EJEMPLOS DE

CONCRETO

REFORZADO

APLICANDO

Concreto Estructural del Reglamento

Colombiano de Construccin Sismo Resistente

NSR-10

BASILIO J. CURBELO

Ingeniero Civil, graduado en la Universidad de la Habana, Cuba.

Tiene 30 aos de experiencia realizando proyectos civiles de centrales

elctricas, hidroelctricas y lneas de transmisiones elctricas.

Ex Vicepresidente del Comit de Normalizacin del Clculo Estructural de

Cuba (CONCE)

Ex Presidente del Comit de Concreto Estructural del CONCE

Master en Ciencias-Ingeniera Civil- Amstead University.

Doctor en Ciencias- Ingeniera Civil- Ashwood University.

Repblica de Colombia, Departamento del Quindo

Ciudad Armenia

Ao 2015

2

BASILIO J. CURBELO ES INGENIERO CIVIL, GRADUADO EN LA UNIVERSIDAD DE LA HABANA, CUBA. TIENE 30 AOS DE EXPERIENCIA

EN DISEO DE PROYECTOS CIVILES DE CENTRALES TERMOELCTRICAS,

HIDROELCTRICAS Y LNEAS DE TRANSMISIN ELCTRICAS

EX-VICEPRESIDENTE DEL COMIT DE NORMALIZACIN DEL CLCULO

ESTRUCTURAL DE CUBA (CONCE) Y EX-PRESIDENTE DEL COMIT DE

CONCRETO ESTRUCTURAL DEL CONCE.

MSTER EN CIENCIAS - INGENIERA CIVIL (AMSTEAD UNIVERSITY) (no

acreditada) DOCTOR EN CIENCIAS - INGENIERA CIVIL (ASHWOOD UNIVERSITY) (no

acreditada)

A todos los que han contribuido al conocimiento de este

maravilloso material

Repblica de Colombia

Departamento del Quindo

Ciudad Armenia

Ao 2015

3

INTRODUCCIN

El fin principal de este libro es ayudar a los tcnicos que utilizan el Reglamento NSR-10,

para el diseo y comprobacin de elementos de concreto reforzados y concreto simple

La informacin del Reglamento ha sido tomado del Diario Oficial de Colombia No. 47663

del 26 de marzo de 2010, decreto 926 de 2010 y de la modificacin de ese decreto, con el

decreto 092 de 17 de enero de 2011 del Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo

Ambiental

Es conveniente que el lector consulte el Reglamento al utilizar este libro

Cuando aparezca el Reglamento nos referimos al NSR-10

La numeracin de las frmulas utilizadas entre parntesis corresponde a la existente en el

Reglamento

El sistema de unidades que se utiliza es el Sistema Internacional (SI)

La equivalencia entre el sistema SI, el sistema ms y el sistema Ingls es el siguiente: Sistema SI Sistema mks Sistema Ingls

1 MPa 10 kgf / cm^2 142. 3 psi

fc = 21 MPa fc = 210 kgf / cm^2 fc = 3000 psi fc = 28 MPa fc = 280 kgf / cm^2 fc = 4000 psi fc = 35 MPa fc = 350 kgf / cm^2 fc = 5000 psi fc = 24 MPa fc = 420 kgf / cm^2 fc = 6000 psi fy = 240 MPa fy = 2400 kgf / cm^2 fy = 34000 psi

fy = 420 MPa fy = 4200 kgf / cm^2 fy = 60000 psi

fpu = 1760 MPa fpu = 17600 kgf / cm^2 fpu = 250000 psi

fpu = 1900 MPa fpu = 19000 kgf / cm^2 fpu = 270000 psi

fc en MPa 3.18 fc en kgf / cm^2 12fc en psi 0.625 fc en MPa 7.5fc en psi 0.313 fc en MPa fc en kgf / cm^2 3.76 fc en psi fc / 6 en MPa 0.53 fc en kgf / cm^2 2 fc en psi fc / 12 en MPa 0.27 fc en kgf / cm^2 fc en psi 1 MN 0.1 kgf 0. 22 libras

10 N 1 kgf 2. 2 libras

4. 545 N 0.4545 kgf 1 libra

4545 N 454. 5 kgf 1 kips

1 kN 0.0001 kgf 0.00022 libras

1 m 1 m 3. 28 pies

0. 30488 m 0. 30488 m 1 pie

1 MN / m 0.1 kgf / m 0.7216 kips / pie

4

1. CALIDAD DEL CONCRETO 1.1 Calcular la resistencia meda requerida fcr para obtener una mezcla de concreto, si la

resistencia fc es 30 MPa para:

a) la desviacin estndar de 3.0 MPa para ms de 30 ensayos consecutiv b) la desviacin estndar de 2.8 MPa para 20 ensayos consecutivos

c) no hay registros de la desviacin estndar

Solucin:

a) Utilizando fcr = fc + 1.34 S (C.5-1) fcr = 30 + 1.34 x 3 = 34.02 MPa ( Utilizando fcr = fc + 2.33 S 3.5 (MPa) (C.5-2) fcr = 30 + 2.33 x 3 3.5 = 33.49 MPa Por lo tanto fcr = 34.02 MPa

b) Como hay menos de 30 ensayos se debe modificar la desviacin estndar. De la Tabla C.5.3.1-2

el Coeficiente de modificacin es 1.08, entonces S = 1.08 x 2.8 = 3.024 MPa Utilizando fcr = fc + 1.34 S 8.2.3.2 a fcr = 30 + 1.34 x 3.024 = 34.05 MPa Utilizando fcr = fc + 2.33 S 3.5 (MPa) 8.2.3.2 fcr = 30 + 2.33 x 3.024 3.5 = 33.54 MPa

Entonces fcr es 34.05 MPa

c) Como no hay registros de la desviacin estndar y fc = 3.0 MPa de la Tabla C.5.3.2.2 fcr = fc + 8.5 MPa = 30 + 8.3 = 38.3 MPa

1.2 Si en un proyecto, la resistencia especificada es fc = 30 MPa y en los ensayos realizados en

probetas curadas en forma estndar, cada promedio aritmtico de tres ensayos de resistencia

consecutivo es de 29.0 MPa. Es aceptable el concreto?

Solucin

La diferencia entre la resistencia requerida y la obtenidas es: 30.0 2.9 = 1.0 MPa, y segn el inciso C.5.6.3.3 b del Reglamento, como es menor de 3.5 MPa. Se acepta

1.3 Si en una obra se determin que el concreto no cumple lo establecido en el inciso C.5.6.3

del Reglamento y se extrajeron ncleos de la zona en cuestin y el promedio de tres ncleos

es del 90 % de fc Es satisfactorio el concreto?

Solucin: Es satisfactorio, ya que es mayor del 85 % de fc, segn el epgrafe C.5.6.5.4 del Reglamento

2. DEFLEXIONES 2.1 Determinacin de la flecha (deformacin) de una viga reforzada

Calcular la deformacin inmediata y de larga duracin (para ms de 5 aos) de una viga

simplemente apoyada de 10 m de luz, sometida a una carga muerta de 15 kN/m, una carga

viva de 8 kN/m y una carga concentrada en el centro de la luz de 20 kN:

bw = 0.3 m, h = 0.60 m, de = 0.5 m, reforzada con 6 No 8, As = 30.6 cm^2 = 0.00306 m^2

5

fc = 28 MPa, fy = 400 MPa, n = 8, Ec = 25000 MPa

Solucin:

-El peralto total menor segn Tabla C.9.5 (a) es L/16 = 10/16 = 0.625 m > h = 0.6 m, es

necesario comprobar la deformacin El momento de inercia efectivo (Ie) segn (C.9.-8) es Ma = (w L^2 / 8) + P L/4 sustituyendo valores = 337.5 kN-m = 0.3375 MN-m

Ig = (b h^3) / 12 = 0.3 x (0.6) ^3 / 12 = 0.0054 m^4

aplicando (C.9-10) fr = 0.62 fc = 0.62 x 1.0 28 = 3.29 MPa ys = h/2 = 0.6 / 2 = 0.3 m Mcr = fr Ig / ys = 3.29 x 0.0054 / 0.3 = 0.059 MN-m

La posicin del eje neutro para la seccin agrieta, o sea c = kd (distancia del eje neutro al borde

comprimido)

[(b c^2) / 2] n As (d c) = 0 n = 8 As = 0.00306 m^2 Sustituyendo valores

c = 0.23 m

Icr = [(b c^3) / 3] + n As (d c) ^2 y sustituyendo valores Icr = 0.00296 m^4, entonces

Ie = (Mcr/ Ma) ^3 Ig + [1 (Mcr/Ma) ^3] Icr Ig, sustituyendo valores Ie = 0.00297 m^4 < Ig = 0.09522 m^4 Se cumple,

Ahora calculamos las deformaciones de las diferentes cargas

La deformacin total (t) para elementos reforzado con acero se obtiene con la siguiente frmula:

t = L + D + x Ls L, D y Ls - Deformacin instantnea de la carga viva, carga muerta y la porcin de la carga de larga duracin de la carga viva

-coeficiente de la carga permanente (carga muerta)

x coeficiente de la carga de Ls (Cargas temporales de larga duracin) En este caso consideramos que Ls = 0 cd (debido a la carga distribuida) = 5 w L^4 / (384 Ec Ie)= cd = 0.001258 m cc (debido a la carga concentrada) = P L^3 / 48 Ec Ie, sustituyendo valores

cc = 0.000175 m it(deformacin inmediata total) = 0.001258 + 0.000175 = 0.00143 m La deformacin inmediata debida a una carga viva de 8 KN/m es 8/23 x 0.00143 = 0.000497 m

La deformacin permisible por carga viva es L / 360 = 10 / 360 = 0.0277 m > 0.00497

La deformacin de larga duracin es causada por la carga muerta, que consiste de una carga

distribuida de 0.015 MN/m y una carga concentrada de 0.02 MN

Deformacin debida a la carga uniforme = (0.015/ 0.023) x 0.001258 = 0.00082 m

Deformacin debida a la carga concentrada es 0.000175 m

La deformacin total por carga muerta es = 0.00082 + 0.000175 = 0.000955 m

Para hallar la deformacin de larga duracin, se multiplica la deformacin total de carga muerta por el

factor = / (1 + 50 ) (C.9-11)

- como no hay refuerzo a compresin = 0 y = 2.0

Entonces = 2.0 La deformacin por larga duracin es: 2 x 0.000955 = 0.00199 m

La deformacin total es la suma de la deformacin inmediata ms la deformacin de larga

duracin = 0.00143 + 0.00199 = 0.00342

2.2. Determinacin de la flecha de una viga reforzada continua de dos luces

Determine la deformacin de un viga continua de dos luces de 12 m cada una, que est sometida a

una carga muerta incluyendo su propio peso de 0.008 MN/ m y una carga viva de 0.015 MN / m.

La viga tiene un ancho de bw = 0.3 m, un peralto efectivo de = 0.35 m y una altura total h = 0.40 m.

La viga soporta una losa de ho = 0.1 m. El Grfico de momento de la viga se muestra en la siguiente

figura

M2-3

1 M12 2 3

6

Los momentos de Carga Muerta son: M1-2D= 0. 08893 MN-m M2-3D = 0. 041472 MN-m

Los momento de Carga Viva son M1-2L = 0.16675 MN-m M2-3L = 0.07776 MN-m

Los momentos totales son:

M1-2(D+L) = 0.25568 MN-m M2-3(D+L) = 0.119232 MN-m

La deformacin mxima est a 0.446 l de 1 o 2 y es = 0.0069 w (l^4) / EI Las secciones de la viga se muestran en las siguientes figuras

A B

1 2 3

12 m 12m

A B

2 No. 8 (0.00102 m^2) 6 No. 8 (0.00306 m^2)

Ac1 0.10 m

0.45 m

Ac2 0.05 m

4 No.8 (0.00204 m^2) 2 No.8 (0.00102 m^2) Seccin A-A (0.446 m del apoyo 1) Seccin B-B (en el apoyo)

fc = 28 MPa fy = 420 MPa fr = 0.62 fc = 3.29 MPa Ec = 24822 MPa n= Es / Ec = 8.05 1- El peralto mnimo para no comprobar la deformacin es segn Tabla (C.9.5(a))

h = L / 18. 5 = 0.65 m > h = 0.5 m. Hay que comprobar la deformacin

2 Clculo del momento efectivo de inercia (Ie) a 0.446 l del apoyo 1 3 Es una seccin T. El ancho del ala es b = bw + 16 hf = 0.3 + 16 x 0.1 = 1.9 m

y (a partir del tope) = (A1 y1 + A2 y2) / (A1 + A2), sustituyendo valores, obtenemos

y = 0.119 m del tope

ys = h y = 0.5 0.119 = 0.381 m Momento de inercia de seccin T, no agrietada:

Ig = b hf^3 / 12 + b hf [y (hf / 2)] ^2} + {[bw (h hf) ^3] / 12} + {bw (h hf) ((ys (h hf) / 2) ^2, Sustituyendo valores:

Ig = 0.0079 m^4

El momento de fisuracin Mcr = fr Ig / ys (C9-9) = 3.29 x 0.0079 / 0.381 = 0. 06367 MN-m

La profundidad del eje neutro se halla con: bw(c hf) ^2 2n As (d c) + b hf (2c-hf) = 0 Sustituyendo valores

donde c = 0.056 m < hf = 0.1 m, por lo tanto es una viga rectangular Hallemos el

momento de inercia agrietado. Seccin rectangular con acero en la zona de traccin solamente:

Icr = (b c^3 / 3) + n As (d c) ^2 sustituyendo valores Icr = 0.00266 m^4

Ahora hallemos la relacin de Mcr/ M

Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 06367 / 0.08893 = 0. 7159

Carga muerta + Carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 06367 / (0.25568) = 0.249

Hallemos el momento de inercia efectivo en el centro de la luz:

Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 (Mcr / Ma) ^3] Icr Ig (C.9-8) Para Carga muerta Ie (cm) = 0.00458 < Ig, utilizamos Icr Para carga muerta + Carga viva = Ie (cm + cv) = 0.00274 < Ig, utilizamos Icr

7

3- Momento de inercia efectivo en el apoyo 2 Ig = b h^3 / 12 = 0.003125 m^4

ys = 0.5 / 2= 0.25 m

El momento de fisuracin es: Mcr = fr Ig / ys = 0.04625 MN-m

Seccin rectangular con acero en las dos zonas:

El eje neutro se halla con la siguiente frmula:

(bw c^2 / 2) + {n As + (n 1) As} c n As de (n 1) As d = 0 Sustituyendo valores

c = 0.14 m

Icr = (b c^3) + (n 1) As (c d) + n As (d-c) ^2 Icr = = 0.00255 m^4

Icr = 0.00255 m^4

Ahora hallemos la relacin de Mcr/ M

Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 04625 / 0.12336 =0. 3749

Carga muerta + carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 04625 / (0.632319) = 0.0731

Hallemos el momento de inercia efectivo en el apoyo 2

Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 (Mcr / Ma) ^3] Icr Ig Para carga muerta Ie(cm) = 0.0527 x 0.003125 + [1 0.0527] 0.00255 = 0.00258 < Ig, utilizamos Icr

Para carga muerta + Carga viva = Ie (cm + cv) = 0.00039 x 0.003125 + [1 0.00039] x 0.00255 = 0.0025 < Ig, utilizamos Icr

4- Hallemos el promedio de Ie. Segn (C.9.5.2.4)

Para carga muerta Ie(prom) = (0.00458 + 0.00258 ) / 2= 0.00358 m^4

Para carga muerta + carga viva = Ie (prom (cm + cv)) = (0.00274 + 0.0025) / 2 = 0.00262

Ie (prom (cm + cv)) = 0.00262m^2

5- Hallemos la deformacin instantnea

max (0.446 l) = 0.0069 w l^4 / EI = [0.0069 (12^4) / 24822] (w/ Ie (prom)) = 0.005764 w / Ie (prom)) Deformacin inicial para carga viva v = (v + m) - m = v = (0.005764 x 0.023 / 0.00262) (0.005764 x 0.008 / 0.00358) = 0.0377 m Deformacin inicial para carga muerta m = 0.005764 x 0.008 / 0.00358 = 0.0129 m

6. Hallemos la deformacin a largo plazo

El factor para considerar la deformacin a largo plazo es:

= / (1 + 50 )

En el centro de la luz = 0

Para 5 aos = 2.0 La deformacin total es: t = L + D

t = 0.0377 + 2.0 x 0.0129 = 0.0635 m 7- Las deformaciones permisibles son:

De la Tabla C.9.5(b)

L / 360 = 0.033 m < v = 0.0377 m No cumple

3 FLEXIN Y CARGAS AXIALES

El Reglamento no establece el formulario para estas solicitaciones (nicamente para compresin axial),

por lo tanto lo desarrollaremos en este epgrafe

8

Basndonos en (C.10.2 )Suposiciones de diseo y C.10.3 Principios y requisitos generales se obtiene

una familia de Estados de Deformaciones ltimas que provocan el fallo por resistencia o deformaciones

plsticas excesivas de la seccin. Estos estados de deformaciones ltimas se puede esquematizar

grficamente segn el Diagrama de Deformaciones o Dominios que se muestra en la siguiente figura

3.1 DIAGRAMA DE DOMINIOS

Plano de Referencia

6

- 0.003

B As d 1 D 1a

2 2a (de)

4a 3

5 4 A

As, 0.002 0.005 (s)

- 0.003 Fallo Balanceado ( = 0.9)

Compresin Controlada Traccin Controlada

zona de Transicin

Compresin Traccin

NOTA: El fallo balanceado (t = 0.002), corresponde para los aceros fy = 420 MPa

DOMINIO 1. TRACCIN SIMPLE O EXCNTRICA

En este Dominio toda la seccin est traccionada, por lo tanto, todas las armaduras trabajan a su resistencia

de clculo fy

La lnea A-D, corresponde al caso de traccin centrada (c 0)

Es traccin controlada por lo tanto, = 0.9 DOMINIO 1a. TRACCIN EXCNTRICA

(s)

La seccin contina traccionada. Las armaduras en la zona ms traccionada trabajan igual que en el Domi-

nio 1. Las armaduras de refuerzo menos traccionada varan desde fy a fy d/de

Es traccin controlada por lo tanto, = 0.9

DOMINIO 2a. FLEXIN SIMPLE O COMPUESTA

El esfuerzo de las armaduras ms traccionadas

siguen con los valores del Dominio 1

9

2a Los esfuerzos en las menos traccionadas varan

desde fy d/d hasta 0

Es traccin controlada por lo tanto, = 0.9

(s DOMINIO 2. FLEXIN SIMPLE O COMPUESTA

- 0.003 d

0.23076 de 2

de

(s)

Las armaduras traccionadas continan con los esfuerzos de Dominio 1

El esfuerzo de la armadura en la zona de compresin del concreto vara:

desde 0 hasta (0.003 0.01300052 d/de) Es

Es traccin controlada por lo tanto, = 0.9

DOMINIO 3. FLEXIN SIMPLE O COMPUESTA

- 0.003

0.23076 de

0.375 de de

3

0.005 (s)

El esfuerzo de las armaduras traccionadas se mantiene en fy

El esfuerzo de las armaduras de la zona comprimida del concreto vara desde el valor del Dominio 2 hasta:

[0.003- (0.02133 d/de)] Es, pero mayor de fy

Es traccin controlada, por lo tanto, = 0.9

4. FLEXIN SIMPLE O COMPUESTA

- 0.003

0.375 de

0.6 de

de 4

0.002 0.005

El esfuerzo de las armaduras en la zona traccionada se mantiene en fy

El esfuerzo de las armaduras en la zona comprimida vara desde el valor del Dominio 3 hasta:

(0.003 0.005 d/de) Es, pero no mayor de fy

10

Estando en la zona de transicin, el valor de es variable

DOMINIO 4a. FLEXIN COMPUESTA

- 0.003

0.6 de

de

4a

0.002

Es esfuerzo de las armaduras en la zona traccionada vara de fy hasta 0

El esfuerzo de las armaduras en la zona comprimida vara:

desde el valor del Dominio 4 hasta [0.003 (0.003d/de) Es, pero no mayor que fs

Es compresin controlada, por lo tanto tomara el valor de este control

DOMINIO 5. COMPRESIN COMPUESTA

- 0.003

de

5

El esfuerzo de la armadura menos comprimida vara desde 0 hasta - 0.003 (h de) / de Es El esfuerzo de la armadura ms comprimida vara desde el valor del Dominio 4a hasta 0.003 d / h Es, pero no mayor de fs

Es compresin controlada, por lo tanto tomara el valor para ese control DOMINIO 6. COMPRESIN COMPUESTA O COMPRESIN CENTRADA

- 0.003

6

de

El esfuerzo de la armadura menos comprimida vara desde el valor del Domino 5 hasta fy

El esfuerzo de la armadura ms comprimida vara desde el valor del Domino 5 hasta fy

Es Compresin Controlada, por lo tanto tomara el valor para ese control

3.2 DIAGRAMA DE INTERACCIN DE RESISTENCIA

11

Es posible resumir todas las condiciones en que puede estar sometida una seccin, aplicando un diagrama

de interaccin como se muestra en la siguiente figura

Toda combinacin de carga axial y momento de flexin aplicada a una seccin que caiga dentro de la curva

de interaccin es satisfactoria y puede ser resistida por la seccin, pero toda combinacin que caiga fuera

de la curva, excede la resistencia de la seccin

Hay varios puntos crticos que son sealados en el diagrama:

Punto A en el eje vertical, es el fallo a compresin axial (no hay momento flector) y la resistencia es PuA

La seccin est sometida a una deformacin unitaria uniforme

Pu (fuerza axial de compresin)

cu = 0.003

cu = 0.003 x Punto A (compresin axial) PuA

x

x

PuB

x eB

x

x Punto B (lmite de cero traccin cu = 0.003

x PuC (Pub)

eC (eb)

x y

cu = 0.003

1 x PuCa

e2 x eCa

1 x Punto C (fallo balanceado)

e3 x

x

e3a

1 x Punto Ca (t = 0.005) t = 0.005 Momento flector M (Pu e)

x

Punto B Flexin Simple

x cu = 0.003

x

Nu (Fuerza axial de traccin)

x

> y x Punto E (Traccin axial)

Nu E

12

DIAGRAMA DE INTERACCIN DE RESISTENCIA

Punto B representa cero traccin. La combinacin de la fuerza axial a compresin PuB y el momento

flector (PuB eb) en el Punto B (cuando se combina con la fuerza del presfuerzo), produce cero

deformacin en la fibra externa de la seccin. El fallo de la fibra externa del concreto se alcanza cuando

c = -0.003. Entre los Puntos A y Punto B, toda la seccin est a compresin Cuando la excentricidad de la carga aplicada es mayor que eB, la flexin causa traccin sobre parte de la

seccin. El Punto C, se le llama Punto de fallo balanceado. La deformacin unitaria en la fibra extrema

a compresin es cu = 0.003, y la deformacin unitaria del refuerzo a traccin es el punto de fluencia del refuerzo y = 0.2%. La excentricidad de la carga aplicada en el punto de fallo balanceado es eC = eb El Punto C es el punto de Compresin Controlada

Cuando la seccin tiene refuerzo Presforzado y no Presforzado con diferentes punto de fluencia y

colocados en diferentes posiciones en la seccin, el punto de fallo balanceado no est bien definido, pero

se toma para refuerzo con fy =420 MPa y para Presforzado t = 0.002 El Punto C casi siempre se toma como el punto correspondiente a una deformacin y en el refuerzo ms prximo a la fibra extrema a traccin de la seccin y es usualmente en o cerca del punto de mximo

capacidad de resistencia a momento flector

En todos los puntos entre Punto A y Punto C, el esfuerzo de traccin del refuerzo no llega al punto de

fluencia por lo cual, el fallo es por compresin del concreto ( seccin hiper-reforzada)

El Punto Ca es el punto donde el refuerzo toma una deformacin unitaria de t = 0.005, y es el Punto de

Traccin Controlada ( = 0.9) Entre los Puntos C y Punto Ca, la seccin est en zona de transicin

El Punto D es el punto de flexin simple, donde la fuerza axial es cero

El Punto E es el punto de fallo a traccin axial

En todos los puntos, entre los Puntos C y Punto E, el refuerzo alcanza el punto de fluencia y el fallo es a

traccin del refuerzo (seccin hipo-reforzada)

Cualquier lnea recta a travs del origen del grfico representa una lnea de excentricidad constante y se

denomina una lnea cargada. La pendiente de cada lnea cargada es (1 / e). Cuando se aumenta la fuerza de

compresin (Pu) a una excentricidad particular, ei, el ploteo de Pu M (M = Pu ei) sigue la lnea de pendiente 1/e hasta que la resistencia de la seccin es alcanzada al punto donde la lnea cargada y la curva

es interceptada. Si la excentricidad de la carga aplicada es aumentada, la lnea cargada se convierte ms

plana y la resistencia de la seccin a la carga ltima Pu se reduce

El contorno general de la curva es tpica para cualquier seccin que es hipo-reforzada en flexin simple

(cualquier seccin en la cual la traccin del refuerzo en el Punto D excede el punto de fluencia del

refuerzo. Un pequeo aumento de la fuerza de compresin axial Pu aumenta los esfuerzos internos de

compresin resultantes en la seccin, pero no apreciablemente reduce el esfuerzo interno de traccin, de

este modo aumentando la capacidad a momento , como se muestra por la parte de la curva entre los Puntos

D y Punto C

3.3 FLEXIN SIMPLE

Para el caso de Momento Simple (Punto B) la carga que produce el fallo de la seccin se le llama la

Carga ltima. En flexin simple es recomendables a que el fallo sea dctil, o sea, que sea un fallo por el

refuerzo a traccin y no por el concreto en compresin, que producira un fallo brusco. El aumento de la

ductilidad de una seccin puede aumentarse colocando refuerzo no Presforzado en la zona de compresin

del concreto, por lo cual, los esfuerzos de compresin de la seccin ser resistido por ese refuerzo y el

concreto. Al tener el concreto que resistir menor fuerza de compresin, la altura del bloque de compresin

se reduce y aumenta el brazo entre la fuerza de traccin T y la resultante del bloque de compresin C

Sea un elemento reforzado segn la figura siguiente. La seccin contiene refuerzo en la zona comprimida

del concreto y en la zona a traccin. En la figura tambin se muestra la distribucin de las deformaciones

unitarias y los esfuerzos para cuatro diferentes casos de momento aplicado. Cuando el momento M desde la

13

carga de servicio aumenta hasta la carga ltima, el eje neutro gradualmente asciende y el comportamiento

de los materiales ser no lineal

El refuerzo puede tener el esfuerzo de fluencia si su deformacin unitaria s es mayor que y = fy / Ey. El esfuerzo de compresin del concreto no ser lineal cuando su esfuerzo en la fibra extrema excede de 0.5 fc

se u

o As s2

(1)

(2) (3)

(4)

o As y c c < 0.5fc c < 0.5 fc fy As d < 0.5 fc fs As fs As fs As c Fc

kd

As s As s As s As s

1 - M en descom- 2 M en Mcr (momen- 3 -M despus de la prime- 4 en Mu presin de fisuracin) grieta (momento

ltimo)

3.4 SECCIONES GENERALES CON UN PLANO DE SIMETRA COINCIDENTE CON LA

DIRECCIN DE LA CARGA EXTERIOR

Consideremos el caso general de una seccin de cualquier forma, reforzada con armaduras distribuidas en

la seccin. (En la prxima pgina se muestra una seccin T y el refuerzo representado en dos

camadas, tanto en la zona comprimida y traccionada)

Notas:

Denominaremos z, la distancia entre la fuerza de compresin del concreto (0.85 fc Ac) y el refuerzo extremo (As1)

Se denomina t, a la deformacin unitaria del refuerzo extremo en traccin Se considera las tracciones positivas y las compresiones negativas

Se denomina h, a la altura total del elemento

14

Las deformaciones de las armaduras se obtienen de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones,

tomando para la fibra extrema de la seccin a compresin 0.003 y para el refuerzo extremo a traccin t

La posicin del eje neutro se obtiene de la ecuacin de equilibrio Fx = 0 n

As si 0.85 fc Ac = 0 1

Entonces si fy (traccin) y si - 420 MPa (compresin)

Ac d3 d2 As1 As2 d1 - 0.003 0.85 fc As11

o As2s2 o ho

o

o c

d4 As3 d14 d11 Ac 0.85 fc

As4 d13 As3 s3 d12

As4 As4 4

As4 s4 As3 o

o

As2 o

o

As1 t As2 s

As3 s3 As1 s1

Obtenindose (si) de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones Para que la seccin se considere que satisface el Momento de Clculo (Mu) debe cumplirse que:

Mu Mn = [ 0.85fc Ac z - Ai si (dn hi)] 3.4.1

z- la distancia desde el centroide del rea Ac hasta la armadura Asn

El momento nominal que aporta el concreto es:

Mcn = 0.85 fc Acmax z 3.4.2 Ace'max- rea mxima comprimida del concreto con altura a = 1 c, Para que la zona comprimida de la seccin resista, debe cumplirse que:

Mu Mcn = ( 0.85 fc Acmax z - Fi zi) 3.4.3 zi- distancia desde cada refuerzo hasta el refuerzo extremo a traccin

Fi- fuerza desarrollada por cada refuerzo

El Fallo Balanceado, o sea, cuando falla el concreto y el refuerzo en el mismo instante es cuando:

t = 0.002 (Compresin Controlada) y c = - 0.003 [para acero fy = 420 MPa y de Presforzado) Lo cual podra considerarse que el momento mximo que aporta el concreto es el que se obtiene en el fallo

balanceado (como lo consideran otras normas) y a partir de ah, reforzar la zona comprimida, modificar la

15

seccin, o utilizar otra calidad del concreto. El Reglamento, lo que hace, es que cuando no se alcanza un

valor de t 0.005 (Traccin Controlada), disminuye el valor de = 0.9 hasta alcanzar el valor de Compresin Controlada.

Para elementos no Presforzado en flexin y elementos no Presforzado con carga axial mayorada de

compresin menor a 0.1 fc Ag, el valor de t en el estado de resistencia nominal no debe ser menor de

0.004

3.5 SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA

Como seccin rectangular se considera la seccin rectangular propiamente dicha o cualquier seccin en

que la zona comprimida sea rectangular, independientemente de la forma que tenga la zona en traccin

Sea la seccin de concreto reforzada, sometida a momento flector

bw

-0.003 0.85 fc Fc a

di c

de

As i z

o si Asi i

o As1 s1 As si

o s1 t As fs1 Ap s

As

Para que exista equilibrio Fc = T donde T representa la fuerza de traccin de todos los refuerzos

Fc = 0.85 fc a bw = As fsi 3.5.1 El momento nominal mximo que resiste el concreto es Mcn max= Fc. z = 0.85 fc. a bw z 3.5.2 Donde a = As fs / 0.85 fc. bw Tomando momento con respecto a la fuerza Fc, hallamos que: Man = (As fi zi) 3.5.3 - 0.003

zi = de a/2 Mna momento nominal del refuerzo

El momento de clculo que resiste la seccin es: Mu = Mn c

Para conocer el valor de , es necesario conocer el valor t

como conocemos a, entonces hallamos c = a /1 de De la figura de deformacin, hallamos

s = -0.003 (de c) / c

con el valor de s, podemos determinar el valor de considerando una camada de refuerzo

El momento que resiste el acero es: Mna= (As fy ) z 3.5.4

El momento que resiste el concreto es: Mnc = 0.85 fca bw z 3.5.5 con el que se obtenga el menor valor, ese es el momento de clculo que resiste la viga

Para t = 0.005 c = 0.375 de a = 1 c z = de a/2 = de (1 0.1875 1)

Mc = 0.85 fc bw (de^2) [0.319 1 0.0598 (1) ^2] 0.9 3.5.6

Mc = ct fc bw [(de) ^2] 0.9 3.5.7

ct = [0.319 1 0.0598 (1)^2] 3.5.8

En la siguiente Tabla se muestra los valores de ct para t = 0.005 y las diferentes calidades de concreto

fc MPa 21

28

35

42

56

70

ct 0.228 0.228 0.217 0.205 0.182 0.182

Pudindose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) segn la siguiente ecuacin:

16

de = ( Mu / 0.9 ct fc bw) 3.5.9

Si por cualquier motivo es necesario utilizar un peralto menor al valor obtenido por la frmula anterior y

se desea seguir utilizando t = 0.005, entonces se debe aumentar la calidad del concreto o reforzar la zona

en compresin. Recordar que con este valor de t = 0.005, no se alcanza el fallo balanceado. El fallo

balanceado se alcanza cuando t = 0.002, para aceros fy = 420 MPa y se utilizara = 0.65 0.75

Para t = 0.002 c = 0.6 (de) a = 1 c z = de (1 0.3 1)

Mc = fc bw de^2 [0.51 1 0.153 (1) ^2] 3.5.10

Mc = cc fc bw de^2 3.5.11

En la siguiente Tabla se muestra los valores de cc para t = 0.002 y diferentes calidades de concreto

fc MPa

21

28

35

42

56

70

cc 0.323 0.323 0.310 0.296 0.267 0.267

Pudindose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) segn la siguiente ecuacin:

de = ( Mu / tc fc bw) 3.5.12

= 0.65 (0.75)

Si las dimensiones del elemento estn determinadas, se comprueba que la zona de compresin cumpla que:

Mu Mc 3.5. 13

Si lo anterior no se cumple, se debe aumentar la calidad del concreto o mejor colocar refuerzo en la zona de

compresin, este refuerzo debe ser de acero ordinario, ya que si coloca de Presforzado, disminuye la

resistencia del elemento en la zona comprimida

a) Zona de Traccin Ac = a bw

La altura (a) de la zona comprimida se obtiene igualando las fuerzas horizontales

bw a 0.85 fc = As s) 3.5.14

a = ( As fsi / 0.85 bw fc ....... 3.5.15

Considerando una camada de refuerzo y tomando momento con respecto al centroide de la zona

comprimida, debe cumplirse que:

Mu [ As fsi ( di 0.5 a)] ....... 3.5.16 NOTA: fsi representa el esfuerzo de las armaduras no extremas

Para el diseo, lo mejor es considerar el caso de t 0.005 y sustituyendo 3.5.15 en 3.5.16

y tomando en cuenta , obtenemos:

Mu = 085 fc a bw (de 0.5 a) 3.5.17 Dividiendo por (de), obtenemos:

(Mu / de) = 0.85 fc a bw (1 0.5 a / de)

Mu = 0.85 fc de a bw (1 0.5 a /de) 3.5.18

Multiplicando y dividiendo por (de) el segundo miembro

Mu = 0.85 fc [(de) ^2 / de] a bw (1 0.5 a / de) 3.5.19

17

Y llamando Co = [(a / de) (1 0.5 a / de)] 3.5.20

Mu = [ Co 0.85 fc bw (de) ^2] 3.5.21

Volviendo a tomar momento con respecto al centroide de la fuerza de compresin:

Mu = (As fy ) z 3.5.22

z = (de) 0.5 a 3.5.23

Dividiendo por (de) (z / de) = 1 0.5 a / de = j 3.5.24

Considerando

As fy = Mu / j de 3.5.25

Utilizando un solo tipo de armadura

As = Mu / fy j de 3.5.26

En la prctica se halla Co = [Mu /] / 0.85 fc bw de^2 3.5.27 Con este valor buscamos el valor de (j) en la Tabla de Co y hallamos el refuerzo necesario con la frmula

correspondiente. Como se est diseando, se considera que existe una sola camada de armadura, si

posteriormente es necesario ms de una camada se coloca en su posicin la armadura y se revisa la seccin

Nota: En la Tabla k = a / de y j = z / de

Predimensionamiento

Para predimensionar las vigas se puede considerar que el peralto debe ser de (1/10 a 1/12) L, donde L es la

luz de la viga

Como referencia se puede tomar las siguientes dimensiones de vigas segn la luz:

L 5.5 m 25 x 50 cm, 30 x 50 cm L 6.5 m 25 x 60 cm, 30 x 60 cm, 40 x 60 cm L 7.5 m 25 x 70 cm, 30 x 70 cm, 40 x 70 cm L 8.5 m 30 x 75 cm, 40 x 75 cm, 40x 80 cm L 9.5 m 30 x 85 cm, 40 x 85 cm, 40 x 90 cm

Cuando diseamos un elemento para el fallo balanceado, obtenemos el peralto (de) menor, sin refuerzo en

la zona de compresin, pero la cantidad de refuerzo es grande, debido a que (z) es pequeo y el valor de , es pequeo tambin, o sea, es compresin controlada

Para t = 0.002 c = 0.6 (de) a = 1 c z = de (1 0.3 1)

Co = [(a / de) (1 0.5 a / de)] / 3.5.20

Si t < 0.002, se puede producir un fallo quebradizo por el concreto

18

Valor de k y j segn Co

Co k j Co k J Co k j

0.4278 0.62 0.69 0.4662 0.74 0.63 0.4902 0.86 0.57

0.4352 0.64 0.68 0.47122 0.76 0.62 0.4928 0.88 0.56

0.4422 0.66 0.67 0.4758 0.79 0.61 0.4950 0.9 0.55

0.4488 0.68 0.66 0.48 0.80 0.60 0.4960 0.92 0.54

0.455 0.7 0.65 0.4838 0.82 0.59 0.4982 0.94 0.53

0.4608 0.72 0.64 0.4872 0.84 0.58 0.4998 0.98 0.51

19

Cuando diseamos un elemento para t = 0.005 , obtenemos un peralto (de) mayor, pero la cantidad de

refuerzo es menor, debido a que (z) es mayor y el valor de , es mayor tambin, o sea, es traccin controlada y el fallo si se produce es por el refuerzo y no es un fallo quebradizo

Para t = 0.005 c = 0.375 de a = 1 c z = de a/2 = de (1 0.1875 1)

Es aconsejable utilizar un valor de t = 0.0075, a fin asegurar una buena adherencia entre las barras y el concreto y proveer un buen control de deformacin entre otros

Tabla A Para fc= 21 MPa y fc= 28 MPa, se obtienen los siguientes valores:

t = 0.0075 Co = 0.2133 c = 0.2857 k = 0.2428 j = 0.8786 = 0.9 1 = 0.85

t = 0.005 Co = 0.2679 c = 0.375 k = 0.3187 j = 0.8406 = 0.9 1 = 0.85

t = 0.002 Co = 0.3799 c = 0.600 k = 0.5100 j = 0.7450 = 0.65 (0.75) 1 = 0.85

Para fc= 35 MPa

t = 0.0075 Co = 0.2024 c = 0.2857 k = 0.2285 j = 0.8857 = 0.9 1 = 0.80

t = 0.005 Co = 0.2550 c = 0.375 k = 0.3000 j = 0.8500 = 0.9 1 = 0.80

t = 0.002 Co = 0.3648 c = 0.600 k = 0.4800 j = 0.7600 = 0.65 (0.75) 1 = 0.80

Para fc= 42 MPa

t = 0.0075 Co = 0.1913 c = 0.2857 k = 0.2142 j = 0.8928 = 0.9 1 = 0.75

t = 0.005 Co = 0.2417 c = 0.375 k = 0.28125 j = 0.8594 = 0.9 1 = 0.75

t = 0.002 Co = 0.3487 c = 0.600 k = 0.4500 j = 0.7750 = 0.65 (0.75) 1 = 0.75

3.6 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIN

SIMPLE CUANDO SE QUIERE UTILIZAR UN VALOR DETERMINADO DE t 1) Determine Mu

2) Seleccione los valores de fc, bw, fy, t y obtenga y Co 3) Obtenga el valor del peralto efectivo (de) con la frmula:

Co = [Mu /] / 0.85 fc bw de^2 3.5.27

de^2 = [Mu / ] / 0.85 fc bw Co

4) Obtenga el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de 3.5.26

3.7 Determine el peralto y el refuerzo necesario de un elemento que est sometido a

Mu = 1 MN-m

para A) t = 0.0075 B) t = 0.005 y C) t = 0.002

Solucin:

A)

1) Mu = 1 MN-m

2) fc= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.0075

De la Tabla A Obtenemos: t = 0.0075 Co = 0.2024 c = 0.2857 k = 0.2285 j

= 0.8857 = 0.9

3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu / ] / 0.85 fc bw Co

de^2 = [1 / 0.9 ] / 0.85 x 35 x 0.3 x 0.2024 = 0.6151m

de = 0.7842 m 0.79 m

4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de 3.5.26 As = 1 / (420 x 0.8857 x 0.7842 x 0.9) = 0.0038088 m = 38.09 cm

La seccin es de bw = 0.3m, de = 0.79 m y con refuerzo de As = 38.09 cm

B)

20

1) Mu = 1 MN-m

2) fc= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.005

De la Tabla A Obtenemos: t = 0.005 Co = 0.2550 c = 0.375 k = 0.3000 j = 0.8500

= 0.9

3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu / ] / 0.85 fc bw Co de^2 = [1 / 0.9 ] / 0.85 x 35 x 0.3 x 0.2550 = 0.488217m

de = 0.698725 m 0.70 m

4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de XIII. 8.26 As = 1 / (420 x 0.85 x 0.698725 x 0.9) = 0.00445 m = 44.54 cm

La seccin es de bw = 0.3m, de = 0.70 m y con refuerzo de As = 44.54 cm

C)

1) Mu = 1 MN-m

2) fc= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.002

De la Tabla A Obtenemos: t = 0.002 Co = 0.3648 c = 0.600 k = 0.4800 j = 0.7600

= 0.65 (0.75)

3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu / ] / 0.85 fc bw Co de^2 = [1 / 0.9 ] / 0.85 x 35 x 0.3 x 0.3648 = 0.341267m

de = 0.58418 m 0.58 m

4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de 3.5.26 As = 1 / (420 x 0.76 x 0.58418 x 0.9) = 0.005958 6m = 59.59 cm

La seccin es de bw = 0.3m, de = 0.58 m y con refuerzo de As = 59.59 cm

Conclusin:

Al analizar los problemas anteriores comprobamos que para un elemento sometido a flexin simple, al

aumentar el valor de t, se aumenta el peralto de la seccin y se disminuye la cantidad de refuerzo

3.7 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIN

SIMPLE CUANDO SE CONOCE LA SECCIN

1) Determine Mu

2) Seleccione los valores de fc, fy

3) Se halla Co = Mu / 0.85 fc bw d^2 4) En la Tabla de Co, hallamos k y j

5) Suponemos que es traccin controlada y tomamos = 09

6) Hallamos el esfuerzo necesario con As = Mu / fy j de 3.5.26 7) Comprobamos que es traccin controlada con: t = 0.003 (de c) / c . Si no se cumple, entonces con el valor hallado de t, se vuelve a disear el elemento

3.8 Diseo de una seccin rectangular reforzada con refuerzo ordinario

Disear una seccin reforzada que est sometido a un momento flector de clculo de:

Mu = 0.25 MN-m

Datos: fc = 28 MPa armadura fy = 420 MPa bw = 0.25 m h = 0.50 m de = 0.46 m

Solucin:

1- 0.25 MN-m 2- fc= 28 MPa, fy= 420 MPa

3- con Co = Mu / 0.85 fc bw d^2 = 0.2206 y de la Tabla j = z / de = 0.8735 k = a / de = 0.253

a = 0.253 x 0.46 = 0.11638 m c = 0.111638 / 0.85 = 0.1369 m

La armadura necesaria es: As = Mu / fy j de = 0.001164 m^2 = 16.45 cm^2

Hallemos t = 0.003 (de c) / c = = 0.0071 > 0.005

Como st > 0.005 Es traccin controlada

21

Se utilizar una seccin de 0.25 x 0.60 m de = 0.46 reforzada con 16.45 cm

3.9 REVISIN DE SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA

COMPRIMIDA

Sea la seccin de la figura

bw

-0.003 0.85 fc Fc a

di c

de

o As z

o si

o As1 s1 As fs1

o s1 As fs1

As

Para que exista equilibrio Fc = T donde T representa la fuerza de traccin de todos los refuerzos

Fc = 0.85 fc a bw = As fy donde a = (As fy) / 0.85 fc b Tomando momento con respecto a la fuerza Fc, hallamos que: Mn = (As fy ) z - 0.003

z = de a/2 Mn momento nominal

Momento de clculo que resiste la seccin es: Mu = Mn c

Para conocer el valor de , es necesario conocer el valor t

como conocemos a, entonces hallamos c = a /1 de De la figura de deformacin, hallamos

t = 0.003 (de c) / c

con el valor de p, podemos determinar el valor de t

El momento que resiste el acero es: Mna= (As fy ) z

El momento que resiste el Concreto es: Mnc = 0.85 fca b z con el que se obtenga el menor valor, ese es el momento de clculo que resiste la viga

3.10 PASOS A SEGUIR PARA REVISIN DE SECCIONES RECTANGULARES SOMETIDAS A

MOMENTO FLECTOR

1- Determine Mu, fc, fy, As, de, bw

2- Asuma que s t 3- Halle T = As fy 4- Halle a = As fy / 0.85 fc bw

5- Halle c = a / 1

6- Determine s = (de c) x 0.003 / c

7- Compruebe que s t 8- Halle el momento nominal del refuerzo Mna = As fy [h (a/2)]

9- Halle Mn, con = 0.9

10- El momento que resiste es Mn

3.11 Revisin de una seccin rectangular sometida a momento flector

Determinar el momento de clculo que resiste una seccin que tiene una base bw = 25 cm (0.25 m) y

peralto efectivo de de = 40 cm (0.4 m), reforzada con 3 No. 8 (As = 15.3 cm^2 = 0.00153 m^2), colocadas en la zona en traccin

fc. = 28 MPa

22

fy = 420 MPa

Asumiendo que s t T = As fy = 0.00153 x 420 = 0.6426 MN

a = As fy / 0.85 fc bw = 0.6426 / 0.85 x 28 x 0.25 = 0.108 m

c = a / 1 = 0.108 / 0.85 = 0.127 m

El esfuerzo neto de traccin del refuerzo es:

s = (de c) x 0.003 / c = (0.4 0.127) x 0.003 / 0.127 = 0.00645 > 0.005, por lo tanto, est en traccin

controlada y = 0.9

s > 0.004 que es el mnimo para flexin El momento nominal Mna = As fy [h (a/2)] = 0.6426 [0.4 0.108 / 2) = 0.2223 MN-m No es necesario calcular el momento que resiste la zona comprimida ya que traccin controlada

El momento de clculo Mn = 0.9 x 0.2223 = 0.20 MN-m

3.12 SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA En Flexin Simple no es aconsejable colocar armadura en la zona comprimida, si es necesario, entonces

que sta sea armadura ordinaria, ya que la Presforzado disminuye la resistencia de la zona comprimida, es

mejor, aumentar las dimensiones de la seccin, pero a veces, debido a necesidades tecnolgicas o

arquitectnicas, no es posible esto, por lo cual es necesario reforzar la zona comprimida.

Las ventajas de refuerzo en la zona comprimida, son:

- El aumento en la ductilidad, este comportamiento es bueno en zonas de riesgo ssmico, o si se desea la redistribucin de esfuerzos

- Disminuye las deflexiones a largo plazo Cuando se realiza el anlisis de elemento con doble refuerzo, se divide la seccin en dos partes:

1- Se considera que una parte del refuerzo As trabaja con el bloque de compresin del concreto o sea As1 = (As As )

2- Los dos refuerzos As = As trabajan como un par de fuerzas

Parte 1

El momento nominal Mn = ( As As ) fy [d (a / 2)] 3.12.1 a = ( As As ) fy / 0.85 fcbw

Parte 2

El momento nominal Mn2 = As2 fy (d d) 3.12.2 Sumando las partes obtenemos:

Mn = (As As) fy [d (a / 2)] + As2 fy (d d) 3.12.3

Debe cumplirse que Mu Mn La ecuacin anterior es slo vlida si el refuerzo As llega a su lmite elstico

As -0.003 0.85 fc As fs As

o

Fc

As

o

t As fy

As

23

d recubrimiento de la armadura en compresin

Es aconsejable que Mu 1.33 Mc Para comprobar que es traccin controlada, la relacin c/de 0.375, y si es posible = 0.35.

Halle s = (de c) x 0.003 / c, compruebe que s t Halle la deformacin unitaria del refuerzo a compresin con: s = 0.003 (c d)/ c

c = a / 1 = As As) fy / 0.85 1 fcbw debe comprobarse que s fy / Es

0.003 { 1 [0.85 1 fcd / ( )fy de)]} (fy / Es) 3.13.4 Si s s, el esfuerzo en el refuerzo a compresin, se calcula con:

fs = Es s fs= 0.003 Es {1 [(0.85 1 fsd) / ( )fy d]} 3.12.4 Cuando el refuerzo As no llega al lmite elstico, entonces el bloque de compresin debe ser calculado

utilizando el actual esfuerzo del refuerzo As

a = As fy Asfs/ 0.85 fcbw 3.12.5 La ecuacin 3.12.5, se utiliza para un tanteo inicial para obtener (a)

Cuando se conozca (c), se halla s El momento nominal es: Mn = (As fy Asfs) [(de (a / 2)] + Asfs(de d) 3.12.6 En la siguiente Tabla se muestra el peralto mnimo que debe tener una viga para que el refuerzo a

compresin llegue a su lmite elstico

Peralto mnimo para que el refuerzo a compresin llegue a su lmite elstico

t = 0.004 t = 0.005 de mnimo para d = 6.3 cm de mnimo para d = 6.3 cm

fy (MPa) d/ de mximo cm d/ de mximo cm

280 0.23 26.7 0.2 31.2

420 0.13 47.7 0.12 54.5

525 0.06 108.5 0.05 123.9

3.13 PASOS A SEGUIR PARA DISEAR UN ELEMENTO RECTANGULAR CON REFUERZOS

EN LA ZONA A TRACCIN Y COMPRESIN

1- Determine Mu, fc, As, As, de, bw 2- Determine Mn1 de una seccin con refuerzo solamente en la zona de traccin con:

As1 = As As. Verifique que As1 no da 1 < 0.005 3- Halle Mn2 = Mn = Mu y se determina As2 = As

El refuerzo total en la zona de traccin es As = As1 + As

4- Compruebe que el refuerzo a compresin llega a su lmite elstico o no 5- Se debe comprobar que se cumple el mnimo refuerzo requerido

3.14 Diseo de una seccin sometida a flexin

Una seccin con de = 0.70 m, con una base de 0.30 m. esta sometida a un momento ltimo de

1.1 MN-m. Determine el refuerzo necesario utilizando un refuerzo de 420 MPa. El concreto es

fc. = 28 MPa Solucin:

Vamos a disear para traccin controlada. Entonces la zona a compresin resiste un momento de:

Mc = ct fc bw [(de) ^2] 0.9

ct = [0.319 1 0.0598 (1) ^2]

Para concreto de fc. = 28 MPa, ct = 0.228

Mc = ct fc bw [(de) ^2] 0.9 = 0.228 x 28 x 0.30 [0.70^2] 0.9 = 0.846 MN-m, como es menor que Mu se tiene que reforzar con acero, la zona en compresin. El momento que tiene que resistir el refuerzo

es: Ma = Mu - Mc =1.1 0.846 = 0.254 MN-m El rea de acero es As = Ma / fy (de recubrimiento) As= 0.254 / 420 (0.70 0.05) = 0.00093 m^2 = 9.3 cmcm^2

El refuerzo a traccin necesario es 0.00093 + Mc / fy z

para = 0.005 tenemos z = de a/2 = de (1 0.1875 1) = 0.70 (1 0.1875 x 0.85) = 0.5888 m

24

As = 0.00093 + 0.846 / (420 x 0.5888) = 0.00093 + 0.00342 = 0.00435 m^2 = 43.35 cm^2

En este caso el momento que resiste el concreto y el acero a compresin es menor que:

1.33 de Mc = 1.125 MN-m

3.15 SECCIN T SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA

En el caso de que c hf, el elemento se considera como si fuera un elemento rectangular donde (bw) se be toma como (be)

hf

de

o

bw

Si c > hf, entonces la seccin se considera como T y el valor de (a) puede ser mayor o menor que hf. Si c

es mayor que hf y a es menor que hf, la viga puede ser considerada como viga rectangular

Si c y a son mayores que hf entonces la viga se consideracomo viga T

Las vigas T pueden considerarse como una viga reforzada a compresin y a traccin, donde la zona

(be bw) fc es el refuerzo a compresin o hallando el momento nominal que resiste la zona comprimida con:

Mn = [ (ct + X) 0.85 fc b (de) ^2] 3.15.1

X = [(be/ bw) 1] (hf /de) (1 (hf/2 de) 3.15.3

El valor de ct es el mismo que para la seccin rectangular con ancho (bw) y peralto (de) En vigas vaciadas con la losa: be = 16 hf + bw 3.15.4

La parte de un ala 8 hf y no mayor de la mitad de la luz libre de la losa

En la zona traccionada:

Tomando momento con respecto a la fuerza de compresin tenemos:

Mn = As fy z 3.15.5

Adems, tenemos que:

0.85 fc (be bw) hf + 0.85 fc a bw = As fy 3.15.6 y con el valor de (a) se halla el valor de (z)

Para asegurar que es traccin controlada, la relacin c / de 0.375

3.17 Revisin de una seccin T sometida a momento flector

Determinar el momento flector de clculo que existe la seccin de la figura

Datos:

fc = 28 MPa Armadura fy = 420 MPa

be = 0.4 m

hf =0.2 m

de = 0.6 m

As = 50 x 10^ (-4) m^2 = 0.005 m^2

o

bw = 0.2 m

Solucin:

As fy = 0.85 fc bw a a = As fy / 0.85 fc b = 0.22 m > ho = 0.20 m. Trabaja como T

Tenemos: Mn = [ (ct + X) 0.85 fc b (de) ^2] X = [(be/b) 1] (ho/d) [1 (ho / zd)] = 0.2777

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Mn = [(0.228 + 0.2777) 0.85 x 28 x 0.2 x (0.6) ^2 = 0.8666 MN-m

El momento nominal del concreto es: 0.8666 MN-m a= [As fy 0.85 fc (be b) ho] / fc b = 0.205 m

a = 0.205 m > hf por lo tanto trabaja como viga T

El centro de gravedad de la zona comprimida est a:

ycg = Sc / Ac = 0.10034 m del borde superior

z = 0.6 0.10034 = 0.4996 = 0.5 m La resistencia nominal de la zona de traccin es:

Mna = As fy z = 1.05 MN-m

La zona comprimida resiste un momento nominal de Mnc = 0.8666 MN-m y la zona traccionada de:

Mna = 1.05 MN-m, por lo tanto, la seccin resiste un momento nominal de Mn= 0.866 MN-m

c =a / 1 = 0.205 / 0.85 = 0.24118 m

s = (de c) 0.003 / c = (0.6 0.2411) 0.003 / 0.2411 = 0.00465 < 0.005

Esta en la zona de transicin, entonces = 0.871

Mn = 0.871 x 0.866 = 0.754 MN-m Resiste un momento de clculo de 0.754 MN-m

3.17 Disear el refuerzo de la seccin de la figura sometida a momento flector de:

Mu = 0.97 MN-m

be = 0.4 m

Datos:

fc = 28 MPa fy = 420 MPa hf = 0.15 m de

de = 0.6 m o

bw = 0.2 m

Para el diseo del refuerzo es ms cmodo, determinar el refuerzo necesario como la suma del refuerzo que

trabaja con las alas y con el alma de la seccin.

El ala resiste un momento flector de clculo considerando traccin controlada de:

Mu ala / = (0.4 0.2) 0.15 (0.6 0.1) 0.85 x 28 / 0.9 = 0.396 MN-m El refuerzo para equilibrar este momento es:

As = 0.396 / 420 x 0.5 = 0.001892 m^2

El alma debe resistir: 0.972 0.396 = 0.574 MN-m Ahora consideremos como si fuera una viga rectangular de 0.2 m x 0.6 m y en traccin controlada

Co = 0.574 / 0.9 x 28 x 0.2 x 0.6^2 = 0.318, de la Tabla, hallamos z/d = 0.8225 a/d = 0.305

a = 0.42 x 0.6 = 0.19125 m > 0.15 m, por lo tanto la viga en su conjunto trabaja como viga T

z = 0.8025 x 0.6 = 0.4815 m As = 0.574 / 420 x 0.4815 = 0.00283 m^2 El refuerzo total ser = 0.001892 + 0.00283 = 0.00473 m^2 = 47.30 cm^2

c = 0.19125/ 0.85 = 0.225 m

s = (de c) 0.003 / c = (0.6 0.225) 0.003 / 0.225 = 0.005 Es traccin controlada se puede utilizar

= 0.9 El refuerzo necesario es 47.30 cm^2

3.18 SECCIN T CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA

Una solucin para elementos de seccin T es la siguiente:

Hallamos la fuerza que produce las alas, que es: Fal = (be bw) 0.85 fc 3.18.1 Hallamos que parte del refuerzo en la zona traccionada es igual: As(1) = Fa1/ fy 3.18.2

Se revisa o se disea la seccin para un momento Mu Fa1 (de ho/2) 3.18.3, considerndola rectangular

Si se disea, se aumenta el refuerzo en una cantidad igual As (1) y si se revisa se disminuye en la misma

cantidad

3.19 Diseo del refuerzo necesario de una seccin sometida a momento flector

26

Determinar el rea necesaria de refuerzo para una viga de b = 0.3 m, d = 0.5 m

fc. = 28 MPa fy = 420 MPa

Sometida a un momento flector de clculo (ltimo) = 0.54 MN-m

a) Determinemos el momento flector que resiste la zona en compresin del concreto (Mnh)

considerando que es tensin controlada ( = 0.9), entonces Mn = 0.54 / 0.9 = 0.6 MN-m Para este caso: c = 0.375 d = 0.375 x 0.5 = 0.1875 m

a = 1 c = 0.85 x 0.1875 = 0.159 m Mnh = 0.85 fc b a [h (a/2)] = 0.477 MN-m Como Mn > Mnh, es necesario colocar refuerzo en la zona comprimida

Colocando el refuerzo en compresin a 0.05 m de la parte superior de la viga tenemos que s = 0.002 fs = 0.002 x Es = 420 MPa Mn = Mn Mnh =0.6 0.477 = 0.13 MN-m El rea de acero a compresin ser: As = Mn / fs (h d) ) sustituyendo valores As = 0.0006878 m^2 = 6.8783 cm^2

El rea de acero en la zona traccionada ser:

As = As + Mnh / fy (d a/2) sustituyendo valores

As = 0.0033778 m^2 = 33.78 cm^2

Por lo tanto: As = 33.78 cm^2 y As = 6.8783, y el rea total ser: At = 40.65 cm^2

b) Determinemos el momento flector que resiste la zona de compresin en el fallo balanceado: s = 0.002 Esto es slo como EJEMPLO,

En este caso cb= 0.6 d = 0.6 x 0.5 = 0.3 m

a = 0.85 x 0.3 = 0.255 m

Mb = 0.85 fc a b (d