eine darstellung spezieller bergman-kerne

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276 ARCH. MATH. Eine Darstellung spezieller Bergman-Kerne Von ERWIN K~EYSZIC 1. Einleitung. Die vorliegende Arbeit betrifft 0peratoren der Klasse P. Das sind Bergman-0peratoren B yore Raum der analytisehen Funktionen / einer komplexen Variablen z in den Raum der LSsungen u einer Klasse partiel]er Differentialgleichun- gender Form (1) Lu := Uz~* + b(z, z*) u~. + c(z, z*) u = 0 (z, z* komplex, b undc holomorph in einer Umgebung U des Nullpunktes, c (z, z*) 0). Ein Operator B der Klasse P ist definiert durch 1. (2a) u (z, z*) = (B/) (z, z*) --= .[g(z, z*, t)/(V) cP -1/2 dt (t reell) --1 mit ~v = 1 -- t 2, y) ~ z 9/2 und m (2b) g(z,z*,t) = ~,q2z(z,z*)t2~t (m > 1). g=0 Diese 0peratoren wurden in [8] eingeffihrt, weft sie dutch die einfaehe Form (2b) ihres Kerns g ffir die Untersuchung yon Singularit/~ten (auch im Unendlichen) und ffir numerische Zweeke (vgl. [4]) besonders geeignet sind. Seit es in [7] gelang, (2) in integralfreie Form fiberzuffihren und damit auch einen Zusammenhang zwischen Bergman-Operatoren und Untersuchungen yon E. Pesehl und K. W. Bauer [1], [2] fiber die Gleiehung (3) Uzz*+ ~m(m -t- 1) (1 + ~zz*)-2u =0 (meN) herzustellen, wurde die Klasse P yon mehreren Autoren wiederholt behandelt (vgl. die Literatur in [9] und einen Bericht fiber ein Symposium im Oktober 1972 in Bonn, der voraussiehtlich in den Beriehten der Gesellschaft ffir Mathematik und Daten- verarbeitung erseheinen wird). In der vorliegenden Arbeit werden Darstellungen ffir g in (2b) fiir gewisse Operatoren der Klasse P gewonnen, und es wird auf einen Zu- sammenhang mit Operatoren hingewiesen, die H. Florian [5] in seiner Habilitations- schrift untersueht hat. 2. Kriterium fiir L e/~. Wir vereinbaren: L e P bedeute, b und c seien so, da$ sieh in einer Umgebung des l~ullpunktes holomorphe LSsungen yon (1) mittels (2) dar- stellen lassen. (1) ist eine etwas bequemere Form als

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276 ARCH. MATH.

Eine Darstellung spezieller Bergman-Kerne

V o n

ERWIN K~EYSZIC

1. Einleitung. Die vorliegende Arbeit betrifft 0peratoren der Klasse P. Das sind Bergman-0peratoren B yore Raum der analytisehen Funktionen / einer komplexen Variablen z in den Raum der LSsungen u einer Klasse partiel]er Differentialgleichun- gender Form

(1) L u : = Uz~* + b(z, z*) u~. + c(z, z*) u = 0

(z, z* komplex, b undc holomorph in einer Umgebung U des Nullpunktes, c (z, z*) �9 0). Ein Operator B der Klasse P ist definiert durch

1.

(2a) u (z, z*) = (B/) (z, z*) --= .[g(z, z*, t ) / (V) cP -1/2 dt (t reell) --1

mit ~v = 1 - - t 2, y) ~ z 9 / 2 und m

(2b) g(z ,z* , t ) = ~,q2z(z,z*)t2~t (m > 1). g = 0

Diese 0peratoren wurden in [8] eingeffihrt, weft sie dutch die einfaehe Form (2b) ihres Kerns g ffir die Untersuchung yon Singularit/~ten (auch im Unendlichen) und ffir numerische Zweeke (vgl. [4]) besonders geeignet sind. Seit es in [7] gelang, (2) in integralfreie Form fiberzuffihren und damit auch einen Zusammenhang zwischen Bergman-Operatoren und Untersuchungen yon E. Pesehl und K. W. Bauer [1], [2] fiber die Gleiehung

(3) Uzz*+ ~m(m -t- 1) (1 + ~zz*)-2u = 0 (meN)

herzustellen, wurde die Klasse P yon mehreren Autoren wiederholt behandelt (vgl. die Literatur in [9] und einen Bericht fiber ein Symposium im Oktober 1972 in Bonn, der voraussiehtlich in den Beriehten der Gesellschaft ffir Mathematik und Daten- verarbeitung erseheinen wird). In der vorliegenden Arbeit werden Darstellungen ffir g in (2b) fiir gewisse Operatoren der Klasse P gewonnen, und es wird auf einen Zu- sammenhang mit Operatoren hingewiesen, die H. Florian [5] in seiner Habilitations- schrift untersueht hat.

2. Kriterium fiir L e/~. Wir vereinbaren: L e P bedeute, b und c seien so, da$ sieh in einer Umgebung des l~ullpunktes holomorphe LSsungen yon (1) mittels (2) dar- stellen lassen. (1) ist eine etwas bequemere Form als

Vol. XXV, 1974 Darstellung spezieller Bergman-Kerne 277

(4) d w + al (x, y) wx -~ a2 (x, y) Wy -~ a3 (x, y) w = 0

(x, y reell, al reell-analytisch) und folgt aus (4) dutch Fortsetzung der Koeffizienten ins Komplexe, Ubergang zu z ~ x ~ i y, z* -~ x - - i y und Elimination der partiellen Ableitung nach z~ Implizite notwendige und hinreichende Bedingungen fiir L e P (in der Gestalt eines endliehen Systems partieller Differentialgleichungen) warden in [8] angegeben. Eine explizite Kennzeichnung der gesamten Klasse P ist bisher noch unbekannt. Jedoch hat man ein Kriterium im Falle, dal~ in (2b)

(5) q2~(z, z*) = ,~2~q(z, z*)~ ( ~ konstant, /~ -- 0 , . . . , m)

ist, wie folgt. Wit setzen m > 1 voraus und bezeichnen die (5) mit m > 1 entspre- chende Teilklasse yon P mit /5 . (Der Fall m ---- 1 wiirde einige technisehe Modifika- tionen erfordern, ohne neue Gesichtspunkte zu liefern.) Es gilt der

Satz 1. Es ist L ~ P genau dann, wen~ sich b(z, z*) und c(z, z*) in (1) in der Form

(6) b = ~ p -1, c = c o ( # p -2, p ( z , z * ) = k z ~-(~(z*)

(~, 'k beliebige Konstanten, c o - - - - m z - m ( m ~- 1)k, m ~ , a(z*) beliebig analytisch) darstellen lassen. I n (5) ist dann q(z, z*) = zp(z , z*).

Dies folgt unmittelbar aus Satz 1 in [9].

3. Darstellung von'Kernen fiir L e 15. Sinn und Zweck der Bergmanschen Theorie ist die Anwendung funktionentheoretischer S~tze und Methoden bei der Untersu- ehung allgemeiner Eigenschaften (Singularit~ten, Waehstum, Koeffizientenproblem usw.) yon Klassen yon LSsungen partieller Differentialgleiehungen (1). Dabei ist es wichtig, da$ die Abbildung / ~-> ~/---- u wesentliche Eigenschaften der Funktion / in nieht zu komplizierter Weise transformiert. Dies bedeutet, g sollte mSglichst einfach sein. Vorteile br in~ es, wenn Darstellungen der Kerne dureh bekannte spezielle Funk- tionen verfiigbar sind, deren Theorie dann entweder auf die LSsungen angewendet oder unter Benutzung der Darstellungen der Form (2a) welter ausgebaut werden karm. Typische Beispiele hierfiir sind die Untersuehungen yon E. Lanckau [10] bzw. P. Henrici [6]. Wit wollen zeigen, dal~ man im Falle der Klasse /5 derartige Dar- stellungen aus gewShnliehen Differentialgleiehungen herleiten kann. Die in Satz 1 angegebene Form yon q legt den Versuch nahe, g als Funktion yon

z t 2 (7) h(z, z*, t) - - k z -4- a(z*)

aufzufassen und fiir g eine gewShnliche Differentialgleiehung mit der unabh/~ngigen Variablen (7) zu gewinnen. Ist U ein oftener Dizylinder im zz*-Raum, der den Null- punkt enth~lt, und ist g(z, z* , t ) eine in G = U • { t ] - - l < t < l ) zweimal stetig differenzierbare LSsung der Gleiehung

(8) Mg := (1 - - t 2) g z . t - t - l gz* + 2 z t L g = 0

derart, da$ gz,/tz in G stetig ist und q~l/2gz,-->O ffir t --> • 1 gleichm~13ig in U g~It, so ist (2a) eine LSsung yon (1) in U. Dies ergibt sich dureh partielle Integration und

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direkte Reehnung; vgl. S. Bergman [3]. Setzen wir g(h) in (8) ein, so folgt

{(1 -- t 2) ht + 2zthz} hz*g" + Mg' + 2 ztc(z, z*) (g -- g') = 0

mit M wie in (8). Setzen wit (7) ein, vereinfaehen und dividieren dureh 2ztc(z, z*), so sehen wir aus den vorkommenden Potenzen yon t wie auch aus H. Florians Theorie in [5], dal3 wit die Koeffizienten yon g' bzw. g" in der resultierenden Gleichung als Polynome 1. bzw. 2. Grades in h bestimmen k6nnen. In der Ta t erhalten wir

(9) (h -- kh 2) g" q- (�89 -- (2 k -- ~) h) g' -~ m[(m q- 1) k -- ~] g ---- 0 .

Es gilt also der

Satz 2. FiZr L ~ i 5 12iflt sich der Kern g eines zugehSrigen Bergman.Operators B in der /olgenden Form darstellen:

( ~ 1 kz t ~ ) (10) g ( z , z * , t ) = F - -m , m q - l - - ~ - , - ~ ; kzq -a ( z* ) "

Bemerkenswerterweise hat der dttreh Satz 1 angeregte spezielle Ansatz (7 )e in Ergebnis geliefert, das so allgemein ist wie ein Resultat yon H. Florian [5] bei einem wesentlich allgemeineren Ansatz. Dies bedeutet, Florians S~tze in [5] fiber einzelne Potenzen als ,,Grundfunktionen" lassen sich aueh auffassen als eine andersartige Kermzeiehnung unserer Klasse P.

4. Anwendung. In gewissen F~llen ergeben sich aus Satz 2 sogar Darstellungen dutch elementare Funktionen. Zum Beweis setzen wit v----kh---- --sinh2t in (9), bezeiehnen g, als Funktion yon t aufgefal3t, mit ~ und setzen weiterhin

~(t) = (eosht)-v/2gz(t) mit ~ = 2 - - 2~/k.

Wir erhalten dann eine Gleiehung der Form

g~' + z(t) gl = 0 .

Die Reehnung zeig% dal~ ~ (t) genau ffir 7 = 2 oder 7 = 0 konstant wird. So ergibt sieh der

Satz 3. Fi2r L e P mit b (z, z*) = 0 bzw. ~ = k in Satz 1 hat der Kern g eines zuge- hSrigen Bergman-Operators die Darstellung

( l l a ) g(z,z*,t) ---- (1 -- kh(z,z*,t))-l /2eos[(2m q- 1) s(z,z*,t)]

bzw .

( l l b ) g(z,z*,t) ---- eos[2ms(z,z*,t)]

mit h gemS[3 (7) und

s (z, z*, t) = sin-Z {[k h (z, z*, t)]z/2}.

Als eine Anwendung betraehten wir absehliel3end die Gleiehung

L o u : = u z z , + 2 m ( m + l ) ( l + 2 z z * ) - ~ u - - - - O (meN)

Vol. XXV, 1 9 7 4 Darstellung spezieller Bergman-Kerne 279

(vgl. (3)), die wegen ihrer Verwandtschaf t mi t der Wellengleichung Bedeu tung ha l und eingehend un te rsueht worden ist. Eine Funkt ionentheor ie der LSsungen dieser Gleichung s t a m m t von E. Peschl und K. W. Bauer [1], [2]. Ein wesentliches Hilfs- mit te l ist dabei ein gewisser Different ia toperator auf dem R a u m komplex-ana ly t i scher Funkt ionen. I n [7] wurde gezeigt, dab L0 e P ist und dab sich der genannte Opera tor ohne die Invar ian ten theor ie au tomorphe r Funk t ionen einfach dadurch gewinnen IABt, dab m a n einen zu Lou-~ 0 gehSrigen Bergman-Opera to r in integralfreie F o r m iiberfiihrt. Aus dem obigen Satz 1 sehen wit, daB L0 e / 5 gilt, und Satz 3 liefert nun sogar die e lementare Dars te l lung (11 a) mi t

~zz* t 2 (12) h(z, z*, t) ----

1 -~- ) ,zz*

Literaturverzeiehnis

[1] K. W. BAUER, ~ber die LSsungen der elliptischen Differentialgleiehung (1 =]= z~) 2 w~; A- 2w = 0. J. reine angew. Math. 221, 48--84, 176--196 (1966).

[2] K. W. BAUER und E. PEsc~m, Ein allgemeiner Entwieklungssatz fiir LSsungen der Diffe- rentialgleiehung (1 + sz~)2w~;-~ sn(n-+- 1)w-----0 in der N~he isolierter Singularit~ten. S.-Ber. math.-naturw. K1. Bayer. Akad. Wiss., Miinehen, 1965.

[3] S. BERGMA~r Integral Operators in the Theory of Linear Partial Differential Equations. 2nd rev. print, Berlin 1969.

[4] S. BERG~AN, On numerical solution of partial differential equations. In preparation. [5] H. Yr_~ORri~r Normale Integraloperatoren. Monatsh. lVfath. 69, 18--29 (1965). [6] P. Hv.lvaiei, Zur :Funktionentheorie der Wellengleichung. Comment. Math. Helv. 27,

235--293 (1953). [7] IV[. K~Ac~T und E. KaEYszm, Bergman-Operatoren mit Polynomen als Erzeugenden.

Manuscripta math. 1, 369--376 (1969). [8] E. K~EYSZIG, ~ber zwei Klassen Bergmanscher Operatoren. Math. l~aehr. 87, 197--202

(1968). [9] E. IZ~EYSZir On Bergman operators for partial differential equations in two variables.

Pacific J. Math. 86, 201--208 (1971). [10] E. LA~cuci~, Zur LSsung gewisser partieller Differentialgleichungen mittels parameter-

abh~ngiger Bergman-Operatoren. Nova Acta Leopoldina (N.F.) Nr. 201, Bd. 36, 1971.

Eingegangen am29.11. 1972

Anschrift des Autors: Erwin Kreyszig Mathematisehes Institut Universitiit Karlsruhe Karlsruhe, Kaiserstr. 12