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Skriptum zur Vorlesung

Einfuhrung in die Physikalischen

Rechenmethoden I + II

Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago

Universitat WienFakultat fur Physik

Institut fur ExperimentalphysikBoltzmanngasse 5, 1090 [email protected]://comp-phys.univie.ac.at

Literatur

Lehrbucher

- George Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, San Diego (1985).

- Siegfried Großmann, Mathematischer Einfuhrungskurs fur die Physik, Teubner, Stuttgart(1974).

- Sadri Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Springer-Verlag, New York (2000).

- Helmuth Horvath, Rechenmethoden und ihre Anwendungen in Physik und Chemie, Biblio-graphisches Institut, Mannheim, Wien, Zurich (1977).

- May-Britt Kallenrode, Rechenmethoden der Physik, Springer-Verlag, Berlin (2003).

- Klaus Weltner, Mathematik fur Physiker I und II, Springer-Verlag, Berlin (2001).

- Helmut Fischer und Helmut Kaul, Mathematik fur Physiker, Teubner, Stuttgart (1988).

- Gerhard Berendt und Evelyn Weimar, Mathematik fur Physiker, Physik-Verlag, Weinheim(1979).

Formelsammlungen

- Johann Rast (Heinrich Netz), Formeln der Mathematik, Carl Hanser Verlag, Munchen, Wien(1983).

- Hans-Jochen Bartsch, Taschenbuch Mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig (2004).

- Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Taschenbuch der Mathema-tik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main (2000).

Web-Ressourcen

- http://mathworld.wolfram.com

- http://www.mathe-online.at

3

Inhaltsverzeichnis

I Einfuhrung in die Physikalischen Rechenmethoden I 9

1 Funktionen 11

1.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Funktionstafel (Wertetabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.5 Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.7 Singularitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Neue Funktionen aus alten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.4 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.5 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.6 Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.7 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.8 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Vektoren 35

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Gleiche, inverse und parallele Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2 Vektoraddition und -subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3 Komponentenweise Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5

6 INHALTSVERZEICHNIS

2.5 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.3 Komponentenweise Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2 Komponentenweise Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Rechenregeln und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7 Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8 Anwendungsbeispiele fur Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8.1 Stromung durch eine Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8.2 Rotation eines Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.8.3 Volumen einer Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Differentiation 67

3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3 Wichtige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.6 Umkehrregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6 Maxima und Minima von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7 Differentiation von Funktionen in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8 Differentiation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.9 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.9.1 Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.9.2 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.9.3 Anstieg einer impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Integration 83

4.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Wichtige unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral . . . . . . . . . 894.5 Rechenregeln fur das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6 Grundregeln des Integrierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.6.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6.3 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 Rotationskorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8 Berechnung von Bogenlangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.9 Mittelwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.10 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.10.2 Berechnung von Doppelintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.10.3 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.11 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.11.2 Berechnung von Dreifachintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

INHALTSVERZEICHNIS 7

4.11.3 Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 1204.12 Integration von vektorwertigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II Einfuhrung in die Physikalischen Rechenmethoden II 123

5 Komplexe Zahlen 125

5.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Rechenregeln fur komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.2 Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl . . . . . . . . . 1285.2.3 Komplex konjugierte Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.2.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3 Die Exponentialform von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3.1 Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3.2 Polardarstellung von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.3 Umkehrung der Eulerschen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.4 Additionstheoreme fur Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.3.5 Komplexe Zahlen als Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4 Potenzieren und komplexe Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5 Darstellung von Kurven mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 Fehlerrechnung 141

6.1 Systematische und statistische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2 Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.3 Verteilungen und Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.3.2 Momente einer Verteilung, Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.3 x und s2 als Schatzer fur µ und σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3.4 Fehler des Mittelwerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.5 Die Gaußsche Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3.6 Verteilung diskreter Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.7 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.4 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.4.1 Fortpflanzung von Maximalfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4.2 Fortpflanzung statistischer Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.5 Ausgleichsrechnung (Fitten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7 Differentiation von Feldern: grad, div und rot 167

7.1 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.3 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.2.4 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3.2 Anschauliche Interpretation als lokale Quellstarke . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.5 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.2 Anschauliche Interpretation als lokale Wirbelstarke . . . . . . . . . . . . . . 179

8 INHALTSVERZEICHNIS

7.5.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.5.4 Wirbelfreie und quellenfreie Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6 Zusammenfassung Nabla-Operator ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8 Integration von Feldern: Kurven- und Flachenintegrale 187

8.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.1.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.1.3 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.1.4 Kurvenintegrale uber Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2 Oberflachenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.2.2 Darstellung der Flache und des Flachenelements . . . . . . . . . . . . . . . 2008.2.3 Das Flachenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.2.4 Berechnung des Oberflachenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.3 Der Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.3.1 Integraldarstellung der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.3.2 Formulierung und Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.3.3 Partielle Integration mit Hilfe des Gaußschen Satzes . . . . . . . . . . . . . 2128.3.4 Die Satze von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.4 Der Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.4.1 Integraldarstellung der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.4.2 Formulierung und Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.4.3 Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.4.4 Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9 Differentialgleichungen 227

9.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.2 Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.2.1 Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . 2309.2.2 Homogene lineare Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.2.3 Inhomogene lineare Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.3.1 Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . 2469.3.2 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2499.3.3 Die gedampfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.3.4 Die inhomogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 256

10 Die Taylorreihe 261

10.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.2 Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.3 Allgemeine Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.4 Abgebrochene Taylorreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.5 Fehlerabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Teil I

Einfuhrung in die PhysikalischenRechenmethoden I

9

Kapitel 1

Funktionen

1.1 Der Funktionsbegriff

In der Physik (und in den Naturwissenschaften im Allgemeinen) arbeiten wir mit Großen, die ent-weder konstant sind (d.h. sie nehmen wie die Lichtgeschwindigkeit oder die Erdbeschleunigung nurbestimmte, fixe Werte an) oder eine ganze Fulle von Werten annehmen konnen. Wir unterschei-den deshalb zwischen Konstanten und Variablen (z.B. verstrichene Zeit, Lange eines Objekts,Position eines Objekts, Temperatur eines gewissen Materials, Druck eines Gases, etc.).

Um physikalische Zusammenhange zu verstehen, betrachten wir oft eine Variable in Abhangigkeiteiner anderen Variablen. So konnten wir zum Beispiel daran interessiert sein, wie sich der Druckp eines in einem bestimmten Volumen V eingeschlossenen Gases verhalt, wenn dessen TemperaturT verandert wird. Fur jede Temperatur T herrscht im Gas ein bestimmter Druck p. In anderenWorten: der Druck p andert sich mit der Temperatur T . Zur Beschreibung solcher Zusammenhangezwischen Variablen benutzen wir Funktionen.

Definition: Eine Funktion f(x) ordnet jedem Element x des Definitionsbereichs D eindeutig einElement y des Wertebereichs W zu (siehe Abb. 1.1).

Abbildung 1.1: Die Funktion f(x) mit Definitionsbereich D und Wertebereich W .

Wir sagen dann, dass wir y als Funktion von x betrachten. In unserem Beispiel mit dem Gasbetrachten wir etwa den Druck p als Funktion der Temperatur T und schreiben p(T ). Wichtigist hier, dass die Zuordnung eindeutig ist. Das heißt, dass jedem Wert x genau ein Wert yzugeordnet wird (sonst ist f(x) keine Funktion) (siehe Abb. 1.2). Es ist also nicht erlaubt, einemElement des Definitionsbereichs zwei oder mehr Elemente des Wertebereichs zuzuordnen. Hingegendarf sehr wohl ein Element des Wertebereichs mehreren Werten des Definitionsbereichs angehoren.Auch muss nicht jedes Element des Wertebereichs vom Definitionsbereich aus erreicht werden. DieWurzelfunktion f(x) = ±√

x ist daher beispielsweise keine echte Funktion, da sowohl der negativeals auch der positive Wert der Wurzel zulassig sind. Betrachtet man hingegen nur den positivenoder den negativen Zweig der “Wurzelfunktion”, sind alle geforderten Eigenschaften erfullt.

Die Funktion f(x) ist also eine Zuordnungsvorschrift. Dabei wird x als unabhangige Variable

11

12 1 Funktionen

Abbildung 1.2: Nur eine eindeutige Zuordnung ist eine Funktion.

oder Argument (auch Stelle) bezeichnet und y als abhangige Variable oder Funktionswert.

Man kann die Zuordnung auch schreiben als

xf−→ y oder f : x 7→ y. (1.1)

Dies bedeutet, dass die Funktion f dem Wert x einen Wert y zuordnet. Diese Notation werdenSie jedoch kaum in Physikbuchern finden. Oft wird in der Physik auch der Definitionsbereichnicht explizit erwahnt. Dieser ergibt sich meistens aus dem Zusammenhang. Funktionen werdenauch Abbildungen genannt und man sagt “x wird auf y abgebildet”. Die Notation f(x) fur eineFunktion ist eigentlich ungenau, denn genau genommen bezeichnet f(x) den Funktionswert an derStelle x und nicht die Zuordnungsvorschrift. Diese Schreibweise ist jedoch sehr praktisch und wirddaher in der Physik gerne benutzt.

1.2 Darstellung von Funktionen

Funktionen lassen sich auf verschiedene Weisen darstellen, wie wir im Folgenden besprechen werden.

1.2.1 Analytische Darstellung

In der analytischen Darstellung wird die Zuordnungsvorschrift als Gleichung (Funktionsglei-

chung) in einer von drei Formen angegeben:

• Explizite Darstellung: y = f(x)

Die Funktion ist nach einer Variablen aufgelost und der Wert y kann fur ein bestimmtesArgument x sofort berechnet werden, zum Beispiel y = x2. In diesem Fall haben wir eineRechenvorschrift, mit der wir f(x) direkt aus x ermitteln konnen.

• Implizite Darstellung: F (x, y) = 0

Die Funktion ist nicht nach einer der beiden Variablen aufgelost. Ein Beispiel ist die Gleichungeines Kreises mit Radius 1 um den Ursprung: x2 + y2−1 = 0. In vielen Fallen ist es moglich,die implizite Darstellung in eine explizite zu verwandeln, zum Beispiel (x2 + y2 − 1 = 0) →y1 =

√1 − x2 und y2 = −

√1 − x2. Diese Verwandlung von impliziter zu expliziter Form ist

jedoch nicht immer moglich.

• Parameterdarstellung:

Bei dieser Form der Darstellung werden beide Variablen (sowohl das Argument als auch derFunktionswert) als Funktion einer Hilfsvariablen t ausgedruckt:

x = x(t), (1.2)

y = y(t). (1.3)

1 Funktionen 13

Abbildung 1.3: Wurfparabel fur horizontale Anfangsgeschwindigkeit.

Die Hilfsvariable, hier t, wird auch als Parameter bezeichnet.

Betrachten wir zum Beispiel die Bahnkurve eines im Erdschwerefeld in horizontaler Richtunggeworfenen Objekts (siehe Abb. 1.3). Dabei konnen wir versuchen, die vertikale Lage y alsFunktion der horizontalen Entfernung x anzugeben, also y = f(x). In diesem Fall ist esjedoch einfacher, zunachst sowohl x als auch y als Funktion der Zeit t auszudrucken. UnterVernachlassigung der Reibung gilt:

x = v0t, (1.4)

y = −g2t2. (1.5)

Die Gleichungen (1.4) und (1.5) sind die Parameterdarstellung der in Abb. 1.3 abgebildetenWurfparabel. Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung und g die Erdbe-schleunigung. Der Anfangspunkt liegt im Ursprung: x(0) = 0 und y(0) = 0. Durch die obigeVorschrift erhalten wir fur jedes t ein Paar (x(t), y(t)).

Durch Auflosen der ersten Gleichung nach t und Einsetzen in die zweite Gleichung erhaltenwir die explizite Form der Wurfparabel:

y = −g2

(x

v0

)2

= − g

2v20

x2. (1.6)

1.2.2 Funktionstafel (Wertetabelle)

Hier werden Paare von unabhangigen und abhangigen Variablen in tabellarischer Form dargestellt,zum Beispiel:

x 0 1 2 3 4 5 . . .

y 0 -1 -4 -9 -16 -25 . . .

(Diese Daten ergeben sich fur das obige Beispiel im Falle g/2v20 = 1.) Die tabellarische Darstel-

lung wird haufig fur empirisch bestimmte Messdaten verwendet oder wenn es auf den genauenZahlenwert ankommt.

1.2.3 Graphische Darstellung

Funktionen lassen sich in der graphischen Darstellungsart besonders gut veranschaulichen. Dabeiwerden die Wertepaare der Funktion in einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystemals Funktionsgraph dargestellt (siehe Abb. 1.4). Ublicherweise wird auf der horizontalen Achseder x-Wert und auf der vertikalen Achse der y-Wert aufgetragen. Die x-Achse wird auch Abszisse

und die y-Achse Ordinate genannt.

14 1 Funktionen

Abbildung 1.4: Graph einer Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem.

1.3 Eigenschaften von Funktionen

In diesem Abschnitt fassen wir einige wichtige Eigenschaften von Funktionen zusammen.

1.3.1 Definitionsbereich

Der Definitionsbereich besteht aus der Menge aller Argumente, fur welche die Funktion definiertist. In dieser Vorlesung werden wir vor allem verschiedene Intervalle der reellen Zahlen R alsDefinitionsbereich betrachten. Dabei unterscheiden wir offene Intervalle

(a, b) = x ∈ R|a < x < b, (1.7)

welche die Endpunkte a und b nicht enthalten, und geschlossene Intervalle

[a, b] = x ∈ R|a ≤ x ≤ b, (1.8)

welche die Endpunkte a und b enthalten. Oft konnen Funktionen nur fur einen recht eingeschrank-ten Definitionsbereich definiert werden. Zum Beispiel kann bei der Funktion y =

√1 − x2 das

Argument nur Werte im Intervall −1 ≤ x ≤ 1 annehmen. Fur reelle Werte außerhalb dieses Be-reichs ist das Argument der Wurzel negativ und der Funktionswert somit nicht reell. Falls wirnur reelle Funktionswerte betrachten wollen, mussen wir den Definitionsbereich auf |x| ≤ 1 ein-schranken (Grenzen mit eingeschlossen).Wir schreiben dafur auch x ∈ [−1, 1]. Oft schließen wirauch einzelne Punkte aus dem Definitionsbereich aus. Zum Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/xfur den Definitionsbereich R\0 (das sind die reellen Zahlen ohne die Null) definiert.

1.3.2 Nullstellen

Eine Funktion y = f(x) besitzt an der Stelle x0 eine Nullstelle, falls f(x0) = 0. Zum Beispielbesitzt die Funktion f(x) = x2 − 1 an den Stellen x1 = −1 und x2 = 1 Nullstellen.

1.3.3 Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion mit symmetrischem Definitionsbereich heißt gerade (siehe Abb. 1.5), falls gilt

f(x) = f(−x). (1.9)

1 Funktionen 15

Eine Funktion heißt ungerade (siehe Abb. 1.6), falls

f(x) = −f(−x). (1.10)

Anschaulich ist eine gerade Funktion spiegelsymmetrisch (achsensymmetrisch) zur y-Achse; eineungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Abbildung 1.5: Gerade Funktionen. Abbildung 1.6: Ungerade Funktionen.

1.3.4 Monotonie

Es seien x1 und x2 zwei beliebige Werte aus dem Definitionsbereich (x1, x2 ∈ D) einer Funktionf(x), die der Bedingung x1 < x2 genugen. Dann heißt die Funktion:

• monoton wachsend, falls f(x1) ≤ f(x2),

• streng monoton wachsend, falls f(x1) < f(x2),

• monoton fallend, falls f(x1) ≥ f(x2),

• streng monoton fallend, falls f(x1) > f(x2).

Abbildung 1.7: Monotonieeigenschaften von Funktionen.

1.3.5 Grenzwert

Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x0 definiert. Gilt dann fur jede im Definitions-bereich der Funktion liegende und gegen x0 konvergente Zahlenfolge xn mit xn 6= x0

limn→∞

f(xn) = g, (1.11)

16 1 Funktionen

so heißt g der Grenzwert von y = f(x) an der Stelle x0 :

limx→x0

f(x) = g. (1.12)

Eine Folge ist dabei eine Abbildung mit den naturlichen Zahlen N = 0, 1, 2, 3, . . . als Definiti-onsbereich. (Fur die genaue Definition einer Folge siehe Kapitel 10.) Ein Beispiel einer Folge ist1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . . Diese Folge nahert sich dem Wert 0. Damit der Grenzwert einer Funktion f(x)an der Stelle x0 existiert, darf es also nicht darauf ankommen, auf welche Weise man sich demPunkt x0 nahert.

Abbildung 1.8: An der Stelle x1 besitzt die Funktion einen Grenzwert, an der Stelle x2 nicht.

Beispiel:

Gesucht ist

limx→∞

x2

x2 + x+ 1. (1.13)

Wir dividieren zunachst Zahler und Nenner durch x2:

limx→∞

x2

x2 + x+ 1= lim

x→∞1

1 + 1/x+ 1/x2. (1.14)

Da sowohl 1/x als 1/x2 fur x→ ∞ gegen 0 gehen, erhalten wir:

limx→∞

x2

x2 + x+ 1= 1. (1.15)

1.3.6 Stetigkeit

Abbildung 1.9: Diese Funktion hat an der Stelle x0 eine Unstetigkeitsstelle.

1 Funktionen 17

Eine in x0 und in einer gewissen Umgebung von x0 definierte Funktion y = f(x) heißt an derStelle x0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und mit dem dortigenFunktionswert ubereinstimmt:

limx→x0

f(x) = f(x0). (1.16)

Anschaulich kann man Stetigkeit folgendermaßen verstehen: Zeichnet man einen Graphen, kannes vorkommen, dass die Funktion einen Sprung aufweist (die in Abb. 1.9 dargestellte Funktionetwa hat bei x0 einen Sprung). In der Nahe von x0 kann man x-Werte finden, die sich nur wenigvoneinander unterscheiden (z.B. ein Punkt knapp links und ein Punkt knapp rechts von x0), dereny-Werte sich aber um einen großen Betrag voneinander unterscheiden. Nahert man sich x0 vonlinks (ohne x0 genau zu erreichen), erhalt man einen anderen Funktionswert, als wenn man dasvon rechts tut, d.h. limx→x

0−f(x) 6= limx→x

0+f(x). An der Stelle x0 ist die Funktion nicht stetig.

Eine Unstetigkeitsstelle dieser Art bezeichnet man auch als Sprungstelle.

Beispiel:

Die Funktion

f(x) =|x|x

= sign x =

+1 falls x > 0

−1 falls x < 0(1.17)

hat an der Stelle x = 0 eine Unstetigkeitsstelle (siehe Abb. 1.10).

Abbildung 1.10: Die Funktion f(x) = |x|/x = sign x.

Knickstellen, bei denen sich die Steigung einer Funktion unstetig andert, konnen auch in stetigenFunktionen auftreten.

Beispiel:

Die Funktion

y =

|x| −1 ≤ x ≤ ∞1 x < −1

(1.18)

hat Knickstellen bei x = −1 und x = 0, ist aber uberall stetig. (Die erste Ableitung ist jedoch anden Stellen x = −1 und x = 0 unstetig.)

1.3.7 Singularitaten

Stellen, in deren unmittelbarer Umgebung die Funktionswerte uber alle Grenzen hinaus fallen oderwachsen, heißen Singularitaten oder Unendlichkeitsstellen der Funktion. Diese Stellen sindebenfalls Unstetigkeitsstellen.

18 1 Funktionen

Abbildung 1.11: Eine stetige Funktion mit Knickstellen.

Beispiel:

Die Funktion y = 1/x wachst bei Annaherung an x = 0 uber alle Grenzen:

limx→0+

1

x= ∞, (1.19)

limx→0−

1

x= −∞. (1.20)

An dieser Stelle hat die Funktion eine Singularitat.

Abbildung 1.12: Die Funktion f(x) = 1/x hat an der Stelle x = 0 eine Singularitat.

1.4 Neue Funktionen aus alten

Durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kann man aus alten Funktionen neuedefinieren. Zum Beispiel: h(x) = f(x) + g(x) oder h(x) = f(x) · g(x). Dabei muss naturlich aufeinen passenden Definitionsbereich geachtet werden. In den beiden nachsten Abschnitten werdenwir zwei weitere wichtige Arten kennen lernen, um aus alten Funktionen neue zu definieren.

1.4.1 Verkettung von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen f(x) und g(x). Die Funktion f(x) ordnet einer Zahl x eine Zahl zzu: z = f(x). Die Zahl z wird dann als unabhangige Variable fur die Funktion g verwendet. Dadurchwird der Zahl z eine Zahl y zugeordnet: y = g(z). Durch die Hintereinanderanwendung von f

1 Funktionen 19

und g wird der Zahl x eine Zahl y zugeordnet:

y = g(z) = g(f(x)) (1.21)

x→ f(x) → g(f(x)). (1.22)

Die Variable z ist nur als Zwischenergebnis interessant, kann also wegfallen. Fur die verkettete

(oder auch zusammengesetzte) Funktion schreibt man auch

y = (g f)(x). (1.23)

Beispiel:

Die Funktionen

f(x) = x2 und g(x) = sin(x) (1.24)

ergeben zusammengesetzt

g(f(x)) = (g f)(x) = sin(x2). (1.25)

Die Verkettung (oder Zusammensetzung) von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ:

(g f)(x) 6= (f g)(x). (1.26)

Das heißt, bei der Verkettung von Funktionen kommt es auf die Reihenfolge an.

Beispiel:

Gegeben seien die beiden Funktionen

f(x) = 1 + x und g(x) = 1/x. (1.27)

Wahrend die Zusammensetzung g f

g(f(x)) =1

1 + x(1.28)

ergibt, erhalt man fur die Zusammensetzung f g

f(g(x)) = 1 +1

x. (1.29)

1.4.2 Umkehrfunktion

Haufig ist es notwendig, fur einen gegebenen Wert der abhangigen Variablen den Wert der un-abhangigen Variablen zu bestimmen. Betrachten wir zum Beispiel den Flacheninhalt y = x2 einesQuadrats mit Seitenlange x (siehe Abb. 1.13).

Abbildung 1.13: Flacheninhalt y eines Quadrats mit Seitenlange x.

20 1 Funktionen

Aus der Flache konnen wir naturlich die Kantenlange x =√y bestimmen. Hier haben wir die

Funktion y = f(x) = x2 fur x ≥ 0 umgekehrt zu x = f−1(y) =√y. Die Funktion x = f−1(y)

ist die Umkehrfunktion (oder inverse Funktion) von y = f(x). Dabei haben Argument undFunktionswert die Rollen vertauscht. Gewissermaßen ermittelt die Umkehrfunktion, woher derFunktionswert f gekommen ist. In der Umkehrfunktion f−1(y) ist nun y die unabhangige Variable.Da wir die unabhangige Variable meistens mit x bezeichnen, nennen wir y in x um und erhaltenfolgendes Paar von Funktion und Umkehrfunktion: f(x) und f−1(x).

Abbildung 1.14: Funktion y = f(x). Abbildung 1.15: Umkehrfunktion x = f−1(y).

Setzt man eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion zusammen, so wird das Argument x auf sichselbst abgebildet:

(f f−1)(x) = (f−1 f)(x) = f−1(f(x)) = x. (1.30)

Als weiteres Beispiel bestimmen wir die Umkehrfunktion der Funktion y =√

1 − 4x2:

y =√

1 − 4x2, fur D = [0, 1/2] (1.31)

y2 = 1 − 4x2, (1.32)

4x2 = 1 − y2, (1.33)

x =1

2

√

1 − y2 y ∈ [0, 1]. (1.34)

Somit gilt:

f(x) =√

1 − 4x2; f−1(x) =1

2

√

1 − x2. (1.35)

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion ist in Abb. 1.16 graphisch dargestellt.

Abbildung 1.16: Aus der Funktion f(x) erhalten wir durch Spiegelung an der 45-Geraden dieUmkehrfunktion f−1(y).

1 Funktionen 21

Naturlich konnen wir eine Funktion nur umkehren, wenn jedem Element y aus dem Wertebereichgenau ein Wert x aus dem Definitionsbereich zugeordnet ist. Wenn, wie in Abb. 1.17 dargestellt,mehrere Werte aus dem Definitionsbereich (hier x1 und x2) auf denselben Wert des Wertebereichs(hier y1) abgebildet werden, konnen wir die Funktion nicht umkehren, da wir fur Punkt y1 nichtwissen, welches Argument wir nehmen sollen. Anders gesagt: Eine Funktion y = f(x) ist um-

kehrbar, wenn aus x1 6= x2 stets f(x1) 6= f(x2) folgt. Falls dies nicht gilt, kann durch geeigneteEinschrankung des Definitionsbereichs die Umkehrung einer solchen Funktion doch ermoglicht wer-den. Zum Beispiel besitzt die Funktion f(x) = x2 mit D = R fur +x und −x jeweils den selbenFunktionswert und ist somit nicht umkehrbar. Schranken wir den Definitionsbereich jedoch aufD = x ∈ R|x ≥ 0 ein, ist die Funktion umkehrbar.

Eine Funktion, fur die aus x1 6= x2 stets f(x1) 6= f(x2) folgt, nennt man injektiv. Falls fur alleWerte y im Wertebereich ein Argument x existiert, sodass f(x) = y, ist die Funktion surjektiv.Eine sowohl injektive als auch surjektive Funktion nennt man bijektiv und genau diese Funktionensind umkehrbar.

Abbildung 1.17: Eine Funktion, bei der mehrere Argumente denselben Funktionswert besitzen, istnicht umkehrbar.

Wir halten zusammenfassend fest:

• Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar.

• Bei der Umkehrung einer Funktion werden der Definitionsbereich und der (gegebenenfallspassend eingeschrankte) Wertebereich vertauscht.

• Analytisch erhalt man die Umkehrfunktion durch Auflosen nach der unabhangigen Variablenund anschließendes formales Vertauschen der beiden Variablen.

• Graphisch ergibt sich die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 45-Geraden.

1.5 Wichtige Funktionen

Im Folgenden werden wir einige in der Physik wichtige Funktionen kurz in Erinnerung rufen.Die Auswahl ist aus Platzgrunden sehr beschrankt und so sei der Leser fur eine vollstandigereBehandlung auf die in der Literaturliste angefuhrten Nachschlagewerke verwiesen. Eine Fulle vonInformationen uber eine Vielzahl von Funktionen (und uber Mathematik im Allgemeinen) sind aufder Webseite http://mathworld.wolfram.com verfugbar.

1.5.1 Lineare Funktionen

Bei der linearen Funktion (eigentlich affine Funktion)

f(x) = kx+ b (1.36)

hangt der Funktionswert in einfacher Potenz, d.h. linear vom Argument ab. Die lineare Funktionbesitzt zwei Parameter, k und b. Die Bedeutung dieser beiden Parameter wird in der graphischen

22 1 Funktionen

Darstellung der Funktion als eine Gerade klar (siehe Abb. 1.18). Der Parameter k ist dabei die Stei-gung der Geraden und der Parameter b ihr Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Definitionsbereichumfasst die gesamte x-Achse und der Wertebereich die gesamte y-Achse (fur k 6= 0).

Abbildung 1.18: Die linear Funktion y = kx+ b.

Die lineare Funktion f(x) = kx + b ist fur k 6= 0 im gesamten Definitionsbereich (reelle Zahlen)streng monoton und daher umkehrbar. Auch die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist einelineare Funktion: x = y/k − b/k. Lineare Funktionen werden haufig fur “Fits” verwendet (sieheKapitel 6). Die identische Funktion y = x und die konstante Funktion y = b sind Spezialfalleder linearen Funktion.

1.5.2 Potenzfunktionen

Die Potenz xn ist das Produkt von n gleichen Faktoren:

xn = x · x · x · · · · · x︸︷︷︸

n−mal

. (1.37)

Hier werden x die Basis und n der Exponent genannt.

Rechenregeln fur Potenzen:

x0 = 1, (1.38)

xn · xm = xn+m, (1.39)

xn

xm= xn−m, (1.40)

(xn)m = xnm. (1.41)

Dabei sind n und m beliebige ganze Zahlen.

Die Regel x0 = 1 ergibt sich aus der Beobachtung, dass sich durch Division durch x der Exponentin xn um 1 verringert: xn/x = xn−1. Fur n = 1 gilt also x/x = x1−1 = x0 = 1. Analog folgt auch,dass 1/x = x−1 oder allgemein: 1/xn = x−n. Die anderen Rechenregeln ergeben sich aus ahnlichenUberlegungen. Zum Beispiel:

xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n−mal

·x · x · · · · · x︸︷︷︸

m−mal

= xn+m (1.42)

und(xn)m = xm · xm · · · · · xm

︸︷︷︸

n−mal

= xnm. (1.43)

Durch Addition von Potenzen erhalt man die Potenzfunktion (oder ganz rationale Funktion):

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · · + anxn =

n∑

i=0

aixi, (1.44)

1 Funktionen 23

wobei die Koeffizienten ai beliebige reelle Zahlen sind. Die Potenzfunktion aus der obigen Glei-chung wird auch Polynom n-ten Grades genannt (falls an 6= 0). Dabei ist n die hochste vor-kommende Potenz.

Beispiele:

• Potenzfunktion 2. Grades f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (mit a2 6= 0),

• Potenzfunktion 3. Grades f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 (mit a3 6= 0).

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion umfasst die gesamte x-Achse, −∞ < x < ∞ und dieFunktion ist uberall stetig. Fur x→ ±∞ divergiert die Funktion nach −∞ oder +∞.

Abbildung 1.19: Beispiele fur Potenzfunktionen unterschiedlichen Grades.

Gebrochen rationale Funktionen lassen sich als Quotient zweier ganz rationaler Funktionendarstellen:

f(x) =

∑ni=0 aix

i

∑mi=0 bix

i. (1.45)

Der Definitionsbereich ist −∞ < x < ∞. Die Nullstellen des Nenners, an denen die Funktiondivergiert, sind jedoch davon ausgeschlossen.

Die Wurzelfunktion f(x) = ±√x ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f(x) = x2. Da

die Quadrate von x und −x identisch sind, (x)2 = (−x)2 (siehe Abb. 1.20), ist die Quadratwurzel

24 1 Funktionen

Abbildung 1.20: Fur jeden Wert y0 auf der Ordinate gibt es fur die Quadratfunktion y = x2 zweiWerte auf der Abszisse.

nicht eindeutig und die beiden Zweige f(x) = +√x und f(x) = −√

x mussen getrennt voneinanderbehandelt werden. Fur die Quadratwurzel schreiben wir auch

√x = x1/2.

Die Wurzelfunktion lasst sich auch fur beliebige Exponenten n verallgemeinern. Fur die Potenz-funktion

f(x) = xn (1.46)

definieren wir die n-te Wurzel als die entsprechende Umkehrfunktion

x1/n = f−1(x). (1.47)

Die Schreibweise der Wurzelfunktion mit Hilfe des Exponenten erlaubt die Anwendung der Re-chenregeln fur Potenzen, z. B. (x1/n)1/m = x1/(nm).

Es gibt auch die Zusammensetzung von Potenzfunktion und Wurzelfunktion:

f(x) = (xn)1/m = xn/m. (1.48)

Auch dafur gelten die Rechenregeln fur Potenzen.

1.5.3 Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, die Logarithmusfunktion, sind transzendente

Funktionen, d.h. sie lassen sich nicht als endliche Kombination von algebraischen Termen dar-stellen (sehr wohl aber durch unendliche Reihen).

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:

f(x) = ax. (1.49)

Dabei ist die reelle positive Zahl a die Basis und x der Exponent. Die Bedeutung von ax furrationale Exponenten haben wir bereits im letzten Abschnitt kennen gelernt. Fur irrationale Ex-ponenten x, also fur jene x-Werte, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen, konnen wir xbeliebig genau durch einen solchen Bruch annahern und somit ax beliebig genau durch Verkettungvon Potenz- und Wurzelfunktion erhalten.

Exakt ist die Exponentialfunktion fur die Basis e uber eine Potenzreihe mit unendlich vielenGliedern definiert:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ · · · (1.50)

1 Funktionen 25

(Im Kapitel 10 werden wir mehr uber Potenzreihen erfahren.) Dabei ist e die Eulersche Zahl,e = 2.718281828 . . ., eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik.

Eine alternative Definition ist uber den Grenzwert

ex = limk→∞

(

1 +x

k

)k

(1.51)

moglich.

Wichtige Spezialfalle sind die Exponentialfunktionen mit Basis 10 und e:

f(x) = 10x, (1.52)

f(x) = ex. (1.53)

Die Exponentialfunktion mit Basis e schreiben wir auch oft als

f(x) = exp(x). (1.54)

Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion umfasst die gesamte reelle Achse, −∞ < x < ∞und der Wertebereich besteht aus allen positiven reellen Zahlen, 0 < y < ∞ (falls a 6= 1). DieExponentialfunktion ax ist uberall stetig. Fur a > 1 ist sie streng monoton wachsend und fur a < 1streng monoton fallend (siehe Abb. 1.21). Die Exponentialfunktion fur a > 1 wachst fur positivex starker an als jede Potenzfunktion, d. h.

limx→∞

ax

xn= ∞ fur allen ∈ N. (1.55)

Abbildung 1.21: Die Exponentialfunktion ax fur a > 1 (links) und 0 < a < 1 (rechts).

Fur die Exponentialfunktion gelten folgende Rechenregeln:

a0 = 1, (1.56)

a−x =1

ax, (1.57)

(ax)y

= axy, (1.58)

axay = ax+y, (1.59)

ax

ay= ax−y. (1.60)

(1.61)

Diese Rechenregeln folgen aus den Rechenregeln fur die Potenz- und Wurzelfunktion.

26 1 Funktionen

1.5.4 Logarithmus

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus (wir erhalten ihn graphischdurch Spiegelung der Exponentialfunktion an der 45-Geraden). Zu verschiedenen Basen a derExponentialfunktion gibt es auch unterschiedliche Logarithmen. Wir bezeichnen den Logarithmuszur Basis a der Zahl x als

loga(x). (1.62)

Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist also jene Zahl, mit der man a potenzieren muss, um xzu erhalten:

y = loga(x) ⇔ ay = x. (1.63)

Folgende Exponentialfunktionen und zugehorige Logarithmen werden in der Physik besondershaufig verwendet:

y = ax loga(y) = x (1.64)

y = 10x log10(y) = log(y) = x dekadischer Logarithmus (1.65)

y = ex loge(y) = ln(y) = x naturlicher Logarithmus (1.66)

Abbildung 1.22: Die Logarithmusfunktion loga(x) fur verschiedene Basen a.

Fur alle Basen a folgt aus a0 = 1, dass loga 1 = 0. Der Definitionsbereich der Exponentialfunktionerstreckt sich uber alle positiven reellen Zahlen, 0 < x <∞, und der Wertebereich ist −∞ < y <∞.

Fur die Logarithmusfunktion gelten folgende Rechenregeln:

loga(1) = 0, (1.67)

loga

(1

x

)

= − loga(x), (1.68)

loga (x)z = z loga(x), (1.69)

loga (x · y) = loga(x) + loga(y), (1.70)

loga

(x

y

)

= loga(x) − loga(y). (1.71)

Diese Rechenregeln folgen aus den Rechenregeln fur die Exponentialfunktion. Zum Beispiel:

loga

(1

x

)

= loga

(1

aloga x

)

= loga(a− loga x

)= − loga x, (1.72)

1 Funktionen 27

oder:loga (xy) = loga

(aloga x · aloga y

)= loga

(aloga x+loga y

)= loga x+ loga y. (1.73)

Auf ahnliche Weise erhalten wir

loga (xz) = loga((aloga x)z

)= loga

(az loga x

)= z loga x. (1.74)

Die Logarithmusfunktion wachst fur a > 1 langsamer als jede beliebige Potenz von x, d.h.

limx→∞

loga(x)

xn= 0 fur allen ∈ N. (1.75)

Wie die Exponentialfunktion lasst sich auch der Logarithmus von einer Basis in eine andere um-formen:

loga (x) = loga

(

blogb(x))

= logb(x) · loga(b), (1.76)

logb (x) =loga(x)

loga(b), (1.77)

loga (x) =logb(x)

logb(a). (1.78)

Mit Hilfe der Logarithmusfunktion lasst sich die Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis ain eine auf der Eulerschen Zahl e beruhende Darstellungsform umwandeln:

ax =(elna

)x= ex lna = eln(ax). (1.79)

Fur eine beliebige Basis b gilt:

ax =(blogb a

)x= bx logb a = blogb(a

x). (1.80)

1.5.5 Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen (trigonometrische Funktionen) sind ebenfalls transzendente Funktionen.Zur Definition dieser Funktion ist es sehr zweckmaßig, Winkel im Bogenmaß anzugeben. Da-zu zeichnen wir zunachst einen Kreis mit Radius 1 durch den Scheitel des Winkels, den wir imBogenmaß ausdrucken wollen (siehe Abb. 1.23).

Abbildung 1.23: Das Bogenmaß des Winkels α ist die Bogenlange b, die vom Winkel am Einheits-kreis (Radius=1) begrenzt wird.

Die Lange des Kreisbogens zwischen den Winkelschenkeln ist das Bogenmaß dieses Winkels. Dervolle Kreis hat einen Umfang von 2π und der zugehorige Winkel betragt daher im Bogenmaß 2π.Zwischen dem ublichen Gradmaß und dem Bogenmaß gilt daher die Beziehung:

Bogenmaß = Gradmaß × 2π/360. (1.81)

28 1 Funktionen

Abbildung 1.24: Verschiedene Winkel in Gradmaß und in Bogenmaß.

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich geometrisch sehr anschaulich am Einheitskreis de-finieren. Eine exakte Definition dieser Funktionen erfolgt jedoch durch Potenzreihen. Auf dieseexakte Definition wollen wir hier jedoch verzichten. Die Winkelfunktionen setzen den Winkel αmit verschiedenen Langen in Beziehung (siehe Abb. 1.25).

Abbildung 1.25: Definition der Winkelfunktionen fur den Winkel α am Einheitskreis (Radius=1).

Mit Hilfe des in Abb. 1.25 dargestellten rechtwinkligen Dreiecks lassen sich geometrisch folgendeFunktionen des Winkels α definieren:

Sinus: sinα = Gegenkathete / Hypotenuse

Kosinus: cosα = Ankathete / Hypotenuse

Tangens: tanα =Gegenkathete / Ankathete

Kotanges: cotα =Ankathete / Gegenkathete

Tragen wir sin(α) und cos(α) als Funktion von α in einem kartesischen Koordinatensystem auf, er-halten wir die in Abbildung 1.26 dargestellten Funktionsgraphen. Wahrend der Sinus eine ungeradeFunktion ist,

sin(x) = − sin(−x), (1.82)

ist der Kosinus gerade,

cos(−x) = cos(x). (1.83)

1 Funktionen 29

Nachdem der Winkel α die Werte 0 bis 2π durchlaufen hat, zeigen die Funktionen wieder dieselbenWerte wie vorher, d.h. die Funktionen sind periodisch mit der Periode 2π:

sin(x + 2πn) = sin(x) (1.84)

cos(x + 2πn) = cos(x), (1.85)

wobei n eine ganze Zahl ist. Die Werte von Sinus und Kosinus schwanken zwischen -1 und +1.

Abbildung 1.26: Sinus und Kosinus.

Der Tangens und der Kotangens sind ebenfalls periodische Funktionen, haben aber eine Peri-odenlange von π statt 2π (siehe Abb. 1.27). Sowohl der Tangens als auch der Kotangens sindungerade Funktionen:

tan(x) = − tan(−x), (1.86)

cot(x) = − cot(−x). (1.87)

Die Tangensfunktion tanα ist singular bei α = π2 ,

3π2 , . . . und die Kotangensfunktion cotα bei

α = 0, π, 2π, . . . .

Abbildung 1.27: Tangens (links) und Kotangens (rechts).

Winkelfunktionen konnen ineinander umgewandelt werden. Zum Beispiel gelten folgende Beziehun-gen, die man leicht durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das in Abb. 1.25 dargestellterechtwinklige Dreieck ableiten kann (sin2 α+ cos2 α = 1):

sinα =√

1 − cos2 α, (1.88)

sinα =tanα√

1 + tan2 α, (1.89)

tanα =1

cotα. (1.90)

Weitere Formeln zur Umformung trigonometrischer Funktionen sowie die Werte der Winkelfunktionan besonderen Stellen konnen den gangigen Formelsammlungen entnommen werden.

30 1 Funktionen

Außerst wichtig sind zudem die Additionstheoreme fur die Winkelfunktionen:

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ, (1.91)

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ. (1.92)

Diese Ausdrucke kann man zur Umformung von trigonometrischen Ausdrucken verwenden. Sokonnen wir zum Beispiel folgende Vereinfachung durchfuhren:

cosx (1 − tan2 x)

tanx (cotx− 1)=

cosx (1 − tan2 x)

(1 − tanx)=

cosx (1 + tanx)(1 − tanx)

(1 − tanx)

= cosx

(

1 +sinx

cosx

)

= cosx+ sinx

= sin(

x+π

2

)

+ sinx

= sin(

x+π

4+π

4

)

+ sin(

x− π

4+π

4

)

= sin(

x+π

4

)

cosπ

4+ sin

π

4cos(

x+π

4

)

+ sin(

x+π

4

)

cos(

−π4

)

+ sin(

−π4

)

cos(

x+π

4

)

=1√2

sin(

x+π

4

)

+1√

2cos(

x+π

4

)

+1√2

sin(

x+π

4

)

−1√

2cos(

x+π

4

)

=2√2

sin(

x+π

4

)

=√

2 sin(

x+π

4

)

.

(1.93)

Die Winkelfunktionen hangen eng mit der Exponentialfunktion zusammen. Dieser Zusammenhangist durch die Eulersche Formel gegeben (eiϕ = cosϕ+i sinϕ), die wir im Kapitel 5 naher behandelnwerden.

1.5.6 Arcusfunktionen

Oft kennen wir beispielsweise den Sinus eines Winkels und mochten daraus den Winkel selbstbestimmen. Dies konnen wir mit der Umkehrfunktion des Sinus, dem Arcussinus tun:

x = arcsin y (y = sinx). (1.94)

Die Bezeichnung Arcussinus stammt von arcus ab, der lateinischen Bezeichnung fur Bogen (wirbestimmen ja das “Bogenmaß” des Winkels aus dem Sinus). Da jetzt y die unabhangige Variableist, benennen wir sie um in x:

y = arcsinx. (1.95)

Der Definitionsbereich des Arcussinus ist −1 ≤ x ≤ 1. Da ein bestimmter Wert der Winkelfunk-tionen durch eine Vielzahl von Winkeln erzeugt wird (siehe Abb. 1.28), muss der Wertebereich aufeinen gewissen Bereich eingeschrankt werden. Wir beschranken den Wertebereich so, dass jederWert des Sinus genau einmal angenommen wird. Damit erreichen wir eine eindeutige Zuordnung.Der zugeordnete Wert heißt Hauptwert. Der Hauptwert ist jener Wert y, der mit x = sin(y) kon-sistent ist und den kleinsten Absolutwert |y| besitzt. Fur y = arcsin(x) gilt also ein Wertebereichvon −π

2 ≤ y ≤ π2 (siehe Abb. 1.29). Analog verfahrt man mit arccos, arctan und arccot.

1 Funktionen 31

Abbildung 1.28: Die Sinusfunktion nimmt einen bestimmten Funktionswert an verschiedenen Stel-len an.

Abbildung 1.29: Arcussinus und Arcuskosinus.

Die folgende Tabelle enthalt die Definitionsbereiche D und Wertebereiche W der Arcusfunktionen:

Funktion D W

arcsin [−1,+1] [−π2 ,

π2 ]

arccos [−1,+1] [0, π]

arctan [−∞,+∞] [−π2 ,

π2 ]

arccot [−∞,+∞] [0, π]

Alternative Schreibweisen fur die Arcusfunktionen sind:

arcsin(x) = sin−1(x) = asin(x),

arccos(x) = cos−1(x) = acos(x),

arctan(x) = tan−1(x) = atan(x),

arccot(x) = cot−1(x) = acot(x).

Die Arcusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen genannt. Fur die Arcusfunktio-nen gibt es zahlreiche nutzliche Beziehungen, die Sie bei Bedarf den gangigen Formelsammlungenentnehmen konnen.

32 1 Funktionen

Abbildung 1.30: Arcustangens und Arcuskotangens.

1.5.7 Hyperbolische Funktionen

Wahrend die trigonometrischen Funktionen durch den Schnitt einer Geraden mit einem Kreis er-zeugt werden konnen, werden die hyperbolischen Funktionen durch den Schnitt mit den Hyper-belasten der Einheitshyperbel y = ±

√x2 − 1 erzeugt. Die Funktionen werden aber nicht angegeben

als Funktion des Steigungswinkels wie bei den trigonometrischen Funktionen, sondern als Funktionder von den Geraden mit Steigung g und −g und der Hyperbel y = ±

√x2 − 1 eingeschlossenen

Flache A. Die geometrische Bedeutung der hyperbolischen Funktionen sinh und cosh ist in Abb.1.31 dargestellt.

Abbildung 1.31: Geometrische Interpretation der hyperbolischen Funktionen sinh und cosh.

Analog zu den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens konnen auch

1 Funktionen 33

die entsprechenden hyperbolischen Funktionen definiert werden:

Sinus hyperbolicus sinh(x),

Cosinus hyperbolicus cosh(x),

Tangens hyperbolicus tanh(x) = sinh(x)/ cosh(x),

Cotangens hyperbolicus coth(x) = 1/ tanh(x).

Die Funktionsgraphen der wichtigsten dieser Funktionen sind in Abb. 1.32 und 1.33 dargestellt.

Abbildung 1.32: Die hyperbolischen Funktio-nen sinh and cosh.

Abbildung 1.33: Die hyperbolischen Funktio-nen tanh and coth.

Wichtige Zusammenhange zwischen den hyperbolischen Funktionen lassen sich aus der Gleichung

sinh2(x) = cosh2(x) − 1 (1.96)

ableiten.

Die Hyperbelfunktionen lassen sich mit Hilfe der Exponentialfunktion ausdrucken:

sinhx =ex − e−x

2, (1.97)

coshx =ex + e−x

2, (1.98)

tanhx =ex − e−x

ex + e−x, (1.99)

cothx =ex + e−x

ex − e−x. (1.100)

Hyperbolische und trigonometrische Funktionen konnen in der komplexen Ebene als gleich-wertige Funktionen dargestellt werden. Durch Verwendung imaginarer Argumente werden dieFunktionen ineinander ubergefuhrt. Diesen Zusammenhang werden wir im Kapitel 5 naher behan-deln.

1.5.8 Areafunktionen

Die inversen Hyperbelfunktionen werden als Areafunktionen bezeichnet. (Der Name kommt daher,dass wir die eingeschlossene Flache A, also lateinisch “area”, erhalten, wenn wir die hyperbolischenFunktionen umkehren.)

34 1 Funktionen

Abbildung 1.34: Die Areafunktionen Arsinh und Arcosh (links) sowie Artanh und Arcoth (rechts).

Die Areafunktionen konnen mit Hilfe von Logarithmen ausgedruckt werden:

Arsinh(x) = ln(x+√

x2 + 1), (1.101)

Arcosh(x) = ln(x+√

x2 − 1), (1.102)

Artanh(x) =1

2ln

1 + x

1 − x, (1.103)

Arcoth(x) =1

2lnx+ 1

x− 1. (1.104)

Diese Formeln erhalt man durch direkte Umkehrung der hyperbolischen Funktionen. Zusam-menhange zwischen den verschiedenen Areafunktionen konnen den gangigen Formelsammlungenentnommen werden.

Kapitel 2

Vektoren

2.1 Grundlagen

In der Physik ist es oft notwendig, von gewissen Großen nicht nur deren Betrag, sondern auchderen Richtung zu kennen. Wenn wir mit dem Fahrrad irgendwohin fahren, ist unsere Bewe-gungsrichtung genau so wichtig wie der Betrag unserer Geschwindigkeit. Solche Großen nenntman Vektoren. Beispiele fur Vektoren sind: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Feldstarke,Flachenelement, Impuls und Dipolmoment. Großen, die keine Richtung besitzen, nennen wir Ska-

lare. Dazu zahlen: Zeit, Masse, Volumen, Dichte, elektrische Ladung und Energie. Wir definierenalso Vektoren wie folgt:

Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete Große. Er wird durch eine Richtung und eine Lange

(einen Betrag) beschrieben.

Im Folgenden werden wir Vektoren durch einen Pfeil kennzeichnen, zum Beispiel ~F und ~v. Haufigwerden Vektoren aber auch im Fettdruck angegeben, zum Beispiel F und v.

Bei einer physikalischen Vektorgroße gehort zur vollstandigen Beschreibung auch die Angabe einerMaßeinheit. Der Betrag besteht aus Maßzahl und Einheit. Krafte messen wir zum Beispiel inder Einheit Newton (abgekurzt N): |~F1| = F1 = 100N. Hier haben wir den Betrag eines Vektors,also dessen Lange, mit Hilfe von senkrechten Strichen ausgedruckt.

Graphisch konnen wir Vektoren als Pfeile darstellen mit Lange und Richtung (siehe Abb. 2.1).

Abbildung 2.1: Ein Vektor ~r lasst sich als Pfeil in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar-stellen. In diesem zweidimensionalen Beispiel hat der Vektor ~r die Komponenten ∆x und ∆y:~r = (∆x,∆y). Der Vektor ist durch Angabe des Anfangspunktes Q und des Endpunktes P eindeu-tig festgelegt.

35

36 2 Vektoren

Ein Vektor lasst sich auch durch Angabe von AnfangspunktQ und Endpunkt P eindeutig festlegen.

Dann schreiben wir−−→QP .

Wenn wir als Anfangspunkt Q den Ursprung (0, 0, 0) des Koordinatensystems wahlen (siehe Abb.2.2 fur den 2-dimensionalen Fall), so kann der Ortsvektor ~r des Punktes P = P (x, y, z) inkartesischen Koordinaten geschrieben werden als

~r = (x, y, z). (2.1)

Oft finden wir auch die Notation

~r = (rx, ry, rz). (2.2)

Abbildung 2.2: Falls wir als Ausgangspunkt Q den Ursprung wahlen, konnen wir ~r als den Orts-vektor des Punktes P = (x, y) deuten.

Der Ortsvektor ~r gibt die Lage des Punktes P relativ zum Ursprung an.

Abbildung 2.3: Der Verschiebungsvektor ~r = ~r2 −~r1 ist der Verbindungsvektor zwischen Punkt P1

mit Ortsvektor ~r1 und Punkt P2 mit Ortsvektor ~r2.

Vektoren konnen auch Verschiebungen beschreiben. Der Verschiebungsvektor zwischen denPunkten P1 und P2 ist die Differenz der Ortsvektoren ~r1 und ~r2 der Punkte P1 und P2:

~r = ~r2 − ~r1. (2.3)

Was genau die Differenz zweier Vektoren bedeutet, werden wir spater sehen.

Hier ist es wichtig anzumerken, dass in der graphischen Darstellung Pfeile mit gleicher Richtungund gleichem Betrag aber unterschiedlichen Ausgangspunkten zum selben Vektor gehoren. Eingraphisch dargestellter Pfeil ist also nur einer von vielen Reprasentanten eines Vektors (siehe Abb.2.4).

Von besonderer Bedeutung sind der Nullvektor und der Einheitsvektor:

Nullvektor: ~0, |~0| = 0, hat Lange Null und keine Richtung.

2 Vektoren 37

Abbildung 2.4: Pfeile, welche durch Parallelverschiebung ineinander ubergefuhrt werden konnen,also gleichen Betrag und gleiche Richtung besitzen, gehoren zum selben Vektor.

Einheitsvektor: ~e, |~e| = 1, hat Lange 1, wird verwendet, um Richtungen anzugeben(z. B. Einheitsvektoren ~ex, ~ey, ~ez entlang der Achsen eines kartesischen Koordinatensy-stems). Einheitsvektoren werden auch als normiert bezeichnet.

2.2 Koordinatensysteme

Vektoren konnen auf verschiedene Weise dargestellt werden. Bisher haben wir dazu kartesischeKoordinaten verwendet. Bei gewissen Problemen sind andere Koordinatensysteme, die die Sym-metrien des Problems auf naturliche Weise berucksichtigen, oft gunstiger (z.B. Kugelkoordinaten,Zylinderkoordinaten). Im Folgenden werden wir kurz die Darstellung von Vektoren in verschiedenenKoordinatensystemen besprechen.

2.2.1 Kartesische Koordinaten

Unter einem kartesischen Koordinatensystem versteht man rechtwinklige Koordinatensyste-me, die wir bereits zur Darstellung von Funktionen verwendet haben (siehe Abb. 2.5). Die Achseneines kartesischen Koordinatensystems stehen senkrecht aufeinander. Kartesische Koordinatensy-steme konnen fur beliebig viele Dimensionen definiert werden. Abbildung 2.5 zeigt ein zweidimen-sionales und ein dreidimensionales Beispiel.

Mit Hilfe der Einheitsvektoren ~ex, ~ey und ~ez (auch Basisvektoren genannt) in Richtung der Koor-dinatenachsen konnen wir den Ortsvektor ~r auch darstellen als so genannte Linearkombination:

~r = (x, y, z) = (rx, ry, rz) = x~ex + y~ey + z~ez. (2.4)

In kartesischen Koordinaten ergibt sich der Betrag (Lange) des Vektors aus dem Satz von Pytha-goras:

r = |~r| =√

x2 + y2 =√

r2x + r2y , (2.5)

r = |~r| =√

x2 + y2 + z2 =√

r2x + r2y + r2z . (2.6)

Der Einheitsvektor ~er in Richtung eines bestimmten Vektors ~r 6= 0 ergibt sich durch Divisiondes Vektors durch seinen Betrag:

~er =~r

|~r| . (2.7)

Dadurch erhalt der Einheitsvektor ~er die Lange 1.

38 2 Vektoren

Abbildung 2.5: Zweidimensionales (2d) und dreidimensionales (3d) kartesisches Koordinatensy-stem. Die Einheitsvektoren ~ex, ~ey und ~ez zeigen in Richtung der Koordinatenachsen. Die Achsendes dreidimensionalen Koordinatensystems bilden ein so genanntes “Rechtssystem”, das wir weiterunten genauer besprechen werden.

Beispiel:

~r = (3, 4, 5) = 3~ex + 4~ey − 5~ez, (2.8)

r = |~r| =√

32 + 42 + (−5)2 =√

9 + 16 + 25 =√

50. (2.9)

Einheitsvektor:

~er =~r

|~r| =1√50

3

4

−5

. (2.10)

2.2.2 Polarkoordinaten

Anstelle der x- und y-Koordinate eines Punktes P in der Ebene konnen wir seine Lage auch durchseine Entfernung r vom Ursprung und durch den Winkel ϕ, den die Verbindungslinie vom Punktzum Ursprung mit der x-Achse einschließt, angeben (siehe Abb. 2.6). Dabei wird der Winkelϕ gegen den Uhrzeigersinn bestimmt. Der Abstand r und der Winkel ϕ sind die so genanntenPolarkoordinaten des Punktes P (und seines Ortsvektors ~r).

Abbildung 2.6: Polarkoordinaten r und ϕ des Vektors ~r.

Wie aus Abb. 2.6 ersichtlich ergeben sich die kartesischen Koordinaten wie folgt aus den Polarko-

2 Vektoren 39

ordinaten:

x = r cosϕ, (2.11)

y = r sinϕ. (2.12)

Umgekehrt kommen wir durch

r =√

x2 + y2 r > 0 (2.13)

ϕ = arctan(y

x

)

0 ≤ ϕ < 2π (2.14)

von kartesischen zu Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten bilden ein so genanntes krummliniges Koordinatensystem (siehe Abb. 2.7).

Abbildung 2.7: Durch Angabe von r und ϕ definieren wir einen Punkt in der Ebene. Die durchr = const definierten Kurven sind Kreise um den Ursprung und ϕ = const definiert vom Ursprungausgehende Halbgeraden.

Beispiel:

P = (3,−4) ⇒ Ortsvektor ~r =

(

3

−4

)

(2.15)

r = |~r| =√

32 + 42 =√

25 = 5 (2.16)

ϕ = arctan

(−4

3

)

= −53 (die Umkehrung des tan ist nicht eindeutig). (2.17)

Im Kapitel 1.1 haben wir Kurven (Funktionsgraphen) in kartesischen Koordinaten dargestellt.Wir konnen das aber auch in Polarkoordinaten tun, indem wir den Abstand r vom Ursprung alsFunktion des Winkels darstellen, zum Beispiel

r(ϕ) =1√

cos 2ϕ. (2.18)

Durch Einsetzen dieser Gleichung in die Formel zur Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesi-sche Koordinaten erhalten wir die Kurve in Parameterform mit ϕ als Parameter:

x = r cosϕ =cosϕ√cos 2ϕ

, (2.19)

y = r sinϕ =sinϕ√cos 2ϕ

. (2.20)

40 2 Vektoren

Abbildung 2.8: In Polarkoordinaten kann die Hyperbel durch r = 1/√

cos 2ϕ ausgedruckt werden.

Wir wollen nun den Parameter ϕ eliminieren. Dazu stellen wir fest, dass cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕund erhalten

x =cosϕ

√

cos2 ϕ− sin2 ϕ, (2.21)

y =sinϕ

√

cos2 ϕ− sin2 ϕ. (2.22)

Quadrieren ergibt

x2 =cos2 ϕ

cos2 ϕ− sin2 ϕ, (2.23)

y2 =sin2 ϕ

cos2 ϕ− sin2 ϕ. (2.24)

Wenn wir nun y2 von x2 subtrahieren, erhalten wir:

x2 − y2 =cos2 ϕ

cos2 ϕ− sin2 ϕ− sin2 ϕ

cos2 ϕ− sin2 ϕ=

cos2 ϕ− sin2 ϕ

cos2 ϕ− sin2 ϕ= 1. (2.25)

Dies ist die Kurvengleichung fur eine Hyperbel

x2 − y2 = 1, y = ±√

x2 − 1. (2.26)

Eine der ersten Anwendungen von ebenen Polarkoordinaten, die Ihnen im 1. Semester begegnenwird, ist die Kreisbewegung. Im Allgemeinen beschrieben wird die Bewegung eines Objektesdurch Angabe seines Ortes als Funktion der Zeit:

~r = ~r(t). (2.27)

Ein zweidimensionales Beispiel einer dadurch entstehenden Bahnkurve ist in Abb. 2.9 dargestellt.

Bei einer Kreisbewegung bewegt sich das Objekt (durch einen Punkt dargestellt) auf einer Kreis-bahn (siehe Abb. 2.10).

Um die Kreisbewegung zu beschreiben, suchen wir die kartesischen Koordinaten x(t) und y(t)als Funktion der Zeit t. Dies lasst sich in Polarkoordinaten sehr einfach bewerkstelligen. Bei einer

2 Vektoren 41

Abbildung 2.9: Bahnkurve (auch Trajektorie genannt) eines Punktes, der sich in der Ebenebewegt.

Abbildung 2.10: Kreisbewegung eines Punktes in der Ebene.

gleichformigen Kreisbewegung ist der Abstand vom Ursprung konstant, d. h. r = const. Der Winkelaber andert sich mit der Zeit. Da die Bewegung gleichformig ist, wachst der Winkel linear mit derZeit:

ϕ(t) = ωt. (2.28)

Dabei ist ω die so genannte Winkelgeschwindigkeit, die in unserem Fall konstant ist.

In kartesischen Koordinaten konnen wir dann die Bewegung beschreiben durch:

x = r cos(ϕ(t)) = r cosωt, (2.29)

y = r sin(ϕ(t)) = r sinωt. (2.30)

Sowohl die x- als auch die y-Koordinate des Punktes andern sich auf nicht triviale Weise mit derZeit. Hier haben wir ausgenutzt, dass sich das Problem durch Wahl eines geeigneten Koordinaten-systems wesentlich vereinfacht.

Beispiel: Zykloide

Als weiteres Beispiel suchen wir nach der Kurve, die ein Punkt eines auf einer Ebene rollendenRades beschreibt (siehe Abb. 2.11). Wir nehmen an, dass zu Beginn der Punkt im Ursprung ist.

42 2 Vektoren

Abbildung 2.11: Ein Punkt auf einem rollenden Rad beschreibt eine Zykloide.

Nachdem sich das Rad um den Winkel ϕ gedreht hat, hat sein Mittelpunkt die Strecke ϕr zuruck-gelegt. Der Punkt ist in x-Richtung jedoch um r sinϕ zuruckgeblieben:

x = ϕ · r − r sinϕ. (2.31)

Fur die y-Koordinate des Punktes gilt

y = r − r cosϕ. (2.32)

Die Bahnkurve in kartesischen Koordinaten ergibt sich also durch Addition von linearer Bewegungund Kreisbewegung.

2.2.3 Zylinderkoordinaten

Durch ebene Polarkoordinaten konnen wir einen Punkt in der xy-Ebene definieren. Wenn wir zudiesen Koordinaten noch eine z-Koordinate hinzufugen, legen wir damit einen Punkt im Raumfest. Diese Koordinaten nennen wir die Zylinderkoordinaten ρ, ϕ und z (siehe Abb. 2.12). Hierverwenden wir ρ statt r fur die Lange der Projektion des Vektors ~r in die xy-Ebene, um dieseLange vom Betrag des Ortsvektors ~r zu unterscheiden.

Durch ρ =const, ϕ =const und z =const werden folgende Flachen definiert:

ϕ = const: Halbebene durch z-Achse,

ρ = const: Zylinder mit der z-Achse als Rotationsachse,

z = const: Ebene normal zur z-Achse.

Aus bekannten Zylinderkoordinaten lassen sich die kartesischen Koordinaten bestimmen:

x = ρ cosϕ, (2.33)

y = ρ sinϕ, (2.34)

z = z. (2.35)

Umgekehrt gilt:

ρ =√

x2 + y2, (2.36)

ϕ = arctan( y

x

)

, (2.37)

z = z. (2.38)

2 Vektoren 43

Abbildung 2.12: Zylinderkoordinaten.

Zylinderkoordinaten sind bei Situationen sinnvoll, bei denen die betrachteten Großen rotations-symmetrisch bezuglich einer Achse sind, z.B. das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Drahtoder das Tragheitsmoment eines Zylinders.

2.2.4 Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten stellen wir die Lage eines Punktes mit Ortsvektor ~r durch seinen Abstand r =|~r| vom Ursprung sowie zwei Winkel ϕ (Azimut) und ϑ (Elevation) dar. Dabei ist ϑ der Winkelzwischen dem Ortsvektor ~r und der positiven z-Achse. ϑ ist ahnlich der geographischen Breite (diegeographische Breite ist jedoch am Aquator identisch 0, wahrend ϑ am Nordpol verschwindet) undϕ entspricht der geographischen Lange. Der Winkel ϕ ist der Winkel zwischen der Projektion von~r in die xy-Ebene und der positiven x-Achse. Die Geometrie der Kugelkoordinaten ist in Abb. 2.13dargestellt.

Die Kugelkoordinaten r, ϕ und ϑ haben folgende Wertebereiche:

0 ≤ r, (2.39)

0 ≤ ϕ < 2π, (2.40)

0 ≤ ϑ ≤ π. (2.41)

Kugelkoordinaten konnen durch folgende Ausdrucke in kartesische Koordinaten umgewandelt wer-den. Am einfachsten ist der Ausdruck fur die z-Koordinate:

z = r cosϑ. (2.42)

Die x- und y-Koordinaten schreiben wir zunachst als

x = ρ cosϕ, (2.43)

y = ρ sinϕ. (2.44)

Da aber ρ = r sinϑ ist, erhalten wir schließlich

x = r sinϑ cosϕ, (2.45)

y = r sinϑ sinϕ, (2.46)

z = r cosϑ. (2.47)

44 2 Vektoren

Abbildung 2.13: Kugelkoordinaten.

Aus den kartesischen Koordinaten konnen die Kugelkoordinaten durch

r =√

x2 + y2 + z2, (2.48)

ϑ = arctan

(√

x2 + y2

z

)

= arccos

(

z√

x2 + y2 + z2

)

, (2.49)

ϕ = arctan( y

x

)

(2.50)

bestimmt werden.

Durch r =const, ϕ =const und ϑ =const werden folgende Flachen definiert:

r = const: Kugeln um den Ursprung,

ϕ = const: Halbebenen durch z-Achse,

ϑ = const: Kegel um z-Achse mit Ursprung als Spitze.

2.3 Vektoralgebra

Wir befassen uns als nachstes mit den Rechenregeln fur Vektoren in kartesischen Koordinaten.

2.3.1 Gleiche, inverse und parallele Vektoren

• Zwei Vektoren sind gleich, ~a = ~b, wenn sie in Betrag und Richtung ubereinstimmen.

• Zwei Vektoren ~a und~b sind invers, wenn sie denselben Betrag besitzen aber entgegengesetzteRichtung, das heißt ~a = −~b.

• Zwei Vektoren sind parallel (oder genauer: gleichsinnig parallel), ~a||~b, wenn sie gleiche Rich-

tung haben. Das heißt, ~a = λ~b mit λ > 0. Wenn die beiden Vektoren die entgegengesetzte

2 Vektoren 45

Richtung haben, nennt man sie antiparallel (oder gegensinnig parallel). In diesem Fall ist

~a = λ~b mit λ < 0.

Der zu Vektor ~a gehorende Gegenvektor (oder inverse Vektor) −~a besitzt den gleichen Betrag aberentgegengesetzte Richtung. Komponentenweise konnen wir den inversen Vektor schreiben als

~a =

ax

ay

az

, −~a =

−ax−ay−az

. (2.51)

2.3.2 Vektoraddition und -subtraktion

Abbildung 2.14: Vektoraddition.

Die Addition zweier Vektoren ~a und ~b,

~c = ~a+~b, (2.52)

kann graphisch durch Aneinanderhangen erfolgen. Dazu verschieben wir den Vektor ~b parallel undhangen seinen Anfangspunkt an den Endpunkt von~a. Der Summenvektor ~c ist dann der Vektor vomAnfangspunkt von ~a zum Endpunkt des verschobenen Vektors ~b. Dies ist in Abb. 2.14 graphischdargestellt.

In kartesischen Koordinaten erfolgt die Addition zweier Vektoren komponentenweise:

~c = ~a+~b =

ax

ay

az

+

bx

by

bz

=

ax + bx

ay + by

az + bz

=

cx

cy

cz

. (2.53)

In der Darstellung mit Einheitsvektoren gilt fur die Addition:

~c = ~a+~b = ax~ex + ay~ey + az~ez + bx~ex + by~ey + bz~ez

= (ax + bx)~ex + (ay + by)~ey + (az + bz)~ez (2.54)

= cx~ex + cy~ey + cz~ez.

Der Nullvektor

~0 =

0

0

0

(2.55)

46 2 Vektoren

ist das neutrale Element der Addition. Das heißt, dass die Addition des Nullvektors zu einembeliebigen Vektor diesen nicht verandert:

~a+~0 = ~a. (2.56)

Das inverse Element der Vektoraddition ist:

− ~a =

−ax−ay−az

. (2.57)

Addition eines Vektors und seines inversen Elements ergibt den Nullvektor:

~a+ (−~a) =

ax − ax

ay − ay

az − az

=

0

0

0

= ~0. (2.58)

Abbildung 2.15: Der Vektor ~b wird vom Vektor ~a subtrahiert, indem der inverse Vektor −~b zumVektor ~a addiert wird.

Die Subtraktion eines Vektors ~b vom Vektor ~a ergibt sich aus der Addition des inversen Elements:

~a−~b = ~a+ (−~b) =

ax − bx

ay − by

az − bz

. (2.59)

Die Vektorsubtraktion ist in Abb. 2.15 graphisch dargestellt.

Weiters gelten das Kommutativgesetz

~a+~b = ~b+ ~a (2.60)

und das Assoziativgesetz

(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) = ~a+~b+ ~c. (2.61)

2 Vektoren 47

2.3.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Die Multiplikation eines Vektors ~a mit einem Skalar α kann als eine α-fach hintereinander aus-gefuhrte Verschiebung um ~a aufgefasst werden. Damit kann man sie auf eine wiederholte Additionzuruckfuhren, z.B.

~a+ ~a = 2~a, (2.62)

~a+ ~a+ ~a = 3~a. (2.63)

Graphisch (siehe Abb. 2.16) erkennt man, dass dabei die Richtung des Vektors erhalten bleibt, sichseine Lange jedoch andert.

Abbildung 2.16: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (hier ist der Skalar gleich 3).Wahrend durch die Multiplikation die Richtung des Vektors unverandert bleibt, hat sich seineLange um den Faktor 3 verandert.

In kartesischen Koordinaten erfolgt die Multiplikation mit einem Skalar komponentenweise

α~a =

αax

αay

αaz

. (2.64)

Fur den Betrag von ~b = α~a gilt:

|~b| = |α~a| =√

(αax)2 + (αay)2 + (αaz)2 =√

α2(a2x + a2

y + a2z) = |α||~a|. (2.65)

Die Division eines Vektor durch einen Skalar λ entspricht der Multiplikation des Vektors mit demSkalar µ = 1/λ.

Weiters gelten fur die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar die Distributivgesetze

α(~a+~b) = α~a+ α~b (2.66)

und

(α+ β)~a = α~a+ β~a (2.67)

sowie das Assoziativgesetz

α(β~a) = (αβ)~a = αβ~a. (2.68)

48 2 Vektoren

2.4 Skalarprodukt

2.4.1 Definition

Das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier Vektoren ~a und ~b ist die Zahl

c = ~a ·~b = |~a||~b| cosα. (2.69)

Dabei sind |~a| und |~b| die Betrage von ~a und ~b, und α ist der von ihnen eingeschlossene Winkel(siehe Abb. 2.17). Fur das Skalarprodukt verwendet man auch (vor allem in der Quantenmechanik)

die so genannte Bra-und-Ket-Notation 〈~a ·~b〉 oder 〈~a|~b〉.

Abbildung 2.17: Das Skalarprodukt von ~a und ~b ist c = |~a||~b| cosα.

Geometrisch betrachtet ist das Skalarprodukt das Produkt des Betrages von ~a mit dem Betrag desAnteils von~b in Richtung ~a (siehe Abb. 2.17). (Naturlich konnte man auch sagen: das Skalarprodukt

ist das Produkt des Betrages von ~b mit dem Betrag des Anteils von ~a in Richtung ~b.)

2.4.2 Rechenregeln

Fur das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz

~a ·~b = ~b · ~a, (2.70)

das Assoziativgesetz

(λ~a) ·~b = λ(~a ·~b) = ~a · (λ~b) = λ~a ·~b, (2.71)

und das Distributivgesetz

~a · (~b + ~c) = ~a ·~b+ ~a · ~c. (2.72)

Im Folgenden werden wir diese Rechenregeln aus der geometrischen Definition des Skalarproduktesableiten. Zunachst halten wir fest, dass die Definition (2.69) bezuglich einer Vertauschung von ~a

und ~b symmetrisch ist, d. h. eine Vertauschung von ~a und ~b andert das Skalarprodukt nicht.Infolgedessen gilt das Kommutativgesetz:

~a ·~b = ~b · ~a. (2.73)

Weiters beobachten wir, dass die Multiplikation des Vektors ~a mit einem positiven Skalar λ aufdas Skalarprodukt folgende Wirkung hat (siehe Abb. 2.18a):

(λ~a) ·~b = |λ~a||~b| cosα = λ|~a||~b| cosα. (2.74)

2 Vektoren 49

Abbildung 2.18: (a) Durch Multiplikation des Vektors ~a mit einem positiven Skalar λ andert sichnur die Lange des Vektors, aber nicht der eingeschlossen Winkel α. (b) Multiplizieren wir ~a miteinem negativen Skalar, andert sich der eingeschlossene Winkel von α auf π − α.

Ist λ negativ, mussen wir berucksichtigen, dass der eingeschlossene Winkel sich von α auf (π − α)andert (siehe Abb. 2.18b):

(λ~a) ·~b = |λ~a||~b| cos(π − α) = |λ||~a||~b|(− cosα) = λ|~a||~b| cosα. (2.75)

Somit haben wir in beiden Fallen:

(λ~a) ·~b = λ(~a ·~b). (2.76)

Aufgrund der Kommutativitat erhalten wir auch

~a · (λ~b) = λ(~a ·~b). (2.77)

Wir fassen diese Ergebnisse im Assoziativgesetz zusammen:

(α~a) ·~b = α(~a ·~b) = ~a · (α~b) = α~a ·~b. (2.78)

Abbildung 2.19: Skalarprodukt des Vektors ~a mit der Summe ~b+ ~c.

Schließlich betrachten wir das Skalarprodukt eines Vektors ~a mit der Summe ~b+ ~c der Vektoren ~bund ~c. Wie man in Abb. 2.19 sehen kann, ist die Projektion d′ = |~b+~c| cosα des Summenvektors~b+~c

auf den Vektor ~a gleich der Summe der Projektionen b′ = |~b| cosβ und c′ = |~c| cos γ der Vektoren~b und ~c auf den Vektor ~a. (Dies gilt sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen.) Folglich gilt:

~a · (~b+ ~c) = |~a||~b+ ~c| cosα = |~a|d′ = |~a|(b′ + c′) (2.79)

= |~a|(|~b| cosβ + |~c| cos γ) (2.80)

= |~a||~b| cosβ + |~a||~c| cos γ = ~a ·~b+ ~a · ~c. (2.81)

Diese Eigenschaft ist das Distributivgesetz:

~a · (~b + ~c) = ~a ·~b + ~a · ~c. (2.82)

50 2 Vektoren

2.4.3 Komponentenweise Darstellung

In kartesischen Koordinaten ist das Skalarprodukt gegeben durch:

~a ·~b =

ax

ay

az

·

bx

by

bz

= axbx + ayby + azbz. (2.83)

Durch diese Gleichung besitzen wir eine einfache Vorschrift, um das Skalarprodukt zu berechnen.Von ihrer Gultigkeit kann man sich leicht in der Darstellung mit Basisvektoren uberzeugen:

~a ·~b = (ax~ex + ay~ey + az~ez) · (bx~ex + by~ey + bz~ez)

= axbx(~ex · ~ex) + axby(~ex · ~ey) + axbz(~ex · ~ez)+ aybx(~ey · ~ex) + ayby(~ey · ~ey) + aybz(~ey · ~ez)+ azbx(~ez · ~ex) + azby(~ez · ~ey) + azbz(~ez · ~ez),

(2.84)

wobei wir das Distributivgesetz verwendet haben. Da die Einheitsvektoren ~ex, ~ey und ~ez definiti-onsgemaß Lange eins besitzen,

~ex · ~ex = ~ey · ~ey = ~ez · ~ez = 1, (2.85)

und aufeinander senkrecht stehen,

~ei · ~ej = 0 fur i 6= j, (2.86)

gilt

~a ·~b = axbx + ayby + azbz. (2.87)

2.4.4 Anwendungen

Das Skalarprodukt findet vielfaltige Verwendung. So konnen wir beispielsweise den Betrag einesVektors ~a mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen:

~a · ~a = |~a| · |~a| cosα︸︷︷︸

=1

= |~a| · |~a| ⇒ |~a| =√~a · ~a. (2.88)

Mit dem Skalarprodukt konnen wir Vektoren auf Orthogonalitat prufen. Falls der Vektor ~a aufden Vektor ~b senkrecht steht (d.h., wenn sie orthogonal sind, ~a ⊥ ~b), ist der Winkel α ein rechterWinkel, α = π

2 , und cosα = 0. Also gilt:

~a ·~b = |~a| · |~b| cosα = 0. (2.89)

Da cosα nur fur rechte Winkel verschwindet, haben wir

~a ·~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b. (2.90)

Beispiel:

1

6

4

·

4

2

−4

= 4 + 12 − 16 = 0. (2.91)

2 Vektoren 51

Man kann das Skalarprodukt auch dazu verwenden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren ~a und~b zu bestimmen. Aus

~a ·~b = |~a||~b| cosα (2.92)

folgt namlich

α = arccos

(

~a ·~b|~a| · |~b|

)

. (2.93)

Der Winkel zwischen der Koordinatenachse mit Einheitsvektor ~ei und einem Vektor ~a ist

cosαi =~a · ~ei|~a| =

ai|~a| . (2.94)

Dabei ist ai die Komponente des Vektors ~a in Richtung des Einheitsvektors ~ei.

Ferner gilt:

cos2 αx + cos2 αy + cos2 αz = 1, (2.95)

wobei αx, αy und αz die Winkel sind, die der Vektor ~a mit der x-, y- und z-Achse einschließt.Wegen | cosϕ| ≤ 1 ergibt sich aus der Definition des Skalarpodukts die Cauchy-Schwarzsche

Ungleichung:

|~a ·~b| ≤ |~a||~b|. (2.96)

Das Gleichheitszeichen gilt bei Parallelitat beziehungsweise Antiparallelitat, da in diesem Fall| cosα| = 1.

Abbildung 2.20: Der Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2ab cosα setzt die Seiten eines Dreiecks mit einemder Winkel in Beziehung.

Mit Hilfe des Skalarprodukts konnen wir auch den so genannten Kosinussatz herleiten. Betrachtenwir dazu das Dreieck, das von den Vektoren ~a, ~b, und ~c = ~a −~b begrenzt wird (siehe Abb. 2.20).

Das Skalarprodukt von ~c mit sich selbst ergibt |~c|2 = ~c ·~c = (~a−~b) ·(~a−~b) = ~a ·~a−2~a ·~b+~b ·~b. Unter

Verwendung der Schreibweise a = |~a|, b = |~b| und c = |~c| lasst sich der Kosinussatz ausdrucken als:

c2 = a2 + b2 − 2ab cosα. (2.97)

Fur ein rechtwinkliges Dreieck, also α = π/2, ist das der Pythagoraische Lehrsatz.

Wir wollen nun die Projektion eines Vektors auf einen anderen naher betrachten. In Abb. 2.21ist ~ba die Projektion des Vektors ~b auf den Vektor ~a. Man kann ~ba auch als die Komponente von ~bin Richtung von ~a auffassen.

Fur den Betrag der Projektion gilt

|~ba| = |~b| cosϕ. (2.98)

Wegen ~a ·~b = |~a||~b| cosϕ haben wir cosϕ = (~a ·~b)/(|~a||~b|) und somit

|~ba| =~a ·~b|~a| = ~ea ·~b. (2.99)

52 2 Vektoren

Abbildung 2.21: Projektion ~ba des Vektors ~b auf den Vektor ~a.

Da ~ba die selbe Richtung hat wie ~a, muss gelten:

~ba = |~ba|~ea = |~ba|~a

|~a|

=

(

~a ·~b|~a|2

)

· ~a. (2.100)

Abbildung 2.22: Die Kraft ~F leistet durch Verschiebung eines Objektes um den Vektor ~s die ArbeitW = ~F · ~s.

Eine Anwendung, in dem die Projektion eines Vektors auf einen anderen benotigt wird, ist dieBerechnung der entlang eines geradlinigen Weges ~s durch die konstante Kraft ~F geleisteten Arbeit(siehe Abb. 2.22). Da nur die Kraftkomponente ~Fs in Richtung des Verschiebungsvektors Arbeitleistet, gilt

W = |~Fs||~s|. (2.101)

Hier haben wir die aus der Mechanik bekannte Beziehung Arbeit = Kraft × Weg (oder genauer:

Arbeit = Kraftkomponente in Wegrichtung × zuruckgelegtem Weg) verwendet. Der Vektor ~Fs ist

die Projektion der Kraft ~F auf den Verschiebungsvektor ~s. Unter Verwendung der obigen Formelnfur den Betrag der Projektion erhalten wir

W = |~Fs||~s| =~F · ~s|~s| · |~s| = ~F · ~s. (2.102)

Beispiel:

Ein Massenpunkt wird von einer konstanten Kraft ~F = (−10N, 2N, 5N) von P1 = (0m,−1m,−4m)nach P2 = (−1m, 5m,−3m) verschoben. Wir messen hier Abstande in Metern (m) und Krafte in

Newton (N). Welche Arbeit wird dabei verrichtet und wie groß ist der Winkel zwischen ~F und demVerschiebungsvektor?

2 Vektoren 53

Der Massenpunkt wird um den Vektor

~s =−−−→P1P2 =

−1m

5m

−3m

−

0m

−1m

−4m

=

−1m

6m

1m

(2.103)

verschoben. Dadurch leistet die Kraft die Arbeit

W = ~F · ~s =

−10N

2N

5N

·

−1m

6m

1m

= (10 + 12 + 5)Nm = 27Nm. (2.104)

Die Betrage der Verschiebung und der Kraft sind

|~s| =√

38m und |~F | =√

129N, (2.105)

sodass der Winkel zwischen Kraft und Verschiebungsvektor gegeben ist durch:

ϕ = arccos~F · ~s|~F ||~s|

= arccos27Nm√

129 · 38Nm= arccos 0.386 = 67.32. (2.106)

2.5 Vektorprodukt

2.5.1 Definition

Das außere Produkt (auch Kreuzprodukt oder Vektorprodukt) zweier Vektoren ~a und ~b,geschrieben als

~c = ~a×~b, (2.107)

ist ein Vektor mit Betrag

|~c| = |~a||~b| sinα, (2.108)

wobei α der von den Vektoren ~a und ~b eingeschlossene Winkel ist. Der Vektor ~c ist orthogonalsowohl zu ~a als auch zu ~b und zwar so, dass ~a, ~b und ~c ein Rechtssystem bilden (siehe Abb. 2.23).

Abbildung 2.23: Das Vektorprodukt ~c = ~a×~bsteht sowohl auf ~a als auch auf ~b senkrecht.Zusammen bilden die Vektoren ein Rechts-system.

Abbildung 2.24: Die “rechte-Hand-Regel” isteine Merkhilfe fur die Richtung des außerenVektorprodukts.

54 2 Vektoren

Abbildung 2.25: Die “gekrummte-Hand-Regel”.

Abbildung 2.26: Die Schraubenregel.

In einem Rechtssystem stehen die Vektoren ~a,~b,~c zueinander wie Daumen, Zeigefinger und Mit-telfinger der gespreizten rechten Hand (rechte-Hand-Regel, siehe Abb. 2.24). Als Alternative dazukonnen Sie sich die gekrummte rechte Hand vorstellen. Wenn die gekrummten Finger in die Rich-tung weisen, in der man ~a am schnellsten in ~b uberfuhren kann, zeigt der Daumen in Richtung~c = ~a ×~b (siehe Abb. 2.25). Sie konnen sich auch eine Schraube vorstellen, mit der Sie ~a nach ~b

drehen (siehe Abb. 2.26). Dann bewegt sich die Schraube in Richtung von ~c = ~a×~b.

Als dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem wird meistens ein Rechtssystem verwen-det. Ein Linkssystem wird analog definiert. Vertauschen von ~a und ~b macht ein Rechtssystem zueinem Linkssystem.

Abbildung 2.27: Der Betrag des Vektorprodukts ~a×~b ist gleich der Flache des von den Vektoren~a und ~b aufgespannten Parallelogramms.

Anschaulich lasst sich der Betrag des Vektorprodukts ~a×~b als die Flache des von den Vektoren ~aund ~b aufgespannten Parallelogramms betrachten (siehe Abb. 2.27):

A = |~a|h= |~a||~b| sinα= |~a×~b|. (2.109)

Wir konnen somit das Vektorprodukt verwenden, um die Flache des Parallelogramms zu berechnen,das von zwei Vektoren aufgespannt wird.

2.5.2 Rechenregeln

Fur das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

• Im Unterschied zum Skalarprodukt ist das Vektorprodukt nicht kommutativ. Das heißt, dasses beim Vektorprodukt auf die Reihenfolge ankommt. Anschaulich ist das klar, denn wenndie Vektoren ~a,~b und ~a×~b ein Rechtssystem bilden, dann mussen die Vektoren ~a,~b und ~b×~a

2 Vektoren 55

ein Linkssystem bilden (siehe Abb. 2.28). Bei Vertauschung der Multiplikanden weist dasVektorprodukt also in die entgegengesetzte Richtung. Es gilt das Antikommutativgesetz:

~a×~b = −(~b× ~a). (2.110)

• Assoziativgesetz fur Multiplikation mit einem Skalar α:

(α~a) ×~b = α(~a×~b) = ~a× (α~b) = α~a×~b. (2.111)

• Distributivgesetz:

~a× (~b + ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c. (2.112)

Wir wollen diese Rechenregeln nun aus der Definition des Vektorprodukts ableiten. Das Antikom-mutativgesetz ~a×~b = −(~b×~a) folgt direkt aus der “rechten-Hand-Regel”: durch Vertauschen von

~a und ~b kehrt sich die Richtung des Vektorprodukts einfach um.

Betrachten wir nun, was passiert, wenn wir einen der beiden Vektoren, sagen wir ~a, mit einerpositiven Zahl λ multiplizieren (siehe Abb. 2.29). Da sich durch Multiplikation mit λ die Lange der

Grundlinie um einen Faktor λ andert, erhalten wir fur die Flache A′ des von~b und λ~a aufgespanntenParallelogramms:

A′ = |λ~a||~b| sinα = λ|~a||~b| sinα = λA. (2.113)

Hier ist A die Flache des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms. Das heißt,

|(λ~a) ×~b| = λ|~a×~b| = |λ(~a ×~b)|. (2.114)

Da ~a und λ~a die selbe Richtung haben, sind (λa)×~b und ~a×~b und somit auch λ(~a×~b) parallel. Der

Vektor (λa) ×~b stimmt also sowohl im Betrag als auch in der Richtung mit dem Vektor λ(~a ×~b)uberein. Diese beiden Vektoren sind deshalb gleich:

(λ~a) ×~b = λ(~a×~b). (2.115)

Falls λ negativ ist, mussen wir berucksichtigen, dass λ~a und ~a zueinander antiparallel sind unddeshalb der Winkel zwischen λ~a und ~b zu π−α wird (siehe Abb. 2.30). In diesem Fall ist die FlacheA′ gegeben durch:

A′ = |λ~a||~b| sin(π − α) = |λ||~a||~b| sinα = |λ|A. (2.116)

Das heißt,|(λ~a) ×~b| = |λ||~a×~b| = |λ(~a ×~b)|. (2.117)

Aus der rechten-Hand-Regel folgt nun, dass (λ~a)×~b und ~a×~b antiparallel sind. Somit hat (λ~a)×~bjedoch die selbe Richtung wie λ(~a × ~b) (vergessen wir nicht, dass wir gerade den Fall λ < 0

Abbildung 2.28: Wahrend die Vektoren ~a,~b und ~a×~b ein Rechtssystem bilden, spannen die Vektoren~a,~b und ~b× ~a ein Linkssystem auf.

56 2 Vektoren

Abbildung 2.29: Durch Multiplikation des Vektors ~a mit dem positiven Skalar λ andert sich dieGrundlinie des aufgespannten Parallelogramms um den Faktor λ.

betrachten). Der Vektor (λ~a) ×~b stimmt auch in diesem Fall mit dem Vektor λ(~a ×~b) sowohl inLange als auch im Betrag uberein, sodass allgemein gilt:

(λ~a) ×~b = λ(~a×~b). (2.118)

Analoge Uberlegungen fuhren auf

~a× (λ~b) = λ(~a×~b) (2.119)

und wir konnen schreiben:

(λ~a) ×~b = ~a× (λ~b) = λ(~a×~b). (2.120)

Es bleibt uns noch zu zeigen, dass ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c. Um dies zu tun, wollen wir die

Komponenten von ~a× (~b+ ~c) sowie von ~a×~b und ~a× ~c explizit bestimmen. Wir wahlen dazu einKoordinatensystem, dessen z-Achse in Richtung des Vektors ~a zeigt, das heißt

~a =

0

0

az

. (2.121)

Die Vektoren ~b = (bx, by, bz) und ~c = (cx, cy, cz) sind jedoch beliebig. Durch die spezielle Wahl desKoordinatensystems schranken wir die Gultigkeit der nachfolgenden Uberlegungen nicht ein.

Wir definieren nun den neuen Vektor ~b′ = (bx, by, 0), den wir aus ~b erhalten, indem wir dessen

z-Komponente durch 0 ersetzen. Der Vektor ~b′ ist die Projektion von ~b in die xy-Ebene. Wie

Abbildung 2.30: Durch Multiplikation des Vektors ~a mit dem negativen Skalar λ andert sich dereingeschlossene Winkel von α auf π − α.

2 Vektoren 57

Abbildung 2.31: Die von ~a und ~b sowie von ~a und ~b′ aufgespannten Parallelogramme haben denselben Flacheninhalt.

aus Abb. 2.31 ersichtlich ist, haben die Parallelogramme, welche von ~a und ~b sowie von ~a und ~b′

aufgespannt werden, den selben Flacheninhalt. Beide besitzen namlich die selbe Grundlinie, |~a|,und die selbe Hohe, |~b| sinα = |~b′|. Somit gilt

|~a×~b| = |~a×~b′|. (2.122)

Der Vektor ~a ×~b, der in der xy-Ebene liegt, steht normal sowohl auf ~b als auch auf ~b′. Da auch~a×~b′ auf ~b′ normal steht und in der xy-Ebene liegt, bedeutet dies, dass ~a×~b und ~a×~b′ die selbeRichtung haben. Da sie auch im Betrag ubereinstimmen (siehe Gleichung (2.122)), sind sie gleich:

~a×~b = ~a×~b′. (2.123)

Zum Vektor ~b′ = (bx, by, 0) bilden wir nun den Vektor ~b′′ = (−by, bx, 0). Durch Bildung des Ska-

larprodukts konnen wir leicht feststellen, dass der Vektor ~b′′ sowohl auf ~a als auch auf ~b′ normalsteht. Aus der rechten-Hand-Regel folgt, dass ~b′′ genau die Richtung von ~a × ~b′ und somit auchvon ~a ×~b besitzt. Wenn wir nun den Vektor ~b′′ mit |~a| multiplizieren, erhalten wir einen Vektor,

der sowohl in der Richtung als auch im Betrag mit ~a×~b ubereinstimmt:

|(−|~a|by, |~a|bx, 0)| = |~a||~b′| = |~a×~b′| = |~a×~b|. (2.124)

Somit gilt:

~a×~b =

−|~a|by|~a|bx0

. (2.125)

Analoge Uberlegungen fuhren auf

~a× ~c =

−|~a|cy|~a|cx0

(2.126)

und

~a× (~b + ~c) =

−|~a|(by + cy)

|~a|(bx + cx)

0

. (2.127)

58 2 Vektoren

Durch komponentenweisen Vergleich der Vektoren erhalten wir das Distributivgesetz fur das Vek-torprodukt:

~a× (~b+ ~c) =

−|~a|(by + cy)

|~a|(bx + cx)

0

=

−|~a|cy|~a|cx0

+

−|~a|cy|~a|cx0

= ~a×~b+ ~a× ~c. (2.128)


In kartesischen Koordinaten kann das Vektorprodukt komponentenweise ausgedruckt werden als:

~a×~b =

ax

ay

az

×

bx

by

bz

=

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

. (2.129)

Dies kann man sich klar machen, indem man ~a und ~b mit Hilfe der Einheitsvektoren darstellt unddas Distributivgesetz ausnutzt:

~a×~b = (ax~ex + ay~ey + az~ez) × (bx~ex + by~ey + bz~ez)

= axbx(~ex × ~ex) + axby(~ex × ~ey) + axbz(~ex × ~ez)

+ aybx(~ey × ~ex) + ayby(~ey × ~ey) + aybz(~ey × ~ez)

+ azbx(~ez × ~ex) + azby(~ez × ~ey) + azbz(~ez × ~ez).

(2.130)

Da

~ei × ~ei = 0 (der Vektor ~ei ist parallel zu sich selbst) (2.131)

und die Einheitsvektoren ~ex, ~ey und ~ez ein Rechtssystem bilden und somit gilt

~ex × ~ey = ~ez, ~ey × ~ex = −~ez, (2.132)

~ey × ~ez = ~ex, ~ez × ~ey = −~ex, (2.133)

~ez × ~ex = ~ey, ~ex × ~ez = −~ey, (2.134)

erhalten wir schließlich

~a×~b = axby~ez − axbz~ey − aybx~ez + aybz~ex + azbx~ey − azby~ex

= (aybz − azby)~ex + (azbx − axbz)~ey + (axby − aybx)~ez,(2.135)

was genau der komponentenweisen Darstellung entspricht, die wir weiter oben angefuhrt haben.

Leichter merken kann man sich die Bildung des Kreuzprodukts folgendermaßen: Zur Berechnungder x-Komponente decken wir auf der linken Seite der Gleichung

ax

ay

az

×

bx

by

bz

=

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

(2.136)

zunachst die x-Zeile ab und multiplizieren kreuzweise: (links oben × rechts unten) minus (linksunten × rechts oben). Fur die y-Komponente des Kreuzprodukts gehen wir analog vor und deckendie y-Zeile ab und berechnen wieder (links oben × rechts unten) minus (links unten × rechts oben),wobei wir uns aber das gesamte Schema nach unten durch Kopien der oberen beiden Zeilen erganztdenken. Fur die z-Komponente decken wir schließlich die z-Zeile ab und verfahren analog.

2 Vektoren 59

2.5.4 Anwendungen

Durch Berechnung des Vektorprodukts kann man prufen, ob zwei Vektoren parallel zueinandersind. Wenn ~a parallel zu ~b ist (und infolgedessen der eingeschlossene Winkel α verschwindet oderπ betragt), ist sinα = 0 und das Vektorprodukt verschwindet:

~a×~b = ~0 ⇔ ~a||~b. (2.137)

Eine weitere wichtige Anwendung des Vektorprodukts besteht in der Konstruktion eines Vektors,der auf zwei gegebene Vektoren ~a und ~b normal stehen soll.

Beispiel:

~a =

1

2

3

~b =

3

4

5

(2.138)

~c = ~a×~b =

1

2

3

×

3

4

5

=

2 · 5 − 3 · 43 · 3 − 1 · 51 · 4 − 2 · 3

=

−2

4

−2

(2.139)

|~a| =√

1 + 4 + 9 =√

14 (2.140)

|~b| =√

9 + 16 + 25 =√

50 (2.141)

|~a×~b| =√

4 + 16 + 4 =√

24. (2.142)

Den Winkel zwischen ~a und ~b bestimmen wir folgendermaßen:

sinα =|~a×~b||~a||~b|

=

√24√

50 · 14= 0.185 . . . (2.143)

α = 10.67. (2.144)

Haben wir richtig gerechnet, sollten ~a und ~b zu ~a×~b orthogonal stehen, was wir durch Berechnungder entsprechenden Skalarprodukte prufen konnen:

~c · ~a =

−2

4

−2

·

1

2

3

= −2 + 8 − 6 = 0, (2.145)

~c ·~b =

−2

4

−2

·

3

4

5

= −6 + 16 − 10 = 0. (2.146)

2.6 Spatprodukt

2.6.1 Definition

Das Spatprodukt (oder gemischtes Produkt) dreier Vektoren ~a,~b und ~c ist ein Skalar und istdefiniert als

[~a~b~c] = (~a×~b) · ~c. (2.147)

Anschaulich ist das Spatprodukt (genauer gesagt der Betrag des Spatprodukts) das Volumen des

von den drei Vektoren ~a,~b und ~c aufgespannten Parallelepipeds, das auch Parallelflach oderSpat genannt wird (siehe Abb. 2.32).

60 2 Vektoren

Abbildung 2.32: Das Spatprodukt

Die geometrische Interpretation des Spatprodukts ergibt sich aus folgender Uberlegung. Das Vo-lumen V des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds ist gegeben durch

V = Ah, (2.148)

wobei A die Flache des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms und h die in Abb. 2.32dargestellte Hohe des Parallelepipeds ist. Die Flache A erhalten wir aus dem Vektorprodukt von ~aund ~b,

A = |~a||~b| sinα = |~a×~b|. (2.149)

Die Hohe h erhalten wir durch Projektion des Vektors ~c auf ~a×~b:

h = |~c|| cosβ|. (2.150)

Die Betragsstriche garantieren dabei, dass die Hohe nicht negativ wird. Einsetzen ergibt schließlich

V = A · h = |~a×~b||~c|| cosβ| = |(~a×~b) · ~c|. (2.151)


Das Spatprodukt kann mit Hilfe der Komponenten von ~a, ~b und ~c ausgedruckt werden:

(~a×~b) · ~c =

ax

ay

az

×

bx

by

bz

·

cx

cy

cz

=

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

·

cx

cy

cz

= cx(aybz − azby) + cy(azbx − axbz) + cz(axby − aybx). (2.152)

2.6.3 Rechenregeln und Anwendung

• Durch die Nichtkommutativitat des Kreuzprodukts ist das Spatprodukt nicht kommutativ.Das Vertauschen von zwei Vektoren andert das Vorzeichen des Spatprodukts:

[ ~a~b~c ] = −[ ~b~a~c ]. (2.153)

• Vektoren konnen zyklisch vertauscht werden, ohne das Spatprodukt zu andern:

[ ~a~b~c ] = [ ~b~c~a ] = [ ~c~a~b ], (2.154)

(~a×~b) · ~c = (~b× ~c) · ~a = (~c× ~a) ·~b. (2.155)

2 Vektoren 61

• Aus ~a ·~b = ~b · ~a und der zyklischen Vertauschbarkeit folgt außerdem:

(~a×~b) · ~c = ~a · (~b× ~c). (2.156)

• Das Spatprodukt kann als Determinante dargestellt werden:

[ ~a~b~c ] =

∣∣∣∣∣∣∣

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣∣

. (2.157)

• Das Spatprodukt verschwindet, wenn die Vektoren ~a und ~b × ~c zueinander orthogonal sind.Das ist der Fall, wenn alle Vektoren in der selben Ebene liegen, d.h. wenn sie komplanar

sind:

[ ~a~b~c ] = 0 ⇔ ~a,~b,~c komplanar. (2.158)

2.7 Mehrfachprodukte

Fur Mehrfachprodukte gelten folgende Rechenregeln:

• Doppeltes Kreuzprodukt (bac-cab Regel)

~a× (~b× ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a ·~b). (2.159)

• Kreuzprodukt von zwei Kreuzprodukten

(~a×~b) × (~c× ~d) = ~c[(~a×~b) · ~d] − ~d[(~a×~b) · ~c]= ~b[(~c× ~d) · ~a] − ~a[(~c× ~d) ·~b]. (2.160)

• Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten

(~a×~b) · (~c× ~d) = ~a · (~b× (~c× ~d))

= (~a · ~c)(~b · ~d) − (~a · ~d)(~b · ~c). (2.161)

• Quadrat eines Kreuzprodukts

(~a×~b)2 = |~a|2|~b|2 − (~a ·~b)2. (2.162)

2.8 Anwendungsbeispiele fur Vektoren

2.8.1 Stromung durch eine Flache

Stellen wir uns eine Flussigkeit vor, die mit gleichformiger Geschwindigkeit ~v stromt (siehe Abb.2.33). In der Flussigkeit denken wir uns eine ebene Flache mit beliebigem Umriss und einemFlacheninhalt f . Wir wollen nun den Fluss durch diese imaginare Flache berechnen.

Unter dem Fluss verstehen wir das pro Zeiteinheit durch die Flache hindurch tretende Flussigkeitsvo-lumen. Ist die Flache parallel zur Flussrichtung, tritt keine Flussigkeit hindurch. In jeder anderenOrientierung tritt Flussigkeit hindurch. Die Orientierung der Flache spielt also eine wesentliche

62 2 Vektoren

Abbildung 2.33: Stromung durch eine Flache mit Flachenvektor ~f .

Rolle und es genugt nicht, nur den Flacheninhalt anzugeben. Wir fuhren daher den Flachenvektor~f ein, der neben dem Flacheninhalt von f auch die Orientierung der Flache im Raum beschreibt:

~f ist orthogonal zur Flache,

|~f | = f der Betrag von ~f ist gleich dem Flacheninhalt.

Zur Berechnung des Flusses betrachten wir nun alle Teilchen, die sich zum Zeitpunkt 0 in derimaginaren Flache befinden. Nach einer Zeit t haben sich alle diese Teilchen um die Distanz

~vt (2.163)

weiterbewegt. Sie liegen jetzt auf einer Flache, die gleich ist der um ~vt parallel verschobenenursprunglichen Flache. Alle Flussigkeitsteilchen, die in der Zeit t durch die Flache hindurch getretensind, befinden sich in einem schiefen Zylinder. Das Volumen des Zylinders ist Grundflache f malHohe h:

V = fh. (2.164)

Um die Hohe h zu bestimmen, berechnen wir die Projektion von ~v · t auf ~f

h = (~vt)f =

(

~vt ·~f

f

)

. (2.165)

Das Volumen ist deshalb

V = tf~v · ~ff

= t~v · ~f. (2.166)

Der Fluss ist gleich dem Volumen V pro Zeit t und wir erhalten schließlich

Fluss =V

t= ~v · ~f. (2.167)

Der Fluss ist also gegeben durch das Skalarprodukt von ~v und ~f .

2.8.2 Rotation eines Korpers

Um die Rotation eines Korpers um eine Achse zu beschreiben, verwenden wir die Winkelge-

schwindigkeit ω. Sie gibt den Winkel in Bogenmaß an, um den sich der Korper pro Zeiteinheit

2 Vektoren 63

dreht. Um auch die Richtung der Drehachse zu berucksichtigen, fuhren wir den Winkelgeschwin-

digkeitsvektor ~ω ein:

~ω ist parallel zur Rotationsachse,

|~ω| = ω der Betrag ist gleich der Winkelgeschwindigkeit.

Die Richtung von ~ω ist so gewahlt, dass von der Spitze von ~ω aus gesehen die Rotation in positiverRichtung, also gegen den Uhrzeigersinn, erfolgt (siehe Abb. 2.34). Wenn die gekrummten Fingerder rechten Hand also der Rotation folgen, zeigt der Daumen in Richtung von ~ω (siehe Abb. 2.25).

Abbildung 2.34: Die Winkelgeschwindigkeit ~ω ist so definiert, dass von der Spitze aus gesehen dieRotation gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.

Nun wollen wir den Winkelgeschwindigkeitsvektor ~ω benutzen, um die Momentangeschwindigkeiteines Punktes auf einem rotierenden Korper zu ermitteln. Der Punkt bewegt sich dabei auf einerKreisbahn mit dem Radius r (siehe Abb. 2.35). Der pro Zeiteinheit zuruckgelegte Winkel ist ω.Daher ist die pro Zeiteinheit zuruckgelegte Strecke, also die Geschwindigkeit

v = ωr. (2.168)

Zur Berechnung von v mussen wir den Radius r bestimmen. Zudem mussen wir beachten, dass ~vparallel zur Tangente an die Kreisbahn sein muss.

Abbildung 2.35: Rotation eines Korpers um eine Achse.

All dies lasst sich durch Verwendung des Vektorprodukts sehr einfach erreichen. Es sei ~x einVektor von einem beliebigen Punkt auf der Drehachse zu jenem Punkt, dessen Geschwindigkeit ~vwir bestimmen mochten. Der Betrag v = |~v| ist dann gegeben durch:

v = ωr = ω · |~x| · sinα = |~ω × ~x|. (2.169)

Weiters ist ~ω×~x sowohl zu ~ω als auch zu ~x orthogonal, sodass die Geschwindigkeit auch die richtigeRichtung hat. Mit der rechten-Hand-Regel sieht man leicht, dass der Vektor

~v = ~ω × ~x (2.170)

auch die richtige Orientierung hat.

64 2 Vektoren

2.8.3 Volumen einer Einheitszelle

Abbildung 2.36: Einheitszelle eines triklinen Kristalls.

Gegeben sei die Einheitszelle eines Kristalls, die von den Vektoren ~a, ~b und ~c aufgespannt wird. DieLangen der Vektoren sind a = 3A, b = 2A, und c=2A. (Die Langeneinheit Angstrom, abgekurzt alsA, ist im atomaren Bereich gebrauchlich. Es gilt 1A=10−10m.) Der Winkel zwischen den Vektorenist jeweils 60. Wie groß ist das Volumen der Einheitszelle?

Wir wahlen zunachst ein kartesisches Koordinatensystem, in dem die x-Achse parallel zum Vektor~a ist und die y-Achse so orientiert ist, dass der Vektor ~b in der xy-Ebene liegt (wir konnen dasKoordinatensystem so orientieren, wie wir wollen). Dann ist

~a = (3A, 0, 0) (2.171)

und

~b = (2 cosα, 2 sinα, 0) = (21

2A, 2

√3

2A, 0) = (1A,

√3A, 0). (2.172)

Abbildung 2.37: Einheitszelle dargestellt in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem.

Um ~c zu finden, beachten wir, dass

~a · ~c = ac cos 60 =ac

2= 3A

2, (2.173)

~b · ~c = bc cos 60 =bc

2= 2A

2. (2.174)

2 Vektoren 65

Einsetzen ergibt

3A

0

0

·

cx

cy

cz

= 3cxA = 3A

2(2.175)

und somitcx = 1A. (2.176)

Weiteres Einsetzen ergibt

1A√3A

0

·

cx

cy

cz

= cxA +

√3cyA = 1A

2+√

3Acy = 2A2, (2.177)

woraus folgt

cy =1√3A. (2.178)

Da der Betrag von ~c bekannt ist, konnen wir schreiben

c2z + c2x + c2y = 4A2. (2.179)

Daraus konnen wir die z-Komponente des Vektors ~c bestimmen:

c2z = 4A2 − 1A

2 − 1

3A

2=

8

3A

2 ⇒ cz =

√

8

3A. (2.180)

Wir erhalten schließlich fur den Vektor ~c:

~c =

11√3√83

A. (2.181)

Aus den nun explizit bekannten Vektoren ~a, ~b und ~c konnen wir mit Hilfe des Spatprodukts dasVolumen der Einheitszelle des Kristalls berechnen:

V = (~a×~b) · ~c =

3

0

0

×

1√3

0

·

11√3√83

A3

=

0

0

3√

3

·

11√3√83

A3

= 3√

8A3. (2.182)

66 2 Vektoren

Kapitel 3

Differentiation

3.1 Grundbegriffe

Betrachten wir ein Objekt (z.B. ein Fahrzeug), das sich gleichformig fortbewegt. Die Geschwin-digkeit ist in diesem Fall durch die pro Zeit zuruckgelegte Strecke definiert:

v =s2 − s1t2 − t1

=∆s

∆t. (3.1)

Hier ist ∆s = (s2 − s1) die im Zeitintervall ∆t = (t2 − t1) zuruckgelegte Strecke. Bei gleichformi-ger Bewegung konnten wir die Zeiten t2 und t1 beliebig wahlen und wir wurden immer dasselbeResultat fur die Geschwindigkeit v erhalten. Wenn wir die gleichformige Bewegung in einem Raum-zeitdiagramm graphisch darstellen, indem wir die zuruckgelegte Entfernung s als Funktion der Zeitt auftragen, erhalten wir eine Gerade, dessen Steigung die Geschwindigkeit ist (siehe Abb. 3.1).

Abbildung 3.1: Raumzeitdiagramm fur ein Objekt, das sich gleichformig, das heißt mit konstanterGeschwindigkeit, fortbewegt.

Bei einer ungleichformigen Bewegung ist dies jedoch anders. In diesem Fall hangt der Quotient(s2−s1)/(t2−t1) sehr wohl vom gewahlten Intervall [t1, t2] ab. (s2−s1)/(t2−t1) ist in diesem Fall diemittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1, t2]. In der graphischen Darstellung der Entfernungals Funktion der Zeit erhalten wir in diesem Fall eine gekrummte Kurve, die in Abb. 3.2 beispielhaftdargestellt ist. Die mittlere Geschwindigkeit (s2 − s1)/(t2 − t1) ist die Steigung der Sekante, diedurch die Punkte (t1, s1) und (t2, s2) geht. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, wurde ein anders

67

68 3 Differentiation

gewahltes Zeitintervall, sagen wir [t1, t′2], eine andere Steigung der Sekante und somit eine andere

mittlere Geschwindigkeit, namlich (s′2 − s1)/(t′2 − t1), ergeben.

Abbildung 3.2: Raumzeitdiagramm fur ein Objekt, das sich ungleichformig, das heißt mit einersich verandernden Geschwindigkeit, fortbewegt.

Die Momentangeschwindigkeit v des Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt t (also die Ge-schwindigkeit, die man etwa vom Tachometer eines Autos ablesen wurde) erhalten wir, indem wirzu sehr kleinen Zeitintervallen ∆t ubergehen:

v = lim∆t→0

∆s

∆t. (3.2)

In diesem Grenzfall wird aus der Sekante in Abb. 3.2 die Tangente an die Raumzeitkurve und dieGeschwindgkeit v(t), die nun von der Zeit t abhangt, ist die Steigung dieser Tangente (siehe Abb.3.3). Man nennt v(t) auch die Ableitung von s(t) an der Stelle t.

Abbildung 3.3: Im Grenzfall eines unendlich kleinen Zeitintervalls wird aus der Sekante aus Abb.3.2 die Tangente der Kurve. Die Steigung der Tangente der Raum-Zeit-Kurve zur Zeit t′ ist dieGeschwindigkeit des Objekts zur Zeit t′.

Um nach diesem anschaulichen Beispiel den Begriff der Ableitung formaler einzufuhren, betrachtenwir zunachst den Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient m fur eine Funktion y = f(x)ist der Quotient aus der Differenz der Funktionswerte y1 = f(x1) und y2 = f(x2) und der Differenzder Argumente an den Stellen x1 und x2:

m =∆y

∆x=y2 − y1x2 − x1

=f(x1 + ∆x) − f(x1)

∆x. (3.3)


Abbildung 3.4: Der Differenzenquotient m = ∆y/∆x ist die Steigung der Sekante durch die Punkte(x1, f(x1)) und (x2, f(x2)).

Dabei ist ∆y = y2 − y1 und ∆x = x2 − x1. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekantedurch die Punkte (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) (siehe Abb. 3.4).

Beispiel: Der Differenzenquotient der Funktion

f(x) = 2x3 + 4x2 − 1 (3.4)

ist:

m(x) =f(x+ ∆x) − f(x)

∆x

=2(x+ ∆x)3 + 4(x+ ∆x)2 − 1 − 2x3 − 4x2 + 1

∆x

=2(x3 + 3x2∆x+ 3x∆x2 + ∆x3) + 4(x2 + 2x∆x+ ∆x2) − 1 − 2x3 − 4x2 + 1

∆x

= (6x2 + 6x∆x+ 2∆x2 + 8x+ 4∆x). (3.5)

Wenn wir nun zum Grenzfall unendlich kleiner Differenzen ubergehen, wird aus dem Differenzen-quotienten der Differentialquotient (wir lassen ∆x gegen 0 gehen):

f ′(x) =df(x)

dx= lim

∆x→0

∆f(x)

∆x= lim

∆x→0

f(x+ ∆x) − f(x)

∆x. (3.6)

Die Notationen f ′(x) und df(x)/dx sind aquivalent und bezeichnen beide den Differentialquotien-ten. Der Differentialquotient f ′(x) wird auch die Ableitung von f(x) nach x genannt. Anschaulichist der Differentialquotient f ′(x) die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen der Funk-tion f(x) an der Stelle x. Verlauft der Funktionsgraph steil, ist der Differentialquotient (oder dieAbleitung) groß, fur eine flache Kurve ist er klein. Da sich die Steigung des Funktionsgraphen vonOrt zu Ort im Allgemeinen andert, ist - so wie die Funktion f(x) selbst - auch ihre Ableitung f ′(x)von x abhangig.

Das Differential df der Funktion f(x) ist definiert als:

df(x) = f ′(x)dx. (3.7)

Das Differential kann betrachtet werden als die infinitesimale Anderung df der Funktion f(x),welche durch eine infinitesimale Anderung dx des Arguments x hervorgerufen wird.

Wenn die unabhangige Variable die Zeit ist, verwendet man fur die 1. Ableitung auch folgendeNotation mit einem Punkt

x(t) =dx(t)

dt. (3.8)


Diese Notation ist vor allem in der klassischen Mechanik gebrauchlich.

Wir wollen nun fur das obige Beispiel den Grenzubergang ∆x→ 0 durchfuhren und den Differen-tialquotienten f ′(x) explizit berechnen. Dazu gehen wir vom Ausdruck fur den Differenzenquotien-ten aus:

∆f(x)

∆x= (6x2 + 6x∆x+ 2∆x2 + 8x+ 4∆x). (3.9)

Alle Terme, die ∆x enthalten, verschwinden bei diesem Grenzubergang und wir erhalten:

df

dx= lim

∆x→0

∆f(x)

∆x= lim

∆x→0(6x2 + 6x∆x+ 2∆x2 + 8x+ 4∆x)

= 6x2 + 8x. (3.10)

Durch ahnliche Uberlegungen lassen sich Differentiationsregeln fur die wichtigsten Funktionen ab-leiten, die wir im nachsten Abschnitt kurz und ohne Herleitung behandeln.

3.2 Differenzierbarkeit

Eine Funktion nennt man in einem Intervall stetig differenzierbar, falls ihre Ableitung in diesemIntervall stetig ist. Eine stetige Funktion muss nicht uberall differenzierbar sein (an Knickstellenist die Ableitung nicht definiert, siehe Abb. 3.5).

Abbildung 3.5: Die Funktion s(t) ist im dargestellten Bereich zwar uberall stetig, aber an denStellen t1 und t2 nicht differenzierbar. Die Ableitung ds(t)/dt ist an diesen Stellen nicht stetig.

An diesen Punkten ist die Funktion nicht differenzierbar (wir konnen hier keine Tangente an-legen) und die Ableitung existiert daher nicht.


3.3 Wichtige Ableitungen

Die Ableitungen der wichtigsten Funktionen sind hier zusammengefasst. Weitere Ableitungen kon-nen Sie einer Formelsammlung entnehmen oder mit den folgenden Differentiationsregeln selbstherleiten.

f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)

xn nxn−1 arcsinx 1√1−x2

x 1 arccosx − 1√1−x2

sinx cosx arctanx 11+x2

cosx − sinx a 0

sinhx coshx ax a

coshx sinhx ex ex

lnx 1x ax (ln a)ax

3.4 Differentiationsregeln

Mit Hilfe der im letzten Abschnitt angegebenen Ableitungen und der folgenden Differentiations-regeln konnen wir auch komplizierte zusammengesetzte Funktionen ableiten. Gegeben seien zwei(differenzierbare) Funktionen f(x) und g(x) und eine Konstante a.

3.4.1 Faktorregel

d

dx(af(x)) = a

df(x)

dx. (3.11)

Zum Beispiel:

y = 7 cosx ⇒ y′ = −7 sinx. (3.12)

3.4.2 Summenregel

d

dx(f(x) + g(x)) =

df(x)

dx+dg(x)

dx. (3.13)

Zum Beispiel:

y = 3x+ sinx ⇒ y′ = 3 + cosx. (3.14)

3.4.3 Produktregel

d

dx(f(x) · g(x)) =

(df(x)

dx

)

· g(x) +

(dg(x)

dx

)

· f(x). (3.15)

Zum Beispiel:

y = x2ex ⇒ y′ = 2xex + x2ex = exx(2 + x). (3.16)


3.4.4 Quotientenregel

d

dx

[f(x)

g(x)

]

=

(df(x)dx

)

· g(x) −(dg(x)dx

)

· f(x)

g(x)2. (3.17)

Zum Beispiel:

y =sinx

cosx⇒ y′ =

cosx cosx+ sinx sinx

cos2 x=

1

cos2 x. (3.18)

3.4.5 Kettenregel

d

dx(f g)(x) =

d

dxf(g(x)) = f ′(g(x)) · g′(x) =

df

dg· dgdx. (3.19)

Bei der Kettenregel leiten wir also die Funktion zunachst nach dem Argument ab und multiplizierendas Resultat mit der Ableitung des Arguments nach der Variablen. Wir multiplizieren also die“außere Ableitung” mit der “inneren Ableitung”.

Zum Beispiel:

y = sin(x2) f(z) = sin z ⇒ dy

dx= cosx2 · 2x. (3.20)

z = g(x) = x2

y = sin(2x) f(z) = sin z ⇒ dy

dx= cos 2x · 2. (3.21)

z = g(x) = 2x

y = ex2

f(z) = ez ⇒ dy

dx= ex

2 · 2x. (3.22)

z = g(x) = x2

y = xx = elnx·x f(z) = ez ⇒ dy

dx= eln x·x(

1

xx+ lnx)

z = g(x) = lnx · x = xx(1 + lnx). (3.23)

3.4.6 Umkehrregel

Durch Verkettung einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion ergibt sich die Identitat:

(f−1 f)(x) = f−1(f(x)) = x. (3.24)

Wenden wir die Kettenregel auf diesen Ausdruck an, erhalten wir:

d

dxf−1(f(x)) = (f−1)′(f(x)) · f ′(x) = 1. (3.25)

Daraus folgt die praktische Umkehrregel:

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y)), (3.26)


wobei wir f(x) durch y ersetzt und x durch x = f−1(y) ausgedruckt haben.

Zum Beispiel:

y = sinx, x = arcsin y ⇒ d

dyarcsin(y) =

1√

1 − y2. (3.27)

3.5 Hohere Ableitungen

Wenn wir die Ableitung f ′(x) = dfdx einer Funktion f(x) noch einmal nach der Variablen x ableiten,

erhalten wir die zweite Ableitung:

f ′′(x) =d2f

dx2=

d

dx

(d

dxf(x)

)

. (3.28)

Wir konnen naturlich die Funktion f(x) mehr als zweimal differenzieren. Die n-te Ableitung erhaltman durch n-maliges Differenzieren:

f (n)(x) =dnf

dxn. (3.29)

Zum Beispiel:

f(x) = x5, (3.30)

f ′(x) = 5x4, (3.31)

f ′′(x) = 20x3, (3.32)

f ′′′(x) = 60x2, (3.33)

f (4)(x) = 120x, (3.34)

f (5)(x) = 120, (3.35)

f (6)(x) = 0, (3.36)

f (n)(x) = 0, ∀n ≥ 6. (3.37)

3.6 Maxima und Minima von Funktionen

An Punkten, wo eine differenzierbare Funktion f(x) Maxima und Minima besitzt, verschwindetihre Ableitung f ′(x). Das heißt, wir konnen Maxima und Minima von Funktionen finden, indemwir die Gleichung f ′(x) = 0 losen. Falls ein Minimum den kleinsten Wert der Funktion im ge-samten Definitionsbereich besitzt, nennt man es globales Minimum. Ansonsten ist es ein lokales

Minimum. Globale und lokale Maxima sind analog definiert. Maxima und Minima zusammennennt man Extremwerte.

Maxima und Minima kann man durch Bestimmung der zweiten Ableitung an diesen Stellen un-terscheiden (siehe Abbildungen 3.7 und 3.8). Fur Minima haben wir positive Krummung, dasheißt, f ′′(xmin) > 0. Fur Maxima hingegen ist die Krummung negativ, das heißt f ′′(xmax) < 0.

Beispiel: Zu bestimmen sind Lage und Wert der Extrema der Funktion

f(x) = (1 − x2)2. (3.38)

Wir bilden zunachst die erste Ableitung

f ′(x) = −2(1 − x2) · 2x = −4x+ 4x3. (3.39)


Abbildung 3.6: Die dargestellte Funktion f(x) besitzt an den Stellen xmin und x′min jeweils Minimaund an der Stelle xmax ein Maximum. Da an der Stelle x′min die Funktion den kleinsten Wert imgesamten Definitionsbereich annimmt, nennt man das zugehorige Minimum ein globales Minimum.

Abbildung 3.7: Die Funktion ax2 + bx+ c hat fur a > 0 an der Stelle xmin = −b/2a ein Minimum.An der Stelle des Minimums hat die Funktion eine positive Krummung, d.h f ′′(xmin) = 2a > 0.

Die Bedingung f ′(x) = 0 ist an den Stellen x = −1, x = 0 und x = +1 erfullt. Um herauszufinden,ob die Funktion an diesen Stellen ein Maximum oder ein Minimum besitzt, berechnen wir diezweite Ableitung

f ′′(x) = 12x2 − 4 (3.40)

und werten sie an den Stellen der Extremwerte aus:

f ′′(0) = −4 und f ′′(±1) = 8. (3.41)

Die Funktion f(x) = (1−x2)2 hat also an den Stellen x = −1 und x = 1 jeweils ein Minimum undan der Stelle x = 0 ein Maximum.

3.7 Differentiation von Funktionen in Parameterform

Eine Funktion sei in Parameterform gegeben:

x = x(t), (3.42)

y = y(t). (3.43)

Die Ableitung y′ = dydx kann dann aus den Ableitungen nach dem Parameter t berechnet werden :

dy

dx=y

x=

dydtdxdt

. (3.44)


Abbildung 3.8: Die Funktion ax2 + bx+ c hat fur a < 0 an der Stelle xmax = −b/2a ein Maximum.An der Stelle des Maximums hat die Funktion eine negative Krummung, d.h f ′′(xax) = 2a < 0.

Abbildung 3.9: Die Funktion f(x) = (1 − x2)2 hat zwei Minima und ein Maximum.

Wir erhalten diese Beziehungen, indem wir zunachst auf y = f(x(t)) die Kettenregel anwenden,

dy

dt=df

dx· dxdt

=dy

dx· dxdt. (3.45)

Umformung dieser Gleichung ergibt schließlich:

dy

dx=

dydtdxdt

. (3.46)

Dieselben Ausdrucke konnen wir auch auf Funktionen anwenden, welche in Polarkoordinaten

gegeben sind. In diesem Fall betrachtet man r als Funktion von ϕ: r = r(ϕ). Wir haben dann

x = r(ϕ) · cosϕ, (3.47)

y = r(ϕ) · sinϕ. (3.48)

Durch Anwendung von Gleichung (3.44) erhalten wir

dy

dx=

dydϕ

dxdϕ

=

drdϕ · sinϕ+ r(ϕ) · cosϕ

drdϕ · cosϕ− r(ϕ) sinϕ

. (3.49)

Beispiel:

Fur die Funktion r(ϕ) = 1/√

cos 2ϕ erhalten wir durch Differentiation

dr

dϕ=

(

−1

2

)

(cos 2ϕ)−3/2(− sin 2ϕ)2 =sin 2ϕ

(cos 2ϕ)32

, (3.50)

woraus folgt:

dy

dx=

sin 2ϕ

(cos 2ϕ)32

sinϕ+ cosϕ√cos 2ϕ

sin 2ϕ

(cos 2ϕ)32

cosϕ− sinϕ√cos 2ϕ

. (3.51)


Beispiel: Archimedische Spirale

Fur die Funktion r(ϕ) = aϕ gilt

dr

dϕ= a, (3.52)

und somit

dy

dx=a sinϕ+ aϕ cosϕ

a cosϕ− aϕ sinϕ=

sinϕ+ ϕ cosϕ

cosϕ− ϕ sinϕ. (3.53)

3.8 Differentiation von Vektoren

Betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes durch den Raum. Diese Bewegung beschreibenwir durch den Ortsvektor ~r(t) des Massenpunktes als Funktion der Zeit (siehe Abb. 3.10). DieBahnkurve des Massenpunktes nennen wir auch Trajektorie.

Abbildung 3.10: Trajektorie ~r(t) eines Massenpunktes. Die Geschwindigkeit ~v(t) ist die erste Ab-leitung von ~r(t) nach der Zeit.

Wir konnen jetzt analog zum skalaren Fall vorgehen und eine vektorartige Geschwindigkeit ~v alsden Grenzwert

~v(t) = lim∆t→0

~r(t+ ∆t) − ~r(t)

∆t(3.54)

definieren. Die Ableitung eines Vektors ist wiederum ein Vektor. In Komponentenschreibweisekonnen wir diese Grenzwertbildung ausdrucken als:

~v(t) =

vx(t)

vy(t)

vz(t)

=

lim∆t→0x(t+∆t)−x(t)

∆t

lim∆t→0y(t+∆t)−y(t)

∆t

lim∆t→0z(t+∆t)−z(t)

∆t

=

dxdtdydtdzdt

=

x(t)

y(t)

z(t)

. (3.55)

Eine etwas kurzere Schreibweise dafur ist:

~v(t) =d

dt~r(t) = ~r(t). (3.56)

Die Geschwindigkeit ~v(t) ist also die zeitliche Ableitung des Vektors ~r(t). Der Geschwindigkeits-vektor ~v ist tangential zur Trajektorie und sein Betrag ist gleich der Geschwindigkeit in Richtungder Trajektorie.

Beispiel: Kreisbewegung


Abbildung 3.11: Geschwindigkeit ~v und Beschleunigung ~a fur die gleichformige Kreisbewegung inder Ebene.

Fur die gleichformige Kreisbewegung in der Ebene auf einer Bahn mit Radius r um den Ursprunggilt (siehe Abb. 3.11):

x = r cosωt, (3.57)

y = r sinωt, (3.58)

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist. Durch Differentiation erhalten wir die x- und y-Komponentender Geschwindigkeit:

vx = −rω sinωt, (3.59)

vy = rω cosωt. (3.60)

Die Beschleunigung beschreibt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit mit der Zeit:

~a =d

dt~v =

d2

dt2~r. (3.61)

Fur die Kreisbewegung erhalten wir somit

ax = −rω2 cosωt, (3.62)

ay = −rω2 sinωt. (3.63)

In Vektorschreibweise ist die Beschleunigung also gegeben durch

~a = −ω2~r. (3.64)

Fur Vektoren gelten folgende Differentiationsregeln, welche man sich durch Anwendung derweiter oben behandelten einfachen Differentiationsregeln auf die jeweiligen Ausdrucke in Kompo-nentenschreibweise leicht uberlegen kann. Hier sind die Vektoren ~a und ~b zeitabhangig: ~a = ~a(t)

und ~b = ~b(t). f(t) ist eine beliebige skalare Funktion der Zeit.

• Summenregel

d

dt(~a+~b) =

d~a

dt+d~b

dt. (3.65)

• Produktregeln

– Skalar × Vektor

d

dt[f(t)~a] =

df

dt~a+ f

d~a

dt. (3.66)


– Skalarprodukt

d

dt(~a ·~b) =

d~a

dt·~b+ ~a · d

~b

dt. (3.67)

– Kreuzprodukt

d

dt(~a×~b) =

d~a

dt×~b+ ~a× d~b

dt. (3.68)

– Spatprodukt

d

dt[(~a×~b) · ~c)] = (

d~a

dt×~b) · ~c+ (~a× d~b

dt) · ~c+ (~a×~b) · d~c

dt(3.69)

• Quotientenregel

d

dt

(~a

f(t)

)

=d~adt f − ~adfdt

f2. (3.70)

• Kettenregel

d~a(f(t))

dt=d~a

df

df

dt. (3.71)

3.9 Partielle Differentiation

3.9.1 Funktionen mehrerer Variabler

Eine Funktion kann von mehr als einer Variablen abhangen. Zum Beispiel konnte f(x, y) dasHohenrelief eines Gebirges darstellen. In diesem Fall gibt f(x, y) fur jeden Punkt (x, y), der etwadurch die geographische Breite x und die geographische Lange y definiert ist, die Hohe uber demMeeresspiegel an. Im Allgemeinen versteht man unter einer Funktion von zwei unabhangigen Va-riablen eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar (x, y) aus dem Definitionsbereich genauein Element z aus dem Wertebereich zuordnet:

z = f(x, y). (3.72)

(Diese Definition kann direkt auf eine beliebige Zahl von Argumenten ubertragen werden.) Sowie eine Funktion y = f(x) in einem kartesischen Koordinatensystem einen Kurve definiert (denFunktionsgraphen), definiert eine Funktion z = f(x, y) in einem dreidimensionalen Koordinaten-system eine Flache. Diese Flache entsteht dadurch, dass jedem Punkt in der xy-Ebene eine gewisseHohe senkrecht zur xy-Ebene zugeordnet wird. Die Flache besteht also aus allen Zahlentriplets(x, y, z = f(x, y)).

Beispiel:

Die durch die Funktion

f(x, y) = y2 − x (3.73)

definierte Flache ist in Abb. 3.12 graphisch dargestellt. Die Funktionsflache ist ein fur fallendeWerte von x ansteigendes Tal. Fur x = const erhalten wir eine Schar von Parabeln, z = y2− const,und fur y = const eine Schar von Geraden mit Steigung -1, z = const − x.


Abbildung 3.12: Darstellung der Funktion z = f(x, y) = y2 − x in einem dreidimensionalen karte-sischen Koordinatensystem.

3.9.2 Partielle Ableitung

Wir konnen nun die Funktion f(x, y) nach einer der beiden Variablen ableiten und dabei die andereVariable als konstant betrachten:

∂f(x, y)

∂x= lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y) − f(x, y)

∆x(y = const). (3.74)

Genauso konnen wir die Funktion nach y ableiten:

∂f(x, y)

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y) − f(x, y)

∆y(x = const). (3.75)

Solche Ableitungen nennt man partielle Ableitungen, da die Funktion nur nach einer der Varia-blen abgeleitet wird, also nur “zum Teil”, und alle anderen Variablen festgehalten werden. Umden Unterschied zur Differentiation einer Funktion einer einzelnen Variablen zu betonen, verwen-den wir fur die partielle Ableitung das geschwungene Delta: ∂. Alternativ zur Notation mit demgeschwungenen Delta ∂ findet auch die folgende Schreibweise mit Indizes Verwendung:

fx =∂f

∂x(3.76)

fy =∂f

∂y. (3.77)

Fur partielle Ableitungen gelten dieselben Rechenregeln wie fur die Differentiation einer Funktioneiner einzelnen Variablen.

Beispiel:

Die Funktion

f(x, y) = xy2 + 4x5y + 16x (3.78)


kann sowohl nach x als auch nach y differenziert werden:

∂f

∂x= y2 + 20x4y + 16, (3.79)

∂f

∂y= 2xy + 4x5. (3.80)

Durch wiederholtes partielles Ableiten lassen sich partielle Ableitungen hoherer Ordnung (hohereAbleitungen) bilden:

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

)

= fxx, (3.81)

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)

= fxy, (3.82)

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

= fyx, (3.83)

∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)

= fyy. (3.84)

Beispiel: Thermodynamik

In der Thermodynamik verwendet man eine weitere, leicht unterschiedliche Schreibweise fur par-tielle Ableitungen. So ist zum Beispiel die Warmekapazitat eines Korpers gegeben als

Cp = T

(∂S

∂T

)

p

, (3.85)

wobei T die Temperatur ist, S die Entropie und p der Druck. Diese Warmekapazitat Cp ist dieWarme, die einem Korper zugefuhrt (oder abgefuhrt) werden muss, um die Temperatur T desKorpers um einen gewissen Betrag zu andern und zwar bei konstantem Druck p. Der Index pzeigt an, dass die Temperaturanderung bei konstantem Druck erfolgt.

Analog dazu gibt es auch die Warmekapazitat bei konstantem Volumen V :

CV = T

(∂S

∂T

)

V

. (3.86)

Auch hier wird explizit angegeben, welche Variable sich andert (T ) und welche unverandert bleibt(V ).

Beispiel: Mechanik

Aus der potentiellen Energie U(x, y, z) kann die Kraft, die auf einen gewissen Korper wirkt, durchpartielle Ableitung berechnet werden:

~F =

Fx

Fy

Fz

=

−∂U∂x

−∂U∂y

−∂U∂z

. (3.87)

Nach dem Satz von Schwarz kann bei gemischten partiellen Ableitungen die Reihenfolge derDifferentiation vertauscht werden, falls die partiellen Ableitungen stetig sind. Dies gilt auch furpartielle Ableitungen hoherer Ordnung. Demnach gilt etwa:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x. (3.88)


In Analogie zum Differential lassen sich auch partielle Differentiale definieren:

∂xf(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx (3.89)

und

∂yf(x, y) =∂f(x, y)

∂ydy. (3.90)

Das totale Differential (auch vollstandiges Differential genannt) ergibt sich aus der Summeder partiellen Differentiale:

df(x, y) =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy. (3.91)

Das totale Differential, das in der Fehlerrechnung und in der Thermodynamik von Bedeutung ist,gibt an, um wie viel sich die Funktion f(x, y) andert, wenn wir ihre Argumente um dx und dyverschieben.

3.9.3 Anstieg einer impliziten Funktion

Eine Funktion sei in impliziter Form als F (x, y) = 0 gegeben (siehe Abb. 3.13). In einem gewissenPunkt (x, y) ist der Anstieg der Kurve dann gegeben durch:

k = −∂F∂x∂F∂y

. (3.92)

Um zu verstehen, woher dieser Ausdruck kommt, betrachten wir F (x, y) als eine Funktion z =F (x, y) von x und y. Das vollstandige Differential der Funktion ist

dF (x, y) =

(∂F

∂x

)

dx+

(∂F

∂y

)

dy. (3.93)

Wir wissen nun, dass entlang der durch F (x, y) = 0 definierten Kurve sich F (x, y) nicht andert(F (x, y) ist ja auf dieser Kurve uberall gleich 0). Daher ist dF = 0. Wenn wir diesen Ausdruckdann noch durch dx dividieren, erhalten wir schließlich

dy

dx= −

∂F∂x∂F∂y

. (3.94)

Abbildung 3.13: Der Anstieg (oder die Steigung) k der durch F (x, y) = 0 definierten Kurve imPunkt (x, y) ist gegeben durch k = −(∂F/∂x)/(∂F/∂y).


Beispiel:

Die Gleichung

F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 (3.95)

stellt einen Kreis in der Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1 dar. Die Steigung desKreises an der Stelle (x, y) ist gegeben durch:

dy

dx=

−2x

2y= −x

y. (3.96)

(3.97)

Demnach ist die Steigung der Kreislinie im Punkt (0, 1) gleich 0, im Punkt (√

2,√

2) ist sie gleich-1 und im Punkt (1, 0) ist sie gleich −∞.

Kapitel 4

Integration

4.1 Das unbestimmte Integral

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Wahrend wir bei der Differentiation fureine bestimmte Funktion ihre Ableitung bestimmen, wollen wir beim Integrieren aus der Ableitungdie Funktion bestimmen. Oder, mit anderen Worten, wir wollen aus der Steigung einer Kurvedie Kurve selbst bestimmen. Dies ist eine der beiden Grundaufgaben der Integralrechnung. Diezweite Grundaufgabe der Integralrechnung, der wir uns spater zuwenden werden, besteht in derBerechnung von Flachen unter Funktionsgraphen.

Gegeben sei also eine Funktion f(x). Zu dieser Funktion suchen wir jetzt eine andere FunktionF (x), sodass f(x) die Ableitung von F (x) ist:

F ′(x) = f(x). (4.1)

F (x) wird die Stammfunktion genannt. Das Auffinden der Stammfunktion wird Integration

genannt. Zum Beispiel hat die Funktion f(x) = x2 die Funktion F (x) = 13x

3 als Stammfunktion,denn

d

dx

1

3x3 = x2. (4.2)

Wahrend bei der Differentiation F (x) gegeben und f(x) = F ′(x) gesucht ist, gilt es also bei derIntegration fur eine gegebene Funktion f(x) eine Funktion F (x) zu finden, sodass F ′(x) = f(x).Man nennt F (x) auch das unbestimmte Integral von f(x) und schreibt:

F (x) =

∫

f(x) dx oder F (x) =

∫

dxf(x). (4.3)

Hier ist es wichtig anzumerken, dass das unbestimmte Integral einer Funktion wiederum eineFunktion ist.

Genauer musste man eigentlich schreiben:

F (x) =

∫

f(x) dx + C, (4.4)

wobei C die so genannte Integrationskonstante ist. Diese Konstante wird deshalb benotigt, weildie Integration kein eindeutiger Vorgang ist. So haben z.B. die Funktionen

f(x) = x2 f ′(x) = 2x (4.5)

g(x) = x2 + 5 g′(x) = 2x (4.6)

83

84 4 Integration

dieselbe Ableitung, weil eine Konstante bei der Differentiation verschwindet. Falls F (x) eine Stamm-funktion von f(x) ist, ist F (x) +C also auch eine, denn die Ableitungen dieser beiden Funktionensind identisch (siehe Abb. 4.1). Außerdem ist jede beliebige Stammfunktion F (x) der GestaltF (x) = F (x) + C. Sind namlich sowohl F (x) als auch F (x) Stammfunktionen, gilt

d

dx(F (x) − F (x)) =

dF

dx− dF

dx= f − f = 0. (4.7)

Deshalb ist F (x)− F (x) eine Konstante und F (x) kann geschrieben werden als F (x) = F (x) +C.

Abbildung 4.1: Falls die Funktion F (x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so ist es auch eineganze Schar von Funktionen, die sich jeweils um eine Konstante unterscheiden. Die GleichungF ′(x) = f(x) gibt fur jeden Wert von x die Steigung der Tangente vor.

Die Integrationskonstante ist eine zunachst unbestimmte Konstante, die wir zur Stammfunkti-on dazu schreiben, um diesen Sachverhalt anzudeuten. Wenn wir den Wert von F (x) an einereinzelnen Stelle kennen, konnen wir daraus C bestimmen (Anfangswert, Randbedingung). Weildurch die Differentiation Konstanten verloren gehen, konnen wir sie nicht mehr durch Integrationzuruckgewinnen und es gibt eine unendliche Schar von Stammfunktionen, die sich nur durcheine Konstante unterscheiden und die alle die gleiche Ableitung besitzen (siehe Abb. 4.1).

Beispiel:

Wir betrachten einen Korper, der sich mit zunehmender Geschwindigkeit v entlang einer Geradenbewegt. Wir nehmen dabei an, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt (wir habenes also mit einer gleichformigen Beschleunigung zu tun):

v = at, (4.8)

wobei v = q und a = v und wir fur die Beschleunigung den Wert a = 4m/s2 annehmen. Der ineiner Zeit t zuruckgelegte Weg q(t) ist gegeben durch:

q(t) =

∫

v dt =

∫

at dt =at2

2+ C. (4.9)

(Hier heißt unsere Variable t statt x, was naturlich vollig belanglos ist.) Nehmen wir nun an, dasszum Zeitpunkt t = 0 der Korper schon einen Weg von 4 Metern zuruckgelegt hat, also q(t = 0) = 4m(man nennt so etwas eine Anfangsbedingung). Diese Anfangsbedingung konnen wir benutzen,um die Integrationskonstante zu bestimmen:

q(0) =a02

2m + C = 4m ⇒ C = 4m. (4.10)

4 Integration 85

Die Anfangsbedingung wahlt aus der Schar aller Losungen eine bestimmte Losung aus.

Zusammenfassend halten wir fest:

• Zu jeder stetigen Funktion f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen F (x), sodassF ′(x) = f(x).

• Zwei beliebige Stammfunktionen F1(x) und F2(x) unterscheiden sich nur durch eine Kon-stante:

F1(x) − F2(x) = C. (4.11)

Wenn F (x) eine Stammfunktion ist, dann ist also auch F (x) + C eine Stammfunktion.

4.2 Wichtige unbestimmte Integrale

In der unten stehenden Tabelle sind ein paar der wichtigsten unbestimmten Integrale angefuhrt.Durch Differenzieren von F (x) kann man sich leicht von der Richtigkeit dieser Beziehungen uber-zeugen.

Funktion Stammfunktion

f(x) F (x) =∫dxf(x)

a ax

xn 1n+1x

n+1

1x lnx

ex ex

eax 1aeax

ax 1lnaa

x

sinx − cosx

cosx sinx

sinhx coshx

coshx sinhx

Diese Tabelle enthalt nur die allerwichtigsten (und einfachsten) Integrale. Weitere Integrale konnenSie den Integraltafeln in den gangigen Formelsammlungen entnehmen oder Sie konnen Computer-programme wie “Mathematica” zur Bestimmung von Integralen benutzen. Falls Sie keinen Zugangzu “Mathematica” oder einem ahnlichen Programm haben, gehen Sie einfach mit Ihrem Browserzu integrals.wolfram.com und tippen Sie Ihr Integral ein.

4.3 Das bestimmte Integral

Wir wenden uns nun der zweiten Grundaufgabe der Integralrechnung zu, namlich der Berechnungdes Flacheninhalts eines Bereichs, der vom Graphen einer Funktion f(x) in einem Intervall [a, b]mit der x-Achse eingeschlossen wird (siehe Abb. 4.2). Dieser Flacheninhalt ist das bestimmte

Integral.

Obwohl es auf den ersten Blick nicht offensichtlich ist, gibt es einen fundamentalen Zusammen-

hang zwischen der ersten Grundaufgabe der Integralrechnung, dem Auffinden einer Stammfunk-tion F (x), und der Flachenberechnung. Im Folgenden werden wir uns mit diesem Zusammenhangbeschaftigen.

86 4 Integration

Abbildung 4.2: Die zweite Grundaufgabe der Integralrechnung besteht in der Berechnung derFlache Sab (schraffierter Bereich) unter dem Graphen einer Funktion f(x) im Intervall [a, b].

Um die Flache Sab unter dem Funktionsgraphen f(x) zu berechnen, teilen wir das Intervall [a, b] aufder x-Achse in n gleich lange Teile der Breite ∆x = (b−a)/n ein (siehe Abb. 4.3). Die aquidistantenEndpunkte dieser Intervalle nennen wir xi. Fur die Endpunkte der Intervalle gilt demnach:

xi = a+ i∆x, i = 0, . . . , n. (4.12)

Wir nehmen hier der Einfachheit halber an, dass die Kurve f(x) vollstandig uber der x-Achse liegt.Funktionen, die im Intervall [a, b] sowohl positive als auch negative Werte annehmen, bieten jedochkeine wesentlichen Schwierigkeiten, wie wir spater sehen werden.

Diese Einteilung des Intervalls [a, b] in n kleine Abschnitte zerlegt die Flache Sab in n vertikale

Streifen. Die Gesamtflache Sab ist dann gegeben durch die Summe der Flacheninhalte der einzelnenStreifen:

Sab = s1 + s2 + s3 + · · · + sn

=

n∑

i=1

si. (4.13)

Dabei ist si der Flacheninhalt des i-ten Streifens (das ist der Streifen, der zum Intervall [xi−1, xi]gehort). Hier ist uns zum ersten Mal das Summenzeichen Σ (das große griechische Sigma) begeg-net, dessen Bedeutung aus dem obigen Ausdruck klar sein sollte. Das Summenzeichen erlaubt es,Summen (sogar unendliche) auf kompakte Weise zu schreiben.

Abbildung 4.3: Zur Berechnung der Flache unter der Kurve von f(x) teilen wir das Intervall [a, b] inviele kleine Teile. Die Gesamtflache unter der Kurve ergibt sich dann aus der Summe aller schmalensenkrechten Streifen.

4 Integration 87

Abbildung 4.4: Die Flache eines schmalen Streifens setzt sich zusammen aus einem Rechteck mitden Kantenlangen ∆x und f(xi) und einem Rest εi (schraffierter Bereich).

Schauen wir uns nun die Flache si etwas genauer an (siehe Abb. 4.4). Die Flache des Streifenssetzt sich zusammen aus einem Rechteck mit den Kantenlangen ∆x und f(xi) und dem Rest εi:

si = f(xi)∆x+ εi. (4.14)

Das heißt:

Sab =

n∑

i=1

si =

n∑

i=1

f(xi)∆x+

n∑

i=1

εi. (4.15)

Abbildung 4.5: Der schraffierte Bereich ist der Fehler, der gemacht wird, falls die Flache der senk-rechten Streifen durch die Flache der Rechtecke mit Kantenlangen ∆x und f(xi) angenahert wird.

Fur eine grobe Einteilung von [a, b] kann der Term∑n

i=1 εi recht groß sein. Wenn wir die Einteilungfeiner und feiner machen, wird

∑ni=1 εi immer kleiner und die Flache immer besser durch

Sab ≈n∑

i=1

f(xi)∆x (4.16)

angenahert. In dieser Approximation behandelt man also die senkrechten Streifen als Rechtecke mitKantenlangen ∆x und f(xi). Der Fehler, der dabei gemacht wird, ist

∑ni=1 εi (siehe Abbildungen

4.5 und 4.6).

Fur unendlich kleine ∆x verschwindet schließlich∑n

i=1 εi und die Flache Sab ist exakt durch denGrenzwert

Sab = lim∆x→0

n∑

i=1

f(xi)∆x (4.17)

88 4 Integration

Abbildung 4.6: Fur eine kleiner werdende Intervallbreite ∆ wird der Fehler, der durch die Appro-ximation der senkrechten Streifen durch Rechtecke gemacht wird, immer kleiner.

gegeben, bei dem wir die Anzahl n der Teilintervalle unbegrenzt wachsen lassen. Diesen Grenzwertnennen wir das bestimmte Integral uber dem Intervall [a, b] und wir bezeichnen es mit:

b∫

a

f(x)dx = lim∆x→0

n∑

i=1

f(xi)∆x. (4.18)

Das Zeichen∫

ist eine Stilisierung des Buchstabens S und soll uns daran erinnern, dass dasbestimmte Integral durch Grenzwertbildung aus einer Summe hervorgegangen ist. Der Ausdruckf(x)dx hinter dem Integralzeichen soll an die Form f(xi)∆x der Terme in dieser Summe erinnern.Die Variable x wird Integrationsvariable genannt.

Das bestimmte Integral∫ b

af(x)dx ist eine Zahl, im Gegensatz zum unbestimmten Integral, das

eine Funktion von x ist. Das bestimmte Integral∫ b

a f(x)dx hangt nur von den Integrationsgren-

zen a und b und von der Funktion f(x) im Intervall [a, b] ab. Daher ist die genaue Bezeichnung

der Integrationsvariablen belanglos. Statt∫ b

af(x)dx hatten wir genauso gut

∫ b

af(z)dz schreiben

konnen ohne das Ergebnis zu verandern.

Wir haben bisher vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) im gesamten Intervall [a, b] positiv ist. Dasmuss jedoch nicht der Fall sein. Im allgemeinen Fall liegen einige Teile des Funktionsgraphen uber

und einige Teile unter der x-Achse (siehe Abb. 4.7).

Abbildung 4.7: Bei einer Funktion, deren Graph sowohl uber als auch unter der x-Achse liegt,tragen die Flachenbereiche mit negativen Funktionswerten mit einem negativen Vorzeichen zumIntegral bei.

4 Integration 89

Wenn wir in diesem Fall das bestimmte Integral mit Hilfe von Gleichung (4.18) durch Grenzwert-bildung berechnen, erhalten wir in den Bereichen mit negativem Funktionswert negative Beitragezur Summe. Auch in diesem Fall ist das bestimmte Integral

b∫

a

f(x)dx (4.19)

die Summe der Inhalte der Flachen, die von der x-Achse, dem Funktionsgraphen f(x) und derAbszissenwerte x = a und x = b begrenzt werden. Dabei tragen die Flachen oberhalb der x-Achseallerdings positiv und die Flachen unterhalb der x-Achse negativ zum Integral bei.

4.4 Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimm-tem Integral

Abbildung 4.8: Die Funktion f(x) begrenzt im Intervall [a, b] mit der x-Achse einen Bereich mitFlacheninhalt Sab und im kleineren Intervall [a, x] einen Bereich mit Flacheninhalt Sax.

Gegeben sei eine Funktion f(x), die im Intervall [a, b] mit der x-Achse eine Flache Sab eingrenzt(siehe Abb. 4.8). Wir betrachten jetzt aber nur einen Teil der Flache Sab, namlich den, der vonder Funktion f(x), der x-Achse und den senkrechten Geraden durch die Abszisse a und durcheine beweglichen Abszisse x begrenzt wird. Wir nennen diese Flache Sax. Die Große dieser Flachehangt davon ab, an welche Stelle im Intervall wir die Abszisse x legen. Wir konnen die Flache Saxausdrucken als bestimmtes Integral der Funktion f(x) mit unterer Grenze a und oberer Grenzex. Da wir die Buchstaben x zur Bezeichnung der oberen Grenze verwenden, verwenden wir einenanderen Buchstaben (z.B. u) als Integrationsvariable. Die Flache Sax ist gegeben durch:

Sax =

x∫

a

f(u)du. (4.20)

Das Integral in dieser Gleichung ist ein bestimmtes Integral mit einer veranderlichen oberen Grenzex. Das bestimmte Integral Sax ist also eine Funktion dieser Grenze x.

Als nachstes werden wir zeigen, dass Sax (betrachtet als Funktion von x) eine Stammfunktion

von f(x) ist:

d

dxSax = f(x). (4.21)

Dies wird den gesuchten Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und dem unbestimm-ten Integral herstellen. Um zu zeigen, dass Sax eine Stammfunktion von f(x) ist, betrachten wir

90 4 Integration

Abbildung 4.9: Die Flache des schraffierten Bereichs ist gleich der Anderung ∆Sax der FlacheSax =

∫ x

a f(x)dx aufgrund einer Anderung der oberen Grenze des Integrals von x auf x+ ∆x.

die Zunahme ∆Sax von Sax durch einen Zuwachs ∆x der veranderlichen oberen Grenze x. DerZuwachs ∆Sax ist einfach die Große des zusatzlichen Streifens, der durch x, x+ ∆x, f(x) und diex-Achse begrenzt wird (siehe Abb. 4.9).

Fur sehr kleine ∆x ist ∆Sax gegeben durch die Flache eines Rechtecks mit der Breite ∆x und derHohe f(x),

∆Sax ≈ f(x) · ∆x. (4.22)

Fur ∆x → 0 strebt der Fehler, den wir in dieser Naherung machen, gegen 0 und wir erhalten ausobiger Gleichung:

lim∆x→0

∆Sax∆x

= f(x). (4.23)

Die linke Seite der Gleichung ist aber genau die Definition der Ableitung von Sax nach der Varia-blen x. Somit gilt

d

dxSax =

d

dx

x∫

a

f(u)du = f(x). (4.24)

Das heißt, das bestimmte Integral der Funktion f(u) mit veranderlicher Grenze x ist eine Stamm-funktion des Integranden. Somit haben wir den gesuchten Zusammenhang erhalten.

Durch Ausnutzung dieses Zusammenhangs konnen wir das bestimmte Integral

b∫

a

f(x)dx (4.25)

durch Auffinden der Stammfunktion F (x) von f(x) berechnen. Dies konnen wir auf folgende Weisetun. Da wir wissen, dass Sax eine Stammfunktion von f(x) ist, kann sich die Stammfunktion F (x)nur um eine Konstante C (Integrationskonstante) von diesem bestimmten Integral unterscheiden:

x∫

a

f(u)du = F (x) + C. (4.26)

Zu Bestimmung von C beachten wir nun, dass das Integral auf der linken Seite verschwindet, fallsdie obere Grenze x mit der unteren Grenze a zusammenfallt, das heißt wenn a = x. Fur x = a

4 Integration 91

erhalten wir daher:

a∫

a

f(u)du = 0 = F (a) + C. (4.27)

Daraus folgt:

C = −F (a). (4.28)

Somit gilt

x∫

a

f(u)du = F (x) − F (a). (4.29)

Indem wir x = b setzen, erhalten wir schließlich

b∫

a

f(u)du = F (b) − F (a). (4.30)

Da wir jetzt den Buchstaben x nicht mehr fur die obere Integrationsgrenze benotigen, konnen wirnaturlich auch schreiben:

b∫

a

f(x)dx = F (b) − F (a). (4.31)

Eine alternative Schreibweise dafur ist:

b∫

a

f(x)dx = F (x)

∣∣∣∣

b

a

. (4.32)

Wir erhalten also den Wert des bestimmten Integrals aus der Differenz einer Stammfunktion desIntegranden an der oberen und unteren Integrationsgrenze. Dieses Ergebnis nennt man den Haupt-

satz der Differential- und Integralrechnung. Dieser sehr praktische Zusammenhang erspartuns bei der Berechnung des bestimmten Integrals die schwierige Grenzwertbildung.

Beispiel:

Wir berechnen nun das bestimmte Integral der Funktion f(x) = x im Intervall [a, b] zunachst mitHilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und dann explizit durch Einteilung desIntervalls in schmale Unterintervalle der Breite ∆x und anschließender Grenzwertbildung ∆x→ 0.Durch Bestimmen der Stammfunktion von f(x) = x, F (x) = x2/2, finden wir

b∫

a

xdx =x2

2

∣∣∣∣

b

a

=b2 − a2

2. (4.33)

Wir konnten alternativ dazu auch eine Summe schmaler Streifen bilden und dann ∆x gegen 0gehen lassen:

Sab ≈n∑

i=1

f(xi) · ∆x. (4.34)

92 4 Integration

Fur die Abszisse xi gilt xi = x0 + i∆x = a+ i∆x. Daher ist f(xi) = a+ i∆x und wir haben

Sab ≈n∑

i=1

(a+ i∆x) · ∆x =

n∑

i=1

a∆x+

n∑

i=1

i∆x2

= a∆x

n∑

i=1

1 + ∆x2n∑

i=1

i

= na∆x+ ∆x2n∑

i=1

i. (4.35)

Da ∆x = b−an gilt

Sab ≈ na(b− a)

n+

(b− a)2

n2

n∑

i=1

i

≈ a(b− a) +(b− a)2

n2(1 + 2 + 3 + · · · + (n− 1) + n). (4.36)

Die Summe aller naturlichen Zahlen von 1 bis n ist bekannt,

1 + 2 + 3 + · · · + (n− 1) + n =n(n+ 1)

2, (4.37)

und somit erhalten wir schließlich:

Sab ≈ a(b− a) +(b− a)2

n2· n(n+ 1)

2

≈ a(b− a) +(b− a)2

2·(

1 +1

n

)

. (4.38)

Um das bestimmte Integral Sab zu berechnen, mussen wir den Grenzubergang ∆x → 0 oderaquivalent dazu den Grenzubergang n→ ∞ durchfuhren. Das heißt

Sab = limn→∞

[

a(b− a) +(b− a)2

2·(

1 +1

n

)]

= a(b− a) +(b− a)2

2

= ab− a2 +b2

2−

2ab

2+a2

2

=1

2(b2 − a2), (4.39)

was mit dem Ergebnis weiter oben ubereinstimmt, jedoch weitaus komplizierter zu berechnen war(selbst fur die einfache Funktion f(x) = x).

Beispiel:

Gesucht ist die Flache unter der Kurve y = x3 zwischen a = 0 und b = 1. Diese Flache ist gleichdem bestimmten Integral

1∫

0

x3dx =x4

4

∣∣∣∣

1

0

=1

4. (4.40)

4 Integration 93

Abbildung 4.10: Die Flache eines Viertelkreises kann durch Integration der Funktion y =√r2 − x2

im Intervall [0, r] berechnet werden.

Beispiel:

Gesucht ist die Flache eines Viertelkreises mit Radius r. Der implizite Ausdruck fur einen Kreismit Radius r um den Ursprung,

x2 + y2 = r2, (4.41)

lasst sich leicht in einen expliziten Ausdruck fur die Kreislinie umwandeln:

y =√

r2 − x2. (4.42)

Die Flache A des Viertelkreises lasst sich somit als bestimmtes Integral schreiben:

A =

r∫

0

√

r2 − x2dx. (4.43)

Durch Nachschlagen in einer Formelsammlung finden wir:

∫√

r2 − x2dx =x

2

√

r2 − x2 +r2

2arcsin

x

r. (4.44)

Das heißt

A =

r∫

0

√

r2 − x2dx =

(x

2

√

r2 − x2 +r2

2arcsin

x

r

) ∣∣∣∣

r

0

=r2

2arcsin

(r

r

)

− r2

2arcsin(0) =

r2

2arcsin(1) =

r2

2

π

2=r2π

4. (4.45)

Die Flache des Viertelkreises ist also r2π/4.

4.5 Rechenregeln fur das bestimmte Integral

Fur das bestimmte Integral gelten folgende Rechenregeln:

• Das bestimmte Integral verschwindet, wenn die untere und obere Integrationsgrenze zusam-menfallen:

a∫

a

f(x)dx = 0. (4.46)

94 4 Integration

• Ein Integral kann in eine Summe von zwei Integralen uber aneinander grenzende Intervallezerlegt werden:

c∫

a

f(x)dx =

b∫

a

f(x)dx +

c∫

b

f(x)dx. (4.47)

• Vertauschung der Integrationsgrenzen fuhrt zur Umkehrung des Vorzeichens:

b∫

a

f(x)dx = −a∫

b

f(x)dx. (4.48)

4.6 Grundregeln des Integrierens

Wir wollen jetzt auf Methoden zur Ermittlung der Stammfunktion (also des unbestimmten In-tegrals) eingehen. Die folgenden Regeln ergeben sich aus den bereits besprochenen Differentiati-onsregeln. Im Folgenden werden wir die Integrationskonstante, die wir genau genommen immerausdrucklich hinschreiben mussten, meistens weglassen.

4.6.1 Faktorregel

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden:∫

af(x)dx = a

∫

f(x)dx. (4.49)

Diese Regel ist eine direkte Umkehrung der Faktorregel fur die Differentiation.

Beispiel:

f(x) =3

x4, (4.50)

∫

f(x)dx =

∫3

x4dx = 3

∫1

x4dx = 3

∫

x−4dx

= 3

(1

−4 + 1x−4+1

)

+ C = −x−3 + C

= − 1

x3+ C. (4.51)

Beispiel:

4∫

2

5x−72 dx = 5

4∫

2

x−72 dx = 5

(

−2

5

)

x−52

∣∣∣∣

4

2

=

= −2

[1

(√

4)5− 1√

25

]

= −2

[1

32− 1√

16 · 2

]

= −2

[1

32− 1

4√

2

]

=1

2√

2− 1

16

=16 − 2

√2

2√

2 · 16=

(

8 −√

2√2 · 16

) √2√2

=8√

2 − 2

2 · 16=

4√

2 − 1

16. (4.52)

4 Integration 95

4.6.2 Summenregel

Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale:∫

[f(x) + g(x)]dx =

∫

f(x)dx +

∫

g(x)dx. (4.53)

Beispiel:

f(x) = x3 + 2x (4.54)∫

(x3 + 2x)dx =

∫

x3dx+

∫

2xdx =x4

4+ 2

x2

2=x4

4+ x2. (4.55)

4.6.3 Substitutionsmethode

Bei der Substitutionsmethode versucht man, die zu integrierende Funktion durch Einfuhren einerneuen Variablen zu vereinfachen oder auf eine Form zu bringen, die in einer Formelsammlunggefunden werden kann. Im Allgemeinen fuhrt man in der Substitutionsmethode eine Transformationauf eine neue Variable u = g(x) durch. Im Integral

∫

f(x)dx (4.56)

muss dazu sowohl die Funktion f(x) als auch das Differential dx transformiert werden. Furdie Transformation benotigen wir die Umkehrfunktion x = g−1(u) der Substitutionsfunktion

u = g(x). Mit Hilfe von g und g−1 konnen wir die Wirkung der Variablentransformation auf dieFunktion ausdrucken als

f(x) = f(g−1(u)). (4.57)

Das transformierte Differential bestimmen wir, indem wir den Ausdruck

du

dx= g′(x) (4.58)

nach dx auflosen:

dx =du

g′(x)=

du

g′(g−1(u)). (4.59)

Somit konnen wir das Integral ausdrucken als

∫

f(x)dx =

∫

f(g−1(u))du

g′(x)=

∫

f(g−1(u))du

g′(g−1(u)). (4.60)

Wenn wir die Funktion g−1(u) umbenennen in

ϕ(u) = g−1(u), (4.61)

konnen wir auch schreiben:

x = ϕ(u),dx

du= ϕ′(u) ⇒ dx = ϕ′(u)du, (4.62)

und somit∫

f(x)dx =

∫

f(ϕ(u))ϕ′(u)du. (4.63)

Nach Bestimmung des unbestimmten Integrals, d.h. der Stammfunktion, in der Variablen u erhaltenwir das Integral als Funktion von x durch Rucktransformation zur ursprunglichen Variablen.

96 4 Integration

Die obigen Ausdrucke schauen zunachst betrachtlich komplizierter aus als der Ausdruck, von demwir ausgegangen sind. Dass es aber tatsachlich zu einer Vereinfachung kommen kann, zeigen diefolgenden Beispiele.

Beispiel: Zu berechnen ist das Integral∫

(4 + 5x)7dx. (4.64)

Hier konnten wir die siebente Potenz der Klammer explizit berechnen und dann Term fur Termintegrieren. Einfacher ist es, eine neue Variable einzufuhren:

u = 4 + 5x. (4.65)

Dann gilt du/dx = 5 und somit dx = du/5. Durch Einsetzen erhalten wir∫

(4 + 5x)7dx =

∫

u7du

5=

1

5

1

8u8 =

u8

40. (4.66)

Um zur ursprunglichen Variablen zuruckzukehren, setzen wir einfach u = 4 + 5x oben ein:∫

(4 + 5x)7dx =(4 + 5x)8

40. (4.67)

Beispiel:

Zu berechnen ist das Integral ∫1

2x√

6 − 3x2dx. (4.68)

Hier versuchen wir es mit u = 6 − 3x2 als Substitutionsfunktion. In diesem Fall ist

du

dx= −3 · 2x = −6x d.h. dx = −du

6x. (4.69)

Wir drucken hier das x im Nenner nicht durch u aus, sondern lassen es einfach stehen und erkennen,dass es sich nach Einsetzen des Differentials mit einem Faktor des Integrals kurzt:

∫1

2x√

6 − 3x2dx =

∫1

2x√u

(

−du6x

)

= − 1

12

∫ √udu

= − 1

12

2

3u

32 = − 1

18u

32 . (4.70)

Rucktransformation ergibt:∫

1

2x√

6 − 3x2dx = − 1

18(6 − 3x2)

32 . (4.71)

Eine so vorteilhafte Kurzung wie in diesem Beispiel ist jedoch nicht immer moglich.

Beispiel:

Wir berechnen das Integral ∫

cos(ωt+ ϕ)dt, (4.72)

indem wir die Substitution u = ωt+ ϕ durchfuhren. Dann gilt

du

dt= ω und somit dt =

du

w. (4.73)

Wir haben also∫

cos(ωt+ ϕ)dt =

∫

cosudu

ω=

sin(u)

ω=

1

ωsin(ωt+ ϕ). (4.74)

4 Integration 97

4.6.4 Partielle Integration

Durch Anwendung der Produktregel kann das Produkt zweier Funktionen f(x) und g(x) leichtdifferenziert werden:

d(f(x)g(x))

dx=df

dxg(x) + f(x)

dg

dx, (4.75)

oder, etwas kurzer,

(fg)′ = f ′g + fg′. (4.76)

Diese Regel kann uns bei der Integration eines Produkts zweier Funktionen behilflich sein, falls fureine oder beide Funktionen die Stammfunktion erkennbar ist und wir also das Integral schreibenkonnen als:

∫

f ′(x)g(x)dx. (4.77)

Wenn der Integrand in einer derartigen Form vorliegt, konnen wir die Produktregel der Differen-tiation anwenden und erhalten:

∫

f ′(x)g(x)dx =

∫

(f(x)g(x))′dx−∫

f(x)g′(x)dx

= f(x)g(x) −∫

f(x)g′(x)dx, (4.78)

wobei wir einfach ausgenutzt haben, dass f(x)g(x) die Stammfunktion von (f(x)g(x))′ ist. In Wor-ten ausgedruckt: die Stammfunktion eines Produktes ist gleich dem Produkt der Stammfunktionder ersten Funktion mit der zweiten Funktion minus dem Integral des Produkts der Stammfunkti-on der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion. Naturlich hat diese Prozedur nurdann Sinn, wenn das Integral

∫fg′dx einfacher als das Integral

∫f ′gdx ist.

Beispiel:

Zu berechnen ist das Integral ∫

xexdx. (4.79)

Hier wahlen wir f ′(x) = ex (da ex einfach zu integrieren ist) und g(x) = x. Dann ist

∫

x︸︷︷︸

g

ex︸︷︷︸

f ′

dx = ex︸︷︷︸

f

x︸︷︷︸

g

−∫

1︸︷︷︸

g′

ex︸︷︷︸

f

dx = exx− ex = ex(x− 1). (4.80)

Die Wahl f ′(x) = x und g(x) = ex ware weniger sinnvoll gewesen, denn dann hatten wir

∫

x︸︷︷︸

f ′

ex︸︷︷︸

g

dx = ex︸︷︷︸

g

x2

2︸︷︷︸

f

−∫

x2

2︸︷︷︸

f

ex︸︷︷︸

g′

dx (4.81)

erhalten und unser Problem ware nur schwieriger geworden, da die Funktion x2ex nicht leichter zuintegrieren ist als die Funktion xex.

Beispiel:

Zu berechnen ist das Integral∫

lnxdx. (4.82)

98 4 Integration

Hier ist auf den ersten Blick kein Produkt vorhanden, aber wir konnen den Integranden durchMultiplikation mit 1 leicht als ein Produkt anschreiben:

∫

lnxdx =

∫

1 · lnxdx. (4.83)

Wir wahlen jetzt f ′(x) = 1 und g(x) = lnx und erhalten so∫

lnxdx =

∫

1︸︷︷︸

f ′

· lnx︸︷︷︸

g

dx = x︸︷︷︸

f

lnx︸︷︷︸

g

−∫

x︸︷︷︸

f

1

x︸︷︷︸

g′

dx

= x lnx−∫

1dx = x lnx− x

= x(ln x− 1). (4.84)

Beispiel: Zu berechnen ist das Integral∫

cos2(x)dx. (4.85)

Wir wahlen fur dieses Beispiel f ′(x) = cos(x) und g(x) = cos(x) und erhalten durch partielleIntegration:

∫

cos2(x)dx =

∫

cos(x) cos(x)dx = sin(x) cos(x) +

∫

sin(x) sin(x)dx

= sin(x) cos(x) +

∫

(1 − cos2(x))dx

= sin(x) cos(x) +

∫

1dx−∫

cos2(x)dx. (4.86)

Das Integral∫

1dx = x und durch einfaches Umformen erhalten wir schließlich:∫

cos2(x)dx =1

2[sin(x) cos(x) + x] . (4.87)

4.7 Rotationskorper

Rotieren wir eine durch die Funktion f(x), die beiden Abszissen a und b und die x-Achse begrenzteFlache um die x-Achse, so entsteht ein dreidimensionaler Rotationskorper. Zur Berechnungseines Volumens zerteilen wir das Intervall [a, b] in n gleiche Unterintervalle der Breite ∆x =(b−a)/n. Zu jedem dieser n Intervalle gehort nun eine dunne Scheibe mit kreisformiger Grundflacheund einer Dicke ∆x (siehe Abb. 4.11). Der Radius der Grundflache im i-ten Intervall ist fur sehrkleine Dicken ∆x gleich dem Funktionswert f(xi) an der Stelle xi = a + i∆x. Das Volumen derScheibe ist daher

Vi = Grundflache × Hohe ≈ f(xi)2π∆x. (4.88)

Durch Summation der Volumina aller dunnen Scheiben erhalten wir schließlich das Gesamtvolumendes Rotationskorpers

V =

n∑

i=1

Vi ≈n∑

i=1

f(xi)2π∆x. (4.89)

Im Grenzwert ∆x→ 0 geht dieser Ausdruck in das Integral

V =

b∫

a

f(x)2πdx = π

b∫

a

f(x)2dx (4.90)

4 Integration 99

Abbildung 4.11: Rotation einer durch eine Funktion f(x) und der x-Achse in einem Intervall [a, b]begrenzten Flache fuhrt zu einem so genannten Rotationskorper.

uber. Wir konnen somit das Volumen eines Rotationskorpers als bestimmtes Integral uber dieFunktion f(x)2 ausdrucken.

Beispiel:

Zu berechnen ist das Volumen eines Kegels mit einer Grundflache mit Radius r und einer Hoheh (siehe Abb. 4.12). Die Funktion f(x) ist in diesem Fall eine Gerade durch den Ursprung mitSteigung r/h:

f(x) =r

hx. (4.91)

Das Volumen des Kegels ist demnach das bestimmte Integral

V = π

b∫

a

f(x)2dx = π

h∫

0

( r

h

)2

x2dx =πr2

h2· x

3

3

∣∣∣∣

h

0

=1

3

πr2h3

h2. (4.92)

Somit ist das Volumen des Kegels

V =1

3πr2h. (4.93)

Beispiel:

Die Parabel f(x) = 9− x2 rotiert zwischen ihren Nullstellen um die x-Achse und erzeugt dadurcheinen Rotationskorper (siehe Abb. 4.13). Zu bestimmen ist das Volumen des Rotationskorpers.

Die Nullstellen der Parabel befinden sich bei x = ±3. Das Volumen V des Rotationskorpers ist

100 4 Integration

Abbildung 4.12: Ein Kegel mit Hohe h und mit Grundflachenradius r kann als durch Rotationeiner Geraden um die x-Achse entstanden gedacht werden.

Abbildung 4.13: Durch Rotation der Parabel f(x) = 9 − x2 zwischen ihren Nullstellen um diex-Achse entsteht ein Rotationskorper.

demnach gegeben durch:

V = π

3∫

−3

(9 − x2)2dx = π

3∫

−3

(81 − 18x2 + x4)dx

= π

[

81x− 18x3

3+x5

5

]3

−3

= 2π

(

81 · 3 − 6 · 27 +243

5

)

= 2π

(

243 − 162 +243

5

)

= 2π · 648

5. (4.94)

Beispiel:

Zu bestimmen ist das Volumen einer Kugel mit Radius r. Wir stellen uns dazu vor, dass dieHalbkugel durch Rotation der Kurve

f(x) =√

r2 − x2 (4.95)

4 Integration 101

Abbildung 4.14: Durch Rotation eines Halbkreises um die x-Achse entsteht eine Halbkugel.

im Intervall [0, r] um die x-Achse entstanden ist (siehe Abb. 4.14). Das Volumen der Kugel istsomit zweimal das Volumen des Rotationskorpers:

V = 2π

r∫

0

(r2 − x2)dx = 2π

r∫

0

r2dx−r∫

0

x2dx

= 2πr2x

∣∣∣∣

r

0

− 2πx3

3

∣∣∣∣

r

0

= 2πr3 − 2πr3

3

= 2πr3(

1 − 1

3

)

=4

3πr3. (4.96)

4.8 Berechnung von Bogenlangen

Abbildung 4.15: Die Bogenlange des Funktionsgraphen von f(x) kann durch Integration ermitteltwerden. Das Differential ds der Bogenlange kann mit Hilfe des Pythagoraischen Lehrsatzes aus denDifferentialen dx und df ermittelt werden.

Gegeben sei die Funktion f(x) mit dem dazugehorige Funktionsgraphen in der xy-Ebene. Wirwollen nun in einem bestimmten Intervall die Lange s des Funktionsgraphen von f(x) berechnen.(Die Lange einer Kurve wird auch Bogenlange genannt.) Dazu betrachten wir ein kleines Un-terintervall der Lange dx, wobei wir das Differential benutzen, um anzudeuten, dass es sich hierum infinitesimale Differenzen handelt. Das dazugehorige Differential in der y-Richtung ist gegeben

102 4 Integration

durch:

dy = f ′(x)dx. (4.97)

Die Lange ds des von den Abszissen x und x + dx begrenzten Kurvenstucks erhalten wir durchAnwendung des Pythagoraischen Lehrsatzes:

ds =√

dy2 + dx2. (4.98)

Hier haben wir ausgenutzt, dass sich die Kurve fur infinitesimale dx im Intervall [x, x+ dx] durcheine Gerade approximieren lasst. Wir formen nun die obige Gleichung unter Verwendung vonGleichung (4.97) um:

ds =√

dy2 + dx2 =√

(f ′(x)dx)2 + dx2 =√

1 + f ′(x)2dx. (4.99)

Um die Gesamtlange der Kurve zwischen x = a und x = b zu erhalten, summieren wir uber alleinfinitesimalen Unterintervalle und erhalten die Bogenlange:

s =

b∫

a

√

1 + f ′(x)2dx. (4.100)

Beispiel:

Zu bestimmen ist der Umfang des Kreises mit Radius r. Wir berechnen zunachst den Umfang desHalbkreises. Der Halbkreis ist der Graph der Funktion f(x) =

√r2 − x2 und die Integrationsgren-

zen sind −r und r (siehe Abb. 4.16).

Abbildung 4.16: Der dargestellte Halbkreis ist der Graph der Funktion y =√r2 − x2 im Intervall

[−r, r].

Die Ableitung von f(x) ist

f ′(x) = −1

2

2x√r2 − x2

= − x√r2 − x2

. (4.101)

Somit ist die Bogenlange s gegeben durch:

s =

r∫

−r

√

1 +x2

r2 − x2dx =

r∫

−r

√

r2 − x2 + x2

r2 − x2dx

=

r∫

−r

r√r2 − x2

dx =

r∫

−r

1√

1 −(xr

)2dx. (4.102)

4 Integration 103

Zur Losung des Integrals substituieren wir t = x/r, das heißt dt = dx/r und dx = rdt. Hier mussenauch die Integrationsgrenzen transformiert werden: an den Stellen x = −r und x = r hat die neueVariable t die Werte t = −1 und t = 1. Durch die Transformation wird die Bogenlange zu:

s =

1∫

−1

r√1 − t2

dt = r

1∫

−1

1√1 − t2

dt = r arcsin t

∣∣∣∣

1

−1

= r[π

2−(

−π2

)]

= rπ. (4.103)

Der Umfang des Kreises ist dann einfach

U = 2πr. (4.104)

Fur eine in Parameterform gegebene Kurve

x = x(t), (4.105)

y = y(t), (4.106)

drucken wir die Differentiale in x- und y-Richtung aus als:

dx =

(dx

dt

)

dt = x(t)dt, (4.107)

dy =

(dy

dt

)

dt = y(t)dt. (4.108)

Abbildung 4.17: Fur eine Kurve in Parameterform, ~r = ~r(t), kann die Bogenlange zwischen t = αund t = β durch Integration berechnet werden.

In diesem Fall ist die infinitesimale Bogenlange ds gegeben durch

ds =√

dx2 + dy2 =√

x(t)2dt2 + y(t)2dt2 =√

x(t)2 + y(t)2dt (4.109)

und die Gesamtbogenlange ergibt sich aus der Integration uber die Hilfsvariable t:

s =

β∫

α

√

x(t)2 + y(t)2dt. (4.110)

Die Integrationsgrenzen t = α und t = β entsprechen den Punkten, zwischen denen die Bogenlangeberechnet werden soll (siehe Abb. 4.17).

104 4 Integration

Beispiel:

Zu berechnen ist der Umfang der in Parameterform gegebenen Ellipse

x(t) = a sin t, (4.111)

y(t) = b cos t. (4.112)

a und b sind die Halbachsen der Ellipse und wir nehmen an, dass a > b. Der Parameter t durchlauftdas Intervall [0, 2π].

Die Ableitungen von x(t) und y(t) nach t sind

x = a cos t, (4.113)

y = −b sin t, (4.114)

und somit kann der Umfang der Ellipse als das Vierfache der Bogenlange im ersten Quadrantenausgedruckt werden:

s = 4

π2∫

0

√

a2 cos2 t+ b2 sin2 tdt = 4a

π2∫

0

√

cos2 t+b2

a2sin2 tdt

= 4a

π2∫

0

√

1 − sin2 t+b2

a2sin2 tdt = 4a

π2∫

0

√

1 −(a2 − b2

a2

)

sin2 tdt

= 4a

π2∫

0

√

1 −K2 sin2 tdt, (4.115)

wobei wir hier die Exzentrizitat K =√

(a2 − b2)/a2 der Ellipse eingefuhrt haben. Fur einenKreis ist K = 0 und fur eine Ellipse mit a > b ist K > 0.

Das Integral∫ √

1 −K2 sin2 t dt hat keine Losung, die sich mit Hilfe einfacher, bekannter Funktio-nen ausdrucken lasst. Man definiert daher einfach eine neue Funktion

E(α,K) ≡α∫

0

√

1 −K2 sin2 tdt |K| < 1. (4.116)

Man nennt diese Funktion ein elliptisches Integral (genauer: ein elliptisches Integral der 2. Art).Die Funktion kann fur ein bestimmtes α und ein bestimmtes K mit dem Computer ausgewertetwerden (z.B. mit Mathematica). In Abb. 4.18 ist die Funktion E(α,K) fur α = π/2 als Funktionvon K dargestellt.

Mit Hilfe des elliptischen IntegralsE(α,K) kann der Ellipsenumfang schließlich ausgedruckt werdenals

s = 4aE

(

π

2,

√

a2 − b2

a2

)

. (4.117)

Beispiel: Archimedische Spirale

Zu bestimmen ist die Lange der Archimedischen Spirale r = aϕ im Bereich von ϕ = 0 bis ϕ = ϑ(siehe Abb. 4.19).

In Parameterform ist die Spirale gegeben durch

x(ϕ) = aϕ cosϕ, (4.118)

y(ϕ) = aϕ sinϕ. (4.119)

4 Integration 105

Abbildung 4.18: Das elliptische Integral der 2. Art E(α,K) fur α = π/2 in Abhangigkeit von K.

Die Ableitungen von x(ϕ) und y(ϕ) nach dem Winkel ϕ sind

x = a cosϕ− aϕ sinϕ, (4.120)

y = a sinϕ+ aϕ cosϕ. (4.121)

Die Bogenlange der Spirale zwischen ϕ = 0 und ϕ = ϑ ist somit:

s =

ϑ∫

0

√

(a cosϕ− aϕ sinϕ)2 + (a sinϕ+ aϕ cosϕ)2dϕ

= a

ϑ∫

0

√

(cosϕ− ϕ sinϕ)2 + (sinϕ+ ϕ cosϕ)2dϕ

= a

ϑ∫

0

√

cos2 ϕ−((((((2ϕ cosϕ sinϕ+ ϕ2 sin2 ϕ+ sin2 ϕ+((((((

2ϕ cosϕ sinϕ+ ϕ2 cos2 ϕdϕ

= a

ϑ∫

0

√

cos2 ϕ+ sin2 ϕ︸︷︷︸

=1

+ϕ2 (sin2 ϕ+ cos2 ϕ)︸︷︷︸

=1

dϕ

= a

ϑ∫

0

√

1 + ϕ2dϕ =a

2

[

ϕ√

1 + ϕ2 + Arsinh(ϕ)]∣∣∣∣

ϑ

0

=a

2

[

ϑ√

1 + ϑ2 + Arsinh(ϑ)]

=a

2

[

ϑ√

1 + ϑ2 + ln(ϑ+√

1 + ϑ2)]

. (4.122)

106 4 Integration

Abbildung 4.19: Die Archimedische Spirale r = aϕ.

4.9 Mittelwerte von Funktionen

Um den Mittelwert von n Zahlen ai zu bestimmen, addiert man die Zahlen und dividiert sie durchderen Anzahl:

a =a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an

n, (4.123)

wobei der horizontale Strich uber dem a auf der linken Seite der obigen Gleichung einen Mittelwertbedeutet. a konnte zum Beispiel der Mittelwert einer Reihe von Messdaten sein. Wir wollen nundas zeitliche Mittel einer Funktion f(t) bestimmen. Dazu stellen wir uns vor, dass wir den Wertder Funktion beginnend bei t = a nach Zeitschritten ∆t bestimmen. Das heißt, wir bestimmen f(t)zuerst bei t = a und messen dann f(t) wiederholt zu den Zeitpunkten ti = a + i∆t (siehe Abb.4.20). Durch diesen Messvorgang erhalten wir n Messwerte f(ti), die man tabellarisch darstellenkann als:

ti t1 t2 t3 . . . tn

f(ti) f(t1) f(t2) f(t3) . . . f(tn).

Der Mittelwert aller dieser Messwerte ist

f =f(t1) + f(t2) + · · · + f(tn)

n. (4.124)

Wir multiplizieren jetzt sowohl Zahler als auch Nenner mit ∆t

f =

∑ni=1 f(ti)∆t

n · ∆t . (4.125)

Wir erkennen, dass fur sehr kurze Zeitintervalle ∆t der Zahler ubergeht in das bestimmte Integral∫ b

af(t)dt. Der Nenner ist einfach die Lange des gesamten Intervalls, n∆t = (b − a). Das heißt

f =

∫ b

af(t)dt

(b − a)=

1

(b− a)

∫ b

a

f(t)dt. (4.126)

In Worten kann man dies wie folgt ausdrucken: Der Mittelwert f einer Funktion im Intervall (a, b)ist gleich dem bestimmten Integral der Funktion f(t) zwischen den Integrationsgrenzen a und bdividiert durch die Lange des Intervalls [a, b].

4 Integration 107

Abbildung 4.20: Die Funktion f(t) wird zu aquidistanten Zeitpunkten ti bestimmt.

Naturlich gilt auch:

∫ b

a

f(t)dt = f(b− a). (4.127)

Beispiel:

Durch einen Widerstand fließt ein Wechselstrom I(t) = I0 sinωt und es fallt am Widerstand eineSpannung U(t) = U0 sinωt ab. Zu berechnen ist der Mittelwert der Leistung uber eine Periode.

Die momentane Leistung ist Strom × Spannung, das heißt

P (t) = U(t) · I(t) = U0I0 sin2 ωt. (4.128)

Die Lange der Periode ist T = 2π/ω. Das heißt, die mittlere Leistung ist gegeben durch (sieheAbb. 4.21)

P =1

T

∫ T

0

P (t)dt =1

T

T∫

0

U0I0 sin2 ωt dt

=I0U0

T

T∫

0

sin2 ωt dt. (4.129)

Durch partielle Integration hatten wir weiter oben das Integral∫

cos2 xdx = 12 (sinx cosx + x)

ermittelt. Da cos2 x = 1 − sin2 x, folgt fur das Integral von sin2 x:

∫

sin2 xdx = x− 1

2(sinx cosx+ x) =

x

2− 1

2sinx cosx. (4.130)

Mit der Substitution u = ωt ⇒ dt = du/ω erhalten wir

∫

sin2 ωt dt =1

ω

[ωt

2− 1

2sinωt cosωt

]

. (4.131)

108 4 Integration

Abbildung 4.21: Die durchschnittliche an einem Ohmschen Widerstand verbrauchte Leistung lasstsich durch Integration der Leistung als Funktion der Zeit bestimmen.

und somit

P =I0U0

T

1

ω

[ωt

2− 1

2sinωt cosωt

] ∣∣∣∣

T

0

=I0U0

ωT

ωT

2− 1

2sin(

2π

ωω) cos(

2π

ωω)

︸︷︷︸

=0

−0 +1

2sin(0) cos(0)

︸︷︷︸

0

=I0U0

2. (4.132)

4.10 Doppelintegrale

So wie wir Funktionen von zwei, drei oder noch mehr Variablen differenzieren konnen, konnen wirsie auch integrieren. Integration solcher Funktionen fuhrt zu Mehrfachintegralen, die in der Phy-sik sehr oft auftreten, zum Beispiel bei der Bestimmung von Volumina, Massen, Schwerpunkten,Tragheitsmomenten, Zustandssummen usw. Mehrfachintegrale lassen sich auf die Nacheinander-ausfuhrung von gewohnlichen Integralen zuruckfuhren.

4.10.1 Definition

Bisher haben wir die durch eine Kurve begrenzte Flache als bestimmtes Integral berechnet (sieheAbb. 4.22):

Sab =

b∫

a

f(x)dx. (4.133)

Wir wollen uns nun mit der analogen Aufgabe beschaftigen, das Volumen eines Korpers zu be-rechnen, der von einer Flache f(x, y), von einem Bereich A der xy-Ebene und vom vertikal bis zurFlache fortgesetzten Rand von A begrenzt wird (siehe Abb. 4.23). Um dieses Volumen zu bestim-men, gehen wir ahnlich vor wie bei der Berechnung der Flache Sab, die wir in schmale senkrechteStreifen eingeteilt hatten. Wir teilen dazu den Bereich A in kleine Rechtecke mit Kantenlangen∆x und ∆y ein, indem wir ein Gitter uber die xy-Ebene legen (siehe Abb. 4.24).

Jedes Rechteck wird durch zwei Indizes beschrieben, einem in der x-Richtung (i) und einem in dery-Richtung (j). In jedem Rechteck (das wir auch Zelle nennen) wahlen wir einen Punkt (xi, yj).

4 Integration 109

Abbildung 4.22: Die Flache Sab unter einerKurve kann durch einfache Integration be-stimmt werden.

Abbildung 4.23: Zur Bestimmung des Volu-mens unter einer Flache ist eine Doppelinte-gration notwendig.

Abbildung 4.24: Zur Berechnung des von ei-ner Flache begrenzten Volumens teilen wirden Bereich A in der xy-Ebene in viele klei-ne Rechtecke ein.

Abbildung 4.25: Ein Teilvolumen uber ei-nem der kleinen Rechtecke im Bereich A. DieHohe des Volumens ist etwa der Funktions-wert f(xi, yi) an der Stelle xi, yi.

Dieser Punkt kann der Mittelpunkt der Zelle sein oder irgendwo anders in der Zelle liegen (aucham Rand). Zu jedem dieser Punkte (xi, yj) gibt es einen Funktionswert f(xi, yj). Das Volumenuber der Zelle, das von der Flache f(x, y) oben begrenzt wird, ergibt sich naherungsweise aus derGrundflache ∆x∆y der Zelle multipliziert mit deren Hohe f(xi, yj) (siehe Abb. 4.25):

∆V ≈ ∆x∆y · f(xi, yj). (4.134)

Hier machen wir naturlich einen Fehler, weil dieses Teilvolumen oben nicht durch eine ebene,horizontale Flache begrenzt wird. Fur kleiner werdende ∆x und ∆y wird dieser Fehler jedochimmer kleiner. Durch Summation uber alle Quader, deren zugehorige Punkte (xi, yj) in A liegen,erhalten wir schließlich annaherungsweise das gesuchte Gesamtvolumen V

V ≈∑

i

∑

j

f(xi, yj)∆x∆y. (4.135)

Wie beim eindimensionalen Fall nahert die Summe das Volumen immer besser an, je feiner dieEinteilung der xy-Ebene gewahlt wird, das heißt je kleiner ∆x und ∆y sind. Im Grenzfall ∆x→ 0und ∆y → 0 erhalten wir das exakte Volumen:

V = lim∆x→0

lim∆y→0

∑

i

∑

j

f(xi, yj)∆x∆y =

∫∫

A

f(x, y)dxdy. (4.136)

110 4 Integration

Dieser Grenzwert ist das Doppelintegral der Funktion f(x, y) im Gebiet A. Das Produktdxdy nennt man auch das Flachenelement. Da das Gebiet A kompliziert sein kann, konnen wirnicht wie im eindimensionalen Fall einfache Integrationsgrenzen angeben. Wir schreiben daher

das Gebiet A einfach unter das Doppelintegral. Wie beim Integral∫ b

a f(x)dx mussen wir diesenGrenzubergang nicht fur jedes Integral neu durchfuhren. Statt dessen konnen wir die Berechnungdes Doppelintegrals auf die Berechnung einfacher Integrale zuruckfuhren.

4.10.2 Berechnung von Doppelintegralen

Zur Berechnung eines Doppelintegrals gehen wir von der Summe

V ≈∑

i

∑

j

f(xi, yj)∆x∆y (4.137)

aus und fuhren die Summation uber i und j getrennt durch. Zunachst summieren wir fur einbestimmtes i uber alle moglichen Werte von j. Diese Summation entspricht der Berechnung desVolumens einer Schicht der Dicke ∆x parallel zur yz-Ebene (siehe Abb. 4.26):

Vi =

∑

j

f(xi, yj)∆y

∆x. (4.138)

Abbildung 4.26: Die Summation uber alle j fur einen bestimmten Wert i ergibt das Volumen einerSchicht mit der Dicke ∆x, die parallel zur yz-Ebene liegt.

Fuhren wir jetzt den Grenzwert ∆y → 0 durch, erhalten wir

Vi =

b(xi)∫

a(xi)

f(xi, y)dy

∆x. (4.139)

Dabei hangen die Integrationsgrenzen vom Ort xi ab. In der xy-Ebene wird der IntegrationsbereichA durch die zwei Kurven a(x) und b(x) begrenzt (siehe Abb. 4.27).

Hier gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass der Integrationsbereich nur zwei senkrechteTangenten besitzt. Falls das nicht der Fall ist (siehe zum Beispiel Abb. 4.28), muss man diesberucksichtigen. Auch in diesem Fall andert sich jedoch die prinzipielle Vorgangsweise nicht.

Das Volumen Vi aus Gleichung (4.139) entspricht dem Volumen uber der schraffierten Flache inAbb. 4.27. Um das Gesamtvolumen zu berechnen, mussen wir noch uber alle Teilvolumina Vi

4 Integration 111

Abbildung 4.27: Die Integrationsgrenzen a(x) und b(x) fur die Integrationsgrenzen in y-Richtunghangen von der x-Position ab.

Abbildung 4.28: Falls der Integrationsbereich wie hier mehr als zwei senkrechte Tangenten besitzt,muss man die Integration in mehrere Doppelintegrale aufteilen.

summieren:

V ≈∑

i

Vi =∑

i

b(xi)∫

a(xi)

f(xi, y)dy

∆x. (4.140)

Dieses bestimmte Integralb(xi)∫

a(xi)

f(xi, y)dy auf der rechten Seite der obigen Gleichung ist eine Funk-

tion von xi. Die Abhangigkeit von y ist bereits verschwunden, weil wir uber die Integrationsvariabley integriert haben. Durch Bildung des Grenzubergangs ∆x→ 0 erhalten wir schließlich

V = lim∆x→0

∑

i

b(xi)∫

a(xi)

f(xi, y)dy

∆x =

d∫

c

b(x)∫

a(x)

f(x, y)dy

dx, (4.141)

wobei wir wieder die Definition des Integrals als Grenzfall einer Summe benutzt haben. Wir habensomit die Berechnung des Doppelintegrals auf die hintereinander ausgefuhrte Berechnung zweiereinfacher Integrale zuruckgefuhrt.

Naturlich hatten wir auch die Integrationsreihenfolge umkehren konnen:

V =

b∫

a

d(y)∫

c(y)

f(x, y)dx

dy =

b∫

a

d(y)∫

c(y)

f(x, y)dxdy. (4.142)

In diesem Fall mussen wir die Integrationsgrenzen fur die Integration nach x als Funktion von yausdrucken.

112 4 Integration

Beispiel:

Zu berechnen ist das Integral∫∫

A

√x+ y dxdy fur einen rechteckigen Bereich A, der gegeben ist

durch:

1 ≤ x ≤ 2, (4.143)

0 ≤ y ≤ 5. (4.144)

Abbildung 4.29: Integrationsbereich A.

In diesem Fall vereinfacht sich die Berechnung, weil die Integrationsgrenzen in y-Richtung nichtvon x abhangen:

∫∫

A

√x+ y dxdy =

5∫

0

2∫

1

√x+ y dxdy =

5∫

0

(

2

3(x+ y)

32

∣∣∣∣

2

x=1

)

dy

=2

3

5∫

0

(

(y + 2)32 − (y + 1)

32

)

dy

=2

3

2

5

(

(y + 2)52

∣∣∣∣

5

0

− (y + 1)52

∣∣∣∣

5

0

)

=2

3

2

5

(

752 − 2

52 − 6

52 + 1

)

=4

15

(

752 − 2

52 − 6

52 + 1

)

. (4.145)

Wenn wir die Integrationsreihenfolge umkehren, erhalten wir:

∫∫

A

√x+ ydxdy =

2∫

1

5∫

0

√x+ ydydx =

2∫

1

(

2

3(x+ y)

32

∣∣∣∣

5

y=0

)

dx

=2

3

2∫

1

(

(x+ 5)32 − x

32

)

dx

=2

3

(

2

5(x+ 5)

52

∣∣∣∣

2

1

− 2

5x

52

∣∣∣∣

2

1

)

=4

15

(

752 − 2

52 − 6

52 + 1

)

, (4.146)

was mit dem oben erhaltenen Resultat ubereinstimmt.

4 Integration 113

Beispiel:

Zu berechnen ist das Volumen des Kugeloktanten einer Kugel mit Radius r (siehe Abb. 4.30). ImUnterschied zum vorherigen Beispiel mussen wir hier die x-Abhangigkeit der Integrationsgrenzenin y berucksichtigen.

Abbildung 4.30: Der Kugeloktant ist im ersten Quadranten durch die Flache z =√

r2 − x2 − y2

nach oben begrenzt.

Die Kugeloberflache im ersten Oktanten ist gegeben durch:

x2 + y2 + z2 = r2 ⇒ f(x, y) =√

r2 − x2 − y2. (4.147)

Das Volumen V8 des Kugeloktanten lasst sich somit als folgendes Doppelintegral ausdrucken:

V8 =

r∫

0

b(x)∫

a(x)

√

r2 − x2 − y2 dy

dx. (4.148)

Da die Grenzen fur die Integration in y-Richtung

a(x) = 0 und b(x) =√

r2 − x2 (4.149)

sind, erhalten wir:

V8 =

r∫

0

√r2−x2∫

0

dy√

r2 − x2 − y2

dx. (4.150)

Aus einer Formelsammlung entnehmen wir, dass∫√

a2 − y2dy =1

2

[

y√

a2 − y2 + a2 arcsiny

a

]

. (4.151)

Somit erhalten wir fur die Integration in y-Richtung:√r2−x2∫

0

√

(r2 − x2) − y2dy =1

2

[

y√

(r2 − x2) − y2 + (r2 − x2) arcsiny√

r2 − x2

]√r2−x2

0

=1

2

[0 + (r2 − x2) arcsin(1) − 0 − 0

]=π

4(r2 − x2). (4.152)

Einsetzen dieses Resultats und Integration in x-Richtung ergibt schließlich

V8 =

r∫

0

π

4(r2 − x2)dx =

π

4

(

r2x− x3

3

) ∣∣∣∣

r

0

=π

4

(

r3 − r3

3

)

=2

3· π

4· r3 =

r3π

6, (4.153)

114 4 Integration

sodass wir fur das Kugelvolumen das erwartete Resultat

V = 8r3π

6=

4

3πr3 (4.154)

erhalten.

4.10.3 Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Oft ist es leichter, den Integrationsbereich A fur ein Doppelintegral in Polarkoordinaten auszu-drucken. So ist es zum Beispiel bei Integration uber einen Kreis mit Radius R einfacher, den Inte-grationsbereich durch 0 ≤ r ≤ R und 0 ≤ ϕ ≤ 2π als durch −R ≤ x ≤ R und −

√R2 − x2 ≤ y ≤√

R2 − x2 zu beschreiben. In Polarkoordinaten ist der Integrationsbereich also einfach ein Rechteck,wahrend wir in kartesischen Koordinaten mit komplizierteren Funktionen arbeiten mussen.

Um diese Vereinfachung auszunutzen, konnen wir die Integration in Polarkoordinaten durchfuhren.Dazu drucken wir zuerst die zu integrierende Funktion in Polarkoordinaten aus:

f(x, y) = f(r cosϕ, r sinϕ). (4.155)

Wir mussen allerdings auch das Flachenelement dxdy = dA richtig transformieren. Das Flachen-element dA ergibt sich ja dadurch, dass wir die Variablen x und y um einen kleinen Betrag dxbzw. dy andern und dadurch das Flachenelement dA = dxdy erzeugen. Welches Flachenelemententsteht aber, wenn wir ϕ um dϕ und r um dr andern?

Abbildung 4.31: Das Flachenelement dA entsteht durch eine Anderung des Winkels ϕ um dϕ undeine Anderung des Radius r um dr.

Dieses Flachenelement ist von gekrummten Linien begrenzt (siehe Abb. 4.31). Fur sehr kleine dϕund dr kann man das Flachenelement mit vernachlassigbarem Fehler als Rechteck mit Seitenlangendr und rdϕ betrachten (der Winkel ϕ wird in Bogenmaß angegeben). Der Flacheninhalt dieseskleinen Rechtecks ist daher:

dA = rdϕdr. (4.156)

Somit ergibt sich fur die Transformation des Integrals von kartesischen Koordinaten zu Polarkoor-dinaten:

∫∫

A

f(x, y)dxdy =

∫∫

A′

f(r cosϕ, r sinϕ)rdϕdr. (4.157)

Hier ist A′ der in Polarkoordinaten beschriebene Integrationsbereich.

4 Integration 115

Beispiel:

Wieder soll das Volumen des Kugeloktanten berechnet werden, diesmal allerdings unter Verwen-dung von Polarkoordinaten. Transformation des Integrationsbereichs in der xy-Ebene nach Polar-koordinaten ergibt:

V8 =

∫∫

K

√

R2 − x2 − y2dxdy =

∫∫

K′

√

R2 − r2 cos2 ϕ− r2 sin2 ϕrdϕdr

=

π2∫

0

R∫

0

√

R2 − r2rdr

dϕ, (4.158)

wobei wir ausgenutzt haben, dass sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1. Da der Integrand nicht vom Winkel ϕabhangt, konnen wir die Integration uber ϕ sofort durchfuhren und erhalten

V8 =π

2

R∫

0

√

R2 − r2rdr. (4.159)

Um dieses Integral uber r zu bestimmen, fuhren wir die Substitution u = R2 − r2 durch. Dadu/dr = −2r und somit dr = −du/2r, erhalten wir

∫√

R2 − r2rdr =

∫ √ur

du

−2r

= −2

3

1

2u

32 = −u

32

3

= −1

3(R2 − r2)

32 . (4.160)

Einsetzen ergibt schließlich

V8 =π

2

(

−1

3(R2 − r2)

32

) ∣∣∣∣

R

0

=πR3

6, (4.161)

was mit dem fruher erhaltenen Ergebnis ubereinstimmt.

Beispiel:

Wir wollen das so genannte Gaußsche Integral

∞∫

−∞

e−x2

dx (4.162)

berechnen. Dieses Integral spielt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der statistischen Me-chanik eine wichtige Rolle.

Das Gaußsche Integral ist auf direkte Weise nicht leicht zu bestimmen, wir konnen es aber mitdem folgenden Trick berechnen. Wir schreiben das Integral zunachst als

A =

∞∫

−∞

e−x2

dx =

∞∫

−∞

e−x2

dx

∞∫

−∞

e−y2

dy

12

. (4.163)

Das konnen wir ohne weiteres tun, weil der Name der Integrationsvariablen (x oder y) belanglosist. Das Produkt der beiden Integrale uber x und uber y konnen wir nun als ein Doppelintegraluber die gesamte xy-Ebene auffassen.

A2 =

∞∫

−∞

e−x2

dx ·∞∫

−∞

e−y2

dy =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

e−(x2+y2)dxdy. (4.164)

116 4 Integration

Abbildung 4.32: Die Flache unter der Gaußschen Glockenkurve exp(−x2) ist A =√π.

Diese Darstellung erlaubt eine Transformation auf Polarkoordinaten:

A2 =

2π∫

0

∞∫

0

e−r2

rdrdϕ = 2π

∞∫

0

e−r2

rdr. (4.165)

Hier haben wir ausgenutzt, dass gilt r2 = x2 +y2. Der Integrand ist somit nicht mehr abhangig vonϕ, sodass wir die Integration uber ϕ gleich ausfuhren konnten, was einen Faktor von 2π verursachthat. Das noch verbleibende Integral uber r ist leicht zu losen. Wir erkennen, dass

d

dre−r

2

= e−r2

(−2r) (4.166)

und somit

d

dr

(

−1

2e−r

2

)

= e−r2

r. (4.167)

Durch Einsetzen erhalten wir schließlich

A2 = 2π

(

−1

2e−r

2

) ∣∣∣∣

∞

0

= 2π1

2(−0 + 1) = π. (4.168)

Das Gaußsche Integral ist also:

∞∫

−∞

e−x2

dx =√π. (4.169)

4.11 Dreifachintegrale

4.11.1 Definition

Analog zum Doppelintegral konnen wir auch ein Dreifachintegral (oder im Allgemeinen ein n-

faches Integral) definieren und berechnen. Gegeben sei ein Gebiet B im dreidimensionalen Raum,das von einer geschlossenen Flache umgeben wird. Innerhalb dieses Gebiets sei eine Funktionf(x, y, z) definiert. Als Beispiel konnen wir uns einen Korper mit einer raumlich nicht uniformenDichte ρ(x, y, z) vorstellen.

Wir konnen die Funktion f(x, y, z) uber den Bereich B integrieren, indem wir diesen in kleineQuader mit Kantenlangen ∆x, ∆y und ∆z einteilen. Das Volumen ∆V jedes Quaders ist

∆V = ∆x∆y∆z. (4.170)

4 Integration 117

Abbildung 4.33: Bei einer Dreifachintegration wird das Integrationsvolumen in infinitesimale Qua-der mit Kantenlangen dx, dy und dz, so genannte Volumselemente, eingeteilt.

Wir summieren jetzt den Funktionswert f(xi, yj, zk) in jedem Quader (z.B. im Quadermittelpunkt)multipliziert mit dem Volumen ∆V uber alle kleinen Quader:

∑

i

∑

j

∑

k

f(xi, yj, zk)∆x∆y∆z. (4.171)

Wenn wir den Grenzwert ∆x → 0, ∆y → 0 und ∆z → 0 bilden, erhalten wir das Dreifachintegralvon f(x, y, z) uber den Bereich B:

I =

∫∫∫

B

f(x, y, z)dxdydz. (4.172)

Das infinitesimale Volumen dV nennt man das Volumselement. Oft schreiben wir auch

I =

∫∫∫

B

f(x, y, z)dV (4.173)

oder noch kurzer

I =

∫

B

f(x, y, z)dV. (4.174)

Fur das 3d-Integral haben wir keine anschauliche Interpretation als Flache oder Volumen, da wirdazu in den 4d-Raum ausweichen mussten. Analog zum Doppel- und Dreifachintegral lassen sichauch in beliebig hochdimensionalen Raumen Volumsintegrale bilden.

Beispiel:

Wir betrachten einen Korper mit einer inhomogenen Dichteverteilung, der also an unterschiedli-chen Stellen unterschiedlich dicht ist. Denken Sie beispielsweise an den Planeten Erde, der einenmetallischen Kern mit hoher Dichte besitzt, der von mineralischen Schichten mit niedrigerer Dichteumgeben ist. Die Dichteverteilung im Korper sei ρ(x, y, z), wobei die Dichte definiert ist als dieMasse pro Volumen:

ρ(x, y, z) =dm(x, y, z)

dV. (4.175)

Wir wollen nun die Gesamtmasse dieses Korpers berechnen. Dazu addieren wir die Massen allerinfinitesimaler Volumselemente im Korper. Die Masse dm(x, y, z) des Volumselementes dV im

118 4 Integration

Punkt (x, y, z) ist gegeben durch:

dm(x, y, z) = ρ(x, y, z)dV. (4.176)

Durch Summation (Integration) uber alle Volumselemente erhalten wir die Gesamtmasse desKorpers:

M =

∫∫∫

B

ρ(x, y, z)dxdydz, (4.177)

wobei B der Bereich ist, der vom Korper ausgefullt wird.

4.11.2 Berechnung von Dreifachintegralen

Abbildung 4.34: Der Integrationsbereich B wird durch die Flachen ψ1(x, y) und ψ2(x, y) begrenzt.Die Projektion des Bereiches B in die xy-Ebene wird durch die Kurven ϕ1(x) und ϕ2(x) begrenzt.

Durch zum zweidimensionalen Fall analoge Uberlegungen lasst sich auch das Volumsintegral aufdie Hintereinanderausfuhrung von einfachen Integralen zuruckfuhren (siehe Abb. 4.34). Dazubezeichnen wir die beiden Begrenzungskurven der Projektion des raumlichen Bereiches B in diexy-Ebene mit y = ϕ1(x) und y = ϕ2(x). Die Grenzen in x-Richtung bezeichnen wir mit x1 undx2 und die beiden Begrenzungsflachen des raumlichen Bereichs mit z = ψ1(x, y) und z = ψ2(x, y).Dann kann das Dreifachintegral ausgedruckt werden als

∫∫∫

B

f(x, y, z)dxdydz =

∫

dx

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

dy

ψ2(x,y)∫

ψ1(x,y)

dzf(x, y, z)

. (4.178)

Eine andere Integrationsreihenfolge mit passend geanderten Integrationsgrenzen ist naturlich moglich.

Beispiel:

Wir berechnen als Beispiel das Volumen eines Ellipsoids mit Halbachsen a, b und c (siehe Abb.4.35). Das Volumen konnen wir berechnen, indem wir die Funktion f(x, y, z) = 1 uber das Ellipsoidintegrieren:

V =

∫∫∫

1 dxdydz, (4.179)

wobei das Integrationsvolumen durch die Gleichung(x

a

)2

+(y

b

)2

+(z

c

)2

≤ 1 (4.180)

4 Integration 119

Abbildung 4.35: Ein Ellipsoid, dessen Achsen entlang der Koordinatenachsen verlaufen.

gegeben ist. Das Volumen erhalten wir hier also einfach durch Summation aller Volumselemente,die sich im Inneren des Ellipsoids befinden.

Die Begrenzungskurve der Projektion des Integrationsbereichs in die xy-Ebene ist fur das Ellipsoidgegeben durch

x2

a2+y2

b2= 1 (4.181)

und wird infolgedessen durch die beiden Funktionen

ϕ1(x) = −b√

1 − x2

a2und ϕ2(x) = b

√

1 − x2

a2(4.182)

beschrieben. Die Begrenzungsflachen im Raum folgen aus der Gleichung

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (4.183)

und werden durch die Funktionen

ψ1(x, y) = −c√

1 − x2

a2− y2

b2und ψ2(x, y) = c

√

1 − x2

a2− y2

b2(4.184)

beschrieben. In der x-Richtung wir das Ellipsoid durch die beiden Punkte

x1 = −a x2 = a (4.185)

begrenzt. Wir konnen nun die Integrale hintereinander ausfuhren, wobei wir mit dem Integral uberdie Integrationsvariable z beginnen. Fur das Integral uber z erhalten wir mit den beiden obigenBegrenzungsflachen:

ψ2(x,y)∫

ψ1(x,y)

1dz = ψ2(x, y) − ψ1(x, y) = 2c

√

1 − x2

a2− y2

b2. (4.186)

Als nachstes fuhren wir die Integration

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

2c

√

1 − x2

a2− y2

b2dy (4.187)

uber die Variable y durch. Um dieses Integral zu berechnen, fuhren wir zur Abkurzung den Aus-druck A2 = 1 − x2/a2 ein und fuhren die Substitution u = y/b durch. Somit ergibt sich wegendy = bdu:

∫ √

1 − x2

a2− y2

b2dy =

∫√

A2 − u2bdu = bu

2

√

A2 − u2 +bA2

2arcsin

u

A, (4.188)

120 4 Integration

wobei wir das Integral∫ √

A2 − u2 in der Formelsammlung nachgeschlagen haben. Einsetzen gefolgtvon einigen algebraischen Umformungen ergibt

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

√(

1 − x2

a2

)

− y2

b2dy =

=by

2b

√(

1 − x2

a2

)

− y2

b2+

(

1 − x2

a2

)b

2arcsin

yb

√

1 − x2

a2

∣∣∣∣∣

y=bq

1− x2

a2

y=−bq

1−x2

a2

= b

√

1 − x2

a2

√(

1 − x2

a2

)

−(

1 − x2

a2

)

︸︷︷︸

=0

+

(

1 − x2

a2

)b

2[arcsin(1) − arcsin(−1)] . (4.189)

Durch Auswerten der Arkussinusfunktion an den Stellen −1 und +1 erhalten wir schließlich:

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

√(

1 − x2

a2

)

− y2

b2dy =

(

1 − x2

a2

)bπ

2. (4.190)

Um das Volumen V zu berechnen, mussen wir noch die Integration uber x durchfuhren. Da x alseinfaches Quadrat im Integranden vorkommt, verursacht dies keine Schwierigkeiten:

V =

a∫

−a

2cbπ

2

(

1 − x2

a2

)

dx = cbπ

a∫

−a

(

1 − x2

a2

)

dx = cbπ

(

x− x3

3a2

) ∣∣∣∣

a

−a

= cbπ

(

2a− 2a3

3a2

)

= cbπ

(

2a− 2a

3

)

= acbπ6 − 2

3. (4.191)

Das Volumen des Ellipsoids ist also

V =4

3πacb. (4.192)

4.11.3 Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten

In manchen Fallen kann es auch vorteilhaft sein, Volumsintegrale in Zylinderkoordinaten oder inKugelkoordinaten zu berechnen. In Zylinderkoordinaten mussen wir beachten, dass das Vo-

lumselement wie folgt transformiert (anschaulich ergibt sich dies aus zum Doppelintegral analo-gen Uberlegungen):

dxdydz = ρdρdϕdz. (4.193)

Somit ist das Integral gegeben durch

∫∫∫

B

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫

B′

f(ρ cosϕ, ρ sinϕ, z)ρdρdϕdz, (4.194)

wobei B′ das in Zylinderkoordinaten ausgedruckte Integrationsgebiet ist.

4 Integration 121

Beispiel: Volumen eines Zylinders

Wir berechnen das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Hohe h als Integral V =∫dV uber

das Innere des Zylinders:

V =

∫ r

0

∫ h

0

∫ 2π

0

ρdϕdzdρ

=

∫ r

0

∫ h

0

2πρdhdρ

=

∫ r

0

2πhρdρ = 2πhr2

2= πr2h. (4.195)

In Kugelkoordinaten ist das Volumselement:

dV = dxdydz = r2dr sinϑdϑdϕ, (4.196)

was man sich geometrisch leicht klarmachen kann. Das Integral wird zu∫∫∫

B

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫

B′

f(r sinϑ cosϕ, r sinϑ cosϕ, r cosϑ)r2dr sinϑdϑdϕ, (4.197)

wobei B′ das in Kugelkoordinaten definierte Integrationsgebiet ist.

Beispiel: Schwerpunkt einer Halbkugel

Zu bestimmen ist der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel mit Radius R. Im Allgemeinen istder Schwerpunkt eines Korpers mit homogener Dichte gegeben durch

~rS =1

V

∫

V

~rdV. (4.198)

Wir legen die Halbkugel so in ein kartesisches Koordinatensystem, dass die Schnittflache in derxy-Ebene liegt und sich die Halbkugel auf der Seite der positiven z-Achse befindet. Aus Symme-triegrunden muss der Schwerpunkt auf der z-Achse liegen, d. h. xS = 0 und yS = 0. Zu berechnenbleibt die z-Komponente des Schwerpunktes. In Kugelkoordinaten haben wir:

zS =1

V

∫

V

zdV

=1

V

∫ R

0

∫ π/2

0

∫ 2π

0

(r cosϑ)r2 sinϑdϕdϑdr

=2π

V

∫ R

0

∫ π/2

0

r3 cosϑ sinϑdϑdr

=2π

V

1

2

∫ R

0

r3dr

=π

V

R4

4=

6π

4πR3

R4

4=

3

8R, (4.199)

wobei wir verwendet haben, dass das Volumen der Halbkugel 4πR3/6 ist.

4.12 Integration von vektorwertigen Funktionen

Betrachten wir eine vektorwertige Funktion ~A(t) einer skalaren Variablen t, z.B. die Geschwindig-keit ~v(t) eines Teilchens. Wir konnen nun ein Integral uber diese Funktion definieren, indem wir

122 4 Integration

ein Intervall [ta, tb] in die Teilintervalle [ti, ti+1] zerlegen und die Summe

N∑

i=1

~A(ti) · ∆ti (4.200)

bilden. Hier besteht ~A(t) aus drei Komponenten ~A(t) = (Ax(t), Ay(t), Az(t)). Da die Summe vonVektoren komponentenweise durchgefuhrt wird, haben wir

N∑

i=1

~A(ti) · ∆ti =

∑Ax(ti) · ∆ti

∑Ay(ti) · ∆ti

∑Az(ti) · ∆ti

. (4.201)

Im Grenzfall einer unendlich feinen Intervallzerlegung erhalten wir das Integral

∫

~A(t)dt =

∫Ax(t)dt

∫Ay(t)dt

∫Az(t)dt

. (4.202)

Das heißt, das Integral uber eine vektorwertige Funktion einer skalaren Variablen ist ein Vektor,dessen Komponenten die Integrale der Komponentenfunktionen Ax(t), Ay(t) und Az(t) sind.

Beispiel:

Das Integral der vektorwertigen Funktion

~A(t) =

t+ t2

e−6t

1

(4.203)

sei uber das Intervall [0, 1] zu berechnen. Wir fuhren die Integration uber t komponentenweisedurch:

∫ 1

0

~A(t)dt =

1∫

0

(t+ t2)dt

1∫

0

e−6tdt

1∫

0

1 dt

=

t2

2 + t3

3

∣∣∣

1

0

− 16e

−6t∣∣1

0

t|10

=

56

16 (1 − e−6)

1

. (4.204)

Teil II

Einfuhrung in die PhysikalischenRechenmethoden II

123

Kapitel 5

Komplexe Zahlen

Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschranken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Um-kehrung der Potenzierung) nicht immer moglich. Zum Beispiel konnen wir nicht die Quadratwurzeleiner negativen Zahl ziehen. Fur die quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten beispielsweise

ax2 + bx+ c = 0, (5.1)

existieren die reellen Losungen

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a(5.2)

nur dann, wenn das Argument der Wurzel nicht negativ ist, das heißt wenn gilt b2 ≥ 4ac. Wirkonnen den Zahlenraum jedoch so erweitern, dass algebraische Gleichungen wie die quadratischeGleichung (5.1) immer eine Losung haben. Diesen erweiterten Raum nennen wir die komplexenZahlen und werden sehen, dass dieser Ubergang von den reellen zu den komplexen Zahlen demUbergang von der Zahlengerade R zu der Zahlenebene R

2 = R × R entspricht. Fur komplexeZahlen lassen sich Rechenoperationen so definieren, dass alle fur die Operationen mit reellen Zahlengeltenden Gesetze in Kraft bleiben. Die reellen Zahlen sind dann als Spezialfall in den komplexenZahlen enthalten. Komplexe Zahlen spielen in der gesamten Physik eine außerst wichtige Rolleund wir werden uns im Folgenden mit der Definition und den Rechenregeln fur komplexe Zahlenbeschaftigen.

5.1 Definition und Darstellung

Zur Erweiterung der reellen Zahlen fuhren wir imaginare Zahlen ein. Dazu definieren wir dieimaginare Einheit als die Zahl i, deren Quadrat -1 ergibt:

i2 = −1 (oder, mathematisch etwas salopp ausgedruckt, i =√−1). (5.3)

(Die Wurzel aus einer negativen Zahl konnen wir eigentlich nicht ziehen. Wir tun jetzt aber “soals ob” und wir werden sehen, dass wir damit sehr weit kommen.) Wir konnen jetzt formal dieWurzel aus einer negativen Zahl ziehen, z.B.

√−5 =

√

5 · (−1) =√

5 ·√−1 =

√5i. (5.4)

Die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ist eine imaginare Zahl. Eine imaginare Zahl setztsich aus der imaginaren Einheit i und einer reellen Zahl y zusammen:

yi. (5.5)

Wie die reellen Zahlen lassen sich auch die imaginaren Zahlen auf einem Zahlenstrahl darstellen(siehe Abb. 5.1).

125

126 5 Komplexe Zahlen

Abbildung 5.1: Zahlenstrahl fur die imaginaren Zahlen.

Hohere Potenzen der imaginaren Einheit ergeben imaginare oder reelle Zahlen:

i2 = −1, (5.6)

i3 = i2i = −1i = −i, (5.7)

i4 = i2i2 = −1 · −1 = 1, (5.8)

i5 = i4 · i = i, (5.9)

usw.

Die Zusammensetzung einer reellen Zahl x und einer imaginaren Zahl iy (y reell) nennt man einekomplexe Zahl:

z = x+ iy. (5.10)

Solche komplexen Zahlen ergeben sich bei der Losung quadratischer Gleichungen. Zum Beispielhat die Gleichung

x2 − 4x+ 29 = 0 (5.11)

die komplexen Losungen

x1,2 =+4 ±

√16 − 4 · 29

2= 2 ±

√−25 = 2 ± 5

√−1 = 2 ± 5i. (5.12)

Die Darstellungsform z = x + iy bezeichnet man auch als Normalform oder kartesische Dar-

stellung einer komplexen Zahl. In dieser Darstellungsform nennt man

x = ℜ(z) den Realteil der komplexen Zahl z und

y = ℑ(z) den Imaginarteil.

Gebrauchlich ist auch die Notation x = Re(z) und y = Im(z). Sowohl der Realteil als auch derImaginarteil einer komplexen Zahl sind reelle Zahlen (obwohl die Bezeichnung Imaginarteil dasGegenteil suggeriert).

Abbildung 5.2: Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.

Graphisch kann man komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene darstellen (siehe Abb.5.2). Dabei wird der Realteil ℜ(z) der komplexen Zahl z = x + iy auf der x-Achse aufgetragen


und der Imaginarteil ℑ(z) auf der y-Achse (genauso wie wir es fur die Komponenten eines Vektors~r = (x, y) getan haben). Im Fall der komplexen Zahlen bezeichnen wir die x-Achse als die reelle

Achse und die y-Achse als die imaginare Achse. Eine komplexe Zahl z entspricht also einemPunkt P (x, y) und somit einem Ortsvektor ~r = (x, y) in der Gaußschen Zahlenebene.

Alternativ zur kartesischen Darstellung kann man fur komplexe Zahlen auch die so genannte trigo-

nometrische Darstellung verwenden. In dieser Darstellung beschreiben wir die komplexe Zahlz = x+ iy durch den Winkel ϕ zwischen der reellen Achse und dem Ortsvektor ~r und dem Abstanddes Punktes P (x, y) vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Dies entspricht der Darstellungdes Punktes P (x, y) in Polarkoordinaten. Der Abstand von P (x, y) vom Ursprung, oder Betrag

|z| der komplexen Zahl, ergibt sich durch Anwendung des Satzes von Pythagoras:

|z| =√

x2 + y2 =√

ℜ2(z) + ℑ2(z). (5.13)

Fur den Winkel ϕ, auch Phasenwinkel genannt, gilt:

ϕ = arctany

x= arctan

ℑ(z)

ℜ(z). (5.14)

Umgekehrt lauten die Transformationsgleichungen von der trigonometrischen zur kartesischen Dar-stellung:

ℜ(z) = x = |z| cosϕ, (5.15)

ℑ(z) = y = |z| sinϕ. (5.16)

Somit kann die komplexe Zahl z auch geschrieben werden als:

z = |z| cosϕ+ i|z| sinϕ oder z = |z|(cosϕ+ i sinϕ). (5.17)

5.2 Rechenregeln fur komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen enthalten die reellen Zahlen als einen Spezialfall. Setzen wir namlich inder komplexen Zahl z = x + iy den Imaginarteil y gleich 0, erhalten wir die reelle Zahl x undwir beschranken uns dadurch auf die reelle Achse der Gaußschen Zahlenebene. Die Rechenregelnfur komplexe Zahlen sollten also so definiert sein, dass sie fur diesen Spezialfall in die ublichenRechenregeln fur die reellen Zahlen ubergehen. Wie wir im Folgenden sehen werden, lasst sichdies erreichen, indem man einfach die ublichen algebraischen Rechenregeln anwendet und dabeibeachtet, dass i2 = −1.

Zunachst definieren wir zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 als gleich, wennsie sowohl in ihrem Realteil als auch in ihrem Imaginarteil ubereinstimmen. Das heißt:

z1 = z2 ⇔ ℜ(z1) = ℜ(z2) und ℑ(z1) = ℑ(z2). (5.18)

Eine komplexe Zahl z = x + iy ist Null, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginarteilverschwinden:

z = 0 ⇔ ℜ(z) = 0 und ℑ(z) = 0. (5.19)

5.2.1 Addition und Subtraktion

Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 werden addiert bzw. subtrahiert, indemman ihre reellen und imaginaren Anteile jeweils getrennt voneinander addiert bzw. subtrahiert:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), (5.20)

z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2). (5.21)


Abbildung 5.3: Addition der komplexen Zah-len z1 und z2.

Abbildung 5.4: Subtraktion der komplexenZahl z2 von der komplexen Zahl z1.

Dies entspricht der komponentenweisen Addition bzw. Subtraktion der zugehorigen Vektoren in derGaußschen Zahlenebene. Wie aus Abb. 5.3 ersichtlich ist, konnen wir graphisch die Addition undSubtraktion von komplexen Zahlen durch passendes Aneinanderhangen der zugehorigen Vektorendurchfuhren. Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen funktionieren analog zur Additionund Subtraktion der zugehorigen zweidimensionalen Vektoren.

Beispiel:

(4 + 3i) + (6 − 2i) = (4 + 6) + (3 + (−2))i = 10 + i, (5.22)

(4 + 3i) − (6 − 2i) = (4 − 6) + (3 − (−2))i = −2 + 5i. (5.23)

Die Addition von komplexen Zahlen ist assoziativ,

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 = z1 + z2 + z3, (5.24)

und kommutativ,

z1 + z2 = z2 + z1. (5.25)

Weiters existiert das neutrale Element 0, sodass

z + 0 = z (0 = 0 + i0), (5.26)

und das inverse Element zinv, sodass

z + zinv = 0. (5.27)

Fur die komplexe Zahl z = x + iy ist die inverse komplexe Zahl zinv = −z = −x − iy. DieSubtraktion z = z1 − z2 kann also aufgefasst werden als die Addition von z1 mit dem inversenElement der Zahl z2, z = z1 + (−z2).

5.2.2 Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit einer reellen Zahl a kann als eine wiederholteAddition aufgefasst werden:

az = a(x + iy) = ax+ iay. (5.28)


Beispiel:

2z = 2(x+ iy) = 2x+ 2iy. (5.29)

Diese Operation entspricht also der Multiplikation des entsprechenden Vektors in der GaußschenZahlenebene mit einem Skalar (siehe Abb. 5.5).

Abbildung 5.5: Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl.

5.2.3 Komplex konjugierte Zahl

Fur eine komplexe Zahl z = x+ iy lasst sich durch Umkehrung des Vorzeichens des Imaginarteilsdie komplex konjugierte Zahl z∗ definieren:

z∗ = x− iy. (5.30)

Wir verwenden auch oft die Notation z fur die komplex konjugierte Zahl. Graphisch erhalt mandie komplex konjugierte Zahl durch Spiegelung des zugehorigen Vektors an der reellen Achse.

Abbildung 5.6: Die komplex konjugierte Zahl z∗ der komplexen Zahl z erhalt man durch Spiegelungvon z an der reellen Achse.

Beispiel:

z = 4 + 3i, (5.31)

z∗ = 4 − 3i. (5.32)


Multipliziert man eine komplexe Zahl z mit ihrer komplex konjugierten Zahl z∗, erhalt man:

zz∗ = (x+ iy)(x− iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y2 = |z|2. (5.33)

Der Betrag |z| lasst sich also ausdrucken als

|z| =√zz∗. (5.34)

Wir konnen auch den Realteil und den Imaginarteil einer komplexen Zahl mit Hilfe der komplexkonjugierten Zahl ausdrucken. Indem wir z∗ zu z addieren, erhalten wir

z + z∗ = (x+ iy) + (x− iy) = 2x, (5.35)

woraus folgt

x =1

2(z + z∗). (5.36)

Um den Imaginarteil zu bestimmen, subtrahieren wir z∗ von z,

z − z∗ = (x + iy) − (x− iy) = 2iy, (5.37)

und finden dadurch

y =1

2i(z − z∗). (5.38)

Ferner folgt aus den Rechenregeln fur die Addition komplexer Zahlen:

(z1 + z2)∗ = z∗1 + z∗2 . (5.39)

5.2.4 Multiplikation

Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 werden miteinander multipliziert, indemman die Rechenregeln der Algebra anwendet und dabei beachtet, dass i2 = −1:

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1). (5.40)

Beispiel:

(4 + 3i)(6 − 2i) = 24 − 8i+ 18i− 6i2 = 24 + 6 + (18 − 8)i = 30 + 10i. (5.41)

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist kommutativ,

z1z2 = z2z1, (5.42)

assoziativ,

z1(z2z3) = (z1z2)z3 = z1z2z3, (5.43)

und distributiv,

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. (5.44)

Weiters gibt es fur eine komplexe Zahl z ein neutrales Element 1=1+i0,

z · 1 = z, (5.45)


und, falls z 6= 0, ein inverses Element zinv, sodass

z · zinv = 1. (5.46)

Fur das inverse Element der Multiplikation gilt:

zinv =1

z=

z∗

zz∗=

z∗

|z|2 . (5.47)

Da fur alle komplexen Zahlen z gilt, dass z · 0 = 0, hat 0 kein inverses Element.

Durch Anwendung der Rechenregeln fur die Multiplikation von komplexen Zahlen konnen wir unsleicht klar machen, dass ferner gilt:

(z1z2)∗ = z∗1z

∗2 (5.48)

und somit auch

(zn)∗ = (z∗)n. (5.49)

Dieses Resultat erhalten wir durch n-fache Anwendung von Gleichung (5.48).

5.2.5 Division

Zur Division einer komplexen Zahl z1 = x1 + iy1 durch eine komplexe Zahl z2 = x2 + iy2 erweiternwir zunachst den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners:

z1z2

=z1 · z∗2z2 · z∗2

=(x1 + iy1)(x2 − iy2)

(x2 + iy2)(x2 − iy2). (5.50)

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der reellen und imaginaren Terme ergibt:

z1z2

=x1x2 + y1y2 + i(x2y1 − x1y2)

(x22 + y2

2). (5.51)

Der Nenner ist jetzt reell und nur der Zahler bleibt komplex. Daher konnen wir einfach die Regelnfur die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl anwenden und erhalten:

z1z2

=

(x1x2 + y1y2x2

2 + y22

)

+ i

(y1x2 − x1y2x2

2 + y22

)

. (5.52)

Der Nenner (x22 + y2

2) ist immer eine strikt positive Zahl (x22 + y2

2 > 0), außer fur z2 = 0. In diesemFall konnen wir die Division nicht durchfuhren.

Beispiel:

(4 + 3i)

(6 − 2i)=

(4 + 3i)(6 + 2i)

(6 − 2i)(6 + 2i)=

24 + 8i+ 18i− 6

36 + 4=

18 + 26i

40

=9

20+

13

20i. (5.53)

Beispiel:

z = 4 + 3i, (5.54)

zinv =1

z=

1

4 + 3i=

(4 − 3i)

(4 + 3i)(4 − 3i)=

4 − 3i

16 + 9

=4

25− 3

25i. (5.55)


Wir testen jetzt, ob zinv wirklich die zu z inverse komplexe Zahl ist:

z · zinv = (4 + 3i)

(4

25− 3

25i

)

=1

25(4 + 3i)(4 − 3i) =

1

25(42 + 32)

=16 + 9

25= 1. (5.56)

5.3 Die Exponentialform von komplexen Zahlen

5.3.1 Eulersche Formel

Wir haben bis jetzt nur die Grundrechnungsarten fur komplexe Zahlen besprochen. Aus diesenGrundoperationen konnen wir auch komplexe Funktionen f(z) von komplexen Zahlen konstruieren.Eine solche Funktion f(z) bildet eine komplexe Zahl z in die komplexe Zahl u = f(z) ab:

zf−→ u. (5.57)

Zum Beispiel konnen wir durch Hintereinanderausfuhren der Multiplikation ganzzahlige Potenzeneiner komplexen Zahl bilden:

z2 = z · z, (5.58)

z3 = z · z · z, (5.59)

... (5.60)

zn = z · · · · · z︸︷︷︸

n-mal

. (5.61)

Wie wir im Kapitel 10 sehen werden, lassen sich fur reelle Zahlen ganz allgemeine Funktionenals so genannte Potenzreihen ausdrucken. Zum Beispiel konnen wir die Exponentialfunktion ex

ausdrucken als:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ . . . , (5.62)

wobei die so genannte Fakultat n! einer naturlichen Zahl n definiert ist als das Produkt allernaturlichen Zahlen von 1 bis n:

n! = n(n− 1)(n− 2) . . . 3 · 2 · 1 z.B. 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. (5.63)

Die Potenzreihe in Gleichung (5.62) hat unendlich viele Terme. Weil die Terme immer kleinerwerden, kann die Summe doch gegen den endlichen Wert ex streben. Ahnlich gilt fur die beidenWinkelfunktionen sin(x) und cos(x)

sin(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . . , (5.64)

cos(x) = 1 − x2

2!+x4

4!− x6

6!+ . . . . (5.65)

Im Allgemeinen lasst sich jede Funktion f(x) als eine Potenzreihe ausdrucken

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + . . . (5.66)

und wir werden im Kapitel 10 sehen, wie wir auf systematische Weise die passenden Koeffizientenai ermitteln konnen.

Die Potenzreihen fur die trigonometrischen Funktionen bestehen aus den selben Termen wie dieExponentialfunktion (jedoch jeweils nicht aus allen). Dies lasst uns schon erahnen, dass es einen


Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen gebenmuss. Da fur komplexe Zahlen ganzzahlige Potenzen, wie wir oben gesehen haben, definiert sind,konnen wir versuchen, mit Hilfe der Potenzreihe (5.62) die Exponentialfunktion fur komplexeZahlen zu erweitern. Betrachten wir zunachst was passiert, wenn wir in (5.62) die reelle Zahl xdurch eine imaginare Zahl iϕ ersetzen (ϕ ist dabei reell):

eiϕ = 1 + (iϕ) +(iϕ)2

2!+

(iϕ)3

3!+

(iϕ)4

4!+

(iϕ)5

5!+

(iϕ)6

6!. . . (5.67)

Durch explizite Berechnung der Potenzen der imaginaren Einheit erhalten wir:

eiϕ = 1 + iϕ− ϕ2

2!− iϕ3

3!+ϕ4

4!+iϕ5

5!− ϕ6

6!. . . (5.68)

Zusammenfassung der reellen und imaginaren Terme ergibt:

eiϕ =

(

1 − ϕ2

2!+ϕ4

4!− ϕ6

6!+ . . .

)

︸︷︷︸

=cosϕ

+ i

(

ϕ− ϕ3

3!+ϕ5

5!− ϕ7

7!+ . . .

)

.

︸︷︷︸

=sinϕ

(5.69)

Durch Vergleich mit den Potenzreihen fur sin(x) und cos(x) mit reellem Argument erhalten wir:

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ. (5.70)

Das ist die beruhmte Eulersche Formel. Fur den Spezialfall ϕ = π erhalten wir die schone Formel

eiπ + 1 = 0, (5.71)

welche die wichtigen Zahlen e, i, π, 1 und 0 miteinander verknupft. Eine weitere interessante Bezie-hung ist:

ii = (0 + i)i =(

cosπ

2+ i sin

π

2

)i

= (eiπ/2)i = ei2π/2 = e−π/2. (5.72)

Ein alternativer Beweis der Eulerschen Formel lasst sich mit Hilfe eines komplexen Integralskonstruieren, wobei wir hier nur die Idee grob skizzieren. Wir betrachten dazu die komplexe Zahl

z = cosϑ+ i sinϑ, (5.73)

welche einen Betrag von 1 besitzt, |z| = 1. Das Differential dieser Zahl ist:

dz = (− sinϑdϑ+ i cosϑdϑ) = (− sinϑ+ i cosϑ)dϑ

= i(cosϑ+ i sinϑ)dϑ = izdϑ, (5.74)

sodass wir erhalten:

dz

z= idϑ. (5.75)

Integration auf beiden Seiten liefert (wir losen hier eigentlich eine Differentialgleichung):

ln z = iϑ (5.76)

und somit

z = eiϑ = cosϑ+ i sinϑ. (5.77)


5.3.2 Polardarstellung von komplexen Zahlen

Die Eulersche Formel ermoglicht die so genannte Polardarstellung der komplexen Zahlen. Wiewir weiter oben gesehen haben (siehe Gleichung (5.17)), kann eine komplexe Zahl dargestellt werdenals

z = |z|(cosϕ+ i sinϕ). (5.78)

Unter Verwendung der Eulerschen Formel ergibt sich daraus

z = |z|eiϕ. (5.79)

Das ist die Polardarstellung der komplexen Zahl z. In dieser Darstellung ist die komplex konjugierteZahl einfach gegeben durch:

z∗ = |z|e−iϕ. (5.80)

Abbildung 5.7: Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der Polardarstellung.

In der Polardarstellung konnen wir durch Rechenregeln fur die Exponentialfunktion die Multipli-kation und Division von komplexen Zahlen stark vereinfachen:

z1z2 = (|z1|eiϕ1)(|z2|eiϕ2) = |z1||z2|ei(ϕ1+ϕ2). (5.81)

Anschaulich bedeutet das, dass man zwei komplexe Zahlen miteinander multipliziert, indem mandie zugehorigen Winkel ϕ1 und ϕ2 addiert und die Betrage |z1| und |z2| miteinander multipliziert(siehe Abb. 5.7). Fur die Division gilt:

z1z2

=|z1||z2|

ei(ϕ1−ϕ2). (5.82)

5.3.3 Umkehrung der Eulerschen Formel

Wir wollen nun die trigonometrischen Funktionen durch die Exponentialfunktion ausdrucken. Wennwir ϕ durch −ϕ ersetzen, erhalten wir die zu eiϕ konjugierte komplexe Zahl:

e−iϕ = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) = cosϕ− i sinϕ =(eiϕ)∗. (5.83)


Durch Addition der Eulerschen Formel fur eiϕ und fur die komplex konjugierte Zahl e−iϕ erhaltenwir:

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (5.84)

e−iϕ = cosϕ− i sinϕ (5.85)

eiϕ + e−iϕ = 2 cosϕ, (5.86)

woraus folgt

cosϕ =eiϕ + e−iϕ

2. (5.87)

Subtrahieren wir hingegen e−iϕ von eiϕ erhalten wir:

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (5.88)

−e−iϕ = − cosϕ+ i sinϕ (5.89)

eiϕ − e−iϕ = 2i sinϕ, (5.90)

woraus sich

sinϕ =eiϕ − e−iϕ

2i(5.91)

ergibt. Vergleich der Gleichungen (5.87) und (5.91) mit den Gleichungen (1.98) und (1.97) zeigtden Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen.

5.3.4 Additionstheoreme fur Winkelfunktionen

Die Eulersche Formel konnen wir auch benutzen, um die Additionstheoreme fur die Winkel-funktionen herzuleiten. Aus der Eulerschen Formel folgt:

ei(ϕ1+ϕ2) = cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2). (5.92)

Gleichzeitig gilt aber auch:

ei(ϕ1+ϕ2) = eiϕ1 · eiϕ2 = (cosϕ1 + i sinϕ1) · (cosϕ2 + i sinϕ2)

= cosϕ1 cosϕ2 + i cosϕ1 sinϕ2 + i cosϕ2 sinϕ1 − sinϕ1 sinϕ2

= cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 + i(cosϕ1 sinϕ2 + cosϕ2 sinϕ1). (5.93)

Der Vergleich der Real- und Imaginarteile der beiden obigen Formeln liefert:

cos(ϕ1 + ϕ2) = cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2, (5.94)

sin(ϕ1 + ϕ2) = cosϕ1 sinϕ2 + cosϕ2 sinϕ1. (5.95)

Diese beiden Formeln sind die Additionstheoreme fur die Sinus- und die Kosinusfunktion. WeitereBeziehungen kann man durch analoge Berechnungen fur Vielfache des Winkels ϕ ableiten.

5.3.5 Komplexe Zahlen als Exponenten

Bisher haben wir nur die rein imaginare Zahl iϕ als Argument der Exponentialfunktion betrachtet.Fur ein komplexes Argument w = x+ iy erhalt man

z = ew = e(x+iy) = exeiy. (5.96)

Der Vergleich mit

z = reiϕ (5.97)

zeigt, dass der Realteil x den Betrag |ew| = ex der komplexen Zahl z = ew bestimmt und derImaginarteil y den Phasenwinkel ϕ = y.


5.4 Potenzieren und komplexe Wurzeln

In der kartesischen Darstellung konnen wir Potenzen von komplexen Zahlen einfach durch Aus-multiplizieren berechnen:

z2 = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy + (iy)2 = x2 − y2 + 2ixy, (5.98)

z3 = (x+ iy)3 = x3 + 3ix2y + 3x(iy)2 + (iy)3 = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3). (5.99)

Im Allgemeinen brauchen wir binomische Formeln (oder das Pascalsche Dreieck), um die Koeffizi-enten zu bestimmen.

Das Pascalsche Dreieck

1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5...

...

(5.100)

In der polaren Darstellung ist das Potenzieren einfacher:

zn =(|z|eiϕ

)n= |z|neinϕ, (5.101)

oder, in trigonometrischer Schreibweise,

zn = [|z|(cosϕ+ i sinϕ)]n = |z|n[cos(nϕ) + i sin(nϕ)]. (5.102)

Zur Herleitung der letzten Gleichung haben wir die Tatsache benutzt, dass

(eiϕ)n

= einϕ, (5.103)

woraus

(cosϕ+ i sinϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) (5.104)

folgt. Dieses Ergebnis nennt man die Formel von Moivre. Die n-te Potenz einer komplexen Zahlkann man also bestimmen, indem man den n-fachen Phasenwinkel ϕ nimmt und den Betrag z, dereine reelle Zahl ist, zur n-ten Potenz nimmt.

Auch die Umkehrung der Potenz, die komplexe Wurzel, lasst sich in der polaren Darstellungleicht bestimmen:

n√z = z

1n =

(|z|eiϕ

) 1n = |z| 1

n eiϕn = n

√

|z|e iϕn . (5.105)

In der trigonometrischen Darstellung haben wir also:

n√

|z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z| 1n

[

cosϕ

n+ i sin

ϕ

n

]

. (5.106)

Wenn wir jedoch berucksichtigen, dass eine komplexe Zahl im Phasenwinkel ϕ mit einer Periode 2πperiodisch ist, kann man zusatzliche Wurzeln n

√z konstruieren. Da die trigonometrischen Funktio-

nen sinϕ und cosϕ periodisch mit Periode 2π sind, ist dies leicht einzusehen. Zum Phasenwinkel


Abbildung 5.8: Wenn wir den zu z gehorigen Vektor um 2π (oder ein Vielfaches davon) drehen,kehrt der Vektor zu seinem Ausgangspunkt zuruck.

ϕ einer komplexen Zahl z = |z|eiϕ konnen wir deswegen ganzzahlige Vielfache von 2π addieren,ohne die Zahl zu verandern

z = |z|eiϕ = |z|ei(ϕ+k2π) k = 0,±1,±2, . . . (5.107)

Anschaulich heißt das, dass wir zum Ausgangspunkt zuruckkehren, wenn wir den zugehorigenOrtsvektor um eine (oder mehrere) ganze Umdrehung(en) weiter drehen (siehe Abb. 5.8). Dasheißt aber auch, dass

n√z = n

√

|z|eiϕ = n

√

|z|ei(ϕ+k2π) = |z| 1n ei

(ϕ+k2π)n . (5.108)

Daraus folgt, dass fur alle k = 0,±1,±2, . . . die Zahl

|z| 1n ei

(ϕ+k2π)n = |z| 1

n eiϕn

+ i2πkn (5.109)

eine n-te Wurzel von z ist. Wie viele verschiedene gibt es nun von diesen Zahlen? Fur k = 0erhalten wir die Wurzel

z0 = |z| 1n e

iϕn (5.110)

und fur k = 1 die Wurzel

z1 = |z| 1n e

iϕn

+ i2πn . (5.111)

Das heißt, der Phasenwinkel von z1 ist um 2πn großer als der von z0:

ϕ1 = ϕ0 +2π

n. (5.112)

Wir erhalten also z1 aus z0, indem wir den zugehorigen Vektor in der Gaußschen Zahlenebene umein n-tel von 2π weiter drehen. Die nachste Losung

z2 = |z| 1n e

iϕn

+ i2·2πn (5.113)

hat einen Phasenwinkel, der um 2π/n großer ist als der von z1. Auf ahnliche Weise erhalten wirz3 aus z2. Nachdem wir den Zeiger n-mal um 2π/n weiter gedreht haben, sind wir wieder bei derursprunglichen Wurzel z0 angelangt. Es gibt also insgesamt n n-te Wurzeln einer komplexen Zahlz:

zk = |z| 1n ei(

ϕn

+k 2πn

) k = 0, . . . , n− 1. (5.114)


Abbildung 5.9: Die n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z liegen auf einem Kreis mit Radius |z| 1n

in der Gaußschen Zahlenebene und bilden ein regelmaßiges n-Eck.

Anschaulich liegen diese n-ten Wurzeln in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Kreis mit Radius|z| 1

n und bilden ein regelmaßiges n-Eck (siehe Abb. 5.9).

Beispiel:

Wir wollen die Wurzel

6√

3 − 8i (5.115)

berechnen. Dazu drucken wir die Zahl z = 3 − 8i zunachst in Polarform aus. Da

|z| =√

32 + 82 =√

73 und ϕ = arctan

(

−8

3

)

= −1.21, (5.116)

haben wir

z =√

73e−i1.21. (5.117)

Die komplexen 6-ten Wurzeln von 3 − 8i sind somit die 6 Zahlen

zk = 73112 ei(−1.21+ 2π

6 k) mit k = 0, 1, . . . , 5. (5.118)

Diese Zahlen bilden ein Sechseck mit Kantenlange 73112 in der Gaußschen Zahlenebene.

Beispiel:

Zu berechnen sind die dritten Wurzeln von 1:

3√

1. (5.119)

Im Allgemeinen sind die n n-ten Wurzeln der Zahl 1 gegeben durch:

zk = 1eik2π/n, (5.120)


wobei k von 0 bis n− 1 lauft. Die drei dritten Wurzeln von 1 sind daher:

z0 = 1, (5.121)

z1 = ei2π/3 = −1

2+

√3

2i, (5.122)

z2 = ei4π/3 = −1

2−

√3

2i. (5.123)

5.5 Darstellung von Kurven mit komplexen Zahlen

Kurven in der Gaußschen Zahlenebene konnen durch Gleichungen der Form

f(z) = 0 (5.124)

dargestellt werden. Dabei ist z = x + iy eine komplexe Zahl und f(z) eine Funktion dieser Zahl.Beispielsweise ist |z| = 1 die Gleichung fur einen Kreise mit Radius 1 und Mittelpunkt im Null-punkt. Die Gleichung |z− 1| = 1 stellt einen Kreis mit Radius 1 dar, dessen Mittelpunkt bei x = 1auf der reellen Achse liegt.

Ein komplizierteres Beispiel ist die Gleichung fur eine Hyperbel in der komplexen Ebene:

||z + 1| − |z − 1|| = 1 (5.125)

Hier ist |z − 1| der Abstand des Punktes (1, 0) von z und |z + 1| ist der Abstand des Punktes(−1, 0) von z. Die Gleichung (5.125) wird also von allen Punkten erfullt, fur die die Differenz derEntfernung von den Punkten (1, 0) und (−1, 0) konstant gleich 1 ist. Diese Forderung definiert eineHyperbel.

Abbildung 5.10: Durch Verknupfung der Abstande |z + 1| und |z − 1| lasst sich eine Hyperbeldefinieren.

Analytisch folgt dies aus folgender Berechnung: Fur z = x + iy ist z − 1 = (x − 1) + iy undz + 1 = (x+ 1) + iy. Somit haben wir

|z + 1| =√

(x+ 1)2 + y2 und |z − 1| =√

(x− 1)2 + y2 (5.126)

und folglich√

(x+ 1)2 + y2 −√

(x − 1)2 + y2 = ±1. (5.127)

Umformen und anschließendes Quadrieren liefert(√

(x+ 1)2 + y2)2

=(

±1 +√

(x − 1)2 + y2)2

(5.128)

x2 + 2x+ 1 + y

2 = 1 ± 2√

(x− 1)2 + y2 + (x2 − 2x+ 1) + y

2 (5.129)


4x− 1 = ±2√

(x− 1)2 + y2 (5.130)

16x2 − 8x+ 1 = 4((x2 − 2x+ 1) + y2) (5.131)

16x2−8x+ 1 = 4x2−8x+ 4 + 4y2 (5.132)

12x2 − 4y2 = 3 (5.133)

4y2 = 12x2 − 3 (5.134)

y2 = 3x2 − 3

4(5.135)

y = ±√

3x2 − 3

4. (5.136)

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, die sich asymptotisch zwei Geraden durch den Ursprung mitSteigungen

√3 und −

√3 annahert (siehe Abb. 5.11).

Abbildung 5.11: Die Hyperbel y = ±√

3x2 − 34 .

Beispiel:

Ein weiteres Beispiel einer mit Hilfe von komplexen Zahlen darstellbare Kurve ist die Ellipse

|z − 1| + |z + 1| = 4. (5.137)

Kapitel 6

Fehlerrechnung

6.1 Systematische und statistische Fehler

Im Experiment gemessene (oder in einer Computersimulation ermittelte) physikalische Großensind immer mit einem gewissen Fehler behaftet. (Um den negativen Beigeschmack des WortesFehler zu vermeiden, sprechen wir auch oft von einer Abweichung oder einer Messabweichung.)Zur Beurteilung von Messwerten ist es sehr wichtig zu wissen, wie groß diese Fehler sind. DieAbschatzung von Fehlern ist Aufgabe der Fehlerrechnung.

Streng genommen ist die Angabe eines Messwertes ohne Angabe eines Messfehlers sinnlos. Gra-phisch stellen wir Fehler mit Hilfe von Fehlerbalken dar (siehe Abb. 6.1).

Abbildung 6.1: Graphisch stellen wir Fehler mit Hilfe so genannter Fehlerbalken dar. Die Hohedes Fehlerbalkens entspricht der erwarteten Große des Fehlers. In diesem Beispiel wurde fur ver-schiedene Werte von x die Große y experimentell bestimmt. Somit ist y fehlerbehaftet. Aus denMessdaten konnen wir in diesem Beispiel lediglich schließen, dass die wahren Werte von y mitgroßer Wahrscheinlichkeit irgendwo innerhalb der Fehlerbalken liegen.

Ublicherweise geben wir Messwerte in der folgenden Form an:

A± ε. (6.1)

Hier ist A die im Experiment (oder in der Simulation) ermittelte Messgroße und ε ist der zugehorigeMessfehler. Die Schreibweise ±ε deutet an, dass die Abweichung ε sowohl positiv als auch negativsein kann. Zum Beispiel bedeutet

v = (600 ± 30) m/s, (6.2)

dass die gemessene Geschwindigkeit von 600 m/s mit einem wahrscheinlichen Fehler von etwa30 m/s behaftet ist. Das heißt, der wahre Wert der Geschwindigkeit v liegt wahrscheinlich im

141

142 6 Fehlerrechnung

Intervall zwischen 570 m/s und 630 m/s. Was in diesem Zusammenhang “wahrscheinlich” heißt,werden wir spater genauer definieren. Ubrigens sind Angaben wie

v = (600.125± 30)m/s (6.3)

nicht sehr sinnvoll, da der Messwert 600.125 mit einer viel hoheren Genauigkeit angegeben wird,als in Anbetracht des Fehlers von ± 30 m/s moglich ist. Ublicherweise sollte die letzte signifikanteStelle in der Angabe des Messwerts von der Großenordnung des Messfehlers sein.

Fehler mussen auch berucksichtigt werden, wenn wir unterscheiden wollen, ob zwei Großen gleich

sind oder sich unterscheiden. Sind z.B. 71.5 ± 0.5 und 71.9 ± 0.3 gleich oder verschieden? Dadie Fehlerbereiche der beiden Messwerte uberlappen, sind die beiden Werte nicht voneinander zuunterscheiden. Dasselbe gilt fur 60±8 und 52±7 . Hingegen sind 2.3751±0.0003 und 2.3758±0.0001eindeutig voneinander verschieden.

Fehler in den Messwerten konnen im Wesentlichen zwei Ursachen haben, die eine unterschiedlicheBehandlung erfordern. Man unterscheidet zwischen systematischen und statistischen Fehlern.

Systematische Fehler sind Abweichungen, die durch Fehler in den Messinstrumenten oder imMessverfahren selbst entstehen, z. B. durch falsche Kalibrierung der Apparatur oder durch Ande-rung der Messbedingungen wahrend der Messung. Solche Fehler beeinflussen die Messgroße meistin einer bestimmten Richtung. In Computersimulationen entstehen systematische Fehler oft durchdie Anwendung von Naherungen in den zugrunde liegenden theoretischen Ausdrucken oder durchVerwendung zu kleiner Systemgroßen. Das Erkennen und Minimieren von systematischen Fehlernist ein essentieller Bestandteil eines jeden Experiments.

Statistische Fehler (oder zufallige Fehler) haben ihre Ursache in verschiedenen Storeinflussenwahrend der Messung, die nur schwer beeinflusst werden konnen. Auch wenn systematische Fehlerim Experiment weitgehend eliminiert worden sind, wird die mehrmalige Messung einer bestimm-ten Große nicht immer dasselbe Ergebnis liefern. Diese Abweichungen, die wir statistische Fehlernennen, verandern den Messwert sowohl in negativer als auch in positiver Richtung.

Anschaulich konnen wir uns den Unterschied zwischen systematischen und statistischen Fehlernanhand folgender Beispiele klarmachen (siehe Abb. 6.2). Wir stellen uns vor, dass wir in einerSchießubung mehrmals auf eine Zielscheibe schießen. Dabei kann es zu folgenden Ergebnissenkommen:

(a) Die Einschusse liegen eng beisammen, d.h. der statistische Fehler ist klein. Die Punkte liegenauch alle in der Nahe des Zentrums. Somit ist auch der systematische Fehler klein.

(b) Hier liegen die Punkte eng beisammen, was bedeutet, dass der statistische Fehler klein ist.Der systematische Fehler ist groß, da die Punkte weit weg vom Zentrum liegen.

(c) Der systematische Fehler ist klein, der statistische Fehler ist groß.

(d) Beide Fehler sind groß.

Im Folgenden wollen wir uns nun hauptsachlich mit statistischen Fehlern beschaftigen. Syste-matische Fehler, die schwieriger zu erkennen sind, werden wir nur im Zusammenhang mit derFehlerfortpflanzung besprechen.

Aufgaben der Fehlerrechnung:

• Wir wollen von den Messergebnissen auf den wahren Wert der gemessenen Große schließen.

• Wir wollen die Zuverlassigkeit der Messung abschatzen.


Abbildung 6.2: (a) statistischer Fehler klein, systematischer Fehler klein; (b) statistischer Fehlerklein, systematischer Fehler groß; (c) statistischer Fehler groß, systematischer Fehler klein; (d)statistischer Fehler groß, systematischer Fehler groß.

6.2 Mittelwert und Varianz

Stellen wir uns vor, dass wir die Fallbeschleunigung aus einem Fallexperiment ermitteln wollen.Dazu wird die Fallzeit t einer Kugel mit einer Stoppuhr fur eine gewisse Fallstrecke h bestimmt.Aus h = 1

2gt2 konnen wir dann die Fallbeschleunigung g = 2h

t2 bestimmen.

Abbildung 6.3: In einem Fallexperiment messen wir die Zeit t, die ein im Schwerefeld fallenderKorper benotigt, um die Strecke h zuruckzulegen.

Um die Zuverlassigkeit der Messung zu verbessern, wiederholen wir die Messung N mal in Formeiner Messreihe. Die erhaltenen Messwerte xi nennen wir eine Stichprobe aus der Menge allermoglichen Messungen. Da jede Messung fehlerbehaftet ist, unterscheiden sich die N Messungeneiner Stichprobe. Als beste Schatzung des unbekannten “wahren” Wertes betrachten wir den arith-


metischen Mittelwert der N Messwerte xi:

x =1

N

N∑

i=1

xi Stichprobe = x1, . . . , xN. (6.4)

Dieser Definition liegt der Gedanke zugrunde, dass statistische Abweichungen nach oben und un-

ten gleich wahrscheinlich sind und sich im Mittel deshalb ausgleichen. Je großer unsere Stichprobeist, umso genauer konnen wir durch den Mittelwert x den wahren Wert der Messgroße abschatzen.Wir werden dies spater quantitativ untersuchen.

Abbildung 6.4: (a) Kleine Streuung der Daten um den Mittelwert; (b) große Streuung der Datenum den Mittelwert.

Zusatzlich zum Mittelwert ist es auch nutzlich zu wissen, wie stark im Durchschnitt die Messwertevom Mittelwert abweichen. Wir konnten nun versuchen, die mittlere Abweichung der Messwertevom Mittelwert zu berechnen:

1

N

N∑

i=1

(xi − x) =1

N

(N∑

i=1

xi

)

− 1

N

(N∑

i=1

x

)

=1

N

(N∑

i=1

xi

)

︸︷︷︸

=x

− N

Nx

︸︷︷︸

=x

= 0. (6.5)

Dieser Mittelwert verschwindet jedoch, weil sich die positiven und negativen Abweichungen vomMittelwert genau kompensieren.

Ein besseres Maß fur die statistische Streuung der Messwerte ist die Varianz s2, bei der statt derAbweichungen die Abweichungsquadrate summiert werden:

s2 =1

N

N∑

i=1

(xi − x)2.

︸︷︷︸

Summe der Abweichungsquadrate

(6.6)

Hier ist der Beitrag jedes Messwertes zur Varianz wegen des Quadrats positiv und es kommt zukeiner Kompensation der positiven und negativen Abweichungen. Die Varianz s2 ist das mittlereAbweichungsquadrat der Messwerte xi vom Mittelwert x.

Die Varianz hat die Dimension des Quadrats der Dimension der gemessenen Große. Um ein Ab-weichungsmaß mit der gleichen Dimension wie die Messgroße zu erhalten, ziehen wir die Wurzelaus der Varianz:

s =

√√√√ 1

N

N∑

i=1

(xi − x)2. (6.7)

Man nennt s die Standardabweichung.


Wir konnen uns jetzt die Frage stellen, ob wir nicht einen vom arithmetischen Mittelwert verschie-denen Bezugswert x wahlen konnen, sodass die fur diesen Wert definierte Varianz

s2 =1

N

N∑

i=1

(xi − x)2 (6.8)

kleiner wird als die bezuglich des arithmetischen Mittelwerts x.

Um diese Frage zu beantworten, minimieren wir s2 bezuglich x, indem wir s2 nach x ableiten unddie Ableitung gleich Null setzen:

d(s2)

dx=

1

N

∑

2(xi − x)(−1)!= 0. (6.9)

Daraus folgt

N∑

i=1

(xi − x) = 0 ⇒N∑

i=1

xi =N∑

i=1

x = Nx (6.10)

und somit

x =1

N

N∑

i=1

xi. (6.11)

Mit anderen Worten bedeutet dies, dass der arithmetische Mittelwert x einer Stichprobe ihreVarianz und somit auch ihre Standardabweichung minimiert.

6.3 Verteilungen und Histogramme

6.3.1 Grundlagen

Eine Stichprobe bestehend aus N Messwerten einer bestimmten Große kann als zufallige Aus-wahl aus der Menge aller moglichen Messwerte betrachtet werden. Diese Menge nennen wir dieGrundgesamtheit. Nun kann es sein, dass nicht alle moglichen Messwerte der Grundgesamtheitgleich haufig vorkommen. Kleine Abweichungen vom Mittelwert sind im Allgemeinen weitaus haufi-ger als große. Wir berucksichtigen diese Tatsache, indem wir die Grundgesamtheit statistisch mitHilfe von so genannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsdichten

beschreiben.

Abbildung 6.5: Zur Bestimmung der Haufigkeit unterschiedlicher Messfehler teilen wir das Intervall[a, b] in kleine Bereiche und zahlen, wie viele Messwerte in jedes Intervall fallen.

Dazu verfahren wir folgendermaßen. Stellen wir uns vor, dass wir eine Große x N mal messen unddadurch die Messwerte xi erhalten. Wir teilen nun die x-Achse, auf die wir die Messwerte auftragenkonnen, in M kleine Intervalle (oder Zellen) der Breite ∆x ein und nummerieren die Intervalle mitdem Index j (siehe Abb. 6.5). Wir nehmen weiters an, dass alle Messwerte xi im Bereich [a, b]liegen. (Diese Einschrankung kann leicht aufgehoben werden.) Das Intervall j wird von den Wertena+ (j − 1)∆x und a+ j∆x begrenzt, wobei a+M∆x = b.


Wir zahlen jetzt, wie viele der Messwerte in jedem der Intervalle liegen und bezeichnen die Zahl derMesswerte im Intervall j mit n(j). Da die Gesamtanzahl der MessungenN ist, muss die Summationvon n(j) uber alle Zellen

M∑

j=1

n(j) = N (6.12)

ergeben. Wenn wir n(j) graphisch darstellen, erhalten wir ein Histogramm (siehe Abb. 6.6).Messwerte aus einem Intervall mit großem n(j) kommen haufig vor, solche mit kleinem n(j) wenigerhaufig.

Abbildung 6.6: Ein Histogramm erhalt man, wenn man die Anzahl n(j) der im Intervall j gezahltenMesswerte graphisch darstellt.

Indem wir die Zahlen n(j) durch die Gesamtzahl N der Messwerte dividieren,

h(j) =n(j)

N, (6.13)

erhalten wir ein normiertes Histogramm mit den Eigenschaften

M∑

j=1

h(j) =

M∑

j=1

n(j)

N=N

N= 1. (6.14)

Die Zahl h(j) entspricht fur große N der Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert xi im Intervall j(also zwischen a+ (j − 1)∆x und a+ j∆x) liegt.

Im Grenzwert sehr kleiner Intervallgroßen ∆x konnen wir eine kontinuierliche Funktion f(x), die sogenannte Verteilungsdichte (oder Wahrscheinlichkeitsdichte), definieren, die in diesem Falldie Rolle des Histogramms ubernimmt. Dazu betrachten wir den Grenzubergang

f(x) = lim∆x→0

limN→∞

n(x)

N∆x, (6.15)

wobei n(x) die Anzahl der Messwerte im Intervall [x, x+ ∆x] ist. Hier wird durch den Grenzuber-gang ∆x → 0 das Verhaltnis n(x)/N immer kleiner (da das Intervall schrumpft). Da ∆x in derobigen Gleichung jedoch auch im Nenner auftritt, konvergiert n(x)/N∆x gegen einen endlichenWert. Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) hat die Dimension [1/x].

Nach dieser Definition ist

df = f(x)dx (6.16)


der infinitesimale Bruchteil der Messungen, die im infinitesimalen Intervall [x, x+dx] liegen. f(x)dxkann auch als die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall [x, x+dx] zu finden, interpretiertwerden. Aus der Normierung von h(j) = n(j)/N folgt, dass das Integral uber die Wahrscheinlich-keitsdichte gleich 1 ist:

b∫

a

f(x)dx = 1. (6.17)

Dies entspricht der Tatsache, dass ein Messwert irgendwo zwischen a und b liegen muss. Manbezeichnet die Wahrscheinlichkeitsdichte deshalb als normiert. Im Gegensatz zum Histogrammist die Wahrscheinlichkeitsdichte eine kontinuierliche Funktion.

Abbildung 6.7: Die Warscheinlichkeitsdichte f(x) ist eine kontinuierliche Funktion, die die infini-tesimale Wahrscheinlichkeit df = f(x)dx angibt, dass ein Messwert im infinitesimalen Intervall[x, x+ dx] liegt.

Naturlich besteht keine Notwendigkeit, uns auf ein endliches Intervall [a, b] zu beschranken undwir konnen ohne weiteres den gesamten Zahlenbereich von −∞ bis +∞ betrachten. (Falls dieWahrscheinlichkeitsdichte f(x) auf ein Intervall [a, b] beschrankt ist, kann sie auf die gesamteZahlengerade erweitert werden, indem man

f(x) = 0 fur x < a und x > b (6.18)

setzt.)

Abbildung 6.8: Die Wahrscheinlichkeit P (x1 ≤ x ≤ x2) dafur, einen Messwert im Intervall [x1, x2]zu finden, ist gleich der Flache unter der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) zwischen x1 und x2 (schraf-fierter Bereich).

Aus der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) konnen wir die Wahrscheinlichkeit P (x1 ≤ x ≤ x2) be-


rechnen, dass sich ein Messwert zwischen zwei beliebigen Grenzen x1 und x2 befindet:

P (x1 ≤ x ≤ x2) =

x2∫

x1

f(x)dx. (6.19)

Wenn wir in diesem Ausdruck x1 = −∞ als untere Schranke wahlen, erhalten wir die so genannteWahrscheinlichkeitsverteilung (oder Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Verteilungsfunk-

tion oder Verteilung):

F (x) =

x∫

−∞

f(u)du. (6.20)

F (x) ist die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zu finden, der kleiner oder gleich x ist.

Beispiel:

Die Maxwellsche Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte der Geschwindigkeitskom-ponenten eines einzelnen Teilchens in einem klassischen Vielteilchensystem mit Temperatur T . Furdie x-Komponente vx der Geschwindigkeit lautet sie

f(vx) =

√m

2πkBTe−

12βmv

2x β = 1/kBT. (6.21)

Die Geschwindigkeitskomponenten in y- und in z-Richtung haben identische Wahrscheinlichkeits-dichten. Hier ist kB die nach dem osterreichischen Physiker Ludwig Boltzmann (1844-1906) be-nannte Boltzmannkonstante und β = 1/kBT . Diese Wahrscheinlichkeitsdichte ist normiert, dasheißt

∫

f(vx)dvx = 1. (6.22)

Allgemeine Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und der Wahrscheinlichkeitsvertei-lung F (x) sind:

1. f(x) ≥ 0.

2. f(x) ist normiert, das heißt:

∞∫

−∞

f(x)dx = 1. (6.23)

3. F (x) ist monoton wachsend und eine Stammfunktion von f(x) (siehe Abb. 6.9):

F ′(x) = f(x). (6.24)

4. F (−∞) = 0 und F (∞) = 1.

5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable x einen Wert im Intervall zwischen a und b an-nimmt, ist:

P (a ≤ x ≤ b) = F (b) − F (a) =

b∫

a

f(x)dx. (6.25)

(Genau genommen ist F (x) so definiert, dass der Wert a ausgeschlossen und der Wert beingeschlossen ist. Fur stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen macht dies jedoch keinen Un-terschied.)


Abbildung 6.9: Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) ist die erste Ableitung der Wahrscheinlichkeits-verteilung F (x).

6.3.2 Momente einer Verteilung, Erwartungswert

Mittelwert

Der Begriff des Mittelwerts und der Varianz lassen sich auch auf kontinuierliche Verteilungsdichtenf(x) ubertragen. Betrachten wir eine Grundgesamtheit, die durch die Verteilung f(x) beschriebenwird. Wir fuhren zunachst N mal eine Messung aus und erhalten die Messwerte xi. Der Mittelwertdieser Messwerte ist

x =1

N

N∑

i=1

xi. (6.26)

Wir teilen die x-Achse nun wieder in M kleine Intervalle der Breite ∆x ein und nummerieren dieseZellen mit dem Index j. Wir zahlen die Messwerte in jedem Intervall und bezeichnen diese Zahlmit n(j). Außerdem bezeichnen wir den Mittelpunkt jeder Zelle mit x(j).

Abbildung 6.10: Bei der Berechnung von Mittelwerten aus einem Histogramm nahern wir jedenx-Wert im Intervall j durch x(j) an.

Wenn ∆x klein ist, konnen wir jeden Messwert im Intervall j durch den Wert x(j) annahern. Mitdieser Naherung konnen wir die Summe in Gleichung (6.26) uber alle Messwerte in eine Summeuber alle M Intervalle (Zellen) umschreiben:

x =1

N

N∑

i=1

xi ≈1

N

M∑

j=1

n(j)x(j). (6.27)


Die zweite Summe geht aus der ersten Summe einfach durch Zusammenfassen der Messwerte inder jeweils gleichen Zelle hervor. Durch Multiplikation mit ∆x und gleichzeitiger Division durch∆x erhalten wir

x ≈M∑

j=1

n(j)x(j)

N∆x∆x. (6.28)

Fuhren wir die Grenzwerte ∆x→ 0 und N → ∞ aus, verwandelt sich diese Summe in ein Integral:

x =

∞∫

−∞

xf(x)dx, (6.29)

wobei wir die Definition (6.15) benutzt und den Wertebereich auf −∞ und ∞ ausgedehnt haben.Fur den Mittelwert einer Verteilungsdichte verwenden wir oft den Buchstaben µ, um ihn vomMittelwert x einer Stichprobe zu unterscheiden. µ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit. (ImAllgemeinen verwenden wir griechische Buchstaben fur Eigenschaften der Grundgesamtheit undlateinische Buchstaben fur Eigenschaften von Stichproben.)

Erwartungswert

Der Mittelwert µ wird auch oft Erwartungswert E(x) von x genannt:

E(x) =

∞∫

−∞

xf(x)dx = µ. (6.30)

Im Allgemeinen ist der Erwartungswert einer Große g(x), die eine Funktion der Variablen x mitVerteilungsdichte f(x) ist, gegeben durch:

E[g(x)] =

∞∫

−∞

g(x)f(x)dx. (6.31)

Den Erwartungswert bezeichnen wir oft auch mit spitzen Klammern:

E[g(x)] = 〈g(x)〉. (6.32)

Aus der Definition des Erwartungswertes folgt, dass der Erwartungswert einer Summe gleich derSumme der Erwartungswerte ist:

E[g(x) + h(x)] = E[g(x)] + E[h(x)]. (6.33)

Ferner kann eine reelle Zahl α vor den Erwartungswert gezogen werden:

E[αg(x)] = αE[g(x)]. (6.34)

Varianz

Analog zum Mittelwert µ konnen wir fur die Verteilungsdichte f(x) auch eine Varianz definieren:

σ2 =

∞∫

−∞

(x − µ)2f(x)dx. (6.35)

Wir verwenden oft auch die Schreibweise:

Var(x) = σ2. (6.36)


Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte x vom Mittelwert µ. In anderenWorten, die Varianz ist der Erwartungswert von (x − µ)2, also σ2 = E[(x − µ)2]. Die Wurzel ausder Varianz ist die Standardabweichung σ.

Durch Ausmultiplizieren des Quadrats im Integranden und Verwendung obiger Rechenregeln er-halten wir aus Gleichung (6.35) den Ausdruck

σ2 = E[(x− µ)2] =

= E(x2)− 2E(xµ) + µ2

= E(x2)− 2µE(x)

︸︷︷︸

=µ

+µ2

= E(x2)− µ2 = E

(x2)− (E(x))2 = 〈x2〉 − 〈x〉2. (6.37)

Momente

Der hier auftretende Erwartungswert E(x2) wird das 2. Moment der Verteilungsdichte f(x)genannt. Der Mittelwert E(x) ist das 1. Moment von f(x). Im Allgemeinen ist das n-te Moment

einer Verteilung f(x) definiert als:

E (xn) = 〈xn〉 =

∞∫

−∞

xnf(x)dx. (6.38)

6.3.3 x und s2 als Schatzer fur µ und σ

2

Die Kenngroßen µ und σ2 der Grundgesamtheit sind meist unbekannt und konnen nur aufgrundder Stichprobendaten geschatzt werden. So konnen wir etwa x als einen Schatzer fur µ verwenden.Das ist unter anderem dadurch gerechtfertigt, dass der Erwartungswert von x gleich µ ist

E(x) = E

[

1

N

∑

i

xi

]

=1

N

∑

i

E(xi) =Nµ

N= µ. (6.39)

Etwas anders verhalt es sich mit der Varianz s2, die wir als Schatzer fur σ2 verwenden konnten.Der Erwartungswert der Varianz ist

E(s2)

= E

[

1

N

∑

i

(xi − x)2

]

=1

N

∑

i

E[(xi − x)2

]

=1

N

∑

i

E(x2i − 2xix+ x2

)

=1

N

∑

i

E(x2i

)− 2

∑

i

E(xix) +∑

i

E(x2)

=1

N

NE

(x2)− 2

∑

i

E

xi1

N

∑

j

xj

+∑

i

E

(

1

N

∑

k

xk ·1

N

∑

l

xl

)

=1

N

NE

(x2)− 2

N

∑

i,j

E (xixj) +1

N2

∑

i

∑

k,l

E (xkxl)

. (6.40)

Der Erwartungswert E(xixj) des Produkts xixj hangt davon ab, ob die beiden Indizes i und jgleich sind. Fur i = j gilt

E(xixj) = E(x2i ) = E(x2). (6.41)


Fur i 6= j konnen wir im Falle statistisch unabhangiger xi schreiben

E(xixj) = E (xi)E (xj) = E(x)2. (6.42)

(Zur Definition des Erwartungswertes E(xixj) ist es notwendig, Wahrscheinlichkeitsdichten zubetrachten, die von zwei Variablen abhangen. Dazu verweisen wir die Leser an die einschlagigeLiteratur). Durch Verwendung dieser Ausdrucke konnen wir vereinfachen:

E(s2)

=1

N

NE

(x2)− 2

N

∑

i

E(x2i

)+∑

i6=jE (xi)E (xj)

+1

N2

∑

i

∑

k

E(x2k

)+∑

k 6=lE (xk)E (xl)

=1

N

NE(x2)− 2

N

(NE

(x2)

+N(N − 1)µ2)

+1

N

(NE

(x2)

+N(N − 1)µ2)

=1

N

(N − 1)E

(x2)− (N − 1)µ2

=N − 1

N

E(x2)− µ2

=N − 1

Nσ2

(6.43)

und somit erhalten wir

σ2 =N

N − 1E(s2). (6.44)

(Das selbe Ergebnis erhalt man auch, wenn man den Erwartungswert E[(as2 − σ2)] betrachtetund jene Konstante a bestimmt, fur die dieser Erwartungswert minimal ist.) Das heißt, der Er-wartungswert des Schatzers ist um einen Faktor N−1

N kleiner als die Varianz der Grundgesamtheit.Fur große N ist das irrelevant. Damit der Erwartungswert der Stichprobenvarianz gleich σ2 ist,definiert man die Varianz oft als

s2 =1

N − 1

N∑

i=1

(xi − x)2. (6.45)

6.3.4 Fehler des Mittelwerts

Wie wir oben besprochen haben, betrachten wir den Mittelwert x einer Stichprobe von Messungenals Schatzwert fur den “wahren” Mittelwert µ, den Mittelwert der zur Grundgesamtheit gehorendenVerteilungsdichte f(x). Da die Stichprobe jedoch nur endlich viele Werte beinhaltet, machen wirbei so einer Schatzung immer einen gewissen Fehler. Wir wollen nun diesen Fehler abschatzen.

Abbildung 6.11: Da jede Stichprobe aus N unterschiedlichen Werten besteht, unterscheiden sichdie zugehorigen Mittelwerte xk.

Zu diesem Zwecke betrachten wir mehrere Stichproben von jeweils gleicher Große N (das heißt,jede Stichprobe besteht aus N Messwerten) (siehe Abb. 6.11). Jede dieser Stichproben liefert


einen unterschiedlichen Mittelwert xk. Fur L Stichproben erhalten wir L verschiedene Mittelwertexk. Die durchschnittliche quadratische Abweichung dieser Mittelwerte von µ, dem Mittelwert derGrundgesamtheit, ist:

1

L

L∑

k=1

(xk − µ)2. (6.46)

Fur sehr große L wird dieser Ausdruck zu

σ2x = E

[(x− µ)2

]. (6.47)

Dies ist die Varianz der aus den Stichproben der Große N ermittelten Mittelwerte x. Die Varianzbeschreibt die Streuung der Mittelwerte, die man aus einer Vielzahl verschiedener Stichprobenerhalt.

Einige algebraische Umformungen liefern:

σ2x = E

((x− µ)2

)= E

(x2)− 2E(xµ) + E

(µ2)

= E

∑

i,j

1

N2xixj

− 2µE(x)︸︷︷︸

=µ

+µ2

=1

N2

∑

i,j

E (xixj) − µ2 =1

N2

∑

i

E(x2i

)+∑

i6=jE(xi)E(xj)

− µ2

=1

N2

[NE

(x2)

+N(N − 1)µ2]− µ2

=1

N

[E(x2)− µ2

]. (6.48)

Wegen E(x2)− µ2 = σ2 erhalten wir also

σ2x =

1

Nσ2 (6.49)

oder

σx =σ√N, (6.50)

wobei σ die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist.

Das heißt, dass die Standardabweichung des Mittelwerts umso kleiner ist, je großer die Stichprobeist. Durch Erhohung der Anzahl N der unabhangigen Messungen konnen wir die Genauigkeit derMessung steigern. Um den Fehler σx im Mittelwert zu halbieren, mussen wir gemaß Gleichung(6.50) den Umfang der Stichprobe vervierfachen.

6.3.5 Die Gaußsche Normalverteilung

In allen bisherigen Betrachtungen haben wir auf keine spezifische funktionale Form der Verteilungs-funktion Bezug genommen. Die genaue Gestalt der Verteilung hangt naturlich vom betrachtetenMessprozess ab. In vielen Fallen und unter recht allgemeinen Bedingungen folgen Messfehler jedochder Gaußschen Normalverteilung, benannt nach Carl Friedrich Gauß (1777-1855). Dies ist im-mer dann der Fall, wenn statistische Fehler durch die Uberlagerung sehr vieler kleiner unabhangiger“Storfaktoren” entstehen. Mathematisch kann dies mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes ge-zeigt werden, auf den hier aus Platzgrunden nicht weiter eingegangen werden kann. Die GaußscheNormalverteilung (auch Gaußsche Glockenkurve genannt) ist gegeben durch

f(x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 (6.51)


Abbildung 6.12: Die Gaußsche Normalverteilung.

und hat die Gestalt einer Glocke mit Maximum an der Stelle µ und einer Breite von 2σ (dieWendepunkte der Kurve liegen bei µ± σ) (siehe Abb. 6.12).

Der Mittelwert und die Varianz der Gaußschen Normalverteilung sind

∞∫

−∞

x√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx = µ (6.52)

und

∞∫

−∞

(x− µ)2√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx = σ2. (6.53)

Das heißt, die Gaußsche Normalverteilung ist durch Angabe des 1. und 2. Moments vollstandigbestimmt. Die Gaußsche Normalverteilung ist normiert,

∞∫

−∞

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx = 1 (6.54)

und ist um µ symmetrisch, das heißt

f(µ+ x) = f(µ− x). (6.55)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert im Bereich zwischen a und b liegt, ist durch das Integral

P (a ≤ x ≤ b) =

b∫

a

f(x)dx (6.56)

gegeben. Solche Wahrscheinlichkeiten kann man auch mit Hilfe der so genannten Errorfunktion

ausdrucken, die wie folgt definiert ist:

erf(x) =2√π

x∫

0

e−t2

dt. (6.57)

Mit dieser Definition konnen wir die Wahrscheinlichkeit P (a ≤ x ≤ b) ausdrucken als:

P (a ≤ x ≤ b) =1

2

erf

(b− µ√

2σ

)

− erf

(a− µ√

2σ

)

. (6.58)


Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert kleiner ist als a, ist gegeben durch:

P (x ≤ a) =1

2

1 + erf

(a− µ√

2σ

)

. (6.59)

Fur die Gaußsche Normalverteilung (siehe Abb. 6.13) sollten wir demnach

68 % aller Messwerte im Intervall (µ± σ),

95 % aller Messwerte im Intervall (µ± 2σ) und

99.7 % aller Messwerte im Intervall (µ± 3σ)

erwarten, das heißt, eine Abweichung vom Mittelwert von mehr als ±3σ ist statistisch nur etwaalle 300 Messungen zu erwarten.

Abbildung 6.13: Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall (µ ± σ) zu finden, ist 68%,im Intervall (µ± 2σ) ist sie 95% und im Intervall (µ± 3σ) 99.7%.

Ist die Variable x gaußverteilt, so ist es auch der Mittelwert x = 1N

∑Ni=1 xi. Sowohl die Verteilungen

von x selbst als auch die des Mittelwerts x haben einen Mittelwert von µ. Die Varianzen σ und σxder beiden Verteilungen unterscheiden sich jedoch und sind durch

σ2x =

σ2

N(6.60)

miteinander verknupft. Die Verteilung des Mittelwerts x ist also um den Faktor√N schmaler als

die Verteilung der Variablen x selbst.

Aus der Gaußverteilung ergibt sich, dass der “wahre” Mittelwert der Verteilung

mit einer Wahrscheinlichkeit von 68 % im Intervall x± σx,

mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall x± 2σx und

mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.07 % im Intervall x± 3σx liegt.

Diese Intervalle nennt man Konfidenzintervalle oder Vertrauensintervalle.

6.3.6 Verteilung diskreter Großen

Bis jetzt haben wir uns mit der Verteilung von kontinuierlichen Großen beschaftigt. Es kann aberin der Physik durchaus vorkommen, dass die Messgroße nur diskrete (endlich viele oder abzahlbarunendlich viele) Werte annehmen kann. Zum Beispiel kann die Anzahl der in einer gewissen Zeit


zerfallenden Kerne eines radioaktiven Materials nur eine ganze Zahl sein, also einen der Werte0,1,2,... usw. annehmen. Im Falle diskreter Große beschreiben wir die Verteilung der Messwer-te durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(xi), welche die Wahrscheinlichkeit ist, bei einerMessung der Große x den Wert xi zu beobachten. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(xi) mussnormiert sein:

∑

i

f(xi) = 1. (6.61)

(Das Integral fur die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichte haben wir hier also durch eineSumme ersetzt.)

Die zugehorige Verteilungsfunktion ist

F (x) =∑

x′≤xf(x′). (6.62)

Die Verteilungsfunktion F (x) ist die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zu beobachten, der kleineroder gleich x ist. Der Mittelwert und die Varianz einer diskreten Verteilung sind gegeben durch:

E(x) =∑

i

xif(xi), (6.63)

Var(x) =∑

i

f(xi)(xi − µ)2. (6.64)

Der Erwartungswert einer Funktion g(x) ist

E [g(x)] =∑

i

f(xi)g(xi). (6.65)

Auch fur diskrete Verteilung gilt σx = σ/√N fur die Standardabweichung des Mittelwerts.

Folgende Ausdrucke sind gebrauchlich:

diskret kontinuierlich

f(x) • Wahrscheinlichkeitsfunktion • Verteilungsdichte

• Dichtefunktion

• Wahrscheinlichkeitsdichte

F (x) • Verteilungsfunktion • Verteilungsfunktion

• Wahrscheinlichkeitssumme • Wahrscheinlichkeitsintegral

• Wahrscheinlichkeitsverteilung

6.3.7 Poissonverteilung

Die Anzahl von zufalligen und statistisch unabhangigen Ergebnissen, die in einem gewissen Zeit-intervall stattfinden, folgt der Poissonverteilung. Beispiele sind die in einem Krankenhaus proMonat geborenen Babies, die in einer radioaktiven Substanz pro Zeiteinheit zerfallenden Atom-kerne oder die Anzahl der Fehler pro Seite in diesem Skriptum. Die Poissonverteilung ist gegebendurch

f(x) =µxe−µ

x!(fur ganzzahliges x). (6.66)

Wir schreiben auch oft P (n) statt f(x), um anzudeuten, dass die Poissonverteilung nur fur ganz-zahlige Werte des Arguments definiert ist (siehe Abb. 6.14).


Abbildung 6.14: Die Poissonverteilung fur µ = 10.

Die Poissonverteilung ist normiert:

∞∑

n=0

P (n) =

∞∑

n=0

µne−µ

n!= e−µ

∞∑

n=0

µn

n!︸︷︷︸

eµ

= e−µeµ = 1 (6.67)

(Da n nur diskrete Werte annimmt, haben wir hier summiert statt integriert.)

Die Poissonverteilung ist durch einen einzigen Parameter µ vollstandig bestimmt. Der Parameterµ ist der Mittelwert E(n) der Verteilung:

E(n) =

∞∑

n=0

nP (n) =

∞∑

n=0

nµne−µ

n!. (6.68)

Da das erste Summenglied verschwindet, konnen wir schreiben:

E(n) =

∞∑

n=1

nµne−µ

n!= e−µ

∞∑

n=1

µn

(n− 1)!= µe−µ

∞∑

n=1

µn−1

(n− 1)!= µe−µ

∞∑

n=0

µn

n!︸︷︷︸

eµ

= µ. (6.69)

Der Mittelwert µ ist gleich der Anzahl der Ereignisse, die im Mittel in der betrachteten Zeitstattfinden.

Besonders interessant ist die Varianz der Poissonverteilung:

σ2 = E(n2) − E(n)2. (6.70)

Der Erwartungswert von n2 ist:

E(n2) =

∞∑

n=0

n2P (n) =

∞∑

n=0

n2µne−µ

n!= µe−µ

∞∑

n=1

nµn−1

(n− 1)!. (6.71)

Durch Umnummerierung der Summe erhalten wir:

E(n2) = µe−µ∞∑

n=0

(n+ 1)µn

n!= µe−µ

∞∑

n=0

nµn

n!︸︷︷︸

µeµ

+

∞∑

n=0

µn

n!︸︷︷︸

eµ

= µ2 + µ. (6.72)

Daraus folgt:σ2 = E(n2) − E(n)2 = µ2 + µ− µ2 = µ. (6.73)


Das heißt, fur die Poissonverteilung ist die Varianz gleich dem Mittelwert. Diese Formel ist sehrwichtig zur Abschatzung des Fehlers bei Messvorgangen, bei denen wir Ereignisse zahlen. Fur großeµ wird die Poissonverteilung zu einer Gaußverteilung.

Beispiel:

In einer gewissen Zeit zahlen wir 625 Zerfalle in einem radioaktiven Praparat. Der Fehler, den wirdurchschnittlich bei einer solchen Messung machen, ist

σ =√µ ≈

√625 = 25. (6.74)

Daher ist unser Messergebnis:

625 ± 25. (6.75)

6.4 Fehlerfortpflanzung

Oft konnen physikalische Großen nicht direkt gemessen werden. Man bestimmt dann diese Großen,indem man sie als Funktion von anderen Großen ausdruckt, welche messbar sind. So kann man zumBeispiel die Dichte einer Flussigkeit bestimmen, indem man fur eine gewisse Menge an Substanzsowohl das Volumen V als auch die Masse m misst. Die Dichte ρ ergibt sich dann aus

ρ =m

V. (6.76)

Da sowohl die Masse m als auch das Volumen V als experimentell ermittelte Großen fehlerbe-haftet sind, ist auch die daraus bestimmte Dichte ρ fehlerbehaftet. Man sagt, der Fehler in denunabhangigen Großen m und V pflanzt sich auf die abhangige Große ρ = m/V fort. Wir wollenjetzt den Fehler in der abhangigen Große aus den Fehlern der unabhangigen Großen bestimmen.

Im Allgemeinen betrachten wir eine Große u, die von den N Großen x1, x2, . . . , xN abhangt:

u = u(x1, x2, . . . , xN ). (6.77)

Wir nehmen an, dass x1 bis xN experimentell bestimmte Großen sind und dass deren Statistik durchdie Verteilungsdichten f1(x1), f2(x2), . . . , fN(xN ) beschrieben wird. Die zugehorigen Mittelwerteund Varianzen sind

µ1, µ2, . . . µN (6.78)

und

σ21 , σ

22 , . . . σ

2N . (6.79)

Fur jede Messgroße xi bestimmen wir nun fur eine Stichprobe aus M Messungen den Mittelwertxi. Die Standardabweichung dieser Mittelwerte ist gegeben durch (siehe Abschnitt 6.3.4):

σxi=

σi√M. (6.80)

Wir konnen nun die Große u fur die Mittelwerte xi bestimmen,

u ≡ (x1, x2, . . . , xN ), (6.81)

und nach dem Fehler in u fragen, der durch die Fehler σxider Mittelwerte entsteht. Um diese

Frage zu beantworten, konnen wir auf zwei verschiedene Weisen vorgehen: Wir konnen entwederden Maximalfehler in der abhangigen Große u abschatzen oder die statistischen Kennwerte

der Verteilung von u ermitteln.


6.4.1 Fortpflanzung von Maximalfehlern

Unter der Annahme, dass die Fehler ∆xi in den unabhangigen Großen klein sind, konnen wir dendadurch hervorgerufenen Fehler ∆u einfach durch Anwendung des Differentials abschatzen

∆u ≈N∑

i=1

(∂u

∂xi

)

∆xi. (6.82)

Das heißt, hier haben wir den Fehler durch das Differential angenahert, das wir in Kapitel 3kennengelernt haben. Das Differential von u gibt an, um wie viel sich u andert, wenn die Großenxi um jeweils ∆xi verandert werden. So wurde man etwa im Falle von systematischen Fehlernvorgehen.

Da wir pessimistisch veranlagt sind, wollen wir den “worst case” annehmen und den Betrag desgroßtmoglichen Fehlers bestimmen. Dazu nehmen wir an, dass alle Terme einen positiven Beitragzum Fehler in u liefern, das heißt, dass alle Fehler in die gleiche Richtung gehen und erhalten somit:

∣∣∆u

∣∣ ≈

N∑

i=1

∣∣∣∣

(∂u

∂xi

)

∆xi

∣∣∣∣. (6.83)

Wenn wir die Standardabweichungen σxials Maß fur die Fehler in xi benutzen, erhalten wir

∣∣∆u

∣∣ ≈

N∑

i=1

∣∣∣∣

∂u

∂xi

∣∣∣∣σxi

, (6.84)

wobei die partiellen Ableitungen an der Stelle (x1, x1, . . . , xN ) ausgewertet werden.

Beispiel:

Betrachten wir wieder die Bestimmung der Dichte ρ aus dem gemessenen Volumen V und dergemessenen Masse m. Wir nehmen an, dass wir sowohl das Volumen als auch die Masse in Mwiederholten Messungen bestimmt haben. Aus diesen Messreihen erhalten wir die Mittelwerte Vund m und die Varianzen s2V und s2m. Wir identifizieren diese Varianzen mit den Varianzen σ2

V

und σ2m der zugehorigen Grundgesamtheiten. Als Maß fur die Fehler in den Mittelwerten V und

m verwenden wir

σV =σV√M

(6.85)

und

σm =σm√M. (6.86)

Dann ist der Maximalfehler in der Dichte gegeben durch

|∆ρ| ≈∣∣∣∣

∂ρ

∂m

∣∣∣∣· σm +

∣∣∣∣

∂ρ

∂V

∣∣∣∣· σV

=1

Vσm +

m

V2σV

=1

Vσm +

ρ

VσV , (6.87)

wobei wir ρ ≡ m/V verwendet haben. Der relative Fehler |∆ρ|/ρ ist also gegeben durch:

|∆ρ|ρ

≈ σmm

+σVV. (6.88)


Der relative Fehler in ρ ist also die Summe der relativen Fehler in m und V .

Die Methode der Fortpflanzung der Maximalfehler kann den Fehler aber leicht uberschatzen. Rea-listischer ist es in vielen Fallen, die Wirkung der Fehler σxi

auf die statistischen Kennwerte derVerteilung von u zu betrachten.

6.4.2 Fortpflanzung statistischer Kennwerte

Wir betrachten zunachst den Fall, dass die Große u nur von einer Variablen x abhangt, die wirim Experiment direkt bestimmen konnen. Aus einer Messserie erhalten wir den Mittelwert x derGroße x und berechnen daraus die Große

u ≡ u(x). (6.89)

Da x als Mittelwert von fehlerbehafteten Großen selbst fehlerbehaftet ist (siehe Abschnitt 6.3.4),wird auch u mit einem Fehler behaftet sein. Um diesen Fehler zu bestimmen, berechnen wir dieVarianz von u:

Var(u) = σ2u = E

[

(u(x) − u(µ))2]

, (6.90)

wobei µ = E(x) = E(x) der Erwartungswert von x ist. Wir schreiben nun den Mittelwert x alsSumme des Erwartungswerts µ und einer kleinen Abweichung δx:

x = µ+ δx. (6.91)

Unter der Annahme, dass sich der Mittelwert x nur wenig vom Erwartungswert µ unterscheidet,dass δx also klein ist, konnen wir die Funktion u(x) in eine Taylorreihe um µ entwickeln (sieheKapitel 10) und nach dem linearen Glied abbrechen:

E[

(u(x) − u(µ))2]

= E[

(u(µ+ δx) − u(µ))2]

= E

[(

u(µ) +

(du

dx

)

δx− u(µ)

)2]

= E

[(du

dx

)2

(δx)2

]

=

(du

dx

)2

E[(δx)2

], (6.92)

wobei die Ableitung von u(x) an der Stelle x = µ bzw. als Naherung fur µ an der Stelle x ausgewer-tet wird. Da E

[(δx)2

]= σ2

x, erhalten wir schließlich das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz

fur den Fall einer Funktion u(x), die nur von einer einzelnen Variablen abhangt:

σ2u =

(du

dx

)2

σ2x. (6.93)

Als nachtes betrachten wir den Fall einer Funktion u(x, y), welche von zwei Variablen x und yabhangt. Wir fragen nun nach dem Fehler, den wir begehen, wenn wir

u ≡ u(x, y) (6.94)

aus den Mittelwerten x und y bestimmen. Dazu berechnen wir wieder die Varianz:

Var(u) = σ2u = E

[

(u(x, y) − u(µ, ν))2]

. (6.95)

Hier sind µ = E(x) = E(x) und ν = E(y) = E(y) die Erwartungswerte von x und y. Indem wir xund y jeweils als Summe des Erwartungswerts und einer kleinen Abweichung ausdrucken, konnenwir schreiben

σ2u = E

[

(u(µ+ δx, ν + δy) − u(µ, ν))2]

(6.96)


und erhalten mit einer nach den linearen Gliedern abgebrochenen Taylorreihe

σ2u = E

[(

u(µ, ν) +

(∂u

∂x

)

δx+

(∂u

∂y

)

δy − u(µ, ν)

)2]

= E

[((∂u

∂x

)

δx+

(∂u

∂y

)

δy

)2]

. (6.97)

Hier mussen die partiellen Ableitungen ∂u/∂x und ∂u/∂y an der Stelle (µ, ν) ≈ (x, y) ausgewertetwerden. Ausfuhrung des Quadrats ergibt:

σ2u =

(∂u

∂x

)2

E[(δx)2] + 2

(∂u

∂x

)(∂u

∂y

)

E[δxδy] +

(∂u

∂y

)2

E[(δy)2]. (6.98)

Fur unkorrelierte Messwerte x und y gilt E[δxδy] = E[δx]E[δy] = 0 und wir erhalten schließlichdas Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz fur den Fall von zwei Variablen:

σ2u =

(∂u

∂x

)2

σ2x +

(∂u

∂y

)2

σ2y, (6.99)

wobei wir benutzt haben, dass σ2x = E[(δx)

2] und σ2

y = E[(δy)2].

Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz fur den allgemeinen Fall einer Funktion von N Variablen,u = u(x1, x2, . . . , xN ), lasst sich auf analoge Weise herleiten. Man erhalt als Ergebnis:

σ2u =

N∑

i=1

(∂u

∂xi

)2

σ2xi, (6.100)

wobei σ2xi

die Varianzen der zugehorigen Mittelwerte x1, x2, . . . , xN sind. Die Standardabweichungσu kann als Maß fur den zu erwartenden Fehler in der abhangigen Große u aufgefasst werden.

Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt, falls

• die Varianzen σxider Mittelwerte xi klein sind und

• die Mittelwerte xi voneinander statistisch unabhangig sind.

Beispiel:

Mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung konnen wir die Standardabweichung der Dichte ρ = mV aus

der Standardabweichung von m und V bestimmen:

σ2ρ =

(∂ρ

∂m

)2

σ2m +

(∂ρ

∂V

)2

σ2V

=

(1

V

)2

σ2m +

(

− m

V2

)2

σ2V. (6.101)

Fur den relativen Fehler erhalten wir:

σ2ρ

ρ2 =σ2m

m2 +σ2V

V2 (6.102)

oder

σρρ

=

√(σmm

)2

+

(σVV

)2

. (6.103)


Abbildung 6.15: Der durch Gaußsche Fortpflanzung berechnete Relativfehler σρ/ρ = (σ2m/m

2 +

σ2V/V

2)1/2 ist kleiner als der Relativfehler |∆ρ|

ρ = σm/m + σV /V , den man durch Fortpflanzungder Maximalfehler erhalt.

Statt wie bei der Abschatzung des Maximalfehlers die relativen Fehler einfach zu addieren, addierenwir die Quadrate der relativen Fehler und ziehen daraus die Wurzel. Durch die Anwendung derGaußschen Fehlerfortpflanzung erhalten wir also einen im Vergleich zum Maximalfehler kleinerenFehler. Dies sieht man anhand der Dreiecksungleichung leicht ein (siehe Abb. 6.15). Falls zumBeispiel σm/m = σV /V , ist dieser Fehler um den Faktor

√2 kleiner als der Maximalfehler.

Fur bestimmte funktionale Zusammenhange der abhangigen von der unabhangigen Große erge-ben sich besonders einfache Falle des Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetzes, die im Folgendenangefuhrt sind.

Summen oder Differenzen

Fur u = x+ y oder u = x− y gilt

∂u

∂x= 1 und

∂u

∂y= ±1. (6.104)

Daraus ergibt sich

σ2u = 12σ2

x + (±1)2σ2y

= σ2x + σ2

y (6.105)

und somit

σu =√

σ2x + σ2

y. (6.106)

Das heißt, die Varianz der abhangigen Große ist die Summe der Varianzen der unabhangigenGroßen.

Multiplikation mit einer Konstanten

Fur u = αx gilt

σ2u =

(∂u

∂x

)2

σ2x = α2σ2

x (6.107)

und deshalb

σu = ασx. (6.108)

Das heißt, die Standardabweichung von u ergibt sich einfach durch Multiplikation von α mit derStandardabweichung von x.


Multiplikation oder Division

Fur u = xy erhalten wir durch Anwendung von Gleichung (6.100)

σ2u = y2σ2

x + x2σ2y . (6.109)

Division durch x2y2 ergibt

σ2u

u2=σ2x

x2 +σ2y

y2 =(σxx

)2

+

(σyy

)2

. (6.110)

Das heißt, das Quadrat des relativen Fehlers in u ist die Summe der Quadrate der relativen Fehlerin x und y.

Fur die Division u = x/y gilt ganz analog:

σ2u =

(1

y

)2

σ2x +

(x

y2

)2

σ2y. (6.111)

Nach Division durch u = x/y erhalten wir:

σ2u

u2=σ2xx

x2 +σ2xy

y2 =(σxx

x

)2

+

(σxy

y

)2

. (6.112)

6.5 Ausgleichsrechnung (Fitten)

In Experimenten bestimmt man oft eine Große y in Abhangigkeit einer anderen Große x. ZumBeispiel konnte in einem Experiment das Volumen V einer Flussigkeit als Funktion der TemperaturT gemessen werden. Als Ergebnis eines solchen Experiments erhalt man fur jeden der N Wertexi der unabhangigen Große (in unserem Beispiel die Temperatur) einen Messwert yi (in unseremBeispiel das Volumen). Wir suchen nun nach einer Funktion f(x), die moglichst gut beschreibt,wie y von x abhangt (siehe Abb. 6.16).

Abbildung 6.16: Ziel der Ausgleichsrechnung ist es, eine Funktion f(x) zu bestimmen, die moglichstgut zu den Messdaten passt.

Im Idealfall hatten wir yi = f(xi). Sowohl xi als auch yi sind im Allgemeinen fehlerbehaftet, sodasses zu Abweichungen von dieser funktionalen Abhangigkeit kommt. Wir konnen jedoch verlangen,


dass die Abweichung der Funktionswerte f(xi) von den gemessenen Werten moglichst klein ist.Demzufolge suchen wir nach einer Funktion f(x), die die Summe der Abweichungsquadrate

χ2 =

N∑

i

[f(xi) − yi]2

(6.113)

minimiert. Die dazugehorige Kurve nennt man die Ausgleichskurve. Sie ist die Kurve, die imSinne der kleinsten Summe der Abweichungsquadrate am besten zu den Messwerten passt. DasAnpassen der Ausgleichskurve an die gemessenen Daten nennt man in Anlehnung an das Englischeauch “Fitten”.

Beim praktischen Fitten wird meistens eine Funktion f(x, a1, . . . , aL) angenommen, deren Formentweder von der zugrunde liegenden Physik nahe gelegt wird oder aus Grunden der Einfachheitgewahlt wird. Die Funktion hangt im Allgemeinen auch von einer Reihe von freien Parametern aiab, die wir nun so bestimmen, dass die Summe der Abweichungsquadrate χ2 moglichst klein wird.Wir stellen also an die freien Parameter ai die Bedingung, dass

∂

∂aiχ2 = 0 fur i = 1, . . . , L. (6.114)

Das heißt, dass χ2 bezuglich der Parameter ai ein Minimum (genauer: ein Extremum) annimmt.Durch Losung dieses Satzes von L Gleichungen erhalten wir die Werte fur die Parameter, die denbesten “Fit” der Funktion an die Messwerte ergeben.

Lineare Regression

Die einfachste und am haufigsten verwendete Ausgleichsfunktion ist die Gerade

f(x) = ax+ b, (6.115)

die von den zwei freien Parametern a (Steigung) und b (Schnittpunkt mit der y-Achse) abhangt.Man spricht in diesem Fall von linearer Regression. Die Steigung a wird auch Regressions-

koeffizient genannt. Um die Parameter a und b zu ermitteln, setzen wir die Ableitungen von χ2

nach a und b gleich 0:

∂

∂aχ2 =

∂

∂a

N∑

i=1

(axi + b− yi)2 =

N∑

i=1

2(axi + b− yi)xi = 0 (6.116)

und

∂

∂bχ2 =

∂

∂b

N∑

i=1

(axi + b− yi)2 =

N∑

i=1

2(axi + b− yi) = 0. (6.117)

Daraus erhalten wir:

a

N∑

i=1

x2i + b

N∑

i=1

xi −N∑

i=1

xiyi = 0, (6.118)

a

N∑

i=1

xi +Nb−N∑

i=1

yi = 0. (6.119)


Wir definieren nun:

Sx =

N∑

i=1

xi, (6.120)

Sy =

N∑

i=1

yi, (6.121)

Sxx =

N∑

i=1

x2i , (6.122)

Sxy =N∑

i=1

xiyi (6.123)

und schreiben die obigen Gleichungen als

aSxx + bSx − Sxy = 0, (6.124)

aSx +Nb− Sy = 0. (6.125)

Durch Multiplikation von Gleichung (6.125) mit Sxx/Sx und Subtraktion der zweiten von derersten Gleichung erhalten wir

b

(

Sx −NSxxSx

)

− Sxy + SySxxSx

= 0, (6.126)

woraus folgt:

b =SySxx − SxSxyNSxx − S2

x

. (6.127)

Multiplikation von Gleichung (6.125) mit Sx/N und anschließender Subtraktion von Gleichung(6.124) hingegen ergibt:

a

(

Sxx −S2x

N

)

− Sxy +SySxN

= 0 (6.128)

und somit:

a =NSxy − SxSyNSxx − S2

x

. (6.129)

Damit haben wir die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden bestimmt.

Wenn wir den Fehler σi in den Messwerten berucksichtigen und die Terme in der Summe derAbweichungsquadrate damit gewichten, ergeben sich ahnliche Ausdrucke fur a und b. Statt derlinearen Funktion f(x) = ax + b konnen wir auch andere Funktionen an die Messdaten anpassen.Die Gleichungen, die sich dann aus ∂χ2/∂ai ergeben, sind jedoch schwieriger zu losen als im linearenFall.

Kapitel 7

Differentiation von Feldern: grad,div und rot

Im Folgenden werden wir uns mit Vektoranalysis beschaftigen. Dabei geht es um die mathe-matische Beschreibung von Feldern im dreidimensionalen Raum. Fur die Beschreibung sind dieBegriffe des Gradienten, der Rotation und der Divergenz von zentraler Bedeutung.

7.1 Felder

7.1.1 Skalarfelder

Betrachten wir als Beispiel die Atmosphare uber einem bestimmten Gebiet, sagen wir uber Wien.Es ist ein sonniger Tag und die Sonnenstrahlen erwarmen Straßen, Hauser, etc. Die Temperaturder Luft uber dem Boden hangt nur von der Beschaffenheit des Bodens ab. Wahrend dunklerAsphalt die Sonnenstrahlen absorbiert und dadurch die daruber liegende Luft erwarmt, bleibt dieLuft uber begrunten Flachen eher kuhl. Am kuhlsten bleibt es in beschatteten Bereichen. Fernerhangt die Lufttemperatur von der Hohe uber dem Boden ab: je hoher wir steigen, umso kuhlerwird es. Durch Messung mit einem Thermometer konnen wir die Temperatur an jedem durch dieKoordinaten (x, y, z) beschriebenen Punkt bestimmen und erhalten

T (x, y, z). (7.1)

Da die Temperatur auch von der Tageszeit abhangt, konnen wir auch die Zeit t in die Variablenlisteaufnehmen:

T (x, y, z, t). (7.2)

Dies ist ein Beispiel fur ein zeitabhangiges, skalares Feld. Das Feld T (x, y, z, t) heißt deshalbskalar, weil die Temperatur T eine skalare Große ist. Im Allgemeinen ordnet ein Skalarfeld jedemPunkt (x, y, z) eines raumlichen (oder ebenen) Bereichs in eindeutiger Weise einen Skalar A zu(siehe Abb. 7.1):

A(x, y, z) = A(~r). (7.3)

Das Feld A(x, y, z) kann man sich mit Hilfe der Flachen veranschaulichen, auf denen die skala-re Große einen konstanten Wert hat: A(x, y, z) =const. Man nennt diese Flachen Niveau- oderAquipotentialflachen. In der Ebene definiert die Bedingung A(x, y) =const Niveaulinien (oder

167

168 7 Differentiation von Feldern: grad, div und rot

Abbildung 7.1: Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt ~r in der Ebene (~r = (x, y), links) oder im Raum(~r = (x, y, z), rechts) eine skalare Große A(~r) zu.

Aquipotentiallinien). Solche Niveaulinien kennen wir von topographischen Karten, in denen siePunkte gleicher Meereshohe verbinden, oder vom Wetterbericht, wo in der Temperaturkarte fureinen diskreten Satz von Temperaturen Punkte gleicher Temperatur durch Niveaulinien miteinan-der verbunden sind. Ein weiteres 2D-Beispiel ist eine metallische Platte, die an einer Ecke erhitztund an den gegenuberliegenden Seiten gekuhlt wird (siehe Abb. 7.2).

Abbildung 7.2: Eine metallische Platte wird an der rechten hinteren Ecke erwarmt und gleichzei-tig an der linken und der vorderen Kante gekuhlt. Dadurch stellt sich ein Zustand ein, bei demdie Temperatur der Platte vom Ort abhangt. Orte gleicher Temperatur sind durch so genannteNiveaulinien miteinander verbunden.

7.1.2 Vektorfelder

In anderen Fallen ist es notwendig, an jeder Stelle x, y, z einen Vektor zu definieren. So mochteman beispielsweise zusatzlich zur Temperatur auch die Windgeschwindigkeit ~v als Funktion desOrtes angeben:

~v(x, y, z). (7.4)

Da sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung mit der Zeit andern, konnen wir auch in die-sem Fall die Zeit t in die Liste der Argumente aufnehmen und erhalten damit ein zeitabhangigesGeschwindigkeitsfeld:

~v(x, y, z, t). (7.5)


Ein solches Feld nennt man ein Vektorfeld. Im Allgemeinen ordnet ein Vektorfeld jedem Ort(x, y, z) eines Bereichs und (falls notig) auch jedem Zeitpunkt aus einem bestimmten Intervalleinen Vektor zu:

~A(x, y, z) = ~A(~r). (7.6)

In der Ebene ist ein Vektorfeld ~A(x, y) analog definiert (siehe Abb. 7.3). Beispiele fur Vektorfeldersind das elektrische Feld, das magnetische Feld und das Geschwindigkeitsfeld einer stromendenFlussigkeit.

Abbildung 7.3: Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt ~r (hier in der Ebene) einen Vektor ~A(~r) zu.

Vektorfelder kann man mit Feldlinien veranschaulichen. Das sind Linien, fur die in jedem Punktder dortige Feldvektor tangential zur Linie ist. Feldlinien konnen sich nicht schneiden, da in jedemPunkt der Feldvektor eine eindeutige Richtung hat. Wurden sich Feldlinien unter einem Winkelschneiden, gabe es an einem Punkt zwei verschiedene Feldvektoren, was jedoch nicht zulassig ist.Felder, die sich zeitlich nicht andern, nennt man stationar. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maßfur die Starke des Vektorfeldes.

Abbildung 7.4: Ein Vektorfeld (hier das zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld einer Stromung umeine Scheibe) kann mit Hilfe von Feldlinien, zu denen die Feldvektoren tangential sind, dargestelltwerden.

Einige Felder von besonderer Bedeutung sind:

• Homogene Felder:

In einem homogenen Feld hat der Feldvektor uberall die gleiche Richtung und den gleichenBetrag. Ein homogenes Feld kann geschrieben werden als

~A(x, y, z) = (cx, cy, cz), (7.7)

wobei cx, cy, cz Konstanten sind.


• Kugelsymmetrische Felder (Zentralfelder):

Abbildung 7.5: Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld.

Der Feldvektor zeigt in jedem Punkt radial nach außen oder innen, also vom Ursprung wegoder zum Ursprung hin. Der Betrag hangt nur vom Abstand r vom Zentrum ab. Ein kugel-symmetrisches Feld lasst sich ausdrucken als:

~A(~r) = A(r)~r

r, (7.8)

wobei r = |~r| der Abstand des Punktes vom Ursprung ist. Beispiele fur ein kugelsymmetri-sches Feld sind das Gravitationsfeld der Erde und das elektrische Feld einer Punktladung.

• Zylinder- oder axialsymmetrische Felder:

Abbildung 7.6: Ein zylindersymmetrisches Vektorfeld.

Der Feldvektor zeigt radial von einer Achse weg und hat keine Komponente in Achsenrich-tung. Der Betrag hangt nur vom Abstand des Punktes zur Achse ab. Ein zylindersymmetri-sches Feld lasst sich schreiben als:

~A(~r) = A(ρ)~eρ. (7.9)

Hier ist ρ der Normalabstand zur z-Achse und ~eρ der Einheitsvektor normal zur z-Achse inRichtung zum Punkt ~r.


7.2 Gradient

7.2.1 Definition

Betrachten wir ein Skalarfeld A(x, y, z) im dreidimensionalen Raum (zum Beispiel die TemperaturT (x, y, z) eines ungleichmaßig erwarmten Korpers). Wir fragen uns nun, wie sich die skalare GroßeA andert, wenn wir uns vom Punkt ~r = (x, y, z) leicht wegbewegen, wenn wir also von ~r = (x, y, z)auf ~r + d~r = (x + dx, y + dy, z + dz) ubergehen. In linearer Naherung (fur sehr kleine dx, dy unddz) ist die Anderung dA in der Große A gegeben durch

dA =∂A

∂xdx+

∂A

∂ydy +

∂A

∂zdz. (7.10)

(Dies ist einfach das bereits bekannte totale Differential der Funktion A(x, y, z).) Wir konnendie rechte Seite der obigen Gleichung als das Skalarprodukt des Vektors d~r = (dx, dy, dz) mit demVektor (∂A/∂x, ∂A/∂y, ∂A/∂z) betrachten. Dieser im Allgemeinen ortsabhangige Vektor ist derGradient des Skalarfeldes A(x, y, z). Wir schreiben dafur

grad A =

∂A∂x∂A∂y∂A∂z

= ∇A(x, y, z). (7.11)

∇A(x, y, z) nennt man auch das Gradientenfeld von A(x, y, z).

Das Symbol ∇ ist der Nabla-Operator, der in der Vektoranalysis eine zentrale Rolle einnimmtund formal als Vektor geschrieben werden kann:

∇ =

∂∂x∂∂y∂∂z

. (7.12)

Der Nabla-Operator ∇ (auf Englisch auch “del” genannt) wurde zum ersten Mal vom irischen Phy-siker William Rowan Hamilton (1805-1865) verwendet. Das Wort “Nabla” bezeichnet eine antikeHarfe und wurde vermutlich wegen der Ahnlichkeit des Symbols ∇ mit einer Harfe eingefuhrt.

Der Gradient des Skalarfeldes A(x, y, z) ist also ein Vektorfeld, dessen Komponenten die partiellenAbleitungen von A(x, y, z) nach den Raumkoordinaten sind. Der Gradient von A entsteht durchAnwendung des Nabla-Operators aufA. Man kann den Gradienten auch mit Hilfe der Basisvektoren~ex, ~ey, ~ez ausdrucken:

grad A = ∇A =∂A

∂x~ex +

∂A

∂y~ey +

∂A

∂z~ez. (7.13)

Auch die Schreibweise

∇A =∂A

∂~r(7.14)

wird oft verwendet.

7.2.2 Eigenschaften

Der Gradient steht senkrecht auf die Aquipotentialflachen (Niveauflachen), auf denen A = const.Um das einzusehen, betrachten wir die Anderung dA, die durch Verschiebung des Ortsvektors~r(x, y, z) um d~r = (dx, dy, dz) entsteht:

dA = ∇A · d~r. (7.15)


Ist d~r tangential zur Niveauflache, bleibt A konstant und wir haben:

dA = ∇A · d~r = 0. (7.16)

Das bedeutet, dass ∇A senkrecht auf die Flachen mit A = const steht. In der Ebene konnen wiruns das fur das Temperaturfeld T (x, y) leicht veranschaulichen: Auf diesen Linien ist T konstant.Das heißt, wenn wir auf ihnen entlangfahren, andert sich die Temperatur nicht. Wenn wir d~r inRichtung einer solchen Linie wahlen, muss daher fur kleine d~r gelten: dA = 0. Das Differential dAist aber das Skalarprodukt von d~r und ∇A: dA = ∇A · d~r. Daher haben wir ∇A · d~r = 0. Somit ist∇A orthogonal zu d~r und, da d~r tangential an die Niveaulinie ist, auch orthogonal zur Niveaulinieselbst. Analog gilt das auch in hoheren Dimensionen.

Abbildung 7.7: Der Gradient ∇A eines skalaren Feldes A(~r) (hier das Temperaturfeld von Abb.7.2) steht normal zu den Niveaulinien des Feldes.

Der Gradient ∇A zeigt in die Richtung, in der die Funktion A(x, y, z) am schnellsten anwachst.Man kann dies zum Beispiel mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren beweisen, woraufwir aber hier nicht eingehen konnen. Anschaulich ist dies plausibel, da wir naturlich am schnellstenvon einer Niveaulinie (oder Niveauflache) zur nachsten kommen, wenn wir uns senkrecht dazu, alsoin Richtung des Gradienten, bewegen. (Denken Sie zum Beispiel an die Hohenschichtenlinien aufeiner Wanderkarte.) Der negative Gradient zeigt in die Richtung der schnellsten Abnahme derFunktion A(x, y, z). Der Betrag des Gradienten ist die Steigung (oder Ableitung) der Funktionin der Richtung ihres starksten Zuwachses.

Beispiel:

Betrachten wir das Gravitationspotential, das von einer Masse M im Ursprung erzeugt wird:

u(x, y, z) = − GM√

x2 + y2 + z2= −GM

r. (7.17)

Hier ist r der Abstand einer Probemasse m vom Ursprung und mu(x, y, z) ist die potentielle Ener-gie dieser Probemasse. G ist die Gravitationskonstante. Der Gradient des Gravitationspotentialslautet:

∇u =

∂u∂x∂u∂y∂u∂z

= −

− 12

GM

(x2+y2+z2)32· 2x

− 12

GM

(x2+y2+z2)32· 2y

− 12

GM

(x2+y2+z2)32· 2z

=GM

(x2 + y2 + z2)32

·

x

y

z

=

GM

r3

x

y

z

=

GM

r2~er. (7.18)

Die Aquipotentialflachen dieses Feldes sind konzentrische Kugeln und ∇u ist orthogonal zur ent-sprechenden Kugeloberflache. Die Kraft auf die Probemasse m

~F (~r) = −m∇u = −GMm

r2~er (7.19)


zeigt zum Ursprung und ist somit attraktiv.

Beispiel:

Das Feld

u(x, y) = x2 + y2 (7.20)

hat den Gradienten

∇u =

(∂u∂x∂u∂y

)

=

(

2x

2y

)

. (7.21)

7.2.3 Richtungsableitung

Die Ableitung der Funktion A(x, y, z) in Richtung eines beliebigen Vektors ~a lasst sich ebenfallsmit Hilfe des Gradienten ausdrucken:

∇A(x, y, z) · ~a|~a| = ∇A · ~ea. (7.22)

Die Große nennt man die Richtungsableitung in Richtung des Vektors ~a. Man erhalt sie durchProjektion des Gradienten ∇A auf den normierten Richtungsvektor ~ea = ~a

|~a| . Die Richtungsablei-

tung ist in Richtung des Gradienten am großten.

7.2.4 Rechenregeln

Fur den Gradienten gelten folgende Rechenregeln:

• Fur ein konstantes Feld A(~r) = c folgt: ∇A = 0,

• Summenregel: ∇(A+B) = ∇A+ ∇B,

• Faktorregel: ∇(αA) = α∇A,

• Produktregel: ∇(AB) = A∇B +B∇A.

Diese Regeln folgen aus den Regeln fur die partielle Differentiation.

Zusammenfassend halten wir fest:

• Der Gradient von A(~r) ist ein Vektor (eigentlich ein Vektorfeld), dessen Kompo-nenten die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten sind.

• Der Gradient entsteht durch Anwendung des Nabla-Operators auf A(~r).

• ∇A steht orthogonal zu den Niveauflachen.

• ∇A zeigt in Richtung des starksten Zuwachses von A(~r).

• ∇A · ~ea = ∇A · (~a/|~a|) ist die Richtungsableitung von A in Richtung von ~a.


7.3 Divergenz

7.3.1 Definition

Die Divergenz eines Vektorfeldes beschreibt die Quellstarke eines Feldes. Im Falle des elektrischenFeldes zum Beispiel verknupft die Divergenz das elektrische Feld mit dessen Quellen, also mit denLadungen. Formal definiert man die Divergenz div ~A eines Vektorfeldes ~A(~r) als das Skalarproduktdes Nabla-Operators mit dem Feld:

div ~A = ∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

. (7.23)

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein skalares Feld. (Ganz im Gegensatz zum Gradienten, deraus einem Skalarfeld ein Vektorfeld macht.)

Beispiel:

Die Divergenz des Vektorfeldes

~A(~r) =

x2y

zxy

x2 + y2

(7.24)

ist

div ~A = ∇ · ~A =∂(x2y)

∂x+∂(zyx)

∂y+∂(x2 + y2)

∂z= 2xy + zx = x(2y + z). (7.25)

7.3.2 Anschauliche Interpretation als lokale Quellstarke

Ein anschauliches Verstandnis der Divergenz konnen wir durch folgende Uberlegung erreichen. Be-trachten wir eine stromende Flussigkeit, deren raumliche Stromung durch das Geschwindigkeitsfeld

~v(x, y, z) =

vx(x, y, z)

vy(x, y, z)

vz(x, y, z)

(7.26)

beschrieben wird. Wir wollen nun die Flussigkeitsmenge berechnen, welche pro Zeiteinheit in einkleines Volumen um den willkurlich gewahlten Punkt P (x, y, z) eintritt, beziehungsweise aus diesemVolumen austritt (siehe Abb. 7.8).

Dieses infinitesimale Volumen wird durch ebene Seitenflachen begrenzt, die parallel zu den Ko-ordinatenebenen liegen. Die Seitenlangen des dadurch entstehenden Quaders sind in x-, y- undz-Richtung jeweils dx, dy und dz. Der Punkt P (x, y, z) liegt im Mittelpunkt des Quaders, das heißtdie Seitenflachen haben einen Abstand von dx/2 beziehungsweise dy/2 und dz/2 vom Punkt P . Zujeder Seitenflache definieren wir einen Flachenvektor, dessen Betrag gleich dem Flacheninhalt derjeweiligen Seitenflache ist. Die Flachenvektoren stehen senkrecht auf die jeweiligen Seitenflachen


Abbildung 7.8: Ein kleines quaderformiges Volumen um Punkt P mit Flachenvektoren ~f1, ~f2, ~f3,~f4, ~f5 und ~f6. Am Punkt P = (x, y, z) herrscht die Geschwindigkeit v(x, y, z) vor.

und zeigen nach außen. Diese in Abb. 7.8 eingezeichneten Flachenvektoren sind:

~f1 =

dydz

0

0

= −~f2, (7.27)

~f3 =

0

dzdx

0

= −~f4, (7.28)

~f5 =

0

0

dxdy

= −~f6. (7.29)

Wir bestimmen nun die Flussigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch die Seitenwande des Quadersstromt (also den Fluss). Wie wir fruher bereits gesehen haben, ist der Fluss durch eine Flachegleich dem Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors mit dem Flachenvektor. Wenn wir fur jedeFlache den Geschwindigkeitsvektor in der Mitte der Flache nehmen, ergibt sich zum Beispiel furdie Seitenflache mit dem Flachenvektor ~f1 der Fluss:

~f1 · ~v(x+dx

2, y, z). (7.30)

Dabei ist ~v(x+ dx2 , y, z) der Geschwindigkeitsvektor in der Mitte der Flache mit dem Flachenvektor

~f1. Durch Verwendung der Komponentendarstellung des Vektors ~f1 ergibt sich fur den Fluss

vx(x+dx

2, y, z)dydz. (7.31)

Auf ahnliche Weise erhalten wir fur die gegenuberliegende Seitenflache mit dem Vektor ~f2 einenFluss von

− vx(x− dx

2, y, z)dydz. (7.32)


Fur die Flusse durch die anderen Flachen erhalten wir jeweils:

~f3 : vy(x, y +dy

2, z)dxdz, (7.33)

~f4 : −vy(x, y −dy

2, z)dxdz, (7.34)

~f5 : vz(x, y, z +dz

2)dxdy, (7.35)

~f6 : −vz(x, y, z −dz

2)dxdy. (7.36)

Die Anderung der Flussigkeitsmenge in unserem kleinen Quader ergibt sich aus den Flussigkeits-mengen, die in den Quader hinein oder aus dem Quader heraus fließen. Durch Addition der Flussig-keitsmengen, die durch die einzelnen Flachen fließen, erhalten wir den Verlust oder den Uberschussan Flussigkeit, der pro Zeiteinheit fur unser kleines Volumen zu verzeichnen ist:

[

vx(x+dx

2, y, z) − vx(x− dx

2, y, z)

]

dydz

+

[

vy(x, y +dy

2, z) − vy(x, y −

dy

2, z)

]

dxdz

+

[

vz(x, y, z +dz

2) − vz(x, y, z −

dz

2)

]

dxdy. (7.37)

Wir multiplizieren und dividieren nun den ersten dieser drei Terme mit dx, den zweiten mit dyund den dritten mit dz:

vx(x+ dx2 , y, z)− vx(x − dx

2 , y, z)

dxdxdydz

+vy(x, y + dy

2 , z) − vy(x, y − dy2 , z)

dydxdydz

+vz(x, y, z + dz

2 ) − vz(x, y, z − dz2 )

dzdxdydz. (7.38)

Fur kleine Kantenlangen werden aus den drei Quotienten im obigen Ausdruck partielle Ableitungenund wir erhalten:

∂vx∂x

dV +∂vy∂y

dV +∂vz∂z

dV =

(∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

)

dV. (7.39)

Mit Hilfe der Divergenz konnen wir diesen Ausdruck schreiben als:

div~v dV = (∇ · ~v)dV. (7.40)

Die zeitliche Anderung der Flussigkeitsmenge in unserem Quader ist also durch das Produktder Divergenz des Stromungsfeldes mit dem infinitesimalen Volumen dV gegeben. Die Divergenzbeschreibt also den Gewinn oder Verlust an Flussigkeit pro Zeiteinheit in einem kleinen Volums-element dV um (x, y, z). Fur eine inkompressible Flussigkeit ist die Flussigkeitsmenge im Volumennaturlich konstant. Fur eine kompressible Flussigkeit hingegen kann diese Menge fluktuieren und∇·~v kann verschieden von 0 sein. (Genau genommen mussen wir hier ∇(ρ~v) statt ∇v betrachten.)

Falls div~v > 0, uberwiegt der Abfluss. Das heißt, es fließt mehr Flussigkeit aus dem Volumenheraus als in das Volumen hinein. Man sagt in diesem Fall, dass sich im Volumen dV eine Quelle

befindet. Falls hingegen div~v < 0, uberwiegt der Zufluss und es fließt eine großere Flussigkeits-menge in das Volumen dV hinein als aus dem Volumen dV heraus. Im Volumen dV befindet sichdann eine Senke. Fur div~v = 0 halten sich Zufluss und Abfluss genau die Waage und man sagt,das Feld ist in diesem Punkt quellenfrei.


Die Divergenz div ~A eines Feldes ~A wird auch als dessen lokale Quellstarke bezeichnet. DieDivergenz ist eine lokale Große, die sich von einem Punkt zum anderen verandern kann. DieDivergenz div ~A des Vektorfeldes ~A ist selbst ein Skalarfeld.

Beispiel:

Betrachten wir die Kraft ~F auf eine Masse m im Gravitationsfeld, das durch die Masse M imUrsprung erzeugt wird (siehe Abb. 7.9):

~F = −GMm

r3

x

y

z

. (7.41)

Die Divergenz des Gravitationsfeldes ist

div~F = ∇ · ~F =∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

. (7.42)

Die partielle Ableitung der x-Komponente der Kraft nach der Koordinate x ist

∂Fx∂x

= −GMm∂

∂x

x

(x2 + y2 + z2)32

= −GMm(x2 + y2 + z2)

32 − x3

2 (x2 + y2 + z2)12 · 2x

(x2 + y2 + z2)3

= −GMm(x2 + y2 + z2)

32 − 3x2(x2 + y2 + z2)

12

(x2 + y2 + z2)3

= −GMmr3 − 3x2r

r6. (7.43)

Auf ahnliche Weise erhalten wir:

∂Fy∂y

= −GMmr3 − 3y2r

r6und

∂Fz∂z

= −GMmr3 − 3z2r

r6. (7.44)

Durch Addieren dieser drei partiellen Ableitungen ergibt sich

div ~F = −GMm3r3 − 3(x2 + y2 + z2)r

r6= −GMm

3r3 − 3r3

r6= 0. (7.45)

Das Gravitationsfeld ist also uberall, wo es definiert ist (fur r 6= 0), quellenfrei. Uber den Ur-sprung, also den Punkt (0,0,0), konnen wir hier keine Aussage machen, da in diesem Punkt das

Feld ~F divergiert. Eine mathematisch weiterfuhrende Betrachtung zeigt jedoch, dass das Gravitati-onsfeld genau im Ursprung eine punktformige Quelle besitzt, die durch eine δ-Funktion dargestelltwerden kann. Uberall sonst ist das Gravitationsfeld quellenfrei, da wir ja keine zusatzliche Massebetrachtet haben.

Beispiel:

Gegeben sei das Feld ~A(x, y, z) = (xy2, z2 + y2, 12xyz3). Die Divergenz dieses Feldes ist:

div ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

= y2 + 2y + 36xyz2. (7.46)

7.3.3 Rechenregeln

Fur die Divergenz gelten folgende Rechenregeln:


Abbildung 7.9: Die Kraft ~F auf eine Masse m im Gravitationsfeld der Masse M im Ursprung.

• Fur ein konstantes Feld ~A(x, y, z) = ~c gilt:

div ~A = 0. (7.47)

• Summenregel:

div ( ~A+ ~B) = ∇ · ( ~A+ ~B) = ∇ · ~A+ ∇ · ~B= div ~A+ div ~B. (7.48)

• Faktorregel:

div (α ~A) = αdiv ~A. (7.49)

• Produktregel fur das Produkt eines Skalarfeldes A mit einem Vektorfeld ~B:

div (A~B) = ∇ · (A~B) = A(∇ · ~B) + ~B · ∇A= Adiv ~B + ~B · grad A. (7.50)

Diese Beziehung lasst sich leicht durch explizites Ausfuhren der partiellen Differentiation verstehen:

∇ · (A~B) =∂ABx∂x

+∂ABy∂y

+∂ABz∂z

= Bx∂A

∂x+A

∂Bx∂x

+By∂A

∂y+A

∂By∂y

+Bz∂A

∂z+A

∂Bz∂z

= Bx∂A

∂x+By

∂A

∂y+Bz

∂A

∂z︸︷︷︸

~B·∇A

+A

(∂Bx∂x

+∂By∂y

+∂Bz∂z

)

︸︷︷︸

A∇· ~B

= ~B · ∇A+A∇ · ~B = ~B · grad A+Adiv ~B. (7.51)

7.4 Laplace-Operator

Wenn wir den Gradienten eines Skalarfeldes A bilden, erhalten wir das Vektorfeld

grad A = ∇A =

(∂A

∂x,∂A

∂y,∂A

∂z

)

. (7.52)


Wenden wir nun den Nabla-Operator auf dieses Vektorfeld an (wir bilden also dessen Divergenz),erhalten wir

div grad A = ∇ · (∇A) = ∇ ·


=

∂2A

∂x2+∂2A

∂y2+∂2A

∂z2. (7.53)

Wir schreiben dafur auch

div grad A = ∇2A = ∆A (7.54)

und nennen den Operator ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 den Laplace-Operator. Der Laplace-Operatorist ein Differentialoperator, der zum Beispiel in der Poissongleichung vorkommt, welche das voneiner Ladungsverteilung erzeugte elektrische Potential beschreibt.

7.5 Rotation

7.5.1 Definition

Neben dem Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld ~A(~r) konnen wir auch das

Vektorprodukt von ∇ und ~A bilden und erhalten dadurch die Rotation (Englisch: curl) von ~A:

rot ~A(~r) = ∇× ~A =

∂∂x∂∂y∂∂z

×

Ax

Ay

Az

=

∂Az

∂y − ∂Ay

∂z∂Ax

∂z − ∂Az

∂x∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y

. (7.55)

Die Rotation rot ~A des Vektorfeldes ~A ist selbst ein Vektorfeld. Man nennt dieses Feld auch Wir-

belfeld.

7.5.2 Anschauliche Interpretation als lokale Wirbelstarke

Zur anschaulichen Interpretation der Rotation (als lokale Wirbelstarke) betrachten wir ein kon-kretes Beispiel. Wir stellen uns eine Flussigkeit vor, in der ein Wirbel vorhanden ist. Von obenbetrachtet sind die Feldlinien des zugehorigen Geschwindigkeitsfeldes konzentrische Kreise um denUrsprung (siehe Abb. 7.10).

Die Geschwindigkeit ~v der Flussigkeit am Ort ~r sei gegeben durch (siehe Abschnitt 2.8.2)

~v(~r) = ~ω × ~r. (7.56)

wobei ~ω ein Winkelgeschwindigkeitsvektor mit Betrag |~ω| = ω ist und normal zur Zeichenebenesteht sowie zum Betrachter hin zeigt. Gemaß Gleichung (7.56) ist die Geschwindigkeit ~v(~r) senk-recht auf ~r und ~ω und liegt deshalb in der Zeichenebene. Fur alle Entfernungen vom Mittelpunktbewegt sich die Flussigkeit mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung. Man nenntso einen Wirbel einen homogenen Wirbel mit der Drehachse durch den Ursprung. Je großer ωist, umso schneller dreht sich der Wirbel (umso starker ist er also).

Die Rotation dieses Stromungsfeldes ist gemaß der Definition in Gleichung (7.55) gegeben durch:

rot ~v(~r) = ∇× ~v(~r) = ∇× (~ω × ~r). (7.57)


Abbildung 7.10: Geschwindigkeitsfeld ~v = ~ω × ~r einer rotierenden Flussigkeit.

Falls wir die z-Achse in Richtung ~ω legen, haben wir

~ω × ~r =

0

0

ω

×

x

y

z

=

−ωyωx

0

(7.58)

und deshalb

rot ~v(~r) = ∇×

−ωyωx

0

=

∂∂x∂∂y∂∂z

×

−ωyωx

0

=

− ∂∂z (ωx)

− ∂∂z (ωy)

∂∂xωx+ ∂

∂yωy

=

0

0

2ω

, (7.59)

das heißt, die Rotation von diesem speziellen Stromungsfeld ist gleich dem doppelten Winkelge-schwindigkeitsvektor ~ω:

rot ~v = 2~ω. (7.60)

Wir konnen die Rotation von ~v also sowohl nach Richtung als auch nach Große als eine lokale

Wirbelstarke auffassen. Man nennt daher rot ~A(~r) auch das Wirbelfeld von ~A(~r). In unseremBeispiel ist rot ~v konstant, im Allgemeinen andert sich aber die Rotation rot ~v von Ort zu Ort.

Zur weiteren Veranschaulichung der Rotation betrachten wir eine inhomogene Stromung, in derdie Stromungsgeschwindigkeit ~v(~r) vom Ort abhangt. Die in Abb. 7.11 dargestellte Stromungbeispielsweise hat ein Geschwindigkeitsprofil, bei dem die Geschwindigkeit in x-Richtung linearmit der y-Koordinate zunimmt, das heißt, die Stromungsgeschwindigkeit ist oben hoher als unten.

Wir stellen uns nun einen kleinen Quader vor, der mit der Stromung mitschwimmt (etwa einenkleinen Holzblock, der in einem Bach mit der Stromung mittreibt) (siehe Abb. 7.12).

Aus der Perspektive des Quaders, also in einem mitbewegten Bezugssystem, bewegt sich die Flussig-keit oberhalb und unterhalb des Quaders in entgegengesetzte Richtung und verursacht dadurch eineDrehung des Quaders (siehe Abb. 7.13).


Abbildung 7.11: Geschwindigkeitsfeld einer Stromung mit linearem Geschwindigkeitsprofil.

Abbildung 7.12: Mitschwimmendes Objekt in der Stromung von Abb. 7.11.

Wie schnell rotiert nun dieser Quader? Unter der Annahme, dass die Translation des Quadersmit der an seinem Mittelpunkt vorherrschenden Geschwindigkeit ~v(x, y) erfolgt und die oberenund unteren Seitenflachen sich mit der Stromung mitbewegen, ist die Winkelgeschwindigkeit desQuaders gegeben durch

ω =

[

vx

(

x, y + dy2

)

− vx

(

x, y − dy2

)]

dy, (7.61)

wobei dy die Kantenlange des Quaders in y-Richtung ist. Fur kleine Quader gilt also

ω =∂vx∂y

. (7.62)

Fur eine solche Stromung, in der die x-Komponente der Geschwindigkeit linear von der y-Komponenteabhangt (man nennt eine solche Stromung eine Scherstromung mit linearem Geschwindigkeitspro-fil),

vx = γy, (7.63)

vy = 0, (7.64)

vz = 0, (7.65)

erhalten wir fur die Winkelgeschwindigkeit des Quaders ω = ∂vx

∂y = γ. Die Konstante γ beschreibtdabei den Anstieg des Geschwindigkeitsprofils. Die Rotation dieses Geschwindigkeitsfeldes ist folg-lich:

rot ~v = ∇× ~v =

∂∂x∂∂y∂∂z

×

γy

0

0

=

0

0

−γ

=

0

0

−ω

= −~ω. (7.66)

Auch hier ist also die Rotation ein Maß fur die lokale Wirbelstarke. (Das Minuszeichen haben wirhier, weil die Rotation in der xy-Ebene in mathematisch negativer Richtung erfolgt.) Die Rotationbeschreibt also, wie ein kleines Teilchen rotiert, das mit der Stromung mittreibt.

Ein Feld ~A(~r) nennt man an der Stelle ~r wirbelfrei, wenn rot ~A an der Stelle ~r verschwindet.

Beispiel:

Wir betrachten wieder das Schwerefeld

~F = − GMm

(x2 + y2 + z2)32

·

x

y

z

. (7.67)


Abbildung 7.13: Geschwindigkeitsfeld der Stromung von Abb. 7.11 aus der Perspektive des mit-schwimmenden Objekt.

Die Rotation dieses Feldes ist

rot ~F = ∇× ~F =

∂Fz

∂y − ∂Fy

∂z∂Fx

∂z − ∂Fz

∂x∂Fy

∂x − ∂Fx

∂y

. (7.68)

Die partielle Ableitung ∂Fz/∂y ist gegeben durch:

∂Fz∂y

= −GMm∂

∂y

z

(x2 + y2 + z2)32

= −GMmz2y

(x2 + y2 + z2)52

(

−3

2

)

=3GMmzy

(x2 + y2 + z2)52

=3GMmzy

r5. (7.69)

Allgemein gilt

∂Fα∂β

=3GMmαβ

r5fur α, β = x, y, z und α 6= β. (7.70)

Das heißt aber, dass∂Fα∂β

=∂Fβ∂α

. (7.71)

Infolgedessen verschwinden alle Komponenten der Rotation in Gleichung (7.68):

rot ~F =

0

0

0

= ~0. (7.72)

Das Gravitationsfeld ist also wirbelfrei (so wie alle radialen (kugelsymmetrischen) Vektorfelder).

7.5.3 Rechenregeln

Fur die Rotation gelten folgende Rechenregeln:

• Fur ein konstantes Feld ~A(~r) = ~c gilt:

rot ~A = 0. (7.73)

• Summenregel:

rot ( ~A+ ~B) = rot ~A+ rot ~B. (7.74)

• Faktorregel:

∇× (α ~A) = α(∇× ~A) (rot α ~A = αrot ~A). (7.75)


• Produktregel fur Produkt aus Skalar- und Vektorfeld:

rot (A~B) = A rot ~B + grad A× ~B. (7.76)

Diese Regeln ergeben sich einfach durch Anwendung der Regeln fur die partielle Differentiation.Insbesondere haben wir fur die letzte Regel:

rot (A~B) = ∇× (A~B) =

∂∂x∂∂y∂∂z

×

ABx

ABy

ABz

=

∂∂y (ABz) − ∂

∂z (ABy)∂∂z (ABx) − ∂

∂x(ABz)∂∂x (ABy) − ∂

∂y (ABx)

=

∂A∂y · Bz +A∂Bz

∂y − ∂A∂z · By −A

∂By

∂z∂A∂z ·Bx +A∂Bx

∂z − ∂A∂x ·Bz −A∂Bz

∂x∂A∂x · By +A

∂By

∂x − ∂A∂y · Bx −A∂Bx

∂y

=

∂A∂y · Bz − ∂A

∂z ·By∂A∂z · Bx − ∂A

∂x · Bz∂A∂x · By − ∂A

∂y · Bx

+

A∂Bz

∂y −A∂By

∂z

A∂Bx

∂z −A∂Bz

∂x

A∂By

∂x −A∂Bx

∂y

= ∇A× ~B +A(∇× ~B) = grad A× ~B +A rot ~B. (7.77)

Da die Rotation eines Vektorfeldes wieder ein Vektorfeld ist, konnen wir auch die Rotation eines

Wirbelfeldes bilden:

rot (rot ~A) = ∇× (∇× ~A). (7.78)

Nach einigen algebraischen Umformungen findet man

∇× (∇× ~A) = ∇(∇ · ~A) − ∆ ~A (7.79)

oder, anders ausgedruckt,

rot (rot ~A) = grad (div ~A) − div grad ~A, (7.80)

wobei die Anwendung des Laplace-Operators auf ein Vektorfeld wieder komponentenweise definiertist.

7.5.4 Wirbelfreie und quellenfreie Felder

• Ein Gradientenfeld

∇A =

(∂A

∂x,∂A

∂y,∂A

∂z

)

(7.81)

ist nach dem Satz von Schwarz wirbelfrei:

∇×∇A =

∂∂x∂∂y∂∂z

×


=

∂2A∂y∂z − ∂2A

∂z∂y∂2A∂z∂x − ∂2A

∂x∂z∂2A∂x∂y − ∂2A

∂y∂x

= 0. (7.82)


Umgekehrt gilt auch, dass man in einem einfach zusammenhangenden Gebiet (das ist ein Ge-

biet ohne “Locher”) jedes wirbelfreie Feld ~B als Gradienten eines Skalarfeldes ϕ darstellenkann:

∇× ~B = 0 ⇒ es existiert ein Skalarfeld ϕ sodass : ~B = ∇ϕ. (7.83)

Das Skalarfeld ϕ ist nur bis auf eine Konstante bestimmt, da

∇(ϕ+ C) = ∇ϕ. (7.84)

Dieser Zusammenhang wird in Abschnitt 8.4.3 ausfuhrlich diskutiert.

• Ein Wirbelfeld

∇× ~A =

∂∂x∂∂y∂∂z

×

Ax

Ay

Az

=

∂Az

∂y − ∂Ay

∂z∂Ax

∂z − ∂Az

∂x∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y

(7.85)

ist quellenfrei:

∇ · (∇× ~A) =∂2Az∂x∂y

− ∂2Ay∂x∂z

+∂2Ax∂y∂z

− ∂2Az∂y∂x

+∂2Ay∂z∂x

− ∂2Ax∂z∂y

= 0. (7.86)

Es kann gezeigt werden, dass das quellenfreie Feld ~B als die Rotation eines anderenVekorfeldes ~A dargestellt werden kann:

div ~B = 0 ⇒ es existiert ein Vektorfeld ~A sodass ~B = ∇× ~A. (7.87)

~A wird das Vektorpotential genannt. Es ist nur bis auf den Gradienten eines Skalarfeldesbestimmt:

∇× ~A = ∇× ( ~A+ grad χ). (7.88)

Der Gradient grad χ ist die so genannte Eichung von ~A. Die Eichung tragt nicht zumWirbelfeld bei und kann deshalb benutzt werden, um Nebenbedingungen zu erfullen. InAbschnitt 8.4.4 werden wir uns naher mit dem Vektorpotential beschaftigen.

7.6 Zusammenfassung Nabla-Operator ∇

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator, der auf Felder angewandt wird. Je nach Feldartentstehen durch unterschiedliche Anwendung des Nabla-Operators verschiedene Felder:

Gradient: ∇A(~r) (Richtung und Betrag des starksten Anstiegs),

Divergenz: ∇ · ~A(~r) (Quellstarke),

Rotation: ∇× ~A(~r) (Wirbelstarke).

Durch Anwendung der Rechenregeln kann man zeigen:

• Gradientenfelder sind wirbelfrei: ∇× (∇A) = 0.

• Wirbelfelder sind quellenfrei: ∇ · (∇× ~A) = 0.


• Wirbelfreie Felder ~A konnen als Gradient eines Skalarfeldes ϕ dargestellt werden:

~A = ∇ϕ falls ∇× ~A = 0. (7.89)

• Quellenfreie Felder ~A konnen als Rotation eines anderen Vektorfeldes ~B dargestellt werden:

~A = ∇× ~B falls ∇ · ~A = 0. (7.90)

Die zweifache Anwendung des Nabla-Operators ergibt den Laplace-Operator

∇ · (∇A) =∂2A

∂x2+∂2A

∂y2+∂2A

∂z2. (7.91)

Weiters gelten die folgenden Rechenregeln:

∇( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B, (7.92)

∇× ( ~A× ~B) = ( ~B · ∇) ~A − ~B(∇ · ~A) − ( ~A · ∇) ~B + ~A(∇ · ~B), (7.93)

∇× (∇× ~A) = ∇(∇ ~A) − ∆ ~A. (7.94)

Kapitel 8

Integration von Feldern: Kurven-und Flachenintegrale

Im Kapitel 2 haben wir gesehen, dass wir die bei der Verschiebung eines Korpers verrichteteArbeit mit Hilfe des Skalarproduktes der angewendeten Kraft ~F und der vektoriellen Verschiebung~r ausdrucken konnen:

W = ~F · ~r. (8.1)

Wenn wir jedoch den Korper nicht auf einer geraden Linie bewegen beziehungsweise die Kraftentlang des Weges nicht konstant ist, konnen wir diesen einfachen Ausdruck nicht mehr verwenden(siehe Abb. 8.1). Das ware etwa bei einem auf einem kurvigen Gleis gezogenen Fahrzeug odereiner Seilbahn der Fall. Wenn wir die gesamte Strecke jedoch in kleine, annahernd gerade Stuckezerlegen, konnen wir die in jedem kleinen Intervall verrichtete Arbeit mit Hilfe von Gleichung (8.1)berechnen.

Abbildung 8.1: Verschiebung eines Korpers entlang eines geradlinigen (links) und eines gekrummtenWeges (rechts).

Die Gesamtarbeit ergibt sich dann aus der Summe aller Arbeiten in den Teilstucken. Im Grenzfallunendlich kleiner Intervalle wird diese Prozedur exakt und fuhrt uns auf den Begriff des Kur-

venintegrals. Auf ahnliche Weise konnen wir zum Beispiel auch den Fluss durch eine gekrummteFlache als Summe der Flusse durch viele kleine, annahernd ebene Flachenelemente ausdrucken undgelangen so zum Flachenintegral. Wir werden ferner sehen, wie diese Integrale durch die Satzevon Stokes und Gauß mit der Rotation und Divergenz von Vektorfeldern zusammenhangen.

187

188 8 Integration von Feldern: Kurven- und Flachenintegrale

8.1 Kurvenintegrale

8.1.1 Definition

Ein wichtiges Beispiel fur ein Kurvenintegral ergibt sich bei der Berechnung der Arbeit, die geleistetwird, wenn ein Korper in einem Kraftfeld entlang einer gegebenen Kurve verschoben wird. Wirbetrachten ein Kraftfeld ~F (~r), zum Beispiel das Gravitationsfeld, das die Kraft beschreibt, die imPunkt ~r auf einen Korper wirkt. Wir stellen uns nun vor, dass in diesem Kraftfeld der Korper aufeiner vorgegebenen Kurve C vom Punkt ~ra zum Punkt ~rb verschoben wird (siehe Abb. 8.2).

Abbildung 8.2: Ein Korper wird im Kraftfeld ~F (~r) entlang eines gekrummten Weges von ~ra nach~rb verschoben.

An jedem Punkt entlang dieses Weges herrscht eine bestimmte Kraft ~F , die Arbeit verrichtet. ZurBerechnung dieser Arbeit konnen wir nun nicht den Ausdruck W = ~F ·~s aus Kapitel 2 verwenden,weil sich die Kraft sowohl in Betrag als auch in Richtung entlang des Weges andern kann und derWeg im Allgemeinen nicht geradlinig ist. Um die gesamte Arbeit zu ermitteln, die bei Verschiebungdes Korpers von ~ra nach ~rb geleistet wird, zerlegen wir den Weg C in N kleine, gerade Stucke ∆~ri,die sich aus den Differenzen ∆~ri = ~ri+1 − ~ri, i = 0, . . .N − 1 auf der Kurve liegender Punkte ~riergeben (siehe Abb. 8.3). Durch Wahl einer genugend großen Zahl N kann die Kurve C durch diegeraden Segmente ∆~ri beliebig gut angenahert werden.

Abbildung 8.3: Durch Zerlegen des Weges in viele kurze und annahernd gerade Teilstucke ∆~rikonnen wir die geleistete Arbeit als ein Wegintegral ausdrucken.

Fur eine genugend feine Zerlegung, das heißt, fur genugend kleine Kurventeilstucke ∆~ri, konnenwir die Kraft ~F in jedem Teilstuck als konstant betrachten. Daher kann die im Teilstuck i geleisteteArbeit ∆Wi als das bekannte Skalarprodukt der Kraft ~F (~ri) am Ort ~ri mit der kleinen Verschiebung∆~ri geschrieben werden:

∆Wi = ~F (~ri) · ∆~ri. (8.2)

Die insgesamt geleistete Arbeit ist die Summe der in den Teilstucken geleisteten Arbeiten ∆Wi

W ≈N−1∑

i=0

∆Wi =N−1∑

i=0

~F (~ri) · ∆~ri. (8.3)

Im Grenzwert unendlich kleiner (und unendlich vieler) Wegstucke ∆~ri erhalten wir den exakten


Wert der im Kraftfeld ~F (~r) auf dem vorgegebenen Weg geleisteten Arbeit:

W = limN→∞

N−1∑

i=0

~F (~ri) · ∆~ri =

∫

C

~F (~r) · d~r. (8.4)

Wir nennen dies das Kurvenintegral (oder Linienintegral) des Vektorfeldes ~F langs der Raum-kurve C. (Wir konnen das Kurvenintegral fur ein beliebiges Vektorfeld definieren, nicht nur fur die

Kraft ~F .) Oft schreibt man fur das Kurvenintegral auch:

W =

~rb∫

~ra

~F (~r) · d~r oder W =

~rb∫

~ra,C

~F (~r) · d~r. (8.5)

Abbildung 8.4: Bei einem geschlossenen Weg C sind Ausgangspunkt ~ra und Endpunkt ~rb identisch:~ra = ~rb.

Falls ~ra = ~rb, die Kurve C also geschlossen ist (siehe Abb. 8.4), schreibt man fur das Integral

∮

C

~F (~r) · d~r = Zc (8.6)

und nennt es die Zirkulation von ~F entlang C oder auch das geschlossene Kurvenintegral

oder Ringintegral.

8.1.2 Eigenschaften

Da im oben definierten Kurvenintegral der Ausdruck, uber den integriert wird, ein Skalarproduktist, ist das Kurvenintegral selbst auch ein Skalar.

Wenn man bei einem Kurvenintegral den Integrationsweg umkehrt (also den Integrationsweg inumgekehrter Richtung durchlauft), andert sich das Vorzeichen des Integrals

∫

C

~F (~r) · d~r = −∫

−C~F (~r) · d~r, (8.7)

wobei −C den in umgekehrter Richtung durchlaufenen Integrationsweg bezeichnet. Diese Eigen-schaft folgt daraus, dass bei einer Umkehrung des Integrationsweges alle ∆~ri ihr Vorzeichen wech-seln und somit das Kurvenintegral selbst auch sein Vorzeichen wechselt.

Abbildung 8.5: Der Weg C besteht aus den beiden Teilwegen C1 und C2.


Ferner ist das Kurvenintegral additiv, das heißt das Kurvenintegral uber einem aus zwei TeilstuckenC1 und C2 bestehenden Weg C ist die Summe der Kurvenintegrale uber C1 und C2:

∫

C

~F (~r) · d~r =

∫

C1

~F (~r) · d~r +

∫

C2

~F (~r) · d~r. (8.8)

Wenn also die Zirkulation ZC entlang eines geschlossenen Weges C verschwindet, sind die Kur-venintegrale entlang der beiden Kurven C1 und C2, die die beiden Punkte ~ra und ~rb miteinanderverbinden, gleich (siehe Abb. 8.6):

ZC =

∮

C

~F (~r) · d~r =

∫

C1

~F (~r) · d~r +

∫

−C2

~F (~r) · d~r =

∫

C1

~F (~r) · d~r −∫

C2

~F (~r) · d~r. (8.9)

Da aber ZC = 0, folgt:∫

C1

~F (~r) · d~r =

∫

C2

~F (~r) · d~r. (8.10)

Abbildung 8.6: Die Punkte ~ra und ~rb liegen auf einer geschlossenen Kurve. Man kann sowohl uberdie Kurve C1 als auch uber die Kurve C2 von ~ra nach ~rb gelangen.

8.1.3 Berechnungsverfahren

Um Kurvenintegrale auszuwerten, fuhren wir sie auf gewohnliche Integrale zuruck. Falls die KurveC in Parameterform gegeben ist, das heißt, falls der Ortsvektor

~r(t) =

x(t)

y(t)

z(t)

(8.11)

als Funktion eines Parameters t im Bereich ta ≤ t ≤ tb gegeben ist, konnen wir das Kurvenintegralin ein einfaches Integral uber den Parameter t verwandeln. In diesem Fall entspricht jeder Punkt~ri in der Zerlegung der Kurve einem bestimmten Parameterwert ti. Die beiden Randpunkte derKurve, ~ra und ~rb, erhalten wir fur die Parameterwerte ta und tb:

~ra = ~r(ta) und ~rb = ~r(tb). (8.12)

Jedes gerade Teilstuck ∆~ri = ~ri+1 − ~ri entspricht dann einem Teilintervall ∆ti = ti+1 − ti desParameters. In der Summe in Gleichung (8.3) dividieren und multiplizieren wir nun jeden Termmit ∆ti und erhalten dadurch:

W ≈N−1∑

i=0

~F (~ri) · ∆~ri =

N−1∑

i=0

~F (~ri) ·∆~ri∆ti

∆ti. (8.13)


Im Grenzfall N → ∞ wird aus ∆~ri/∆ti die Ableitung des Ortsvektors nach dem Parameter t:

limN→∞

∆~ri∆ti

=d~r(t)

dt. (8.14)

Damit wird das Linienintegral zu

W =

tb∫

ta

~F (~r(t)) ·(d~r

dt

)

dt. (8.15)

Dieses Integral ist ein gewohnliches Integral, dessen Integrand, der Skalar ~F (~r(t)) · (d~r/dt), eineFunktion des Parameters t ist. Dabei beinhaltet der Vektor d~r(t)/dt, der in jedem Punkt tangen-

tial zur Kurve ist, die Information uber den Verlauf der Kurve (siehe Abb. 8.7). (Wenn man denVektor d~r(t)/dt normiert, erhalt man den Tangentialvektor ~t = (d~r(t)/dt)/|d~r(t)/dt|.) Falls t dieZeit ist, ist d~r(t)/dt = ~v(t) die Geschwindigkeit des Korpers, der sich gemaß ~r(t) entlang C bewegt.

Abbildung 8.7: Der Geschwindigkeitsvektor d~r(t)/dt ist tangential zur Kurve ~r(t).

Aus dieser Darstellung des Linienintegrals ergibt sich folgendes Rezept zur Berechnung von Li-nienintegralen in Parameterform:

1. Zunachst drucken wir den Feldvektor ~F (~r) durch Einsetzen der parameterabhangigen Koor-dinaten x(t), y(t) und z(t) als Funktion des Parameters t aus.

2. Dann differenzieren wir den Vektor ~r(t) nach t und bilden das Skalarprodukt ~F (~r(t))·(d~r/dt).

3. Schließlich integrieren wir dieses Skalarprodukt, das nur mehr eine Funktion von t ist, in denGrenzen von ta bis tb.

Beispiel:

Wir bestimmen das Integral des Feldes ~F (x, y) = (2x + y, x) entlang der in Parameterform gege-benen Kurve ~r(t) = (t, t2) (das ist eine Parabel) zwischen den Punkten, die zu den Parameternta = 0 und tb = 1 gehoren. Die Kurve beginnt im Ursprung, ~r(ta = 0) = (0, 0), und endet imPunkt ~r(tb = 1) = (1, 1). Der Feldvektor als Funktion von t ist gegeben durch:

~F (x(t), y(t)) =

(

2x(t) + y(t)

x(t)

)

=

(

2t+ t2

t

)

. (8.16)

Ableitung des Ortsvektors nach t liefert

d~r

dt=

(

1

2t

)

(8.17)


Abbildung 8.8: Eine Kraft ~F (~r) verrichtet Arbeit entlang einer Parabel.

und somit

~F · d~rdt

=

(

2t+ t2

t

)

·(

1

2t

)

= 2t+ t2 + 2t2 = 2t+ 3t2. (8.18)

Das Kurvenintegral ist deshalb gegeben als:

∫

C

~F (~r) · d~r =

tb∫

ta

(

~F · d~rdt

)

dt =

1∫

0

(2t+ 3t2)dt =2t2

2+

3t3

3

∣∣∣∣

1

0

= 1 + 1 = 2. (8.19)

Falls die Integrationskurve C nicht in Parameterform vorliegt, konnen wir folgendermaßen vorge-hen. In der Summe in Gleichung (8.3) lasst sich jedes Teilstuck und der dazugehorige Vektor ~F (~ri)in Komponenten zerlegen:

∆~ri = ∆xi~ex + ∆yi~ey + ∆zi~ez (8.20)

und

~F (~ri) = Fx(~ri)~ex + Fy(~ri)~ey + Fz(~ri)~ez. (8.21)

Das Skalarprodukt ~F (~ri) · ∆~ri konnen wir somit schreiben als

~F (~ri) · ∆~ri = Fx(~ri)∆xi + Fy(~ri)∆yi + Fz(~ri)∆zi (8.22)

und die Summe in Gleichung (8.3) besteht somit aus drei Termen, die zu den drei Koordinaten-richtungen gehoren:

W ≈∑

Fx(~ri)∆xi +∑

Fy(~ri)∆yi +∑

Fz(~ri)∆zi. (8.23)

Im Grenzwert einer unendlich feinen Zerlegung des Integrationsweges in Teilstucke erhalten wirdaraus die Summe dreier gewohnlicher Integrale:

W =

xb∫

xa

Fx(~r)dx +

yb∫

ya

Fy(~r)dy +

zb∫

za

Fz(~r)dz

=

xb∫

xa

Fx(x, y, z)dx+

yb∫

ya

Fy(x, y, z)dy +

zb∫

za

Fz(x, y, z)dz. (8.24)

Das Problem ist hier, dass die Integranden von allen drei Variablen x, y und z abhangen und nichtnur von der jeweiligen Integrationsvariablen. Betrachten wir zum Beispiel das erste Integral. Hier


Abbildung 8.9: Raumliche Kurve und ihre Projektion in die xy-Ebene. Bei der Berechnung von∫Fx(~r)dx mussen sowohl y als auch z als Funktion von x ausgedruckt werden.

gehoren zu jedem x-Wert auch wohldefinierte Werte von y und z (siehe Abb. 8.9). Diese hangenvon der Gestalt der Integrationskurve ab. Falls wir nun y und z mit Hilfe der Kurve als Funktionvon x ausdrucken, erhalten wir fur das erste Integral

xb∫

xa

Fx(x, y(x), z(x))dx, (8.25)

ein gewohnliches Integral uber x. (Falls wir y und z aus Eindeutigkeitsgrunden nicht als Funktionvon x ausdrucken konnen, zerlegen wir die Integrationskurve in Teilbereiche, sodass dies moglichist.)

Mit den anderen beiden Integralen verfahren wir analog und erhalten schließlich

W =

xb∫

xa

Fx(x)dx +

yb∫

ya

Fy(y)dy +

zb∫

za

Fz(z)dz, (8.26)

wobei Fx(x) = Fx(x, y(x), z(x)), Fy(y) = Fy(x(y), y, z(y)) und Fz(z) = Fz(x(z), y(z), z). DieInformation uber die Gestalt der Kurve C ist nun in den Funktionen Fx(x), Fy(y) und Fz(z)enthalten.

Beispiel:

Wir berechnen wieder das Kurvenintegral aus dem letzten Beispiel. Hier war

~F (x, y) = (2x+ y, x) (8.27)

und die Kurve war gegeben durch ~r(t) = (t, t2) oder, in nichtparametrischer Form, durch y = x2.Fur das Kurvenintegral haben wir also:

W =

xb∫

xa

Fx(x, y)dx +

yb∫

ya

Fy(x, y)dy, (8.28)

wobei gemaß Angabe xa = ya = 0 und xb = yb = 1. Da wir mit y = x2 keine Eindeutig-keitsprobleme haben, konnen wir im ersten Term y und im zweiten Term x durch die jeweilige


Integrationsvariable ausdrucken:

W =

xb∫

xa

Fx(x, x2)dx+

yb∫

ya

Fy(√y, y)dy. (8.29)

Unter Berucksichtigung von ~F (x, y) = (Fx(x, y), Fy(x, y)) = (2x+ y, x) erhalten wir

W =

1∫

0

(2x+ x2)dx+

1∫

0

√ydy =

(2x2

2+x3

3

) ∣∣∣∣

1

0

+2

3y

32

∣∣∣∣

1

0

= 1 +1

3+

2

3= 2, (8.30)

was mit dem Resultat aus dem vorherigen Beispiel, bei dem eine Parameterdarstellung der Kurveverwendet wurde, ubereinstimmt.

8.1.4 Kurvenintegrale uber Gradientenfelder

Kurvenintegrale der Form∫

C~F (~r) · d~r hangen im Allgemeinen sowohl vom Vektorfeld ~F als auch

von der Integrationskurve C ab (insbesondere von deren Anfangs- und Endpunkt). Unter gewissen

Umstanden kann es jedoch vorkommen, dass das Kurvenintegral∫

C~F (~r) · d~r nur vom Kraftfeld

selbst und den Endpunkten ~ra und ~rb abhangt, nicht aber von der Form des Weges, der ~ra und ~rbverbindet. Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit der Frage beschaftigen, unter welchen Bedin-gungen dies der Fall ist.

Als Beispiel betrachten wir das Linienintegral im Kraftfeld ~F (~r) = 2~r = (2x, 2y, 2z) und verbindenden Anfangspunkt ~ra = (0, 0, 0) mit dem Endpunkt ~rb = (1, 1, 1) durch drei unterschiedlicheKurven C1, C2 und C3 (siehe Abb. 8.10):

C1: Gerade von (0,0,0) nach (1,1,1),

C2: Polygonzug (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1),

C3: Parabelbogen von (0,0,0) nach (1,1,1).

Fur die Kurve C1 ist die Parameterdarstellung

~r(t) = (t, t, t) also istd~r

dt= (1, 1, 1) und ta = 0, tb = 1. (8.31)

Das Kurvenintegral lautet somit

∫

C2

~F (~r) · d~r =

1∫

0

2t

2t

2t

·

1

1

1

dt =

1∫

0

6tdt =6t2

2

∣∣∣∣

1

0

= 3. (8.32)

Entlang der Kurve C2 erhalten wir

∫

C2

~F (~r) · d~r =

1∫

0

2xdx

︸︷︷︸

~r(x)=(x,0,0)x als Parameter

+

1∫

0

2ydy

︸︷︷︸

~r(y)=(1,y,0)y als Parameter

+

1∫

0

2zdz

︸︷︷︸

~r(z)=(1,1,z)z als Parameter

= 32x2

2

∣∣∣∣

1

0

= 3. (8.33)

Die Parabel C3 ist in Parameterform gegeben durch: ~r(t) = (t, t, t2), d. h. d~rdt = (1, 1, 2t) und somit


Abbildung 8.10: (a) Integrationsweg C1, (b) Integrationsweg C2 und (c) Integrationsweg C3.

gilt

∫

C3

~F (~r) · d~r =

1∫

0

2t

2t

2t2

·

1

1

2t

dt =

1∫

0

(4t+ 4t3)dt

=4t2

2+

4t4

4

∣∣∣∣

1

0

= 2 + 1 = 3. (8.34)

Das heißt, fur alle drei Wege C1, C2 und C3 erhalten wir den selben Wert fur das Kurvenintegral.

Es stellt sich nun die Frage, ob auch fur andere Wege das Kurvenintegral dasselbe ist. Die Antwortauf diese Frage ist ja, denn wir konnen das Integral schreiben als:

∫

C

~F (~r) · d~r =

∫

C

2~r · d~r =

∫

C

d(~r 2) = ~r 2

∣∣∣∣

~rb

~ra

= ~r 2b − ~r 2

a = 3. (8.35)

Hier kommt es also nur auf den Anfangspunkt ~ra und den Endpunkt ~rb der Kurve an. Fur dasspezielle Vektorfeld ~F (~r) = 2~r ist also offensichtlich das Kurvenintegral unabhangig vom Weg.Welche Bedingung erfullen Kraftfelder, fur die das der Fall ist?

Um diese wichtige Frage zu beantworten, gehen wir zunachst davon aus, dass ein bestimmtesVektorfeld ~A(~r) die Eigenschaft besitzt, dass das Kurvenintegral nicht von der Form der Kurve Cabhangt sondern nur von den beiden Punkten ~ra und ~rb, die von der Kurve C verbunden werden.Wir stellen uns also vor, dass es viele verschiedene Wege C1, C2, C3, usw. gibt (siehe Abb. 8.11),die alle von ~ra nach ~rb verlaufen und alle das gleiche Kurvenintegral liefern, dessen Wert wir φnennen:

φ =

∫

C1

~A(~r) · d~r =

∫

C2

~A(~r) · d~r = . . . . (8.36)

Obwohl das Kurvenintegral φ nicht von der Form der Kurve abhangt, hangt es sehr wohl von dessenAnfangs- und Endpunkt ab. Wir wollen uns nun uberlegen, wie genau φ von ~ra und ~rb abhangt.Es genugt dabei, die Abhangigkeit vom Endpunkt ~rb zu betrachten. Wenn wir die Abhangigkeitvom Ausgangspunkt ermitteln wollen, drehen wir einfach die Richtung der Wege um und machenso Endpunkte zu Anfangspunkten.

Der Einfachheit halber nennen wir den Endpunkt der Wege jetzt ~r (statt ~rb) und betrachten dieAbhangigkeit von φ von ~r, wobei wir den Anfangspunkt ~ra festhalten:

φ(~r) =

~r∫

~ra

~A(~q) · d~q. (8.37)


Abbildung 8.11: Alle Integrationswege (C1, C2, C3 und C4) verbinden ~ra mit ~rb und fuhren zum

selben Kurvenintegral∫

Ci

~A(~r) · d~r.

Hier haben wir die Integrationsvariable in ~q umgetauft, um Verwechslungen zu vermeiden. (DerName einer Integrationsvariablen spielt keine Rolle, sollte sich jedoch von den Namen der anderenVariablen unterscheiden.)

Abbildung 8.12: Durch Verschiebung des Kurvenendpunktes von ~r nach ~r + ∆~r andert sich dieFunktion φ(~r) naherungsweise um ∆φ(~r) = ~A(~r) · ∆~r.

Um herauszufinden, wie genau φ(~r) von ~r abhangt, verschieben wir ~r um einen kleinen Vektor ∆~r(siehe Abb. 8.12). Wie andert sich nun φ(~r), wenn wir den Endpunkt von ~r nach ~r+∆~r verschieben?Falls der Weg C2 von ~ra nach ~r + ∆~r nicht durch ~r geht, konnen wir ihn so verbiegen, dass erdas tut. Laut Voraussetzung andert das ja nicht den Wert φ(~r + ∆~r), weil das Kurvenintegralunabhangig von der Form des Weges ist.

Wir konnen jetzt φ(~r+∆~r) ausdrucken als Summe von zwei Kurvenintegralen, namlich einem von~ra bis ~r entlang C′

2 und einem von ~r nach ~r + ∆~r entlang C′′2 :

φ(~r + ∆~r) =

∫

C2

~A(~q) · d~q =

∫

C′

2

~A(~q) · d~q +

~r+∆~r∫

~r,C′′

2

~A(~q) · d~q. (8.38)

Das erste Integral auf der rechten Seite ist jedoch gleich φ(~r) (laut Voraussetzung spielt es ja keineRolle, ob wir uber C1 oder C′

2 integrieren). Somit erhalten wir

φ(~r + ∆~r) = φ(~r) +

~r+∆~r∫

~r

~A(~q) · d~q. (8.39)

Falls ∆~r sehr klein ist, andert sich der Vektor ~A(~r) nicht entlang der kurzen Strecke von ~r nach


~r + ∆~r. Also konnen wir in diesem Fall das Integral in der obigen Gleichung annahern durch~A(~r) · ∆~r und wir erhalten schließlich:

φ(~r + ∆~r) − φ(~r) ≈ ~A(~r) · ∆~r. (8.40)

Die linke Seite ist aber (fur ∆~r → 0) das totale Differential φ der Funktion φ(~r), das wir als

dφ = grad φ · d~r (8.41)

ausdrucken konnen. Im Limes kleiner Verschiebungen d~r gilt also

~A(~r) · d~r = grad φ · d~r. (8.42)

Da diese Beziehung fur jede beliebige Verschiebung d~r gilt, folgt schließlich

grad φ(~r) = ~A(~r). (8.43)

Wenn also das Kurvenintegral uber ein Vektorfeld ~A nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges,nicht aber von der Form des Weges abhangt, dann ist das Vektorfeld durch den Gradienten einesskalaren Feldes darstellbar. Das heißt, es existiert in diesem Fall ein geeignetes skalares Feld φ(~r),

das bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, sodass ~A = grad φ. Die Wahl der Konstanten istder Wahl des Anfangspunktes ~ra aquivalent.

Die Darstellbarkeit eines Vektorfeldes als Gradient eines skalaren Feldes ist also eine notwendige

Bedingung fur die Unabhangigkeit des Kurvenintegrals von der Form des Weges. Bemerkenswer-terweise ist es auch eine hinreichende Bedingung. Wenn namlich das Vektorfeld ~A als Gradienteines skalaren Feldes dargestellt werden kann, das heißt, wenn ~A = grad φ, dann gilt fur dasKurvenintegral:

~rb∫

~ra,C

~A(~r) · d~r =

~rb∫

~ra,C

grad φ · d~r =

~rb∫

~ra,C

dφ = φ(~rb) − φ(~ra). (8.44)

Das Integral hangt somit nur vom Anfangs- und vom Endpunkt ab.

Wir erhalten also folgenden Satz:

Kurvenintegrale uber ein Vektorfeld ~A(~r) sind genau dann (und nur dann) vom Weg unabhangig,

wenn eine Funktion φ(~r) existiert, sodass ~A = grad φ. Legt man φ an einer Stelle ~ra fest, ist φeindeutig bestimmmt.

Die Funktion φ wird Potential genannt (in der Physik bezeichnet man meistens −φ als das

Potential. Die potentielle Energie in der Mechanik ist ein Beispiel dafur.). Das Feld ~A nennt man

auch ein konservatives Vektorfeld. Wie man einem Vektorfeld ~A ansehen kann, ob wir es alsGradientenfeld darstellen konnen, werden wir im Abschnitt 8.4 sehen.

Aus dem obigen Satz folgt, dass genau dann geschlossene Kurvenintegrale uber das Vektorfeld ~Averschwinden, wenn sich das Vektorfeld ~A als Gradient eines skalaren Feldes φ darstellen lasst.Das Ringintegral

∮

C~A(~r) ·d~r kann namlich durch Wahl zweier beliebiger Punkte ~ra und ~rb auf der

Kurve C in zwei Teile zerlegt werden, die den Wegen C1 und C2 entsprechen (siehe Abb. 8.13):

∮

C

~A(~r) · d~r =

∫

C1

~A(~r) · d~r +

∫

C2

~A(~r) · d~r. (8.45)

Wir durchlaufen nun C2 in entgegengesetzter Richtung und drehen damit das Vorzeichen deszweiten Integrals um:

∮

C

~A(~r) · d~r =

∫

C1

~A(~r) · d~r −∫

−C2

~A(~r) · d~r. (8.46)


Abbildung 8.13: Durch Wahl zweier Punkte ~ra und ~rb zerlegen wir das Ringintegral in zwei Linien-integrale entlang C1 und C2.

Da aber C1 und −C2 Anfangs- und Endpunkt gemeinsam haben und laut Voraussetzung dasKurvenintegral uber ~A nicht von der Form des Weges abhangt, sind die beiden Integrale auf derrechten Seite der obigen Gleichung gleich. Demzufolge verschwindet das Ringintegral:

∮

C

~A(~r) · d~r = 0. (8.47)

8.2 Oberflachenintegrale

8.2.1 Definition

Im Kapitel 2 haben wir gesehen, dass wir das pro Zeiteinheit durch eine Flache stromende Flussig-keitsvolumen, also den Fluss, als Skalarprodukt des die Stromung beschreibenden Geschwindig-keitsvektors ~v und des Flachenvektors ~f darstellen konnen (siehe Abb. 8.14):

φ = Fluss = ~f · ~v. (8.48)

Dabei sind wir davon ausgegangen, dass die Flache eben ist und der Geschwindigkeitsvektor ~vnicht vom Ort abhangt (ein solches Vektorfeld nennt man homogen).

Abbildung 8.14: Homogenene Stromungdurch eine ebene Flache mit Flachenvektor~f .

Abbildung 8.15: Inhomogene Stromungdurch eine gekrummte Flache.

Wie konnen wir nun dieses Ergebnis auf eine beliebige, raumlich (und moglicherweise zeitlich)veranderliche Stromung durch eine gekrummte Flache verallgemeinern (siehe Abb. 8.15)? In diesem


Fall wird die Stromungsgeschwindigkeit durch ein Vektorfeld ~v(~r) beschrieben und die Flache Fkann nicht durch einen einzelnen Flachenvektor dargestellt werden. Um den Fluss durch diese(wirkliche oder gedachte) Flache F zu berechnen, gehen wir in Analogie zum Kurvenintegral vor,bei dem wir eine Kurve in kleine Teilstucke ∆~ri eingeteilt haben, und zerlegen die Flache Fin viele kleine Teilstucke, die wir durch ebene Flachenstucke ∆fi, die so genannten Facetten,approximieren (siehe Abb. 8.16). In der Praxis benotigen wir naturlich eine analytische Darstellungdieser Facetten. Hier wollen wir zunachst jedoch nur davon ausgehen, dass wir eine solche Zerlegungin Facetten durchfuhren konnen, ohne auf ihre spezifische analytische Darstellung einzugehen.

Fur jede der Facetten, die wir mit dem Index i nummerieren, definieren wir nun einen Flachenvektor∆~f(~ri), dessen Betrag gleich dem Flacheninhalt der Facette um den Punkt ~ri ist und der normalauf diese Facette steht. Der Punkt ~ri ist ein beliebiger Punkt im Inneren der i-ten Facette.

Abbildung 8.16: Zerlegung der Flache F in kleine Facetten mit Flachenvektoren ∆~fi.

Wir wahlen die Facetten so klein, dass das Vektorfeld innerhalb jeder Facette naherungsweisekonstant ist. Das heißt, innerhalb der Facette um ~ri mit dem Flachenvektor ∆~f(~ri) ist das Vek-torfeld konstant und gleich ~v(~ri). Wir konnen nun den Fluss durch das Flachenelement ∆fi alsSkalarprodukt berechnen:

∆φi = ~v(~ri) · ∆~f(~ri). (8.49)

Der Gesamtfluss φ durch die Flache F ergibt sich als Summe aller Teilflusse:

φ ≈N∑

i=1

~v(~ri) · ∆~f(~ri). (8.50)

Im Limes unendlich vieler (N → ∞) und unendlich kleiner Facetten wird aus dieser Summe einFlachenintegral:

φ = limN→∞

N∑

i=1

~v(~ri) · ∆~f(~ri) =

∫

F

~v(~r) · d~f(~r). (8.51)

Flachenintegrale konnen fur beliebige Vektorfelder ~A(~r) definiert werden (nicht nur fur ein Stromungs-feld ~v(~r)):

φ =

∫

F

~A(~r) · d~f(~r) =

∫

F

Axdfx +

∫

F

Aydfy +

∫

F

Azdfz. (8.52)

Oft ist es notwendig, ein Flachenintegral uber einer geschlossenen Flache F (zum Beispiel dieOberflache einer Kugel) zu berechnen. Wir bezeichnen ein solches Integral mit

∮

F

~A · d~f (8.53)

und definieren die Flachennormalen ublicherweise so, dass sie aus dem geschlossenen Gebiet her-auszeigen.


8.2.2 Darstellung der Flache und des Flachenelements

In der praktischen Berechnung von Oberflachenintegralen ist es notwendig, eine analytische Dar-stellung der Flache im Raum zu wahlen. In kartesischen Koordinaten konnen wir, wie wirbereits fruher gesehen haben, Flachen im Raum darstellen, indem wir jedem Punkt der xy-Ebeneeine z-Koordinate zuordnen, z = z(x, y) (siehe Abb. 8.17). Die Flache F besteht dann aus denPunkten (x, y, z(x, y)), wobei x und y aus einem bestimmten Definitionsbereich D der xy-Ebenestammen (namlich der Projektion der Flache F in die xy-Ebene).

Abbildung 8.17: Die Flache F wird durch dieFunktion z = z(x, y) beschrieben.

Abbildung 8.18: Da zu einem Punkt (x, y)in der xy-Ebene mehr als ein Punkt auf derFlache existiert, muss die Flache in die zweiTeilflachen F1 und F2 zerlegt werden.

Falls es zu einem Punkt (x, y) mehr als einen z-Wert gibt (siehe Abb. 8.18), muss die Flache inmehrere Teilflachen Fi zerlegt werden.

Beispiel:

Abbildung 8.19: Die Oberflache der Kugel besteht aus den zwei Halbkugeln F1 und F2.

In kartesischen Koordinaten kann die Oberflache einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt imUrsprung durch die zwei Teilflachen F1 mit positiven z-Werten und F2 mit negativen z-Wertendargestellt werden (siehe Abb. 8.19):

F1 : (x, y,+√

R2 − (x2 + y2)), (8.54)

F2 : (x, y,−√

R2 − (x2 + y2)). (8.55)


Der Definitionsbereich in der xy-Ebene ist hier ein Kreis mit Radius R und Mittelpunkt im Ur-sprung.

Bis jetzt haben wir x und y als die freien Parameter gewahlt. Wir konnten aber Flachen genausogut mit (y, z) oder (x, z) als freien Parameter wahlen. Allgemeiner konnen wir eine Flache F durcheinen Ortsvektor ~r(u, v) beschreiben, der von zwei Parametern u und v abhangt:

~r = ~r(u, v) =

x(u, v)

y(u, v)

z(u, v)

. (8.56)

Im Falle der kartesischen Darstellung gilt u = x, v = y (falls x und y als Parameter verwendetwerden). Diese allgemeine Parameterdarstellung ist analog zur Parameterdarstellung einer Kurve.Da eine Kurve im Raum jedoch ein eindimensionales Objekt ist, genugt in diesem Fall ein einzigerParameter.

Abbildung 8.20: Auf der Mantelflache eines Zylinders mit Radius ρ = R konnen die Zylinderkoor-dinaten ϕ und z beliebige Werte annehmen.

Oberflachenintegrale werden einfacher, wenn ein Koordinatensystem mit geeigneter Symmetriegewahlt wird. Wollen wir zum Beispiel die Oberflache eines unendlich langen Zylinders beschreiben,sind Zylinderkoordinaten (ϕ, ρ, z) zweckmaßig (siehe Kapitel 2). Fur die Mantelflache einesZylinders mit Radius R gilt (siehe Abb. 8.20):

ρ = const = R, ϕ, z beliebig (0 ≤ ϕ < 2π,−∞ < z <∞). (8.57)

Hier spielen ϕ und z die Rolle der Parameter u und v. Die Flache wird von einem Netz aus so ge-nannten Parameterlinien uberdeckt, auf denen ϕ beziehungsweise z konstante Werte annehmen.

Ein weiteres Beispiel ist die Darstellung der Kugeloberflache in den Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)(siehe Kapitel 2). Die Oberflache einer Kugel mit Radius R ist definiert durch (siehe Abb. 8.21):

r = const = R, ϕ, ϑ beliebig in (0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π). (8.58)

Hier werden Orte auf der Kugeloberflache durch Angabe der beiden Parameter ϕ und ϑ definiert.Die Parameterlinien sind die Langen- und Breitengrade.


Abbildung 8.21: Auf der Oberflache einer Kugel mit Radius r = R konnen die Kugelkoordinatenϕ und ϑ beliebige Werte annehmen.

8.2.3 Das Flachenelement

Neben einer analytischen Darstellung der Oberflache ist zur Berechnung von Oberflachenintegralenauch die Darstellung des Oberflachenelements d~f der Flache F notwendig. Dann kann das Ober-flachenintegral auf ein gewohnliches Doppelintegral zuruckgefuhrt werden. In kartesischen Koordi-naten konnen wir die Flache F in kleine Facetten zerlegen, indem wir zum Beispiel die ProjektionD von F auf die xy-Ebene in kleine Rechtecke der Kantenlange ∆x und ∆y einteilen (siehe Abb.8.22).

Abbildung 8.22: Das Flachenelement ∆~f der Oberflache F ist gegenuber der z-Achse um denWinkel α geneigt.

Durch die Wahl kleiner Rechtecke kann die Projektion D beliebig genau durch Rechtecke an-genahert werden. Die Zerlegung der Projektion in kleine Rechtecke erzeugt auch eine Zerlegungder Flache F in kleine Facetten mit Flache ∆f . Da diese Facetten gegenuber der xy-Ebene geneigtsein konnen, unterscheidet sich der Flacheninhalt der Facetten im Allgemeinen vom Flachenin-halt der Rechtecke in der xy-Ebene. Diese Neigung muss in der Ermittlung der Flachenelementeberucksichtigt werden. Fur die Projektion eines Flachenelements mit dem Flachenvektor ∆~f aufdie xy-Ebene gilt (wir werden spater sehen, wie wir die Richtung von ∆~f ermitteln konnen):

∆~f · ~ez = ∆x∆y. (8.59)


Falls die Facette horizontal ist, ist ∆~f parallel zur z-Achse und ∆~f · ~ez = ∆f (~ez ist der Ein-heitsvektor in z-Richtung). Der Flacheninhalt des Flachenelements ist in diesem Fall gleich dem

Flacheninhalt seiner Projektion. Schließt ∆~f jedoch mit der z-Achse den Winkel α ein, ist dieProjektion in die xy-Ebene flachenmaßig kleiner als das Flachenelement.

Abbildung 8.23: Die Flache der Projektion des Flachenelements ist gegenuber der Flache desFlachenelements um den Faktor cosα vermindert.

Die Flache der Projektion ist um den Faktor cosα gegenuber der Flache des Flachenelementsverringert (siehe Abb. 8.23) und daher gilt:

∆f cosα︸︷︷︸

∆~f ·~ez

= ∆x∆y, (8.60)

was wegen ∆~f · ~ez = ∆f cosα genau der vorherigen Gleichung entspricht. Das heißt, fur einbestimmtes Rechteck um den Punkt (x, y) in der xy-Ebene ist die Flache des zugehorigen Flachen-elements gegeben durch

∆f =∆x∆y

cosα=

∆x∆y

~n(x, y, z(x, y)) · ~ez, (8.61)

wobei ~n = ∆~f/∆f der Einheitsnormalenvektor auf das Flachenelement im Punkt (x, y, z(x, y)) ist.

Wir mussen nun noch den Normalenvektor ~n(x, y, z(x, y)) bestimmen. Dazu benutzen wir dieTatsache, dass der Gradient einer Funktion g(x, y, z) normal auf die durch g(x, y, z) =const defi-nierten Niveauflachen steht. Wir konnen nun die Flache F , die aus den Punkten (x, y, z = f(x, y))(wir haben hier die Funktion f eingefuhrt, um die Variable z von der Funktion z(x, y) zu unter-scheiden) besteht, auffassen als eine Niveauflache der Funktion

g(x, y, z) = z − f(x, y). (8.62)

Die Flache F ist namlich wegen z = f(x, y) genau jene Niveauflache von g, fur die gilt:

g(x, y, z) = 0. (8.63)

Der Normalenvektor ~n im Punkt (x, y, z(x, y)) ist also gegeben durch

~n =grad g

|grad g| =∇g|∇g| . (8.64)

Der Gradient ∇g lautet

∇g =

∂g∂x∂g∂y∂g∂z

=

−∂f∂x

−∂f∂y

1

(8.65)

und somit erhalten wir fur den Normalenvektor

~n =1

√

1 +(∂f∂x

)2

+(∂f∂y

)2

−∂f∂x

−∂f∂y

1

. (8.66)


Mit Hilfe dieses Normalenvektors konnen wir nun den Flachenvektor ∆~f ausdrucken als

∆~f =∆x∆y

~n · ~ez~n =

∆x∆y1

q

1+( ∂f∂x )

2+( ∂f

∂y )2

1√

1 +(∂f∂x

)2

+(∂f∂y

)2

−∂f∂x

−∂f∂y

1

= ∆x∆y

−∂f∂x

−∂f∂y

1

. (8.67)

Wir haben jetzt alle Elemente, die wir zur Berechnung des Flachenintegrals in kartesischen Koor-dinaten benotigen. Dies wollen wir im nachsten Abschnitt tun. In anderen Koordinatensystemenmussen auch die Ausdrucke fur das Flachenelement entsprechend geandert werden.

8.2.4 Berechnung des Oberflachenintegrals

Im letzten Abschnitt haben wir uns mit den Zutaten fur die praktische Berechnung von Ober-flachenintegralen beschaftigt. In diesem Abschnitt wollen wir diese Zutaten verwenden, um dasOberflachenintegral auf ein gewohnliches Doppelintegral in kartesischen Koordinaten zuruckzu-fuhren. Falls die Berechnung nicht mit kartesischen Koordinaten x und y als Parameter sondernmit den allgemeinen Parametern u und v durchgefuhrt werden soll, muss das Flachenelement aufgeeignete Weise transformiert werden. Auf diesen allgemeineren Fall konnen wir hier jedoch nichteingehen und die Leserin/der Leser sei dafur auf die weiterfuhrende Literatur verwiesen.

Im Limes unendlich kleiner Rechtecke wird aus dem Flachenelement ∆~f das infinitesimale Flachen-element

d~f =

−∂f∂x

−∂f∂y

1

dxdy. (8.68)

Einsetzen in den Ausdruck fur das Oberflachenintegral ergibt

∫

F

~A(~r) · d~f =

∫

D

~A(x, y, z(x, y)) ·

−∂f∂x

−∂f∂y

1

dxdy. (8.69)

Wir haben somit das Oberflachenintegral uber die Flache F in ein Doppelintegral uber den BereichD (Projektion von F ) in der xy-Ebene verwandelt. Wir wollen diesen Ausdruck nun anhand einesBeispiels erlautern.

Beispiel:

Zu berechnen sei das Oberflachenintegral des Vektorfeldes ~A(~r) = (x3, y3, z3) uber die durch z =f(x, y) = x2 + y2 dargestellte Flache und zwar in den Grenzen −1 ≤ x ≤ 1 und −1 ≤ y ≤ 1. DieFlache ist ein abgeschnittenes Rotationsparaboloid (siehe Abb. 8.24).

Die partiellen Ableitungen von f(x, y) nach x und y sind:

∂f

∂x= 2x und

∂f

∂y= 2y. (8.70)


Abbildung 8.24: Rotationsparaboloid uber einem quadratischen Bereich.

Folglich ergibt sich fur das Integral

∫

F

~A · d~f =

1∫

−1

1∫

−1

x3

y3

(x2 + y2)3

·

−2x

−2y

1

dxdy

=

1∫

−1

1∫

−1

[−2x4 − 2y4 + (x2 + y2)3

]dxdy

= 2

1∫

−1

1∫

0

[−2x4 − 2y4 + x6 + 3x4y2 + 3x2y4 + y6

]dxdy

= 2

1∫

−1

[

−2x5

5− 2y4x+

x7

7+

3x5

5y2 +

3x3

3y4 + y6x

] ∣∣∣∣

1

0

dy

= 2

1∫

−1

(

−2

5− 2y4 +

1

7+

3

5y2 + y4 + y6

)

dy

= 2

1∫

0

(

−4

5− 4y4 +

2

7+

6

5y2 + 2y4 + 2y6

)

dy

= 2

1∫

0

(

−18

35+

6

5y2 − 2y4 + 2y6

)

dy = 2

(

−18

35y +

6

3 · 5y3 − 2

5y5 +

2

7y7

) ∣∣∣∣

1

0

= 2

(

−18

35+

2

5− 2

5+

2

7

)

= −2 · 18

35+

4

7= −36 − 20

35= −16

35. (8.71)

In manchen Fallen ist es zweckmaßig, die Integration nicht in einem kartesischen Koordinaten-system, sondern in einem anderen Koordinatensystem durchzufuhren. In diesem Fall ist auf einekorrekte Definition der Flachenelemente zu achten, auf die wir hier jedoch nicht naher eingehenkonnen.


8.3 Der Integralsatz von Gauß

Der Integralsatz von Gauß stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Oberflachenintegral uberein Vektorfeld und dem Volumensintegral uber die Divergenz eines Vektorfeldes. Dieser Satz erlaubtnicht nur eine anschauliche Interpretation der Divergenz, sondern ermoglicht auch sehr praktischeUmformungen von Integralen. Zum Beispiel konnen wir den Gaußschen Integralsatz dazu benutzen,um die partielle Integration aus Kapitel 4 auf Vektorintegrale zu verallgemeinern.

8.3.1 Integraldarstellung der Divergenz

Wir haben im Abschnitt 7.3.2 in Kapitel 7 bereits gesehen, dass der Gesamtfluss durch die Ober-flache eines kleinen Quaders an der Stelle ~r(x, y, z) mit den Kantenlangen ∆x,∆y und ∆z imStromungsfeld ~j(~r) gegeben ist durch

div ~j(~r)∆x∆y∆z = div ~j(~r)∆V. (8.72)

Wir betrachten nun ein allgemeines Vektorfeld ~A(~r) und bilden das Oberflachenintegral∮

∆F

~A · d~f (8.73)

uber die geschlossene Oberflache ∆F eines kleinen Volumens ∆V . Falls das kleine Volumen ein Qua-der mit Kantenlange ∆x,∆y und ∆z ist (siehe Abb. 8.25), konnen wir dieses Oberflachenintegraleinfach aus den Oberflachenintegralen uber die sechs Seitenflachen des Quaders zusammensetzen:

∮

∆F

~A · d~f =

6∑

i=1

∫

∆fi

~A · d~f. (8.74)

Abbildung 8.25: Quader mit Volumen ∆x∆y∆z und Seitenflachen ∆~f1, ∆~f2, ∆~f3, ∆~f4, ∆~f5 und∆~f6.

Im Limes eines immer kleiner werdenden Quaders konnen wir diese Integrale leicht nach demMuster von Kapitel 4 losen. Die Annahme, dass das Vektorfeld auf den kleinen Seitenflachen desQuaders konstant ist und dass sich das Feld im Quader nur linear andert, fuhrt uns zu

∮

∆F

~A · d~f ≈ div ~A(~r)∆V, (8.75)

wobei ∆V = ∆x∆y∆z. Im Limes ∆x → 0,∆y → 0,∆z → 0 wird diese Beziehung exakt und wirerhalten nach Division durch ∆V

lim∆V→0

1

∆V

∮

∆F

~A · d~f = div ~A(~r). (8.76)


In diesem Grenzubergang haben wir ~r, den Mittelpunkt des Quaders, konstant gehalten. (Hier gehtnaturlich nicht nur ∆V gegen 0, sondern auch der großte Durchmesser des kleinen Quaders.)

Diese Beziehung kann als Definition der Divergenz aufgefasst werden. Sie gilt nicht nur fur eineFolge von kleiner werdenden Quadern, sondern fur jede Folge geschlossener, glatter Flachen, diesich in diesem Grenzprozess auf den Punkt ~r zusammenziehen. Diese Definition ist sogar danngultig, wenn ~A(~r) nicht differenzierbar ist. Falls dies aber der Fall ist, gilt naturlich die Beziehungaus Kapitel 7:

lim∆V→0

1

∆V

∮

∆F

~A · d~f = div ~A(~r) =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

. (8.77)

Diese Integraldarstellung konnen wir nun benutzen, um den Integralsatz von Gauß herzuleiten.

8.3.2 Formulierung und Herleitung

Aus der Integraldarstellung der Divergenz wissen wir, dass fur ein kleines, quaderformiges Volumen∆V1 an der Stelle ~r1 gilt

1

∆V1

∮

F (∆V1)

~A · d~f = div ~A(~r1), (8.78)

wobei sich das Oberflachenintegral uber die geschlossene Flache F (∆V1) dieses Volumselementserstreckt. Wir stellen uns nun vor, dass wir an dieses kleine Volumen ∆V1 ein weiteres quaderformi-ges Volumen ∆V2 legen, das mit dem ersten Volumen eine Seitenflache gemeinsam hat (siehe Abb.8.26).

Abbildung 8.26: An der Flache S beruhren sich die beiden Volumselemente V1 und V2. Die Flachen-

elemente ∆~f(1)S und ∆~f

(2)S sind einander entgegengesetzt.

Fur dieses zweite Volumen gilt naturlich genauso

1

∆V2

∮

F (∆V2)

~A · d~f = div ~A(~r2), (8.79)

wobei diesmal die Integration uber die Oberflache F (∆V2) des kleinen Volumens ∆V2 erfolgt. Somiterhalten wir durch Addition:

∮

F (∆V1)

~A · d~f +

∮

F (∆V2)

~A · d~f = div ~A(~r1)∆V1 + div ~A(~r2)∆V2. (8.80)

Die linke Seite ist die Summe zweier Oberflachenintegrale, wobei in jedem Oberflachenintegralalle Seitenflachen der beiden quaderformigen Bereiche einen Beitrag leisten. Da die Trennflache S


beiden Oberflachen gemeinsam ist, gibt es in jedem der Oberflachenintegrale einen Beitrag, dervom Fluss durch diese Seitenflache stammt. Bezeichnen wir den Feldvektor in der Mitte dieserFlache mit ~A(~rS), ist der Beitrag zum Oberflachenintegral uber F (∆V1) gegeben durch

~A(~rS) · d~f (1)S (8.81)

und der Beitrag zum Oberflachenintegral uber F (∆V2) gleich

~A(~rS) · d~f (2)S . (8.82)

Da wir vereinbart haben, dass die Flachennormalvektoren stets nach außen gerichtet sind, zeigen

d~f(1)S und d~f

(2)S in entgegengesetzte Richtung. Im Betrag sind sie aber gleich (weil sie zur gleichen

Flache gehoren) und so gilt

d~f(1)S = −d~f (2)

S . (8.83)

Die beiden Beitrage (8.81) und (8.82) heben einander genau auf

~A(~rS) · d~f (1)S + ~A(~rS) · d~f (2)

S = ~A(~rS) · d~f (1)S − ~A(~rS) · d~f (1)

S = 0. (8.84)

Die gemeinsame Trennflache S liefert also in der Summe auf der linken Seite der Gleichung keinenBeitrag. Ubrig bleiben also nun die Beitrage der Außenseiten F (∆V1 + ∆V2) des kombiniertenVolumens ∆V1 + ∆V2:

∮

F (∆V1)

~A · d~f +

∮

F (∆V2)

~A · d~f =

∮

F (∆V1+∆V2)

~A · d~f. (8.85)

Dieser Ausdruck gilt ubrigens nicht nur fur infinitesimale Volumina, sondern ganz allgemein furdie Summe zweier Volumina V1 + V2, welche eine, moglicherweise gekrummte, Beruhrungsflache Shaben (siehe Abb. 8.27). Auch in diesem Fall heben sich die beiden Beitrage der Flache S zumOberflachenintegral uber V1 und V2 genau auf, da in jedem Punkt die zugehorigen Normalvektorenden gleichen Betrag aber entgegengesetzte Richtung besitzen.

Abbildung 8.27: In der Summe der Oberflachenintegrale uber die Oberflachen, die die VoluminaV1 und V2 umschließen, heben sich die Beitrage, die von der Beruhrungsflache S stammen, exaktauf.

Wir konnen nun diese Prozeduren beliebig oft wiederholen und stets neue Quader ∆V3, ∆V4, ∆V5,usw. an die bereits vorhandenen anfugen. Dabei heben sich die Beitrage der gemeinsamen Flachenimmer auf und ubrig bleibt nur das Oberflachenintegral uber die Einhullende F (∆V1 + ∆V2 + . . . )aller N Teilvolumina ∆Vi:

∮

F (∆V1)

~A · d~f +

∮

F (∆V2)

~A · d~f + · · · +∮

F (∆VN )

~A · d~f =

∮

F (∆V1+···+∆VN )

~A · d~f. (8.86)

Mit Hilfe des Summenzeichens konnen wir dies kompakter ausdrucken als:

N∑

i=1

∮

F (∆Vi)

~A · d~f =

∮

F (P

i ∆Vi)

~A · d~f. (8.87)


Abbildung 8.28: Zerlegung eines Volumens in kleine Quader.

Wir konnen nun jedes Volumen V beliebig genau mit Hilfe kleiner Quader ∆Vi annahern, V ≈∑

i ∆Vi. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (8.87) wird dann zu einem Oberflachen-integral uber die Oberflache von V . Drucken wir zusatzlich auf der linken Seite dieser Gleichungdie Oberflachenintegrale uber die Teilvolumina mit Hilfe von Gleichung (8.76) durch die lokaleQuellenstarke aus, erhalten wir

∮

F (V )

~A · d~f ≈N∑

i=1

∮

F (∆Vi)

~A · d~f ≈N∑

i=1

div ~A(~ri) · ∆Vi. (8.88)

Im Grenzwert infinitesimal kleiner Teilvolumina wird aus der Summe in dieser Gleichung ein Vo-lumsintegral uber V :

∮

F (V )

~A · d~f =

∫

V

div ~AdV. (8.89)

Dies ist der Integralsatz von Gauß, der auch oft Satz von Gauß-Ostrogradski genannt wird,weil er von diesen beiden Mathematikern unabhangig voneinander gefunden wurde.

In Worten lasst sich der Integralsatz von Gauß ausdrucken als: Das Oberflachenintegral einesVektorfeldes ~A uber eine geschlossene Flache F mit nach außen gerichteten Flachennormalen istgleich dem Volumsintegral uber die Divergenz des Vektorfeldes im Volumen V, das von der FlacheF eingeschlossen wird.

Der Satz von Gauß verknupft also die Quellen und Senken eines Feldes im Inneren eines Volumensmit den Eigenschaften des Feldes auf der Oberflache des Volumens. Anwendung findet der Satzvon Gauß zum Beispiel in der Elektrostatik und Elektrodynamik sowie bei der Kontinuitatsglei-chung fur erhaltene Großen (z.B. Energie, Impuls, Masse).

Beispiel:

Um die Nutzlichkeit des Satzes von Gauß zu demonstrieren, berechnen wir das OberflachenintegralO fur das Feld ~A(~r) = ~r uber die Oberflache F eines Wurfels mit Volumen V . Mit Hilfe des Satzesvon Gauß konnen wir umformen:

O =

∮

F

~A · d~f =

∫

V

div ~AdV. (8.90)

Fur ~A = ~r haben wir div ~A = ∂x∂x + ∂y

∂y + ∂z∂z = 3 und somit

O =

∫

V

div ~AdV =

∫

V

3dV = 3V. (8.91)

Interessanterweise geht hier die Form des Volumens nicht in die Losung ein. Fur eine Kugel odereinen Zylinder mit demselben Rauminhalt ergibt sich also genau dasselbe Oberflachenintegral.


Beispiel:

Fur den Fluss eines Wirbelfeldes rot ~A durch eine geschlossene Oberflache F gilt laut dem Satzvon Gauß

∮

F

rot ~A · d~f =

∫

V

div (rot ~A) dV. (8.92)

Da Wirbelfelder quellenfrei sind, div (rot ~A) = 0, bedeutet dies

∮

F

rot ~A · d~f =

∫

V

0 dV = 0. (8.93)

Somit verschwindet der Gesamtfluss eines Wirbelfeldes rot ~A durch eine geschlossene Oberflache furein beliebiges Vektorfeld ~A. Anschaulich bedeutet dies, dass Wirbel entweder ganz in V verlaufenoder an einer Stelle genauso viele ein- wie an einer anderen Stelle austreten. (Dies folgt, wie wirsehen werden, auch aus dem Satz von Stokes.)

Beispiel:

Wir wollen nun den Satz von Gauß verifizieren, indem wir fur das Vektorfeld ~A(~r) = (x3, y3, z3)

sowohl das Oberflachenintegral∮~A ·d~f uber die Oberflache einer Kugel mit Radius R als auch das

Volumsintegral∫

V div ~AdV uber diese Kugel berechnen (siehe Abb. 8.29).

Abbildung 8.29: Vektorfeld ~A(~r) auf der Halbkugel mit Radius R.

Wir berechnen zunachst das Oberflachenintegral. Aus Symmetriegrunden genugt es, das Integralnur fur eine Halbkugel, also zum Beispiel fur z ≥ 0, zu berechnen. Das Integral uber die Kugel istdann einfach zweimal das Integral uber die Halbkugel. Die Flachengleichung fur die Halbkugel istz(x, y) =

√

R2 − (x2 + y2). Der Normalenvektor ~n auf die Flache zeigt fur eine Kugel genau vomUrsprung weg:

~n =1

√

x2 + y2 + z2

x

y

z

. (8.94)

Folglich ist das Flachenelement gegeben durch:

d~f =dxdy

~n · ~ez· ~n =

1

z

x

y

z

dxdy. (8.95)


Das Oberflachenintegral lasst sich also schreiben als

∫

F

~A · d~f =

∫∫

x2+y2≤R2

1

z

x3

y3

z3

·

x

y

z

dxdy

=

∫∫

x2+y2≤R2

x4 + y4 + z4

zdxdy, (8.96)

wobei sich der Integrationsbereich in der xy-Ebene uber den Kreis mit Radius R erstreckt. Indiesem Ausdruck ist z als Funktion von x und y zu betrachten, z = z(x, y). Durch Einsetzen derFlachengleichung fur z(x, y) erhalten wir

∫

F

~A · d~f =

∫∫

x2+y2≤R2

x4 + y4 + (R2 − (x2 + y2))2√

R2 − (x2 + y2)dxdy. (8.97)

Dieses Integral berechnen wir zweckmaßigerweise in Polarkoordinaten:

∫

F

~A · d~f =

2π∫

0

R∫

0

r4(sin4 ϕ+ cos4 ϕ) + (R2 − r2)2√R2 − r2

rdϕdr

=

2π∫

0

R∫

0

[r4(sin4 ϕ+ cos4 ϕ)√

R2 − r2+ (R2 − r2)

32

]

rdϕdr

=

2π∫

0

R∫

0

r5(sin4 ϕ+ cos4 ϕ)√R2 − r2

dϕdr + 2π

R∫

0

(R2 − r2)32 rdr

=

R∫

0

r5√R2 − r2

dr

2π∫

0

(sin4 ϕ+ cos4 ϕ)dϕ + 2π

R∫

0

(R2 − r2)32 rdr. (8.98)

Das Integral∫

r5√R2−r2 dr ergibt laut Integraltafel − 1

15

√R2 − r2(3r4 +4r2R2 +8R4) und somit gilt

R∫

0

r5√R2 − r2

dr = − 1

15

√

R2 − r2(3r4 + 4r2R2 + 8R4)

∣∣∣∣

R

0

=R

158R4 =

8R5

15. (8.99)

Das Integral∫ 2π

0 (sin4 ϕ+ cos4 ϕ)dϕ ergibt

2π∫

0

(sin4 ϕ+ cos4 ϕ)dϕ =

(3ϕ

4+

sin(4ϕ)

16

) ∣∣∣∣

2π

0

=3π

2. (8.100)

Schließlich erhalten wir fur das letzte Integral:

R∫

0

(R2 − r2)32 rdr = −2

5

1

2(R2 − r2)

52

∣∣∣∣

R

0

=1

5R5. (8.101)

Das Oberflachenintegral wird somit zu∫

F

~A · d~f =8R5

15

3π

2+

2πR5

5=

(4π

5+

2π

5

)

R5 =6π

5R5. (8.102)

Fur die ganze Kugel ist das Oberflachenintegral also gegeben durch:∫

F

~A · d~f =12π

5R5. (8.103)


Wir berechnen nun auch das Volumsintegral uber die Divergenz des Vektorfeldes uber die ganzeKugel:

∫

V

div ~AdV =

∫

V

(∂x3

∂x+∂y3

∂y+∂z3

∂z

)

dV

= 3

∫

V

(x2 + y2 + z2)dV. (8.104)

Wir transformieren auf Kugelkoordinaten und beachten dabei, dass das Volumselement zu r2 sinϑdϑdϕdrwird:

∫

V

div ~AdV = 3

2π∫

0

π∫

0

R∫

0

r2r2 sinϑdϑdϕdr

= 3 · 2πR∫

0

r4dr ·π∫

0

sinϑdϑ

= 3 · 2π(r5

5

) ∣∣∣∣

R

0

· (− cosϑ)

∣∣∣∣

π

0

=6π

5R5(− cos(+π) + cos 0) =

12π

5R5. (8.105)

Wie wegen des Integralsatzes von Gauß zu erwarten war, liefern das Oberflachenintegral∫

F~A · d~f

und das Volumsintegral∫

Vdiv ~AdV genau dasselbe Ergebnis. Allerdings ist in diesem Fall das

Volumsintegral bedeutend einfacher zu berechnen als das Oberflachenintegral.

8.3.3 Partielle Integration mit Hilfe des Gaußschen Satzes

Erinnern wir uns zunachst daran, dass bei der partiellen Integration in einer Dimension ein Integralin ein anderes (hoffentlich einfacheres) Integral verwandelt wird:

b∫

a

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)

∣∣∣∣

b

a

−b∫

a

f ′(x)g(x)dx. (8.106)

Die partielle Integration beruht auf der Produktregel der Differentiation, (fg)′ = f ′g + fg′. Wirkonnen Gleichung (8.106) auch umformen zu:

b∫

a

f(x)g′(x)dx +

b∫

a

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)

∣∣∣∣

b

a

. (8.107)

Hier haben wir also das Integral uber eine Ableitung verknupft mit dem Wert der Funktion an denRandern (in einer Dimension sind das einfach die Endpunkte) des Integrationsintervalls.

Der Satz von Gauß leistet das Analoge fur Volumsintegrale. Dieser Analogie folgend konnen wir dieMethode der partiellen Integration auf Volumsintegrale ubertragen, falls der Integrand ein Produktaus einem Feld ψ mit dem Gradienten eines anderen Feldes ist,

∫

V

ψ(~r)grad ϕ(~r)dV =

∫

V

ψ(~r)∇ϕ(~r)dV. (8.108)

Da der Gradient ein Vektor ist, hat auch das Integral uber ψ∇ϕ Vektorcharakter. Im Allgemei-nen kann man naturlich Volumsintegrale statt uber skalare Felder auch uber Vektorfelder

bilden. Da Integrale als Grenzwerte von Summen definiert sind und Vektoren komponentenweise


addiert werden, ist das Volumsintegral eines Vektorfeldes ~A(~r) ein Vektor, dessen Komponenten

die Volumsintegrale uber die Komponenten des Feldes ~A sind:

∫

V

~A(~r)dV =

∫

VAx(~r)dV

∫

VAy(~r)dV

∫

V Az(~r)dV

. (8.109)

Ein Beispiel fur ein solches Integral ergibt sich bei der Berechnung des Schwerpunktes ~RS einesKorpers mit Massenverteilung ρ(~r):

~RS =

∫

V~rρ(~r)dV

∫

Vρ(~r)dV

. (8.110)

Wir kehren nach diesem kurzen Einschub uber vektorwertige Volumsintegrale zuruck zum Integralin Gleichung (8.108). Aus dem Abschnitt 7.2 uber den Gradienten im Kapitel 7 kennen wir dieProduktregel

∇(ψϕ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ. (8.111)

Somit gilt∫

V

ψ(~r)∇ϕ(~r)dV =

∫

V

∇(ψϕ)dV −∫

V

ϕ(~r)∇ψ(~r)dV. (8.112)

Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann wie folgt umgeformt werden. Furdas spezielle Vektorfeld ~A(~r) = ~aφ(~r) mit einem konstanten Vektor ~a und einem Skalarfeld φ(~r)folgt namlich aus dem Satz von Gauß:

∮

F (V )

~A · d~f =

∮

F (V )

~aφ(~r) · d~f = ~a ·∮

F (V )

φ(~r)d~f =

∫

V

div (~aφ(~r))dV. (8.113)

Da aber

div (~aφ(~r)) =∂axφ

∂x+∂ayφ

∂y+∂azφ

∂z

= ax∂φ

∂x+ ay

∂φ

∂y+ az

∂φ

∂z= ~a · grad φ, (8.114)

folgt daraus

~a ·∮

F (V )

φ(~r) d~f = ~a ·∫

V

grad φdV. (8.115)

Da dies fur beliebige Vektoren ~a gilt, erhalten wir schließlich die Vektorgleichung:∮

F (V )

φ(~r) d~f =

∫

V

grad φdV =

∫

V

∇φdV. (8.116)

Wahrend auf der linken Seite dieser Gleichung der Vektorcharakter des Integrals vom Flachenele-ment stammt, kommt er auf der rechten Seite vom Gradienten, der ja ein Vektor ist. Die obigeGleichung ist der Gaußsche Integralsatz fur skalare Felder.

Durch Anwendung dieses Satzes mit φ = ϕψ erhalten wir aus Gleichung (8.112)∫

V

ψ(~r)∇ϕ(~r) dV =

∮

F (V )

ψ(~r)ϕ(~r) d~f −∫

V

ϕ(~r)∇ψ(~r) dV. (8.117)

Diese Gleichung ist analog zur partiellen Integration in einer Dimension (siehe auch Gleichung(4.78) bzw. Gleichung (8.106)): die Ableitung wird von einer Funktion (ϕ) zur anderen (ψ) uber-gewalzt. Zusatzlich haben wir einen Oberflachenterm erhalten. Da dieser zusatzliche Term im Un-terschied zum eindimensionalen Fall noch als Integral (wenn auch als Oberflachenintegral) dasteht,


ist der Ausdruck partielle (also teilweise) Integration hier wohl etwas ubertrieben. Nichtsdestotrotzkann Gleichung (8.117) in vielen Situationen sehr nutzlich sein.

Falls auf der Oberflache des Integrationsvolumens mindestens eine der skalaren Funktionen ϕ(~r)oder ψ(~r) verschwindet, nimmt (8.117) eine besonders einfache Form an. Dann verschwindetnamlich das Oberflachenintegral und wir erhalten:

∫

V

ψ(~r)∇ϕ(~r)dV = −∫

V

ϕ(~r)∇ψ(~r)dV. (8.118)

Bei Anwendung dieses sehr praktischen Ausdrucks muss jedoch sorgfaltig darauf geachtet werden,dass entweder ϕ(~r) oder ψ(~r) auf der Oberflache wirklich verschwindet.

Ein ahnliches Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Produktregel fur die Divergenz eines Produktsaus einem Skalar- und einem Vektorfeld ausnutzen,

∇ · (ϕ(~r) ~A(~r)) = ~A · ∇ϕ+ ϕ∇ · ~A. (8.119)

Fur das Volumsintegral∫

V ϕ∇ · ~AdV erhalten wir damit namlich

∫

V

ϕ∇ · ~AdV =

∫

V

∇ · (ϕ ~A) dV −∫

V

~A · ∇ϕdV. (8.120)

Das Volumsintegral uber die Divergenz ∇ · (ϕ ~A) konnen wir nun mit Hilfe des Satzes von Gauß inein Oberflachenintegral verwandeln:

∫

V

ϕ∇ · ~AdV =

∮

F

ϕ ~A · d~f −∫

V

~A · ∇ϕdV (8.121)

oder, aquivalent dazu,∫

V

~A · ∇ϕdV =

∮

F

ϕ ~A · d~f −∫

V

ϕ∇ · ~AdV. (8.122)

Falls das Oberflachenintegral verschwindet, wird dieser Ausdruck fur die partielle Integration be-sonders einfach:

∫

V

~A · ∇ϕdV = −∫

V

ϕ∇ · ~AdV. (8.123)

Zwei weitere praktische Ausdrucke lassen sich aus dem Satz von Gauß ableiten. Diese sind alsSatze von Green bekannt.

8.3.4 Die Satze von Green

Gegeben seien zwei skalare Felder ψ und ϕ. Fur diese Felder betrachten wir jetzt das Volumsintegral∫

V

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)dV, (8.124)

wobei ∆ = ∇ · ∇ der Laplace-Operator ist. Partielle Integration beider Terme mit Hilfe vonGleichung (8.121) liefert

∫

V

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dV =

∫

V

(ϕ∇ · ∇ψ − ψ∇ · ∇ϕ) dV

=

∮

F

(ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) d~f −∫

V

(∇ϕ · ∇ψ −∇ψ · ∇ϕ) dV. (8.125)

Das Volumsintegral auf der rechten Seite verschwindet aber und wir erhalten∫

V

(ϕ∇ · ∇ψ − ψ∇ · ∇ϕ) dV =

∮

F

(ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) d~f. (8.126)


Dies ist der 2. Satz von Green. (Diese Nomenklatur ist nicht ganz einheitlich. Die Satze werdenoft unterschiedlich nummeriert.) Er wurde von George Green bewiesen, kann jedoch als Spezialfalldes Satzes von Gauß betrachtet werden.

Der 1. Satz von Green ergibt sich aus Gleichung (8.121) fur den Fall, dass das Vektorfeld ~A ein

Gradientenfeld ist: ~A = ∇ψ. Einsetzen in Gleichung (8.121) ergibt

∫

V

ϕ∇ · ∇ψ dV =

∮

F

ϕ∇ψ · d~f −∫

V

∇ϕ · ∇ψ dV (8.127)

oder∫

V

ϕ∆ψ dV =

∮

F

ϕ∇ψ · d~f −∫

V

∇ϕ · ∇ψ dV. (8.128)

Weitere praktische Formeln, die man auf ahnliche Weise ableiten kann, sind:

∫

V

~A×∇ϕdV =

∫

V

ϕ∇× ~AdV +

∮

F

ϕ ~A× d~f, (8.129)

was auf der Produktregel ∇× (ϕ ~A) = ϕ∇× ~A+ ∇ϕ× ~A beruht, und

∫

V

~B · ∇ × ~AdV =

∫

V

~A · ∇ × ~B dV +

∮

F

( ~A× ~B) · d~f, (8.130)

was aus div ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B folgt.

Beispiel:

Die Diffusion eines Teilchens im Raum (siehe Abb. 8.30) wird durch die Diffusionsgleichung

∂ρ

∂t= D∆ρ (8.131)

beschrieben, wobei ρ(~r, t) die Wahrscheinlichkeit beschreibt, das Teilchen zum Zeitpunkt t am Ort~r = (x, y, z) zu finden unter der Bedingung, dass es zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung (~r = 0) war.

Abbildung 8.30: Bahnkurve eines diffundierenden Teilchens in der Ebene.

Fur t = 0 ist die Dichte ρ(~r, t = 0) also durch eine δ-Funktion gegeben, da wir wissen, dass sichdas Teilchen genau im Usprung befindet:

ρ(~r, 0) = δ(~r). (8.132)


Da das Teilchen vom ursprunglichen Ort weg diffundiert, wird die Dichte ρ immer breiter. Aus Sym-metriegrunden verschwindet der mittlere Aufenthaltsort des Teilchens bei wiederholter Durchfuhrungdes Diffusionsexperiments:

〈~r〉 =

∫

ρ(~r)~r dV = 0, (8.133)

wobei die Dichte ρ(~r) so definiert ist, dass sie normiert ist. Das heißt

∫

ρ(~r) dV = 1. (8.134)

Das mittlere Abweichungsquadrat

〈~r 2〉 =

∫

ρ(~r, t)~r 2 dV (8.135)

ist jedoch von Null verschieden und wachst mit der Zeit. Um dieses zeitliche Anwachsen quantitativzu bestimmen, bilden wir die Ableitung von 〈~r 2〉 nach der Zeit:

∂

∂t〈~r 2〉 =

∫∂

∂tρ(~r, t)~r 2 dV. (8.136)

Indem wir die Diffusionsgleichung ausnutzen, erhalten wir dann:

∂

∂t〈~r 2〉 = D

∫

∆ρ(~r, t)~r 2 dV

= D

∫

∇ · (∇ρ(~r, t))~r 2 dV. (8.137)

Anwendung des 1. Greenschen Satzes (Gleichung (8.128)) ergibt:

∫

∆ρ(~r, t)~r 2 dV = −∫

∇~r 2 · ∇ρ dV +

∮

F

~r 2∇ρ(~r, t) · d~f. (8.138)

Im Unendlichen verschwindet jedoch ρ und auch∇ρ fur beliebige endliche Zeiten t. Deshalb erhaltenwir

∫

∆ρ(~r, t)~r 2 dV = −∫

∇~r 2 · ∇ρ dV. (8.139)

Der Gradient von ~r 2 lasst sich leicht auswerten,

∇~r 2 = 2~r (8.140)

und folglich gilt∫

∇~r 2 · ∇ρ dV = 2

∫

~r · ∇ρ dV. (8.141)

Nochmalige partielle Integration nach Gleichung (8.122) liefert

∫

~r · ∇ρ dV = −∫

ρ(∇ · ~r)dV +

∮

F

ρ~r · d~f. (8.142)

Der Oberflachenterm verschwindet wieder und die Divergenz von ~r ist

∇ · ~r =∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z= 3. (8.143)

Da ρ nach Voraussetzung normiert ist,∫ρ(~r) = 1, gilt

∫

ρ(∇ · ~r) dV = 3

∫

ρ dV = 3 (8.144)


und wir erhalten schließlich

∂

∂t〈~r 2〉 = D · 2 · 3 = 6D. (8.145)

Integration nach der Zeit ergibt

〈~r 2〉 = 6Dt. (8.146)

Dies ist die beruhmte Einstein-Beziehung, der zufolge bei der Diffusion der mittlere quadratischeAbstand vom Ausgangspunkt linear mit der Zeit wachst.

8.4 Der Integralsatz von Stokes

Der Integralsatz von Stokes stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Oberflachenintegraldes Wirbelfeldes eines Vektorfeldes und dem Kurvenintegral des Feldes entlang des Randes derOberflache.

8.4.1 Integraldarstellung der Rotation

Wir haben in Abschnitt 8.1.4 gesehen, dass unter gewissen Umstanden Kurvenintegrale uber Vek-torfelder vom Weg unabhangig sind (namlich genau dann, wenn sich das Vektorfeld als Gradienteines Skalarfeldes darstellen lasst). In diesem Fall verschwindet das Kurvenintegral uber jede be-liebige geschlossene Kurve C:

∮

C

~A · d~r = 0. (8.147)

Es gibt jedoch auch Felder, fur die das Kurvenintegral langs geschlossener Kurven, also die Zir-kulation, nicht verschwindet,

∮

C~A · d~r 6= 0. Solche Felder nennt man Wirbelfelder. So kann

beispielsweise ein zeitlich veranderliches Magnetfeld ~B ein ringformiges elektrisches Feld ~E erzeu-gen (siehe Abb. 8.31).

Abbildung 8.31: Elektrisches Wirbelfeld ~E. Unterschiedliche Integrationswege (etwa C1, C2 und

C3) fuhren zu unterschiedlichen Wegintegralen∫

C~E · d~r.

Wir bewegen in diesem elektrischen Feld nun eine Ladung vom Punkt P1 zum Punkt P2 undwollen dies auf 3 verschiedenen Wegen tun: C1, C2 und C3. Das Kurvenintegral

∮

C~E · d~r langs

des Weges C1 ist positiv, da das Vektorfeld ~E immer in Richtung des Weges zeigt und deshalb


immer ~E · d~r > 0 gilt. Das Kurvenintegral langs C2 hingegen ist negativ, da das Feld immer derBewegungsrichtung entgegengesetzt ist, ~E · d~r < 0. Auf der Kurve C3 steht das Feld immer genausenkrecht auf die Bewegungsrichtung. Somit gilt ~E · d~r = 0 und das Kurvenintegral

∮

C3

~E · d~rverschwindet. In diesem Fall wird keine Arbeit geleistet.

Da diese Kurvenintegrale nicht wegunabhangig sind, verschwindet die Zirkulation fur dieses Vek-torfeld im Allgemeinen nicht. Zum Beispiel ist

∮

C1−C3

~E · d~r > 0 und

∮

C2−C1

~E · d~r < 0. (8.148)

Hier bezeichnet C1 − C3 den Weg, der aus C1 in Vorwartsrichtung und C3 in Ruckwartsrichtungbesteht. Der Weg C2 − C1 ist auf analoge Weise definiert. Offensichtlich verschwinden Kurvenin-tegrale uber geschlossene Kurven genau dann nicht, wenn das Vektorfeld geschlossene Feldlinien,also Wirbel, besitzt. Wir haben aber in Kapitel 7 (Abschnitt 7.55) plausibel gemacht, dass die

Rotation ∇× ~A als Maß fur die lokale Wirbelstarke betrachtet werden kann. Wir wollen nun sehen,ob wir die Zirkulation uber ein Vektorfeld, die ja ebenfalls von der Starke der Wirbel abhangt, mitder Rotation in Verbindung bringen konnen.

Abbildung 8.32: Die Umrandung des Flachenelements mit dem Flachenvektor ∆~f besteht aus denKurvensegmenten C1, C2, C3 und C4.

Dazu betrachten wir das Kurvenintegral uber eine kleine geschlossene Kurve, die eine kleine Flache∆f mit Flachenvektor ∆~f umrandet. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Flache inder xy-Ebene liegt, also ∆~f in Richtung der z-Achse zeigt (siehe Abb. 8.32). Wir bezeichnen die

Umrandung dieses Rechtecks mit Cz . Das Kurvenintegral∮

Cz

~A(~r) · d~r entlang der Umrandungdes Rechtecks besteht aus den vier Beitragen entlang der Rechteckseiten. Zur Berechnung diesesIntegrals wollen wir annehmen, dass die Seiten des Rechtecks so kurz sind, dass sich der Feldvektor~A(~r) entlang der Kanten nicht andert. Dann ist der Beitrag der Kante C1 gegeben durch

~A

(

x, y − ∆y

2, z

)

· ∆~r, (8.149)

wobei ~r = (x, y, z) der Mittelpunkt des Rechtecks ist und ~A(x, y− ∆y2 , z) der Feldvektor im Mittel-

punkt der Kante C1. Die Verschiebung ∆~r hat jedoch die Lange ∆x und die Richtung ~ex = (1, 0, 0).Damit erhalten wir fur den Beitrag der Rechteckseite C1 zum Integral

~A

(

x, y − ∆y

2, z

)

· ~ex∆x = Ax

(

x, y − ∆y

2, z

)

∆x. (8.150)

Auf ahnliche Weise erhalten wir fur den Beitrag entlang Kante C3

~A

(

x, y +∆y

2, z

)

· ∆~r = −Ax(

x, y +∆y

2, z

)

∆x. (8.151)

Dabei haben wir berucksichtigt, dass das Kurvenelement ∆~r fur diese Kante in die negative x-Richtung zeigt. Durch analoge Uberlegungen erhalten wir die Beitrage der Kanten C2 und C4 zumKurvenintegral:

C2 : Ay

(

x+∆x

2, y, z

)

∆y und C4 : −Ay(

x− ∆x

2, y, z

)

∆y. (8.152)


Durch Addition dieser vier Beitrage erhalten wir das Kurvenintegral langs der (geschlossenen)Umrandung des Rechtecks:

∮

Cz

~A · d~r = Ax

(

x, y − ∆y

2, z

)

∆x−Ax

(

x, y +∆y

2, z

)

∆x

+Ay

(

x+∆x

2, y, z

)

∆y −Ay

(

x− ∆x

2, y, z

)

∆y.

(8.153)

Die Erweiterung der ersten beiden Terme der rechten Seite dieser Gleichung mit ∆y und der letztenbeiden Terme mit ∆x liefert

∮

Cz

~A · d~r = −Ax

(

x, y + ∆y2 , z

)

−Ax

(

x, y − ∆y2 , z

)

∆y∆x∆y

+Ay(x+ ∆x

2 , y, z)−Ay

(x− ∆x

2 , y, z)

∆x∆x∆y.

(8.154)

Im Limes kleiner ∆x und ∆y (also im Limes ∆f → 0) werden diese Differenzenquotienten zupartiellen Ableitungen und wir erhalten nach Division durch ∆x∆y = ∆f

lim∆f→0

1

∆f

∮

Cz

~A · d~r =∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

. (8.155)

Die rechte Seite dieser Gleichung ist jedoch nichts anderes als die z-Komponente der Rotation

∇× ~A =

∂∂x∂∂y∂∂z

·

Ax

Ay

Az

=

∂Az

∂y − ∂Ay

∂z∂Ax

∂z − ∂Az

∂x∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y

(8.156)

des Vektorfeldes ~A(~r). Wir konnen also schreiben

lim∆f→0

1

∆f

∮

Cz

~A · d~r = (rot ~A)z , (8.157)

wobei wir die z-Komponente der Rotation rot ~A mit (rot ~A)z bezeichnet haben. Wenn wir unserkleines Rechteck nicht in die xy-Ebene sondern in die yz-Ebene oder in die xz-Ebene legen, erhaltenwir auf analoge Weise die x- beziehungsweise die y-Komponente der Rotation:

lim∆f→0

1

∆f

∮

Cx

~A · d~r =∂Az∂y

− ∂Ay∂z

= (rot ~A)x (8.158)

beziehungsweise

lim∆f→0

1

∆f

∮

Cy

~A · d~r =∂Ax∂z

− ∂Az∂x

= (rot ~A)y . (8.159)

Fur eine allgemein orientierte Flache, deren Flachennormale in Richtung des Einheitsvektors ~nzeigt,

∆~f = |∆~f | · ~n = ∆f~n, (8.160)

gilt

lim∆f→0

1

∆f

∮

C

~A · d~r = ~n · rot ~A = ~n · ∇ × ~A. (8.161)

Die Rotation ist also die Flachendichte der Zirkulation (Zirkulation pro Flache), die auch als

Wirbelstarke bezeichnet wird. Fur eine kleine Flache ∆~f haben wir also∮

C~A · d~r = rot ~A · ∆~f .

Dieser Ausdruck kann auch als Definition der Rotation eines Vektorfeldes aufgefasst werden, dieauch dann sinnvoll bleibt, wenn das Feld nicht differenzierbar ist.


8.4.2 Formulierung und Herleitung

Der Stokessche Satz stellt fur ein beliebiges Vektorfeld ~A(~r) einen Zusammenhang zwischen demOberflachenintegral uber eine im Allgemeinen gekrummte Flache F und dem Kurvenintegral langsdes Randes C dieser beliebig großen und beliebig geformten Flache her (siehe Abb. 8.33). Wiewir schon bei der Diskussion des Oberflachenintegrals gesehen haben, konnen wir die gesamteOberflache F naherungsweise durch N ebene Teilflachen ∆fi mit Flachenvektoren ∆~fi darstellen.Wir bezeichnen die Umrandung des Flachenelements ∆fi mit Ci.

Abbildung 8.33: Die von der Kurve C umrandete Flache F wird in kleine Facetten mit Flachen-vektoren ∆~fi zerlegt.

Wir bilden nun fur ein kleines Flachenelement ∆f1 am Punkt ~r1 (siehe Abb. 8.34) das Kurvenin-tegral langs seiner Umrandung, das fur eine kleine Flache geschrieben werden kann als

∮

C1

~A · d~r = rot ~A · ∆~f1. (8.162)

Wir legen dann um einen benachbarten Punkt ~r2 eine weitere Flache ∆f2 und zwar so, dass dieFlachen ∆f1 und ∆f2 einen Teil ihrer Berandung gemeinsam haben. Die Flachenvektoren ∆~f1 und∆~f2 sind im Allgemeinen nicht parallel zueinander.

Abbildung 8.34: Zwei benachbarte Facetten mit Flachenvektoren ∆~f1 und ∆~f2 und UmrandungenC1 und C2.

Wenn wir die Linienintegrale entlang der beiden Kurven C1 und C2 addieren, heben sich die beidenBeitrage des gemeinsamen Randteiles genau auf, weil dieser Teil von C1 und C2 in entgegengesetzterRichtung umlaufen wird. Was ubrig bleibt ist das Kurvenintegral uber die Einhullende C1+2 deraus ∆f1 und ∆f2 bestehenden Gesamtflache:

∮

C1

~A · d~r +

∮

C2

~A · d~r =

∮

C1+2

~A · d~r. (8.163)

Andererseits gilt wegen Gleichung (8.162) aber auch∮

C1

~A · d~r +

∮

C2

~A · d~r = rot ~A(~r1) · ∆~f1 + rot ~A(~r2) · ∆~f2 (8.164)

und somit∮

C1+2

~A · d~r = rot ~A(~r1) · ∆~f1 + rot ~A(~r2) · ∆~f2. (8.165)


Wir konnen diese Prozedur durch Hinzufugen weiterer Facetten ∆fi nun wiederholen, bis diegesamte Flache F ausgefullt ist. Bei jedem dieser Schritte bleibt beim Linienintegral nur jener Teilubrig, der von der außeren Berandung der Flache stammt (siehe Abb. 8.35).

Abbildung 8.35: In der Summe der Kurvenintegrale uber die Umrandungen der Teilflachen kurzensich alle Beitrage außer die, die vom außeren Rand der Gesamtflache stammen.

Die Summe aller Kurvenintegrale uber die Umrandung Ci der Teilflachen wird also zum Kurven-integral uber die Einhullende C1+2+···+N aller N Flachenelemente. Wir erhalten also

∮

C1+2+···+N

~A · d~r =∑

i

rot ~A(~ri) · ∆~fi. (8.166)

Im Limes N → ∞, also fur immer kleiner werdende Flachenelemente, strebt C1+···+N gegen dieRandkurve C der Flache F und die Summe auf der rechten Seite wird zum Oberflachenintegral:

∮

C

~A · d~r =

∫

F

rot ~A · d~f. (8.167)

Dies ist der Stokessche Integralsatz.

In Worten lautet der Stokessche Integralsatz:

Fur ein Vektorfeld ~A(~r) und eine Flache F ist das Oberflachenintegral uber das zugehorige Wir-belfeld gleich dem Kurvenintegral uber das Vektorfeld langs der Berandung C der Flache F .

Beispiel:

Als Beispiel fur den Satz von Stokes berechnen wir das Ringintegral∮

C~A · d~r des Vektorfeldes

~A(~r) =

−3y

3x

1

(8.168)

langs eines Kreises in der xy-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r (siehe Abb. 8.36).

Aus dem Satz von Stokes folgt, dass∮

C

~A · d~r =

∫

F

rot ~A · d~f, (8.169)

wobei F eine beliebige glatte Flache ist, deren Rand der Kreis ist, langs dessen das Kurvenintegralberechnet werden soll. Da die Flache F beliebig ist, wahlen wir einfach die ebene Kreisflache. DasOberflachenelement ist demnach d~f = ~ezdxdy unabhangig vom Ort. Die Rotation des Vektorfeldes~A ist

rot

−3y

3x

1

=

∂∂x∂∂y∂∂z

×

−3y

3x

1

=

0 − 0

0 − 0

3 + 3

=

0

0

6

. (8.170)


Abbildung 8.36: Flachenelement in einem Kreis in der Ebene. Die Flachenvektoren d~f stehennormal auf die xy-Ebene.

Das Oberflachenintegral wird deshalb zu

∫

F

rot ~A · d~f =

∫∫

x2+y2≤r2

0

0

6

·

0

0

1

dxdy

= 6

∫∫

x2+y2≤r2dxdy = 6πr2. (8.171)

Naturlich hatten wir auch das Kurvenintegral direkt auswerten konnen. Fur den Kreis bietet sichdie Parametrisierung

~r(t) =

r cos t

r sin t

0

mit 0 ≤ t ≤ 2π (8.172)

an. Der Tangentenvektor ist folglich gegeben durch:

d~r

dt=

−r sin t

r cos t

0

. (8.173)

Das Kurvenintegral wird mit dieser Parametrisierung zu

∮

C

~A · d~r =

2π∫

0

−3r sin t

3r cos t

1

·

−r sin t

r cos t

0

dt

=

2π∫

0

3r2(sin2 t+ cos2 t)dt = 3r22π∫

0

dt = 6r2π. (8.174)

Das Kurvenintegral ist in diesem Fall nicht viel schwerer zu berechnen als das Oberflachenintegral.Aus dem Oberflachenintegral sehen wir aber, dass in diesem Fall fur jede Kurve in der Ebene dasIntegral nur von der Große der eingeschlossenen Flache abhangt.

8.4.3 Bedeutung

Aus dem Satz von Stokes folgt, dass das Oberflachenintegral eines Wirbelfeldes ∇ × ~A ubereine geschlossene Oberflache F verschwindet. Wir konnen uns namlich vorstellen, dass eine ge-schlossene Flache entsteht, wenn wir die Randkurve C wie bei einem Beutel auf einen Punkt


zusammenziehen (siehe Abb. 8.37). Die Lange des Randes ist dann 0 und somit verschwindet auchdas Kuvenintegral

∮

C

~A · d~r = 0. (8.175)

Wegen des Satzes von Stokes muss deshalb auch das Oberflachenintegral

∮

F

rot ~A · d~f (8.176)

uber die geschlossene Oberflache verschwinden.

Abbildung 8.37: Wenn sich die Umrandung C auf einen Punkt zusammenzieht, wird die Flache Fzu einer geschlossenen Flache.

Aus dem Satz von Stokes folgt weiters, dass alle Flachen F1, F2, . . . mit demselben Rand C auchdasselbe Oberflachenintegral

∫

F rot ~A · d~f liefern.

Schließlich erlaubt es uns der Satz von Stokes, die Frage nach der Wegunabhangigkeit vonKurvenintegralen noch einmal aufzugreifen. Wir haben ja schon fruher gesehen, dass die Wegun-abhangigkeit von Integralen aquivalent zum Verschwinden von Kurvenintegralen langs geschlosse-ner Kurven ist. Wenn wir nun annehmen, dass

∮

C~A ·d~r = 0 fur beliebige geschlossene Kurven gilt,

muss dies auch fur Kurven um sehr kleine Flachen gelten. Dann gilt jedoch∮

C

~A · d~r = rot ~A · d~f = 0. (8.177)

Da dies gemaß Annahme fur beliebige (aber sehr kleine) Flachen gelten muss, finden wir, dass dieRotation verschwindet. Verschwindet also das Kurvenintegral fur beliebige Kurven, verschwindetauch die Rotation:

∮

C

~A · d~r = 0 fur alle geschlossenen Wege C ⇒ rot ~A = 0. (8.178)

Umgekehrt folgt aus dem Stokesschen Satz, dass das Kurvenintegral langs geschlossener Kurvenverschwindet, wenn die Rotation gleich 0 ist:

∮

C

~A · d~r =

∫

F

rot ~A · d~f = 0. (8.179)

Das heißt, dass rot ~A = 0 eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung fur dieWegunabhangigkeit von Kurvenintegralen ist. Um festzustellen, ob Kurvenintegrale wegunabhangigsind, genugt es also zu prufen, ob die Rotation des Vektorfeldes verschwindet.

Zusammenfassend halten wir fest, dass folgende Aussagen aquivalent sind:

• Das Kurvenintegral∫

C~A(~r) · d~r ist wegunabhangig.

• Das Kurvenintegral∮

C~A(~r) · d~r uber jede geschlossene Kurve C verschwindet.


• Es existiert ein skalares Feld φ, sodass das Vektorfeld ~A der Gradient von φ ist, ~A = grad φ.Die Funktion φ wird Potential genannt und das Vektorfeld ~A konservativ.

• Die Rotation rot ~A des Vektorfeldes ~A verschwindet.

(Die Frage, ob das Integrationsgebiet einfach zusammenhangend ist oder nicht, haben wir in allenUberlegungen vernachlassigt. Der interessierte Leser sei in diesem Punkt auf die weiterfuhrendeLiteratur verwiesen.)

8.4.4 Das Vektorpotential

Falls rot ~A = 0, konnen wir ein Skalarfeld φ definieren, sodass dessen Gradient gleich dem Vek-torfeld ~A ist: ~A = grad φ. Es stellt sich nun die Frage (zum Beispiel im Zusammenhang mit

magnetischen Feldern), ob wir auch ein Feld ~B, dessen Divergenz verschwindet (div ~B = 0), alsAbleitung eines Feldes darstellen konnen.

Im Falle der Darstellung eines wirbelfreien Feldes als Gradientenfeld kann man von der Beobach-tung ausgehen, dass die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet,

rot (grad φ) = 0. (8.180)

Dies legt die Vermutung nahe, dass ein wirbelfreies Feld ~E als Gradient eines Skalarfeldes ausge-druckt werden kann. Wie wir ja jetzt wissen, kann man das tatsachlich tun. Nun gibt es die analogeIdentitat

div (rot ~A) = 0, (8.181)

die besagt, dass Wirbelfelder quellenfrei sind. Ganz analog zum obigen Fall scheint dieses Ergebnisdie Vermutung nahe zu legen, dass ein quellenfreies Feld ~B (div ~B = 0) als Rotation eines anderen

Vektorfeldes ~A geschrieben werden konnte: ~B = rot ~A. Diese Vermutung kann durch explizite Kon-struktion eines Vektorfeldes ~A fur ein quellenfreies Feld ~B bestatigt werden. Ein solches Vektorfeld~A wird Vektorpotential genannt.

Falls ~B = rot ~A, muss fur die Komponenten von ~A gelten:

Bx =∂Az∂y

− ∂Ay∂z

, By =∂Ax∂z

− ∂Az∂x

, Bz =∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

. (8.182)

Da wir zu jedem Vektorpotential ~A den Gradienten einer skalaren Funktion χ addieren konnen,ohne die Beziehung ~B = rot ~A zu storen,

~B = rot ~A = rot ~A+ rot (grad χ)︸︷︷︸

=0

= rot ( ~A+ grad χ), (8.183)

haben wir in der Wahl von ~A eine gewisse Freiheit. Um ~A eindeutig zu bestimmen, mussen nochNebenbedingungen gewahlt werden. Man nennt dies die Eichung von ~A.

Wir nutzen nun diese Eichmoglichkeit und versuchen den Ansatz Az = 0. Dann haben wir

Bx = −∂Ay∂z

und By =∂Ax∂z

. (8.184)

Integration nach z liefert:

Ay = −z∫

za

Bx(x, y, z′)dz′ (8.185)


und

Ax =

z∫

za

By(x, y, z′)dz′ + f(x, y). (8.186)

Hier ist f(x, y) eine Integrationskonstante, auf die wir fur Ay wegen der Eichmoglichkeit verzichtethaben. Um die dritte Gleichung zu losen, setzen wir Ax und Ay ein und erhalten:

Bz =∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

= −z∫

za

∂Bx∂x

(x, y, z′)dz′ −z∫

za

∂By∂y

(x, y, z′)dz′ − ∂f

∂y

= −z∫

za

[∂Bx∂x

(x, y, z′) +∂By∂y

(x, y, z′)

]

dz′ − ∂f

∂y. (8.187)

Wir wissen aber, dass ~B quellenfrei ist. Demnach gilt:

div ~B =∂Bx∂x

+∂By∂y

+∂Bz∂z

= 0 (8.188)

und somit

∂Bx∂x

+∂By∂y

= −∂Bz∂z

. (8.189)

Wenn wir dieses Ergebnis in Gleichung (8.187) einsetzen, ergibt sich

Bz(x, y, z) =

z∫

za

[∂Bz∂z′

(x, y, z′)

]

dz′ − ∂f

∂y. (8.190)

Wir konnen das Integral ausfuhren und erhalten

Bz(x, y, z) =

Bz(x, y, z) −Bz(x, y, za) −∂f

∂y. (8.191)

Das heißt,

∂f

∂y= −Bz(x, y, za). (8.192)

Integration liefert schließlich:

f(x, y) = −y∫

ya

Bz(x, y′, za)dy

′. (8.193)

Somit ist folgendes Feld ein Vektorpotential fur ~B:

Ax(x, y, z) =

z∫

za

By(x, y, z′)dz′ −

y∫

ya

Bz(x, y′, za)dy

′, (8.194)

Ay(x, y, z) = −z∫

za

Bx(x, y, z′)dz′, (8.195)

Az(x, y, z) = 0. (8.196)

Die Quellenfreiheit eines Feldes ~B impliziert also die Existenz eines Vektorpotentials ~A, sodass~B = rot ~A.

Kapitel 9

Differentialgleichungen

9.1 Grundbegriffe

Beziehungen zwischen Variablen werden in der Physik oft durch Gleichungen beschrieben, welcheAbleitungen enthalten. Ein Beispiel fur eine solche Gleichung ist die Newtonsche Bewegungsglei-chung

~F = m~a = md2~r

dt2, (9.1)

welche die Dynamik eines Objektes der Masse m unter Einwirkung der Kraft ~F beschreibt. DieKraft ~F , die auf den Korper wirkt, kann konstant oder eine Funktion des Ortes sein. Durch Losungdieser Gleichung erhalt man den Ort ~r(t) des Objekts als Funktion der Zeit. Die Losung der

Gleichung F = m~r ist also keine Zahl sondern eine Funktion.

Eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer gesuchten Funktion y(x) enthalt, nenntman eine Differentialgleichung. Wenn die hochste Ableitung von y(x), die in der Gleichungauftritt, die n-te Ableitung y(n)(x) ist, hat man es mit einer Differentialgleichung n-ter Ord-

nung zu tun. Naturlich kann eine Differentialgleichung n-ter Ordnung auch Ableitungen niedrige-rer Ordnung beinhalten sowie von der Funktion y(x) selbst und der Variablen x abhangen. EineDifferentialgleichung, bei der die Funktion y(x) nur von einer einzigen Variablen x und den Ablei-tungen dieser Funktion nach x abhangt, nennt man eine gewohnliche Differentialgleichung. ImGegensatz dazu ist eine partielle Differentialgleichung eine Bestimmungsgleichung fur eine Funk-tion y(x1, x2, . . . , xn), die von mehreren Variablen und den partiellen Ableitungen der Funktionabhangt. Auch in diesem Fall bezieht sich die Ordnung der Gleichung auf die hochste vorkommendepartielle Ableitung.

Die allgemeine Form einer gewohnlichen Differentialgleichung fur die Funktion y(x) ist:

F (x, y, y′, y′′, y′′′, . . . , y(n)) = 0. (9.2)

Hier haben wir die Differentialgleichung in impliziter Form dargestellt. Falls wir sie nach derhochsten Ableitung auflosen konnen, ergibt sich in expliziter Form

y(n) = f(x, y, . . . , y(n−1)). (9.3)

Beispiele fur gewohnliche Differentialgleichungen sind

y′′ + y = 0, (9.4)

(y′)2 + xy = 0, (9.5)

sinx · y′ + y2 = 0. (9.6)

227

228 9 Differentialgleichungen

Eine Funktion y(x) bezeichnen wir als Losung einer gegebenen Differentialgleichung, falls y(x)diese Gleichung erfullt. Eine Funktion, die die Differentialgleichung lost, wird auch ein Integral

der Differentialgleichung genannt und das Finden einer solchen Losung wird auch Integrieren

genannt.

Betrachten wir zum Beispiel die Differentialgleichung

y′′ = −y. (9.7)

Da fur die Funktion y(x) = sinx gilt, dass y′ = cosx und y′′ = − sinx = −y, ist y = sinx eineLosung dieser Differentialgleichung. Es gibt fur diese Differentialgleichung jedoch mehr als eineLosung. So wird sie auch von y = 3 sinx oder allgemeiner von y = A sinx erfullt. Weiters istdie Funktion y(x) = cosx wegen y′ = − sinx und y′′ = − cosx = −y eine Losung. Genauso losty = 7 cosx oder allgemeiner y = B cosx die Gleichung. Aus den beiden Losungen A sinx undB cosx konnen wir durch Addition eine allgemeine Losung konstruieren:

y(x) = A sinx+B cosx. (9.8)

Fur beliebige Konstanten A und B lost y(x) die Differentialgleichung y′′ = −y. Die Differential-gleichung hat also eine unendliche Anzahl von Losungen. Da A und B beliebig gewahlt werdenkonnen, sprechen wir hier von einer zweiparametrigen Losungsschar. Fur eine Differentialgleich-ung n-ter Ordnung hat eine solche allgemeine Losung n frei wahlbare Parameter.

Durch zusatzliche Bedingungen, welche die Werte der Parameter festsetzen, erhalt man aus derallgemeinen Losung eine Partikularlosung (oder spezielle Losung). Wenn man beispielsweiseweiß, dass fur das obige Beispiel y am Ort x = 0 den Wert 0 besitzt, folgt:

y(0) = A sin(0)︸︷︷︸

=0

+B cos(0)︸︷︷︸

=1

= B = 0. (9.9)

Der Wert der ersten Ableitung am Ort x = 0 legt dann auch noch den Parameter A fest

y′(0) = A cos(0)︸︷︷︸

=1

−B sin(0)︸︷︷︸

=0

= A. (9.10)

Wenn wir zum Beispiel wissen, dass y′(0) = 1 ist, folgt A = 1. Die so genannten Anfangsbedin-

gungen y(0) = 0 und y′(0) = 1 legen also die Parameter A = 1 und B = 0 fest und fuhren so aufdie Partikularlosung

y(x) = sinx. (9.11)

Fur eine allgemeine Losung y(x) einer Differentialgleichung n-ter Ordnung werden die n Parameterdurch Angabe des Funktionswertes y(x0) und der Werte der (n − 1) Ableitungen y′(x0), y

′′(x0),. . . , y(n−1)(x0) an einer Stelle x0 festgelegt. In diesem Fall spricht man von einem Anfangswert-

problem oder einer Anfangswertaufgabe. Diese Bezeichnungsweise stammt naturlich von derBetrachtung einer Variablen y(t) als Funktion der Zeit t. Die Anfangsbedingungen y(t0), y

′(t0),. . . , y(n−1)(t0) beschreiben den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t0. Die Partikularlosung be-schreibt dann die zeitliche Entwicklung des Systems ausgehend von diesen Anfangsbedingungen.

Alternativ dazu konnen wir die Parameter der allgemeinen Losung auch durch Angabe der Funk-tionswerte y(x) an n verschiedenen Stellen x1, x2, . . . , xn festlegen. Die Funktionswerte an diesenStellen werden Randwerte oder Randbedingungen genannt und man spricht in diesem Fall voneinem Randwertproblem oder einer Randwertaufgabe.

Im obigen Beispiel konnen wir etwa verlangen, dass y(x) an den Stellen x1 = 0 und x2 = π/2 dieWerte y(x1 = 0) = 0 und y(x2 = π/2) = 2 besitzt. Diese Randbedingungen konnen wir durch


Wahl der Parameter A und B erfullen:

A sin(0)︸︷︷︸

=0

+B cos(0)︸︷︷︸

=1

= 0 ⇒ B = 0, (9.12)

A sin(π2 )︸︷︷︸

=1

+B cos(π2 )︸︷︷︸

=0

= 2 ⇒ A = 2. (9.13)

Die Partikularlosung unter diesen Randbedingungen ist also

y(x) = 2 sinx. (9.14)

Zur analytischen Losung von Differentialgleichungen gibt es kein allgemein gultiges Rezept. Es gibtaber einige wichtige gewohnliche Differentialgleichungen, die wir losen konnen. Diese Differential-gleichungen wollen wir im Folgenden diskutieren. Falls fur eine gewohnliche Differentialgleichungkeine analytische Losung existiert, kann man numerische Methoden verwenden, um Losungenmit beliebiger Genauigkeit zu erhalten. Zur numerischen Integration von Differentialgleichun-gen existiert eine Vielzahl von Methoden, bei denen die Differentialgleichungen ublicherweise inkleinen Schritten gelost werden.

9.2 Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichungen erster Ordnung enthalten nur die gesuchte Funktion y(x) selbst und ihreerste Ableitung y′(x):

F (x, y, y′) = 0 (9.15)

oder nach y′ aufgelost

y′ = f(x, y). (9.16)

Beispiele dafur sind

y′ = xy, sin(y′ + x) cos y = x und y′ =√y. (9.17)

In dieser Form gibt die Differentialgleichung fur jeden Punkt in der xy-Ebene eine Richtung (Stei-gung) vor. Damit y(x) eine Losung der Differentialgleichung ist, muss ihr Graph diesen Richtungenin jedem Punkt folgen (siehe Abb. 9.1). Anschaulich ist klar, dass das Richtungsfeld y′ = f(x, y) fureine bestimmte Anfangsbedingung (x0, y0) die Losung der Differentialgleichung eindeutig festlegt.

Im einfachsten Fall hangt die rechte Seite der Gleichung nicht von y ab und wir erhalten dieDifferentialgleichung

y′ = f(x) oderdy

dx= f(x). (9.18)

Diese Differentialgleichung ist uns schon fruher begegnet (im Kapitel uber die Integration), nurhaben wir sie damals nicht als Differentialgleichung bezeichnet. Das Auffinden einer Funktion y(x),sodass ihre Ableitung dy/dx gleich einer gegebenen Funktion f(x) ist, ist namlich die Hauptaufgabeder Integralrechnung: Finde eine Funktion F (x) (die so genannte Stammfunktion), sodass fur ihreAbleitung F ′(x) = f(x) gilt. Die Losung y(x) der Differentialgleichung (9.18) ist nichts anderesals die Stammfunktion von f(x). Daher lautet die allgemeine Losung der Differentialgleichung(9.18)

y(x) =

∫

f(x)dx + C, (9.19)

wobei hier∫f(x)dx das unbestimmte Integral ist, das von der Variablen x abhangt.


Abbildung 9.1: Eine Differentialgleichung der Form y′ = f(x, y) gibt an jedem Punkt (x, y) dieSteigung y′ vor. Die Losungen der Differentialgleichung mussen tangential zu diesem Richtungsfeldsein. Durch Angabe der Anfangsbedingungen (x0, y0) wahlt man aus der Schar der moglichenLosungen eine bestimmte Losung aus.

Die Integrationskonstante C ist hier der freie Parameter, der erst durch die Wahl der Anfangsbedin-gung (oder Randbedingung) festgelegt wird. Betrachten wir zum Beispiel die Differentialgleichung

dy

dx= x. (9.20)

Die allgemeine Losung dieser Gleichung ist y(x) = x2/2+C. Durch Ableitung von y(x) = x2/2+Cnach x konnen wir explizit uberprufen, dass diese Funktion die Differentialgleichung tatsachlicherfullt. Die Randbedingung y(0) = 1 legt die Konstante C fest:

02

2+ C = 1 ⇒ C = 1. (9.21)

Eine gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung hat auch im allgemeinen Fall eine Losungs-schar, die einen freien Parameter c besitzt: y = y(x, c). Um diesen freien Parameter c festzusetzen,genugt fur die Differentialgleichung erster Ordnung eine einzelne Anfangs- oder Randbedingung.

Im Folgenden werden wir einige Differentialgleichungen erster Ordnung behandeln, die einfachgenug sind, dass wir sie leicht analytisch losen konnen.

9.2.1 Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Wenn sich eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Form

dy

dx= f(x)g(y) (9.22)

schreiben lasst, konnen wir sie auf einfache Weise losen. Da die rechte Seite ein Produkt von zweiFunktionen ist, deren eine nur von x und die andere nur von y abhangt, konnen wir die Gleichungin der Form

dy

g(y)= f(x)dx (9.23)

schreiben. Dabei haben wir die ursprungliche Gleichung so umgeformt, dass die rechte Seite nur vony abhangt und die linke Seite nur von x. Wir haben die Variablen also separiert (d.h. getrennt).


Aus diesem Grund bezeichnet man Differentialgleichungen der Form y′ = f(x)g(y) als Differential-gleichung mit separierbaren Variablen. Aus dieser Gleichung fur die beiden Differentiale folgt, dasssich die zugehorigen unbestimmten Integrale nur um eine willkurliche Konstante C unterscheidenkonnen:

∫dy

g(y)=

∫

f(x)dx + C. (9.24)

Nach Integration beider Seiten und Auflosung der Gleichung nach y erhalt man die allgemeineLosung der Differentialgleichung mit dem freien Parameter C in expliziter Form. Falls sich dieerhaltene Gleichung nicht nach y auflosen lasst, ist die Losung in impliziter Form gegeben.

Mathematisch etwas exakter lassen sich Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen wiefolgt behandeln. Zunachst bestimmen wir die Nullstellen y1, y2, . . . der Funktion g(y). DurchEinsetzen in die Differentialgleichung erkennen wir, dass die konstanten Funktionen y(x) = y1,y(x) = y2, etc. Losungen sind.

Als nachstes betrachten wir die Differentialgleichung in den nullstellenfreien Intervallen zwischenden Nullstellen. Da in diesen Intervallen g(y) 6= 0, konnen wir die Differentialgleichung umformenzu:

y′

g(y)= f(x). (9.25)

Wir definieren nun die Funktion Φ(y) als die Stammfunktion von 1/g(y) und die Funktion F (x)als die Stammfunktion von f(x). Da in den betrachteten Intervallen φ′(x) = 1/g(x) nullstellenfreiist, d. h. Φ streng monoton fallend oder wachsend ist, existiert hier die Umkehrfunktion Φ−1 vonΦ. Durch Einsetzen in die Differentialgleichung konnen wir verifizieren, dass

y(x) = Φ−1(F (x) + C) (9.26)

die Differentialgleichung lost:

y′(x) = (Φ−1)′(F (x) + C)F ′(x)

=f(x)

Φ′(Φ−1(F (x) + C))=

f(x)

Φ′(y)= f(x)g(y), (9.27)

wobei wir die Differentiationsregel (3.26) fur die Umkehrfunktion verwendet haben. C ist hierwieder eine beliebige Integrationskonstante, die durch Wahl der Anfangsbedingungen festgelegtwird.

Beispiel:

Gegeben sei die Differentialgleichung xy′ + y = 0. Wir konnen diese Gleichung umformen zu

dy

y= −dx

x. (9.28)

Integration auf beiden Seiten ergibt:

ln y = − lnx+ C. (9.29)

Wir wenden nun auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an und erhalten

eln y = e− ln x+C = e− ln x · eC . (9.30)

Somit gilt

y =α

x, (9.31)


wobei wir die Konstante eC in α umbenannt haben. Die allgemeine Losung ist also die einpara-metrige Kurvenschar y = α/x. Eine Anfangsbedingung (z. B. y(1) = α/1 = 2) setzt den freienParameter fest (hier auf α = 2).

Beispiel: Barometrische Hohenformel

Als weiteres Beispiel wollen wir die Abhangigkeit des Luftdrucks von der Hohe in einer isothermenAtmosphare betrachten. Dazu mussen wir zunachst eine geeignete Differentialgleichung aufstellenund sie danach auch losen. (In den meisten Fallen ist das Aufstellen einer Gleichung der einfachereSchritt als die anschließende Losung der Gleichung.)

Der Luftdruck an einem bestimmten Ort wird durch das Gewicht der Luftsaule bestimmt, diesich uber diesem Ort befindet. Wenn wir uns nach oben bewegen, wird die Luftmenge, die aufeiner bestimmten Flache lastet, immer kleiner. Daher nimmt der Luftdruck mit der Hohe ab. Umherauszufinden, auf welche Weise der Luftdruck von der Hohe abhangt, betrachten wir eine dunneLuftschicht, die parallel zum Boden ist und sich in der Hohe z befindet (siehe Abb. 9.2). (Wirmessen die Hohe z bezuglich des Bodens, den wir in die xy-Ebene legen.)

Abbildung 9.2: Der Druck an der Oberseite der Luftschicht mit der Dicke dz unterscheidet sichvom Druck an der Unterseite um das Gewicht pro Flacheneinheit der Luftschicht selbst.

An der Unterseite dieser Schicht, also bei der Hohe z, herrscht der Druck p(z). Auf ihrer Oberseiteist der Druck leicht verschieden: p(z+dz) = p(z)+dp. Wir stellen uns jetzt vor, dass wir aus dieserSchicht einen dunnen Quader mit der Grundflache A herausschneiden. Dieser Quader enthalt dieMasse ρ(z)dV = ρ(z)Adz an Luft, wobei hier dV = Adz das Volumen des Quaders ist. DerDruckunterschied zwischen der Hohe z und z + dz ist auf das Gewicht der Luftmassen in dieserSchicht zuruckzufuhren. Das Gewicht gρ(z)Adz der Luft im Quader wirkt auf die Flache A. DieDruckdifferenz dp ergibt sich aus dieser Kraft dividiert durch die Flache A (Druck ist Kraft proFlache):

dp = −gρ(z)AdzA

= −gρ(z)dz. (9.32)

Das negative Vorzeichen ist notwendig, weil der Druck mit der Hohe abnimmt.

Wir benotigen jetzt noch einen Ausdruck fur die Dichte ρ der Luft. Die Dichte eines Gases hangtnaturlich von den außeren Bedingungen wie Temperatur und Druck ab. Wir nehmen hier an, dasswir die Luft als ideales Gas behandeln konnen. Fur ein ideales Gas wird der Zusammenhangzwischen Druck p, Volumen V und Temperatur T durch die Zustandsgleichung

pV = NkBT (9.33)

beschrieben. Dabei ist N die Anzahl der Gasmolekule und kB ist die so genannte Boltzmannkon-stante. Der Druck eines idealen Gases ist demnach gegeben durch:

p =NkBT

V. (9.34)


Die rechte Seite dieser Gleichung hangt von der Teilchendichte N/V ab. Da wir jedoch an derAbhangigkeit des Druckes von der Massendichte ρ = M/V interessiert sind (M ist hier dieGesamtmasse des Gases im Volumen V ), multiplizieren wir Zahler und Nenner auf der rechtenSeite der obigen Gleichung mit der Masse m eines individuellen Gasteilchens:

p =NmkBT

Vm=M

V

kBT

m= ρ

kBT

m. (9.35)

Hier haben wir ausgenutzt, dass die Gesamtmasse M gleich der Masse m einzelner Teilchen mul-tipliziert mit der Anzahl N der Teilchen ist. Wir konnen die Dichte ρ somit ausdrucken als

ρ =pm

kBT. (9.36)

Diese Beziehung setzen wir nun in Gleichung (9.32) ein und erhalten

dp = −gρdz = − gm

kBTpdz. (9.37)

Diese Gleichung haben wir mit Hilfe von physikalischen Uberlegungen aufgestellt. Was nun folgtist die mathematische Losung dieser Gleichung.

Wir konnen die Variablen p und z separieren:

dp

p= − gm

kBTdz. (9.38)

Integration ergibt (unter der Annahme einer isothermen Atmosphare, das heißt unter der Annahme,dass die Temperatur T nicht von der Hohe z abhangt und somit gm/kBT konstant ist):

ln p = − gm

kBTz + C (9.39)

oder durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten:

p = exp

− gm

kBTz

expC. (9.40)

Die Konstante K ≡ expC ermitteln wir, indem wir verlangen, dass bei z = 0 der Druck einenbestimmten p0 Wert annehmen muss:

p(0) = exp

− gm

kBT0

expC = expC = p0. (9.41)

Somit erhalten wir schließlich die barometrische Hohenformel:

p = p0 exp

− gm

kBTz

. (9.42)

Beispiel: Kompression eines idealen Gases

Stellen wir uns ein Rohr mit der QuerschnittsflacheA vor, das auf einer Seite von einem beweglichenKolben und auf der anderen Seite von einer unbeweglichen Wand abgeschlossen wird (siehe Abb.9.3).

Das eingeschlossene Volumen sei mit einem idealen Gas gefullt, das der Zustandsgleichung

pV = NkBT (9.43)

gehorcht. Da im Gas ein gewisser Druck p vorherrscht, wirkt auf den Kolben eine Kraft F = Ap,die den Kolben nach außen druckt. Wenn wir das Gas nun komprimieren wollen, indem wir den


Abbildung 9.3: Ein beweglicher Kolben leistet Arbeit gegen den Druck eines Gases in einem Zy-linder.

Kolben in das Rohr schieben, verrichten wir gegen diese Kraft Arbeit. Wir wollen bestimmen,welche Arbeit aufgebracht werden muss, um das Volumen von seinem ursprunglichen Wert V0 aufein kleineres Volumen zu verringern. Dazu betrachten wir zunachst die Arbeit dW , die geleistetwird, wenn wir den Abstand x des Kolbens von der fixen Wand um einen kleinen Betrag dxverringern. Diese kleine Arbeit dW ergibt sich aus dem Produkt von Weg und Kraft

dW = −Fdx = −pAdx. (9.44)

Bei einer Kompression ist die Verschiebung dx negativ. Da die gegen die (positive) Kraft F gelei-stete Arbeit jedoch positiv sein soll, haben wir in der obigen Gleichung ein negatives Vorzeichen.Durch die Verschiebung des Kolbens andert sich das eingeschlossene Volumen um

dV = Adx. (9.45)

Wir konnen daher in Gleichung (9.44) Adx durch dV ersetzen:

dW = −pdV. (9.46)

Da sich durch die Kompression nicht nur das Volumen verandert sondern auch der Druck, mussenwir nun den Druck p als Funktion des Volumens V ausdrucken. Aus der Zustandsgleichung desidealen Gases folgt:

p =NkBT

V. (9.47)

Einsetzen in Gleichung (9.46) ergibt:

dW = −NkBT

VdV. (9.48)

Wenn wir die Kompression isotherm durchfuhren, das heißt, wenn die Temperatur des Gasesdurch Kontakt des Rohres mit einem Warmebad konstant gehalten wird (dazu muss die Rohr-wand naturlich warmeleitend sein), ergibt die Integration:

W = −NkBT lnV + C. (9.49)

Dies ist die allgemeine Losung der Differentialgleichung. Um eine passende Partikularlosung zuerhalten, bemerken wir, dass zu Beginn des Prozesses noch keine Arbeit geleistet wurde. Wirverlangen also

W (V0) = −NkBT lnV0 + C = 0. (9.50)

Somit erhalten wir fur die Konstante C:

C = NkBT lnV0. (9.51)

Die geleistete Arbeit ist demnach gegeben durch:

W = NkBT lnV0 −NkBT lnV = NkBT ln

(V0

V

)

. (9.52)


9.2.2 Homogene lineare Differentialgleichung

Eine allgemeine Differentialgleichung n-ter Ordnung F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) nennt man linear,wenn die Funktion y und alle ihre n Ableitungen maximal in der 1. Potenz und nicht als Produktauftreten:

n∑

i=0

ai(x)y(i) = g(x), (9.53)

wobei wir hier die Konvention benutzen, dass y(0) = y.

Beispiele fur lineare Differentialgleichungen sind:

y′′ + ay′ + by = 0, (9.54)

y′ + sinx = 0, (9.55)

y′′ + xy′ − cosx = 0. (9.56)

Hingegen sind die folgenden Differentialgleichungen nichtlinear:

y′′2 + y′ = 0 (zweite Potenz), (9.57)

xy′y = 0 (Produkt). (9.58)

Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat die allgemeine Form

y′ + f(x)y = g(x). (9.59)

Die Funktion g(x) wird als Storterm oder Storfunktion bezeichnet. Falls der Storterm fehlt,haben wir es mit einer homogenen Differentialgleichung zu tun; falls ein Storterm existiert, nenntman die Differentialgleichung inhomogen.

Die allgemeine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat die Form

y′ + f(x)y = 0. (9.60)

Diese Gleichung konnen wir durch Trennung der Variablen losen:

dy

y= −f(x)dx. (9.61)

Integration ergibt die allgemeine Losung

ln y = −∫

f(x)dx + C (9.62)

oder anders ausgedruckt

y = exp

−∫

f(x)dx

expC = K exp

−∫

f(x)dx

, (9.63)

wobei wir die Konstante expC in K umbenannt haben.

Beispiel: Radioaktiver Zerfall

Durch radioaktiven Zerfall konnen sich Atomkerne in andere Typen verwandeln. Wir wollen nununtersuchen, wie sich durch radioaktiven Zerfall die Anzahl der Atome der Ausgangssubstanz ineiner radioaktiven Substanz mit der Zeit andert. Da der Zerfall eines Atoms unabhangig von denZerfallen der anderen Atome ist, zerfallen in einer doppelt so großen Menge von Atomen auch


doppelt so viele Atome. Die Zahl dN der in einem kurzen Zeitintervall dt in einer radioaktivenSubstanz zerfallenden Atome ist somit proportional zur Gesamtzahl N der vorhandenen Atome:

dN = −λNdt. (9.64)

Wir wahlen hier ein negatives Vorzeichen, weil durch jeden Zerfall die Anzahl N der noch nicht zer-fallenen Atome abnimmt. Die Proportionalitatskonstate λ, die Zerfallskonstante genannt wird,hangt vom Atomtyp ab. λ besitzt die Dimension 1/Zeit. Durch Separation der Variablen erhaltenwir

dN

N= −λdt. (9.65)

Integration liefert

lnN = −λt+ C (9.66)

oder

N(t) = e−λt+C = Ke−λt. (9.67)

Die Randbedingung N(0) = N0 (Atomanzahl zum Zeitpunkt t = 0) setzt die Konstante K fest:

N(0) = Ke−λ0 = K = N0. (9.68)

Das Zerfallsgesetz lautet also

N(t) = N0e−λt. (9.69)

Die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atome nimmt demnach exponentiell mit der Zeit ab (sieheAbb. 9.4). Nach der Zeit τ1/2 = ln 2/λ ist noch die Halfte der ursprunglich vorhandenen Atomeubrig. Man nennt diese Zeit die Halbwertszeit.

Abbildung 9.4: Die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atome einer radioaktiven Substanz nimmtmit der Zeit exponentiell ab. Nach der Halbwertszeit τ1/2 sind nur noch die Halfte der Atome ubrig.

Beispiel: Exponentielles Wachstum

Betrachten wir eine Population von Individuen, die sich vermehren konnen (z.B Bakterien in ei-ner Nahrlosung). Falls die Ressourcen nicht knapp sind, ist die Zunahme der Individuenanzahlproportional zur Individuenanzahl selbst:

dN = λNdt. (9.70)

Die Proportionalitatskonstante λ ist die Vermehrungsrate. Die Differentialgleichung (9.70) un-terscheidet sich nur im Vorzeichen vor der Proportionalitatskonstanten von der Differentialgleich-ung (9.64) im vorherigen Beispiel. Derselbe Losungsweg fuhrt uns in diesem Fall zu

N(t) = N0eλt. (9.71)


Die Populationsgroße nimmt exponentiell (also explosionsartig) zu. Fur biologische Systeme kannein solches Wachstum naturlich nur weitergehen, bis die Ressourcen sich verknappen. Dann wirdλ schrumpfen und das Wachstum verlangsamen.

Beispiel: Bewegung mit Reibung

Wir betrachten einen Korper der Masse m, der sich unter dem Einfluss einer Reibungskraft entlangeiner Geraden bewegt. Die Bewegung des Korpers wird durch die Newtonsche Bewegungsgleichung

F = mv (9.72)

beschrieben, wobei F die Kraft auf den Korper und v seine Geschwindigkeit ist. Die Kraft setzenwir als proportional zur Geschwindigkeit und als der Bewegungsrichtung entgegengesetzt an:

F = −γv. (9.73)

(Fur einen kugelformigen Korper mit Radius R in einer Flussigkeit mit der Zahigkeit η gilt etwa furniedrige Geschwindigkeiten das Stokessche Reibungsgesetz: F = −6πηRv.) In der obigen Gleichungist γ die so genannte Reibungskonstante. Einsetzen dieses Ausdrucks in die Bewegungsgleichungergibt:

v =dv

dt= − γ

mv. (9.74)

Separation der Variablen und anschließende Integration liefert:

v = v0e− γ

mt. (9.75)

Dabei ist v0 die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Das heißt, das Teilchen bleibt asymptotischstehen.

Um die Zeitabhangigkeit des Ortes x zu bestimmen, konnen wir wieder die Variablen separieren:

dx = v0e− γ

mtdt. (9.76)

Integration liefert:

x = −v0mγ

e−γmt + C. (9.77)

Die Anfangsbedingung x(t = 0) = x0 setzt die Konstante C fest:

C = x0 +v0m

γ. (9.78)

Somit erhalten wir

x(t) = x0 +v0m

γ

(

1 − e−γmt)

. (9.79)

Das heißt, der Korper erreicht fur t→ ∞ die asymptotische Position (siehe Abb. 9.5)

x∞ = x0 +v0m

γ. (9.80)

9.2.3 Inhomogene lineare Differentialgleichung

Die allgemeine Form einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung ist

y′ + f(x)y = g(x). (9.81)


Abbildung 9.5: In einer zahen Flussigkeit nahert sich ein Korper, auf den keine außere Kraft wirkt,exponentiell seiner asymptotischen Position x∞. Die insgesamt zuruckgelegte Distanz ist v0m/γ.

Im Gegensatz zur homogenen linearen Differentialgleichung verschwindet fur die inhomogene Glei-chung der Storterm g(x) nicht. Um die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung zu finden,genugt es, eine beliebige Partikularlosung yp zu bestimmen, die dann einfach zur allgemeinen

Losung der homogenen Gleichung yh addiert wird:

y = yh + yp. (9.82)

Da yh die homogene Gleichung erfullt,

y′h + f(x)yh = 0, (9.83)

und yp eine Partikularlosung der inhomogenen Gleichung ist,

y′p + f(x)yp = g(x), (9.84)

erfullt auch (yp + yh) die inhomogene Gleichung :

(yp + yh)′ + f(x)(yp + yh) = y′p + f(x)yp

︸︷︷︸

=g(x)

+ y′h + f(x)yh︸︷︷︸

=0

= g(x). (9.85)

Da wir aus dem letzten Abschnitt schon wissen, wie wir durch Variablenseparation die allgemeineLosung der homogenen Gleichung ermitteln konnen, mussen wir uns nur noch um die Bestimmungeiner beliebigen Partikularlosung der inhomogenen Gleichung kummern. In manchen Fallen konnenwir eine geeignete Partikularlosung erraten oder durch einen einfachen Ansatz bestimmen.

Beispiel:

Betrachten wir zum Beispiel die Differentialgleichung

xy′ − y = x2. (9.86)

Zunachst losen wir die homogene Differentialgleichung xy′ − y = 0 durch Variablenseparation:

dy

y=dx

x. (9.87)

Integration ergibt

ln y = lnx+ C, (9.88)

woraus folgtyh = kx, (9.89)


wobei wir k = eC gesetzt haben. Durch Probieren finden wir, dass yp = x2 die inhomogeneGleichung lost,

xy′ − y = x2x− x2 = 2x2 − x2 = x2. (9.90)

Die allgemeine, einparametrige Losungsschar der Differentialgleichung xy′−y = x2 ist also gegebendurch:

y = yp + yh = x2 + kx. (9.91)

Durch Einsetzen konnen wir uns davon uberzeugen, dass diese Funktion tatsachlich eine Losungder inhomogenen Differentialgleichung ist.

Eine etwas systematischere Methode zum Auffinden einer Partikularlosung einer inhomogenen Dif-ferentialgleichung ist die so genannte Variation der Konstanten. Bei diesem Verfahren fasst mandie Konstante k in der allgemeinen Losung yh der homogenen Gleichung als eine Funktion von xauf, k = k(x). Diesen Ansatz setzt man dann in die inhomogene Differentialgleichung und erhaltdadurch eine Differentialgleichung fur k(x), die man durch Separation der Variablen losen kann.

Beispiel:

Wir losen die Differentialgleichung aus dem vorangehenden Beispiel nun auch durch Variation derKonstanten. Dazu betrachten wir die Konstante k in der Losung yh = kx als Funktion von x:

y = k(x) · x. (9.92)

Diesen Ausdruck setzen wir nun in die inhomogene Differentialgleichung ein und erhalten nachAnwendung der Produktregel fur die Differentiation von k(x) · x die Gleichung:

xy′ − y = x(k(x) · x)′ − k(x) · x= x(k′(x) · x+ k(x)) − k(x)x

= k′(x)x2+xk(x)−xk(x)

= k′(x)x2 = x2. (9.93)

Die Differentialgleichung fur k(x) lautet also

k′(x) =dk

dx= 1. (9.94)

Integration durch Variablentrennung liefert k(x) = x. (Eine Konstante C benotigen wir hier nicht,da wir nur an einer Partikularlosung der inhomogenen Differentialgleichung interessiert sind.) Diegesuchte Partikularlosung fur die inhomogene Gleichung ist also

yp = k(x)x = x2. (9.95)

Fur die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung erhalten wir somit wie oben

y = yp + yh = x2 + kx. (9.96)

Diesen Losungsweg durch Variation der Konstanten konnen wir auch auf die allgemeine Form

y′ + f(x)y = g(x) (9.97)

der inhomogenen Differentialgleichung anwenden. (Falls die Gleichung nicht diese Form hat sondernh(x)y′ + f(x)y = g(x), dividieren wir durch h(x).) Wir losen zuerst die homogene Gleichung durchSeparation der Variablen:

dy

y= −f(x)dx. (9.98)


Wir integrieren und erhalten als allgemeine Losung

ln y = −∫

f(x)dx + C (9.99)

oder, durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten,

y = k exp

−∫

f(x)dx

, (9.100)

wobei wir wieder k fur eC geschrieben haben. Wir machen jetzt den Ansatz

y = k(x) exp

−∫

f(x)dx

(9.101)

und setzen ihn in die inhomogene Gleichung ein:

d

dx

[

k(x) exp

−∫

f(x)dx

]

+ k(x) exp

−∫

f(x)dx

f(x) = g(x). (9.102)

Zur Auswertung des ersten Terms in der obigen Gleichung verwenden wir die Produktregel

d

dx

[

k(x) exp

−∫

f(x)dx

]

=

dk

dxexp

−∫

f(x)dx

+ k(x) exp

−∫

f(x)dx

d

dx

[

−∫

f(x)dx

]

︸︷︷︸

=−f(x)

. (9.103)

Somit erhalten wir

k′(x) exp

−∫

f(x)dx

− k(x) exp

−∫

f(x)dx

f(x)

+ k(x) exp

−∫

f(x)dx

f(x) = g(x). (9.104)

Der zweite und dritte Term heben einander auf und somit erhalten wir:

k′(x) exp

−∫

f(x)dx

= g(x). (9.105)

Wir formen diese Gleichung um zu

dk = g(x) exp

∫

f(x)dx

dx, (9.106)

integrieren sie dann und erhalten

k =

∫

g(x) exp

∫

f(x)dx

dx+ C. (9.107)

Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung (9.101) liefert schließlich die Partikularlosung

yp(x) =

[∫ (

g(x) exp

∫

f(x)dx

)

dx+ C

]

exp

−∫

f(x)dx

. (9.108)

Zweckmaßiger, als sich diese Formel zu merken, ist es, sich den allgemeinen Losungsweg anzueignen,um ihn bei Bedarf direkt auf die gegebene Differentialgleichung anzuwenden. Zusammenfassendhalten wir fest, dass wir die lineare inhomogene Differentialgleichung losen konnen, indem wir

1. die allgemeine Losung yh der homogenen Differentialgleichung bestimmen,


2. dann durch Variation der Konstanten eine Partikularlosung yp der inhomogenen Gleichungermitteln, und schließlich

3. yh und yp addieren, um die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung zuerhalten:

y(x) = yh(x) + yp(x). (9.109)

Beispiel: Radioaktiver Zerfall mit Erzeugung der radioaktiven Substanz

Wir betrachten wieder den Zerfall einer radioaktiven Substanz, jetzt aber in einer Situation, in derzum Beispiel in einem Reaktor die radioaktive Substanz standig nachgeliefert wird. Pro Zeiteinheitwerden vom Reaktor r Atome erzeugt. Das heißt, dass rdt Atome im Zeitintervall dt dazukommen.Diese dazukommenden Atome mussen auch in der Differentialgleichung fur N , die Anzahl derAtome, berucksichtigt werden:

dN = −λNdt+ rdt (9.110)

oder, aquivalent dazu,

dN

dt= −λN + r, (9.111)

wobei r eine Konstante ist. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Die Losungder homogenen Gleichung kennen wir bereits:

Nh = Ke−λt. (9.112)

Durch Variation der Konstanten ermitteln wir jetzt noch eine Partikularlosung fur die inhomogeneGleichung. Wir setzen an

Np = K(t)e−λt (9.113)

und erhalten dadurch

dNpdt

=dK(t)

dte−λt +K(t)(−λ)e−λt. (9.114)

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt

dK

dte−λt −

λKe−λt = −λKe−λt + r, (9.115)

woraus folgt

dK

dte−λt = r oder

dK

dt= eλtr. (9.116)

Integration liefert

K = r1

λeλt (9.117)

und somit

Np =r

λeλt · e−λt =

r

λ. (9.118)

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung ist also

N(t) = Nh(t) +Np(t) = Ke−λt +r

λ. (9.119)


Fur t→ ∞ ist e−λt → 0 und N strebt dem Gleichgewichtswert r/λ zu. Wir mussen nun noch dieKonstante K aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Wurde der Reaktor etwa zum Zeitpunktt = 0 in Betrieb genommen, sodass N(0) = 0, folgt

0 = K +r

λ(9.120)

und infolgedessen:

N(t) =r

λ

(1 − e−λt

). (9.121)

Fur t→ ∞ ist e−λt → 0 und N strebt dem Gleichgewichtswert r/λ zu.

Konstanter Storterm und konstante Koeffizienten

Falls die Koeffizienten der Differentialgleichung 1. Ordnung konstant sind, konnen wir die Diffe-rentialgleichung

y′ + ay = b (9.122)

mit einem konstanten Storterm b auch durch Variablenseparation losen. Wir formen die obigeGleichung um zu:

dy

dx= b− ay. (9.123)

Daraus folgt:

dy

b− ay= dx. (9.124)

Wir fuhren nun die neue Variable u = b − ay ein und fuhren eine Variablentransformation von ynach u durch. Da du = −ady ist, gilt

du

−au = dx oderdu

u= −adx. (9.125)

Integration ergibt

lnu = −ax+ C (9.126)

oder, nach Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten der Gleichung,

u = e−axeC = ke−ax. (9.127)

Rucktransformation nach y liefert schließlich:

y =b

a− k

ae−ax. (9.128)

Beispiel: Radioaktiver Zerfall mit Erzeugung der radioaktiven Substanz

Wir behandeln das letzte Beispiel noch einmal mit dem oben beschriebenen Ansatz und formenzunachst die Differentialgleichung

dN

dt= −λN + r (9.129)

um zu

dN

−λN + r= dt. (9.130)


Abbildung 9.6: Die Anzahl von Atomen einer radioaktiven Substanz nahert sich exponentiell einerGleichgewichtsanzahl, die sowohl von der Zerfallskonstanten λ als auch von der Erzeugungsrate rabhangt.

Integration liefert

− 1

λln(−λN + r) = t+ C, (9.131)

woraus folgt:

N(t) =1

λ(r − k exp −λt), (9.132)

wobei wir k = exp(−λC) gesetzt haben. Die Anfangsbedingung N(t = 0) = N0 liefert

N0 =r

λ− k

λ⇒ k = r − λN0 (9.133)

und wir erhalten schließlich (siehe Abb. 9.6)

N(t) =r

λ+(

N0 −r

λ

)

e−λt. (9.134)

Dies stimmt mit der bereits erhaltenen Losung uberein.

Beispiel: Bewegung mit Reibung im Gravitationsfeld

Wir betrachten nun ein Teilchen mit Masse m, das in einer viskosen Flussigkeit im Gravitationsfeldder Erde nach unten fallt (siehe Abb. 9.7).

Abbildung 9.7: Eine Kugel der Masse m sinkt unter der Wirkung der Gravitationskraft in einerviskosen Flussigkeit.


Wir lassen den Korper zur Zeit t = 0 an der Stelle x0 los und geben ihm eine Anfangsgeschwin-digkeit v0. Gesucht sind Position x und Geschwindigkeit v des Teilchens als Funktion der Zeit t.Die x-Achse ist hier nach unten orientiert. Die Bewegungsgleichung fur das Teilchen ist

F = ma oderdv

dt=F

m. (9.135)

Die Kraft, die auf das Teilchen wirkt, besteht einerseits aus der Gravitationskraft Fg = gm undandererseits aus der Reibungskraft Fr = −γv, welche der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist:

F = gm− γv. (9.136)

Einsetzen ergibt:

dv

dt= g − γ

mv. (9.137)

Diese Differentialgleichung unterscheidet sich nur durch den konstanten Term g von der Bewe-gungsgleichung (9.74). Aus Gleichung (9.137) folgt

dv

g − γvm

= dt (9.138)

und nach Transformation zur neuen Variablen u = g − γvm wegen du = − γ

mdv

du

u= − γ

mdt. (9.139)

Durch Integration finden wir

lnu = − γ

mt+ C, (9.140)

was bedeutet

u = e−γmteC = ke−

γmt. (9.141)

Durch Rucksubstitution finden wir

g − γv

m= ke−

γmt (9.142)

und somit

v =m

γ

(

g − ke−γmt)

. (9.143)

Aus der Anfangsbedingung v(0) = v0 erhalten wir

k = g − v0γ

m(9.144)

und infolgedessen

v =mg

γ−(mg

γ− v0

)

e−γmt (9.145)

oder

v =mg

γ

(

1 − e−γmt)

+ v0e− γ

mt. (9.146)

Das heißt, dass sich die Geschwindigkeit v von der Anfangsgeschwindigkeit v0 ausgehend der asymp-totischen Geschwindigkeit von mg/γ exponentiell nahert (siehe Abb. 9.8). Sobald diese Geschwin-digkeit erreicht ist, halten sich mg und −γv genau die Waage. Falls das Teilchen zum Zeitpunktt = 0 in Ruhe ist, gilt v = (mg/γ)

(1 − e−(γ/m)t

).


Abbildung 9.8: Die Geschwindigkeit v nahert sich exponentiell der Endgeschwindigkeit mg/γ, beider sich Reibungskraft und Gravitationskraft genau die Waage halten.

Die Konstante γ/m gibt uns ein Maß dafur, wie lange es dauert, bis das Teilchen seine Endge-schwindigkeit erreicht hat. Nach t = m/γ ist die ursprungliche Differenz der Geschwindigkeit zurEndgeschwindigkeit auf den Bruchteil 1

e abgefallen. Falls etwa v0 = 0, unterscheidet sich die Ge-schwindigkeit nach t = 5m/γ nur mehr um 0.7 % von der Endgeschwindigkeit und nach t = 15m/γbetragt der Unterscheid nur mehr 3.1 × 10−5 %. Nach einer Zeit t ≫ m/γ fallt das Teilchen alsoim Wesentlichen mit konstanter Geschwindigkeit durch die viskose Flussigkeit.

Um den Ort x als Funktion der Zeit zu bestimmen, gehen wir aus von der Differentialgleichung

v =dx

dt=mg

γ−(mg

γ− v0

)

e−γmt, (9.147)

die wir einfach durch Variablenseparation integrieren konnen:

x =mg

γt−(mg

γ− v0

)

e−γmt ·(

−mγ

)

+ C

=mg

γt+

m

γ

(mg

γ− v0

)

e−γmt + C. (9.148)

Die Konstante C bestimmen wir aus der Anfangsbedingung x(0) = x0:

x0 =m

γ

(mg

γ− v0

)

+ C. (9.149)

Folglich gilt

C = x0 −m

γ

(mg

γ− v0

)

(9.150)

und wir erhalten damit

x = x0 −m

γ

(mg

γ− v0

)

+mg

γt+

m

γ

(mg

γ− v0

)

e−γmt

= x0 +mg

γt− m

γ

(mg

γ− v0

)(

1 − e−γmt)

. (9.151)

Da der Term e−(γ/m)t schnell gegen 0 geht, dominiert fur Zeiten, die lang sind im Vergleich zum/γ, der lineare Term (das Teilchen fallt dann mit konstanter Geschwindigkeit). Fur lange Zeitent≫ m/γ gilt dann

x(t) ≈ x0 +mg

γt− m

γ

(mg

γ− v0

)

. (9.152)


9.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind bei weitem komplexer (und deswegen auch interessan-ter) als Differentialgleichungen erster Ordnung. Zu den wichtigen Differentialgleichungen zweiterOrdnung, die einem in der Physik gleich in den ersten Semestern begegnen, gehoren die NewtonscheBewegungsgleichung und insbesondere die Schwingungsgleichung, mit der wir uns im Folgendenvor allem beschaftigen werden.

Die allgemeine Form einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

F (x, y, y′, y′′) = 0. (9.153)

Wir konzentrieren uns hier auf die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Form

y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = g(x) (9.154)

besitzt. Falls der Storterm g(x) verschwindet, spricht man auch hier von einer homogenen Diffe-rentialgleichung, anderenfalls von einer inhomogenen Differentialgleichung.

Besonders einfach (und trotzdem sehr wichtig) sind Differentialgleichungen 2. Ordnung, bei denendie Koeffizienten p(x) und q(x) konstant sind. Fur diese besondere Form betrachten wir zunachstden homogenen Fall.

9.3.1 Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die allge-meine Form:

y′′ + ay′ + by = 0. (9.155)

Fur eine lineare Differentialgleichung gilt, dass, wenn y(x) eine Losung ist, auch das Produkt cy(x)dieser Funktion mit einer Konstanten eine Losung ist. Dies gilt, da (cy)′′ = cy′′ und (cy)′ = cy′.Weiters ist die Summe zweier Losungen y1 und y2 auch eine Losung der Differentialgleichung, dagilt (y1 + y2)

′′ = y′′1 + y′′2 und (y1 + y2)′ = y′1 + y′2 (die Differentiation ist ein linearer Operator).

Allgemeiner: jede Linearkombination

y = c1y1 + c2y2 (9.156)

von zwei Losungen y1, y2 ist ebenfalls eine Losung der Differentialgleichung. Man nennt diesenSachverhalt das Superpositionsprinzip. Die Konstanten c1 und c2 konnen hier reelle aber auchkomplexe Zahlen sein. Um die zwei freien Parameter einer Differentialgleichung 2. Ordnung zubestimmen, brauchen wir zwei Anfangs- oder Randbedingungen.

Fur eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten konnen wir mitHilfe des exponentiellen Ansatzes y = Aeλx immer Losungen finden, da durch Differentiation voneλx nach x nur ein zusatzlicher Faktor λ entsteht. Dadurch sind alle Ableitungen von y nach xproportional zueinander. Einsetzen des Ansatzes y = Aeλx in die Differentialgleichung (9.155)liefert:

Aλ2eλx + aAλeλx + bAeλx = 0. (9.157)

Da eλx > 0 und da A = 0 nur der trivialen Losung y = 0 entspricht, konnen wir beide Seiten dieserGleichung durch Aeλx dividieren und erhalten

λ2 + aλ+ b = 0. (9.158)

Dies ist eine quadratische Gleichung fur λ, die so genannte charakteristische Gleichung, mitden Losungen:

λ1,2 =−a±

√a2 − 4b

2. (9.159)


Der exponentielle Ansatz kann naturlich auch fur homogene lineare Differentialgleichungen hohererOrdnung mit konstanten Koeffizienten verwendet werden. In diesem Fall hat die Differentialglei-chung die allgemeine Form

any(n) + an−1y

(n−1) + · · · + a1y′ + a0y = 0 (9.160)

oder

n∑

i=0

aiy(i)(x) = 0, (9.161)

wobei die ai konstante Koeffizienten sind und wir festlegen, dass y(0) = y. Einsetzen des exponen-tiellen Ansatzes y = Aeλx und anschließende Division ergibt:

n∑

i=0

aiλi = 0 = a0 + a1λ+ a2λ

2 + · · · + anλn. (9.162)

Diese algebraische Gleichung n-ten Grades hat genau n moglicherweise komplexe Losungen λ1, λ2,. . . , λn, mit denen man allgemeine Losungen der Differentialgleichung (9.160) konstruieren kann.

Kehren wir nun nach diesem kurzen Exkurs uber Differentialgleichungen hoherer Ordnung wiederzu Differentialgleichungen zweiter Ordnung zuruck. Nach Gleichung (9.159) erfullt der Ansatz y =Aeλx genau fur die Werte λ1,2 = −a/2±

√

a2/4 − b die ursprungliche Differentialgleichung. Diesebeiden speziellen Werte werden Eigenwerte der Differentialgleichung genannt. Falls a2/4− b ≥ 0,sind die beiden Eigenwerte reell. Anderenfalls sind sie beide komplex und zueinander komplexkonjugiert. Wie wir spater noch genauer sehen werden, lassen sich aus Losungen mit komplexkonjugierten Eigenwerten λ1 und λ2 durch Superposition immer reelle Losungen konstruieren.Wenn wir die Eigenwerte λ1 = α + iβ und λ2 = α − iβ haben (α und β reell) mit zugehorigenLosungen y1 = eλ1x und y2 = eλ2x, konnen wir die reellen Losungen

y1 =

(eλ1x

2+eλ2x

2

)

= eαx(eiβx + e−iβx

2

)

= eαx cosβx (9.163)

und

y2 =

(eλ1x

2i− eλ2x

2i

)

= eαx(eiβx − e−iβx

2i

)

= eαx sinβx (9.164)

konstruieren. Durch Superposition der Losungen, die zu den Eigenwerten λ1 und λ2 gehoren,erhalten wir die allgemeine Losung der Differentialgleichung, die zwei freie Parameter A1 und A2

enthalt:

y = A1eλ1x +A2e

λ2x (9.165)

oder, falls die Eigenwerte komplex sind und wir eine reelle Losung wollen,

y = A1eαx cosβx+A2e

αx sinβx. (9.166)

Die freien Parameter A1 und A2 mussen durch Anfangs- oder Randbedingungen festgelegt werden.

Beispiel:

Wir betrachten ein ideal biegsames Seil der Lange l, das reibungslos uber die Kante eines Tischesgleitet (siehe Abb. 9.9). Wir wollen nun die genaue Lage des Seils sowie seine Geschwindigkeit alsFunktion der Zeit bestimmen. Dazu legen wir fest, dass die Koordinate x die Lange des uberhangen-den Teils des Seils bezeichnet. Die Newtonsche Bewegungsgleichung fur das Seil lautet

md2x

dt2= F, (9.167)


Abbildung 9.9: Ein biegsames Seil wird von der Gravitationskraft von einem Tisch gezogen.

wobei m die Gesamtmasse des Seils ist. Die auf das Seil wirkende Kraft F ist gleich dem Gewichtdes herabhangenden Teils. Da die Masse dieses Teils gleich mx/l ist, ergibt sich fur die KraftF = gmx/l und somit

md2x

dt2=gmx

l(9.168)

oder, nach Division durch m:

d2x

dt2− gx

l= 0. (9.169)

Wir setzen nun als Losung

x(t) = Aeλt (9.170)

an. Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

d2

dt2(Aeλt

)− g

l

(Aeλt

)= 0 (9.171)

und somit

Aλ2eλt − g

lAeλt = 0. (9.172)

Nach Division durch Aeλt erhalten wir die charakteristische Gleichung

λ2 − g

l= 0, (9.173)

woraus folgt:

λ1,2 = ±√g

l. (9.174)

Beide Eigenwerte sind also reell. Die allgemeine Losung der Differentialgleichung ist:

x(t) = A1e+√

glt +A2e

−√

glt. (9.175)

Wenn wir uns vorstellen, dass das Seil anfanglich ruht und ein Stuck der Lange x0 uberhangt,

v(0) = 0 und x(0) = x0, (9.176)

konnen wir aus diesen Bedingungen die Konstanten A1 und A2 bestimmen:

x(0) = A1 +A2 = x0 (9.177)

und

v(0) = A1

√g

l−A2

√g

l= 0. (9.178)

Aus der zweiten Bedingung folgt A1 = A2, was, eingesetzt in die erste Bedingung, A1 = A2 = x0/2ergibt. Somit ist die Losung fur diesen speziellen Fall gegeben durch (siehe Abb. 9.10):

x(t) =x0

2

(

e+√

glt + e−

√glt)

= x0 cosh

(√g

lt

)

. (9.179)


Abbildung 9.10: Der uberhangende Anteil x des Seiles ist eine rasch anwachsende Funktion derZeit: x = x0 cosh(

√

g/lt).

9.3.2 Der harmonische Oszillator

Schwingungen mit kleinen Amplituden fuhren uns immer zur so genannten Schwingungsgleichung,die sich von Fall zu Fall nur durch den Wert und die Bedeutung der Koeffizienten sowie die Bedeu-tung der Variablen unterscheidet. Betrachten wir zum Beispiel einen Massenpunkt der Masse m,der an einer gewichtslosen und undehnbaren Schnur der Lange l aufgehangt ist und im Erdschwe-refeld hin und her pendeln kann (siehe Abb. 9.11). Den Zustand eines solchen Pendels beschreibenwir durch den Winkel x, den der Faden mit dem Lot bildet.

Abbildung 9.11: Ein Massenpunkt der Masse m hangt an einer Schnur der Lange l. Die ruck-stellende Kraft Ft ist die Komponente der Gravitationskraft F , die tangential zur Kreisbahn desMassenpunkts steht. s ist die Entfernung entlang des Kreisbogens des Massenpunktes von seinerRuhelage.

Auf den Massenpunkt wirkt die Gravitationskraft F = mg senkrecht nach unten. Wenn das Pendelum einen Winkel x aus der Ruhelage ausgelenkt ist, wirkt die Komponente Fr = mg cosx inRichtung der Schnur und hat daher keine Wirkung. Die Komponente Ft = mg sinx hingegen wirktnormal zur Schnur und in Richtung zuruck zur Ruhelage. Die Bewegungsgleichung fur das Pendel


ist

ma = md2s

dt2= −Ft, (9.180)

wobei s = xl die Entfernung des Massenpunktes von seiner Ruhelage langs des Kreisbogens ist. DasMinuszeichen in der Gleichung (9.180) ist notwendig, da die Richtung der Kraft der Auslenkung xentgegengesetzt ist. (Die Kraft −Ft nennt man ubrigens die Ruckstellkraft.) Ft ist die Kraft, dienormal zur Schnur, also in Richtung der Bahnkurve wirkt. Einsetzen von s und Ft in Gleichung(9.180) ergibt:

md2lx

dt2= −mg sinx (9.181)

oder, da l konstant ist,

d2x

dt2= −

(g

l

)

sinx. (9.182)

Fur kleine Auslenkungen gilt sinx ≈ x und wir erhalten in dieser Naherung die Schwingungsglei-chung:

d2x

dt2= −

(g

l

)

x. (9.183)

Da es sich spater als gunstig herausstellen wird, setzen wir (g/l) = ω20 . Die Gleichung (9.183) wird

damit zu

d2x

dt2= −ω2

0x. (9.184)

Dies ist die allgemeine Gleichung des (eindimensionalen) harmonischen Oszillators, bei demdie Ruckstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Das heißt, F = −kx. Die Konstante kwird ubrigens die Federkonstante oder auch die Kraftkonstante genannt. Fur eine solche Kraftergibt sich die Bewegungsgleichung

md2x

dt2= −kx oder wieder

d2x

dt2= −ω2

0x, (9.185)

wobei wir ω20 = k/m gesetzt haben. Das ist die Bewegungsgleichung fur ein eindimensionales

Teilchen der Massem mit einer parabolischen potentiellen Energie V (x) = kx2/2 (siehe Abb. 9.12).Die Kraft ergibt sich aus diesem Potential durch Bildung der ersten Ableitung, F = −dV/dx =−kx.

Abbildung 9.12: In einem parabolischen Potential V (x) = kx2/2 fuhrt ein Massenpunkt der Massem eine harmonische Bewegung mit der Periode T = 2π

√

m/k aus.

Wir wollen nun die Gleichung des harmonischen Oszillators losen. Der Ansatz x = Aeλt liefert diecharakteristische Gleichung

λ2 + ω20 = 0. (9.186)


Die Eigenwerte dieser Gleichung sind rein imaginar:

λ1,2 = ±√

−ω20 = ±iω0. (9.187)

Aus den beiden komplexen Losungen

x1 = eiω0t und x2 = e−iω0t (9.188)

konstruieren wir die reellen Losungen

x1 =1

2

(eiω0t + e−iω0t

)= cosω0t, (9.189)

x2 =1

2i

(eiω0t − e−iω0t

)= sinω0t. (9.190)

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung fur den harmonischen Oszillator ist also

x = A cosω0t+B sinω0t. (9.191)

Diese Losung lasst sich auch schreiben als

x = C sin(ω0t+ ϕ), (9.192)

wobei C die Amplitude der Schwingung und ϕ die so genannte Phasenverschiebung ist. DerZusammenhang dieser beiden Losungen lasst sich mit Hilfe des Additionstheorems fur die Sinus-funktion herstellen:

x = C sin(ω0t+ ϕ)

= C(sinω0t cosϕ+ sinϕ cosω0t)

= (C cosϕ) sinω0t+ (C sinϕ) cosω0t. (9.193)

Daraus folgt

A = C sinϕ und B = C cosϕ (9.194)

oder umgekehrt

ϕ = arctan

(A

B

)

und C =√

A2 +B2. (9.195)

Gemaß Gleichung (9.191) oder Gleichung (9.192) fuhrt der harmonische Oszillator eine periodi-

sche Schwingung mit Kreisfrequenz ω0 aus. Die freien Parameter A und B, beziehungsweise C undϕ, konnen durch die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt werden. Fur x(0) = x0

und dx(t = 0)/dt = v0 ergibt sich:

A cos 0 +B sin 0 = A = x0, (9.196)

−ω0A sin 0 + ω0B cos 0 = ω0B = v0. (9.197)

Daraus folgt

A = x0 und B =v0ω0. (9.198)

Die Phase ϕ und die Amplitude C sind

ϕ = arctan

(ω0x0

v0

)

und C =

√

x20 +

(v0ω0

)2

. (9.199)

Die Losung fur die Anfangsbedingungen x(0) = x0 und v(0) = v0 ist also

x = x0 cosω0t+v0ω0

sinω0t (9.200)


Abbildung 9.13: Die Losung der Differentialgleichung des eindimensionalen harmonischen Oszilla-tors ist eine Sinusfunktion, deren Amplitude und Phase von den Anfangsbedingungen x0 und v0abhangen. Die Steigung der Kurve zum Zeitpunkt t = 0 ist v0.

oder, etwas anders geschrieben,

x =

√

x20 +

(v0ω0

)2

sin

[

ω0t+ arctan

(ω0x0

v0

)]

. (9.201)

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch mit Periode 2π. Das bedeutet, dass der harmo-nische Oszillator eine Periode von T = 2π/ω0 = 2π

√

m/k und eine Frequenz von f = 1/T =

ω0/2π = (1/2π)√

k/m hat. Man bezeichnet ω0 auch als die Kreisfrequenz.

9.3.3 Die gedampfte Schwingung

Bis jetzt haben wir angenommen, dass der Oszillator reibungsfrei schwingen kann. Falls jedoch Rei-bungskrafte wirksam sind, mussen diese auch in der Differentialgleichung berucksichtigt werden.Mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft F = −γdx/dt wird die Bewegungs-gleichung zu

md2x

dt2= −kx− γ

dx

dt. (9.202)

Hier hat die Reibungskraft ein negatives Vorzeichen, da sie der Bewegung entgegengerichtet ist.Wir dividieren durch m, setzen ω0 =

√

k/m und 2β = γ/m und erhalten

d2x

dt2+ 2β

dx

dt+ ω2

0x = 0. (9.203)

Der Ansatz x = Aeλt liefert die charakteristische Gleichung:

λ2 + 2βλ+ ω20 = 0. (9.204)

Diese quadratische Gleichung hat die Losungen

λ1,2 = −β ±√

β2 − ω20. (9.205)

Abhangig von den Werten von β und ω0 sind die Eigenwerte entweder komplex oder rein reell.

Wir unterscheiden drei verschiedene Falle:


ω0 < β λ1,2 reell: Kriechfall

ω0 = β λ1 = λ2 reell: aperiodischer Grenzfall

ω0 > β λ1,2 komplex: Schwingfall

Kriechfall:

Wenn ω0 < β, sind beide Eigenwerte reell aber negativ. Die allgemeine Losung der Bewegungsglei-chung ist also (siehe Abb. 9.14)

x(t) = Aeλ1t +Beλ2t (9.206)

mit den Koeffizienten

λ1 = −β +√

β2 − ω20; λ2 = −β −

√

β2 − ω20 . (9.207)

Da sowohl λ1 als auch λ2 negativ sind, nahert sich x exponentiell seiner Ruhelage. Die Dampfungdurch Reibungsverluste ist in diesem Fall zu stark, um eine Schwingung zuzulassen. So ein Fallwurde sich z.B. fur ein Pendel in einer viskosen Flussigkeit ergeben.

Abbildung 9.14: Im Kriechfall nahert sich der Oszillator seiner Ruhelage exponentiell.

Wir wollen nun die Bewegung des Oszillators fur den Fall betrachten, dass er anfanglich in Ruheist (x(0) = 0) und die Auslenkung x(0) = x0 hat. Aus x(0) = x0 ergibt sich

A+B = x0. (9.208)

Die zeitliche Ableitung der Auslenkung ist

x(t) = λ1Aeλ1t + λ2Be

λ2t (9.209)

und somit folgt aus x(0) = 0

λ1A+ λ2B = 0. (9.210)

Aus diesen beiden Bedingungen konnen wir A und B bestimmen:

A =x0λ2

λ2 − λ1, (9.211)

B = − λ1x0

λ2 − λ1. (9.212)

Wegen

λ2 − λ1 = −β −√

β2 − ω20 + β −

√

β2 − ω20 = −2

√

β2 − ω20 (9.213)

erhalten wir schließlich

x(t) =x0

−2√

β2 − ω20

(λ2e

λ1t − λ1eλ2t). (9.214)


Anders ausgedruckt haben wir:

x(t) =x0

−2√

β2 − ω20

([

−β −√

β2 − ω20

]

e(−β+√β2−ω2

0)t

−[

−β +√

β2 − ω20

]

e(−β−√β2−ω2

0)t

)

. (9.215)

Aperiodischer Grenzfall:

Verringern wir den Reibungskoeffizienten so weit, dass ω0 = β, sind beide Eigenwerte gleich undnegativ: λ1 = λ2 = −β. Man nennt solche Eigenwerte entartet. Die Losung der Differentialgleichungwird in diesem Fall zu

x = Ae−βt. (9.216)

Hier haben wir jedoch nur mehr einen freien Parameter statt zwei, wie wir es von der allgemeinenLosung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung eigentlich verlangen mussen. Wir brauchen alsoeine zweite vom Ansatz Aeλt verschiedene Losung, um den zweiten Parameter unterzubringen. Wirversuchen es mit dem Ansatz

x = Bte−βt (9.217)

mit den Ableitungen

x =dx

dt= −Bβte−βt +Be−βt = Be−βt(1 − βt) (9.218)

und

x =d2x

dt2= −βBe−βt(1 − βt) +Be−βt(−β)

= Be−βt[−β + β2t− β

]

= Be−βt[β2t− 2β

]. (9.219)

Einsetzen dieses Ansatzes in die Differentialgleichung (9.203) ergibt:

Be−βt[β2t− 2β

]+ 2βBe−βt(1 − βt) + ω2

0Bte−βt = 0 (9.220)

und somit

β2t−2β +2β − 2β2t+ ω20t = −β2t+ ω2

0t

= (−β2 + ω20)t = 0. (9.221)

Da nach Voraussetzung β = ω0, verschwindet die linke Seite der obigen Gleichung und wir sehen,dass der Ansatz x = Bte−βt die Differentialgleichung erfullt. Die allgemeine Losung ist in diesemFall also

x(t) = Ae−βt +Bte−βt. (9.222)

Da die lineare Funktion t viel langsamer wachst als die Exponentialfunktion e−βt abfallt, kehrtder Oszillator im aperiodischen Grenzfall auf monotone Weise von einer Auslenkung x in seineRuhelage x = 0 zuruck.

Wenn der Oszillator bei t = 0 eine Auslenkung von x0 hat und seine Anfangsgeschwindigkeitverschwindet, haben wir fur die freien Parameter A und B:

A = x0 und B = βx0 (9.223)


und erhalten als spezielle Losung

x(t) = x0e−βt + βx0te

−βt = x0e−βt(1 + βt). (9.224)

Da fur β = ω0 also keine Schwingung auftritt und fur ein etwas kleineres β der Oszillator erstmalsseine Ruhelage mit endlicher Geschwindigkeit durchqueren und nicht nur asymptotisch erreichenkann, spricht man vom aperiodischen Grenzfall: Wenn wir β um einen nur kleinen Betrag verrin-gern, kann das System erstmals schwingen. Beim aperiodischen Grenzfall kehrt der Oszillator amschnellsten in seine Ruhelage zuruck.

Schwingfall:

Falls ω0 > β, ist das Argument der Wurzel in Gleichung (9.205) negativ und die beiden Eigenwerteλ1 und λ2 sind komplex. Mit −ω2 ≡ β2 − ω2

0 (damit klar ist, dass β2 − ω20 eine negative Zahl ist),

sind die Eigenwerte gegeben durch

λ1 = −β + iω und λ1 = −β − iω. (9.225)

Sie sind also komplex konjugiert zueinander.

Wie wir bereits wissen (siehe Gleichung (9.166)) konnen wir in diesem Fall aus den Losungen x1 =e−(β+iω)t und x2 = e−(β−iω)t durch eine passende Linearkombination reelle Losungen konstruieren

x1 =

(e−(β+iω)t

2+e−(β−iω)t

2

)

= e−βt cosωt, (9.226)

x2 = −(e−(β+iω)t

2i− e−(β−iω)t

2i

)

= e−βt sinωt. (9.227)

Die allgemeine Losung ist also

x(t) = Ae−βt cosωt+Be−βt sinωt = e−βt(A cosωt+B sinωt) (9.228)

oder

x(t) = Ce−βt sin(ωt+ ϕ). (9.229)

Das ist eine Schwingung, deren Amplitude durch die Dampfung exponentiell mit der Zeit abnimmt.Die Kreisfrequenz

ω =√

ω20 − β2 (9.230)

ist fur den gedampften Oszillator geringer als fur den ungedampften.

Um die freien ParameterA und B (bzw. C und ϕ) fur die speziellen Anfangsbedingungen x(0) = x0

und x(0) = 0 zu bestimmen, benotigen wir die erste Ableitung:

dx

dt= (−β)e−βt(A cosωt+B sinωt) + ωe−βt(−A sinωt+B cosωt)

= e−βt [(ωB − βA) cosωt− (ωA+ βB) sinωt] . (9.231)

Somit folgt aus den Anfangsbedingungen

A = x0 (9.232)

und

B =βA

ω=βx0

ω. (9.233)


Die Losung der Differentialgleichung ist dann

x(t) = x0e−βt

(

cosωt+β

ωsinωt

)

(9.234)

oder anders ausgedruckt

x(t) = x0e−βt

(

cos(√

ω20 − β2t) +

β√

ω20 − β2

sin(√

ω20 − β2t)

)

. (9.235)

Fur β → ω0 oder ω → 0 erhalten wir x(t) = x0e−βt(1 + βt). Das ist genau der aperiodische

Grenzfall aus Gleichung (9.224).

Abbildung 9.15: Schwingfall (ω0 > β), Kriechfall (ω0 < β) und aperiodischer Grenzfall (ω0 = β)eines gedampften harmonischen Oszillators (hier haben wir ω0 = 1 gesetzt).

9.3.4 Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit kon-stanten Koeffizienten: die erzwungene Schwingung

Wir betrachten nun einen harmonischen Oszillator, der zusatzlich durch eine außere, zeitabhangigeKraft angeregt wird. Beispiele waren etwa ein Pendel, dessen Aufhangepunkt periodisch hin undher bewegt wird oder ein elektrischer Schwingkreis, der an eine Wechselspannung angeschlossenwird. Diese zusatzliche außere Kraft muss naturlich in der Bewegungsgleichung des Oszillatorsberucksichtigt werden. Fur eine harmonische periodische Kraft F = A cosΩt mit Kreisfrequenz Ωund Amplitude A wird die Bewegungsgleichung zu

d2x

dt2+ 2β

dx

dt+ ω2

0x = A cosΩt. (9.236)

Der Storterm A cos Ωt macht die ursprungliche homogene Gleichung zu einer inhomogenen

Gleichung mit konstanten Koeffizienten.

Auch fur eine solche Differentialgleichung gilt, dass die allgemeine Losung der inhomogenen Glei-chung als Summe der allgemeinen Losung der homogenen Gleichung und einer Partikularlosungder inhomogenen Gleichung geschrieben werden kann:

x(t) = xh(t) + xp(t). (9.237)


Dass diese Funktion eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung ist, kann durch Einsetzenleicht uberpruft werden. Die allgemeine Losung xh(t) der homogenen Gleichung kennen wir bereits;wir mussen also jetzt noch nach einer Partikularlosung xp(t) der inhomogenen Gleichung suchen.

Wir konnten das durch Variation der Konstanten versuchen; es ist jedoch einfacher, einen Losungs-ansatz zu machen. Mit einer Winkelfunktion als Storfunktion kann auch die Losung nur eine Win-kelfunktion sein, da durch Differenzieren nur aus Winkelfunktionen wieder solche entstehen konnen.Wir machen also einen Ansatz, der der Storung ahnlich ist

x = k cos(Ωt− ϕ). (9.238)

Die zugehorigen Ableitungen sind:

x = −kΩ sin(Ωt− ϕ) (9.239)

und

x = −kΩ2 cos(Ωt− ϕ). (9.240)

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

− kΩ2 cos(Ωt− ϕ) − 2βkΩ sin(Ωt− ϕ) + ω20k cos(Ωt− ϕ) = A cosΩt. (9.241)

Um die linke und die rechte Seite der Gleichung auf eine ahnliche Form zu bringen, formen wir dierechte Seite der Gleichung durch Verwendung des Additionstheorems fur den Kosinus folgender-maßen um:

A cosΩt = A cos(Ωt− ϕ+ ϕ) = A cos(Ωt− ϕ) cosϕ−A sin(Ωt− ϕ) sinϕ. (9.242)

Einsetzen ergibt

(−kΩ2 + kω20) cos(Ωt− ϕ) − 2βkΩ sin(Ωt− ϕ)

= A cos(Ωt− ϕ) cosϕ−A sin(Ωt− ϕ) sinϕ. (9.243)

Diese Gleichung konnen wir fur alle Zeiten t erfullen, indem wir die Koeffizienten vor dem Kosinuscos(Ωt− ϕ) bzw. vor dem Sinus sin(Ωt− ϕ) auf beiden Seiten gleichsetzen:

− kΩ2 + kω20 = A cosϕ, (9.244)

2βkΩ = A sinϕ. (9.245)

Durch Addition der Quadrate beider Gleichungen finden wir

(−kΩ2 + kω20)

2 + 4β2k2Ω2 = A2 cos2 ϕ+A2 sin2 ϕ = A2 (9.246)

oder

k2 =A2

(ω20 − Ω2)2 + 4β2Ω2

. (9.247)

Division der beiden Gleichungen (9.244) und (9.245) hingegen ergibt

tanϕ =2βkΩ

k(ω20 − Ω2)

=2βΩ

(ω20 − Ω2)

(9.248)

oder

ϕ = arctan

(2βΩ

ω20 − Ω2

)

. (9.249)

Dadurch erhalten wir als Partikularlosung der inhomogenen Gleichung mit Storterm A cos(Ωt−ϕ)

xp(t) =A

√

(ω20 − Ω2)2 + 4β2Ω2

cos(Ωt− ϕ). (9.250)


Dies ist eine Schwingung mit der gleichen Frequenz wie die Storung, deren Amplitude und Phasen-verschiebung von der Eigenfrequenz ω0 des Oszillators, der Erregerfrequenz Ω und dem Reibungs-koeffizienten β abhangen.

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung ist die Summe der allgemeinen Losung der ho-mogenen Gleichung und der gerade gefundenen Partikularlosung. Da jedoch fur einen nichtver-schwindenden Reibungskoeffizienten die Losung der homogenen Gleichung in allen Fallen durchdie Dampfung schnell gegen Null konvergiert, bleibt fur lange Zeiten nur die Partikularlosung ubrig.Nach Beendigung transienter Einschwingvorgange mit Frequenz ω =

√

ω20 − β2 oszilliert das

getriebene System infolgedessen mit der Erregerfrequenz Ω.

Wir schauen uns nun die Partikularlosung der inhomogenen Gleichung etwas genauer an. DieAmplitude AF der erzwungenen Schwingung ist (siehe Abb. 9.16)

AF (Ω) =A

√

(ω20 − Ω2)2 + 4β2Ω2

. (9.251)

Fur Erregerfrequenzen Ω, die viel kleiner sind als die Eigenfrequenz ω0 des Oszillators (Ω ≪ ω0),ist wegen des Terms (ω2

0−Ω2)2 das Argument der Wurzel im Nenner groß und daher die Amplitudeklein. Die Amplitude ist in diesem Fall AF = A/ω2

0 (von der Reibung unabhangig). Wenn sich Ωnun der Eigenfrequenz ω0 nahert, wird der Term (ω2

0 − Ω2)2 immer kleiner. Das Argument derWurzel erreicht dann ein Minimum und wachst danach wieder an. An der Stelle des Minimums desWurzelarguments im Nenner wird die Amplitude maximal. Um diese Stelle zu finden, setzen wirdie Ableitung des Wurzelarguments gleich Null:

∂

∂Ω

[(ω2

0 − Ω2)2 + 4β2Ω2]

= 0. (9.252)

Das heißt,

2(ω20 − Ω2)(−2Ω) + 4β22Ω = 0, (9.253)

woraus folgt

Ω(−ω20 + Ω2) + 2β2Ω = 0. (9.254)

Diese Gleichung hat die Losung Ω = 0 sowie die Losungen

Ω1,2 = ±√

ω20 − 2β2. (9.255)

Da Ω eine Frequenz ist, sind wir nur an einer positiven Losung interessiert:

ΩR =√

ω20 − 2β2. (9.256)

Fur ω20 > 2β2 ist diese Frequenz ΩR reell. Bei solchen Frequenzen besitzt die Amplitude der

erzwungenen Schwingung als Funktion der Erregerfrequenz Ω irgendwo ein Maximum. Ist hingegenω2

0 < 2β2, hat die Amplitude der erzwungenen Schwingung als Funktion von Ω kein Maximum unddie Amplitude nimmt mit wachsendem Ω monoton ab.

Dieses Anwachsen der Amplitude in der Nahe der Eigenfrequenz ω0 nennt man Resonanz und diezugehorige Frequenz ΩR Resonanzfrequenz. Wie man aus Gleichung (9.256) sieht, ist die Reso-nanzfrequenz ΩR verschieden von der Eigenfrequenz ω0 des Oszillators und auch verschieden von√

ω20 − β2, der Frequenz der ungestorten aber gedampften Schwingung. Nur fur den reibungsfreien

Fall stimmt die Resonanzfrequenz mit der Eigenfrequenz uberein.

Die Amplitude bei der Resonanzfrequenz ΩR ist:

AF (ΩR) =A

√

(ω20 − (ω2

0 − 2β2))2 + 4β2(ω20 − 2β2)

=A

√

(2β2)2 + 4β2(ω20 − 2β2)

=A

√

4β2(ω20 − β2)

=A

2β√

ω20 − β2

. (9.257)


Abbildung 9.16: Amplitude AF der erzwungenen Schwingung als Funktion der ErregerfrequenzΩ fur verschiedene Reibungskoeffizienten β. Je kleiner der Reibungskoeffizient β ist, umso großerist die Resonanzamplitude. Der Locus der Maxima der Amplitude AF ist als unterbrochene Liniedargestellt.

Die Resonanzamplitude wachst also mit abnehmender Reibung und divergiert im reibungsfreienFall. (Der Faktor

√

ω20 − β2 im Nenner kann nicht verschwinden, da die Funktion AF (Ω) nur fur

ω20 > 2β2 ein Maximum bei einer von Null verschiedenen Frequenz Ω besitzt.) Die Amplitude der

erzwungenen Schwingung als Funktion der Erregerfrequenz ist fur verschiedene Reibungskoeffizi-enten β in Abb. 9.16 dargestellt.

Die erzwungene Schwingung hat zwar dieselbe Frequenz wie die Erregerschwingung, ist jedoch mitdieser nicht in Phase. Die Phasenverschiebung gegenuber der Erregerschwingung ist:

ϕ = arctan

(2βΩ

ω20 − Ω2

)

. (9.258)

Diese Phasenverschiebung ist in Abb. 9.17 fur verschiedene Werte von β als Funktion der Er-regerfrequenz dargestellt. Fur kleine Ω ist ϕ sehr klein (ϕ→ 0 fur Ω = 0). Wenn sich Ω der Eigen-frequenz ω0 nahert, divergiert (2βΩ)/(ω2

0 − Ω2) und die Phasenverschiebung strebt zu ϕ = π/2.Wenn Ω weiter wachst, wachst auch ϕ weiter und erreicht fur Ω → ∞ den Wert ϕ = π.

Abbildung 9.17: Phasenverschiebung ϕ der erzwungenen Schwingung als Funktion der Erregerfre-quenz Ω fur verschiedene Reibungskoeffizienten β.

Kapitel 10

Die Taylorreihe

In der Physik ist es oft zweckmaßig, Funktionen als so genannte Potenzreihen auszudrucken, zumBeispiel:

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!− · · · (10.1)

In den folgenden Abschnitten werden wir lernen, wie man dies auf eine systematische Weise tunkann.

10.1 Folgen und Reihen

Um den Begriff der Reihe einzufuhren, mussen wir uns zunachst mit Folgen auseinander set-zen. Eine Folge ist eine Funktion, die als Definitionsbereich die naturlichen Zahlen besitzt. DieseFunktion ordnet jeder naturlichen Zahl n (dem Index) einen Funktionswert an zu. Die einzelnenFunktionswerte an werden die Glieder der Folge genannt. Fur die Gesamtheit der Folgengliedera1, a2, a3, · · · schreiben wir oft auch an und verwenden den Begriff Folge auch, um diese Mengezu bezeichnen.

Beispiel:

Die Folge an = 1/n hat die Glieder a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3 und so weiter. Die Folge an = (−1)nnbesteht aus den Zahlen a1 = −1, a2 = 2, a3 = −3, a4 = 4, usw.

Wenn wir bei der Zahlenfolge an = 1/n die Zahl n unbegrenzt wachsen lassen, strebt 1/n gegenNull. Man nennt dies den Grenzwert der Folge an = 1/n fur n → ∞. Im Allgemeinen strebt dieZahlenfolge an gegen einen Grenzwert a, wenn fur jede positive (und beliebig kleine) Zahl ε eineZahl nε existiert, sodass |an − a| < ε fur n > nε. Das heißt, dass sich die Folge an beliebig genauder Zahl a nahert, wenn wir n gegen unendlich gehen lassen. Wir schreiben dafur

a = limn→∞

an. (10.2)

Man sagt auch: die Zahlenfolge an konvergiert gegen a. Eine Zahlenfolge, die keinen Grenz-wert besitzt, heißt divergent. Zum Beispiel konvergiert die Zahlenfolge an = 1 + 1/n gegen 1:limn→∞(1 + 1/n) = 1. Die Zahlenfolge an = n2 wachst mit zunehmendem n unbegrenzt. DieseFolge ist divergent.

Reihen konnen als spezielle Folgen aufgefasst werden. Fur eine gegebene Zahlenfolge an defi-

261

262 10 Die Taylorreihe

nieren wir die m-te Partialsumme als

a1 + a2 + a3 + · · · + am =

m∑

i=1

ai = sm. (10.3)

Die Folge sm der Partialsummen bezeichnet man als Reihe. Falls der Grenzwert

S = limm→∞

sm = limm→∞

m∑

i=1

ai (10.4)

der Folge der Partialsummen existiert, sagt man die Reihe konvergiert. Man nennt S dann dieSumme der Reihe oder auch den Wert der Reihe.

Beispiel:

Gegeben sei die Zahlenfolge

1,1

2,1

3,1

4, · · · , 1

n, · · · . (10.5)

Die Partialsummen dieser Folge sind:

s1 = 1, (10.6)

s2 = 1 +1

2, (10.7)

s3 = 1 +1

2+

1

3, (10.8)

s4 = 1 +1

2+

1

3+

1

4, (10.9)

· · ·sn = 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n, (10.10)

· · ·

Beispiel: Die geometrische Reihe

Bei der geometrischen Reihe ergibt sich jeder Summand aus dem vorhergehenden durch Multi-plikation mit einem (reellen) Faktor q:

a+ aq + aq2 + · · · + aqn + · · · (10.11)

Wir wollen zunachst die m-te Partialsumme

sm =

m∑

i=0

aqi (10.12)

der ersten m+ 1 Glieder berechnen (wir zahlen hier zur Abwechslung von 0 weg). Dazu multipli-zieren wir die Reihe mit q und subtrahieren dann davon die ursprungliche Reihe:

smq = aq + aq2 + aq3 + · · · + aqm + aqm+1 (10.13)

−sm = −a− aq − aq2 − aq3 − · · · − aqm (10.14)

sm(q − 1) = −a+ 0 + 0 + 0 + · · · + 0 + aqm+1. (10.15)

Daraus folgt

sm =a(qm+1 − 1)

q − 1. (10.16)


Wir konnen nun auch den Wert der geometrischen Reihe fur unendlich viele Summenglieder be-trachten:

s = limm→∞

aqm+1 − 1

q − 1. (10.17)

Falls |q| > 1, wachst qm+1 uber alle Grenzen und damit auch s. Die Reihe konvergiert in diesemFall also nicht. Falls aber |q| < 1, verschwindet qm+1 im Limes m→ ∞ und wir erhalten

s = a0 − 1

q − 1=

a

1 − q. (10.18)

Fur |q| < 1 ist die geometrische Reihe also konvergent. Zum Beispiel gilt:

1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · · =

1

1 − 12

= 2. (10.19)

10.2 Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe

Wir haben gerade gesehen, dass fur −1 < x < 1 gilt

1 + x+ x2 + x3 + · · · =1

1 − x. (10.20)

(Wir haben in der Summenformel fur die geometrische Reihe einfach q in x umbenannt.) Wirbetrachten nun beide Seiten dieser Gleichung als Funktion von x und erkennen, dass man dieFunktion 1

1−x im Bereich −1 < x < 1 als eine unendliche Summe von Potenzen von x schreiben

kann. Die Reihe 1+x+x2 +x3 + . . . ist ein Beispiel fur eine Potenzreihe. Im Allgemeinen hat eineunendliche Potenzreihe die Form

a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · · =

∞∑

n=0

anxn. (10.21)

Es stellt sich naturlich sofort die Frage, ob neben 11−x auch andere Funktionen als unendliche

Potenzreihe dargestellt werden konnen und, wenn ja, wie die zugehorigen Koeffizienten ai aufsystematische Art und Weise ermittelt werden konnen. Die Antwort auf diese Frage liegt im Begriffder Taylorreihe, die wir in diesem Abschnitt besprechen wollen.

Wir machen zunachst die Annahme, dass eine bestimmte Funktion f(x) als Potenzreihe mit reellemKoeffizienten an dargestellt werden kann

f(x) =

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + · · · . (10.22)

Eine solche Darstellung nennen wir auch die Potenzreihenentwicklung von f(x) und sagen,dass die Funktion f(x) in eine Potenzreihe entwickelt wurde. Wir mussen nun fur die Funktionf(x) die passenden Koeffizienten ermitteln. Dies konnen wir tun, indem wir verlangen, dass dieFunktion f(x) und alle ihre Ableitungen mit der Reihe beziehungsweise mit allen ihren Ableitungenubereinstimmen. Wenn die Darstellung aus Gleichung (10.22) moglich ist, muss das an jeder Stellex gelten und somit auch fur x = 0. Fur die Funktion selbst folgt daraus

f(0) = a0 + a10 + a20 + · · · = a0, (10.23)

weil alle Terme, die ein x enthalten, wegen x = 0 verschwinden. Ableiten beider Seiten von Glei-chung (10.22) nach x liefert

f ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x

3 + · · · , (10.24)


wobei wir die Reihe auf der rechten Seite Glied fur Glied differenziert haben. An der Stelle x = 0gilt infolgedessen:

f ′(0) = a1, (10.25)

da wieder alle Terme, die ein x enthalten, verschwinden. Durch nochmaliges Ableiten erhalten wir

f ′′(x) = 2a2 + 2 · 3a3x+ 3 · 4a4x2 · · · (10.26)

und somit

f ′′(0) = 2a2 oder a2 =f ′′(0)

2. (10.27)

Ganz analog finden wir durch weiteres Differenzieren und Auswertung bei x = 0:

f ′′′(0)

2 · 3 = a3,f ′′′′(0)

4 · 3 · 2 = a4, usw. (10.28)

Fur den Koeffizienten an erhalten wir aus der Forderung nach Ubereinstimmung der n-ten Ablei-tung von Funktion und Reihe:

f (n)(0) = n · (n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1 · an (10.29)

oder

an =f (n)(0)

n!. (10.30)

Wir einigen uns darauf, dass 0! = 1 sein soll. Falls die Funktion f(x) also als Potenzreihe dargestelltwerden kann und die Funktion f(x) beliebig oft differenzierbar ist, finden wir durch Einsetzen derKoeffizienten

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(x)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · · =

∞∑

n=0

f (n)(0)

n!xn. (10.31)

Diese Potenzreihe ist die so genannte Taylorreihe (oft wird diese Reihe auch MacLaurin-Reihegenannt).

Beispiel:

Wir wollen die Exponentialfunktion ex in eine Taylorreihe entwickeln. Dazu ermitteln wir zunachstdie Ableitungen:

f(x) = ex, (10.32)

f ′(x) = ex, (10.33)

f ′′(x) = ex, (10.34)

f ′′′(x) = ex, (10.35)

...

f (n)(x) = ex, (10.36)

...

An der Stelle x = 0 sind also alle Ableitungen gleich:

f (n)(x = 0) = 1. (10.37)

Somit ist die Taylorentwicklung von ex gegeben durch:

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · · =

∞∑

n=0

xn

n!. (10.38)


Da die Fakultat n! fur jede Zahl x mit n schneller wachst als xn, werden die Reihenglieder immerkleiner und die Reihe konvergiert. Fur x = 1 haben wir zum Beispiel

e = 1 + 1 +1

2+

1

6+

1

24+ · · · = 2, 71828 . . . (10.39)

Beispiel:

Zur Taylorreihenentwicklung der Funktion sin(x) bestimmen wir zunachst die Ableitungen:

f(x) = sinx, (10.40)

f ′(x) = cosx, (10.41)

f ′′(x) = − sinx, (10.42)

f ′′′(x) = − cosx, (10.43)

f ′′′′(x) = sinx, (10.44)

...

An der Stelle x = 0 haben wir also

f(0) = 0; f ′(0) = 1; f ′′(0) = 0; f ′′′(0) = −1, usw. (10.45)

Damit wird die Reihe zu

sinx = x− x3

3+x5

5!− x7

7!+ · · · =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!. (10.46)

Beispiel:

Wir wollen nun die Funktion 11−x taylorentwickeln (obwohl wir die zugehorige Potenzreihe ja bereits

kennen) und bestimmen zunachst die Ableitungen

f(x) = (1 − x)−1, (10.47)

f ′(x) = (−1)(1 − x)−2(−1) = (1 − x)−2, (10.48)

f ′′(x) = (−2)(1 − x)−3(−1) = 2(1 − x)−3, (10.49)

f ′′′(x) = 2(−3)(1 − x)−4(−1) =2 · 3

(1 − x)4, (10.50)

f ′′′′(x) =2 · 3 · 4(1 − x)5

=4!

(1 − x)5, (10.51)

...

f (n)(x) =n!

(1 − x)n+1. (10.52)

An der Stelle x = 0 haben wir also

f(0) = 1; f ′(0) = 1; f ′′(0) = 2; f ′′′(0) = 3!; . . . fn(0) = n! (10.53)

Einsetzen ergibt dann wie erwartet

1

1 − x= 1 + x+ x2 + · · · =

∞∑

n=0

xn. (10.54)


10.3 Allgemeine Taylorentwicklung

Bisher haben wir eine Funktion f(x) an der Stelle x = 0 in eine Potenzreihe entwickelt, das heißt,wir haben die Ableitungen der Funktion an der Stelle x = 0 verwendet, um den Wert der Funktionan einer anderen Stelle zu ermitteln. Oft ist es jedoch zweckmaßig, eine Funktion an einer von 0verschiedenen Stelle x0 zu entwickeln. Eine solche Entwicklung hat die Gestalt:

f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + . . . (10.55)

Um die Werte der Koeffizienten a0, a1, a2, . . . , usw. zu bestimmen, konnten wir jetzt genausovorgehen wie bei der Taylorentwicklung an der Stelle x = 0. Einfacher ist es jedoch, eine Varia-blentransformation durchzufuhren. Wir definieren die Hilfsvariable u als

u = x− x0. (10.56)

Diese Variable hat an der Stelle x = x0 den Wert 0. Wir drucken jetzt die Variable x aus alsx = u+ x0 und betrachten die Funktion f(x) als eine Funktion der Hilfsvariablen u:

f(x) = f(u+ x0). (10.57)

Diese Funktion entwickeln wir in der Variablen u an der Stelle u = 0 in eine Taylorreihe. Dazubenotigen wir die Ableitung von f(u + x0) nach u. Da dx/du = 1, ergibt die Anwendung derKettenregel fur die erste Ableitung

df

du=df

dx

dx

du=df

dx. (10.58)

Durch wiederholte Anwendung der Kettenregel erhalten wir ebenso fur die n-te Ableitung

dnf

dun=dnf

dxn. (10.59)

Infolgedessen ist die Taylorentwicklung von f(u+ x0) an der Stelle u = 0 gegeben durch:

f(u+ x0) = f(0 + x0) + f ′(0 + x0)u+ f ′′(0 + x0)u2

2+ · · · =

∞∑

n=0

f (n)(0 + x0)un

n!. (10.60)

Wir transformieren wieder zuruck zu x, indem wir u durch x− x0 ersetzen und erhalten

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)

2 + · · · =

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x − x0)

n.

Die Kenntnis der Funktion und aller ihrer Ableitungen an der Stelle x0 versetzt uns also in dieLage, den Wert der Funktion an einer anderen Stelle x zu bestimmen. Geometrisch entsprichtdas Einfuhren der Hilfsvariablen u = x − x0 einer Transformation (Verschiebung) in ein neuesKoordinatensystem mit Ursprung in x0 (siehe Abb. 10.1).

Beispiel:

Entwicklung der Funktion ex an der Stelle x = 2 ergibt

ex = e2ex−2 = e2 + e2(x− 2) +e2

2!(x− 2)2 + · · · = e2

∞∑

n=0

(x− 2)n

n!. (10.61)

10.4 Abgebrochene Taylorreihenentwicklung

Der große Nutzen der Taylorreihenentwicklung besteht darin, dass komplizierte Funktionen wiesin(x) oder exp(x) in eine Summe von einfachen Potenzen verwandelt werden konnen. Erst ei-ne solche Reihenentwicklung erlaubt es uns, numerische Werte fur diese Funktion zu bestimmen.


Abbildung 10.1: Die Taylorentwicklung einer Funktion an der Stelle x0 entspricht der Taylorent-wicklung der um x0 verschobenen Funktion an der Stelle 0.

(Wenn wir zum Beispiel mit unserem Taschenrechner den Sinus eines bestimmten Winkels berech-nen, wird dies mittels einer Reihenentwicklung erledigt.) Allerdings konnen wir nicht unendlichviele Glieder einer Taylorreihe auswerten. Das mussen wir aber auch nicht. Bei einer konvergentenPotenzreihe werden die Beitrage der Reihenglieder mit hoheren Potenzen von x zunehmend kleinerund die Reihe kann nach endlich vielen Gliedern abgebrochen werden. Dabei nimmt man naturlicheinen Fehler in Kauf, der umso kleiner ist, je spater die Reihe abgebrochen wird.

Wir gehen von der Potenzreihe

f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + . . . (10.62)

aus und brechen sie nach dem Glied mit der n-ten Potenz ab. Wir teilen die Reihenentwicklungalso in zwei Teile ein: in ein Naherungspolynom n-ten Grades,

pn(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · + an(x− x0)

n (10.63)

und einen Rest

Rn(x) = an+1(x − x0)n+1 + · · · =

∞∑

i=n+1

ai(x− x0)i. (10.64)

Das Naherungspolynom pn(x) = a0 +a1(x−x0)+a2(x−x0)2 + · · ·+an(x−x0)

n ist eine Naherungn-ter Ordnung der Funktion f(x). Der Rest Rn(x) ist der Fehler, den wir machen, wenn wir dieReihe nach dem Glied n-ter Ordnung abbrechen und die Funktion durch das Naherungspolynomersetzen.

Je mehr Glieder die Entwicklung enthalt, umso kleiner wird dieser Fehler. Die Große des Fehlershangt naturlich auch vom Ort x ab. Je naher wir der Entwicklungsstelle x0 sind, umso kleiner ist(x− x0) und umso schneller konvergiert deshalb die Reihe.

Betrachten wir als Beispiel die Taylorentwicklung der Funktion sinx an der Stelle x0 = 0 (sieheAbb. 10.2):

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . . (10.65)

Wenn wir diese Entwicklung nach dem ersten Glied abbrechen, approximieren wir den Sinus durch

sinx ≈ x, (10.66)


Abbildung 10.2: Taylorentwicklung der Funktion sin(x) abgebrochen nach dem Term 1. Ordnung,dem Term 3. Ordnung und dem Term 5. Ordnung.

also durch eine Gerade mit Steigung 1, die durch den Ursprung geht. An der Stelle x = 0 stimmtunsere lineare Naherung also mit dem Sinus uberein und hat an dieser Stelle auch dieselbe Stei-gung. Fur großere x-Werte weicht unsere Naherung jedoch zunehmend von der Funktion sinxab.

Wenn wir den nachsten nichtverschwindenden Term der Entwicklung mitnehmen, also sinx durch

sinx ≈ x− x3

3!(10.67)

approximieren, dehnen wir den Bereich, in dem die Funktion und ihre Naherung (Approximation)gut ubereinstimmen, etwas aus. Noch etwas großer wird dieser Bereich, wenn wir erst nach demTerm 5. Ordnung abbrechen:

sinx ≈ x− x3

3!+x5

5!. (10.68)

Zusatzliche Glieder dehnen den Ubereinstimmungsbereich weiter aus.

Mit Hilfe der Taylorentwicklung konnen wir nun auch verstehen, warum Schwingungsvorgange mitkleiner Amplitude immer auf die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators fuhren (sieheAbb. 10.3). Stellen wir uns dazu ein mechanisches System vor, das sich in seiner stabilen Ruhelagebefindet. Der Einfachheit halber beschranken wir uns hier auf ein eindimensionales System. Eineanaloge Behandlung ist aber auch in hoherdimensionalen Systemen moglich. Das heißt, dass keineKrafte auf das System wirken und es sich infolgedessen in einem Minimum seiner potentiellenEnergie aufhalten muss.

Wir entwickeln nun die potentielle Energie V (x) an der Stelle des Minimums x0 in eine Taylorreihe

V (x) = V (x0) + V ′(x0)(x − x0) + V ′′(x0)(x − x0)

2

2!+ V ′′′(x0)

(x− x0)3

3!+ · · · (10.69)

Da nach Voraussetzung die potentielle Energie an der Stelle x0 ein Minimum besitzt, verschwindetdie erste Ableitung an dieser Stelle. Infolgedessen ist das quadratische Glied der erste Term in derEntwicklung, der von x abhangt. Fur kleine Auslenkungen (x − x0) konnen wir die Taylorreihe


Abbildung 10.3: In der Nahe des Potentialenergieminimums lasst sich die potentielle Energie alsquadratische Funktion der Koordinaten betrachten.

nach dem quadratischen Term abbrechen,

V (x) ≈ V (x0) + V ′′(x0)(x− x0)

2

2!. (10.70)

Damit nahern wir das Potential V (x) also durch eine Parabel an.

Die Kraft F , die auf das System wirkt, ergibt sich aus der Ableitung der potentiellen Energie:

F (x) = −dVdx

= −V′′(x0)

22(x− x0) = −V ′′(x0)(x − x0). (10.71)

Die Newtonsche Bewegungsgleichung fur unser System ist also

md2x

dt2= F (x) = −k(x− x0), (10.72)

wobei wir die Krummung des Potentials an der Stelle x0 mit k bezeichnet haben, k = V ′′(x0).

Wir definieren jetzt die Auslenkung aus der Ruhelage als

u = x− x0. (10.73)

Wegen dudt = d(x−x0)

dt = dxdt gilt auch d2u

dt2 = d2xdt2 und wir konnen die Bewegungsgleichung (10.72)

schreiben als:

md2u

dt2= −ku. (10.74)

Das ist genau die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators (siehe Kapitel 9), bei dem dieRuckstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Die Proportionalitatskonstante ist die Krummungdes Potentials im Minimum. Fur großere Auslenkungen aus der Ruhelage kann die Naherung desPotentials als Parabel jedoch zusammenbrechen. Ist dies der Fall, kann das System nicht mehr alsharmonischer Oszillator beschrieben werden.

10.5 Fehlerabschatzung

Wenn man eine Taylorreihe abbricht, ist damit immer ein gewisser Fehler verbunden. Der Mathe-matiker Joseph-Louis Lagrange hat bewiesen, dass der Rest Rn der Potenzreihe, also der Fehler,


ausgedruckt werden kann als

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1. (10.75)

Dies ist das Lagrangesche Restglied.

Hier ist ξ eine Zahl, die zwischen x0 (die Stelle, an der entwickelt wird) und x liegt. Die Zahl ξist jedoch nicht genauer bestimmt: wir wissen nur, dass im Intervall zwischen x0 und x eine Zahlξ existiert, sodass Gleichung (10.75) gilt. Um den Fehler abzuschatzen, konnen wir nun ξ von x0

bis x variieren. An irgendeiner Stelle ξ0 wird das Restglied Rn(x) maximal sein. Wir wissen dann,dass der tatsachliche Fehler, der durch das Abbrechen der Taylorreihe entsteht, nicht großer seinkann als dieser maximale Wert.

Die Formel (10.75) fur das Lagrangesche Restglied kann auf folgende Weise hergeleitet werden.Der Wert einer differenzierbaren Funktion f(x) an der Stelle x kann ausgedruckt werden als:

f(x) = f(x0) +

∫ x

x0

f ′(t)dt. (10.76)

Durch partielle Integration erhalten wir

∫ x

x0

f ′(t)dt = f ′(x)(t − x)|xx0−∫ x

x0

f ′′(t)(t− x)dt

= f ′(x)(x − x) − f ′(x0)(x0 − x) +

∫ x

x0

f ′′(t)(x − t)dt. (10.77)

Hier haben wir die partielle Integrationsregel∫uv′ dx = uv −

∫u′v dx mit u = f ′ und u′ = f ′′

sowie v′ = 1 und v = t− x verwendet. Einsetzen in den Ausdruck (10.76) ergibt:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +

∫ x

x0

f ′′(t)(x− t)dt. (10.78)

Nochmalige partielle Integration, diesmal mit u = f ′′ und u′ = f ′′′ sowie v′ = (x − t) undv = −(t− x)2/2, liefert:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)(x− x0)

2

2+

∫ x

x0

f ′′′(t)(x − t)2

2dt. (10.79)

Nach n-maliger partieller Integration erhalten wir

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0)(x− x0)

2

2+ · · ·

+f (n)(x0)(x − x0)

n

n!+

∫ x

x0

f (n+1)(t)(x− t)n

n!dt. (10.80)

Dies ist einfach die Taylorentwicklung von f(x) um die Stelle x0 nun aber mit einem explizitenAusdruck fur das Restglied:

Rn(x) =

∫ x

x0

f (n+1)(t)(x− t)n

n!dt. (10.81)

Diese Formel fur das Restglied war schon Brook Taylor (1685-1731) selbst bekannt.

Lagrange hat gezeigt, wie das Restglied Rn auf einfache Weise abgeschatzt werden kann. Wirbezeichnen die Stelle, an der die (n + 1)-te Ableitung f (n+1)(x) im Intervall [x0, x] ein Minimumeinnimmt, mit x1 und die Stelle des Maximums mit x2. Dann gilt

∫ x

x0

f (n+1)(t)(x − t)n

n!dt ≥ f (n+1)(x1)

∫ x

x0

(x− t)n

n!dt (10.82)


und∫ x

x0

f (n+1)(t)(x − t)n

n!dt ≤ f (n+1)(x2)

∫ x

x0

(x − t)n

n!dt. (10.83)

Wir konnen daher das Restglied folgendermaßen beschranken:

f (n+1)(x1)

∫ x

x0

(x − t)n

n!dt ≤ Rn(x) ≤ f (n+1)(x2)

∫ x

x0

(x− t)n

n!dt. (10.84)

Das Integral∫ x

x0

(x−t)n

n! dt kann ausgefuhrt werden,

∫ x

x0

(x − t)n

n!dt =

(x− x0)n+1

(n+ 1)!, (10.85)

und wir erhalten:

f (n+1)(x1)(x − x0)

n+1

(n+ 1)!≤ Rn(x) ≤ f (n+1)(x2)

(x − x0)n+1

(n+ 1)!. (10.86)

Da f (n+1)(x) eine stetige Funktion ist, muss es zwischen x1 und x2 ein ξ geben, sodass

Rn(x) = f (n+1)(ξ)(x − x0)

n+1

(n+ 1)!. (10.87)

Das ist das Lagrangesche Restglied. Naturlich ist im allgemeinen Fall der Wert von ξ unbekannt,aber wir konnen, wie weiter oben bereits besprochen, nach jenem Wert ξ im Intervall [x, x0]suchen,fur welchen der Betrag des Restgliedes maximal wird, und daraus eine obere Schranke fur denFehler gewinnen.

Beispiel:

Wir entwickeln die Funktion exp(x) an der Stelle x = 0 in eine Taylorreihe und brechen diese nachdem Term 3. Ordnung ab:

exp(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+R3(x). (10.88)

Wie groß ist der Fehler, den wir bei x = 0.5 damit machen? Das Restglied nach Lagrange ist:

R3(x) =f (4)(ξ)

4!x4. (10.89)

Die vierte Ableitung von ex ist ex. Das ist eine monoton steigende Funktion, die im Intervall [0, 0.5]ihren großten Wert bei ξ = 0.5 hat. Infolgedessen gilt fur den Fehler

R3(x) ≤e0.5

4!x4 ≈ 0.07x4. (10.90)

Der Fehler, der durch Abbrechen nach dem Term 3. Ordnung entsteht, ist also kleiner als 0.07x4.

Beispiel:

Als weiteres Beispiel fur die Anwendung der Taylorreihe betrachten wir noch folgendes Problem:Zwischen den Orten A und B existiert eine gerade Straßenverbindung der Lange s. Man kannjedoch auch uber C von A nach B gelangen. Punkt C bildet mit den Punkten A und B eingleichseitiges Dreieck der Hohe h (siehe Abb. 10.4). Wie lang ist der Weg uber C verglichen mitder direkten Verbindung von A nach B?


Abbildung 10.4: Man kann direkt von A nach B gelangen oder uber C.

Der Umweg U (also die Differenz der beiden Wege) ist eine Funktion von h:

U = 2

(√(s

2

)2

+ h2 − s

2

)

= s

√

1 +

(2h

s

)2

− 1

. (10.91)

Fur ein kleines Verhaltnis h/s konnen wir diesen Ausdruck durch Taylorreihenentwicklung derWurzel sehr vereinfachen. Wir fuhren die Variable x = (2h/s)2 ein und entwickeln

√1 + x nach x.

Dazu brauchen wir die Ableitungen von√

1 + x:

y =√

1 + x = (1 + x)12 , (10.92)

y′ =1

2(1 + x)−

12 , (10.93)

y′′ =1

2·(

−1

2

)

(1 + x)−32 = −1

4(1 + x)−

32 , (10.94)

y′′′ = −1

4·(

−3

2

)

(1 + x)−52 =

3

8(1 + x)−

52 . (10.95)

An der Stelle x = 0 sind die Funktion und ihre Ableitungen:

y = 1, y′ =1

2, y′′ = −1

4, y′′′ =

3

8. (10.96)

Die Taylorreihe ist also gegeben durch:

√1 + x = 1 +

1

2x− 1

8x2 +

x3

16. . . (10.97)

Wir brechen nun nach dem linearen Term ab und erhalten als Naherung

√1 + x ≈ 1 +

1

2x (10.98)

und somit√

1 +

(2h

s

)2

≈ 1 +1

2

(2h

s

)2

= 1 + 2

(h

s

)2

. (10.99)

Der Umweg U wird infolgedessen zu

U ≈ s

(

1 + 2

(h

s

)2

− 1

)

=2h2

s. (10.100)

Dieser Ausdruck gilt fur h ≪ s und ist viel einfacher als der ursprungliche Ausdruck. Wir sehendaraus gleich, dass fur kleine h der Umweg U nur sehr langsam (quadratisch) wachst. Fur s = 100km und h = 5 km ergibt sich beispielsweise nur ein Umweg von 0.5 km (fur s = 100 km und h = 1km ist der Umweg U gar nur 0.02 km= 20 m lang).

einfuhrung in die physikalischen¨ rechenmethoden … · skriptum zur vorlesung einfuhrung in die...

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