ektos ulis 2016 17

139

Click here to load reader

Upload: christos-loizos

Post on 18-Feb-2017

1.470 views

Category:

Education


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ektos ulis 2016 17

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 2: Ektos ulis 2016 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ε.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής ............................................................................................9Ε.2 Σύνολα .......................................................................................................................13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Πιθανότητες1.1 Δειγματικός Χώρος - Ενδεχόμενα ................................................................................201.2 Έννοια της Πιθανότητας .............................................................................................29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους .................................................................................432.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ..................................................................................542.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού .........................................................................612.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ......................................................................................69

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού ................................................................................................793.2 Η Εξίσωση xν = α .........................................................................................................863.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού ................................................................................................88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Ανισώσεις4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ..............................................................................................1014.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ..............................................................................................1064.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο .................................................................115

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι5.1 Ακολουθίες ................................................................................................................1215.2 Αριθμητική Πρόοδος ..................................................................................................1255.3 Γεωμετρική Πρόοδος .................................................................................................1325.4 Ανατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις .................................................................................141

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης . ........................................................................................1456.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης .............................................................................1526.3 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β .......................................................................................1596.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης ....................................................1686.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης .......................................................175

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 ..........................................................................1887.2 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) =

αx ..........................................................................194

7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 + βx + γ ............................................................199

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ .................................................................................... 207

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ........................................................ 213

220001_algevra_a_lykeioy.indb 7 11/7/2013 4:47:11 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 3: Ektos ulis 2016 17

Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποί-ες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέ-

στερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ.Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο.

Η συνεπαγωγήΑς θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι:

Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα.Αυτό σημαίνει ότι:

Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α β2 2= » θα είναι αληθής.

Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α β= » συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α β2 2= » και γρά-φουμε: α = β ⇒ α2 = β2. Γενικά:

Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q⇒ .

Ο ισχυρισμός «P Q⇒ » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής(1).

(1) Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ κεΦαΛαιο

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 4: Ektos ulis 2016 17

Εισαγωγή

Υ πάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεω-ρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά

παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθη-ματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους Pascal και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια.Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαίους Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθηκε κατά την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επί-σης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλ-μάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις.Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων

πιθανοτήτεσ

Κεφάλαιο1ο

220001_algevra_a_lykeioy.indb 19 11/7/2013 4:47:12 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 5: Ektos ulis 2016 17

2. OI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ56

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

• Έστω α > β . Τότε, από τη (*), για

α1 = α2 = ... = αν = α > 0 και β1 = β2 = ... = βν = β > 0,

προκύπτει ότι: αν > βν.

• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν > βν και α ≤ β. Τότε:

9 αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε αν = βν (άτοπο), ενώ9 αν ήταν α < β , θα είχαμε αν < βν (άτοπο).

Άρα, α > β .

Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι:

Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

α = β ⇔ αν = βν

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

• Έστω α = β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προη-γουμένως, ότι αν = βν.

• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν = βν και α ≠ β . Τότε:9 αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε αν > βν (άτοπο), ενώ9 αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε αν < βν (άτοπο).

Άρα, α = β.

ΣΧΟΛΙA

1ο Σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσου-με κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι

10 > 6 και 7 > 2, αλλά 10 ‒ 7 < 6 ‒ 2.

2ο Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θε-τικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είναι

24 > 10 και 6 > 2, αλλά 246

102

.

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 6: Ektos ulis 2016 17

2. ΡΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ ΑΡΙΘΜ 71

Για παράδειγμα:

2 266 , ενώ ( ) .− = − =2 2 266

Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας:

Αν α, β ≥ 0, τότε:

1. α β α βν ν ν⋅ = ⋅

2. αβ

αβ

ν

νν= (εφόσον β ≠ 0)

3. α ανµ µ ν= ⋅

4. α αµ ρν ρ µν⋅⋅ =

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Έχουμε:

α β α β α β α βν ν ν ν ν ν ν ν⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )

⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )α β α βν ν ν ν

⇔ ⋅ = ⋅α β α β, που ισχύει.

2. Αποδεικνύεται όπως και η 1.

3. Έχουμε:

α α α ανµ µ ν νµ µ ν µ ν µ ν= ⇔ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )

⇔ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=( )α ανµ µν

⇔ =( ) ,α αν ν που ισχύει.

4. Έχουμε:

α α α αµ ρν ρ µ ρρν µ ρρν µν⋅⋅ ⋅= = =( ) .

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 7: Ektos ulis 2016 17

4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ

Πρόσημο γινομένουΈστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = Α(x) . Β(x) . … . Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες Α(x), Β(x) , … , Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΝα βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του γινομένου

P x x x x x x( ) ( )( )( ).= − + − + +1 6 2 12 2

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: 9 Επειδή

x x− ≥ ⇔ ≥1 0 1,το x ‒ 1 είναι θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1.

9 Επειδή

x x x x x2 6 0 3 2 0 3+ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −( )( ) ή x 2,το x2 + x ‒ 6 είναι θετικό για x < ‒3 και για x > 2 , μηδέν για x = ‒3 και για x = 2 και αρνητικό για ‒3 < x < 2.

9 Επειδή το 2x2 + x +1 έχει διακρίνουσα Δ = 1 ‒ 8 = ‒7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x∈ℝ.

Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων.

x ‒ ‒3 1 2 +

x‒1 ‒ ‒ 0 + +

x2+x‒6 + 0 ‒ ‒ 0 +

2x2+x+1 + + + +

P(x) ‒ 0 + 0 ‒ 0 +

Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για ‒3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρνητικό για x < ‒3 και για 1 < x < 2. Τέλος είναι μηδέν για x = ‒3, για x = 1 και για x = 2.

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 8: Ektos ulis 2016 17

.2 ΑΡΙΘΜ ΤΙΚ ΠΡΟΟ Ο 127

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου

Ας θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4, ... και ας βρούμε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της

S100=1+2+3+...+98+99+100

Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής:Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέ-ων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη:

S100 1 2 3 98 99 100= + + + + + +...

S100 100 99 98 3 2 1= + + + + + +...

2 1 100 2 99 3 98 98 3 99 2 100 1100S = + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

ή 2 101 101 101 101 101 101100S = + + + + + +...

ή 2 100 101100S = ⋅ , άρα S100100 101

25050= ⋅ =

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα απο-δείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν) με διαφορά ω είναι

Sν νν α α= +2 1( ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ*

Έχουμε: Sν α α ω α ω α ν ω α ν ω= + + + + + + + − + + −1 1 1 1 12 2 1( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]

και Sν ν ν ν ν να α ω α ω α ν ω α ν ω= + − + − + + − − + − −( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]2 2 1Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:

2 1 1 1 1 1Sν ν ν ν ν να α α α α α α α α α= + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

ή 2 1Sν νν α α= +( ). Άρα Sν νν α α= +2 1( ).

Επειδή α α ν ων = + −1 1( ) , ο τύπος Sν νν α α= +2 1( ) γράφεται:

Sνν α ν ω= + −2

2 11[ ( ) ]

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 9: Ektos ulis 2016 17

133. Γ Μ ΤΡΙΚ ΠΡΟΟ Ο

Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, ‒6, 12, ‒24, ... η οποία έχει α1= 3 και λ = − = −63

2

ο νos= όρος της είναι ανν= ⋅ − −3 2 1( ) . Επομένως ο 5os= όρος της είναι α5 = 3 . (‒2)4 = 48, ο

δέκατος όρος της είναι α10 = 3 . (‒2)9 = ‒1536 κτλ.

Γεωμετρικός μέσοςΑν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει

βα

λ= και γβ

λ= ,

επομένως β

αγβ

= ή β αγ2 =

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β2 = αγ, τότε έχουμεβα

γβ

= , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο

θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β2 = αγ.

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδουΑς θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α1=1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S7 των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε

S7 1 3 9 27 81 243 729= + + + + + + (1) Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ = 3 και έχουμε

3 3 9 27 81 243 729 21877S = + + + + + + (2)Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

3 2187 17 7S S− = −

2 21867S

S7 1093

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα απο-δείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ≠1

είναι Sν

ν

α λλ

= −−1

11

. .

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 10: Ektos ulis 2016 17

5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ - ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομι-κής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς.

Ανατοκισμός

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προ-κύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του νoυ= χρόνου.(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού.)

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του 1oυ= χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο ε α100

⋅ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

. α α ε α α ε1 100

1100

= + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Στο τέλος του 2oυ= χρόνου το κεφάλαιο α1 θα δώσει τόκο ε α100 1⋅ και μαζί με τον τόκο

θα γίνεια α ε α α ε

2 1 1 11001

100= + = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

.

Στο τέλος του 3oυ= χρόνου το κεφάλαιο α2 μαζί με τους τόκους θα γίνει

α α ε3 2 1

100= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

κτλ.

και γενικά στο τέλος του νoυ= χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει α α εν ν= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−1 1

100.

Παρατηρούμε ότι τα α1, α2, α3, …, αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με

α α ε και λ ε1 1

1001

100= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + .

Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του νoυ= όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νoυ= χρόνου

το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει α α ε εν

ν

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1100

1100

1

ή α α εν

ν

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1100

.

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 11: Ektos ulis 2016 17

. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ154

Απόσταση σημείωνΈστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x1,y1) και B(x2,y2) δύο ση-μεία αυτού. Θα δείξουμε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο:

( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 12

2 12

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από το ορθογώνιο τρίγωνο K A B+

του διπλανού σχήματος έχουμε:

( ) ( ) ( )AB KA KB2 2 2= +

= − + −x x y y2 12

2 12

= − + −( ) ( )x x y y2 1

22 1

2

οπότε:

( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 12

2 12

Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που η ΑΒ είναι παράλληλη με τον άξονα x′x (Σχήμα γ′) ή παράλληλη με τον άξονα y′y (Σχήμα δ′).

B(x ,y )

xx

y

y

y

1 x2

2 2 2

Α(x ,y )1 1Κ(x ,y )2 11

O

xx

y

y = y

1 x2

Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 2

1 2

Σχήμα γ´ Σχήμα δ´

x

y

x x1 2

Α(x ,y )1 1

B(x ,y )2 22y

1y

=OO

Για παράδειγμα, αν Α(3,1), Β(3,5) και Γ(‒1,1) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου AΒΓ+

, τότε θα είναι:

( ) ( ) ( )AB = − + − = =3 3 5 1 4 42 2 2

( ) ( ) ( )AΓ = − − + − = =1 3 1 1 4 42 2 2

( ) ( ) ( ) .ΒΓ = − − + − = + =1 3 1 5 4 4 4 22 2 2 2

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 12: Ektos ulis 2016 17

. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ160

Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + βΑς θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) = 0,5x + 1. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο Γυμνάσιο, η γραφική παράσταση της ƒ είναι ευθεία γραμμή με εξίσωση y = 0,5x+1 (Σχήμα).

x

y

ωA(–2,0) O(0,0)

B(0,1)

y = 0,5x + 1

Η ευθεία αυτή:9 Τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(‒2,0), αφού για y = 0 βρίσκουμε x = ‒2, και τον

άξονα y′y στο σημείο Β(0,1), αφού για x = 0 βρίσκουμε y = 1 και 9 Έχει κλίση:

λ εϕω= = = =( )( )

,ΟΒΟΑ

12

0 5.

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας y = 0,5x+1 είναι ίση με το συντελεστή του x.Γενικά, όπως θα αποδείξουμε στη Β′ Λυκείου, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = αx + β είναι μία ευθεία, με εξίσωση y = αx + β, η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ = α . Είναι φανερό ότι:

• αν α > 0, τότε 0° < ω < 90°• αν α < 0, τότε 90° < ω < 180°• αν α = 0, τότε ω = 0°.

Στην περίπτωση που είναι α = 0, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f (x) = β και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε x∈ℝ.Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(x1,y1) και B(x

2,y2) της ευθείας y = αx + β.

x

y

ω

ω

εA(x ,y )1 1 K(x ,y )2 1

B(x ,y )2 2

O

22_0001_001_186_algevra_a_lykeiou.indd 160 31/1/2014 3:34:13 µµ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 13: Ektos ulis 2016 17

6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης

α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f ( ) .x x= +1 Επειδή

f ( ),,

,xx xx x

=− + <

+ ≥⎧⎨⎩

1 01 0

αναν

η γραφική παράσταση της συνάρτη-σης f ( ) ,x x= +1 θα αποτελείται από τις ημιευθείες9 y x= − +1, με x ≤ 0 και9 y x= +1, με x ≥ 0,που έχουν αρχή το σημείο 1 του άξο-να y′y και είναι παράλληλες με τις δι-χοτόμους των γωνιών x'Ôy και xÔy από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( )x x= (Σχήμα).

Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( )x x= κατακόρυφα(1) και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f ( ) .x x= +1 Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:

f ( ) ( ) ,x x= +ϕ 1 για κάθε x∈ℝ,που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x).

Γενικά:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ, με:f ( ) ( )x x c= +ϕ , όπου c > 0,

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α').

(1)Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y'y.

y

y =

xx´ O 1

1

1

1

1

1

|x| + 1

y = |x|

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 14: Ektos ulis 2016 17

6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μονοτονία συνάρτησηςΣτο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = ƒ(t) που εκφρά-ζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t = 0) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t = 24).

α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,16] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται.

O 4 16 24

3

5

11

t(h)

T=f (t)

T( C)o

Ο 4

1

2

t1 2t 16 24 t(h)

T=f (t)

f (t )

f (t )

oT( C)

220001_algevra_a_lykeioy.indb 175 11/7/2013 4:47:40 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 15: Ektos ulis 2016 17

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f (x) =1 1x xα

x

Η συνάρτηση (x) = 1 1x xα

x

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g xx

( ) 1 . Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει

πεδίο ορισμού όλο το ℝ* = (‒∞,0)∪(0, +∞) και είναι περιττή, διότι για κάθε x∈ℝ* ισχύει:

g xx

g x( ) ( )− =−

= −1

Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’ αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0, +∞).Έχουμε λοιπόν:

• Μονοτονία: Έστω τυχαία x x1 2 0, ( , )∈ +∞ με x x1 2. Τότε θα ισχύει 1 11 2x x

, οπότε

θα έχουμε g x g x( ) ( ).1 2 Άρα η συνάρτηση g xx

( ) 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞).

• Πρόσημο των τιμών της : Για κάθε x∈(0,+∞) ισχύει g xx

( ) .= >1 0

Επομένως, στο διάστημα (0, +∞) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x.

• Συμπεριφορά της για μικρές τιμές του x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για "πολύ μικρές" τιμές του x:

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, τείνει στο 0 , το 1 1

x xα

x αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο + . Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Oy. Γι’ αυτό ο άξονας y′y λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω.

x

g(x) =

10–10 10–20 10–50 10–1000

101000

10–100

1010 1020 1050 10100

.......

.......

→0

→ ∞+1x

220001_algevra_a_lykeioy.indb 194 11/7/2013 4:47:45 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 16: Ektos ulis 2016 17

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 17: Ektos ulis 2016 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Το επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Η ευθεία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Η ηµιευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 Ηµιεπίπεδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 Η γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.13 Σύγκριση γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Κεντρική συµµετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9 Αξονική συµµετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 5 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 18: Ektos ulis 2016 17

3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79

4.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101

5.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Παραλληλόγραµµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 Ορθογώνιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Ρόµβος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5 Τετράγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.10 Τραπέζιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127

6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο

Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές

µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 6 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 19: Ektos ulis 2016 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 147

7.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό -

Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο . . . . . . . . . . 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171

8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα ...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας .................................................................................................... 173

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183

9.1 Ορθές προβολές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209

10.1 Πολυγωνικά χωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα. . . . . . . . . . 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229

11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους . . . . . . . . 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.5 Μήκος τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 7 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 20: Ektos ulis 2016 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο -

Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο -

Γωνία ευθείας και επιπέδου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.14 Μέτρηση του κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.15 Κόλουρος κώνος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 8 23/7/2013 3:37:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 21: Ektos ulis 2016 17

15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2TΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑΣτόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση και η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμ-μο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεω-μετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια.

Andrea Mantegna (Ιταλός, περίπου 1431 - 1506). Οροφή από την "Camera degli Sposi" (Δωμάτιο των Συζύγων), τοιχογραφία από το Δουκικό Παλάτι, στη Μάντοβα της Ιταλίας.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 15 23/7/2013 3:37:52 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 22: Ektos ulis 2016 17

41

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευ-ράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμ-βολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ.Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ.Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγο-νται δευτερεύοντα στοιχεία του.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρί-γωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτί-ζονται. Συνεπώς:• Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες

τους ίσες μία προς μία.• Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρί-

σκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα.Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες.Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξα-σφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους.Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τρι-γώνων.

3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο – ΠΓΠ)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και A = Aʹ (σχ.11). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑʹΒʹΓʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή A = Aʹ και η ημιευθεία ΑʹΓʹ θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού ΑΒ = ΑʹΒʹ και ΑΓ = ΑʹΓʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β και το Γʹ με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα.

Σχήµα 8

A

B ΓΜ

μα

Σχήµα 9

A

B ΓΔ

δα

Σχήµα 10

(α)

υα

A

B ΓΔ

(β)A

υα

Γ

ΣΧΟΛΙΟΗ συντομογραφία ΠΓΠ σημαί-νει πλευρά, γωνία, πλευρά.

A

B ΓAʹ

Bʹ ΓʹΣχήµα 11

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 41 23/7/2013 3:38:08 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 23: Ektos ulis 2016 17

44

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων.

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο – ΓΠΓ)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.16) έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, B = Bʹ και Γ = Γ ʹ.

Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΒʹΑʹ και B = Bʹ, επομένως (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΒΓ Δ = Γ ʹ. Αλλά Γ ʹ = Γ , οπότε ΒΓ Δ = Γ που είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ΑΓ Β και επομένως ΒΓ Δ < Γ . Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοι-πόν, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και B = Bʹ, άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα.* Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη

μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41).

3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα.

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο – ΠΠΠ)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΓΑ = ΓʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι A = Aʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια.

Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓBx = Bʹ (σχ.17) και σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΓBΔ = Bʹ. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΑʹ και Δ = Aʹ.

ΣΧΟΛΙΟΗ συντομογραφία ΓΠΓ σημαίνει γωνία, πλευρά, γωνία.

ΣΧΟΛΙΟΗ συντομογραφία ΠΠΠ σημαί-νει πλευρά, πλευρά, πλευρά.

Σχήµα 16

A

B ΓAʹ

Bʹ Γʹ

Δ

1

1

2

2

A

B Γ

Δ

Bʹ Γʹ

x

Σχήµα 17

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 44 23/7/2013 3:38:09 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 24: Ektos ulis 2016 17

49

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου

Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελε-τήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της.

Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της xʹx (σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy, ώστε να είναι xMy = AMx και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ. Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ και M1 = M2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ⊥xʹx.

Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην xʹx . Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, ΜΑ = ΜΒ και M1 = M2, οπότε θα είναι και Λ

1 = Λ 2.

Όμως Λ 1= 90°, άρα και Λ

2 = 90°, οπότε Λ 1 + Λ

2 = 180° το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, Λ, Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο.

3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι:

• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευ-ρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24)

• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευ-ρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.25)

Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και από τα επόμενα θεωρήματα.

1 1

2 2

xxʹ

A

B

y

ΚΓ

ΛΜ

Σχήµα 23

A

Γ

B Aʹ

Γʹ

BʹΣχήµα 24

A

Γ

B Aʹ

Γʹ

BʹΣχήµα 25

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 49 23/7/2013 3:38:10 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 25: Ektos ulis 2016 17

50

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με A = Aʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και B = Bʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ , π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΔΒ = ΑʹΒʹ και B = Bʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ = Aʹ = 90°, δη-λαδή ΓΔ⊥ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΑ⊥ΑΒ και ΓΔ⊥ΑΒ που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ και B = Bʹ (ΠΓΠ).

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.27) με A = Aʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και B = Bʹ. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ και Δʹ, ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και ΑʹΔʹ = ΑʹΒʹ. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η ΓʹΑʹ μεσοκά-θετος του ΔʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και ΓʹΔʹ = ΓʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = ΒʹΓʹ προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΔʹ. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και ΓʹΔʹΒʹ έχουν ΓΔ = ΓʹΔʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΔΒ = ΔʹΒʹ (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε B = Bʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ).

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής.

ΠΟΡΙΣΜΑ Ι

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της.

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ

Σχήµα 27

A BΔ

Γ

Γʹ

BʹAʹΔʹ

A

Γ

B Aʹ

Γʹ

BʹΔΣχήµα 26

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 50 23/7/2013 3:38:10 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 26: Ektos ulis 2016 17

56

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Συµµετρικά σχήµατα

3.8 Κεντρική συµµετρία

Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε-τρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37).

Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέ-ντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.

Av στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό.

A AʹΟ

Σχήµα 37

180ο

Ο

ΣʹAʹ

Σχήµα 38

180ο

ΟA Aʹ

Σχήµα 39

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προ-τάσεις.

i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι ..........................................

ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι .......................................

Ασκήσεις Εµπέδωσης1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κο-

ρυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ = α και τη διάμε-σο ΑΜ με γνωστό μήκος.

2. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν Ν τυχαίο ση-μείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέ-κταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν δια γράφει τον κύκλο.

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ

ΣΧΟΛΙΟΑπό το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια:Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται.Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 56 23/7/2013 3:38:12 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 27: Ektos ulis 2016 17

57

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα:• Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο

του (σχ.40α).• Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο

της (σχ.40β).• Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ).

α

β

γ

A BΟ

AΟAʹ xx΄

A

B

BʹAʹ

Ο

Σχήµα 40

ε

A

AʹΣχήµα 42

ε

Σ Σʹ

AʹA

Σχήµα 43

Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φο-ρέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό.

ΑπόδειξηΈστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, OBʹ = OB και ΑʹOΒʹ =ΑOΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπό-τε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μʹ η τομή της ΜΟ με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι A = Aʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΑʹΟΜʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, A = Aʹ και O1 = O2. Επομένως ΟΜʹ = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μʹ είναι συμμετρικό του Μ.Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο.

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

1

2

A BΜ

Bʹ Μʹ Aʹ

Ο

Σχήµα 41

3.9 Αξονική συµµετρία

Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε-τρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42).Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντί-στροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήμα-τος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο,

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 57 23/7/2013 3:38:12 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 28: Ektos ulis 2016 17

59

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

Ανισοτικές σχέσεις

Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τρι-γωνική ανισότητα.

3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνί-ας ΓAx έχουμε ΓAΕ < ΓAx = Aεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και Δ1 = Δ2, οπότε Γ = ΓAΕ. Από την τελευταία ισότητα και την ΓAΕ < Aεξ προκύπτει ότι Aεξ >Γ . Όμοια αποδεικνύεται ότι και Aεξ > B.

i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρό-

τερο των 180°.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

Ασκήσεις Εµπέδωσης

1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ.

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να απο-δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα.

3. Αν xʹAʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας xAy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα ση-μείο Ο, εξωτερικό της xAy, τότε να απο-δειχθεί ότι xʹAʹyʹ = xAy.

4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τρι-γώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.

5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνί-ας είναι άξονας συμμετρίας της.

6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να αποδείξετε ότι:

i) ΟΜ = ΟΜʹʹ, ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθεια-

κά.

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ

1

2

x

A Ε

B Γ

Δ

Σχήµα 47

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 59 23/7/2013 3:38:13 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 29: Ektos ulis 2016 17

60

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών

Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδι-κό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B1 = Δ

1 = ω. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B, είναι B > B1, ενώ η Δ

1, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη Γ , δηλαδή Δ

1 > Γ . Έτσι έχουμε B > ω και ω > Γ , επομένως B > Γ .Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B > Γ . Τότε θα είναι και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε B = Γ ή B < Γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο.

i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευ-ρά του τριγώνου.

ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισο-σκελές.

iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

3.12 Τριγωνική ανισότητα

Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημεί-ων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα.

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). Γι’ αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε-λές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓ Δ, οπότε έχουμε αντίστοιχα Δ = Γ 1 και Γ 1 < ΒΓ Δ. Από τις σχέσεις αυτές προ-

ωω

A

B Γ

Δ1

1

Σχήµα 48

1

βA

β

γ

αB Γ

Δ

Σχήµα 49

ΣΧΟΛΙΟΤο διπλανό πόρισμα (ii) είναι το αντίστροφο του πορίσματος I της §3.2. Τα δύο αυτά πορίσμα-τα συνοψίζονται στο εξής: ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 60 23/7/2013 3:38:13 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 30: Ektos ulis 2016 17

65

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισα-πέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα.

ΘΕΩΡΗΜΑ I

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κά-θετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ.Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ.

Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε:(i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.(ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι απο-

στάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα.

ΘΕΩΡΗΜΑ II

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία K είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ.

ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57).

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ.Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑBΓ εί-ναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως ΑBΓ > K = 1⌊, δηλαδή η ΑBΓ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΓ βρίσκεται απέναντι από την ΑBΓ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ > ΑΒ. Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν ΚΓ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως ΚΓ > ΚΒ.

A

B ΓΚ

Σχήµα 55

A

B ΚΣχήµα 56

A

BΓ Κε

Σχήµα 57

ΣΧΟΛΙΟΤην ιδιότητα (i) του Θεωρήμα-τος II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν σημείο της ευθείας.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 65 23/7/2013 3:38:15 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 31: Ektos ulis 2016 17

67

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α

κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι:

Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μο-ναδική.• Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο

του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα ση-μείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοι-νό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ.

Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία το-μής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο.Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε:• Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.• Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον

κύκλο.• Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα.

Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

ΘΕΩΡΗΜΑ I

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα Α, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ = ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντί-στοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο.

εζ ξ

B

Γ

ΟA

Σχήµα 59

ΣΧΟΛΙΟΑπό το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήπο-τε σημεία ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. Στην §4.5 θα δού-με ότι από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που είναι και μοναδικός.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 67 23/7/2013 3:38:16 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 32: Ektos ulis 2016 17

81

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ

η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§3.10)

Άρα ε1//ε2.

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι πα-ράλληλες.

ΠΟΡΙΣΜΑ Ι

Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες.

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Πράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε1//ε2.

Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορού-με να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β). Φέρουμε την ΑΒ⊥ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ΑΒ).

Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα ση-μείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. Δεχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή:

Αίτηµα παραλληλίας

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλλη-λη προς αυτή.

Γ

B

ω

φ

ε1

ε2

Σχήµα 3

ε1

ε2

ε

ε

ω

φ

A

B

A

B

(α)

(β)

Σχήµα 4

ΣΧΟΛΙΟΤο παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των “Στοιχεί-ων” του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα).Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.(βλ. Ιστορικό σημείωμα, σελ. 96)

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 81 23/7/2013 3:38:20 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 33: Ektos ulis 2016 17

82

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών

Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι πα-ρακάτω προτάσεις.

ΠΡΟΤΑΣΗ Ι

Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχημα-τίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε οι γωνίες xAB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ.

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχημα-τίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωμα-

τικές.

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ

Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους πα-ράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2.

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ

Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλ-ληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2.

ε1ε

φ

ω

ε2

A

B

x

Σχήµα 5

A

ε1

ε2ε

Σχήµα 6

εA ε1

ε2

Σχήµα 7

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 82 23/7/2013 3:38:21 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 34: Ektos ulis 2016 17

83

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ

Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότε-ρο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ότι η ε τέμνει τις ε1, ε2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα και ότι φ + ω ≠ 2⌊. Τότε οι ε1 και ε2 δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω ≠ 2⌊ (Πόρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε1 και ε2 τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου ΑΚΒ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία A1, δηλαδή ω > A1 = 2⌊ – φ ή ω + φ > 2⌊, που είναι άτοπο. Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ.

Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. (βλέπε §3.18 - Πρόβλημα 2)

ΠΟΡΙΣΜΑ

4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας

Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. Για την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ (§2.6) ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ και η άλλη πλευρά της ΑΓ να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή ΓAΒ = φ έχουμε ΑΓ//ε, αφού τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ.

A

ε

ε1

ε2ω

φ

B

Σχήµα 8

Γ A ε

ε

φ

φB

Σχήµα 9

ΣΧΟΛΙΟΗ πρόταση IV αποτελεί βασικό κριτήριο με το οποίο εξετάζου-με αν δύο ευθείες τέμνονται.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 83 23/7/2013 3:38:21 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 35: Ektos ulis 2016 17

86

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών του B και Γ αντίστοιχα. Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο I

αφού ΕBΓ + ΖΓ Β = B2

+ Γ

2 < B + Γ < 2⌊. (§4.2 - Πρόταση IV)

Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της B θα ισαπέχει από τις πλευ-ρές της ΒΑ και ΒΓ, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ. Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ , δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A.Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή από-σταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου

Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β).

Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτο-μεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτά-σεις των δύο άλλων.

Απόδειξη

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

A

B Γ

α β

Ιγ

Ιβ

ΙαΙα

xy

B

Γ

A

Σχήµα 17

A

B ΓΔ

ΕΖ

Θ

Λ Ν

Ι

Σχήµα 16

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 86 23/7/2013 3:38:22 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 36: Ektos ulis 2016 17

89

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ

i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου.

ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.

iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Έχουμε A + B + Γ = 2⌊ και Γ εξ + Γ = 2⌊, οπότεA + B + Γ = Γ εξ + Γ ή Γ

εξ = A + B.ii) – iv) Προφανή.

4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες

Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω οι γωνίες xOy = ω και xʹOʹyʹ= φ με Οx⊥Oʹxʹ και Oy⊥Oʹyʹ.Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟʹΒΓ έχουν A = B = 1⌊ και Γ 1 = Γ 2 (κατακορυφήν).Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ.

i) Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κά-θετες είναι ίσες.

ii) Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπλη-ρωματικές.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, θʹ + φ = 2⌊, οπότε θ = θʹ, αφού ω = φ.

ii) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, οπότε θ + φ = 2⌊, αφού ω = φ.

Γεξ

ΓB

A

x

Σχήµα 19

y

ωxy

θ

φ

z

Ο

Ο

A

Γ1

2

xB

Σχήµα 20

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 89 23/7/2013 3:38:23 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 37: Ektos ulis 2016 17

90

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου

Ας θεωρήσουμε κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ και Ο τυχαίο εσωτε-ρικό σημείο του. Αν ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του πεντα-γώνου, σχηματίζονται πέντε τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Έτσι το άθροισμα των γωνιών και των πέντε τριγώνων είναι (2∙5) ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών O1 + O2 + O3 + O4 + O5 = 4 ορθές, θα μείνει το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, δηλαδή:

A + B + Γ + Δ + E = (2∙5 – 4) ορθές.Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροι-σμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι 2ν ορθές. Αν αφαι-ρέσουμε το άθροισμα των γωνιών O1+O2+O3+ ... +Oν = 4 ορθές έχουμε:

A1 + A2 + A3 +...+ Aν = (2ν – 4) ορθές.Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι πρέπει:Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι 2ν – 4 ορθές.Άλλη απόδειξη. Ας θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο Α1Α2...Αν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την Α1, όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν – 2 τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των Α1Α2 και Α1Αν που διέρχο-νται από την κορυφή Α1, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών των ν – 2 τριγώνων είναι 2(ν – 2) = (2ν – 4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι:Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 2ν – 4 ορθές.

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές.

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

⎧⎨⎪

⎩⎪Έχουμε

A1εξ + A1 = 2⌊ A2εξ + A2 = 2⌊ ... + ... = ... προσθέτουμε κατά μέλη οπότε: Aνεξ + Aν = 2⌊

(A1εξ + A2εξ + ... + Aνεξ) + (A1 + A2 + ... + Aν) = 2ν⌊ ή(A1εξ + A2εξ + ... + Aνεξ) + (2ν – 4)⌊ = 2v⌊ ήA1εξ + A2εξ+ ... + Aνεξ = 4⌊.

A

B

Γ

Δ

ΕΟ1

2

34

5

Σχήµα 21

Α1

Α2 Α3

Α4

Α5

Αν-1Αν

12 3

4

ν-1ν Ο

Σχήµα 22

Α1

Α2

Α3

Α4 Α5

Αν-1

Αν

Σχήµα 23

Α1

Α2

Α3

Α4

Αν

Σχήµα 24

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 90 23/7/2013 3:38:24 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 38: Ektos ulis 2016 17

110

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευ-ρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλό-γραμμο, οπότε:(i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και(ii) ΔΖ = ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = ΒΓ

2 .

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευ-θεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ.

Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε1, ε2, ε3 οι οποίες τέ-μνουν την δ1 στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία δ2 τέμνει τις ε1, ε2, ε3 στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ. Φέρουμε ΑΚ // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ.

Η µεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων

Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις

Σχήµα 20

A

ΕΔ

B Γ

Ζ

Σχήµα 21

A

B Γ

Δ ΕΖ

Σχήµα 22

δ1 δ2

ε1

ε2

ε3

A

B

Γ

Δ

ΕΗ

ΚΖ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 110 23/7/2013 3:38:29 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 39: Ektos ulis 2016 17

112

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2

3 του

μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και ΓΖ. Επειδή B1 + Γ1 < B + Γ < 2⌊, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, θα αποδείξουμε ότι i) η ΑΔ είναι η τρίτη διάμεσος του τριγώνου, δηλαδή ΒΔ = ΔΓ και ii) ΑΘ = 2

3 ΑΔ.

i) Στην ημιευθεία ΘΔ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = ΑΘ. Παρα-τηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΚΓ, οπότε ΕΘ = // ΓΚ

2 (1).

Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε ΖΘ = // ΒΚ2

(2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ // ΓΚ και ΓΖ // ΒΚ, δηλαδή το ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι δια-γώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ΒΔ = ΔΓ. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒΓ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου.ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΓΚ έχουμε ακόμη

ΘΔ = ΔΚ = ΘΚ2

, άρα ΘΔ = ΑΘ2

ή ΑΘ = 2ΘΔ.

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι

ΕΘ = ΓΚ2

= ΒΘ2

ή ΒΘ = 2ΘΕ.

Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε ΓΘ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουμε ότι ΑΔ = ΑΘ + ΘΔ = 2ΘΔ + ΘΔ = 3ΘΔ. Άρα

ΘΔ = 13

ΑΔ, οπότε ΑΘ = 23

ΑΔ.

Όμοια προκύπτει ότι ΒΘ = 23

ΒΕ και ΓΘ = 23

ΓΖ.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από κάθε κορυφή του ισούται με τα

23

του μήκους της αντί-στοιχης διαμέσου.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣτην παραπάνω πρόταση θεω-ρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων ΒΕ και ΓΖ και αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν προε-κταθεί είναι η τρίτη διάμεσος ΑΔ. Αυτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να απο-δεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συ-ντρέχουν σε κάποιο σημείο.

Σχήµα 26

A

B ΓΔ

ΕΖ Θ

Κ

1 1

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 112 23/7/2013 3:38:30 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 40: Ektos ulis 2016 17

113

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου

ΛήµµαΟι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλλη-λες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ (σχ.27). Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΓΒ, ΛΑΒΓ και ΜΒΑΓ έχουμε: ΚΑ = ΒΓ = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και ΚΒ = ΑΓ = ΒΜ. Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ.

Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. Δηλαδή οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η.Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β, Γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗΓ. Τα ύψη ΗΔ, ΒΖ και ΓΕ του τριγώνου ΒΗΓ τέμνονται στο Α, οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗΓ.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΌταν το τρίγωνο είναι ορθο-γώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορ-θόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου.

Σχήµα 27

A

B

ΓΚ

Λ

Μ

Σχήµα 28

A

B

ΓΔ

ΕΖ

Μ

Κ

Λ

Η

Σχήµα 29

A

B Γ

Ζ

ΕΗ

Δ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 113 23/7/2013 3:38:30 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 41: Ektos ulis 2016 17

121

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α

5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου

Είδαμε προηγούμενα (§4.5 και §5.7 - §5.8) ότι σε ένα τρί-γωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών.Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο:• Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο

Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος (Ο, ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

• Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευ-ρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

• Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒΓ.

• Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθό-κεντρο του ΑΒΓ.

ΣΧΟΛΙΟΓια να αποδείξουμε ότι υπάρ-χουν κάποια από τα αξιοσημεί-ωτα σημεία τριγώνου (βαρύκε-ντρο, ορθόκεντρο κτλ.) καθώς και τις βασικές τους ιδιότητες χρησιμοποιήσαμε τη θεωρία των παραλληλογράμμων που στηρί-ζεται στο αίτημα παραλληλίας (§4.2).

ΓΕΝ

ΙΚΕΣ

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με A = 60°, τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΝΔ.

2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1, ε2 και σημείο Α της ε1. Φέρουμε ΑΚ⊥ε2. Αν Β ση-μείο της ε2 και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε1 στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδεί-ξετε ότι ΑBΚ = 3ΕBΚ.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, Δ το μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας ΔΒ, ώστε ΔΕ = ΑΓ

2. Από τα Β και Ε φέ-

ρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας A, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Βʹ και Εʹ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

i) ΒʹΕʹ = ΑΓ – ΑΒ2

.

ii) Η ευθεία ΕΕʹ διέρχεται από το μέσο της ΒΓ.

4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με

ΑΒ = 2ΒΓ, B > 60° και το ύψος του ΑΕ προς τη ΒΓ (ΑΕ⊥ΒΓ). Αν Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να απο-δείξετε ότι:

i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος, ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗEΓ, iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) ΔZΕ = 3ΖEΓ.

5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ, Κʹ οι προβολές των Α, Β, Γ και του βαρυ-κέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδεί-ξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ΓΓʹ = 3ΚΚʹ.

6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ⊥ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι:

i) ΔΖ//ΒΕ, ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ.

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τρι-γώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 121 23/7/2013 3:38:33 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 42: Ektos ulis 2016 17

128

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Εγγεγραµµένη γωνία

6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί

Δίνεται μία κυρτή γωνία xAy και ένας κύκλος (Ο, R). Οι σχετικές θέσεις τους καθορίζονται από τη θέση της κορυφής της και των πλευρών της: i) Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου (σχ.1), τότε η

γωνία λέγεται επίκεντρη, όπως είδαμε στη §2.18. ii) Αν η κορυφή (σχ.2) είναι σημείο του κύκλου και οι

πλευρές της τέμνουσες του κύκλου, τότε η γωνία λέγε-ται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου.

Το τόξο BΓ που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της ή διαφορετικά λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία A βαίνει στο τόξο BΓ.

iii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία της πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου (σχ.3), τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης.

6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης

Η σχέση μίας εγγεγραμμένης και μίας επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο δίνεται από το ακόλουθο θεώ-ρημα:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκε-ντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω κύκλος (O, R) και ένα τόξο του AB. Ας θεωρήσου-με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑOΒ και σημείο Γ του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο AB. Τότε θα αποδείξουμε ότι ΑOΒ = 2ΑΓ Β. i) Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου το κέντρο

Ο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμ-μένης γωνίας ΑΓΒ (σχ.4α). Έστω Γʹ το αντιδιαμετρικό σημείο του Γ. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές, επομέ-νως ΟAΓ = ΟΓΑ. Η ΓʹOΑ είναι εξωτερική του τριγώ-νου ΑΟΓ, επομένως ΓʹOΑ = 2ΟΓΑ και όμοια έχουμε ότι ΓʹOΒ = 2ΟΓΒ.

Σχήµα 1

A

x

y

Σχήµα 2

A

x

yB

Γ

Σχήµα 3

x

y

A

Σχήµα 4

A

Γ

B

ΓΟ

(α)

(β)

A

Γ B

Ο

(γ)

ΓA

Ο

Γ B

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 128 23/7/2013 3:38:35 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 43: Ektos ulis 2016 17

129

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες έχου-με ότι

AOΒ = 2ΑΓΒ.

ii) Ας εξετάσουμε κατόπιν την περίπτωση όπου το O ανήκει σε μία πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓΒ (σχ.4β). Η επίκεντρη γωνία ΑOΒ είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ΓΟΒ, οπότε ΑOΒ = 2ΑΓΒ.

iii) Όμοια με τις προηγούμενες περιπτώσεις (σχ.4γ).

i) Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

ii) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

iii) Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντί-στροφα.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης

Η σχέση μίας γωνίας χορδής και εφαπτομένης με την εγγε-γραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα:

Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγε-γραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης xAy εί-ναι οξεία (σχ.6) και ΑΓΒ μια τυχαία εγγεγραμμένη γω-νία που βαίνει στο τόξο της χορδής ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι

ΑΓΒ = ΑOΒ2

. Φέρουμε το απόστημα ΟΜ, οπότε ΑOΜ =

ΜOΒ = ΑOΒ2

= ΑΓΒ. Αλλά xAy = ΑOΜ ως οξείες γωνίες

με κάθετες πλευρές. Επομένως xAy = ΑΓΒ.

Αν η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι αμβλεία, η από-δειξη είναι ανάλογη.Σχήµα 6

x

x

A

Γ

Ο

Μ

B

y

ΣΧΟΛΙΟΑπό το πόρισμα (iii) συμπεραί-νουμε εύκολα ότι τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παράλλη-λων χορδών είναι ίσα (σχ.5) και αντίστροφα.

Σχήµα 5

A B

Γ Δ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 129 23/7/2013 3:38:35 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 44: Ektos ulis 2016 17

137

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Έστω A + Γ = 2⌊. Φέρουμε τον κύκλο που ορίζουν τα σημεία Α, Β, Δ και τη χορδή του ΒΔ. Τα σημεία Α, Γ βρίσκονται εκατέρωθεν της ΒΔ, οπότε κάθε εγγε-γραμμένη γωνία στο τόξο BΑ∆q ισούται με τη Γ, ενώ κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο Β ∆Eq (σχ.19) ισούται με την παραπληρωματική της, δηλαδή την A. Επομένως το Γ είναι σημείο του Β ∆Eq και ομοκυκλικό με τα Α, Β, Δ.

ii) Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε ΔAΓ = ΔBΓ = φ. Τότε τα Α, Β ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των ση-

μείων του επιπέδου από τα οποία το τμήμα ΓΔ φαίνεται υπό ορισμένη γωνία φ. Ο γεωμετρικός αυτός τόπος εί-ναι (βλ. §6.4) δύο συμμετρικά τόξα ως προς το ΓΔ. Τα Α, Β όμως βρίσκονται στο ίδιο μέρος της ΓΔ, συνεπώς ανήκουν στο ίδιο τόξο, επομένως τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι ομοκυκλικά.

iii) Έστω ότι xΓΒ = A (σχ. 21), τότε A + Γ = 2⌊, επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί έχει δύο απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές, λόγω του κριτηρίου i).

Σχήµα 19

A

B

Γ

Δ

Ε

Σχήµα 20

B

A

Γ

Δ

Σχήµα 21

B

A

Γ

Δ

x

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

1η ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ

Ένα τετράπλευρο, του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο, λέγεται περιγεγραμμένο στον κύκλο αυτό, ενώ ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος στο τε-τράπλευρο αυτό.

(Α) Να αποδειχθούν οι ιδιότητες ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου ΑΒΓΔ: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο

είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

(Β) Να αποδείξετε ότι για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο σε κύκλο αρκεί να ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις:

i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Απόδειξη(Α) Απλή (βλ. σχ.22).

A

B

ΓΔ Η

Ε

μ

μνν

κκ λ

λΖ

ΟΘ

Σχήµα 22

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 137 23/7/2013 3:38:40 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 45: Ektos ulis 2016 17

140

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Να εξετασθεί η ύπαρξη κύκλου που διέρχεται από: i) δύο δοσμένα σημεία, ii) τρία δοσμένα σημεία,iii) τέσσερα δοσμένα σημεία,και η μοναδικότητά του σε καθεμία από τις παραπάνω περι-πτώσεις.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων

Σε προηγούμενα κεφάλαια συναντήσαμε ορισμένους βασι-κούς γεωμετρικούς τόπους, όπως ο κύκλος, η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μίας γωνίας, η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών και τέλος το τόξο γνωστής χορδής ΑΒ, τα σημεία του οποίου βλέπουν το τμήμα ΑΒ υπό δοσμένη γωνία φ.Οι γεωμετρικοί αυτοί τόποι μας είναι χρήσιμοι στη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών. Ας δούμε ένα πα-ράδειγμα.

A

Δ

ΕA1

B

Η

Ζ

Ο

Ο

Γ

A A 1

τ

τ΄

υυ

υ

ε

ε

Σχήµα 27

ΠΡΟ

ΒΛΗ

ΜΑ

1 Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία A = ω, όπου α, υ γνωστά τμήματα και ω γνωστή γωνία.

Λύση

Ανάλυση. Έστω ΑΒΓ το ζητούμενο τρίγωνο (σχ.27) που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία A = ω. Επειδή A = ω η κορυφή Α βλέπει γνωστό τμήμα ΒΓ υπό γνω-στή γωνία, άρα είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ1 που αποτελείται από τα τόξα τ και τ ʹ, που γράφονται με χορδή τη ΒΓ εκατέρωθεν αυτής και δέχονται το καθένα γωνία ω. Επίσης, αφού το Α απέχει από τη ΒΓ γνωστή απόσταση υ, είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ2 που αποτελείται από δύο ευθείες παράλληλες προς τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής σε απόσταση υ. Άρα η κορυ-φή Α είναι η τομή των γεωμετρικών τόπων Τ1 και Τ2.

Σύνθεση. Με χορδή τμήμα ΒΓ = α γράφουμε τα τόξα τ και τ ʹ, που δέχονται γωνία ω. Στη συνέχεια σε απόσταση ΖΗ = υ από τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής φέρουμε ευθείες ε, εʹ//ΒΓ που τέμνουν τα τόξα τ και τ ʹ. Αν Α είναι ένα από τα σημεία τομής των Τ1, Τ2, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 140 23/7/2013 3:38:41 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 46: Ektos ulis 2016 17

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 47: Ektos ulis 2016 17

ΠΕΡΙΕΧοΜΕΝΑΚΕΦΑΛΑΙο 1ο: Συστήματα 1.1 Γραμμικά Συστήματα.........................................................................9 1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα ................................................................24

ΚΕΦΑΛΑΙο 2ο: Ιδιότητες Συναρτήσεων 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης ..............................30 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης .............................40

ΚΕΦΑΛΑΙο 3ο: Τριγωνομετρία 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ....................................................49 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ............................................60 3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο ........................................................65 3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις ....................................................73 3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ..............................................83 3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών .............................89 3.7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας 2α .........................................97 3.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων ....................103 3.9 Η Συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx ....................................................108 3.10 Επίλυση Τριγώνου ......................................................................... 114

ΚΕΦΑΛΑΙο 4ο: Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις 4.1 Πολυώνυμα ....................................................................................128 4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων ..................................................................132 4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις .......................................140 4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές .........150

ΚΕΦΑΛΑΙο 5ο: Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση 5.1 Εκθετική Συνάρτηση .....................................................................160 5.2 Λογάριθμοι .....................................................................................173 5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση ...............................................................181

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ................................................................193 ΥΠοΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................195

001-126_update.indd 7 10/5/2013 8:48:43 πμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 48: Ektos ulis 2016 17

Κεφάλαιο 1ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η εξίσωση αx + βy = γ

Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση

αx + βy = γ, με α ¹ 0 ή β ¹ 0,

που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής:Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Αν β ¹ 0, τότε η εξίσωση γράφεται:

α β γ β α γ

αβ

γβ

x y y x

y x

+ = ⇔ = − +

⇔ = − + ,

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυν-

σης λ αβ

= − και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο γβ

.

Σχήμα α΄ Σχήμα β΄Ειδικότερα:9 Αν α ¹ 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ

αx+βy=γ, α=0

O x

y

γβ

αx+βy=γ, β≠0

x

γ

γα

β

y

O

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 49: Ektos ulis 2016 17

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2. Να λύσετε το σύστημα:

3. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 120cm2. Αν η μία διάσταση του ορθο-γωνίου αυξηθεί κατά 3cm , ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2cm , τότε το εμ-βαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

4. Δίνεται η παραβολή y x= − 2 και η ευθεία y x= + . Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία.

5. Να λύσετε τo σύστημα 2 2y xy x

== +

⎧⎨⎩ µ

και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

I. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα:

, , ,

με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

1. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. A Ψ2. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0 , τότε το σύστημα είναι κατ’ ανάγκη αδύνατο. Α Ψ

3. Το σύστημα xyx y

=+ =

⎧⎨⎩

10

είναι αδύνατο. Α Ψ

4. Ο κύκλος x y2 2 1+ = και η παραβολή y x= +2 1 δεν έχουν κοινά σημεία. A Ψ

( ) :Σ12 1

2 4 0x y

x y+ =

+ =⎧⎨⎩

( ) :Σ21

2 4x yx y

+ =+ =

⎧⎨⎩

( ) :Σ32 4 2

2 1x y

x y+ =

+ =⎧⎨⎩

( ) :Σ4 2

11

x yx y

− =

+ =⎧⎨⎩ α

(Σ1) (Σ2) (Σ3) (Σ4)

2 5 04 3

2

2

xy y yy x x

− − =

= − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 50: Ektos ulis 2016 17

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 61

Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρή-σιμες ταυτότητες.

3. εφω . σφω = 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Είναι:

εϕω ηµωσυνω

= και σϕω συνω

ηµω=

(εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0)

Επομένως:

εϕω σϕω ηµωσυνω

συνωηµω

⋅ = ⋅ =1 .

4.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ ω συν ω2 2 1+ = με συν ω2 0≠ και έχουμε:

ηµ ωσυν ω

συν ωσυν ω συν ω

εϕ ωσυν ω

συν ωεϕ ω

2

2

2

2 22

22

2

1 1 1 11

+ = ⇔ + = ⇔ =+ .

Άρα συν ωεϕ ω

22

11

=+

.

ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω συν ω2 2 1+ = θέσουμε συν ωεϕ ω

22

11

=+

,

έχουμε: ηµ ωεϕ ω

ηµ ωεϕ ω

ηµ ω εϕ ωεϕ ω

22

22

22

21

11 1 1

1 1+

+= ⇔ = −

+⇔ =

+.

Άρα ηµ ω εϕ ωεϕ ω

22

21=

+.

συν ωεϕ ω

22

11

=+

ηµ ω εϕ ωεϕ ω

22

21=

+.και

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 51: Ektos ulis 2016 17

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 71

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

2. Να αποδείξετε ότι:

ηµ π ω συν π ω ηµ π ω συν π ω

σϕ π ω ηµ

( ) ( )

( )

5 7 52

72

5

+ ⋅ − ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ (( ).

7 52

72

12

π ω συν π ω σϕ π ωηµ ω

− ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

3. Αν εϕ π εϕ π3 6

5−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=x x , να υπολογίσετε την τιμή της παράστα-

σης:

εϕ π εϕ π2 2

3 6−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x .

4. Να αποδείξετε ότι:

0 1< ++ +

<εϕ πεϕ σϕ π

( )( )

.xx x

I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

1. Αν ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . Α Ψ 2. Αν συνω = 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω = 1. Α Ψ 3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω = 2 . Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω συν ω= −1 2 Α Ψ 5. ηµ ηµ2 220 70 1D D+ = Α Ψ

6. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ π ηµ( )x x− = − Α Ψ

7. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ ηµ2 2x x= Α Ψ

8. Αν συν π ηµx x−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =2

0, τότε ηµx = 0 Α Ψ

9. Για κάθε x∈ ισχύει συν π ηµ πx x−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=6 3

0 Α Ψ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ηµ συν συν συνεϕ εϕ

495 120 495 120120 495

D D D D

D D⋅ + ⋅ −

− +( )

( ).

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 52: Ektos ulis 2016 17

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ηµx = 0 ii) ηµx = 22

iii) συνx = 0 iv) συνx = 22

2. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ηµx = − 12

ii) ηµx = −1 iii) συνx = − 22

iv) συνx = −1

3. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) εϕx = 0

ii) εϕx = 33 iii) σϕx =1

iv) σϕx = 3

4. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) εϕx = − 33

ii) σϕx = − 33

5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( )( )1 2 3 0− − =ηµ ηµx x

ii) ( )( )2 2 1 0ηµ συνx x+ − =

6. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ( )( )3 1 0+ − =εϕ εϕx x

ii) ( )( )2 1 3 02συν εϕ σϕx x x+ − = 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτε-

ράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 951,

ii) συνx = −0 809, iii) εϕx = 28 636,

8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) .

ii) συν x

51 0+ = iii) 3 2

73 0εϕ x − =

9. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ηµ πx +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −3

1

ii) 2 34

1συν πx −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= iii) εϕ π4

5 3−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=x

10. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 2 1 02ηµ ω ηµω+ − = ii) 2 3 2 02συν συνx x+ − = iii) 3 3 2 32εϕ εϕt t= +11. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ συν2 25 4x x+ = ii) εϕ σϕx x⋅ =2 1 12. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις

έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της:

i) . 0 2≤ <x π, ii) . 0 2≤ <x π .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 53: Ektos ulis 2016 17

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89

13. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια)

δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S t= + ⋅75 506

ηµ π , όπου t o

χρόνος σε μήνες και με t = 1 να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις 100000 κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και

πόσες είναι αυτές.Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ηµ συν πx x+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=4

0 ii) εϕ σϕ π23

3 0x x− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

2. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ ηµ εϕx x x x⋅ + = +1 ii) .

3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕx =1 στο διάστημα (3π,4π).

* 4. Να λύσετε την εξίσωση 1+συνx=ημx στο διάστημα [0,2π).

5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ σϕ πx x= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

στο διάστημα [0, 2π).

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΑθΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών

Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M M1 2, αντιστοίχως (Σχ. 1).

Έστω επιπλέον και η γωνία α β− , που η τελική της πλευρά τέμνει τον τρι-γωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2).

O O

y y

x xαβ α−β

M (συνα, ημα)1

M (συνβ, ημβ) M(συν(α–β), ημ(α–β))2

Α(1,0)

Σχ. (1) Σχ. (2)

Α(1,0)

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 54: Ektos ulis 2016 17

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 97

5. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ Α∆= ⋅3 , να αποδείξετε ότι:

i) όπου Β ΑΒΓ= ˆ

ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β = 60D

6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ ηµσυν

εϕΑ Β ΓΒ Γ

Β+ −−

=( )( )

, να αποδείξετε ότι Α = π

2 και αντιστρόφως.

*7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ σϕΑ Β Β Γ Γ Α+ + =1, ii)

8. Να λυθεί στο διάστημα [0,π] η εξίσωση:

*9. Αν 02

< <x y z, , π με εϕx = 12

, εϕy = 15 και εϕz = 1

8, να αποδείξετε ότι:

εϕω εϕεϕ

=+2

3 2Β

Β,

συνηµ ηµ

συνηµ ηµ

συνηµ ηµ

ΑΒ Γ

ΒΓ Α

ΓΑ Β

+ + = 2

εϕ π εϕ π( ) ( )4 4 2 3+ − − =x x

x y z+ + = π4

Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α, ωςσυνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώ-σεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύ-πους του ηµ α β( ),+ του συν α β( )+ και της εϕ α β( )+ αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε:

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α

Γ

Δ

Α Βω

• ηµ α2 = + = + =ηµ α α ηµασυνα συναηµα( )

• συν α2 = + = −συν α α συνασυνα ηµαηµα( )

= − −συν α συν α2 21( ) 2 12συν α= −

= − −( )1 2 2ηµ α ηµ α 1 2 2ηµ α−=

Επομένως: (1)

Επίσης συν α συν α ηµ α2 2 2= −

2ημασυνα

ημ2α = 2ημασυνα

−= συν α ηµ α2 2

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 55: Ektos ulis 2016 17

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Επομένως:

(2)

Επομένως:

(3)

Επομένως:

(4) (5)

(6)

συν α συν α ηµ ασυν α

ηµ α

22 11 2

2 2

2

2

= −= −

= −

• εϕ α2 = +−

=εϕα εϕαεϕαεϕα1

21 2

εϕαεϕ α−

εϕ α εϕαεϕ α

2 21 2=

Από τους τύπους (2) μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συν2α. Πράγματι, έχουμε:

• = − ⇔ + =συν α συν α συν α συν α2 2 1 1 2 22 2 =⇔ +συν α συν α2 1 22

• = − ⇔ = −συν α ηµ α ηµ α συν α2 1 2 2 1 22 2 −ηµ α συν α2 1 22

⇔ =

εϕ α2 = =

+ =ηµ ασυν α

συν α

συν α

2

2

1 22

1 22

1 21 2

−+

συν ασυν α

ηµ α συν α2 1 22

= − συν α συν α2 1 22

= +

εϕ α συν ασυν α

2 1 21 2

= −+

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 56: Ektos ulis 2016 17

3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 103

8. Να αποδείξετε ότι:

i) συν π συν π4 4

838

34

+ = ii) ηµ π ηµ π4 4

838

34

+ =

iii) 8 1 42 2⋅ = −ηµ ασυν α συν α

9. Αν συν αβ γ

x =+

, συν β

γ αy =

+ και συν γ

α βz =

+, να αποδείξετε ότι:

3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνο-μετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροι-σμα σε γινόμενο. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύπους με τους οποίους γίνονται οι παραπάνω μετασχηματισμοί.

Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα

Από τις γνωστές μας ισότητες:ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )+ = +

ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )− = −

με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι:ηµ α β ηµ α β ηµασυνβ( ) ( )+ + − = 2

δηλαδή: (1)

ενώ από τις: συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )− = +συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )+ = −

με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι:

(2)

(3)

2ημασυνβ = ημ(α + β) + ημ(α – β )

2συνασυνβ = συν(α – β) + συν(α + β)

2ημαημβ = συν(α – β) – συν(α + β)

εϕ εϕ εϕ2 2 2

2 2 21x y z+ + = .

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 57: Ektos ulis 2016 17

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

iii)

6. Να αποδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει:

2 22 2

1 22

⋅ − = ⋅ −συν συν συνΒ Γ Β Γ

7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµ συν συνΑ Β Γ= + , να αποδείξετε ότι Β = 90D ή Γ = 90D και αντιστρόφως.

Στην προηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx, ρ > 0 είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με −ρ. Η γραφική της παράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη.

Μια τέτοια συνάρτηση είναι, π.χ., και η f(x)=2.ημx, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ)

Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f x x( ) .= ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

24

ηµ π Παρατηρούμε

ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την g x x( ) = ⋅2 ηµ αν, όπου x, θέσουμε

x + π4

, δηλαδή ισχύει f x g x( ) = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π4

Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π

4 μονάδες, προς τα αριστε-

ρά. Όμως η συνάρτηση g x x( ) = ⋅2 ηµ έχει περίοδο 2π, μέγιστο ίσο με 2 και

ελάχιστο ίσο με −2.

συν συν συν ηµ ηµ ηµΑ Β Γ Α Β Γ+ + = + ⋅1 42 2 2

y = ημxy = 2ημx

2

1

O π−π 2π 3π–1

–2

y

x

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 58: Ektos ulis 2016 17

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων:

i) f x x x( ) ,= + +5 12 3ηµ συν ii) f x x x x( ) ( )= +4συν ηµ συν

4. Να λύσετε την εξίσωση:

5. Με συρματόπλεγμα μήκους 40m περιφράσσουμε τμή-μα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υποτεί-νουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αποδείξετε ότι:

h =+ +

401ηµθ συνθ

ii) Για ποια τιμή του θ το h παίρνει τη μικρότερη τιμή και ποια είναι αυτή;

6. Στο διπλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η περίμετρος Ρ του τριγώνου

ΜΚΟ ισούται με Ρ = + +1 2 2ηµ θ συν θ.ii) Για ποια τιμή του θ το Ρ παίρνει τη μεγαλύτε-

ρη τιμή και ποια είναι αυτή;

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομά της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριωνστοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του.

Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βα-σικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημιτόνων.

ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

όπου R, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Νόμος των ημιτόνων

αηµ

βηµ

γηµΑ Β Γ

= = = 2R

h

θ

2 3 2 1⋅ ⋅ − = −ηµ συν ηµx x x( )

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 59: Ektos ulis 2016 17

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το xν να−

είναι παράγοντας του xµ µα− , (μ, ν θετικοί ακέραιοι).

2. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με

το αx+β, α ≠ 0 είναι υ βα

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

P .

ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο α βx3 + διαιρεί-ται με το αx+β.

3. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ-

νυμο P x x x x x( ) = − + − +2 6 5 3 24 3 2 διαιρείται με το (x-1)(x-2) και να

βρείτε το πηλίκο.

4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P x x x x( ) ( ) ,= + − −2 2ν ν έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2 33 2x x x+ + .

5. Να υπολογίσετε τους α β, ∈ , για τους οποίους το P x x x( ) = + ++α βν ν1 1 έχει παράγοντα το ( ) .x −1 2

Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεωνα β α β γx x x+ = + + =0 02, και α β γx x4 2 0+ + = , με α ≠ 0

Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις.Συγκεκριμένα:

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής

α α α ανν

ννx x x+ + + + =−

−1

11 0 0...... , αν ≠ 0

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2 5 2 03 2x x x− + − = και − + + =3 5 1 06 2x x εί-ναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως.

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμουP x x x x( ) ......= + + + +−

−α α α ανν

νν

11

1 0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.

Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πο-λυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυ-τού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 60: Ektos ulis 2016 17

5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 177

Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογι-στή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν:

Αλλαγή βάσηςΑν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10

και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων.

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

ln325 325

ln0,37 0.37

Αν α,β>0 με α β, ≠1 , τότε για κάθε θ>0 ισχύει:

Έστω ότι είναι log .β θ = x Τότε θ β= x , οπότε:

log log log log logα α α β αθ β β θ β= = = ⋅x x (επειδή x = logβ θ )

Άρα έχουμε:log log log ,β α αθ β θ⋅ = οπότε log log

logβα

α

θ θβ

=

ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε:

log log

logβ θ θβ

=

και log ln

lnβ θ θβ

=

Επομένως ο υπολογισμός του logβθ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ.Για παράδειγμα είναι:

Επειδή το σύμβολο logαθ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α ≠1 και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α ≠1 και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα.

log loglog

,2 17172

4 087462841= =

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ*

log loglogβ

α

α

θ θβ

=

ΠΡΟΣΟΧΗ!

In = 5.783825172

0.994252273=In

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 61: Ektos ulis 2016 17

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 181

5. Να αποδείξετε ότι:

* 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε x> 0 ισχύει:

*7. Να αποδείξετε ότι: i) log logα ββ α⋅ =1 ii) log logα ββ α2 3 6⋅ =

iii) log log logα β γβ γ α⋅ ⋅ =1

*8. Να αποδείξετε ότι: i) log logα

α

θ θ+ =1 0

ii) log ( ) log ( ) log ( ) log ( )α β α βαβ αβ αβ αβ+ = ⋅

log logα αx x= 2

2

5.3 ΛΟΓΑΡΙθΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Η λογαριθμική συνάρτησηΈστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην

παράγραφο 4.2, για κάθε x>0 ορίζεται ο log .α x Επομένως, αντιστοιχίζοντας

κάθε x∈ +∞( , )0 στο log ,α x ορίζουμε τη συνάρτηση

f : ( , )0 +∞ → με f x x( ) log= α

Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α.

Ας θεωρήσουμε, τώρα, τη λογαριθμική συνάρτηση f x x( ) log .= α Επειδή

log ,α αx y xy= ⇔ =

αν το Μ(ξ,η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y x= log ,α τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = αx και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' '

Επομένως:

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y = αx

είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' 'y x= logα

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 62: Ektos ulis 2016 17

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 63: Ektos ulis 2016 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Το επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Η ευθεία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Η ηµιευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 Ηµιεπίπεδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 Η γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.13 Σύγκριση γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Κεντρική συµµετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9 Αξονική συµµετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 5 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 64: Ektos ulis 2016 17

3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79

4.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101

5.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Παραλληλόγραµµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 Ορθογώνιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Ρόµβος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5 Τετράγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.10 Τραπέζιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127

6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο

Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές

µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 6 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 65: Ektos ulis 2016 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 147

7.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό -

Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο . . . . . . . . . . 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171

8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα ...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας .................................................................................................... 173

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183

9.1 Ορθές προβολές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209

10.1 Πολυγωνικά χωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα. . . . . . . . . . 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229

11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους . . . . . . . . 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.5 Μήκος τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 7 23/7/2013 3:37:50 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 66: Ektos ulis 2016 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο -

Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο -

Γωνία ευθείας και επιπέδου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.14 Μέτρηση του κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.15 Κόλουρος κώνος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 8 23/7/2013 3:37:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 67: Ektos ulis 2016 17

148

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

7.1 Εισαγωγή

Μέγεθος γενικά λέγεται οτιδήποτε επιδέχεται αύξηση ή ελάττωση. Γεωμετρικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που εξετάζονται από τη Γεωμετρία. Τέτοια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα, οι γωνίες, τα τόξα, οι επιφάνειες επίπεδων σχημά-των, οι όγκοι των στερεών κτλ.Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τα απλούστερα γε-ωμετρικά μεγέθη, τα ευθύγραμμα τμήματα.Αρχικά θα διαιρέσουμε δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα μέρη.

7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη

Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το οποίο θέλουμε να διαι-ρέσουμε σε ν ίσα μέρη (ν ≥ 2). Φέρουμε τυχαία ημιευθεία Αx, διαφορετική από την ΑΒ και παίρνουμε με το διαβήτη πάνω σε αυτή ν διαδοχικά ίσα τμή-ματα ΑΜ1 = M1M2 = ... = Μν-1Μν.Έπειτα φέρουμε το τμήμα ΜνΒ και από τα σημεία Μ1, Μ2, ..., Μν-1 φέρουμε παράλληλες προς τη ΜνΒ που τέμνουν το ΑΒ στα σημεία Ρ1,Ρ2, ..., Ρν-1 αντίστοιχα. Οι παράλληλες αυ-τές, σύμφωνα με το θεώρημα III, §5.6, ορίζουν ν ίσα τμήμα-τα πάνω στην ΑΒ. Επομένως τα ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΡ1, Ρ1Ρ2, ..., Ρν-1Β είναι τα ζητούμενα. Στη συνέχεια θα ορίσουμε, γενικά, το γινόμενο ευθύγραμ-μου τμήματος με οποιονδήποτε ρητό αριθμό και το λόγο δύο ευθύγραμμων τμημάτων.

7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων

• Όπως είδαμε στην §2.8, αν ΑΒ = α ευθύγραμμο τμήμα και ν φυσικός αριθμός, ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος ΑΒ επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι το άθροισμα ν ευθύγραμμων τμημάτων ίσων προς το ΑΒ = α. Γράφουμε ΓΔ = ν ∙ ΑΒ.

• Αν χωρίσουμε, όπως παραπάνω, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = α σε ν ίσα μέρη καθένα από τα ν ίσα τμήματα τα

παριστάνουμε με ΑΒν

ή 1ν

∙ ΑΒ. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ λέγεται υποδιαίρεση (ή υποπολλαπλάσιο) του ΑΒ αν

Σχήµα 1

A

Ρ1 Ρ2 Ρν-1

Μ1 Μ2

Μν-1Μν

B

x

Σχήµα 2

α α α αν φορές

Γ Δ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 148 23/7/2013 3:38:42 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 68: Ektos ulis 2016 17

152

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Πράγματι, αν Μʹ εσωτερικό σημείο του ΑΒ ώστε ΜʹΑΜʹΒ

= λ, τότε έχουμε:

ΜΑΜΒ

Μ ΑΜ Β

ΜΑΜΑ ΜΒ

Μ ΑΜ Α Μ Β

=′′

⇔+

=′

′ + ′⇔

⇔ =′

⇔ = ′ΜΑΑΒ

Μ ΑΑΒ

ΜΑ Μ Α,

οπότε το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Μʹ.

Αν ΜΑΜΒ

= λ, τότε

ΜΑΜΒ

ΜΑΜΑ ΜΒ

= ⇔+

=+

⇔λ λλ1 1

ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ==++λλ

λλ 1 και

ΜΒ ΑΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ= − = −+

⇔λλ 1

ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ==++11λλ

.

2) Αν Μ σημείο στην προέκταση του ευθύγραμμου τμή-ματος ΑΒ, τότε πάλι ο λόγος των αποστάσεών του από τα

Α και Β ισούται με ΜΑΜΒ

. Λέμε ότι το Μ διαιρεί εξωτε-ρικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο

αν ΜΑΜΒ

= λ. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την

περίπτωση, το σημείο Μ είναι μοναδικό.

∆ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ i) Αν λ = 1, τότε προφανώς δεν υπάρχει σημείο Μ που να

διαιρεί εξωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ = 1, αφού ΜΑ ≠ ΜΒ. Στην περίπτωση αυτή το Μ είναι το μέσο του ευθύ-γραμμου τμήματος.

ii) Αν λ > 1, τότε ΜΑΜΒ

ΜΑ ΜΒ> ⇔ >1 , οπότε το Μ βρί-

σκεται στην προέκταση του ΑΒ, προς το μέρος του Β (σχ.5). Στην περίπτωση αυτή έχουμε:

ΜΑΜΒ

ΜΑΜΒ

ΜΑΜΑ ΜΒ

ΜΑΑΒ

= ⇔ = ⇔−

=−

⇔ =−

⇔λ λ λλ

λλ1 1 1

ΜΑΜΒ

ΜΑΜΒ

ΜΑΜΑ ΜΒ

ΜΑΑΒ

= ⇔ = ⇔−

=−

⇔ =−

⇔λ λ λλ

λλ1 1 1

ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ==−−λλ

λλ 1 και

ΜΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ ΑΒ= − =−

− ⇔λλ 1

ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ==−−11λλ

.

iii) Αν λ < 1 τότε ΜΑΜΒ

ΜΑ ΜΒ< ⇔ <1 , οπότε το Μ βρί-

Σχήµα 5

x yA B Μ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 152 23/7/2013 3:38:49 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 69: Ektos ulis 2016 17

154

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

7.7 Θεώρηµα του Θαλή

Είδαμε στην §5.6 ότι αν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες και ορίζουν ίσα τμήματα πάνω στη μία, θα ορίζουν ίσα τμήματα και πάνω στην άλλη. Τα παραπάνω γενικεύονται για οποιονδήποτε λόγο στο επόμενο θεώρημα που είναι γνωστό ως θεώρημα του Θαλή.

Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Δηλαδή:

Αν ε1//ε2//ε3, τότε ΑΒΕΖ

= ΒΓΖΗ

= ΑΓΕΗ

(σχ.8α).

Αν δ1//δ2//δ3, τότε ΚΛΕΖ

= ΛΜΖΗ

= ΚΜΕΗ

(σχ.8β).

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ (σχ.9) είναι σύμμετρα, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μ τέτοιο, ώστε ΑΒ = κμ και ΒΓ = λμ (1), όπου κ, λ φυσικοί αριθμοί. Διαιρούμε το τμήμα ΑΒ σε κ τμήματα ίσα με το μ και το ΒΓ σε λ τμήματα ίσα με το μ.

Από τα σημεία που ορίζονται με τον παραπάνω τρό-πο φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την ε1, οι οποίες τέμνουν τη δ2. Επειδή τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ1 είναι ίσα μεταξύ τους, τότε και τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ2 θα είναι ίσα τμήματα, που το μήκος του καθενός ας είναι ν. Τότε θα έχουμε ΕΖ = κν και ΖΗ = λν (2).

2. Ο λόγος μιας γωνίας ω προς την παρα-πληρωματική της είναι 1

3 . Να βρεθεί η

γωνία ω.3. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες

προς τους αριθμούς 6, 3, 4. Αν η περί-μετρος του τριγώνου είναι 65cm, να βρε-θούν τα μήκη των πλευρών του.

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι

ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4. Να υπο-

λογισθούν οι εσωτερικές του γωνίες.

2. Σε ευθεία ε παίρνουμε διαδοχικά τα ση-μεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = 6cm, ΒΓ = 12cm, ΓΔ = 2cm. Να βρεθεί σημείο Μ του ΒΓ, το οποίο διαιρεί εσωτερικά τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ στον ίδιο λόγο.

3. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ανα-λογιών, να διαιρέσετε δοσμένο τμήμα AB = α σε δύο τμήματα, τα οποία έχουν λόγο 3

4 .

Σχήµα 8

ε1

ε2

ε3

ε ε

α

β

δ1 δ2

A Ε

B Ζ

Γ Η

Κ Ε

Ζ Λ

Η Μ

δ1

δ2

δ3

Σχήµα 9

ε1

ε2

ε3

δ1 δ2

A Ε

B Ζ

Γ Η

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 154 23/7/2013 3:38:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 70: Ektos ulis 2016 17

155

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: ΑΒΒΓ

= κμλμ

= κλ

και

ΕΖΖΗ

= κνλν

= κλ

, οπότε ΑΒΒΓ

= ΕΖΖΗ

ή ΑΒΕΖ

= ΒΓΖΗ

(3).

Από την αναλογία (3) παίρνουμε:

ΑΒΕΖ

= ΒΓΖΗ

= ΑΒ + ΒΓΕΖ + ΖΗ

ή ΑΒΕΖ

= ΒΓΖΗ

= ΑΓΕΖ

.

ii) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ είναι ασύμμετρα, ο λόγος ΑΒΒΓ

είναι ασύμμετρος αριθμός. Αποδεικνύεται ότι και

σε αυτή την περίπτωση ισχύει η προηγούμενη αναλογία.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή.

Θεωρούμε δύο ευθείες δ1 και δ2 που τέμνουν δύο παράλλη-λες ευθείες ε1 και ε2 στα σημεία Α, Β και Ε, Ζ αντίστοιχα.Αν Γ και Η είναι σημεία των ευθειών δ1 και δ2 αντίστοιχα

τέτοια, ώστε ΑΒΒΓ

= ΕΖΖΗ

, τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλ-

ληλη προς τις ε1 και ε2 (σχ.9).

ΘΕΩΡΗΜΑ

Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη με μία από τις πλευ-ρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα.

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ (σχ.10).

Φέρουμε από την κορυφή Α ευθεία ε//ΒΓ//ΔΕ, οπότε από το θεώρημα του Θαλή προκύπτει ότι

ΑΔΑΕ

= ΔΒΕΓ

.

Μια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή είναι το επόμενο θεώρημα.

Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τρι-γώνου.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Σχήµα 10

A

Δ Ε

B Γ

ε

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΤο παραπάνω πόρισμα ισχύει και στην περίπτωση που η ΔΕ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευ-ρών του τριγώνου ΑΒΓ.

Σχήµα 11

Ε Δ

B Γ

A

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 155 23/7/2013 3:38:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 71: Ektos ulis 2016 17

157

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

Δύο σημεία Γ και Δ, που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα ΑΒ στον ίδιο λόγο, λέγονται συζυγή αρμονικά των Α και Β (σχ.16).

Δηλαδή τα Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β, αν τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά και

ΓΑΓΒ

= ΔΑΔΒ

.

Από τη σχέση αυτή παίρνουμε την αναλογία

ΓΑΔΑ

= ΓΒΔΒ

ή ΑΓΑΔ

= ΒΓΒΔ

,

από την οποία προκύπτει ότι και τα Α και Β είναι συζυγή αρμονικά των Γ και Δ. Τα τέσσερα σημεία (Α, Β) και (Γ, Δ) λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα.

A B

Γ Δ

Σχήµα 16

∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ∆ΟΣΜΕΝΟ ΛΟΓΟΝα διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο μν

, όπου μ, ν γνωστά τμήματα.

ΛύσηΑπό το Α φέρουμε μια ημιευθεία Αx, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ΑΕ = μ. Από το Β φέρουμε ευθεία πα-ράλληλη της Αx και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του Β τμήματα ΒΖ = ΒΗ = ν. Τα σημεία Γ και Δ στα οποία οι ευθείες ΕΗ και ΕΖ τέμνουν την ευθεία ΑΒ είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΓΗΒ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

ΓΑΓΒ

= ΑΕΒΗ

= μν

.

Όμοια τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΒΖ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

ΔΑΔΒ

= ΑΕΒΖ

= μν

.

• Αν μ = ν, το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι παραλληλόγραμ-μο, οπότε η ΕΖ δε δίνει σημείο Δ πάνω στην ΑΒ, ενώ το Γ είναι το μέσο του ΑΒ.

ΠΡΟ

ΒΛΗ

ΜΑ

2

AB

ΔΓΗ

Ε

μ

νν

x

Ζ

Ε

A BΓ

Ζ

μ

ν

ν

Η

Σχήµα 14

Σχήµα 15

ΣΗΜΕΙΩΣΗΤο Δ λέγεται αρμονικό συζυ-γές του Γ ως προς τα Α και Β. Όπως είδαμε παραπάνω, αν το Γ είναι το μέσο του ΑΒ, το Δ δεν υπάρχει.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 157 23/7/2013 3:38:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 72: Ektos ulis 2016 17

159

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

Οι παράλληλες από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα τέμνουν την ΑΒ στο Ζ και την ΑΓ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ.

7. Από τυχαίο σημείο Κ της διαμέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ, που τέμνουν τη ΒΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ.

8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Ε το μέσο της μικρής βάσης ΑΒ. Αν η ΔΕ τέ-μνει την ΑΓ στο Ζ και την προέκταση της ΓΒ στο Η, να αποδείξετε ότι τα Ζ, Η είναι συζυγή αρμονικά των Δ, Ε.

9. Δεξαμενή ύψους υ = 12m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 15m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο παρακάτω σχήμα. Βγάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 10m. Μπορούμε να υπολογί-σουμε το ύψος h του νερού;

12m

h

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Αν τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β

και Ο είναι το μέσο του ΑΒ, να αποδείξε-τε ότι τα Γ και Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο.

2. Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα AB = a σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε 4x = 6y = 3ω.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ-κλο (Ο, R) και έστω Δ η τομή της διαμέ-τρου ΑΕ με τη ΒΓ. Αν Ζ και Η είναι οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοι-χα, να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ.

4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ση-

μείο Ε της ΔΒ τέτοιο, ώστε ΔΕ = 15 ΔΒ.

Αν η ΓΕ τέμνει την ΑΔ στο Ζ, να αποδεί-ξετε ότι ΑΖ = 3ΔΖ.

5. Από την κορυφή Β παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρουμε ευθεία ε, που τέμνει την

πλευρά ΑΔ στο Ε και την προέκταση της ΓΔ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι

ΔΑΔΕ – ΔΓ

ΔΖ = 1.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε της ΒΓ ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ. Η παράλλη-λη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τη διάμεσο ΑΜ στο Κ. Να αποδείξετε ότι:

i) Το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώ-νου ΑΒΓ.

ii) ΚΕ//ΑΓ.7. Τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) οι διαγώνιες

ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο Ο. Από το Ο φέ-ρουμε παράλληλες προς τις ΑΔ, ΒΓ που τέμνουν τη ΔΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΓΖ.

Σύνθετα Θέµατα1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και

Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα,

ώστε ΔΑΔΒ = ΕΓ

ΕΑ .

Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα, είναι συνευ-θειακά σημεία.

2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τυχαία ευθεία, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΖΑ ∙ ΗΓ = ΗΑ ∙ ΖΒ.

3. Δίνεται ευθεία ε, τέσσερα διαδοχικά ση-μεία της Α, Γ, Β, Δ και σημείο Ο εκτός αυ-τής. Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΟΑ, η οποία τέμνει τις ΟΓ, ΟΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β, αν και μόνο αν ΒΕ = ΒΖ.

4. Αν ένα σημείο Δ χωρίζει εσωτερικά την πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ σε λόγο λ και ένα σημείο Ε χωρίζει εσωτερικά το ΑΔ σε λόγο κ, να υπολογισθεί ο λόγος στον οποίο χωρί-ζει η ευθεία ΒΕ την πλευρά ΑΓ.

5. Η εφαπτομένη ενός κύκλου σε σημείο του Μ τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα Α, Β μιας διαμέτρου του ΑΒ, στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΓ, ΑΔ, να αποδείξετε ότι ΜΚ⊥ΑΒ.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 159 23/7/2013 3:38:52 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 73: Ektos ulis 2016 17

160

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου

Θα μελετήσουμε εδώ, ως εφαρμογές του θεωρήματος του Θαλή, βασικές ιδιότητες της εσωτερικής και εξωτερικής δι-χοτόμου γωνίας τριγώνου.

Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκεί-μενων πλευρών.

ΘΕΩΡΗΜΑ (εσωτερικής διχοτόµου τριγώνου)

Δηλαδή, αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει

ΔΒΔΓ

= ΑΒΑΓ

.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ (σχ.18). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέ-κταση της ΑΓ στο Ε. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγω-

νο ΓΕΒ έχουμε ΔΒΔΓ

= ΑΕΑΓ

(1).

Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΕ = ΑΒ. Πράγματι:

A1 = B1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ),

A2 = E (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ),

A1 = A2 (ΑΔ διχοτόμος),

οπότε B1 = E άρα ΑΕ = ΑΒ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΔΒΔΓ

= ΑΒΑΓ

.

Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά ΒΓ σε λόγο ΑΒΑΓ

είναι μοναδικό, το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή:

Αν το Δ είναι σημείο της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΔΒΔΓ

= ΑΒΑΓ

τότε η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας A.

Σχήµα 17

1 2

A

B

ΓΔ

Σχήµα 18

1

1

2

A

B ΓΔ

Ε

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 160 23/7/2013 3:38:53 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 74: Ektos ulis 2016 17

161

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων, στα οποία διαιρεί η διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ.

Στο σχ.18 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Δ από τα Β και Γ.

Η προηγούμενη αναλογία γράφεται:ΔΒΔΓ

= γβ

ή ΔΒΔΒ + ΔΓ

= γβ + γ

ή ΔΒα

= γβ + γ

οπότε ΔΒ = αγ

β + γ . Όμοια βρίσκουμε ΔΓ =

αββ + γ

.

Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών.

ΘΕΩΡΗΜΑ (εξωτερικής διχοτόµου τριγώνου)

Δηλαδή, αν η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ότι:

ΕΒΕΓ

= ΑΒΑΓ

.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η εξωτερική διχοτόμος του ΑΕ (σχ.20). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρί-γωνο ΓΑΕ έχουμε

ΕΒΕΓ

= ΑΖΑΓ

(1).

Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΖ = ΑΒ. Πράγματι:

A1 = B1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),

A2 = Z1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),

A1 = A2 (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος),

οπότε B1 = Z1 άρα ΑΕ = ΑΒ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΒΕΓ

= ΑΒΑΓ

.

Σχήµα 19

1

2 A

B ΓΕ

Σχήµα 20

1

11

2

2

A

BΓΕ

Ζ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 161 23/7/2013 3:38:53 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 75: Ektos ulis 2016 17

162

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΑν Δ και Ε είναι τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας A, τριγώνου ΑΒΓ, στην απέναντι πλευρά, θα είναιΔΒΔΓ =

ΑΒΑΓ και

ΕΒΕΓ =

ΑΒΑΓ , οπότε

ΔΒΔΓ =

ΕΒΕΓ .

Δηλαδή τα ίχνη Δ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

Σχήµα 21

1 23

4A

B ΓΔΕ

Το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή:Αν το Ε είναι σημείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ και

ισχύει ΒΕΕΓ

= ΑΒΑΓ

, τότε η ΑΕ είναι η εξωτερική διχοτό-

μος της γωνίας A.

Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων στα οποία διαιρεί η εξωτερική διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ.

Στο σχ.20 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Ε από τα Β και Γ.Η προηγούμενη αναλογία γράφεται:

ΕΒΕΓ

= γβ

ή ΕΒΕΓ – ΕΒ

= γβ – γ

ή ΕΒα

= γβ – γ

,

οπότε ΕΒ = αγ

β – γ . Όμοια βρίσκουμε ότι ΕΓ =

αββ – γ

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΤο σημείο Ε βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς. Πράγ-ματι αν β > γ τότε B > Γ οπότε Γ = φ > 0.Αρκεί να αποδείξουμε ότι A1 + B2 < 180° .

Έχουμε A1 = Aεξ

2 = B + Γ

2 και B2 = 180° – B, οπότε

A1 + B2 = 180° – B + B2

+ Γ 2

= 180° – ⎛

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

B – Γ 2

= 180° – φ2

< 180°.

Αν ΑΒ = ΑΓ, τότε το Ε δεν υπάρχει. (Εφαρμογή 1 - §4.8)

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 162 23/7/2013 3:38:53 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 76: Ektos ulis 2016 17

163

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

7.9 Απολλώνιος Κύκλος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που οι αποστάσεις τους από δύο

ορισμένα σημεία Α και Β του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο μν

≠ 1.

ΛύσηΈστω δύο δεδομένα σημεία Α, Β και Μ τυχαίο ση-

μείο του τόπου με την ιδιότητα ΜΑΜΒ

= μν

(1).

Φέρουμε την εσωτερική διχοτόμο ΜΓ και την εξωτε-ρική διχοτόμο ΜΔ του τριγώνου ΜΑΒ. ΤότεΓΑΓΒ

= ΜΑΜΒ

= μν

(2) και ΔΑΔΒ

= ΜΑΜΒ

= μν

(3).

Δηλαδή, τα σημεία Γ και Δ είναι ορισμένα, αφού χωρίζουν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ

ν . Ακόμα είναι ΓMΔ = 90°, επειδή οι ΜΓ και ΜΔ είναι διχοτόμοι

των δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ΑMΒ και ΒMΗ. Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο με διάμετρο το τμήμα ΓΔ.Αντίστροφα: Έστω Ν ένα σημείο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα ΓΔ. Τότε

ΓNΔ = 90°. Θα αποδείξουμε ότι ΝΑΝΒ

= μν

.

Από το Β φέρουμε ΒΕ//ΓΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΒΕ είναιΝΑΝΕ

= ΓΑΓΒ

ή λόγω της (2) ΝΑΝΕ

= μν

(4).

Επίσης φέρουμε ΒΖ//ΔΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΔΝ είναιΝΑΝΖ

= ΔΑΔΒ

ή λόγω της (3) ΝΑΝΖ

= μν

(5).

Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι ΝΑΝΕ

= ΝΑΝΖ

, οπότε ΝΕ = ΝΖ, δηλαδή το Ν είναι μέσο του ΕΖ.Επειδή ΓNΔ = 90° και ΒΕ//ΓΝ, ΒΖ//ΔΝ, θα είναι και EBZ = 90°, δηλαδή το τρίγωνο ΕΒΖ είναι ορθογώνιο στο B με διάμεσο ΒΝ, οπότε ΝΒ = ΝΕ = ΝΖ (6).

Από τις σχέσεις (4) και (6) έχουμε ΝΑΝΒ

= μν

.Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο ΓΔ.

Κατασκευή: Αν δοθούν τα σημεία Α και Β και ο λόγος μν

, διαιρούμε το τμήμα ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ

ν , όπως στο πρόβλημα 2, §7.7 και βρίσκουμε

τα Γ και Δ. Στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο ΓΔ.

Διερεύνηση: Αν είναι μν

= 1, τότε ΜΑΜΒ

= 1 ή ΜΑ = ΜΒ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα Α

και Β, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ.

ΠΡΟ

ΒΛΗ

ΜΑ

AB ΓΔ

Ε

ΖΝ

ΗΜ

Σχήµα 22

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 163 23/7/2013 3:38:53 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 77: Ektos ulis 2016 17

165

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ

1. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους ΔΕ και την ΑΒ κάθετη στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι

AB RR

=+

2 ρρ

.

2. Μια μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ και τέ-μνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα Δ, Ε αντίστοι-χα. Να αποδείξετε ότι

∆Β∆Α

ΕΓΕΑ

+ = 1.

3. i) Θεώρημα Μενελάου. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ στα Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι

∆Α∆Β

ΕΒΕΓ

ΖΓΖΑ

⋅ ⋅ = 1.

ii) Θεώρημα Ceva. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των ευθειών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ συντρέχουν, τότε ισχύει:

∆Β∆Γ

ΕΓΕΑ

ΖΑΖΒ

⋅ ⋅ = 1.

Να εξετασθεί και για τα δύο θεωρήματα, αν ισχύει το αντίστροφο.

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες xÔy = yÔz

= zÔt = 45° και τα σημεία Α, Δ των Οx, Ot αντίστοιχα, τέτοια ώστε OA = ΟΔ. Αν Β, Γ είναι τα σημεία τομής της ΑΔ με τις Oy, Οz αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΒ2 = ΒΓ ∙ΑΔ.

2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ ενός τρι-γώνου ΑΒΓ φέρουμε την παράλληλη στη διχοτόμο του ΑΔ, που τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και το έγκεντρό του I.

i) Να υπολογισθεί ο λόγος ΑΙΙΔ , ως συ-

νάρτηση των πλευρών α, β, γ του τρι-γώνου.

ii) Αν β + γ = 2α και Κ το βαρύκεντρο του τριγώνου, τότε:

α) ΙΚ//ΒΓ β) ΖΕ = +β γ3

, όπου Ζ, Ε τα σημεία τομής των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία ΙΚ.

4. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών B και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τέμνουν τη διάμεσό του ΑΜ στα Δ και Ε αντίστοιχα, να αποδείξε-τε ότι Α∆

∆ΜΑΕΕΜ

+ > 2.

5. Οι μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο Ο. Αν η δι-

χοτόμος της γωνίας ΑÔΒ τέμνει τις ΑΒ, ΓΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

i) ΖΔ∙ΒΓ = ΖΓ∙ΑΔ , ii) ΕΑ∙ΒΓ = ΕΒ∙ΑΔ .

Σύνθετα Θέµατα1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ-

κλο (Ο, R). Αν η κάθετη διάμετρος ΚΛ στη ΒΓ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρ-μονικά των Κ, Λ.

2. Αν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τε-τραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται πάνω στη δια-γώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του, τότε είναι ΑΒ ∙ ΓΔ = ΑΔ ∙ ΒΓ. Να εξε-τασθεί αν ισχύει η αντίστροφη πρόταση.

3. Δίνεται τόξο AB κύκλου (Ο, R). Να ορί-σετε σημείο Μ του τόξου AB, τέτοιο ώστε ΜΑΜΒ = μ

ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα.

4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = ΒΖ. Αν Η είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΔΖ, να αποδεί-ξετε ότι η ΓΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓΔ.

5. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση

ΒΓ = α, ύψος ΑΗ = υ και ΑΒΑΓ = μ

ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα.

ΓΕΝ

ΙΚΕΣ

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 165 23/7/2013 3:38:55 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 78: Ektos ulis 2016 17

173

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (ανάλογα αποδεικνύεται για ευθύγραμμα σχήματα με περισσότερες κορυφές). Λόγω της ομοιότητας θα έχουμε ότι

ΑʹΒʹΑΒ

= ΒʹΓʹΒΓ

= ΓʹΔʹΓΔ

= ΔʹΕʹΔΕ

= ΕʹΑʹΕΑ

= λ,

και από τις ιδιότητες των αναλογιών, το άθροισμα των αριθ-μητών προς το άθροισμα των παρονομαστών ισούται με λ, δηλαδή:

ΑʹΒʹ+ ΒʹΓʹ+ ΓʹΔʹ+ ΔʹΕʹ+ ΕʹΑʹΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ

= λ.

8.2 Κριτήρια οµοιότητας

Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την ομοιότητα των τριγώνων, καθώς αποδεικνύεται (εφαρμογή 3) ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα.

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο Οµοιότητας)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με A = Aʹ, B = Bʹ, οπότε και Γ = Γʹ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από τη Βʹʹ φέρουμε παράλ-ληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Τότε τα τρίγω-να ΑΒʹʹΓʹʹκαι ΑΒΓ είναι όμοια, αφού ισχύει ότι ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ,

οπότε ΑΒʹʹΑΒ

= ΑΓʹʹΑΓ

= ΒʹʹΓʹʹΒΓ

και η A είναι κοινή, ενώ Bʹʹ = B

οπότε και Γʹʹ = Γ. Όμως τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια.

i) Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία γωνία τους ίση.

ii) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. iii) Δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοι-

χη γωνία ίση, είναι όμοια.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

A

B

Γ

Δ

Ε

A

B

Γ

Δ

Ε

Σχήµα 3

A

B ΓA

B Γ

Β Γ

Σχήµα 4

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 173 23/7/2013 3:38:58 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 79: Ektos ulis 2016 17

174

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ (2ο Κριτήριο Οµοιότητας)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4) έτσι, ώστε

A = Aʹ και ΑʹΒʹΑΒ

= ΑʹΓʹΑΓ

. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεω-

ρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι

ΑΒʹʹΑΒ

= ΑΓʹʹΑΓ

ή ΑʹΒʹΑΒ

= ΑΓʹʹΑΓ

.

Όμως, από την υπόθεση ισχύει ότι ΑʹΒʹΑΒ

= ΑʹΓʹΑΓ

.

Επομένως καταλήγουμε ότι ΑΓʹʹΑΓ

= ΑʹΓʹΑΓ

ή ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ.

Τελικά τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες.

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ (3ο Κριτήριο Οµοιότητας)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4), ώστεΑʹΒʹΑΒ

= ΑʹΓʹΑΓ

= ΒʹΓʹΒΓ

.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ΑʹΒʹ < ΑΒ , επομέ-νως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια.

Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι

ΑΒʹʹΑΒ

= ΑΓʹʹΑΓ

= ΒʹʹΓʹʹΒΓ

ή ΑʹΒʹΑΒ

= ΑΓʹʹΑΓ

= ΒʹʹΓʹʹΒΓ

.

ΣΧΟΛΙΟΤο θεώρημα που εκφράζει ότι δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτε-λούν τους βασικούς συνδετικούς κρίκους της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα. Η σύνδεση της Γεωμε-τρίας με την Άλγεβρα είναι ιδι-αίτερα εποικοδομητική, καθώς μας επιτρέπει να χρησιμοποιού-με την εποπτεία της Γεωμετρίας σε αλγεβρικά προβλήματα και την ευχέρεια των πράξεων της Άλγεβρας σε γεωμετρικά προ-βλήματα. Τα όμοια τρίγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα απο-τέλεσαν τα θεμέλια της Τριγω-νομετρίας. Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαστάσεις ενός αντικειμένου μετρώντας τις διαστάσεις ενός μικρότερου μοντέλου του. Το μοντέλο αυτό θα έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό, επομένως οι διαστάσεις του αρχικού προκύπτουν αν πολ-λαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου με το λόγο ομοιότητας των δύο σχη-μάτων.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 174 23/7/2013 3:38:58 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 80: Ektos ulis 2016 17

175

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

Ας θεωρήσουμε δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ με λόγο ομοιότητας λ και ση-

μεία Μ της ΒΓ, Μʹ της ΒʹΓʹ τέτοια, ώστε ΒΜΜΓ

= ΒʹΜʹΜʹΓʹ

.

Τότε ισχύει ότι ΑΜΑʹΜʹ

= ΒΜΒʹΜʹ

= ΓΜΓʹΜʹ

= λ.

ΑπόδειξηΈστω ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, οπότε θα υπάρχει σημείο Βʹʹ της ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ και σημείο Γʹʹ της ΑΓ τέτοιο, ώστε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ, με ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ. Έστω σημείο Μʹʹ της ΒʹʹΓʹʹ τέτοιο, ώστε ΒʹʹΜʹʹ = ΒʹΜʹ.Προεκτείνουμε την ΑΜʹʹ ώστε να τμήσει τη ΒΓ σε σημείο Ε. Τότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΜʹʹ και ΑΒΕ είναι όμοια, οπότε

ΑΒʹʹΑΒ

= ΒʹʹΜʹʹΒΕ

= ΑΜʹʹΑΕ

ή λ = ΒʹΜʹΒΕ

= ΑʹΜʹΑΕ

.

A

B Γ

A

B ΓΜ

Μ Ε

Β Μ Γ

Σχήµα 5

Όμοια έχουμε ότι λ = ΜʹΓʹΕΓ

= ΑʹΜʹΑΕ

.

Οπότε ΒʹΜʹΜʹΓʹ

= ΒΕΕΓ

= ΒΜΜΓ

, συνεπώς τα Ε και Μ ταυτίζονται.

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

Όμως από την υπόθεση έχουμε ότιΑʹΒʹΑΒ

= ΑʹΓʹΑΓ

= ΒʹΓʹΒΓ

.

Επομένως προκύπτει ότι

ΑΓʹʹΑΓ

= ΑʹΓʹΑΓ

και ΒʹʹΓʹʹΒΓ

= ΒʹΓʹΒΓ

,

οπότε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ και ΒʹʹΓʹʹ = ΒʹΓʹ.

Άρα τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 175 23/7/2013 3:38:58 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 81: Ektos ulis 2016 17

176

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

i) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων υψών τους.

ii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διχοτόμων τους.

iii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διαμέσων τους.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας;

Λύση

12m

6cm

A B

A B

Γ

Δ

zy

x

Γ

Σχήµα 6

Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή Γ του σχολείου από δύο σημεία Α και Β στο έδαφος (σχ.6). Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα (βλ. επόμενη παράγραφο) μετράει τις γωνίες A, B με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. A = 19° και B = 43°.Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο Α ως το Β, π.χ. ΑΒ = 12 μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος 1,8 μέτρα. Για να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AʹBʹ = 6 cm. Προεκτείνουμε την ΑʹΒʹ προς το μέρος του Βʹ και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες xAʹy = 19° και xBʹz = 43°. Οι ημιευθείες Aʹy και Bʹz τέμνονται στο σημείο Γʹ. Από το σημείο Γʹ φέρουμε την κάθετη ΓʹΔʹ στην ΑʹΒʹ και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το ΓʹΔʹ ισούται με 3,3 cm.

Ο λόγος ομοιότητας είναι λ = ΑΒΑʹΒʹ

= 200.

Επομένως το πραγματικό μήκος του ΓΔ είναι ΓΔ = λΓʹΔʹ = 6,6 μέτρα. Προσθέτοντας και το ύψος του μαθητή, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος του σχολείου είναι 8,4 μέτρα.

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

ΣΧΟΛΙΟΜε τη χρήση της ομοιότητας μπορούμε να μετρήσουμε μήκη ευθύ-γραμμων τμημάτων που είναι απρόσιτα.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 176 23/7/2013 3:38:58 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 82: Ektos ulis 2016 17

177

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

Ο ΕΞΑΝΤΑΣΤο διπλανό σχήμα εκφράζει τη λειτουργία του εξάντα, δηλαδή μας παρουσιάζει έναν απλό μηχανισμό για να μετράμε τις γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται ένα σχήμα. Για να κατασκευασθεί χρειάζεται ένα ίσιο ξύλο, ένα μοιρογνωμόνιο, μία χορδή (κιθάρας) ή πετο-νιά, ένα βαράκι (νήμα της στάθμης) και δύο ανθρώπους, έναν για να βλέπει το αντικεί-μενο και έναν για να διαβάζει τη μέτρηση.

ΣΧΟΛΙΟΠαλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγω-να και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν τον πίνακα παρά να κατασκευά-ζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά προβλήματα.Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια (σχ.8). Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 1. Πρακτικά τα αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων.

Ζητούμενη γωνία

Οριζόντια γραμμήΕξάντας

Βαράκι

θ

Σχήµα 7

Σχήµα 8

Να αποδείξετε ότι δύο όμοια ευθύγραμ-μα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα.

ΑπόδειξηΘα αποδείξουμε την εφαρμογή για δύο πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ, κα-θώς η απόδειξη είναι ανάλογη για κάθε πολύγωνο. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο πεντάγωνα εί-ναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. Από τις κορυφές Α, Αʹ των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΑΔ και ΑʹΓʹ, ΑʹΔʹ αντίστοιχα, οπότε κάθε πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ και ΑʹΒʹΓʹ, ΑʹΓʹΔʹ, ΑʹΔʹΕʹ αντίστοιχα.

Τότε έχουμε ότι ΑΒΓ ≈ ΑʹΒʹΓʹ και ΑΔΕ ≈ ΑʹΔʹΕʹ. Επομένως, θα είναι και Γ1 = Γ1 και ΑΓΑʹΓʹ

= λ. Τότε όμως θα έχουμε ότι Γ2 = Γ2 (αφού Γ = Γʹ) και ΓΔΓʹΔʹ

= λ.

Επομένως και τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑʹΓʹΔʹ θα είναι όμοια.

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

1

1

111

1

2

2

22

2 2

3

3

A

B

Γ Δ

ΕA

B

Γ Δ

Ε

Σχήµα 9

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 177 23/7/2013 3:38:58 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 83: Ektos ulis 2016 17

179

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες; Αιτιολογήστε την απά-ντησή σας.

A

6

12

7

2

4

3

B Γ

ΔΕ

Ασκήσεις Εµπέδωσης1. Δ ίνεται ορθογώνιο τρ ίγωνο ΑΒΓ

(A = 1⌊). Από τυχαίο σημείο Δ της ΑΓ φέρουμε ΔΕ⊥ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια, ii) ΑΓ∙ΕΔ = ΑΒ∙ ΕΓ.

2. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ θε-ωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = 1

3 ΑΒ και ΓΕ = 23 ΑΓ. Να αποδεί-

ξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια, ii) ΒΓ = 3ΔΕ.

3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογώ-νιου τριγώνου με πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνε-ται κάθε πλευρά της κατά το 1

15 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας;

4. Ένα δέντρο ρίχνει κάποια στιγμή σε ορι-ζόντιο έδαφος σκιά μήκους 24m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους 2m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δέντρου.

5. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:

i) ΑΔ2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, ii) ΑΒ2 = ΒΔ ∙ ΒΓ, iii) ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΒΓ.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ-κλο (O, R) και οι ευθείες Αx και Αy που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις ΑΒ και ΑΓ και τέμνουν τη ΒΓ και τον κύκλο αντίστοι-χα στα Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι ΑΔ ∙ ΑΕ = ΑΒ ∙ ΑΓ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. O παρατηρητής ΑΒ βλέπει το φως του λα-μπτήρα Γ μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΔΓ, όταν είναι ΔΚ=3m, ΑΚ=2m και το ύψος του παρατηρητή 1,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης).

Γ

Δ Κ

Β

Α

x

3m 2m

1.70m

2. Να αποδείξετε ότι:

i) δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες,

ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια.

3. Θεωρούμε τους κύκλους (O1, R1) και (O2, R2) που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτόμενες στο Α τέμνουν τους κύκλους στα Α1 και Α2 αντίστοιχα, να απο-δείξετε ότι ΑΒ2 = ΒΑ1 ∙ ΒΑ2.

4. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι

ΗΔ ∙ ΗΑ = ΗΒ ∙ ΗΕ = ΗΓ ∙ ΗΖ.

5. Από το μέσο Μ του τόξου AB φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ, που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα Δʹ και Ζʹ αντίστοιχα. Να αποδει-χθεί ότι

ΜΔ ∙ ΜΔʹ = ΜΖ ∙ ΜΖʹ.

6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο (A = Δ = 1⌊) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 179 23/7/2013 3:38:59 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 84: Ektos ulis 2016 17

180

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Σύνθετα Θέµατα1. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανά-

λογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια.

2. Έστω δοσμένη γωνία xÔy και σημείο Μ. O τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα O και Μ τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΜΒΜΓ = d

dʹ , όπου d, dʹ είναι οι αποστά-σεις του Μ από τις Ox, Οy, αντίστοιχα.

3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊)

και το ύψος του ΑΔ. Η διχοτόμος της γω-νίας Γ τέμνει το ΑΔ στο Ζ και η διχοτόμος της ΔAΒ τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Να αποδεί-ξετε ότι ΖΕ//ΑΒ.

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B – Γ= 1⌊ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ2 = ΔΒ ∙ ΔΓ.

5. Η διχοτόμος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέ-μνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

i) AB ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΑΕ, ii) ΕΒ2 = ΕΑ ∙ ΕΔ.

1. Έστω δοσμένος κύκλος (Ο, R) και ση-μείο Α στο εξωτερικό του κύκλου. Από το Α φέρουμε την εφαπτομένη ΑΤ και την τέμνουσα ΑΒΓ. Να αποδειχθεί ότι AΒAΓ = TB2

TΓ2 .

2. Από σημείο Α φέρουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ και ΑΓ κύκλου (Ο, R) και τυχαία τέ-μνουσα ΑΔΕ. Να αποδειχθεί ότι ΒΔ ∙ ΓΕ = ΒΕ ∙ ΓΔ.

3. Αν Ε, Ζ είναι οι προβολές των κορυφών Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ (με β ≠ γ) στη δι-χοτόμο του ΑΔ να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Δ.

4. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να απο-δειχθεί ότι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου της διαγωνίου ΑΓ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις

πλευρές αυτές.5. Αν Μ τυχαίο σημείο κύκλου (Ο, R), να

αποδείξετε ότι: i) η απόσταση d του Μ από χορδή ΑΒ

του κύκλου είναι d = MA∙MB2R ,

ii) η απόσταση dʹ του Μ από την εφα-πτομένη σε τυχαίο σημείο Α του κύ-

κλου είναι dʹ = MA2

2R ,

iii) αν d,d1,d2 οι αποστάσεις του Μ από μία χορδή ΓΔ του κύκλου και από τις εφαπτόμενες στα Γ, Δ αντίστοιχα, τότε d2 = d1∙d2 .

6. Θεώρημα Πτολεμαίου: Σε κάθε εγγρά-ψιμο τετράπλευρο το άθροισμα των γινο-μένων των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων του.

ΓΕ

ΝΙΚ

ΕΣ Α

ΣΚΗ

ΣΕΙΣ

1. Να κατασκευασθούν δύο τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες μία προς μία, αλλά δεν είναι όμοια.

2. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο ΑʹΒʹΓʹΔʹ το οποίο να αποτελείται από τρίγωνα ίσα με τα τρίγωνα στα οποία χωρίζει η διαγώνιος ΑΓ το ορθογώνιο έτσι, ώστε το ΑʹΒʹΓʹΔʹ να μην είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

Κατασκευάστε έναν εξάντα και υπολογίστε το ύψος μίας πολυκατοικίας στη γειτονιά σας ακολουθώ-ντας τη διαδικασία της εφαρμογής 2.

Εργασία

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 180 23/7/2013 3:38:59 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 85: Ektos ulis 2016 17

187

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ

2. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) είναι B = 2Γ τότε ο λόγος β

γ είναι ίσος με:

α. 12

β. 1 γ. 3 δ. 2 ε. 3

Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) φέ-ρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι ΑΒ = 5 και ΒΔ = 25

13, να διατάξετε κατά αύξουσα

σειρά μήκους τα τμήματα: ΑΓ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που

έχει πλευρές α = κ 2+λ 2, β = 2κλ και γ = κ 2 – λ 2, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο.

2. Αν ΑΕ, ΑΖ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών ΑΓ και ΑΔ ενός κύκλου σε μία διάμετρό του ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΑΖ ∙ ΑΓ 2 = ΑΕ ∙ ΑΔ 2.

3. Αν Δ είναι μέσο της κάθετης πλευράς ΑΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ (A = 1⌊) και Ε η προβολή του στη ΒΓ, τότε να απο-δείξετε ότι ΕΓ 2 + ΑΒ 2 = ΕΒ 2. Στη συνέ-χεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα ΔΒ, ΕΒ, ΕΓ.

4. Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (A = Aʹ = 1⌊) έχουν μβ = μβʹ και μγ = μγʹ.

Να αποδείξετε ότι: i) α = αʹ ii) β = βʹ. Τι συμπεραίνετε για τα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ;5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ-

ρουμε το ύψος του ΒΕ. Να αποδείξετε ότι α 2+β 2+γ 2= 3ΒΕ 2+2ΑΕ 2+ΓΕ 2.

Σύνθετα Θέµατα

1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν Ε, Ζ εί-ναι οι προβολές του Δ πάνω στις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

i) ΑΒ 3

ΑΓ 3 = ΒΕΓΖ

ii) ΑΔ 3 = ΒΓ ∙ ΔΕ ∙ ΔΖ.

2. Δίνονται δύο κύκλοι (K, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Αν ΒΓ εί-ναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (K, R), (Λ, ρ) και στη ΒΓ, να απο-δείξετε ότι:

i) ΒΓ = 2 Rρ ii) 1 1 1R

+ =ρ σ

.

3. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ με A = B = 1⌊. Αν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ, ΑΓ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της ΑΜ με τη ΒΓ να αποδείξετε ότι:

i) το ΑΒΚΔ είναι ορθογώνιο,

ii) ΔΓ 2– ΑΒ 2 = 4ΜΝ 2.

4. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°) να αποδείξετε ότι 2μ 2

α ≥ βγ.

5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ που τέμνει την ΑΒ στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 45°. Να αποδείξετε ότι

ΕΓ 2 + ΕΔ 2 = 2R 2.

6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τρι-γώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγ-γεγραμμένων κύκλων κτλ.) ΔΑΒ, ΔΑΓ και ΑΒΓ, τότε x 2 + y 2 = ω 2.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 187 23/7/2013 3:39:02 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 86: Ektos ulis 2016 17

193

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

2η Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο

υυαα

ττ ττ αα ττ ββ ττ γγαα == −− −− −−2 ( )( )( ),

όπου τ = 12

(α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Ανάλογες εκφράσεις ισχύ-

ουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ.

Απόδειξη

Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του υα. Από το ορθο-γώνιο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε υ 2

α = γ 2 – ΒΔ 2 (1).Πρέπει επομένως να υπολογί-σουμε την προβολή ΒΔ της γ πάνω στην α.• Αν B ≤ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β 2 = α 2 + γ 2 – 2α∙ΒΔ ή

ΒΔ = 12α

(α 2 + γ 2 – β 2) (2).

• Αν B ≥ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε

β 2 = α 2 + γ 2 + 2α∙ΒΔ ή ΒΔ = – 12α

(α 2 + γ 2 – β 2) (3).

A

B ΓΔ

βγ

α

υα

A

Δ B Γ

υα

γ β

αΣχήµα 13

Αν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ΑΒΓ

ισχύει γγ αα ββ ααββ== ++ ++2 2 3 , τότε: i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, ii) να υπολογίσετε τη γωνία Γ .

Λύση i) Από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επι-

πλέον ότι γ 2 > α 2 + β 2, οπότε η γωνία Γ είναι αμβλεία. ii) Επειδή η γωνία Γ είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας

έχουμε: γ 2 = α 2 + β 2 + 2α ∙ ΓΔ (1). Από την υπόθεση όμως έχουμε γ α β αβ2 2 2 3= + + (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Γ∆ = 32

β. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο

θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Α∆ Γ∆2 2 22

4= − =β β , οπότε ΑΔ = β

2 = ΑΓ

2

που σημαίνει ότι Γεξ = 30° και επομένως Γ= 150°.

ΕΦ

ΑΡΜ

ΟΓΗ

1η A

Δ Γ B

εξ

Σχήµα 12

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 193 23/7/2013 3:39:09 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 87: Ektos ulis 2016 17

195

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ

Ερωτήσεις Κατανόησης1. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα

κενά:

Α

Β

Ε

Δ

Γ

i) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΒ ... ii) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΓ ...

2. Να βρεθεί το είδος των γωνιών τριγώνου ΑΒΓ όταν:

i) β 2 = 3α 2 + γ 2, ii) γ 2 = α 2 – β 2, iii) α 2 – β 2 = 2γ 2.

3. Αν β η ...................... πλευρά αμβλυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ τότε ... > α 2 + ... (Να συ-μπληρώσετε τα κενά).

4. Αν στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και A = 120°, να δικαιολογήσετε γιατί α 2 = 3β 2.

Α

120o

Β Γ

Ασκήσεις Εµπέδωσης1. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ,

με α = 6μ, β = 5μ, γ = 4μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.

2. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = 4; Αν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = 2, β = 1+ 3, γ = 2. Να υπολογισθεί η γωνία A.

4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 4cm, ΑΓ = 5cm και ΑBΔ = 30°, όπου ΒΔ το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του ΒΓ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκη ΑΒ = 9cm, ΒΓ = 7cm και ΑΓ = 12cm. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της ΒΓ πάνω στην ΑΒ.

2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ ισχύει ότι

ΑΓ 2 + ΒΔ 2 = ΑΔ 2 + ΒΓ 2 + 2ΑΒ ∙ ΓΔ.3. Αν ΒΒʹ, ΓΓʹ είναι ύψη ενός οξυγώνι-

ου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι α 2 = β∙ΓΒʹ + γ∙ΒΓʹ.

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά ΓΔ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ 2 = 2ΒΓ∙ΑΔ.

5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ-ρουμε παράλληλο της ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ 2 = ΕΓ 2 + ΒΓ∙ΔΕ.

6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, 4β, 3γ;

Σύνθετα Θέµατα

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και A = 30°. Να αποδείξετε ότι α β= −2 3 .

2. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ//ΑΒ. Αν Μ είναι τυ-χαίο σημείο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΜΓ 2 + ΜΔ 2 = ΜΑ 2 + ΜΒ 2.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α 3= β 3+ γ 3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 195 23/7/2013 3:39:10 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 88: Ektos ulis 2016 17

205

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ

5. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A =1⌊), εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του ΑΔ. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι ΓΜ ∙ ΓΗ = ΓΑ 2.

Σύνθετα Θέµατα

1. Αν η διχοτόμος ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και εί-ναι ΑΔ 2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, να αποδείξετε ότι ΑΕ 2=2ΕΓ 2.

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β 2 + γ 2 = 2α 2. Αν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο

κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι

Μ∆ = α 36

.

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ βγ = 32

. Αν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να απο-δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β.

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ, η διάμεσός του ΑΜ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου ΑΔΜ. Αν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των ΑΒ και ΑΓ με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ.

1. Έστω ΑΒ, ΓΔ δύο ευθύγραμμα τμήμα-τα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ΑΒ⊥ΓΔ είναι να ισχύει ότι ΑΓ 2 – ΑΔ 2 = ΒΓ 2 – ΒΔ 2.

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ είναι η δι-χοτόμος της γωνίας A, να αποδείξετε ότι ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ 2 + ΒΔ ∙ ΔΓ.

3. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ οξυγώ-νιου τριγώνου ΑΒΓ και ΒΔ το ύψος του, να αποδείξετε ότι ΑΜ 2 = ΒΜ 2 + ΑΔ ∙ ΑΓ.

4. Θεώρημα Stewart

i) Έστω Δ σημείο της πλευράς ΒΓ, τριγώ-νου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι

ΒΔ∙ΑΓ 2 + ΔΓ∙ΑΒ 2 = ΒΓ(ΑΔ 2 + ΒΔ∙ΔΓ).

ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart όταν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ).

5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μβ⊥μγ. Να αποδείξετε ότι:

i) β 2 + γ 2 = 5α 2, ii) αν ΑΔ ύψος και Η το ορθόκεντρο του

τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ ∙ ΑΔ = 2α 2.6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη

διά μεσο ΑΜ. Αν Δ η προβολή του Μ πάνω στην ΑΒ να αποδείξετε ότι

ΒΓ 2 = 3ΑΒ 2 + ΑΓ 2 – 4ΑΒ ∙ ΑΔ.7. Δίνεται κύκλος (Ο, R) μια ακτίνα ΟΑ και

χορδή ΒΓ παράλληλη προς την ΟΑ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ΑΒ 2 + ΑΓ 2 εί-ναι σταθερό.

8. Δίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος ΑΒ και Γ, Δ τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ αντίστοιχα.

Αν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το

Γ είναι ΕΗ = 132

R,να αποδείξετε ότι ΕΔΗ =1⌊.

ΓΕΝ

ΙΚΕΣ

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 205 23/7/2013 3:39:16 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 89: Ektos ulis 2016 17

217

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α

10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου

Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τρι-γώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι:

i) Ε = ΕΕ == −− −− −−ττ ττ αα ττ ββ ττ γγ( )( )( ) (τύπος του Ήρωνα), όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

ii) Ε = τρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

iii) E = αβγ4R

, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 1, ΑΓ = 2 και A = 120°. Με πλευρές τις ΑΒ και ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΘ αντί-στοιχα. Τότε:

i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ, ii) να αποδείξετε ότι τα Δ, Ε, Θ είναι συ-

νευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πο-

λυγωνικής επιφάνειας ΒΓΖΘΕΔ είναι 5 + .

7. Αν ω είναι η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να απο-δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) = 1

2 ΑΓ ∙ ΒΔ∙ ημω.

8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 18 m μεγαλύτερο του πλάτους, θέ-λει να σχηματίσει γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού μια δενδροστοιχία πλάτους 2,5 m. Έτσι αναγκάζεται να αγο-ράσει από τους γείτονές του 695 m 2. Να βρεθούν οι διαστάσεις του οικοπέδου.

Σύνθετα Θέµατα1. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στις

προεκτάσεις των ημιευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και I, ώστε ΒΖ = ΑΒ, ΓΗ = ΒΓ,

ΔΘ = ΓΔ και ΑΙ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι i) (ΙΘΑ) = (ΑΘΔ) = (ΑΓΔ), ii) (ΙΘΔ) + (ΖΗΒ) = 2(ΑΒΓΔ) και iii) (ΙΖΗΘ) = 5(ΑΒΓΔ).

2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου ΑΔ, το μέσο Ν του ΓΜ και το μέσο Ρ του ΒΝ. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 1

8 (ΑΒΓ).

3. Στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε ΖΓ = ΗΔ = α

4 .

i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΖ και ΒΗ τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ.

ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμη-μάτων: ΑΚ, ΑΗ και ΚΗ.

iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τε-τραπλεύρου ΑΚΗΔ.

4. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι

i) (ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = (ΑΒΓ) και ii) (ΟΑΓ) + (ΟΒΓ) = (ΟΓΔ).

5. Αν ΑΒΓΔ και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευ-ράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοι-χα, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓΔ) ≤ (ΚΛΜΝ).

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 217 23/7/2013 3:39:22 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 90: Ektos ulis 2016 17

218

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

i) Στην §9.4 (Εφαρμογή 2) αποδείξαμε ότι

υα

τ τ α τ β τ γα = − − −2 ( )( )( ), οπότε έχουμε:

Ε = = − − − =12

12

2αυ αα

τ τ α τ β τ γα ( )( )( )

= − − −τ τ α τ β τ γ( )( )( ).

ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.16) και ο εγγεγραμμένος κύ-κλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε:

Ε = (ΑΒΓ) = (ΙΒΓ) + (ΙΓΑ) + (ΙΑΒ) =

= 12

αρ + 12

βρ + 12

γρ = 12

(α +β + γ)ρ = 12

2τρ = τρ.

iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυα (Εφαρμογή 5 §8.2), οπότε

έχουμε ότι υα = βγ2R

και με αντικατάσταση στον τύπο

E = 12

αυα προκύπτει το ζητούμενο.

Τέλος, το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο:

Ε = 12

βγημΑ = 12

γαημΒ = 12

αβημΓ.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αν A < 1⌊, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17α) προ-κύπτει ότι υβ = γ∙ημΑ.

Αν A > 1⌊, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17β) προκύπτει ότι:

υβ = γ ∙ ημΑεξ = γ ∙ ημ(180ο – Α)= γ ∙ ημΑ.

Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υβ = γ ∙ ημΑ οπότε

Ε = 12

βυβ = 12

βγ · ημΑ.

Όταν A = 1⌊, τότε υβ = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει.

Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι.

ρ

ρ

ρΙ

Α

Β ΓΔ

ΖΕ

Σχήµα 16

α

β

βγ

ΑΔ

Β Γ

βγυβ

ΔΑ

Β Γ

υβ1

Σχήµα 17

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΌμοια αποδεικνύεται ότι ο τύ-πος (2) ισχύει για οποιοδήποτε περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύ-γωνο με ημιπερίμετρο τ.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 218 23/7/2013 3:39:24 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 91: Ektos ulis 2016 17

220

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Εµβαδόν και οµοιότητα

10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων

Ας θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με εμβαδά Ε

και Εʹ αντίστοιχα. Τότε είναι E = 12

αυα και Eʹ = 12

αʹυαʹ ,

οπότε ΕΕʹ

= αυα

αʹυαʹ . Από την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι:

• Αν α = α΄, τότε ΕΕʹ

= υα

υαʹ (σχ.19α).

• Αν υα = υα΄, τότε ΕΕʹ

= ααʹ

(σχ.19β).

Δηλαδή: αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων.Στην περίπτωση που τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια, ισχύει το επόμενο θεώρημα.

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1⌊) με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8. Να βρείτε:

i) το εμβαδόν, ii) το ύψος υα , iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύ-

κλου.

Ασκήσεις Αποδεικτικές1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει βγ = αυα να

αποδείξετε ότι A = 1⌊.2. Αν Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με

πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) Ε < τ(τ – α) ⇔ Α < 1⌊, ii) Ε = τ(τ – α) ⇔ Α = 1⌊, iii) Ε > τ(τ – α) ⇔ Α > 1⌊.

3. Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι εγγε-γραμμένα στον ίδιο κύκλο να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)

(ΑʹΒʹΓʹ) = αβγ

αʹβʹγʹ .

4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με A ≠ 1⌊ φέρουμε τα ύψη ΒΖ και ΓΗ. Να αποδείξετε ότι (ΑΖΗ) = (ΑΒΓ)συν 2Α.

5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:1υα

+ 1υβ

+ 1υγ

= 1ρ

.

Σύνθετα Θέµατα1. i) Δίνεται γωνία xÔy και σταθερό σημείο

Κ στο εσωτερικό αυτής. Από το Κ φέρου-με μεταβλητή ευθεία ε που τέμνει τις πλευ-ρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 1

(ΟΚΜ) +

1(ΟΚΝ)

είναι σταθερό.

ii) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα ΑΑʹ, ΒΒʹ και ΓΓʹ που διέρχονται από το Κ. Αν E1,E2,...,E6 είναι αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων ΑΚΓʹ, ΒΚΓʹ, ΒΑʹΚ, ΓΚΑʹ, ΓΚΒʹ και ΑΚΒʹ, να αποδείξετε ότι:

1Ε1

+ 1Ε3

+ 1Ε5

= 1Ε2

+ 1Ε4

+ 1Ε6

.

2. Αν ρα , ρβ , ργ είναι οι ακτίνες των παρεγ-γεγραμμένων κύκλων τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι

(ΑΒΓ) = (τ – α)ρα = (τ – β)ρβ = (τ – γ)ργ .3. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγράψιμο

σε κύκλο. Αν θέσουμε ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = γ και ΔΑ = δ να αποδείξετε ότι ΑΓΒΔ

= αδ + βγαβ + γδ

(2° Θεώρημα Πτολεμαίου).

Σχήµα 19

α

β

α αʹ

υα υαʹ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 220 23/7/2013 3:39:24 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 92: Ektos ulis 2016 17

221

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α

Αν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.20) με A= Aʹ και B= Bʹ.

Τότε ααʹ

= υα

υαʹ = λ (1), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. Αλλά,

όπως και παραπάνω, είναι ΕΕʹ

= ααʹ

∙ υα

υαʹ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΕʹ

= λ 2.Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει γενικότερα και για όμοια πολύγωνα, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα.

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (σχ.21) με λόγο ομοιότητας:

ΑΒΑʹΒʹ

= ΒΓΒʹΓʹ

= ΓΔΓʹΔʹ

= ΔΕΔʹΕʹ

= λ (1).

Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές Α και Αʹ, οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους.Αν Ε1, Ε2, Ε3 και Ε1, Ε2, Ε3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (1), θα έχουμε:

Ε1

Ε1 =

⎝⎜

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎠⎟

ΑΒΑʹΒʹ

2

= λ 2 , Ε2

Ε2 =

⎝⎜

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎠⎟

ΓΔΓʹΔʹ

2

= λ 2 και

Ε3

Ε3 =

⎝⎜

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎠⎟

ΔΕΔʹΕʹ

2

= λ 2 ,οπότε

λ 2 = Ε1

Ε1 = Ε2

Ε2 = Ε3

Ε3 = Ε1 + Ε2 + Ε3

Ε1 + Ε2 + Ε3 = (ΑΒΓΔΕ)

(ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ) ,

δηλαδή το ζητούμενο.Για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ισχύει το επόμενο θεώρημα.

Σχήµα 20

A

B ΓΔ α

υα

Bʹ ΓʹΔʹ αʹ

υαʹ

Σχήµα 21

A

B

Γ Δ

Ε

Ε1 Ε2 Ε3

Ε1 Ε2 Ε3

Εʹ

Γʹ Δʹ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 221 23/7/2013 3:39:25 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 93: Ektos ulis 2016 17

224

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Το πρόβληµα του τετραγωνισµού κυρτού πολυγώνου

10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του

Σε πολλές περιπτώσεις, για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ευθύγραμμου σχήματος επιδιώκουμε τον μετασχηματι-σμό σε ένα ισοδύναμο τετράγωνο. Η κατασκευή ενός τετρα-γώνου ισοδύναμου με ένα πολύγωνο λέγεται τετραγωνισμός αυτού. Η λύση των επόμενων δύο προβλημάτων αποτελεί τη μέθοδο κατασκευής του ισοδύναμου τετραγώνου.

2. Από εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. Αν E1, Ε2, Ε3 είναι τα εμβαδά των τρι-ών τριγώνων που σχηματίζονται να απο-δείξετε ότι

i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών E1, Ε2, Ε3 είναι όμοιο με το ΑΒΓ,

ii) Ε Ε Ε Ε1 2 3+ + = , όπου Ε = (ΑΒΓ).

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους

ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι

i) (ΔΕΖ) = 2αβγ(α+β)(β+γ)(γ+α)

(ΑΒΓ),

ii) (ΔΕΖ) ≤ 14

(ΑΒΓ).

4. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ, Λ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Από τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρί-ζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη.

Να μετασχηματισθεί πολύγωνο σε άλλο ισοδύναμό του με μια πλευρά λιγότερη.

ΛύσηΑς θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, π.χ. ένα πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ (σχ. 25). Από την κορυφή Α φέρουμε τη διαγώνιο ΑΓ, που αφήνει προς το ένα μέρος της μόνο μια κορυφή, τη Β. Από το Β φέ-ρουμε την παράλληλο προς την ΑΓ, η οποία τέμνει την ευθεία ΔΓ στο Ζ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΖΓ έχουν κοινή βάση ΑΓ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού ΒΖ // ΑΓ. Επομένως (ΑΒΓ) = (ΑΖΓ), οπότε (ΑΒΓΔΕ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΔΕ) δηλαδή το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ είναι ισοδύναμο με το τετράπλευρο ΑΖΔΕ και επομένως το αρχικό μας πολύγωνο είναι ισοδύναμο με πολύγωνο που έχει μια πλευρά λιγότερη.Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία στο τετράπλευρο ΑΖΔΕ, θα μετασχη-ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. Έτσι, το αρχικό μας πολύγωνο μπορεί να μετασχη-ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο.

ΠΡΟ

ΒΛΗ

ΜΑ

1

A

B

Γ Δ

Ε

ΖΣχήµα 25

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 224 23/7/2013 3:39:26 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 94: Ektos ulis 2016 17

231

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο (σχ.3). Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές Α, Β, Γ του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρ-χεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R. Επειδή OB = OΓ = R, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και επομέ-νως B1 = Γ1 = σ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν:

ΟΒ = ΟΓ, ΑΒ = ΓΔ (αφού ΑΒΓΔ...T κανονικό) και B2 = B – σ = Γ – σ = Γ2.

Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O, R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ, ... Τ και επομένως το πολύγωνο εί-ναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O, R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O, α) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒΓΔ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περι-γράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O, R) και ο εγγεγραμμένος (O, α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι.

Στοιχεία κανονικού πολυγώνου

Αποδείξαμε παραπάνω ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραμμένο και έναν εγγεγραμμένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο.Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέ-γεται ακτίνα του πολυγώνου, ενώ η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου.Επειδή τα τόξα AB, BΓ, ..., TA (σχ.3) είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες ΑOΒ, ΒOΓ, ..., ΤOΑ είναι ίσες. Καθεμία από τις γω-νίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου.Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με

Σχήµα 3

A B

Γ

Δ

Τ

α

ΟR

1

1

2

2

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 231 23/7/2013 3:39:28 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 95: Ektos ulis 2016 17

232

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

R την ακτίνα του, με λν την πλευρά του, με αν το απόστημά του, με ων την κεντρική του γωνία, με Ρν την περίμετρό του και Εν το εμβαδόν του.Για τα στοιχεία των κανονικών πολυγώνων ισχύει το εξής θεώρημα.

Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής σχέ-σεις: i) α 2ν + λ 2ν

4 = R 2 ii) Ρν = νλν

iii) ων = 360°ν

iv) Εν = 12

Ρναν

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω ΑΒΓΔ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λν η πλευρά του και OH = αν το απόστημά του (σχ.4). i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, με εφαρμογή του

Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH 2+HA 2=OA 2, δηλαδή

α 2ν +

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

λν

2

2

= R 2 .

ii) Επειδή ΑΒ = ΒΓ = ... = ΤΑ = λν, θα είναι Ρν = νλν.

iii) Επειδή AB = BΓ = ... = TA θα είναιΑOΒ = ΒOΓ = ...= ΤOΑ = ων

και αφού οι γωνίες ΑOΒ, ΒOΓ, ... και ΤOΑ έχουν

άθροισμα 360°, έχουμε νων = 360°, δηλαδή ων = 360°ν

.

iv) Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ... , ΟΤΑ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε:

Εν = ν(ΟΑΒ) = ν 12

ΑΒ ∙ ΟΗ = 12

νλναν = 12

Ρναν

αφού Ρν = νλν.

Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισού-ται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των απο-στημάτων τους.

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και ΑʹΒʹΓʹ...Τʹ

Σχήµα 4

A B

Γ

Δ

Τ ΟR

Η

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 232 23/7/2013 3:39:29 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 96: Ektos ulis 2016 17

235

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ

11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους

Από την παρατήρηση της προηγούμενης παραγράφου προ-κύπτει ότι για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν (ν ≥ 3) πλευρές, αρκεί να χωρίσουμε έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δεν είναι δυνατή για κάθε ν. (σχόλιο §11.2). Στη συνέχεια, θα ασχο-ληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πο-λυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε τα στοιχεία τους.

Τετράγωνο

Έστω ένας κύκλος (Ο, R) (σχ.7). Αν φέρουμε δύο κάθε-τες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ, θα είναι ΑOΒ = ΒOΓ = ΓOΔ = ΔOΑ = 90°, οπότε AB = BΓ = ΓΔ = ΔΑ και επομένως το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε

λ42 = ΑΒ 2 = ΟΑ 2 + ΟΒ 2 = R 2 + R 2 = 2R 2

,

από την οποία προκύπτει ότι:

λλ4 2== R ..

Από τη βασική σχέση α 2ν +

λ 2ν

4 = R 2 με ν = 4 προκύπτει ότι

α42 2

2 224 2

= − =R R( ) ,R

δηλαδή αα422

==R ..

6. Αν Eα, Εβ, Εγ είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοι-χα με τις πλευρές α, β, γ ορθογώνιου τρι-γώνου ΑΒΓ (A = 1⌊), να αποδείξετε ότι Εβ + Εγ = Εα .

Σύνθετα Θέµατα1. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρ-

χουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κα-νονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά

εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων.

2. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. Αν d1,d2,...,dv εί-ναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευ-ρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d1 + d2 + ... + dv = ναν , όπου αν το από-στημα του ν-γώνου.

3. Σε κανονικό δεκάγωνο ΑΒΓΔ...Κ η πλευρά ΑΒ προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΓ στο σημείο Μ. Να αποδεί-ξετε ότι ΑΜ = ΑΔ.

A

B

Γ

Δ

Η

Ο

Σχήµα 7

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 235 23/7/2013 3:39:31 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 97: Ektos ulis 2016 17

237

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ

Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφεί κανονικό δεκάγωνο.

ΛύσηΈστω ΑΒ = λ10 (σχ.10) η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο, R). Η κεντρική γωνία

AOB είναι 360°10

= 36° και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του

ισοσκελούς τριγώνου ΟΑΒ είναι A = B = 72°.Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας ΟAΒ τα τρίγωνα ΔΟΑ και ΑΒΔ είναι ισοσκελή, αφού είναι

ΔAΟ = 36° = AOB και ΑΔΒ = A1 + O = 36° + 36° = 72° = B .Επομένως, ΟΔ = ΑΔ = ΑΒ = λ10 και ΒΔ = R – λ10.Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο ΟΑΒ προκύπτει ότι:

ABΑΟ

= ΔΒΔΟ

⇔ λ10

R = R – λ10

λ10 ⇔ λ 2

10 = R (R – λ10)

και επειδή λ10 = ΑΒ > ΔΒ = R – λ10 (αφού ΑΔΒ > ΒAΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ10 είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα R σε μέσο και άκρο λόγο. Για την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξα AB, BΓ, ..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο.

Ε

ΦΑ

ΡΜΟ

ΓΗ 1

η

Ο

A B

Δ1

Σχήµα 10

Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του.

ΛύσηΕγγράφουμε στον κύκλο (σχ.11) το τετράγωνο ΑΒΓΔ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Τότε το ΑΕΒ...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. Αν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ορθογώνιο και η ΑΒ κάθετη στην ΕΗ, έχουμε ΑΕ 2 = ΕΗ ∙ ΕΙ = 2R (R – OI) και τελικά, αφού ΑΕ = λ8 και ΟΙ = α4, έχουμε:

λ α82

422 2 2

22 2= − = −

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ = −R R R R R R( ) ( ) και επομένως λλ8 2 2== −−R ..

Τέλος, από τη σχέση α 28 +

λ 28

4 = R 2 προκύπτει ότι αα8 2

2 2== ++R ..

Ε

ΦΑ

ΡΜΟ

ΓΗ 2

η

A B

ΓΔ

Ε

Ζ

Η

Θ

Ι

Ο

Σχήµα 11

Να αποδειχθεί ότι λλ10 25 1== −−

R ( ) και να υπολογισθεί το α10.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 237 23/7/2013 3:39:35 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 98: Ektos ulis 2016 17

238

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗ∆ΗΈνα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό 2ν-γωνο και να απο-δειχθεί ότι λ 2

2ν = 2R (R – αν).

ΛύσηΑν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευ-ρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε 2ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με 2ν πλευρές.Έστω ΑΒ = λν (σχ.12) και Μ το μέσο του τόξου AB. Τότε ΑΜ = λ2ν και ΟΜ⊥ΑΒ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΗΜ έχουμε

ΑΜ 2 = ΑΗ 2 + ΗΜ 2 ή λ λ α λ α ανν

νν

ν ν22

22

22 2

2 42= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ − = + + −( )R R R

ή λ αν ν22 22 2= −R R (αφού λ αν

ν

22 2

4+ = R ) ή λλ αανν νν2

2 2== −−R R( )..

Ε

ΦΑ

ΡΜΟ

ΓΗ 3

η

A

Μ

B

Ο

Η

Σχήµα 12

ΣΧΟΛΙΟ

Από τη σχέση αλ

νν

22 2

22

4+ = R προκύπτει ότι α

λ α αν

ν ν ν22

222 2 2 24

44 2 2

42 2

4=

−=

− −=

+R R R R R R( )

ή αα αανν νν22

2== ++R R( ).

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμέ-νες (Λ) τις παρακάτω ισότητες, δικαιολο-γώντας τις απαντήσεις σας.

i) λ 26 + λ 2

3 = λ 24 Σ Λ

ii) λ λ λ3 4 6 3 1 2 3+ + = + +R( ) Σ Λ

iii) a a a R3 4 6 2

1 2 3+ + = + +( ) Σ Λ

2. Αν A, B, Γ, Δ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε ΑΒ = R 2, ΒΓ = λ12 και ΓΔ = R, να εξηγήσετε γιατί η ΑΔ είναι διάμετρος του κύκλου.

3. Αν A, B, Γ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε AB = 120° και BΓ = 60°, η περί-μετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

α. (3 + 3)R, β. 4R,

γ. ( 2+ 3)R, δ. (3 + 2)R. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.4. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία Μ είναι: α. 30° β. 45° γ. 50° δ. 60° ε. 75° Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Α Β

Μ

O

Η

R/2

Ασκήσεις Εµπέδωσης1. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμ-

βαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, ενός τε-τραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο, R).

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 238 23/7/2013 3:39:39 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 99: Ektos ulis 2016 17

239

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ

2. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 10cm και απόστημα αν = 5 3 cm. Να βρεθεί η πλευρά του λν και το εμβαδόν του Εν.

3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 8cm και πλευρά λν = 8 2 cm. Να βρεθεί το απόστημά του αν και το εμβαδόν του.

4. Σε κύκλο (Ο, R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα AB = 60°, BΓ = 90° και ΓΔ = 120°.

Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού

πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3 cm 2. Να βρεθεί η ακτίνα του.

2. Σε κύκλο (O, R) και εκατέρωθεν του κέ-ντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, ώστε ΑΒ = R και ΓΔ = R 3 . Να υπολογισθούν οι μη πα-ράλληλες πλευρές ΑΓ και ΒΔ του τραπεζί-ου ΑΒΔΓ, το ύψος του και το εμβαδόν του, ως συνάρτηση του R.

3. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του R η πλευρά λ12 και το απόστημα α12 ενός κα-

νονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύ-κλο (O, R).

4. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου, χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του.

Σύνθετα Θέµατα

1. Δίνεται κύκλος (O, R) και χορδή του ΓΔ = λ6. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρω-θεν του Ο παίρνουμε σημεία Α, Β, ώστε ΟΑ = ΟΒ = α3. Αν Μ το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετε ότι ΜΑ 2 + ΜΒ 2 = λ 2

4.2. Από το σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, R) φέ-

ρουμε τέμνουσα ΑΒΓ, ώστε ΑΒ = ΒΓ. Αν ΟΑ = R 7 να αποδείξετε ότι ΒΓ = λ3 και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ.

3. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ = λ6 και ΒΓ = λ3. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, το τμή-μα ΜΔ.

1. Ερμηνεύοντας σε “γεωμετρική γλώσσα” την αριθμητική ισότητα 16

− 110

= 115

, δώστε έναν τρό-

πο κατασκευής της πλευράς κανονικού 15-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

2. Κάνοντας το ίδιο για την αριθμητική ισότητα 13

− 14

= 112

, να δώσετε ένα δεύτερο τρόπο κατα-

σκευής της πλευράς κανονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 239 23/7/2013 3:39:39 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 100: Ektos ulis 2016 17

242

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Αντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης Α με την τιμή του στη στήλη Β.

Α Β

Μήκος κύκλου ακτίνας R

Μήκος τόξου μο (σε κύκλο ακτίνας R)

Μήκος τόξου αrad (σε κύκλο ακτίνας R)

αR

2πRπRμ360

2αRπRμ180

2. Το μήκος L τόξου, κύκλου ακτίνας R με χορδή λ6 είναι:

α. 6R β. πR γ. 13

πR δ. 2πR ε. 13

R

Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντη-σης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εµπέδωσης

1. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Αν L1, L2, L3, και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδεί-ξετε ότι L1 + L2 + L3 = L.

2. Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 10cm.

3. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντι-στοιχεί στην πλευρά κανονικού 10-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm.

4. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόστα-ση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος, που έχει ακτίνα ρ κάνει 2ν στροφές. Να αποδείξε-τε ότι R = 2ρ.

5. Δίνεται κύκλος (O, R) και τα διαδοχι-κά του σημεία Α, Β, Γ, ώστε να είναι AB = R 2 και ΒΓ = R 3 . Να βρεθούν τα μήκη των τόξων AB, BΓ και ΓΑ, ως συνάρτηση του R.

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Με διάμετρο την ακτίνα ΟΑ ενός κύκλου

(O, R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο Γ και τον κύκλο (Κ) στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα AΓ και AΔ έχουν ίσα μήκη.

2. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύ-κλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντί-στοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσω-τερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = 13cm, β = 14cm και γ = 15cm. Να βρείτε το μήκος

i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τρι-γώνου,

ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τρι-γώνου.

Σύνθετα Θέµατα1. Δίνεται ημικύκλιο (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ.

Με διαμέτρους τις ΑΟ και ΟΒ γράφουμε στο εσωτερικό του πρώτου ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποί-ος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλί-ων, ως συνάρτηση του R.

2. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο AB. Με διάμετρο την ΟΑ γράφουμε στο εσωτερικό του τε-ταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που εφάπτεται στο ημι-κύκλιο, στην πλευρά ΟΒ και στο τόξο AB. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου AB.

3. Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΑΒΓΔΕΖ του παρακάτω σχήματος.

A

ΒΓ

Δ Ε

Κ

Λ

Μ

Ζ

ΙΘ

4

3

6

7

7

8

9

2

2

2

2

5

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 242 23/7/2013 3:39:41 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 101: Ektos ulis 2016 17

246

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

11.8 Τετραγωνισµός κύκλου

Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω R η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του.

Επειδή Ε = 12

L ∙ R, όπου L το μήκος του κύκλου, προκύ-πτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος R. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανά-γεται στην κατασκευή του L, αφού το R είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως L = 2πR, η κατασκευή του ανάγεται

στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για R = 12

εί-ναι L = π). Για να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού 2ν, όπου ν φυσικός. Όμως, ο Γερμανός Μα-θηματικός Lindemann, το 1882, (ιστορικό σημείωμα, σελ. 252) απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. Αποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου.

Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισο-σκελές, το Β∆Γq ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ και το ΓΕΒq τόξο του κύκλου (Α, ΑΒ). Να αποδείξετε ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται.(Απάντηση: (μ) = (ΑΒΓ))

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Α

Γ Δ

μΕ

Β

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 246 23/7/2013 3:39:45 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 102: Ektos ulis 2016 17

262

Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

Ερωτήσεις Κατανόησης1. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδα-

σκαλίας: i) δύο ευθείες παράλληλες και το επίπεδο που αυτές ορίζουν, ii) δύο ευ-θείες τεμνόμενες, το επίπεδο που αυτές ορίζουν και να βρείτε άλλες ευθείες πάνω σε αυτό, iii) δύο ευθείες ασύμβατες και να διαπιστώσετε ότι δεν υπάρχει επίπεδο που να περιέχει και τις δύο και iv) τρεις ευθεί-ες ανά δύο ασύμβατες.

2. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα-λίας δύο επίπεδα: i) τεμνόμενα, ii) παράλ-ληλα.

3. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα-λίας διάφορα επίπεδα και ευθείες: i) που ανήκουν σε αυτά, ii) που είναι παράλληλες προς αυτά ή iii) που τα τέμνουν.

Ασκήσεις Εµπέδωσης1. Να κατασκευάσετε ευθεία που διέρχε-

ται από σταθερό σημείο Ο και τέμνει δύο σταθερές ασύμβατες ευθείες.

2. Δίνονται τρεις ευθείες ασύμβατες ανά δύο. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τρεις.

3. Να κατασκευάσετε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α και τέμνει ευθεία εʹ και κύ-κλο (Κ) του χώρου.

4. Δίνονται οι τεμνόμενες ευθείες ΧΟΧʹ και ΨΟΨʹ και ευθεία ε ασύμβατη σε αυτές. Αν Μ τυχαίο σημείο της ε, να βρείτε την τομή των επιπέδων (Μ, Χ, Χʹ) και (Μ, Ψ, Ψʹ).

Αποδεικτικές Ασκήσεις1. Να αποδείξετε ότι επίπεδο και κύκλος,

που δεν ανήκει σε αυτό, έχουν δύο το πολύ κοινά σημεία.

2. Να αποδείξετε ότι τρεις ευθείες: i) αν τέ-μνονται ανά δύο χωρίς να διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε είναι συνεπίπεδες, ii) αν τέμνονται ανά δύο χωρίς να είναι συ-νεπίπεδες, τότε διέρχονται από το ίδιο ση-μείο.

3. Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2, δύο σημεία Α και Β στην ε1 και δύο ση-μεία Γ και Δ στην ε2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ είναι ασύμβατες.

4. Δίνονται τέσσερις ευθείες ε1, ε2, ε3 και ε4, από τις οποίες οι ε1 και ε2 είναι παράλλη-λες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέ-μνει και τις τέσσερις.

5. Να αποδείξετε ότι αν τρία επίπεδα τέμνο-νται ανά δύο, τότε οι τομές τους διέρχο-νται από το ίδιο σημείο ή είναι παράλλη-λες.

ΑΣΚ

ΗΣΕ

ΙΣ Γ

ΙΑ Λ

ΥΣΗ

Δύο επίπεδα μπορεί να έχουν:1. τρία κοινά σημεία, οπότε ταυτίζονται,2. δύο μόνο κοινά σημεία, οπότε τέμνονται κατά την ευθεία που ορίζουν τα δύο αυτά

σημεία,3. κανένα κοινό σημείο, οπότε είναι παράλληλα.Εάν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε τέμνονται σε μια ευθεία που περνάει από αυτό.Δύο ευθείες του χώρου μπορεί να:1. Ταυτίζονται αν έχουν δύο κοινά σημεία.2. Τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν.3. Είναι παράλληλες. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν.4. Είναι ασύμβατες. Δεν έχουν κοινό σημείο και δεν είναι παράλληλες. Τότε δεν υπάρχει

επίπεδο που να τις περιέχει.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 262 23/7/2013 3:39:49 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 103: Ektos ulis 2016 17

285

Πυραμίδα, είσοδος στο μουσείο του Λούβρου, Παρίσι (1989). Αρχιτέκτων ο Γιέο Μιγκ Πέι.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑΣτο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε δύο οικογένειες στερεών σχημάτων, τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής. Τα πολύεδρα αποτελούνται από τμήματα επιπέδων, κατάλληλα τοπο-θετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σύνολο. Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, εδώ όμως θα μελετήσουμε τα απλούστερα από αυτά, όπως είναι τα πρίσματα και οι πυραμί-δες. Τα στερεά εκ περιστροφής με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Τα στερεά αυτά λέγονται έτσι γιατί σχηματίζονται κατά την περιστροφή επίπεδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο τρίγωνο και ο κύκλος.Τα πολύεδρα αποτελούν μία κατηγορία σχημάτων του χώρου, τα οποία παρουσιάζουν θεω-ρητικό ενδιαφέρον, είναι όμως χρήσιμα και από πλευράς εφαρμογής σε διάφορους τομείς της τεχνολογίας και της τέχνης. Στις διάφορες εφαρμογές χρησιμοποιούνται για να προσομοιά-ζουν σχήματα του φυσικού χώρου που συναντάμε γύρω μας και είναι σημαντικές όχι μόνο οι μετρικές αλλά και οι καθαρά γεωμετρικές ιδιότητές τους.

22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 285 23/7/2013 3:39:55 μμ

Ektojsyns €

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 104: Ektos ulis 2016 17

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 105: Ektos ulis 2016 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΣελίδαΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 111.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 161.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 211.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 291.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο

2.1 Εξίσωση Ευθείας 572.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 652.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές

3.1 Ο Κύκλος 813.2 Η Παραβολή 893.3 Η Έλλειψη 1003.4 Η Υπερβολή 1133.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών

4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 1354.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 1404.3 Διαιρετότητα 1454.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 1504.5 Πρώτοι Αριθμοί 1614.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1704.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185

22-0168-02.indb 7 12/12/2013 2:28:08 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 106: Ektos ulis 2016 17

25

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος

Αςπάρουμεέναδιάνυσμα AB! "!!

καιένασημείοαναφοράςΟ.Επειδή AM MB

! "!!! ! "!!= ,έχουμε

OM OA OB OM! "!!! ! "!! ! "!! ! "!!!

− = − ,

οπότε

2OM OA OB! "!!! ! "!! ! "!!

= +

καιάρα

OM OA OB! "!!! ! "!! ! "!!= +

2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1* Να αποδειχτεί ότι:

(i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA+GΒ+GΓ = 0

!!!" !!!" !!!" " και

(ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή-

ποτε σημείο Ο ισχύει ( ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i)ΓνωρίζουμεαπότηνΕυκλείδειαΓεωμετρίαότιανGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ,τότε Α ∆G G= 2 ,όπουΑΔηδιάμεσοςτουτριγώνου.Επομέ-νως,ισχύει AG G

! "!! ! "!!= 2 ∆ ,οπότεέχουμε

GA GB G GA G GA AG GG! "!! ! "!! ! "!!! ! "!! ! "!! ! "!! ! "!! ! "!!

+ + = + = + = =Γ ∆2""0.

Αντιστρόφως, αν για ένα σημείοG ισχύει GA GB G! "!! ! "!! ! "!!! "

+ + =Γ 0 , τότε θα έχουμεGA G! "!! ! "!! "

+ =2 0∆ ,όπουΔτομέσοντηςΒΓ,οπότεθαισχύει AG G! "!! ! "!!

= 2 ∆ .Έτσι,τοση-μείοGανήκειστηδιάμεσοΑΔκαιισχύειΑ ∆G G= 2 .Άρα,τοGείναιτοκέντροβάρουςτουτριγώνουΑΒΓ.(ii)ΑπότησχέσηGA GB G

! "!! ! "!! ! "!!! "+ + =Γ 0έχουμε:OA OG OB OG O OG

! "!! ! "!! ! "!! ! "!! ! "!!! ! "!! "− + − + − =Γ 0.Άρα

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 107: Ektos ulis 2016 17

26

2. Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω GG G Gα β γ δ, , , ταδιανύσματαθέσεωςτων

κορυφώνΑ,Β,Γ,Δ,αντιστοίχως,ενόςτετρά-πλευρουΑΒΓΔωςπρος ένασημείοαναφο-ράςΟ.

ΤαδιανύσματαθέσεωςτωνμέσωνΗτηςΒΓ

και Θ της ΑΔ είναι 12

( )G Gβ γ+ και 1

2( )G Gα δ+

αντιστοίχωςκαιτοδιάνυσμαθέσεωςτουμέ-σουGτουΗΘείναιτο

12

12

12

14

( ) ( ) ( )G G G G G G G Gβ γ α δ α β γ δ+ + +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= + + + .

Ομοίωςβρίσκουμεότιτοδιάνυσμαθέσεως

τωνμέσωντωντμημάτωνΕΖκαιΙΚ είναιτο 14

( )G G G Gα β γ δ+ + + .Άρατατμήματα

ΗΘ,ΕΖκαιΙΚδιέρχονταιαπότοίδιοσημείοκαιδιχοτομούνταιαπόαυτό.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1.Αν Gα είναιέναδιάνυσμα,τιμπορείτεναπείτεγιατομέτροκαιτηνκατεύ-

θυνσητουδιανύσματος G GGα

αα0

1= ⋅| |

;

2.Ναβρείτετοδιάνυσμα Gx σεκαθεμιάαπότιςπεριπτώσεις:

(i) 12

13

( ) ( )G G G Gx x+ = +α β

(ii) G G G G G Gx x+ + = − −3 4 3( ) ( )α β α β .

3.Ανστοδιπλανόσχήμαείναι ( ) ( )ΒΜ ΜΓ= 2 ,

νααποδείξετεότι GG Gx = +1

32( )β γ .

22-0168-02.indb 26 12/12/2013 2:28:11 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 108: Ektos ulis 2016 17

31

Συντεταγμένες Διανύσματος

ΈστωΟxyένασύστημασυντεταγμένωνστοεπίπεδοκαι Gα έναδιάνυσματουεπιπέδου.ΜεαρχήτοΟσχεδιάζουμετοδιάνυσμαOA

! "!! "= α .ΑνA1καιA2είναιοιπροβολέςτουΑστουςάξονεςx′xκαιy′yαντιστοίχως,έχουμε:

OA OA OA! "!! ! "!! ! "!!!

= +1 2 (1)

Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότεισχύειOA x1

! "!! "= ι καιOA yj2

! "!!! "= .Επομένωςηισό-

τητα(1)γράφεται

G G G

αα = +xi yj

Αποδείξαμεδηλαδήότιτο Gα είναι γραμμικός συνδυασμόςτων

Gi και

Gj .

Στηνπαραπάνωκατασκευήοιαριθμοίxκαιyείναιμοναδικοί.Θααποδείξουμετώραότικαιηέκφρασητου Gα ωςγραμμικούσυνδυασμούτων

Gi και

Gj είναιμο-

ναδική.Πράγματι,έστωότιισχύεικαιG G G

α = ′ + ′x i y j .Τότεθαέχουμε

xi yj x i y jG G G G

+ = ′ + ′

( ) ( )x x i y y j− ′ = ′ −G G

Ανυποθέσουμεότι x x≠ ′,δηλαδήότι x x− ′ ≠ 0,τότεθαισχύειG Gi y y

x xj=

′ −− ′

Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότιG Gi j/ / , που είναι άτοπο, αφού τα

Gi και

Gj

δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x x= ′, που συνεπάγεται ότι και y y= ′.Ώστε:

“Κάθε διάνυσμα Gαα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή G G G

αα == ++xi yj”.

Ταδιανύσματα xiGκαι yj

Gλέγονταισυνιστώσεςτουδιανύσματος Gα κατάτη

διεύθυνσητωνGi και

Gj αντιστοίχως,ενώοιαριθμοίx, yλέγονταισυντεταγμένες

του Gα στοσύστημαΟxy.Πιοσυγκεκριμένα,οxλέγεταιτετμημένητου Gα καιο

22-0168-02.indb 31 12/12/2013 2:28:12 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 109: Ektos ulis 2016 17

35

Επομένως:

ΗαπόστασητωνσημείωνΑ( , )x y1 1 καιΒ ( , )x y2 2 είναιίσημε

( ) ( ) ( )ΑΒ = − + −x x y y2 12

2 12

Γιαπαράδειγμα,ηαπόστασητωνσημείων Α( , )2 7− και Β ( , )5 3− είναι ίσημε

( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − + = + =5 2 3 7 3 4 52 2 2 2 .

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν ΑΑ( , )−−2 1 και ΒΒ ( , )1 4 είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ και ΚΚ ( , )2 3−− το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.

ΛΥΣΗ

Αν Γ ( , )x y1 1 και 2 2x y( , )∆ είναιοιδύοάλλεςκο-ρυφέςτουπαραλληλόγραμμου,επειδήτοΚείναιτομέσοντωνΑΓκαι ΒΔ,έχουμε:

x

y

1

1

22

2

12

3

+ −=

+= −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

( )

και

x

y

2

2

12

2

42

3

+=

+= −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

Επομένως,

xy

1

1

67

== −

⎧⎨⎩

καιxy

2

2

310

== −

⎧⎨⎩

.

Άρα,οισυντεταγμένεςτωνκορυφώνΓκαιΔείναι ( , )6 7− και ( , )3 10− αντιστοίχως.

2.* Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του.

ΛΥΣΗ

Αν ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 , ( , )x y3 3 είναιοισυντεταγμέ-νεςτωνκορυφώνΑ, Β,Γαντιστοίχωςκαι ( , )x y είναιοισυντεταγμένεςτουκέντρουβάρουςτου

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 110: Ektos ulis 2016 17

36

ΑΒΓ,επειδήOG OA OB O! "!! ! "!! ! "!! ! "!!!= + + Γ

3(Εφαρμ.1§1.3),θαέχουμε:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x y=

+ +1 1 2 2 3 3

3

=+ + + +

=+ + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

( , ) ,x x x y y y x x x y y y1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 3

Άραx

x x xy

y y y=

+ +=

+ +1 2 3 1 2 3

3 3, .

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων

ΈστωGα = ( , )x y1 1 και

Gβ = ( , )x y2 2 δύοδιανύσματατουκαρτεσιανούεπιπέδου.

—ΑνταδιανύσματαείναιπαράλληλακαιυποθέσουμεότιG Gβ ≠ 0 ,τότεθαυπάρ-

χει λ ∈R,τέτοιος,ώστε GG

α λβ= .Επομένως,θαέχουμε ( , ) ( , )x y x y1 1 2 2= λ ήισο-δύναμα:

x x1 2= λ και y y1 2= λ ,

οπότεθαισχύει x y y x x y y x1 2 1 2 2 2 2 2 0− = − =λ λ ήισοδύναμαx yx y

1 1

2 2

0= .

—ΑνG Gβ = 0,τότεθαισχύει

x yx y

x y1 1

2 2

1 1

0 00= = .

Δείξαμεδηλαδήότιανταδιανύσματα Gα καιGβ είναιπαράλληλα,τότε

x yx y

1 1

2 2

0= .

Αντιστρόφως,ανx yx y

1 1

2 2

0= ,τότεταδιανύσματα Gα καιGβ θαείναιπαράλληλα.

Πράγματι,επειδήx yx y

1 1

2 2

0= ,έχουμε x y x y1 2 2 1= .

Επομένως,

—Αν 2 0x ≠ ,τότε y xx

y11

22= ,οπότε,ανθέσουμε

xx

1

2

= λ,θαέχουμε

x x1 2= λ και y y1 2= λ .

Άρα, GG

α λβ= καισυνεπώς GG

α β/ / .

22-0168-02.indb 36 12/12/2013 2:28:13 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 111: Ektos ulis 2016 17

42

Ειδικότερα,γιαταμοναδιαίαδιανύσματαGi και

Gj τουκαρτεσιανούεπίπεδου

ισχύουν: G G G Gi j = j i =⋅ ⋅ 0 και

G Gi = j =2 2 1

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου

Θαδούμετώραπώςμπορούμεναεκφράσουμετοεσωτερικόγινόμενοδύοδιανυσμάτων Gα = ( , )x y1 1 και

Gβ = ( , )x y2 2 συναρτήσει τωνσυντεταγμένων

τους.Με αρχή τοΟ παίρνουμε τα διανύσματαOA! "!! "= α καιOB

! "!! "= β .Απότονόμοτωνσυνημιτό-

νωνστοτρίγωνοΟΑΒέχουμετηνισότητα

2 2 2 ˆ( ) ( ) ( ) 2( )( )ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ= + − συν ,

ηοποίαισχύεικαιστηνπερίπτωσηπουτασημείαΟ,Α,Βείναισυνευθειακά.Όμωςείναι

( ) ( ) ( )ΑΒ 22 1

22 1

2= − + −x x y y , ( )ΟΑ 212

12= +x y και ( )ΟΒ 2

22

22= +x y .

Επομένως,έχουμεδιαδοχικά:2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2ˆ( ) ( ) 2( )( )συνx x y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ− + − = + + + −

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

ˆ2 2 2( )( )συνx x x x y y y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ+ − + + − = + + + −

καιεπειδή ˆ( )( )ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ α βσυν = ⋅!! ,έχουμετελικά:

! !α β⋅ = +x x y y1 2 1 2

Δηλαδή:

“Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γι-νομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”.

Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των Gα = −( , )3 4 καιGβ = −( , )2 1 είναι:

G Gα β⋅ = − ⋅ + − = −( ) ( )3 2 4 1 10.

Μετηβοήθειατηςαναλυτικήςέκφρασηςτουεσωτερικούγινομένουθααποδεί-ξουμεότιισχύουνοιεπόμενεςιδιότητες:

22-0168-02.indb 42 12/12/2013 2:28:15 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 112: Ektos ulis 2016 17

45

3. Να αποδειχτεί ότι σσυυνν σσυυνν σσυυνν ηηµµ ηηµµ( )αα ββ αα ββ αα ββ− = + , όπου 0 ≤ < ≤ββ αα ππ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑνστοντριγωνομετρικόκύκλοταδιανύσματαOA! "!!

καιOB! "!!

σχηματίζουνμετονάξοναx′xγωνίεςακαι

βαντιστοίχως,τότεθαείναιOA! "!!

= ( , )συν ηµα α και

OB! "!!

= ( , )συν ηµβ β .

Επομένως,θαέχουμε:

OA OB OA OB! "!! ! "!! ! "!! ! "!!

⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =| | | | ( ) ( ) (συν συν συνα β α β1 1 αα β− )καιOA OB! "!! ! "!!

⋅ = = ⋅ + ⋅( , )( , )συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµα α β β α β α β .Άρα,

συν συν συν ηµ ηµ( )α β α β α β− = ⋅ + ⋅

Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Έστω G Gα , v δύοδιανύσματατουεπιπέδουμε G

Gα ≠ 0.ΜεαρχήένασημείοΟπαίρ-

νουμεταδιανύσματαOA! "!! "= α καιOM

! "!!! "=ν .ΑπότοΜφέρνουμεκάθετοστηδιεύ-

θυνσητουOA! "!!

καιέστωΜ1τοίχνοςτηςκαθέτου.

ΤοδιάνυσμαOM1

! "!!!!λέγεται προβολή του Gνν στο Gαα

καισυμβολίζεταιμε ππρροοββ ννααGG.Δηλαδή,

OM1

! "!!!! ""= προβ να .

Αποδεικνύεταιότιηπροβολήτου Gν πάνωστο Gα είναιανεξάρτητηαπότηνεπι-λογήτουσημείουΟ.Γιατοεσωτερικόγινόμενοτων Gα και Gν έχουμε:

! ! ! " !"""" " !"""" ! " !"""" ! " !"""" !α α α α⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =v OM M M OM M M( )1 1 1 1 αα α ν⋅ = ⋅OM1

" !"""" ! !!προβα

Επομένως:G G G G

Gα ν α ν⋅ = ⋅ προβα

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 113: Ektos ulis 2016 17

47

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν Gα = −( , )1 3 καιGβ = ( , )2 5 ,τότε

(i)Ναβρείτεταεσωτερικάγινόμενα GG

α β⋅ , ( ) ( )2 3G Gα β⋅ − και ( ) ( )G G G G

α β α β− ⋅ +3 (ii)Ναβρείτετησχέσηπουσυνδέειτους κ λ, ∈R,ώστετοεσωτερικόγι-

νόμενοτωνδιανυσμάτων Gu = ( , )κ λ καιGβ ναείναιίσομεμηδέν.Ποια

ησχέσηόλωντωνδιανυσμάτων Gu στηνπερίπτωσηαυτή;

2. Αν G Gu v= =( , ), ( , )1 2 4 2 και Gw = ( , )6 0 ,ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις:G G Gu v w⋅ +( )7 , | | ( )G G Gu v w⋅ , | ( ) |G G Gu v w⋅ και (| | )G G Gu v w⋅ .

3. Αν Gα = ( , )1 0 καιGβ = ( , )1 1 ,ναβρείτετον λ ∈R ,ώστε:

(i)Ταδιανύσματα Gα και GG

α λβ+ ναείναικάθετα (ii)Ταδιανύσματα

Gβ και G

Gα λβ+ ναείναικάθετα.

4. Ναβρείτεταδιανύσματαπουείναικάθεταστο Gu = −( , )3 2 καιέχουνμέτροίσομε1.

5. Αν | |Gα = 2, | |Gβ = 3 και ( , )G Gα β π∧

=3,ναυπολογίσετετονκ ∈R,ώστεταδια-

νύσματα G G Gu = −3α β καιG G G

v = +κα β2 ναείναικάθετα.

6.Αν Gα κ= ( , )1 καιGβ = ( , )4 3 ,ναβρείτετονκ ∈R ώστεναισχύει:

(i) GG

α β⋅ = 0 (ii) ( , )G Gα β π∧=

4 (iii) G

Gα β/ / .

7. Αν | | | |G Gα β= = 1 και ( , )G Gα β π∧

= 23,ναυπολογίσετετηγωνίατωνδιανυσμάτων

G G Gu = +2 4α β και G G G

v = −α β.

8. Ανταδιανύσματα Gα.καιGβ είναιμημηδενικά,νααποδείξετεότι:

G G G G G GGα α β α β αβ

⊥ − ⇔ ( , ) = | || |

( ) συν .

9. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα G G G G Gu = +| | | |α β β α και G G G G Gv = −| | | |α β β α είναικάθετα.

22-0168-02.indb 47 12/12/2013 2:28:17 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 114: Ektos ulis 2016 17

48

10. Νααποδείξετεότιγιαδύομημηδενικάδιανύσματα Gα καιGβ ,τοδιάνυσμα

G G G G G Gv = − ⋅β α α β β2 ( ) είναικάθετοστο

Gβ .

11.ΔίνονταιτασημείαΑ Β Γ( , ), ( , ), ( , )3 2 6 4 1 5− − καιΔ(‒1,2).Ναυπολογίσετε

(i)ΤοεσωτερικόγινόμενοΑΒ Γ∆! "!! ! "!!

(ii)ΤισυμπεραίνετεγιαταδιανύσματαΑΒ! "!!

καιΓ∆! "!!

;

12. Δίνονταιταδιανύσματα Gα = −( , )2 4 καιGβ = −( , )8 5 .Νααναλύσετετο

Gβ σεδύο

κάθετεςσυνιστώσες,απότιςοποίεςημίαναείναιπαράλληληπροςτο Gα .

13. Ναυπολογίσετεταμήκητωνδιαγωνίωνενόςπαραλληλογράμμουπουκα-τασκευάζεταιμεταδιανύσματα5 2G G

α β+ και GG

α β−3 ,αν | |Gα = 2 2 , | |Gβ = 3

και ( , )! ! "α β∧

= 45 .

14. Για τα διανύσματα του διπλανούσχήματοςναυπολογίσετε τηνπα-ράστασηΑΒ ΑΓ ΑΒ Γ∆

! "!! ! "!!! ! "!! ! "!!⋅ + ⋅ .

15. Ναεξετάσετεπότεισχύει:

(i) | | | | | |G G G Gα β α β+ = +

(ii) | | | | | |G G G Gα β α β− = +

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Ταδιανύσματα Gα καιGβ είναιμημηδενικάκαιμησυγγραμμικά.Νααπο-

δείξετεότιγιαόλουςτουςπραγματικούςαριθμούςλκαιμισχύει:

λ α λµ α β µ β2 2 2 22 0G G G G+ ⋅ + ≥( ) .

Πότεισχύειτο''='';

2.Νααποδείξετεότι:

(i) | | | | | | | |G G G G G Gu v u v u v+ + − = +2 2 2 22 2 (ii)G G G G G Gu v u v u v⋅ = + − −1

414

2 2| | | | .

3. Δίνονται ταμημηδενικά και μησυγγραμμικά διανύσματα Gα καιGβ .Να

αποδείξετεότι:

Ε

22-0168-02.indb 48 12/12/2013 2:28:18 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 115: Ektos ulis 2016 17

50

9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξω-τερικώς αυτού κατασκευάζουμετα τετράγωνα ΑΒΕΖ καιΑΓΗΘ.Να εκφράσετε τα διανύσματαBΘ! "!!

και ZΓ! "!!

ως συνάρτηση τωνG G G Gβ β γ γ1 2 1 2, , , και να υπολογίσετετοεσωτερικόγινόμενο B ZΘ Γ

! "!! ! "!!⋅ .

ΤισυμπεραίνετεγιατατμήματαΒΘκαι ΓΖ;

10. ΣτοδιπλανόσχήματοΑΒΓΔείναιπαραλληλό-γραμμοκαιτα ′ ′B , ∆ οιπροβολέςτου Γ στιςΑΒκαιΑΔαντιστοίχως.Νααποδείξετεότι

AB AB A A A! "!! ! "!!! ! "!! ! "!!! ! "!!

⋅ ′ + ⋅ ′ =∆ ∆ Γ2

11.Δίνεταικύκλος ( , )O R καισημείοΜτουεπιπέδουτου.Ανμεταβλητήευ-θείαπουδιέρχεταιαπότοΜτέμνειτονκύκλοσταΑκαιΒ,νααποδείξετεότιτογινόμενοMA MB

! "!! ! "!!⋅ είναισταθερό.(Τογινόμενοαυτόλέγεταιδύναμη

του σημείου Μ ως προς τον κύκλο Ο).

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Ανυπάρχουνπραγματικοίαριθμοίκ, λ, μμε | | | | | |κ λ µ+ + ≠ 0,τέτοιοι,ώστε

κ λ µ+ + = 0 και, κ λ µOA OB O! "!! ! "!! ! "!!! "

+ + =Γ 0

νααποδείξετεότιτασημείαΑ, ΒκαιΓείναισυνευθειακάκαιαντιστρόφως.

2.ΑνγιατοσημείοΜτουεπιπέδουενόςτριγώνουΑΒΓισχύουνοισχέσεις

AM AB A! "!!! ! "!! ! "!!

= +λ µ Γ και BM A BA! "!!! ! "!! ! "!!

= +λ µΓ ,νααποδείξετεότιτοΜείναιτομέσοντηςπλευράς ΒΓ.

3. ΈστωΟκαιΑδύοσταθεράσημείατουεπιπέδουμε | |OA! "!!

= 3.Ποιαγραμμή

γράφουντασημείαΜτουεπιπέδουγιαταοποίαείναιOM OM OA! "!!! ! "!!! ! "!!

⋅ − =( )2 7;

ΒΕ

Μ

Ο

ΘΗ

Γ

ΚΖ

ΛΑ

ΔΒ

Ε

Μ

Ο

ΘΗ

Γ

ΚΖ

ΛΑ

Δ

22-0168-02.indb 50 12/12/2013 2:28:19 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 116: Ektos ulis 2016 17

68

Επειδήδενυπάρχειτιμήτουλγιατηνοποίαναμηδενίζονταικαιοσυντελεστήςτουxκαιοσυντελεστήςτουy,ηεξίσωση(2)παριστάνειευθείαγιακάθετιμήτουλ ∈R.Γιαναδείξουμεότιόλεςοιευθείεςτηςοικογένειας(1)διέρχονταιαπότοίδιοσημείο,αρκείναβρούμεένασημείοK(x0,y0)τουοποίουοισυντεταγμένεςναεπαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του λ.Το ζητούμενο σημείο θα είναιεκείνοτουοποίουοισυντεταγμένεςμηδενίζουντιςπαραστάσεις x y− +2 5 και3 2 7x y+ + ,δηλαδήηλύσητουσυστήματος

x y− + =2 5 0 και 3 2 7 0x y+ + = .

Απότηνεπίλυσητουσυστήματοςβρίσκουμεότι x0 3= − και y0 1= .Επομένως,όλεςοιευθείεςτηςοικογένειας(1)διέρχονταιαπότοσημείο K ( , )−3 1 .

(ii)Έστωεευθείατηςοικογένειας(1)πουείναικάθετηστηνευθεία ζ.Τότεθαισχύει

λ λ λ λε ζ ε ε⋅ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ = −1 2 1 1

2 (3)

όμως,λόγωτης(2),οσυντελεστήςδιεύθυνσηςτηςευθείαςεείναιίσοςμε

λ λλε = +

−1 32 2

.

Επομένως,απότην(3)έχουμε

1 32 2

12

2 6 2 2 1+−

= − ⇔ + = − + ⇔ = −λλ

λ λ λ ,

οπότεηευθείαεθαέχειεξίσωση − − − =2 4 2 0x y πουγράφεται

x y+ + =2 1 0 .

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(2,3), Β(4,1) και Γ(5λ‒1,λ), όπου ∈Rλ με λ ≠1. Να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου κινεί-

ται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R.

ΛΥΣΗ

Αν G x y( , ) το κέντροβάρους του τριγώνου, τότε x = + + − = +2 4 5 13

5 53

λ λ και

y = + + = +3 13

43

λ λ .Έχουμελοιπόντοσύστημαx

y

xy

= +

= +

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔= += +

⎧⎨⎩

5 53

43

3 5 53 4

λ

λλ

λ .

Απαλείφουμετολαπότιςεξισώσειςκαιβρίσκουμε3 15 15 0x y− + = ήισοδύναμαx y− + =5 5 0 .Άρα, τοκέντροβάρους τουτριγώνουΑΒΓ κινείταιστηνευθείαx y− + =5 5 0 .

22-0168-02.indb 68 12/12/2013 2:28:26 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 117: Ektos ulis 2016 17

70

6.Ναβρείτετηντιμήτου κ ∈R ,ώστεηευθεία 3 3 0x y+ + =κ ναδιέρχεταιαπότοσημείοτομήςτωνευθειών 3 4 6 0x y+ + = και 6 5 9 0x y+ − = .

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1.Νασχεδιάσετετιςγραμμέςτιςοποίεςπαριστάνουνοιεξισώσεις: (i) x y y2 2 4 4 0− + − = (ii) x y x y2 2 4 2 3 0− − + + = .

2.Νααποδείξετεότιόλεςοιευθείεςτηςμορφής

( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 02 2α α α α α+ + + − + + + =x y ,α ∈Rδιέρχονταιαπότοίδιοσημείο.

3.Νααποδείξετεότιοιευθείες x y+ =4 5, 3 2 1x y− = και 7 8 1 0x y− + = διέρ-χονταιαπότοίδιοσημείο.

4.Ναβρείτετηνοξείαγωνίατηνοποίασχηματίζουνοιευθείες y x= µ και( ) ( )1 1+ = −µ µx y .

5. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείαςηοποίαδιέρχεταιαπότηναρχήτωναξόνωνκαιαπότοσημείοτομήςτωνευθειών x y

α β+ =1 και x y

β α+ =1 ,με

α β, ≠ 0 καια β≠ ± .

6.Δίνεταιηευθεία3 3x y+ = καιτοσημείοΑ( , )1 2 .Ναβρείτετιςσυντεταγμέ-νεςτηςπροβολήςτουΑστηνευθείααυτή.

7.Δίνεταιηευθεία εα β

: x y+ = 1 .Ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείαςηοποία

είναικάθετηστηνεστοσημείοπουαυτήτέμνειτονάξοναx′x.

2.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Έστωεμιαευθείατουκαρτεσιανούεπιπέδου,μεεξίσωση Ax By+ + =Γ 0 καιM x y0 0 0( , ) ένασημείοεκτόςαυτής.Θέλουμεναυπολογίσουμετηναπόσταση

22-0168-02.indb 70 12/12/2013 2:28:27 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 118: Ektos ulis 2016 17

72

Υπολογισμός Εμβαδού

ΈστωA x y( , )1 1 , B x y( , )2 2 καιΓ ( , )x y3 3 τρίαση-μεία του καρτεσιανού επιπέδου. Θέλουμε ναυπολογίσουμετοεμβαδόντουτριγώνουΑΒΓ.ΑνΓΔείναιτούψοςτουΑΒΓαπότηνκορυφήΓ,τότεθαισχύει

( ) ( ) ( )AB ABΓ Γ∆= ⋅1

2. (1)

Το(ΑΒ)είναιηαπόστασητωνσημείωνA x y( , )1 1 και B x y( , )2 2 .Επομένως,

( ) ( ) ( )AB x x y y= − + −2 12

2 12 . (2)

Το(ΓΔ)είναιηαπόστασητουσημείουΓ απότηνευθείαΑΒ.Γιανατηνυπολογί-σουμε,θαβρούμεπρώτατηνεξίσωσητηςΑΒ.ΗΑΒ,ανδενείναιπαράλληληπροςτονάξοναy′y,θαέχεισυντελεστήδιεύθυν-

σης λ =−−

y yx x

2 1

2 1

,οπότεθαέχειεξίσωση

AB: y y y yx x

x x− =−−

−12 1

2 11( ) ,

ηοποίαγράφεταιισοδύναμα

ΑΒ: ( )( ) ( )( )x x y y y y x x2 1 1 2 1 1 0− − − − − = . (3)

Αν,όμως,ηΑΒείναιπαράλληληπροςτονάξοναy′y,τότεθαέχειεξίσωση x x= 1 ,ηοποίαπαίρνεικαιαυτήτημορφή(3).Ηεξίσωση(3),μετάτηνεκτέλεσητωνπράξεων,γράφεται

ΑΒ: ( ) ( ) ( )y y x x x y x y x y1 2 2 1 1 2 2 1 0− + − + − = . (4)

Επομένως,ηαπόσταση(ΓΔ)τουΓαπότηνευθείαΑΒείναιίσημε

( ) | ( ) ( ) ( ) |( ) ( )

( )Γ∆ =

− + − + −

− + −

41 2 3 2 1 3 1 2 2 1

1 22

2 12

y y x x x y x y x yy y x x

=− − − − −

− + −

( ) | ( )( ) ( )( ) |( ) ( )

32 1 3 1 2 1 3 1

2 12

2 12

x x y y y y x xx x y y

.

22-0168-02.indb 72 12/12/2013 2:28:28 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 119: Ektos ulis 2016 17

73

Άρα,

( )| |

( ) ( )Γ∆ =

− −− −

− + −

x x y yx x y y

x x y y

2 1 2 1

3 1 3 1

2 12

3 12. (5)

Έτσι,ηισότητα(1),λόγωτου(2)και(5),γράφεται

( ) | |ABx x y yx x y y

Γ =− −− −

12

2 1 2 1

3 1 3 1

. (6)

Όμως,η1ηγραμμήτηςορίζουσαςείναιοισυντεταγμένεςτουδιανύσματος AB! "!!

καιη2ηγραμμήοισυντεταγμένεςτουδιανύσματος AΓ

! "!!.Επομένως,ηορίζουσα

αυτήείναιίσημετηνορίζουσαdet( , )AB A! "!! ! "!!

Γ τωνδιανυσμάτωνAB! "!!

καιAΓ! "!!

.Έτσι,ησχέση(6)γράφεται

( ) | det( , ) |AB AB AΓ Γ= 12

! "!! ! "!!

Γιαπαράδειγμα,αν A B( , ), ( , )0 1 1 0− και Γ ( , )3 8− είναιοικορυφέςενόςτρι-γώνουΑΒΓ,τότε AB

! "!!= − −( , )1 1 και AΓ

! "!!= −( , )3 9 ,οπότετοεμβαδόντουΑΒΓ

είναι

( ) | det( , ) | | |AB AB AΓ Γ= =− −

−= ⋅ =1

212

1 13 9

12

12 6! "!! ! "!!

.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε λ β1 1: y x== ++ και ε λ β2 2: y x== ++ δίνεται από τον τύπο

.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ηαπόστασητωνε1καιε2είναιίσημετηναπόστασηοποιουδήποτεσημείουτηςευθείαςε1απότηνευθείαε2.Για x = 0 ,απότηνπρώτηεξίσωσηβρίσκουμεότι y = β1 .Άρα,τοσημείοΑ( , )0 1β

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 120: Ektos ulis 2016 17

76

4. ΝαβρείτετιςεξισώσειςτωνευθειώνοιοποίεςδιέρχονταιαπότηναρχήτωναξόνωνΟκαιαπέχουναπότοσημείοΑ( , )−1 3 απόστασηίσημε1.

5. Ναβρείτετασημείατηςευθείας x y− + =2 0,ταοποίααπέχουναπότηνευθεία12 5 60 0x y− + = απόστασηίσημε1.

6. Ναδείξετεότιτασημεία Α Β( , ), ( , )α β γ δ και Γ ( , )α γ β δ− − είναισυ-νευθειακά,ανκαιμόνοαναδ βγ= .

7. Δίνονταιτασημεία Α( , )α 0 και Β ( , )0 β ,με α β, ≠ 0.ΑνημεσοκάθετοςτουΑΒ τέμνειτουςάξονεςστασημεία P p( , )0 καιQ q( , )0 ,ναδείξετεότι:

(i) α βq p pq+ = 2 (ii)α βp q+ = 0. Στησυνέχειαναεκφράσετεταpκαιqσυναρτήσειτωνακαιβ.

8. Ναβρείτετιςεξισώσειςτωνδιχοτόμωντωνγωνιώνπουσχηματίζουνοιευθείες 3 4 1 0x y− + = και 5 12 4 0x y+ + = .

9. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείαςηοποίαδιέρχεταιαπότοσημείοτο-μήςτωνευθειών x y− + =1 0 και 2 3 5 0x y− + = καιαπέχειαπότοσημείο

Α( , )3 2 απόστασηίσημε 75.

10. ΔίνονταιτασημείαΑ( , )− −1 2 καιΒ ( , )3 1 .Ναβρείτετοσύνολοτωνσημεί-ωνΜγιαταοποίαισχύει ( )ΜΑΒ = 8

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείοM ( , )1 0 καιτέμνειτιςευθείες y x= + 2 και y x= στασημείαΑκαι Βαντι-στοίχως,έτσι,ώστε ( )ΑΒ = 2 .

2. Νααποδείξετεότιοιευθείεςλ λ λx y+ − =( )1 2 και( )λ λ λ+ + = +1 2 1x y τέ-μνονταιγιαόλεςτιςτιμέςτουλ ∈R .Ποιοςείναιογεωμετρικόςτόποςτωνσημείωντομήςτους;

22-0168-02.indb 76 12/12/2013 2:28:31 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 121: Ektos ulis 2016 17

77

3. Ανοιτρειςευθείεςα βκ κx y+ =1,μεκ = 1 2 3, , ,διέρχονταιαπότοίδιοση-μείο,νααποδείξετεότιτασημεία ( , )α βκ κ ,κ = 1 2 3, , ,είναισυγγραμμικά.

4. ΝαβρείτετηνευθείαηοποίασυνδέειτοσημείοΑ ( , )α β μετοσημείο

τομήςτωνευθειών x yα β

+ =1 και x yβ α

+ =1 ,όπουα β, ≠ 0 καια β≠ ± .

5. Αν οι ευθείες x yα β

+ =1 καιx yΑ Β

+ =1 είναι παράλληλες με Α > α και

β > 0 ,ναδείξετεότιηαπόστασημεταξύτωνευθειώνείναι β αα β( )Α −

+2 2.

6. Ναδείξετεότι: (i) Ηεξίσωσηx xy y2 24 0− + = παριστάνειδύοευθείες. (ii) Καθεμιάσχηματίζειμετην x y− = 0γωνία30D.

7. Ναβρείτεσυνθήκη,ώστε: (i) Ηευθείαα β γx y+ + = 0 ναορίζειμετουςάξονεςισοσκελέςτρίγωνο (ii) Ο άξονας x′x να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις

ε α β1 1 1 0: x y+ = και ε α β2 2 2 0: x y+ = .

8. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τε-τράγωνοενώτα ΕΑΒκαιΖΒΓείναιισό-πλευρατρίγωναπλευράςα = 2.

(i) ΝαβρείτετιςσυντεταγμένεςτωνΕκαιΖ. (ii) ΝααποδείξετεότιτασημείαΔ, Εκαι

Ζείναισυνευθειακά.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1.ΣεκαθέναναπότουςπαρακάτωισχυρισμούςνακυκλώσετετοΑ,ανείναιαληθής,καιτοΨ,ανείναιψευδής:

•Ηευθεία y x= − +3 5σχηματίζειοξείαγωνίαμετονάξοναx′x Α Ψ •Οιευθείες x = 5 και y = −2 είναικάθετες Α Ψ •Ηεξίσωση α α α+ 1 1 10 02( ) + −( ) + = ∈x y , R παριστάνειπάντοτεευθείαΑ Ψ •Ηευθεία3 4 1 0x y+ − = δεδιέρχεταιαπότηναρχήτωναξόνων Α Ψ

22-0168-02.indb 77 12/12/2013 2:28:31 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 122: Ektos ulis 2016 17

82

M x y( , )ανήκειστονκύκλοC,ανκαιμόνοαναπέχειαπότοκέντροτουΟαπόστασηίσημερ,δηλαδή,ανκαιμόνοανισχύει:

( )OM = ρ (1)

Όμως,( )OM x y= +2 2 .Επομένως,η(1)γρά-φεται

x y2 2+ = ρ ή,ισοδύναμα,

x y2 2 2+ = ρ . (2)

Παρατηρούμε,δηλαδή,ότιοισυντεταγμένεςτωνσημείωντουκύκλουκαιμόνοαυτέςεπαληθεύουντηνεξίσωση(2).Άρα,οκύκλοςμεκέντροτοσημείοO( , )0 0 καιακτίναρέχειεξίσωση

x y2 2 2+ = ρ (3)

Γιαπαράδειγμα,οκύκλοςμεκέντροτοσημείοΟ(0,0)καιακτίνα ρ =1 έχειεξί-σωση x y2 2 1+ = .Οκύκλοςαυτόςλέγεταιμοναδιαίος κύκλος.

Παραμετρικές Εξισώσεις Κύκλου

Έστω ο κύκλος 2 2 2:C x y ρ+ = και ένα σημείοM x y( , ) τουκαρτεσιανούεπιπέδου.ΑντοM x y( , ) ανήκειστονκύκλοCκαιϕ π∈[ , )0 2 είναιηγωνίαπουσχηματίζειτοδιάνυσμαOM

! "!!!με

τονάξοναx′x,τότε,όπωςγνωρίζουμεαπότηνΤρι-γωνομετρία,θαισχύουνοισχέσεις:

x = ρσυνϕ και y = ρ ϕηµ . (1)

Αντιστρόφως,ανγιατιςσυντεταγμένεςx, yτουΜισχύουνοισχέσεις(1),τότετοσημείοΜθαανήκειστονκύκλοC,αφού

x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ = + = + =ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρσυν ηµ συν ηµ( ) .

Επομένως,οισυντεταγμένεςτωνσημείωνM x y( , ) τουκύκλουCκαιμόνοναυ-τέςικανοποιούντιςεξισώσεις

x y= = ∈ρ ϕ ρ ϕ ϕ πσυν και ηµ , [ , )0 2

Οιεξισώσειςαυτέςλέγονταιπαραμετρικές εξισώσειςτουκύκλουC.

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 123: Ektos ulis 2016 17

90

ΓιαναβρούμεένασημείοτηςπαραβολήςC,εργαζόμαστεωςεξής:ΠαίρνουμεένασημείοΠ1τηςημιευθείας ΚΕ(Σχ.β)καιαπότοσημείοαυτόφέρνουμετηνκάθετηστηνΚΕκαιέστωΜ1ένααπότασημείατομήςτηςκάθετηςαυτήςκαιτουκύκλουμεκέντροτοΕκαιακτίναΠ1Α.Τότε,τοσημείοΜ1είναισημείοτηςπαραβολήςC.Πράγματι,ανP1είναιηορθήπροβολήτουΜ1στηδιευθετούσαδ,τότεθαισχύει ( ) ( ) ( )M P A M E1 1 1 1= =Π ,δηλαδή d M d M E( , ) ( , )1 1δ = .

Εξίσωση Παραβολής

ΈστωCμιαπαραβολήμεεστίαΕκαιδιευθετούσαδ.ΘαβρούμετηνεξίσωσητηςπαραβολήςCωςπροςσύστημασυντεταγμένωνΟxyμεαρχήΟτηνκορυφήτηςπαραβολήςκαιάξοναx′xτηνκάθετηαπότοΕστην δ.

ΑνστοσύστημααυτόητετμημένητηςεστίαςΕείναι p2,τότεηεξίσωσητης

διευθετούσαςθαείναι x p= −2.

Σύμφωναμετονορισμότηςπαραβολής,ένασημείο M x y( , ) θαανήκειστηC,ανκαιμόνοανισχύει

d M E d M( , ) ( , )= δ . (1)

Είναιόμως

d M E x p y( , ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+2

22 και d M

x p

x p( , )δ =+

+= +2

1 0 22 2.

22-0168-02.indb 90 12/12/2013 2:28:37 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 124: Ektos ulis 2016 17

93

Επομένως,οισυντεταγμένεςτωνσημείωνM1καιM2θαείναι

yp

y12

12,

⎝⎜

⎠⎟ και

yp

y22

22,

⎝⎜

⎠⎟

αντιστοίχως.

Όμως, τα σημεία E p2

0,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, M y

py1

12

12,

⎝⎜

⎠⎟ , M y

py2

22

22,

⎝⎜

⎠⎟ είναι συνευθειακά.

Επομένως: EM EM1 2

! "!!! ! "!!!!/ / ,οπότεέχουμεδιαδοχικά:

det( , )EM EM1 2 0! "!!! ! "!!!!

=

yp

p y

yp

p y

12

1

22

2

2 2

2 2

0−

−=

( ) ( )y p yp

y p yp

12 2

2 22 2

1

2 20−

−−

=

y y y y p y p y12

2 22

12

22

1 0− − + =

y y y y p y y1 2 1 22

1 2( ) ( )− = − −

y y p1 22= − , αφού y y1 2≠ .

Άρα | | | | | |y y y y p1 2 1 22⋅ = = . (σταθερό)

Εφαπτομένη ΠαραβολήςΈστωμιαπαραβολήCμεεξίσωση

y px2 2= (1)

καιένασταθερότηςσημείοM x y1 1 1( , ).Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία ζ πουδιέρχεταιαπότο M x y1 1 1( , ) καιτέμνειτηνπαραβολή και σε ένα άλλο σημείο M x y2 2 2( , ).Τότεηζθαέχεισυντελεστήδιεύθυνσης

λ =−−

y yx x

2 1

2 1

22-0168-02.indb 93 12/12/2013 2:28:39 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 125: Ektos ulis 2016 17

96

Επομένως,έχουμε:

( )EM x p y x p px1 1

2

12

1

2

12 22= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

2

1 2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

px = + =x p EN1 12

( ) .

Ηχρήσητηςπαραπάνωιδιότηταςγίνεταισταπαραβολικάτηλεσκόπια,σταρα-ντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κτλ.Συγκεκριμένα:—Όλεςοιακτίνεςφωτόςπουπροσπίπτουνστοπαραβολικόκάτοπτροπαράλλη-λαπροςτονάξονάτου,ανακλώμενες,συγκεντρώνονταιστηνεστία.—Σταφανάριατωναυτοκινήτωνπουέχουνπαραβολικάκάτοπτραοιλαμπτή-ρεςβρίσκονταιστην εστία τους.Έτσι, οιφωτεινέςακτίνες, ανακλώμενεςστοκάτοπτρο,εξέρχονταιπαράλληλαπροςτονάξονάτου.

ΣΧΟΛΙΟΣύμφωναμετηνπροηγούμενηαπόδειξη,γιαναφέρουμετηνεφαπτομένημιαςπαραβολήςσεένασημείοτηςM x y1 1 1( , ),αρκείναενώσουμετοσημείοN x1 1 0( , )− μετοM x y1 1 1( , ).

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

*1. Έστω η παραβολή C y px: 2 2= και ε1, ε2 οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο M x y0 0 0( , ) με x0 0≠ . Αν Μ1, Μ2 είναι τα σημεία επαφής των ε1, ε2 με την παραβολή C, να αποδειχτεί ότι(i) Η ευθεία Μ1Μ2 έχει εξίσωση yy p x x0 0= +( )(ii) Η ευθεία Μ1Μ2 διέρχεται από την εστία, αν και μόνο αν το Μ0 ανήκει

στη διευθετούσα της παραβολής.

22-0168-02.indb 96 12/12/2013 2:28:40 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 126: Ektos ulis 2016 17

99

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1.Ναβρεθείηεξίσωσητηςπαραβολήςπουέχεικορυφήτηναρχήτωναξό-νωνκαι άξονασυμμετρίας τονάξοναx′x σε καθεμιάαπό τις παρακάτωπεριπτώσεις:

(i) ΌτανέχειεστίατοσημείοΕ ( , )−1 0 (ii) Ότανέχειδιευθετούσατηνευθεία x = 1

2 (iii) ΌτανδιέρχεταιαπότοσημείοΑ( , )1 2 .

2.Ναβρεθείηεστίακαιηδιευθετούσατηςπαραβολήςμεεξίσωση: (i) y 82 = x (ii) y x2 8= −

(iii) 2

41y= x (iv) y x= − 1

42

(v) y x2 4= α (vi) y x= 14

2

α.

3.Δίνεταιηπαραβολή y px2 2= .Νααποδειχτείότιηκορυφήτηςπαραβολήςείναιτοπλησιέστεροστηνεστίασημείοτης.

4. ΝαβρεθούνοισυντεταγμένεςτωνσημείωνΑκαιΒτηςπαραβολής y x=14

2,πουέχουντηνίδιατεταγμένηκαιισχύει ˆ 90ΑΟΒ = !.

5.Ναβρεθείηεξίσωσητηςεφαπτομένηςτηςπαραβολής y x=14

2 σεκαθεμιάαπότιςπαρακάτωπεριπτώσεις:

(i) Ότανείναιπαράλληληστηνευθεία 1+=y x

(ii) Ότανείναικάθετηστηνευθεία y x= −2

(iii) Ότανδιέρχεταιαπότοσημείο )1,0( −Α .

6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y x=14

2 στα σημεία

)4,4(Α καιΒ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 14

, τέμνονταικάθετακαιπάνωστηδιευθετούσατης.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος ( )x y− + =3 82 2 εφάπτεται της παραβολήςy x2 4= .(Δηλαδή,έχουντιςίδιεςεφαπτόμενεςστακοινάσημείατους).

22-0168-02.indb 99 12/12/2013 2:28:42 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 127: Ektos ulis 2016 17

102

Εξίσωση Έλλειψης

ΈστωμιαέλλειψηCμεεστίες ′E καιΕ.ΘαβρούμετηνεξίσωσητηςέλλειψηςωςπροςσύστημασυντεταγμένωνΟxyμεάξονα των x την ευθεία ′E E και άξονατωνyτημεσοκάθετοτου ′E E .Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της έλλει-ψηςC,τότεθαισχύει

( ) ( )ME ME′ + = 2α . (1)

Επειδή ( )′ =E E 2γ ,οιεστίες ′E καιΕθαέχουνσυντεταγμένες ( , )−γ 0 και ( , )γ 0 αντιστοίχως.Επομένως,

( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2 .

Έτσι,ησχέση(1)γράφεται

( ) ( )x y x y+ + + − + =γ γ α2 2 2 2 2 ,

απότηνοποίαέχουμεδιαδοχικά:

( ( )x y x y+ + = − − +γ α)2 2 2 22 γ

( ) ( ) ( )x y x y x y+ + = + − + − − +γ α γ α γ2 2 2 2 2 2 24 4

x x y x x y x y2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 4+ + + = + + − + − − +γ γ α γ γ α γ( )

(2)

α γ γ α γ2 2 2 2 2 22( ) ( )x x y x+ − + = −

α α γ α γ α α γ α γ2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2x x y x x+ − + = + −

( ) ( )α γ α α α γ2 2 2 2 2 2 2 2− + = −x y

x y2

2

2

2 2 1α α γ

+−

= . (3)

Επειδήα γ> , είναια γ2 2 0− > , οπότεαν θέσουμε β α γ= −2 2, η εξίσωση (3)παίρνειτημορφή

x y2

2

2

2 1α β

+ = . (4)

22-0168-02.indb 102 12/12/2013 2:28:44 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 128: Ektos ulis 2016 17

106

Παραμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης

Έστωηέλλειψη C x y:2

2

2

2 1α β

+ = καιένασημείο M x y( , ) τουκαρτεσιανούεπι-πέδου.

—Αντο M x y( , ) ανήκειστηνέλλειψηC,τότεθαισχύει x y2

2

2

2 1α β

+ = ,οπότεθα

έχουμε

x yα β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛

⎝⎜

⎠⎟ =

2 2

1.

Επομένως,τοσημείοN x yα β,⎛

⎝⎜

⎠⎟ θαανήκειστομοναδιαίοκύκλο,οπότεθαυπάρ-

χειγωνίαϕ π∈[ , )0 2 ,τέτοια,ώστεxα

ϕ= συν και yβ

ϕ= ηµ ,δηλαδή

x = α ϕσυν και y = β ηµϕ . (1)

— Αντιστρόφως,ανισχύουνοι(1)γιακάποιαγωνίαϕ π∈[ , )0 2 ,τότετοσημείοM x y( , )θαανήκειστηνέλλειψηC,αφού

x y2

2

2

2

2 2

2

2 2

22 2 1

α βα ϕ

αβ ϕ

βϕ ϕ+ = + = + =συν ηµ συν ηµ .

Επομένως,οισυντεταγμένεςτωνσημείωνM x y( , ) τηςέλλειψηςCκαιμόνοαυ-τέςικανοποιούντιςεξισώσεις

x = αα ϕϕσσυυνν και y = ββ ϕϕηηµµ , ∈[0, 2 )πϕ .

Οι εξισώσεις αυτές λέγονταιπαρα-μετρικές εξισώσειςτηςέλλειψηςC.Σύμφωνα με τις παραμετρικές εξι-σώσειςτοσημείοM ( , )α ϕ βσυν ηµϕ της έλλειψης προσδιορίζεται ωςεξής:ΓράφουμετουςκύκλουςC1καιC2μεκέντροΟ και ακτίνεςβ καια αντι-στοίχωςκαιφέρνουμεμιαημιευθείαΟt,έτσιώστε ( , )Ox Ot

∧= ϕ.Ανηημι-

ευθείαΟtτέμνειτουςC1καιC2στασημείαΜ1καιΜ2αντιστοίχωςκαιοι

22-0168-02.indb 106 12/12/2013 2:28:46 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 129: Ektos ulis 2016 17

108

Εφαπτομένη Έλλειψης

ΈστωμιαέλλειψηC μεεξίσωση

x y2

2

2

2 1α β

+ =

καιένασημείοτης M x y1 1 1( , ).Ηεφαπτο-μένητηςέλλειψηςCστοσημείοM x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνομετονοποίοορίστηκεηεφαπτομένητηςπαραβολήςκαιαποδεικνύεταιότιέχειεξί-σωση

xx yy12

12 1

α β+ =

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης x y2 2

16 41+ = στο σημείο

της M1 2 3( , ) έχει εξίσωση x y⋅ + =216

34

1, η οποία γράφεται ισοδύναμα

y x= − +36

4 33

.

Ανμιαέλλειψηέχειεξίσωση

y x2

2

2

2 1α β

+ = ,

τότεηεφαπτομένητηςστοσημείοM x y1 1 1( , ) έχειεξίσωση

yy xx12

12 1

αα ββ++ == .

Όπωςηπαραβολήέτσικαιηέλλειψηέχειανάλογηανακλαστικήιδιότητα.Συγκεκριμένα:

ΗκάθετηστηνεφαπτομένημιαςέλλειψηςστοσημείοεπαφήςΜδιχοτομείτηγωνία ˆE ME′ ,όπου ′E E, οιεστίεςτηςέλλειψης.

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 130: Ektos ulis 2016 17

109

Σύμφωναμετηνιδιότητααυτήέναηχητικόκύμαήμιαφωτεινήακτίναπουξε-κινούναπότημίαεστίαμιαςέλλειψης,ανακλώμενασεαυτήν,διέρχονταιαπότηνάλληεστία.Ηιδιότητααυτήχρησιμοποιείταιστοσχεδιασμόορισμένωντύπωνοπτικώνορ-γάνωνκαιστηνκατασκευή τωνλεγόμενων “στοώνμε ειδικήακουστική”.Οιστοές αυτές είναι αίθουσες με ελλει-πτικήοροφή,στιςοποίεςέναπρόσωποπουψιθυρίζειστημιαεστίαμπορείναακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμη, ηανακλαστικήιδιότητατηςέλλειψηςβρί-σκεισπουδαίαεφαρμογήσεμιαιατρικήμέθοδοπουλέγεταιλιθοθρυψία.Ημέ-θοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής: Στημιαεστίατηςέλλειψηςτοποθετείταιέναηλεκτρόδιοεκπομπήςυπερήχων,ενώοασθενής τοποθετείταισε τέτοιαθέση,ώστε τονεφρό τουνα είναιστηνάλληεστία.Τότεοι πέτρες του νεφρούκονιορτοποιούνταιαπό τουςανακλώμενουςυπερήχους.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Δίνονται η έλλειψη C x y1

2

2

2

2 1:αα ββ

++ == και ο κύκλος C x y22 2 2: ++ == αα . Αν

M x y1 1 1( , ) είναι ένα σημείο της C1 και M x y2 2 2( , ) το σημείο του C2 με x x2 1== ≠ 0, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη ε1 της έλλειψης C1 στο σημείο Μ1 και η εφαπτομένη ε2 του κύκλου C2 στο σημείο Μ2 τέμνονται πάνω στον άξονα x′x.

22-0168-02.indb 109 12/12/2013 2:28:47 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 131: Ektos ulis 2016 17

112

3. Ναεγγράψετεστηνέλλειψη 4 42 2x y+ = τετράγωνομεπλευρέςπαράλλη-λεςπροςτουςάξονες.

4. Αν ′E E, είναιοιεστίεςκαι ′Β Β ομικρόςάξοναςτηςέλλειψης x y2 22 4+ = ,νααποδείξετεότιτοτετράπλευροΕΒΒ Ε′ ′ είναιτετράγωνο.

5. Νααποδείξετεότιοιεφαπτόμενεςμιαςέλλειψηςσταάκραμιαςδιαμέτρουτηςείναιπαράλληλες.(Διάμετροςμιαςέλλειψηςλέγεταιτοτμήμαπουσυν-δέειδύοσημείατηςέλλειψηςκαιδιέρχεταιαπότηναρχήτωναξόνων).

6. Ναβρεθούνοιεξισώσειςτωνεφαπτομένωντηςέλλειψης 3 42 2x y+ = ,οιοποίες:

(i)είναιπαράλληλεςπροςτηνευθεία y x= − +3 1

(ii)είναικάθετεςστηνευθεία y x=12

(iii)διέρχονταιαπότοσημείοΜ ( , )0 4 .

7. Νααποδείξετεότιοιεφαπτόμενεςτηςέλλειψης x y2 24 100+ = στασημείατης M1 4 5 5( , ), M 2 4 5 5( , )− , M 3 4 5 5( , )− − καιM 4 4 5 5( , )− σχημα-τίζουντετράγωνομεδιαγώνιεςτουςάξονεςx′xκαιy′y.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να αποδείξετε ότι το σημείο M tt

tt

α β( ) ,11

21

2

2 2−

+ +⎛

⎝⎜

⎠⎟ ανήκει στην έλλειψη

x y2

2

2

2 1α β

+ = γιαόλεςτιςτιμέςτου t∈R .

2. Νααποδείξετεότιτοσημείοτομήςτωνευθειώνα λβ αy x= +( ) και λα β αy x= −( ) , 0 < <β α .

ανήκειστηνέλλειψη x y2

2

2

2 1α β

+ = γιαόλεςτιςτιμέςτου λ ∈R*.

3.ΑνM x y( , ) είναιένασημείοτηςέλλειψης x y2

2

2

2 1α β

+ = ,νααποδείξετεότι

( )ME x′ = +α ε και( )ME x= −α ε .

4.Αν d d, ′ είναιοιαποστάσειςτωνσημείων Γ ( , )0 γ και ′ −Γ ( , )0 γ απότην

εφαπτομένητηςέλλειψης x y2

2

2

2 1α β

+ = σεένασημείοτηςM x y1 1 1( , ),νααπο-δείξετεότι

d d2 2 22+ ′ = α .

22-0168-02.indb 112 12/12/2013 2:28:49 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 132: Ektos ulis 2016 17

114

Σύμφωναμετονορισμόαυτό:

α)Ένασημείο Μ είναισημείοτηςυπερβολής,ανκαιμόνοαν

| ( ) ( ) |ME ME′ − = 2α.

β) Ισχύει | ( ) ( ) | ( )ME ME E E′ − < ′ δηλαδή 2 2α γ< ,οπότεα γ< .

ΓιαναβρούμεσημείατηςυπερβολήςC,εργαζό-μαστεωςεξής:ΠαίρνουμεέναευθύγραμμοτμήμαΚΛμήκους2ακαιέναοποιοδήποτεσημείοΣτηςημιευθείαςΚΛεκτόςτουευθύγραμμουτμήματοςΚΛ.Μεκέντρα ′E καιΕκαιακτίνες ′ =ρ ( )ΚΣ και ρ = ( )ΛΣ ,αντιστοίχως,γράφουμεκύκλουςοιοποίοιτέμνονταιστασημείαΜκαι ′M .Ταση-μείαΜ και ′M είναισημείατηςυπερβολής,για-τίισχύει ( ) ( )ME ME′ − = − = =( ) ( ) ( )ΚΣ ΛΣ ΚΛ 2α.Μετοντρόποαυτόμπορούμενακατασκευάσου-μεοσαδήποτεσημείατηςυπερβολής.

Εξίσωση Υπερβολής

ΈστωCμιαυπερβολήμεεστίες ′E καιΕ.ΘαβρούμετηνεξίσωσητηςCωςπροςσύστημασυντεταγμένωνΟxyμεάξονατωνxτηνευθεία ′E E καιάξονατωνyτημεσοκάθετητου ′E E .

Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της υπερβολήςC,τότεθαισχύει

| ( ) ( ) |ME ME′ − = 2α, (1)

Επειδή( )′ =E E 2γ ,οιεστίες ′E καιΕθαέχουνσυ-ντεταγμένες( , )−γ 0 και( , )γ 0 αντιστοίχως.Επομέ-νως,

( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2

Έτσιησχέση(1)γράφεται

( ) ( )x y x y+ + − − + =γ γ α2 2 2 2 2

22-0168-02.indb 114 12/12/2013 2:28:51 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 133: Ektos ulis 2016 17

117

Απότηνεξίσωσητηςυπερβολήςγιαy = 0βρίσκουμεx = ±α .Συνεπώς,ηυπερ-βολήτέμνειτονάξοναx′xστασημεία ′ −A ( , )α 0 ,καιA( , )α 0 .Τασημείααυτάλέ-γονται κορυφές τηςυπερβολής.Από την ίδια εξίσωσηγια x = 0 προκύπτειηεξίσωση y2 2= −β ,ηοποίαείναιαδύνατηστοR.Επομένως,η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα y′y .

Τέλος,απότηνεξίσωσητηςυπερβολής,έχουμε

x y2

2

2

21 1α β

= + ≥ ,

οπότεx2 2 0− ≥α

καιάραx ≤ −α ή x ≥ α.

Επομένως,τασημείατηςυπερβολήςCβρίσκονταιέξωαπότηνταινίατωνευ-θειών x = −α και x = α,πράγμαπουσημαίνειότιηυπερβολήαποτελείταιαπόδύοχωριστούςκλάδους. Ασύμπτωτες Υπερβολής

ΈστωμιαυπερβολήC μεεξίσωσηx y2

2

2

2 1α β

− = (1)

καιμιαευθείαεμεεξίσωση

y x= λ ,

δηλαδήμιαευθείαπουπερνάειαπότηναρχήτωναξόνων.ΗευθείαεέχειμετηνυπερβολήCκοινάσημεία,ανκαιμόνοαντοσύστημα

x y2

2

2

2 1α β

− = και y x= λ (1)

έχειλύση.Ηπρώτηεξίσωσητουσυστήματος(1),λόγωτηςδεύτερης,γράφεταιδιαδοχικά

x x2

2

2 2

2 1α

λβ

− =

β λ α α β2 2 2 2 2 2 2x x− =

( )β λ α α β2 2 2 2 2 2− =x . (2)

22-0168-02.indb 117 12/12/2013 2:28:53 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 134: Ektos ulis 2016 17

120

Επομένως,ηεκκεντρότηταεπροσδιορίζειτοσυντελεστήδιεύθυνσηςτηςασυ-μπτώτουτης,δηλαδήχαρακτηρίζειτοορθογώνιοβάσης,άρατημορφήτηςίδιαςτηςυπερβολής.Όσοηεκκεντρότηταμικραί-

νεικαι τείνει ναγίνει ίσημε1,ολόγος βα,

άρακαιτοβ,μικραίνεικαιτείνειναγίνειίσομε0.Κατάσυνέπεια,όσοπιομικρήείναιηεκκεντρότητα της υπερβολής τόσοπιο επί-μηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατάσυνέπειατόσοπιοκλειστήείναιηυπερβολή.

Στηνπερίπτωσητηςισοσκελούςυπερβολήςείναια β= ,οπότε ε = 2 .

Εφαπτομένη Υπερβολής

Έστωμιαυπερβολήμεεξίσωση

x y2

2

2

2 1α β

− = (1)

καιένασημείοM x y1 1 1( , ) αυτής.Η εφαπτομένη της υπερβολής στοσημείο M x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόποανάλογο προς εκείνο με τον οποίοορίστηκε η εφαπτομένη της έλλειψης και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση

xx yy12

12 1

α β− =

Έτσι, για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής x y2

2

41− = στο ση-

μείο M1 4 3( , ) έχει εξίσωση x y44

3 1− = , η οποία γράφεται ισοδύναμα

y x= −33

33.

Ανμιαυπερβολήέχειεξίσωσηy x2

2

2

2 1α β

− = ,

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 135: Ektos ulis 2016 17

123

(iv)Ότανέχειασύμπτωτεςτιςευθείες y x=43

και y x= − 43

καιδιέρχεται

απότοσημείοM ( , )3 2 4 .

2. Ναβρείτετιςεστίες,τηνεκκεντρότητακαιτιςασύμπτωτεςτηςυπερβολής:

(i) 9 16 1442 2x y− = ,

(ii) x y2 2 4− = ,

(iii)144 25 36002 2x y− = .

3. Ναβρείτετηνεκκεντρότητατηςυπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = ,τηςοποίαςηασύ-

μπτωτη y x= βα

σχηματίζειμετονάξοναx′xγωνία30D.

4. Ανηεφαπτομένητηςυπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = στηνκορυφή Α( , )α 0 τέμνει

τηνασύμπτωτη y x= βα

στοσημείοΓ,νααποδείξετεότι ( ) ( )ΟΕ ΟΓ= .

5. Έστω η υπερβολή C x y:2

2

2

2 1α β

− = , ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο

Μ 1 1 1( , )x y και ζ η κάθετη της ε στοΜ1.Ανη ε διέρχεται από τοσημείοM 2 0( , )−β καιηζδιέρχεταιαπότοσημείοM 3 2 2 0( , )α ,νααποδείξετεότιηεκκεντρότητατηςυπερβολήςείναιίσημε 2.

6. Νααποδείξετεότικάθεευθείαπουείναιπαράλληληπροςμιααπότιςασύ-

μπτωτεςτηςυπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = τέμνειτηνυπερβολήσεέναμόνοση-

μείο.Ποιοείναιτοσημείοτομήςτηςευθείας 2 1x y− = καιτηςυπερβολής4 12 2x y− = ;

7. Ναβρείτετιςεξισώσειςτωνεφαπτομένωντηςυπερβολής x y2 24 12− = οιοποίες:

(i)είναιπαράλληλεςπροςτηνευθεία y x= +1

(ii)είναικάθετεςστηνευθεία y x= − 43

(iii)διέρχονταιαπότοσημείοM ( , )3 0

22-0168-02.indb 123 12/12/2013 2:28:56 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 136: Ektos ulis 2016 17

124

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. ΑνΕ1είναιηπροβολήτηςεστίαςΕτηςυπερβολήςx y2

2

2

2 1α β

− = πάνωστην

ασύμπτωτη y x= βα

,νααποδείξετεότι

(i) ( )OE1 = α ,(ii) ( )EE1 = β .

2. Έστωεκαι ′ε οιεφαπτόμενεςτηςυπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = στιςκορυφέςτης

Α και ′Α .ΑνΓκαι ′Γ είναιτασημείασταοποίαμιατρίτηεφαπτομένητηςυπερβολήςτέμνειτις εκαι ′ε ,αντιστοίχως,νααποδείξετεότι

(i) ( )( )ΑΓ Α Γ′ ′ = β 2 και

(ii)οκύκλοςμεδιάμετροτοΓΓ ′ διέρχεταιαπότιςεστίεςτηςυπερβολής.

3. ΈστωΜ 1 1 1( , )x y καιΜ 2 2 2( , )x y δύοσημείατουδεξιούκλάδουτηςυπερ-

βολής x y2

2

2

2 1α β

− = .ΑνηευθείαΜ1Μ2 τέμνειτιςασύμπτωτεςστασημεία

Μ 3 3 3( , )x y καιΜ 4 4 4( , )x y ,νααποδείξετεότι ( ) ( )Μ Μ Μ Μ1 3 2 4= .

4.ΑπόένασημείοΜ 1 1 1( , )x y τηςυπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = φέρνουμεπαράλλη-

λεςπροςτιςασύμπτωτες.Νααποδείξετεότιτοεμβαδόντουσχηματιζόμε-νουπαραλληλόγραμμουείναισταθερό.

5.Νααποδείξετεότιτοσυνημίτονομιαςαπότιςγωνίεςτωνασυμπτώτωντης

υπερβολής x y2

2

2

2 1α β

− = δίνεταιαπότοντύποσυνϕ = ε2 2−ε 2

.

6. Έστωοιυπερβολές

C x y1

2

2

2

2 1:α β

− = καιC x y2

2

2

2

22 1: ,

α βρ ρ− = > .

Αν ′Α Α1 1, και ′Α Α2 2, είναιοικορυφέςτωνC1καιC2αντιστοίχως,νααποδεί-ξετεότιαπότοΑ2δενάγονταιεφαπτόμενεςστηC1,ενώαπότοΑ1άγονταιεφαπτόμενεςτηςC2.

22-0168-02.indb 124 12/12/2013 2:28:57 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 137: Ektos ulis 2016 17

125

3.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ 2 2Ax + Βy + Γx + Δy + E = 0

Μεταφορά ΑξόνωνΗεξίσωσηενόςκύκλουμεακτίναρέχειτηναπλήμορφή x y2 2 2+ = ρ ,ανηαρχήτουσυστήματοςσυντεταγμένωνO(0,0)είναιτοκέντροτουκύκλου.ΑνόμωςτοκέντροτουκύκλουδενείναιηαρχήτωναξόνωναλλάτοσημείοO'(x0,y0),τότεηεξίσωσήτουέχειτηνπιοσύνθετημορφή ( ) ( )x x y y− + − =0

20

2 2ρ .Αυτόδείχνειότιημορφήτηςεξίσωσηςμιαςκαμπύληςεξαρτάταιαπότησχετικήθέσητηςκαμπύληςκαιτωναξόνων.ΑςυποθέσουμεότισεέναεπίπεδοέχουμεμιακαμπύληκαιτηνεξίσωσήτηςωςπροςένασύστημασυντεταγμένωνΟxy.Θααναζητήσουμετηνεξίσωσητηςίδιαςκαμπύληςωςπροςένα“νέο”σύστημασυντεταγμένων,τουοποίουηαρχήθαείναιτοσημείο ′O x y( , )0 0 καιοιάξονεςX'OX καιY'OYθαείναιπαράλληλοικαιομόρροποιπροςτουςάξονεςτου“παλιού”συστήματος.Λέμεστηνπερίπτωσηαυτήότιτοσύστημα ′O XY έχειπροκύψειμεπαράλληλη μεταφορά των αξό-νωντουσυστήματοςΟxy.Έστω λοιπόν x και y οι συντεταγμένες ενόςσημείουΜωςπροςτοπαλιόσύστημα,καιX καιYοισυντεταγμένεςτουίδιουσημείουωςπροςτονέοσύστημα.Έχουμε

OM OO O M! "!!! ! "!!! ! "!!!!

= ′ + ′( , ) ( , ) ( , )x y x y X Y= +0 0

( , ) ( , ).x y x X y Y= + +0 0

Επομένως, x x X= +0 και y y Y= +0 ή,ισοδύναμα,

X x x Y y y= − = −0 0,

Έτσιγιαπαράδειγμα,ανοισυντεταγμένεςενόςσημείουΜωςπροςένακαρτεσι-ανόσύστημαείναι(4,‒3)καιηαρχήO( , )0 0 μετακινηθείμετημεταφοράτωναξό-νωνστοσημείο ′ −O ( , )1 2 ,τότεοινέεςσυντεταγμένεςτουΜείναιX = − − =4 1 5( ) καιY = − − = −3 2 5.Έστωεπίσηςη εξίσωση ( ) ( )x y− + + =2 1 92 2 , πουπαριστάνεικύκλομεκέντροK ( , )2 1− καιακτίναρ =3.ΑνμεμιαπαράλληλημεταφοράτωναξόνωνηαρχήO(0,0)μετακινηθείστοκέντροτουκύκλου,τότεοικαινούριεςσυντεταγμένες

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 138: Ektos ulis 2016 17

128

Γενικά,μεκατάλληλημεταφοράαξόνων,μπορούμεναδιαπιστώσουμεανμιαεξίσωσητηςμορφής 2 2 0Ax By x y EΓ ∆+ + + + = παριστάνεικωνικήτομήκαιναβρούμετοείδοςκαιταστοιχείατης.

Σχετική Θέση Ευθείας και ΚωνικήςΑςθεωρήσουμεμίαευθείαy =λx βκαιμίακωνικήτομή Ax By x y E2 2 0+ + + + =Γ ∆ .ΗευθείαεκαιηκωνικήCέχουντοπολύδύοκοινάσημεία,αφούτοσύστημα

y xAx By x y E

= +

+ + + + =⎧⎨⎩

λ β ( )( )1

0 22 2 Γ ∆

έχειτοπολύδύοδιακεκριμένεςλύσεις.

Γιατηνεπίλυσητουσυστήματοςθέτουμεστη(2),όπου = +y λx β,οπότεπροκύπτειμιαδευτεροβάθμιαεξίσωση.

—Ανηεξίσωσηαυτήέχειδύορίζεςάνισεςήμιααπλήρίζα(ότανείναι1ουβαθμού),τότεηευθείακαιηκωνικήτέμνονται.

—Ανηεξίσωσηέχειδύορίζεςίσες,δηλαδήανείναι2ουβαθμούμεδιακρίνουσα∆ = 0,τότεαποδεικνύεταιότιηευθείαεφάπτεταιτηςκωνικής.

—Τέλος,ανηεξίσωσηδενέχειρίζες,τότεηευθείακαιηκωνικήδενέχουνκοινάσημεία.

Γιαπαράδειγμα,έστωηευθείαy x= 2 καιηπαραβολή y x= +2 1.Ανστηνεξίσωσητηςπαραβολήςθέσουμεόπου y x= 2 ,βρίσκουμετηδευτεροβάθμιαεξίσωσηx2‒2x 1=0,ηοποίαέχειτηδιπλήρίζαx=1.Άρα,ηευθείαεφάπτεταιτηςκωνικήςκαιτοσημείοεπαφήςείναιτοM(1,2).

22-0168-02.indb 128 12/12/2013 2:29:00 μμ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

Page 139: Ektos ulis 2016 17

129

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Νααποδείξετεότικαθεμιάαπότιςπαρακάτωεξισώσειςπαριστάνειπαρα-

βολή,γιατηνοποίαναβρείτετιςσυντεταγμένεςτηςκορυφήςκαιτηςεστίας:

(i) − + =2 8 8 0y x (ii) 041642 =+−+

(iii) 028842 =−++ (iv) 08682 =−+− . xxx y

yy yxx

2. Νααποδείξετεότικαθεμιάαπότιςπαρακάτωεξισώσειςπαριστάνειέλλειψη,γιατηνοποίαναβρείτετιςσυντεταγμένεςτουκέντρου,τωνκορυφώνκαιτωνεστιών.(i) 9 25 36 189 02 2x y x+ − − = (ii) x x y2 24 16 0+ + =

(iii) x y x y+ − − + =2 24 9 32 36 64 0 (iv) x y x y+ + − − =2 29 16 54 32 47 0.

3. Νααποδείξετεότικαθεμιάαπότιςπαρακάτωεξισώσειςπαριστάνειυπερβολή,γιατηνοποίαναβρείτετιςσυντεταγμένεςτουκέντρου,τωνκορυφώνκαιτωνεστιών:

(i) 21 4 84 32 64 02 2x y x y− + − − = (ii) y x y x− − + − =2 22 3 8 6 1 0.

4. Ναβρεθείητιμήτουκ ∈R,γιατηνοποίαηπαραβολήy x xκ= − +2 2εφά-πτεταιτηςευθείαςy = x 2.

5. Ναβρείτετιςκοινέςεφαπτόμενεςτουκύκλουx y+ =2 2 12καιτηςπαραβολής

y2 = 4x.

1.Δίνεταιηεξίσωση

x y x2 2 2 1 0+ − − =λ (1),όπουλ ∈R.

(i)Νααποδείξετεότιγιακάθετιμήτουλη(1)παριστάνεικύκλοτουοποίουζητείταιναβρεθείτοκέντροκαιηακτίνα.

(ii)ΝααποδείξετεότιόλοιοικύκλοιCλπουορίζονταιαπότην(1)γιατιςδιάφορεςτιμέςτουλδιέρχονταιαπόδύοσταθεράσημεία.Ποιαείναιηεξίσωσητηςκοινήςχορδήςόλωναυτώντωνκύκλων;

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

127-196.indd 129 19/3/2014 10:40:15 πµ

lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος