Kelompok 3 :

Amalia Ovi Mustika Seno 04 / X

MSc 6

Defiska Andang Nugraha 12 / X MSc 6

Isnan Yunus Alhalim 23 / X MSc 6

Refonda Alam Hagriyatama 34 / X MSc 6

EKSPONENdanLOGARITMA

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma siswa mampu:

1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggung jawab, konsisten, dan jujur

serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari;

2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan

karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa

kebenaran langkah-langkahnya;

3. Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen

dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan

yang telah terbukti kebenarannya.

Pengalaman BelajarMelalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar:

• Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen

dan logaritma;

• Merancang model Matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan

eksponen dan logaritma;

• Menyelesaikan model Matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;

• Menafsirkan hasil pemecahan masalah;

• Membuktikan berbagai sifat terkait eksponen dan logaritma;

• Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat berdasarkan ciri-ciri

yang dituliskan sebelumnya;

• Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan eksponen dan

logaritma berdasarkan konsep yang sudah dimiliki;

• Menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Peta KonsepEksponen dan Logaritma

EksponenBentuk Pangkat

Bulat Positif

Nol

Bulat Negatif

Pecahan

Bentuk AkarBilangan Rasional

Bilangan IrrasionalOperasi +,-,x,:

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Fungsi

LogaritmaHubungan Eksponen dan Logaritma

Sifat-Sifat

Fungsi

EKSPONEN Fungsi Eksponen Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi eksponen!

Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:1. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat positif = hasilnya adalah

pecahan2. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat positif = hasilnya adalah

positif3. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif = hasilnya adalah

positif4. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif = hasilnya adalah

pecahan5. Jika x nol dan rumus fungsi dengan pangkat positif/negatif = hasilnya adalah satu

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) = 2x ⅛ ⅟4 ⅟2 1 2 4 8 16

f(x) = 2-x 8 4 2 1 ⅟2 ⅟4 ⅛ ⅟16

f(x) = 3x ⅟27 ⅟9 ⅟3 1 3 9 27 81

f(x) = 3-x 27 9 3 1 ⅟3 ⅟9 ⅟27 ⅟81

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50:00

12:00

0:00

12:00

0:00

12:00

Y-Values

Y-Values

Bentuk Pangkat Pangkat Bulat Positif

Misal: a = bilangan real; n = bilangan bulat positif; maka:an = a x a x a x…x a

Artinya: bilangan a dikalikan sebanyak n faktor; dengan a sebagai basis, dan n sebagai pangkat, maka dihasilkan an

Contoh:1. 22 = 2 x 2 = 42. 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2433. -24 = - (2 x 2 x 2 x 2) = -164. (-5)2 = (-5 x -5) = 25

n faktor

• Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif1. am x an = am+n

Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif- Bukti:

am x an = a x a x a x…x a x a x a x a x…x a

= a x a x a x a x a

= am+n

-Contoh:1. 53 x 52 = 53+2

= 55

= 31252. 92 x 272 = (32)2 x (33)2

= 34 x 36

= 34+6

= 310

= 59049

n faktorm faktor

m + n

2. am : an = am-n

Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif- Bukti:

am : an = a x a x a x…x a : a x a x a x…x a

= a x a x a x a x a

= am-n - Contoh:

1. 35 : 32 = 35-2

= 33

= 272. 23 : 8 = 23-3

= 20 = 13. 22 : 42 = 22 : (22)2

= 22-4 = 2-2

= ⅟4

m faktor n faktor

m - n

3. (am)n = amxn

Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif- Bukti:

(am)n = am x am x am…x am

= a x a x a…x a a x a x a…x a a x a x a…x a … a x a x a…x a  

= a x a x a…x a = amxn

- Contoh:1. (2x8⅓)2 = (21+1)2

= (22)2

= 24

= 16

n faktor

m faktor m faktor m faktorm faktor

n faktor

m x n

Pangkat Nol Diperoleh dari sifat am:an=am-n, jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, dan m = n.

- Bukti : 25 : 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

2 x 2 x 2 x 2 x 2Jadi, a0 = 1

Pangkat Bulat Negatif Perhatikan pola pemangkatan berikut ini!

22 = 4 2-1 = ⅟2

21 = 2 2-2 = ⅟4 20 = 1 dst…

Jadi, a-n= 1 n

- Bukti : a-n= 1 n = 1 = 1

= 1

a

a a x a x a x…x a

n faktor

an

Pangkat Pecahan - Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif, Maka:

Contoh:

- Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif, Maka:

Contoh:

• Sifat-Sifat Pangkat Pecahan1.

- Misal: a bilangan bulat dan a > 0, dan adalah pecahan, n ≠ 0. - Contoh:

2.

- Misal: a bilangan bulat dan a > 0, dan adalah pecahan, n ≠ 0. - Contoh:

TUGAS

• Sederhanakanlah operasi pemangkatan berikut ini!

1.)

2.)

3.)

4.)

5.)

Bentuk Akar Sebelum mempelajari bentuk akar, terlebih dahulu mengetahui konsep:• Bilangan Rasional

Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

- Contoh : ¼, ½, ¾, 2, 3, , dll.• Bilangan Irrasional Adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, dan mengandung bentuk desimal yang tak terhingga dan tak berpola.

-Contoh: , , , dll.

Bilangan Irrasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Namun, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bentuk akar. Contoh: = bukan bentuk akar, karena = 2.

= bentuk akar

Operasi pada Bentuk Akar• Penjumlahan dan Pengurangan

Dimana, p,q,r bilangan real dan r ≥ 0; maka berlaku:

• Perkalian dan Pembagian Beberapa sifat perkalian dan pembagian pada bentuk akar adalah sebagai berikut:

- Perkalian:

- Pembagian:

Merasionalkan Penyebut Bentuk AkarPada prinsipnya, cara merasionalkan penyebut bentuk akar suatu pecahan adalah dengan mengalikannya dengan bentuk akar sekawannya. 1. Merasionalkan bentuk

Caranya dengan mengalikan

Jadi:

2. Merasionalkan bentuk dan

Bilangan sekawan dari adalah , dan sebaliknya

Jadi:

3. Merasionalkan bentuk dan

Bentuk dan saling sekawan

Jadi:

4. Menyederhanakan bentukCoba perhatikan proses berikut ini!

Jadi:

Contoh Soal:

• Penjumlahan dan Pengurangan1.2.

• Perkalian dan Pembagian1. 2.

• Merasionalkan 1.

TUGAS

• Carilah hasil dari operasi pengakaran berikut ini!

1.)

2.)

• Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini!3.)

• Tentukan nilai4.)

• Sederhanakan bentuk akar berikut ini!5.)

LOGARITMA Hubungan Eksponen dan Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan

dan/atau pengakaran.

Unsur Logaritma:

= Basis

= Numerus

= Hasil Logaritma

xmamma axx log

LogaritmaBentuk Akar Bentuk Pangkat Bentuk

xma log

Fungsi Logaritma Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi logaritma!

Sifat-sifat tersebut antara lain:

1. Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif, hasil = negatif

2. Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif, hasil

= positif

3. Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

4. Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

5. Jika x=1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif / pecahan, hasil = nol

x

1 2 3 4 8 9

f(x) = 2log x -1 -1,5 -2 0 1 1,5 2 3 3,15

f(x) = log x 1 1,5 2 0 -1 -1,5 -2 -3 -3,15

f(x) = 3log x -0,5 -1 -1,25 0 0,5 1 1,25 1,9 2

f(x) = log x 0,5 1 1,25 0 -0,5 -1 -1,25 -1,9 -2

Sifat-Sifat Logaritma

nmn

m

mm

nmnmmn

bbmax

an

mm

nmx

aaa

anaaa

amaaa

mc

caa

anaa

ba

loglog log .5

loglog 9. loglog log .4

loglog.log 8. log .3

log

1

log

log log 7. 01log .2

m log log .6 1log .1

TUGAS

• Hitunglah nilai dari :

1.)

2.)

3.)

• Sederhanakan4.)

5.)

“Jangan merasa kecil karena ilmu yang kau

dapat sedikit, tapi satu hal yang besar adalah

ilmu yang sedikit itu dapat dikenang orang

banyak dan akan menemanimu selamanya.”