “Cálculo deProbabilidades y sus Aplicaciones a la Estadística y ala Física Teórica” de 1931.

Kolmogorov (1903-1987), es uno de los matemáti-cos más importantes de nuestro tiempo y quien ha des-arrollado la Axiomática más satisfactoria y completade las Probabilidades en su libro escrito en alemán“Ideas fundamentales del Cálculo de Probabilidades”en 1933, de lo que es una anticipación su libro “Teoríageneral de la medida y de las probabilidades” de 1929.El tratamiento que da a esta importante cuestión esmuy complicado, requiere un gran conocimiento de lateoría de conjuntos y de la teoría de la medida, asícomo de las σ-algebras, llamadas por algunos autoresalgebras de sucesos de Borel.

La nueva clase de variable aleatorias que he llama-do fractales, a las que he aludido antes y sobre las quevolveré no siguen la axiomática de Kolmogorov.

Existe también una escuela partidaria de la proba-bilidad subjetiva a la que pertenecen Keynes (Tratadode Probabilidad 1921) y Jeffreys (La InferenciaCientífica 1931).

Para dar fin a este aspecto, señalaré que HaraldCramer (1893-1985) sueco, en su libro “MétodosMatemáticos de la Estadística” de 1945, establece unafundamentación rigurosa de la Estadística basadasobre el Cálculo de Probabilidades. Dedica las cienprimeras páginas del libro a las Teorías de Conjuntos,Teoría de la Medida, integrales de Lebesgue, deStieltjes-Lebesgue y de Fourier.

Markov (1856-1922), fue alumno de Tchebycheff(los nombres rusos termminados en v en español, a

veces se terminan en dos f); después de hacer impor-tantes aportaciones en otras ramas de las Matemáticas,inició en 1906 sus trabajos de probabilidades. Se lepuede considerar como el creador de los procesos esto-cásticos. Introdujo las cadenas y el proceso estocásticoque llevan su nombre.

Sea un sistema S que en instantes sucesivos 0, 1,2,..n,... se encuentra en uno cualquiera de los m esta-dos E2 , ..., Em, de modo que la probabilidad aij de quese encuentre en el instante n en el estado Ej, encontrán-dose en el instante n-1 en el Ei, es independiente de n,es un cadena de Markov. Los aij forman una matrizestocástica M, en la que la suma de todos los elemen-tos de una fila vale 1. La cadena se puede resolver si seda el vector inicial de las probabilidades de los estadosde S en el instante cero, que eventualmente puede estaren uno cualquiera de los m citados.

Si el tiempo en vez de ser una variable discreta esuna variable continua, la cadena de Markov es un pro-ceso estocástico de Markov, que se caracteriza (asícomo las cadenas) porque la distribución de probabili-dad en el futuro depende solamente del presente; elpasado no influye.

Los procesos estocásticos en general son la evolu-ción de una distribución de probabilidad en el tiempo.Se llaman estacionarios si las causas de las variacionesson independientes del tiempo, los cuales fueron intro-ducidos por Khintchine (1894-1950) y en ellos el valormedio y la varianza con constantes y finitos y la fun-ción de correlación en dos instantes t1 y t2, dependesolo de t1-t2.

Un concepto muy importante que ha pasado de laEstadística a otras materias, es el de los errores de tipoI y de tipo II, introducidos por Neyman y Pearson en lateoría del contraste de hipótesis. Un error de tipo I escuando una hipótesis estadística es rechazada siendoverdadera y de tipo II si es aceptada siendo falsa. En lateoría del Riesgo un error de tipo I es cuando es unerror para el riesgo del productor y del tipo II cuandoes un error para el riesgo del consumidor. En la teoríade la Fiabilidad un error del tipo I es cuando un siste-ma (una alarma) no funciona cuando debe funcionar ydel tipo II cuando funciona no debiendo funcionar. Pormi cuenta he opinado que los referées y los comité edi-toriales de una revista científica cometen un error de

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tipo I al rechazar un artículo bueno y un error de tipoII al aceptar un artículo malo.

Neyman y Pearson pertenecen al grupo de los fun-dadores de la estadística matemática moderna que usacomo herramienta matemática el Cálculo deProbabilidades. Neyman (1894-1981) fue un ruso quecuando la revolución se fue a Polonia donde trabajó enla Universidad de Varsovia, después emigró aInglaterra donde trabajó en la Universidad de Londres,y por último emigró a los Estados Unidos donde traba-jó en la Universidad de Berkeley. Pearson (1895-1980), aparte de su colaboración con Neyman en lateoría de la estimación y de la comprobación de lashipótesis estadísticas, hizo importantes aportaciones alas teorías del control de la calidad y de la investiga-ción operativa, nacidas en el siglo XX. Su padre Karl(1875-1936) junto a Galton (1822-1911) fueron pione-ros de la estadística matemática y de la biometría.

La hipótesis ergódica, los teoremas ergódicos y lateoría ergódica están muy relacionadas entre sí y haninvadido muchas áreas de las Matemáticas puras yaplicadas, así como de la Física teórica. La hipótesisergódica fué formulada por Maxwell (1831-1879) enla teoría cinética de los gases, en la mezcla de líquidosy en los fenómenos de difusión, afirma que cualquieraque sea la distribución inicial de las partículas, al finalse reparten uniformemente. En la teoría ergódica sesustituyen las medidas instantáneas realizadas por losFísicos experimentales por valores medios que puedenobtenerse en las diferentes posiciones que ocupa unapartícula a lo largo del tiempo, o por las que correspon-den en un instante dado a un gran número de partícu-las y lo que afirma el teorema ergódico es que ambosvalores medios son iguales.

En los años veinte del siglo pasado, nace una nuevarama de las Probabilidades, que es la teoría de los jue-gos de estrategia, en los que interviene también lahabilidad del jugador; tiene un desarrollo muy rápidoy en los años cuarenta y cincuenta se puso muy demoda. En 1928 Von Neumann (1903-1957) publicó unartículo que inicia en grande esta teoría, en él figura uncélebre teorema del minimax, y en 1944 Von Neumanny Morgenstern (1902-1977) su libro “Teoría de juegosy comportamiento económico” revolucionó laEconomía. Borel (1872-1956) en 1921 había señaladola importancia que en problemas económicos, milita-

res y en general en las actividades humanas tienen estaclase de juegos e inició el estudio de los mismos;según Borel, con anterioridad a él, solo Bertrand en suCálculo de Probabilidades había tratado un problemaen el juego de bacarrá; en 1938 Borel publicó un librosobre este tema. En 1953, Frechet publicó enEconométrica una nota en la que daba cuenta de lostrabajos de Borel en forma muy elogiosa, y señalandola anterioridad de los mismos respecto a los de VonNeumann; en 1955 volvió a insistir sobre lo mismo ensu libro “Las Matemáticas y lo concreto”, en el mismonúmero de la revista Econometrica, Von Neumannpublicó una réplica a la nota de Fréchet.

Relacionada con los juegos de estrategia está laTeoría de la Decisión en la que Wald en 1939 introdu-jo el principio del mimimax, que expresa que el crite-rio seguido en la toma de decisiones, es que el riesgode tomar una decisión equivocada sea mínimo. En lamoderna teoría de la Decisión se llama solución deBayes a una función de decisión estadística que mini-mice el riesgo medio relativo a una distribución deprobabilidad. Se suele llamar postulado de Bayes, quees muy discutible, a que cuando en un problema deprobabilidades de causas, no existe información sobrecuales son las probabilidades a priori, y se desconocencuales son sus valores, se adopte por principio el pos-tulado de que todas las causas tienen la misma proba-bilidad.

Los juegos de que se ocupaba Von Neumann se lla-man cooperativos, pero existen otros no cooperativos,relacionados con el problema de la negociación, en losque el fundamento es un teorema de John Nash (naci-do en 1928). Este personaje es muy interesante, porquemuy joven en 1950, sorprendió al mundo científicocon su tesis doctoral en Princeton y su primera publi-cación, seguidas de unas pocas publicaciones más enlos años cincuenta sobre los juegos no cooperativos,que le valieron el premio Nobel en Economía en 1994,cincuentenario del libro antecitado de Von Neumann yMorgenstern. Lo obtuvo conjuntamente con Hansanyi(húngaro) que había trabajado sobre juegos con infor-mación incompleta y con Selten (alemán) que habíatrabajado sobre la manera de distinguir los resultadosrazonables de los irrazonables en los juegos.

En los años cincuenta Nash descubrió algunos teo-remas muy difíciles y avanzados sobre variedades

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algebraicas reales, y sobre inmersiones de variedadesriemamianas en espacios euclideos de mayor númerode dimensiones. Estos logros sorprendieron al mundomatemático y no hubiera sido extraño que dada sujuventud se le hubiera concedido la medalla Field;pero no se le concedió.

La vida de Nash fue muy trágica, su época activavino a ser de una década, de 1948 a 1958, en que cayógravemente enfermo, enfermedad que duró hasta fina-les de los años ochenta, salvo unos pocos años a fina-les de los sesenta, en que también realizó algunos tra-bajos más. Su vida ha sido llevada al cine en la pelícu-la “Una mente prodigiosa”.

Además de Nash existen otros dos grandes científi-cos contemporáneos nuestros, que realizaron una gran-dísima labor estando gravemente enfermos o inváli-dos. Son Pontriagine (1908-1988) ruso ciego, profesoren la Universidad de Moscú y en el Instituto Steklovque hizo grandes aportaciones a los procesos de opti-mización, la topología y los grupos topológicos. Elotro es Hawking (nacido en 1942) titular de la cátedraLucasiana de Matemáticas de la Universidad deCambridge, que ocupó antes Newton, autor de dosbestseller científicos. “La Historia del tiempo” y “ElUniverso en una cáscara de nuez”, algunos han llega-do a compararle con Einstein.

La Mecánica Racional es la ciencia que con elempleo del método matemático estudia el equilibrio yel movimiento de los puntos y sistemas materiales oca-sionados por las fuerzas, de modo que la causa son lasfuerzas y el equilibrio o el movimiento el efecto. Fueiniciada por Galileo (1564-1642) desde un punto devista moderno y establecido de modo riguroso y unifi-cado por Newton (1643-1727) en sus “Principia”(1687). Durante el siglo XVIII se avanzó mucho en elconocimiento de la misma, por obra de muchos sabiosentre los que figura de manera sobresaliente. Euler(1707-1783) matemático muy prolífico. Lagrange(1736-1818) publicó su “Mecánica Analítica” (1788)que constituye un tratado teórico ya moderno y com-pleto, en el que desarrolló las ecuaciones que llevan sunombre, con lo que se comienza la “mecanización” o“automatización” de la solución de los problemas de laMecánica. Laplace en 1812 publica su “Mecánicaceleste” en la que aplica los nuevos métodos de laMecánica al estudio del movimiento de los planetas y

satélites del sistema solar. Hamilton (1805-1865)obtiene unas nuevas ecuaciones que llevan su nombre,que dan la solución de los problemas de la Mecánica.Desde entonces se dice que existen tres enfoques deesta Ciencia que son el newtoniano el lagrangiano y elhamiltoniano. Jacobi (1804-1851) con su célebre ecua-ción culmina la obra que hace que la Mecánica puedeconsiderarse a partir de entonces como un capítulo delAnálisis Matemático. Hasta este momento Mecánica yProbabilidades siguen caminos distintos, sin interfe-rencias; para saber Mecánica no hace falta saberProbabiliddes, aunque en algunos casos como Laplace,nos encontramos con un científico que sabe muchísi-mo de ambas materias, pero ese caso es una excepción.

En la segunda mitad del siglo XIX, Maxwell (1831-1879) Boltzmann (1844-1906) y Gibbs (1839-1903)fundan una nueva ciencia: la Mecánica Estadística enla que se conjugan las leyes de la Mecánica y las de lasProbabilidades. Como dijimos antes los dos primerosestablecieron la hipótesis ergódica. Se aplica a los sis-temas con un número enorme de partículas, billones demillones en el caso de un cm3 de un gas en condicio-nes normales de presión y de temperatura. Maxwellobtuvo la distribución de probabilidad de las velocida-des de las moléculas de un gas, con lo que hace dar unpaso de gigante a la Teoría cinética de los gases.

Clausius (1822-1888) definió en 1865 una nuevamagnitud física la Entropía, muy importante enTermodinámica y que había usado antes de definirla.La define por su diferencial

donde S es la entropía, Q la cantidad de calor y T latemperatura absoluta.

Boltzmann en 1875, más tarde definió la entropíamediante las probabilidades

donde k es la constante que lleva su nombre y W lo queél llamó la probabilidad termodinámcia. Vamos aexplicar lo que hizo Boltzmann. Todo sistema formadopor un gran número de partículas, está definido por suenergía total y por la naturaleza de sus partículas. Cadauna de las partículas está representada por un punto enel espacio de las fases, este punto viene dado por las

S k log W=

dQdS T=

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(15)

(16)

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coordenadas de su posición (tres) y por los componen-tes de su velocidad (tres). Este espacio está dividido endominios de la misma extensión, y todas las partículasde un mismo dominio tienen la misma energía, estosson los microestados. Todos los microestados que tie-nen la misma energía forman un macroestado, enton-ces el cociente entre el número de microestados queforman un macroestado y el número total de microes-tados del sistema es su probabilidad termodinámica,Boltzmann calculó las probabilidades termodinámicasy a partir de ellas se calculan las funciones de laTermodinámica.

Los macroestados pueden ser observados losmicroestados no, pero se les puede manejar teórica-mente y hacer cálculos con ellos. A partir de entonceslas Teorías del Calor y de la Termodinámica se puedendesarrollar bajo dos puntos de vista: el fenomenológi-co que corresponde a los macroestados y sus magnitu-des, y el estadístico basado en una concepción atomís-tica y en los microestados no observables. Para seguireste segundo camino si hace falta que los Físicos sepanprobabilidades.

A principios del siglo XX entra en crisis la FísicaClásica y surge la Mecánica Cuántica, y con ella vuel-ven a entrar las probabilidades en la Física, y ésta cam-bia de ser determinista a ser indeterminista; de nuevolos Físicos van a necesitar saber probabilidades.Vamos a aclarar lo anterior: la nueva MecánicaCuántica admite varias interpretaciones, la más acepta-da es la de Copenhague, según la misma sus postula-dos se pueden resumir brevemente de la siguientemanera:

a) La información sobre una partícula en un puntodado y en un instante dado, está contenida en sufunción de onda.

b) La función de onda es la solución de unaecuación de ondas.

c) La información que se puede obtener en unaexperiencia es probabilista.

d) Es imposible medir exactamente dos magni-tudes conjugadas (posición y momento). Son lasrelaciones de incertidumbre de Heisenberg.

e) Toda medida realizada cambia la función deonda.

f) La evolución de la función de onda entre dosmedidas está bien determinada.

De modo que por © hay probabilidad en lasmedidas efectuadas y por (f) hay determinismo en laevolución de la función de onda entre dos medidas.

El apartado © nos indica que solo se puede calcularla probabilidad de encontrar la partícula en un puntodado y en un instante dado (principio de localización);y solo se pueden calcular las probabilidades de las quelas magnitudes mecánicas (como el momento) tenganun valor (principio de la descomposición espectral).

Al apartado (e) se le conoce con el nombre dereducción o contracción del paquete de ondas.

Al nacer la Mecánica Cuántica se le plantea a loscientíficos lo que pudiéramos llamar una “regla de trescientífica”; hay que encontrar una Mecánica Estadís-tica Cuántica que sea a la Mecánica Cuántica, lo que laMecánica Estadística clásica es a la Mecánica clásica.

La solución de esta “regla de tres científica” no esuna, sino doble porque hay dos Mecánicas EstadísticasCuánticas que son la de Bose-Einstein y la de Fermi-Dirac; ello es debido a que al rehacer el cálculo de lasprobabilidades termodinámicas, hay que hacerlo sobrenuevas bases.

En la Mecánica Estadística Clásica, el enormenúmero de partículas que integran un sistema, son dis-tinguibles entre sí, se les puede numerar, poner unnombre y seguirlas en su evolución, aunque sea con elpensamiento.

En las Mecánicas Estadísticas Cuánticas, laspartículas de un sistema no pueden distinguirse unasde otras (principio de indiscernibilidad). Este principiorige para todas las partículas.

Hay un segundo principio, el de exclusión debido aPauli (1900-1958) que solo rige para ciertas partículas(los fermiones) según el cual dos partículas iguales nopueden tener todos sus números cuánticos iguales.

En resumen en la Mecánica Estadística clásica norige ninguno de los principios anteriores. En laMecánica Estadística cuántica para los basones solorige el primer principio, es la de Bose-Einstein, y paralos fermiones rigen los dos principios es la de Fermi-Dirac.

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Un movimiento aleatorio importante, en el que seconjugan las leyes de la Mecánica clásica y las de lasprobabilidades, es el movimiento browniano, en el quelo que evoluciona en el tiempo es una densidad deprobabilidad y no una función de onda como en laMecánica cuántica. La evolución está regida por unaecuación como la de propagación del calor y la den-sidad de probabilidad es la de la ley de Gauss (leynormal) como la (13) en la que la varianza σ2 crece li-nealmente con el tiempo.

El movimiento browniano fue observado porprimera vez en 1827 por Brown (1773-1858) como unmovimiento aleatorio de granos de polen suspendidosen el agua; en general es el de partículas sólidas muyfinas en suspensión en un líquido. En 1908 el duqueMauricio de Broglie (1875-1960), hermano del premioNobel Luis fundador de la Mecánica ondulatoria,observó este movimiento en partículas sólidas muyfinas en suspensión en un gas. Perrin (1870-1942)obtuvo el premio Nobel, entre otros trabajos por susexperiencias sobre el movimiento browniano el cualha sido considerado como una de las pruebas indi-rectas más importantes de la existencia de lasmoléculas y con ello contribuyó al triunfo final delatomismo sobre la energética en Física, a principiosdel siglo XX. En la explicación teórica del mismo esfundamental un artículo de Einstein de 1905. Cuandose descubrió no se sabía a que era debido y hoy se sabeque es debido a la agitación térmica de los moléculasdel líquido o gas, que colisionan con las partículassólidas en suspensión.

En un libro “Líneas de investigación en los pro-cesos estocásticos y el movimiento browniano”editado en 1975 por el Instituto de España. Me heocupado del movimiento browniano generalizado y deotros temas relacionados como los paseos al azar, y laadición, proyección y teoremas centrales del límite devectores aleatorios isótropos en los espacios euclídeosde cualquier número de dimensiones y en el espacio deHilbert.

En resumen he intentado escribir una breveexposición de lo que han sido y son las Matemáticasdel azar, desde los comienzos modestos del Cálculo deProbabilidades en los siglos XV y XVI, su elevación ala categoría de Ciencia en el XVII, su desarrolladoacelerado en los XVIII y XIX sobre todo en este

último, hasta su gran esplendor en el XX, en el que seconsigue ya su axiomatización rigurosa y se ampliaenormemente su campo como Ciencia pura y aplicada.La Estadística Matemática basada en el Cálculo deProbabilidades se inicia a fines del XIX y en el XXobtiene un gran desarrollo. También en el siglo XXnacen nuevas ciencias muy relacionadas con las proba-bilidades, que antes eran desconocidas, como son elControl de Calidad, la Investigación Operativa y laTeoría de la Fiabilidad.

Las Matemáticas del azar entran de lleno en laFísica a fines del siglo XIX con la MecánicaEstadística clásica, y en el XX con la MecánicaCuántica, las Mecánicas Estadísticas Cuánticas, elMovimiento Browniano y lo procesos estocásticos dela radiactividad, la radiación cósmica y la FísicaNuclear adquieren una gran importancia las probabili-dades.

También en el siglo XX nace una nueva Cienciarelacionada con las probabilidades que es la Teoría dela Información que introduce una nueva Entropía conun parecido a la antigua de la Física del XIX que semide en unas nuevas unidades los bits.

El azar en la Economía entra en el siglo XX con lamoderna teoría de los juegos de estrategia.

En la Biología a fines del XIX se inicia laBiometría y se enuncian las leyes de la herencia deMendel (1822-1884) que se expresan en lenguajeprobabilista. En el XX la penetración de lasMatemáticas del azar es muy profunda en muchaspartes de la Biología, que se hallan ya enormementematematizadas; en los procesos estocásticos denatalidad, mortalidad, inmigración, propagación deenfermedades (curaciones y contagio), en la Genéticacuantitativa, la selección natural y la lucha por la exis-tencia, la Ecología, etc.; en general lo que constituye lamoderna Dinámica de Poblaciones.

Para concluir quiero destacar un hecho que meparece curioso e interesante y que no he visto refer-encias del mismo en muchos textos que he consultado.Es el siguiente: en 1900 en el 2º Congreso Interna-cional de Matemáticas de París, Hilbert quizás elmatemático más importante de su época, pronuncióuna conferencia de más de treinta páginas en el que

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enunciaba y analizaba una lista de 23 problemasabiertos de las Matemáticas, que él y otros muchoscientíficos estuvieron de acuerdo con él, consideróesenciales. Con posterioridad algunos de estos prob-lemas han sido resueltos total o parcialmente, positivao negativamente, y siempre las soluciones obtenidas seconsideraron logros muy importantes de lasMatemáticas. Si se lee la lista de los 23 problemas enninguno se hace referencia explícita a lasProbabilidades. Es claro que ya entonces era esencialla axiomatización de las mismas, por lo que extraña lafalta de mención explícita de este problema. Elproblema sexto es “¿se pueden matematizar losaxiomas de la Física?”; con posterioridad se hanaxiomatizado algunas partes de la Física. Al analizareste sexto problema se hace mención de pasada a lasProbabilidades. A mi me parece que Hilbert debería dehaber agregado un problema nº 24 que fuese “axioma-tizar las Probabilidades”, lo que conseguiríaKolmogorov en los años 1929 á 1933, aunque como yahe dicho antes las que he llamado variables aleatoriasfractales escapan a la axiomática de Kolmogorov.

Para el lector especializado que esté interesado porlos aspectos matemáticos incluyo unas notas entre-sacadas de mis investigaciones publicadas y algunasaún inéditas. Su lectura no es necesaria.

Notas 1.

TEOREMA DEL LÍMITE DE UNAVARIABLE ALEATORIA CUYA

PROBABILIDAD DE VALER INFINITO NOES NULA

Sea una variable aleatorio (v.a) ξ, cuya proba-bilidad de valer infinito es c, y de ser una v.a. defunción característica (fc) ϕ (t) 1-c. Sea ξ1 una v.a.cuya probabilidad de valer infinito es c1, y de ser unav.a. de fcϕ(t) es 1 c1 entonces la suma de las dos v.a.ξ y ξ1 tiene la probabilidad (1-c) (1-c1) de ser una v.a.de fcϕ(t)2 y la complementaria 1-(1-c)(1-c2) de valerinfinito.

Si ξ1,..,ξn, son v.a. que tienen las probabilidadesc1,…,cn de valor infinito y las probabilidades de serv.a. de fcϕ(t)1-c1,…,1-cn, entonces la v.a. η:

supuestas las ξ independientes tiene la probabilidades

de tener la fc

y la probabilidad complementaria

de valer infinito.

Si ahora hacemos tender n a infinito y es conver-gente el producto infinito

entonces la v.a. η tiene la probabilidad (5) de con-verger en probabilidad al valor medio m de η(t) y laprobabilidad complementaria de valer infinito; sipertenecen la ξ al dominio de atracción de la leynormal.

Si las ξ1,...,ξn son de valor medio nulo, entonces lav.a. χ:

cuando n tiende a infinito, tiene la probabilidad (5) deser una v.a. normal (gaussiana) de varianza igual a ξ yvalor medio nulo, y la probabilidad complementaria devaler infinito.

Nota 2.

LA LEY DE LOS SUCESOS ALEATORIOSRAROS. GENERALIZACIÓN DE LA LEY

DE POISSON

La distribución de Poisson resulta de la distribuciónde Bernoulli cuando la probabilidad de realización deun suceso tiende a cero y el número de pruebas, tiendea infinito, de modo que el producto de la anterior pro-babilidad por el número de pruebas, tiene un límite.

1 ... n

nξ ξχ + +=

( )1

1 kkc

=Π −

( ) ( )11 1 ... 1 nc c a− − − =

( ) ( )11 ... 1 nc c− −

1 ... nn

ξ ξη + +=

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La distribución de Poisson se conoce también comoley de los sucesos raros. Vamos a obtener una nuevadistribución de probabilidad que la generaliza y quepodemos calificar de ley de los sucesos aleatoriosraros, se distingue de la de Poisson porque ésta es unaley de los sucesos ciertos raros.

Sea una v.a. que tiene una probabilidad λ muypróxima a 1 de valer cero y la probabilidad comple-mentaria 1-λ de ser una v.a. de fcϕ(t). La fcθ1(t) de ξes:

La suma de n φv.a. ξ1 ,…,ξn de fc(1) e independi-entes tiene la fcθn(t):

Si hacemos tender λ a cero y n a infinito de modoque

entonces es

Si la comparamos con la de Poisson de fc

observamos que (4) resulta de hacer en (5) la susti-tución:

en la que eit es la fc del número cierto 1 y ϕ(t) la fc deuna v.a.; de aquí las denominaciones que proponemosde llamar leyes de los sucesos raros ciertos y de lossucesos raros aleatorios a (5) y a (4). La (5) es un casoparticular de la (4).

Se tiene que

que muestra que la v.a. de fc (4) es la suma de unnúmero aleatorio de fc(5) de v.a. independientes ξ de

fc ϕ(t) con el convenio de que si el número desumandos es cero, la suma vale cero. El problema de laadición de v.a. en número aleatorio la obtuve en losaños cincuenta.

Notas 3.

EL MOVIMIENTO BROWNIANOCONSECUENCIA DE UN TEOREMA

CENTRAL DEL LÍMITE. UN EXTRAÑOMOVIMIENTO EN EL QUE EL MÓVIL NO

CAMBIA NUNCA DE POSICIÓN

Un vector aleatorio isótropo es un vector cuyomódulo es una v.a. de función de densidad de proba-bilidad o de frecuencia (ff) f(r) siendo r el módulo delvector (que puede ser constantes) y cuya dirección estárepartida uniformemente al azar. Puede estar en unespacio euclídeo de p dimensiones Ep

En memorias publicadas en la Revista de la RealAcademia de Ciencias en los años cincuenta, planteé yresolví las ecuaciones integrales que ligan entre sí suff: fp (r) y la fcϕq (z) de la proyección del vector sobreun subespacio euclídeo Eq de Ep (q p), que puede seruna recta E1. Estas ecuaciones permiten calcular unade las ϕq (z) o fp (r), conocida la otra.

Ello me ha permitido resolver el problema de laadición de n vectores aleatorios isótropos de Ep, calcu-lando la ϕ1 (z) de la proyección del vector sobre larecta E1 y a continuación calcular la fp (r) que corres-ponde a la ϕ1 (z)n. De ello se sigue que la proyecciónde un movimiento browniano de Ep sobre Eq estambién un movimiento browniano, y que todomovimiento browniano sobre Eq es la proyecciónsobre Eq de un movimiento browniano sobre Ep.

Si un punto se mueve sobre una recta R1 dando unpaso de longitud l hacia la derecha o la izquierda con lamisma probabilidad 1/2, su desplazamiento es una v.a.de fc:

Si da n pasos en la unidad de tiempo, la fc de undesplazamiento en el tiempo t es:

( ) ( ) 2 21 cos 1 ...2 2izl izl z lz e e zlϕ −= + = = − +

( )log tiϕθ ϕ∞

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )ite tϕ→

( ) ( )1ita et eψ −=

( ) ( ) ( )( )1lim a tnn

t t e ϕθ θ −∞ →∞

= =

limn

n aλ→∞

=

( ) ( )( )( )1 1n

n t tθ λ ϕ= + −

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1t tθ λ λϕ λ ϕ= − + = + −

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si ahora hacemos tender l a cero y n a infinito de modoque

entonces

que es la fc de una v.a. gaussiana (normal) de valormedio cero y varianza σ2t; es un movimiento brow-niano.

El camino recorrido en la recta E1 en el tiempo t esnlt que es infinito por (3). De modo que el móvil tieneuna velocidad infinita y en cualquier intervalo detiempo t, recorre un camino infinito, pero su desplaza-miento sobre la recta R1 es una v.a. gaussiana finita devarianza σ2t. El valor medio del desplazamiento es

Los caminos recorridos hacia la derecha y laizquierda son infinitos pero su diferencia (el desplaza-miento real) es finito.

Si en vez de cumplirse la (3) se cumple la:

entonces es

el móvil por (7) no se desplaza durante todo elmovimiento, cualquiera que sea el tiempo trans-currido, a pesar de que en un tiempo t tiene unavelocidad m, y recorre un camino mt, debido a que lamitad del camino lo recorre a la derecha y la otra mitada la izquierda, cualquiera que sea el valor de t; y hayinfinitos cambios de sentido en el movimiento duranteel tiempo t, se obtiene un extraño movimientoaleatorio en que el móvil está constantemente enmovimiento nunca cambia de posición, está aparente-mente en reposo, pero sin embargo se mueve.

Recordando los versos de un famoso poeta españolMachado “Caminante no hay camino, se haces camino

al andar“ en este extraño movimiento podríamos decir“Caminante no haces camino aunque no paras deandar”. Parece una paradoja no desplazarse de suposición inicial y sin embargo moverse.

Si el móvil se mueve en Ep, dando n pasos de lon-gitud l en la unidad de tiempos, repartidos uniforme-mente al azar sus direcciones, si se cumple la (3)también se obtiene un movimiento browniano.

Se obtiene también un movimiento browniano si sesustituye la (1) y la (2) por la

cuando l tiende a cero y n a infinito cumpliéndose la(2).

Notas 4.

VARIABLES ALEATORIAS CONJUGADAS.UNA RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

FUERTE

En esta nota vamos a exponer un caso particular deuna teoría general que hemos desarrollado para v.a.cualesquiera, aunque no pertenezcan al dominio deatracción de la ley normal. Nos vamos a limitar a v.a.gaussianas (normales).

Sea f1(x1) la ff de una v.a. normal ξ1 de valormedionulo y varianza σ1

2. La fórmula (1), que es unatransformada de Fourier:

define una función f2(x2) que es la ff de una v.a. normalξ2 de valor medio 0 y varianza σ2

2 porque:

con lo que (1) se escribe:

( )( )

2 21 1

1 2

1 2 41

2 2 11 41 22

x ix xef x e dxσσ

σ ππ−∞

−∞= =∫

( )( )

2 21 14

1 1 1 41 21

12

xf x e σ

σ π−=

( ) ( )1 22 2 1 1 1

12

ix xf x e f x dxπ

−∞= ∫

( )lim 1nnn

zϕ→∞

=

limn

nl m→∞

=

2tσ π

( ) 2 2 2lim cos nt tz

nzl e σ−

→∞=

2 2limn

nl σ→∞

=

( ) ( )cos ntn z zlϕ =

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y de aquí

que es una v.a. normal de valor medio nulo y varianzaσ2

2:

La (5) es una relación de incertidumbre que lla-mamos fuerte porque se expresa por una igualdad, adiferencia de las relaciones de incertidumbre deHeisenberg que se expresan por desigualdades y poreso las llamamos débiles.

A ξ1 y ξ2 les llamamos v.a. conjugadas y gozan dela propiedad de que cuando mayor es la varianza deuna, menor es la varianza de la otra, de modo que si σ2vale infinito (o cero) entonces σ1 vale cero (o infinito)que implica que si ξ1 es una v.a. repartida uniforme-mente al azar sobre una recta (o es el número ciertocero) a ξ2 le sucede lo contrario y viceversa.

A una v.a. ξ1 no sólo le corresponde una v.a. con-jugada, porque si en (1) efectuamos la sustitución

siendo a un número real cualquiera, entonces el primermiembro de (1) valer

y ξ2 es una v.a. gaussiana (normal) de valor medio a yvarianza σ2

2. Por lo que en el párrafo anterior a la (6)se puede sustituir “el número cierto cero” en el parén-tesis con “el número cierto a”, Obsérvese que

como la (1) es invertible el papel de f1(x1) y f2(x2) essimétrico.

En la última (5) si las dimensiones de σ1 y σ2 son d1y d2, la dimensión de 1/2 es la del producto d1d2. Por

ejemplo si las dimensiones de σ1 y σ2 son L, la de 1/2es L2; y si la de σ1 es una longitud (L) y la de σ2 unmomento (cantidad de movimiento) MLT-1, la de 1/2es ML2T que son las de una acción (energía portiempo).

Los resultados de las notas, 3ª, 4ª y 5ª, como ya lodijimos en la 3ª son generalizables a v.a. de cualquiernúmero de dimensiones.

Notas 5.

EL MOVIMIENTO ANTIBROWNIANO YEL PRINCIPIO ANTIERGÓDICO.FENÓMENOS DE DIFUSIÓN Y DE

CONCENTRACIÓN CONJUGADOS

Sea ξ1 (t) una v.a. normal de valor medio cero yvarianza σ1

2t,t es el tiempo. Su ff y su fc son:

La ff está representada en al figura 4, la ordenada esla primera (1)

Cuando t 0, la v.a. ξ (t) vale cero, y cando tes una v.a. repartida uniformemente al azar. En losinstantes t1<t2<t3<t4 las ordenadas máximas de f1 (x,t)son A1, A2, A3 y A4. A medida que decrece el tiempo la

∞==

( ) ( )2 2 2 21 12 2

1 11

1; ; ;2

x t tzf x t e z t et

σ σϕσ π

− −= =

( ) ( )2

1 1iix ae f x f x=

( )2 2f x a−

( ) ( )11 1 1 1

ix af x e f x→

22 1 22

1

1 1 24

σ σ σσ

= ⇒ =

( ) 2 22 14 21

2 222

xf x e σσπ

−=

( )( )

( )( )

2 22 21 1

1 2 2 1

1 2 1 24 21 1

11 4 1 41

2 22 22 2

x ix x xe e dx eσ σσ σ

σ ππ π−∞ −

−∞=∫

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curva de la figura 4 se va aplastando sobre el eje OX.La f1 (x;t) gobierna la propagación del calor en unabarra, la densidad de probabilidad en el movimientobrowniano, y en general un fenómeno de difusión.

Si filmasemos una película de la evolución en eltiempo de f1 (x,t) y luego la pasasemos al revés que esa lo que equivale cambiar de signo el tiempo, entoncesen los instantes t4 t3, t3 t2, t2 t1 la curva se iría le-vantando desde la posición A4 a la A1 pasando por A3 yA2 hasta A1 se iría aplastando sobre el eje OY.

Por lo visto en la nota 4ª la v.a. ξ2 de ff y fc:

y también la ff igual a f2 (x-ai t), siendo a un númerocualquiera, son v.a. conjugadas de la (2) si se cumplela:

vese nota 4ª

En la figura 5 se ha representado la f2(x,t). Parat , ξ 2 (t) está repartida uniformemente al azar. Enlos instantes t1<t2<t3<t4 se va aplastando sobre el ejeOY, hasta ser ξ 2 (0) para t 0, igual a cero.

Esta función f2 (x,t) gobierna un fenómeno de con-centración que llamamos conjugado del fenómeno dedifusión de la figura (4). Por lo dicho después de la (2),

la curva de la figura (5) se puede trasladar paralela-mente a OX en el plano XOY, de modo que el origende coordenadas sea cualquier punto de ordenada cero yabscisa a cualesquiera. En estos fenómenos de concen-tración rige un principio antiergódico, según el cualcualquiera que sea la distribución inicial (t 0) de f2(x,t), finalmente la ξ 2 (t) converge a un número ciertoa.

La rapidez de convergencia en el principio ergódicoes tanto mayor cuanto mayor sea σ1 y en el principioantiergódico cuando menor sea σ2 en virtud de (3).

Para pasar de (1) a (2) hay que cambiar t por 1/t o loque es lo mismo ln t por ln1/t 1/t, hay que haceruna inversión logarítmica del tiempo.

Notas 6.

FRACTALES FÍSICOS Y MATEMÁTICOS.EXTENSIÓN A LOS FRACTALES DE LASPROBABILIDADES, LA DERIVACIÓN, LA

INTEGRACIÓN, LA MECÁNICA Y LASECUACIONES DIFERENCIALES

En 1988 en un artículo publicado en la Revista de laReal Academia de Ciencias publiqué mis primerasinvestigaciones sobre las fractales, del que una parteestá recogida en mi Diccionario de MatemáticaModerna (3ª edición de 1994 en la editorial Ra-Ma).En él definí un fractal físico para el que propuse elnombre de barra de Cantor, con un momento de inerciay una masa finitos y no nulos, el cual se puede con-siderar como el primer ejemplo de péndulo fractal, delongitud nula, formado por un conjunto discontinuo depuntos materiales, con la potencia del continuo. Sedescribe el proceso de formación del fractal por unasucesión infinita de estados intermedios, cuya masapermanece la misma, mientras que su longitud tiende acero; el límite de este proceso de fractalización es elfractal. Señalaba que se podrían obtener otros fractalesfísicos a partir de fractales geométricos conocidos. Notienen representación en la Mecánica clásica, pero seles pueden aplicar las leyes de la Mecánica. Introducíaen ellos las probabilidades, definía funciones fractalesy la manera de extender a ellas la integración.

−=

=

=

∞=

21 1 2

12t

tσσ σ σ= =

( ) ( )2 2 2 22 22 2

2 22

, ; ,2

x t z ttf x t e z t eσ σϕσ π

− −= =

−−−

Dario Maravall Casesnoves Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 55

(2)

(3)

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En el 2003 concluí un libro todavía inédito de algomás de 250 páginas en ocho capítulos, titulado “TeoríaFísico-Matemática de los Fractales” donde reúno misinvestigaciones, que resumo a continuación.

En la Mecánica clásica existen dos clases de puntosmateriales, los que representan partículas o corpús-culos que son puntos geométricos dotados de masafinita y densidad infinita. Los otros puntos son los queconstituyen los sólidos y los sistemas materiales, sonpuntos materiales sin masa, ni volumen, pero con den-sidad finita para todo el conjunto.

Por el contrario los fractales mecánicos o físicos,están formados por puntos geométricos, contenidos enun volumen finito, pero con volumen total nulo, esmateria que no ocupa lugar en el espacio, pero su masaes nula y su densidad infinita, de modo que el conjuntode puntos que forman el fractal, que tiene la potenciadel continuo, si tiene masa. Si existen en la naturalezatendrían propiedades extrañas, porque estaríansometidas a la ley de la gravitación universal. Siexisten, en la mente del matemático, como le sucede ala geometría de n dimensiones.

Al estar dotados de masa, centro de gravedad ymomento de inercia, las ecuaciones de la Mecánica delsólido le son aplicables, a las barras, placas y sólidosfractales. La generalización más sencilla es la de lospéndulos fractales. Al existir ruedas (placas circulares)fractales y esferas fractales (capítulo 5 y 7) laspropiedades de los movimientos de rodadura seextienden también a los fractales. El resumen del libroes el siguiente:

En el Capítulo 1 se extiende el Cálculo de Probabi-lidades, la Geometría de Masas y la Integración a losfractales numéricos definidos sobre los sistemas denumeración de base cualquiera, los fractales geomé-tricos sobre un segmento, y los fractales físicos quehemos denominado barras fractales. Definimos unnuevo tipo de integrales que llamamos integrales rami-ficadas, que resultan de la integración sobre un árbolen vez de sobre un segmento o un arco de curva.Extendemos la integración a los conjuntos de medidanula, en los que las integrales son nulas pero elcociente de dos integrales tiene un valor definido.Calculamos los centros de gravedad y los momentosde inercia de las barras fractales.

En el capítulo 2, definimos la que hemos llamadoley de probabilidad de los sucesos aleatorios raros quegeneraliza la ley de Poisson que se refiere a sucesosraros ciertos. Investigamos las variables aleatorias quetienen probabilidad no nula de valer infinito y damosla forma que toma el teorema central del límite para lasmismas. Obtenemos representaciones de funcionestrascendentes mediante productos infinitos conver-gentes, y también la expresión de variables aleatoriasmediante sumas infinitas de variables aleatorias dis-cretas en progresión geométrica decreciente. Expone-mos los árboles de abscisas, probabilidades y masas, ydefinimos las integrales simples ramificadas sobre losmismos.

El capítulo 3, trata de los temas anteriores, pero condos dimensiones; de la teoría de los fractales geomé-tricos y físicos sobre un cuadrado (las placas).Calculamos la función característica de un puntorepartido uniformemente al azar sobre varios ejemplode estos fractales, entre ellos el polvo de Cantor sobreun cuadrado y la carpeta de Sierpinski. Estudiamos lasque hemos llamado placas de Cantor y de Sierspinski.Definimos los árboles dobles de coordenadas y losintegrales dobles, ramificadas sobre los mismos.Introducimos los pseudofractales, como conjuntos quese obtienen por procesos de fractalización como losfractales, pero que tienen dimensión entera en vez defraccionaria. Extendemos la teoría a fractales físicosno homogéneos y a variables aleatorias no repartidasuniformemente al azar sobre fractales geométricos.Resolvemos los problemas relativos a distribucionesde probabilidad marginales.

El capítulo 4 extiende las investigaciones de lostres capítulos anteriores al espacio de tres dimensionesprimero, y al de cualquier número de dimensiones.Definimos los sólidos fractales, entre los que figuranlos que hemos llamado de Cantor y de Sierpinski, queson los fractales físicos sobre el polvo de Cantor en uncubo y sobre la esponja de Sierpinski. Extendemosesta teoría a los espacios de cualquier número dedimensiones. Obtenemos la representación de fun-ciones trascendentes mediante productos infinitos con-vergentes. En este caso las integrales ramificadas sontriples y múltiples.

Hemos propuesto llamar cifras binales, temales,cuaternales y en general pales, a las cifras a la derecha

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101Dario Maravall Casesnoves56

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de la coma en los sistemas de numeración de bases 2,3, 4 y p en general que generalizan los decimales.

El capítulo 5 comienza con un método nuevo paracalcular la función característica de un punto repartidouniformemente al azar sobre un triángulo irósceles oequilatero, y su aplicación a la Geometría de Masas. Acontinuación se extiende el Cálculo de Probabilidades,la Integración y la Geometría de Masas a los fractalessobre los triángulos isósceles y equiláteros y a losestados intermedios en el proceso de fractalización. Seextiende este estudio a los triángulos rectángulos y alos triángulos en general. Se aplican los resultadosanteriores a polígonos regulares y al círculo comolímite de un polígono regular inscrito o circunscrito,cuando el número de lados tiende a infinito. Seintroduce el concepto de fractales de segunda clasecomo límites de fractales ordinarios, a los que lla-mamos de primera clase; la rueda fractal es un ejemplode segunda clase. También se introduce el concepto defractales equivalentes.

El capítulo 6 extiende estas investigaciones atetraedros y en particular al tetraedro regular y altetraedro cuya base es un triángulo equilátero y elvértice con sus tres aristas es un tiedro trirrectangular.A continuación se investigan los fractales sobre eloctaedro regular. Se extienden estas investigaciones alos politopos (poliedros en p dimensiones) que hemosllamado p+1-edros, 2P-edros y 2p-edros (hipercubos)que generalizan el tetraedro el octaedro y el cubo en elespacio euclideo de p dimensiones. Se investiga conmucha amplitud la geometría y la Geometría de Masasde estos politopos en p dimensiones. Esta última partees muy complicada.

El capítulo 7 está dedicado a la Geometría decualquier número de dimensiones p, al Cálculo deProbabilidades, la Integración y la Geometría deMasas asociadas. Se hace un estudio exhaustivo de lospolítopos anteriores y se investigan fractales sobrehiperesferas de cualquier número de dimensiones.

En el capítulo 8 como los fractales físicos tienenmasa, centro de gravedad (cdg) y momentos de inercia,y también frontera geométrica, se pueden extender aellos las leyes de la Dinámica del sólido. El ejemplomás sencilla es el del péndulo físico fractal, en el quese sustituye la barra ordinaria maciza por una barrafractal, por ejemplo la barra de Cantor (capítulo 1).

Se analizan las variaciones de energía y los posiblesmovimientos espontáneos en un proceso de fractali-zación de un sólido; proceso que puede ser reversible ytransformar un fractal en un sólido.

Nos preguntamos si existen fractales físicos en lanaturaleza o si se pueden producir en el laboratorio, encuyo caso existiría una fuerza o interacción entre lospuntos del fractal que los mantiene confinados en sufrontera.

Se introduce el cálculo de cocientes, de integralesde Riemann sobre volúmenes nulos en un fractal y deintegrales de Lebesgue en un conjunto de medida nula.Se utilizan estas propiedades para calcular la funciónde densidad de probabilidad en un fractal, que valeinfinito, salvo a lo sumo en un número finito depuntos, lo que les hace inmanejables, pero sin embargolas funciones características existen, son finitas ymanejables.

Se analizan las profundas diferencias entre las v.a.ordinarias del Cálculo de Probabilidades y estasnuevas v.a. fractales que son completamente distintas.Las probabilidades fractales no cumplen la axiomáticade Kolmogorov, sino otra distinta que describimos.

También se extiende la derivación a los fractales, ycomo anteriormente se había extendido la integración,quedan definidas las ecuaciones diferenciales sobre unfractal. Resolvemos la más sencilla:

donde el primer miembro es la derivada fractal. Lafunción exponencial es la más sencilla del conjunto desoluciones de la (11) que son distintas para fractalesdistintos.

En el 9 del capítulo 8 se explica como la materiapuede filtrarse a través de los fractales físicos.

Notas 7.

LA AXIOMÁTICA DE LASPROBABILIDADES FRACTALES

Las probabilidades fractales no siguen laaxiomática de Kolmogorov, sino otra distinta comodijimos en la nota 5ª.

( ) ( )Df x f xDx λ=

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En el proceso de fractalización en el que Eo es elestado inicial E1,…,En,…, los estados intermedios yE el fractal; Eo es un espacio de probabilidaddefinido por la terna: Eo, Ao, Po (ao) donde Ao es unatribu de partes de Eo (subálgebra de sucesos) cuyoselementos son los sucesos y entre ellos figuraE1,..,En,...;Po (ao) es la probabilidad de un sucesoao Ao. Las probabilidades son las aplicaciones de Aoen el intervalo [0,1].

Los estados intermedios E1,…,En,…, son espaciosde probabilidad, el En se define por la terna:En, An, Pn,donde n es cualquier número entero. La terna se definede la siguiente manera: En es el conjunto En, An es latribu de En formada por las intersecciones de los ele-mentos de Ao con En, que denotamos por

de modo que an es la intersección de ao con En. Laprobabilidad Pn (an ) vale:

Se cumple que:

porque las medidas de an y de En tienden a cero,cuando n tiende a infinito. La (2) es una expresiónindeterminada de la forma 0/0 y si tiene un valor ver-dadero (levantando la indeterminación) entonces

y la terna E , A , P , define un espacio de proba-bilidad, donde A es la tribu Ao E y P es igual a(4).

Esta axiomática es la que cumple la v.a. fractaldefinida al final de la nota 6ª.

BIBLIOGRAFÍA

1. Borel: “El Azar”. Montaner y Simón, 1935.2. Haigh: “Matemáticas y juegos de azar” Tusquets

2003.3. Bell: “Historia de las Matemáticas”. Editorial Efe.

1949.4. Bourbaki: “Elementos de Historia de las

Matemáticas”. Alianza. Universidad 1976.5. Morris Kline: “El pensamiento matemático de la

antiguedad a nuestros días”. Tres Tomos. AlianzaUniversidad 1992.

6. Gray: “El reto de Hilbert”. Editorial Crítica 2003.7. Feller: “Introducción a la teoría de probabilidades y

sus aplicaciones” dos tomos, Limusa 1973 y 1978.Méjico.

8. Von Mises: “Probabilidad, Estadística y Verdad”.Espasa Calpe, 1946.

Y mis libros:

9. Filosofía de las Matemáticas10. Teoría de la Investigación Matemática11. Didáctica y Dialéctica Matemáticas editados por

Dossat en 1961, 1966 y 1969.12. Cálculo de Probabilidades y Procesos Estocásticos!”

editado por Paraninfo en 1974.13. Diccionario de Matemática Moderna editado por Ra-

Ma, 1994, 3ª edición.14. Líneas de Investigación en los Procesos Estocásticos

y el Movimiento Browniano editado por el Institutode España en 1975.

15. Teoría físico-matemática de los fractales.∞∞∩∞

∞∞∞

( ) ( )lim 0n nnP a P a∞ ∞→∞

= ≠

( ) ( )lim 0 lim 0o n o nnP E P a

→∞= ⇒ =

( ) ( )( ); ;o n

n n n n n o no n

P aa A P a a a EP E∈ = = ∩

0n nA A E= ∩

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101Dario Maravall Casesnoves58

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(2)

(3)

(4)