Índice Página

Introducción 2

El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje 3

Hacer y estudiar matemáticas. Las matemáticas en la sociedad 5

Notas sobre el papel de la noción de razón en la construcción de las fracciones en la escuela primaria

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Introducción: Nuevas competencias profesionales para enseñar 42

Organizar y animar situaciones de aprendizaje 51

Principios orientadores de la evaluación constructiva 64

Vigilancia de la buena práctica por parte de profesores y estudiantes

66

La evaluación en el aula: educación secundaria 96

El desarrollo de competencias matemáticas en la educación básica

103

El “error”. Un medio para enseñar 110

¿Qué estatus se da al error en la escuela? 111

El valor de la educación y el papel de las tecnologías de la información y la comunicación

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1

INTRODUCCIÓN

La presente Antología se ha elaborado con la finalidad de apoyar a los profesores de

matemáticas de educación secundaria en el análisis de los nuevos programas de estudio

de esta asignatura.

Conscientes de que un reclamo legítimo de los profesores es la necesidad de

conocer los referentes teóricos en los que se sustenta la nueva propuesta curricular, se

han seleccionado 8 temas relevantes vinculados con el proceso de estudio de la

matemática, que giran en torno a la naturaleza y estructura de los nuevos programas;

éstos son:

1. Las finalidades y el perfil de egreso de la educación secundaria.

2. Por qué y para qué estudiar matemáticas en la educación secundaria.

3. La estructura de los nuevos programas. El caso de la proporcionalidad.

4. Planificar el trabajo para mejorar la práctica.

5. Evaluación del desempeño de los alumnos.

6. El desarrollo de competencias matemáticas.

7. El error como fuente de aprendizaje.

8. Estudiar matemáticas con apoyo de la tecnología.

Para reflexionar sobre cada uno de estos temas hay una o dos lecturas que

evidentemente no agotan el tema pero pueden ser el punto de partida para emprender

procesos de búsqueda más profundos y más amplios. Con esta intención, la mayor parte

de las lecturas ha sido tomada de libros que forman parte de la Biblioteca de Actualización

del Maestro.

Aunque esta Antología se vincula directamente con la Guía para el análisis del

programa de primer grado, por sí misma puede resultar útil para todos los profesores de

matemáticas de educación secundaria, puesto que, excepto el tercer tema, que se refiere

específicamente a un contenido de primer grado, los demás son aspectos comunes para

los tres grados.

El orden en el que aparecen las lecturas en la antología corresponde con el de las

sesiones de la Guía, a partir de la segunda sesión. Es muy importante que antes de

realizar las actividades que se plantean en cada sesión, se lea cuidadosamente el texto

correspondiente, a fin de tener más elementos que apoyen la reflexión.

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Los compiladores

ESTUDIAR MATEMÁTICAS1

PRÓLOGO

El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje

Este libro va dirigido a alumnos, padres y profesores. A todos a la vez. Esta situación tan poco habitual merece una explicación.

Este libro trata del estudio de las matemáticas. No se limita al análisis de la enseñanza de las matemáticas, que es tan sólo un medio para el estudio. Tampoco pretende disertar sabiamente sobre el aprendizaje, que aun siendo el objetivo del estudio, se puede convertir fácilmente en una entidad abstracta cuando ignoramos aquello que lo hace posible: el proceso de estudio o proceso didáctico.

El estudio es hoy el eslabón perdido entre una enseñanza que parece querer controlar todo el proceso didáctico y un aprendizaje cada vez más debilitado por la exigencia de que se produzca como una consecuencia inmediata, casi instantánea, de la enseñanza. Este libro pretende restituir el estudio al lugar que le corresponde: el corazón del proyecto educativo de nuestra sociedad. El lugar de circunscribir la educación a la interacción entre enseñanza y aprendizaje, proponemos considerarla de manera más amplia como un proyecto de estudio cuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesor dirige el estudio, el alumno estudia, los padres ayudan a sus hijos a estudiar y a dar sentido al esfuerzo que se les exige. Una vez restablecido este eslabón, se puede también restablecer la comunicación entre alumnos, padres y profesores, haciendo que el diálogo entre la sociedad y la escuela recobre su sentido primordial: la escuela lleva a las jóvenes generaciones a estudiar aquellas obras humanas que mejor les servirán para comprender la sociedad en la que se disponen a entrar.

Este libro trata del estudio de las matemáticas. La obra matemática tiene más de veinticinco siglos de antigüedad. La respetamos, la tenemos y nos resignamos a que nos confronten con ella durante este paréntesis de nuestra vida en el que, por las buenas o por las malas, vamos a la escuela. Pero, desgraciadamente, ya no comprendemos qué sentido tiene estudiarla. Las matemáticas, tan presentes en nuestra vida cotidiana por medio de los objetos técnicos, son empero, para muchos de nosotros, cada vez más invisibles y extrañas. Esta situación es malsana y la escuela, en nombre de la sociedad, debería remediarla. Pero para ello necesitamos comprender por qué hay matemáticas en la sociedad y por qué hay que estudiar matemáticas en la escuela.

Este libro pretende, pues, enseñar a “leer”: a leer la sociedad, la escuela, las matemáticas. La clave para esta lectura es, como ya hemos apuntado la noción de estudio; el instrumento para llevarla a cabo nos lo proporciona el análisis didáctico en el que querríamos iniciar al lector, sea éste profesor, padre o alumno.

El libro se divide en cuatro partes o unidades. Cada unidad consta de un episodio seguido de unos diálogos entre dos personajes con los que el lector se familiarizará muy pronto: el Estudiante y la Profesora. El estudiante consulta a la profesora para que le ayude a analizar fragmentos de unas transcripciones –los episodios- que le proporcionó

1 Yves Chevallard, et al., “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje”, Biblioteca del Normalista, primera edición SEP-Cooperación Española, España, 1998, pp. 13-47.

3

María Nuñez, una periodista cuya generosidad no podremos nunca dejar de agradecer. Los diálogos entre el Estudiante y la Profesora van seguidos de una breve síntesis y, más adelante, de unos comentarios y profundizaciones que resumen y completan dichos diálogos, dando a veces lugar a algunos desarrollos más especializados que presentados en los anexos.

Debido a que no se pude comprender una obra oyendo sólo hablar de ella, el lector podrá aventurarse en unos pequeños estudios matemáticos (PEM) que hallará al final de cada unidad. De esta manera podrá desarrollar una verdadera actividad matemática, necesaria para completar la lectura lineal, tranquila y reflexiva del texto. Una vez leído o, mejor dicho, estudiado el libro, el lector habrá entrado en contacto con las matemáticas y, a través de ellas, con algunas de las razones que fundamentan y organizan nuestra vida en sociedad. Son razones que la cotidianeidad nos lleva demasiado frecuentemente a ignorar y que, por ello mismo, cada uno de nosotros debería volver a considerar con cierta regularidad. Este libro es, pues, un libro “para volver a empezar”.

Los autoresBarcelona, Abril de 1996

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HACER Y ESTUDIAR MATEMÁTICASLAS MATEMÁTICAS EN LA SOCIEDAD

LA TIENDA DE MATEMÁTICAS

Nota de la periodista

Empiezo el reportaje visitando el dispositivo que más me llamó la atención al leer el folleto de presentación del instituto de educación secundaria “Juan de Mairena”: la Tienda de Matemáticas. Me atiende Eduardo, un profesor.

Periodista: ¿Desde cuándo existe la Tienda de Matemáticas?Eduardo: Pues, creo que desde la creación del Instituto. Aunque no lo sé muy bien,

llevo sólo tres años trabajando aquí.P. ¿Y para qué sirve?E. ¡Ah! Eso sí que lo sé: “La Tienda de Matemáticas pretende responder a las

necesidades matemáticas de…”P. “…del conjunto de miembros del Instituto y de su entorno”.

Ya lo he leído en el folleto. ¿Pero, cómo funciona en la práctica?E. Pues mira, supongamos que tienes que hacer algo y te surge un problema. Si se

trata de un problema esencialmente matemático, lo mejor es venir a la Tienda.P. Ya. Y entonces os planteo el problema, ¿no es eso?E. Exacto. Si quieres te puedo dar un ejemplo…P. Espera. A lo mejor te puedo proponer uno yo. Un ejemplo de verdad. El otro día

fui a comprar un tendedero de ropa. Uno de estos pequeños, de apartamento. Había dos modelos. Mira, he traído el catálogo… (Le enseño los dibujos de los tendederos.)

E . ¿Y bien?P. Al final me decidí por éste… (Le enseño el modelo A.) Me pareció más simple,

más clásico. Pero luego me quedé pensando que quizá el otro era mejor, que hubiera cabido más ropa. ¿Es esto una cuestión de matemáticas? Es decir, ¿es esto una cuestión para la Tienda de Matemáticas? ¿Qué te parece?

E. ¿Qué si es una cuestión de matemáticas? ¿El saber si uno es mejor que el otro? Pues, la verdad… no lo sé… Verás, es que yo no soy profesor de matemáticas.

P. ¿Ah no?E. No. Hoy sustituyo a una colega de matemáticas, Marta, que tenía reunión de

seminario. Yo soy profesor de lengua y me ocupo normalmente de la Tienda de Idiomas y Lingüística. Mi especialidad son los problemas de ortografía, tipografía, todo eso.

P. Ya veo. Entonces no puedo…E. ¡Mira! ¡Ahí viene Marta! (Marta entra precipitadamente.)Marta. ¡Perdona, llego tarde!E. No pasa nada. Ha venido la periodista…

5

Modelo A Modelo B

M. ¡Ah sí! Supongo que eres María Núñez, ¿no? Ya me dijeron que vendrías por aquí.

E. ¡Y nada más llegar, me plantea un problema! Pero bueno, os dejo. (Sale)M. Y bien, ¿cuál era el problema?P. Pues… Pensé que era una manera de entrar en materia…M. Como quieras, ¡la periodista eres tú! A ver, cuéntame… (Le cuento mi

“problema”.) ¿Uno mejor que el otro?... Por ejemplo porque permitiría tender más ropa ¿no?

P. Sí, algo así.M. Ya. En este caso, quizá… Supongo que basta con… Mira, de todas formas…

¡Me sabe tan mal no haber podido llegar antes! Te propongo lo siguiente: pasado mañana, el equipo de la Tienda se reúne para examinar los encargos de la semana. Puedes venir y hacer todas las preguntas que quieras. Seguramente podremos tratar tu encargo. ¿Qué te parece?

P. Muy bien. Así podré ver mejor cómo funciona todo esto. Vendré encantada.

Nota de la periodista

Dos días después, el Taller de Matemáticas se reúne en la “trastienda” para examinar los pedidos de la Tienda. Asisten Marta, otros dos profesores del centro, José y Luis, y yo misma. Luis dirige la sesión de trabajo.

Luis. Vamos a ver, ¿empezamos por José?José. Como queráis. Bueno Yo me he encargado del pedido de una profesora de

biología. Lo que te conté ayer, María.Periodista. ¿La de la tabla?J. La misma. Su problema era muy sencillo: quería saber cuántos elementos

diferentes se pueden poner en una tabla simétrica de orden n.Marta. ¿En una matriz simétrica?J. Sí. Y la respuesta es inmediata…Periodista. ¡Para mí no!J. Vale, vale… Pero debería serlo para alumnos de Bachillerato. ¡Por lo menos

teóricamente! (Risas.) La respuesta es: n (n + 1) /2.P. ¿Y eso qué quiere decir?Luis. Pues mira, si tienes una tabla de, por ejemplo, cuatro filas y cuatro columnas,

como mucho podrás poner 4 por 4 más 1 partido por dos, es decir, 4 por 5, 20, partido por 2, 10. O sea, tendrá como mucho 10 elementos distintos. Así… (Escribe en la pizarra que tiene detrás).

P. ¿Y los elementos que faltan? ¿Por ejemplo, debajo del 4?Marta. Ya están determinados. Porque la tabla tiene que ser simétrica.

Mira. (Se levanta y va a la pizarra).

6

4 1 3 7 2 9 6 0 5

3

4 1 3 7 1 2 9 6 9 0 5 5 3

P. ¡Ya veo! Como si la diagonal de en medio fuera un espejo ¿no?M. Sí. Se llama la diagonal principal. (Risas.) ¡Ten, complétala tú ahora! (Me tiende

la tiza. Risas.)P. Pero yo no soy matemática… (Voy a la pizarra y escribo con mucho cuidado.)

Todos. ¡Muy bien! (Risas.)P. ¿Y le habéis explicado todo esto a vuestra colega de biología?José. No, todo esto ya lo sabe… Sólo le di la fórmula general por teléfono, porque

era urgente. Para su clase del día siguiente.Luis. Muy bien. Cuestión zanjada. Y tú, Marta, ¿tenías algo?Marta. Pues sí, tenía el problema de María. Ya os lo conté ayer.L. Los tendederos. Vale. ¿Y bien? ¿Qué respuesta le das a nuestra “cliente”?M. ¡Ja! ¡Pues simplemente que tenía que haber comprado el otro modelo! (Risas.)Periodista. ¿O sea que con el otro hay más longitud de tendido?M. Exacto. Supongamos que hay un número n de cuadrados para uno y el doble 2n

de tiras para el otro. Entonces con el modelo B, el de los cuadrados, ganas cien dividido por n-1 por ciento de tendido.

P. ¿Y eso qué significa?José. Si tienes un tendedero con 10 tiras, el otro modelo, el que tiene cinco

cuadrados, te da 25% más de longitud.P. ¿Así hay siempre un 25% de más?Luis. No, depende.P. ¿Depende de qué?José. Del número de tiras o de cuadrados. De n. Si, por ejemplo, hay 3 cuadrados o

6 tiras, entonces n = 3 y ganas 100 dividido por 2, es decir un 50%.P. ¡Eso es muchísimo!Marta. Sí, pero cuantas más tiras tienes, menos ganas. Mira: con 18 tiras, es decir,

con n = 9 (cuadrados), tendrías… (Escribe en la pizarra.)

Sólo ganarías 12.5%.

José. Claro que si tuvieras nueve cuadrados, en el noveno cuadrado, el más pequeño, sólo podrías poner prendas pequeñas… ¡calcetines, sostenes y bragas como mucho!

(Marta parece molesta por el comentario de José.)Luis. Vaya, vaya. Así que María no ha hecho buena compra. (Risas.) Bueno… Pues

yo he tenido dos encargos. Por desgracia son un poco más complicados, pero no corren prisa.

Marta. ¿De qué se trata?

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4 1 3 7 1 2 9 6 3 9 0 5 7 6 5 3

L. Primero Amalia, la profesora de economía, quería saber si podríamos introducir en el currículo de matemáticas la noción de elasticidad. Le interesa porque en economía tiene que tratar el tema de la elasticidad de la demanda y cosas de este estilo.

José. Sí, lo hablamos anteayer en la reunión de seminario.L. Exacto. Bueno, pues habría que estudiar la cuestión. Desde un punto de vista

matemático.Periodista. ¿Es un encargo que viene del Seminario de Matemáticas? ¿De los

mismos profesores?L. Exacto. Son nuestros “clientes”… Hay que estudiar el tema. Deberíamos tenerlo

listo en mayo, para que en junio el Seminario pueda decidirse de cara al curso que viene. Amalia se ha ofrecido para trabajar con nosotros.

José. ¿Quién se va a ocupar del pedido?L. Francisco. Hoy no podía venir, pero ha aceptado. Así que lo haré yo con él y la

ayuda de Amalia. Intentaremos tener un primer informe para dentro de tres semanas, en la reunión mensual del Seminario de Matemáticas. ¡Espero que no nos falte tiempo!

Marta.- ¿Y el segundo encargo?L. ¡Ah! Éste parece bastante más difícil. Nos viene de Lucía. Es otra profesora de

matemáticas del Instituto.José. Está preparando el Curso Juan de Mairena de trigonometría.Periodista. Son precisamente los libros que hacéis aquí y que cubren todos los

cursos del Instituto, ¿no? He visto el de gramática de castellano.Marta. Eso mismo. El que teníamos de trigonometría ya estaba un poco anticuado.

Y lo estamos retocando. Lucía tiene horas libres para ello. Pero la estamos ayudando entre todos.

Luis. Vale. Pues, su problema es… Lucía ha consultado a los alumnos, para ver qué tipo de cuestiones proponían. Y le han hecho esta pregunta: con los ángulos más habituales, el seno y el coseno son siempre números enteros, fracciones, o fracciones con radicales. Por ejemplo… (Va a la pizarra mirándome, como si quisiera hacerse entender. Le sigo la corriente.) Por ejemplo, tenemos… (Escribe.)

El alumno le preguntó si esto era siempre cierto. ¿Veis el problema? ¿En qué casos

se escribe con fracciones y radicales?

Marta. Con fracciones y radicales… La pregunta no es muy precisa…L. Ahí está el problema. O, por lo menos, una parte del mismo.Periodista. ¿Y no sabéis la solución?L. Pues no… Por lo menos yo no. ¡Nunca había pensado en ello!P. ¿Y vuestra colega lo quiere introducir en el Curso?José.- Sí. ¿Por qué no? Si un alumno se lo ha preguntado… Bueno, dependerá de la

solución. Aunque también se puede dejar el problema sin respuesta. En fin, de todas formas, yo por ahora no sé por dónde atacarlo. (Marta y José se han quedado en silencio. Ellos tampoco lo deben saber.)

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DIÁLOGOS 1

Las matemáticas se aprenden y se enseñan pero también se crean y utilizan

Profesora. Así que querías hablar del episodio de la Tienda de Matemáticas…Estudiante. Sí, eso es.P. Me parece un buen tema para empezar.E. Usted participó en la creación del Instituto Juan de Mairena, ¿no?P. Sí. Además formaba parte de los que apoyaban la idea de poner en marcha las

Tiendas en el Instituto. Porque no sólo hay una Tienda de Matemáticas…E. Ya. También hay una de Idiomas y Lingüística.P. Por ejemplo.E. ¿Y a qué respondía la creación de las Tiendas? En principio, si lo he entendido

bien, en las Tiendas no hay enseñanza ni aprendizaje…P. Parece que lo has entendido bien.E. Pero entonces ¿para qué crear este tipo de … de institución, en un centro

docente?P. Antes de responder, permíteme una pregunta. Has acabado recientemente la

carrera de Matemáticas, ¿verdad?E. Sí.P. ¿Y me podrías decir por qué has estudiado esta carrera?E. Porque me gustan las matemáticas.P. ¡Estupendo! ¡No abundan los “amantes” de las matemáticas! Pero, en realidad,

cuando dices que te gustan las matemáticas, ¿quieres decir que te gusta aprender matemáticas?

E. Sí, pero no es lo único. También me gusta enseñarlas.P. Perfecto. Si lo he entendido bien, lo que has hecho con las matemáticas ha sido

aprenderlas para luego enseñarlas. ¿Ya estás trabajando?E. No, todavía no. Pero doy clases particulares.P. Ah, ya. Muy bien. Así que, según parece, las matemáticas son para ti algo que se

aprende y también algo que se enseña.E. Sí, claro.P. Pues bien, sustituye ahora “matemáticas” por “fontanería”. La fontanería es algo

que se aprende y se enseña.E. Sí.P. Pero supongo que te das cuenta de que esta afirmación es incompleta, que le

falta algo.E. …P. Socialmente. Falta algo.E. …P. Si la fontanería sólo fuera algo que se enseña y se aprende, ¿qué te parece que

ocurriría?E. Lo siento pero me parece que no la sigo… No veo lo que quiere decir.P. Te lo voy a decir claramente. Si la fontanería sólo fuera algo que se enseña y se

aprende… ¡no habría fontaneros!E. Quiere usted decir que… ¡ah, ya lo entiendo! Sólo habría alumnos de fontanería y

profesores de fontanería, pero no habría fontaneros. Sería algo así como un circuito cerrado.

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P. Eso es, exactamente. Si tuvieras una avería, no encontrarías a ningún fontanero. Habría gente que aprendería fontanería y gente que la enseñara, pero no habría nadie para arreglar los grifos de tu cuarto de baño. ¿Entiendes lo que quiero decir?

E. Creo que sí… Es verdad. Pero en nuestra sociedad no sólo hay profesores y alumnos de matemáticas. También hay matemáticos. Los matemáticos se corresponderían con los fontaneros, ¿no?

P. Sí. En cierto sentido sí.E. Entonces lo que quiere usted decir es que yo no soy matemático.P. No, no es exactamente eso. Normalmente sólo se considera matemáticos a los

que investigan en matemáticas, a los que crean matemáticas nuevas. Pero no es esa la cuestión. Consideremos las matemáticas que has aprendido. Porque has aprendido muchas matemáticas…

E. ¿Muchas? No sé, algo…P. Lo bastante como para que, con las matemáticas que has aprendido, puedas

resolver muchos de los problemas matemáticos que tienen los que no son matemáticos.E. ¿Como la profesora de biología, la de la tabla simétrica?P. Exactamente. Es un buen ejemplo. Porque seguro que tú puedes resolverle el

problema a partir de las matemáticas que has aprendido, ¿no?E. Sí, sí, claro.P. Bueno, a lo que íbamos… ¿Has tenido alguna vez que resolver un problema de

matemáticas para alguien de tu entorno? Me refiero a un problema que no haya propuesto un profesor de matemáticas, ni que haya sido pensado para aprender matemáticas o comprobar que se han aprendido correctamente. Como el caso de la tabla simétrica de la profesora de biología, por ejemplo.

E. Pero en ese caso, ¡no habría aprendido nada al resolver el problema de la tabla!P. ¡Eso es lo que te decía! Sólo se te ocurre hacer matemáticas con el objetivo de

aprender matemáticas. Y mañana, cuando seas profesor, sólo se te ocurrirá hacer matemáticas para enseñarlas, para que tus alumnos las aprendan.

E. ¿Y no le parece suficiente?P. Para responderte, volveremos al principio, a lo de la fontanería. Imagina que

estamos en una sociedad como la que hemos descrito antes, en la que sólo hay profesores y alumnos de fontanería, pero sin fontaneros. Supón además que alguien necesita un fontanero y recurre a un “estudiante avanzado” de fontanería. ¿Me sigues?

E. Sí.P. Pues bien, supón ahora que este estudiante de fontanería se comportara como tú

respecto de las matemáticas: examina el “problema” de fontanería y se percata de que es un problema muy simple, con el que no aprenderá nada que no sepa ya. Entonces, de una manera u otra, se negará a intervenir…

E. ¡Creo que exagera un poco, Profesora! En el fondo, está usted diciendo que, para mí las matemáticas sólo existen en la medida en que tengo que aprenderlas o enseñarlas. Y, además, lo que usted se imagina no es verdad. Si alguien me pidiera que le explicara alguna cuestión de matemáticas, no me negaría a hacerlo. ¡Con la condición, claro, de que yo mismo supiera hacerlo!

P. Lo que acabas de decir muestra que aún no me entiendes bien. No se trata de explicar, no se trata de hacer de profesor. Se trata de resolver un problema y de comunicar la solución a la persona que lo necesita. Por ejemplo, no se trata de ayudar a la profesora de biología a encontrar la fórmula n(n+1)/2. Se trata sólo de comunicársela y, si es necesario, de decirle cómo utilizarla.

E. ¿Pero no sería mejor, para ella, que aprendiera a establecer la fórmula por sí misma?

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P. Si estuviera aprendiendo matemáticas, quizá sí, pero aquí lo que ella necesita es una fórmula. Es eso lo que pide. Y tú te comportas como un fontanero que, en lugar de arreglar el grifo de tu casa, se empeña en enseñarte cómo hacerlo tú solo. De hecho, padeces una enfermedad muy común entre la gente que no ha salido de la escuela…

E. ¿Qué enfermedad?P. La enfermedad didáctica. Consiste en reducirlo todo al aprender y al enseñar,

olvidando que los conocimientos también sirven para actuar. En la sociedad, enseñar y aprender son sólo medios para que cierto número de personas adquieran los conocimientos necesarios para realizar ciertas actividades. La enfermedad didáctica consiste en creer que toda la sociedad es una escuela. Lo siento, pero todo el mundo no puede saberlo todo, cada uno de nosotros sólo puede dominar un pequeño número de conocimientos.

E. Pues si es así, ¿por qué se obliga a los alumnos a aprender matemáticas?P. ¡Ah! ¡Esperaba esta pregunta! Aunque seguro que no la acabas de plantear

porque te interese la respuesta, sino sólo para tener un argumento a tu favor. Por eso prefiero que volvamos a lo que preguntaba al principio de todo, y que todavía no has contestado: ¿has tenido ya la ocasión de resolver un problema de matemáticas porque te lo encargaba o pedía alguien?

E. Ahora mismo no lo recuerdo. Pero, a pesar de lo que usted pretende, si se presentara la ocasión seguro que lo haría gustoso. De todas formas, no creo que nunca nadie me lo haya pedido.

P. Pues mira, si alguna vez trabajas en el Instituto Juan de Mairena, tendrás la ocasión de hacerlo cuando te toque atender la Tienda de Matemáticas. Pero seguiremos hablando de todo ello el próximo día, porque hoy ya se nos ha hecho tarde.

E. Muy bien, Muchas gracias, Profesora.

¿Qué significa “ser matemático?

E. Buenos días Profesora.P. Buenos días. ¿Cómo va todo?E. Bien, gracias. Pero…P. ¿Sí?E. Le he estado dando vueltas a lo de la enfermedad didáctica.P. ¿Y bien?E. Pues… me ha dejado un poco perplejo. Y, además, ha ocurrido algo… Al volver a

casa, el otro día… ¡Es realmente increíble! Me llamó mi prima por teléfono… ¡Y resulta que me quería consultar sobre un problema de matemáticas!

P. ¿Ah sí? ¿A qué se dedica tu prima?E. Es correctora y trabaja para una editorial, pero no está contratada. Le mandan

libros y otros textos a casa para que los corrija. Su problema es que tenía que hacer una factura de un trabajo que había realizado y quería cobrar por ello 45.000 ptas.

P. Y supongo que quería saber qué cantidad poner en la factura para que, al restar el I.R.P.F., le quedaran 45.000 ptas., ¿no?

E. No, no exactamente…P. ¿Ah no? ¿Entonces qué quería?E. Pues verá, alguien le había dicho que bastaba con dividir entre 0,85.P. ¿Y bien?E. A ella no le convencía demasiado, no entendía por qué. Quería que se lo

explicara, que le dijera por qué había que dividir entre 0,85.

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P. Ya. O, mejor dicho, quería que le aseguraras que era eso lo que tenía que hacer. Quería estar segura para no tener sorpresas más tarde, para que no le pagaran menos. ¿Es eso?

E. Sí, más o menos. De todas formas, se lo he explicado: para tener 45.000, hay que pedir x, tal que x menos el 15% de x dé 45.000. Lo hemos escrito…

P. ¿Pero no hablabais por teléfono?E. Sí, le he dicho que lo escribiera en un papel. Y enseguida ha visto que se trataba

de una ecuación de primer grado: x - 0,15 x = 45.000. ¡Y la ha resuelto ella sola!P. ¡Muy bien! ¿Qué estudios tiene tu prima?E. Es licenciada en filología. De letras, vaya.P. Luego, como ves ¡no ha olvidado todo lo que aprendió en secundaria!E. Precisamente. ¡Lo hubiera podido comprobar sola! Incluso lo del 0,85…P. Hubiera podido, pero no pudo. Necesitaba ayuda. Necesitaba la ayuda de un

matemático. Tú también habrás arreglado alguna vez un grifo de tu casa. Pero en algunos casos tienes que recurrir a un fontanero.

E. …P. Y, al mismo tiempo, para que tengas que recurrir a un fontanero, debe haber un

mínimo de dificultad, ¿no? O, por lo menos, tiene que ser importante que el trabajo se realice bien, que no sea una “chapuza”. Como en el caso de tu prima: tenía la solución -bastaba con dividir entre 0,85-, ¡pero era importante que no hubiera ningún error!

E. Sí, ya veo. Para mí no era un problema difícil…P. ¡Y, sin embargo, aceptaste resolverlo!E. Sí, sí, claro. Para mí no era difícil, pero para ella era muy importante.P. Exacto. Hoy has aprendido algo más sobre cómo funciona la sociedad. Te

felicito.E. Gracias. Pero ese día mi prima necesitaba a un matemático, y usted insinuó la

última vez que yo no era un matemático.P. ¡No! ¡Yo nunca he dicho eso! Tienes que prestar más atención a lo que decimos.

¡El trabajo que realizamos necesita un poco de rigor!E. Lo siento, lo siento… ¿Me podría entonces precisar lo que entiende por

matemático? Es lo que no llego a ver con claridad.P. Pues mira, hemos hablado de los matemáticos que investigan en matemáticas.E. Sí.P. Éste es un sentido un tanto restrictivo de la palabra “matemático”. Te voy a

proponer otra definición. Cuando alguien consulta a otro sobre una cuestión de matemáticas… Digamos, cuando a una persona A, una persona B le consulta sobre algo de matemáticas, cuando B otorga su confianza a A sobre la validez de la respuesta, cuando A acepta el encargo de B y se compromete -no necesariamente de manera explícita- a garantizar la validez de su respuesta, entonces A es un matemático o una matemática. Mejor dicho, A es un matemático para B.

E. O sea que, según su definición, ser matemático no es una propiedad sino una relación entre dos personas, ¿no?

P. Exacto.E. Entonces, por ejemplo, cuando A es uno de los profesores de matemáticas de la

Tienda que contesta a la profesora de biología, que es B, este profesor de matemáticas, José, es un matemático para B, la profesora de biología.

P. Exacto. Y cuando tú, A, contestas a tu prima…E. Soy un matemático para ella. Pero un matemático que investiga en matemáticas

sabe muchas más matemáticas que yo. E incluso que José. ¡Con su definición todo el mundo puede ser matemático!

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P. Si quieres, sí. Pero una persona dada sólo será matemática para ciertas otras personas. Un investigador en matemáticas quizá no considere que tú eres un matemático.

E. Quieres decir… ¿La puedo tutear, Profesora?P. ¡Por supuesto!E. Quiere usted decir… ¡Perdón! Quieres decir que me va a mirar con un poco de

desprecio, ¿no?P. No. Y si lo hiciera, sería simplemente porque entiende mal cómo funciona la

sociedad. Tu prima no tiene por qué consultar a un matemático especialista para resolver su problema. Además de ser socialmente muy caro, sería sacar las cosas de quicio, como esas personas que van a ver a un médico especialista cuando tienen un simple resfriado.

E. Sí, ya lo veo.P. Espera. Aún hay dos cuestiones por clarificar. Para empezar, decías que un

investigador en matemáticas sabe más matemáticas que tú y que José. Es sin duda cierto, por lo menos es lo que suponemos. Pero, aunque sepa muchas matemáticas, no lo sabe todo. Ni él, ni el conjunto de los investigadores en matemáticas de todo el mundo. Y si alguien le consultara sobre una cuestión que él no conociera, no habría ninguna diferencia entre consultárselo a él y consultárselo a José o a ti. ¡La persona que consulta se quedaría igualmente sin solución al problema!

E.- Sí. Dicho de otro modo, ser matemático es relativo. Uno podrá ser matemático para ciertas personas y no para otras.

P. Eso mismo. Y la ley vale también para los matemáticos investigadores. Pero dejemos aquí este tema. Ahora hay otra cuestión que quería examinar: la de cómo se expresaría el hecho de que el investigador en matemáticas del que hablabas no te considerara como un matemático. La respuesta es simple: no se dirigiría a ti para pedirte que le resolvieras una cuestión de matemáticas que él mismo no sabe resolver. En otras palabras, no te haría nunca desempeñar el papel de matemático para él. No se establecería, entre él y tú, esta interacción social particular de “ser matemático para alguien”. Pero no hay razón alguna para que te mire con desprecio.

E. ¿Entonces por qué has dicho antes “quizá”?P. …E. Sí, has dicho: “…quizá no considere que tú eres un matemático”. ¿Por qué

“quizá”?P. Ah, ya veo lo que me preguntas. A lo mejor la frase está mal formulada. Lo que

quería decir es que, en algunos casos, sí te podría solicitar como matemático. Si, por ejemplo, te pusieras a investigar en matemáticas y te pusieras a trabajar con él, te convirtieras en su colaborador, en este momento, podría ser que te pidiera hacer algún trabajo matemático…

E. ¿Que él mismo no supiera hacer?P. No, te pediría que lo hicieras en su lugar. Pero no como alumno, sino como una

especie de “ayudante de matemáticas”. Te pediría que le aseguraras la validez de las respuestas que le dieses, que te responsabilizaras de tus soluciones.

E. Sería un poco como si, cuando se me estropea un grifo, aunque yo mismo lo sepa arreglar, llamara igualmente al fontanero, por ejemplo porque tendría otras cosas que hacer, porque no tengo tiempo. ¿No es eso?

P. Sí, algo así. Salvo que en este caso no dirías que el fontanero es tu ayudante.E. Vale, vale. Pero tengo otra pregunta. Cuando José responde a la profesora de

biología, hace de matemático para ella. P. Sí.E. Y cuando José está en clase con sus alumnos, ¿también es un matemático?

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P. ¡Buena pregunta! A lo mejor la podrías contestar tú solo. Piénsatelo un poco… ¿En qué circunstancias el profesor aparece claramente como un matemático –en el sentido que hemos dicho–- para sus alumnos?

E. No lo sé… ¿Cuando corrige un problema, por ejemplo?P. En ese caso, los alumnos esperan que la solución que les da el profesor sea

correcta, ¿no?E. Sí, claro.P. Luego sus alumnos lo consideran como un matemático.E. Pero en este caso, ¿podemos decir que los alumnos necesitan la solución que el

profesor les da y cuya validez les garantiza, del mismo modo que mi prima necesitaba que le garantizara la respuesta a su pregunta?

P. ¡Veo que empiezas a entenderlo!E. Gracias…P. Así, en tu opinión, ¿la necesitan o no?E. Si el profesor les diera una solución falsa… ¡Ellos necesitan la respuesta correcta

para aprender! Si el profesor les diera una solución falsa, molestaría mucho a los alumnos. Algunas veces ocurre.

P. Es verdad. En cuyo caso el profesor no resultaría ser un buen matemático para sus alumnos. Acabas de dar en el clavo: los alumnos necesitan soluciones correctas porque para ellos son instrumentos para aprender. Tienen una necesidad matemática de origen didáctico…

E. Perdona que te interrumpa. Pero de ahí deduzco que los profesores de matemáticas son matemáticos para sus alumnos.

P. Sí, en efecto.E. Pues, entonces tengo otra pregunta. Los alumnos de una clase de matemáticas,

¿también son matemáticos en el sentido que hemos dicho?P. ¡Muy buena pregunta! Pero también la puedes contestar tú solo.E. Sí. Pienso en algo… Si a un alumno, pongamos de 1º de ESO, le pide su

hermano pequeño que está en primaria que le compruebe unas operaciones que tenía que hacer, entonces este alumno hace de matemático para su hermano pequeño.

P. Estamos de acuerdo. ¿Y?E. Y ocurrirá lo mismo con otro alumno de su clase. Aunque quizá sea menos

frecuente.P. Sí. Pero te advierto que la pregunta que planteabas era: ¿puede un alumno de

una clase de matemáticas ser un matemático en cuanto alumno de esta clase? Y en los ejemplos que acabas de dar, no lo consideras como alumno de tal o cual clase. ¿Entonces?

E.- Quieres decir si el alumno puede hacer de matemático para sus compañeros o incluso para el profesor. ¿Es eso?

P. Sí, eso mismo. ¿Y bien?E. Pues, para el profesor, supongo que el alumno no es un matemático. Es a lo

sumo un aprendiz de matemáticas, pero ni siquiera un ayudante de matemáticas.P. ¿Y respecto de sus compañeros?E. Esto ya lo hemos visto. Puede ocurrir que tenga que hacer de matemático para

alguno de sus compañeros de clase. Pero esta situación no se da todos los días.P. Bueno. Pues ahora soy yo la que te voy a hacer una pregunta. Si los alumnos

nunca hacen de matemáticos respecto al profesor ni, de manera oficial, respecto de los demás alumnos, ¿qué va a ocurrir? ¿Ves lo que pasa?

E. …P. Decimos que si A es un matemático para B, A se responsabiliza de la validez de

las respuestas que da a las preguntas de matemáticas que le plantea B.

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E. Sí.P. ¿Luego…?E. ¡Ah ya! Quieres decir que si el alumno nunca hace de matemático para el

profesor, entonces nunca se responsabiliza de la validez de las respuestas que da.P. ¿Luego?E. Luego, concretamente, el alumno resuelve problemas que le plantea el profesor,

pero no se responsabiliza de la validez de su respuesta. Esperará que el profesor le diga si está bien o mal. Es lo normal, dado que el profesor no lo considera como un matemático.

P. ¡Veo que empiezas a razonar! Y acabas de poner el dedo en uno de los problemas didácticos más difíciles. ¿Qué hacer para que el alumno sea a la vez alumno y matemático? Es decir, para que reconozca al profesor como matemático, pero también asuma hacer él mismo de matemático, y responsabilizarse de las respuestas que da a las cuestiones que se le plantean.

E. Sí, ya veo. Por ejemplo, el profesor podría pedir a los alumnos que, de vez en cuando, fueran ayudantes de matemáticas, dándoles pequeños trabajos útiles o necesarios para la vida matemática de la clase. Por ejemplo, el profesor podría pedir a equipos de alumnos que redactaran las correcciones de los ejercicios que se hacen en clase, para repartir después estas correcciones entre los demás alumnos.

P. Lo que dices no es ninguna tontería. Pero el problema didáctico del que te hablaba es mucho más complicado que todo esto. Y Prefiero que lo dejemos aquí por hoy.

E. ¡Espera! Te quería hacer otra pregunta antes de acabar.P. Bueno, pero será la última.E. Es respecto a la tienda. Has dicho que habías apoyado la idea de la creación de

Tiendas en el Instituto Juan de Mairena.P. Sí.E. He pensado que era porque querías que los profesores de matemáticas se

acordaran constantemente de que también son matemáticos -en el sentido que has dado antes-.

P. Sí.E. Pero justamente ahora hemos visto que un profesor de matemáticas es

necesariamente un matemático para sus alumnos. Si se le considera profesor de matemáticas, y se acepta serlo, entonces quiere decir que debe garantizar la validez de lo que dice en materia de matemáticas. Por lo tanto, es un matemático. Todo profesor de matemáticas es matemático para aquellos que lo ven como un profesor de matemáticas y frente a quienes él se considera profesor de matemáticas.

P. Es un buen razonamiento. Sigue.E. Sí, Pero entonces, ¿por qué quieres que también sea matemático para otros que

no son sus alumnos? Quiero decir en la Tienda de Matemáticas. ¡Ésta es la pregunta!P. Muy bien. ¡Es una bonita pregunta! Para contestarla, voy a añadir una

observación a tu pequeño razonamiento. Un profesor de matemáticas es un matemático. Pero un matemático no es necesariamente profesor de matemáticas. Por ejemplo, cuando José responde al “pedido” de su colega de biología, hace de matemático para ella, pero no es su profesor de matemáticas.

E. Sí, de acuerdo.P. Y ahí, ves, volvemos a encontrar la enfermedad didáctica. Un profesor de

matemáticas es, ciertamente, un matemático. Pero lo puede olvidar fácilmente si sólo hace de matemático para sus alumnos. Si sólo es matemático por razones didácticas. O, por decirlo de manera más técnica, si sólo es matemático para satisfacer necesidades

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matemáticas de origen didáctico. Porque se olvida entonces que hay necesidades matemáticas que no son de origen didáctico.

E. Como lo de mi prima, por ejemplo.P. Exacto. La Tienda está ahí para recordarles que pueden ser matemáticos para

otros, además de para sus alumnos. Para recordarles que hay necesidades matemáticas que no tienen nada que ver con el aprender y el enseñar matemáticas… Y, finalmente, porque estas necesidades matemáticas… ¡bien hay que satisfacerlas! Eso es todo. ¿Te parece suficiente?

E. Sí.P. Pues lo dejaremos aquí por hoy.E. Como quieras. Gracias.

¿Por qué hay que estudiar matemáticas?

P. Y bien, ¿cómo estás esta semana?E. Muy bien, gracias. Pero te ruego me disculpes por lo de la última vez. Esperaba a

un amigo para que me arreglara el ordenador…P. Sí, sí. No te preocupes. Mejor no nos demoremos y retomemos el trabajoE. Sí. Además he escuchado la grabación de nuestra última sesión de trabajo y me

han quedado algunas dudas. ¿Qué te parece si empezamos por ellas?P. Adelante.E. Bueno… Hasta aquí hemos dicho que las matemáticas no existen sólo para que

la gente las aprenda y las enseñe. Es algo que sirve para resolver ciertas cuestiones. Cuando uno se plantea un problema de matemáticas, puede ir a consultar a un “matemático” –en el sentido que tú propones–. Estoy de acuerdo. El olvidar que las matemáticas sirven sobre todo para resolver problemas, eso es la enfermedad didáctica. Muy bien.

P. Sí. Aprender y enseñar son medios al servicio de un fin.E. Eso mismo.P. Pues, adelante con tu pregunta.E. Mira. Si, al encontrarnos con una cuestión de matemáticas, podemos en todo

momento hallar en nuestro entorno a un “matemático” para que nos la resuelva, ¿por qué se obliga a todos los alumnos a aprender matemáticas en la escuela? Ésta es mi primera pregunta.

P. Ya. Déjame decirte que tu pregunta es muy ingenua, aunque no por ello deja de ser una buena pregunta.

E. ¿Por qué muy ingenua?P. Pues, porque olvidas a la mitad del mundo.E. No te entiendo…P. No me entiendes. Bueno. Pues escúchame bien. Cuando eras pequeño, supongo

que algunas veces te caías, te hacías daño o te salía un grano en la nariz. ¿Y qué hacías en estos casos? Ibas a ver a tu padre o a tu madre, o quizá a tu prima, para que te curaran la herida. Y, por ejemplo, tu madre te decía: “No es nada…” Y te ponía un poco de mercromina.

E. ¡Sí, no me gustaba nada la mercromina!P. Bueno, a ver, ¿cómo interpretarías tú la interacción social entre tú y tu madre, en

este caso?E. Ya veo por donde van los tiros. Quieres decir que en este caso yo era B, mi

madre era A y B hacía que A desempeñara el papel de médico para B.P. Exacto. Ahora bien, ¿es acaso tu madre un médico en el sentido habitual, legal,

de la palabra?

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E. No.P. Y sin embargo hacía de médico para ti. En tanto que madre le era muy difícil

negarse a cuidarte alegando que no era médico. No le quedaba más remedio. Tú le imponías –sin saberlo– una responsabilidad “médica”. De manera limitada, pero real.

E. Sí, pero también me hubiera podido llevar al médico, a uno de verdad.P. Tal vez. Pero en este tipo de casos, de hecho, no lo hacía. Asumía su papel de

médico. ¡Imagina además lo que pasaría si acudiéramos al médico cada vez que tenemos una heridita! Por cierto, estoy casi segura de que, en lo que va de mes, habrás hecho de médico para alguien, ¿no es cierto?

E. No lo sé… ¡Sí, es verdad! La semana pasada uno de mis compañeros se resfrió y, como vi que no se cuidaba, le di una medicina que me quedaba de un resfriado que había tenido dos semanas antes.

P. Y en este caso, además, no fue él quien te pidió que hicieras de médico para él.E. Es verdad, fue espontáneo.P. Otra cosa. La semana pasada no nos pudimos encontrar porque tu amigo vino a

arreglarte el ordenador a la hora a la que habíamos quedado.E. Sí, la verdad es que lo siento mucho, Profesora.P. Tranquilo, no pasa nada. ¿Tu amigo es informático?E. ¡No, qué va! Es músico.P. Y cuando tienes un problema con el ordenador, ¿siempre recurres a él?E. Sí, sabe mucho de máquinas…P. Así, ¿es tu informático?E. Sí. Y es verdad que si él no supiera solucionarme los problemas tendría que

recurrir a un informático de verdad.P. No estoy muy segura. Porque un informático de verdad, hoy en día, no se sabe

muy bien lo que es –en el sentido en el que hablábamos de un médico de verdad, claro. La situación no es tan clara, los papeles que asume cada uno son mucho más flexibles en este campo. Pero no importa. Lo que también puede ocurrir es que algún día tú tengas que hacer de informático para alguien de tu entorno.

E. Es verdad, ya me ha ocurrido. Pero si te entiendo bien, lo que quieres decir es lo siguiente: nos puede ocurrir, a cada uno de nosotros, que tengamos que hacer de informático, de médico o de matemático para otra persona. ¿Es eso?

P. ¡Exactamente! Y ahora podemos volver a tu pregunta. No sólo se aprenden matemáticas para hacer de matemático de uno mismo. Porque es verdad que uno siempre encontrará a alguien más o menos cercano que le pueda resolver sus problemas. A menos, claro, que nos planteemos cuestiones muy difíciles. Pero entonces es como con una enfermedad grave: hay que ir a ver a un especialista. No. En realidad, hay una buena razón para aprender matemáticas porque, en la vida social, uno se puede ver conducido, e incluso obligado, a hacer de matemático para alguien. Lo saben muy bien los padres que no han ido a la escuela y que, cuando sus hijos son pequeños, se ven obligados a hacer de matemáticos, de gramáticos, de historiadores, etc., para ellos. Es a veces doloroso que, por falta de instrucción, no podamos ser lo que los demás -a veces aquellos que nos importan más- esperan que seamos. Porque nos da la impresión de que no tenemos valor social, o familiar. Somos una madre, un padre o un amigo del que casi no se puede esperar nada.

E. ¡Tengo algo que objetar, Profesora!P. Dime…E. Pues bien, en primer lugar, este “valor social” del que hablas no se desprende

sólo de lo que se aprende en la Escuela. Mi abuela no fue nunca a la escuela y, para mí, sabía muchas cosas en muchos ámbitos…

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P. Sí. Y viceversa. Uno puede estar muy instruido y no tener ningún valor social, por ejemplo porque la instrucción que ha recibido no se deja ver en interacciones sociales, no le permite hacer de matemático, de médico, de consejero fiscal o de lo que sea. Fíjate que es hacia ahí exactamente que nos encaminamos cuando, como parecías considerar, uno aprende matemáticas, biología o lo que sea sólo para uno mismo, creyendo que el estudio se justifica sólo por el hecho de sernos útiles a nosotros en primera persona.

E. Quieres decir que es una concepción de las cosas muy egoísta.P. O, digamos, individualista. Pero dejemos de lado la moral. Es una visión de las

cosas que no se corresponde con los hechos, con la manera que tenemos de vivir concretamente en sociedad, con la familia, los vecinos, los amigos, etc.

E. Sí, es verdad. Pero entonces tengo otra objeción. Has dicho que, en la práctica, nos vemos todos conducidos, un día u otro, a hacer de médicos o de matemáticos para alguien. Y ello porque uno no va a consultar a un médico o a un profesor de matemáticas cada vez que tiene una heridita o que tiene una pequeña dificultad de tipo matemático.

P. Sí.E. Pero podemos llevar este razonamiento al extremo. En algunos casos, no

molestaremos a nadie, ni siquiera en nuestro entorno más próximo. Seremos nuestro propio médico o matemático. Así pues, no es sólo para los otros que aprendemos; es primero para uno mismo.

P. Veo que piensas. Y además piensas bien.E. ¡Gracias, Profesora!P. Tienes toda la razón. Pero como ves, es siempre la misma razón. No hay un yo,

por un lado, y los demás por el otro lado. Hay lo que puedo hacer por mí misma, sin molestar a nadie, y aquello para lo que necesito recurrir a alguien de mi entorno. Y después hay lo que me obliga a buscar la ayuda de alguien más alejado, un médico, un fontanero, un profesor, etcétera. Además, fíjate que, para poder hacer esto, se tiene que cumplir una condición: que cada uno tenga una instrucción suficiente como para saber en qué ámbito situar las dificultades que le van surgiendo, para saber si puede resolverlas por sí mismo o si es más razonable pedir la ayuda del prójimo, o aun si esta ayuda va a ser suficiente o no. Es necesario un mínimo de instrucción en cada ámbito, una instrucción básica.

E. ¡Pues, entonces, todavía tengo otra objeción!P. Adelante.E. Mira, si consideramos todas las dificultades que uno puede encontrar en la vida

o sobre las cuales puede ser consultado… por ejemplo, hace unos días un amigo mío tuvo un conflicto con la propietaria de su piso, y me pidió consejo.

P. Quería que le hicieras de “asesor jurídico”.E. Eso es. Pero esto, precisamente, no forma parte de lo que se enseña en la

Escuela. Para tener un verdadero valor social, como tú decías, también tendríamos que instruirnos en este ámbito. ¡Y en muchos otros!

P. Sí, sí, es verdad. Y aquí volvemos al caso de tu abuela. Para vivir bien y ayudar a los demás a vivir bien, hay que adquirir todo tipo de competencias. La instrucción “formal”, la de la Escuela, nos proporciona un mínimo, o mejor una base, un fundamento. Muchas veces, el resto de competencias que adquirimos es el fruto de una instrucción “informal”, dada por diferentes circunstancias de la vida.

E. ¿Me puedes dar un ejemplo?P. Sí. Volvamos a las matemáticas y a la Tienda de matemáticas, porque eso es lo

que estudiamos, ¿no?E. Sí, sí.P. Vale. Los profesores de matemáticas, Marta, José y Luis, han recibido una

instrucción “formal” en matemáticas. El episodio al que hacemos referencia ocurrió hace

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algunos años. Sabes que durante la reunión evocaron una cuestión que les planteó una colega de matemáticas…

E. Sí, la que quería saber en qué casos cos (r π), donde r es un número racional, puede escribirse con una superposición de radicales. He pensado en la cuestión y no veo por dónde cogerla.

P. Pues, precisamente, a esta hora, supongo que ellos sí deben saber cómo contestar, aunque su respuesta sea incompleta. La respuesta no la han aprendido durante sus estudios de matemáticas, ni en el instituto ni en la universidad, sino a raíz de su trabajo en la Tienda de Matemáticas. ¿Entiendes lo que quiero decir?

E. Sí. Pero esto representa muy poco en comparación con lo que han aprendido durante sus estudios “formales”.

P. No te engañes. En realidad, cuanto más envejecemos, más conocimientos tenemos como fruto de una instrucción informal, adquiridos en situaciones en las que no había un profesor para enseñarnos. Por ejemplo, lo que sabe un investigador de un área dada es en gran parte el resultado de una instrucción informal adquirida durante las investigaciones en las que ha participado, ya sea como director, como colaborador o como ayudante. Y esto es tanto más verdad cuanto más viejo se es. ¡Dímelo a mí!

E. Tampoco eres tan vieja…P. ¡Míralo él, qué simpático de repente! Gracias, pero ahora tenemos que dejarlo.

Nos veremos la semana que viene, tal como habíamos quedado.E. Sí, gracias. Hasta la próxima.

La didáctica de las matemáticas, ciencia del estudio

E. Buenos días, Profesora.P. Buenos días. Supongo que debes tener aún alguna pregunta, ¿no?E. Sí, claro. La última vez tomaste el ejemplo del coseno…P. Sí.E. Y he vuelto a pensar en lo de la enfermedad didáctica. Has dicho que la Tienda

permitía a los profesores recordar que son matemáticos, y no sólo para sus alumnos.P. Sí, les recuerda que las matemáticas no son sólo algo que se aprende y que se

enseña.E. Eso es. Pero entonces, con lo de los cosenos, los profesores tendrán que

aprender cosas nuevas, puesto que en un principio no saben contestar a la pregunta.P. Claro.E. ¡Y entonces vuelven a caer en la enfermedad didáctica!P. ¡Espera, espera! No hay que ir tan rápido. No todo es enfermedad didáctica.

Estos profesores tienen que aprender cosas, pero no para enseñarlas más tarde. Lo que quieren es poder resolver una cuestión que alguien les ha planteado. Si te acuerdas, se trataba de colaborar en la actualización del Curso de Trigonometría del Instituto.

E. Eso es.P. Aprender, en este caso, es para estos profesores un medio al servicio de un fin

que no es enseñar lo que habrán aprendido sino responder a una cuestión que se les ha planteado. En muchos casos, para responder a las cuestiones planteadas, no tendrán que aprender nada; lo tendrán que hacer, y punto.

E. Por ejemplo, en el caso de la tabla simétrica de la profesora de biología.P. Eso mismo. Pero aquí quisiera introducir otra consideración. E. ¿Sí?P. Para aprender la información necesaria para contestar a la cuestión del coseno,

los profesores no reciben ninguna enseñanza. Creo que eso es lo que pasó. La

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enfermedad didáctica también consiste en creer que, para que alguien aprenda algo, tiene que seguir un curso, o recibir clases sobre ese algo.

E. ¿Entonces quieres decir que la enseñanza no es imprescindible?P. ¡Claro que no! Volviendo a donde estaba. Estos profesores tienen que estudiar

una cuestión. Ésa es la palabra clave: “estudiar”. Para aprender lo que quieren saber, van a estudiar. Para estudiar, podrán tomar clases o seguir un curso sobre el tema en cuestión. Pero muchas veces no podrán contar con esta ayuda. Eso es lo que ocurre con lo que he llamado la “instrucción informal”. Nos tenemos que instruir, pero sin profesor, sin enseñanza.

E. Entonces, ¿cuál es el papel de la enseñanza?P. Es una ayuda. Es una ayuda útil, potente. Eso es justamente lo que uno

descubre cuando tiene que estudiar sin profesor. Es como si ahora tú quisieras instruirte sobre la cuestión del coseno. Eso es lo que quería decir, y nada más.

E. - Si me permites, Profesora, voy a intentar resumir lo dicho hasta aquí…P. Muy bien, adelante.E. En ciertos casos, para poder actuar, hay que aprender. Para aprender,

estudiamos. Un medio para estudiar es seguir un curso o tomar clases. Pero muchas veces, cuando uno ya no está en la escuela, tiene que estudiar de otra forma, porque no encuentra una enseñanza “hecha a medida”.

P. Eso mismo. Y añadiré algo más: incluso cuando existe una enseñanza “hecha a medida”, como tú dices, estudiar no se reduce al mero hecho de asistir a clase. Pero supongo que este tema lo volveremos a tratar más adelante.

E. Sí, de acuerdo. Pero ahora tengo otra pregunta, siempre sobre la enfermedad didáctica.

P. Te escucho.E. Cuando trabajan en la Tienda, José, Luis o Marta hacen de matemáticos, pero no

de profesores de matemáticas. Éste era precisamente uno de los objetivos de la creación de una Tienda de Matemáticas en el Instituto.

P. - Sí.E. Pues entonces, en algunos casos -no en todos, claro, pero sí en algunos-,

tendrán que aprender cosas que no sabían de entrada. No enseñar, pero sí aprender. Y ya volvemos a lo didáctico. Si no es así, ¿a qué llamas tú “didáctico”?

P. Tienes toda la razón. Pero antes de contestar a tu pregunta, te recordaré brevemente el esquema de organización de la Tienda. En la Tienda propiamente dicha, se toman los “encargos” de los clientes. Digamos que se reciben sus problemas y se discute con ellos para hacerles precisar qué es lo que necesitan. Además, para realizar los pedidos, la Tienda necesita un taller: el Taller de Matemáticas del Instituto. En el Taller, se “fabrican” las respuestas a las cuestiones planteadas. Algunas veces, los miembros del Taller disponen de todo lo necesario -en términos de conocimientos matemáticos- para fabricar la respuesta…

E. Exacto. Éste es un primer caso. También hay un segundo caso, que es el de los cosenos. Aquí el Taller de Matemáticas no dispone a priori de los elementos necesarios para fabricar una respuesta apropiada.

E. Hubieran podido rechazar el encargo, ¿no?P. Claro, claro. No siempre encuentras en el supermercado lo que quieres o lo que

podrías desear. Por ejemplo, si vas al supermercado de tu barrio para comprar una tonelada de arroz, seguro que te dirán que no aceptan el encargo.

E. ¡Hombre, pues claro!P. Bueno. Pues, en el caso de los cosenos, el Taller de Matemáticas, o por lo

menos algunos de sus miembros, se van a poner a trabajar para estudiar la cuestión que les ha sido planteada.

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E. Tendrán que estudiar.P. Sí, eso mismo. Y ahora contestaré a tu pregunta. El adjetivo “didáctico” se

corresponde con el sustantivo “estudio”. Un proceso didáctico es un proceso de estudio.E. ¿Entonces afecta al alumno?P. Sí y no.E. ¿Qué quieres decir?P. Pues bien, en un proceso didáctico, en un proceso de estudio, la distinción

alumno-profesor no aparece necesariamente tan marcada como cuando nos referimos al marco escolar, con un profesor por un lado y los alumnos por el otro. En el caso del Taller de Matemáticas, hay un equipo que va a estudiar la cuestión del coseno. Aparentemente, el equipo se va a organizar en torno a Luis. Podemos suponer que es Luis quien dirige el estudio.

E. ¿Lo que quiere decir…?P. Lo que quiere decir, por ejemplo, que será él el responsable del avance del

estudio frente al Taller de Matemáticas. Lo que quiere decir también que, en la práctica, será él el que debería abrir la ruta, mostrar el camino y guiar todo el proceso.

E. ¡Será el líder del equipo!P. Sí, si lo quieres decir así. En un proceso, siempre aparece una comunidad cuyos

miembros desempeñan papeles más o menos diferenciados. Si nos referimos al marco escolar, el líder, el director de estudio, es generalmente el profesor. Lo que la gente llama el proceso de enseñanza/aprendizaje es, de hecho, una forma particular del proceso didáctico. Por lo tanto, la didáctica de las matemáticas es la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de estudio de cuestiones matemáticas.

E. ¡Entonces el ámbito de esta ciencia es más amplio que el mero estudio de lo que ocurre en una clase!

P. Sí. Es más amplio porque, como ves, la didáctica de las matemáticas se propone entender o analizar tanto los procesos didácticos relacionados con el Taller de Matemáticas, por ejemplo, como los procesos didácticos que se producen en una clase normal de matemáticas. Y, al mismo tiempo, no hay que olvidar que, para que una clase funcione, tienen que existir también procesos didácticos fuera de la clase. Los alumnos tienen que estudiar por sí mismos, individualmente o en grupo. Estudian a veces con la ayuda de sus padres, o incluso bajo la dirección de sus padres, siempre en relación con la clase pero fuera de ella. O sea: lo que ocurre en clase genera toda una serie de procesos didácticos. Y en estos procesos didácticos, el esquema del alumno y del profesor, el esquema de la enseñanza/aprendizaje, no es, como ves, el mejor. En un grupo de alumnos que trabajan juntos sobre algo que les ha encargado el profesor, podrá haber algunos alumnos que hagan de cabecillas para impulsar el proceso de estudio, sin que ninguno de ellos se tenga por el profesor. Y, evidentemente, sin que haya enseñanza. Además, también podrán pedir ayuda a alguien que no sea del grupo, como un alumno mayor o un adulto, etc. En este caso no habrá clase, ni profesor, pero sí proceso didáctico.

E. Entonces, estos procesos didácticos particulares en los que participan los alumnos –con sus compañeros de clase, sus padres, etcétera– son en realidad “subprocesos” del proceso de enseñanza/aprendizaje que conduce el profesor.

P. Cierto. Y es conveniente que todos estos subprocesos converjan para hacer avanzar el proceso didáctico que dirige el profesor. Si sólo habláramos del proceso de enseñanza/aprendizaje, sólo pensaríamos en un modelo bastante particular de proceso didáctico. Y esto no es lo mejor para entender, en general, lo que es estudiar. Además hay una tendencia a olvidar que el proceso de enseñanza/aprendizaje sólo puede existir si se dan al mismo tiempo otros procesos didácticos –que podemos llamar periféricos, si quieres. Y todos estos “olvidos” no ayudan a entender lo que pasa en una clase.

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E. Ya veo…P. Espera un momento. Cuando digo “hay una tendencia a olvidar”, quiero decir que

el profesor tiende a olvidar, y también el alumno.E. Sí, vale, vale. Aunque hay un caso que no has citado. Es el del alumno que

estudia solo, pero en relación con el trabajo de clase. Solo, sin que nadie le ayude. ¡Es, sin embargo, un caso muy típico!

P. Sí, totalmente. Y ahí, ves, también hay un proceso didáctico, aunque no haya proceso de enseñanza. La comunidad de estudio se reduce a una sola persona, y esta persona es su propio director de estudio.

E. Bueno… ¡Pero aún me quedan dos preguntas!P. ¿Ah sí?E. Hemos dicho que para aprender algo uno estudia. También hemos dicho que

podía haber estudio sin enseñanza, aunque una enseñanza resulte casi siempre muy útil. Mi pregunta es: ¿puede haber aprendizaje sin enseñanza e incluso sin estudio?

P. Claro que sí. Incluso te diré que una parte importante de lo que hemos llamado “instrucción informal” es el resultado de un aprendizaje que no proviene del estudio.

E. Así, todo proceso de aprendizaje no es un proceso didáctico.P. No.E. Y la didáctica sólo se interesa por los procesos didácticos. ¿Lo he entendido

bien?P. Sí. Pero tu descripción es incompleta. En realidad, se pasa siempre muy rápido, y

sin casi darse cuenta, de una cuestión informal a un esbozo de estudio: intentamos informarnos sobre algo, preguntamos a los de nuestro alrededor, probamos a ver qué pasa, o incluso nos compramos un libro. Muy a menudo, es verdad, estas tentativas fracasan. Lo que quiero decir es que todas las actividades humanas suscitan procesos didácticos o, si prefieres, que estamos constantemente a punto de pasar de una actividad habitual, no didáctica, a una actividad didáctica.

E. ¡Es la enfermedad didáctica!P. ¡No! Precisamente, la enfermedad didáctica consiste en no saber distinguir entre

lo no-didáctico y lo didáctico. No se puede entender qué es lo didáctico si uno no tiene una idea clara sobre lo no-didáctico. ¿Me sigues?

E. Creo que sí. Por eso dices que, en matemáticas, hay que hacer pequeños trabajos matemáticos que se puedan realizar a partir de lo que uno ya sabe, es decir tener una actividad no-didáctica. Y todo como condición para entender mejor y saber conducir mejor una actividad didáctica.

P. Sí, eso es. Ahora entiendes mejor lo de la Tienda de Matemáticas.E. Sí. Pero aún me queda una pregunta. ¿Puedo?P. Sí, claro.E. He pensado en tu definición de matemático. En lo que a mí respecta, me parece

que he tenido muy pocas ocasiones para hacer de matemático –fuera de las clases particulares, claro. En el fondo, tengo la impresión de que se me presentan más oportunidades de hacer de médico o de informático que de matemático.

P. No te equivocas, no. Es verdad que la gente tiene más tendencia a pedir consejos a su alrededor en cuestiones de salud o, más en general, de su vida cotidiana. ¡E incluso de su vida sentimental! Pero no ven qué se puede pedir en matemáticas. Es verdad.

E. ¡A lo mejor es que no tienen necesidades matemáticas!P. A lo mejor. Por qué no. De todas formas, el reconocer que tal o cual necesidad es

una necesidad de tal o cual tipo no es una actitud espontánea. Es una actitud que se aprende. Hay grupos sociales, por ejemplo, que no se pueden imaginar que haya maneras de comer o de cuidarse diferentes de las suyas.

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E. Quieres decir que hay gente que no se plantea nunca cuestiones de dietética o de salud. Y que, por tanto, no se cuidan nada.

P. Eso mismo. Pues, con las matemáticas, sucede lo mismo, no sólo en ciertos grupos sociales, sino en toda la sociedad.

E. ¡Es un problema cultural!P. Sí, eso es.E. ¿Y no podrías precisar un poco más tus afirmaciones?P. Es un fenómeno general. En la vida de una sociedad y en un momento dado de

su historia, la mayoría de las necesidades no son explícitas, no se expresan fácilmente. En términos técnicos, diríamos que son necesidades latentes…

E. ¿En oposición a…?P. A lo que se pueden llamar necesidades patentes, reconocidas por la gente, de

las que se hacen cargo las instituciones de la sociedad.E. ¿No me podrías dar algún ejemplo en relación a las matemáticas?P. Pues mira, ¿sabes qué? Había antaño una noción que facilitaba el reconocimiento

tanto de las necesidades matemáticas como de la capacidad para satisfacerlas –necesidad de entender y necesidad de actuar. Hasta principios del siglo XIX, se distinguían las matemáticas puras…

E. ¡De las matemáticas aplicadas!P. No, no. No se hablaba de matemáticas aplicadas, aunque sí de aplicaciones de

las matemáticas. Se hablaba de “matemáticas mixtas”.E. ¿Y eso qué quería decir?P. La idea es la siguiente… Hay muchas cuestiones relativas a fenómenos naturales

o a la vida en sociedad a las que podemos responder con ayuda de las matemáticas y de un pequeño número de conocimientos no matemáticos, por ejemplo, de física, biología, comercio, etcétera. En otras palabras, basta con saber un poco de física, biología o comercio y, a partir de ahí, dejar que las matemáticas hagan el resto. Como ves, la noción de matemáticas mixtas ponía énfasis en el poder explicativo de las matemáticas.

E. ¿Y no me podrías dar algún ejemplo?P. Sí, claro que sí. Pero sólo te diré la pregunta. ¡Así tendrás un motivo para hacer

de matemático!E. Muy bien.P. Bueno. Supongo que alguna vez te has sumergido en el agua y, habrás notado

que, al mirar desde el fondo la superficie del agua, ves el cielo justo encima de ti, pero por los lados, el agua se comporta como un espejo. ¿Te ha pasado?

E. Sí. ¡Pero esto es un fenómeno de refracción!P. Sí. Las leyes que rigen la refracción, eso es lo máximo que necesitas para

explicar el fenómeno. Lo demás son matemáticas. Te hago notar de paso que aquí se trata de algo de lo que ya has oído hablar porque también sabes algo de física, ¿no?

E. Claro. ¿Pero crees que saber todo esto es realmente una necesidad que yo tengo?

P. Tu pregunta es legítima, pero la respuesta no es tan simple como parece. Todo depende de lo que quieras hacer. Es tu problema. Te repito que hay gente que vive sin sentir nunca ninguna necesidad, sin plantearse nunca ninguna cuestión.

E. ¡Gracias por la alusión!P. No me lo agradezcas. Te voy a contar una anécdota bastante trágica y que te

mostrará, espero, lo ridículo de tu susceptibilidad. Es una historia verdadera. Hace algunos años, en la maternidad de un hospital, una enfermera principiante que se encargaba de preparar los biberones de los recién nacidos se equivocó y les puso sal en lugar de azúcar. Resultado: se murieron más de 10 bebés.

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E. ¡Qué barbaridad! Sal en lugar de azúcar… ¿Cómo puede ser que se murieran por tan poca cosa?

P. No es tan poca cosa como parece. Fíjate bien. Sabrás que las moléculas de sal son mucho más pequeñas que las de azúcar. Y también debes saber que la presión de una solución es proporcional al número de moléculas que contiene, ¿no?

E. Sí, más o menos.P. Pues bien, con esto y el fenómeno de la osmosis se puede comprender lo

catastrófico del error de la enfermera: la sal hace aumentar radicalmente la osmolaridad del plasma sanguíneo. Para equilibrarla, las células se deshidratan acumulando agua en los vasos sanguíneos y se eleva mucho la tensión arterial. Es fácil entonces que se produzcan, en los recién nacidos, hemorragias cerebrales u otros accidentes cardiovasculares. Pero el niño se muere, esencialmente, por deshidratación.

E. Me asustas, Profesora. Pero todo no es así, ¿verdad?P. No, claro que no. Hace algunos días, ves, estuve hablando con unos colegas que

organizan un encuentro internacional. Un encuentro muy oficial, con representantes de 6 países europeos. Había un representante por país, es decir, 6 personas. Algunos de los organizadores querían que cada uno pudiera hablar en su propio idioma.

E. ¡Es normal! No veo por qué un griego no podría hablar en griego y un italiano en italiano.

P. Sí, sí claro. ¡No ves por qué! A mí también me gusta mucho más expresarme en mi lengua que tener que hablar en inglés. Es normal. También es el principio del mínimo esfuerzo. Pero mira: para 6 idiomas distintos…

E. Se necesitan 6 intérpretes. ¡Es mucho!P. ¡Qué dices! ¡Se necesitan muchos más!E. Uy, sí, perdón. Si para cada par de idiomas se necesita un intérprete, se

necesitarán

¡15 intérpretes!

P. ¡Ah! ¡Lo ves! Y encima no has tenido en cuenta que un intérprete sólo traduce en un sentido: para que los representantes griego e italiano se puedan comunicar, se necesitan 2 intérpretes.

E. Luego son 30 intérpretes.P. Eso mismo. Imagínate la situación: 6 personas alrededor de una mesa y, a su

alrededor, en las cabinas de intérpretes, ¡30 personas más! Claro que la situación no es tan dramática como la del azúcar y la sal…

E. No, pero debe ser muy caro.P. Sí. Yo diría desmesuradamente caro. Pero no es más que mi opinión. También

se puede opinar lo contrario. De todas formas, lo que sí se necesita es poder decidir con conocimiento de causa. Si restringimos a 3 los idiomas de trabajo –por ejemplo, el castellano, el inglés y el francés–, sólo se necesitarán 6 intérpretes como representantes. Y si escogemos un único idioma...

E. ¡El inglés, claro!P. Sí. Nosotros decidimos trabajar en inglés. A decir verdad, en el grupo de trabajo

había un español, un francés, un italiano, un griego, un portugués y un alemán. No había ningún representante inglés. Escogimos el inglés para estar todos en igualdad de condiciones. Pero bueno, en este caso…

E. No necesitasteis ningún intérprete.P. Exacto. Porque todos habíamos aprendido inglés en la escuela. Y ahora, si me

perdonas, me tengo que marchar. Nos veremos dentro de un mes. Tienes tiempo para pensar en todo esto. Ánimo.

E. Gracias, Profesora.

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Síntesis 1

No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sin preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas, en qué consisten y para qué sirve hacer matemáticas. Ahora bien, estas preguntas no pueden referirse únicamente a las matemáticas de la escuela, tienen que abarcar todas las matemáticas que existen en nuestra sociedad.

Podríamos pensar que cada uno de nosotros tomado individualmente puede vivir sin necesidad de matemáticas o, por lo menos, sin muchas de las matemáticas que se estudian en la educación obligatoria. Pero esta creencia sólo se da porque, de hecho, no vivimos solos sino en sociedad: en una sociedad que funciona a base de matemáticas y en la que hay gente capaz de hacer de matemático para cubrir las necesidades de los demás, incluso cuando éstos no reconocen sus propias necesidades matemáticas.

El hecho de que se enseñen matemáticas en la escuela responde a una necesidad a la vez individual y social: cada uno de nosotros debe saber un poco de matemáticas para poder resolver, o cuanto menos reconocer, los problemas con los que se encuentra mientras convive con los demás. Todos juntos hemos de mantener el combustible matemático que hace funcionar nuestra sociedad y debemos ser capaces de recurrir a los matemáticos cuando se presenta la ocasión. La presencia de las matemáticas en la escuela es una consecuencia de su presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades matemáticas que surgen en la escuela deberían estar subordinadas a las necesidades matemáticas de la vida en sociedad.

Cuando por las razones que sea, se invierte esta subordinación, cuando creemos que las únicas necesidades sociales matemáticas son las que se derivan de la escuela, entonces aparece la “enfermedad didáctica”. Este reduccionismo lleva a considerar que las matemáticas están hechas para ser enseñadas y aprendidas, que la “enseñanza formal” es imprescindible en todo aprendizaje matemático y que la única razón por la que se aprenden matemáticas es porque se enseñan en la escuela. Se reduce así el “valor social” de las matemáticas (el interés social de que todos tengamos una cultura matemática básica) a un simple “valor escolar”, convirtiendo la enseñanza escolar de las matemáticas en un fin en sí mismo.

Este tipo de reduccionismo2 puede conducir a “no tomarse en serio” las matemáticas que se hacen en la escuela, considerándolas como un mero “artefacto escolar”. Aparece entonces un problema didáctico que puede formularse como sigue: “¿Qué hacer para que los alumnos se sitúen como matemáticos ante las cuestiones matemáticas que se les plantean en la escuela, y para que asuman ellos mismos la responsabilidad de sus respuestas?”

Tenemos aquí un ejemplo de problema relativo a las actividades matemáticas escolares que no es posible entender desde una perspectiva puramente escolar, sin tomar en cuenta lo que ocurre fuera de la escuela, y en particular la poca visibilidad de las matemáticas en el conjunto de la sociedad. De ahí que no podamos separar los procesos de enseñanza y aprendizaje del resto de las actividades matemáticas.

Hemos de tener en cuenta que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son aspectos particulares del proceso de estudio de las matemáticas,

2 Habría que decir que éste no es el único tipo posible de reduccionismo respecto al origen de las necesidades matemáticas y, en general, respecto a la naturaleza de las matemáticas. Así, cuando se da prioridad de manera absoluta a las necesidades matemáticas de origen extramatemático, aparece lo que podríamos denominar “enfermedad utilitarista”, mientras que si son las necesidades de origen intramatemático las únicas que se consideran, entonces nos encontramos con la “enfermedad purista”. No entraremos aquí en las disfunciones que cada una de estas “enfermedades” puede provocar en el seno de la comunidad matemática puesto que éste es un tema que no se trata en los Diálogos.

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entendiendo la palabra “estudio” en un sentido amplio que engloba tanto el trabajo matemático del alumno, como el del matemático profesional que también “estudia” problemas de matemáticas.

Lo didáctico se identifica así con todo lo que tiene relación con el estudio y con la ayuda al estudio de las matemáticas, identificándose entonces los fenómenos didácticos con los fenómenos que emergen de cualquier proceso de estudio de las matemáticas, independientemente de que dicho proceso esté dirigido a utilizar las matemáticas, a aprenderlas, a enseñarlas o a crear matemáticas nuevas. La didáctica de las matemáticas se define, por tanto, como la ciencia del estudio de las matemáticas.

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NOTAS SOBRE EL PAPEL DE LA NOCIÓN DE RAZÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE LAS FRACCIONES EN LA ESCUELA PRIMARIA3

David BlockCentro de Investigaciones y Estudios Avanzados

Resumen

Las razones de números naturales fueron, en la historia de las matemáticas, precursoras de las fracciones. ¿Es posible identificar elementos de esta relación en el aprendizaje de las fracciones? En este artículo se argumenta tal posibilidad: se analizan resoluciones de alumnos de primaria, indicativas de formas en que la noción de razón precede a la noción de fracción, tanto en su papel de expresar medidas, como en su papel de expresar operadores multiplicativos. Después, se describen secuencias didácticas de estudios experimentales que han propiciado génesis escolares de las fracciones a partir de las razones.

Introducción

Las medidas fraccionarias o decimales, por ejemplo, pasos de 2/3 de metro, hojas de 0.02 cm de espesor, porciones de 1/3 de pastel, pueden expresarse mediante razones de medidas con números naturales: “2 metros por cada 3 pasos4”, “100 hojas tienen un espesor de 2 cm”, “un pastel para 3 niños”. Lo mismo ocurre cuando las fracciones juegan el papel de operadores multiplicativos, por ejemplo, un factor de escala como X3/4 ó X0.75 puede expresarse mediante la relación “3 cm por cada 4 cm”.¿Qué implicaciones puede tener este hecho desde el punto de vista del aprendizaje y de la enseñanza de las fracciones? A continuación presentaré algunos datos que fortalecen la hipótesis, según la cual la enseñanza de los números racionales podría verse enriquecida al considerar conocimientos que los alumnos han desarrollado, y podrían desarrollar sobre las razones de números naturales. Los datos son de dos tipos: por una parte se trata de procedimientos que alumnos de primaria desarrollaron para ciertos problemas de proporcionalidad que les fueron planteados en entrevistas individuales y, por otra parte, se presentan algunas partes de secuencias didácticas que fueron diseñadas ex profeso para estudiar procesos de aprendizaje y de enseñanza de los números racionales.

Algunos antecedentes

La noción de razón se encuentra en la intersección de dos temas muy estudiados, la proporcionalidad, sobre todo desde la perspectiva del desarrollo cognitivo (e.g. Inhelder y Piaget, 1955; Noelthing, 1981a y 1981b; Karplus et. al., 1983) y los números racionales, desde una perspectiva didáctica (e.g. Hart, 1988; Kieren, 1988 y 1993; Behr et. al., 1990). Una tendencia apuntalada en gran medida por los trabajos de Vergnaud (1988) sobre las estructuras multiplicativas, ha consistido en integrar el estudio de estas dos problemáticas: se considera que la adquisición de aspectos fundamentales de la noción de número racional se registra en el marco de las relaciones de proporcionalidad, a la vez

3 Tomado de: ER. Cantoral, Covián, O., Farfán, R., Lezama, J., Romo, A. (Eds). (2005 enprensa). Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas:Un reporte Iberoamericano. Reverté Ediciones - Comité Latinoamericano deMatemática Educativa AC.4 Usando el lenguaje clásico de las razones, podría decirse, por ejemplo, “el paso es al metro como 2 es a 3”.

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que la resolución de problemas de proporcionalidad puede requerir, en algunos casos, de la aplicación de herramientas aritméticas, en particular, el cálculo con fracciones y decimales. La noción de razón constituye un ejemplo claro de esta articulación. Vergnaud (1988) por ejemplo, habla de fracciones y de razones como dos nociones del campo conceptual de las estructuras multiplicativas destinadas a sintetizarse en el concepto de número racional:

… No resulta sensato estudiar el aprendizaje y la enseñanza de las fracciones y de las razones independientemente de las estructuras multiplicativas. Es sólo hasta que todos estos significados se sintetizan en el concepto de número racional que es posible pensar en las fracciones y las razones como puros números (Vergnaud 1988: 156-158).

Freudenthal (1983) destacó también la importancia del estudio de la noción de razón en las matemáticas elementales y, si bien no centró su atención en la vinculación con el concepto de número racional, dejó ver la existencia de dicho vínculo:

El significado de la razón aparece cuando se habla de la igualdad (y la desigualdad) de razones, sin conocer su tamaño, cuando se dice, con sentido, “a es a b como c es a d”, sin anticipar que “a es a b” puede reducirse a un número o a un valor de magnitud a/b (...) La razón es una relación de equivalencia en el conjunto de parejas ordenadas (o de valores de magnitud)... Los cocientes y las fracciones constituyen formas de reducir esta complejidad, de bajar su estatuto lógico a costa de la lucidez (Freudenthal, 1983).

Brousseau (1981 y 1998), por su parte, al desarrollar una experiencia amplia de ingeniería didáctica para la enseñanza de los números racionales, mostró el importante papel, eventualmente implícito, que puede jugar en este proceso el estudio de situaciones de proporcionalidad. Revisaremos más adelante algunas partes de su estudio así y de otros estudios que se desarrollaron a partir de aquél (Block, 1987 y 2001; Balbuena 1988; Comin 2000), en los que se hace jugar a las razones un papel fundamental en una génesis de las fracciones.

Por otra parte, los análisis de los conocimientos de los alumnos y de las prácticas de la enseñanza tienden a mostrar cierto nivel de divorcio entre fracciones y razones en la escuela. Hart (1981) por ejemplo, mostró desde hace ya un par de décadas que los estudiantes del nivel de secundaria tienden a utilizar, cuando es posible, lo que ella llamó “building up procedures” en lugar de operadores fraccionarios, al resolver problemas de proporcionalidad. Ramírez (2004), en un estudio de caso sobre prácticas de enseñanza de la proporcionalidad, muestra como, en una serie de clases, se manifiestan procedimientos de resolución en dos planos, uno explícito y formal pero poco útil para los alumnos, en el que se apela a las fracciones y a sus técnicas, y otro implícito y utilizado con frecuencia, en el que los alumnos resuelven con razones y no con fracciones.

Primera Parte: Análisis de resoluciones de alumnos de primaria.Las resoluciones que se comentan a continuación provienen de un conjunto de entrevistas aplicadas individualmente a 13 alumnos (cuatro de 4º. grado; tres de 5º. grado y seis de 6º. grado) de diferentes escuelas de la ciudad de México. Se aplicaron alrededor de 20 problemas verbales de “valor faltante” y de “comparación de razones”, en los que se variaron los contextos, la manera de formular las razones y el carácter entero o no entero de las razones. El conjunto de problemas se presentó en un documento que contiene un problema por página, redactado bajo la forma de un texto con preguntas, sin dibujos ni

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esquemas. Los problemas se aplicaron en sesiones individuales con cada entrevistado a quien se le explicó el propósito del trabajo y se le insistió en que, para resolver los problemas, estaban permitidos todos los recursos, por ejemplo, contar con los dedos, hacer cuentas escritas o hacer dibujos en los espacios en blanco o en las hojas adicionales previstas para ello. El entrevistador leyó en voz alta y pausada cada problema5.

Mediante el análisis de las resoluciones de estos alumnos intentaré mostrar que, a pesar de que habían recibido una enseñanza sistemática de las fracciones, y no de las razones, la tendencia fue poner en juego de manera espontánea a estas últimas para manipular medidas y operadores racionales. Veremos primero algunos ejemplos representativos de las formas en que los alumnos resolvieron los problemas que implican fracciones en el papel de expresar medidas.

La razón, precursora de las fracciones en su papel de medidas

Uno de los problemas planteados de valor faltante fue el siguiente:

“Una rana avanza 5 varas en 3 saltos, ¿cuántas varas avanza en 12 saltos?”

Excepto dos alumnos que aplicaron una constante aditiva, los demás siguieron uno de dos caminos: algunos intentaron, sin éxito, determinar el tamaño de un salto (4 de 13 alumnos)6; otros consideraron la relación multiplicativa entre 12 saltos y 3 saltos, en cuyo caso siempre tuvieron éxito (4 de 13):

Saltos Varas3 54 veces 4 veces12 20

Las parejas de cantidades (3s, 5v) y (12s, 20v) que integran esta última resolución son razones que dan cuenta de una misma medida fraccionaria, saltos de 5/3 de vara, la cual permanece implícita. Para lograr dar la medida de 12 saltos sin conocer la de un salto, los alumnos consideran 3 saltos como una unidad compuesta que iteran.

Veamos un segundo ejemplo con un problema de comparación de razones:

En la mesa A se reparte 1 pastel entre 3 niños; en la mesa B se reparten 2 pasteles entre 7 niños. ¿En cuál mesa le toca más pastel a un niño?

En este problema aparecieron los mismos dos tipos de procedimiento: seis alumnos de 13 intentaron determinar la cantidad de pastel por niño, por lo general a partir de representaciones gráficas, pero solamente dos alumnos (de sexto grado) lo lograron7. Siete alumnos consideraron la relación "Si hubiera 6 niños en la mesa B, les tocaría lo mismo, pero como hay 7, les toca menos..." y tuvieron éxito. Estos últimos lograron comparar las fracciones de pastel sin hacer explícitas las fracciones, a partir de las siguientes relaciones entre razones: “1 pastel para 3 niños” es equivalente a “2 pasteles para 6 niños” y esto es más que “2 pasteles para 7 niños”.

5 Las entrevistas se realizaron en el marco del trabajo de tesis doctoral “Las razones en las matemáticas de la escuela primaria. Un estudio didáctico” (Block, 2001) 6 Obtener la medida de un salto sabiendo 3 saltos miden 5 varas resultó muy difícil, mucho más que, por ejemplo, “repartir” 5 pasteles entre 3. Para resolver la dificultad algunos alumnos propusieron salidas como saltos de una vara y saltos de dos.7 La diferencia entre las fracciones 1/3 y 2/7 en las representaciones gráficas de los niños son imperceptibles.

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Cabe señalar que en otros contextos la tendencia a recurrir a razones de números naturales en lugar de a fracciones, fue aún más notoria que en estos contextos, reparto de pasteles o de saltos que se miden con varas. Una de las características de los problemas que mostró influir en el tipo de procedimientos de los alumnos fue la manera de expresar la constancia de la razón: cuando ésta se expresaba mediante la expresión “por cada” (i.e., las canicas se venden a 3 pesos por cada 4 canicas), se tendía a favorecer la iteración de unidades compuestas y, por lo tanto, el trabajo con razones de números enteros. En cambio, cuando la formulación de la constancia de la razón evocaba valores unitarios iguales (por ejemplo, “a cada uno le tocó la misma cantidad de pastel”), hubo más intentos de determinar dichos valores.

Primer comentario

Estas resoluciones, al mismo tiempo que ponen en evidencia un nivel bajo de apropiación de las fracciones como medidas, muestran que los alumnos disponen de un conocimiento intuitivo sobre las razones, que les permiten resolver problemas simples, sobre medidas fraccionarias. La pregunta que se plantea entonces es: ¿es posible enriquecer el trabajo con fracciones como expresiones de medidas y como partes de unidad, al considerar razonamientos como los anteriores en el nivel de las razones? Hay numerosos indicios para suponer que esto último es factible. Por ejemplo, en varias ocasiones, los alumnos entrevistados, para encontrar la fracción de unidad que resulta de repartos “simplificables” como 4 pasteles entre 16 niños, 2 pasteles entre 6 niños, o 5 pasteles entre 10 niños, lograron simplificar las razones, para tener, respectivamente: un pastel entre 4 niños, un pastel entre 3 niños, o un pastel entre 2 niños, lo cual les facilitó determinar las fracciones: ¼, 1/3, ½. Así, la fracción ¼, por ejemplo, aparece no solamente como el resultado del reparto 1:4, sino como el resultado de la familia de repartos que se generan de 1:4, iterando los términos (2:8, 4:16…). Otros ejemplos de formas en que pueden vincularse razones de la forma “x pasteles o pizzas entre y niños” con las fracciones x/y pueden verse en los trabajos de Balbuena et.al. (1984), de Streefland (1993) y de Solares (1999).

La razón, precursora de las fracciones en su papel de operadores multiplicativos

Los ejemplos que mostraremos a continuación son con problemas de comparación de razones, como el siguiente:

Varios niños deciden trabajar durante las vacaciones en las huertas cercanas a sus casas. El trabajo que les ofrecen es recoger las naranjas que ya se cayeron y están sobre el piso. Cada agricultor les ofrece un trato distinto. Los niños tienen que averiguar qué trato les conviene más.

En la huerta “Sonora” les ofrecenPor cada 3 naranjas que recojan, se quedan con 2

En la huerta “Vista Hermosa” les ofrecen:Por cada 10 naranjas que recojan, se quedan con 9”

¿Cuál de los dos tratos les conviene más?

El problema implica comparar las razones (por c/3n, 2n) y (por c/10n, 9n). Las fracciones que cuantifican a estas relaciones son 2/3 y 9/10. Una de las formas posibles de resolución consiste por lo tanto en determinar y comparar estas fracciones, que juegan el papel de razones. Sin embargo, solamente un alumno de sexto grado resolvió el problema de esa manera. La mayoría se dio a la tarea de generar parejas de cantidades a partir de cada uno de los tratos, con la idea de igualar un término para poder comparar. Obtuvieron

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por ejemplo: (por 30, 20) vs (por 30, 27). Veamos primero ejemplos de algunas de las dificultades que enfrentaron.

Adriana (5º. grado) estimó primero que, de las razones “por c/3, 2” y “por c/10, 9”, conviene más la segunda. Para estar segura, generó otros pares, iterando los términos, con el propósito de igualar los primeros términos de cada pareja (3 y 10) a 20. No previó que 20 no es múltiplo de 3.

Sonora Vista Hermosa3 2 10 96 4 20 18... ...21 14

Con dificultad obtuvo las parejas “por 21, 14” y “por 20, 18” con lo cual logró concluir: en Sonora por más naranjas recogidas que en Vista Hermosa, dan menos.

Varios alumnos hicieron algo similar. Resolvieron como si no existiera un múltiplo común, y terminaron aplicando un procedimiento parecido al que usaban los antiguos matemáticos griegos para comparar razones entre cantidades inconmensurables8. Manuel (6º.) después de resolver algunos problemas parecidos, al empezar éste hace parcialmente explícita esta idea:

Manuel: (...) “Porque ve, el 2 debe superar al 9 ..., o bueno, 3 para superar al 10 ...Encuentra “por 12n, 8n” vs. “por 10n, 9n”. En el primero, por más naranjas recogidas, les dan menos.

Cabe observar, de paso, que estas resoluciones ofrecen una ocasión para plantear la cuestión de la existencia de los múltiplos de dos números (¿existen siempre? ¿cómo pueden encontrarse?). La búsqueda de un múltiplo común ocurre también en la resolución con fracciones: para comparar 9/10 con 2/3 es necesario obtener 27/30 y 20/30, pero aquí se suele tratar de un algoritmo. Como en éste, en varios casos más se identificaron, en las resoluciones de los alumnos, algunas propiedades de las razones (o bien, la ausencia de dichas propiedades) que son estudiadas en la escuela directamente como reglas para la manipulación de las fracciones.

Veamos ahora la resolución de una alumna que logra identificar un operador fraccionario. Esto ocurrió casi sólo cuando los operadores más simples, “la mitad”, o "la tercera parte", permitían comparar. Mariana (6º. grado), frente al mismo tipo de problema pero con otros datos (“de c/ 5n, 2n” y “por c/ 20n, 6n”) realizó la siguiente resolución en tres episodios.

Empieza haciendo una comparación de las razones contra la fracción "½ de":

(por c/5, 2) vs. (por c/20, 6)

Mar: Ah... creo que estoy descubriendo un tip... se trata de que aquí... si recogen 5, se quedan con 2 (...), se quedan con casi la mitad, y los otros, recogen 20 y ustedes se quedan con 6, pero están recogiendo más naranjas, por eso les dan más, pero aquí no les están dando algo que se parezca a la mitad, 7 u 8 naranjas. Por eso aquí es más justo (en 5, 2).

Puede observarse la intención de considerar la relación entre las cantidades: no basta con saber que en un caso dan más naranjas que en el otro, puesto que son a cambio de más naranjas recogidas. La intención de considerar las razones y no las cantidades, cristaliza

8 Simplificando, el teorema dice: “La razón de A a B es mayor que la de C a D, si existen dos números n y m, tales que: nA > mC mientras que nB < mC”.

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en la cuantificación aproximada de una de las razones: estima que (5, 2) es “casi la mitad” y que si se recogieran 20 naranjas, “casi la mitad” serían 7 u 8, pero no 6:

(5, 2) "casi 1/2 de" (20, 8) y

(20, 6) < (20, 8)

Enseguida, opta por iterar el par (por c/5, 2) y obtiene (por 10, 4). Le surge entonces una duda:

Mar: Aquí (5, 2), si recogen 10 naranjas, si pensamos en la segunda vuelta, recogen 10 naranjas, se quedan con 4 y allí ya no es

la mitad.

E: ¿cual es la mitad de 10?

Mar: 5, ah..., no... (rectifica), a mí se me hace que les conviene más el otro, el primero, el de 5 y les dan 2, porque siempre les

están dando casi la mitad de las naranjas, y en el otro les dan más naranjas, pero no les dan casi la mitad.

Una vez confirmado que 4 también es "casi la mitad" de 10, como 2 lo es de 5, Mariana generaliza: "siempre les dan casi la mitad", es decir, en todas las parejas de cantidades que se generen a partir de "por cada 5, 2" una cantidad es "casi la mitad" de la otra. La iteración de los términos 5 y 2 genera razones equivalentes y esto parece hacerse visible en la formulación de la razón con una fracción “casi la mitad”.

Finalmente, opta por generar otras parejas. Sobre la marcha encuentra que 6 de 20 es equivalente a 30 de 100 y observa que 30 de 100 es cercano a 30 de 90, y por lo tanto es "casi 1/3":

M: (...) “30 y 30, 60, (y 30) 90, serían tercios (dibuja un círculo pequeño, lo divide en tres partes, como un pastel, en cada parte anota 30) entonces aquí le está dando casi la mitad y aquí un tercio, así, el tres tercios tiene tres tercios y nada más le está dando 1/3

La fracción 1/3 emerge nuevamente como la expresión de una razón constante entre cantidades, en la que las cantidades no figuran más:

(por c/20, 6) = (por 100, 30) (por 90, 30) = "1/3 de".

Segundo comentario

Estas relaciones entre parejas de cantidades concretas que varían, y el número que expresa lo que es invariante, así como las dudas que aparecen en el proceso, parecen constituir una parte esencial del sentido de la noción fracción como expresión de una razón constante. Estas reflexiones difícilmente ocurrirían en una situación en la que de entrada se exigiera la aplicación de fracciones.

El problema que vimos aquí tiene una característica que favorece el recurso a la conservación de la suma o de las razones internas: la formulación "por cada "; y tiene una característica que facilita considerar un operador externo: las magnitudes son de la misma naturaleza, la relación es entre un todo y una parte.

El análisis de las resoluciones de este tipo de problemas, permitió destacar, en primer lugar, la utilización de razones y de algunas de sus propiedades, cuando los alumnos aún no disponen de los números que cuantifican a estas razones, o no pueden usarlos con este sentido. En segundo lugar, nos deja ver algunas formas en que las fracciones más simples, 1/2 y 1/3, emergen en estos procedimientos, con el sentido pleno de expresiones de conjuntos de razones equivalentes, es decir, como expresiones de una razón constante. Al mismo tiempo, sugiere que los alumnos de sexto grado han avanzado poco en el proceso de utilizar fracciones con el sentido de razones, o de operadores multiplicativos.

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Segunda parte: Algunas secuencias de situaciones didácticas

En esta segunda parte del artículo veremos dos estudios didácticos en los que se propicia una construcción de los números racionales a partir de la noción de razón. Estos estudios presentan formas posibles, muy específicas y claras de articular razones y fracciones en un trabajo didáctico, lo cual ayuda a entender esta relación epistemológica. No obstante, es importante aclarar que no constituyen propuestas para enseñanza, por más de una razón: constituyen secuencias difíciles de implementar, presentan formas de construcción de las nociones muy distintas a las usuales y, además, presentan también diversos puntos débiles.

Construcción de las fracciones como expresiones de una medidaEn el marco de un estudio amplio sobre la construcción de los racionales, Brousseau (1981) diseñó una secuencia de situaciones para introducir las fracciones como expresiones de medidas, en la que la unidad no es fraccionable por ser muy pequeña y que propicia relaciones de conmensuración entre la cantidad que se mide y la unidad. La situación central es la siguiente: se forman pequeños equipos de emisores y receptores. Cada uno dispone de cinco paquetes de hojas, identificadas con las letras de la A a la E. Las hojas se distinguen entre sí solamente por su espesor. Los alumnos disponen además de un vernier. Los emisores escogen un paquete y deben enviar información a los receptores para que ellos identifiquen, entre sus paquetes, el que escogieron los emisores. La única restricción es no proporcionar la letra que identifica al paquete.

Dado que es imposible medir el espesor de una hoja con los instrumentos de medición disponibles, como la regla o el vernier, la idea de medir el espesor de pequeños paquetes de hojas surge naturalmente. Los niños llegan rápidamente a utilizar la pareja (núm. de hojas, mm de espesor) para identificar el espesor de cada tipo de hoja, por ejemplo 50 hojas, 4mm. Logran manejar las variaciones debidas a la imprecisión en la medición, por ejemplo, las parejas 50 hojas, 4 mm y 52 hojas, 4 mm corresponden probablemente a hojas con el mismo espesor. Establecen parejas equivalentes, es decir, parejas que expresan un mismo espesor de hoja, por ejemplo 50 hojas, 4 mm y 25 hojas, 2 mm. Mediante estas relaciones de conmensuración, logran también anticipar, entre dos tipos de hoja, cual tiene mayor espesor, por ejemplo, las hojas que corresponden a “50 h, 4 mm” son más gruesas que las que corresponden a “80 h, 4 mm”.

El estatuto matemático de estas parejas es momentáneamente ambiguo: en el origen, son parejas de cantidades en relación. Podemos decir que son razones. La relación de equivalencia entre las parejas pone en juego implícitamente una propiedad básica de las razones que podría formularse así: R(nA, mB) = R (kA, kB), en donde A y B son magnitudes y k es un escalar natural.

Brousseau (1981: 104-105) comenta que en este manejo de la equivalencia puede verse un modelo implícito que incluye un acercamiento a la relación de equivalencia algebraica fundamental (núm. de hojas A X espesor B = núm. de hojas B por espesor A), aunque él mismo precisa: “ciertamente no bajo esta forma, sino bajo la de aplicaciones de N en N”, y más adelante precisa que la linealidad se manifiesta por su característica de conservar las razones.

A partir del momento en el que se obtiene la relación de conmensuración “n hojas igual a m milímetros”, es posible plantear diversas relaciones en el nivel de las medidas: ¿cuántos milímetros corresponden a n’ hojas? o bien, dadas dos relaciones de conmensuración, inferir qué hojas son más gruesas. Hasta este punto, el trabajo se desarrolla con razones, para dar cuenta de medidas fraccionarias.

En este nivel, el de la relación entre medidas (y no de las magnitudes físicas), ocurre el proceso de expresión de estas razones con un número, es decir, el proceso de construcción de las fracciones: a partir de las parejas del tipo (50 hojas, 4 mm) se

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introduce la escritura 4/50 como expresión de la medida de una hoja. Decir que el espesor de una hoja mide 4/50 con la unidad milímetro significa aquí que 50 veces ese espesor es igual a 4 milímetros, o bien, que ese espesor mide 4 milímetros entre 50:

Número de hojas Espesor en milímetros

50(:50)1

4 :50)4:50 = 4/50

La distinción entre el espesor de una hoja y la designación de una pila de hojas, agrega Brousseau, es esencial pero difícil y sólo se aprende poco a poco. En ese proceso está el paso de la noción de razón, de relación entre dos cantidades, a la noción de número fraccionario. Podemos suponer que serán las relaciones (la comparación) y las operaciones (suma, resta, multiplicación) que los alumnos realizarán sobre este nuevo “ostensivo”, 4/50, las que le darán, poco a poco, su carácter de número.

En otro estudio realizado con alumnos de 4º. y 5º. grados (Block, 1987; Balbuena, 1988), también se propició el recurso a la conmensuración como forma de dar cuenta de una medida no entera, pero utilizando unidades que sí eran susceptibles de ser fraccionadas. Se partió del contexto del reparto. Los alumnos repartieron físicamente “barras de chocolate” entre niños. Después, resolvieron ciertos problemas que los llevaron a establecer la igualdad “total de barras antes de ser repartidas = total de porciones repartidas”. Por ejemplo, sabiendo que se repartieron 3 barras entre 4 niños y disponiendo de la porción por niño, debían reconstruir la barra entera. Para resolverlo, los niños unieron 4 porciones y dividieron esa unión entre 3. En otro problema, disponiendo de una barra entera y de la porción que tocó a un niño, debían averiguar cuántas barras se repartieron y entre cuántos niños. Para ello buscaron la coincidencia de cierto número de barras enteras con cierto número de porciones. Observaron que hay más de una solución.

Finalmente, se planteó una situación de medición: un equipo tiene varias barras enteras y varios pedazos (del mismo tamaño). Debe mandar un mensaje escrito a otro equipo para que éste, que solo tiene barras enteras, construya una porción del mismo tamaño que aquella. Debido a que en las situaciones previas utilizaron el empate de n barras con m porciones, en ésta la mayoría retomó dicha relación como recurso para dar cuenta de la medida de las porciones. Aparecieron mensajes como: “junta tres barras y parte en cuatro” o simplemente “tres barras enteras coinciden con cuatro pedazos” Posteriormente los mensajes se redujeron a su mínima expresión: la tira A mide (m, n) significa que m unidades coinciden en longitud con n pedazos A (figura 1).

U U U

A A A A

3 tiras U = 4 tiras A

Los alumnos utilizaron estos pares para expresar la medida de las tiras. Establecieron la regla de equivalencia (m, n) = (km, kn), compararon parejas con la unidad (m, n) >1 si m>n, las compararon entre sí, las sumaron y las restaron.

Esta situación, a diferencia de la del espesor de las hojas, permite construir (y no sólo identificar) la longitud con la medida indicada. Sin embargo, por esta misma razón, en esta situación el recurso a la conmensuración no es óptimo, resulta más natural fraccionar la unidad. Si los niños recurrieron a la conmensuración, fue por la influencia de las

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actividades anteriores9.Cuando, después de unos meses, se planteó nuevamente a estos niños la situación fundamental de comunicación de la medida, la mayoría regresó a la búsqueda de unidades adicionales, o intentó el fraccionamiento de la unidad.

En las secuencias anteriores, las fracciones se construyen a partir de las razones bajo el significado de cocientes. Estas secuencias presentan, no obstante, algunos puntos débiles, uno, de orden conceptual, fue identificada por H. Ratsimba Rajohn (1982) quien encontró dificultades para que los alumnos construyera, a partir del “modelo de base” de las fracciones como cocientes, el otro significado, el de unidades que se parten. El autor logra mostrar que se trata efectivamente de dos concepciones de la noción de fracción (fracción “cociente”, fracción “partes de unidad”) y que cualquiera de éstas tiende a erigirse en obstáculo para la adquisición de la otra.

Construcción de las fracciones como expresiones de un operador multiplicativo.Como vimos en la primera parte de este artículo, el que los estudiantes no conozcan el sentido de multiplicar por una fracción, no impide que puedan generar conjuntos de pares de cantidades que guardan una misma razón. Al hacerlo, el operador racional permaneció implícito. La opción que veremos aquí consiste en definir la noción de operador multiplicativo racional a partir de dicho conjunto de pares de cantidades, y en particular, a partir de la razón canónica 1a’/a. Éste es el camino que utilizó G. Brousseau (1981 y 1989) en la secuencia a la que ya hicimos referencia y que tomaremos nuevamente como ejemplo.

Se plantea una primera situación en la que se debe agrandar un rompecabezas (ver figura). En la consigna se informa que el lado que mide 4 cm en la original, debe medir 7cm en la copia. Los niños tienen un dibujo del rompecabezas original, con las medidas indicadas, y además, las piezas sueltas del mismo rompecabezas. Se les pide que se repartan las piezas entre los integrantes de cada equipo.

Los niños, sistemáticamente, proponen sumar 3 cm a todas las medidas. Sin embargo, la situación proporciona una forma de validación empírica: cuando terminan sus piezas e intentan armar el rompecabezas con ellas, descubren, con azoro, que éstas no embonan. A partir de esta constatación se suscita la reflexión. Surge primero la sospecha de que se midió mal, se rectifican las medidas. Surgen propuestas diversas como “multiplicar por 2, y restar 1”, lo cual acusa ya la búsqueda de un operador constante.

En la experiencia que analiza Brousseau, la solución que, no sin dificultad, se acaba imponiendo es la determinación del valor unitario: 1 7/4 cm. El interés de institucionalizar en este momento la solución en la que el valor unitario se expresa con una fracción (aunque los decimales acabarán imponiéndose más adelante debido a las facilidades de cálculo que ofrecen) puede deberse a que el cálculo con fracciones permitirá justificar al cálculo con decimales.

9 Una dificultad más en esta situación es la siguiente: dadas dos tiras de distinta longitud, ¿qué garantiza que repitiéndolas podrían empatar?. En el contexto en el que trabajamos, esta garantía estuvo dada por el hecho de que se trataba de porciones de chocolate que fueron hipotéticamente obtenidas de un reparto equitativo. Sin embargo, en la medida en que ese origen se aleja, se desvanece ese motivo.

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4 2 5

7

2

2

6

6 5

9 7

Una vez establecida la razón 17/4, se calculan las imágenes, por ejemplo, para 5cm:

Figura A Figura A’

4 7

:4

1 7/4

X5

5 35/4

El operador externo constante X7/4 subyace al conjunto de razones externas (7 4), (17/4), (5 35/4), y por lo tanto, no interviene explícitamente. Por su parte, el operador interno X5/7 subyace a la composición (:7) (x5) y tampoco interviene explícitamente. Así, hasta este punto, las fracciones intervienen únicamente como medidas, no como relaciones u operadores. Los operadores que intervienen son siempre naturales.

Detengámonos sólo un momento para comparar el valor unitario 1 cm 7/4 cm con otro valor unitario que ya se analizó: 1hoja 4/50 mm. Ambos proceden de razones entre medidas enteras (4cm 7cm) y (50h 4mm). La diferencia más importante es la función que están destinados a cumplir: en el caso de las hojas, la razón (50h4mm) funciona como precursora de una medida racional: 4/50 mm. No interesó, en ese momento, identificar al operador X4/50 mm/hoja. En cambio, en la situación del rompecabezas, la razón (4cm7cm) aunque también da lugar a una medida fraccionaria (1cm7/4cm), tendrá una función que va más allá: dar cuenta de una transformación cuantitativa de medidas. En este caso, interesará culminar el proceso identificándola explícitamente como el operador multiplicativo constante X7/4. A partir de este objetivo se comprende el interés de estudiar el método de reducción a la unidad en el contexto de una relación de semejanza geométrica y no, por ejemplo, de una relación entre magnitudes distintas: 1) el operador que será construido más adelante es un operador sin dimensión; 2) la situación facilita la posibilidad de verificación empírica y 3) la situación da lugar a relacionar varios valores de un conjunto inicial, con varios valores de un conjunto final, condición importante cuando interesa desatacar progresivamente la noción de aplicación.

En la secuencia de los Brousseau, se propicia mediante diversas situaciones que los niños identifiquen la razón (17/4) como una razón privilegiada debido a una serie de ventajas que ofrece: facilita el cálculo de cualquier imagen, cuando hay varias escalas en juego, permite distinguir las que “achican” de las que “agrandan”, y , sobre todo, permite ordenarlas de la que achica más a la que agranda más. La expresión 1b/a de la razón, equivalente a ab, se convierte así en la representante canónica de las transformaciones.

Con estas herramientas se abordan varios aspectos como la noción de aplicación recíproca y la multiplicación (todavía implícita) por fracciones y decimales en el papel de razón interna. Veamos un par de ejemplos.

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Si la aplicación es 1à7/4,¿cuánto mide en la copia un lado que en el figura original mide ¾ de cm?

A A’

1 7/4

:4

¼ 7/4:4 = 7/16

X3

3/47/16X3= 21/16

Si la aplicación es 1à2.3,¿cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 0.7 cm?

A A’

1 2.3

1 23/10

:10

0.1 23/100

X7

0.7161/100 = 1.61

Estas técnicas, basadas en la obtención de razones equivalentes a la razón externa a b ó 1 b/a mediante la conservación de las razones internas, requieren de un buen dominio del trabajo sobre razones internas, así como de la multiplicación y la división de una medida fraccionaria por un entero.

Subrayemos nuevamente el hecho de que, hasta aquí, las multiplicaciones solamente aparecen como expresiones de medidas. Los operadores (los números que se usan para multiplicar o dividir) son números naturales. La multiplicación por fracciones sigue estando implícita.

La multiplicación explícita por fracciones se introduce en un segundo momento de la secuencia, destacando la analogía funcional que guarda con el operador natural. Por ejemplo:

X4 X0.25

1 4 1 0.25

5 4X5 =20 5 xAsí como la razón 14 corresponde a la multiplicación X4, la razón 10.25 se

define como una multiplicación y se expresa como X0.25. De esta manera, multiplicar una medida c por un racional q, significa encontrar la

imagen de c dada por la razón 1 q:

Xq

1 q

c x = c x qEl operador Xq se convierte así en una segunda forma de dar cuenta de una

transformación multiplicativa, que nace de la forma anterior 1 q. Puede observarse una similitud entre esta definición y las antiguas definiciones de la multiplicación según las cuales “a X b es el número que es a a como b es a 1” 10. Podemos traducir esta última como: a X b es el valor que corresponde a a en la relación lineal 1 b. La multiplicación se define a partir de la noción de razón.

10 Es probable que este tipo de definiciones, mediante la idea de razón, daten de la época de Euclides. Mucho después, en el siglo VII, Alkhwarizmi define la multiplicación de esta manera, definición que subsistió hasta finales del siglo XIX y principios del XX en los textos de aritmética.

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No obstante, hay un punto débil no trivial en esta definición: cuando se utiliza el valor unitario para calcular las imágenes, el número racional, digamos 0.25, fue siempre una medida (0.25 cm) a la que se aplicó un multiplicador natural:

1 cm 0.25 cm(X5)

5 cm 5 veces 0.25 cm

En cambio, al definir a 0.25 como operador, la medida es ahora 5cm:

X0.25

1 cm 0.25 cm

5 cm 0.25 por 5cm

Entonces, definir al operador X0.25 como la relación 10.25 implica considerar la conmutatividad de la multiplicación (5 veces 0.25= 0.25 veces 5), haciendo abstracción de los distintos papeles que juegan el multiplicador y el multiplicando, lo cual no es simple.

Sin embargo, esta construcción presenta dos ventajas importantes: 1) recupera una noción que se ha trabajado de manera implícita durante un lapso de tiempo considerable, prácticamente desde los inicios de la multiplicación, a saber, la noción de razón constante 1 n, mn, y después 1n/m, y 2) recupera la construcción previa de las fracciones como medidas.

Notemos que en esta definición, el operador fraccionario no surge como un medio de cálculo. Los cálculos se han realizado hasta aquí mediante operadores enteros, internos. El operador surge como el nombre de un tipo de relación. No será sino hasta que se disponga de un algoritmo para aplicar este operador que éste se insertará en los cálculos.

En la secuencia de Brousseau, después de la definición explícita de la multiplicación por una fracción en tanto operador externo, los procedimientos internos siguen constituyendo durante un tiempo la base a partir de la cual se construyen y se justifican las relaciones y operaciones entre operadores. No es sino hasta el final de este proceso que las cantidades quedan atrás y el trabajo se realiza a nivel de los operadores. Es hasta este momento que la noción de razón, como relación que se expresa mediante parejas de cantidades, tiende a dejar su lugar a la noción número racional como aplicación lineal. Así, esta secuencia pone de manifiesto el papel fundamental que juega la noción de razón en el proceso de aprendizaje de la noción de fracción medida y de fracción aplicación lineal.

Comentario final

Los alumnos de 4º. a 6º. grado de primaria que entrevistamos muestran poder resolver problemas del tipo “valor faltante” y “comparación de razones”, que implican fracciones, tanto en el papel de expresar medidas como en el de expresar operadores multiplicativos, sin hacer explícitas las fracciones, manipulando razones de números naturales: “a de cada b”, “a por cada b”, “a entre b”, en vez de “a/b de”. En contra parte, muestran un bajo dominio de las fracciones.

Las mismas entrevistas permiten conjeturar que, al favorecer un trabajo con razones, además de poderse propiciar el desarrollo de la noción misma de razón, lo cual es un objetivo de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, se podría ayudar a enriquecer la noción de fracción que se estudia en este nivel: una medida fraccionaria, digamos ¾ de unidad, además de significar “tres partes de un cuarto de una unidad”, podría vincularse con razones equivalentes del tipo “por cada 4, se dan 3”, o “3

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entre 4” a las que subyace dicha medida. El operador multiplicativo “a/b de” podría significar aquello que tienen en común todas las razones del tipo “por cada a, b”.

Sin embargo, las articulaciones entre razones y fracciones no son espontáneas, deben propiciarse didácticamente, sin lo cual los alumnos, como tiende a ocurrir, se apropian solamente de esbozos de dos familias de técnicas para resolver problemas de proporcionalidad, unas formales y explícitas pero poco funcionales, las de las fracciones, otras implícitas, informales y funcionales, pero de alcance muy limitado, las de las razones.

Las secuencias didácticas que hemos revisado en las que se propicia una construcción de las fracciones a partir de las razones muestran la posibilidad y el interés de tal construcción. No obstante, estas secuencias son todavía muy complejas. Estudiar formas de articulación entre razones y fracciones a lo largo de secuencias didácticas es una tarea todavía inconclusa que puede valer la pena continuar. Por ejemplo, las secuencias didácticas que hemos comentado podrían constituir una segunda introducción a las fracciones en la escuela secundaria, cuando los niños ya conocen la interpretación como partes de unidad. En la primaria haría falta diseñar y estudiar en mayor medida situaciones que aseguren cierto nivel de vinculación entre razones y fracciones.

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Nuevas competencias profesionales para enseñar11

Introducción

Práctica reflexiva, profesionalización, trabajo en equipo y por proyectos, autonomía y responsabilidad ampliadas, tratamiento de la diversidad, énfasis en los dispositivos y las situaciones de aprendizaje, sensibilidad con el comportamiento y la ley, conforman un “escenario para un nuevo oficio” (Meirieu, 1989). Éste aparece en un marco de crisis, en un momento en el que los profesores tienden a recogerse en su clase y en las prácticas que han dado prueba de sus aptitudes. Dado el estado de las políticas y de las finanzas públicas de los países desarrollados, no habría motivos para reprochárselo. Sin embargo, puede esperarse que numerosos profesores aceptarán el desafío, por rechazo de la sociedad dual y del fracaso escolar que la prepara, por deseo de enseñar y de hacer aprender a pesar de todo, o incluso, por temor a “morir de pie, con una tiza en la mano, en la pizarra”, según la fórmula de Huberman (1989a) cuando resume la cuestión existencial que surge al acercarse el cuarenta aniversario en el ciclo de vida de los profesores (1989b).

Decidir en la incertidumbre y actuar en la urgencia (Perrenoud, 1996c) es una forma de caracterizar la experiencia de los profesores, que realizan una de las tres profesiones que Freud llamaba “imposibles”, porque el alumno se resiste al saber y a la responsabilidad. Este análisis de la naturaleza y del funcionamiento de las competencias está lejos de conseguirse. La experiencia, el pensamiento y las competencias de los profesores son objeto de numerosos trabajos inspirados en la ergonomía y la antropología cognitiva, la psicología y la sociología del trabajo, y el análisis de las prácticas.

Intentaré aquí abordar la profesión del docente de una manera más concreta, proponiendo un inventario de las competencias que contribuyen a redefinir la profesionalidad del docente (Altet, 1994). Tomaré como guía un referencial de competencias adoptado en Ginebra en 1996 para la formación continua, en cuya elaboración he participado activamente.

El comentario de esta cincuentena de enunciados, de una línea cada uno, sólo me compromete a mí. Podría ocupar 10 páginas así como 2000, puesto que cada entrada remite a aspectos completos de la reflexión pedagógica o de la investigación en educación. La dimensión razonable de esta obra se debe al hecho de que las competencias seleccionadas están reagrupadas en diez grandes familias y cada una da lugar a un capítulo autónomo. Me he empeñado en que éstas conserven una dimensión razonable remitiéndolas a las obras de Develay (1985), Houssaye (1994), De Peretti, Boniface y Legrand (1998) o Raynal y Rieunier (1997), para un tratamiento más enciclopédico de los distintos aspectos de la educación.

11 El tema de este libro ha aparecido anteriormente en el Éducateur, revista de la Société pédagogique romande, en doce artículos publicados en intervalos de tres semanas, durante el año escolar 1997-98. Agradezco profundamente a Cilette Creton, redactora del Éducateur, por haberme invitado a escribir esta serie de artículos. Éstos aparecen en el Éducaterur, en el núm. 10 (5 de septiembre de 1997, pp. 24-28), núm. 11 (26 de septiembre de 1997, pp. 26-31), núm. 12 (17 de octubre de 1997, pp. 24-29), núm. 13 (7 de noviembre de 1997, pp. 20-25), núm. 14 (28 de noviembre de 1997, pp. 24-29), núm. 15 (19 de diciembre de 1997, pp. 23-33), núm. 1 (23 de enero de 1998, pp. 6-12), núm. 2 (febrero de 1998, pp. 24-31), núm. 3 (6 de marzo de 1998, pp. 20-27), núm. 4 (1 de abril de 1998, pp. 22-30), núm. 15 (19 de abril de 1998, pp. 20-27), núm. 8 (26 de junio de 1998, pp. 22-27).

Philippe Perrenoud, “Diez nuevas competencias para enseñar”, Biblioteca para la Actualización del Maestro, SEP, México 2004, pp. 7-16.

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Mi propósito es distinto: dar a conocer competencias profesionales favoreciendo a las que surgen actualmente. Este libro no tratará las habilidades más evidentes, que siguen siendo de actualidad para “hacer la clase” y sobre las cuales Rey (1998) ha propuesto una interesante síntesis para la escuela elemental. Yo haré hincapié en lo que cambia y, por consiguiente, en las competencias que representan un horizonte, más que una experiencia consolidada.

Un referencial de competencias sigue siendo en general un documento bastante escueto, que a menudo se olvida con rapidez y que, poco después de su redacción, da motivo a todo tipo de interpretaciones. El referencial de Ginebra que me guiará aquí se ha desarrollado con una intención clara: orientar la formación continua para hacerla coherente con las renovaciones en curso del sistema educativo. Se puede leer pues como una declaración de intenciones.

Las instituciones de formación inicial y continua tienen necesidad de referenciales para orientar sus programas, los inspectores los usan para evaluar a los profesores en ejercicio y pedir explicaciones. No pretendo aquí hacer un uso particular del referencial adoptado, sino simplemente ofrecer un pretexto y un hilo conductor para construir una representación coherente del trabajo del profesor y de su evolución.

Esta representación no es neutra. No pretende dar cuenta de las competencias del profesor medio de hoy en día. Más bien describe un futuro posible y, a mi entender, deseable de la profesión.

En un periodo de transición, agravado por una crisis de las finanzas públicas y de las finalidades de la escuela, las representaciones se hacen añicos, no se sabe muy bien de dónde venimos ni adónde vamos. Así pues, lo más importante es descubrir la pólvora y algo más. Sobre temas de esta índole, el consenso no es ni posible, ni deseable. Cuando se busca la unanimidad, lo más inteligente es seguir siendo muy abstracto y decir, por ejemplo, que los profesores tienen que dominar los conocimientos que enseñan, ser capaces de impartir cursos, conducir una clase y evaluar. Si nos limitamos a las formulaciones sintéticas, seguramente todos coincidiremos en que la profesión del docente consiste también, por ejemplo, en “conducir la progresión de los aprendizajes” o “implicar a los alumnos en sus aprendizajes y en su trabajo”.

El acuerdo en estas evidencias abstractas puede esconder profundas divergencias en cuanto a la manera de utilizarlas. Veamos un ejemplo:

Practicar una pedagogía frontal, hacer regularmente controles escritos y poner en guardia a los alumnos con dificultades, avisándoles de un fracaso probable si no cogen de nuevo las riendas: he aquí una forma bastante clásica de “conducir la progresión de los aprendizajes”.

Practicar una evaluación formativa, un apoyo integrado y otras formas de diferenciación, para evitar que las diferencias no se acentúen, es otra forma más innovadora.

Cada elemento de un referencial de competencias puede, del mismo modo, remitir bien a prácticas más selectivas y conservadoras, o bien, a prácticas democratizadoras e innovadoras. Para saber de qué pedagogía o de qué escuela hablamos es necesario ir más allá de las abstracciones.

También es importante analizar con más detalle el funcionamiento de las competencias definidas, sobre todo para hacer el inventario de los conocimientos teóricos y metodológicos que movilizan. Por consiguiente, un trabajo profundo de las competencias consiste en:

Relacionar cada una con un grupo delimitado de problemas y tareas. Clasificar los recursos cognitivos (conocimientos, técnicas, habilidades, aptitudes,

competencias más específicas) movilizados por la competencia considerada.

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Tampoco existe un modo neutro de hacer este trabajo, puesto que la misma identificación de las competencias supone opciones teóricas e ideológicas, por lo tanto, una cierta arbitrariedad en la representación de la profesión y de sus facetas. He decidido retomar el referencial de Ginebra puesto en circulación en 1996, porque surge de una administración pública y ha sido objeto, antes de ser publicado, de varias negociaciones entre la autoridad escolar, la asociación profesional, los formadores y los investigadores. Es la garantía de una mayor representatividad que la que tendría un referencial construido por una sola persona. Como contrapartida, este referencial ha perdido un poco en coherencia, en la medida en que resulta de un compromiso entre varias concepciones de la práctica y las competencias.

Esta fabricación institucional no significa que esa división esté consensuada en el seno del cuerpo docente, suponiendo que cada practicante en ejercicio se tome la molestia de estudiarla con detenimiento... Las divergencias no se hallarían tan sólo en el contenido, sino en la misma oportunidad de describir las competencias profesionales de forma metódica. Nunca resulta inofensivo poner en palabras las prácticas y el rechazo de entrar en la lógica que las competencias pueden expresar; empezando por una reticencia para verbalizar y colectivizar las representaciones de la profesión. El individualismo de los profesores empieza, de algún modo, con la impresión de que cada uno tiene una respuesta personal y original a preguntas como: ¿qué es enseñar?, ¿qué es aprender?

La profesión no es inmutable. Sus transformaciones pasan sobre todo por la aparición de nuevas competencias (relacionadas, por ejemplo, con el trabajo con otros profesionales o con la evolución de las didácticas) o por el énfasis de competencias reconocidas, por ejemplo, para hacer frente a la heterogeneidad creciente de los públicos y a la evolución de los programas. Cualquier referencial tiende a pasar de moda, a la vez porque las prácticas cambian y porque el modo de concebirlas se transforma. Hace treinta años, no se hablaba de un modo tan corriente del tratamiento de las diferencias; de evaluación formativa; de situaciones didácticas; de práctica reflexiva o de metacognición.

El referencial seleccionado hace hincapié en las competencias consideradas prioritarias porque son coherentes con el nuevo papel de los profesores, con la evolución de la formación continua, con las reformas de la formación inicial y con las ambiciones de las políticas de la educación. Es compatible con los ejes de renovación de la escuela: individualizar y diversificar los itinerarios de formación, introducir ciclos de aprendizaje, diferenciar la pedagogía, ir hacia una evaluación más formativa que normativa, dirigir proyectos de institución, desarrollar el trabajo en equipos de profesores y la responsabilidad colectiva de los alumnos, situar a los niños en el centro de la acción pedagógica, recurrir a métodos activos, a la gestión de proyectos, al trabajo por problemas abiertos y situaciones problema, desarrollar las competencias y la transferencia de conocimientos y educar en la ciudadanía.

El referencial en que se inspira este libro intenta pues comprender el movimiento de la profesión, insistiendo en diez grandes familias de competencias. Este inventario no es definitivo, ni exhaustivo. Además, ningún referencial puede no garantizar una representación consensuada, completa y estable de una profesión o de las competencias que lleva a cabo. He aquí estas diez familias:

1. Organizar y animar situaciones de aprendizaje.2. Gestionar la progresión de los aprendizajes.3. Elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación.4. Implicar a los alumnos en sus aprendizajes y en su trabajo.5. Trabajar en equipo.6. Participar en la gestión de la escuela.

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7. Informar e implicar a los padres.8. Utilizar nuevas tecnologías.9. Afrontar los deberes y los dilemas éticos de la profesión.10. Organizar la propia formación continua.

Para asociar representaciones a estas fórmulas abstractas, dedicaremos un capítulo a cada una de estas diez familias. Si los títulos están sacados de un referencial adoptado por una institución en concreto, la forma de explicarlos sólo me compromete a mí. Estos capítulos no tienen más ambición que contribuir a formar representaciones cada vez más precisas de la competencia en cuestión. Es la condición de un debate y de un acercamiento progresivo de los puntos de vista.

He renunciado a las fichas técnicas, más analíticas, para conservar un enfoque discursivo. Para dar a conocer modos de preparar la clase, por ejemplo, en torno a la diferenciación, a la creación de situaciones didácticas o a la gestión de las progresiones a lo largo de un ciclo de aprendizaje, una argumentación me ha parecido más razonable que una lista de ítems cada vez más detallados. La urgencia no es clasificar el mínimo gesto profesional en un inventario sin fallos. Como propone Paquay (1994), consideremos un referencial como un instrumento para pensar las prácticas, debatir sobre la profesión, descubrir los aspectos emergentes o las zonas controvertidas.

Sin duda, para crear controles de competencias o de elecciones muy precisas de módulos de formación, convendría poner a disposición instrumentos más precisos. Esta empresa me parece prematura y podría desarrollarse en una etapa ulterior.

El mismo concepto de competencia merecería ser desarrollado ampliamente. Este atractor extraño (Le Boterf, 1994) suscita desde hace algunos años numerosos trabajos, al lado de los conocimientos de experiencia y de los conocimientos de acción (Barbier, 1996), en el mundo del trabajo y de la formación profesional, así como en la escuela. En varios países, se tiende asimismo a orientar el currículum hacia la creación de competencias desde la escuela primaria (Perrenoud, 1998a).

El concepto de competencia representará aquí una capacidad de movilizar varios recursos cognitivos para hacer frente a un tipo de situaciones. Esta definición insiste en cuatro aspectos:

1. Las competencias no son en sí mismas conocimientos, habilidades o actitudes, aunque movilizan, integran, orquestan tales recursos.

2. Esta movilización sólo resulta pertinente en situación, y cada situación es única, aunque se le pueda tratar por analogía con otras ya conocidas.

3. El ejercicio de la competencia pasa por operaciones mentales complejas, sostenidas por esquemas de pensamiento (Altet, 1996; Perrenoud, 1996, 1998g), los cuales permiten determinar (más o menos de un modo eficaz) una acción relativamente adaptada a la situación.

4. Las competencias profesionales se crean, en formación, pero también a merced de la navegación cotidiana del practicante, de una situación de trabajo a otra (Le Boterf, 1997).

Por lo tanto, describir una competencia vuelve, en larga medida, a representar tres elementos complementarios:

Los tipos de situaciones de las que da un cierto control. Los recursos que moviliza, conocimientos teóricos y metodológicos,

actitudes, habilidades y competencias más específicas, esquemas motores, esquemas de percepción, evaluación, anticipación y decisión.

La naturaleza de los esquemas del pensamiento que permiten la solicitación, la movilización y la orquestación de los recursos pertinentes, en situación compleja y en tiempo real.

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Este último aspecto es el más difícil de hacer objetivo, puesto que los esquemas de pensamiento no son directamente observables y sólo pueden ser inferidos a partir de prácticas y propósitos de los actores. Además, resulta difícil tener en cuenta la inteligencia general del actor –su lógica natural– y los esquemas de pensamiento específicos desarrollados en el marco de una experiencia concreta. Intuitivamente, se prevé que el profesor desarrolle esquemas de pensamiento propios de su profesión, distintos a los del piloto, del jugador de ajedrez, del cirujano o del agente de bolsa. Falta describirlos con más detalle.

En resumen, el análisis de competencias remite constantemente a una teoría del pensamiento y de la acción situados (Gervais, 1998), pero también del trabajo, la práctica como profesión y condición (Descolonges, 1997; Perrenoud, 1996c). Es decir, que nos hallamos en terreno pantanoso, a la vez que en el plano de conceptos e ideologías…

Un punto merece que le prestemos mayor atención: enmedio de los recursos movilizados por una competencia mayor, se encuentran en general otras competencias de alcance más limitado. Una situación de clase presenta en general múltiples componentes que hay que tratar de forma coordinada, incluso simultánea, para llegar a una acción acertada. El profesional dirige la situación globalmente, pero moviliza ciertas competencias específicas, independientes las unas de las otras, para tratar ciertos aspectos del problema, al modo de una empresa que subcontrata algunas operaciones de producción. Sabemos, por ejemplo, que los profesores experimentados han desarrollado una competencia muy preciada, la de percibir simultáneamente múltiples procesos que se desarrollan a la vez en su clase (Carbonneau y Hétu, 1996; Durand, 1996). El profesor experto “tiene ojos en la espalda”, es capaz de advertir lo esencial de lo que se trama en varias escenas paralelas, sin que ninguna lo deje estupefacto o lo angustie. Esta competencia apenas resulta útil en sí misma, pero constituye un recurso indispensable en una profesión en la que varias dinámicas se desarrollan constantemente en paralelo, incluso en una pedagogía frontal y autoritaria. Esta competencia se moviliza por numerosas competencias más globales de gestión de clase (por ejemplo, saber prever y prevenir el alboroto) o de animación de una actividad didáctica (por ejemplo, saber descubrir e implicar a los alumnos distraídos o con dificultades).

El referencial seleccionado aquí asocia a cada competencia principal algunas competencias más específicas, que son en cierto modo sus componentes principales. Por ejemplo, “conducir la progresión de los aprendizajes” moviliza cinco competencias más específicas:

Concebir y dirigir las situaciones problema ajustadas al nivel y a las posibilidades de los alumnos.

Adquirir una visión longitudinal de los objetivos de la enseñanza. Establecer vínculos con las teorías que sostienen las actividades de

aprendizaje. Observar y evaluar los alumnos en situaciones de aprendizaje, desde un

enfoque formativo. Establecer controles periódicos de competencias, tomar decisiones de

progresión.Cada una de estas competencias se podría analizar a su vez, pero permaneceremos en este nivel, por temor de que los árboles no nos dejen ver el bosque. Una análisis más detallado sólo tendría sentido para los que comparten globalmente las orientaciones y las concepciones globales del aprendizaje y de la acción educativa que sostienen los dos primeros niveles y exigen además poner el referencial al servicio de un proyecto común.

Yo no propondré un inventario sistemático de conocimientos ya expuesto, para no sobrecargar el propósito. Además rara vez se relacionan con una sola competencia. Tanto

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es así, que los conocimientos relativos a la metacognición son movilizados por las competencias tratadas en capítulos distintos, por ejemplo:

Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos. Trabajar a partir de los errores y los obstáculos al aprendizaje. Concebir y hacer frente a situaciones problema ajustadas a los niveles y

posibilidades de los alumnos. Observar y evaluar a los alumnos en situaciones de aprendizaje, según un

enfoque formativo. Practicar el apoyo integrado, trabajar con los alumnos con grandes

dificultades. Suscitar el deseo de aprender, explicitar la relación con el conocimiento, el

sentido del trabajo escolar y desarrollar la capacidad de autoevaluación en el niño.

Favorecer la definición de un proyecto personal del alumno.Una cultura en psicosociología de las organizaciones será, por su parte, movilizada por las competencias siguientes:

Instituir y hacer funcionar un consejo de estudiantes (consejo de clase o de escuela) y negociar con los alumnos distintos tipos de reglas y de contratos.

Liberalizar, ampliar la gestión de clase en un espacio más amplio. Desarrollar la cooperación entre alumnos y ciertas formas simples de

enseñanza mutua. Elaborar un proyecto de equipo, de representaciones comunes. Impulsar un grupo de trabajo, dirigir reuniones. Formar y renovar un equipo pedagógico. Hacer frente a crisis o conflictos entre personas. Elaborar, negociar un proyecto institucional. Organizar y hacer evolucionar, en el sí de la escuela, la participación de los

alumnos. Fomentar reuniones de información y debate. Prevenir la violencia en la escuela y en la ciudad. Participar en la instauración de reglas de vida común referentes a la

disciplina en la escuela, las sanciones, la apreciación de la conducta. Desarrollar el sentido de las responsabilidades, la solidaridad, el sentimiento

de justicia. Negociar un proyecto de formación común con los compañeros (equipo,

escuela, red).Comprendemos a través de estos dos ejemplos la relativa independencia del análisis de los conocimientos y del de las competencias, por lo menos en lo que se refiere a los conocimientos cultos nacidos de las ciencias de la educación. Los primeros se organizan según campos disciplinarios y problemáticas teóricas, mientras que el referencial de competencias remite a un análisis más pragmático de los problemas para resolver en este terreno.

A menudo, los conocimientos pertinentes serán nombrados “de paso”. Con frecuencia figurarán “indirectamente” en la descripción de las competencias. Si queremos “utilizar las nuevas tecnologías”, evidentemente tenemos que dominar los conceptos básicos y ciertos conocimientos informáticos y tecnológicos.

Otros conocimientos quedarán implícitos: todos los conocimientos de acción y de experiencia sin los que el ejercicio de una competencia se ve comprometida. A menudo son conocimientos locales: para utilizar un ordenador en una clase, hay que conocer las particularidades de la máquina, sus programas, sus periféricos y su posible conexión a una red. Cada practicante asimila dichos conocimientos con motivo de su pertenencia a

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una institución o a un equipo. También los crea a merced de su experiencia, a pesar de que estos conocimientos son para una parte de orden privado, por lo tanto, poco comunicables y difíciles de identificar. Demasiado generales o demasiado específicos, los conocimientos movilizados no son pues organizadores adecuados de un referencial de competencias.

El inventario elegido sin duda no es el único posible. Por supuesto se podrían proponer otras reagrupaciones, también del todo plausibles, de las 44 competencias específicas finalmente distinguidas. Fijémonos, sin embargo, en que los diez grandes dominios se han constituido al principio, mientras que las competencias más específicas no se han definido hasta un segundo tiempo. En este sentido, el referencial no nace de un método inductivo que formaría parte de una miríada de gestos profesionales descubiertos en el terreno. Este método, seductor en apariencia, conduciría a una visión bastante conservadora de la profesión y a una reagrupación de las actividades según criterios relativamente superficiales, por ejemplo, según los interlocutores (alumnos, padres, compañeros u otros) o según las disciplinas escolares.

Las diez familias resultan de una construcción teórica conectada a la problemática del cambio.

Por esta razón no se encontrarán en este referencial las categorías más consensuadas, tales como la construcción de secuencias didácticas, evaluación, gestión de clase. Por ejemplo, planificar un curso o las lecciones no figuran entre las competencias elegidas, por dos razones:

El deseo de romper la representación común de la enseñanza como “sucesión de lecciones”.

La voluntad de englobar los cursos en una categoría más amplia (organizar y fomentar las situaciones de aprendizaje).

Esta elección no invalida el recurso de una enseñanza magistral, que a veces es la situación de aprendizaje más apropiada, teniendo en cuenta los contenidos, los objetivos fijados y las obligaciones. Sin embargo, el curso debería convertirse en un dispositivo didáctico entre otros, utilizado en el momento oportuno, más que el emblema de la acción pedagógica, modalidad muy distinta que parece excepcional.

Sin ser la única posible, ni agotar los distintos componentes de la realidad, esta estructura de dos niveles nos guiará en un viaje alrededor de las competencias que, aunque sin duda menos épico que La vuelta al mundo en 80 días, nos conducirá a pasar revista a las múltiples facetas del oficio de profesor.

Este libro se presta, pues, a varias lecturas: Aquellos y aquellas que buscan identificar y describir las competencia

profesionales encontrarán en este libro un referencial, uno más, cuya única originalidad quizás reside en basarse en una visión explícita y argumentada de la profesión y su evolución.

Aquellos y aquellas que se interesen más bien por las prácticas y la profesión pueden hacer abstracción de las competencias, para seleccionar solamente los gestos profesionales que éstas sostienen.

Aquellos y aquellas que trabajan para modernizar y para democratizar el sistema educativo encontrarán en este libro un conjunto de proposiciones relativas a los recursos del cual depende el cambio.

Sobre ninguno de estos puntos, la investigación no da garantías en cuanto a los medios, ni respuesta en cuanto a las finalidades. La obra pretende ser una invitación al viaje, luego al debate, a partir de una constatación: los programas de formación y las estrategias de innovación se basan muy a menudo en representaciones poco explícitas y poco negociadas de la profesión y las competencias subyacentes, o bien, en referenciales técnicos y escuetos cuyas bases el lector no entiende.

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Referencial completo

Cuadro 1. Diez dominios de competencias consideradas prioritarias en la formación continua del profesorado de primaria.

COMPETENCIAS DE REFERENCIA

COMPETENCIAS MÁS ESPECÍFICAS PARA TRABAJAR EN FORMACIÓN CONTINUA (EJEMPLOS)

1. Organizar y animar situaciones de aprendizaje

Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay que enseñar y su traducción en objetivos de aprendizaje.

Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos.

Trabajar a partir de los errores y los obstáculos en el aprendizaje.

Construir y planificar dispositivos y secuencias didácticas.

Implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento.

2. Gestionar la progresión de los aprendizajes

Concebir y hacer frente a situaciones problema ajustadas al nivel y a las posibilidades de los alumnos.

Adquirir una visión longitudinal de los objetivos de la enseñanza.

Establecer vínculos con las teorías que sostienen las actividades de aprendizaje.

Observar y evaluar los alumnos en situaciones de aprendizaje, según un enfoque formativo.

Establecer controles periódicos de competencias y tomar decisiones de progresión.

3. Elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación

Hacer frente a la heterogeneidad en el mismo grupo-clase.

Compartimentar, extender la gestión de clase a un espacio más amplio.

Practicar un apoyo integrado, trabajar con los alumnos con grandes dificultades.

Desarrollar la cooperación entre los alumnos y ciertas formas simples de enseñanza mutua.

4. Implicar a los alumnos en su aprendizaje y en su trabajo

Fomentar el deseo de aprender, explicitar la relación con el conocimiento, el sentido del trabajo escolar y desarrollar la capacidad de autoevaluación en el niño.

Instituir y hacer funcionar un consejo de alumnos (consejo de clase o de escuela) y negociar con ellos varios tipos de reglas y acuerdos.

Ofrecer actividades de formación opcionales, “a la carta”.

Favorecer la definición de un proyecto personal del alumno.

5. Trabajar en equipo Elaborar un proyecto de equipo, de representaciones comunes.

Impulsar un grupo de trabajo, dirigir reuniones.

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Formar y renovar un equipo pedagógico. Afrontar y analizar conjuntamente situaciones

complejas, prácticas y problemas profesionales. Hacer frente a crisis y conflictos entre personas.

6. Participar en la gestión de la escuela

Elaborar, negociar un proyecto institucional. Administrar los recursos de la escuela. Coordinar, fomentar una escuela con todos los

componentes (extraescolares, del barrio, asociaciones de padres, profesores de lengua y cultura de origen).

Organizar y hacer evolucionar, en la misma escuela, la participación de los alumnos.

7. Informar e implicar a los padres

Favorecer reuniones informativas y de debate. Dirigir las reuniones. Implicar a los padres en la valoración de la construcción

de los conocimientos.

8. Utilizar las nuevas tecnologías

Utilizar los programas de edición de documentos. Explotar los potenciales didácticos de programas en

relación con los objetivos de los dominios de enseñanza. Comunicar a distancia a través de la telemática. Utilizar los instrumentos multimedia en su enseñanza.

9. Afrontar los deberes y los dilemas éticos de la profesión

Prevenir la violencia en la escuela o la ciudad. Luchar contra los prejuicios y discriminaciones sexuales,

étnicas y sociales. Participar en la creación de reglas de vida común

referentes a la disciplina en la escuela, las sanciones, la apreciación de la conducta.

Analizar la relación pedagógica, la autoridad, la comunicación en clase.

Desarrollar el sentido de la responsabilidad, la solidaridad, el sentimiento de justicia.

10. Organizar la propia formación continúa

Saber explicitar sus prácticas. Establecer un control de competencias y un programa

personal de formación continua propios. Negociar un proyecto de formación común con los

compañeros (equipo, escuela, red). Implicarse en las tareas a nivel general de la enseñanza

o del sistema educativo. Aceptar y participar en la formación de los compañeros.

Fuente: Archivo Formation continue. Programme des tours 1996-97. Enseñanza primaria, Ginebra. Servicio del perfeccionamiento, 1996. Este referencial ha sido adoptado por la institución bajo proposición de la comisión paritaria de la formación.

Organizar y animar situaciones de aprendizaje

¿Por qué presentar como una competencia nueva la capacidad de organizar y animar situaciones de aprendizaje? ¿No se halla en el mismo oficio de docente?

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Todo depende evidentemente de lo que se esconda bajo las palabras. Durante mucho tiempo el oficio de profesor ha sido identificado con el curso magistral, acompañado de ejercicios. La figura del magister remite a la del discípulo, que “bebe sus palabras” y continuamente se forma con su contacto, luego trabajando su pensamiento. Escuchar una lección, hacer ejercicios o estudiar en un libro pueden ser actividades de aprendizaje. De ahí que el profesor más tradicional pueda pretender organizar y fomentar dichas situaciones, un poco como el señor Jourdain hacía con la prosa, sin saberlo, o más exactamente, sin darle importancia. La idea misma de situación de aprendizaje no presenta ningún interés para los que piensan que a la escuela se va para aprender y que todas las situaciones se supone que han de servir a este propósito. Desde este punto de vista, insistir en las “situaciones de aprendizaje” no añade nada nuevo a la visión clásica del oficio de profesor. Esta insistencia incluso puede parecer pedante, como si se insistiera para decir que un médico “concibe y fomenta situaciones terapéuticas” en vez de reconocer simplemente que cura pacientes, al igual que el profesor instruye a sus alumnos. Excepto los que están familiarizados con las pedagogías activas y los trabajos en didáctica de las disciplinas, los profesores de hoy en día no se consideran espontáneamente como “diseñadores y animadores de situaciones de aprendizaje”.

¿Se trata de una simple cuestión de vocabulario o tienen motivos para resistirse a un modo de ver que sólo puede complicarles la vida? Cojamos el ejemplo del profesor universitario de primer ciclo, porque todavía se encuentra en la mayoría de países. El curso se imparte en un anfiteatro, delante de centenares de rostros anónimos. ¡Que entienda y aprenda quien pueda! Por un momento el profesor podría tener la ilusión de que crea de este modo, para cada uno, una situación de aprendizaje, definida por el hecho de escuchar la palabra magistral y el trabajo de la toma de notas, por la comprensión y la reflexión que se supone que suscita. Si lo piensa, se dará cuenta de que la estandarización aparente de la situación es una ficción, que existen tantas situaciones distintas como estudiantes. Cada uno vive el curso en función de sus ganas y su disponibilidad, de lo que oye y entiende, según sus medios intelectuales, su capacidad de concentración, lo que le interesa, lo que tiene sentido para él, lo que se relaciona con otros conocimientos o realidades que le resultan familiares o que logra imaginar. Llegado a este punto de reflexión, el profesor tendrá la sabiduría de suspenderla, so pena de considerar que en realidad, no sabe demasiado sobre las situaciones de aprendizaje que crea… Considerarse diseñador y animador de situaciones de aprendizaje tiene sus riesgos: ¡esto puede conducir a preguntarse sobre su pertinencia y eficacia!

El sistema educativo se construye por arriba. Por esta razón las mismas constataciones valen, hasta cierto punto, para la enseñanza secundaria y, en menor medida, para la enseñanza primaria. Cuando los alumnos son niños o adolescentes, no son tan numerosos y la enseñanza es más interactiva; se da más importancia a los ejercicios o a las experiencias conducidas por los alumnos (y no delante de ellos). Sin embargo, siempre y cuando practiquen una pedagogía magistral y poco diferenciada, los profesores no controlan realmente las situaciones de aprendizaje en las que sitúan a cada uno de sus alumnos. Como mucho pueden procurar, usando medios disciplinarios clásicos, que todos los alumnos escuchen con atención y se impliquen activamente, al menos en apariencia, en las tareas asignadas. La reflexión sobre las situaciones didácticas empieza con la pregunta de Saint-Onge (1996): “Yo enseño, pero ellos, ¿aprenden?”.

Sabemos, después de Bordieu (1996), que en realidad sólo aprenden, a merced de semejante pedagogía, los “herederos”, los que disponen de los medios culturales para sacar provecho aun enseñanza que se dirige formalmente a todos, en la ilusión de la igualdad, identificada en este caso con la igualdad de trato. Esto hoy en día parece evidente. No obstante, ha sido necesario un siglo de escolaridad obligatoria para empezar

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a poner en cuestión este modelo, comparándolo con un modelo más centrado en los estudiantes, sus representaciones, su actividad, las situaciones concretas en las que les sumergimos y sus efectos didácticos. Sin duda esta evolución ─inacabada y frágil─ tiene relación con la apertura de los estudios largos a públicos nuevos, lo cual obliga a preocuparse por aquellos para los que escuchar un curso magistral y hacer ejercicios no basta para aprender. Existen vínculos estrechos entre la pedagogía diferenciada y la reflexión sobre las situaciones de aprendizaje (Meirieu, 1989, 1990).

En la perspectiva de una escuela más eficaz para todos, organizar y animar situaciones de aprendizaje ya no es un modo a la vez banal y complicado de definir lo que hacen de manera espontánea todos los profesores. Este lenguaje hace hincapié en la voluntad de elaborar situaciones didácticas óptimas, incluso y en primer lugar para los alumnos que no aprenden escuchando lecciones. Las situaciones pensadas así se alejan de los ejercicios clásicos, que sólo exigen la puesta en práctica de un procedimientos conocido. Ahora bien. Siguen siendo útiles, pero ya no son el alfa y omega del trabajo en clase, no más que el curso magistral, limitado a funciones precisas (Éienne y Lerouge, 1997, p. 64). Organizar y animar situaciones de aprendizaje es mantener un lugar justo para estos métodos. Es sobre todo sacar energía, tiempo y disponer de las competencias profesionales necesarias para imaginar y crear otra clase de situaciones de aprendizaje, que las didácticas contemporáneas consideran como situaciones amplias, abiertas, con sentido y control, que hacen referencia a un proceso de investigación, identificación y resolución de problemas.

Esta competencia global moviliza varias competencias más específicas: Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que

enseñar y su traducción en objetivos de aprendizaje. Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos. Trabajar a partir de los errores y los obstáculos al aprendizaje. Construir y planificar dispositivos y secuencias didácticas. Comprometer a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos

de conocimiento.Analicémoslas, una a una, y recordemos que todas contribuyen a la concepción, la organización y la animación de situaciones de aprendizaje.

Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay que enseñar y su traducción en objetivos de aprendizaje

Conocer los contenidos que se enseñan es lo mínimo cuando se pretende instruir a alguien. Pero ésta no es la verdadera competencia pedagógica, sino que cosiste en relacionar los contenidos por un lado con los objetivos, y por el otro, las situaciones de aprendizaje. Esto no parece necesario cuando el profesor se limita a recorrer, capítulo tras capítulo, página tras página, el “texto del conocimiento”. Sin duda, ya existe transposición didáctica (Chevallard, 1991), en la medida en que el conocimiento se organiza en lecciones sucesivas, según un plan y a un ritmo que tiene en cuenta, en principio, el nivel medio y las adquisiciones anteriores de los alumnos, con momentos de revisión y otros de evaluación. En esta pedagogía los objetivos se definen de forma implícita por los contenidos: en resumen, se trata, para el alumno, de asimilar el contenido y de hacer la prueba de esta asimilación en una prueba oral, un control escrito o un examen.

La importancia de los objetivos ocupó un primer plano durante los años sesenta, con la “pedagogía de control”, traducción aproximada de la expresión inglesa mastery learning. Bloom (1979), su fundador, aboga por una enseñanza orientada por criterios de control, regulada por una evaluación formativa que conduzca a “remediaciones”. En esa

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misma época (Bloom, 1975) propone la primera “taxonomía de objetivos pedagógicos”, es decir, una clasificación completa de los aprendizajes enfocados a la escuela.

En los países francófonos, este enfoque ha sido a menudo caricaturizado con la etiqueta de pedagogía por objetivos. Hameline (1979) ha descrito las virtudes además de los excesos y los límites del trabajo por objetivos. Huberman (1988) ha demostrado que el modelo de la pedagogía de control sigue siendo pertinente, con la condición de ampliarla e integrar enfoques más constructivistas. Hoy en día, nadie aboga por una enseñanza guiada a cada paso por objetivos muy precisos, enseguida probados con el fin de una remediación inmediata. La enseñanza sin duda persigue objetivos, pero no de una forma mecánica y obsesiva. Estos intervienen en tres estadios:

El de la planificación didáctica, no para dictar situaciones de aprendizaje propias a cada objetivo, sino para identificar los objetivos trabajados en las situaciones consideradas, para elegirlas y fomentarlas con conocimiento de causa.

El del análisis a posteriori de situaciones y de actividades, cuando se trata de delimitar lo que realmente se ha desarrollado y modificar la serie de actividades propuestas.

El de la evaluación, cuando se trata de controlar las experiencias de los alumnos.

Traducir el programa en objetivos de aprendizaje y estos últimos en situaciones y actividades posibles no es una actividad lineal, que permitiría honrar cada objetivo por separado. Los conocimientos y habilidades de alto nivel se construyen en situaciones múltiples, complejas, de las cuales cada una persigue varios objetivos, a veces en varias disciplinas. Para organizar y favorecer semejantes situaciones de aprendizaje, es indispensable que el profesor controle los conocimientos, que tenga más de una lección de ventaja respecto a los alumnos y sea capaz de encontrar lo esencial bajo múltiples apariencias, en contextos variados.

“Lo que se concibe correctamente se expresa con claridad y las palabras para decirlo salen con facilidad”, decía Boileau. Hoy en día, nos encontramos más allá de este precepto. Para hacer aprender, no basta con estructurar el texto del conocimiento, luego “leerlo” de modo inteligible y con energía, sino que esto exige al menos talentos didácticos. La competencia necesaria hoy en día es controlar los contenidos con suficiente soltura y distancia para construirlos en las situaciones abiertas y las tareas complejas, aprovechando las ocasiones, partiendo de los intereses de los alumnos, explotando los acontecimientos, en resumen, favoreciendo la apropiación activa y la transferencia de conocimientos, sin pasar necesariamente por su exposición metódica, en el orden prescrito por un índice de contenidos.

Esta soltura en la gestión de las situaciones y contenidos exige un control personal, no sólo de los conocimientos, sino de lo que Develay (1992) llamaba la matriz disciplinaria, es decir, los conceptos, las preguntas, los paradigmas que estructuran los conocimientos en el seno de una disciplina. Si este control, la unidad de los conocimientos está perdida, los árboles esconden el bosque y la capacidad de reconstruir una planificación didáctica a partir de los alumnos y de los acontecimientos se ve debilitada.

De ahí la importancia de saber identificar los conceptos núcleo (Meirieu, 1989, 1990) o las competencias clave (Perrenoud, 1998a), en torno a las cuales organizar los aprendizajes y en función de las cuales guiar el trabajo en clase y fijar las prioridades. No tiene sentido pedir a cada profesor que haga solo, para su clase, una lectura de los programas para sustraer los núcleos. Sin embargo, incluso si la institución propone una reescritura de los programas en este sentido, corren el riesgo de convertirse en papel mojado para los profesores que no están dispuestos a consentir un importante trabajo de

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vaivén entre los contenidos, los objetivos y las situaciones. ¡A este precio navegarán en la cadena de la transposición didáctica como peces en el agua!

Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos

La escuela no construye a partir de cero, el alumno no es una tabla rasa, una mente vacía, al contrario, sabe “un montón de cosas”, se ha hecho preguntas y ha asimilado o elaborado respuestas que le satisfacen de forma provisional. Así pues, la enseñanza a menudo choca de frente con las concepciones de los alumnos.

Ningún profesor experimentado lo pasa por alto: los alumnos creen saber una parte de los que queremos enseñarles. Una buena pedagogía tradicional se sirve a veces de estos poquitos conocimientos como puntos de apoyo, pero el profesor transmite, al menos de forma implícita, el siguiente mensaje: “olvidad lo que sabéis, desconfiad del sentido común y de lo que os han contado y escuchadme, yo os diré cómo suceden en realidad las cosas”.

La didáctica de las ciencias (Giordan y De Vecchi, 1987; De Vecchi, 1992, 1993; Astolfi y Develay, 1996; Astolfi y otros, 1997; Joshua y Dupin, 1993) ha demostrado que nos libramos tan fácilmente de las concepciones previas de los alumnos; pues forman parte de un sistema de representaciones que tiene su coherencia y sus funciones de explicación del mundo y se reconstituye subrepticiamente, a pesar de las demostraciones irrefutables y las desmentidas formales aportadas por el profesor. Incluso al terminar los estudios científicos universitarios, los estudiantes vuelven al sentido común cuando se enfrentan, fuera del contexto del curso o del laboratorio, a un problema de fuerzas, calor, reacción química, respiración o contagio. Todo sucede como si la enseñanza teórica rechazara, durante el curso y el examen, una costumbre lista para reaparecer al instante en los otros contextos.

Lo que vale para las ciencias aparece en todos los dominios en que la ocasión y la necesidad de comprender no han esperado a que el tema sea tratado en la escuela…

Trabajar a partir de representaciones de los alumnos no consiste en hacer que se expresen para despreciarles inmediatamente. Lo importante es darles regularmente derecho de ciudadanía en la clase, interesarse por ellos, tratar de comprender sus raíces y su forma de coherencia, no sorprendernos de que éstas reaparezcan cuando las creíamos perdidas. Por esta razón, debe abrirse un espacio para la palabra, no censurar de forma inmediata las analogías falaces, las explicaciones animistas o antropomórficas, los razonamientos espontáneos, con el pretexto de que conducen a conclusiones erróneas.

Bachelard (1996) observa que a los profesores les cuesta entender que sus alumnos no comprenden, puesto que han olvidado el camino del conocimiento, los obstáculos, las incertidumbres, los atajos, los momentos de pánico intelectual o de vacío. Para el profesor, un número, una resta, una fracción son conocimientos adquiridos y triviales, así como el imperfecto, el concepto de verbo, concordancia o subordinada, o incluso el de célula, tensión eléctrica o dilatación. El profesor que trabaja a partir de las representaciones de los alumnos trata de reencontrar la memoria del tiempo en la que todavía no sabía, de ponerse en el lugar de los alumnos, de recordar que, si no lo entiende, no es por falta de buena voluntad, sino porque lo que al experto le parece evidente a los alumnos les parece complicado y arbitrario. No sirve de nada explicar cien veces la técnica de la división a un alumno que no ha entendido el principio de la numeración en distintas bases. Para aceptar que un alumno no entiende el principio de Arquímedes, se debe medir su extrema abstracción, la dificultad de conceptualizar la resistencia del agua o librarse de la idea intuitiva de que un cuerpo flota porque “demuestra sus esfuerzos para flotar”, como un ser vivo.

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Para imaginar el conocimiento ya construido en la mente del alumno, y que resulta un obstáculo para la enseñanza, no basta con que los profesores se acuerden de sus propios aprendizajes. Una cultura más amplia en historia y en filosofía de las ciencias podría ayudarles, por ejemplo a entender por qué la humanidad ha tardado siglos en rechazar la idea de que el Sol giraba alrededor de la Tierra o aceptar que una mesa sea un sólido esencialmente vacío, teniendo en cuenta la estructura atómica de la materia. La mayoría de los conocimientos cultos son contrarios a la intuición. Las representaciones y las concepciones a las cuales les enfrentamos no son únicamente las de los niños, sino sociedades del pasado y de una parte de los adultos contemporáneos. También resulta de utilidad que los profesores tengan algunas nociones de psicología genética. En una palabra, es importante que se enfrenten a los límites de sus propios conocimientos y (re)descubran que los conceptos de número imaginario, quanta, agujero negro, supraconductor, ADN, inflación o metacognición les ponen en un apuro, al igual que los alumnos frente a conceptos más elementales.

Falta trabajar a partir de las concepciones de los alumnos, entrar en diálogo con éstas, hacerlas evolucionar para acercarles conocimientos cultos que enseñar. Así pues la competencia del profesor es esencialmente didáctica. Le ayuda a apoyarse en las representaciones previas de los alumnos, sin cerrarse en ellas, a encontrar un punto de entrada en el sistema cognitivo de los alumnos, un modo de desestabilizarlos lo suficiente para conducirlos a restablecer el equilibrio incorporando elementos nuevos a las representaciones existentes, si es preciso reorganizándolas.

Trabajar a partir de los errores y de los obstáculos en el aprendizaje

Esta competencia está en la misma línea que la anterior. Se basa en el simple postulado de que aprender no es primero memorizar, almacenar las informaciones, sino más bien reestructurar su sistema de comprensión del mundo. Esta reestructuración requiere un importante trabajo cognitivo. Sólo se inicia para restablecer un equilibro roto, controlar mejor la realidad, a nivel simbólico y práctico.

¿Por qué se alarga la sombra de un árbol? Porque el Sol se desplaza, dirán los que, en la vida cotidiana, siguen pensando que el Sol gira alrededor de la Tierra. Porque la Tierra ha seguido su rotación, dirán los discípulos de Galileo. De ahí a establecer una relación precisa entre la rotación de la Tierra (o el movimiento aparente del Sol) y el alargamiento de una sombra inclinada, hay un paso, que supone un modelo geométrico y trigonométrico que a la mayoría de adultos les costaría trabajo encontrar o elaborar con rapidez. Pedir a alumnos de 11 o 12 años hacer un esquema que represente el fenómeno los sitúa, por lo tanto, ante obstáculos cognitivos que sólo podrán superar a costa de ciertos aprendizajes.

La pedagogía clásica trabaja a partir de obstáculos, pero favorece los que propone la teoría, los que encuentra el alumno en su libro de matemáticas o de física, cuando, al leer por tercera u octava vez el enunciado de un teorema o de una ley, todavía no entiende por qué la suma de los ángulos de un triángulo es 180° o cómo es posible que un cuerpo caiga con una aceleración constante.

Supongamos, por ejemplo, que pedimos a los alumnos que se imaginen que tienen que asaltar una fortaleza y calcular la longitud de la escalera que les permitirá franquear el foso de 6 metros de ancho para llegar a la cima de una muralla de 9 metros de altura. Si conocen el teorema de Pitágoras y son capaces de ver su pertinencia y aplicarlo correctamente a los datos, harán la suma de los cuadrados de 6 y de 9, es decir, 36 + 81 = 117, y de ahí deducirán que bastará con una escalera de 11 metros.

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Si no conocen el teorema de Pitágoras, deberán, o bien descubrirlo, o bien proceder del modo más pragmático, por ejemplo, construyendo una maqueta a escala reducida.

Según la edad de los alumnos y el programa que el profesor tenga en mente, éste puede introducir limitaciones, por ejemplo, prohibir el procedimiento más empírico, si quiere que descubran el teorema, o al contrario, favorecerlo, si quiere que induzcan un trabajo sobre las proporciones.

Según si conocen el teorema, que sean capaces de descubrirlo con ayuda o se encuentren a años luz de la solución, los alumnos no harán los mismos aprendizajes:

Si conocen el teorema, trabajarán “simplemente” la puesta en práctica o la transferencia de un conocimiento adquirido, en un contexto en el que su pertinencia no se observa a simple vista, puesto que hay que reconstruir un triángulo rectángulo, por lo tanto, identificar el foso y la muralla en los lados del ángulo recto, la escalera en la hipotenusa, pensando en Pitágoras. A este nivel, podríamos sugerir a los alumnos que tuvieran en cuenta el hecho de que no pondremos la escalera justo al borde del foso y que intentaremos que sobrepase un poco la cima de la muralla.

Si ”se acercan” al teorema, el obstáculo cognitivo será de otro tipo. Los alumnos deberán crear la intuición de que probablemente existe una regla que les permitiría, si la encuentran, calcular el problema sin titubear. Faltará descubrirla, luego formalizarla, fase en la que el profesor intervendrá sin duda proponiendo otras situaciones y quizás el teorema mismo, si cree que le falta tiempo para que la descubran o si considera, con razón o sin ella, que sus alumnos “nunca lo lograrán por sí solos”.

Si los alumnos no tiene ni idea de la posible existencia de un teorema aplicable, se contentarán con buscar una solución pragmática mediante estimaciones y simulaciones. El obstáculo será más metodológico que propiamente matemático, la situación se parecerá más a un problema abierto que una situación problema.

Una verdadera situación problema obliga a superar un obstáculo a costa de un aprendizaje inédito, ya se trate de una simple transferencia, de una generalización o de la construcción de un conocimiento completamente nuevo. El obstáculo se convierte entonces en el objetivo del momento, un objetivo obstáculo, según la expresión de Martinand (1986), utilizada de nuevo por Meirieu, Astolfi y muchos otros. Volveremos a este tema en el siguiente capítulo, a propósito del ajuste de las situaciones problema a las posibilidades de los alumnos.

Afrontar el obstáculo es afrontar el vacío, la ausencia de toda solución, incluso de cualquier pista o de cualquier método, la impresión de que nunca lo lograremos, de que está fuera de nuestro alcance. A continuación, si la transmisión del problema funciona, en otras palabras, si los alumnos se apropian de él, su pensamiento se pone en movimiento,

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crea las bases de hipótesis, procede a exploraciones, propone pruebas “para ver”. En un trabajo colectivo, se inicia la discusión, el choque de representaciones obliga a cada uno a precisar su idea y a tener en cuenta las de los otros.

Es entonces cuando el error de razonamiento y estrategia amenaza. Así, para demostrar el teorema de Pitágoras, por lo tanto, para probar que, en el triángulo rectángulo abc, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, incluimos generalmente el triángulo rectángulo en un rectángulo. Que el lector intente reconstruir el desarrollo del razonamiento y calcule el número de operaciones mentales que deben encadenarse correctamente y memorizar durante el trabajo para decir ¡eureka! Multiplique los errores y ¡esto se convierte en una verdadera carrera de obstáculos!

Ante una tarea compleja, los obstáculos cognitivos se constituyen, en gran medida, por pistas falsas, errores de razonamiento, estimación o cálculo. Sin embargo, el error también amenaza en los ejercicios más clásicos: “Al salir de casa esta mañana, llevaba dinero encima; durante el día, he gastado 70 euros, luego otros 40; ahora me quedan 120 euros. ¿Cuántos llevaba al salir de casa?”. Muchos alumnos calcularán 120 – 70 – 40 y les dará 10 euros, es decir, un resultado numéricamente justo a la vista de las operaciones propuestas, pero que no es la respuesta al problema y que, además resulta inverosímil, puesto que la cantidad inicial es inferior a la que se ha gastado en cada caso. Para comprender este error, hay que analizar las dificultades de la sustracción, y tener en cuenta el hecho de que en realidad se pide una suma para resolver un problema puesto en términos de gasto, por lo tanto, de sustracción (Vergnaud, 1980).

La didáctica de las disciplinas se interesa cada vez más por los errores e intenta comprenderlos, antes que combatirlos. Astolfi (1997) propone considerar el error como un instrumento para enseñar, un revelador de mecanismos de pensamientos del alumno. Para desarrollar esta competencia, el profesor evidentemente debe tener una cultura en didáctica y en psicología cognitiva. En resumen, debe interesarse por los errores, aceptarlos como etapas estimables del esfuerzo de comprender, esforzarse, no corregirlos (“¡No digas eso, sino eso!”), sino dar al alumno los medios para tomar conciencia de ello e identificar su origen y superarlos.

Construir y planificar dispositivos y secuencias didácticas

Una situación de aprendizaje se incluye en un dispositivo que la hace posible y a veces en una secuencia didáctica en la cual cada situación es una etapa en una progresión. Secuencias y dispositivos didácticos se incluyen a su vez en un pacto pedagógico y didáctico, reglas de funcionamiento, instituciones internas de la clase.

Los conceptos de dispositivo y de secuencia didáctica hacen hincapié en el hecho de que una situación de aprendizaje no se produce al azar, sino que la genera un dispositivo que sitúa a los alumnos ante una tarea que cumplir, un proyecto que realizar, un problema que resolver. No existe un dispositivo general, todo depende de la disciplina,

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de los contenidos específicos, del nivel de los alumnos, de las opciones del profesor. Practicar un método de proyecto requiere algunos dispositivos. El trabajo por situaciones problema requiere otros, los procesos de investigación incluso otros. En todos los casos, existe un cierto número de parámetros que controlar para que los aprendizajes esperados se realicen. Para entrar en más detalles, convendría considerar una disciplina en concreto. Un método de proyecto en geografía, una experimentación en ciencias, un trabajo sobre situaciones matemáticas o una pedagogía del texto precisan dispositivos variados.

Pongamos como ejemplo una serie de experiencias en torno al principio de Arquímedes, como se detallan en una obra del Grupo Francés de Nueva Educación (Laschkar y Bassis, 1985). Recordemos, para aquellos que lo hayan olvidado, que el principio de Arquímedes explica sobre todo por qué algunos cuerpos flotan. Cada cuerpo sumergido en un líquido experimenta una presión igual a la masa del volumen de líquido que éste ocupa. De lo cual se desprende:

Los cuerpos cuya densidad (o masa volumétrica) es superior a la del líquido se hundirán.

Los que tienen una densidad igual permanecerán en equilibrio (como un submarino estabilizado sumergido).

Aquellos cuya densidad es inferior a la del líquido volverán a la superficie y flotarán (como los barcos) y la línea de flotación delimitará la parte sumergida.

Se logra el equilibrio cuando la masa del líquido desplazado por esta parte es igual a la masa global del cuerpo que flota. Normalmente, se invita a los alumnos a sustituir mentalmente el cuerpo que flota por el líquido del que en cierto modo “ha cogido el sitio”. Entonces pueden entrever que si este líquido estuviera encerrado en una envoltura sin peso ni espesor, permanecería en el lugar, lo cual indica que ha experimentado una presión ascensional equilibrando su masa, que lo atrae hacia el fondo.

El profesor del GFEN (Grupo Francés de Nueva Educación), que enseña física en una clase de un instituto francés (5°, 13-14 años), se ha formado en biología. Sin duda esta es la razón por la cual no trata el principio de Arquímedes de un modo tan abstracto. Empieza por hacer reflexionar a sus alumnos sobre parejas de materias: pan-azúcar, madera-hormigón, hierro-plástico, sin referencia en este estadio a un líquido. Les pregunta cuál es la más pesada. Las primeras respuestas carecían de razonamiento, se basaban en una intuición sensible de la densidad, sin que se construyera el concepto. Luego viene la constatación decisiva: no se puede saber, “depende de la cantidad”.

¿Cuánto? Los alumnos llegarán a la conclusión ─después de reflexionar─ de que un kilo de plumas es tan pesado como un kilo de plomo. La cantidad se refiere por lo tanto al volumen. El profesor, partidario del principio de autosocioconstrucción de los conocimientos (Bassis, 1998; Vellas, 1996), evita facilitar el trabajo. No propone volúmenes de madera, hierro, plástico o hormigón iguales y de la misma forma, que bastaría con pesarlos. Pone a disposición de los alumnos fragmentos de volúmenes, formas y pesos variados, que no se prestan ni a una comparación directa por un peso, ni a una clasificación sencilla en volúmenes iguales. Poco a poco se van cumpliendo las condiciones para que surja el concepto de masa volumétrica.

En una segunda secuencia, el profesor propone tratar el mismo problema de otra forma. Da a cada equipo un trozo de plastilina y pide a los alumnos que midan con la mayor exactitud posible la masa y el volumen. Tienen a su disposición balanzas y probetas graduadas que se pueden llenar de agua y en las que se puede sumergir los trozos. Observaremos que los conceptos de masa y volumen, en este punto de los estudios, se consideran construidos y movilizables. El nuevo desafío es ponerlos en relación, de ahí derivará el concepto de masa volumétrica.

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Los alumnos pesan los bloques de plastilina gracias a una balanza y miden el volumen por inmersión, luego hacen una tabla comparativa:

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Masa en gramos 22 42 90 50 150Volumen en mililitros 15 30 150 35 100

Los resultados del equipo 3 van bien encaminados: la relación entre masa y volumen no es verosímil. El equipo está seguro del peso, quiere volver a medir el volumen. El profesor les pide que calculen este volumen, sin volver a usa la probeta. La clase se moviliza y llega a formulaciones del tipo: “cuando dividimos masa por volumen, el resultado es casi siempre el mismo”. O “hay que multiplicar el volumen por una cifra más grande que 1 y más pequeña que 2 para encontrar la masa”. Centrémonos ahora en las verificaciones y las pruebas que logran, después de varios intentos, designar y formalizar el concepto de masa volumétrica. La cuestión de saber si una materia es más pesada o ligera que otra puede reformularse de un modo más “científico”: ¿su masa volumétrica es superior o inferior? Los alumnos han entendido que sólo se podía comparar las masas que tenían un mismo volumen y que era una de las funciones de las unidades de volumen, que son volúmenes ficticios, que no se dividen físicamente.

El profesor introduce una tercera secuencia, a la que llama “¿Flota o se hunde?”, diciendo:

¡Un iceberg de 5000 toneladas, esto flota; una pequeña bola de hierro de 10 gramos, esto se hunde!”. Los alumnos le responden que el hierro es más pesado que el hielo. El profesor se sorprende, puesto que diez gramos “es una masa inferior a 5000 toneladas”. Los alumnos responden: “pero no se trata de la bola, sino del hierro. ¡La masa volumétrica, hombre! (Laschkar y Bassis, 1985, p. 60).

La disociación está hecha en la mente de los alumnos, la masa volumétrica del hierro existe de forma independiente de la bola, como la del hielo existe de forma independiente del iceberg. El camino hasta el descubrimiento del principio de Arquímedes todavía es largo y está plagado de trampas, pero se ha adquirido el instrumento conceptual indispensable.

Para una descripción más detallada de esta secuencia remito a la obra en cuestión, yo retengo aquí lo esencial, transportable a otros conocimientos, en otras disciplinas: la construcción del conocimiento es un progreso colectivo que el profesor orienta creando situaciones y aportando ayuda, sin convertirse en el experto que transmite el saber, ni el guía que propone la solución del problema.

Cuanto más nos adherimos a una conducta constructivista, más importante resulta concebir las situaciones que estimulan el conflicto cognitivo, entre alumnos o en la mente de cada uno, por ejemplo, entre lo que éste predice y lo que observa. El profesor no rechaza, dice sacar conejos de su chistera para provocar avances. Por ejemplo, sin comentarios, hunde dos trozos de hielo idénticos, uno en el agua, el otro en alcohol. Los distintos efectos obligan a los alumnos a percatarse de la masa volumétrica del líquido y a construir una relación entre masa volumétrica del sólido sumergido y masa volumétrica del líquido, base del principio de Arquímedes.

Dispositivos y secuencias didácticas buscan, para hacer aprender, movilizar a los alumnos ya sea para entender, ya sea para tener éxito, si es posible para las dos cosas (Piaget, 1974).

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Su concepción y su puesta en práctica suponen uno de los dilemas de toda pedagogía activa: bien invertir en proyectos que implican y apasionan a los alumnos, con el riesgo de que profesores y alumnos se encuentren prisioneros de una lógica de producción y de logro, bien aplicar dispositivos y secuencias centrados de un modo más abierto en aprendizajes y encontrar los puntos muertos de las pedagogías de la lección y del ejercicio (Perrenoud, 1998n).

Todo dispositivo se fundamenta en hipótesis relativas al aprendizaje y en relación con el conocimiento, el proyecto, la acción, la cooperación, el error, la incertidumbre, el éxito y el fracaso, el obstáculo y el tiempo. Si construimos dispositivos partiendo del principio de cada uno quiere aprender y acepta pagar el precio, se margina a los alumnos para los que la entrada al conocimiento no puede ser tan directa. Por lo contrario, los métodos de proyecto pueden convertirse en fines en sí mismos y alejar del programa. La competencia profesional consiste en utilizar un amplio repertorio de dispositivos y secuencias, adaptarlos o construirlos, e incluso identificar con tanta perspicacia como sea posible los que movilizan y hacen aprender.

Implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento

Acabamos de tratar este tema a propósito de los dispositivos didácticos. Hemos abordado el fenómeno más general de la motivación (Viau, 1994; Chappaz, 1996; Delannoy, 1997), la relación con el saber (Charlot, Bautier y Rochex, 1994; Charlot, 1997) y el sentido de la experiencia y del trabajo escolares (Develay, 1996; Rochex, 1995, Perrenoud, 1996a; Vellas, 1996). Los retomaremos en otro capítulo a propósito de la implicación de los alumnos en sus aprendizajes. Antes de ser una competencia didáctica de una gran precisión, relacionada con contenidos específicos, saber implicar a los alumnos en actividades de investigación y en proyectos de conocimientos pasa por una capacidad fundamental del profesor: hacer accesible y deseable su propia relación con el saber y con la investigación, encarnar un modelo plausible de alumno.

Cuando leemos “la utilidad de experiencias de pensamiento para hacer flotar los barcos”, sólo podemos retener los aspectos epistemológicos y didácticos de la secuencia descrita. Cada relación de conceptos, cada sucesión de experiencias plantea la cuestión de sus fundamentos y sus alternativas. También se puede debatir sobre el papel del profesor, entre intervenir y dejar hacer. Lo más importante permanece implícito: una secuencia didáctica semejante sólo se desarrolla si los alumnos se dejan atrapar por el juego y tienen realmente ganas de saber si el hormigón es más pesado que el hierro o por qué flota un iceberg, mientras que una bola de hierro minúscula se va a pique.

Ya no se trata, en los alumnos de trece años, de esa curiosidad insaciable y de esas ganas espontáneas de entender que se da en los niños de tres años, la edad de los “¿Por qué?”. En este punto de los estudios, los adolescentes ya han aprendido durante ocho o diez años las triquiñuelas del oficio de alumno (Perrenoud, 1996a). Ya no se les seduce con un enigma cualquiera. También conocen las triquiñuelas del oficio de profesor y reconocen a simple vista el aburrimiento del trabajo repetitivo bajo los inicios lúdicos de una tarea nueva. Reflexionan bastante rápido para acabar en cinco minutos con una adivinanza para juegos televisados. Así pues, para que aprendan hay que implicarles en una actividad de una cierta importancia y una cierta duración, que garantice una progresión visible y cambios en el paisaje, para todos los que no tienen la voluntad obsesiva de trabajar durante días en un problema que se resiste.

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El trabajo sobre la densidad y el principio de Arquímedes no es un método de proyecto clásico, en el sentido de que no hay producción social como objetivo. El producto es el conocimiento; el destinatario es el grupo y sus miembros. No está previsto presentar el principio de Arquímedes a los padres de los alumnos bajo la forma de una exposición al estilo de un museo de ciencias y técnicas, con paneles, experimentos y diaporamas. Podría ser una buena idea, pero insistiría en la comunicación de un conocimiento adquirido y sin duda ofrecería la ocasión de consolidarla, incluso de hacer acceder in extremis a una parte de los alumnos. El profesor del GFEN no elige este “disfraz”, como cuando se habla del de un agente secreto. Implica abiertamente a sus alumnos “en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento”.

Implica… El indicativo cobra aquí todo su sentido. En un deporte colectivo, podemos implicar el balón, éste no se niega. Pero los alumnos, nadie puede implicarse en su lugar. El profesor sólo puede decir “venga, implicaros”. Nos damos cuenta de qué delicado es encontrar un equilibrio entre la estructuración didáctica de la progresión y la dinámica del grupo clase. Una actividad de investigación se desarrolla generalmente en varios episodios, porque requiere tiempo. En la escuela, el horario y la capacidad de atención de los alumnos obligan a suspender la progresión para retomarla más tarde, al día siguiente, a veces a la semana siguiente. Según los momentos y los alumnos, estas intervenciones pueden ser beneficiosas o desastrosas. A veces interrumpen el progreso de las personas o del grupo hacia el conocimiento, otras veces permiten reflexionar, dejar las cosas que evolucionen en un rincón del pensamiento y volver con nuevas ideas y una energía renovada. La dinámica de una investigación siempre es a la vez intelectual, emocional y relacional. El papel del profesor es relacionar los buenos momentos, asegurar la memoria colectiva o confiarla a ciertos alumnos, poner a disposición o hacer que algunos alumnos busquen o confeccionen los materiales requeridos para experimentar. Durante cada sesión, disminuye el interés, el desánimo se apodera de algunos alumnos, cuando sus esfuerzos no se ven recompensados o cuando descubren que el problema puede esconder otro, por lo que no ven el final del túnel y abandonan. La implicación inicial a cada momento puede que se tenga que volver a poner en juego.

En un método de proyecto, el motor principal al que el profesor puede recurrir es el desafío del éxito de una tarea que pierde su sentido si ésta no conduce a un producto. A menudo, este desafío personal y colectivo va acompañado de un contrato moral con terceros: cuando se ha anunciado un periódico o un espectáculo, se intenta cumplir esta promesa. En una actividad de investigación, este contrato falta y parece finalmente bastante fácil resignarse a vivir sin conocer el principio de Arquímedes, incluso sin entenderlo. En una sociedad desarrollada, la vida de un adulto depende de un número increíble de procesos tecnológicos cuya existencia apenas sospecha y que será muy capaz de explicar. Se puede nadar y navegar sin conocer ni entender el principio de Arquímedes.

Podemos apostar a que la mayoría de los seres humanos que hacen flotar cuerpos o barcos desconocen el principio de Arquímedes. Utilizan reglas más prácticas, que derivan de la experiencia transmitida de generación en generación o del conocimiento teórico de los ingenieros. De ahí que un profesor no pueda legitimar una actividad de investigación demostrando sin problemas que el conocimiento ambicionado es de una importancia vital en la vida cotidiana de los seres humanos. Aquellos que, con motivo de una orientación especializada, tendrán que dominar de verdad esas teorías tendrán sobradas ocasiones de aprenderlas una y otra vez en la universidad. En la escuela, o incluso en el instituto, el utilitarismo no puede justificar la mayoría de los conocimientos enseñados y exigidos.

Por consiguiente, un proyecto de conocimiento no es fácil disfrazarlo de proyecto de acción ni tampoco situarlo en una perspectiva “práctica”, excepto negando la división del

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trabajo y el futuro probable de los alumnos. Los alumnos ven claramente que a su alrededor los adultos no entienden cómo funciona la nevera, la televisión o el lector de CD, que forman parte de su vida cotidiana. ¿Cómo hacerles creer que tendrán necesidad de conocimientos científicos en una sociedad en la que las tecnologías funcionan, nos guste o no, con el desconocimiento de sus fundamentos teóricos en la mayoría de sus usuarios? Para fomentar abiertamente un proyecto de conocimiento, luego hay que ser capaz de suscitar una pasión desinteresada por el conocimiento, por la teoría, sin tratar de justificarla, al menos durante la escolaridad básica, por un uso práctico que será el patrimonio de algunos especialistas.

¿Entonces, cómo convertir el conocimiento en apasionante por sí mismo? No se trata solamente de una cuestión de competencia, sino de identidad y de proyecto personal del profesor. Desgraciadamente, todos los profesores apasionados no se creen con el derecho de compartir su pasión, todos los profesores curiosos no logran hacer inteligible y contagioso su gusto del conocimiento. La competencia aquí descrita pasa por el arte de comunicar, seducir, animar, movilizar, interviniendo como persona.

Su pasión personal no basta si el profesor no es capaz de establecer una complicidad y una solidaridad creíbles en la búsqueda del conocimiento. Debe buscar con sus alumnos, aunque tenga un poco de ventaja, por lo tanto renunciar a la imagen del profesor “que lo sabe todo”, aceptar mostrar sus propios errores e ignorancias, no ceder a la tentación de hacer la comedia de que controla, no situar siempre el conocimiento al lado de la razón, la preparación del futuro y el éxito. En cuanto a los profesores a quienes dejan indiferentes los conocimientos que enseñan, ¿cómo esperar que susciten el mismo estremecimiento entre sus alumnos?

Todas las competencias comentadas aquí son importantes componentes didácticos. Ésta última, más que las otras, nos recuerda que la didáctica descansa en todo momento en la cuestión del sentido y de la subjetividad del profesor y el alumno, por lo tanto, también en las relaciones intersubjetivas que se construyen a propósito del conocimiento, pero no se desarrollan únicamente en el registro cognitivo.

Nos lo imaginamos. La capacidad de organizar y fomentar situaciones problema y otras situaciones de aprendizajes fértiles supone competencias bastante cercanas a las que exige un proceso de investigación de más larga duración. Sin embargo, mientras que una situación problema se organiza en torno a un obstáculo y desaparece una vez éste se ha superado, un proceso de investigación parece más ambicioso, puesto que invita a los alumnos a construir ellos mismos la teoría. La progresión alrededor de la masa volumétrica, y el principio de Arquímedes puede interpretarse como una serie de situaciones problema: cada una permite afrontar un nuevo obstáculo, que debe ser superado para que prosiga el progreso. La diferencia se halla pues en que en el pensamiento del profesor y los alumnos nos encontramos en un programa de trabajo a medio plazo. Idealmente, sin duda es de este modo como se debería conducir a los alumnos para construir todos los conocimientos científicos, en biología, química, geología, física, pero también en economía o en geografía. Desgraciadamente, los procesos de investigación exigen tiempo, por lo que las progresiones didácticas, de las que hablaremos ahora, se organizan a menudo en función de los conceptos previstos en el programa más que en una lógica de investigación, más caprichosa y ansiosa de tiempo.

Las situaciones problema, lo veremos ahora, representan una forma de compromiso entre estas dos lógicas.

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PRINCIPIOS ORIENTADORES DE LA EVALUACIÓN CONSTRUCTIVA

El presente libro tiene la intención de ayudar a los profesores a encontrar sus propias respuestas a las interrogantes sobre evaluación en matemáticas y a avanzar hacia la transformación de sus prácticas de evaluación en prácticas más constructivas y más efectivas. Pero, ¿qué se entiende exactamente por evaluación constructiva?

Nuestra respuesta debe tomar en cuenta las dos partes integrantes de la transacción evaluadora.

Para un profesor, la evaluación es un proceso en el cual reunimos evidencias, hacemos inferencias, llegamos a conclusiones y actuamos según dichas conclusiones. La evaluación es constructiva cuando el foco de atención en cada etapa del proceso es el aprendizaje matemático del estudiante. En resumen, la evaluación es constructiva cuando nos ayuda a fomentar el aprendizaje del estudiante.

Para un estudiante, la evaluación es una oportunidad de mostrar su entendimiento y sus habilidades matemáticas. Además, es una conversación con el profesor sobre qué se ha aprendido y qué cosas permanecen oscuras, y sobre qué elementos fueron de utilidad y cuáles no en el aprendizaje del estudiante. La evaluación es una oportunidad para tener una retroalimentación recíproca y es una fuente de sugerencias de acción. En síntesis, desde la perspectiva del estudiante, la evaluación se vuelve constructiva cuando valora lo que el estudiante ya puede hacer y le ayuda a aprender lo que todavía no domina.

Lo que caracteriza a una evaluación constructiva es que el aprendizaje del estudiante está en el núcleo del proceso de evaluación. Éste es el primer principio orientador del presente libro. En las páginas siguientes irán surgiendo algunos temas clave adicionales.

La evaluación debe representar nuestros objetivos y valores sobre la instrucción. Nuestra evaluación debe reflejar nuestros conocimientos y creencias sobre cómo sería una actividad matemática de calidad. Debe proporcionar un enlace sólido entre nuestra instrucción y el aprendizaje del estudiante. Además, la evaluación debe fomentar los usos de la matemática escolar que enriquecerán a nuestros estudiantes durante toda su vida.

La evaluación es intercambio de información. La evaluación debe facilitar el intercambio de información entre profesor y estudiante, y entre otros miembros de la comunidad escolar. Esta información debe estar relacionada con una buena actividad matemática, con un aprendizaje efectivo de las matemáticas y con una

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efectiva enseñanza de las matemáticas. Nuestra selección de estrategias de evaluación debe asegurar el intercambio de información de calidad y ayudarnos a mantener un diálogo constructivo con nuestros estudiantes sobre su aprendizaje y nuestra enseñanza.

La evaluación debe optimizar la expresión del estudiante sobre su aprendizaje. Las tareas de evaluación deben maximizar las oportunidades de los estudiantes de expresar los resultados de su aprendizaje, más que restringirlos sólo a la imitación de los procedimientos enseñados.

La evaluación debe tener un valor instructivo. Una buena evaluación debe ser sinónimo de una buena instrucción. Por tanto, debe ser posible justificar el uso de una estrategia de evaluación basándose en argumentos de instrucción. Los estudiantes deben aprender algo de su participación en las actividades de evaluación y nosotros debemos aprender algo sobre los estudiantes a partir de su participación en las actividades de instrucción. En muchos casos, las actividades de evaluación y de instrucción serán indistinguibles.

La evaluación debe fomentar la acción. Las técnicas de evaluación deben desarrollarse, elegirse e instrumentarse con el propósito de informarse sobre las acciones de alguien. Después de todo, nadie adquiere la estatura que tiene sólo por el hecho de ser medido. Como profesores debemos preguntarnos a nosotros mismos, ¿de qué manera esta actividad de evaluación promueve y da información sobre las acciones emprendidas por mí, por otros profesores, por los estudiantes y por los padres u otros miembros de la comunidad?

Una parte central de los puntos anteriores es la sustitución de la medición como la metáfora subyacente de la evaluación. Las escuelas ya no pueden fingir que un número o una calificación puede caracterizar de manera apropiada o útil el aprendizaje matemático del estudiante.

De manera adecuada. De acuerdo con los estándares de evaluación del NCTM (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, por sus siglas en inglés), “la evaluación es el proceso de recolección de evidencias sobre el conocimiento del estudiante sobre las matemáticas, su capacidad de uso y su disposición hacia ellas…” Esta imagen polifacética no puede estar representada por una sola medida, del mismo modo que no se puede caracterizar a una persona dando solamente su altura.

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De manera útil. La evaluación es un proceso que tiene una variedad de propósitos. Un número o una calificación no proporciona detalle suficiente para informar sobre nuestras acciones como profesores, sobre las acciones de los padres de los estudiantes o sobre las acciones de los mismos estudiantes.

Hasta que no se reconozca universalmente la necesidad de caracterizar el aprendizaje (en vez de sólo medir un desempeño), los profesores deberán iniciar la evaluación constructiva mediante la selección inteligente e intencional de estrategia de evaluación, y mediante una comunicación efectiva de la información arrojada por la evaluación. Esto requiere el compromiso con la evaluación y no tener más evaluaciones. Para algunos profesores, un compromiso con la evaluación constructiva significará trabajar de manera independiente en un medio poco cooperativo para asegurar que su evaluación contribuya positivamente en la mejora de su enseñanza y en el aprendizaje de sus estudiantes. Al hacerlo, proporcionarán un modelo para otros profesores sobre lo que se puede hacer.

El proceso de instrumentación de una evaluación constructiva empieza con una claridad de nuestra parte sobre lo que estamos tratando de lograr. En lo que resta del libro explicaré con más detalle los objetivos principales de fomentar el aprendizaje del estudiante y de mejorar la enseñanza en términos de tres funciones de evaluación constructiva: en la parte 1 se ven las cuestiones que tienen que ver con el modelado de una buena práctica a través de la evaluación; en la parte 2 se establece una variedad de estrategias prácticas para inspeccionar una buena práctica; en la parte 3 se analiza cómo nuestra evaluación puede informar sobre una buena práctica. En el apéndice A se proporcionan algunas referencias para apoyar el diálogo del profesor con otros miembros de la comunidad escolar con respecto a una evaluación innovadora. En el apéndice B se proporciona una gama de tareas matemáticas que poseen un potencial tanto de instrucción como de evaluación.

VIGILANCIA DE LA BUENA PRÁCTICAPOR PARTE DE PROFESORES Y ESTUDIANTES

El papel de vigilancia de la evaluación probablemente es la mejor establecida de sus funciones. En un cierto sentido, en la parte 1 se trató sobre qué debe vigilar la evaluación. En la parte 2 se tocará la cuestión de cómo se puede llevar mejor tal vigilancia.

Selección de la tarea correcta

El contrato didáctico está caracterizado por obligaciones recíprocas entre profesor y estudiante. Este aspecto del contrato

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queda más explícito en nuestras prácticas de evaluación. Me gustaría sugerir que la cláusula clave del contrato es lo que se podría llamar la cláusula de exhibición:

Es responsabilidad del estudiante exhibir entendimiento y es responsabilidad del profesor proporcionar la oportunidad y los medios para que se dé dicha exhibición.

El reconocimiento y la aceptación de tales responsabilidades recíprocas determinarán los esfuerzos del profesor y del estudiante.

La evaluación constructiva debe incorporar una gama suficiente de tareas para cumplir con nuestras obligaciones del contrato didáctico. En particular, tal evaluación debe atender el lenguaje, el uso de herramientas, el nivel de sofisticación, el tipo de tarea, el contexto y el modo de comunicación. Ninguna tarea sola puede atender de manera adecuada todas estas dimensiones. Sin embargo, sería improbable que un programa de matemáticas de un año, estructurado para garantizar una representación equitativa de cada una de dichas dimensiones en la selección de tareas de instrucción y de evaluación no represente tanto al contenido matemático como del estudiante.

El maestro selecciona tareas de evaluación sobre la base de un conjunto de criterios que varían de un profesor a otro, de una clase a otra y de un tema a otro. La gama de tareas que se tienen disponibles en la actualidad es emocionante y significan un reto. ¿Cómo, entonces, seleccionamos la tarea correcta para nuestro propósito?

Diferentes maneras de evaluación requieren diferentes tareas. Una tarea equivocada restringirá o incluso negará el valor de una actividad de evaluación. Por ejemplo, una tarea de procedimiento trivial ofrece muy poco para tener acceso al conocimiento del estudiante cuando se le utiliza como parte de una evaluación observativa. Por el contrario, un extenso problema no rutinario puede proporcionar poco sobre el aprendizaje del estudiante si se le presenta como parte de un examen con el tiempo contado. Necesitamos criterios para guiar la selección de tareas adecuadas que contribuyan a nuestro propósito y concuerden con el método de evaluación elegido.

Un conjunto de criterios se relaciona con el modelado efectivo de las matemáticas de calidad. Tales criterios implican el uso de lenguaje matemático, herramientas matemáticas y pensamiento matemático sofisticado, en el sentido analizado en la parte 1. Aquí pondremos nuestra atención en criterios que implican el tipo de desempeño matemático, la diversidad del contexto de la tarea y la manera de comunicarse.

Tipo de desempeño matemático

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La mayoría de los profesores organizan sus lecciones alrededor del contenido matemático, y la mayoría de los paquetes curriculares toman su estructura de una secuencia de tal contenido (algunos programas de matemáticas difieren de este modelo al adoptar un planteamiento integrado o temático en el cual las lecciones están ligadas por un tema común o un contexto común en lugar de una materia matemática en particular). Cuando el currículo matemático se organiza en temas de contenido específico, como “graficación de ecuaciones lineales” o “semejanza y congruencia”, la evaluación se estructura de manera parecida para documentar el desempeño adecuado dentro de las categorías de contenido especificadas por el programa. Algunas tareas nuevas de resolución de problemas, sin embargo, requieren la puesta en marcha de combinaciones de habilidades de uso de herramientas matemáticas tomadas de dominios diferentes. Muchos argumentan que tales tareas son útiles precisamente debido a que hacen que el estudiante muestre la capacidad de elegir las herramientas matemáticas apropiadas y combinarlas en un proceso adecuado de solución.

El programar dichas tareas en un currículo organizado por contenidos puede ser difícil debido a que el maestro no necesariamente puede prever las habilidades matemáticas o los conceptos que se traen. Sin embargo, tales tareas de resolución de problemas representan un tipo diferente de tarea y componentes importantes de la matemática de calidad. Como tales, debemos programarlas no de acuerdo con las habilidades matemáticas que se requiere para llevarlas a cabo, sino de acuerdo con el tipo de tarea y el tipo de desempeño matemático que se pide al estudiante.

Aquí, el principio subyacente es que los programas matemáticos contemporáneos deben representar un modelo de actividad matemática valiosa. Nuestra evaluación debe, de manera semejante, constituir una representación válida y adecuada de las matemáticas escolares. Para construir un curso de matemáticas en el que se incluya una evaluación con validez representativa, debemos identificar las dimensiones a través de las cuales debe mantenerse la representación. El tipo de desempeño matemático es una de tales dimensiones.

El análisis de la jerarquía del uso de herramientas de la parte 1 puede ser utilizado para diferenciar tipos de desempeño matemático. El simple algoritmo instructivo que se muestra en el recuadro correspondiente a la muestra de desempeños en un currículo en espiral puede servir como una referencia para elegir tareas representativas de estos tipos de desempeño. Aunque nuestro objetivo debe ser una dieta equilibrada de tareas, esto no significa que cada cucharada deba ser una cucharada equilibrada. Por ejemplo, es claro que no sería práctico asignar un proyecto de investigación por cada tema introducido durante un curso anual de matemáticas, sino que en este tiempo los estudiantes deberán tener la oportunidad de llevar a cabo cada

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tipo de desempeño en diferentes ocasiones. Sin embargo, debemos considerar si es necesario requerir que el estudiante se involucre en todos los tipos de desempeño con relación al mismo contenido matemático. Parece razonable suponer que la capacidad de un estudiante de utilizar una habilidad matemática en particular al resolver un problema no rutinario, dependerá en cierto grado de la amplitud de la experiencia que tenga al utilizar dicha habilidad en una variedad de situaciones. La noción de currículo en espiral ilustrada en el recuadro presupone que durante su carrera escolar los estudiantes practicarán determinadas habilidades o repasarán ciertos conceptos en niveles mayores de sofisticación.

El algoritmo del currículo en espiral sugiere jerarquía de tipos de desempeño correspondientes a los cuatro modos del uso de herramientas descritos en la parte 1. Por tanto, identifica cuatro formas diferentes de desempeño matemático con fines de evaluación. La jerarquía de los tipos de desempeño también proporciona una estructura práctica de una hoja de trabajo semanal que deberá llenarse en casa (desde luego, la hoja de trabajo debe darse con menos frecuencia; lo que importa es la estructura).

Estructura de una hoja de trabajo semanal

Parte A Cuatro tareas de rutina sobre el contenido de la semana.Parte B Tres buenas preguntas sobre el contenido del año pasado relacionado

con el presente.Parte C Dos preguntas de aplicación que requieran un contenido visto hace dos

añosParte C Un problema difícil relacionado con un contenido visto hace tres años

Este planteamiento supone que un desempeño sofisticado requiere experiencia actualizada en el uso de un concepto o de una habilidad. Algunos estudiantes desarrollarán la capacidad de un desempeño sofisticado con más rapidez que otros, y con más rapidez de la sugerida en el algoritmo. Un programa de evaluación deberá proporcionar a los estudiantes la oportunidad de mostrar cada tipo de desempeño. El hecho de si se requiere algún tipo de desempeño está determinado por el currículo o por el criterio del maestro.

Una preocupación manifestada por los profesores es que no existe una gama suficiente de tareas disponibles para modelar estos diferentes tipos de desempeño matemático.

Muestra de desempeños en un currículo en espiral

Los estudiantes deben tener la oportunidad de hacer lo siguiente:

a. Resolver problemas nuevos en los que se requiera el uso de las matemáticas vistas hace tres años (elección de herramienta).

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Un golfista golpea la pelota de modo que ésta sigue la trayectoria mostrada. Trace un gráfica en la que esté representada la velocidad de la pelota a través del tiempo durante su movimiento. Escriba un párrafo en el que se explique la forma de la gráfica.

b) Aplicar en situaciones conocidas las matemáticas vistas hace dos años (aplicación de la herramienta).

El costo de un viaje en taxi se calcula sumando el “banderazo” (una cantidad fija que se paga por subirse al taxi) el “costo del viaje” (costo por kilómetro multiplicado por el número de kilómetros recorridos). El costo del viaje en taxi de Anne fue de $80 por un recorrido de 16 km. Sugiera posibles valores de los costos del banderazo y del recorrido. Identifique la combinación que usted prefiere y justifique su selección.

c) Demostración de entendimiento de las matemáticas vistas hace un año (entendimiento de la herramienta).

Una recta pasa por el punto (2, 1). Encuentre al menos cinco posibles ecuaciones para esta recta.

d) Recuerdo y reproducción de las matemáticas vistas este año (posesión de la herramienta).

Encuentre el punto de intersección de las rectas y = 2x – 1 y y = 12 – x.

En el apéndice A se proporcionan fuentes que el profesor puede consultar para aumentar su repertorio de tareas matemáticas. En el apéndice B se ofrece un continuo de tareas matemáticas que comprende doce tipos de tareas con un ejemplo de cada uno. Pero la más útil fuente de tareas es el profesor mismo. Una tarea generada por el maestro se ajustará de manera más precisa a las necesidades y competencias de la clase y, en consecuencia, proporcionará información más útil para el maestro y para el estudiante.

Algunos profesores carecen de confianza en el desarrollo de tareas abiertas. Un profesor dijo lo siguiente:

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Necesito una guía para crear preguntas abiertas. Los profesores (al menos con los que trabajo) no saben cómo transformar preguntas tradicionales en preguntas abiertas.

Las “buenas preguntas” representan un tipo de tarea abierta que se puede desarrollar fácilmente mediante la adaptación de preguntas convencionales (Sullivan y Clarke, 1991). Las buenas preguntas son específicas del contenido, pero son lo suficientemente abiertas para proporcionar a la mayoría de los estudiantes la oportunidad de mostrar lo que saben a través de una gama de niveles de sofisticación. He aquí algunos ejemplos de este tipo de tarea.

Escribe las ecuaciones de al menos cinco rectas que pasen por el punto (2, 1).

Se redondea un número a 5.8. ¿Cuál puede ser este número?

El promedio de cinco números es 17.2. ¿Cuáles podrían ser los números?

Dibuja un triángulo con un área de 12 unidades cuadradas.

Todas estas tareas tienen la característica de proporcionar a los estudiantes algo que parece la respuesta a una tarea convencional y de pedirles que sugieran posibilidades que podrían llevar a dicha respuesta. Se pide entonces a los estudiantes que exploren el procedimiento matemático relacionado desde una dirección diferente. Cada uno de los ejemplos también tiene la virtud de permitir al estudiante la opción de proporcionar una sola “solución”, múltiples soluciones o una solución general. Como resultado, estas tareas pueden constituir instrumentos de evaluación que disciernen entre niveles de respuesta del estudiante. Por ejemplo, con relación a la pregunta:

Se redondea un número a 5.8. ¿Cuál puede ser este número?

Es posible que se den los siguientes niveles de respuesta y todos proporcionan información.

Sin respuesta o una respuesta incorrecta.

Un solo valor: 5.81

Varios valores: 5.77, 5.79, 5.81

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Una lista sistemática: 5.75, 5.76, 5.77, 5.78, 5.79, 5.80, 5.81, 5.82, 5.83, 5.84

Una clase de soluciones (definida de manera más o menos precisa):

El menor posible es 5.75 y el mayor es menor a 5.85 {x: 5.75 ₤ x < 5.85}

Es necesario hacer conscientes a los estudiantes de estos diferentes niveles de respuesta y de sus méritos relativos, incluso en el caso en que sólo algunos de ellos se desempeñen en el nivel más sofisticado. También debe hacérseles ver el valor de una respuesta general. Sin embargo, para el estudiante que proporcione sólo una respuesta numérica, ésta será correcta pues también cumple con las condiciones de la tarea.

Diversidad de los contextos de las tareas

El pensamiento matemático actual exige que se ubiquen las tareas matemáticas en contextos específicos. Un muestreo adecuado del comportamiento de un estudiante requiere que haya una variación de dichos contextos. Esta variación contextual también implica la promesa de facilitar el uso posterior del estudiante de las matemáticas en contextos diferentes fuera del salón de clase.

Una dificultad que se tiene al utilizar tareas contextualizadas con fines de evaluación es decidir qué tanto peso se le dará a la coherencia contextual de la respuesta del estudiante y cuánto al dominio de habilidades matemáticas. Considere, por ejemplo, la tarea siguiente.

El departamento de Fred tiene un área de 60 metros cuadrados y tiene cinco cuartos. Traza un plano de la posible distribución del departamento de Fred. Etiqueta los cuartos y muestra sus dimensiones (largo y ancho).

La respuesta de Alan fue la siguiente (Clarke y Helme, 1994):

Si usted fuera maestro de Alan, ¿qué haría? ¿La consistencia matemática de esta solución sobrepasa a la consistencia contextual? Es claro que nadie diseñaría un departamento real en el cual uno tuviera que pasar por el baño y

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2 m 2m 2m 2m 2m

Sala Recámara Recámara Baño Cocina6 m

dos recamaras para ir de la cocina a la sala. Si el objetivo fuera evaluar el entendimiento de Alan sobre el concepto de área, tal vez su respuesta sea satisfactoria. Sin embargo, si se esperaba un plan más sofisticado y, como consecuencia, una división menos trivial de los 60 metros cuadrados de área, entonces podría castigarse a Alan por la trivialidad de su solución o por su inconsistencia contextual.

La dificultad es que Alan puede reconocer lo poco práctico de su diseño. Puede ser que no haya pensado que la cuestión práctica fuera un criterio importante en la evaluación de un curso de matemáticas. De hecho, cuando se le preguntó sobre la solución que había dado, Alan dijo:

Estaba pensando en las matemáticas. Tal vez la respuesta venga de la forma en que uno aprende matemáticas, sólo haciendo cálculos y aprendiendo a hacer cálculos. Pero si estuviera planeando una extensión de la casa… hubiera pensado de otro modo (Clarke y Helme, 1994).

Por tanto, la respuesta de Alan puede no indicar incapacidad de contextualizar con éxito las matemáticas, sólo una falta de reconocimiento de la necesidad de hacerlo. Su respuesta estuvo de acuerdo con su entendimiento del contrato didáctico que rige las clases de matemáticas. Si queremos evaluar el desempeño de Alan de una manera justa, entonces primero debemos establecer un entendimiento mutuo del significado que se le debe dar al contexto de un problema y del grado en que su solución debe tomar en cuenta el contexto. Esto es, debemos establecer los términos de un nuevo contrato didáctico con nuestros estudiantes.

La investigación sugiere que la interacción del estudiante con el contexto de una tarea es algo altamente personal. Para algunos estudiantes el ubicar la tarea en algún contexto representa un nivel adicional de dificultad, mientras que otros estudiantes hallan en el uso de contextos conocidos una ayuda para llevar a cabo la tarea. Por tal motivo se deben emplear las dos tareas siguientes en la evaluación del entendimiento de un estudiante del concepto de promedio:

El máximo promedio anual de temperatura de dos ciudades de Estados Unidos es de 65°F. Una de las ciudades tuvo una variación en el promedio mensual máximo de 60°F durante todo el año, mientras que la otra sólo tuvo una variación de 20°F. Sugiere dos ciudades para las cuales lo anterior pueda ser cierto. Da las posibles temperaturas máximas promedio mensuales para cada ciudad por cada mes del año.

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El promedio de cinco números es de 17.2. ¿Cuáles podrían ser los números?

En resumen, la obligación del maestro consiste en utilizar tareas que constituyan una muestra de la variedad de contenidos y de un cierto conjunto de detalles contextuales.

Modos de comunicación

Hasta este punto hemos considerado diversos tipos de matemáticas y de contextos en los cuales se puedan ubicar las tareas. También es importante variar los modos de comunicación matemática que exigimos en nuestra evaluación. Un profesor mencionó una de las dificultades más comunes:

[Uno de mis principales problemas es] cómo evaluar de manera eficiente a los estudiantes que no pueden desempeñarse correctamente cuando la tarea es oral, pero se desempeñan terriblemente bien cuando la tarea es escrita o cuando tiene que leer.

Esta aseveración se refiere a la necesidad de incluir múltiples modos de comunicar nuestra evaluación si queremos obtener un panorama preciso del conocimiento del estudiante. También llama la atención hacia la necesidad de apoyar a los estudiantes cuando una tarea requiere la comunicación de la respuesta y éstos todavía no han adquirido una buena experiencia. Siempre que sea posible y adecuado, se les debe ofrecer a los estudiantes la oportunidad de mostrar su entendimiento matemático a través de representaciones físicas, cálculos numéricos, construcciones geométricas, narraciones y explicaciones, representaciones teatrales y notaciones simbólicas. Se les puede pedir que realicen tareas de manera gráfica, oral, visual y electrónica (a través de un software computacional). Al utilizar tareas que cubran una cierta gama de modos de expresión, los profesores pueden ubicar el modo preferido del estudiante y las habilidades de lenguaje que posee al tiempo que se responsabilizan en ayudar al estudiante a desarrollar una competencia en todos los modos de comunicación. No es necesario ni apropiado emplear todos los modos de comunicación al dar una respuesta a una tarea o en cualquiera de los contenidos, sino que el profesor debe mostrarse receptivo cuando los estudiantes sugieran que otro modo de comunicación podría permitirles mostrar con más efectividad su conocimiento.

Proyectos matemáticos

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Una de las características de la nueva currícula en matemáticas es el cada vez mayor uso de problemas matemáticos extensos y de proyectos de investigación. Esta tendencia representa una valoración, por parte de la comunidad de educación matemática, de una nueva forma de desempeño matemático cuyo significado es suficiente para darle un tratamiento por separado.

Debido a la naturaleza extensa del proyecto, estas tareas representan una oportunidad para que el estudiante tenga un control significativo sobre la forma de responder, tanto en términos de contexto como en términos del modo de comunicación. Una selección de proyectos adecuados para estudiantes de bachillerato podría contener lo siguiente:

Aproximación y error. Investiga el uso de la aproximación en la medición científica y relaciónala con el error experimental. Tu informe debe contener ejemplos específicos de situaciones reales en las cuales la aproximación y el error sean importantes, y también debes especificar el papel que juegan las matemáticas en el entendimiento y el manejo de la aproximación y del error. Tu informe debe incluir una parte escrita, pero también puede contener diagramas, modelos, demostraciones o alguna forma de presentación verbal o visual.

Simetría. Identifica una profesión (por ejemplo, ingeniería, arquitectura, artes gráficas, física o coreografía). Describe al menos tres diferentes situaciones en las cuales haya simetría y que sea importante para alguien que trabaje en dicha profesión. Especifica las matemáticas que se necesitan para un mejor entendimiento del papel de la simetría en tales situaciones. Tu informe debe incluir una parte escrita, pero también puede contener diagramas, modelos, demostraciones o alguna forma de presentación verbal o visual.

Probabilidad. Identifica tres situaciones en las que la falta de entendimiento de la probabilidad pueda tener serias consecuencias en la vida de una persona, profesión o en la supervivencia humana. Las situaciones deben ser realistas, y debes presentarlas de manera realista, ya sea en forma escrita o mediante una presentación teatral. El informe debe (a) especificar la importancia de la probabilidad en la situación elegida, (b) describir las consecuencias de la falta de entendimiento de la probabilidad y (c) describir con detalle cómo la probabilidad debe utilizarse a favor del individuo. Tu informe debe incluir una parte escrita, pero también puede contener diagramas, modelos, demostraciones o alguna forma de presentación verbal o visual. Incluye todos los cálculos importantes en tu informe.

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Los proyectos pueden adquirir muchas formas y tener muchos propósitos; los tres ejemplos anteriores representan un tipo posible. Todos le ofrecen al estudiante la oportunidad de integrar conceptos y habilidades matemáticos relacionados y aplicarlos en un contexto de su elección.

Otro tipo de proyecto, adecuado para estudiantes más chicos, requiere que se involucren en las matemáticas asociadas con una tarea realista específica. He aquí algunos ejemplos de este tipo de proyecto.

Estacionamientos. Rediseña el estacionamiento de la escuela para mejorar su eficiencia, capacidad y seguridad.

Latas de refresco. Diseña una lata de refresco de aluminio que contenga un volumen apropiado y sea atractiva, fácil de manejar y de almacenar, y económica de hacer.

Excursión. Planea una excursión de tu grupo a algún sitio de interés y haz una estimación de los costos.

Juego. Diseña un juego de mesa, incluyendo su tablero y un conjunto claro de reglas.

Vacaciones. Determina el presupuesto de un viaje de vacaciones para un grupo de cuatro personas a un lugar turístico dentro del país.

Al igual que con otros proyectos, incluya las instrucciones: “Tu informe debe incluir una parte escrita, pero también puede contener diagramas, modelos, demostraciones o alguna forma de presentación verbal o visual”. La mayoría de los profesores también deberían estar preparados para aceptar sugerencias de los estudiantes sobre proyectos alternativos del mismo tipo que el estudiante prefiera desarrollar. Un profesor describió esta situación de la manera siguiente:

En ocasiones, los muchachos traen problemas o hacen sugerencias. El encargado del mantenimiento ha sido una buena fuente de problemas. Una vez necesitaba drenar un tubo y deseaba saber qué tan grande debería ser el recipiente en donde iba a recoger el líquido del tubo. La clase le hizo el cálculo. En una escuela todavía usan carbón para calentarse y tienen una carbonera con una forma extraña. Deseaban encontrar su volumen, de modo que los estudiantes lo calcularon.

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Los proyectos ofrecen un cambio de ritmo con respecto a la actividad matemática habitual en un salón de clase. Esto puede ser una fuente de satisfacción y de diversión tanto para el estudiante como para el maestro, como se puede apreciar en el siguiente comentario de un maestro de matemáticas:

Nos emocionan los proyectos. Se muestran en el salón, enfrente de la escuela. Uno de los proyectos es hacer un juego.

A medida que aumenta la complejidad de la tarea, también lo hace la complejidad de cualquier calificación sobre el desempeño. Mientras que resulta difícil especificar criterios de evaluación con detalle, parece razonable requerir que el estudiante lleve a cabo lo siguiente:

Cumpla con los términos específicos del proyecto.

Emplee las matemáticas apropiadas a su nivel.

Relacione las matemáticas con el proyecto de manera sensible y con conocimiento de causa.

Defina todos los términos significativos que se requieren en su solución o describe todas las situaciones de manera clara y sucinta.

Produzca una respuesta internamente consistente (tanto matemática como contextualmente) y coherente con el contexto según lo haya descrito.

Una pregunta que puede hacerse a todos los estudiantes que estén desarrollando el proyecto es. ¿El proyecto tiene sentido?

La pregunta que debe hacerse con respecto al currículo de matemáticas completo es: ¿este currículo ofrece a cada estudiante la oportunidad de aprender matemáticas importantes y adecuadas? El punto esencial al escoger la tarea correcta, ya sea que ésta implique el recordatorio rutinario de un procedimiento, un desafiante problema no rutinario o un extenso proyecto de investigación, se puede plantear en la pregunta siguiente: ¿es el desempeño requerido para llevar a cabo esta tarea consistente con los objetivos del currículo de matemáticas? También se debe hacer otra pregunta más: ¿la evaluación ofrece a cada estudiante la oportunidad de mostrar las matemáticas que ha aprendido? Debemos ser capaces de responder a estas tres preguntas de manera afirmativa.

Exámenes contrarreloj

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Una observación final sobre la elección de la tarea de evaluación correcta tiene que ver con el uso de pruebas o exámenes contrarreloj. Algunos desempeños matemáticos simplemente requieren más tiempo del que por lo general se tiene en las pruebas convencionales en el aula. El poner este tipo de tareas en una prueba contrarreloj no tiene ningún provecho para la evaluación.

De hecho, la imposición de una restricción de tiempo en una actividad de evaluación es muy difícil de argumentar si no es por conveniencia. Es verdad que un tiempo excesivo para un examen puede ocasionar problemas operativos para el profesor y problemas de motivación y de concentración para el estudiante. Sin embargo, con un tiempo de examen inadecuado se corre un serio riesgo de obtener información imprecisa sobre el entendimiento del estudiante.

Si, por ejemplo, deseamos evaluar la capacidad de un estudiante de llevar a cabo una investigación matemática extensa, entonces una prueba con el tiempo restringido sería inadecuada. Si deseamos verificar qué hay en la caja de herramientas matemáticas del estudiante, entonces un examen contrarreloj podría ser conveniente y eficiente. Este tipo de pruebas o exámenes pueden ser apropiados para una gama limitada de propósitos. Con cualquiera de las técnicas de evaluación, los profesores necesitan equilibrar el método con el propósito y preguntarse si la información proporcionada por la prueba contrarreloj será válida y útil. La información es válida si refleja de manera precisa las aptitudes del estudiante en algún aspecto del currículo matemático o su entendimiento. Es útil si tiene el potencial de conducir a una acción constructiva por parte del profesor, del estudiante o de los padres.

Evaluación observativa

Anteriormente, hice énfasis en que los maestros evalúan todo el tiempo durante el curso de instrucción. Un ejemplo importante de evaluación es la observación planeada de los estudiantes involucrados en actividades educativas. Existen tres cosas que importan para el uso efectivo de la evaluación observativa:

Una selección apropiada de tareas.

Un aula favorable para la evaluación.

Un método sucinto y efectivo de registro de cualquier entendimiento que surja de la observación de los estudiantes.

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Un buen escenario para la evaluación observativa debería verse de la manera siguiente:

El grupo se divide en pequeños equipos. Se les proporciona una tarea, por lo general abierta y para la cual se requiera más que el recordar un procedimiento enseñado. Cada equipo trabaja cooperativamente en la tarea y produce un informe grupal de su solución. Este informe puede ser verbal o escrito. Un planteamiento común consiste en pedir que cada equipo dé su informe brevemente a todo el grupo y luego, a la luz de los comentarios y de las críticas de los demás estudiantes, escribir el informe para ser entregado a profesor. Mientras los estudiantes se encuentran trabajando en la tarea, el profesor puede ir de un equipo a otro, tomando notas con respecto al comportamiento de los estudiantes a los cuales se les debe animar sobre las fortalezas que se deben reconocer y las debilidades que se deben hacer notar.

Cualquier tarea en el aula que se refiera a un contenido matemático legítimo puede proporcionar una visión del aprendizaje matemático del estudiante. Ya hemos analizado los criterios para elegir la tarea correcta. Con el propósito de llevar a cabo una observación, puede ser particularmente útil proponer tareas extensas que animen a los estudiantes a trabajar en colaboración. En el escenario que acabo de describir, por ejemplo, cualquiera de las cuatro tareas siguientes sería apropiada.

Utilizando sólo el rollo de papel que se les dio, encuentren y muestren la estatura promedio de su grupo.

Si podemos mover uno de los vértices de un triángulo alrededor de una circunferencia, ¿cuál es el lugar geométrico del ortocentro del triángulo?

(Haz una exploración utilizando el Geómetra.)

¿Cuántos elefantes hay en los Estados Unidos?

Si P(x) es un polinomio en x de la forma:

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an-1 xn–1 + an xn

y Q(x) es otro polinomio en x de la forma:

Q(x) = an + an-1 x + an-2 x2 + … + a1 xn–1 + a0xn

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¿Cuál es la relación entre las raíces de los dos polinomios P(x) y Q(x)?

Un aula favorable a la evaluación

En un aula favorable a la evaluación, el estudiante tiene la responsabilidad de ciertos aspectos de la evaluación y la oportunidad de tomar decisiones con respecto a los modos de evaluación que prefiere, tiene también la oportunidad de comentar sobre su aprendizaje y el tipo de enseñanza que ha recibido e, incluso, de diseñar preguntas de examen o temas de investigación. Para optimizar la efectividad de su evaluación informal, usted no necesita un conjunto especial de orientaciones sobre qué buscar o un conjunto especial de preguntas con las cuales probar el entendimiento de sus estudiantes. Usted necesita una amplia y rica selección de actividades. Y, fundamentalmente, necesita moverse por el salón de clase mientras se llevan a cabo tales actividades y hablar con los estudiantes, intentando mostrarse sensible a lo que está sucediendo. Si las actividades son interesantes y educativas, y la atmósfera del aula es propicia a enfrentar retos y obtener apoyo, entonces es muy probable que haya el intercambio de información de evaluación útil.

Sin embargo, hay ciertos comportamientos de los profesores que pueden reprimir el intercambio de información útil o generar una información pobre o no realista. En particular, un “tiempo de espera” inadecuado ha sido identificado como una fuente principal de información poco realista y de juicios erróneos.

Las principales cuestiones que tienen que ver con el tiempo de espera se pueden resumir con facilidad. Cuando hacemos una pregunta ya sea al grupo completo o a un pequeño grupo de estudiantes, existen tres momentos cruciales en los cuales debemos hacer una pausa.

1. Después de plantear la pregunta y antes de nombrar al alumno que le gustaría que respondiera. “¿Cuál es el área de un rectángulo de 9 x 7 cm? [Tiempo de espera 1] ¿Steve?

2. Después de nombrar al estudiante y antes de hacer cualquier otra afirmación o comentario. Muchos de nosotros podemos ser muy malos en esto. En lugar de incomodar al alumno, nos inclinamos a lanzarnos con una sugerencia o dirigir rápidamente la pregunta a otro estudiante. Déle al estudiante tiempo para responder. [Tiempo de espera 2]

3. Después que el estudiante ha respondido. Dé tiempo para que todos piensen en la respuesta antes de que

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usted haga cualquier comentario, incluso pedirle a otro estudiante que responda. [Tiempo de espera 3]

El tiempo de espera puede ser relevante sólo en situaciones en las que está involucrada la clase entera, pero la investigación sobre el tiempo de espera ha revelado características importantes sobre algunas de nuestras prácticas menos constructivas. Por ejemplo, todos los maestros se forman un perfil mental de la competencia matemática de cada estudiante. Considere dos estudiantes, uno al cual usted ha clasificado como muy capaz (Miguel) y otro que parece intentarlo sin mucho éxito (María). ¿Quién debería tener el mayor tiempo de espera cuando responde una pregunta? La investigación sugiere que es el alumno más capaz quien recibe el mayor tiempo de espera. ¿Por qué? Bueno, usted no espera que María responda. Su desempeño anterior en clase no le sugiere que tenga probabilidad de éxito, de modo que rápidamente cambia el foco de su atención a Miguel, en quien usted tiene confianza que responderá correctamente. Tal vez Miguel sea también un tanto lento para responder. Bueno, usted espera de todos modos: es un estudiante capaz, llegará a la respuesta. Como consecuencia, María, a quien se le dio la tarea de responder en un tiempo inadecuado, ha cumplido con sus expectativas, mientras que Miguel, con el beneficio de su tolerancia en espera de una respuesta correcta, finalmente la da, como usted sabía que lo haría.

La dispareja distribución del tiempo de espera ha sido documentada consistentemente en la literatura. Desgraciadamente, los mensajes intercambiados en dichos cuestionamientos en clase hacen más que confirmar el juicio del profesor, pueden establecer y consolidar una autoestima negativa en el estudiante. ¡Y éstos pueden ser erróneos! Éste es un importante mensaje que nos envía la investigación sobre el tiempo de espera, y se aplica de manera general a cualquier interacción profesor-estudiante.

En un salón favorable a la evaluación, el estudiante es escuchado. Sabe que se le dará el tiempo suficiente para ordenar su pensamiento y formular una respuesta. Y, como profesor, usted sabe que obtendrá información de mejor calidad.

Desde luego, la evaluación observativa es sólo una de muchas herramientas que el profesor tiene a su disposición. Incluso en las mejores condiciones, los juicios derivados de la evaluación informal están sujetos a error, del mismo modo que los juicios derivados de los exámenes. Como recalqué en un principio, necesitamos comprometernos con múltiples modos de evaluación, en parte para evitar juicios profesionales incorrectos. Analizaremos brevemente una manera de controlar la consistencia de los mensajes recibidos a través de diferentes canales de evaluación.

En este caso, el mensaje esencial es que la evaluación constructiva es un componente visible e integral de la actividad

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en el salón de clase, componente en el cual los estudiantes están invitados a desempeñar un papel activo. Lejos de estar oculta, la evaluación observativa es una valoración pública de las matemáticas y del aprendizaje de los estudiantes.

Técnicas de registro del profesor

Muchos profesores utilizan listas de verificación para registrar la adquisición de parte de los estudiantes de habilidades y conceptos clave. Pero mientras estas listas de verificación pueden constituir un efectivo registro acumulativo, pueden ser una herramienta poco práctica en el aula. Un método popular de seguir el rastro de los entendimientos que ofrece la actividad educativa es la lista de verificación comentada. El objetivo aquí es registrar sólo la información que signifique un reto o que amplíe el entendimiento del profesor con respecto al estudiante: el estudiante capaz que experimenta dificultades inesperadas o que muestra una falta de entendimiento; el estudiante que ha sido calificado como “no muy bueno” y que muestra un entendimiento inesperado; un entendimiento súbito de la fuente de dificultad de un estudiante; el surgimiento de nuevos comportamientos o capacidades no detectadas con anterioridad, como liderazgo, perseverancia, entendimiento de un nuevo concepto o una preocupación por la precisión.

Tales observaciones se registran de manera sucinta en una lista al lado del nombre del estudiante. Le brevedad es algo esencial:

¡Dificultades con el promedio!

No quiere participar

Falta crónica de confianza

Líder de grupo efectivo

Excelentes habilidades de estimación

Utiliza bien los porcentajes

Buen uso de diagramas/razones/Pitágoras

Insiste en verificar las respuestas

Los profesores informan que, por lo general, la mayoría de las lecciones producirán cuatro o cinco de estas observaciones. Después de una semana, la lista de clase podría verse como la que se presenta en la muestra de lista de clase comentada.

Los profesores que utilizan las listas comentadas encuentran formas de destacar las observaciones que requieren una acción inmediata y maneras de indicar que tal acción ya fue llevada a cabo. Todas las entradas son tomadas en cuenta, aunque sea sólo para animar al estudiante.

También han informado que las listas comentadas sirven para resaltar a los estudiantes “invisibles”. Una revisión rápida de la lista de varias semanas pondrá en evidencia a los estudiantes

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que no han tenido comentarios. Al ayudarnos a identificar a los estudiantes que están recibiendo menos que una parte justa de nuestra atención, la lista comentada se convierte en un paso práctico hacia el logro de la equidad en nuestro salón. Se trata de un acto de información. Se trata de evaluación constructiva.

Los profesores han utilizado muchas variaciones de esta técnica básica. Algunos registran sus observaciones en etiquetas adhesivas, les ponen fecha y, al final de la clase, las colocan en un libro de registros de clase en el cual se reservan dos páginas a cada estudiante. Otros profesores sencillamente tienen un archivo de listas comentadas para tener una referencia rápida antes de las juntas entre padres de familia y profesor o para completar sus informes escolaresEl valor de esta evaluación observativa puede argumentarse en tres aspectos:

La información que proporciona es de gran calidad, tomada a partir de desempeños más complejos y no está distorsionada por la tensión que en ocasiones se asocia con los exámenes.

La evaluación se realiza de manera efectiva, sin la interrupción en el proceso educativo para llevar a cabo un “suceso de evaluación” separado.

La información es registrada en una situación en la cual la acción constructiva todavía es posible, a diferencia de los exámenes (que, típicamente, se presentan al final de una unidad, de un semestre o de un año, al terminar un tema o un curso, cuando la acción educativa es difícil, inapropiada o imposible).

Muestra de lista de clase comentada

Inicio de semana ACCIÓN

Agosto 30COMENTARIOS (ABERRACIONES Y

ENTENDIMIENTOS) REQUERIDALLEVADA A CABO

Bielecki, Barry No tiene el concepto de par e imparCarlton, Steve Mostró liderazgo en el grupoChin, HongClemente, RicardoCook, WendyDelamere, Gina Piensa que 63 y 36 es lo mismoGonzalez, Jorge Lo intentó realmenteGrace, Nathen Problemas de secuenciaciónJoyce, AlbertLuey, Pensador espacial

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ConstanceMcGraw, Joan Reconoció la importancia de un

contraejemploMedrano, OmarMoule, JuliaMusial, StanNavarez, PedroO’Connell, DeirdreOrden, KatePalmer, Jim Más trabajo sobre centenas y decenasPignatano, JoePlank, EdieRawins, CarleneReeves, DeonRuíz, NinaStephens, KayeStephens, Maxine

Problema con el valor del lugar decimal (división)

Stone, StephanieWilliams, Ted Bueno en las tareas rutinarias- dificultad

con las no rutinarias

Este tipo de evaluación complementa a la evaluación basada en exámenes o de otro tipo en el interés de obtener una visión más efectiva del aprendizaje del estudiante. Como lo he recalado, ni los exámenes ni la evaluación observativa, ni ninguna otra forma particular de evaluación, debe ser impuesta en un acto de absoluta autoridad. Más bien, debemos estar alertas continuamente para ver si nuestras diferentes estrategias de evaluación nos están proporcionando información consistente. Por ejemplo, la sencilla técnica de comparación mostrada en la caja de la técnica de evaluación de verificación cruzada puede proporcionar una útil validación cruzada de nuestra evaluación observativa y de nuestra forma de examinar.

Técnica de evaluación de verificación cruzada

Obtener una lista de clase y construir tres columnas.

En la columna 1, registrar el resultado predicho de cada estudiante.

En la columna 2, indicar su confianza en que el resultado predicho está dentro del margen de diez por ciento del resultado real, escribiendo C (confiable) o I (inseguro).

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En la columna 3, registrar el resultado real del examen de cada estudiante.

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Las columnas 1 y 2 deben llenarse antes de poner el examen. Después del examen, entreviste a los estudiantes para los cuales la discrepancia entre los resultados predichos y real es mayor que el diez por ciento y pida al estudiante que complete algunas de las tareas en las que ha tenido una dificultad o un éxito inesperados.

En la tabla siguiente se muestra una de estas verificaciones de evaluación cruzadas.

Verificación cruzada de evaluación

Nombre Resultado predicho Confianza Resultado real

Estudiante 1 65 C 701Estudiante 2 50 C 48Estudiante 3 85 U 82Estudiante 4 80 C 66Estudiante 5 70 U 83Estudiante 6 60 C 62

Con respecto a la verificación cruzada de evaluación (página anterior), ¿Qué le sugieren los resultados? ¿Qué conjunto de resultados le producen la mayor preocupación? Si usted fuera el profesor de estos estudiantes, ¿qué acciones llevaría a cabo?Considere estas dos anécdotas, ambas verdaderas, en las que se describe que nuestra forma de hacer exámenes y las conclusiones que sacamos del cuestionamiento en nuestro salón pueden ser erróneas.

Anécdota 1: “Algo sobre el examen”

Un profesor que estaba experimentando este planteamiento me dijo: “¿Sabes?, casi lo logran”. En una breve conversación me comentó que sólo hubo tres estudiantes, y de ellos una muchacha en particular, cuyos resultados predichos y reales diferían en más de diez por ciento. “Creo que ella debió hacerlo mejor el examen”. Le animé a que se sentará con la estudiante e hiciera que respondiera de nuevo algunas de las preguntas que no había respondido bien. El profesor me llamó unos días después: “¿Sabes?, ella en realidad sabe la materia. Creo que hay algo que no está bien en el examen”.

Anécdota 2: “Reacción retardada”

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En una entrevista con un niño de segundo grado noté una reacción retardada, casi cómica, al responder a las preguntas. El niño hacía una pausa, miraba a su alrededor, volteaba hacia abajo, se ponía el dedo en la nariz, se quedaba observando el vacío durante un rato y, después, me daba una concienzuda y sofisticada respuesta. No importa cuál fuera la pregunta: “¿Cuánto es 3 más 5?” o “¿Cuántos octavos hay en dos y un cuarto?” Siempre hacía una pausa de más de veinte segundos, con el correspondiente lenguaje corporal, y después me daba una respuesta articulada y por lo general correcta. El tiempo de espera en una situación típica casi nunca llega a cinco segundos. ¿Qué le sucedía a este muchacho? De hecho, cuando se le pidió al profesor que se sentara y hablara con el niño, los resultados fueron tan diferentes de las expectativas del profesor que éste le enseñó matemáticas más sofisticadas en la clase y continuó teniendo éxito. ¿Cuál era el origen de este peculiar estilo de responder del niño? Un día le hice a su padre una pregunta. Se quedó pensando, miró hacia arriba, miró hacia abajo, se llevo el dedo a la nariz, alargó más la pausa y después me dio una respuesta articulada y bien meditada. La familia es una cosa curiosa.

Ambas anécdotas ejemplifican los peligros de restringir sus fuentes de información para la evaluación a una solo estrategia. Nuestra evaluación observativa en el salón de clases puede ser precisa y rica en información, y nuestros exámenes pueden ser una útil medición de la adquisición de habilidades. Pero ambos pueden producir información errónea, y una simple estrategia, como la verificación cruzada de evaluación, puede identificar importantes discrepancias. Esta comparación directa de la información que usted recibe de diferentes estrategias de evaluación, mejorará la calidad de su evaluación observativa, la calidad de sus exámenes y la calidad de sus juicios con respecto al aprendizaje de los estudiantes.

Suponga que ha identificado una necesidad de mejorar la calidad de su forma de hacer los exámenes, ¿qué podría hacer? Un primer paso podría ser revisar sus estrategias para diseñar exámenes. Al igual que con cualquier forma de evaluación, la consideración clave es: ¿podría este examen representar erróneamente el aprendizaje de los alumnos? Una consideración adicional sería, ¿podría este examen representar erróneamente las matemáticas que valoro? Hay varios factores que podrían conducir a dichas representaciones erróneas, como la artificialidad de la restricción de tiempo. Podemos mejorar

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nuestros exámenes si deliberadamente nos referimos a las cuestiones relacionadas con todos y cada uno de estos factores. Al hacerlo, le estamos dando prioridad a la validez o a la autenticidad de la evaluación.

Actividades de evaluación

Además de la evaluación observativa, necesitamos una gama de procedimientos prácticos que proporcionen la información que necesitamos para controlar la actividad matemática que deseamos valorar. Las actividades de evaluación descritas en la presente sección han sido usadas con éxito por muchos maestros. Al hacer una selección de este menú de actividades, los profesores necesitan preguntarse además: ¿este planteamiento me dará la información que necesito?, ¿puedo poner en operación esta estrategia sin generar un aumento inmanejable en mi carga de trabajo?

Evaluación práctica

Una cuestión clave en la evaluación contemporánea es la demanda de consistencia entre la actividad educativa y la actividad de evaluación. En situaciones de evaluación informal esto no es importante: las mismas tareas sirven a ambos propósitos. En la evaluación formal, sin embargo, ha sido posible utilizar un tipo de tarea con propósitos de instrucción y otro para evaluación. Esto no tiene sentido. Los desempeños con los que iniciamos a nuestros estudiantes a la actividad matemática deberían ser el mismo tipo de desempeño mediante el cual se juzgaría su éxito. Por ejemplo, si un tema implica actividad práctica y una de nuestras estrategias de evaluación es poner un examen, entonces deberíamos incluir problemas de desempeño práctico en el examen.

Muchas de nuestras lecciones implican actividad práctica: dibujar diseños matemáticos, mapas o planos de casas; construir figuras geométricas; medir, recolectar y analizar datos probabilísticos o estadísticos; utilizar computadoras; llevar a cabo experimentos. Nuestra creencia en el valor educativo de la actividad práctica está bien fundamentada. La actividad práctica puede:

aumentar la motivación y el compromiso

aumentar la accesibilidad de las tareas y de los conceptos,

aumentar la autenticidad de las tareas, y

aumentar la probabilidad de transferencia a contextos fuera del salón de clase.

Tome, por ejemplo, el caso de la medición. Los estudiantes aprenden más sobre medición si se involucran en tareas reales

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de medición. Ésta es, por sí misma, una actividad práctica. Representarla en el aula completamente mediante actividades de papel y lápiz sería menospreciarla. Además, los contextos en los que podríamos esperar que nuestros estudiantes hagan uso de los conceptos y de las habilidades que se les enseñaron junto con la medición son, predominantemente, contextos prácticos. No tiene sentido evaluar con un examen en papel y lápiz habilidades o conceptos que han sido enseñados mediante actividades prácticas, a menos que podamos incluir un elemento práctico en el examen.

En los exámenes prácticos el desempeño del estudiante se hace particularmente visible, tanto para el maestro como para el estudiante mismo. Esta visibilidad proporciona a las situaciones de evaluación un poder de comunicación que puede documentar la acción del estudiante o la del profesor con menos ambigüedad, de manera más útil e inmediata. Dos situaciones ofrecen planteamientos alternativos de la actividad práctica: en la situación 1 (problema práctico de examen) se presenta un método para incorporar actividades matemáticas prácticas en un examen que de otra manera sería una prueba convencional. En la situación 2 (muestreo) se presenta un método para controlar de manera continua la actividad matemática práctica.

Situación 1: Problema práctico de examen

Tema: Volumen

Se te dirá cuándo debes intentar resolver este problema.

Problema. En el cajón que está al lado del salón encontrarás herramientas matemáticas: una regla, algo de papel milimétrico, una bola de cordel, tijeras, calibradores, un vaso calibrado, una calculadora, algunos centicubos y equipo de dibujo (un compás y escuadras). También encontrarás tres objetos: un cubo de madera, un cilindro de metal y una piedra.

Utilizando el equipo disponible o por algún otro medio, * haz lo siguiente:

a) Encuentra el volumen de los tres objetos con la precisión que sea posible.Expresa tu respuesta en las unidades adecuadas.

b) En no más de media página describe el método que utilizaste en cada caso (puedes usar diagramas).

* Si crees que te hace falta más equipo, por favor pídelo.

Las tareas prácticas son un ejemplo de la necesidad de consistencia entre el tipo de actividad educativa y el tipo de actividad de evaluación que se debe aplicar a todas las formas de actividad matemática. Las dos características de las tareas

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que podrían restringir la autenticidad de la respuesta del estudiante en cualquier tarea son comunicación y contexto. Analizamos modos de comunicación en la sección titulada “selección de la tarea correcta”. El punto importante que se debe reconocer aquí es que algunos modos de comunicación no se pueden tener en una situación de examen.

Situación 2: Planteamiento de muestreo de una evaluación práctica

Tema: Habilidades adquiridas en cualquier contexto de cómputo (como métodos estadísticos o geometría con Geómetra)

Procedimiento.

1. Al inicio de cada semana, el profesor distribuye una lista de seis habilidades que se van a evaluar en la semana siguiente. Puede ser que el contenido de esa semana sólo propicie cuatro de las habilidades, en cuyo caso el profesor incluye dos habilidades adicionales de las semanas anteriores.

2. Cada semana, durante el tiempo de clase, cuando los estudiantes trabajan de manera independiente, el profesor se acerca a cada estudiante y lanza un dado. El estudiante debe mostrar competencia en la habilidad matemática relacionada con el número del dado que salga.

3. El profesor registra la habilidad mostrada y el grado de éxito en una lista (una proporción de la calificación final del estudiante puede salir de este muestreo semanal de las habilidades prácticas).

Los profesores que han utilizado este planteamiento informan una alta motivación del estudiante para adquirir las seis habilidades cada semana, así como una satisfacción del estudiante con la equidad del método de muestreo.

Con respecto a las tareas matemáticas que incluyen detalles contextuales, habrá algunos estudiantes para quienes el contexto no les dirá nada o sencillamente les será extraño. Incluso entre aquellos estudiantes que les interesa el contexto de un problema, habrá algunos para los que las demandas del lenguaje o de los detalles contextuales constituyan una carga excesiva. Por tal motivo, tener diversidad mediante diferentes contextos prácticos o reales no es suficiente. También se debe tener diversidad en el tipo de contexto y en el grado de detalle necesario para especificar una tarea. Necesitamos estar seguros de que empleamos una diversidad suficiente de contextos y tipos de contextos para minimizar las desventajas ocasionadas a

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cualquier estudiante por un contexto particular. En un examen el problema se agrava debido a la limitada gama de contenidos que se pueden muestrear.

Incluso en un formato de examen es posible incluir preguntas relacionadas con un concepto o una habilidad particulares que den acceso al menos a tres tipos distintos de contextos. Las respuestas satisfactorias de un estudiante en los tres contextos proporcionarían una fuerte evidencia de entendimiento. Uno de tales contextos podría implicar un tipo de actividad práctica y una tarea de aplicación en el mundo real, mientras que el tercero se refiere a la abstracción matemática. Por ejemplo, considere el siguiente problema sobre gráficas de barras.

Representación física

Utiliza sólo el paquete de dulces que se te dio para construir una gráfica de barras.

Contexto del mundo real

Hay treinta estudiantes en un grupo de matemáticas. El grupo construye una gráfica de barras del número de hermanos (hombres y mujeres juntos) de todos los miembros del grupo. ¿Cómo se vería esta gráfica? Dibuja la gráfica y etiquétala apropiadamente.

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Abstracción matemática

a) ¿A qué puede corresponder esta gráfica?

b) Etiqueta de manera adecuada la gráfica.

c) ¿Qué información está contenida en tu gráfica?

Elementos de examen construidos por los alumnos

Uno de los objetivos de la evaluación constructiva es hacer que la evaluación sea más educativa al hacer un uso más efectivo, educativamente hablando, del tiempo que se lleva un suceso de evaluación. El tiempo de clase y el del profesor invertidos en crear y administrar un examen formal son significativos. ¿De qué manera podemos utilizar completamente el potencial educativo de este gasto de tiempo? Considere la siguiente situación.

1. La lección de repaso. Los estudiantes entran al aula y son organizados en grupos de cuatro. A cada grupo se le da la siguiente instrucción: “Desarrollen cinco tareas que ustedes crean que evaluarán justamente el contenido que se acaba de ver”. Para darle credibilidad al ejercicio, el profesor se compromete a incluir en el examen al menos una de las tareas de cada grupo. El profesor asume el papel de editor y puede cambiar el planteamiento de las tareas para darles más claridad, pero la dirección general de la tarea no cambia.

Para completar esta actividad los estudiantes deben (a) dividir el contenido del tema en cinco secciones, cada una de las cuales puede ser evaluada con una sola pregunta y (b) decidir sobre el nivel de dificultad apropiado a cada pregunta (profesores que han intentado este planteamiento han informado que las preguntas de examen construidas por los alumnos son consistentemente más difíciles que las que diseñan los profesores).

2. Compilación de la prueba. El profesor se queda con la responsabilidad de seleccionar las preguntas del examen de entre las generadas por los estudiantes. Puede ser necesario insertar una o dos propuestas por él mismo para tener un examen que represente adecuadamente el tema, pero si fuera posible, el profesor deberá incluir sólo preguntas creadas por los estudiantes.

3. Puesta en práctica del examen. El examen se lleva a cabo como cualquier otro. Los profesores informan que el interés de los estudiantes es grande. Éstos se preocupan sobre cuáles de sus preguntas fueron incluidas en el examen. También es más difícil para los alumnos ver el

examen como una imposición inadecuada por parte del profesor. Se trata de preguntas que ellos y sus compañeros de clase sienten como una evaluación justa del contenido.

4. Corrección del examen. Algunos profesores piden a los grupos de estudiantes que den soluciones y esquemas de puntuación junto con sus cinco preguntas. Otros sienten que este paso reduce el entusiasmo del estudiante por la actividad. Decisiones como ésta es mejor dejarlas a su propio juicio y a su estimación de los probables beneficios para usted y la clase.

5. Devolución de los exámenes corregidos. A menudo, una de las lecciones menos efectivas en un grupo de matemáticas es aquella en la cual los exámenes corregidos se regresan a los estudiantes. La mayoría de los profesores se sienten obligados a analizar cada pregunta del examen en un último intento por repasar el tema o el contenido del curso. Por lo general, se pierde una importante oportunidad de ayudar a los estudiantes a sintetizar su conocimiento matemático y a aprender de las experiencias pasadas debido a que su interés no está en este tipo de repasos. Al contrario, los profesores que han utilizado preguntas creadas por los alumnos informan un alto nivel en el interés del estudiante sobre la actividad. Los estudiantes quieren saber qué tanto éxito tuvo el resto del grupo al responder sus preguntas y qué grupos fueron responsables del diseño de las preguntas más difíciles. Aquí hay una oportunidad para el profesor de cambiar la ubicación de la autoridad visiblemente en dirección a los estudiantes: “Anne, tu grupo fue responsable de la pregunta 9. ¿Cuál crees que pudo haber sido una buena respuesta a su pregunta?

Varios profesores han comentado que el proceso de escribir preguntas de examen es más que una valiosa motivación para los estudiantes. Muchos sienten que la tarea de construir preguntas de examen es una manera mucho más efectiva de repasar un tema que muchas clases de repaso tradicionales. Y no necesitamos restringir esta actividad a la construcción de preguntas de examen. Los estudiantes se beneficiarán también con la experiencia de desarrollar tareas más complejas para ser llevadas a cabo por sus compañeros.

Evaluación grupal

Existen al menos dos razones poderosas para evaluar el trabajo del estudiante en equipos:

En muchas situaciones de empleo se requieren que los individuos trabajen en equipos, y el estudiante se beneficiará al desarrollar las habilidades para un efectivo trabajo grupal.

Para algunos estudiantes la oportunidad de aprender y desempeñarse matemáticamente como miembros de un grupo puede ser tanto un modo preferido de aprender como una manera preferida de comunicación. En otras palabras, serán más capaces de mostrar su entendimiento matemático como miembros de un grupo.

En el caso de grupos realmente cooperativos, es muy difícil evaluar la importancia relativa de las contribuciones individuales. Por esta razón, el planteamiento más común ha sido evaluar el trabajo del grupo entero como un

solo producto. Con el tiempo, un estudiante puede desempeñarse matemáticamente como miembro de varios grupos distintos. En este caso, se puede construir un perfil individual a partir de las evaluaciones del grupo y de los comentarios individuales de la lista de clase comentada del profesor.

Los profesores de matemáticas que utilizan equipos en el aula tienden a pedirles a sus estudiantes que hagan un informe grupal escrito, que hagan una presentación grupal de sus hallazgos frente al grupo, o ambas cosas. La calificación de un desempeño complejo como un informe grupal por escrito se lleva mejor a cabo utilizando los criterios de desarrollo del desempeño matemático en ocho pasos, que se presentan en la parte 3 (página 81).

Un método para calificar las presentaciones en grupo es el siguiente:

Paso 1. El profesor dirige una discusión en clase antes de la presentación de los equipos, centrándose en la pregunta: “¿Qué estamos buscando?” El resultado de la discusión deben ser tres (o más) criterios de desempeño. Es importante que el profesor y todos los miembros del grupo compartan un entendimiento parecido de los criterios de desempeño establecidos.

Paso 2. Un equipo hace su presentación ante el grupo, seguida, tal vez, por un corto tiempo en el que el maestro y el grupo pueden hacer preguntas a los integrantes del equipo.

Paso 3. El profesor pide al grupo que identifique hasta tres cosas significativas que crean que aprendieron de la presentación del equipo. Es importante y útil en este análisis diferenciar los detalles de una presentación grupal de las “grandes ideas” que fueron presentadas.

Paso 4. El equipo entrega un breve informe escrito sobre su propia presentación. El foco de este informe son las respuestas a las preguntas: “¿Cuáles fueron las fortalezas de su presentación?” y “¿Qué cosas harían diferente en la próxima ocasión?” En este informe grupal se ofrece a los estudiantes la oportunidad de mostrar que han aprendido de la experiencia. Como tal, se debe acordar algún peso que se debe tomar en cuenta durante el proceso de calificación. Alternativamente, el profesor puede pedir un informe individual a cada integrante del equipo como un requisito de desempeño adicional.

Algunos profesores pueden pensar que el trabajo en equipo es un poderoso método educativo y una manera útil de aprender, pero algo que no necesita evaluarse. Es posible que quieran tratar el trabajo en equipo sólo como una componente importante de la experiencia educativa del estudiante. Algunos maestros tal vez deseen retroalimentar a sus estudiantes sobre la calidad de su presentación grupal pero sin registrar una calificación por la presentación. Para aquellos profesores que creen que una calificación no es adecuada (o que no se requiere), el recuadro correspondiente a calificación de presentaciones grupales les sugiere una estructura para calificar las presentaciones grupales.

Calificación de presentaciones grupales

Profesor. Cada uno de los tres criterios de desempeño se clasifican en una escala de tres puntos.

Criterio 1 (por ejemplo claridad) alto/medio/bajo

Criterio 2 (por ejemplo nivel de matemáticas) alto/medio/bajo

Criterio 3 (por ejemplo preparación) alto/medio/bajo

Estudiantes. El análisis grupal tiene como objetivo identificar hasta tres cosas significativas que sientan que aprendieron de la presentación.Equipo. Los miembros del equipo entregan un informe combinado sobre las fortalezas de su presentación y sobre lo que harían diferente en la siguiente ocasión.

Calificación final. Las evaluaciones del profesor y de los estudiantes se combinan para generar una “calificación” preliminar obtenida mediante algún procedimiento determinado por el profesor, que deberá consultar al grupo. Esta calificación preliminar puede ajustarse hasta en un punto debido a la evaluación que el equipo haga de su propio trabajo. A los equipos cuya presentación tiene fallas significativas se les la oportunidad de sugerir cómo se pueden eliminar dichas fallas y recibir un reconocimiento por sus ideas en el esquema de calificación.

Autoevaluación del alumno

Tradicionalmente, el control y la apropiación de los eventos de la evaluación han permanecido en manos del profesor o de alguna autoridad externa. Una parte esencial del concepto de evaluación constructiva, sin embargo, es compartir la responsabilidad de la evaluación entre profesor y estudiante. Dado el significado que se le da, la implicación de los estudiantes en el proceso de evaluación proporciona una excelente oportunidad de desmitificarla e integrarla más en el proceso de instrucción, y de pasar del profesor al estudiante algo de la responsabilidad y de la carga de trabajo asociada con la evaluación. Ya hemos visto un ejemplo de esta responsabilidad compartida en el análisis de las preguntas de examen construidas por los alumnos. La autoevaluación de los estudiantes es otro paso en esta dirección, un paso que tiene el tradicional beneficio de la explotación de los sentimientos y las actitudes de los estudiantes, así como de sus procesos cognitivos.

Es un tipo de autoevaluación del estudiante, se le pide que responda, cada dos semanas, a preguntas como: “En este momento, ¿cuál es la mayor preocupación que afecta tu trabajo en matemáticas? Escribe un problema particular que encuentres difícil y ¿cuál fue la mejor cosa que te sucedió con respecto a las matemáticas en las últimas dos semanas? Estas cuestiones requieren que los estudiantes reflexionen sobre su aprendizaje y que articulen las consecuencias de tal reflexión.

En el recuadro correspondiente se presenta una muestra de hoja de respuesta para uno de tales procedimientos (IMPACT, por sus siglas en inglés: Interactive Monitoring Program for Accessing Children’s Thinking).

A continuación presento algunas respuestas reales a preguntas como las anteriores:

“Escribe un problema particular que hayas encontrado difícil.”

Álgebra, un poco, debido a que no entiendo por qué no simplemente usamos números. Sería más fácil.

“Escribe un problema nuevo que ahora ya puedas resolver.”

• = =

“¿Cómo podríamos mejorar las clases de matemáticas?”

Teniendo menos trabajo y más aprendizaje.

Tales respuestas ofrecen un panorama de las percepciones, las concepciones y el entendimiento del estudiante a los que no se han tenido acceso mediante modos más convencionales de evaluación.

Los profesores que han utilizado el informe Impacto se han sorprendido con la frecuencia con la cual los estudiantes se refieren a sus sentimientos personales. Desde luego, muchos educadores siempre han reconocido la importancia de las actitudes y los sentimientos del estudiante como un factor positivo de un aprendizaje efectivo, y los profesores parecen apreciar la confianza y el interés del estudiante en la materia:

Entrevistador: ¿Qué desea que sus estudiantes obtengan de su clase?

Maestro: que se sientan bien con ellos mismos y con sus habilidades matemáticas; que sean capaces de resolver problemas, que vean el panorama completo; que se sientan seguros en geometría, que salgan bien en el examen SAT y que estén preparados para otros cursos de matemáticas.

Este profesor comparte con muchos otros la creencia de que es tan importante nutrir las actitudes de los estudiantes como promover el aprendizaje de los temas. Esta preocupación, repetidamente, se ha manifestado en la literatura de investigación. Como lo dice Gammage (1985), “puede ser en el contexto emocional del currículo donde el profesor puede hacer más modificaciones, alterar o estimular las reacciones al aprendizaje”. Y si todavía existiera alguna duda sobre la importancia del afecto del estudiante, ésta sería eliminada por los mismos estudiantes:

No le entendía. Y el profesor se la pasaba enojado porque siempre levantaba la mano y le preguntaba cómo hacer las cosas, y después de eso, este ... (una pausa larga). Y me decía que no le estaba escuchando. Después era un fastidio. Como no me gustó, reprobé.

Si valoramos “el contexto emocional del currículo”, entonces necesitamos hacerle espacio en nuestras prácticas de evaluación.

IMPACT(Programa de control interactivo para acceder al pensamiento de los

niños)Nombre:Grupo:Maestro:Fecha:

Escribe las dos cosas más importantes de matemáticas que hayas

aprendido durante el mes pasado.

Escribe un problema particular que te haya parecido difícil.

¿En qué te gustaría tener más ayuda?

En este momento, ¿cómo te sientes en tu clase de matemáticas?

(Señala las palabras que se apliquen).

a. Interesado b. Relajado c. Preocupado

d. Exitoso e. Confundido f. Inteligente

g. Feliz h. Aburrido i. Apremiado

j. Escribe tu propio estado de ánimo.___________________________

En este momento, ¿cuál es la mayor preocupación que afecta tu

trabajo en matemáticas?

¿Cómo podríamos mejorar las clases de matemáticas?

La evaluación es un acto de comunicación, una conversación continua cuya materia es tanto la autoestima del estudiante como su conocimiento. Como lo he mencionado, la evaluación constructiva empieza con una preocupación por el estudiante. Nuestros métodos de evaluación son una manera de decir “me preocupa tu aprendizaje”. La evaluación convencional siempre se ha enfocado en los resultados cognitivos, pero también necesitamos recabar información sobre los resultados emocionales de nuestra labor de enseñanza, como la motivación y el compromiso del estudiante con respecto a las matemáticas. El profesor más organizado y competente puede equivocarse al ignorar las actitudes de sus alumnos, el currículo más cuidadosamente construido puede fallar si el estudiante no desea aprender o no siente que sus esfuerzos son valorados por el maestro.

Una manera de evaluar lo que valoramos es atender en nuestra evaluación el afecto de los estudiantes de manera explícita y estructurada. Esto no significa que se deben calificar las actitudes de los estudiantes, sino que se debe recabar e intercambiar información sobre cosas como su perseverancia, entusiasmo, autoestima, interés, disfrute, motivación, ansiedad, confianza y orgullo en su trabajo.

De nuevo, sólo puedo poner énfasis en la importancia de alinear el trabajo de evaluación con los objetivos y los valores educativos. Algunas iniciativas curriculares parecen motivadas, en parte, por un deseo de promover actitudes positivas en los estudiantes y de maximizar su compromiso y su interés en la actividad matemática. Tales programas suponen que existe una conexión entre el logro académico y la actitud, y la existencia de este lazo está sostenida por la investigación. ¿Por qué, entonces, encontramos poco reconocimiento del afecto de los estudiantes en las estrategias de evaluación de los profesores? Tal vez porque la evaluación, tradicionalmente, ha estado ligada de manera muy estrecha al proceso de calificar, y pocos profesores o diseñadores de currículo considerarían la posibilidad de calificar el entusiasmo del estudiante. Pero he argumentado que la evaluación no es lo mismo que la asignación de una calificación. Y como buenos maestros, deberíamos ocuparnos de un contenido más que académico.

Diarios de los alumnos

Otra técnica para tener acceso al pensamiento y a los sentimientos de los estudiantes es el uso de diarios. Éstos tienen la particular virtud de desarrollar en los estudiantes la

rutina de una reflexión regular sobre su actividad y su aprendizaje matemáticos. En una escuela los estudiantes de todos los niveles escribían en su diario después de cada clase de matemáticas (Clarke, Waywood y Stephens, 1994). Como introducción a la escritura en el diario, a los estudiantes de séptimo año se les dio un libro en el que cada página estaba dividida en tres secciones:

¿Qué hicimos?

¿Qué aprendí?

Ejemplos y preguntas

Los fragmentos del diario fueron evaluados en términos de cantidad, presentación y sofisticación de la expresión. El diálogo, el modo más sofisticado de expresión, estaba asociado con el surgimiento en la escritura de una voz personal del estudiante, denotada por el singular de la primera persona; de un estilo especulativo (“¿Qué pasaría si…?”) o interrogativo (“Entonces, ¿cómo podría el cuadrado…?”); y de la presencia de construcciones que claramente son creaciones originales del estudiante. En el siguiente fragmento de diario, un estudiante analiza la idea de “calidad de operación”.

Otra cosa, la transposición y la sustitución realmente te muestran la calidad de las operaciones. Como la división que es una especie de operación secundaria, y la multiplicación es la operación real que se encuentra detrás de ella. Esto coincide con mi aprendizaje sobre la lectura apropiada de la división (en páginas anteriores), esto es, las fracciones son distintas formas de la multiplicación. Así que creo que es como con los números racionales (Q) que son una fuente para la multiplicación, una extensión de ella. ¿Qué fue primero, la multiplicación o la división? Debió haber sido la multiplicación. Son muy parecidas, no, no es lo que quiero decir. Quiero decir, están tan estrechamente conectadas. Pero es como si la división no existiera realmente, la multiplicación es más real. Pasa lo mismo con la sustracción. La suma y la multiplicación son las únicas operaciones reales.

Este estudiante expresa un punto de vista muy personal y creativo de las operaciones matemáticas. “La calidad de las operaciones” no es algo que analice el profesor en clase; es la propia manera de pensar del estudiante con respecto a una idea matemática. En este caso, el uso de diarios es importante por lo que revela sobre el estudiante y porque representa una oportunidad muy rara para llevar a cabo una especulación matemática y para poner en juego su creatividad.

El uso efectivo de diarios no requiere un compromiso por parte del profesor de leer regularmente los diarios y hacer comentarios sobre lo escrito con suficiente detalle para facilitar el progreso del alumno desde el estado de descripción o recuento hasta llegar al resumen de diálogos. Tales comentarios deben hacerse al menos una vez cada tres o cuatro semanas. En el recuadro de criterios para evaluar los diarios de los alumnos se muestra un conjunto de criterios que deberían guiar los comentarios del profesor sobre lo escrito en un diario (Clarke, Waywood y Stephens, 1994).

Si vamos a iniciar conversaciones con nuestros estudiantes sobre si disfrutan las matemáticas, sus ansiedades y cómo se ven a sí mismos como estudiantes de matemáticas, necesitamos estrategias de evaluación e información sobre las cuales entablar la conversación. Felizmente, tales estrategias ya existen. La forma IMPACT y los diarios de los estudiantes tienen la capacidad de revelar la respuesta afectiva del estudiante hacia las matemáticas y hacia el grupo de matemáticas.

Criterios para evaluar los diarios de los alumnos

A. Cantidad de trabajo

1. Frecuencia: ¿se hace después de cada clase?2. Volumen: la cantidad de trabajo realizada puede tomarse como medida de su

habilidad y su entusiasmo.B. ¿Qué tan bien se le utiliza?1. ¿El trabajo está resumido y los resúmenes indican el desarrollo de las habilidades

para tomar notas?2. ¿Se utiliza el diario para recabar ejemplos importantes de procedimientos y

aplicaciones?3. ¿Se identifican errores o tareas y se les analiza?4. ¿Hay señales de compromiso con el trabajo, preguntas originales o minuciosas,

voluntad de explorar, etcétera?¿El alumno está aprendiendo a “dialogar”, haciendo sus propias preguntas y luego poniéndose a buscar metódicamente una respuesta, y presenta sus investigaciones de manera lógica?

Carpetas de los alumnos

Una última técnica para controlar la buena práctica, el uso de carpetas por parte del estudiante, rápidamente está ganando simpatizantes. Las carpetas ofrecen al estudiante la oportunidad de mostrar la evolución de su conocimiento y su desempeño matemáticos durante el desarrollo de un tema o de un curso. La potencia de una carpeta se encuentra en que muestra el crecimiento o desarrollo del desempeño del estudiante y en la claridad de comunicación que ofrece para analizar el progreso del alumno entre padres y profesor, profesor y alumno o padres y alumno.

Existen muchas maneras de instrumentar el uso de carpetas por parte del alumno. Un planteamiento recomendado es la muestra de situaciones que se presenta en el recuadro de uso de carpetas.Variaciones de éste podrían incluir otros tipos de desempeño, como la autoevaluación del estudiante. Un detalle adicional, usado por muchos profesores, consiste en pedir que el estudiante en cada elemento de la carpeta anexe una pequeña explicación que se inicie son: “Incluí este trabajo en mi carpeta porque muestra…”

A diferencia del propósito de una carpeta de desarrollo, en la que se muestra el crecimiento del individuo, otro propósito de una carpeta de desarrollo, en la que se muestra el crecimiento del individuo, otro propósito de la carpeta estudiantil es mostrar logros.

Situación sobre el uso de carpetas

1. Establecimiento de representación. * El profesor establece cuáles son los componentes clave de la carpeta de un estudiante, quizá mediante una discusión con el grupo. Un planteamiento consiste en pedir la inclusión de cinco tipos diferentes de desempeño matemático.

a. Un proyecto de investigación (pieza sustantiva de trabajo para la cual se requiere al menos una semana para su terminación).

b. Una tarea sustantiva de resolución de problemas no rutinarios (que toma al menos dos horas para realizarla).

c. Un conjunto de tres desempeños contextualmente diferentes relacionados con el mismo concepto o la misma habilidad (una tarea de representación física, una tarea del mundo real y una tarea abstracta).

d. Una hoja de trabajo de cinco tareas abiertas sobre un contenido específico (Sullivan y Clarke, 1991).

e. Un examen.

El profesor, entonces, estructura la actividad matemática de los estudiantes de todo el año de tal modo que genere regularmente cada uno de los cinco tipos de desempeño.

2. Las cinco primeras piezas. Las primeras piezas que se deben incluir en la carpeta son los primeros cinco intentos del estudiante en cada uno de los cinco tipos de desempeño. Estas primeras cinco piezas estarán fechadas y permanecerán en la carpeta del estudiante durante todo el año.

3. Elementos adicionales de la carpeta. Se puede agregar un ejemplo adicional de cada uno de los cinco tipos de desempeño en cualquier momento durante el año. El propósito de añadir este segundo ejemplo debe ser mostrar un mejoramiento en este tipo de desempeño. Esta nueva pieza se convierte en la “referencia”, e indica el mejor desempeño posible de este tipo hasta la fecha. En ningún momento debe haber más de dos ejemplos de cualquier tipo en la carpeta. Debido a que la primera pieza de un tipo particular permanece en la carpeta durante todo el año, una vez que un segundo desempeño de ese tipo se ha incluido, cualquier pieza adicional de ese tipo sólo se puede incluir al sustituir la pieza de referencia. Siguiendo este procedimiento, en ningún momento una carpeta contendrá más de diez piezas del trabajo del alumno.

* Los tipos de desempeño a y b requieren la elección de herramientas, el tipo c requiere aplicación, el tipo d ofrece la oportunidad de mostrar entendimiento y el tipo e tiene que ver con la posesión de la herramienta.

El modelo que describí puede usarse para cumplir ambos propósitos. Otro modelo útil, que se centra en los logros, es el del sistema de evaluación de nuevos estándares (New Standard, 1996). Nuevos estándares es una asociación de distritos urbanos y estados (entre los que están California, Kentucky y Vermont) que trabajan cooperativamente para construir un sistema de evaluación con el cual puedan medir el progreso de sus estudiantes en el logro de los estándares de contenidos nacionales en niveles de referencia internacional.

El sistema de evaluación de nuevos estándares tiene tres componentes interrelacionadas: estándares de desempeño, exámenes por demanda y sistema de carpetas. Su característica única, que lo diferencia de otros consorcios de estados y de los editores comerciales que se encuentran desarrollando evaluaciones de desempeño, es que está basado en estándares de desempeño explícitos.Los estándares de evaluación se derivan de los estándares de contenido nacionales desarrollados por organizaciones profesionales (los estándares de evaluación del NCTM para el caso de matemáticas) y consisten en dos partes:

Descripciones de desempeño. Descripciones de lo que los estudiantes deben saber y las formas en que deben mostrar el conocimiento y las habilidades que adquirieron en las cuatro áreas evaluadas por nuevos estándares, artes en lengua inglesa, matemáticas, ciencia y aprendizaje aplicado, en los niveles elemental, medio y bachillerato.

Muestras de trabajo y comentarios. Muestras del trabajo del alumno que ejemplifiquen el significado de las descripciones de desempeño, junto con comentarios que muestren cómo tales descripciones de desempeño se reflejan en la muestra de trabajo.

El examen por demanda, conocido como examen de referencia debido a que proporciona un punto de referencia de los estándares nacionales en lugar de las normas nacionales, evalúa a aquellos aspectos de los estándares de desempeño que pueden evaluarse en un tiempo limitado en condiciones estandarizadas. El examen de referencia no tiene la capacidad de incluir piezas de trabajo más grandes (lectura de varios libros, escritura con revisión, llevar a cabo investigaciones en matemáticas y ciencias, y efectuar proyectos en aprendizaje aplicado) que son requeridas por los estándares de desempeño de nuevos estándares y los estándares de contenido de consenso nacional de los cuales se derivan.

El sistema de carpetas complementa al examen de referencia al proporcionar evidencias del logro de aquellos estándares de desempeño que dependen de piezas de trabajo extensas. Siguiendo el modelo de las carpetas de colocación avanzada, el sistema demanda carpetas organizadas en exhibidores que tienen ciertos propósitos y criterios claros de juicio. Cada exhibidor está compuesto por una o más entradas; se proporcionan separadores de entrada en los que se les indica a los estudiantes exactamente qué se requiere y cómo se evaluará la entrada. En el siguiente diagrama se resumen las componentes de la carpeta.

Muchos de los beneficios de las carpetas de desarrollo se concretan en las carpetas basadas en los estándares. Ya sea que se les utilice para mostrar desarrollo o logros, las carpetas centran al estudiante en su responsabilidad de producir trabajo, y centran las conversaciones entre profesores y estudiantes en el trabajo del estudiante. También ponen los estándares o las expectativas directamente en manos de los estudiantes; a menos que les comuniquemos directamente a los estudiantes qué es lo que esperamos, será muy difícil para ellos mantener su parte del contrato didáctico.

Las diferentes estrategias que hemos analizado en la parte 2 de ningún modo son una selección completa de actividades de evaluación. Sin embargo, representan las estrategias que los profesores han considerado con más consistencia como útiles y manejables. Cada una de ellas han sido adaptadas por muchos profesores para ajustarse mejor a las necesidades de su escuela y de sus aulas. Si usted está considerando extender su repertorio de prácticas de evaluación, el consejo de la comunidad de profesores es claro: empiece con poco y váyase lentamente. Seleccione una nueva estrategia y comprométase consigo mismo a utilizarla por lo menos un semestre académico. Si se convierte en parte de su rutina de enseñanza, podría considerar la posibilidad de integrar una nueva estrategia más. Si no cumple con sus necesidades, intente un planteamiento diferente.

Progresivamente, se encontrará a sí mismo en posesión de un rico cuerpo de información sobre sus estudiantes y sobre su forma de enseñar. La pregunta que queda es, ¿cómo podemos utilizar mejor esta información? En la parte 3 se atiende esta pregunta con detalle.

Sistema de carpetas de nuevos estándaresExhibidor Entradas ComentariosEntendimiento conceptual

Cuatro entradas, una por cada área principal de matemáticas. Números y operaciones Geometría y medición

Para mostrar entendimiento conceptual, el estudiante da evidencias de que puede usar un concepto para resolver problemas, representar el concepto de diferentes

Funciones y álgebra Estadística y probabilidad

maneras (a través de números, gráficas, símbolos, diagramas o palabras) y explicarlo a otra persona.

Resolución de problemas

Cuatro piezas de trabajo que, tomadas juntas, muestren la gama completa de resolución de problemas. Formulación Instrumentación Conclusión

La resolución de problemas se define como el uso de conceptos y habilidades matemáticos para resolver problemas no rutinarios que no tengan pasos específicos y detallados a seguir.

Aplicación de matemáticas

Al menos una investigación o un proyecto a gran escala cada año (y, durante todo el bachillerato, investigaciones o proyectos tomados de al menos tres de los tipos mostrados a la derecha).

Tipos de investigación: Estudio de datos Modelado de un sistema físico o de

un fenómeno Diseño de una estructura física Análisis de administración y

planeación Investigación en matemáticas puras

Habilidades y comunicación

Dos separadores de entrada que pidan a los estudiantes que coloquen trabajo en los otros exhibidores. Si las entradas anteriores son insuficientes para mostrar habilidades o capacidad de comunicación, aquí se deberán incluir piezas adicionales de trabajo.

En los separadores se presentan listas de habilidades y comunicaciones.

LA EVALUACIÓN EN EL AULA: EDUCACIÓN SECUNDARIA12

Con los mismos presupuestos de los que hemos partido en el apartado anterior, ahora consideraremos las variables principales que aparecen con el cambio de etapa. Fundamentalmente, en la Educación Secundaria (sea o no obligatoria) ya no es un solo profesor –de forma básica– el que está con el grupo, sino que son varios –bastantes– los que inciden en él; por lo tanto, ya no se habla de programación de aula, sino de programación de área o materia, de cada una de las cuales se hará cargo un profesor. Este planteamiento obliga a una estrecha coordinación en el equipo docente que atiende al grupo, pues sus criterios de actuación –objetivos generales, metodología, evaluación– deben ser homogéneos, ya que una educación coherente no admite contradicciones fuertes entre los mensajes que se reciben. También es necesaria esta coordinación para prever horarios comunes para el profesorado (del departamento y del que incide en cada grupo de alumnos) que debe tomar decisiones comunes y establecimiento de horario para el alumnado que permita la realización de ciertas actividades, a lo largo del curso, que exijan agrupamientos flexibles u horarios continuados más amplios para la realización de actividades conjuntas abordadas por el profesorado de varias áreas o materias.

Dicho esto, nos centramos en la evaluación para determinar cómo se puede organizar y practicar un modelo con las características del propuesto. Por lo que se refiere a la evaluación:

En el proyecto curricular quedará establecido:

a) Modelo de evaluación adoptado para la etapa (paradigma, método, funcionalidad y tipos de evaluación adecuados para el modelo).

b) Metodología para la evaluación de aprendizajes: técnicas que, de forma general, se utilizarán en el proceso de evaluación, e instrumentos necesarios para su aplicación correcta.

c) Metodología para la evaluación de los procesos de enseñanza.d) Modelo de informe que se entregará al alumnado y a las familias. Otros tipos

de comunicación a lo largo del curso.e) Criterios de promoción y titulación del alumnado, que tendrán como referente

los objetivos generales de la etapa.

El departamento didáctico elabora la programación de área o materia, en la que se establecen:

a) Objetivos de aprendizaje para cada curso (o ciclo). Después, pueden secuenciarse para cada trimestre, al objeto de facilitar la evaluación descriptiva y elaboración de informes.

b) Criterios de evaluación para el área.c) Metodología para la evaluación de los procesos y resultados de aprendizaje:

técnicas e instrumentos que mejor se adaptan al área o materia, informes.d) Sesiones de evaluación que mantendrá el equipo docente que atiende a

cada grupo de alumnos.e) Metodología para la evaluación de los procesos de enseñanza en el área o

materia.

Por último, al trabajar cada unidad didáctica, se concretarán:

a) Objetivos de aprendizaje específicos para la unidad.12 María Antonia Casanova, “La evaluación educativa. Escuela básica”, Biblioteca del Normalista, primera edición, SEP-Cooperación Española, España, 1998, pp. 244-254.

b) Criterios para su evaluación.c) Metodología para la evaluación de estos aprendizajes: tipos de evaluación

(inicial, procesual, final; criterial, idiográfica; auto-evaluación, coevaluación, heteroevaluación); técnicas e instrumentos que se aplicarán: elaboración de los instrumentos necesarios para la unidad.

d) Metodología para evaluar la unidad desarrollada y la práctica docente.e) Modo de informar al alumnado sobre sus aprendizajes.

Según se va concretando el diseño curricular (desde el proyecto de etapa hasta la unidad didáctica) es preciso cuidar la coherencia entre lo acordado en un primer momento y lo que se practica en el aula (desarrollo de la unidad). Cada paso que se da debe respetar el marco anterior establecido. En caso contrario, puede existir en el centro uno (o varios) proyectos curriculares de etapa que no tengan nada que ver con las programaciones ni con lo que, realmente, ocurre en las aulas.

Por lo que se refiere a la actuación docente (del equipo de profesores exigido por el proyecto común del que se parte, no del profesor individual), resultan válidos los comentarios realizados en el apartado anterior, si bien referidos al área o materia de cada profesor.

No obstante, en función de las peculiaridades de la Educación Secundaria, quiero hacer algunas observaciones que apoyen la resolución de la mayor complejidad o dificultad que se presenta al aplicar este modelo de evaluación.

Evaluación de actitudes y procedimientos comunes a varias áreas o materias: Dado que las actitudes pueden plantear mayor complejidad para su evaluación, especialmente las de carácter más general, hay que adoptar las medidas que hagan posible llevarla a cabo con rigor. Por un lado, las actitudes propias y específicas del área podrán ser evaluadas por el profesor correspondiente. Por otro, cuando una o varias actitudes puedan trabajarse y, por lo tanto, evaluarse desde diferentes áreas (la capacidad de participación, el juicio crítico, el espeto a los demás…) se plasmarán en una lista de control que cumplimentarán todos los profesores y profesoras a los que afecte. Son actitudes que, además, deberán trabajarse y evaluarse a los largo de varias unidades didácticas. Esto permitirá su triangulación al finalizar el periodo de tiempo establecido (un trimestre, un curso), de manera que la evaluación realizada sea lo más objetiva, rigurosa y sistemática posible. Implícitamente estoy diciendo, también, que las actitudes no hay que evaluarlas en una semana o quince días, por lo que hay tiempo para hacerlo, y para hacerlo bien. No hay que agobiarse con el tiempo y el número de alumnos: hay que organizarse. Serán varios los profesores que intervengan en este proceso, durante varios meses y con las actitudes observables muy bien delimitadas. A partir de esta base, al final de un curso pueden haberse obtenido muchos datos y muy ricos acerca de las actitudes que generalmente mantiene un alumno o alumna (de hecho es así en los centros donde se practica un modelo cualitativo y continuo de evaluación). La misma situación, aunque más fácil, puede plantearse con los procedimientos de trabajo y estudio: los específicos del área serán evaluados por su profesor, mientras que los generales, que afectan a todas las áreas, seguirán el proceso expuesto para las actitudes.

La practica de la observación sistemática: Ciertamente, no es igual tener oportunidad de observar a treinta alumnos durante cuatro horas diarias y dos años, que observar a ciento ochenta estando una hora con cada grupo de treinta. Está claro. Pero si las actitudes comunes observables

están delimitadas, lógicamente no van a ser un número excesivo (dos, cuatro, seis) para cada trimestre. Aplicando una técnica de muestreo, se decidirá observar a cinco alumnos de cada grupo durante una semana, por ejemplo, con relación a las actitudes que fundamentalmente se vayan a trabajar mediante las actividades oportunas (dos, por ejemplo). Si se atiende a seis grupos, cada semana se habrán observado a treinta alumnos. En seis semanas estarán evaluados los ciento ochenta. Quedan otras seis semanas para evaluar otras dos actitudes en los ciento ochenta. Sin contar con otros muchos datos observables que pueden surgir a lo largo de la actividad, y que se anotarán convenientemente (recuérdese la utilidad del anecdotario o del diario del profesor) en los registros oportunos; además de las aportaciones del resto del profesorado que también está evaluando esas actitudes. Igualmente, a la par que se utiliza el muestreo para la observación, cada profesor puede responsabilizarse de forma prioritaria de unas actitudes y de forma subsidiaria de otras, de modo que aporte –en el momento del contraste/triangulación– información fundamental de las primeras y complementaria de las segundas. Hay que tener en cuenta, por otro lado, que a observar se aprende observando y que lo que al principio resulta más costoso, después de un tiempo de ejercicio se hace más sencillo y se consiguen más y mejores datos con facilidad y menor tiempo. Es muy importante aprender a observar porque es una técnica que está presente, que debe aplicarse cuando se utilizan muchas de las otras (entrevistas, sociometría, coloquio, seguimiento de los trabajos de aula…): siempre hay que observar, siempre estamos obteniendo datos por observación, además de por otras técnicas que se empleen (Croll, P.: 1995).

Los exámenes en la Educación Secundaria: Al referirme a la Educación Primaria he afirmado, sin dudas, que no son necesarios exámenes ni otro tipo de pruebas puntuales para disponer de toda la información necesaria a la hora de evaluar al alumnado. Mi propuesta personal sería extender esa situación, al menos, a toda la educación obligatoria, con lo cual unos años de la Educación Secundaria quedarían dentro de ella. La justificación está en que si los adultos obligamos a los niños y jóvenes a entrar en un sistema ideado por nosotros, no debería ser para presionarlos, clasificarlos, marginarlos…, a través de medidas de fuerza como pueden ser los desafortunados exámenes. Pero como la realidad es muy tozuda, y estamos en una sociedad que no cambia en la dirección que apunto, sino en la contraria, admitiré que el profesorado va a tener que seguir aplicando algún tipo de pruebas puntuales a su alumnado –muy numeroso, por otra parte─ para obtener o confirmar ciertos datos (casi siempre de tipo conceptual y algunos procedimentales) que precisa para su evaluación. Sólo quiero insistir en que el alumnos debe tener la certeza de que ese examen no es el único medio por el que se le evalúa. Si esto fuera así, resultaría inútil aplicar el resto de técnicas aquí citadas porque nadie haría caso de su aplicación. Sería mejor no utilizarlas y continuar como siempre. En definitiva, así iba a ser.

La atención a la diversidad desde la evaluación: Una de las finalidades de toda educación obligatoria es intentar conseguir que su alumnado (toda la población) alcance las capacidades previstas para que continúe su formación personal y profesional del mejor modo posible. Por ello, se establecerán todas las estrategias pedagógicas adecuadas para alcanzar este objetivo de la enseñanza. Así, si un alumno no sigue los plazos de tiempo marcados legalmente en cualquier sistema educativo, procederá

organizar diferentes caminos ─más adaptados a ese alumno─ que posibiliten su desarrollo idóneo. La misma situación plantea la enseñanza de los alumnos y alumnas superdotados: habrá que enriquecer su currículo, realizando adaptaciones de ampliación adecuadas a las características de cada uno. Pero para llegar a la conclusión de estas necesidades, y saber, además, qué es lo que requiere cada alumno, habrá sido precisa una evaluación continua y formativa durante su proceso de aprendizaje, pues es la única que nos ofrece datos para conocer cuáles son las dificultades, cuáles los aspectos positivos y cuál es el camino que queda por recorrer y el mejor modo de hacerlo. Si sólo se dispone de un “bien” en Ciencias Sociales, difícilmente se podrá atender a las peculiaridades de aprendizaje del alumno en cuestión. Por otra parte, un alumno que desarrolle sus estudios de forma muy positiva y con buenos resultados debe decidir, también, en un momento determinado, qué materias optativas elige en función de sus intereses personales, de sus capacidades y de sus posterior continuación de estudios o trabajo. Para ello, también es imprescindible que se conozca y se tengan datos para realizar la mejor elección con criterios fundamentados. Estos datos sólo pueden llegarle ─al igual que al profesor o al orientador─ a través de un proceso evaluador serio y riguroso llevado a cabo durante sus años de escolaridad.

La “calificación” desde la evaluación cualitativa: En la Educación Secundaria, cuando un alumno debe promocionar o titularse, las Administraciones educativas suelen solicitar del profesorado una “calificación” sintética (numérica o no). Es ésta una exigencia que puede resultar contradictoria con los modelos cualitativos de evaluación, en los cuales se obtiene una gran información acerca del momento de aprendizaje del alumnado, pero no se reduce a una palabra o un número. Pero es algo que generalmente hay que hacer al finalizar un ciclo, un curso o la etapa. Para realizar el salto (mortal, en muchos casos) desde el proceso valorado descriptivamente al resultado final que debe valorarse con un único término, pueden utilizarse los criterios de evaluación establecidos para el área. Siempre habrá un número “x” de criterios, que estarán superados o no en su totalidad. O que estarán todos parcialmente superados. De ahí puede deducirse la “calificación” de cada alumno: en función del número o profundidad de los criterios de evaluación superados y los tramos establecidos legalmente, se hará la correspondencia necesaria y será posible fijar la calificación que corresponda. Aunque sea difícil o pueda entenderse como contradictorio, este paso se puede dar. El que no se puede dar es el contrario: desde un número o una palabra llegar al conocimiento profundo del proceso de aprendizaje de un alumno y al nivel en que se encuentra dentro de ese proceso. Por lo tanto, el profesional de la enseñanza necesitará siempre de una evaluación cualitativa para realizar bien su trabajo: educar personas. Las demás exigencias (legales, sociales) pueden abordarse si se ha cumplido la primera.

Aplicación de criterios para la promoción o titulación del alumnado: Para que un alumno promocione de ciclo o curso u obtenga la titulación correspondiente al final de la etapa educativa, debe haber alcanzado los objetivos generales de la misma, es decir, debe haber desarrollado las capacidades que en ellos se marcan. Por tanto, para poder establecer si al finalizar un curso el alumno ha conseguido la capacidad correspondiente en el grado que se estima adecuado para ese momento,

es necesario secuenciar los objetivos generales de la etapa en los diferentes tramos en que ésta se divida y en los cuales haya que tomar decisiones de promoción (ya sean ciclos o cursos), distribuyendo las capacidades de cada objetivo o señalando grados de consecución en cada una de ellas (véase fig. 41). Con base en esta secuenciación de objetivos se hace posible formular los criterios de promoción, que deben tener como referente las capacidades alcanzadas a través de las diferentes áreas curriculares en su conjunto, y no la superación de los objetivos de cada una separadamente. Disponiendo ya de objetivos generales para alcanzar en un ciclo o curso y de los criterios de promoción y, a la vez, de los datos suficientes acerca de los procesos de aprendizaje seguidos por el alumnado, será posible comprobar hasta qué punto los primeros han sido conseguidos y decidir, así, su promoción o no, o, en su caso, la titulación o certificación que corresponda.

Objetivo general de la etapa: Interpretar y producir con propiedad, autonomía y creatividad mensajes que utilicen códigos artísticos, científicos y técnicos, con el fin de enriquecer sus posibilidades de comunicación y reflexionar sobre los procesos implicados en su uso.Objetivo general para el primer ciclo: Interpretar y producir con propiedad mensajes que utilicen códigos artísticos, científicos y técnicos con el fin de enriquecer sus posibilidades de comunicación.Objetivo general para el tercer curso: Interpretar y producir con propiedad y autonomía mensajes que utilicen códigos artísticos, científicos y técnicos, con el fin de enriquecer sus posibilidades de comunicación e iniciar la reflexión sobre los procesos implicados en su uso.Objetivo general para el cuarto curso: Debe coincidir con el planteado para la etapa, puesto que finaliza en este curso

Analizando el objetivo propuesto, se deduce claramente que para conseguirlo deben conjugarse objetivos de las áreas de Lengua y Literatura, Educación Plástica y Visual, Ciencias de la Naturaleza y Tecnología.

Figura 41. Modelo de secuenciación de un objetivo general de la Educación Secundaria Obligatoria

Dado que los objetivos generales se alcanzan mediante el trabajo en todas las áreas (no son específicos de ninguna de ellas), como ya apuntamos, esta evaluación debe ser obligadamente colegiada; será el equipo docente en su totalidad el que decida si un alumno ha llegado a los objetivos marcados o tiene que recorrer aún bastante camino para alcanzarlos. Esta decisión, como es obvio, no depende directamente de los procesos o resultados obtenidos en cada área: podría suceder que un alumno hubiera alcanzado una capacidad con el trabajo en un área o materia, sin necesidad de haber superado lo establecido para todas y cada una de las áreas. El caso inverso resulta más claro: si un alumno ha logrado todos los objetivos señalados en todas las áreas, habrá que deducir, naturalmente, que ha alcanzado los de la etapa. Insisto: la decisión será del equipo docente, ya que con la visión parcial desde un área no se puede decidir la consecución o no de los objetivos generales de la etapa.

El tiempo necesario para aplicar un modelo cualitativo de evaluación: Ya quedó comentado, en el apartado de Educación Infantil y Primaria, que incorporando poco a poco las técnicas apropiadas en cada caso y elaborando los instrumentos que van siendo necesarios para ello, en el plazo de tiempo que transcurre un ciclo o un curso, se puede disponer sin grandes dificultades del material básico que garantice una buena captura de datos, cualitativa y descriptiva, que permita evaluar al alumnado formativamente, aplicando sus virtualidades para mejorar los procesos y los resultados. Una vez elaborado el material, su aplicación no supone más tiempo. Corregir exámenes lleva muchísimo tiempo. No será malo cambiar la utilización de ese tiempo y dedicarlo ─repartido a lo largo del trimestre─ a escuchar una grabación, a mejorar una técnica, a elaborar un nuevo instrumento, a triangular unos datos con los compañeros… Es otra forma de usar nuestro tiempo, mucho más interesante que corregir doscientos exámenes iguales. Y que, además, garantiza mejor una evaluación objetiva, fiable y válida.

A MODO DE CONCLUSIÓN

Quiero terminar estas páginas con unas reflexiones que cierran o concluyen las del principio.

En muchos centros educativos, en estos momentos, se trabaja muy bien, hay muy buenos equipos de profesionales con una gran preparación científica y didáctica. Pero la evaluación está enormemente condicionada por el modelo de sociedad existente y se produce una gran presión social sobre profesores y profesoras que los aboca a seguir utilizando la práctica tradicional del examen como único medio evaluador, aunque, realmente, poseen mucho mayor conocimiento de sus alumnos y datos más ricos que los que proporciona esa prueba y que, por suerte, habitualmente los usan en su quehacer educativo diario. Lo que suele faltar en estos casos para que el profesorado dé el salto hacia una evaluación más cualitativa es la sistematización de los datos que reúne, de manera que se sienta seguro al emitir una valoración basándose en ellos y no sólo en el examen puntual. No hay una sola norma legal que obligue examinar en las etapas educativas que aquí hemos considerado. Insisto en la pregunta que hacía al comenzar: ¿Cómo funcionaría un centro educativo en el que no hubiera exámenes? Posiblemente se transformaría el mundo de la enseñanza y el aprendizaje: los profesores se esforzarían en que sus alumnos aprendieran a gusto, respetarían sus intereses y sus modos de ser y de hacer…, los alumnos irían a los centros para aprender, para formarse como personas, para llegar a distinguir en qué trabajo tendrían más posibilidades de realización personal… Creo que en unos años no conoceríamos nuestros Colegios e Institutos actuales. Y, a lo mejor, en otros tantos años no conoceríamos la sociedad. Soy consciente de que si lo primero es dificilísimo, lo segundo es prácticamente imposible. Pero es importante intentarlo.

Por otra parte, en los centros educativos se elaboran al cabo del año una gran cantidad de documentos que les son solicitados desde la Administración y en los que se reflejan multitud de datos en relación con todos los órdenes de actuación del centro (administrativos, organizativos, pedagógicos). Y en todos los centros se tiene la sensación de rellenar papeles para nada. Bien, pues ya que se cumplimentan tal cantidad de hojas y se elaboran tantos documentos, resulta elemental pedirle a los equipos directivos y al profesorado que utilicen la información que se vuelca y se refleja en ellos. Que les resultará utilísima para llevar a cabo la evaluación en los distintos ámbitos de funcionamiento del centro; también en el de la evaluación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Es importante, igualmente, tener en cuenta que las grandes reformas de los sistemas educativos se acometen, especialmente, cuando hay que abordar cambios

estructurales, aunque éstos tengan repercusiones innegables en el currículo de la enseñanza, y que pasan muchos años entre una y otra. Por eso, es imprescindible introducir innovaciones, más modestas pero absolutamente necesarias, para mantener actualizados los sistemas educativos que, de otro modo, quedarían caducos e inservibles a los pocos años de su implantación. Estas innovaciones deben aplicarse con base en datos contrastados en relación con su oportunidad y adecuación al entorno donde se desarrollarán, datos que no pueden obtenerse más que con una evaluación rigurosa y permanente del funcionamiento de los centros y de los procesos de enseñanza y aprendizaje, que pondrá de manifiesto la obligación y conveniencia de esa innovación en ese momento. Así, la evaluación se convierte en base fundada de las innovaciones educativas, en cualquiera de los elementos curriculares u organizativos en los que se propongan. Conclusión: el profesorado de cada centro es el artífice principal de la innovación permanente del sistema educativo y precisa de la evaluación para su actuación coherente.

Por último, creo que todo profesional está obligado a conocer los mecanismos o las estrategias que existen para llevar a cabo su labor de la mejor manera posible. Después, podrá decidir lo que debe utilizar según los casos que se presenten o las situaciones en que se encuentre, incorporando paulatinamente todo cuanto resulte positivo para llevar a cabo su tarea. De esta forma, en no demasiado tiempo contará, sin duda, con mayores destrezas para el ejercicio de su profesión y con los instrumentos básicos para desarrollarla óptimamente. Y, por supuesto, también en lo referente a evaluación, tema de complejidad reconocida por todos.

Para hacer realidad las propuestas que contiene este libro simplemente hay que empezar a practicarlas. Sin agobios. Con criterios de selección en cuanto al mejor modo de comenzar e introducir determinados cambios. Elaborando los materiales necesarios. Trabajando en equipo (que saldrán mejor las cosas, seguro). Y continuar poco a poco. Hasta llegar a aplicar todo lo que se puede, que es mucho.

EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA

Hugo Balbuena Corro

Las reflexiones que aquí se plantean en torno a las competencias tienen como marco

general el proceso de elaboración del Plan y programas de estudio para la Educación

Secundaria13 que entrará en sustitución del que está vigente desde 1993. El propósito

principal es contribuir al esclarecimiento de una pregunta que ha generado discusiones

interesantes, tanto al interior del equipo que coordina la construcción de la propuesta

curricular como fuera de éste. ¿A qué nos referimos cuando hablamos del desarrollo

de competencias en la escuela?

Es importante aclarar que el término competencia (o competencias) está

presente en el Plan y programas de estudio. 1993. Educación Básica. Secundaria, si

bien no con el peso y, sobre todo, la claridad con la que ahora se pretende utilizar. Por

ejemplo, en la introducción del Plan 93 se habla de las competencias lingüísticas y de

la competencia para usar el español en forma oral y escrita. Aunque la referencia al

desarrollo de competencias es muy tangencial y sólo en el estudio de la lengua y la

forma de expresarse (competencias lingüísticas y competencia para usar el español),

me lleva a pensar en dos planos, uno de ellos más particular, en el que la confluencia

de varias competencias da como resultado una competencia más general. En el

documento mencionado no se aclara qué son las competencias lingüísticas, pero tal

vez resulta pertinente decir que el desarrollo de competencias lingüísticas contribuye a

formar individuos competentes en el uso de la lengua.

En el proceso de elaboración del nuevo Plan y programas de estudio han

intervenido muchos actores del campo educativo y se han consultado muchas fuentes

de información. Para el propósito de este artículo, primero voy a referirme a las

propuestas curriculares que se utilizan en otros países y después a ciertos autores que

han trabajado sobre el tema de las competencias.

De manera general, el desarrollo de competencias se analiza en dos

dimensiones: una en la que se espera la contribución de todas las asignaturas que

conforman el Plan de estudios y otra que se circunscribe al campo de cada disciplina.

Con respecto a la primera dimensión tomaré el caso de Portugal y el de

México, en el entendido de que en el primer caso se trata de un currículo en uso,

mientras que en el segundo no hay todavía un currículo publicado oficialmente y, por

13 Este proceso que se inició hace más de dos años todavía no ha concluido y uno de los temas importantes que se ha discutido es el de las competencias.

lo tanto, todos los documentos están sujetos a discusión y pueden ser enriquecidos y

mejorados.

En Portugal, los maestros cuentan con un documento titulado: Organización del

currículo por competencias. Éstas se conciben como “…saberes en uso necesarios

para la vida personal y social de todos los ciudadanos y que se promueven

gradualmente a lo largo de la educación básica…”. Se trata de diez competencias

generales que no hacen referencia explícita a ningún contenido específico de los que

se estudian en la educación básica, más bien se espera que el estudio de las

diferentes asignaturas contribuya a su desarrollo. Una de ellas dice: “…Movilizar

saberes culturales, científicos y tecnológicos para comprender la realidad y para

abordar situaciones y problemas cotidianos…”. Tanto en la caracterización general de

las competencias como en esta última –más específica– se advierte el énfasis en el

uso de los aprendizajes para resolver diversos problemas. Pareciera que lo que hace a

un individuo más o menos competente tiene que ver no sólo con cuánto sabe, sino

sobre todo, en qué medida puede usar lo que sabe para enfrentar las situaciones que

se le presentan.

Las situaciones y problemas cotidianos pueden ser de diversa índole, social,

económica, política, cultural, emocional, etcétera, y por lo tanto, al abordar los saberes

implicados también resultan diversos. La competencia para abordar problemas o

situaciones cotidianas puede implicar analizar, formular estrategias, comparar, tomar

decisiones, etcétera.

La manera de concebir las competencias generales en el currículo de Portugal es muy similar a la que se puede leer en el documento titulado Perfil de egreso de la educación básica, elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos y que ha servido como marco de referencia, tanto para el proceso general de diseño de la nueva propuesta curricular como para el trabajo que se ha realizado en cada una de las asignaturas. En este documento se dice que “…Las competencias son más que los conocimientos mismos, el saber hacer, o las actitudes, ya que movilizan, integran y dirigen todos estos componentes hacia la consecución de objetivos concretos…”. Se mencionan cinco categorías o tipos de competencias y se dice explícitamente que “…deberán considerarse para que, desde todas las asignaturas, se proporcionen oportunidades y experiencias de aprendizaje para que todos los alumnos puedan desarrollarlas…”. Una de ellas dice lo siguiente: “…Competencias para el aprendizaje permanente. Éstas implican la posibilidad de aprender, de asumir y dirigir el propio aprendizaje a lo largo de la vida, de integrarse a la cultura escrita y matemática, así como de movilizar los diversos saberes culturales, científicos y tecnológicos para comprender la realidad.” Nótese que ambos enunciados (el de Portugal y el de México) comparten casi textualmente “movilizar los diversos saberes culturales, científicos y tecnológicos para comprender la realidad” pero, mientras el de Portugal agrega el abordaje de situaciones o problemas cotidianos, el de México se circunscribe a la idea del aprendizaje permanente con todo lo que implica: integrarse en la cultura escrita para enterarse, entender lo que sucede para aprender más y dirigir el aprendizaje en función del interés propio de cada individuo.

A partir de estos dos casos se puede hablar de un tipo de competencias generales o en su dimensión amplia, cuyo desarrollo desde la óptica escolar, se da mediante la participación de todas las asignaturas que conforman el currículo, bajo el supuesto de que todas ellas comparten el interés y la intención de formar individuos competentes.

En el plano específico de las asignaturas, hay que hacer notar que en la mayoría de los currículos revisados no se utiliza el término competencia o competencias, sin embargo, hay un apartado especial en el que se establece cómo debería ser el desempeño de los alumnos en matemáticas, más allá de los conocimientos y habilidades relacionados directamente con los contenidos que se estudian en cada grado. Michel Develay, en el prefacio del libro intitulado Las competencias transversales en cuestión de Bernard Rey, lo plantea de la siguiente manera:

“…¿Para qué sirven las matemáticas? Ciertamente para manejarse con las fracciones, trazar funciones, calcular ángulos, probabilidades y perímetros. Pero también para incentivar la abstracción a fin de facilitar el razonamiento, desarrollar la argumentación, iniciar a la prueba. ¿Para qué sirven las matemáticas? Por las matemáticas mismas, pero también para algo más que las matemáticas, que no se reduce a ellas…”

En el currículum de la Provincia de Ontario, Canadá, en la parte de evaluación señalan cuatro aspectos bajo el rubro de conocimientos y habilidades, que deben ser evaluados en cada uno de los grados, éstos son: Resolución de problemas, Comprensión de conceptos, Aplicación de procedimientos y Comunicación. Para cada uno de ellos establecen cuatro niveles de logro en los que se puede apreciar el avance que se esperaría de los alumnos a través de cada curso, por ejemplo, de un trabajo dependiente a un trabajo autónomo; de las explicaciones poco claras e incompletas a las explicaciones claras y precisas; de los procedimientos básicos e informales a los más apropiados y expertos; del uso limitado de símbolos y términos matemáticos al uso amplio y apropiado. Una ventaja importante de esta propuesta es que se presenta en una tabla de doble entrada, de manera que al ver un renglón completo se aprecia el avance en un determinado tópico a través de uno o varios grados y al ver una columna se aprecia el nivel general en todos los tópicos. Dado que las descripciones no mencionan contenidos específicos, dicha tabla se puede usar en todos los grados.

En el currículo del Reino Unido hay algo muy similar a lo que se ha descrito de la provincia de Ontario. Con relación a la evaluación establecen ocho niveles de logro y uno más que consideran como desempeño excepcional, referidos a los conocimientos y habilidades que los alumnos pueden alcanzar en cada uno de los ejes temáticos en los que se organizan los contenidos. Pero además, hay un rubro distinto a los ejes temáticos al que llaman Uso y aplicación de las matemáticas, para el cual también hay ocho niveles de logro más el desempeño excepcional. A continuación se presenta la traducción de estos niveles para que se puedan apreciar globalmente.

Nivel 1Los alumnos usan las matemáticas como parte integral de las actividades del salón de clases. Representan su trabajo con objetos y dibujos y lo discuten. Reconocen y usan patrones y relaciones simples.Nivel 2Los alumnos construyen estrategias matemáticas en algunas actividades del salón de clase. Discuten su trabajo usando el lenguaje matemático y empiezan a representarlo usando símbolos y diagramas simples. Explican por qué una respuesta es correcta.Nivel 3Los alumnos buscan estrategias diferentes y encuentran formas para resolver las dificultades que encuentran al resolver problemas. Empiezan a organizar su

trabajo y a verificar resultados. Discuten su trabajo y empiezan a explicar su razonamiento. Usan e interpretan símbolos matemáticos y diagramas. Muestran comprensión de los principios generales mediante el uso de ejemplos particulares.Nivel 4Los alumnos desarrollan sus propias estrategias para resolver problemas y las usan tanto al interior de las matemáticas como en contextos prácticos. Presentan información y resultados de manera organizada y clara. Buscan una solución conjeturando sobre sus propias ideas.Nivel 5Los alumnos obtienen la información necesaria para resolver problemas matemáticos. Verifican la factibilidad de sus resultados. Muestran comprensión de las situaciones al describirlas mediante símbolos, palabras y diagramas. Describen sus propias conclusiones y explican su razonamiento.Nivel 6Los alumnos llevan a cabo proyectos y resuelven problemas complejos de manera independiente. Interpretan, discuten y sintetizan información presentada en diversas formas. Escriben explicaciones e informes usando diagramas. Empiezan a dar justificaciones matemáticas.Nivel 7Los alumnos empiezan a generar diversas formas de resolver los problemas. Explican las características y el porqué de su elección en una presentación matemática. Justifican sus generalizaciones, argumentos o soluciones, mostrando comprensión de la estructura matemática del problema. Explican la diferencia entre explicación matemática y evidencia experimental.Nivel 8Los alumnos desarrollan y siguen estrategias alternativas. Reflexionan sobre sus propias conjeturas cuando exploran tareas matemáticas; Introducen y usan diversas técnicas matemáticas. Interpretan significados estadísticos o matemáticos mediante el uso consistente de símbolos. Analizan generalizaciones o soluciones encontradas en una actividad, comentando constructivamente sobre la lógica del razonamiento empleado o del resultado obtenido.

Desempeño excepcionalLos alumnos explican sus decisiones cuando investigan dentro de las matemáticas o cuando usan las matemáticas para el análisis de tareas; explican las líneas de trabajo que se siguen y las que son desechadas. Aplican sus conocimientos matemáticos en contextos conocidos y desconocidos. Usan el lenguaje y los símbolos matemáticos de manera eficaz al presentar argumentos convincentes y razonados. Sus reportes incluyen justificaciones matemáticas y explican la solución de problemas que incluyen diversas características o variables.

Si se analiza el contenido de estos niveles de logro no es difícil encontrar, como en el caso de Ontario, líneas de desarrollo en varios aspectos tales como: del uso de objetos y dibujos al uso eficaz de términos y símbolos matemáticos; de los contextos conocidos a los desconocidos; del reconocimiento de relaciones a la justificación matemática. Cabe aclarar que los niveles de logro no se relacionan uno a uno con los grados sino a través de rangos más amplios. Por ejemplo, se plantea que los alumnos de 5 a 7 años de edad pueden estar entre los niveles 1 a 3, pero se espera que la mayoría alcance el nivel dos. Los alumnos de 7 a 11 años de edad pueden estar entre los niveles 2 a 5, pero se espera que la mayoría alcance el nivel cuatro.

El currículo de Perú está organizado en seis áreas de conocimiento y para cada una se describen una o más competencias. Para el área de matemáticas las competencias son:

Resuelve situaciones problemáticas, haciendo uso de destrezas, algoritmos, estrategias heurísticas, procesos de modelación, estableciendo conexiones entre los conceptos y mostrando capacidad innovadora, interés, confianza, perseverancia y flexibilidad.

Utiliza el lenguaje matemático para interpretar, argumentar y comunicar información de forma pertinente; valorándolo y demostrando orden y precisión.

En los documentos del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, (NCTM por sus siglas en Inglés), organización que orienta la enseñanza de las matemáticas en Estados Unidos, además de los estándares de contenido, que se refieren a los temas de estudio, señalan cinco estándares llamados de proceso y que bien se podrían considerar como competencias matemáticas, éstos son: Resolución de problemas, Razonamiento y prueba, Comunicación, Conexiones y Representación.

Independientemente de establecer o no niveles de logro, e incluso de mencionar el término competencias o no, hay una intención clara, en los cuatro currículos que se mencionan en esta parte, de apuntalar el desarrollo de los alumnos en otros aspectos que rebasan el nivel de los conocimientos y habilidades. En este sentido, me parece que una contribución importante del nuevo currículo que se construye en México, respecto al asunto de las competencias, consiste, por un lado, en asignarle un significado preciso al término, de manera que se distinga claramente de otros conceptos tales como: propósito, contenido, habilidad, conocimiento, etcétera, que ya se usan y poco a poco van teniendo un significado más claro para los profesores. No tendría sentido utilizar un nuevo término al que se le atribuye tanto peso, como es el caso de competencia o competencias, para decir algo que ya se conoce con otro nombre. Por otra parte, se intenta darle sustento metodológico al desarrollo de competencias para que los profesores sepan cómo pueden ayudar a sus alumnos a ser competentes en distintos ámbitos.

Con la finalidad de ahondar un poco más en el asunto de las competencias, traigo a colación dos artículos que hablan sobre este tema, uno en el campo de la Lengua y otro en el de la Matemática. El primero se titula: ¿Qué significa progresar en competencia literaria? Fue escrito por Teresa Colomer, quien en una parte del artículo describe siete aspectos en los que plantea que sería deseable que los alumnos avanzaran a través de uno o varios cursos, para alcanzar la competencia literaria. Uno de ellos se enuncia así: “De la interpretación más literal a la más compleja”. La idea de líneas de progreso –como ella les llama– de estos siete aspectos es interesante, porque la definición misma encierra el compromiso, por parte del maestro, de que los alumnos transiten de un nivel de competencia a otro más elevado. ¿Cómo interpretaban los alumnos al inicio del curso y cómo interpretan al final de dicho curso? Es probable que entre la interpretación más literal y la más compleja puedan caracterizarse otros niveles intermedios, pero aún en el caso de que esto no fuera posible, tener claridad sobre el punto de partida y el de llegada significa poder avanzar con rumbos definidos y poder evaluar dichos avances.

El segundo artículo al que quiero referirme se titula: Mathematical competencies and the learning of mathematics. Fue escrito por Mogens Niss, quien actualmente coordina un proyecto de investigación sobre el desarrollo de competencias en Dinamarca. Dicho autor plantea que la competencia matemática se logra a través del desarrollo de ocho competencias matemáticas, que a su vez agrupa en dos subgrupos. El primero consiste en la habilidad para plantear y responder preguntas en y con el uso de las matemáticas. Dentro de este subgrupo están las competencias: Pensar matemáticamente, Plantear y resolver problemas matemáticos, Modelar matemáticamente y Razonar matemáticamente.

El segundo subgrupo corresponde a la habilidad para manejarse con el lenguaje y las herramientas matemáticas. Las competencias consideradas en este subgrupo son: la representación matemática, el manejo de símbolos y formalismos

matemáticos, la comunicación en, con y acerca de las matemáticas, el uso de apoyos y herramientas, incluyendo el uso de la tecnología.

¿Qué hay de común en los trabajos de Teresa Colomer y Mogens Niss? En primer lugar la forma genérica de referirse tanto a la competencia literaria como a la competencia matemática, pero algo mucho más importante es que, aunque Mogens Niss no habla de líneas de progreso, en ambos casos los componentes de la competencia genérica (literaria o matemática) son aspectos de tipo cualitativo que no refieren de manera explícita a los contenidos de estudio. Por poner un ejemplo, no refieren a las ecuaciones en el caso de matemáticas o el cuento de horror en el caso de lengua. Me parece que éste es un punto fundamental que le da sustancia al propósito de desarrollar competencias en la escuela e ir más allá de los conocimientos o habilidades, del saber y el saber hacer.

De paso me permito comentar que uno de los aspectos medulares del marco teórico que sustenta el Program International for Students Assessment (PISA) (Programa Internacional para la Evaluación de los Estudiantes), es precisamente medir el desarrollo de competencias matemáticas que son útiles para el buen desempeño de los ciudadanos en diferentes ámbitos y esta concepción sobre competencias se basa en el trabajo de Mogens Niss.

Para concluir, considero que es posible identificar líneas de progreso que contribuyen al desarrollo de la competencia matemática, suficientemente claras para proponerlas a los profesores de secundaria, de manera que podamos aspirar a algo más que adquirir conocimientos y desarrollar habilidades. Dado que se trata de un apartado en proceso de construcción, me limito a mencionar algunas de esas líneas.

De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. La mayoría de los profesores de nivel básico estará de acuerdo en que, cuando los alumnos resuelven problemas hay una tendencia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso en varias ocasiones, para saber si el procedimiento que siguen es correcto. Resolver de manera autónoma implica que los alumnos se hagan cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es sólo encontrar un resultado, sino comprobar que es correcto, tanto en el ámbito de los cálculos como en el de la solución real, en caso de que se requiera.

De los procedimientos informales a los procedimientos expertos. Un principio fundamental que subyace a la competencia en la resolución de problemas tiene que ver con el hecho de que los alumnos utilicen sus conocimientos previos, y con la posibilidad de que éstos evolucionen poco a poco, ante la necesidad de resolver problemas cada vez más complejos. Necesariamente entonces, al entrar en el estudio de un tema o de un nuevo tipo de problemas, los alumnos usan procedimientos informales y a partir de aquí es tarea del maestro que dichos procedimientos se sustituyan por otros cada vez más eficaces. Cabe aclarar que el carácter de informal o experto de un procedimiento depende del problema que se trata de resolver, por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo.

Principle De la justificación pragmática a la justificación axiomática. Bajo la premisa de que los conocimientos y habilidades se construyen mediante la interacción entre los alumnos con el objeto de conocimiento y con el maestro, un ingrediente importante en este proceso es la validación de los procedimientos y resultados que se encuentran; de manera que otra línea de progreso que se puede apreciar con cierta claridad es pasar del “porque así me salió” a los argumentos apoyados en propiedades o axiomas conocidos.

Lo que intento mostrar con estos ejemplos es que en el estudio de la matemática, como en la literatura y seguramente como en cualquier otro campo de conocimiento, se puede aspirar a algo más que conocimientos y habilidades vinculados directamente con los contenidos que se estudian, ese algo más tiene una fuerte dosis de actitud, no sólo hacia el conocimiento en cuestión, sino hacia la vida en general.

Referencias bibliográficas

SEP (1993) Plan y programas de estudio. 1993. Educación Básica. Secundaria. México.SEP (2004) Perfil de Egreso de la Educación Básica. Documento interno de trabajo. México.Rey, B. (1999) Las competencias transversales en cuestión. Traducción de Alejandro Madrid Zan. www.philosophia.cl/Escuela de Filosofía Universidad ARCIS.Colomer, T. (2002) ¿Qué significa progresar en competencia literaria? En: Textos en contexto. Ma. Rodríguez, comp. Asociación Internacional de Lectura “Lectura y vida”. Buenos Aires.Niss, M. (2002) Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM Project. IMFUFA, Roskilde University, Denmark.National Curriculum in Action- Mathematics.( 2001). http://www.ncaction.org.uk/s and Standards for School Mathematics. 2000 by the National Council of Teachers of Mathematics, (NCTM). Ministry of Education, 2000. The Ontario Curriculum. http://www.edu.gov.on.ca/Ministerio de Educación de Perú. http://www.minedu.gob.pe/

El error, un medio para enseñar14

Introducción

El problema de error en le aprendizaje es seguramente tan antiguo como la enseñanza misma. Sin embargo, nos encontramos continuamente con el error en la vida diaria, y el sentido común no deja de repetirnos que sólo dejan de equivocarse los que no hacen nada… En la mayoría de las actividades que practican los jóvenes, desde el deporte a los juegos de ordenador, lo consideran como un desafío, objeto de apasionadas competiciones entre amigos, como una ocasión más de superación. Sin duda porque sienten que aprenden algo más en cada ocasión en que intentan algo en lo que pueden equivocarse.

En la escuela todo cambia. El error es fuente de angustia y de estrés. Hasta los alumnos que se consideran buenos tienen miedo de errar, y todos hemos conservado la fuerte impresión de esos incómodos y torpes momentos pasados frente a la pizarra, o incluso la de aquellos días en que el lápiz del maestro iba descendiendo por los parajes de la lista de la clase… ¡en busca de nuestro nombre! En clase el objetivo prioritario de todos es, quizá, el de arreglárselas para ir saliendo ileso del tiro cruzado. ¿No estará este sentimiento escolar, tan concreto, relacionado con la percepción de encontrarse frente a actividades codificadas, a las que no se encuentra sentido y que no se llegan a dominar? Muy a menudo los alumnos con dificultades son incapaces de relacionar con claridad lo que son capaces de hacer con las calificaciones que obtienen. Sus resultados les parecen consecuencia de otras variables, que se escapan a su control, como la mala suerte, lo “inútil” del ejercicio, su horóscopo o, incluso, el sadismo del maestro. Atribuyen sus errores a causas de carácter externo y se sienten víctimas de lo que sucede.

¿Alguna vez se está seguro de haber dado con la respuesta que se esperaba? A veces algo que parecía fácil nos depara un resultado decepcionante, y otras algo contestado con gran dificultad nos sorprende ─demasiado tarde─ con una respuesta fácil y conocida… Personalmente guardo algunos recuerdos de una escolaridad “no tan mala”, donde muchas veces no he sabido las razones de las notas obtenidas. Un año obtuve malos resultados en Física durante todo el primer trimestre, en que estábamos tratando con problemas de vasos comunicantes, de los que no entendía nada hasta que un día me di cuenta de que bastaba, tonta y mecánicamente, con fijar un nivel de partida horizontal cualquiera e igualar lo que fuera sucediendo en las dos ramas del tubo. En los exámenes del segundó trimestre obtuve un diez, algo que me sorprendió enormemente, quedándome el extraño sentimiento de no haber progresado en absoluto. Hoy día aún no estoy muy seguro de haberme enterado de todo… Conocí años buenos y otros peores en Historia y en Francés, incluso pasé por la experiencia de ser uno de los alumnos “malos” del profesor, sin llegar a explicarme estas diferencias. No creo haber trabajado más o menos unos años u otros. En resumen, la vida escolar es una “ducha escocesa”.

En este libro se intenta, en primer lugar, ver qué variados estatus pueden tener los errores escolares, y cómo sus efectos pueden reconducirse posteriormente de manera positiva. Se analizan los fundamentos teóricos sobre los que basarse, y a continuación se intenta clasificar los errores según sus causas y orígenes. Pues, lejos de constituir un fenómeno homogéneo, pueden ser objeto de un análisis que lleve a construir una tipología. Para terminar, se cuestiona el modo de comportarse frente a ellos, intentando frenar el rechazo que provocan, al tiempo que se evita la permisividad. En efecto, el error parece una buena forma de analizar modelos pedagógicos; es la piedra de toque de una mayor profesionalización del trabajo del enseñante.

14 Jean Pierre Astolfi, “El error, un medio para enseñar”, Biblioteca para la Actualización del Maestro, SEP, México, 2004, pp. 7-25.

¿Qué estatus se da al error en la escuela?

Todo educador sueña con un mundo ideal donde lo que aprenden los alumnos es el sosegado reflejo de lo que se les enseña. La realidad le obliga a aceptar (o al menos a tolerar) que el mundo es imperfecto, aunque nunca pierde la esperanza. Hay algo de paraíso perdido en esta búsqueda de “lo perfecto”, pero también una equivocación sobre qué es –y qué podría ser– aprender, si se aplica este término con toda seriedad.

La situación empeora porque se sueña con una escuela copia de la ciencia (en el sentido amplio del término, sea cual sea la disciplina de referencia), ciencia en la que no se deja resquicio alguno al error, gracias al genio y a las virtudes del “método” de los investigadores. Sin embargo, hay que revisar este punto de vista, obligados por la epistemología moderna. Cada vez se ve menos a la ciencia como el resultado de sucesivas “victorias” de la verdad sobre el error, y más como la construcción y utilización de modelos sucesivos. Modelos con su propia visión del mundo y su “parte de verdad”, y también con “sus puntos ciegos”. Como dice Edgar Morin, conviene “mostrar siempre lo relativo de un conocimiento, su dependencia del observador y de las condiciones de la observación, y no olvidar que un poco de sabiduría en un campo puede pagarse con un poco de ignorancia en otro”.

La cinta transportadora de los conocimientos

Esta espontánea aversión al error y el rechazo didáctico que de ella se desprende, es propia de una determinada representación del acto de aprender, representación muy extendida entre los enseñantes, los padres y el sentido común.

¿Adquisiciones “naturales”?

¿Cómo es esta representación? Un mecanismo regular y progresivo que se pone en marcha al aprender bien. Algo parecido a una cinta transportadora de conocimientos, que progresa al ritmo de un sistema de engranajes bien engrasado; que permite el anclaje del saber en la memoria, sin vuelta atrás ni desvíos. Si el profesor explica bien, si lleva un buen ritmo, si elige bien los ejemplos y, por supuesto, si los alumnos están atentos y motivados, no debería –normalmente– haber errores.

Situados en esta perspectiva, hablamos de progresión pedagógica para describir la sucesión de actividades en clase, como si la progresión curricular (a cargo del maestro) y la progresión intelectual (a cargo de los alumnos) tuvieran que ir a la par. Llegamos a pensar, dentro de esta lógica, que de una lección a otra, de una semana a otra, e incluso de un curso a otro, se puede contar con lo que se ha “visto”, con lo que se ha “hecho”. Como si ver y hacer llevaran naturalmente a adquisiciones, sobre las que basar, a priori y sin desconfianza alguna, nuevos aprendizajes.

Siguiendo una línea muy parecida, Samuel Johsua critica lo que denomina “mito naturalista”, método según el cual se puede establecer un paralelismo término a término entre el proceso del descubrimiento científico (en el investigador) y el método inductivo de adquisición de conocimientos (por el alumno). El método científico y el método pedagógico serían calcos uno del otro. Pero tal homología no se cumple, ni en las ciencia ni en otros campos (Johsua, 1985). El principal obstáculo con que choca este método es su visión unificadora de las cosas, sin contradicciones ni problemas; de ahí el adjetivo de “naturalista” que le coloca Johsua.

La ciencia se aprendería “silenciosamente”, ya que ésta ordena lo real, del mismo modo en que se habla de un método “natural” para la lectura. Los aprendizajes son descubrimientos tranquilos, cómodos, sin aventuras, sin sobresaltos ni pasiones; por ello se valora en los alumnos cualidades similares, prefiriéndose a los que trabajan silenciosa y regularmente frente a los que se arriesgan por caminos alternativos.

Los errores como “fallos” del aprendizaje

Según esta representación los errores sólo pueden ser “fallos” de un sistema que no ha funcionado correctamente, fallos que hay que castigar. Y esto se traduce de muchas maneras convergentes. La primera es el “síndrome del rotulador rojo”. En el mismo momento en que se percibe un error, el reflejo casi pavloviano es subrayar, tachar, materializar la falta en el cuaderno o en el control. Antes de pararse a pensar en si tendrá alguna utilidad en términos didácticos, se siente la incapacidad de actuar de otro modo, Interminables y agotadoras correcciones, sin pensar que vayan a ser eficaces, y sin creer que los alumnos van a tenerlas en cuenta, y aun así, se sigue perseverando. Siguiendo este juego se cansa uno pronto, se llega hasta a agriar el carácter. ¿Y para qué tanto masoquismo? Debe existir un sentimiento de obligación “moral”; a no ser que tenga algo que ver con la relajación muscular del profesor. No prescindimos de la corrección porque es algo que tiene que ver con nuestra identidad profesional, con la idea de la acción y de los deberes del enseñante: al menos los alumnos podrán ver que “está corregido”… También puede tener que ver con el justificable miedo que se siente a la opinión de los padres y a la Administración si ven que “dejamos pasar las faltas”.

La segunda percepción, más íntima y penosa, es que los errores de los alumnos hacen que los profesores duden de sí mismos y que piensen en lo ineficaz de la enseñanza impartida. Algo se ha resistido a nuestras explicaciones y a nuestro deseo de explicar, incluso a la “esencia” del poder pedagógico. Por tanto, sienten malestar y despecho cuando los alumnos cometen esos errores, que se habían tratado de evitar por todos los medios. El castigo, pues, será reactivo: si se da una evaluación negativa de los alumnos, ¿no se siente el profesor también evaluado, devaluado, puesto en duda su valor profesional y personal? Tanto más cuando el que sabe minimiza el coste cognitivo del que aprende, ya que no es consciente de las operaciones mentales que domina. Volveremos sobre ello. Este aspecto se explica tanto desde el punto de vista de Piaget como desde los modelos actuales de la memoria. Lo que ha sido automatizado ya no “cuesta” trabajo, y hay que esforzarse para recordar el trabajo que le puede costar a otros… Es usual, mientras se explica, introducir la expresión “es fácil”. Los alumnos crujen los dientes en silencio, esta expresión es la negación –involuntaria– de su esfuerzo. Preferirían percibir algo más de comprensión y de empatía hacia las dificultades que están pasando, y de las que no pueden desembarazarse. Les gustaría que se les reconociera (y que se les dijera) lo que sufren en sus “trabajos forzados”.

Una tercera percepción es el vértigo que se siente ante la idea de “sumergirse” en la mente de los alumnos. El saber establecido tiene su aspecto protector: da respuestas, da seguridad. Sin embargo, entrar en la “jungla” de las explicaciones de los alumnos, sacar a la luz todo ese “mineral” resistente, da miedo, miedo a hundirse sin poder salir a flote. Nos preocupa lo que pasaría con la programación, ya que es difícil conjugar la lógica del saber y la lógica de los alumnos. Ellos nos llevan hacia las arenas movedizas cuando lo que deseamos es el aire de las montañas. Es más aceptable sonreír, de buena fe, sobre todo cuando se está frente a una de esas “perlas” que enriquecerán las antologías del disparate. Pero la procesión va por dentro. Podríamos citar ese extracto de las primeras páginas de La formación del espíritu científico de Gaston Bachelard:

Los profesores, sobre todo los de ciencias, no comprenden que los alumnos no comprenden. Se imaginan que la mente sigue los mismos pasos que una lección; que los alumnos pueden hacerse con una cierta ‘cultura’ si los profesores les imparten la misma clase una y otra vez; o, que pueden llegar a entender una demostración si se les repite paso a paso (Bachelard, 1985).

Es ilusorio, y Bachelard, que fue profesor de Física antes de interesarse por la historia de las ciencias y la epistemología, se dio cuenta pronto. Sesenta años después estas frases siguen vigentes.

La doble negación del error

Se puede comprender que, frente a una situación tan poco reconfortante, los enseñantes eviten en lo posible cruzarse con el error en su camino. Cuando a pesar de todo (y a su pesar) se lo encuentran, pueden reaccionar siguiendo dos actitudes simétricas:

Bien con el castigo, que puede llegar a comprenderse como un reflejo de reafirmación, frente al abismo que se ha descrito.

Bien por medio del esfuerzo de replanteamiento de la programación, enmascarando quizá alguna culpabilidad latente.

En el primero de los casos el estatus del error es el de “falta, pecado”, con todas las connotaciones moralizantes asociadas al término. En el segundo, es el de un fallo de programa. La primera actitud carga el error en la cuenta del alumno y en la de sus esfuerzos de adaptación a la situación didáctica. La segunda se lo carga al que concibió la programación y a su falta de capacidad para adaptarse al nivel real de los alumnos.

¿En qué son similares estas dos actitudes? El primer elemento en común es que el error es lamentable y lamentando, poseyendo un estatus negativo, al que se busca remedio; aunque los medios que se ponen en marcha son distintos. El segundo elemento en común es el de una sobrevaloración de los saberes disciplinares. Se utilizan como textos intocables que todos deben respetar y memorizar (incluso cuando se es consciente de que ese texto se matiza, rectifica, e incluso invalida, de forma periódica, por el propio progreso de las disciplinas). O, por el contrario, son objeto de un tratamiento cuadriculado de análisis de la materia (recordemos las implicaciones de la enseñanza programada)… pero olvidando por el camino a los alumnos. Precisamente –y he aquí el tercer elemento en común– el acto de aprender es igualmente minusvalorado, reducido al proceso silencioso del “mito naturalista”.

Los modelos subyacentes

El estatus didáctico que se da al error es un buen indicador del modelo pedagógico utilizado en la clase. Los dos modelos que subyacen en lo anteriormente escrito han sido considerados opuestos en los años setenta, pero quizá sólo sean variantes de una misma forma de relacionarse con el saber. El primero es el modelo transmisivo, en el que el alumno que ha cometido un error “ha fallado”. En el segundo modelo, al que podemos denominar comportamentalista, el error adquiere un aspecto distinto. Es cierto que en las secuencias de clase aparentan ser menos magistrales, puesto que la actividad del alumno se guía paso a paso, por medio de una serie graduada de ejercicios y de instrucciones. Es cierto también que se considera una pedagogía para el éxito, y que se dan los medios para llegar al comportamiento esperado y para verificar su obtención (¿es capaz ahora el alumno de…?). Pero este segundo modelo, diseñado a partir de la psicología llamada conductista, está basado en la transferencia al hombre del condicionamiento animal. No sólo un condicionamiento “que responda”, al modo de los reflejos condicionados de Pavlov, sino un condicionamiento “operativo” como el que desarrollaron James Watson y Burrhus Skinner. La idea es que siempre es posible hacer aprender algo (tanto al niño como al animal), por complejo que sea; con la condición de descomponer su complejidad en etapas elementales, tan reducidas como sea necesario, reforzando positivamente cada adquisición parcial con recompensas y no con castigo.

El problema del conductismo es que nada garantiza que el comportamiento (externo) se corresponda con el mental (interno), y más cuando se prohíbe, por

método, interesarse por lo que pasa dentro de la “caja negra”. Ciertamente permite evitar errores, puesto que toda programación didáctica, hecha en “pequeños escalones”, está concebida así para evitarlos. Pero, todo ello a costa de un recorrido estrechamente guiado y predeterminado, que no tiene en cuenta la autonomía intelectual que debe adquirir el que aprende… “cuando se desmonte el andamio”. Por último, el error conserva su estatus negativo, puesto que se emplea todo el ingenio y la energía para evitar que aparezca.

¡Vuestros errores me interesan!

Ya en 1970 Pierre Bourdieu y Jean-Claude Passeron escribían en su célebre libro La reproducción: “Cuando los profesores bromean acerca de ‘los disparates’, se olvidan de que estos fallos del sistema encierran la verdad. Se situaban, evidentemente, desde la perspectiva sociológica de una escuela que reproduce las desigualdades sociales, más que desde un proyecto de aprendizaje. Pero habían percibido claramente, a través de los errores cotidianos en la escuela, una diferencia esencial entre los alumnos, y se señalaban su significado didáctico.

Los modelos constructivistas, que están adquiriendo un fuerte desarrollo en estos últimos años, se esfuerzan, contrariamente a los anteriores, por no eliminar el error y darle un estatus mucho más positivo. Puntualicemos: el objetivo que se persigue es llegar a erradicarlos en las producciones de los alumnos, pero se admite que, como medio para conseguirlo, hay que dejar que aparezcan -incluso provocarlos- si se quiere llegar a tratarlos mejor.

El error, indicador de procesos

En los modelos constructivistas los errores no se consideran faltas condenables ni fallos de programa lamentables: son síntomas interesantes de los obstáculos con los que se enfrenta el pensamiento de los alumnos. “Vuestros errores me interesan”, parece pensar el profesor, ya que están en el mismo centro del proceso de aprendizaje que se quiere conseguir e indican los progresos conceptuales que deben obtenerse.

Laurent Viennot realizó la primera tesis en Francia en didáctica de la Física que trataba del razonamiento espontáneo de los estudiantes de enseñanzas medias y universidad sobre el concepto de fuerza. En esta tesis se mostraba, de forma sorprendente (a partir de entonces, nos hemos ido acostumbrando…), que hasta un momento avanzado de la vida universitaria, muchas de las respuestas dadas a preguntas sencillas eran erróneas. Se pedía a los estudiantes que indicaran qué fuerzas se ejercen sobre una pelota que acaba de ser lanzada, tanto en la parte ascendente de la trayectoria, como en la parte descendente. Como en todos los problemas de Física, se les indicaba “que no tuvieran en cuenta la resistencia del aire”. La sorpresa consistía en que cerca del 50% de los estudiantes describían dos fuerzas cuando la pelota sube, y una sola -la fuerza de la gravedad- cuando la pelota vuelve a caer. En la parte ascendente de la trayectoria mencionaban algo que algunos denominaban “capital de fuerza” o, dicho de otra forma, un impulso que el lanzador confiere a la pelota y que se almacena en ella antes de irse gastando en la subida. Aunque corrientemente se piense así, es falso: en el momento en que la pelota es lanzada, si se desprecian las fuerzas de rozamiento, sólo se ejerce una fuerza: la de la gravedad. Entonces, ¿cómo se puede explicar que la pelota se eleve al principio?

La primera sorpresa era para los mismos estudiantes, ofendidos por haberse dejado pillar en un problema tan trivial, cuando están acostumbrados a salir airosamente de situaciones mucho más complicadas. Algunos, recuperándose rápidamente, confesaban (lo relata Laurence Viennot) que acababan de aprender más física en un cuarto de hora que en todos los años de estudio de esta disciplina. Este error no es fruto del azar ni de la falta de atención. Sin saberlo, y a pesar de todos sus

conocimientos académicos de Física (y de sus calculadoras programables…), los estudiantes han puesto en marcha “de facto” la vieja teoría del ímpetus (dicho de otra manera, del impulso), modelo admitido antes de Newton y que prevaleció largo tiempo. Estos estudiantes no sólo se limitaban a constatar, desolados, el carácter erróneo de su respuesta, sino que aprovechaban la ocasión para construir un puente entre las leyes y fórmulas que conocen y aplican de ordinario y aquello que podemos denominar “la física de lo cotidiano”. Relacionaban así dos modos de tratamiento de los datos que hasta ahora utilizaban de forma separada: el razonamiento físico y el razonamiento espontáneo (Viennot, 1979).

Vemos ahora como el error adquiere un nuevo estatus: el de indicador y analizador de los procesos intelectuales puestos en juego, que no se tienen en cuenta cuando corregimos con el rotulador rojo. En lugar de una fijación (“algo neurótica”) en el distanciamiento de la norma, se trata de profundizar en la lógica del error y de sacarle partido para mejorar los aprendizajes.

El error tiene sentido

La idea esencial al considerar el error desde un punto de vista constructivista, es renunciar a lo que Piaget denominaba el “n’importe quisme” (noimportaquismo). Por extrañas que parezcan las respuestas, se trata de buscarles sentido, de encontrar las operaciones mentales de las que ellas son la pista. No toda respuesta sorprendente (o irritante) tiene por qué contener una lógica identificable, puede que únicamente sea fruto de la ignorancia o de la distracción, pero si se parte de ese principio, no se puede progresar en la reflexión. Al mismo tiempo, si había algún significado oculto, no se puede encontrar. Se pone en marcha un proceso de cierre simbólico, que da una respuesta prefabricada, en lugar de proseguir con la investigación. Como decía Philippe Meirieu a propósito del postulado de la educabilidad, la nueva actitud no es verdadera con respecto a la realidad que describe, sino ajustada a las perspectivas que nos abre (Meirieu, 1987). Lo que cambia esta nueva perspectiva es la postura que se adopta, y las consecuencias pueden ser muchas.

De ello nos da ejemplo una investigación de Gérard Vergnaud que analizaba las respuestas de alumnos de Primaria, a los que se les pedía que ordenaran una serie de fechas de nacimiento sobre una recta. Como siembre, los protocolos obtenidos pueden clasificarse en “bloques” más o menos parecidos. El significado de un primer bloque parece claro: los niños representan las fechas de nacimiento de forma ordenada pero equidistante, sin tener en cuenta intervalos temporales. Parecen tener en cuenta la dimensión ordinal de los valores que están clasificando, pero se quedan ahí.

En un segundo bloque las respuestas parecen mucho más extrañas: son aparentes noimportaquismos. Hasta que (y recuerdo a Vergnaud relatando sus dudas y el tiempo que tardó en llegar a esta conclusión) se da cuenta de que se trata de un intento real, aunque poco afortunado, de tratamiento de los datos. Tratan aspectos que se les escapan a los niños del grupo anterior. Si se observa detenidamente el segundo dibujo, nos daremos cuenta que han dibujado sucesivamente 7 pequeños segmentos (para representar julio), después 11 (para noviembre), 1 (para enero), y por último, 12 (para diciembre).

15 julio1967

30 noviembre1967

2 enero1968

20 diciembre1968

15 julio1967

30 noviembre1967

2 enero1968

20 diciembre1968

La complejidad numérica de estos datos es tal que dejan de lado los años y los días para fijarse únicamente en los meses: julio, noviembre, enero, diciembre. No dominan la cuestión del origen y colocan los segmentos extremo con extremo. No gestionan correctamente el espacio en la hoja y continúan, en su caso, el dibujo en la otra línea, siguiendo un grafismo en “serpentín”… Pero, aunque sus producciones sean empíricas y aproximadas, están tratando de resolver una dificultad que no había pasado por la imaginación de los autores del primer bloque. De tal manera que las producciones más extrañas son las más evolucionadas; aunque también muestran todo el camino que queda por recorrer hasta dominar el complejo conjunto de conceptos que se pone en marcha al “colocar un número en la recta”.

En resumen: “la destreza consistente en graduar una línea y en subdividirla en intervalos refleja la síntesis entre puntos y segmentos, por un lado, y entre distancia al origen y diferencias, por otro. Se trata de operaciones mentales complejas, que no es sorprendente que escapen a niños de hasta 13 años y más” (Vergnaud, 1987). Abajo se reproducen unos esquemas que indican las etapas cognitivas de dicha destreza.

La falta, el fallo de programa y el obstáculo

Hemos podido ver cómo, con los modelos de aprendizaje contructivistas (que no son uniformes), el error adquiere el estatus de indicador de tareas intelectuales que los alumnos van resolviendo y de los obstáculos con que se enfrenta su pensamiento a la hora de resolverlas. Esto hizo decir a Michel Sanner: En pedagogía, si se quiere que la noción de obstáculo epistemológico sea operativa, no basta con reconocer el derecho al error, sino que se debe emprender el camino del conocimiento real del error (Sanner, 1983). El obstáculo consiste en actuar y reflexionar con los medios de los que se dispone, mientras que el aprendizaje consiste en construir medios mejor adaptados a la situación. Por ello podríamos evocar la célebre parábola de “la farola” de Abraham Kaplan. Un borracho ha perdido la llave de su casa y la busca, de madrugada, bajo una farola. Un señor que pasa y lo ve le pregunta si está seguro de que la ha perdido allí. “No, pero éste es el único sitio donde veo algo”. De manera similar, ¿no son los obstáculos el resultado de nuestra forma de pensar y actuar allí donde vemos algo”.

El error se reencuentra aquí con su etimología latina de “errar” (ir de un lado a otro), en sentido figurado, como incertidumbre, ignorancia, incluso herejía, pues caer en él te puede conducir hasta el verdugo… ¿Cómo no “errar” cuando no se conoce el camino? Si alguien nos enseña, podríamos evitar errar por un tiempo, pero sabemos que en cuanto nos dejen solos tendremos que asumir el papel del que hasta ahora nos guiaba.

El error, pues, tiene algo que ver con el viaje, del que Michel Serres decía que es una figura determinante de todo aprendizaje (Serres, 1991). Pero, cuidado, se trata de un viaje con todo lo que conlleva de riesgo, y no sólo de un desplazamiento o trayecto marcado. Hay que citar el comentario que hacen P. Meirieu y M. Develay en Emile, reviens vite, ils sont devenus fous.

No basta con hacer el camino al lado del que aprende: el hecho de que le guía conozca el itinerario no es suficiente para suprimir los temores que nacen con la contemplación de paisajes y formas desconocidas. El hecho de que el que está a nuestro lado nos explique que ya ha recorrido el camino miles de veces, no disminuye la inquietud que sentimos por no ser capaces de hacerlo solos. Y llega el momento en que el guía nos deja a solas con nuestro miedo, donde toda nuestra voluntad se centra en un gesto imposible, donde sólo se es un pie que no puede separarse del suelo, una mano que no puede arrancarse de la pared. Nada existe ya a nuestro alrededor. Ya no escuchamos las palabras tranquilizadoras de nuestros camaradas, ni los gritos de ánimo del guía, ni las amenazas de los responsables de la expedición. Estamos solos con una roca, un camino, una palabra. La fatiga nos sumerge. Nos agarramos a una palabra, a un enunciado, a una idea, como a una rama que no queremos soltar. Este detalle insignificante toma enormes proporciones, sólo lo vemos a él. Ya no nos movemos. Querríamos dar la vuelta… De repente encontramos el valor de lanzarnos: nuestros ojos recorren la página hasta que encuentran una expresión en la que detenerse, se demoran y, a partir de ella, se van a explorar los alrededores. Nuestro pensamiento se desata, abandona las antiguas representaciones en las que se encontraba enredado, se distiende y añade algunas parcelas de novedad, sorprendido de que, al fin y al cabo, no sea más difícil (Meirieu y Develay, 1992).

El final de este texto es particularmente interesante, pues el problema del error, comprendido de este modo, es lo irrisorio que resulta una vez superado. Lo que no contribuye a hacernos más brillantes ante nosotros mismos… Es lo que le pasó a Albert, alumno de Curso Medio 1 (9-10 años), al hacer un ejercicio donde tenía que buscar el sujeto de los verbos y concordarlos. No comprendo, dice, lo que quiere decir que es la palabra que manda sobre el verbo. La primera frase del ejercicio la concuerda sin problemas, pero la segunda es: Desde el horizonte lleg_... grandes nubes grises.

Albert: ¿El sujeto es horizonte?Maestro: Recuérdame cómo has encontrado el sujeto hasta ahora.Albert: Preguntaba al verbo, ahora también: ¿De dónde llegan las nubes?

Del horizonte. Por lo tanto el sujeto es horizonte.Maestro: ¿Qué preguntaste para encontrar el sujeto en las otras frases?

Albert: Busqué: ¿Quién…? ¡Claro, aquí son las nubes! Pero, ¿no está el sujeto siempre delante del verbo?

Maestro: ¡Pues sí!, sigue…Albert: ¿Cuántos libros tiene esta biblioteca? Aquí está claro que no son los

libros los que poseen la biblioteca. Biblioteca es el sujeto. Y si no, estaría en plural.

Un saco que contenía billetes de todos los colores es_... sobre la mesa. Aquí está claro que han puesto esta frase para ver si se cae en la trampa de que colores está en plural.

Albert actúa muy concienzudamente, se preocupa por integrar el aprendizaje de la regla gramatical, saca de cada ejemplo las deducciones correctas y capta incluso la regla didáctica de las “trampas” contenida en algunos ejercicios. Sin embargo, pocos días más tarde, vuelve a “caer” ante un ejercicio similar:

Maestro: ¿Recuerdas cómo se buscaba el sujeto?Albert: Sí, tengo que preguntar: ¿Quién?Maestro: Venga: En un granero duerme un gato gordo.Albert: ¿Dónde está el gato? En el granero. El sujeto es granero.Maestro: ¿Me puedes explicar qué es el sujeto?Albert: Aprendí que es la palabra que manda al verbo. ¡Ah, sí! Tengo que decir:

¿Quién duerme en el granero? El gato.

Albert está en pleno centro del vado. Cuando exclama ¡ah, sí!, está dando testimonio de su conocimiento de la regla y a la vez del dominio imperfecto que tiene de ella. En cada ocasión tiene que volver a realizar todo el proceso. El aprendizaje no está automatizado. Pero seguro que en poco tiempo mirará con condescendencia a aquellos que se encuentren donde él está ahora porque, como ya se ha dicho, las dificultades ya no son tales para los que las han superado.

El cuadro siguiente reagrupa los diferentes estatus que puede tomar el error según los modelos pedagógicos analizados.

FALTAFALLO DE PROGRAMA

OBSTÁCULO

ESTATUS DEL ERROR

Se niega el error “fallo” “disparate” “noimportanquismo”

El error positivo (postulado del sentido)

ORIGEN DEL ERROR

Responsabilidad del alumno, que debería impedirlo

Defecto de la programación

Dificultad objetiva en la apropiación del contenido enseñado

MODO DE TRATARLO

Evaluación a posteriori para castigarlo

Tratamiento a priori para prevenirlo

Trabajo in situ para tratarlo

MODELO PEDAGÓGICO DE REFERENCIA

Modelo transmisivo Modelo conductistaModelo constructivista

El error que enmascara el progreso

Aprender es arriesgarse a errar. Cuando la escuela olvida este hecho, el sentido común lo recuerda, diciendo que el único que no se equivoca es el que no hace nada. Partiendo de la falta como un “fallo” del aprendizaje, la consideramos, en algunos casos, como el testigo de los procesos intelectuales en curso, como la señal de lo que afronta el pensamiento del alumno durante la resolución de un problema. Llega a suceder, si lo miramos desde esta perspectiva, que aquello que denominamos error no lo sea, y que nos esté ocultando un progreso que se está realizando. Lo saben y lo constatan a veces los profesores de lengua extranjera, cuando los alumnos más aventajados hablan y comenten errores que no habían cometido hasta entonces. Puede que se trate de fallos o de simple cansancio, pero también sucede que sólo son falsas regresiones. Para evitar los errores los alumnos se hacen fuertes momentáneamente en el uso de la sintaxis que dominan, sin arriesgarse a aventurarse por otros caminos. Y un buen día, de repente, se sienten con fuerzas para intentar

utilizar nuevas estructuras. Seguro que ese día, no teniendo integrados del todo las sutilezas y los casos particulares, se equivocarán en la construcción de tal o cual frase. Aun así seguirá siendo una señal de progreso.

En una investigación de didáctica de las ciencias sobre los obstáculos en la comprensión de las transformaciones de la materia, pudimos poner en evidencia una serie de producciones y reacciones de alumnos que también ponían de manifiesto falsas regresiones (Astolfi, Peterfalvi y Vérin, 1997). El trabajo trataba sobre la interpretación de resultados experimentales del Institut National de Recherche Agronomique ─INRA─, que demostraban que la masa de tomates que da un invernadero crece en función del contenido en dióxido de carbono del aire. Es un buen momento para hacer funcionar el concepto de fotosíntesis, cuya adquisición saben los biólogos que siempre es delicada e incierta. Hay buenas razones, obstáculos serios, para que este concepto se adquiera fácilmente. El dióxido de carbono se considera un gas nocivo (todo el mundo conoce la historia del los trabajadores que se cayeron a un pozo…), siendo difícil representarlo como fuente de alimento para las plantas. Así mismo, en la respiración es el gas que se desprende y no el que se absorbe. Además, siempre se imagina que es de la tierra y por las raíces de donde las plantas extraen su alimento, y no del aire. Por último el alimento es algo sólido, en todo caso líquido, ¿pero, gaseoso?

Frente a este desafío didáctico, en una clase de sexto (11-12 años), Pierre-Yves no puede aceptar la idea de un “CO2 nutritivo”. Cuando el profesor le pide, para darle argumentos, que lea en voz alta el siguiente documento, se queda mudo y como paralizado: El enriquecimiento en CO2 del aire del invernadero tiene como consecuencia un crecimiento mucho mayor y una mejora de la formación de los frutos, el aumento del número de frutos por planta y el aumento del peso y calibre medio de los frutos.

Maestro: Explícanos por qué no estás de acuerdo.Pierre-Yves: Bueno, el es el dióxido de carbono. Es el gas que expulsan las plantas y no… el que absorben.Maestro: Bueno, ¿qué pasará…? Cuando el INRA aumenta la cantidad de dióxido de carbono, ¿qué pasa con los tomates? ¿Qué dice el texto?Pierre-Yves: (Mira al texto)Maestro: ¿Qué sucede cuando se aumenta la cantidad de dióxido de carbono?Pierre-Yves: (Hace una mueca)Maestro: ¿Qué te dice ahí? ¿Qué se obtiene? (Muestra el texto)Pierre-Yves: …Compañero: Se obtiene un aumento de la masa, del volumen y, por tanto de materia.Maestro: Sí, se obtienen tomates mayores, y mayor número de tomates. ¿De acuerdo?Pierre-Yves: Sí… (con resignación)

Pierre-Yves no puede leer literalmente la hoja que tiene delante, ya que entra en contradicción con sus concepciones acerca de la nutrición vegetal. Tiene que ser su compañero el que la lea en su lugar, y su aceptación final está lejos del entusiasmo… Sin embargo, este mutismo no significa ausencia de actividad intelectual. Por el contrario, se encuentra tan perplejo frente a la disonancia, que no es capaz de relacionar sus ideas personales y los datos que le proporcionan.

Gaël pone más entusiasmo en examinar las compatibilidades entre las cosas y propone un dibujo extraordinario, mediante el que combina aquello que Pierre-Yves no llega a integrar. Según sus propias concepciones, hace salir el CO2 de las hojas de la tomatera (como gas respiratorio) y, puesto que el maestro les ha explicado el papel nutritivo de este gas para las plantas, lo hace volver a entrar por las raíces (como

elemento nutritivo) Este esquema en circuito cerrado integra las concepciones previas y el saber nuevo de una manera biológicamente aberrante, pero mentalmente satisfactoria, puesto que obedece a un “buen diseño”: el gas vuelve.

Juliette es más dócil, escolarmente hablando. Primero da una respuesta conforme a las expectativas del profesor, aceptando que el aumento del contenido en CO2 permita obtener mejores tomates. Sólo que, cuando otro alumno recuerda el carácter nocivo de este gas, da marcha atrás (“creo que Audrey tiene razón”) y explica ahora “habría demasiado CO2 y poco oxígeno y la planta se asfixiaría como un ser humano”. Abandona la respuesta aprendida y recupera su propio pensamiento, que sigue conteniendo el obstáculo en estado latente, con la analogía con el hombre como argumento suplementario.

Amina, sin cortarse, responde: “No tiene nada de extraño, bebemos agua gaseosa” (sic).

Este ejemplo nos muestra diversas modalidades de error (silencio incluido), que dan testimonio de los esfuerzos intelectuales reales que hacen los alumnos por adaptar sus representaciones de un fenómeno a una nueva situación didáctica: por contradicción disonante, por medio de compromisos integradores o por medio de una regresión aparente. Únicamente Amina no se ha enterado de nada…

El error creativo

Finalmente, no existe un verdadero aprendizaje sin comprobar, en un entorno nuevo, las herramientas que han resultado operativas pero que sólo se han aplicado en un campo limitado. Por definición este tipo de ejercicio es arriesgado, por la falta de un conocimiento preciso de los límites de validez de la regla o de la ley, y por no saber clasificar los casos particulares y las excepciones. Es lo que ocurre en cualquier actividad de transferencia. Y, como recordaba el encuentro mantenido sobre este tema en Lyon en 1994, la transferencia no se hace después del aprendizaje, no es posterior al trabajo didáctico, sino que debe formar parte de este trabajo. Una auténtica actividad intelectual capacita para aproximar dos contextos, y el sujeto sólo progresa cuando es capaz de practicar un trabajo de cambio de entorno, de experimentar de forma personal las herramientas que domina en las distintas situaciones en las que se va encontrando (Meirieu y Develay, 1996). ¿No es eso lo que hace el niño de Frato (alias Francesco Tonucci) excelente conocedor del funcionamiento de la escuela y del niño? (Tonucci, 1983). En estas condiciones, muchos de los errores cometidos en situaciones didácticas deben ser considerados como momentos creativos de los alumnos, fuera de una norma que aún no ha sido interiorizada. Si no se aceptara este riesgo, se dejaría a los niños al abrigo de imprevistos, sometidos a la repetición de actividades, pero sin posibilidades de progresar. Este dibujo de Frato se llama, con toda justicia: “el deber de corregir”.

Por último, existe un “saber del error”, como explican Jean-Pierre Jaffré et al., al decir que se deben orientar y guiar los inventos de los alumnos antes que subrayar inútilmente lo incompleto de sus conocimientos. Citan estos ejemplos: un alumno escribe El techo se caen a trocitos, porque “hay muchos pedazos”, o El perro ladran, porque lo hace varias veces. “Justificar el plural, por la experiencia, nos lleva a una representación figurativa de la realidad, que contamina la comprensión de la categoría lingüística. El fenómeno no se debe únicamente a un fallo en la representación del lenguaje, sino también al carácter imaginario de los signos” (Jaffré, Ducard y Honvault, 1995).

Nunca se acaba de comprender. Todo saber auténtico y vivo comporta su halo de bruma y sus zonas oscuras, por lo que deberíamos dedicar aquí un verdadero elogio a la imperfección. Sólo los conocimientos académicos que no sirven y los ejercicios basados en la aplicación repetitiva, parecen escapar de esta regla, pero tienen poco que ver con el aprendizaje.

EL VALOR DE LA EDUCACIÓN Y EL PAPEL DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN15

¿En qué consiste el valor educativo?

Los valores de una escuela determinan lo que se enseña y cómo se enseña. Con frecuencia, estos valores vienen señalados en gran medida desde fuera del propio sistema escolar, es decir, por la política educativa, sea a nivel autonómico o nacional. El currículum escolar oficial identifica un determinado corpus de conocimiento que se considera más <<valioso>> que cualquier otro, y define el éxito en función de la habilidad que se muestre utilizando estos conocimientos para obtener calificaciones altas en las pruebas de evaluación. El éxito de los estudiantes y también de los profesores y de toda la escuela se mide de este modo. En el Reino Unido, esto ha motivado que tanto el qué como el cómo enseña el profesor está en gran parte determinado por los requisitos y los resultados de las evaluaciones formales, presentados en forma de clasificación(3).

Los últimos quince años de política educativa en el Reino Unido han mostrado claramente que este sistema de evaluaciones es la palanca más poderosa para promover cambios en el currículum escolar, incluso más que el propio diseño curricular oficial. Aquello que no se incluye en los exámenes tiene un estatus inferior; en consecuencia, en la escuela primaria se concede menos importancia a las asignaturas que no sean Matemáticas, Ciencias y Lengua, de forma que la Educación Personal, Social y para la Salud no tiene la misma relevancia y queda relegada en el horario escolar.

Las inspecciones escolares siguen muy de cerca en importancia a las evaluaciones, que han conseguido que incluso aspectos no obligatorios en el Currículum Nacional (por ejemplo, las Estrategias Nacionales de Lectura y Escritura y la Estrategia Nacional de Matemáticas) se adopten de modo general. La política de <<señalar y avergonzar>> (4), implementada mediante las tablas de calificaciones y las inspecciones, ha transformado la escuela pública de hoy en día y la experiencia de cada uno de sus profesores y alumnos.

Si las tecnologías de la información han de enraizarse en las escuelas, primero deberán encontrar un sitio dentro del actual marco de evaluación e inspección, o bien ese marco tendrá que ajustarse para reconocer el valor de la competencia digital y sus habilidades asociadas como productos educativos acreditados.

PERSPECTIVAS SOBRE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN

Las tecnologías de la información, definidas aquí como las herramientas necesarias para acceder y manipular datos digitales y como los procesos involucrados en tales operaciones, se contemplan en la actualidad de tres maneras distintas por parte de las instancias políticas:

15 Angela McFarlane, “El aprendizaje y las tecnologías de la información”, Biblioteca para la Actualización del Maestro, sep, México, 2003, pp. 31-45.(3) N. del T.: en el sistema de evaluación nacional, los alumnos deben pasar un examen oficial al término de los cursos correspondientes a los niveles 6-7 años, 10-11 años y 13-14 años. Los resultados de estos exámenes se publican a nivel nacional, organizados en una tabla de clasificación de las escuelas según el rendimiento de sus estudiantes.(4) N. del T.: en inglés, name and shame.

- Las tecnologías de la información como un conjunto de habilidades/competencias.

- Las tecnologías de la información como un conjunto de herramientas o vías para hacer lo mismo de siempre, pero de un modo mejor y más económico.

- Las tecnologías de la información como un agente de cambio con un impacto revolucionario.

Cada visión tiene consecuencias muy diferentes con respecto a su implementación en el currículum y su validez en la evaluación. La primera de ellas defiende el tratamiento de las tecnologías de la información como materia de estudio, lo que conduciría a un mayor logro de conocimientos y habilidades en tales tecnologías. Sin embargo, no se puede esperar que estos logros se reflejen automáticamente del mismo modo en otras áreas del currículum (BONNETT et al., 1999).

A pesar de que el tercer aspecto, el de las tecnologías de la información como agente de cambio, aparece mencionado en los documentos de la Estrategia para una Red Nacional de Aprendizaje (5), en el Reino Unido no se encuentran muchos ejemplos de esta perspectiva en la práctica, como demuestra su ausencia en decretos oficiales como las Estrategias Nacionales de Lectura y Escritura, y de Matemáticas, o el Currículum Nacional 2000.

El énfasis en el currículum aparece relacionado con el segundo aspecto, a saber, las tecnologías informáticas como herramienta para hacer lo que se ha hecho siempre, y que ha dado forma al enfoque del diseño, la investigación y la programación curricular en el Reino Unido durante veinte años. Es cierto que la política educativa se ha mostrado ambivalente en este aspecto, puesto que el uso de las tecnologías de la información en la enseñanza de las asignaturas ha adquirido sólo muy recientemente una presencia generalizada en el Currículum Nacional 2000, y las Estrategias Nacionales apenas nombran estas tecnologías. Además, los materiales de orientación sobre el uso de las tecnologías de la información como apoyo didáctico fueron publicados con seis meses de retraso.

Esta ambivalencia de las políticas con respecto a las tecnologías de la información no está limitada al Reino Unido. La creencia de que las tecnologías informáticas tienen un potencial revolucionario en el aula está muy extendida; sin embargo, es difícil encontrarla implementada en el mundo desarrollado.

El planteamiento consistente en añadir un elemento de tecnología informática a una tarea de aprendizaje para alcanzar mejor los objetivos existentes se encuentra caracterizado en el Modelo de Impacto Directo (véase figura 1). El énfasis recae sobre el estudiante como usuario, y la forma de medir los resultados es la misma que la que se usa para tareas que se realizan sin el ordenador. El modelo prevé un impacto sobre el logro de objetivos tal y como lo miden los sistemas de evaluación estandarizados. Es justo aquí donde se han buscado las pruebas para justificar la estrategia de la Red Nacional de Aprendizaje y su enorme inversión (AVIS, 2001). De hecho, éste es el cometido del estudio Impact 2 (financiado por el Ministerio británico de Educación y Empleo) (6), una investigación de tres años de duración sobre la relación entre el uso de tecnologías de la información y el rendimiento en las pruebas SAT y GSCE (7), y

(5) N. del T.: en inglés, Nacional Grid for Learning (NGfL).(6) N. del T.: en inglés, Department for Education and Employment (DfEE).(7) N. del T.: Standard Assessment Tasks y General Certificate of Secondary Education, respectivamente.

que es el mayor proyecto de investigación sobre tecnologías informáticas y logros educativos que se está realizando actualmente en el Reino Unido. Como muestra la literatura (McFARLANE et al., 2000; MUMTAZ, 2000), este modelo también ha sustentado la mayoría de las investigaciones sobre la repercusión de las tecnologías informáticas en el aula.

Sin embargo, el Modelo de Impacto Directo deja mucho que desear. En primer lugar, ignora el uso de las tecnologías informáticas por parte de los profesores, ya sea

como herramienta didáctica o como instrumento para almacenar datos y administrarlos, lo que les permitiría a su vez un mayor aprovechamiento de la información que se tiene sobre el rendimiento de los alumnos y les posibilitaría así una mejor gestión de la enseñanza-aprendizaje. Algunos profesores están utilizando de hecho las tecnologías de la información de este modo, pero la investigación sobre estos modelos es bastante escasa y hay muy poco material de orientación o ayuda comparado con el volumen de material disponible acerca del uso de estas tecnologías por parte de los alumnos.

En segundo lugar, la implementación de las tecnologías de la información está muy poco descrita y no existen distinciones teóricas entre sus diferentes aplicaciones o sus distintos modelos de uso. Por ejemplo, podríamos encontrar un estudio que analizara la utilidad de los cuentos hablados por ordenador o de los procesadores de texto con relación a la lectoescritura, pero sin llegar a plantearse los aspectos de estos recursos informáticos que podrían tener un impacto relevante sobre el aprendizaje, o los modelos de enseñanza que podrían explotar estas teorías. No sorprende comprobar la exagerada facilidad con que podemos encontrar dos estudios que usan el mismo recurso informático y que, sin embargo, presentan resultados muy diferentes. Esto nos indica claramente que los recursos no son neutrales y que el efecto que tienen depende tanto de cómo se utilizan como de si se hace uso de ellos o no.

En tercer y último lugar, la medición del impacto casi siempre se realiza mediante algún tipo de prueba estandarizada, lo que significa que, aunque se produzcan resultados deseables, como, por ejemplo, la capacidad de trabajar en equipo, de hacer preguntas adecuadas o de tomar decisiones, no se ven reflejados en la evaluación final. Por tanto, los intentos de hacer un balance general del impacto de las tecnologías de la información sobre los logros educativos (McFARLANE et al., 2000; MUMTAZ, 2000) suelen concluir que el efecto global es, en el mejor de los casos, moderadamente positivo.

Por este motivo, el modelo de investigación que está inspirando el estudio Impact 2 es más complejo. Este modelo se caracteriza por tener en cuenta el contexto social del impacto (véase figura 2, pp.38-39). Por ejemplo, considera la experiencia con las nuevas tecnologías que podrían tener los estudiantes fuera del contexto institucional de aprendizaje. Incluso tiene en cuenta la influencia que puede ejercer esta actividad independiente sobre la autonomía del alumno. Si los estudiantes tienen un acceso propio a fuentes de información potentes y fiables, y a las herramientas que permiten manipular estas fuentes para construir su propio conocimiento, ¿cómo afectará este hecho a su visión del currículum escolar?

Siempre ha existido una separación entre los conocimientos adquiridos en el mundo extra-escolar y aquellos adquiridos en la escuela; los conocimientos pertenecientes al mundo escolar pueden representarse como un cuerpo de información al que se le adjudica de un modo arbitrario un valor superior a otros conocimientos, debido en gran parte a que la familiaridad con él determinará el resultado del proceso de evaluación.

No se conocerán los resultados del estudio Impact 2 hasta dentro de por lo menos un año, pero sí hay otras investigaciones que sugieren que el nivel de descontento entre los estudiantes está creciendo. Esto viene acompañado de un descenso en los estándares de conducta en las escuelas secundarias del Reino Unido (OFSTED, 2000 y 2001). Existen indicios de que dicho descontento no se limita ya sólo a los estudiantes de menor nivel, sino que los estudiantes que siempre habían obtenido buenas calificaciones comienzan a rechazar la cultura del aprendizaje escolar al considerarla restrictiva, falta de imaginación y basada más en un modelo de

consumo que en un modelo en el que el estudiante es agente activo de su propio aprendizaje. Éste es un tema que requiere una mayor investigación, ya que si estos primeros hallazgos son indicativos de una tendencia subyacente más extendida, tendremos que reconocer la presencia en nuestras escuelas secundarias de una bomba de relojería.

No se ha probado el papel que desempeñan las tecnologías de la información en alimentar este descontento, pero no es difícil imaginar que un niño que tiene libre acceso a una red digital y a programas informáticos en casa se sienta frustrado al no poder disponer de estas herramientas en la escuela. Sin embargo, incluso si el acceso a estas tecnologías fuera de la escuela no está creando descontento, facilitar su uso dentro de la escuela podría utilizarse como medio para regenerar la motivación, la satisfacción y el interés por aprender. En un proyecto de investigación que la autora está llevando a cabo, se ha comprobado que el 74% de los estudiantes con edades comprendidas entre los 14 y 16 años tienen acceso a Internet en casa, y que se conectan un promedio de una vez por semana como recurso para la realización de sus deberes, aunque esto no forme parte de la tarea en sí.

Es más, estos estudiantes muestran una actitud crítica sólida y bien fundamentada con respecto a los materiales on-line de los que disponen en la escuela. Consideran que estos materiales necesitan ser más interactivos y que deben ajustarse mejor a las características de los jóvenes, para quienes supuestamente están diseñados. Esta reacción es muy diferente a la que muestran hacia proyectos en los que los estudiantes producen el contenido digital ellos mismos, sobre todo si pueden trabajar con la mente puesta en un público receptor específico (BONNETT et al, 1999). Actualmente, es te tipo de proyectos son habituales en centros de aprendizaje de tecnologías de la información como, por ejemplo, el centro Hackney High Wire (8), que es ejemplar en este campo.

Sin embargo, los boletines estadísticos del Ministerio de Educación británico sobre el uso de tecnologías informáticas en la escuela muestran que estas iniciativas continúan siendo excepcionales en las escuelas del Reino Unido (DfEE 1999, 2000). El descontento expresado por los estudiantes con respecto a su experiencia con estas nuevas tecnologías en las escuelas es, no obstante, un fenómeno internacional, como demuestra un estudio de la OCDE sobre las experiencias de los jóvenes en varios países.

Llegados a este punto surge la siguiente pregunta: incluso si los modelos actuales de uso de las tecnologías de la información pueden conducir a mejorar el logro de objetivos, tal como se refleja en las pruebas de evaluación estandarizadas, ¿es esto suficiente? Y si no lo es, ¿cuáles son las alternativas?

Perspectivas sobre la evaluación

LOS TESTS

Cuando se vayan a evaluar habilidades/competencias en tecnologías informáticas, bien se trate de aquello que siempre hemos evaluado –la familiaridad con un cuerpo de conocimientos determinado–, bien sea un conjunto muy diferente de logros –destrezas, comprensión, <<alfabetización digital>>–, es esencial distinguir entre lo que evaluamos y cómo lo evaluamos. Por ejemplo, el hecho de que se utilice

(8) En el momento de la publicación de este libro, existe una abundante información en Internet sobre las actividades de este centro, que puede consultarse en la dirección: http://www.learninglive.co.uk/data/services/data/clc.htm.

el ordenador cuando se trata de hacer tests del tipo <<elección múltiple>> (incluso si esos tests se facilitan on-line) no parece que vaya a cambiar demasiado las cosas. Es cierto que se podrán adaptar los tests a cada alumno de forma individual o confeccionar tests a la carta, pero finalmente seguirán siendo pruebas sobre los mismos conocimientos y habilidades (si es que admitimos que los tests de <<elección múltiple>> pueden evaluar habilidades) que evalúan los tests en soporte de papel, con la desventaja adicional de que el escaso tiempo de que se dispone en la escuela para acceder a las nuevas tecnologías se invertirá, no sólo en efectuar las pruebas, sino también en practicar con ellas.

En lugar de animar a los profesores a usar más tecnologías de la información en la enseñanza del currículum, las pruebas basadas en el ordenador probablemente conducirán, al menos a corto plazo, a emplear las tecnologías informáticas menos para la enseñanza y el aprendizaje y más para la preparación de pruebas.

Hay otras estrategias más fructíferas de uso de la evaluación con vistas a incrementar la utilización efectiva de las tecnologías informáticas en el aula. La evaluación de habilidades y procesos se lleva a cabo de manera más eficaz, no con el ordenador como instrumento de medición directa, sino mediante pruebas basadas en tareas, con el profesor de mediador, y utilizando las tecnologías de la información como apoyo. En particular, la producción individual o en grupo de presentaciones multimedia de determinado conocimiento ofrece un método de evaluación transformador (McFARLANE et al., 2000).

En último término, procesos y habilidades podrían evaluarse parcial o totalmente mediante entornos o instrumentos informáticos, pero en la actualidad tales sistemas de evaluación están siendo objeto de estudio y experimentación. Incluso los mejores prototipos están a muchas generaciones de los instrumentos válidos y fiables que demanda un servicio de acreditación nacional altamente exigente.

EVALUACIÓN FORMATIVA

La eficacia de la evaluación formativa en el aumento de los niveles de la enseñanza y del aprendizaje es hoy indiscutible; es más, se está exigiendo ahora a los inspectores del OFSTED(9) que la utilización de este tipo de evaluación por parte de las escuelas sea uno de los criterios de éxito exigibles a la hora de la inspección. Sin embargo, los aspectos prácticos de la evaluación formativa son más problemáticos. Para poder usar esta poderosa estrategia, es necesario que los estudiantes trabajen de forma reiterativa o cíclica.

El proceso de realizar un primer borrador del trabajo, recibir la crítica que haya lugar sobre él por parte del profesor y/o de los compañeros que pudieran estar actuando como revisores en un contexto determinado, y de editar y rehacer un nuevo borrador, exige un planteamiento longitudinal al planificar una tarea de aprendizaje individual.

Cuando los estudiantes están trabajando con medios tradicionales como papel y bolígrafo, los aspectos prácticos de este proceso se hacen rápidamente insostenibles, y el tiempo y el esfuerzo que se requieren para producir borradores intermedios antes de la versión definitiva pueden resultar desmotivadores y contraproducentes, sobre todo en el caso de los estudiantes más jóvenes o de aquellos que tienen problemas para redactar. Pero si los estudiantes utilizan medios digitales, aunque sólo sea para trabajar el texto, el proceso se transforma, se hace viable.

(9) Office for Standards in Education.

Por supuesto que el método de confeccionar un primer borrador, revisarlo, corregirlo y hacer uno nuevo es un procedimiento natural a la hora de redactar un texto. Así que, si queremos explotar todas las posibilidades de los medios digitales como apoyo a un aprendizaje eficaz, habrá que permitir que los estudiantes trabajen sobre la misma tarea (cíclicamente) durante un cierto periodo de tiempo, si bien esto se antoja problemático cuando el volumen de contenidos en el currículum oficial sigue siendo considerable y los profesores y los estudiantes marchan contra reloj para acabar el programa.

En el momento en que los sistemas digitales se conviertan en el medio de comunicación normal en el aula, sólo quedará un pequeño paso por dar para pasar del texto al multimedia, y de un discurso lineal a otro de secuencia no lineal. Los estudiantes pueden servirse de todos los medios de comunicación actuales y utilizarlos activamente como productores. De este modo, la enseñanza y el aprendizaje podrían acoger la cultura de comunicación y de <<añadir significado>> que impulsa la era de la información. A los estudiantes se les puede retar a contar una historia, ya sea real o inventada, mediante el uso de texto, imagen, películas, sonidos o cualquier combinación de estos elementos. Durante este proceso podrán desarrollar la capacidad de analizar críticamente un texto, de interpretar y expresar mensajes visuales, de adaptarse a una audiencia concreta, de seleccionar y organizar la información, y todo ello utilizando los medios de comunicación del siglo XXI, sin limitarse a aquellos otros que han prevalecido en los siglos XVI al XX.